Texto Guia - Algebra y Trigonometría 2017-2

 

TEXTO GUÍA Curso de Álgebra y Trigonometr Trigonometría ía

Apreciado(a) estudiante, este texto le servirá de apoyo para abordar de manera independiente los temas del curso de Álgebra y Trigonometría, será indispensable para el trabajo de aula y el desarrollo de los talleres propuestos. Se encontrará con los siguientes apartados tomados de diferentes libros: P

Temática

Unidad

Fundamentos de Matemáticas Gráficas y II Funciones Sistemas de III Ecuaciones Lineales I

IV Trigonometría

1, 2, 3 4 4 5

Fuente Bibliográfica *

Corresponde a las secciones 1.1 a la 1.6 del libro Precálculo  (6ª  (6ª Ed.) de James Stewart (pág. 1 - 72) Tomado de la sección 3.1 y 3.2 del libro Álgebra Intermedia de Allen R. Angel (pág. 143-173) Corresponde a las secciones 10.1 y 10.2 del libro Precálculo  (6ª  (6ª Ed.) de James Stewart (pág. 629 - 647) Capítulos 4, 5 y 6 del libro Precálculo  (5ª  (5ª Ed.) de Larson (solo algunas secciones de cada capítulo)

* Para la lectura digital digital del texto, en su versión PDF, PDF, cada parte (P) correspon corresponde de a las siguientes páginas: Parte I: 2-73, Parte II: 74-104, Parte III: 105-123, Parte IV: 124-238, Respuestas: 239-265. Mario Alejandro López Ocampo

| Departamento de Ciencias Básicas - Funlam

 

Página

  1 

 

1 Tomado de STEWART, J., & RETLIN, L., & WATSON, S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el Cálculo. Sexta edición. México: Cengage Learning.

         O          L          U          T           Í

   m  .    o  .     0    c     1    k     0    c    o     2    t    s    s    r    e    e    t    g    t    a    u    m     h     I     S    s    s    e    e    d     i    s    i    n    a    u    c    n     B    e    c    y    l    e    i     k    o    n    j    o    a     b     M    o     0    d     1    a     0    i    z     2     l       i    t     ©     U

         P          A          C

FUNDAMENTOS   1.1 Números reales   1.2 Exponentes y radicales   1.3 Expresiones algebraicas   1.4 Expresiones racionales   1.5 Ecuaciones   1.6 Modelado con ecuaciones   1.7 Desigualdades

En este primer capítulo repasamos los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. Veamos la forma en que todas estas ideas se usan en una situación real: suponga que a usted le pagan $9 por hora en su trabajo de tiempo parcial. Podemos modelar  su  su paga y por trabajar  x  horas  horas mediante la ecuación y  9 x . Para averiguar cuántas horas necesita trabajar para que le paguen 200 dólares, resolvemos la ecuación 200  9 x . Graficar la ecuación  y    9 x  en  en un plano coordenado nos ayuda a “ver” cómo aumenta la paga con las horas trabajadas.

  1.8 Geometría de coordenadas   1.9 Calculadoras graficadoras;

resolución gráfica de ecuaciones y desigualdades 1   .10 Rectas 1   .11 Modelos con el uso de

variaciones ENFOQUE SOBRE MODELADO   Ajuste lineal de datos

1

 

2

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

1.1

N ÚMEROS   REALES Propiedades de los números reales  Adición y sustracción  Multiplicación y división  La recta de números reales  Conjuntos e intervalos  Valor absoluto y distancia Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos números naturales:

con los Los diferentes tipos de números reales fueron inventados para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos para describir una deuda o temperaturas bajo cero, los números racionales para conceptos como “medio galón de leche,” y números irracionales para medir ciertas magnitudes, como la diagonal de un cuadrado.

 

1, 2,  3,  4, . . .

Los enteros constan de los números naturales junto con sus negativos y 0: . . . , 3,  2, 1, 0, 1, 2, 3,  4, . . . Construimos los números racionales al tomar razones de enteros. Entonces, cualquier número racional r  puede  puede expresarse como m r  n

donde m y n son enteros y n    0. Como ejemplos, tenemos 1 2

 

3 7

 

46 1

46

 

0.17

17 100

(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo que expresiones como 30 y 00  no están definidas.) También hay números reales, tales como 1 2, que no se pueden expresar como una razón entre enteros y por tanto se denominan números irracionales. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales:

 

 

1 3

3

1 5

 

 

1 2

p

3

p2 Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo . Cuando usamos la palabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La Figura 1 es un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro.

Números racionales

–21 , -–37 ,

46, 0.17, 0.6, 0.317

Números irracionales 3 3 œ3 , œ5 , œ2 , π , — π2

 

Enteros

Números naturales . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .

Un número decimal periódico como  x    

3.5474747. . .

es un número racional. Para convertirlo a una razón entre dos enteros, escribimos 1000  1 000 x   10 x  10

F I G U R A 1 El sistema de números reales

3547.47474747. . .   35.47474747. . .

990 x  3512.0 Por tanto,  x  3512 990 . La idea es multiplicar  x  por  por las potencias apropiadas de 10 y luego restar para eliminar la parte periódica.

Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces su correspondente decimal es periódico. 1 2 157

0.5000. . .

0.50

0.3171717. . .

0.317

495

2 3

0.66666. . .

9

1.28 1. 2857 5714 1428 2857 5714 14.. . .

0.6 1.28 1. 2857 5714 14

7

(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre). Si el número es irracional, la representación decimal no es periódica. 1 2

1.41 1. 4142 4213 1356 5623 2373 7309 095. 5. . .

 

p

3.141592653589793. . .

 

S E C C I Ó N 1 . 1 |   Números reales  3 Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar, obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo, podemos escribir π≈

3.14159265

donde el símbolo ≈ se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación.

 Propiedades

de los números reales

Todos sabemos que 2    3    3    2, y 5    7    7    5, y 513    87    87    513, etc. En álgebra, expresamos todos estos hechos (un infinito de ellos) si escribimos a    b  b    a

donde a y b son dos números cualquiera. En otras palabras, “a  b  b  a” es una forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de adición no importa”. Este hecho se conoce como Propiedad Conmutativa de la adición. De nuestra experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedades

Ejemplo

Conmutativas a b b a

7

ab

3 5

ba

Descripción

3

 #

3

7

Cuando sumamos dos números, el orden no importa.

5 3

Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa.

 #

Asociativas

1 a 1 ab ab 2 c

b 2   

c

a

  1 b

c 2 

a 1 bc bc 2 

1 2

4 2 

7

1 3 # 7 2  # # 5

2   1 4

3  1 7 5 2 

7 2 

Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de ellos sumamos primero. Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles dos de ellos multiplicamos primero.

 #  #

Distributivas a 1 b

1 b

c 2    ab ab c 2 a

ab

ac

2  1 3

 #

5 2 

ac

1 3

5 2  2

 # #

2 3

 # 2 # 3

2 5

 # 2 # 5

Cuando multiplicamos un número por una suma de dos números, obtenemos el mismo resultado si multiplicamos el número por cada uno de los términos y luego sumamos los resultados.

La Propiedad Distributiva aplica siempre que multiplicamos un número por una suma. La Figura 2 explica por qué funciona esta propiedad para el caso en el que todos los números sean enteros positivos, pero la propiedad es verdadera para cualesquier números reales a, b y c.

2(3+5)

La Propiedad Distributiva es de importancia crítica porque describe la forma en que la adición y la multiplicación interactúan una con otra.

2#3

2#5

F I G U R A 2 La Propiedad Distributi Distributiva va

 

4

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

EJEMPLO 1  (a)  2 1  x 

Uso de la Propiedad Distributiva

3 2 

2  x   x 

 

2 x 

b 2 1  x

y2

              •                

1 a (b)  1 

2 3

 #

Propiedad Distributiva

 #

6

Simplifique

1 a 1 ax

 

ax

b 2  x   x    1 a bx 2  bx

b 2  y  y

1 ay ay

Propiedad Distributiva

by 2 

Propiedad Distributiva

by

Propiedad Asociativa de la Adición

En el último paso eliminamos el paréntesis porque, de acuerdo con la Propiedad Asociativa, no importa el orden de la adición.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 Adición No suponga que –a es un número negativo. Que –a sea negativo o positivo depende del valor de a. Por ejemplo, si a  5, entonces a  5, un número negativo, pero si a  5, entonces a  (5)  5 (Propiedad 2), un número positivo.

11  



y sustracción

El número 0 es especial para la adición; recibe el nombre de identidad aditiva porque a   0  a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, a, que satisface a    (a)    0. La sustracción es la operación que deshace a la adición; para sustraer un número de otro, simplemente sumamos el negativo de ese número. Por definición a  b    a  (b)

Para combinar números reales con números negativos, usamos las siguientes propiedades.

PROPIEDADES DE NEGATIVOS Propiedad 1.

Ejemplo

1    1 2 a 1    a 2 

2.

1    1 2 5

a  

1    5 2 

a

3.

1    a 2 b

a 1    b 2

4.

1    a 2 1    b 2 

1 ab ab 2 

1    5 2 7

1 a

b 2 

6.

1 a

b 2    b

 

  5 5 1    7 2

1    4 2 1    3 2 

  ab

5.

5

a

b

 a

1 5 # 7 2 

  4  3

 #

1 3

5 2 

1 5

8 2    8

 

3

5 5

La Propiedad 6 expresa el hecho intuitivo de que a    b y b    a son negativos entre sí. La Propiedad 5 se usa a veces con más de dos términos: (a  b  c)  a  b   c

EJEMPLO 2 

Uso de las propiedades de los negativos

Sea  x ,  y y  z números reales. (a)

1  x 

2 2   

(b)

1  x

y

z 2 

x 

2

 

x  x

y   1  z y

z 2 

Propiedad 5: 5:

(a

b)

a

b

Propiedad 5: 5:

(a

b)

a

b

Propiedad 2: 2:

(   a)

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 

23  

a 

S E C C I Ó N 1 . 1 |   Números reales  5

 Multiplicación y división El número 1 es especial para la multiplicación; recibe el nombre de identidad multiplicativa porque a    1    a para cualquier número real a. Todo número real a diferente de cero tiene un recíproco, 1/ a, que satisface a  (1/ a)  1. La división es la operación que deshace la multiplicación; para dividir entre un número, multiplicamos por el recíproco de ese número. Si b   0, entonces, por definición, a

b

 # 1

a

b

Escribimos a   (1/ b) simplemente como a/ b. Nos referimos a a/ b como el cociente entre a  y b o como la fracción de a sobre b; a es el numerador y b es el denominador (o divisor). Para combinar números reales usando la operación de división, usamos las siguientes propiedades.

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES Propiedad a  c 1.

b

#

c

4.

# b

d 

b

a

b

a

c

c

a

c

b

d 

ac

a

bc

b

2

Si

a b

b

ad

bc bd 

3

7

3 5

2

7

2

5

5

5

2

3

2 7

5

7

2 5

14

Para dividir fracciones, multiplique por el recíproco

15

del divisor.

, ent entonc onces es

ad

bc

7

Para sumar fracciones con el mismo denominador, sume los numeradores.

9 5 3 5

 #

29

 #

35

35

3

2

6

3

9

Para sumar fracciones con denominadores diferentes, encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores.

Cancele números que sean factores comunes en numerador y denominador.

2

 # 3 # 5 d 

2 7

c

c

c

21

#

5.

6.

5

Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores.

10

 # 3 # 7

3 7

a   d 

Descripción 2 5

#

bd 

2.

3.

2 5

ac

d 

a

Ejemplo

, así que 2 9

3 6

 #

 #

Multiplicación cruzada.

Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos la Propiedad 4. En cambio, reescribimos las fracciones de modo que tengan el mínimo denominador común que sea posible (a veces menor que el producto de los denominadores), y luego usamos la Propiedad 3. Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se describe en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3  Evalúe:

Uso del MCD para sumar fracciones

5

7

36

120

SOLUCIÓN

La factorización de cada denominador en factores primos dará 36  22  32 

y

120   23  3    5

Encontramos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones, usando la máxima potencia de cada factor.

 

6

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos Entonces el MCD es 23    32   5  360. Entonces, 5   36

7

5 # 10

7#3

120

36 # 10

120 # 3

 

Use común denominador

50

21

71

360

360

360

Propiedad 3: Suma de fracciones con el mismo denominador

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

25  



 La recta real Los números reales pueden ser representados por puntos sobre una recta, como se muestra en la Figura 3. La dirección positiva (hacia la derecha) está indicada por una flecha. Escogemos un punto de referencia arbitrario O, llamado el origen, que corresponde al número real 0. Dada cualquier unidad de medida conveniente, cada número positivo  x  está  está representad representado o por el punto sobre la recta a una distancia de  x  unidades  unidades a la derecha del origen, y cada número negativo – x  está  está representado por el punto a x  unidades  unidades a la izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y la recta se llama recta coordenada, o  recta de los números reales, o simplemente recta real. A veces identificamos el punto con su coordenada y consideramo consideramoss que un número es un punto sobre la recta real.

_4.9 _4.7

_3.1725 _2.63

_5 _4 _4.85

_3

_ 161

_ œ ∑2 _2

_1

1 1 8 4 1 2

0

œ ∑2 1

œ ∑3 œ ∑5 2

4.2 4.4 4.9999

π 3

4 5 4.3 4.5

0.3∑

F I G U R A 3 La recta real

Los números reales son ordenados. Decimos que  a es menor que  b y escribimos a  b  si b    a es un número positivo. Geométricamente, esto significa que a está a la izquierda de b en la recta numérica, o bien, lo que es lo mismo, podemos decir que  b es mayor que  a y escribimos b  a. El símbolo a ≤ b (o b ≥ a) quiere decir que a  b o que a  b y se lee “a es menor o igual a b”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas (vea Figura 4): 7 7.4 7.5  3  2  2 2 p 1 2

_π _4

_3

7.4 7.5

œ ∑2 _2

_1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

FIGURA 4

 Conjuntos

e intervalos

Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto. Si S  es  es un conjunto, la notación a  ∈  S  significa   significa que a es un elemento de S , y b  ∉  S  quiere  quiere decir que b no es un elemento de S . Por ejemplo, si  Z  representa   representa el conjunto de enteros, entonces 3 ∈  Z   pero π ∉  Z   Z  pero  Z . Algunos conjuntos pueden describirse si se colocan sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto  A que está formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como  A  51, 2, 3, 4, 5, 66 

También podríamos escribir A en notación constructiva de conjuntos como  A    5 x  x 0  x  x  es  es un entero y 0   x    76

que  q ue se lee “ A es el conjunto de todas las x  tales  tales que x  es  es un entero y 0   x   x    7”. Si S   y T   son conjuntos, entonces su unión  S   ∪ T   es el conjunto formado por todos los elementos que están en S   o T  (o   (o en ambos). La intersección de S  y  y T  es   es el conjunto S   ∩  T  

 

8

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

No hay número mínimo ni número máximo en un intervalo abierto Cualquier intervalo contiene un número infinito de números; cualquier punto en la gráfica de un intervalo corresponde a un número real. En el intervalo cerrado 30, 14 , el número mínimo es 0 y el máximo es 1, pero el intervalo abierto (0, 1) no contiene número mínimo o máximo. Para ver esto, observe que 0.01 es cercano a cero, pero 0.001 más cercano, 0.0001 es todavía más cercano, y así su cesivamente. Siempre podemos hallar un número en el intervalo (0, 1) más cercano a cero que cualquier número dado. Como 0 no está en el intervalo, el intervalo no contiene un número mínimo. Del mismo modo, 0.99 es cercano a 1, pero 0.999 es más cercano y 0.9999 es todavía más cercano, y así sucesivamente. Como 1 no está en el intervalo, el intervalo no tiene número máximo.

EJEMPLO 6 

Hallar uniones e intersecciones de intervalos

Grafique cada conjunto.

(a) 1 1, 1, 3 2

3 2, 7 4

 

(b)   1 1, 1, 3 2

 

3 2, 7 4

 

 

SOLUCIÓN

(a)  La intersección de dos intervalos consta de los números que están en ambos intervalos. Por lo tanto,  

 

 1 1 1, 1, 3 2

3 2, 7 4

 x    

 

  x 

 

5 01   5 x  0 2  

  x 

3y2 76 36 3 2, 3 2 

  x 

 

Este conjunto está ilustrado en la Figura 7.

(b)  La unión de dos intervalos intervalos consta de los números que están en un intervalo intervalo o en el otro (o en ambos). Por lo tanto,  1 1 1, 1, 3 2

3 2, 7 4

 

5 x  0 1

  x 

3o2

  5 x  0 1

  x 

76

 

 

 

 

 

76

  x 

1, 7 4 1 1,  

Este conjunto está ilustrado en la Figura 8.

(1, 3) 0 1

(1, 3) 0 1

3

3

[2, 7] 0

0.01

0

0.1

[2, 7]

2

0

7

2 (1, 7]

[2, 3) 0 0 0.001

0.01

FIGURA 7

0

2 3

1 2 3 4 3 2  1,  3

2,  7

| _3 |=3 _3

7

1 2 3 4 1 4 1,  3

2,  7

1,  7

59  



0.001

 Valor

FIGURA 9

1

FIGURA 8

2,  3

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 0 0.0001

7

| 5 |=5 0

5

absoluto y distancia

El valor absoluto de un número a, denotado por 0  a 0, es la distancia de a a 0 en la recta de números reales (vea Figura 9). La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos 0  a  0  ≥  0 para todo número a. Recordando que a es positivo cuando a es negativo, tenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es

0  0 e

  a

si   a

0

a

si   a

0

 a  a

EJEMPLO 7  (a) 0 3  0 (b) 0

Evaluación de valores absolutos de números

3 3  0

0 (c) 0 0  0 (d)   0 3   p  0

1  3 2 

3

1 3   p 2    p

 

3

1 porque porque 3   p 

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 

65  

1   

3   p

0 2  

S E C C I Ó N 1 . 1 |   Números reales  9 Cuando trabajamos con valores absolutos, utilizamos las propiedades siguientes:

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Propiedad

Ejemplo

1.

0  0

2.

0  0 0  0

3.

0  0 0  0 0  0 0

4.

 a

0  0

0

 a

  ab

3

 

5

 a

b

 b

0

El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.

5

Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.

 0 0  0 0  0

2 5

 b

` `   00   00  a

3

0  0 0  0

  a

 a

Descripción

 #

2  5

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

` `   0 0   0 0 12

12

3

3

El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números 2 y 11? De la Figura 10 vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea 011 11   (2)0    13 o 0(2)    110  13. De esta observación hacemos la siguiente definición (vea Figura 11).

| b-a |

13 _2 0

a

11

FIGURA 10

b

F I G U R A 1 1 La longitud de un

segmento de recta es 0 b  a 0

DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b sobre la recta real es

1 2 0

d  a, b

 b

 0

a

De la Propiedad 6 de negativos se deduce que

0

 b  b

 0 0

a

 a  a

 0

b

Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma distancia de b  a a.

EJEMPLO 8 

La distancia entre los números

10 _8

FIGURA 12

Distancia entre puntos en la recta real

0

2

8

y 2 es

d  a, b 8 2 10 10 Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se ve en la Figura 12.

1 2 0  

 0 0  0

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

73  



 

S E C C I Ó N 1 . 1 |   Números reales  11 43-44

  Encuentre el conjunto indicado si

75-76   Exprese cada decimal periódico como una fracción. (Vea la nota al margen en la página 2.)



 5 0

 A

2

 x   x   x   

 

C 

 5 0  x   x   

6

 B

4

 x   x   x   

1   x 

 

 5 0 6

 

6

5

43. (a)   B

C 

(b)   B

C 

44. (a)   A

C 

(b)   A

B

45-50   Exprese el intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo. 45.

1 2  3 2  3  2 2  3, 0

 

47. 2, 8

 

49. 2, q  

1 2

6,

48.

 

 

50.

  q

(b) 0.28

(c) 0.57

76. (a) 5.23

(b) 1.37

(c) 2.135

APL ICACIONES 77.  Área de un jardín   El jardín de legumbres de Mary mide 77.  20 pies por 30 pies, de modo que su área es de 20   30   600 pies2. Ella decide agrandarlo, como se ve en la figura, para que el área aumente a A 󰀽 20(30   x   x ). ). ¿Cuál propiedad de los números reales nos dice que la nueva área también se puede escribir como A  600  20 x ?

1 4 3 4 1 2 

46. 2, 8

 

75. (a) 0.7

,1  

51-56   Exprese la desigualdad en notación de intervalos y, a continuación, grafique el intervalo correspondiente. 1

51.   x 

52. 1

2

53.

1

 x 

1

55.   x 

2

 x 

5

54.   x  5

56.

x

30 pies

20 pies

2

 x 

57–58     Exprese cada conjunto en notación de intervalos. 57–58 57. (a)

_3

(b)

−

0 0

3

5 5

58. (a)

0

(b) −

59-64 59. 61. 63.

1 3 1

65-70

 

4, 6  

  q

,

2 1 2  4 3 2  2  1  2 2  1, 1

0, 8

4, q

2, 0  

4, 6  

  q

2 1 2  2 3 2  4 1 2  1, 1  

0, 8  

,6  

2, 10  

65

  Evalúe cada expresión. 100

00  0  0  @ 0  0 0  0 @  @   0  0 @ 0 1 2   0 ` `  

69. (a) 70. (a)

(b) (b)

5

6

(b)

4

68. (a) 2

12

 #

2

(b)

6

(b)

6

(b)

24

73

00  0  0 0  0   @   0  0 @ 0 A B1 2 0 ` `

Dom

Lun

1 1

1

1

1   3

1

 L

15

 

7

12

12

7

0

1

2

3

_3 _2 _1

0

1

2

3

74. (a)

7 15

y

1 21

(b)

3 y 21

(b)

38 y

57

(c)

11 8

y

Vier

Sáb

1

2  x  x

y

2 

108

(b)   ¿Cuál es la máxima longitud aceptable para un paquete que (b) tiene una base cuadrada que mide 9 pulgadas por 9 pulgadas?

 L

(c)

Jue

(a)  ¿La oficina de correos aceptará un paquete de 6 pulgadas (a)  de ancho, 8 pulgadas de profundidad y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mida 2 pies por 2 pies por 4 pies?

  Encuentre la distancia entre los números dados.

_3 _2 _1

Mar Miérc Día

79.   Envío de un paquete por correo   La oficina de correos 79. sólo aceptará paquetes para los cuales la longitud más la circunferencia no sea de más de 108 pulgadas. Así, para el paquete de la figura, debemos tener

10   p



73. (a) 2 y 17

 

64.

 

1 3 1

            *



67. (a)

72.

62.

 

4

 

60.

 

Omak, WA Geneseo, NY

   ) 80   a   r    F   u   (    t   a   a   r    i   r 75   e   i   a   p   d   m  a   e   t 70    T   l   a

  Grafique el conjunto.

2, 0

0

0

2

66. (a)   1 5

71.

0

2



65. (a)

71-74

78.  Variación de temperatura   La gráfica de barras muestra 78.  las altas temperaturas diarias para Omak, Washington, y Geneseo, Nueva York, York, durante cierta c ierta semana en junio. Represente con T O la temperatura en Omak y T G la temperatura en Geneseo. Calcule T O  T G y  T   T O  T G   para  para cada día que se muestra. ¿Cuál de estos dos valores da más información?

3 10

y

 

2.6 y

x

1.8

6 pulg. 8 pulg.

5 pies=60 pulg.

12

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

DESCUBRIMIENTO   DISCUSIÓN  REDACCIÓN 



80.  Signos de números  Sean a, b y c números reales tales que 80.  a  0, b  0 y c  0. Encuentre el signo de cada expresión. (a)   a (d)   a

(b)   b b

(g)   ab

(e)   c

(c)   bc a

(f))   a (f

(h)   abc

ac

(i)   ab

84.   Números irracionales y geometría   Usando la si84. guiente figura, explique cómo localizar el punto 1 2 en una recta numérica. ¿Puede localizar 1 5 por medio de un método similar? ¿Qué puede decir de 1 6? Haga una lista de otros números irracionales que puedan hallarse de este modo.

bc 2

81.   Sumas y productos de números racionales e irra81. cionales  Explique por qué la suma, la diferencia y el producto de dos números irracionales son números racionales. ¿El producto de dos números irracionales necesariamente es irracional? ¿Qué se puede decir de la suma? 82.  Combinación de números racionales con números 82.  irracionales  ¿12   1 2 es racional o irracional? ¿ 12 1 2 es racional o irracional? En general, ¿qué se puede decir acerca de la suma de un número racional y un número irracional? ¿Qué se puede decir del producto?

 #

83.  Limitación del comportamiento de recíprocos   83.  Complete las tablas siguientes. ¿Qué ocurre al tamaño de la fracción 1/    cuando x  crece?   crece? ¿Y cuando  x  disminuye?  disminuye?  x  cuando

 x

1 2 10 100 1000

1.2

 

1 / x

 

 x

Ϸ2 _1

1

0

1

2

85.  Operaciones conmutativa y no conmutativa   He85.  mos visto que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas. (a)   ¿La sustracción (a) sustracción es conmutativa? (b)   ¿La división de números reales diferentes de cero es con(b) mutativa?

1 / x

1.0 0.5 0.1 0.01 0.001

E XPONENTES  Y   RADICALES Exponentes enteros (negativos y positivos)  Reglas para trabajar con exponentes  Notación científica  Radicales  Exponentes racionales   Racionalización del denominador m n

En esta sección damos significado a expresiones como a /   en las que el exponente m/ n es un número racional. Para hacer esto, necesitamos recordar algunos datos acerca de exponentes enteros, radicales y raíces n.

 Exponentes

enteros (negativos y positivos)

Normalmente, un producto de números idénticos se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, 5    5  5 se escribe como 53. En general, tenemos la siguiente definición.

NOTACIÓN EXPONENCIAL Si a es cualquier número real y cia de a es

n

es un entero positivo, entonces la  n-ésima poten-

a

n

 #  # . . . #

a

a

a

1442443

n

factores

El número a se denomina base, y n se denomina exponente.

 

S E C C I Ó N 1 . 2 |   Exponentes y radicales   13 EJEMPLO 1  Observe la distinción entre (3)4 y 34. En (3)4 el exponente se aplica al 3, pero en 34  el exponente se aplica sólo al 3.

(b) (c)

A B A BA BA BA BA B 1 2  1 2  # # 1 2  # # 1 2  # # 1 2  1  #  #  # 2  1 5 2

(a)

Notación exponencial

3

1 2

1 2

1 2

4

1 2

1 2

3

34

1 32

3

3

3 3 3 3

3

81

81

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

15  



Podemos expresar varias reglas útiles para trabajar con notación exponencial. Para descubrir la regla para multiplicación, multiplicamos 54 por 52:

1

54 52

2 1 # 2 

5 5 5 5 5 5

#

# # #

         

56

5 5 5 5 5 5

# # # # #

 

54

2

    

4 factores 2 factores

6 factores

Es evidente que para multiplicar dos potencias potencias de la misma base, sumamos sumamos sus exponen exponentes. tes.  En general, para cualquier número real a y cualesquier enteros positivos m y n, tenemos m

a

1

n

a

a

# #...# a

21

a

a

# #...# a

2 

a

 

        

m

factores

 

n

factores

a

# # #...# a

a

a

m

a

n

    

 

m

factores

n

Entonces aman  amn. Nos gustaría que esta regla fuera verdadera aun cuando m y n fueran 0 o enteros negativos. Por ejemplo, debemos tener 20   23    203    23 Pero esto puede ocurrir sólo si 2 0  1. Igualmente, deseamos tener 54 5

#

4

54

  1 2  4

54

4

50

1

y esto será cierto si 5 4   1/ 54. Estas observaciones llevan a la siguiente definición.

EXPONENTES CERO Y NEGATIVOS Si a  0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces a

0

a

1

EJEMPLO 2  (a)

AB

4 0 7

(b)  x  (c)

1 a

n

Exponentes cero y negativos

1 1

1

1

 x 

1  x 

  1 2  1 2  2

y

n

3

1

2

3

1

1  

8

8

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 Reglas para

17  



trabajar con exponentes

La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.

 

14

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

L E Y E S DE E XPO N E N T E S Ley

Ejemplo

1.   a a m

a

a

4.

n

 

a

1 2  1 2  a

m n

ab

n

ab a

5.

m

n

b

 n

32 35

32

35

2

#

m

2.

3.

a

n

m

n

35

32 a

mn

n

a b

a

n

b

n

1 2  1  # 2  32

n

Descripción

5

3 4

ab 3 4

2

2

5

37

Para multiplicar dos potencias del mismo número, sume los exponentes.

33

32 5

Para dividir dos potencias del mismo número, reste los exponentes.

310

#

Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los exponentes. Para elevar un producto a una potencia, eleve cada uno de los factores a la potencia.

32 42

#

32

Para elevar un cociente a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia.

2

4

DEMOSTRACIÓN DE LA LEY 3

1 2  1 1 a

m

Si m y n son enteros positivos, tenemos

2  21

# #...#a

a a

n

n



factores

m

2  1

# #...#a a#a#...#a

a a

     

factores

m

...

    

 

m

2 

# #...#a

a a

   

factores

 

m

factores



n

# #...#a

a a

grupos de factores mn

a



mn

factores

Los casos para los que m ≤ 0 o de exponentes negativ negativos. os.

n 

≤  0 se pueden demostrar usando para ello la definición 

DEMOSTRACIÓN DE LA LEY 4

Si n es un entero positivo, tenemos

1 2  1 2 1 2  1 2 1 ab ab

ab ab ab ab

n

...

ab ab



n

21



factores

 

2 

# #...#a # b#b#...#b

a a n

factores

  a b n

n



 

n

factores

Aquí hemos empleado repetidamente las Propiedades Conmutativ Conmutativaa y Asociativa. Si n ≤ 0, la Ley 4 se puede demostrar usando para ello la definición de exponentes negativos.



En el Ejercicio 94 nos piden demostrar las Leyes 2 y 5.

EJEMPLO 3 

Uso de las Leyes de Exponentes

(a)   x 4 x 7

 x 11

(b)  y 4 y (c)

c9 c

5

(f )

7

  c9

1 2  1 2  ab

(d) b 4 (e)

 x 4

5

 y 4 5

#

33 x 3 5

7

 y

 x 5 25

Ley 1:   a a

a

n

Ley 1:   a a

a

n

m

3

c4

b4 5

3 x  3  x  2

7

1  y 3

m

Ley 2:

b 20

27 x 3  x 5 32

n

m

n

m

am   an

m

Ley Le y 3: (a )

n

a

Ley Le y 4: (ab)

n

ab

m

Ley 5:

 a b

 a b

mn

n

 n

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

 

n

a

n

an bn 35 , 37  Y 39  



S E C C I Ó N 1 . 2 |   Exponentes y radicales   15

EJEMPLO 4 

Simplificación de expresiones con exponentes

Simplifique (a)

1 2 1 2  2a

3

b

2

3ab

4 3

(b)

 y 2 x 

  a  b a z   b  x   y

 3

 4

SOLUCIÓN

1 2 1 2  1 2 3 1 2 4

(a)   2a 3b 2 3ab 4

3

2a 3b 2 33a 3 b 4

2a 3b 2 27a 3b 12

 

1 2 1 2 1 a  b a b 1 2  3

 x   y

 y 2 x 

n

m

2 

  54a 6b 14

Ley Le y 4: 4: (ab) Ley Le y 3: 3: (a )

2 27 a 3a 3b 2b 12

 

(b)  

3

n

Ley 1:   a a m

n

Leyes 5 y 4

 

 x 3  y 8 x 4    y 3 z 4

Ley 3

 

1 2 a  b

z

  x  x 3 x 4

 y 8  y

3

1 z

n

n

mn

a

Agrupe factores de la misma base

2 4 4  x 3   yy  x    4  y 3 z

4

ab

a

m

n

Agrupe factores de la misma base

4

 x 7 y 5   4

Leyes 1 y 2

z

43

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS



47

 Y

Cuando simplifique una expresión, encontrará que muchos métodos diferentes llevarán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes para llegar a su propio método. A continuación damos dos leyes adicionales que son útiles en la simplificación de expresiones con exponentes negativos.

L E Y E S DE E XPO N E N T E S Ley

Ejemplo

ab a

6.

a  b a b

  n

b

7.

  n

b

  m

3

a

b

a

 n

b

m

a

n

Descripción

ab

2

4

4

3 4

2

Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente.

3

2

45

5

2

Para pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambie el signo del exponente.

3

DEMOSTRACIÓN DE LA LEY 7

Usando la definición de exponentes negativos y luego la Propiedad 2 de fracciones (página 5), tenemos a n b m

 

1 / a n

1  b m

bm

1 / b m

#

an  

an

1

En el Ejercicio 94 nos piden demostrar la Ley 6.

EJEMPLO 5 

Simplificación de expresiones con exponentes

negativos Elimine exponentes negativos y simplifique cada expresión. (a)

 

6st  2s

4

2 2

t 

(b)

 a z  b  y

3

3

2



16

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

LAS MATEMÁTICAS E N EL MUNDO MODERNO Aun cuando no observamos su presencia, las matemáticas permean casi todos los aspectos de la vida en el mundo moderno. Con el advenimiento de la moderna tecnología, las matemáticas desempeñan una función cada vez más grande en nuestras vidas. Hoy en día es probable que alguien sea despertado por un reloj de alarma digital, hizo una llamada telefónica con transmisión digital, envió un mensaje de e-mail en la Internet, manejó un auto con inyección controlada digitalmente, escuchó música en un reproductor de CD o MP3, quizá vio televisión digital o un DVD, luego durmió en una habitación cuya temperatura estaba controlada por un termostato digital. En cada una de estas actividades, las matemáticas intervienen en forma decisiva. En general, una propiedad, como por ejemplo la intensidad o frecuencia del sonido, el nivel de oxígeno en la emisión del escape de un auto, los colores en una imagen, o la temperatura de una habitación, son transformados en sucesiones de números por refinados algoritmos matemáticos. Estos datos numéricos, que suelen estar formados por muchos millones de bits (los dígitos 0 y 1), son transmitidos y reinterpretados. Trabajar Trabajar con e stas cantidades enormes de datos no fue posible sino hasta la invención de computadoras, máquinas cuyos procesos lógicos fueron inventados por matemáticos. Las aportaciones de las matemáticas en el mundo moderno no están limitadas a avances tecnológicos. Los procesos lógicos de las matemáticas se emplean ahora para analizar complejos problemas en ciencias sociales, políticas y biológicas en formas nuevas y sorprendentes. Los avances en matemáticas continúan y, algunos de los más emocionantes, se dieron tan sólo en la década pasada. En otro libro, llamado Mathematics in the Modern World , describiremos con más detalle el modo en que las matemáticas influyen en nuestras actividades diarias.

SOLUCIÓN (a)  Usamos la Ley 7, que nos permite pasar un número número elevado a una potencia del numerador al denominador (o viceversa) cambiando el signo del exponente.  t    4 pasa al denominador y se convierte en  t 4

6st  4   2 2 2s t 

6ss 2 2t 2t 4

s    2 pasa al numerador y se convierte en   s2

 

3s 3 t 6

Ley 7

Ley 1

(b)  Usamos la Ley 6, que nos permite cambiar el signo del exponente de una fracción al invertirr la fracción. inverti

a z  b  y

 

2

3z 3  y

a  b

3

3

 

2

Ley 6

9z 6

Leyes 5 y 4

 y 2

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO



49

 Notación científica Los científicos usan notación exponencial como una forma compacta de escribir números muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana además del Sol, Proxima Centauri, está aproximadamente a 40,000,000,000,000 de km de distancia. La masa del átomo de hidrógeno es alrededor de 0.00000000000000000000000166 g. Estos números son difíciles de leer y escribir, de modo que los científicos por lo general los expresan en notación científica.

NOTACIÓN CIENTÍFICA Se dice que un número positivo  x  está  está escrito en notación científica si está expresado como sigue:  x

a

10

n

 

donde 1

 

a

10 y   n es un entero

Por ejemplo, cuando decimos que la distancia a la estrella Proxima Centauri es 4   1013  km, el exponente positivo 13 indica que el punto decimal debe recorrerse 13 lugares a la derecha: 4

1013

40,000,000,000,000

Mueva el punto decimal 13 lugares a la derecha

Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66   1024 g, el exponente 24 indica que el punto decimal debe moverse 24 lugares a la izquierda: 1.66

10

24

0.00000000000000000000000166

Mueva el punto decimal 24 lugares a la izquierda

 

S E C C I Ó N 1 . 2 |   Exponentes y radicales   17

EJEMPLO 6 

Cambio de notación decimal a científica

En notación científica, escriba cada uno de los números siguientes. (a)  56,920

(b) 0.000093

SOLUCIÓN (a) 56,920

104

5.692

(b) 0.000093



4 lugares

5 lugares

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

Para usar notación científica en una calculadora, presione la tecla marcada EE  o EXP o EEX  para ingresar el exponente. Por ejemplo, para ingresar el número 3.629  1015 en una calculadora TI-83, ingresamos 3.629 2ND

EE

15

10   5

9.3

 

77  Y 79



Con frecuencia se usa notación científica en una calculadora para ver un número muy grande o uno muy pequeño. Por ejemplo, si usamos calculadora para elevar al cuadrado el número 1,111,111, la pantalla puede exhibir (dependiendo del modelo de calculadora) la aproximación 1.234568 12

  1.23468

o

E12

Aquí los dígitos finales indican la potencia de 10 e interpretamos el resultado como

y en la pantalla se lee

1.234568   1012

3.629E15

EJEMPLO 7  Si a 0.00046, b el cociente ab/ c.

Cálculo con notación científica 22   18 1.697

10 , y c

2.91

10

, use calculadora para aproximar

Podríamos ingresar los datos usando notación científica, o bien, podríaSOLUCIÓN mos usar leyes de exponentes como sigue: 10

4

 

4.6 1.697 2.91

2.7 2.

1022

1.697

2.91

 

En el Apéndice Cálculo de cifras significativas vea guías para trabajar con cifras significativas.

1 21 1 2 1 2  4.6

ab   c

18

10 10

2 

4 22 18

1036

Expresamos la respuesta redondeada a dos cifras significativas porque el menos preciso de los números dados se expresa a dos cifras significativas.

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

83  Y 85



 Radicales Sabemos lo que 2  significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24/ 5, cuyo exponente es un número racional, necesitamos necesitamos estudiar radicales. El símbolo 1   significa “la raíz positiva de”. Entonces  n

Es cierto que el número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y 3, pero la notación 1 9 está reservada para la raíz cuadrada  positiva de 9 (a veces llamada raíz cuadrada principal de 9). Si deseamos tener la raíz negativa, debemos escribir 1 9, que es 3.

 

18

C A P Í T U L O 1 | Fundamentos

1  a

significa que

b

  b

2

y

a

 

0

b

Como a  b2  ≥ 0, el símbolo 1 a tiene sentido sólo cuando a  ≥  0. Por ejemplo, 1 9

 

3

porque

 

32

 

9

y

 

3

0

C A P Í T U L O 1   Fundamentos

Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n. La raíz n de  x  es  es el número que, cuando se eleva a la n potencia, dará  x . DEFINICIÓN DE UNA RAÍZ  n Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz  n principal de a se define como sigue: n significa que b n a b a

1 

Si n es par, debemos tener a 

 

 

0 y b 

0.

Por lo tanto,

 

4

1 81

3

3

1  8

  porque  

 

2

 

34

porque

81

y

1  2 2 3

 

3

0

8

4 6 Pero 1    8, 1  8 y   1  8 no están definidas. (Por ejemplo, 1  8 no está definida porque el cuadrado de todo número real es no negativo.) Nótese que

16 4  pero  16 4   0 4  0 2 42 1 16 2 1 1  4 2 2 1 16 Entonces la ecuación 2 a 2 a no siempre es verdadera; lo es sólo cuando a ≥ 0. No obstante, siempre podemos escribir 2 a 2 0  a  0 . Esta última ecuación es verdadera no sólo

para raíces cuadradas, sino para par. ÉstaEny cada otras propiedad reglas empleadas para que trabajar con raíces en elcualquier recuadroraíz siguiente. suponemos n  se citan existen todas las raíces dadas. PROPIEDADES DE RAÍCES  n Propiedad 1.

2.

3.

2    2  2  2  B  2  3 1   3  n

5.

n

ab

n

n a

n

b

m

n

n

4.

a

2  n

3

1   # B  31  3

b

a b

4

mn

16

3

a

  1  1  1  1    1  3

8 27

81

_

a

8

4

16

2

4

81

3

6

729

a

si n es impar

0   a  0

si n es par

6

3

5,

  2 

1  3 2 4

0

 

3  0

25

2 

2

3

Simplificación de expresiones con raíces n

3 2   x 3 x 

Factorice el cubo más grande

  2  x 3 2   x 

Propiedad 1:

3 3 3 1  ab   1 a 1 b

  x  x 2   x 

Propiedad 4:

3 2  a3

3

3

3

4 2  81 x 8 y 4

27   1  2 2 1 3 2 

5

1  5 2 3

4

3

729

3

n

an

(a)  2  x 4

n

a

EJEMPLO 8 

(b)

Ejemplo

4 4 4 2  81 2  x 8 2  y 4

 3 2 1  x 2 2 4 0  y  0 4

  3 x 2 0  y  0

a

Propiedad 1:

4 4 4 4 2  abc   2 a 2 b 2 c

Propiedad 5:

4 a4 2 

Propiedad 5:   2 a 4

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

4

55  Y 57  

0  a  0 0  a  0 , 0  x 2 0   x 2 

 

20

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

DIOFANTO Vivió en Alejandría hacia el año 250 d.C. Su libro  Arithmetica es considerado el primer libro de álgebra donde da métodos para hallar soluciones enteras de ecuaciones algebraicas.  Arithmetica fue leído y estudiado durante más de mil años. Fermat (vea página 99) hizo algunos de sus más importantes descubrimientos cuando estudiaba este libro. La mayor aportación de Diofanto es el uso de símbolos para representar las incógnitas en un problema. Aun cuando su simbolismo no es tan sencillo como el que usamos ahora, fue un avance considerable para escribir todo en palabras. En la notación de Diofanto, la ecuación 5

 x 

2

7 x 

EJEMPLO 11  (a) a 1/ 3a 7/ 3 (b) (c)

a 8/ 3

a 2/ 5a 7/ 5 a

Ley 1:   a a m

a 2/ 5

 

3/ 5

1 2 

7/ 5

3/ 5

23/ 2 a 3

3/ 2

    c  

(d)  

 y

1/ 3

23  x   x 3/ 4

  y4

3

 x 

1/ 2

 y  y

Nuestra moderna notación algebraica no entró en uso común sino hasta el siglo XVII.

3

  yy 4 x 1/ 2

1/ 3 3

2 

EJEMPLO 12 

a mn

Ley 3

8 x 11/ 4 y 3

Leyes 1 y 2

1 2 1 2 1 2 1 2  3  2    1 2  1 2    6 x 1 /2

  xx  xx 1 /2

 

a nb ncn

8 x 9/ 4 4 1/ 2  y  x   y

2 x 1 /2 3 x 1 /3

1 

(b)    x   x 

n

61 , 63 , 67  Y 69



Simplificación al escribir radicales como exponentes racionales

(a)   2  x  3 3 x 

1 

n

  am

Leyes Ley es 5, 5, 4 y 7

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

s

an

n

1 2 

#

24

° ´i kd z M 

© 

Ley 3: a m

1 2  a  b a  b 1 1 2 2  # 1 2 x 3/ 4

am

n

Ley 4: abc

2 1 2a 9/ 2b 6

 

m

1 2 

3/ 2

1 2  1 2 

se escribe K© å   h

b4

a

n

Ley 1, Ley 2:

1 2 3a 3 3/ 2 b 4 3/ 2

 

  8 x    5

a 6/ 5

1 2  1 2 

3/ 2

2a 3b 4

Uso de las leyes de exponentes con exponentes racionales

  x  x 3 /2

1 /3

Definición de exponentes racionales

6 x 5 /6

Ley 1

1 /2

Definición de exponentes racionales

1 /2

Ley 1

  x  x 3 /4

Ley 3

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

71  Y 75



 Racionalización del denominador A veces es útil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma a, multiplicamos numerador y denominador por 1 a. Al hacer esto multiplicamos por 1  1 la cantidad dada, de modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo, 1

1

1 a

1 a

1

#1

# 1 a

1 a

1 a 1 a

a

Nótese que el denominador de la última fracción no contiene radical. En general, si el denominador es de la forma 2 a m con   m n, entonces multiplicar el numerador y denominador por 2 a n m racionalizará el denominador, porque (para a    0) n

n

2 am 2 an n

EJEMPLO 13 

n

m

2 am n

n m

2 an n

a

Racionalización de denominadores Esto es igual a 1

(a)

2 1 3

2

#   1 3

1 3 1 3

2 1 3 3

 

S E C C I Ó N 1 . 2 |   Exponentes y radicales   21

1  1  1  2  2  1  2  2  2  2  B  2  2  2  2  1

(b)

3

3

 x 2

1

7

(c)

1

 x 2

3

 

7

3

 x 

a2

3

 x 

3

1

a2

3

 x 

1

7

a2

 

 x   x 

 x 3 7

a5

7

a5

7

a5

7

a7

7

a5 a

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

89  Y 91



1.2 EJERCICIOS

CONCEPTOS

Expresión radical

Expresión exponencial

  1. (a) Usando notación exponencial, podemos escribir el producto

13.

5  5  5  5  5 como ______.

 

(b)  En la expresión 34, el número 3 se denomina______,

 

a2 /5

 

2  1

14.

  x  x 5

y el número 4 se llama______.

  2. (a) Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base,  

______ los exponentes. Por tanto, 34  35  ______.

 

(b) Cuando dividimos dos potencias con la misma base, 35 ______ los exponentes. Por tanto, 2   ______. 3

15-24

  Evalúe cada expresión.



32

15. (a)

16. (a) 54 5

5 

2 

(b)  Usando radicales, podemos escribir 51/ 2 como ______.

 

(c) ¿Hay diferencia entre

52 y

5 2? Explique.

  4. Explique qué significa 43/ 2 y, a continuación, calcule 43/ 2 en dos formas diferentes:

1 2  1/2

o

4

5 0 1 3 2

  1 2 

17. (a)

AA B B 2 3

18. (a)

20. (a)

4

22. (a)

1  1  1

3

1

3

1  3

:

64 64

(b)

4 9

(b) (b)

28 28

1 /2

(b) 0.1

24. (a) 1024

(b)

# 25-28 25.

5.

#

10

4

2

3

3 2

2

3

3

1 2  A  B 32

27 2 /3 8

 y 2

12 2  1 2  

29.

32 32

8.

3

35-40

72 42 /3

5

96

16 x  16

2 

11

 

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

(c)

32

6

1 64

4

24

 A B 25 64

4

54

3 /2

 x 3

12 2  4

28.  xy  xy

18 18

30.

3

32.

  x  x 5

34.

14 y

2z

2 z

1    1  1    1  2  2  75 75

4

3

48

2 y 4

48 48

4

3

3

 y

  Simplifique cada expresión.

1 2 1 2 

(b) 3 y 2 4 y 5

(c)  x 2 x 

36. (a)  x  5 x 3

(b) „ 2„ 4„6

(c) z5z 3z

 y 10 y 0

 x 6

37. (a)

 y 7

(b)  x 10

38. (a)

z2z4 z3z 1

(b) 2 y 2

5

2   1.5

322 /5

5

35. (a)  x 8 x 2

3

12.

(c)

a 9a

(c)

1 2  3

(c)

2

1 16



  3 /2

5

z

2 /3

1    1  1    1  2    2   

5

9. 10. 11.

2 y

2 /3

26.

7-14   Escriba cada expresión expresión radical usando exponentes, exponentes, y cada expresión exponencial usando radicales.

1  2 

(c)

4

  Evalúe la expresión usando  x   3,  y  4 y  z  1.

  Simplifique la expresión.

1

2 /5

5 2

2  1  2  1  1 

(c)

48 48



7.

1 4 2

(c)

64

2

AA B2  # A 2 

(c)

256

29-34

33.

1 4

(c)

16

HABIL IDADES

Expresión exponencial

9 16

2

3



 x 2

5

#

2

3

3

(c)

1  1  1  1  1  4

1 4 3

(c)

AB 4

A B 1 2 

(c)

107

27. 9 x 

31.

2

3

2 /3

Expresión radical

22

(b)

AB

23. (a)

  6.  Encuentre la potencia faltante en el siguiente cálculo: 51/3 5

(b)

16 16

7

  5.  Explique cómo racionalizar un denominador y luego 1

3

4 9

21. (a)

1 2 

(b) 30

1  1  2  1  1 

19. (a)

3

complete los siguientes pasos para racionalizar

(b)

 

 

2   1 1  2 

2

#

3

  3. (a) Usando notación exponencial, podemos escribir como ______.

(b)

6

2

a

 1 2  8 x  2

4

1 2  1 z 2  z

39. (a) a 2a 4 40. (a) 2

3

2

(b)

5 10

a b 1 2   a2

3

4

(b) 2a 3a 2

1 2 1 z 2    a  b

(c) 3z

4

(c)

2

2

6

3 x 4

3

41-52   Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente(s) negativo(s).

1 2 1 2  1 2 1 2  11 22 11 2  2 

41. (a) 4 x 2 y 4 2 x 5 y

42. (a) b 4 3ab 3 2a 2b 43. (a) 5 x 2 y 3 3 x 2 y 5 2 2 2

2

44. (a) s t 

s t 

5

4

3

6 y z

(b)

2 yz

2 x  y  x  y

a b a  b a z  b a z   b 2

47. (a) 48. (a) 49. (a)

5

 a

 a b

b

c

 x 4

 xy  xy

3

4 y 5

8a 3b 2a b

(b)

2

(b)

3

a  b a b  1

3a

52. (a)

2

(b)

5 5

b

(b)

4

 x  1 y

51. (a)

3

3

2 x 3 y 2

2

5 xy

50. (a)

3 2

3

 s 2t 

(b)

4

1

5s

t 

2

2 3 4

(b)

5 3

2a 3b 2

(b) 2u

3 4

46. (a)

1 7 4 s t 

2

2 3 3

(b)

2

1 3 4 2a

(b) 2s 3t 

3

45. (a)

1 2A z B 1 2 A B 1 2  11 √ 2 2 1 1 √ 2 2  1 z 2  1 z 2  1 √ „ 2  √„ 1 √ 2  1 √ 2  1 2  1 2  a  b a  b a  b a zz  b

(b) 8a 2z

(b)

  x  x 2 y 2

3

3u

55. 57. 59.

2  2  2  4 2  4

 x 4

54.

16 x 8

56.

4

6

6 7

58.

64a b

3

 

64 x 6

60.

 a1 /6b

70. (a)

u u

3

3

r  3s 2

3

5 x 

2

2a

1

3

b

a 2b

3

1

1

2

r  s 5

2

3

 x 2 y 3

4

2  2  2  2  z 2  5

 x 10

3

 x 3 y 6

3

2

4

3

 x  2b

1

(b)

a 3 /2 y 1 /3

3

a b

 x 4 y 2

a

4 y 3z2 /3

2

 x  3 y 6

b a z  b 1 2  a b 1 2   x 1 /2

8

9st  3 /2

27s 3t 

3s

4 2 /3

1 /3

4

2

1

4t 1 /3

77-78

  Escriba cada número en notación científica.

3

73. (a)

5

74. (a)

b3

b

(b) 2

4st 3

6

s 3t 2

(b) (b)

4

5  x  2  x  3

a

4

 x 7

4

 x 3

3

10

 x 3 y 2  x 4 y 16

3

75. (a)

3

(b)

4

72. (a)

2  2  11 2  2 1 2  2 2  2  2  2  2  √ B  √ B 

 y 5  y 2

a2

8 x 2  x   x 

 y

 y  y

(b)

s

s3

(b)

16u 3 u

3

5

54 x 2 y 4 2 x 5 y



77. (a) 69,300,000 (c) 0.000028536

(b) 7,200,000,000,000 (d) 0.0001213

78. (a) 129,540,000

(b) 7,259,000,000

1

(c) 0.0000000014

(d) 0.0007029

8

r  sq

 xy

3

2

 y

 q

3

(b)

76. (a)

6

2 3

rs 2

 y

1 /6

2  2  2  2  2  2  2  2  3 2  3 2 

71. (a)

3 2

1 2 2

2

71-76   Simplifique la expresión y elimine cualesquier exponente(s) negativo(s). Suponga que todas las letras denotan números positivos.

2

2

 x 

 x  1 y

3

3

53-60   Simplifique la expresión. Suponga que las letras denotan cualesquier números reales. 53.

 y 1 /2

3

3

2

16t 4

5a 2b 5

 x 

2

4 x 2

2 /3

a b a  b a ba b

69. (a)

79-80

  Escriba cada número en notación decimal.



79. (a) 3.19

105 10   8

(c) 2.670

1014

80. (a) 7.1 (c) 8.55

(b) 2.721

108

(d) 9.999

10   9

(b) 6

10   3

1012

(d) 6.257

10   10

81-82   Escriba en notación científica el número indicado en cada enunciado.

4

64a b

81. (a) Un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es alrededor de 5,900,000,000,000 millas.

2

61-70   Simplifique la expresión y elimine cualesquier exponente(s) negativo(s). negativ o(s). Suponga que todas las letras denotan números positivos.

 

(b) El diámetro de un electrón alrededor de 0.0000000000004 centímetros.

61. (a)  x 3 /4 x 5 /4

 

(c) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas.

(b)  y 2 /3 y 4 /3

1 2  1 2  1 /2

62. (a) 4b

8b

1 /4

4 /3 2 /3

63. (a)

„ „ „1 /3

(b)

1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  a b  2 /3

64. (a) 8 y 3

65. (a) 8a 6b 3 /2

2 /3

66. (a)  x   x  5 y 1 /3 67. (a)

8s 3t 3

s 4t 

 x  y

16 y

4 /3

2s

32 y

(b)

8 y

 y 3

 

(b) La masa de una molécula de oxígeno es de unos 0.000000000000000000000053 g.

 

(c) La masa de la Tierra es de unos 5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg.

1 /3

6

3 /2

1 /4 2

8 y

5 10 1 /5

64 y 6

1 /4

82. (a) La distancia de la Tierra al Sol es de unos 93 millones de millas.

s 1 /2

(b) 2 x 3 y (b)

5a

1 /2

5 /4 2

(b) 4a 6b 8

2 /3

4

s

5 /2

(b) u 4

8 1 /4

8

68. (a)

3 /5

1 2 1 2  1 2  1 √ 2  1 2  1 2 1 2  1 z 2  1 z 2  a z  b

(b) 3a

3 /4 2

12

3 /4

6

1 /6

1 /3

3 /2

1 /3

83-88   Use notación científica, las Leyes de Exponentes, y una calculadora para ejecutar las operaciones indicadas. Exprese su respuesta redondeada al número de dígitos significativos indicados por los datos dados.

 1

83. 7.2

10

9

21

1.806

10

12

2 

 

S E C C I Ó N 1 . 2 |   Exponentes y radicales   23

1 21 2  1 21 2  1 21 2  1 2 1 2  1 2 1 2  1024 8.61

84. 1.062 85.

86.

87.

10

17

Deuda nacional 

  99.

Número de moléculas 

100.

¿A qué distancia puede usted ver?  

106

2.511 1028

73.1 1.6341

  98. 

109

1.295643

3.610

1019

0.0000000019

0.0000162 0.01582

594,621,000 0.0058 6 9

11

88. 3.542 5.05 89-92

10 104

2 2  12 12

  Racionalice el denominador.



89. (a)

90. (a)

91. (a)

92. (a)

1  B  1  1  1

(b)

10 10 5

(b)

12

2

(b)

3

 x 

1

4

(b)

a

B  B  2  2  2

(c)

 x   x 

(c)

6

1

4

(c)

 y 3

a

3

(c)

b2

B  B  z

Al mes de julio de 2010, la población de Estados Unidos era de 3.070   108, y la deuda nacional era de 1.320  1013 dólares. ¿Cuánto era la parte que adeuda cada persona? Una sala sellada de un hospital, con medidas de 5 m de ancho, 10 m de largo y 3 m de alto, está llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000 L, y 22.4 L de cualquier gas contienen 6.02   1023 moléculas (número de Avogadro). ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en la sala? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima D a la que se puede ver desde lo alto de un edificio de altura h se calcula con la fórmula  D

 x 

3

 

 y

2

  2 

h2

2rh

donde r   3960 millas es el radio de la Tierra y D y h también se miden en millas. ¿A qué distancia se puede ver desde la cubierta de observación de la Torre CN de Toronto, que está a 1135 pies sobre el suelo?

 x   y 2 /5

Torre CN

1 c 3 /7

r

93.  Sean a, b y c números reales con a  0, b  0 y c  0. Determine el signo de cada expresión. (a)   b5

1

(d) b

(b)   b10 a

2  3

(e)

1

b

(c)   ab2c3 a

2  4

(f )

  a 3c 3 b 6c 6

94.  Demuestre las Leyes de Exponentes dadas para el caso en que m y n sean enteros positivos y m  n. (a) Ley 2

(b) Ley 5

101. 

(c) Ley 6

APL ICACIONES 95.  Distancia a la estrella más cercana   Proxima Centauri, la estrella más cercana a nuestro sistema solar, está a 4.3 años luz de distancia. Use la información del Ejercicio 81(a) para expresar esta distancia en millas.

 

24

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

La policía usa la fórmula s 30 fd  para 30  para calcular la rapidez s (en mi/ h) h) a la que un auto se desplaza si patina d  pies  pies después de aplicar repentinamente los frenos. El número f  es  es el coeficiente de fricción del pavimento, que es una medida de lo “resbaloso” de la carretera. La tabla siguiente da algunos cálculos comunes para f .

Seco Mojado

96.  Velocidad de la luz  La velocidad de la luz es de unas 186,000 mi/ s. s. Use la información del Ejercicio 82(a) para hallar cuánto tarda un rayo de luz del Sol en llegar a la Tierra. 97.  Volumen de los océanos   El promedio de profundidad de los océanos es 3.7  103 m y el área de los océanos es 3.6    1014 m2. ¿Cuál es el volumen total del océano en litros? (Un metro cúbico contiene 1000 litros.)

  2 

Rapidez de un auto que patina 

Asfalto

Concreto

Grava

1.0 0.5

0.8 0.4

0.2 0.1

 

(a)  Si un auto patina 65 pies en concreto mojado, ¿cuál era su velocidad cuando se aplicaron los frenos?

 

(b) Si un auto corre a 50 mi / h, h, ¿cuánto patinará en asfalto mo jado?

 102.  102.

Distancia de la Tierra al Sol  

Se deduce de la Tercera Ley de Kepler del movimiento planetario, que el promedio de distancia de un planeta al Sol (en metros) es d 

 

  a  b GM 

4p

2

105. 

1 /3

Límite del comportamiento de potencias 

Complete las tablas siguientes. ¿Qué ocurre a la n raíz de 2 cuando n se hace grande? ¿Qué se puede decir acerca de la n raíz de 12?

T 2 /3

donde M   1.99  1030 kg es la masa del Sol, G  6.67   1011 N  m2/ kg kg2 es la constante gravitacional, y T  es  es el período de la órbita del planeta (en segundos). Use el dato de que el período de la órbita de la Tierra es de alrededor de 365.25 días para hallar la distancia de la Tierra al Sol.

DESCUBRIMIENTO



  DISCUSIÓN



  REDACCIÓN

103.  ¿Cuánto es mil millones?   Si usted tuviera un millón (106) de dólares en una maleta, y gastara mil dólares (10 3) al día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Gastando al mismo paso, ¿cuántos años tardaría en vaciar la maleta llena con mil millones (109) de dólares? 104. 

21 /

 n

AB

1 1 / n 2

 n

 n

1 2 5 10

1 2 5 10

100

100

 

Construya una tabla similar para n1/ n. ¿Qué ocurre a la n raíz de n cuando n se hace grande?

106. 

Comparación de raíces 

Sin usar calculadora, determine cuál número es más grande en cada par. (a) 21/ 2 o 2 1/ 3

(b)

1 1/ 2 2

(c) 71/ 4 o 4 1/ 3

(d) 1 5 o   1 3

AB

o

1 1/ 3 2

AB

3

Potencias fáciles que se ven difíciles 

Calcule mentalmente estas expresiones. Use la ley de exponentes como ayuda.

(a)

1.3

185 95

(b) 206

#

 1 2  0.5

6

E XPRESIONES  ALGEBRAICAS Suma y resta de polinomios  Multiplicación de expresiones algebraicas algebraicas   Fórmulas de productos notables  Factorización de factores comunes  Factorización de trinomios  Fórmulas especiales de factorizació factorizaciónn  Factorización por agrupación de términos Una variable es una letra que puede representar cualquier número tomado de un conjunto de números dado. Si empezamos con variables, por ejemplo  x ,  y  y  z, y algunos números reales, y las combinamos usando suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, obtenemos una expresión algebraica. V  Veamos eamos a continuación algunos ejemplos: 2 x 2

3 x 

 

4

1  x 

2z

 y

 

10

2

 y 4 Un monomio es una expresión de la forma ax k , donde a es un número real y k  es   es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general, una suma de d e monomios se llama  polinomio. Por ejemplo, la primera expresión citada líneas antes es un polinomio, pero las otras dos no lo son.

POLINOMIOS Un polinomio en la variable x  es  es una expresión de la forma a n x  n  

a n 1 x n

1

...

a 1 x

a0

donde a0, a1, . . . , an son números reales, y n es un entero no negativo. Si   an entonces el polinomio tiene grado  n. Los monomios  a k  x k  que conforman el polinomio reciben el nombre de términos del polinomio.

0,

Observe que el grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable que aparece en el polinomio.

 

26

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

En general, podemos multiplicar dos expresiones algebraicas usando para ello la Propiedad Distributiva Distributiva y las Leyes de Exponentes.

EJEMPLO 2  1 2 x 

Multiplicación de binomios usando FOIL

1 2 1 3 x 

5 2 

6 x 2

10 x 

3 x 

5

F

O

I

L

2

6 x 

7 x 

5

Propiedad Distributiva

Combine términos semejantes

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

23  



Cuando multiplicamos trinomios u otros polinomios con más términos, usamos la Propiedad Distributiva. También es útil acomodar nuestro trabajo en forma de tabla. El siguiente ejemplo ilustra ambos métodos.

EJEMPLO 3 

Multiplicación de polinomios

SOLUCIÓN 1:

1 2 x 

3 2 1  x 2

5 x 

2 2 x 1 1 x    x 

4 2 

1 2 x 3 2 x 3

4 2 

5 x 

Usando la Propiedad Distributiva Distributiva 2 3 1  x   x 

4 2 

5 x 

1 2 x  # x 2

3 2 1  x 2

1 2 x 

Encuentre el producto:

 #

10 x 2 7 x 2

8 x 2 7 x 

SOLUCIÓN 2:

 #

1 3 # x 2

1 3 x 2

15 x 

2 x  4 2

2 x  5 x 

4 2 

5 x 

Propiedad Distributiva

3 5 x 

 #

3 4 2 

 #

12 2 

Propiedad Distributiva Leyes de Exponentes

12

Combine términos semejantes

Usando forma de tabla 2

 x 

2

3 x  3

5 x 

4

2 x 

3

15 x 

12

2 x 

2

10 x 

8 x 

2 x 3

7 x 2

7 x 

Multiplique   x 2

5 x 

4 por 3

2   x 

5 x 

4 por 2 x 

Multiplique

12

Sume términos

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO



45

 Fórmulas de productos notables Ciertos tipos de productos se presentan con tanta frecuencia que es necesario aprenderlos. Se pueden verificar las siguientes fórmulas al ejecutar las multiplicaciones. Vea en el Proyecto de descubrimiento, citado en la página 34, una interpretación geométrica de algunas de estas fórmulas. fórmulas.

FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES Si  A y  B son números reales cualesquiera o expresiones algebraicas, entonces 1.

1  A  A

B 2 1  A

2.

1  A  A

B 2 

3.

1  A  A

B 2 

4.

 A

B

5.

1  1  A  A

2  3 B 2 

2

 B

2

Suma y producto de términos iguales

2

2 AB

B

2

Cuadrado de una suma

2

2 AB

B

2

Cuadrado de una diferencia

B 2   

2

 A

2

 A

3

 A

3 3

 A

A

2

 A  B

3 3 A2 B

 AB

2

3 3 AB 2

 B

3

 B

3

Cubo de una suma Cubo de una diferencia

 

S E C C I Ó N 1 . 3 |   Expresiones algebraicas   27

La idea clave en el uso de estas fórmulas (o cualquier otra fórmula en álgebra) es el Principio de Sustitución: podemos sustituir cualquier expresión algebraica por cualquier letra en una fórmula. Por ejemplo, para hallar ( x 2   y  y3)2 usamos la Fórmula 2 de Productos, sustituyendo  x 2 por  A y  y3 por  B, para obtener

1  x 2 ( A  A

EJEMPLO 4 

 y 3 2 2

1  x 2 2 2

B)2

 A2

2 1  x 2 2 1  y 3 2

1  y 3 2 2 B2

2 AB

Uso de las fórmulas de productos notables

Use las fórmulas de productos notables para hallar cada producto. 5 2 2

(a) 1 3 x 

(b)   1  x 2

2 2 3

SOLUCIÓN

(a)  Sustituyendo  A    3 x  y  y  B  5 en la Fórmula 2 de Productos, obtenemos: 5 2 2

1 3 x 

1 3 x 2 2

52

2 1 3 x 2 1 5 2 

9 x 2

30 x 

25

(b)  Sustituyendo  A    x   x 2 y  B  2 en la Fórmula 5 de Productos, obtenemos:  1 1 x   2

2 2 3

1  x 2 2 3    x 6

3 1  x 2 2 2 1 2 2  6 x 4

12 x 2

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

EJEMPLO 5 

3 1  x 2 2 1 2 2 2

23

8

29  Y 41



Uso de las fórmulas de productos notales

Encuentre cada producto.

(a) 1 2 x 

  1  y 2 1 2 x     1  y 2 

(b) 1  x

1 2  x 1 

y

y

1 2 

SOLUCIÓN

(a)  Sustituyendo  A

2 x  y B

  1  y en la Fórmula 1 de Productos, obtenemos:

1 2 x    1  y 2 1 2 x    1  y 2

1 1  y 2 2

1 2 x 2 2

4 x 2

 y

(b)  Si agrupamos x    y  y y la vemos como una expresión algebraica, podemos usar la Fórmula Fórmu la 1 de Productos con  A   x   x  y  y  B  1.  1 1 x  

y

1 2 1  x

y

12

3  x 1   

y 2 

1 4 3  x 1 

1  x

y 2 2

12

 x 2

2 xy

y2

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

 Factorización

y 2 

14 Fórmula de Producto 1

1

Fórmula de Producto 2

55  Y 59



de factores comunes

Usamos la Propiedad Distributi Distributiva va para expandir expresiones algebraicas. A veces necesitamos invertir este proceso (de nuevo usando la Propiedad Distributiva) al factorizar  una expresión como un producto de otras más sencillas. Por ejemplo, podemos escribir

 x 2

4   1  x 

Decimos que  x   – 2 y  x   2 son factores de  x 2 –  4.

2 2 1  x 

2 2 

 

S E C C I Ó N 1 . 3 |   Expresiones algebraicas   29

EJEMPLO 8

Factorización de ax 2     bx      c  por ensayo y error

Factorice: 6 x 2

7 x 

5

Podemos factorizar 6 como 6  1 o 3   2 y 5 como 5  1 o 5   (1). Al tratar estas posibilidades, llegamos a la factorización SOLUCIÓN

factores de 6

VERIFIQUE SU RESPUESTA

6 x 2

La multiplicación da

5   1 3 x 

7 x 

5 2 1 2 x 

1 2 

factores de

5

2

1 3 x 

5 2 1 2 x 

1 2 

6 x 

7 x 

5

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 9



69

Reconocer la forma de una expresión

Factorice lo siguiente. (a)  x 2

2 x 

1 2 2

(b)   1 5a

3

2 1 5a

1 2 

3

SOLUCIÓN

(a)  x 2 (b)

2 x 

3   1  x 

3 2 1  x 

1 2 

Ensayo y error

Esta expresión es de la forma 2

2

3

donde representa 5a    1. Ésta es la misma forma que la expresión de la parte (a), de 1  32 1  12 . modo que se factoriza como 1 5a

1 2 2

21 5a

1 2 

3   31 5a

1 5a  AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

1 2 

34 31 5a

22 1 5a

22 

1 2   14

71  



 Fórmulas especiales de factorización

Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar usando las fórmulas que siguen. Las tres primeras son simplemente Fórmulas de Productos Notables escritas a la inversa. FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN Fórmula

Nombre

1.

 A2

 B 2

2.

 A2

2 AB

3.

 A2

2 AB

4.

 A3

 B 3

1  A

B 2 1  A2

 AB

B 2 2 

Diferencia de cubos

5.

 A3

 B 3

1  A

B 2 1  A2

 AB

B 2 2 

Suma de cubos

1  A

B 2 1  A

B 2 

B2

1  A

B 2 2

Cuadrado perfecto

B2

1  A

B 2 2

Cuadrado perfecto

EJEMPLO 10

Diferencia de cuadrados

Factorización de diferencias de cuadrados

Factorice lo siguiente. (a) 4 x 2

 

30

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

LAS MATEMÁTICAS E N EL

SOLUCIÓN

25

(b)   1  x

y 2 2

z2

MUNDO MODERNO

(a) 

Usando la fórmula de Diferencia de Cuadrados Cuadrados con A  2 x  y  y  B  5, tenemos

Cambio de palabras, sonido e imágenes en números Imágenes, sonido y texto se transmiten rutinariamente de un lugar a otro por la Internet, aparatos de fax o módem. ¿Cómo pueden estas cosas transmitirse por cables telefónicos? La clave para hacer esto es cambiarlas en números o bits (los dígitos 0 o 1). Es fácil ver cómo cambiar texto a números. Por ejemplo, podríamos usar la correspondencia A  00000001, B  00000010, C  00000011, D  00000100, E  00000101, y así sucesivamente. La palabra “BED” (CAMA) se convierte entonces en 0000001000000 10100000100. Al leer los dígitos en grupos de ocho, es posible transformar este número de nuevo a la palabra “BED”. Cambiar sonidos a bits es más complicado. Una onda de sonido puede ser graficada en un osciloscopio o en computadora. compu tadora. La gráfica se descompone a continuación matemáticamente en componentes más sencillos correspondientes a las diferentes frecuencias del sonido original. (Aquí se usa una rama de las matemáticas de nombre Análisis de Fourier.) La intensidad de cada componente es un número, y el sonido original puede reconstruirse a partir de estos números. Por ejemplo, se almacena música en un CD como una sucesión de bits; puede verse como 101010001010010100101010  1000001011110101000101011…. (Un segundo de música requiere 1.5 millones de bits). El reproductor de CD reconstruye la música a partir de los números presentes en el CD. Cambiar imágenes a números comprende expresar el color y brillantez de cada punto (o píxel) en un número. Esto se hace en forma muy eficiente usando una rama de las matemáticas llamada teoría ondulatoria. El FBI emplea trenes de ondas como forma compacta de almacenar en archivo millones de huellas dactilares que necesitan.

4 x 2

25   1 2 x 2 2  A2

(b) 

52

1 2 x 

5 2 1 2 x 

 B2

( A

B)( A

5 2  B)

Usamos la fórmula de Diferencia de Cuadrados con A   x   x    y  y y  B   z  z. y 2 2

1  x

z2

1  x

  z 2 1  x

y

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

EJEMPLO 11

  z 2 

y

75  Y 109  



Factorización de diferencias y sumas de cubos

Factorice cada polinomio. (a) 27 x 3

(b)   x 6

1

8

SOLUCIÓN

(a) 

Usando la fórmula de la Diferencia de Cubos con A  3 x  y  y  B  1, obtenemos 27 x 3

(b) 

1   1 3 x 2 3

13

  1 3 x 

1 2 1 9 x 2

1 2 3 1 3 x 2 2

1 3 x 

1 3 x 2 1 1 2 

12 4

1 2 

3 x 

Usando la fórmula de Suma de Cubos Cubos con A   x   x 2 y  B   2, tenemos  x 6

8   1  x 2 2 3

23

2 2 1  x 4

1  x 2

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

2 x 2

4 2 

77  Y 79  



Un trinomio es un cuadrado perfecto si es de la forma  A2

2 AB

B2

o

 

A2

2 AB

B2

Por lo tanto, reconocemos un cuadrado perfecto si el término medio (2 AB  o 2 AB) es más o menos dos veces el producto de las raíces cuadradas de los dos términos externos. EJEMPLO 12

Reconocer cuadrados perfectos

Factorice cada trinomio. (a)  x 2

6 x 

9

(b) 4 x 2

4 xy

y2

SOLUCIÓN

(a) 

Aquí A   x   x  y  y  B  3, de modo que 2 AB  2   x   x   3  6 x . Como el término medio es 6 x , el trinomio es un cuadrado perfecto. Por la fórmula del Cuadrado Perfecto tenemos  x 2

(b) 

6 x 

9   1  x 

3 2 2

Aquí A  2 x  y  y  B   y  y, de modo que 2 AB  2   2 x    y  y   4 xy. Como el término medio es 4 xy, el trinomio es un cuadrado perfecto. Por la fórmula del Cuadrado Perfecto tenemos 4 x 2

4 xy

y2

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

1 2 x

y 2 2

105  Y 107  



Cuando factorizamos una expresión, a veces el resultado puede factorizarse aún más. En factorizamos factores comunes y luego inspeccionamos el resultado para general, primero factorizamos ver si puede ser factorizado por cualquiera de los otros métodos de esta sección. Repetimos este proceso hasta que hayamos factorizado completamente la expresión.

