TERS Av Skripta 2014

Veselko Tomljenović

TRANSFORMATORI I ELEKTRIČNI ROTACIJSKI STROJEVI ZBIRKA RJEŠENJA skripta u radu

i

1998

Zagreb, 2014. godine

0

Sadržaj: 1. Magnetski krug. Uvodni primjeri

1

2. Transformator 2.1. Nadomjesna shema. Prazni hod 2.2. Kratki spoj 2.3. Opterećenje 2.4. Rasipna reaktancija 2.5. Autotransformator 2.6. Trofazni transformator, grupe spoja

6 6 12 14 19 21 23

3. Električni rotacijski strojevi 3.1. Osnove elektromehaničke pretvorbe energije 3.2. Realizacija stroja za pretvorbu 3.3. Magnetski krug 3.4. Model stroja za izmjenične struje i napone 3.5. Strujni oblog i protjecanje 3.6. Protjecanje izmjenične i višefazne uzbude 3.7. Razvijeni moment i inducirani napon

29 29 30 34 37 41 44 48

4. Sinkroni stroj 4.1. Način rada 4.2. Sinkroni stroj na krutoj mreži

51 51 55

5. Asinkroni stroj 5.1. Način rada 5.2. Izvedbe asinkronih strojeva

60 60 63

6. Istosmjerni stroj 6.1. Fizikalna slika, izvedbe i svojstva 6.2. Kolektorski namot u izmjeničnom i okretnom polju

66 66 70

7. Mali motori

71

Literatura

74

0

1. Magnetski krug. Uvodni primjeri 1. Magnetski krug sa zračnim nim rasporom prema slici 1 ima dimenzije: S = 9 cm2, S0 = 9 cm2, δ = 0,5 mm, lFe = 30 cm, N = 500 zavoja. Pretpostavite vrijednost µr = 70 000 za željezo. Odredite a) struju I za BFe = 1 T; b) tok Φ i ulančani tok Ψ = N Φ.

Sl. 1 Magnetski M krug sa zračnim rasporom

NI = H Fe lFe + H 0δ =

a)

BFelFe

µ r µ0

+

B0δ

µ0

Kako je Φ = BFe S Fe = B0 S0 , onda je struja

 BFe  lFe 1 ( 0,043 + 5) ⋅10−4 = 0,803 A  +δ  = −7 µ0 N  µr  4π 10 ⋅ 500 Uočite da je zbog visoke permeabilnosti ermeabilnosti željeza, njegov magnetski otpor (za duljinu silnica od 30 cm) samo 0 043/5 = 0,0086 puta manji od magnetskog otpora zračnog zra nog raspora (gdje su silnice duge 0,5 mm). b) Φ = BFe S Fe = 1 ⋅ 9 ⋅10−4 = 9 ⋅10−4 Wb I=

Ψ = N Φ = 500 ⋅ 9 ⋅10−4 = 0,45 Vs 2. Magnetski agnetski krug sinkronog stroja je shematski prikazan na slici 2.. Pretpostavite da željezo rotora i statora imaju beskonačnu nu permeabilnost ( µ → ∞ ) , odredite tok u zračnom rasporu Φ te gustoću toka B0. Zadano je: I = 10 A, N = 1000 zavoja, δ = 1 cm, te S0 = 2000 cm2.

Sl. 2 Jednostavan sinkroni stroj

1

Uočite da su dva zračna raspora spojena u seriju, ukupne duljine 2δ, te da je zbog simetrije indukcija u oba raspora jednaka. Kako je pretpostavljeno da je permeabilnost željeza beskonačna, njegova reluktancija (magnetski otpor) je zanemariva, pa se magnetski tok može računati


 pa je

    1000 · 10 · 410 · 02    0,126 Wb  2 0,02  


0,126   0,628 T.

 0,2

3. Odredite induktivitet namota u magnetskom krugu na slici 1. Zanemarite širenje silnica u zračnom rasporu. Tok se može računati prema


 pa je induktivitet

"

    


 

 # 

 ! 

!

 

 ! 

!



  #   $  %  (

Kad je reluktancija zračnog raspora mnogo veća od one željezne jezgre & ' $ ) % (

induktivitet određen samo dimenzijama zračnog raspora.

 *

tada je

4. Za magnetski krug iz zadatka 1 i slike 1 odredite a) EMS e za   1 sin 3770 T, b) reluktancije RmFe i Rm0, c) induktivitet L, te d) energiju pri BFe = 1 T. a) U primjeru 1-1 je određena vrijednost ulančanog toka 1  0,45 Vs pri BFe = 1 T. Prema tome, za sinusnu promjenu BFe bit će 1  0,45 sin 3770 Vs. Sad se može odrediti EMS e 51 4  170 cos 3770 V. 50 b) Reluktancije su 0,3      3,8 kA/Wb 9 8   70 · 10 · 410 · 9 · 10;

?  c) Induktivitet je prema tome

5 · 10; kA   442 .  ;   410 · 9 · 10 Wb

" Isti se rezultat mogao dobiti i ovako: d) Energija se računa:

1 0,45 sin 3770   0,56 H.  0,803 sin 3770 AB

EB

"  C  ;;E,F·GH  0,56 H. D

2

W=

Ψ2 0, 452 = = 0,18 J 2L 2 ⋅ 0, 56

5. Uzmimo da jezgra iz zadatka 1 ima BH karakteristiku prema slici 3.. Odredite struju I za BFe = 1 T.

Sl. 3 Normalna krivulja magnetiziranja za M-5 M 5 orijentirani dinamo lim debljine 0,3 mm (Armco Inc.)

Sa slike 3 očitamo za BFe = 1 T da je HFe = 12 A/m. MMS za željezo je H Fe lFe = 12 ⋅ 0,3 = 3, 6 A MMS za zračni raspor je H 0δ =

B0δ

µ0

=

5 ⋅10−4 = 398 A 4π 10 −7

H FelFe + H 0δ 401, 6 = = 0,803 A. N 500 Uočite ite da se relativna permeabilnost dobro podudara s vrijednosti pretpostavljenom u primjeru 11-1: B 1 µr = Fe = = 66 314. µ0 H Fe 4π 10 −7 ⋅12

Struja je I =

6. Magnetska jezgra na slici 4 je lamelirana. Na uzbudni namot je priključen napon koji uzrokuje indukciju u željeznoj jezgri B = 1,5 sin 377t T. Faktor punjenja jezgre je 0,94. Gustoća željeza je 7,65 g/cm3. Odredite: a) priključeni čeni napon, b) vršnu vrijednost struje, c) efektivnu vrijednost uzbudne struje, te d) gubitke u jezgri. a) Napon na stezaljkama uzbudnog svitka je e=N

(

)

= 200 ⋅ 16 cm 2 ⋅ 0,94 0, 94 ⋅

dΦ dB = NS Fe dt dt

1 m2 ⋅1,5 ⋅ 377 cos 377t = 170 cos 377t V. 1002 cm 2

3

Sl. 4 Prigušnica s lameliranom željeznom jezgrom

b) Sa slike 3 očitamo da indukciji B = 1,5 T odgovara jakost magnetskog polja H = 36 A/m. Uočite da je relativna permeabilnost µ r = B / ( µ0 H ) = 33 000 pri indukciji B = 1,5 T značajno manja od vrijednosti µr = 66 314 koja je određena u zadatku 5 pri indukciji od 1,0 T.

lFe = (16 ( + 16 + 20 + 20) .10-2 = 0,72 m Vršna vrijednost struje je

Im =

Hl 36 ⋅ 0, 72 = = 0,13 A. N 200

c) Efektivnu vrijednost uzbudne struje dobit ćemo iz vrijednosti Pa koju očitamo sa slike 5 za indukciju B = 1,5 T: Pa = 1,5 VA/kg. Izračunamo volumen i masu jezgre:

VFe = 16 cm 2 ⋅ 0,94 ⋅ 72 cm = 1083 cm 3 mFe = 1083 cm3 ⋅

7, 65 g ⋅1kg = 8, 28 kg. 1 cm3 ⋅1000 g

Sl. 5 Uzbudni voltamperi (efektivna vrijednost) po kilogramu pri 60 Hz za M-5 M 5 orijentirani dinamo lim

4

P = PaVFe = 1,5 .8,28 = 12,4 VA,

Ukupna snaga potrebna za uzbudu je pa je tražena struja I=

P 12, 4 = = 0,103 A. E 170 ⋅ 0, 707

d) Specifična snaga gubitaka u željezu jezgre, očitana sa slike 6, je

pFe = 1,2 W/kgg .

Sl. 6 Gubici u jezgri pri 60 Hz u vatima po kilogramu za M-5 M 5 orijentirani dinamo lim debljine 0,3 mm (Armco Inc.)

Ukupni gubici u jezgri su

PFe = pFe mFe = 1,2 .8,28 = 10,0 W.

7. U zadatku 6 smo za indukciju B = 1,5 T odredili gubitke u jezgri PFe = 10,0 W i uzbudne voltampere (UI)ef = 12,4 VA , dok je dobivena efektivna vrijednost induciranog napona bila 170 / 2 = 120, 2 V , dok je svitak imao 200 zavoja. Odredite faktor snage, struju koja pokriva gubitke u jezgri Ig , te struju magnetiziranja Iµ . cos ϕ =

10, 0 = 0,806 12, 4

φ = 36,25°

Uzbudna efektivna struja je

I0 = 12,4/120,2 = 0,103 A ,

struja gubitaka u željezu

Ig = 10,0/120,2 = 0 0832 A

a struja magnetiziranja

Iµ = I0 sin φ = 0,0609 A.

5

sin φ = 0,591

2. Transformator 2.1. Nadomjesna shema. Prazni hod 8. Distributivni transformator 50 kVA, 2400/240 V, 60 Hz, ima rasipnu impedanciju anciju 0,72 + j0,92 Ω visokonaponskog namota i 0,0070 + j0,0090 Ω niskonaponskog namota. Pri nazivnom nom naponu i frekvenciji je admitancija poprečne grane (0,324 – j2,24) .100-2 S gledano s niskonaponske strane. Nacrtajte nadomjesnu shemu svedenu na a) visokonaponsku stranu i b) na niskonaponsku stranu i navedite naved iznose impedancija. Odgovarajuće sheme su dane na slikama 7a i b, pri čemu je visokonaponska strana označena indeksom 1, a niskonaponska strana indeksom 2. Naponi dani na natpisnoj pločici energetskog transformatora se odnose na omjer brojeva zavoja i zanemaruju male padove napona na rasipnim impedancijama pri opterećenju. Kako je prijenosni omjer transformatora 10:1, impedancije se svode množenjem ili dijeljenjem sa 100. Iznos impedancije svedene na visokonaponsku stranu je veći od njenog iznosa svedenog na niskonaponsku stranu. Kako je admitancija recipročna vrijednost impedancije, admitancija se svodi s jedne strane na drugu korištenjem recipročne vrijednosti faktora za impedanciju. Iznos admitancije svedene na visokonaponsku stranu je manji od njenog iznosa svedenog na niskonaponsku stranu. Idealni transformator se može eksplicitno nacrtati, kao što je na slici 7 napravljeno crtkano, ili se može ispustiti iz dijagrama i samo imati na umu, pa su u tom slučaju stezaljke označene slovima bez apostrofa.

