Tesina-Calculo (1)

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Facultad de Ingenierías, Ciencias Físicas y Matemática Carrera de Ingeniería Civil

Razones de Cambio & Regla de L`Hopital

CEVALLOS CHIFLA ARIANNA MICAELA DOTA DOTA YURI MORELIA SIMBAÑA FARINANGO TANNYA PAMELA

Semestre- Paralelo: 1ero – 4to

Fecha: 21/07/2017 Periodo Lectivo: Marzo 2017-Agosto 2017 Profesor: Dr. Ing. Mauricio Basabe M., PhD

Contenido 1.

Justificación ................................................................................................................................ 1

2.

Introducción ............................................................................................................................... 2

3.

Historia ....................................................................................................................................... 3

4.

5.

3.1.

Regla de L` Hopital.............................................................................................................. 3

3.2.

La controversia L` Hopital y Bernoulli (Solaeche, s.f.) ........................................................ 3

3.3.

Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes ................................ 4

Objetivos .................................................................................................................................... 6 4.1.

Objetivo general ................................................................................................................. 6

4.2.

Objetivos específicos .......................................................................................................... 6

Marco teórico ............................................................................................................................. 7

Capítulo I ............................................................................................................................................ 7 5.1.

Razones de Cambio ............................................................................................................ 7

5.1.1.

Concepto Razón de Cambio ....................................................................................... 7

5.1.2.

Demostración - Razones de Cambio .......................................................................... 8

5.1.3.

Razón de cambio promedio ....................................................................................... 9

5.1.4.

Razón de cambio instantánea .................................................................................... 9

5.1.5.

Razón de Cambio Relativo ........................................................................................ 10

5.1.6.

Razón de Cambio Relativo Porcentual ..................................................................... 10

Capitulo II ......................................................................................................................................... 11 5.2.

Regla de L’Hopital............................................................................................................. 11

5.2.1.

Enunciado ................................................................................................................. 11

5.2.2.

Condiciones .............................................................................................................. 11

5.2.3.

Demostración ........................................................................................................... 11

5.2.4.

Formas de indeterminación ..................................................................................... 12

Capitulo III ........................................................................................................................................ 14 Ejercicios....................................................................................................................................... 14 6.

Conclusiones............................................................................................................................. 27

7.

Recomendaciones .................................................................................................................... 27

Bibliografía ....................................................................................................................................... 28

1

1. Justificación

2

2. Introducción Durante el pasar del tiempo la humanidad ha tenido la necesidad de investigar sobre hechos ocurridos en el entorno de la misma, esto lo han hecho posible a través del estudio de las ciencias exactas con lo cual cada vez más se ha encontrado respuestas a fenómenos ocurridos. Sin embargo, estos estudios no han servido únicamente para para encontrar respuestas, sino para poder obtener avances sociales, científicos e investigativos de una manera precisa. Por lo que se ha hecho énfasis en el cálculo diferencial que ha sido y seguirá siendo una herramienta muy ocupada para el estudio de fenómenos. Entonces de esta manera podemos afirmar que el cálculo diferencial es una base importante para el estudio de las ciencias exactas: según (Garcia, 2012) “El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático. Consiste en el estudio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos de análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la diferencial de una función.” En este proyecto se investigará y se tratará sobre dos temas importantes en el Cálculo Diferencial que son las Razones de Cambio y la Regla de L` Hopital. De esta manera: En el caso de las razones de cambio se pueden presentar diferentes casos como razones de cambio promedio o, por otro lado, si se tiene las razones de cambio instantáneas las cuales se resolverán mediante un límite. A demás se realizará el estudio de la Regla de L` Hopital, la cual tiene como fundamento 0

la resolución de límites con indeterminaciones de forma 0 ;

∞ ∞

; ∞ ∗ 0; ∞ ± ∞; 00 ; ∞0 ; 1∞ .

Donde el límite en cuestión debe tener tanto el numerador como el numerador tendiendo a cero. Y de esta manera levantar la indeterminación.