 

34

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

132.

Podar un campo 

Cada semana, un campo cuadrado de cierto parque estatal es podado alrededor de los bordes. El

135.

Diferencias de potencias pares (a) Factorice por completo las expresiones:  A4   B4 y  A6   B6.

resto del campo se mantiene sin podar para que sirva como hábitat para aves y animales pequeños (vea la figura). El campo mide b pies por b pies, y la franja podada es de  x  pies   pies de ancho.

(a)  E Explique xplique por qué el área de la parte podada es b2  (b  2 x )2.  Factorice la expresión de la parte (a) para demostrar que (b) Factorice el área de la parte podada también es 4 x (b   x ). ).

(b) Verifique que 18,335  124  74 y que 2,868,335  126  76. (c) Use los resultados de las partes (a) y (b) para factorizar los enteros 18,335 y 2,868,335. A continuación demuestre que en estas dos factorizaciones todos los factores son números primos. 136.

Factorización de  A  − 1   n

Verifique estas fórmulas al expandir y simplificar el lado derecho.   A A2

b

x

b

x

3

  A A

1

  A A4

1

137.

 

4

 x   x 

3 x 2

(c) 10202

 A

1

 A  A

1   A A3

 A2

 A

3 x 2

5272 1202

4 4   1  x   x 

4 x 2

2  x    1  x 

2 2 2

  3 1  x 2

El poder de las fórmulas algebraicas 

(a) 5282 (b) 1222

2 

1  A  A

1

2 

A veces se puede factorizar con facilidad un trinomio de la forma  x 4  ax 2  b. Por ejemplo,

(a) ¿Cómo está relacionado el grado del producto con los grados de los polinomios originales? (b) ¿Cómo está relacionado el grado de la suma con los grados de los polinomios originales? Use la fórmu fórmula la 2 2 de una diferencia de cuadrados para factorizar 17   16 . Nótese que es fácil calcular mentalmente la forma factorizada pero no es tan fácil calcular la forma original en esta forma. Evalúe mentalmente cada expresión:

2 

4

 1

21

  x  x 2

4   x  x 2

1

2 

  Pero  x 4  3 x 2  4 no se puede factorizar así. En cambio, podemos usar el siguiente método.

DESCUBRIMIENTO   DISCUSIÓN   REDACCIÓN 133. Grados de sumas y productos de polinomios

134.

2

 A  A



Forme varios pares de polinomios y, a continuación, calcule la suma y producto de cada par. Con base en sus experimentos y observaciones, conteste las siguientes preguntas.

1

Factorización de  x4   ax2   b 

 x 4 

21 21 21

1  A

 A

Con base en el patrón mostrado en esta lista, ¿cómo piensa usted que sería posible factorizar  A5  1? Verifique Verifique su conjetura. Ahora generalice el patrón que haya observado para obtener una fórmula de factorización para  An  1, donde n es un entero positivo.

x

x

 1  1  1

1

2 2 

2   1  x   x 

 x 

4 2 

 

Sume y reste   x 2

2

x 

Factorice el cuadrado perfecto

2

 x 

 

4 3 1  x 2

2 2 

x 

2 2 1  x 2

 x 

 

4

x 

Diferencia de cuadrados

2 2 

Factorice lo siguiente, usando cualquier método apropiado.

(a)   x 4 4

(b)   x 

 x 2

2 2

2 x 

4

2

(c)   x  (d)   x 4

4 x  2 x 2

9 16 1

10102

A continuación, use la fórmula de productos notables

1

 A  A

21

B  A  A

B

2 

  A2

 B 2

para evaluar mentalmente estos productos:

(d) 79  51 (e) 998  1002

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO  



Visualización de una fórmula

En este proyecto descubrimos interpretaciones geométricas de algunas fórmulas de productos notables. El lector puede hallar el proyecto en el sitio web del libro: www.stewartmath.com

 

S E C C I Ó N 1 . 4 |   Expresiones racionales   35

1.4

E XPRESIONES  RACIONALES

Dominio de una expresión algebraica  Simplificación de expresiones racionales  Multiplicación y división de expresiones racionales  Suma y resta de expresiones racionales  Fracciones compuestas   Racionalización del denominador o el numerador  Evitar errores comunes El cociente de dos expresiones algebraicas se denomina expresión fraccionaria. A continuación veamos algunos ejemplos:

1  x 

  1

2 x   x 

3 1

 x 

 

2

 y  y

2

4

Una expresión racional es una expresión fraccionaria donde el numerador y el denominador son polinomios. Por ejemplo, las siguientes son expresiones racionales:

  1

2 x   x 

 x 3

  1

 x  2

 x 

2

 x 

5 x 

 x 

6

En esta sección aprendemos a ejecutar operaciones algebraicas de expresiones racionales.

 Dominio de una Expres esiión 1  x 

1  x  1

1  x 

Dominio

5 x  0  x 

06

5 x  0  x 

06

5 x  0  x 

06

 

 

 

 

 

 

expresión algebraica algebraica

En general, una expresión algebraica puede no estar definida para todos los valores de la variable. El dominio  de una algebraica espágina el conjunto de números realesbásicas que se permite tenga la variable. La expresión tabla al margen de esta da algunas expresiones y sus dominios.

EJEMPLO 1 

Hallar el dominio de una expresión

Encuentre los dominios de las siguientes expresiones.

(a) 2 x 2

3 x 

(b)

1

 x  2

5 x 

 x 

(c)

6

  1  x   x 

5

SOLUCIÓN

(a)  Este polinomio polinomio está definido para toda x . Entonces, el dominio es el conjunto números reales.

de

(b)  Primero factorizamos factorizamos el denominado denominador. r.  x 2

 x  5 x 

6

1  x 

 x  2 2 1  x 

3 2 

El denominador sería 0 si 3  x  2 o x

 

Como el denominador es cero cuando x   2 o 3, la expresión no está definida para es x  tos números. El dominio 5 x 0  x    2 y  x   36.

el numerador esté definido, definido, debemos tener tener x  ≥ 0. Tampoco podemos dividir (c)  Para que el entre 0, de modo que  x   5. Asegúrese de tener x  0 para tomar la raíz cuadrada

 

1  x   x 

5

El denominador sería 0 si x  5

Entonces, el dominio es 5 x 0  x  ≥ 0 y  x   56.  AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11  

 

36

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

Simplificación ón de  Simplificaci

expresiones racionales

Para simplificar expresiones racionales, factorizamos el numerador y el denominador y



usamos la siguiente propiedad de fracciones:  AC 

 A

 BC 

 B

Esto nos permite cancelar factores comunes del numerador y el denominador.

EJEMPLO 2 

Simplifique:

Simplificación cancelación de expresiones racionales por  x 2 2

 x 

1  x 

2

SOLUCIÓN

1  x 2  2  x   x  2

2

No podemos cancelar las x  en  x 2 2

 x 

1  x 

2

 porque x 2 no es un factor.

1  x  1  x 

1 2  x  1 

1 2 

1 2  x  1 

2 2 

Factorice

1

 x     x 

Cancele factores comunes

2

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO  1 7  

 Multiplicació Multiplicaciónn y



división de expresiones racionales

Para multiplicar expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:  A  C 

 AC 

#

 BD

 B  D

Esto dice que para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores y multiplicamos sus denominadores.

EJEMPLO 3 

Multiplicación de expresiones racionales  x 2

Ejecute la multiplicación indicada y simplifique: SOLUCIÓN

 x 2    x 2

2 x  8 x 

2

 x 

2 x 

3

8 x 

16

# 3 x   x 

12 1

Primero factorizamos. 3 16

# 3 x   x 

1  x 

12

1 2 1  x 

3 1  x 

 

1 2  x  1 

1  x   

3 1  x 

#

4 2 2

1  x 

1

3 2  3 1  x   x 

3 2 1  x  4 2 

3 2 

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

Factorice

Propiedad de fracciones Cancele factores comunes

4

 x 

1 4 2 

2

1 2  x  1 

4 2 

25  



Para dividir expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:

 A  B

C   D

 A  D  B C 

#

 

S E C C I Ó N 1 . 4 |   Expresiones racionales   37 Esto dice que para dividir una fracción entre otra fracción, invertimos el divisor y multiplicamos.

EJEMPLO 4 

División de expresiones racionales

Ejecute la división indicada y simplifique: 4

 x  2

4

 x 

 x 2

3 x 

4

2

5 x 

6

 x 

SOLUCIÓN

4

 x 

 

 x 

2

 x 

4

 x 

2

3 x 

2

4

5 x 

4

 x 

6

 x 

2

  x 

#

4

1  x   x 

 

1  x   x   

 x 

2

5 x 

6

2

3 x 

4

4 2 1  x   x 

2 2 1  x   x 

2 2 1  x   x 

2 2 1  x   x 

2 2 1  x   x 

Evite hacer el siguiente error:  A  B

C 

 A

 A

 B

C 

2 1 2   2 1

2

2

1

1

2

2

4

Error!

Factorice

1 2 

Cancele factores comunes 31  



resta de expresiones racionales

Para sumar o restar expresiones racionales, primero encontramos un denominador común y a continuación usamos la siguiente propiedad de fracciones:

Por ejemplo, si hacemos  A  2,  B  1 y C    1, entonces vemos el error:   1

4 2 1  x   x 

1 2 

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 Suma y

3 2 

3

 x 

1  x   x 

Invierta y multiplique

 A

 B

 A

C 

C 

B C 

Aun cuando funcionará cualquier denominador común, es mejor usar el mínimo común denominador (MCD) como se explica en la Sección 1.1. El MCD se encuentra al factorizar cada denominador y tomar el producto de los distintos factores, usando la potencia superior que aparezca en cualquiera de los factores.

EJEMPLO 5 

Sumar y restar expresiones racionales

Ejecute las operaciones indicadas y simplifique:

(a)

3

 x 

1

 x 

(b)

2

 x 

1  x 2

2 1 2 2

1  x 

1

SOLUCIÓN  x  (a)  Aquí el MCD es simplemente el producto de ( x    1)( x   2).

3 1

 x 

3 1  x 

 x   x 

2  

1  x 

1 2 1  x 

3 x 

6   x 2

1  x   

2 2  2 2 

1 2  x  1 

 x 2 2 x  1  x  1 2 1  x 

 x 1 1 x   

1  x 

1 2 

1 2 1  x 

2 2 

 x 

Escriba fracciones usando el MCD Sume fracciones

2 2  6 2 2 

Combine los términos del numerador

 

38

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos (b) El MCD de  x 2    x 2

1

1   1  x  2

1

1  x 

1 2 1  x 

1 2  y 1  x 

1 2 2 es 1  x 

1 1 2 2

1  x 

1 2 1  x 

2 1 2 

1  x 

1 2 2

1 2 1  x  Factorice

1 2 2.

 

1  x 

1 2 

1  x  1  x 

 

2

Propiedad Distributiva

1 2 2

3   x 

1  x 

1 2  x  1 

Combine los términos del numerador

2

1 2 

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

 Fracciones

Combine fracciones usando el MCD

1 2 

2 x 

1 2 1  x 

1 2  2

1 2  x  1 

1

 x 

 

2 1  x 

43  Y 45  



compuestas

Una fracción compuesta es una fracción en la que el numerador, el denominador, o ambos, son expresiones fraccionarias.

EJEMPLO 6 

Simplifique:

 x   y

1

Simplificación de una fracción compuesta 1  y  x 

Combinamos los términos del numerador en una sola fracción. HaceSOLUCIÓN 1 mos lo mismo con el denominador. A continuación invertimos invertimos y multiplicamos.  x   y  

1

 x

1

y  y

 x  y

 y

 x

 x 

 x   x 1 1 x  

y 2 

 y 1  x

y 2 

 

y

y

#

  x   x y

LAS MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO Códigos para corregir errores Las imágenes enviadas por la nave Pathfinder (Explorador)  desde la superficie de Marte el 4 de julio de 1997, eran     A     S asombrosamente claras. Pero     A     N    e pocas personas que vieron     d    a     í estas imágenes estaban cons   s    e    t    r    o cientes de las complejas ma    C temáticas utilizadas para lograr esta hazaña. La distancia a Marte es enorme, y el ruido de fondo (o estática) es muchas veces más fuerte que la señal original emitida por la nave espacial. Entonces, cuando los científicos reciben la señal, está llena de errores. Para obtener una imagen clara, los errores deben hallarse y corregirse. Este mismo problema de errores se encuentra en forma rutinaria en la transmisión de registros bancarios cuando una persona usa un cajero automático o de voz cuando habla por teléfono. Para entender la forma en que los errores se localizan y corrigen, primero debemos entender que para transmitir imágenes o texto los transformamos en bits (los dígitos 0 o 1; vea página 30). Para ayudar al re-

ceptor a reconocer errores, el mensaje se “codifica” al insertar bits adicionales. Por ejemplo, suponga que usted desea transmitir el mensaje “10100”. Un código muy sencillo es como sigue: envía cada dígito un millón de veces. La La persona que recibe el mensaje lo lee en bloques de un millón de dígitos. Si el primer bloque es principalmente de números 1, concluye que es probable que usted esté tratando de transmitir un 1, y así sucesivamente. Decir que este código no es eficiente es un poco modesto; requiere requiere enviar un millón de veces más datos que el mensaje original. Otro método inserta “dígitos de comprobación”. Por ejemplo, cada bloque de ocho dígitos inserta un noveno dígito; el dígito insertado es 0 si hay un número par de números 1 en el bloque y 1 si hay un número impar. Por lo tanto, si un solo dígito está mal (un 0 cambiado a un 1, o viceversa), los dígitos de prueba nos permiten reconocer que ha ocurrido un error. Este método no nos dice dónde está el error, de modo que no podemos corregirlo. Los Los modernos códigos que corrigen errores usan interesantes algoritmos matemáticos que requieren insertar relativamente pocos dígitos pero permiten al receptor no sólo reconocer errores, sino también corregirlos. El primer código corrector de errores fue inventado en la década de 1940 por Richard Hamming en el MIT. Es interesante observar que el idioma inglés tiene un mecanismo corrector de errores ya integrado; para probarlo, trate de leer esta oración cargada de errores: Gve mo libty ox biv ne deth.

 

S E C C I Ó N 1 . 4 |   Expresiones racionales   39 SOLUCIÓN 2 Encontramos el MCD de todas las fracciones en la expresión y, a continuación, lo multiplicamos por el numerador y denominador. En este ejemplo, el MCD de todas las fracciones es  xy. Por lo tanto

 x   y

 x   y

1

 xy      y  xy

Multiplique numerador y denominador por  xy

#

 y

1

1

1

 x 

 

 x 

 x 2

 xy

 xy

y2

 x  x   1 1   y 1  x

Simplifique

y 2  y 2 

Factorice 59  Y 61  

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS



Los siguientes dos ejemplos muestran situaciones en cálculo que requieren la capacidad para trabajar con expresiones fraccionarias.

EJEMPLO 7 

Simplificación de una fracción compuesta 1

a

Simplifique:

1 a

h h

SOLUCIÓN minador común.Empezamos por combinar las fracciones del numerador usando un deno-

1 a  

h

a   1 a

1 a

a 1 a

h

h 2  h 2 

Combine fracciones del numerador

h

 

a   1 a

h 2  1

a 1 a

#

a

 

h 2  h 2 

#

Propiedad Distributiva

h

#1

h a 1 a

h

h 1

a

a 1 a

 

Propiedad 2 de fracciones (invierta divisor y multiplicar)

Simplifique

h 2  h

1   a 1 a

Propiedad 5 de fracciones (cancele factores comunes)

h 2 

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 8 

1 /2

Factorice (1 􀀫  x 2)󲀓1/ 2 del numerador.

1 1   x 2 2 1 /2

(1   x  x 2)1/ 2.

 x 2 1 1   x 2 2 

1   x 2

SOLUCIÓN 1

Factorice la potencia de 1   x  x 2 con el exponente más pequeño, en este caso



Simplificación de una fracción compuesta

1 1   x 2 2 1 /2

Simplifique:

69  

 

 x 2 1 1   x 2 2 

1 /2

1 1   x 2 2 

1   x 2

1 /2

3 1 1   x 2 2    x 2 4

1   x 2 2

 

1 1   x  2 2 1   x 

1 /2

1

1 1   x 2 2 3 /2

 

S E C C I Ó N 1 . 4 |   Expresiones racionales   43

77. 78.

1

2  2 

2 1   x  1 /2

11

 x 

  x 2 1 /2

1

2  1 11 2 

 x  1   x  1 /2  x 2

1   x 2

  x 2

1 /2

102.

Costo promedio  Un fabricante de ropa encuentra que el costo de producir  x  camisas   camisas es 500  6 x   0.01 x 2 dólares. (a)

Explique por qué el costo promedio por camisa está dado por la expresión racional

79. 80.

1

2  11 2  11 2  17 3 2  17 3 2 

3 1   x  1 /3

  x 

 x 

  x  2 /3

 x 

3 2 x 

1 /2

7

 x 

500

 A

2 /3

6 x 

0.01 x 2

 x 

1 /2

(b)

3 x 

Complete la tabla al calcular el costo promedio por camisa para los valores dados de x .

81-86    Racionalice el denominador. 81. 83. 85.

1

2

  21   1 1 5 1 2   1 7 1  1 21 2  1 3   1  1    1  Racionalice el numerador. 1   1 5 1 3   1 5 3 2 1    1 2 1    1  5 1  1  2  1   1  1   1  2

82.

3

84.

 y

86.

 y  y

3

 x

10 20 50 100 200 500 1000

 x   x   x  x

y

 x   x 

 y  y

 x   x 

 x  x

87-92    87. 89.

88.

r  r 

90.

h  x   x   x  x  

91.

Costo promedio

  x  x 2

93-100

92.

  x 

 x   x 

h

h

 x   x 

  Diga si la ecuación dada es verdadera para todos los va-



lores de las variables. (No considere ningún valor que haga que el denominador sea cero.) 16   a   a b   b 93. 1 94. 1 c 16 16 b c 2 1 2  x  1  x  95. 96. 4   x  2  x  1  y  y  x  1 a 2a 97. 98. 2  x y 1   y b 2b 1   x x 2 1 a a 99. 100. 1   x 

ab

b

 x 

b

DESCUBRIMIENTO

 x 2  x 

 x

2

 x

 R1

 R2

Simplifique R de la expresión. (b) Si  R1  10 ohms y  R2  20 ohms, ¿cuál es la resistencia  R total? (a)

 R⁄

 R ™



  REDACCIÓN

9 3

no está definida para  x   3. Complete las tablas y determine a cuál valor se aproxima la expresión cuando  x  se  se acerca más y más a 3. ¿Por qué es esto razonable? Factorice el numerador de la expresión y simplifique para ver por qué.

 x

Si dos resistores eléctricos con resistencias R1 y  R2 se conectan en paralelo (vea la figura), entonces la resistencia total  R está dada por 1  R 1 1

  DISCUSIÓN

103. Comportamiento límite de una expresión racional   La expresión racional

 x 

APL ICACIONES  Resistencia eléctrica  101. Resistencia



2.80 2.90 2.95 2.99 2.999

9 3

 x

 x

2

 x

9 3

3.20 3.10 3.05 3.01 3.001

1 

104. ¿Es esto racionalización?   En la expresión 2 /  x   x  elimi eliminaríamos el radical si fuéramos a elevar al cuadrado tanto el numerador como el denominador. ¿Esto es lo mismo que racionalizar el denominador? 105. Errores algebraicos  La columna de la izquierda en la tabla de la página siguiente es una lista de algunos errores algebraicos comunes. En cada caso, dé un ejemplo usando números que muestren que la fórmula no es válida. Un ejemplo de este tipo, que muestra que un enunciado es falso, se llama contraejemplo.

 

S E C C I Ó N 1 . 5 |   Ecuaciones  45 Estas propiedades requieren que el estudiante ejecute la misma operación en ambos lados de una ecuación al resolverla. Entonces, si decimos “sume 󲀓7” al resolver una ecuación, es una forma breve de decir “sume 󲀓7 a cada lado de la ecuación”.

 Solución de ecuaciones lineales

El tipo más sencillo de ecuación es una ecuación lineal, o ecuación de primer grado, que es una ecuación en la que cada término es una constante o un múltiplo diferente de cero de la variable.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación equivalente a una de la forma ax b 0 donde a y b son números reales y x  es  es la variable. A continuación veamos algunos ejemplos que ilustran la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales.

Ecuaciones lineales

4 x 

5

2 x 

1 2 x 

6

 x 

Ecuaciones no lineales  x 2

3

1 

7

3  x 

3

2 x 

No lineal; contiene el cuadrado de la variable

8

6 x 

 x   x 

  x 

EJEMPLO 1 

2 x 

No lineal; contiene la raíz cuadrada de la variable

0 1

No lineal; contiene el recíproco de la variable

Solución de una ecuación lineal

Resuelva la ecuación 7 x   󲀓 4

 3 x   8.

Resolvemos ésta al cambiarla a una ecuación equivalente con todos los SOLUCIÓN términos que tenga la variable x  en  en un lado y todos los términos constante en el otro.

1

  7 x 

 7 x  4

4

3 x 

8

2  4   13

8

 x 

 7 x 

3 x 

12

3 x 

3 x 

12

4 x 

  121 1  # 4

Simplifique

3 x 

Reste 3 x  Simplifique Multiplique por

LI LI

1 4

Simplifique 3

 x 

LI  LD

Sume 4

2 

12

V  E R I F I Q U E S U R E S P U E S T A

 x    3:

4

3

 x 

Debido a que es importante VERIFICAR SU RESPUESTA, hacemos esto en muchos de nuestros ejemplos. En estas pruebas, LI quiere decir “lado izquierdo” y LD es “lado derecho” de la ecuación original.

2 

 7 x   4 x  1  # 4

Ecuación dada

1 2 

73 17

 

4

x 

LD

3

1 2 

33  17

8



 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 15 15  



En las ciencias, muchas fórmulas involucran varias variables, por lo que es necesario expresar una en términos de otras. En el siguiente ejemplo, resolvemos la ley gravitacional de Newton para una variable.

 

46

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

Ésta es la Ley de Newton de Gravitación Universal. Da la fuerza gravitacional F  entre  entre dos masas m y  M  que  que están a una distancia r  entre  entre sí. La constante constante G  es la constante universal de gravitación.

EJEMPLO 2 

Solución para una variable en términos de otras

Despeje M  de  de la ecuación siguiente. F

G

 

mM  r 2  

SOLUCIÓN Aun cuando esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos como es usual al aislar M  en   en un lado, tratando a las otras variables como si fueran números.

  a  b a b   a b a  b Gm

 F  F 

r 2

Factorice M  del  del lado derecho

 M 

 

  r 2 F  Gm

  r 2 Gm

 

 Gm  M  r 2

 

r 2F 

Multiplique por el recíproco de

r 2  

 

 

Simplifique

 M 

Gm

Gm

r 2F  . Gm  

La solución es  M 

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 3 



29

Despejar una variable en términos de otras

El área superficial A del rectángulo cerrado que se muestra en la Figura 1 puede calcularse a partir de la longitud l, el ancho w y la altura h de acuerdo con la fórmula

l

 A  2l„   2„ h   2lh

Despeje „  en  en términos de las otras variables de esta ecuación.

h

Aun cuando esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos SOLUCIÓN como es usual al aislar „  en  en un lado, tratando las otras variables como si fueran números.

„ F I G U R A 1 Una caja rectangular cerrada

 A    A  

2lh

 A  

2lh

 A

2lh 2h

2l La solución es

„

  12 „ 2„ 2  2 „ 2„   12 2 2 „ l

h

l

2lh

Reúna términos que contengan „ Reste 2lh

h

l

Factorice „ del lado derecho

h

„

Divida entre 2 l

  A

2lh

2l

2h

2h

.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO



31

 Solución de ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones lineales son ecuaciones de primer grado como 2 x   1  5 o 4 󲀓 3 x   2. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado como  x 2   2 x   󲀓 3  0 o 2 x 2    3  5 x . Ecuaciones cuadráticas  x   2 1 2  2 x   

2 x  8  3 x  10 1 3 x   

1 6

0 4 x 2 0

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2

bx

donde a, b y c son números reales con   a

0

c

0.

 

S E C C I Ó N 1 . 5 |   Ecuaciones  47 Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse al factorizar y usar las siguientes propiedades básicas de números reales.

PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO  AB

0 

si y sólo si

 

 A

0  o

  B

0

Esto significa que si podemos factorizar el lado izquierdo de una ecuación cuadrática (o de otro grado), entonces podemos resolverla igualando a 0 cada factor a la vez. Este método funciona sólo cuando el lado derecho de la ecuación es 0.

EJEMPLO 4 

Solución de una ecuación cuadrática por factorización

Resuelva la ecuación x 2   5 x   24. SOLUCIÓN

Primero debemos reescribir la ecuación de modo que el lado derecho sea 0.  x 

2

5 x 

24

5 x 

24

0

Reste 24

3 2 1  x   x 

8 2 

0

Factorice

8

0

 

 

 x 

 1 1 x    x 

3:

13 2  513 2  2

9

15

24

 

 x 

8:

 x 

1 8 2  51 8 2  2

2

 x 

V  E R I F I Q U E S U S R E S P U E S T A S

  3 

3

0

 x 

64

40

24

o

 

 x 

Propiedad de Producto Cero

8

 x 

Resuelva

Las soluciones son x    3 y  x   8.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

43  



¿Ve usted por qué un ¿Ve u n lado de la ecuación debe ser 0 en el Ejemplo 4? Factorizar la ecuación como x ( x   x   5)  24 no nos ayuda a encontrar soluciones, porque 24 se puede factori1 2 zar en un número infinito de formas, por ejemplo 6  # 4, 2  # 48, 5  # 60 , etcétera. 2 Una ecuación cuadrática de la forma  x    󲀓  c   0, donde c es una constante positiva, se cy factoriza como  x   x  c  x   x  c 0, de modo que las soluciones son  x  c.  x  c. Con frecuencia abreviamos esto como  x 

A B  1 2 

1   1  2 1   1  2     1   

  1 

 

  1 

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA SENCILLA

Las soluciones de la ecuación  x 2 EJEMPLO 5 

c

son  x 

  1  y   1 . c

 x 

c

Solución de ecuaciones cuadráticas sencillas

Resuelva las siguientes ecuaciones.

(a)  x 2

5

 1

4

(b)  x   x 

2  2

5

SOLUCIÓN

1 

principio contenido contenido en el cuadro cuadro precedente, precedente, obtenemos x  5. (a)  Del principio (b)  También podemos tomar la raíz cuadrada de cada lado de esta ecuación.  

1

  x  x   x   

4

2  2

4  x 

Las soluciones son  x 

4

5

1 5 4   1 5

  1 5 y

 

 x 

4

Tome la raíz cuadrada Sume 4

  1 5

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

. 51  Y 53  

 

48

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

En la página 30 vea cómo reconocer cuando una expresión cuadrática es un cuadrado perfecto.

Completar el cuadrado El área de la región azul es

Como vimos en el Ejemplo 5, si una ecuación cuadrática es de la forma ( x   ± a)2    c, entonces podemos resolverla al tomar la raíz cuadrada de cada lado. En una ecuación de esta forma el lado izquierdo es un cuadrado perfecto: el cuadrado de una expresión lineal en  x . Por lo tanto, si una ecuación cuadrática no se factoriza fácilmente, entonces podemos resolverla usando la técnica de completar el cuadrado. Esto significa que sumamos una constante a una expresión para hacerla cuadrado perfecto. Por ejemplo, para hacer que  x 2  󲀓 6 x  



2

 x 

2

ab  b

2

2

 x

x 

bx 

sea cuadrado perfecto, debemos sumar 9 porque  x 2  󲀓 6 x   9

2

.

COMPLETAR EL CUADRADO

Sume un pequeño cuadrado de área (b/ 2) 2)2 para “completar” el cuadrado.

2

Para hacer que   x 

b 2

x

 ( x  󲀓 3)

bx  sea

2

b

un cuadrado perfecto, sume

, que es el cuadrado

2 de la mitad del coeficiente de  x . Esto da el cuadrado perfecto.

ab

2

 x 

x b 2

EJEMPLO 6 

bx 

 a b a b

2

2

b

 x 

2

b

2

Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

Resuelva lo siguiente.

(a)   x 2

8 x 

(b) 3 x 2

13

0

13 8 x 

0

12 x 

6

0

SOLUCIÓN 2

 x 

Cuando complete el cuadrado, asegúrese que el coeficiente de  x 2 sea 1. Si no lo es, se debe factorizar este coeficiente de ambos términos que contengan  x : 2

ax 

bx

a

(a)   2

 x 

8 x 

1

b

4  x   

Ecuación dada Reste 13

13

16

  x   x 

2   b a  x   x    a

A continuación complete el cuadrado dentro de los paréntesis. Recuerde que el término sumado dentro de los paréntesis se multiplica por a.

 x 

8  x   2

13

2  2

3

4

 

4

 x 

16

Complete el cuadrado: sume

1    1 

a b 8

2

2

16

Cuadrado perfecto

3

Tome la raíz cuadrada

3

Sume 4

(b)  Después de restar 6 de cada lado de la ecuación, debemos factorizar el coeficiente de x 2  (el 3) del lado izquierdo para poner la ecuación en la forma correcta para completar el cuadrado.  3 x 2

12 x   3 x 2

1

2 3  x   x 

 

6

0

Ecuación dada

12 x 

6

Reste 6

2 

6

Factorice 3 del lado izquierdo

4 x 

Ahora completamos el cuadrado al sumar (󲀓2)2   4 dentro de los paréntesis. Como todo dentro de los paréntesis está multiplicado multiplicado por 3, esto significa que en realidad estamos sumando 3  4  12 al lado izquierdo de la ecuación. Entonces, también también debemos sumar 12 al lado derecho. 2 3 1  x   x 

4 x 

4 2 

6

3 4

 #

Complete el cuadrado: sume

 3 1  x   x 

2 2 2

6

Cuadrado perfecto

 1 1 x    x 

2 2 2

2

Divida entre 3

 

 x 

2  x 

 

1 2 2   1 2

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

Tome la raíz cuadrada Sume 2 55  Y 59  



 

50

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos (c) Usando la fórmula cuadrática, con a  1, b   2 y c  2 resulta  x 

2

  2 22 2

4 2

 #

2

  1  4 2

2

2 1  1 2

1

  1  1

Como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, 1  1 no está definido en el sistema de números reales. La ecuación no tiene solución real.

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

65 , 69  Y 75  



En la Sección 3.5 estudiamos el sistema de números complejos, en el que existen las raíces cuadradas de números negativos. La ecuación del Ejemplo 7(c) tiene soluciones en el sistema de números complejos. La cantidad b2 󲀓 4ac que aparece bajo el signo de raíz cuadrada en la fórmula cuadrática se denomina discriminante de la ecuación ax 2  bx     c   0 y está dada por el símbolo  D. Si  D  0, entonces 2 b 2 4 ac no está definida y la ecuación cuadrática no tiene solución real, como en el Ejemplo 7(c). Si  D  0, entonces la ecuación tiene sólo una solución real, como en el Ejemplo 7(b). Por último, si  D   0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, como en el Ejemplo 7(a). El recuadro siguiente resume estas observaciones.

EL DISCRIMINANTE El discriminante de la ecuación cuadrática 2  D b 4 ac.

2

ax 

bx

0

c

1

a

0

1.

Si   D

0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales reales distintas.

2.

Si   D

0, entonces la ecuación ecuación tiene exactamente exactamente una solución solución real.

3.

Si   D

0, entonces la ecuación ecuación no tiene solución real.

EJEMPLO 8 

2 

es

Uso del discriminante

Use el discriminante para determinar cuántas soluciones reales tiene cada ecuación.

(a)   x 2

4 x 

1

(b) 4 x 2

0

SOLUCIÓN

(c) El discriminante es  D solución real.

9

1 2 1 2    1 2   #  #

42 (a) El discriminante es  D soluciones reales distintas.

(b) El discriminante es  D lución real.

12 x 

41

12 2

2

2

1

20

4 4 9

4

1 3

4

  1 2  A B

2 x 

4

0

0, por lo cual la ecuación tiene dos

0, por lo cual la ecuación tiene una so 

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

1 2 3  x 

(c)

0

4 3

0, por lo cual la ecuación no tiene

79 , 81  Y 83  



A continuación consideremos una situación real que puede ser modelada por una ecuación cuadrática.

EJEMPLO 9  Esta fórmula depende del hecho de que la aceleración debida a la gravedad es constante cerca de la superficie terrestre. Aquí despreciamos el efecto de la resistencia del aire.

 Traye  Tra yect ct or oria ia de un pr proy oyec ec ti l

Un objeto lanzado o disparado verticalmente hacia arriba a una velocidad inicial v0 pies/ s alcanzará una altura de h pies después de t  segundos,  segundos, donde h y t  están  están relacionadas por la fórmula 2

h    󲀓16t    v0t 

Suponga que se dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 800 pies/ s. s. Su trayectoria se ilustra en la Figura 2.

(a) ¿Cuándo caerá la bala al nivel del suelo? (b) ¿Cuándo alcanza una altura de 6400 pies?

 

S E C C I Ó N 1 . 5 |   Ecuaciones  51

descenso

altura de 2 millas? (c)  ¿Cuándo alcanza una altura

(d)  ¿Cuál es la altura del punto más alto al al que llega la bala? bala? SOLUCIÓN

ascenso

h

Como la velocidad inicial en este caso es 2

h  󲀓16t     800 t 

  800 pies/s, la fórmula es

√ 0

nivel del suelo corresponde corresponde a h  0, de modo que debemos resolver la ecuación (a)  El nivel FIGURA 2

t  

 

 0

16t  2

0

16t  t 

800t 

1

50

Haga  h

2 

0

Factorice

t  

t  

Por   a 0éste o  después  50. Esto significa que la bala arranca (    0) al nivel del sueloloytanto, regresa de 50 segundos.

(b)  Haciendo h  6400 da la ecuación 16t  2

6400 16t  2 2

1

  t 

 

6400

0

Todos los términos al lado izquierdo

50t 

400

0

Divida entre 16

21

40

0

Factorice

10

t 

 

2 

10

t 

6400 pies

Haga  h

6400

800t   t   t 

800t 

or

 

40

t 

Resuelva

La bala bala llega a 6400 pies después después de 10 s (en su ascenso) ascenso) y otra vez después de 40 s (en su descenso a tierra).

(c)  Dos millas es 2  5280  10,560 pies. 16t 2

10,560 16t 2

800t  2

t 

  2 mi

50t 

800t 

Haga  h

10,560

10,560

0

Todos los términos al lado izquierdo

660

0

Divida entre 16

  1 2  1 2 

El discriminante de esta ecuación es  D 50 2 4 660 140,, que es nega140 tivo. Entonces, la ecuación no tiene solución real. La bala nunca llega a una altura de 2 millas.

es alcanzada dos veces, veces, una vez en su ascenso ascenso y una (d)  Cada altura a la que llega la bala es vez en su descenso. La única excepción es el punto más alto de su trayectoria, que se alcanza una sola vez. Esto significa que para el valor más alto de h, la siguiente ecuación tiene sólo una solución para t : 16t 2

 h

800t 

2

10,000 pies

 

Alterne Alte rne al lado lado iz uier uierdo do 16t  800t 0 h Esto a su vez significa que el discriminante  D de la ecuación es 0, de modo que

   D

 1

800

2  1 2  2

4 16

640,000

h

0

64h

0

 h  

10,000

La máxima altura alcanzada es 10,000 pies.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

111



 Otros tipos de ecuaciones Hasta aquí hemos aprendido a resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. A continuación estudiaremos otros tipos de ecuaciones, incluyendo las que contienen potencias superiores, expresiones fraccionarias y radicales.

 

56

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos (b) Una viga mide 10.014 m de largo cuando está húmeda. Deseamos que se contraiga a 10.009 m, de modo que el factor de contracción sea S   0.00050. ¿Qué contenido de agua dará esta cantidad de contracción?

119.

Profundidad de un pozo   Un método para determinar la profundidad de un pozo es dejar caer en él una piedra, y luego medir el tiempo que tarda la caída hasta que se escucha el ruido de la piedra al tocar el agua. Si d  es   es la profundidad del pozo (en pies) y t 1 es el tiempo (en segundos) que tarda la piedra en caer, entonces d  16t 21, de modo que t 1   1 d  d /  4. Ahora, si t 2 es el tiempo que tarda el sonido en regresar, entonces d   1090t 2 porque la velocidad del sonido es 1090 pies/ s. s.

/1090.   090. Así, el tiempo total transcurrido entre Por lo tanto, t 2  d /  1 dejar caer la piedra y escuchar el ruido cuando cae es 114. 

La ecuación de lentes  Si F  es  es la longitud focal de un t 1   t 2

lente convexo convexo y un objeto se coloca a una distancia  x  desde  desde el  y lente, su imagen estará apor unaladistancia lente, dondeentonces F ,  x  y  y  y están relacionadas ecuación  del de lentes

1

1

1

F 

 x 

 y

 

Suponga que un lente tiene una longitud focal de 4.8 cm y que la imagen de un objeto está 4 cm más cerca del lente que el objeto mismo. ¿A qué distancia del lente está el objeto?

115.

Población de peces  La población de peces de cierto

 

d 

4

1090

¿Cuál es la profundidad del pozo si su tiempo total es 3 s?

lago sube y baja de acuerdo con la fórmula

Tiempo en que cae la piedra: t⁄= œ 4∑d d 

2

F   1000(30  17t  󲀓 t  )

 

d  1 d 

Aquí F  es  es el número de peces en el tiempo t , donde t  se  se mide en años desde el 1 de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por primera vez.

Tiempo en que el sonido sube:   d  t¤= 1090

(a) ¿En qué fecha la población de peces será otra vez la

misma de como era el 1 de enero de 2002? (b) ¿Antes de qué fecha habrán muerto todos los peces del lago? 116.

Población de peces  Un gran estanque es abastecido de peces. La población P de peces está modelada con la fórmula  es el número de días desde P 3t  10 1 t  t  140 140,, donde t  es que los peces fueron introducidos en el estanque. ¿Cuántos días tardará la población de peces en llegar a 500?

DESCUBRIMIENTO

Utilidades  Un fabricante de aparatos pequeños encuentra

120. 

 

117.

que la utilidad P (en dólares), generada por producir x  hornos  hornos de microondas por semana, está dada por la fórmula 1 P  siempre que 0 ≤  x  x   ≤ 200. ¿Cuántos hor10 x  300   x   siempre nos deben ser fabricados en una semana determinada para generar una utilidad de $1250?  

118.

 

1

2 

F 

 

 x 2

1

  DISCUSIÓN

 

2 

239   x  2

donde K   0 es una constante y  x  es  es la distancia del objeto desde el centro de la Tierra, medida en miles de millas. ¿A qué distancia del centro de la Tierra está el “punto muerto” donde no hay fuerza gravitacional neta que actúe sobre el ob jeto? (Exprese su respuesta a las mil millas más cercanas.) cercanas.)

  REDACCIÓN

 kx   󲀓 k   1

es en realidad una familia de ecuaciones, porque para cada valor de k  obtenemos  obtenemos una ecuación diferente con la incógnita x . La letra k  se   se llama parámetro para esta familia. ¿Qué valor debemos escoger para k  para  para hacer que el valor determinado de x  sea  sea una solución de la ecuación resultante? 0

(a)   x  121. 



Una familia de ecuaciones  La ecuación 3 x   k  󲀓 5

Gravedad  Si un segmento imaginario de recta recta se traza entre los centros de la Tierra y la Luna, entonces la fuerza F  gra gravitacional neta que actúa sobre un objeto situado sobre este segmento de recta es K  0.012K 



(b)   x 

1

2

(c)   x 

¿Demostración de que 0  1?  Los siguientes pasos parecen dar ecuaciones equivalentes, que parecen demostrar que 1  0. Encuentre el error.  x    1 Dada

 x   2

 x 

Multiplique por x 

 x 

0

Reste x 

0

Factorice

 x     x   x 

1

 x  x   x 

1

 x 

1

 

 x

1 1

 x   2

2  2 

0  x 

1

Divida entre x 

 x   

0

Simplifique

1

0

Dada   x 

1

1

 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  57 122. 

Volúmenes de sólidos  La esfera, el cilindro y el el cono cono que se ven a continuación tienen todos ellos el mismo radio r   y el mismo volumen V . (a) Use las fórmulas de volumen dadas al final de este libro, para demostrar que 4 3 3 pr 

 

pr 2h 1

y 

4 3 3 pr 

(b)  De estas ecuaciones despeje h1 y h2.

 

1 2 3 pr  h 2

124. 

tivo del coeficiente de x . Demuestre que la misma relación entre raíces y coeficientes se cumple para las ecuaciones siguientes:  x   2 2 x  8 0 2  x    4 x  2 0 Use la fórmula cuadrática para demostrar que, en general, si la ecuación x 2  bx   c  0 tiene raíces r 1 y r 2, entonces c   r 1r 2 y b   󲀓(r 1   r 2).

Resolver una ecuación en formas diferentes   En

r r

123. 

h h⁄

r

Relación entre raíces y coeficientes   La fórmula cuadrática nos da las raíces de una ecuación cuadrática a partir de sus coeficientes. También También podemos obtener ob tener los coeficientes a partir de sus raíces. Por ejemplo, encuentre las raíces de la ecuación x 2 󲀓 9 x   20  0 y demuestre que el producto de las raíces es el término constante 20 y la suma de las raíces es 9, el nega-

1.6

esta sección hemos aprendido varias formas diferentes de resolver una ecuación. Algunas ecuaciones pueden abordarse en más de un método. Por ejemplo, la ecuación  x    1   x  2 0  es de tipo cuadrático. Podemos resolverla haciendo 1   x u y  x   u2, y factorizando. O bien, podríamos despejar 1   x , elevar al cuadrado cada lado y luego resolver la ecuación cuadrática resultante. Resuelva las siguientes ecuaciones usando ambos métodos indicados, y demuestre que obtiene las mismas respuestas finales. (a)  x  (b) 

1

 x   x 

  1  x  12 3

2  2

2

0  tipo cuadrático; despeje despeje el radical radical y eleve al cuadrado 10 1 0 tipo cu cuad adrá ráti tico co;; mu mult ltip ipli liqu quee  x  3   por el MCD

M ODELADO   CO N   ECUACIONES Construcción y uso de modelos  Problemas acerca de interés  Problemas de longitud  Problemas de mezclas  Problemas del tiempo necesario área para orealizar un trabajo  Problemas de distancia, rapidez y tiempo Numerosos problemas en ciencias, economía, finanzas, medicina y otros muchos campos se pueden convertir convertir en problemas de álgebra; ésta es una razón por la que el álgebra es tan útil. En esta sección usamos ecuaciones como modelos matemáticos para resolver problemas reales.

 Construcción y uso de modelos Usaremos las siguientes guías para ayudarnos a formular ecuaciones que modelen situaciones descritas en palabras. Para demostrar la forma en que estas guías pueden ayudar a formular ecuaciones, téngalas en cuenta al trabajar cada ejemplo de esta sección. GUÍA PARA MODELAR CON ECUACIONES 1.  Identifique la variable.   Identifique la cantidad que el problema problema le pide hahallar. En general, esta cantidad puede ser determinada por una cuidadosa lectura de la pregunta que se plantea al final del problema. Después introduzca notación para la variable (llámela  x  o  o alguna otra letra). 2.  Transforme palabras en álgebra.  De nuevo lea cada oración del problema y exprese, en términos de la variable que haya definido en el Paso 1, todas las cantidades mencionadas en el problema. Para organizar esta información, a veces es útil trazar un diagrama o hacer una tabla. 3.  Formule el modelo.   Encuentre el dato de importancia importancia decisiva decisiva en el el problema, que dé una relación entre las expresiones que haya citado en el Paso 2. Formule una ecuación (o modelo) que exprese esta relación. 4.  Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta.  Resuelva la ecuación, verifique su respuesta, y exprésela como una oración que conteste la pregunta

planteada en el problema.

 

58

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos El siguiente ejemplo ilustra la forma en que se usa esta guía para convertir un “problema de palabras” en lenguaje de álgebra.

EJEMPLO 1 

Rentar un auto

Una compañía de renta de autos cobra $30 al día y $0.15 por milla para rentar un auto. Helen renta un auto durante dos días y su cuenta llega a $108. ¿Cuántas millas recorrió? SOLUCIÓN

Identifique la variable.   Nos piden hallar el número de millas que Helen ha recorrido. Por

tanto, hacemos  x   número

de millas recorridas

Convierta las palabras en álgebra.   Ahora convertimos convertimos toda la información dada en el

problema a un lenguaje de álgebra. En palabras

En álgebra

Número de millas recorridas   x  Costo del del recorrido recorrido (a $0.15 por milla) 0.15 x  Costo diario (a $30 por día) 2 30

1 2 

Formule el modelo.   Ahora proponemos el modelo.

costo del recorrido

costo diario 0.15 x 

2 30

Resuelva.   Ahora despejamos  x .

0.15 x 

1 2 

costo total 108

48

Reste 60

   x 

48 0.15

Divida entre 0.15

 x 

320

Con calculadora

V  E R I F I Q U E S U S R E S P U E S T A S

costo total   costo del recorrido costo diario

 

1 2  1 2 

 

0.15 320

 

108

2 30

Helen manejó 320 millas su auto rentado.  AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 19  



En los ejemplos y ejercicios que siguen, construimos ecuaciones que modelan problemas en muchas situaciones reales diferentes.

 Problemas

acerca de interés

Cuando usted pide un préstamo en un banco o cuando un banco le “pide prestado” a usted al mantener el dinero en una cuenta de ahorros, quien pide el préstamo en este caso debe pagar por el privilegio de usar el dinero. La cuota que se paga se llama interés. El tipo más básico de interés es el interés simple, que es precisamente un porcentaje anual de la cantidad total solicitada en préstamo o depositada. La cantidad de un préstamo o depósito se llama principal P. El porcentaje anual pagado por el uso de este dinero es la tasa de interés r . Usaremos la variable t  para  para representar el número de años que el dinero está en depósito y la variable  I  para  para representar el interés total ganado. La siguiente fórmula de interés simple  da la cantidad de interés  I  ganado  ganado cuando un principal P es depositado durante t  años  años a una tasa de interés r .  I

Prt 

 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  59 Cuando use esta fórmula, recuerde convertir el porcentaje r   a decimal.  decimal.  Por ejemplo, en forma decimal, 5% es 0.05. Entonces, a una tasa de interés de 5%, el interés pagado sobre un depósito de $1000 en un período de 3 años es  I   Prt   1000(0.05)(3)  $150.

EJEMPLO 2 

Interés sobre una inversión

María hereda $100,000 y los invierte en dos certificados de depósito. Uno de los certificados paga 6% y el otro paga 412% de interés simple al año. Si el interés total de María es $5025 al año, ¿cuánto dinero se invierte a cada una de las tasas de interés?

SOLUCIÓN

Identifique la variable.  El problema pide la cantidad que ella ha invertido a cada una de

las tasas. Por lo tanto, hacemos  x   la cantidad inverti invertida da al 6% Convierta las palabras en álgebra.   Como la herencia herencia total que recibió recibió María es $100,000, 1 se deduce que ella invirtió 100,000  x al 4 2 %. Convertimos toda la información dada en  

lenguaje de álgebra. En palabras

En álgebra

Cantidad invertida al 6%   Can anti tida dad d in inve vert rtid idaa al 4 12 % Cantidad ganada al 6% 1 Cantidad ganada al 4 2 %

x 

100,00 100, 000 0  x  0.06 x  0.045 100,000   x 

 

1

 

2 

Formule el modelo.   Usamos el dato de que el interés total de María es $5025 para pro-

poner el modelo. interés al 4 12 %

interés al 6%

interés total

 

1

0.06 x 

2 

0.045 100,000   x 

5025

Resuelva.   A continuación despeje la  x .

0.06 x 

4500 0.015 x 

0.045 x 

5025

Propiedad Distributiva

4500

5025

Combine términos en  x 

525

Reste 4500

0.015 x   x 

525 0.015

35,000

Divida entre 0.015

Entonces María ha invertido $35,000 al 6% y los restantes $65,000 al 4 12 %.  

V  E R I F I Q U E S U R E S P U E S T A

interés total

6 %  d  dee $35,000  

$2100 $2

$2925

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 Problemas

4 12 % de $65,000  

$5025 

21

 

de área o longitud

Cuando usamos álgebra para modelar una situación física, a veces debemos usar fórmulas básicas de geometría. Por ejemplo, es posible que necesitemos una fórmula para un área o un perímetro, o la fórmula que relaciona los lados de triángulos semejantes, o el Teorema de Pitágoras. Casi todas estas fórmulas aparecen al final de este libro. Los dos ejemplos que siguen usan estas fórmulas geométricas para resolver algunos problemas prácticos.

 

60

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos 3 pies

x

EJEMPLO 3 

Dimensiones de un jardín

Un jardín cuadrado tiene un andador de 3 pies de ancho alrededor de su borde exterior, como se ve en la Figura 1. Si el área de todo el jardín, incluyendo los andadores, es de 18,000 pies2, ¿cuáles son las dimensiones del área plantada? SOLUCIÓN

Identifique la variable.  Nos piden hallar la longitud y ancho del área plantada. Por lo tanto, hacemos

3 pies

FIGURA 1

 x   longitud

Convierta las palabras en álgebra.  en el lenguaje de álgebra.

del área plantada

A continuación, convierta convierta la información de la Figura 1

En palabras

En álgebra

Longitud del área plantada Longitud de todo el jardín Área de todo el jardín

 x   x 

 

6

1 62  2

 x   x 

Formule el modelo.   A continuación proponemos el modelo.

18,0 18 ,000 00 pi pies es2

área ár ea de to todo do el ja jard rdín ín

1

  x  x 

6

2  2

18,000

Resuelva.   A continuación despejamos x .  x   

6   1 18,000 18,000  x      1 18,000  x   

Tome raíces cuadradas Reste 6

6

128

El área plantada del jardín es de unos 128 pies por 128 pies.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 4 



47

Dimensiones de un lote para construcción

Un lote rectangular para construcción mide 8 pies más largo de lo que es de ancho y tiene un área de 2900 pies2. Encuentre las dimensiones del lote. SOLUCIÓN

Identifique la variable.   Nos piden hallar el ancho y largo del del lote. Entonces, hacemos

  ancho del lote

„ 

Convierta las palabras en álgebra.  A continuación convertim convertimos os la la información información dada en el problema en el lenguaje de álgebra (vea Figura 2). En palabras

En álgebra

Ancho del lote Longitud del lote

„ „

 

8

Formule el modelo.   Ahora formulamos el modelo

ancho del lote

longitud del lote

 „ „

8

1

área del lote

2 

2900

 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  61 Resuelva.   A continuación despejamos „ .

 „ 2  „ 2

1

8„

 „

„

50

 

50

2 1„

8„ 2900 58

 

or

2 

„

2900

Expanda

0

Reste 2900

0

Factorice

58

Propiedad de producto cero

Como el ancho del lote debe ser un número positivo, concluimos que

   50 pies. La lon-

„ 

gitud del lote es „   8

 50

 8

 58 pies.

„ 

„+8

FIGURA 2

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 5 



39

Determinar la altura de un edificio usando triángulos semejantes

Un hombre que mide 6 pies de alto desea hallar la altura de cierto edificio de cuatro pisos. Mide su sombra y encuentra que es de 28 pies de largo, mientras que su propia sombra es 1

de 32 pies de largo. ¿Cuál es la altura del edificio? SOLUCIÓN Identifique la variable.   El problema problema pide la altura del edificio. Por lo tanto, hagamos h  la

altura del edificio

Convierta las palabras en álgebra.   Usamos el dato que los triángulos triángulos de la Figura 3 son semejantes. Recuerde que para cualquier par de triángulos semejantes las relaciones entre lados correspondientes son iguales. Ahora convierta estas observaciones en lenguaje de álgebra. En palabras

En álgebra h

Altura del edificio Razón entre altura y base en el triángulo grande Razón entre altura y base en el triángulo pequeño

h

28 6 3.5

h

6 pies 28 pies

3 12 pies

FIGURA 3

 

62

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos Formule el modelo.  

Como los triángulos grande y pequeño son semejantes, obtenemos

la ecuación razón entre altura y base en triángulo grande h

  28 Resuelva.  

A continuación despeje h.

razón entre altura y base en triángulo pequeño

6 3.5

h

6 # 28 3.5

48

Multiplique por 28

Entonces el edificio mide 48 pies de altura.  AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 51  

 Problemas



de mezclas

Numerosos problemas reales se refieren a la mezcla de diferentes tipos de sustancias. Por ejemplo, trabajadores de la construcción deben mezclar cemento, grava y arena; el jugo de fruta de un concentrado puede tener mezcla de diferentes tipos de jugos. Los problemas de mezclas y concentraciones hacen uso del hecho de que si una cantidad x  de  de una sustancia se disuelve en una solución con volumen V , entonces la concentración C  de  de la sustancia está dada por  x  C 

V 

Por lo tanto, si 10 g de azúcar se disuelven en 5 L de agua, entonces la concentración de azúcar es C     10/ 5   2 g/ L. L. Resolver un problema de mezclas por lo general nos pide analizar la cantidad x  de  de la sustancia que está en la solución. Cuando despejamos x  de  de esta ecuación, vemos que  x     CV . Observe que en muchos problemas de mezcla la concentración C  se  se expresa como porcentaje, como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 6 

Mezclas y concentración

Un fabricante de bebidas gaseosas anuncia su refresco de naranja como “con sabor natural”, aun cuando contiene sólo 5% de jugo de naranja. Un nuevo reglamento federal estipula que para ser llamada “natural”, una bebida debe contener al menos 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo de naranja puro debe agregar este fabricante a 900 galones de refresco de naranja para apegarse al nuevo reglamento? SOLUCIÓN

Identifique la variable. 

El problema pide la cantidad de jugo de naranja puro a ser agregado. Por lo tanto, hacemos  x   la

cantidad (en galones) de jugo de naranja puro a agregar

Convierta las palabras en álgebra.  

En cualquier problema de este tipo, en el que dos sustancias diferentes han de mezclarse, trazar un diagrama nos ayuda a organizar la información dada (vea Figura 4). La información de la figura puede convertirse en lenguaje de álgebra, como sigue: En palabras

En álgebra

Cantidad de jugo de naranja a agregar Cantidad de la mezcla Cantidad de jugo de naranja en la primera tina Cantidad de jugo de naranja en la segunda tina Cantidad de de ju jugo de de na naranja en en la la me mezcla

 x 

900  x  0.05 900 1 # x  x x  0.10 900

1 2  45 1 2   x 

 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  63



5% jugo

Volumen

900 galones



100% jugo

 x  x

galones

10% jugo

900+x galones

Cantidad de  jugo de naranja

5% de 900 galones  100% de x galones 10% de 900+x galones =45 galones = x galones =0.1(900+x) galones

FIGURA 4

Formule el modelo.  

Para formular formular el modelo, usamos el dato de que la cantidad total de  jugo de naranja en la mezcla es igual al jugo de naranja de las dos primeras tinas. cantidad de jugo de naranja en la primera tina

cantidad de jugo de naranja en la segunda tina

45 Resuelva.  

cantidad de jugo de naranja en la mezcla  x 

1

2 

0.1 900

 x 

De la Figura 4

A continuación despeje la x .

45

 x 

90

0.9 x 

45

 x 

45 0.9

0.1 x 

Propiedad Distributiva Reste 0.1 x y 45

50

Divida entre 0.9

El fabricante debe agregar 50 galones de jugo de naranja puro al refresco. V  E R I F I Q U E S U R E S P U E S T A

cantid can tidad ad de de jugo jugo ant antes es de mezc mezclar lar

5% de 900 900 galo galones nes

50 ga galo lone ness de de jug jugoo pur puroo

  45 galones 50 galones cant ca ntid idad ad de de jugo jugo des despu pués és de de mezc mezcla larr

10% 10 % de 95 9500 galo galone ness

95 galon onees

95 gal galon ones es

Las cantidades son iguales.  AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 Problemas

53



del tiempo necesario para realizar un trabajo

Cuando se resuelva un problema que trate de determinar el tiempo que tardan varios traba jadores en terminar un trabajo, usamos el dato de que si una persona o máquina tarda  H   unidades de tiempo para terminar el trabajo, entonces en una unidad de tiempo la parte del trabajo que se ha terminado es 1 /  H . Por ejemplo, si un trabajador tarda 5 horas para podar un césped, entonces en 1 hora el trabajador podará 1 / 5 del césped. EJEMPLO 7 

 Ti em po ne nece cesa sari ri o pa para ra re real al iz ar un tr ab abaj aj o

Debido a una fuerte tormenta anticipada, el nivel de agua en un estanque debe bajarse 1 pie. Abrir el vertedero A baja el nivel en esta cantidad en 4 horas, mientras que abrir el más pequeño vertedero B hace el trabajo en 6 horas. ¿Cuánto tardará en bajar el nivel de agua 1 pie con ambos vertederos abiertos?

 

64

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

Nos piden hallar el tiempo necesario para bajar el nivel 1 pie si ambos vertederos están abiertos. Por lo tanto, hacemos S O L U C I Ó N Identifique la variable.    

A

B

x   tiempo

(en horas) necesario para bajar el nivel de agua 1 pie si ambos vertederos están abiertos

Convierta las palabras en álgebra.  

No es fácil hallar una ecuación ecuación que relacione x  a  a las otras cantidades de este problema. Ciertamente  x  no  no es sólo 4  6, porque eso significaría que los dos vertederos juntos necesitarían más tiempo para bajar el nivel del agua que cualquiera de ellos solo. En cambio, vemos la parte del trabajo que puede ejecutar en 1 hora cada uno de los vertederos.

En palabras

En álgebra

Tiempo que tarda en bajar el nivel 1 pie con A y B juntos

 

Distancia que A baja el nivel en 1 h Distancia que B baja el nivel en 1 h Distancia que A y B juntas bajan niveles en 1 h

Formule el modelo.  

h pie

 x 

pie pie

A continuación formulamos el modelo.

fracción ejecutada por A

Resuelva.  

x 

1 4 1 6 1

fracción ejecutada por B

fracción ejecutada por ambos

1   4

1 6

1

3 x 

2 x 

12

Multiplique por el MCD, 12 x 

5 x 

12

Sume

 x 

A continuación despejamos x .

12  x 

Divida entre 5

5

Tardará 2 25 horas, o 2 h 24 min, para bajar el nivel del agua 1 pie si ambos vertederos están abiertos.  

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

 Problemas



61

de distancia, rapidez y tiempo

El siguiente ejemplo trata sobre distancia, tasa (rapidez) y tiempo. La fórmula a recordar en estos casos es

distancia

rapidez

tiempo

donde la rapidez es ya sea la rapidez constante o el promedio de rapidez de un cuerpo en movimiento. Por ejemplo, manejar en auto a 60 mi/ h durante 4 horas lleva a una persona a una distancia de 60  4  240 millas. EJEMPLO 8 

Un problema de distancia, rapidez y tiempo

Un jet voló de Nueva York a Los Ángeles, una distancia de 4200 kilómetros. La rapidez para el viaje de regreso fue de 100 km/ h más rápido que la rapidez en el vuelo de ida. Si el viaje total duró 13 horas, h oras, ¿cuál fue la rapidez del jet de Nueva York a Los Ángeles? S O L U C I Ó N Identifique la variable.  

Nos piden la rapidez del jet de Nueva York a Los

Ángeles. Aquí hacemos

Entonces

s

 s

rapidez de Nueva York a Los Ángeles

1000 10

rapi ra pide dezz de de Los Los Án Ánge gele less a Nu Nuev evaa Yor Yorkk

 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  65 Convierta las palabras en álgebra.  

A continuación organizamos la información en una tabla. Primero llenamos la columna “Distancia” porque sabemos que las ciudades están a 4200 km entre sí. A continuación llenamos la columna “Rapidez”, porque hemos expresado ambas magnitudes de rapidez en términos de la variable  x . Por último, calculamos las entradas para la columna “Tiempo”, usando tiempo

Distancia (km)

distancia rapidez Rapidez (km/h)

Tiempo (h)

4200

4200

N.Y. a L.A.

 

s s

L.A. a N.Y.

4200

 

4200

100

s

s

Formule el modelo.  

El viaje total tomó tomó 13 horas, de modo que tenemos el modelo tiempo de N.Y. a L.A.

tiempo de L.A. a N.Y. 4200

tiempo total

4200

s

Resuelva.  

100

13

100

s

Multiplicando por el común denominador, s(s  100), tenemos 4200

1

100

s

2 

8400s

4200s

13s

1

s

100

2 

420,000

13s 2

1300s

 0

13s 2

7100s

420,000

Aun cuando esta ecuación se factoriza, con números tan grandes es probable que sea más rápido usar la Fórmula Cuadrática y una calculadora.  s

7100

1

  2  7100

7100

2  1 2 1 1 2  2

4 13

420,000

2 13

2 

8500 26

 s

 

600

o

1400  

s

26

53.8

Como s representa la rapidez, rechazamos la respuesta negativa y concluimos que la rapidez del jet de Nueva York York a Los Ángeles fue de 600 km/ h. h.  AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 67  

EJEMPLO 9 

isla

 A

5 mi

 B

C x 12 mi

D lugar para anidar

FIGURA 5



Energía consumida en el vuelo de un pájaro

Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves tienden a evitar vuelos sobre grandes cuerpos de agua durante horas del día, porque generalmente el aire se eleva sobre tierra y baja sobre el agua en el día, de modo que volar sobre el agua requiere de más energía. Un ave se suelta del punto  A en una isla, a 5 millas de  B, que es el punto más cercano a la playa en línea recta. El ave vuela al punto C  en  en la playa y luego vuela a lo largo de la playa al lugar para anidar  D, como se ve en la Figura 5. Suponga que el ave tiene 170 kcal de reservas de energía. Consume 10 kcal/ milla milla volando sobre tierra y 14 kcal / milla milla volando sobre agua. (a) ¿En dónde debe estar ubicado el punto C  para  para que el ave use exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo? (b)

¿El ave tiene suficientes reservas de energía para volar directamente de  A a  D?

 

66

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos (a) Identifique la variable.   Nos piden hallar la ubicación de C . Hacemos

BHASKARA (nacido en 1114) fue un matemático, astrónomo y astrólogo de la India. Entre sus muchos logros estaba una ingeniosa demostración del Teorema de Pitágoras. (Vea Enfoque en la solución de problemas, en el sitio web www.stewartmath.com. compañero de este libro). Su importante libro matemático Lilavati  (  (La Hermosa) contiene problemas de álgebra planteados en forma de cuentos para su hija Lilavati.

 x   distancia

de  B a

C 

Convierta las palabras en álgebra.  De la figura, y del dato

energía consumida

 energía

por milla

 millas

determinamos lo siguiente.

En palabras

En álgebra

recorridas

Muchos de los problemas empiezan así: “Oh, bella doncella, suponte…” La historieta se relata usando astrología. Bhaskara había determinado que grandes desgracias ocurrirían a su hija si se casaba en cualquier momento que no fuera cierta hora de cierto día. El día de su boda, cuando ella estaba viendo con ansiedad un reloj de agua, una perla de su adorno de la cabeza cayó inadvertidamente y paró el flujo de agua del reloj, haciendo que ella perdiera el momento oportuno para su boda. El libro Lilavati  de  de Bhaskara fue escrito para consolarla.

En palabras

En álgebra

Distancia de B a C

x 

Distancia de vuelo sobre agua (de  A a C )

2  x 

Distancia de vuelo sobre tierra (de

12

2

 a D) C  a

25

Teorema de Pitágoras

 x 

Energía consumida sobre agua

2 14 2   x 

Energía consumida sobre tierra

10 1 12 12

25  x 2 

Formule el modelo.   A continuación formulamos el modelo.

total de energía consumida 170

energía consumida sobre agua

energía consumida sobre tierra

2 14 2  x   x 

 

25

10 1 12 12

x 

2 

Resuelva.   Para resolver resolver esta ecuación, eliminamos eliminamos la raíz raíz cuadrada al llevar llevar primero primero todos los otros términos a la izquierda del signo igual y luego elevar al cuadrado ambos lados.

170

10 1 12 12 50

2500

 

2 

2 14 2  x   x 

25

Aísle a la derecha el término de raíz cuadrada

10 x 

2 14 2  x   x 

25

Simplifique el lado izquierdo

x 

 1 1 50

10 x 2 2

2 1 14 14 2 2 1  x   x 

1000 x 

100 x 2

196 x 2

4900

96 x 2

1000 x 

0  

25 2 

Expanda

2400

Todos los términos al lado derecho

Esta ecuación podría factorizar factorizarse, se, pero como los números son tan grandes es más fácil usar la Fórmula Cuadrática y una calculadora: 1000

 

  2 1 1  1000 2 2

 x 

   

Eleve al cuadrado ambos lados

4 1 96 96 2 1 2400 2400 2 

2 1 96 96 2  1000

280

192

6 23

  o  3

 

3 4

El punto C  debe  debe ser ya sea 6 23 o 3 34 millas desde  B para que el ave consuma exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo.

(b)  Por el Teorema Teorema de Pitágoras (vea página 219), la longitud de la ruta directamente directamente de 2 2  A a  D es 2 5 12 13,, de modo que la energía que el ave requiera para esa ruta 13 es 14  13  182 kcal. Esto es más energía de la que dispone el ave, de modo que no puede seguir esa ruta.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

83



 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  67

1.6 EJERCICIOS

CONCEPTOS   1.  Explique verbalmente qué significa significa que una ecuación modele una situación real y dé un ejemplo.

nedas de 10 centavos más que de 5 centavos, y tantas monedas de 25 centavos que de monedas de 5 combinadas;  p  número de monedas de un centavo.

  2.  En la fórmula I   Prt  para  para interés simple, P representa_____, r  es______  es______ y t  es________.  es________.

APL ICACIONES

  3.  Dé una fórmula para el área de la figura geométrica.

19.  Renta

de un camión   Una compañía que renta vehículos cobra $65 al día y 20 centavos por milla por rentar un camión.

 

(a) 

Un cuadrado de lado x :  A  _______.

 

(b)  Un

 

(c) 

Miguel rentó un camión durante 3 días y su cuenta fue de $275. ¿Cuántas millas recorrió?

rectángulo de longitud l y ancho w:  A  _______.

20.  Costos de teléfono celular  

Una compañía de telefonía celular cobra una cuota mensual de $10 por los primeros 1000 mensajes de texto y 10 centavos por cada mensaje adicional de texto. La cuenta de Miriam por mensajes de texto para el mes de  junioo es de $38.50  juni $38.50.. ¿Cuántos ¿Cuántos mensa mensajes jes de texto texto env envió ió ella ella ese mes? mes?

Un círculo de radio r :  A  ______.

  4.  El vinagre balsámico contiene 5% de ácido acético, de modo que una botella de 32 onzas de vinagre balsámico contiene _____onzas de ácido acético.   5.  Un pintor pinta una pared en x  horas,  horas, por lo que la fracción de  

la pared que pinta en 1 hora es ______.

Inversiones  Felicia invirtió invirtió $12,000, una parte de los cuales gana una tasa de interés simple de 4 12 % al año y el resto gana una tasa de 4% al año. Después de 1 año, el interés total ganado sobre estas inversiones fue de $525. ¿Cuánto dinero invirtió ella a cada una de las tasas?  

  6.  La fórmula d   rt  modela  modela la distancia d  recorrida  recorrida por un objeto que se mueve a una rapidez r  constante  constante en el tiempo t . Encuentre fórmulas para las siguientes cantidades. r   _______

21.

t   _______

22.  Inversiones 

Si Benjamín invierte $4000 al 4% de interés al año, ¿cuánto dinero adicional debe invertir al 5 12 % de interés anual, para asegurar que el interés que reciba cada año sea 4 12 %  de la cantidad total invertida?  

 

HABIL IDADES 7-18    Exprese la cantidad dada en términos de la variable indicada.

  7. La suma de tres enteros consecutivos; n  primer entero de los tres   8.  La suma de tres enteros consecutivos; consecutivos; n  entero intermedio de los tres   9.  El promedio de tres calificaciones de examen si las dos primeras calificaciones son 78 y 82; s  tercera calificación de examen 10.  El promedio de cuatro calificaciones de preguntas de cada una de las tres primeras calificaciones es 8; q  cuarta calificación de preguntas 11.  El interés obtenido después de un año sobre una inversión es 212 %  de interés simple por año;  x   número de dólares invertidos 12.  La renta total pagada por un apartamento mes; n  número de meses 13.  El

si la renta es $795 al

2

área (en pies ) de un rectángulo que mide tres veces más de largo que de ancho; „  ancho del rectángulo (en pies)

14.  El

perímetro (en cm) de un rectángulo que es 5 cm más largo largo que su ancho; „  ancho del rectángulo (en cm)

 15.  La distancia (en millas) que un 15. s  rapidez del auto (en mi / h) h)

auto recorre en 45 minutos;

16.  El

tiempo (en horas) que tarda en recorrer una distancia deterdeterminada a 55 mi/ h; h; d   distancia dada (en millas)

17. 

La concentración (en oz/ gal) gal) de sal en una mezcla de 3 galones de salmuera que contiene 25 onzas de sal a la que se ha agregado agua pura;  x   volumen de agua pura agregada (en galones) centavos) del cambio en un monedero que contiene 18.  El valor (en centavos) el doble de monedas de 5 centavos que de centavo, cuatro mo-

23.  Inversiones 

¿Qué tasa tasa anual de interés debe ganar una perpersona para ganar sobre una inversión de $3500, para asegurar recibir $262.50 de interés después de 1 año? 24.  Inversiones  Jaime invierte invierte $1000 a cierta tasa de interés anual, e invierte otros $2000 a una tasa anual que es medio por ciento más alta. Si él recibe un total de $190 de interés en 1 año, ¿a qué tasa se invierten los $1000? 25.  Salarios 

Una ejecutiva de una compañía de ingeniería gana un salario mensual más un bono de Navidad de $8500. Si ella gana un total de $97,300, ¿cuál es su salario mensual? 26.  Salarios  Una mujer gana 15% más que su esposo. Juntos ganan $69,875 al año. ¿Cuál es el salario anual del esposo? 27.  Herencia   Camilo está ahorrando para comprarse una casa para vacacionar. Él hereda algún dinero de un tío rico, luego combina esto con los $22,000 que ya había ahorrado y duplica el total en una inversión afortunada. Termina con $134,000, que es justo lo suficiente para comprarse una cabaña junto a un lago. ¿Cuánto heredó? 28.  Paga de tiempo extra   Elena gana $7.50 por hora en su trabajo, pero si trabaja más de 35 horas a la semana le pagan 1 12  veces su salario regular por las horas de tiempo extra traba jadas. En una semana ella gana un salario bruto de $352.50. ¿Cuántas horas de tiempo extra trabajó esa semana? 29. Costos de mano de obra   Un plomero y su ayudante trabajan juntos para cambiar las tuberías de una casa vieja. El plomero cobra $45 por hora por su propio trabajo y $25 por hora por el trabajo del ayudante. El plomero trabaja el doble de tiempo que su ayudante en el trabajo, y el cobro por mano de obra en la factura final es de $4025. ¿Cuánto tiempo trabajaron el plomero y su ayudante en este trabajo?

