Texto Capitulo II (Teoría de colas)

TABLA DE CONTENIDO

1

TEORIA DE COLAS O LINEA DE ESPERA........................................................................................................1 1.1 1.2 1.3

INTRODUCCION .........................................................................................................................................1 DEFINICION DE TERMINOS.........................................................................................................................3 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE.......................................5 1.3.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE .........................................5 1.3.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE .......6 1.3.2.1 1.3.2.2 1.3.2.3

1.4

ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE.................................10 1.4.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE..................................10 1.4.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE 11 1.4.2.1 1.4.2.2 1.4.2.3

1.5

Ejemplo 1 .................................................................................................................................................... 7 Ejemplo 2 .................................................................................................................................................... 8 Ejemplo 3 .................................................................................................................................................... 9

Ejemplo 1 .................................................................................................................................................. 11 Ejemplo 2 .................................................................................................................................................. 13 Ejemplo 3 .................................................................................................................................................. 14

ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA ................................................................15 1.5.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL SIMPLE ...........................................15 1.5.2 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL MULTIPLE......................................16 1.5.3 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA .....................................17 1.5.3.1 1.5.3.2

Ejemplo 1 .................................................................................................................................................. 17 Ejemplo 2 .................................................................................................................................................. 20

TECNICAS DE SIMULACION

1 TEORIA DE COLAS O LINEA DE ESPERA

1.1 INTRODUCCION

De todos los conceptos tratados con las técnicas básicas de investigación operacional, la teoría de colas aparece como la de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás la más difícil de aplicar. Todos los negocios, gobierno, industria, escuelas, hospitales, tienen problemas de colas (sistemas de servicios). El objetivo principal de analizar estos tipos de sistemas es el de obtener su máximo rendimiento. Sistema de Colas: Es un sistema en el que los elementos (o usuarios) intentan utilizar un recurso, para lo que llegan a un punto de servicio, esperan a que les corresponda el uso del mismo (en una cola), utilizan dicho recurso y abandonan el sistema. Se pueden considerar varios tipos de problemas de gestión relacionados con los sistemas de colas, estos son: 

Problemas de análisis: Se precisa conocer si, dado un sistema, éste está funcionando correctamente.



Problemas de diseño: Se quieren diseñar las características de un sistema que satisfaga un objetivo o meta global.

Un sistema de colas puede ser descrito en función de seis partes: 1. Proceso de llegada: Un proceso estocástico que describe cómo llegan los elementos al sistema desde el medio ambiente. 2. Proceso de servicio: Un proceso estocástico que describe la longitud del tiempo que un servidor dedicará a una tarea. 3. El número de servidores y sus tasas de servicio. 4. La disciplina de la cola: Las reglas mediante las cuales se decide qué trabajo o trabajos serán atendidos. Dependiendo de si el servicio es interrumpible o no, esto se puede dar en el momento de finalización de un servicio o durante el propio tiempo de servicio. 5. Capacidad del sitio de espera. 6. Población de posibles usuarios.

1

TECNICAS DE SIMULACION Existe una forma de representar los diferentes tipos de problemas de colas existentes, llamada Notación de Kendal A/B/c/n/p, en donde: A y B representan la distribución de llegadas y servicios respectivamente, c el número de servidores, n la capacidad del sitio de espera y p la población. Si n y p no aparecen se suponen ambos ∞ (infinito). 

Proceso de llegadas: El símbolo A describe la distribución con los tiempos entre llegadas: o D = tiempos fijos entre llegadas. o M = tiempos entre llegadas aleatorios con distribución exponencial. o G = tiempos entre llegadas aleatorios con una distribución general (distinta de la exponencial).



Proceso de servicio: El símbolo B describe la distribución con los tiempos de servicio: o D = tiempos de servicio fijos. o M = tiempos de servicio aleatorios con distribución exponencial. o G = tiempos de servicio aleatorios con una distribución general (distinta de la exponencial).

