Tesis Master GuilhermeRaffo

November 23, 2017 | Author: Héctor Carías | Category: Motion (Physics), Matrix (Mathematics), Algorithms, Equations, Euclidean Vector

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GUILHERME VIANNA RAFFO

MODELADO Y CONTROL DE UN ´ HELICOPTERO QUADROTOR

SEVILLA 2007

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PROGRAMA OFICIAL DE POSGRADO EN INGENIERÍAS

MODELADO Y CONTROL DE UN ´ HELICOPTERO QUADROTOR

Tesis presentada en la Universidad de Sevilla como uno de los requisitos para la obtención del grado de Master en Automática, Robótica y Telemática.

POR

GUILHERME VIANNA RAFFO

Sevilla, Diciembre de 2007. i

ii

´ MODELADO Y CONTROL DE UN HELICOPTERO QUADROTOR Guilherme Vianna Raffo Esta Tesis se juzgó adecuada para la obtención del T´ıtulo de Master en Automática, ´ Robótica y Telemática, Area de Conocimiento en Ingenier´ıa de Sistemas y Automática, y aprobada en su forma final por el Programa Oficial de Posgrado en Ingenier´ıas de la Universidad de Sevilla.

Prof. D. Francisco Rodr´ıguez Rubio, Dr. Director

Prof. D. Manuel Gil Ortega Linares, Dr. Director

Prof. D. Francisco Rodr´ıguez Rubio, Dr. Coordinador del Master en Autom´ atica, Robótica y Telemática de la Universidad de Sevilla

Tribunal Examinador:

Prof. D. Anibal Ollero Baturone, Dr.

´ Prof. D. Teodoro Alamo Cantarero, Dr.

Prof. D. Francisco Salas G´ omez, Dr.

iii

iv

A mi novia Clarice y a mis Padres. v

AGRADECIMENTOS Agradezco a mis padres, Paulo Eduardo y Ana Maria, por haberme incentivado a venir a estudiar en Espa˜ na. A mi novia, Clarice, por haberme apoyado mismo de lejos, por la paciencia y por venir a vivir bien cerca de mi. Agradezco a mis queridos abuelos, Adalberto y Maria Suzana el est´ımulo y por hablar conmigo casi todos los d´ıas, que me hace que la nostalgia sea un poco menor. A mis hermanos Marcelo y Gustavo y mis hermanas Daniela y Paula el apoyo desde Brasil. A mi sobrina Isabela por las muchas conversaciones que ya tuvimos. Me gustar´ıa agradecer a mis directores de tesis, Prof. Francisco Rodr´ıguez Rubio y Prof. Manuel Gil Ortega Linares, la ayuda y dedicación en estos dos primeros a˜ nos del doctorado. Agradezco a mis amigos Jörn Klaas Gruber y Antonio Ferramosca las muchas ayudas prestadas durante mi estancia en Sevilla, por las correcciones de inglés en los art´ıculos y por tener un o´ıdo para mi todos los d´ıas. Me gustar´ıa agradecer a Prof. Julio Elias Normey Rico el compa˜ nerismo, amistad y dedicación ofrecida. Agradezco a los Prof. Manuel Vargas y Prof. Francisco Salas el apoyo ofrecido en la elaboración de esta tesis. Agradezco a Isabel Jurado las traducciones y correcciones realizadas en este trabajo. Agradezco, también, al Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Automática, por la oportunidad de desarrollar mi investigación en la Universidad de Sevilla. Al Ministerio de Educación y Ciencia, MEC, por la concesión de la beca FPI y a los profesores del Departamento. A todos los amigos que hice durante estos dos a˜ nos en Sevilla. Agradezco a los colegas del curso de máster en Automática, Robótica y Telemática la ayuda concedida para concluir mi tesis..

vi

Resumen de la Tesis presentada en la Universidad de Sevilla como uno de los requisitos necesarios para la obtenci´ on del grado de Master en Autom´ atica, Robótica y Telemática.

´ MODELADO Y CONTROL DE UN HELICOPTERO QUADROTOR Guilherme Vianna Raffo

Diciembre/2007

Directores:

Prof. D. Francisco Rodr´ıguez Rubio, Dr. Prof. D. Manuel Gil Ortega Linares, Dr.

´ Area de Concentración:

Ingenier´ıa de Sistemas y Automática

Palabras-clave:

Veh´ıculo Aéreo Autónomo, Modelado, Control H∞ Lineal, Control H∞ No Lineal, Backstepping, Control Robusto, Control Predictivo, Seguimiento de Trayectorias

N´ umero de Páginas:

En este trabajo se ha realizado el modelado y desarrollo de estrategias de control para solucionar el problema de seguimiento de referencia de un veh´ıculo aéreo autónomo: un helicóptero miniatura quadrotor. Para comprender el funcionamiento del helicóptero quadrotor, se ha realizado un estudio del sistema, y posteriormente se ha modelado, completando y corrigiendo algunos modelos publicados anteriormente. El modelo dinámico se ha obtenido v´ıa dos formulaciones matemáticas distintas: la de Newton-Euler y la de Lagrange-Euler. El control de seguimiento de trayectoria del helicóptero se ha llevado a cabo mediante cinco estrategias de control, de forma que se garantice la robustez ante perturbaciones e incertidumbres paramétricas del sistema. Para la s´ıntesis de los controladores se ha utilizado teor´ıas como control mediante linealización por realimentación, Backstepping, H∞ lineal y no lineal, y control predictivo basado en modelo. La validez de las estructuras de control presentadas fueron corroboradas mediante resultados de simulación en presencia de incertidumbres en los parámetros del modelo y de perturbaciones en los movimientos de traslación y rotación. Para realizar ensayos experimentales se ha puesto en marcha una plataforma de pruebas compuesta por un helicóptero quadrotor comercial en escala miniatura, una unidad de medición inercial inalámbrica y un ordenador de tierra. Se ha desarrollado un interfaz entre el ordenador y el helicóptero bajo la aplicación LabViewr. Se han realizado experimentos preliminares con la plataforma de pruebas empezando con controladores básicos para la estabilización del helicóptero quadrotor, y mostrando la eficacia del sistema desarrollado.

vii

Abstract of Thesis presented to Universidad de Sevilla as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master in Automatica, Robotic and Telematic.

MODELLING AND CONTROL OF A QUADROTOR HELICOPTER Guilherme Vianna Raffo

December/2007

Advisors:

Prof. D. Francisco Rodr´ıguez Rubio, Dr. Prof. D. Manuel Gil Ortega Linares, Dr.

Area of Concentration:

Automation and Systems Engineering

Keywords:

Unmanned Aerial Vehicle, Modelling, Linear H∞ Control, Nonlinear H∞ Control, Backstepping Approach, Robust Control, Predictive Control, Path Tracking

Number of Pages:

In this work the modeling and development of strategies to solve tracking problem for an unmanned aerial vehicles, the quadrotor helicopter, is presented. The system is studied, to understand how it works, and then it is modeled, completing and revising some models previously published. The dynamic modeled is obtained by means of two different mathematical formulations: the Newton-Euler one and the Lagrange-Euler one. The helicopter tracking control is carried out using five control strategies, so that robustness in presence of disturbances and parametric uncertainties is fulfilled. The controllers synthesis is carried out basing on theories like feedback linearization, Backstepping, linear and non linear H∞ , and model predictive control. The validation of the presented control strategies is corroborated using results of some simulations in presence of model parametric uncertainties and disturbances in translation and rotation movements. A testing platform is started up to make experimental tests. This platform is composed by a commercial quadrotor helicopter, a wireless inercial sensor and a desktop PC. An interface between the PC and the helicopter is developed using a LabViewr environment. Some tests using basic controllers to stabilize the quadrotor helicopter have been made, showing system efficacy.

viii

Índice general

Índice general

IX

Índice de Figuras

Índice de Tablas

XII

XVIII

Lista de Abreviaturas

Lista de S´ımbolos

XXI

XXIII

1. Introducci´ on

1

1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Organización del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Descripci´ on y Modelado del Helic´ optero QuadRotor 2.1. Descripción del UAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9

2.2. Modelado del UAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Orientación del helicóptero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4. Formulación de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Índice general

x

2.5. Formulación de Lagrange-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Estructuras de Control

29

3.1. Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005) . . . . . . 42 3.2.1. Control Backstepping del sub-sistema de rotación . . . . . . . . . . 44 3.2.2. Control Backstepping del sub-sistema de traslación . . . . . . . . . 45 3.2.3. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3. Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a) . . . . . . . . . . 51 3.3.1. Control H∞ no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4. CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b) . . . . . . . . . . . . 62 3.4.1. Estrategia de CPBM para seguimiento de trayectoria . . . . . . . . 62 3.4.2. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5. Control robusto H∞ de los seis grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.1. Control H∞ lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.2. Control H∞ con realimentación de estados v´ıa lmis . . . . . . . . . 78 3.5.3. Control H∞ de los movimientos de traslación

. . . . . . . . . . . . 80

3.5.4. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4. Descripci´ on del Equipo

89

xi 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Helicóptero en miniatura quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3. Unidad de medición inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.1. Protocolo de comunicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4. Tarjeta de adquisición de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.5. Interfaz ordenador-helicóptero quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.5.1. Lectura y escritura de la IMU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.5.2. Generador del tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.5.3. Lazo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5. Conclusiones

105

Bibliograf´ıa

111

xii

Índice general

Índice de figuras

2.1. Esquema de funcionamiento del helicóptero quadrotor. . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Esquema del helicóptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Rotación de los ángulos de Tait-Bryan del sistema de coordenadas inercial al sistema de coordenadas fijado al helicóptero (Space y Spazio, 1997). . . . 13 2.4. Sistema dinámico dividido en dos sub-sistemas interconectados. . . . . . . 27

3.1. Diagrama de Bloques para el control con linealización por realimentación del helicóptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas.

38

3.4. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5. Evolución temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas.

40

xiv

Índice de figuras

3.8. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.9. Evolución temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.10. Estructura de control Backstepping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.11. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas. . 46 3.12. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas. . . . . . 47 3.13. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas. . . . 47 3.14. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas. 48 3.15. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping con perturbaciones externas. . . . . . 48 3.16. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping con perturbaciones externas. . . 49 3.17. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping con perturbaciones externas. 49 3.18. Estructura de control Backstepping/H∞ no lineal. . . . . . . . . . . . . . . 51 3.19. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

57

3.20. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . . 58 3.21. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . 58 3.22. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. 59

Índice de figuras 3.23. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.

xv

59

3.24. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . . 60 3.25. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . 60 3.26. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. 61 3.27. Estructura de control CPBM con H∞ no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.28. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . 70 3.29. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . . . . . 70 3.30. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . . 71 3.31. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . 71 3.32. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . 72 3.33. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . . . . . . 72 3.34. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . . . 73 3.35. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . 73 3.36. Estructura de control robusto H∞ de los seis grados de libertad. . . . . . . 75 3.37. Formulación General del problema de control (Ortega y Rubio, 2004). . . . 76 3.38. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. 84

xvi

Índice de figuras

3.39. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. . . . . 85 3.40. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. . . 85 3.41. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. 86 3.42. Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. 86 3.43. Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. . . . . 87 3.44. Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. . 87 3.45. Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1. Estructura de control del helicóptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Helicóptero Draganflyer V Ti Pro R/C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3. Cámara de v´ıdeo inalámbrica ccd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.4. Electrónica embebida en el helicóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.5. Unidad de medición inercial Inertia-Linkr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.6. Pantalla principal del controlador del helicóptero en LabViewr . . . . . . . 95 4.7. Pantalla de la imu Inertia-Linkr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8. Pantalla del generador de tren de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.9. Tren de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.10. Pantalla para determinar los valores de referencia y habilitar la estimación de la posición xyz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.11. Control de orientación para el helicóptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . 100

Índice de figuras

xvii

4.12. Oscilaciones experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.13. Oscilaciones simuladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.14. Se˜ nales de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.15. Orientación del helicóptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

xviii

Índice de figuras

Índice de cuadros

2.1. Principales efectos f´ısicos actuantes sobre un helicóptero (Bouabdallah et al., 2004a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

xx

Índice de cuadros

Lista de Abreviaturas CAS CCD CPBM DOF DSP FM GPC GPS HJBI IMU LMI LQ LQI MEMS MIMO NCS PDE PID PD R/C RSSI SAS SISO UAV VTOL

Control Augmentation Systems Charge Coupled Device Control Predictivo Basado en Modelo Degrees Of Freedom Digital Signal Processor Frequency Modulation Generalized Predictive Controller Global Positioning System Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs Inertial Measurement Unit Linear Matrix Inequality Linear Quadratic Link Quality Indication Micro-Eletrical Mechanical Systems Multiple Input Multiple Output Networked Control System Partial Differential Equation Proporcional - Integral - Derivativo Proporcional - Derivativo Remote Control Receive Signal Strength Indicator Stability Augmentation Systems Single Input Single Output Unmanned Aerial Vehicle Vertical Take-Off and Landing

xxii

Lista de Abreviaturas

Lista de S´ımbolos S´ımbolos x xT x˙ x0 xref x ˜ k I

vector de orden n compuesto de los elementos xi , i = 1 . . . n, x ∈ ℜn vector traspuesto de x derivada temporal de x condición inicial de x valor de referencia de la variable x vector del error, x ˜ = x − xref instante de muestreo matriz identidad de dimensión apropiada

Notaci´ on usada en los controladores V (x) Hωz (s) kHωz (s)k∞ W L2 ω1 ω2 ω3 ωu kxk2Q N1 N2 Nu N Q R J yˆ(k + j|k) Px , Hx P, H ∆

función de Lyapunov con respecto a la variable x función de transferencia entre la se˜ nal de entrada ω y la se˜ nal de salida z norma H∞ de la función de transferencia Hωz (s) matriz de ponderación para el controlador H∞ no lineal ganancia de la norma L2 ponderación del error de velocidad en el control H∞ no lineal ponderación del error de posición en el control H∞ no lineal ponderación de la integral del error de posición en el control H∞ no lineal ponderación del esfuerzo de control en el control H∞ no lineal norma-2 de la variable x ponderada de Q, x′ Qx inicio del horizonte de predicción de los estados final del horizonte de predicción de los estados horizonte de control horizonte de predicción matriz de ponderación del error de los estados matriz de ponderación del esfuerzo de control función objetivo del cpbm valor de y en el instante k + j predicho en el instante k matrices de predicción para el estado matrices de predicción para la salida operador diferencia, ∆ = 1 − z −1

xxiv

Lista de S´ımbolos

Notaci´ on usada en el modelo S(.) RI RB

matriz anti-simétrica matriz de rotación del cuerpo r´ıgido con respecto al sistema inercial matriz de rotación expresada en el sistema de coordenadas del cuerpo r´ıgido I = (~x, ~y, ~z ) sistema de coordenadas cartesianas inercial B = (~xL , ~yL, ~zL ) sistema de coordenadas cartesianas locales del cuerpo r´ıgido F vector de fuerzas de traslación aplicadas al modelo Fξ vector de fuerzas de traslación aplicadas al modelo expresado en el sistema de coordenadas globales Fd vector de perturbaciones de traslación aplicadas al modelo τ vector de pares aplicados al modelo τη vector de pares de control aplicadas al modelo expresado en el sistema de coordenadas globales τd vector de perturbaciones de pares aplicadas al modelo L función lagrangiana Ec energ´ıa cinética total Ep energ´ıa potencial total qi coordenada generalizada i rj punto en el sistema de coordenadas j expresado en el sistema de coordenadas i i vj velocidad del punto j rj expresado en el sistema de coordenadas i Wη Jacobiano expresado en coordenadas locales J Jacobiano expresado en coordenadas globales M(η) matriz de inercia del sub-sistema de rotación C(η, η) ˙ matriz de los términos de Coriolis y centr´ıpetos del sub-sistema de rotación

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

1.1.

Motivaci´ on

Los sistemas de control de vuelo han despertado un gran interés en los u ´ltimos a˜ nos, debido al reto que supone tanto conseguir veh´ıculos aéreos totalmente autónomos, o no tripulados (en inglés nombrados uav’s - Unmanned Aerial Vehicles), como por poder ayudar a un pilotaje más sencillo e intuitivo de los mismos. Este tipo de veh´ıculo puede verse tanto en el ámbito militar como en el civil, con aplicaciones desarrolladas para tareas de b´ usqueda y rescate, vigilancia comercial, espionaje, filmación cinematograf´ıa, inspección en situaciones donde se realicen vuelos en condiciones hostiles (Pallet y Ahmad, 1991), as´ı como la realización de maniobras acrobáticas, entre otras. Hasta hace poco tiempo, desarrollar un veh´ıculo aéreo en escala miniatura y controlado de manera autónoma era un sue˜ no de muchos investigadores, los cuales estaban limitados por las restricciones impuestas por el hardware hasta entonces existente. Lo que hizo posible la construcción de robots aéreos autónomos fue los recientes avances tecnológicos en actuadores y sensores en escala reducida (mems - Micro Electromechanical Systems), as´ı como en el almacenamiento de energ´ıa y en el procesamiento de datos. Además, el desarrollo de sistemas de control para este tipo de veh´ıculos no es trivial, debido principalmente a la dinámica tan compleja inherente en los sistemas aerodinámicos, los cuales son multivariables, subactuados y además presentan diversas caracter´ısticas no lineales. Esto significa que las leyes clásicas de control lineales y monovaribales pueden tener muy limitada su cuenca de atracción, provocando inestabilidades cuando se opera en condiciones no muy lejanas a las de equilibrio. Por otra parte, las técnicas desarrolladas

2

1 Introducción

para robots totalmente actuados tampoco se aplican directamente al caso de sistemas mecánicos no lineales subactuados (Fantoni y Lozano, 1995). Para aumentar tanto la fiabilidad como las prestaciones de estos sistemas, se suele requerir estrategias de control avanzadas que permitan tener en cuenta, por una parte, la complejidad de estos sistemas, y por otra, las incertidumbres propias de cualquier modelado. Tales requisitos pueden ser posibles utilizando técnicas de modelado no lineal y de teor´ıa de control no lineal moderna, lo que permite alcanzar un alto desempe˜ no en vuelos autónomos (Castillo et al., 2005), y en distintas condiciones de vuelo (vuelo estacionario, vuelo en punto fijo, aterrizaje/despegue, ...). Los objetivos de un sistema de control de vuelo pueden clasificarse en tres fases, en función de la autonom´ıa que alcance el sistema:

Sistema para incrementar la estabilidad (del inglés sas: Stability Augmentation Systems): Este tipo de sistemas persigue ayudar al pilotaje del veh´ıculo, estabilizando el sistema con un control de bajo nivel. As´ı se evita que el piloto deba actuar en base al comportamiento dinámico de un sistema, que una vez alejado de cierto punto de equilibrio, deja de ser intuitivo para el razonamiento humano; Sistemas para incrementar el comportamiento (del inglés cas: Control Augmentation Systems): Estos sistemas están en un nivel jerárquico superior a los sas. As´ı, además de estabilizar al veh´ıculo, estos sistemas deben ser capaces de proporcionar una respuesta con ciertas prestaciones a referencias que dé el piloto, como por ejemplo, el seguimiento del ángulo de cabeceo; Sistemas de pilotaje automático (del inglés Autopilots): Constituyen el nivel de control jerárquicamente superior. Son sistemas de control totalmente automáticos que son capaces de realizar por s´ı solos ciertos tipos de maniobras, como por ejemplo, el despegue, el aterrizaje, o vuelo estacionario a cierta altura.

