Texto Ecuaciones Diferenciales 2012-II
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1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
ING. JOSE ALBERTO HILARIO BERRIOS HUANCAYO-PERÚ 2012
I ng° Jose H i l ari ar i o Ber Ber r i os
2 ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los temas más antiguos en las matemáticas modernas. Actualmente las ecuaciones diferenciales constituyen el eje de una buena parte de la Ingeniería, la física, química, biología y de muchas otras que tienen que ver con el diseño de modelos matemáticos. En Ciencias e Ingeniería con frecuencia aparecen las Ecuaciones Diferenciales en el estudio de los fenómenos naturales, por ejemplo en problemas relativos a la desintegración radiactiva, crecimientos de población, reacciones químicas, ley del enfriamiento de Newton, Mezclas, Fuerza Gravitatoria, etc. 1. Definiciones Fun damentales. Una Ecuación Diferencial es toda igualdad en la que interviene una función desconocida y una o varias de sus derivadas, Ej. dy a) b) y 2 dx x 2 dy 0 c) my' ' mg k y' etc 5 x 3 3 dx 1.1. 1.1. Clasificaci ón. Ecuacion es Diferenciales Diferenciales Ordinarias. Es cuando la función incógnita depende de una sola variable independiente, o sea sólo aparecen derivadas ordinarias. Ej.
dy dx m L
5 x 2 3 x 2
d 2 x
k x
dt 2 d 2 q
R
dq
( Ec Dif del movimiento armónico simple)
1
q 0 ( Ec Dif de la corriente eléctrica, R resistencia en Ohm 2 dt C dt q c arg a eléctrica en Coulombs, L induc tan cia en Henrios, C capacidad
en Faradios Faradio s (1 x ) 2
d 2 y dx
2
2 x
dy dx
p( p 1) y 0
(ec .dif Legendre)
etc
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Es cuando la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales. Ej.:
2 2 2 0 ; f ( x, y, z ) ( Ec. Dif de Laplace) x 2 y 2 z 2 2 2 y 2 y ; y f (t , x) ( Ec Dif de la onda uni dim dim ensional ) a t 2 x 2 1.2 1.2 Orden de un a Ecuación Diferencial. Difere ncial. Viene dado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.
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2 ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los temas más antiguos en las matemáticas modernas. Actualmente las ecuaciones diferenciales constituyen el eje de una buena parte de la Ingeniería, la física, química, biología y de muchas otras que tienen que ver con el diseño de modelos matemáticos. En Ciencias e Ingeniería con frecuencia aparecen las Ecuaciones Diferenciales en el estudio de los fenómenos naturales, por ejemplo en problemas relativos a la desintegración radiactiva, crecimientos de población, reacciones químicas, ley del enfriamiento de Newton, Mezclas, Fuerza Gravitatoria, etc. 1. Definiciones Fun damentales. Una Ecuación Diferencial es toda igualdad en la que interviene una función desconocida y una o varias de sus derivadas, Ej. dy a) b) y 2 dx x 2 dy 0 c) my' ' mg k y' etc 5 x 3 3 dx 1.1. 1.1. Clasificaci ón. Ecuacion es Diferenciales Diferenciales Ordinarias. Es cuando la función incógnita depende de una sola variable independiente, o sea sólo aparecen derivadas ordinarias. Ej.
dy dx m L
5 x 2 3 x 2
d 2 x
k x
dt 2 d 2 q
R
dq
( Ec Dif del movimiento armónico simple)
1
q 0 ( Ec Dif de la corriente eléctrica, R resistencia en Ohm 2 dt C dt q c arg a eléctrica en Coulombs, L induc tan cia en Henrios, C capacidad
en Faradios Faradio s (1 x ) 2
d 2 y dx
2
2 x
dy dx
p( p 1) y 0
(ec .dif Legendre)
etc
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Es cuando la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales. Ej.:
2 2 2 0 ; f ( x, y, z ) ( Ec. Dif de Laplace) x 2 y 2 z 2 2 2 y 2 y ; y f (t , x) ( Ec Dif de la onda uni dim dim ensional ) a t 2 x 2 1.2 1.2 Orden de un a Ecuación Diferencial. Difere ncial. Viene dado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.
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3 1.3 1.3 Grado de u na Ecuación Diferencial. Está determinado por el grado algebraico de la derivada de mayor orden que se encuentra en la Ecuación Diferencial Ejemplos: Determine el orden y grado de las siguientes Ecuaciones Diferenciales: a) ( y ' ' ) 3 3( y ' ) 4 5 x 0 R : Orden 2 ; Grado 3 b)
dy dx
P ( x) y Q( x)
R : Orden 1 ;
Grado 1
2
4 d 3 y dy c) 3 2 xy 0 R : Orden 3 ; Grado 2 dx dx
d )
dy 4 y dx 2 dx
d 2 y
2
Sol : En este caso se tiene que racionaliz ar
4
2 d 2 y dy Entonces se tiene : 2 y Orden 2 ; Grado 4 dx dx 2u 2u 0 R : Orden 2 ; Grado 1 ( Ec Dif en derivadas parciales) e) x 2 y 2
Nota: No todas las Ecuaciones Diferenciales se pueden clasificar por grado, por ejemplo, si la derivada de orden mas alto está afectada de funciones logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas o exponenciales, entonces el grado no se aplica, Ej.: 5 y ' '( y ' ) 2 Ln y ' ' '
d 2 y dy 4 y Sen 2 dx dx dy 2 log log x y dx
etc.
1.4 1.4 Ecu aciones Diferenciales Diferenciales Lin eales. eales. Son aquellas que pueden ser escritas en la forma: a n ( x) y ' a o ( x) y F ( x) , donde : a o ( x) y n a1 ( x) y n 1
F ( x) , a o ( x) , a1 ( x) , a n ( x) son funciones f unciones de x Una Ecuación Diferencial que no puede escribirse en esa forma es una Ecuación Diferencial no lineal. Ejemplos:
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4
x
2
d 2 y dx
x
2
dy dx
1 c os x
3 yy'2 xy 0 y ' '3 y '12 y e x ( y ' ' ) 2
Ec. Dif lineal
Ec. Dif no lineal
Ec. Dif lineal
3
d 3 y dy 3 2 x y 0 dx dx
Ec. Dif no lineal
1.5 1.5 Solución d e una Ecu ación ación Diferencial Ordinaria. Una solución de una Ecuación Diferencial es cualquier función que satisface la ecuación diferencial, esto es la reduce a una identidad. Ejemplo: la función 2 x y e ( I ) es una solución de la ecuación diferencial: y '2 y 0 ( II ) ,
ya que derivando la expresión (I) se tiene: y ' 2e 2 x
2 x
2 x
, y reemplazando en
2e 0 0 0 , por lo tanto decimos que la la expresión (II) : 2e expresión (I) es solución de la ecuación diferencial (II) Las soluciones de una Ecuación Diferencial pueden ser: Solución General. General. Es el conjunto de t odas las soluciones y por lo tanto contiene constantes de integración. Solución Particular. Es una solución que se obtiene de la solución general dándole valores específicos llamados condiciones iniciales o de frontera. Solución Singular . Es una solución que no puede obtenerse de la solución general, es decir no proviene de asignar valores a las constantes arbitrarias de una solución general. Geométricamente la solución general de una ecuación diferencial de 1er orden representa una familia de curvas conocida como curva solución puesto que cada ―c‖ puede tomar cualquier valor real. La gráfica de la solución particular es una sola curva dentro del sistema coordenado rectangular o polar y se llama curva integral. Isoclinas de u na Ecuación Diferencial. Es el lugar geométrico de puntos en los que las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma dirección. E j e m p l o : Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente 1 en cualquier punto (x,y) de ella es x . Halle la ecuación de la curva . 2 dy Solución: La pendiente de una curva está dada por , entonces dx dy 1 1 x dy xdx , int egrando obtenemos : dx 2 2 tenemos : 1 1 dy xdx y x 2 c ( solución general ) 2 4
Esta solución representa una familia de curvas.
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5
¿Cuál será la solución particular que pasa por el punto (2,3)? Solución: En la solución general reemplazamos el valor inicial y =3 cuando x = 2 y obtenemos: 1 1 3 (2) 2 c c 2 y x 2 2 ( solución particular ) 4 4
Esta solución particular representa una sola curva. Gráfica:
1.6
Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinari as. Podemos considerar: . En este caso el número de constantes De las funciones prim itivas de integración determina el orden de la ecuación diferencial, o sea que para hallar la ecuación diferencial correspondiente se tiene que derivar tantas veces como constantes se tenga. Ejemplo: 1) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general es:
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6 y x Cx 2
(1)
Solución: Derivando hasta el primer orden porque solo se tiene una cons tan te de int egración : y ' 1 2Cx
despejando C : C
y '1 2 x
x y'1 2 y x y '1 x 2 2 x 2 y x(2 y '1) 2 y x( y '1) , finalmente : xy'2 y x 0 ( Ec. Dif )
En (1) y x
2 y 2 x x( y '1)
2) Obtenga la Ecuación Diferencial cuya solución general es :
x 2 x Senx y C 1 C 2 Cosx 4 4
Rpta : y ' ' y
x Cosx
3) Obtenga la Ecuación Dif erencial cuya solución general es : y
C 1 x 3 C 2 x 2
x 2
Rpta : x 2 y ' '4 xy'6 y
x
De p ro bl em as geo m é tric os . Estas ecuaciones diferenciales tienen su origen en ciertos problemas geométricos. Ejemplo:1) Encuentre la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen: Solución:
La ecuación de la recta es: y ax (1) , derivando : y ' a
en (1) : y
y ' x
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finalmente : xy' y
0
es la ec dif
7
2- Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen su centro sobre el eje ―x‖.
Solución.-
La ecuación de la familia de circunferencias es en este
x h 2 y 2
caso:
r 2
Como hay 2 constantes (h y r) derivamos 2 veces y tenemos:
2 x h 2 yy' 0 entonces:
,
x h yy' 0 luego la segunda derivada será:
1 yy' ' y' y' 0
Por lo que la ecuación diferencial de la familia circunferencias es:
1 yy ' ' y '
2
de
0
De p ro blem as físic os . Estas provienen de diferentes ciencias tales como la química, la mecánica, electricidad, etc.
Ejemplo: Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a la cual se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la temperatura del aire (medio ambiente). Plantee la ecuación diferencial respectiva.
Solución:
Sean: T = Temperatura de la sustancia en el instante ―t‖ Ta= Temperatura del aire (medio ambiente). Entonces la velocidad a la que se enfría la sustancia será:
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dT dt
8 Como la sustancia se enfría, de acuerdo al enunciado se tiene: dT k (T T a ) , siendo : k cons tan te de proporcionalidad dt El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir el tiempo.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determine el orden y el grado de la ecuación diferencial: 4
y' ' '3 3 3 ( y' ) 5 0
2. Compruebe que la función y ecuación diferencial y ' '4 y
cos 2 x sen2 x 3
es solución de la
12
3. Para la ecuación diferencial xy'3 y 0 verifica que : y Cx es solución y halla la solución particular determinada por las condiciones iníciales y = 2 cuando x = -3 y 4. Comprueba que la función : u arctan satisface la ecuación x 3
2u 2u 2 0 2 x y
diferencial de Laplace :
5. Verifica que : x y
x 0
sen t 2 dt es solución de la ecuación diferencial
y xy' y 2 sen x 2 6. Verifica que : y x
dy dx
sen t dt es solución de la ecuación diferencial t
x
x 0
y x sen x
7. Verifica que : y e
x
x 0
2
e t dt C e x es solución de la ecuación
x x 2
diferencial y' y e 8. Determina la ecuación diferencial que tenga como solución a la función : 1 2 16 y C 1 e x C 2 e 3 x 2 x 4 Rpta : y y ' ' y '2 x 3 3 3 x 3 x 9. Halla la ecuación diferencial correspondiente a : y x C 1 e C 2 e
Rpta : y ' '4 y '4 3( x y) 10 Halla la ecuación diferencial correspondiente a : y A(cos x xsenx) B( senx x cos x) Rpta : xy' '2 y' xy 0 11. Halla la ecuación diferencial correspondiente a: sen Rpta : ( x tan
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y x
y)dy xdy 0
y x
C x
9 12. Halla la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focal paralelo al eje x Rpta : y ' y ' ' '3 y ' ( y ' ' ) 2 0 13. Encuentra la ecuación diferencial cuya solución general es la f amilia de 2 2 2 circunferencias : ( x h) ( y k ) r en el plano xy siendo h, k y 2
Rpta : y ' ' ' y'
r constantes arbitrarias
2
1 3 y' ( y' ' ) 2
14. Halla la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen y cuyos centros están en el eje ―x‖
Rpta : 2 xy ' y
2
x2
15. Halla la ecuación diferencial de todas las normales a la parábola y 2 x Rpta: y +1/2 y’ = y’[ x - 1/4 (y’)2 ]
Ejercicios resueltos sobre definiciones fundamentales: 1.- Verificar si: y LnC e , es la solución de la Ecuación Diferencial: x
y '
e x y 0
Solución.-
Lny '
Se tiene :
y
LnC e x ,
entonces:
Lne x Ln C e x
De donde: Lny x y entonces: en la ecuación diferencial (a), se tiene '
e x y
e x y 0
Laplace:
Solución:
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e x y
C e x
;
, por lo tanto reemplazando
y entonces 0=0 (l.q.q.d)
2.- Demostrar que la función : diferencial de
y '
y '
e x
u
arctan
y x
2u 2u 0 x 2 y 2
satisface la ecuación
10
Sea: u
arctan
y
, entonces
x
u x 2 2 y x y
Ahora:
u y 2 2 x y x
,entonces:
y
2u x 2
2 xy
x
2u 2 xy y 2 x 2 y 2 2
2
y 2
2
, y por lo tanto
reemplazando en la ecuación diferencial de Laplace se tiene:
2 xy
x
2
y
2 xy
x
2 2
2
y
0
2 2
, entonces 0=0 (l.q.q.d)
3.- Demostrar que la función: y Lny x
x
0
2
e t dt , satisface la ecuación
diferencial:
y 1 Lny y " ( y ' ) 2
2 x ye x
2
Solución: Sea la función: y Lny x Derivando (1) se tiene: y
Derivando (2) : y ' (
y ' y
1 y
x
0
2
e t dt …..(1).
y ' Ln y y ' 1 e x
) 1 Ln y y " 2 xe 2
Simplificando se obtiene: y '
2
y ' 1 Ln y 1 e x
y '2 y
y 1 Ln y y " 2 x y e x
Reemplazando en la ecuación diferencial: 2
x
2
2
(2)
1 Ln y y " 2 xe x
2
(2)
2
y 1 Lny y " ( y ' ) 2
2 x ye x
2
2
Se obtiene: 2 x ye 2 x ye . Como se ha obtenido una identidad, concluimos que si es solución de la ecuación diferencial dada. x
x
4.- Obtener la ecuación diferencial cuya primitiva es : C 2 -Cx=y (a) Solución: Como sabemos, el número de constantes de integración indica el orden de la ecuación diferencial; en este caso la ecuación diferencial será de primer orden, por lo tanto derivamos la expresión (a) y tenemos: - C = y’ , entonces C=-y’ ; C 2 =(y’)2 Reemplazando en (a) tenemos: ecuación diferencial será:
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y y x y ' 2
'
, y por lo tanto la
11
y
' 2
xy'
y
5.- Obtener la ecuación diferencial dada
la solución general:
x 1 Cy y
Ln
y xy' Cy' x y 1
Solución: Derivando
hasta
el
primer
orden
:
2
y ,entonces:
y
xy '
xy
y xy' xyCy' 0
Cy '
; y xy' 1 Cy 0 ,
pero: 1 Cy
x Ln y
xy ' Ln
x y
,
x entonces: y xy' Ln y 0 por lo tanto tenemos la ecuación diferencial: y
6.- Obtener la ecuación diferencial dada la solución general: x 2 y 3 + x 3 y 5 =C Solución: Diferenciando la expresión dada tenemos: x 2 3y 2 dy + y 32xdx + x 35y 4dy + y 5 3x 2 dx = 0 Factorizando :
x 2 y 2 (3+5xy 2 )dy + y 3 x(2+3xy 3 )dx = 0
Dividiendo entre xy 2 tenemos la ecuación diferencial: 2 3 x(3+5xy )d y + y (2+3 x y )d x = 0 Rp ta
7.- Obtener la ecuación diferencial dada la solución general :
y Ae 2 x Be x c Solución: Como se tienen 3 constantes de integración, derivamos 3 veces y la ecuación diferencial será de tercer orden, entonces:
y
Ae 2 x
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Be x
C
12
y ' 2 Ae 2 x
Be x y ' ' ' 8 Ae2 x Be x
y ' ' 4 Ae2 x
;
Be x
;
Manipulando adecuadamente tendremos:
2 y' 4 Ae
2 x
2 Be ....... 1 x
3 y ' ' 12 Ae 2 x 3 Be x ..... 2 y ' ' '
8 Ae
2 x
Be x ......
3
Ahora hacemos (1) – (2) + (3) y tendremos la ecuación diferencial:
y ' ' '3 y ' '2 y '
0
Rpta
8.- Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la solución general:
x 2 c1
y 2 c2
1
(a) 2
Solución: De la expresión (a) , tenemos: c2 x c1 y tanto derivamos hasta el 2do orden y tenemos : 2c2 x
2c1 y
ahora:
c2
c2
c1 yy' x
0 , entonces:
2
c1c2
, por lo
c2 x c1 yy' 0.......( 1)
c1 yy' ' y '2 0........( 2) ,
de
la
expresión
(1)
........(3)
Ahora sustituimos (3) en (2) y tenemos:
c1 yy' x
c1 yy' ' y'2 0
2
Manipulando algebraicamente llegamos a: c1 x yy ' ' y '
, finalmente tenemos la ecuación diferencial: xyy ' ' x y '
2
yy '
yy '
0
0
9.- Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices y focos están en el eje “x”.
