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Texto Guía de Ingeniería Antisísmica

Facultad: Ciencias y Tecnología Carrera: Ingeniería Civil Autores: Ivan Richard Goytia Torrez Rolando Villanueva Inca Tutor: Ingeniero Felipe Ramiro Saavedra A.

Agradecimientos

A Dios. A nuestras familias por su cariño y respaldo incondicional. Al ingeniero Ramiro Saavedra por su apoyo durante la elaboración y culminación del proyecto.

FICHA TECNICA

TÍTULO

FECHA

“Modernización de la Enseñanza Aprendizaje en la Asignatura de Ingeniería Antisísmica” AUTORES

Agosto, 2001 CARRERA

Ivan Richard Goytia Torrez Rolando Villanueva Inca

Ingeniería Civil

COMPENDIO

Se cubren los conceptos generales de sismología, dinámica estructural y diseño. Se desarrollan métodos de cálculo sobre algunos casos prácticos. Se desarrolla el cálculo dinámico lineal y el análisis modal para estudiar su aplicación dentro del contexto de la Norma sísmica, haciendo hincapié en su aplicación práctica. Plasmando la información necesaria para diseño de estructuras sismorresistentes, que engloba los aspectos más prácticos y didácticos. Se tiene también una serie de ejercicios al final de cada capítulo los cuales ayudan una mejor comprensión de cada unidad.

CONTENIDO

Capítulo 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Conceptos Básicos de Sismología Causas de los Sismos 1.2.1 Tectónica de Placas 1.2.2 Sismos de Origen Tectónico Fallas Geológicas 1.3.1 Definición 1.3.2 Tipos de Falla Ondas Sísmicas 1.4.1 Ondas de Cuerpo 1.4.2 Ondas Superficiales Instrumentos de Medición y Registros Sísmicos 1.5.1 Sismómetro 1.5.2 Acelerómetro Medidas de los Sismos 1.6.1 Magnitud 1.6.2 Intensidad 1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida

Capítulo 2 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL

Actividad Sísmica de una Región 2.1.1 Geología Regional 2.1.2 Mapas de Eventos Sísmicos 2.1.3 Estudios de Liberación de Energía 2.1.4 Estudios de Probabilidad Sísmica Efectos de los Sismos Respuesta del Sitio a Sismos Historia de los Sismos Consecuencias de los Sismos Estudios de Riesgo Sísmico Local y Nacional Sismo de Diseño

Capítulo 3 3.1 3.2 3.3 3.4

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS

CONCEPTOS GENERALES EN EL ANÁLISIS DINÁMICO

Estructura Simple Grados de Libertad Sistema Linealmente Elástico Amortiguamiento 3.4.1 Mecanismos de Disipación 3.4.2 Fuerza de Amortiguamiento

1 1 2 2 5 6 6 7 8 8 9 10 11 11 12 12 12 12 14 14 14 14 15 16 16 16 17 17 19 23 24 24 24 25 26 26 26

3.5

3.6

Ecuación de Movimiento 3.5.1 Segunda ley de Newton 3.5.2 Equilibrio Dinámico 3.5.3 Componentes de Masa, Amortiguamiento y Rigidez Ecuación de Movimiento: Excitación Sísmica

Capítulo 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Teoría General de Vibraciones Definición Vibración Libre no Amortiguada Vibración Libre con Amortiguamiento Viscoso 4.4.1 Tipos de Movimiento 4.4.2 Sistema Subamortiguado Ejemplos

Capítulo 5 5.1 5.2 5.3

5.4

RESPUESTA A CARGA DINÁMICA GENERAL

Integral de Duhamel. Integral de Duhamel para un Sistema no Amortiguado. Integral de Duhamel para un Sistema Amortiguado. Evaluación Numérica de la Respuesta Dinámica Ejemplos

Capítulo 8 8.1

MOVIMIENTO FORZADO CARGA IMPULSIVA

Introducción Carga Impulsiva Rectangular Carga Impulsiva Triangular Carga Impulsiva Tipo Sinoidal Respuesta al Movimiento del Suelo. Análisis Aproximado de Respuesta para Carga Impulsiva. Ejemplos

Capítulo 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA

Justificación Sistema no Amortiguado con Carga Armónica 5.2.1 Ecuación de Movimiento 5.2.2 Resonancia Sistema Amortiguado con Carga Armónica 5.3.1 Ecuación de Movimiento 5.3.2 Resonancia 5.3.3 Deformación Máxima 5.3.4 Factores de Respuesta Dinámica 5.3.5 Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante Ejemplos

Capítulo 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

VIBRACIÓN LIBRE

RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS LINEALES

Movimiento del Suelo.

26 27 27 27 28 30 30 31 31 33 33 34 36 41 41 41 41 43 45 45 46 47 48 49 51 56 56 56 58 59 61 62 64 71 71 72 73 73 76 82 82

8.2 8.3 8.4

8.5 8.6

Respuesta Dinámica de la Estructura Ecuación de Movimiento Espectro de Respuesta 8.4.1 Cantidades de Respuesta 8.4.2 Histograma de Respuesta 8.4.3 Concepto del Espectro de Respuesta 8.4.4 Espectro de Respuesta de Deformación 8.4.5 Espectro de Respuesta de Seudo Velocidad 8.4.6 Espectro de Respuesta de Seudo Aceleración 8.4.7 Espectro de Respuesta Combinado D-V-A 8.4.8 Construcción del Espectro de Respuesta Características del Espectro de Respuesta Espectro Elástico de Diseño 8.6.1 Construcción del Espectro de Diseño

Capítulo 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

9.7 9.8

RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES

82 82 83 83 83 86 86 86 87 87 88 88 90 92 94

Introduccion. 94 Relación Fuerza-Deformación 95 9.2.1 Idealización Elastoplástica 95 9.2.2 Sistema Lineal Correspondiente 96 Esfuerzo de Fluencia Normalizado, Factor de Reducción de Fluencia y Factor de Ductilidad. 97 Ecuación de Movimiento y Parámetros de Control 97 Efectos de Fluencia 99 Espectro de Respuesta para Deformación de Fluencia y Esfuerzo de Fluencia 103 9.6.1 Definiciones 103 9.6.2 Esfuerzo de Fluencia para una Ductilidad Especifica 103 9.6.3 Construcción del Espectro de Respuesta con Ductilidad Constante 103 Esfuerzo de Diseño y Deformación a partir del Espectro de Respuesta 105 Esfuerzo de Fluencia de Diseño 105

Capítulo 10

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

10.1 10.2 10.3 10.4

Introducción Ecuación de Movimiento Respuesta Dinámica: Análisis Modal Método Matricial 10.4.1 Matriz Modal y Espectral 10.4.2 Ortogonalidad de los Modos 10.4.3 Normalización de los Modos 10.4.4 Factor de Participación 10.5 Método Numérico 10.6 Método Iterativo 10.7 Ejemplos

Capítulo 11

107 107 107 109 109 111 112 113 113 114 115 117

CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS 135

11.1 Introducción 11.2 Requisitos de Configuración 11.2.1 Configuración en Elevación 11.2.2 Configuración en Planta 11.2.3 Poco Peso 11.2.4 Hiperestaticidad

135 135 136 137 139 139

11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil 11.3 Sistemas Estructurales 11.3.1 Sistema de Muros Portantes 11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación 11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos 11.3.4 Sistema Doble (Dual) 11.4 Selección del Método de Análisis Capítulo 12 MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE

140 140 140 141 141 141 141 143

12.1 Determinación de las Fuerzas Laterales 12.1.1 Factor de Zona Sísmica 12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno 12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo 12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del Sismo 12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen 12.1.6 Periodo Fundamental 12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad 12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta 12.1.9 Factor de Importancia 12.1.10 Coeficiente de Respuesta Sísmica 12.1.11 Carga Muerta Sísmica 12.1.12 Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente 12.2 Estructuras de Varios Niveles 12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica 12.2.2 Volcamiento 12.2.3 Efecto P-Delta 12.2.4 Desplazamientos de Piso 12.2.5 Cargas en los Diafragmas 12.3 Fuerza Cortante Basal para el Diseño Simplificado 12.3.1 Fuerza Cortante Basal 12.3.2 Distribución Vertical 12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso 12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas 12.4 Combinaciones de Carga 12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia 12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible 12.5 Torsión 12.5.1 Momento Torsor 12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces 12.5.3 Efectos de la Torsión 12.6 Tablas 12.7 Ejemplos

143 143 144 144 144 144 144 146 147 147 147 148 148 149 149 150 151 152 153 154 154 154 154 155 155 155 158 159 159 160 161 162 168

Capítulo 13

175

13.1 13.2 13.3 13.4

MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL

Introducción Ventajas del Análisis Modal Procedimiento del Análisis Modal Análisis Espectral 13.4.1 Numero de Modos 13.4.2 Combinación de Modos 13.4.3 Efectos de Dirección 13.4.4 Torsión 13.4.5 Sistemas Dobles 13.5 El Análisis por Historia del Tiempo (Cronológico)

175 175 175 177 177 178 178 178 178 178

13.6 Simulador Estructural. 13.6.1 Análisis de Eigenvectores 13.6.2 Análisis del Vector de Ritz 13.6.3 Resultados del Análisis Modal 13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta 13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta 13.7 Ejemplos Capítulo 14 DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

179 179 181 181 182 184 186 198

14.1 Introducción 14.2 Cargas de Diseño 14.3 Pórticos Especiales Resistentes a Momentos 14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia 14.3.2 Resistencia y Ductilidad de Secciones a Flexión 14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas 14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas 14.3.5 Unión Viga-Columna 14.4 Muros de Corte 14.4.1 Resistencia al Corte 14.4.2 Muros de Corte para Cargas a Flexión y Axiales 14.5 Ejemplos

198 198 199 199 204 208 210 212 213 213 213 216

Referencias Direcciones de Internet Direcciones de Universidades en Internet 232 Apéndice

229 231 233

NOTACIÓN

Capítulo

3

c DOF fD fI fS k m p(t) peff(t) u ú ü u’(t) ug(t) üg(t)

Coeficiente de amortiguamiento, [fuerza · tiempo/longitud]. Grado de libertad, definido como el número de enlaces de un nudo que se puede mover dentro de una estructura espacial. Fuerza de amortiguamiento. Fuerza de inercia. Fuerza elástica. Factor de rigidez, [fuerza/longitud]. Masa, [fuerza/aceleración] Fuerza externa. Fuerza sísmica efectiva. Desplazamiento. Velocidad. Aceleración. Desplazamiento total de la masa. Desplazamiento del suelo. Aceleración del suelo.

Capítulo

4

ccr fn j TD Tn u(0) ú(0) u0

δ ωD ωn ξ φ

Coeficiente de amortiguamiento critico. Frecuencia cíclica natural, expresada en ciclos por segundo, [Hertz]. Número de ciclos. Período natural de vibración amortiguada, [seg.]. Período natural de vibración. Desplazamiento en tiempo cero. Velocidad en tiempo cero. Amplitud de movimiento. Decremento logarítmico de desplazamiento. Frecuencia natural de vibración amortiguada, [rad/seg]. Frecuencia circular natural, [rad/seg]. Razón o relación de amortiguamiento. Ángulo de fase

Capítulo

5

p0 Rd Rv Ra ust(t)

Amplitud de fuerza. Factor de respuesta de deformación. Factor de respuesta de velocidad. Factor de respuesta de aceleración. Deformación estática en cada instante de tiempo.

(ust)0 uj

ω

Máximo valor de la deformación estática, deformación estática debido a la amplitud de fuerza. Desplazamiento pico después de j ciclos de vibración del sistema. Frecuencia de excitación, [rad/seg].

Capítulo

6

I Rd t1 Δú

ω

Magnitud del impulso Factor de respuesta de deformación. Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg] Variación de la velocidad Frecuencia de excitación, [rad/seg].

Capítulo

7

I Rd t1 Δú

ω

Magnitud del impulso Factor de respuesta de deformación. Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg] Variación de la velocidad Frecuencia de excitación, [rad/seg].

Capítulo

8

A D Mb ug0 úg0 üg0 V Vb αA, αV,αD

Aceleración espectral Deformación máxima, similar a u0 Momento volcador Desplazamiento pico del suelo durante un sismo Velocidad pico del suelo durante un sismo Aceleración pico del suelo durante un sismo Velocidad espectral o seudo velocidad pico Cortante basal Factores de amplificación

Capítulo

9

ay Dy f0 fS fy ⎯fy Ry u0 um up uy

μ

Aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia fy. Deformación de fluencia, (uy), de un sistema elastoplástico distinto a um. Fuerza resistente del sistema lineal correspondiente, similar a fs0. Fuerza elástica. Fuerza de fluencia. Esfuerzo de fluencia normalizado. Factor de reducción de fluencia. Deformación pico del sistema lineal correspondiente. Desplazamiento máximo del sistema elastoplástico. Deformación permanente. Deformación de fluencia Factor de ductilidad.

Capítulo

10

[C] {FD} {FI} {FS} [K]

Matriz de amortiguamiento. Vector de fuerzas de amortiguamiento. Vector de fuerzas de inercia. Vector de fuerzas elásticas. Matriz de rigidez.

[M] MDF ME Mi P {U} {Ú} {Ü} V WE [Φ] [Ω2]

φn

Matriz de masas. Sistema de varios grados de libertad. Masa efectiva. Masa correspondiente al nivel i. Factor de participación. Vector de desplazamiento. Vector de velocidad. Vector de aceleración. Cortante basal. Peso efectivo. Matriz modal. Matriz espectral. Forma modal o eigenvector correspondiente al modo n.

Capítulo

12

Ca, Cv Cs fi Ft Fx hn I Mpi Msi Na, Nv R ri SA, SB, SC, SD, SE, y SF V V’ VE VS W wi Z

Coeficientes de respuesta del suelo. Coeficiente de respuesta sísmica. Fuerza lateral en el nivel i. Fuerza en la parte superior de la estructura que considera el efecto de los modos altos. Fuerza lateral que actúa sobre un nudo en particular. Altura en metros, medida desde la base, del piso más alto del edificio. Factor de importancia. Momento primario del nivel en consideración. Momento secundario del nivel en consideración. Factor de cercanía a la fuente de origen. Factor de modificación de respuesta. Relación del esfuerzo cortante del elemento - piso.

δi φi θi ρ

Tipos de perfil de suelo. Cortante basal. Cortante basal modal. Cortante basal desarrollada en una estructura ideal completamente elástica. Cortante basal de diseño. Carga muerta sísmica. Carga muerta del nivel i. Factor de zona sísmica. Desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi. Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado. Índice de estabilidad. Factor de confiabilidad o redundancia.

Capítulo

13

Sa Sv

Aceleración espectral Velocidad espectral

Capítulo

14

Ach

Área transversal de un elemento estructural, medida de extremo a extremo del acero de refuerzo transversal, [cm2]. Área total de la sección, [cm2]. Área efectiva de la sección transversal dentro de la unión, en un plano paralelo al plano de refuerzo que genera cortante en la unión.