Sl. 7 Nadomjesna shema transformatora za zadatak 8

6

9. Transformator 50 kVA, 2400/240 V čiji su podaci dani u zadatku 8 koristi se za snižavanje napona na kraju voda čija je impedancija 0,30 + j1,60 Ω. Napon Umr na početku voda je 2400 V. Odredite napon na stezaljkama sekundara transformatora transformatora kad je na njega priključen teret koji uzima iz transformatora nazivnu struju, a faktor snage tereta je 0,80 (ind.). Zanemarite padove napona na transformatoru i vodu uzrokovane strujom poprečne grane transformatora.

Sl. 8 Pojednostavnjene (približne) nadomjesne sheme

Sl. 9 Nadomjesna shema i fazorski dijagram, zadatak 9

Shema sa svim parametrima svedenim na visokonaponsku stranu transformatora (primar) dana je na slici 9a, a, gdje je transformator prikazan pomoću njegove ekvivalentne impedancije kao na slici 8c. Prema slici 7aa je ekvivalentna impedancija Ze =1,42 + j1,82 Ω , a ukupna impedancija serijskog spoja voda i transformatora je Z = 1,,72 + j3,42 Ω . Prema podacima transformatora je nazivna struja svedena na visokonaponsku stranu I = 50 000/2400 = 20,8 A. 7

Fazorski dijagram sveden na visokonaponsku stranu prikazan je na slici 9b, b, prema kojoj je 2 Ob = U mr − ( bc )

bc = IX cos ϕ − IR sin ϕ

gdje su

2

U 2 = Ob − ab ,

i

ab = IR cos ϕ − IX sin ϕ . .

R i X su ukupni otpor tpor i reaktancija serijskog spoja voda i transformatora. Prema tome bc = 20,8 ⋅ 3, 42 ⋅ 0,8 − 20,8 ⋅1, 72 ⋅ 0, 60 = 35,5 V ab = 20,8 ⋅1, 72 ⋅ 0,8 − 20,8 ⋅ 3, 42 ⋅ 0, 60 = 71, 4 V

Uvrštavanje u gornje izraze pokazuje da je Ob praktično jednako Umr = 2400 V. Dalje dobivamo U'2 = 2329V svedeno na VN stranu. Stvarni napon na NN stezaljkama je deset puta manji, tj. U2 = 233V.

10. Primar transformatora ima 200 zavoja i priključen je na izvor 220 V, 50 Hz. Kolika je vršna vrijednost nost magnetskog toka u jezgri?

E=

ω N1Φ m 2

= 4, 44 f N1Φ m

Sl. 10 Nadomjesna shema transformatora u praznom hodu

Φm =

E 220 = = 4,955 mWb 4, 44 f N1 4, 44 ⋅ 50 ⋅200

11. Na primar transformatora iz prethodnog primjera priključen je napon u(t) = 155,5 sin 314t + 15,5 sin n 942t V. Zanemarujući rasipanje, odredite trenutnu vrijednost i efektivnu vrijednost magnetskog toka u jezgri.

e1 = N1

Φ=

dΦ dt

⇒ Φ=

1 edt N1 ∫

u1 = e

– za idealni transformator

1 15,5sin 5sin 942t )dt = −2, 48 cos 314t − 0, 0823cos 942t mWb (155,5sin 314t + 15, 200 ∫

Omjer jer frekvencija dviju komponenti toka je 1:3, stoga se efektivna vrijednost toka računa iz efektivnih vrijednosti pojedinih harmonika 2, 48 / 2 i 0, 0823 / 2 : 2

2

 2, 48   0, 0823  Φ ef =   +  = 1, 75 mWb 2   2  

8

12. Transformator s 880 zavoja primara prima pri f = 50 Hz uzima u praznom hodu 80 W i 1,4 A pri naponu 220 V. Ako je otpor primarnog namota 0,46 Ω odredite: a) gubitke u jezgri, b) cos φ0, c) vršnu vrijednost magnetskog toka u jezgri (zanemarite padove napona na primarnom otporu i rasipnoj reaktanciji). a) PFe = PPH − I 02 R1 = 80 − 1, 4 2 ⋅ 0, 46 = 79,1 W P 80 b) cos ϕ 0 = PH = = 0, 2597 I 0U1 1, 4 ⋅ 220

c) Φm =

U1 220 = = 1,13 mWb 4, 44 f N1 4, 44 ⋅ 50 ⋅ 880

13. Za transformator iz prethodnog primjera odredite glavnu reaktanciju X0 i otpor ekvivalentan gubicima u jezgri R0 : a) zanemarujući padove napona na impedanciji primara; b) uzimajući u obzir utjecaj otpora primarnog namota R1 = 0,46 Ω i rasipne reaktancije Xσ1 = 2,6 Ω. a)

U12 2202 = = 605 Ω PPH 80 i i U 220 Ig = 1 = = 0,36 A R0 605 R0 =

i i2

I µ = I 02 − I g2 = 1, 42 − 0,36 = 1,352 A X0 =

U1 220 = = 162, 7 Ω I µ 1,352

b)

Sl. 11 Fazorski dijagram transformatora u praznom hodu

ϕ0 = arc cos 0, 2597 = 74, 74,95 95°

– iz primjera 12.b)

U 0 = U1 0° − I 0 0° − ϕ0 ⋅ ( R1 + jX σ 1 ) = 220 0° − 1, 4 −74,95° ⋅ ( 0, 46 + j 2, 6 ) = 220 − 1, 4 −74, 74,95 95° ⋅ 2, 64 80° = 220 − 3, 7 5, 05° = 220 − 3, 68 − j 0,326 0, 326 = 216, 31 − j 0,326 0, 326 = 216,32 −0, 086° V 9

U 0 = 216,32 216, 32 V

R0 =

U 02 216,322 = = 591,6 Ω 79,1 PFe

U 216,32 Ig = 0 = = 0,3657 A R0 591, 6

≈ U1 − I 0 X σ 1 = 220 − 1, 4 ⋅ 2, 6 = 216,36 V

I µ = I 02 − I g2 = 1, 42 − 0,3657 2 = 1,351 A X0 =

U 0 216,32 = = 160,1 Ω Iµ 1,351

14. Analizirajte stanje stvarnog neopterećenog trofaznog transformatora 3T 500-12, 12, snage 500 kVA, 10 kV/0,4 kV, Yy6, uk = 4,6 %, Pt = 5440 W, P0 = 1070 W. U nadomjesnoj shemi najbolje je raditi s faznim veličinama i to za ekvivalentni spoj Yy0 : R1 = 1,22 Ω, R'2 = 0,96 Ω, R'0 = 93 460 Ω, Xσ1 = 4,62 Ω, X' X σ2 = 4,32 Ω, X'0 = 28 000 Ω, U1 = 10 000/ 3 V, I1N = 28,87 A.

Sl. 12 Nadomjesna shema transformatora u praznom hodu

Uz otvorene stezaljke bit će: 93460 ⋅ j 28000 Z 'p = = 7 697, 7 + j 25693,8 = 26822,1 73,32° Ω 93460 + j 28000 Z u = Z 'p + Z1 = ( 7 697, 7 + j 25693,8 25 693,8 ) + (1, 22 + j 4, 62 ) = 7 698,92 + j 25 698, 42 = 26826, 268 9 73,32° Ω

10 000 U1 = 0° = 5773,5 0° V 3

5773,5 0° U I10 = 1 = = 0, 21521 −73,32° A  Z u 26826, 9 73,32° U R1 = I10 R1 = 0, 21521 −73,32 73, 32° ⋅1, 22 0° = 0, 2626 −73,32° V U σ1 = I10 ⋅ jX σ1 = 0, 21521 −73,32° ⋅ 4, 62 90° = 0,9943 16, 68° V U '01 = I10 ⋅ Z 'p = 0, 21521 −73,32° ⋅ 26822,1 73,32° = 55772,5 772,5 0° V = U '2 To je samo 1 V manje od U1, što je smanjenje od 0,0173 %.

10

I 'g =

U '01 5 772,5 = = 0, 06176 A R '0 93 460

I 'µ =

U '01 5 772,5 = = 0, 20616 A 28000 X '0

    I 0 = 0, 21521 A  

PR1 = I102 R1 = 0, 215212 ⋅1, 22 = 0, 05651 W ⇒ za sve tri faze 3 ⋅ 0, 05651 05651 = 0,16952 W P0 = I 'g2 R '0 = 0,06176 0, 061762 ⋅ 93460 = 356, 48 W ⇒ za sve tri faze 3 ⋅ 356, 356, 48 = 1069, 45 W Zaključak: u neopterećenom transformatoru su gubici u namotima zanemarivi

PR1 = 0, 05651 W  P0 = 356, 48 W

15. Transformator sljedećih nazivnih podataka: 100 kVA, 10 kV/ 400 V, 50 Hz, η = 0,9823, uk = 4,5%, P0 = 285 W, grupe spoja Yd5 radi u praznom hodu. Odredite dredite struju praznog hoda na VN-strani strani u amperima i u % od I1n. Koristite nadomjesnu shemu transformatora u praznom hodu uz pretpostavku da je X0 tri puta manji od R0.

Sl. 13 Pojednostavljena nadomjesna shema transformatora u praznom hodu

U1f = P0f =

U1l 3

=

10 000 3

= 5773,5 V

P0 285 = = 95 W 3 3

R0 =

U1f2 5773,52 = = 350877 Ω P0f 95

X0 =

R0 350877 = = 116 959 Ω 3 3

Ig =

U1f 5773,5 = = 0, 01645 A R0 350877

Iµ =

U1f 5773,5 = = 0, 04936 A X 0 116959

I 0 = I g2 + I µ2 = 0, 016452 + 0, 049362 = 0, 05203 A I1n =

S1n 100 ⋅103 = = 5, 7735 A 3 ⋅ U1n 3 ⋅10 ⋅103

I 0% =

I 0 0, 0520 = ⋅100 % = 0,90125 % I1n 5, 7735 11

2.2. Kratki spoj 16. Jednofazni transformator kojemu je snaga 20 kVA građen je za napon primara U1 = 5 kV. Prijenosni odnos je n12 = 20, a frekvencija mu je 50 Hz. Napon kratkog spoja je Uk = 300 V, a snaga kratkog spoja 960 W. Nađite: a) nazivni napon sekundara, nazivnu struju primara i nazivnu struju sekundara; b) trokut kratkog spoja (Rk , Xk , Zk , URk , Uσk ) i postotni iznos napona kratkog spoja; c) rasipne induktivitete; d) promjenu napona sekundara uz nazivno opterećenje koje ima cos φ2 = 0,8 ; e) struju koja poteče u primaru ako se sekundar kratko spoji pri nominalnom naponu primara.