3

3. Historia 3.1.Regla de L` Hopital Esta regla lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de L´Hôpital (1661-1704), quien escribió en 1692 la obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), el primer libro sobre cálculo diferencial. (Gámez, 2013) 3.2. La controversia L` Hopital y Bernoulli (Solaeche, s.f.) Johann Bernoulli: nace el 06-08-1667 en Basel, Suiza y muere en la misma ciudad el 0101-1746. El décimo hijo de la familia del farmacéutico Nicolaus Bernoulli. A pesar de la determinación de su padre por hacer de él un comerciante que continuara con sus negocios, Bernoulli optó por la Medicina y la Literatura, graduándose de Médico en 1694 con una curiosa tesis sobre la contracción muscular. Pero su ser se vuelve cada vez más hacia la Matemática, creando con sumo ingenio una gran cantidad de resultados de los cuales, algunos de ellos, muchos años después, tuvieron fuerte eco en otras ciencias además de la Matemática. Entre 1691 y 1692, escribe dos textos que no se publicarán hasta mucho más tarde, en 1742, sobre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral para el uso del marqués De L’Hospital, quien lo invitó a su hogar parisino y luego a su mansión campestre, el castillo de Ouques, a fin de que disfrutara de esta estadía entre la comodidad y el lujo, como un agradable paréntesis en su vida de carestías y demás, para que Bernoulli lo inicie en los misterios de los nuevos conocimientos del Cálculo Diferencial e Integral que Leibnitz y Newton habían creado. Guillaume Franois Antoine De L’Hospital: Marqués de Saint Mesme, conde de Autremont, Señor de Ouques y capitán de caballería; nace en París en 1661 y muere en 1704. En Francia, L’Hospital publica el primer tratado sobre el Cálculo Diferencial “Analyse des infiniment petits pour l´ıntelligence des lignes courbes”, París 1696. El marqués de L’Hospital fue un matemático aficionado que desde temprana edad se interesó por las Matemáticas y muy particularmente por el nuevo Cálculo presentado al mundo por Leibniz en dos breves trabajos en 1684 y en 1686.

4

Consciente de que él no podría por sí mismo dominar esta excitante faceta, “recurrió” a Johann Bernoulli. En 1696, repentinamente, apareció al público su obra, en cuya introducción, al tiempo que reconoce sus deudas con Leibniz y Jo. Bernoulli, subraya: “me he servido libremente de sus descubrimientos”. El prefacio contiene una breve reseña histórica del Cálculo hasta esos momentos, anotando: “Newton está en posesión de un Cálculo semejante al de Leibniz, pero me inclino por el de este ´ultimo, por estar expuesto más fácil y expeditivo”. Divide la obra en diez secciones, de las cuales, es la Novena en la que aparece la controversial Regla de L’Hospital en los siguientes términos: “ Para hallar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abscisa dada x 0

toma la forma 0, se determina el cociente de las diferencias del numerador y del denominador para este valor de la abscisa.” Que en la notación actual transcribimos: 𝑓`(𝑥)

Si f y g son funciones diferenciables en x = a, tales que f(a) = g(a) = 0 y existe lim 𝑔`(𝑥) 𝑥→𝑎

entonces: 𝑓(𝑥) 𝑓`(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔`(𝑥) lim

La obra tuvo gran éxito y se editaron varias ediciones durante el s. XVIII, conjuntamente con otra obra suya titulada “Tratado analítico de las secciones cónicas” que desempeñó un papel tan ´útil en la Geometría Analítica como la anterior en el Cálculo. Ambas se consideraron obras clásicas de la Maten ática del s. XVIII. (Solaeche, s.f.) 3.3. Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes El Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes de L’Hôpital fue el primer libro publicado de cálculo. Consta de diez secciones, cada una de ellas enfocada a diferentes variantes del cálculo, y son los siguientes (L’Hôpital, 1998: 23; Collette, 1986: 153): i.

Donde se dan las reglas del cálculo de las diferencias.

ii.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar las tangentes de todos los tipos de líneas curvas.

5

iii.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar las ordenadas mayores y menores, a lo que se reducen los problemas de máximos y mínimos.

iv.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar los puntos de inflexión y de retorno.

v.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar las evolutas.

vi.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar las cáusticas por reflexión.

vii.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar las cáusticas por refracción.

viii.

Uso del cálculo de las diferencias para encontrar los puntos de las líneas curvas que tocan una infinidad de líneas de posición dada, rectas o curvas.

ix.

Solución de algunos problemas que dependen de los métodos anteriores.

x.

Manera novedosa de hacer uso del cálculo de las diferencias en las curvas geométricas, de donde se deduce el método de los señores Descartes y Hudde.