Ag Aj

Ash b bw D d db E f’c fy hc hw L ld ldh lo lw Mpr

s Vc Ve Vn Vu W

ρ φ

Área total transversal del acero de refuerzo transversal (incluyendo horquillas) dentro del espaciamiento, s, y perpendicular a la dimensión hc. Ancho efectivo del patín de compresión de un elemento estructural, [cm] Ancho del alma o diámetro de la sección circular, [cm] Carga muerta. Peralte efectivo de la sección. Diámetro del refuerzo longitudinal. Carga sísmica. Resistencia especificada a la compresión del concreto, [kg/cm2]. Resistencia especificada a la fluencia del acero de refuerzo, [kg/cm2]. Dimensión transversal del núcleo de la columna medida centro a centro del refuerzo confinante. Altura del muro considerado. Carga viva. Longitud de desarrollo de una varilla recta. Longitud de desarrollo de un varilla con gancho estándar. Longitud mínima, medida desde la cara de la unión a lo largo del eje del elemento estructural, sobre la que debe proporcionarse refuerzo transversal, [cm]. Longitud de todo el muro considerado en dirección de la fuerza cortante. Momento probable resistente del elemento, con o sin carga axial determinada usando las propiedades de los elementos en las caras de las uniones, suponiendo una resistencia a la tensión en el refuerzo longitudinal de al menos 1.25 fy, y un factor de reducción de resistencia φ de 1.0 Espaciamiento del refuerzo transversal medido a lo largo del eje longitudinal del elemento estructural, [cm]. Resistencia nominal al cortante, proporcionada por el concreto. Fuerza cortante de diseño. Resistencia nominal al cortante. Fuerza cortante factorizada en la sección. Carga de viento. Cuantía de refuerzo de tensión = As / bd. Factor de reducción de resistencia.

Capítulo 1

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS

1.1

CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMOLOGÍA

Las definiciones siguientes corresponden a algunos de los términos más utilizados en sismología: Sismo, temblor o terremoto: Vibraciones de la corteza terrestre inducidas por el paso de las ondas sísmicas provenientes de un lugar o zona donde han ocurrido movimientos súbitos de la corteza terrestre (disparo sísmico o liberación de energía). Sismología: Es la ciencia y estudio de los sismos, sus causas, efectos y fenómenos asociados. Sismicidad: Es la frecuencia de ocurrencia de sismos por unidad de área en una región dada. A menudo esta definición es empleada inadecuadamente, por lo que se define en forma más general como “la actividad sísmica de una región dada”, esta última definición implica que la sismicidad se refiere a la cantidad de energía liberada en un área en particular. Amenaza Sísmica: Es el valor esperado de futuras acciones sísmicas en el sitio de interés y se cuantifica en términos de una aceleración horizontal del terreno esperada, que tiene una probabilidad de excedencia dada en un lapso de tiempo predeterminado. Microzonificación sísmica: División de una región o de un área urbana en zonas más pequeñas, que presentan un cierto grado de similitud en la forma como se ven afectadas por los movimientos sísmicos, dadas las características de los estratos de suelo subyacente. Fallas geológicas: Ruptura, o zona de ruptura, en la roca de la corteza terrestre cuyos lados han tenido movimientos paralelos al plano de ruptura. Ondas sísmicas: Son vibraciones que se propagan a través de la corteza terrestre causadas por la repentina liberación de energía en el foco. Acelerograma: Descripción en el tiempo de las aceleraciones a que estuvo sometido el terreno durante la ocurrencia de un sismo real. Sismograma: Es un registro del movimiento sísmico y mide la magnitud de los sismos. Aceleración pico del suelo: Es la aceleración máxima de un punto en la superficie alcanzada durante un sismo, expresada como fracción de la gravedad (g).

2

Características de los sismos

Licuación: Respuesta de los suelos sometidos a vibraciones, en la cual estos se comportan como un fluido denso y no como una masa de suelo húmeda. Epicentro: Punto que se encuentra en la superficie de la tierra inmediatamente por encima del foco. Hipocentro: Foco sísmico o fuente, es el punto o grupo de puntos subterráneos desde donde se origina el sismo. Distancia epicentral (D): Es la distancia horizontal desde un punto en la superficie al epicentro, ver la Figura 1.1. Distancia focal (R): Es la distancia desde un punto en la superficie al foco, hipocentro o fuente, ver la Figura 1.1. Profundidad focal (H): Es la distancia entre el foco y el epicentro. Sismo de diseño: Es la caracterización de los movimientos sísmicos en un sitio dado que deben utilizarse en la realización del diseño sismo resistente.

Sitio

D

Epicentro

H R Fuente Hipocentro Foco

Figura 1.1

1.2

Relación geométrica entre foco y sitio [ref. 8]

CAUSAS DE LOS SISMOS

Varios fenómenos son los causantes de que la tierra tiemble, dependiendo de éstos actualmente se reconocen tres clases de sismos: los sismos de origen tectónico, los de origen volcánico y los artificialmente producidos por el hombre. Siendo más devastadores los sismos de origen tectónico, y por ende los de mayor interés dentro la ingeniería.

1.2.1 Tectónica de Placas El origen de la mayoría de los sismos es explicado satisfactoriamente por la teoría de la tectónica de placas. La idea básica es que la corteza terrestre, la litosfera, está compuesta por un mosaico de doce o más bloques grandes y rígidos llamados placas, que se mueven uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida en seis placas continentales (África, América, Antártida, Australia, Europa y la placa del Pacífico), y cerca de catorce placas subcontinentales (placa de Nazca, del Caribe, etc.) 1 como se puede apreciar en la Figura 1.2. La validez de la teoría de la tectónica de placas recibió un fuerte apoyo de los datos sísmicos reunidos a través de los años mediante la red sísmica mundial, que fue establecida hacia el final de la década de 1950. Los datos demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y muy bien definidas, sugiriendo que la mayoría de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas en las zonas donde chocan unas contra otras. 1

F. Achabal, pp 12 [ref. 1]

3

Características de los sismos

L oce omo áni co

Una explicación plausible 2 para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio térmico de los materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se formó por la unión de meteoritos. El incremento en la masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente, el planeta se ha calentado y su núcleo crece a costa de la fusión del manto. La parte superior del manto, que está en contacto con la corteza, se encuentra a una temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que está en contacto con el núcleo a una temperatura mucho más alta. Es evidente que el material caliente (en las profundidades) posee una densidad menor al material frío (cerca de la corteza), lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la superficie una vez frío tiende a bajar por la acción de la gravedad. Este proceso cíclico se denomina convección. Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en distintas direcciones.

Placa Euro - asiática

Placa Euro - asiática

Placa Norteamericana

P Fi laca lip d in e as

Placa Juan de la fuca Placa del Pacífico

Placa del Caribe Placa Africana

Placa de Cocos Placa Sudamericana Placa de Nazca

Placa Australiana

Lomo oc

eánico

o mo Lo

Figura 1.2

o nic ceá

Placa Antártica

Placa Antártica

Zona de subducción

Borde de placa probable

Fallas por desgarradura

Lomo oceánico

Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción [ref. 5]

Estas corrientes también hacen que la lava ascienda continuamente en los llamados lomos oceánicos. La roca formada se mueve lentamente por ambos lados del lomo como nuevo piso o base oceánica, desplazando las placas a velocidad constante. Estas zonas son denominadas zonas de expansión. Las placas se mueven libremente con respecto a la Astenósfera subyacente, y también pueden moverse una con respecto de la otra de tres formas: a) una placa se desliza pasando frente a la otra a lo largo de su margen, b) dos placas se mueven alejándose mutuamente, c) dos placas se mueven de tal forma que una se desliza por debajo de la otra. El primero de estos movimientos tiene su expresión en la superficie de la tierra, como sucede en la falla de San Andrés. El segundo tipo de movimiento da origen a los lomos oceánicos. El tercero tiene su acción en las profundas trincheras oceánicas donde el borde de una placa se mueve por debajo de la otra, este proceso se conoce como subducción. La Figura 1.3 ilustra los conceptos expuestos en los párrafos anteriores. [ref 3]

2

E. Rosenblueth, pp 15-16 [ref. 2]

4

Características de los sismos

Litósfera

Continente

Océano

Astenósfera

Manto (a) Lomo oceánico Corteza Litósfera Astenósfera

(b)

Corteza Litósfera Astenósfera

Figura 1.3

Movimiento de las placas, (a) zona de expansión, (b) subducción [ref. 3]

La formación de nuevo piso oceánico en los lomos de expansión implica la separación de los continentes aumentando de esta manera el área del piso oceánico. Este aumento es equilibrado por la destrucción de la placa por medio de la subducción cuando la corteza oceánica es transportada al manto, en donde se consume.

Teoría de placas

5

Características de los sismos

1.2.2 Sismos de origen tectónico Se producen por el desplazamiento súbito de las placas tectónicas a lo largo de las fracturas llamadas fallas. Estos movimientos bruscos liberan el esfuerzo al que están sometidas las rocas corticales. El esfuerzo se acumula localmente por varias causas hasta que supera la resistencia de las rocas, que es cuando ocurre la ruptura y deslizamiento a lo largo de las fracturas. El choque o disparo sísmico se traduce en una gran liberación de energía, seguido algunas veces de un rebote elástico, hasta que las placas involucradas alcanzan nuevas posiciones de equilibrio. Muchos de los centros activos de terremotos actuales se localizan a lo largo de dos fajas situadas en la superficie terrestre: la circumpacífica y la alpìna o alpinohimalaya. También ocurren numerosos choques más pequeños en las zonas de fallas marinas asociadas con los lomos oceánicos. Bolivia se encuentra en el área de influencia de la banda circumpacífica.

Figura 1.4

Localización del sismo de Loma Prieta [ref 4]

El sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989 ocurrido en la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de esta clase de sismo como se muestra en la Figura 1.4, y la dirección del movimiento de las placas es ilustrada en la Figura 1.5.

6

Características de los sismos

De las dos clases de sismos no tectónicos, los del origen volcánico son raramente muy grandes o destructivos. Ellos son de interés principalmente porque anuncian las erupciones volcánicas inminentes. Los temblores se originan a causa de la subida del magma, llenando las cámaras internas del volcán.

Figura 1.5

Movimiento de la falla de San Andrés durante el sismo de Loma Prieta [ref 4]

El hombre puede inducir sismos mediante una variedad de actividades, tal como el relleno de nuevos depósitos, la detonación subterránea de explosivos atómicos, o el bombeo profundo de fluidos en la tierra mediante pozos.

1.3

FALLAS GEOLÓGICAS 3

1.3.1 Definición Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros hasta cientos de kilómetros y extenderse desde la superficie a varias decenas de kilómetros de profundidad. La presencia de fallas en la superficie no necesariamente implica que el área tiene actividad sísmica, así como la inexistencia de las mismas no implica que el área sea asísmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a aflorar en la superficie. Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta puede ser representada aproximadamente como un plano, el cual está descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la línea de intersección del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su orientación respecto al Norte y el buzamiento es el ángulo de inclinación desde el plano horizontal hasta el plano de falla.

3

D. Verástegui, 17-18 [ref. 6]

7

Características de los sismos

1.3.2 Tipos de falla Según su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son propias de las zonas en tracción; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porción inferior. Las fallas inversas corresponden a zonas de compresión, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porción inferior. Las fallas por desgarramiento implican grandes desplazamientos laterales entre dos placas en contacto, la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de este tipo (Figura 1.7). Y la Figura 1.6 muestra claramente la naturaleza del desplazamiento en cada caso.

Figura 1.6

Figura 1.7

Tipos de falla geológica según su desplazamiento [ref. 3]

Falla de San Andrés (falla por desgarramiento ) [ref. 3]

8

Características de los sismos

1.4

ONDAS SÍSMICAS

La repentina liberación de energía en el foco o hipocentro del sismo, cuando éste ocurre, se propaga en forma de vibraciones elásticas u ondas elásticas de deformación. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de una onda son elásticas, de esta manera, las velocidades de propagación son determinadas sobre la base del módulo elástico y la densidad de los materiales a través de los cuales viaja la onda. Las ondas sísmicas se clasifican según su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.

1.4.1 Ondas de cuerpo

Figura 1.8

Deformaciones producidas por las ondas de cuerpo (a) onda P, (b) onda S [ref. 5]

Reciben el nombre de ondas de cuerpo porque pueden viajar a través del cuerpo del material. Un cuerpo elástico puede estar sujeto a dos tipos de deformación: compresión - dilatación y cortante, por lo tanto las ondas que se generan son de compresión o de corte, respectivamente. ƒ

Las ondas P, llamadas también primarias, longitudinales, compresionales o dilatacionales; producen un movimiento de partículas en la misma dirección de la propagación, alternando compresión y dilatación del medio.

ƒ

Las ondas S, llamadas también ondas secundarias, transversales o de cortante; producen un movimiento de partículas en sentido perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la Figura 1.8.

Por lo general cuando ocurre un sismo, las ondas P se registran primero, segundos más tarde llegan las ondas S, con su movimiento de arriba hacia abajo y lado a lado, causando graves daños en las estructuras, como se puede observar en la Figura 1.9. Las ondas P pueden propagarse a través de medios sólidos y líquidos, en cambio las ondas S se propagan únicamente a través de medios sólidos debido a que los líquidos no presentan rigidez al corte.

9

Características de los sismos

Figura 1.9

Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S) [ref. 3]

1.4.2 Ondas superficiales

Figura 1.10

Deformaciones producidas por las ondas superficiales: (a) onda Rayleigh, (b) onda Love [ref. 5]

Este grupo se denomina de esta manera debido a que su movimiento se restringe a las cercanías de la superficie terrestre. Las ondas superficiales pueden subdividirse en dos tipos: las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh (ondas R). ƒ

El movimiento de las ondas L, es similar al de las ondas S que no tienen componente vertical ya que mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un plano horizontal y en sentido perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la Figura 1.10.

10

Características de los sismos

ƒ

El movimiento de las partículas en las ondas R es elíptico y tiene lugar en planos perpendiculares a la superficie libre.

En general, las ondas Love son más veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma práctica en algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura 1.11 donde se ha señalado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca del efecto de la topografía y las condiciones del suelo sobre las ondas sísmicas, es decir que las ondas pueden amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagación.

Figura 1.11

1.5

Terremoto de Kermadec de 11 de Junio de 1957 [ref. 11]

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS SÍSMICOS 4

Las características de las ondas sísmicas y su propagación han podido estudiarse gracias a instrumentos que registran las vibraciones sísmicas conocidos como sismógrafos. Dependiendo del tipo de instrumento utilizado se puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo; lo cual está determinado por el rango útil de frecuencias a medir (ω), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (ωn).

Figura 1.12

4

M. Moreno, pp 6-11 [ref. 7]

Sismógrafo [ref. 3]

11

Características de los sismos

Los sismógrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un péndulo que oscila libremente dentro de un marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En la Figura 1.12 se muestra una fotografía de un sismógrafo. En los sismógrafos modernos, el movimiento del péndulo se convierte en señales electrónicas que se registran en la memoria de una computadora.