Rk =

Pk 960 = 2 = 60 Ω I12 4

U Rk = I1Rk = 4 ⋅ 60 = 240 V 2 U σ k = U k2 − U Rk = 3002 − 2402 = 180 V

a) U 2 =

U1 5000 = = 250 V n12 20

Zk =

S 2 = U 2 I 2 = 20 kVA

I2 =

S2 20 ⋅103 = = 80 A U2 250

I1 =

I 2 80 = =4A n12 20

b) Pk = I12 Rk

U k 300 = = 75 Ω I1 4

uRk =

U Rk 240 ⋅100 % = ⋅100 % = 4,8 % U1 5 000

uσ k =

Uσ k 180 ⋅100 % = ⋅100 % = 3, 6 % U1 5 000

45 = 0,143 H ω 314 U 5000 = 1 = = 66, 6 A Zk 75

c) Lσ = e) I1k

Xσ

=

1 2  uRk cos ϕ2 + uσ k sin ϕ2 + 200 ( uσ k cos ϕ − uRk sin ϕ2 )    1 2 = 4,8 ⋅ 0,8 + 3,6 ⋅ 0, 6 + ( 3, 6 ⋅ 0,8 − 4,8 ⋅ 0,6 ) = 6 % 200

∆u = d)

U σ k 180 = = 45 Ω I1 4

Xσ =

Sl. 14 Pojednostavljena nadomjesna shema transformatora u kratkom spoju

I1 I1n

17. Mjerni instrumenti su spojeni na visokonaponskoj strani, a niskonaponska strana transformatora 50 kVA, 2400/240 V je kratko spojena, pa je u pokusu kratkog spoja transformatora iz zadatka 8 izmjereno 48 V, 20,8 A i 617 W. U pokusu praznog hoda napaja se niskonaponska strana, pa je na toj strani izmjereno 240 V, 5,41 A i 186 W. Odredite stupanj djelovanja i regulaciju napona pri punom teretu, uz faktor snage 0,80 (ind.).

12

Iz pokusa kratkog spoja dobivamo ekvivalentnu impedanciju, otpor i reaktanciju transformatora (svedeno na visokonaponsku stranu): Ze =

48 = 2,31 Ω , 20,8

Re =

617 = 1, 42 Ω , 20,82

Nazivna struja visokonaponske strane je

X e = 2,312 − 1, 422 =1,82 Ω

I = 50 000/2400 = 20,8 A.

Gubici u bakru su PCu = I 2 Re = 20,82 ⋅1, 42 = 617 W . Kako su gubici u željezu jednaki onim izmjerenim u pokusu praznog hoda PFe = 186 W, ukupni su gubici pri punom teretu Pg = PCu + PFe = 803 W. Radna snaga predana teretu

P2 = S2. cos φ = 50 000 . 0,80 = 40 000 W.

To znači da je na primarnoj strani Odatle dobivamo

P1 = P2 + Pg = 40 803 W.

gubici 803 = = 0,0197 . ulaz 40803

Djelotvornost svakog energetskog uređaja računamo:

što se može napisati i kao Za zadani slučaj dobivamo:

η=

η=

izlazna snaga ulazna snaga

ulaz − gubici gubici = 1− . ulaz ulaz

η = 1 − 0,0197=0,980

Regulacija napona transformatora je promjena napona stezaljki sekundara od praznog hoda do punog tereta i obično je izražena kao postotak od napona pri punom teretu. Koristimo nnadomjesnu shemu prema slici 8c pri čemu su svi parametri svedeni na visokonaponsku stranu. Smatra se da je primarni napon prilagođen tako da stezaljke sekundara imaju nazivni napon pri punom teretu, tj. U'2 = 2400 V svedeno na VN stanu. Potrebni napon primarne strane U1 se može izračunati prema fazorskom dijagramu na slici 15.

Sl. 15 Fazorski dijagram za primjer 17

U1 = U 2 + I ( Re + jX e ) = 2400 + 20,8 ( 0,80 − j 0,60 0, 60 )(1, 41 + j1,82 ) = 2446 + j13 Iznos napona U1 je 2446 V. Ako bismo ovaj napon držali konstantnim, a teret teret uklonili, napon na sekundaru u praznom hodu bi porastao na 2446 V svedeno na VN stranu. Prema tome je

regulacija =

2446 − 2400 ⋅100% = 1,92% 2400 13

2.3. Opterećenje 18. Parametri nadomjesne sheme transformatora 150 kVA, 2400V/240V su: R1 = 0,2 Ω, R2 = 2 m Ω, Xσ1 = 0,45 Ω, Xσ2 = 4,5 mΩ, R0 = 10 kΩ i X0 = 1,55 k Ω. Svevši parametre sekundara na primarnu stranu, odredite: a) promjenu napona; b) djelotvornost transformatora pri nazivnom teretu i cos φ = 0,8 ind.

Sl. 16 Nadomjesna shema transformatora

Sl. 17 Fazorski dijagram transformatora pri radno-induktivnom opterećenju

U 2 = 240 V n12 = 10

ϕ2 = arc cos 0,8 = −36,87° U 2 ' = n12U 2 = 2400 0° V 150 ⋅103 I2 = = 625 A 240

I I2 ' = 2 = 62,5 −36,87° = 50 − j37,5 A n12 R2 ' = n122 R2 = 0, 2 Ω

X σ 2 ' = n122 X σ 2 = 0, 45 Ω

E1 = U 0 = ( 2400 + j 0 ) + ( 50 − j 37,5)( 0, 2 + j 0, 45) = 2427 + j15 = 2427 0,35° V 14

Iµ =

2427 0,35° 1550 90°

= 1, 56 −89, 65°

= 0, 0095 − j1, 56 A 2427 + j15 I0r =  0, 2427 + j 0 A 10 ⋅103

U1 − U 2 ' 2455 − 2400 ⋅100% = ⋅100% = 2400 a) U 2 ' = 2,3 %

I0 = I0r + Iµ = 0, 25 − j1,56 A

b) P2 = 150 ⋅103 ⋅ 0,8 = 120 kW

I1 = I0 + I2 ' = 50, 25 − j 39, 06 =

Pg = I12 R1 + I 0r2 R0 + I 22 R2

= 63, 65 −37,85° A

= 63, 652 ⋅ 0, 2 + 0, 2427 2 ⋅10 ⋅103 + 6252 ⋅ 2 ⋅10−3 = 2,18 kW

U1 = ( 2427 + j15 ) + + ( 50, 25 − j 39, 06 )( 0, 2 + j 0, 45 )

η=

= 2455 + j 30 = 2455 0, 7° V

120 = 0,982 = 98, 2 % 122,18

19. Nacrtajte fazorski dijagram transformatora s čisto omskim opterećenjem.

Sl. 18 8 Nadomjesna shema transformatora

Fazorski dijagram se može početi crtati na različite načine. Dva načina imaju više smisla od ostalih.

Jedan, lakši, polazi od sekundarnih veličina, tako da se najprije u okomitoj osi nacrta sekundarni napon, a zatim u odgovarajućem faznom položaju i sekundarna struja. Drugi način polazi od zajedničke veličine za cijeli transformator, tj. od magnetskog toka Φ0, koji se tada crta u vodoravnoj osi. Oba su načina dobra. Slika koja se dobije na prvi način bit će zakrenuta za neki kut u smjeru suprotnom od smjera kazaljke sata prema slici koja se dobije na drugi način (a tako prikazane slike se najčešće susreću u literaturi). Primijenimo prvi način. 1. korak Nacrtamo u okomitoj osi napon U '2 i s obzirom na omski teret struju I '2 u fazi s tim naponom naponom. 15

Sl. 19 Prvi korak

Sl. 20 Drugi korak

Sl. 21 Treći korak

Sl. 22 Četvrti korak

2. korak Na fazor napona U '2 dodamo pad napona na otporu R '2 , tj. U 'R 2 , koji je u fazi sa strujom I '2 , te pad napona na otporu X ' , tj. U ' , koji prethodi struji za 90°. σ2

σ2

3. korak Ako sada spojimo vrh napona U 'σ 2 s ishodištem, dobivamo fazor napona U '01 . Ovaj napon  , kojeg stvara struja magnetiziranja I 'µ . I struja I 'µ i magnetski tok Φ  zahtijeva magnetski tok Φ 0 0 zaostaju za ovim naponom za 90°. Tu se obično odmah prikazuje i struja I ' koja pokriva gubitke u g

željezu. 4. korak  , I ' i I ' . Ovdje su ucrtani u odgovarajućem položaju fazori Φ µ g 0 5. korak Spajanjem vrha fazora I 'g s ishodištem dobivamo položaj fazora struje I '0 . 6. korak Nanošenjem fazora struje I '0 na vrh fazora struje I '2 ili obratno (nanošenjem fazora I '2 na vrh fazora I ' ), tj. fazorskim zbrajanjem, dobiva se ukupna struja primara I . Ovdje je prikazano 0

1

zbrajanje fazora metodom paralelograma (vidi iscrtane linije – paralelne s našim fazorima).

Sl. 23 Peti korak

Sl. 24 Šesti korak

16

Sl. 25 Sedmi korak

Sl. 26 Osmi korak

7. korak Razumljivo je da ćemo sada nanijeti fazore padova napona U R1 i U σ1 na fazor napona U '01 . Pri tome je fazor U u fazi s fazorom I , pa ga tako i nanosimo. Na sl. 25 je to prikazano s dvije R1

1

poprečne crte kao znak da su te dvije veličine paralelne (u fazi). Lijepo se vidi da se fazor pada napona U σ1 nanosi na vrh fazora napona U R1 , ali u smjeru okomice na struju I1 , jer je to induktivni pad napona koji prethodi struji za 90°. 8. korak Konačno spajanjem vrha fazora U σ1 s ishodištem dobivamo fazor primarnog napona U1 . Time je postupak ak crtanja fazorskog dijagrama transformatora gotov. Na jednak način crtamo sve ostale fazorske dijagrame transformatora, tj. za ostale slučajeve opterećenja. Pri tome je razlika samo u prvom koraku, u kojem se ucrtava fazor struje I '2 u odgovarajućem faznom položaju prema fazoru napona U ' . 2

20. Nacrtajte fazorski dijagram transformatora s čisto induktivnim opterećenjem.

Sl. 27 Nadomjesna shema

Sl. 28 Fazorski dijagram transformatora za čistoo induktivno opterećenje L

17

Pri crtanju fazorskih dijagrama polazimo od nadomjesne sheme transformatora i prvo crtamo sekundarne veličine struje i napona u njihovom odgovarajućem faznom odnosu (prema vrsti opterećenja). Daljnji postupak je uvijek jednak onom koji je prikazan u prethodnom primjeru. 1. Nacrtamo u okomitoj osi fazor napona U '2 i okomito na njega, tako da zaostaje za 90°, fazor struje tereta I ' . 2

2. Na fazor napona dodajemo fazore napona U 'R 2 i U 'σ2 bilo kojim redoslijedom, ali tako da je fazor U 'R 2 nacrtan u fazi sa strujom, a fazor U 'σ2 okomito na smjer struje i to tako da prethodi struji za 90°. 3. Spajanjem vrha drugog po redu crtanja ovih fazora s ishodištem, dobivamo fazor napona U '10 = − E '1 = − E '2 .  =Φ  . 4. Okomito na smjer fazora U ' crta se fazor glavnog magnetskog toka Φ gl

10

0

 crta se fazor struje magnetiziranja I ' , a okomito na njega, tako da 5. U fazi s fazorom Φ µ 0 prethodi za 90°, crta se fazor struje gubitaka u jezgri transformatora I ' . g

6. Ove dvije struje zajedno ( I 'µ i I 'g ) daju struju praznog hoda, pa kao zbroj njihovih fazora crtamo struju I ' . 0

7. Zbrajanjem fazora struje praznog hoda I '0 i struje tereta I '2 dobivamo fazor struje primara I1 . 8. Okomito na smjer fazora struje primara I crtamo, dodajući na fazor napona U ' , fazor pada 1

10

napona na rasipnom induktivitetu primara, tj. fazor napona U σ1 . 9. Na vrh fazora U σ1 dodajemo fazor pada napona na omskom otporu primarnog svitka, tj. fazor napona U . R1

10. Vrh fazora U R1 spajamo s ishodištem i dobivamo fazor napona U1 .

21. Nacrtajte fazorski dijagram transformatora s čisto kapacitivnim opterećenjem. 1. U okomitoj osi U '2 . 2. ⊥ na U '2 crtamo I '2 (-90°). 3. ⊥ na I ' crtamo U ' . 2

σ2

4.  s I '2 crtamo U 'R 2 . 5. Ucrtavamo U '0 . 6. ⊥ na U ' (zaostaje 90°) crta se Φ. 0

7. U fazi s Φ crta se 8. ⊥ na I ' crta se µ

I 'µ . I ' . g

9. Ucrtavamo I '0 . 10. Zbrajamo I '0 i I '2 i dobivamo fazor I1 . 11. ⊥ na I crta se U (na vrh U ' ). 1

σ1

0

12.  s I1 crta se U R1 (na vrh U σ1 ). 13. Ucrtava se U1 .