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13 Solución.-
y 2
La ecuación de la familia de parábolas es en este caso:
4 p x h ....( 1)
Como hay 2 constantes (4p y h) derivamos 2 veces, entonces de (1) :
4 p
y 2 x h
,
Por lo tanto :
x h 2 yy' y 2 0 x h 2
,
entonces:
x h 2 yy ' y 2 0...( 2) y 2
y 2 , por lo tanto, en (2) : 2 yy' y 2 0 4 p 4 p Simplificando esta última expresión tenemos: yy’= 2p, entonces derivamos por segunda vez y obtenemos: yy' ' y' y' 0 . Finalmente tenemos la ecuación
Ahora , de (1) : x h
diferencial de la familia de parábolas: yy ' ' y '
2
0
Rpta
10.- Hallar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por el origen. Solución.-
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14
La ecuación de la familia de circunferencias es en este caso:
x h 2 y k 2 r 2 .....( 1) Pero : r k h ; desarrollando 2 2 2 2 x 2 xh h y 2ky k k 2 h 2 2
2 Entonces: x
2
2 xh y 2 2ky 0.....( 2)
2
(1)
:
; ahora derivamos (2) y obtenemos:
x yy'ky'......(4) 2 1 yy' ' y'
2 x 2h 2 yy'2ky' 0 , despejando h : h
Derivando (4) 1 yy' ' y'
2
ky' ' 0 k xy' ' y ' y '
y ' '
......(5)
3
Reemplazando (5) en (4) : h k lo reemplazamos en (2) algebraico :
x
2
x 2
y
2
xy' ' y' y'3 2 x y ' '
y ' '
; ahora los valores de h y
y obtendremos luego de un manipuleo
2 1 yy' ' y ' 2 y 0 y ' '
y 2 y' '2 xy'2 x y'3 2 y y'2 2 y 0
Factorizando tenemos :
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x
2
y 2 y ' '2 y '2 1 y xy ' 0
que
15 es la ecuación diferencial pedida.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO Las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado presentan la siguiente
dy
F ( x, y) dx M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ( ) forma:
,
ecuación
que
es
equivalente
a
METODOS DE SOL UCION : 1. Ecuacio nes Diferenciales Ordin arias de Variables Separables: En este tipo las ecuaciones diferenciales gozan de las siguientes propiedades: i) Se puede reconocer de inmediato los miembros de esta clase de ecuaciones ii) Se cuenta con un método sencillo y directo (en principio) para resolver dichas ecuaciones En este caso la ecuación ( ) se presenta en la forma: M ( x)dx N ( y )dy 0 , o sea ―M‖ es función sólo de ―x‖ y N es función sólo de ―y‖, y la solución general se obti ene por integración directa, es decir:
M ( x)dx N ( y)dy C EJERCICIOS PROPUESTOS
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16 dy
1.
dx
x 2 y (1 x 3 )
(1 y ) dx xydy 0 2
2.
3. y 2 e x dx ( ye x
e ln y ) dy 0 e 2 x y dx e y 2 x dy 0 y ' senx y ln y , y e 2 e x y senxdx (2 y 1)e y dy 0 dr sen e 2 r sen , r 0 r r d 3e e cos 2
4. 5.
2
6. 7.
EJERCICIOS RESUELTOS 2 2 1. xy1 y dx 1 x dy 0.......( 1)
Solución .- Para separar variables, multiplicamos la ecuación diferencial (1) por el factor integrante:
F . I
1
y 1 y 2 1 x 2
Simplificando: xdx dy
1 x 1 2
Ln
2
y 1 y
Ln 1 x
2
1 x 2 1 y 2 y
1 2
xdx 1 x
Ln 1 y
Lnc
2
2
0 1 x dy y1 y 1 x y1 y 1 x 2
y 1 y 2 1 x 2
0
Lny
2
xy 1 y 2 dx
dy
y 1 y
2.-
1 y e y ' Solución .-
y 2 xLnx
2
1 x 2 1 y 2 y
2
1 2 2
c
2
1 2 xdx
0
Lnc Ln 1 x
Elevando al cuadrado ambos miembros: y
2
2
dy
1
2 ydy
2 1 x y 2 1 y 2
Lny Ln 1 y
1 x 2 1 y 2
1 2 2
2
c
Lnc
cy
1 x 1 y cy ..... Rpta. 2
2
2
0 .……(1)
Expresando (1) en forma diferencial tenemos: 1 y e
Multiplicando por el F.I = 1/y2 tenemos:
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y
y 2 dx xLnx
0.
17
1 y e y dy y 2 e y dy
y
2
y 2dx y 2 xLnx
ye y dy y 2
e y
por lo tanto:
y
0 y 2
dx
e y dy y
y 2
0
xLnx
1 y e y dy
e y dy y
3.- 1 y dx y 1 y 1 x 2
2
2
e y dy y 2
dx xLnx
e y dy y
0
. Integrando :
dx
c
xLnx
Ln Lnx c Ln Lnx 3
2
ey y
c...... Rpta
dy
Solución.- Separando variables se tiene:
dx
1 x 2
3
y 1 y 2 dy
1 y2
Integrando la expresión de la izquierda por sustitución trigonométrica con : x= Tan ,
dx= sec2
, y (1+x2 )1/2=sec se tiene:
sec2 d
sec 3
Entonces: sen
1 2
ydy 1 y 2
dy
Ln 1 y 2
1 y 2
cos d
Ln y
1 y 2
1 2 ydy
2 1 y 2
dy 1 y 2
c
Volviendo a variables iniciales tenemos finalmente: x 1 x 2
Ln
1 y 2 y 1 y 2
c....... Rpta.
4.- Hallar la solución particular de la ecuación diferencial: dx xy
2
e y dy x3 1
Solución.-
0
y1 0
Para separar variables multiplicamos por el F.I : y(x 3-1) y tenemos:
y x3 1dx xy Entonces : 2 dx x 2 dx ye y dy x
y x3 1e y dy 2
x3 1
0 x
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2
dx
x 0 x 1 y 3
dx
x
ye
y 2
dy
3
1dx x
0
x 3 3
2
ye y dy 0
Lnx
1 2
ey
2
c
18 2
Por lo tanto tenemos la solución general: 2 x3 6 Lnx 3e y c......( ) Para hallar la solución particular reemplazamos los valores iniciale s : x =1 , y = 0 en la solución general ( ) y tenemos el valor de c = 5 , por lo tanto la solución particular será :
2 x3 6 Lnx 3e y
2
5 0........ Rpta.
5.- Hallar la solución particular de la ecuación diferencial: x y 6
dx
1
y 2 x 4
dy
1
0
y0 1
Solución.- Para separar variables multiplicamos por el F.I :
1
x
4
1 y 6 1
, entonces
se tiene:
x y 6
1dx y 2 x 4 1dy xdx y 2dy xdx y 2dy 0 4 6 0 2 2 3 2 0 x 4 1 y6 1 x4 1 y 6 1 x 1 y 1 x 1 y 1 Integrando obtenemos:
1 2
arctanx2
1
arctany3 c 3arctanx2 2arctany3 c......(Sol . general ) 3
Ahora para x = 0, y = 1, por lo tanto en la sol. General:
3arctan 0
2
2arctan13 c
1
y
y 2 dx
2
3arctanx2 2arctany3
Luego la solución particular será:
6.-
c
x x 2
4
dy
2
Rpta.
0
Solución.- Para separar variables multiplicamos por el F.I :
1
1 y y xx 2
2
4
,
entonces se tiene:
dy 1 y y dx x x 4dy 0 dx x x 4 1 y y 1 y y x x 4 1 y y x x 4 2
2
2
2
2
2
2
2
0
En este caso para poder integrar más fácilmente podemos hacer uso de las fórmulas de recurrencia:
x 2 a 2 x x2 a2 2a Ln x2 dx
1
I ng° Jose H il ario Ber r i os
19
ax
dx 2
2
bx c
4ac b
arctan
2
2ax b 4ac b
,por lo tanto integrando
2
tendremos:
x2 22 Ln 2 2 x 22 1
7.- y 2 xy 2
4
2
arctan 411 12
2 x 1
3
y dx 6 x x x dy 2
2
1 Ln x 4 2 arctan 2 x 1 c 8 x2 3 3
3
2
0
Solución.- Ordenando la ecuación diferencial se tiene :
y 2 1 x 4 y 2 dx x3 x 2 6 x dy 0
y 2 1 x 4 y 2 dx x x 2 x 3dy 0
separando variables: 2
y x 1 4 y y
2
2
2
4 y x x 2 x 3
x 1
x x 2 x 3
dx
dx
x x 2 x 3
y
2
2
4 y x x 2( x 3)
dy y
2
4 y
2
dy 0
0
Integrando el primer término por descomposición en fracciones parciales y el segundo término por sustitución trigonométrica se tiene la solución general:
3
x 2 10 1 Ln 1 2 x 6 x 3 15 4
4 y 2 y
c
Rpta.
Ecuaciones Diferenciales reducibles a separables: Existen ecuaciones dy diferenciales que presentan la forma : f (ax by c) , donde a, b, y c son dx constantes, que pueden reducirse a ecuaciones diferenciales de variables separables mediante una sustitución adecuada, como se ven en los siguientes ejemplos:
1. y ' ( x y )
2
2. y ' cos( x y ) 3. y ' (8 x 2 y 1) 4.
dy dx
2
x y x y 2
I ng° Jose H il ario Ber r i os
20 EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver la ecuación diferencial : y’ = sen2 (x-y+1) (I) Solución.- En este caso hacemos: x y 1 z
1
dy dx
dz dx
dy
dx
1
dz dx
Por lo tanto remplazando en la ecuación diferencial (I) se tiene:
1
dz dx
sen2 z separando var iables :
dz cos2 z
dz dx
1 sen2 z
dz dx
cos2 z
dx int egrando sec2 z dz x c
Entonces tenemos la solución general: tanz = x+c , y volviendo a variables iniciales: Tan(x-y+1) = x+c
Rpta
2.- Resolver la ecuación diferencial : y' Ln x y 1 Ln x y Solución . - Haciendo : x y
z 1
dy
dx la ecuación diferencial propuesta se tiene:
dz dx
dy dx
1
dz dx
, reemplazando en
1 dz Lnz 1 Lnz Lnz Lnz dz 1 Lnz Lnz dz 1 dx dx dx Separando variables e integrando:
Lnzdz dx c
zLnz z x c
, pero : z x y x y Ln x y x y x c
Entonces la solución general es : x y Ln x y c y
Rpta.
3.- Resolver la ecuación diferencial : 1 xy cos xy dx x 2 cos xydy 0 Solución.- La ecuación diferencial la podemos expresar como:
1 xy cos xy x 2 cos xy
dy dx
0 dz z
Haciendo : xy en
z x
la ecuación diferencial se tiene:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
dy dx
y
dz dx
dy dx
dx x x
; sustituyendo
21
dz z dz z dx x dx x 2 2 0 1 z cos z x cos z 1 z cos z x cos z x x dz z 1 z cos z x cos z dx x luego:
1 z cos z x cos z
dz dx
z cos z 1 x cos z
dz
separando var iables :
dx
dx x
cos zdz
integrando:
dx
x cos zdz c Lnx sen z c
pero : z xy
Lnx sen xy c
Rpta.
4. Resolver la ecuación diferencial : e y y' k x e y 1 Solución: Haciendo : z x e y
dz
1 e y
dy
dx dx reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dz dx
dz z
1 kz 1
dz
kdx
z
dz dx
ey
dy dx
dz dx
1 ; por lo tanto
kz , separando variables e integrando :
k dx c Lnz kx c , pero : z x e y Ln x e y kx c ,
y
e ln( x e ) ce kx x e y ce kx e y ce kx x
Luego:
y Ln ce kx x
Rpta.
1
5. Resolver la ecuación diferencial : x 2 yy' Tan x 2 y 2 xy 2 2
Solución: Haciendo : z x 2 y 2
dz dx
2 x 2 y
dy dx
2 xy 2
1 dz 2 dx
xy 2 x 2 y
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
1 dz 2 dx
xy 2
1 2
tan z xy 2
dz dx
tan z
cot zdz dx c Lsenz x c
I ng° Jose H il ario Ber r i os
dz tan z
dx
dy dx
,
22 luego: , pero : z x 2 y 2
sen z ce x
sen x 2 y 2
ce x
Solución general
Rpta.
ECUACIONES DIFERENCIAL ES HOMOGENEAS. 1. Fu n ci ón Ho m o g é ne a. La función Z = f (x,y) es homogénea de grado ―n‖ si: n f (tx, ty ) t f ( x, y ) , n R Ejemplo : Determine si las siguientes funciones son homogéneas:
1. f ( x, y ) 2 x y 5 y 2
Solución :
3
f (tx, ty) 2(tx) (ty ) 5(ty ) 2
3
f (tx, ty ) 2t 3 x 2 y 5t 3 y 3 f (tx, ty ) t 3 (2 x 2 y 5 y 3 )
es hom ogénea de grado 3
2. f(x,y) = (x 2 + y 2 )3/2 Solución.- sustituyendo : f(x,y) por f(tx, ty) se tiene: 3
f Tx,Ty T 2 x 2 T 2 y 2
2
3
3
T 2 x 2 y 2 2 T 3 x 2 y 2 2
; por lo tanto es una
función homogénea de grado 3.
x 2 y x y e y 4. f ( x, y ) x ln x y ln y 2 5. f ( x, y ) x senx cos y 3. f ( x, y ) x sen 2
6. f ( x, y ) e
x
y
2. Ec uac ión Difer enci al Ho m og é nea . Una ecuación Diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma: M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 , donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado. Cambio de variables para hallar la solución general de u na ecuación di fer enc ial h om og é nea. Si M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 , es homogénea, se puede transformar en una ecuación diferencial de variables separables por y medio de la sustitución: v y vx , dy vdx xdv x Propuestos:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
23 1. ( x 3
y 3 )dx xy 2 dy 0
2. y '
3.
dy dx
y x
sen
y x
y x
y cos 2
, y (1)
x
4
y y y ' y cos x x x
4. x cos 5.
( x
2
y
2
y 3
) dx 2
x
dy
0
x y 2 e y x y 2 dx xydy 0 xy ' y (ln y ln x )
6. 7.
y y ( x y cos )dx x cos dy 0 x x y 9. ( xy ' y ) arctan x , y (1) 0 x Ejemplos Resueltos: 8.
1. Resolver la Ecuación Diferencial : xy' y 2 xe
y x
(I)
Solución: De la ecuación diferencial (I), se tiene la ec. Diferencial homogénea: dy
y
2e
dx
y x
x
v
y x
y y dy 2e x dx . x
haciendo la sustitución :
y vx , dy vdx xdv
Sustituyendo en ( ): vdx xdv v 2e v dx
vdx xdv vdx 2e v dx xdv 2e v dx
Separando variables:
dv e
v
2
dx x
e dv 2 v
dx x
c e 2 Lnx c v
y
Finalmente tenemos la solución general:
e
2. Resolver la ecuación diferencial: y'
y
I ng° Jose H il ario Ber r i os
x
x
, pero : v
Lnx2 c 1 x 2 y 2 2
x 2
y x
e
Rpta.
y x
2 Lnx c
24 Solución.- De la ec. Diferencial
y dy x
1 2
( ) se tiene la ec. Diferencial homogénea:
y 1 x
2
dx
Haciendo las sustituciones: v= y/x , dy=vdx+xdv se tiene:
vdx xdv
v 2
1
1 v 2 dx vdx xdv
separando variables e integrando: 2
vdx
dv
1 v
1 2
dx x
1 v 2 dx xdv
1 2
1 v 2 dx
2 arcsen v Lnx c
ahora sustituyendo: v= y/x tenemos la sol. General: 2 arcseny/x= Lnx+c
Rpta.
2 3. Resolver la Ecuación diferencial : 2(2x 2 +y )d x -x y d y=0
Solución.- La ecuación diferencial es homogénea de 2do grado, entonces usando las sustituciones: V=y/x , y=vx ; dy =vdx+xdv , y reemplazando en la ecuación diferencial propuesta se tiene:
v 2 x 2 dx xvxvdx xdv 0 4 x 2dx 2v 2 x 2dx x 2v 2dx x3vdv 0
2 2 x 2
4 x 2 dx v 2 x 2 dx x 3vdv 0 x 2 4 v 2 dx x3vdv
x 2 4 v 2 dx
x 4 v 3
2
x3vdv
x 4 v 3
2
0
dx x
vdv 4v
0 separo var iables y tengo : 1
2
0 Lnx Ln 4 v2 Lnc 2
x Lnc x c ; pero : v y x 4 v2 4 v 2
x
Ln
x 2 = c(4x 2 +y 2 )1/2
entonces x 4= c(4x 2 +y 2 )
4. Resolver la Ecuación diferencial : x
I ng° Jose H il ario Ber r i os
dy dx
y
4
y
2
c
x 2
…solución general
x
y x
arctan
25 Solución.-
x
dy dx
De
x
y arctan x
la
y
ecuación
diferencial
dada
se
x xdy y dx arctan y x
usando ahora las sustituciones:
v=y/x
; dy=vdx+xdv , simplificando y separando
variables: arctanvdv=dx/x , ahora integrando:
arctanvdv
dx
x
var ctanv Lnv var ctanv Lnv
2
pero : v
y x
c
var ctanv
1 2
1 Lnx c
Ln v 2
1
2
12 Lnx c
ò Lnc
1
12 Lnx Lnc y
y
y 2
x
x
x 2
arctan Ln y
Por último:
x
arctan
y x
var ctanv Ln v 2
y
y
x
x
Lnc
x 2
y 2
Solución: Tenemos:
dx
4
x
y 2
x 2
x 2
Soluciòn general
y 5. Resolver la Ecuaciòn Diferencial: y' 4 x x y
1. x.c
1 c. x arctan Lnc. x
y
dy
2
;
y1 2
2 y y 2 y dy 4 dx x x x
v=y/x ; dy=vdx+xdv , entonces: vdx+xdv=(4+v+v 2 )dx
Usando:
Vdx+xdv=4dx+vdx+v 2 dx , entonces xdv=4dx+v 2 dx , y se tiene: xdv=(4+v 2 )dx Separando variables e integrando:
1 2
arctan
y 2 x
tiene:
Lnx c
dv
4v
arctan
y 2 x
2
dx x
c
2 Lnx c
1 2
arctan
v 2
Lnx c
Soluciòn general
Ahora usando los valores iniciales : x=1 , y=2 , y reemplazando en la solución General se tiene el valor de c
arctan
I ng° Jose H il ario Ber r i os
y 2 x
4
, y por lo tanto la solución particular es;
2 Lnx
4
Rpta............