 

68

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

30.  Un

acertijo  Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija; en 6 años, tendrá tres veces la edad que actualmente tiene su hija. ¿Cuál es la edad actual de la hija? 31.  Un acertijo  Un actor de cine, que no está dispuesto a decir su edad, planteó el siguiente acertijo a un columnista de chismes. “Hace siete años, yo tenía 11 veces la edad de mi hija; ahora tengo cuatro veces su edad.” ¿Cuál es la edad del actor? 32.  Cuadrangulares en su carrera  Durante su carrera en las Ligas Mayores, Hank Aaron conectó 41 cuadrangulares más de los que conectó Babe Ruth en su carrera. Juntos conectaron 1469 cuadrangulares. ¿Cuántos conectó Babe Ruth?

42.  Dimensiones

de un lote  Una parcela de terreno mide 6 pies más de largo que de ancho. Cada diagonal desde una esquina a la esquina opuesta es de 174 pies de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 43.  Dimensiones de un lote  Una parcela rectangular de terreno mide 50 pies de ancho. La longitud de una diagonal entre esquinas opuestas es de 10 pies más que la longitud de la parcela. ¿Cuál es la longitud de la parcela? 44.  Dimensiones de una pista   Una pista de carreras tiene la forma mostrada en la figura, con costados rectos y extremos semicirculares. Si la longitud de la pista es de 440 yardas y las

33.  Valor de monedas  

dos partes rectas miden 110 yardas de largo cada una, ¿cuál es

Un monedero contiene igual número

de un de centavo, de cinco y de diezmonedas centavos.monedas El valorde total las monedas es centavos $1.44. ¿Cuántas de cada tipo contiene el monedero? 34.  Valor de monedas   Mary tiene $3.00 en monedas de 5, de 10 y de 25 centavos. Si ella tiene el doble de monedas de 10 que de 25 y cinco más de monedas de 5 que de 10 centavos, ¿cuántas monedas de cada tipo tiene ella? 35.  Longitud de un jardín   Un jardín rectangular mide 25 pies de ancho. Si su área es de 1125 pies 2, ¿cuál es la longitud del jardín?

el radio de las partes semicirculares 110 yd (a la yarda más cercana)? r

45.  Longitud y área    

Encuentre la longitud  x  de  de la figura. Se da el área de la región sombreada.   (a)  x (b) x 14 pulg. 10 cm

 x  pies  pies

13 pulg.

6 cm

25 pies 36.  Ancho

x

x

de un pastizal  Un pastizal mide el doble de largo

que su ancho. Su área es de 115,200 pies 2. ¿Cuál es el ancho del pastizal? 37.  Dimensiones de un lote  Un lote de terreno cuadrado tiene una construcción de 60 pies de largo y 40 pies de ancho en una esquina. El resto del terreno fuera del edificio forma un estacionamiento. Si éste tiene un área de 12,000 pies 2, ¿cuáles son las dimensiones de todo el lote de terreno? 38.  Dimensiones de un lote  Un lote para construcción, de medio acre, mide 5 veces más de largo que de ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?  Nota:  3Nota: 1 acre  43,560 pies2.4 39.  Dimensiones de un jardín  Un jardín rectangular mide 2

10 pies más de largo que de ancho. Su área es 875 pies . ¿Cuáles son sus dimensiones? 40.  Dimensiones de un cuarto   Una habitación rectangular mide 7 pies más de largo que su ancho. Su área es de 228 pies 2. ¿Cuál es el ancho del cuarto? 41.  Dimensiones de un jardín  Un agricultor tiene un lote rectangular de jardín rodeado por una cerca de 200 pies. Encuentre la longitud y ancho si su área es de 2400 pies 2. perímetro

=

área=160 pulg.2 área=144 cm2 46.  Longitud y área   Encuentre la longitud y de la figura. Se da el área de la región sombreada.   (a)    (b) y

y

y

y y

área=120 pulg2

1 cm área=1200 cm2

47.  Enmarcar

una pintura  Ali pinta con acuarela en una hoja de papel de 20 pulgadas de ancho por 15 pulgadas de alto. A continuación pone esta hoja en un marco de cartón de modo que una franja de ancho uniforme del marco de cartón se ve a todo alrededor de la pintura. El perímetro del marco de cartón es de 102 pulgadas. ¿Cuál es el ancho de la franja del marco de cartón que se ve alrededor de la pintura?

200 pies

15 pulg.

x

20 pulg.

 

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones  69 48.  Dimensiones de un cartel  Un cartel tiene una superficie 48.  rectangular impresa de 100 cm por 140 cm y una franja negra de ancho uniforme alrededor de los bordes. El perímetro del cartel es 112 veces el perímetro de la superficie impresa. ¿Cuál es el ancho de la franja negra? 6m 100 cm 2m

x 10 m

 x 

140 cm Unpequeño maderero determina la pies altura un 52.  árbol 52.  Altura árbol altode al un medir uno  más que está a 125 dede distancia del primero, y luego moviéndose de manera que sus ojos estén en la línea de vista a lo largo de las cumbres de los árboles y midiendo la distancia a la que él está del árbol pequeño (vea la figura). Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de alto, el hombre está a 25 pies del árbol pequeño y el nivel de sus ojos está a 5 pies sobre el suelo. ¿Cuál es la altura del árbol más alto?

x

49.   Alcance de una escalera   Una escalera de 1912 pies se 49. apoya contra un edificio. La base de la escalera está a 7 12 pies del edificio. ¿A qué altura del edificio llega la escalera?

1

19 2 pies 20 pies 5 pies 25 pies

125 pies

1

7 2 pies

53.   Problema de mezclas  ¿Qué cantidad de una solución 53. ácida al 60% debe mezclarse con una solución al 30% para producir 300 mL de una solución al 50%?

50.  Altura de un asta de bandera   Un asta de bandera está 50.  asegurada en lados opuestos por medio de dos alambres (llamados “vientos”), cada uno de los cuales mide 5 pies más que el asta. La distancia entre los puntos donde los alambres se fijan al suelo es igual a la longitud de un alambre “viento”. ¿Cuál es la altura del asta de bandera (a la pulgada más cercana)?

54.  Problema de mezclas  ¿Qué cantidad de ácido puro debe 54.  agregarse a 300 mL de una solución al 50% para producir una solución ácida al 60%? 55.  Problema de mezclas  Una joyera tiene cinco anillos, 55.  cada uno de los cuales pesa 18 g, hechos de una aleación de 10% de plata y 90% de oro. Ella decide fundir los anillos y agregar suficiente plata para reducir el contenido de oro a 75%. ¿Cuánta plata debe agregar? 56.  Problema de mezclas  Una olla tiene 6 L de salmuera a 56.  una concentración de 120 g/ L. L. ¿Cuánta agua debe hervirse para aumentar la concentración a 200 g/ L? L?

51.   Longitud de una sombra  Un hombre está alejándose de 51. un poste de alumbrado que tiene una fuente de luz a 6 m sobre el suelo. El hombre mide 2 m de alto. ¿Cuál es la longitud de la sombra del hombre cuando éste está a 10 m del poste? 3Sugerencia: Use triángulos semejantes.4

está lleno lleno de 57.  Problema de mezclas  El radiador de un auto está 57.  una solución al 60% de anticongelante y 40% de agua. El fabricante del anticongelante sugiere que para operar el auto en verano, el enfriamiento óptimo del auto se obtiene con sólo 50% de anticongelante.. Si la capacidad del radiador es 3.6 L, ¿cuánto líanticongelante quido de enfriamiento debe drenarse y sustituirse con agua para reducir la concentración de anticongelante al nivel recomendado? 58.   Problema de mezclas  Una clínica utiliza una solución de 58. blanqueador para esterilizar cajas de Petri en las que crecen cultivos. El tanque de esterilización contiene 100 galones de solu-

 

70

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos

ción de blanqueador doméstico común al 2%, mezclado con agua destilada pura. Nuevas investigaciones indican que la concentración de blanqueador debe ser al 5% para completar la esterilización. ¿Cuánto de la solución debe drenarse y sustituirse con blanqueador para aumentar el contenido de blanqueador al nivel recomendado? 59.  Problema de mezclas  Una botella contiene 750 mL de  jugos de frutas con una concentración de 50% de jugo de frutas puro. Jill toma 100 mL del ponche y luego vuelve a llenar la botella con una cantidad igual de una marca más barata del ponche. Si la concentración del jugo en la botella se reduce ahora al 48%, ¿cuál era la concentración del ponche que agregó Jill?

otro. Si se encuentran 2 h más tarde, ¿a qué velocidad promedio está viajando cada uno de ellos? 69.  Distancia, rapidez y tiempo  Un piloto voló en jet de Montreal a Los Ángeles, una distancia de 2500 millas. En el viaje de regreso, el promedio de velocidad fue 20% más rápido que el de ida. El viaje redondo tardó 9 h 10 minutos. ¿Cuál fue la velocidad de Montreal a Los Ángeles? 70.  Distancia, rapidez y tiempo  Una mujer que maneja un auto de 14 pies de largo está rebasando a un camión de 30 pies de largo. El camión está corriendo a 50 mi / h. h. ¿Con qué rapidez debe ir el auto de la mujer para que pueda pasar por completo al

camión en 6 s, desde la posición mostrada en la figura (a) hasta la posición de la figura (b)? 3Sugerencia: Use pies y segundos en lugar de millas y horas. 4 

60.  Problema de mezclas 

Un comerciante mezcla té que vende en $3.00 por libra con té que vende en $2.75 por libra para producir 80 lb de una mezcla que vende en $2.90 por libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de té debe usar el comerciante en la mezcla? 61.  Compartir un trabajo   Candy y Tim comparten una ruta para vender periódicos. Candy tarda 70 minutos en entregar todos los periódicos; Tim tarda 80 minutos. ¿Cuánto tiempo les lleva a los dos cuando trabajan juntos? 62.  Compartir un trabajo   Stan e Hilda pueden podar el césped en 40 minutos si trabajan juntos. Si Hilda trabaja el doble de rápido que Stan, ¿cuánto tiempo le lleva a Stan podar el césped él solo? 63.  Compartir un trabajo   Betty y Karen han sido contratados para pintar las casas en un nuevo fraccionamiento habitacional. Trabajando juntas, las mujeres pueden pintar una casa en dos tercios del tiempo que tarda Karen si trabaja sola. Betty tarda 6 horas en pintar una casa ella sola. ¿Cuánto tarda Karen en pintar una casa si trabaja sola? 64.  Compartir un trabajo   Los vecinos Bob y Jim, que viven en casas contiguas entre sí, usan mangueras de ambas casas para llenar la piscina de Bob. Saben que tardan 18 horas usando ambas mangueras. También saben que la manguera de Bob, si se usa sola, toma 20% menos tiempo que la manguera de Jim sola. ¿Cuánto tiempo se requiere para llenar la piscina con cada una de las mangueras sola? 65.  Compartir un trabajo  

Irene y Henry, trabajando juntos, pueden lavar todas las ventanas de su casa en 1 h 48 minutos. Trabajando solo, Henry tarda 11 h más que Irene para hacer el trabajo. ¿Cuánto tarda cada persona trabajando sola para lavar todas las ventanas? 66.  Compartir un trabajo   Jack, Kay y Lynn reparten volantes de publicidad en una pequeña población. Si cada persona trabaja sola, Jack tarda 4 h en repartir todos los volantes, y Lynn tarda 1 h más de lo que tarda Kay. Trabajando juntos, pueden repartir todos los volantes en 40% del tiempo que tarda Kay trabajando sola. ¿Cuánto le toma a Kay repartir todos los volantes ella sola? 67.  Distancia, rapidez y tiempo  Wendy hizo un viaje de Davenport a Omaha, una distancia de 300 millas. En parte, viajó en autobús que llegó a la estación de ferrocarril justo a tiempo para que completara su viaje en tren. El autobús promedió 40 mi/ h y el tren promedió 60 mi / h. h. Todo el viaje tomó 51 h. ¿Cuánto tardó Wendy en el tren?

50 mi/ mi/ h

(a)

50 mi/h

(b)

71.  Distancia, rapidez y tiempo 

Un vendedor viaja en auto de Ajax a Barrington, una distancia de 120 millas a una velocidad constante. A continuación aumenta su velocidad en 10 mi / h para recorrer las 150 millas de Barrington a Collins. Si el segundo tramo de su viaje tomó 6 minutos más que el primer tramo, ¿con qué rapidez manejaba entre Ajax y Barrington? 72.  Distancia, rapidez y tiempo  Kiran viajó de Tortula a Cactus una distancia de 250 millas. Ella aumentó su velocidad en 10 mi/ h para el viaje de 360 millas de Cactus a Dry Junction. Si el viaje total tomó 11 h, ¿cuál fue su velocidad de Tortula a Cactus? 73.  Distancia, rapidez y tiempo  A una tripulación les tomó 2 h 40 min remar 6 km corriente arriba y regresar. Si la rapidez de la corriente era de 3 km / h, h, ¿cuál era la velocidad de remar de la tripulación en aguas tranquilas? Dos botes pesqueros salen de un puerto al mismo tiempo, uno de ellos dirigiéndose al este y el otro al sur. El bote con dirección al este viaja a 3 mi/ h más rápido que el que va al sur. Después de dos horas, los botes están a 30 millas entre sí. Encuentre la rapidez del bote que se dirige al sur.

74.  Velocidad de un bote  

N O

E S

  i  m  m   0   3

68.  Distancia, rapidez y tiempo 

Dos ciclistas están a 90 millas entre sí. Arrancan en sus bicicletas al mismo tiempo uno hacia el otro. Uno de ellos pedalea el doble de rápido que el

 

 

71

SECCIÓN 1.6 |   Modelado con ecuaciones 75.  Ley de la palanca  

La figura muestra un sistema de palancas, semejante a un subibaja (balancín) que se puede hallar en un parque de recreo infantil. Para que el sistema esté en equilibrio, el producto del peso y su distancia desde el fulcro debe ser igual en cada lado; esto es,

4

pulg. 4 pulg.

„1 x 1    „2 x 2

   

Esta ecuación recibe el nombre de ley de la palanca y fue descubierta por Arquímedes (vea página 729). Una mujer y su hijo están jugando en un subibaja. El muchacho está en un extremo, a 8 pies del fulcro. Si el hijo pesa 100 lb y la madre pesa 125 lb, ¿dónde debe sentarse la mujer para

80.  Dimensiones de una lata   Una lata cilíndrica tiene un volumen de 40p cm3 y mide 10 cm de alto. ¿Cuál es su diámetro? 3Sugerencia: Use la fórmula de volumen que aparece al fi-

nal del libro.4 

que el subibaja esté balanceado? 10 cm

„¤ „⁄ x⁄

 

x¤

76.  Ley de la palanca  

Una tabla de 30 pies de largo está apoyada en lo alto de un edificio de techo plano, con 5 pies de la tabla sobresaliendo del borde, como se ve en la figura. Un trabajador que pesa 240 lb se sienta en un extremo de la tabla. ¿Cuál es el peso máximo que puede ser colgado del extremo de la tabla que sobresale si debe estar en equilibrio? (Use la ley de la palanca expresada en el Ejercicio 75.)

81.  Radio

de un tanque   Un tanque esférico tiene una capacidad de 750 galones. Usando el dato de que un galón es 0.1337 pies3 aproximadamente, encuentre el radio del tanque (al centésimo de pie más cercano).

82.  Dimensiones

de un lote  Un lote urbano tiene la forma

de un triángulo recto cuya hipotenusa es 7 pies más larga que uno de los otros lados. El perímetro del lote es de 392 pies. ¿Cuál es la longitud de cada lado del lote? 83.  Costos de construcción 

La ciudad de Foxton está a 10 millas al norte de un camino abandonado de dirección esteoeste que pasa por Grimley, como se ve en la figura. El punto del camino abandonado más cercano a Foxton está a 40 millas de Grimley. Oficiales del condado están por construir un nuevo camino que enlaza las dos ciudades. Han determinado que restaurar el camino antiguo costaría $100,000 por milla, mientras que construir un nuevo camino costaría $200,000 por milla. ¿Cuánto del camino abandonado debe usarse (como se indica en la figura) si los oficiales tienen intención de gastar exactamente $6.8 millones de dólares? ¿Costaría menos que esto la construcción de un nuevo camino que conecte las ciudades directamente?

5 pies

77.  Dimensiones

de una caja  Una caja grande de madera

terciada tiene un volumen de 180 pies 3. Su longitud es 9 pies más que su peso, y su ancho es 4 pies menor que su altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

Foxton x+9 x+ 9 x

Grimley x-4

10 mi

Camino abandonado 40 mi

78.  Radio de una esfera  

Un joyero tiene tres pequeñas esferas de oro macizo, de 2 mm de radio, 3 mm y 4 mm. Él decide fundirlas y hacer con ellas una sola esfera. ¿Cuál será el radio de esta esfera más grande?

Camino nuevo

84.  Distancia, rapidez y tiempo  

de una caja  Una caja con una base cuadrada y sin tapa ha de hacerse de una pieza cuadrada de cartón al cortarle cuadros de 4 pulgadas de cada esquina y doblar los lados, como se muestra en la figura. La caja ha de contener 100 pulg. 3.

Un entablado o andén de madera está paralelo y a 210 pies tierra adentro del borde de una playa recta. Una playa arenosa está entre el andén y el borde de la playa. Un hombre está de pie en el andén, exactamente a 750 pies de su sombrilla para playa al otro lado de la arena, que está recta en el borde de la playa. El hombre camina

¿De qué dimensión se necesita la pieza de cartón?

a 4 pies/ s en el andén y a 2 pies / s en la arena. ¿Qué distancia

79.  Dimensiones

 

72

C A P Í T U L O 1 |   Fundamentos debe caminar en el andén antes de entrar a la arena si desea llegar a su sombrilla en exactamente 4 minutos 45 segundos?

750 pies

88.. 88

Comparación de áreas 

Un alambre de 360 pulgadas de largo se corta en dos piezas. A una de éstas se le da forma de cuadrado y de círculo a la otra. Si las dos figuras tienen la misma área, ¿cuáles son las longitudes de las dos piezas de alambre (al décimo de pulgada más cercano)?

210 pies andén

85.  Volumen de grano  Están cayendo granos de un canal al 85.  suelo, formando una pila cónica cuyo diámetro es siempre el

89.   Un antiguo problema chino Este problema ha sido to89. mado de un libro de texto chino llamado Chui-chang suan-shu,

suelo, formando una pila cónica cuyo diámetro es siempre el

o Nueve Capítulos del Arte Matemático , que fue escrito hacia el año 250 a.C.

triple de su altura. ¿De qué altura es la pila (al centésimo de pie más cercano) cuando contiene 1000 pies3 de grano?

 

Un tallo de bambú de 10 pies de largo se descompone en forma tal que su punta toca el suelo a 3 pies de la base del tallo, como se ve en la figura. ¿Cuál es la altura de la rotura?

3Sugerencia: Use el Teorema de Pitágoras.4 

86.   Monitores de TV  Dos monitores de TV, colocados uno al 86. lado del otro en un estante de una tienda de aparatos eléctricos, tienen la misma altura de pantalla. Uno de ellos tiene una pantalla convencional, que es 5 pulgadas más ancha que su altura; el otro tiene una pantalla más ancha, de alta definición, que es 1.8 veces más ancha que su altura. La medida diagonal de la pantalla más ancha es 14 pulgadas más que la medida diagonal de la pantalla más pequeña. ¿Cuál es la altura de las pantallas, correcta al 0.1 de pulgada más cercano?

87.   Dimensiones de una estructura   Un silo de almacena87. miento para maíz está formado de una sección cilíndrica hecha de malla de alambre, rematada por un techo cónico de estaño, como se ve en la figura. La altura del techo es un tercio de la altura de toda la estructura. Si el volumen total de la estructura es 1400p 1400 p pies3 y su radio es 10 pies, ¿cuál es su altura? 3Sugerencia: Use las fórmulas de volumen al final del libro.4 

1 3

3 pies

DESCUBRIMIENTO

h

10 pies

  DISCUSIÓN



  REDACCIÓN

90.  Investigación histórica  Lea las notas biográficas acerca 90.  de Pitágoras (página 219), Euclides (página 497) y Arquímedes (página 729). Escoja uno de estos matemáticos e inves investigue tigue más sobre él en la biblioteca o en Internet. Escriba un breve ensayo de lo que haya encontrado. Incluya información biográfica y una descripción de la matemática por la cual él es famoso. 91.  Una ecuación cuadrática de Babilonia   Los antiguos 91.  babilonios sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación veamos un problema de una tablilla cuneiforme hallada en una escuela de Babilonia, que data del año 2000 a.C.   Tengo un junco, sé su longitud. De él tomo un cúbito que cabe 60 veces a lo largo de mi campo. Lo devuelvo al junco que he dividido, y cabe 30 veces a lo ancho de mi campo. El área de mi campo es de 375 nindas (una medida) cuadradas. ¿Cuál era la longitud original del junco?  

h



Resuelva este problema. Use el dato que 1 ninda

 

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO  



 12

cúbitos.

Ecuaciones a lo largo del tiempo

En este proyecto estudiamos ecuaciones que fueron creadas y resueltas por los pueblos antiguos de Egipto, Babilonia, India y China. El lector puede hallar el proyecto en el sitio web compañero de este libro: www.stewartmath.com

 

3

Gráficas y funciones

OBJETIVOS DE ESTE CAPÍTULO

Tomado de ÁNGEL, A., (2008) Álgebra Intermedia. Séptima edición. México: Cengage Learning.

Los dos objetivos principales de este capítulo son brindarle una mejor comprensión de la graficación y de las funciones. La graficación es un elemento clave en éste y en muchos cursos de matemáticas. Las funciones están estrechamente relacionadas con la graficación, y son un concepto unificador en toda la matemática. Usaremos de manera constante las funciones y la graficación gr aficación en el resto de este libro. 3.1

Gráficas

3.2

Funciones

3.3

Funciones lineales: gráficas y  aplicaciones

3.4

La forma pendiente intercepción de una ecuación lineal Examen de mitad de capítulo: secciones 3.1-3.4

3.5

La forma punto pendiente de una ecuación lineal

3.6

Álgebra de funciones

3.7

Graficación de desigualdades lineales Resumen del capítulo 3 Ejercicios de repaso del capítulo 3 Examen de práctica del capítulo 3 Examen de repaso acumulativo

DIARIAMENTE VEMOS GRÁFICAS en periódicos y revistas.V revistas. Veremos muchas de tales gráficas en este capítulo. capítulo. Por ejemplo, en el ejercicio 74 de la página 172, se utiliza una gráfica para mostrar el crecimiento en el embarque de monitores LCD.

143  

144

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

3.1 Gráficas 1 Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. 2 Dibujar gráficas por medio de puntos. 3 Graficar ecuaciones no lineales. 4 Usar una calculadora graficadora. 5 Interpretar gráficas.

1 Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas Muchas relaciones algebraicas algebraicas son más fáciles de entender, si podemos ver una representación visual de ellas. ellas. Una gráfica es una imagen que muestra la relación entre dos o más variables en una ecuación. Antes de aprender cómo construir construir una una gráfica, debe conocer el sistema de coordenadas cartesiano. El sistema de coordenadas cartesiano (o rectangular), nombrado en honor del matemático y filósofo francés René René Descartes (1596-1650), consiste en dos ejes (o rectas rectas numéricas) en un plano, plano, dibujadas de forma perpendicular perpendicular una de la otra (figura 3.1). Observe cómo los dos ejes determinan cuadrantes, etiquetados con con numerales numerales romanoss, I, II, III y IV. no IV.

 y 6 5

Segundo cuadrante II

Primer cuadrante I

4 3 2

Origen

1 6



5   4



3

  

2   11

1

2

3

4

5

 x

6

2



Tercer cuadrante III

4



5



6



FIGURA 3.1

René Descartes

Cuarto cuadrante IV

3



 x . El. eje El eje horizontal denomina verticalen seeldenomina denom pu de de eje y. El punto origen intersección de los dosseejes se llamaeje Iniciando origenina origen y moviéndose moviéndo sento hacia la derecha, los números números crecen; crecen; moviéndose hacia la izquierda, los números números decrecen. decrecen. Observe que el eje x y el eje y sólo son rectas numéricas, numéricas, una horizontal y la otra vertical. Un par (pareja) ordenado ( x, y) se utiliza para dar las dos coordenadas de un punto. Si, por ejemp ejemplo lo,, la coor coordena denada da  x de un punto es 2 y la coordenada  y es 3, 3, el par par ordenado que que representa a ese punto punto es (2, 3). La coordenada coordenada x siempre es la primera coordenadaa en el par ordenado. coordenad ordenado. Para ubicar un punto, punto, encuentre la coordenada coordenada x en el eje x y la coordenad coordenadaa y en el eje y, luego suponga que que existe una recta vertical imaginaria desde la coordenada x y una recta horizontal imaginaria desde la coordenada y; el punto se coloca donde se intersequen las dos rectas imaginarias. Por ejemplo ejemplo,, el punto correspondien correspondiente te al par ordenado (2, 3) aparece en la figura 3.2. Con frecuencia, frecuencia, abreviamos la frase “el punto correspondiente correspondiente al par par ordenado (2, 3)” como “el punto punto (2, 3)”. Por ejemplo ejemplo,, si escribim escribimos os “el “el punto punto (1, 5)” 5)”,, est esto o signisignifica el punto correspon correspondiente diente al par ordenado ordenado (1, 5) 5).. En la figura 3.3 aparecen los

pares orde ordenado nadoss A en (2, 3) 3),, B en (0, (0, 2), C en (4, 1) y D en (4, 0) 0)..  y

 y

5

5

4

(2, 3)

3

4

 A

3

2

2

1 5



4

 

3

  

2   1

1



1

D 1

2

3

4

 x

5

5



4

 

3   2   1



B

1



2



3



4



5



1

2

2



3

4

5

 x

C 

3



4



5



FIGURA 3.2

FIGURA 3.3

 

Secció Sec ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as

EJEMPLO 1



145

Localice cada uno de los siguientes puntos en el mismo conjunto de

ejes.

a)  A(1 (1,, 4) d) D - 3, 0

1 2

b) e)

B(5 (5,, 5)

1

c) f)

2

E - 3, - 1

C (0, ( 0, 2)

1 2

F 2, - 4

Solución Vea la figura 3.4. Obse Observe rve que que el punto punto (1, 4) es diferen diferente te del (4, 1). Tam-

bién note que cuando la coordenada x es 0, como en en la parte c), el punto punto está en el eje  y. Cuando la coordenada coordenada y es 0, como en la parte d), el punto está en el eje x.  y 5 4 3 2 1

 A(1, 4) B(5, 5)

(0, 2) C (0,

D(3, 0) 5



4

 

3   2   1



E(3, 1)

1



1

2

3

4

 x

5

2



3



4



(2, 4) F (2,

5



FIGURA 3.4

Ahora resuel resuelva va el ejercicio ejercicio 7



2 Dibujar gráficas por medio de puntos En el capítulo 2, resolvimos ecuaciones ecuaciones que que tenían una variable. variable. Ahora analizaremos analizaremos ecuaciones que tienen dos variables. variables. Si una ecuación tiene dos variables, variables, sus soluciones son parejas de números.

EJEMPLO 2



Determine si los siguientes pares ordenados son soluciones de la ecuación y   = 2x   - 3.

1 2

a 12 , - 2 b d) 1 - 1, - 52

a) 1, - 1

b)

c) (4 (4,, 6)

Solución Sustituimos el primer número en el par ordenado por x y el segundo número por y. Si las sustituciones resultan resultan en un enunciado enunciado verdadero, verdadero, la pareja ordenada es una solución solución para la ecuación. ecuación. Si las sustituciones dan como resultado resultado una proposición proposició n falsa, la pareja ordenada no es una solución de la ecuación.

a)

b)  y   = 2x   - 3

y   = 2x   - 3

- 1  2 1   - 3 -1 

21  -2 3

-1  = -1

c)

1

 - 2    2  - 2   

 - 3

a1   -2 b3

 - 2   = - 2

Verdadero

Verdadero

 

d)  y   = 2x   - 3

y   = 2x   - 3

12

1 2

6   2 4   - 3

 - 5    2 - 1   - 3

6   8   - 3 6 = 5

 - 5    - 2   - 3  - 5    - 5

Falso

1 2 a 12 , - 2 b y (

Por tanto, las parejas ordenadas 1, - 1 ,



Verdadero

 

1, 5) son soluciones para la

ecuación y = 2 x  3. El par ordenado ordenado (4, 6) no es una solución. solución. 

Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio 17

 

146

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es Existen muchas otras otras soluciones soluciones para la ecuación en en el ejemplo 2; de hecho, hecho, existe una infinidad de soluciones. soluciones. Un método que puede utilizarse para determinar soluciones de una ecuación como  y  2 x  3 es sustituir valores para x y determinar los valores correspondientes de y. Por ejemplo, para determinar la solución para para la ecuación  y  2 x  3 cuando x  0, sustituimos 0 por x y resolvemos para y.  y   = y    = y    =    = y

2x   - 3 2 0  - 3 0 - 3 -3

12

Así, otra solución para la ecuación es (0, 3). Una gráfica es una ilustración del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.Algunas ecuación. Algunas veces cuando dibujamos dibujamos una gráfica, gráfica, listamos en una tabla algunos puntos puntos que satisfacen la ecuación y luego luego localizamos esos puntos; puntos; después

dibujamos una línea que pase por esos puntos para obtener la gráfica. A continuación está una tabla de algunos puntos que satisfacen la ecuación y  2 x  3. La gráfica gráfica se dibuja en la figura 3.5. Observe que que la ecuación y  2 x  3 tienen un número infinito de soluciones y que la recta continúa de manera indefinida en ambas direcciones (lo que se indica mediante las flechas). f lechas). En la figura 3.5, los cuatro puntos puntos están en una línea línea recta. Puntos que que están en una colineales lineal línea recta se dice que son . La gráfica se denomina denomina ya que es una línea recta. Cualquier ecuación ecuación cuya gráfica es una línea recta se denomina denomina ecuación lineal. La ecuaci ecuación ón y  2 x  3 es un ejemplo de una una ecuación lineal. Las ecuaciones lineales, también se les denomina ecuaciones de primer grado, ya que el mayor exponente que aparece en las variables es 1. En los ejemplos 3 y 4, graficamos ecuaciones ecuaciones lineales. lineales.  y 5 4

 x

y

-1

-5

0

-3

1 2

-2

1

-1

 

3

( x   x , y)

2

1 - 1, - 52 10, - 32 a 12 , - 2 b 11, - 12

 y  2 x  3

1 5



4

 

3

  

2   1

1



1

2

3

4

5

 x

2



3



5



FIGURA 3.5

S u g e r e n c i a ú t i l Consejo de estudio En este capítulo, capítulo, y en varios de los siguientes, siguientes, graficaremos puntos y trazaremos gráficas gráficas usando el sistema de coordenadas cartesiano. Algunas veces los estudiantes tienen problemas al dibujar gráficas precisas. Las siguientes son algunas sugerencias para mejorar la calidad de sus gráficas.

1. Para su tarea, utilice papel cuadriculado para dibujar sus gráficas. Esto le ayudará a 2. 3. 4. 5.

mantener una escala consistente en su su gráfica. Pregunte a su profesor si puede utilizar este tipo de papel en sus exámenes. Utilice una regla para dibujar los ejes y rectas. rectas. Sus ejes y rectas se verán mucho mejor y mucho más precisos si las dibuja con una regla. Si no utiliza papel cuadriculado, utilice una regla para hacer consistente la escala en sus ejes. Es imposible obtener una gráfica precisa cuando los ejes están marcados con una escala desigual. Utilice un lápiz en lugar de una pluma, pues puede cometer un error al dibujar su gráfica. Así podrá corregir con rapidez un error con una goma y no tendrá que iniciar desde el principio. Necesitará mucha práctica para mejorar sus habilidades. Trabaje todos los problemas que se le asignen. Para verificar sus gráficas de los ejercicios con número par, par, puede usar una calculadora graficadora.

 

Secció ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as Sec

147

EJEMPLO 3  Grafique y  x. Solución Primero determinamos parejas ordenadas que sean soluciones seleccionando valores de x y determinando los valores correspondientes de y. Seleccionare Seleccionaremos mos 0, algunos valores positivos y algunos valores negativos para x. En general, general, selec seleccion cionarearemos números cercanos cercanos a 0, de modo que las parejas ordenadas ordenadas se ajusten en los ejes.La ejes. La gráfica se ilustra en la figura 3.6.  y

( x   x , y)

 x

y

-2

-2

-1

-1

0

0

(0, 0)

1

1

(1, 1)

1 - 2, - 22 1 - 1, - 12

5 4 3 2 1 5   4 3 2  11



2

 

3

 y 

  x



1 2 3 4 5

 x

2

2

(2, 2)

4 5

 

1. 2. 3. 4.

FIGURA 3.6

Seleccione valores para x Calcule y Parejas ordenadas Trace los puntos y dibuje la gráfica 

Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 27

Al graficar ecuaciones lineales que contienen fracciones solemos seleccionar valores para x que sean múltiplos del denominador del término x. Esta selecci selección, ón, por lo cocomún, da como resultado resultado los valores de y que se convierten en valores valores enteros. enteros. Esto se ilustra en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4



1 Grafique y   = -    x   + 1. 3

Solución Seleccionaremo Seleccionaremoss algunos valores para  x, determinaremo determinaremoss los valores cocorrespondientes de y y luego haremos la gráfica. Cuando elegimos rrespondientes elegimos valores para x, sel selececcionaremos algunos valores positivos positivos,, algunos valores negativos y 0. La gráfica se ilustra en la figura 3.7. (Para ahorrar ahorrar espacio, espacio, en la tabla no siempre listaremos listaremos una una columna para los pares ordenados).  y 6 5 4 3 2

 x -6

y 3

-3

2

0

1

3

0

 y   a x  1

1 6



5

4

  

3   2   1



1



1

2

3

4

5

 x

6

2



3



4



6

 

5



6



-1

FIGURA 3.7

1. Seleccione valores para x 2. Cal alcu cule le y 3. Trace los puntos y dibuje la gráfica 

Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 35

 

148

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es En el ejemplo 4, observe que seleccionamos seleccionamos valores valores de x que fueron múltiplos de 3, así no tuvimos que trabajar trabajar con fracciones. fracciones. Si nos piden graficar una ecuación que no tiene despejada a la  y, tal como como x  3 y  3, nuestro primer primer paso será despejar a y de la ecuación. Por ejemplo ejemplo,, si despejamos despejamos a  y de x  3 y  3, utilizando el procedimiento procedimiento estudiado estudiado en la sección sección 2.2, obtenemos  x   + 3y   = 3  3y   = - x   + 3   -x  + 3 3   -x 3 1 y   +   = -    x   + 1    = 3 3 3

 y   =

Reste x de ambos lados.

Divida ambos lados entre 3.

La ecuación resultante, y   = -   1  x   + 1, es la misma ecuación que graficamos en el ejem-

3 plo 4. Po Porr lo tanto tanto,, la gráfica gráfica de x  3 y  3 también aparece ilustrada en la figura 3.7.

3 Graficar ecuaciones no lineales Existen muchas ecuaciones cuyas gráficas no son líneas rectas rectas.. Tales ecuaciones se denominan ecuaciones no lineales. Para graficarlas por medio medio del trazo de puntos puntos seguimos el mismo procedimiento empleado para graficar ecuaciones lineales. Sin embargo, como las gráficas no son líneas rectas, podríamos necesitar necesitar más puntos para dibujar las gráficas.

EJEMPLO 5



Grafique y   =   x2 - 4.

Seleccionamos s algunos y determinamos los valores Solución pondientes deSeleccionamo  y. Luego trazamos esosvalores puntospara y los xconectamos por medio de unacorrescurva suave. Cuando sustituimos sustituimos valores para para x y evaluamos el lado derecho de la ecuación, seguimos el orden de las operaciones estudiado en la sección sección 1.4. Por ejemplo, si 2  x  3, enton  y       entonces ces ( 3) 4 9 4 5. La gráfica se muestra en la figura 3.8.

 y 6

 x

y

-3

5

4

-2 -1

0 -3

2 1

5 3

6



5

4

  

3   2   1



1

0

-4



1

-3



 y  x  x 2  4 1

2

3

4

5

6

 x

2



3 4



2

0

3

5

5



6



FIGURA 3.8

Si sustituimos 4 por x, y sería igual a 12. Cuando x  5, y  21. Observe que esta esta gráfica crece de manera consistente alejándose del origen. 

Ahora Ahor a resuelva el ejercicio ejercicio 41

 

Secció ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as Sec

EJEMPLO 6



149

Grafique y   = 1 . x

Solución Iniciamos por seleccionar valores para x y determinar los valores correspondientes de  y. Luego trazamos trazamos lo loss puntos puntos y dibujamos dibujamos la gráfica. gráfica. Obser Observe ve que si 1 1 sustituimos 0 por x, obtenemos y   = . Como no está definido definido,, no podemos utilizar al 0 0 0 como primera coordenada. coordenada. No habrá parte de la gráfica en x  0. Trazaremos puntos a la izquierda de  x  0 y puntos a la derecha de  x  0 de forma forma separada. separada. Seleccione puntos cercanos a 0 para ver qué le sucede a la gráfica cuando x es cercana a x  0. Por 1 1 ejemplo, observe que cuando x   = -   , y   = = - 2. Esta gráfica tiene dos ramas, 2 1 2 una a la izquierda del eje y y una a la derecha del eje y, como se muestra muestra en la figura 3.9.  x

y

-3 -2

1 3 1 -  2 - 

-1

-1

1 2

-2

 

1 2 1 2 3

 y 5 4

1

 y    x

3 2 1

2

5



4



1

 



1 1 2 1 3

1

1



2

3

4

 x

5

4

 

5

FIGURA 3.9



Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 51

En la gráfica del ejemplo 6, observe que para valores valores de x lejanos a 0 por la derecha, o lejanos a 0 por la izquierda, izquierda, la gráfica se aproxima al eje  x pero no lo toca. Por ejemplo,, cuando x  1000, y  0.001 y cuando x  1000, y  0.001. ¿Puede explicar ejemplo por qué y nunca puede tener un valor de 0?

EJEMPLO 7



Grafique y   = ƒ x ƒ .

Solución Recuerde que  x  |x| se lee “valor absoluto de x”. Los valores valores absolutos absolutos se estudiaron en la sección 1.3. Para graficar esta ecuación con valor absoluto, absoluto,seleccio seleccionamos namos algunos valores para  x y determinamos los valores correspondientes para  y. Po Porr ejemejemplo,, si x  4, ento plo entonces nces y  |4|  4. Luego trazamos trazamos los puntos y dibujamos la gráfica. Observe que esta gráfica tiene forma de V, V, como se muestra en la figu figura ra 3.1 3.100.

 x

y

-4

4

-3

3

-2

2

-1

1

0

0

1

1

2

2

 y 5

3

3

4

4

4 3 2

 y   x  x

1 5



4

 

3

2

     

1

1



1

2

3

4

 x

5

2



3



4



5



FIGURA 3.10



Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 45  

150

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

Cómo evitar errores comunes Cuando se grafican ecuaciones no lineales, lineales, muchos estudiantes no trazan suficientes puntos 1 para obtener una imagen verdadera de la gráfica. Por ejemplo, cuando se grafica y   = x

muchos estudiantes sólo consideran valores enteros para x. A continuación está una tabla tabla de valores para la ecuación y dos gráficas que contienen los puntos indicados en la tabla.  x 

-3

 y

- 

1 3

-2

-1

1

2

3

1 2

-1

1

1 2

1 3

- 

CORRECTO  y

INCORRECTO  y

4

4

1  y    x

3 2

3 2

1 4



 

1



1



 y  

1 1

2

3

4

 x

4



 

1



1



1

2

3

1  x

4

 x

2



3



4

4





FIGURA 3.11

FIGURA 3.12

Si selecciona y traza valores fraccionarios de x cercanos a 0, como se hizo en el ejemplo ejemplo 6, obtendría la gráfica de la figura 3.11. La gráfica gráfica de la figura 3.12 no puede ser correcta ya que la ecuación no está definida cuando  x es 0, y por tanto la gráfica gráfica no puede cruzar el eje y. Siempre que trace una gráfica que contenga una variable en el denomina denominador, dor, seleccio seleccione ne valores para la variable que estén muy cercanos al valor que haga al denominador igual a 0 1 y ob observe lo lo qu que su sucede. Por ej ejemplo, cuando gr grafique y   = debe ut utilizar va valores de x - 3  x cercanos a 3, tales como 2.9 y 3.1 o 2.99 y 3.01, y ver qué valores obtiene para y. También, cuando grafique ecuaciones no lineales, es buena idea considerar valores positivos y valores negativos. negativos. Por ejemplo, ejemplo, si sólo utiliza valores positivos positivos de x cuando grafica  y   x parecería ser una línea línea recta que pasa por por el origen, en lugar de la  |x|, la gráfica parecería gráfica en forma de V que se mostró en la figura 3.10 de la página 149.

4 Usar una calculadora graficadora Si una ecuación es complicada, complicada, determinar parejas de puntos puntos consume tiempo. tiempo. En esta sección presentamos un procedimiento general que puede usarse para graficar ecuaciones por medio de una calculadora graficadora. Un uso principal de una calculadora graficadora es graficar ecuaciones. ecuaciones. Una ventana de graficación es la pantalla rectangular en la que se muestra una gráfica. En este libro todas las ventanas de graficación serán de las calculadoras graficadoras TI-83 TI-83 Plus o TI-84 Plus. Plus. Ambas calculadoras calculadoras muestran muestran la misma ventana. En los recuadros Cómo utilizar su calculadora graficadora utilizados en todo el libro, en ocasiones indicaremos que la secuencia de teclas y las ventanas mostradas son para la calculadora graficadora TI-84 Plus. Plus. La misma secuencia de teclas y ventanas también son para la calculadora graficadora TI-83 Plus, aunque podríamos podríamos no indicarlo en los recuadros.  

Secció Sec ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as

151

La la ventana de graficación paraeluna calculadora TI-84 Plus con figura 3.13 muestra 3.14 muestra alguna información ilustrada; la figura significado de la información dada en la figura 3.13. Ymax Xmin

Ymin

FIGURA 3.13

Xscl Yscl

Xmax

FIGURA 3.14

estándarr de la calculador calculadora a va desde 10 (el valor mínimo de x, El eje x en la pantalla estánda Xmin) hasta 10 (el valor máximo de  x, Xmax Xmax)) con una una escala escala de 1. 1. Por lo tanto tanto,, cada marca de división representa 1 unidad (Xscl  1). 1).El El eje y va desde 10 (el valor mínimo de y, Ymin) hasta 10 (el valor máximo de de y, Ymax) con una escala de 1 (Yscl (Yscl  1). Como la ventana es rectangular, rectangular, la distancia entre marcas de división división en la ventana estándar son mayores en el eje horizontal que en el eje vertical.



10, 10, 1, 10, 10, 1

FIGURA 3.15

Con frecuencia, frecuencia, al graficar necesitará cambiar los valores de esta esta ventana. Lea el manual de su calculadora graficadora para aprender a cambiar la configuración de la ventana. En la TI-84 Plus Plus,, presione la tecla WINDOW  y luego cambiar los ajustes ajustes.. Como la calculadora graficadora no muestra los valores de  x y y en la ventana ventana,, de forma ocasional listaremos listaremos un conjunto de valores debajo de la pantalla. La figura 3.15 1 muestra la ventana de una calculadora TI-84 Plus con la ecuación y   = -    x   + 4. De2 bajo de la ventana mostramos seis números números que que representan, representan, en orden: orden: Xmin, Xmax, Xscl, Ymin, Ymax y Yscl. Xscl y Yscl representan representan la escala en los ejes x y y, resp respectiv ectivaamente. Cuando mostremos mostremos la ventana estándar de la calculadora, calculadora, por lo general general no mostraremos estos valores debajo de la pantalla. 1 Para graficar la ecuación y   = -    x   + 4 en la TI-84 Plus Plus,, presionaría 2 Y =            1         ,    2     X, T, ™ , n     +    4

121

2

Luego cuando presiona GRAPH  , la ecuación se grafica. La L a tecla X, T, ™ , n  puede usarse para introducir introducir cualquiera de los símbolos símbolos en la tecla. En este libro esta tecla siempre se usará para introducir la variable  x. TRACE CE La mayoría de las calculadoras graficadoras ofrecen una característica TRA (rastreo) que le permite investigar puntos individuales después de que se mostró la gráfi ficca. Con fr frecuencia, la te tecla TRACE  se pr presiona pa para te tener ac acceso a es esta caracte-

FIGURA 3.16

rística. Después de de pr presionar la la te tecla TRACE  puede mo mover el el cu cursor a lo la largo de de la la línea presionando las teclas de flechas.Cuando flechas. Cuando el cursor se mueve a lo largo de la línea, los valores de x y y cambian para corresponder con la posición del cursor. La figura 3.16 muestra la gráfica de la figura 3.15 después que se presionó la tecla TRACE  y la tecla de la flecha hacia la derecha se ha presionado varias veces. Muchas calculadoras graficadoras también proporcionan una característica TABLE que mostrará una tabla de parejas ordenadas para cualquier función f unción introducida. introducida. En la TI-84 Plus, como TABLE aparece arriba de la tecla GRAPH  para obtener una

FIGURA 3.17

tabla presione 2nd  GRAPH  . La figura 3.17 muestra una tabla de valores para la 1 ecuación y   = -    x   + 4. Puede desplazar hacia arriba y hacia abajo la tabla por medio 2 de las teclas de flechas. Mediante TBLSET TBLSET (por configuración de tabla [Table [Table setup]), puede controlar los valores de  x que aparezcan en la tabla. Por ejemplo, si quiere que que la tabla muestre muestre los valores de x en décimos, podría hacer esto utilizando TBLSET. TBLSET. Esta sección sólo es una breve introducción a graficación de ecuaciones, ecuaciones, a la característica TRACE TRACE y a la característica TABLE TABLE de una calculadora graficadora. Usted debe leer el manual de su calculadora graficadora para aprender a utilizar con toda plenitud estas características características..

 

152

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

5 Interpretar gráficas

Diariamente vemos una gran diversidad de tipos de gráficas en los periódicos, revistas revistas,, televisión, etcétera. A lo largo de este libro, libro, presentamos una variedad variedad de gráficas gráficas.. Ya que ser capaces de dibujar e interpretar gráficas es muy importante, importante, lo estudiaremos con mayor profundidad profundidad en la sección 3.2. En el ejemplo 8 debe entender e interpretar las gráficas para responder la pregunta.

EJEMPLO 8



Cuando Jim Herring fue a visitar a su madre en Cincinnati, él abordó un avión de Southwest Airlines Airlines.. El avión estuvo en la pista de despegue durante 20 minutos y después despegó. despegó. El avión voló a casi 600 millas por hora durante alrededor de 2 horas. Luego redujo su velocidad a 300 millas por hora y voló en círculos alrededor del aeropuerto de Cincinnati Cincinnati durante casi 15 minutos antes de de aterrizar. Después de aterrizar, el avión rodó hacia la puerta puerta de salida y se detuvo.¿Cuál detuvo. ¿Cuál de las gráficas en las figuras 3.18a-3.18d ilustra mejor esta situación?     ) 700    h 600   p

    ) 700    h 600   p

  m 500     (    d 400   a    d    i 300   c   o    l   e 200    V 100

  m 500     (    d 400   a    d    i 300   c   o    l   e 200    V 100

0

0 0

50

100

150

200

250

0

50

Tiempo (minutos) (a)

100

150

200

250

Tiempo (minutos) (b)

    ) 700    h 600   p   m 500     (

    ) 700    h 600   p   m 500     (

   d   a 400    d    i 300   c   o    l   e 200    V 100

   d   a 400    d    i 300   c   o    l   e 200    V 100

0

0 0

50

100

150

200

250

0

Tiempo (minutos) (c)

50

100

150

200

250

Tiempo (minutos) (d)

FIGURA 3.18

Solución La gráfica que representa la situación descrita descrita es (c), la cual se reproduce

con anotaciones en la figura 3.19. Muestra la velocidad velocidad contra contra el tiempo, tiempo, con el tiempo tiempo en el eje horizontal. Mientras el avión se encuentra encuentra en la pista de despegue durante 20 minutos, su velocidad es de 0 millas por hora (la recta horizontal en 0 desde 0 hasta 20 minutos). Después de 20 minutos minutos el avión despegó, y su velocidad se incrementó incrementó El avión despega y aumenta la velocidad a 600 mph El avión volando a 600 mph

El avión disminuye la velocidad a 300 mph El avión da vueltas a 300 mph

    ) 700    h   p 600   m 500     (    d 400   a    d    i 300   c   o    l   e 200    V 100

El avión inicia su aterrizaje El avión se detiene en la puerta

0 0

50

100

150

200

250

Tiempo (minutos) El avión se dirige a la

FIGURA 3.19

El avión está detenido

pista de despegue

 

Secció ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as Sec

153

hasta 600 millas por hora (la recta casi vertical que va de 0 a 600 mph). Luego el avión voló a casi 600 millas por hora durante 2 horas (la recta horizontal en alrededor de 600 mph). Luego desciende a 300 millas por hora hora (la recta casi vertical de 600 mph a 300 mph). A continuación el avión da vueltas en círculo a casi 300 millas por hora durante 15 minutos (la recta horizontal de alrededor alrededor de 300 mph). El avión aterrizó (la recta casi vertical de alrededor de 300 mph a casi 20 mph). Luego rodó hacia la puerta de salida (la recta horizontal en casi 20 mph). mph). Po Porr último, se detuvo en la puerta (la recta casi vertical que cae a 0 mph)  Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 81

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.1 Ejercicios de concepto/redacción 1. a) ¿Cómo se ve la gráfica de cualquier ecuación lineal? b) ¿Cuántos puntos son necesarios para graficar una ecua-

3. ¿Qué significa que un conjunto de puntos sea colineal? 1

4. Cuando se grafica la ecuación y   =

ción lineal? Explique.2 2. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos variables?

x

, ¿qué valor no pued edee

sustituirse para x? Explique.

Práctica de habilidades Liste las parejas ordenadas que corresponden a los puntos indicados .

5.

6.

 y 4 3

B 8   7   6



D

5   4



3

2

     

1

15

G

 A 1

1



2

3

 x

4

10  8



3



4



2

4

10



20



6

C  E

1

2 1 2 1 2 1 2

A - 4, - 2   B 3, 2   C 2, - 3   D - 3, 3

1 - 9, 12

- 31, - 8

1

1 2

11. 4, - 3 IV 15. - 11, - 19

II III

2

1 2 19. 1 - 4, - 22; 

12. (36, (36, 43) 16. 8, - 52

III

Determine si la pareja ordenada es una solución para la ecuación dada.

17. (2, 21) 21);; y   = 2x   - 5

1 2 24. 1 - 10, - 22;  ƒ

no

21. - 2, 5 ;  s   = 2r2 -   r   - 5

18. (1 (1,, 1) 1);; 2x   + 3y   = 6 yes

p ƒ   - 3 ƒ q ƒ   = 4 yes

 x

8 10 12 14

8. Grafique los puntos siguientes en los mismos ejes.

Determine el cuadrante en el que está cada punto .

II

B 2

5

15

1 2 1 2 1 2 1 2 10. 14.

 A



C 

A 4, 2   B - 6, 2   C 0, - 1   D - 2, 0

1

4   2



7. Grafique los puntos siguientes en los mismos ejes.

9. (3, (3, 5) I 13. - 12, 18

6

  

10 5

F 

G

2



D

20

E

2 1

F 

 y

22. 25.

no

a 14 , 114 b;    = ƒ   - 3 ƒ a 12 , 52 b ;  2 + 6   -   = 0 y

x2

x

y  = ƒxƒ   + 3

1 2 20. 11, - 52; 

y   =   x2 +   x   - 7

23. (2 (2,, 1) 1);; - a2 + 2b2 = - 2

yes

x

I

 y

no

26.

a - 3, 72 b ;  2

m2 + 3n   = 2

Grafique cada ecuación.

27. y   =   x   + 1

28. y   = 3x

29. y   = - 3x   - 5

31. y   = 2x   + 4

32. y   =   x   + 2

33. y   =  x

1

35. y   =  x   - 1

1

36. y   = -    x   - 3

2

1 2

1

37. y   = -    x   + 2

2

30. y   = - 2x   + 2 1 3 1

34. y   = -    x 38.   y   = -    x   + 4

3

3

 

154

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

39. y   =   x2

40. y   =   x2 - 2

41. y   = - x2

42. y   = - x2 + 4

43. y   = ƒ x ƒ   + 1

44. y   = ƒ x ƒ   + 2

45. y   = - ƒ x ƒ

46. y   = - ƒ x ƒ   - 3

47. y   =   x3

48. y   = - x3

49. y   =   x3 + 1

50. y   =

52. x2 = 1   +   y

53. x   = ƒ y ƒ

54. x   =   y2

51. y   = -  

1 x

1 x

En los ejercicios del 55 al 62, utilice una calculadora para obtener al menos ocho puntos que son soluciones para la ecuación. Luego  grafique la ecuación trazando los puntos puntos.

55. y   =   x3 -   x2 -   x   + 1

56. y   = - x3 +   x2 +   x   - 1

57. y   =

59. y   =   1 x

60. y   =   2 x   + 4

61. y   =

1 x + 1 1 x2

58. y   =

62.   y   =

1 x

 + 1

ƒ x2 ƒ 2

punto re representado po por el el pa par or ordenado 63. ¿El pu la gráfica de la ecuación y   =

a 13 , 121 b está enen

a

  x2 ? Explique. x + 1

en la gráfica de la ecuación y   =

65. a) Trace los puntos  A(2 (2,, 7) 7),, B(2 (2,, 3) 3),, C (6, (6, 3) y luego luego dibuje dibuje

1 2

64. ¿El punto representado por el par ordenado -   , -     x2 + 1 x2 - 1

b

3 está 5

? Explique.

66. a) Trace los puntos A(4, 5) 5),, B(2, 5), C (2, (2, 3) y D(4, 3),

AB, AC y BC. (AB re repr pres esen enta ta el se segm gmen ento to de re rect ctaa de  A a B).er section.

y luego dibuje AB, BC, CD y DA.

b) Determine el área de la figura. 8 sq units

b) Determine el área de la figura. units 67.. Ca 67 Camp mpoo de de gol golf  f  La gráfica siguiente muestra que la longitud

68. Com Comerc ercio io elect electrón rónico ico La gráfica siguiente muestra que el co-

promedio de un campo de golf en los torneos más importantes ha aumentado en los años recientes.

mercio electrónico (ventas por medio de internet) ha aumentado de forma constante. constante. La gráfica muestra las ventas, ventas, en el primer trimestre de cada año, durante los años desde 2000 hasta 2005.

Longitud promedio de campo de golf 

Alza en el comercio electrónico 7300 7200   s   a 7100    d   r   a    Y7000

6900 0

1980

1985

1990

1995

2000

2005

Año Fuente: Rees Jones Inc., PGA Tour, investigación de USA TODAY.

20     )   s 18   e   n   o 16    l    l    i   m 14   e    d 12   s   e    l    i 10   m   n 8   e     (   s 6   e   r   a    l 4    ó    D 2 0 2000

2001

2002

2003

2004

2005

Año

a) Estime la longitud promedio del campo de golf, en los torneos más importantes importantes,, en 1980.

b) Estime la longitud promedio del campo de golf, en los torneos más importantes importantes,, en 2005.

c) ¿En cuáles años la longitud promedio fue mayor que 7000 yardas? 2005

d) El aumento en la longitud promedio de los campos de golf, de los torneos más importantes, importantes,de de 1995 a 2005 parece que es lineal. Explique.

Fuente: Oficina de censos, USA TODA TODAY  Y  (8/9/05)  (8/9/05)

a) Estime las ventas por internet en el primer trimestre de 2000. b) Estime las ventas por internet en el primer trimestre de 2005.il c) ¿En cuáles años las ventas por internet, internet, en el primer trimestre, fueron mayores de $12 mil millones?05 d) El aumento en las ventas por internet en el primer trimestre de cada cada año de 2000 a 2005, ¿parece lineal? lineal? Explique.

 

Secció ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as Sec

155

 Analizaremos muchos de los conceptos introducidos introducidos en los ejercicios ejercicios del 69 al 76 en la sección 3.4.

69. Grafique y  x  1, y  x  3 y y  x  1 en los mismos ejes. a) ¿Qué observa con respecto a las gráficas de las ecuacio-

72. Grafique y  4 x. Determine la razón de cambio de y con res-

nes y los valores donde las gráficas intersecan al eje  y?

73. Grafique y  3 x  2. Determine la razón razón de cambio de y con

b) ¿T ¿Todas odas las ecuaciones parecen tener la misma inclinación

pecto a x.

respecto a x.

(o pendie pendiente)? nte)? 1 1 1 70. Grafique y   = x, y   = x   + 3 y y   = x   - 4 en los mismos 2 2 2 ejes.

a) ¿Qué nota con respecto a las gráficas de las ecuaciones y los valores donde las gráficas intersecan al eje  y?

b) ¿T ¿Todas odas las ecuaciones parecen tener la misma inclinación

1 2

74. Grafique y   = x. Determine la razón de cambio de  y con respecto a x.

75. La pareja ordenada (3, 7) representa un punto en la gráfica de una ecuaci ecuación ón lineal. lineal. Si  y aumenta 4 unidades por cada unidad que aumenta x en la gráfica, determine otras dos dos soluciones para la ecuación.

(o pendie pendiente)? nte)? 

71. Grafique y  2 x. Deter Determine mine la razón de cambio de y con res-

ordenada 4) y representa punto en la gráfica 76. La de pareja una ecuaci ecuación ón lineal. lin(1, eal. Si aumenta un 3 unidades por cada

pecto a x. Esto es, es, ¿en cuántas unidades unidades cambia y comparado con cada unidad que cambia x?

unidad que aumenta x en la gráfica, determine otras dos dos soluciones para la ecuación.ers are possible.

Relacione cada ejercicio del 77 al 80 con la gráfica correspondiente de la altura del nivel del mar con respecto al tiempo, tiempo, etiquetadas de la a a la d.

77. María Leeseberg caminó durante cinco minutos a nivel del

79. Nancy Johnson inició su caminata ascendente en una colina

piso. Luego durante cinco minutos minutos escaló una pequeña colina. Después caminó a nivel del piso durante cinco minutos. Posteriormente, Posteriorm ente, durante los siguientes cinco minutos escaló una colina inclinada. Durante los siguientes siguientes 10 minutos desdescendió de manera uniforme hasta que alcanzó la altura a la cual había iniciado.

empinada durante cinco minutos. minutos. En los siguientes cinco minutos caminó descendiendo una colina empinada hasta una elevación menor que el punto en que inició. Los siguientes 10 minutos caminó al nivel del piso. piso. Los siguientes 10 minutos caminó hacia arriba en una colina un poco inclinada, en ese momento alcanzó la elevación con que inició.

78. Don Gordon caminó a nivel del piso durante cinco minutos,

80. James Condor inició ascendiendo una colina durante cinco

después bajó una colina empinada durante durante 10 minutos. minutos. Los siguientes cinco minutos minutos caminó al nivel del piso. piso. Los siguientes cinco minutos caminó y regresó a la altura en que inició. Los siguientes cinco minutos caminó al nivel del del piso.

minutos. Los siguientes siguientes 10 minutos descendió descendió caminando una colina hasta una elevación igual a la elevación en que inició. Los siguientes 10 minutos caminó a nivel del piso. Los siguientes cinco minutos caminó descendiendo por la colina.

300     )   s   e 250    i   p     (   n 200    ó    i 150   c   a   v 100   e    l    E 50

300     )   s   e 250    i   p     (   n 200    ó    i 150   c   a   v 100   e    l    E 50

0

0 0

5

10

15

20

25

30

0

5

Tiempo (minutos) (a)

10

15

20

25

30

25

30

Tiempo (minutos) (c)

300     )   s   e 250    i   p     (   n 200    ó    i 150   c   a   v 100   e    l    E 50

300     )   s   e    i 250   p     (   n 200    ó    i 150   c   a   v 100   e    l    E 50

0

0 0

5

10

15

20

25

0

30

5

10

15

20

Tiempo (minutos) (d)

Tiempo (minutos) (b)

 

156

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

Relacione los ejercicios ejercicios del 81 al 84 con la gráfica correspondiente de velocidad velocidad contra tiempo, etiquetadas con las letras de la a a la d .

Cletiduss Hunt caminó durante tres mi81. Para ir al trabajo, Cletidu

Washington manejó en una carrete83. Para ir al trabajo, Sheila Washington

nutos, esper esperó ó el tren durante cinco cinco minutos, minutos, viajó en el tren durante 15 minutos, minutos, y después caminó durante 7 minutos. minutos. 82. Para ir al trabajo, Tyrone Williams Williams condujo en tráfico pesado (paraba y avanzaba) durante cinco minutos, minutos,luego luego manejó en una autopista durante 20 minutos y luego volvió al tráfico pesado durante cinco minutos.

ra rural durante 10 minutos, minutos, después manejó en una autopista durante doce minutos y luego en tráfico pesado durante ocho minutos. 84. Para ir al trabajo, trabajo, Brenda Pinkney condujo condujo su bicicleta colina arriba durante 10 minutos, minutos, después colina abajo durante 15 minutos y luego condujo en una calle plana durante cinco minutos. minutos.

    )    h   p   m     (    d   a    d    i   c   o    l   e    V

70

70

    )    h 60   p   m 50     (    d 40   a    d    i 30   c   o 20    l   e    V 10

60 50 40 30 20 10 0

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo desde que salió (minutos) (a)

0

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo desde que salió (minutos) (c)

    )    h   p   m     (    d   a    d    i   c   o    l   e    V

    )    h   p   m     (    d   a    d    i   c   o    l   e    V

70 60 50 40 30 20 10 0

70 60 50 40 30 20 10 0

0

5

10

15

20

25

30

0

Tiempo desde que salió (minutos) (b)

5

10

15

20

25

30

Tiempo desde que salió (minutos) (d)

Relacione los ejercicios ejercicios del 85 al 88 con la gráfica correspondiente de velocidad velocidad contra tiempo, etiquetadas de la a a la d .

85. Cristina Dwyer caminó durante cinco minutos para calentar,

87. Miguel Odu tomó un camino a través de su vecindario du-

trotó durante 20 minutos, y después caminó durante cinco minutos para el enfriamiento.

rante 30 minutos. minutos. Se detuvo brevemente en siete ocasiones para recolectar basura. 88. Ricardo Dai caminó a través de su vecindario y se detuvo tres veces para platicar con sus vecinos. vecinos. Estuvo fuera de su casa durante 30 minutos.

86. Ana Droullard fue por una bicicleta y la condujo a una velocidad constante durante 30 minutos.     ) 5    h   p   m 4     (    d 3   a    d    i   c 2   o    l   e    V 1

    ) 5    h   p   m 4     (    d 3   a    d    i   c 2   o    l   e    V 1

0 0

5

10

15

20

25

30

0

Tiempo (minutos) (a)

0

5

10

15

20

25

30

25

30

Tiempo (minutos) (c)

    ) 5    h   p   m 4     (    d 3   a    d    i   c 2   o    l   e    V 1

    ) 5    h   p   m 4     (    d 3   a    d    i   c 2   o    l   e    V 1

0

0 0

5

10

15

20

25

30

Tiempo (minutos) (b)

0

5

10

15

20

Tiempo (minutos) (d)

 

Secció ción n 3.1 Grá Gráfic ficas as Sec

157

Relacione los ejercicios del del 89 al 92 con la gráfica correspondiente de distancia distancia recorrida contra tiempo, tiempo, etiquetada de la a a la d. Del capítulo 2, recuerde que distancia  velocidad  tiempo. En las gráficas se indican las distancias seleccionadas. seleccionadas.

89. El tren A viajó a una velocidad de 40 mph durante una hora,

91. El tren B viajó a una velocidad de 20 mph durante dos horas,

luego durante dos horas a 80 mph y luego a 60 mph durante tres horas. 90. El tren C viajó a una velocidad de 80 mph durante dos horas, luego permaneció parado en una estación durante una hora y después viajó a 40 mph durante tres horas.

luego a 60 mph durante tres horas y luego a 80 mph durante una hora. 92. El tren D viajó a 30 mph durante una hora,después hora, después a 65 mph durante dos horas y después a 30 mph durante tres horas.

400

400

    )   s 350   a    l    l    i 300   m     ( 250   a    i   c 200   n   a 150    t   s    i 100    D

280

160 160

50 0

    )   s 350   a    l    l    i 300   m     ( 250   a    i   c 200   n   a 150    t   s    i 100    D

250 160

50 0 0

1

2

3

4

5

Tiempo (horas) (a)

6

30 0

1

2

3

4

5

Tiempo (horas) (c)

6

400

    )   s 350   a    l    l    i 300   m     ( 250   a    i   c 200   n   a 150    t   s    i 100    D

400

    )   s 350   a    l    l    i 300   m     ( 250   a    i   c 200   n   a 150    t   s    i 100    D

380

200

50

300 220

50

40

0

40

0 0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

Tiempo (horas)

Tiempo (horas)

(b)

(d)

6

Utilice una calculadora graficadora para graficar cada función . Asegúrese de seleccionar seleccionar valores para para la ventana que muestre la curvatura de la gráfica. Luego Luego,, si su calculadora calculadora puede mostrar tablas, despliegue una tabla de valores de x, en unidades, unidades, de 0 a 6.

1 3

93. y   = 2x   - 3

94. y   = x   + 2

95. y   =   x2 - 2x   - 8

96. y   = - x2 + 16

97. y   =   x3 - 2x   + 4

98. y   = 2x3 - 6x2 - 1

Retos Grafique cada expresión.

99. y   = ƒ x   - 2 ƒ

100. x   =   y2 + 2

Actividad en grupo  Analice y resuelva en grupo grupo los ejercicios del del 101 al 102.

101. a) Miembro uno del grupo: Trace los puntos ( 2, 4) y (6,

(3,, 5) 5),, B(8, 5) y 102. Tres puntos en un paralelogramo son:  A(3

8). Deter Determine mine el punto medio del segmento de recta que conecta estos puntos.

C (1, 3).

Miembro dos del grupo: Siga las instrucciones anteriores para los puntos (3, 2) y (5, (5, 6).

complete el paralelogramo. b) De forma individual calcule el área de su paralelogramo. c) Compare sus respuestas. respuestas. ¿T ¿Todos odos obtuvieron la misma misma respuesta? Si no, no, ¿por qué no?rs will vary. d) ¿Hay más de un punto que se pueda usar para completar el paralelogramo? Si es así, proporcionen los puntos y encuentren las áreas correspondientes de cada uno de los paralelogramos.

a) De forma individual determine un cuarto punto D que

Miembro tres del grupo: Siga las instrucciones anteriores para los puntos (4, 1) y (2, 4) 4)..

b) Como grupo, determine una fórmula para el punto punto medio de un segmento de línea que conecta los puntos ( x1,  y1) y ( x2, y2). (Nota: analizaremos la fórmula del punto medio más adelante, adelante, en el capítulo 10).

 

158

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 103. Evalúe

- b   +   3 b2 - 4ac 2a

para a   = 2, b   = 7 y

c   = - 15.

104.. Ren Renta ta de un cam camión ión Hertz Truck Rental cobra una [2.3] 104 cuota diaria de $60 más $0.10 por milla. La agencia de renta National Automobile Automobile cobra una cuota diaria de $50 más $0.24 por milla milla para el mismo camión. camión. ¿Qué

distancia tendría que conducir usted durante un día para que el costo de renta de ambas compañías sea igual? 4   - 3x [2.5] 105. Resuelva la desigualdad - 1   …   6 5. Escriba 2 la solución en notación constructiva de conjuntos.

[2.6] 106. Determine el conjunto solución para la desigualdad ƒ 3x   + 2 ƒ   7 7.

3.2 Fun unc cione nes s 1 Entender las relaciones. 2 Reconocer las funciones.

1 Entender las relaciones

3 Utilizar la prueba de la recta  vertical. 4 Entender la notación de funciones. 5 Aplicación de funciones en la vida diaria.

Con frecuencia en la vida diaria encontramos que una cantidad está relacionada con una segunda cantidad. cantidad. Por ejemplo, ejemplo, la cantidad que gasta en naranjas naranjas está relacionada con el número de naranjas que usted usted compra. La velocidad de un bote de vela está relacionada con la velocidad del viento. viento. Y el impuesto por ingresos que usted paga está relacionado con el ingreso que obtiene. Suponga que las naranjas naranjas cuestan 30 centavos por por pieza. Entonces una naranja naranja cuesta 30 centavos, centavos, dos naranjas cuestan 60 centavos, centavos, tres naranjas cuestan 90 centavos, centavos, y así sucesivamente. sucesivamente. Pod Podemos emos listar esta información, información, o relación, como un conjunto conjunto de parejas ordenadas, ordenadas, listando el número número de naranjas primero, primero, y el costo en centavos en segundo segund o lugar. Las parejas parejas ordenadas ordenadas que representan representan esta esta situación son son (1, 30), (2, 60), (3, 90), etcétera. Una ecuación que represe representa nta esta esta situación situación es c  30n, do dond ndee c es el costo en centavos centavos,, y n es el número de naranjas. naranjas. Como el costo depende del número de naranjas,, decimos que el costo naranjas costo es la variable dependiente y el número de naranjas es la variable independiente. Ahora considere la ecuación y  2 x  3. Algunas parejas ordenadas ordenadas que satisfacen esta ecuación son (2, 1) 1),, (1, 1) 1),, (0 (0,, 3) 3),, (1 (1,, 5) 5),, (2 (2,, 7) 7),, et etcé céte tera ra.. En est estaa ecua ecuaci ción ón,, el valor obtenido para y depende del valor seleccionado para x. Por lo tanto, x  x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Observe que en este ejemplo, ejemplo, a diferencia de las naranjas, naranjas, no existe una conexión física física entre  x y  y. La variab variable le x es la variable independiente y  y es la variable dependiente simplemente a consecuencia de su lugar en la ecuación. Para una ecuación de las variables x y y, si el valor valor de y depende del valor de x,entonces y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Ya que las cantidades relacionadas pueden representarse representarse como parejas ordenadas, ordenadas, el concepto de relación puede definirse como sigue. Relación

Una relación es cualquier conjunto de parejas ordenadas.

Como la ecuación  y  2 x ordenadas, es una relación. ordenadas,



3 puede representarse como un conjunto de parejas

2 Reconocer las funciones Ahora desarrollamos la idea de función, uno de los conceptos más importantes importantes en matemáticas.. Una función es un tipo especial de relación en la que a cada elemento en un temáticas conjunto (llamado el dominio) le corresponde exactamente un elemento en un segundo conjunto (llamado el rango).

 

Secció n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Sección

159

Considere las naranjas que que cuestan 30 centavos por pieza, que acabamos de analizar. Pod Podemos emos ilustrar el número de naranjas y el costo de las naranjas por medio de la figura 3.20 . Número de naranjas, n

Correspondencia c  30 n

Costo de naranjas, c (centavos)

1

30 2

60

3

90 4

120

5

FIGURA 3.20

150

 …

…

Observe que en) cadaexactamente número en elunconjunto de naranjas corresponde a (o c. es transformado númerode ennúmero el conjunto de costo de naranjas, Por consiguiente consiguiente,, esta correspondencia correspondencia es una función. El conjunto que consiste consiste en el número de naranjas 1,2,3,4,5, p , se denomina denomina dominio. El conjunto que que consiste en los costos en centavos, 30, 60 60,, 90 90,, 12 120, 0, 150 50,,  p , se den denomin ominaa rango. En ge gene nera ral, l, el

5  5

6

6

conjunto de valores para la variable independiente se llama dominio. El conjun conjunto to de valores para la variable dependiente se denomina rango, vea la figura 3.21. Correspondencia Dominio

Rango

FIGURA 3.21

EJEMPLO 1 a) 1 2

1 4

3

9



Determine si cada correspon correspondencia dencia es una función.

b) mariquita

c) JCPenney

insecto

grillo

águila

Dallas Milwaukee

Sears

ave

Chicago

halcón

Solución a) Para que una correspondencia correspondencia sea una función, cada elemento en el dominio debe

5

corresponder con exactamente un elemento en el rango. Aquí el dominio es 1, 2, corresponder 3 y el rango es 1 , 4 , 9 . Como cada elemento en el dominio corresponde corresponde a exactamente un elemento en el rango, esta correspondencia correspondencia es una función. b) Aquí el dominio es mari mariquita quita,, grill grillo, o, águil águila, a, halcó halcón n y el rango es insec insecto to,, ave . Aunque el dominio tiene cuatro elementos y el rango dos, dos, cada elemento en el dominio corresponde corresponde con exactamente exactamente un elemento en el rango. rango. Por lo tanto, tanto, esta

6

5

6

5

5

correspondencia es una función.