Sl. 29 Fazorski dijagram transformatora za čisto induktivno opterećenje L

18

2.4. Rasipna reaktancija 22. Odredite rasipnu reaktanciju transformatora sljedećih podataka: f = 50 Hz, δ = 30 mm, N1 = 120 zavoja, a1 = 30 mm, a2 = 40 mm, Dsr = 0,4 m, h = 0,6 m = ln. Koliko iznosi reaktancija kada se glavni rasipni kanal poveća na 60 mm?

Sl. 30 Rasipno polje

Sl. 31 Rasipni tok primarnog i sekundarnog namota

a) δ = 30 mm Zamijenimo trapezni oblik protjecanja pravokutnim, no na kraćoj širini:

δr =

a1 + a2 30 + 40 +δ = + 30 = 53,33 mm 3 3

– reducirana širina rasipnog magnetskog toka Faktor Rogowskog kaže (dovoljno točno) koliko je namot niži od ekvivalentne duljine silnica rasipnog magnetskog toka (prema pojednostavljenoj sl. 22): kr = Sl. 32 Rasipni tok

ln a + a +δ 30 + 40 + 30 ≈ 1− 1 2 = 1− = 0,947 lsil π ln π ⋅ 600 – za računanje ekvivalentne duljine silnica

Iz ovako pojednostavljene slike magnetskih prilika s rasipnim magnetskim tokom u transformatoru može se jednostavno izvesti numerički izraz za rasipnu reaktanciju:

X σ = 7,9 ⋅10

−6

N 2 Dsrπ δ r kr 120 2 ⋅ 0, 4 ⋅ π ⋅ 53, 33 ⋅ 0, 947 f = 7,9 ⋅10−6 ⋅ 50 ⋅ = 0, 602 Ω ln 600 19

gdje su: Dsr – srednji promjer (po polovini razmaka između golog bakra VN i NN namota), u m f – frekvencija, u Hz δ – razmak između VN i NN namota, u m a1 – širina VN namota, u m a2 – širina NN namota, u m N – broj zavoja namota na čiju stranu se želi izračunati iznos rasipne reaktancije (N1 za VN ili N2 za NN) ln – visina namota, u m. b) δ = 60 mm

δr =

a1 + a2 30 + 40 +δ = + 60 = 83,33 mm 3 3

kr ≈ 1 −

a1 + a2 + δ 30 + 40 + 60 = 1− = 0,931 π ln π ⋅ 600

d 2v = Dsr − δ a = 400 − 30 = 370 mm Dsr b = d 2v + δ b = 370 + 60 = 430 mm X σ = 7,9 ⋅10−6 f

N 2 Dsrπ δ r kr 120 2 ⋅ 0, 43 ⋅ π ⋅ 83, 33 ⋅ 0, 931 = 7,9 ⋅10−6 ⋅ 50 ⋅ = 0, 994 Ω ln 600

23. Odredite rasipnu reaktanciju transformatora sljedećih podataka: f = 60 Hz, δ = 60 mm, N1 = 1200 zavoja, a1 = 50 mm, a2 = 55 mm, Dsr = 0,90 m, h = 1,4 m = ln. Koliko iznosi reaktancija kada se glavni rasipni kanal smanji na δ* = 45 mm? a) δ = 60 mm

kr ≈ 1 −

δr =

a1 + a2 + δ 50 + 55 + 60 = 1− = 0,9625 π ln π ⋅1400

a1 + a2 50 + 55 +δ = + 60 = 95 mm 3 3

X σ = 7,9 ⋅10−6 f = 7, 9 ⋅10 −6 ⋅ 60 ⋅

N 2 Dsrπ δ r kr ln

1200 2 ⋅ 0,9 ⋅ π ⋅ 95 ⋅ 0, 9625 = 126, 05 Ω 1400

b) δ * = 45 mm

kr* ≈ 1 − Sl. 33 Rasipni tok

δ r* =

a1 + a2 + δ * 50 + 55 + 45 = 1− = 0,9659 π ln π ⋅1400

a1 + a2 50 + 55 +δ* = + 45 = 80 mm 3 3

20

Dsr = d 2v + δ

⇒

d 2v = Dsr − δ

Dsr* = d 2v + δ * = Dsr − (δ − δ *) = 900 − ( 60 − 45 ) = 885 mm *

X σ = 7,9 ⋅10

−6

N 2 Dsr* π δ r*kr* 1200 2 ⋅ 0,885 ⋅ π ⋅ 80 ⋅ 0, 0,9659 9659 −6 = 7,9 ⋅10 ⋅ 60 ⋅ = 104, 74 Ω f ln 1400

2.5. Autotransformator 24. Transformator 2400/240 V, 50 kVA iz primjera 117 spojen je kao autotransformator, prema slici 34, gdje je ab NN namot (240 V) i bc VN namot (2400 V). Pretpostavlja se da NN namot ima izolaciju koja može izdržati napon 2640 V prema zemlji. a) Odredite napone U1a i U2a VN i NN strane kad je transformator spojen kao autotransformator. b) Odredite nazivnu snagu autotransformatora. c) Podaci o gubicima su dani u primjeru 17 17.. Odredite djelotvornost autotransformatora pri punom teretu i faktoru snage 0,8.

Sl. 34 Autotransformator za primjer 24

a) Kako je bc namot od 2400 V priključen na niskonaponsku stranu autotransformatora U2a = 2400 V. Kad je napon Ubc = 2400 V, inducira se u namotu ab napon Uab = 240 V u fazi s Ubc (padovi napona na rasipnim reaktancijama su zanemareni). Stoga je napon VN strane: U1a = Uab + Ubc = 2640 V. b) Prema nazivnoj prividnoj snazi od 50 kVA normalnog dvon dvonamotnog amotnog transformatora, nazivna struja namota od 240 V je 50 000/240 = 208 A. Kako je namot od 240 V u serijskoj vezi s VN krugom, nazivna struja ovog namota jednaka je nazivnoj struji I1a na VN strani autotransformatora. Stoga je nazivna snaga autotransformatora U1a I1a 2640 ⋅ 208 = = 550 kVA. 1000 1000

Ova nazivna prividna snaga se može izračunati i na NN strani uzimajući u obzir transformaciju struje. Kako struja u namotu od 240 V ima nazivnu vrijednost od 208 A, struja u namotu od 2400 V mora 21

proizvesti jednaki iznos MMS ali suprotnog predznaka (ako se zanemari struja uzbude I0) pa zato iznosi 20,8 A u smjeru strelice na slici 34. Struja I2a na NN strani autotransformatora je pa je nazivna prividna snaga

#I  208  20,8  228,8 A J#I #I 2400 · 228,8   550 kVA. 1000 1000

Uočite da ovaj transformator, čija je nazivna prividna snaga 50 kVA kad radi kao normalan dvonamotni transformator, može baratati s 550 kVA kao autotransformator. Veća nazivna snaga autotransformatora je posljedica činjenice da ne mora svih 550 kVA biti transformirano pomoću elektromagnetske indukcije. U stvari, sve što transformator treba napraviti je da protjera struju od 208 A kroz razliku potencijala od 240 V, što odgovara nazivnoj snazi od 50 kVA. c) Kad je spojen kao autotransformator sa strujama i naponima prema slici 34, gubici su jednaki kao i u primjeru 17, tj. 803 W. Ali izlazna snaga autotransformatora pri cos φ = 0,8 je 0,8 · 550 000  440 000 W. Djelotvornost je stoga

1K

803  0,9982. 440 803

Djelotvornost je tako visoka jer gubici odgovaraju transformaciji samo 50 kVA.

25. Trofazni transformator 100 kVA, 6300 V ± 2 ⋅ 2,5 % / 3000 V, Dy5, uk = 4 % prespoji se u autotransformator u spoju Yy0. Koji su nazivni podaci autotransformatora, ako specifična opterećenja materijala (Cu, Fe) ostanu nepromijenjena?

Sl. 35 Autotransformator

VN – namot: spoj D = ∆ U f1 = U l1 = 6300 V ± 2 ⋅ 2, 5% = 6 300 V ± 2 ⋅157,5 V = U1T I f1 =

Sn 100 000 = = 5, 291 A = I1T 3U f1 3 ⋅ 6 300

22

NN – namot: spoj y = U f2 = I f2 =

U l 2 3000 = = 1732, 05 V = U 2T 3 3

Sn 100 000 = = 19, 245 A = I 2T 3U f2 3 ⋅1732

Podaci autotransformatora:

U1A = U1T + U 2T = 6300 V ± 2 ⋅157,5 + 1732, 05 = 8032, 05 ± 2 ⋅157,5 V = 8032, 05 ± 2 ⋅1,961% U 2A = U 2T = 1732, 05 V

U1 = 3U1A = 3 ⋅ 8032, 05 = 13912 V U 2 = 3U 2A = 3 ⋅1732, 05 = 3000 V Prijenosni odnos autotransformatora:

13912 ± 2 ⋅1,961% / 3000 V

I1A = I1T = 5, 291 A I 2A = I1T + I 2T = 5, 291 + 19, 245 = 24,536 A S nA = 3U1A I1A = 3 ⋅ 8032, 05 ⋅ 5, 291 = 127 493 VA S nA = 3U 2A I 2A = 3 ⋅1732, 05 ⋅ 24, 536 = 127 493 VA U kT = U1T ⋅

ukA =

ukT 4 = 6 300 ⋅ = 252 V 100 100

U kT 252 ⋅100 % = ⋅100 % = 3,14 % U1A 8 032, 05

2.6. Trofazni transformator, grupe spoja 26. Tri jednofazna transformatora 50 kVA, 2400/240 V (identična s onim u primjeru 17) u spoju Y ∆, imaju ukupnu prividnu snagu 150 kVA i služe za snižavanje napona na kraju voda koji ima impedanciju 0,15 + j1,00 Ω po fazi. Linijski napon na početku voda je 4160 V. Na sekundarne stezaljke transformatora je priključen simetričan trofazni teret preko voda čija je impedancija 0,0005 + j0,0020 Ω po fazi. Odredite linijski napon na teretu kad on vuče nazivnu struju iz transformatora pri faktoru snage 0,80 (ind.).