26 6. Resolver la Ecuación Diferencial:
x 2
y y y 2 y arcsen dx x arcsen dy 0 x x
Solución.- Usando v=y/x ; dy= vdx+xdv y reemplazando en la Ec. Dif. Se tiene:
x 2
v 2 x 2 vxarcsev dx x arcsenvvdx xdv 0
, luego:
x 1 v 2 dx vx arcsenvdx vx arcsenvdx x 2 arcenvdv 0 , reduciendo, separando variables e integrando, se tiene:
x 1 v 2 dx
dx
x 2 arcsen vdv 0
1
Lnx arcsen v 2 c 2
, pero : v
y x
x
arcsen vdv 1 v
2
0
1 y arcsen c Rpta. 2 x
Lnx
y y 7. Resolver la Ecuación Diferencial: x x y e x dx xe x dy 0 ; y(1)=0
Solución: Usando v=y/x ; dy=vdx+xdv , se tiene:
x x vxe dx xe vdx xdv) 0 v
v
Simplificando y separando variables: Lnx+Ln(1+ev )=Lnc ; entonces :
dx x
xdx xe v dx e v dv 1 ev
0
vxev dx xvev dx x 2 e v dv 0
, int e gra ndo obtenemos :
Ln(x(1+ev )) =Lnc ; levantando logaritmos:
X(1+ev) =C , pero y=v/x , entonces : x(1+ey/x) =C
Soluciòn general. Ahora usando
los valores iniciales x=1 , y=0 , se tiene: C =2 ; por lo tanto reemplazando en la soluciòn general se tiene la soluciòn paticular:
x(1+ey/x) =2 Rpta
8. Resolver la Ecuación Diferencial : y y y y y y 2 x sen 2 xtan y cos y sec 2 dx x cos x sec 2 dy 0 x x x x x x
Solución: Usando v=y/x y dy=vdx+xdv , se tiene: (2xsenv+2xtanv-vxcosv-vxsec 2 v)dx+(xcosv+xsec 2 v)(vdx+xdv)=0 2xsenvdx+2xtanvdx-vxcosvdx-vxsec 2 vdx+vxcosvdx+x 2 cosvdv+vxsec 2 vdx+x 2 sec 2 vdv=0 simplificando tenemos: 2x(senv+tanv)dx+x 2 (cosv+sec 2 v)dv=0 Separando variable e integrando: 2
dx
x
cos v sec v dv 2
sen v
tanv
0
Entonces: 2Lnx+Ln (senv+tanv)=Ln c , por lo tanto: Ln x 2 (senv+tanv) = Ln c I ng° Jose H il ario Ber r i os
27
Pero : v=y/x , entonces : x 2 (seny/x+tany/x) = C Soluciòn general.
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS Las ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas presentan la siguiente forma:
a1 x b1 y c1 dx a 2 x b2 y c 2 dy 0
(1)
Llamada ecuación diferencial no homogénea con coeficientes lineales, donde
a1 , b1 , c1 , a 2 , b2 , c 2
son constantes, además si c1 y c 2
se pueden eliminar, la
ecuación diferencial es homogénea. La solución de este tipo de ecuaciones diferenciales está en función de los coeficientes de las diferenciales, las que denotan 2 rectas en el sistema coordenado rectangular:
a1 x b1 y c1
0 a 2 x b 2 y c 2 0
(2)
(3)
Como las rectas (2) y (3), pueden ser paralelas o no paralelas se presentan 2 casos:
Caso 1. Si las rectas (2) y (3) no son paralelas entonces sus pendientes no son iguales y por lo tanto tienen un punto de intersección, o sea si a1 b2
a 2 b1 0 ,
implica que la ecuación diferencial (1) se reduce a homogénea trasladando el origen del sistema coordenado rectangular al punto de intersección de estas dos rectas, y para ello se hace una primera sustitución:
x m h
dx dm y n k (5) dy dn en (1) : (a1 m a1 h b1 n b1 k c1 )dm (a 2 m a 2 h b2 n b2 k c 2 )dn 0
(4)
(6)
Resolviendo el sistema:
a1 h b1 k c1
0 a 2 h b2 k c 2 0 Se determina los valores de h y k con lo cuál la ecuación (6) se reduce a:
(a1 m b1 m)dm (a 2 m b2 n)dn 0 Que es una ecuación diferencial homogénea y su solución, implica el método descrito anteriormente. Ejemplos:
1.- Resolver la Ecuaciòn Diferencial:
dy dx
3 y 1 3 x 2 y 5 2 x
Solución.- De la ec. Dif. De tiene : (2x+3y+1)dx-(3x-2y-5)dy=0….(1) I ng° Jose H il ario Ber r i os
28 Por lo tanto: a1=2 , b1=3 , a2 =-3 , b2 =2 , entonces a1b2 -a2 b1=0 (caso =0 (caso 1) 1ra sustitución: x=m+h ---- dx=dm y=n+k ------ dy=dn en la expresión 1 : (2m+2h+3n+3k+1)dm-(3m+3h-2n-2k(2m+2h+3n+3k+1)dm-(3m+3h-2n-2k-5)dn=0 5)dn=0 ….(2) ahora resolviendo el sistema: sistema : 2h+3k+1=0 ….(a) 3h-2k-5=0 3h-2k-5=0 …..(b)
se tiene : h=1
k= -1
por lo tanto en la ecuación (2) : (2m+2+3n-3+1)dm-(3m+3-2n (2m+2+3n-3+1)dm-(3m+3-2n+2-5)dn=0 +2-5)dn=0 Entonces : (2m+3n)dm-(3m-2n)dn=0 (2m+3n)dm-(3m-2n)dn=0 (3) ( Ec dif homogénea ) 2da sustitución: v=n/m , entonces dn=vdm+mdv , dn=vdm+mdv , reemplazando en (3) (2m+3vm)dm-(3m-2vm)(vdm+mdv)=0 2mdm+3vmdm-3vmdm-3m 2 dv+2v 2 mdm+2vm2dv=0 reduciendo y factorizando: m(2+2v 2 )dm+m2 (2v-3)dv=0
separando variables:
dm m
2v 3dv dm vdv 3 dv 0 m v2 1 2 v2 1 0 2v 2 1
entonces:Ln(m)+1/2Ln(v2+1)-3/2arctan entonces:Ln(m)+1/2Ln(v2+1)-3/2arctanv=c; v=c;
pero
v=n/m
;
2 n 2 n Lnm 2 1 3arctan c m m
Lnn 2 m 2 3arctan
n m
la solución general es :
c
Ln y
m h m x 1; y n k n y 1
; ahora : x
y 1 12 x 12 3 arctan c x 1
2.- Resolver Resolver la ecuación diferencial: (Tanx-seny+3)sec 2 xdx+(3Tanx+seny+1)cosydy=0 xdx+(3Tanx+seny+1)cosydy=0 …..(1) Solución: Haciendo que: Tanx=z entonces : dz=sec 2 xdx Seny=w entonces : dw=cosydy En (1) se tiene: (z-w+3)dz+(3z+w+1)dw=0 (z-w+3)dz+(3 z+w+1)dw=0
(2) (ec. Dif. Reducible a homogénea)
Entonces a1=1, b1=-1 , a2 =3 , b2 =1, luego a 1b2 -a2 b1=4=0 (caso1) 1ra sustitución: z=m+h
dz=dm
; w=n+k
dw=dn
, reemplazando reemplazando en (2)
(m+h-n-k+3)dm+(3m+3h+n+k+1)dn=0 (m+h-n-k+3)dm+(3m+3h+n+k+1)dn=0 …..(3) resolviendo el sistema: h-k+3=0
obtenemos : h= -1
3h+k+1=0
k=2
en(3) (m-1-n-2+3)dm+(3m-3+n+2+1)dn=0 ---> (m-n)dm+(3m+n)dn=0 (m- n)dm+(3m+n)dn=0 ….(4) la ec. (4) es homogénea y hacemos la 2da sustitución: v=n/m n=vm I ng° Jose H i l ari ar i o Ber Ber r i os
dn=vdm+mdv
29 sustituyendo en (4) : (m-vm)dm+(3m+vm)(vdm+mdv)=0 (m-vm)dm+(3m+vm)(vdm+mdv)=0 reduciendo: mdm+2mvdm+3m 2 dv+v2mdm+m 2 vdv=0 factorizando factorizando : m(v 2 +2v+1)dm+m 2 (v+3)dv=0 , separando variables se tiene:
dm m
v 3dv v 3dv dm 0 0 2 v 2v 1 m v 12 Ln m
Ln v 1
2 v 1
c
int e gra ndo
Ln mv
1
2 v 1
obtenemos :
c
5
Ahora: v=n/m , entonces entonces reemplazando reemplazando en (5) y reduciendo reduciendo tenemos: tenemos:
Ln m n
2m mn
c 6
; pero : z m h z m 1 m z 1 w=n+k w=n+2 n= w-2
en (5) : Ln z 1 w 2
2 z 1 z 1 w 2
c Ln z w 1
2 z 1 z w 1
c
volviendo a variables iniciales con z=Tanx y w= seny obtenemos finalmente:
LnTanx
sen y 1
2tanx 1 tanx sen y
1
c
Solución general
Caso 2. Si las rectas (2) y (3) son paralelas, entonces sus pendientes son iguales, o sea si : a1b2
a 2 b1
forma: z a1 x b1 y
dz a1 dx b1 dy dy
, entonces usamos una sustitución simple de la
dz a1 dx b1
convierte a la ecuación diferencial en una de variable separable.
Ejemplo:
3.- 3. - Resolver la ecuación diferencial: (2x+y+5)dx+(4x+2y-3) (2x+y+5)dx+(4x+2y-3)dy dy =0 Solución .- Tenemos: a1=2 , b1=1 , a2=4 , b2=2 ,entonces a1b2=a2b1 (caso 2) Por lo tanto usamos la sustitución: z=2x+y , dz=2dx+dy , entonces: dy=dz-2dx Sustituyendo en la ec.dif. se tiene: t iene: (z+5)dx+(2z-3)(dz-2dx)=0 (z+5)dx+(2z-3)(dz-2dx)=0 Entonces: zdx+5dx+2zdz zdx+5dx+2zdz-3dz+6dx=0 -3dz+6dx=0 , reduciendo reduciendo y factorizando factorizando tenemos: tenemos: (11-3z)dx+(2z-3)dz=0 (11-3z)dx+(2z-3)dz=0 , separando variables tenemos:
dx
2 z 3dz zdz dz 0 dx 2 3 0 11 3 z 11 3 z 11 3 z
I ng° Jose H i l ari ar i o Ber Ber r i os
, que
30
dx 2 x x
3 z 11
2
3
22
1 11 dz dz 3 0 x 2 c 3 z 11 3 3 3 z 11 3 z 11 dz
dz
dz
2
13
dz
dz 3 c x z c 3 3 3 z 11 3 z 11 3 3 3 z 11
2 z 3
zdz
13 9
Ln 3 z 11
2
13
3
9
c ; pero : z 2 x y x 2 x y
reduciendo tenemos: 3 x 6 y 13 Ln6 x 3 y 11 c
Ln 32 x
y 11 c
Solución general
Ejercicios propuestos:
1. ( x 2 y 5)dx (2 x y 4)dy 2. y '
0
x y 4 x y 6
3. ( x y 2)dx ( x y 4)dy
0 4. ( x 2 y 1)dx (3 x 6 y 2)dy 0 5. ( x 2 y 3)dx (2 x 4 y 1)dy 0 6. (( x 2 y 1)dx (2 x 4 y 3)dy 0
También se puede transformar una ecuación diferencial no homogénea en homogénea mediante la sustitución: y
z
dy
z 1 dz ,
como se
puede observar en los siguientes ejemplos: Ejemplos:
1.- Resolver la ecuación diferencial d iferencial : (x 2 y 2 -1)dy+2xy 3 dx=0 ……(1) Solución.Solución .- En este caso hacemos la sustitución : y
z dy z 1dz
en 1 : x 2 z 2 1 z 1dz 2 xz 3 dx 0 x 2 z 3 1 z 1 dz 2 xz 3 dx 0 la ecuación diferencial será homogénea si los grados de todos los términos son iiguales: entonces :
3 1 1 1
por consiguiente : y=z -1 , la ec. Dif Dif será: será: -(x 2 z -4-z -2 )dz+2xz -3dx=0 , reduciendo : (z 2 -x 2 )dz+2zxdx=0 …..(2) (ec. Dif. Homogénea) Homogénea) haciendo v=z/x , entonces z=vx ; dz=vdx+xdv , por lo tanto reemplazando en (2) : (v 2 x 2 -x 2 )(vdx+xdv)+2vx 2 dx=0 , -- v 3 x 2 dx+v 2 x 3dv-x 2 vdx-x 3dv+2vx 2 dx=0 reduciendo y factorizando:
dx x
x 2 (v 3+v)dx+x 3(v 2 -1)dv=0,
dx v2 1 1 dv 3 0 3 dv 0 v v x v v v2
I ng° Jose H i l ari ar i o Ber Ber r i os
separando variables:
Lnx Ln v 2
1 Lnv Lnc
31
Ln
1
x v 2 v
Lnc
1
x v 2 v
c
;
z 2 x 2 1 z x c ahora : v z
x
x 1 2
z
x
2
c ; pero :
z
y
1
1
z z y
y
2
x 2 c
1
1 x 2 y 2 y
c
y 1+ x 2 y 2 =c y
La solución general es :
3x)dx+2xydy=0 …..(1) 2.- Resolver la ecuación diferencial d iferencial: (2y 2 - 3x)dx+2xydy=0 Solución: Haciendo la sustitución: y
2
Reemplazando en (1) : 2 z
2 z 2
z dy z 1dz
3 x dx 2 xz z 1 dz 0
3 x dx 2 xz 2 1dz 0......2 ;
para que 2 sea hom ogénea : 2 1
1 2
entonces : y=z 1/2 , por lo tanto : dy=1/2z -1/2 dz , entonces sustituyrndo en (2)ç (2z-3x)dx+xdz=0 (2z-3x)dx+xdz=0 …(3) . Ahora haciendo : v=z/x, z=vx y dz=vdx+xdv en (3) : (2vxdx-3x)dx+x(vdx+xdv)=0 (2vxdx-3x)dx+x(vdx+xdv)=0 ,, entonces : 2vxdx-3xdx+vxdx+x 2 dv=0 --- 3vxdx-3xdx+x 2 dv=0 ; factorizando: factorizando: 3x(v-1)dx+x 2 dv=0 separando variables e integrando se tiene:
3
dx x
dv v 1
x 3 v 1 c
0
; pero : v
Lnc
3 Lnx Ln v 1 Lnc Ln x 3 v 1 z x
z simplfican do : x 3 1 c ; simplfican x
x 2 z x c
ahora: y=z 1/2 ; entonces : z=y 2 , por lo tanto la solución general es: x 2 (y 2 -x)=c ó
x 2 y 2 -x 3=c …..Rpta
Propuestos:
3 x 2 y) dx x 3 dy 0 2. (1 xy 2 ) dx 2 x 2 y dy 0 3. ( x y 3 ) dx 6 xy 2 dy 0
1. ( y 2
I ng° Jose H i l ari ar i o Ber Ber r i os
,
32 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 1. Definición. Una Ecuación Diferencial de la forma M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 se dice que es Ecuación Diferencial Exacta si cumple con la condición necesaria y suficiente, llamada criterio de exactitud siguiente:
M N y x Ejemplos: Compruebe si las siguientes Ecuaciones Diferenciales son exactas:
2 y dy 0 M N Solución : 2 x , 2 x y x 2. cos ydx y 2 xsenydy 0 ,
1.
2 xy 3 x dx x 2
2
,
Ec. Dif . Exacta
Ec. Dif . Exacta
2. Procedimiento p ara resolver una Ecu ación Diferencial Exacta. Comprobar que la Ecuación Diferencial dada es exacta, o sea:
M N y x Calcular I x ( Integración parcial respecto a x)
I x
x
M ( x, y)dx
Calcular I y ( Integración parcial respecto a y)
I y
y N ( x, y) I x dy y
La solución general es:
I x
I y C
1.—Resolver la ecuación diferencial : (y+ycosxy)dx+(x+xcosxy)dy=0 Solución: comprobando si es una ec. Dif. Exacta:
M 1 xy sen xy y Cálculo de I x e I y
N 1 xy sen xy x
Ec. dif exacta
:
x
I x
y y cos xydx xy sen xy
I y
y y y x x cos xy xy sen xydy x x cos xy x x cos xy dy 0dy c y
I ng° Jose H il ario Ber r i os
33 Por lo tanto la solución general es : I x +I y = C , entonces : xy+senxy=c ….Rpta 2.—Resolver la ecuación diferencial : (cos2y-3x2y2)dx+(cos2y-2xsen2y-2x3y)dy=0 Solución: comprobando si es una ec. Dif. Exacta:
M 2 sen 2 y 6 x 2 y y Cálculo de I x e I y
I x
N 2 sen 2 y 6 x 2 y x
Ec. dif exacta
:
x
cos 2 y 3 x2 y 2 dx x cos 2 y x3 y 2
I y
ycos 2 y 2 xsen2 y 2 x 3 y x cos 2 y x 3 y 2 dy y
y cos 2 y 2 xsen2 y 2 x3 y 2 ysen2 y 2 x3 y dy
I y
y
cos2 ydy
1 2
sen 2 y
I x I y c
1 2
sen 2 y x cos 2 y x 3 y 2
c
rpta
3.—Resolver la ecuación diferencial : (x-1) -1 ydx+(Ln(2x-2)+1/y)dy=0 Solución: comprobando si es una ec. Dif. Exacta:
M 1 y x 1 Cálculo de I x e I y x
1 N x x 1
Ec. dif exacta
:
y
I x
I y
y y 1 1 Ln2 x 2 yLn x 1dy Ln2 x 2 Ln x 1dy y y y
dx yLn x 1 x 1
I y = y Ln (2x-2)+Ln y-y Ln (x-1) ; la solución general : I x + I y = c ,es : y Ln (x-1)+y Ln (2x-2)+Ln y- y Ln (x-1) = c , finalmente: y Ln (2x-2)+Ln y = c …Rpta. 2 2 4.—Resolver la ecuación diferencial : (ax 2 +2bxy+cy ) d x+( b x 2 +2cxy+y )d y=0
Solución: comprobando si es una ec. Dif. Exacta:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
34
M 2bx 2cy y Cálculo de I x e I y x
ax
N 2bx 2cy x
Ec. dif exacta
:
2bxy cy 2 dx
a
I x
I y
y y a 3 bx2 2cxy y 2 x bx2 y cxy2 dy bx2 2cxy y 2 bx2 2cxydy y 3
I y
y
2
2
y dy
3
x3 bx 2 y cxy 2
y 3 3
por lo tanto la solución general : I x +I y = c ,es : a/3 x 3+bx 2 y+cxy 2 +y 3 /3=c , finalmente: ax 3+3bx 2 y+3cxy 2 +y 3=c …..R pt a.
