TERS Av Skripta

Veselko Tomljenović

TRANSFORMATORI I ELEKTRIČNI ROTACIJSKI STROJEVI ZBIRKA RJEŠENJA skripta u radu

i

1998

Zagreb, 2012. godine

Sadržaj: 1. Transformator 1.1. Nadomjesna shema, Prazni hod 1.2. Kratki spoj 1.3. Opterećenje 1.4. Rasipna reaktancija 1.5. Autotransformator 1.6. Trofazni transformator, grupe spoja

2 2 5 6 11 13 14

2. Električni rotacijski strojevi 2.1. Osnove elektromehaničke pretvorbe energije 2.2. Realizacija stroja za pretvorbu 2.3. Magnetski krug 2.4. Model stroja za izmjenične struje i napone 2.5. Strujni oblog i protjecanje 2.6. Protjecanje izmjenične i višefazne uzbude 2.7. Razvijeni moment i inducirani napon

17 17 17 19 21 22 24 26

3. Sinkroni stroj 3.1. Način rada 3.2. Sinkroni stroj na krutoj mreži

28 28 29

4. Asinkroni stroj 4.1. Način rada 4.2. Izvedbe asinkronih strojeva

31 31 32

5. Istosmjerni stroj 5.1. Fizikalna slika, izvedbe i svojstva 5.2. Kolektorski namot u izmjeničnom i okretnom polju

34 34 36

6. Mali motori

37

Literatura

40

1

1. Transformator 1.1. Nadomjesna shema, Prazni hod 1. Primar transformatora ima 200 zavoja i priključen je na izvor 220 V, 50 Hz. Kolika je vršna vrijednost magnetskog toka u jezgri?

E=

ω N1Φ m 2

= 4, 44 f N1Φ m

Sl. 1 Nadomjesna shema transformatora u praznom hodu

Φm =

E 220 = = 4,955 mWb 4, 44 f N1 4, 44 ⋅ 50 ⋅200

2. Na primar transformatora iz prethodnog primjera priključen je napon u(t) = 155,5 sin 314t + 15,5 sin 942t V. Zanemarujući rasipanje, odredite trenutnu vrijednost i efektivnu vrijednost magnetskog toka u jezgri.

e1 = N1 Φ=

dΦ dt

⇒ Φ=

1 edt N1 ∫

u1 = e

– za idealni transformator

1 (155,5sin 314t + 15,5sin 942t )dt = −2, 48cos 314t − 0, 0823cos 942t mWb 200 ∫

Omjer frekvencija dviju komponenti toka je 1:3, stoga se efektivna vrijednost toka računa iz efektivnih vrijednosti pojedinih harmonika 2, 48 / 2 i 0, 0823 / 2 : 2

2

 2, 48   0, 0823  Φ ef =   +  = 1, 75 mWb 2   2   3. Transformator s 880 zavoja primara pri f = 50 Hz uzima u praznom hodu 80 W i 1,4 A pri naponu 220 V. Ako je otpor primarnog namota 0,46 Ω odredite: a) gubitke u jezgri, b) cos φ0, c) vršnu vrijednost magnetskog toka u jezgri (zanemarite padove napona na primarnom otporu i rasipnoj reaktanciji). a) PFe = PPH − I 02 R1 = 80 − 1, 42 ⋅ 0, 46 = 79,1 W P 80 b) cos ϕ0 = PH = = 0, 2597 I 0U1 1, 4 ⋅ 220

c) Φm =

U1 220 = = 1,13 mWb 4, 44 f N1 4, 44 ⋅ 50 ⋅ 880

4. Za transformator iz prethodnog primjera odredite glavnu reaktanciju X0 i otpor ekvivalentan gubicima u jezgri R0 : a) zanemarujući padove napona na impedanciji primara; b) uzimajući u obzir utjecaj otpora primarnog namota R1 = 0,46 Ω i rasipne reaktancije Xσ1 = 2,6 Ω. 2

U12 2202 = = 605 Ω PPH 80 i i U 220 Ig = 1 = = 0, 36 A R0 605

i i2

R0 =

a)

I µ = I 02 − I g2 = 1, 42 − 0,36 = 1,352 A X0 =

U1 220 = = 162, 7 Ω I µ 1, 352

b)

Sl. 2 Fazorski dijagram transformatora u praznom hodu

ϕ0 = arccos 0, 2597 = 74,95°

– iz primjera 3.b)

U 0 = U1 0° − I 0 0° − ϕ0 ⋅ ( R1 + jX σ 1 ) = 220 0° − 1, 4 −74,95° ⋅ ( 0, 46 + j 2, 6 ) = 220 − 1, 4 −74,95° ⋅ 2, 64 80° = 220 − 3, 7 5, 05° = 220 − 3, 68 − j 0,326 = 216,31 − j 0,326 = 216,32 −0, 086° V U 0 = 216,32 V R0 =

U 02 216, 322 = = 591, 6 Ω PFe 79,1

U 216,32 Ig = 0 = = 0, 3657 A R0 591, 6

≈ U1 − I 0 X σ 1 = 220 − 1, 4 ⋅ 2, 6 = 216, 36 V I µ = I 02 − I g2 = 1, 42 − 0,3657 2 = 1,351 A X0 =

U 0 216,32 = = 160,1 Ω Iµ 1, 351

5. Analizirajte stanje stvarnog neopterećenog trofaznog transformatora 3T 500-12, snage 500 kVA, 10 kV/0,4 kV, Yy6, uk = 4,6 %, Pt = 5440 W, P0 = 1070 W. U nadomjesnoj shemi najbolje je raditi s faznim veličinama i to za ekvivalentni spoj Yy0 : R1 = 1,22 Ω, R'2 = 0,96 Ω, R'0 = 93 460 Ω, Xσ1 = 4,62 Ω, X'σ2 = 4,32 Ω, X'0 = 28 000 Ω, U1 = 10 000/ 3 V, I1N = 28,87 A.

3

Sl. 3 Nadomjesna shema transformatora u praznom hodu

Uz otvorene stezaljke bit će: 93460 ⋅ j 28000 Z 'p = = 7 697, 7 + j 25693,8 = 26822,1 73, 32° Ω 93460 + j 28000 Z u = Z 'p + Z1 = ( 7 697, 7 + j 25693,8 ) + (1, 22 + j 4, 62 ) = 7 698,92 + j 25698, 42 = 26826,9 73,32° Ω

10 000 U1 = 0° = 5773,5 0° V 3 5773,5 0° U = 0, 21521 −73, 32° A I10 = 1 = Z u 26826,9 73,32° U R1 = I10 R1 = 0, 21521 −73, 32° ⋅1, 22 0° = 0, 2626 −73, 32° V U σ1 = I10 ⋅ jX σ1 = 0, 21521 −73,32° ⋅ 4, 62 90° = 0,9943 16, 68° V U '01 = I10 ⋅ Z 'p = 0, 21521 −73, 32° ⋅ 26822,1 73,32° = 5772, 5 0° V = U '2 To je samo 1 V manje od U1, što je smanjenje od 0,0173 %. I 'g =

U '01 5772,5 = = 0, 06176 A R '0 93460

I 'µ =

U '01 5772,5 = = 0, 20616 A X '0 28000

    I 0 = 0, 21521 A  

PR1 = I102 R1 = 0, 215212 ⋅1, 22 = 0, 05651 W ⇒ za sve tri faze 3 ⋅ 0, 05651 = 0,16952 W

P0 = I 'g2 R '0 = 0, 06176 2 ⋅ 93460 = 356, 48 W ⇒ za sve tri faze 3 ⋅ 356, 48 = 1069, 45 W Zaključak: u neopterećenom transformatoru su gubici u namotima zanemarivi PR1 = 0, 05651 W  P0 = 356, 48 W

4

6. Transformator slijedećih nazivnih podataka: 100 kVA, 10 kV/ 400 V, 50 Hz, η = 0,9823, uk = 4,5%, P0 = 285 W, grupe spoja Yd5 radi u praznom hodu. Odredite struju praznog hoda na VN-strani u amperima i u % od I1n. Koristite nadomjesnu shemu transformatora u praznom hodu uz pretpostavku da je X0 tri puta manji od R0.

Sl. 4 Pojednostavljena nadomjesna shema transformatora u praznom hodu

U1f = P0f =

U1l 3

=

10 000 = 5773, 5 V 3

P0 285 = = 95 W 3 3

R0 =

U1f2 5773,52 = = 350877 Ω P0f 95

X0 =

R0 350877 = = 116959 Ω 3 3

Ig =

U1f 5773, 5 = = 0, 01645 A R0 350877

Iµ =

U1f 5773, 5 = = 0, 04936 A X 0 116959

I 0 = I g2 + I µ2 = 0, 016452 + 0, 049362 = 0, 05203 A I1n =

S1n 100 ⋅103 = = 5, 7735 A 3 ⋅ U1n 3 ⋅10 ⋅103

I 0% =

I 0 0, 0520 = ⋅100 % = 0,90125 % I1n 5, 7735

1.2. Kratki spoj 7. Jednofazni transformator kojemu je snaga 20 kVA građen je za napon primara U1 = 5 kV. Prijenosni odnos je n12 = 20, a frekvencija mu je 50 Hz. Napon kratkog spoja je Uk = 300 V, a snaga kratkog spoja 960 W. Nađite: a) nazivni napon sekundara, nazivnu struju primara i nazivnu struju sekundara; b) trokut kratkog spoja (Rk , Xk , Zk , URk , Uσk ) i postotni iznos napona kratkog spoja; c) rasipne induktivitete; d) promjenu napona sekundara uz nazivno opterećenje koje ima cos φ2 = 0,8 ; e) struju koja poteče u primaru ako se sekundar kratko spoji pri nominalnom naponu primara.