23

Proračun možemo napraviti tako da se sve svede na VN stranu transformatora u Y spoju, gdje računamo samo jednu fazu. Napon na početku voda je ekvivalentan naponu izvora Umr

J8 

4160 √3

 2400 V prema masi

Prema podacima s natpisne pločice transformatora nazivna struja za VN stranu je 20,8 A po fazi Y spoja. Impedancija NN voda svodi se na VN stranu pomoću kvadrata omjera idealnih linijskih napona spoja: 4160 # R S T0,0005  U0,0020V  0,15  U0,60 W 240 pa je ukupna impedancija serije VN i NN voda svedeno na VN stranu

XYZ  0,30  U1,60

W Y. fazi

Prema primjeru 17 je ekvivalentna impedancija transformatora svedena na VN stranu Y spoja

XY  1,42  U1,82 W/fazi ^. Nadomjesna shema za jednu fazu svedenu na primarnu stranu Y spoja je sad upravo jednaka kao na slici 9a, pa je i rješenje po fazi jednako rješenju u primjeru 9, odakle slijedi da je napon na teretu sveden na VN stranu 2329 V prema masi. Stvarni napon na teretu je

J_  233 V linijski. To je linijski napon jer su sekundarne stezaljke transformatora u ∆ spoju.

27. Tri transformatora iz primjera 26 u spoju ∆ ∆ napajaju se trofaznim vodom 2400 V linijski, čija je reaktancija 0,80 Ω/fazi. Ekvivalentna reaktancija svakog transformatora svedena na VN stranu je 1,82 Ω. Sve omske otpore zanemarujemo. Početak voda spojen je na stezaljke sekundara trofaznog transformatora u spoju Y ∆ čiji su nazivni podaci 500 kVA, 24.000/2.400 V linijski. Ekvivalentna reaktancija ovog trofaznog transformatora je 2,76 Ω/fazi ∆ svedeno na stranu 2400 V. Napon priključen na njegovoj primarnoj strani je 24.000 V linijski. Dolazi do trofaznog kratkog spoja na sekundarima (240 V) jednofaznih transformatora u spoju ∆ ∆. Odredite stacionarnu struju kratkog spoja u žicama voda (2400 V), u primarnim i sekundarnim namotima jednofaznih transformatora, te na 240 voltnim stezaljkama. Proračun ćemo napraviti tako da sve svedemo na 2400 voltni vod, preračunato na ekvivalentnu zvijezdu (linija prema masi). Napon je sad

#; √9

 1385 V prema masi.

I reaktanciju trofaznog transformatora preračunamo u ekvivalentnu zvijezdu

2,76  0,92 Ω/fazi Y. 3 Reaktancije jednofaznih transformatora preračunate u ekvivalentnu zvijezdu bG 

b# 

1,82  0,61 Ω/fazi Y. 3 24

Vod ima reaktanciju b  0,80 Ω/fazi Y. Ukupna reaktancija = 0,92 + 0 61 + 0,80 = 2,33 Ω. Struja u 2400 V vodu =

G9FE #,99

Struja u 2400 V namotima 

 594 A. Ed; √9

 342 A.

Struja u 240 V namotima = 3420 A. Struja na 240 V stezaljkama = 5940 A (linijska).

28. Struja praznog hoda mjerena s NN strane transformatora 50 kVA, 2400/240 V je 5,41 A. Njegova ekvivalentna impedancija svedena na VN stranu je 1,42 + j1,82 Ω. Uzevši nazivne podatke transformatora kao bazne, izrazite u relativnim vrijednostima (jediničnim – per unit) svedeno na NN i VN stranu a) struju praznog hoda i b) ekvivalentnu impedanciju. Bazne vrijednosti napona i struja su: UbVN = 2400 V

UbNN = 240 V

IbVN = 20,8 A

Kako je bazna vrijednost za impedanciju određena Xe  dobivamo a) Kako je

Xeij 

#; #,F

 115,2 Ω

IbNN = 208 A.

fg hg

#;

Xejj  #F  1,152 Ω. o_ZI8pI Z8qrspto_

jedinična vrijednost  eIupI Z8qrspto_ Zvqčqp jj 

dobivamo

5,41  0,0260 208

Struja praznog hoda svedena na VN stranu je 0,541 A. Njena jedinična vrijednost je

ij 

0,541  0,0260 20,8

Jedinične vrijednosti su jednake bez obzira na koju stranu sveli njen iznos. Omjer broja zavoja potreban za svođenje struja u amperima s jedne strane transformatora na drugu uzet je u obzir u jediničnom sustavu pomoću baznih vrijednosti za struje na obje strane, bazna vrijednost prividne snage je ista s obje strane, a naponske bazne vrijednosti su u omjeru brojeva zavoja. b) Jedinična vrijednost ekvivalentne impedancije

Xij 

1,42  U1,82  0,0123  U0,0158 115,2

Ekvivalentna impedancija svedena na NN stranu je 0,0142 + j0,0182 Ω. Njena jedinična vrijednost je

Xjj 

0,0142  U0,0182  0,0123  U0,0158 1,152

Jedinične vrijednosti svedene na VN i na NN stranu su jednake, faktori za preračunavanje su uzeti u obzir u jediničnom sustavu pomoću baznih vrijednosti. 25

29. Nacrtajte shemu trofaznog transformatora spojenog u grupi spoja Dy5. Crtamo korak po korak. 1. korak: 2. korak: 3. korak: 4. korak: 5. korak: 6. korak:

nacrtajmo fazor 1U fiktivnog faznog napona VN – strane. ucrtajmo i preostale fazore fiktivnih faznih napona VN – strane. odredimo smjer fazora NN – strane pomoću satnog broja 5 ⇒ 5 ⋅ 30° = 150° . ucrtamo fazor 2U faznog napona NN – strane. ucrtamo odmah i preostale fazore NN – strane. ucrtamo trokut spajajući vrhove fiktivnih faznih napona VN – strane. Odredimo koja je od tih strana paralelna s fazorom 2U.

Sl. 36 Prvi korak

Sl. 39 Četvrti korak

7. korak: 8. korak:

Sl. 37 Drugi korak

Sl. 38 Treći korak

Sl. 40 Peti korak

Sl. 41 Šesti korak

fazor 1U i 2U nalaze se na istom stupu, pa moraju biti paralelni. Pri tome fazor 1U ima strelicu u 1U. ucrtamo preostale strelice na fazorima VN – strane. Upišimo i odgovarajuće brojke na krajeve fazora (1, 2, 3, ..., 11, 12).

Fazorski dijagram je sada nacrtan, pa je još preostalo samo to da prema njemu nacrtamo shemu spoja. Kako su nam fazori 1U i 2U na paralelnim pravcima, jasno je da su i namoti na istim stupovima. Upišimo i odgovarajuće oznake 2U, 2V i 2W. Preostalo nam je da još odredimo potreban smjer strelica na NN – strani.

26

Sl. 42 Sedmi korak

9. korak:

10. korak: 11. korak: 12. korak: 13. korak:

Sl. 43 Osmi korak

Sl. 44 Deveti korak

na fazorskom dijagramu vidimo da su strelice fazora 1U i 2U suprotne orijentacije, što znači da polazeći od zvjezdišta NN – strane moramo proći kroz namot u suprotnom smjeru od strelice. Ucrtajmo zato ove strelice u suprotnom smjeru od strelica VN – strane. na fazorskom dijagramu vidimo da su točke 1 i 6 spojene zajedno. Spojimo ih i na našoj shemi. spojimo točke 2 i 3. spojimo točke 4 i 5. preostalo nam je da nacrtamo zvjezdište, tj. da spojimo točke 8, 10 i 12. Ovime smo izvršili zadatak.

Sl. 45 Deseti korak

Sl. 46 Jedanaesti korak

27

Sl. 47 Dvanaesti korak

Sl. 48 Trinaesti korak: shema spoja Dy5 i njezin fazorski dijagram

Kako se na shemama ne vidi smjer namatanja svitaka, dodaje se strelica koja pokazuje djelovanje inducirane EMS u promatranim svicima. Strelica pokazuje smjer u kojem EMS želi protjerati struju, tj. vrh je usmjeren na točku većeg potencijala.

28

2. Električni ni rotacijski strojevi 2.1. Osnove elektromehaničke čke pretvorbe energije 1. Kolika je sila potrebna da bi se vodič prema slici gibao brzinom v = 20 m/s ako je B = 0,8 T, l = 0,3 m, a otpor kruga R = 0,1 Ω? F = I (l × B )

Ui vBl lB = lB R R vB 2l 2 20 ⋅ 0,82 ⋅ 0,32 = = = 11,52 N R 0,1 F = IlB =

2. Kolik će napon pokazati voltmetar ako se vodič koji zatvara strujni krug iz položaja 1 premjesti u položaj 2 tako da se u točki a krug ootvori i nakon provlačenja vodiča kroz jezgru ponovo zatvori, zatvor prema slici, sve u vremenu od 0,2 s? U jezgri je uzbuđen konstantan tok Φ = 0,01 Wb. Prespajanjem vodiča, on ni u jednom trenu ne siječe silnice magnetskog polja. Stoga je inducirani napon jednak nuli.

3. Isto pitanje, ali premještanje se obavlja provlačenjem vodiča kroz raspor u magnetskoj jezgri, j bez otvaranja strujnog kruga, prema slici, s time da prolazak kroz raspor traje 0,2 s.

U=

∆Φ 0,01 = = 50 mV ∆t 0,2

4. Kolik će napon pokazati voltmetar ako se ulančani tok Ψ = 0,2 w Wb povećava jednolikim pomicanjem kliznika po zavojima namota prema slici brzinom od 10 zzavoja avoja u sekundi? 29

U desnom svitku teče istosmjerna struja, pa je magnetski tok u jezgri konstantan. Zbog toga ni u jednom zavoju lijevog svitka nema induciranja napona. Koliko god takvih zavoja spojili u seriju, ukupni napon induciran u njima je i dalje nula.

5. Koliki su gubici, a kolika je djelotvornost η elektromotora koji uzima iz mreže 6280 W razvija moment od 36,8 Nm i vrti se brzinom vrtnje od 1400 min-1?