6

6

5

6

5

6

c) Aquí el dominio es JCPenne JCPenneyy, Sears y el rango es Dallas Dallas,, Milwauke Milwaukee, e, Chicago . Observe que JCPenney corresponde corresponde tanto a Dallas como a Milwaukee. Por lo tanto, cada elemento en el dominio no correspon corresponde de a exactamente un elemento en el rango.. En consecuencia,esta rango consecuencia, esta correspondencia correspondencia es una relación pero no una función. 

Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio 17

Ahora definiremos de manera formal el concepto de función. Función

Una función es una correspondencia entre un primer conjunto de elementos, elementos, el dominio, y un segundo conjunto de elementos, el rango, de modo que cada elemento del dominio corresponde a exactamente un elemento en el rango.

 

160

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

EJEMPLO 2



¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

a) { 1, 4 , 2, 3 , 3, 5 , - 1, 3 , 0, 6 } b) { - 1, 3 , 4, 2 , 3, 1 , 2, 6 , 3, 5 }

1 2 21 1 2 21 1 2 21 1 2 1 2

Solución

a) El dominio es el conjunto de las primeras coordenadas en el conjunto de parejas

5

6

5

ordenadas, 1,2,3, 1, 0 y el rango es el conjunto de segundas coordenadas, 4,3, 5, 6 . Observe que que cuando listamos listamos el rango, rango, sólo incluimos incluimos el número número 3 una vez aunque aparece aparece en (2, 3) y (1, 3). Al examinar el conjunto conjunto de parejas parejas ordenadas, ordenadas, vemos que cada número en el dominio corresponde con exactamente un número en el rango. Por ejemplo, ejemplo, el 1 en el dominio corresponde corresponde sólo con el 4 en el rango, rango, y así sucesivamente. sucesivamente. Ningún valor de x correspond correspondee a más de un valor de  y. Por lo tanto, esta relación es una función. b) El dominio es 1,4,3,2 y el rango es 3,2,1,6,5 . Observe que que 3 aparece como como la primera coordenada de dos parejas ordenadas aunque aunque está listado sólo una vez en el conjunto de elementos que representa al dominio. dominio. Como las parejas ordenadas (3, (3, 1) y (3, (3, 5) tiene tienen n la misma primera coordenada y una segunda coordenada diferente, cada valor en el dominio no corresponde corresponde a exactamente un valor valor en el rango. Por lo tanto, tanto, esta relación relación no es una función.  Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 23

6

5

6

5

6

El ejemplo 2 conduce a una definición alterna de función. Función

Una función es un conjunto de parejas ordenadas en las que ninguna  primera coordenada se repite.

Si la segunda coordenada en un conjunto de parejas ordenadas se repite, repite, el conjunto de parejas ordenadas todavía puede ser una función, función, como en el ejemplo 2 a). Sin embargo,, si dos o más parejas embargo parejas ordenadas tienen tienen la misma primera primera coordenada, coordenada, como en el ejemplo 2 b), el conjunto de parejas ordenadas ordenadas no es una función. función. 



Ahora, algunas consideremos ecuación 3, de la pági página na 158. Como s2, e dijo an riormente, riormente parejaslaordenadas orden adas yque2 x satisfacen esta ecuación son (se 1),ante(te1, 1), (0, 3), (1, 5) y (2, (2, 7). Obs Observ ervee que que cada cada valor valor de x que sustituimos en la ecuación da un único valor de  y. Po Porr lo tanto tanto,, la ecuación ecuación y  2 x  3 no es sólo una relación, sino también una función. función. En general, si se nos da una una función lineal con con variables x y y, en las que x es la variable independiente, independiente, como en y  2 x  3, entonces para cada valor de x hay exactamente un valor de y. Esta idea la explicaremos más adelante en esta sección. sección.

3 Utilizar la prueba de la recta vertical ver tical La gráfica de una función o relación es la gráfica de su conjunto de parejas ordenadas. Los dos conjuntos de parejas ordenadas del ejemplo 2 se grafican en las figuras 3.22a y 3.22b. Observe que en la función de la figura 3.22a no es posible trazar una recta vertical que interseque dos puntos puntos.. Debemos esperar esto ya que, en una función,cada función, cada valor de x debe corresponder a exactamente un valor de y. En la figura 3.22b podemos trazar una recta vertical a través de los puntos puntos (3, 1) y (3, 5). Esto muestra que cada valor valor de x no corresponde correspon de a exactamente un valor de y, y la gráfica no representa representa una función. función. No es una función  y

Función  y

3

2

     

FIGURA 3.22

1

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 1

1



2

3

4

5

3   2   1

 x



(a) Primer conjunto de parejas ordenadas ordenadas

1



1

2

4

5

 x

(b) Segundo conjunto de parejas ordenadas

Este método para determinar si una gráfica representa una función se denomina

prueba de la recta vertical .  

161

Secció Sec ción n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Prueba de la recta vertical

Si una recta vertical puede dibujarse a través de cualquier parte de la gráfica y la recta interseca otra parte de la gráfica,la gráfica, la gráfica no representa una función.Si función. Si una recta vertical no puede dibujarse para intersecar intersecar la gráfica en más de un punto, la gráfica representa una función.

Utilizamos la prueba de la recta vertical para mostrar que la figura 3.23b representa una función y las figuras 3.23a y 3.23c no representan funciones. No es una función

Función

 y

 y

 x

FIGURA 3.23

(a)

No es una función  y

 x

(b)

 x

(c)

EJEMPLO 3



Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas siguientes representan funciones. funciones. También determine el dominio y el rango de cada función o relación.

a)

b)

 y

 y

4

4

3

3

2 1 4

3

     

2   1

1



1 1

2

3

4

 x

4

3

     

2   1

1



1

2

3

4

 x

2



3



4



3



4



FIGURA 3.24

FIGURA 3.25

Solución a) No se puede dibujar una recta vertical para que interseque la gráfica de la figura 3.24 en más de un punto punto.. Así, ésta es la gráfica de una una función. Como la recta se extiende de manera indefinida en ambas direcciones direcciones,, cada valor de x estará incluido en el dominio. El dominio es el conjunto de los números reales. reales. Dominio:

1- q, q2

    o  

El rango también es el conjunto de los números reales ya que todos los valores de  y están incluidos en la gráfica. Rango: 

  o 



1- q, q2

b) Como se puede dibujar una recta vertical para que interseque la gráfica de la figura 3.25 en más de un un punto, punto, ésta no es la gráfica de una función. función. El dominio de esta relación es el conjunto de valores mayores o iguales a 3. Dominio:   {x ƒ x   Ú - 3}  o  [ - 3, q

2

El rango es el conjunto de valores de y, y en este caso puede ser cualquier cualquier número real. Rango:    o  - q , q

1

2



Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 33  

162

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

EJEMPLO 4

 y 3 2 1 1



1

2

3

4

2



5

6

7

8

 x

a) b) c) d)



Considere la gráfica que se muestra en la figura 3.26.

¿Qué elemento del rango es pareja de 4 en el dominio? ¿Qué elementos del dominio son pareja de 2 en el rango? ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Cuál es el rango de la función?

3



FIGURA 3.26

Solución a) El rango es el conjunto de valores de y. El valor valor de de y que tiene como pareja el valor 4 de x es 3.

b) El dominio es el conjunto de valores de  x. Los valores valores de de x que tienen como pare ja al valor de y igual 2 son 2 y 6.

c) El dominio es el conjunto de valores de x, del 0 al 8. Po Porr tanto el domin dominio io es {x ƒ 0   …   x   … 8} o [0, 8]

   

d) El rango es el conjunto de valores y, de 2 a 3. 3. Así, el rango rango es {y ƒ - 2   …   y   … 3}  o  [ - 2, 3]



EJEMPLO 5

Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 39

La figura 3.27 ilustra una gráfica de velocidad contra tiempo de un hombre que salió a caminar caminar y trotar. Escriba una historia acerca acerca de la salida de este hombre que corresponda a esta función. 

El hombre sale a caminar y trotar     )    h   p   m     (    d   a    d    i   c   o    l   e    V

6 5 4 3 2 1 0 0

FIGURA 3.27

5

10

15

20

25

30

Tiempo (minutos)

Solución Entienda el problema El eje horizontal es el tiempo y el eje vertical es la velocidad. Cuando la gráfica es horizontal significa que la persona está trasladándose a una velocidad constante constante indicada en el eje vertical. Las rectas casi verticales que aumentan con el tiempo (o que tienen una una pendiente positiva, como se estudiará más adelante) indican un aumento aumento en la velocidad, mientras que las rectas casi verticales que descienden con el tiempo (o que tienen pendiente negativa) indican una disminución en la velocidad. Responda Aquí hay una posible posible interpretación de la gráfica. El hombre camina dudurante alrededor de cinco minutos minutos a una velocidad de casi dos millas por hora. Después aumenta su velocidad a casi cuatro millas por hora y camina rápido o trota a esta velocidad durante alrededor alrededor de 10 minutos. minutos. Luego va más lento y se detiene, detiene, y después descansa durante casi cinco minutos minutos.. Finalmen Finalmente, te, el hombre aumenta su velocidad velocidad a casi cinco millas por hora y trota a esta velocidad durante 10 minutos. minutos.  Ahor Ahora a resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 65

4 Entender la notación de funciones En la sección 3.1 graficamos varias ecuaciones, ecuaciones, como lo resumimos en la tabla 3.1. Si examina cada ecuación ecuación en la tabla, verá que todas ellas son funciones funciones,, ya que sus gráficas pasan la prueba de la recta vertical.  

163

Secció n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Sección

TABLA 3.1

Ejemplo sección 3.1

Ejemplo Ecuación que se grafica

Gráfica

¿La gráfica representa una función?

Dominio

Rango

Sí 

1- q, q2

1- q, q2

Sí 

1- q, q2

1- q, q2

Sí 

1- q, q2

[ - 4, q

 y

3

y = x  x

 y

4

1 3

y   = -    x   + 1  x

 y

5

y   =   x2 - 4

 x

2

 y

y =

6

1 x

1 - q , 02 ´ 10, q 2 1 - q , 02 ´ 10, q 2

Sí 

 x

 y

y   = ƒ xƒ

7

- q, q

Sí 

1

 x

[0, q

2

2

Como la gráfica de cada ecuación ecuación que se muestra representa representa una función, podemos referirnos a cada ecuación en la tabla como una función. Cuando nos referimos a una ecuación en las variables x y y como una función, función, significa que la gráfica de la ecuación satisface el criterio criterio para ser función. Esto es, es, cada valor de de x correspon corresponde de exactamente a un valor de y, y la gráfica de la ecuación pasa la prueba prueba de la recta vertical. No todas las ecuaciones son funciones, funciones, como lo verá posteriormente en este libro, las secciones cónicas, cónicas, donde analizaremos analizaremos ecuaciones de de circunferencias y elipses. elipses. Sin embargo,, hasta llegar a ese capítulo, embargo capítulo, todas las ecuaciones ecuaciones que estudiaremos estudiaremos serán funciones. 

7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2  11



 y  3 x  2

o  f ( x)  3 x  2 1 2 3 4 5



 x la Considere de la),ecuación 2. gráfica Al aplicar la prueba prueba la recta Cuando vertical auna su gráfica (figura 3.28 podemos yver ver 3que representa representa unde una a función. un a ecuación en las variables  x y  y es una función, función, con frecuencia escribimos escribimos la ecuación utilizando la notación de funciones, f( x), se lee lee “ f de x”. Como la ecuación ecuación y  3 x  2 es una función, función, y el valor de de y depende del valor de x, decim decimos os que que y es una función de x . Cuando se nos da un ecuación lineal en las variables  x y  y, en la que y está despejada , podemos escribir la ecuación en notación de función sustituyendo  f( x) por y. En es este te caso, podemos escribir la ecuación en notación notación de función como  f( x)  3 x  2. La nonotación  f( x) representa la variable dependiente  y no significa f por x. Pu Puede eden n usarse usarse otras letras para indicar funciones. Por ejemplo, g( x) y h( x) también representan funciones de x, y en la sección sección 5.1 utilizaremos utilizaremos P ( x) para representar funciones polinomiales. Las funciones escritas en notación de funciones también son ecuaciones ya que contienen un signo de igual. Pod Podemos emos referirnos a y  3 x  2 ya sea como un ecuación o bien como una una función. De manera análoga, análoga, podemos referirnos referirnos a f( x)  3 x  2 como una función o como una ecuación.

 y

 x

2 3

 

FIGURA 3.28

 

164

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es Si y es una función de  x, la notac notación ión  f(5), que se lee lee “ f de 5”, signifi significa ca el valor de de y cuando x es 5. Para evaluar una función para un un valor específico de x, susti sustituya tuya ese valor valor para x en la función. función. Por ejemplo ejemplo,, si f( x)  3 x  2, ento entonces nces f(5) se determina como sigue:

12   152   = 3152   + 2   = 17

 f   x   = 3x   + 2  f

Por lo tanto, cuando x es 5, y es 17. La pareja ordenada (5, 17) aparecería aparecería en la gráfica de y  3 x  2.

Sugerencia útil Las ecuaciones lineales en las que  y no está despejada, pueden escribirse usando notación de funciones despejando y en la ecuación, y luego reemplazando y con f ( x). Por ejemplo ejemplo,, la ecuación 9 x  3 y  6 se convierte en y  3 x  2, cuando se despeja despeja y. Po Porr lo tanto tanto,, podemos escribir  f( x)  3 x  2.

EJEMPLO 6 a)

12

 f 2

Solución



Si  f( x)  4 x2  3 x  2, deter determine mine

b)

1 2

 f - 1

c)

12

 f a

1 2   = -4 + 3   - 2   122   = - 4122 + 3122   - 2   = - 4142   + 6   - 2   = - 16   + 6   - 2   = - 12 b) 1 - 12   = - 41 - 12 + 31 - 12   - 2   = - 4112   - 3   - 2   = - 4   - 3   - 2   = - 9 a)  f 

x

x2

x

2

 f

2

 f

c) Para evaluar la función en a, reemplazamos cada x en la función con una a.

12   1 2   = -4

 f   x   = - 4x2 + 3x   - 2  f a

EJEMPLO 7





Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 45

Determine cada valor indicado de la función.

1 2

1 2   +1 8 (5) para 1 2   = 2 ƒ   - 6 ƒ 1 - 32 para 1 2   =   1 2222   -

a)

g - 2 para g t   =

b)

h

c)  j

a2 + 3a   - 2

h s

t

s

 j r

 r

Solución En cada parte, sustituya el valor indicado en la función y evalúe la función. a)

g -2  =

b)

h

1 2 - 2 1  + 8   = 16 152   = 2 ƒ 5   - 6 ƒ   = 2 ƒ - 1 ƒ   = 2112   = 2 1 - 32   =   2 2222   - 1 - 32   =   2 2222   + 3   =   2 2525   = 5

c)  j



Ahora Ahor a resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 49

5 Aplicación de funciones en la vida diaria Muchas de las aplicaciones que se estudiaron en el capítulo 2 eran funciones. funciones. Sin embargo,, no habíamos definido una función en ese momento. bargo momento. Ahora examinaremos examinaremos aplicaciones adicionales de funciones.  

Secció n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Sección

EJEMPLO 8



165

Jets de negocios La gráfica en la figura 3.29 se tomó del número

del 11 de noviembre de 2004, de USA Today. La gráfica muestra el número de jets de negocios fabricados fabricados de 1994 a 2004, y con una proyección hasta hasta 2013. Mercado de jets de negocios 1325

1400   s    t   e    j 1000   e    d 350   o 287   r   e 600   m    ú    N 200

1400

1100 785

800

1386

525

0 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Año

FIGURA 3.29

Fuente: Forecast International, USA TODAY (11/11/04)

a) Explique por qué la gráfica en la figura 3.29 representa una función. b) Determine el número de jets de negocios que se pronostica se fabricarán en 2010. c) Determine el aumento porcentual proyectado, proyectado, en el número de jets de negocios negocios,, que se fabricarán desde 2003 hasta 2011. d) Determine la disminución disminución porcentual, en el número de jets de negocios, negocios, fabricados de 2001 a 2003.

Solución a) La gráfica representa una función, ya que cada año corresponde con un número número específico de jets de negocios fabricados. fabricados. Observe que la gráfica pasa el criterio de la recta vertical. b) En 2010, la gráfica muestra que se fabricarán fabricarán 1325 jets de negocios. negocios. Si representamos la función mediante J , ento entonces nces J (2010) (2010)  1325. c) Para resolver este problema seguiremos segui remos el procedimiento de resolución de problemas.

Entienda el problema y traduzca Necesitamos determinar el aumento porcentual en el número de jets de negocios que que se fabricarán de 2003 a 2011. Para hacer esto utilizamos la fórmula valor en el valor en el  periodo final periodo inicial cambio porcentual aumento o disminución   = valor en el periodo inicial El último periodo es 2011 y el period periodo o anterior es 2003. Al sustituir valores, valores, obtenem obtenemos os 1400   - 525  cambio porcentual   = cambio 525 875 Realizar los cálculos  =   L 1.667   = 166.7% 525

1

¢

2

≤  ¢

≤

Compruebe y responda Nuestros cálculos cálculos parecen correctos correctos.. De 2003 a 2011 está proyectado un aumento de alrededor de 166.7% en el número de jets de negocios fabricados. d) Para determinar la disminución disminución porcentual de 2001 a 2003, seguimos el mismo procedimiento que en la parte c). El periodo final es 2003 y el periodo inicial inicial es 2001.

cambio porcentual (aumento o disminución)   =

¢

≤  ¢

valor en el  periodo final

valor en el periodo inicial

≤

valor en el periodo inicial 525   - 785   - 260   =   L - 0.331   = - 33.1% 785 785

El signo negativo que precede a 33.1% indica una disminución de de porcentaje.Así, porcentaje. Así, hubo alrededor de 33.1% de disminución en la fabricación de jets de negocios de 2001 a 2003.  Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 71

 

166

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

EJEMPLO 9

Inmigración El tamaño de de la pobla población ción extranjera extranjera de de Estados Unidos es el más alto de todos todos los tiempos. tiempos. La gráfica en la figura 3.30 muestra esta 

población, en millones, millones, desde 1890 hasta 2004 y proyectada hasta 2010. 2010. a) Por medio de la gráfica de la figura 3.30, explique por qué qué este conjunto de puntos puntos representa una función. b) Por medio de la gráfica de la figura 3.31, estime la población extranjera extranjera de Estados Unidos en 2008. Población extranjera de Estados Unidos

Población de Estados Unidos nacida en el extranjero 45

45

40     )   s   e 35   n   o 30    l    l    i   m 25     (   n 20    ó 15    i   c   a 10    l    b   o 5    P

40     )   s   e 35   n   o 30    l    l    i   m 25     (   n 20    ó    i 15   c   a 10    l    b   o 5    P

0 1890

1910

1930

1950

Año

1970

1990

2010 2004

0 1890

1910

Solución

1950

Año

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, USA TODAY (8/3/05)

FIGURA 3.30

1930

FIGURA 3.31

1970

1990

2010 2008

a) Como cada año corresponde corresponde con exactamente exactamente una población, este conjunto de puntos representa representa una función. Observe que esta gráfica pasa la prueba de la recta vertical. b) Pod Podemos emos conectar los puntos con segmentos de línea recta como en la figura 3.31. Entonces podemos podemos estimar, a partir de la gráfica, que habría alrededor alrededor de 41 millones de estadounidenses estadounidenses extranjeros de Estados Unidos en 2008. Si llamamos f a la función, func ión, enton entonces ces f(2008)  41.  Ahor Ahora a resuelva el ejercicio ejercicio 75 En la sección 2.2 aprendimos a usar fórmulas. Considere la fórmula para el área de un círculo, A  pr 2. En la fórm fórmula, ula, p es una constante que es aproximadamente 3.14. Para cada valor específico del radio, r , correspon corresponde de exactamente un área, A. Así que que el área del círculo es una función función de su radio. radio. Por lo tanto, tanto, podemos escribir escribir 2 A r   =   pr Con frecuencia, al igual que ésta, las fórmulas se escriben usando notación de funciones.

12

EJEMPLO 10



La temperatura Celsius, C , es una función de la temperatura FahFah-

renheit, F .

1 2 59 1

C F  =

 

2

F   - 32

Determine la temperatura Celsius que corresponde a 50°F.

Solución Necesitamos determinar C (50). (50). Lo hacemos por medio medio de sustitución.

12 1 2 1 2 1 2 1 2

 C F   = 5   F   - 32 9 5  C 50   =   50   - 32 9 5   =   18   = 10 9 Por lo tanto, tanto, 50°F  10°C. 

Ahora resuelva resuelva el ejercicio ejercicio 55

En el ejemplo 10, F es la variable independiente y C es la variable dependiente dependiente.. Si 9 despejamos F en la función, ob obtendríamos F C   =  C   + 32. En esta fórmula C es la 5 variable independiente y F es la variable dependiente.

12

 

Secció n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Sección

167

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.2 Ejercicios de concepto/redacción 1. ¿Qué es una función?

9. Considere la la fu función y   =

2. ¿Qué es una relación?

1 x

. ¿Cuál es es su su do dominio y cuál es es su su

3. ¿T ¿Todas odas las funciones también son relaciones? Explique.

rango? Escriba su respuesta mediante la notación de conjuntos. Explique.

4. ¿T ¿Todas odas las relaciones también son funciones? Explique.

10. ¿Cuáles son el dominio y el rango de una función de la forma

5. Explique cómo usar la prueba de la recta vertical para determinar si la relación es una función.

12. ¿Qué es una variable dependiente?

7. ¿Qué es el rango de una función?

Práctica de habilidades

11. Considere la función valor absoluto  y   x  |x|. ¿Cuál es su dominio y cuál su rango? Explique.

6. ¿Qué es el dominio de una función?

el dominio y rango de la función  f( x) 8. ¿Cuáles Expliqueson su respuesta.

 f( x)  ax  b, a Z 0? Explique su respuesta.

13. ¿Qué es una variable independiente? 

2 x



1?

14. ¿Cómo se lee “ f( x)”?

En los ejercicios del 15 al 20, a) determine si la relación ilustrada es una función. b) Proporcione el dominio y rango de cada función o relación.

15. el doble de un número 3

6

5

10

11

22

16. Sobrenombres

17. número de descendientes

Robert

Bobby Rob

Margaret

Cameron

3

Tyrone

6

Vishnu

Peggy Maggie

18. un número al cuadrado

19. costo de una estampilla

20. valor absoluto 8

34

ƒ - 8 ƒ ƒ 8 ƒ

37

ƒ 0 ƒ

0

4

16

1990

20

5

25

2001

7

49

2002

a)

En los ejercicios del 21 al 28, a) determine cuáles de las siguientes relaciones también son funciones. b) Proporcione el dominio y el  rango de cada relación o función.

1 21 21 21 21 2

22. { 1, 0 , 4, 2 , 9, 3 , 1, - 1 , 4, - 2 , 9, - 3 }

1 21 21 21 21 21 2

1 21 21 21 21 21 2

24. { - 1, 1 , 0, - 3 , 3, 4 , 4, 5 , - 2, - 2 }

1 21 21 21 21 2

26. { 6, 3 , - 3, 4 , 0, 3 , 5, 2 , 3, 5 , 2, 8 }

1 21 21 21 21 2

28. { 3, 5 , 2, 5 , 1, 5 , 0, 5 , - 1, 5 }

21. { 1, 4 , 2, 2 , 3, 5 , 4, 3 , 5, 1 }

1 21 21 21 21

23. { 3, - 1 , 5, 0 , 1, 2 , 4, 4 , 2, 2 , 7, 9 }

2

1 21 21 21 21 21 2

25. { 1, 4 , 2, 5 , 3, 6 , 2, 2 , 1, 1 }

1 21 21 21 21 2

27. { 0, 3 , 1, 3 , 2, 2 , 1, - 1 , 2, - 7 }  

168

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

En los ejercicios del 29 al 40, a) determine si la gráfica ilustrada representa una función. b) Proporcione el dominio y el rango de cada  función o relación. c ) Aproxime el valor o valores valores de x donde y  2.

29.

30.

 y

 y

4

4

3

3

2 1

1 4



 

2   1 1



1

2

3

4

 x

4

  



3



4



32.

 y

4

3 2

3

1

1 1

3

4

 x

4

  

3   2   11

2



3



4



 

4

 x

1

2

3

4

 x

 y

4

3   2   11

3

4



4

2

3



  

1

2

2



31.

3   2   11

3 4

33.

34.

 y

  

4

 y

4

4

3

3

2

2

1

1

3   2   11

1

2

3

4

  

 x

4

3

 



3



4



36.

4

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4

 x

4

  

3   2   11

2





3



1

2

3

4

 x





10

 x

3 4

38.

 y

4

 x

2

4

  

4

 y



37.

3

4

 y

3   2   11

2

3



4

1

2



  

11

2



35.



 y

4

4

3

3

2

2

1

1

3   2   11

1

2

3

4

 x

20 15 10   51

5



2



3



4



3



4



 

Secció n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Sección

39.

40.

 y

 y

4

4

3 2

3 2

1

1

4   3   2   11



1

2

3

4

 x

4

3

     

2   11

2



3



4



1

2

3

4

 x

2



3



4



Evalúe cada función en los valores indicados .

12

41.  f x   = - 2x   + 7; determine a)  f 2 . 3 b)  f - 3 . 13

12

1 2 12

44. g x   = - 2x2 + 7x   - 11; determine a)  g(2). b) g

a 12 b .

12

1 3

42.  f a   = a   + 4; determine a)  f 0 . b)  f - 12 .

12 2

12

1 2

0

45. r t   = - t3 - 2t2 +   t   + 4; determine a) r (1). (1). 2 b) r - 2 .2

1 2

12

43. h x   =   x2 -   x   - 6; determine a) h(0). b)   h - 1 .

12

46. g t   = 4   - 3t   + 16t2 - 2t3; determine a)  g(0).

b)  g(3).

169

12

12

47. h z   = ƒ 5   - 2z ƒ ; determine a) h(6). b) h

12

48. q x   = - 2 ƒ x   + 8 ƒ   + 13; determine a) q(0).

a 52 b .

1 2

b) q - 4 .

50.  f t   =   1 5   - 2t ; determine a)  f - 2 .3 b)  f

12

1 2

b)  s(6).

  x3 - 2

12

51. g x   = ; determine x - 2 a)  g(0). 1 b)  g(2). undefined

1 2 122.

12

49. s t   =   1 t   + 3 ; determine a) s - 3 . 0

52. h x   =

  x2 + 4x ; determine x + 6

1 2 a 25 b .

a) h - 3 . b)   h

Resolución de problemas 53. Áre Áreaa de un rect rectáng ángulo ulo La fórmula para el área de un rectángulo es  A  l w. Si la longitud longitud de un rectángulo rectángulo es 6 pies, pies, entonces el área es una función de su ancho,  A(w)  6w. Determine el área cuando el ancho es a) 4 pies. b) 6.5 pies.

54. In Inte teré réss simp simple le La fórmula para el interés simple generado durante un periodo de 1 año es i   pr , do dond ndee  p es el capital invertido y r  es la tasa de interés interés simple. simple. Si se invierten invierten $1000, el interés simple generado en un año es una función de la tasa de interés simple, i(r )  1000r . Deter Determine mine el inteinterés simple generado en un año si la tasa de interés es a) 2.5%. b) 4.25%.50

55. Área de un círculo La fórmula para el área de un círculo es  A  pr 2. El área es una función función del radio.

a) Escriba esta función por medio de la notación de funciones. b) Determine el área cuando el radio es 12 yardas. 56. Perí erímet metro ro del del cuadrad cuadradoo La fórmula para el perímetro de un cuadrado es P   4 s, do dond ndee  s representa la longitud de cualquiera de los lados del cuadrado.

a) Escriba esta función utilizando la notación de funciones. b) Determine el perímetro de un cuadrado con lados de longitud de 7 metros.

57.. Tem 57 empe pera ratu tura ra La fórmula para cambiar temperaturas en

1

2

5 F   - 32 . La 9 temperatura Celsius es una función de la temperatura Fahrenheit. a) Escriba esta función utilizando la notación de funciones. b) Determine la temperatura Celsius que corresponde a 31°F. Fahrenheit a temperaturas en Celsius es C   =

 

170

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

58. Volu olumen men de de un cilind cilindro ro La fórmula para el volumen de un 2

62.. Ac 62 Acci cide dent ntes es El número de accidentes, n, durant durantee un mes que que

cilindro circular recto es V  pr  h. Si la altura, altura, h, es de 3 pies, pies,

involucran a conductores de  x años de edad, edad, puede aproxiaproxi-

entonces el volumen es una función del radio, r .

 x un4000. marse por medio de laaproximado función n( xde ) accidentes 2 x 150en Determine el número mes

altura es 3 pies. b) Determine el volumen, si el radio es de 2 pies.

que involucran a conductores de

a) Escriba esta fórmula en notación de funciones, funciones, donde la

59. Temp empera eratur turaa en un sauna sauna La temperatura, T , en grados grados Celsius, en un sauna sius, sauna n minutos después de haberlo encendido, está dada por la función T (n)  0.03n2  1.5n  14. Det Deterermine la temperatura del sauna después de

a) 3 minutos 18.23°C b) 12 minutos27.68°C 60. Dis Distan tancia cia para para detene detenerse rse La distancia para detenerse, d, en metros para un automóvil que viaja a v km/h, está dado dado por la función d(v)  0.18v  0.01v2. Deter Determine mine la distancia distancia para detenerse para las velocidades siguientes:

a) 60 km hr

>

46.8 m

b) 25 km hr

>

10.75 m



2



 

a) 18 años. b) 25 años. 63.. Na 63 Nara ranj njas as El número total de naranjas, T , en una pirám pirámide ide cuadrada cuya base es de n por n naranjas, está dada por por medio de la función

12

T n  =

1 3 1 1  n +  n2 +  n 3 2 6

Determine el número total de naranjas, naranjas, si la base es de a) 6 por 6 naranjas. b) 8 por 8 naranjas.4

61. Air Airee aco acondi ndicio cionad nadoo Cuando un aire acondicionado se enciende al máximo en una habitación que está a 80°, la temperatura, T , en la habitac habitación ión después después de  A min minuto utoss, pue puede de 2 aproximarse por medio de la función T ( A)  0.02 A  0.34 A  80, 0  A  15.

64. Con Concie cierto rto de roc rockk Si el costo de un boleto para un concierto de rock se aumenta en  x dólares, el aumento estimado estimado en el ingreso, R, en miles de dólares dólares está está dado por medio medio de la función R( x)  24  5 x   x2, x  8. Deter Determine mine el aumento aumento en los ingresos, ingresos, si el costo del boleto se aumenta en a) $1. b) $4.0

a) Estime la temperatura de la habitación 4 minutos después de que se encendió el aire acondicionado.

b) Estime la temperatura de la habitación 12 minutos después de que se encendió el aire acondicionado. ° Revise el ejemplo 5 antes de resolver los ejercicios 65 a 70.

65. Ritmo cardiaco La gráfica siguiente muestra el ritmo cardia-

66.. Ni 66 Nive vell de de agu aguaa La gráfica siguiente muestra el nivel de agua

co de una persona mientras está haciendo ejercicio. ejercicio. Escriba una historia que pueda representar esta gráfica.

en un cierto punto durante durante una inundación. Escriba una historia que pueda representar esta gráfica.

130

3.0

    ) 120   o   a   t 100   c   u   n 90   a   i    i    d   m 80   r   a   o 70   c   r   a   p    i 60   c   s   n   e 50   e   n   o 40   u   i   c   c   a   e   r   s 30    F   l   u 20   p     (

2.5

  a 2.0   u   g   a   e 1.5    d   s   e    i    P 1.0 0.5

10 0

0 0

5

10

15

20

25

30

35

0

1

2

Tiempo (minutos)

3

4

5

6

7

8

9

10 10

Tiempo (horas)

 

171

Secció n 3.2 3.2 Fu Funci ncione oness Sección

67. Alt Altura ura sob sobre re el nive nivell del del mar mar La gráfica siguiente muestra la

68. Niv Nivel el de de agua agua en una una tina tina La gráfica siguiente muestra el ni-

altura sobre el nivel del mar contra el tiempo cuando un

vel de agua en una tina contra el tiempo. Escriba una historia

hombre sale de su esta casagráfica. a caminar. Escriba una historia que pueda representar

que    ) pueda representar esta gráfica.

   l   e   v    i   n 60    l    )   e   s   e    i 50   e   p   r    ( 40    b   r   o   s   a 30   n   m    ó    i    l   e 20   c   d   a 10   v   e    l 0    E 0

  s   e 2.0    i   p     (   a 1.5   u   g   a 1.0   e    d    l   e 0.5   v    i    N 0

0

5

10

15 15

20 20

25

30

35

40

Tiempo (minutos) 5

10

15

20

25

30

Tiempo (minutos)

69. Velocid elocidad ad de de un un automóv automóvilil La gráfica siguiente muestra la

70. Dis Distan tancia cia re recor corrid ridaa La gráfica siguiente muestra la distancia

velocidad de un automóvil contra el tiempo. tiempo. Escriba una his-

recorrida, recor rida, por una persona persona en un automóvil, automóvil, contr contraa el tiem-

toria que pueda representar esta gráfica.

po. Escriba una historia que pueda representar esta gráfica.

    )    h   p   m     (    d   a    d    i   c   o    l   e    V

70 60 50 40 30 20 10 0

350     )   s   a 300    l    l    i   m 250     (   a 200    i   c 150   n   a    t   s 100    i    D 50

310

150 30

150

0

5

10

15

20

25

0

30

0

Tiempo (minutos)

1

2

3

4

5

6

Tiempo (horas)

71. Precios de casas La gráfica siguiente compara la mediana de

72. Pla Planes nes de ahor ahorro ro escola escolares res El número de los planes 529 de

los precios de venta de casas en Estados Unidos y en la zona postal 95129 de California.

ahorro escolares se ha incrementado en Estados Unidos de 2002 a 2005, como se ilustra en la gráfica siguiente. siguiente.

Los planes 529 son populares

Costo de casas en la zona postal 95129 $865,000

800

    )   s   e    l    i   m 600   n   e     (   s   e   r 400   a    l    ó $270,000    D 200

    )   s   e   n   o    l    l    i   m   n   e     (   s   a    t   n   e   u   c   e    d   o   r   e   m    ú    N

$218,600

$89,300

0 1988

2005

Año 95129

Estados Unidos

Precios medios de casas en la zona postal 95129 de California.

Precios medios de venta de casas unifamiliares en Estados Unidos.

inmobiliarios. USA Today (2/8/05)

sas en Estados Unidos, determine f(2005).00 d) Si g representa el promedio del precio de venta en la zona postal 95129, deter determine mine g(2005). e) Determine el porcentaje de aumento en el precio de venta de una casa unifamiliar en Estados Unidos de 1988 a 2005.

7.5

6

4 3.1 2

0 2002

Fuente: Sistemas de información DATAQuick: DATAQuick: Asociación nacional de agentes

a) ¿Ambas líneas representan funciones? Explique . b) En esta gráfica, ¿cuál es la variable independiente? independiente?r c) Si f representa el promedio del precio de venta de las ca-

8

2003

2004

2005

Año Fuente: College Savings Plans Network, USA Today (8/9/05)

a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique. b) En esta gráfica, ¿cuál es la variable dependiente? c) Si n repre representa senta el número número de planes planes 529, 529, deter determine mine n(2005)..5 mil

d) Determine el aumento porcentual en el número de planes 529 de 2002 a 2005.

 

172

Capí Ca pítu tulo lo 3 Gr Gráf áfica icass y funci funcion ones es

73. Pro Progra grama ma mat matuti utino no La gráfica siguiente muestra el número

75. Comerciales en el Súper Bowl El precio promedio del cos-

de teleespectadores de los programas The Today Show (NBC) y Good Morning America (ABC) desde la temporada 1992-1993 a la temporada 2004-2005.

to de un comercial de 30 segundos durante el Súper Tazón (Súper Bowl) se ha incrementado al paso de los años. años. La tabla siguiente proporciona el costo aproximado de un comercial de 30 segundos para años seleccionados desde 1981 hasta 2005.

Teleespectadores Teleespectador es de programas matutinos     )   s   e   n   o 6   e   l    d   l    i   o    i   m    d   n   e   e 5     (   m   s   o   r   e   p   r   o 4   o   d   r   a   e   t   m  c 3    ú   e   p    N  s   e   e    l   e 0    t 1993

Today Show Good Morning America

1995

1997

1999

2001

2003

2005

Año

Costo (miles de dó dólares)

1981

280

1985

500

1989

740

1993

970

1997

1200

2001

2000

2005

2400

Año Fuente: Nielsen Media Reasearch, New York Times (8/9/05)

a) ¿Ambas líneas representan funciones? Explique.s b) Si f representa el número de teleespectadores de The Today Show, est estime ime f (1998). (1998).

c) Si  g representa el número de teleespectadores de Good Morning America, est estime ime g(1998).

a) Dibuje una gráfica de líneas que muestre esta información.

b) ¿La gráfica parece ser aproximadamente lineal? Explique.

c) Con base en la gráfica,estime gráfica, estime el costo de un comercial de 30 segundos en el año 2004. ,000

d) ¿Ambas líneas parecen ser aproximadamente rectas de 1998 a 2005? Explique.

76.. Ga 76 Gast stoo fami famili liar ar El promedio anual de gastos familiares es

e) Si esta tendencia continúa, estime cuándo los dos progra-

una función del ingreso promedio anual de la familia. El gasto promedio puede estimarse por medio de la función

mas tendrán el mismo número de teleespectadores.

74. Env Envíos íos de de monito monitores res LCD Se espera que los envíos de mo-

 f i   = 0.6i   + 5000  $3500   …   i   … $50,000

nitores LCD aumenten en los próximos años. años. La gráfica siguiente muestra los envíos de monitores LCD, LCD, en millones de unidades, unidades, para los años 2002 a 2008.

12

donde f(i) es el gasto familiar promedio e i es el ingreso promedio de la familia.

Envíos de monitores LCD

a) Dibuje una gráfica que muestre la relación entre ingreso Porcentaje

    )   s   e   n   o    l    l    i   m   n   e     (   o   r   e   m    ú    N

promedio de la familia y el gasto familiar promedio.

150

b) Estime el gasto familiar promedio para una familia cuyo

135

120

ingreso promedio es de $30,000.,000

120 107

90

77.. Of 77 Ofer erta ta y dem deman anda da El precio de bienes como la soya, se determina por medio de la oferta y la demanda . Si se prod produce uce

90

60

70

demasiada soya, la oferta será mayor que la demanda y el precio caerá. caerá. Si no se produce produce suficient suficientee soya, la demanda demanda será mayor que la oferta y el precio de la soya subirá. Por lo tanto, el precio de la soya es una función del número de producidos. El precio de un bushel  de soya bushels de soya producidos. puede estimarse por medio de la función

50

30 25

0

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Año

Fuente: DisplaySearch, Market Intelligence Center, Wall Street Journal  (3/24/05)  (3/24/05)

a) Dibuje una gráfica lineal que muestre esta información.

12

 f Q   = - 0.00004Q   + 4.25,  10,000   …   Q   … 60,000

b) ¿La gráfica que dibujó en la parte a) parece ser aproximadamente lineal? Explique.

c) Suponiendo que esta tendencia continúe, estime, con ba-

donde f(Q) es el precio de un bushel de soya y Q es el número anual de bushels de soya producidos.

se en la gráfica que dibujó, el número de monitores monitores de LCD que serán enviados en 2009.

a) Construya una gráfica que muestre la relación entre el número de bushels de soya producidos y el precio de bushel de soya.aphing answer section.

d) ¿La gráfica de barras representa una función?s e) ¿La gráfica lineal que dibujó en la parte a) representa

b) Estime el costo de un bushel  de soya, soya, si se se producen producen

una función?

40,000 bushels de soya en un año dado. $2.65 per bushel

 

173

Secció Sección n 3.3 Func Funciones iones lineales: lineales: gráficas gráficas y aplicaciones aplicaciones

Actividad en grupo En muchas situaciones de la vida real se puede requerir más de una función para representar un problema. Con frecuencia esto ocurre donde están implicadas dos o más tasas diferentes. Por ejemplo, ejemplo, cuando analizamos los impuestos federales por ingresos hay diferentes tasas de impuestos. Cuando se utilizan dos o más funciones para representar un problema, la función se denomina definida por partes.  A continuación están dos ejemplos ejemplos de funciones definidas definidas por partes y sus gráficas gráficas.

1 2  b  2-   -  +12,0, x x

 f x   =

1 2  b 2    -- 1,2,   - 22    ……

0 … x 6 4 4 … x 6 8

x x

 f x   =

 y

 y

6

3

5

2

4

1

3 3   2    11



2

1

2

3

4

5

 x 6 2  x 6 4

 x

1 1



1

2

3

4

5

6

7

8

3



 x

4



2

5





En equipo, grafiquen las siguientes funciones definidas por partes partes.

1 2  b 7   -+ 3,,   - 12    ……

78.  f x   =

x

 x

 x 6 2 See graphing answer section.  x 6 4

1 2  b - 23    ++ 3,1,   - 30    6…

79. g x   =

x x

 x 6 0 See graphing answer section.  x 6 2

Ejercicios de repaso acumulativo [2.1] 80. Resuelva 3x   - 2   =

1

2

1   3x   - 3 . 3

[2.5] 82. Resuelva la desigualdad

3

1   - 32   7 1 13   - 2

 

x

 

 x

[2.2] 81. Despeje p2 de la fórmula siguiente.

4

a) en la recta numérica; b) en notación de intervalos intervalos,, y c) en notación constructiva de conjuntos.

E   =   a1p1   +   a2p2   +   a3p3  

5

e indique la solución

 

 x   - 4

[2.6] 83. Resuelva la ecuación

 ` 3   `   + 9   = 11.

3.3 Fu Funci nciones ones lineal lineales: es: gráfi gráficas cas y aplicac aplicacione iones s 1 Graficar funciones lineales. 2 Graficar funciones lineales mediante sus intercepciones. 3 Graficar ecuaciones de la forma  x   a y  y    b.

1 Graficar funciones lineales En la sección 3.1 graficamos ecuaciones lineales. lineales. Para graficar la ecuación lineal y  2 x  4, podemos construir una una tabla de de valores, valores, trazar los puntos y dibujar la gráfica, como se muestra en la figura 3.32. Observe que esta gráfica representa representa una función, ya que pasa la prueba de la recta vertical.

4 Estudiar aplicaciones de funciones.

 x

y

 y

-2

0

6

5 Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una  variable.

0

4

1

6

5

 y  2 x  4

4 2 1 6



5

4

  

3   2   1



1



1

2

3

4

5

6

 x

2



3



4



5



FIGURA 3.32

6



 

10 Tomado de STEWART, J., & RETLIN, L., & WATSON, S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el Cálculo. Sexta edición. México: Cengage Learning.

         O          L          U          T           Í          P

   e     l     i     F  ,    n    a    c    n    u     D     k    r    a     M     /    o    t    o     h     P     P     A

         A          C

SISTEMAS  DE   ECUACIONES  Y   DESIGUALDADES 1  0.1 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

1  0.2 Sistemas de ecuaciones

En los capítulos precedentes modelamos situaciones reales por medio de ecuaciones, pero un gran número de estas situaciones contienen demasiadas variables para ser modeladas por una sola ecuación. Por ejemplo, el clima depende de la relación entre numerosas variables, incluyendo temperatura, rapidez del

lineales con varias incógnitas

viento, presión del aire y humedad. En consecuencia, para modelar (y pronosticar) el clima, los científicos utilizan innumerables ecuaciones con muchas variables cada una de ellas. Estos conjuntos de ecuaciones, llamados sistemas de ecuaciones, trabajan juntos para juntos para describir el clima. Sistemas de ecuaciones con

1  0.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

1  0.4 El álgebra de matrices

cientos de variables son utilizados por líneas aéreas para establecer horarios de vuelo consistentes, así como por empresas de telecomunicaciones para hallar rutas eficientes para llamadas telefónicas. En este capítulo aprendemos a resolver sistemas de ecuaciones que están formadas por varias ecuaciones con varias variables.

1  0.5 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales

1  0.6 Determinantes y Regla de Cramer

1  0.7 Fracciones parciales 1  0.8 Sistemas de ecuaciones no lineales

1  0.9 Sistemas de desigualdades ENFOQUE SOBRE MODELADO  

Programación lineal

629

 

630

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de ecuaciones y desigualdad es

LINEALES   CO N   D O S   INCÓGNITAS   10.1 S ISTEMAS   D E   ECUACIONES Sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones  Método de sustitución Método por eliminación  Método gráfico  El número de soluciones de un sistema lineal con dos incógnitas  Modelado con sistemas lineales 

 Sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de la forma ax   by  c

La gráfica de una ecuación lineal es una recta (vea Sección 1.10).

Un

sistema de ecuaciones  es

un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal. Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema. Veamos a continuación un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

b

 

2 x

y

5

Ecuación 1

 x 

4 y

7

Ecuación 2

Podemos comprobar que x   3 y  y  1 es una solución de este sistema. Ecuación 1 2 x

y

5

2 1 3 2 

1

5

Ecuación 2  x   

3

4 y

7

4 1 1 2 

7

La solución también se puede escribir como el par ordenado 1 3, 3, 12 . Observe que las gráficas de las Ecuaciones 1 y 2 son rectas (vea Figura 1). Como la solución 1 3, 3, 12  satisface  satisface cada una de las ecuaciones, el punto 1 3, 3, 12  se  se encuentra en cada recta. Por lo tanto, es el punto de intersección de las dos rectas. y x+4y=7 (3, 1)

1 0

1

x

3 2x-y=5

FIGURA 1

 Método de sustitución método de sustitución

En el con una ecuación en describe el sistema despejamos una incógnita en términos de la otraempezamos incógnita. El recuadro siguiente el yprocedimiento.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1. Despejar una incógnita.   Escoja una ecuación y despeje una incógnita en términos de la otra incógnita.

2. Sus Susti titui tuirr.  Sustituya la expresión hallada en el Paso 1 en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita y, a continuación despeje esa incógnita.

3. Sustituir a la inversa. inversa.  En la expresión hallada en el Paso Paso 1, sustituya el valor valor hallado en el Paso 2 para despejar la incógnita restante.

 

SECCIÓN 10.1 |   Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas  631

EJEMPLO 1

Método de sustitución

Encuentre todas las soluciones del sistema.

b

 

2 x 

   y

1

Ecuación 1

3 x 

4 y

14

Ecuación 2

S O L U C I Ó N Despejar una incógnita. 1

 y

2 x 

Despejamos  y en la primera ecuación. Despeje  y en la Ecuación 1

Sustituir.  A continuación sustituimos  y en la segunda ecuación y despejamos  x .

 3 x   3 x 

4 1 1

2 x 2 

14

Sustituya  y

4

8 x 

14

Expanda

  5 x 

4

14

Simplifique

  5 x 

10

Reste 4

 x 

2

1

2 x  en la Ecuación 2

Despeje  x 

Sustitución.  A continuación sustituimos  x    2 en la ecuación  y  1   2 x .  y

1

2 1  2 2 

5

Sustitución

Entonces,  x     2 y  y    5, de modo que la solución es el par ordenado 1 2, 5 2 . La FiguFigura 2 muestra que las gráficas de las dos ecuaciones se cruzan en el punto 1 2, 52 . y

VERIFIQUE SU RESPUESTA 2,  y

 x 

5:

 2 1  2 2 

b

3 1  2 2 

5 4 1 5 2 

1

(_2, 5)

14

3x+4y=14 2x+y=1 1

1

0

FIGURA 2

x

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5  



 Método por eliminación Para resolver un sistema usando el método de eliminación, tratamos de combinar las ecuaciones usando sumas o restas para eliminar una de las incógnitas.

MÉTODO POR ELIMINACIÓN 1. Ajustar los coeficiente coeficientes. s.  Multiplique una o más de las ecuaciones por números apropiados, de modo que el coeficiente de una incógnita de una ecuación sea el negativo de su coeficiente en la otra ecuación.

2. Sumar las ecuacione ecuaciones. s.  Sume las dos ecuaciones para eliminar una incógnita y, a continuación, despeje la incógnita restante.

3. Sustitui Sustituirr a la inversa. inversa.   En una de las ecuaciones originales, sustituya el valor hallado en el Paso 2 y despeje la incógnita restante.

 

632

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de ecuaciones y desigualdad es

EJEMPLO 2

Método por eliminación

Encuentre todas las soluciones del sistema.

b

 

3 x 

2 y

14

Ecuación 1

 x 

2 y

2

Ecuación 2

S O L U C I Ó N 

Como los coeficientes de los términos en  y son negativos entre sí, podemos sumar las ecuaciones para eliminar  y. y

b

 

7 3x+2y=14

3 x 

2 y

14

 x 

2 y

2

4 x    x 

Sistema

16

Sume

4

Despeje  x 

A continuación sustituimos  x     4 en una de las ecuaciones originales y despejamos  y. Escojamos la segunda ecuación porque se ve más sencilla. 1 0

(4, 1) 1 x-2y=2

FIGURA 3

x

 x   

2 y

2

Ecuación 2

 4

2 y

2

Sustituya  x  = 4 en la Ecuaci Ecuación ón 2

2 y  y

2 1

Reste 4 Despeje  y

La solución es 1 4, 4, 12 . La Figura 3 muestra que las gráficas de las ecuaciones del sistema se cruzan en el punto 1 4, 4, 12 .

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 9  



 Método gráfico En el método gráfico usamos calculadora graficadora para resolver el sistema de ecuaciones.

MÉTODO GRÁFICO 1. Grafi Graficar car cada ecuac ecuación. ión.  Exprese cada ecuación en una forma apropiada para la calculadora graficadora graficadora para  para despejar  y como función de  x . Grafique las ecuaciones en la misma pantalla.  y  y 2. Hallar los puntos de intersecció intersección. n.  Las soluciones son las coordenadas  x  y de los puntos de intersección.

LAS MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO

Predicción del clima    t     i     d     E    o    t    o     h     P     /    n     i    e    t    s    p     E     l    e     h    c    a     R       ©

Los meteorólogos modernos hacen mucho más que pronosticar el clima de mañana. Investigan modelos del clima a largo plazo, el agotamiento de la capa de ozono, el calentamiento global y otros efectos de la actividad humana en el clima. No obstante, el pronóstico diario del clima es todavía una parte importante de la meteorología; su valor es medido por las innumerables vidas humanas salvadas cada año por medio de un pronóstico preciso de huracanes, ventiscas

y otros fenómenos catastróficos del clima. A principios del siglo XX  unos matemáticos propusieron modelar el clima con ecuaciones que usaban los valores actuales de cientos de variables atmosféricas. Aun cuando este modelo funcionaba en principio, era imposible pronosticar modelos futuros con él por la dificultad para medir con precisión todas las variables y resolver todas las ecuaciones. Hoy en día, nuevos modelos matemáticos, combinados con simulaciones computarizadas de alta velocidad y mejores datos, han mejorado en gran medida el pronóstico del clima y con ello se han evitado numerosos desastres económicos y pérdidas de vida. Los matemáticos de la National Oceanographic and Atmospheric Administration (NOAA) están continuamente investigando mejores métodos para el pronóstico del clima.

 

SECCIÓN 10.1 |   Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas  633

EJEMPLO 3

Método gráfico

Encuentre todas las soluciones del sistema

b

5

_ 1.5

1.5

_5

FIGURA 4

SOLUCIÓN

 

1.35 x    2.13 y

 

2.36

2.16 x    0.32 y

 

1.06

Despejando y en términos de  x , obtenemos el sistema equivalente

b

 y  y

 

0.63 x    1.11

 y

 

6.75 x    3.31

donde hemos redondeado los coeficientes a dos decimales. La Figura 4 muestra que las dos rectas se cruzan; en un acercamiento vemos que la solución es aproximadamente 1 0.30, 0.30, 1.32 .

 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS

13  Y 49  



 El número de soluciones de un sistema lineal con dos incógnitas La gráfica de un sistema lineal con dos incógnitas es un par de rectas, de modo que, para resolver gráficamente el sistema, debemos hallar el (los) punto(s) de intersección de las rectas. Dos rectas pueden cruzarse en un solo punto, pueden ser paralelas o pueden coincidir, como se ve en la Figura 5. Por lo tanto, hay tres posibles resultados para resolver el sistema.

NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Para un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera. (Vea Figura 5.) 1. 2.

El sistema tiene exactamente una solución. El sistema no tiene solución.

3.

El sistema tiene un número infinito de soluciones.

Se dice que un sistema que no tiene solución es inconsistente. Un sistema con un infinito de soluciones se llama consistente indeterminado.

y

0

FIGURA 5

y

 

x

0

(a) Las rectas rectas se cruzan cruzan en un solo punto.  punto. El sistema tiene una solución.

EJEMPLO 4

y

 

x

0

(b) Las rectas son son paralelas paralelas y no se cruzan.  cruzan.  El siste  ma no tiene solución.

 

x

(c) Las rectas coinciden; coinciden; las ecuaciones son para la misma recta.  recta.  El sistema tiene un infinito de soluciones.

Un sistema lineal con una solución

Resuelva el sistema y grafique las rectas.

b

   y

3 x 

  0

Ecuación 1

5 x    2 y   22

Ecuación 2

 

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de ecuaciones y desigualdad es

634 y

3x-y=0

SOLUCIÓN

Eliminamos y de las ecuaciones y despejamos  x .

b

6 x 

2 y

0

5 x 

2 y

22

11 x   x 

×

Ecuación 1

22

Sume

2

Despeje  x 

Ahora sustituimos de nuevo en la primera ecuación y despejamos  y:

(2, 6)

6

2

 6 1 2 2 

2 y

0

2 y  y

x

2

Sustituimos de nuevo  x  = 2

12

Restamos 6

6

×

2 = 12

Despejamos  y

La solución del sistema es el par ordenado 1 2, 2, 62 , es decir,  x 

5x+2y=22

 

2,

 y

6

La gráfica de la Figura 6 muestra que las rectas del sistema se cruzan en el punto 1 2, 2, 62 .

FIGURA 6

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

23  



VERIFIQUE SU RESPUESTA

 x 

   y

2,

b 1  2  3 1 2 2 52

6:

1 6 2  2 1 6 2 

0 22

EJEMPLO 5

Un sistema lineal sin solución

Resuelva el sistema.

b

8 x 

2 y

5

Ecuación 1

12 x 

3 y

7

Ecuación 2

SOLUCIÓN

Esta vez tratamos de hallar una combinación apropiada de las dos ecuaciones para eliminar la variable y. La multiplicación de la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2 da

y _12x+3y=7 1 8x-2y=5 0

24 x  24 x 

b x

1

6 y 6 y

15 14

3 2

0

29

Sume

 Ecuación 1  Ecuación 2

×

×

La suma de las dos ecuaciones elimina tanto x como y  en este caso, y terminamos con 0  29, que es obviamente falso. No importa qué valores asignemos a  x  y  y a y, no podemos hacer que este enunciado sea verdadero, de manera que el sistema no tiene solución. La Figura 7 muestra que las rectas del sistema son paralelas y no se cruzan. El sistema es inconsistente.

FIGURA 7

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 6 Resuelva el sistema

35  



Un sistema lineal con un infinito de soluciones

b

3 x 

6 y

12

Ecuación 1

4 x 

8 y

16

Ecuación 2

SOLUCIÓN

Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 3 para preparar la resta de las ecuaciones para eliminar  x . Las nuevas ecuaciones son

b

12 x 

24 y

48

4

×

12 x 

24 y

48

3

×

 Ecuación 1 Ecuación 2

Vemos que las dos ecuaciones del sistema original son simplemente formas diferentes de expresar la ecuación de una sola recta. Las coordenadas de cualquier punto en esta recta dan

 

SECCIÓN 10.1 |   Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas  635 una solución del sistema. Escribiendo la ecuación en forma de pendiente e intersección,

y

tenemos  y

0

2. Por lo tanto, si con t  representamos  representamos cualquier número real, podemos escribir la solución como

t =4

1

x

1 (t,, 21 t(t t-2) 2) t =1

FIGURA 8

1 2 x 

 x  

t 

 y  

1 2 t 

2

También podemos escribir la solución en forma de par ordenado como

A t , 12 t 

2B

donde t  es  es cualquier número real. El sistema tiene un infinito de soluciones (vea Figura Figu ra 8).

 AHORA TRATE DE HACER EL EJERCICIO

37  



En el Ejemplo 3, para obtener soluciones específicas tenemos que asignar valores a t . Por ejemplo, si t   1, obtenemos la solución A 1, 32 B . si t  4, obtenemos la solución 1 4, 4, 02 . Para todo valor de t  obtenemos  obtenemos una solución diferente. (Vea (Vea Figura 8.)

 Modelado con sistemas lineales Con frecuencia, cuando usamos ecuaciones para resolver problemas en las ciencias o en otros campos de actividad, obtenemos sistemas como el que acabamos de considerar. Cuando modelamos con sistemas de ecuaciones, usamos las siguientes guías, que son seme jantes a las de la Sección 1.6.

GUÍA PARA MODELAR CON SISTEMAS DE ECUACIONES

cantidades que el problema pide ha1. Iden Identific tificar ar las variabl variables. es.  Identifique las cantidades llar. Éstas en general se determinan mediante cuidadosa lectura de la pregunta planteada al final del problema. Introduzca notación para las variables (llámelas  x  y  y  y o con alguna otra letra). 2. Exprese todas las cantidades cantidades desconocidas en términos términos de las variables.

Lea otra vez el problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de las variables que haya definido en el Paso 1. 3. Establezca un sistema de ecuacione ecuaciones. s.  Encuentre los datos cruciales del problema que den las relaciones entre las expresiones que haya encontrado en el Paso 2. Establezca un sistema de ecuaciones (o un modelo) que exprese estas relaciones. 4. Resuelva el sistema e interprete los resultados.  Resuelva el sistema que haya encontrado en el Paso 3, verifique sus soluciones y dé su respuesta final como una frase que conteste la pregunta planteada en el problema.

Los dos ejemplos siguientes ilustran cómo modelar con sistemas de ecuaciones.

EJEMPLO 7

Un problema de distancia, rapidez y tiempo

Una mujer rema un bote aguas arriba desde un punto en un río, a otro punto a 4 millas de distancia, en 112 horas. El viaje de regreso, a favor de la corriente, le toma sólo 45 minutos. ¿Cuál es la velocidad con la que rema con respecto al agua, y con qué velocidad se mueve la corriente? corriente

 

SOLUCIÓN

Identificar las variables variables.. Nos piden hallar la velocidad con la que rema la mujer y la velocidad de la corriente, de modo que hacemos 4 mi

 x   velocidad de remar 1 mi mi/ h2    y    velocidad de la corriente 1 mi mi/ h2 

 

636

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de ecuaciones y desigualdad es Expresar cantidades desconocidas en términos de la variable.   La velocidad de la mu-

 jer cuando rema aguas arriba es su velocidad velocidad para remar menos la velocidad de la corriente; su velocidad aguas abajo es su velocidad para remar más la velocidad de la corriente. Ahora convertimos convertim os esta información al lenguaje de álgebra. En palabras

En álgebra

Velocidad de remo   Velocidad de la corriente   Velocidad aguas arriba   Velocidad aguas abajo  

x  y x

y

x

y

Establecer un sistema de ecuaciones.  La distancia distancia aguas arriba arriba y aguas abajo es 4 millas, de modo que usando el hecho de que velocidad    tiempo   distancia para los dos tramos del viaje, tenemos

velocidad aguas arriba

tiempo aguas arriba

distancia recorrida

velocidad aguas abajo

tiempo aguas abajo

distancia recorrida

En notación algebraica esto se convierte en las ecuaciones siguientes:  1 1 x  

y 2 2

3

4

Ecuación 1

1  x

y 2 4

3

4

Ecuación 2

(Los tiempos se han convertido a horas, porque estamos expresando la rapidez en millas por hora.)

Resolver el sistema.   Multiplicamos las ecuaciones por 2 y 4, respectivam respectivamente, ente, para despejar los denominadores.

3 x 

b

3 x 

3 y

8

2

×

3 y

16

4

×

24

Sume

4

Despeje  x 

6 x   x 

  Ecuación 1  Ecuación 2

Sustituyendo este valor de x  en  en la primera ecuación (también funciona la segunda) y despe jando y, tendremos  3 1 4 2 

3 y

8

3 y

8

 y

4 3

Sustituya x = 4

12

Reste 12 Despeje  y

La mujer rema a 4 mi / h, h, y la corriente se mueve a 113 mi/h. VERIFIQUE SU RESPUESTA

Velocidad contra la corriente es distancia

4  mi

tiempo

112  h

Velocidad rio abajo es distancia

2 23 mi / h  

3 4

tiempo

y esto debe ser igual a

5 13 mi / h

h

y esto debe ser igual a

velocid vel ocidad ad de rem remo o 4 mi/ h

4  mi

4 3

flujo flu jo del agua mi/ h

velocid velo cidad ad de rem remo o

2 23 mi/h

4 mi/ h

AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

flujo flu jo del agua 4 3

mi/ h

5 13 mi/h

63  



 

SECCIÓN 10.1 |   Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas  637

EJEMPLO 8

Un problema de mezclas

Un vinatero fortifica vino que contiene 10% de alcohol al agregarle una solución de alcohol al 70%. La mezcla resultante tiene un contenido alcohólico del 16% y llena 1000 botellas de un litro. ¿Cuántos litros 1 L2  del  del vino y la solución de alcohol usa el vinatero?

SOLUCIÓN

Identificar las variables.  Como nos piden las cantidades de vino y alco-

hol, hacemos  x 

cantidad de vino utilizado (L)

 y

cantidad de solución de alcohol utilizada (L)

Expresar todas las cantidades desconocidas en términos de la variable variable..  Del hecho que el vino contiene 10% de alcohol y la solución contiene 70% de alcohol, obtenemos lo siguiente. En palabras

En álgebra

Cantidad de vino utilizada (L)   Cantidad de solución de alcohol utilizada (L) Cantidad de alcohol en vino (L) Cantidad de alcohol en solución (L)

x

 y

0.10 x  0.70 y

Establecer un sistema de ecuaciones.   El volumen volumen de la mezcla debe ser el total de los dos volúmenes que el vinatero mezcla, y  x     y    1000

También, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser el total del alcohol aportado por el vino y por la solución de alcohol, es decir,

0.10 x 

0.70 y   1 0.16 0.16 2 1000

0.10 x 

0.70 y  x 

7 y

160

Simplifique

1600

Multiplique por 10 para quitar decimales

En consecuencia, obtenemos el sistema

b

 x   

  y

1000

Ecuación 1

 x 

7 y

1600

Ecuación 2

Resolver el sistema.  Restando la primera ecuación ecuación de la segunda se elimina la variable variable  x   y obtenemos

 6 y

600

Reste la Ecuación 1 de la Ecuación 2

 y

100

Despeje  y

Ahora sustituimos  y  100 en la primera ecuación y despejamos  x .  x   

100  x 

1000

Sustituimos y = 100

900

Despejamos  x 

El vinatero utiliza 900 L de vino y 100 L de solución de alcohol.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

65  



 

640

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de de ecuaciones ecuaciones y desigualdades desigualdades

66.

Mezclas de café  Un cliente en una cafetería compra una

74.

mezcla de dos clases de café: Kenia, que cuesta $3.50 la libra, y Sri Lanka, que cuesta $5.60 la libra. Él compra 3 libras de la mezcla, que le cuestan $11.55. ¿Cuántas libras de cada clase entraron en la mezcla? 67.

Área de un triángulo  Encuentre el área del triángulo que se encuentra en el primer cuadrante (con la base sobre el eje  x ) y que está limitado por las rectas  y  2 x   4 y  y  4 x   20. y

Problema de mezclas  Un químico tiene dos grandes con-

y=2x-4

tenedores de solución de ácido sulfúrico, con diferentes concentraciones de ácido en cada contenedor. La mezcla de 300 mL de la primera solución y 600 mL de la segunda le da una mezcla que es 15% ácida, mientras que si mezcla 100 mL de la primera y 500 mL de la segunda le da una mezcla 1212% ácida. ¿Cuáles son las concentraciones de ácido sulfúrico en los recipientes originales? 68.

0

 

x

y=_4x+20

Problema de mezclas  Una bióloga tiene dos soluciones de salmuera, una contiene 5% de sal y otra contiene 20% de sal. ¿Cuántos mililitros de cada solución debe ella mezclar para ob-

69.

70.

tener 1 L de una solución que contenga 14% de sal? Inversiones  Una mujer invierte un total de $20,000 en dos cuentas, una paga 5% y la otra paga 8% de interés simple al año. El interés anual que ella percibe es $1180. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

Inversiones  Un hombre invierte invierte sus sus ahorros en dos cuentas, una paga 6% y la otra paga 10% de interés simple al año. Él pone el doble en la cuenta que rinde menos porque es de menos riesgo. El interés que él percibe es $3520. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

71.

Distancia, velocidad y tiempo  Juan y María salen de su

DESCUBRIMIENTO   DISCUSIÓN 

75.



  REDACCIÓN

La recta de mínimos cuadrados  La recta de mínimos cuadrados o

recta de regresión es la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos en el plano. Estudiamos esta recta en el  Enfoque sobre modelado que sigue al Capítulo 1 (vea página 130.) Mediante cálculo, se puede demostrar que la recta que mejor se ajusta a los n puntos de datos 1  x 1,1, y12 ,  x  1  2, y22 , . . . , 1  x n,  es la recta  y  ax   b, donde los coeficientes a y b satisfa yn2  es n cen el siguiente par de ecuaciones lineales. (La notación © k  1  x  x k k  representa la suma de todas las  x . En la Sección 12.1 vea una

casa al mismo tiempo y en auto se dirigen en direcciones opuestas. Juan maneja a 60 mi / h y viaja 35 millas más que María, quien maneja a 40 mi/ h. h. El viaje de María toma 15 minutos 72.

73.

descripción completa de la notación 1 Σ2 .) .) n

n

a  x k  a

a  yk 

nb

¢ a ¢ ≤  ≤ ¢ a ≤ k  1

más que a Juan. ¿Durante cuánto tiempo manejan ellos? Ejercicio aeróbico  Una mujer se mantiene en forma haciendo ejercicio en bicicleta y corriendo todos los días. El lunes ella pasa 112 horas en cada una de esas actividades, cubriendo un total de 1212 millas. El martes corre durante 12 minutos y anda en bicicleta 45 minutos, cubriendo un total de 16 millas. Suponiendo que su velocidad para correr y andar en bicicleta no cambian de un día a otro, encuentre esas velocidades.

n

k  1

n

 x 2k  a

n

 x k  b

k  1

k  1

  k  a  x k  y

k  1

Use estas ecuaciones para hallar la recta de mínimos cuadrados para los siguientes puntos de datos. 1, 3 2 ,  1 2, 2, 5 2 ,  1 3, 3, 6 2 ,  1 5, 5, 6 2 ,  1 7, 7, 9 2  1 1,

Problema de números  La suma de los dígitos de un nú-

Trace los puntos y su recta para confirmar que la recta se ajusta bien a estos puntos. Si su calculadora calcula regresión lineal, vea si le da la misma recta que las fórmulas.

mero de dos dígitos es 7. Cuando los dígitos se invierten, el número aumenta en 27. Encuentre el número.

10.2 S ISTEMAS   D E   ECUACIONES   LINEALES   CO N   VARIAS   INCÓGNITAS Solución de un sistema lineal  El número de soluciones de un sistema lineal  Modelado de un problema financiero usando un sistema lineal Una ecuación lineal con  n incógnitas es una ecuación que se puede poner en la forma a1 x 1   a2 x 2

p

an x n   c

donde a1, a2, . . . , an y c son números reales, y  x 1, x 2, . . . ,  x n son las incógnitas. Si sólo tenemos tres o cuatro incógnitas, en general usamos  x ,  y,  z y „  en   en lugar de  x 1,  x 2,  x 3, y  x 4. Tales ecuaciones se llaman lineales  porque si tenemos sólo dos incógnitas, la ecuación es a1 x     a2 y    c, que es la ecuación de una recta. A continuación veamos algunos ejemplos de ecuaciones con tres incógnitas que ilustran la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales.

 

SECCIÓN 10.2 |   Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas  641

Ecuaciones lineales 6 x 1  x

3 x 2   1 5 x 3 y   z

2„

No lineal porque contiene el

Ecuaciones no lineales 10

1 2

3 y   1 z

 x 2

6 x 3

 x 1 x 2

cuadrado y la raíz cuadrada de una incógnita

5 6

No lineal porque contiene un producto de incógnita

En esta sección estudiamos sistemas de ecuaciones lineales con tres o más incógnitas.

 Solución de un

sistema lineal

Los siguientes son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. El segundo sistema está en forma triangular; esto es, la incógnita  x  no  no aparece en la segunda ecuación, y las incógnitas  x  y  y  y no aparecen en la tercera ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales

c

  x 

2 y

 z

1

 x 

3 y

3z

4

2 x 

3 y

 z

10

Un sistema en forma forma triangular triangular

c

 x 

2 y   z

1

2z

5

z

3

 y

Es fácil resolver un sistema que está en forma triangular si se usa sustitución. Entonces nuestro objetivo en esta sección es empezar con un sistema de ecuaciones lineales, y cambiarlo a un sistema en forma triangular que tiene las mismas soluciones que el sistema original. Empezamos por mostrar cómo usar sustitución para resolver un sistema que ya está en forma triangular triangular..

EJEMPLO 1

Resolver un sistema triangular usando sustitución

Resuelva el sistema usando sustitución:

c

2 y

 x 

 y

z

 1

Ecuación 1

2z

5

Ecuación 2

z

3

Ecuación 3

 

De la última ecuación sabemos que  z   3. Hacemos sustitución de esta ecuación en la segunda ecuación y despejamos  y.

SOLUCIÓN

   y

2 1 3 2 

5

Sustitución de z = 3 en la Ecuación 2

 y

1

Despejamos  y

A continuación sustituimos  y    1 y  z    3 en la primera ecuación y despejamos  x . 2 1  1 2

 x   

1 3 2 

1

Sustituimos  y = –1 y

 x 

2

Despejamos  x 

z

= 3 en la Ecuación 1

La solución del sistema es  x     2,  y    1,  z    3. También podemos escribir la solución como la terna ordenada 1 2, 2, 1, 32 .

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7  



Para cambiar un sistema de ecuaciones lineales a un sistema equivalente (esto es, un sistema con las mismas soluciones que el sistema original), usamos el método por eliminación. Esto significa que podemos usar las siguientes operaciones.

 

642

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de ecuaciones y desigualdad es

OPERACIONES QUE DAN UN SISTEMA EQUIVALENTE 1.

Sumar un múltiplo diferente de cero de una ecuación a otra.

2.

Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero.

3.

Intercambiar las posiciones de dos ecuaciones.

Para resolver un sistema lineal, usamos estas operaciones para cambiar el sistema a un sistema triangular equivalente. Entonces usamos sustitución como en el Ejemplo 1. Este proceso se denomina eliminación de Gauss.

EJEMPLO 2

Resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Resuelva el sistema usando eliminación de Gauss.

 x 

2 y 2 y

3 x 

2 y

c

  x 

3z  

z

5z

 1  13

Ecuación 1 Ecuación 2

3

Ecuación 3

SOLUCIÓN

Necesitamos cambiar esto a un sistema triangular, de modo que empezamos por eliminar el término en  x  de  de la segunda ecuación.   x 

2 y

z

13

Ecuación 2

 x 

2 y

3z

1

Ecuación 1

4 y

4z

12

 

Ecuación 2 + (–1)

×

Ecuación 1 = nueva Ecuación 2

Esto nos da un nuevo sistema equivalente que es un paso más cercano a la forma triangu-

lar.

c

  x 

2 y

3z

1

Ecuación 1

3 x 

4 y 2 y

4z 5z

12 3

Ecuación 2 Ecuación 3

Ahora eliminamos el término en x  de  de la tercera ecuación.  3 x 

2 y

5z

3

3 x 

6 y

9z

3

 8 y

14z

0

c

 x 

2 y

3z

1

4 y

4z

12

8 y

14z

0

  Ecuación Ecua ción 3 + ( 3)

Ecuación Ecua ción 1 = nueva Ecua Ecuación ción 3

×

Ahora eliminamos el término en y de la tercera ecuación.  8 y

14z

0

8 y

8z

24

6z

24

c

 x 

2 y

3z

1

4 y

4z

12

6z

24

  Ecuación Ecuac ión 3 + ( 2)

×

Ecuación Ecua ción 2 = nueva Ecua Ecuación ción 3

El sistema está ahora en forma triangular, pero será más fácil de trabajar si dividimos las ecuaciones segunda y la tercera por los factores comunes de cada término.

c

2 y

 x 

 y

3z

1

z

3

z

4

 

1 4 × Ecuación 2 = nueva Ecuación 2 1 – 6 × Ecu cuaació ión n 3 = nue nueva va Ec Ecua uacció ión n3

Ahora usamos sustitución para resolver el sistema. De la tercera ecuación obtenemos  z  4. Sustituimos esto en la segunda ecuación y despejamos  y.  y

  1 4 2 

3

Sustituimos z = 4 en la Ecuación 2

 y

7

Despejamos  y

 

SECCIÓN 10.2 |   Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas  643 Ahora sustituimos y  7 y  z   4 en la primera ecuación y despejamos  x .