En el ámbito del control de vuelo, uno de los sistemas más estudiados han sido los aviones. Sin embargo, uno de los conceptos que normalmente se utilizan para desarrollar leyes de control aplicadas a un uav es el vtol (Vertical Take-Off and Landing). Un tipo de aeronave que actualmente está siendo muy referenciada en el ámbito de control es el helicóptero en la configuración quadrotor. En comparación con los aeroplanos, este tipo de aeronave posee una mayor agilidad para maniobrar. Sin embargo, su control se hace mucho más complejo, entre otros motivos, por la mayor inestabilidad de su dinámica. Seg´ un Castillo et al. (2005), este tipo de helicóptero consigue un vuelo estacionario estable y preciso a través del balance de las fuerzas de propulsión ejercidas por las cuatro hélices accionadas por sus respectivos motores eléctricos.

1.1 Motivación

3

Son muchas las ventajas que tienen este tipo de helicóptero con respecto a las de uno convencional, entre ellas se pueden citar las siguientes:

El aumento de la capacidad de carga debido a la suma de los empujes generados por los cuatro rotores; La alta maniobrabibilidad, lo cual permite el despegue y el aterrizaje, as´ı como vuelos en entornos complicados; La sencillez del dise˜ no mecánico, lo cual proporciona el control del movimiento a través de accionamiento directo de los rotores variando sus velocidades. En un helicóptero convencional, la velocidad de giro de las hélices suele ser constante, controlando el movimiento mediante la variación de los ángulos de ataque de las palas (c´ıclico y colectivo). Esto requiere transmisiones entre los rotores, además de elementos mecánicos de precisión para poder variar los mencionados ángulos; Los motores eléctricos en lugar de motores de combustión, lo cual hacen de estos helicópteros un veh´ıculo especialmente interesante para su uso en el interior de edificios, ya que no contaminan el aire con residuos de la combustión.

Como desventajas, este tipo de helicóptero presenta un aumento de peso y un aumento en el consumo de energ´ıa debido a los motores extras. Desde el punto de vista de control, la construcción de este tipo de helicóptero miniatura está lejos de simplificar el problema: más bien sucede lo contrario. Esto se debe a que los pares y fuerzas necesarios para controlar el sistema son aplicados no sólo a través de efectos aerodinámicos, sino también a través del efecto de acoplamiento que aparece entre la dinámica de los rotores y la del cuerpo de la maqueta, como consecuencia del principio de acción-reacción originado en la aceleración y desaceleración de los grupos motor-hélice (efecto que no sucede en el control con velocidad de hélices constantes). Estos efectos de acoplamiento tienen implicaciones en el control de la dinámica del sistema. Por ejemplo, si se consideran como salidas a controlar la posición y el ángulo de gui˜ nada, una linealización por realimentación estática de la dinámica completa del helicóptero quadrotor da lugar a una matriz singular haciendo que el desacoplamiento entrada-salida sea inviable, por lo que no se puede emplear esta técnica directamente (Mistler et al., 2001). Este hecho, unido con las incertidumbres de modelado, especialmente en el rango de alta frecuencia, hace que el sistema sea incluso más dif´ıcil de controlar que un helicóptero convencional, al menos empleando técnicas básicas de control. As´ı que, el interés por el desarrollo de controladores para el helicóptero quadrotor en escala reducida está demostrado en diversas publicaciones que han sido realizadas en los u ´ltimos a˜ nos. En Mistler et al. (2001) se utilizó un modelo no lineal que representa tanto la

4

1 Introducción

cinemática como la dinámica del veh´ıculo, y a través de las Leyes de Newton se obtuvo las ecuaciones dinámicas para el helicóptero quadrotor. En este modelo se consideró las fuerzas y momentos aerodinámicos actuantes en el uav. Para realizar la tarea de seguimiento de trayectoria se demostró que no se pueden desacoplar las salidas por linealización por realimentación estática, y se propuso un controlador con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica, siendo corroborado mediante simulación, donde se han considerado todos los estados medibles. Esta estrategia se mostró estable y robusta en presencia de viento y de incertidumbres paramétricas. En Bouabdallah et al. (2004a) se presentó el dise˜ no de un quadrotor para laboratorio, as´ı como una estrategia de control para el mismo, basada en la estabilización del subsistema de rotación mediante funciones de Lyapunov, junto con un control de la altura mediante linealización por realimentación. En Bouabdallah et al. (2004b), lo mismos autores presentaron un modelo dinámico para el helicóptero quadrotor a través de la formulación de Lagrange-Euler, considerando además las dinámicas de los rotores. En este art´ıculo se realizó una comparación entre dos técnicas de control: pid y lq. Para el dise˜ no del controlador pid se consideró el modelo linealizado en torno al origen y para el dise˜ no del control LQ se usó una estructura bilineal. Se presentaron resultados experimentales donde el control pid se mostró más eficaz que el control óptimo por considerar las dinámicas de los rotores. En Mederreg et al. (2004) se mostraron resultados de simulación para un control basado en técnicas de Backstepping utilizando un observador del estado, mientras que en Mahony y Hamel (2004) se combinó está técnica con un control basado en Lyapunov. En Bouabdallah y Siegwart (2005) se describió de nuevo la misma plataforma utilizada en los art´ıculos anteriores, pero en éste, el modelo dinámico del helicóptero quadrotor se obtuvo a través del formalismo de Newton-Euler. Para el dise˜ no del controlador, las ecuaciones del sistema fueron escritas en variables de estado y divididas en dos sub-sistemas: el de rotación angular y el de traslación lineal. Se presentaron dos técnicas de control: Backstepping y Sliding-Mode. En primer lugar se controló el sub-sistema de rotación angular utilizando funciones de Lyapunov, con el objetivo de estabilizar el helicóptero en una posición deseada. Posteriormente se controló la altura y el movimiento lineal en el plano xy. Se emplearon simulaciones para sintonizar los controladores, los cuales se validaron con resultados experimentales en el sistema real. Otros trabajos, como (Madani y Benellegue, 2006a,b), también han utilizado la técnica de Backstepping para controlar el helicóptero quadrotor. Trabajos más recientes pueden encontrarse en Rong y Ozguner (2006), donde se sintetizó un controlador basado en modos deslizantes; en Lara et al. (2006), donde se presentaron nuevos resultados para calcular los márgenes de robustez del sistema de control para un quadrotor utilizando un pd multivariable para estabilizar la posición del veh´ıculo; o en Castillo et al. (2005, 2007), donde se dise˜ naron controladores no lineales para la esta-

1.1 Motivación

5

bilización del sistema basados en análisis de Lyapunov y en la técnica de saturaciones anidadas. Adicionalmente al control inercial, el helicóptero quadrotor ha sido también controlado mediante realimentación por visión artifical. En Metni et al. (2005), se considera un modelo dinámico mecánico general del uav apto para realizar vuelos casi estacionarios. La estimación de la posición y orientación se realizó a través de visión utilizando una técnica de control servo visual basada en homograf´ıas. As´ı, se dedujo una ley de control basada en Backstepping que fuerza la trayectoria a seguir a través de una secuencia de imágenes pre-grabadas en entornos desconocidos. La trayectoria deseada se obtiene a través de un operador que ense˜ na cada paso preliminarmente, siendo comparadas la imagen actual y la imagen deseada a una imagen de referencia por las matrices homográficas en cada paso. Para determinar el vector de traslación se estima la información de la profundidad de referencia usando una ley de control adaptativa. En Altug et al. (2002) y Tournier et al. (2006) se ha utilizado una cámara en tierra para obtener la posición y orientación del helicóptero, y una cámara montada sobre el veh´ıculo utilizando patrones de Moiré para obtener una estimación de los seis grados de libertad, respectivamente. Como se deduce de lo anteriormente expuesto, se han aplicado diversas estrategias de control al helicóptero quadrotor. Sin embargo, la mayor´ıa de ellas no considera la presencia de perturbaciones externas y ni incertidumbres en los parámetros del modelo. Por lo tanto, una de las propuestas de este trabajo es utilizar la teor´ıa de control H∞ , introducida por van der Schaft en su prominente art´ıculo (van der Schaft, 1992), para mejorar el desempe˜ no del sistema frente a perturbaciones e incertidumbres (Ortega et al., 2005). El objetivo de la teor´ıa de control H∞ es limitar (minimizar) la relación entre la energ´ıa de la se˜ nal de error y la energ´ıa de la se˜ nal de perturbación. En un planteamiento general, la técnica no lineal para esta teor´ıa considera dos ecuaciones en derivadas parciales de Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI PDEs), las cuales sustituyen a las ecuaciones de Riccati en el caso de la formulación del control H∞ lineal. El principal problema en el caso no lineal es que no existe un método general para resolver estas ecuaciones (HJBI PDEs). En Ortega et al. (2005) se propuso una estrategia para sistemas mecánicos considerando la ecuación dinámica del error. En tal estrategia se aplica un control H∞ no lineal formulado v´ıa teor´ıa de juegos, la cual provee, a través de una solución anal´ıtica, una ganancia constante similar a los resultados obtenidos con procedimientos de linealización por realimentación. El helicóptero quadrotor ha sido controlado usando controladores H∞ lineales basados en modelos linealizados. En Chen y Huzmezan (2003), por ejemplo, se presentó un

6

1 Introducción

modelo no lineal simplificado para el movimiento del UAV. El problema de seguimiento de trayectoria se dividió en dos partes: en primer lugar se buscó la estabilización de las velocidades angulares y de la velocidad vertical a través de un controlador H∞ de 2DOF utilizando la técnica de loop shaping. La misma técnica se ha utilizado para controlar, en un bucle externo a éste, las velocidades longitudinal y lateral, el ángulo de gui˜ nada y la altura. Para resolver el problema de seguimiento se dise˜ no´ un cpbm (Control Predictivo Basado en Modelo) lineal basado en un modelo que agrega los bucles internos y el modelo del helicóptero. En Park et al. (2005) se utilizó un algoritmo de compensación de la dinámica para el control del sistema, y en Mokhtari et al. (2005) se presentaron resultados de simulación con la aplicación de una linealización por realimentación junto con un controlador H∞ lineal externo. Además de las incertidumbres paramétricas y posibles perturbaciones que afectan el sistema, muchas de estas aplicaciones de control asumen que los valores calculados nunca alcanzarán los limites de saturación de los actuadores, aunque en la práctica esto no es verdad. Por lo tanto, el cpbm viene a ser un método de control que presenta caracter´ısticas muy interesantes cuando se trata de controlar sistemas mecánicos y para realizar seguimiento de trayectoria. Por ejemplo, cuando el veh´ıculo está muy lejos de su destino, las se˜ nales de control generadas son normalmente más altas que las admisibles. Sin embargo, los veh´ıculos están dotados de partes mecánicas y electrónicas, las cuales están sujetas a limitaciones f´ısicas del sistema. As´ı, cuando las restricciones pueden ser consideradas, los algoritmos de cpbm se presentan como una interesante elección. El cpbm calcula acciones de control para un determinado horizonte de tiempo futuro, de tal manera que la predicción de la salida de la planta siga cerca de la referencia, minimizando una determinada función de coste multiobjetivo respecto a determinadas variables de decisión y considerando un conjunto de restricciones (Camacho y Bordons, 1998). Para hacer esto, los valores de las salidas predichas son calculadas como una función de valores pasados de las entradas y salidas, y de se˜ nales de control futuras, haciendo uso de un modelo expl´ıcito del proceso y sustituyendo en la función de coste, obteniendo una expresión cuya minimización conduce a los valores deseados. Se puede obtener una solución anal´ıtica para una función de coste cuadrática, si el modelo es lineal y no existen restricciones; en caso contrario se deben usar métodos iterativos de optimización (Camacho y Bordons, 1998). Debido a su formulación, el cpbm también permite el uso de referencias previamente conocidas para el calculo de la ley de control (Normey-Rico et al., 1999). Dado que las trayectorias son normalmente conocidas y usando una adecuada instrumentación en el veh´ıculo que informe sobre su desplazamiento y localización, o bien con información del entorno donde se encuentra (usando, por ejemplo, gps, mapas digitales, etc), el controlador predictivo se presenta como una técnica muy apropiada para esta tarea. Además de

1.2 Objetivos

7

conducir el veh´ıculo suavemente, esta técnica permite mejorar la autonom´ıa del mismo, aparte de de ser fácilmente extendido a sistemas multivariables. Como desventaja se puede considerar el elevado coste computacional introducido, que puede hacer que sea imposible realizar aplicaciones reales. En este trabajo, además de presentar diversos algoritmos de control propuestos en la literatura, se desarrollarán tres estrategias de control para seguimiento de trayectoria del helicóptero quadrotor. Las estrategias serán presentadas en un orden de comprehensión del sistema a ser controlado y mejor´ıa de las prestaciones propuestas. As´ı, en la primera estructura desarrollada por el autor se utiliza una ley de control basada en Backstepping para los movimientos de traslación y un controlador H∞ no lineal para estabilización de los movimientos de rotación. En la segunda estrategia se realiza el seguimiento de referencia a través de un controlador predictivo basado en el modelo de error obtenido v´ıa linealizaciones sucesivas, y la estabilización se realiza a través del controlador H∞ no lineal. Para finalizar, en la tercera estructura se ha dise˜ nado un controlador robusto para los movimientos de de traslación v´ıa s´ıntesis de control H∞ con realimentación de estados usando lmis. Para la estabilización del helicóptero quadrotor se mantuvo el controlador H∞ no lineal.

1.2.

Objetivos

Este trabajo tiene como objetivo principal el desarrollo e implementación de algoritmos de control robusto y predictivo para resolver el problema de seguimiento de trayectoria de un veh´ıculo aéreo autónomo. El uav que será utilizado es un helicóptero de cuatro rotores en escala reducida. Inicialmente, se realizará un estudio de modelos basados en leyes f´ısicas del helicóptero quadrotor propuestos en la literatura, con la finalidad de obtener un modelo que represente el comportamiento del veh´ıculo en presencia de diversas formas de perturbaciones y que sea adecuado al prototipo utilizado en este trabajo. A partir de estos modelos, se desarrollarán técnicas de control de forma que se garantice la robustez en el problema de seguimiento de trayectoria que ha de realizar el helicóptero quadrotor. Los resultados de simulación serán utilizados para realizar pruebas comparativas entre las distintas estrategias de control desarrolladas en este trabajo y técnicas de control propuestas en la literatura. Finalmente, una vez desarrolladas las estrategias de control, éstas serán implementadas

8

1 Introducción

en el helicóptero quadrotor utilizando un sistema de control remoto, donde un ordenador en tierra se comunica con la aeronave v´ıa comunicación inalámbrica.

1.3.

Organizaci´ on del trabajo

Este trabajo está dividido como sigue:

En el Cap´ıtulo 2 se describe el helicóptero quadrotor, comentando algunas caracter´ısticas de funcionamiento, y luego se realiza el modelado de un helicóptero miniatura en la configuración de cuatro rotores. Inicialmente, se presenta la matriz de rotación del veh´ıculo, as´ı como sus ecuaciones cinemáticas. Después, se presentarán las ecuaciones dinámicas para los movimientos de rotación y traslación a través de dos formulaciones matemáticas: Newton-Euler y Lagrange-Euler. Tales modelos serán presentados también en formas adecuadas para el dise˜ no de los controladores. El Cap´ıtulo 3 presenta cinco estructuras de control para resolver el problema de seguimiento de trayectorias. Primero se describe una estrategia basada en el desacoplamiento entrada-salida con linealización por realimentación dinámica. Después se desarrollará una estrategia basada en la técnica de Backstepping. La estrategia siguiente utiliza la estructura de Backstepping para el control de la traslación, mientras que para la estabilización del sub-sistema de rotación se desarrolla una estructura de control H∞ no lineal. La cuarta y quinta estructuras de control utilizan el controlador H∞ no lineal para estabilización del helicóptero, mientras para seguimiento de trayectorias se desarrollan una ley de control predictivo basado en el modelo de error con linealizaciones sucesivas, y una ley de control H∞ lineal v´ıa LMIs, suponiendo los estados del sub-sistema de rotación parámetros inciertos. Cada estrategia de control se corrobora a través de resultados de simulación, mientras los resultados experimentales son presentados solo para los controladores de estabilización del sistema. En el Cap´ıtulo 4 se presenta el equipo utilizado, describiendo las caracter´ısticas del helicóptero, las instrumentación utilizada, as´ı como los programas desarrollados para controlar el uav de forma remota, y resultados preliminares obtenidos experimentalmente . El Cap´ıtulo 5 finaliza con las conclusiones del trabajo y las perspectivas futuras de investigación.

Cap´ıtulo 2 Descripci´ on y Modelado del Helic´ optero QuadRotor

2.1.

Descripci´ on del UAV

El veh´ıculo aéreo utilizado en este trabajo es un helicóptero en miniatura en la configuración de cuatro rotores coplanarios (quadrotor ), como presentado en la Figura 2.1. El movimiento del uav se origina a partir de los cambios de velocidad de los rotores. Cada rotor consta de un motor eléctrico de corriente continua, un mecanismo de engranaje y un rotor de palas. Para lograr movimiento hacia adelante la velocidad del rotor trasero debe ser aumentada y, simultáneamente, la velocidad del rotor delantero debe ser disminuida. El desplazamiento lateral se ejecuta con el mismo procedimiento, pero usando los rotores de la derecha y de la izquierda. El movimiento de gui˜ nada (yaw) se obtiene a partir de la diferencia en el par de torsión entre cada par de rotores, o sea, se acelera los dos rotores con sentido horario mientras se desacelera los rotores con sentido anti-horario, y vice-versa. U3

U2

F2

F1

U1

F3

F4

U4

Figura 2.1: Esquema de funcionamiento del helicóptero quadrotor.

10

2.2.

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

Modelado del UAV

En esta sección se desarrollará el modelado basado en leyes f´ısicas que describan la posición y orientación del helicóptero quadrotor. El modelo dinámico del helicóptero se presenta bajo dos formulaciones matemáticas: la de Newton-Euler y la de Lagrange-Euler. Para obtener tal modelo dinámico se supone el veh´ıculo como un cuerpo r´ıgido en el espacio, sujeto a una fuerza principal (empuje) y tres momentos (pares). En la figura 2.2 se muestra las fuerzas que ejercen las distintas hélices para generar el movimiento del veh´ıculo. φ

zL

yL

xL ψ

θ

ξ z

y

x

Figura 2.2: Esquema del helicóptero quadrotor. El par para generar un movimiento de balanceo o de roll (ángulo φ) se realiza mediante un desequilibrio entre las fuerzas f2 y f4 (ver figura 2.2). Para el movimiento de cabeceo o de pitch (ángulo θ), el desequilibrio se realizará entre las fuerzas f1 y f3 . El movimiento en el ángulo de gui˜ nada o de yaw (ángulo ψ) se realizará por el desequilibrio ente los conjuntos de fuerzas (f1 , f3 ) y (f2 , f4 ). Este movimiento será posible ya que los rotores 1 y 3 giran en sentido contrario a los rotores 2 y 4. Finalmente, el empuje total, que hará que el helicóptero se desplace perpendicularmente al plano de los rotores, se obtendrá como suma de las cuatro fuerzas que ejercen los rotores. Estos tipos de veh´ıculos son sistemas de vuelo de estructura ligera, por lo que el modelo dinámico debe incluir los efectos giroscópicos resultantes tanto del cuerpo r´ıgido rotando en el espacio, como de la rotación de las cuatro hélices (Bouabdallah et al., 2004a). En la Tabla 2.1 se describen tales efectos, donde C representan términos constantes, Ω es la velocidad del rotor, JR es el momento de inercia rotacional del rotor alrededor de su eje, l es la distancia del centro de masa a los rotores, J es el momento de inercia del cuerpo r´ıgido y φ, θ y ψ son los ángulos de Tait-Bryan.