En la figura 2.1 se muestra los componentes de un sistema de colas.

Figura 1.1 Componentes de un sistema de colas Los clientes llegan a la cola y esperan hasta que les proporcionen el servicio, o si el sistema está vacío, el cliente que llega puede ser atendido inmediatamente. Después de que el servicio es realizado el cliente abandona el sistema. La tasa a la cual llegan los clientes para ser atendidos se denomina tasa de servicio  (lambda). Como su nombre lo indica, esta es una tasa cuyas unidades son clientes por unidad de tiempo (c/hora, c/día, etc.). La tasa a la cual cada unidad de servicio puede atender al cliente se denomina tasa de servicio  (mu) y está definida también en clientes por unidad de tiempo (c/hora, c/día, etc.).

2

TECNICAS DE SIMULACION La tasa de servicio representa la máxima capacidad de servicio suponiendo que la unidad de servicio no esta ociosa. Estas tasas son valores promedios que normalmente se representan con la distribución de Poisson. Normalmente se debe encontrar la tasa de servicio adecuada para la tasa de llegada de los clientes. En la figura 2.2 se muestran los tipos de colas existentes.

Figura 1.2 Tipos de colas

1.2 DEFINICION DE TERMINOS 

Cliente: Unidad que llega requiriendo la realización de algún servicio, pueden ser personas, maquinas, partes, etc.



Cola (línea de espera): Número de clientes que esperan ser atendidos.



Canal de servicio: Es el proceso o sistema que está efectuando el servicio para el cliente. Este puede ser simple o multicanal. El símbolo k indicará el número de canales de servicios.

3

TECNICAS DE SIMULACION 

Tasa de llegada: Tasa (clientes por periodo de tiempo) a la cual llegan clientes para ser atendidos. El valor medio de esta tasa es.



Tasa de Servicio: Tasa (clientes por unidad de tiempo) a la cual un canal de servicio puede suministrar el servicio requerido por el cliente. El valor medio de esta tasa es.



Prioridad: Método de decidir cuál será el próximo cliente atendido. La suposición más frecuente es FIFO.



Tamaño de la Población: Tamaño del grupo que proporciona los clientes. Si hay unos pocos clientes potenciales, la población es finita. Si hay un gran número de clientes potenciales, por ejemplo entre 30 y 50, o más, generalmente se dice que la población es infinita. Otra regla empírica es, la población es infinita cuando la población es lo suficientemente grande como para significar que la llegada de un cliente no afecta apreciablemente la probabilidad de otra llegada.



Distribución de Tasa de Llegada: Es la distribución de la tasa de llagada de los clientes al sistema de servicio. La suposición más frecuente es la distribución de Poisson y tiempos entre llegadas exponenciales.



Distribución de Tasa de Servicio: Es la distribución de la tasa de servicio de los canales de servicios. La suposición más frecuente es la distribución de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.



Lq, número esperado de clientes en la cola: Número estimado de clientes que esperan ser atendidos.



L, número esperado de clientes en el sistema: Número estimado de clientes ya sea esperando en la línea y/o siendo atendidos.



Wq, tiempo esperado en la cola: Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en línea.



W, tiempo esperado en el sistema: Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido, Wq + 1/.



Ln, número esperado en la cola no vacía: El número promedio o número estimado de clientes que esperan en la línea excluyendo aquellos periodos en los cuales la línea esta vacía.



Wn, tiempo estimado de espera en una cola no vacía: Tiempo estimado que un cliente espera en una línea en el caso de que decida esperar. Es el valor promedio de los tiempos de espera de todos los clientes que entran a la cola cuando el canal de servicio está ocupado. Los clientes que llegan cuando el canal está vació tienen un tiempo de espera cero, y estos valores no se promedian en Wn.