VERIFIQUE SU RESPUESTA  x 

3,  y  1 1 3 2   1 1 3 2   31 3 2 

7, z 2 1 7 2  2 1 7 2 2 1 7 2 

4:

 x 

3 1 4 2 

1

1 4 2  5 1 4 2 

13 3

2 1 7 2 

3 1 4 2 

1

Sustituimos  y = 7 y   z = 4 en la Ecuación 1

 x 

3

Despejamos  x 

La solución del sistema es x   3, y  7, z  4, que podemos escribir como la terna ordenada 1 3, 3, 7, 42 .

 INTENTE AHORA HACER EL EJERCICIO

17  



 El número de soluciones de un sistema lineal La gráfica de una ecuación lineal con tres incógnitas es un plano en espacio tridimensional (vea Sección 9.6). Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas representa tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son los puntos donde se cruzan los tres planos. Tres planos intersectan en algunas un punto, recta, no se cruzan o los tres pueden coincidir. LaseFigura 1 ilustra de una las posibilidades. Verificando estasplanos posibilidades vemos que hay tres posibles resultados cuando se resuelve uno de estos sistemas.

NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL Para un sistema de ecuaciones lineales, exactamente uno de lo siguiente es verdadero. 1.

El sistema tiene exactamente una solución.

2.

El sistema no tiene solución.

3.

El sistema tiene un infinito de soluciones.

Se dice que un sistema que no tiene soluciones es inconsistente, y un sistema con un infinito de soluciones es consistente indeterminado. Como vemos en el siguiente ejemplo, un sistema lineal no tiene solución si terminamos con una ecuación falsa después de aplicar la eliminación de Gauss al sistema.

(a) Los tres planos se intersectan (b) Los tres planos se intersectan intersectan (c) Los tres planos no tienen punto en un solo punto.  punto. El sistema tiene en más de un punto.  punto.  El sistema en común.  común. El sistema no tiene una solución. tiene un infinito de soluciones. solución.

FIGURA 1

EJEMPLO 3

Un sistema que no tiene solución

Resuelva el siguiente sistema.

c

  x 

2 y

2 x 

2 y

3 x 

4 y

 

2z

1

Ecuación 1

z

6

Ecuación 2

3z

5

Ecuación 3

 

644

C A P Í T U L O 1 0 |   Sistemas de ecuaciones y desigualdad es SOLUCIÓN

Para poner en forma triangular, empezamos por eliminar los términos en  x   de la segunda ecuación y la tercera ecuación.

c c

  x 

3 x   x 

2 y

2z

1

2 y

3z

4

4 y

3z

5

2 y

2z

1

2 y

3z

4

2 y

3z

2

Ecua Ec uaci ción ón 2 + (– (–2) 2) × Ec Ecua uació ción n 1 = nu nuev eva a Ecu Ecuaci ación ón 2

Ecua Ec uaci ción ón 3 + (– (–3) 3) × Ec Ecua uació ción n 1 = nu nuev eva a Ecu Ecuaci ación ón 3

Ahora eliminamos el término en y de la tercera ecuación.

c

 x 

2 y

2z

1

2 y

3z

4

0

2

Ecua Ec uaci ción  ón 3 + (– (–1) 1) × Ec Ecua uació ción n 2 = nu nuev eva a Ecu Ecuaci ación ón 3 

El sistema está ahora en forma triangular, pero la tercera ecuación dice que 0     2, lo cual es falso. No importa qué valores asignemos a x , y y z, la tercera ecuación nunca será verdadera. Esto significa que el sistema no tiene solución.

 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

EJEMPLO 4

27  



Un sistema con un infinito de soluciones

Resuelva el sistema siguiente

c

 x

y

5z

2

Ecuación 1

2 x

y

4z

2

Ecuación 2

2 x 

4 y

2z

8

Ecuación 3

SOLUCIÓN

Para poner esto en forma triangular, empezamos por eliminar los términos en x  de  de las ecuaciones segunda y tercera.

c c

y

5z

2

3 y

6z

  6

4 y

2z

  8

 x

2 x 

 x

y

5z

2

3 y

6z

6

6 y

12z

12

Ecuación Ecuaci ón 2 + (–2) × Ecuaci Ecuación ón 1 = nueva Ecuación Ecuación 2

Ecuac Ec uació ión n 3 + (– (–2) 2) × Ec Ecua uaci ción ón 1 = nu nuev eva a Ecu Ecuaci ación ón 3

Ahora eliminamos el término en y de la tercera ecuación.  x

y

5z

 2

3 y

6z

6

  ón 3 + (– Ecua Ec uaci ción (–2) 2) × Ec Ecuac uació ión n 2 = nu nueva eva Ec Ecua uaci ción ón 3 0 0 La nueva tercera ecuación es verdadera pero no nos da información nueva, de modo que podemos eliminarla del sistema. Sólo nos quedan dos ecuaciones. Podemos usarlas para despejar x  y  y  y en términos de  z, pero z puede tomar cualquier valor, de manera que hay un número infinito de soluciones. Para hallar la solución completa del sistema, empezamos por despejar  y en términos de z, usando la nueva segunda ecuación.

c

 3 y

6z

6

Ecuación 2

 y

2z

2

Multiplique por  13

 y

2z

2

Despeje  y

 

SECCIÓN 10.2 |   Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas  645 A continuación despejamos  x  en  en términos de  z, usando la primera ecuación.  x   

  1 2z  x   

2 2  3z

5z

2

Sustituya y = 2z + 2 en la Ecuación 1

2

2

Simplifique

 x 

3z

Despeje  x 

Para describir la solución completa, con t   representamos representamos cualquier número real. La solución es 3t 

 x   y  

2t 

2

  t 

z

También podemos escribir esto como la terna ordenada 1 3t , 2t   2, t 2 2.   AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

25  



En la solución del Ejemplo 4 la variable t  se   se denomina parámetro. Para obtener una solución específica, damos un valor específico al parámetro t . Por ejemplo, si hacemos t     2, obtenemos 3 1 2 2 

   x     y

2 1 2 2 

 z

2

6 2

6

Por lo tanto, 1 6, 6, 22  es   es una solución del sistema. A continuación veamos algunas otras soluciones del sistema obtenido al sustituir otros valores para el parámetro t .

Parámetro t 

Solución

     

1 0 3 10

 

3t , 2t 

2,  t  

1 3, 0, 12  1 0, 2, 02  1  9, 8, 32  30,, 22 22,, 102  1  30

El lector debe comprobar que estos puntos satisfagan las ecuaciones originales. Hay un número infinito de opciones para el parámetro t , de modo que el sistema tiene un infinito de soluciones.

 Modelado de un

problema financiero usando un sistema lineal

Los sistemas lineales se utilizan para modelar situaciones que involucran varias cantidades variables. En el siguiente ejemplo consideramos una aplicación de sistemas lineales a las finanzas.

EJEMPLO 5

Modelado de un problema financiero usando un sistema lineal

Jason recibe una herencia de $50,000. Su asesor financiero le sugiere invertir esto en tres fondos de mutualidad: un fondo de mercado de dinero, un fondo de acciones preferenciales y un fondo de acciones de alta tecnología. El asesor estima que el fondo de mercado de dinero rendirá 5% en el año siguiente, el fondo de acciones preferenciales dará 9% y el fondo de alta tecnología rendirá 16%. Jason desea tener un rendimiento total de $4000 el primer año. Para evitar riesgo excesivo, decide invertir el triple en el fondo de mercado de dinero que en el fondo de acciones de alta tecnología. ¿Cuánto debe invertir en cada fondo?

 

 Trigonometría  Trig onometría 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.88 4.

Medidass en rad Medida radian ianes es y gra grados dos Funciones Funci ones trigo trigonomét nométricas ricas:: la circu circunfer nferencia encia unit unitaria aria Trigon Tri gonome ometrí tríaa del tri triáng ángulo ulo rec rectá tángu ngulo lo Funciones Funci ones trigo trigonomét nométricas ricas de cualq cualquier uier ángul ánguloo Gráfic Grá ficas as de las fun funcio ciones nes sen senoo y cose coseno no Gráficas Gráfi cas de otras funci funciones ones trigo trigonomét nométricas ricas Funcio Fun ciones nes tri trigon gonomé ométri tricas cas inv invers ersas as Apli Ap lica caci cione oness y mo mode delo loss

En matemáticas 

Se usa trigonometría para hallar relaciones entre los lados y ángulos de triángulos y para escribir funciones trigonométricas como modelos de cantidades de la vida real. En la vida real 

4 

Tomado de LARSON, R., FALVO, D., (2012) Precálculo. Octava edición. México: Cengage Learning.

Se usan funciones trigonométricas para modelar cantidades periódicas. Por  ejemplo, durante el día la profundidad del agua en un extremo del muelle en Bar Harbor, Maine, varía con las mareas. La profundidad puede ser modelada por  medio de una función trigonométrica. (Vea Ejemplo 7, página 325.)

   y    m    a     l     A     /    y    n    n    e     J    e    r     d    n     A

EN CARRERAS Hay numerosas carreras que usan trigonometría. A continuación veamos varias de ellas. • Biólog Biólogo o Ejercicio 70, página 308

• Ingeniero Ingeniero mecánic mecánico o Ejercicio 95, página 339

• Meteorólog Meteorólogo o Ejercicio Ejerc icio 99, página página 318

• Topógra opógrafo fo Ejercicio Ejerc icio 41, página página 359

279

 

280

 

Capít Ca pítul ulo o4

Trig Tr igon onom omet etrí ríaa

4.1   MEDIDAS EN RADIANES Y GRADOS Lo que debe aprender  • • • •

Describir ángulos. Describir ángulos. Usar medidas medidas en radianes. radianes. Usar medidas medidas en grados. grados. Usar ángulos ángulos para modelar  modelar   y resolver problemas de la vida real.

Por qué debe aprenderlo Se pueden usar ángulos para modelar   y resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, ejemplo, en el Ejercicio 119 de la página 291 nos piden usar ángulos para hallar la velocidad de una bicicleta.

Ángulos Ya que se deriva del griego, la palabra trigonometría significa “medición de triángulos. triángulos.”” Inicialmente, la trigonometría se ocupaba de relaciones entre los lados y ángulos de triángulos y se usaba en el perfecciona perfeccionamiento miento de la astronomía, navegación navegación y topografía. Con el invento del cálculo y ciencias físicas en el siglo XVII, apareció una perspectiva diferente, que visualizaba las relaciones trigonométricas como funciones  con el conjunto de los números reales como su dominio. En consecuencia, las aplicaciones de la trigonometría se ampliaron para incluir un gran número de fenómenos físicos que comprendían rotaciones y vibraciones. Estos fenómenos incluyen ondas sonoras, rayos de luz, órbitas planetarias, cuerdas en vibración, péndulos y órbitas de partículas atómicas. El método de este texto incorpora  ambas  perspectivas, empezando con ángulos y su medida.

 d o    L a

  l   n a   n   m  i   r  e  t

Vértice

 y

Lado terminal Lado inicial

L a  d  o  i  n i   c i  a  l  

Ángulo    s     i     b    r    o     C     /

FIGURA 4.1

Ángulo en posición normal  

FIGURA 4.2

 x 

   s    r    e    t    u    e      R     /    y    a    t    t    a      R    g    n    a    g     f     l    o      W     ©

Un ángulo se determina al girar un rayo (semirre (semirrecta) cta) alrededor de su punto extremo. extremo. La posición inicial del rayo es el  lado inicial  del ángulo, y la posición después de la rotación es el  lado terminal, como se ilustra en la Figura 4.1. El punto extremo del rayo es el  vértice  del ángulo. Esta percepción de un ángulo se ajusta a un sistema de coordenadas en el que el origen es el vértice y el lado inicial coincide con el eje x  positivo.   positivo. Ese ángulo está en  posición normal,  como se muestra en la Figura 4.2. Se generan  ángulos positivos   por rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj (movimiento levógiro), y ángulos negativos  por rotación en el sentido de las agujas de un reloj (dextrógiro), como se ve en la Figura 4.3. Los ángulos se designan con las letras grieg gri egas as ,   y  , así com como o con las let letras ras may mayúsc úscula ulass  A, B  y  C . En la Figura 4.4, observe que los áng ángulo uloss  y   tie tienen nen los mis mismos mos lad lados os inic inicial ial y termi terminal nal.. Estos Estos áng ángulo uloss son son coterminales.  y

 y

 y

Ángulo positivo (levógiro)  x  Ángulo negativo (dextrógiro) FIGURA 4.3

 

α 

 x 

β 

β  FIGURA  4.4   

α 

 x 

Ángulos coterminales

 

Sección Secció n 4.1

Medida Med idass en rad radian ianes es y gra grados dos

 

281

Medidas en radianes

 y

un ángulo La  está determinada por la cantidad de en rotación desde el lado cial medida hasta eldelado terminal. Una forma de medir ángulos es . Este tipoinide  radianes medida es especialmente útil en cálculo. Para definir un radián se puede usar un  ángulo centr central al de una circunferencia, cuyo vértice es el centro de la circunferencia, como se muestra en la Figura 4.5.

s =  r 

r 

θ 

 x 

r 

Definición de radián Un  radián   es la medida medida de un ángulo ángulo central central   que interse interseca ca un arco arco s  igual en longitud al radio  r  de   de la circunferencia. Vea la Figura 4.5. Algebraicamente, esto significa que

  ando Longititud Long ud de ar arco co  ra radi dioo cu cuan do    1 radián FIGURA 4.5

  

donde don de   se mid midee en rad radian ianes. es.

 y

2 radiane radianes s r 

r 

6 radianes

r  r 

4 radian radianes es r 

FIGURA 4.6

Como la Como la circu circunfe nferen rencia cia de un círc círculo ulo es 2 r  uni unidad dades, es, se dedu deduce ce que un ángu ángulo lo central de una revolución completa (en sentido levógiro) corresponde a una longitud de arco de

1 radián

r 

3 radianes

s r 

5 radian radianes es

 x 

s



2 r  r .

Además Adem ás,, co como mo 2   hayy un po poco co má máss de se seis is lo long ngit itud udes es de ra radi dioo en un unaa ci circ rcun un-   6.28, ha ferencia completa, como se ve en la Figura 4.6. Como las unidades de medida para  s  y r  son iguale iguales, s, la la razón sr  no tiene unida unidades, des, es simple simplemente mente un número real. En vista que la medida en radianes de un ángulo de una revolución completa es 2 , se puede obtener lo siguiente.

1

revolución 

2 

     radianes

2 2 1 2    revolución     radianes 4 4 2 1 2    revolución     radianes 6 6 3 Éstos y otros ángulos comunes se ilustran en la Figura 4.7.

Una revolución alrededor de una circunferencia de radio  r  corresponde a un ángulo de 2  radianes porque

π 

π 

π 

π  2

π 

2π 

6

s 2 r  r         2  radianes.  radianes. r  r 

4

3

FIGURA 4.7

Recuerde que los cuatro cuadrantes en un sistema de coordenadas están numerados como I, II, III y IV. La Figura 4.8 en la página 282 muestra cuáles ángulos entre 0 y 2  están en cada uno de los cuatr cuatroo cuadran cuadrantes. tes. Obser Observe ve que los ángul ángulos os entre 0 y  2 son agudos  y lo loss án ángu gulo loss en entr tree  2 y   so sonn án ángu gulo loss obtusos.

 

282

 

Capít Ca pítul ulo o4

Trig Tr igon onom omet etrí ríaa

 = θ  =

Cuadrante II π < θ < π  2 θ = π 

π  2

Cuadrante I π  0  < θ  < 2  = 0 θ  =

 

Cuadrante III Cuadrante IV 3π    3π    < θ  < 2π  π  < θ  < 2 2  = θ  =

 3π  2

Es frecuente abreviar la frase “el lado lad o term termina inall de de   est estáá en en un un cuadrante” con sólo decir “   está en un cuadrante”. cuadrante”. Los lados terminales de los “ángulos de cuadrante” 0,  2,   , y 3 2

Dos ángulos son coterminales si tienen los mismos lados inicial y terminal. Por eje jemp mplo lo,, lo loss án ángu gulo loss 0 y 2  son cot oter ermi mina nale les, s, ig igua uall qu quee lo loss án ángu gulo loss  6 y 13 6. Se puede encont encontrar rar un ángulo ángulo que sea cotermi coterminal nal a un ángulo ángulo   deter determinado minado si si se suma o

no se encue encuentran ntran dentro de cuadrantes.

resta 2  (un resta (unaa rev revolu olució ción), n), com como o se se demu demuest estra ra en en el el Ejemp Ejemplo lo 1. 1. Un áng ángulo ulo dad dado o   tie tiene ne una inf infini inidad dad gra grande nde de áng ángulo uloss cot coterm ermina inales les.. Por eje ejempl mplo, o,     6 es cot coterm ermina inall con

FIGURA 4.8

 

6

 Ayuda  Ayu da de álg álgebra ebra En el Apéndice A.1 puede repasar operaciones con fracciones.



2n 

donde n  es un entero.

Ejemplo 1

 Trazar y hallar ángulos coterminales

a.   Pa Para ra el án ángu gulo lo po posi siti tivo vo 13 6, re rest stee 2  pa para ra ob obte tene nerr un án ángu gulo lo co cote term rmin inal al 13  6



2  

 

6

.

Vea Figura 4.9.

b.   Pa Para ra el án ángu gulo lo po posi siti tivo vo 3 4, re rest stee 2  pa para ra ob obte tene nerr un án ángu gulo lo co cote term rmin inal al 3  4



2  



5  . 4

Vea Figura 4.10.

c.   Pa Para ra el án ángu gulo lo ne nega gati tiv vo  2 3, su sume me 2  pa para ra ob obte tene nerr un án ángu gulo lo co cote term rmin inal al 

2  3



2  

4  . 3

Vea Figura 4.11.

π 

π 

π 

2

2

2

 = 13π  θ  = 6

 = θ  =

π  6 0

π 

3π  4

4π  3

π 

0

π 

0

− 5π  3π  2

3π  2

FIGURA 4.9

4

FIGURA 4.10

 

 = θ  =

 − 2π 

3π  2

3

FIGURA 4.11

 

Ahora trate de hacer el Ejercicio 27.

 

Sección Secció n 4.1

Medida Med idass en rad radian ianes es y gra grados dos

 

283

Dos án Dos ángu gulo loss po posi siti tivo voss  y   so son n complementarios  (complemento uno del otro) si su su suma ma es  2. Do Doss án ángu gulo loss po posi siti tivo voss so son n  suplementarios  (suplemento uno del otro) si su sum sumaa es  . Vea la Fig Figura ura 4.1 4.12. 2. β 

β 

α 

Ángu Án gulo loss co comp mple lem men enta tari rioos

α 

Ángu Án gulo loss su supplem emen enta tari rios os

FIGURA 4.12

Ejemplo 2

Ángulos complementarios y suplementarios

Si es pos posibl ible, e, enc encuen uentre tre el com comple plemen mento to y el sup suplem lement ento o de (a) 2 5 y (b) 4 5.

Solución a.   El complemento de 2 5 es  

2



2  5



5  10



4  10



   

10

.

El suplemento de 2 5 es   

2  5



5  5



2  5



3  . 5

b.   Com Como o 4 5 es ma mayo yorr qu quee  2, no ti tien enee co comp mple leme ment nto. o. (R (Rec ecue uerd rdee qu quee lo loss co comp mple leme menntos son ángulos positivos.) El suplemento es   

4  5



5  5



4  5



 

5

.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 31.

Medidas en grados  y

Una segunda forma de medir ángulos es en términos de  grados,  denotada por el sím1 bolo bol o °. Una Una medida medida de de un grado grado (1°) (1°) es equi equiva valen lente te a una una rotaci rotación ón de 360 de una una rere1 90 = 4 (360 ) volución completa alrededor del vértice. Para medir ángulos es conveniente marcar 60 = 16 (360 ) 120 grados en la circunferencia de un círculo, como se ve en la Figura 4.13. Entonces, una 135 45 = 18 (360 ) revolución completa (en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj, levógiro) 1 150 30 = 12 (360 ) corresponde a 360°, la mitad de una revolución a 180°, un cuarto de revolución a 90°, θ  180 0  x etcétera. 360 Como Com o 2  rad radian ianes es corre correspo sponde nden n a una rev revolu olució ción n comple completa, ta, grad grados os y radia radianes nes 210 330 están relacionados por las ecuaciones 225 315 °

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

240

°

  300 270 °

°

FIGURA 4.13

360



2  rad  rad

180

y

   rad.   rad.

De la última ecuación, obtenemos 1



   

180

rad

y

1 rad



   180  

que llevan a las reglas de conversión de la parte superior de la siguiente página.

 

284 

 

Capít Ca pítul ulo o4

Trig Tr igon onom omet etrí ríaa

Conversión entre grados y radianes  

1.  Para convertir grados a radianes multiplicamos grados por

 rad . 180 180 2.  Para convertir radianes a grados multiplicamos radianes por .   rad  rad Para aplicar estas dos reglas de conversión, use la relación básica   rad  rad (Vea Figura 4.14.)

π 

π 

π 

6 30

4 45

3 60

 

°

°

π 

π 

2 90

°

180

°



180.

°

2π  360

°

FIGURA 4.14 

Cuando no se especifican unidades de medida de ángulos se presupone  una medida en radianes.   Po Porr eje jemp mplo lo,, si se esc scri ribe be    2, se pr preesu supo pone ne qu quee    2 ra radi diaane ness.

Ejemplo 3

Conversión de grados a radianes

 

 TEE C N O L O G Í A  T

a. 135



135 grad

Con calculadoras, es conveniente

b. 540



540 grad

    rad  rad

 

180 grad     rad  rad

 

180 grad

 



3    radianes 4

Multiplicar por

 180.



3  radianes   radianes

Multiplicar por

 180.

 decimales usar grados  para denotar partes fraccionarias de grados. Históricamente, sin embargo, las partes fraccionarias de grados se expresaban en minutos y  segundos, usando las notacion notaciones es prima ( ) y doble prima ( ), respectiva respectivamente. mente. Esto es, 1 1 1   un minuto   60   1 1   un segundo  3600 1.

En consecuencia, un ángulo de 64 grados, 32 minutos y 42 segundos se representa con    64 32  47 . Muchas calculadoras tienen teclas especiales para convertir un ángulo en grados, minutos y segundos D M  S  a forma de grado decimal, y viceversa.

c.

 270   270

grad



    rad  rad  

180 grad



 

3    radianes 2

Multiplicar por

 180.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 57.

Ejemplo 4  

a.



b.

9    rad 2

2

  rad

c. 2 rad

 







Conversión de radianes a grados 

 

2

9    rad 2

2 rad



 

  rad

   

180 grad     rad  rad

180 grad     rad  rad

 

180 grad   rad  rad

  

  90



Multiplicar por 180 .

810

Multiplicar por 180 .

360     114.59

Multiplicar por 180 .

 

Ahora trate de hacer el Ejercicio 61. Si el lector tiene acceso a una calculadora con tecla de conversión de “radián a grado”, trate de usarla para verificar el resultado que se muestra en el inciso (b) del Ejemplo Ejempl o 4.

 

Sección Secció n 4.1

Medida Med idass en rad radian ianes es y gra grados dos

 

285

Aplicaciones La fórmula de medida en radianes,    sr , se pu pued edee us usar ar pa para ra me medi dirr lo long ngit itud udes es de ar arco co a lo largo de una circunferencia.

Longitud de arco Para una circunferencia de radio  r , un ángul ángulo o central central   inters interseca eca un arco arco de lonlongitud s  dado por

s θ  =

240°

s  r     r  =  = 4

Longitud de arco circular

dondee   se mi dond mide de en ra radi dian anees. Ob Obsser erv ve qu quee si r   1, en ento ton nce cess s en radiane radianess de   es igual igual a la longitud longitud del arco. arco.

Ejemplo 5



medi dida da  , y la me

Hallar la longitud de un arco

Una circunferencia tiene radio de 4 pulgadas. Encuentre la longitud del arco intersecaFIGURA 4.15

do po porr un án ángu gulo lo ce cent ntra rall de 240, co como mo se ve en la Fi Figu gura ra 4. 4.15 15..

Solución Para Pa ra us usar ar la fó fórm rmul ulaa s 240







240 grad 4  3



r   prim imer ero o co con nve vert rtim imos os 240 a un unaa me medi dida da en ra radi dian anes es..  , pr  rad     rad

180 grad



radianes

Entonces, Enton ces, usan usando do un radio de r   4 pulga pulgadas, das, se pued puedee hall hallar ar que la long longitud itud del arco es

s  r     

4

   4  3



16    16.76 pulgadas. 3

Observe que Observe que las las unidade unidadess para para r     están determ determinada inadass por las unidade unidadess para para  r  porque   porque   está dado en radianes, que no tiene unidades. Ahora trate de hacer el Ejercicio 89.

La velocidad lineal mide qué tan rápido se mueve una partícula, en tanto que la angular mide qué tan rápido cambia el ángulo. Si divide entre  t  la  la fórmula para obtener la longitud de un arco, establecerá la relación entre la veloc ve locida idad d linea lineall v y la ang angula ularr  , como se muestra.

s  r    

Se puede usar la fórm fórmula ula de la longitud longitud de un arco cir circul cular ar par paraa ana analiz lizar ar el movimiento de una partícula que se mueve con una  velocidad constante  a lo largo de una trayectoria circular.

Rapidez lineal y angular  Considere una partícula que se mueve con velocidad constante a lo largo de un arco circular de radio r . Si s  es la longitud del arco recorrida en el tiempo t, entonces la  velocidad lineal v  de la partícula es Rapidez angular v



longitud de arco   tiempo



s . t 

Además, si   es el ángulo Además, ángulo (medido (medido en radianes) radianes) correspo correspondien ndiente te a la longitud longitud de arco s , entonces la  velocidad angular     de la la partícu partícula la es es

s r       t  t 

Rapidez angular   

v  r    

ángulo central   tiempo



  .

t 

 

286

 

Capít Ca pítul ulo o4

Trig Tr igon onom omet etrí ríaa

Ejemplo 6

10.2 cm

Hallar la rapidez lineal

La aguja del segundero de un reloj mide 10.2 centímetros de largo, como se muestra en la Figura 4.16. Encuentre la rapidez lineal de la punta de esta aguja cuando se mueve por la carátula del reloj.

Solución En una revolución, la longitud de arco recorrida es

s  2 r  r  FIGURA 4.16



2 10.2



20.4  centímetros.  centímetros.

Sustituir por  r .

El tiempo requerido para que la aguja del segundero recorra esta distancia es

t   1 minuto  60 segundos. Entonces, la rapidez lineal de la punta de la aguja es Rapidez lineal

  t   t  6  f  1 1



s t 



20.4  centímetros   centímetros 60 segundos

  1.068 centímetros por segundo. Ahora trate de hacer el Ejerc Ejercicio icio 111.

Ejemplo 7

Hallar la rapidez angular y lineal

Las palas de una turbina de viento miden 116 pies de largo (vea Figura 4.17). La hélice gira a 15 revoluciones por minuto.

a.   Encue Encuentre ntre la rapidez angular de la hélic hélicee en radian radianes es por minuto. b.   Encuen Encuentre tre la rapid rapidez ez lineal de las puntas de las palas.

Solución FIGURA 4.17

a.   Debi Debido do a que cada cada revol revoluc ució ión n gener generaa 2  ra radi dian anes es,, se deduc deducee que la hélic hélicee gira gira 152   30  radianes por minuto. En otras palabras, la velocidad angular es Rapidez angular





 

t  30  radianes  radianes   1 minuto



30  radianes por minuto.

b.   La velocidad lineal es Rapidez lineal



s t 



r     t 



11630   pies     10 933 pies por minuto. 1 minuto

Ahora trate de hacer el Ejerc Ejercicio icio 113.

 

Sección Secció n 4.1

Medida Med idass en rad radian ianes es y gra grados dos

 

287

Un  sector circular  es la región limitada por dos radios de la circunferencia y su arco intersecado (vea Figura 4.18).

θ 

r 

FIGURA 4.18

Área de un sector circular  Para una circunferencia de radio  r , el área  A  de un sector circular con ángulo centra cen trall   est estáá dad dado o por 1 2

 A  r 2  donde don de   se mid midee en rad radian ianes. es.

Ejemplo 8

Área de un sector circular 

Un aspersor en una “calle” de un campo de golf riega agua a una distancia de 70 pies y gira un ángulo de 120° (vea Figura 4.19). Encuentre el área de la “calle” regada por el aspersor.

Solución

Primero convierta 120 a radianes como sigue. 120°

70 ft

   120



    rad  rad



120 grad



2    radianes 3

FIGURA 4.19

180 grad



Multiplicar por

 180.

Entonces, usando    2 3 y r   70, el área es 1 2

 A  r 2 

Fórmulaa para el área de un sector circular Fórmul

  



1 2  702 2 3

Sustituir r  y  y  .



4900  3

Simplificar.

  5131 pies cuadrados.

Simplificar.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 117.

 

288

 

Capít Ca pítul ulo o4

4.1

Trig Tr igon onom omet etrí ríaa

EJERCICIOS

 

En www www.CalcChat.com .CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

VOCABULARIO:  Llene los espacios en blanco. 1.  ________ significa “medición de triángulos”. 2.   Un ________ ________ está determinado determinado al girar un rayo en torno de su punto extremo. extremo. 3.  Dos ángulos que tengan los mismos lados inicial y terminal son ________. 4.   Un ________ es la medida de un ángul ángulo o central que interseca un arco igual al radio de la circu circunferen nferencia. cia. ángu gulo loss qu quee mi mide den n en entre tre 0 y  2 so son n án ángu gulo loss __ ____ ____ ____ __,, y lo loss án ángu gulo loss qu quee mi mide den n en entr tree  2 y   5.   Los án son ángulos ________.

6.   Dos ángulos ángulos positi positivos vos que tengan tengan la suma suma de  2 son ángulo ánguloss ________ ________,, mientras mientras que que dos dos ángulos ángulos posit positivo ivoss que tenga tengan n una sum sumaa de de   son áng ángulo uloss ____ _______ ____. _. 1

7.   La medida medida de ángulo ángulo que que sea equiv equivalent alentee a una rotació rotación n de 360 de una revolu revolución ción complet completaa alrededor alrededor del del vértice vértice de un ángulo es________. 8. 180 grados  



________ radianes.

9.   La velocidad velocidad ________ de una partíc partícula ula es la razón entre la longitud del arco y el tiempo de recor recorrido, rido, y la velo velocidad cidad ________ de una partícula es la razón entre el ángulo central y el tiempo de recorrido. 10.   El área A   de de un un sect sector or circ circula ularr con con radio radio r  y ángu ángulo lo cent central ral  , don donde de   se mid midee en en radia radianes nes,, está está dad dadaa por por la la fórmula ________.

HABILIDADES HABILID ADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 11-16, estime el ángulo al medio radián más cercano.

25.   (a)

11.

26.   (a) 4

12.

11  6

(b)

3

(b) 7 

En los Ejercicios 27-30, determine dos ángulos coterminales (uno positivo y uno negativo) por cada ángulo. Dé sus respuestas en radianes. 13.

14.

27.   (a)

π 

(b)

π 

2

2 θ  =

16.

En los Ejercicios 17-22, determine el cuadrante en el que se encuentra cada uno de los ángulos. (La medida del ángulo está dada en radianes.)

19.   (a)

 

4 

 

6

21.   (a) 3.5

(b)

5    4

(b)



 

3

18.   (a)

 

(b) 2.25

20.   (a)  

11  8 

5  6

22.   (a) 6.02

(b)

 

3

(b)



2    3

24.   (a)



7  4

(b)

π 

2

π 

2

   7π  θ  = 6 0

π 

8 11 

(b)



(b)

 4.25

(b)

3π  2

0

π 

9 

9

En los Ejercicios 23-26, trace cada ángulo en posición normal. 23.   (a)

0

π 

3π  2

28.   (a)

17.   (a)

θ  =

6 0

π 

15.

   5π  6

  π 

3π 

3π 

2

2

29.   (a)   

2  3

30.   (a)   



(b)   

9 

6

   

12

(b)        

4

  11π  θ  =  −

2  15

5  2

 

Sección Secció n 4.1

En los Ejercicios 31-34, encuentre (si es posible) el complemento y suplemento de cada uno de los ángulos. 31.   (a)  3 33.   (a) 1

(b)  4  (b) 2  

32.   (a)  12 34.   (a) 3

(b) 11 12 (b) 1.5

En los Ejercicios 35-40, estime el número de grados del ángulo. Use transportador para verificar su respuesta. 35.

52.   (a)   

 390

289

(b)    230

En los Ejercicios 53-56, encuentre (si es posible) el complemento y suplemento de cada uno de los ángulos. 53.   (a) 18

(b) 85  

54.   (a) 46

(b) 93

55.   (a) 150

(b) 79  

56.   (a) 130

(b) 170

57.   (a) 30 59.   (a) 38.

 20

(b) 45   (b)

 60  

58.   (a) 315 60.   (a)

 270

(b) 120 (b) 144

En los Ejercicios 61-64, reescriba cada uno de los ángulos con su medida en grados. (No use calculadora.) 61.   (a)

39.

 

En los Ejercicios 57-60, reescriba cada ángulo con su medida en radia radianes nes como múlti múltiplo plo de  . (No use calcu calculado ladora.) ra.)

36.

37.

Medida Med idass en rad radian ianes es y gra grados dos

3 

2 5  63.   (a) 4

40.

(b)

7 

 

6 7  (b)    3

62.   (a)



7 

12 11  64.   (a) 6

(b)

 

9 34  (b) 15

En los Ejercicios 41-44, determine el cuadrante en el que se encuentra cada uno de los ángulos.

En los Ejercicios 65-72, convierta la medida del ángulo de grados a radianes. Redondee a tres lugares decimales.

41.   (a) 130

(b) 285

65. 45

42.   (a) 8.3

(b) 257 30 

67.

43.   (a)

 132

44.   (a)

 260

50 

 216.35

(b)

 336

69. 532

(b)

 3.4

71.

En los Ejercicios 45-48, trace cada uno de los ángulos en posición normal.

 0.83

66. 87.4 68.

 48.27

70. 345 72. 0.54

En los Ejercicios 73-80, convierta la medida del ángulo de radianes a grados. Redondee a tres lugares decimales. 73.

7

74. 511

45.   (a) 90

(b) 180 

47.   (a)

 30

(b)

 135

48.   (a)

 750

(b)

 600

46.   (a) 270

(b) 120

(b)

90°

0

180°

0 θ  =  − 36°

270°

50.   (a)

76. 13 2

77.

 4.2 

78. 4.8 

79.

2

80.

 0.57

En los Ejercicios 81-84, convierta cada medida del ángulo a forma de grado decimal sin usar calculadora. A continuación verifique sus respuestas usando calculadora. 81.   (a) 54 45 

(b)

82.   (a) 245 10 

(b) 2 12 

83.   (a) 85 18  30  30 

(b) 330 25 

84.   (a)

(b)

 135

36 

 128

 408

30 

16 20 

270°

(b)

90° θ  =

180°

74. 5 11

90°

θ  = 45 °

180°

 7

75. 15 8

En los Ejercicios 49-52, determine dos ángul ángulos os coter coterminal minales es (uno positivo y otro negativo) por cada uno de los ángulos. Proporcione sus respuestas en grados. 49.   (a)

73.

120°

En los Ejercicios 85-88, convierta cada medida del ángulo a grados gra dos,, min minuto utoss y seg segund undos os sin usa usarr cal calcul culado adora. ra. A con con-tinuación verifique sus respuestas usando calculadora.

90° θ  = − 420°

0

180°

0

270°

270°

51.   (a)    240

(b)   

85.   (a) 240.6

(b)

86.   (a)

(b) 0.45

 345.12

87.   (a) 2.5

 180

88.   (a)

(b)

 0.36

 145.8

 3.58

(b) 0.79

 

290

 

Capít Ca pítul ulo o4

Trig Tr igon onom omet etrí ríaa

En los Ejercicios 89-92, encuentre la longitud del arco en una circunferencia de radio r  intersecado  intersecado por un ángulo central  .

 Radio r  89.   15 pulgadas

  Ángulo120 central 

90.   9 pies

150 45

92.   20 centímetros

En los Ejercicios 93-96, encuentre la medida en radianes del ángulo central de una circunferencia de radio  r  que   que corta un arco de longitud s.

 Radio r 

Longitud de arco s

93.   4 pulgadas

18 pulgadas

94.   14 pies

8 pies

95.   25 ce cen ntí tím met etro ross

10.5 10 .5 cen entí tíme metr tro os

96.   80 kilómetros

150 kilómetros

Latitud  

106.   San Francisco, California

37 47  36  36   N

Seattle, Washington

47 37  18  18   N



107.   DIFERENCIA EN LATITUDES   Sup Suponi oniend endo o que la Tierra es una esfera de 6378 kilómetros, ¿cuál es la diferencia en las latitudes de Syracuse, Nueva York, y Annapolis, Maryland, donde Syracuse está a unos 450 kilómetros al norte de Annapolis?

60

91.  3 metros

Ciudad

108.  DIFERENCIA EN LATITUDES   Sup Suponi oniend endo o que la Tierra es una esfera de 6378 kilómetros, ¿cuál es la diferenc fer encia ia en las lat latitu itudes des de Lync ynchb hburg urg,, Virg irgini inia, a, y Myrtle Beach, Carolina del Sur, donde Lynchburg está a unos 400 kilómetros al norte de Myrtle Beach? 109.   INSTRUMENTACIÓN   La ag aguj ujaa de un vo volt ltím ímet etro ro mide 6 centímetros de largo (vea figura). Encuentre el ángulo que gira la aguja cuando se mueve 2.5 centímetros en la escala.

En los Ejercicios 97-100, use la longitud de arco y radio dados para halla hallarr el el ángulo ángulo   (en radia radianes). nes). 97.

98. θ 

1

10 in.

25 θ 

2

10 6 cm

99.

2 ft

100.

28 θ 

Trazos no a escala

FIGURA PARA EJ.

75 θ 

7

60

110.   GRÚA

109

ELÉCTRICA

 

FIGURA PARA EJ.

110

  Se usa una grúa eléctri eléctrica ca para

En los Ejercicios 101-104, encuentre el área del sector circular  con radio r  y   y ángulo central  .

 Radio r 

Ángulo central  

101.   6 pulgadas

 3

102.   12 milímetros

 4

103.  2.5 pies

225

104.   1.4 millas

330

  En los Ejercici Ejerc icios os 105 DISTANCIA ENTRE CIUDADES 106, encuentre la distancia entre las ciudades. Suponga quey la Tierra es una esfera de 4000 millas de radio y que las ciudades están en la misma longitud (una ciudad está al norte de la otra).

Ciudad 105.   Dallas, Texas Omaha, Nebraska

Latitud   32 47  39  39   N 41 15  50  50   N

levantar una viga (vea figura). El diámetro del tambor de la grúa mide 10 pulgadas, y la viga debe ser elevada 2 pies. Encuentre el número de grados que debe girar el tambor.

111.  RAPIDEZ LINEAL Y ANGULAR   Una sierra eléctrica 1 circular circu lar tiene una hoja de 74 pulga pulgadas das de diáme diámetro, tro, que gira a 5000 revoluciones por minuto. (a) Encuentre Encuentre la rapidez angular angular de la hoja de la sierra en radianes por minuto. (b) Encuentre la rapidez lineal lineal (en pies por minuto) de uno de los 24 dientes cortantes cuando hace contacto con la madera que se corta.

112.  RAPIDEZ LINEAL Y ANGULAR   Un carrusel (tiovivo) de 50 pies de diámetro hace 4 revoluciones por minuto. (a) Encuentre la rapidez angular angular del carrusel en radianes por minuto minuto.. (b) Encuentre Encuentre la rapid rapidez ez lineal (en pies por minuto) del borde de la plataforma del carrusel.

 

Sección Secció n 4.1

113.  RAPIDEZ LINEAL Y ANGULAR   El diámetro diámetro de un DVD es de un unos os 12 ce cent ntím ímet etros ros.. El mo moto torr de mo mo-vimiento del reproductor de DVD está controlado para girar en forma precisa entre 200 y 500 revoluciones por minuto, según la pista que sea leída. (a) Encuentre Encuentre un intervalo intervalo para la rapide rapidezz angular de un DVD cuando gira. (b) Enc Encuent uentre re el inte interva rvalo lo para la rapi rapidez dez lineal lineal de un punto en la pista más externa cuando gira el DVD. 114.  RAPIDEZ ANGULAR   Una polea polea de dos pulgada pulgadass de diámetro, en un motor eléctrico que opera a 1700 revolucion ci ones es po porr mi minu nuto to,, es está tá co cone nect ctad adaa me medi dian ante te un unaa ba band ndaa a un unaa pole po leaa de cu cuat atro ro pu pulg lgad adas as de di diám ámet etro ro en el ej ejee de un unaa si sier erra ra.. (a) Encue Encuentre ntre la rapidez angular angular (en radia radianes nes por minuto) de cada una de las poleas. (b) Encuentre las revoluciones revoluciones por minuto minuto de la sierra.

Medida Med idass en rad radian ianes es y gra grados dos

291

(a) Encuen Encuentre tre la rap rapide idezz de la bicicleta bicicleta en pie piess por segundo y en millas por hora. (b) Use su res result ultado ado del inciso inciso (a) para escribir escribir una función para la distancia  d  (en millas) que recorre un ciclista, en términos del número   n   de revolucioness de la rueda dentada de los pedales. cione pedales. (c) Escriba Escriba una función para hallar la distancia distancia   d  (en millas mil las)) que un cic ciclis lista ta rec recorr orree en tér términ minos os del tiempo  t  (en segundos). Compare esta función con la función del inciso (b). (d) Clasifiqu Clasifiquee los tipos de funcio funciones nes encontradas encontradas en los incisos (b) y (c). Expliq Explique ue su razon razonamien amiento. to.

120.   TOQUE Escrib ribaa un bre breve ve en ensa sayo yo qu quee TOQUE FIN FINAL  AL    Esc explique a un condiscípulo el significado de cada uno de los siguientes conceptos.

  Un Un au auto to sus se de desp spla laza zaes a ra razó zón n de 65 115.   millas RAPIDEZANGULAR RAPIDEZ ANGULAR por hora, y el diámetro de ruedas 2 pies.

(a) un ángulo en posición posición normal normal

(a) Encuentre Encuentre el número de revolucione revolucioness por minuto al que giran las ruedas. (b) Encue Encuentre ntre la rapidez angular angular de las ruedas en radianes por minuto. 116.   RAPIDEZ ANGULAR   Una máquina máquina de alineaci alineación ón y balanceo por computadora hace girar una llanta, de 25 pulgadas de diámetro, a 480 revoluciones por minuto. (a) Encue Encuentre ntre la rapidez en pavimento pavimento (en millas por hora) a la que está siendo balanceada balanceada la llanta llanta.. (b) ¿A qué rap rapide idezz deb debee ser ajustad ajustadaa la máq máquin uinaa de alineación y balanceo para que la llanta se pruebe a 55 millas por hora?

(b) ángulos positivos positivos y negativos negativos

aspersor de un “green” de golf está ajustaajusta117.   ÁREA   Un aspersor do para regar agua a una distancia de 15 metros y para

 

(c) ángul ángulos os coterminales coterminales (d) medida de ángulo ángulo en grados y radianes radianes (e) ángul ángulos os obtusos obtusos y agudos (f)) ángulo (f ánguloss complementario complementarioss y suple suplementa mentarios rios

EXPLORACIÓN Ejercicio icioss 121121-123, 123, dete determirmi¿VERDADERO ¿VERD ADERO O FALSO?   En los Ejerc ne si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. medida de 4 desde radianes corresponde dosterminal revolu121.  Una ciones completas el lado inicial al alado

de un ángulo.

girar un un án ángulo de de 140. Trace un di diagrama qu que muestre la región que puede ser irrigada con el aspersor. Encuentre el área de la región. 118.   ÁREA   El limpiador limpiador del parabrisas parabrisas trasero o “medallón” de un auto gira 125   . La longitud total del mecanismo nis mo del lim limpia piador dor es de 25 pul pulgad gadas as y lim limpia pia el “medallón” “meda llón” en una distancia de 14 pulgad pulgadas. as. Encuentre el área cubierta por el limpiador. 119.  VELOCIDAD DE UNA BICICLETA   Los radios de la rueda dentada dentada de los pedal pedales es (plato), la rueda dentada dentada y de la rueda de la bicicleta de la figura miden 4, 2 y 14 pulga pulgadas, das, respectivame respectivamente. nte. Un cicli ciclista sta pedal pedalea ea a

122.  La diferencia entre las medidas de dos ángulos cotermina mi nale less es si siem empr pree un mú múlt ltip iplo lo de 360 si se ex expr pres esaa en gra grados dos,, y es sie siempr mpree un un múlt múltipl iplo o de de 2  rad radian ianes es si se expresa en radianes. 123.   Un án ángu gulo lo qu quee mi mida da  1260 se en encu cuen entr traa en el te terc rcer er cuadrante. 124.  PIÉNSELO   Un motor de ventilad ventilador or gira a una rapidez angular determinada. ¿Cómo cambia la rapidez de las puntas de las aspas si un ventilador de mayor diámetro se insta instala la en el motor? Explique.

razón de 1 revolución por segundo.

grado o un rad radián ián es la unidad unidad de 125.  PIÉNSELO   ¿Un grado medida más grande? Explique.

126.  ESCRITURA   Si el radio radio de un círculo círculo es creciente creciente y la magnitud del ángulo central se conserva constante, ¿cómo está cambiando la longitud del arco intersecado? Explique su razonamiento.

14 in.

2 in.

127.   PRUEBA   Demue Demuestre stre que el área área de un sector circucircu1 2 lar de radio  r   con ángulo central   es  A  2 r  r  , donde   se mide en radianes.

4 in.

 

292

Capítulo 4

Trigonometría

4.2 FUNC UNCION IONES ES TRI TRIGON GONOMÉ OMÉTRI TRICAS CAS: LA CI CIRC RCUN UNFE FERE RENCI NCIA A UN UNIT ITAR ARIA IA Lo que debe aprender  • Identificar la circunferencia unitaria  y describir su relación con los números reales. • Evaluar funciones funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria. • Usar el dominio y periodo para evaluar las funciones seno y coseno. • Usar calculadora para evaluar funciones trigonométricas.

La circunferencia unitaria Las dos perspectivas históricas de la trigonometría incorporan diferentes métodos para introducir funciones trigonométricas. Nuestra primera introducción de estas funciones está basada en la circunferencia unitaria. Considere la circunferencia unitaria dada por  x 2   y 2 

1

Circunferencia unitaria

como se ve en la Figura 4.20.  y

Por qué debe aprenderlo Se usan funciones trigonométricas para modelar el movimiento de un peso oscilante. Por ejemplo, en el Ejercicio 60 de la página 298 el desplazamiento de un peso oscilante suspendido por un resorte, a partir del equilibrio, se modela como una función del tiempo

(0, 1)

(−1, 0)

(1, 0)

 x 

(0, −1) FIGURA

4.20

Imagine que la recta numérica real está enrollada alrededor de esta circunferencia, con los números positivos correspondientes a un enrollado en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj (levógiro) y con los números negativos correspondientes a un    s     h    p     a     r     g    o

enrollado en el sentido de giro de las manecillas de un reloj (dextrógiro), como se ve en la Figura 4.21.

   t    o     h      P      l     a    t     n    e     m     a      d     n     u     F      /     a     n     g    e      M      d     r     a     h    c      i     R

 y

 y

( x, y)

t  >  > 0

 < 0 t  <

t 

t 

(1, 0)

θ 

(1, 0)

 x 

 x 

θ 

t 

( x, y) FIGURA

t 

4.21

Como la recta numérica real está enrollada alrededor de la circunferencia unitaria, cada número real t  corresponde a un punto ( x ,  y) sobre la circunferenc circunferencia. ia. Por ejemplo, el número real 0 corresponde al punto (1, 0). Además, como la circunferencia circunferencia unitaria tiene una longitud de arco de 2 , el número real 2  también corresponde al punto 1, 0. En general, cada número real t  también corresponde a un ángulo central   (en posición normal) cuya medida en radianes es t . Con esta interpretación de t , la fórmula de la longitud del arco s  r     (con r   1) indica que el número real t  es la longitud (direccional) del arco arco intersecado por el ángulo ángulo  , dado en radianes.

 

Sección 4.2

Funciones trigonométricas: la circunferencia unitaria

293

Las funciones trigonométricas De la exposición anterior se deduce que las coordenadas  x  y  y son dos funciones de la variable real t . Se pueden usar estas coordenadas para definir las seis funciones trigonométricas de t .

seno

cosecante

coseno

secante

tangente

cotangente

Estas seis funciones normalmente se abrevian como sen, csc, cos, sec, tan y cot, respectivamente.

Definiciones de las funciones trigonométricas Observe en las definiciones de la derecha que las funciones del segundo renglón son las recíprocas de las correspondientes funciones del primer renglón.

Sea t un número real y sea ( x , y) el punto sobre la circunferencia unitaria corres correspondien pon diente te a t .

 y

(0, 1)

(

 ,

2 − 2

2 2

( 22 ,  22 )

)

(−1, 0)

2 ,  − 2

2 2

)

(0, −1)

 y tan t   ,  x   0  x 

csc t   1 ,  y  0  y

sec t   1 ,  x   0  x 

cot t    x ,  y  0  y

 x 

(1, 0)

(

cos t    x 

En las definiciones de las funciones trigonométricas, observe que la tangente y secante no están definidas cuando  x   0. Por ejemplo, como t    2 corresponde a ( x   x ,  y)  (0, 1), se deduce que tan 2 y sec sec 2 no están definidas. Del mismo modo, la cotangente y cosecante no están definidas cuando  y  0. Por ejemplo, como t  0 corresponde a  x   x , y  1, 0, cot 0 y csc 0 no están definidas. En la Figura 4.22, la circunferencia unitaria se ha dividido en ocho arcos iguales, correspondientes corres pondientes a valores de t de 0,

(−

sen t    y

 

2 2 ,  − 2 2

)

    3  5  3  7  , , ,   , , , y 2 . 4 2 4 4 2 4

Análogamente, en la Figura 4.23, la circunferencia unitaria se ha dividido en 12 arcos iguales, correspondientes a valores de t de

FIGURA

4.22

0,

( 21 ,

 y

(− 21 , (− 23 , 21 )

3 2

)

3 2

)

(0, 1)

(

3 2

,

1 2

)

      2  5  7  4  3  5  11  , , , , ,  , , , , , y 2 . 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6

Para verificar los puntos sobre la circunferencia unitaria de la Figura 4.22, observe  2  2 que , también está sobre la recta  y     x . Por tanto, sustituir  x  por  y en la 2 2 ecuación de la circunferencia unitaria produce lo siguiente.



 

 x 2   x 2  1 (−1, 0)

2 x 2  1

 x 

(1, 0)

Como el punto está en el primer cuadrante, x   3 1 − 2 ,  − 2

(

)

(

1 3 − ,  − 2 2

FIGURA

)

( (0, −1)

1 3 ,  − 2 2

1 2

 x 2 

±

 2 2

y como y   x , también tenemos

2

que y   2. Se puede usar igual razona razonamiento miento para verificar el resto de los puntos en 2 la Figura 4.22 y los puntos en la Figura 4.23.

)

( 23 ,  − 21 )

4.23

 2

 x  

Usando las coordenadas ( x   x , y) en las Figuras 4.22 y 4.23, se pueden evaluar las funciones trigonométricas para valores de t comunes. Este procedimiento está demostrado en los Ejemplos 1, 2 y 3. Usted debe estudiar y aprender estos valores de funciones exactos para valores de t  comunes, porque le ayudarán en secciones posteriores para efectuar efec tuar cálculos.

 

294 

Capítulo 4

Trigonometría

 Ayuda da de álgeb álgebra ra  Ayu

Ejemplo 1

Evaluar funciones trigonométricas

Evalúe las seis funciones trigonométricas en cada número real. En el Apéndice A.1 y en mente, el Apéndice A.2, respectiva respectivamente, puede repasar la división de fracciones y la racionalización denominadores.

a. t  

  6

b. t  

5  4

c. t   0

d. t    

Solución Para cada valor de t , empiece por hallar el punto correspondiente ( x ,  y) en la circunfe circunfe-rencia ren cia unitaria. A continuación use las definiciones de funciones trigonométricas cita citadas en la página 293.

a. t  

  6

corresponde al punto  x ,  y 

sen

  6

  y 



 3 1 2

,

2

1

csc

2

b. t  

5  4 sen

cos

tan

6



 y



 x 

12

 32



1

 3



 3

4 5  4 5  4

  x   



 y  x 



cot

3



  y  

1



6



1

 y

12

1

2



2 2 3

sec 6   x    3 

corresponde al punto  x ,  y    5 

   

cos 6   x   2

 

.

 3

 

tan



 2

 2

csc

2

 2

sec

2

  22   22

2

,



1

c. t   0 corresponde al punto  x ,  y   1, 0.

cot

  6



 

5  4 5  4 5  4



 32

 y

 2 2

 x 

12

3 

 3

.



1

 

 y 

1

 

 x  

 x   y



2

 2 2

 2

   2

   2

  22   22



1

1 no está definida.  y

sen 0   y  0

csc 0   

cos 0   x   1

1 1 sec 0      1  x  1

tan 0 

0  y  0  x  1

cot 0 

 x  no está definida.  y

d. t     corresponde al punto  x ,  y    1, 0. 1 no está definida.  y

sen     y  0

csc     

cos     x    1

1 1 sec        1  x   1

tan   

0  y   0  x   1

cot   

 x  no está definida.  y

Ahora trate de hacer el Ejercicio 23.

 

Sección 4.2

Ejemplo 2

295

Funciones trigonométricas: la circunferencia unitaria

Evaluar funciones trigonométricas

  Evalúe las seis funciones trigonométricas en t    3 .

Solución Moviéndose en el sentido dextrógiro se deduce que t     3 corre ressponde al punto  x ,  y  12,   32.

        

sen  cos  tan 

3

3

3

 





 3

        

csc 

2

1

sec 

2   32

12

   3

cot 

3

3

3

 





2

 3

 

2 3 3

2 12   32



1

 3

 

 3 3

Ahora trate de hacer el Ejercicio 33.

Dominio y periodo de seno y coseno  y

(0, 1)

(−1, 0)

(1, 0)

(0,  − 1) −1  ≤  x  ≤

FIGURA

4.24 

1

 x 

−1  ≤  y  ≤

1

El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de todos los números reales. Para determinar la variación de estas dos funciones, considere la circunferencia unitaria que se muestra en la Figura 4.24. Por definición, sen t    y y cos  t    x . Como  x ,  y  está en la circunferencia unitaria, sabemos que  1      y    1 y  1      x    1. Por tanto, los valo va lore ress de de sen seno o y co cose seno no ta tamb mbié ién n var varía ían n ent entre re  1 y 1. 1. 1



1



 y

sen t 



1



1

y

1



 x 



1

1



cos t 



1

Sumar 2  a cada valor de t  en el interval intervalo o [0, 2 ] completa completa una segunda segunda revo revolución lución alrededor de la circunferencia unitaria, como se muestra en la Figura 4.25. Los valores de sent   2  y cost   2  corresponde a los de sen t  y cos t . Se pueden obtener resultados semejantes para revoluciones repetidas (positivas y negativas) en la circun-

ferencia unitaria. Esto lleva al resultado general sent   2 n  sen t  y t  = t  =

3π  3π  , 4 4

π 

2

,

π 

2

π 

+ 2π ,

2

 y

+ 2π , ...

+ 4π , ...

t  =

π 

4

,

π 

4

cost   2 n  cos  t 

+ 2π , ...

para cualquier entero n y número real t . Las funciones que se comportan de manera repetitiva (o cíclica) se denominan periódicas.

t  = π, 3π , ...

Definición de función periódica

 x 

t  = 0, 2π , ...

t  =

5π  5π  , 4 4

t  = FIGURA

+ 2π , ... t  = 3π 3π , 2 2

+ 2π ,

7 π 7 π  , 4 4

3π  + 2

Una función  f  es periódica si existe un número real positivo c tal que  f t   c   f t 

+ 2π , ...

para toda t  en el dominio de  f . El número más pequeño c para el cual  f  es perióperiódica di ca se denomina periodo de  f .

4π , ...

4.25

 

296

Capítulo 4

Trigonometría

Recuerde de la Sección 1.5 que una función f es par si  f  t    f t , y es impar si   f t .

 f  t 

Funciones trigonométricas pares e impares Las funciones coseno y secante son  pares. cos t   cos t 

sec t   sec t 

Las funciones seno, cosecante, tangente y cotangente son impares. sen t    sen t 

csc t    csc t 

tan t    tan t 

cot t    cot t 

Ejemplo 3 13 

De la definición de función periódica se deduce que las funciones seno y coseno son periódicas y tienen un periodo de 2 . Las ot otras cu cuatro funciones trigonométricas también son periódicas y se estudiarán en la Sección 4.6.

Usar el periodo para evaluar el seno y coseno 



 

13 



2  6 , se tiene que sen 6 a. Como 6 7    b. Como    4   , se tiene que 2 2

   

cos 

7

2





cos  4  



  2



cos



sen 2 



  2



  6





 



sen 6

1 2.

0.

4 4 c. Para sen t   , sen t    porque la función seno es impar. 5 5 Ahora trate de hacer el Ejercicio 37.

Evaluación de funciones trigonométricas con calculadora Cuando evalúe una función trigonométrica con calculadora necesita poner ésta en el

 TEE C N O L O G Í A  T Al evaluar funciones

modo deseado de medida (grados o radianes). La mayor parte de las calculadoras no tienen teclas para las funciones cosecante, secant sec antee y cot cotang angent ente. e. Pa Para ra ev evalu aluar ar est estas as fun funcio ciones nes se pue puede de usa usarr la la tecl teclaa x con sus 1

respectivas funciones recíprocas de seno, coseno y tangente. Por ejemplo, para evaluar respectivas csc 8, use el hecho de que

trigonométricas con calculadora, recuerde encerrar en paréntesis todas las medidas de ángulos fraccionarios. Por ejemplo, si desea evaluar sen t para t     / 6, 6, se debe teclear  SIN   

   



6 

   ENTER

csc

  8



1 sen 8

e introduzca la siguiente secuencia de tecleo en el modo de radianes.    

   SIN   

.

Este tecleo da el valor correcto de 0.5. Observe que algunas calculadoras automáticament automáticamentee ponen un paréntesis izquierdo después de funciones trigonométricas. Lea la guía de usuario de su calculadora para tecleos específicos sobre cómo evaluar funciones trigonométricas.

8 



   

 

x

1

ENTER

Pantalla Panta lla 2.613125 2.6131259 9

Usar calculadora

Ejemplo 4 Función 2  a. sen 3

Modo

b. co cott 1. 1.5 5

Tecleo en calculadora

Radianes

SIN

Radianes





TAN

2      

3 



1. 5





 

Pantalla

0.8660254

ENTER

x

1

ENTER

0.0709148

Ahora trate de hacer el Ejercicio 55.

 

Sección 4.2

4.2

Funciones trigonométricas: la circunferencia unitaria

EJERCICIO

VOCABULARIO:

297

En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

Llene los espacios en blanco.

1. Cada número real t corresponde a un punto ( x , y) en el ________ ________. 2. Una función f es ________ si existe un número real positivo c tal que f t   c   f t  para toda t en el dominio de  f . 3. El número c más pequeño para el cual una función f es periódica se denomina _______ de  f . 4. Una función f es _______si f  t    f t  y _____ f  t    f t .

HABILIDADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 5-8, determine los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del número real t . 5.

6.

 y

(   ( 12 5 , 13 13

θ 

(− 187 ,  15 17 (

 y

 x 

11  6

25. t   

3  2

t 

θ 

t 

23. t  

24. t  

5  3

26. t    2 

En los Ejercicios 27-34, evalúe (si es posible) las seis funciones  x 

trigonométricas del número real. 27. t   7.

8.

 y

 y

29. t  

t  t 

θ 

θ 

31. t  

5 ,− (12 13   13 (

(− 45 ,  − 35 ( En los Ejercicios 9-16, encuentre el punto  x , y  sobre la circunferencia unitaria que corresponda al número real t .  

3 4  3 3  4

28. t   30. t   32. t  

5  6 7  4 3  2

 x 

 x 

9. t  

2 

10. t    

33. t   

  2

34. t     

En los Ejercicios 35-42, evalúe la función trigonométrica usando su periodo como ayuda. 35. sen 4  7  37. cos 3

36. cos 3  9  38. sen 4

2

11. t   13. t   15. t  

 

12. t  

4 5 

14. t  

6 4 

16. t  

3

 

39. cos

3 3 

 

18. t  

4

19. t    21. t   

 

4 5 

6 7 

42. cos 

43. sen t  

3

   

1 2

9

4

44. sen t  

(a) sen t  (b) csc t  1 45. cos t    5

  3

22. t   

4

    8

19  6

En los Ejercicios 43-48, use el valor de la función trigonométrica para evaluar las funciones indicadas.

3

20. t   

40. sen

41. sen 

En los Ejercicios 17-26, evalúe (si es posible) el seno, coseno  y tangente del número real. 17. t  

17  4

3 8

(a) sen t  (b) csc t  3 46. cos t    4

 

(a) cos t 

(a) cos t 

4

(b) sec t 

(b) sec t 

4 

4 sen t   5

47.

3

48. cos t  

4 5

(a) sen   t 

(a) cos   t 

(b) sent    

(b) cost    

 

298

Capítulo 4

Trigonometría

En los Ejercicios 49-58, use una calculadora para evaluar la función trigonométrica. Redondee la respuesta a cuatro lugares decimales. (Asegúrese que su calculadora esté puesta en el modo correcto de ángulos.)   4    51. cot 4

50. tan

53. cos 1.7

54. cos 2.5

55. cs cscc 0. 0.8 8

56. se secc 1. 1.8 8

57. sec 22.8

58. cot 0.9

59.

60.

66. Use una circunferencia unitaria para verificar que las funciones coseno y secante pares y queson lasimpares. funcio nes seno, cosecante, tangenteson y cotangente im pares.-

  3 2  52. csc 3

49. sen

(c) Haga una conjetura acerca de cualquier relación entre cos t 1 y cos   t 1.

67. Verifique que cos 2t   2 cos t  al aproxim aproximar ar co coss 1. 1.5 5 y 2 co coss 0. 0.75 75.. 68. Verifique que sent 1  t 2  sen t 1  sen t 2 al aproximar sen 0.2 0.25, 5, se sen n 0. 0.75 75 y sen 1. 69.

PIÉNSELO

70.

PIÉNSELO

MOVIMIENTO ARMÓNICO

El desplazamiento de un peso oscilante, desde el equilibrio, suspendido por un 1 resorte re sorte está dado por  yt   4 cos 6t , donde y es el desdesplazamiento (en pies) y t  es el tiempo (en segundos). 1 Encuentre el el de desplazamiento cu cuando (a (a) t   0, (b) t   4 1 y (c) t   2.

Como  f t   sen t  es una función impar gt   cos t  es una función par, ¿qué se puede decir de la función ht    f t gt ? Como  f t   sen t  y g(t )  tan t  son funciones impares, ¿qué se puede decir de la función ht    f t gt ?

71.  ANÁLISIS

GRÁFICO

Con una calculadora de gráfigráfi-

El desplazamiento de un peso oscilante, desde el equilibrio, suspendido por un resorte y sometido al efecto de un amortiguamiento de 1 fricción, está dado por y t   4et  cos 6t , donde y es el desplazamiento (en pies) y t es el tiempo (en segundos).

cas en modos radian y parametric, digite las ecuaciones X1T  cos T y Y1T  sen T

(a) Complete la tabla.

Xmín   1.5, Xmáx  1.5, Xscl  1

MOVIMIENTO ARMÓNICO

t 

0

1 4

1 2

3 4

1

 y

(b) Use el comando comando table de una calculadora de gráficas para aproximar el tiempo cuando el peso alcance el equilibrio. (c) ¿Qué parece ocurrir al desplazamiento cuando t  aumenta?

EXPLORACION

y utilice los siguientes ajustes. Tmín  0, Tmáx  6.3, Tstep  0.1 Ymín   1, Ymáx  1, Yscl  1 (a) Grafique las ecuaciones digitadas y describa la gráfica. (b) Use el el comando trace para mover el cursor alrededor de la gráfica. ¿Qué representan los valores de t ? ¿Qué representan los valores de x y y? (c) ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo máximo de x y y?

72.  TOQUE FINAL  Un estudiante a quien usted asesora ha empleado una circunferencia unitaria dividida en 8 partes iguales para completar la tabla para valores

¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 61-64, deter-

seleccionados de t . ¿Qué está mal?

mine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su resrespuesta.

t 

0

61. Como sen t    sen t , se puede decir que el seno de un ángulo negativo es un número negativo.

 x 

1

 y

0

sen t 

1

cos t 

0

tan t 

No está definido

 

 

64. cos 

7 



cos   

 

  



 



(a) Identifique la simetría de los puntos  x   x 1, y1 y  x   x 2, y2. (b) Haga una conjetura acerca de cualquier relación entre sen t 1 y sen   t 1.

 2 2

 

2 2 65. Sean  x   x 1, y1 y  x   x 2, y2  puntos en la circunferencia unitaria correspondientes a t  t 1 y t    t 1, respectivamente

 2 2

62. tan a  tana  6  63. El número real 0 corresponde al punto (0, 1) en la circunferencia unitaria.

  4

 2 2 1

3  4

0   

1

  2 2

 

  2

 2 2

   2 2

 

1

0

  0    2 2 1

   2 2

0   1

1

0 No está definido

 

Sección 4.3

Trigonometría del triángulo rectángulo

299

4.3  T RIGO RIGONO NOME METR TRÍA ÍA DE DELL TR TRIÁ IÁNG NGUL ULO O RE RECT CTÁN ÁNGU GULO LO Lo que debe aprender  • Evaluar funciones funciones trigonométricas de ángulos agudos. • Usar identidades trigonométricas fundamentales. • Usar una calculadora para evaluar  funciones trigonométricas. • Usar funciones trigonométricas para modelar y resolver problemas de la vida real.

Las seis funciones trigonométricas Nuestra segunda mirada a las funciones trigonométricas es desde la perspectiva de un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo, con un ángulo agudo marcado como  , como se ve ve en la Figura 4.26. Respecto al ángulo  , los tres lados del triángulo son la hipotenusa, el lado opuesto (el lado opuesto al ángulo  ) y el lado adyacente (el lado adyacente al ángulo  ).

        θ 

Por qué debe aprenderlo

a

  a   u  s   n   t  e   p  o   i    H

Con frecuencia se usan funciones trigonométricas para analizar

ot s e u p o o d a

situaciones de la vida real. Por ejemplo, en el Ejercicio 76 de la página 309 el lector puede usar funciones trigonométricas para hallar  la altura de un globo lleno de helio.

L

θ 

Lado adyacente a  θ  FIGURA

4.26

Usando las longitudes de estos tres lados, se pueden formar seis razones que definen las seis funciones trigonométricas del ángulo agudo  .

seno

cosecante

coseno

secante

tangente

cotangente

En las siguientes definiciones, es importante ver que 0   <      < 90   está en el primer cuadrante) y que para tales ángulos el valor de cada función trigonométrica es positiva.    s      i      b     r    o      C      /     a    c      i     r    e     m      A      f    o    s     n    o      i s

Definiciones de funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo Sea   un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas del ángulo   se definen definen como sigue. (Observe (Observe que las funciones del segunsegun-

         i     V      /     m     h    o     S     h    p    e    s    o      J

do renglón son las recíprocas de las correspondientes del primero.) sen   

op hip

cos   

ady hip

tan   

op ady

csc   

hip op

sec    

hip ady

cot   

ady op

Las abreviaturas op, ady e hip representan las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. op  la lo long ngit itud ud de dell la lado do opuesto a    ady  la lo long ngit itud ud de dell la lado do adyacente a    hip  la lo long ngit itud ud de la hipotenusa

 

300

Capítulo 4

Trigonometría

Ejemplo 1   s  a   e  n  u   o  t   p     i    H

Evaluar funciones trigonométricas

Use el triángulo de la Figura 4.27 para hallar los valores de las seis funciones trigono4

métricas de  .

Solución Por el teorema de Pitágoras, hip2  op2  ady2, tenemos que hip   42  32

θ 

3 FIGURA

4.27



 25 25



5.

Por tanto, las seis funciones trigonométricas de   son

 Ayu  Ayuda da de álgeb álgebra ra Puede repasar el teorema de Pitágoras en la Sección 1.1

op

sen    cos   

hip ady





hip

NOTA HISTÓRICA Georg Joachim Rhaeticus (1514-1574) fue el principal astrónomo matemático teutón del siglo XVI. Fue el primero en definir las funciones trigonométricas como razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

tan   

op ady

4 5 3

csc    sec   

5 

4 3

hip op hip





ady cot   

ady op

5 4 5 3



3 4

.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 7. En el Ejemplo 1, nos dieron las longitudes de los dos lados del triángulo rectángulo, pero no el ángulo  . Con frecuencia, se le pedirá hallar hallar las funciones trigonométritrigonométricas de un ángulo agudo   determinado. Para hacer esto, construya un triángulo rectángulo que tenga   como uno de sus ángulos.

Ejemplo 2

Evaluar funciones trigonométricas de 45

Encuentre los valores de se sen n 45, co coss 45 y ta tan n 45.

Solución 45°

Construya un triángulo rectángulo que tenga 45 como uno de sus ángulos agudos, como se ve en la Figura 4.28. Seleccione la longitud del lado adyacente igual a 1. Por

2 1

45°

geometría, sabemos que el otro ángulo agudo también es de 45. Por tanto, el triángulo es isósceles y la longitud del lado opuesta también es 1. Usando el teorema de Pitágoras, se puede hallar que la longitud de la hipotenusa es  2. 2. sen 45 

1

FIGURA

4.28

coss 45  co 

tan 45

op hip



ady hip op





ady

1

 2 1

 2 1



 2



2

 2 2



1

1

Ahora trate de hacer el Ejercicio 23.

 

Sección 4.3

Ejemplo 3

Trigonometría del triángulo rectángulo

301

Evaluar Eva luar funci funciones ones trigono trigonométric métricas as de 30 y 60

Como los ángulos 30°, 45°

Use el triángulo equilátero que se muestra en la Figura 4.29 para hallar los valores de

y 60°  6,  4, y  3 se presentan con frecuencia en trigonometría, usted debe aprender a construir los triángulos mostrados en las Figuras 4.28 y 4.29.

sen 60°, cos 60°, sen 30° y cos 30°.

30° 2

 

3

2

60° 1

FIGURA

1

4.29

Solución Use el teorema de Pitágoras y el triángulo equilátero de la Figura 4.29 para verificar las

 TEE C N O L O G Í A  T Se puede usar calculadora para convertir las respuestas del Ejemplo 3 en decimales, pero la forma radical es el valor exacto, el cual casi siempre se prefiere.

longitudes de los lados que se ven en la figura. Para    60, tenemos ady  1, op   3 e hip  2. Por tanto, sen se n 60 

op hip



 3

coss 60  co

y

2

ady hip



1 2

.

Para    30, ady   3, 3, op  1 e hip  2. Por tanto, sen se n 30 

op hip



1 2

y

coss 30  co

ady hip



 3 2

.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 27.