2.3 Orientación del helicóptero

11

Cuadro 2.1: Principales efectos f´ısicos actuantes sobre un helicóptero (Bouabdallah et al., 2004a). Efectos

Fuentes

Efectos Aerodinámicos

- Rotación de los rotores - Giro de hélices

Pares Inerciales Opuestos

Formulación

CΩ2

- Cambio en la velocidad rotación de los rotores

JR Ω˙

Efectos de la Gravedad

- Posición del centro de masa

l

Efectos Giroscópicos

- Cambio en la orientación del cuerpo r´ıgido

Jθψ

- Cambio en la orientación del plano

Fricción

de los rotores

JR Ωθ, φ

- Todos los movimientos del helicóptero

˙ θ, ˙ ψ˙ C φ,

Por otra parte, un helicóptero es un sistema mecánico subactuado con 6 grados de libertad y solamente 4 entradas de control. Debido a las diversas complejidades presentadas, se realizarán algunas consideraciones para desarrollar el modelado, tal como se sugiere en Koo y Sastry (1999). As´ı, se despreciarán los efectos de los momentos causados por el cuerpo r´ıgido sobre las dinámicas traslacionales, as´ı como el efecto suelo. El centro de masa se asume coincidente con el origen del sistema de coordenadas fijo al helicóptero, y se supone que la estructura del helicóptero es simétrica, lo que resulta en la matriz de inercia diagonal.

2.3.

Orientaci´ on del helic´ optero

Antes de obtener el modelo dinámico del helicóptero, se presentará cómo estimar la posición y orientación del veh´ıculo con respecto a un sistema de coordenadas de referencia inercial. El helicóptero, como sólido r´ıgido, está caracterizado por un sistema de coordenadas ligado a él y con origen en su centro de masa (ver Figura 2.2). Este sistema se define considerando B = {~xL , ~yL, ~zL } como el sistema de coordenadas fijo al helicóptero, donde el eje ~xL es la dirección normal de ataque del helicóptero, ~yL es ortogonal a ~xL y es positivo hacia estribor en el plano horizontal, mientras que ~zL está orientado en sentido ascendiente y ortogonal al plano ~xL O~yL. El sistema de coordenadas inercial I = {~x, ~y , ~z}

12

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

se considerará fijo con respecto a la tierra. En este trabajo se designará el vector ξ = {x, y, z} como la posición del centro de masa del helicóptero con respecto al sistema inercial I. As´ı mismo, la orientación del veh´ıculo se supondrá dada por una matriz de rotación RI : B → I, donde RI ∈ SO(3) es una matriz de rotación ortonormal (Fantoni y Lozano, 1995). La rotación de un UAV o, en l´ıneas más generales, la de un cuerpo r´ıgido puede ser obtenida utilizando diversos métodos como, por ejemplo: ańgulos de Euler, cuaternios, etc. A través de 12 definiciones independientes de los ángulos de Euler se puede representar la orientación relativa de dos sistemas de coordenadas. Los más populares son la convenciónx (giro alrededor de z, x′ , z ′′ ), convención-y (giro alrededor de z, y ′ , z ′′ ) y convención-xyz (giro alrededor de x, y ′, z ′′ ). Esta u ´ltima convención es muy utilizada para aplicaciones de ingenier´ıa aeroespacial y se nombra ángulos de Tait-Bryan, también conocidos por “ángulos Cardano” (Space y Spazio, 1997; Dziugys y Peters, 2001; Bouabdallah et al., 2006). Por lo tanto, los ángulos de Tait-Bryan son tres ángulos usados para describir una rotación general en el espacio Euclideo tridimensional a través de tres rotaciones sucesivas en torno de ejes del sistema móvil en el cual están definidos. As´ı, en este trabajo se usarán los ángulos de Tait-Bryan para describir la orientación de un helicóptero. As´ı, la configuración de la rotación de un cuerpo r´ıgido en el espacio es realizada a través de tres rotaciones sucesivas: 1. Rotación seg´ un ~x de φ: el primer giro es el correspondiente al ángulo de roll o de balanceo, φ, y se realiza alrededor del eje ~x.      x1 1 0 0 xL  y1  =  0 cos φ − sin φ   yL  (2.1) z1 0 sin φ cos φ zL

2. Rotación seg´ un ~y de θ: el segundo giro se realiza alrededor del eje ~y a partir del nuevo eje ~yL, con el ángulo pitch o ángulo de cabeceo, θ para dejar el eje ~zL en su posición final.      x2 cosθ 0 sin θ x1  y2  =  0 1 0   y1  (2.2) z2 −sinθ 0 cos θ z1 3. Rotación seg´ un ~z de ψ: el tercer giro y u ´ltima rotación corresponde al ángulo de guin ãda o yaw, ψ, alrededor del eje ~z a partir del nuevo eje ~zL para llevar el helicóptero a su posición final.      x cosψ −sinψ 0 x2  y  =  sinψ cosψ 0   y2  (2.3) z 0 0 1 z2

2.3 Orientación del helicóptero

13

Esta representación sufre de una singularidad en θ = ±pi/2. Sin embargo, en φ y ψ se permite un giro de 360◦ . La Figura 2.3 representa las tres rotaciones. ψ

Z1 Z

z

φ θ

y

ψ centro de masa

θ

X

X2

φ

Y1

θ

Y

ψ

x

φ

Figura 2.3: Rotación de los ángulos de Tait-Bryan del sistema de coordenadas inercial al sistema de coordenadas fijado al helicóptero (Space y Spazio, 1997).

A partir de las rotaciones presentadas anteriormente, se definen las matrices de rotación que representan la orientación del cuerpo r´ıgido rotando alrededor de cada eje como sigue:     1 0 0 cos θ 0 senθ 1 0  , R (x, φ) =  0 cos φ −senφ  , R (y, θ) =  0 0 senφ cos φ  −senθ 0 cos θ  (2.4) cos ψ −senψ 0 R (z, ψ) =  senψ cos ψ 0  0 0 1 La matriz de rotación completa de B respecto a I, llamada Matriz Coseno Directa, viene dada por (Bouabdallah et al., 2006): RI = R (z, ψ) · R (y, θ) · R (x, φ) 

     cos ψ −senψ 0 cos θ 0 senθ 1 0 0 1 0  ·  0 cos φ −senφ  RI =  senψ cos ψ 0  ·  0 0 0 1 −senθ 0 cos θ 0 senφ cos φ 

 cos ψ cos θ cosψsenθsenφ − senψcosφ cosψsenθcosφ+senψsenφ RI =  senψ cos θ senψsenθsenφ + cosψcosφ senψsenθcosφ − cosψsenφ  −senθ cos θsenφ cos θcosφ

(2.5)

14

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

La matriz de rotación expresada en el sistema de coordenadas B es la traspuesta de RI , debido su propiedad de ortonormalidad, y viene dada por:   cos ψ cos θ senψ cos θ −senθ RB =  cosψsenθsenφ − senψcosφ senψsenθsenφ + cosψcosφ cos θsenφ  cosψsenθcosφ+senψsenφ senψsenθcosφ − cosψsenφ cos θcosφ A partir de la matriz de rotación (2.5) generada por las tres rotaciones sucesivas y su propiedad de ortonormalidad, relacionando la derivada de la matriz ortonormal con una cierta matriz anti-simétrica (Craig, 1989), se puede obtener las ecuaciones cinemáticas de rotación del veh´ıculo que establecen las relaciones entre las velocidades angulares. Sea una matriz ortonormal R, donde: R T R = In

(2.6)

˙ T R + RT R ˙ = 0n R

(2.7)

˙ S = RT R

(2.8)

ST + S = 0n

(2.9)

y su derivada en el tiempo es:

Definiendo: se obtiene a partir de (2.7) que: donde S una matriz anti-simétrica. La relación entre la derivada de la matriz ortonormal y la matriz anti-simétrica es la siguiente: ˙ S = R−1 R

(2.10)

Por lo tanto, las ecuaciones cinemáticas para determinar la postura del helicóptero, suponiendo la matriz de rotación (2.5), vienen dadas por: ˙ I = RI · S(ω) R

(2.11)

donde ω = [p q r]T son las velocidades angulares en el sistema de coordenadas fijado al cuerpo r´ıgido y S(ω) (S(ω)(·) = ω × ·) es la siguiente matriz anti-simétrica (Olfati-Saber, 2001):   0 −r q 0 −p  S(ω) =  r (2.12) −q p 0 As´ı, manipulando matemáticamente la ecuación (2.11) se obtiene la siguiente relación:  ˙     φ 1 sin φ tan θ cos φ tan θ p  θ˙  =  0   cos φ − sin φ q  (2.13) ˙ 0 sin φ sec θ cos φ sec θ r ψ

2.4 Formulación de Newton-Euler

15

˙ θ, ˙ ψ) ˙ es una función discontinua. Estas La variación de los ángulos de Tait-Bryan (φ, derivadas son distintas de las velocidades angulares en el sistema de coordenadas del cuerpo r´ıgido (p, q, r) las cuales son f´ısicamente medibles con giróscopos, por ejemplo. Normalmente, se utilizan Unidades de Medición Inercial (en inglés: Inertial Measurement Unit - imu) para medir las rotaciones y calcular directamente los ángulos de Tait-Bryan (Bouabdallah et al., 2006). La relación entre las velocidades angulares en el sistema fijado al cuerpo y la variación en el tiempo de los ángulos de Tait-Bryan se obtiene a través de la inversión del Jacobiano de (2.13), y viene dada por:    ˙  φ p 1 0 − sin θ  q  =  0 cos φ sin φ cos θ   θ˙  r 0 − sin φ cos φ cos θ ψ˙ 

(2.14)

El movimiento rotacional del helicóptero viene dado por las componentes de las velocidades angulares en los tres ejes: velocidad angular de balanceo (p), velocidad angular de cabeceo (q), y velocidad angular de gui˜ nada (r), sobre los ejes ~xL , ~yL y ~zL respectivamente. Estas velocidades rotacionales son debidas a los pares ejercidos sobre el sistema ligado al cuerpo del helicóptero producidas por las fuerzas externas, las cuales definen los diferentes momentos en los tres ejes: momento de balanceo (L), momento de cabeceo (M), y momento de gui˜ nada (N) sobre los ejes ~xL , ~yL y ~zL respectivamente (Esteban, 2005). El movimiento de traslación viene dado por las componentes de la velocidad v = [u0 v0 w0 ]T en los tres ejes inerciales con relación a la velocidad absoluta del helicóptero expresada en B, V = [uL vL wL ]T . Las velocidades v y V están relacionadas por la expresión: v = RI · V

2.4.

(2.15)

Formulaci´ on de Newton-Euler

En esta sección se obtendrán las ecuaciones dinámicas del helicóptero mediante la formulación de Newton-Euler. Las ecuaciones dinámicas de un cuerpo r´ıgido sujeto a fuerzas externas aplicadas al centro de masa y expresadas en el sistema de coordenadas ligado al cuerpo se pueden obtener a través de la formulación de Newton-Euler como sigue:

mI3×3 0 0 J

˙ V ω˙

+

ω × mV ω × Jω

=

F + Fd τ + τd

(2.16)

16

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

donde J ∈ ℜ3×3 es la matriz de inercia, I3×3 ∈ ℜ3×3 es la matriz identidad, V es el vector velocidad traslacional (en B), ω es el vector velocidad angular (en B) y m es la masa total del helicóptero. De acuerdo con la suposiciones realizadas al inicio del cap´ıtulo, la matriz de inercia de puede suponer diagonal:   Ixx 0 0 J =  0 Iyy 0  (2.17) 0 0 Izz T Considerando el vector de estado ξ v η ω donde ξ y v ∈ ℜ3 representan respectivamente la posición y velocidad lineal expresadas en I, η = [φ θ ψ] y ω ∈ ℜ3 la velocidad angular expresada en B, se pueden escribir las ecuaciones de movimiento de un cuerpo r´ıgido como sigue:  ξ˙ = v    mv˙ = RI Fb (2.18) ˙ I = RI S(ω)  R   Jω˙ = −ω × Jω + τb ˙ I. donde ξ˙ = v = RI V y S(ω) = RTI R

Tal como se expuso en la introducción del cap´ıtulo, el helicóptero quadrotor es un sistema mecánico subactuado con 6 grados de libertad y sólo 4 actuadores (la fuerza principal y los tres momentos actuantes sobre él producidos por las cuatro hélices). Por otra parte, Fb ∈ B y τb ∈ B son las fuerzas y pares externos aplicados al cuerpo del helicóptero, y consisten en su propio peso, en el vector de fuerzas aerodinámicas, en el empuje y en los pares desarrollados por los cuatro motores. Estas fuerzas y pares pueden ser expresados de la siguiente forma:  4 P 2   bΩi + AT  RI Fb = −mg · E3 + RIE3 i=1 (2.19) 4 P    τb = − JR (ω × E3 ) · Ωi + τa + AR i=1

Con las ecuaciones de fuerzas y pares (2.19), el modelo dinámico (2.18) se puede reescribir como sigue:  ξ˙ = v   !  4  X  b AT   Ω2i +  v˙ = −g · E3 + RIE3 m i=1 m (2.20)  ˙  R = R S(ω) I I    4 P    Jω˙ = −ω × Jω − JR (ω × E3 ) · Ωi + τa + AR i=1

donde:

2.4 Formulación de Newton-Euler

17

Los vectores AT = [Ax Ay Az ]T y AR = [Ap Aq Ar ]T son las fuerzas y pares aerodinámicos que act´ uan sobre el helicóptero, y son calculados a partir de los coeficientes aerodinámicos Ci como Ai = 21 ρaire Ci W 2 (ρaire es la densidad del aire, W es la velocidad del helicóptero con respecto al aire) (Mistler et al., 2001). g es la constante gravitacional (g = 9,81m/s2 ). JR es el momento de inercia rotacional del rotor alrededor de su eje. b es el coeficiente de empuje aplicado por los rotores. Ωi es la velocidad angular del i -enésimo rotor.

El sumatorio de fuerzas traslacionales que act´ uan sobre el helicóptero, tal como se presenta en la ecuación (2.19), está compuesto por el empuje total generado por la suma de los cuatro rotores, por la fuerza gravitacional y por la fuerza aerodinámica. La fuerza principal U1 , o entrada principal de control, aplicada al helicóptero viene dada por (Castillo et al., 2005): ! ! 4 4 X X fi = bΩ2i (2.21) U1 = i=1

i=1

donde fi es la fuerza de empuje generada por cada rotor. El par τa en la ecuación (2.19) es el vector de pares de control aplicados al helicóptero. Este se obtiene a través del esfuerzo de torsión τMi generado por cada motor eléctrico considerando la dinámica de cada disco del motor como un sistema desacoplado en la variable generalizada Ωi , que denota la velocidad angular de un motor alrededor de su eje. El esfuerzo de tensión del motor es opuesto a la fricción aerodinámica del motor τdrag = kτ Ω2i , donde kτ > 0 es una constante. As´ı, a través de la segunda Ley de Newton se obtiene (Castillo et al., 2005): JR Ω˙ i = −τdrag + τMi

(2.22)

τMi = τdrag = kτ Ω2i

(2.23)

Cuando Ω˙ i = 0 se tiene que:

El momento aplicado en el cuerpo r´ıgido a lo largo de un eje es la diferencia entre el momento generado por cada motor en el otro eje. Como ya ha sido comentado anteriormente, el movimiento de cabeceo (pitch) se obtiene debido a la diferencia de empuje entre el rotor frontal y el rotor trasero, mientras el movimiento de balanceo (roll) se obtiene mediante la diferencia de empuje entre el rotor de la izquierda y el rotor de la derecha. El movimiento de gui˜ nada (yaw) se obtiene por la diferencia de pares entre los dos rotores que giran en sentido horario y los dos rotores que giran en sentido anti-horario. Estos

18

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

movimientos deben ser logrados con la fuerza principal constante (Castillo et al., 2005). As´ı, el par de control aplicado en los tres ejes viene dado por:      (f2 − f4 ) l lb (Ω22 − Ω24 ) l · U2  (f3 − f1 ) l  =   l · U3  lb (Ω23 − Ω21 ) τa =  (2.24) 4  P  2 2 2 2 k (Ω + Ω − Ω − Ω ) U τMi τ 4 1 3 2 4 i=1

donde l es la distancia entre los motores y el centro de gravedad.

Cada motor se puede considerar como un disco r´ıgido rotando alrededor de su eje ~z con una velocidad Ωi . El eje de rotación del motor se mueve con la velocidad angular del eje de referencia, lo cual produce los siguientes movimientos giroscópicos: τGa = −

4 X i=1

JR (ω × E3 ) · Ωi

(2.25)

donde JR es el momento de inercia del motor alrededor de su eje. As´ı, usando la ecuaciones (2.14), (2.15), (2.21) y (2.24), y definiendo el nuevo vector de estados como (Mistler et al., 2001): ζ = [x y

z

u0

v0

w0

φ θ

ψ

p q

r

]T

(2.26)

la ecuación del movimiento (2.20) se puede reescribir en la siguiente forma:                                    

x˙ = u0 y˙ = v0

z˙ = w0 Ax 1 (cos ψ sin θ cos φ + sin ψ sin φ) · U1 + u˙ 0 = m m Ay 1 (sin ψ sin θ cos φ − cos ψ sin φ) · U1 + v˙ 0 = m m 1 Az w˙ 0 = −g + (cos θ cos φ) · U1 + m m ζ˙ = ˙  φ = p + q sin φ tan θ + r cos φ tan θ       θ˙ = q cos φ − r sin φ       ψ˙ = q sin φ sec θ + r cos φ sec θ       p˙ = (Iyy − Izz ) qr − JR Ω q + l U2 + Ap    Ixx Ixx Ixx Ixx    Aq (I − I ) J Ω l zz xx R   q˙ = pr + p+ U3 +   Iyy Iyy Iyy Iyy     (I − I ) 1 A xx yy r   r˙ = pq + U4 + Izz Izz Izz

(2.27)

La ecuación diferencial no lineal (2.27) se puede escribir en una forma más compacta, como: 4 X ˙ζ = f (ζ) + gi (ζ) Ui (2.28) i=1

2.4 Formulación de Newton-Euler

19

donde: 

u0

   v0    w0   A x   m  Ay   m   Az  −g +  m f (ζ) =   p + q sin φ tan θ + r cos φ tan θ    q cos φ − r sin φ    q sin φ sec θ + r cos φ sec θ   JR Ω Ap  (Iyy − Izz )  qr − q+  I I I xx xx xx  (I − Ixx ) JR Ω Aq zz  pr + p+  Iyy Iyy Iyy   Ar (Ixx − Iyy ) pq + Izz Izz h

g1 (ζ) = g2 (ζ) = g3 (ζ) = g4 (ζ) =

0 0 0

g14

g15

g16

                                   

,

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

l

0 0

Ixx

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

l

0

Iyy

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 Izz

iT

T

T

T

con 1 (cos ψ sin θ cos φ + sin ψ sin φ) m 1 (sin ψ sin θ cos φ − cos ψ sin φ) g15 = m 1 g16 = (cos θ cos φ) m

g14 =

El modelo matemático (2.28) puede asumirse como suficientemente preciso en la representación de todos movimientos funcionales de un veh´ıculo aéreo autónomo (Mistler et al., 2001). Sin embargo, no es adecuado para dise˜ no de control porque este depende de fuerzas y momentos aerodinámicos, los cuales son desconocidos en la presencia de vientos y turbulencias imprevisibles, y de efectos giroscópicos que se consideran desconocidos debido a que no se tiene acceso a las velocidades de los motores. En consecuencia, estos términos serán despreciados durante la fase de dise˜ no de control y serán considerados como perturbaciones externas.