4

TECNICAS DE SIMULACION Usando estos términos podemos definir los siguientes modelos de problemas de colas: Modelos de Colas Tamaño de la Población Número de Canales

Infinita Simple

Finita

Múltiple

Simple

Múltiple

Realmente el modelo del canal simple es un caso especial del modelo multicanal. Además de esta simple subdivisión la distribución de tiempos de llegada y/o tiempos de servicio puede variarse para dar lugar a un árbol aún más grande. Aunque es este texto sólo se trata la distribución de Poisson, otros tipos comunes son la distribución de Erlang y las de períodos fijos o constantes. La inclusión de estas dos distribuciones aumenta el conjunto de cuatro modelos hasta doce.

1.3 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE

1.3.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera: M/M/1. Quizás el modelo de colas más fácil de resolver es el de una cola de canal simple que da servicio a una población infinita. Existen algunas ecuaciones básicas que pueden usarse para analizar esta clase de problemas. 1. La probabilidad de hallar el sistema ocupado o utilización del sistema:



 

donde,  = utilización del sistema  = tasa de llegada, unidades/periodo de tiempo  = tasa de servicio, unidades/periodo de tiempo Las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando / < 1 (condición de estabilidad del sistema). 2. La probabilidad P0 de hallar el sistema vacío u ocioso:

P0  1 

 

5

TECNICAS DE SIMULACION 3. La probabilidad Pn de hallar exactamente n clientes en el sistema: n

 Pn  P0   , considere que: 



P n0

n

1

4. El número esperado Lq de clientes en la cola:

Lq 

2  (   )

5. El número esperado L de clientes en el sistema:

L 

 

6. El tiempo esperado Wq en la cola por los clientes:

Wq 

 (   )

7. El tiempo promedio esperado W en el sistema por los clientes: W

1 

8. El número esperado Ln de clientes en la cola no vacía: Ln 

 

9. El tiempo esperado Wn en la cola para colas no vacías por los clientes: Wn 

1 

1.3.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE

A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de colas con población infinita canal simple.

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TECNICAS DE SIMULACION 1.3.2.1 Ejemplo 1 Una máquina duplicadora para uso de oficina es utilizada y manejada por el personal de la oficina que necesita obtener copias, principalmente secretarias. Puesto que el trabajo que debe duplicarse varía en magnitud (número de páginas del original) y en el número de copias requeridas, la tasa de servicio está aleatoriamente distribuida, pero se aproxima a una distribución de Poisson, que tiene una tasa media de servicio de 10 trabajos por hora. Generalmente los requerimientos de utilización son aleatorios durante las 8 horas de trabajo diario pero llegan a una tasa de 5 por hora. Algunas personas han observado que ocasionalmente se forma una línea de espera y han objetado la política de mantener una sola unidad. Si el tiempo de una secretaria está evaluado en $ 3.50, haga un análisis para determinar: a. Utilización de equipo. b. Porcentaje de tiempo que una llegada tiene que esperar. c. Tiempo promedio en el sistema. d. Costo promedio ocasionado por esperar y hacer funcionar la máquina. Resolución:

La tasa de llegada  es 5 por hora, y la tasa de servicio  es 10 por hora. a. La utilización de equipo es  .



 5   0,50  10

Por lo tanto el equipo se utiliza un 50 % del tiempo. b. El porcentaje de tiempo que una persona que llega tiene que esperar es simplemente el porcentaje de tiempo que el equipo está ocupado, esto es, 50 %. c. El tiempo promedio W en el sistema es:

W 

1 1 1    0,20 h / c    10  5 5

En promedio cada persona que llega gasta 0,20 horas esperando y procesando el trabajo.

