Tesis Completa Guerrero Anagua Ivan Franklin

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS DE SECCIÓNES CAJÓN Y VIGAS BPR EN PUENTES CURVOS A TRAVÉS DE ESTUDIOS Y COMPARACIONES EN RADIOS DE CURVATURA DE 50 – 100 M.

PROYECTO DE GRADO, PRESENTADO PARA OPTAR AL DIPLOMA ACADEMICO DE LICENCIATURA EN INGENIERIA CIVIL

AUTOR: GUERRERO ANAGUA IVAN FRANKLIN

TUTOR: Ing. FLORERO ORTUÑO OSCAR

Cochabamba – Bolivia 2014

“BENDITOS SEAN LOS

OBSTACULOS, TAN SÓLO POR LA SATISFACIÓN DE VENCERLOS” Carlos Raúl Ondina

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NDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL ......................................................................................................................... IV ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................................... IX ÍNDICE DE TABLAS ....................................................................................................................XIII CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1.1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 1 1.2. ANTECEDENTES ...................................................................................................................... 2 1.3. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................................ 4 1.4. OBJETIVOS ................................................................................................................................ 5 1.4.1. Objetivo general ............................................................................................................. 5 1.4.2. Objetivos específicos...................................................................................................... 5 CAPITULO II PUENTES 2.1. CLASIFICACION DE PUENTES SEGÚN SU TRAZO GEOMETRICO ................................. 6 2.1.1. Puentes Rectos ................................................................................................................... 6 2.1.2. Puentes Oblicuos ................................................................................................................ 7 2.1.3. Puentes Curvos ................................................................................................................. 10 2.2. EJEMPLOS DE PUENTES CURVOS ...................................................................................... 13 2.2.1. Puente Antahuancana ....................................................................................................... 13 2.2.2. Puente Quebrada Honda................................................................................................... 14 CAPITULO III PUENTES CURVOS DE SECCIÓN CAJÓN 3.1. VIGA CURVA ........................................................................................................................... 16 3.1.1. Ecuaciones de la Elástica ................................................................................................. 16 3.1.2. Transformación de Torque en las fuerzas seccionales de torsión .................................... 20 3.2. TORSION EN SECCION DE PARED DELGADA ................................................................. 26 3.2.1. Torsión Uniforme ............................................................................................................. 26 3.2.2. Torsión Alabeada ............................................................................................................. 31 3.2.3. Torsión Mixta................................................................................................................... 37 3.3. FUERZAS DEL PREESFORZADO ......................................................................................... 42 3.3.1. Pretensado ........................................................................................................................ 42 3.3.2. Tendones en puentes curvos............................................................................................. 45 3.4. SECCIONES CAJÓN ................................................................................................................ 50 3.4.1. Secciones Cajón y Tipos ................................................................................................. 50 3.4.2. Distorsión de Secciones Cajón ......................................................................................... 53 3.4.3. Efectos arrastre por cortante............................................................................................. 56

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CAPITULO IV PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 4.1. CONFIGURACION DE PUENTES CURVOS ......................................................................... 58 4.1.1. Uso de Acordes ................................................................................................................ 58 4.1.2. Configuración de Vigas I ................................................................................................. 60 4.1.3. Súper elevación y Sobreancho de curva........................................................................... 61 4.2. DISEÑO PRELIMINAR............................................................................................................ 63 4.2.1. Desplazamiento Cuerda Arco .......................................................................................... 63 4.2.2. Profundidad de Filete ....................................................................................................... 64 4.2.3. Exceso de inclinación....................................................................................................... 67 4.2.4. Centro de gravedad de un arco ......................................................................................... 69 4.3. ANALISIS ESTRUCTURAL APROXIMADO ........................................................................ 70 4.3.1. Análisis como un perfil de marco recto ........................................................................... 70 4.3.2. Torsión ............................................................................................................................. 71 4.3.3. Momentos finales ............................................................................................................. 71 4.4. ANALISIS ESTRUCTURAL DE PUENTES CURVOS VIGA LOSA.................................... 72 4.4.1. Flexión Longitudinal ........................................................................................................ 72 4.4.2. Torsión ............................................................................................................................. 72 CAPITULO V MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS 5.1.INTRODUCCION ...................................................................................................................... 80 5.2.FORMAS DE CALCULO DE TABLEROS DE PUENTES ..................................................... 81 5.3.MÉTODOS DE CÁLCULO ....................................................................................................... 82 5.4.METODOS DE REPARTO TRANSVERSAL .......................................................................... 85 5.5.MÉTODO DE ANALISIS PUENTES CURVOS ...................................................................... 86 5.5.1.Losa Ortótropa Circular ..................................................................................................... 86 5.5.2. Método Emparrillado Plano Circular ................................................................................ 93 5.5.3. Lamina Plegada Circular ................................................................................................... 96 5.5.4. Método de los Elementos Finitos .................................................................................... 100 CAPITULO VI CARGAS EN PUENTES CURVOS 6.1. INTRODUCCION ................................................................................................................... 105 6.2. CARGAS PERMANENTES ................................................................................................... 106 6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales .......................................................... 106 6.2.2. Carga de superficie de desgaste .................................................................................... 107 6.3. CARGAS TRANSITORIAS .................................................................................................... 108 6.3.1. Cargas Vehiculares........................................................................................................ 108 6.3.2. Fuerza Centrifuga .......................................................................................................... 110 6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES ....................................................................... 112 6.4.1. Temperatura .................................................................................................................. 112 6.4.2. Fluencia y Retracción .................................................................................................... 115 CAPITULO VII DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120 7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 V 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130

CAPITULO DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR DISEÑO DE VII PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120 7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas.......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183 7.12.1. Pérdidas del preesfuerzo ........................................................................................... 183 7.12.2. Perdidas dependientes del tiempo ............................................................................. 185 7.12.3. Acortamiento elástico............................................................................................... 186 7.12.4. Pérdidas por fricción ................................................................................................. 186 7.12.5. Pérdidas por acuñamiento de anclajes....................................................................... 188 7.12.6. Pérdida total .............................................................................................................. 188 7.12.7. Preesfuerzo final........................................................................................................ 189 7.13. VERIFICACION DE TENSIONES....................................................................................... 189 7.14. VERIFICACION ADICIONALES ........................................................................................ 191 7.14.1. Verificación a la rotura.............................................................................................. 191 7.14.2. Verificación a la fatiga .............................................................................................. 192 7.14.3. Límites de refuerzo ................................................................................................... 193 7.14.4. Refuerzo mínimo....................................................................................................... 194 7.14.5. Armadura de piel ....................................................................................................... 195 7.14.6. Verificación de deflexiones....................................................................................... 195 7.15. ARMADO Y TRAYECTORIA DE CABLES ...................................................................... 197 7.15.1. Armado viga postensada ............................................................................................ 197

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7.15.2. Coordenadas de vainas ............................................................................................... 198 7.15.3. Resumen de coordenadas de vainas ........................................................................... 200 7.16. ANALISIS Y DISEÑO DE DIAGRAGMAS ........................................................................ 201 7.16.1. Análisis y diseño estructural ...................................................................................... 201 7.16.2. Armadura de piel ........................................................................................................ 202 7.16.3. Armadura transversal ................................................................................................. 202 CAPITULO VIII DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON 8.1.INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 204 8.2.DATOS PRELIMINARES ....................................................................................................... 205 8.2.1. Normas de diseño ........................................................................................................... 205 8.2.2. Materiales ....................................................................................................................... 205 8.3. DIMENSIONES PUENTE CURVO ....................................................................................... 206 8.3.1. Dimensiones en planta ................................................................................................... 206 8.3.2. Dimensiones en elevación .............................................................................................. 207 8.3.3. Dimensiones de la sección transversal ........................................................................... 209 8.3.4. Peso y volúmenes de las dovelas ................................................................................... 214 8.4. DESCRIPCION DEL TRAZADO DE CABLES .................................................................... 215 8.4.1. Descripción de cables longitudinales ............................................................................. 215 8.4.2. Trazado de cables de voladizo ....................................................................................... 215 8.5. CALCULO DE PERDIDAS DE PREESFUERZO ................................................................. 218 8.5.1. Pérdidas por fricción ...................................................................................................... 218 8.5.2. Pérdidas por deslizamiento de anclaje ........................................................................... 220 8.5.3. Acortamiento elástico..................................................................................................... 222 8.5.4. Perdida dependientes del tiempo .................................................................................... 224 8.5.5. Perdida totales ................................................................................................................ 225 8.6. DISEÑO ETAPA DE CONSTRUCCIÓN ............................................................................... 225 8.6.1. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = 0 ....................................................... 225 8.6.2. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = ∞...................................................... 230 8.7. CONTROL DE FLECHAS ...................................................................................................... 232 8.7.1. Introducción ................................................................................................................... 232 8.7.2. Evaluación de las flechas debido a la deformación lenta ............................................... 233 8.7.3. Calculo de las flechas ..................................................................................................... 235 8.8. ANALISIS ESTRUCTURAL PUENTE CAJON CURVO ..................................................... 237 8.8.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 237 8.8.2. Modelos estructurales ................................................................................................... 241 8.9. DISEÑO EN ETAPAS PERMANENTES............................................................................... 247 8.9.1. Redistribución de momentos por fluencia..................................................................... 248 8.9.2. Combinaciones de carga en estado de servicio ............................................................. 249 8.9.3. Verificación de esfuerzos en etapas .............................................................................. 252 8.9.4. Diseño de cables solidarios ........................................................................................... 252 8.10. DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL ..................................................................... 254 8.10.1. Diseño a corte.............................................................................................................. 254 8.10.2. Diseño a torsión .......................................................................................................... 257 8.10.3. Análisis estructurales de sección transversales ........................................................... 258 8.10.4. Diseño a flexión en secciones transversales ................................................................ 260 8.11. DISEÑO DE DIAFRAGMAS ............................................................................................... 263 8.11.1. Análisis y diseño ......................................................................................................... 263 8.11.2. Armadura de piel ......................................................................................................... 264

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CAPITULO IX PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS 9.1. VOLADOZ SUCESIVOS HORMIGONADOS IN SITU ....................................................... 266 9.1.1. Procedimiento constructivo........................................................................................... 266 9.1.2. Ejecución de la dovela cero........................................................................................... 268 9.1.3. Ejecución de dovelas ..................................................................................................... 269 9.1.4. Proceso de desmontaje del carro de avance .................................................................. 272 9.1.5. Dovela de cierre ............................................................................................................ 272 9.1.6. Tesado de cierre ............................................................................................................ 273 9.2. LANZAMIENTO DE VIGAS PREFABRICADAS ................................................................ 273 9.2.1. Procedimiento constructivo ............................................................................................ 273 9.2.2. Emplazamiento lugar de fabricación .............................................................................. 273 9.2.3. Colocación de armadura pasiva ..................................................................................... 274 9.2.4. Preparación de las vainas en el interior de las vigas ...................................................... 275 9.2.5. Encofrados y su colocación............................................................................................ 276 9.2.6. Hormigonado ................................................................................................................. 277 9.2.7. Colocación de los torones y del anclaje activo .............................................................. 278 9.2.8. Tesado de los cables ....................................................................................................... 279 9.2.9. Inyección de lechada en la vaina .................................................................................... 280 9.2.10. Lanzamiento de vigas ................................................................................................... 280

CAPITULO X COMPARACIONES TÉCNICAS Y ECONÓMICAS 10.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 281 10.2. COMPARACION TECNICA ESTRUCTURAL ................................................................. 282 10.2.1. Deformaciones .......................................................................................................... 282 10.2.2. Reacciones ................................................................................................................ 285 10.2.3. Demandas .................................................................................................................. 287 10.3. COMPARACION ECONÓMICA ........................................................................................ 291 10.3.1 Costos de ítems superestructuras ............................................................................... 291 10.3.2 Costo de superestructuras.......................................................................................... 294 10.3.3 Análisis y comparaciones........................................................................................... 295

CAPITULO XI CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 11.1. CONLUSIONES ........................................................................................................... 296 11.2. RECOMENDACIONES ................................................................................................ 299

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NDICE DE FIGURAS

Figura 1. 1: Viaduc du Quai de la Rapée (París, 1905) ............................................................... 3 Figura 1. 2: Puente Quebrada Honda (Camino Potosí-Tarija, 2012) ............................................ 4 Figura 2. 1: Puente Recto .............................................................................................................. 7 Figura 2. 2: Puente Oblicuo .......................................................................................................... 8 Figura 2. 3: Flechas diferentes de las Vigas Principales, en cortes ortogonales A y B ............... 8 Figura 2. 4: Losas Oblicuas, características más importantes ....................................................... 9 Figura 2. 5: Puente Curvo ........................................................................................................... 10 Figura 2. 6: Definición de Angulo Central ................................................................................. 11 Figura 2. 7: Modelo Tridimensional de columna vertebral puente curvo cajón ......................... 12 Figura 2. 8: Puente Antahuancana .............................................................................................. 13 Figura 2. 9: Dimensiones Viga Puente Antahuancana ................................................................ 14 Figura 2. 10: Puente Quebrada Honda ........................................................................................ 15 Figura 3. 1: Signos convencionales para la geometría y carga de viga curva ............................. 17 Figura 3. 2: Signos convencionales para las fuerzas seccionales................................................ 17 Figura 3. 3: Elemento diferencial de una viga curva .................................................................. 18 Figura 3. 4: Viga curva de un tramo y Esfuerzos........................................................................ 20 Figura 3. 5: Momentos de flexión y torsión en un elemento de viga diferencial ........................ 21 Figura 3. 6: Fuerzas de desviación debido a la viga curva ......................................................... 21 Figura 3. 7: Fuerzas de desviación de la compresión y tensión en una viga cajón .................... 22 Figura 3. 8: Flujo cortante en un elemento de viga curvada ....................................................... 23 Figura 3. 9: Fuerzas de Corte Torsionales .................................................................................. 23 Figura 3. 10: Fuerzas de Corte por Torsión y Fuerzas de desviación ......................................... 24 Figura 3. 11 Torsión de alabeo en una curva sección en doble T: .............................................. 24 Figura 3. 12: Torsión de St. Venant en una sección transversal cerrada ................................... 30 Figura 3. 13: Ejemplo de torsión Alabeada................................................................................. 32 Figura 3. 14: Torsión con alabeo ................................................................................................ 33 Figura 3. 15: Componentes de fuerza de pretensado .................................................................. 42 Figura 3. 16: Flujo cortante en una sección cajón....................................................................... 45 Figura 3. 17: Disposición de tendón viga isostática para compensar flexión y torsión .............. 47 Figura 3. 18: Fuerzas Transversales............................................................................................ 47 Figura 3. 19: Fuerzas transversales en un elemento de viga ....................................................... 48 Figura 3. 20: Arreglo tendón Teórica en una viga compensar la flexión y torsión..................... 49 Figura 3. 21: Disposición de los tendones de vigas continúas compensar la torsión.................. 50 Figura 3. 22: Conjunto de elementos de una viga cajón ............................................................. 50 Figura 3. 23: Ejemplos de secciones transversales de una sola célula ........................................ 51 Figura 3. 24: Ejemplos de secciones transversales multicelulares .............................................. 52 Figura 3. 25: Flexión de vigas cajón ........................................................................................... 53 Figura 3. 26: Distorsión de viga cajón ........................................................................................ 54 Figura 3. 27: Cargas excéntrica en secciones cajón .................................................................... 54 Figura 3. 28: Distorsión de sección cajón unicelular .................................................................. 55 Figura 3. 29: Arrastre por cortante en una viga cajón ................................................................. 56 Figura 3. 30: Factores anchura eficaces para arrastre por cortante en centro de vano ................ 57

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Figura 4. 1. Arreglos de Vigas Prefabricadas de Puentes en Curvos .......................................... 61 Figura 4. 2. Desplazamiento de cuerda de arco .......................................................................... 63 Figura 4. 3. Efecto Filete en Vigas en I ...................................................................................... 65 Figura 4. 4: Efecto de la curva horizontal ................................................................................... 66 Figura 4. 5: Efectos de grado ...................................................................................................... 67 Figura 4. 6: Torcedura resultante del cambio de grado............................................................... 68 Figura 4. 7: Centro de gravedad de Arco .................................................................................... 69 Figura 4. 8: Propiedades de una superficie curva plana .............................................................. 70 Figura 4. 9: Momentos extremo negativo que contrarrestar la torsión en vigas ......................... 71 Figura 4. 10: Torsión y curvatura ............................................................................................... 73 Figura 4. 11: Torsión de una viga simple curvada ...................................................................... 74 Figura 4. 12: Torsión de una viga continúa curvada ................................................................... 75 Figura 4. 13: Entramados simples ............................................................................................... 76 Figura 5. 1: Losa ortótropa.......................................................................................................... 81 Figura 5. 2: Laminada Plegada ................................................................................................... 82 Figura 5. 3: Emparrillado ............................................................................................................ 82 Figura 5. 4: Emparrillado y elemento finitos .............................................................................. 83 Figura 5. 5: Planta de la placa ortótropa ..................................................................................... 86 Figura 5. 6: Esfuerzos en un elemento diferencial de placa........................................................ 87 Figura 5. 7: Matriz de rigidez de la viga j. Armónico n-simo. .................................................... 90 Figura 5. 8: Barra curva .............................................................................................................. 91 Figura 5. 9: Emparrillado plano .................................................................................................. 93 Figura 5. 10: Lamina tronco de cono .......................................................................................... 95 Figura 5. 11: Modelo de elementos finitos ................................................................................. 99 Figura 5. 12: Esfuerzos en placas ............................................................................................. 100 Figura 6. 1: Cargas de diseño AASHTO HL-93 ....................................................................... 109 Figura 6. 2: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas centrifugas ............................................. 111 Figura 6. 3: Elongación inducida por la temperatura ................................................................ 113 Figura 6. 4: Curvatura inducida por la temperatura .................................................................. 113 Figura 6. 5: Diseño del gradiente de temperatura ..................................................................... 115 Figura 7. 1: Sección transversal en mitad del tramo del puente................................................ 119 Figura 7. 2: Geometría en planta del puente ............................................................................. 120 Figura 7. 3: Dimensiones y armadura de barreras tipo jersey ................................................... 122 Figura 7. 4: Sección simplificada de barrera tipo jersey ........................................................... 122 Figura 7. 5: Flexión en secciones A1 y A2 de barreras jersey .................................................. 124 Figura 7. 6: Carga de choque en barreras jersey ...................................................................... 126 Figura 7. 7: Longitud de anclaje refuerzo de barreras jersey a losa .......................................... 128 Figura 7. 8: Detalle de barras de refuerzo barrera jersey ......................................................... 129 Figura 7. 9: Posición del máximo momento positivo ............................................................... 130 Figura 7. 10: Momentos por carga muerta en losa .................................................................... 131 Figura 7. 11: Momentos por barandas ...................................................................................... 132 Figura 7. 12: Momento por capa de rodadura ........................................................................... 132 Figura 7. 13: Línea de influencia apoyo B ................................................................................ 133 Figura 7. 14: Momento negativo por carga viva ....................................................................... 134 Figura 7. 15: Línea de influencia tramo AB ............................................................................. 136

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Figura 7. 16: Momentos positivos por carga viva ..................................................................... 137 Figura 7. 17: Espesor y peralte efectivo losa ............................................................................ 138 Figura 7. 18: Detalle de armado losa interior............................................................................ 142 Figura 7. 19: Sección fisura losa ............................................................................................... 143 Figura 7. 20: Momento producido por choque en losa ............................................................. 148 Figura 7. 21: Refuerzo de acero en losa exterior ...................................................................... 149 Figura 7. 22: Fuerzas de tensión en losa de borde .................................................................... 150 Figura 7. 23: Detalle de armado unión losa baranda................................................................. 151 Figura 7. 24: Dimensiones viga ................................................................................................ 155 Figura 7. 25: Centro de Gravedad de la curva .......................................................................... 162 Figura 7. 26: Propiedades del grupo de apoyos viga ................................................................ 162 Figura 7. 27: Excentricidad carril cargado ................................................................................ 163 Figura 7. 28: Excentricidad de camiones de carga.................................................................... 163 Figura 7. 29: Modelo 1 emparrillado de vigas .......................................................................... 167 Figura 7. 30: Carga en joints modelo 3 ..................................................................................... 169 Figura 7. 31: Carril cargado ...................................................................................................... 171 Figura 7. 32: Características del camión de diseño ................................................................... 171 Figura 7. 33: Momento producido por fuerza centrifuga .......................................................... 172 Figura 7. 34: Cables de postensado en modelo computacional ................................................ 175 Figura 7. 35: Deformaciones y esfuerzos longitudinales seccion compuesta ........................... 177 Figura 7. 36: Coordenadas de vainas ........................................................................................ 197 Figura 8. 1: Vista en planta ....................................................................................................... 207 Figura 8. 2: Alturas h1, ho y h intermedias ................................................................................ 208 Figura 8. 3: Determinación ancho efectivo ............................................................................... 209 Figura 8. 4: Detalle geométrico de las cartelas ......................................................................... 212 Figura 8. 5: Sección transversal ................................................................................................ 213 Figura 8. 6: Posición de los cables en la sección cero .............................................................. 216 Figura 8. 7 Excentricidades por dovela..................................................................................... 217 Figura 8. 8: Estados de carga para verificar esfuerzos .............................................................. 226 Figura 8. 9: Deformaciones y contra flechas de las dovelas ..................................................... 234 Figura 8. 10: Puente curvo continúo hiperestático .................................................................... 237 Figura 8. 11: Fuerza centrifuga ................................................................................................. 238 Figura 8. 12: Gradiente de temperatura vertical positivo en superestructuras de Hº ................ 240 Figura 8. 13: Modelo computacional por secuencia de construcción ....................................... 241 Figura 8. 14: Cargas debidas a barandas y rodadura en puentes............................................... 243 Figura 8. 15: Posiciones de la carga viva en puentes ................................................................ 244 Figura 8. 16: Cargas por temperatura en CSiBridge ................................................................. 246 Figura 8. 17: Disposición de cables en modelo computacional ................................................ 247 Figura 8. 18: Momentos por fluencia lenta del concreto .......................................................... 248 Figura 8. 19: Fuerzas en Servicio I y II .................................................................................... 250 Figura 8. 20: Fuerzas en Servicio III y IV ................................................................................ 250 Figura 8. 21: Momentos por carga viva en dovelas .................................................................. 259 Figura 8. 22: Momentos por carga viva en dovelas .................................................................. 260 Figura 8. 25: Refuerzo requerido en alma interior .................................................................... 261 Figura 9. 1: Avance en forma de T ........................................................................................... 267 Figura 9. 2: Encofrado de la dovela 0 ....................................................................................... 267 Figura 9. 3: Ejecución de la dovela 0 etapa 1 ........................................................................... 268 Figura 9. 4: Ejecución de la dovela 0 etapa 2 ........................................................................... 268

XI

Figura 9. 5: Ejecución de la dovela 0 etapa 3 ........................................................................... 269 Figura 9. 6: Hormigonado de la dovela de cierre ...................................................................... 270 Figura 9. 7: Cables de pretensado en dovelas .......................................................................... 271 Figura 9. 8: Ejecución de la dovela de cierre ........................................................................... 272 Figura 9. 9: Mesa de apoyo ....................................................................................................... 274 Figura 9. 10: Enferrado de armadura pasiva ............................................................................. 274 Figura 9. 11: Replanteo de vainas ............................................................................................. 275 Figura 9. 12: Encofrados de viga .............................................................................................. 276 Figura 9. 13: Colocación de los cables de preesfuerzo en la viga............................................. 278 Figura 9. 14: Equipos de tesado ................................................................................................ 279 Figura 10. 1: Diagrama de barras de deformaciones en puentes curvos ................................... 283 Figura 10. 2: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 50m...................... 284 Figura 10. 3: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 50m ............................. 284 Figura 10. 4: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 100m .................... 284 Figura 10. 5: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 100m ........................... 284 Figura 10. 6: Modelo puente curvo R=50m con vigas BPR ..................................................... 285 Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=50m con sección cajón ................................................ 286 Figura 10. 8: Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=100m con sección cajón ......................... 286 Figura 10. 9: Modelo puente curvo R=100m con vigas BPR ................................................... 287 Figura 10. 10: Momentos flextores en puentes curvo de R=50m ............................................. 289 Figura 10. 11: Momentos flextores en puentes curvo de R=100m ........................................... 290 Figura 10. 12: Cortantes y torsiones en puentes de curvos de R=50m y R=100m ................... 290