5.—Resolver la ecuación diferencial : e 2x (dy+2yd x)= x 2 d x Solución: Tenemos : 2ye2x dx+e2x dy-x 2 dx=0 - (2ye2x -x 2 )dx+e2x dy=0 comprobando si es una ec. Dif. Exacta:
M 2e2 x y Cálculo de I x e I y
I x
I y
x
2 ye
y
2 x
x
2
N 2e2 x x
Ec. dif exacta
:
dx ye
2x
x3 3
2 x 2 x x3 y y 2 x 2 x e ye dy e e 0 dy 0dy c y 3
por lo tanto la solución general : I x +I y = c ,es : ye2x -x 3 /3=c , entonces : 3ye2x = x 3+c ….Rpta.
6.-Resolver la ecuación diferencial :
ye
2 x
3 xe
2 y
e2 x dx 3 x 2e2 y e y dy 0 ; 2
y(1)=0 Solución: comprobando si es una ec. Dif. Exacta:
M 2 x e 6 xe2 y y Cálculo de I x e I y
:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
N 2 x e 6 xe2 y x
Ec. dif exacta
35
I x
I y
x
ye
2 x
3 xe2 y dx
y 2
e 2 x
3 2
e2 y x 2
e 2 x y 2 x 3 2 y 2 3 x 2 e 2 y e y e e x dy 2 y 2 2 y
e2 x e2 x 2 2 y y 3 x e e 3 x 2e2 y dy 2 2 y
por lo tanto la solución general : I x +I y = c ,es :
y 2
e 2 x
3 2
e 2 y x 2
e y c
ye2 x
3 x 2e2 y 2e y c
Ahora si : x = 1 ; y = 0 , entonces c = -5 , por lo tanto la solución particular es :
ye2 x
3 2
x 2e2 y
2e y 5 0
Rpta.
Propuestos: Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
1. 2 3. 4.
y 6 x dx ( Lnx 2)dy 0 x (2 xy tan y )dx x 2 x sec 2 y dy 0 x x e dx e 1 dy 0 , y(0) 2 y x y
x y
2 xseny 2 x 3 y cos x dx x 2 cos y 3 senxdy 0
I ng° Jose H il ario Ber r i os
, x
2
, y
0
36
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTAS (FACTORES INTEGRANTES). Si la ecuación Diferencial : M (x,y)dx+N (x,y)dy=0 no es exacta, puede transformarse en exacta multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) ,llamado factor integrante de la Ecuación Diferencial. Ejemplo: Sea la Ecuación Diferencial : 2ydx + xdy = 0 (Ecuación Diferencial no exacta) multiplicándola por el factor integrante : ( x, y ) = x , la Ecuación Diferencial resultante:
2 xydx x 2 dy 0 ya es exacta. (verifique). El cálculo de factores integrantes puede ser un problema difícil, sin embargo hay dos clases de Ecuaciones Diferenciales cuyos factores integrantes pueden hallarse de forma rutinaria, estas son aquellas que poseen factores integrantes que son sólo función de x o bien sólo función de y.
Teorema:
Sea la Ecuación Diferencial : M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
i)
M N y x
Si :
ii)
N N M
Si :
x
f ( x) , ( función sólo de x) e
f ( x ) dx
g ( y) , ( función sólo de y) e
g ( y ) dy
y
M
es un F . I
es un F . I
Ejemplos:
1.- Resolver la ecuación diferencial: (xy 3 +1)dx+x 2 y 2 dy=0 …….(1) Solución: Aplicando el criterio de exactitud:
M 3 xy 2 y
N 2 xy 2 x
; como es una ecuación diferencial no exacta,
calculamos el factor integrante , entonces:
M N y x N
3 xy2
2 xy 2
x 2 y 2
1 x
dx
f ( x ) dx f ( x) F . I e e x e Lnx x
Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=x se tiene: (x 2 y 3+x)dx+x 3y 2 dy=0 , que es una ecuación diferencial exacta, entonces:
I x
x
x y 2
3
x dx
x 3 y 3 3
I ng° Jose H il ario Ber r i os
x2 2
37
I y
y
3 2 x3 y 3 x 2 y dy x3 y 2 x3 y 2 dy 0dy C x y y 3 2
Por lo tanto la solución general es :
I x I y
C
2 x 3 y 3 3 x 2
x 3 y 3 3
C
x 2 2
C
Rpta.
2.- Resolver la ecuación diferencial: (xy 3 +1)dx+x 2 y 2 dy=0 …….(1) Solución: Aplicando el criterio de exactitud:
M 3 xy 2 y
N 2 xy 2 x
; como es una ecuación diferencial no exacta,
calculamos el factor integrante , entonces:
M N y x N
3 xy2
2 xy 2
x 2 y 2
1 x
dx
f ( x ) dx f ( x) F . I e e x e Lnx x
Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=x se tiene: (x 2 y 3+x)dx+x 3y 2 dy=0 , que es una ecuación diferencial exacta, entonces:
I x
I y
x
y
x y 2
3
x dx
x 3 y 3 3
x2 2
3 2 x3 y 3 x 2 y x3 y 2 x3 y 2 dy 0dy C x y dy y 3 2
Por lo tanto la solución general es :
I x I y
C
2 x 3 y 3 3 x 2
x 3 y 3
C
3
x 2 2
C
Rpta.
x sen y dy 0.......(1) y
3.- Resolver la ecuación diferencial: dx Solución: Aplicando el criterio de exactitud:
M 0 y
N 1 x y
;
como es una ecuación diferencial no exacta,
calculamos el factor integrante , entonces:
N M x y M
1
y
0 1
I ng° Jose H il ario Ber r i os
1 y
dy
f ( y ) dy f ( y) F . I e e y e Lny y
38 Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=y se tiene: ydx +(x-yseny)dy=0 , que es una ecuación diferencial exacta, entonces: x
I x
ydx xy
I y
y y y x y sen y xy dy x y sen y x dy y sen ydy y
Integrando por partes se tiene : I y = ycosy-seny ; por lo tanto la solución general es : I x +I y =C , entonces : xy+ycosy- seny=C ……..Rpta .
4.- Resolver la ecuación diferencial: x 4 Lnx 2 xy 3 dx 3 x 2 y 2 dy 0.......( 1) Solución: Aplicando el criterio de exactitud:
M 6 xy 2 y
N 6 xy 2 x
;
como es una ecuación diferencial no
exacta, calculamos el factor integrante , entonces:
M N y x N
6 xy 2 6 xy2 3 x 2 y 2
12 xy2 3 x 2 y 2
dx
4 f ( x ) dx f ( x) F . I e e x x 4
4
x
Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=x-4 se tiene:
2 y 3 3 y 2 Lnx 3 dx 2 dy 0 x x I x
I y
que es una ecuación diferencial exacta, entonces:
2 y 3 y 3 Lnx 3 dx xLnx x 2 x x x
y
2 3 y 2 y 3 y y y 3 3 y 2 2 xLnx x 2 dy 2 2 dy 0dy C x x y x x
por lo tanto la solución general es : xLnx x x 3 Lnx 1 y 3
Cx 2
y 3 x 2
C , finalmente :
Rpta
5.- Resolver la ecuación diferencial: dx xtany 2 sec y dy 0
(1)
Solución: Aplicando el criterio de exactitud se tiene:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
39
M N 0 ; tany f ( y) , (ec. dif . no exacta) , cálculo del factor int e gra nte y x n M tanydy x y tany 0 tny f ( y) F . I e e Ln sec y sec y
M 1 entonces multiplicando la ec .dif .(1) por el factor int e gra nte : F . I sec y se tiene : sec ydx ( x sec ytany 2 sec2 y )dy
0
; que es una ec dif .exacta ; entonces :
y x sec ytany 2 sec2 y ( x sec y) dy y
x
sec ydx x sec y
y
xtany sec y 2 sec y xtany sec y dy
I x
I y
; I y 2
2 sec2 ydy 2tany
I y C
por lo tanto la solución general es : I x x sec y 2tany C
y
se tiene :
Rpta.
FACTORES INTEGRANTES POR INSPECCION O GOLPE DE VISTA Este método consiste en agrupar convenientemente los términos de la Ecuación Diferencial y determinar la Ecuación Diferencial exacta que se forma al multiplicarla por un determinado factor integrante conveniente. El éxito de este método requiere de un buen conocimiento de diferenciales y una cierta pericia en determinar como deben agruparse los términos y para esto es útil la siguiente lista de algunas diferenciales exactas.
I ng° Jose H il ario Ber r i os
40
DIFERENCIALES EXACTAS: 1)
d xy xdy ydx
2)
d
3)
d
4)
d x 2 y 2
5)
d Ln xy
6)
d Ln
7)
d Ln
8)
d arc tan
y xdy ydx x 2 x
x ydx xdy y 2 y
2 xdx 2 ydy xdy ydx xy
x ydx xdy y xy y xdy ydx xy x
y xdy ydx x x 2 y 2
I ng° Jose H il ario Ber r i os
x ydx xdy 2 2 y x y
y xdy ydx x x x 2 y 2
9)
d arc tan
10)
d arc sen
11)
1 d Ln x 2 y 2 2
x 2 y 2
x y 2 xdy 2 ydx x y ( x y ) 2
12)
d
13)
d
14)
ydy xdx
x y 2 ydx 2 xdy x y x y 2
ydx xdy n 1 xy n n 1 xy
d
1
41 Ejemplos:
1.- Resolver la ecuación diferencial: (x-x 2 y)dy-ydx=0 Solución:
De la ec dif se tiene : xdy x ydy ydx 0 ; ordenando : xdy ydx x ydy 2
2
Multiplicando por el factor int e gra nte :
1 x 2
xdy ydx
;
x 2
0
2
x ydy x 2
0
2 y y y y d ydy 0 ; int e gra ndo : d ydy 0 C x 2 x x 2 2 y xy Rpta. C 2 y xy 2 Cx luego : 2 y xy 2 Cx 0
2 x
2.- Resolver la ecuación diferencial: y(1+xy)dx=xdy Solución: De la ec dif se tiene : ydx xy dx xdy
0 ; ordenando : ydx xdy xy 2 dx 0 2 1 ydx xdy xy dx Multiplicando por el factor int e gra nte : 2 ; 2 0 2 2
y
y
y
2 x x x x d xdx 0 ; int e gra ndo : d xdx 0 C y 2 y y 2 2 x x y x C 2 x x 2 y Cy luego : 2 x 2 C Rpta.
2 y
y
3.- Resolver la ecuación diferencial: xdy=(x 2 +y 2 +y)dx Solución: De la ec dif se tiene : xdy
( x 2 y 2 )dx ydx ; ordenando : xdy ydx ( x 2 y 2 )dx
Multiplicando por el factor int e gra nte :
d arctan y x
1 x
2
y 2
;
xdy ydx x
2
y 2
y
x
y 2 dx 0 2 2 x y
2
2
y y dx ; int e gra ndo : d arctan dx 0 arctan x C x x x
tan( x C )
y
xtan( x C )
Rpta.
4.- Resolver la ecuación diferencial: (y-xy 2 Lnx)dx+xdy=0 Solución:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
42 De la ec dif se tiene : ydx xy Lnxdx xdy
0 ; ordenando : ydx xdy xy 2 Lnxdx 0 2 1 ydx xdy xy Lnxdx 0 ; 2 2 2 2 2 2
2
Multiplicando por el factor int e gra nte :
ydx xdy
xy 2 2 xyLn2 x 2 xy
Lnxdx x
x y
x y
x y
1 Lnxdx 0 ; d 0 x xy
C
2 xyLn x
Cxy
2
; Inte gra ndo :
1 xy
2
Ln x 2
C
Rpta.
5.- Resolver la ecuación diferencial: x2dy xydx x2 y 2 xdy ydx 0 Solución: De la ec dif se tiene : x( xdy ydx) x
2
y 2 ( xdy ydx) 0 ; 1
Multiplicando por el f actor int e gra nte : x
( xdy ydx) x x
2
y
2
xdy ydx
Inte gra ndo :
x
finalmente obtenemos :
2
2
x
y y d arcsen d x x
y
2
x
2
y y d arcsen d x x
0;
y arcsen x
2
x( xdy ydx)
y
C
x
2
y
2
x
2
y 2 ( xdy ydx) 0 2 2 2 x x y
0
o Rpta.
x
6.- Resolver la ecuación diferencial: y x x 2 y 2 dx y x 2 y 2 x dy 0 Solución:
y 2 )dx y x 2 y 2 dy xdy 0 xdy ydx x x 2 y 2 dx y x 2 y 2 dy 0
De la ec dif se tiene : ydx x( x
2
Multiplicando por el factor int e gra nte :
1 x
2
y 2
se tiene :
xdy ydx x x 2 y 2 dx y x 2 y 2 xdy ydx 2 2 2 2 0 2 2 xdx ydy 0 2 2 x y x y x y x y y y 1 1 d arctan d x 2 y 2 0 d arctan d x 2 y 2 0 x x 2 2 Inte gra ndo :
y
1
x
2 y
arctan
finalmente obtenemos :
x
2
y 2 C
2arctan x 2 y 2 C
I ng° Jose H il ario Ber r i os
Rpta.
x
43
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Definición.- Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la dy
forma :
dx
P ( x) y Q( x)
donde P y Q son funciones continuas de x
Solución de una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden: Sea:
dy dx
P ( x) y Q( x)
dy P ( x) ydx Q( x)dx
Multiplicando por el factor integrante: e
e
P ( x ) dx
dy yP ( x)e
P ( x ) dx
Q( x)e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
tenemos:
dx
P ( x ) dx Q( x)e P ( x ) dx dx , int egrando tenemos : ye P ( x )dx Q( x)e P ( x ) dx dx C ye P ( x) dx Q( x)e P ( x ) dx dx C d d ye
Sol . gral
De manera análoga si la ecuación diferencial es:
dx dy
P ( y) x Q( y )
xe
P ( y ) dy
la solución general es:
Q( y)e
P ( y ) dy
dy C
EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Resolver la ecuación diferencial: y’ - y=3e x Solución:
1 ; Q( x) 3e x dx dx dx la solución general es : ye 3e xe dx C ye x 3 e xe dx C En este caso se tiene : p( x)
ye x 3 dx C ye x 3 x C y 3 xe x Ce x finalmente se tiene : y
e x (3 x C ) Solución general .
2.- Resolver la ecuación diferencial: (1 y 2 )dx Solución:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
1 y 2 sen y xy dy
44 Llev ando la ecuación diferencia a la forma lineal :
1 y dx 2
dy
Dividiendo entre : 1 y
1 y 2
1 y 2 sen y xy
y x dy 1 y 2 dx
2
xy
1 y 2 sen y
tenemos : y 2 x dy 1 y
1 y 2 sen y
sen y
Ln 1 y 2
xe x
1 y 2
sen y 1 y 2
1 y 2
(ec. dif en " x" ) p( y )
1 y 2
la solución general es : 2
dy
dx
ydy
1
dx
xe
1 y
2
e
sen ydy C
1 y 2
e
1 y
Finalmente : x 1 y 2
dy C x 1 y 2 x 1 y 2
cos y C
1 y
2
; Q( y )
sen y 1 y 2
ydy
sen y
2
dy C
1
Ln 1 y 2 2
y
sen y 1 y 2
1 y 2 dy C
cos y C
solución general .
3.- Resolver la ecuación diferencial: y’cosy+seny=x+1 Solución:
Tenemos :
dy dx
cos y sen y
Haciendo : z sen y dz cos ydx
x 1
( )
dz cos ydy
cos y z x 1
dz dx
dy
dz cos y
; reemplazando en se tiene :
z x 1 Ec. diferencial lineal en " z "
p( x) 1 ; Q( x) x 1 la solución general es : ze x 1e dx
ze x x 1e x dx C ze x xe x e x dx e x dx C z x Ce x
; pero : z sen y
4.- Resolver la ecuación diferencial: x Solución:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
sen y
dy dx
x Ce x y
1 x
1 x 2
ze x
dx
dx C
xe x C
Sol . general .
45
Llev ando la ec. dif . a la forma lineal :
Q( x)
1 x 2 x
dy dx
1 x1 x dx
la solución general es : ye
Inte gra ndo la exp resión :
dx
x(1 x)
dx
y
x 1
x
2
Ln
xy x 1
C , simplificando : y x 1
x 2 2
x x 1
x
1 xdx C x 1 C 1 2 x
dx
(tanx) y sen 2 x p( x) tanx
Solución general : ye
tanxdx
sen 2 x e
ye Ln cos x sen 2 x e Ln cos x dx C
y cos x y
2 sen x cos x cos x
dx C
cos x
dx C
y cos x
sen 2 x cos x
dx C
2 sen xdx C
y
Sol . general 2 cos x C cos x cos x la solución particular para : x 0 ; y 2 es : 2 cos0
0
2 cos x C
y
tanxdx
sen 2 x
; Q( x)
2 cos0o C y
C 4 ;
la solución particular es :
2 cos x 4
Rpta.
cos x
6.- Resolver la ecuación diferencial: x(1 x 2 ) y' y ax3 0 Solución:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
Rpta.