5

Rk =

Pk 960 = 2 = 60 Ω I12 4

U Rk = I1Rk = 4 ⋅ 60 = 240 V 2 Uσ k = U k2 − U Rk = 3002 − 2402 = 180 V

Sl. 5 Pojednostavljena nadomjesna shema transformatora u kratkom spoju

a) U 2 =

Xσ =

U1 5000 = = 250 V n12 20

Zk =

U k 300 = = 75 Ω I1 4

S 2 = U 2 I 2 = 20 kVA 3

I2 =

I1 =

S 2 20 ⋅10 = = 80 A U2 250 I 2 80 = =4A n12 20

U Rk 240 ⋅100 % = ⋅100 % = 4,8 % U1 5000

uσ k =

Uσ k 180 ⋅100 % = ⋅100 % = 3, 6 % U1 5000

Xσ

45 = 0,143 H ω 314 U 5000 e) I1k = 1 = = 66, 6 A Zk 75 =

1 2  uRk cos ϕ 2 + uσ k sin ϕ 2 + 200 ( uσ k cos ϕ − uRk sin ϕ2 )  1 2 = 4,8 ⋅ 0,8 + 3, 6 ⋅ 0, 6 + ( 3, 6 ⋅ 0,8 − 4,8 ⋅ 0, 6 ) = 6 % 200

∆u = d)

uRk =

c) Lσ =

b) Pk = I12 Rk

Uσ k 180 = = 45 Ω I1 4

I1 I1n

1.3. Opterećenje 8. Parametri nadomjesne sheme transformatora 150 kVA, 2400V/240V su: R1 = 0,2 Ω, R2 = 2 m Ω, Xσ1 = 0,45 Ω, Xσ2 = 4,5 mΩ, R0 = 10 kΩ i X0 = 1,55 k Ω. Svevši parametre sekundara na primarnu stranu, odredite: a) promjenu napona; b) djelotvornost transformatora pri nazivnom teretu i cos φ = 0,8 ind.

Sl. 6 Nadomjesna shema transformatora

6

Sl. 7 Fazorski dijagram transformatora pri radno-induktivnom opterećenju

2427 + j15 I0r =  0, 2427 + j 0 A 10 ⋅103

U 2 = 240 V n12 = 10

I0 = I0r + Iµ = 0, 25 − j1,56 A

ϕ2 = arc cos 0,8 = −36,87° U 2 ' = n12U 2 = 2400 0° V 3

I2 =

150 ⋅10 = 625 A 240

I1 = I0 + I2 ' = 50, 25 − j 39, 06 = 63, 65 −37,85° A U1 = ( 2427 + j15 ) + ( 50, 25 − j 39, 06 )( 0, 2 + j 0, 45 ) = 2455 + j 30 = 2455 0, 7° V

I I2 ' = 2 = 62, 5 −36,87° = 50 − j 37,5 A n12 2 12

R2 ' = n R2 = 0, 2 Ω X σ 2 ' = n122 X σ 2 = 0, 45 Ω

b) P2 = 150 ⋅103 ⋅ 0,8 = 120 kW

E1 = U 0 = ( 2400 + j 0 ) + ( 50 − j 37, 5 )( 0, 2 + j 0, 45 ) = 2427 + j15 = 2427 0,35° V

Iµ =

2427 0,35° 1550 90°

U1 − U 2 ' 2455 − 2400 ⋅100% = ⋅100% = 2400 a) U 2 ' = 2, 3 %

Pg = I12 R1 + I 0r2 R0 + I 22 R2 = 63, 652 ⋅ 0, 2 + 0, 2427 2 ⋅10 ⋅103 + 6252 ⋅ 2 ⋅10 −3 = 2,18 kW

= 1,56 −89, 65°

= 0, 0095 − j1, 56 A

η=

7

120 = 0, 982 = 98, 2 % 122,18

9. Nacrtajte fazorski dijagram transformatora s čisto omskim opterećenjem.

Sl. 8 Nadomjesna shema transformatora

Fazorski dijagram se može početi crtati na različite načine. Dva načina imaju više smisla od ostalih. Jedan, lakši, polazi od sekundarnih veličina, tako da se najprije u okomitoj osi nacrta sekundarni napon, a zatim u odgovarajućem faznom položaju i sekundarna struja. Drugi način polazi od zajedničke veličine za cijeli transformator, tj. od magnetskog toka Φ0, koji se tada crta u vodoravnoj osi. Oba su načina dobra. Slika koja se dobije na prvi način bit će zakrenuta za neki kut u smjeru suprotnom od smjera kazaljke sata prema slici koja se dobije na drugi način (a tako prikazane slike se najčešće susreću u literaturi). Primijenimo prvi način. 1. korak Nacrtamo u okomitoj osi napon U '2 i s obzirom na omski teret struju I '2 u fazi s tim naponom.

Sl. 9 Prvi korak

Sl. 10 Drugi korak

Sl. 11 Treći korak

Sl. 12 Četvrti korak

2. korak Na fazor napona U '2 dodamo pad napona na otporu R '2 , tj. U 'R 2 , koji je u fazi sa strujom I '2 , te pad napona na otporu X ' , tj. U ' , koji prethodi struji za 90°. σ2

σ2

3. korak Ako sada spojimo vrh napona U 'σ 2 s ishodištem, dobivamo fazor napona U '01 . Ovaj napon  , kojeg stvara struja magnetiziranja I ' . I struja I ' i magnetski tok Φ  zahtijeva magnetski tok Φ 0 µ µ 0  zaostaju za ovim naponom za 90°. Tu se obično odmah prikazuje i struja I ' koja pokriva gubitke u g

željezu. 8

4. korak  , I ' i I ' . Ovdje su ucrtani u odgovarajućem položaju fazori Φ 0 µ g 5. korak Spajanjem vrha fazora I 'g s ishodištem dobivamo položaj fazora struje I '0 . 6. korak Nanošenjem fazora struje I '0 na vrh fazora struje I '2 ili obratno (nanošenjem fazora I '2 na vrh fazora I ' ), tj. fazorskim zbrajanjem, dobiva se ukupna struja primara I . Ovdje je prikazano 0

1

zbrajanje fazora metodom paralelograma (vidi iscrtane linije – paralelne s našim fazorima).

Sl. 13 Peti korak

Sl. 14 Šesti korak

Sl. 15 Sedmi korak

Sl. 16 Osmi korak

7. korak Razumljivo je da ćemo sada nanijeti fazore padova napona U R1 i U σ1 na fazor napona U '01 . Pri tome je fazor U u fazi s fazorom I , pa ga tako i nanosimo. Na sl. 15 je to prikazano s dvije R1

1

poprečne crte kao znak da su te dvije veličine paralelne (u fazi). Lijepo se vidi da se fazor pada napona U σ1 nanosi na vrh fazora napona U R1 , ali u smjeru okomice na struju I1 , jer je to induktivni pad napona koji prethodi struji za 90°. 9

8. korak Konačno spajanjem vrha fazora U σ1 s ishodištem dobivamo fazor primarnog napona U1 . Time je postupak crtanja fazorskog dijagrama transformatora gotov. Na jednak način crtamo sve ostale fazorske dijagrame transformatora, tj. za ostale slučajeve opterećenja. Pri tome je razlika samo u prvom koraku, u kojem se ucrtava fazor struje I '2 u odgovarajućem faznom položaju prema fazoru napona U ' . 2

10. Nacrtajte fazorski dijagram transformatora s čisto induktivnim opterećenjem.

Sl. 17 Nadomjesna shema

Sl. 18 Fazorski dijagram transformatora za čisto induktivno opterećenje L

Pri crtanju fazorskih dijagrama polazimo od nadomjesne sheme transformatora i prvo crtamo sekundarne veličine struje i napona u njihovom odgovarajućem faznom odnosu (prema vrsti opterećenja). Daljnji postupak je uvijek jednak onom koji je prikazan u prethodnom primjeru. 1. Nacrtamo u okomitoj osi fazor napona U '2 i okomito na njega, tako da zaostaje za 90°, fazor struje tereta I ' . 2

2. Na fazor napona dodajemo fazore napona U 'R 2 i U 'σ2 bilo kojim redoslijedom, ali tako da je fazor U 'R 2 nacrtan u fazi sa strujom, a fazor U 'σ2 okomito na smjer struje i to tako da prethodi struji za 90°. 3. Spajanjem vrha drugog po redu crtanja ovih fazora s ishodištem, dobivamo fazor napona U '10 = − E '1 = − E '2 .  =Φ  . 4. Okomito na smjer fazora U ' crta se fazor glavnog magnetskog toka Φ 10

gl

0

 crta se fazor struje magnetiziranja I ' , a okomito na njega, tako da 5. U fazi s fazorom Φ 0 µ prethodi za 90°, crta se fazor struje gubitaka u jezgri transformatora I ' . g

6. Ove dvije struje zajedno ( I 'µ i I 'g ) daju struju praznog hoda, pa kao zbroj njihovih fazora crtamo struju I ' . 0

7. Zbrajanjem fazora struje praznog hoda I '0 i struje tereta I '2 dobivamo fazor struje primara I1 . 8. Okomito na smjer fazora struje primara I crtamo, dodajući na fazor napona U ' , fazor pada 1

10

napona na rasipnom induktivitetu primara, tj. fazor napona U σ1 . 10

9. Na vrh fazora U σ1 dodajemo fazor pada napona na omskom otporu primarnog svitka, tj. fazor napona U . R1

10. Vrh fazora U R1 spajamo s ishodištem i dobivamo fazor napona U1 .

11. Nacrtajte fazorski dijagram transformatora s čisto kapacitivnim opterećenjem. 1. U okomitoj osi U '2 . 2. ⊥ na U '2 crtamo I '2 (-90°). 3. ⊥ na I ' crtamo U ' . 2

σ2

4.  s I '2 crtamo U 'R 2 . 5. Ucrtavamo U '0 . 6. ⊥ na U ' (zaostaje 90°) crta se Φ. 0

7. U fazi s Φ crta se I 'µ . 8. ⊥ na I ' crta se I ' . µ

g

9. Ucrtavamo I '0 . 10. Zbrajamo I '0 i I '2 i dobivamo fazor I1 . 11. ⊥ na I crta se U (na vrh U ' ). 1

σ1

0

12.  s I1 crta se U R1 (na vrh U σ1 ). 13. Ucrtava se U1 .