7

TECNICAS DE SIMULACION d. El costo promedio es: Costo por día = Número de trabajos procesados por día  costo promedio por trabajo Costo promedio por trabajo = Tiempo promedio por trabajo * $/hora = W($3,50/hora) = 0,20(3,50) Costo por día = 8(5)(0,20)(3,50) = $28 por día 1.3.2.2 Ejemplo 2 Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el terminal de carga. Se cargan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. Las compañías independientes se quejan de que algunas veces deben esperar en la línea y perder dinero por mantener esperando al conductor y al camión. Ellos han solicitado a la refinería disponer de un segundo terminal de carga o descontar un precio equivalente al tiempo de espera. Se han acumulado los siguientes datos. Tasa promedio de llegada (para todos los camiones) = 2c/hora Tasa promedio de servicio = 3c/hora. El 30% de todos los camiones son independientes. Suponiendo que estas tasas aleatorias tiene una distribución de Poisson, determinar: a. La probabilidad que un camión tenga que esperar. b. El tiempo de espera de un camión. c. El tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día. Resolución: a. La probabilidad de que un camión tenga que esperar por servicio es el factor de utilización.



 2   0,66  3

b. El tiempo de espera de un camión es:

Wn 

1 1 1    1h / c   32 1

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TECNICAS DE SIMULACION c. El tiempo total estimado que los camiones independientes esperan por día es: Camiones por día * % de independientes * Wn = (2*8)(0,30)(0,67)(1) = 3,2 h/día. Este resultado se puede obtener por otro camino: Tiempo esperado = Camiones/día * % independientes * tiempo estimado de espera/camión

 2       3,2 h / c   16(0,3) (2 * 8)(0,3Wq )  16(0,3)    3(3  2)  1.3.2.3 Ejemplo 3 Una grúa desplaza objetos de una máquina a otra y se utiliza cada vez que la máquina requiere carga o descarga. La demanda de servicios es aleatoria. Los datos tomados del registro de tiempos entre llamadas de servicio siguen una distribución exponencial, con una media de una llamada cada 30 minutos. De manera semejante, el tiempo real de servicio de carga o descarga toma un promedio de 10 minutos. Si el tiempo de máquina está evaluado en $8,50 por hora, ¿cuánto vale el tiempo perdido por día? Resolución: En primer lugar se deben ordenar los valores de  y . Ambos son tasas, esto es, unidades por período de tiempo, mientras que los datos están dados en función de tiempo por unidad. Si una llamada para solicitar servicio ocurre cada 30 minutos en promedio, esto es una tasa de dos llamadas por hora. Análogamente, si se emplean 10 minutos para atender un cliente como promedio, la tasa de servicio es de 6 por hora. Por lo tanto  = 6 unidades/hora. También puede demostrarse que si los tiempos de servicio (o tiempos de llegada) están distribuidos exponencialmente, la situación es equivalente a una distribución de Poisson que tiene como base la tasa de servicio (o de llegada). El tiempo perdido por máquina es el tiempo promedio W del sistema.

W 

1 1 1    0,25 horas / llamada   62 4

La demanda diaria de servicio, suponiendo un día de 8 horas, es 8 veces la demanda por hora. Demanda diaria = 8 = 8(2) = 16 llamadas para solicitar servicio/día. Puesto que cada llamada requiere un tiempo de paralización promedio de 0,25 horas, Costo total/día= ($8,50/hora)(0,25 horas/llamada)(16 llamadas/día) = $34/día

9

TECNICAS DE SIMULACION

1.4 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE

1.4.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera: M/M/k. Se puede deducir expresiones semejantes para el tiempo en el sistema, etc., para un problema de cola multicanal siempre y cuando se suponga una población infinita. Realmente estas ecuaciones son más generales que las dadas en el problema de canal simple ya que ellas pueden reducirse al caso de canal simple haciendo k = 1 y simplificando. Condición de estabilidad: /(k) < 1. Enseguida se presentan las ecuaciones básicas: 1. La probabilidad P0 de hallar vacío el sistema: P0 

1 n   n  k 1 1          n  0 n!     

k



1   k   k!    k  

Donde k = número de canales de servicio.  = tasa de llega de clientes.  = tasa de servicio de un canal simple (se supone que todos los  son iguales). 2. La probabilidad Pn de hallar exactamente n clientes en el sistema: n

P0      Para n = 0,1, 2,…, k n!   