XII

Í

NDICE DE TABLAS

Tabla 3- 1: Momentos flectores y torsores de Ejemplo 3.1 ........................................................ 22 Tabla 3- 2: Dominios de la torsión ............................................................................................. 41 Tabla 3- 3: Analogía de flexión y torsión alabeada .................................................................... 42 Tabla 4- 1 Radios y Desplazamientos de Diferentes Longitudes de Vigas ................................ 61 Tabla 4- 2: Radio mínimo absoluto en curvas horizontales ........................................................ 63 Tabla 4- 3: Ensanchamientos de calzadas ................................................................................... 64 Tabla 6- 1: Densidades de materiales ....................................................................................... 108 Tabla 6- 2: Combinaciones de carga y factores de carga .......................................................... 109 Tabla 6- 3: Valores de Vo y Zo de corrientes arriba ................................................................. 118 Tabla 6- 4: Presiones básicas PB correspondientes a VB = 160 km/h ....................................... 118 Tabla 6- 5: PB para diferentes ángulos de ataque (VB = 160 km/h) .......................................... 119 Tabla 6- 6: Rangos de temperatura ........................................................................................... 120 Tabla 6- 7: Gradientes de temperaturas .................................................................................... 121 Tabla 7- 1: Momentos flectores en losa interior ....................................................................... 134 Tabla 7- 2: Momento mayorados por resisttencia1 ................................................................... 137 Tabla 7- 3: Momentos estimados .............................................................................................. 166 Tabla 7- 4: Estimación del preesfuerzo fibra inferior ............................................................... 166 Tabla 7- 5: Cortantes y momentos modelo1 ............................................................................. 168 Tabla 7- 6: Modelo 2 losa curva por MEF ................................................................................ 168 Tabla 7- 7: Cortantes y momentos modelo2 ............................................................................. 169 Tabla 7- 8: Cortantes y momentos modelo3 ............................................................................. 170 Tabla 7- 9: Cortantes y momento modelo 4 y 5 ........................................................................ 172 Tabla 7- 10: Momentos torsores en vigas ................................................................................. 175 Tabla 7- 11: Deflexiones........................................................................................................... 196 Tabla 7- 12: Coordenadas de vainas ......................................................................................... 200 Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia .................................................... 208 Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior .............................................................. 212 Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales ................................................... 213 Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas .......................................................................... 214 Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones ................................................................................. 218 Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables ......................................................................... 220 Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables .............................................. 222 Tabla 8- 8: Pérdidas totales ....................................................................................................... 225 Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A ........................................................................... 228 Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B ......................................................................... 229 Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C ......................................................................... 229 Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D ......................................................................... 229 Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E.......................................................................... 229 Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F .......................................................................... 229 Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G ......................................................................... 230 Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H ......................................................................... 230

XIII

Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C ......................................................................... 229 Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D ......................................................................... 229 Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E.......................................................................... 229 Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F .......................................................................... 229 Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G ......................................................................... 230 Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H ......................................................................... 230 Tabla 8- 17: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección A ....................................................................... 230 Tabla 8- 18: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección B ....................................................................... 231 Tabla 8- 19: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección C ....................................................................... 231 Tabla 8- 20: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección D ....................................................................... 231 Tabla 8- 21: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección E ....................................................................... 231 Tabla 8- 22: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección F........................................................................ 231 Tabla 8- 23: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección G ....................................................................... 232 Tabla 8- 24: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección H ....................................................................... 232 Tabla 8- 25: Planilla resumen deflexiones ................................................................................ 236 Tabla 8- 26: Bases para los gradientes de temperatura ............................................................. 239 Tabla 8- 27: Rangos de temperatura ......................................................................................... 240 Tabla 8- 28: Fuerzas en etapas de construcción........................................................................ 242 Tabla 8- 29: Fuerzas debido a DC y DW .................................................................................. 243 Tabla 8- 30: Máximos y mínimos por carga viva y fuerza centrifuga ...................................... 245 Tabla 8- 31: Fuerzas debido a cargas de temperatura ............................................................... 246 Tabla 8- 32: Fuerzas debido al preesfuerzo .............................................................................. 247 Tabla 8- 33: Momentos por fluencia ......................................................................................... 249 Tabla 8- 34: Fuerzas en Resistencia I y II ................................................................................. 251 Tabla 8- 35: Fuerzas en Resistencia III y IV ............................................................................ 251 Tabla 8- 36: Verificación etapas de servicio ............................................................................. 252 Tabla 8- 37: Esfuerzos en cables solidarios .............................................................................. 253 Tabla 8- 38: Propiedades geométricas dovelas para torsión ..................................................... 256 Tabla 8- 39: Diseño a corte en dovelas ..................................................................................... 256 Tabla 8- 40: Calculo de refuerzo por cortante en dovelas ........................................................ 256 Tabla 8- 41: Calculo de refuerzo por torsión ............................................................................ 258 Tabla 8- 42: Refuerzo de acero provisto por corte y torsión .................................................... 258 Tabla 8- 43: Momentos flextores en dovelas ............................................................................ 259 Tabla 8- 44 Refuerzo requerido en losa superior ...................................................................... 260 Tabla 8- 45 Refuerzo requerido en losa inferior ....................................................................... 260 Tabla 8- 46 Refuerzo requerido en alma exterior ..................................................................... 261 Tabla 8- 47: Refuerzo de acero provisto en losa superior e inferior ......................................... 262 Tabla 8- 48: Refuerzo de acero provisto en alma interior y exterior ........................................ 262 Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m ...................................... 282 Tabla 10- 2: Reacciones de apoyo puente curvo R=50m con vigas BPR ................................. 285 Tabla 10- 3: Reacciones de apoyo puente curvo R=50 con sección cajón ............................... 286 Tabla 10- 4: Reacciones de apoyo puente curvo R=100 con sección cajón ............................. 286 Tabla 10- 5: Reacciones de apoyo puente curvo R=100m con vigas BPR ............................... 287 Tabla 10- 6: Fuerzas máximas y mínimas en puentes curvos de R=50m y R=100m ............... 288 Tabla 10- 7: Costo de Hormigón tipo "A" R210 ...................................................................... 291 Tabla 10- 8: Costo de Hormigón tipo "P" ................................................................................. 291 Tabla 10- 9: Costo de Acero estructural ................................................................................... 292 Tabla 10- 10: Costo de Cable para pretensado 12v 1/2" ........................................................... 292 Tabla 10- 11: Costo de Inyección de cables ............................................................................. 293 Tabla 10- 12: Costo de barandas............................................................................................... 293 Tabla 10- 13: Costo de lanzamiento de vigas ........................................................................... 293 Tabla 10- 14 Costo puente curvo con vigas BPR radio 100m .................................................. 294 Tabla 10- 15 Costo puente curvo cajo radio 100m ................................................................... 294 Tabla 10- 16 Costo puente curvo con vigas BPR radio 50m .................................................... 294 Tabla 10- 17 Costo puente curvo cajo radio 50m ..................................................................... 295

XIV

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Capítulo1 INTRODUCCIÓN 1.1. INTRODUCCIÓN En el presente documento se propone una metodología para el análisis y diseño de puentes curvos en vigas de sección cajón preesforzado y vigas BPR, basadas en el análisis estructural mediante el método de elementos finitos MEF. Para efectuar tal desarrollo se modelara los puentes con ayuda del programa CSiBridge con el cual se podrá obtener los esfuerzos de las estructura y como también se podrá analizar la torsión de dichos elementos. Una vez propuesta la metodología de análisis se procederá a estudiar el comportamiento de las diferentes secciones para luego realizar el diseño de la viga cajón y las vigas BPR para radios de curvatura horizontal de 50m y 100m. Finalmente se realizara la comparación estructural de las dos secciones, después de un análisis de procesos constructivos y costos para así poder determinar cómo conclusiones cuál de las dos secciones es la que mejor se comporta en nuestro medio en radios considerables y pequeños.

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CAPITULO 1 INTRODUCCION

1.2. ANTECEDENTES En los últimos años los diseños viales incluyen en sus propuestas la construcción de puentes curvos esto como alternativa de solución a restricciones topográficas, urbanísticas y geométricas. En grandes ciudades el puente es una necesidad latente específicamente en zonas de gran cogestión vehicular y con grandes limitaciones geométricas. Para el urbanista y el diseñador vial el puente curvo constituye una solución eficiente, porque este permite cubrir grandes luces y proporcionar el peralte deseado a la vía al tiempo que brinda condiciones estéticamente agradables. No fue sino hasta la década de 1850 que se logró la construcción de la línea de ferrocarriles Alpinos donde se podía ver que en su trazo se debían construir puentes en curvas horizontales estos sin exceder los radios de curvatura mínima y asegurando siempre la velocidad de transito atractivo, es así que en el puente Britania del Stephen se introdujo por primera vez el hierro de soldadura. La aplicación inicialmente no coherente de las florecientes teorías estáticas, y solo el conocimiento aproximado de los problemas de estabilidad y los efectos dinámicos de las cargas ferroviarias afectaron a los puentes de hierro provocando incertidumbres en los usuarios. Algunos desastres importantes, como el colapso de la Taybrücke en Escocia en 1879 y la de la Birsbrücke Múnich en 1891 llevó a un renacimiento de la construcción masiva de algunos puentes viejo los cuales fueron sustituidos por puentes de hormigón [1]. Es así que a partir del siglo XX los puentes curvos han ganado popularidad ya que estos se convirtieron en importantes elementos de enlaces de pasos elevados, autopista o carreteras, un gran ejemplo es el Viaduc du Quai de la Rapée el cual fue construido para el paso del metro de París en 1905, este está constituido por una curva cerrada con cerchas de dos vanos continuos (Figura 1.1). En la década de los años 30 el hormigón postensado es que entran en la construcción de puentes y así también en la de puentes curvos estos en sección cajón comúnmente pero también en emparrillados de vigas o trazos poligonales de vigas rectas las cuales simplifican el trazo curvo. 2

CAPITULO 1 INTRODUCCION

Figura 1. 1: Viaduc du Quai de la Rapée (París, 1905)

Actualmente en Bolivia no existe una normativa para el diseño de puentes curvos horizontales, por lo que convencionalmente se recurre al código de diseño AASTHO (AASHTO, 2010) para su dimensionamiento. Las especificaciones para diseño de puentes curvos horizontales del código AASHTO (en sus ediciones 1980, 1993 y 2003) es una de las únicas normativas para este tipo de puentes, siendo el código japonés la otra alternativa disponible a nivel mundial (Japan Road Association -JRA-, 1988) [2]. La Asociación Americana de Funcionarios de Carreteras y Transportación (AASHTO) regula el diseño estructural de los puentes horizontalmente curvos a través Especificaciones Guía para horizontalmente Curved. Esta guía fue desarrollada por el Consorcio de equipos de investigación de la Universidad (CURT) en 1976 y fue publicado por primera vez por AASHTO en 1980. En su primera edición, la guía de especificaciones incluye disposiciones que se desarrolló por CURT y (LFD) las disposiciones que fueron desarrollados por American Iron and Steel Institute bajo el proyecto 1900 de diseño factor de carga de diseño por tensiones admisibles (ASD). Varios cambios se han hecho a las especificaciones de guía desde 1981. En 1993 una nueva versión de las especificaciones de guía fue publicada por AASHTO. Sin embargo, estas nuevas especificaciones no incluyen la última investigación extensa en esta área [3]. El sistema de carretera de Bolivia en la Red Fundamental en los últimos tiempos se podido observar que en sus trazos geométricos se incluyen puentes en curvas horizontales 3

CAPITULO 1 INTRODUCCION

estos como alternativa de pasos a quebradas pronunciadas o depreciaciones topográficas uno de los recientes puentes curvos que se construyeron en nuestro país es el Puente Quebrada Honda que se muestra en la (Figura 1.2). La experiencia a lo largo de los años ha mostrado que la sección cajón unicelular ha tenido un mejor desempeño esto por su gran rigidez a flexión y torsión, su naturalidad, y esbeltez, además del efecto estético. Por otro lado, el cálculo y la dificultad de construcción son parámetros que todavía siguen en estudio y debatidos.

Figura 1. 2: Puente Quebrada Honda (Camino Potosí-Tarija, 2012)

1.3. JUSTIFICACIÓN La investigación tiene como propuesta buscar, mediante la aplicación de la teoría y los conceptos básicos de los puentes encontrar explicaciones a las diferentes situaciones, limitantes en las dimensiones, ventajas y desventajas que ofrecen las secciones tipo cajón y vigas BPR en puentes curvos horizontales. Para lograr el cumplimiento de los objetivos de estudio se usaran técnicas de investigación como instrumento para analizar la sección más adecuada en puentes curvos, a través de comparaciones técnicas en base a comportamiento teóricos en la estructura de los puentes curvos que se observaran a lo largo de la investigación, tomando en cuenta también el tiempo y costo de ejecución de los mismos.

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CAPITULO 1 INTRODUCCION

De acuerdo con los objetivos de la investigación, su resultado permitirá encontrar soluciones concretas a problemas en la selección de la sección más adecuada en puentes curvos para radios de 50 – 100 m. que inciden en el correcto funcionamiento de dichos tipo de puentes. 1.4. OBJETIVOS 1.4.1. Objetivo general Realizar el análisis y diseño de secciones tipo cajón y vigas BPR, para determinar el comportamiento estructural y ver cuál de ellas es la más apropiada para su construcción en radios de curvatura de 50 y 100m 1.4.2. Objetivos específicos  Describir los conceptos de análisis estructural de puentes curvos y sus métodos  Analizar estructuralmente puentes curvos de radios de 50m y 100m con secciones cajón y vigas BPR.  Diseñar las superestructuras de puentes curvos con secciones cajón y vigas BPR en radios de 50m y 100m.  Describir un proceso constructivo para la ejecución de puentes curvos en sección cajón y vigas BPR  Comparar técnica y económicamente las secciones cajón y las vigas BPR en puente curvos de radio de 50 y 100 m.

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PUENTES 2.1.CLASIFICACION DE PUENTES SEGÚN SU TRAZO GEOMETRICO 2.1.1. Puentes Rectos Un puentes es ortogonal (Figura 2.1) cuando el ángulo formado por el eje de la vía con el eje del obstáculo es recto (∝ = 90º), estos son construidos generalmente en nuestro medio de concreto armado o hormigón preesforzado. 111111111111111111111111 Los puentes 1rectos pueden presentar una variada forma en cuanto a su sección transversal se refiera, pero esto dependerá mucho del claro que uno quiera salvar o el obstáculo que quiera pasar, el uso del postensado es muy común en este tipo de estructura pudiendo así poder alcanzar luces hasta 45m, su forma de sección de las vigas por lo general son casi parecidas a las de una I dado le así un resistencia muy alta a la flexión, sin

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La primordial ventaja de los tramos rectos de Hº ºAº sobre las bóvedas de fábricas o arcos de Hº ºAº, es que aquéllos sólo producen reacciones verticales en los apoyos y permiten, por lo tanto, reducir sensiblemente el volumen de pilas y estribos, y sobre todo el de sus cimientos, que suelen ser factores decisivos en los presupuestos [6].

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CAPITULO 2 PUENTES

embargo, vigas de fundición en el lugar monolíticas con la losa de cubierta (viga T) son utilizadas en claros hasta 20m, pero en tramos relativamente menor a los 12 m los puente losa suelen ser económicamente rentables. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Figura 2. 1: Puente Recto

El análisis estructural de puentes ortogonales se lo puede realizar siguiendo métodos tradicionales como el cálculo de líneas de influencia siguiendo el Teorema de Müller que nos dice que la “Línea de Influencia es proporcional a la deformación producida por la carga”. Sin embargo en los últimos tiempos gracias a los avances de los ordenadores es que existe en el mercado programas computacionales que realizar el análisis estructural de puentes mediante método de los elementos finitos los cuales son más precisos. 2.1.2. Puentes Oblicuos Los puentes esviajados (Figura 2.2) son aquellos donde el eje de la estructura con el eje del obstáculo forma un ángulo distinto a noventa (∝≠90º). Estos tipos de puentes no presentan mucha dificultad si estos llevan vigas; sin embargo, cuando es el caso de una losa la cual está simplemente apoyada los esfuerzos que se generan en ella se presentan de una forma muy diferente a la de una losa recta, las fuerzas aumentan y todo esto dependerá del ángulo de oblicuidad que tenga el puente.

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CAPITULO 2 PUENTES

Figura 2. 2: Puente Oblicuo

Para ángulos de cruce ∝ que estén en el rango de valores de 60 ≤∝≤ 90, puentes con vigas-losa oblicuos pueden ser calculados y dimensionados, con suficiente exactitud, como puentes rectangulares. Solamente en las esquinas obtusas, el apoyo extremo debería dimensionarse con un incremento de las cargas verticales de aproximadamente 1/sen∝ según [7] . Para menores valores de ángulo ∝, las diferencias de flecha de las vigas principales en sentido ortogonal como se los muestra en la Figura 2.3 adquiere mucha importancia, porque según el grado de empotramiento que tenga la losa de tablero se originara torsión en las almas de las vigas principales, todo esto dependerá de la relación de rigidez a torsión entre la rigidez a la flexión de dichas vigas, mientras mayor sea el valor mayor torsión abra en ellas. El analisis de estos tipos de puentes se lo puede realizar mediante los métodos aproximado del reglamento (AASHTO-LRFD2012) o por métodos más modernos como el de los elementos finitos los cuales son ampliamente explicados en el Capitulo5 .

Figura 2. 3: Flechas diferentes de las Vigas Principales, en cortes ortogonales A y B

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CAPITULO 2 PUENTES

En los puentes de losas oblicuas las cargas que se transmiten a los apoyos tratando de seguir el camino más corto para llegar a ellos. Entonces se puede observar que los planos de esfuerzos máximos no son paralelos al eje del camión con lo que la deformación de losa esviajada tendera a la de una superficie alabeada [8]. La determinación de esfuerzos de esta estructura actualmente ya no es un problema eso gracias a los numerosos elementos auxiliares que fueron elaborados con ayuda de los computadores, tales como líneas de influencia de los momentos, hasta programas de elementos finitos. Por lo tanto el proyectista y el constructor deben tener un conocimiento esencial sobre el comportamiento de losas oblicuas, los valores que más influyen en el comportamiento estructural son los que se muestra en la (Figura 2.4): 

Angulo de cruce ∝ de aproximadamente 20º hasta 70º; para α>70º, la influencia de la oblicuidad puede ser despreciada

 Relación 𝑏/𝑙 donde 𝑏 = ancho de la losa perpendicular al eje del puente , 𝑙 = luz perpendicular a la líneas de apoyo  Forma de apoyo: apoyo lineal que permite giro alrededor de línea del apoyo, o apoyos individuales de libre giro y distancia entre estos apoyos, o empotramientos extremos en las paredes de los estribos. En lo que sigue se ha supuesto en primer lugar apoyos lineales articulares.

Figura 2. 4: Losas Oblicuas, características más importantes

9

CAPITULO 2 PUENTES

2.1.3. Puentes Curvos Los 2puentes curvos (Figura 2.5) son aquellos donde el ángulo ∝ varia a lo largo del eje del puente este puede ser construido con vigas curvas o rectas en función de su curvatura, los puentes viga losa no son los más adecuados para este tipo, porque la curvatura origina torsión que puede ser absorbida de mejor manera mediante una viga cajón o losas, pese a ello se han construido muchos puentes curvos con viga placa en nuestro medio, por lo tanto esto es posible dentro de ciertos límites determinados en primera instancia por el ángulo al centro ∝ entre los apoyos, en tanto que el radio de curvatura influye menos.

Figura 2. 5: Puente Curvo

Las características principales de este tipo de puentes son los exigidos radios de curvatura; sus cantos deben estar desde 0.8m hasta 2.2m y la luz que puede cubrir debe estar ente 20m y 42 m. Estas estructuras son utilizadas en esquemas isostáticos e hiperestáticos, puentes curvos de radio constante y tramos rectos, se pueden realizar en canto constante o variable. En el caso de puentes curvos con viga losa de un solo tramo el ángulo al centro no debe exceder a los veinte grados ∝≤ 20º, para viga continuas no se deberá ángulos al centro mayores que cuarenta ∝≤ 40º por tramo. Robustas vigas transversales (diafragmas) en los 2

Los puentes con incluso ligera curvatura pueden desarrollar grandes fuerzas radiales en los cojinetes de apoyo. Por lo tanto, Se recomienda el análisis térmico de todos los puentes curvos. [A2012]

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CAPITULO 2 PUENTES

apoyos son adecuados. Otro de los parámetros que deben ser tomar en cuenta en puentes curvos con vigas sesgadas es el desplazamiento de la cuerda respecto al eje curvo el cual es visto en el Capítulo 4. Puentes Curvos con sección cajón son los más adecuados ya que estos siguen la curva y además tienen una gran rigidez a la torsión. Según el reglamento AASTHO-LRFD 2012 estos puentes podrán ser calculados por los factores de dicha norma si este tiene un ángulo central mostrado en la (Figura2.6) no mayor que 34º. En puentes donde el ángulo ∝ es menor que 12º podrán ser estos calculados como si fueran rectos ya que la curvatura no tiene mucha incidencia en ellos, un modelo estructural de marco plano podrían ser el más ideal para este.

Figura 2. 6: Definición de Angulo Central

Múltiples vanos de puentes curvos de sección cajón que se encuentren en el rango numérico de 12 ≤∝≤ 34 pueden ser calculados como una columna vertebral compuesta por segmentos rectos los cuales tengan un ángulo central mayor que 3.5º mostrados en la Figura 2.7. Los diafragmas en puentes curvos son considerados elementos importantes en la estructura estos deben ser dispuestos tanto en el comienzo del tramo es decir en el apoyo como en los tramos intermedios esto por el motivo de proporcionar resistencia a la torsión y apoyar las losas en los puntos de discontinuidad o en los puntos angulares.

11

CAPITULO 2 PUENTES

Figura 2. 7: Modelo Tridimensional de columna vertebral puente curvo cajón

Puentes curvos metálicos son también utilizados, estos tienen un mejor comportamiento que los puentes de concreto ya que con estos se puede reducir de gran manera el peso de la estructura en consecuencia la torsión. En diferentes estados de Norte América (USA) estos puentes son muy usados esto por la facilidad del proceso constructivo ya que las piezas pueden ser acomodadas según la curva sin ningún problema, sin embargo estas estructuras tienen un alto costo de mantenimiento, al estar en la intemperie sufren de corrosión. Actualmente en nuestro medio no existen puentes curvos metálicos por la razón del alto costo de perfiles metálicos y además de no poseer en el mercado una variedad de secciones de perfiles, pero también se puede mencionar que existe una gran cantidad de investigaciones sobre este tipo; además, de existir normativas coma las especificaciones de las AASHTO CURVED STELL que están siendo constantemente actualizadas.

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CAPITULO 2 PUENTES

2.2. EJEMPLOS DE PUENTES CURVOS 2.2.1. Puente Antahuancana3 El puente Antahuancana (Figura 2.8) se encuentra ubicado sobre la ruta fundamental 4, a 116 km desde la ciudad de Cochabamba. Esta estructura fue construida en la década de los años setenta, está compuesto por tres tramos isostáticos, el primero (lado Cochabamba) es de 26.00 metros, al medio de 20.00 metros y el ultimo (lado Santa Cruz) es de 20.00 metros, teniendo así el puente una longitud de 66 metros.

