Texto Dinamica Estructural

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Córdoba Departamento de Ingeniería Civil

Cátedra: Dinámica Estructural

CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 1.

DEFINICIÓN DE LA ACCIÓN DINÁMICA.

RESPUESTAS • Aceleraciones • Velocidades • Desplazamientos • Tensiones • Deformaciones

F(t)

F(t)

F(t)

F(t)

F(t)

a(t)

CARGAS DINAMICAS • Armónicas • Periódicas • Impulsivas • Sísmicas

Figura 01. Definición de la respuesta sísmica – Tipos de cargas dinámicas

Una acción es de carácter dinámico si su variación con el tiempo es rápida y da origen a fuerzas de inercia en las estructuras. Una diferencia sustancial entre el análisis estático y el análisis dinámico consiste en que el análisis dinámico no presenta una sola solución, mas bien, hay soluciones diferentes para cada instante de tiempo. La dificultad básica del análisis dinámico proviene del hecho que las deformaciones que provocan las fuerzas de inercia, son afectadas por dichas fuerzas, convirtiéndose en un problema cíclico, cuya forma de resolver es formular el problema en términos de ecuaciones diferenciales. El sistema de fuerzas que actúa en una estructura, se puede determinar al conocer las aceleraciones y desplazamientos de todos los puntos de la misma, lo cual significa que los desplazamientos deben calcularse para cada punto de la estructura. [14] -pag2,5,12,16. Referencia bibliográfica extra: [12] -pag15. 1.1.

ACCIONES DINÁMICAS DEFINIDAS DE FORMA DETERMINISTA.

Los valores máximos de los parámetros que definen el movimiento, (aceleración, intensidad, etc.) se determinan directamente a partir de valores obtenidos en el pasado. Como estos no tienen porqué ser los máximos maximorum dejan la incertidumbre de su valor. [4] -pag13. 1.2.

ACCIONES DINÁMICAS DEFINIDAS DE FORMA ESTOCÁSTICA.

Los valores máximos de los parámetros que definen el movimiento, (aceleración, intensidad, etc.) se determinan por leyes estadísticas que definen las características de la excitación. [4] -pag13.

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2.

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MOVIMIENTO OSCILATORIO.

Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza es el movimiento oscilatorio (o vibratorio). [1] -pag359. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y, a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. La vibración es, en su sentido más general, un movimiento periódico, es decir, un movimiento que se repite con todas sus características después de un cierto intervalo de tiempo llamado período de la vibración. Hay dos clases generales de vibración, libres y forzadas. [14] -pag1. 2.1.

OSCILACIONES LIBRES.

x ′′ + px ′ + qx = 0

k 2 + pk + q = 0

(ecuación de las oscilaciones libres) (ecuación característica)

p2 p k =− + −q 1 2 4

p2 p k =− − −q 1 2 4

Para el caso que p = 0 ⇒ k 2 + q = 0 ⇒ k1 = ω i; k 2 = −ω i, ω = q x = C1 cos ωt + C 2senωt C1 = Asenϕ0 C 2 = A cos ϕ0 A = C12 + C 22 ϕ0 = arctg

C1 C2

x = Asenϕ0 cos ωt + A cos ϕ0senωt

x = Asen ( ωt + ϕ0 ) 1

(

0.8

y = A sen β

t +ϕ0)

0.6

A 0.4 0.2

− 0

ϕ

0

β

π −ϕ0

2π − ϕ 0

β

β

-0.2

T

-0.4 -0.6 -0.8

-2

0

2

4

6

8

Figura 02 Gráfica de la función del movimiento armónico

El intervalo de tiempo “t” durante el cual el argumento del seno varía en 2 π se llama período de las oscilaciones, para este caso T = 2 π ω , el número de oscilaciones durante el tiempo 2 π se llama frecuencia, La constante “A” es la desviación máxima a partir de la posición de equilibrio y se llama amplitud del movimiento

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oscilatorio. “ ωt + ϕ0 ” es la fase, y “ ϕ0 ” es la fase inicial, esto es cuando el tiempo t = 0 . “ ω ” es la frecuencia angular del elemento oscilante ω = 2 π T = 2 π f . x
=

dy = ωA cos ( ωt + ϕ0 ) dt



x=

dx
= −ω2 Asen ( ωt + ϕ0 ) = −ω2 y [13] -pag99 dt

2.2.

MOVIMIENTO ARMÓNICO.

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple, debido a que, además de ser el movimiento más simple de describir matemáticamente, constituye una aproximación muy cercana de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. [1] -pag359. Puede describirse de la forma: [1] -pag359.

x = Asenω x
= ω

t

A cos ω t = ω A sen ( ω t + π 2 )



x = −ω2

A senω t = ω2 A sen ( ω t + π )

[14] -pag2. MOVIMIENTO ARMONICO: w=1.2; A=1

1.5


x


x


1

x

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

0

5

10

15

Figura 03 En el movimiento armónico la velocidad y la aceleración preceden al desplazamiento en π/2 y π

La figura 03 muestra los gráficos de desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo. [1] -pag360. 2.3.

MOVIMIENTO PERIÓDICO.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “T”, se llama periódico. El movimiento periódico está descrito por: x = f (t) donde f (t) es una función periódica “t” tiene la propiedad: x = f (t + T) . La figura 04 muestra una función periódica del tiempo. La gráfica f (t ) se repite a intervalos iguales de “P”. Se puede obtener cualquier función periódica sumando los movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son múltiplos de una frecuencia

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fundamental, lo inverso también es posible y es conocido como el “Teorema de Fourier” y establece que una función periódica f (t ) de período 2π 2π T= , w1 = y w n = n w1 puede expresarse como: T ω y = f (t) = a 0 + a1 cos w1 t + a 2 cos 2w 2 t + … + b1senw1 t + b 2sen2w 2 t + … an =

2 τ2 x(t) cos w n t dt T ∫−τ 2

bn =

2 τ2 x(t)senw n t dt T ∫−τ 2

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

0

5

10

15

20

25

30

Figura 04 Movimiento periódico en el tiempo

El teorema de Fourier nos da aun otra razón del por qué de la importancia del movimiento armónico simple. Aplicando el teorema de Fourier, cualquier clase de movimiento periódico puede considerarse como la superposición de movimientos armónicos simple. Supongamos que una curva descrita por la ecuación

x = P (t ) en el intervalo de

tiempo t1 a t 2 , siendo cero en todo el resto del tiempo, físicamente corresponde a la situación de un cuerpo que se hace vibrar súbitamente en un instante de tiempo y se detiene. Esto se denomina “Pulso”. Tomaremos t=0 al principio de la pulsación.

T = 2π ω y tomando la duración “t” de la pulsación como una fracción de “b” del período “ T ”. [1] -pag395. Estas series pueden enunciarse en forma de suma. [9] -pag62. f (t) =

a0 ∞ + ∑ n =1 a n cos n ω t + b n senn ω t 2

Donde los coeficientes a n y bn están definidos como: an =

ω πω f (t) cos n ωn t dt π ∫−π ω

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bn =

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ω πω f (t)sen n ωn t dt π ∫−π ω

0.4

0.2

0.2

0.1

0

0

-0.2

-0.1

-0.4 -4

-2

0

2

4

-0.2 -4

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

-0.1

-0.1

-0.2 -4

-2

0

2

4

-0.2 -4

1

0.8 0.6

-2

0

2

4

0.2 0 -0.2

-2

0

2

4

Figura 05 Componentes de Fourier de una secuencia de pulsaciones

3.

REPRESENTACIÓN VECTORIAL.

0.4

DE

LAS

-0.4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figura 06 Superposición de las componentes de Fourier para la comparación con una pulsación

VIBRACIONES

POR

El movimiento de una partícula en vibración, puede convenientemente por medio de un vector rotativo. [12] -pag17.

EL

MÉTODO

representarse

Figura 07 Vibración armónica representada por la proyección horizontal de un vector rotativo – El desplazamiento, la velocidad y la aceleración son vectores perpendiculares.

4.

REPRESENTACIÓN DE LAS VIBRACIONES POR MEDIO DE NÚMEROS COMPLEJOS.

Para cálculos numéricos el método vectorial no está bien adoptado, pues es necesario descomponer los vectores en su componente vertical y horizontal. Este método es sumamente largo y pierde la mayoría de las ventajas adquiridas con la introducción de vectores. Un número complejo puede representarse gráficamente por un punto en el plano donde los números reales están graficados en el eje horizontal y los números imaginarios en el eje vertical. [12] -pag26 Referencia bibliográfica extra: [7] -pag23. [14] -pag5.

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Im

(G r + G i) exp (iωt)

θ

i G i exp( iωt)

G r exp (iωt) ωt Re

Figura 08 Representación de un vector por un punto en el plano complejo

5.

ESTRUCTURAS Y MODELOS ESTRUCTURALES.

Se define como “respuesta dinámica” cualquier “cantidad” que pueda caracterizar el efecto de las cargas dinámicas en una estructura. [5] -pag. 49 Desde el punto de vista del cálculo numérico, la respuesta sísmica de una estructura es el resultado de “filtrar” la señal sísmica a través de la misma estructura. La obtención de dicha respuesta, es decir, un análisis sísmico, requiere la definición previa tanto del movimiento del terreno como de las características estructurales. El sujeto del análisis no es la propia estructura, sino un modelo mecánico de la misma que, en este caso, es uno dinámico. [4] -pag25. En el análisis de una estructura respecto a la vibración, la tarea inicial consiste en reducirlo a una forma que permita lograr los resultados perseguidos con una cantidad de trabajo analítico razonable.

Hipótesis

Expresar las hipótesis en términos de ecuaciones diferenciales

Si es necesario, modificar las hipótesis o aumentar la resolución del modelo

Comprobar las predicciones del modelo con hechos conocidos

Formulación matemática Resolver las ecuaciones diferenciales

Mostrar las predicciones del modelo, por ejemplo, en forma gráfica

Obtener las soluciones

Figura 09 Proceso de modelado

Con frecuencia se desea escribir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático. [9] -pag11.

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La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia: 1. Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. Esto se identifica como nivel de resolución del modelo. 2. Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema. [15] -pag20. Solo para estructuras simples es factible obtener soluciones a las ecuaciones diferenciales que describen la respuesta dinámica de la estructura real. En la gran mayoría de las estructuras es conveniente sustituirlas por una estructura o modelo idealizado que: Se adapte mejor al análisis matemático. Tenga aproximadamente la misma respuesta dinámica que la estructura real. Tal modelo forma un puente entre la estructura real y el análisis matemático. EXCITACIÓN SÍSMICA

RESPUESTA SÍSMICA MODELO DINAMICO PROCEDIMIENTOS NUMÉRICOS MODELO MATEMÁTICO

Figura 10 Diagrama de bloques para el cálculo de la respuesta sísmica de una estructura.