Solución:
dy
( )
1 x 2 Ln x 1 e dx C x
5.- Resolver la ecuación diferencial: y' ytanx sen 2 x ; y(0) 2
Tenemos :
x1 x
por fracciones parciales se tiene :
1 x (1 x) x x y x 1 dx C x x 1
1
dx
x(1 x) Lnx Ln x 1 Ln x 1 en ( ) : ye x 2
x
p( x)
1 x 2 x 1 x e dx C x
x 1 x
x
xy
1 x 2
46
De la ec dif se tiene : x 1 x 2
dy y ax
3
; multiplicandola por :
dx
1
x 1 x 2
:
1 ax 2 dy 1 ax 2 y 1 x 2 dx x x 2 1 y x 2 1 ; la sol . general es : dx x 1 x 2 dx dx x x 1 x x 1 x 2 dx ye dx C ( ) ; int e gra ndo : por fracciones parciales a 2 e x 1 x x 2 1 dy
2
2
se tiene :
a
x
ye
x x
x 2 1
Ln
dx
x
y
y
2
1
x x 2
1
x
2
1
Ln
x 2
Ln
1
x 2
a
x 2
a
x 2 1
e
dx C
x
2 x x 2 1
x 2
, reemplazando en ( ) se tiene :
x
2
1
1
y
x x
dx C y
2
1 C
; luego : y
1
x 2
2
a 2 x 1
1
x
ax
1 dx C x
x 2
a x 2
Cx x
2
1
x 2 1
12
2
1
C
2
Rpta.
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A LINEALES 1. (EC DE BERNOULLI) Estas presentan la forma:
dy dx
Multiplicando por y : y n
n
P ( x) y Q( x) y n dy dx
P ( x) y 1 n Q( x)
Multiplicando por (1 n) : (1 n) y
d dx
y (1 n) P ( x) y 1 n)
1 n
Haciendo Z y
1 n
se tiene :
: y
1 n
e
(1 n ) P ( x ) dx
dy dx
(1 n) P ( x) y 1n (1 n)Q( x)
(1 n)Q( x) dZ dx
La solución General es : Z e o
n
(1 n) P ( x) Z (1 n)Q( x) Ec Dif Lineal en Z
(1 n ) P ( x ) dx
(1 n) Q( x)e
(1 n)Q( x)e
(1 n ) P ( x ) dx
(1 n ) P ( x ) dx
dx C
Ejercicios Resueltos: 1.- Resolver la ecuación diferencial: Solución:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
ydx2 xy 2 Lnx 1 2 xdy
dx C
47
2 x dy
Llev ando a la formalineal de Bernoulli tenemos : y 2 xy 2 Lnx 1
2 x
dy
2 xy3 Lnx y ; dividim os entre 2 x :
dx
P ( x) 2
y e
2
dx
1 2 x
; Q( x)
Lnx ;
n
dy dx
y 2 x
dx
Lnx y 3 Ec dif de Bernoulli
3 1 n 2 ; la solución general es :
dx
2 x 2 Lnx e2 2 x dx C y 2e Lnx 2 Lnx e Lnx dx C y 2 x 2 xLnxdx C
int e gra ndo por partes el segundo miembrose tiene : Finalmente setiene la solución general :
x y
2
x y 2
x 2 Lnx
2.- Resolver la ecuación diferencial: yy' y 2 cot x
x 2 1 2 Lnx x 2 C 4 2 1 2
x 2
C
Rpta.
1 sen 2 x
Solución:
Dividiendo le ec dif entre " y" tenemos :
dy dx
y cot x cs c2 xy 1 Ec dif de Bernoulli
p( x) cot x ; Q( x) csc2 x ; n 1 ; 1 n 2 ; la solución general es : 2 cot xdx 2 cot xdx y 2e dx C y 2e Ln sen x 2 cs c2 x e Ln (sen x ) dx C 2 csc2 x e 2
y 2 sen x
2
2 csc2 x (sen2 x)dx C finalmente : y 2
2 x C sen 2 x
y 2 sen 2 x
2 dx C y 2 sen 2 x 2 x C
Solución general ( Rpta).
3.- Resolver la ecuación diferencial: cos x y' y sen x y 2tanx Solución:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
2
48
De la ec dif se tiene : cos x
dy
ytanx y 2
dx
sen x
tanxdx
cos2 x
y 1 sec x
1
sen x 2
1 y cos x
( K 2 C )
cos x
y sen x y 2tanx p( x)
y 1e tanxdx
1 2
2 cos x
tanxdx
sen x 2
cos x
e
Ln sec x
1 y cos x
y cos x
1
1
C
sen x
y cos x
tanxdx
2 cos x
4.- Resolver la ecuación diferencial:
x
dy dx
1 n
1
Ln sec x
e
dx C
dx C
cos x 2 C 2 2
K cos2 x 1
2
cos x
cos3 x
2
dx C
sen x
sen x
1 2 C cos2 x
2 cos x
;n
cos2 x
dx C y 1e
sen xdx C
; finalmente : y
; divi dim os entre cos x :
tanx ; Q( x)
cos x sen x sec xdx C cos2 x 3
y cos x
e
dx
la solución general es : y 1e
dy
2 cos2 x y cos x
K cos2 x 1
Solución general ( Rpta)
y x k y n
Solución: Dividiendo entre ―x‖ se tiene: dx
dx
1 n 1 n 1 1 x (1 n) x k 1e x dx C y x k 1 y n p( x) ; Q( x) x k 1 y1 ne dx x x y1 nen 1 Lnx (1 n) x k 1en 1 Lnx dx C y1 n x n 1 (1 n) x x 1 x n 1dx C
dy
1 n
y
x
n 1
(1 n) x
k n 2
1 n
dx C y x
n 1
y1 n x n 1 (k n 1) (1 n) x k n 1 C Finalmente : (k n 1) y1 n (n
1
;
k n
(1 n)
x k n 1 k n 1
(k n 1) y1 n
(1 n) x k Cx1 n
(1 n) x k n 1 C (k n 1) k n 1
(1 n) x
x n 1
Sol . general ( Rpta)
1)
5.- Resolver la ecuación diferencial: 2 cos ydx ( x sen y x3 )dy 0 Solución: De la ecuación diferencial se tiene:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
k n 1
C x n 1
49 dx dy
x sen y x 0
1 1 tany x Secy. x3 dy 2 2
3
2 cos y
p( y) tany
dx
; Q( y )
1 2
2
sol . general :
x 2 cos y
x
sec y cos y
2
tanydy e2
dy C
Finalmente : sec y
sec y
2
2
;
n 2
sec y e 2
x 2 sec y
3
(ec dif lineal en x)
1 n
tanydy dy C
2
x 2e Ln cos y
sec2 ydy C
x 2 (tany C )
sec ye Ln cos y dy C
x 2 sec y
tany C
Sol . general ( Rpta)
6.- Resolver la ecuación diferencial: 2 yy' y 2 cot x csc x 0 Solución: Llevando la ec. Dif. a la forma lineal de Bernoulli se tiene: dy 2 y y 2 cot x cs c x ; dividiendo entre 2 y se tiene : dx
cot x y dx 2
dy
n
csc x
2 y
cot x y dx 2
dy
1 1 n 2 la sol . general es :
y 2e Ln sen x
y 2 sen x
csc x e Ln sen x dx C
dx C
finalmente : y 2
y 2 sen x
csc x 2 2
y e
2
y 1
cot x
y 2 sen x
2
dx
2
p( x) cs c x 2
e
2
cot x 2
cot x 2
dx
; Q( x)
cs c x 2
dx C
csc x sen xdx C
x C
x csc x csc x
y 2
Sol general
x sen x
C sen x
( Rpta)
2. ECUACION DIFERENCIAL DE RICCATI Presentan la siguiente forma: dy (1) P ( x) y Q( x) y 2 R( x) dx P ( x) , Q( x) , R( x) son funciones sólo de x
La solución general se puede hallar si se conoce una solución particular y entonces se hace : y
( x) + z
dy
' ( x)
dz
( x) ,
, (z es una función incógnita de dx dx x que se determina con ayuda de la ecuación diferencial propuesta que la reduce a una ec. Dif de Bernoulli)
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
I ng° Jose H il ario Ber r i os
50 1. y ' xy 2 2.
dy dx
(2 x 1) y x 1
1 x 2 2 xy y 2
3. x y ' x y y 3
4.
dy dx
2
6. x( x 1)
dy dx
2
2
dx
x 2
4
, ( x) x
y x
, ( x) x
, ( x) 1
(2 x 1) y y 2 2 x 0
7. y' y senx dy
, ( x) x
4 x(4 x 1) y 8 xy 2 (8 x 3 4 x 2 1)
5. y ' 3 y y
8.
2
, ( x) 1
2 sen( x)
, ( x)
2
cos x
x 3 y 2 x 5
, ( x) x
I ng° Jose H il ario Ber r i os
1 cos x
, ( x) x
51
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO 1.A.- Problemas de Crecimiento y decrecimiento exponencial. La razón de cambio con respecto al tiempo de una población p(t) que está creciendo o decreciendo es en muchos casos simples proporcional al tamaño de la población, o sea :
dp dt
kp ; donde k = constante de proporcionalidad.
Ejemplo 1.- Se sabe que el número de habitantes de cierto país aumenta a una tasa proporcional al número de habitantes actuales del país. Si después de 2 años la población se ha duplicado y después de 3 años, la población es de 20 000 habitantes. ¿Cuántos habitantes había inicialmente en el país? dp Solución . Sea kp la ecuación diferencial, entonces la solución general es: dt p Ce Kt 1 ; entonces según las condiciones del problema : Para un tiempo inicial
T o existe una población inicial P=P 0 , entonces en (1) : p
Ce K (0) C P 0
; por lo
kt tanto en (1) tenemos : P =P 0e … (2) . Ahora para T= 2 años la población es P = 2P 0 kt Entonces en (2) 2P 0 = P 0e ; entonces k= 0,5 Ln2 , por lo tanto k= 0,347. Ahora reemplazamos en (2) y tenemos: p(t)= P 0 e0,347t ….(3) (Población en cualquier tiempo t). Ahora para T= 3 años , P= 20 000 y P0 = ? . Por lo tanto reemplazando en (3) se tiene : 20 000 = P 0 e0,347(3) Finalmente se tiene : P 0 = 7062 habitantes. …(Rpta).
Ejemplo 2. El número de bacterias en un cultivo que crece con rapidez fue estimado en 10 000 al mediodía y después de 2 horas en 40 000. ¿ Cuántas bacterias habrá: ii) a las 5 p.m ii) a las 8 p.m
dp
1 dt Segúnlas condicione s del problema : paraT 0 0 existe una población : P 10000 bacterias Solución : Sea la ecuación diferencial :
entonces en (1) : 10000 Ce k ( 0)
kt
; la solución general es : P Ce kt
C 10000 ; en(1) P 10000ekt (2). Ahora para T 2 horas se tiene : P 40000 en (2) : 40000 10000e k ( 2 ) k 0,693 ; en (2) : P 10000e0, 693t 3 ( Población en cualquier tiempo). Entonces : i) a las 5 p.m : T 5 horas habrá : P 10000e0, 693(5) P 319 765 ii ) a las 8 p.m : T 8 horas habrá : P 10000e0, 693(8) P 2 556 988
I ng° Jose H il ario Ber r i os
52 2.A.- Ley de Desintegración radiactiva. La tasa de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional en cualquier instante a la cantidad de sustancia que está presente; entonces la ecuación diferencial es :
dx dt
kx
; k cantidad pre sen te en el tiempo "t "
Ejemplo 3.- Se ha encontrado que el 0,5% del elemento Radio desaparece en 12 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en 100 años?
Solución : Sea la ecuación diferencial :
dx
kx
; la solución general es : x
Cekt 1
dt Sea : x0 cantidad en gra mos de radio pre sen te inicialmente ; 0,005 x0 gra mos desaparecen en 12años ; queda 0,995 x0 gra mos.
0 tenemos : x x0 en (1) x0 Ce k 0 x0 C En (1) : x x0e kt 2 ; ahora para T 12años se tiene : x 0,995 x0 En (2) : 0,995 x0 x0e k (12) k 0,000418 ; por lo tanto en (2) se tiene : x x0e 0, 000418 t (3) cantidad pre sen te en cualquier tiempot ) Por lo tanto cantidad pre sen te en 1000años : en (3) : x x0e 0,0004181000 x 0,658 x0 ; entonces la cantidad desaparecida en 1000 años es : 0,342 x0 34,2% Ahora para T 0
Rpta.
Ejemplo 4.- El Carbono 14, uno de los 3 isótopos del carbón es radiactivo y decrece a una razón proporcional a la cantidad actual. Su Vida media es de 5 570 años, es decir una cantidad dada de C 14 tarda 5 570 años en reducirse a la mitad de su cantidad original. Si estaban presentes inicialmente 10 gramos. ¿Cuántos gramos quedará después de 2000 años? dx Solución : Sea la ecuación diferencial : kx ; la solución general es : x Cekt 1 dt
0 existe una cantidad x 10 g de C 14 en 1 10 Ce k ( 0) C 10 entonces en 1 : x 10e kt 2 . Ahora para T 5570 años existe : x 5 g de C 14 en 2 : 5 10e k (5570) ; k 0,000124 en 2 : x 10e 0, 000124 t 3 Por lo tanto cantidad pre sen te en 2000 años : en (3) : x 10e 0, 000124 2000 x 7,80 gra mos de C 14 Rpta. Para T 0
Ejemplo 5 .- Todos los seres vivos contienen Carbono 12 que es estable, y Carbono 14 que es radiactivo. Mientras esté vivo un animal o planta, la razón entre los dos isótopos de Carbono permanece sin cambio, dado a que el Carbono 14 se renueva constantemente; después de su muerte no se absorbe más Carbono 14. La vida media del Carbono 14 es 5570 años. Si los leños carbonizados de un viejo fuerte muestran solo el 70 % del Carbono 14 que es de esperarse en la materia viva. ¿Cuándo fue incendiado el fuerte?. Supóngase que el fuerte se quemo poco después de ser construido con troncos recién aserrados.
I ng° Jose H il ario Ber r i os
53
Solución : Sea la ecuación diferencial : Para T 0
dt
0 existe una cantidad inicial x0
entonces en 1 : x
dx
en 2 :
x0
x0e kt 2.
x0e k 5570
;
kx
de C 14
; la solución general es : x
en 2 : x
en 3
0,7 x0
x0e 0,000124t
x0 2
de C 14
x0e 0,000124t 3
2 Ahora, como los leños carbonizad os muestran solo el 70% de C 14 , x
en 1 x0 Ce k (0) C x0
Ahora para T 5570 años existe : x
k 0,000124
Cekt 1
0,7 x0
T 2876 años
por lo tanto el fuerte f ue incendiado hace 2876 años
Rpta
3.A.- LEY DE NEWTON SOBRE EL ENFRIAMIENTO
Establece que la razón de cambio en tiempo, de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio ambiente. Sea: T= temperatura del cuerpo. Tm= Temperatura del medio ambiente. Entonces el tiempo necesario para el cambio de la temperatura del cuerpo es: dT dT dT y la ley del enfriamiento puede escribirse como : k T T m ó kT kT m d d d dT signo() para hacer negativa. k constante de proporcionalidad . d Ejemplo 6 .- Un cuerpo metálico a una temperatura de 100ºF, se coloca en un cuarto a una temperatura constante de 0ºF. Si después de 20 minutos, la temperatura de la barra es de 50ºF. Hallar: a) El tiempo requerido por el cuerpo para llegar a una temperatura de 25ºF b) La temperatura del cuerpo después de 10 minutos.
I ng° Jose H il ario Ber r i os
54 Solución. Se tiene como dato : T m La ecuación diferencial es : Re solviendo : Te
kd
dT d
0º F (Tempetura del medio ambiente)
kT kT m
dT d
kT 0 Ec dif lineal .
(0) e d C T Ce k kd
(1)
0 ; T 100º F ; en (1) : 100 Ce k 0 C 100 en (1) : T 100e k (2) ; Ahora para un tiempo 20 min se tiene : k 20 T 50º F ; en 2 : 50 100e k 0,035 ; por lo tanto en 2 : 0, 035 3 Temperatur a del cuerpo en cualquier tiempo T 100 e a) Tiempo para T 25º F : en (3) 25 100e 0, 035 39,6 minutos. 0, 03510 T 70,5º F . b) Temperatur a para 10 min : en (3) T 100e Para un tiempo T 0
Ejemplo 7 .- Agua a una temperatura de 1000C se enfría en 10 minutos a 80ºC, en un cuarto con temperatura de 25ºC. a) Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. b) ¿Cuándo la temperatura será de 40ºC?¿26ºC? Solución. Se tiene como dato : T m 25º C (Tempetura del medio ambiente)
La ecuación diferencial es :
dT d
Re solviendo : T 25 Ce k : 100 25 Ce k 0 T 80º C ;
kT kT m
d
kT 25k Ec dif lineal .