Figura 2. 8: Puente Antahuancana

La infraestructura está compuesta por dos estribos y dos pilas, la pila del lado de Cochabamba tiene una altura de 19.80 metros y la del lado Santa Cruz tiene una altura de 14.70 metros. El puente se encuentra en una Curva horizontal de 114.59 m de radio donde el peralte de la misma es del 10%, teniendo también una pendiente longitudinal 7%. El ancho de carril del mismo es de 3.50 para un tránsito bidireccional, el sobre ancho de curva exterior es de 1m. La superestructura está conformada por cuatro vigas BPR donde las dimensiones de las mismas es mostrados en la (Figura 2.9) la separación de ellas son de 2m la losa de tablero tiene un espesor de 20 cm y tiene la forma de curva en planta la mayor longitud de voladizo en la curva exterior es de 80 cm y de 120 cm en la interior. 3

Los datos fueron obtenidos de diapositivas de la empresa ALVAREZ Ltda.

13

CAPITULO 2 PUENTES

Figura 2. 9: Dimensiones Viga Puente Antahuancana

El puente hasta antes del año 2012 sufría un deterioro en las pilas ya que estas tenían deformación alta mente visibles, se presume que esto fue generado por un aparente movimiento, o bien del talud del estribo lado Cochabamba o bien del talud del estribo lado Santa Cruz, que genera un empuje sobre la superestructura del puente, sus apoyos y por ende también la infraestructura para el cual no fueron diseñados. Es así que la empresa Álvarez Ltda como manera de reforzar el puente implementa un arco con micro pilotes lado Santa Cruz y fundación directa lado Cochabamba, donde este tiene la función de estabilizar los apoyos intermedios. 2.2.2. Puente Quebrada Honda El puente Quebrada Honda es una de las obras de arte del camino carretero Los Libertadores está ubicado en la progresiva 43+300 del frente 1 tramo II Lecori – Camargo. La estructura tiene una longitud de 190 m en tres tramos: tramo central de 80 m y tramos extremos de 55 m. La infraestructura4 está constituida por dos pilas de hormigón armado de 16,36 m (lado Potosí) y 22,0 m (lado Tarija),cabezal o encepado de pilotes y pilotes de 1,20 m de diámetro con base ensanchada a 2,10 m y 10,0 m de longitud, en los extremos se tienen estribos de hormigón armado con fundación directa.

4

Datos de la infraestructura en http://connalsrl.com/

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CAPITULO 2 PUENTES

Figura 2. 10: Puente Quebrada Honda

La superestructura ejecutada mediante la técnica de volados sucesivos está constituida por 11 dovelas que se ejecutan a ambos lados de las pilas partiendo de las dovelas de arranque haciendo un total de 44 dovelas, adicionalmente se tiene la dovela clave o de cierre, con lo cual se tiene un total de 45 dovelas de 3,0 m con una longitud de 135,0 m. Las dovelas de arranque sobre ambas pilas tienen una longitud de 11,0 cada una, haciendo un total de 22,0 m, con lo cual se tiene una longitud de 157,0 m. Finalmente se tienen los tramos extremos vaciados en sitio con una longitud de 16,5 m cada uno haciendo un total de 33,0 m, con lo cual se completa la longitud total de la superestructura a 190,0 m.

15

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119911111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1Capítulo

3

PUENTES CURVOS DE SECCIÓN CAJÓN 3.1. VIGA CURVA 3.1.1. Ecuaciones de la Elástica El método simplificado de análisis para una viga curva en esta sección es solamente válido cuando el eje del puente es un arco circular de radio constante o cuando se tiene curvas circulares simples. Sin embargo no es el único caso también existe curvas horizontales donde el radio puede variar a lo largo de la longitud del puente, esto es el caso de curvas circulares compuestas y curvas helicoidales. Para estos casos se puede considerar un radio constante promedio que puede ser asumido por cada tramo, lo que hace posible el uso de los cálculos simplificados propuestos. Las convenciones de notación son mostradas en la (Figura 3.1) donde 𝑠 es el eje de la viga curva, 𝑟 el radio de curvatura, 𝜑 ángulo de apertura, 𝑞 carga vertical, 𝑒 excentricidad de la carga y 𝑡 el esfuerzo de torsión externa.

.111111111111111111111111

16

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 1: Signos convencionales para la geometría y carga de viga curva

Figura 3. 2: Signos convencionales para las fuerzas seccionales

Las ecuaciones de equilibrio para el elemento diferencial de una viga curva que se muestra en la (Figura 3.3) son: 𝑑𝑉 + 𝑞𝑑𝑠 = 0

(a)

𝑑𝑇 + 𝑀𝑑𝜑 + (𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡)𝑑𝑠 = 0

(b)

𝑑𝑀 − 𝑇𝑑𝜑 − 𝑉𝑑𝑠 = 0

(c)

17

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 3: Elemento diferencial de una viga curva

Si dividimos cada ecuación entre 𝑑𝑠 y sustituyendo 1/𝑟 por 𝑑𝜑/𝑑𝑠 se obtiene entonces las siguientes tres ecuaciones: 𝑑𝑉 = −𝑞 𝑑𝑠

(d)

𝑑𝑇 𝑀 + = −𝑒 ∙ 𝑞 − 𝑡 𝑑𝑠 𝑟

(e)

𝑑𝑀 𝑇 − =𝑉 𝑑𝑠 𝑟

(f)

Derivando la ecuación (f) respecto de 𝑠 y sustituyendo la ecuación (d) en ella, se obtiene el siguiente par de ecuaciones diferenciales: 𝑑2 𝑀 1 𝑑𝑇 = − (𝑞 − ) 2 𝑑𝑠 𝑟 𝑑𝑠 𝑑𝑇 𝑀 = − ( + 𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡) = −𝑚𝑡 𝑑𝑠 𝑟

(g)

(3. 1)

donde 𝑚𝑡 es el momento de torsión total equivalente Una solución iterativa de la ecuación (g) y (e) se puede desarrollar dividiendo la expresión (e) entre 𝑟 donde:

18

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

−

1 𝑑𝑇 𝑀 𝑒 ∙ 𝑞 𝑡 = + + 𝑟 𝑑𝑠 𝑟 2 𝑟 𝑟

(h)

si expresamos 𝑀 como una función lineal de 𝑞𝑙 2 , entonces podemos reescribir la ecuación como: −

1 𝑑𝑇 1 𝑞 ∙ 𝑙2 𝑒 ∙ 𝑞 1 𝑙2 𝑒 𝑡 = 2 + + = 𝑞( 2 + + ) 𝑟 𝑑𝑠 𝑟 𝐶 𝑟 𝑟 𝑟 𝐶 𝑟 𝑟∙𝑞

Asumiendo 𝑙 < 𝑟, 𝑒 < 𝑟 y 𝑡/𝑟 < 𝑞, se deduce entonces que el lado izquierdo de la ecuación (h) es pequeño en relación a 𝑞. Por lo tanto, el término 𝑑𝑇/𝑟 𝑑𝑠 pueden despreciarse en la ecuación (g) que se transforma en: 𝑑2 𝑀1 = −𝑞 𝑑𝑠 2

(i)

Entonces los momentos de flexión de la viga curva son igual a 𝑀1 , los cuales son aproximadamente iguales a los momentos en una viga recta de longitud igual al arco. Una primera aproximación de los momentos de torsión se obtiene por la sustitución de la solución de la ecuación (i) en la ecuación (e): 𝑑𝑇1 𝑀1 = −( + 𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡) 𝑑𝑠 𝑟

(j)

Esta es la ecuación de equilibrio de torsión de una barra recta, que de este modo se puede resolver utilizando los métodos clásicos de la mecánica estructural. El término 𝑀1 /𝑟 es normalmente la carga dominante en esta ecuación. La estimación inicial de 𝑀1 puede ser refinado por la medio de la sustitución de 𝑇1 en la ecuación (g) 𝑑2 𝑀2 1 𝑑𝑇1 = − (𝑞 − ) 2 𝑑𝑠 𝑟 𝑑𝑠

El cálculo iterativo converge rápidamente pero este método aproximado normalmente no satisface la compatibilidad cuando se usa para los sistemas estáticamente indeterminados, para los que se obtiene una solución exacta sólo cuando la relación de rigidez a la flexión con la rigidez a la torsional 𝐸𝐼/𝐺𝐾 es igual a 0. El método hace; sin 19

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

embargo, satisfacer el equilibrio. La solución calcula utilizando el método aproximado por lo tanto corresponde a una pequeña redistribución de las fuerzas en sección de la solución exacta. Ejemplo 3.1. La viga se muestra en la figura 3.4a. Giro es restringido en ambos extremos; flexión rotaciones son restringidos en un extremo. Una carga uniformemente distribuida se aplica sobre toda la longitud. Se supone que 𝑙/𝑟 = 0.2 y 𝐼𝐸 / 𝐺𝐾 = 1.0. Los resultados de la análisis se dan en la figura 3.4b, y en la tabla 7.1. Los resultados del aproximado análisis coinciden estrechamente con la solución exacta.

Figura 3. 4: Viga curva de un tramo y Esfuerzos

Sección A 1 2 3B

M1 -125.00 0.00 62.50 62.50 0.00

T1

M

T

0.00 2.87 0.78 -2.34 -4.17

-125.00 -0.28 62.46 62.55 0.00

-0.02 2.86 1.05 -2.34 -4.16

Tabla 3- 1: Momentos flectores y torsores de Ejemplo 3.1

3.1.2. Transformación de Torque en las fuerzas seccionales de torsión La suma vectorial de los momentos de flexión 𝑀 y 𝑀 + 𝑑𝑀 en un elemento diferencial de una viga curvada se denota 𝑚𝑡 𝑑𝑠 (Fig. 3.5). Debido a que es tangente al eje longitudinal del elemento, 𝑚𝑡 𝑑𝑠 pueden considerarse como un par de torsión. Es evidente que a partir del triángulo de fuerza se muestra en la figura 3.5 que 𝑚𝑡 = 𝑀/𝑟. Esta 20

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

expresión también se puede formular teniendo en cuenta las fuerzas de desviación que actúan sobre el elemento, que se define como la suma vectorial de las fuerzas de compresión y de tracción de flexión, respectivamente (Fig. 3.6). Las fuerzas de desviación se formulan de la siguiente manera: 𝑞𝐷 𝑑𝑠 = 𝐷𝑑𝜑

𝑞𝑧 𝑑𝑠 = 𝑍𝑑𝜑

El brazo de palanca interno se denota z. Haciendo la sustitución 𝐷 = 𝑀/𝑧 ,𝑍 = −𝑀/𝑧, y 𝑑𝜑 = 𝑑𝑠/𝑟, se obtienen las siguientes ecuaciones: 𝑞𝐷 =

𝐷 𝑀 = 𝑟 2𝑟

𝑞𝑧 =

𝑍 𝑀 = 𝑟 𝑧𝑟

Figura 3. 5: Momentos de flexión y torsión en un elemento de viga diferencial

Figura 3. 6: Fuerzas de desviación debido a la viga curva

La pareja que se forme por 𝑞𝐷 y 𝑞𝑧 se denota por 𝑚𝑡 𝑚𝑡 𝑑𝑠 = 𝑞𝐷 𝑧𝑑𝑠 = −𝑞𝑧 𝑧𝑑𝑠 21

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

𝑚𝑡 = 𝑞𝐷 𝑧 = −𝑞𝑧 𝑧 =

𝑀 𝑟

(a)

que es el mismo resultado como se obtiene a partir del modelo de la figura 3.4

Figura 3. 7: Fuerzas de desviación de la compresión a flexión y tensión en una viga cajón

En la caja de secciones transversales, las fuerzas de desvío se localizan en las losas superior e inferior (Fig. 3.7) Por lo tanto 𝑞 𝑡𝑠 =

𝑀 𝑚𝑡 = ℎ𝑜 𝑟 ℎ𝑜

𝑦

𝑞 𝑏𝑠 =

𝑀 𝑚𝑡 = ℎ𝑜 𝑟 ℎ𝑜

(b)

Cuando 𝑒 y 𝑡 son cero en la ecuación (3.1), el momento 𝑚𝑡 𝑑𝑠 será en equilibrio con el momento de torsión 𝑇: 𝑑𝑇 𝑀 = −𝑚𝑡 = 𝑑𝑠 𝑟

(c)

Se supone que la torsión en secciones de caja es resistida principalmente por un flujo de cizallamiento 𝜈 cerrado (Fig.3.8). Por consiguiente, la diferencia en 𝑑𝜈 flujo de cizallamiento a través del elemento se puede expresar en términos de la diferencia en el momento de torsión 𝑑𝜈 =

𝑑𝑇 2𝑏𝑜 ℎ𝑜

(d)

22

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 8: Flujo cortante en un elemento de viga curvada

Combinando las ecuaciones (c) y (d), se obtiene la siguiente expresión para 𝑑𝜈/𝑑𝑠 como una función de M: 𝑑𝜈 𝑑𝑇 1 𝑚𝑡 𝑀 = =− =− 𝑑𝑠 𝑑𝑠 2𝑏𝑜 ℎ𝑜 2𝑏𝑜 ℎ𝑜 2𝑏𝑜 ℎ𝑜 𝑟

Las fuerzas de corte corresponden por unidad de longitud en la losa superior, losa inferior, y nervios se dan en la figura 3.9. Adición de la fuerzas de desvío 𝑞 𝑡𝑠 y 𝑞 𝑏𝑠 (ecuaciones (b)) produce el estado de equilibrio mostrado en la figura 3.9. Las fuerzas de corte resultantes de la introducción de par de torsión producen transversal y flexión longitudinal en la viga. Este fenómeno es discutido en detalle en la Sección 3.2. Si las tensiones inducidas por la flexión transversal son altas, puede ser preferible proporcionar diafragmas intermedios. Las fuerzas de desvío 𝑞 𝑡𝑠 y 𝑞 𝑏𝑠 continuación, se transferirán a través de flexión longitudinal a los diafragmas, donde se introducen en la sección transversal como un par concentradas.

Figura 3. 9: Fuerzas de Corte Torsionales

23

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 10: Fuerzas de Corte por Torsión y Fuerzas de desviación

En vigas curvadas con sección transversal abierta, 𝑚𝑡 puede resolverse en un par estáticamente equivalente de fuerzas verticales aplicadas en el plano de los elementos laminares (fig. 3.11c):

Figura 3. 11 Torsión de alabeo en una curva sección en doble T: a, fuerzas de desvío debido a la tensión a la flexión y compresión; b, transversal aproximada momentos de flexión debido a las fuerzas de desviación; c, diferencial web de carga debido a la mt torque

𝑞̅ =

𝑚𝑡 𝑀(𝑞) = 𝑏𝑜 𝑟𝑏𝑜

(3. 2)

donde q es la carga dada, aplicada simétricamente alrededor del eje longitudinal de la viga. El momento de flexión longitudinal en cada mitad de la viga se puede suponer igual a la mitad el momento debido a 𝑞,𝑀(𝑞)/2 más el momento debido a 𝑞̅ 𝑀(𝑞): 𝑀𝑖𝑛𝑡 =

𝑀(𝑞) − 𝑀(𝑞̅ ) 2

𝑀𝑒𝑥𝑡 =

𝑀(𝑞) + 𝑀(𝑞̅) 2

donde "interior" y "exterior" se definen en relación con el centro de curvatura. Cuando 𝑀(𝑞) es positivo |𝑀𝑖𝑛𝑡 | < |𝑀𝑒𝑥𝑡 |; cuando 𝑀(𝑞) es negativo |𝑀𝑖𝑛𝑡 | > |𝑀𝑒𝑥𝑡 | . (Como una primera aproximación, se puede suponer que 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 𝑀(𝑞)/2 ).

24

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Las fuerzas de desvío 𝑞𝑧 y 𝑞𝐷 se calculan para el extensible de flexión y fuerzas de compresión de cada medio de la viga. Suponiendo que 𝑀(𝑞) es positivo, las fuerzas de tracción se dan por las ecuaciones siguientes:

𝑍𝑖𝑛𝑡 =

1 𝑀(𝑞) ( − 𝑀(𝑞̅ )) 𝑧 2

𝑀𝑒𝑥𝑡 =

1 𝑀(𝑞) ( + 𝑀(𝑞̅ )) 𝑧 2

donde 𝑧 es el brazo de palanca interno. Las fuerzas de desvío correspondientes son 𝑞𝑧,𝑖𝑛𝑡 =

𝑍𝑖𝑛𝑡 𝑟

𝑞𝑧,𝑒𝑥𝑡 =

𝑍𝑒𝑥𝑡 𝑟

Estas fuerzas inducen flexión transversal en las redes y en la losa superior. En la intersección de las redes y la losa superior, los momentos transversales están dados por las siguientes ecuaciones: 1 𝑀(𝑞) 𝑚𝑖𝑛𝑡 ≅ 𝑞𝑧,𝑖𝑛𝑡 𝑧 = ( − 𝑀(𝑞̅ )) 𝑟 2

(3. 3)

1 𝑀(𝑞) 𝑚𝑒𝑥𝑡 ≅ 𝑞𝑧,𝑒𝑥𝑡 𝑧 = ( + 𝑀(𝑞̅ )) 𝑟 2

(3. 4)

Ejemplo 3.2 Para un puente de un solo tramo simplemente calcular la flexión y torsión fija en ambos extremos. El intervalo 𝑙, es 30 m, y el radio de curvatura, 𝑟, es de 200 m. La distancia entre las líneas centrales de las almas, bo, es de 6,5 m. Una carga uniforme de 150 kN / m, denota por g, se aplica. El momento de flexión en centro de la luz se calcula aproximadamente por una viga recta: 𝑀(𝑔) =

𝑔𝑙 2 (150)(30)2 = = 16900 𝐾𝑁 ∙ 𝑚 8 8

El par de torsión en centro de la luz se calcula mediante la ecuación (3.1): 𝑚𝑡 =

𝑀(𝑔) 16900 = = 84.5 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚 𝑟 200

25

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

y se resuelve en los pares 𝑞̅: 𝑞̅ =

𝑚𝑡 84.5 = = 13.0 𝐾𝑁/𝑚 𝑏𝑜 6.5

La carga 𝑞̅ se distribuye de manera parabólica a lo largo de la longitud de la viga. El momento M (𝑞̅ ) se puede aproximar como sigue: 𝑀(𝑞̅ ) =

𝑞̅ 𝑙 2 (13.0)(30)2 = = 1220 𝐾𝑁 ∙ 𝑚 9.6 9.6

Se calculan los momentos transversales en la intersección de las bandas y la losa superior utilizando las ecuaciones (7.3) y (7.4) 1 16900 ( − 1220) = 36.2 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚 200 2 1 16900 = ( + 1220) = 48.4 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚 200 2

𝑚𝑖𝑛𝑡 = 𝑚𝑒𝑥𝑡

3.2.TORSION EN SECCION DE PARED DELGADA 3.2.1. Torsión Uniforme Teoría de Saint Venant Una pieza prismática está sometida a torsión uniforme cuando el momento torsor que en ella actúa es constante a lo largo de la misma y además los alabeos que se producen en las secciones no tienen ninguna coacción que impida su libre movimiento. Lógicamente las anteriores condiciones son ideales, por lo que en la práctica rara vez se presentan en toda su pureza. Sin embargo, aparecen multitud de casos en que, con un grado de aproximación razonable, su estado de torsión puede ser asimilado a torsión uniforme. Ello sucede fundamentalmente, tal como se analizará más adelante, con piezas de sección maciza y con perfiles cerrados de pared delgada. Las hipótesis básicas para la torsión uniforme son las siguientes:

26

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

a) Todas las secciones rectas de la pieza giran un ángulo φ1 alrededor de un eje, paralelo al eje de la pieza, denominado eje de torsión. Al punto situado en la intersección de dicho eje de torsión con una sección recta se le denomina centro de torsión. b) El giro θ = dφ1/dx1 por unidad de longitud es constante para toda la pieza. Esto significa que, dada una rebanada diferencial, el giro relativo entre las dos secciones es constante. c) Cada punto de una sección recta experimenta un alabeo (movimiento en dirección x1) de valor u1(x2, x3). Dicho alabeo no es función de x1, sino que es el mismo para cualquier sección. Por este motivo, las tensiones normales σ1 en la sección son nulas. Formulación de la Torsión de Saint Venant Se supone que no se produce tensiones longitudinales de flexión al actuar un momento torsor 𝑀𝑧 , la sección gira un ángulo 𝜃 alrededor del eje z (normal al plano de la sección) que pasa por el centro de cortantes. Los desplazamientos en el plano de la sección de un punto de coordenadas (x, y) son: 𝑣 = 𝑥𝜃

(e)

𝑢 = −𝑦𝜃

(f)

Con 𝑢 y 𝑣 desplazamiento según los ejes 𝑥 e 𝑦 respectivamente. Se supone que 𝜃 depende de 𝑧 únicamente y no de 𝑥 e 𝑦. El movimiento longitudinal (según el eje z) del mismo punto se denota por 𝑤. Las deformaciones de corte 𝛾𝑥𝑧 , 𝛾𝑦𝑧 son: 𝛾𝑥𝑧 =

𝜕𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑤 + = −𝑦𝜃 ′ + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(k)

𝛾𝑦𝑧 =

𝜕𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑤 + = 𝑥𝜃 ′ + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥

(b)

27

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Las relaciones tensión-deformación son para un material isótropo son: 𝜏𝑥𝑧 =

1 𝛾 𝐺 𝑥𝑧

𝑦

𝜏𝑦𝑧 =

1 𝛾 𝐺 𝑦𝑧

(c)

Donde la condición de equilibrio de una fibra implica que: 𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦

(d)

Por otra parte, el momento exterior de torsión es equilibrado por las tensiones cortantes 𝜏𝑥𝑧 y 𝜏𝑦𝑧 es decir: 1

𝑀𝑧 = ∬ (𝑦𝜏𝑥𝑧 − 𝑥𝜏𝑦𝑧 )𝑑𝐴

(e)

𝐴

El problema se resuelve introduciendo la función de tensión∅, definido como sigue: 𝜏𝑥𝑧 =

𝜕∅ 𝜕𝑦

;

𝜏𝑦𝑧 = −

𝜕∅ 𝜕𝑥

(f)

Con lo que resulta la ecuación diferencial: 𝜕2∅ 𝜕2∅ + = −2𝐺𝜃 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

(3. 5)

Con las pertinentes condiciones de contorno. Normalmente borde libre, implica la anulación de la tensión tangencia: 𝜎𝑥𝑧 =

𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕∅ cos 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴̅ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑛

El valor del ángulo 𝜃 se deduce de la condición de equilibrio global del momento torsor, es decir: 1

𝑀𝑧 = ∬ (𝑦 𝐴

1 𝜕∅ 𝜕∅ + 𝑥 ) 𝑑𝐴 = 2 ∬ ∅𝑑𝐴 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝐴

28

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Se designa como constante torsional de Saint Venant J a las características de la sección definida por la relación: 𝑑𝜃 𝑑𝑍

(3. 6)

4 ∬ ∅𝑑𝐴 𝐽=− 2 𝐴 2 𝜕 ∅ 𝜕 ∅ + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

(3. 7)

𝑀𝑧 = 𝐺𝐽 𝐸

Con 𝐺 = 2(1+𝑣) módulo de elasticidad transversal La expresión de J, es entonces: 1

El valor de J puede ser aproximado para secciones macizas mediante la expresión: 𝐽=

𝐴4 40 𝐼𝑝

(3. 8)

Donde A= área de la sección transversal, 𝐼𝑝 =momento polar de inercia respecto al centro de cortantes (que se puede suponer coincide con el centro de gravedad), con 𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 Las deformaciones de la viga debido a la torsión inducida a flexión transversal y longitudinal, sin embargo, son pequeñas en relación con las deformaciones debidas a flujo de cizallamiento de torsión. La deformación total debido a la torsión por lo tanto se puede suponer igual a la deformación en torsión pura 𝜃, definido por la siguiente ecuación: 𝜃(𝑥) = ∫