Pn 

1 Pn  k! k n  k

n

   P0 Para n  k 

3. La probabilidad Pk de que una unidad que llega tenga que esperar (probabilidad de que haya k o más unidades en el sistema):

Pk

1  k!

       

k

k k   



P 0 , considere:



k 1



n0

n0

nk

 Pn  1   Pn   Pn y



P nk

n

 Pk

4. El número esperado L de clientes en el sistema:

     P0  2  k  1! k     k

L

10

TECNICAS DE SIMULACION 5. El número esperado Lq de clientes en la cola:

    P0 Lq   k  1 !  k     2 k

6. El tiempo esperado Wq en la cola por los clientes:

    P0 k  1! k    2 k

Wq 

7. El tiempo esperado W en el sistema por los clientes:

    P0 1  2 k  1!k     k

W 

1.4.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE

A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de colas con población infinita canal múltiple. 1.4.2.1 Ejemplo 1 Se ha objetado la situación presentada en el ejemplo de la máquina duplicadora del epígrafe 2.3.2.1 debido al resultado del último análisis. Se está considerando la posibilidad de instalar dos máquinas o arrendar una máquina más grande. Enseguida se resumen los datos:

Máquina pequeña Máquina grande

Tasa de servicio , por hora 10 15

Costo diario de arrendamiento $5 $10

Resolución: El costo total diario es el costo de arrendamiento más el costo del tiempo perdido. Por lo tanto, el costo total de una máquina pequeña se puede determinar a partir de los cálculos anteriores: CT = (1 pequeña) = $5 (arrendamiento) + $28 (tiempo) = $ 33 diarios. El costo de una máquina grande es: W  grande  

1 1 1    0.10 h / m    15  5 10

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TECNICAS DE SIMULACION CT (grande) = $10 (arrendamiento) + (8*5)(0,10)(3,50) = $24 por día. El costo de dos máquinas pequeñas seria: Para calcular el tiempo en el sistema de dos máquinas pequeñas, primero se calcula P 0 usando la ecuación: P

0



1  n  k 1 1       n !   n0 

P0 

P0 

  

n

   

1      k !   



k

k k  

1  n 1 n  1  5      n  0 n!  10   

k

1  5  2(10)   2!  10  2(10)  5 1

1  0 , 5  0  1  0 , 5 1  1  0 , 5  2 20 0! 1 2 15

P0 

1  0 , 600 1  0 , 5  0 ,167

Po = 0.60 El tiempo esperado W en el sistema es:

    P0 k  1 ! k    k

W





2



1 

Sustituyendo tenemos que: W = 0.107 Por lo tanto, el costo total diario es la suma del costo de arrendamiento más el costo del tiempo perdido: CT = 2 (5) + (8*5)(0,107)(3,50) = $24,98 por día Esto indica que sería ligeramente menos costoso utilizar una máquina más grande. Si la ventaja de colocar las dos máquinas en diferentes lugares disminuye el tiempo para llegar a cada máquina, probablemente sea mejor arrendar dos máquinas pequeñas.

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TECNICAS DE SIMULACION 1.4.2.2 Ejemplo 2 Repetir el ejemplo de la refinería explicado en el epígrafe 2.3.2.2 usando dos canales de igual tamaño. Resolución: a. La probabilidad de que un camión tenga que esperar es igual a la probabilidad Pk de encontrar ya dos o más camiones en el sistema. P0 

1  n 1 n 1 2       n  0 n!  3   

k



1 2 2 (3)   2!  3  2 ( 3 )  2

1

P0 

2 1 6  2 1   0 , 67    3 2 62

 0 ,50

1 2 2 3  0 , 50  0 ,16   2!  3  2 3   2 2

Pk  P2 

La probabilidad de que un camión tenga que esperar es 0,16. b. El tiempo de espera de un camión es:     P0 k  1 ! k    k