Concretamente, la modelización de una estructura debe seguir los pasos de la figura 10. [4] -pag25 En el diseño de edificio que han de localizarse en regiones sísmicas, es necesario realizar un análisis dinámico de la estructura del edificio, a fin de garantizar que éste tenga la resistencia adecuada para soportar las fuerzas inducidas por el movimiento telúrico. [9] -pag25 5.1.

ELEMENTOS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS: MASA, ELASTICIDAD, AMORTIGUAMIENTO.

Elementos de masa, supuestos rígidos. Elementos de elasticidad, supuestos sin masa y elásticos (no disipativos). Elementos de amortiguamiento, supuestos perfectamente sin masa e inelásticos. Elemento de Masa: término genérico utilizado para designar al coeficiente por el cuál debe multiplicarse la aceleración de un cuerpo rígido a fin de obtener la fuerza que acelera al cuerpo de acuerdo a la segunda ley de Newton. La unidad de medida: el kilogramo [Kg.].

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Elemento de Elasticidad: Estos elementos adoptan la forma de resortes y se definen por su rigidez. Rigidez es la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario. Fuerza = masa por aceleración [ Kg. m / seg2 = N] Por lo tanto la unidad de medida será el Newton por metro [N/m]. Elemento de Amortiguamiento: es la disipación de energía de un sistema en vibración, esta energía es disipada internamente en el material cuando son exigidos cíclicamente. Fricción de Coulomb Fricción viscosa Orificio

µ Fn Fuerza de ficción Orificio

.

..

cx

cx

Fuerza viscosa Película viscosa

Figura 11Diagramas esquemáticos de amortiguadores típicos.

De estos tres tipos de amortiguamiento, solamente el de la fricción viscosa se adapta bien al análisis por modelo matemático, la fuerza de amortiguación es directamente proporcional a la velocidad desarrollada por el amortiguador. Cuando el amortiguamiento se incorpora a un sistema de vibración, el movimiento puede ser descrito por ecuaciones diferenciales. [9] -pag19 5.2.

MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN.

Figura 12 Diferencia entre cargas estáticas y cargas dinámicas.

La figura 12 nuestra la diferencia entre cargas estáticas y cargas dinámicas. [7] pag4.

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En general, una estructura es un conjunto caracterizado por una geometría mas o menos complicada y compuesto por materiales con ecuaciones constitutivas complejas. Un modelo dinámico exacto daría lugar a complicaciones innecesarias y las mejoras que su utilización proporcionaría, quedarían anuladas por la complejidad de los modelos. Los métodos de análisis más convenientes del modelado dinámico, se realizan mediante la discretización espacial del continuo. [5] -pag56. En la modelización dinámica de estructuras, pueden utilizarse los siguientes métodos de discretización: Método de las masas concentradas. Método de los desplazamientos generalizados. Método de los elementos finitos. [5] -pag56. 5.2.1. DE MASAS CONCENTRADAS. Este método supone que la masa estructural está concentrada en una serie de puntos previamente seleccionados. [5] -pag56. Un problema importante en la formulación del modelo matemático, incluye el número de porciones discretas de masa que se emplean para presentar una estructura. Hasta un grado considerable, el número óptimo es una función de los resultados que se buscan. Si solo se pretende calcular la frecuencia natural más baja, bastará un número relativamente pequeño de porciones, a menos que deba determinarse con un alto grado de precisión.

m

m/4

m/4

m/4

m/4

Figura 13 Representación de parámetros englobados en una viga en voladizo.

Referencia bibliográfica extra: [9] -pag36 5.2.2. DE DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS. Este método es un procedimiento apropiado en aquellas estructuras en que toda su masa está uniformemente distribuida. Para la aplicación de este procedimiento se

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debe definir previamente las funciones de desplazamiento dando origen a amplitudes conocidas como coordenadas generalizadas. [7] -pag5. Referencia bibliográfica extra: [5] . 5.2.3. POR ELEMENTOS FINITOS. Este método ha sido ampliamente utilizado en la discretización de cualquier tipo de estructuras. La exactitud de la solución depende del número de elementos usados en las discretizaciones del continuo. [7] -pag7. [5] -pag62. 6.

MODELOS DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD.

El sistema de un grado de libertad es el modelo matemático más común y útil en el análisis de estructuras o dispositivos sujetos a vibración. Está constituido por los elementos idealizados de masa, elasticidad y amortiguamiento. [9] -pag22. m c

k

a(t)

Figura 14 Modelo de un grado de libertad sometido a una acción sísmica

7.

APLICACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON, PRINCIPIO DE D’ALEMBERT.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema. [14] -pag14. La ecuación diferencial del movimiento para el sistema se obtiene mediante la aplicación de la segunda ley de Newton; es decir, la “fuerza de inercia” del elemento de masa se iguala a las fuerzas aplicadas por el resorte y el amortiguador. [9] -pag44.

p(t) =

d  dv  m  dt  dt 

p(t) = d

2

v

dt 2



≡ mv(t)



= 0 p(t) − mv(t)

Este último concepto es conocido como el “Principio de D’Alembert”. [7] -pag8.

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MODELOS CON MASAS MÚLTIPLES.

Cuando la idealizados que tenga transforma

estructura o dispositivo en estudio comprende dos o más elementos de masa del mismo orden en magnitud o un simple elemento de masa libertad de movimiento en más de una coordenada, el modelo se en un sistema de masas múltiples. [9] -pag24. mn cn kn mn-1 cn-1 kn-1 m2 c2 k2 m1 c1 k1

a(t)

Figura 16 Figura 15 Modelo de varios grados de libertad sometido a una acción sísmica

9.

GRADOS DE LIBERTAD.

Se dice que un sistema mecánico tiene un grado de libertad, si podemos expresar su posición geométrica en cualquier instante mediante un solo número. [12] pag43. Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en los que se generan fuerzas generalizadas de inercia significativas; es decir, fuerzas iguales a masa por aceleración. [2] -pag99. Los grados de libertad de una estructura se definen como aquellos desplazamientos que identifican su posición deformada a lo largo del tiempo. [4] -pag26. La complejidad de un modelo matemático está determinada no por el número de elementos independientes de masa en el modelo, sino por el número de grados de libertad. En general, el número de grados de libertad es el número de coordenadas que se necesitan para describir la posición del sistema en cualquier momento dado. [9] -pag30.

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10.

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INTRODUCCIÓN EN PROGRAMACIÓN.

BIBLIOGRAFÍA [1]

ALONSO, Marcelo y Edward J. FINN; “Física Volumen I Mecánica” – Editorial: Addison-Wesley Iberoamericana ISBN 0-201-00227-2; Año 1986.

[2]

BAZÁN, Enrique y MELI, Roberto;” Diseño sísmico de edificios”; Editorial Limusa ISBN 968-18-5349-0; Año 1999

[3]

BOYCE. DIPRIMA, “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera” – Editorial Limusa ISBN 968-18-4974-4

[4]

BOZZO, Luis y BARBAT, Alex; “Diseño sismorresistente de edificios “Técnicas convencionales avanzadas” – Editorial: Reverté; Año 1999

[5]

CANET y BARBAT; “Estructuras sometidas a acciones sísmicas”; Editorial: Barcelona; Año 1988

[6]

CERVANTES BELTRÁN, Ramón; “XXV Curso Internacional de Ingeniería Sísmica” – Módulo ll: Análisis Estático y Dinámico de Estructuras Sujetas a Sismo. Facultad de Ingeniería U.N.A.M.

[7]

CLOUGH, Ray W. – PENZIEN Joseph; “Dynamics of Structures”; Editorial: Mc Graw Hill; ISBN0-07-011394-7; Año 1993

[8]

COLINDRES, Rafael; “Dinámica de suelos y estructuras”; Editorial: Limusa ISBN 968-18-4721-0; Año 1993

[9]

CREDE; “Conceptos sobre choque y vibración en el uso de Ingeniería”

[10] GARCÍA REYES, Luis Enrique; “Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico” – Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniería. Bogotá, Colombia [11] JAZNI, Jorge E. - NIETO, Mario A. - SALOMONE, Javier E. “Cálculo Dinámico de Estructuras“ – Divulgaciones Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Córdoba, G.I.I.I. – Sitio Web: www.frc.utn.edu.ar/estructuras [12] HARTOG, J.P.; “Mecánica de las Vibraciones” – Editorial: CECSA; Año 1987 [13] PISKUNOV, N; “Cálculo diferencial e integral” tomo II; Editorial: Mir; Año 1977 [14] THOMSOM, William; “Teoría de Vibraciones” – Editorial: Prentice-Hall Hispanoamericana ISBN 968-880-099-6; Año 1992 [15] ZILL, Dennis; “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado” – Editorial: Thomson ISBN 968-7529-21-0; Año 1999

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SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD. m

masa

k m

rigidez amortiguamiento

k

c c

m

k m

k

c c

Figura 01. Diferentes idealizaciones de sistemas de un grado de libertad

1.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES.

Todo sistema que posea masa y elasticidad es capaz de vibrar libremente, es decir, sin excitación externa. De gran importancia para tales sistemas, es su frecuencia natural. [14] -pag13 En el análisis de una estructura o de un dispositivo con respecto al choque o a la vibración, la tarea inicial consiste en reducirlo a una forma que permita lograr los resultados perseguidos con una cantidad de trabajo analítico que sea razonable para el problema en cuestión. Por lo general, los problemas que requieren la solución dinámica en un sistema que se va a determinar son más difíciles que aquellos que solo requieren la respuesta estática. La respuesta dinámica comprende al tiempo como un parámetro, además de las coordenadas espaciales del problema estático correspondiente. [9] -pag13. Referencia bibliográfica extra: [8] -pag10. 1.1.

COMPONENTES BÁSICOS.

Los componentes básicos de una estructura elástica lineal o sistemas mecánicos sujetos a cargas de excitación o cargas dinámicas son:. [7] -pag15.
Elementos de masa.
Elementos de elasticidad.
Elementos de amortiguamiento.
Desplazamientos en el dominio del tiempo.
Fuerzas en el dominio del tiempo. Referencia bibliográfica extra: [12] -pag45. [8] -pag16,352. [15] -pag196. [9] pag14 1.2.