𝑇(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 𝐺𝐽

(3. 9)

donde se obtiene C de las condiciones de contorno y 𝐽 se define como la constante de torsión de la sección. Entonces el valor de J para una sección cajón no fisurado puede ser obtenida usando el método de trabajo A. segmento de viga Virtual de la longitud dx es considerado. La longitud y el grosor de la sección del elemento i se denotan b y t, respectivamente. El

29

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

verdadero momento de torsión T se supone para producir el giro d. la correspondiente deformación de corte de sección de elemento i es 𝛾𝑡 𝑑𝑥 =

𝑇 𝑑𝑥 2𝐴𝑜 𝐺𝑡𝑡

El momento de torsión virtual de T = 1 produce el flujo de tensiones 𝑢 = 1/2𝐴𝑜 . El esfuerzo cortante en la sección correspondiente elemento 𝑖 es 𝑣̅ 𝑏𝑖 =

𝑏𝑖 2𝐴𝑜

El trabajo externo e interno de las fuerzas virtuales y desplazamientos reales se puede equiparar 1 ∙ 𝑑𝜃 = ∑(𝑣̅ 𝑏𝑖 )(𝛾𝑖 𝑑𝑥) = ∑ ( 𝑖

𝑖

𝑏𝑖 𝑇 )( 𝑑𝑥) 2𝐴𝑜 2𝐴𝑜 𝐺𝑡𝑖

Resulta que 𝑑𝜃 𝑏𝑡 𝑇 𝑇 𝑏𝑖 𝑇 ∑𝑖(𝑏𝑖 /𝑡𝑖 ) =∑ =∑ = 𝑑𝑥 2𝐴𝑜 2𝐴𝑜 𝐺𝑡𝑖 4𝐺𝐴2𝑜 𝑡𝑖 𝐺 4𝐴2𝑜 𝑖

𝑖

donde J se define como la constante de torsión 𝐽=

4𝐴2𝑜 ∑𝑖 𝑏𝑖 /𝑡𝑖

(3. 10)

Figura 3. 12: Torsión de St. Venant en una sección transversal cerrada

30

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

3.2.2. Torsión Alabeada Teoría de Vlassov En la teoría de la torsión uniforme (también llamada torsión según Saint-Venant), cada punto de las correspondientes secciones rectas alabea libremente sin que exista ninguna coacción a dicho movimiento. Ello comporta que el ángulo específico de torsión sea el mismo para todas las secciones de la pieza y que la distribución de tensiones tangenciales tampoco dependa de la coordenada x1. Si se considera, sin embargo, la pieza como formando parte de todo un conjunto estructural, los mencionados alabeos no serán en general libres, sino que normalmente existirá algún tipo de coacción. De esta forma, los alabeos pueden dejar de ser uniforme a lo largo del eje de la pieza. Lógicamente, si dichos alabeos están coaccionados aparecerán unas tensiones normales 𝜎1 variables punto a punto en la sección y función de la sección que se considere. Además, y como consecuencia de la variabilidad a lo largo del eje de la pieza de las tensiones normales, aparecerán asimismo unas tensiones tangenciales 𝜏 (que, como se verá más adelante, son constantes en el espesor) que producirán un momento torsor 𝑀𝑤 denominado momento de alabeo. Lógicamente, el momento torsor total 𝑇 que actúa en una sección es la suma del mencionado torsor 𝑀𝑤 y del producido por la torsión uniforme 𝑀𝑡 . Es decir, 𝑇 = 𝑀𝑧𝑣 + 𝑀𝑧𝑤 Formulación de la Torsión de Vlassov Como se ha indicado anteriormente, cuando existe, en los extremos de la viga, coacción al alabeo de la sección aparece una tensiones longitudinales que induce, otras cortantes, las cuales integradas producen una torsión adicional a la anteriormente estudiada o de Saint Venant. Ahora las secciones planas no permanecen planas después de la formación. Por lo tanto, un momento torsor total 𝑇 se descompone ahora en la siguiente forma Figura 3.12a: 𝑇 = 𝑀𝑧𝑣 + 𝑀𝑧𝑣

(3. 10)

31

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

en donde 𝑀𝑧𝑣 corresponde al momento torsor de Saint Venant o sin alabeo, y 𝑀𝑧𝑤 es el debido a la coacción al alabeo. Para la determinación de estos dos sumandos se considera primeramente el caso sencillo de la sección abierta y pared delgada de la Figura 3.13. La línea media de la sección referida a un sistema de ejes coordenados de origen C es: 𝑥 = 𝑥(𝑠)

𝑦 = 𝑦(𝑠)

con parámetros del arco s medido desde un borde. Sean (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) las coordenadas del centro de la sección O. La distancia 𝜌𝑜 desde este punto a la tangente en un punto genérico P(x, y) de la línea media dada por la expresión: 𝜌𝑜 = 𝜌 + 𝑥𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑦𝑜 cos 𝛼 = 𝜌 − 𝑥𝑜

𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑜 𝑑𝑠 𝑑𝑠

(3. 11)

Figura 3. 13: Ejemplo de torsión Alabeada

32

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Sea 𝜃 el ángulo de giro de torsión de la sección alrededor de O. Se desprende de la Figura 3.4 la siguiente igualdad: 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑣 + =𝜇=0 𝜕𝑠 𝜕𝑧 es decir: 𝑑𝑤 ̅ = −𝛾𝑑𝑠 = −𝜌0

𝑑𝜃 𝑑𝑠 = −𝜌𝑜 𝜃 ′ 𝑑𝑠 𝑑𝑧

(3. 12)

En donde los movimientos 𝑤 ̅ se miden en el sentido de la z creciente. El acento significa derivada respecto a la dirección longitudinal (luz) z. De la ecuación (3.12) se deduce: 𝑠

𝑤 ̅ = −𝜃 ′ ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 + 𝑘𝑜 (𝑧) 0

con 𝑘𝑜 (𝑧) una constante función de la distancia z

Figura 3. 14: Torsión con alabeo

La tensión longitudinal 𝜎𝑠 (𝑠) se obtiene mediante la ecuación de Hooke a nivel de rebanada elemental, es decir: 𝜎𝑧 = 𝜎𝑧 (𝑠) = 𝐸𝛿𝑧 (𝑠) = 𝐸

𝑠 𝑑𝑤 ̅ = 𝐸{−𝜃′′ ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 + 𝑘 ′ 𝑜 (𝑧)} 𝑑𝑧 0

33

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

El equilibrio de un elemento de pared se puede deducir de la inspección de la figura 3.14 b en donde ahora las tensiones cortantes debidas al alabeo se designara por 𝜏𝑤 , obteniéndose la siguiente ecuación. 𝑠

𝜏𝑤 𝑒 = − ∫

0

𝜕𝜎𝑧 𝑒 𝑑𝑠 𝜕𝑧

(3. 13)

Por otra parte, el equilibrio de tensiones en toda la sección conduce a las igualdades: 𝑙

𝑙

𝑍 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒 𝑑𝑠 = 0 = −𝜃 ′′ ∫0 𝐸

𝑠

{∫0 𝜌0 𝑑𝜉 }

0

𝑙

𝑙

0

0

𝑙

𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘 ′ 0 ∫ 𝐸 𝑒 𝑑𝑠 = 0 0

𝑠

𝑙

𝑀𝑥 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸 {∫ 𝜌0 𝑑𝜉 } 𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘 ′ 0 ∫ 𝐸 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0 𝑙

𝑀𝑦 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0 = −𝜃

0

𝑙

𝑠

′′ ∫0 𝐸 {∫0 𝜌0 𝑑𝜉 }

0

(3. 14)

0

′

𝑙

𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘 0 ∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0 0

con objeto de simplificar estas ecuaciones de equilibrio se considera la integral: 𝑠

𝑤𝑜 = ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 0

y la igualdad (3.11) obteniéndose: 𝑠

𝑠

𝑤𝑜 = ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑑𝑠 − 𝑥𝑜 {𝑦 − 𝑦(0)} + 𝑦𝑜 {𝑥 − 𝑥(0)} 0

se define que:

0

= 𝑤 − 𝑥0 {𝑦 − 𝑦(0)} + 𝑦𝑜 {𝑥 − 𝑥(0)} 𝑠

𝑤 = ∫ 𝜌 𝑑𝑠 0

La segunda ecuación se transforma: 𝑙

𝑙

0

0 𝑙

𝜃 ′′ {∫ 𝐸𝑤𝑒𝑦𝑑𝑠 − ∫ 𝐸 𝑦0 {𝑥 − 𝑥(0)} 𝑒𝑦 𝑑𝑠 ′

𝑙

(3. 15)

− ∫ 𝐸𝑥0 {𝑦 − 𝑦(0)} 𝑒𝑥𝑑𝑠 − 𝑘 𝑜 ∫ 𝐸𝑒𝑦𝑑𝑠 = 0 0

0

34

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

pero si se elige como el origen C de coordenadas el cdg se tiene: 𝑙

𝑙

∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0 ,

∫ 𝐸 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0

0

0

y por otra parte se escribe los momentos de segundo orden: 𝑙

𝑙

0

0

𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠; 𝐼𝑥𝑥 = ∫ 𝐸 𝑒𝑥 2 𝑑𝑠;

𝑙

𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝐸 𝑒𝑦 2 𝑑𝑠 0

Finalmente, considerando las definiciones dadas la ecuación (3.15) se convierte en la siguiente 𝜃 ′′ {𝐼𝑤𝑦 + 𝑦(0)𝐼𝑥𝑦 − 𝑥(0)𝐼𝑦𝑦 } = 0 y análogamente con la ecuación tercera de las (3.14) se deduce: 𝜃 ′′ {𝐼𝑤𝑥 + 𝑦(0)𝐼𝑥𝑥 − 𝑥(0)𝐼𝑥𝑦 } = 0 Estas dos ecuaciones permiten determinar las constantes de integración x (0), y (0), que se comprueban corresponden a la situación del centro de esfuerzos cortantes. De la primera de las (A.16) se obtiene: 𝑙

−𝜃´´ ∫ 𝐸 𝑒 𝑤𝑜 𝑑𝑠 + 𝐸0 𝐴0 𝑘´0 = 0 0

con 𝑙

𝐸0 𝐴0 = ∫ 𝐸 𝑒𝑑𝑠

𝑙

𝑦

𝑤𝑜 = ∫ 𝜌0 𝑑𝑠

0

0

La expresión de la tensión longitudinal ahora se puede escribir como sigue: 𝑙

𝑙

𝜎𝑧 = 𝐸{−𝜃′′ ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 + 𝑘′0 } = −𝐸𝜃′′ ∫ 𝜌0 𝑑𝑠 + es decir:

0

𝜎𝑧𝑤 = 𝜎𝑠 = 𝐸𝜃 ′′ (

0

𝐸 𝜃′′ 𝑙 ∫ 𝐸 𝑒 𝑤 𝑑𝑠 𝐸0 𝐴0 0

𝑙 1 ∫ 𝐸 𝑒 𝑤𝑜 𝑑𝑠 − 𝑤𝑜 ) = 𝐸𝜃′′𝑤1 𝐴𝑜 𝐸𝑜 0

(3. 16)

35

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Por último, la ecuación de equilibrio (A.15) se

puede escribir como se indica a

continuación 𝑠

𝜏𝑤 𝑒 = −𝜃′′′ ∫ 𝐸 𝑒 𝑤1 𝑑𝑠 = −𝜃′′′𝑆𝑤

(3. 17)

0

el momento torsor que produce estas tensiones cortantes 𝜏𝑤 , del alabeo es directamente 𝑙

𝑙

𝑀𝑧𝑤 = ∫ 𝜏𝑤 𝑒𝜌𝑜 𝑑𝑠 = −𝜃 ′′′ ∫0 𝑆𝑤𝜌0 𝑑𝑠 = −𝜃′′′𝐸𝑜 𝐼𝑤

(3. 18)

0

en donde 𝐼𝑤 se denomina la constante de alabeo y 𝐸𝑜 es el valor medio 𝐸, es decir, 1 𝑙 𝐸𝑜 = ∫ 𝐸 𝑑𝑠 𝑙 0 El momento de alabeo 𝐸𝐼𝑤 constituye una constante importante en la sección. Su expresión puede ser obtenida de una forma cómoda, como sigue: 𝑙

𝐼𝑤 = ∫ 𝑤12 𝑒 𝑑𝑠

(3. 19)

0

Se suele definir el bimomento como 𝐵𝑖 = 𝐸𝐼𝑤 𝜃′′. Su interpretación física, en una sección en doble te, puede se los dos momentos flectores (de signos opuestos) actuando en los planos de las alas de la viga. Las tensiones longitudinales de flexión se deducen en función del bimomento al considerar (3.16), resulta: 𝜎𝑧 =

𝐵𝑖 ∙ 𝑤1 𝐼𝑤

que constituye una fórmula similar a la de flexión de vigas. 𝑀𝑧 = 𝑀𝑧𝑤 + 𝑀𝑧𝑣 𝑀𝑧𝑣 = 𝐺𝐽𝜃′ (Torsor de Saint Venant) 𝑀𝑧𝑤 = −𝐸𝑜 𝐼𝑤 𝜃′′′ (Torsor producida por el Alabeo)

36

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

3.2.3. Torsión Mixta La interacción de la torsión de Saint-Venant 𝑀𝑧𝑣 y torsión alabeo 𝑀𝑧𝑤 requiere tener en cuenta cada vez que ambos efectos son del mismo orden de magnitud. En cualquier punto z a lo largo del miembro, el momento de torsión 𝑀𝑧 es igual a la suma de los dos efectos como se muestra en la ecuación (3.10) La parte de Saint-Venant del momento de torsión es proporcional a la primera derivada del ángulo de giro como se muestra en la expresión (3.6) La deformación de torsión, por otro lado, es proporcional a la primera derivada de la deformación momento 𝑀𝑧𝑤 . El momento deformación se define en la ecuación (3.18) Los signos de los momentos de torsión se determinan por la siguiente convención: Un momento de torsión que actúa sobre una sección transversal con un positivo normal exterior es positivo siempre que provoca una rotación positiva (en + 𝜃-sentido) de la sección transversal. Por el contrario, un momento de torsión que actúa sobre una sección transversal con un negativo normal exterior debe girar en el negativo 𝜃 - el sentido de ser positivo. El símbolo 𝑚𝑡 denota una carga de torsión aplicada externamente por unidad de longitud y es positivo si se aplica en el sentido positivo de 𝜃. La condición de equilibrio para un elemento de la longitud del miembro de 𝑑𝑧 puede así ser formulada como sigue: −𝑇 + 𝑚𝑡 𝑑𝑧 + (𝑇 +

𝑑𝑇 𝑑𝑧) = 0 𝑑𝑧

lo que simplifica a: −

𝑑𝑇 = 𝑚𝑡 𝑑𝑧

37

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Si el momento de torsión que es, de acuerdo a la ecuación (3.10), dividido en los dos componentes del 𝑀𝑧𝑣 y 𝑀𝑧𝑤 y si este último se introducen de acuerdo con las expresiones (3.6) y (3.18), la siguiente ecuación diferencial fundamental para la torsión mixta resulta: ′ ′

(𝐸𝐼𝑤 𝜃 ′′ ) − (𝐺𝐽𝜃 ′ )′ = 𝑚𝑡 Desde la siguiente teoría se limita a los miembros prismáticos, esta lineal ecuación diferencial de cuarto orden tendrá coeficientes constantes, entonces estas queda definida como: 𝐸𝐼w

𝑑4 𝜃 𝑑2 𝜃 − 𝐺𝐽 = 𝑚𝑡 𝑑𝑧 4 𝑑𝑧 2

(3. 20)

donde 𝜃(𝑧) es el giro de una sección cualquiera respecto al centro de esfuerzos cortantes, E, G son el módulo de Young y el módulo de rigidez a cortante, J es el módulo de torsión y 𝐼𝑤 es el módulo de alabeo, m(t) es el momento distribuido a lo largo de la viga. La ecuación (3.20) se reorganiza introduciendo un parámetro denominado esbeltez torsional 𝜆 = 𝐿√𝐺𝐽/𝐸𝐼w

(3. 21)

que mide la proporción entre la rigidez seccional de ambos mecanismos de torsión: la torsión uniforme GJ y la torsión alabeada EI. La ecuación se hace adimensional haciendo x= Lξ e introduciendo la coordenada relativa ξ 𝜖 [0; 1]. Así, la Ecuación (3.20) se puede escribir como 𝐸𝐼ΩΩ 𝑑 4 𝜃 𝑑2𝜃 2 ( −𝜆 ) = 𝑚(𝜉) 𝐿4 𝑑𝜉 4 𝑑𝜉 2 La solución general de la ecuación es de la forma 𝜃(𝜉) = 𝛼 + 𝛽 sinh(𝜆𝜉) + 𝛾 cosh(𝜆𝜉) + 𝜃𝑝 (𝜉) Donde ∝, 𝛽, 𝛾 son constantes de integracion a obtener con las condiciones de contorno y 𝜃𝑝 (ξ ) es una solución particular de la ecuación completa. Obtenida la solución en giros los esfuerzos asociados al problema de torsión se obtienen como Torsor uniforme, torsor de alabeo y Bimomento explicado en las ecuaciones: 38

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Torsor uniforme: 𝑇𝐽 (𝜉) =

𝐺𝐽 𝑑𝜃 𝐿 𝑑𝜉

Torsor de alabeo: 𝑇𝐼 (𝜉) = − Bimomento: 𝐵(𝜉) =

𝐸𝐼𝑤 𝑑3 𝜃 𝐿3 𝑑𝜉 3

𝐸𝐼𝑤 𝑑2 𝜃 𝐿2 𝑑𝜉 2

El parámetro 𝜆 gobierna el reparto del torsor total en cada sección 𝑇𝐽 + 𝑇𝐼 entre cada una de sus componentes. En las zonas cercanas a secciones con alabeo coartado es predominante el comportamiento alabeado mientras que en las zonas alejadas el reparto dependerá de la longitud de la viga respecto al radio de giro a torsión 𝑖 𝑇 = √𝐸𝐼w /𝐺𝐽 = 𝐿/𝜆. En general para el análisis de la torsión de una viga de longitud L y con condiciones de contorno en los extremos, un criterio para veri car que mecanismos de torsión son predominantes es el dado por la Tabla 3-2. Se comprueba que valores bajos de la esbeltez torsional se corresponden a secciones esbeltas (se asume abiertas) en vigas cortas en relación al radio de giro de la sección. Dominio de la Torsión Alabeada pura Alabeada dominante Mixta Uniforme Uniforme pura

Esbeltez torsional 𝜆=0 0 < 𝜆 < 2.0 0 ≤ 𝜆 < 5.0 5 ≤ 𝜆 ≤ 10 𝜆→∞

Ecuación de la Torsión 𝐸𝐼w 𝜃 𝑖𝑣 = 𝑚𝑡 𝐸𝐼ΩΩ 𝜃 𝑖𝑣 + 𝐺𝐽𝜃 ′′ = 𝑚𝑡 𝐺𝐽𝜃 ′′ = −𝑚𝑡

Tabla 3- 2: Dominios de la torsión

A partir de la división presentada en la Tabla 3-2, obtener la solución de torsión en vigas con esbeltez torsional nula se reduce a resolver una viga a flexión pues la ecuación que gobierna el fenómeno de la torsión alabeada pura, 𝐸𝐼w 𝜃 𝑖𝑣 = 𝑚𝑡 es exactamente igual a la de la flexión en vigas de Euler-Bernouilli, 𝐸𝐼𝑤 𝑖𝑣 = 𝑞(𝑥): es lo que se denomina analogía de la flexión. Básicamente, se trata de traducir condiciones de contorno, fuerzas y variables a un problema analogía de flexión. En la Tabla 3-3 se muestra la correspondencia entre los dos problemas. Es obvio que resulta mucho más intuitivo obtener estas variables que los torsores y bimomentos asociados, cuya naturaleza es bastante más complicada de entender. Resulta en

39

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

general más cómodo trabajar en la obtención de movimientos o en la resolución de vigas hiperestáticas a flexión mediante métodos clásicos como los teoremas de Mohr o los teoremas de Castigliano [16], por mencionar alguno. Además el problema de éxito nos ayuda enormemente a interpretar físicamente el problema de la torsión, pues esfuerzos análogos producen tensiones de la misma naturaleza. Esto se puede visualizar con las tensiones normales: En el problema de la flexión se calculan a partir de los sectores, por lo que en el problema de la torsión tienen exactamente la misma expresión pero en función de los bimomentos, tal y como se observa en la Tabla 3-2. La misma analogía se puede realizar entre tensiones tangenciales, torsores y cortantes. Esta analogía es muy útil pues nos permite predecir a priori las secciones más solicitadas por simple observación de los diagramas de cortantes y flectores de la analogía de la flexión. Esto es especialmente útil cuando tenemos una viga con múltiples apoyos intermedios y diferentes configuraciones de carga. Nótese que la analogía de la flexión tal y como la hemos presentado no podemos usarla para obtener la respuesta en torsión para el caso general de la torsión mixta 𝜆 ≠ 0, pues aparece el término de la torsión uniforme.