Sl. 19 Fazorski dijagram transformatora za čisto induktivno opterećenje L

1.4. Rasipna reaktancija 12. Odredite rasipnu reaktanciju transformatora slijedećih podataka: f = 50 Hz, δ = 30 mm, N1 = 120 zavoja, a1 = 30 mm, a2 = 40 mm, Dsr = 0,4 m, h = 0,6 m = ln. Koliko iznosi reaktancija kada se glavni rasipni kanal poveća na 60 mm?

Sl. 20 Rasipno polje

Sl. 21 Rasipni tok primarnog i sekundarnog namota

11

a) δ = 30 mm Zamijenimo trapezni oblik protjecanja pravokutnim, no na kraćoj širini:

δr =

a1 + a2 30 + 40 +δ = + 30 = 53,33 mm 3 3

– reducirana širina rasipnog magnetskog toka Faktor Rogowskog kaže (dovoljno točno) koliko je namot niži od ekvivalentne duljine silnica rasipnog magnetskog toka (prema pojednostavljenoj sl. 22):

kr =

ln a + a +δ 30 + 40 + 30 ≈ 1− 1 2 = 1− = 0,947 lsil π ln π ⋅ 600 – za računanje ekvivalentne duljine silnica

Sl. 22 Rasipni tok

Iz ovako pojednostavljene slike magnetskih prilika s rasipnim magnetskim tokom u transformatoru može se jednostavno izvesti numerički izraz za rasipnu reaktanciju:

X σ = 7,9 ⋅10−6 f

N 2 Dsrπ δ r kr 120 2 ⋅ 0, 4 ⋅ π ⋅ 53, 33 ⋅ 0, 947 = 7,9 ⋅10−6 ⋅ 50 ⋅ = 0, 602 Ω ln 600

gdje su: Dsr – srednji promjer (po polovini razmaka između golog bakra VN i NN namota), u m f – frekvencija, u Hz δ – razmak između VN i NN namota, u m a1 – širina VN namota, u m a2 – širina NN namota, u m N – broj zavoja namota na čiju stranu se želi izračunati iznos rasipne reaktancije (N1 za VN ili N2 za NN) ln – visina namota, u m. b) δ = 60 mm

δr =

a1 + a2 30 + 40 +δ = + 60 = 83,33 mm 3 3

kr ≈ 1 −

a1 + a2 + δ 30 + 40 + 60 = 1− = 0,931 π ln π ⋅ 600

d 2v = Dsr − δ a = 400 − 30 = 370 mm Dsr b = d 2v + δ b = 370 + 60 = 430 mm

X σ = 7,9 ⋅10−6 f

N 2 Dsrπ δ r kr 120 2 ⋅ 0, 43 ⋅ π ⋅ 83,33 ⋅ 0,931 = 7,9 ⋅10−6 ⋅ 50 ⋅ = 0,994 Ω ln 600

12

13. Odredite rasipnu reaktanciju transformatora slijedećih podataka: f = 60 Hz, δ = 60 mm, N1 = 1200 zavoja, a1 = 50 mm, a2 = 55 mm, Dsr = 0,90 m, h = 1,4 m = ln. Koliko iznosi reaktancija kada se glavni rasipni kanal smanji na δ* = 45 mm? a) δ = 60 mm

kr ≈ 1 −

δr =

a1 + a2 + δ 50 + 55 + 60 = 1− = 0, 9625 π ln π ⋅1400

a1 + a2 50 + 55 +δ = + 60 = 95 mm 3 3

X σ = 7,9 ⋅10−6 f

N 2 Dsrπ δ r kr ln

12002 ⋅ 0,9 ⋅ π ⋅ 95 ⋅ 0,9625 = 7, 9 ⋅10 ⋅ 60 ⋅ = 126, 05 Ω 1400 −6

b) δ * = 45 mm

kr* ≈ 1 − Sl. 23 Rasipni tok

Dsr = d 2v + δ

⇒

δ r* =

a1 + a2 + δ * 50 + 55 + 45 = 1− = 0, 9659 π ln π ⋅1400

a1 + a2 50 + 55 +δ * = + 45 = 80 mm 3 3

d 2v = Dsr − δ

Dsr* = d 2v + δ * = Dsr − (δ − δ *) = 900 − ( 60 − 45 ) = 885 mm X σ* = 7,9 ⋅10−6 f

N 2 Dsr* π δ r*kr* 12002 ⋅ 0,885 ⋅ π ⋅ 80 ⋅ 0,9659 = 7, 9 ⋅10−6 ⋅ 60 ⋅ = 104, 74 Ω ln 1400

1.5. Autotransformator 14. Trofazni transformator 100 kVA, 6300 V ± 2 ⋅ 2,5 % / 3000 V, Dy5, uk = 4 % prespoji se u autotransformator u spoju Yy0. Koji su nazivni podaci autotransformatora, ako specifična opterećenja materijala (Cu, Fe) ostanu nepromijenjena?

Sl. 24 Autotransformator

13

VN – namot: spoj D = ∆

U f1 = U l1 = 6300 V ± 2 ⋅ 2,5% = 6300 V ± 2 ⋅157,5 V = U1T I f1 =

Sn 100 000 = = 5, 291 A = I1T 3U f1 3 ⋅ 6300

NN – namot: spoj y =

U f2 =

U l 2 3000 = = 1732, 05 V = U 2T 3 3

I f2 =

Sn 100 000 = = 19, 245 A = I 2T 3U f2 3 ⋅1732

Podaci autotransformatora: U1A = U1T + U 2T = 6300 V ± 2 ⋅157, 5 + 1732, 05 = 8032, 05 ± 2 ⋅157,5 V = 8032, 05 ± 2 ⋅1,961%

U 2A = U 2T = 1732, 05 V

U1 = 3U1A = 3 ⋅ 8032, 05 = 13912 V U 2 = 3U 2A = 3 ⋅1732, 05 = 3000 V Prijenosni odnos autotransformatora:

13912 ± 2 ⋅1,961% / 3000 V

I1A = I1T = 5, 291 A I 2A = I1T + I 2T = 5, 291 + 19, 245 = 24,536 A S nA = 3U1A I1A = 3 ⋅ 8032, 05 ⋅ 5, 291 = 127 493 VA S nA = 3U 2A I 2A = 3 ⋅1732, 05 ⋅ 24, 536 = 127 493 VA U kT = U1T ⋅ ukA =

ukT 4 = 6300 ⋅ = 252 V 100 100

U kT 252 ⋅100 % = ⋅100 % = 3,14 % U1A 8032, 05

1.6. Trofazni transformator, grupe spoja 15. Nacrtajte shemu trofaznog transformatora spojenog u grupi spoja Dy5. Crtamo korak po korak. 1. korak: 2. korak: 3. korak: 4. korak:

nacrtajmo fazor 1U fiktivnog faznog napona VN – strane. ucrtajmo i preostale fazore fiktivnih faznih napona VN – strane. odredimo smjer fazora NN – strane pomoću satnog broja 5 ⇒ 5 ⋅ 30° = 150° . ucrtamo fazor 2U faznog napona NN – strane.

14

5. korak: 6. korak:

ucrtamo odmah i preostale fazore NN – strane. ucrtamo trokut spajajući vrhove fiktivnih faznih napona VN – strane. Odredimo koja je od tih strana paralelna s fazorom 2U.

Sl. 25 Prvi korak

Sl. 26 Drugi korak

Sl. 28 Četvrti korak

7. korak: 8. korak:

Sl. 27 Treći korak

Sl. 29 Peti korak

Sl. 30 Šesti korak

fazor 1U i 2U nalaze se na istom stupu, pa moraju biti paralelni. Pri tome fazor 1U ima strelicu u 1U. ucrtamo preostale strelice na fazorima VN – strane. Upišimo i odgovarajuće brojke na krajeve fazora (1, 2, 3, ..., 11, 12).

Fazorski dijagram je sada nacrtan, pa je još preostalo samo to da prema njemu nacrtamo shemu spoja. Kako su nam fazori 1U i 2U na paralelnim pravcima, jasno je da su i namoti na istim stupovima. Upišimo i odgovarajuće oznake 2U, 2V i 2W. Preostalo nam je da još odredimo potreban smjer strelica na NN – strani.

