Test de Heterogeneidad

TEST DE HETEROGENEIDAD Héctor Véliz Guerrero

TEMARIO DEL CURSO • • • • •

FUNDAMENTOS PROCEDIMIENTO ESTUDIO DE CASO RESULTADOS REFLEXIONES

FUNDAMENTOS

HETEROGENEIDAD

CONSTITUCIÓN

DISTRIBUCIÓN AGRUPAMIENTO

SEGREGACIÓN

ERROR FUNDAMENTAL DEL MUESTREO LEY REAL = NFEI/NFR LEY OBSERVADA = NFEI(i)/NFR(i) EFM (i) = LEY REAL - LEY OBSERVADA (i)

Media de EFM = 0 Varianza de EFM = Varianza del Error Fundamental del Muestreo

N° DE FRAGMENTOS DE ROCA (NFR) N° DE FRAGMENTOS DEL ELEMENTO DE INTERÉS (NFEI)

LA FORMULA DE PIERRE GY • La formula de Pierre Gy proporciona, en el caso de material fragmentado, la VARIANZA RELATIVA DEL ERROR FUNDAMENTAL DEL MUESTREO (la varianza relativa corresponde a la varianza del error fundamental dividida por la ley media del lote elevada al cuadrado, luego es una varianza sin dimensión). • Es una aproximación a la formula original • Muestra debilidades en rangos ppm

 1 S 1  s    Cd  X M M  2

2

FE

i

2

i

S

L

3

ERROR FUNDAMENTAL •

EL ERROR FUNDAMENTAL (EF) ES GENERADO POR LA HETEROGENEIDAD DE CONSTITUCIÓN (HC).

•

LA HC REPRESENTA LA VARIABILIDAD EN EL CONTENIDO DEL ELEMENTO DE INTERÉS ENTRE FRAGMENTOS INDIVIDUALES.

•

EL EF ES DEPENDIENTE DE: • PESO DE LA MUESTRA • TAMAÑO MÁXIMO DE LOS FRAGMENTOS PARA UN DETERMINADO ESTADO DE CONMINUCIÓN • CONTENIDO PROMEDIO DEL ELEMENTO EN EL LOTE • GRADO DE LIBERACIÓN DE LOS MINERALES QUE CONTIENEN EL ELEMENTO DE NUESTRO INTERES • FORMA Y DENSIDAD DE LOS FRAGMENTOS • MINERALOGIA

VARIANZA DEL ERROR FUNDAMENTAL

 1 1  s   Cd  M M  2

3

FE

S

L

S2FE = Varianza del error fundamental MS = Peso de la muestra, en gramos, en cualquier etapa del muestreo. ML = Peso del lote, en gramos, del cual se extrae la muestra. C = Constante de muestreo. Este es nuestro objetivo.

d = Tamaño máximo de la partícula expresado en cm.

CONSTANTE DE MUESTREO

C

S

2

0

FE

 1 1   d M M    S

L

3

SIMPLIFICAMOS C

2

S M C d FE

3

S

VARIANZA DEL ERROR FUNDAMENTAL

S S  X 2

FE

2

i 2 i

S2i = Varianza ponderada de los resultados obtenidos de la fracción seleccionada X2i = Promedio ponderado de los resultados obtenidos en la fracción seleccionada.

VARIANZA DEL ERROR FUNDAMENTAL

 1 S 1  s    Cd  X M M  2

2

FE

i

2

i

S

L

3

TAMAÑO PROMEDIO DE LA PARTICULA

d d d 2 3

3

1

3 2

CONSTANTE DE MUESTREO

C  fgcl C = Constante de muestreo

d l d

f = factor de forma de las partículas g = factor dependiente de la distribución de tamaños c = Factor de constitución mineralógica (gr./cc) l = Factor de liberación dl = Tamaño de liberación de las partículas del elemento de interés d = Tamaño máximo de la partícula expresado en cms.

l

CONSTANTE DE MUESTREO

d C  fgc d

l

k  fgc d

l

CONSTANTE DE MUESTREO

k C d k C d   d

PROCEDIMIENTO

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL • • • • • • • • • • •

• •

Preparar muestra de 250 Kg. Preparar muestra para estudio mineralógico Secar la muestra a 110°C Chancar toda la muestra a -3/4” Tamizar toda la muestra a ¾”, ½”, ¼”, 10#, 24# y 65# Pesar y registrar cada fracción Distribuir la fracción -½” +¼” en una superficie De esta fracción elegir 64 o 100 muestras Cada muestra debe estar compuesta por 35 fragmentos seleccionados al azar de uno en uno. Numerar las muestras de 1 a 64 o de 1 a 100 y pesar Pulverizar cada muestra en un molino cerrado de anillo y “tejo” a 95% 150# Realizar análisis químico de cada muestra. Usar ensaye a fuego con finalización gravimétrica para el oro. Chancar las fracciones + ¾”, - ¾”, + ½”, ¼”, el material

ESTUDIO DE CASO

PROPÓSITOS • Determinar experimentalmente la varianza del error fundamental en función de la granulometría del “Top size” y el peso de la muestra seleccionada. • Calcular el error fundamental total del protocolo de muestreo de pozos de tronadura. • Si es necesario, optimizar el protocolo. • Estudiar la influencia de los errores de segregación y agrupamiento. • Determinar la precisión y exactitud del análisis químico. El método analítico usado en este caso es Absorción Atómica. • Calcular el valor del factor de liberación en función de la granulometría.

