Test 1 Pauta

EII 410 Investigación de Operaciones Profesor: Gabriel Gutiérrez Jarpa Ayudantes: Fernanda Castillo - Cristina Norambuena - Milka Radovic - Pablo Torrealba

TEST 1

PARTE I: ______/ 20 PARTEII: ______/ 50 TOTAL: _______/ 70

PARTE I (20 Puntos) a)

Explique que es un grafo (4 ptos) Es una representación gráfica compuesta por un conjunto de nodos (N) conectados por un conjunto de arcos (A) . Gráficamente un grafo es representado por puntos o círculos unidos por líneas.

b)

Dado un Grafico G(N,A) entregue un ejemplo para ciclo simple y árbol generador(4 ptos) Deben incluir una figura. Ciclo Simple: No se repite ningún nodo dentro del camino y el origen y destino son el mismo nodo. Arbol generador: Es una red que tiene una estructura tipo árbol donde todos los nodos del grafo están incluidos, requiriendo n-1 arcos y no formando ciclos. Lo importante es que existe un camino entre nodos

c)

¿Cuál es la característica de un grafo completo? (4 ptos) Es un grafo en el cual existe un borde entre cada par de nodos.

d)

Explique las condiciones de optimalizad del método simplex (4 ptos) Todas las variables no básicas tienen un costo reducido que no mejora la función objetivo.

e)

Determine el costo reducido de las variables del PFMC en función de sus variables duales. Sea claro(4 ptos)

Cada problema de programación lineal tiene su problema dual asociado. En el caso del PFMC es: Primal Dual T Min c x Max bT   s.a s.a

Ax  b

AT   

x0

 s.r.s

 Por otra parte, el costo reducido para cualquier variable xij está dado por: cij  cij  cB B  aij . Donde cB B  representan las variables duales. Esto permite determinar el costo reducido en función de las variables  duales, esto es: cij  cij   T aij . Pero la característica de la columna aij es que está formada por: ceros, 1 y 1 en el PFMC. Teniendo un valor 1 en la posición de i y -1 en al aposición de j (pensando en cada  restricción). Así el costo reducido para la variables xij es: cij  cij   i   j  . Por lo tanto, obteniendo el valor de las variables duales es posible calcular el costo reducido de todas las variables, pero principalmente las variables no básicas.

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PARTE II (50 Puntos) Un conjunto de parcelas localizadas en un sector han decido construir un conjunto de pozos para el riego en cada uno. Para asegurar la confiabilidad del sistema de pozos se ha decidido que estos deban estar conectados con alguna configuración. La conexión se hará utilizando ductos, siendo necesario construir las zanjas. La figura 1 representa la zona geográfica, la localización de los pozos y la conexión entre pozos. Figura 2.1: Localización de los pozos y sus conexiones factibles.

5

2

6

3

1

7

4

8

Tabla 2.1: Costos de construcción de las zanjas para los ductos entre pozos. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 183 259 185 -

2 183 159 -

3 259 156 169 301 -

4 185 156 246

5 159 169 246 -

6 265 167 -

7 301 167 132

8 246 132 -

Se pide: a) (10 Puntos) Formular el problema utilizando un modelo de programación lineal entero, minimizando el costo de construcción de las zanjas. b) (5 Puntos) Escriba el modelo clase del problema, considere un grafo G(N,A) y que el costo de construcción para un arco (i,j) es cij. c) (20 Puntos) Determinar la solución óptima del problema. d) (15 Puntos) Considerando que ahora existe un costo asociado al flujo de agua que circula por los ductos (sea rij el costo por unidad de flujo por el arco (i,j)) y que sólo puede haber una fuente que alimentará a todos los pozos (digamos el nodo s), defina:  (5 Puntos) La o las nuevas variables a incorporar en el modelo y los supuestos necesarios.  (10 Puntos) El modelo clase del problema considerando que cada nodo i demanda una cantidad di de agua. Notar que sólo un pozo va ser seleccionado como fuente.

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