W

q



2

2

W

q

 2  3   0 , 50   3    0 , 042 2 12 (3 )  2 

Se observa que Wq es el tiempo estimado que un camión tiene que esperar. Esta no es una probabilidad condicional como W n, por lo tanto debe dividirse por la probabilidad de que un camión tenga realmente que esperar. W

n



W

q

Pk



0 , 042 0 ,16

 0 , 2625

c. El tiempo total estimado que los camiones independientes tienen que esperar diariamente es: Tiempo Total = (2*8)(0,3)(0,16)(0,2625) = 0,202 horas/día Tiempo Total = 16(0,3 Wq) = 16(0,3)(0,042) = 0.202 horas/día

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TECNICAS DE SIMULACION 1.4.2.3 Ejemplo 3 Una compañía telefónica está planeando la instalación de casillas telefónicas en un nuevo aeropuerto. Se ha establecido la estrategia de que una persona no tenga que esperar más del 10 porciento de las veces que intente usar un teléfono. Se estima que la demanda de uso tiene una distribución de Poisson con un promedio de 30 por hora. La llamada telefónica promedio tiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 5 minutos. ¿Cuántas casillas telefónicas se deben instalar? Resolución: Pk < 0.10,

 = 30c/h,

 = 12c/h 1 5   60

Cuando k = 2, 2=24, deben instalarse por lo menos tres teléfonos para satisfacer la demanda de servicio y la condición de estabilidad del sistema. Ensayar con k = 5: P0 



1  n  5 1 n 1  30        n  0 n!  12   

5



1  30  5 (12 )   5!  12  5 (12 )  30

1  0,0801 2,5 2,5 2,54 1 5 60 1 2,5     2,5 2! 3! 4! 5! 30

Pk  P5 

2

3

1 512  2 ,5 5 0 ,0801  0 ,13 5! 512   30

Esto da una probabilidad de 0,13 de que un cliente tenga que esperar. Ensayar con k = 6: Po = 0.08162 Pk = P6 = 0.047

P6 < 0.10

Por tanto si se instalan 6 teléfonos la probabilidad de que un cliente tenga que esperar es 0,047. Ya que este valor es menor que 0.10, este es el número mínimo que satisface la política de la compañía.

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TECNICAS DE SIMULACION

1.5 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA En algunos casos, el número de clientes potenciales es pequeño. Si este valor es tan pequeño que la llegada de un cliente para ser atendido o la terminación de un simple servicio afecta la probabilidad de futuras llegadas, entonces la suposición de una población infinita no es válida. Por ejemplo, si un operador atiende tres máquinas y cada una requiere atención a intervalos aleatorios, las maquinas (clientes) provienen de una población finita. Evidentemente la probabilidad de llegada de un cliente varía con un cambio de una sola llegada (el cliente reingresa a la población). Como regla empírica, si la población es menor que 30 deben usarse las ecuaciones correspondientes a una población finita. Aunque los conceptos son iguales a los usados con una población infinita algunos términos y ecuaciones requeridos en el análisis son diferentes. Estos cálculos requieren considerable tiempo, pero si se dispone de un computador esta operación no requiere de un tiempo grande. La probabilidad de una llegada varía según el número de clientes disponibles para entrar al sistema. Si se define M como la población total de clientes y n como el número de clientes que ya están en el sistema de cola, cualquier llegada debe provenir de los M-n que aún no están en el sistema. Por tanto, conociendo la probabilidad de una llegada individual es posible expresar la probabilidad de una llegada. Si 1/ es el tiempo entre requerimientos de servicio de una unidad, esto es, el tiempo medio entre llegada de un cliente dado, entonces  es la probabilidad de que un cliente requiera servicio durante el período de tiempo t. Se observa nuevamente que esto supone que la probabilidad es independiente del período de tiempo y por lo tanto que tiene una distribución de Poisson. Si  es la probabilidad de que una unidad determinada requiera servicio y hay M–n clientes que no están en el sistema de cola, entonces la probabilidad de que un cliente requiera de servicio es (M – n) . Se observa que esto todavía no es importante. A continuación se presentan las ecuaciones de estos problemas. 1.5.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL SIMPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera: M/M/1/M/M. 1. La probabilidad P0 de hallar vacío el sistema:

