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ESTRUCTURAS METALICAS
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Una estructura de acero acero se forma del ensamblaje ensamblaje de los miembros miembros estructurales que constituyen su armazón. Se requieren conexiones en los lugares donde los diversos miembros se deben unir por sus extremos a otros miembros de manera que permitan que la carga siga su flujo ordenado y continuo hasta llegar a los cimientos. Como la conexión sirve para pasar la carga de o a los miembros adyacentes, se debe diseñar de manera adecuada. El diseño de las conexiones implica la producción de una junta que sea segura, económica en el uso de los materiales, y que se pueda construir (ha de ser práctica). En general, las conexiones más prácticas son las más económicas, ya que los costos de fabricación afectan la economía tanto de las conexiones (o juntas) como los propios miembros, como ya se mostró especialmente en lo que concierne a los miembros armados a tensión y compresión.
1
FUERZA, MOMENTO.
La función de la fuerza es de trasladar un cuerpo. El momento actúa cuando se ejerce fuerza a una determinada distancias
Ec. 1 Grafico 1
La fuerza y la distancia forman el plano de rotación y perpendicular a este plano es el eje de rotación (Dirección del momento) según la regla de la mano derecha.
Dónde:
Ec. 2
M-Momento P-Fuerza d,b-distancia, brazo
Grafico 2
________________________ ____________ ________________________ ________________________ ________________________ _________________ _____
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Momento es un par de fuerza efectuando una rotación.
En General se tiene las dos siguientes ecuaciones Ecuación de Cantidad de movimiento, segunda ley de newton
∑
Ec. 3
Momentum Lineal
Ec. 4
Se considera estático la estructura por tanto se tiene:
∑
2
Ec. 5
Ec. 6
APOYOS
Los apoyos consecuencia:
restringen
el
movimiento,
en
Los movimientos (traslación) se producen a causa de Grafico 3 una fuerza. Las rotaciones se producen a causa de un momento.
2.1 Traslación: La traslación se estudia a partir de la ley de Hooke, que indica los desplazamientos de un cuerpo bajo la acción de una fuerza.
Ec. 7
Al actuar una fuerza en un cuerpo, esta provoca un esfuerzo en la reacción. Grafico 4
________________________ ____________ ________________________ ________________________ ________________________ _________________ _____
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Ec. 8 Ec. 9
Como se va analizar los elementos de unión entonces las reacciones R ( 1 ) serán en los pernos que soportan la carga P ( 2 ). Según el gráfico los pernos están sometidos a corte mientras se desliza la plancha. Las ecuaciones serán:
∑ ∑ ∑ ∑ Ec. 10
La ecuación 10 indica la carga que ejerce la plancha en el perno.
2.2 Rotación:
Grafico 5
1 2
R - Es la reacción en un perno bajo la Carga P de acuerdo al gráfico 3 P - Es la carga que actúa para que soporten los pernos
________________________ ____________ ________________________ ________________________ ________________________ _________________ _____
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Grafico 6 Grafico 7
La rotación es causada por la acción de un momento. De la misma manera la rotación se estudia a partir de la ley de Hooke, que indica los desplazamientos rotativos de un cuerpo bajo la acción de un momento. Al actuar el momento en un cuerpo, esta esta provoca un esfuerzo en la reacción.
⁄⁄ ( ) ⏟
A partir del grafico 7 se tiene: S Longitud de arco, entonces se tiene: t iene:
Se cumple para ángulos pequeños siendo
Por la ley de Hooke la deformación es: El módulo de Yung : La Fuerza es:
De las anteriores ecuaciones se tiene: Cambiando por
(3) se tiene:
Se tiene combinando el esfuerzo y según el grafico 7:
4
Considerando la ley de equilibrio de newton ec. 5 Según los gráficos 6 y 7
3
es una constante. ________________________ ____________ ________________________ ________________________ ________________________ _________________ _____
Se hace el cabio según los gráficos 5, 6,7 por que indican que el perno está sometido a corte, lo cual se representa por: .
4
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∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Reacción para un perno Reacción total
Si
Despejando k
∑
∑
Ec. 11
Sustituyendo en la ecuación de reacción para un perno
∑ 3
Ec. 12
ECUACIONES BÁSICAS
Las siguientes ecuaciones que se presentan son la base para el estudio posterior. Según el gráfico 6 se obtiene los signos correspondientes:
Nota:
Ec. 13
∑ ∑ ∑ ∑
Ec. 14
Ec. 15
En la práctica todos los pernos tienen que ser iguales , como también la distribución viene dada en arreglos ya sean rectangulares, circulares, etc. Por ejemplo en arreglos rectangulares tiene que ser organizado en filas y columnas (mallas).
4
TORNILLOS DE ALTA RESISTENCIA
Existen dos clases generales de tornillos que se usan en las aplicaciones estructurales. Se tienen los A-307 de uso general (designación de la ASTM), llamados a veces tornillos sin tornear. Estos tornillos tienen una espiga algo áspera así como las superficies de contacto, ya que no se tiene tanto cuidado en su fabricación. Los tornillos A-307 se hacen de acero con una resistencia última F II, del orden de 60 (grado A) a 100 (grado B) kip/pulg 2 (415 a 690 MPa) y están disponibles en diámetros de 114 pulg (6 mm) a 4 pulg (102 mm) y en longitudes de 1 a 8 pulg en incrementos de 114 de pulg , y de más de 8 pulg., en incrementos de 112 pulg, Los tornillos A-307 se pueden obtener con diversas configuraciones de cabeza y tuerca, _________________________________________________________________
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Página 6 de 49 pero las cabezas cuadradas y hexagonales son las que usan con mayor frecuencia. En la figura 8-5 se ilustran varios tamaños de tornillos A-307. Los tornillos A-307 son más baratos que los tornillos A-325 y A-49O, y se deben usar en aplicaciones estructurales de cargas estáticas, siempre que sea posible. Las aplicaciones incluyen su uso en pequeñas estructuras, en lugares en los que la instalación de los tornillos sea visible para verificaciones regulares de servicio, y en cargas de servicio que sean relativamente pequeñas.
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TORNILLOS SOMETIDOS A CARGAS EXCENTRICAS En general, se desprecia la excentricidad de la carga en un grupo de tornillos, cuando dicha excentricidad es menor de 2,112 pulg (60 mm). Dentro de esta categoría se encuentran las juntas como la simple conexión estructural de la figura la que tiene amplia utilización. La conexión de ménsula de la figura está cargada con una excentricidad que es obviamente demasiado grande para poder despreciarla.