6

4. Objetivos 4.1.Objetivo general 

Investigar acerca de la regla de L’Hopital para la resolución de indeterminaciones de una función en un punto 𝑥 → 𝑎.



Investigar a cerca de una razón de cambio para obtener la resolución de un problema de una manera adecuada tanto cualitativa como cuantitativamente.

4.2.Objetivos específicos 

Determinar el método de resolución de la regla de L’Hopital para aplicarla a los diferentes ejercicios.



Interpretar tanto conceptos como problemas con que intervengan razones de cambio.



Resolver problemas que impliquen razones de cambio y la aplicación de la regla de L’Hopital.

7

5. Marco teórico Capítulo I 5.1.Razones de Cambio Al pasar del tiempo las razones de cambio ha sido una herramienta útil para valorar el cambio entre el incremento o disminución de los problemas entre variables. Por eso, partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y previsiones. 5.1.1. Concepto Razón de Cambio Razón de cambio es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. A una razón de cambio también se la puede llamar Tasa de Cambio, o Tasa de Variación. En general, en una relación funcional 𝑦 = 𝑓(𝑥), la razón de cambio de la variable dependiente y respecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de límite de la razón 𝑓´(𝑥) =

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

, denominada cociente diferencial.

En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función. (Ramón, L. 2009) Nota: si dos o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación.

8

5.1.2. Demostración - Razones de Cambio

Ilustración 1: Representación geométrica de una derivada (Cepeda, 2014) Recuperado: http://blog.espol.edu.ec/guifecep/derivada/

Al definir la derivada de una función y 𝑓(𝑥) se tiene que: 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜) 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜) ∆𝑦 = lim = lim ℎ→0 x→x0 ∆x→0 ∆𝑥 ℎ 𝑥 − 𝑥𝑜

𝑓´(𝑥) = lim

Donde: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜) &

∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑜 = ℎ

son los

incrementos de las variables y & x, respectivamente. Refiriéndonos a estos incrementos podemos decir que: 

El incremento ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜); muestra el cambio que tiene la variable y.



El incremento ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑜 = ℎ; muestra el cambio que tiene la variable x.

De esto se desprende que el ∆𝑦 𝑓(𝑥𝑜 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑜) 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜) = = ∆𝑥 ℎ 𝑥 − 𝑥𝑜 Es una razón de cambio que muestra la razón entre el cambio que tiene la variable y & el cambio que tiene la variable x. Es decir, es una razón que compara el cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x.

9

Ahora bien, al escribir lim

∆𝑦

∆x→0 ∆𝑥

nos estamos refiriendo a la razón de cambio promedio de

la variable y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable x. Podemos decir que con este límite se busca una razón de cambio instantánea de la variable y con respecto a la variable x. Es decir, cuando hacemos que la longitud (∆𝑥) del intervalo limitado por 𝑥𝑜 & 𝑥𝑜 + ∆x. tienda a cero, “la razón de cambio promedio de y" se convierte en “la razón de cambio instantánea de y", por supuesto, con respecto a x. (Anónimo, Calculo diferencial e Integral 1, s.f.) Donde tanto 𝑓´(𝑥) =

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑜) 𝑥−𝑥𝑜

como lim

∆𝑦

∆x→0 ∆𝑥

se tomarían como las ecuaciones para

determinar una razón de cambio. 5.1.3. Razón de cambio promedio Se define matemáticamente como: ∆𝑦 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜) 𝑦 − 𝑦𝑜 = = ∆𝑥 𝑥 − 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 Donde: ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑜, se llama incremento de variable. ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦𝑜, se llama incremento de la función. &

∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑜) 𝑥−𝑥𝑜

=

𝑦−𝑦𝑜 𝑥−𝑥𝑜

cocientes de diferencias.

Esto es, para poder calcular la “razón de cambio promedio” para cualquier pareja de puntos es necesario formar el cociente anterior. Esta ecuación también representa la pendiente de una recta. Por lo que podemos concluir al respecto, que cada vez que se realiza un cálculo para obtener la razón de cambio promedio, se está calculando la pendiente de la recta secante para la pareja de puntos considerados. (Paula, 2009) 5.1.4. Razón de cambio instantánea Esta se define matemáticamente como: lim

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

La razón de cambio instantánea (razón de cambio) de f con respecto a x en el instante a, corresponde con el siguiente límite, si existe:

𝑑 𝑓(𝑎) 𝑑𝑥

= lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

10

El anterior límite representa la derivada en un punto de 𝑓, 𝑓´(𝑎) , por lo tanto, se puede utilizar la derivada de una función en un punto para calcular la razón de cambio instantánea en ese punto. (Enriqe, s.f.)