Sl. 31 Sedmi korak

Sl. 32 Osmi korak

15

Sl. 33 Deveti korak

9. korak:

10. korak: 11. korak: 12. korak: 13. korak:

na fazorskom dijagramu vidimo da su strelice fazora 1U i 2U suprotne orijentacije, što znači da polazeći od zvjezdišta NN – strane moramo proći kroz namot u suprotnom smjeru od strelice. Ucrtajmo zato ove strelice u suprotnom smjeru od strelica VN – strane. na fazorskom dijagramu vidimo da su točke 1 i 6 spojene zajedno. Spojimo ih i na našoj shemi. spojimo točke 2 i 3. spojimo točke 4 i 5. preostalo nam je da nacrtamo zvjezdište, tj. da spojimo točke 8, 10 i 12. Ovime smo izvršili zadatak.

Sl. 34 Deseti korak

Sl. 35 Jedanaesti korak

Sl. 36 Dvanaesti korak

Sl. 37 Trinaesti korak: shema spoja Dy5 i njezin fazorski dijagram

Kako se na shemama ne vidi smjer namatanja svitaka, dodaje se strelica koja pokazuje djelovanje inducirane EMS u promatranim svicima. Strelica pokazuje smjer u kojem EMS želi protjerati struju, tj. vrh je usmjeren na točku većeg potencijala.

16

2. Električni rotacijski strojevi 2.1. Osnove elektromehaničke pretvorbe energije 1. Koliki su gubici, a kolika je djelotvornost η elektromotora koji uzima iz mreže 6280 W razvija moment od 36,8 Nm i vrti se brzinom vrtnje od 1400 min-1?

P1 = 6280 W M = 36,8 Nm n = 1400 min-1

nπ 1400π = = 146,6 rad/s 30 30 P2 = ωM = 36,8 ⋅ 146,6 = 5 395 W Pg = P1 − P2 = 885 W

ω=

η=

P2 5395 = = 0,859 P1 6280

2.2. Realizacija stroja za pretvorbu 2. Na obodu rotora prema slici nalazi se namot. Kolik će biti napon između krajeva namota b – a u promatranom trenutku ako se obod rotora kreće brzinom v = 25 m/s, duljina vodiča u polju je l = 60 cm, a polje je po obodu raspoređeno prema a) ili prema b)?

a)

a) U 1v = Blv = 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 25 = 12 V U ba = 6 ⋅ 12 = 72 V

b) b) U i1 = B1lv U i 3 = B3lv

U ba = ∑ U ii = 48 V i

i Uii, V

1 6

2

3

4

5

6

9

9

9

9

6

17

U i 2 = B2 lv

3. Kolika će sila djelovati na obod rotora iz prethodnog zadatka i u kojem smjeru ako u promatranom trenutku od a prema b teče struja I = 50 A, a polje je raspoređeno prema skici a) ili b) iz prethodnog zadatka?

a) F = IBl ⋅ 6 = 50 ⋅ 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 6 = 144 N ←

b) F = Il (0,4 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,4) = 96 N ←

4. Transformator prema slici ima polaritet (+) na stezaljci A primarne strane u istom trenutku kada je (+) na stezaljci a sekundarne strane. Trošilo koje uz omski otpor sadrži i induktivitet ima pozitivni priključak na stezaljci 1. Nacrtajte, zanemarujući padove napona i struju magnetiziranja transformatora, kvalitativni izgled fazorskog dijagrama za: a) mrežu; b) primarnu stranu transformatora; c) sekundarnu stranu transformatora; d) trošilo, služeći se dosljedno generatorskim (G) i motorskim sustavom (M).

18

2.3. Magnetski krug 5. Sinusno raspoređeno protjecanje maksimalne vrijednosti od 560 A stvara polje u rasporu duljine 0,9 mm. Kolika je maksimalna vrijednost indukcije u rasporu?

δ = 0,9 mm

Bδ =

Θ m = 560 A

µ 0 Θ m 4π 10 −7 ⋅ 560 = = 0,782 T δ 0,9 ⋅ 10 −3

6. Uzbudno protjecanje po paru polova istosmjernog stroja iznosi 1700 A. Od toga na padove magnetskog napona u željezu otpada 400 A. Duljina zračnog raspora je 1 mm. Kolika će biti: a) indukcija u rasporu; b) faktor zasićenja kzas; c) nadomjesna duljina zračnog raspora δ’’?

µ 0 (1700 − 400 )

Vδ + V Fe = 1700 A

Bδ =

V Fe = 400 A

k zas =

δ = 1 mm

δ ' ' = k zas ⋅ δ = 1,308 ⋅ 1 = 1,308 mm

2 ⋅ 10 −3

= 0,817 T

Vδ + VFe 1700 = = 1,308 Vδ 1300

7. Sinkroni stroj ima 12 polova, promjer provrta 2,3 m i idealnu duljinu paketa limova 0,83 m. Ako se pretpostavi sinusna raspodjela indukcije u rasporu i dopusti maksimalna vrijednost indukcije od 0,85 T, kolik je tok s kojim treba računati potrebno protjecanje za uzbudu stroja?

τp =

2 p = 12

Dπ 2,3π = = 0,602 m 2p 12

D = 2,3 m τp

π Φ = ∫ B( x )l dx = l ∫ 0,85 sin  τ 0 0  p

l p = 0,83 m

π B = 0,85 sin  τ  p

τp

 x  

=−

0,85lτ p

π

 π 0,85lτ p x  dx = − cos  τ π   p

(− 1 − 1) = 2 ⋅ 0,85 ⋅ 0,83 ⋅ 0,602 = 0,27 π

Ili jednostavnije:

Φ = Bsr S =

2

π

Bm lτ p = 0,27 Vs

19

τ

 p x  0

Vs

8. Asinkroni motor ima zračni raspor od 0,35 mm. Poluotvorenim utorima na statoru i rotoru korak je τu1 = 13,25 mm i τu2 = 10,8 mm te utorski otvor širine o1 = 3 mm i o2 = 1 mm. Koliki je Carterov faktor i idealna duljina zračnog raspora?

δ = 0,35 mm

o1 + 5δ 3 + 5 ⋅ 0,35 = = 1,167 13,25 − 3 τ u1 − o1 + 5 ⋅ 0,35 o1 + 5δ 3 ⋅ 13,25 τ u1

k C1 =

τ u1 = 13,25 mm τ u 2 = 10,8 mm

kC 2 = o2

o1 = 3 mm o2 = 1 mm

o 2 + 5δ τ u 2 − o2

τ u2

= + 5δ

1 + 5 ⋅ 0,35 = 1,035 10,8 − 1 1⋅ + 5 ⋅ 0,35 10,8

k C = k C1 k C 2 = 1,208 δ i = k C δ = 1,208 ⋅ 0,35 = 0,42 mm

9. Na obodu rotora 6-polnog stroja duljine 300 mm i polnog koraka τp = 200 mm nalazi se vodič koji se kreće obodnom brzinom od 20 m/s. Krivulja raspodjele indukcije u rasporu miruje i sadrži osnovni sinusni harmonički član amplitude 1,2 T, zatim pozitivni treći i peti harmonički član u iznosima od 30% i 20% osnovnoga. Odredite efektivnu i srednju vrijednost te osnovnu frekvenciju napona induciranog u vodiču. π B = 1,2 sin  τ  p

τ p = 200 mm

  π  x  + 1,2 ⋅ 0,2 sin  5 x  T   τ    p  2 pτ p 2 ⋅ 3 ⋅ 0,2 1,2 Dπ τp = → D= = = m 2p π π π v 20π v = ωm r → ωm = = = 104,72 rad/s r 0,6 ω el = pω m = 3 ⋅ 104,72 = 314 = 2πf → f = 50 Hz

v = 20 m/s

E1 =

p=3 l = 300 mm

  π x  + 1,2 ⋅ 0,3 sin  3   τ   p

E3 =

E5 =

B1lv 2 B3lv 2 B5 lv 2

=

1,2 ⋅ 0,3 ⋅ 20 2

= 5,09 V

= 0,3 ⋅ E1 = 1,527 V

= 0,2 ⋅ E1 = 1,018 V

E = E12 + E32 + E52 = 5,09 2 + 1,527 2 + 1,018 2 = 5,41 V E sr = 0

20

2.4. Model stroja za izmjenične struje i napone 10. Okretno polje u rasporu sinusne raspodjele i amplitude indukcije 0,8 T, vrti se brzinom od 1500 min-1. Dijametralni svitak s deset zavoja na rotoru miruje. Promjer u rasporu je 25 cm, duljina stroja je 20 cm, a stroj je 4-polni. Kolik je napon svitka, a kolika frekvencija? π Bδ = 0,8 sin  τ  p n = 1500 min-1

 x T  

ω=

nπ 1500π = = 157,08 rad/s 30 30

v = ω r = 157,08 ⋅ 0,125 = 19,635 m/s vBl 19,635 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 Ev = = = 2,22 V 2 2 E s = E v ⋅ 2 ws = 2,22 ⋅ 2 ⋅ 10 = 44,43 V

ws = 10 D = 25 cm l = 20 cm p=2

f =

pn 2 ⋅ 1500 = = 50 Hz 60 60

11. Svitak ima deset zavoja, a u svakom se vodiču inducira sinusni napon od 3,5 V. Kolik je ukupni napon svitka: a) ako je svitak dijametralan; b) ako je korak svitka 2τp/3? ws = 10

a) E s = ΣE v = E v ⋅ 2 ws = 3,5 ⋅ 2 ⋅ 10 = 70 V

E v = 3,5 V

b)

y

τp

=

2 3

 y π  2 180°  f t = sin  ⋅  = sin  ⋅  = 0,866 τ 2  3 2   p  

→

E s = f n ⋅ ΣE v = 0,866 ⋅ 70 = 60,6 V

12. Za trofazni 4-polni stroj sa 60 utora valja napraviti svitke za dvoslojni namot sa skraćenjem za 1/5 polnog koraka. Koliko svitaka treba napraviti i koji mora biti korak svitka? m=3 p=2