Una carga que ha de resistir un grupo de tornillos que es excéntrico con res pecto al centroide del patrón del grupo, se puede sustituir por una fuerza que tiene una línea de acción a través del centroide del patrón y un momento con la magnitud , donde e es la excentricidad de la carga
El momento excéntrico , desarrolla una fuerza adicional en el tornillo. Suponiendo un grupo de tornillos que actúa como una unidad elástica, se tiene un concepto similar al del desarrollo de la resistencia de la viga y relacionado con el momento de inercia de la misma.
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CARGA ACTUANTE.
El plano xy es donde está ubicada la cabeza de los pernos como se muestra en la figura. Solo actúan de 1 a 2 cargas en el plano xy
Se puede asumir:
También se debe asumir el número de filas y columnas (n,c), con una relación 2:1 es decir o Esto depende y va paralelo a la de mayor carga.
3
EXCENTRICIDAD
Las excentricidades son las distancias (brazos) desde el centro de gravedad hasta el punto donde están ubicadas las fuerzas actuantes. Del gráfico se tiene dos excentricidades:
4
Ec. 16 Ec. 17
MOMENTO CON EXCENTRICIDAD REAL
Ec. 18
Ec. 19
Ec. 20
Para este caso momento que actúa es el Mz
entonces el único
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CARGA ADMISIBLE
Para hallar la carga admisible del perno debemos especificar su aplicación, pudiéndose aplicarse al aplastamiento o a fricción. El diseño de las conexiones tanto de fricción como de aplastamiento implica el uso de un esfuerzo cortante permisible. Este valor es mucho más bajo para las conexiones de fricción, puesto que no es deseable ningún deslizamiento de la junta bajo las cargas de trabajo. El valor será considerablemente mayor para las conexiones de aplastamiento, ya que se puede tolerar una pequeña cantidad de movimiento relativo entre las partes que forman la junta. Ambos tipos de juntas, además de diseñarse para "cortante", se verifican por rutina para tensión en la sección neta y para aplastamiento del material conectado contra el conector. La práctica usual de fabricación prefiere usar agujeros ovalados de mayor tamaño en las conexiones de fricción. Este tipo de agujeros permite un montaje más fácil en el campo, ya que se dispone de mayor tolerancia en la alineación para los tornillos temporales de montaje.
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Página 10 de 49 5.1 Pernos tipo apoyo (aplastamiento) Conexiones de aplastamiento, Conexiones donde la resistencia de la junta se toma como una combinación de la resistencia a cortante del conector y el aplastamiento del material conectado contra el conector. Este tipo de comportamiento se desarrolla según ocurre suficiente deslizamiento para poner material conectado con la proyección trasera del conector, cerca de la carga de trabajo o diseño, Como el cortante del conector es parte de la resistencia en el análisis de la conexión de aplastamiento, el área reducida para cortante de que se dispone para los conectores roscados cuando la rosca esté en cualquiera de los planos de deslizamiento requiere una reducción de la carga de diseño, En la práctica, la presencia de la rosca en el plano de cortante dará por resultado un esfuerzo permisible de diseño más bajo, para el cortante en el sujetador.
5.1.1 Esfuerzo, Rosca Se debe considerar si la rosca está en el plano de corte o no según la J3,2. Rosca en el plano de corte.
La rosca no está en el plano de corte.
Rosca sometida tensión de tracción
PERNO A307 A325 A325 A407 A407
Fu
60[ksi] 120[ksi] 120[ksi] 150,7[ksi] 150,7[ksi]
Fnt
45[ksi] 90[ksi] 90[ksi] 113[ksi] 113[ksi]
Fnv
24[ksi] 60[ksi] 48[ksi] 75[ksi] 60[ksi] Tabla 1
APLICACIÓN --------Rosca fuera del plano de corte Rosca está en el plano de corte Rosca fuera del plano de corte Rosca está en el plano de corte
5.1.2 Fuerza admisible Según la tabla J3,1 se elige el diámetro del perno de acuerdo a la carga aplicada, como aproximación se elige con la resultante o con la fuerza de mayor magnitud.
Teniendo el diámetro se calcula el área Fuerza que admite cada perno al corte Reacción admisible del perno
(Reacción).
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Página 11 de 49 5.2 Pernos tipo fricción Conexiones de fricción, en las conexiones que se diseñan como conexiones de fricción se supone que su resistencia primaria se desarrolla como cortante en los conectores (tornillos o remaches) en el plano potencial de deslizamiento entre las partes conectadas. No se desarrollará ningún movimiento relativo entre las partes conectadas hasta que no se exceda sustancialmente la carga de diseño.
5.2.1 Fuerza admisible
Según la J3,8 La resistencia de deslizamiento admisible , para el estado límite de deslizamiento de la siguiente forma:
, será determinadas
Ec. 21
a) Para las conexiones en que la prevención del deslizamiento es un estado límite de servicio: b) Para las conexiones diseñadas para prevenir el deslizamiento para el nivel de resistencia requerida:
Donde:
μ = Coeficiente de rozamiento 0,35 para superficie clase A o superficie de acero limpia sin pintar, libre de escamas. 0,50 para superficies clase B o superficies de acero sin pintar, limpiada a chorro. Du = 1,13 Multiplicador que refleja la relación entre la pretensión media instalada y la especificada. hsc= Factor dependiente del tipo de agujero 1,00 agujeros estándar 0,85 agujeros agrandados o de ranura corta 0.70 agujeros de ranura larga Ns = Número de superficies de fricción Tb = Pretensión mínima del perno, dada por la tabla J3.1 Reacción admisible del perno
Ec. 22
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TABLA J3.1 Pretensión Mínima de Pernos, kips* Tamaño del Perno, Pernos A325 Pernos A490 in. 1/2 12 15 5/8 19 24 3/4 28 35 7/8 39 49 1 51 64 1 1/8 56 80 1 1/4 71 102 1 3/8 85 121 1 1/2 103 148 Igual a 0.70 por la resistencia mínima a la tracción del perno, como se especifica en la norma ASTM para pernos A325 y A490 con rosca UNC, redondeada al kip más próximo.