5.1.5. Razón de Cambio Relativo Esta razón de cambio está dada por: “se deriva la función y se divide sobre la misma función; para hallar el valor de la función en un instante.” (Educación, 2012) 𝑓`(𝑥𝑜) 𝑓(𝑥) 5.1.6. Razón de Cambio Relativo Porcentual Esta razón de cambio está dada por: “se multiplica la razón de cambio relativa por 100 para hallar el porcentaje de la razón en un determinado tiempo.” (Educación, 2012) 𝑓`(𝑥𝑜) ∗ 100 𝑓(𝑥)

11

Capitulo II 5.2.Regla de L’Hopital La regla de L’Hopital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

5.2.1. Enunciado Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalos[a,b],derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑔(𝑐) = 0 y 𝑔′(𝑥) 0 si z c Si existe el límite L de f /g’ en c entonces existe el límite de f/g en c y es igual a L. por lo tanto 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 =𝐿 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥) 𝑙𝑖𝑚

5.2.2. Condiciones 1. 𝑓 𝑦 𝑔 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏] 2. 𝑓 𝑦 𝑔 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏) 3. 𝑔′ (𝑥) ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 4. ∃ lim

𝑓′(𝑥)

x→a 𝑔′(𝑥)

=𝐿

5. 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) = 0 5.2.3.

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo Ɛ-δ más delicados. Como g(c)=0 y g’(x)≠0 si x≠c, se tiene que g(x) ≠0 si x≠c como consecuencia del Teorema de Rolle. Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

12

Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, tx también tiende hacia c, así que:

Condiciones El limite a la derecha debe existir 5.2.4. Formas de indeterminación 

De la forma

0 0

Consideremos dos funciones derivables f y g en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en a I. Suponiendo que x a en I, excepto posiblemente en a v I. Suponiendo que ∀ x ≠ a en I, g`(x) ≠ 0 y si lim f(x) = 0 y lim g(x) = 0 , entonces: x→a

x→a

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥) 𝑙𝑖𝑚



De la forma

∞ ∞ f(x)

Para determinar el lim g(x) = 0 cuando el lim f(x) = ∞ y x→a

x→a

, es suficiente aplicar la regla establecida en 

De la forma 0. ∞

Para determinar el lim f(x). g(x) cuando lim f(x) = 0 y lim g(x) = x→a

x→a

x→a

∞ a la función f(x). g(x)se expone de tal manera que adopte una de las formas

0 0

𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑙𝑖𝑚



De la forma ∞ − ∞

Para determinar el lim(f(x) − g(x)) cuando: lim f(x) = ∞, lim g(x) = ∞ , la función x→a

f(x) − g(x) se expresa en la forma siguiente:

x→a

x→a

o

∞ ∞

es:

13

lim(f(x) − g(x)) x→a



De la forma 00 , ∞0 , 1∞

Para determinar el lim(f(x)g(x) ) que toma la forma: 00 , ∞0 , 1∞ , x→a

cuando x → a, se debe tener en cuenta que f(x)g(x) = eg(x)ln(f(x))

(Ramos, s.f.)

14

Capitulo III Ejercicios Razones de Cambio 1. Una piscina tiene 40ft de largo, 20ft de largo, 8 ft de profundidad en el extremo más hondo y 3ft en el extremo menos profundo. Se está bombeando agua a razón de

40𝑓𝑡 3 𝑚𝑖𝑛

. Con que rapidez se eleva el agua cuando tiene 3ft y 6 ft de profundidad.

Nota: la base de la piscina es rectangular.

40ft

40ft

3ft

3ft

8ft

8ft h

Rapidez, cuando el agua llegue a los 3ft de profundidad. 20ft

3ft

40ft

5ft

𝑏 ℎ = 40 5 𝑏 = 8ℎ 𝑣=(

𝑏∗ℎ )∗ℎ 2

𝑏∗ℎ 𝑣=( ) ∗ 20 2 𝑣 = 10𝑏ℎ 𝑣 = 10(8ℎ)ℎ 𝑣 = 80ℎ2

5ft

H

15

𝑑𝑣 𝑑ℎ = 160ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 40𝑓𝑡 3 𝑑ℎ = 160ℎ 𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑡 𝑑ℎ 40𝑓𝑡 3 /𝑚𝑖𝑛 = 𝑑𝑡 160ℎ 𝑑ℎ 40 = 𝑑𝑡 160(3) 𝑑ℎ = 0.083𝑓𝑡 3 /𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑡 

La piscina se llena con una rapidez de 0083ft/min, al llegar a 3ft de profundidad.