1.5.1 Sismómetro [ωnω] Registra aceleraciones: Acelerograma. Los acelerómetros, también conocidos como sismógrafos de movimiento fuerte, se diseñan para registrar directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma. Los

Características de los sismos

12

instrumentos se orientan de tal forma que registren la aceleración del suelo en función del tiempo para tres direcciones o componentes normales. En la Figura 1.13 se muestran los acelerogramas registrados en una estación durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976. El análisis sísmico requiere de la digitalización numérica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en una serie de datos de aceleración - tiempo. Los acelerogramas dan una información directa del movimiento sísmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleración como medida instrumental de la intensidad se ha constituido así en el parámetro base para el análisis estructural sísmico.

1.6

MEDIDAS DE LOS SISMOS

Comúnmente existen dos sistemas para cuantificar el tamaño y la fuerza de un sismo, los cuales son la magnitud y la intensidad. A pesar de ser parámetros ampliamente utilizados y conocidos, desde el punto de vista de la ingeniería sísmica ninguno de ellos es completamente satisfactorio.

1.6.1 Magnitud Es una medida cuantitativa de un sismo, independiente del lugar de observación y está relacionada con la cantidad de energía liberada. Se calcula a partir de la amplitud registrada en sismogramas y se expresa en una escala logarítmica en números arábigos y decimales. La escala de magnitudes que más se usa es la de Richter, que tiene 10 grados de medida y se denota por M. Es importante notar que en la escala de magnitudes no se menciona nada a cerca de la duración y frecuencia del movimiento, parámetros que tienen gran influencia en los efectos destructivos de los sismos. Por esta razón aún no se tiene una aplicación práctica en la ingeniería sísmica a los valores de magnitud y es un parámetro propio de los sismólogos.

1.6.2 Intensidad Es una medida subjetiva de los efectos de un sismo, se refiere al grado de destrucción causada por un sismo en un sitio determinado, que generalmente es mayor en el área cercana al epicentro. La escala adoptada más ampliamente es la de Mercalli Modificada y se denota por MM, que tiene doce grados identificados por los números romanos del I al XII. En la Tabla 2.1 se da una descripción detallada de esta escala de intensidad.

1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida Para llevar a cabo un análisis realista del comportamiento de estructuras sometidas a temblores, el ingeniero debe conocer suficientes características dinámicas del movimiento del suelo, que son obtenidas con la ayuda de acelerómetros, y la falta de éstos como es el caso de Bolivia, supone la carencia de registros de aceleración, fundamentales para el análisis estructural sísmico. Por esta razón y con el afán de deducir valores útiles para diseño, aún a partir de intensidades referidas a escalas subjetivas, se han desarrollado diversos estudios que correlacionan los valores de intensidad en diversas escalas, con las características dinámicas de los sismos como la velocidad y aceleración del suelo, que tienen la ventaja de ser magnitudes instrumentales. En la Tabla 1.1 se expone como Medida de Intensidad la Aceleración Máxima del suelo y como Escala de Intensidad la Mercalli Modificada, las cuales han sido correlacionadas 5 . Es necesario señalar que las apreciaciones de las aceleraciones están basadas en la experiencia de quien propuso la correlación, basándose principalmente en observaciones de eventos sísmicos pasados y ensayos de laboratorio que permitieron correlacionar las roturas producidas en diferentes modelos a escala construidos sobre mesas vibrantes con las aceleraciones en ellas aplicadas. De este modo se puede hacer una analogía entre los daños de los modelos

5

Tabla comparativa de escalas sísmicas y aceleraciones máximas según J.M. Mune, Extractada de A. Beles, pp. 65 [ref 14]

13

Características de los sismos

construidos a escala con el nivel del daño en las estructuras reales, especificados en grados de intensidad según sea la escala utilizada y relacionarlos con la aceleración correspondiente que los provocó.

Medida de Intensidad Acel. Máx. Suelo (% g)

Grado Sísmico

0,001 g

I

0,002 g

II

0,005 g

III

Se siente en el interior de los edificios y especialmente en las plantas superiores; los objetos colgantes se mecen; se puede estimar la duración.

0,015 g

IV

Los carros estacionados se mecen; las ventanas, la vajilla y las puertas vibran; en el rango más alto de IV los muros y marcos de madera crujen.

0,030 g

V

Se siente en el exterior de los edificios; los objetos pequeños e inestables se desplazan o se vuelcan; los relojes de péndulo se detienen.

0,061 g

VI

0,132 g

VII

0,306 g

VIII

0,637 g

IX

1,121 g

X

2,548 g

XI

>3,567 g

XII

Efectos sobre las personas, objetos y construcciones El sismo lo sienten unas pocas personas en circunstancias excepcionalmente favorables. Lo sienten las personas en reposo, en los pisos superiores o favorablemente situadas.

Lo sienten todas las personas; muchos se asustan y corren al exterior; los enyesados caen, las chimeneas sufren averías; los árboles y arbustos se agitan. Es difícil estar de pie;oleaje en los estanques; el agua se enturbia con fango; averías ligeras y hasta moderadas en las estructuras normales; averías importantes en los edificio mal construidos. Averías ligeras en las construcciones antisísmicas; averías considerables en las construcciones normales; caen as chimeneas y estatuas; fallan columnas; grietas en el terreno húmedo y en las pendientes muy empinadas. Pánico general; averías de importancia en estructuras antisísmicas; caen las estructuras mal ejecutadas; se rompen las tuberías subterráneas; aparecen grietas en la superficie terrestre. La mayoría de las construcciones antisísmicas son destruidas; grandes deslizamientos de tierra; los rieles se doblan ligeramente. Las tuberías subterráneas se destruyen completamente; los rieles se doblan mucho; aparecen fallas en la superficie de la tierra. Destrucción total; se desplazan grandes masas de rocas; objetos arrojados al aire; se observan las ondas sísmicas en la superficie de la tierra. Tabla 1.1

Escala de Intensidad Mercalli Modificada [ref. 8]

Capítulo 2

SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL

2.1

ACTIVIDAD SÍSMICA DE UNA REGIÓN

Debido a que el riesgo sísmico de un proyecto depende de la actividad sísmica de la región, debe realizarse una evaluación previa de ésta. Las fuentes de estos antecedentes pueden ser las autoridades locales, ingenieros, sismólogos y otros. Sin embargo los datos disponibles en muchas regiones son escasos o bien no muy confiables, por lo cual la literatura especializada recomienda realizar un estudio básico de la sismicidad del área de interés, que comprende los siguientes puntos:

2.1.1

ƒ

Geología regional.

ƒ

Preparación de mapas de eventos sísmicos

ƒ

Estudios de deformación – liberación de energía

ƒ

Estudios de probabilidad sísmica

Geología Regional

El conocimiento, desde el punto de vista geológico, de la actividad sísmica de una región es útil al estimar las probables magnitudes, localización y frecuencia de eventos sísmicos. El aspecto de la geología sísmica regional incluye el estudio de las deformaciones tectónicas. Principalmente se debe estudiar la ubicación y actividad de las fallas geológicas, ya que éstas proporcionan el foco de liberación de energía en la mayoría de los sismos.

2.1.2

Mapas de Eventos Sísmicos

El tipo más práctico de mapa de eventos sísmicos para el diseño de una estructura particular es como el que se muestra en la Figura 2.1. Este mapa indica las localizaciones en planta, el orden de profundidades, y las magnitudes de todos los sismos registrados con M ≥ 5.0 dentro de un radio de 300 Km. con centro en el sitio (Djakarta) desde 1900. Las magnitudes menores que 5.0 son generalmente de poca importancia en el diseño, en virtud de que tales sismos causan daños estructurales ligeros. En consecuencia los eventos de M < 5.0 han sido excluidos de la notación. Sin embargo, en áreas de baja sismicidad puede ser importante trazar eventos de M ≥ 4.0, con objeto de subrayar la importancia del patrón de actividad sísmica, y en consecuencia ayudar a delinear las zonas de mayor riesgo.

15

Sismicidad y amenaza regional

104ºE

106ºE

108ºE

110ºE

4ºS SUMATRA

6ºS DJAKARTA

JAVA

8ºS

100

0

100 km.

CLAVE MAGNITUD: ESCALA DE RICHTER

5 - 5.9

6 - 6.9

7-

0 - 70 km PROFUNDIDAD FOCAL

71 - 150 km más de 151 km desconocida

Figura 2.1

2.1.3

Mapa de eventos sísmicos para Djakarta (1900-1972) [ref. 8]

Estudios de Liberación de Energía

La deformación liberada durante un sismo se considera proporcional a la raíz cuadrada de la energía liberada. La relación entre energía (ergs), y magnitud M para sismos superficiales, ha sido proporcionada por Richter como: log E = 11.4 + 1.5M

La energía de deformación liberada, U, para una región puede sumarse y representarse por el número equivalente de sismos de M=4.0 en esa región, N(U4). El número equivalente de sismos N(U4) dividido entre el área de la región proporciona el cálculo de la deformación liberada en un período dado para esa región, que puede usarse para efectuar comparaciones entre varias regiones o entre varios períodos. Los sismos grandes representan los principales incrementos en las gráficas de liberación de energía de deformación acumulada. En el estudio de las velocidades de liberación de energía de deformación relativa se requiere amplia información sobre la actividad de bajas magnitudes. La suma de muchos sismos con baja energía en una región puede ser comparable a la de pocos sismos grandes en otra región. Una gráfica de liberación de deformación con relación al tiempo es una función a partir de la cual puede obtenerse una envolvente que da una idea de la tendencia de la liberación de energía en esa región. Si un aplanamiento de la curva tiende a ser asintótico a un valor de deformación constante en un tiempo significativo, entonces las fallas en la región pueden tender a tener una configuración más estable. La causa de esta estabilidad temporal puede ser un bloqueo mecánico de la liberación de energía, que solamente podría ser liberada por un gran sismo futuro.

16

Sismicidad y amenaza regional

Este tipo de información es más de carácter cualitativo, por lo tanto las curvas de liberación de deformación no pueden usarse por sí mismas para predicción sísmica, pero podrían usarse junto con gráficas de frecuencia – magnitud y el conocimiento de los movimientos de fallas locales.

2.1.4

Estudios de Probabilidad Sísmica

Mediante un conjunto apropiado de datos, tal como los utilizados para preparar mapas de sismicidad, pueden hacerse varios estudios de probabilidad usando métodos estadísticos estándar para estimar parámetros de diseño. Uno de los más valiosos consiste en estimar el mayor sismo probable que podría ocurrir cerca del sitio durante la vida de la estructura que está diseñándose, es decir períodos de retorno para la magnitud y aceleración de las cargas sísmicas de diseño.

2.2

EFECTOS DE LOS SISMOS

Los sismos producen diversos efectos en regiones sísmicamente activas. Ellos pueden ocasionar la pérdida de gran cantidad de vidas humanas, pueden ser los causantes del colapso de muchas estructuras tales como edificios, puentes, presas, etc. Otro efecto destructivo de los sismos es la generación de olas de gran tamaño, comúnmente causada por temblores subterráneos (maremotos). Estas olas son también llamadas Tsunami, las cuales al llegar a la costa pueden causar la destrucción de poblaciones enteras. La licuefacción de suelos es otro peligro sísmico. Cuando el suelo es sometido al choque de las ondas sísmicas puede perder virtualmente toda su capacidad portante, y se comporta, para tal efecto, como arena movediza. Los edificios que descansan sobre estos materiales han sido literalmente tragados. Licuefacción: El sismo de Niigata, Japón, 16 de Junio de 1964 (M=7.5): Inclinación de edificios de departamentos.

2.3

RESPUESTA DEL SITIO A SISMOS

El movimiento del suelo en la base de la fundación de las estructuras durante un sismo causa daño estructural, las fuerzas dinámicas actuantes en la estructura se deben a la inercia de los elementos en vibración. La magnitud de la aceleración pico alcanzada por la vibración del suelo tiene efecto directo sobre las fuerzas dinámicas observadas en la estructura, es así que la respuesta de la estructura excede al movimiento del suelo y la amplificación dinámica depende de la duración y frecuencia de las vibraciones del suelo, de las propiedades del suelo, de la distancia epicentral y de las características dinámicas de la estructura. El contenido de agua del suelo es un factor importante en la respuesta del sitio, debido a que el sismo produce la licuefacción de suelos no cohesivos saturados; cuando estos suelos están sometidos a vibraciones intensas experimentan un incremento en la presión de poros debido a la redistribución de sus partículas, dando como resultado una reducción en la resistencia al corte del suelo. Esto produce condición rápida en la arena con pérdida de capacidad portante causando asentamiento y colapso de la estructura. Existen una serie de métodos para prevenir la licuefacción como ser la instalación de drenajes para bajar el nivel freático y remover el agua de los poros, sin embargo el asentamiento causado afectaría a estructuras adyacentes.

17

Sismicidad y amenaza regional

Se puede aplicar técnicas de vibroflotación para conseguir la preconsolidación del suelo, pero esto también afectaría las estructuras adyacentes. A fin de incrementar la resistencia al corte del suelo se recomienda diversas técnicas de mejoramiento del suelo. Alternativamente se puede remover y reemplazar el suelo deteriorado por material seguro; o finalmente recurrir al empleo de pilotes de fundación, los cuales penetrarían hasta un estrato firme y estable.

2.4

HISTORIA DE LOS SISMOS

Los registros históricos de sismos antes de mediados del siglo XVIII generalmente carecen de veracidad. Entre los temblores antiguos que provienen de fuentes razonablemente confiables está el que ocurrió en la costa de Grecia en el año 425 A.C., que causó el surgimiento de la isla de Euboea; otro en el año 17 D.C. que destruyó la ciudad de Ephesus en Asia Menor; y una serie de sismos que destruyeron parcialmente Roma en el año 476 y Constantinopla (ahora Estambul) en el año 557 y nuevamente en 936. En la Edad Media, los temblores severos ocurrieron en Inglaterra en 1318, Naples en 1456, y Lisboa en 1531. El sismo de 1556 en Shaanxi (Shensi) la Provincia de China, que mató alrededor de 800.000 personas fue uno de los más grandes desastres naturales en la historia. En 1693, un sismo en Sicilia ocasionó la pérdida de 60,000 vidas humanas; y en el siglo XVIII la ciudad japonés de Edo (el sitio del moderno Tokio) se destruyó a causa de un sismo, con la pérdida de alrededor de 200,000 vidas. En 1755 la ciudad de Lisboa fue devastada por un temblor y murieron 60,000 personas. Quito, ahora la capital de Ecuador, fue sacudida por un sismo en 1797, y más de 40,000 personas murieron. En América del Norte, la serie de sismos que golpearon el Sudeste de Missouri en 1811-12 fueron probablemente los más poderosos experimentados en la historia de los Estados Unidos. El sismo de EE.UU. más famoso, sin embargo, fue el que sacudió la ciudad de San Francisco en 1906, ocasionando daño extensivo y tomando alrededor de 700 vidas. En septiembre de 1985 un terremoto azotó a la ciudad de México D.F. causando daño severo y destruyendo muchos edificios de la ciudad, el sismo dejó al menos a 30.000 personas sin hogar y 7.000 muertos (Figura 2.2).