40

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Tabla 3- 3: Analogía de flexión y torsión alabeada

41

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

3.3. FUERZAS DEL PREESFORZADO 3.3.1. Pretensado En sistemas estáticamente determinadas, las fuerzas en el acero de pretensado están en equilibrio con las fuerzas seccionales en el hormigón. Por consiguiente, las últimas fuerzas se pueden obtener directamente a partir de los componentes correspondientes de la primera. Suponiendo que el ángulo de inclinación del tendón es pequeño, los componentes de fuerza de tensión previa relativa al centro del sistema de coordenadas de la figura 3.15 son los siguientes. 𝑃𝑥 ≅ 𝑃

𝑀𝑥 = 𝑃𝑧 𝑎𝑦 − 𝑃𝑦 𝑎𝑧

𝑃𝑧 = 𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑦 𝑑𝑥

𝑀𝑦 = 𝑃𝑥 𝑎𝑧

𝑃𝑧 = 𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑧 𝑑𝑥

𝑀𝑧 = −𝑃𝑥 𝑎𝑦

The torsional moment is defined with respect to the shear center: 𝑇 = 𝑀𝑥 − 𝑃𝑥 𝑐𝑦 + 𝑃𝑦 𝑐𝑧 = 𝑃𝑧 (𝑎𝑦 − 𝑐𝑦 ) − 𝑃𝑦 (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧 )

Figura 3. 15: Componentes de fuerza de pretensado

42

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Cada uno de estos componentes corresponde a una fuerza de corte igual y opuesta en el hormigón: 𝑁𝑐 = −𝑃𝑥

𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥 (𝑎𝑦

𝑉𝑐,𝑦 = −𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑦 𝑑𝑥

𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥 𝑎𝑥

𝑉𝑐,𝑧 = −𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑦 𝑑𝑥

𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥 𝑎𝑥

𝑇𝑐 = −𝑃𝑥 [(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦 )

𝑑𝑎𝑦 𝑑𝑎𝑧 − 𝑎𝑧 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑎𝑦 𝑑𝑎𝑧 − (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧 ) ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥

(3. 22)

Las fuerzas seccionales de hormigón producidas por varios tendones se obtienen a partir de la superposición de las componentes de fuerza de cada tendón individual. La curvatura del perfil de tendón o curvatura de la misma, produce fuerzas de desvío normales al eje longitudinal de la viga. Estos deben ser equilibrados en la sección de hormigón, ya sea por flujo de cizallamiento diferencial o por las fuerzas de desviación de las tensiones normales. Aunque la fuerza de desviación del tendón se puede suponer concentrado en un solo lugar, las tensiones de hormigón equilibrarte se distribuyen típicamente sobre toda la sección. Flexión transversal en la sección transversal será por lo tanto ser inducida. Desde los momentos transversales de flexión son necesarios para el equilibrio, deben ser consideradas en estado límite último. La fuerza de desviación de los tendones debido a la curvatura de la viga en el plano xy está en equilibrio con las fuerzas de desvío de las tensiones normales en el hormigón debido a 𝑁𝑐 ,𝑀𝑐,𝑦 y 𝑀𝑐,𝑧 : 𝑐𝑔

𝑐𝑔

𝑞𝑃,𝑦 = 𝑞𝑃,𝑦 Donde 𝑐𝑔

𝑞𝑃,𝑦 = −

𝑃𝑥 𝑟

1 𝑐𝑔 𝑞𝑃,𝑦 = − 𝜎𝑥 (𝑁𝑐 , 𝑀𝑐,𝑦 , 𝑀𝑐,𝑧 ) 𝑟

43

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Las fuerzas de desvío de los tendones debido al perfil del tendón con respecto al eje de la viga están dadas por las siguientes expresiones: 𝑝𝑡 𝑞𝑃,𝑦 =

𝑑𝑃𝑦 𝑑 2 𝑎𝑦 = 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

𝑝𝑡 𝑞𝑃,𝑧 =

𝑦

𝑑𝑃𝑧 𝑑 2 𝑎𝑧 = 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

𝑝𝑡 𝑝𝑡 Se supone que 𝑞𝑃,𝑦 y 𝑞𝑃,𝑧 se aplican en el centro de corte. Por consiguiente, el par

correspondiente es: 𝑝𝑡 𝑝𝑡 (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧 ) + 𝑞𝑃,𝑧 𝑚𝑡,𝑃 = −𝑞𝑃,𝑦 (𝑎𝑦 − 𝑐𝑦 )

𝑚𝑡,𝑃

𝑑 2 𝑎𝑦 𝑑 2 𝑎𝑧 (𝑎 ) = 𝑃𝑥 [− − 𝑐𝑧 + (𝑎 − 𝑐𝑌 ) 𝑑𝑥 2 𝑧 𝑑𝑥 2 𝑦

Estas fuerzas se equilibran en la sección de hormigón por el flujo de cizallamiento diferencia 𝑑𝑣/𝑑𝑥 debido a 𝑉𝑐,𝑦 ,𝑉𝑐,𝑧 , y 𝑇𝑐 . En una viga prismática, la distribución de los 𝑑𝑣/𝑑𝑥 en la sección transversal es geométricamente similar a la distribución 𝑉𝑐,𝑦 ,𝑉𝑐,𝑧 y 𝑇𝑐 se muestran en la Figura 3.16. Para el elemento de viga debe ser considerado en el cálculo de 𝑑𝑣/𝑑𝑥. La distribución exacta del flujo de cizallamiento diferencial a menudo no es necesaria para el cálculo de los momentos de flexión transversales. No es suficiente en casos para 𝑝𝑡 calcular las fuerzas de corte en la losa superior, losa inferior, y las telas por equilibrar 𝑞𝑃,𝑦 , 𝑝𝑡 𝑝𝑡 𝑞𝑃.𝑧 , y 𝑚𝑡.𝐹 . Así, las fuerzas de corte en el balance losa superior e inferior 𝑞𝑃.𝑦 , las fuerzas 𝑝𝑡 de corte en el balance redes 𝑞𝑃.𝑧 , y 𝑚𝑡.𝐹 se equilibra con un flujo cerrado alrededor de la

caja. En sistemas estáticamente indeterminada, los momentos redundantes debido a la tensión previa se pueden determinar fácilmente utilizando el método aproximado presentado en la Sección 3.1 La ecuación (3.1) se utiliza para calcular el par debido al momento redundante debido a pretensado en la viga recta, 𝑀𝑠𝑃,1 : 𝑚𝑡,𝑠𝑃 =

𝑀𝑠𝑃,1 𝑟

44

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 16: Flujo cortante en una sección cajón a, debido a 𝑽𝒄,𝒚 ; b, debido a 𝑽𝒄,𝒙 ; c, debido a 𝑻𝒄

Los momentos de torsión redundantes debido a la tensión previa,𝑇𝑠,𝑝 , se calculan a partir de 𝑚𝑡,𝑠𝑃 y de los momentos de torsión debido a la tensión previa en el sistema estáticamente determinado, 𝑇𝑜𝑝 3.3.2.

Tendones en puentes curvos

El concepto pretensado para puentes curvos se basa normalmente en las mismas consideraciones que para los puentes rectos. Como mínimo, las tensiones de tracción en la losa de la cubierta debido a la carga permanente deben ser prevenidas. La torsión, que aumenta los esfuerzos de tracción a la flexión, debe ser considerado en el cálculo de la fuerza de pretensado requerido. Los tendones de los puentes curvos se pueden organizar igual que los puentes rectos. Es también posible, sin embargo, disponer los tendones para mejorar el comportamiento de la estructura no sólo en la flexión y cortante, sino también en torsión. En vigas cajón, los tendones que contrarrestan la torsión pueden estar dispuestos en los elementos laminares o en las losas superior e inferior. El perfil requerido tendón puede ser elegido, por ejemplo, para equilibrar alguna fracción de los momentos de torsión debido a la carga muerta. En un sistema estáticamente determinado, el momento de torsión inducida por un tendón individuo está dado por la siguiente expresión: 𝑇𝑐 (𝑃) = −𝑃𝑥 [(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦 )

𝑑𝑎𝑦 𝑑𝑎𝑧 − (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧 ) ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥

(3. 23)

45

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Cuando el tendón se encuentra en una red y (𝑎𝑦 - 𝑐𝑦 ) es constante, de la pendiente, 𝑑𝑎𝑧 /𝑑𝑥 puede ser elegido para que coincida con el diagrama de momento de torsión debido a las cargas en cada punto a lo largo de la viga. Del mismo modo, cuando el tendón está situado en la losa superior o inferior y (𝑎𝑧 - 𝑐𝑧 ) es constante, de torsión puede ser equilibrada por una elección apropiada de 𝑑𝑎𝑦 /𝑑𝑥. En vigas simplemente apoyadas, es posible disponer los tendones para equilibrar un diagrama de momento de torsión sin que se modifique el efecto del pretensado en la flexión. Esto se logra mediante la localización de los tendones en el alma exterior por encima, y los tendones en los nervios interiores a continuación, el perfil determinado para el comportamiento a la flexión (fig. 3.17). Como se muestra en la figura 3.18, el equilibrio de la torsión de esta manera aumenta la flexión transversal. Ahorro en el refuerzo de torsión se consiguen por lo tanto en el coste de refuerzo adicional para el curvado transversal. Los tendones en las losas superior e inferior pueden compensar la torsión y la flexión transversal (fig. 3.19). En esta disposición, los ahorros en el refuerzo de la torsión y la flexión transversal se obtienen a costa de pretensado adicional. Por estas razones, por lo tanto, el equilibrio de la torsión por pretensado se evita normalmente. Independientemente de la disposición del tendón, el ahorro en refuerzo son pequeñas y casi siempre compensado, cabo por las dificultades en la construcción. En vigas continuas, es imposible equilibrar un diagrama de momento de torsión dada ajustando el perfil de los tendones en las redes sin reducir el efecto de flexión del pretensado (fig. 3.20).

46

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 17: Disposición de tendón viga isostática para compensar flexión y torsión a, modelo; b, momentos de torsión debido a la carga muerta, Tc; c, arreglo tendón para equilibrar Tc; d, arreglo de tendón para equilibrar los momentos de flexión debido a la carga muerta; e; superposición de arreglos (d) para equilibrar la torsión y flexión

Figura 3. 18: Fuerzas Transversales a, debido a la carga; b, debido al pretensado con tendones en las bandas dispuestos como en la figura 3.17

47

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Si la torsión en vigas continuas debe ser compensada por pretensado, es preferible utilizar tendones adicionales en las losas superior e inferior (fig. 3.21). En vigas rectas con soportes no sesgar, el efecto de pretensado longitudinal se limita esencialmente al comportamiento estructural longitudinal. Pretensado contribuye directamente a la resistencia a la flexión de las secciones transversales; la fuerza de los rendimientos de los tendones en tanto, considera en el cálculo de Mg. La componente vertical del pretensado, Vp, normalmente actúa contra la fuerza cortante debido a la carga. Se puede añadir a la resistencia de la sección transversal, o, de manera equivalente, a la cortante de diseño. 𝑉𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑝 Cualquier fuerza transversal seccionales inducidas por el pretensado de vigas rectas son pequeñas y pueden despreciarse

Figura 3. 19: Fuerzas transversales en un elemento de viga a, debido a la carga; b, debido al pretensado con tendones en las losas superior e inferior

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 20: Arreglo tendón Teórica en una viga continua para compensar la flexión y torsión a, modelo; b, momentos de torsión debido a la carga muerta, Tc; c, disposición de tendón para equilibrar Tc; d, arreglo de tendón para equilibrar los momentos de flexión debido a la carga muerta; e, superposición de arreglos (c) y (d) para equilibrar la torsión y flexión

En vigas curvadas, el efecto de pretensado longitudinal es más penetrante. Como se muestra en las figuras 3.18 y 3.19, de pretensado también induce la torsión y la flexión transversal. El momento de torsión inducido por pretensado, Tp, se puede añadir a la torsión de diseño de una manera similar a la cortante longitudinal: 𝑇𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑇𝑑 + 𝑇𝑝 Fuerzas de sección transversal efectiva también se utilizan para el diseño de elementos de sección transversal bajo los efectos combinados de flexión y cizalladura transversal: 𝑚𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑚𝑑 + 𝑚𝑝

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 21: Disposición de los tendones de vigas continúas para compensar la torsión

Los componentes de las fuerzas seccionales efectivos debido al pretensado (Vp, Tp, mp) deben calcularse utilizando Po cuando la fuerza de corte de diseño se reduce el pretensado y 1.2Po, cuando se aumenta el pretensado. 3.4. SECCIONES CAJÓN 3.4.1.

Secciones Cajón y Tipos

La alta resistencia a la torsión de vigas cajón hace ideales para vigas curvadas en planta. En su placa de forma y caja vigas simples se puede considerar como un conjunto de membranas y bridas como se muestra en la Figura 3.22

Figura 3. 22: Conjunto de elementos de una viga cajón

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Con el fin de reducir el peso propio de estas vigas y así lograr economía, se emplean secciones de placa delgadas (que tienen dimensiones laterales grandes en comparación con sus espesores). De ahí pandeo y de la reserva de post-pandeo fortalezas locales de placas son criterios de diseño importantes. Bridas en una viga de telas caja y en la placa y la caja de vigas a menudo se refuerzan con refuerzos para permitir el uso eficiente de placas delgadas. El diseñador tiene que encontrar una combinación de espesor de la placa y el espaciamiento de refuerzo que se traducirá en la sección más óptima con un costo reducido peso y la fabricación. Estados límite de códigos de diseño han puesto un mayor énfasis en el desarrollo de nuevos enfoques basados en la resistencia a la rotura de la placa y la caja de vigas y sus componentes. Secciones transversales huecas en comparación con proporciones de sección-transversal completa de gran inercia y módulo de sección con respecto al área de sección transversal. Esto da como resultado una buena utilización del material y puede ser debido a los grandes diámetros de núcleo consiguientes parece ser particularmente adecuado para construcciones pretensadas, estas secciones transversales. Debido a la relativamente gran rigidez a la torsión de la viga de caja es particularmente favorable para puentes de ferrocarril y para puentes horizontalmente curvadas. Al ser cerrado provoca un flujo de corte donde al mismo tiempo una reducción de la flexión y por lo tanto tiene una buena distribución para el resultado fuera del centro de carga.

Figura 3. 23: Ejemplos de secciones transversales de una sola célula

En la formación de secciones huecas es en principio diferente y unicelular secciones transversales multicelulares (Figuras 3.23 y 3.24)

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 24: Ejemplos de secciones transversales multicelulares

Otra característica distintiva es la inclinación de las barras. Esto puede sondear dispuesto o inclinado. Cantos perpendiculares son ventajas durante la instalación de la armadura y hormigonado. Debido a la inclinación de las bandas (normalmente 4:1 o 3:1), reduce el lapso de la placa inferior. También se puede lograr que la viga cajón se apoyar directamente sobre el pilar (transferencia de carga directa) o pilares estrechos son posibles. El análisis elástico lineal para el caso de vigas de planteados, tales como la que se muestra en la Figura 3.25 la vertical (Figura 3.25 (a)) y horizontales (Figura 3.25 (d)) componentes de las cargas aplicadas producen tensiones de flexión elásticas (Figura 3.25 (b) y (e)) y tensiones de cizallamiento (Figura 3.25 (c) y (f)) cuando actúan a través del centro de corte. Estas fuerzas producen par de torsión sobre la sección transversal si actúan excéntricamente con respecto al centro de corte. Secciones de la caja son muy fuertes en comparación con perfiles en I en la resistencia de torsión.

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 25: Flexión de vigas cajón

El supuesto de la teoría de la flexión simple es razonablemente precisa si la relaciónlapso-a la profundidad de la placa o cuadro vigas excede de aproximadamente 4. Sin embargo, a causa de diferencial flexión en planos verticales, las secciones transversales son sometidas a la deformación. Otro aspecto de la conducta no permitida para en el simple tratamiento de la torsión es la posible distorsión

de la sección transversal.

Distorsión introduce adicional estrés de varios tipos, y estos tienen que ser permitido para. Sin embargo, el efecto de la distorsión puede ser controlado por el la rigidez y el espaciamiento de los marcos transversales o diafragmas. En el caso de secciones en la que la anchura entre las redes es muy, surge la pregunta grande y casi igual a la duración acerca de la efectividad de la anchura completa de la brida. Hay, evidentemente, tiene que haber alguna limitación en el 'ancho efectivo' de bridas de relaciones ancho / longitud superiores. Estas limitaciones son debido a la intrusión de arrastre por cortante. 3.4.2. Distorsión de Secciones Cajón La distorsión de una sola célula de caja viga puede ser sustancialmente mayor que la de una estructura multicelular porque las bridas superior e inferior son capaces de doblarse en el plano de lado Figura 3.26 (a) ilustra la distorsión de una caja-viga. La brida superior se mueve hacia arriba y la banda izquierda se mueve hacia abajo. Figura (Una fotografía de la distorsión de modelos de plástico de longitudes cortas de la caja se muestra en la figura. 3.26.) Figura 3.26 (b) muestra los momentos transversales de flexión debido a la flexión fuera del plano de las placas, mientras que la fig. 3.26 (c) muestra los esfuerzos longitudinales debido a la flexión en el plano.

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Figura 3. 26: Distorsión de viga cajón (b) distorsión viga fuera del plano de flexión y (c) en el plano de flexión (alabeo) tensiones

La figura 3.27 muestra cómo las fuerzas de distorsión se desarrollan en la estructura. La carga excéntrica en la fig. 3.27(a) puede ser considerado como un componente anti simétrica en (b) y un componente simétrico en (c). El componente simétrico provoca flexión vertical del conjunto viga-cajón. El componente anti simétrica no puede equipararse directamente a la torsión en la caja porque torsión pura implica un sistema de flujos de cizallamiento alrededor de la celda como se muestra en la figura. 3.27 (e). La carga anti simétrica en la fig. 3.27 (b), que se vuelve a dibujar en (d) es equivalente a la combinación de los flujos de cizallamiento torsión pura en (E) y los flujos de cizallamiento distorsión en (f). El par de torsión que participan en la torsión pura en (e) es igual al par de la carga anti simétrica (d). El cizallamiento distorsión fluye en (f) se equilibran entre sí y no tienen resultante red, pero, al mismo tiempo que causan distorsión de la celda como se muestra en la figura 3.23. Una viga-cajón es muy rígida en torsión pura y la mayor parte del giro de la plataforma se debe a la distorsión, a menos que la caja se apoya con diafragmas o refuerzos transversales.

Figura 3. 27: Cargas excéntrica en secciones cajón (b) componente antisimétrica; (c) componente simétrica; (d) = (b); (e) los flujos de cizalla torsión pura; y (f) los flujos de cizalla distorsión

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

Arriostra miento transversal o marcos proporcionan un método muy eficaz para rigidizar una caja-viga contra la distorsión. La cantidad de refuerzo que es apropiada involucra un compromiso entre rigidez a la torsión, lo que es beneficioso para la distribución de la carga eficiente, y la flexibilidad de distorsión que ayuda a la estructura extendió las cargas entre los soportes. Una estructura de caja que es muy rígida contra la distorsión y de torsión no puede descansar cómodamente sobre cojinetes en virtud de bandas adyacentes, y la distribución de las reacciones entre redes podría ser muy sensible a la compresibilidad y asentamiento diferencial de los cojinetes. Si los cojinetes están cerca de toda la reacción se puede entrar en un rodamiento. Un marco transversal o diafragma es casi sin duda requieren entre telarañas en cada soporte. La sección de la caja es poco probable que tenga la rigidez suficiente para controlar las deformaciones de distorsión en las cargas concentradas de las reacciones de apoyo, o la fuerza suficiente para transferir cargas de corte entre webs. Un diafragma proporciona una acción de atar apuntalamiento diagonal que reacciona con la cizalla distorsión de flujos mostrado en la figura. 3.27 (f). Distorsión de la curva vigas cajón es más complicada porque la torsión y la flexión interactúan a lo largo del tramo y todas las cargas contribuyen a desviaciones de distorsión y tensiones.

Figura 3. 28: Distorsión de sección cajón unicelular

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

3.4.3. Efectos arrastre por cortante Estructuras de viga cajón en puentes están sometidas a esfuerzos de flexión de modo que la distribución de la tensión normal en una sección transversal debe tener en cuenta el fenómeno de arrastre por cortante, que influye tanto en tensión y compresión. Debido a la acción de la gran deformación por cizallamiento en el plano de las bridas, las cepas longitudinales en las áreas centrales son menos que en las áreas adyacentes a la unión de web de brida, y la deflexión vertical de las áreas centrales son menos de la deflexión en la unión de web-brida. El resultado es que la distribución de esfuerzos de compresión a través de la brida no es uniforme durante las primeras etapas de carga, y el efecto de esto es reducir la rigidez elástica de la viga en flexión. Este fenómeno de primer orden induce una distribución de tensión normal no uniforme a través de la anchura de las alas, siendo mayor a lo largo de la unión de web-brida de las tensiones debido a los requisitos de compatibilidad. La distribución de la tensión no uniforme a través de la anchura de la brida se ilustra en la Figura 3.29. El procedimiento comúnmente adoptado en el diseño es para reemplazar la anchura real de la brida por una amplitud efectiva que, cuando se utiliza junto

Figura 3. 29: Arrastre por cortante en una viga cajón

Con la teoría de viga simple, conduce a una estimación correcta del máximo las tensiones de la brida o el desvío del haz como se requiera. El factor de amplitud eficaz para una brida rígida depende en la geometría de la caja, la relación del área de refuerzo a área de la placa (As = btf), condiciones de apoyo y la distribución de carga. Moffat y Dowling

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CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

(1975) han aportado, en base en extensos estudios que utilizan el método de elementos finitos, una imagen completa del efecto arrastre por cortante en el comportamiento de la caja de vigas.

Figura 3. 30: Factores anchura eficaces para arrastre por cortante en el centro de vano

Un estudio paramétrico detallado que tiene ha llevado a cabo es muy útil para los diseñadores para el cálculo de los anchos de ala efectivo en todas las posiciones en el lapso de una viga cajón de dimensiones en planta dadas y transversal proporciones, sometidos a punto o distribuidos carga. La variación del factor de amplitud eficaz con relación de aspecto de B / L por la amplitud eficaz en la mitad del tramo, debido a una carga puntual en se muestra la mitad del tramo y debido a una carga uniformemente distribuida en la figura 3.30 para dos valores de As = BTF (0 y 1,0). El efecto más significativo de arrastre por cortante en el comportamiento del punto de vigas cargadas es reducir la rigidez total. Si la viga sigue cargado después de ceder tiene ocurrido cerca de la interfaz ala-alma, entonces el rendimiento se extenderá a través de la pestaña, dando así un sistema más uniforme distribución de la tensión. Resultados de las pruebas han demostrado que la redistribución completa de tensión a través de la brida se han llevado a cabo como viga se acerca a su resistencia a la rotura y el descuido de efecto arrastre por cortante no tiene efecto significativo debilitamiento de la resistencia a la rotura de las bridas de compresión rígidas.

.

57

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Capítulo 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 4.1. CONFIGURACION DE PUENTES CURVOS 4.1.1. Uso de Acordes Los puentes curvos horizontales pueden ser diseñados y construidos como una serie de segmentos rectos cortos, o acordes, los cuales se aproximan el arco teórico. Estas vigas son fabricadas en tramos rectos, con un pequeño ángulo en las articulaciones de forma. La excepción es viga monorriel, en la que la superficie de viga de hormigón es la superficie de rodadura de las ruedas del vehículo monorraíl. Dichas vigas monorriel se hacen en una forma ajustable que se puede doblar para formar un arco suave. Estas estructuras pueden ser ejecutadas si el desplazamiento entre el arco y su cuerda máxima es igual a 𝐿𝑐 2 /8𝑅, donde Lc es la longitud de cuerda y R es el radio de curvatura, aunque se trata de una aproximación, es una buena forma de determinar la misma. Debido a

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CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

que la longitud puede ser o bien la longitud del arco La, o la longitud de la cuerda Lc, esta fórmula muestra que el desplazamiento varía con el cuadrado de la longitud de cuerda. La forma más sencilla para apoyar un camino curvado es usar vigas rectas debajo de una cubierta curvada. Si el desplazamiento entre la cuerda y el arco es demasiado grande, la apariencia será pobre, y la viga exterior en la parte exterior de la curva será requerida para soportar demasiada carga adicional. Es deseable que el desplazamiento arco y cuerda se limite a 1.5 pies, (0.5 m.) y que el borde de la brida superior de la viga esté a menos de 0,5 pies, (0,15 m.) hasta el borde de la losa. Tabla 4.1 muestra los radios de curva mínimo que se ajusta al requisito 1.5 pies de desplazamiento máximo. Este límite es a menudo excedido, pero cada caso debe ser examinado por la aceptabilidad.

Longitud

Radio [m]

Viga

Desplazamiento [m]

[m]

50.00

100.00

150.00

200.00

13.50

0.4584

0.2282

0.1520

0.1139

15.00

0.5668

0.2818

0.1877

0.1407

20.00

1.0136

0.5017

0.3338

0.2502

25.00

1.5962

0.7854

0.5220

0.3911

30.00

2.3209

1.1335

0.7525

0.5636

Tabla 4- 1 Radios y Desplazamientos de Diferentes Longitudes de Vigas

La forma más sencilla y rentable de construir puentes curvos es utilizar vigas rectas prefabricadas y pretensadas. El análisis y el diseño son idénticos a la de una viga recta con la única diferencia del cálculo de cargas en la viga exterior. La "regla de la palanca" [LRFD Art. C4.6.2.2.1] puede ser utilizado de la misma manera como para un puente recto, siempre y cuando el voladizo variable se represente. Además, la longitud del tramo extra en el exterior de la curva debe, por supuesto, ser utilizado en el diseño de estas vigas. Para situaciones en las que el desplazamiento supera los 1,5 pies (0,5 m.), puede ser necesario aumentar el número de acordes, es decir el número de vigas. Un método consiste en combinar vigas tipo I y con vigas tipo T, este método es descrito más adelante y se 59

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

puede tener mayor referencia sobre esto en [20]. Con dos vigas, la compensación se reducirá a un factor de 4; y con tres vigas, la compensación se reducirá en un factor de 9. 4.1.2. Configuración de Vigas I El uso del hormigón postensado requiere que el ancho del nervio sea más grueso que 6 pulg. AASHTO-PCI indica que en vigas T y otras estándar vigas I, para acomodar los conductos de postensado y refuerzo de estribos de corte o torsión, el espesor del alma mínimo debe ser de 7 a 8 pulg. (20 cm.), según [20]. La continuidad es muy deseable en los puentes curvos, porque esta reduce en gran medida la torsión resultante de las cargas aplicadas, y reduce el exceso de carga sobre la viga exterior en el exterior de la curva. Esta continuidad se puede lograr vaciando la losa monolíticamente con las vigas, para así poder tener continuidad del tablero del puente. Los diafragmas a menudo se omiten en los puentes rectos cortos. Sin embargo, en puentes curvados, los miembros transversales, que se hará referencia como travesaños en este capítulo debido a su papel único, se requieren para contrarrestar tanto los efectos de torsión y las fuerzas laterales que resultan de la curvatura. Los travesaños también deben ser lo suficientemente profundos como para sujetar el reborde inferior. En las alineaciones curvas. Las vigas prefabricadas se pueden disponer a lo largo de las cuerdas del arco, resultando así un voladizo de ancho variable. Los ejes de los apoyos se pueden establecer paralelos entre sí o radiales a la alineación de la misma (Figura 4.1).