Rapidez, cuando el agua llegue a los 6ft de profundidad. 20ft

40ft h

8ft

𝑉 = 𝑣𝑝𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 + 𝑣𝑝𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑏∗ℎ 𝑣 = (( ) ∗ ℎ) + (𝑏 ∗ ℎ ∗ 𝑠) 2 𝑣 = ((

40 ∗ 5 ) ∗ 20) + (40 ∗ ℎ ∗ 20) 2 𝑣 = 2000 + 800ℎ

𝑑𝑣 𝑑2000 𝑑ℎ 𝑑8000 = + 8000 +ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑ℎ = 8000 𝑑𝑡 𝑑𝑡 40𝑓𝑡 3 𝑑ℎ = 8000 𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑡 𝑑ℎ 40𝑓𝑡 3 /𝑚𝑖𝑛 = 𝑑𝑡 8000

16

𝑑ℎ = 0.005𝑓𝑡 3 /𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑡 

La piscina se llena con una rapidez de 0.005ft/min, al llegar a 6ft de profundidad.

2. Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de p u$/unidad. Se ha determinado que la relación entre p y q es: 𝑞 2 − 2𝑞 √𝑝 − 𝑝2 − 31 = 0 Si el precio p del artículo es de 9u$ y se incrementa a una tasa de 0.20u$ por semana, determinar: a) Calcular el número de artículos vendidos a 9 dólares. b) Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q, vendidas por semana cuando el precio es de 9u$. Donde: p = 9u$ 𝑞 2 − 2𝑞 √𝑝 − 𝑝2 − 31 = 0 𝑞 2 − 2𝑞√(9) − 92 − 31 = 0 𝑞 2 − 6𝑞 − 81 − 31 = 0 𝑞 2 − 6𝑞 − 112 = 0 (𝑞 − 14)(𝑞 + 8) = 0 𝑞 = 14 & 𝑞 = −8 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒) 

Son 14 artículos vendidos a 9u$.

Rapidez con la cual cambia la cantidad de unidades, vendidas por semanas. 𝑑𝑞 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 Donde: p = 9u$ Tasa de variación por semana = 0.20u$ 𝑑𝑝 𝑢$ = 0.20 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎

𝑑0 𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑑 = 𝑞 − 2 (𝑞√𝑝) − 𝑝2 − 31 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

17

0 = 2𝑞

0 = 2𝑞

1 𝑑𝑞 𝑑 1 𝑑 𝑑𝑝 − 2 ((𝑞 ∗ 𝑝2 ) + (𝑝2 ∗ 𝑞)) − 2𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

1 𝑑𝑞 𝑑𝑞 1 𝑑𝑝 𝑑𝑝 − 2 ((𝑞 ∗ 𝑝−1/2 ∗ ) + (𝑝2 ∗ )) − 2𝑝 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

0 = 2𝑞

𝑑𝑞 1 𝑑𝑝 𝑑𝑞 𝑑𝑝 − 2 ((𝑞 ∗ ∗ ) + (√𝑝 ∗ )) − 2𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2√𝑝 𝑑𝑡 0 = 2𝑞

𝑑𝑞 𝑞 𝑑𝑝 𝑑𝑞 𝑑𝑝 − + 2√𝑝 − 2𝑝 𝑑𝑡 √𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑞 𝑑𝑝 𝑑𝑞 ( + 2𝑝) = (2𝑞 − 2√𝑝) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 √𝑝 (

14 √9

+ 2 ∗ 9) 0.20 = (2(14) − 2√9)

𝑑𝑞 𝑑𝑡

𝑑𝑞 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 0.206 ( ) 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

3. Un aviso rectangular, que tiene 24m de ancho y una profundidad no pertinente, da vuelta sobre un eje vertical que pasa por su centro, a razón de 5 rpm. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. ¿con qué rapidez está cambiando el ancho aparente del aviso cuando éste tiene 12m de ancho, según lo ve el observador, y su ancho está aumentando?