Figura 2.2

2.5

Sismo de 1985 en la ciudad de México [ref. 3]

CONSECUENCIAS DE LOS SISMOS

El desarrollo de este punto es ilustrado en la Tabla 2.1 a partir de los sismos más representativos ocurridos en el tiempo:

18

Sismicidad y amenaza regional

Fecha

Magnitud Ciudades o Región

Consecuencias

1906, abril 18

8.3

Estados Unidos:California

700 muertos, llamado "Temblor de San Francisco". Ocasionó grandes danos; se observaron desplazamientos en el suelo. Después del temblor ocurrieron grandes incendios. Este fue el primer terremoto estudiado con detalle.

1906, agosto 16

8.6

Chile Valparaiso, Santiago

20.000 muertos

1908, diciembre 28

7.5

Italia: Regio

29.980 muertos

1920, diciembre 16

8.5

China Kansu y Stransi

200.000 muertos

1923, septiembre 1

8.3

Tokio Yokojawa

99.330 muertos, conocido como el terremoto de Kwanto. Tuvo desplazamientos de hasta 4.5 m y le sucedieron grandes incendios.

1927, mayo 22

8.0

China Nan Shan

200.000 muertos, grandes fallas, se sintió hasta Pekin.

1935, mayo 30

7.5

Paquistan Quetta

30.000 muertos, la ciudad de Quetta fue totalmente destruida.

1939, junio 25

8.3

Chile

28.000 muertos

1939, diciembre 26

7.9

Turquia Erzincan

30.000 muertos, se detectaron movimientos oscilatorios de 3.7 m de desplazamiento con movimientos trepidatorios menores.

1960, febrero 29

5.8

Marruecos Agadir

De 10.000 a 15.000 muertos, es uno de los temblores que más muertes ha ocasionado a pesar de ser baja su magnitud.

1960, mayo 22

8.5

Chile Concepcion Valparaiso

De 6.000 a 10.000 muertos, causó muchas víctimas y grandes daños en Concepción y áreas circunvecinas, dejando cerca de 2.000.000 de damnificados y daños cuantificados en mas de 300 millones de dólares. Produjo un maremoto que causo daños en Hawai y Japón.

1964, marzo 28

9.2

Alaska Anchorage

173 muertos, destrucción en Alaska. Se abrieron grietas en las carreteras y los vehículos en movimiento fueron sacados de su curso. Se estimó en 129 500 kilómetros cuadrados el área de daños y produjo un maremoto registrado en las costas de Hawai. Se quebrantó seriamente la economía de Alaska (Figura 2.3).

1970, mayo 31

7.7

Peru: Huara,Chimbote,Yungay

De 50.000 a 70.000 víctimas, derrumbes e inundaciones. La peor catástrofe registrada en Perú por un terremoto en este siglo.

1972, diciembre 23

5.6 6.2

Nicaragua Managua

De 4.000 a 6.000 muertos, miles de heridos. La ciudad de Managua fue casi totalmente destruida.

1976, febrero 4

6.2 7.5

Guatemala Guatemala

3.000 muertos y se calculan 76.000 heridos.

1976, agosto 27

6.3 7.9

1978, septiembre 16

7.7

Iran

De 11.000 a 15.000 muertos, muchos heridos y daños considerables en Bozonabad y áreas circunvecinas.

1984, octubre

7.1

Estados Unidos San francisco

El sismo azotó el área de la Bahía entera de San Francisco causando daños tremendos en las edificaciones del distrito de Marina (Figura 2.4). el sismo causó el colapso de la autopista de Oakland y parte del puente de la Bahía de San Francisco.

1994, enero 17

6.6

Estados Unidos

Aprox. 76 muertos, sentido en el sureste de Estados Unidos y noroeste de Mexico. Grandes danos en obras civiles y particulares. La ciudades más dañadas fueron los Angeles y Santa Mónica, California.

China Noreste

Tabla 2.1

655.237 muertos cerca de 800.000 heridos y danos en el área de Tanshan. Este terremoto fue probablemente el más mortífero de los últimos 4 siglos y el 2º más fuerte que registra la historia moderna.

Sismos más representativos de la historia [ref. 3]

19

Sismicidad y amenaza regional

Figura 2.3

Figura 2.4

2.6

Sismo de Alaska de 1964 [ref. 3]

Sismo de Loma Prieta en el sur de San Francisco [ref. 3]

ESTUDIOS DE RIESGO SÍSMICO LOCAL Y NACIONAL 1

El observatorio San Calixto desde 1913 hasta la fecha viene monitoreando la actividad sísmica en el territorio nacional. Las investigaciones realizadas señalan que Bolivia es una región sísmica de intensidad moderada; siendo las zonas de actividad permanente el valle de Cochabamba y el norte de La Paz. En Bolivia se tienen registros de eventos sísmicos desde el año 1871, lo cual evidencia la actividad sísmica en la región. Según los registros actuales pocos sismos han sido de magnitud considerable, pero han ocurrido en gran cantidad; según el observatorio San Calixto se aproximan a 1.000 sismos que cada año se pueden localizar en Bolivia. La actividad sísmica en Bolivia tiene su origen en la tectónica de placas, específicamente en la presión que ejerce la placa de Nazca por debajo de la placa Sudamericana. Este movimiento se conoce como subducción y produce sismos de foco profundo (351-700 km.) debajo del continente en el sector de Bolivia, y de foco intermedio (71350 km.) en la frontera con Perú y Chile. Sin embargo, por la presencia de innumerables fallas geológicas en 1

Resumen de estudios realizados por Salvador del Pozo [ref. 9], Ramón Cabré y Angel Vega [ref. 10]: F. Achabal, pp 26-28 [ref. 1]

20

Sismicidad y amenaza regional

Bolivia y particularmente en Cochabamba, este movimiento genera una actividad sismo – tectónica local o secundaria de foco superficial (0-70 km.), por donde se disipa la energía acumulada. Este fenómeno puede tener consecuencias distintas: si la liberación de energía es lenta, no ocasionará grandes sismos; si por el contrario la disipación es violenta, puede dar lugar a un sismo de magnitud considerable, mas aún si se considera que la actividad sísmica de tipo superficial es la más destructiva. Las fallas más importantes en el sector de Cochabamba son: la falla del Tunari, al borde de la cordillera que rodea la ciudad por el sector norte; la segunda en importancia es la falla de Sipe – Sipe, la cual tiene una alineación que empieza en la costa chilena, atraviesa Oruro, pasa por Cochabamba y termina en Santa Rosa en el Beni; otra falla activa es la falla cercana a la laguna de Colomi (Sillar); la falla en el sector de Aiquile, activa cada cierto tiempo. Esta última localidad fue sometida a un sismo de magnitud 6.6 en la escala de Richter el 22 de Mayo de 1998, el cual dejó a muchas familias sin hogar. El mapa de intensidades máximas (Figura 2.5), conocido como mapa de isositas, publicado por el Centro Regional de Sismología para Sudamérica (CERESIS), marca cuatro zonas que definen bien la sismicidad en Bolivia. El mapa de magnitudes máximas (Figura 2.6) publicado por el Observatorio San Calixto complementa la información que se presenta en la Tabla 2.2, acerca de las zonas sísmicas en el territorio boliviano. La intensidad máxima esperada en la ciudad de Cochabamba está entre VI y VII en la escala de Mercalli Modificada. Si bien es un valor moderado, los efectos pueden ser mayores considerando las condiciones geotécnicas locales. En general, se puede decir que la mayor parte del terreno es un relleno aluvional no consolidado de baja calidad, lo cual tendría efectos impredecibles al ocurrir un sismo fuerte.

ZONA SÍSMICA

LOCALIDAD

ACTIVIDAD

INTENSIDAD MM

Casi inexistente

ccr ó ξ>1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.

ƒ

Si c 1 , t > t1 el factor de respuesta de desplazamiento es:

Rd =

u0 p0 k

=

2 ⋅ω ω n 1 − (ω ω n )

2

⋅ cos

π 2 ⋅ω ω n

(6.21)

6.5 RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO. La respuesta máxima, como se observa en párrafos anteriores, depende de la relación de duración del impulso con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el graficar el factor de respuesta Rd en función de t1 Tn para varios tipos de carga impulsiva (Figura 6.5); este tipo de grafica es conocida como espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este tipo de gráficas son útiles para predecir los efectos máximos causados por cargas impulsivas que actúan en una estructura simple.

Factor de magnificacion dinamica, D

2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Razon de impulso, t 1 /T Figura 6.5

Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de choque).

62

Vibración forzada, carga impulsiva

Este tipo de espectro de respuesta también sirve para indicar la respuesta de la estructura a un impulso de aceleración aplicada en su base. Si la aceleración aplicada en la base es üg(t), ésta produce una carga impulsiva efectiva de peff(t) = -m·üg(t). Si la aceleración máxima en la base es denotado por üg0 el impulso efectivo máximo es p0eff = -m·üg0. El factor de deformación toma la forma de: Rd =

u0 u = p0 0 (u st ) 0 k

reemplazando por p 0eff : Rd =

ω 2 ⋅ u0 u0 = n m ⋅ u&&g 0 k u&&g 0

(6.22)

alternativamente esta ecuación puede ser reescrita como:

Rd =

u&&0′ u&&g 0

(6.23)

donde u&&0′ es la aceleración máxima total de la masa 2 . Es evidente que el espectro de respuesta de la Figura 6.5 puede ser usado para predecir la respuesta de aceleración máxima de la masa, m, a un impulso de aceleración aplicada en la base, también como la respuesta de desplazamiento máxima debido a carga impulsiva. Cuando es utilizada la Figura 6.5 para este propósito es generalmente designada como espectro de choque.

6.6 ANÁLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGA IMPULSIVA. El análisis del espectro de respuesta presentado en la Figura 6.5 conduce a dos conclusiones generales acerca de la repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva: 1.

Para cargas de larga duración, por ejemplo, t1 Tn > 1 , el factor de respuesta depende principalmente del valor del incremento de la carga hasta su valor máximo.

2.

Para cargas de corta duración, por ejemplo, t1 Tn <

1

4

, la amplitud del desplazamiento máximo u0 t1

depende principalmente de la magnitud del impulso aplicado I =

∫p

(t ) dt

y no es influenciada

0

fuertemente por la forma de la carga impulsiva. El factor de respuesta Rd sin embargo, es completamente independiente de la forma de la carga debido a que es proporcional a la relación del área del impulso con la amplitud máxima de la carga. Por tanto u0 es la medida mas significativa de la respuesta y esta ocurre durante la fase de vibración libre. A continuación es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la respuesta máxima de un sistema sujeto a una carga impulsiva de corta duración. De acuerdo a la segunda ley de Newton si una fuerza p actúa en el cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es: ∂ (m ⋅ u& ) =p ∂t 2

Para mayor referencia ver ecuación 3.5

(6.24)

63

Vibración forzada, carga impulsiva

para una masa constante esta ecuación es: m ⋅ u&& = p

(6.25)

integrando ambos lados con respecto de t: t2

∫ pdt = m ⋅ (u&

2

− u&1 ) = m ⋅ Δu&

(6.26)

t1

la integral en el lado izquierdo de esta ecuación es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la velocidad es el momento, esta ecuación establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momento. Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza actúa por un infinitésimo periodo de tiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es así que se tiene la respuesta después de la fase de excitación, es decir la respuesta en vibración libre:

u (t ) = u (t1 ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +

u& (t1 )

ωn

senω n (t − t1 )

en la cual el termino u (t1 ) es despreciable por ser extremadamente pequeño y la velocidad u& (t1 ) = Δu& , por tanto la ecuación anterior se puede escribir como: u (t )

1 = m ⋅ω n

⎛ t1 ⎞ ⋅ ⎜⎜ p (t ) dt ⎟⎟ ⋅ senω n (t − t1 ) ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

∫

(6.27)

64

Vibración forzada, carga impulsiva

6.7 EJEMPLOS Respuesta máxima

Ejemplo 6.1

Hallar la respuesta máxima para la carga impulsiva tipo sinoidal, Figura 6.4, en los siguientes casos: a) La carga es un impulso de larga duración, considerando que: ω /ω n = 2/3 ó t1=3/4 Tn. b) La carga es un impulso de corta duración con: ω /ω n = 4/3 ó t1=3/8 Tn. c) La carga impulsiva resonante: ω =ω n.

Solución a) La respuesta máxima ocurre durante la fase de excitación, para este caso la ecuación 6.18 da: 2π ω ⋅t = = 45 π 1 + (3 / 2)

con este valor sustituyendo en la ecuación 6.15 tenemos: u (t ) = Rd = p 0

k

1 1 − (4 / 3) 2

( sen 4 5 π − 2 3 sen 6 5 π ) = 1.77

b) La respuesta ocurre en la fase de vibración libre, para este caso la ecuación 6.21 da: 2 ⋅ ( 43 ) π Rd = ⋅ cos = 1.31 2 2 ⋅ ( 43 ) 1 − ( 43 ) c) Con similar procedimiento, la máxima respuesta a la carga resonante, ω =ωn, se puede hallar de la ecuación 6.14 (ecuación de resonancia). En este caso la máxima respuesta ocurre al final de la carga impulsiva: 2π Tn = 1 t1 = 2 T n ωn

de estas dos ecuaciones se tiene: ω ⋅ t1 = π , reemplazado este valor en la ecuación 6.14: u (t ) p0 k

= R d = 12 ( senπ − π ⋅ cos π )

Rd =

π 2

= 1.57

65

Vibración forzada, carga impulsiva

Espectro de choque

Ejemplo 6.2

Como un ejemplo del uso del espectro de choque para evaluar la respuesta máxima en sistemas simples sujetos a cargas impulsivas considerar el sistema mostrado en la Figura 6.6 lo cual representa una estructura simple sometida una carga explosiva.

Peso total W=270 [ton]

p(t) 450 [ton]

Rigidez lateral total: k=1700 [ton/cm]

Carga explosiva p(t)

t1=0.05 [seg]

Resistencia elástica: fs=kv

t

Figura 6.6

Solución: Tn =

2π

ωn

= 2π

W 270 = 2π = 0.0799 kg 1700 ⋅ 981

La razón de impulso es: t1 0.05 = = 0.625 Tn 0.0799

De la Figura 6.5 el factor de respuesta de deformación es: R d = 1.31 por tanto el desplazamiento máximo es: u 0 = Rd

p0 450 = 1.31 ⋅ = 0.347 k 1700

y la fuerza elástica máxima que se desarrolla es: f s ,max = k ⋅ u 0 = 1700 ⋅ 0.347 = 590

[t]

Si el impulso debido a la explosión fuese de una duración t1=0.005 seg., El factor de deformación, Rd para esta razón de impulso, t1/Tn = 0.062 es: Rd = 0.24 y por tanto la fuerza elástica resistente: fs=198 [t]. Evidentemente para cargas impulsivas de muy corta duración, gran parte de la fuerza aplicada es resistida por la inercia de la estructura y el esfuerzo producido es muy pequeño que aquel debido a cargas de larga duración.