dvoslojni namot

N = 60

y

τp

=

4 5

→

N s = N = 60

τp = y=

N 60 = = 15 2p 2⋅2

4 ⋅ 15 = 12 5

→ 1 − 13

13. Trofazni 4-polni stroj ima 72 utora. Kolik je broj utora po polu i fazi q i kolik je fazni pomak između induciranih napona u vodičima dvaju susjednih utora? m=3

q=

N 72 = =6 2 pm 2 ⋅ 2 ⋅ 3

p=2 N = 72

α=p

360° 360° = 2⋅ = 10° N 72 21

14. U jednom vodiču namota koji ima ukupno 210 zavoja inducira se napon od 1,04 V. Zonski namotni faktor iznosi 0,958, a tetivni 0,924. Kolik je ukupni inducirani napon u namotu? w = 210

f n = f z f t = 0,958 ⋅ 0,924 = 0,8852

E v = 1,04 V

f z = 0,958 f t = 0,924

E = 2 wE v f n = 2 ⋅ 210 ⋅ 1,04 ⋅ 0,8852 = 386,7 V

15. Trofazni jednoslojni namot 2-polnog stroja smješten je na statoru s 30 utora, tako da zauzima zonu od 60°. Odredite koji utori pripadaju kojoj fazi ako prva faza (A) počinje u utoru broj 1. m=3

q=

N 30 = =5 2 pm 2 ⋅ 1 ⋅ 3

p =1 N = 30 60°

N 30 = = 15 ≡ 180° 2 p 2 ⋅1 dijametralni svitak: 1-16 120 120° ≡ ⋅ 15 = 10 utora 180

τp =

faza A: 1-16-2-17-3-18-4-19-5-20 faza B: 11-26-12-27-13-28-14-29-15-30 faza C: 21-6-22-7-23-8-24-9-25-10

16. Stator s 96 utora namotan je 4-polnim trofaznim namotom tako da su svi utori popunjeni. Koliki je zonski namotni faktor za osnovni harmonički član? N = 96 p=2 m=3

N 96 = == 8 2 pm 2 ⋅ 2 ⋅ 3 360° 360° α=p = 2⋅ = 7,5° N 96 q=

 α  7,5°  sin  q  sin  8 ⋅  2 2    fz = = = 0,956 α   7,5°  q sin   8 sin   2  2 

2.5. Strujni oblog i protjecanje 17. Četveropolni stroj ima na svakom polu 350 zavoja kroz koje teče uzbudna istosmjerna struja od 10 A. Koliko je protjecanje pod sredinom pola? 22

w = 350 2p I = 10 A

wp =

Θ = w p I = 350 ⋅ 10 = 3 500 A

18. Na obodu stroja jednoliko je raspoređen 4-polni namot s ukupno 360 vodiča. Struja je u svakom vodiču 5 A, uz odgovarajući predznak. Provrt stroja je D = 20 cm. Kolik je strujni oblog? Koliko je maksimalno protjecanje? Kolik je osnovni harmonički član protjecanja? zI 360 ⋅ 5 = = 2 864,8 A/m Dπ 0,2π Dπ 0,2π τp = = = 0,157 m 2p 4

p=2

A=

z = 360 I =5 A

Θm = A

D = 20 cm

Θ1m =

Θ1m =

8

π2

Θm

Θ1m

τp

= 2 864,8 ⋅

2

0,157 = 225 A 2

Θ( x ) =

τp /2 π  2Θ m x  π  x dx = 4 ( ) Θ x sin sin ∫0 ∫ τ  τ τ τ p 0 p  p   p τp /2 2 π  8Θ 8Θ τ p 8 = 2m ∫ x sin  x dx = 2m ⋅ 2 = 2 Θ m   τp π π τp 0 τ p  8 = 2 ⋅ 225 = 182,4 A

8 2τ p

τp /2

2Θ m

τp

x

 x dx =  

π

U izvodu smo koristili formulu1 sa str 642: T /4 8 2πx b2 k +1 = ∫ f ( x ) sin (2k + 1) dx , T 0 T te formulu 279 sa str. 427: gdje je a =

∫ x sin ax dx =

π , pa dobivamo: τp  τ p   π

τ p =  π

1

2

τp  π π  sin x− x cos τp π τp  2

τ   (1 − 0 ) − p π 

k = 0,1, 2.... sin ax x cos ax − , a a2

τ /2  p x =  0

τ p  τ  ⋅ 0 − 0 ⋅ 1 = p2  2  π 2

I. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga , Zagreb, 1975.

23

19. Ako je protjecanje na određenom mjestu oboda stroja 500 A, a zračni raspor 0,6 mm, kolika će na tom mjestu biti indukcija u rasporu? Zanemarite željezo.

Θ( x ) = 500 A

B(x ) =

δ ( x ) = 0,6 mm

µ 0 Θ( x ) 4π 10 −7 ⋅ 500 = = 1,05 T δ (x ) 0,6 ⋅ 10 −3

20. Amplituda sinusno raspodijeljenog strujnog obloga 6-polnog stroja sa 72 utora nalazi se nad utorom broj 1. Nad kojim se utorom nalazi amplituda protjecanja? p=3 N = 72

τp =

1+6=7

N 72 = = 12 utora/polu ≡ 180° 2p 6

21. Dva stroja imaju različite provrte: DA = 20 cm, DB = 30 cm, isti broj polova i sinusno raspoređene strujne obloge. Zračni je raspor jednog i drugog stroja δ = 0,6 mm, a amplituda indukcije u rasporu u oba je stroja jednaka. Koji stroj, A ili B, ima veći strujni oblog i koliko? D π D π D A = 20 cm τ pA = A τ pB = B 2p 2p τ pA D Aπ 2 p D A 20 1 DB = 30 cm = = = = → τ pB = 1,5τ pA τ pB 2 pDB π DB 30 1,5

p A = pB

A( x ) = Am cos

δ A = δ B = 0,6 mm

B(x ) =

Bδ A = Bδ B

AmA AmB

τp π sin x π τp 0 τ pA τ pB → Θ A ( x ) = Θ B ( x ) = AmA = AmB π π

π x → τp

µ 0 Θ( x ) δ (x ) τ pB = = 1,5 τ pA

x

Θ( x ) = ∫ A( x )dx = Am

2.6. Protjecanje izmjenične i višefazne uzbude 22. Kolika mora biti amplituda sinusno raspodijeljenog i sinusno pulsirajućeg protjecanja svake faze trofaznoga 4-polnog namota da bismo dobili okretno protjecanje amplitude 210 A? Kolika je brzina vrtnje okretnog protjecanja ako je frekvencija uzbudnih struja 50 Hz? p=2

Θd =

3 Θ1 2

→

Θ1 =

2 2 ⋅ 210 Θd = = 140 A 3 3

m=3 Θ d = 210 A

n=

60 f 60 ⋅ 50 = = 1500 min-1 p 2

f = 50 Hz

24

23. Ako obod 6-polnog trofaznog statora označimo geometrijskim stupnjevima počevši od osi faze 1, gdje će se nalaziti amplituda trofaznog okretnog protjecanja u trenutku kad je struja faze 1: a) maksimalna; b) nula; c) minimalna? p=3

a) i1 = I m b) i1 = 0

c) i1 = − I m

x = 0 ≡ 0°

x=

τp 2

x =τ p

≡

180° = 30° 2p

≡

180° = 60° p

24. Stator 2-polnog trofaznog stroja ima 108 utora. Os faze R nalazi se povrh utora broj 1. Gdje se nalazi amplituda okretnog protjecanja u trenutku kad je struja: a) u fazi R; b) u fazi S; c) u fazi T maksimalna? p =1

180° ≡ τ p =

N u = 108

120° ≡

m=3

a) iR = I m

1

b) iS = I m

37

c) iT = I m

73

N u 108 = = 54 2p 2

120 ⋅ 54 = 36 utora 180

25. U simetričnom trofaznom namotu teku trofazne struje fazno razmaknute za 120°, ali je zbog nesimetrije struja u jednoj fazi 20% veća. Ako se amplituda protjecanja jedne faze s manjom strujom označi sa 100%, koliko je: a) direktno; b) inverzno protjecanje cijelog sustava? m=3 I R = 120% I S = 100% I T = 100%

25

I R = 100% + 20% I S = 100% I T = 100% Θ ds =

→ Θ' dR = 10% Θ'iR = 10% Θ d = 160%

3 Θ1 = 150% 2

Θ i = 10%

26. Koliko će biti okretno protjecanje trofaznog 6-polnog namota s brojem zavoja po fazi w = 240 i s namotnim faktorom fn = 0,866, u kojem teče struja po fazi 8,6 A? m=3 p=3

Θ=

m4I 2w Iw 3 4 2 Iw fn = f n - vrijedi za 3-fazne namote f n = 1,35 2π 2 p p 2π 2 p

w = 240 f n = 0,866

Θ = 1,35 ⋅

8,6 ⋅ 240 ⋅ 0,866 = 804 A 3

I = 8,6 A

27. Koliko će biti okretno protjecanje 6-polnog namota prema 26. zadatku ako je namot izveden kao dvofazni? m=2

Θ=

m4I 2w 2 4 8,6 ⋅ 2 240 fn = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0,866 = 536 A 2π 2 p 2 π 2 3

2.7. Razvijeni moment i inducirani napon 28. Između osi indukcije u rasporu i osi protjecanja rotora kut je δ = 30°. Razvijeni moment iznosi 70 Nm. Kolik najveći moment može razviti stroj ako indukcija u rasporu ostane nepromijenjena, a protjecanje rotora se povisi 20%?