24

h 𝜃

observador

5𝑟𝑝𝑚 ∗ 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 10𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑑𝜃 = 10𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑡 ℎ = 24𝑠𝑒𝑛𝜃 12 = 24𝑠𝑒𝑛𝜃

18

1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝜋 𝜋 𝜃 = 30 ∗ = = 𝜃 180 6 𝑑ℎ 𝑑 𝑑𝜃 = 24 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑ℎ 𝑑𝜃 = 24𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑ℎ 𝜋 = 24 cos ( ) (10𝜋) 𝑑𝑡 6 𝑑ℎ 𝑑𝑡



= 753.9 𝑚/𝑚𝑖𝑛

El aviso cambia su ancho aparente a 12 m, con una rapidez de 753.9 m/min.

4. Un automóvil está 30 millas al norte de la ciudad y se dirige hacia el norte a razón de 25 millas por hora. Al mismo tiempo, un camión está 40 millas al este de la ciudad y se desplaza hacia el es2te a razón de 50 millas por hora. ¿Cuál es la tasa de variación de la distancia entre los dos vehículos? N N

z

N N

y ciudad

x x2 + y2 = z2

2𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 2𝑦 = 2𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 +𝑦 =𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Se quiere hallar dz/dt cuando x = 40, y=30, dx/dt =50 y dy/dt = 25 en ese instante. 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √(40)2 + (30)2 = 50 La ecuación que relaciona las tasas de variación es: (40)(50) + (30)(25) = (50)

𝜕𝑧 𝜕𝑡

19

𝜕𝑧 = 55 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 /ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜕𝑡 

Los vehículos están separándose a razón de 55 millas /hora.

5. Considere una arandela de caucho que está siendo comprimida. En un determinado momento, se obtiene las siguientes medidas: el diámetro externo de la arandela es de 3cm; su diámetro interno es de 1cm; el grosor de la arandela disminuye a una tasa de ¼ cm/min; y el diámetro externo está aumentando a una tasa de ½ cm/min. Si el volumen de la arandela se mantiene en 𝜋 cm3 en todo momento, ¿a qué tasa está cambiando el diámetro interno en el instante en que se toman las medidas? Podemos observar la arandela en la figura. El volumen V, el grosor G, el diámetro interno H y el diámetro externo D de la arandela están relacionados por:

𝐷 2 𝐻 2 𝑉 = 𝐺 [𝜋 ( ) − 𝜋 ( ) ] 2 2 𝑣=

𝜋𝐺 2 (𝐷 − 𝐻 2 ) 4

Diferenciando con respecto al tiempo t, 𝑑𝑣 𝜋 𝑑 𝑑 𝜋𝐺 (𝐷2 − 𝐻 2 ) + (𝐷2 − 𝐻 2 ) ∗ = 𝐺∗ 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 𝑑𝑉 𝜋 𝑑 𝑑𝐷 𝑑𝐻 𝜋 𝑑𝐺 = 𝐺∗ (2𝐷 − 2𝐻 ) + (𝐷2 − 𝐻 2 ) ∗ 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 En el tiempo que interesa,

𝑑𝐺 𝑑𝑡

1

= −4 ,

𝑑𝐷 𝑑𝑡

1

= 2, D= 3, H=1. Es necesario hallar G en ese

momento, asi que: 𝜋 𝐺(𝐷2 − 𝐻 2 ) 4 𝜋 𝜋 = 𝐺(32 − 12 ) 4 𝜋 𝜋=𝐺 (32 − 12 ) 4

𝑉=

20

𝐺=

1 2

𝑑𝑉

Debido a que el volumen es siempre 𝜋 ∗ 𝑑𝑡 = 0. En el instante en cuestión, 0=

𝜋 1 1 𝑑𝐻 𝜋 1 ( ) [2(3) ( ) − 2(1) ] + (32 − 12 ) (− ) 4 2 2 𝑑𝑡 4 4 0=

𝜋 𝑑𝐻 𝜋 (3 − 2 )− 8 𝑑𝑡 2

0=

3𝜋 𝜋 𝑑𝐻 𝜋 − − 8 4 𝑑𝑡 2

0=−

𝜋 𝑑𝐻 𝜋 − 4 𝑑𝑡 8

𝜋 𝜋 𝑑𝐻 =− 8 4 𝑑𝑡 𝜋 8 = 𝑑𝐻 𝜋 𝑑𝑡 −4 dH 1 = (− ) cm/min dt 2 

𝟏

El diámetro interno cambia a una tasa de(− 𝟐) cm/min

6. Un avión recorre una ruta de vuelo que le llevara directamente sobre una estación de radar, como se muestra en la figura. Si está decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando s=10 millas, ¿Cuál es la velocidad del avión? Sea x la distancia horizontal al radar, como se ilustra en la figura. Observar que cuando s=10, x= √102 − 36 = 8