66

Vibración forzada, carga impulsiva

Respuesta máxima

Ejemplo 6.3

Considerar el pórtico de la Figura 6.7, que esta constituido por columnas metálicas de sección W8x18 y una viga rígida, el cual tiene un periodo natural Tn=0.5 seg. Despreciando el amortiguamiento determinar la máxima respuesta del pórtico sujeto a una carga impulsiva rectangular de amplitud 1800 kg. y una duración t1=0.2 seg. V iga rígida

p(t)

u0

6847.2 [kg m ]

W 8x18 W8x18

W8x18

4m 2749 [kg/cm 2]

fs =k u Resistencia elástica (a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6.7

Solución: t1 0.2 = = 0.4 Tn 0.5 R d = 2 sen

k tot =

∑k

col

= 2⋅

3EI

=

3

L

( u st )0 =

π ⋅ t1 Tn

= 2 sen π ⋅ 0.4 = 1.902

2 ⋅ 2100000 ⋅ 2576.47 400 3

= 507.24

p0 1800 = = 3.55 k 507.24

u 0 = R d ⋅ ( u st )0 = 3.55 ⋅1.902 = 6.75

[kg/cm]

[cm] [cm]

El momento flexionante se encuentra a partir de la fuerza estática equivalente: f s0 = k ⋅ u 0 = k ⋅ R d ⋅

p0 = R d ⋅ p 0 = 1.902 ⋅1800 = 3423.6 k

[kg]

debido a que las columnas son idénticas en sección y longitud se puede obtener el momento flexionante en la parte superior de las columnas. M =

fs 3423.6 ⋅h = ⋅ 4 = 6847.2 [kg·m] 2 2

el esfuerzo flexionante es grande en las fibras extremas del perfil de las columnas en la parte superior:

σ=

M ⋅ y M M M 6447.2 = I = I = = = 27.49 I s 249.08 y c

[kg/cm2]

67

Vibración forzada, carga impulsiva

Respuesta máxima

Ejemplo 6.4

Determinar la respuesta máxima, y su respectivo tiempo para el sistema de la Figura 6.8a, sujeto a una carga impulsiva mostrada en la Figura 6.8b.

üg

1.15 g

Peso W = 30 [ton]

k=3 [ton/cm]

0.3 seg

0.2 seg

Fase I (a)

Fase II

t Fase III

(b) Figura 6.8

Solución

La respuesta máxima es la mayor de las respuestas de las tres fases: 0 ≤ t1 ≤ 0.25 seg.

FASE I

0.2 ≤ t1 ≤ 0.5 seg.

FASE II

t1 ≥ 0.5 seg.

FASE III FASE I. La ecuación de equilibrio es:

m ⋅ u&& + k ⋅ u = p( t ) 2 Dividiendo entre la masa m y reemplazado ω n =

u&& + ω n 2 ⋅ u =

k m

se tiene:

p( t ) ⋅ ω n 2 k

De la ecuación de la recta ascendente se tiene: p( t ) = p o

t t1

ecuación tenemos: u&& + ω n 2 ⋅ u =

Resolviendo esta ecuación se tiene: La solución complementaria es:

p0 ⋅ω n 2 ⋅ t k ⋅ t1

u c = A cos ω n t + B sen ω n t

La solución particular es: up =

p0 t k t1

, reemplazando este valor en la anterior

68

Vibración forzada, carga impulsiva

La solución total es la suma de ambas: u ( t ) = A cos ω n t + B sen ω n t +

p0 t k t1

Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales en reposo: u ( 0 ) = u& ( 0 ) = 0 : A=0 u&( t ) = − Aω n sen ω nt + Bω n cos ω nt + B=−

p0 1 =0 k t1

p0 1 k ω n ⋅ t1

Por tanto: u( t ) = − u( t ) =

p0 1 p t sen ω n t + 0 k ω n ⋅ t1 k t1

p0 k ⋅ t1

⎛ ⎞ 1 ⎜t − ⎟ ⎜ ω sen ω n t ⎟ n ⎝ ⎠

Para hallar la máxima respuesta: sen ω n t = −1 3 2

ω nt = π t=

3 ⋅π 3 ⋅π = = 0.476 2 ⋅ ω n 2 ⋅ 9.905

[seg]

t > t1

0.476 > 0.2 seg. La respuesta máxima se da en le tiempo t=0.2 seg. p0 ⎛ p 1 ⎞ u ( 0. 2 ) = sen 9.905 ⋅ 0.2 ⎟ = 0.537 0 ⎜ 0. 2 − 9.905 k ⋅ 0. 2 ⎝ k ⎠ u&( t ) =

⎞ p0 ⎛ ω n ⎜1 − cos ω nt ⎟⎟ k ⋅ t1 ⎜⎝ ω n ⎠

u& ( 0.2 ) =

p0 p (1 − cos 9.905 ⋅ 0.2) = 6.994 0 k ⋅ 0. 2 k

FASE II. La ecuación de equilibrio:

u&& + ω n ⋅ u = 2

p( t ) ⋅ ω n 2 k

De la ecuación de la recta descendente se tiene: p( t ) = − p 0

t t2

anterior ecuación tenemos: u&& + ω n 2 ⋅ u =

Resolviendo esta ecuación se tiene: La solución complementaria es:

p0 ⋅ω n 2 k

⎛ t ⎜⎜1 − t 2 ⎝

u c = A cos ω n t + B sen ω n t

⎞ ⎟⎟ ⎠

+ p 0 , reemplazando este valor en la

69

Vibración forzada, carga impulsiva

La solución particular es: up =

p0 ⋅ ⎛ t ⎜⎜1 − k ⎝ t2

⎞ ⎟⎟ ⎠

La solución total es la suma de ambas: u ( t ) = A cos ω n t + B sen ω n t +

p0 k

⎛ t ⎜⎜1 − ⎝ t2

⎞ ⎟⎟ ⎠

Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales, condiciones de la FASE I p u ( 0) = u (t1 ) = 0.537 0 k p u& ( 0) = u& (t1 ) = 6.994 0 k p p p u (0) = A + 0 = 0.537 0 → A = −0.463 0 k k k p0 p0 = 6.994 u& ( 0) = B ⋅ ω n − k ⋅t2 k B=

Resolviendo para ωn·t:

u max = u ( 0.178) =

p0 p0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 6.994 + ⎟ → B = 1.043 k k ⋅ 9.905 ⎝ 0. 3 ⎠

u (t ) =

p0 k

⎛ t ⎜⎜ − 0.463 cos ω n t + 1.043senω n t + 1 − t2 ⎝

u& (t ) =

p0 k

⎛ 1 ⎜⎜ 0.463 ⋅ ω n senω n t + 1.043 ⋅ ω n cos ω n t − t 2 ⎝

ωnt= 0.729 ω t=-0.190

→ →

⎞ ⎟⎟ ⎠

t=0.0761 seg. t=0.178 seg

p0 ⎛ 0.178 ⎞ ⎜ − 0.463 cos 9.905 ⋅ 0.178 + 1.043sen9.905 ⋅ 0.178 + 1 − ⎟ k ⎝ 0. 3 ⎠ p u max = 1.519 0 k

FASE III. Vibración libre: ⎛ u& ( 0) u 0 = ⎜⎜ ⎝ ωn

2

⎞ ⎟ + u ( 0) 2 ⎟ ⎠

de la fase anterior: u ( 0 ) = u ( 0.3 ) = 0.633

p0 k

u& ( 0 ) = u& ( 0.3 ) = −12.739 2

p0 k 2

p ⎞ p ⎛ − 12.739 p 0 ⎞ ⎛ ⎟⎟ + ⎜⎜ 0.633 0 ⎟⎟ = 1.433 0 u 0 = ⎜⎜ k ⎠ k ⎝ 9.905 k ⎠ ⎝

⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠

70

Vibración forzada, carga impulsiva

Para hallar la máxima respuesta: u max = 1.519

m ⋅ u&&g 0 u&&g 0 p0 0.15 ⋅ g = 1.519 = 1.519 2 = 1.519 k k 9.905 2 ω u max = 2.278 [cm] t = 0.178 + 0.2 = 0.378 [seg]

Capítulo 7

RESPUESTA A CARGA DINAMICA GENERAL

7.1

INTEGRAL DE DUHAMEL p(t)

p(τ) t

τ

dτ

(t-τ) Respuesta du(t)

Figura 7.1

Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)

El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p(τ) actuando en el tiempo t=τ. Esta carga que actúa durante el intervalo corto de tiempo dτ produce un impulso de corta duración p(τ)dτ sobre la estructura y la ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para un intervalo de tiempo dτ, la respuesta producida por la carga p(τ) es: Para t >τ

du(t ) =

p(τ ) dτ mω n

senω n ⋅ (t − τ )

(7.1)

72

Conceptos generales en el análisis dinámico

En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u durante el intervalo de tiempo dt. El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración dτ, es decir: u( t ) =

1 mω n

t

∫ p τ senω (t − τ )dτ ( )

(7.2)

n

0

esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas. En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo u (0) ≠ 0 y u& (0) ≠ 0 se añade la respuesta en vibración libre a la solución, entonces se tiene: u& ( 0)

u (t ) =

ωn

senω n t + u ( 0) cos ω n t +

t

1 mω n

∫ p τ senω ( )

n (t

− τ ) dτ

(7.3)

0

usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es: t

t

u( t ) =

7.2

p0 p ⎡ cos ω n (t − τ ) ⎤ p0 senω n (t − τ )dτ = 0 ⎢ (1 − cos ω nt ) ⎥ = mω n ⎣ ωn k mω n ⎦ 0 0

∫

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.

Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales, y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad trigonométrica sen(ω n t − ω nτ ) = senω n t ⋅ cos ω nτ − cos ω n t ⋅ senω nτ para reformular la ecuación 7.2:

u (t ) = senω n t

1 mω n

t

∫pτ

( )

⋅ cos ω nτ ⋅ dτ − cos ω n t

0

1 mω n

t

∫pτ

( )

⋅ senω nτ ⋅ dτ

0

ó u (t ) = A(t ) ⋅ senω n t − B (t ) ⋅ cos ω n t

(7.4)

donde: A(t ) =

1 mω n

t

∫pτ

( )

⋅ cos ω nτ ⋅ dτ

0

(7.5) B (t ) =

1 mω n

t

∫ p τ senω τ ⋅ dτ ( )

0

n

73

Conceptos generales en el análisis dinámico

7.3

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.

El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración libre iniciada por un impulso diferencial p(τ)·dτ esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo estableciendo u(0)=0 y u& (0) = ( p (τ ) dτ ) / m en la ecuación 4.15 da: ⎡ p (τ ) dτ ⎤ du (t ) = e −ξω n (t −τ ) ⎢ senω D (t − τ )⎥ ⎢⎣ mω D ⎥⎦

(7.6)

la respuesta de la carga total arbitraria es: u (t ) =

t

1 mω D

∫pτ e ( )

−ξω n ( t −τ )

senω D (t − τ )dτ

(7.7)

0

para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma similar a la ecuación 7.4:

u (t ) = A(t ) ⋅ senω D t − B(t ) ⋅ cos ω D t

(7.8)

donde en este caso: A(t ) = B(t ) =

t

1 mω D 1 mω D

∫

p (τ )

0 t

∫pτ

( )

0

e ξω nτ e ξω nt e

ξω nτ

e ξω n t

cos ω Dτ ⋅ dτ

(7.9) senω Dτ ⋅ dτ

Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p(τ) toma el valor de:

p (τ ) = m ⋅ u&&g (τ )

7.4

(7.10)

EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA 1

La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza aplicada p(t) o aceleración del suelo u&&g (t ) ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal. Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser desarrollado para sistemas lineales. La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. La función de excitación para el intervalo de tiempo t i ≤ t ≤ t i +1 está dada por: p (τ ) = p i + 1

Anil K. Chopra, pp 155-185 [ref. 12]

Δp i τ Δt i

(7.11)

74

Conceptos generales en el análisis dinámico

donde: Δp i = p i +1 − p i

(7.12)

y la variable de tiempo τ varía de 0 a Δti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es: m ⋅ u&& + k ⋅ u = p i +

Δp i τ Δt i

(7.13)

p(t) pi+1

Real

pi Interpolado: p(τ)

Δti ti

ti+1

t

τ

Figura 7.2

Interpolación lineal

La respuesta u(τ) para 0 ≤ τ ≤ Δt i es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial ui y velocidad u& i para τ=0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta para (Δpi/Δti)·τ con condiciones iniciales de cero. Adoptando las soluciones disponibles de los párrafos precedentes para estos tres casos la respuesta total es:

u (τ ) = u i ⋅ cos ω nτ +

u& i

ωn

senω nτ +

Δp pi (1 − cos ω nτ ) + i k k

⎛ τ senω nτ ⎜ ⎜ Δt − ω ⋅ Δt n i ⎝ i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

y

(7.14)

u& (τ )

ωn

= −u i ⋅ senω nτ +

u& i

ωn

cos ω nτ +

pi Δp 1 senω nτ + i (1 − cos ω nτ ) k k ω n ⋅ Δt i

Evaluando estas ecuaciones para τ=Δti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad u& i +1 en el tiempo i+1: u i +1 = u i cos(ω n ⋅ Δt i ) +

u& i

ωn

sen(ω n ⋅ Δt i ) +

pi [1 − cos(ω n ⋅ Δt i )] + Δp i 1 [ω n ⋅ Δt i − sen(ω n ⋅ Δt i )] k k ω n ⋅ Δt i

(7.15) u& i +1

ωn

Δp p 1 = −u i sen(ω n ⋅ Δt i ) + cos(ω n ⋅ Δt i ) + i sen(ω n ⋅ Δt i ) + i [1 − cos(ω n ⋅ Δt i )] ωn k k ω n ⋅ Δt i u& i

75

Conceptos generales en el análisis dinámico

Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes: u i +1 = A ⋅ u i + B ⋅ u& i + C ⋅ p i + D ⋅ p i +1

(7.16) u& i +1 = A′ ⋅ u i + B ′ ⋅ u& i + C ′ ⋅ p i + D ′ ⋅ p i +1

estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones para los coeficientes A, B,..., D’; y éstas están dadas en la Tabla 2 5.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados; cuyo título es: “Coeficientes para las fórmulas recurrentes (ξ < 1)”.