20

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

2.5.

Formulaci´ on de Lagrange-Euler

Las ecuaciones de movimiento del helicóptero se pueden expresar mediante la aplicación directa de la formulación de Lagrange-Euler, la cual está basada en el concepto de energ´ıa mecánica (cinética y potencial): d ∂L ∂L Γi = − (2.29) dt ∂ q˙i ∂qi L = Ec − Ep donde:

L es la función lagrangiana Ec es la energ´ıa cinética total Ep es la energ´ıa potencial total qi es la coordenada generalizada q˙i es la primera derivada respecto al tiempo de la coordenada generalizada Γi son las fuerzas/pares generalizados dados por fuerzas/pares no conservativos

Para desarrollar las ecuaciones de Lagrange-Euler, se vuelve a considerar el sistema de coordenadas inercial I = [~x ~y ~z ] y el sistema de coordenadas ligado al helicóptero B = [~xL ~yL ~zL ]. Para un cuerpo r´ıgido evolucionando en el espacio tridimensional, las coordenadas generalizadas se pueden escribirse como (Castillo et al., 2007): q = [x y

z

φ θ

ψ]T ∈ ℜ6

donde ξ = [x y z]T ∈ ℜ3 es la posición del centro de masa del helicóptero expresada en I, y η = [φ θ ψ]T ∈ ℜ3 son los ángulos de Tait-Bryan descritos en el Apartado 2.3. El Lagrangiano para el helicóptero viene dado por: L(q, q) ˙ = EcT rans + EcRot − Ep

(2.30)

donde EcT rans es la energ´ıa cinética traslacional y EcRot es la energ´ıa cinética rotacional. Inicialmente, se va a desarrollar el término de la energ´ıa cinética traslacional, lo cual requiere el conocimiento de la velocidad de cada coordenada generalizada. La velocidad

2.5 Formulación de Lagrange-Euler

21

lineal viene dada por la ecuación (2.15), donde ξ˙ = v, y por lo tanto el cuadrado de la velocidad es: ξ˙2 (x, y, z) = (x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) = ξ˙T ξ˙ As´ı, la energ´ıa cinética traslacional puede ser escrita mediante la siguiente expresión: Z 1 m m EcT rans = ξ˙2 (x, y, z) dm = ξ˙2 (x, y, z) = ξ˙T ξ˙ 2 2 2 Para desarrollar el término de la energ´ıa cinética rotacional, considérese un punto rB fijo y en reposo en el sistema de coordenadas B. Sea I rB el mismo punto B rB con respecto al sistema de coordenadas inercial I, y RI la matriz de rotación que relaciona el desplazamiento espacial del sistema de coordenadas B con respecto a I. El vector I rB vendrá dado por (Fu et al., 1987): B

I

rB = R I B rB

I

rBx = (cos ψ cos θ)xL + (cosψsenθsenφ − senψcosφ)yL + (cosψsenθcosφ+senψsenφ)zL rBy = (senψ cos θ)xL + (senψsenθsenφ + cosψcosφ)yL + (senψsenθcosφ − cosψsenφ)zL I rBz = (−senθ)xL + (cos θsenφ)yL + (cos θcosφ)zL

I

As´ı, la velocidad de B rB expresada en I se obtiene por la derivada con respecto al

tiempo de I rB como sigue:

d ˙ I · B rB rB = RI · B rB = R dt = − sin ψ cos θ ψ˙ − cos ψ sin θ θ˙ xL + − sin ψ sin θ sin φψ˙ + cos ψ cos θ sin φθ˙ + cos ψ sin θ cos φφ˙ − cos ψ cos φψ˙ + sin ψ sin φφ˙ yL + − sin ψ sin θ cos φψ˙ + cos ψ cos θ cos φθ˙ − cos ψ sin θ sin φφ˙ + cos ψ sin φψ˙ + sin ψ cos φφ˙ zL ˙ ˙ = cos ψ cos θ ψ − sin ψ sin θ θ xL + cos ψ sin θ sin φψ˙ + sin ψ cos θ sin φθ˙ + sin ψ sin θ cos φφ˙ − sin ψ cos φψ˙ − cos ψ sin φφ˙ yL + cos ψ sin θ cos φψ˙ + sin ψ cos θ cos φθ˙ − sin ψ sin θ sin φφ˙ + sin ψ sin φψ˙ − cos ψ cos φφ˙ zL = −cos θ θ˙ xL + ˙ ˙ − sin θ sin φθ + cos θ cos φφ yL + − sin θ cos φθ˙ − cos θ sin φφ˙ zL I

Iv Bx

Iv By

Iv Bz

vB =

d dt

I

22

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

Tras obtener la velocidad del punto I rB , se puede calcular la energ´ıa cinética de rotación. Sea EcRot la energ´ıa cinética de rotación en B expresada en I, y sea dEcRot la energ´ıa cinética de una part´ıcula con masa diferencial dm en B, entonces (Fu et al., 1987): dEcRot

1 = 2

I

vB2

1 I 2 I 2 I 2 vBx + v By + vBz dm dm = 2

(2.31)

As´ı, el cuadrado de la velocidad del punto I vB es: I

I v2 B

vB2

=

I 2 vBx

+

I 2 v By

+

I 2 v Bz

= x2L ψ˙ 2 cos2 θ + θ˙ 2 + yL2 ψ˙ 2 sin2 θ + cos2 θcos2 φ + ψ˙ −2φ˙ sin θ − 2θ˙ cos φ sin φ cos θ + θ˙ 2 sin2 φ + φ˙ 2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ zL ψ sin θ + cos θsin φ + ψ −2φ sin θ + 2θ cos φ sin φ cos θ + θ cos φ + φ + 2xL yL ψ˙ 2 cos θ sin θ sin φ + ψ˙ θ˙ sin θ cos φ − φ˙ cos θ sin φ − θ˙φ˙ cos φ + 2xL zL ψ˙ 2 cos θ sin θ cos φ + ψ˙ −θ˙ sin θ sin φ − φ˙ cos θ cos φ + θ˙ φ˙ sin φ + 2yL zL −ψ˙ 2 cos2 θ sin φ cos φ + ψ˙ θ˙ cos θ − 2θ˙ cos θ cos2 φ + θ˙ 2 sin φ cos φ

Reescribiendo la ecuación anterior se tiene: I

vB2

2 2 2 ˙ ˙ ˙ ˙ = + ψ sin θ − 2ψ φ sin θ + φ + (x2L + zL2 ) ψ˙ 2 sin2 φ cos2 θ + 2ψ˙ θ˙ cos φ sin φ cos θ + θ˙2 cos2 φ + (x2L + yL2 ) ψ˙ 2 cos2 φ cos2 θ − 2ψ˙ θ˙ cos φ sin φ cos θ + θ˙2 sin2 φ + 2xL yL ψ˙ 2 cos θ sin θ sin φ + ψ˙ θ˙ sin θ cos φ − φ˙ cos θ sin φ − θ˙φ˙ cos φ + 2xL zL ψ˙ 2 cos θ sin θ cos φ + ψ˙ −θ˙ sin θ sin φ − φ˙ cos θ cos φ + θ˙φ˙ sin φ + 2 2 2 2 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 2yLzL −ψ cos θ sin φ cos φ + ψ θ cos θ − 2θ cos θ cos φ + θ sin φ cos φ (yL2

zL2 )

Por tanto, resolviendo la ecuación (2.31) con el cuadrado de la velocidad se obtiene la energ´ıa cinética de rotación como sigue:

EcRot

1 = 2

Z

I

vB2 dm

2.5 Formulación de Lagrange-Euler

EcRot =

23

1 2

Z

yL2 + zL2 dm ψ˙ 2 sin2 θ − 2ψ˙ φ˙ sin θ + φ˙ 2 +

1 2

Z

x2L + zL2 dm ψ˙ 2 sin2 φ cos2 θ + 2ψ˙ θ˙ cos φ sin φ cos θ + θ˙ 2 cos2 φ +

1 2

Z

x2L + yL2 dm ψ˙ 2 cos2 φ cos2 θ − 2ψ˙ θ˙ cos φ sin φ cos θ + θ˙ 2 sin2 φ +

Z

xL yL dm ψ˙ 2 cos θ sin θ sin φ + ψ˙ θ˙ sin θ cos φ − φ˙ cos θ sin φ − θ˙φ˙ cos φ +

Z

xL zL dm ψ˙ 2 cos θ sin θ cos φ + ψ˙ −θ˙ sin θ sin φ − φ˙ cos θ cos φ + θ˙ φ˙ sin φ +

Z

yL zL dm −ψ˙ 2 cos2 θ sin φ cos φ + ψ˙ θ˙ cos θ − 2θ˙ cos θ cos2 φ + θ˙ 2 sin φ cos φ

(2.32)

A partir de las hipótesis realizadas anteriormente, los términos de los productos cruzados de la matriz de inercia pueden ser considerados nulos y la matriz de inercia es diagonal: R Ixx = R (yL2 + zL2 ) dm Iyy = R (x2L + zL2 ) dm Izz = R (x2L + yL2 ) dm Ixy = R (xL yL)dm = 0 Ixz = R (xL zL )dm = 0 Iyz = (yL zL )dm = 0 La energ´ıa cinética puede ser reescrita de la siguiente forma:

EcRot

=

2 1 2 1 2 1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Ixx φ − ψ sin θ + Iyy θ cos φ + ψ sin φ cos θ + Izz θ sin φ − ψ cos φ cos θ 2 2 2 (2.33)

o de una forma más compacta utilizando las ecuaciones (2.14) y (2.17): 1 1 1 1 EcRot = Ixx p2 + Iyy q 2 + Izz r 2 = ω T Jω 2 2 2 2

(2.34)

Denominando Wη como el Jacobiano que relaciona ω con η˙ en la ecuación (2.14), se puede definir la siguiente matriz: J = J (η) = Wη T JWη

(2.35)

por lo que la ecuación de la energ´ıa cinética (2.34) se puede reescribir en función de coordenadas generalizadas η como sigue: 1 EcRot = η˙ T J η˙ (2.36) 2

24

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

La energ´ıa potencial Ep expresada en términos de las coordenadas generalizadas viene dada por: Ep = mgz (2.37) Las ecuaciones del movimiento completo se obteniene a partir del Lagrangiano (2.30) y se obtendrán a partir de la siguiente expresión: d ∂L ∂L Fξ = − (2.38) τη dt ∂ q˙i ∂qi ˆ es donde τη ∈ ℜ3 representa los momentos de balanceo, cabeceo y gui˜ nada, y Fξ = RI F la fuerza traslacional aplicada al helicóptero debido principalmente a la entrada de control principal U1 en la dirección del eje z, con ˆ = RI U1 + AT RI F E3 Puesto que el Lagrangiano no contiene términos en la energ´ıa cinética combinando ξ˙ con η, ˙ las ecuaciones de Lagrange-Euler pueden ser divididas en la dinámica de traslación y la dinámica de rotación, siendo la ecuación de Lagrange-Euler para el movimiento de traslación: ˙ = Ec L(ξ, ξ) − Ep T ras   ˙ ∂L ξ, ξ˙ ∂L ξ, ξ˙ d  ∂L ξ, ξ  ˙ = mξ¨ = −mgE3 , = mξ , ˙ ˙ ∂ξ dt ∂ξ ∂ξ  ˙ ∂L ξ, ξ˙ ∂L ξ, ξ d  − = Fξ dt ∂ξ ∂ ξ˙ 

(2.39)

mξ¨ + mgE3 = Fξ

(2.40)

Reescribiendo (2.40) en función del vector de estados ξ se tiene:  1 A  x¨ = m (cos ψ sin θ cos φ + sin ψ sin φ) U1 + mx A y¨ = m1 (sin ψ sin θ cos φ − cos ψ sin φ) U1 + my  z¨ = −g + m1 (cos θ cos φ) U1 + Amz Para las coordenadas de η las ecuaciones de Lagrange-Euler son: d ∂L (η, η) ∂L (η, η) ˙ ˙ − = τη dt ∂ η˙ ∂η ˙ ˙ d ∂L (η, η) d ∂L (η, η) ∂L (η, η) ˙ ∂L (η, η) ˙ = τφ , = τθ − − dt ∂φ dt ∂θ ∂ φ˙ ∂ θ˙ ˙ d ∂L (η, η) ∂L (η, η) ˙ = τψ − dt ∂ψ ∂ ψ˙

(2.41)

,

2.5 Formulación de Lagrange-Euler

25

Resolviendo las ecuaciones arriba se obtiene: ∂L (η, η) ˙ ∂φ

2 2 2 2 2 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ = Iyy −ψ θ cos θ sin φ + ψ θ cos θ cos φ + ψ sin φ cos φ cos θ − θ sin φ cos φ +Izz −ψ˙ 2 sin φ cos φ cos2 θ + ψ˙ θ˙ cos θ sin2 φ − ψ˙ θ˙ cos θ cos2 φ + θ˙ 2 sin φ cos φ

∂L (η, η) ˙ ∂θ

= Ixx −ψ˙ φ˙ cos θ + ψ˙ 2 cos θ sin θ + Iyy −θ˙ψ˙ sin φ cos φ sin θ − ψ˙ 2 sin2 φ cos θ sin θ +Izz −ψ˙ 2 sin θ cos θ cos2 φ + ψ˙ θ˙ sin θ sin φ cos φ

∂L (η, η) ˙ ∂ψ

= 0

∂L (η, η) ˙ ˙ ∂φ

= Ixx φ˙ − ψ˙ sin θ

∂L (η, η) ˙ ˙ ∂θ

= θ˙ Iyy cos2 φ + Izz sin2 φ + ψ˙ (Iyy cos φ sin φ cos θ − Izz cos φ sin φ cos θ)

∂L (η, η) ˙ ˙ ∂ψ

˙ xx sin θ + θ˙ ((Iyy − Izz ) cos φ sin φ cos θ) = −φI ˙ xx sin2 θ + ψI ˙ yy sin2 φ cos2 θ + ψI ˙ zz cos2 φ cos2 θ +ψI

Y por lo tanto:

d dt

∂L (η, η) ˙ ˙ ∂φ

= Ixx φ¨ − ψ¨ sin θ − φ˙ ψ˙ cos θ

d dt

∂L (η, η) ˙ ∂ θ˙

= Iyy θ¨ cos2 φ − 2θ˙φ˙ cos φ sin φ + ψ¨ cos φ sin φ cos θ − ψ˙ φ˙ sin2 φ cos θ +ψ˙ φ˙ cos2 φ cos θ − ψ˙ θ˙ cos φ sin φ sin θ +Izz θ¨ sin2 φ + 2θ˙ φ˙ cos φ sin φ − ψ¨ cos φ sin φ cos θ + ψ˙ φ˙ sin2 φ cos θ −ψ˙ φ˙ cos2 φ cos θ + ψ˙ θ˙ cos φ sin φ sin θ

d dt

∂L (η, η) ˙ ˙ ∂ψ

= Ixx −φ¨ sin θ − φ˙ θ˙ cos θ + ψ¨ sin2 θ + 2ψ˙ θ˙ sin θ cos θ +Iyy θ¨ cos φ sin φ cos θ − θ˙φ˙ sin2 φ cos θ + θ˙ φ˙ cos2 φ cos θ − θ˙ 2 cos φ sin φ sin θ + ψ¨ sin2 φ cos2 θ + 2ψ˙ φ˙ sin φ cos φ cos2 θ − 2ψ˙ θ˙ sin2 φ cos θ sin θ +Izz −θ¨ cos φ sin φ cos θ + θ˙ φ˙ sin2 φ cos θ − θ˙φ˙ cos2 φ cos θ + θ˙ 2 cos φ sin φ sin θ + ψ¨ cos2 φ cos2 θ − 2ψ˙ φ˙ cos φ sin φ cos2 θ − 2ψ˙ θ˙ cos θ sin θ cos2 φ

26

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

y as´ı, se reescribe las ecuaciones de Lagrange-Euler para el movimiento de rotación como sigue: d ∂L (η, η) ˙ ∂L (η, η) ˙ − = τη dt ∂ η˙ ∂η   ∂L (η, η) ˙ ˙ d ∂L (η, η) −    dt  ∂φ   ∂ φ˙ τ φ  d ∂L (η, η) ∂L (η, η) ˙  ˙  =  τθ   −   dt ˙ ∂θ   ∂θ τψ  d ∂L (η, η) ˙ ∂L (η, η) ˙  − dt ∂ψ ∂ ψ˙ El modelo matemático se puede presentar en la forma general, donde (Castillo et al., 2007): M(η)¨ η + C(η, η) ˙ η˙ = τη (2.42) con M(η) = J (η), o sea: 

  M(η) =  

Ixx

0

0

Iyy cos2 φ + Izz sin2 φ

−Ixx sin θ (Iyy − Izz ) cos φ sin φ cos θ

−Ixx sin θ (Iyy − Izz ) cos φ sin φ cos θ Ixx sin2 θ + Iyy sin2 φ cos2 θ + Izz cos2 φ cos2 θ (2.43)

y 

 c11 c12 c13 C (η, η) ˙ =  c21 c22 c23  c31 c32 c33

donde c11 = 0

c12 = (Iyy − Izz ) θ˙ cos φ sin φ + ψ˙ sin2 φ cos θ + (Izz − Iyy ) ψ˙ cos2 φ cos θ − Ixx ψ˙ cos θ

c13 = (Izz − Iyy ) ψ˙ cos φ sin φ cos2 θ c21 = (Izz − Iyy ) θ˙ cos φ sin φ + ψ˙ sin2 φ cos θ + (Iyy − Izz ) ψ˙ cos2 φ cos θ + Ixx ψ˙ cos θ

c22 = (Izz − Iyy ) φ˙ cos φ sin φ

c23 = −Ixx ψ˙ sin θ cos θ + Iyy ψ˙ sin2 φ cos θ sin θ + Izz ψ˙ cos2 φ sin θ cos θ

c31 = (Iyy − Izz ) ψ˙ cos2 θ sin φ cos φ − Ixx θ˙ cos θ c32 = (Izz − Iyy ) θ˙ cos φ sin φ sin θ + φ˙ sin2 φ cos θ + (Iyy − Izz ) θ˙ cos2 φ cos θ +Ixx ψ˙ sin θ cos θ − Iyy ψ˙ sin2 φ sin θ cos θ − Izz ψ˙ cos2 φ sin θ cos θ

c33 = (Iyy − Izz ) φ˙ cos φ sin φ cos2 θ − Iyy θ˙ sin2 φ cos θ sin θ − Izz θ˙ cos2 φ cos θ sin θ +Ixx θ˙ cos θ sin θ

As´ı, las ecuaciones del movimiento de rotación del helicóptero obtenidas a partir de la formulación de Lagrange-Euler pueden ser reescritas mediante la siguiente expresión

    

2.5 Formulación de Lagrange-Euler

27

matricial: η¨ = M(η)−1 (τη − C(η, η) ˙ η) ˙

(2.44)

Para finalizar, en la figura 2.4 se muestra como el sistema puede ser dividido en dos subsitemas interconectados: Subsistema de traslación

x x&

U1 Subsistema de rotación

φ U 2    U 3  U   4

φ& θ

φ ,θ ,ψ

y y& z z&

θ& ψ ψ&

Figura 2.4: Sistema dinámico dividido en dos sub-sistemas interconectados.