𝑑𝑠 = −400 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 10 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 10 𝑦 𝑥 = 8 𝑑𝑡 Encontrar la velocidad del avión de la siguiente manera: Por Pitágoras: x2 + 62 = s2 2𝑥

𝑑𝑥 𝑑6 𝑑𝑠 + = 2𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

21

𝑑𝑥 𝑠 𝑑𝑠 = ( ) 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 10 (−400) = 𝑑𝑡 8 𝑑𝑥 = −500 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑡 

Puesto que la velocidad es de -500 millas por hora, la rapidez (o velocidad en sentido coloquial) es 500millas/hora.

NOTA: cabe recalcar que la velocidad es negativa porque x representa una distancia que disminuye. 7. En el motor que se muestra en la figura, una varilla de 7 pulgadas está conectada a un cigüeñal de 3 pulgadas de radio, que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a 200 revoluciones por minuto. Calcular la velocidad del pistón cuando 𝜃 = 𝜋/3

Datos: 𝑑𝜃 𝑑𝑡

= 200(2𝜋) = 400𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 Por minuto. 𝑑𝜃 = 400𝜋 (𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑑𝑡

Incognitas:

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃 =

𝜋 3

Usar la ley de los cosenos para encontrar una ecuación que relaciones a x y a 𝜃 72 = 32 + 𝑥 2 − 2(3)(𝑥) cos 𝜃 𝑑 2 𝑑 𝑑 2 𝑑 7 = 32 + 𝑥 − 2(3) ((𝑥) cos 𝜃) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0 = 2𝑥

𝑑 𝑑 𝑑 𝑥 − 2(3)(𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝑥 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

0 = 2𝑥 0 = 2𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 − 6 (−𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + cos 𝜃 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 + 6𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 6𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

22

−2𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 = 6𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(6 cos 𝜃 − 2𝑥)

𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 6𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 6𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = ( ) 𝑑𝑡 6 cos 𝜃 − 2𝑥 𝑑𝑡 𝜋

Cuando 𝜃 = 3 , 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎: 72 = 32 + 𝑥 2 − 2(3)(𝑥) cos

𝜋 3

1 49 = 9 + 𝑥 2 − 6𝑥 ( ) 2 0 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 40 0 = (𝑥 − 8)(𝑥 + 5) 𝑥 = 8 & 𝑥 = −5 (𝑖𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) 𝑥=8 𝜋 3

De esta manera, cuando 𝑥 = 8 y 𝜃 = , la velocidad del pistón es: 3 6(8) (√2)

𝑑𝑥 (400𝜋) = 𝑑𝑡 6 (1) − 16 2 𝑑𝑥 9 600𝜋 √3 = 𝑑𝑡 −13 𝑑𝑥 = −4018 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑡



La velocidad es de 4018 pulgadas por minuto, cabe recalcar que es negativa porque x representa una distancia que está decreciendo.

8. El costo (en pesos) estimado para producir x artículos está dado por la función: 𝐶(𝑥) = 0.002𝑥 2 + 2𝑥 + 3000 Determinar el costo promedio y el costo marginal de producir 12000 artículos y calcular el nivel de producción para el cual el costo promedio es el más bajo y cual es dicho costo.

23

Costo promedio: 𝑄(𝑥) =

𝐶(𝑥) 𝑥

𝑄(𝑥) =

0.002𝑥 2 + 2𝑥 + 3000 𝑥

𝑄(𝑥) = 0.002𝑥 + 2 +

3000 𝑥

Se evalúa x = 1200 𝑄(1200) = 0.002(1200) + 2 +

3000 (1200)

𝑄(1200) = 6.90 (Costo promedio de producir 1200 artículos. ) Costo marginal: C´(x) 𝑄´(𝑥) =

𝑑 𝑑 0.002𝑥 2 + 2𝑥 + 3000 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑄´(𝑥) = 0.002(2)𝑥

𝑑 𝑑𝑥 𝑑2 𝑑 𝑥+2 +𝑥 + 3000 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑄´(𝑥) = 0.004𝑥 + 2

𝑄´(1200) = 0.004(1200) + 2

𝑄´(1200) = 6.8 (𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 1200 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠. )

Costo promedio: se minimiza cuando se iguala al costo marginal.