2

Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]

76

Conceptos generales en el análisis dinámico

7.5

EJEMPLOS

Ejemplo 7.1 3

Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento

Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura. histograma de carga

w=96.6 k

p(t)

p(t) 96.6 k

k=2700 k/ft

0.025 s

0.025 s

t

fs Figura 7.3

Solución

Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo. Cálculos adicionales Gravedad [ft/s2]:

g := 32.3

Frecuencia natural:

ω n :=

k⋅g w

Periodo natural:

Tn := 2 ⋅

π ωn

Primera fase, para 0 90% ⋅100 = W 1087

(

)

por tanto combinando los primeros dos modos se asegura que un mínimo de 90% de la masa de la estructura participa en la determinación de los parámetros de respuesta. La fuerza combinada para cada nivel para los modos puede obtenerse usando el método SRSS. Esto es aceptable para estructuras bidimensionales cuando la relación de periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es ≤ 0.75 0.64 = 0.427 < 0.75 1.5

por tanto la fuerza combinada para el nivel i es dado por:

(

Fci = F12i + F22i

)

1

2

197

Método dinámico, superposición modal

donde: F1i = Fuerza lateral para el nivel i, para el primer modo F2i = Fuerza lateral para el nivel i, para el segundo modo la fuerza combinada para cada nivel es resumido en la siguiente Tabla 13.8 Nivel Techo 2 1 base

F1i 53.730 44.048 16.444 114.222 Tabla 13.8

F2i 68.931 20.929 -28.882 60.978

Fci 87.398 48.767 33.235 129.480

Capítulo 14

DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

14.1

INTRODUCCIÓN

Este capítulo contiene especificaciones que se consideran como los requisitos mínimos para producir una estructura monolítica de concreto reforzado con los detalles y las dimensiones adecuadas que le permitan a ésta soportar una serie de oscilaciones dentro del campo inelástico de respuesta sin deterioro crítico de la resistencia. Como se vio con anterioridad, conforme una estructura apropiadamente detallada de concreto reforzado responde a fuertes movimientos del suelo, su rigidez efectiva decrece y se incrementa su capacidad de disipar energía. Por lo tanto, el empleo de fuerzas de diseño que representan efectos sísmicos demanda que el edificio este equipado con un sistema resistente a fuerzas laterales que retenga una porción sustancial de su resistencia conforme se le somete a inversiones de los desplazamientos dentro del campo inelástico. La elección práctica esta entre: (a) Un sistema con suficiente resistencia para responder al movimiento del suelo dentro del rango lineal o casi lineal de respuesta, y (b) Un sistema con disposiciones adecuados que permitan una respuesta no lineal sin perdida crítica de la resistencia. Este capítulo desarrolla una serie de requisitos relacionados con la segunda opción para su aplicación en zonas de elevado riesgo sísmico.

14.2

CARGAS DE DISEÑO

Las combinaciones de carga a ser utilizadas en el método de la resistencia para el diseño de los elementos de concreto están especificadas en la sección 9.2 del reglamento ACI y se dan a continuación: 1.4 D 1.4 D + 1.7 L 0.9 D ± 1.3 W 0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7 W) 0.9 D ± 1.3· 1.1 E 0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7· 1.1 E)

199

Método dinámico, superposición modal

14.3

PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTOS

14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia El requisito básico de este método es de asegurar que la resistencia de diseño de un elemento no sea menor que la resistencia última requerida. Para cargas sísmicas, la resistencia requerida consiste de las cargas de servicio multiplicadas por un factor de carga especificado en la Sección 14.2. La resistencia de diseño de un elemento consiste de la resistencia nominal, o la resistencia teórica última, multiplicada por un factor de reducción de resistencia φ. De este modo se tiene:

φ (resistencia nominal) ≥ U Los factores de reducción (φ) según el código UBC 1 son: 0.9 0.85 0.75 0.70

para flexión para cortante y torsión para miembros en compresión con refuerzo en espiral para miembros en compresión con estribos

En zonas sísmicas 3 y 4 el factor de reducción de resistencia al cortante debe ser 0.6 para el diseño de muros, losas superiores y elementos estructurales con una resistencia nominal al cortante menor que el corte correspondiente al desarrollo de su resistencia nominal a flexión. La resistencia nominal a flexión debe determinarse correspondiendo con las cargas axiales factorizadas más críticas incluyendo el efecto sísmico. El factor de reducción de resistencia al cortante para la unión viga-columna es 0.85. Consideraciones para el diseño de vigas: La resistencia nominal de un elemento se determina de acuerdo con los principios definidos en la Sección 19210.2.7 del código UBC y desarrollado con mayor claridad por George Winter 2 . La capacidad nominal de un elemento a flexión con sólo refuerzo a tensión esta dado por:

fy ⎞ ⎛ ⎟ M n = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅ f c′ ⎟⎠ ⎝

(14.1)

donde: As = área de acero a tensión, [cm2] fy = esfuerzo de fluencia del acero, [kg/cm2] ρ = cuantía =As/(b·d) f′c = resistencia del concreto a la compresión, [kg/cm2] d = peralte efectivo, [cm] b = ancho de la sección, [cm] A consecuencia de las cargas sísmicas se pueden formar rótulas plásticas en ambos extremos de las columnas de un nivel determinado, produciendo un mecanismo de deslizamiento el cual causa el colapso del piso, para prevenir este acontecimiento, se introduce el concepto de viga débil-columna fuerte. Una columna que forma parte del sistema resistente a fuerzas laterales y con una carga axial factorizada mayor a 0.1Ag·f′c , debe ser diseñada para satisfacer: ΣM e ≥ 65 ΣM g

donde:

1 2

UBC, Sección 1909.3.2 [ref.15] WINTER, George Cap. 1 pp. 11-15 [ref 19]

(14.2)

200

Método dinámico, superposición modal

ΣMe = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la flexión de las columnas que empalman en esa junta ΣMg = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la flexión de las vigas que empalman en esa junta, y en el mismo plano de las columnas. En la Figura 14.1 se ilustra este concepto, la convención de signos adoptada en la figura es que los momentos en los extremos de un elemento se muestran actuando a partir del nudo hacia el elemento, se considera las reacciones de los soportes; la cabeza de las flechas apunta hacia la cara de los elementos, la cual esta en tensión.

Carga sísmica

Carga sísmica Mct

Mct Mbr

Mbr

Mbr

Mbr Mcb

Figura 14.1

Mcb

Concepto de Columna fuerte-Viga débil

Para asegurara la falla dúctil de un elemento y prevenir la falla frágil por cortante, es por tal motivo que, la fuerza cortante de diseño se determina a partir de la resistencia probable a flexión en las caras de la junta considerando las fuerzas estáticas en el elemento, y éste soporta la carga tributaria de gravedad a lo largo del claro. La resistencia probable a flexión se calcula suponiendo una resistencia a la tensión en las barras longitudinales de al menos 1.25 fy y un factor de reducción de la resistencia φ de 1.0. es así que la resistencia probable a flexión esta dada por: (1.25 ⋅ f y ) ⎞ ⎛ ⎟ M pr = As ⋅ (1.25 f y ) ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅ ⎟ f c′ ⎠ ⎝ fy ⎞ ⎛ ⎟ M pr = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1.25 − 0.92 ⋅ ρ ⋅ f c′ ⎟⎠ ⎝

(14.3)

En la Figura 14.2, los momentos de signo opuesto actúan en los extremos de la viga sometida a doble curvatura y el sentido de los momentos cambia debido a la característica reversible de la carga sísmica. De este modo se deben calcular ambos momentos probables resistentes (de ida y vuelta) en los extremos de la viga para determinar el valor del cortante crítico. La fuerza cortante de diseño en el extremo izquierdo de la viga para una carga sísmica que actúa de derecha a izquierda es:

Ve =

M pr1 + M pr 2 Ln

+ Vg

donde: Ln = claro de la viga Vg = cortante debido a la carga de gravedad no factorizada

(14.4)

201

Método dinámico, superposición modal

Carga sísmica

Carga sísmica

Vp2

Vp1 Mpr1

Mpr4

Mpr2

Mpr3

Vp1

Vp2

Ln

Ln

Mpr1

Mpr4

Diagrama de Momentos

Mpr2 Mpr3 Vp1

Diagrama de Cortantes Vp2

Figura 14.2

Cortante en viga debido a la resistencia probable a flexión.

La fuerza cortante de diseño en el extremo derecho de la viga para una carga sísmica que actúa de izquierda a derecha es:

Ve =

M pr 3 + M pr 4 Ln

+ Vg

(14.5)

Consideraciones para el diseño de columnas:

De manera similar, la fuerza cortante de diseño para las columnas debe calcularse utilizando el momento probable resistente de la base y del tope de la columna; los máximos momentos probables se asume que ocurren bajo la carga axial máxima de 0.8 P0, la cual corresponde a la excentricidad mínima accidental. La fuerza cortante de diseño en el tope y en la base de la columna es:

Ve =

M pr1 + M pr 2 Hn

(14.6)

donde:

Hn = altura de la columna Sin embargo el cortante de diseño de la columna no necesita ser mayor que los valores determinados a partir del momento probable resistente de las vigas que forman marco en la junta 3 .

3

ACI, Sección 21.4.5 [ref.20]

202

Método dinámico, superposición modal

Carga sísmica

0.8P0 Mpr1

Ve

Ve

Mpr1

Hn

Mpr2

Ve

Mpr2 Diagrama de Momentos

0.8P0

Figura 14.3

Ve Diagrama de Cortantes

Cortante en columna debido a la resistencia probable a flexión.

Carga sísmica

Mpr1 Ve Mpr2

Mpr1 + Mpr2 2

Ve

Mpr1 + Mpr2 2

Hn

Mpr3 + Mpr4 2 Ve Mpr4

Figura 14.4

Mpr3

Mpr3 + Mpr4 2 Diagrama de Momentos

Diagrama de Cortantes

Cortante en columnas debido a la resistencia probable a flexión de las vigas

203

Método dinámico, superposición modal

Como se muestra en la Figura 14.4 la fuerza cortante para estas condiciones esta dada por:

Ve =

M pr1 + M pr 2 + M pr 3 + M pr 4

(14.7)

2H n

Para asegurar una falla dúctil se debe despreciar la resistencia a corte del concreto cuando la fuerza axial factorizada a compresión es menor que Agf′c/20 y cuando la fuerza cortante inducida por sismo calculada según las ecuaciones 14.6 ó 14.7 es igual o mayor a la mitad de la resistencia total de diseño al corte. Consideraciones para el diseño de la conexión viga-columna:

En las uniones viga-columna la fuerza cortante horizontal de diseño se determina según la Figura 14.5.

punto de inflexión

Mpr1 T1 = 1.25A s1 f y

C 2 = T2 T2 = 1.25A s2 f y

C1 = T1

Mpr2

V=

Figura 14.5

Hc=altura de piso a piso

V

Mpr1 + Mpr2 Hc

Fuerzas que actúan en el nudo

La fuerza cortante producida en la columna por el momento probable resistente de la viga en el nudo es: V=

M pr1 + M pr 2 Hc

El esfuerzo probable en el refuerzo a tensión en la cara derecha del nudo correspondiente a la viga es: T1 = 1.25·As1·fy La compresión probable en el concreto en la cara izquierda del nudo correspondiente a la viga es: C2 = T2 = 1.25·As2·fy De este modo la cortante neta que actúa en el nudo es: Ve = T1 + T2 – V Ve = 1.25·fy·(As1 + As2) − (Mpr1 + Mpr2)/Hc La resistencia nominal al cortante de la junta depende de la resistencia del concreto y del área efectiva del nudo, es así que está dada por:

204

Método dinámico, superposición modal

V n = 5.3 f c′ A j

para nudos confinados en sus 4 caras

V n = 4 f c′ A j

para nudos confinados en 3 caras o en 2 caras opuestas

V n = 3.2 f c′ A j

para las otras

donde: Aj = área efectiva de sección transversal dentro de una junta En la Figura 14.6 se ilustra el área afectiva de la junta, donde las vigas están unidas a una columna de ancho considerable, donde el ancho efectivo del nudo es: be = b + h ≤ b + 2x donde: b = ancho de la viga h = profundidad de la columna x = menor de las distancias medidas desde el borde de la viga al borde de la columna

viga área efectiva del nudo

profund. efectiva del nudo = h

profund. de la columna = h

b

x

be ancho efectivo del nudo = be = b+h < b+2x

Figura 14.6

Área efectiva del nudo

14.3.2 Resistencia y ductilidad de secciones a flexión Se tiene que tener en consideración los siguientes principios de diseño sismorresistente: ƒ ƒ ƒ ƒ

Las vigas fallan antes que las columnas La falla es a flexión antes que a corte Debe esperarse una falla prematura de nudos Falla dúctil antes que frágil

El comportamiento dúctil es la habilidad de soportar grandes deformaciones inelásticas mientras la resistencia se mantiene esencialmente constante.

205

Método dinámico, superposición modal

Se realiza un análisis previo de la viga para determinar los tipos de falla y éste es como sigue: Si el contenido de acero de tensión es pequeño y el acero de compresión es alto, el acero de tensión alcanza la resistencia de fluencia, pudiendo ocurrir entonces un gran incremento en la curvatura mientras que el momento flexionante se mantiene esencialmente constante. Este tipo de falla se conoce como “falla de tensión”, aún cuando ocurra finalmente aplastamiento del concreto. Por otra parte, si el contenido de acero de tensión es alto y el de compresión es bajo, el acero de tensión no alcanza a fluir y la falla será frágil si el concreto no se encuentra confinado. Lo anterior se conoce como “falla por compresión”. Al diseñar, las vigas siempre se proporcionan de manera que puedan exhibir las características dúctiles de una falla de tensión. Para ello se requiere como premisa que el acero de compresión esté por debajo del esfuerzo de fluencia.

b

εu ε's

d'

0.85 f ' c A' s f y

A' s

c

a=β1c

d

As

As f y

εs (a)

(b) Figura 14.7

(c)

Viga rectangular doblemente reforzada

Es necesario, en consecuencia, desarrollar ecuaciones mas generales para tener en cuenta la posibilidad de que el refuerzo a compresión no fluya cuando la viga doblemente reforzada falle en la flexión. A continuación se presenta el método para determinar si el acero a compresión fluye o no en la falla. Con referencia a la Figura 14.7b, y se toma como caso límite ε’s =εy, se obtiene por geometría:

εu c = d′ εu −ε y

c=

o

εu εu −ε y

d′

Si se suman las fuerzas en la dirección horizontal (Figura 14.7c) se obtiene la cuantía de acero a tensión mínima⎯ρcy que asegurará la fluencia del acero a compresión en la falla:

ρ cy = 0.85 β 1

f c′ d ′ 6300 + ρ′ f y d 6300 − f y

(14.8)

Si la cuantía de acero a tensión es menor que este valor límite, el eje neutro esta suficientemente alto de manera que el esfuerzo del acero a compresión en la falla es menor que el esfuerzo de fluencia. En este caso puede demostrarse fácilmente, en base a las Figuras 14.7b y 14.7c, que la cuantía balanceada de acero es:

ρb = ρb + ρ ′

f s′ fy

(14.9)

donde: d′ ⎡ ⎤ f s′ = E s ε s′ = E s ⎢ε u − (ε u + ε y )⎥ d ⎣ ⎦

y

≤ fy

de esta manera, la cuantía máxima de acero permitida por el código ACI 10.3.3 es:

(14.10)

206

Método dinámico, superposición modal

ρ max = 0.75 ρ b + ρ ′

f s′ fy

(14.11)

Debe hacerse énfasis en que la ecuación 14.10 para el esfuerzo en el acero a compresión se aplica únicamente para una viga con la cuantía exacta balanceada de acero a tensión. Si la cuantía de acero a tensión es menor que ρb, de acuerdo con la ecuación 14.9, y es menor que⎯ρcy, entonces el acero a tensión se encuentra en el esfuerzo de fluencia en la falla pero el acero de compresión no, y deben desarrollarse nuevas ecuaciones para el esfuerzo en el acero de compresión y para la resistencia a flexión. El esfuerzo en el acero a compresión puede expresarse en termino de la aún desconocida localización del eje neutro: f s′ = ε u E s

c−d′ c

f s′ = 6300

o

a − β1d ′ a

(14.12)

donde del estudio del equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene el valor de a:

a=

As f y − As′ f s′

a=

o

0.85 f c′b

dρ ( f y − Rf s′ )

(14.13)

0.85 f c′b

esta forma un sistema de ecuaciones con la ecuación de f’s, donde las incógnitas son: a y f’s; el valor de R es R=ρ’/ρ. La resistencia nominal a flexión se encuentra reaplazando el valor de a y f’s en la expresión: a⎞ ⎛ M n = 0.85 f c′ab⎜ d − ⎟ + As′ f s′ ( d − d ′) 2⎠ ⎝

(14.14)

esta capacidad nominal debe reducirse mediante el coeficiente φ=0.9 para obtener la resistencia de diseño. Ductilidad de curvatura

b

εc ε's

εu ε's

fc

d'

0.85 f ' c

f 's kd

A' s

f 's a=β1c

c

d

As

ϕu

ϕy

εs = f y/E s

εs > f y/E s (a)

Figura 14.8

fy

fy

(b)

Viga rectangular doblemente reforzada: (a) En la primera fluencia del acero de tensión (b) al alcanzarse la deformación unitaria última del concreto.