δ = 30° M = 70 Nm Θ' = 1,2Θ

π V B Θ sin δ τp M π 70 M max = = V BΘ = = 140 Nm sin δ τ p sin 30° M =

M ' max = 1,2 ⋅ 140 ⋅ sin 90° = 168 Nm

29. Istosmjerni generator s tri para polova, tri para paralelnih grana u namotu i s 1500 vodiča na obodu, vrti se brzinom od 1800 min-1. Magnetski tok po polu iznosi 9,8.10-3 Wb. Kolik će biti napon na stezaljkama neopterećenog generatora? p=3

n = 1800 min-1

a=3

Φ gl = 9,8 ⋅ 10 −3 Vs

z = 1500

E=

p Φ gl n z 3 9,8 ⋅ 10 −3 ⋅ 1800 ⋅ 1500 = ⋅ = 441 V a 60 3 60

26

30. U generatoru iz 29. zadatka teče struja od 15 A. Koliki moment mora svladavati pogonski stroj ako zanemarimo gubitke i ako je magnetski tok nepromijenjen? I a = 15 A

M =

p Φ gl I a z 3 9,8 ⋅10 −3 ⋅15 ⋅1500 = ⋅ = 35,1 Nm a 2π 3 2π

31. Sinusno raspoređeno protjecanje rotora zaostaje za sinusno raspoređenom indukcijom u rasporu 4-polnog stroja za 1/12 oboda stroja. Amplituda protjecanja je 2200 A, indukcije 0,9 T, promjer rotora je 0,4 m, a duljina 0,18 m. Kolik je razvijeni moment, je li generatorski ili motorski? Smjer vrtnje je pozitivan. p=2

Dπ τp = 2p

Θ 2 = 2200 A

M =

B = 0,9 T

=

D = 0,4 m

=

l = 0,18 m

D 2π V = l 4

δ el = pδ g

π π 2 p D 2π VBΘ 2 sin δ el = lBΘ 2 sin ( pδ g ) = τp Dπ 4 π 2

pDlBΘ 2 sin ( pδ g ) =

π

 360°  ⋅ 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,18 ⋅ 0,9 ⋅ 2200 ⋅ sin  2 ⋅  = 388 Nm 2 12   Moment je motorski jer protjecanje rotora zaostaje za rezultantnim, odnosno za B.

32. Sinusno raspoređena protjecanja 2-polnog stroja promjera od 0,466 m, s volumenom rotora od 0,04 m3 predočena su vektorima na slici 8.13. Kolik moment razvija stroj i radi li kao generator ili kao motor? Zračni je raspor konstantnog iznosa δ = 1,5 mm. Smjer vrtnje je pozitivan. Θ s = 380 A

Θ r = 660 A p =1 D = 0,466 m V = 0,04 m3 δ = 1,5 mm

τp = Sl. 8.13. Određivanje momenta iz vektora statorskog i rotorskog protjecanja.

27

Dπ 0,466π = = 0,732 m 2p 2

•

Θ = Θ r + Θ s cos 45° + jΘ s sin 45° = 660 + 380 ⋅ 0,707 + j 380 ⋅ 0,707 = 928,7 + j 268,7 = 967 16,13° A

B=

µ 0 Θ 4π 10 −7 ⋅ 967 = = 0,81 T δ 1,5 ⋅ 10 −3

M =

π π V B Θ r sin δ r = ⋅ 0,04 ⋅ 0,81 ⋅ 660 ⋅ sin 16,13° = 25,5 Nm τp 0,732

Moment nastoji protjecanje rotora zakrenuti u smjer indukcije (rezultantnog protjecanja) → to je motor.

3. Sinkroni stroj 3.1. Način rada 33. Navedite podatke o struji, naponu i predanoj snazi u praznom hodu. Navedite podatke o struji, naponu i predanoj snazi u kratkom spoju. U praznom hodu rotor se vrti, a stezaljke statorskog namota su odspojene: Φ = f ( Θm )

E = 4, 44Φ f R=∞

w  fn  2a  ⇒ I = 0 ⇒ P2 = 0 . 

Sl. Prazni hod sinkronog stroja i

E Θm

i

E=0

Θa

Θ = Θa + Θm a)

b)

Sl. 9.10. Kratki spoj sinkronog stroja: a) shema spoja, b) dijagram

28

U kratkom spoju rotor se vrti, a stezaljke statorskog namota kratko su spojene: I ≠0 Θ = 0 ⇒ Φ = 0 ⇒ E = U = 0 ⇒ P2 = 0

34. Trofazni 4-polni sinkroni motor od 150 kW, 400 V, 50 Hz, spojen u zvijezdu, ima sinkronu reaktanciju od 0,5 Ω po fazi, a radni otpor se može zanemariti. Koliko puta treba povećati uzbudu praznog hoda želimo li da pri punom opterećenju radi s cos φ = 1? Gubici iznose 10% nazivne snage. Izračunajte kut opterećenja uz pretpostavku da je rotor cilindričan.

m=3 p=2 P2 = 150 kW

E = 400 V f = 50 Hz Y X s f = 0,5 Ω

R2 = 0 cos ϕ = 1 Pg = 0,1P2 Θm Faz =? Θ

δ =?

η=

P2 P2 = = 0,909 P2 + Pg (1 + 0,1) P2

150 ⋅103 = 238 A 3Eη cos ϕ 3 ⋅ 400 ⋅ 0,909 ⋅1 Eaf = X s I = 0,5 ⋅ 238 = 119 V P2

If =

=

Eaf 119 119 3 = = = 0,5156 Ef 400 400 / 3 δ = 27,3° Θ cos δ = Θm Θm 1 = = 1,13 puta Θ cos δ tg δ =

3.2. Sinkroni stroj na krutoj mreži 35. Koliki maksimalni moment može razviti sinkroni motor s podacima: 150 kW, 4-polni, 400 V, 50 Hz, cos φ = 0,8, Xs = 0,5 Ω po fazi, gubici 10% nazivne snage, uzbuđen na napon praznog hoda? P2n =150 kW p=2 E = 400 V f = 50 Hz cos ϕ = 0,8 Xs = 0,5 Ω Pg = 0,1P2 M 2n =

sin

δn 2

P2n

ωs =

=

η=

P2 P2 = = 0,909 P2 + Pg (1 + 0,1) P2

I 2n =

2π f 2π 50 = = 157,1rad/s p 2

P2n 150 000 = = 297, 7 A 3Eη cosϕ 3 ⋅ 400 ⋅ 0, 909 ⋅ 0,8

150 000 = 954, 93 Nm 157,1

Ea X I 3 0,5 ⋅ 297, 7 ⋅ 3 = s 2 = = 0,3223 2 ⋅ Ef 2⋅ E 2 ⋅ 400

 954,93 M 2n = = 1565 Nm  ⇒ Mm = sin δ n sin 37, 6 = M m sin δ n 

δ n = 37, 6 M 2n

ωs =

29

36. Sinkroni generator s osam pari polova, na mreži nazivnog napona, vrti se pri nazivnom opterećenju uz pomak rotora za električni kut od 36°. Kolik će biti pomak rotora: a) električni; b) geometrijski, ako uzbudu povećamo 20%, a opterećenje smanjimo na polovicu?

p=8 δ = 36° Θ 'm = 1, 2 Θ m Θ 'a = 0,5 Θ a

Θa cos ϕ = Θm sin δ Θ Θ Θa = m sin 36 = 0,588 m cos ϕ cos ϕ Θ 'a cos ϕ = Θ 'm sin δ ' Θ ' cos ϕ 0,5 ⋅ 0,588 ⋅ Θ m cos ϕ sin δ ' = a = = 0, 245 Θ 'm cos ϕ ⋅1, 2 ⋅ Θm

δ ' = 14, 2



δm ' =

⇒

δ ' 14, 2 p

=

8

= 1, 77

i

E

Θ

Θ 'a

δ' Θ'm

37. Trofazni sinkroni generator , spoj, s okruglim rotorom, 10 kVA, 230 V, ima sinkronu reaktanciju 1,2 Ω po fazi, te otpor namota armature 0,5 Ω po fazi. Izračunajte za koliko se postotaka promijeni napon pri punom opterećenju uz cos ϕ = 0,8 induktivno. Prema fazorskom dijagramu: Em = (U 2 cos ϕ + I a Ra ) 2 + ( U 2 sin ϕ + I a X s ) 2

.

Uvrštavamo:

230 = 132,8 V 3 (10 ⋅103 ) 3 S Ia = = 25,1 A = 230 3 3U 2 l

U2 =

Em = (106, 24 + 12, 55) 2 + (79, 68 + 30,12) 2 = 161, 76 V Em − U 2 161, 76 − 132,8 ⋅100% = ⋅100% = 21,8% U2 132,8

30

38. Sve kao u prethodnom zadatku ali uz cos ϕ = 0,8 kapacitivno. Neka bude: i

U 2 = 132,8 + j 0 V

–

referentni fazor, tada je: i

I a = 25,1(0,8 + j 0, 6) i

Z s = 0,5 + j1, 2 Ω i

i

I a Z s = − 8 + j 31, 6 i

i

i

i

E m = U 2 + I a Z s = 124,8 + j 31, 6 V. Odnosno: Em =128,7 V.