P0 

1  M !   n       n  0   M  n !      

nM

Donde M es el número de clientes en la población (tamaño de la población). 2. La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema:

M!    Pn  M  n !  

n

  P0 , considere que: 

M

P n 0

n

1

15

TECNICAS DE SIMULACION 3. El número esperado L de clientes en el sistema:

L

nM

 nP n0

n

M 

 1  P0  

4. El número esperado Lq de clientes en la cola:

Lq  M 

 1  P0  

1.5.2 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL MULTIPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera: M/M/k/M/M. En este caso se supone que el número k de canales es mayor que 1, por lo tanto 1 < k  M. 1. La probabilidad P0 de hallar vacío el sistema: P0 

1 n  k 1



n0

     M !        M  n  ! n !     n

n M



nk

 M !    M  n  ! k ! k

nk

n           

2. La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema: Donde 0  n  k Pn  P0

M !  M  n ! n !

       

M!  M  n ! k ! k n  k

   

n

Donde k  n  M

Pn  P0

n

Observe que n no puede ser mayor que M. M

considere que:

P n 0

n

1

16

TECNICAS DE SIMULACION 3. El número esperado L de clientes en el sistema:

L 

n  k 1



nP

n0

n



n M

 n nk

  k  Pn  k  1  

 Pn  

n  k 1



n0

4. El número esperado Lq de clientes en la cola:

Lq 

nM

 n  k P nk

n

La aplicación de estas ecuaciones a problemas de colas es semejante a la del caso de población infinita. Algunos problemas requieren una formulación ligeramente diferente ya que el propósito puede ser la determinación del tamaño óptimo de una población, en lugar de la tasa de servicio o del número de canales. 1.5.3 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA

1.5.3.1 Ejemplo 1 Un mecánico atiende cuatro máquinas, para cada una, el tiempo medio entre requerimientos de servicio es 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de 2 horas. Cuando una máquina queda en reparación, el tiempo perdido tiene un valor de $20 por hora. El servicio del mecánico cuesta $50 diarios. a. ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación? b. ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día? c. ¿Sería conveniente tener dos mecánicos para que cada uno atendiera sólo dos máquinas? Resolución: a. Para calcular el número esperado de máquinas en operación, primero se determina  y .

1  10 

  0 .1 ,

1  2 

  0 ,5

17

TECNICAS DE SIMULACION Ahora se calcula P0: P

0



1 n  4



n  0

  



4! 4  n

 0 ,1    !  0 ,5 

n

  



0 .4

El número esperado de máquinas que no funcionan en el sistema es:

L  4

0,5 (1  0,4)  4  3  1 0,1

El número esperado de máquinas que funcionan es: M-L = 4-1 = 3. b. El costo esperado del tiempo perdido por día se encuentra como se indica a continuación. Si se supone un día de 8 horas el tiempo total perdido es: 8 x Número esperado de máquinas que no funcionan = 8 (1) = 8 horas/día Costo = ($20/hora) (8horas/día) = $160/día. c. Comparar con el caso en el cual dos mecánicos atienden dos máquinas cada uno. Comparar ahora con M = 2. Esto supone que cada mecánico y sus máquinas constituyen un sistema separado independiente. Determinar P0:

P0 

1 1   0,68 2 1  2(0,2)  2(1)( 0,2) 1,48

El número esperado de máquinas en el sistema (por mecánico) es: L  2

0 ,5 1  0 , 68   0 , 4 0 ,1

El tiempo perdido esperado por mecánico es: (8)(0,4) = 3,2 horas/día Tiempo total perdido/día = 2(3,2) = 6,4 horas/día Costo total = 2($50/hombre) + (6,4 horas/día)($20/día) = 100 + 128 = $228/día Puesto que 228 > 160 + 50, no se justifica emplear dos hombres de la forma planteada.