La ductilidad disponible de la sección puede expresarse mediante la relación de la curvatura última, ϕu, entre la curvatura en la primera fluencia, ϕy. La Figura 14.8 representa el caso general de una sección doblemente reforzada en la primera fluencia del acero de tensión, y en la deformación unitaria última del concreto. Cuando el acero de tensión alcanza por primera vez la resistencia de fluencia, la distribución de esfuerzos en el concreto aún puede ser lineal debido a que el máximo esfuerzo en el concreto es significativamente menor que su resistencia, y la profundidad del eje neutro, kd, puede calcularse utilizando la teoría elástica como: T=Cc + Cs

207

Método dinámico, superposición modal

Asfy = kd·fc·b/2+A’s f’s

ρ fy = k·fc /2+ρ’f’s de la grafica de deformación se tiene:

ε s′ =

kd − d ′ εs d − kd

εc =

y

kd εs d − kd

entonces se tiene lo siguiente:

ρε s E s = kε c E c / 2 + ρ ′ε s′ E s reemplazando los valores de ε’s y εc, y definiendo n=Es/Ec se tiene: kd − d ′ k kd + ρ ′n 2 d − kd d − kd d′⎞ ⎛ d⎜k − ⎟ 2 d ⎠ 1 k ⎝ ρn = + ρ ′n d (1 − k ) 2 1− k

ρn =

ρn(1 − k ) =

k2 d′⎞ ⎛ + ρ ′n⎜ k − ⎟ d ⎠ 2 ⎝

donde resolviendo para k se tiene: 2

⎛ ⎛ ρ′ d′⎞ ⎛ ρ′⎞ ρ′ ⎞ ⎟⎟ − nρ ⎜⎜1 + ⎟⎟ k = n 2 ⎜⎜ ρ + ρ ⎟⎟ + 2nρ ⎜⎜1 + ρ ⎠ ρ d⎠ ρ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ d′⎞ ⎛ k = n 2 (ρ + Rρ )2 + 2nρ ⎜1 + R ⎟ − nρ (1 + R ) d ⎠ ⎝

(14.15)

La curvatura esta dada por la extensión por unidad de longitud del acero de tensión, en la primera fluencia (esto es, la deformación unitaria de fluencia), dividida entre la distancia que existe entre el acero de tensión y el eje neutro. f y / Es ϕy = d (1 − k ) en forma similar la curvatura ultima esta dada por:

ϕu =

εc a

β1

el factor de ductilidad de curvatura de la sección esta dada por:

ϕu ε c d (1 − k ) = ϕy f y / E s a / β1

(14.16)

es evidente que si se mantienen constantes otras variables, el factor disponible de ductilidad de curvatura aumenta al disminuir el contenido de acero de tensión, al aumentar el contenido de acero de compresión, con la disminución de la resistencia del acero y el aumento de la del concreto. Si la zona de compresión de un elemento se confina mediante estribos cerrados colocados a corta distancia, o espirales, se mejora notablemente la ductilidad del concreto.

14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas

208

Método dinámico, superposición modal

Los elementos a flexión en marcos se definen como aquellos elementos en los cuales la fuerza de compresión axial factorizada del elemento es menor que 0.1Agf′c y el claro libre para el elemento es mayor a 4 veces su peralte efectivo. Se impone las siguientes restricciones de geometría con el objetivo de dotar de sección transversal compacta con buena estabilidad durante los desplazamientos no lineales: b/h ≥ 0.3 b ≥ 25 [cm] b ≤ bc + 0.75·h

en cada lado de la columna

donde: b = ancho de la viga h = altura de la viga bc = ancho de la columna Las siguientes limitaciones en la cantidad de refuerzo longitudinal se dan para prevenir la congestión de acero, asegurar el comportamiento dúctil y proveer un mínimo de capacidad de refuerzo mayor que la resistencia a tensión del concreto.

ρ min ≥

14 fy

ρ min ≥ 0.8

f c′ fy

ρ max ≤ 0.025 Además: ƒ ƒ ƒ

Un mínimo de 2 barras deben estar dispuestas en forma continua, tanto en el tope como en el fondo. La resistencia a los momentos positivos en la cara de la junta debe ser mayor o por lo menos igual a la mitad de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta. En cualquier sección, a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser menor que una cuarta parte de la resistencia al momento máximo provista en cualquier extremo de la viga.

No se permite empalmes localizados en regiones donde el análisis indica una fluencia a flexión causada por los desplazamientos laterales inelásticos de la estructura. No deben utilizarse empalmes: ƒ ƒ

Dentro de las juntas o nudos Dentro una distancia del doble de la altura de la viga medida a partir de la cara de la columna.

Para prevenir el descascaramiento del concreto que recubre las zonas de empalme es que el espaciamiento máximo del refuerzo transversal que envuelve las barras traslapadas no debe exceder de d/4 ó 10 [cm]. La longitud de desarrollo, ldh, para una barra con un gancho estándar de 90º en hormigones con agregado de peso normal debe ser:

l dh =

f y ⋅ db 17.2 f c′

(14.17)

ldh ≥ 8 db ldh ≥ 15 [cm] donde: db = diámetro de la barra El gancho a 90º debe ubicarse dentro del núcleo confinado de la columna; para barras de diámetro de 9 [mm] a 35 [mm] (#3 al #11) la longitud de desarrollo, ld, para una barra recta no debe ser menor a:

209

Método dinámico, superposición modal

ld ≥ 2.5·ldh Y si la profundidad del hormigón vaciado en una operación por debajo de la barra excede de 30 [cm] entonces, ld, debe ser menor a: ld ≥ 3.5·ldh Se requiere refuerzo transversal para proveer de resistencia al cortante y para proveer de confinamiento al concreto localizado dentro de la zona de rótula plástica y para controlar el pandeo lateral de las barras longitudinales. Lazos cerrados, como se ve en la Figura 14.9, proveen de confinamiento al hormigón y también de resistencia al cortante. Los estribos sísmicos con ganchos a 135º sólo proveen resistencia al corte. En los elementos estructurales deben proveerse lazos en las siguientes zonas: ƒ ƒ

Sobre una distancia 2d a partir de la cara de la columna Sobre una distancia 2d a ambos lados de la sección sujeta a rótula plástica.

horquilla 135º

135º

135º

135º

90º

6 db

6 db

6 db

6 db

estribo sísmico

lazo simple

6 db estribo sísmico

db

gancho sísmico

Figura 14.9

horquillas

lazo doble (2 pz)

Lazos y estribos sísmicos

El primer lazo debe localizarse a no mas de 5 [cm] de la cara de la columna; el espaciamiento máximo entre los lazos no debe ser mayor a: smax ≤ d/4 smax ≤ 8·db smax ≤ 24 dt smax ≤ 30 [cm] donde: d = peralte efectivo db = diámetro de la barra longitudinal dt = diámetro de la barra del lazo. Donde no se requieren lazos se pueden hacer usos de estribos sísmicos con ganchos a 135º, a través de la longitud del elemento en un espaciamiento máximo de d/2. El detalle de la disposición de lazos y estribos se muestra en la Figura 14.10.

210

Método dinámico, superposición modal

s < d/4 s < 8 db s < 24 d t s < 30 cm

< 5 cm > 2d lazos

s < d/4 s < 10 cm

s < d/2

estribos sísmicos

< 5 cm

> empalme lazos

estribos sísmicos

> 2d lazos

> 2d lazos

> 2h

Figura 14.10

estribos sísmicos

> empalme lazos

> 2h

Disposición de los lazos y estribos

14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas Las columnas son aquellos elementos con carga axial factorizada mayor a 0.1Agf′c, estos elementos estructurales también tiene que satisfacer las siguientes condiciones: hmin ≥ 30 [cm] hmin / hperp ≥ 0.4 donde: hmin = menor dimensión de la sección transversal hperp = la dimensión perpendicular a la menor dimensión Para evitar la falla y controlar la congestión de acero y proveer resistencia a la flexión es que los límites para el refuerzo longitudinal son:

ρg ≥ 0.01 ρg ≤ 0.06 donde:

ρg = relación entre el área de refuerzo y el área de la sección transversal

< 35 cm

< 35 cm

El descascaramiento del concreto ocurre en los extremos de las columnas, lo cual hace de estas regiones nada recomendables para la localización de los empalmes. Se deben permitir empalmes dentro de la mitad de la longitud del elemento y deben dimensionarse como empalmes de tensión.

< 35 cm

Figura 14.11

< 35 cm

< 35 cm

Refuerzo transversal en la columna

211

Método dinámico, superposición modal

El refuerzo transversal, que consiste de lazos cerrados y horquillas, debe estar dispuesto en toda la altura de la columna para proporcionar resistencia al corte y confinamiento. El espaciamiento máximo de los lazos debe ser: smax ≤ 6 db smax ≤ 15 [cm]

h

s/2

l0 > h l0 > Hn/6 l0 > 45 cm s

< 15 cm

empalme a tensión tipo A

s

Hn

s < 10 cm s < h/4 l0

s/2

Figura 14.12

Detalle del refuerzo en columnas

En la Figura 14.11 se ilustran los lazos cerrados y las horquillas las cuales deben estar espaciadas en un máximo de 35 [cm]. En el extremo de la columna el área requerida de refuerzo por confinamiento esta dada por el valor más grande de: ⎛ ⎞ f ′ ⎞ ⎛ Ag Ash = 0.3⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎜ ⎟ f y ⎠ ⎝ Ach ⎠ ⎝ Ash = 0.09 ⋅ s ⋅ hc ⋅

f c′ fy

donde: s = espaciamiento entre lazos Ag = área bruta de la sección transversal de la columna

(14.18)

212

Método dinámico, superposición modal

Ach = área transversal medida de extremo a extremo del acero de refuerzo transversal hc = dimensión transversal del núcleo de la columna medida de centro a centro del refuerzo confinante El refuerzo de confinamiento debe estar dispuesto a lo largo de una distancia, l0, a partir de la cara del nudo en ambos lados de cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia a la flexión en conexión con los desplazamientos laterales no-elásticos de la estructura. l0 ≥ h l0 ≥ Hn / 6 l0 ≥ 45 [cm] donde: h = altura de la sección columna Hn = luz libre de la columna El espaciamiento de refuerzo de confinamiento esta limitado a: s ≤ hmin/4 s ≤ 10 [cm] donde: hmin = dimensión menor de la columna Los detalles de refuerzo en una columna se muestran en la Figura 14.12. Si el concepto de Columna fuerte-Viga débil no se cumple en una unión, las columnas que soportan las reacciones de dicha junta deben estar provistas de refuerzo de confinamiento en toda su longitud.

14.3.5 Unión Viga-Columna

s < h/4 < 10 cm

h ldh min

ldh min Figura 14.13

Unión Viga-Columna

La unión Viga-Columna esta sujeta a concentraciones elevadas de esfuerzos y por tal motivo requiere de un cuidado minucioso para asegurar el confinamiento del concreto. A excepción del nudo en el cual llegan a empalmar las vigas de l pórtico en sus 4 caras, se debe proveer de acero de confinamiento (Ash) a través de la altura del nudo con un espaciamiento máximo de 10 [cm]. Cuando las vigas empalman en los 4 lados de la junta y cuando el ancho de cada viga es por lo menos ¾ partes del ancho de la columna, debe proveerse un refuerzo transversal igual a Ash/2 con un máximo espaciamiento de 15 [cm]. El refuerzo longitudinal de una viga terminada en una columna debe extenderse hasta la cara alejada del núcleo confinado de la columna y anclarse bajo tensión. En la Figura 14.13 se detalla un nudo típico.

213

Método dinámico, superposición modal

14.4

MUROS DE CORTE

14.4.1 Resistencia al corte La resistencia nominal al corte de los muros cortantes está dada por: V n = Acv (0.55 f c′ + ρ n ⋅ f y )

(14.19)

donde: Acv = área neta de la sección de hormigón limitada por el espesor del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza cortante considerada. [mm2]. ρn = cuantía de refuerzo de corte distribuido en un plano perpendicular al plano Acv La cuantía de refuerzo, ρv, para muros de corte no debe ser menor que 0.0025 a lo largo de los ejes longitudinales y transversales cuando Vu excede a: 0.265 Acv f c′ esto es:

ρ n = Asn Acn ≥ 0.0025 ρ v = Asv Acv ≥ 0.0025 donde: Asn = área del refuerzo horizontal sobre la longitud vertical considerada. Acn = área del alma sobre la longitud vertical considerada. Asv = área del refuerzo vertical sobre la longitud horizontal considerada.