DATOS INICIALES • Se ha extraído una muestra de 587,15 Kg. • La muestra se ha obtenido desde las paredes de los bancos en donde la unidad CASO DE ESTUDIO aflora. • Mediante líneas de muestreo, se han tomado 60 incrementos del orden de 10 Kg. cada uno. • La muestra se ha almacenado en tambores de 200 litros, sellados y posteriormente ha sido trasladada al laboratorio. • La muestra se ha chancado 100% -2” y se ha tamizado. • Los granulometrías utilizadas han sido +25.4 mm, -25.4 +9.4 mm, -9.4 +4.7 mm y -4.7 mm • Todas estas fracciones granulométricas se han pesado. • El test de heterogeneidad se ha efectuado usando la fracción -25.4 +9.4. • Las fracciones restantes se han procesado en quintuplicado ( +25.4) y en cuadruplicado.

EVALUAR VIABILIDAD DEL TEST GRANULO

CUT A

MuestraMETRIA Granulometría Ley mm % A 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1 2 3 4

A A A A A B C C C C D D D D

+ 25.4 +25.4 +25.4 +25.4 +25.4 -25.4 +9.4 -9.4 +4.7 -9.4 +4.7 -9.4 +4.7 -9.4 +4.7 - 4.7 - 4.7 - 4.7 - 4.7

PESO INICIAL = 587.15 Kg. PESO FINAL = 575.5 Kg. PERDIDAS = 11.65 Kg.

1.05 1.02 1.03 1.05 1.04 1.044 1.12 1.18 1.18 1.17 1.63 1.57 1.52 1.55

CUT B Ley % B

1.05 1.05 1.06 1.04 1.05 1.036 1.11 1.19 1.17 1.08 1.62 1.57 1.54 1.50

PESO % Peso %

52.80

30.48

8.43

8.29

CONCLUSIÓN PRELIMINAR I • La ley de cobre aumenta en las fracciones finas. Este aumento no invalida el test de heterogeneidad pues la razón entre las leyes de las fracciones finas y las leyes de las fracciones gruesas es bastante menor que 5, efectivamente tomemos la menor ley de la fracción gruesa y la mayor de la fracción fina.

1.63 R  1.598 1.02

CONCLUSIÓN PRELIMINAR II • A medida que la granulometría decrece la probabilidad de cometer errores de segregación y/o de agrupamiento y/o de delimitación y/o de extracción aumenta. • La tabla siguiente muestra los estadísticos de posición y dispersión entre los cuadruplicados al interior de cada fracción granulométrica Desviación Ley MediaDESVIACION FRACCION MEDIA ESTANDAR Fracción GRANULOME- de % Cut Cut de A (%) A (%)% Estándar TRICA mm + 25.4 1.038 0.01304 -9.4 +4.7 1.163 0.0287 -4.7 1.568 0.0465

Coeficiente de CV % Variación (%) 1.26 2.47 2.97

CONCLUSIÓN PRELIMINAR III • El error de estimación entre cuadruplicados aumenta notablemente cuando la granulometría disminuye. • En este caso la componente principal del error es probablemente de segregación y agrupamiento. • Es importante entonces minimizar este error en las etapas de reducción de peso homogeneizando, pero principalmente, aumentando él numero de incrementos, particularmente en granulometrías finas. • Se debe tener especial cuidado en la etapa de selección de la muestra para el análisis.

CONCLUSIÓN PRELIMINAR IV • Las perdidas en el proceso de preparación del test alcanzan a 11.65 kilos. • Esto representa casi un 2% del total y muy probablemente el material perdido pertenece a las fracciones mas finas. • Note por favor que a pesar de tratar con sumo cuidado la muestra igual se ha producido el efecto de perdida de finos . • La influencia de la perdida de finos es función de su ley y su peso. Si los finos perdidos tuvieran una ley de 3 %, la perdida del 2% en peso de la muestra seria inaceptable pues induce un sesgo del orden de 4 %. Este error pertenece a la familia del “Error de Preparación”.

TEST DE HETEROGENEIDAD

SELECCIÓN DE LAS MUESTRAS • Como se ha mencionado anteriormente el test de heterogeneidad se ha efectuado usando la fracción 25.4 mm + 9.4 mm. • 60 muestras compuestas por 15 fragmentos cada una. • Estos fragmentos fueron elegidos al azar de uno en uno. El objetivo de esto es eliminar los errores de segregación, agrupamiento, delimitación y extracción. • No olvide que el propósito del test es determinar el error fundamental.