(1) ; para 0 tenemos : T 100 ; en 1
C 75 luego : T 25 75e k
en 2 : 80 25 75e k 10
T 25 75 e 0, 031
dT
2 ;
ahora 10 min se tiene :
k 0,031 ; por lo tanto en 2 :
3 Temperatur a del cuerpo en cualquier tiempo a ) Temperatur a para 20 min : en (3) T 25 75e 0, 03120 T 65,35º C . b) Tiempo para T 40º C : en (3) 40 25 75e 0, 031 52 min. c) Tiempo para T 26º C : en (3) 26 25 75e 0, 031 139,27 min
4.A.- APLICACIONES EN CIRCUITOS ELECTRICOS. La electricidad tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos, conocida como la LEY DE KIRCHOFF: ―La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero‖. Representaciones:
Considerar un circuito eléctrico que consiste de una fuente de voltaje E (bateria o generador), una resistencia R ; un inductor L conectados en serie. Entonces por convención la corriente fluye del lado positivo (+) del generador a través del circuito hacia el lado negativo (-). (Ver fig). Por Kirchoff, la fuerza electromotriz (f.e.m)
I ng° Jose H il ario Ber r i os
55
dI
suministrada es igual a la caída de voltaje a través del inductor L
más la caída dT de voltaje a través de la resistencia (RI) , entonces se tiene la ecuación diferencial dI requerida para el circuito: L RI E dt
Ejemplo 8 .- Un generador con f.e.m de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cierra en un tiempo T=0, hallar: ia) Una expresión para la corriente (I) c) La corriente en el tiempo t=8 s
E Voltaje suministrado
Soluciòn : se tiene :
100 V
Caìda de voltajea travès de la resistenci a de 10 RI 10 I Caìda de voltajea travès del inductor : L
se tiene la ecuaciòn diferencial :
dI dt
5 I 50
2
resolviend o obtenemos : I 10 C e 5t
dI
dI dt
dt
2
dI dt
10 I 100
1
en 1 : 0 10 C e50 ; C 10 i ) en 1 I 10 10 e5t I 101 e 5t Expresiòn para la corriente ii ) Corriente en t 8 s : en 2 : I 101 e 58 10 A Ahora para t 0 ; I 0
Ejemplo 9.- Un generador con f.e.m de 20cos5t voltios, se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Establezca y resuelva una ecuación diferencial para la corriente si el interruptor se cierra en un tiempo t=0.
I ng° Jose H il ario Ber r i os
56 Soluciòn : La ecuaciòn diferencial del circuito elèctrico es : L 2
dI dt dI dt
RI E ; Segùn los datos del problema se tiene : 10 I 20 cos5t
ó
dI dt
5 I 10 cos5t
Re solviendo la ec .dif . lineal se tiene : I 0e
Ie5t
10 e5t cos5tdt C
10 cos5te5 dt C
5 dt
; int e gra ndo por partes : I cos5t sen 5t Ce 50
Ahora para t 0 ; I 0 en 1 : 0 cos50 sen 50 Ce 50 asì que en la soluciòn general 1 : I cos5 t sen 5 t e 5t
1
C 1
Rpta.
5.A.- TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Un problema común en electrostática, termodinámica, e hidrodinámica requiere saber hallar una familia de curvas, ortogonal cada una de ellas a todas las curvas de una cierta familia dada. En electrostática, las líneas de fuerza son ortogonales a las curvas equipotenciales. En termodinámica, el flujo de calor a través de una superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas. En hidrodinámica las líneas de flujo son trayectorias ortogonales a las curvas potenciales de velocidades, etc. Ejemplo 10 .- Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x 2+y2=c2, y dibuje varios miembros de la familia.
Soluciòn : Tenemos : x 2
y 2 C 2 Familiade circunferencias con centro en el orìgen y radio C
Derivando implícitamente respecto a " x" se tiene : 2 x 2 yy' 0
dy dx
x y
y'
dy dx
2 x 2 y
Pendiente de la familia dada de curvas en cualquier punto x, y
la familia ortogonal debe tener pendiente recíproca negativa : Re solviendo obtenemos :
dy y
dx x
Lny
Lnx LnC
la solución general repre sen ta una familia de rectas.
I ng° Jose H il ario Ber r i os
y x y
;
Kx
dy dx
y x
57 Ejemplo 11.- Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y=cx 2, y dibuje varios miembros de la familia. y Solución : Sea : y Cx 2 ; despejando : C 2 ; derivando implícitamente : x dy x 2 2 xy dy dy 2 y dx Pendiente de la familia 0 x 2 2 xy 4 x dx dx x dy x La pendiente de la familia ortogonal es : separando var iables e dx 2 y
int e gra ndo obtenemos :
x 2 2
y 2 C Ec de la familia ortogonal , familia de elipses.
6.A.- APLICACIÓN A MEZCLAS En un proceso físico o químico, la cantidad que ingresa debe ser igual a la cantidad que sale más las acumulaciones : ENTRADA= SALIDA+ACUMULACION (Ecuación de la continuidad) Ejemplo 12 .- Un tanque se llena con 32 litros de una solución salina que contiene 0,8 Kg de sal disuelto. Luego se introduce en el tanque solución salina que contiene 0,3 Kg de sal por litro a un gasto de 16 l/min, luego la mezcla se agita y sale del tanque al mismo gasto. Hallar: a) Cantidad de sal en cualquier tiempo. b) B) Concentración de sal después de 8 minutos.
Cantidad de sal acumulada en el tanque en el tiempo "t " 1 según la ec .de la continuidad : Acumulación Entrada Salida l Kg Kg La entrada es : E 16 0 , 3 4 , 8 min l min l Q Kg Q Kg dQ La salida es : E 16 ; la acumulación es : (razón de min 32 l 2 min dt Solución : Sea
Q
cambio de la cantidad acumulada en cualquier tiempo "t " )
I ng° Jose H il ario Ber r i os
58
en 1 :
dQ
Q
4,8
dt
2
dQ
dt
resolviend o tenemos : Ln Q 9,6
0,8 9,6 Ce
2
9,6 Q
1
2
1 2
0
C 8,8
en 2 : Q
de sal en cualquier tiempo "t " en min)
Concentración de sal es :
9,6 8,8e
dQ
dt
Q 9,6
1 2
dt
t 2
2 en 2 :
t
2
3
(Cantidad
Rpta(a).
b) Cantidad de sal cuando t 8 min : en3 Q
dQ
t C Q 9,6 Ce 2 hay una cantidad Q 0,8 Kg de sal disuelta
Ahora : para t 0
9,6 Q
9,44 Kg 32 l
9,6 8,8e Kg
0,295
8 2
Q
9,44 Kg .
Rpta.
l
Ejemplo 13.- Una galería minera contiene 90 000 m3 de aire cuya concentración es de 0,2 % de CO2. Si se desea remover esa atmósfera de aire con otra fresca proveniente del exterior, cuya concentración sea de 0,05 % de CO2 mediante el uso de ventiladores cuya velocidad es de 9 000 m3/min. Determinar el porcentaje de CO‖ al cabo de 25 minutos.
Solución : Sea Q
m3
Acumulación m3 CO2 La acumulación es :
de CO2 al cabo de "t " minutos, entonces se tiene :
Entradam
dQ dt
en 1 :
dt
4,5
Q 10
CO2
Salidasm
3
CO2
m3 min
4,5
m3 min
; La salida es : S
; separando var iables e int e gra ndo : Q
Ahora en el int erior de la galeria se tiene : Para t 0 ; Q
en la sol . general (2) se tiene : Q
45 135 e
1
razón de cambio del volúmen acumulado en cualquier tiempo
La entrada es : E 0,0005(900) dQ
3
180 45 Ce
Q(9000) m3 90000 min
45 Ce
t 10
2
0,002(90000) 180 m3
0 10
C 135 ; en 2
t 10
3 Volumen deCO2 en cualquier tiempo.
Ahora para t 25 min, en 3 : Q
45 135 e
el % de ren dim iento es :
% CO2
25 10
56,08(100) 90000
Q
56,08 m3
0,062 %
de CO2
Rpta.
7.A.- APLICACIONES A LAS REACCIONES QUIMICAS. Las Ecuaciones diferenciales se aplican también a las reacciones químicas de primer, segundo orden etc. Para una reacción de 1er orden A- B, la velocidad de
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59 transformación de una cierta cantidad ―x‖ de sustancia no transformada es proporcional a ―x‖, o sea :
dx
kx
dt
Ejemplo 14.- En un proceso químico una sustancia A se transforma en otra B con una velocidad proporcional a la cantidad de sustancia que queda sin transformar. Si al cabo de 1 hora esa cantidad es 48 gramos y al cabo de 3 horas es 27 gramos. Hallar la cantidad que había al principio.
Solución : Sea la reacción : A B y " x" la cantidad que queda sin transformar . La solución general de (1) es : x
en 2 27 C e
48 C e
k 3
k 1
.
2.
Ce kt
.
Ahora para t 1 hora ; x
Para : t 3 horas ; x
Ahora dividiendo entre :
27 g en 2 se tiene : 27 48
C e
3 k
C ek
k 0,2877
en 2 : x 64 e 0, 2877t 3 (cantidad sin transformar en cualquier tiempo). Ahora para t 0 en 3 calculamos la 0 , 2877 0 cantidad de sustancia que había al principio : x 64 e x 64 gra mos Rpta. en :
48 C e
48 g
0 , 28771
C 64 :
8.A.- APLICACIONES A LA DINAMICA Se hace uso de la 2da ley de Newton que establece que la rapidez de cambio del movimiento de una partícula es proporcional a la fuerza que actúa sobre ella y que se verifica en la misma dirección que la fuerza. Además como: a
dv dt
y
v
ds dt
F km
; para una partícula de masa constante " m" se tiene : dv dt
mk
d 2 s dt 2
ó
F
w dv g dt
w d 2 s g dt 2
k = Constante de proporcionalidad que depende del sistema que se emplea. En el sistema C.G.S ; k =1 Ejemplo 15 .- Un cuerpo de 8 libras de peso cae partiendo del reposo desde una gran altura, conforme cae, actúa sobre él la resistencia del aire a la que supondremos (en libras) numéricamente igual a 2v, siendo ―v‖ la velocidad en pies/s. Halle una expresión para la velocidad y la distancia recorrida al cabo de ―t‖ segundos.
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60 Solución : En el gráfico se muestran las condicione s del problema : i ) Elpunto" A": orígen en el que el cuerpo inicia su caída
8 lb , actúa hacia abajo y es positiva. iii ) F 2 2V resistenci a del aire, actúa hacia arriba , es negativa con valor 2V . en este problema hacemos uso de la 2da ley de Newton : ii ) F 1
F m.a
1.
Ahora : m
Como la aceleración es : a
w
; g 32
g
pies s 2
rando var iables se tiene :
V 4 C e8t 0 4 C e 80
dV 4 V
m 8dt
dV dt 8
32
dV V 4
en 1
F 1 F 2
en 2 : 8 2V
8dt
m
dV
2
dt 8 dV
32 dt
Ln V 4
; sepa
8t C
3. Ahora : para t 0 ; V 0 en 3 se tiene : C 4 ; reemplazando en 3 : V 4 4e 8t entonces :
V 4 1 e 8t s
(velocidad en "t " segundos). Ahora se sabe que : V
distancia en el instante "t "
ds dt
ds
dt
, siendo :
41 e8t dt
1 4. 4 t e8t C 8 1 1 Ahora para t 0 ; s 0 en 4 : 0 4 0 e 80 C C 2 8 1 1 Rpta. la distancia recorrida es : s 4 t e8t 8 2 int e gra ndo : s
4t e8t C 1 2
41 e8t
ds
1
s
9.A.- APLICACIONES GEOMETRICAS Ejemplo 16 .- Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (0,10) y que goza de la siguiente propiedad: ―Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geométrica y por el pie de la ordenada del punto de tangencia, una perpendicular a la tangente geométrica, hasta encontrar a dicha tangente, tal perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud‖.
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61 Solución :
Según los datos del problema y de la figura se tiene : HQ 10 ; RQ dy dx
tan
K ;
y
también : HP y 2
y Ln
y y 2
100
10
x
C
10
3.
y
K
100 K
10dy 2
dx
1. Ahora por semejanza
RHQ PHQ
de triángulos :
de las exp resiones (1) y (2) se tiene :
dy
K
la pendiente de la tangente en " P " es :
100
dx ,
Ahora para x
y HQ HP
HQ HP
K y
K
y (10)
y
2
100
2
int e gra ndo obtenemos :
0 ; y 10
en (3) tenemos : C 0
x
Luego la ecuación de la curva pedida es : y y
2
100 10e
10
Rpta.
10.A.- APLICACIONES A LA ECONOMIA Debido a que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es un tanto dificultoso, sin embargo se puede aplicar a ciertos problemas por ejm, de interés compuesto Ejemplo 17 .¿Qué tasa de interés pagadera anualmente equivale al 5% de interés contínuo?
Solución : La razón de cambio del monto respecto al tiempo es proporcional al monto pre sen te en cualquier tiempo, o sea : ds dt
is
ds s
ds dt
ks ; k constante, en este caso : k i
idt ; int e gra ndo : Lns it C s C eit
Cei 0 s C ; en este caso : C constanted e int e gra ción it 1 ; además se sabe por fórmula que : igual al capital P ; s Pe 2 , j Tasa de int erés pagadera anualmente s P (1 j ) Ahora para t 0 ; s
igualando las exp resiones (1) y (2) se tiene : P (1 j )
Peit 1 j eit j eit 1 3 Ahora para i 5% (int eréscontinuo) 0,05 , t 1 año se tiene en (3) : 0, 05 1 0,0513 ; j 5,13 % j e Rpta.
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62 PROBLEMAS PROPUESTOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Un cultivo bacteriano crece exponencialmente de manera que el número inicial 2. 3.
4.
5.
6.
7.
8.
se duplica en 3 horas.¿Cuántas veces aumenta el número inicial después de 9horas. Rpta : 8 veces Si la población mundial en 1 980 era de 4,5 x 10 9 habitantes, sabiendo que crece exponencialmente a razón de 4Ln2 % al año , estimar la población en el año 2030. Rpta : 18 x 10 9 El Isótopo Torio 234 se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente. Si 100 mg de éste material radiactivo se reduce a 82,04 mg en una semana. Encontrar una expresión para la cantidad presente en cualquier tiempo, y el tiempo que debe transcurrir para que la masa caiga a la mitad de su valor original. Rp ta : 2 4,75 d ías La razón de variación instantánea con que se desintegran los núcleos radiactivos es proporcional al número de tales núcleos presentes en una muestra dada. La mitad del número de núcleos radiactivos se ha desintegrado en un periodo de 1 500 años, entonces i) ¿Qué porcentaje de los núcleos radiactivos originales quedará al cabo de 4 500 años. Rpta : 12,5 % X 0 ii) ¿Cuántos años tardará en reducirse a una décima parte el número original de tales núcleos. Rp ta : 4 983 añ o s A causa del accidente del reactos nuclear de Chernobyl, en Abril de 1 986, quedó en el aire Cesio radiactivo 137. La vida media del 137Cs es 27,9 años. i) ¿Cuándo habrá solamente ¼ de la cantidad inicial? Rp ta : 55 ,9 a ñ o s ii) ¿Cuándo habrá solamente el 20% de la cantidad inicial? Rp ta : 64,9 a ñ o s Un analista desea enfriar desde 80ºC hasta 60ºC una sustancia contenida en un matraz. Se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 15ºC. Se observa que después de 2 minutos la temperatura ha descendido a 70ºC. Estime el tiempo total de enfriamiento. Rpta : 4,45 min . Un termómetro que marca 75ºF se lleva fuera donde la temperatura es de 20ºF. 4 minutos más tarde el termómetro marca 30ºF. Encuentre: i) La lectura del termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado al exterior. Rp ta : 23 ªF ii) El tiempo que toma el termómetro para caer desde 75ºF hasta medio grado con respecto a la temperatura del aire Rpta : 11 min . Halle la intensidad de la corriente que circula por un circuito impulsada por una fuerza electromotriz E= E 0 e-2t Cos2t, si se tienen los siguientes datos : L = 0,4 henrios, R = 5 ohm , E0 = 100 voltios , i = 0 para t = 0 -12,5t Π t + 2 Π sen2 Π t)e -2t – 17,43 e Rpt a : i = 1,66(10,5cos 2
9. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas : y2 = Cx3 Rpta: 2x 2 + 3y 2 = K 10. Encuentre la trayectoria ortogonal de la familia de curvas: x 2 + 3y2 = C y ,y que pase por el punto (1,2) Rpta: y 2 = x -2 (3x+1) 11. Hallar la curva cuya subtangente es igual al doble de la absisa del punto de tangencia. Rpta: y 2 = C x 12. Hallar la ecuación de una curva, sabiendo que el área comprendida entre la curva, el eje de las x, una ordenada fija y una ordenada variable, sea proporcional a la diferencia entre esas ordenadas. Rpta: y = Ce x/ k
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63
ECUA CIONES DIFERENCIAL ES DE ORDEN SUPERIOR Las ecuaciones diferenciales de orden superior u orden ―n‖ tienen la siguiente forma: F(x, y, y’, y’’, ……y n ) = 0 Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales consideraremos los siguientes casos: Primer Caso . Ecuaciones diferenciales de la forma: d n y f ( x) es sólo función de x f ( x) dx n La solución general se obtiene por integración sucesiva tal como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1.
d 2 y dx
2
x 2
2. y ''
2 senx cos2 x sen3 x
3. y '''
xe x
y (0) 0 ,
y ' (0) 2 , y '' (0) 2
Segundo caso La ecuación diferencial no contiene a la función incógnita, o sea la ecuación diferencial tiene la siguiente forma: F= (x, y (k) ; y (k+1) , ……….y (n) ) = 0 En este caso se puede reducir el orden de la ecuación diferencial mediante el cambio de variables : y (k ) = p , como se observa en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: 1.
d 5 y dx5
1 d 4 y x dx 4
0
En particular si una ecuación diferencial de 2do orden no contiene a ―y‖ , entonces la sustitución y’ = p la reduce a una ecuación diferencial de primer orden Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales:
2. 3.
y
3 y ' 5 0
y ' '
y '
'' 2
x
x
2
y '
y (2) 0 ;
y ' (2) 4
Tercer caso. La ecuación diferencial no contiene a la variable independiente x: La forma de la Ec. Dif. Es: F(y, y’, y’’,……y (n) ) = 0
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64 En este caso el orden de la ecuación se puede reducir en una unidad, por medio de la sustitución y’= p ; además, p se considera como una nueva función desconocida de y , o sea p = p(y), y por lo tanto, todas las derivadas
d k y
deben expresarse por dx k medio d e las derivadas de la nueva función desconoc ida p(y) con respecto a y :
dy
p
dx
d 2 y dx
2
d 3 y dx
3
dp
dx
dp dy dy dx
dp dy
p ,
d dp
d dp dy d 2 p 2 dp p p 2 p dx dy dy dy dx dy dy
2
p
y así, análogamente para las demás derivadas de orden superior. En particular, si la ecuación de segundo orden no contiene a la variable independiente, entonces la sustitución de variables señalada conduce a una ecuación de primer orden Ejemplo: Resolver las ecuaciones diferenciales: .