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO.

La ecuación de movimiento para sistemas amortiguados de un grado de libertad puede escribirse: [7] -pag16. fi ( t ) + f d ( t ) + fs ( t ) = p( t )

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fi ( t ) = m

v( t ) f d ( t ) = c v
( t ) fs ( t ) = k v( t )

La ecuación de movimiento para sistemas amortiguados de un grado de libertad puede escribirse: [7] -pag16. m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = p( t )

Cuando se pone en movimiento a un sistema, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural ″f n ″ [14] -pag14. La frecuencia natural ″f n ″ de un sistema de un grado de libertad queda determinada unívocamente por la deflexión estática ″∆″ [14] -pag15. fn =

1.3.

1 k 1 g = 2π m 2π ∆

INFLUENCIA DE LA FUERZA GRAVITATORIA.

fc(t) k

fr(t)

fc(t)

c fi(t) m (w)

p(t)

(w)

(w)

v(t)

p(t)

fr(t)

fi(t)

v(t)

p(t)

∆st

v(t)

Figura 02. Sistema masa-resorte y diagrama de cuerpo libre

Considerando ahora el sistema de la figura, la ecuación de movimiento puede escribirse: [7] -pag17. m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = p( t ) + W

v( t ) = ∆ st + k v ( t ) fs ( t ) = k v( t ) = ∆ st + k v ( t ) m

v( t ) + c v
( t ) + k ∆ st + kv

( t ) = p( t )

+W

m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = p( t ) m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = p( t )

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La deformación del resorte en la posición de equilibrio estático es ″∆″ y, la fuerza de resorte ″k ∆″ es igual a la fuerza gravitacional ″W ″ que actúa en la masa: [14] -pag14. k ∆ = W =m g



= ∑ F = W − k m x

(∆ + x)



= −k x m x

x = A sen ωnt + B cos ωnt

x=

x
(0) ωn

A sen ωnt + x(0)B cos ωnt

M

Figura 03. Viga en voladizo de masa despreciable

Ejemplo II -1.3_1: Una masa de ¼ de kilo está suspendida de un resorte cuya rigidez es de 0.1533 N/mm. Determine su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia natural en la figura. [14] pag15. Ejemplo II -1.3_2: Determine la frecuencia natural de la masa M en el extremo de un voladizo de masa despreciable –ver figura-. [14] -pag16. 1.4.

INFLUENCIA DEL MOVIMIENTO DEL SOPORTE.

x

m

masa

c(x-y)

k(x-y)

y k/2

c

k/2

Figura 04. Sistema excitado por el movimiento del punto de apoyo.

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En muchos casos el sistema dinámico es excitado por el movimiento del punto de soporte, como en la figura. Sea "y" el desplazamiento armónico del punto de soporte y midamos el desplazamiento "x" de la masa "m" con respecto a una referencia inercial. [7] -pag18. fi ( t ) + f d ( t ) + f s ( t ) = 0 fi ( t ) = m

v(t t ) m

v(t t ) + c v
( t ) + k v( t ) = 0 v t ( t ) = v( t ) + vg ( t ) m

v( t ) + m

vg ( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = 0 m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = − m

vg ( t ) ≡ p eff ( t ) m

v(t t ) + c v
(t t ) + k v t ( t ) = c v
g ( t ) + k v g ( t )

Referencia bibliográfica extra: [8] -pag354. 1.5.

VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO.

La ecuación de movimiento para un sistema de una masa simple puede ser expresada como: [7] -pag20. m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = p( t )

cuya solución consta de dos partes

(m

(sistema homogéneo)

v( t ) = G exp ( st )

G = GR + i G I   G = G exp(st) (solución particular)  G = G cos θ + G i senθ 

s 2 + c s + k ) G exp ( st ) = 0

ω2 = s2 +

m

v( t ) + c v
( t ) + k v( t ) = 0

k m

c s + ω2 = 0 m

Como c=0 s1,2 = ± iω v( t ) = G1 exp ( iωt ) + G 2 exp ( -iωt ) v( t ) = ( G R + iG I ) exp ( iωt ) + ( G R − i G I ) exp ( -iωt ) v( t ) = 2 G cos ( ωt + θ ) v( t ) = A cos ωt + B sen ωt

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6

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v( 0 ) = A = 2 G R ;

v
( 0 ) ω

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= B = −2 G I

(GR + iGI ) exp(iωt ) Im

Im

GR exp(− iωt )

θ

(GR + iGI ) exp(iωt )

(ωt + θ) GR exp(iωt )

θ

iGI exp(iωt )

2 G cos( ωt + θ) Re

− (ωt + θ ) θ

(ωt + θ)

GR exp(− iωt )

Re

(GR − iGI ) exp(− iωt )

Figura 05. Respuesta parcial y total de una vibración en forma vectorial

v( t ) = v( 0 ) cos ωt + ρ=

( v( ) ) 0

v
( 0 ) ω

sen ωt

2

2

 − v
( 0)   v
( 0)   + ; θ = tan −1    ω   ω v( 0)      0.8 0.6

v (0 )

T

v
(0 )

ρ

0.4 0.2

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

2

4

6

8

10

12

14

Figura 06. Respuesta de una vibración libre no amortiguada

Referencia bibliográfica extra:[12] -pag54. [8] -pag24. 1.6.

VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.

La solución para la ecuación de movimiento de un sistema amortiguado de una masa simple puede ser expresada como: [7] -pag25.

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7

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2

s1,2 = −

c  c  2 ±   −ω 2m  2m 

El método tradicional para la ecuación de movimiento: [14] -pag25.

+ cx
+ kx = 0 mx

Es de suponer una solución de la forma: x = est cc = 2 m ω

( ms

2

+ cs + k ) expst 2

s1 ,2 = −

c k  c  ±   − 2m 2m m  

x = A es1t + B es2 t x=e(

- c 2m ) t

A e  

( c 2m )2 − k

m
t

+Be

( c 2m )2 − k

m
t

  

Referencia bibliográfica extra: [12] -pag62. [4] -pag37. [8] -pag26. [5] -pag128. [2] -pag102. 1.6.1. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO. cc = 2 m ω [7] -pag26. s1 = s 2 = −

c = −ω 2m

Para el amortiguamiento crítico ″cc ″ [7] -pag26. 2

k  cc  2   = = ωn m  2m  ξ=

c cc

c c = ξ c = ξωn 2m 2m

(

)

s1,2 = −ξ ± i 1- ξ2 ωn s1,2 ωn

= −ξ ± i 1- ξ2

Referencia bibliográfica extra: [5] -pag129. [9] -pag46. 1.6.2. MOVIMIENTO OSCILATORIO. Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente con respecto a la posición de equilibrio. [1] -pag359.

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Vibración libre

Vibración forzada

Sistemas oscilatorios lineales

Sistemas oscilatorios no lineales

Para el caso de " ξ ≤ 1" se tiene un sistema oscilatorio. [14] -pag28. Referencia bibliográfica extra: [5] -pag130. [9] -pag47. 1.6.3. MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. v( t ) = ( G1 + G 2 ) exp ( −ωt ) [7] -pag26. v( t ) = [v( 0 ) (1- ω t) + v
( 0 ) + kx]exp(-ω t) RESPUESTA DE UNA VIBRACION LIBRE CRITICAMENTE AMORTIGUADA 1.4 v(0)=1.0 mm/seg wn= 1.0 rad/seg x(0)= 1 mm

1.2

x(t)(mm)

1 x(0)

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4 Tiempo(seg)

5

6

7

8

Figura 07. Gráfico de respuesta de una vibración libre críticamente amortiguada.

Para el caso de " ξ = 1" se tiene un sistema críticamente amortiguado. [14] -pag29. x = ( A + B ) e −ωn t = C e −ωn t −ω t

x=e n

{[x
( 0 ) + ωn x ( 0 ) ] t + x ( 0 )}

Referencia bibliográfica extra: [15] -pag203. 1.6.4. MOVIMIENTO SUB - AMORTIGUADO. ξ=

c c [7] -pag27. = cc 2 m ω

s1,2 = −ξω ± i ωD ωD ≡ ω 1 − ξ2 v( t ) =  G1 exp ( iωD t ) + G 2 exp ( -iωD t )  exp ( −ξωt ) v( t ) = [ A cos ωD t + B senωD t ] exp ( −ξωt )

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 v
( 0) + v( 0) ξω  v( t ) =  v( 0) cos ωD t + senωD t  exp(−ξωt ) ωD   v( t ) = ρ cos ( ωD t + θ ) exp ( −ξωt ) ρ=

( v( ) ) 0

2

2

 v
( 0 ) + v( 0) ξω   θ = tan −1   ωD v( 0)   

 v
( 0) + v( 0 ) ξω  +  ;  ω  

Para el caso de " ξ < 1" se tiene un sistema sub-amortiguado. [14] -pag28.

(

x = e −ωn t Aei

1-ξ 2 ωn t

x = Xe −ξωn t sen

(

+ Bei

1-ξ 2 ωn t

1 − ξ2 ωn t + φ

)

)

(

x = e−ξωn t C1 sen 1 − ξ 2 ωn t + C2 cos 1 − ξ 2 ωn t

)

en donde las constantes arbitrarias X, φ, C1 , C 2 , están determinadas para condiciones iniciales.  x
( 0) + ξωn x ( 0)  x = e−ξωn t  sen 1 − ξ 2 ωn t + x ( 0 ) cos 1 − ξ 2 ωn t    ω 1 − ξ2 n   ωd =

2π = ωn 1 − ξ 2 τd -3

10

x 10 RESPUESTA DE UNA VIBRACION LIBRE SUBAMORTIGUADA v(0)=0 m/s m=20 kg x(0)=0.01 m w=105.3 rad/seg c=4.63 N s/m

8 6 (.06,.005)

x(t)(mm)

4 2 0 -2 -4 -6 -8

0

0.05

0.1

0.15

0.2 0.25 Tiempo(seg)

0.3

0.35

0.4

Figura 08. Gráfico de respuesta de una vibración libre sub amortiguada.

Referencia bibliográfica extra: [15] -pag205. 1.6.5. DECREMENTO LOGARÍTMICO. v( n ) v( n +1)

 2πξω  = exp ⌡   ωD 

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δ≡

v( n ) v( n +1)

=

2πξ 1 − ξ2

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[7] -pag29.

Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema, consiste en medir la rata de caída de las oscilaciones libres. A mayor amortiguamiento, mayor rata de caída. [14] -pag30.

)

(

e −ξωn t1 sen 1 − ξ 2 ωn t1 + φ x1 δ = ln = ln x2 e−ξωn t1 +τd sen 1 − ξ 2 ωn ( t1 + τd ) + φ

(

δ = ln δ=

e −ξωn t1 e −ξωn t1 +τd

)

= ln eξωn τd = ξ ωn τd

2πξ 1 − ξ2

δ ≡ 2πξ 10 8 6 4

ρe −ξωt

X1

x(t)(mm) 2

τ

0

X2 d

-2 -4 -6 -8 0

0.0

0.1

0.1

0.2 0.2 Tiempo(se

0.3

0.3

0.4

Figura 09. Rata de caída de oscilación decremento logarítmico.

Ejemplo II -1.3_3: Los datos siguientes están dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso: ω = 10 lb , k = 30 lb / pul , c = 0.12 lb / pul seg . Determine el decremento logarítmico y la razón de dos amplitudes sucesivas. [14] -pag31. Referencia bibliográfica extra: [9] -pag49. 2.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES FORZADAS.

Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, sus respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Estas excitaciones pueden ser indeseables para cuya operación puede ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes amplitudes de vibración. La resonancia debe ser evitada en la mayoría de los casos y, para evitar que se

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desarrollen grandes amplitudes, se usan frecuentemente amortiguadores. [14] pag48. Referencia bibliográfica extra: [12] -pag74. [4] -pag40. [8] -pag26. [5] -pag155. [15] -pag206.[9] -pag51 2.1.

SOLUCIÓN COMPLEMENTARIA.

Para un sistema de una masa sujeta a una carga armónica variable en el tiempo "p( t ) " de forma senoidal con amplitud "p 0 " y una frecuencia circular " ω" , la ecuación de movimiento puede ser expresada como: [7] -pag33.

( t ) + cv
( t ) + kv( t ) = p 0 sen ωt mv

( t ) + kv( t ) = p 0 sen ωt mv

vc( t ) = A cos ωt + B sen ωt

2.2.

SOLUCIÓN PARTICULAR.

La solución particular depende de la forma de la carga dinámica, en el caso de cargas armónicas la forma se puede escribir como: [7] -pag33. v p( t ) = C sen ωt − m ω2 C sen ωt + k C sen ωt = p 0 sen ωt C=

p0 k

2.3.

 1  1 − β 2   

ω  β = ω 

SOLUCIÓN GENERAL.

v ( t ) = v c( t ) + v p ( t )

[7] -pag34.

v( t ) = A cos ωt + B sen ωt +

p0 k

 1  1 − β2  sen ωt  

Para v( 0) = 0 y v
( 0) = 0 [7] -pag34. A=0yB=− v( t ) =

p0 β  1  k 1 − β2 

p0  1  ( sen ωt − β sen ωt ) k 1 − β2 

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RESPUESTA A UNA EXCITACION SENOIDAL EN LA BASE 3 Estacionario Transitorio Total

Desplazamientos (t)

2

1

0

-1

-2

-3

0

1

2

3 4 Tiempo(seg)

5

6

7

Figura 10. Respuesta a una excitación sinusoidal en la fundación.

2.4.

RESONANCIA.

El factor de amplificación para cuando β = 1 [7] -pag42. Dβ=1 =

1 2ξ

βpico = 1 − 2ξ 2 D max =

1 2ξ 1 − ξ

2

=

1 ω 2ξ ωD

v( t ) = ( A cos ωt + B sen ωt ) exp ( −ξωt ) −

v( t ) =

1 p0 2ξ k

p0 cos ωt k 2ξ

 ξ    sen ωD t + cos ωD t  exp ( −ξωt ) − cos ωt    1 − ξ 2  

Referencia bibliográfica extra: [8] -pag38. [15] -pag210. 2.5.

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO.



v( t ) + 2 ξ v
( t ) + ω2 v( t ) =

p0 sen ωt [7] -pag36. m

vc( t ) = [ A cos ωt + B sen ωt ] exp ( −ξωt ) v p( t ) = G1 cos ωt + G 2 sen ωt

v( t ) = [ A cos ωt + B sen ωt ] exp ( ξωt ) +

  p0  1  (1 − β2 ) sen ωt − 2ξβ sen ωt   k  (1 − β2 )2 + ( 2ξβ )2    

El estado estacionario se puede escribir como: v( t )

  p0  1  (1 − β2 ) sen ωt − 2ξβ sen ωt  = 2 2  2 k  (1 − β ) + ( 2ξβ )    

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p0 exp i ( ωt + φ )  [7] -pag39  m



v( t ) + 2 ξ v
( t ) + ω2 v( t ) =

Consideremos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armónica F0 sen ωt . [14] -pag49.

+ cx
+ kx = F0 sen ωt mx

x = X sen ( ωt - φ ) X=

F0

( k - mω ) + ( cω) 2 2

φ = tan −1

X=

2

cω k - mω2

F0 k 2

 mω2   cω   1 +  k   k  

2

cω φ = tan −1 k 2 mω 1k ω=

k c cω c cω ω ; c = 2mωn ; ξ = ; = =2ξ m cc k cc k ωn  ω 2ξ  1  ωn  ; φ = tan −1 2 2  ω   ω 2    ω   2 1  1-    +  2 ξ     ωn    ωn     ωn  

Xk = F0

3.5

180 160

Psi=1.0 Psi=0.75 Psi=0.50 Psi=0.25 Psi=0.01

3

2.5

140 120

2

100

1.5

80 60

1 Psi=1.0 Psi=0.75 Psi=0.50 Psi=0.25 Psi=0.01

40

0.5

0

20

0

1

2

3

4

5

0

0

1

2

3

4

5

Figura 11 Representación gráfica de la forma adimensional.

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x + 2 ξ ωn x
+ ω2n x = x( t) =

2.6.

F0 sen ωt m

sen ( ωt - φ )

F0 k

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2 2     1-  ω   +  2 ξ  ω         ωn     ωn       2

+ X1 e-ξ ωn t sen

(

1 − ξ 2 ωn t - φ1

)

MOVIMIENTO DEL SOPORTE.

En muchos casos el sistema dinámico es excitado por el movimiento del punto de soporte, como en la figura. Sea "y" el desplazamiento armónico del punto de soporte y midamos el desplazamiento "x" de la masa "m" con respecto a una referencia inercial. [14] -pag62.


+ k(x - y) m

x = −c(x
- y) z = (x - y)



+ cz
+ kz = my

= mω2 Y sen ωt mx z = Z sen ( ωt + φ ) Z=

m ω2 Y

( k - mω ) + ( cω)

tan φ =

2 2

2

cω k - mω2

Si se desea el movimiento absoluto "x" de la masa "m" , podemos resolverlo para "x = z + y" .

  k + iωc  Y eiωt x = ( Z e-iφ + Y ) eiωt =  2  ( k - mω + iωc )    La magnitud y fase del estado estacionario de esta ecuación son:

X = Y

k 2 + ( ωc )

2

( k - mω ) + ( ωc ) 2 2

2

; tan ψ =

mcω3

k ( k - mω2 ) + ( ωc )

2

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3.5 Psi=1.0 Psi=0.75 Psi=0.50 Psi=0.25 Psi=0.01

Amplitud adimensional X / Y

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2 3 Relació n de frecuencias W/Wn

4

5

Figura 12 Gráfica del movimiento absoluto – movimiento del soporte.

Referencia bibliográfica extra: [5] pag.161, [9] pag.103 PROGRAMACIÓN EN COMPUTADORAS. BIBLIOGRAFÍA [1]

ALONSO, Marcelo y Edward J. FINN; “Física Volumen I Mecánica” – Editorial: Addison-Wesley Iberoamericana ISBN 0-201-00227-2; Año 1986.

[2]

BAZÁN, Enrique y MELI, Roberto;” Diseño sísmico de edificios”; Editorial Limusa ISBN 968-18-5349-0; Año 1999

[3]

BOYCE. DIPRIMA, “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera” – Editorial Limusa ISBN 968-18-4974-4

[4]

BOZZO, Luis y BARBAT, Alex; “Diseño sismorresistente de edificios “Técnicas convencionales avanzadas” – Editorial: Reverté; Año 1999

[5]

CANET y BARBAT; “Estructuras sometidas a acciones sísmicas”; Editorial: Barcelona; Año 1988

[6]

CERVANTES BELTRÁN, Ramón; “XXV Curso Internacional de Ingeniería Sísmica” – Módulo ll: Análisis Estático y Dinámico de Estructuras Sujetas a Sismo. Facultad de Ingeniería U.N.A.M.

[7]

CLOUGH, Ray W. – PENZIEN Joseph; “Dynamics of Structures”; Editorial: Mc Graw Hill; ISBN0-07-011394-7; Año 1993

[8]

COLINDRES, Rafael; “Dinámica de suelos y estructuras”; Editorial: Limusa ISBN 968-18-4721-0; Año 1993

[9]

CREDE; “Conceptos sobre choque y vibración en el uso de Ingeniería”

[10] GARCÍA REYES, Luis Enrique; “Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico” – Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniería. Bogotá, Colombia [11] JAZNI, Jorge E. - NIETO, Mario A. - SALOMONE, Javier E. “Cálculo Dinámico de Estructuras“ – Divulgaciones Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Córdoba, G.I.I.I. – Sitio Web: www.frc.utn.edu.ar/estructuras

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[12] HARTOG, J.P.; “Mecánica de las Vibraciones” – Editorial: CECSA; Año 1987 [13] PISKUNOV, N; “Cálculo diferencial e integral” tomo II; Editorial: Mir; Año 1977 [14] THOMSOM, William; “Teoría de Vibraciones” – Editorial: Prentice-Hall Hispanoamericana ISBN 968-880-099-6; Año 1992 [15] ZILL, Dennis; “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado” – Editorial: Thomson ISBN 968-7529-21-0; Año 1999

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SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD. 1.

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO DINÁMICO.