RESULTADOS AQ

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA ABSOLUTA ELEMENTO DE INTERÉS

REFLEXIONES SOBRE LOS RESULTADOS AQ • •

• •

•

A la granulometría que se efectúo el test la distribución de la ley de las muestras no es normal. La distribución es asimétrica, mas parecida a una log-normal de tal manera que la moda no coincide con la media. Lo anterior se debe a que las muestras elegidas son bastante pequeñas. Efectivamente el peso promedio de ellas es de 121.822 gramos y el peso del lote a estimar, es decir la reunión de las 60 muestras, es de 7309.3 gramos. Este ejemplo ilustra muy bien lo peligroso que resulta un esquema que no minimice el error fundamental. Efectivamente al no coincidir la media con la moda, es decir con el valor mas probable, se corre un alto riesgo de efectuar estimaciones sesgadas. En el caso presente 20 veces subestimaremos la ley, 16 veces estimaremos la ley del lote con una precisión aceptable y 24 veces sobrestimaremos la ley del lote. En resumen nuestro muestreo andará mal el 73 % del tiempo. Esto es particularmente grave si se toman decisiones importantes basadas en la ley de una muestra aislada.

RESULTADOS MASAS DE MUESTRAS

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA ABSOLUTA ELEMENTO DE INTERÉS

REFLEXIONES SOBRE LOS RESULTADOS DE LAS MASAS • Puede observarse que el peso de las muestras se distribuye normalmente. • Sin embargo es preciso destacar que este es bastante variable. • Varia entre 45 y 177 gramos. Esto se debe a que la diferencia entre los tamices utilizados es grande. • En próximos tests esta diferencia debe disminuirse o elegir los fragmentos de manera equiprobable pero condicionando la elección a que el peso de las muestras sea mas o menos constante.

CÁLCULO DEL ERROR FUNDAMENTAL • El test efectuado permite calcular la varianza de error fundamental al representar un lote de 7309.3 gramos por una muestra de 121.822 gramos.

 1 S 1  s    Cd  X M M  2

2

i

FE

2

i

S

L

2

x  1.0443

S  0.0333 2

S 0.0333   0.03054 x 1.0443 2

S x

2

 0.017  17%

3

CÁLCULO DEL TAMAÑO PROMEDIO DE LAS PARTICULAS

d d 2.54  0.94 d  2 2 3

3

1

3

2

3

3

d  2.049cm

3

CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE MUESTREO 1 1 0.03054  (  ) * C * 2.049 121.822 7309.3

3

0.03054  0.00807189 * C * 8.6025 0.03054 C  0.439813 8.6025 * 0.00807189 k 0.439813  2.049 k  0.439813 * 2.049  0.629563

CONSTANTE DE MUESTREO PARA VARIOS TAMAÑOS

0.629563 C (d )  d “Top Size” d (cm) C(d) (gr./cc) 20 0.140775 10 0.199085 5 0.28155 2.049 0.439813 1.27 0.558647 0.635 0.790046 0.3175 1.117294 0.1 1.990853 0.014986 (100#) 5.142761

CONSTRUCCIÓN NOMOGRAMA DE MUESTREO • En base a lo anterior podemos ahora construir el diagrama de muestreo. • Este consiste en dibujar los resultados en un gráfico loglog en que el eje Y representa la varianza relativa del error fundamental y el eje de las x representa el peso de la muestra extraída. • Para el tamaño d=2.049 cm. La constante de muestreo es 0.439813, por lo tanto: S x 2

2

2

0.439813 * ( 2.049)  m

3

S 3.7835017   d  2.049 x m 2

CONSTRUCCIÓN NOMOGRAMA DE MUESTREO • Es claro que en un gráfico log-log esta expresión esta representada por una recta. En general a cada d le corresponde una recta. Todas estas son paralelas. Note que hemos despreciado en la formula él termino que considera el peso del lote ya que este tiende a cero porque en general dicho peso es grande. • Calculemos tres puntos y dibujemos la recta que corresponde al top size d=2.049 • 2

S log( )  log(C (d ))  3 log( d )  log( m) x 2

PESO DE MUESTRA - VARIANZA DEL ERROR FUNDAMENTAL PRECISIÓN

PESO DE MUESTRA (Gramos) 10 100 1000

VARIANZA DE ERROR PRECISION FUNDAMENTAL % (*) 0.37835 61.51 0.037835 19.45 0.003784 6.15

S2 P  100 * x2 2

S 3.7835017   0.037835 x 100 2

• De esta manera se dibuja en el diagrama de muestreo la recta correspondiente a d=2.049. • Por ejemplo, los resultados obtenidos indican que al representar un lote, donde los fragmentos mayores tienen un tamaño de 2 cm, una muestra de 1000 gramos presenta un error fundamental relativo de 6.15 %. • Si la ley del lote es de 1% dicho error significa que la muestra presentara leyes entre 0.8155 % y 1.1845 % al 95 % de confianza. • Los puntos calculados se dibujan en el diagrama de muestreo y se obtiene la recta correspondiente. Hemos hecho esto para varios d, la figura siguiente muestra la familia de rectas obtenidas.

NOMOGRAMA DE MUESTREO

NOMOGRAMA DE MUESTREO