Tabla 2 "db"
"Tb 325"
"Tb 490"
"Rn 325"
"Rn 490" "Radm 325" "Radm 490"
0.5
12
15
4.746
5.932
2.697
3.371
0.625
19
24
7.514
9.492
4.27
5.393
0.75
28
35
11.074
13.842
6.292
7.865
0.875
39
49
15.424
19.379
8.764
11.011
1
51
64
20.17
25.312
11.461
14.382
1.125
56
80
22.148
31.64
12.584
17.977
1.25
71
102
28.08
40.341
15.955
22.921
1.375
85
121
33.617
47.855
19.101
27.191
1.5
103
148
40.736
58.534
23.146
33.258
Tabla 3
Comparando la carga a la que está sometida el perno con la carga que puede soportar se obtiene el diámetro del perno. _________________________________________________________________
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APROXIMACIÓN DEL NÚMERO DE PERNOS.
Toda vez que el número de pernos depende de la carga requerida, y la carga requerida depende del número de pernos, se corta el círculo vicioso asumiendo el número de pernos "no" y verificando a continuación dicho valor con la siguiente fórmula aproximada:
|| ||
Ec. 23 Ec. 24 5
Si este valor no es aproximado al valor inicial asumido entonces se debe asumir el valor entero calculado por esta fórmula de aproximación.
7
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DEL ÁREA DE PERNOS.
Para determinar el efecto de las cargas sobre los pernos se debe conocer su área y sus momentos de segundo orden como se calcula a continuación.
7.1 Momento de inercia. 7.1.1 Arreglo Rectangular.
5
Se escoge paralelo a la carga mayor entonces puede pasar que
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Página 14 de 49 Por tanto en resumen
Ec. 25 Ec. 26
Ec. 27
Con la ec. 11 se puede verificar la veracidad de las anteriores formulas. Se ha verificado que las ec. 19,20 y 21 son adecuados para calcular los momentos de inercia de las dos figuras anteriores, según la ec. 11 el momento de inercia es la misma para las dos figuras.
7.1.2 Arreglo circular Según la ec. 11 la inercia en z será:
Ec. 28
Ec. 296
Ec. 30
Se debe recordar la distancia (paso) entre pernos no debe ser menor a 3 [p]. En este tipo de problemas se debe dar palores a k y recalcularlo
7.2 Área total
7.3 Distancia al perno más esforzado
6
k – número de pernos (numero entero).
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FUERZA ACTUANTE SOBRE EL PERNO MÁS ESFORZADO
8.1 Método de las componentes. Con toda la información anterior se podrían calcular los esfuerzos y/o fuerzas en cualquier perno, por razones obvias sólo se calculará la fuerza actuante en el perno más esforzado. Se aclara que las relaciones siguientes han sido determinadas admitiendo un comportamiento elástico en los pernos y rigidez total en las placas de conexión. Debido a ésta última, se empleará la excentricidad equivalente recomendada por el Manual AISC. Refinamiento de cálculo Como quiera que el método elástico que se va empleando asume la condición de placa rígida, que no es real, y que debido a sus deformaciones se produce una redistribución de carga, el manual recomienda emplear la siguiente excentricidad efectiva reducida:
Cuando
Cuando
Cuando
Cuando
Ahora se modificará la excentricidad de acuerdo a la recomendación mencionada, nuevamente la excentricidad efectiva será calculada para la carga más grande paralela a esta. Por tanto el momento con tal excentricidad efectiva es:
El momento z se escoge de acuerdo a la excentricidad modificada. Entonces, las proyecciones de la carga sobre el perno más esforzado son:
Por tanto la carga total es:
|| || || √
Este valor Ra debe ser menor a la carga admisible del perno. _________________________________________________________________
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Página 16 de 49 8.2 Método del centro instantáneo. A continuación se aplica un método alternativo para calcular la carga en el perno más esforzado, que consiste en hallar la ubicación del punto alrededor del cual rota el conjunto de pernos bajo el efecto de la fuerza y el momento actuando simultáneamente. Dicho punto, llamado Centro Instantáneo se halla sobre la perpendicular a la dirección de la carga actuante "P" y a una distancia igual a r 0 en sentido opuesto a la excentricidad de P. Carga actuante P y excentricidad:
||
Utilizando la relación demostrada, la distancia al centro instantáneo es:
Ahora bien, para usar la relación de carga actuante debida a la combinación de fuerza y momento actuando simultáneamente, empleando la ubicación del centro de rotación CI, se debe calcular tanto el radio vector como la inercia respecto del CI. Radio Vector del perno más esforzado: r i0
||
Inclinación de la carga:
Momento respecto al centro instantáneo Inercia polar respecto al CI Por tanto la carga total es:
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Como en el caso de pernos en corte, la determinación del número de pernos necesarios para resistir cierta carga también se resuelve iterativamente, porque en general el momento depende de dicho número, creándose un círculo vicioso. En este problema, la carga sólo tiene componente en el eje Z. y las únicas excentricidades que interesan son las del plano XY. Entonces, como antes, debemos trasladar la carga hasta el centroide de los pernos, que es también el origen de coordenadas, empleando las relaciones conocidas. Se deme analizar la tracción en pernos y la flexión del ala.
1
TRACCIÓN EN LOS PERNOS:
1.1 Carga actuante Fz en un punto del plano XY:
Se puede asumir:
También se debe asumir el número de filas y columnas (n,c), con una relación 2:1.
1.2 excentricidad Las excentricidades son las distancias (brazos) desde el centro de gravedad hasta el punto donde están ubicadas las fuerzas actuantes. _________________________________________________________________
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Página 18 de 49 Del gráfico se tiene dos excentricidades:
1.3 Momento con excentricidad real
Analizando actúan dos momentos:
1.4 Carga sobre el perno más esforzado
Según la teoría y el análisis del capítulo 1 se tiene reacciones en el perno debido a la fuerza actuante y los momentos que esta fuerza actuante provoca, de las ec14 o ec 15 se tiene:
Ec. 31
∑ ∑
Ec. 32
Para obtener el valor de la reacción del perno a tracción se debe asumir un efecto palanca del 80% por tanto:
Ec. 33
Rosca sometida tensión de tracción
PERNO
A307 A325 A325 A407 A407
Fnt
45[ksi] 90[ksi] 90[ksi] 113[ksi] 113[ksi]
_________________________________________________________________
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Página 19 de 49 1.5 Fuerza admisible Según la tabla J3,1 se elige el diámetro del perno de acuerdo a la carga aplicada, como aproximación se elige con la resultante o con la fuerza de mayor magnitud. Teniendo el diámetro se calcula el área Fuerza que admite cada perno a la tracción
(Reacción).