En la Unidad 2 (Sistemas dinámicos de un grado de libertad) vimos como un sistema amortiguado de un grado de libertad, estaba regido por la ecuación de equilibrio dinámico. Ahora debemos extender esto mismo a sistemas de varios grados de libertad, para lo cual seguiremos el mismo tipo de planteamiento utilizando masas concentradas y resortes, para luego entrar dentro del problema de la idealización dinámica de sistemas estructurales complejos, como puede ser un edificio de varios pisos [10] – pag 323. En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas están concentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes son sólo las laterales [2] –pag 108. The equation of motion of the system of a general beam-type structure can be formulated by expressing the equilibrium of the effective forces associated with each of its degrees of freedom. In general four types of forces will be involved at any point: the externally applied load pi (t) and the forces resulting from the motion, that it, inertia f Ii , damping f Di ; and elastic fSi . Thus for each of the several degrees of freedom the dynamic equilibrium may be expressed as; f I1 + f D1 + fS1 = p1 (t) f I2 + f D2 + fS2 = p 2 (t) f I3 + f D3 + fS3 = p3 (t) ..................................

or when the force vectors are represented in matrix form, f I + f D + fS = p(t)

which is the MDOF equivalent of the SDOF equation. [7] –pag 171. 1.1.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Las expresiones matemáticas que gobiernan la respuesta dinámica de las estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. Dichas ecuaciones se obtienen aplicando cualquiera de los principios de la mecánica clásica, como, por ejemplo, el principio D´Alembert, el de los trabajos virtuales, o el de Hamilton. En el caso de los edificios, los modelos dinámicos más usuales son el de edificio de cortante y el de pórtico tridimensional. [4] –pag 30. El modelo más sencillo con varios grados de libertad que se puede utilizar para describir el comportamiento dinámico de una estructura es el de edificio de cortante. Dicho modelo se representa esquemáticamente en la figura 01. Está basado en la hipótesis de que el edificio es simétrico, los forjado son infinitamente rígidos, los pilares no sufren deformación por axil y, en consecuencia, los únicos movimientos de los nudos son los horizontales. [4] – pag 30 El modelo de la figura 01 está sometido a una aceleración horizontal ″a (t) ″ de origen sísmico. Las ecuaciones del movimiento pueden deducirse estableciendo el equilibrio dinámico de cada masa, de acuerdo con el principio de d´Alembert. Aislando la masa ″m r ″ e introduciendo todas las fuerzas correspondientes, incluidas las de inercia, se obtiene el esquema de la figura 01. Expresando el equilibrio

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3

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dinámico de la masa ″m r ″ en un sistema de referencia no inercial, con el origen en la posición inicial del edificio, se obtiene; Fir (t) − Fer (t) − Far (t) = 0

(r = 0,1, 2,....n) mn cn kn mrcr-

Fir(t)

Fer(t) Far(t)

kr m2 c2 k2 m1 c1 k1

a(t)

Figura 01 Modelo sísmico de edificio de cortante y equilibrio de fuerzas

En donde Fir (t), Fer (t), Far (t) son las fuerzas de inercia, elásticas y de amortiguamiento, respectivamente, correspondiente al grado de libertad ″r″ . El modelo dinámico completo está en equilibrio si lo están todas y cada una de sus masas. Escribiendo una ecuación de equilibrio para cada una de las masas, se obtiene un sistema de ecuaciones de equilibrio que se escribe en la siguiente forma matricial; Fir (t) − Fer (t) − Far (t) = 0

(1)

Los vectores delas fuerzas elásticas, Fe (t) de inercia, Fi (t) y amortiguamiento Fa (t) , se definen mediante las siguientes expresiones; Fe (t) = KX(t)

+ {1} a(t)  Fi (t) = −M  X(t) 
F (t) = CX(t)

(2)

a

Donde X es el vector de desplazamientos respecto a la base del edificio de cortante, K es la matriz de rigidez. La matriz de masa M es diagonal para modelos de cortante y la matriz de amortiguamiento C se considera, en una primera aproximación, proporcional a la de masa, a la de rigidez, o una combinación lineal de las dos. Reemplazando las ecuaciones (2) en (1), se obtienen las ecuaciones de movimiento de modelo; [4] –pag 32.

+ CX(t)
+ KX(t) = − M {1} a(t) (3) MX(t)

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2.

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ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES.

Vale la pena aclarar que el manejo del amortiguamiento en sistemas de varios grados de libertad es mucho más complejo que las simplificaciones introducidas en los sistemas de un grado de libertad y por esta razón la presentación que sigue se hará para sistemas no amortiguados y la introducción del amortiguamiento se realizará posteriormente, una vez se haya definido la solución de la respuesta de los sistemas de varios grados de libertad. [10] –pag 323 Las vibraciones libres amortiguadas en el modelo dinámico se expresan como; [4] pag 34

+ CX(t)
+ KX(t) = 0 MX(t)

(4)

En lugar de resolver la ecuación (3), conviene primero considerar el caso más simple en el que no existen amortiguadores y no existe movimiento el terreno, con lo cual dicha ecuación se convierte en; [2] -pag 109

+ KX(t) = 0 MX(t)

(5)

The problem of vibration analysis consists of determining the conditions under which the equilibrium condition expressed by equation (5) will be satisfied. By analogy with the behavior of SDOF systems, it will be assumed that the freevibration motion is simple harmonic, which may be expressed for a MDOF system as; x = A sen ( ωt + ϕ0 )

(6)

In this expressions x represents the shape of the system (which does not change whit time; only the amplitude varies) and ϕ0 is a phase angle. When the second time derivate of equation (6) is taken, the accelerations in free vibration are;

x = −ω2 Asen ( ωt + ϕ0 ) = −ω2 x

(7)

Substituting Eqs (7) and (6) into Eq. (5) gives; −ω2 M A sen ( ωt + ϕ0 ) + K A sen ( ωt + ϕ0 ) = 0

which (since the sine term is arbitrary and may be omitted) may be written; [7] pag 201 (8)

(K − ω2 M)A = 0

La ecuación (8) corresponde a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Para que existan valores de A distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule, esto es;[2] -pag 110 K − ω2 M = 0

2.1.

(9)

MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN.

Matemáticamente, la expresión (9) constituye un problema de valores característicos. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuación algebraica de grado n cuya incógnita es ω2 , siendo n el número de grados de libertad cuya solución conduce a n valores de ω2 , es decir, a n frecuencias naturales de vibración ω , que corresponden a otros tantos períodos de naturales 2π ω . Para estructuras estables los valores de ω2 son reales y positivos, y sus raíces cuadradas son las

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frecuencias naturales. Remplazando cada valor de frecuencia ω j en (8) podemos obtener vectores A j diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibración. No resultan soluciones únicas para cada modo sino solamente valores relativos entre las ″a ij ″ , es decir, que no están definidas las amplitudes de las vibraciones, sino las relaciones entre todas ellas. [2] -pag110. (consultar ejemplo práctico [2] -pag111) Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requieren dos coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece una introducción simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. [14] -pag 132. Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuración correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrán entonces dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tenderá a un máximo, a las dos frecuencias naturales [14] -pag 132. Consideremos el sistema no amortiguado de la figura 02. Usando coordenadas x1 y x2, medidas desde una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son



1 = − k ( x1 − x 2 ) − kx1 mx



1 = k ( x1 − x 2 ) − kx 2 2mx

(10)

X2

X1 K

K

K

m

2m

K X1

K X2

K (X1-X2) m

2m

Figura 02 Sistema no amortiguado

Definimos ahora un modo normal de oscilación como uno en el cual cada masa experimenta un movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de equilibrio. Para tal movimiento podemos escribir;

x1 = A1eiω t x 2 = A 2 eiω t

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Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales tenemos

( 2k − ω m ) A − kA = 0 − kA + ( 2k − 2ω m ) A = 0 2

1

2

2

1

2

que se satisfacen para cualquier valor A1 y A 2 si el determinante siguiente, es cero;

( 2k − ω m ) 2

−k

( 2k − 2ω m ) 2

−k

=0

Haciendo ω2 = λ , el determinante de arriba conduce a la ecuación característica. 2

3 k   k λ −3 λ +   = 0 2 m  m 2

Las raíces de esta ecuación son

k 3 1 k 3  = 0.634 λ1 =  − m 2 2 m k 3 1  k 3  = 2.366 λ2 =  + m 2 2 m y las frecuencias naturales del sistema son 1

k m

1

k m

ω1 = λ1 2 = 0.634 ω2 = λ 2 2 = 2.366

La sustitución de estas frecuencias naturales en la ec. (10) nos permite hallar la razón de las amplitudes. Para; ω12 = 0.634

k , obtenemos m

 A1     A2 

(1)

=

k 1 = = 0.731 2k − ω12 m 2 − 0.634

que es la razón de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal. Análogamente, usando ω22 = 2.366

 A1     A2 

(2)

=

k obtenemos m

k 1 = = −2.73 2 2k − ω2 m 2 − 2.366

para la forma modal correspondiente al segundo modo normal. Podemos presentar los dos modos normales gráficamente como en la figura 03. En el primer modo

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normal, las dos masas se mueven en fase; en el segundo modo normal las masas se mueven en oposición o, fuera de fase. [14] -pag132

0.731

1.0

1.0 -2.73

Figura 03 Modos normales del sistema

3.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES FORZADAS.

Vibraciones forzadas armónicas. La solución de esta ecuación diferencial no homogénea se divide en dos partes: una solución homogénea y una solución particular. La solución homogénea corresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales. La solución particular depende de la fuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de la respuesta correspondiente a la solución homogénea desaparece pasado algún tiempo pues el amortiguamiento la disminuye; por lo tanto, sólo la solución particular es de interés cuando ha transcurrido algún tiempo después de iniciado el movimiento. [10] -pag27. Vibraciones transitorias. La determinación de la respuesta de un sistema que se ve afectado por una excitación que no es ni periódica ni armónica presenta un grado de complejidad mayor. No obstante, el planteamiento matemático de su solución es relativamente sencillo. En muchos casos prácticos donde se tienen excitaciones que no se prestan a una descripción matemática hay necesidad de recurrir a métodos numéricos para obtener la solución. [10] -pag32. Excitación en la base. El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es muy importante en la Dinámica Estructural, pues la excitación sísmica induce este tipo de respuesta. [10] -pag35. Ver Ecuaciones de Equilibrio Dinámico en Sistemas de Varios Grados de Libertad. [10] -Pag323. 3.1.