Prema tome je promjena napona:

128, 7 − 132,8 ⋅100% = −3,1% 132,8 Treba uočiti da je ovaj problem riješen bez upotrebe fazorskog dijagrama, te da je promjena napona pri punom teretu uz cos ϕ = 0,8 (kapacitivno) negativna.

4. Asinkroni stroj 4.1. Način rada 39. Trofazni 8-polni asinkroni motor priključen je na mrežu od 50 Hz i radi s klizanjem od 8%. Kolika je brzina vrtnje okretnog polja, što ga stvaraju rotorske struje, relativno prema rotoru? Kolika je brzina vrtnje rotora? Kolika je brzina vrtnje okretnog polja rotora relativno prema statoru? s = 8% m=3 p=4 f = 50 Hz

s=

ns − n ns

ns =

60 ⋅ f1 p

n = nr = (1 − s ) ns

f 2 = sf1

Brzina vrtnje statorskog okretnog polja prema statoru je neovisna o brzini vrtnje rotora. Ona ovisi o frekvenciji narinutog napona i broju polova motora: n11 = ns =

60 ⋅ f1 60 ⋅ 50 = = 750 min −1 . p 4

ns − n . Brzina vrtnje rotorskog polja prema jednoj točki na rotoru je: ns n −n 60 ⋅ f 2 60 ⋅ f1s n22 = = = sns = ns s r = ns − n = 0, 08 ⋅ 750 = 60 min −1 . p p ns

Klizanje je definirano kao s =

Brzina vrtnje rotora prema statoru je: n = nr = (1 − s ) ns = 0, 92 ⋅ 750 = 690 min −1 . Brzina vrtnje okretnog polja rotora relativno prema statoru je:

31

n21 = nr + n22 =

60 f1 (1 − s ) p

+

60 sf1 60 f1 = = ns p p

Brzina vrtnje rotorskog okretnog polja, u odnosu na jednu fiksnu točku na statoru, jednaka je brzini statorskog polja i jednaka ns. Prostorni vektori ovih polja rotiraju međusobno sinkrono. 40. Uz nazivni napon od 380 V prekretni moment asinkronog motora iznosi 190 Nm. Kolik će biti prekretni moment ako se napon smanji na 300 V? U = 380 V M m = 190 Nm U ' = 300 V

2

2

U '  300  M 'm = M m   = 190 ⋅   = 118, 4 Nm U   380 

41. Kad rotor asinkronog motora stoji, a stator je priključen na mrežu, na otvorenim kliznim kolutima izmjeren je napon od 200 V. Kolik bi bio napon na kliznim kolutima kad bismo otvorili rotorske strujne krugove pri brzini vrtnje od 920 min–1? Kolika bi bila frekvencija tog napona? Stroj je 6polni, a frekvencija mreže je 50 Hz. E20 = 200 V n = 920 min −1 p=3 f1 = 50 Hz

60 f1 60 ⋅ 50 = = 1000 min −1 p 3 n − n 1000 − 920 = = 8% s= s ns 1000

ns =

E2 = sE20 = 0, 08 ⋅ 200 = 16 V f 2 = sf1 = 0, 08 ⋅ 50 = 4 Hz

4.2. Izvedbe asinkronih strojeva 42. Četveropolni asinkroni motor razvija moment 34,1 Nm i vrti se, priključen na mrežu od 50 Hz, brzinom od 1400 min–1. Koliku snagu daje motor, a koliki su gubici u strujnim krugovima rotora? p=2 M = 34,1 Nm f = 50 Hz n = 1400 min −1

ω=

P2el = sP12 =

s 0, 0666 P2meh = ⋅ 5000 = 357 W 1− s 1 − 0, 0666

n π 1400 π = = 146, 61 rad/s 30 30

P2 meh = ω M = 146, 61 ⋅ 34,1 = 5000 W P2meh = (1 − s ) P12 s=

⇒ P12 =

P2meh 1− s

ns − n 1500 − 1400 = = 6, 67% ns 1500

Sl. 12.16. Električna i mehanička snaga u rotoru asinkronog stroja

32

43. Trofazni 4-polni asinkroni motor, priključen na mrežu od 50 Hz i opterećen konstantnim momentom, vrti se brzinom vrtnje od 1425 min–1 i uzima iz mreže 10 A. Ako se u rotorske strujne krugove dodaju vanjski otpori tako da otpor po fazi bude šest puta veći, kojom će se brzinom vrtjeti motor i koju će struju uzimati?

n0 = 1425 min

x = x0 −1

I10 = 10 A R2 = 6 R20 s0 =

⇒

M = M0

m=3 p=2 f = 50 Hz

1500 − 1425 = 5% 1500

⇒

s R = 2 s0 R20

x = x0 ⇒ I1 = I10 = 10 A R20 R = 2 s0 X 2σ sX 2σ 6R = 20 = 6 R20

x=

I2 =

R2 s = m sX 2σ s

E20 X 2σ

M = Mm

s = 6 s0 = 30%

1 1 + x2 2 x+

n = (1 − s ) ns = 0, 7 ⋅1500 = 1050 min −1

44. Asinkroni motor opterećen konstantnim momentom vrti se brzinom od 1410 min–1. Dodavanjem otpora u rotorske strujne krugove brzina je smanjena na 1230 min–1. Koliko puta su porasli gubici u rotorskim strujnim krugovima? ns (1 − s ) π ns sM π s s nπ s P = sP = P = M = M = −1 2el 12 2 n = 1410 min 1− s 1− s 30 1 − s 30 30 n ' = 1230 min −1 ns s ' M π P '2el s' 30 = = ns sM π P2el s 1500 − 1410 s= = 0, 06 30 1500 s ' 0,18 1500 − 1230 P '2el = P2el = P2el = 3P2el s' = = 0,18 s 0, 06 1500 Velika mana regulacije brzine vrtnje dodavanjem otpora u rotorski krug: jako rastu gubici P2el. 45. Kolutni motor ima otpor po fazi rotora 0,25 Ω i razvija maksimalni moment pri klizanju 8%. Koliko treba dodati otpora po fazi rotora da bi motor kretao s maksimalnim momentom? R20 = 0, 25 Ω sm = 8%

s R = 2 s0 R20

R2 = R20

s 1 = 0, 25 ⋅ = 3,125 Ω s0 0, 08

R2 = R20 + Rd Rd = 3,125 − 0, 25 = 2,875 Ω

46. Asinkroni kavezni motor, spojen u trokut i priključen na mrežu od 380 V, 50 Hz, može razviti maksimalni moment od 54,9 Nm i pri tome se vrti brzinom od 1360 min–1. Koliki maksimalni moment može razviti isti motor na istoj mreži ako ga prespojimo u zvijezdu? Pri kojoj će brzini tada postići maksimalni moment? Zanemarite utjecaj zasićenja. 33

1 x

∆ spoj U = 380 V f = 50 Hz M m∆ = 54,9 Nm

2

U / 3  M m∆ 54, 9 M mY = M m∆   U  = 3 = 3 = 18,3 Nm   R sm = 2 = s 'm ⇒ nprY = npr∆ = 1360 min −1 X 2σ

npr ∆ = 1360 min −1

M = K1

2 E20 2 2 = Mm sm s 2 X 2σ s m + s + s sm s sm

5. Istosmjerni stroj 5.1. Fizikalna slika, izvedbe i svojstva 47. Istosmjerni generator vrti se brzinom od 1200 min–1 i uzbuđen je na 240 V: a) nezavisno; b) poredno. Ako brzinu vrtnje povisimo na 1500 min–1, kolik će biti napon u primjeru a)? Hoće li biti isto tolik i u primjeru b)? b) Φ raste a) n = 1200 min–1 E = k Φω E = 240V E ' > 300 V Φ = konst. −1 n ' = 1500 min n' 1500 E ' = E = 240 ⋅ = 300 V n 1200 48. Istosmjerni nezavisno uzbuđeni motor za 110 V, 2000 W, ima otpor armature 0,2 Ω. Kolika struja teče namotom armature: a) ako se motor vrti brzinom pri kojoj se inducira napon od 106 V; b) u trenutku direktnog priključka mirnog motora na mrežu od 110 V? Koliko treba dodati otpora u seriju s namotom armature motora da struja u trenutku priključka mirnog motora na mrežu od 110 V ne bude veća od 20 A?

U = 110 V P = 2000 W Ra = 0, 2 Ω E = 106 V I doz = 20 A

a) I =

U − E − ∆uč 110 − 106 − 2 = = 10 A Ra 0, 2

b) I =

U − ∆uč 110 − 2 = = 540 A Ra 0, 2

Rau =

U − ∆uč 110 − 2 = = 5, 4 Ω = Ra + Rd I doz 20

Rd = 5, 4 − 0, 2 = 5, 2 Ω

49. Jesu li teškoće pri komutaciji struje istosmjernog stroja veće ili manje kad se brzina vrtnje poveća uz jednako veliku struju opterećenja? Zašto?

34

ω ↑ ⇒ Tk ↓ ⇒

di di   ↑ ⇒ es ↑  = Ls  dt dt  

Komutacija je otežana jer poraste napon samoindukcije.