Reacción admisible del perno
Comparando la carga a la que está sometida el perno con la carga que puede soportar se obtiene el diámetro del perno.
2
FLEXIÓN DEL ALA
2.1 Aproximación del espesor de ala Por lo visto líneas arriba, el efecto de palanca depende de muchas variables, es necesario entonces establecer una forma aproximada para hallar este valor "Q", en tal sentido, primero hallaremos el valor aproximado del espesor del ala "tf ", usando la relación aproximada demostrada en teoría: Se asume:
Ec. 34
Con el valor de t se va a tablas de perfiles W y se busca tf un valor aproximado a t. De la que se vaya a elegir se debe sacar los siguientes datos.
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Página 20 de 49 La ec. 34 se deduce a partir de la aplicación en la práctica: Se asume:
Sea cualquiera el momento se tiene:
Para un material A36 se tiene Fy=36[ksi]
2.2 Efecto palanca En el caso de emplear un perfil WT, los valores de a y b serían
( )
Como vimos en teoría, a las cargas directas "F" recién analizadas debemos añadir el llamado Efecto de Palanca, que nace de la deformación de los elementos de la unión, es una fuerza adicional "Q" cuyo valor está definido empíricamente en función del tipo de perno, es decir: Para pernos A307 Para pernos A325
Para pernos A490
Dónde: db es el diámetro del perno _________________________________________________________________
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Página 21 de 49 tf es el espesor del ala W es el paso entre perno y perno (p) De modo que la carga total sobre el perno más esforzado será la suma de "F T" más "Q":
También debemos verificar la flexión en el ala del perfil, empleando el mayor de los momentos M1F y M2F que actúan sobre el ala y hallamos en clases: Del gráfico se tiene:
Se escoge el mayor momento. Para el perfil se tiene que comprobar que:
Para un material A36 entonces Fy=36[ksi] Para un material A50 entonces Fy=50[ksi] Toda vez que este esfuerzo es mayor que el Esfuerzo Admisible en flexión, debemos modificar algún (os) parámetros de diseño y repetir la verificación.
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En la figura 8-18 se muestran varios casos de conexiones sometidas a cortante y tensión combinados. Se observará que ~na conexión con una combinación de cortante y compresión será adecuadamente conservativa si se diseña, ya sea como conexión de fricción o de cortante. Es evidente que la fuerza de compresión sobre la conexión aumenta la resistencia al deslizamiento, mientras que una fuerza de tensión tiende a disminuirlo. Por lo general, un sujetador sometido a cortante y tensión combinados se puede tratar de una manera algo semejante a la condición de viga-columna con esfuerzos combinados.
1
CARGA ACTUANTE
Se puede asumir:
# De columnas y filas
Fuerza que actúa en el perno más esforzado debido a los momentos debido a las cargas actuantes.
Las excentricidades son las distancias (brazos) desde el centro de gravedad hasta el punto donde están ubicadas las fuerzas actuantes. Del gráfico se tiene dos excentricidades:
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Para estos pernos sometidos a esfuerzos combinados se puede analizar para tipo apoyo y tipo fricción.
2
PERNOS TIPO APOYO BAJO ESFUERZO COMBINADO TRACCIÓN CORTE
2.1 Aproximación del perno por corte Reacción en el perno más esforzado:
Por tanto la carga total es:
|| || || √
Este valor Ra debe ser menor a la carga admisible del perno.
2.2 Carga Admisible en corte por perno Según la tabla J3,1 se elige el diámetro del perno de acuerdo a la carga aplicada, como aproximación se elige con la resultante o con la fuerza de mayor magnitud.
Teniendo el diámetro se calcula el área Fuerza que admite cada perno al corte Reacción admisible del perno Comparando adecuado.
(Reacción).
con las anteriores ecuaciones se puede hallar el diámetro
2.3 Aproximación del diámetro del perno por Tracción Entonces las fuerzas actuantes sobre el perno más esforzado son:
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Para obtener el valor de la reacción del perno a tracción se debe asumir un efecto palanca del 80% para pernos diferentes A307, por tanto:
Ec. 35
Rosca sometida esfuerso de tracción
3
CARGA ADMISIBLE POR PERNO
Ensayos han demostrado que la resistencia al aplastamiento de conectores solicitados por una combinación de corte y de tracción debido a cargas externas aplicadas puede ser definida apropiadamente por una elipse. La relación se expresa a continuación.
En estas ecuaciones, y son las tenciones de corte y de tracción requeridas, respectivamente, y y son las tensiones de corte y de tracción nominales, respectivamente. La relación elíptica puede ser reemplazada, con alguna desviación menor, por tres líneas rectas tal como se muestra en la figura. La porción inclinada de la representación trilineal tiene la siguiente expresión.
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Página 25 de 49 Esta última representación tiene la ventaja de que no es necesario una modificación en alguna de las tensiones, en presencia de magnitudes más grandes de un tipo respecto al otro tipo. Hay que resaltar que la anterior ecuación puede ser reescrita de manera tal de encontrar la resistencia de corte nominal por unidad de área, , como una función de la tensión de tracción requerida, .La expresión es la siguiente:
El esfuerzo actuante de corte ( ) está en función de la fuerza cortante R a calculada anteriormente y del área del perno. Organizando los cálculos en forma de una matriz tenemos.
Según la tabla J3,1 se elige el diámetro del perno de acuerdo a la carga aplicada, como aproximación se elige con la resultante o con la fuerza de mayor magnitud. Teniendo el diámetro se calcula el área Fuerza que admite cada perno a la tracción
(Reacción).
Reacción admisible del perno
Comparando la carga a la que está sometida el perno con la carga que puede soportar se obtiene el diámetro del perno.
4
FLEXIÓN DEL ALA
4.1 Aproximación del espesor de ala Por lo visto líneas arriba, el efecto de palanca depende de muchas variables, es necesario entonces establecer una forma aproximada para hallar este valor "Q", en tal sentido, primero hallaremos el valor aproximado del espesor del ala "tf ", usando la relación aproximada demostrada en teoría: _________________________________________________________________
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Página 26 de 49 Se asume:
Ec. 36
Con el valor de t se va a tablas de perfiles W y se busca tf un valor aproximado a t. De la que se vaya a elegir se debe sacar los siguientes datos.