18

TECNICAS DE SIMULACION Como ejercicio puede compararse lo anterior con un sistema similar pero que tenga cuatro clientes (máquinas) y dos canales (mecánicos). M = 4, k = 2 P0 

1 n  2 1



n  0



 4!  0 ,1     ( 4  n )! n !  0 ,5  

n

   

n  4



n  2

 4!  ( 4  n )! 2 ! 2 

n  2

 0 ,1     0 ,5 

n

  

1 1   0 , 48 4! 4! 4! 4! 4! 2 , 09 0 1 2 3 4 0,2  0,2  0,2  0,2  0,2 4!0! 3!1! 2!2!2 0 1!2!2 0!2!2

Ahora se determina el número esperado L de clientes en el sistema:

L 

n  k 1



nP

n

n0



n  2 1



n0



n M

 n nk

  k Pn  k  1  

 Pn  

n  k 1



n0

n4 n  2 1   nPn   ( n  2 ) Pn  2  1   Pn  n2 n0  

L = 0P0 + 1P1 + (2 - 2)P2 + (3 – 2)P3 + (4 - 2)P4 + 2(1 - P0 – P1) Esto significa que deben calcularse P1, P2, P3 y P4. Se observa que para P1 y P2, n  k,  M!   Pn  P0 ( M  n )! n!   

P1  0,48 P2  0, 48

n

4! 1 0,2  0,38 3!1!

4! 0, 2 2  0,12 2!2!

Para P3 y P4, k  n  M,

M ! P n  P0 ( M  n )! k ! k P3  0 , 48

nk

       

n

4! 0 , 2 3  0 , 02 1!2 !2 1

19

TECNICAS DE SIMULACION

P4  0,48

4! 0,2 4  0,002 2 0!2!2

Por tanto: L = 0(0,48) + 1(0,38) + 0(0,12) + 1(0,02) + 2(0) + 2(1 – 0,48 – 0,38) L = 0 + 0,38 + 0 + 0,02 + 0 + 2,28 L = 0,68 El tiempo perdido por día de 8 horas es 8(0,68) = 5,44 horas/día Costo total = (2 hombres)(50) + ($20/hora)(5,44) = 100 + 108,80 = $208,80/día Esta variante es la menos costosa de todas. Debe esperarse que sea superior a dos sistemas separados de dos máquinas por mecánico puesto que los mecánicos se utilizan mejor. 1.5.3.2 Ejemplo 2 Una compañía ha decidido utilizar subestaciones localizadas en la región de mercadeo para atender sus camiones de reparto. El vicepresidente de mercadeo desea que los requerimientos de servicio y mantenimiento no interfieran al servicio de entrega. Puesto que los camiones operan 24 horas, pueden llegar a solicitar servicio en cualquier momento pero generalmente lo requieren cada 8 horas. Los procedimientos de mantenimiento requieren una estación con capacidad para atender 10 camiones durante un período de 8 horas. El tiempo entre llegadas se aproxima a una distribución de Poisson. El vicepresidente ha solicitado que sólo la mitad de los camiones que llegan estén obligados a esperar servicio. ¿Por cuántos camiones debe responder cada estación? Resolución: Determinar M tal que P0  0,50. Sea M = 4 P0 

1 n  M



n  0

P0 

M ! ( M  n )!

       

n

1 0

1

2

3

4!  1  4!  1  4!  1  4!  1  4!  1                ( 4  0 )!  10  3!  10  2!  10  1!  10  0!  10 

4

 0 , 647

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TECNICAS DE SIMULACION Sea M = 5 P0  0,56

Sea M = 6 P0  0,485

M = 5 da lugar al máximo tamaño de población con P0  0,5.

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