Sl. 4.4.5. Pravocrtna komutacija

50. Serijski motor na mreži od 220 V vrti se brzinom od 700 min–1 kad je opterećen toliko da uzima struju od 20 A. Motor je nezasićen, otpor svih u seriju spojenih namota je 0,5 Ω, pad napona na svakoj četkici je 1 V. Kolika će biti brzina vrtnje kad motor bude opterećen toliko da uzima struju od 10 A? U = 220 V

E = U − IRa − ∆uč = ke Φn

n = 700 min −1 I a = 20 A

ke k 2 =

Ra = 0, 5 Ω ∆uč = 2 V I 'a = 10 A n' = ?

n' =

Φ = k2 I

U − IRa − 2 220 − 20 ⋅ 0,5 − 2 = = 0,014857 nI 700 ⋅ 20

U − I ' Ra − 2 220 − 10 ⋅ 0, 5 − 2 = = 1434 min −1 ke k 2 ⋅ I ' 0, 014857 ⋅10

Sl. 14.22. Karakteristika brzine vrtnje istosmjernog motora sa serijskom uzbudom

Slika 4.7.3. Shema spoja serijskog motora s predotporom

35

a)

b)

Sl. 14.5. Uzbuda istosmjernog stroja: a) nezavisna uzbuda, b) samouzbuda

Sl.14.7. Pravac samouzbude i inducirani napon istosmjernog generatora sa samouzbudom

51. Poredni istosmjerni motor na mreži od 220 V neopterećen se vrti brzinom od 1200 min–1. Pri opterećenju uzima struju od 100 A i vrti se brzinom od 1040 min–1. Kolik je otpor armature motora? Pad napona na četkicama je 2 V, a reakciju armature treba zanemariti. E 220 E = ke Φn0 ⇒ ke Φ = = = 0,1833 U = 220 V n0 1200 −1 n0 = 1200 min U − IRa − ∆uč = ke Φn I = 100 A n = 1040 min −1 ∆uč = 2 V Ra = ?

Ra =

U − ke Φn − ∆uč 220 − 0,1833 ⋅1040 − 2 = = 0, 273 Ω I 100

52. Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom priključen je na mrežu od 220 V i u praznom hodu vrti se brzinom od 1460 min–1. Otpor armature je 1,4 Ω, pad napona na četkicama 2 V, a utjecaj reakcije armature na tok je zanemariv. a) Kojom brzinom treba potjerati stroj da bi u mrežu slao struju od 10 A? b) Ako ga opteretimo kao motor tako da uzima iz mreže struju od 10 A, kojom će se brzinom vrtjeti? E = U + IRa + ∆uč = ke Φn U = 220 V E 220 n0 = 1460 min −1 ke Φ = = = 0,15068 n0 1460 Ra = 1, 4 Ω U + IRa + ∆uč 220 + 10 ⋅1, 4 + 2 ng = = = 1566 min −1 ∆uč = 2 V ke Φ 0,15068 I g = I m = 10 A U − IRa − ∆uč 220 − 10 ⋅1, 4 − 2 nm = = = 1354 min −1 ng = ? nm = ? ke Φ 0,15068

5.2. Kolektorski namot u izmjeničnom i okretnom polju 53. Ako se pretpostavi da je indukcija u rasporu na svim mjestima polnog koraka jednaka, a da je uzbuđena jednofaznom izmjeničnom strujom frekvencije od 50 Hz tako da tok pulsira s maksimalnim iznosom od 200 ⋅10−4 Wb, kolik će biti napon transformacije, a kolik napon rotacije: a) na četkicama A – B; b) na četkicama C – D prema sl. 20.36? Rotor ima petljasti namot, uz p = 1, w = 100, jednoliko raspodijeljen po obodu, a vrti se s 1500 min–1? 36

a)

b)

c)

d)

Sl. 20.36. Kolektorski stroj uzbuđen izmjeničnom strujom: a) inducirani naponi u svicima u razdoblju smanjivanja pozitivnog toka Φ, b) naponi transformacije, c) naponi rotacije u vodičima, d) fazorski dijagram

f = 50 Hz Φ max = 200 ⋅10 −4 Vs p =1= a w = 100 n = 1500 min −1 a) A – B: Et = 0

1 ⋅ 200 ⋅10 −4 ⋅100 ⋅ 2 pΦ z ( n − ns ) = (1500 − 0 ) = 70, 7 V 2a 60 2 ⋅1 ⋅ 60

Er = b) C – D: Ψm =

Er = 0

Φw 200 ⋅10 −4 ⋅100 = = 1 Wb 2 2

Ψ = Ψ m sinω t et =

dΨ = 314 cos 314t V dt

Et =

Em 314 = = 222 V 2 2

6. Mali motori 54. Jednofazni motor s pomoćnom fazom u trenutku priključka na mrežu od 220 V uzima u glavnoj fazi: 8 A, 984 W, u pomoćnoj fazi: 6 A, 933 W i razvija potezni moment od 2,36 Nm. Kolik će biti potezni moment ako u pomoćnu fazu uključimo kondenzator kapaciteta od 145 µF? Kolika će biti potezna struja : a) bez kondenzatora; b) s kondenzatorom? 37

U = 220 V Ig = 8 A

Mk 2,36 = = 0, 2576 I g I p sin Ψ 8 ⋅ 6 ⋅ sin11° U 220 Zp = = = 36, 66 Ω Ip 6 Z = 36, 66 45° = 26 + j 26 Ω KR2 a =

Pg = 984 W Ip = 6 A Pp = 933 W

p

1 1 = = 22 Ω ωC 2π 50 ⋅145 ⋅10−6 Z 'p = Z p − jX C = 26 + j 26 − j 22 =

M k = 2,36 Nm C = 145 µ F

XC =

Pg = UI g cos ϕg cos ϕg = cos ϕp =

Pg UI g Pp UI p

= 26 + j 4 = 26,3 8, 75° Ω

=

984 = 0, 559 ⇒ ϕg = 56° 220 ⋅ 8

I 'p =

=

933 = 0, 707 ⇒ ϕ p = 45° 220 ⋅ 6

Ψ ' = ϕg − ϕ 'p = 56° − 8, 75° = 47, 25° I = I + I ' cos Ψ '+ jI ' sin Ψ ' = kC

Ψ = ϕg − ϕp = 56° − 45° = 11° I = I + I cos Ψ + jI sin Ψ = k

a)

g

p

220 U = = 8,365 A Z 'p 26, 3

b)

g

p

p

= 8 + 8, 365cos 47, 25° + j8,365sin 47, 25° = = 13, 68 + j 6,14 = 15 24, 2° A

p

= 8 + 6 cos11° + j 6sin11° =

M 'k = KR2 aI g I 'p sin Ψ ' =

= 13,889 + j1,1448 = 13, 94 4, 7° A

= 0, 2576 ⋅ 8 ⋅ 8,365 ⋅ sin 47, 25° =

M k = KR2 aI g I p sin Ψ

= 12, 7 Nm

Sl. 15.8. Dijagram struja jednofaznog motora s pomoćnom fazom za zalet i veličina poteznog momenta

55. Zakočimo li rotor univerzalnog motora, potreban je na stezaljkama napon: 140 V 175 V da bi uzimao struju: 8A 10 A i snagu: 220 W 344 W

38

210 V 12 A 495 W

Pri punom naponu od 220 V, otkočen i opterećen tako da uzima struju od 10 A, motor se vrti brzinom od 1200 min–1. Kojom će se brzinom vrtjeti kad je struja opterećenja: a) 8 A; b) 12 A, ako je tok proporcionalan struji opterećenja, tj. stroj je nezasićen? U = 220 V I = 10 A n = 1200 min −1 Φ∼I Er =

ke

Φn 2 Er = kIn U 140 Z= = = 17, 5 Ω I 8 P 220 R = 2 = 2 = 3, 4375 Ω I 8 Sl. 10.4.9. Fazorski dijagram serijskog izmjeničnog kolektorskog motora

X = Z 2 − R 2 = 17,52 − 3, 43752 = 17,159 Ω

Er10 = U 2 − ( IX ) − IR = 2

= 2202 − (10 ⋅17,159 ) − 10 ⋅ 3, 4375 = 2

= 103,3 V k=

Er10 103,3 = = 8, 609 ⋅10 −3 In 10 ⋅1200 2

a)

Er8 = 220 2 − ( 8 ⋅17,159 ) − 8 ⋅ 3, 4375 = = 144, 42 V n8 =

Er8 144, 42 = = 2 097 min −1 −3 kI 8, 609 ⋅10 ⋅ 8 2

b)

Er12 = 2202 − (12 ⋅17,159 ) − 12 ⋅ 3, 4375 = = 36, 22 V n12 =

Er12 36, 22 = = 350, 6 min −1 −3 kI 8, 609 ⋅10 ⋅12

39

LITERATURA 1. M. Pužar, I. Mandić: Transformatori i električni rotacijski strojevi, Predavanja, Elektrotehnički fakultet Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2007. 2. Židovec, R.: Transformatori, Auditorne vježbe, Sveučilište u Zagrebu, Viša tehnička škola Zagreb, 1998/99 3. A. Dolenc: Transformatori I i II, Elektrotehnički fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1991. 4. Maljković, Z.: Transformatori, TR.2, Elektrotehnički fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2011. 5. Wolf, R.: Osnove električnih strojeva, Zagreb, Školska knjiga, 1991 6. S.A.Nasar: Theory and Problems of Electric Machines and Electromechanics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1981. 7. B.Jurković, Z.Smolčić: Kolektorski strojevi, Školska knjiga, Zagreb, 1986. 8. D. Ban, V. Štivčević, I. Gašparac: Osnove elekromehaničke pretvorbe energije i električnih strojeva, Zbirka zadataka i ispitnih pitanja, Element, Zagreb, 1996. 9. Z.Smolčić, D. Ban: Asinhroni i kolektorski strojevi, zbirka riješenih zadataka, Sveučilište u Zagrebu, Elektrotehnički fakultet – Zagreb, 1978.

40