La ec. 34 se deduce a partir de la aplicación en la práctica:
Se asume:
Sea cualquiera el momento se tiene:
Para un material A36 se tiene Fy=36[ksi]
4.2 Efecto palanca En el caso de emplear un perfil WT, los valores de a y b serían
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( )
Como vimos en teoría, a las cargas directas "F" recién analizadas debemos añadir el llamado Efecto de Palanca, que nace de la deformación de los elementos de la unión, es una fuerza adicional "Q" cuyo valor está definido empíricamente en función del tipo de perno, es decir: Para pernos A307 Para pernos A325
Para pernos A490
Dónde: db es el diámetro del perno tf es el espesor del ala W es el paso entre perno y perno (p) De modo que la carga total sobre el perno más esforzado será la suma de "F T" más "Q":
También debemos verificar la flexión en el ala del perfil, empleando el mayor de los momentos M1F y M2F que actúan sobre el ala y hallamos en clases: Del gráfico se tiene:
Se escoge el mayor momento. _________________________________________________________________
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Página 28 de 49 Para el perfil se tiene que comprobar que:
Para un material A36 entonces Fy=36[ksi] Para un material A50 entonces Fy=50[ksi] Toda vez que este esfuerzo es mayor que el Esfuerzo Admisible en flexión, debemos modificar algún (os) parámetros de diseño y repetir la verificación.
⃗ ⃗
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Se puede asumir:
También se debe asumir el número de filas y columnas (n,c), con una relación 2:1.
5
EXCENTRICIDAD
Las excentricidades son las distancias (brazos) desde el centro de gravedad hasta el punto donde están ubicadas las fuerzas actuantes. Del gráfico se tiene dos excentricidades:
6
MOMENTO CON EXCENTRICIDAD REAL
La resistencia disponible en tracción, en pernos sujetos a tracción combinada con corte, será determinada de acuerdo con el estado límite de rotura en tracción y corte, como sigue:
Rn
F '
nt
Ab
Φ = 0.75 (LRFD)
Ω = 2.00 (ASD)
_________________________________________________________________
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Página 30 de 49 donde:
F’ nt =
esfuerzo nominal en tracción, modificado para incluir los efectos del esfuerzo cortante, ksi (MPa)
7
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DEL ÁREA DE PERNOS.
Para determinar el efecto de las cargas sobre los pernos se debe conocer su área y sus momentos de segundo orden como se calcula a continuación.
7.1 Momento de inercia. 7.1.1 Arreglo Rectangular.
Por tanto en resumen
Ec. 37
_________________________________________________________________
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ESTRUCTURAS METALICAS
Página 31 de 49
Ec. 38
Ec. 39
Con la ec. 11 se puede verificar la veracidad de las anteriores formulas. Se ha verificado que las ec. 19,20 y 21 son adecuados para calcular los momentos de inercia de las dos figuras anteriores, según la ec. 11 el momento de inercia es la misma para las dos figuras.
7.1.2 Arreglo circular Según la ec. 11 la inercia en z será:
Ec. 40
Ec. 417
Ec. 42
Se debe recordar la distancia (paso) entre pernos no debe ser menor a 3 [p]. En este tipo de problemas se debe dar palores a k y recalcularlo
7.2 Área total
7.3 Distancia al perno más esforzado
Pernos Tipo Apoyo, Rosca fuera del plano de corte Se pide diseñar la unión mostrada en la Fig. 1, usando pernos A325 tipo apoyo
E 1. A proximación del número de pernos
7
k – número de pernos (numero entero).
_________________________________________________________________
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ESTRUCTURAS METALICAS
Página 32 de 49 Se propone como primer objetivo aproximar el número de filas "n" y de columnas "c". Para cortar el círculo vicioso antes indicado, vamos a asumir n=3 y c=2, con dichos valores será posible entonces conocer el momento solicitante y con él se podrá verificar si los valores asumidos son o no adecuados. Los valores definidos por el problema, invariantes, de acuerdo al gráfico son: u
7 i
v
3 i
Los valores que se usan corrientemente para el paso "p" y el gramil "r" son: r
3 i
p
3 i
Y los a valores que se asume para el número de filas "no" y columnas "c", son: n
o
c
3
2
Entonces las excentricidades valen: c ex1 ( r )
1 2
u 8.5in
ey1
Siendo las fuerzas dadas:
Py
( p )
no 1 v 6 in 2
22.0 ki
Px 3.3 kip
Luego, el momento (con excentricidad real) vale: M z1
Px ey1
Py e x1
in·kip 206.8
Ahora bien, para aproximar el número de pernos se debe determinar la fuerza que admite cada perno al corte, como estipula la Sec. B3.4 del AISC: Radm=Rn/Ω (B3-2), donde: Según la Sección J3.6:
2.0
J3-1
La resistencia nominal por perno
R nv Fnv A b
Fnv A b
J3-1
Donde el esfuerzo nominal Fnv en corte, para un perno A325 tipo apoyo, rosca no cortada: Fnv 60ksi
Tabla J3.2
Y el área de cada perno cuyo diámetro es
d b
3
i 4
2 0.442in2
A b1 d b 4
_________________________________________________________________
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Página 33 de 49 Entonces:
R nv1
por tanto:
R adm
Fnv A b1 R nv1
26.507kip
13.2 54kip
Ahora se puede emplear la fórmula de aproximación:
n1
6 Mz1
3.95
p c R adm