SOLUCIÓN MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Definición de la Transformada de Laplace [14] -pag446. Si f

(t)

es una función

conocida de t , para valores de t > 0 , su transformada de Laplace f( s ) se define como: ∞

f (s) = ∫ e −st f (t) dt =L f (t)

(a)

0

en donde s es compleja. La integral existe para la parte real de s > 0 siempre que f ( t ) sea una función absolutamente integrable de t en el intervalo de 0 a ∞ . Ejemplo 1: Sea f ( t ) constante para t > 0 , su L.T. ∞

L c=∫ ce 0

−st

ce−st dt = − s

∞

= 0

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c s

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Ejemplo 2: Sea f (t) = t su L.T. es encontrado integrando por partes, haciendo

u = t du = dt dv = e−st dt

te−st L t=− s Transformada

de

Laplace

de

∞

+ 0

v=−

e−st s

1 ∞ −st 1 e dt = 2 ∫ s 0 s

derivadas.

f (t) continua, entonces f (t) tiende a f (0) cuando

Si

L f (t) = f (s) existe, siendo

t → 0 y la L.T. de su derivada

′ = d f (t) dt es igual a: f (t) ∞

∞

∞

0

0

0

L f´(t) = ∫ e−st f´(t) dt = e−st f (t) + s ∫ e−st f (t)dt = −f (0) + sf (s) Análogamente, L.T. de la derivada segunda será;

L f´´(t) = s2 f (s) − sf (0) − f´(0) Transformación de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Consideremos la ecuación



+ cx
+ kx = F(t) mx Su L.T. es;

m[s 2 x (s) - sx (0) - x
(0)] + c[sx (s) - x (0)] + k x (s ) = − F(s) Que puede ordenarse como

x (s) =


(0) F (s ) ( ms + c) x (0) + m x + ms 2 + cs + k ms2 + cs + k

La ecuación de arriba es llamada la “ecuación subsidiaria” de la ecuación diferencial. La respuesta se encuentra a partir de la transformación inversa; el primer término representa la respuesta forzada y el segundo las respuesta debida a las condiciones iniciales. Para el caso más general, la ecuación subsidiaria puede escribirse en la forma

x (s) =

A (s ) [14] –pag448 B (s )

En donde A (s) y B(s) son polinomios, B(s) en general de mayor orden que A (s) . Referencia bibliográfica extra: [15] -pag295, [11] Metodología para el cálculo dinámico de estructuras Resumen La metodología desarrollada, utilizando la Transformada de Laplace y como herramienta de cálculo MATLAB, permite encontrar las amplitudes de oscilación de

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los distintos niveles en estructuras con múltiples grados de libertad, teniendo en cuenta su amortiguamiento estructural, cuando es solicitada sinusoidalmente desde su fundación. Metodología Se debe tener en cuenta que, para que esta transformada sea aplicable, el sistema debe cumplir con los siguientes requisitos:
Las variables y sus derivadas e integrales de los diversos órdenes deben tener exponentes unitarios.
Los términos no deben presentar operaciones entre variables.
Los coeficientes de las variables deben ser constantes. En un sistema de 1 grado de libertad, si se desea conocer la respuesta referida a la excitación, es conveniente tratar directamente la función transferencia X1 X 0 , siendo X1 y X 0 las transformadas de los desplazamientos del primer nivel y de la fundación respectivamente, resultando:

X1 cs + k = 2 X 0 ms + cs + k Por una propiedad de la transformada el reemplazo de s por jω en la igualdad anterior muestra, en forma de número complejo, la ley de variación de x1 x 0 en función de la frecuencia de excitación ″ω″ , siendo x1 y x 0 las amplitudes de los desplazamientos en el nivel 1 y en la fundación respectivamente, quedando:

x1 cjω + k = x 0 − mω2 + cjω + k Ordenando y racionalizando se llega a una expresión del tipo:

x1 = a + jb x0 Como en rigor interesa la relación de amplitudes en términos absolutos conviene calcular los módulos, con lo que:

x1 = a 2 + b2 x0 Con el objeto de sistematizar la metodología se adopta un sistema de 3 grados de libertad. Al igual que para el caso de 1 grado de libertad, la estructura es solicitada desde la fundación con un movimiento sinusoidal simulando una acción del tipo sísmica de dirección horizontal. Si bien se utiliza un modelo físico matemático de desplazamiento vertical, se debe tener en cuenta que para el caso de estructuras civiles los desplazamientos dominantes son los del tipo horizontal. La figura 1 muestra la similitud entre la estructura real y el modelo físicomatemático equivalente. Para evitar confusiones con los signos de las fuerzas que se originan en cada uno de los componentes, conviene bloquear todos los niveles liberando de a uno el nivel

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en estudio y los adyacentes para conformar la ecuación diferencial que modeliza la dinámica de ese nivel. Nivel

Liberación del nivel i

Liberación del nivel i+1

Liberación del nivel i-1

1

m1

x1 + ( c1 + c2 ) x
1 + ( k1 + k 2 ) x1

−c 2 x
2 − k 2 x 2

−c1x
0 − k1x 0 = 0

2

m 2

x 2 + ( c2 + c3 ) x
2 + ( k 2 + k 3 ) x 2

−c3 x
3 − k 3 x 3

−c 2 x
1 − k 2 x1 = 0

3

m3

x 3 + x
3 ( c3 ) + x 3 ( k 3 )

0

−c3 x
2 − k 3 x 2 = 0

Reordenando obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones acopladas en el cual se observa explicitada en el segundo miembro de la primera ecuación la solicitación procedente de la fundación.

x1 + (c1 + c2 )x
1 + (k1 + k 2 )x1 − c 2 x
2 − k 2 x 2 = c1x
0 + k1x 0 m1

 x 2 + (c2 + c3 )x
2 + (k 2 + k 3 )x 2 − c2 x
1 − k 2 x1 − c3 x
3 − k 3 x 3 = 0 m 2

m

 3 x 3 + c3 x
3 + k 3 x 3 − c3 x
2 − k 3 x 2 = 0  m s 2 + ( c1 + c 2 ) s + ( k1 + k 2 )  − ( c 2s + k 2 ) 0  1   − ( c 2s + k 2 ) − ( c3s + k 3 )  m 2 s 2 + ( c 2 + c3 ) s + ( k 2 + k 3 )   − ( c3s + k 3 ) 0 m3s 2 + c3s + k 3    

(

)

 X 1   c1 s + k 1 X 0        = X 0  2  X   0   3  

Aplicando la transformada de Laplace y escribiendo en forma matricial resulta: Queda así determinando un sistema de 3 ecuaciones diferenciales simultáneas con 3 incógnitas que son las transformadas de los desplazamientos absolutos de cada uno de los niveles. Al resolver el sistema los desplazamientos x i obtenidos serán valores complejos y referidos a un sistema absoluto de coordenadas. Para conocer los desplazamientos relativos será necesario operar por diferencias entre los desplaza_ mientos x i de

los distintos niveles. La Figura 2 muestra un diagrama vectorial donde pueden apreciarse las respuestas en amplitud y fase; como x 0 es la excitación y tiene una amplitud conocida se toma como referencia y se la asume como un valor real.

El cálculo del desplazamiento relativo entre niveles - Figura 3 - es muy importante desde el punto de vista de las solicitaciones estructurales ya que permite obtener, por ejemplo, los momentos flectores y los esfuerzos de corte. Resolución del sistema de ecuaciones – ejemplo. Determinar la respuesta en el dominio de la frecuencia de una estructura de hormigón reforzado de 5 m de longitud en cada dirección y 3 m de altura entre cada nivel, losas macizas de 12 cm de espesor, vigas perimetrales de 20 cm de ancho por 50 cm de altura y 4 columnas de 20 cm por 20 cm de lado, excitada por un movimiento sinusoidal horizontal en la fundación de 5 mm de amplitud. La masa de cada nivel se determinó siguiendo los lineamientos del reglamento INPRES – CIRSOC para las construcciones sismorresistentes. La rigidez de entrepiso se calculó aplicando el método de Wilbur. Para calcular la constante de amortiguamiento “ c ” se adoptó como relación de amortiguamiento el 5% del

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amortiguamiento crítico, valor empleado para estructuras de hormigón reforzado con armadura, mediante la relación c = ζ ∗ 2 k
m . %-------------------------------------------clear all; s='(j*w)'; k3 = 6130268.2; k2 = 5869819.5; k1 = 6436539.3; % Rigidez en N/m m3 = 23400; m2 = 23400; m1 = 23400; % Masa en kg Pzita = .05; % Relación de amortiguamiento %-------------------------------------------c3= Pzita *2*(m3*k3)^.5; c2= Pzita *2*(m2*k2)^.5; c1=. Pzita *2*(m1*k1)^.5; x0=.005; % Desplazamiento inicial en metros p1 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 1 0 0 0]'); p2 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 1 0 0]'); p3 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 1 0]'); p0 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 0 1]'); dp0=expand(determ(p0));dp1=expand(determ(p1));dp2=expand(determ(p2));dp3=expand(determ( p3)); dp0=subs(dp0,s,'s');dp1=subs(dp1,s,'s');dp2=subs(dp2,s,'s');dp3=subs(dp3,s,'s'); %-------------------------------------------hilf=0; for f=0:.01:8 w=2*pi*f; hilf=hilf+1; x(hilf)=f; x1=eval(dp1)/eval(dp0)*x0; x2=eval(dp2)/eval(dp0)*x0; x3=eval(dp3)/eval(dp0)*x0; d1a(hilf)=abs(x1);

d1r(hilf)=abs(x1-x0);

d2a(hilf)=abs(x2);

d2r(hilf)=abs(x2-x1);

d3a(hilf)=abs(x3);

d3r(hilf)=abs(x3-x2);

a1a(hilf)=abs(-x1*w^2); a1r(hilf)=abs(-x1*w^2); a2a(hilf)=abs(-x2*w^2); a2r(hilf)=abs(-x2*w^2+x1*w^2); a3a(hilf)=abs(-x3*w^2); a3r(hilf)=abs(-x3*w^2+x2*w^2); end %-------------------------------------------figure(1) subplot(1,2,1),plot(x,d1a*1000,'r-',x,d2a*1000,'b-',x,d3a*1000,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Desplazamiento [mm]') TITLE('DESPLAZAMIENTOS ABSOLUTOS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,d1r*1000,'r-',x,d2r*1000,'b-',x,d3r*1000,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]')

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TITLE('DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS') LEGEND ('Nivel 1-0','Nivel 2-1','Nivel 3-2',0) axis auto figure(2) subplot(1,2,1),plot(x,a1a,'r-',x,a2a,'b-',x,a3a,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Aceleración [m/s²]') TITLE('ACELERACIONES ABSOLUTAS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,a1r,'r-',x,a2r,'b-',x,a3r,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') TITLE('ACELERACIONES RELATIVAS') LEGEND ('Nivel 0-1','Nivel 1-2','Nivel 2-3',0) axis('auto')

Los siguientes gráficos muestran las aceleraciones absolutas y los desplazamientos relativos y del ejemplo analizado. ACELERACIONES ABSOLUTAS

8

60

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

7

DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS

Nivel 1-0 Nivel 2-1 Nivel 3-2

50

40

5 Velocidades m/s

2 Aceleraciones m/s

6

4 3

30

20

2 10

1 0

0

2 4 6 Frecuencia [Hz]

8

0

0

2 4 6 Frecuencia [Hz]

8

Conclusión Durante la marcha del estudio se ha indagado en profundidad en la teoría de la Dinámica de los Sistemas con grados de libertad múltiples modelizados con parámetros concentrados pero, en contraste con los desarrollos encontrados en la bibliografía consultada, aquí se ha tenido en cuenta el amortiguamiento estructural. Como resultado de este análisis se ha logrado desarrollar un método de cálculo que, utilizando la Transformada de Laplace y Matlab como herramientas, permite evaluar la respuesta de los “n” grados de libertad de una estructura cuando

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se la solicita con cargas alternativas sinusoidales por la fundación, por sus niveles o por ambas simultáneamente. Bibliografía [11] 3.2.