El sub-sistema de rotación, cuyas salidas serán los tres ángulos de Tait-Bryan que fijan la orientación del veh´ıculo, y cuyas entradas serán los tres pares (U2 , U3 y U4 ) que permiten girarlo. El sub-sistema de traslación, cuyas salidas (posición x, y y z del veh´ıculo en el espacio) dependerán del empuje total, U1 , además de la orientación del sistema.

28

2 Descripción y Modelado del Helicóptero QuadRotor

Cap´ıtulo 3 Estructuras de Control En este cap´ıtulo se utilizan cinco estrategias de control para resolver el problema de seguimiento de trayectoria, siendo dos de ellas presentadas en Mistler et al. (2001); Bouabdallah y Siegwart (2005). Se buscan, como objetivos de desempe˜ no de los controladores, error nulo de seguimiento y robustez en presencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas que puedan afectar al helicóptero. La primera estrategia está basada en Mistler et al. (2001), donde se utiliza una ley de control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica. En esta estrategia se utiliza el modelo dinámico que se obtuvo a partir de la formulación de Newton-Euler. La segunda estructura de control utilizada fue presentada en Bouabdallah y Siegwart ´ (2005). Esta se basa en la técnica de Backstepping y supone que el helicóptero ya está en vuelo estacionario, de modo que se permite simplificar el modelo a través de la aproximación de peque˜ no ángulo. La tercera estrategia de control que se desarrolla en este trabajo, se basa en una estructura de control descentralizada, donde se dise˜ na un controlador para la estabilización del helicóptero utilizando técnicas de control H∞ no lineal para sistemas mecánicos. Para controlar los movimientos de traslación se utiliza el controlador propuesto en Bouabdallah y Siegwart (2005), que usa funciones de Lyapunov, basado en la técnica de Backstepping. La cuarta estrategia de control se plantea a partir de la estructura anterior, donde se utiliza el mismo controlador H∞ no lineal para los movimientos de rotación. El problema de seguimiento de trayectoria se soluciona a través de un controlador predictivo, donde se permite utilizar trayectorias futuras conocidas, una caracter´ıstica de gran relevancia para el control de robots móviles. El cpbm fue desarrollado utilizando la técnica de linealizaciones sucesivas y basado en el modelo del error.

30

3 Estructuras de Control

Para la quinta estructura de control se dise˜ na un controlador con el objetivo de garantizar la robustez del sub-sistema de traslación en presencia de incertidumbres paramétricas en los términos de masa y inercia del helicóptero y cuando se aplican vientos mantenidos sobre el veh´ıculo. Para esto se utiliza la s´ıntesis de control H∞ lineal con realimentación de estados v´ıa lmis, suponiendo la posición angular del quadrotor como parámetros inciertos del sub-sistema de traslación. La estabilización del uav se obtiene a partir del controlador H∞ no lineal. A continuación se presentan cada una de las estrategias, as´ı como los resultados de simulación, y resultados experimentales de la estabilización del sistema.

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) 31

3.1.

Control con desacoplamiento entrada-salida y linealizaci´ on exacta por realimentaci´ on din´ amica (Mistler et al., 2001)

En este apartado se presenta el controlador desarrollado en Mistler et al. (2001), el cual trata de una ley de control por realimentación dinámica y un cambio de variables en el espacio de estados con el objetivo de transformar el sistema no lineal descrito por la ecuación (2.28) en un sistema lineal y controlable. Este problema es conocido como linealización exacta por realimentación (Mistler et al., 2001). Además, se reduce el sistema por el enfoque entrada-salida para trabajar con un conjunto de sistemas siso (single inputsingle output) independientes, siendo este el problema de desacoplamiento entrada-salida. En Mistler et al. (2001) se demuestra que utilizando una ley de control por realimentación estática no es posible resolver estos dos problemas para el sistema (2.28). Siendo as´ı, se propone una ley de control por realimentación dinámica. Inicialmente, se prueba que, utilizando una ley de control por realimentación estática, el sistema en bucle cerrado no es realizable. As´ı, en el primer paso, para no complicar el problema de control, se elige el n´ umero de salidas igual al n´ umero de entradas, conT siderando las variables ξ = [x y z] y el ángulo de gui˜ nada (yaw), ψ, como variables controladas del sistema. Por lo tanto, el vector de salidas es γ(ζ) = h(ζ) = [x y z ψ]T . Se asume también que todo el vector de estados, ζ, del sistema es medible y se propone una ley de control con realimentación de estados estática de la siguiente forma: U = α(ζ) + β(ζ)v

(3.1)

donde v es un vector de entrada de referencia externa, α(ζ) = [α1 (ζ) α2 (ζ) α3 (ζ) α4 (ζ)]T y β(ζ) ∈ ℜ4x4 . En el segundo paso, se define el grado relativo del sistema, donde {r1 , r2 , r3 , r4 } es el vector de grado relativo para el sistema (2.28). Esto estipula exactamente el n´ umero de veces que hay que diferenciar una salida i para que en el u ´ltimo componente aparezca expl´ıcitamente el vector de entradas U. As´ı, usando derivadas de Lie, se tiene: ri = inf k, ∃j, 1 ≤ j ≤ 4, Lgj Lfk−1 hi 6= 0 y     

(r )

γ1 1 (r ) γ2 2 (r ) γ3 3 (r ) γ4 4



   = b(ζ) + ∆(ζ)U 

32

3 Estructuras de Control

donde

 Lg1 Lrf 1 −1 h1 (ζ) · · · Lg4 Lrf 1 −1 h1 (ζ)   .. .. .. ∆(ζ) =   . . . r4 −1 r4 −1 Lg1 Lf h4 (ζ) · · · Lg4 Lf h4 (ζ) 

 Lrf 1 h1 (ζ)   .. b(ζ) =   . r4 Lf h4 (ζ) 

(3.2)

(3.3)

El principal resultado sobre el problema de desacoplamiento entrada-salida es que este problema tiene solución si, y sólo si, la matriz ∆(ζ) es no singular. En este caso, la realimentación de estados estática (3.1) con (Mistler et al., 2001):

α(ζ) = −∆−1 (ζ)b(ζ) β(ζ) = ∆−1 (ζ)

(3.4)

transforma el sistema en bucle cerrado en lineal y desacoplado desde el punto de vista de entrada-salida, proporcionando y (ri) = vi para todo i, 1 ≤ i ≤ 4. Sin embargo, para el sistema no lineal (2.28) el grado relativo es r1 = r2 = r3 = r4 = 2.

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) 33 Por lo tanto, la matriz ∆(ζ) se calcula como sigue: ∂ ∂h1 (cos ψ cos φ sin θ + sin φ sin ψ) 1 ∆11 = Lg1 Lf h1 (ζ) = · f (ζ) · g1 (ζ) = ∂ζ ∂ζ m ∂ ∂h 1 ∆12 = Lg2 L1f h1 (ζ) = · f (ζ) · g2 (ζ) = 0 ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h1 1 · f (ζ) · g3 (ζ) = 0 ∆13 = Lg3 Lf h1 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h1 1 · f (ζ) · g4 (ζ) = 0 ∆14 = Lg4 Lf h1 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h2 (sin ψ cos φ sin θ − sin φ cos ψ) 1 ∆21 = Lg1 Lf h2 (ζ) = · f (ζ) · g1 (ζ) = ∂ζ ∂ζ m ∂ ∂h2 · f (ζ) · g2 (ζ) = 0 ∆22 = Lg2 L1f h2 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h2 1 · f (ζ) · g3 (ζ) = 0 ∆23 = Lg3 Lf h2 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h2 1 · f (ζ) · g4 (ζ) = 0 ∆24 = Lg4 Lf h2 (ζ) = ∂ζ ∂ζ (cos θ cos φ) ∂ ∂h3 1 · f (ζ) · g1 (ζ) = ∆31 = Lg1 Lf h3 (ζ) = ∂ζ ∂ζ m ∂ ∂h 3 ∆32 = Lg2 L1f h3 (ζ) = · f (ζ) · g2 (ζ) = 0 ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h3 1 · f (ζ) · g3 (ζ) = 0 ∆33 = Lg3 Lf h3 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂h ∂ 3 · f (ζ) · g4 (ζ) = 0 ∆34 = Lg4 L1f h3 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h4 1 · f (ζ) · g1 (ζ) = 0 ∆41 = Lg1 Lf h4 (ζ) = ∂ζ ∂ζ ∂ ∂h4 1 · f (ζ) · g2 (ζ) = 0 ∆42 = Lg2 Lf h4 (ζ) = ∂ζ ∂ζ (l sin φ sec θ ∂ ∂h4 1 · f (ζ) · g3 (ζ) = ∆43 = Lg3 Lf h4 (ζ) = ∂ζ ∂ζ Iyy ∂ ∂h (cos φ sec θ 4 ∆44 = Lg4 L1f h4 (ζ) = · f (ζ) · g4 (ζ) = ∂ζ ∂ζ Izz y entonces: 

∆11  ∆21 ∆(ζ) =   ∆31 0

 0 0 0 0 0 0   0 0 0  0 ∆43 ∆44

Como se muestra, la matriz ∆(ζ) es singular para todo ζ y, por lo tanto, el problema de desacoplamiento entrada-salida no se resuelve para el sistema (2.28) a través de una ley de control estática de realimentación de estados (Mistler et al., 2001). La matriz ∆(ζ) es (2) (2) (2) siempre singular porque las derivadas γ1 , γ2 y γ3 están todas afectadas por la entrada (2) U1 y ninguna por U2 , U3 , U4 . Para solucionar este problema, se propone encontrar γ1 , (2) (2) γ2 y γ3 independientes de U1 , esto es, retrasar la aparición de U1 para las derivadas de (2) (2) (2) orden superior de γ1 , γ2 y γ3 y esperar que las otras entradas aparezcan antes. Para

34

3 Estructuras de Control

¯1 : lograr este resultado, se elige U1 igual a un doble integrador dado por U U1 = κ κ˙ = ε ¯1 ε˙ = U

(3.5)

y por consistencia de notación, se define: ¯2 U2 = U ¯3 U3 = U ¯ U4 = U4 Ahora la entrada U1 ya no es una entrada para el sistema (2.28), pero se transforma en el estado interno κ para el nuevo sistema dinámico (3.6), que es definido como sigue: ¯ ¯ +g ¯ U) ¯ ζ˙ = ¯ f(ζ) ¯(ζ,

(3.6)

donde ζ¯ = [x y

z

u0

v0

w0

φ θ

ψ

κ ǫ p q

r

]T

y 

u0 v0 w0



          A x 4   + g (φ, θ, ψ)κ 1   m   Ay   + g15(φ, θ, ψ)κ   m     Az 6   + g1 (φ, θ, ψ)κ −g +   m  p + q sin φ tan θ + r cos φ tan θ    ¯  , f ζ¯ =  q cos φ − r sin φ    q sin φ sec θ + r cos φ sec θ      ǫ     0    (I − I )  J Ω A yy zz R p   qr − q +   Ixx Ixx Ixx    (Izz − JR Ω Aq  Ixx )   pr + p +   I I I yy yy yy     Ar (Ixx − Iyy ) pq + Izz Izz ¯ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 T ¯ g1 (ζ) T l ¯ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¯ g2 (ζ) 0 0 I xx T l ¯ 0 ¯ g3 (ζ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Iyy T 1 ¯ ¯ g4 (ζ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Izz Con el nuevo sistema se puede resolver el problema de desacoplamiento entrada-salida para el sistema (2.28) a través de una ley de control de realimentación dinámica si este

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) 35 problema se resuelve por realimentación estática para el sistema extendido (3.6). El vector de grado relativo para el sistema (3.6) está dado por: r1 = r2 = r3 = 4;

r4 = 2

y se tiene:     

(r )

γ1 1 (r ) γ2 2 (r ) γ3 3 (r ) γ4 4



  ¯ + ∆(ζ) ¯U ¯  = b(ζ) 

¯ y b(ζ) ¯ son calculados usando las ecuaciones (3.2) y (3.3). donde ∆(ζ) ¯ está dada por: La matriz ∆(ζ)  cos(φ) cos(ψ) sin(θ)+sin(φ) sin(ψ)

   ¯ = ∆(ζ)   

m

sin(ψ))d − κ (sin(φ) cos(ψ) sin(θ)−cos(φ) mIx

κ cos(ψ) cos(θ)d mIy

cos(φ) sin(ψ) sin(θ)−sin(φ) cos(ψ) m

cos(ψ))d − κ (sin(φ) sin(ψ) sin(θ)+cos(φ) mIx

κ sin(ψ) cos(θ)d mIy

0

cos(φ) cos(θ) m

cos(θ)κ d − sin(φ)mIx

− κ sin(θ)d mIy

0

0

0

sin(φ)d cos(θ)Iy

cos(φ) cos(θ)Iz

0

¯ es no singular en cualquier punto caracterizado por κ 6= 0, Se ve que la matriz ∆(ζ) −π/2 < φ < π/2, −π/2 < θ < π/2. Por lo tanto, el problema de desacoplamiento entradasalida se resuelve para el sistema (2.28) a través de una ley de control por realimentación dinámica dada por: ¯ = α(ζ) ¯ + β(ζ)v ¯ U (3.7) ¯ y β(ζ) ¯ calculados a partir de (3.4). con α(ζ) Además, como el sistema extendido (3.6) tiene dimensión n = 14, la condición r1 + r2 + r3 + r4 = n se cumple y, por tanto, el sistema puede ser transformado por realimentación dinámica en un sistema que, en coordenadas adecuadas, es completamente ¯ se da por: lineal y controlable. El cambio de coordenadas λ = Φ(ζ) λ1 = h1 ζ¯ = x λ8 = L3f h2 ζ¯ = y (3) λ2 = Lf h1 ζ¯ = x˙ λ9 = h3 ζ¯ =z 2 ¯ λ3 = Lf h1 ζ = x¨ λ10 = Lf h3 ζ¯ = z˙ λ4 = L3f h1 ζ¯ = x(3) λ11 = L2f h3 ζ¯ = z¨ λ5 = h2 ζ¯ = y λ12 = L3f h3 ζ¯ = z (3) λ6 = Lf h2 ζ¯ = y˙ λ13 = h4 ζ¯ = ψ λ7 = L2f h2 ζ¯ = y¨ λ14 = Lf h4 ζ¯ = ψ˙ En las nuevas coordenadas, el sistema se escribe como: λ˙ = Aλ + Bv γ = Cλ

(3.8)

       

36

3 Estructuras de Control

donde 

A1  0 A=  0 0 0  0 A1 =   0  0 0  0 B2 =   0 0 C1 = 1

0 A1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

    C1 0 B1 0 0     B2  0 0   0 C1 , B=  B3  , C =  0 0 A1 0  B4 0 A2  0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 1 0  , B1 =  , A2 =   0 0 0 0 0 1 1 0 0 0   0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0   , B3 =   0 0 0 0  , B4 = 0 0  0 0 0 1 0 0 , C2 = 1 0

 0 0 0 0   C1 0  0 C2 0 0   0  0 0 0 0 0 0 1

Para controlar el sistema (3.8), los autores proponen la siguiente ley de control por realimentación: (4) (3) (3) x − x¨d ) − c1 (x˙ − x˙ d ) − c0 (x − xd ) v1 = xd − c3 x − xd − c2 (¨ (4) (3) y − y¨d ) − c1 (y˙ − y) ˙ − c0 (y − yd ) v2 = yd − c3 y (3) − yd − c2 (¨ (4) (3) z − z¨d ) − c1 (z˙ − z˙d ) − c0 (z − z) v3 = zd − c3 z (3) − zd − c2 (¨ v4 = ψ¨d − c5 ψ˙ − ψ˙ d − c4 (ψ − ψd ) donde los coeficientes ci son los parámetros de ajuste del controlador y (xd , yd, zd , ψd ) es la trayectoria deseada. En la Figura 3.1 se representa el diagrama de bloques completo de la estructura de control presentada. MATLAB Function

var_zref xrdot4

Varible lambda

yrdot4 zrdot4 psiddot

K*u

lambda 1 s

Gain

Trayectoria de Referencia

1 s kappa

MATLAB Function

u1 (x,y,z)

u2

Demux

(dx,dy,dz)

u3

Exact Linearization

u4

draganfly_Mistler_Mod

Atras Perturbación Arot Traslacional Perturbación Rotacional

(phi,theta,psi) (p,q,r)

DRAGANFLY

du/dt du/dt

Figura 3.1: Diagrama de Bloques para el control con linealización por realimentación del helicóptero quadrotor.

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) 37

3.1.1.

Resultados de simulaci´ on

Se realizaron varias simulaciones para evaluar el controlador propuesto en Mistler et al. (2001). La trayectoria de referencia utilizada es una helicoidal vertical dada por las siguientes ecuaciones: xd =

1 2

cos

t 2

, yd =

1 2

sin

t 2

, zd = 1 +

t , 10

ψd =

π 3

Se supone que el helicóptero empieza en la posición (x, y, z) = (0,0,0.5)m ,con orientación (φ, θ, ψ) = (0,0,0.5)rad. Los parámetros del modelo utilizados aqu´ı, y durante todo el trabajo, fueron los del art´ıculo (Mistler et al., 2001), y son: m = 0,7kg, l = 0,3m, g = 9,81m/s2 y Ixx = Iyy = Izz = 1,2416. Se presentan dos resultados, en el primero se considera una incertidumbre de ±20 % en los parámetros de inercia del modelo y sin tener en cuenta perturbaciones externas. La segunda simulación se realizó sólo con el modelo nominal, pero se consideraron perturbaciones externas, que fueron escalones mantenidos en los momentos aerodinámicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm, en t = 15s se afectó al sistema con Ap = 10Nm, y en t = 25s se aplicó la u ´ltima perturbación con amplitud Aq = 10Nm. Las ganancias del controlador son las siguientes: c0 = 625, c1 = 500, c2 = 150, c3 = 20, c4 = c5 = 4. Las resultados de ambas simulaciones se presentan en las Figuras 3.2 - 3.9. Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20% 4.5 4 3.5 3 z

2.5 2 1.5 1

0.5 0.5 0.5 0 0

y

−0.5

−0.5

x

Figura 3.2: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas.

38

3 Estructuras de Control x 0.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0

−0.5

0

5

10

15 y

20

25

30

0.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0

−0.5

0

5

10

15 z

20

25

30

6 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

4 2 0

0

5

10

15 tiempo [s]

20

25

30

Figura 3.3: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas.

φ 0.02 Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

0 −0.02 −0.04 −0.06

0

5

10

15

20

25

30

0.3 Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

θ

0.2 0.1 0 −0.1

0

5

10

15

20

25

30

ψ

1.5

Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 tiempo [s] 0

0

5

10

15

20

25

30

Figura 3.4: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas.

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) 39 u2

u1 8.5

20 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

8 7.5

10

7

5

6.5

0

6

0

10

20

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

15

−5

30

0

10

tiempo [s]

20

30

tiempo [s]

u3

u4

200

4 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

150 100

2

50

1

0

0

−50

0

10

20

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

3

−1

30

0

10

tiempo [s]

20

30

tiempo [s]

Figura 3.5: Evolución temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica sin perturbaciones externas.

Referencia Inercia nominal

4 3.5 3

z

2.5 2 1.5 1 0.5 2 2

1 1

0 0 −1 y

−1 −2

−2

x

Figura 3.6: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas.

40

3 Estructuras de Control x 2 Referencia Inercia nominal

1 0 −1 −2

0

5

10

15 y

20

25

30

2 Referencia Inercia nominal

1 0 −1 −2

0

5

10

15 z

20

25

30

4 Referencia Inercia Nominal

3 2 1 0

0

5

10

15 tiempo [s]

20

25

30

Figura 3.7: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas.