La segunda aproximación: Como quiera que el valor "n 1=3.95" obtenido es mayor que el asumido en primera instancia no=3, se repite la aproximación aumentando el número de filas, como el cambio producirá un incremento en el momento, el siguiente valor de "n" deberá ser mayor que 3.95, por tanto se asume: no
5
Entonces las nuevas excentricidades son: c ex2 ( r )
1 2
u 8.5in
ey2
M z2 Px ey2
y el momento aumenta a:
( p )
no 1 v 9 in 2
Py e x2
in·kip 216.7
Toda vez que no cambió el diámetro del perno, se emplea el mismo Radm yse vuelve a usar la fórmula de aproximación: n2
6 Mz2
p c R adm
4.044
Se ve que el incremento no ha sido tan grande como el esperado, por tanto se verifica a continuación el comportamiento de 4 filas de pernos por 2 columnas. Entonces: n
4
c
2
p
3i
r
3i
d b
3
i 4
_________________________________________________________________
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Página 34 de 49
A b
4
2
2
d b 0.442in
E2. Características geométricas del área de pernos Para determinar el efecto de las cargas sobre los pernos se debe comocer su área y sus momentos de segundo orden como se calcula a continuación. A b
n c p Ix 12 Iy
A b 12
2
n 1 39.761in 2
4
n c r c 1 7.952in 2
2
4
4
Iz Ix Iy 47.713in At
2
n c A b 3.534in
E3. Fuerza Actuante sobre el Perno más esforzado E3.1. Método de las componentes Con toda la información anterior se podrían calcular los esfuerzos y/o fuerzas en cualquier perno, por razones obvias sólo se calculará la fuerza actuante en el perno más esforzado. Se aclara que las relaciones siguientes han sido determinadas admitiendo un comportamiento elástico en los pernos y rigidez total en las placas de conexión. Debido a ésto último, se empleará la excentricidad equivalente recomendada por el Manual AISC. Con los valores adoptados las excentricidades valen: c ex ( r )
1 2
u 8.5in
ey
( p )
n
1 2
v 7.5in
Ahora se modificará ex de acuerdo a la recomendación mencionada: ee
1 n
ex
2
1 in 6 in
Por tanto el momento con tal excentricidad efectiva vale: M z Px ey
Py e e
in·kip 156.75
Estado en condiciones de calcular la carga sobre el perno más esforzado, se determinan sus distancias al centroide: _________________________________________________________________
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Página 35 de 49
xi
c
yi
n
1 2
r 1.5in
1 2
p 4.5in
Entonces, las proyecciones de la carga sobre el perno más esforzado son: Px R x nc
Mz Iz
A b y i
6.944kip
R y
Py n c
Mz Iz
A b xi
4.927kip
Por tanto la carga total vale: R a
2
2
R x R y 8.514kip
Valor que es menor que la carga admisible de un perno de 3/4: Radm = 13.25 kip, por lo tanto habría terminado el diseño propuesto, a menos que se desee mejorar la aproximación, disminuyendo el diámetro del perno o el número de filas, etc.
NOTA. Toda vez que el proceso completo ha sido escrito introducido como funciones de Math Cad, sería muy fácil recalcular la carga R a modificando cualquier parámetro adoptado, como ejemplo, recalculando para n=3 se obtiene el valor R a = 13.51 kip, que supera ligeramente el admisible. E3.2. Método del Centro Instantáneo A continuación se aplica un método alternativo para calcular la carga en el perno más esforzado, que consiste en hallar la ubicación del punto alrededor del cual rota el conjunto de pernos bajo el efecto de la fuerza y el momento actuando simultáneamente. Dicho punto, llamado Centro Instantáneo se halla sobre la perpendicular a la dirección de la carga actuante "P" y a una distancia igual a r 0 en sentido opuesto a la excentricidad de P. Por tanto, se calcula primero la carga actuante P y su excentricidad: P
2
Px
e
Py
Mz P
2
P
e
22.246kip
7.046in
Utilizando la relación demostrada, la distancia al centro instantáneo vale: r 0
Iz A t e
r 0 1.916in
_________________________________________________________________
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Página 36 de 49 Ahora bien, para usar la relación de carga actuante debida a la combinación de fuerza y momento actuando simultáneamente, empleando la ubicación del centro de rotación CI, se deben calcular tanto el radio vector como la inercia respecto del CI. Radio Vector del perno más esforzado: r i0 Inclinación de la carga: atan
Py
1.422
Px
r 0x r 0 si n ( )
1.895in
r 0y
r 0 cos ( ) 0.284in
Entonces: xi0 xi
r i0
y i0 y i
r 0 2
xi0
r 0y
2
yi0
Momento respecto del C. Instantáneo: M0 M0
P e r 0
M 0 199.372in·kip
Inercia Polar respecto del CI: I0 I0
Iz A t r 0
2
4
I 60.687in 0
Finalmente, la carga actuante o requerida vale: R a
M0 I0
r i0 A b
R a 8.514kip
Valor que es idéntico al encontrado siguiendo el primer método.
EJEMPLO No 1.b.- Pernos Tipo Apoyo, Rosca en el plano de corte Si se desea usar el mismo tipo de pernos pero no es posible evitar que la rosca esté cortada, entonces lo único a cambiar es la carga admisible en el perno, porque al estar la rosca en el plano de corte el área esforzada es menor que la de la espiga Ab, entonces según lo indica la Tabla J3.2, la reducción en la resistencia es del 80%. Asi: _________________________________________________________________
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Página 37 de 49
R adm
R adm 0 .8 10.603kip
Como se ve, todavía este valor es mayor que la carga actuante o requerida R a, por tanto no se requiere ningún cambio.