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CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

Figura 4. 1. Arreglos de Vigas Prefabricadas de Puentes en Curvos

La primera disposición permite que todas las vigas de un lapso determinado tengan la misma longitud [9]. Esta se prefiere para viaductos a lo largo de laderas de montañas, en donde las bases normalmente deben estar alineadas paralelas al vector gradiente del vector gradiente de la pendiente. Vigas de longitudes desiguales por lo general se pueden hacer sin demasiada dificultad y con menor costo 4.1.3. Súper elevación y Sobreancho de curva En puente curvos horizontales se deberá tener una sobre elevación o peralte todo esto por el hecho de contrarresta la fuerza centrífuga que se ejerce hacia los vehículos por encontrarse en un curva horizontal, este valor es medido en porcentaje, el cual es calculado y depende del radio. Para lo cual la referencia [21] nos muestra una tabla en la que la velocidad de transito está en función del peralte. Caminos Colectores – Locales – Desarrollo Vp emáx f Rmin Km/h (%) (m) 30 7 0,215 25 40 7 0,198 50 50 7 0,182 80 60 7 0,165 120 70 7 0,149 180 80 7 0,132 250 Carreteras – Autopistas Autorrutas - Primarios 80 8 0,122 250 90 8 0,114 330 100 8 0,105 425 110 8 0,096 540 120 8 0,087 700

Tabla 4- 2: Radio mínimo absoluto en curvas horizontales

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CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

Cuando un vehículo circula por una curva horizontal ocupa un ancho de calzada mayor que en recta, esto debido a que por rigidez y dimensiones del vehículo sus ruedas traseras siguen una trayectoria distinta a la de las ruedas delanteras, ocasionando dificultad a los conductores para mantener su vehículo en el eje del carril de circulación. En estas circunstancias y con el propósito de que las condiciones de operación de los vehículos en las curvas sean similares, este aumento del ancho se denomina sobreancho de curva. El cálculo del sobreancho se desarrolla mediante el análisis geométrico de las trayectorias que describen los diferentes vehículos. La tabla 4-3 permite calcular el ensanchamiento total de la calzada (Em), donde Lt es el largo total del vehículo, L1 la distancia entre para choques delantero y el ultimo eje camión tractor, y L2 distancia entre pivote mesa de apoyo y ultimo eje del tándem trasero. El ensanchamiento de la curva interior (e.int) es del 65 al 70% según Tabla 4-3 y exterior (e.ext) del 30 al 35%. TIPO DE

PARÁMETRO

VEHÍCULO

DE CÁLCULO

(Lt en m)

(m)

CALZADA EN RECTA 7,0 m (n = 2)

E

e.int

e.ext

RADIOS LIMTE

(m)

(m)

(m)

(m)

0,5 ≤ E ≤ 3,0 m E=e.int + e. ext

h1 = 0,6 m

h2= 0,4 m

Camión Unid. Simple Lt=11,0* Bus Corriente

Lo = 9,5

(Lo2/R) – 0,2

0,65 E

0,35 E

30 ≤ R ≤ 130

(Lo2/R) – 0,2

0,65 E

0,35 E

35 ≤ R ≤ 160

Lt = 12,00 Bus de Turismo Lt=13,2*

Lo = 10,5

Bus de Turismo

Lo = 10,6

Lt = 14,00*

Semitrailer

L1 = 5,6

Lt=16,4

L2 = 10,0

45 ≤ R ≤ 190 2

2

((L1 + L2 )/R) – 0,2 Semitrailer

L1 = 5,6

Lt=18,6*

L2 = 12,2

Semitrailer

L1 = 5,6

Lt=22,4*

L2 = 15,5

0,70 E

((L12+ L22)/R) – 0,2

0,30 E

60 ≤ R ≤ 260

85 ≤ R ≤ 380

Tabla 4- 3: Ensanchamientos de calzadas

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CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

4.2. DISEÑO PRELIMINAR 4.2.1. Desplazamiento Cuerda Arco A pesar de la inmensa potencia de cálculo disponible, aproximaciones simples siguen siendo de gran utilidad para el diseño preliminar. Son rápidos de usar, y le dan al diseñador una "sensación" de cómo un cambio en un parámetro afecta a otros parámetros. El desplazamiento entre arco y cuerda máxima se llama la ordenada media o la "Sagitta" (Sagitta en latín significa "flecha") y representado por el símbolo, s. Como se indicó en la Sección 4.1.1, la Sagitta es aproximadamente igual a 𝐿𝑐 2 /8𝑅. La derivación es simple y se muestra en la Figura 4.2. Una vez más, ya que estos son aproximaciones, no es importante si se utiliza la longitud de arco o longitud de la cuerda.

Figura 4. 2. Desplazamiento de cuerda de arco

Por teorema de Pitágoras se tiene: 𝐿𝑐 2 𝑎2 + ( ) = 𝑅 2 2

(a)

También se tiene del grafico 𝑎 =𝑅−𝑠

(b)

63

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

Reemplazando (b) en (a) se tiene: 𝑅 2 − 2𝑅𝑠 + 𝑠 2 +

𝐿𝑐 2 = 𝑅2 4

(b)

Pero s es pequeño en comparación con R y Lc. Por lo tanto, ignoramos s2 y resolviendo para s se tiene: 𝐿𝑎 2 𝑠= 8𝑅

(4. 1)

∆ 𝑠 = 𝑅 (1 − cos ) 2

(4. 2)

La fórmula subestima ligeramente la distancia, s. La aproximación es ligeramente mejor si la longitud es tomada como la longitud del arco, 𝐿𝑎 .Sin embargo para un cálculo más preciso se puede tomar en cuenta la ecuación 4.2 mostrado en [19], la cual está en función del ángulo de deflexión ∆ y el radio de curvatura R.

𝐿𝑐 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛

∆ 2

(4. 3)

4.2.2. Profundidad de Filete La cartela losa es la distancia entre la parte superior de una viga y la parte inferior de la losa de calzada. La cartela varía en profundidad a lo largo de la longitud de la viga para acomodar la curvatura de la viga y los efectos geométricos de la superficie de la carretera incluyendo peraltes, curvas verticales y curvas horizontales. El concepto básico en la determinación de la dimensión "A" requerida es proporcionar una apoyo sobre la viga de tal manera que la parte superior de la viga no sea menor que la profundidad de filete (típicamente de 2 cm) por debajo de la parte inferior de la losa en el centro del vano. Esto establece que la inclinación real de la viga podría ser superior al valor calculado por 1 ¾" (4,5 cm.) antes de que la parte superior de la viga interfiera con la colchoneta inferior de refuerzo de la losa. Es deseable disponer de puntos de curvatura horizontal y vertical en las transiciones de súper elevación fuera de la estructura del puente, 64

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

ya que esto simplifica en gran medida los requisitos geométricos en la pierna de la losa. Sin embargo se puede ver que puentes se aprietan en las infraestructuras existentes, teniendo así transiciones geométricas en su estructura. Cada efecto geométrico es considerado independientemente de los otros. El efecto geométrico total es la suma algebraica de cada efecto individual. La distancia entre la parte superior de la viga y la parte superior de la superficie de la calzada, debe ser al menos el espesor de la losa de calzada más la profundidad de filete.

Figura 4. 3. Efecto Filete en Vigas en I

∆= 𝑡𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑡𝑓𝑖𝑙𝑒𝑡𝑒

(4. 4)

El perfil de efectos toma en cuenta los cambios en el perfil de la carretera a lo largo de la longitud de la viga. Estos cambios incluyen cambios de grado, efectos de la curva vertical, y las desviaciones de desplazamiento entre la línea central de la viga y la alineación causada por vigas y/o curvatura acompañadas en la alineación. Cuando todas las vigas en un tramo son paralelas y la duración está contenida enteramente dentro de los límites de una curva vertical y/o horizontal, el efecto del perfil es simplemente la suma de la curva efecto vertical y el efecto de la curva horizontal. 65

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

Figura 4. 4: Efecto de la curva horizontal

𝜙=

Δ 𝑅

𝜙=

𝑠 4𝑅

tan 𝜙 ≈ 𝜙 tan 𝜙 ≈

2𝐻 𝑠

𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠2 𝐻 = tan 𝜙 ≈ 𝜙 = ∙ = 2 2 2 4𝑅 8𝑅 𝑠2 ∆ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 = ∙𝑚 8𝑅

(4. 4)

66

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4.2.3. Exceso de inclinación Los efectos de grado afectan a la geometría de la viga prefabricada. La longitud de inclinación se incrementa a lo largo del plano en una cantidad 𝛾 2 𝐿/2 donde 𝛾 es expresado con un decimal. La viga prefabricada se hace normalmente en forma de un rectángulo como se ve en la elevación de la figura 4.5. Es decir los extremos de la viga son generalmente perpendiculares al eje a lo largo de la viga, en lugar de ser verticales en la posición final de la viga. Del mismo modo los diafragmas son perpendiculares con el eje de la viga.

Figura 4. 5: Efectos de grado

La longitud de la inclinación de una viga en un grado es mayor que la longitud en planta por una cantidad 𝐻 2 /2 𝐿, donde 𝐻 es la diferencia en la elevación de los dos extremos de la viga. Esta es una fórmula bien conocida, y es idéntica a la anterior explicada, (𝛾 es igual a 𝐻/𝐿). La derivación es similar a la del desplazamiento cuerda arco. Se utiliza el teorema de Pitágoras, descuidando una pequeña cantidad de segundo orden.

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Figura 4. 6: Torcedura resultante del cambio de grado

La longitud de un arco es más largo que su cuerda por una cantidad 8𝑠 2 /3𝐿𝑐 , donde s es el desplazamiento de cuerda de arco y Lc la longitud de la cuerda. El exceso de longitud también se puede expresar como 𝐿𝑐 3 /24𝑅 2 . Esta fórmula se deriva mediante la aproximación de la longitud de arco como una serie de acordes cortos, a continuación, se toma el límite como la longitud de cuerda se aproxima a cero. Como resultado de la torcedura de grado la forma de una viga curvada en un grado es una hélice, que tiene la misma forma de una barandilla en una "espiral" (más correctamente, helicoidales). Para comprender mejor el giro en una viga curva causada por el grado, se considere la posibilidad de una viga curvada a 90 grados (1.57 radianes) en planta, hecha sin torsión, con extremos cuadrados como se ilustra en la figura 4.6. El apoyo en el punto B se eleva 68

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más alto que en el punto A en un importe de 1,57 𝛾𝑅 como se muestra en la elevación B-B. Por lo tanto, la viga se inclinó en un ángulo de 1,57 𝛾𝑅. En el punto B, los lados de la viga no están en plomada; ellos serán inclinados en un ángulo 1,57 𝛾𝑅. Además se debe tener en cuenta que en el punto C, el punto medio de la viga, la elevación de esta no será la mitad de 1,57 𝛾𝑅 como debe ser. Elevación B'-B, Figura 4.6, muestra la elevación de la viga fabricada a una hélice verdadera. Los extremos y los lados de la viga estarán en plomada en los apoyos A y B, y la elevación en C estará correcta. La viga debe estar retorcida por un importe 1,57 𝛾𝑅. Generalizando para ángulos distintos de 1,57 radianes, la cantidad de giro es 𝜓𝛾, o (La/R) 𝛾 donde La es la longitud del arco. La aproximación es la siguiente: El ángulo de torsión es suficientemente pequeño para ser ignorado en la fabricación de la viga. Si el giro se ignora en la fabricación de la viga, deberá tenerse en cuenta que cuando la viga se encuentra en el campo, no será posible conseguir la verticalidad de los extremos. Si el giro aparentemente es lo suficientemente grande como para ser medible, la viga deberá dividirse en la diferencia de la fuerza vertical de los dos extremos. Esto dará como resultado que el punto medio de la viga este en la elevación adecuada. 4.2.4. Centro de gravedad de un arco El centro de gravedad de un arco y de una carga aplicada a lo largo del arco está desplazado de la cuerda a 2𝑠/3 o 𝐿𝑐 2 /12𝑅. Ver figura 4.7.

Figura 4. 7: Centro de gravedad de Arco

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El área de una superficie curva con extremos radiales, tales como una cubierta de puente, es igual a 𝐵𝐿𝑎 , donde B es el ancho y 𝐿𝑎 es la longitud de arco a lo largo de la línea central. Ver Figura 4.8. El centro de gravedad de una superficie curva se encuentra fuera del centro de gravedad de la línea central del arco, porque hay más área fuera de la línea central que dentro. Esta excentricidad adicional, 𝑒 es igual a 𝐵 2 /12𝑅. Por consiguiente, el desplazamiento de la cuerda para el centro de gravedad de la superficie total es de (𝐿𝑐 2 + 𝐵 2 )/12𝑅. Cuando los extremos del puente no son radiales, se requiere un cálculo más detallado para el área y centroide de la superficie.

Figura 4. 8: Propiedades de una superficie curva plana

4.3. ANALISIS ESTRUCTURAL APROXIMADO 4.3.1. Análisis como un perfil de marco recto Los momentos de flexión en una viga curvada debido a las cargas verticales pueden analizarse teniendo en cuenta que la viga sea recta de amplitud igual a la longitud de arco de la viga curva. Esta aproximación es muy buena, y lo suficientemente precisa para el diseño preliminar.

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4.3.2. Torsión Aunque los momentos de flexión se pueden estimar mediante el análisis de una viga recta de longitud igual a la longitud del arco de la viga curva, lo mismo no se puede decirse de los momentos de torsión. Momentos de torsión son necesarios para el equilibrio de una viga curvada. Figura 4.7 muestra que, como se señaló en el subtítulo 4.2.4, el centro de gravedad de un arco (y de las cargas aplicadas a lo largo de ese arco) está desplazado desde una línea a través de los soportes de una viga en un lapso de cantidad igual a 𝐿𝑐 2 /12𝑅. Entonces el momento del peso, W, sobre los soportes es 𝑊𝐿𝑐 2 /12𝑅. Este es resistido por momentos de torsión en cada extremo de la viga, aproximadamente igual a 𝑊𝐿𝑐 2 /24𝑅. Una vez más, debido a que estos son aproximaciones, un valor conocido de 𝐿𝑎 se puede utilizar en lugar de 𝐿𝑐 . 4.3.3. Momentos finales La presencia de momentos en los extremos de las vigas continuas reduce significativamente los momentos de torsión en el soporte. Como se muestra en la Figura 4.9, momentos en los extremos tienen un componente que ayuda a resistir la excentricidad del peso, W, aplicada al arco. Para una viga cargada uniformemente, termina fijo el momento final de WLa/12 el reduce el momento de torsión en el apoyo aproximadamente igual a cero. Para vigas continuas, el momento de torsión en el apoyo no será cero, pero por lo general será menos de la mitad de la duración de momento de torsión sencilla en el soporte. Esto se discute en más detalle en la Sección 4.4.2.

Figura 4. 9: Momentos extremo negativo que contrarrestar la torsión en vigas continuas

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4.4.ANALISIS ESTRUCTURAL DE PUENTES CURVOS VIGA LOSA 4.4.1. Flexión Longitudinal El análisis de un perfil como marco recto es idéntico como se señaló anteriormente, los momentos de flexión longitudinal son prácticamente los mismos que los de una viga recta de longitud desarrollada. Sin embargo, la distribución de las cargas a las vigas será diferente en puentes curvos. Las cargas sobre la viga exterior Los cortantes y momentos en la viga exterior en el exterior de la curva son sustancialmente mayores que para otras vigas en el puente. Esto es causado por los siguientes factores: • La longitud del arco en el exterior de la curva es más largo que la longitud nominal en la línea central del puente. Esto aumenta los momentos de flexión en el exterior de la viga por (aproximadamente) el cuadrado de la relación de las longitudes de arco. • La proyección a mediados de arco puede ser aumentado en una cantidad igual al desplazamiento de la cuerda arco. • Otras vigas arrojarán algo de su momento de torsión al desplazar la carga hacia la siguiente viga exterior. El elemento externo es el lugar de descanso final para este desplazamiento de cargas. 4.4.2. Torsión Es útil examinar con más detalle la forma en momentos de torsión que se desarrollan en una viga curva. Se verá que los momentos de torsión están relacionados con el momento de flexión M dividido por el radio de curvatura R.

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CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

Figura 4. 10: Torsión y curvatura

El desarrollo de momentos de torsión en una viga curva se puede pensar de la siguiente manera. Considere un segmento corto cerca del centro del vano de la viga curva en sencillos tramos como se muestra en la Figura 4.10. Al centro de la luz, el momento de flexión es 𝑊𝐿𝑎 /8, y el momento de torsión es cero (por simetría). En un pequeño ángulo 𝜓, y lejos del centro de la luz, el momento de flexión debe "encender" a través del ángulo 𝜓, un momento de torsión (aproximadamente) igual a 𝑥𝑊𝐿𝑎 /8𝑅 donde este es necesario para el equilibrio. Alrededor de la curva en el apoyo, el momento de torsión aumenta por incrementos de 𝑥𝑀/𝑅. Sin embargo, 𝑀 cambia entre centro de la luz y el soporte. Integrando el diagrama 𝑀/𝑅 de centro de la luz de apoyo, como se muestra en la Figura 4.11, un momento de torsión de 𝑊𝐿𝑎 2 /24𝑅 se obtiene. Esta es idéntica a la obtenida a partir de equilibrio en la Sección 4.3.2

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Figura 4. 11: Torsión de una viga simple curvada

La torsión en vigas continuas puede ser comprendida por la primera torsión examinada anteriormente en una viga isostática. En la Figura 4.12 se muestra el diagrama 𝑀/𝑅 para una viga de tramos continuos. Debido a que el área bajo el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 para viga de tramos continuos se debe integrar a cero, el área bajo el diagrama 𝑀/𝑅 también se integra a cero, dado constante 𝐸𝐼 y 𝑅. De este modo, la torsión en el apoyo será cero. El momento máximo de torsión se produce en el punto de inflexión, y es 19% del momento de torsión máximo en una viga simplemente apoyada. Las vigas continuas son intermedios entre simplemente apoyadas y fijas. Las vigas interiores suelen parecerse más al caso fijo, y las vigas exteriores pueden estar más cerca del caso simplemente apoyado. La continuidad puede reducir significativamente los momentos de torsión.

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Figura 4. 12: Torsión de una viga continúa curvada

Puentes curvos con vigas rectas en forma de red pueden resistir cargas excéntricas sin torsión. La Figura 4.13 muestra un puente sencillo de dos vigas, el cual se encuentra en tres tramos.

El momento de la viga en una articulación debe "dar vuelta la esquina." En este caso, el equilibrio es suministrado por un momento de flexión en la viga transversal. Este momento de flexión en la viga transversal es igual al ángulo (en radianes) entre los dos segmentos de viga multiplicada por el momento de flexión en la viga principal. Un bosquejo de equilibrio de la viga transversal se muestra en la Figura 4.13. Los momentos en los dos extremos de la viga se equilibran por fuerzas de corte, que transfieren la carga desde el interior al exterior de la viga. Tomando en cuenta que para un emparrillado de dos vigas, las reacciones pueden ser determinadas por la estática, porque la resultante de las reacciones en cada extremo debe estar en una línea a través de la ubicación resultante de las cargas.

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Para múltiples puentes curvos de vigas de red, las reacciones pueden ser estimadas asumiendo una distribución lineal de las reacciones que produce la ubicación correcta de la resultante. Un procedimiento similar al descrito en el LRFD Especificaciones Comentario [artículo C4.6.2.2.2d], puede ser utilizado. Esto se ilustra en el acápite 7.

Figura 4. 13: Entramados simples

Después de la estimación de las reacciones de la viga exterior, uno puede estimar el momento de flexión en la viga exterior. Esto se hace por comparación con el momento de flexión en una viga recta de longitud igual a la del arco de la línea central del puente. Dos factores de corrección se aplican entonces a este momento de flexión. La primera corrección es la relación de la reacción final estimado en el trabajo de emparrillado de viga del puente curvado para un puente recto. Una suposición simplificadora hace que el momento de flexión sea proporcional a la reacción final multiplicado por la longitud; dando el segundo factor de corrección, la relación de la longitud de la viga debe tomar el valor de la longitud de la línea central. El 76

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momento de flexión de una viga recta de longitud igual a la longitud de la línea central del puente se multiplica entonces por estos dos factores para obtener la estimación del momento de flexión en la viga exterior. Las cargas aplicadas después de que se complete la rejilla teóricamente pueden ser soportadas sin torsión. Aunque el equilibrio puede ser obtenido sin torsión, un análisis mostrará una pequeña cantidad de torsión compatible. Si la torsión compatible factorizada es inferior a la indicada en las Especificaciones LRFD [Ecuación 5.8.2.1-3], la torsión se puede ignorar sin ningún problema.

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9111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Capítulo

5

MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS 5.1. INTRODUCCION En este acápite se procederá a desarrollar muy resumidamente los métodos de análisis estructural aceptables según [LRFD Art. 4.4], donde estos también pueden ser aplicables a puentes curvos y ser programados en computadoras. Los métodos de análisis que desarrollaremos son: Método de losa ortótropa, que no es nada más que la idealización del tablero en una estructura plana de rigidez equivalente, la cual tiene características elastomecánicas constantes o variables, el método de lámina plegada que corresponde a una estructura compuesta por diferentes elementos no coplanarios pero paralelos a una dirección determinada, el método de emparrillado que puede ser empleado cuando la separación de vigas no es muy grande y por último el método de los elementos finitos, el cual es un proceso de idealización o discretización en pequeños elementos específicos. Todos los métodos de análisis mencionados anteriormente son expuestos en los apartados, donde se desarrolla su formulación general, sus aplicaciones, ventajas y desventajas que tienen cada uno de estos.

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

5.2. FORMAS DE CALCULO DE TABLEROS DE PUENTES En este subtitulo se procederá a explicar en términos generales las idealizaciones y métodos de cálculo más usuales en puentes, con especial referencia al tipo y categoría de los mismos. Los puentes constituidos por elementos en forma de viga con secciones transversales prácticamente de geometría indeformable, pueden ser analizados de las siguientes maneras. 

Cálculo

del

tablero,

fundamentalmente

bajo

acciones

de

cargas

concentradas: efectos locales. 

Cálculo del sistema estructural primario como un sistema de elementos monodimensionales1, los cuales puedes ser de directriz recta o curva.

Es muy típico ver esto en pasarelas donde el ancho es pequeño, en consecuencia se lo analiza como una estructura de barras y nudos. Sin embargo si el puente está constituido por elementos con apariencia de viga, pero de modo que su ancho es apreciable y que ya no se puede suponer una indeformabilidad transversal de la sección bajo la acción de cargas excéntricas, el análisis anterior se modifica a:  Cálculo del tablero a efectos locales.  Cálculo del tablero como elementos bidimensionales2.  Cálculo del sistema estructural primario, como un sistema de elementos monodimensionales. El análisis como elemento bidimensional se lo realiza para poder obtener los esfuerzos transversales en particular momentos flectores y el reparto transversal de los esfuerzos longitudinales principalmente momentos flectores, cortantes y reacciones, en el análisis monodimensional del sistema estructural primario resulta ser el cálculo de esfuerzos

1

Elemento monodimensional constituye una idealización con dos dimensiones muy pequeñas respecto a su longitud la cual se sustituye por una línea donde está es el lugar de los centros de gravedad de las secciones normales a la misma, las cantidades escalera de inercias y área la definen como estructura. 2 El modelo bidimensional se compone de sistemas de placas y barras, el cual se caracteriza por una superficie y un elemento o elementos monodimensionales a lo largo de su contorno.