φ 1.5 Inercia nominal 1 0.5 0 −0.5

0

5

10

15 θ

20

25

30

1 Inercia nominal 0.5 0 −0.5

0

5

10

15 ψ

20

25

30

150 Referencia Inercia nominal 100 50 0

0

5

10

15 tiempo [s]

20

25

30

Figura 3.8: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas.

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealización exacta por realimentación dinámica (Mistler et al., 2001) 41 u1

u2

12

200 Inercia nominal

Inercia nominal

11

0

10 −200 9 −400 8 −600

7 6

0

10

20

30

−800

0

10

tiempo [s]

20

30

tiempo [s]

u3

u4

200

200 Inercia nominal

Inercia nominal 0

0 −200 −200

−400 −600

−400 −800 −600

0

10

20 tiempo [s]

30

−1000

0

10

20

30

tiempo [s]

Figura 3.9: Evolución temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategia de control con linealización por realimentación dinámica con perturbaciones externas. Se puede percibir a través de las gráficas que este controlador es robusto frente a incertidumbres paramétricas, pero cuando se aplican perturbaciones externas en los momentos aerodinámicos, que pueden interpretarse como acciones de vientos que causan rotación del helicóptero, el controlador no fue capaz de rechazarlas. Esto se debe a que en la ley de control no se considera el efecto integral en los términos de rotación. En la parte de traslación, s´ı se considera el efecto integral, y como se muestra en Mistler et al. (2001), se rechazan vientos mantenidos, que se pueden considerar como fuerzas aerodinámicas.

42

3 Estructuras de Control

3.2.

Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005)

La estrategia de control que se presenta en este apartado fue elaborada en Bouabdallah y Siegwart (2005). Se trata de utilizar la técnica de Backstepping para controlar el helicóptero quadrotor con objetivos de estabilización y seguimiento de trayectoria. Primero, se considera el modelo del helicóptero cuando éste ejecuta vuelo estacionario, o sea, se supone que la variación de los ángulos de Tait-Bryan es peque˜ na. As´ı, utilizando las ecuaciones de movimiento obtenidas a través de la formulación de Lagrange-Euler, aislando las aceleraciones y aplicando la aproximación del peque˜ no ángulo al sistema de rotación (cos φ ≈ cos θ ≈ cos ψ ≈ 1, sin φ ≈ φ, sin θ ≈ θ, sin ψ ≈ ψ) se obtiene el siguiente modelo:

 x¨ = m1 (cos ψ sin θ cos φ + sin ψ sin φ) U1 + Amx     y¨ = m1 (sin ψ sin θ cos φ − cos ψ sin φ) U1 + Amy     z¨ = −g + 1 (cos θ cos φ) U1 + Az m m JR Ω ˙ zz ) ˙ ˙ l θ ψ − θ + φ¨ = (IyyI−I U + IAxxp 2  Ixx Ixx xx   xx ) ˙ ˙ l  θ¨ = (IzzI−I φψ + JIRyyΩ φ˙ + Iyy U3 + IAyyq   yy   ¨ (Ixx −Iyy ) ˙ ˙ φ= θ φ + 1 U4 + Ar Izz

Izz

(3.9)

Izz

Para dise˜ nar el controlador se reescribe el sistema (3.9) en la forma de espacio de ˙ estados X = f(X, U) introduciendo X = (x1 . . . x12 ) como el vector de estados del sistema, siendo:

x1 x2 x3 x4 x5 x6

=φ = x˙ 1 = φ˙ =θ = x˙ 3 = θ˙ =ψ = x˙ 5 = ψ˙

x7 = z x8 = x˙ 7 = z˙ x9 = x x10 = x˙ 9 = x˙ x11 = y x12 = x˙ 11 = y˙

A partir de (3.9) y con el nuevo vector de estados se puede escribir el sistema de la

3.2 Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005)

43

siguiente forma: 

         ˙ X = f (X, U) =          

con:

a1 a2 a3 a3 a5

x2 x4 x6 a1 + x4 a2 Ω + b1 U2 x4 x2 x6 a3 + x2 a4 Ω + b2 U3 x6 x4 x2 a5 + b3 U4 x8 −g + (cos x1 cos x3 ) Um1 x10 ux Um1 x12 uy Um1

                   

(3.10)

= (Iyy − Izz )/Ixx b1 = l/Ixx = −JR /Ixx b2 = l/Iyy = (Izz − Ixx )/Iyy b3 = 1/Izz = JR /Iyy = (Ixx − Iyy )/Izz

(3.11)

ux = (cos x5 sin x3 cos x1 + sin x5 sin x1 ) uy = (sin x5 sin x3 cos x1 − cos x5 sin x1 )

(3.12)

Esto es u ´til para ver que el sistema de rotación no depende de las componentes de traslación, como ya se hab´ıa comentado anteriormente. Por otro lado, las traslaciones dependen de los ángulos. Se puede imaginar el sistema completo descrito por (3.10) constituido por dos sub-sistemas, el de rotaciones angulares y el de traslaciones lineales, conforme Figura 3.10.

Quad-Rotor Backstepping Traslación

φr , θ r

x

U1

x

xr , yr , zr

Subsistema de rotación

φ

G.Tray.

U2

ψr Backstepping Rotación

Subsistema de traslación

U3 U4

φ θ

x, y, z

y

φ ,θ ,ψ

y z

z

θ ψ ψ

Figura 3.10: Estructura de control Backstepping.

φ ,θ ,ψ

44

3 Estructuras de Control

3.2.1.

Control Backstepping del sub-sistema de rotaci´ on

Utilizando la técnica de Backstepping se puede dise˜ nar la ley de control forzando al sistema a seguir la trayectoria de referencia. Para ello, como primer paso se define el error de seguimiento como sigue (Bouabdallah y Siegwart, 2005): z1 = x1d − x1

(3.13)

Seg´ un el teorema de Lyapunov, y considerando que la función Lyapunov V (z1 ) presentada a continuación es definida positiva y su derivada con respecto al tiempo es semidefinida negativa: 1 V (z1 ) = z12 (3.14) 2 V˙ (z1 ) = z1 (x˙ 1d − x2 ) (3.15) la estabilización de z1 puede ser obtenida introduciendo la siguiente entrada de control virtual x2 : x2 = x˙ 1d + α1 z1 (3.16) con α1 > 0. La derivada de la función de Lyapunov se escribe como: V˙ (z1 ) = −α1 z12

(3.17)

permitiendo proseguir con un cambio de variables realizando: z2 = x2 − x˙ 1d − α1 z1

(3.18)

Para anular este nuevo error, se realizará un segundo paso considerando la siguiente función de Lyapunov aumentada: 1 V (z1 , z2 ) = (z12 + z22 ) 2

(3.19)

donde su derivada temporal viene dada por: V˙ (z1 , z2 ) = z2 (a1 x4 x6 + a2 x4 Ω + b1 U2 ) − z2 (¨ x1d − α1 (z2 + α1 z1 )) − z1 z2 − α1 z12

(3.20)

Por lo tanto, si se considera la referencia en aceleración nula (¨ x1d = 0), se obtiene la siguiente se˜ nal de control U2 , satisfaciendo V˙ (z1 , z2 ) < 0: U2 = con

1 (z1 − a1 x4 x6 − a2 x4 Ω − α1 (z2 + α1 z1 ) − α2 z2 ) b1

z1 = x1d − x1 z2 = x2 − x˙ 1d − α1 z1

(3.21)

3.2 Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005)

45

que estabiliza el sistema aumentado, ya que con esta se˜ nal de control se obtiene que: V˙ (z1 , z2 ) = −α1 z12 − α2 z22 < 0

(3.22)

Nótese cómo el término α2 z2 con α2 > 0 se a˜ nade para estabilizar z1 . Se realizan los mismos pasos para obtener U3 y U4 : 1 (z3 − a3 x2 x6 − a4 x2 Ω − α3 (z4 + α3 z3 ) − α4 z4 ) b2 1 U4 = (z5 − a5 x2 x4 − α5 (z6 + α5 z5 ) − α6 z6 ) b3  z3 = x3d − x3    z4 = x4 − x˙ 3d − α3 z3 z5 = x5d − x5    z6 = x6 − x˙ 5d − α5 z5

U3 =

con

3.2.2.

(3.23) (3.24)

Control Backstepping del sub-sistema de traslaci´ on

Control de altura La entrada de control de la altura U1 se logra usando la misma técnica presentada en la sección anterior: m U1 = (z7 + g − α7 (z8 + α7 z7 ) − α8 z8 ) (3.25) cos x1 cos x3 con z7 = x7d − x7 z8 = x8 − x˙ 7d − α7 z7 Control del movimiento lineal en el plano xy El modelo (3.9) refleja que el movimiento a través de los ejes x e y depende de la entrada de control U1 . De hecho U1 es el vector de empuje total, dise˜ nado para obtener el movimiento lineal deseado. Si se considera ux y uy las orientaciones de U1 responsables del movimiento a través de los ejes x e y, respectivamente, se puede sacar de (3.12) los ángulos de balanceo, φ, y de cabeceo, θ, necesarios para calcular las se˜ nales de control ux ˙ y uy , satisfaciendo V (z1 , z2 ) < 0. m ux = (z9 − α9 (z10 + α9 z9 ) − α10 z10 ) (3.26) U1 m uy = (z11 − α11 (z12 + α11 z11 ) − α12 z12 ) (3.27) U1

46

3.2.3.

3 Estructuras de Control

Resultados de simulaci´ on

Los resultados presentados en este apartado sirven para analizar la estrategia de control propuesta en Bouabdallah y Siegwart (2005). La trayectoria de referencia, condiciones iniciales y parámetros del helicóptero son los mismos presentados en el caso anterior. Se presentan nuevamente dos resultados, en el primero se considera la incertidumbre de ±20 % en los parámetros de inercia del modelo, sin tener en cuenta perturbaciones externas. La segunda simulación se realizó también considerando incertidumbres paramétricas, y además, se consideraron perturbaciones externas, donde se aplicaron escalones mantenidos en los momentos aerodinámicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm y en t = 15s se afectó al sistema con Ap = 10Nm. Los parámetros de los controladores se ajustaron con los siguientes valores: α1 = 100, α2 = 1, α3 = 100, α4 = 1, α5 = 100, α6 = 1, α7 = 100, α8 = 3, α9 = 15, α10 = 3, α11 = 15 y α12 = 3. En las Figuras 3.11-3.17 se presentan los resultados obtenidos para la estrategia de control en cuestión.

Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20% 6 5

z

4 3 2 1 0 1 1

0.5 0.5

0 0 −0.5 y

−0.5 −1

−1

x

Figura 3.11: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas.

3.2 Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005)

47

x 1 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 y

25

30

35

40

1 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 z

25

30

35

40

6 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.12: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas. φ 0.6 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.4 0.2 0 −0.2

0

5

10

15

20 θ

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0 −0.5

0

5

10

15

20 ψ

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.13: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas.

48

3 Estructuras de Control u1

u2

120

2500 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

100

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

2000 1500

80

1000 60 500 40

0

20 0

−500 0

10

20 tiempo [s]

30

40

−1000

0

10

20 tiempo [s]

u3

30

40

u4

8000

600 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

6000

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

400

4000 200 2000 0

0 −2000

0

10

20 tiempo [s]

30

−200

40

0

10

20 tiempo [s]

30

40

Figura 3.14: Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping sin perturbaciones externas. x 2000 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0 −2000 −4000

0

5

10

15

20 y

25

30

35

40

5000 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0 −5000 −10000 −15000

0

5

10

15

20 z

25

30

35

40

6 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.15: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping con perturbaciones externas.

3.2 Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005)

49

φ 2 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0 −1 −2

0

5

10

15

20 θ

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0 −0.5

0

5

10

15

20 ψ

25

30

35

40

8 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

6 4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.16: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping con perturbaciones externas. u1

u2

120

3000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

100

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

2000

80 1000 60 0 40 −1000

20 0

0

10

4

1.5

20 tiempo [s]

30

40

−2000

0

10

u3

x 10

20 tiempo [s]

30

40

u4 600 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

400 200

0 0 −0.5 −200

−1

−400

−1.5 −2

0

10

20 tiempo [s]

30

40

−600

0

10

20 tiempo [s]

30

40

Figura 3.17: Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando la técnica de Backstepping con perturbaciones externas. A través de las gráficas obtenidas con la estrategia de control presentada en este apartado se observa un buen funcionamiento del helicóptero para el problema de seguimiento de trayectoria cuando se consideran incertidumbres en los parámetros del sistema. Sin embargo, cuando se aplicaron perturbaciones externas mantenidas, el controlador no fue capaz de rechazarlas.

50

3 Estructuras de Control

Como se muestra en las Figuras 3.15-3.17, el helicóptero se hace inestable y diverge de la trayectoria de referencia. Cabe destacar que las perturbaciones introducidas en la simulación son momentos aerodinámicos. No se consideraron perturbaciones en el subsistema de traslación.

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a)

3.3.

51

Control Backstepping /H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a)

En este apartado se desarrolla una estrategia de control que tiene como objetivo estabilizar de forma robusta el subsistema de rotación, siendo capaz de mantener el buen funcionamiento del helicóptero cuando éste está sujeto a perturbaciones que generan momentos aerodinámicos. Para ello se utiliza una ley de control H∞ no lineal que es robusta ante la presencia de incertidumbres y capaz de rechazar perturbaciones mantenidas. Una vez estabilizado el subsistema de rotación, se implementará el controlador del subsistema de traslación lineal desarrollado en el Apartado 3.2.2. En el diagrama de bloques de la Figura 3.18 se representa la estructura de control en cuestión.

H∞

Figura 3.18: Estructura de control Backstepping/H∞ no lineal.

Para desarrollar el controlador se utiliza el modelo obtenido v´ıa la formulación de Lagrange-Euler presentado en el cap´ıtulo 2. A continuación se expone una breve introducción de la teor´ıa de control H∞ no lineal aplicada a sistemas mecánicos totalmente actuados, y después se presenta el controlador desarrollado para la estabilización del helicóptero quadrotor.

52

3.3.1.

3 Estructuras de Control

Control H∞ no lineal

La ecuación dinámica de un sistema mecánico suave de orden n, que se ve afectado por una perturbación desconocida, puede ser la siguiente: x˙ = f(x, t) + g(x, t)u + k(x, t)ω ,

(3.28)

donde u ∈ ℜp es el vector de entradas de control, ω ∈ ℜq es el vector de perturbaciones externas y x ∈ ℜn es el vector de estados. El desempe˜ no puede ser definido usando la (m+p) variable de coste z ∈ ℜ dada por la expresión: h(x) z=W , (3.29) u donde h(x) ∈ ℜm representa el vector objetivo cuya magnitud se desea controlar, y W ∈ ℜ(m+p)×(m+p) es una matriz de ponderación. Si los estados x son accesibles, entonces se puede formular el problema H∞ óptimo de la forma (van der Schaft, 1992): Hallar el m´ınimo valor de γ ∗ ≥ 0 tal que para cualquier γ ≥ γ ∗ exista una realimentación de estado u = u(x, t), tal que la ganancia L2 de ω a z sea menor o igual que γ, esto es: Z Z T

0

kzk22 dt

T

≤γ

2

0

kωk22 dt .

(3.30)

El término interno de la integral de la izquierda en la desigualdad (3.30) puede ser escrito como: T T h(x) 2 T T kzk2 = z z = h (x) u W W u y la matriz simétrica definida positiva WT W puede ser particionada como: Q S T W W= ST R

(3.31)

Las matrices Q y R son simétricas y definidas positivas y el hecho de que WT W > 0 garantiza que Q − SR−1 ST > 0. Bajo estas hipótesis, se puede calcular una se˜ nal de control óptima u∗ (x, t) para el sistema (3.28) si existe una solución suave V (x, t), con V (x0 , t) ≡ 0 para t ≥ 0, para la siguiente ecuación de HJBI (van der Schaft, 2000): ∂V ∂T V 1 ∂T V 1 ∂V T −1 T + f(x, t) + k(x, t)k (x, t)−g(x, t)R g (x, t) − 2 ∂t ∂x 2 ∂x γ ∂x (3.32) T ∂ V 1 − g(x, t)R−1 ST h(x) + hT (x) Q − SR−1 ST h(x) = 0 ∂x 2

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a)

53

p para cada γ > σmáx (R) ≥ 0, donde σmáx significa el máximo valor singular. En tal caso, la ley de control óptimo por realimentación de estados se obtiene como sigue (W. Feng and I. Postlethwaite , 1994): ∂V (x, t) T T ∗ −1 S h(x) + g (x, t) u = −R . (3.33) ∂x Control H∞ no lineal del sub-sistema de rotaci´ on El controlador H∞ no lineal se utiliza el modelo dinámico para los movimientos de rotación (2.42) obtenido a partir de la formulación de Lagrange-Euler en el Cap´ıtulo 2, donde τη representa los pares de control y perturbaciones externas. En aras de la claridad, τη se puede redefinir como: τη = τηa + τηd donde τηa representa el vector de pares de control respecto a los momentos de balanceo, cabeceo y gui˜ nada, y τηd representa el resto de la perturbaciones a las cuales está sujeto el sistema. Como primer paso para dise˜ nar la ley de control, se define el vector del error de seguimiento de la siguiente forma:     η˙ − η˙ d η˜˙ x ˆ =  R η˜  =  R η − η d  (3.34) d η − η dt η˜dt donde η d y η˙ d ∈ ℜn representa la posición de la trayectoria deseada y la velocidad de la misma, respectivamente. Nótese que en el vector del error se ha incluido un término integral que permitirá lograr un error nulo en régimen permanente ante perturbaciones mantenidas aplicadas al sistema (Ortega et al., 2005). Para el sub-sistema de rotación se propone la siguiente ley de control: ˆ˙ + C(η, η)Tˆ ˙ x + T1 −1 u η + C(η, η) ˙ η˙ − T1 −1 M(η)Tx τηa = M(η)¨

(3.35)

Esta ley de control se puede separar en tres partes: la primera de ellas, consistente en los dos primeros términos de la ecuación, está destinada a compensar la dinámica del sistema (2.42). La segunda parte consiste en los términos que incluyen el vector del error x ˆ y su ˙ derivada, x ˆ. En caso de que τηd ≡ 0, estos dos términos de la ley de control permitir´ıan un seguimiento perfecto, lo cual significa que ellos representan el esfuerzo de control principal necesario para ejecutar la tarea. Finalmente, el tercer término incluye un vector u que representa el esfuerzo de control adicional necesario para rechazar perturbaciones (Ortega et al., 2005).