Senos, cosenos y tangentes de ángulos especiales  

sen se n 30

   1   sen 6 2

sen se n 45  sen

    2   4 2

 

coss 30 co

    3   cos 6 2

coss 45  cos co

    2   4 2

 

tan ta n 30

    3   tan 6 3

tan ta n 45  tan

     1 4

sen se n 60  sen

    3   3 2

coss 60  cos co

   1   3 2

tan ta n 60  tan

       3 3

1

En el recuadro, observe que sen 30  2  co coss 60. Esto ocurre porque 30° y 60° son ángulos complementarios. En general, se puede demostrar a partir de las definiciones de un triángulo rectángulo que las cofunciones de ángulos complementarios son iguales. Esto es, si   es un ángulo agudo, las siguientes siguientes relaciones son verdaderas. verdaderas. sen90     cos   

cos90     sen  

tan90     cot  

cot90     tan  

sec90     csc  

csc90     sec  

 

302

Capítulo 4

Trigonometría

Identidades trigonométricas En trigonometría se emplea mucho tiempo estudiando relaciones entre funciones trigonométricas (identidades).

Identidades trigonométricas fundamentales  Identidades recíprocas recíprocas

sen   

1 csc  

cos    

1 sec   

tan   

1 cot  

csc   

1 sen  

sec   

1 cos   

cot   

1 tan  

cot   

cos   sen  

 Identidades cociente

tan   

sen   cos   

 Identidades pitagóricas sen2    cos2    1

1  tan2    sec2   1  cot2    csc2  

Observe que sen2   o representa sen  2 cos2   representa cos   2 y así sucesiva sucesiva-mente. ,

Ejemplo 4

Aplicar identidades trigonométricas

Sea   un ángulo agudo tal que sen   0.6. Halle los valores de (a) cos   y (b) tan   usando identidades trigonométricas.

Solución

a. Para hallar el el valor valor de cos   use la identidad identidad pitagórica sen2    cos2    1.

En consecuencia, tenemos

0.6 2



cos2    1

Sustituir 0.6 por sen  .

cos2    1  0.6 2  0.64

Restar 0.62 de cada lado.

cos      0.64 0.64  0.8.

Sacar raíz cuadrada positiva.

b. Ahora, conociendo el seno y coseno de   se puede hallar que la tangente de   es tan    1

0.6

θ  0.8

FIGURA

sen   cos   



0.6 0.8



0.75.

Use las definiciones de cos   y tan   y el triángulo de la Figura 4.30 para verificar sus resultados. Ahora trate de hacer el Ejercicio 33.

4.30

 

Sección 4.3

Ejemplo 5

Trigonometría del triángulo rectángulo

303

Aplicar identidades trigonométricas

Sea   un ángulo agudo tal que tan    3. Encuentre los valores  de (a) cot   y (b) sec   usando identidades trigonométricas.

Solución a. cot    cot   

1

Identidad recíproca

tan   1 3

b. sec2    1  tan2   10

3

Identidad pitagórica

sec2    1  32 sec2    10 sec     10 10

θ  1

FIGURA

Use las definiciones de cot   y sec  , junto con el triángulo de la Figura 4.31, para verificar estos resultados. Ahora trate de hacer el Ejercicio 35.

4.31

Evaluación de funciones trigonométricas con calculadora Se pueden usar las identidades recíprocas de seno, coseno y tangente para evaluar las funciones cosecante, secante y cotangente con una calculadora. Por ejemplo, se puede usar la siguiente secuencia de tecleo para evaluar se secc 28. 1    COS 28 ENTER En la pantalla de la calculadora se lee 1.1325701.

Para usar calculadora para evaluar funciones trigonométricas de ángulos medidos en grados, primero ponga la calculadora en el modo degree y a continuación prosiga como se demostró en la Sección 4.2. Por ejemplo, se pueden hallar valores de cos 28 y sec 28 como sigue. Función

Modo

Tecleo en la calculadora

a. co coss 28

Degree

COS

b. se secc 28

Degree



2 8

COS

0.8829476

ENTER    28

Pantalla





 

x

1

ENTER

1.1325701

En todo este texto, se supone que los ángulos se miden en radianes a menos que se indique lo contrario. Por ejemplo, sen 1 significa que el seno de 1 radián y sen 1° significa el seno de 1 grado.

Ejemplo 6

Usar calculadora

Use calculadora para evalua evaluarr sec5 40  12 .

Solución Empiece por convertir a forma de grado decimal. [Recuerde que 1   1 1   3600 1. 5 40  12   5 

40 

12







1 60 1

5.67

60 3600 A continuación, use calculadora para evaluar se secc 5. 5.67 67.

   

Función

sec5 40  12      se secc 5. 5.67 67

Tecleos en la calculadora 

COS



5.6  7





 

x

1

ENTER

Pantalla

1.0049166

Ahora trate de hacer el Ejercicio 51.

 

304 

Capítulo 4

Trigonometría

Aplicaciones con triángulos rectángulos

Objeto

Observador

Observador

Ángulo de elevación Horizontal

Horizontal Ángulo de depresión Objeto

FIGURA

4.32

Numerosas aplicaciones de trigonometría comprenden un proceso llamado resolver triángulos rectángulos. En este tipo de aplicación, normalmente al estudiante se le da el de unlados, triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos y se le pide hallar uno de lado los otros  o bien, se le dan dos lados y se le pide hallar uno de los ángulos agudos. En el Ejemplo 7, el ángulo que se le da es el ángulo de elevación, que representa el ángulo desde la horizontal hacia un objeto. Para objetos que se encuentran debajo de la horizontal es común usar el término ángulo de depresión, como se ve en la Figura 4.32.

Ejemplo 7

Usar trigonometría para resolver un triángulo rectángulo

Un topógrafo está de pie a 115 pies de la base del monumento a Washington, como se ve en la Figura 4.33. El topógrafo mide el ángulo de elevación a lo alto del monumento como 78.3. ¿Cuál es la altura del monumento a Washington?

Solución  y

Ángulo de elevación 78.3 °

 x  =  = 115 ft FIGURA

 No a escala

En la Figura 4.33 se puede ver que op  y tann 78 ta 78.3 .3   ady  x  donde  x   115 y  y es la altura del monumento. En consecuencia, la altura del monumento a Washington es tann 78 78.3 .3  1154.82882  55 5555 pi pies es..  y   x ta

4.33

Ahora trate de hacer el ejercicio 67.

Ejemplo 8

Usar trigonometría para resolver un triángulo rectángulo

Un faro histórico está a 200 yardas de una pista para bicicletas a lo largo de la orilla de un lago. Un pasillo al faro es de 400 yardas de largo. Encuentre el ángulo agudo   entre la pista para bicicletas y el pasillo, como se ilustra en la Figura 4.34.

y

θ 

200 yardas

FIGURA

400 yardas

4.34 

Solución En la Figura 4.34 se puede ver que que el seno del ángulo   es sen   

op 200 1   . hip 400 2

Ahora debe reconocerse que    30. Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 69.

 

Sección 4.3

Trigonometría del triángulo rectángulo

305

Ahora ya debe saber reconocer que    30 es el ángulo agudo que satisface la ecuación sen     12. Suponga, sin embargo, que se le da la ecuación sen    0.6 y se le pide hallar el ángulo ángulo agudo agudo  . Como senn 30  12 se 

0.5000

y senn 45  se

1  2

 0.7071

usted puede pensar que   está entre 30 y 45. En una sección posterior estudiará un método mediante el cual se puede determinar un valor más preciso de  .

Ejemplo 9

Resolver un triángulo rectángulo

Encuentre la longitud c de la rampa para patinetas que se ve en la Figura 4.35.

c

4 ft 18.4°

FIGURA

4.35

Solución En la Figura 4.35 podemos ver que op

senn 18 se 18.4 .4





hip 4 c

.

Entonces, la longitud de la rampa para patineta es c



4 senn 18 se 18.4 .4 4 0.3156

12.77 pie pies. s.  12. Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 71.

 

306

Capítulo 4

4.3

Trigonometría

EJERCICIOS

En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

VOCABULARIO 1. Relacione la función trigonométrica con su definición de triángulo rectángulo. (a) Seno (i)

(b) Cose Coseno no

hipotenusa adyacente

(ii)

(c) Tangen angente te

adyacente opuesto

(iii)

hipotenusa opuesto

(d) Cosec Cosecante ante (iv)

adyacente hipotenusa

(e) Secan Secante te (v)

(f)) Cotan (f Cotangente gente

opuesto hipotenusa

(vi)

opuesto adyacente

En los Ejercicios 2-4, llene los espacios en blanco. 2. Respecto al ángulo  , los tres lados de un triángulo rectángulo son el lado ________, el lado ________ y la ________. 3. Las cofunciones de ángulos ________ son iguales. 4. Un ángulo que mide de la horizontal hacia arriba hasta un objeto recibe el nombre de ángulo de ________, en tanto que un ángulo que mide desde la horizontal hacia abajo hasta un objeto se denomina ángulo de ________.

HABILIDADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 5-8, encuentre los valores exactos de lasenseis funciones trigonométricas del ángulo   que se ilustra la figura. (Use el teorema de Pitágoras Pi tágoras para hallar el tercer lado del triángulo.) 5.

6. 6

13

5

θ 

θ 

θ 

 

41

9

3 4 3 sec    2 1 sen    5

14. cos    

15.

16. 18.

19. cot    3

8. 4 θ  4

En los Ejercicios 9-12, encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del ángulo   para cada uno de los dos triángulos. Explique por qué los valores de la función son iguales.

5 6 4 tan    5 17 sec     7

13. tan    17.

8

7.

En los Ejercicios 13-20, trace triángulo rectángulo que corresponda a la función trigonun trigonométrica ométrica del ángulo del agudo  . Use el teorema de Pitágoras para determinar el tercer lado y a continuación encuentre las otras cinco funciones trigonométricas de  .

20. csc     9

En los Ejercicios 21-30, construya un triángulo apropiado para completar la tabla. 0          90, 0              / 2   (grad)

  (rad)

Valor de la función

21. sen 22. cos

30 45

 

 

23. sec



  4



Función

 

9.

10. 8

θ  1

θ 

4

θ  4

7.5

3

11.

12.

1



3

25. cot





26. csc





 2

27. csc



  6



5

15

θ 

24. tan 1.25

θ 

28. sen

1

2

θ  6

3

2 θ 

 3

  4

29. cot

 



30. tan





θ 

 3

 1

 3 3

6

 

Sección 4.3

En los Ejercicios 31-36, use el valor o valores de la función dada, así como identidades trigonométricas (incluidas las de cofunción), para hallar las funciones trigonométricas indicadas. 31. sen 60 

 3 2

1 2

(a) se sen n 30

(b) co coss 30

(c) ta tan n 60

(d) co cott 60

1

32. sen 30  , 2

33.

coss 60  co

,

tan ta n 30 

 3 3

(a) cs cscc 30

(b) co cott 60

(c) co coss 30

(d) co cott 30

307

Trigonometría del triángulo rectángulo

47. (a) se sen n 10

(b) cos 80

48. (a) ta tan n 23 23.5 .5

(b) co cott 66 66.5 .5

49. (a) se sen n 16 16.3 .35 5

(b) csc 16. 16.35 35

cott 79 79.5 .56 6 50. (a) co 51. (a) cos 4 50  15 

(b) sec 79. 79.56 56 (b) sec 4 50  15 

52. (a) se secc 42 12 

(b) cs cscc 48 7 

53. (a) co cott 11 15 

(b) ta tan n 11 15 

54. (a) se secc 56 8  10 

(b) cos 56 8  10 

55. (a) cs cscc 32 40  3 

(b) ta tan n 44 28  16 

56. (a) sec   20  32

(b) cot 5  30  32

9 5

9

(a) sen  

(b) tan  

En los Ejercicios 57-62, encuentre los valores de   en grados 0   <      < 90 y radianes 0   <      <     / 2 sin ayuda de calculadora.

(c) sec  

(d) csc90   

57. (a) sen   

(b) cot  

58. (a) cos      2 2

(b) tan    1

(d) sen  

59. (a) sec    2

(b) cot    1

60. (a) tan     3

(b) cos   

1 cos    3

34. sec    5 (a) cos   (c) cot90   

35. cot   5 (a) tan 

(b) csc 

(c) cot90  

(d) cos  

36. cos   

 7

61. (a) csc    62. (a) cot   

4

(a) sec  

(b) sen  

(c) cot  

(d) sen90   

1 2

(b) csc    2

2 3 3

 3 3

(b) sen   

1 2

 2 2

(b) sec     2

En los Ejercicios 63-66, despeje x , y o r como se indica. 63. Despeje y.

64. Despeje x .

En los Ejercicios 37-46, use identidades trigonométricas para transformar el lado (miembro) de la ecuación en el 0   <    izquierdo lado (miembro) derecho   <     / 2.

30 18

 

y

37. tan   cot    1 38. cos   sec     1

30°  x 

60°

39. tan  cos    sen  65. Despeje x.

66. Despeje r.

65. Despeje x .

40. cot  sen   cos 

66. Despeje r .

41. 1  sen   1  sen    cos2   42. 1  cos    1  cos    sen2   32

43. sec    tan   sec sec    tan    1 44. sen2    cos2    2 sen2    1 45. 46.

sen   cos  



cos   sen  

tan    cot   tan  

 



csc   sec  



csc2  

r 

20

60° 45°

 x 

Supongamos que usted se EDIFICIO EMPIRE STATE encuentra de pie a 45 metros de distancia de la base del

67.

edificio Empire State. Estima que el ángulo de elevación hasta el piso 86 (el observatorio) es 82. Si la altura total del edificio es de otros 123 metros arriba del piso 86, ¿cuál es la altura aproximada del edificio? Uno de sus amigos está en el piso 86. ¿Cuál es la distancia entre usted y su amigo?

En los Ejercicios 47-56, use calculadora para evaluar cada función. Redondee las respuestas a cuatro lugares decimales. (Asegúrese que la calculadora esté en el modo correcto de ángulos.)

 

308 68.

Capítulo 4

Trigonometría

ESTATURA

Una persona que mide 6 pies de estatura camina desde la base de una torre de transmisión directamente hacia la punta de la sombra proyectada por la sombra. Cuando la persona está a 132 pies de la torre y 3 pies

72.  ALTURA DE UNA MONTAÑA Viajando por un terreno plano, usted observa una montaña directamente al frente. Su ángulo de elevación (a la cima) es de 3.5. Después de acercarse en el auto 13 millas a la montaña,

arriba de la punta de la sombra, la sombra de la persona empieza a aparecer más allá de la sombra de la torre.

el ángulo de elevación es de 9. Aproxime la altura de la montaña.

(a) Dibuje un triángulo rectángulo que dé una representación visual del problema. Muestre las cantidades conocidas del triángulo y use una variable para indicar la altura de la torre. (b) Use una función trigonométrica para escribir una ecuación que contenga la cantidad desconocida. (c) ¿Cuál es la altura de la torre?

69.  ÁNGULO DE ELEVA ELEVACIÓN CIÓN Usted está bajando en esquíes por una montaña con una altura vertical de 1500 pies. La distancia desde la cima de la montaña a la base es de 3000 pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde la base a la cima de la montaña?

3.5 13 mi

9

°

73.

70.  ANCHO DE UN RÍO Un biólogo desea saber el ancho w de un río de modo que se puedan instalar debidamente los instrumentos para estudiar los contaminantes del agua. Desde el punto  A, el biólogo camina 100 pies aguas abajo y observa el punto C (vea la figura). Desde este punto de vista, se determina que    54. ¿Cuál es el ancho del río?

°

 No a e  esscala

CÁLCULOS DE TALLER MECÁNICO

Una placa de aceacero tiene la forma de un cuarto de círculo con radio de 60 centímetros. Dos agujeros de dos centímetros han de perforarse en la placa como se ve en la figura. Encuentre las coordenadas del centro de cada agujero. d 

 y

60 56

°

3 ( x 2,  y2)

15 cm ( x 1,  y1) 30

°

30

C 

° °

30

56 60 FIGURA FIG URA PARA EJE EJERCI RCICIO CIO 73

w

74. θ  =

 A

71.

5 cm

 x 

FIGURA FIG URA PARA EJER EJERCIC CICIO IO 74

CÁLCULOS DE TALLER MECÁNICO

Un eje cónico

°

54 100 ft

tiene un diámetro de 5 centímetros en elfigura). extremoLa pequeño y mide 15 centímetros de largo (vea conicidad es de 3. Encuentre el diámetro d  del extremo grande del eje.

LONGITUD

Un cable de sujeción (llamado viento) va del suelo a una torre para antenas. El cable está unido a la torre a 150 pies del suelo. El ángulo formado entre el cable y el suelo es de 43 (vea figura).

75.

GEOMETRÍA

Use un compás para trazar un cuarto de círculo de 10 centímetros de radio. r adio. Usando un transpor-

tador, construya un ángulo de 20 en posición normal (vea figura). Trace una recta perpendicular desde el punto de intersección del lado terminal del ángulo y el arco del círculo. Por medición, calcule las coordenadas  x   x , y del punto de intersección y use estas mediciones para aproximar las seis funciones trigonométricas de un ángulo de 20  y

150 ft

10 θ 

= 43

°

( x ,  y )  c m  c  1 0

(a) ¿Cuál es la longitud del cable?

20

°

(b) ¿A qué distancia de la base de la torre está anclado el cable al suelo?

10

 x 

 

Sección 4.3

76.  ALTURA

Se utiliza una cuerda de 20 metros para sujetar un globo lleno de helio. Debido a una brisa, la cuerda forma un ángulo de aproximadamente 85 con el suelo. (a) Trace un triángulo triángulo rectángulo que dé una representación visual del problema. Muestre las cantidades conocidas del triángulo y use una variable para indicar la altura del globo. (b) Use una función trigonométrica para escribir una ecuación que contenga la cantidad desconocida. (c) ¿Cuál es la altura del del globo? (d) La brisa se hace más más fuerte y el ángulo que que el globo forma con el suelo disminuye. ¿Cómo afecta esto al triángulo que usted dibujó en el inciso (a)? (e) Complete la tabla siguiente, que muestra las alturas (en metros) del globo para medidas de ángulo   decrecientes. Ángulo,  

80

70

60

50

40

30

20

10

Altura Ángulo,   Altura (f) A medida que el ángulo que forma el globo con el suelo se aproxima a 0, ¿cómo afecta esto la altura del globo? Trace un triángulo rectángulo para explicar su razonamiento.

84.

Trigonometría del triángulo rectángulo

309

PIÉNSELO (a) Complete la tabla. 0

 

18

36

54

72

90

sen    cos   (b) Discuta el comportamiento de la función seno para   en la variación de 0 a 90. (c) Discuta el comportamiento de la función coseno para   en la variación de 0 a 90. (d) Use las definiciones de las funciones seno y coseno para explicar los resultados de los incisos (b) y (c).

ESCRITURA En trigonometría del triángulo rectángulo, explique por qué se senn 30  12 cualquiera que sea el tamaño del triángulo. 86. GEOMETRÍA Use el triángulo equilátero que se ve en la Figura 4.29 y triángulos semejantes para verificar los puntos en la Figura 4.23 (en la Sección 4.2) que no están sobre los ejes. 87. PIÉNSELO Nos dan sólo el valor tan   . ¿Es posible hallar el valor de sec    sin hallar la medida de  ? Explique. 85.

88.  TOQUE FINAL 

EXPLORACIÓN

El plano inclinado de Johnstown en Pennsylvania es uno de los montacargas más elevado elevadoss y empinados del mundo. Los carros sobre vías recorren una distancia de 896.5 pies a un ángulo de alre-

¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 77-82, determine

dedor eldenivel 35.4del , subiendo sobre mar. a una altura de 1693.5 pies



si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

sen 60 cs sen cscc 60  1 78. sec sec 30  csc 60 senn 45  co coss 45  1 80. cot2 10  csc2 10   1 79. se senn 60 se 77.

896.5 ft

81. 83.

senn 30 se



sen 2

82.

tan5 2  tan2 5

PIÉNSELO (a) Complete la tabla. 0 .1

 

1693.5 pies sobre el nivel del mar

35.4

°

 No a escala

0 .2

0 .3

0 .4

(a) Encuentre la altura vertical vertical del plano inclinado. inclinado. (b) Encuentre la elevación del extremo inferior del plano inclinado. (c) Los carros suben por la montaña a una velocidad velocidad de 300 pies por minuto. Encuentre la velocidad a la que suben verticalmente.

0 .5

sen   (b) ¿Es   o sen   mayor para   en el intervalo (0,0.5]? (c) Cuando   se aproxima a 0, ¿cómo se comparan   y sen  ? Explique.

 

310

Capítulo 4

Trigonometría

4.4  FUN UNCI CION ONES ES TR TRIG IGON ONOM OMÉT ÉTRI RICA CASS DE CU CUAL ALQU QUIE IER R ÁN ÁNGU GULO LO Lo que debe aprender  • Evaluar funciones funciones trigonométricas de cualquier ángulo. • Hallar ángulos de referencia. referencia. • Evaluar funciones funciones trigonométricas de números reales.

Por qué debe aprenderlo Puede usar funciones trigonométricas para modelar y resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, en el Ejercicio 99 de la página 318 puede usar funciones trigonométricas para modelar las temperaturas normales mensuales en la ciudad de Nueva York   y en Fairbanks, Alaska.

Introducción En la Sección 4.3, las definiciones de las funciones trigonométricas se restringieron a ángulos agudos. En esta sección, las definiciones se amplían para abarcar cualquier ángulo. Si   es un ángulo agudo, estas definiciones coinciden con las dadas en la sección anterior.

Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo Sea  un ángulo en posición normal con ( x   x , y) un punto en el lado terminal de   2 2 y r     x    y  0. sen   

 y r 

cos   

 y tan    ,   x    x   r  sec    ,   x    x 

 x  r 

0

 x  cot    ,   y   y

0

 r  csc     ,   y   y

 y

( x, y)

0 r 

0

θ   x 

Como r     x 2   y 2 no puede ser cero, se deduce que las funciones seno y coseno están definidas para cualquier valor real de  . No obstante, si  x   0, la tangente y la secante de   no están definidas. Por ejemplo, la tangente de 90 no está definida. Del mismo modo, si y  0, la cotangente y cosecante de   no están definidas.

Ejemplo 1

Evaluar funciones trigonométricas

Sea  3, 4 un punto en el lado termin terminal al de  . Encue Encuentre ntre el seno, cosen cosenoo y tange tangente nte de  .

Solución

Consultando la Figura 4.36 se puede ver que x    3, y  4 y r      x 2   y 2    3 2 

42   25 25  5.

Por tanto, tenemos lo siguiente. 4 3  y  x  sen     cos     

tan   

 y

 

4

5

r 

5

r 

 x 

3

 y

(−3, 4)

4 3

r 

2

 Ayuda  Ayu da de álgebra álgeb raes un La fórmula r     x   y 

2



1

2

θ 

resultado de la fórmula de la distancia. Puede repasar la fórmula de la distancia en la Sección 1.1.

 x 

−3 FIGURA

−2

−1

1

4.36

Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 9.

 

Sección 4.4

Los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes se pueden determinar por las definiciones de las funciones. Por ejemplo, como cos     x r , se deduce que cos   es positivo siempre que  x   > 0, que está en los cuadrantes I y IV IV.. (Recuerde, r  es siempre positiva.) De un modo semejante, se pueden verificar los resul-

 y

π 

2  x  <  y

>

<

 

θ  < π 

0 0

0 < θ  <

π 

2

 x  >  y

>

311

Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

0 0

tados que se ven en la Figura 4.37.  x 

Ejemplo 2 0  y < 0

0  y < 0

 x  <

π  < θ  <

3π  2

5

Dadas tan     4 y cos     > 0, encuentre sen   y sec  .

3π  < θ  < 2π  2

Solución Observe que   está en el cuarto cuadrante porque ese es el único cuadrante en el que la tangente es negativa y el coseno es positivo. Además, usando

 y

Cuadrante II

Cuadrante I

sen θ : + cos θ : − tan θ : −

tan   

sen θ : + cos θ : + tan θ : +

C ua uadr dra ant nte e II II I

C ua uadr dra ant nte e IV IV

sen θ : − cos θ : − tan θ : +

sen θ : − cos θ : + tan θ : −

 x 

5 4

y el hecho de que  y es negativa en el cuarto cuadrante, se puede hacer que  y   5 y 16  25   41 41 y tendremos  x   4. Por tanto, r    16 sen   

4.37

 y

 

 x 

FIGURA

Evaluar funciones trigonométricas

 x  >

 y



r 

 sec    

  r   x 



  5

 41 41  0.7809

 41 41 4

 1.6008. Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 23.

Ejemplo 3

Funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales

Eval Ev alúe úe las las fun funci cion ones es cos cosen eno o y tang tangen ente te en en los los cuat cuatro ro áng ángul ulos os cua cuadr dran anta tale less

  3  ,    y . 2 2

Solución Para empezar, escoja un punto en el lado terminal de cada ángulo, como se ve en la  y

Figura 4.38. Por cada uno de los cuatro puntos, r   1, y tenemos lo siguiente. π 

2

(0, 1)

cos 0 

(−1, 0)

(1, 0)

π 

0

 

cos

 x 

2

 x 

1



1

r 



 x 



r 

3π  2

(0, −1)

3 

cos FIGURA

2

4.38

r 



0 1



1

tan 0 

0

tan

  2

 y



 x 

1



r 

0 1



 x 



 y



 x 

1

 x 

cos    



0

1



0

tan    tan

3  2

 x 



0

 x ,  y  1, 0

no es está tá de defi fini nido do

⇒

0

 x ,  y  0, 1

0

 y  1



1



 y

1



 x 



1

0

0

⇒

 x ,  y   1, 0

no es está tá de defi fini nido do  x , y  0,  1

Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 37.:

 

312

Capítulo 4

Trigonometría

Ángulos de referencia Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos mayores de 90 (o menores de 0) se pueden determinar a partir de sus valores en ángulos agudos correspondientes llamados ángulos de referencia.

Definición de ángulo de referencia Sea   un ángulo en posición normal. Su ángulo de referencia es el ángulo agudo      formado por el el lado terminal de   y el eje horizontal. La Figura 4.39 muestra los ángulos de referencia para   en los cuadrantes II, III y IV IV.. Cuadrante II Ángulo de referencia: θ   ′

θ 

Ángulo de referencia: θ   ′

Cuadrante III θ ′ = θ    − π  (radianes)   − 180 (grados) θ ′ = θ 

θ ′ = π    − θ  (radianes) θ ′ = 180 ° − θ  (ángulos)

FIGURA

 y

 x 

a.   

°

Hallar ángulos de referencia

300

b.   

2.3

c.     135

Solución

4.40

a.

 y

Como 300 está en el cuarto cuadrante, el ángulo que forma con el eje  x  es       360  300 

  θ ′ = π    − 2.3

Cuadrante  IV θ ′ = 2π   − θ  (radianes) θ ′ = 360 − θ  (grados)

Encuentre el ángulo de referencia   . 

θ ′ = 60°

FIGURA

°

θ 

4.39

Ejemplo 4

θ  = 300°

θ 

Ángulo de referencia: θ   ′

60.

Grados

θ  = 2.3  x 

La Figura 4.40 muestra el ángulo    300 y su ángulo de referencia      60. b. Como 2.3 está entre  2   1.5708 y      3.1416, se deduce que está en el segundo cuadrante y su ángulo de referencia es

FIGURA

2.3

        

4.41

 0.8416.  y

225 y   −135 son coterminales. °

225 θ ′

= 45

°

°

La Figura 4.41 muestra el ángulo    2.3 y su ángulo de referencia         2.3. c. Primero, determine que  135 es coterminal con 225, que está en el tercer cuadrante. Por tanto, el ángulo de referencia es

 x  θ  =  − 135°

°

 

      

FIGURA

Radianes

225  180 45.

Grados

La Figura 4.42 muestra el ángulo     135 y su ángulo de referencia      45.

4.42

Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 45.

 

Sección 4.4

Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

313

Funciones trigonométricas de números reales

 y

( x ,  y )

Para ver cómo se usa un ángulo de referencia para evaluar una función trigonométrica, considere el punto ( x   x , y) en el lado terminal de  , como se ve en la Figura 4.43. Por definición, sabemos que r       

op

=     h     i        p   

sen   

 y

 y tan    .  x 

y

r 

 

Para el triángulo rectángulo con ángulo agudo      y lados de longitudes  x   x  y  y  y , tenemos θ ′

 

ady

θ   x 

op   y , ady   x  FIGURA

sen      

op hip



 y y r 

y

4.43

tan      

op ady



 y y.  x   x 

En consecuencia, se deduce que sen   y sen      son iguales, excepto posiblemente en signo. Lo mismo es cierto para tan   y tan      y también para las otras cuatro funciones trigonométricas. En todos los casos, el signo del valor de la l a función puede ser determinado por el cuadrante en el que se encuentre  .

Evaluar funciones trigonométricas de cualquier ángulo Para hallar el valor de una función trigonométrica de cualquier ángulo  :

1. Determine el valor de la función para el ángulo de referencia      asociado. 2. Según el cuadrante cuadrante en el que se encuentre  , aplique el signo apropiado al valor de la función.

Aprender la tabla de valores de la derecha merece la pena el esfuerzo, porque con ello se aumenta tanto la eficiencia como la confianza. A continuación está un modelo para la función seno que puede ser útil para recordar los valores.

Mediante el uso de ángulos de referencia y los ángulos especiales estudiados en la sección anterior se puede ampliar bastante el alcance de valores trigonométricos exactos. Por ejemplo, saber los valores de función de 30 quiere decir que sabemos los valores de función de todos los ángulos para los cuales 30 es un ángulo de referencia. Por aspectos prácticos, la tabla siguiente muestra los valores exactos de las funciones trigonométricas de ángulos especiales y ángulos cuadrantales. Valores trigonométricos de ángulos comunes

  (grados)

0

30

45

60

90

180

270

 

0

sen  

0

    6

  4

  3

  2

 

sen  

0

1 2

 2

 3

2

2

1

0

cos   

1

   3

 2

1 2

tan  

0

   3

30 45 60 90

   0  1  2  3  4 2

  (radianes)

2

2

2

2

Invierta el orden para obtener valores de coseno de los mismos ángulos.

2 3

2

1    3

0 No está definido

 

3  2  

1

1

0

0

No está definido

 

314 

Capítulo 4

Trigonometría

Ejemplo 5

Usar ángulos de referencia

Evalúe cada una de las funciones trigonométricas siguientes. 4  a. cos 3

b. tan 210

11  c. csc 4

Solución a. Como    4 3 está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es      

4  3



  

  3

como se muestra en la Figura 4.44. Además, el coseno es negativo en el tercer cuadrante, por lo cual cos

4  3

  

 

1

cos

  3

.

2

b. Como  210  360  150, se deduce que  210 es coterminal con el ángulo de 150 del segundo cuadrante. En consecuencia, el ángulo de referencia es       180  150  30, como se ve en la Figura 4.45. Por último, como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tenemos tan 210    ta tan n 30 

 3 3

.

c. Como 11 4  2   3 4, se deduce que 11 4 es coterminal con el ángulo de 3 4 del segundo cuadrante. Por tanto, el ángulo de referencia es          3 4   4, como se ve en la Figura 4.46. Debido a que la cosecante es positiva en el segundo cuadrante, tenemos csc

11  4

   

 

csc

  4

1 sen 4

 2. 2.

 y

 y

θ  =

 y

θ ′ = 30°

4π 

π  θ ′ = 4

3  x 

θ ′ =

11π  4

 x 

π  3

FIGURA

θ  =

 x 

θ  =  − 210°

4.44

FIGURA

4.45

FIGURA

4.46

Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 59.

 

Sección 4.4

Ejemplo 6

Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

315

Usar identidades trigonométricas 1

Sea   un ángulo en el segundo cuadrante, tal que sen    3. Encuentre (a) cos   y (b) tan   con el uso de identidades trigonométricas.

Solución a. Usando la identidad pitagórica sen2    cos2    1, obtenemos

 1 3

2



1

cos2    1 cos 2    1 

Sussti Su titu tuir ir 3 po porr sen  .

1 9



8 9

.

Como cos    < 0 en el segundo cuadrante, se puede usar la raíz negativa para obtener cos     

 8  9

  2 2.

3

b. Usando la identidad trigonométrica tan    tan   

13

Sustituir por sen   y cos   .

 2 23

 

 

sen   , se obtiene cos  

1 2 2

 2 4

.

Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 69. Puede usar calculadora para evaluar funciones trigonométricas, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7

Usar calculadora

Use una calculadora para evalua evaluarr cada una de las funciones trigonométricas siguientes.

  

a. co cott 41 410 0

b. sen 7

c. sec

9

Solución Función

Modo

Tecleo en la calculadora

a. co cott 41 410 0

Grado

b. sen 7     c. sec 9

Radianes

SIN      

Radianes





TAN

COS





41  0 7     



  

x

1

Pantalla

0.8390996

ENTER

 0.6569866

   ENTER   

9





 

x

1

1.0641778

ENTER

Ahora trate trate de hacer el Ejercicio Ejercicio 79.

 

316

Capítulo 4

4.4 

Trigonometría

EJERCICIOS

VOCABULARIO:

En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

Llene los espacios en blanco.

En los Ejercicios 1-6, sea   un ángulo en posición normal, con  x   x , y  un punto en el lado terminal de   y  r     x 2 2.

3. tan    ________

4. sec    ________

 x     ________ r 

6.

0.

r   ________  y

1. sen    ________

5.

  y 2 

 x   ________  y

7. Como r     x 2   y2 no puede ser ________, las funciones seno y coseno son ________ para cualquier valor real de  . 8. El ángulo agudo agudo positivo positivo que se se forma por el lado terminal del ángulo ángulo   y el eje eje horizontal se denomina ángulo ________ de   y está denotado por     .

HABILIDADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 9-12, determine los valores exactos de las seis

En los Ejercicios Ejercicios 19-22, 19-22, exprese exprese el cuadrante cuadrante en el que está está  .

 

19. sen    > 0 y cos     > 0 20. sen    < 0 y cos     < 0

funciones trigonométricas del ángulo . 9. (a)

(b)

 y

 y

(4, 3)

21. sen    > 0 y cos     < 0

θ 

θ   x 

 x 

22. sec    > 0 y cot    < 0

(− 8, 15)

En los Ejercicios 23-32, encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de   con la restricción dada. 10. (a)

(b)

 y

 y

Valor de la función

 x 

 x 

(−12, −5)

sen    > 0

27. cot       3

cos    > 0

28. csc    4

cot    < 0

29. sec     2

sen    < 0

30. sen    0

sec     1

31. cot     no está definida.

 2          3 2

32. tan   no está definida.

          2 

23.

θ 

θ 

24. 25.

(1, − 1)

26. 11. (a)

(b)

 y

 y

θ  θ   x 

(− 12. (a)

 x 

3,  − 1)  y

(4, − 1)

(b)

 y

Restricción

15 tan     8 8 cos    17 3 sen    5 4 cos     5

tan    < 0

  está en el cuadrante II.   está en el cuadrante III.

θ 

(3, 1)  x 

θ 

En los Ejercicios 33-36, 33-36, el lado terminal de   está en la recta recta dada en el cuadrante especificado. Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de   al hallar un punto sobre la recta.

 x 

(− 4, 4)

 Recta

Cuadrante

En los Ejercicios 13-18, el punto está en el lado terminal de un ángulo en posición normal. Determine los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del ángulo.

33.  y   x  1 34.  y  3 x 

II III

13. 5, 12

14. 8, 15

35. 2 x    y  0

III

15.  5,  2

16.  4, 10

36. 4 x   3 y  0

IV

17.  5. 5.4, 4, 7. 7.2 2

18. 32,  74  1

3

 

Sección 4.4

En los Ejercicios 37-44, evalúe la función trigonométrica del ángulo cuadrantal. 37. sen  

38. csc

3  2

Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

En los Ejercicios 75-90, use una calculadora para evaluar la función trigonométrica. Redondee la respuesta a cuatro lugares decimales. (Asegúrese que la calculadora esté en el modo correcto de ángulo.) 

39. sec 3  2 41. sen

  2

43. csc  

sec 22 225 5 76. sec 78. csc 330

79. ta tan n 30 304 4

80. co cott 17 178 8

42. cot  

81. se secc 72

82. tan 188

 

tan n 4. 4.5 5 83. ta

cott 1. 1.35 35 84. co

44. cot

2

En los Ejercicios 45-52, encuentre el ángulo de referencia   y trace   y  en posición normal. 45.    160

46.    309

47.     125

48.     215

49.   

2 

3 51.    4.8



sen 10 75. sen 77. cos 110

40. sec  

50.   

7 

6 52.    11.6

En los Ejercicios 53-68, evalúe el seno, coseno y tangente del ángulo sin usar calculadora.

85. tan

  

 

86. tan 

9

87. sen 0.65

88. se secc 0. 0.29 29

    

89. cot 

9

   

11 8

90. csc 

15 14

En los Ejercicios 91-96, encuentre dos soluciones de la ecuación. Dé sus respuestas en grados 0         < 360 y en radianes 0         < 2 . No use calculadora. 91. (a) sen    92. (a) cos    

1 2

1

(b) sen     2

 2 2 2 3

(b) cos    

 2 2

53. 225

54. 300

55. 750

56.  405

57.  150

58.  840

94. (a) sec    2

(b) sec     2

3  4

95. (a) tan    1

(b) cot      3

59. 61.

2  3 5  4

63.    6 65.

9  4

67. 

3  2

60. 62.

7  6

64.    2 66.

10  3

68. 

23  4

En los Ejercicios 69-74, encuentre el valor trigonométrico

317

93. (a) csc   

96. (a) sen    97.

DISTANCIA

3

 3 2

(b) cot       1

(b) sen    

 3 2

Un avión, que vuela a una altitud de 6 millas, está en una trayectoria de vuelo que pasa directamente sobre un observador (vea figura). Si   es el ángulo de elevación desde el observador al avión, encuentre la distancia d  del observador al avión cuando (a)    30, (b)    90 y (c)    120.

d 

indicado en el cuadrante especificado. Fun uncció ión n

Cua uadr dran ante te

Val alor or tr trig igon ono omé métr tric ico o

3 sen     5

IV

cos  

70. cot       3

II

sen  

71. tan    32 72. csc     2

III IV

sec   cot  

I

sec  

III

tan  

69.

73. cos    74.

5 8

9 sec     4

6 mi

θ 

 No a escala

98.

MOVIMIENTO ARMÓNICO

El desplazamiento de un peso oscilante suspendido por un resorte está dado por  yt   2 cos 6t , donde y es el desplazamiento (en centímetros) y t  es el tiempo (en segundos). Encuentre el 1 1 desplazamiento cuando (a) t  0, (b) t  4 y (c) t  2.

 

318

Capítulo 4

Trigonometría

99.  ANÁLISIS DE DA DATOS: TOS: METEOROLOGÍA La tabla siguiente muestra las temperaturas mensuales normales (en grados Fahrenheit) para meses seleccionados en la ciudad de Nueva York ( N ) y Fairbanks, Alaska (F ). ). (Fuente: National Climatic Data Center)

104. Para hallar el ángulo de referencia para un ángulo   (dado en grados), encuentre el entero n tal que 0    360n      360. La diferencia 360n    es el ángulo de referencia. 105.

Mes

Ciudad de Nueva York, N 

Fairbanks, F 

Enero Abril Julio Octubre Diciembre

33 52 77 58 38

 10

(b) Use los modelos del inciso inciso (a) para hallar las temperaturas mensuales normales para las dos ciudades en febrero, marzo, mayo, junio, agosto, septiembre y noviembre. (c) Compare los modelos para las dos ciudades.

100.

VENTAS

Una empresa que produce patines para nieve, que son productos estacionales, pronostica que las ventas mensuales para los siguientes dos años serán 4.3 3 co coss t  S   23.1  0.442t   4. t   6, donde S  se mide en miles de unidades y t es el tiempo en meses, con t   1 representando a enero de 2010. Pronostique las ventas para cada uno de los siguientes meses. (a) F eb ebrero 2010

101.

102.

figura. Escriba un breve párrafo que describa los cambios en los valores de  x ,  y, sen   y tan   cuando   aumenta continuamente de 0 a 90.

32 62 24 6

(a) Use el comando regression de una calculadora de gráficas para hallar un modelo de la forma  y  a senbt   c  d  para cada ciudad. Con t  represente el mes, con t   1 para enero.

(b) F eb ebrero 2011

(d) Ju Junio 2011 El desplazamiento, desde el equilibrio, de un peso oscilante suspendido por un resorte y sometido al efecto amortiguador de la fricción, está dado por  y t   2et  cos 6t , donde  y es el desplazamiento (en centímetros) y t es el tiempo (en segundos). Encuentre el desplazamiento cuando (a) 1 1 t  0, (b) t   4 y (c) t  2.

Considere un ángulo en posición norESCRITURA mal con r   12 centímetros, como se muestra en la

 y

( x , y ) 12 cm θ   x 

106.  TOQU  TOQUEE FINAL  FINAL  Escriba un breve ensayo que explique a un compañero de clase la forma de evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquier ángulo   en posición normal. Incluya una explicación de ángulos de referencia y cómo usarlos, los signos de las funciones en cada uno de los cuatro cuadrantes, así como los valores trigonométricos de ángulos comunes. AsegúAsegú rese de incluir figuras o diagramas en su escrito. 107.

PIÉNSELO

La figura siguiente muestra el punto P( x   x , y) en una circunferencia unitaria y el triángulo rectángulo OAP.  y

(c) Ju Junio 2010

P( x ,  y)

MOVIMIENTO ARMÓNICO

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

La corriente  I  (en ampe-

t 

r  θ 

O

A

 x 

res) cuando se aplican 100 volts a un circuito está dada por I   5e2t  sen t , donde t es el tiempo (en segundos) después de aplicarse el voltaje. Aproxime la corriente en t   0.7 segundos después de aplicar el voltaje.

(a) Encuentre sen t y cos t usando las definiciones de la circunferencia unitaria de seno y coseno (de la SecSec ción 4.2). (b) ¿Cuál es el valor de r ? Explique.

EXPLORACIÓN

(c) Use las definiciones seno y coseno dadas en esta sección para hallar sen   y cos  . Escriba sus respuestas en términos de  x y y.

¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 103 y 104, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

(d) Con base en sus respuestas a los incisos incisos (a) y (c), ¿qué puede concluir?

103. En cada uno de los cuatro cuadrantes, los signos de la función secante y la función seno serán iguales.

 

Sección 4.5

319

Gráficas de las funciones seno y coseno

4.5 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Lo que debe aprender 

Curvas básicas de seno y coseno

• Trazar las gráficas de funciones básicas seno y coseno. • Usar amplitud y periodo para ayudar a trazar las gráficas de las funciones seno y coseno. • Dibujar traslaciones de las gráficas de las funciones seno y coseno. • Usar las funciones seno seno y coseno para modelar datos de la vida real.

En esta sección estudiaremos técnicas para trazar gráficas de las funciones seno y coseno. La gráfica de la función seno es una curva senoidal. En la Figura 4.47, la parte negra de la gráfica representa un periodo de la función y se denomina un ciclo de la curva senoidal. La parte gris de la gráfica indica que la curva senoidal básica se repite indefinidamente en las direcciones positiva y negativa. La gráfica de la función coseno se muestra en la Figura 4.48. Recuerde de la Sección 4.2 que el dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de todos los números reales. Además, el rango de cada función es el intervalo  1, 1, y cada función tiene un periodo de 2 . ¿V ¿Vee usted cómo esta información es consistente con las gráficas básicas que se muestran en las Figuras 4.47 y 4.48?

Por qué debe aprenderlo Las funciones seno y coseno se usan con frecuencia en cálculos científicos. Por ejemplo, en el Ejercicio 87 en la página 328 se puede usar una función trigonométrica para modelar el flujo de aire en su ciclo respiratorio.

 y

 y =

sen  x  1

Rango: −1 ≤  y ≤ 1

 x 

3  π  − 2

−π 

−

 π 

 

2

π 

3π  2

π

2

2 π 

5π  2

−1

Periodo: 2π  FIGURA

4.47  y

   s      i      b     r    o      C      /     y      l     r    e     h    t     a    e     W      l     r     a     K     ©

 y

1

Rango: −1 ≤  y ≤ 1

= cos x 

 x  −

3  π  2

−π 

π 

π 

2

−1

Periodo: 2 π 

3π  2

2π 

5π  2

FIGURA

4.48

Observe en las Figuras 4.47 y 4.48 que la curva senoidal es simétrica respecto al origen, mientras que la curva cosenoidal es simétrica respecto al eje y. Estas propiedades de simetría se siguen del hecho de que la función senoidal es impar y la función cosenoidal es par.

 

320

Capítulo 4

Trigonometría

Para trazar manualmente las gráficas de las funciones básicas seno y coseno, ayuda observar cinco puntos clave en un periodo de cada gráfica: las intersecciones con los ejes, puntos máximos y puntos mínimos (vea Figura 4.49).  y

 y

Máximo Intersección Mínimo Intersección Intersección π  , 1  y = sen  x  2

(

Intersección Mínimo Intersección Máximo Máximo (0, 1) (2π , 1)  y = cos x 

)

(32 , −1) π 

(π , 0) (0, 0)

(2π , 0) Periodo completo

Cuarto Medio de periodo periodo

 

π 

 x 

Periodo: 2π 

FIGURA

( 2 , 0)   ( 32 , 0) π 

Cuarto (π , −1) de periodo Periodo: 2π 

Tres cuartos de periodo

Medio periodo

 x 

Periodo completo Tres cuartos de periodo

4.49

Ejemplo 1

Uso de puntos clave para trazar una curva senoidal

Trace la gráfica de  y  2 sen x en el intervalo   , 4 .

Solución Observe que  y  2 sen x   2sen x 

indica que los valores de  y para los puntos clave tendrán el doble de magnitud que los de la gráfica de  y  sen  x . Divida el periodo 2  en cuatro partes iguales para obtener los puntos clave para  y  2 sen x .  Intersección

0, 0,

Máximo

Intersección

Mínimo

 , 0,

   

   2

,2 ,

3 , 2 2

Intersección

y

2 , 0

Al enlazar estos puntos clave con una curva lisa y prolongar ésta en ambas direcciones en el intervalo   , 4 , se obtiene la gráfica que se ilustra en la Figura 4.50.  y

 TEE C N O L O G Í A  T

3

 y = 2 sen  x 

Cuando use calculadora de gráficas para graficar funciones trigonométricas, preste especial atención a la pantalla que use.

2

1

Por ejemplo, trate de graficar   y   [sen10 x ] / 10 10 en la pantalla normal en modo de radianes. ¿Qué observa? Use el comando  zoom para hallar una pantalla que exhiba una buena imagen de la gráfica.

− π  2

3π  2

 y = sen  x 

5 π  2

7π  2

−2 FIGURA

4.50

Ahora trate de hacer el Ejercicio 39.

 

Sección 4.5

321

Gráficas de las funciones seno y coseno

Amplitud y periodo En el resto de esta sección estudiaremos el efecto gráfico de cada una de las constantes a, b, c y d en ecuaciones de las formas  y  d   a senbx   c

y  y  d   a cosbx   c.

Un rápido repaso de las transformaciones estudiadas en la Sección 1.7 debe ayudar en esta inves investigación. tigación. El factor constante a en y  a sen x actúa como factor de escala escala, esto es, un estiramiento vertical o contracci contracción ón vertical de la curva senoidal básica. Si a   > 1, la curva senoidal básica se estira y si a   < 1, la curva senoidal básica se contrae. El resultado es que la gráfica de y  a sen x varía entre a y a en lugar de entre 1 y 1. El valor absoluto de a es la amplitud de la función  y  a sen x . El rango de la función  y  a sen x  para a   > 0 es  a      y      a.





Definición de amplitud de curvas seno y coseno La amplitud de  y  a sen x y y  a cos x representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función y está dada por



Amplitud  a .

Ejemplo 2

Escala: contracción y estiramiento verticales verticales

En los mismos ejes de coordenadas, trace la gráfica de cada función.

a.  y 

1

cos x 

2

b.  y  3 cos x 

Solución 1

 y

 y = 3 cos x  3

 y = cos x 

1

1

 Máximo

Intersección Mínimo Intersección

            0,

 x 

2π 

−1 −2

1

a. Como la amplitud de y  2 cos x es 2, el valor máximo es 2 y el mínimo es  2. Divida vi da un ciclo, 0      x    2 , en cuatro partes iguales para obtener los puntos clave.

1 , 2

2

,0 ,

,

1 , 2

3 ,0 2

Máximo

y

    2 ,

1 . 2

b. Un análisis semejante muestra que la amplitud de y  3 cos x es 3, y los puntos clave son  Máximo

Intersección Mínimo Intersección

Máximo

 y =

−3 FIGURA

1 2

cos x 

0, 3,

4.51

   2

,0 ,

    3 ,0 2

 ,  3,

y

2 , 3.

Las gráficas de estas dos funciones se muestran en la Figura 4.51. Observe que la grá1 fica de y  cos x es una contracción vertical de la gráfica de y  cos x y la gráfica de  y  3 cos x 2es un estiramiento vertical de la gráfica de y  cos x . Ahora trate de hacer el Ejercicio 41.

 

322

Capítulo 4

Trigonometría

Ya sabemos de la Sección 1.7 que la gráfica de  y   f  x   x  es una reflexión en el eje x de la gráfica de y   f  x   x . Por ejemplo, la gráfica de y   3 cos x es una reflexión de la gráfica de y  3 cos x , como se muestra en la Figura 4.52. Como  y  a sen x  completa un ciclo de  x   0 a  x   2 , se deduce que  y  a sen bx completa un ciclo de  x   0 a  x   2 b.

 y

 y = 3 cos  x 

y = −3 cos  x  3

1

 x 

−π 

π 

2π 

Periodo de funciones seno y coseno Sea b un número real positivo. El periodo de  y  a sen bx y y  a cos bx está dado por

−3 FIGURA

Periodo 

4.52

2  . b

Observe que si 0   < b   < 1, el periodo de  y  a sen bx  es mayor que 2  y representa un estiramiento horizontal de la gráfica de  y    a sen bx . Del mismo modo, si b   > 1, el periodo de y  a sen bx es menor que 2  y representa una contracción hori zontal de la gráfica de  y  a sen x . Si b es negativa, las identidades sen( x ) sen x  y cos( x )  cos x se usan para reescribir la función.

Ejemplo 3

Escala: estiramiento horizontal

 x  Trace la gráfica de  y  sen . 2

Solución 1

La amplitud es 1. Además, como b  2, el periodo es 2  b

2 

 1 

4 .

Sustituir por b.

2

Ahora, divida el periodo-intervalo 0, 4  en cuatro partes iguales con los valores  , 2  y 3  para obtener los puntos clave en la gráfica.

En general, para dividir un periodo-intervalo en cuatro partes iguales, sucesiv sucesivamente amente sume “periodo/4”, empezando con el punto extremo izquierdo del intervalo. Por ejemplo, para el periodo-intervalo   6,  2 de longitud 2 3, se suma

 Intersección

Máximo

Intersección

Mínimo

0, 0,

 , 1,

2 , 0,

3 ,  1

Intersección

y

4 , 0

La gráfica se muestra en la Figura 4.53.  y

 y = sen  x 

 

y = sen

 x 

2

1

 x 

sucesivamente

−π 

π 

2 3      4 6

−1 Periodo: 4π 

 FIGURA

para obtener 6, 0,   de 6, x  3 y  2 como los valores para los puntos clave en la gráfica.

4.53

Ahora trate de hacer el Ejercicio 43.

 

Sección 4.5

Gráficas de las funciones seno y coseno

323

 Traslaciones de curvas seno y coseno

 Ayuda  Ayu da de álg álgebra ebra

La constante c en las ecuaciones generales

En la Sección 1.7 puede repasar 

crea una traslación (desplazamiento)  horizontal de las curvas básicas seno y coseno. Comparando  y  a sen bx  con  y  a sen (bx   c), se encuentra que la gráfica de  y  a sen (bx   c) completa un ciclo de bx   c  0 a bx   c   2 . Al despejar  x  se puede hallar que el intervalo para un ciclo es

 y  a senbx   c

las técnicas para desplazar, reflejar y estirar gráficas.

Extr Ex trem emo o izqu izquie ierdo rdo

c b

 

  x   

y

 y  a cosbx   c

Extr Ex trem emo o dere derech cho o

c b



2  . b

Periodo

Esto implica que el periodo de  y  a sen (bx   c) es 2 b, y la gráfica de  y  a sen bx  está desplazada una cantidad c / b. El número c / b es el desfase.

Gráficas dedefunciones seno Las gráficas  y  a senbx   cyycoseno  y  a cosbx   c tienen las siguientes características. (Suponga que b   > 0.)



Amplitud  a

Periodo 

2  b

Los extremos izquierdo y derecho de un intervalo de un ciclo se pueden determinar si se resuelven las ecuaciones bx   c  0 y bx   c  2 .

Ejemplo 4

 Traslación horizontal

Analice la gráfica de  y 

1 2



sen  x  



  3

.

Solución algebraica La amplitud es dremos  x  

1 2

Solución gráfica

y el periodo es 2 . Resolviendo las ecuaciones ten-

    0 3

 x  

  3

y  x  

 

 

2 

 x  

7 

Use una calculadora de gráficas ajusta al modo radian para graficar  y  12 sen x    3, como se ve en la Figura 4.54. Use los comandos minimum, maximum y  zero o root  de la calculadora para aproximar los puntos clave (1.05, 0), (2.62, 0.5), (4.19, 0), (5.76, 0.5) y (7.33, 0). 1

 y =

1

(

sen  x

π 

−

(

3

3

y se ve que el intervalo  3, 7 3 corresponde a un ciclo de la gráfica. Dividiendo este intervalo en cuatro partes iguales se producen los puntos clave  Intersección Máximo Intersección

Mínimo

            3

5 1 , , 6 2

,0 ,

4 ,0 , 3

(   (

2

11  1 , 6 2

5

−

2

Intersección



y

3

2

−1

   

7 ,0 . 3

FIGURA

4.54 

Ahora trate de hacer el Ejercicio 49.

 

324   y =

Capítulo 4

Trigonometría

Ejemplo 5

 + 4 π ) −3 cos(2 π x  +

 Traslación horizontal

 y

Trace la gráfica de

3

 y   3 cos2  x   4 .

2

Solución  x 

−2

La amplitud es 3 y el periodo es 2 2   1. Al resolver las ecuaciones

1

2  x   4   0 2  x    4   x    2

−3

Periodo 1 FIGURA

y

4.55

2  x   4   2  2  x    2   x    1

se ve que el intervalo  2,  1 corresponde a un ciclo de la gráfica. Dividiendo este intervalo en cuatro partes iguales resultan los puntos clave  Mínimo

Intersección



 2,  3,



Máximo

 

7 ,0 , 4





3 ,3 , 2

Intersección





5 ,0 4



Mínimo

y

 1,  3.

La gráfica se muestra en la Figura 4.55. Ahora trate de hacer el Ejercicio 51. El tipo final de transformación es la traslación vertical causada por la constante d  en las ecuaciones  y  d   a senbx   c

y  y  d   a cosbx   c.

El desplazamiento es d unidades hacia arriba para d   > 0 y d unidades hacia abajo para d   < 0. En otras palabras, la gráfica oscila alrededor de la recta horizontal  y  d  en lugar de alrededor del eje x .  y

 y

= 2 + 3 cos 2 x 

Ejemplo 6

 Traslación vertical

5

Trace la gráfica de  y  2  3 cos 2 x .

Solución La amplitud es 3 y el periodo es  . Los puntos clave sobre el intervalo 0,    son

1

π 

−1

3  ,2 4

  

  , 1 , 2

 , 5.

y

La gráfica se muestra en la Figura 4.56. Comparada con la gráfica de  f  x   x   3 cos 2 x , la de y  2  3 cos 2 x está desplazada hacia arriba dos unidades.

Periodo π  FIGURA

     ,2 , 4

0, 5,

 x 

−π 

4.56

Ahora trate de hacer el Ejercicio 57.

 

Sección 4.5

Gráficas de las funciones seno y coseno

325

Modelado matemático Se pueden usar funciones seno y coseno para modelar numerosas situaciones de la vida real, incluidas corrientes eléctricas, tonos musicales, ondas de radio, mareas y modelos climáticos.

Hora,  t

Profundidad,  y

Medianoche

3.4

2 A.M.

8.7

4 A.M.

11.3

6 A.M.

9.1

8 A.M.

3.8

10 A.M.

0.1

Mediodía

1.2

 y

   )   s   e    i   p   n   e    (    d   a    d    i    d   n   u    f   o   r    P

 

Ejemplo 7

Hallar un modelo trigonométrico

En todo el día, la profundidad del agua en el extremo de un muelle en Bar Harbor, Maine, varía con las mareas. La tabla muestra las profundidades (en pies) para varias horas durante la mañana. (Fuente: Nautical Software, Software, Inc.)

a. Use una función trigonométrica para modelar los datos. b. Encuentre las profundidades a las 9 A.M. y a las las 3 P.M. c. Un bote necesita al menos 10 pies de agua para amarrarse al muelle. ¿Durante qué horas en la tarde se puede amarrar con seguridad?

Solución

Mareas cambiantes

a. Empiece por graficar los datos, como se muestra en la Figura 4.57. Se puede usar ya

12 10

sea un modelo seno o un coseno. Suponga que se usa un modelo coseno de la forma  y  a cosbt   c  d .

8

La diferencia entre la altura máxima y la mínima de la gráfica es el doble de la amplitud de la función. En consecuencia, la amplitud es

6 4

a

2

1 2

profun profundidad didad máxim máximaa



profun profundidad didad mínima



1 11.3  0.1  5.6. 2

t 

4 A.M.

8 A.M. Mediodía

Hora FIGURA

4.57

La función coseno completa la mitad de un ciclo entre las horas en las que se presentan las profundidades máxima y mínima. Por tanto, el periodo es  p  2ho hora ra de pr prof ofun undi dida dad d mí míni nima ma  hora hora de pro profun fundid didad ad máx máxima ima 

210  4  12

lo cual implica que b  2  p   0.524. Como la marea alta se presenta 4 horas después de la medianoche, considere que el extremo izquierdo es cb  4, por lo 1 cual c   2.094. Además, como el promedio de profundidad es 2 11.3  0.1  5.7, se deduce que d   5.7. Por tanto, se puede modelar la profundidad con la función dada por  y  5. 5.6 6 co coss0.524t   2.094  5.7. 12

(14. (1 4.7, 7, 10 10))

(17. (1 7.3, 3, 10) 10)

b. Las profundidades a las 9 A.M. y a las las 3 P.M. son como sigue sigue.. 5.6 6 co coss0.524  9  2.094  5.7  y  5.

 y = 10

 0. 0.84 84 pi pies es

9 A.M.

5.6 5. 6 co coss0.524

 y 0

 

24

2.094  5.7

10.57 57 pie piess  10.

0

 y = 5.6 cos(0.524t  − 2.094) + 5.7 FIGURA

15

3 P.M.

c. Para investigar cuándo la profundidad  y es al menos de 10 pies, se puede graficar el modelo con la recta  y  10 usando una calculadora de gráficas, como se ve en la Figura 4.58. Usando el comando intersect , se puede determinar que la profundidad es al menos de 10 pies entre las 2.42 P.M. t     14.7 y las 5.18 P.M. t     17.3.

4.58

Ahora trate de hacer el Ejercicio 91.

 

326

Capítulo 4

4.5

Trigonometría

EJERCICIOS

VOCABULARIO:

En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

Llene los espacios en blanco.

1. Un periodo de una función seno o coseno recibe el nombre de ________ de la curva seno o coseno. 2. El ________ de una curva seno o coseno representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función. c 3. Para la función dada por  y  a senbx   c, representa la ________ ________ de la gráfica de la función. b

4. Para la función dada por  y  d   a cosbx   c, d  representa un ________ ________ de la gráfica de la función.

HABILIDADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 5-18, encuentre el periodo y amplitud. 5.  y  2 sen 5 x 

6.  y  3 cos 2 x 

 y

En los Ejercicios 19-26, describa la relación entre las gráficas de f  y  y g . Considere la amplitud, periodo y desplazamientos. 19.  f  x   sen x 

 y

g x   sen x    

3 2

 x 

 x 

π 

10

4

−3

cos

 x 

8.  y   3 sen

2

 y

g x   sen 3 x 

23.  f  x   cos x 

2

−2

22.  f  x   sen 3 x 

g x    cos 2 x 

π 

−3

3

g x   cos x    

21.  f  x   cos 2 x 

1

7.  y 

20.  f  x   cos  x 

 x 

24.  f  x   sen x 

g x   cos 2 x 

g x   sen 3 x 

25.  f  x   sen 2 x 

26.  f  x   cos 4 x 

g x   3  sen 2 x 

3

g x    2  cos 4 x 

 y

En los Ejercicios 27-30, describa la relación entre las gráficas de f  y  y g . Considere la amplitud, periodo y desplazamientos.

4 1

 x  π 

 x 

2π 

−π 

 y

27.

π 

3

−2

−1

 y

28. 3

 f 

−4

g

2 π 

π 

 x 

9.  y 

1

sen

  x 

2

10.  y 

3

3

cos

2

  x   x 

−2

2

 y 2

 x 

1

 x  −π 

 f 

−2π 

12.  y   cos 1

2

g  f 

2π  −2

−2

3

g  x 

−3

11.  y   4 sen  x 

4

π 

2 −1

 y

30.

3 2

π 

−3

 y

29.

 f 

−2

g

−3

 y

1

 x 

 x  −2π 

2π  −2

2 x  3

En los Ejercicios 31-38, grafique  f  y  y  g  en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. (Incluya dos periodos.)

13.  y  3 sen 10 x  15.  y  17.  y 

5 3 1 4

cos

14.  y  5 sen 6 x 

4 x 

16.  y 

5

18.  y 

sen 2  x   x 

5 2 2 3

cos cos

31.  f  x    2 sen x 

 x 

4

32.  f  x   sen x 



g x 

  x 

g x 

4 sen  x 

33.  f  x   cos x 

10

 x 



sen 3

34.  f  x   2 cos 2 x 

g x   2  cos  x 

g x    cos 4 x 

 

Sección 4.5

35.  f  x   

1

sen

2

1

g x   3 

2

 x 

sen

RAZONAMIENTO GRÁFICO En los Ejercicios 73-76,

36.  f  x   4 sen   x 

2  x 

2

37.  f  x   2 cos  x 

encuentre a y d para la función f  x   x   a cos x   d tal que la gráfica de f se relacione con la figura.

g x   4 sen   x   3

 y

73.

38.  f  x    cos  x 

g x   2 cos x    

327

Gráficas de las funciones seno y coseno

 y

74. 2

4

g x    cos x    

 x 

 f 

−π 

π 

1

En los Ejercicios 39-60, trace la gráfica de la función. (Incluya dos periodos.)

 x 

40.  y  4 sen x 

1

41.  y  3 cos  x 

45.  y  cos 2  x 

46.  y  sen

2  x 



49.  y  sen  x  



  2

53.  y  2  sen

coss 60  x  co

57.  y  3 cos x      3 2 3

cos



 x 

2





  4

  x   x 

−2

π 

−2

−5

6

RAZONAMIENTO GRÁFICO En los Ejercicios 77-80,

encuentre a, b  y c  para la función  f  x   x   a sen senbx   c  tal que la gráfica de  f se relacione con la figura.



  4

54.  y   3  5 cos

 y

77.

58.  y  4 cos  x  

 f 

12

2 1

 f 

1

 x 

 x  −π 

π



  4

 y

78. 3

 t 

56.  y  2 cos  x   3



−1

 x 



3

π 

 f 

4

52.  y  4 cos  x  

2  x 

 f 

4

50.  y  sen x   2 

51.  y  3 cos x    

 x  −π 

6

  x   x 

48.  y   10 co coss

3

1

8

−π 

59.  y 

 y

76.

10

44.  y  sen 4 x 

1 10

−4

 y

75.

42.  y  4 cos  x 

  x  43.  y  cos 2

55.  y  2 

 f 

−3

2

−2

1

39.  y  5 sen x 

47.  y   sen

π 

−1



4

60.  y   3 cos6 x    

En los Ejercicios 61-66, g está relacionada a una función principal  f  x  sen x  cos x   x   sen  x  o f  x   cos  x . (a) Describa la secuencia de transformaciones de f a g . (b) Trace la gráfica de  g . (c) Use notación de funciones para escribir  g en términos de f . 61. g x   sen4 x    

62. g x   sen2 x    

63. g x   cos x      2

64. g x   1  cos x    

−3

−3

 y

79.

π 

 y

80.

3

3

2

2

 f 

1

 x 

 x  2

π 

 f 

−2

−2

−3

−3

4

65. g x   2 sen4 x     3 66. g x   4  sen2 x    

En los Ejercicios 81 y 82, use una calculadora de gráficas para graficar  y 1 y  y 2 en el intervalo [ 2 , 2 ]. Use las gráficas para hallar números reales  x tales que y 1   y 2.

En los Ejercicios 67-72, use una calculadora de gráficas para graficar la función. Incluya dos periodos. Asegúrese de esco-

81.  y1  sen x   y2

1  2

82.  y1  cos  x   y2   1

ger una pantalla apropiada. 67.  y   2 sen4 x    

68.  y   4 sen



2 3

 x  



  3

En los Ejercicios 83-86, escriba una ecuación para la función descrita por las características indicadas.

69.  y  cos 2  x      1 2   x    70.  y  3 cos   2 2 2   x  1  x  71.  y   0. 0.1 1 se sen n    72.  y  sen se n 12 120 0 t  10 100



 





83. Una curva senoidal con periodo de  , una amplitud de 2, un desfase derecho de  2 y una traslación vertical de 1 unidad hacia arriba.



 

328

Capítulo 4

Trigonometría

84. Una curva senoidal con periodo de 4 , amplitud de 3, desfasamiento izquierdo de  4 y traslación vertical de 1 unidad hacia abajo.

(a) Un modelo para la temperatura en Las Vegas está dado por 23.5 .50 0 co coss  Lt   80.60  23

CICLO RESPIRATORIO

Para una persona en reposo, la velocidad v (en litros por segundo) de flujo de aire durante un ciclo respiratorio (el tiempo desde que se inicia una respiración hasta el inicio de la siguiente) está dada por  t  t  0.85 85 se sen n , donde t es el tiempo (en segundos). (La v  0. 3 inhalación ocurre cuando v   > 0 y la exhalación, cuando v   < 0.) (a) Encuentre el tiempo para un ciclo respiratorio completo.

CICLO RESPIRATORIO

Después de hacer ejercicio unos minutos, una persona tiene un ciclo respiratorio para el cual la velocidad de flujo de aire se aproxima con  t  t  v  1. 1.75 75 se sen n , donde t es el tiempo (en segundos). (La 2 inhalación ocurre cuando v   > 0 y la exhalación, cuando v   < 0.) (a) Encuentre el tiempo para un ciclo respiratorio completo. (b) Encuentre el número de ciclos por minuto. minuto. (c) Trace la gráfica gráfica de la función de velocidad. velocidad.

89.  ANÁLISIS DE DA DATOS: TOS: METEOROLOGÍA La tabla siguiente muestra las temperaturas altas diarias máximas en Las Vegas L y en International Falls I (en grados Fahrenheit) para el mes t , con t   1 correspondiente a enero. (Fuente: National Climate Data Center) Mes,  t

 

Las Vegas,  L   International Falls,  I 

1

57.1

13.8

2

63.0

22.4

3

69.5

34.9

4

78.1

51.5

5

87.8

66.6



(c) Use una calculadora de gráficas para graficar los puntos de datos y el modelo para las temperaturas en International Falls. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? (d) Use los modelos para estimar estimar el promedio de temperatura máxima en cada ciudad. ¿Cuál término de los modelos usó usted? Explique. (e) ¿Cuál es el periodo de cada modelo? modelo? ¿Los periodos son lo que usted esperaba? Explique. (f ) ¿Cuál ciudad tiene la mayor variabilidad variabilidad en tempetemperatura en todo el año? ¿Cuál factor de los modelos determina esta variabilidad? Explique.

(b) Encuentre el número de ciclos por minuto. minuto. (c) Trace la gráfica gráfica de la función de velocidad. velocidad.

88.

t 

national Falls. (b) Use una calculadora de gráficas gráficas para graficar los puntos de datos y el modelo para las temperaturas en Las Vegas. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos?

86. Una curva cosenoidal con período de 4 , amplitud de 3, desfasamiento derecho de  2 y traslación vertical de 2 unidades hacia arriba. 87.

 

 3.67 . 6 Encuentre un modelo trigonométrico para Inter Inter--

85. Una curva cosenoidal con periodo de  , amplitud de 1, 3 desfasamiento izquierdo de   y traslación vertical de 2 de unidad hacia abajo.

90.

SALUD

La función dada por

P  100  20 cos

5 t 

3 aproxima la presión sanguínea P (en milímetros de mercurio) en el tiempo t (en segundos) para una persona en reposo. (a) Encuentre el periodo periodo de la función. (b) Encuentre el número de pulsaciones por minuto.

91.  AFINACIÓN DE UN PIANO Al afinar un piano, un técnico golpea un diapasón para la nota de la arriba de la do mayor, y ajusta un movimiento ondulatorio que puede ser aproximado con y  0. 0.00 001 1 se sen n 88 880 0 t , donde t es el tiempo (en segundos). (a) ¿Cuál es el periodo de la función? función? (b) La frecuencia  f  está dada por  f   1 p. ¿Cuál es la frecuencia de la nota?

92.  ANÁLISIS DE DATOS: ASTRONOMÍA Los porcenta jes y (en forma decimal) de la cara de la Luna que estuvo iluminada el día x en el año 2009, donde x   1 representa el 1 de enero, se muestran en la tabla. (Fuente: U.S. Naval Observatory)

6

98.9

74.2

 x

y

7

104.1

78.6

4

0.5

8 9

101.8 93.8

76.3 64.7

11

1.0

18

0.5

10

80.8

51.7

26

0.0

11

66.0

32.5

33

0.5

12

57.3

18.1

40

1.0

 

Sección 4.5

fica? ¿Cuántos ciclos completos ocurren entre 0 y 2  para cada valor de b?

(a) Genere una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre un modelo trigonométrico que se ajuste a los datos. (c) Agregue la gráfica gráfica de su modelo del inciso inciso (b) a la gráfica de dispersión. (d) ¿Cuál es el periodo del modelo? (e) Estime el porcentaje de iluminación de la Luna para para el 12 de marzo de 2009.

93.

CONSUMO DE COMBUSTIBLE

El consumo diario C  (en galones) de combustible diesel en una granja está modelado por C   30.3  21 21.6 .6 se sen n

  

2 t  365



10.9



donde t  es el tiempo (en días), con t   1 correspondiente al 1 de enero. (a) ¿Cuál es el periodo del modelo? ¿Es lo que usted esperaba? Explique. (b) ¿Cuál es el promedio diario de consumo de combustible? ¿Cuál término del modelo utilizó usted? Explique. (c) Use una calculadora de gráficas para graficar el momodelo. de lo. Use la gráfica para aproximar la época del año cuando el consumo excede de 40 galones por día.

94.

RUEDA DE LA FORTUNA

Una rueda de la fortuna está construida de modo que la altura (h) en pies sobre el piso de un asiento en el instante t  (en segundos) se modele mediante ht   53  50 se sen n

   10

t  



  . 2

(a) Encuentre el periodo del modelo. ¿Qué le indica a usted el periodo acerca del paseo en ese juego mecánico? (b) Encuentre la amplitud del modelo. ¿Qué le dice a usted la amplitud acerca del paseo? (c) Use una calculadora de gráficas para graficar un ciclo del modelo.

EXPLORACIÓN ¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 95-97, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. 95. La gráfica de la función dada por  f  x   x   sen x   x   2  traslada la gráfica de f  x   x   sen x  exactamente un perio-

329

Gráficas de las funciones seno y coseno

99.

ESCRITURA

Trace la gráfica de  y  sen x   x   c para c    4, 0 y  4. ¿En qué forma el valor de c afecta la gráfica?

100.  TOQU  TOQUEE FINAL  FINAL  Use una calculadora de gráficas para graficar la función dada por  y  d   a senbx   c, para valores diferentes de a, b, c y d . Redacte un párrafo que describa los cambios en la gráfica correspondientes a cambios en cada constante.

CONJETURA En los Ejercicios 101 y 102, grafique  f  y  y  g en el mismo conjunto de ejes e jes de coordenadas. Incluya dos periodos. Haga una conjetura acerca de las funciones.