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

aplicados en todo el largo, los cuales deben ser mayor por coeficientes de excentricidad deducidos de la parte del cálculo del tablero. Existen situaciones de tableros de características claramente tridimensionales, en estos casos, se debe realizar el cálculo tridimensional completo de la estructura análoga a viga, es decir, con variaciones suaves de la sección transversal, y sistemas de apoyo homogéneos (planta regular y soportes distribuidos en forma uniforme en cada sección de apoyos), en la cual se puede realizar la siguiente simplificación del cálculo tridimensional.  Cálculo del tablero a efectos locales.  Cálculo del tablero como elemento tridimensional para obtener los esfuerzos transversales, en particular momentos flectores y distribución de tensiones tangenciales y el reparto transversal de los esfuerzos longitudinales, fundamentalmente flectores, cortantes, torsores y reacciones.  Cálculo de la estructura primaria del puente como un conjunto de elementos monodimensionales, afectando a los esfuerzos medios obtenidos de los correspondientes factores de excentricidad. 5.3. MÉTODOS DE CÁLCULO El análisis de puentes y el estudio estructural del tablero representa probablemente la parte más característica de su cálculo a excepción de tipos muy particulares de tableros por ejemplo, los de pasarelas los cuales constituyen estructuras en forma de viga. Pero sin embargo el problema es más agudo cuando se exige recursos de cálculo de estructuras más específicos, correspondiente al estudio transversal del tablero, en este análisis transversal se puede exigir modelos estructurales bidimensionales o tridimensionales según los siguientes casos: 1. El modelo estructural de losa ortótropa consiste en idealizar el tablero en una estructura (2-D) plana, con característica elastomecánicas constantes (placa homogénea)

o

variables (heterogénea) en los distintos puntos de la placa, o variables en cada punto con la dirección de la sección, pero conservando dos direcciones principales (ortotropía). El cálculo es bidimensional (3 grados de libertad por nudo) y existen 80

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numerosas técnicas de solución (exactas y aproximadas). Su rango de aplicación viene limitado por el carácter (2D) del modelo estructural.

Figura 5. 1: Losa ortótropa

2. El modelo estructural de lámina plegada corresponde a unas estructuras compuestas por distintos elementos (2-D) no coplanarias, todos ellos paralelos o fundamentalmente paralelos a una dirección determinada, que corresponde a la idealización de la luz del tablero del puente. Si todos los elementos 2-D son exactamente paralelos a la dirección citada, la lámina plegada se denomina prismática y no prismática en caso contrario. El cálculo de esta estructura es en general tridimensional, si bien el número de grados de libertad por nudo puede reducir en algunos casos a cuatro, cuando la lámina es suficientemente regular en su geometría y por lo tanto, susceptible de ser tratada con cierta aproximaciones adecuadas. Constituye un modelo estructural mu y potente en el campo de aplicaciones a las estructuras de los tableros de geometría irregular, que exigen el recurso de métodos numéricos y en particular el de los elementos finitos para la obtención de las respuestas estructurales.

81

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Figura 5. 2: Laminada Plegada

3. El emparrillado plano es un modelo estructural (1-D), si bien el cálculo es bidimensional, ya que existe tres grados de libertad por nudo, como en la placa ortótropa, de la que a veces se constituye una idealización de más fácil análisis estructural. Aunque existe y se han desarrollado varios procedimientos más o menos aproximados para su cálculo (iterativo, desarrollado en series, etc.), actualmente tras la aparición de los computadores electrónicos y el desarrollo de los métodos matriciales de análisis de estructuras, se puede decir que solamente estos últimos son utilizados en la práctica profesional. El campo de aplicación del emparrillado presenta el mismo tipo de limitaciones que la placa ortótropa, si bien el carácter numérico general de cálculo permite el tratamiento unificado de geometrías y la no homogeneidad del tablero arbitrario.

Figura 5. 3: Emparrillado

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

4. El método de los elementos finitos es actualmente una las potentes herramientas de cálculo que existe a disposición del ingeniero. El proceso de idealización estructural consiste en

discretizar con la menor complicación el problema. En el caso de

representación de estructuras bidimensionales generales, es decir, compuesta de elementos (1D) y (2D) sin un plano común, la idealización y cálculo estructural posterior se lleva a cabo mediante elementos finitos específicos: elementos viga, placas, laminas planas y curvas. La facilidad de adaptación a las diferentes problemáticas estructurales hace muy atractivo este método, pero su principal inconveniente reside en el elevado costo de aplicación.

Figura 5. 4: Emparrillado y elemento finitos

5.4. METODOS DE REPARTO TRANSVERSAL El reparto transversal de las cargas concentradas constituye un problema característico de ciertos tipos de puente, particularmente los de vigas donde se interesa conocer la proporción de carga que resiste cada una, cuando la sobrecarga se encuentra en posición excéntrica transversal. Este problema ha sido estudiado desde hace muchos años donde la solución se dirigía a modelar el tablero como una estructura continua. Actualmente los tableros son modelados 83

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

como un conjunto discreto de elementos estructurales vigas y losas. Esta última metodología es posible gracias a la enorme capacidad de cálculo que representa el computador. Dentro del primer tipo de modelos diseñados para el estudio del reparto transversal, ocupa un lugar importante el método de Guyon-Massonnet-Rowe. Este hecho se debe sin duda alguna, a la facilidad que representó la existencia de una cómoda tabulación, que permitió en épocas antiguas donde los recursos de cálculo eran escasos, la posibilidad de análisis de tableros rectos con un número de vigas elevado. Y es precisamente este hecho, la existencia de muchas vigas cercanas, lo que permite utilizar con confianza y gran exactitud el método. En caso contrario, su fiabilidad se deteriora ya que, con un número pequeño de vigas, separadas entre sí, no es adecuado asimilar el tablero a una losa homogénea ortótropa. Pero sí lo es, en cambio, en estos casos, la simulación del comportamiento del tablero como un conjunto discreto de elementos estructurales, como ocurre con el método del emparrillado, elementos finitos o lámina plegada que permite distinguir vigas y losas en la sección del puente. A continuación se procede a describir las características de los métodos anteriormente mencionados estos aplicados a placas curvas viendo estas su formulación y sus restricciones de aplicación en el análisis de puentes curvos

5.5. MÉTODO DE ANALISIS PUENTES CURVOS 5.5.1.

Losa Ortótropa Circular

La diferencia de comportamiento estructural entre un tablero con planta curva y otro recto es importante. Ello es debido a la mayor flexibilidad que presenta el borde externo con respecto al interno, ya que su longitud es mayor. El cálculo de estos tableros curvos pueden llevarse a cabo mediante un modelo monodimensional (viga curva).

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Sin embargo, a medida que decrece el radio de curvatura y aumenta la relación ancho/luz, el cálculo monodimensional es menos adecuado. De análoga manera a los tableros de puentes rectos, es posible analizar los de planta curva, en ciertos casos, mediante un análisis bidimensional y, en particular, usando el modelo losa ortótropa. Como entonces, la máxima dificultad estriba en traducir las propiedades reales de la sección del tablero, en las características de ortotropía adecuadas. Los tableros curvos cuya sección transversal es susceptible de ser modelada mediante una losa ortótropa, puede ser calculado introduciendo un sistema adecuado de coordenadas. Se supone que los extremos del tablero son normales a la directriz del puente, es decir, son radios de la planta circular y además éste, se encuentra simplemente apoyado en los mismos. A continuación se estudia el caso general de una losa ortótropa circular, cuya planta se presenta en la figura 5.5. Se darán aquí únicamente los resultados más importantes del análisis. Se utilizará como técnicas de solución el procedimiento en serie trigonométrica (solución Levy) y se considera una formulación matricial, que permite una descripción compacta y además adecuada para una programación directa en computadora. Ecuación General La ecuación general de la losa ortótropa en desplazamiento vertical (w) es la siguiente: Dx

∂4 w ∂4 w ∂4 w +2H +D =p(x,y) y ∂w 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

(5.1)

con 2H= Dxy +Dyx +D1 +D2 donde: Dx , Dy , Dxy , Dyx , D1 , D2 son constantes elásticas de la placa y p(x,y) es la fuerza vertical por unidad de área actuando en el punto (x,y)

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Para la losa circular ortótropa se adoptan coordenadas cilíndricas (r,𝜃, z) como se indica en la figura 5.5. La superficie media corresponde a z = 0. La ecuación general de la losa ortótropa es: 1 ∂4 w ∂2 w 1 ∂3 w ∂w 1 ∂4 y ∂2 w 2 ∂3 w ∂4 w [k o 4 +2(k o -k) 2 ] + 3 [-2k 2 +k o ] + 2 [2k 2 2 -k o 2 ] + k r 3 +k r 4 =p(r,θ) 4 r ∂θ ∂θ r ∂θ ∂r ∂r r ∂θ ∂r ∂r r ∂r ∂r

(5.2)

Figura 5. 5: Planta de la placa ortótropa

Siendo: 2k=dr +dθ +k rθ +k θr ; k r =

h3 E r ; 12(1-vθ vr )

dθ =vr k θ ; k θ =

h3 Eθ ;d =vθ k r 12(1-vθ vr ) r

; k rθ =

h3 12

Erθ ; k θr =

h3 12

Eθr

Estas constantes, son la contrapartida de ortotropia de las correspondinentes en coordenadas rectangulares. Entonces si se supone que existe conservación de la energia, se debe cumplir: 𝑑𝑟 = 𝑑𝜃 = 𝑑. Los esfuerzos en un punto genérico de la placa estan relacionados con los movientos de acuerdos con la siguiente formulacion: Mθ =-k θ (

∂y ∂2 w ∂2 w + 2 2 ) -dθ 2 r∂r r ∂θ ∂r

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Mr =-k r

Mθr =-

∂2 w ∂w ∂2 w -d ( + ) ∂r 2 r r∂r r 2 ∂θ2

K θr ∂2 w ∂w ( ) r ∂θ∂r r∂θ

K rθ ∂2 w ∂w mθr =( ) r ∂θ∂r r∂θ

(5.3)

k θ ∂3 w ∂2 w k∂3 w Qθ =- 3 3 - 2 r ∂r r ∂θ∂r r∂θ∂r 2 k θ +k ∂2 w 1 k∂3 w k θ ∂θ k r ∂2 w k r ∂3 w Qθ = - 2( 2 + )r 3 ∂θ2 r ∂θ ∂r ∂r r∂r 2 ∂r 3

Figura 5. 6: Esfuerzos en un elemento diferencial de placa

A partir de las relaciones de Kirchoff se puede definir las siguientes igualdades: Sr =Qr +

∂Mrθ r∂θ

y Sr =Qθ +

∂Mθr ∂r

entoces se puede decir que: Sr =

k θ +k+k rθ 1 ∂3 w ∂w k r ∂2 w ∂3 w (k+k ) +k -k rθ θ r r3 r2 ∂θ2 ∂r ∂r ∂r 2 ∂r 3

(5.4)

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Sθ =-

1 ∂3 w ∂w 1 ∂2 w (k+k θr )∂3 w (k ) (k +2k ) + -2k + θr r 3 θ ∂θ3 ∂θ r 2 θ θr ∂θ∂r r∂θ∂r 2

Las condiciones de contorno a lo largo de los apoyos θ=0 y θ=α son: w=0 y Mθ =0. Los otros bordes r=r1 y r=r2 , presentan condiciones generales de contorno. La solucion complementaria y particular en funcion R(r, θ), de la ecuación 5.1 se muestra detalladamente en la referencia [21]. Entonces la solucion final queda definida de la siguiente manera: R(θ, r) = R c (θ, r) + R o (θ, r)

(5.5)

Aplicando las condiciones de borde se obtiene el vector de constantes A de la solución complementaria para cada armonico n, mediante la resolucion del sistema de ecuaciones siguiente: KA= -H

(5.6)

−g12 g14 k d1 [ g ] + k p1 [g ] 11 110 K=[ −g 22 g 24 ] k d2 [ g ] + k p2 [g ] 21 210 k d1 [ H=

−g 012 g 011

g 014 ] + k p1 [ 0 ] g 110

−g 0 22 g 0 24 k d2 [ 0 ] + k p2 [ 0 ] g 210 g 210 ] [

Siendo g jk el vector de dimension 1 x 4 correspondiente a la fila k de Fn para β = β𝑗 (j = 1 ,2, 3, 4 y k = 1, 2, 4, 10), y g 0 jk es el elemento k de R 0𝑛 para β = β𝑗 . Determinado A para cada armonio, se calcula R 𝑐𝑛 (𝑟) mediante las formulas de la solucion complementaria y por ultimo se encuentra la solucion final. Para la cual se debe tomar en cuenta las siguientes condiciones: a) Condicones homogeneas de borde

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CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Todas las condiciones de borde libres, apoyados, empotrados, etc., de la placa pueden formularse de un modo general mediante la siguiente ecuacion matricial, para cada borde j(j = 1,2): ∂w M k dj [− ∂r ] + k pj [ r ] = 0 Sr w

(5.7)

El borde j se refiere al radio rj = βj rm . Las matrices k dj y k pj están formadas por ceros y unos exclusivamente, de modo que k dj + k pj = I1 (matriz unidad de dimension 2 x 2). Esto implica que al imponer una coaación (1 en la diagonal de la k dj ), la reacción es desconocida y no puede ser especificada (es decir, el correspondiente elemento k dj es nulo). b) Vigas de borde Se supone que existen en los bordes j=1,2 vigas definidas por sus rigideces de flexion (EIj ) y torsion (GJj ). La matriz de rigidez, R j , en ejes locales de la viga existente en el borde j, se puede expresar, para el armonico n-ésimo, según la figura 5.7, como sigue: 1 2 𝜆2 (𝜆 𝐺𝐽 − 𝐸𝐼 ) (𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗 ) 𝑗 𝑗 𝑟𝑗 2 𝑟𝑗 3 𝐺1𝑗 𝜙 [ ]= [𝑤𝑗 ] 2 2 𝑍1𝑗 𝑗 𝜆 𝜆 2 (𝐸𝐼 − 𝐺𝐽 ) (𝜆 𝐸𝐼 − 𝐺𝐽 ) 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑟𝑗 3 [ 𝑟𝑗 3 ] O en forma más compacta: [

𝐺1𝑗 𝜙 ] = [𝑅𝑗 ] [𝑤𝑗 ] 𝑍1𝑗 𝑗

(5.8)

Suponiendo que la viga de borde presenta un eje principal de inercia perpendicular al eje de coordenadas r, y su centro de gravedad esta situado en el plano de la placa, la transformación de ejes de la viga a ejes de la placa es, para el borde j:

89

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

⌊

∂w Mr ⌋ = (−1)j TJ R J TJ T [− ∂r ] Sr w j

En donde ahora, (Mr , 𝑆𝑟 ) y (−

∂w ∂r

(5.9)

, w) son las amplitudes del armonico n de los

esfuerzos y movimientos de la losa en el borde j(j=1,2). La expresion de la mtraiz de transformacion de ejes se obtiene analogamente al caso de la placa ortótropa rectangular, alcanzandose el resultado: TJ = [

1 0

dj ] 1

con dj = distacia del centro de gravedad de la viga al borde de j de la losa. La ecuación 5.9 presenta la misma estructura matematica que 5.7 considerando: k pj = I2

y

k pj = (−1)j Tj R j Tj

Por lo tanto se puederealizar el calcculo de la forma analoga a la anteriormente explicada.

Figura 5. 7: Matriz de rigidez de la viga j. Armónico n-simo.

90

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

APLICACIÓN La teoria de la losa ortótropa circular expuesta anteriormente puede aplicarse al cálculo de tablero de puentes, siguiendo la misma pauta que en el caso de losa rectangular. Es decir, puede realizarse el análisis de acuerdo con uno de los dos objetivos: a) Estudio del reparto transversal b) Cálculo directo bidimensional En el primer caso, se debera determinar los esfuerzos a todo el ancho, considerando el tablero como una barra curva (circular). Se comprende que normalmente este cálculo representa mayor dificultad que en el caso de la barra recta. Por ello, en general, parece más adecuado un cálculo directo bidimensional del tablero abandonando intentos que han sido escasos debido a la anterior dificultad de tabulaciones del tipo de Guyon-Massonet-Rowe. 5.5.2. Método Emparrillado Plano Circular Un emparrillado plano es una estructura de barras contenidas en un plano e interconectadas entre sí en puntos denominados nudos [skeleton]. Esta estructura se encuentra sometida a la clase de acciones normales a su plano, es decir, los grados de libertad son los tres que se representan en la Figura 5.8.

Figura 5. 8: Barra curva

91

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Las cantidades cinemáticas3 relacionadas con estos grados de libertad en el nudo i se recogen en un vector di (i = 1.2) y son: giro de torsión θxi giro de flexión di = [θyi ] = [ ] wi desplazamiento vertical y las correspondiente magnitudes estáticas4 se resumen en un vector 𝑝𝑖 , siendo: Mxi acción de torsión pi = [Myi ] = [ acción flectora ] Zi acción cortante La matriz de rigidez de una barra es una matriz k de dimensión (6 x 6) y que normalmente se particiona como sigue: k=[

k11 k 21

k12 ] k 22

La ecuación fundamental está definida como: p1 k p = [p ] = [ 11 k 21 2

k12 d1 ][ ] = k ∗ d k 22 d2

(5.10)

Se debe suponer que la sección de las barras del emparrillado con su eje principal de inercia contenido en el plano de la estructura, y que su centro de esfuerzo cortante coinciden con el de gravedad. No se considera el alabeo de la sección (torsión pura), en el caso de viga recta sometida a torsión con alabeo, el número de grados de libertad por nudo se incrementa a cuatro, ya que se considera un nuevo grado de libertad correspondiente al alabeo (cinemático) y al bimomento (estático) como se ha expuesto en el capítulo 3. En el caso de una viga circular de emparrillado, denominada I1 y J1 a las inercias a flexión y torsión, respectivamente. El coeficiente de Poisson del material del material se designa por ν. (No se considera el alabeo de la sección).

3 4

Magnitudes cinéticas, referentes a desplazamientos y deformaciones Magnitudes estáticas, tales como fuerzas y tensiones

92

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Dada la figura 5.9. se tiene:

k 22

k11 = −μ1 ∆1 + μ2 T∆2 T − μ3 T∆3 T = k T2 = −μ1 ∆1 + μ2 T∆2 − μ3 T∆3 k12 = −μ1 ∆1 + μ2 ∆2 + μ3 ∆3

Con 1 0 1 ∆1 = [0 0 0] ; 1 0 1

1 A ∆2 = [A A2 0 0

C2 −4C −2C 0 2ψ ] 0] ; ∆3 = [−4C ψ2 −2C 2ψ 4 0

Figura 5. 9: Emparrillado plano

T = diag. (1, −1,1) μ1 =

GJ1 ψR

μ2 =

s 1 A (ψ − s) R + (ψ − s) R GJ1 EI1

μ3 =

1 1 ψ (B + C) R − (B − C) R GJ1 EI1

A=

1+c s

; B=

ψ2 ψs −2 ; C= −2 1−c 1−c

Se puede observar en la matriz de rigidez de la barra circular de emparrillado, los esfuerzos de flexión y torsión, lo que no ocurre en la barra recta. Por ello, la simulación de 93

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

una barra curva mediante una poligonal inscrita implica que este acoplamiento de esfuerzo solo tiene lugar en los nudos intermedios de la poligonal. Como consecuencia, esta simulación, mejora a medida que crece el número de estos nudos intermedios. En general, el error que representa la sustitución, en el cálculo de un emparrillado, de una barra circular por la viga recta que une sus extremos es función del ángulo del segmento circular que EI

constituye la viga (θ) y de la relación de rigidez (GJ). Según Da Cunha y Matesanz (1978) 5.5.3. Lamina Plegada Circular El planteamiento llevado a cabo en el análisis de las láminas plegadas es posible aplicarlos al caso de directriz circular en planta como así lo determino Rudinger (1957) la matriz de flexibilidad de un sector de placa circular como el indicado en la figura 5.10 considerando tanto la flexión de la placa como la extensión de la losa. La técnica de cálculo de esta matriz de flexibilidad es en esencia idéntica a la utilizada anteriormente en losa ortótropa circular. De modo análogo, Rudinger dedujo los coeficientes de flexibilidad para la viga curva y lo desarrolló por serie de Fourier, pudiendo alcanzar la compatibilidad total a lo largo de cada arista curva, ya que consideraba la amplitud de cada término. Así pues es posible analizar, mediante esta teoría, tableros con sección alveolar arbitraria, compuestos de losas verticales y horizontales, pero no inclinadas. Las primeras las asimila a vigas circulares y las losas horizontales las estudia exactamente dentro de la teoría elástica. Primitivamente Rudinger aplicó la teoría a secciones abiertas, si se utiliza un método en rigidez es posible tratar todo tipo de sección transversal. La extensión de este análisis a elementos inclinados, que constituirán segmentos de tronco de cono, podría llevarse a cabo como lo han demostrado Popoy y otro (1964), para un problema ligeramente diferente la deducción de la matriz de rigidez para cada armónico representa una penosa tarea

94

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

Figura 5. 10: Lamina tronco de cono

Por ello es más aconsejable recurrir a técnicas numéricas, tales como bandas finitas o bien elementos finitos. La determinación de la matriz de rigidez del tronco de cono 5.10 se lleva a cabo según el siguiente procedimiento. La ecuación de la superficie media a los ejes curvilíneos por los subíndices 1 y 2 r̅(x2 tan β cos ∝1 , ∝2 tan β sin ∝1 , ∝2 ) siendo ∝1 𝑦 ∝2 parámetros sujetos a las condiciones ̅ 1(1) ≤∝1 ≤∝ ̅ 1(2) y 0

277.56

¡OK!

Verificación a corte Vc = Vs = Vs+Vc+Vp =

244.73 [KN] 1095.73 [KN] 1553.90 [KN]

Vu ≤ ∅ (Vs + Vc + Vp ) 806.40

<

1398.51

¡OK!