1.
1 ( y' )
2
yy' ' ........(1)
Solución : Haciendo las sustituciones : y' p ; y' ' p Re emplazando en (1) : 1 p 1 yp
p
2
yp
yp dp yp dy
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1 yp
2
yp
p y
dp dy
dp dy
dp dy
; dividiendo entre yp tenemos :
; ordenando :
dp p dy
y
p
1
y
.....(ec. dif Bernoulli)
65
Donde : p( y )
1
; Q( y )
y
La solución general es : p1 n e
p 2e
2
p
dy
y
2
2 Lny 2
e
p 2 y
dy C 1 y
2
y
2
2
1
1
1 y
2
2
e 1 y
1 y
;
1
n
(1nn ) p ( y ) dy
; 1 n
(1 n) Q( y)e
dy
y
dy C 1
Lny 2
e
dy
C 1 ;
dx
p 2e 2 Lny
C 1 p 2
p 2 y
2
2
C 1 y 2 1
int egrando :
2
1 C 1
;
1
y y
2
(1nn ) p ( y ) dy
e 2 Lny dy
y
1 1
2
dy
p
dy
C 1
C 1 C 1 y 2
Ln C 1 y C 1 y 2
C
p 2 y
2
1
2 dy dx
1 y 3
dy
C 1
C 1 y 2
1
1 x C 2 ....... Rpta
Cuarto Caso El primer miembro de la ecuación F(x, y, y’, y’’,….y (n) ) =0 es la derivada de cierta expresión diferencial de orden n-1. En este caso se halla fácilmente la llamada primera integral, o sea, una ecuación diferencial de orden n-1, que contiene una constante arbitraria, y que es equivalente a la ecuación dada de n ésimo orden, con lo cuál se reduce el orden de la ecuación en una unidad. Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales
1. yy' '( y ' ) 2 2.
0 yy' '( y ' ) 2 0
Ecuaciones diferenciales lineales de orden “n” Una ecuación diferencial de orden ―n‖ tiene la siguiente forma:
a 0 ( x) y n
a1 ( x) y n 1 a 2 ( x) y n 2
a n 1 ( x) y ' a( x) y f ( x)
Donde ao, a1, a2 , ...... y f(x) son funciones solo de x o constantes. Si f(x) = 0, la ecuación diferencial se denomina homogénea, en caso contrario es no homogénea. Si los coeficientes ao, a1, a2 ,....an son constantes , la ecuación se llama ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y si cualquiera de los coeficientes no es constante, se llama ecuación diferencial con coeficientes variables. Ejemplos:
y’’ -3y’+y=0 (Ec. Dif. Lineal homogénea con coeficientes constantes)
Xy’’ -3x 2 y’+y = Ln x (Ec. Dif. Lineal no homogénea con coeficientes variables)
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66 Independencia lineal de funcio nes. Consideremos un número finito de funciones : y 1, y 2, .....y n definidas en algún intervalo (a,b). Se dice que estas funciones son linealmente independientes si existen escalares : C 1, C 2 , .......C n, tal que: C 1y 1+C 2y 2+.......+C ny n = 0
entonces : C 1=C 2=......= C n= 0
Si algunos de los escalares: C 1, C 2,......, C n funciones son linealmente dependientes.
es diferente de cero, se dice que las
Ejm 1. Las funciones : y 1 = senx y y 2 = x son linealmente independientes , porque los únicos valores de C 1 y C2 para los cuales: C 1 senx + C 2 x = 0 , son: C 1= 0 y C 2 = 0 Ejm 2. Las funciones : y 1 = x y y 2 = 3x son linealmente dependientes , porque los valores de C1 y C2 para los cuales: C 1 x + C 2 (3x) = 0 , admite solución: C 1= -3 y C 2 = 1
El Wron skiano. El Wronskiano de 2 funciones derivables f(x) y g(x) denotado por W(f,g); se define como la función dada por el determinante:
W f , g
f
g
f ' g '
Las funciones f y g , son linealmente independientes si existe al menos un valor de ―x‖ para el cual :
W f g 0. Si W f g 0 las funciones son linealment e dependient es Ejemplo: Demostrar que las funciones : y 1= eax ; y independientes.
y 2 = ebx , son linealmente
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE 2do ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES. Si y 1 y y 2 son soluciones linealmente independientes de dicha ecuación diferencial, entonces la solución general es: Y = C 1y 1 + C 2y 2 , siendo C 1 y C 2 constantes. Este teorema dice que si podemos hallar 2 soluciones linealmente independientes, entonces podemos obtener la solución general mediante combinación lineal de las dos soluciones. Para hallar dos soluciones linealmente independientes se puede observar que la naturaleza de la ecuación: y’’ + a1y’ + a0 y = 0 (1) sugiere que debe tener soluciones de la forma:
y = emx ; si así es, entonces: Y’=me mx
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; y’’=m2 e mx
67
Sustituyendo en (1) : m2 e mx + a1 me mx + a0 emx =0
; entonces : emx (m2 : + a1m + a0 )=0
Por lo tanto : y = emx será solución si : m2 + a1m + a0 = 0 ..........(2) La ecuación (2) se conoce como ecuación característica o auxiliar de la ecuación diferencial: y’’ + a1y’ + a0 y = 0
Ejemplo: sea la ecuación diferencial : y’’ + 3y’ – 4y =0 ; la ecuación característica es : m2 +3m –4=0
Solución en términos de las raíces características. Al resolver la ecuación característica, las raíces pueden ser: reales distintas ; reales iguales o complejas conjugadas ; entonces se tienen 3 casos: 1. Raíces real es y d ifer ent es .- Si m1 y m2 son raíces reales diferentes de la ecuación característica, entonces la solución general es :
y
C 1 em x C 2 em x 1
2
2. Raíces real es ig ual es .- Si m1 y m2 son raíces reales iguales de la ecuación característica, entonces la solución general es :
y
C 1em x C 2 x em x
3. Raíces co m pl ejas .- Si : m1 i
1
1
y
m2
i
son raíces complejas conjugadas de la ecuación característica, entonces la solución general es :
y
C 1 e x cos x C 2 e x sen x
Se ilustran estos tres casos con los siguientes ejemplos:
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
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68 1.
y ' '3 y '2 y 0
2.
y ' '2 y '2 y 0
3.
y ' ' y 0
4.
y ' '2 y ' y 0
5.
y ' '6 y '9 y 0 3
6.
d y dx
3
2
4
3
7.
d y dx
3
8.
dx
4
d y dx
2
d y dx
4
2
dx
10.
dx
5
3
y (0) 0
dy
dx
y ' (0) 2
0
dx dy
;
0
2
d y dx
2
2 y 0
2
5
5
d y
3
3
d y dx
2
d y
4
9. 4
4
2
2
4
d y
;
d y dx
2
9 y 0
3
2
d y dx
3
2
10
d y dx
2
dy dx
10 y 0
EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Resolver la Ecuación diferencial: y’’-3y’+4y=0
Las raíces de la ecuación característica son : m1 3
Por lo tanto la solución general es : y
C 1 e
2
x
3
7
2
cos
7 2
2
i
; 3
m2
3m 4 0
m2
Solución : La ecuación característica correspond iente a la ec .dif es : 3
7
x
x C 2 e 2 sen
2
7 2
x
2
i
Rpta.
2.- Resolver la ecuación diferencial : y’’ - 4y=0 Solución : La ecuación característica corresponi ente a la ec .dif . es : m2 Las raíces de la ecuación característica son : m1 por lo tanto la solución general es : y
2
y
C 1 e2 x C 2 e 2 x
m2
4 0
2
Rpta.
3.- Resolver la ecuación diferencial : y’’+6y’+9y=0 Solución : La ecuación característica correspond iente a la ec .dif . es : m 2
m2 3 y C 1 e 3 x C 2 x e 3 x
Las raíces de la ecuación característica son : m1 por lo tanto la solución general es :
y’’-y’-30y=0 ; y(0)=1 ; y’=-4
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(raíces reales repetidas) Rpta.
4.- Hallar la solución particular de la ecuación. diferencial:
6 y'9 y 0
69
m 30 0 m1 5 ; m2 6 por lo tanto la solución general es : y C 1 e 5 x C 2 e6 x 5 0 6 0 I ahora : x 0 ; y 1 en : 1 C 1e C 2e C 1 C 2 1 5 x 6 x para usar la 2da condición, derivamos , y ' 5C 1 e 6C 2 e II ahora : x 0 ; y ' 4 en : 4 5C 1 6C 2 Solución : La ecuación característica es : m
2
resolviend o
I y II tenemos :
en se tiene : y
10 11
e
5 x
C 1 1 11
e
10
; C 2
11
1 11
solución particular Rpta
6 x
5.- Resolver la ecuación diferencial :
y’’’-6y’’+11y’ -6y=0
Solución : La ecuación característica es : m3 6m2 resolviend o obtenemos : m1 general es :
y
1,
m2
2,
Ce x C 2e2 x C 3e3 x
m3
3
11m 6 0 ;
entonces la solución
Rpta
y’v+8y’’’+24y’’+32y’+16y=0
6.- Resolver la ecuación diferencial :
8m3 24m2 32m 16 0 resolviend o obtenemos : m1 m2 m3 m4 2 ; entonces la solución general es : y Ce 2 x C 2 xe 2 x C 3 x 2e 2 x C 4 x3e 2 x Rpta Solución : La ecuación característica es : m4
d 4 y
7- Resolver la ecuación diferencial:
dx 4
5
d 2 y dx 2
36 y 0
5m 2 36 0 las raíces características son : m1 2 ; m2 2 ; m3 3i ; la solución general es : y C 1e 2 x C 2e 2 x C 3 cos3 x C 4 sen 3 x Solución : La ecuación característica es : m4
m2 m4
9
m2
3i
Rpta.
8- Resolver la ecuación diferencial:
d 5 y dx5
d 4 y dx 4
2
Solución : La ecuación característica es : m5 m4
las raíces características son : m1 m4
m5 1
m2 m3 1
d 3 y dx3
2
d 2 y dx 2
dy dx
y0
2m3 2m2 m 1 0 (raíz de multiplicidad 3)
(raíz de multiplicidad 2)
la solución general es : y
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C 1e x C 2 xe x C 3 x 2e x C 4e x C 5 xe x
Rpta.
4 0
70
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS Estas ecuaciones diferenciales presentan la siguiente forma: A 0 y n + a 1 y n -1 + a 2 y n -2 + …….+ an y =f(x) Donde : a0 , a1 , a2 , ....an son constantes reales , y f(x) es una función que puede asumir diferentes formas, ejm: f(x) = x 2 +x ; f(x)= 3ex senx ; f(x) = x Cos x ; f(x) = Lnx etc
Solu ción Gen eral de u na Ec uación Diferencial lin eal no Hom ogé nea d e 2do orden Se halla la solución complementaria, o sea la solución general de la ecuación homogénea correspondiente, esto se simboliza por y h Se procede a calcula la solución particular de la ecuación no homogénea, lo simbolizamos con y p La solución de la ecuación diferencial no homogénea es : y = y h + y p Mé tod o d e los Coeficientes Indeterm inado s p ara hallar y p Si f(x) consiste en la suma o productos de; x n , emx , sen ax , cos bx , etc., entonces podemos hallar una solución particular y p por el método de los coeficientes indeterminados. La clave de éste método estriba en conjeturar que la solución y p es una forma generalizada de f(x) ; así por ejemplo; 2 2 Si f(x) = 3x ; escoger yp= Ax + Bx + C 2x yp= Ae2x Si f(x) = e ; escoger x x x Si f(x) = 4x e ; escoger yp= Axe + Be Si f(x) = x + senx ; escoger yp= (Ax+B) + C sen x + D Cos x ………….etc. Entonces por sustitución en la ecuación diferencial propuesta determinamos los coeficientes de ésta solución generalizada, como podemos ver en los siguientes ejemplos: Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados: 1. y' '4 y 4e 2 x
2. y' '4 y '4 y 3.
d 2 y 2
dy
6 sen3 x
x 2
dx dx 4. y' '4 y '5 y
5 x
MODIFICACIONES. Si cualquier término de la solución asumida y p es ta m b ié n u n té rm in o d e y h (so lu ci ón h om og é nea) ; entonces la solución asumida debe m modificarse multiplicándola por x , donde “m” es el menor entero tal que el producto de xm por la solución asumida y p no tenga términos en común con y h
Ejemplo: Sea una ecuación diferencial con la solución homogénea : y h C 1 C 2 x y sea f(x) = x 2 ; la elección normal de y p sería : y p
Ax2 Bx C
; observamos que y p
tiene términos en común con y h , entonces multiplicándola por ―x‖ tenemos que : y p Ax3 Bx 2 Cx que todavía tiene el término común “Cx” ; entonces multiplicamos por x 2 , y tenemos : y p
Ax4 Bx3 Cx2
común con yh Ejercicios. Resolver las ecuaciones diferenciales: I ng° Jose H il ario Ber r i os
que ya no tiene términos en
71
d 2 y
1.
2
4
dy
xe 4 x
dx dx 2. y ' ' ' y ' x 1 3. y ' ' y cos x senx 4. y' ' y
4 x cos x
Ejercicios resueltos, método de los Coeficientes Indeterminados: 1.- Resolver la ecuación diferencial: y ' '16 y x
Solución : i ) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m 2 raíces son : m1
4
y
m2
4
yh
16 0
Ax B y' p A ; y' ' p 0 ; 0 16 ( Ax B) x 16 Ax 16 B x
y p
potencias iguales de " x" tenemos :
y p
1 16
x
; identificando coeficient es de
16 A 1 A
C 1 e 4 x C 2 e4 x
1 16
x
1
;
16
yh y p
raíces son :
m2
m2
2m 3 0 ; las
ii) Cálculo de y p : Hacemos que y p sea una forma generalizada de f ( x) 2 senx
y p Asenx B cos x y' p A cos x Bsenx ; y ' ' p Asenx Bcosx ; reemplazando en la ecuación diferencial tenemos :
Asenx B cos x 2 A cos x 2 Bsenx 3 Asenx 3 B cos x 2 senx (4 A 2 B ) senx (4 B 2 A) cos x 2 senx ; identificando coeficient es se tiene : 4 A 2 B 21
Re solviendo (1) y (2) obtenemos :
2 A 4 B 02
A 2
y
B 1 5
2 1 y p senx cos x la solución general es : y yh y p 5 5 por consiguiente : 2 1 y C 1 e x C 2 e3 x senx cos x Rpta. 5 5
I ng° Jose H il ario Ber r i os
0
Rpta.
3 yh C 1 e x C 2 e3 x
5
B
i) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m1 1 y
16 B 0
por consiguiente :
2.- Resolver la ecuación diferencial: y ' '2 y '3 y 2 sen x Solución :
x
esto lo reemplazamos en la ec dif :
la solución general es : y y
las
C 1 e 4 x C 2 e4 x
ii ) Cálculo de y p : Hacemos que y p sea una forma generalizada de f ( x)
;
72
3.- Resolver la Ecuación Diferencial: y ' '6 y'9 y
x 2 x 3
4
; y(0)
3
;
y ' (0)
1 27
6m 9 0 ; (m 3) 2 0 ; m 3 ( raíz de multiplicidad 2) yh C 1 e3 x C 2 x e 3 x ii) Cálculo de y p : Hacemos que y p sea una forma generalizada de f ( x ) x 2 x 3 Solución : i ) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m 2
y p
Ax 2 Bx C
y ' p 2 Ax B
; y ' ' p 2 A ;
reemplazando en la ecuación diferencial tenemos : 2 A 12 Ax 6 B 9 Ax 2
9 Bx 9C x 2 x 3
iguales de " x" tenemos : 9 A 1 A 1 2 A 6 B 9C 3
y p
1 9
x 2
1 27
2
x
9 1 3
6 27
, igualando coeficient es de potencias
12 A 9 B 1
;
9
9C 3
C
1
27
1 3
la solución general es : y
yh y p
por consiguiente :
1 x ( I ). 9 27 3 Ahora para hallar la solución particular se tiene : y (0) 4 ; y ' (0) 1 3 27 4 1 1 1 en ( I ) : C 1e30 C 2 0e30 02 0 C 1 1 3 9 27 3 2 1 1 Ahora derivando ( I ) : y ' 3C 1 e3 x C 2 (3 xe3 x e3 x ) x ; x 0 ; y ' 9 27 27 1 2 1 3(1) e3(0) C 2 (3(0)e30 e30 ) (0) C 2 3 27 9 27 1 1 1 La solución particular es : y e3 x 3 xe3 x x 2 x 9 27 3 1 1 1 Finalmente : y e3 x 1 3 x x 2 x Rpta. 9 27 3 y
C 1 e3 x C 2 x e3 x
4.- Resolver la Ecuación Diferencial:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
1
B
x 2
1
y' ' y '2 y
x 2e4 x ………(oc)
73 Solución : i ) Cálculo de yh : la ecuación característica es : m2
2
raíces son : m1
;
m2
1
m2 0
C 1 e 2 x C 2 e x
yh
ii ) Cálculo de y p : Haciendo que y p sea una forma generalizada de f ( x) tiene : y p
Ax 2e4 x Bx e4 x C e4 x
y ' ' p 16 Ax 2e 4 x
las
y ' p 4 Ax 2e 4 x
x 2e4 x
se
2 Ax e4 x 4 Bx e4 x B e4 x 4Ce4 x
16 Ax e4 x 2 A e4 x 16 Bx e4 x 8 Be4 x 16C e4 x ; ahora en :
16 Ax e4 x 2 A e4 x 16 Bx e4 x 8 Be4 x 16C e4 x 4 Ax2e4 x 2 Ax e4 x 4 Bx e4 x B e 4 x 4Ce 4 x 2 Ax 2e 4 x 2 Bx e 4 x 2C e4 x x 2e 4 x 18 Ax 2e4 x 18 Ax e4 x 18 Bx e4 x 2 Ae4 x 9 B e4 x 18Ce4 x x 2e4 x 16 Ax 2e 4 x
identificandocoeficientes : 18 A 1 A 1 ; 18 A 18 B 18 7 2 A 9 B 18C 0 C (18)(18)
y p
1 18
2
x e
4 x
1 18
x e
4 x
la solución general es :
0
e
4 x
y p
1
e
4 x
Solución : i ) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m 2
0 ;
m1
0;
m2
2
yh
2m 0
elección : y p
Ax B C e x
x 2e x
Ax 2 Bx C e x
y ' p 2 Ax B C e x ; y ' ' p 2 A C e x
reemplazando en la ecuación diferencial tenemos : 2 A C e x 4 Ax 2 B 2C e x x 2 e x 4 Ax 2 A 2 B C e x x 2 e x igualando coeficient es se tiene : C 2 ; 2 A 2 B
0
B
14
y p
1
C 1 C 2 e2 x
1 4
4 A 1
x 2
1
4 la solución general es : y yh y p y
x 2
1
A
x 2 e x
4 por consiguiente :
4
x 2 e x Rpta.