M = 36,8 Nm

nπ 1400π = = 146,6 rad/s 30 30 P2 = ωM = 36,8 ⋅ 146,6 = 5 395 W

n = 1400 min-1

Pg = P1 − P2 = 885 W

P1 = 6280 W

ω=

η=

P2 5395 = = 0,859 P1 6280

2.2. Realizacija stroja za pretvorbu 6. Na obodu rotora prema slici nalazi se namot. Kolik će biti napon između krajeva namota b – a u promatranom trenutku ako se obod rotora kreće brzinom v = 25 m/s, duljina vodiča u polju je l = 60 cm, a polje je po obodu raspoređeno prema a) ili prema b)? a) U1v = Blv = 0,8 ⋅ 0, 6 ⋅ 25 = 12 V U ba = 6 ⋅12 = 72 V b) i

1

2

3

4

5

6

Uii, V

6

9

9

9

9

6

U i1 = B1lv

U i2 = B2lv

U ba = ∑ U ii = 48 V i

30

U i3 = B3lv

7. Kolika će sila djelovati na obod rotora iz prethodnog zadatka i u kojem smjeru ako ko u promatranom trenutku od a prema b teče struja I = 50 A, a polje je raspoređeno prema skici a) ili b) iz prethodnog zadatka? a) F = IBl ⋅ 6 = 50 ⋅ 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 6 = 144 N ← b) F = Il (0,4 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,4) = 96 N ←

8. Na obodu rotora koji se kreće brzinom v = 10 m/s nalazi se svitak s w = 10 zavoja. Duljina vodiča u polju je l = 1 m. Indukcija u rasporu raspoređena je periodički po sinusnom zakonu, amplituda je Bm = 1 T, a periodu čini dvostruki polni korak 2τp (kod 2-polnog stroja to je duljina cijelog oboda stroja). Prikažite krivuljom napon svitka ovisno o položaju koji zauzima prva strana svitka pri gibanju uzduž polja, i to ako je širina svitka: a) τp ; b) 2 τp ; c) 0,5 τp , prema slici.. Kolika je maksimalna vrijednost napona svitka za a), b) i c)? Kako bi izgledale krivulje ovisnosti napona o vremenu?

a)

b)

c)

31

π  a) u1 = wvlB1 = wvl sin  vt  τp   

,

x = vt

π  u2 = wvlB2 = wvl sin  vt + π  τp    π  u1 = 100sin  vt  τp   

π  u2 = 100 sin  vt + π  τp   

π  u = u1 − u2 = 200sin  vt  τp   

Ili na drugi način: dΦ = B( x ) dS Φ ( x) =

x2 = x +τ p

∫

B ( x ) dS =

x1 = x

u = −w

x +τ p

x +τ p

x

x

∫ B ( x ) ldx = l ∫

π sin  τp 

 π τp x  dx = 2l cos   τp π  

 x  

π  dΦ = 200sin  vt  V τp  dt  

b) y = 2τ p

⇒

u=0

jer se obje strane svitka nalaze, u svakom trenutku, u istom magnetskom polju

32

c) y =

τp 2

:

π  u1 = wvl sin  vt  τp    π π u2 = wvl sin  vt +  τp 2  

→

π π u = u1 − u2 = 2 wvl sin  vt −  τp 4   π π = 141sin  vt −  τp 4  

9. Transformator prema slici ima polaritet (+) na stezaljci A primarne strane u istom trenutku kada je (+) na stezaljci a sekundarne strane. Trošilo koje uz omski otpor sadrži i induktivitet ima pozitivni priključak na stezaljci 1. Nacrtajte, zanemarujući padove napona i struju magnetiziranja transformatora, kvalitativni izgled fazorskog dijagrama za: a) mrežu; b) primarnu stranu transformatora; c) sekundarnu stranu transformatora; d) trošilo, služeći se dosljedno generatorskim (G) i motorskim sustavom (M).

33

10. Napon i struja stroja zadani su u motorskom sustavu kompleksnim izrazima 220 0° V i 20 −150° A. Uzima li stroj ili daje: a) radnu snagu; b) induktivnu snagu? •

•

•

S = U ⋅ I * = 220 0° ⋅ 20 150° = 4400 150° = −3810 + j 2200

Stroj daje 3810 W u mrežu (generator), te uzima iz mreže 2200 var.

11. Električni stroj ima cilindrični stator i istaknute polove na rotoru. Može li se pojaviti zakretni moment

ako je

struja u namotu: a) rotora = 0, statora ≠ 0; b) rotora ≠ 0, statora =0 ?

a) Da, jer ako trofaznom uzbudom na statoru stvorimo okretno magnetsko polje, ono će za sobom povući rotor s istaknutim polovima. Takav reluktantni magnetski moment javlja se zbog nejednakog magnetskog otpora rotora u uzdužnoj i poprečnoj osi. b) Ne.

2.3. Magnetski krug 12. Sinusno raspoređeno protjecanje maksimalne vrijednosti od 560 A stvara polje u rasporu duljine 0,9 mm. Kolika je maksimalna vrijednost indukcije u rasporu? Θ m = 560 A

µ0 Θ m 4π 10−7 ⋅ 560 Bδ = = = 0, 782 T δ 0, 9 ⋅10 −3

δ = 0,9 mm 13. Uzbudno protjecanje po paru polova istosmjernog stroja iznosi 1700 A. Od toga na padove magnetskog napona u željezu otpada 400 A. Duljina zračnog raspora je 1 mm. Kolika će biti: a) indukcija u rasporu; b) faktor zasićenja kzas; c) nadomjesna duljina zračnog raspora δ’’? Vδ + VFe = 1700 A VFe = 400 A

δ = 1 mm

Bδ =

µ0 (1700 − 400 ) 2 ⋅10 −3

= 0,817 T

Vδ + VFe 1700 = = 1,308 Vδ 1300 δ '' = kzas ⋅ δ = 1, 308 ⋅1 = 1,308 mm k zas =

34

14. Pravokutna magnetska jezgra sa zračnim rasporom napravljena je od dinamo-lima 3 W/kg, debljine od 0,5 mm i specifične mase od 7,8.103 kg/m3. Presjek je jezgre 10,4 cm2, srednja duljina silnica u željezu je 50 cm. Jezgra se magnetizira izmjeničnom strujom frekvencije od 50 Hz, tako da je indukcija u željezu 0,9 T. Koliki su gubici histereze, a koliki gubici zbog vrtložnih struja u jezgri? P1, 0 = 3 W/kg → iz tablice (Wolf: str. 59) → pw = 0, 215 i ph = 0, 785

δ = 0,5 mm

2

 B f δ  Pw = P1,0 ⋅ pw  ⋅ ⋅  =  1, 0 50 δ 0 

ρ = 7,8 ⋅ 10 3 kg/m3

2

S = 10,4 cm

 0,9 50 0,5  = 3 ⋅ 0,215 ⋅  ⋅ ⋅  = 0,52245 W/kg  1,0 50 0,5 

2

2

2

l sr = 50 cm

 B  f  0,9  50 Ph = P1,0 ⋅ ph  ⋅ = 3 ⋅ 0,785 ⋅    ⋅ = 1,90755 W/kg  1, 0  50  1, 0  50

f = 50 Hz

m = V ⋅ ρ = S ⋅ lsr ⋅ ρ = 10, 4 ⋅10−4 ⋅ 0,5 ⋅ 7,8 ⋅103 = 4, 056 kg

BFe = 0,9 T

PW = Pw m = 0, 52245 ⋅ 4, 056 = 2,12 W PH = Ph m = 1, 90755 ⋅ 4, 056 = 7, 74 W

15. Sinkroni stroj ima 24 pola i uzbudni namot s ukupno 1800 zavoja, presjeka od 50 mm2. Za uzbudu treba po jednom paru polova protjecanje od 28 400 A. Kolika će biti uzbudna struja? Koliki će biti uzbudni napon ako je srednja duljina zavoja 1,52 m? Pri tome je specifična vodljivost toplog bakra 47 S m/mm2. 1800 wp = = 75 p = 12 24 w = 1800 28 400 I= = 189,3 A S = 50 mm2 2 ⋅ 75 2 wp I = 28 400 A lsr = 1, 52 m κ = 47 Sm/ mm2

R=

wlsr 1800 ⋅1,52 = = 1,164 Ω 47 ⋅ 50 κS

U = IR = 189,3 ⋅ 1,164 = 220,4 V

Slika polja za jedan polni korak hidrogeneratora Bekhme u praznom hodu 35

16. Sinkroni stroj ima 12 polova, promjer provrta 2,3 m i idealnu duljinu paketa limova 0,83 m. Ako se pretpostavi sinusna raspodjela indukcije u rasporu i dopusti maksimalna vrijednost indukcije od 0,85 T, kolik je tok s kojim treba računati potrebno protjecanje za uzbudu stroja? 2 p = 12 D = 2,3 m l p = 0,83 m

τp =

Dπ 2,3π = = 0,602 m 2p 12

τp

π B = 0,85 sin  τ  p

 x  

τp

π Φ = ∫ B (x )l dx = l ∫ 0,85 sin τ 0 0  p

=− Ili jednostavnije:

0,85lτ p

π

( −1 − 1) =

 π 0,85lτ p x  dx = − cos  τ π   p

2 ⋅ 0,85 ⋅ 0,83 ⋅ 0, 602

π

τ

 p x  0

= 0, 27 Vs

2

Bm lτ p = 0,27 Vs π 17. Asinkroni motor ima zračni raspor od 0,35 mm. Poluotvorenim utorima na statoru i rotoru korak je τu1 = 13,25 mm i τu2 = 10,8 mm te utorski otvor širine o1 = 3 mm i o2 = 1 mm. Koliki je Carterov faktor i idealna duljina zračnog raspora? Φ = B sr S =

δ = 0,35 mm

kC1 =

o1 + 5δ 3 + 5 ⋅ 0,35 = = 1,167 τ u1 − o1 13, 25 − 3 + 5 ⋅ 0,35 o1 + 5δ 3 ⋅ 13, 25 τ u1

τ u1 = 13, 25 mm τ u2 = 10,8 mm o1 = 3 mm o2 = 1 mm

o2 + 5δ 1 + 5 ⋅ 0,35 = = 1, 035 τ u2 − o2 10,8 − 1 + 5 ⋅ 0, 35 o2 + 5δ 1 ⋅ 10,8 τ u2 kC = kC1kC2 = 1, 208 δ i = kCδ = 1, 208 ⋅ 0,35 = 0, 42 mm kC2 =

18. Na obodu rotora 6-polnog stroja duljine 300 mm i polnog koraka τp = 200 mm nalazi se vodič koji se kreće obodnom brzinom od 20 m/s. Krivulja raspodjele indukcije u rasporu miruje i sadrži osnovni sinusni harmonički član amplitude 1,2 T, zatim pozitivni treći i peti harmonički član u iznosima od 30% i 20% osnovnoga. Odredite efektivnu i srednju vrijednost te osnovnu frekvenciju napona induciranog u vodiču. π B = 1, 2sin  τp  p=3

l = 300 mm

τ p = 200 mm v = 20 m/s

  π x  + 1, 2 ⋅ 0,3sin  3   τp  

  π x  + 1, 2 ⋅ 0, 2sin  5   τp   Dπ → τp = 2p

 x T   D=

2 pτ p

π

=

2 ⋅ 3 ⋅ 0, 2

π

=

1, 2

π

m

v 20π = = 104, 72 rad/s r 0, 6 ωel = pωm = 3 ⋅104, 72 = 314 = 2π f → f = 50 Hz v = ωm r

→

36

ωm =

E1 = E5 =

B1lv 2 B5 lv 2

=

1,2 ⋅ 0,3 ⋅ 20 2

= 5,09 V

E3 =

B3 lv 2

= 0,3 ⋅ E1 = 1,527 V

E = E12 + E32 + E52 = 5,09 2 + 1,527 2 + 1,0182 = 5,41 V

= 0,2 ⋅ E1 = 1,018 V

Esr = 0

19. Indukcija u rasporu stroja sa šest utora po polu prikazana je na slici. Skicirajte krivulju napona u svitku koji je smješten jednom stranom u utor 1, a drugom stranom u utor 6, ako se rotor vrti konstantnom brzinom n.