EJEMPLO No 2.- Pernos Tipo Fricción En la Fig. E2 se ve la unión a diseñar, nótese que en este caso la carga horizontal es más grande que la vertical, de modo que es deseable que su brazo sea el menor para evitar el incremento de momentos, pero con el objetivo de no disminuir el momento de inercia se aumentará el número de columnas, según lo requiera la unión. Del mismo modo, se usará la excentricidad efectiva para el eje "y" a diferencia del ejemplo 1. Con excepción de lo mencionado líneas arriba, el proceso para determinar la carga requerida es el mismo del ejemplo 1. Por otra parte, habiendo cambiado el tipo de perno, será otra la forma en la que debe determinarse la carga admisible o resistencia de corte, ver Sección J3.8. E1. Aproximación del número de pernos Nuevamente el primer objetivo es aproximar el número de filas "n" y de columnas "c". Ahora se asume n=2 y c=4, con dichos valores será posible conocer el momento solicitante y con él se verificará si los valores asumidos son o nó adecuados. Los valores definidos por el problema, invariantes, de acuerdo al gráfico son: v
3 i
u
3 i
Los valores que se usan corrientemente para el paso "p" y el gramil "r" son: r
3 i
p
3 i
Y los valores asumidos para el número de filas "no" y columnas "c", son: no
2
c
4
_________________________________________________________________
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ESTRUCTURAS METALICAS
Página 38 de 49 Entonces las excentricidades valen: c ex1 ( r )
1 2
u 7.5in
ey1
Px 30 kip
Py
( p )
no 1 v 4.5in 2
Siendo las fuerzas dadas: 4.40 ki
Luego, el momento (con excentricidad real) vale: M z1 Px ey1
Py e x1
in·kip 168
Ahora bien, para aproximar el número de pernos se debe determinar la fuerza que admite cada perno al corte, como estipula la Sec. B3.4 del AISC: Radm=Rn/Ω (B3-2), donde:
1.7
Según la Sección J3.8:
Se previene el deslizamiento bajo carga actuante R nv
Du h sc T b Ns Du h sc T b Ns
J3
4
Donde:
μ = Coeficiente de rozamiento 0.35 para superficie clase A o superficie de acero limpia sin pintar, libre de escamas. 0.50 para superficies clase B o superficies de acero sin pintar, limpiada a chorro. Du = 1.13 Multiplicador que refleja la relación entre la pretensión media instalada y la especificada. hsc = Factor dependiente del tipo de agujero 1.00 agujeros estándar 0.85 agujeros agrandados o de ranura corta 0.70 agujeros de ranura larga Ns = Número de superficies de fricción Tb = Pretensión mínima del perno, dada por la tabla J3.1 _________________________________________________________________
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Página 39 de 49 NOTA.- Si la unión se diseña para prevenir el deslizamiento como un estado límite de serviciabilidad, se deberá modificar el factor de seguridad a Ω =1.5. En nuestro caso adoptaremos los siguientes parámetros:
0.3
Du
h sc 1.00
1.1
Ns
1.7
1.0
Valores para Tb (Tabla J3.1) D "d b "
"A 325"
"A 490"
0.5
12
15
0.625
19
24
0.75
28
35
0.875
39
49
1
51
64
1.125
56
80
1.25
71
102
1.375
85
121
1.5
103
148
Por tanto si se calcula la carga nominal y la carga admisible para cada tipo se tiene: d b
submatrix ( D 1 9 0 0)
R n325 TA
Du h sc T b325 Ns
T b325 submatrix( D 1 9 1 1)
R adm325
R n325
T b490 submatrix ( D 1 9 2 2)
R n490
augment d b T b325 T b490 R n325 R n490 R adm325 R adm490
Du h sc T b490 Ns R adm490
R n490
TI ( "db" "Tb 325" "Tb 490" "Rn 325" "Rn 490" "Radm 325" "Radm 490" )
T
T
TA augment TI TA
TA
T
"db"
"Tb 325"
"Tb 490"
"Rn 325"
"Rn 490" "Radm 325" "Radm 490"
0.5
12
15
4.746
5.932
2.697
3.371
0.625
19
24
7.514
9.492
4.27
5.393
0.75
28
35
11.074
13.842
6.292
7.865
0.875
39
49
15.424
19.379
8.764
11.011
1
51
64
20.17
25.312
11.461
14.382
1.125
56
80
22.148
31.64
12.584
17.977
1.25
71
102
28.08
40.341
15.955
22.921
1.375
85
121
33.617
47.855
19.101
27.191
1.5
103
148
40.736
58.534
23.146
33.258
_________________________________________________________________
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Página 40 de 49 Para verificar el número de columnas adoptado se asume un diámetro y su capacidad, en nuestro caso se prueba un perno A325 de d b=3/4 que según la tabla calculada resiste: R adm 6.29kip
Ahora se emplea la fórmula de aproximación pero adecuandola al problema actual que busca determinar el número de columnas: c1
6 Mz1 r n R adm
3.654
Como puede verse el valor asumido de cuatro columnas y dos filas aparentemente fué acertada, en consecuencia se pasa a verificar este arreglo.
2
n
c
4
3i
p
r
A b
4
3i
d b
2
3
i 4
2
d b 0.442in
E2. Características geométricas del área de pernos Para determinar el efecto de las cargas sobre los pernos se debe conocer su área y sus momentos de segundo orden, como se calcula a continuación. A b
Ix n c p 12
Iy
A b 12
n 1 7.952in
2
2
4
n c r c 1 39.761in 2
2
4
4
Iz Ix Iy 47.713in
At
2
n c A b 3.534in
E3. Fuerza Actuante sobre el Perno más esforzado E3.1. Método de las componentes Con toda la información anterior se podrían calcular los esfuerzos y/o fuerzas en cualquier perno, por razones obvias sólo se calculará la fuerza actuante en el perno más esforzado. Se aclara que las relaciones siguientes han sido determinadas admitiendo un comportamiento elástico en los pernos y rigidez en las placas de _________________________________________________________________
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Página 41 de 49 conexión. Debido a éste último, se empleará la excentricidad equivalente recomendada por el Manual AISC. Con los valores adoptados las excentricidades valen:
1
c ex ( r )
2
u 7.5in
ey
( p )
n
1 2
v 4.5in
Ahora se modificará la excentricidad de acuerdo a la recomendación mencionada, nuevamente la excentricad efectiva ey será calculada para la carga más grande que en este caso es la horizontal: ee
1 c
ey
2
1 in 2 in
Por tanto el momento con tal excentricidad efectiva vale: M z Px ee
Py e x
in·kip 93
ee afecta ahora a Px Ahora se está en condiciones de calcular la carga sobre el perno más esforzado, para eso se necesita saber sus distancias al centroide: xi
c
1 2
r 4.5in
yi
n
1 2
p 1.5in
Entonces, las proyecciones de la carga sobre el perno más esforzado son: R x
Px nc
Mz Iz
A b y i
5.042kip
R y
Py n c
Mz Iz
A b xi
4.425kip
Por tanto la carga total vale: R a
2
2
R x R y 6.708kip
Valor que es mayor que la carga admisible de un perno de 3/4: R adm = 6.29 kip, por lo tanto se deben hacer modificaciones, una posibilidad es la de mantener el número de pernos y aumentar el diámetro a db=7/8 para el que la tabla indica una capacidad de 8.76 kip que es mayor a la carga requerida Ra=6.71 kip. Otra alternativa es la de incrementar el número de columnas, siendo indeseable el incremento de filas por la razón anotada de incrementar el brazo de la carga más grande. También es una posibilidad el aumentar el paso o el gramil, sin embargo ésta es la menos aceptada por ser los valores actuales los más usuales. _________________________________________________________________
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Página 42 de 49 E3.2. Método del Centro Instantáneo A continuación se vuelve a aplicar el método del centro instantáneo como lo fue en el primer ejemplo. Por tanto, la carga actuante P y su excentricidad valen: 2
P
e
Px
Py
2
P
Mz
30.321kip
e
P
3.067in
Utilizando la relación demostrada, la distancia al centro instantáneo vale: r 0
Iz
r 0 4.401in
A t e
Ahora bien, para usar la relación de carga actuante debida a la combinación de fuerza y momento actuando simultáneamente, empleando la ubicación del centro de rotación CI, se debe calcular tanto el radio vector como la inercia respecto del CI. Radio Vector del perno más esforzado: r i0 Inclinación de la carga: atan
Py
0.146
Px
r 0x r 0 si n ( )
0.639in
r 0y
r 0 cos ( ) 4.355in
Entonces: xi0 xi
r i0
y i0 y i
r 0 2
xi0
r 0y
2
yi0
Momento respecto del C. Instantáneo: M0 M0
P e r 0
M 0 226.455in·kip
Inercia Polar respecto del CI: I0 I0
Iz A t r 0
2
4
I0 116. 181in
Finalmente, la carga actuante o requerida vale: _________________________________________________________________
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ESTRUCTURAS METALICAS
Página 43 de 49
R a
M0 I0
r i0 A b
R a 6.708kip
Nuevamente se obtiene el mismo valor que al encontrado siguiendo el primer método.