El espaciamiento del refuerzo en cada sentido en los muros no debe exceder de 45 [cm]; además se deben disponer 2 cortinas de refuerzo en un muro si la fuerza cortante factorizada es mayor que: 0.53 Acv

f c′

Cuando la relación entre la altura del muro y la longitud de la base (hw/lw) es menor a 2, la resistencia nominal al cortante del muro debe determinarse a partir de: V n = Acv (0.265α c

f c′ + ρ n ⋅ f y )

(14.20)

donde el coeficiente αc varía linealmente desde 3.0 para un valor de (hw/lw)=1.5 hasta un valor de 2.0 para (hw/lw)=2.0

14.4.2 Muros de Corte para cargas a flexión y axiales Por la gran área de concreto en los muros es difícil llegar a una falla balanceada, por tanto se aumenta la capacidad de momentos por fuerzas de gravedad en muros de corte. Debe tomarse en cuenta que la carga axial reduce la ductilidad. Para aumentar la ductilidad en el muro de corte debe asemejarse el muro a las columnas con estribos que están sujetas a cargas combinadas de flexión y compresión y es así que deben diseñarse de cómo columnas con un factor de reducción φ de 0.6 cuando gobierna el cortante. En la Figura 14.14 se ilustra el análisis para el cual se asume una distribución lineal de deformaciones, con una deformación máxima para el concreto de 0.003.

214

Método dinámico, superposición modal

El momento de diseño también se puede calcular utilizando la ecuación: ⎛ ⎜ ⎝

φM n = φ ⋅ As f y l w ⎜1 + c=

Pu As f y

⎞ ⎛ ⎟ ⋅ ⎜1 − c ⎟ ⎜⎝ l w ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Pu 0.85 f c′bβ 1

lw Sección del muro

b

c

ε P

β1c

0.85 f ' c

M Ts

Figura 14.14

Diagrama de deformaciones

Cc

Diagrama de fuerzas

Cs

Hipótesis utilizada en el diseño de muros de corte

El ancho efectivo del ala de la sección que contribuye a la resistencia a compresión no debe extenderse más allá de la cara del alma en una longitud igual a ½ de la distancia al alma de un muro de corte adyacente, ni más del 15% de la altura del muro para el ala en compresión, o más que el 30% de la altura del muro para el ala en tensión. Considerando la inestabilidad del muro puede por consideración de muros delgados analizarse los extremos como columnas separadas pudiendo inclusive aumentarse la rigidez por flexión del muro llegando a un muro tipo “I”. Es así que se deben disponer de este tipo de elementos frontera en los muros de corte cuando el esfuerzo máximo de la fibra extrema, correspondiente a fuerzas factorizadas, incluyendo el efecto sísmico, sea mayor que 0.2 f’c. El cálculo del área de acero de este tipo de muros se lo realiza utilizando los criterios y los diagramas de interacción similares a los utilizadas para el cálculo de columnas, o pueden confeccionarse con las ecuaciones respectivas de columnas para casos específicos. El código UBC 4 impone un límite superior para la fuerza axial de diseño por encima del cual el muro ya no se considera efectivo para la resistencia a las fuerzas laterales: Pu = 0.35P0 donde: P0 = resistencia nominal a carga axial con una excentricidad cero. P0 = 0.85·f′c(Ag – Ast) + fy·Ast Ag = área total de la sección. Ast = área del refuerzo vertical. 4

UBC, Sección 1921.6.6.3 [ref.15]

215

Método dinámico, superposición modal

Con el objetivo de prevenir la falla frágil es que se adopta la carga axial balanceada de: Pb = 0.35P0 Este es el punto en el diagrama de interacción para columnas en el cual se alcanzan simultáneamente la máxima deformación del concreto (0.003) y la fluencia del acero de refuerzo a tensión. Incrementando la carga axial factorizada más allá de este valor trae como resultado el modo de falla por compresión del concreto, la cual es frágil y repentina.

216

Método dinámico, superposición modal

14.5

EJEMPLOS Diseño de un elemento a flexión

Ejemplo 14.1

Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B de la Figura 14.15. La viga soporta una carga equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m] respectivamente. El resumen de momentos de diseño se presenta en la Tabla 14.1. La viga tiene 50 [cm] de base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2].

A

B

D

C

15.50 t·m

13.20 t·m

15.50 t·m 3º piso

-36.90 t·m

-44.60 t·m

-43.30 t·m

-43.30 t·m

-44.60 t·m

-36.90 t·m

4.00 m.

2º piso

col 55x55 col 55x55

6.70 m.

col 55x55

6.70 m.

6.70 m.

Figura 14.15

1.4 D + 1.7 L 0.75(1.4D+1.7L ± 1.7·1.1E) 0.9 D ± 1.3· 1.1 E

Viga A-B Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda Viga B-C Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda

A -13.50

(a) (b) (c)

Momento de Diseño [t·m] Tramo B 15.50 -21.70

11.45 -36.90

14.40 14.60

-44.60 4.15

18.60 -29.80 B -19.30

6.36 6.50 Tramo 13.20

-33.30 15.50 C -19.35

7.00 -43.30

12.40 12.40

-43.30 7.00

17.10 -33.20

5.50 5.50

-33.20 17.15

Tabla 14.1

217

Método dinámico, superposición modal

Solución:

a) Verificación de dimensiones: b/h = 50/60 = 0.83 ≥ 0.3 b = 50 [cm] ≥ 25 [cm] b ≤ bc + 0.75·h b ≤ 56 + 0.75·60 50 ≤ 101 ln ≥ 4·d 609 ≥ 4·55.5 609 ≥ 222

→ cumple → cumple → cumple → cumple

b) Refuerzo longitudinal 1.

Refuerzo para momento negativo en B

Debido a que el refuerzo a flexión negativa para ambas vigas A-B y B-C en el nudo B será provista por las mismas barras continuas se utilizará el mayor de los momentos negativos en el nudo B. De este modo Mu = 44.60 [t·m]. Para el cálculo se desprecia el efecto del acero de refuerzo a compresión, es así que se tiene: a=

As ⋅ f y 0.85 ⋅ f c′ ⋅ b

=

4200 ⋅ As = 0.353 ⋅ As 0.85 ⋅ 280 ⋅ 50

M u ≤ φM n M u ≤ φAs f y (d − a 2) 44.6 ⋅10 5 = 0.9 ⋅ As ⋅ 4200 ⋅ (55.5 − 0.353 ⋅ As 2)

[ ]

As = 22.93 cm 2

utilizar 5 φ 25 (As = 24.54), que proporciona un momento φ Mn = 47.46 [t·m] Verificación de los límites del refuerzo: ⎧ f c′ 280 ⎪0.8 bd = 0.8 50 ⋅ 55.5 = 8.88 cm 2 fy 4200 ⎪ As min ≥ ⎨ ⎪ 14 bd = 0.0033 ⋅ 50 ⋅ 55.5 = 9.16 cm 2 → gobierna ⎪f ⎩ y

[ ]

[ ]

Asmax ≤ 0.025·bd Asmax = 0.025·50·55.5 = 69.37 [cm2] Asmin ≤ As ≤ Asmax → cumple 2.

Refuerzo para momento negativo en A

Mu = 36.90 [t·m] que requiere un área de refuerzo de: As = 18.70 [cm2] utilizar 4 φ 25 (As = 19.63), que proporciona un momento φ Mn = 38.60 [t·m] 3.

Refuerzo para momento positivo en los nudos:

La resistencia a momento positivo en la cara de la junta debe ser mayor o igual al 50% de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta.

218

Método dinámico, superposición modal

Min. Mu+(A) = 38.6/2 = 19.30 [t·m], para el cual satisface 2 φ 25 (As = 9.82), que proporciona un momento φ Mn = 19.96 [t·m], el cual es mayor al momento positivo requerido en A de Mu = 18.60 [t·m] Min. Mu+(B) = 47.46/2 = 23.73 [t·m], para el cual satisface 3 φ 25 (As = 14.73), que proporciona un momento φ Mn = 29.40 [t·m], el cual es mayor al momento positivo requerido en B para ambos tramos de Mu = 17.10 [t·m]. Además notar que es mayor al momento positivo requerido en los tramos (A-B y B-C) 4.

Refuerzo para momento positivo en el tramo:

En cualquier sección a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser menor que una cuarta parte de la resistencia máxima a momento provista en cualquier extremo de la viga. De este modo el valor mínimo de diseño para momento positivo es: 47.46/4 = 11.86 [t·m] En el tramo se tiene un Mu = 15.50 [t·m]el cual es cubierto con la resistencia a momento proporcionada por 2 φ de 25

c)

Cálculo de la longitudinal de anclaje requerida para el refuerzo a flexión en la columna exterior

La longitud de desarrollo mínima para gancho estándar a 90º es:

l dh

⎧ f y db 4200 ⋅ 2.5 = = 36.5 ≈ 37 [cm] → gobierna ⎪ ⎪17.2 f c′ 17.2 280 ⎪ ≥ ⎨8d b = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm] ⎪15 [cm ] ⎪ ⎪ ⎩ 55 cm.

37 cm.

12 d b

60 cm.

d) Calculo del refuerzo por cortante La resistencia probable a flexión Mpr (momento probable resistente), asociada a la formación de la rótula plástica, se calcula utilizando un factor de reducción φ = 1.0 y asumiendo que el esfuerzo del acero de tensión es fs = 1.25·fy.

219

Método dinámico, superposición modal

M pr = 1.25 As f y (d − a 2) a=

1.25 As f y 0.85 f c′b

= 0.441As

el esfuerzo cortante de diseño en los extremos de la viga para las dos condiciones de carga a ser consideradas se determina a partir de: w = wD + wL = 2.4 + 1.2 =3.6 [t/m] y los momentos probables resistentes en cada nudo son: − M pr ( A)

para 4 φ de 25 (As = 19.63)

→ 52.7 [t·m]

+ M pr ( A)

para 2 φ de 25 (As = 9.82)

→ 27.5 [t·m]

− M pr (B)

para 5 φ de 25 (As = 24.54)

→ 64.5 [t·m]

+ pr ( B )

para 3 φ de 25 (As = 14.73)

→ 40.4 [t·m]

M

A

w ⋅ ln 2 B

-4.10 [t]

26.10 [t]

26.20 [t]

-4.32 [t]

Ve =

Carga

A 27.50 t·m

M ±pr ( A) + M mpr ( B )

±

ln

B w = 3.6 t/m

64.50 t·m

6.09 m. hacia la deracha

A 52.70 t·m

B 40.40 t·m

w = 3.6 t/m

6.09 m. hacia la izquierda

Para rotación al lado izquierdo, la cortante en A debido al momento probable resistente en ese extremo de la viga se calcula a partir de: VA =

M −pr ( A) + M +pr ( B ) ln

=

52.7 + 40.4 = 15.30 [t ] 6.09

debido a que VA = 15.30 [t] es mayor al 50 % de la cortante de diseño Ve = 26.2 [t] se desprecia la contribución del concreto a la resistencia al corte.

φV s + φVc = Vu

220

Método dinámico, superposición modal

Vs =

Vu

φ

=

26.20 = 30.82 [t ] 0.85

verificación de la sección: V s ≤ 2.1 f c′ bd 30.82 ≤ 2.1 280 ⋅ 50 ⋅ 55.5 30.82 ≤ 97.50 →

cumple

el espaciamiento requerido para estribos cerrados considerando el diámetro del estribo φ=8 [mm] es: Av f y d s= Vs

1⋅ 4200 ⋅ 55.5

= 7.56 [cm] 30.82 ⋅10 3 ⎧d 4 = 55.5 4 = 13.87 [cm] gobierna ⎪8 ⋅ d = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm] ⎪ b s max ≤ ⎨ d 24 ⋅ t = 24 ⋅ 0.8 = 19.2 [cm ] ⎪ ⎪⎩30 [cm]

s=

con estribos de diámetro φ=10 [mm] se tiene un espaciamiento s=12 [cm], es decir para la zona de confinamiento desde la cara de al columna hasta una distancia 2h= 1.20 [m], se requieren estribos φ=10 c/ 12. Más allá de la distancia 2h se requieren estribos φ=10 c/24 que cumple el espaciamiento máximo de smax=d/2=27.75 [cm]. e)

Empalmes de barras longitudinales

Los empalmes deben ubicarse lejos de las regiones de máximo esfuerzo, es decir no deben estar junto al nudo, dentro una distancia 2h a partir de la cara de la columna o dentro de regiones potenciales de formación de rótula plástica. Considerar que todos los empalmes deben estar confinados por estribos cerrados con un espaciamiento máximo d/4 ó 10 [cm] a lo largo de la longitud del empalme. 1.

Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la base de la viga

Con el momento de 15.50 [t·m] se requiere un área de acero de 7.57 [cm2] para el cual área de refuerzo provista es de 9.82 [cm2], se tiene entonces la relación: Asprov 9.82 = = 1.3 < 2 Asreq 7.57 debido a ello el empalme se considera de tipo B con una longitud de empalme requerida de 1.3·ld≥30 [cm]. Donde: ld αβγλ 3 fy = d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b donde:

α = factor de ubicación del refuerzo β = factor de revestimiento γ = factor de tamaño del refuerzo λ = factor de agregados ligeros del hormigón (c+ktr)/db ≤ 2.5

(1.0) (1.0) (1.0) (1.0)

221

Método dinámico, superposición modal

ld 3 4200 1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 71.03 [cm ]

la longitud del empalme es: 1.3·ld=92.35≈ 95 [cm] 2. Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la parte superior de la viga El empalme para esta ubicación se considera de clase A: con una longitud de empalme requerida de 1.0·ld [cm]. Donde: ld 3 4200 1.3 ⋅1 ⋅1 ⋅1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 92.35 [cm] la longitud del empalme es: 1.0·ld=92.35≈ 95 [cm]

l1/4+ld = 2.50 m.

2Ø25

95 cm

3Ø25

l1/3+ld = 3.00 m.

l2/3+ld = 3.00 m.

2Ø25

2Ø25 2Ø25

1Ø25 5 cm

1.15 m. Ø10 c/12

1.45 m. Ø10 c/24

Ø10 c/10

1.30 m. Ø10 c/24

1.15 m. Ø10 c/12

5 cm

2Ø25

222

Método dinámico, superposición modal

Diseño de columna

Ejemplo 14.2

Determinar el refuerzo transversal para la columna exterior de la Figura 14.15 correspondiente al segundo nivel de un pórtico resistente a momentos. La columna tiene las dimensiones de 55x55 [cm] con acero longitudinal de 8φ de 25 distribuido uniformemente a lo largo de la cara de la columna, asumir la sección de las vigas igual al del ejemplo 14.1 con el refuerzo de acero encontrado en dicho ejemplo. Las propiedades de los materiales son: f’c = 280 [kg/cm2] y fy = 4200 [kg/cm2]

Columna exterior A

Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda

-470

Momento de Diseño [t·m] Eje x-x Eje y-y Tope Base Tope Base -11.90 12.06 -6.70 6.70

-390 -530

2.30 -15.00

-4.10 16.80

1.01 -5.33

-0.80 4.30

-180 -320

5.90 -11.50

-7.60 13.20

1.86 -4.18

-1.60 3.90

Carga axial [t]

Solución.

a)

La fuerza axial de compresión factorizada en la columna esta dada por: Pu=530 [t], la cual es mayor a 0.1Ag f’c =0.1·552·280 ·10-3= 84.70 [t], de este modo en el diseño del elemento gobierna la carga axial y flexión.

b) 1.

Verificación de los requisitos de limites del refuerzo y resistencia de momentos. Verificación de cantidad de refuerzo longitudinal: 0.01