Raspodjela indukcije

Rješenje

N =6 2p dijametralni svitak bio bi 1 + 6 = 7 izveden je skraćeni svitak 1 + 5 = 6

2.4. Model stroja za izmjenične struje i napone 20. Generator u spoju u zvijezdu napaja motor u spoju u trokut. Linijski napon i struja su 380 V, 125 A. Koliki su napon i struja: a) faznog namota generatora; b) faznog namota motora? a) generator Y:

U fg =

U l 380 = ≈ 220 V 3 3

b) motor ∆ :

I fg = I l = 125 A

U fm = U l = 380 V I fm =

37

I l 125 = = 72, 2 A 3 3

21. Trofazni generator priključen je s tri fazna vodiča i nul-vodom na trošila koja su nesimetrično raspoređena pa uzimaju struje od 150 A, 150 A i 170 A. Fazni pomak struje u sve tri faze je jednak, tj. struje zaostaju jedna za drugom za 120°. Kolika će struja teći u nul-vodu?

m=3 I A = 150 A I B = 150 A I C = 170 A β = 120 °

I 0 = 170 − 150 = 20 A

22. Koliki je polni korak 6-polnog stroja provrta od 68 cm, sa 72 utora, izražen: a) u jedinicama duljine; b) u utorskim koracima? a) τ p =

p=3

Dπ 0, 68π = = 0, 356 m 2p 6

b) τ p =

N 72 = = 12 (utora) 2p 6

D = 68 cm N = 72 23. Okretno polje u rasporu sinusne raspodjele i amplitude indukcije 0,8 T, vrti se brzinom od 1500 min-1. Dijametralni svitak s deset zavoja na rotoru miruje. Promjer u rasporu je 25 cm, duljina stroja je 20 cm, a stroj je 4-polni. Kolik je napon svitka, a kolika frekvencija? π Bδ = 0,8sin  τp  n = 1500 min-1

 x T  

ω=

nπ 1500π = = 157,08 rad/s 30 30

v = ω r = 157 ,08 ⋅ 0,125 = 19,635 m/s

vBl 19, 635 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 2 = = 2, 22 V 2 2

ws = 10

Ev =

D = 25 cm l = 20 cm

Es = Ev ⋅ 2 ws = 2, 22 ⋅ 2 ⋅10 = 44, 43 V

p=2

f =

pn 2 ⋅ 1500 = = 50 Hz 60 60

24. Svitak ima deset zavoja, a u svakom se vodiču inducira sinusni napon od 3,5 V. Kolik je ukupni napon svitka: a) ako je svitak dijametralan; b) ako je korak svitka 2τp/3? ws = 10

a) Es = ΣEv = Ev ⋅ 2 ws = 3, 5 ⋅ 2 ⋅10 = 70 V

Ev = 3,5 V

b)

y

τp

=

2 3

→

 y π  2 180°  f t = sin  ⋅  = sin  ⋅  = 0,866 τp 2  3 2   

Es = f n ⋅ ΣEv = 0,866 ⋅ 70 = 60, 6 V 38

25. Za trofazni 4-polni stroj sa 60 utora valja napraviti svitke za dvoslojni namot sa skraćenjem za 1/5 polnog koraka. Koliko svitaka treba napraviti i koji mora biti korak svitka?

m=3 p=2 N = 60 y

τp

=

4 5

dvoslojni namot

→

N s = N = 60 N 60 = = 15 2p 2⋅2 4 y = ⋅ 15 = 12 5

τp =

→ 1 − 13

26. Trofazni 4-polni stroj ima 72 utora. Kolik je broj utora po polu i fazi q i kolik je fazni pomak između induciranih napona u vodičima dvaju susjednih utora?

m=3

q=

N 72 = =6 2 pm 2 ⋅ 2 ⋅ 3

p=2

N = 72

α=p

360° 360° = 2⋅ = 10° N 72

27. U jednom vodiču namota koji ima ukupno 210 zavoja inducira se napon od 1,04 V. Zonski namotni faktor iznosi 0,958, a tetivni 0,924. Kolik je ukupni inducirani napon u namotu?

w = 210 Ev = 1, 04 V f z = 0,958 f t = 0, 924

f n = f z f t = 0, 958 ⋅ 0,924 = 0,8852 E = 2 wEv f n = 2 ⋅ 210 ⋅1, 04 ⋅ 0,8852 = 386, 7 V

28. Stator s 96 utora namotan je trofaznim namotom, i to tako da je broj polova: a) 2p = 2; b) 2p = 4. Kolik je broj utora po polu i fazi i kolik je električni kut α između susjednih utora?

N = 96 m=3

a) 2 p = 2 N 96 q= = = 16 2 pm 2 ⋅ 1 ⋅ 3 360° 360° α=p = 1⋅ = 3,75° N 96

b) 2 p = 4 N 96 q= = =8 2 pm 2 ⋅ 2 ⋅ 3 360° 360° α=p = 2⋅ = 7,5° N 96

29. Umjesto namota u kojem se inducira 500 V treba ugraditi novi namot s jednakim rasporedom koji će dati 380 V. Ako polje u rasporu mora ostati nepromijenjeno, kolik mora biti broj zavoja pojedinog svitka (izraženo u postocima)?

E '= 500 V

w ''s 380 = = 0, 76 = 76% w 's 500

E ' ' = 380 V 39

30. Sinkroni generator vrti se brzinom od 1000 min-1 i daje 3000 V, 50 Hz. Ako taj isti generator treba opskrbljivati trošila frekvencijom od 60 Hz, kojom ga brzinom treba vrtjeti? Ako uzbuda ostane nepromijenjena, koji će napon davati neopterećeni stroj pri 60 Hz?

n = 1000 min-1

f =

pn 60

→

n' = n

f' 60 = 1000 ⋅ = 1200 min-1 f 50

→

E' = E

n' 1200 = 3000 ⋅ = 3600 V n 1000

E = 3 000 V f = 50 Hz

e = Blv = Blω r

f ' = 60 Hz

31. Trofazni jednoslojni namot 2-polnog stroja smješten je na statoru s 30 utora, tako da zauzima zonu od 60°. Odredite koji utori pripadaju kojoj fazi ako prva faza (A) počinje u utoru broj 1.

m=3

q=

N 30 = =5 2 pm 2 ⋅ 1 ⋅ 3

p =1

N = 30 60°

N 30 = = 15 ≡ 180° 2 p 2 ⋅1 dijametralni svitak: 1-16 120 120° ≡ ⋅ 15 = 10 utora 180

τp =

faza A: 1-16-2-17-3-18-4-19-5-20 faza B: 11-26-12-27-13-28-14-29-15-30 faza C: 21-6-22-7-23-8-24-9-25-10

32. Stator s 96 utora namotan je 4-polnim trofaznim namotom tako da su svi utori popunjeni. Koliki je zonski namotni faktor za osnovni harmonički član? N 96 = == 8 2 pm 2 ⋅ 2 ⋅ 3

N = 96

q=

p=2

α=p

m=3

360° 360° = 2⋅ = 7,5° N 96

 α  7,5°  sin  q  sin  8 ⋅  2 2    fz = = = 0,956 α   7,5°  q sin   8 sin   2  2 

40

2.5. Strujni oblog i protjecanje 33. Četveropolni stroj ima na svakom polu 350 zavoja kroz koje teče uzbudna istosmjerna struja od 10 A. Koliko je protjecanje pod sredinom pola? w = 350 2p I = 10 A

wp =

Θ = wp I = 350 ⋅10 = 3500 A

34. Na obodu stroja jednoliko je raspoređen 4-polni namot s ukupno 360 vodiča. Struja je u svakom vodiču 5 A, uz odgovarajući predznak. Provrt stroja je D = 20 cm. Kolik je strujni oblog? Koliko je maksimalno protjecanje? Kolik je osnovni harmonički član protjecanja? zI 360 ⋅ 5 = = 2 864,8 A/m Dπ 0,2π Dπ 0, 2π τp = = = 0,157 m 2p 4 τp 0,157 Θ m = A = 2864,8 ⋅ = 225 A 2 2 A=

p=2

z = 360 I =5 A D = 20 cm

Θ1m =

8

π2

Θ1m

Θm

Θ1m

1

 x 

τp / 2

τp

x

 x  dx =  

π

U izvodu smo koristili formulu1 sa str 642: T /4 8 2πx b2 k +1 = ∫ f ( x ) sin (2k + 1) dx , T 0 T te formulu 279 sa str. 427: sin ax x cos ax ∫ x sin ax dx = a 2 − a , π gdje je a = , pa dobivamo: τp  τ p  2 τ π π   sin x − p x cos π τ π τ   p p

2Θ m

τ p /2 π  π 2Θ m x 4 Θ x x dx = sin sin ( )    ∫0 τp  τ p ∫0 τ p   τp τ p /2 2 π  8Θ m 8Θ m τ p 8 = 2 ∫ x sin  x  dx = 2 ⋅ 2 = 2 Θ m   τp 0 τp π π τp  8 = 2 ⋅ 225 = 182, 4 A

8 = 2τ p

τ p /2

Θ ( x) =

k = 0,1, 2....

2

2

τp τp τp   τp =   (1 − 0 ) −  ⋅ 0 − 0 ⋅1 = 2 π π 2     π 0

I. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga , Zagreb, 1975.

41

35. Ako je protjecanje na određenom mjestu oboda stroja 500 A, a zračni raspor 0,6 mm, kolika će na tom mjestu biti indukcija u rasporu? Zanemarite željezo.

Θ( x ) = 500 A

B(x ) =

δ (x ) = 0,6 mm

µ 0 Θ( x ) 4π 10 −7 ⋅ 500 = = 1,05 T δ (x ) 0,6 ⋅ 10 −3

36. Dva stroja, A i B, imaju jednake provrte D = 50 cm, jednake zračne raspore i jednaki broj polova 2p = 4. Duljine željeznih paketa su različite: LA = 30 cm, LB = 40 cm. Oba stroja imaju jednake namote, samo su duljine vodiča prilagođene duljini paketa. Ako u zračnom rasporu želimo postići jednake indukcije, BA = BB , koji stroj treba uzbuditi većom strujom? B (x ) =

µ 0 Θ( x ) δ (x )

→ Oba stroja treba uzbuditi jednakom strujom jer duljina paketa ne utječe.

37. Strujni oblog 4-polnog stroja sastoji se od četiri koncentrirane struje razmaknute za polni korak τp , iznosa +500 A, -500 A, +500 A i -500 A. Kako izgleda dijagram protjecanja po obodu, kolika mu je amplituda i kolika je amplituda osnovnog harmoničnog člana? p=2 I = 500 A

Θ1m =

4

π

Θm

Dijagram je pravokutnog oblika.