101.  f  x   x   sen x ,   g x   x   cos  x  





  2

102.  f  x   x   sen x ,   g x   x    cos  x  



  2

103. Usando cálculo se puede demostrar que las funciones seno y coseno se pueden aproximar con los polinomios sen x      x  

 x 3

3!



 x 5

5!

y

cos x     1 

 x 2

2!



 x 4

4!

donde x está en radianes. (a) Use una calculadora de gráficas para graficar graficar la función seno y su aproximación con polinomios en la misma pantalla. ¿Cómo se comparan las gráficas? (b) Use una calculadora calculadora de gráficas para graficar la función coseno y su aproximación con polinomios en la misma pantalla. ¿Cómo se comparan las gráficas? (c) Estudie los patrones en en las aproximaciones con polinomios de las funciones seno y coseno, y pronostique el siguiente término en cada uno. A continuación repita los incisos (a) y (b). ¿Cómo cambió la precisión de las aproximaciones cuando se agregó el término adicional?

104. Use las aproximaciones con polinomios de las funciones seno y coseno del Ejercicio 103 para aproximar los siguientes valores de función. Compare los resultados con los dados por una calculadora. ¿El error en la aproximación apro ximación es el mismo en cada caso? Explique. (a) sen

1

(b) sen 1

(c) sen

 

2

do a la derecha, de modo que las dos gráficas se ven idénticas.

(d) cos 0.5

1 2

cos 2 x  tiene una amplitud 96. La función dada por  y que es el doble de la de la función dada por  y  cos x .

(e) cos 1

(f)) cos (f

 

4 Para resolver una aplicación ampliada, que analiza la temperatura mensual media y la precipitación mensual media en Honolulú, Hawai, visite el sitio web de este texto en academic.cengage.com. (Fuente: National Climatic Data Center)

PROYECTO:: METEOROLOGÍA PROYECTO

97. La gráfica de y   cos x es una reflexión de la gráfica de y  sen x   x    2 en el eje x . 98.

6

ESCRITURA

Trace la gráfica de  y  cos bx  para 1 b  2, 2 y 3. ¿En qué forma el valor de b afecta la grá-

 

330

Capítulo 4

Trigonometría

4.6 GRÁ RÁFI FICA CASS DE OTR TRAS AS FU FUNC NCIO IONE NESS TR TRIG IGON ONOM OMÉT ÉTRI RICA CASS Lo que debe aprender  • Trazar las gráficas gráficas de funciones funciones tangente. • Trazar las gráficas gráficas de funciones funciones cotangente. • Trazar las gráficas gráficas de funciones funciones secante y cosecante. • Trazar las gráficas gráficas de funciones funciones trigonométricas amortiguadas.

Por qué debe aprenderlo Se pueden usar gráficas de funciones trigonométricas para modelar situaciones de la vida real, por ejemplo, la distancia de una cámara de televisión a una unidad en un desfile, como en el Ejercicio 92 en la página 339.

Gráfica de la función tangente Recuerde que la función tangente es impar. Esto es, tan x    tan x . En consecuencia, la gráfica de y  tan x es simétrica respecto al origen. Ta También mbién se puede saber, de la identidad tan x   sen x cos x , que la tangente no está definida para valores en los que cos x  0. Dos de estos valores son  x   ±  2     ± 1.5708.  

 x 

tan x 

  4

0

    4

1.5

1.57

No está    1255.8    14.1    1 definida

0

1

14.1

1255.8



  2

 

 1.57

 

 1.5   

 

  2 No está definida

Como se indica en la tabla, tan  x aumenta sin límite cuando x se aproxima a  2 desde la izquierda, y disminuye sin límite cuando x se aproxima a  2 desde la derecha. Por tanto, la gráfica de y  tan x tiene asíntotas verticales en x    2 y x     2, como se ve ve en la Figura 4.59. Además, Además, como el periodo de la función tangente tangente es   , las asíntotas verticales también se presentan cuando x    2  n , donde n es un entero. El dominio de la función tangente es el conjunto de todos los números reales que no sean  x    2  n , y el rango es el conjunto de todos los números reales.

   s    e     g     a     m      I     y    t    t    e     G      /    c    s      i      d    o    t    o     h      P      /    e    p    p     a      P     n     a      l      A

 y

PERIODO:     DOMINIO:  TODA  x   2    n  RANGO: ( , )   ASÍNTOT SÍNTOTAS AS VERTICALES:  x   2    n  SIMETRÍA: ORIGEN

 y = tan  x 

3 2 1

 x 

− 3π 

− π 

2

2

 Ayuda  Ayu da de álgeb álgebra ra • Puede hacer un repaso de funciones impares y pares en la Sección 1.5. • Puede hacer un repaso de la simetría de una gráfica en la Sección 1.2. • Puede hacer un repaso de las identidades trigonométricas en la Sección 4.3. • Puede hacer un repaso de las

π

2

π 

3π 

2

−3 FIGURA

4.59

Trazar la gráfica de  y  a tanbx   c es semejante a trazar la gráfica de  y     a sen(bx  c) en que se localizan los puntos clave que identifican las intersecciones con los ejes y las asíntotas. Se pueden hallar dos asíntotas verticales consecutivas si se resuelven las ecuaciones bx   c  

  2

y

bx   c 

  . 2

El punto medio entre dos asíntotas verticales consecutivas es una intersección de la gráfica con el eje  x . El periodo de la función  y  a tanbx   c es la distancia entre dos asíntotas verticales consecutivas. consecutivas. La amplitud de una función tangente no está definida. Después de trazar las asíntotas y la intersección con el eje  x , determine unos cuantos puntos adicionales entre las dos asíntotas y trace un ciclo. Por último, trace uno de los dos ciclos adicionales a izquierda y derecha.

asíntotas en la Sección 2.6. • Puede hacer un repaso del dominio y el rango de una función en la Sección 1.4. • Puede hacer un repaso de intersecciones de una gráfica con los ejes de coordenadas en la Sección 1.2.

 

Sección 4.6

 y = tan

 y

Ejemplo 1

  x 

2

Trace la gráfica de  y  tan x 2.

2

Solución

1

Al resolver las ecuaciones  x 

 x 

3π 

π 

2



331

 Trazar la gráfica de una función tangente

3

−π 

  2

 x 

y

2

 



 x     

2

 x    

podemos ver que hay dos asíntotas verticales consecutivas en  x    y  x   . Entre estas dos asíntotas, determine unos cuantos puntos, incluida la intersección con el eje x , como se muestra en la tabla. En la Figura 4.60 se ilustran tres ciclos de la gráfica.

−3 FIGURA

Gráficas de otras funciones trigonométricas

4.60

 

 x 

tan

  

 x  2

 



  2

0

No está   1 definida

0

    2 1

 

 

No está definida

Ahora trate de hacer el Ejercicio 15.

Ejemplo 2

 Trazar la gráfica de una función tangente

Trace la gráfica de  y   3 tan 2 x .

Solución  y

Al resolver las ecuaciones

 y = −3 tan 2 x 

6

2 x     x   

−

4

π 

−

2

π 

−

4

−2

π 

π 

3 π 

4

2

4

2

y

2 x  

 

  2

 x  

 

4 4 podemos ver que hay dos asíntotas verticales consecutivas en  x     4 y  x    4. Entre estas dos asíntotas, determine unos cuantos puntos, incluida la intersección con el eje  x , como se muestra en la tabla. En la Figura 4.61 se ilustran tres ciclos de la gráfica.

 x 

3 π 

 

−4 −6 FIGURA

4.61

 

x  3

 

tan 2 x 



    4

No está definido



  8

3

0

    8

0   3

  4 No está definido

Al comparar las gráficas de los Ejemplos 1 y 2 se puede ver que la gráfica de  y  a tanbx   c aumenta entre asíntotas verticales consecutivas cuando a   > 0, y dis-

minuye entre asíntotas verticales consecutivas cuando a   < 0. En otras palabras, la gráfi <

 >

ca de a

0 es una reflexión en el eje  x  de la gráfica para a Ahora trate de hacer el Ejercicio 17.

0.

 

332

Capítulo 4

Trigonometría

Gráfica de la función cotangente La gráfica de la función cotangente es semejante a la de la función tangente. También tiene un periodo de , pero de la identidad cos  x 

 y  cot x  

 TEE C N O L O G Í A  T Algunas calculadoras de gráficas tienen dificultad para graficar  funciones trigonométricas que tienen asíntotas verticales. Su calculadora de gráficas puede enlazar partes de las gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante que se supone no deben estar  enlazadas. Para eliminar este problema, cambie el modo de la calculadora al de dot .

se puede ver que la función cotangente tiene asíntotas verticales cuando sen  x  es cero, lo cual ocurre en  x   n , donde n es un entero. La gráfica de la función cotangente se ilustra en la Figura 4.62. Observe que las dos asíntotas verticales consecutivas de la gráfica de  y  a cotbx   c se pueden hallar resolviendo las ecuaciones bx   c  0 y bx   c   .

 y = 2 cot

 y = cot  x 

 y

PERIODO:   DOMINIO:  TODA  x   n  RANGO: ( , ) ASÍNTOT SÍNTOTAS AS VERTICALES:  x   n  SIMETRÍA: ORIGEN

3 2 1

 x  −π 

π 

π 

−2

2

FIGURA  y

sen x 

3π 

π 

2π 

2

4.62

 x 

Ejemplo 3

3

 Trazar la gráfica de una función cotangente

3

 x  Trace la gráfica de  y  2 cot . 3

2 1

 x 

−2π 

π 

3π  4π 

6π 

Solución Al resolver las ecuaciones  x 

3



0

 x 

y

3

 x   0 FIGURA

4.63



   

 x   3 

podemos ver que hay dos asíntotas verticales consecutivas en  x   0 y  x   3 . Entre estas dos asíntotas, determine unos cuantos puntos, incluida la intersección con el eje  x , como se muestra en la tabla. En la Figura 4.63 se ilustran tres ciclos de la gráfica. Observe que el periodo es 3 , la distancia entre asíntotas consecutiv consecutivas. as.

 x 

0

3  4

3  2

9  4

3 

2 cot

 x 

No está

3

definida

0   2

2

No está definida

Ahora trate de hacer el Ejercicio 27.

 

Sección 4.6

333

Gráficas de otras funciones trigonométricas

Gráficas de las funciones recíprocas Las gráficas de las dos funciones trigonométricas restantes se pueden obtener de las gráficas de las funciones seno y coseno usando las identidades recíprocas csc  x  

1

sec  x    

y

sen  x 

1

. cos  x 

Por ejemplo, a un valor dado de  x , la coordenada  y de sec  x  es la recíproca de la coordenada  y de cos  x . Por supuesto que, cuando cos  x   0, la recíproca no existe. Cerca de tales valores de  x , el comportamiento de la función secante es semejante al de la función tangente. En otras palabras, las gráficas de tan  x  

sen  x 

sec  x  

y

cos  x 

1 cos  x 

tienen asíntotas verticales en  x    2  n , donde n es un entero, y el coseno es cero en estos valores de  x . Del mismo modo, cot  x  

cos  x 

csc  x  

y

sen  x 

1 sen  x 

tienen asíntotas verticales donde sen  x   0 , es decir, en  x   n . Para trazar la gráfica de una función secante o cosecante, primero se debe hacer un dibujo de su función recíproca. Por ejemplo, para trazar la gráfica de  y  csc  x , primero se traza la gráfica de  y  sen  x . A continuación se toman recíprocos de las coordenadas  y para obtener puntos en la gráfica de  y    csc  x . Este procedimiento se emplea para obtener las gráficas que se ilustran en la Figura 4.64.  y

 y

 y = csc  x 

3

3

 y = sec  x 

2

 y = sen  x 

 x 

 x  −π 

π 

−1

π 

2

−π 

π 

−1 −2

2

π

2π 

 y = cos  x 

−3

PERIODO: 2  DOMINIO:  TODA  x   n  RANGO: ( ,  1  1, ) ASÍNTOT SÍNTOTAS AS VERTICALES:  x   n  SIMETRÍA: ORIGEN FIGURA 4.64 

 y

Cosecante:

4

mínimo

3

relativo

2

Seno:

1

mínimo

PERIODO : 2    DOMINIO :  TODA  x   2    n  RANGO: ( ,  1  1, )   ASÍNTOT SÍNTOTAS AS VERTICALES:  x   2    n  SIMETRÍA : EJE  y 

 x 

−1

Seno:

π 

máximo

−2

Cosecante:

−3

máximo

−4

relativo

2π 

Al comparar las gráficas de las funciones cosecante con las de las funciones seno y coseno, observe que los “montes” y “valles” están intercambiados. Por ejemplo, un monte (o punto máximo) en la curva de seno corresponde a un valle (un mínimo relativo) en la curva cosecante, y un valle (o punto mínimo) en la curva seno corresponde a un monte (un máximo relativo) en la curva cosecante, como se muestra en la Figura

FIGURA

4.65. En forma adicional, las intersecciones con el eje  x  de las funciones seno y coseno

4.65

se convierten en asíntotas verticales de las funciones cosecante y secante, respectivamente (vea Figura 4.65).

 

334 

Capítulo 4

(

 y = 2 csc   x  +

π 

4

)

Trigonometría

 

 y

(

 y = 2 sen   x  +

π 

4

Ejemplo 4

)

 Trazar la gráfica de una función cosecante

4 3

Trace la gráfica de  y  2 csc

1

Solución  x  π 





 

 x  

4

.

Empiece por trazar la gráfica de

2π 

 y 

2 sen





 

 x  

4

.

Para esta función, la amplitud es 2 y el periodo es 2. Al resolver las ecuaciones

FIGURA

 x  

4.66

 



4

0

 x   

 x  

y

  4

 



2 

 x  

4

7  4

podemos ver que un ciclo de la función seno corresponde al intervalo de  x     4 a  x   7 4. La gráfica de esta función seno está representada por la curva gris en la Figura 4.66. Como la función seno es cero en el punto medio y puntos extremos de este intervalo, la correspondiente función cosecante  y 



2 csc 2







  4

 x  

1 sen x    4



tiene asíntotas verticales en  x     4,  x   3 4,  x   7 4, etcétera. La gráfica de la función cosecante está representada por la curva negra en la Figura 4.66. Ahora trate de hacer el Ejercicio 33.

Ejemplo 5

 Trazar la gráfica de una función secante 

Trace la gráfica de

 y

sec 2 x .

Solución  y = sec 2 x

 y

y = cos 2 x 

Empezamos por trazar la gráfica de  y  cos 2 x , como lo indica la curva gris de la Fi Fi-gura gu ra 4.67. A continuación, formamos la gráfica de  y  sec 2 x  como la curva negra de la figura. Observe que las intersecciones con el eje  x  de  y  cos 2 x 

3

  x  −π

π 

−

2

π 

−1 −2



       

  ,0 , 4

4

,0 ,

3 ,0 , . . . 4

corresponden a las asíntotas verticales

π 

2

 x   

  , 4

 x  

  , 4

 x  

3  , . . . 4

de la gráfica de  y

sec 2 x . Además, observe que el periodo de  y

cos 2 x  y  y

sec 2 x 

−3

es  . FIGURA

Ahora trate de hacer el Ejercicio 35.

4.67

 

Sección 4.6

335

Gráficas de otras funciones trigonométricas

Gráficas trigonométricas amortiguadas Un  producto de dos funciones se puede graficar usando propiedades de las funciones individuales. Por ejemplo, considere la función  f  x    x  sen x 

como el producto de las funciones  y   x  y  y  sen x . Usando propiedades del valor absoluto y el hecho de que sen x     1, tenemos que 0     x  sen x      x  . En consecuencia,



 y

 y = x 

 y = − x  3π 



 x    x  2π 

 



  

  

  x  sen x     x 

lo cual significa que la gráfica de  f  x    x  sen x  está entre las rectas  y   x  y  y   x . Además, como

π 

 x 

 f  x    x  sen x   ± x 

π 

 x  

en

−π 

  2

 f  x    x  sen x   0

−3π 

 f ( x ) = x sen x 

Ejemplo 6 ¿Puede ver por qué la gráfica de  f  x    x  sen x  toca las rectas  y  ± x  en  x    2  n  y por qué la gráfica tiene intersecciones con el eje  x  en  x   n ? Recuerde que la función seno es igual a 1 en  2, 3 2, 5 2, . . . múltiplos impares de  2) y es igual a 0 en  , 2 , 3 , . . .

 x   n 

en

Onda senoidal amortiguada

Trace la gráfica de  f  x   e sen 3 x .  x 

Solution Considere  f  x  como el producto de las dos funciones  y  e

y

 x 

 y  sen 3 x 

cada una de las cuales tiene el conjunto de números reales como su dominio. Para cualcual  quier número real x , sabemos que e  0 y sen 3 x     1. Entonces, e sen 3 x       e , lo cual significa que



 x 

(múltiplos de  .

 e

 x 

 f ( x ) = e− x sen 3 x   y





 x 





 x 

  e sen 3 x      e .  x 

 x 

Además, como

6

 f  x   e sen 3 x    x 

±e

 x 

en  x  

4

 x  π

3

2π  3

 y = −e− x 

  6



n 

3

y

 y = e− x 

−6

n 

la gráfica de  f  toca la recta  y   x  o la recta  y   x  en  x    2  n  y tiene intersecciones con el eje  x  en  x   n . Un dibujo de  f  se muestra en la Figura 4.68. En la función  f  x    x  sen x , el factor  x  se denomina factor (o coeficiente) de amortiguamiento.

4.68

−4



y

−2π 

FIGURA

   

π 

 f  x   e sen 3 x   0  x 

en  x  

n 

3

la gráfica de  f  toca las curvas  y   e y  y  e en  x    6  n 3 y tiene intersecciones con el eje x en  x   n 3. En la Figura 4.69 se ilustra un dibujo.  x 

 x 

Ahora trate de hacer el Ejercicio 65.

FIGURA

4.69

 

336

Capítulo 4

Trigonometría

La figura 4.70 resume las características de las seis funciones trigonométricas básicas.  y 2

 y

 y

2

 y = sen x 

 y = tan x 

3

 y = cos x  2

1 1

 x  −π

− π 

π

2

π 

 x 

3π 

2

−π 

 x 

2π 

π

2

− −1

π 

π 

2

2

π 

3π 

5π 

2

2

−2

−2

DOMINIO: ( , ) RANGO:  1, 1 PERIODO: 2 

 y

DOMINIO : ( , ) RANGO :  1, 1 PERIODO : 2  1 sen x 

 y = csc x =

 y

3

DOMINIO :  TODA  x   RANGO : ( , ) PERIODO:  

 y = sec x =

1 cos x 

 y

  2    n 

 y = cot x =

1 tan x 

3

3

2 2 1

1

 x  −π

π 

π 

 

 x 

 x 

2π 

−π 

2

−

π 

π 

2

2

3π 

π

π 

2π 

 

2π 

2

−2

−3

DOMINIO :  TODA  x   n  RANGO : ( ,  1  1, ) PERIODO: 2  FIGURA 4.70

 

DOMINIO :  TODA  x   2    n  RANGO : ( ,  1  1, ) PERIODO: 2 

DOMINIO :  TODA  x   n  RANGO : ( , ) PERIODO:  

ISCU IS CUSI SIÓN ÓN EN CL CLAS ASEE

D Combinación de funciones trigonométricas

Recuerde de la Sección 1.8 que las funciones pueden combinarse aritméticamente. Esto también se aplica a las funciones trigonométricas. Para cada una de las funciones h x   x 

  x  

sen x   y

h x   x 



cos x   sin 3 x 

(a) Identifique dos funciones  f  y  y g más sencillas que comprendan la combinación, (b) use una tabla para mostrar cómo obtener los valores numéricos de h x   x  a partir  de valores numéricos de f  x   x  y g  x   x , y (c) use gráficas de f  y  y  g para mostrar la forma en que la gráfica de h puede formarse. ¿Puede encontrar funciones  f  x   x 



d   a sen senbx   c 

 y

 g  x   x 



d   a cos cosbx   c 

tales que f  x 

  g  x   x  

0 para toda x ?

 

Sección 4.6

4.6

EJERCICIOS

VOCABULARIO:

337

Gráficas de otras funciones trigonométricas

En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

Llene los espacios en blanco.

1. Las funciones tangente, cotangente y cosecante son _______, de modo que sus gráficas respectivas tienen simetría respecto al_________. 2. Las gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante tienen asíntotas ___________. 3. Para trazar la gráfica de una función secante o cosecante, primero haga un dibujo de su correspondiente función_________. 4. Para las funciones dadas  f  x   g x   sen x , g  x  se denomina factor _______ _______ de la función  f  x . 5. El periodo de  y  tan x  es _______. 6. El dominio de  y  cot x  es todos los números reales tales que _________. 7. El rango de  y  sec x  es ________. 8. El periodo de  y  csc x  es _________.

HABILIDADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 9-14, relacione la función con su gráfica. Exprese el periodo de la función. [Las gráficas están marcadas (a),(b),(c),(d),(e) y (f).]  y

(a)

15.  y 

 y

1

1

19.  y

1  x 

 x 

1

2

1  2

(d)

1  2

3

3

 x  −

3π 

π 

2

2

 x  −

π

3π 

2

2

(e)

−3

(f)

 y

4

 x 

26.  y  csc

2

 y

3

30.  y

  x 

1  2

  x   x  2

tan  x 

32.  y  tan x    

4

33.  y  2 csc x    

34.  y  csc2 x    

35.  y  2 sec x    

36.  y   sec   x   1

3

37.  y  π

 x 

28.  y  3 cot

29.  y  2 sec 3 x  31.  y  tan

−3 −4

24.  y   2 sec 4 x   2

27.  y  3 cot 2 x 

2

2 1

22.  y  3 csc 4 x 

sec   x   x 

 y

4

1

20.  y  4 sec x 

sec x 

25.  y  csc  y

18.  y   3 tan   x   x 

21.  y  csc   x   x  23.  y

(c)

16.  y  tan 4 x 

tan x 

3 17.  y   2 tan 3 x 

(b)

2

En los Ejercicios 15-38, trace la gráfica de la función. Incluya dos periodos.

1 4





 

csc  x  

4



38.  y  2 cot  x  



  2

2

 x 

 x 

1

9.  y  sec 2 x  11.  y 

1 2

cot   x   x 

10.  y  tan

 x 

2

12.  y   csc x 

En los Ejercicios 39-48 use una calculadora de gráficas para graficar la función. Incluya dos periodos. 39.  y  tan

 x 

40.  y   tan 2 x 

3

41.  y   2 sec 4 x 



43.  y  tan  x  

42.  y  sec   x   x 



  4

44.  y 

1 4



cot  x  



  2

13.  y 

1   x  sec 2 2

14.  y   2 sec

45.  y   csc4 x    

 x    x  2

47.  y  0. 0.1 1 ta tan n

 

 x 

4



46.  y  2 sec2 x    



  4

48.   y 

1

sec

3

 

 x 

2





  2

 

338

Capítulo 4

Trigonometría

En los Ejercicios 49-56, use una gráfica para resolver la ecuación en el intervalo [ 2 , 2 ]. 49. tan x   1 51. cot x    53. sec x 

 3

  

3

55. csc x    2

71.  y1  1  cot2  x ,   y2  csc2  x 

50. tan  x    3

72.  y1  sec2 x   1,   y2  tan2  x 

52. cot  x   1

En los Ejercicios 73-76, relacione la función con su gráfica. Describa el comportamiento de la función cuando  x  se aproxime a cero. [Las gráficas están marcadas como (a),(b),(c) y (d).]

54. sec x 

2

70.  y1  tan x  cot2 x ,   y2  cot x 



2

56. csc x   

2 3 3

(a)

En los Ejercicios 57-64, use la gráfica de la función para determinar si la función es par, impar o ninguna de éstas. Verifique algebraicamente la respuesta

4  x  −1

2

π 

2

 x  π

3π 

−4

2

2

58. f  x   tan  x 

59. g x   cot x

60. g x   csc x 

−5

61.  f  x    x   tan x

62. f  x    x   sec x 

63. g x    x  csc x

64. g x    x 2 cot x 

−4

−6

2

RAZONAMIENTO GRÁFICO

(c)

(d)

 y

 y

4

4

Considere las funciones

3

dadas por

2

y

g x  

1 2

−π 

csc x 

1

π 

−2

 x  −π 

−4

(a) Grafique  f  y g en el mismo plano de coordenadas. (b) Aproxime el intervalo intervalo en el que f   >   g. (c) Describa el comportamiento comportamiento de cada una de las funciones cuando  x  se aproxime a  . ¿Cómo está relacionado el comportamiento de g con el de  f  cuando  x  se aproxima a  ?

RAZONAMIENTO GRÁFICO

2  x 

en el intervalo 0,  .

66.

 

−2

57.  f  x   sec x

 f  x   2 sen  x

 y

2

−3

65.

(b)

 y

Considere las funciones

−1 −2

  g x    x   x  sen x

73.  f  x    x  cos  x  75.

π 

74. f  x    x  sen x 

 



76. g x    x   x  cos  x 

CONJETURA En los Ejercicios 77-80, grafique las l as funciones  f  y  y  g . Use las gráficas para hacer una conjetura acerca de la relación entre las funciones.





 

dadas por

77.  f  x   sen x   cos  x  

 f  x   tan   x  y g x   1 sec   x   x  2 2 2

78.  f  x   sen x   cos  x     ,   g x   2 sen x  2

en el intervalo  1, 1.

79.  f  x   sen2  x ,   g x   2 1  cos 2 x 

(a) Use una calculadora de gráficas para graficar  f  y g en la misma pantalla.

80.  f  x   cos2

(b) Aproxime el intervalo intervalo en el que  f   <   g. (c) Aproxime el intervalo en el que 2 f   < 2g. ¿Cómo se compara el resultado con el del inciso (b)? Expli Explique.

En los Ejercicios 67-72, use una calculadora de gráficas para graficar las dos ecuaciones en la misma pantalla. Use las gráficas para determinar si las expresiones son equivalentes. Verifique algebraicamente los resultados.



1

2

,   g x   0



   x  1  x  ,   g x   1  cos   x   x  2 2

En los Ejercicios 81-84, use una calculadora de gráficas para graficar la función y factor de amortiguamiento en la misma pantalla. Describa el comportamiento de la función cuando x  aumente sin límite. 2

81. g x   e x  2 sen x

82. f  x   e cos  x 

83.  f  x   2 4 cos   x  x

84. h x   2 x  4 sen x 

 x 

 x 

2

En los Ejercicios 85-90, use calculadora de gráficas para graficar la función. Describa el comportamiento de la función cuando x se aproxime a cero.

67.  y1  sen x  csc x ,   y2  1 68.  y1  sen x  sec x ,   y2  tan  x  69.  y1 

cos  x  ,   y2  cot x  sen x 

85.  y 

6



 x 

cos x ,   x   > 0

8  6. y 

4



 x 

sin 2 x ,   x   > 0

 

Sección 4.6

87. g x   x  

sen x   x 

89.  f  x   x   sen 91.

88.  f  x   x  

1

DISTANCIA

1  cos x  i

40

g

ra

o

s

20

F e p m d e T

Un avión que vuela a una altitud de

 H (t )

 L (t )

n (e

t 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Mes del año

(b) ¿Durante qué parte del año es máxima la diferencia entre las temperaturas normal alta y normal baja? ¿Cuándo es mínima? (c) El Sol está más al norte en el cielo hacia el 21 de junio, pero la gráfica muestra las temperaturas más cálidas en una fecha posterior. Aproxime el tiempo de retraso de las temperaturas relativas a la posición del Sol.

94.

 x  d 

VENTAS

Las ventas mensuales proyectadas S  (en miles miles de unidades) de podadoras de césped (un producto esestacional) se modelan con S  74  3t  40 cos(t  6, donde t es el tiempo (en meses), con t   1 corres rrespondiente pondiente a enero. Grafique la función de ventas de 1 año.

 No a escala

Una cámara de televisión está en una plataforma de observación, a 27 metros metros de la calle en la que un desfile pasará de izquierda a derecha (vea figura). Escriba la distancia d  de la cámara a una unidad particular del desfile, como función del ángulo  x , y grafique la función sobre el intervalo   2   <   x   <    2. (Considere  x  como negativa cuando una unidad del desfile se aproxime desde la izquierda.)

60

ra

 x 

COBERTURA DE TELEVISIÓN

a

h

n tu

7 millas sobre una antena de radar pasará directamente sobre ésta (vea figura). Sea d la distancia en tierra desde la antena al punto directamente bajo el avión, y sea  x el ángulo de elevación al avión desde la antena. ( d  es popositiva si tiva cuando el avión se aproxime a la antena.) Escriba d como función de x y grafique la función sobre el intervalo 0   <   x   <    .

92.

80

er

h

e ar

1

7 mi

339

)t

 x 

90. h x   x    x sen

 x 

Gráficas de otras funciones trigonométricas

95.

MOVIMIENTO ARMÓNICO

Un objeto que pesa W  libras está suspendido del techo de una construcción mediante un resorte de acero (vea figura). El peso es jajalado hacia abajo (dirección positiva) desde su posición de equilibrio y soltado. El movimiento resultante del 1 peso se describe con la función y  2 et 4 cos 4t , t   > 0, donde  y es la distancia (en pies) y t  es el tiempo (en segundos).

 No a escala

Equilibrio 27 m

d 

 y

 x 

Cámara

93.

METEOROLOGÍA

Las temperaturas altas  H  men men-suales, normales (en grados Fahrenheit) en Erie, PennPennsylva syl vania nia se aproximan con 20.86 86 cos t  11.58 58 sen t   H t   56.94  20. t   6  11. t   6 y las temperaturas bajas  L mensuales, normales, se aproximan con

(a) Use una calculadora calculadora de gráficas para graficar la función. (b) Describa el comportamiento de la función de desdesplazamiento pla zamiento para valores crecientes del tiempo t .

EXPLORACIÓN ¿VERDADERO O FALSO?

En los Ejercicios 96 y 97, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su resmine respuesta. pues ta.

 Lt   41.80  17 17.1 .13 3 co coss t  t   6  13. 13.39 39 sen t  t 6

96. La gráfica de  y  csc x  se puede obtener en una calculadora al graficar la recíproca de  y  sen x .

donde t  es el tiempo (en meses), con t   1 correspon correspon-diente a enero (vea figura). (Fuente: National Climatic Data Center)

97. La gráfica de  y  sec x se puede obtener en una calcu calcu-ladora la dora al graficar una traslación de la recíproca de  y  sen x .

(a) ¿Cuál es el periodo de cada función?

 

340

Capítulo 4

Trigonometría

(b) Empezando con  x 0  1, genere una sucesión  x 1,  x 2,  x 3, . . . , donde  x   cos x   1. Por ejemplo,

98.  TOQUE FINAL  Determine cuál función está representada por la gráfica. No use calculadora. Explique su razonamiento. (a)

n

 x 0  1  x 1  cos x 0

(b)  y

n

 x 2  cos x 1

 y

 x 3  cos x 2 3 2



1

¿A qué valor se aproxima la sucesión?  x 

− π 4

π 

π 

4

2

 x 

− π 2 − π 4

π 

π 

4

2

(i)  f  x   tan 2 x 

(i)  f  x   sec 4 x 

(ii)  f  x   tan x 2

(ii)  f  x   csc 4 x 

(iii)  f  x   2 tan x 

(iii)  f  x   csc x 4

(iv)  f  x    tan 2 x 

(iv)  f  x   sec x 4

(v)  f  x    tan x 2

(v)  f  x   csc4 x    

104.  APROXIMA  APROXIMACIÓN CIÓN Usando cálculo, puede demos de mos-trarse que la función tangente se puede aproximar con el polinomio 2 x 3

tan  x      x  

3!



(a)  x →

ma a de desd sdee la de dere rech chaa   cuando x se apaproroxixima 2 cuando x se ap apro roxi xima ma a des desde de la izq izquie uierda rda 2  2 cuando x se aproxima a desd de sdee la de dere rech chaa 2  2 cuando se aproxima a desde la izquierda 2  2

 

(c)  x → 

 

 





(d)  x → 

 x 2

 

99.  f  x   tan x 

 x 

 



5 x 4 4!

106.

RECONOCIMIENTO DE PATRONES

 

(a) Use una calculadora de gráficas gráficas para graficar cada cada función

 

100.  f  x   sec  x 

En los Ejercicios 101 y 102, use una calculadora de gráficas para graficar la función. Use la gráfica para determinar el comportamiento de la función cuando  x → c . (a) Cuando x → 0, el valor de f  x   x  → . (b) Cuando x → 0, el valor de f  x   x  → .  (c) Cuando x →   , el valor de f  x   x  → . (d) Cuando x →  , el valor de f  x   x  → . 101.  f  x   cot x 

2!



donde  x  está en radianes. Use una calculadora para grafi gra ficar la función secante y su aproximación con polinomios en la misma pantalla. ¿Cómo se comparan las gráficas?

2



103.

sec  x     1 

 



(b)  x →

Usando cálculo, puede demos mos--

trarse que la función secante se puede aproximar con el polinomio

En los Ejercicios 99 y 100, use una calculadora de gráficas para graficar la función. Use la gráfica para determinar el comportamiento de la función cuando  x → c . 

5!

donde  x  está en radianes. Use una calculadora para gragraficar fi car la función tangente y su aproximación con polinopolino mios en la misma pantalla. ¿Cómo se comparan las gráficas?

105.  APROXIMACIÓ  APROXIMACIÓN N

 

16 x 5

 y1   y2 

    4

4

sen   x   x   sen   x   x  

3



sen 3  x   x 

1 1 sen 3  x   x   sen 5  x  3 5



(b) Identifique el patrón iniciado iniciado en el inciso (a) y en en-cuentre una función  y3 que lo continúe un término más. Use una calculadora de gráficas para gra ficar  y3. (c) Las gráficas de los incisos (a) y (b) aproximan la función periódica en la figura. Encuentre una función  y4 que sea una mejor aproximación.

102.  f  x   csc  x 

 y

PIÉNSELO

Considere la función expresada por memedio de  f  x    x   cos  x .

1

1

(a) Use una calculadora de gráficas para graficar la función y verificar que existe un cero entre 0 y 1. Use la gráfica para aproximar el cero.

 x 

3

 

Sección 4.7

Funciones trigonométricas inversas

341

4.7 FUNC UNCION IONES ES TRI TRIGON GONOMÉ OMÉTRI TRICAS CAS INV INVERS ERSAS AS Lo que debe aprender  • Evaluar y graficar la función seno inversa. • Evaluar y graficar graficar las otras funciones trigonométricas inversas. • Evaluar y graficar graficar las composiciones composiciones de funciones trigonométricas.

Función seno inversa Recuerde de la Sección 1.9 que para que una función tenga función inversa debe ser biunívoca, es decir, debe pasar la prueba de la recta horizontal. En la Figura 4.71 se puede ver que y  sen x no pasa la prueba porque diferentes valores de x dan el mismo valor de y.  y

Por qué debe aprenderlo Se pueden usar funciones trigonométricas inversas para modelar   y resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, en el Ejercicio 106 de la página 349 se puede usar una función trigonométrica inversa para modelar el ángulo de elevación desde una cámara de televisión al lanzamiento de un transbordador  espacial.

 y = sen  x  1  x 

−π 

π 

−1

sen  x  tiene  tiene una función inversa en este intervalo

FIGURA

4.71

Pero si restringimos el dominio del intervalo   2      x       2 (correspondiente a la parte negra de la gráfica en la Figura 4.71), se cumplen las siguientes propiedades.

1. En el intervalo   2,  2, la función y  sen x es creciente. 2. En el intervalo   2,  2,  y  sen x  toma su variación completa de valores,  1    sen x    1. 3. En el intervalo   2,  2, y  sen x es biunívoca. En consecuencia, en el dominio restringido   2      x       2,  y  sen x  tiene una función fun ción inversa única llamada  función seno inversa. Está denotada con  y  arcsen x 

o bien

 y  sen1 x .

La notación sen1 x es consistente con la notación de función inversa f 1 x   x . La notación arcsen  x (se lee como “arco seno de x ”) ”) proviene de la asociación de un ángulo central con su longitud de arco intersecada en una circunferencia unitaria. Entonces, arcsen  x   significa el ángulo (o arco) cuyo seno es x . Ambas notaciones, arcsen x y sen1 x , se usan por lo general en matemáticas, por lo cual debe recordar que sen1 x  denota la función seno inversa más que 1/sen  x . Los valores de arcsen  x  están en el intervalo   2    arcsen x       2. La gráfica de y  arcsen x  se muestra en el Ejemplo 2.

     A     S      A      N

Definición de función seno inversa Cuando evalúe la función seno inversa, ayuda recordar la frase “el arco seno de x es el ángulo (o nú núme mero ro)) cuy cuyo o sen seno o es es x ”.

La función seno inversa se define por  y  arcsen x 

si y sólo sí 

sen y   x 

donde  1      x    1 y   2      y       2. El dominio de y  arcsen x es  1, 1, en tanto que el rango es   2,  2.

 

342

Capítulo 4

Trigonometría

Ejemplo 1

Evaluación de la función seno inversa

Al igual que con funciones trigonométricas, gran parte del trabajo con funciones trigonométricas inversas se

Si es posible, encuentre el valor exacto.

puede por cálculos en lugar de exactoshacer aproximaciones con calculadora. Los cálculos exactos ayudan a aumentar la comprensión que el estudiante tenga de las funciones inversas, al relacionarlas con las definiciones de triángulo rectángulo de las funciones trigonométricas.

Solución

a.

a.

arcsen

 12 

  6  1 arcsen  2

Como sen





b.

Como sen sen

c.

1

  

3

sen

b.

 

 

2

 3

 

2

3

  

 3

sen

c.

2

1

2

1     para       y    , se deduce que 2 2 2

 

 3

1

 

6

Ángulo cuyo seno es  12

.

para 

 

2

 

.

 y   

 

2

, se deduce que

Ángulo cuyo seno es  32

No es posible evaluar y  sen 1 x  cuando  x   2 porque no hay ángulo cuyo seno sea 2. Recuerde que el dominio de la función seno inversa es  1, 1. 

Ahora trate de hacer el Ejercicio 5.

Ejemplo 2

Graficar la función arco seno

Trace una gráfica de  y 

arcsen x .

Solución Por definición, las ecuaciones  y  arcsen x  y sen y   x  son equiva equivalentes lentes para   2      y       2. Por tanto, sus gráficas son iguales. Del intervalo   2,   2, se pueden asignar valores a y en la segunda ecuación para hacer una tabla de valores. A continuación se determinan los puntos y se traza una curva lisa que pase por ellos.  

 y  y

(

π 

1,

  π 

2

 x  

)

sen y



 

2

 



  1   

 

4

 2

2

 

 



 



6 1 2

0 0

   

 

 

6

4

2

1 2

 2

1

2

2

( 22 , 4 )   π 

( 12 , 6 ) π 

(0, 0)

 x 

− 1 , −  π  2 6

(

1

)

 y

π 

−

= arcsen  x 

2   π  2 , −4 −

La gráfica resultante para y  arcsen x se muestra en la Figura 4.72. Observe que es la reflexión (en la recta y   x ) de la parte negra de la gráfica de la Figura 4.71. Asegúrese de ver que la Figura 4.72 muestre toda la gráfica de la función seno inversa. Recuerde que el dominio de y  arcsen x es el intervalo cerrado  1, 1 y el rango es el intervalo cerrado   2,  2. Ahora trate de hacer el Ejercicio 21.

(−1, − 2 ) π 

FIGURA

2

(

  )

4.72

 

Sección 4.7

343

Funciones trigonométricas inversas

Otras funciones trigonométricas inversas La función coseno es decreciente y biunívoca en el intervalo 0      x       , como se ve en la Figura 4.73.  y

 y = cos  x 

 x 

−π 

π

−1

2π 

π 

2

cos x  tiene  tiene una función inversa en este intervalo

FIGURA

4.73

En consecuencia, en este intervalo la función coseno tiene una función f unción inversa, la función coseno inversa, denotada por  y  arccos  x 

o

 y  cos1 x .

Del mismo modo, se puede definir una función tangente inversa al restringir el dominio de  y  tan  x  al intervalo   2,  2. La lista siguiente resume las definiciones de las tres funciones trigonométricas inversas más comunes. Las tres restantes se definen en los Ejercicios 115-117.

Definiciones de las funciones trigonométricas inversas Función

Dominio

Rango

       y    2 2

 y  arcsen x  si y sólo si sen y   x 

 1      x   

1



 y  arccos  x  si y sólo si cos  y   x 

 1      x   

1

0      y       

 y  arctan x  si y sólo si tan  y   x 

      <   x   <   



      0.

 No a escala

(a) Escriba   como función de x . (b) Encuentre   cuando x   7 millas y x   1 milla.

 

350 111.

Capítulo 4

Trigonometría

PATRULLA DE SEGURIDAD Una patrulla con su faro buscador encendido está estacionada a 20 metros de un almacén. Considere   y x  como se muestran en la figura.

En los Ejercicios 127-134, use los resultados de los Ejercicios 115-117 y una calculadora para aproximar el valor de la expresión. Redondee el resultado a dos lugares decimales. 127. 129. 131.

θ  20 m

133. 135.  x 

 No a escala

arcsec 2.54 arccot 5.25 arccot 53 arccsc

 

128.

 

130. 132.

25 3

134.

 

arcsec 1.52 arccot 10 arccot 167  arccsc 12

 ÁREA En cálculo, se ha demostrado que el área de la región acotada por las gráficas de  y  0,  y = 1 x   1,  x   a y de  x   b está dada por 2

(a) Escriba   como función de  x . (b) Encuentre   cuando x   5 metros y x   12 metros.

Área  arctan b  arctan a (vea figura). Encuentre el área para los siguientes valores de a y b. (a) a  0, b  1 (b) a   1, b  1 (c) a  0, b  3 (d) a   1, b  3

EXPLORACIÓN ¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 112-114, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. 112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

5  1 sen    6 2 5  tan    1 4 arcsen  x  arctan x   arccos x 

121. 123. 125.

Defina la función cotangente inversa al restringir el dominio de de la la fu función co cotangente al al in intervalo 0,  , y trace su gráfica. Defina la función secante inversa al restringir el dominio de la función secante a los intervalos 0,  2 y  2,  , y trace su gráfica. Defina la función cosecante inversa al restringir el dominio de la función cosecante a los intervalos   2, 0 y 0,   2, y trace su gráfica.

 TOQUE FINAL  Use los resultados de los Ejercicios 115-117 para explicar cómo graficar (a) la función cotangente inversa, (b) la función secante inversa, y (c) la función cosecante inversa en una calculadora de gráficas.

arcsec  2 arccot 1

120.

arcc ar ccsc sc 2 2 3 arccsc 3

124.

  

 y = 1

a

−2

En los Ejercicios 119-126, use los resultados de los Ejercicios 115-117 para evaluar cada expresión sin usar calculadora. 119.

 y

1 5  arcsen  2 6 5  arct ar ctan an 1  4

122.

126.

arcsec arcs ec 1 arccot  3  arccsc 1 2 3 arcsec  3

  

136.

1

 x 2

b

+1

 x  2

PIÉNSELO Use una calculadora para graficar las funciones fun ciones  f  x     x  y g x  

6 ar arct ctan an x .

Para  x   > 0, parece que g   >   f . Explique por qué sabe que existe un número real positivo a tal que g   <   f  para  x   >   a. Aproxime el número a. 137.

PIÉNSELO Considere las funciones dadas por 1

 f  x  

sen  x  y  f   x   arcsen x . (a) Use una calculadora de gráficas para graficar las funciones compuestas  f     f  1 y  f  1   f . (b) Explique por qué las gráficas del inciso (a) no son la gráfica de la recta  y   x . ¿Por qué difieren las gráficas de  f     f  1 y  f  1   f  ? 



138.





DEMOSTRACIÓN Demuestre las identidades siguientes. (a) arcsen x    arcsen x  (b) arctan x    arctan x  1   (c) arctan x   arctan  ,  x   > 0 2  x  

(d) arcsen x 



arccos x 

(e) arcsen x   arctan

 

2

  x 

 1

  x 2

 

 Trigonometría  Trig onometría analítica 5.1 5.1 5.2 5. 2

Uso de Uso de ide ident ntiida dade dess fun funda dam men enttal ales es Comp Co mpro roba baci ción ón de la lass ide ident ntid idad ades es tr trig igon onom omét étri rica cass

5.3 5. 3

Solu So luci ción ón de ec ecua uaci cion ones es tr trig igon onom omét étri rica cass

5.4 5. 4

Fórm Fó rmu ula lass de su suma ma y dif ifer eren enci ciaa

5.5 5. 5

Fórm Fó rmul ulas as de án ángu gulo loss múl múlti tipl ples es y de pr prod oduc ucto to a sum sumaa

En matemáticas 

Se usa trigonometría analítica para simplificar expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas. En la vida real 

Se usa trigonometría analítica para modelar  fenómenos de la vida real. Por ejemplo, cuando un avión vuela más rápido que el sonido, las ondas sonoras forman un cono detrás de él. Se pueden usar conceptos de trigonometría para describir el ángulo en      d el vértice del cono. (Vea ejercicio 137,     n     a

   v    o

página 415.)

     L      /    s     r    e    t     u

   e     R

     /     r    e      i    t     a    s     a      P     r    e     h    p    o    t    s      i

    r      C     h

EN CARRERAS Hay numerosas carreras que usan trigonometría analítica. A continuación se citan varias de ellas. • Ingeniero mecánico Ejercicio 89, página 396

• Entrenador atlético Ejercicio 135, página 415

• Físico Ejercicio 90, página 403

• Terapeuta físico Ejercicio 8, página 425

5

371

 

372

Capítulo 5

Trigonometría analítica

5.1 Lo que debe aprender  • Reconocer y escribir escribir las identidades identidades trigonométricas fundamentales. • Usar las identidades trigonométricas trigonométricas fundamentales para evaluar funciones trigonométricas, simplificar expresiones trigonométricas y reescribir expresiones trigonométricas.

Por qué debe aprenderlo

USO DE ID IDEN ENTI TID DAD ADES ES FU FUND NDAM AMEN ENT TAL ALES ES Introducción En el capítulo 4 estudiamos las definiciones, propiedades, gráficas y aplicaciones básicas de las funciones trigonométricas. En este capítulo, aprenderemos a usar las identidades fundamentales para hacer lo siguiente. 1.

Evaluar funciones trigonométricas.

2.

Simplificar expresiones trigonométricas.

3.

Desarrollar identidades trigonométricas adicionales.

4.

Resolver ecuaciones trigonométricas.

Se pueden usar identidades trigonométricas fundamentales para simplificar expresiones trigonométricas. Por ejemplo, en el Ejercicio 123 de la página 379 se pueden usar identidades trigonométricas para simplificar una expresión para el coeficiente de

Identidades trigonométricas fundamentales  Identidades recíprocas recíprocas

fricción.

sen u



csc u



1 csc u 1 sen u

cos u



sec u



cot u



1 sec u 1 cos u

tan u



cot u



1 cot u 1 tan u

 Identidades cociente

tan u



sen u cos u

cos u sen u

 Identidades pitagóricas

sen2 u

cos 2 u





1

1



tan2 u



sec 2 u

1



cot 2 u



csc 2 u

 Identidades de cofunción

sen

   2

 

tan

 

Usted debe aprender bien las identidades trigonométricas fundamentales porque se usan con frecuencia en trigonometría y también aparecerán más adelante en cálculo. Observe que u puede ser un ángulo, un número real o una variable

sec

2   2



u



cos u

cos



u



cot u

cot



 

u



csc u

   2

 

 

csc

2   2



u



sen u



u



tan u



u



sec u

 

 Identidades par/impar 

sen u

  sen u

cos u



cos u

tan u

  tan u

csc u

  csc u

sec u



sec u

cot u

  cot u

Las identidades pitagóricas a veces se usan en forma de radical como sen u

 ±  1 

cos 2 u

tan u

sec 2  ±  sec

u

o 

1

donde el signo depende de la elección de u.

 

Sección 5.1

373

Uso de identidades fundamentales

Uso de identidades fundamentales Una aplicación común de identidades trigonométricas es usar valores dados de funciones trigonométricas para evaluar otras funciones trigonométricas.

Ejemplo 1

Usar identidades para evaluar una función

U se los valores sec u trigonométricas.

 

3

 >

y tan u

2

0 para hallar los valores de las seis funciones

Solución Usando una identidad recíproca se tiene cos u



1 sec u



1  32

 

2 3

.

Usando una identidad pitagórica se tiene sen2 u

 TEE C N O L O G Í A  T Se puede usar calculadora de gráficas para verificar el resultado del ejemplo 2. Para hacer esto, grafique sen x  cos 2  x   sen x 

 y 1



 y 2

  sen

 y 3

 x 

en la misma pantalla, como se ve a continuación. Debido a que el Ejemplo 2 muestra la equivalencia algebraicamente y las dos gráficas parecen coincidir, se puede concluir que



1



cos 2 u

Identidad pitagórica



1



 

Sustituir



2 3

4 

1



9

2



5 9.

2

3

por cos u.

Simplificar.

Como sec u   < 0 y tan u   > 0, se deduce que u se encuentra en el tercer cuadrante. Además, como sen u es negativo cuando u está en el tercer cuadrante, se puede escoger la raíz negativa y obtener sen u   53. Ahora, conociendo los valores del seno y coseno, se pueden hallar los valores de las seis funciones trigonométricas. sen u



cos u

 

tan u



 5 3 2 3

sen u cos u



 53  23



 5 2

csc u



sec u



cot u



1 sen u 1 cos u 1 tan u

 

 



3

 5

 

3 5 5

3 2

2

 5



2 5 5

Ahora trate de hacer el Ejercicio 21.

las expresiones son equivalentes. 2

Ejemplo 2 −

Simplificar una expresión trigonométrica

 

Simplifique sen x cos 2 x   sen x . −2

Solución Primero factorice un factor monomio común y luego use una identidad fundamental. sen x cos 2 x   sen x   sen x cos2 x   1   sen x 1 

cos 2 x 

Factorizar un factor monomio común. Factorizar  1.

  sen x sen2 x 

Identidad pitagórica

  sen3 x 

Multiplicar.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 59.

 

374 

Capítulo 5

Trigonometría analítica

Cuando factorice expresiones trigonométricas, es útil hallar una forma especial para factorizar polinomios que se ajuste a la expresión, como se ve en el Ejemplo 3.

Ejemplo 3

 Ayuda  Ayu da de álgeb álgebra ra En el ejemplo 3, el lector debe tener aptitud para factorizar la diferencia de dos cuadrados y factorizar un trinomio. En el Apéndice A.3 puede repasar las técnicas para factorizar factorizar..

Factorizar Factoriz ar expresiones trigonométricas

Factorice cada una de las expresiones siguientes. a.

sec 2    1

b.

4 tan2    tan    3

Solución a.

Esta expresión tiene la forma u2 toriza como sec2    1

b.





v2, que es la diferencia de dos cuadrados. Se fac-

sec    1sec     1).

Esta expresión tiene la forma de polinomio ax 2 4 tan2    tan    3





bx   c, y se factoriza como

4 tan     3tan    1.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 61. En ocasiones, la operación de factorizar o de simplificar puede hacerse mejor si primero se reescribe la expresión en términos de sólo una función trigonométrica o en términos sólo de seno y coseno . Estas estrategias se muestran en los Ejemplos 4 y 5, respectivamente. res pectivamente.

Ejemplo 4

Factorizar Factoriz ar una expresión trigonométrica

Factorice csc 2 x   cot x   3.

Solución Use la identidad csc 2 x   1 gente. csc 2 x   cot x   3



cot 2 x para reescribir la expresión en términos de la cotan-



1  cot 2 x 



cot 2 x   cot x   2

Combinar términos semejantes.



cot x   2cot x   1

Factorizar.



cot x   3

Identidad pitagórica

Ahora trate de hacer el Ejercicio 65.

Ejemplo 5

Simplificar una expresión trigonométrica

Simplifique sen t   cot t cos t .

Solución Empiece por reescribir cot t en términos de seno y coseno. sen t   cot t cos t   sen t  

Recuerde que cuando sume expresiones racionales, primero debe hallar el mínimo común denominador (MCD). En el Ejemplo 5, el MCD es sen t .



  cos t  sen t 

cos t 

sen2 t   cos 2 t  sen t 

Identidad cociente

Sumar fracciones.

1 

sen t 

Identidad pitagórica



csc t 

Identidad recíproca

Ahora trate de hacer el Ejercicio 71.

 

Sección 5.1

Ejemplo 6

Uso de identidades fundamentales

375

Sumar expresiones trigonométricas

Sume y simplifique. sen   1



cos  



cos    sen  

Solución sen   1



cos  



cos    sen  







 

sen   sen sen    cos   1  cos     1  cos   sen sen   sen2    cos2    cos  

1

cos    sen sen  



1



cos  

1  cos   sen sen   1

Multiplicar.

Identidad pitagórica: sen2    cos2    1

Dividir el factor común.

sen   csc  

Identidad recíproca

Ahora trate de hacer el Ejercicio 75. Los siguientes dos ejemplos comprenden técnicas para reescribir expresiones en formas que se usan en cálculo.

Ejemplo 7 Reescriba

Reescribir una expresión trigonométrica 1

1



sen x 

de modo que no esté en forma fraccionaria.

Solución 1  sen x , se puede ver De la identidad pitagórica cos 2 x   1  sen2 x   1  sen x  que multiplicar numerador y denominador por 1  sen x  producirá un denominador monomio. 1 1

1

 sen x   





 

1



sen x 



sen x 

1



sen x   1

1



sen x 

1



sen2 x 

1



sen x 

Multiplicar.

Identidad pitagórica

cos 2 x  1 2

cos  x  1 cos 2 x 





sen x 

Escribir como fracciones separadas.

cos 2 x  sen x 

Multiplicar numerador y denominador por 1  sen x .



1

cos x  cos x 

sec2 x   tan x sec x  Ahora trate de hacer el ejercicio 81.

Producto de fracciones Identidades recíprocas y cociente

 

376

Capítulo 5

Trigonometría analítica

Ejemplo 8

Sustitución trigonométrica

Use la sustitución x   2 tan  , 0   <      <    2, para reescribir

 4   x 2 como una función trigonométrica de  .

Solución Empiece por hacer x   2 tan  . Entonces, puede obtener

 4   x 2   4



2 tan   2

Sust Su stit itui uirr 2 ta tan n   po porr  x 



 4



4 tan2  

Regla de exponentes



 41



 4 sec 2  

Identidad pitagórica



2 sec   .

sec    > 0 para 0   <      <    2



tan2  

Factorizar.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 93. La Figura 5.1 muestra la ilustración de triángulo rectángulo de la sustitución trigonométrica x   2 tan   del Ej Ejemplo 8. 8. Se Se pu puede us usar es este tr triángulo pa para ve verificar la la so solución. Para 0   <      <    2, se tiene

  2

 4

   x   x

  +    +

 x 

opu θ 

=

 arctan

  x ,

ady

2

e

hip



 4   x 2 .

  x 

Con estas expresiones, se puede escribir lo siguiente.

2

2

Ángu Án gulo lo cu cuyya ta tang ngen ente te es  2. FIGURA



sec   

5.1

sec   

hip ady

 4

  x 2

2

2 sec      4

  x 2

Por tanto, la solución es correcta.

Ejemplo 9

Reescribir una expresión logarítmica

Reescriba lncsc  



lntan   como un solo logaritmo y simplifique el resultado.

Solución

 Ayu  Ayuda da de álgeb álgebra ra Recuerde que para números reales positivos u y v, ln u



ln v



lnuv.

En la sección 3.3 se pueden repasar las propiedades de los logaritmos.

lncsc  



lntan  



lncsc   tan  



ln

1 sen    sen   cos   

Identidades recíprocas y cociente



ln

1 cos   

Simplificar.



lnsec  

  

Propiedad del producto de logaritmos



Identidad recíproca

Ahora trate de hacer El ejercicio 113.

 

Sección 5.1

5.1

EJERCICIOS

VOCABULARIO:

En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

Llene los espacios en blanco para completar la identidad trigonométrica.

1.

sen u cos u



________

2.

1 csc u



________

3.

1 tan u



________

4.

1 cos  u



________

5.

1

6.

1

2

7. 9.

2

________  csc u   sen    u  ________ 2 





cos u



377

Uso de identidades fundamentales

8.

________

10.

tan u  ________   sec    u  ________ 2 



tan u





________

HABILIDADES HABILID ADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 11-24, use los valores dados para evaluar (si es posible) las seis funciones trigonométricas. 11.

12.

13.

1 sen x   , 2 tan x  

cos  x  

 3 3

25 14. csc    7 , 8 15. tan  x   15,

cot   

17.

3 sec    , 2

18.

19.

cos



  2



sen   

 3



(a) csc x 

(b) tan x 

(c) sen2 x 

(d) sen  x  tan  x 

(e) sec2 x 

(f) sec2  x   tan2  x 

31.

sen x  sec x 

 2

33.

2

35.

sec  x   tan  x  sec2  x   1

2

4

sec x  

 3,

17

csc   

 10 10



3

 

5

1

,

,

10



36.

  x 

cos  x 

cot   sec  

38.

cos   tan  

5

39.

tan x  cos  x 

40.

sen x  cot x 

41.

sen  csc    sen  

42.

sec 2  x 1

cos  x   tan x  

sec x   4,

21.

tan    2,

sen    < 0

22.

csc   

 5,

cos    < 0

23.

sen   

 1,

cot    0

24.

tan   no está definida,

4 5



43.

 2

cot x 

44.

csc  x 

sen2  x 



csc   sec  

2

4

45.

1 2 sen  x  csc  x   1

47.

tan    cot   sec  

49.

sec  

51.

cos

(a) sec x 

(b)

1

(c) cot  x 

(d) 1

(e)

 tan x 

(f ) sen  x 

53.



  2

46.

48.

sen 

50.

tan 

sen    > 0

En los Ejercicios 25-30, relacione la expresión trigonométrica con una de las siguientes.



  x 

sec  x 

cos2  y 1



sen y

55.

sen   tan    cos   

25.

sec x  cos  x 

26.

tan x  csc  x 

57.

cot u sen u

27.

cot2  x   csc 2  x 

28.

1

58.

sen   sec    cos    csc  

cos x 

cot x  sec x  cos2 2

37.

20.

sen x 

34.

3 5

3 sen x   > 0

29.

cos2  x sec2  x   1

En los Ejercicios 37-58, use las identidades fundamentales para simplificar la expresión. Hay más de una forma correcta de cada respuesta.

 15

sen   

32. 4

sen2  x 

7 tan    24

  x  

sen x 

2

cos x  

,

sec     2, 2,

16.

 3

En los Ejercicios 31-36, relacione la expresión trigonométrica con una de las siguientes.

30.



cos 2  x  csc x 

sen 2

  x 

cos 2

  x 

tan u cos  u

1 tan2  x   1 sen   csc    tan   tan2   sec2  



 



  x 

52.

cot

54.

cos  t 1

56.

csc   tan    sec  

2



cos  x 

tan2 t 

 

378

Capítulo 5

Trigonometría analítica

En los Ejercicios 59-70, factorice la expresión y use las identidades fundamentales para simplificar. Hay más de una forma correcta de cada respuesta. 59. 61.

2

2

2

tan  x   tan  x  sen  x  2

2

2

sen  x  sec  x   sen  x 

60. 62.

2

63.

2

2

2

cos  x   cos  x  tan  x  2

sec  x   1 sec x   1

64.

cos  x   4 cos  x   2

tan4  x   2 tan2  x   1

66.

1

67.

sen4  x   cos4  x 

68.

sec4  x   tan4  x 

69.

csc3  x   csc2  x   csc  x   1

70.

sec3  x   sec2  x   sec  x   1



2 cos2  x   cos4  x 

En los Ejercicios 71-74, realice la multiplicación y use las identidades fundamentales para simplificar. Hay más de una forma correcta de cada respuesta. sen x   cos  x 2

72.

cot x   csc  x  cot x   csc  x 

73.

2 csc  x   22 csc  x   2

74.

3



3 sen  x  3

En los Ejercicios 75-80, realice la suma o resta y use las identidades fundamentales para simplificar. Hay más de una forma correcta de cada respuesta. 75.

77.

79.

1 1



cos  x 

cos  x  1



sen x 

tan x  





1 1



cos  x 

1



sen x 

cos  x 

76.

78.

80.

81.

83.

1



82.

cos  y 3

84.

sec x   tan  x 

"1 "2

0.4

0.6

0.8

87.

 y1

 

 y1

  x 

,  y2

cos  x  1





,  y2 sen x 

4



sen x 



1

sen x  tan x 



sen x 

cos  x 

2

sec  x   sec  x ,  y2



tan2  x   tan4  x 

En los Ejercicios 89-92, use una calculadora de gráficas para determinar cuál de las seis funciones trigonométricas es igual a la expresión. Verifique algebraicamente su respuesta. 89.

cos x  cot x   sen x 

91.

1 1  cos x  sen x  cos  x 

92.





90.

sec  x  csc x   tan x 



1 1



2

cos   

sen  



cos   1





sen  

93.

 

94.

9  x  ,  x  3 cos     64 64  16 x 2,  x   2 cos   

95.

 16 16

96.

 49 49   x 2,  x   7 sen      x 2  9,  x   3 sec     x 2  4,  x   2 sec  

98.

tan x  1  sec x   1  sec x  tan x 

99.

tan x  

101.

tan  x 

102.

5 tan x   sec x  tan2  x  csc x   1

1.0

100.

sec  x 

1.2

103. 104.

1.4



2



  x 2,

 x   4 sen   

  x 2  25,  x   5 tan      x 2  100,  x   10 ta tan n     4 x 2  9, 2 x   3 tan    9 x 2  25, 3 x   5 tan    2   x 2,  x    2 sen    10 10   x 2,  x    10 1 0 sen  

En los Ejercicios 105-108, use la sustitución trigonométrica para escribir la ecuación algebraica como una ecuación trigo trigo-nométrica de  , donde    / 2   <      <     / 2. 2. A continuación encuentre sen   y cos  . 105.

88, use una calculadora de gráficas para completar la tabla y grafi gra fique que las funciones. Haga una conjetura acerca de  y 1 y  y 2. 0.2

sec x   cos x ,  y2

sec  x   1

sec x   1

 ANÁLISIS NUMÉRICO Y GRÁFICO En los Ejercicios 85-

 x 



97.



En los ejercicios 81-84, reescriba la expresión de modo que ya no esté en forma fraccionaria. Hay más de una forma correcta de cada respuesta. sen2  y

 y1

1

1

2

cos  x  1  sen x 

86.

2

En los Ejercicios 93-104, use la sustitución trigonométrica para escribir la expresión algebraica como función trigonométrica de  , donde 0   <      <     / 2. 2.

3 sen  x 



cos

88.

65.

71.



sen  x  csc  x   sen  x  2



 y1

2

2



 

85.

106. 107.

 9   x 2,  x   3 sen    3   36 36   x 2,  x   6 sen    2 2   16 16  4 x 2,  x   2 cos    3



108.  5 3 

 100 100   x 2,  x   10 co coss   

En los Ejercicios 109-112, use una calculadora de gráficas para despeja jarr  , donde 0         < 2 . 109.

sen     1

110.

cos   

111.

sec     1



tan2  

112.

csc     1



cot2  



cos2  

  1 

sen2  

 

Sección 5.1

En los Ejercicios 113-118, reescriba la expresión como un solo logaritmo y simplifique el resultado. 113.

lncos x 



lnsen x 

114.

lnsec x 



lnsen x 

115.

lnsen x 



lncot x 

116.

lntan x 



lncsc x 

117.

lncot t 

118.

lncos2 t 



ln1





ln1

tan2 t 



119.

120.

tan2    1



(b)   

cos

    2





(a)    80 122.

sen  

En los Ejercicios 127 y 128, dede termine ter mine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. 127.

Las identidades trigonométricas pares e impares son útiles para determinar si el valor de una función trigo tri go-nométrica no métrica es positiva o negativa.

128.

Se puede usar una identidad de cofunción para transformar una función tangente para que pueda estar re presentada por una función cosecante.

En los Ejercicios 129-132, llene los espacios en blanco. (Nota: la notación  x → c  indica que  x  se aproxima a c  desde la derecha y  x → c  que  x  se aproxima a c  desde la iz izquierda.) quierda.)

7

(b)    3.1 Como  x →

130.

Como  x → 0  , cos  x →  y sec x → .

131.

Como  x →

132.

Como  x →   , sen  x →  y csc x → .

(b)    0.8 (b)   

1 2

FRICCIÓN

Las fuerzas que actúan sobre un objeto que pesa W  unidades en un plano inclinado, colocado en un ángulo   con la horizontal (vea figura), están modeladas por

, tan  x →  y cot x → .



cos      1

W  cos     W  sen  

135.

dondee  es el co dond coef efic icie iente nte de fri fricc cción ión.. De Desp spej ejee  de la ecuación y simplifique el resultado.

sen k        tan  ,  cos cos  k    

136.

1

5 cos   

134.

cot     csc csc2    1

k  es una constante.

5 sec    csc2    1

139.

Use la sustitución trigonométrica u  a sen  , donde   2   <      <    2 y a   > 0, para simplificar la expre-

141.

RAZÓN DE CAMBIO

RAZÓN DE CAMBIO

sen2  

sen   csc    1

140.

La razón de cambio de la función  f  x    x   tan x  está dada por la expresión  1  sec2  x . Demuestre que esta expresión también se puede escribir como tan2  x .





137.

2

126.

2

133.

θ 

125.

 

En los Ejercicios 133-138, determine si la ecuación es o no una identidad y dé una razón para su respuesta.

W 

124.

  , sen x →  y csc  x → . 2

129.

sen  

  sen   

(a)    250 123.

2 

sec2  

(a)    346 121.

¿VERDADERO O FALSO?

csc2    cot2    1 (a)    132

379

EXPLORACIÓN

tan2 t 

En los Ejercicios 119-122, use una calculadora para demostrar  la identidad para cada valor de  .

Uso de identidades fundamentales

142.

138.

2

sión  a  u . Use la sustitución trigonométrica u  a tan  , donde   2   <      <    2 y a   > 0, para simplificar la expresión  a2  u2. Use la sustitución trigonométrica u  a sec  , donde 0   <      <    2 y a   > 0, para simplificar la expresión  u2  a2.

 TOQUE FINAL 

La razón de cambio de la función  f  x   sec x   cos x  está dada por la expresión sec x  tan x   sen x . Demuestre que esta expresión también se puede escribir como sen x  tan2  x .

(a) Use las definiciones de seno y coseno para derivar la identidad pitagórica sen2    cos2    1.

RAZÓN DE CAMBIO La razón de cambio de la función  f  x    csc  x   sen x  está dada por la expresión

1  tan2    sec2   y 1  cot2    csc2  . Discuta cu ta cómo recordar éstas y otras identidades fundamentales.

csc x  cot x   cos  x . Demuestre que esta expresión también se puede escribir como cos x  cot2  x .

(b) Use la identidad pitagórica sen2    cos2    1 para deducir las otras identidades pitagóricas,

 

380

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

5.2   COMPROBACIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Lo que debe aprender  • Comprobar las identidades identidades trigonométricas

Por qué debe aprenderlo Se pueden usar identidades trigonométricas para reescribir  ecuaciones trigonométricas que modelan situaciones de la vida real. Por ejemplo, ejemplo, en el Ejercicio 70 en la página 386 se pueden usar  identidades trigonométricas para simplificar la ecuación que modela la longitud de una sombra proyectada por un gnomon (aparato para indicar  la hora).

Introducción En esta sección estudiará técnicas para comprobar identidades trigonométricas. En la siguiente, siguie nte, aprenderá técnica técnicass para resolver ecuaci ecuaciones ones trigonométricas. trigonométricas. La clav clavee para comprobar comprob ar identid identidades ades  y   resolver ecuaciones es la capacidad para usar las identidades fundamentales fundame ntales y las reglas del álgebra para reescribir expresiones trigonométricas. trigonométricas. Recuerde que una   ecuación condicional   es aquella que es verdadera sólo para algunos de los valores de su dominio. Por ejemplo, la ecuación condicional sen x   0

Ecuación condicional

es verdadera sólo para  x   n , donde  n  es un entero. Cuando encuentre estos valores, estará usted  resolviendo  la ecuación. Por otra parte, una ecuación que es verdadera para todos los valores reales del dominio de la variable es una  identidad . Por ejemplo, la conocida ecuación sen2 x   1  cos 2 x 

Identidad

es verdadera para todos los números reales  x . Por tanto, es una identidad.

Comprobación de identidades trigonométricas Aun cuando hay similitudes, comprobar que una ecuación trigonométrica sea una identidad es muy diferente a resolver una ecuación. No hay un conjunto bien definido de reglas para la comprobación de identidades trigonométricas y el proceso se aprende mejor con práctica.

   t     i     d     E    o    t    o      h     P     /    n    n     i     G  .

     W    t    r    e     b    o

     R

Guía para comprobar identidades trigonométricas 1.   Trab Trabaje aje

con un lado (miembro) de la ecua ecuación ción a la vez. Con frecuencia frecuencia es mejor trabajar primero con el lado más complicado.

2.  Busque

oportunidades para factorizar una expresión, sumar fracciones, elevar al cuadrado un binomio o crear un denominador monomio.

3.  Busque

oportunidades para usar las identidades fundamentales. Observe cuáles funciones están en la expresión final que busque. Senos y cosenos se parean bien, al igual que secantes y tangentes, y cosecantes y cotangentes.

4.  Si

las guías anteriores no ayudan, trate de convertir todos los términos a senos y cosenos.

5.   Siempre

intente  algo. Incluso caminos que llevan a callejones sin salida aportan ideas.

Comprobar identidades trigonométricas es un proceso útil si se necesita convertir una expresión expresión trigon trigonométr ométrica ica en una forma que sea algeb algebraica raicamente mente más útil. Cuando compruebe una identidad, usted no puede  suponer  que   que los dos lados (miembros) de la ecuación ecua ción son iguale igualess porque está tratando de veri verifica ficarr que  son  iguales. En consecuencia, cuando compruebe identidades no puede usar operaciones como sumar la misma cantidad a cada lado de la ecuación ni multiplicar en cruz.

 

Sección n 5.2 Secció

Ejemplo 1

Comprobació Compr obación n de las identi identidades dades trigo trigonomét nométricas ricas

 

381

Comprobar una identidad trigonométrica

Compruebe la identidad sec2    1sec2    sen2  .

Solución  A T E N C I Ó N

El lado (miemb (miembro) ro) izquierdo es más compli complicado, cado, de modo que empiece con él.

Recuerde que una identidad sólo es verdadera para todos los valores reales del dominio de la variable. Por ejemplo, en el Ejemplo 1 la identidad no es verdadera cuando     2 porq po rqu ue sec2   no es está tá de deffin inid idaa cuando     2.

sec2    1 2



sec  

tan2    1



1

2

sec     tan  

Identidad pitagórica

2

   

Simplificar

sec2   tan2  cos 2     sen2  

cos2  

  cos cos2  

sen2  

Identidad recíproca Identidad cociente Simplificar.

Observe cómo se comprueba la identidad. Se empieza con el lado izquierdo de la ecuación (el lado más complicado) y se usan las identidades trigonométricas fundamentales para simplificarlo hasta obtener el lado derecho. Ahora trate de hacer el Ejercicio 15. Hay más de una forma de comprobar una identidad, como veremos a continuación respecto al ejemplo 1. sec2    1 sec2  

Ejemplo 2



sec2   sec2  



  1 sec2  

Reescribir como la diferencia de fracciones.



1  cos 2  

Identidad recíproca



sen2  

Identidad pitagórica.

Comprobar una identidad trigonométrica

Compruebe la identidad 2 sec2  

 

1

1  sen 



 

1

1  sen 

.

Solución algebraica

Solución numérica

El lado derecho es más complicado, de modo que empiece con él.

Use el comando  table   de una calculadora de gráficas puesta en modo radian para crear una tabla que muestre los valores de  y1  2cos2  x  y y2  1(1  sen x ) para diferentes valores de  x , como se ve en la Figura 5.2. En la tabla se ve que los valores son idénticos, por lo cual 2 sec2  x   1(1  sen  x )  11   sen x  parece ser una identidad.

1 1  sen 



 

1

1  sen 





 

1  sen   1  sen 

1  



sen   1  sen 

2

1  sen2    2 cos2  2 sec2 

Sume fracciones.

Simplificar

Identidad pitagórica Identidad recíproca

FIGURA 5.2

Ahora trate de hacer el Ejercicio 31.

 

382

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Ejemplo 3

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

Comprobar una identidad trigonométrica

Compruebe la identidad tan2 x   1cos 2 x   1   tan2 x .