54

3 Estructuras de Control

En este punto hay que hacer notar que, a pesar de que la ley de control anterior pueda parecer un sistema mal planteado, posteriormente se mostrará (ver ecuación (3.42)) que el par que se calcula no depende de la aceleración de las coordenadas generalizadas, aunque s´ı de la referencia de aceleración. La matriz T en (3.35) se puede dividir en los siguientes términos: T=

T1 T2 T3

con T1 = ρI, donde ρ es un escalar positivo e I es la matriz identidad de orden n. Sustituyendo la ecuación de la ley de control (3.35) en la ecuación de Lagrange-Euler que representa al sistema (2.42), y definiendo ω = M(η)T1 M−1 (η)τηd , se tiene: M(η)Tx ˆ˙ + C(η, η)Tˆ ˙ x=u+ω

(3.36)

Esta ecuación representa la ecuación dinámica del error del sistema. Teniendo en cuenta esta ecuación no lineal, el problema de control H∞ no lineal se puede formular como sigue: “Hallar una ley de control u(t) tal que la relación entre la energ´ıa de la variable de T y la energ´ıa de las se˜ nales de perturbación ω sea menor que coste z = W hT(ˆ x) uT un nivel de atenuación preestablecido γ”. Teniendo en cuenta la definición del vector de error, x ˆ, y la definición de la variable de coste, z, se consideran las siguientes estructuras para las matrices Q y S en (3.31):     Q1 Q12 Q13 S1 Q =  Q12 Q2 Q23  , S =  S2  . Q13 Q23 Q3 S3 Para aplicar los resultados teóricos presentados en el Apartado 3.3.1 es necesario reescribir la ecuación dinámica no lineal del error (3.36) en la forma normal del problema H∞ no lineal (véase ecuación (3.28)). Esto puede ser realizado mediante las siguientes transformaciones: x ˆ˙ = f(ˆ x, t) + g(ˆ x, t)u + k(ˆ x, t)ω , (3.37)   −M(η)−1 C(η, η) ˙ 0 0 T1 −1 I − T1 −1 T2 −I + T1 −1 (T2 − T3 )  T0 , f (ˆ x, t) = T0 −1  0 I −I  M(η)−1  0 g (ˆ x, t) = k (ˆ x, t) = T0 −1  0 

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a) donde I es la matriz identidad, 0 una matriz de  T1 T2  0 I T0 = 0 0

55

ceros, ambos de orden n, y  T3 I  . I

(3.38)

Como se expuso en el Apartado 3.3.1, la solución de la ecuación de HJBI depende de la elección de la variable de coste, z, y particularmente de la elección de la función h(ˆ x) (ver (3.29)). En este trabajo, esta función se considera igual al vector de error, esto es, h(ˆ x) = x ˆ. Una vez elegida esta función, para calcular la ley de control, u, hay que encontrar la solución, V (ˆ x, t), para la ecuación de HJBI (3.32) planteada en el apartado anterior. El siguiente teorema ayudará a hallar esta solución. Teorema: Sea V (ˆ x, t) la función escalar:  M(η) 0 0 1 T T  V (ˆ x, t) = x ˆ T0  0 Y X−Y 2  0 X−Y Z+Y



  ˆ  T0 x 

,

(3.39)

donde X, Y y Z ∈ ℜn×n son matrices constantes, simétricas, y definidas positivas tal que h i Z − XY−1 X + 2X > 0, y T0 es como definido en (3.38). Sea T = T1 T2 T3 la matriz que aparece en (3.36). Si estas matrices verifican la siguiente ecuación:   0 Y X   T −1 T 1 T   T S +T =0  Y 2X Z + 2X  + Q + 2 T T − S + T R γ   X Z + 2X 0

(3.40)

entonces, la función V (ˆ x, t) constituye una solución para la ecuación de HJBI (3.32), para un valor suficientemente alto de γ. La demostración de este teorema puede encontrarse en Ortega et al. (2005). ⋄ La matriz T = T1 T2 T3 puede ser calculada resolviendo algunas ecuaciones algebraicas de Riccati (ver (Ortega et al., 2005)). Una vez calculada la matriz T, sustituyendo V (ˆ x, t) en (3.33), la ley de control u∗ correspondiente al ´ındice óptimo γ, seg´ un el criterio de la ganancia L2 , viene dada por la expresión: u∗ = −R−1 ST + T x ˆ (3.41)

56

3 Estructuras de Control

Finalmente, si se sustituye la ley de control (3.41) en (3.35), y tras realizar algunas manipulaciones matemáticas, la ley de control óptima puede ser reescrita como:

τη∗a donde:

Z = M(η)¨ η + C(η, η) ˙ η˙ − M(η) KD η˜˙ + KP η˜ − KI η˜dt d

KD = T1 −1 T2 + M(η)−1 C(η, η)T ˙ 1 + M(η)−1 R−1 S1 T + T1 KP = T1 −1 T3 + M(η)−1 C(η, η)T ˙ 2 + M(η)−1 R−1 S2 T + T2 KI = −T1 −1 M(η)−1 C(η, η)T ˙ 3 + M(η)−1 R−1 S3 T + T3

(3.42)

Se puede obtener un caso particular cuando las submatrices de ponderación que componen WT W verifiquen (Ortega et al., 2005): Q1 = ω12 I,

Q2 = ω22 I,

Q12 = Q13 = Q23 = 0,

Q3 = ω32 I,

R = ωu2 I,

(3.43)

S1 = S2 = S3 = 0.

En este caso, se obtienen las siguientes expresiones anal´ıticas para las distintas ganancias: p ω22 + 2ω1 ω3 1 −1 KD = C(η, η) ˙ + 2I , I + M(η) ω1 ωu ω3 KP = I + ω1

p ω22 + 2ω1 ω3 1 −1 C(η, η) ˙ + 2I , M(η) ω1 ωu

1 ω3 −1 C(η, η) ˙ + 2I . KI = M(η) ω1 ωu Estas ecuaciones tienen una propiedad importante: las expresiones de las ganancias no dependen del parámetro γ. Por lo tanto, para este caso particular, se dispone de expresiones anal´ıticas para calcular la solución óptima (Ortega et al., 2005). Finalmente, es conveniente se˜ nalar que el controlador presentado en este trabajo puede ser interpretado como un esquema de control de par calculado, con un controlador H∞ no lineal externo.

3.3.2.

Resultados de simulaci´ on

Para corroborar la eficacia de la estructura de control propuesta utilizando el controlador basado en la técnica Backstepping junto con el controlador H∞ no lineal para

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a)

57

el problema de seguimiento de trayectoria, considerando la presencia de perturbaciones externas e incertidumbres paramétricas, se han realizado dos conjuntos de simulaciones, como para los casos anteriores. La trayectoria de referencia, condiciones iniciales, parámetros del helicóptero y tasas de incertidumbres en los parámetros son los mismos que se utilizaron en los demás casos previamente presentados. La primera simulación se ha realizada sin considerar perturbaciones externas. En la segunda simulación se ha considerado perturbaciones externas, donde se han aplicado escalones mantenidos en los momentos aerodinámicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm, en t = 15s se afectó al sistema con Ap = 10Nm, y en t = 25s se aplicó la u ´ltima perturbación con amplitud de Aq = 10Nm. Los parámetros del controlador descrito en el Apartado 3.2.2 se han ajustado con los siguientes valores: α7 = 100, α8 = 3, α9 = 15, α10 = 3, α11 = 15 y α12 = 3. Mientras el controlador H∞ no lineal se ha sintonizado con las siguientes ganancias: ω1 = 1,9, ω2 = 3,0, ω3 = 2,5 y ωu = 0,02 En las Figuras 3.19-3.26 se presentan los resultados obtenidos para la estrategia de control propuesta. Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20% 5.5 5 4.5 4 3.5 z [m]

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 0 −0.5 y [m]

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

Figura 3.19: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

58

3 Estructuras de Control x 1 Reference Nominal inertia Inertia +20% Inertia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 y

25

30

35

40

1 Reference Nominal inertia Inertia +20% Inertia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 z

25

30

35

40

6 Reference Nominal inertia Inertia +20% Inertia −20%

4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.20: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. φ [rad] 0.6 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.4 0.2 0 −0.2

0

5

10

15

20 θ [rad]

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0 −0.5

0

5

10

15

20 ψ [rad]

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.21: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a) u1

59

u2

120

12000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

100

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

10000 8000

80

6000 60 4000 40

2000

20 0

0 0

10

4

4

20 tiempo [s]

30

40

−2000

10

20 tiempo [s]

u3

x 10

30

40

u4 4000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

3

2000

1

1000

0

0

0

10

20 tiempo [s]

30

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

3000

2

−1

0

40

−1000

0

10

20 tiempo [s]

30

40

Figura 3.22: Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20% 5.5 5 4.5 4 3.5 3 z [m] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.6 0.4

0.6

0.2

0.4 0 −0.2 −0.4 −0.6 y [m]

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

x [m]

Figura 3.23: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.

60

3 Estructuras de Control x 1 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 y

25

30

35

40

1 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 z

25

30

35

40

6 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.24: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. φ [rad] 0.6 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.4 0.2 0 −0.2

0

5

10

15

20 θ [rad]

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0 −0.5

0

5

10

15

20 ψ [rad]

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia Nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.25: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a) u1

61

u2

120

12000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

100

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

10000 8000

80

6000 60 4000 40

2000

20 0

0 0

10

4

4

20 tiempo [s]

30

40

−2000

20 tiempo [s]

30

40

u4 4000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

2000

1

1000

0

0

10

20 tiempo [s]

30

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

3000

2

0

10

u3

x 10

3

−1

0

40

−1000

0

10

20 tiempo [s]

30

40

Figura 3.26: Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. Se puede notar que la estrategia de control propuesta utilizando el controlador H∞ no lineal en el sub-sistema de rotación presenta un buen desempe˜ no cuando el helicóptero recibe vientos permanentes actuando como momentos sobre el mismo. La estructura aplicada mantuvo la robustez, presentada en la estrategia anterior, ante incertidumbres paramétricas.

62

3.4.

3 Estructuras de Control

CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

En este apartado se desarrolla una estructura de control para el problema seguimiento de trayectoria del helicóptero quadrotor utilizando una estrategia de control predictivo basado en modelo para el sub-sistema de traslación, en cascada con el controlador H∞ no lineal para el sub-sistema de rotación, presentado en el Apartado 3.3.1 (véase la Figura 3.27).

H∞

Figura 3.27: Estructura de control CPBM con H∞ no lineal. El control del sub-sistema de traslación lineal se realiza mediante una estrategia de control predictivo lineal que utiliza linealizaciones sucesivas para obtener el modelo del error en cada paso de muestreo. Esta estrategia es ventajosa cuando el helicóptero recorre un trayecto previamente calculado, as´ı, como se destaca en Camacho y Bordons (1998), el control predictivo es bastante favorable en robótica y en procesos en lote, cuando la trayectoria de referencia futura es conocida a priori. A continuación se presenta el controlador predictivo utilizado para el seguimiento de trayectoria aplicado al helicóptero quadrotor.

3.4.1.

Estrategia de CPBM para seguimiento de trayectoria

El controlador que se desarrolla aqu´ı utiliza el método de cpbm lineal en espacio de estados a través del modelo del error, el cual se obtiene realizando linealizaciones sucesivas

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

63

a lo largo de la trayectoria de referencia. Se sintetizan dos controladores predictivos para el sub-sistema de traslación. En el primer paso se controla la altura a través de la entrada U1 , mientras que en el segundo paso se utiliza esta se˜ nal como parámetro variante con el tiempo para calcular las entradas virtuales para el movimiento lineal en el plano xy. Antes de desarrollar el controlador para el helicóptero se introduce el concepto del método de cpbm lineal en espacio de estados.

Control predictivo utilizando espacio de estados Considerando que la referencia es conocida en cualquier instante futuro de la trayectoria, es posible, a través de linealizaciones sucesivas a lo largo de la trayectoria de referencia, obtener una descripción lineal y variante en el tiempo del modelo del sistema (Raffo, 2005). As´ı, el modelo en espacio de estados discreto y variante en el tiempo usado por el algoritmo en cuestión para obtener las predicciones futuras está dado por: x(k + 1) = A(k) · x(k) + B(k) · u(k) . y(k) = C(k) · x(k)

(3.44)

Por lo tanto, considerando el sistema de arriba y los horizontes de predicción, N2 , y de control, Nu , las predicciones de los estados están descritas como sigue (Rossiter, 2003): ˆ = Px (k|k) · x(k|k) + Hx (k|k) · u x , ˆ = P(k|k) · x(k|k) + H(k|k) · u y

con x(k + 1|k) x(k + 2|k) .. .

   ˆ= x   x(k + N2 − 1|k) x(k + N2 |k) ∆

y





    ,  



   Px (k|k) =   

B(k|k) A(k + 1|k) · B(k|k) .. .

   Hx (k|k) =    α(k, 1, 2) · B(k|k) α(k, 1, 1) · B(k|k) ∆

y(k + 1|k) y(k + 2|k) .. .

   ˆ= y   y(k + N2 − 1|k) y(k + N2 |k) ∆

∆







    ,  

A (k |k ) A (k |k ) A (k + 1 |k ) .. . α(k, 0, 2) α(k, 0, 1) 0 B(k + 1|k) .. .

(3.45) 

u(k|k) u(k + 1|k) .. .

   u=   u(k + Nu − 2|k) u(k + Nu − 1|k) ∆

      



    ,   ··· ··· .. .

0 0 .. .

α(k, 2, 2) · B(k + 1|k) · · · 0 α(k, 2, 1) · B(k + 1|k) · · · B(k + Nu − 1|k)



    ,  

64

3 Estructuras de Control

donde α(k, j, l) está definido como: ∆

α(k, j, l) =

N 2 −l Y

A(k + i|k) .

(3.46)

i=j

Estas ecuaciones de predicción no consideran el modelo de perturbación de forma expl´ıcita. Sin embargo, la acción integral puede ser incluida en el modelo para garantizar error nulo en régimen permanente de la siguiente manera: u = −K(ˆ x − xr ) + ur ,

(3.47)

donde xr y ur son, respectivamente, los valores de referencia calculados fuera de l´ınea de los estados y entradas de control, y están definidos por:     xr (k + 1|k) ur (k|k)     xr (k + 2|k) ur (k + 1|k)     ∆  ∆    .. .. xr =  , u =    . r . .      xr (k + N2 − 1|k)   ur (k + Nu − 2|k)  xr (k + N2 |k) ur (k + Nu − 1|k) As´ı, dada una ley de control que garantice que x(k) = xr (k) , l´ım u(k) = ur (k) k→∞ entonces y(k) = yr (k), donde yr es la trayectoria de referencia. Usando la ecuación de predicción (3.45) y considerando que los estados y entradas de referencia son conocidos se puede asegurar que el m´ınimo de la función de coste, dada por (3.48), es consistente con error cero de seguimiento (Rossiter, 2003), donde se minimiza la función de coste en forma de una norma-2 ponderada por Q y R: J=

N2 X j=1

kyr (k + j|k) − yˆ(k +

j|k)k2Q

+

N u −1 X j=0

ku(k + j|k) − ur (k + j|k)k2R .

(3.48)

Se acepta frecuentemente que la función de coste es consistente con error cero de seguimiento, teniendo que Q agrega términos de la forma C′ C, donde yr − y = C(xr − x). La función de coste (3.48) puede ser escrita y optimizada de la siguiente forma: m´ın J = [ˆ x − xr ]′ Q [ˆ x − xr ] + [u − ur ]′ R [u − ur ] , u

(3.49)

´ la cual penaliza los desv´ıos a partir del valor de régimen permanente. Esta difiere de la función del gpc (Generalized Predictive Control), pues optimiza la distancia de las

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

65

entradas al valor de régimen permanente, al revés de los incrementos de la se˜ nal de control. Las matrices de ponderación de los estados, Q, y de las entradas, R, son positivas definidas y diagonales (Rossiter, 2003). En ausencia de restricciones en los estados y en el control, la ley de control puede ser obtenida de forma algebraica minimizando la función de coste (3.49), la cual resulta ser una realimentación de estados, dada por: −1

u = [H′x · Q · Hx + R]

· [H′x · Q · (xr − Px · x(k)) + R · ur ] .

(3.50)

Debido a la caracter´ıstica de horizonte deslizante del cpbm, solamente u(k) es necesario en cada instante k (Camacho y Bordons, 1998).

CPBM utilizando modelo del error para movimiento lineal en el plano xy En el primer paso se define el modelo del error para las dinámicas de traslación del helicóptero quadrotor. Para obtenerlo se considera la existencia de un helicóptero de referencia virtual sobre la trayectoria a seguir, la cual será descrita por el mismo modelo del veh´ıculo, en el caso, el modelo de traslación. Para esto, se considera que la trayectoria de referencia se obtiene fuera de l´ınea y var´ıa con el tiempo. El objetivo de utilizar esta estrategia, para entradas de referencia no-nulas, es calcular una ley de control lineal que haga que el error entre el veh´ıculo y la referencia sea nulo (Nelson y Cox, 1988). Como el controlador predictivo será usado sólo para el control de los movimientos de traslación, se utiliza el modelo descrito por la ecuación (2.41) considerando las fuerzas aerodinámicas nulas. Este sub-sistema se reescribe de la forma del espacio de estados x ˆ˙ (t) = f(ˆ x(t), u ˆ(t)), donde x ˆ(t) = [z(t) w0 (t) x(t) u0 (t) y(t) v0 (t)]T . A través de un cambio de variables se suponen entradas virtuales de control para el movimiento lineal en el plano xy, y el sistema (2.41) con el nuevo vector de estados se puede escribir de la siguiente forma:   w0 (t) U (t)    −g + (cos θ(t) cos φ(t)) 1   m    u0 (t)    x ˆ˙ (t) = f(ˆ x(t), u ˆ (t)) =  (3.51) U (t) 1   u (t) x   m     v0 (t)   U1 (t) uy (t) m con: ux (t) = (cos ψ(t) sin θ(t) cos φ(t) + sin ψ(t) sin φ(t)) (3.52) uy (t) = (sin ψ(t) sin θ(t) cos φ(t) − cos ψ(t) sin φ(t))

66

3 Estructuras de Control

A partir de (2.41) se puede ver que el movimiento a través de los ejes x y y dependen de la entrada U1 . De hecho, U1 es el vector de empuje total designado a obtener el movimiento de traslación deseado. As´ı, ux y uy se puede considerar como las orientaciones de U1 responsables de los movimientos a través de los ejes x y y, respectivamente. Para obtener el modelo del error se define un robot de referencia con el mismo modelo del veh´ıculo:   w0ref (t)    −g + (cos θ(t) cos φ(t)) U1ref (t)    m     u (t) 0 ref   x ˆ˙ ref (t) = f(ˆ xref (t), u ˆref (t)) =  (3.53)  U1 (t)   u (t) x ref   m   v (t)  0ref    U1 (t) uyref (t) m donde x ˆ˙ ref (t) = [zref (t) w0ref (t) xref (t) u0ref (t) yref (t) v0ref (t)]T y u ˆref (t) = T [U1ref uxref uyref ] son los estados y las entradas de control de referencia, respectivamente.