𝐶´(𝑥) = 𝑄(𝑥)

0.004𝑥 + 2 =

0.002𝑥 2 + 2𝑥 + 3000 𝑥

0.004𝑋 2 + 2𝑋 = 0.002𝑥 2 + 2𝑥 + 3000

24

0.004𝑋 2 − 0.002𝑥 2 = 3000

0.002𝑥 2 = 3000

𝑋=√

3000 0.002

𝑋 = 1224.7

Para mostrar que x = 1224.7, se obtiene un mínimo, se determina Q´(x) y se evalua: 𝑄(𝑥) = 0.002𝑥 + 2 +

𝑄´(𝑥) =

3000 𝑥

𝑑 𝑑 𝑑 3000 0.002𝑥 + 2+ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑄´(𝑥) = 0.002 +

𝑥×

𝑑 𝑑𝑥 3000 − 3000 × ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥2

𝑄´(𝑥) = 0.002 − 3000/𝑥 2

𝑄´´(𝑥) =

𝑄´´(𝑥) =

𝑑 𝑑 0.002 − 3000/𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

−(𝑥 2

𝑑 𝑑 3000 − 3000 𝑥 2 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑥4

𝑄´´(𝑥) =

3000(2𝑥) 𝑥4

𝑑𝑥 𝑑𝑥

25

𝑄´´(𝑥) =

6000𝑥 𝑥4

𝑄´´(𝑥) =

𝑄´´(1224.7) =

6000 𝑥3

6000 ≥0 1224.73

Por tanto, para x=1224.7 hay un mínimo.

El costo promedio se obtiene evaluando x=1224.7 en Q(x).

0.002(1224.7)2 + 2(1224.7) + 3000 𝑄(1224.7) = (1224.7) 𝑄(1224.7) = 6.89 (𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜)

26

27

6. Conclusiones

7. Recomendaciones 1. Para la resolución de indeterminaciones, es conveniente usar la regla de L`Hopital. 0 0

2. Para Hacer uso de la Regla de L’Hopital se debe llegar a la indeterminación . 3.

28

Bibliografía Anónimo. (10 de 11 de 2014). Calculo Diferencial. Obtenido de La Derivada: http://blog.espol.edu.ec/guifecep/derivada/ Anónimo. (s.f.). Calculo diferencial e Integral 1. Obtenido de Razones de cambio relacionadas: http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Razon/FTRazon.pdf Educación. (15 de 04 de 2012). Razón de cambio. Obtenido de https://es.slideshare.net/energelectrica201201/razon-de-cambio12549677?next_slideshow=1 Enriqe, N. (s.f.). Aplicación de la derivada. Obtenido de http://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/aplicaciones_de_la_derivada_ a_funciones_econmicas.pdf Gámez, J. (2013). Matemáticas Digitales. Obtenido de Regla de L` Hopital: su historia: http://www.matematicasdigitales.com/regla-de-lhopital-su-historia/ Garcia, J. (27 de 08 de 2012). Calculo Diferencial. Obtenido de http://calculodiferencialjos.blogspot.com/ Miguel, M. (s.f.). Aplicacion de la derivada en razoes de cambio. Obtenido de http://ual.dyndns.org/Biblioteca/Bachillerato/Matematicas_IV/Pdf/Sesion_15.pdf Paula, R. (2009). Conceptualización de la razón de cambio en el marco de la enseñanza y la comprensión. Obtenido de http://bibliotecadigital.udea.edu.co/bitstream/10495/525/1/ConceptualizacionRazonCa mbio01.pdf Pilar, M. d. (s.f.). Ejercicios razon de cambio. Obtenido de Ejercicios razon de cambio: https://es.scribd.com/doc/19016710/Ejercicios-Razon-de-Cambio

29 Ramón, L. (14 de 04 de 2009). Matetam. Obtenido de Razones de Cambio: http://www.matetam.com/glosario/definicion/razon-cambio-una-variable-respecto-aotra Solaeche, M. (s.f.). La controversia L` Hôpital - Bernoulli. Obtenido de https://www.emis.de/journals/DM/v1/art7.pdf