MÉTODO DE NEWMARK. w3=200 ki= rigidez del entrepiso i, en ton/cm k3=80

wi= Peso del i, en ton

w2=400 k2=200

w1=400 k1=200

Figura 04 Sistema tratado en el ejemplo del método de Newmark

Este método[2] –pag113, propuesto por su autor en 1943, esta basado en el proceso de iteración de Stodola - Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962). En la forma en que a continuación se describe, el método es aplicable al cálculo del modo fundamental de vibración de las estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas. En estas estructuras la masa de los pisos intermedios está ligada sólo a la de los pisos superior en inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso correspondiente (la figura .... muestra una estructura de este tipo). En su forma más general el método se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre las diferentes masas (Newmark y Rosenblueth, 1971). Los pasos en que consiste el método se han aplicado en la Tabla 01 a la estructura de la Figura 04 y son los siguientes: a) Supóngase una formas ' X ' para el modo. Esta es la que aparece en el renglón 1 de la tabla. Para comenzar, es usualmente apropiado suponer valores iguales al número de orden del piso (de abajo hacia arriba). b) Obténgase la fuerza de inercia en cada masa correspondiente a la configuración supuesta. Estas fuerzas serían M X ω2 ; como se desconoce

'ω2' , se calculan los productos M X = F ω2 , que forman el segundo renglón de la tabla. c) A partir de las fuerzas de inercia calcúlense las fuerzas cortantes en los entrepisos, también divididas entre 'ω2' ; esto es, se calcula V ω2 como se anota en el tercer renglón de la tabla d) Dividiendo las fuerzas cortantes entre las rigideces de entrepiso, obténganse las deformaciones de entrepiso también divididas entre 'ω2' . Esto se presenta en el renglón cuarto de la tabla como ∆ V ω2

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e) Acumulando deformaciones de entrepiso determínese una nueva configuración de los desplazamientos de las masas Y ω2 (quinto renglón de la tabla). Para calcular la frecuencia se pueden promediar los valores del último ciclo o, mejor aún, determinarla con el coeficiente de Schwartz (que es una forma del cociente de Rayleigh), como sigue: 2

ω =

(

)(

Σi Fi ω2 Yi ω2

(

Σi Fi Yi ω2

)

2

)

Método de Newmark K: Tn / cm

200.000

200.000

80.000

M: Tn s² / cm

0.408

0.408

0.204

1

X

1.000

2.000

3.000

2 3

F / w² V / w²

4 5

DY / w² Y / w²

6

w² .............

1 2

X F / w²

3 4

V / w² DY / w²

5

Y / w²

6

w²

0.408 1.836

0.816 1.428

0.00918

..........

0.612 0.612

0.00714

0.00765

0.00918

0.01632

0.02397

109

123

125

..........

..........

..........

1.000 0.408 1.642 0.00821

........

1.750 0.714 1.234 0.00617

........... 2.550 0.520

0.520 0.0065

0.00821

0.01438

0.02088

121.8

121.7

122.1

Tabla 01 Método de Newmark

3.3.

MÉTODO DE HOLZER.

Para calcular lo modos superiores al primero[2] –pag115, podemos emplear el procedimiento debido a Holzer (Crandall y Strang 1957). Este método es solo aplicable a estructuras sencillas acopladas. Los pasos a dar son: a) Supóngase arbitrariamente un valor de 'ω2' mayor que el modo fundamental previamente obtenido por cualquier método. b) Supóngase la amplitud del movimiento 'X1 ' de la primera masa a partir del apoyo. Conviene suponer un valor unitario. Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento '∆ X1 ' del primer piso. c) Calcúlese la fuerza cortante en el primer resorte, V1 = K1 ∆ V1 , donde 'K1 ' es la rigidez de entrepiso, y la fuerza de inercia en la primera masa, F1 = M1 ω2 X1 . d) Por el equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte

F2 = V1 - X1

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e) Obténgase la deformación de este último, ∆ X 2 = F2 K 2 f) Calcúlese

la

amplitud del desplazamiento de la segunda X 2 = -X1 - ∆ X 2 , y la fuerza de inercia en la misma, F2 = M 2 ω2 X 2

masa,

g) Repítanse los pasos (d) a (f) con el tercer resorte y la tercera masa. h) Continúese el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibración. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su diferencia constituye un residuo. ω2

K: Tn / cm

Supuesto

500

200.000

200.000

M: Tn s² / cm

0.408

0.408

0.204

X

1.000

0.980

-1.570

Dx

1.000

-0.020

-2.55

V

200.000

-4.000

-204

F

…

204.0

........

........

........

X 563

80.000

200.0 ........

1.000

........

-160 ........

0.851

-1.964

Dx

1.000

-0.149

-2.815

V

200.000

-29.70

-225.2

F

229.7

........

195.5

-225.6

Tabla 02 Método de Holzer

( 500*30 + 600* 44 )

74 = 560 ( interpolación lineal)

200*1+ 28.5*0.140 + 225.0* 2.810 = 563.0 228.5*1+195.5*0.886 + 223.0*1.950 200*1+ 29.7 *0.149 + 225.2* 2.815 ω2 = 563* = 562.5 229.7 *1+195.5*0.851+ 225.6*1.964

ω2 = 500*

4.

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DINÁMICA.

De acuerdo con las NTC (Normas Técnicas Complementarias – México) para diseño por sismo, toda estructura puede analizarse mediante un método dinámico. Se aceptan como métodos de análisis dinámico:[6] -pag34. a) El modal (modal espectral) b) El paso a paso de respuestas a sismos específicos 4.1.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO DE LAS EDIFICACIONES

M

d2 d u + C u ( t ) + Ku ( t ) = F( t ) (4.1) [6] -pag35 2 (t) dt dt

M = Matriz de masa C = Matriz de amortiguamientos

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K = Matriz de rigideces

u ( t ) = Vector de desplazamientos d u = Vector de velocidades dt ( t )

d2 u t = Vector de aceleraciones dt 2 ( ) 4.2.

DESACOPLAMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO.

La transformación que permite desacoplar las ecuaciones de equilibrio dinámico se puede expresar como. [6] -pag39

u = R y (4.18) Donde

y = vector del nuevo sistema coordenado

R =  r1 r 2 … r n  u = Matriz mod al r n = n - ésimo eigenvector De acuerdo con la transformación de coordenadas anterior 4.18 las expresiones de los vectores de velocidad y de aceleración resultan ser:

d d u ( t ) = R y( t ) dt dt (4.20) 2 d d2 u ( t ) = R 2 y( t ) dt 2 dt De acuerdo con las ecuaciones 4.18 y 4.20 las ecuaciones de equilibrio dinámico 4.1 en el sistema de referencia transformado se expresa como:

MR

d2 d y + CR y( t ) + KRy( t ) = F( t ) (4.21) 2 (t) dt dt

Al premultiplicar la ecuación 4.21 por la transpuesta de la matriz modal se obtiene la siguiente expresión.

R tM R

d2 d y + R t C R y( t ) + R t K Ry( t ) = R t F( t ) (4.21) 2 (t) dt dt

Al definir los siguientes conceptos

M∗ = R t M R = Matriz de masa transformada C∗ = R t C R = Matriz de amortiguamientos transformada K ∗ = R t K R = Matriz de rigideces transformada

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F∗( t ) = R t F( t ) = Vector de c arg as transformado De acuerdo con las expresiones de ortogonalidad de los eigenvectores respecto a las matrices de masas y de rigideces, la matriz de masa transformada sea una matriz diagonal, las ecuaciones de equilibrio dinámico transformadas se pueden escribir como

M∗

d2 d y + C∗ y( t ) + K∗ y( t ) = F∗( t ) 2 (t) dt dt

Que resulta ser un sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado, cuya ecuación i-ésima se puede escribir como:

m∗i

d2 ∗ d y c yi ( t ) + k ∗i yi( t ) = fi∗( t ) (4.25) + i i t ( ) 2 dt dt

La ecuación 4.25 representa la ecuación de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de libertad. Por lo anterior se puede decir que un sistema de N grados de libertad se transforma en N sistemas de un grado de libertad. Los coeficientes de las ecuaciones de un grado de libertad resultan ser: N

( )

m∗i = ∑ m k rki k =1

2

c∗i = 2ωi ζ i k ∗i = ωi2 m∗i N

fi∗

=-

∑ mk Iik

k =1 N

∑ mk ( rki )

2

d2 d2 u g ( t ) = -ci 2 u g ( t ) dt 2 dt

k =1

Donde:

m k = masa asociada al grado de libertad k - ésimo rki = componente k - ésimo del i - ésimo eigenvector ( mod o )

ωi = frecuencia natural de vibración del i - ésimo mod o ζ i = fracción del amortiguamiento crítico del i - ésimo mod o N

ci =

∑ mk rik

k =1 N

∑

k =1

( )

m k rki

2

= coeficiente de participación del i - ésimo mod o

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4.3.

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MÉTODO DIRECTO DE INTEGRACIÓN PASO A PASO. [6] -pag36

Los métodos que actualmente se utilizan para integrar paso a paso las ecuaciones de equilibrio dinámico de las edificaciones se agrupan en: a) Métodos directos b) Métodos de superposición modal. 4.4.