Solución algebraica

Solución algebraica

Aplicando identidades antes de multiplicar se obtiene lo siguiente.

Use una cal calcul culado adora ra de grá gráfic ficas as en mod modo o   radian   para graficar el lado izquierdo de  y1  tan2  x   1cos2  x   1 y el derecho de  y2   tan2  x  en la misma pantalla, como se ve en la Figura 5.3. (Seleccione el estilo  line  para  y1 y el estilo   path   para  y2.) Co Como mo la lass gr gráf áfic icas as coinc coincid iden en,, tan2  x   1 cos2  x   1   tan2  x  es una identidad.

tan2 x   1cos 2 x   1



sec2 x   sen2 x 

Identidades pitagóricas

2

 

 

sen  x 

Identidad recíproca

cos 2  x 

  sen x  cos  x 

  tan2  x 

2

2

Regla de exponentes

 y1  =

(tan2  x  +  + 1)(cos2  x  −  −  1)

−2

Identidad cociente

2

−3

2  y  =  − tan  x  2

FIGURA 5.3

Ahora trate de hacer el Ejercicio 53.

Ejemplo 4

Conversión a senos y cosenos

Compruebe la identidad tan  x   cot x   sec  x  csc  csc  x .

 A T E N C I Ó N Aunque una calculadora de gráficas puede ser útil para comprobar una identidad, se deben usar técnicas algebraicas para producir una prueba  válida.

Solución Trate de convertir el lado izquierdo en senos y cosenos. tan x   cot x   



sen x  cos  x 



cos  x 

Identidades cociente

sen x 

sen2 x   cos 2  x 

Sumar fracciones.

cos x  sen  sen  x   

1

cos x  sen  sen  x   

  1 cos x 

 

Identidad pitagórica

  1

Producto de fracciones

sen x 

sec x  csc  csc  x 

Identidades recíprocas

Ahora trate de hacer el Ejercicio 25.

Como se muestra a la derecha, csc2  x 1  cos x  es considerada una forma simplif simplificada icada de 11  cos x  porque la expresión expre sión no contien contienee ninguna fracción.

Recuerde de álgebra que   racionalizar el denominador  usando conjugados es, en ocasiones, una poderosa técnica de simplificación. Una forma relacionada de esta técnica, que se muestra a continuación, funciona también para simplificar expresiones trigonométricas. 1 1  cos  x 



 

1  cos  x 

1

1  cos  x  1  cos  x   csc2  x 1  cos  x 







  1  cos  x  2

1  cos  x 

Esta técnica se demuestra en el siguiente ejemplo.



1  cos x  2

sen  x 

 

Sección n 5.2 Secció

Ejemplo 5

Comprobació Compr obación n de las identi identidades dades trigo trigonomét nométricas ricas

 

383

Comprobar una identidad trigonométrica

Compruebe la identidad sec x   tan x  

  cos  x  . 1  sen  x 

Solución algebraica

Solución gráfica

Empiece por el lado derecho porque se puede crear un denominador mono mo nomio mio al mu multi ltipl plic icar ar el nu nume merad rador or y el de deno nomin minad ador or po porr

Use una calculadora de gráficas puesta en los modos grafic ficar ar tan tanto to  y1  sec  x   tan x  radian   y   dot   para gra

1  sen x . cos x    cos x  1  sen  x   1  sen x  1  sen x  1  sen  x  cos x   cos x  sen  sen  x   1  sen2  x  cos x       cos x  sen  sen  x   cos 2  x    cos x  cos x  sen  sen  x    2 cos  x  cos2  x   1 sen x    cos x  cos x 

como  y2  cos  x  1  sen  x  en la misma pantalla, como se ve en la Figura 5.4. En vista de que las gráfica gráficass parecen coincidir, sec x   tan x   cos x  1  sen  x  es una identidad.







Multiplicar numerador y denominador por 1  sen x . Multiplicar.

5

 y1 = sec  x  +  + tan  x 

Identidad pitagórica 7

−

Escribir como fracciones separadas

9

2

2

−5

Simplificar.

 y2 =

cos  x  1 − sen  x 

FIGURA 5.4 



Identidades sec  x  tan x  Ahora trate de hacer el Ejercicio 59.

En los Ejemplos 1 a 5 hemos comprobado identidades trigonométricas trabajando con un lado (miembro) de la ecuación y convirtiendo a la forma dada en el otro lado. A veces conviene trabajar cada lado  por separado  para obtener una forma común, equivalente a ambos, lo cual se ilustra en el Ejemplo 6.

Ejemplo 6

 Trabajar con cada lado por separado

Compruebe la identidad

cot 2   1  sen    .  1  csc    sen   

Solución Trabajandoalgebraica con el lado izquierdo, tenemos cot 2   csc2    1  1  csc   1  csc    csc     1csc     1  1  csc    csc     1.

Solución numérica Use el comando  table de una calculadora de gráficas Identidad pitagórica Factorizar. Simplificar.

Ahora, simplificando el lado derecho, tenemos 1  sen     1 sen     sen   sen   sen    csc     1.

puesta en el modo  radian  para crear una tabla que muestre los valores de  y1  cot2  x 1  csc  x  y  y2  1  sen  x sen  x  para diferentes valores de  x , como se muestra en la Figura 5.5. En la tabla se puede ver que los valores son idénticos, de modo que cot2  x 1  csc  x   1  sen x sen  x  parece ser una identidad.

Escribir como fracciones separadas Identidad recíproca

La ide ident ntida idadd se co compr mprueb uebaa po porqu rquee am ambo boss la lados dos son igu igual ales es a csc    1. Ahora trate de hacer el Ejercicio 19.

FIGURA 5.5

 

384 

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

En el Ejemplo 7, las potencias de funciones trigonométricas se reescriben como sumas más complicadas de productos de funciones trigonométricas. Éste es un procedimiento común que se emplea en cálculo.

Ejemplo 7

 Tres ejemplos de cálculo

Compruebe cada una de las identidades siguientes. a. b. c.

tan4  x   tan2  x  sec  sec2 x   tan2 x  sen3  x  cos  cos4 x   cos4  x   cos 6  x  sen  x  csc4  x  cot  cot  x   csc2  x cot x   cot3  x 

Solución a.

tan4 x   tan2  x  tan2  x   

Escribir como factores separados.

tan2  x sec2  x   1

Identidad pitagórica

tan2  x sec2  x   tan2  x  sen3  x  cos  cos4 x   sen2  x  cos   cos4  x  sen  sen  x  

b.

c.



1



cos4  x   cos6  x  sen  x 



Multiplicar. Escribir como factores separados.

cos2  x  cos4  x  sen  sen x 

Identidad pitagórica Multiplicar.

csc  x  cot  cot  x   csc  x  csc  csc  cot  x     x  cot 4

2

2

Escribir como factores separados.



csc2  x 1  cot2  x  cot  x 

Identidad pitagórica



csc2  x cot  x   cot3  x 

Multiplicar.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 63.

DISCUSIÓN EN CLASE Análisis de error    Usted está asesorando asesorando a un estudiante en trigonometría. trigonometría. Uno de los problemas de tarea que su estudiante encuentra es la pregunta sobre si las proposiciones siguientes son una identidad. ? 5 tan2  x  sen  sen2  x    tan2 x  6 Su estudiante no trata de comprobar algebraicamente la equivalencia, sino que erróneamente usa sólo un método gráfico. Usando ajustes de variación de Xmín   3 

Ymín   20

Xmáx

Ymáx



3 

Xscl    / 2

Yscl





20

1

su estudiante grafica ambos lados de la expresión en una calculadora de gráficas y concluye que la expresión es una identidad. ¿Qué está mal en el razonamiento del estudiante? Discuta las limitaciones de verificar identidades gráficamente.

 

Sección n 5.2 Secció

5.2

EJERCICIOS

Comprobació Compr obación n de las identi identidades dades trigo trigonomét nométricas ricas

 

 

385

En www www.CalcChat.com .CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

VOCABULARIO: En los Ejercicios 1 y 2, llene los espacios en blanco. 1.  Una

ecuación que es verdadera para todos los valores reales en su dominio recibe el nombre de ____________. 2.  Una ecuación que es verdadera sólo para algunos valores en su dominio se denomina ___________ __________. En los Ejercicios 3-8, llene los espacios en blanco para completar la identidad trigonométrica. 3.

1 cot u

4.

cos u sen  u

5.

sen2 u  ________  1

6.

cos

7.

csc u  ________

8.

sec u  ________



________



________

2   

 

________

u 

HABILIDADES HABILID ADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 9-50, compruebe la identidad. 9. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

19. 21. 22. 23. 25. 26. 27.

28.

29.

30.

31.

32.

 

tan t  cot  cot  t   1 10. sec  y  cos  y  1 cot 2  ysec 2  y  1  1 cos x   sen x  tan  tan  x   sec x  1  sen   1  sen    cos 2  cos 2    sen2    2 cos 2    1 cos 2    sen2    1  2 sen2   sen2   sen4   cos 2   cos4  cot3 t  tan2    tan   18.    sen    tan  cos  t csc2 t   1 sec   csc  t  2 2 cot t  1  sen t  1 sec2    20.  tan     csc t  sen  t  tan   tan   12 52 3 sen sen  x  cos  cos x   sen  x  cos  cos x   cos  x   s  en  x  sec6 x sec  x  tan  tan x   sec4 x sec x  tan  tan x   sec5 x  tan  tan3 x  sec    1 cot x   csc  x   sin  x  24.  sec    sec x  1  cos   csc x   sen x   cos x  cot  cot  x  sec x   cos x   sen  x  tan  tan  x  1  1   tan  x   cot  x  tan x  cot x  1  1   csc  x   sen  x  sen x  csc  x  1  sen     cos     2 sec    cos   1  sen    cos   cot  cot    1  csc    1  sen   1   1 

 

cos x   1 cos x   1 2 csc  x  cot  x    cos x    sen x  cos  cos  x  cos x    1  tan x  sen  x   cos x 

 2   tan    

33.

tan

35.

tan  x  cot  cot  x     sec  x  cos x 

37.

1  sen  y1  sen y

38.

39.

40.

41.

42.

 



1

34.

36.

cos 2   x   tan  x  sen 2   x  csc x    cot  x  sec x 

cos2 y tan x   tan  y   cot  x   cot y  1  tan x  tan  tan  y cot x  cot  cot  y  1 tan  x   cot y  tan  y  cot  x  tan x  cot  cot  y cos x   cos y sen  x   sen  y   0 sen  x   sen  y cos x   cos y

 11 1  1



sen   1  sen      sen    cos   

cos   1  cos      cos   sen   

 

43.

44.

45.

46.

47.

cos2    cos2 2     

  1 sec cot   1 2 sen  csc  csc  tan 2 sec   1 cot 2 2

2

 y 

 

 

 

 t 

2

    y

t  

 

    x  





 t 

2



  x 

tansen1  x  

48.

 1   x 2 cossen1  x    1   x 2

49.

tan sen1

50.



tan cos1

 x  

1



4

  1 2

 x  

 x 



 

x  

1 2

 16 16   x   1  4   x   12  x  

1

386

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

 ANÁLISIS DE ERROR   En los Ejercicios 51 y 52, describa el

70.

error (o errores). 51.

52.

1

tan  x 1  cot x  1  cot x   1  tan  x   cot  x   1  cot  x   tan  x   tan  x  cot  1  cot  x   tan  x   1  2  cot  x   tan  x 



 LONGITUD DE UNA SOMBRA   La longitud  s  de una sombra proyectada por un gnomon vertical (aparato usado para indicar la hora) de altura  h , cuando el ángulo del Sol sobre sobre el horizo horizonte nte es es   (vea figu figura), ra), se puede modelar con la ecuación s

h sen90      . sen  

 sec    1  sec      1 sen    tan   sen     tan   1 sen

sec 1

h  ft

1 cos

θ  s

  1  sec   sen  1  sec     1   csc    sen   

(a) Compruebe que la ecuación ecuación para para s sea igual a h cot  . (b) Use una calculadora de gráficas para completar la tabla. Sea h  5 pies.

En los Ejercicios 53-60, (a) use una calculadora de gráficas para graficar cada lado de la ecuación a fin de determinar si es una identidad, (b) use el comando table de una calculadora de gráficas para determinar si la ecuación es una identidad, y (c) con-

  s

firme algebraicamente los resultados de los incisos (a) y (b) . 53. 1  cot2  x  cos2 x   cot2  x  54. 55. 56. 57. 58. 59.

sen x   cos x   cot  x   csc2 x  sen  x  2  cos 2 x   3 cos4  x   sen2 x 3  2 cos2  x  tan4 x   tan2  x   3  sec2  x 4 tan2  x   3 csc4  x   2 csc2  x   1  cot4  x  sen4    2 sen2    1 cos     cos5   cot    csc    1 1  cos x    sen  x  60.     sen  x  1  cos x  csc   1 cot 

61. 62. 63. 64.

tan5  x   tan3  x  sec  sec2  x   tan3  x  sec4  x  tan  tan2  x   tan2  x   tan4  x  sec2  x  cos3  x  sen  sen2  x   sen2  x   sen4  x  cos x  sen4  x   cos4  x   1  2 cos2  x   2 cos4  x 

En los Ejercicios 65-68, use las identidades de cofunción para evaluar la expresión sin usar calculadora. 65. 67. 68. 69.

sen2 25  sen2 65 66. cos2 55  cos2 35 cos2 20  cos2 52  cos2 38  cos2 70 tan2 63  cot2 16  sec2 74  csc2 27 razón de cambio cambio de la funfun RAZÓN DE CAMBIO   La razón 

EXPLORACIÓN ¿VERDADERO O FALSO?   En los Ejercicios 71 71 y 72, deterdetermine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. 71.  Puede

haber más de una forma de verificar una identidad trigonométrica. 72.   La ecuación sen2   cos2   1  tan2   es una identidad porque sen20  cos20  1 y 1  tan20  1.

PIÉNSELO   En los Ejer Ejercic cicios ios 73-77, 73-77, explique explique por qué la ecuación no es una identidad y encuentre un valor de la variable para la cual la ecuación no es verdadera. 73. 75. 77.

78.

sen      1  cos2   1  cos    sen   1  tan    sec  

74. 76.

tan     sec sec2    1 csc    1  cot  

 TOQUE FINAL    Escrib Escribaa un breve ensayo ensayo que expliexpli-



 x  respecto cos  dada cble ión  x  f ,  x  sen  x por csc al c ax m   bio csc en  lx a  cot vari ax -. está la expresión Demuestre que la expresión para la razón de cambio también puede ser  cos x  cot  cot2  x .

 

(c) Use la tabla del inciso (b) para determinar los ángulos del Sol que resultan en las longitudes máxima y mínima de la sombra. (d) Con base en sus resultados del inciso (c), ¿qué hora del día piensa usted que es cuando el ángulo del Sol sobre el horizonte es 90?

csc x csc  x   sen x  

En los Ejercicios 61-64, compruebe la identidad.

  15   30   45   60   75   90

que a un compañero de clase diferencia entre una identidad trigonométrica y unalaecuación condicional. Incluya sugerencias sobre cómo comprobar una identidad trigonométrica.

Sección Secció n 5.3

Solución Solució n de ecuac ecuaciones iones trigo trigonomét nométricas ricas

 

387

5.3   SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Lo que debe aprender 

Introducción

• Usar técnicas algebraicas estándar  para resolver ecuaciones trigonométricas. • Resolver ecuaciones ecuaciones trigonométricas

Para resolver una ecuación trigonométrica utilice técnicas algebraicas estándar como reunir reu nir tér términ minos os sem semeja ejante ntess y fac factor toriza izarr. Su obj objeti etivo vo pre prelim limina inarr par paraa res resolv olver er una ecuación trigonométrica es  aislar  la   la función trigonométrica en la ecuación. Por ejem-

de tipo cuadrático. • Resolver ecuaciones ecuaciones trigonométricas que contengan ángulos múltiples. • Usar funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones trigonométricas.

Por qué debe aprenderlo Se pueden usar ecuaciones trigonométricas para resolver una amplia variedad de problemas de la vida real. Por ejemplo, en el Ejercicio 92 de la página 396 se puede resolver  una ecuación trigonométrica para ayudar a contestar preguntas acerca de ventas mensuales de equipo para esquiar.

plo, pl o, pa para ra re reso solv lver er la ec ecua uaci ción ón 2 sen x   1 di divi vida da ca cada da la lado do en entr tree 2 pa para ra ob obte tene nerr 1 sen x   . 2 1

Para despejar   x , ob obse serv rvee en la Fi Figu gura ra 5. 5.6 6 qu quee la ec ecua uaci ción ón sen x   2 ti tien enee so solu luci cion ones es  x   6 y  x   5 6 en el intervalo 0, 2  . Además, como sen  x  tiene un periodo de 2 , hay un número infinito de otras soluciones, que se pueden escribir como  x  

 

6

 

2n 

y

 x  

5      2n  6

Solución general

donde  n  es un entero, como se ve en la Figura 5.6.  y π 

 y  =   1 2

 x  =  =   − 2π  6

 x  =  =

π 

 x  =  =

6

π 

  +  2π  6

1

 x 

−π     y    r    a    r     b     i     L    o    t    o      h     P     /    y    r    e    g    a    m     I     k    c    o    t     S    x    e     d    n     I     /    o     l     l     i    t     S    m    o

     T

π 

5π  =   −  2π   x  = 6

 =  x  =

−1

5π 

 =  x  =

6

5π 

  +  2π  6

 y  = sen x  FIGURA 5.6 1

Otra fo Otra form rmaa de de demo most stra rarr qu quee la ec ecua uaci ción ón sen x   2 ti tien enee un nú núme mero ro in infi fini nito to de soluciones está indicada en la Figura 5.7. Cualesquier ángulos que sean coterminales con co n  6 y 5 6 ta tamb mbié ién n ser erán án so solu luccio ione ness de la ecu cuaaci ción ón..

(

)

sen 5π  + 2nπ  = 1 2 6

  5π  6

sen π 

(6

π 

)

+ 2nπ  = 1 2

6

FIGURA 5.7

Cuando resuelva ecuaciones trigonométricas debe escribir su(s) respuesta(s) usando valores exactos en lugar de aproximaciones decimales.

 

388

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

Ejemplo 1

Reunir términos semejantes

Resuelva sen x    2   sen x .

Solución Empiece por reescribir la ecuación para que sen  x  quede   quede aislado en un lado. sen x    2   sen x  

sen x 



 

Escribir la ecuación original.

 Sumar sen  x  a cada lado.

sen x  2 0 sen x   sen x     2

Rest Re star ar  2 de ca cada da la lado do..

2 sen  x     2 sen x   

Combinar términos semejantes.

 2

Dividir Divi dir cada lado entre 2.

2

Como sen  x   tiene un period periodo o de 2 , primer primero o encuen encuentre tre todas las soluc soluciones iones en el intervalo 0, 2  . Estas soluciones son  x   5 4 y  x   7 4. Finalmente, sume múltiplos de 2  a cada cada una una de de estas estas sol soluci ucione oness para para obten obtener er la for forma ma gener general al  x  

5  4



2n 

 x  

y

7  4

 

2n 

Solución general

donde  n  es un entero. Ahora trate de hacer el Ejercicio 11.

Ejemplo 2

Obtener raíces cuadradas

Resuelva 3 tan2  x   1  0.

Solución  A T E N C I Ó N

Empiece por reescribir la ecuación de modo que tan  x  quede  quede aislada en un lado. 3 tan2  x   1  0

Cuando extraiga raíces cuadradas, asegúrese de considerar soluciones tanto positivas como negativas.

Escribir la ecuación original.

3 tan2  x   1 tan2  x   tan  x  

Sumar 1 a cada lado.

1

Dividir Divi dir cada lado entre 3.

3 ±

1

 3



±

 3

Obtener raíces cuadradas.

3

Como tan  x  tien  tienee un periodo de  , primero encuent encuentre re todas las solucio soluciones nes en el interintervalo 0,  . Estas soluciones  son  x    6 y x   5 6. Finalmente, sume múltiplos de   a cada una de estas soluciones para obtener la forma general  x  

 

6



n 

y

 x  

5  6

  

n 

Solución general

donde  n  es un entero. Ahora trate de hacer el Ejercicio 15.

 

Sección Secció n 5.3

Solución Solució n de ecuac ecuaciones iones trigo trigonomét nométricas ricas

 

389

Las ecuaciones de los ejemplos 1 y 2 contenían sólo una función trigonométrica. Cuando se presentan dos o más funciones en la misma ecuación, reúna todos los términos en un lado e intente separar las funciones mediante mediante factorización factorización o con el uso de identidades apropiadas. Esto puede producir factores que no dan soluciones, como se ilustra en el Ejemplo 3.

Ejemplo 3

Factorización 2

Resuelva cot x  cos  cos  x 



2 cot  x .

Solución Empiece por reescribir la ecuación de modo que todos los términos queden en un lado. cot x  cos  cos 2  x   2 cot  x 

Escribir la ecuación original.

cot  x  cos  cos 2  x   2 cot x   0

Restar 2 cot  x  de cada lad o. o.

cot x cos2  x   2  0

Factorizar.

Al igualar a cero cada uno de estos factores resulta cot  x   0

 y

 x  

o

cos2  x   2  0

 

cos2  x   2

2

cos  x  

1

 x 

−π 

 

π 

−1

±

2.  2.

La ecuación cot  x   0 tiene la solución  x    2 [en el intervalo 0,  ]. No se obtiene solución para cos  x   ±  2 porque ±  2 están fuera del rango de la función coseno. Como cot  x  tien  tienee un periodo periodo de  , la forma general general de la solución solución se obtiene obtiene al sumar sumar múltiplos de   a  x    2 para obtener

−2

 x  

−3

 

2



n 

Solución general

2

 y  = cot  x  cos  x  −  −  2 cot  x 

FIGURA 5.8

donde   n   es un ent entero ero.. Se pue puede de con confir firmar mar esto grá gráfic ficame amente nte si se traza la grá gráfic ficaa de 2  y  cot x  cos  cos  x   2 cot x , como se muestra en la Figura 5.8. En la gráfica se puede ver que las intersecciones con el eje  x   se presentan en  3 2,   2,  2, 3 2, etcétera. Estas intersecciones corresponden a las soluciones de cot  x  cos  cos2  x   2 cot  x   0. Ahora trate de hacer el Ejercicio 19.

Ecuaciones de tipo cuadrático Muchas ecuaciones trig igo onométri riccas son de tipo cuadrá ráttico ax 2  bx   c  0. A continuación veamos un par de ejemplos.

 Ayuda  Ayu da de álg álgebra ebra En el Apéndice A.5 puede repasar las técnicas para resolver ecuaciones cuadráticas.

 

Cuadrática con sen x 2

Cuadrática con sec x  2

2 sen  x   sen x   1  0

sec  x   3 sec  x   2  0

2sen x 2  sen x   1  0

sec  x 2



3sec x   2  0

Para resolver ecuaciones de este tipo, factorice la cuadrática; si esto no es posible, use la fórmula cuadrática.

390

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Ejemplo 4

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

Factorizar una ecuación de tipo cuadrático

Encuentre todas las soluciones de 2 sen2  x   sen x   1  0 en el intervalo  0, 2  .

Solución algebraica

Solución gráfica

Empiece por tratar la ecuación como cuadrática en sen  x  y  y factorizar.

Use una calculadora de gráficas puesta en el modo  radian  para graficar  y  2 sen2  x   sen x   1 para 0      x   <   2 , como se ve en la Figura 5.9. Use el comando  zero  o  root  o   o los comandos

2 sen2  x   sen x   1  0

2 sen  x   1sen x   1



0

Escribir la ecuación original.

 zoom  y  trace para aproximar las intersecciones con el eje  x  para   para que sean

Factorizar.

Igualando Iguala ndo a cer cero o cad cadaa fac factor tor se obt obtien ienen en las sig siguie uiente ntess soluciones en el intervalo 0, 2  . 2 sen x   1  0 sen x     x  

o 1 2

7  11  , 6 6

 x      1.571  

sen x   1  0

   

2

,  x      3.665  

 7   6

y  x      5.760  

 11    . 6

E st sto s valo lore ress son las las solu luccio ion ne s ap ro ro xim ximaad as as 2 sen2  x   sen x   1  0 en el intervalo 0, 2  .

sen x   1

de

3

 y  = 2 sen 2  x  −  −  sen  x  −  −  1

 x  

 

2 0

2π 

−2 FIGURA 5.9

Ahora trate de hacer el Ejercicio 33.

Ejemplo 5

Reescribir con una sola función trigonométrica

Resuelva 2 sen2  x   3 cos  x   3  0.

Solución Esta ecuación contiene funciones seno y coseno. Se puede reescribir para que sólo tenga funciones coseno si se usa la identidad sen2  x   1  cos 2  x . 2 sen2  x   3 cos  x   3  0

Escribir la ecuación original.

21  cos 2 x   3 cos  x   3  0

Identidad pitagórica

2 cos 2  x   3 cos  x   1  0

Multiplicar cada lado por  1.

2 cos  x   1cos x   1  0

Factorizar.

Iguale a cero cada factor para hallar las soluciones en el intervalo [0, 2 . 2 cos  x   1  0

cos x  

cos x   1  0

1 2

 x  

cos x   1

 5   3 3

 

,

 x   0

Como cos  x   tiene un perio periodo do de de 2 , la forma gener general al de de la soluc solución ión se obtien obtienee al al sumar sumar múlt mú ltip iplo loss de 2  pa para ra ob obte tene nerr  x   2n ,  x  

 

3



2n ,  x  

5  3



2n 

donde  n  es un entero. Ahora trate de hacer el Ejercicio 35.

 

Solución general

Sección Secció n 5.3

Solución Solució n de ecuac ecuaciones iones trigo trigonomét nométricas ricas

 

391

A veces se debe elevar al cuadrado cada lado (miembro) de una ecuación para obtener una cuadrática, como se demuestra en el siguiente ejemplo. Como este procedimiento puede introducir soluciones extrañas, se deben verificar cualesquiera soluciones de la ecuac ecuación ión original para ver si son válid válidas as o extra extrañas. ñas.

Ejemplo 6

Elevar al cuadrado y convertir a tipo cuadrático

Encuentre todas las soluciones de cos  x   1  sen x  en el intervalo 0, 2  .

Solución No está claro cómo reescribir esta ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Observe lo que pasa cuando se eleva al cuadrado cada lado de la ecuación. Se eleva al cuadrado cada lado de la ecuación del Ejemplo 6 porquee los cuadrados porqu cuadrados de las funciones seno y coseno están relacionados por una identidad pitagórica. Lo mismo es cierto para los cuadrados de las funciones secante y tangente y para los cuadrados de las funciones cosecante y cotangente.

cos  x   1  sen x 

Escribir la ecuación original.

cos 2  x   2 cos  x   1  sen2  x 

Elevar al cuadrado cada lado.

cos 2  x   2 cos  x   1  1  cos 2  x 

Identidad pitagórica

cos 2  x   cos2  x   2 cos  x   1  1  0

Reescribir la ecuación.

2 cos 2  x   2 cos x   0

Combinar términos semejante semejantes. s.

2 cos  x cos x   1  0

Factorizar.

Igualando a cero cada factor resulta 2 cos  x   0

o

cos  x   1  0

cos x   0  x  

cos  x    1

 

3 

2

2

,

 x  

.

 

Como elevamos al cuadrado la ecuación original, verifiquemos que no haya soluciones extrañas.

Pruebe  x    / 2  

cos

   

2

 

    ? 1  sen 2

011

Su st stituir

or  x . 2 p or

 

La solución es buena.   

Pruebe  x   3  / 2  

cos

 3    3   ?    1  sen 2 2 0  1  1

Pruebe  x  

La solución no es buena buena..

 

? cos    1  sen   1 

Sustituir 3 2 por  x .

10

Sust Su stit itui uirr

 

porr  x . po

La solución es buena.   

De la lass tre tress so solu luci cion ones es po posi sibl bles es,,  x   3 2 es ex extra traña ña.. En Ento tonc nces es,, en el in inte terv rval alo o 0, 2  , las únicas dos soluciones son  x    2 y  x    . Ahora trate de hacer el Ejercicio 37.

 

392

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

Funciones que contienen ángulos múltiples Los dos ejemplos siguientes contienen funciones trigonométricas de ángulos múltiples de las formas sen  ku  y cos  ku . Para resolver resolver ecua ecuacione cioness de estas formas formas,, prime primero ro despeje  ku  de la ecuación y, a continuación, divida su resultado entre  k .

Ejemplo 7

Funciones de ángulos múltiples.

Resuelva 2 cos 3t   1  0.

Solución 2 cos 3t   1  0

Escribir la ecuación original.

2 cos 3t   1 cos 3t  

Sumar 1 a cada lado.

1

Dividir cada lado entre 2.

2

En el intervalo 0, 2  , usted sabe que 3t   ciones, de manera que, en general, se tiene  

3t  



3

2n 

y

3t  

5  3



3 y que 3t   5 3 son las únicas solu-

 

2n .

Dividiendo estos resultados entre 3 se obtiene la solución general t  

 

9



2n  3

y

t   5    2n  9 3

Solución general

donde  n  es un entero. Ahora trate de hacer el Ejercicio 39.

Ejemplo 8

Funciones de ángulos múltiples

Resuelva 3 tan

 x 

2



3  0.

Solución 3 tan

 x 

2



3 tan tan

30  x 

2  x  2

Escribir la ecuación original.

 3

Restar 3 de cada lado.

 1

Dividir cada lado entre 3.

En el intervalo 0,  , usted sabe que  x 2  3 4 es la única solución, por lo que, en general, se tiene  x 

2



3  4



n .

Multiplicando este resultado por 2 se obtiene la solución general  x  

3  2



2n 

donde  n  es un entero. Ahora trate de hacer el Ejercicio 43.

 

Solución general

Sección Secció n 5.3

Solución Solució n de ecuac ecuaciones iones trigo trigonomét nométricas ricas

 

393

Uso de funciones inversas En el siguiente ejemplo, usted verá la forma en que se pueden usar funciones trigonométricas inversas para resolver una ecuación.

Ejemplo 9

Usar funciones inversas

Resuelva sec2  x   2 tan  x   4.

Solución

sec2  x   2 tan  x   4

Escribir la ecuación original.

1  tan2  x   2 tan  x   4  0

Identidad pitagórica

tan2  x   2 tan x   3  0

tan x   3tan  x   1



Combinar términos semejantes.

0

Factorizar.

Igualando a cero cada factor se obtienen dos soluciones en el intervalo   2,  2. [Recuerde que el rango de la función tangente inversa es   2,  2.] tan  x   3  0

o

tan x   1  0

tan x   3

tan x    1  x   

 x   arctan 3

 

4 Finalmente, como tan  x  tiene  tiene un perio periodo do de  , se obtiene obtiene la solu solución ción ge general neral al ssumar umar múlt mú ltip iplo loss de  .  x   arctan 3  n 

y

 x   

 

4

  

n 

Solución general

donde  n  es un entero. Se puede usar una calculadora para aproximar el valor de arctan 3. Ahora trate de hacer el Ejercicio 63.

DISCUSIÓN EN CLASE Ecuaciones sin soluciones   Una de las siguientes ecuaciones tiene soluciones y la otra no. ¿Cuáles dos ecuaciones no tienen soluciones? a. sen2  x   5 sen x   6  0 b. sen2  x   4 sen x   6  0 c. sen2  x   5 sen x   6



0

Encuentre condiciones que contengan las constantes  b  y  c  que   que garantizarán que la ecuación sen2  x   b sen x   c   0 tiene al menos una solución en algún intervalo de longitud 2 .

 

394 

 

Capítu Ca pítulo lo 5

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

5.3

EJERCICIOS

 

En www www.CalcChat.com .CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.

VOCABULARIO:  Llene los espacios en blanco. 1.  Cuando

resuelve una ecuación trigonométrica, el objetivo preliminar es ________ la función trigonométrica implicada en la ecuación. 7  11  2.   La ecuación 2 sen     1  0 tiene las soluciones       2n  y       2n , que se denominan 6 6 soluciones ________. 3.   La

ecuación 2 tan2  x   3 tan x   1  0 es una ecuación trigonométrica que es de tipo ________.

4.

 Una solución de una ecuación que no satisface la ecuación original recibe el nombre de solución ________.

HABILIDADES HABILID ADES Y APLICACIONES En los Ejercicios 5-10, verifique que los valores de  x  sean  sean soluciones de la ecuación. 5.

2 sen x   csc  x   0

32.

sec  x   tan x   1

33.

2 cos2  x   cos x   1  0

 

(b)  x  

5 

34.

2 sen2  x   3 sen x   1  0

3

3

35.

2 sec2  x   tan2  x   3  0

 

36.

cos x   sen x  tan  tan  x   2

37.

csc x   cot  x   1

5 

(b)  x  

3

3

   

5  12

(b)  x  

12    

3 

(b)  x  

16

(b)  x  

2

4

6

csc  x   4 csc  x   0  

(b)  x  

6

39.

cos 2 x  

1 2

40.

sen 2 x   

41.

tan 3 x   1

42.

sec 4 x   2

43.

cos

44.

sen

7 

2

(a)  x  

 x 

2

2 cos  x   1  0

13.

 3 csc x   2



0

2

6

2 sen  x   1  0

14.

tan  x    3  0

3 sec  x   4  0

17.

sen x sen x   1  0

18.

3 tan  x   1tan  x   3

19.

4 cos2  x   1  0

2

16.

2

2

2

5 

12.

15.

 2



45.

 x 

 

 y  sen



2

1

46.

 y  sen   x   x   cos   x   x   y

3 1

2 1

 x   x 

3 cot  x   1  0

−2 −1

1

2

3

4



3

1

1

2

2

5 2

−2 

20.

0 sen2 x   3 cos2 x 

47.

 y  tan2

2

2 sen 2 x   1

22.

tan 3 x   3

23.

tan 3 x tan x   1  0

24.

cos 2 x 2 cos  x   1  0

    x 

 

6

48.

 y  sec4

En los Ejercicios 25-38, encuentre todas las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 . 3

2

26. 28.

  

 y

 x 

 

8



4

 

3

 y

2

cos  x   cos  x  3 tan3  x   tan x 

2

 3  x    2 2

 y

2

21.

25. 27.

 3

En los ejercicios 45-48, encuentre las intersecciones de la gráfica con el eje  x .

En los Ejercicios 11-24, resuelva la ecuación. 11.

sen x   2  cos  x   2

tiples.

16

2 sen2  x   sen x   1  0  

38.

En los Ejercicios 39-44, resuelva la ecuación de ángulos múl-

2 cos 4 x   1  0

(a)  x   10.

31.

2

(a)  x   9.

sec  x  csc  csc  x   2 csc  x 

3 tan2 2 x   1  0 (a)  x  

8.

30.

sec x   2  0 (a)  x  

7.

sec2  x   sec x   2

2 cos  x   1  0 (a)  x  

6.

29.

2

1

1  x 

 x 

−3

−1 −2

1

3

−3

−1 

1

−2

sec  x   1  0 2 sen2  x   2  cos  x 

 

Sección n 5.3 Secció

Solución Solució n de ecuac ecuaciones iones trigo trigonomét nométricas ricas

 

395

En los Ejercicios 49-58, use una calculadora de gráficas para aproximar las soluciones (a tres lugares decimales) de la ecuación en el intervalo [0, 2 . 49.

2 sen x   cos x   0

50.

4 sen3  x   2 sen2  x   2 sen  x   1  0 1  sen x    cos  x  cos  x  cot  cot  x    4 52.  3 cos  x  1  sen x  1  sen x 

51. 53.

 tan  x   1  0  x  tan

55. 56.

sec2  x   0.5 tan x   1  0 csc2  x   0.5 cot x   5  0

57.

2 tan2  x   7 tan x   15  0

58.

6 sen2  x   7 sen  x   2  0

 cos  x   1  0  x  cos

54.

En los Ejercicios 79-84, (a) use una calculadora de gráficas para graficar la función y aproximar los puntos máximo y míni mí nimo mo so sobr bree la gr gráf áfic icaa en el in inte terv rval alo o [0, 2 , y (b (b)) re resu suel elva va la ecuación trigonométrica y demuestre que sus soluciones son las coordenadas  x  de  de los puntos máximo y mínimo de  f . (Se requiere cálculo para hallar la ecuación trigonométrica.) Función 79. 80.

En los Ejercicios 59-62, use la fórmula cuadrática para resolverr la ec ve ecua uaci ción ón en el in inte terv rval alo o [0, 2  . A co cont ntin inua uaci ción ón,, us usee una calculadora de gráficas para aproximar el ángulo  x . 59.

12 sen2  x   13 sen x   3  0

60.

3 tan2  x   4 tan x   4  0

61.

tan2  x   3 tan  x   1  0

2









81.

2 sen  x  cos  cos  x  cos x  cos  x   sen x   0

82.

 f  x   2 sen  x   cos2 x 

2 cos  x  4 sen  x  cos  cos  x  0

83.

 f  x   sen x  cos  cos  x 

 sen2  x  

84.

 f  x   sec  x   tan x    x 

0

cos2 x   0

sec x  tan  tan  x   sec2  x   1  0

PUNTO FIJO   En los Ejercicios Ejercicios 85 y 86, encuentre encuentre el mínimíni-

2

tan  x   tan x   2  0

 x 

 

85.

 f  x   tan

87.

  RAZONAMIENTO RAZONAMIENTO GRÁFICO

86.

4

 f  x   cos x 

  Con Consid sidere ere la fun funció ción n

dada por

 f  x   cos

tan2  x   tan x   12  0

64.



 f  x  cos  x  sen x   f  x   sen x   cos x 

4 cos  x   4 cos  x   1  0

63.

2 sen  x  cos  cos  x   sen x   0

mo  punto fijo  positivo de la función  f . [Un punto punto fijo de una función f  es   es un número real  c  tal   tal que  f c   c .]

En los Ejercicios 63-74, use funciones inversas donde sea necesario para hallar todas las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 .

1  x 

y su gráfi gráfica ca mostrada en la figura.

2

tan  x   6 tan  x   5  0

65.

 y

2

66.

sec  x   tan x   3  0

67.

2 cos2  x   5 cos  x   2  0

68.

2 sen2  x   7 sen  x   3  0

69.

cot2  x   9  0

70.

cot2  x   6 cot  x   5  0 2

71.



2 1  x 

−π 

 

π 

−2



72.

sec2  x  4 sec  x  0 sec  x   2 sec  x   8  0

(a) ¿Cuál es el dominio dominio de la función? función?

73.

csc2  x   3 csc  x   4  0

74.

csc2  x   5 csc  x   0

(b) Identifiqu Identifiquee cualq cualquier uier simetría y cuale cualesquie squiera ra asíntotas de la gráfica.

En los Ejercicios 75-78, use una calculadora de gráficas para aproximar las soluciones (a tres lugares decimales) de la ecuación en el intervalo dado. 75.

3 tan2  x   5 tan  x   4  0,

76.

cos2  x   2 cos  x   1  0,

77.

4 cos2  x   2 sen  x   1  0,

78.

2 sec2  x   tan x   6  0,





 

Capítu Ca pítulo lo 5



     

,

2 2

0,  

 







     

, 2 2



     

, 2 2

 

396

 f  x   sen2  x   cos x 

2

62.

Ecuación trigonométrica

Trigo Tr igonom nometr etría ía ana analíti lítica ca

(c) Describa Describa el comportamiento comportamiento de la funció función n cuando  x → 0. (d) ¿Cuá ¿Cuántas ntas soluciones soluciones tiene la ecuación cos

1  x 



0

en el intervalo  1, 1 ? En Enccuéntre rellas. (e) ¿La ecuación cos1 x   0 tiene máxima solución? Si es así, aproxímela; si no es así, explique por qué.

88.

  RAZONAMIENTO GRÁFICO

  Consid Considere ere la fun funció ción n dada por  f  x   sen x  x  y su gráfica mostrada en la figura.

92.

  VENTAS

93.

  MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL   

 y

3 2

 x 

−π 

−1 −2

 

π 

  Las ventas mensuales S  (en   (en cientos de unidades) de equipo para esquiar, en una tienda de artículos deportivos, están aproximadas por    t  S   58.3  32.5 cos 6 donde   t   es el ti tiem empo po (e (en n me mese ses) s),, co con n t   1 co corr rres espo ponndiente a enero. Determine los meses en los que las ventas pasaron de 7500 unidades. béisbol que ha sido bateada pierde contacto con el bate a un ángulo ángulo de de   con la horiz horizontal ontal y a una velo velocidad cidad inicial ci al de v0  100 pie iess po porr se segu gund ndo. o. La pe pelo lota ta es atr traapa pa-da por un jardinero a 300 pies del  home   (vea figura). Encuen Enc uentre tre   si el alc alcanc ancee  r  del proyectil está dado por  1 2 r   32 v0 sen 2 .

−3

(a) ¿Cuá ¿Cuáll es el dominio de la función? función? (b) Identifique cualquier simetría y cualesquiera cualesquiera asíntotas de la gráfica. (c) Describa Describa el compo comportamie rtamiento nto de la función cuando  x → 0. (d) ¿Cuán ¿Cuántas tas soluciones soluciones tiene la ecuación sen x   x 



θ 

0

en el intervalo  8, 8 ? Encuéntrelas. 89.

Una pelot pelotaa de

 = r  =

t

 MOVIMIENTO ARMÓNICO

  Una pesa pesa está oscilando oscilando en el extremo de un resorte (vea figura). La posición de

 No a e scala

94.

la pesa respecto al punto de equilibrio está dada por  1  y  12 cos 8t   3 sen 8t , donde y  es el desplazamiento (en metros) y t  es  es el tiempo (en segundos). Encuentre los tiempos cuando la pesa se encuentre en el punto de equilibrio  y  0 pa ra 0      t      1.

 MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL   

Un tirador tirador trata de acertar en un blanco situado a una distancia de 1000 yardas, con un fusil que dispara a 1200 pies por segundo en la boca del cañón (vea figura). Despreciando la resistencia del aire, determine el ángulo mínimo de elevación   del fusil si el alcance  r  está  está dado por  1 2 r   v sen 2 . 32 0

θ 

Equilibrio

 = r  =

y

 y

 No a escala

90.

91.

 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

  El desdesplazamiento desde el equilibrio de una pesa que oscila en el extremo de un resorte está dado por despla plazam zamien iento to (en  y  1.56e0.22t cos 4.9t , donde y es el des pies) y  t  es   es el tiempo (en segundos). Use una calculadora de gráf gráficas icas para grafi graficar car la funció función n de desplazamiento desplazamiento para 0      t      10. Encuentre el tiempo más allá del cual el desplazamiento no excede de 1 pie a partir del equilibrio.

  VENTAS

  Las ventas ventas mensuales  S  (en miles de unidades) de un producto estacional están aproximadas por S   74.50  43.75 sen

 

t 

6

donde   t   es el ti tiem empo po (e (en n me mese ses) s),, co con n t   1 co corr rres espo ponndiente a enero. Determine los meses en los que las ventas pasaron de 100 000 unidades.

 

95.

 RUEDA DE LA FORTUNA

  Una rueda de la fortuna se construye de modo que la altura   h   (en pies) sobre el suelo, en un asiento en ese juego mecánico en el tiempo t  (en  (en minuto minutos), s), se puede modelar modelar con ht   53  50 sen



 

t  



 

. 16 2 La rue rueda da hac hacee una re revo voluc lución ión cad cadaa 32 se segun gundos dos,, y empieza a funcionar cuando t   0. (a) Durante Durante los primeros 32 segundos segundos del viaje, ¿cuándo estará a 53 pies sobre el suelo una persona en la rueda de la fortun fortuna? a? (b) ¿Cuándo estará la persona persona en lo más alto de la rueda por primera vez durante el viaje? Si el viaje dura 160 segundos, ¿cuántas veces estará la persona en lo más alto de la rueda y en qué momentos?

 Temas adicionales  Temas de trigonometría 6.1

Ley de los senos

6.2 6.3

Ley de los cosenos Vectores en en el el pl plano

6.4

Vector orees y prod odu ucto pu punt nto o

6.5 6. 5

Form Fo rmaa trig trigon onom omét étri rica ca de de un núm númer ero o comp comple lejo jo

6

En matemáticas 

Se usa trigonometría resolver triángulos, representarpara vectores y escribir  formas trigonométricas de números complejos En la vida real 

Se usa trigonometría para hallar áreas, estimar alturas y representar vectores que impliquen fuerza, velocidad y otras cantidades. Por ejemplo, se pueden usar  trigonometría y vectores para hallar la tracción en cuerdas de remolque cuando una barcaza cargada es remolcada por dos remolcadores. (Vea Ejercicio 93, página 456.)

   s

        i         b       r

   o

         C         /       a       r       r

   e     T         /

        i       n

   o    t    t    e     T       a    c       u         L

EN CARRERAS Hay numerosas carreras que usan trigonometría. A continuación veamos varias de ellas. • Piloto Ejercicio 51, página 435

• Diseñador de marquesinas marquesinas Ejercicio 58, página 443

• Ingeniero civil Ejercicio 55, página 443

• Paisajista Ejercicio 4, página 491

427

 

428

 

Capítu Ca pítulo lo 6

Temas Te mas adi adicio cional nales es de tri trigon gonome ometrí tríaa

6.1   L EY EY DE LOS SENOS Lo que debe aprender  • Usar la ley de los senos senos para resolver triángulos oblicuángulos (AAL o ALA). • Usar la ley de los senos senos para resolver triángulos oblicuángulos (LLA). • Hallar las áreas áreas de triángulos triángulos oblicuángulos. • Usar la ley de los senos senos para modelar y resolver problemas de la vida real.

Introducción En el capítulo 4 estudió técnicas para resolver triángulos rectángulos. En esta sección y la siguiente resolverá  triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que no tienen ángulos rectos. Como notación estándar, los ángulos de un triángulo se marcan como  A ,  B  y C , y sus lados opuestos se marcan como  a ,  b  y  c , como se ve en la Figura 6.1. C 

Por qué debe aprenderlo Se puede usar la ley de los senos para resolver problemas reales que impliquen implique n triáng triángulos ulos oblicuángulos. Por ejemplo, ejemplo, en el Ejercicio 53 de la página 436 se puede usar la ley de los senos para determinar la distancia de un bote a la orilla.

a

b

c 

 A

B

FIGURA 6.1

Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario saber la medida de al menos un lado y cuale cualesquie squiera ra otras dos medid medidas as del triáng triángulo, ulo, ya sean dos lados, dos ángul ángulos os y un ángulo y un lado. Esto se desglosa en los siguientes cuatro casos.

1.   Dos ángulos ángulos y cualq cualquier uier lado (AAL o ALA) 2.  Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) 3.   Tres lados (LLL) 4.   Dos lados y su ángulo incluido (LAL)

   s     i     b    r    o     C     /    n    e     k    n    a    r

Los primeros dos casos se pueden resolver usando la  ley de los senos , mientras que los últimos dos casos requieren la ley de los cosenos (vea Sección 6.2).

        F

   n    e    w     O     ©

Ley de los senos Si  ABC  es un triángulo con lados  a ,  b  y  c , entonces a

sen  A



  b

sen  B



  c

sen  C 

.

C  b

C  a

h

c

 A

h

B

 A  es agudo.

a b

 A

 

c

B

A es obtuso.

La ley de los senos también se puede escribir en la forma recíproca sen  A a



sen  B b



sen  C  . c

Para una demostración de la ley de los senos, vea la página 487.

 

Secc Se cción ión 6. 6.11

Leyy de lo Le loss se seno noss

 

429

Ejemplo 1

Dados dos ángulos y un lado—AAL 

Para el triángulo de la Figura 6.2, C   102, B ángulo y los lados restantes.

C  b  = 28 ft

102°

a

29 y b



28 pies. Encuentre el

Solución El tercer ángulo del trián triángulo gulo es

29° c

 A



B

 A

FIGURA 6.2



180

  B 



180 49.





29

C 



102

Por la ley de los senos, tenemos a

sen A



Usando b Cuando resuelva resuelva triángul triángulos, os, un dibujo cuidadoso es útil como rápida prueba para la factib factibilidad ilidad de la respuesta. Recuerde que el lado más largo es opuesto al ángulo más grande, y el lado más corto es opuesto al ángulo más pequeño

a



c



  b



sen B



  c

. sen C 

28 produce

  b

sen A



sen C 



sen B

  28 sen 29 sen  29

sen sen 49  49



43.59 pies

y   b

sen

 B

  28 

sen sen 102  102  56.49 pies.

sen 29 sen  29 Ahora trate de hacer el Ejercicio 5.

Ejemplo 2

Dados dos ángulos y un lado—ALA

Un poste se inclina  hacia   el el Sol a un ángul ángulo o de 8 a partir partir de de la verti vertical cal,, y proyec proyecta ta una una sombra de 22 pies. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra a lo alto del poste es 43º. ¿Cuál es la altura del poste?

Solución En la Figura 6.3, observe que  A ángulo es

C 

C   180  

a

b

8

°



180



39.



43 y  B



90



8



98. Entonces, el tercer

  A   B 

43



98

Por la ley de los senos, tenemos 43  B

c = 22 pies

a

°

 A

sen A Como Co mo c

FIGURA 6.3

a







  c

. sen C 

22 pie ies, s, la lo long ngit itud ud de dell po post stee es

  c

sen A 

sen C 



  22 sen 39 sen  39

sen sen 43  43



23.84 pies.

Ahora trate de hacer el Ejercicio 45. Como práctica, trate de trabajar de nuevo el Ejemplo 2 para un poste que se inclina  alejándose del  Sol bajo las mismas condiciones.

 

430

 

Capítu Ca pítulo lo 6

Temas Te mas adi adicio cional nales es de tri trigon gonome ometrí tríaa

El caso ambiguo (LLA) En los ejemplos 1 y 2 ya vio que dos ángulos y un lado determinan un triángulo de características únicas. No obstante, si se dan dos lados y un ángulo opuesto pueden ocurrir tres posibles situaciones: (1) no existe ese triángulo, (2) existe un triángulo, o (3) dos triángulos distintos pueden satisfacer las condiciones.

El caso ambiguo (LLA) h  b sen  A 

Considere un triángulo en el que nos dan  a ,  b  y  A .  A  es agudo.

 

A   es agudo.

2 es agudo.

A  es agudo.

 

A  es obtuso.

 

Trace b

b

a

h

h a

Condición necesaria

a    b

Uno

Dos

Ninguno

Uno

Caso de una sola solución—LLA

Para el triángulo de la Figura 6.4, a  22 pulgadas, b Encuentre los lados y ángulos restantes.

22 pulg

°

 A

a

b

h     0

para

0   <      <   90

Agudo

cos    <   0

para

90   <        0; ,   x   <   0   x 2  81   x 2  81  x   1

6

(b) 2 ft (c)    0; cuando  x  aume   aumenta, nta,   se apr aproxi oxima ma a 0. 109.   (a)       26.0 (b) 24.4 ft 111.   (a)

  

arctan

  x 

20

(b) 14.0,  3 1.0

 C A P  Í      U T  L   O 4  

  x 2  2 x   10

 

 y

83.

La gráfica de  g  es un desplazamiento horizontal de una unidad a la derecha de  f .

π 

113.   Falso. Falso.

5 

4

no est estáá en el ran rango go del arc arctan tan.. 

115.

  Dominio: Rango: 0,   ,





 y

 x  −1

1

2

3

π 

− π 

π 

2

 y

85.

 y

87.

 x 

2π 

−2

π 

−1

1

2

117.   Dominio:  ,  1  1, −4

−2

 

−1

1

−2

 x 

2

2

4

 y

− π 

 y

89.

 

91.

π 

2

2  −2

π 

 

 x 

−1

 

− −1

v −2

1

 

4 129.   0.19 95.

 

135.   (a)

4

137.   (a)

π 

2

4 131.   0.54

 

 

(b)

4

−  

6

127.   1.17

3

133.  0.12

(c) 1.25   (d) 2.03

 f     f 1

 f 1   f  2

−



−

 

 

 

4

−2

 



La gráfica implica que la identidad es verdadera.

2 

−2

(b) Los dominios y rangos de las funciones están restringidos. Las gráf áfiicas de  f     f  1 y  f  1   f  difier eren en debido a los 1 dominios y rangos de  f  y  y de  f  .

6

− 2 

2

 

 

125.

5

−2



 

 

123.

2 −4

sen 2t  

3 

121.

4

97. 3 2

2

0

2

−2

1

1

119.

93.





Rango:  2, 0  0,  2

 x 

π 





páginaa 357) Sección 4.8   ( págin 1.   Rumbo

−6

99.

 

2

105.   (a)

101.

  

5.

 

103.  

2

arcsen

 5

s

(b) 0.13, 0.25

 

a    1.7 3 c    3 .46  B  60

3.   Periodo

     

a    8.26 c    2 5.38 A  19

7.

     

9.

c5 A    3 6.87 B    53 .13

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

11.

a    49.48  A    72.08  B    17.92

15.   3.00 23.  19.9 31.   (a)

17.   2.50

 

ft

13.

 

 

25.  11.8

 h2  34h



a    91. 34 b    420.70  B  7745  19.   214.45  ft

km

10 289

 

(c)  L   L1   L2  (d)

ft 27. 56.3 29. 2.06 100 (b)    arccos  

(c)   53.02 ft 33.   (a) l  250 ft,  A    3 6.87,  B    53 .13 (b) 4.87 sec

12

21.  19.7

− 2 

 

   l

− 12

67.   (a)

18

 

A141

 2   3  sen   cos    7.0 m; Las respuestas son las mismas. 2 

35.   554

millas al Norte; 709 millas al Este 37.   (a) 104.95 millas náuticas al Sur;  58.18 millas náuticas al Oeste 

3 39. 43. 51. 55.



3

0

(b 5 ) 6.S316.7 O; d4is1t.a n(cai)a N  5180.9 N O E millas (b) 6náuticas 8.82 m 78.7 45. 35.3 47.  29.4 in.   49.  y   3 r  a    12.2, b    7 53. d   4 sen t  4 t  d   3 cos

(b) 12; sí, hay 12 meses meses en un año. (c) 2.77; el máximo cambio en el número de horas de luz diurna 69.   Falso Falso.. La situac situación ión no crea un triángulo triángulo rectángulo porque la torre no es vertical.

   3

57.   (a)

(b) 35 (c) 9 (b)   3   (c) 0

9 1

59.   (a) 4 63.   (a)

(d) 125 (d) 16  

61.  

(b)

 y

8

  

(c)

12 0

528 

páginaa 364) Ejercicios de repaso   ( págin

 

1.   (a)

32

1

π

π 

8

4

 y

15π  4

t 

3π  8

3.   (a)

   y

π 

2

 x 

 x 

−1

−

4π  3

65.   (a)

 

 

L1

 

0.1 0.2

 

0.3

   

0.4

 

2 sen 0.1

L2 3

3

  13.1

cos 0.2

2 sen 0.3

(b)) Cua (b uart rtoo cu cuad adra rant ntee 23    (c)  , 4 4 5.   (a)  

  23.0

cos 0.1

2 sen 0.2

L1   L2

 

3

(b)) Segu (b Segund ndoo cu cuad adra rant ntee 2  10  (c)  ,  3

3

7.   (a)  y

 y

9.9

cos 0.3

70°  x 

 x 

2 sen 0.4

3

 

cos 0.4

8.4

− 110°

(b)  

0.5 0.6 0.7 0.8

 

L1

       

2 sen 0.5

 

L2 3

cos 0.6

2 sen 0.7

cos 0.7

3

3

3

cos 0.8

(b) Primer cuadrante (b) Tercer cu cuaadrante 3 5 (c) 4 0, 290   (c) 2 0,  470 9.   7.854   11.  0.589   13. 54.000 15.  200.535 17. 198 24   19. 0 39  21.  48.17 in. 1  3 ´    33 9.29 in.2 23. Area 25.  , 2 2  3 1 27.   ,  2 2

7.6

cos 0.5

2 sen 0.6

2 sen 0.8

L1   L2

 

 

7.2

 

7.0

 

7.1







7.0 m

 

 A142

29.

31.

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

 7  1  7    csc     2   6 2 6  3  7   7  2 3 cos       sec     3 6 2 6  7   3  7  tan    cot     3 6 3 6   2  3 2  2 3 sen  csc    3 2 3 3 2  1 2  cos   sec   2 3 2 3  3 2  2  sen

     

     

65.

sen     cos    

6

5

6

tan      67.

 11 11

 11 11 5

cos      tan     

6 11 11 11 5 11 11 cot      11 csc    

 55 55

8

3 55 55 55

sec     cot     

8 55 55 55

 55 55 3

 

 C A P  Í     T   U L   O 4  

tan

   

3



 3

cot

   

3



csc    

3

 

 3

sen 11 sen  114    sen 4    22 17   7  1 35. sen   sen   6 6 2 37.  75.3130 39.   3.2361  41 4 41 41 41 41. sen     csc    41 4  41 5 41 41 41 cos     sec    41 5 4 5 tan    cot    5 4  2 2 2 3 2 43.   (a)   3   (b) (c) (d) 3 4 4      15 1 15 4 15 45.   (a) (b) (c) (d) 4 4 15 15 33.

69.

 

49.   0.5621

53.   0.6104 57.

59.

61.

63.

 

3

21 sen     21

sec     5 2 2 21 21 cot      21

5

  

47.   0.6494

8

tan      csc     71.

  

 21 21

2

5 21 21

21

84

73.

  

 

5

 y

 y

264° θ ′  x 

 x 

θ ′

−

6π  5

51.   3.6722

  55.   71.3  m sen    45 csc    54 cos     35 sec    53 tan    43 cot    34  241 15 241 241 241 sen    csc     241 15  241 4 241 241 241 cos     sec     241 4 15  4 tan    cot     4 15  82 9 82 82 82 sen    csc     82 9 82   82 cos     sec       82 82 82 1 tan    9 cot      9  17 4 17 17 17 sen    csc     17 4  17 17 cos     sec      17 17 17 1 tan    4 cot     4

75.

77.

 3

1    ; tan     3 3 2 3 2 3   7  3 7  1 sen     ; cos   ; 3 2 3 2 7  tan     3 sen

  

 

  ; cos

  

 

     

  

3

79.

sen 495 

 2

 2

2

2

81.  0.7568

 ; cos 495  

 ; tan 495   1

83.   0.9511  y

85.

 y

87. 6

2

4 1 2  x 

 x  −

π 

π 

4

4

6π  −2

−2

−6

 y

89.

 y

91.

7

4

6

3

5 1 3

− 2π  

− π 

t 

2

−1

1

−2

−1

2π 

π 

π 

−3

 x 

−4

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

93.   (a)

 y 

2 sen  5 28  x 

(b) 264 cicloss

 y

95.

páginaa 367) Examen del capítulo   ( págin  y

97.

6

1.   (a)

2

 y

 

13  3   ,  4 4 (c) 225 (b)

4 1

2 −

99.

3π  4

 

−

π 

π 

4

4

 y

3π  4

 x 

 x  − π 

101.

−

π 

π

2

2

 y

5π  4

π 

 x 

 

A143

8

4

2. 3500

radmin 3 10 10 4.   sen    10  10 10 cos     10

3 2 2

1  x 

− 2π 

 

− π 

− 2π 

2π 

π 

2π    4π 

 x 

−3

5.   Para

6

−9

−6

Cuando  x →  ,  f  x  oscila. 

105.  113.  

107.   0.41

6

 

109.  0.46

111.

119.

− 1.5

cot    

 

0         <

 

:

1 3 3 

Para          <

 : 2 3 13 sen     13 2 13 cos      13  13 csc     

 

 C A P  Í     T   U L   O 4  

3

3

sec     21

4

121.

 

sec     10 10

 

3

3 

115.   1.24   117.  0.98

3

2 3 13 sen    13 2 13 cos    13  13 csc   

9

 

de 709.04 ft2 10 csc     10

 

tan     3

−4

103.

3.  Alrededor

 

cot   

2

6.

1.5 −4

  

sec       213

 

2

cot    

3

25

 

2 3

y

4

−  −

205°

 

2

123.

131.

4

125.

5  

133.

6

13

127.

5 3 

10 7

129.

135.   0.09

4

 

 4

 x 

  x 2

θ ′

 x 

137.   1.98

139.

7.  Tercer 10.



      66.8

70  m

θ 

30  m 141.  1221

mi, 85.6 143.  Falso. Por Por cada   corres corresponde ponde exactame exactamente nte un valo valorr de  y. 145.  La función no está definida porque sec     1cos   . 147.  Los rangos de las otras cuatro funciones trigonométricas son  ,  o  ,  1  1, . 





cuadrante

 

8.

4

sen    5 tan      43 csc     54 sec    53 cot      34

         

150, 210 9.   1.33, 1.81 21 11. sen     29 cos      20 29 tan     21 20 csc    29 21 cot     20 21

 y

12.

 y

13. 4

4 3

3 2

1

1



2 π 

−1

 x 

α 

− π 

−

π 

 

2

π

2

−2 −3 −4

 

 A144 

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

14.

15.

4

−6

Capítulo 5

6

Sección 5.1   ( págin páginaa 377)

6 0

−4

Periodo: 2 16.

 y

π 

−2

1. 11.

tan  u sen  x  

No periódica

1   a   2,  b  , c   2 4

18.

32

17.

 55 55

cos  x  

3 19. 309.3

tan  x  

3.

1 2

5.

cot2 u 13.

 3

2  3 3

csc  x   2

cot  u

7.

cos  u

sen    

 2

2  2 cos     2 tan      1 csc      2

9.

cos  u

π 

sec  x   1

2

15. − π 

20.

d    6 cos  t  t 

Resolución de problemas   ( págin páginaa 369) 11  1.   (a) rad o 990 (b) Aproximad adaamente 816.42 pies 2 3.   (a) 47 4767 67 ft (b (b))   3705 ft w  3705 (c) w  2183 ft, tan 63  3000 3 3 5.   (a) (b) 19. − 2

2 

− 2

2 

−1

h

tan  x   



sen 8 t t  



sec  x   

2

P

 E 

23. −2

(b)

(c) P7369  0.631

2

 I 

7348

7377

 E 

 E 7369  0.901  I 7369  0.945

 5

2 3 5 5

3

2

cot     

2 5 5

2 5 21.   sen

   

5

 5

cos    

5

tan     2 csc    

3 2

 5

2

sec      5

4

cot   

1 2

sen       1 csc     1 cos     0 sec   no está definido. tan    no está definido. cot    0

25.   d 31.   b

P

3

3

csc     sec   

 5

2

tan     

cot  x    2 2

7380

sen     cos    

4

I 

7300

17.

csc  x   3

 

2

cot      1

 2

Par

51  50

9.   (a)

cot  x    3  8 sen  x    17 15 cos  x    17  8 tan  x   15 17 csc  x    8 17 sec  x    15 15 cot  x   8 1 sen  x   3 2 2 cos  x    3

−1

Par 7.

sec     2

3

 x  −2

2 3

   

26.   a 32.   c

   

27.   b   33.   f   

28.   f  34.   a

   

29.   e 35.   e

   

30.   c 36.   d

csc      39.  sen x  41. cos2    43. cos  x  2 45. sen  x  47. cos    49.   1   51. tan  x  53. 1  sen  y 55. sec    59. sen 2  x   57. cos  u  sen u 61. sen 2  x  tan  tan 2  x   63. sec x   1 65. sec 4  x  2 2 2 67. sen  x   cos  x  69. cot  x csc  x   1 71. 1  2 sen  x  cos  cos  x  73. 4 cot2  x   75. 2 csc 2  x  77. 2 sec  x   79. sec x  81. 1  cos  y 83.   3(sec  x   tan  x ) 37.

−2

Las tres bajan más pronto en el mes, luego alcanzan su máximo hacia mitad del mes y bajan de nuevo hacia la parte final del mes. 11.   (a)   3.35, 7. 35   (b)  0.65 (c) Sí. Hay una diferencia de nueve periodos entre los valores. 13.   (a) 40.5 (b)  x      1.71 ft;   y    3 .46 ft (c) Aprox Aproximadame imadamente nte 1.75 pies (d) Al acercarse a la piedra,  d  debe  debe hacerse más y más pequeña. Los ángu ángulos los  1 y  2 dis dismin minuir uirán án jun junto to con la dis distan tancia cia  y, de modo que  d  disminuirá.  disminuirá.

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

85.

 x 

 

 y1  y2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

  0.1 0.1987

0.3894

0.5646

0.7174

0.8415

  0.1 0.1987

0.3894

0.5646

0.7174

0.8415

53.   (a)

(b)

3

−2

2

Identidad

−1

 x 

 

1.2

 y1

  0.9320

0.9854

 y2

  0.9320

0.9854

1

1.4

 

(c) Las respuestas variarán. 5 55.   (a)

(b)

 y2  

0 0

 y1   y2

 

 y1

2 − 2 

  −1

2 

No es identidad

A145

87.

 x 

 

0.2

0.4

 y1

  1.2230

1.5085   1.8958

2.4650

  3.4082

 y2

  1.2230

1.5085   1.8958

2.4650

  3.4082

 x 

 

1.2

0.6

0.8

  5.3319

11.68 68114

 y2

  5.3319

11.68 68114

(c) Las respuestas variarán. 5 57.   (a)

12

1.4

 y1

1.0

− 2 

 

(b)

2 

Identidad

−1

(c) Las respuestas variarán. 3 59.   (a)  

0 1

(b)

 

2

 y1   y2

csc x  91. tan  x  93. 3 sen    95. 4 cos    97. 3 tan    99. 5 sec    101. 3 sec    103.  2 cos    105. 3 cos     3; sen     0; cos     1  2  2 107. 4 sen     2 2; 2; sen     ; cos    2 2     3  109. 0              111. 0         <  ,   <      <   2  2 2 113. lncot  x  115. lncos  x  117. lncsc  t  sec  sec  t  2 2 119.   (a) csc 132  cot 132   1.8107  0.8107  1  2    2  (b) csc 2    cot2    1.6 360  0.6360  1 7 7 121.   (a) cos90  80  sen 80   0.9848

−2

2

89.

(b) cos

2

 

0.8

 





sen 0.8    0.7174

tan   125.  Las respuestas variarán. 127.  Verdadero. Por ejemplo, sen x    sen  x . 129.   1, 1   131. ,0 133.  No es identidad porque cos     ±  1  sen2   sen k     135.  No es identidad porque   cos  k      tan k     1 137.  Una identidad porque    1 sen   139. a cos    141. a tan   

(c) Las respuestas variarán. 61–63.  Las respuestas variarán.

1.   Identidad

tan  u 5. cos2 u 7.  csc  u 9–49.  Las respuestas variarán. 51.   En el primer renglón, cot x  es sustituida por cot x , lo que es incorrecto; cot x    cot x .  

3.

 

67.   2

respuestas variarán. 71.  Verdadero. Se pueden usar muchas técnicas diferentes para verificar identidades. 73.  La ecuación no es una identidad porque sen     ± 1  cos2  . 7  Posible respuesta: 4 75.  La ecuación no es una identidad porque 1  cos2    sen2  . Posible respuesta: 77.  La

ecuación no es una identidad porque 1  tan2    sec2  .  

Posible respuesta:

6

páginaa 394) Sección 5.3   ( págin 1.   Aislar 11.

15.

19.

páginaa 385) Sección 5.2   ( págin

65.   1

 

69.  Las

123.  



 C A P  Í     T 

Identidad

−3

23.

27.

3

 5  

6

6   2 

   n ,

 

3

 n ,

17.

 n 

21.

n     3

 ,

4

   n 

 7   11  ,  ,  , 6 6 6 6

   5  

 

3

2

 ,

2n 

2n 

n   3  

 



8

 

n 

2

  3 

   

0, ,    , 2 2

25.

      5   7     11  0,  , ,  ,  , 6 6 6 6

hay solución

 

 

2

respuestas variarán.

2n ,   2

 3  

 

8



3

n ,

   n 

3

 

13.

3

 

5–9.  Las

 

2   2 n , 4   2 n 

31.  No 35.

3.   Cuadráticas

 

29.

3

33.  , 37.

    5 

 

2

,

3

,  

    5  

3

,

3 39.

 

 5  

6

6

   n ,

   n 

 

 A146

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

 7  45. 3  4n    4n  3 12 2 2 47.  2  6n, 2  6n 49.   2.678,  5 .820 51.   1.047,  5 .236   53.   0.860,  3 .426 55.  0, 2.678,  3 .142,  5 .820   57.   0.983, 1.768, 4.124, 4.910 59.   0.3398, 0.8481, 2.2935, 2.8018 61.   1.9357, 2.7767,  5 .0773,  5 .9183 63. arctan 4   , arctan 4  2 , arctan  3 , arctan  3    41.

65. 69. 71.

 



n 

   5  

,

43.

 

 

4n ,

 , arctan  5 , arctan  5

   5  

, 3 3 4 4 arctan13 , arctan13    , arctan 13    , arctan 13   2  arccos14 , 2    arccos14    

67.

97.   (a)

(b) 0.6   <   x   <   1.1

2

0

 

 

2

−2

 A    1.12 99.  Verdadero.

La primera ecuación tiene un periodo menor que la segunda, de modo que tendrá más soluciones en el intervalo 0, 2 . 101.   La ec ecua uaci ción ón se co connver erti tirría en cos2  x   2; és éste te no es el mé méto to-do correcto que se debe usar al resolver ecuaciones. 103.  Las respuestas variarán.

 U L   O  5  

1 2 , arcsen  4  1.154, 0.534  

73. 75.

 

79.   (a)



1 2 , arcsen 4 77.   1.110



  

páginaa 402) Sección 5.4   ( págin 1.

(b)

2

2

3

    1.0472

3

     5.2360

0    3 .1416  

−2

 

Máximo: Máximo: Mínimo: Mínimo: 81.   (a)

1.0472, 1.25 5.2360, 1.25 0, 1 3.1416,  1

(b)

3

 

4

    0.7854

4

2 

cos  u  cos  v  sen u  sen  v  2   6  2  1 7.   (a) (b) 4 2 1   3  1 9.   (a) (b) 2 2  6   2  2   3 11.   (a) (b) 4 2  11   2 13. sen      3  1 12 4  2  11  cos      3  1 12 4

     3.9270 15.

−3

Máximo: 0.7854, 1.4142 Mínimo: 3.9270,  1.4142 83.   (a)

(b)

2

 

4

    0.7854 17.

5  0

2

4

     3.9270

3 

    2. 3562 4 7       5.4978 4

−2

Máximo: 0.7854, 0.5

19.

3 Máximo: 0.5 Mínimo: 2..9270, 3562,  0.5 Mínimo: 5.4978,  0.5 85.   1 87.  (a)

Todos los números reales  x  excepto  excepto  x   0 (b) Simetría con eje  y ; asíntota horizontal:  y  1 (c) Oscila Oscila

(d) Número Número inf infini inito to de sol soluci ucione ones; s;

(e) Sí, 0.6366 89.   0.04 sec, 0.4 0.43 sec, 0.83 sec 91.  Febrero, marzo y abril   93. 36.9,  53 .1 95.   (a) t   8 sec  y t   24 sec (b)   5 veces: t   16, 48, 80, 112, 144 sec

tan  u  tan  v 1  tan  u  tan  v

5.

5  0

3.

 

5  0

sen  u  cos  v  cos  u  sen  v

21.

2 2 n    

23.

tan 11 tan  11     2   3 12  2  17  sen      3  1 12 4  17   2 cos     1   3  12 4  17  tan    2   3 12  2 sen 105     3  1 4  2 cos 105    1   3  4 tan 105   2   3  2 sen 195    1   3  4   cos 195   2   3  1 4 tan 195  2   3  13   2 sen     1   3  12 4  2  13  cos     1   3  12 4  13  tan    2   3 12  2 13  sen      3  1 12 4  2 13  cos      3  1 12 4

     

 

Respuestas a ejercicios impares y exámenes

 112 

tan  25.

27.

3 

 2 

 2

 3

   3  1 4  2 cos 285     3  1 4 tan 285   2   3   2 sen 165      3  1 4  2 cos 165      1   3  4 tan165  2   3 sen 285  

41. 43. 47. 51. 53. 59.

 3

 

A147

1  , cos 2u   , tan 2u   3 2 2 1   1  3  4 cos 2  x   cos 4  x   45. 83  4 cos 4 x   cos 8 x  8 3  4 cos 4 x   cos 8 x  1 49. 1  cos 8 x  3  4 cos 4 x   cos 8 x  8 1  cos 4 x  16 1  cos 2 x   cos 4 x   cos 2 x  cos 1 4 17 17   57.  17 55. 17 17 4 sin 75  12 2   3 sen cos 75  12 2   3 tan 75  2   3 sen 2u  