6.- Resolver la Ecuación Diferencial: y' '2 y'3 y 8e3 x I ng° Jose H il ario Ber r i os
( ya tiene un término común con yh , la constante)
multiplicando la parte polinómica por " x" resulta : y p
no tiene términos en común con yh
;
C 1 C 2 e2 x
ii) Cálculo de y p : Hacemos que y p sea una forma generalizada de f ( x)
1ra
118
x 2 x 7 (18)(18) 18 18 1 7 y C 1 e 2 x C 2 e x e4 x x 2 x 18 18 7
5.- Resolver la Ecuación Diferencial: y' '2 y' x 2e x
m(m 2)
B
14
;
que
74
Solución : i) Cálculo de yh : la ecuación característica es : m 2 m1
1
;
m2
3
yh
ii ) Cálculo de y p : 1ra elección : y p multiplicandola por " x": y p
y ' p 3 Ax e3 x
2m 3 0
C 1 e x C 2 e3 x A e3 x (tiene un término común con yh )
Ax e3 x no tiene términos en común con yh
A e3 x
y ' ' p 9 Ax e3 x
6 A e3 x
; sustituyendo en la ecuación
6 A e3 x 23 Ax e3 x A e3 x 3 Ax e3 x 8e3 x 4 A 8 , luego A 2 ; y p 2 x e3 x
diferencial : 9 Ax e3 x
4 A e3 x
8 e3 x
solución general es :
y
C 1 e x C 2 e3 x 2 x e3 x
y la
Rpta
Cuándo se tienen ecuaciones diferenciales de orden superior al segundo también se puede extender el método de los coeficientes indeterminados como se puede observar en el siguiente ejemplo:
7.- Resolver la ecuación diferencial: y' ' '3 y' '3 y' y e x 1 Solución : i) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m3 3m2 (m 1)3
3m 1 0
0 ; m1 m2 m3 1 (raíz de multiplicidad 3) yh C 1 e x C 2 x e x C 3 x 2 e x
ii) Cálculo de y p : Hacemos que y p sea una forma generalizada de f ( x)
1ra
elección : y p
Ae x B
2da
elección : y p
Ax e x B
3ra
elección : y p
Ax2 e x B
( tiene un término común con yh )
4ta
elección : y p
Ax3 e x B
( no tiene términos en común con yh )
y p
;
Ax3 e x B
e x 1
( tiene un término común con yh )
y ' p Ax3 e x
( tiene un término común con yh )
3 Ax2 e x
; y ' ' p 4 Ax3 e x
asumimos
6 Ax e x 3 Ax2 e x
y' ' ' p 4 Ax3 e x 15 Ax2 e x 12 Ax e x 6 Ae x reemplazando en la ecuación diferencial
y simplificando
obtenemos : 6 Ax3 e x
15 Ax2 e x 6 Ax e x Ae x B e x 1
igualando coeficient es de exp resiones iguales obtenemos : 6 A 1
A
1
; B 1 B 1 6 la solución general es : y yh y p por consiguiente : y
C 1 e x C 2 x e x C 3 x 2 e x
I ng° Jose H il ario Ber r i os
1 6
x3 e x
1
Rpta
75
METODO DE LA VA RIACION DE PARAMETROS
El método de los coeficientes indeterminados funciona bien si f(x) está formada por funciones cuyas derivadas siguen un modelo cíclico, pero para funciones tales como : f(x) = 1/x ; f(x) = tanx ,…etc; que no poseen éstas características usamos un método más general lamado VARIACION DE PARAMETROS . En éste método se supone que y p tiene la misma forma que y h ; excepto que las constantes se sustituyen por variables Sea la Ec. Diferencial : y’’+a 0y’+a1y= f(x) , el método para hallar la solución general es: Se halla yh : y h = C 1 y 1 + C 2 y 2 Sustituir las constantes C 1 y C 2 por variables 1 y 2 y se forma yp
y p
1 y1 2 y 2
Se resuelve el siguiente sistema para 1 y 2
2' y 2 0...............(1) 1' y1' 2' y 2' f ( x)........(2) '
1 y1
Se integra para hallar 1 y
2
Este método funciona bien cuando f(x) no sigue un modelo cíclico, como veremos en los ejemplos que se dan a continuación:
Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y ' ' y tan x
2. y ' ' y 3. 4. 5.
sec x y' ' y '2 y ln x y ' '4 y 4 cot 2 x x 9 y ' ' y sec 3
Ejercicios Resueltos 1.- Resolver la ecuación diferencial: y ' '3 y'2 y
I ng° Jose H il ario Ber r i os
e 2 x 1 e 2 x
76 Solución : i) Cálculo de y h : La ecuación característica es : m 2 m1
1 y
m2
2
y h
C 2
C 1 e x
de ecuaciones resultante es : ' 1 e x
' 1 e Re solviendo 1 y 2 obtenemos : ' 1 Inte gra mos para obtener : 1 y
Ahora : 2
y p
dx 1 e2 x
e x arctan e x
y
1 2
1 e 2 x
2 x
e 2 x
y p 0
1
e 2 x
1 e
' 2
;
1
2
e 2 x dx
e x 1 e 2 x
2 x
e x
1
2
1 1 e 2 x
arctan e x
1
e 2 x
Ln 1 e 2 x e 2 x
C 1 e C 2 e e x
2 x
x
la solución general es : y x
arctan e
e 2 x 2
Ln 1 e 2 x
yh y p
Rpta.
2.- Resolver la ecuación diferencial: y' ' y sec x.tanx Solución : i ) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m 2 m1
i
y
m2
i
ii) Cálculo de y p :
yh
1 0
C 1 sen x C 2 cos x
Sustituir C 1 y C 2 por 1 y
2
y p
1 sen x 2 cos x
1 El sistema de ecuaciones resultante es : '1 sen x '2 cos x 0 '1 cos x '2 sen x sec x tanx 2 Re solviendo 1 y 2 obtenemos : '1 tanx ; '2 tan 2 x
Inte gra mos para obtener : 1 y ahora :
2
y p
1 tanxdx Ln cos x
tan 2 xdx sec2 x 1dx sec2 xdx dx
2 tanx x
2
y p
sen x Ln cos x x tanxcos x
sen x Ln cos x x cos x sen x y
;
la solución general es :
C 1 sen x C 2 cos x sen x Ln cos x x cos x sen x
3.- Resolver la ecuación diferencial:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
2
1 2e2 x d 2 x 2 x Ln 1 e 2 x e 1 2 e 1 2
dx 1
1
e x
e
2
' 2
2 ' 2
x
0
e 2 x
ii ) Cálculo de y p : Sustituir C 1 y C 2 por 1 y
El sistema
3m 2
y ' '4 y '4 y
x 2 e2 x
Rpta.
e 2 x
77 Solución : i ) Cálculo de yh : La ecuación característica es : m 2 m1
m2 2 raíz de multiplicidad 2
ii) Cálculo de y p :
4m 4 0
C 1 e 2 x C 2 xe2 x 1 y 2 y p 1 e 2 x. 2 xe2 x
yh
Sustituir C 1 y C 2 por
1 El sistema de ecuaciones resultante es : '1 e 2 x '2 xe2 x 0 2 '1 e 2 x '2 2 xe2 x e 2 x x 2 e 2 x Re solviendo 1 y 2 obtenemos : '1 x 3 ; '2 x 2
Inte gra mos para obtener : 1 y ahora :
y p
2
x
x 4 4 y
e
2
2 x
dx
x 4 3
1
x 3dx
2
2
x 4 4
x 3 3 e
2 x
;
C 1 e C 2 xe 2 x
2 x
y p
x 4 12
x 4 12
e 2 x
e 2 x
la solución general es : Rpta.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “n” CON
COEFICIENTES VARIABLES Estas ecuaciones diferenciales tienen la siguiente forma: n
d y
d y n 1
a n1 ( x)
....... a1 ( x)
dy
a0 ( x) y f ( x) ........(1) dx dx n dx n1 donde : a0 ( x), a1 ( x).......an ( x), f ( x) son funciones contínuas de x a n ( x)
La ecuación (1) se puede exp resar también de la siguiente forma : n
d y
d y n 1
b1 ( x)
....... bn1 ( x)
dy
bn ( x) y f ( x) ........(2) n n 1 dx dx dx La solución de la ecuación (2) es la suma de la solución y g de la ecuación diferencial hom ogénea correspond iente, más una solución particular y p Ecuaciones Diferenciales d e 2do ord en de Coeficientes variables Estas tienen la siguiente forma: y’’ +p(x)y’+Q(x)y = R(x ) ….(1) Entonces si y1, y2, es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación (1) La solución particular es : y p = c 1 (x)y 1 + c 2 (x)y 2 , donde c 1(x) y c2(x) son funciones por determinarse, para lo cual se forma el sistema siguiente:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
78 y1c1' ( x) y 2 c 2' ( x) 0 ......( ) y1' c1' ( x) y 2' c 2' ( x) R( x) ......( ) Re solviendo ( ) y ( ) se obtiene : c1' ( x) y c 2' ( x) Integrando obtenemos : c1 ( x) y c2 ( x) También se puede resolver usandolas siguientes exp resiones : 0 c ( x) ' 1
c ( x) ' 2
y 2
R( x) y 2' W y1
y 2
y1
0
y1' R( x) W y1
y 2
R( x) y 2 W y1
y 2
R( x) y1 W y1
y 2
c1 ( x)
R( x) y 2 dx
W y
1
c 2 ( x)
y 2
R( x) y1dx
W y
1
y 2
Ejemplos : Re solver las sgtes ecuaciones diferenciales 2
2. 3.
2
2
y ' 4 x 3 y 16 x 3 e x ; y1 e x , y 2 e x ( x 1) y '' xy ' y ( x 1) 2 e 2 x ; y1 x , y 2 e x x(1 x ln x) y '' (1 x 2 ln x) y ' ( x 1) y (1 x ln x) 2 e x
1. xy ''
; y1
e x
, y 2
ln x
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIA En esta parte se presenta el método de Series de Potencia en su forma más simple, para lo cual revisaremos algunos conceptos.
La serie de potencias:
c x n
n
c0 c1 x c2 x 2 c3 x 3 ....... cn x n ....
converge
n 0
c x
en un intervalo I simpre y cuando el límite:
n
n 0
de I . En este caso la suma : f ( x) serie :
c x n
n
N
lím
N
c x n
n
existe para toda x
n0
c x n
n
queda definida en I y decimos que la
n0
n
es una representación en serie de potencias de la función f sobre I.
Algunas series elementales de potencias presentamos a continuación:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
79
x
e
x n
1 x
n!
n 0
(1)
cos x
( 2n) !
(1)
n
(2n 1) !
n 0
cosh x
x 2 n
......;
3!
1
x 2 n1
x 3
2!
x 2 n
n
n 0
senx
x 2
x 2
2!
x
x 2
x 4 4!
x 3
3!
......; x 5 5!
......;
x 4
(2n)! 1 2! 4! ......; n 0
x 2 n1
x 3
x 5
(2n 1)! x 3! 5! ......;
senhx
n 0
ln(1 x)
(1)
x n
n1
n!
n1
x
x 2 2
x 3 3
......;
1 1 x
x n 1 x x 2 x 3 .....;
( seriegeométrica)
n 0
(1 x)
1 x
( 1) 2!
x 2
( 1)( 2) 3!
x 3
......;
( serie binomial )
Algunas propiedades de las sumatorias son las siguientes:
1.
a x a n
n
n2
a x
n2
n
n0
a
a k 2 x k 2 k 0
an2 x n n 2
3.
n2
n 0
2.
x
n2
x
n p
nm
n k
a n m k x n p k n 0
El M é to do de l as Ser ies d e Po tenc ias. Este método para resolver una Ecuación Diferencial consiste en sustituir la serie de
potencias:
y
c n x n
en la ecuación diferencial y después determinar cuáles
n0
deben ser los coeficientes c 0, c1, c2 ….para que la serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al método de los coeficientes indeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coeficientes que de algún modo se ha de determinar. Este método no siempre tiene éxito, pero cuando si lo es obtenemos una representación en serie de una solución, en contraste con la ―forma exacta‖ de las soluciones que han producido nuestros métodos previos. Para ilustrar el procedimiento veamos los siguientes ejemplos:
I ng° Jose H il ario Ber r i os
80 Resolver las ecuaciones diferenciales por el método de series de potencias: 1. y’+ 2y =0 2. 2y’- 3y=0 3. y’’+ y = 0 4. (x-3)y’ + 2y =0
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace se define por : L F ( P )
Px
0
e
f ( x) dx , para P 0
(a veces se escribe simplemente F(P) ). La transformada de Laplace constituye una integral impropia que existe precisamente cuando:
0
e Px f ( x) dx lím
N
N
0
e Px f ( x) dx
Ejm: Calcula la Transformada de Laplace de f(x)=1
L1 Solución:
0
e Px (1) dx lím
N 0
N
0
e Px dx lím N 0
1
N
P
0
e Px ( P ) dx
N
1 1 1 lím e P ( x ) lím e PN e P (0) N 0 P N 0 P P 0
De igual manera se puede calcular algunas Transformadas de Laplace, las que se Resumen en la siguiente tabla: Función
Transformada de Laplace F
f ( x) x
F ( P )
f ( x) x n
F ( P )
f ( x) e a x
F ( P )
f ( x) sen ax
F ( P )
f ( x) cos ax
F ( P )
f ( x) senhax
F ( P )
f ( x) coshax
F ( P )
I ng° Jose H il ario Ber r i os
0
0
0
0
0
0
1 P 2 n!
e Px x n dx
e Px e a x dx
P n 1 1 P a
e Px senax dx
a
a2
P 2
e Px cos ax dx
e Px senh ax dx
0
e Px xdx
P P 2 a 2 a
P 2
e Px cosh ax dx
a2 P
P 2
a2
81 La Transformada de Laplace es un operador lineal, por lo tanto las transformadas de Laplace de algunas funciones compuestas pueden calcularse rápidamente a partir de la tabla anterior. Ejemplos: 3! 3 1) L 4 x 3 3e x 4. 4 P 1 P 2 6 2) L4 sen2 x 6 x 4. 2 P 2 2 P 2
Ejercicios: 1. Use las fórmulas de la tabla para hallar las transformadas de Laplace de las funciones:
b) x 5
a) 9
cos 2 x
2e 3 x
c)
sen 5 x
4 senx cos x 2e x
d )
2. Encuentre una función f cuya transformada de Laplace sea:
a)
30
2
b)
P 4
P 3
c)
4 P 3
6 P 2
4
d )
1 P 2
e)
P
1 P 4
P 2
APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Para poder aplicar la transformada de Laplace , la clave consiste en la acción que ejerce la transformada sobre las derivadas. Calculemos:
L y '
0
e Px y ' ( x )dx lim ye Px N
y Pe Px dx0
N
N lim ye P ( N ) y (0) PL y y (0) PL y
Asimismo : L y ' ' L ( y ' ) '
L y ' PL y y (0)
PL y ' y ' (0)
P PL y y (0) y ' (0) L y ' ' P 2 L y Py(0) y ' (0) Ahora estudiemos la ecuación diferencial: y " ay 'by f ( x) ( ) , con las condici o n e s
y (0) y o y
y ' (0) y1
a y b constantes. Aplicando la transformada a ambos miembros de ( ) y aprovechando la linealidad de L tenemos:
L y " a L y ' bL y L f identificando cada tér min o tenemos :
P L y P y(0) y ' (0) a PL y y(0) bL y L f Factorizando : P aP b L y Py(0) y ' (0) ay(0) L f P aP b L y Py y ay L f 2
2
2
0
L y
1
0
P a y 0 y1 L f
P
2
aP b
La ecuación diferencial se convierte en un problema algebraico I ng° Jose H il ario Ber r i os
82 Ejemplo: Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial:
y "4 y 4 x
, con las condicione s iniciales y (0) 1 y
y ' (0) 5
Solución : Aplicando transformada de Laplace : L y " L4 y L4 x , ahora usando las fórmulas y la tabla :
P L y P y(0) y ' (0) 4 L y
4
2
P 2 L y P 5 4 L y
L y P 2
4 P 5
L y
P
L y
P 2
4
P
P 2
4 4
4
P 2 4
5 P 2
P 2
4
p 2 P 2
4)
P P 2
4
5 P 2
4
1 P 2
1 P 2
4
1
P 2 4 P 2 4 P 2 Consul tan do con la tabla de Transformada de Laplace se tiene finalmente: y cos 2 x 2 sen 2 x x
Rpta
Propuestos: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por transformación de Laplace.
1. y ' y e 2 x
,
2. y "3 y '2 y 4 x 2
y (0) 0
3. y "3 y '2 y 12e 2 x 4. y "2 y '2 y 2
y (0) 0
,
, y (0) 0 ,
5. y "2 y '5 y 3e x senx
I ng° Jose H il ario Ber r i os
y (0) 0 ,
; y ' (0) 0 ; y ' (0) 1 ; y ' (0) 1
y (0) 0
; y ' (0) 3
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