MÉTODO DIRECTO PASO A PASO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

Otra forma de integrar paso a paso las ecuaciones de equilibrio dinámico de las estructuras es mediante la solución del problema de eigenvalores, según se indica a continuación. [6] -pag38 4.5.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE VALORES CARACTERÍSTICOS (EIGENVALORES) DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO;

Este caso corresponde a un problema de vibraciones libres no amortiguadas, cuyas ecuaciones resultan ser: [6] -pag38

M

d2 u t + Ku ( t ) = 0 dt 2 ( )

En las vibraciones libres el movimiento armónico, es decir

d2 u = -ω2 u ( t ) 2 (t) dt y las ecuaciones de vibración libre resultan ser

K u = ω2 M u que es el clásico problema de eigenvalores comúnmente expresado como:

Ax=λBx Definición; sea A una matriz de n × n. Se dice que un número λ es un valor propio de A si existe un vector solución K, no cero, del sistema lineal [15] -pagAP-16. AK = λK El vector solución K es un vector propio que corresponde al valor propio λ. El término híbrido eigenvalor se usa como traducción de la palabra alemana eigenwert que significa “valor propio”. A los valores propios y vectores propios se les llama también valores característicos y vectores característicos, respectivamente. Ejemplo; Vector propio de una matriz

 1   Compruebe que K =  −1 es un vector propio de la matriz  1    0 −1 −3    A= 2 3 3   −2 1 1   

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Solución; al multiplicar AK;

 0 −1 −3   1   −2        AK =  2 3 3   −1 =  2  = (−2)  −2 1 1   1   −2       

 1    −1 = (−2)K  1  

De acuerdo con la definición y lo que acabamos de decir, λ = -2 es un valor propio de A. [15] -pagAP-16 Ejemplo; Valores propios y vectores propios

 1 2 1   Determine los valores y vectores propios de A =  6 −1 0   −1 −2 −1   Solución; para desarrollar el determinante y formar la ecuación característica usamos los cofactores del segundo renglón;

det ( A − λI ) = Puesto

1− λ

2

0 = −λ3 − λ 2 + 12λ = 0 −1 − λ −2 −1 − λ

6 −1

que

1

−λ3 − λ 2 + 12λ = −λ ( λ + 4 )( λ − 3) = 0 ,

los

valores

propios

son

λ1 = 0, λ 2 = −4 y λ3 = 3 . Para hallar los vectores propios debemos reducir tres veces ( A − λI 0 ) , lo cual corresponde a los tres valores propios distintos. Para λ1 = 0

1 2 1 ( A − 0I 0 ) = 6 −1 0 −1 −2 −1 Entonces, k1 = −

1 2 0 1 2 1 0 0 → 0 −13 −6 0 → 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 6 0 → 0 1 13 0 0 0 0

1 13

0 6 0 13 0 0

1 6 k 3 y k 2 = − k 3 . Si k 3 = −13 , obtenemos el vector propio (*) 13 13

1 K1 =

6 −13

Para λ 2 = −4

( A + 4I 0 ) =

5

2

1

6 3 0 −1 −2 −3

0

1 2 −3 0

0 → 6 3 0 5 2

1

2

-3 0

1 0

1 0

0 0 → 0 −9 18 0 → 0 1 −2 0 1 0 0 −8 16 0 0 0 0 0

Entonces, k1 = − k 3 y k 2 = 2k 3 . Si k 3 = 1 , se obtiene el segundo vector propio

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−1 K2 =

2 1

Para λ3 = 3 La eliminación de Gauss-Jordan da;

( A − 3I 0 ) =

−2

2

1

6 −4 0 −1 −2 −4

0

1 0 1 0

0 → 0 1 3 0 2 0 0 0 0 0

Entonces, k1 = − k 3 y k 2 = −

3 k 3 . Si k 3 = −2 , conduce al tercer vector propio 2

2 K3 =

3 −2

(*) Naturalmente, k 3 pudo ser cualquier número distinto de cero; en otras palabras, un múltiplo constante distinto de cero de un vector propio también es un vector propio. Cuando una matriz A de n × n tiene n valores propios distintos, λ1 , λ 2 ,..., λ n se demuestra que se puede determinar un conjunto de n vectores propios independientes(*) K1, K2,....., Kn; sin embargo, cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, quizá no sea posible hallar n vectores propios de A linealmente independientes. (*) La independencia lineal de los vectores columna se define igual que la de las funciones. [15] -pagAP-17 Example; The analysis of vibration frequencies by the solution of the determinantal equation (9) will be demonstrated with reference to the structure of fig. 05. The stiffness matrix for this frame can be determined by applying a unit displacement to each story in succession and evaluating the resulting story forces. Because the girders are assumed to be rigid, the story forces can easily be determined here by merely adding the sides way stiffnesses of the appropriate stories. [7] -pag202

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Cátedra: Dinámica Estructural m = 1.0

k = 600 m = 1.5

k = 1200 m = 2.0

k = 1800

Figura 05 Frame used in example of vibration analysis

The mass and stiffness matrices for this frame thus are

1.0

 kip.sec2  m = 1  in  

0 0

0

0

1.5 0 0 2.0

1 −1 0 kips   k =  600  −1 3 −2 in   0 −2 5 from which

kips   k − ω m =  600  in   2

1− B −1 0

−1

0

−2 3 − 1.5B −2 5 − 2B

(a)

Where

B≡

ω2 600

The frequencies of the frame are given by the condition that ∆ = 0 where ∆ is the determinant of the square matrix in eq (a). Evaluating this determinant, simplifying, and equating to zero leads to the cubic equation;

B3 − 5.5B2 + 7.5B − 2 = 0 The three roots of this equation may be solved directly or obtained by trial and error; their values are B1 = 0.3515 , B2 = 1.6066 , B3 = 3.5420 . Hence the frequencies are;

ω12   210.88   2    ω2  =  963.96   2   2,125.20   ω3  

 ω1  14.522       rad  ω2  = 31.048     ω   46.100   sec   3  

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The analysis of vibration mode shapes will be demonstrated by applying it to the structure of fig.05. The mode shapes can be found by introducing the values of Bn , inverting, and multiplying as indicated. The calculations for the three mode shapes of this system follow;

0.6485  0.3018

Mode 1: B1 = 0.35 → 

 −0.6066   −0.6790

Mode 2: B2 = 1.61 →  Mode 3: B3 = 3.54

 −2.5405 →   2.4382 

Of course, the displacement of mass a in each mode has been assumed to be unity. The three mode shapes for this structure are sketched in fig.06. [7] -pag 207.

1.000

0.648

0.301

1.000

1.000

-2.5405

-0.6066

-0.6790

2.438 = 31.048

MODE 1 W1= 14.522

MODE 3 W3= 46.100

MODE 2 W2= 31.048

Figura 06 Vibration properties for the frame

Referencia Bibliográfica extra [14] -pag183. 4.5.1. SUPERPOSICIÓN MODAL. Consider, for example, the cantilever column shown in fig. 07, for which the deflected shape is expressed in terms of translational displacements at three levels. Any displacement vector v (static or dynamic) for this structure can be developed by superposing suitable amplitudes of the normal modes as shown. For any modal component v n , the displacement are given by the product of the mode-shape vector φn and the modal amplitude Yn ; thus[7] –pag220

vn = φn Yn

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The total displacement vector v is then obtained by summing the modal vectors as expressed by v11

v1

v2

v21

+ v31

v=Φ Y

v13

v23

v22

= v3

v12

+ v32

v1=Φ Y1

v33

v2=Φ Y2

v3=Φ Y3

Figura 07 Representing deflections as sum modal components N

v = φ1Y1 + φ2 Y2 + … + φ N YN = ∑ φn Yn n =1

or, in matrix notation,

v = ΦY In this equation, it is apparent that the NxN mode-shape matrix Φ serves to transform the generalized coordinate vector Y to the geometric coordinate vector v . The generalized component in vector Y are called the normal coordinate of the structure.

φTn mv = φTn mφ1Y1 + φTn mφ2 Y2 + … + φTn mφ N YN Because of the orthogonality property with respect to mass, …….for…., all terms on the right hand side of this equation vanish, except for the term containing….., leaving

φTn mv = φTn mφn Yn From which

φTn mv Yn = T φ n mφ n

n = 1, 2,......, N

(12-6)

If vector v is time depend, the… coordinate will also be time dependent; in this case, taking the time derivative of Eq. 12-6 yields El llamado análisis modal aprovecha las propiedades de los modos de vibrar para reducir el problema de resolver un sistema acoplado de n ecuaciones diferenciales al de n ecuaciones diferenciales desacopladas. [2] -pag121. 4.5.2. SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL. Método de la respuesta espectral [6] -pag43 Este método corresponde al denominado análisis de las NTC para el diseño por sismo. Su secuencia se resume a continuación.

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a) Desacoplamiento de las ecuaciones de equilibrio dinámico b) Obtención de la respuesta espectral de cada una de las ecuaciones de equilibrio desacopladas. De acuerdo con el RCDF87 se calcula mediante la siguiente expresión

yi max = ci

Ai ωi2

y′max = respuesta espectral de desplazamientos transformados del mod o i-esimo ωi = Frecuencia natural de vibración del mod o i - ésimo Ai = Ordenada del espectro de aceleraciones de diseño asociada al príodo natural de vibración Ti =

2π ωi

ci = coeficiente de participación del mod o i - ésimo c) Cuantificación de los vectores de desplazamientos máximo de la estructura para cada modo.

ui

max

= r i yi max

r i = Eigenvector asociado al mod o i - ésimo d) Obtención de la respuesta total de la estructura a. Método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS)

S=

N

∑ Si2 i1

b. Método de la combinación cuadrática completa (CQC)

S=

N N

∑∑ Si pijS j i=1 j=1

pij =

8

(

)

ζ i ζ jωi ω j ζ i ωi + ζ jω j ωi ω j

( ωi - ω j ) + 4ζiζ jωiω j + 4 ( ζ 2i + ζ 2j ) ω2i ω2j

ζ i = Valores del amortiguamiento crítico del mod o i - ésimo

( que se sup one cons tan te para todos los mod os ) ωi, j = Frecuencia natural de vibracion del mod o i - ésimo Referencia bibliográfica extra: [7] –pag 211, 221 y 222, [10] –pag 396

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5.

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PROGRAMACIÓN EN COMPUTADORAS.

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