Resistencia a corte νu =

3.08 [MPa]

Resistencia nominal de corte Vn2 = Vn1 =

1553.90 2151.44

[KN] [KN]

Resistencia asumida correcta

Verificación armadura longitudinal Aps = 8.74 [cm2] No requiere refuerzo longitudinal adicional (8.74 < 17.77)

Preesfuerzo en las vigas

A10

ANEXO A

Wb = Wb` = MDC1, viga = MDC2 = MDC1, diaf = MDC3 = MDW = MLL+IM = Wt = W´t = A= Yb = h= e=

DATOS 0.1014560 0.1722177 353.88 512.92 163.11 137.40 230.36 1362.64 0.0803 0.3272 0.3344 53.88 137.5

m3 m3 KN-m KN-m KN-m KN-m KN-m KN-m m3 m3 m2 cm cm

0.45 m

Perdidas de preesfuerzo Resumen preesfuerzo fpu = 1860.00 Au = 98.7 fs = 1116 Asp = 1776.6 No. torones = 18 Asr = 1974.00 Po = 2250.36

[MPa] [mm2] [MPa] [mm2] [mm2] KN

Perdidas Perdidas [MPa] Fluencia [MPa] Retracción [MPa] Relajación del acero [MPa] Fricción [MPa] Acortamiento elástico [MPa] Acuñamiento anclajes [MPa] Total Porcentaje de perdidas Preesfuerzo final [KN]

235.05 46.89 43.48 27.795 328.25 35.166 % 2679.92

A11

ANEXO A

Verificaciones Verificaciones de tensiones En t = 0 Fibra superior -2.59

>

-4.18

Cumple a tracción

16.06

<

16.8

Cumple a compresión

2.97

<

15.75

Cumple a tracción

2.95

>

-9.41

Cumple a compresión

Fibra inferior

En t = infinito Fibra superior Fibra inferior

Preesfuerzo final Po = ∆P = Pf =

2250.36 KN 35.166 % 2679.92 KN

Coordenadas de las vainas DATOS Nº de torones = L= Au =

18 15 m 0.987 cm2

En el apoyo Y1 = Y2 =

67.03 cm 37.03 cm

En el centro b= a=

15.08 cm 7.78 cm

Coordenadas intermedias y finales Vaina 1 X (cm) A= B= C=

0 750 1500

Y (cm) 37.03 7.78 37.03

A12

ANEXO A

Vaina 2 X (cm)

Y (cm) 67.03 15.08 67.03

0 750 1500

A= B= C=

Ecuación de la parábola Vaina 1 Y=

0.520 X² +

-7.80000 X

+ 37.03

-13.85333 X

+ 67.03

Vaina 2 Y=

0.924 X² +

Coordenadas cada 50 cm. X 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50

Vaina 1 37.03 33.26 29.75 26.50 23.51 20.78 18.31 16.10 14.15 12.46 11.03 9.86 8.95 8.30 7.91 7.78

Vaina 2 67.03 60.33 54.10 48.33 43.02 38.17 33.78 29.86 26.39 23.39 20.85 18.77 17.16 16.00 15.31 15.08

X 7.50 8.00 8.50 9.00 9.50 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 12.50 13.00 13.50 14.00 14.50 15.00

Vaina 1 7.78 7.91 8.30 8.95 9.86 11.03 12.46 14.15 16.10 18.31 20.78 23.51 26.50 29.75 33.26 37.03

Vaina 2 15.08 15.31 16.00 17.16 18.77 20.85 23.39 26.39 29.86 33.78 38.17 43.02 48.33 54.10 60.33 67.03

Coordenadas de las vainas 80.00 60.00 Vaina 1

40.00

Vaina 2

20.00 0.00 -1.00

1.00

3.00

5.00

7.00

9.00

11.00

13.00

15.00

A13

ANEXO A

Verificación de estados límite de resistencia Resumen de resultados 1 dp =

122.87

[cm]

Distancia entre la fibra superior y el baricentro de los tendones

Asp =

17.766

[cm2]

Área de acero de pretensado

β1 =

0.80

c=

7.055

[cm]

Distancia del eje neutro a la fibra en compresión

a=

5.644

[cm]

Altura de diafragma de tensiones equivalentes

k=

0.28

fps =

1830.10

[MPa]

Tensión del acero pretensado a la r. nominal con tendones.

Tp =

3251.35

[KN]

Tensión del acero pretensado a la r. nominal con tendones.

∅Mn =

3903.18

[KN-m]

Resistencia a la flexión mayorada

Mu =

2431.86

[KN-m]

Momento ultimo para estados límite de resistencia

fr =

5.74

[MPa]

fcpe =

14.56

[MPa]

Mcr =

2956.15

Factor que depende del tendón utilizado

[KN-m]

∅𝐌𝐧 ≥ 𝐌𝐔 3903.18 > 2431.86 OK!! ∅𝐌𝐧 ≥ 𝟏. 𝟐 ∙ 𝐌𝐜𝐫 3903.18 > 3547.38 OK!! Armadura de piel Ask ≥ 0.001(de − 760) ≤

As + Aps 1200

Ask ≥ 0.4405 ≤ 1.4805 Usando barras ∅10 tenemos: 7∅10 barras por lado Tomando armadura de piel 1/4 del acero de pretensado tenemos: 6∅10 barras por lado ∴ Usar 6∅10 barras por lado

A14

ANEXO A

Diafragmas Tensión S1-1 Compresión S1-1 máx. = 4.32 MPa Envolventes S1-1 min. = -5.65 MPa Flexión

Compresion: 4.32

<

21

OK

Tracción Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d As =

Fu 0.9 ∙ fy

A15

ANEXO A

Datos: b= h= fy = rec =

250 800 420 30

[mm] [mm] [MPa] [mm]

1130000 2989.42 3163.84 346.5

[N] [mm2] [mm2] [mm2]

Resultados: Fu = As = As. real = As. min=

Usar: 2∅25 + 3∅16 c/lado Armadura de piel 1.714

>

0.05

OK

Refuerzo transversal por corte 𝜏1-2 = 2.07 MPa.

Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h Vu = 414000 N

A16

ANEXO A

Diseño por corte Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d Vc = 62235.39 N Vs =

Vu − ∅ ∙ Vc ∅

Vs = 397764.61 N ∴ Usar ∅10 c/12 cm

A17

Anexo B Análisis Estructural puentes curvos con vigas BPR

DATOS GENERALES DEL PUENTE R= Vp= n= A= e=

50.00 40.00 2 3.50 0.07

[m] [Km/h] [m] [m/m]

Radio de curva Horizontal Velocidad de Proyecto "Tabla 4-2" Número de Carriles Ancho de Carril Peralte de la curva "Tabla 4 -2"

[m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m]

Canto de la viga en el borde del tramo Canto de la viga en el centro del tramo Longitud de nervio a nervio Longitud del volado Espesor del nervio Espesor de la losa Altura cartela 1 Longitud de las cartelas

Dimensiones en elevación h1 = ho = s= a= eN = ef = e1 = c =

2.80 1.80 5.70 2.225 0.30 0.25 0.40 0.25

Propiedades geométricas de las secciones Sección

X

Altura

Esp. Losa e

Área

Yt

Yb

Wt

Wb

[m]

[m]

[cm]

[m2]

[m]

[m]

[m3]

[m3]

0

0

2.6000

0.20

5.9267

0.9018

1.6982

6.1145

3.2470

A

2.475

2.6000

0.20

5.9267

0.9018

1.6982

6.1145

3.2470

B

5.475

2.3556

0.20

5.7801

0.8170

1.5386

5.3195

2.8246

C

8.475

2.1556

0.20

5.6601

0.7490

1.4066

4.6809

2.4927

D

11.475

2.0000

0.20

5.5667

0.6971

1.3029

4.1929

2.2434

E

14.475

1.8889

0.20

5.5000

0.6606

1.2283

3.8496

2.0703

F

17.475

1.8222

0.20

5.4600

0.6389

1.1833

3.6461

1.9685

G

20.475

1.8000

0.20

5.4467

0.6317

1.1683

3.5786

1.9349

H

23.475

1.8000

0.20

5.4467

0.6317

1.1683

3.5786

1.9349

B1

ANEXO B

Pesos y volúmenes de las dovelas Área i Dovela

Área j

2

Ancho

2

m

m

Vol. 3

m

m

Peso dovelas γ KN/m3

Peso KN

0

5.9142

5.9142

2.475

14.64

24.00

351.30

1

5.9142

5.6023

3.000

17.27

24.00

414.59

2

5.6023

5.3470

3.000

16.42

24.00

394.17

3

5.3470

5.1485

3.000

15.74

24.00

377.84

4

5.1485

5.0067

3.000

15.23

24.00

365.59

5

5.0067

4.9216

3.000

14.89

24.00

357.42

6

4.9216

4.8932

3.000

14.72

24.00

353.33

7

4.8932

4.8932

3.000

14.68

24.00

352.31

30.65

123.61

2966.56

Excentricidades Sección 0 A B C D E F G

e2 0.702 0.702 0.617 0.549 0.497 0.461 0.439 0.432

e3

αV

αH

α

0.572 0.479 0.426 0.383 0.350 0.331 0

11.20 9.09 8.26 7.67 7.28 7.17

6.76 6.76 6.76 20.10 20.10 20.10

13.08 11.32 10.67 21.51 21.38 21.34

Calculo de perdidas Fricción Promedio

Cable α [º]

Coeficientes

L. Cable

α [Rad].

[m]

μα + kx μ

k

∆P [%]

1

13.079

0.228

5.521

0.25

6.60E-07

6.07E-02

5.89

2

11.324

0.198

8.508

0.25

6.60E-07

5.50E-02

5.35

3

10.672

0.186

11.502

0.25

6.60E-07

5.42E-02

5.27

4

21.512

0.375

14.498

0.25

6.60E-07

1.03E-01

9.83

5

21.377

0.373

17.496

0.25

6.60E-07

1.05E-01

9.95

6

21.340

0.372

20.495

0.25

6.60E-07

1.07E-01

10.12

B2

ANEXO B

Deslizamiento de anclajes Cable

L. Cable

Ep

Po

∆L

α

[mm]

[MPa]

[N]

[mm]

[Rad]

Coeficientes μ k

Li

∆P

[m]

[%]

1

5520.50

197000

1116

6

0.228

0.25

6.60E-07

9813.58

19.19

2

8507.50

197000

1116

6

0.198

0.25

6.60E-07

12796.82

12.45

3

11501.50

197000

1116

6

0.186

0.25

6.60E-07

14998.13

9.21

4

14498.00

197000

1116

6

0.375

0.25

6.60E-07

12184.28

7.31

5

17495.50

197000

1116

6

0.373

0.25

6.60E-07

13295.86

6.05

6

20495.00

197000

1116

6

0.372

0.25

6.60E-07

14267.29

5.17

Acortamiento elástico ∆fpES = 0.545 % Perdidas dependientes del tiempo ∆fp(SR+CR+R1+R2) = 15.50 % Resumen pérdidas totales Perdidas

Notación

Porcentaje

Perdida deslizamiento anclajes y fricción

%∆fanc+fr

19.19 %

%∆fpES

0.545 %

%∆fp(SR+CR+R1+R2)

15.50 %

%∆fpT

35.235 %

Perdida acortamiento elástico Perdidas dependientes del tiempo PERDIDAS TOTALES

Diseño en la etapa de construcción Tiempo inicial (t = 0) Sección A Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo

Momento máximo

4960.48

ft 1.295

fb 0.133

ft 0.688

fb 1.277

9641.72

1.580

2.169

0.814

3.611

9641.72

15474.93

1.706

4.503

0.752

6.299

4

15474.93

22451.49

1.644

7.192

0.503

9.340

5

22451.49

30580.07

1.395

10.232

0.066

12.736

6

30580.07

39877.23

0.958

13.628

-0.562

16.491

1

1246.44

2

4960.48

3

B3

ANEXO B

Sección B Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

2

1442.77

4911.51

2.171

1.185

1.519

2.413

3

4911.51

9549.52

2.434

3.328

1.562

4.970

4

9549.52

15342.40

2.477

5.885

1.388

7.936

5

15342.40

22293.06

2.303

8.850

0.996

11.311

6

22293.06

30413.74

1.911

12.226

0.384

15.101

Mmin

Mmax

Sección C Dovela

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

3

1431.25

4874.05

3.117

2.212

2.381

3.593

4

4874.05

9483.25

3.315

4.527

2.331

6.376

5

9483.25

15255.99

3.265

7.311

2.031

9.626

6

15255.99

22200.18

2.966

10.560

1.482

13.346

Sección D Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

4

1422.60

4848.12

4.087

3.262

3.270

4.789

5

4848.12

9442.93

4.219

5.738

3.124

7.787

6

9442.93

15210.64

4.073

8.736

2.698

11.307

Sección E Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

5

1416.84

4833.73

5.071

4.315

4.183

5.965

6

4833.73

9424.94

5.145

6.926

3.952

9.144

Sección F Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

6

1413.96

4828.69

6.059

fb 5.350

Momento máximo ft 5.122

fb 7.084

B4

ANEXO B

Tiempo inicial (t = inf) Sección A Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo

Momento máximo

ft

fb

ft

fb

1

1246.44

4960.48

0.905

0.199

0.297

1.342

2

4960.48

9641.72

0.957

2.002

0.191

3.444

3

9641.72

15474.93

0.851

4.103

-0.103

5.900

4

15474.93

22451.49

0.557

6.560

-0.584

8.708

5

22451.49

30580.07

0.075

9.368

-1.254

11.871

6

30580.07

39877.23

-0.595

12.531

-2.115

15.394

Dovela

Mmin

Sección B Mmax

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

2

1442.77

4911.51

1.535

1.010

0.883

2.238

3

4911.51

9549.52

1.559

2.914

0.687

4.556

4

9549.52

15342.40

1.364

5.232

0.275

7.283

5

15342.40

22293.06

0.951

7.960

-0.355

10.420

6

22293.06

30413.74

0.321

11.097

-1.206

13.972

Mmin

Mmax

Sección C Dovela

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

3

1431.25

4874.05

2.225

1.785

1.489

3.166

4

4874.05

9483.25

2.180

3.857

1.196

5.706

5

9483.25

15255.99

1.886

6.397

0.653

8.713

6

15255.99

22200.18

1.344

9.404

-0.140

12.189

Sección D Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

4

1422.60

4848.12

2.934

2.577

2.117

4.104

5

4848.12

9442.93

2.819

4.806

1.723

6.855

6

9442.93

15210.64

2.425

7.557

1.050

10.128

Sección E Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

fb

Momento máximo ft

fb

5

1416.84

4833.73

3.654

3.369

2.766

5.019

6

4833.73

9424.94

3.477

5.730

2.285

7.948

B5

ANEXO B

Sección F Dovela

Mmin

Mmax

Momento mínimo ft

6

1413.96

4828.69

fb

4.379

4.143

Momento máximo ft 3.443

fb 5.878

Control de flechas (Etapa de construcción)

Dovela Nº

vi

Sumatoria vi

1

0.05539

0.05539

2

0.04325

0.09864

3

0.02928

0.12792

4

0.01593

0.14384

5

0.00584

0.14969

6

0.00067

0.15036

7

0.00000

0.15036

Deflexión máxima

0.15036

Etapas permanentes (Modelos computacionales) Servicio 1 Distancia m

V2 KN

T

M3

KN-m

KN-m

0.000

-3152.684

-1187.8312

-14141.26

3.000

-1551.017

3164.9733

-5220.14

6.000

-1254.946

3212.5749

1275.78

9.000

-357.031

3105.9327

6644.98

12.000

-789.503

-405.8996

9403.60

15.000

1116.582

3152.3382

10493.40

18.000

938.376

-128.2138

605.32

21.000

1570.533

445.2581

-1864.82

23.475

2387.114

741.5081

-8971.49

B6

ANEXO B

Redistribución de momentos por fluencia Mf = MII + (MI − MII )e−∅ Distancia m

M (II) KN-m

M (I) KN-m

Mfinal KN-m

Mcreep KN-m

0.000

0.00

-1538.36

-1313.18

-1313.18

3.000

-588.24

2134.14

-189.76

398.48

6.000

-2353.69

4376.85

-1368.52

985.17

9.000

-5299.94

5170.60

-3767.34

1532.60

12.000

-9435.64

4505.25

-7395.08

2040.56

15.000

-14775.18

2370.03

-12265.59

2509.59

18.000

-21338.74

-1246.39

-18397.77

2940.97

21.000

-29152.23

-6356.06

-25815.50

3336.73

23.475

-34524.50

-11821.91

-31201.46

3323.04

Cables solidarios M3+creep

Wt

Wb

KN-m

m3

m3

ft

fb

-15454.45

3.5786

1.9349

-4.32

-7.99

-4821.66

3.5786

1.9349

-1.35

-2.49

2260.94

3.6461

1.9685

0.62

1.15

8177.58

3.8496

2.0703

2.12

3.95

11444.16

4.1929

2.2434

2.73

5.10

13002.99

4.6809

2.4927

2.78

5.22

3546.28

5.3195

2.8246

0.67

1.26

1471.92

6.115

3.247

0.24

0.45

-5307.65

6.115

3.247

-0.87

-1.63

Se adopta cables solidarios en las últimas dos dovelas por no cumplir con los esfuerzos de tracción. e = Wb = ∆fcb =

1.0683 m 1.9349 m3 5.032 MPa

∆Po =

9113.94 KN

Po (1 cable) =

977.4 KN

Nº cables = Nº cables =

9.32 10 cables

M1 =

10441.56 KN

M2 =

5220.78 KN

B7

ANEXO B

Comprobación con cables solidarios M corregido

Wt

Wb

KN-m

m3

m3

ft

fb

-5012.89

3.5786

1.9349

-1.40

-2.59

-645.03

3.5786

1.9349

-0.18

-0.33

2260.94

3.6461

1.9685

0.62

1.15

8177.58

3.8496

2.0703

2.12

3.95

11444.16

4.1929

2.2434

2.73

5.10

13002.99

4.6809

2.4927

2.78

5.22

3546.28

5.3195

2.8246

0.67

1.26

1471.92

6.115

3.247

0.24

0.45

-5307.65

6.115

3.247

-0.87

-1.63

Diseño corte y torsión Resistencia 1 Mu

Vu

Tu

KN-m

KN

KN-m

2017.95

1291.98

4271.06

8693.39

807.24

3892.88

13406.68

303.47

3236.16

14589.61

1176.63

2929.91

13085.70

2259.68

2759.99

3454.89

1601.30

2947.65

9748.82

2399.34

2257.76

Resistencia del concreto Sec.

dv

bv

ph

Ao

V n+ T

ϴt

Vp

G

1440.00 540

14000

8640000 3371.67 28.91

595.47

εs

ϴ

β

Vc

-1.80E-05 28.94 4.74 1808.37 -3.12E-05 28.89 4.69 1815.67 -5.58E-05 28.80 4.61 1783.53

F

1459.98 540 14044.4

8759880 2922.30 28.84

78.01

E

1459.98 540 14044.4

8759880 2354.43 28.74

229.96

D

1520.01 540 14177.8

9120060 2363.36 28.65

197.15

C

1620.00 540

9720000 2914.06 28.51

867.35

B

1760.04 540 14711.2 10560240 2445.13 28.38 1655.87

-9.13E-05 28.68 4.49 1810.69 -1.36E-04 28.52 4.36 1870.91 -2.08E-04 28.27 4.15 1937.47

A

1940.04 540 15111.2 11640240 2737.97 28.28 3299.76

-2.28E-04 28.20 4.10 2109.04

14400

B8

ANEXO B

Diseño a corte φ

Sec.

Vuw

Vc

G

1685835.7

904184.7

F

1461148.7

907836.4

E

1177214.0

891767.4

D

1181682.0

905342.9

Av

Sv

Vs

Vc+Vs

φVn Av/sv

Vn

10 157.08 170 1010781.9 10 157.08 240 727293.0 10 157.08 420 417075.7 10 157.08 440 416620.3

1914966.7

1914966.7

OK 0.9240

1635129.5

1635129.5

OK 0.6545

1308843.2

1308843.2

OK 0.3740

1321963.4

1321963.4

OK 0.3570

702318.5

1637771.6

1637771.6

OK 0.5610

392567.1

1361302.9

1361302.9

OK 0.2856

467984.1

1522503.5

1522503.5

OK 0.3080

C

1457028.6

935453.0

B

1222563.8

968735.8

10 157.08 280 10 157.08 550

A

1368982.6 1054519.3

10 157.08 510

Verificación a torsión Sec.

Tu

∅

At

St (mm)

Tn

TN (KN-m)

φ Tn

At/St

G

4271.06

10

157.08

430

4795337615

4795.34

0.36530 OK

F

3892.88

10

157.08

480

4363758145

4363.76

0.32725 OK

E

3236.16

10

157.08

580

3624244443

3624.24

0.27083 OK

D

2929.91

10

157.08

670

3283217158

3283.22

0.23445 OK

10

157.08

760

3104987410

3104.99

0.20668 OK

10

157.08

790

3279674653

3279.67

0.19883 OK

10

157.08

1140

2512335818

2512.34

0.13779 OK

C B A

2759.99 2947.65 2257.76

Sumatoria de acero por torsión y corte Sec.

Av/sv

At/st

Av/Sv+At/St

Av/s min

Av+t/s Adoptado

∅

At+v

157.08 121.8 157.08 160.0

G

0.9240

0.3653

1.2893

0.631

1.2893

10

S t+s

F

0.6545

0.3272

0.9817

0.631

0.9817

10

E

0.3740

0.2708

0.6448

0.631

0.6448

10

D

0.3570

0.2344

0.5914

0.631

0.6313

10

C

0.5610

0.2067

0.7677

0.631

0.7677

10

B

0.2856

0.1988

0.4844

0.631

0.6313

10

157.08 204.6 157.08 248.8

A

0.3080

0.1378

0.4458

0.631

0.6313

10

157.08 248.8

157.08 243.6 157.08 248.8

Acero por corte y torsión Armado transversal dovelas Usar : ∅

10

cada

13

cm

Usar : ∅

10

cada

16

cm

Usar : ∅

10

cada

25

cm

Usar : ∅

10

cada

25

cm

Usar : ∅

10

cada

21

cm

Usar : ∅

10

cada

25

cm

Usar : ∅

10

cada

25

cm

Flexión transversal B9

ANEXO B

Losa superior M(+)

M(-)

As(+)

As(-)

76.07

-216.13

127.22

410.45

83.31

-137.35

140.09

241.31

91.97

-161.3

155.68

289.57

88.28

-142.23

149.01

250.95

99.65

-160.68

169.69

288.29

77.73

-142.98

130.16

252.44

82.43

-145.63

138.52

257.73

97.21

-249.55

165.22

493.55

Losa inferior M(+)

M(-)

As(+)

As(-)

32.43

-74.81

81.17

202.79

11.68

-23.39

28.29

57.69

11.81

-32.29

28.61

80.80

11.70

-32.60

28.34

81.62

10.95

-26.56

26.49

65.84

13.41

-33.35

32.56

83.60

30.70

-73.61

76.62

199.03

33.77

-122.22

84.71

375.68

Alma interior M(+)

M(-)

As(+)

As(-)

32.48

-89.22

52.66

150.70

18.78

-89.14

30.17

150.56

32.91

-88.29

53.38

149.03

50.64

-90.26

83.15

152.58

60.17

-62.16

99.47

102.90

77.62

-69.65

129.96

115.93

75.88

-70.72

126.88

117.81

52.14

-54.32

85.70

89.42

B10

ANEXO B

Alma exterior M(+)

M(-)

As(+)

As(-)

30.31

-76.99

49.07

128.85

50.55

-84.54

82.99

142.29

67.89

-92.03

112.86

155.79

79.77

-64.82

133.78

107.51

72.32

-60.31

120.61

99.71

70.78

-45.20

117.91

73.93

41.74

-36.22

68.11

58.88

56.18

-45.71

92.60

74.79

Refuerzo requerido por flexión Armado transversal dovelas (flexión) Usar : ∅

10 cada

19 cm

Usar : ∅

10 cada

32 cm

Usar : ∅

10 cada

27 cm

Usar : ∅

10 cada

31 cm

Usar : ∅

10 cada

27 cm

Usar : ∅

10 cada

31 cm

Usar : ∅

10 cada

30 cm

Usar : ∅

10 cada

15 cm

Armadura adoptada para corte, torsión y flexión Usar : Usar : Usar : Usar : Usar : Usar : Usar : Usar :

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

Armado transversal dovelas 10 cada 13 10 cada 13 10 cada 21 10 cada 21 10 cada 21 10 cada 21 10 cada 21 10 cada 15

cm cm cm cm cm cm cm cm

Diafragmas Tensión S1-1

B11

ANEXO B

Compresión S1-1 máx. = 15.10 MPa S1-1 min. = -3.28 MPa Flexión

Compresion: 15.10

<

21

OK

Tracción Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d As =

Fu 0.9 ∙ fy

Datos: b= h= fy = rec =

450 1800 420 30

[mm] [mm] [MPa] [mm]

B12

ANEXO B

Resultados: Fu = As = As. real = As. min=

2656800 7028.57 7202.16 1433.7

[N] [mm2] [mm2] [mm2]

Usar: 18∅16 c/lado Armadura de piel 0.92

>

0.05

OK

Refuerzo transversal por corte 𝜏1-2 = 1.92 MPa.

Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h Vu = 1555200 N Diseño por corte Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d Vc = 257509.02 N Vs =

Vu − ∅ ∙ Vc ∅

Vs = 1470491 N ∴ Usar ∅12 c/11 cm

B13

Anexo C MOMENTOS Y REACCIÓN MÁXIMAS POR CARGA HL-93

C1

ANEXO C

C2