Como se puede ver, en las dinámicas de xref y yref no se utiliza la se˜ nal de control U1ref , pues con el procedimiento utilizado, que será presentado a continuación, la se˜ nal de control U1 viene dada por el controlador de la altura y se considera en este paso como un parámetro variante con el tiempo. Lo mismo se considera para los ángulos φ(t), θ(t), ψ(t), los cuales se suponen parámetros variantes con el tiempo. El modelo linealizado puede ser obtenido a través de un modelo del error entre el sistema (3.51) y el sistema de referencia (3.53). Para ello, se expande el término derecho de la ecuación (3.51) a través de Series de Taylor en torno a un punto de operación de la trayectoria de referencia y se desprecian los términos de orden superior. As´ı, se tiene: ∂f(ˆ x(t), u ˆ(t), t) ˙x ˆ(t) = f(ˆ xref (t), u ˆref (t), t) + x(t) − x ˆref (t)) xˆ=ˆxref · (ˆ ∂ˆ x(t) u ˆ =ˆ uref . (3.54) ∂f(ˆ x(t), u ˆ(t), t) + u(t) − u ˆref (t)) xˆ=ˆxref · (ˆ ∂ˆ u(t) u ˆ =ˆ uref

Sustrayendo la ecuación (3.53) de la (3.54) se obtiene el modelo del error de traslación para el helicóptero propuesto: ∂f(ˆ x (t), u ˆ (t), t) ∂f(ˆ x (t), u ˆ (t), t) ·x ˜(t) + ˜(t) , (3.55) x ˜˙ (t) = xˆ=ˆxref · u x ˆ=ˆ xref ∂ˆ x(t) ∂ˆ u(t) u ˆ =ˆ uref

u ˆ =ˆ uref

donde x ˜(t) = x ˆ(t) − x ˆref (t) representa el error con respecto al modelo de referencia y

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

67

u ˜(t) = u ˆ (t) − u ˆref (t) es la perturbación de la entrada de control. As´ı,  0 1 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0   0 0 0 1 0 0 ∂f(ˆ x(t), u ˆ(t), t) A(t) = =  0 0 0 0 0 0 x ˆ=ˆ xref ∂ˆ x(t)  u ˆ =ˆ uref  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0



B(t) =

∂f(ˆ x(t), u ˆ(t), t) xˆ=ˆxref ∂ˆ u(t)

u ˆ =ˆ uref

como: 

0

      

0

 1  cos θ(t) cos φ(t) 0  m  0 0   U1 (t) = 0  m   0 0  0 0

0 0 0

(3.56)



      ,     

(3.57)

0 U1 (t) m son los jacobianos de (3.51) con respecto a x ˆ(t) y u ˆ (t), respectivamente, calculados en torno al punto (ˆ xref (t), u ˆref (t), t). El modelo del error dado por (3.55) se puede escribir de la siguiente manera: x ˜˙ (t) = A(t) · x ˜(t) + B(t) · u ˜(t) . (3.58) A través del método de discretización de Euler, se tiene el siguiente modelo discreto lineal variante con el tiempo: x ˜(k + 1) = A(k) · x ˜(k) + B(k) · u ˜(k) , con





   A(k) =    

0

1 0 0 0 0 0

T 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 T 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 T 1

0

 T  cos θ(t) cos φ(t) 0  m  0 0  B(k) =  T U 1 (t)  0  m   0 0  0 0

(3.59)

       

(3.60)

0 0 0 0



      ,     

(3.61)

0 T U1 (t) m donde T es el per´ıodo de muestreo y, como la se˜ nal de control es actualizada solamente en los instantes de tiempo tk = kT , siendo k el instante de muestreo, se denota de forma simplificada como x(k) = x(kT ) y u(k) = u(kT ).

68

3 Estructuras de Control

A partir de este análisis, el problema de seguimiento de trayectoria para un helicóptero autónomo puede ser entendido como: encontrar las entradas de control, dentro de un intervalo de valores posibles, de tal forma que permitan llevar los estados del sistema (3.58) de una condición inicial x ˜0 hasta el origen (Sun, 2005), esto es: lim x ˜=0.

t→∞

Por consiguiente, para calcular el controlador predictivo basado en el modelo del error (3.55), teniendo en cuenta que las dinámicas de traslación dependen sólo de la fuerza de empuje, U1 , éste se divide en dos sub-sistemas: el del error de altura y el del error de movimiento en el plano xy, y son dados por: 0 z˜(k) 1 1 + T x ˜z (k + 1) = U˜1 (k) (3.62) w˜0 (k) 0 T cos θ (k) cos φ (k) ref ref m 

1  0 x ˜xy (k + 1) =   0 0

T 1 0 0

0 0 1 0

 x˜(k) 0  u˜0 (k) 0   T   y˜(k) v˜0 (k) 1





0   T U1 (k) + m   0 0

 0  u˜x (k) 0   u˜y (k) 0 T U (k) m 1

(3.63)

As´ı, utilizando el modelo de la altura , se reescribe primero la ley de control predictivo descrita en (3.50) en función de (3.62): i h ˜ 1r , ˜ 1 = [Hz ′ · Qz · Hz + Rz ]−1 · Hz ′ · Qz · (˜ ˜z (k)) + Rz · U xzr − Pz · x U

(3.64)

con los errores de los estados de referencia calculados como la diferencia del valor de la referencia futura en relación al actual y, los errores de las entradas de referencia como la diferencia del valor futuro en relación al valor en el paso anterior. Por lo tanto, se tiene:   xzr (k + 1|k) − xzr (k|k)   xzr (k + 2|k) − xzr (k|k)   ∆   .. x ˜zr =   ; .    xzr (k + N2 − 1|k) − xzr (k|k)  xzr (k + N2 |k) − xzr (k|k)

˜1 U ref



U1ref (k|k) − U1ref (k − 1|k) U1ref (k + 1|k) − U1ref (k − 1|k) .. .

   =   U1ref (k + Nu − 2|k) − U1ref (k − 1|k) U1ref (k + Nu − 1|k) − U1ref (k − 1|k) ∆



    .  

A partir de (3.64) se obtiene U1 (k) = U˜1 (k) + U1ref (k), y con esto se pasa al próximo paso, donde se calculan las entradas virtuales de control para el movimiento en el plano

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

69

xy. La ley de control se obtiene con el procedimiento anterior, utilizando el modelo del error (3.63), y está dada por: −1 ˜xyr − Pxy · x ˜xy (k) + Rxy · u ˜xyr , u ˜xy = [Hxy ′ · Qxy · Hxy + Rxy ] · Hxy ′ · Qxy · x (3.65) T donde u ˜xy = [˜ ux (k) u˜y (k)] , y uxref (k) ux (k) u˜x (k) = + uyref (k) uy (k) u˜y (k) Los estados y entradas de control del error de referencia se obtienen de la misma manera que para el caso del controlador de la altura. A partir de ux (k) y uy (k), y con la relación dada por (3.52) se obtiene la referencia de los ángulos de balanceo (roll), φ(k), y cabeceo (pitch), θ(k), que son utilizados como referencia por el controlador H∞ no lineal en los movimientos de rotación del helicóptero.

3.4.2.

Resultados de simulaci´ on

Para comprobar el desempe˜ no de esta estrategia de control en la tarea de seguimiento de trayectoria, teniendo en cuenta perturbaciones externas e incertidumbres en los parámetros, se han realizado diversas simulaciones. Nuevamente se utilizó el mismo protocolo para presentar los resultados, utilizando la misma trayectoria de referencia, condiciones iniciales, parámetros del helicóptero y tasas de incertidumbres de los casos anteriores. As´ı que, la primera simulación se ha realizado sin considerar perturbaciones externas, as´ı como, la segunda simulación se consideraron perturbaciones externas, donde se aplicaron escalones mantenidos en los momentos aerodinámicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm, en t = 15s se afectó el sistema con Ap = 10Nm, y en t = 25s se aplicó la u ´ltima perturbación con amplitud de Aq = 10Nm. Se utilizaron las mismas ganancias del controlador H∞ no lineal del caso anterior: ω1 = 0,05, ω2 = 0,5, ω3 = 3,5 y ωu = 0,02. Para el cpbm se ajustaron los parámetros como sigue: 1 0 , Rz = 0,01 N2z = Nuz = 3Inz , Qz = 0 1  5 0 0 0  0 1 0 0  150 0   , Rxy = N2xy = Nuxy = 3Inxy , Qxy =  0 0 5 0  0 150 0 0 0 1 y se consideró un periodo de muestreo de T = 0,1s.

Las Figuras 3.28 - 3.35 presentan los resultados logrados a partir de la estructura de control con cpbm y H∞ no lineal.

70

3 Estructuras de Control

Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20% 5 4.5 4 3.5

z

3 2.5 2 1.5 1 0.5 1 1

0.5 0.5

0 0 −0.5

−0.5 −1

y

−1

x

Figura 3.28: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

x 1 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 y

25

30

35

40

1 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 z

25

30

35

40

6 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.29: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

71

φ 0.02 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0 −0.02 −0.04

0

5

10

15

20 θ

25

30

35

40

0.15 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.1 0.05 0 −0.05

0

5

10

15

20 ψ

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.30: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. u1

u2

25

1000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

20

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20% 500

15 10 0 5 0

0

10

20 tiempo [s]

30

40

−500

2.5 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

20 tiempo [s]

30

40

u4

x 10

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

2

1000

1.5

500

1

0

0.5

−500

0

−1000

10

4

u3 2000 1500

0

0

10

20 tiempo [s]

30

40

−0.5

0

10

20 tiempo [s]

30

40

Figura 3.31: Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

72

3 Estructuras de Control Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20% 5 4.5 4 3.5 z

3 2.5 2 1.5 1 0.5 1

1

0.5 0.5

0 0

y −0.5

x −0.5 −1

−1

Figura 3.32: Trayectoria xyz del helicóptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. x 1 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 y

25

30

35

40

1 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.5 0 −0.5 −1

0

5

10

15

20 z

25

30

35

40

6 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

4 2 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.33: Evolución temporal de la posición cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas.

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b)

73

φ 0.04 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.02 0 −0.02 −0.04

0

5

10

15

20 θ

25

30

35

40

0.15 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

0.1 0.05 0 −0.05

0

5

10

15

20 ψ

25

30

35

40

1.5 Referencia Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1 0.5 0

0

5

10

15

20 tiempo [s]

25

30

35

40

Figura 3.34: Evolución temporal de la orientación cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. u1

u2

25

1000 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

20 15

0

10

−500

5

−1000

0

0

10

20 tiempo [s]

30

40

−1500

2.5 Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

1000

0

10

4

u3 2000 1500

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

500

20 tiempo [s]

30

40

u4

x 10

Inercia nominal Inercia +20% Inercia −20%

2 1.5

500 1 0 0.5

−500

0

−1000 −1500

0

10

20 tiempo [s]

30

40

−0.5

0

10

20 tiempo [s]

30

40

Figura 3.35: Evolución temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. Se puede ver que la estrategia de control propuesta utilizando el controlador H∞ no lineal en el sub-sistema de rotación mantuvo el buen desempe˜ no del caso anterior cuando el helicóptero recibe vientos permanentes actuando como momentos sobre el mismo. En el control de los movimientos de traslación el cpbm presentó un seguimiento de la trayectoria más suave, principalmente en el inicio del trayecto, donde el helicóptero parte de

74

3 Estructuras de Control

una condición distinta de la trayectoria. Esto se puede justificar porque tal controlador considera, en el cálculo de la se˜ nal de control, la referencia futura, y as´ı, intenta predecir el camino suavizando el desplazamiento. Además, esta estructura de control también tiene una buena robustez ante incertidumbres paramétricas, al igual que la estrategia presentada anteriormente.

3.5 Control robusto H∞ de los seis grados de libertad

3.5.

75

Control robusto H∞ de los seis grados de libertad

En este apartado se presenta una estrategia de control robusto de los seis grados de libertad utilizando la teor´ıa de control H∞ para resolver el problema de seguimiento de trayectoria. Con esta estructura se busca que el sistema sea robusto ante cualquier tipo de perturbación, inclusive la mantenida, y considerando todos los parámetros con incertidumbres. Al igual que en el apartado anterior, en éste se desarrolla solamente el controlador para los movimientos de traslación lineal del helicóptero. Para esto se propone un controlador H∞ lineal con realimentación de estados v´ıa formulación de lmis, y dise˜ nado para sistemas inciertos. Para la estabilización de los movimientos rotacionales se ha utilizado el controlador H∞ no lineal v´ıa teor´ıa de juegos presentado en el Apartado 3.3 (véase la Figura 3.36).

H∞

H∞

Figura 3.36: Estructura de control robusto H∞ de los seis grados de libertad.

A continuación se hace una breve introducción del control H∞ lineal y su formulación v´ıa lmis para realimentación de estados. Para finalizar, se presentan algunos resultados de simulación.

3.5.1.

Control H∞ lineal

Se pueden describir un gran n´ umero de controladores de importancia práctica usando diagramas de bloques como se presenta en la Figura 3.37. El problema de dise˜ no del

76

3 Estructuras de Control

controlador puede ser formulado como un problema de optimización H∞ . En esta figura, P (s) es la planta generalizada, K(s) es el controlador, u son las se˜ nales de control, v las variables medibles, ω las se˜ nales exógenas y z son las variables de error de interés.

Figura 3.37: Formulación General del problema de control (Ortega y Rubio, 2004).

La norma H∞ de la función de transferencia en bucle cerrado de ω a z, Hωz , se define como la mayor ganancia de su respuesta en frecuencia. Una de las maneras de determinar la norma H∞ de un sistema nominal es a través de su respuesta en frecuencia. Para sistemas siso se puede utilizar el diagrama de Bode para obtener la máxima ganancia del sistema con respecto a todas las frecuencias. Por otra parte, en el caso mimo la idea de módulo no se aplica y debe ser sustituida por la norma espectral de la matriz de transferencia, donde la respuesta frecuencial puede ser obtenida a través de la noción de la descomposición en valores singulares. As´ı, para sistemas siso la norma H∞ puede ser descrita como el pico de resonancia de la respuesta en frecuencia, que es la mayor ganancia que el sistema es capaz de ofrecer a la se˜ nal de entrada, kHωz (s)k∞ = máx |H(jω)| = Mr . ω

(3.66)

y para sistemas mimo, a través de un diagrama de Bode que se puede obtener para la función kHωz (jω)k∞ = σ ¯ {Hωz (jω)}, la norma H∞ del sistema corresponde al máximo pico de resonancia de esa función dando origen a la función: kHωz (s)k∞ = sup σ ¯ {Hωz (jω)}

(3.67)

ω

Como ya se ha dicho, la norma H∞ de un sistema representa la mayor ganancia de su respuesta en frecuencia y también puede verse como la mayor ganancia en términos de energ´ıa que el sistema puede ofrecer a una se˜ nal de entrada. Esta interpretación es bastante u ´til y provee una definición alternativa para la norma H∞ . Por el teorema de Parseval se tiene: Z ∞ Z ∞ 1 1 2 2 kw(t)k2 = W (jω) ∗ W (jω)dω , kz(t)k2 = Z(jω) ∗ Z(jω)dω 2π 0 2π 0 donde W (jω), Z(jω) son las transformadas de Fourier de las se˜ nales ω(t), z(t). Como

3.5 Control robusto H∞ de los seis grados de libertad Z(jω) = Hωz (jω)W (jω) se tiene: Z ∞ 1 2 kz(t)k2 = W (jω) ∗ Hwz (jω) ∗ W (jω) ∗ Hwz (jω)dω 2π 0 Z ∞ 1 (¯ σ {Hwz (jω)})2 W (jω) ∗ W (jω)dω ≤ 2π 0

77

(3.68)

2 Z ∞ 1 ≤ sup σ ¯ {Hwz (jω)} W (jω) ∗ W (jω)dω 2π 0 ω Esta u ´ltima expresión se puede escribir en la siguiente forma: kz(t)k2 ≤ kHwz (s)k∞ kw(t)k2 donde se nota que la norma H∞ de un sistema también puede verse como la mayor ganancia en términos de energ´ıa que el sistema puede ofrecer a una se˜ nal de entrada. Si se elige la se˜ nal de entrada W (jω) adecuadamente puede tenerse la igualdad kz(t)k2 = kHwz (s)k∞ kw(t)k2 . Para ello basta elegir ω(t) = V0 sen(ω0 t)GT (t) donde V0 es el autovector de Hwz (jω0 )∗ Hwz (jω0 ) correspondiente a su mayor autovalor, ω0 es la frecuencia donde se da el supω σ ¯ {Hωz (jω)} y GT (t) es la función puerta que define el truncamiento de la se˜ nal para T suficientemente grande. Los elementos del vector V0 son las amplitudes de los senos de cada componente del vector ω(t). A partir de esta relación se puede definir la versión en el dominio del tiempo de la norma H∞ como (Trofino et al., 2003): kz(t)k2 kHwz (s)k∞ = sup (3.69) w6=0 kw(t)k2 El problema de control H∞ óptimo con esta configuración consiste en calcular un controlador que minimice la tasa γ entre la energ´ıa de la variable de coste z y la energ´ıa del vector de los se˜ nales exógenos ω. Este problema óptimo no está resuelto a´ un, pero la solución existe para el problema sub-óptimo (Ortega y Rubio, 2004), donde una idea muy com´ un consiste en determinar numéricamente un l´ımite superior γ para kHωz (s)k∞ utilizando la definición (3.69), o sea, se busca un escalar positivo tal que: kHwz (s)k∞ < γ .

(3.70)

Se limita el tratamiento a los controladores sub-óptimos, ya que encontrar controladores H∞ óptimos es una tarea dif´ıcil, y en la práctica, esos controladores pueden presentar propiedades indeseables y los cálculos pueden conducir a problemas numéricos (SánchezPe˜ na y Sznaier, 1998). As´ı, para el problema H∞ sub-óptimo la tasa de energ´ıa γ puede ser calculada como la norma H∞ de la matriz de transferencia en bucle cerrado de ω para z, Hωz (s), buscando

78

3 Estructuras de Control

el m´ınimo a través de un proceso iterativo (Ortega et al., 2006). Este problema se puede resolver de distintas maneras, como por ejemplo por la ecuación de Riccati, por la matriz Hamiltoniana o por lmi (Trofino et al., 2003). En este trabajo se resuelve el problema H∞ sub-óptimo a través de la formulación por lmis, que será presentada a continuación.

3.5.2.

Control H∞ con realimentaci´ on de estados v´ıa lmis

Inicialmente, se presenta cómo determinar la norma H∞ v´ıa lmi (Trofino et al., 2003). Observese que la condición deseada: sZ ∞ kz(t)k2 z(t)′ z(t) kHwz (s)k∞ = sup = sup dt < γ , (3.71) w(t)′ w(t) w6=0 kw(t)k2 w6=0 0 se puede reescribir como ya se presentó para el caso no lineal, de la siguiente forma: Z ∞ Z ∞ ′ 2 z(t) z(t)dt < γ w(t)′ w(t)dt . (3.72) 0

0

Como el sistema es exponencialmente estable y las condiciones iniciales son nulas, se considera el problema de determinar una función de Lyapunov V (x) = x(t)′ P x(t), donde la matriz P es una matriz simétrica definida positiva, tal que: V˙ (x) + z(t)′ z(t) − γ 2 w(t)′ w(t) < 0 ,

(3.73)

donde V˙ (x) es la derivada de V (x) para las trayectorias del sistema. Observese que si se encuentra V (x) que satisfaga la condición (3.73) entonces se satisface (3.71) por tanto (3.72). El interés de la condición anterior es que se puede expresar como una lmi. As´ı, para la s´ıntesis de un controlador H∞ con realimentación de estados v´ıa lmis se considera el siguiente sistema lineal: x˙ (t) = Ax (t) + Bu (t) + Bω ω (t) z (t) = Cz x (t) + Duz u (t) + Dωz ω (t) u(t) = Kx(t)

(3.74)

donde x(t) ∈ ℜn representa el vector de estados, u(t) ∈ ℜm la se˜ nal de control, A, Bu y Bω son matrices del sistema con dimensiones apropiadas, Cz , Duz y Dωz son matrices de ponderación con dimensiones apropiadas y K es una matriz de ganancia del controlador a ser determinada. En bucle cerrado el sistema (3.74) se queda: x˙ (t) = (A + BK) x (t) + Bω ω (t) z (t) = (Cz + Duz K) x (t) + Dωz ω (t)

(3.75)

3.5 Control robusto H∞ de los seis grados de libertad

79

Utilizando la expresión (3.73), poniendo el sistema (3.75) en esta formulación, utilizando el complemento de Schur y algunos cambios de variables, entonces la norma H∞ del sistema (3.75) está dada por el siguiente problema de optimización:  Q > 0,      ′ AQ + QA′ + BY + Y ′ B ′ Bω QCz′ + Y ′ Dωz m´ın γ : ′  0,      A(δ)Q + QA(δ)′ + B(δ)Y + Y ′ B(δ)′ ∗ ∗ m´ın γ :  ∗  0,       A(v1 )Q + QA(v1 )′ + B(v1 )Y + Y ′ B(v1 )′ ∗ ∗      ∗ 

Tesis Master GuilhermeRaffo

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