Pernos sometidos a tracción En la fig. P1 mostrada se ve un perfil que transfiere una carga P=30 t a un conjunto de pernos. Determinar el número de filas, el perfil WT y el diámetro de pernos A325 necesarios. Datos: Gramil
g
5. 5i
Distancia
v
3i
_________________________________________________________________
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Página 44 de 49 Carga
Pz 12 2.2kip
Excentricidad
e
No de columnas
c
x
0
2
Parámetros asumidos como invariantes: Paso
p
w 3i
3i
Aproximación del diámetro Asumiremos como primera aproximación 3 filas de pernos n
3
Entonces la excentricidad y el momento valen: e1 y
( p )
n
1 2
M1 x Pz e1y
v
6 in
158.4in·kip
Entonces las fuerzas actuantes sobre el perno más esforzado son: F1F
Pz n c
4.4kip
F1M
6M1x n c p ( n
1)
13.2kip
Sumando ambas componentes: F1
F1F
F1M
17.6kip
Asumiendo que el efecto de palanca es el 80% de "F" la carga actuante Ra vale: R a
F1 1.8 31.68kip
¿Qué diámetro de perno es necesario? Para reponder analizaremos la capacidad de un perno, organizando los cálculos como una matriz para distintos diámetros: Usando las Especificaciones AISC-ASD, Sec. B3.4 R a
R n
Donde: Rn = Resistencia Nominal _________________________________________________________________
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Página 45 de 49 Ω = Factor de seguridad Ra = Resistencia Actuante o requerida Llamando Radm = Rn/Ω, entonces, de acuerdo con la Sec.J3.6:
R n Fnt A b
Fnt A b
2 De acuerdo a la teoría, Fnt = 0.75*Fu ver la tabla J3.2 Fnt 90ksi
Pernos A325 en general
i 1 8
Por tanto: A R n
Fnt
i
i
1ksi
d
i
4
8
R adm
i
1
i
A
8
R n
i
i
d i 4
per
"Diám"
0 0
2
per
"Area"
per
"Rn"
per
"Radm"
per
d i
per
Ai
per
R n
per
R adm
0 1 i 0
i 3
0 2
i 1
0 3 i 2
i
i
"Diám" 0.625 0.75 0.875 per 1 1.125 1.25 1.375 1. 5
"Area"
"Rn"
0.307
27.612
0.442
39.761
0.601
54.119
0.785
70.686
0.994
89.462
1.227
110.447
1.485
133.64
1.767
159.043
"Radm" 13.806
27.059 35.343 44.731 55.223 66.82 79.522 19.88
Entonces, para cumplir que R a sea menor que Radm necesitamos un diámetro de 1", este diámetro seguramente requerirá un espesor grande para el ala del perfil, luego, aumentaremos el número de filas para disminuir el diámetro. n
4
_________________________________________________________________
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Página 46 de 49 Entonces la excentricidad y el momento valen: e2y
( p )
n
1 2
M2 x Pz e2y
v 7.5in
198in·kip
Luego, las fuerzas actuantes sobre el perno más esforzado son: F2M
M2x n c p ( n
F2F
Pz nc
1)
1.65kip
3.3kip
Sumando ambas componentes: F2
F2F
F2M
4.95kip
Asumiendo que el efecto de palanca es el 80% de "F" la carga actuante T vale: T2 F21.8 8.91kip
En la tabla de Radm recién calculada se ve que el diámetro del perno que cumple la desigualdad Ra menor que Radm está entre 3/4" y 7/8", verificaremos pernos de 3/4". d b
3
i 4
Aproximación del espesor del ala Como está escrito líneas arriba, para el valor de "F2" hallado en la segunda aproximación se tiene, asumiendo un valor para b: b2 t2
2.5i
F 2b 2 9ksi w
0.677in
Con el espesor definido pasamos a elegir el perfil, sea un W12x88, con las siguientes dimensiones: t w 0.605i
b f 10.265in
t f 0.99i
t w 0.605in
Verificación a ) Efecto de palanca _________________________________________________________________
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Página 47 de 49 Calculamos "Q" para un perno A325: b2
g tw 1 2
a2
pero
a2
2 t f
Entonces:
a2
2 tf 1.98in
Luego:
Q2 F2
100 b2 d b 70a2 d b
2
2
1 8
in
2.385in
1
bf g 2.383in 2
2
18 w tf
2.878kip
2
21w tf
T2 F2 Q2
7.828kip
Como quiera que un perno de 3/4" resiste 19.88 kip, aceptaremos este diámetro siempre que la flexión en el ala del perfil esté cubierta. Momentos actuantes en el ala: MF1 F2b 2
6.107in·kip Q2 a2
MF2 Q2 a2 5.699in·kip
Luego hallamos el esfuerzo empleando para el mayor de los dos momentos f2 b
6MF1 2
12.4 62ksi
w t f
Toda vez que este esfuerzo es mayor que el Esfuerzo Admisible en flexión, debemos modificar algún(os) parámetros de diseño y repetir la verificación. Invito a los alumnos a repetir el procedimiento, es muy probable que con 5 filas y el mismo espesor de ala se verifiquen todos los esfuerzos.
_________________________________________________________________
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Página 48 de 49
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