500 = 250 A 2 4 4 = Θm = ⋅ 250 = 318,3 A

Θm = Θ1m

π

π

38. Polni korak 2-polnog stroja je 25 cm, a obložen je jednoliko vodičima kojima teku struje tako da na svaki centimetar otpada +50 A pod jednim, a -50 A pod drugim polnim korakom. Kako izgleda dijagram protjecanja, kolika mu je amplituda, a kolika je amplituda osnovnog harmoničkog člana? Dijagram je trokutnog oblika, kao u 2. zadatku. p =1

Θm = A

τ p = 25 cm

Θ1m =

A = 50 A/cm

τp 2

8

π

2

= 50

Θm =

A 25 cm ⋅ = 625 A cm 2

8

π2

⋅ 625 = 506, 6 A

42

39. Amplituda sinusno raspodijeljenog strujnog obloga 6-polnog stroja sa 72 utora nalazi se nad utorom broj 1. Nad kojim se utorom nalazi amplituda protjecanja? p=3 N = 72

τp =

N 72 = = 12 utora/polu ≡ 180° 2p 6

1+6=7

40. Dva stroja imaju različite provrte: DA = 20 cm, DB = 30 cm, isti broj polova i sinusno raspoređene strujne obloge. Zračni je raspor jednog i drugog stroja δ = 0,6 mm, a amplituda indukcije u rasporu u oba je stroja jednaka. Koji stroj, A ili B, ima veći strujni oblog i koliko?

τ pA =

DA = 20 cm

DAπ 2p

τ pB =

DB = 30 cm

τ pA DAπ 2 p DA 20 1 = = = = τ pB 2 pDBπ DB 30 1,5

pA = pB

A ( x ) = Am cos

δ A = δ B = 0, 6 mm

B (x ) =

BδA = BδB

AmA AmB

τ pB = 1,5τ pA

τp π sin x π τp 0 τ pA τ pB → Θ A ( x ) = Θ B ( x ) = AmA = AmB π π

π x → τp

µ 0 Θ( x ) δ (x ) τ pB = = 1,5 τ pA

→

DBπ 2p

x

Θ ( x ) = ∫ A ( x ) dx = Am

41. Namot na slici zauzima 2/3 oboda, a ima po utoru 20 zavoja. Kroz namot teče izmjenična struja od 10 A. Koliko je protjecanje u točkama A, B, C u trenutku: a) kad je struja maksimalna; b) ¼ periode poslije; c) ½ periode poslije?

w = 20

A=

I = 10 A

τ p /3

Θm =

τp

∫ A ( x ) dx = A 3 0

=

4 ⋅ 20 ⋅10 2 1200 2 = 2 τp τp 3

1200 2 τ p ⋅ = 400 2 = 566 A 3 τp Protjecanje namota u kojem teče izmjenična struja

43

i Im 0 –Im

A 566 0 –566

B –566 0 566

C 0 0 0

2.6. Protjecanje izmjenične i višefazne uzbude 42. Kolika mora biti amplituda sinusno raspodijeljenog i sinusno pulsirajućeg protjecanja svake faze trofaznoga 4-polnog namota da bismo dobili okretno protjecanje amplitude 210 A? Kolika je brzina vrtnje okretnog protjecanja ako je frekvencija uzbudnih struja 50 Hz? p=2 3 2 2 ⋅ 210 Θd = Θ1 → Θ1 = Θd = = 140 A m=3 2 3 3 Θd = 210 A 60 f 60 ⋅ 50 f = 50 Hz n= = = 1500 min-1 p 2 43. Amplituda sinusno raspoređenog pulsirajućeg protjecanja jedne faze trofaznog namota statora kad u njoj teče nazivna struja iznosi 250 A. Ako u sve tri faze teku struje trofaznog sustava iznosa nazivne struje, kolika će biti amplituda okretnog protjecanja koje stvaraju?

3 3 Θd = Θ1 = ⋅ 250 = 375 A 2 2 44. Jednofazni namot proizvodi sinusno raspoređeno pulsirajuće protjecanje amplitude 180 A. Prikažite ga s dva okretna protjecanja. Gdje se nalaze i kolike su njihove amplitude u trenutku kad je struja u namotu: a) maksimalna; b) jednaka nuli? Θ1 = 250 A

Θ1 = 180 A 44

Θ( x, t ) = Θ1 sin Θ( x , t ) =

π x ⋅ cos ω t τp

 π  Θ1   π sin  x − ω t  + sin  x + ω t      2   τ p  τp 

a) i = I m cos ω t = 1 → t = 0

τp π π π x =1 → x= → x= τp τp 2 2 pod sredinom pola α = 0° sin

Θd = Θ i =

Θ1 = 90 A 2 b) i = 0 α d = 90° , Θd = 90 A

α i = −90° , Θi = 90 A 45. Kolika je kutna brzina, a kolika brzina vrtnje okretnog protjecanja trofaznog 6-polnog namota napajanog iz mreže od 50 Hz?

ωm =

m=3

ω p

=

2π 50 = 104, 7 rad/s 3

p=3

n=

f = 50 Hz

30

π

ωm =

30

π

⋅104, 7 = 1000 min-1 =

60 f p

46. Trofazni namot na statoru provrta D = 40 cm uzbuđen strujama frekvencije od 50 Hz stvara okretno polje. Koliki put i koliki kut prevali amplituda okretnog protjecanja u rasporu u vremenu potrebnom da struja prijeđe jednu poluperiodu, ako je stroj: a) 2-polni; b) 6-polni?

m=3 D = 40 cm

a) p = 1

τ pa =

b) p = 3 Dπ = 0, 628 m = xa 2p

τ pb =

Dπ = 0, 209 m = xb 2p

180° = 60°g = α b p 47. Kojom brzinom vrtnje rotira okretno polje proizvedeno simetričnim strujama u statoru trofaznog stroja ako je frekvencija tih struja: a) 50 Hz; b) 60 Hz, a stroj je 4-polni? f = 50 Hz

p=2

m=3

τ pa ≡ 180°el ≡ 180°g = α a

τ pb ≡ 180°el ≡

a) f = 50 Hz 60 f 60 ⋅ 50 n= = = 1500 min-1 p 2

b) f = 60 Hz 60 f 60 ⋅ 60 n= = = 1800 min-1 p 2 45

48. Ako obod 6-polnog trofaznog statora označimo geometrijskim stupnjevima počevši od osi faze 1, gdje će se nalaziti amplituda trofaznog okretnog protjecanja u trenutku kad je struja faze 1: a) maksimalna; b) nula; c) minimalna? p=3

a) i1 = I m

x = 0 ≡ 0°

b) i1 = 0

x=

c) i1 = − I m

x =τp

τp 2

≡

180° = 30° 2p

≡

180° = 60° p

49. Stator 2-polnog trofaznog stroja ima 108 utora. Os faze R nalazi se povrh utora broj 1. Gdje se nalazi amplituda okretnog protjecanja u trenutku kad je struja: a) u fazi R; b) u fazi S; c) u fazi T maksimalna? p =1

180° ≡ τ p =

N u = 108

120° ≡

m=3 a) iR = I m

1

b) iS = I m

37

c) iT = I m

73

N u 108 = = 54 2p 2

120 ⋅ 54 = 36 utora 180

50. Kolika mora biti amplituda sinusno raspoređenog protjecanja jednog od faznih namota trofaznog stroja ako treba postići okretno polje indukcije u rasporu amplitude 0,8 T, a zračni je raspor 0,4 mm? Bδ 0,8 ⋅ 0, 4 ⋅10−3 µΘ Θd = = = 254, 6 A B= 0 d → m=3 4π 10−7 µ0 δ B = 0,8 T 3 2 2 Θd = Θ1 → Θ1 = Θd = ⋅ 254, 6 = 169,8 A δ = 0,4 mm 2 3 3 46

51. U simetričnom trofaznom namotu teku trofazne struje fazno razmaknute za 120°, ali je zbog nesimetrije struja u jednoj fazi 20% veća. Ako se amplituda protjecanja jedne faze s manjom strujom označi sa 100%, koliko je: a) direktno; b) inverzno protjecanje cijelog sustava?

m=3 I R = 120% I S = 100% I T = 100% I R = 100% + 20%

→ Θ 'dR = 10%

I S = 100%

Θ 'iR = 10%

I T = 100%

Θd = 160%

3 Θds = Θ1 = 150% 2

Θi = 10%

52. Koliko će biti okretno protjecanje trofaznog 6-polnog namota s brojem zavoja po fazi w = 240 i s namotnim faktorom fn = 0,866, u kojem teče struja po fazi 8,6 A?

m=3 p=3

Θ=

m4I 2w 3 4 2 Iw Iw fn = f n - vrijedi za 3-fazne namote f n = 1,35 2π 2 p p 2π 2 p

w = 240 f n = 0,866

Θ = 1,35 ⋅

8,6 ⋅ 240 ⋅ 0,866 = 804 A 3

I = 8,6 A

53. Koliko će biti okretno protjecanje 6-polnog namota prema 13. zadatku ako je namot izveden kao dvofazni?

m=2

Θ=

m4I 2w 2 4 8, 6 ⋅ 2 240 fn = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0,866 = 536 A 2π 2 p 2 π 2 3

54. Trofazni namot spojen u zvijezdu, priključen na mrežu trofaznog napona od 380 V, uzima struju magnetiziranja po fazi 10 A. Ta struja stvara okretno polje takve veličine da naponi inducirani u namotima budu u ravnoteži s narinutim mrežnim naponima. Koliku bi struju uzeo jedan fazni namot priključen na napon od 220 V uz ostala dva fazna namota nepriključena? Y U ' = 380 V

I '= 10 A

B' = B' '

Θ' = Θ' '

µ 0 Θ' µ 0 Θ ' ' = δ δ

3 Θ'1 = Θ' '1 2

→ U 'f = 220 V

U ''f = 220 V 47

3 4 I' 2 w 4 I '' 2 w fn = f 2π 2 p π 2 p n

I '' =

3 3 I ' = ⋅ 10 = 15 A 2 2

2.7. Razvijeni moment i inducirani napon 55. Između osi indukcije u rasporu i osi protjecanja rotora kut je δ = 30°. Razvijeni moment iznosi 70 Nm. Kolik najveći moment može razviti stroj ako indukcija u rasporu ostane nepromijenjena, a protjecanje rotora se povisi 20%? π M = V B Θ sin δ δ = 30° τp M π 70 = V BΘ = = 140 Nm sin δ τ p sin 30°

M = 70 Nm

M max =

Θ' = 1,2Θ

M ' max = 1,2 ⋅ 140 ⋅ sin 90° = 168 Nm

56. Uz konstantno protjecanje rotora i konstantno rezultirajuće protjecanje najveći moment koji stroj može razviti iznosi 600 Nm. Kolik je geometrijski kut između oba protjecanja ako stroj razvija 300 Nm, a stroj je: a) 6-polni; b) 4-polni?

Θ 2 = konst. Θ = konst . →

B = konst .

M = M max sin δ M 300 sin δ = = = 0,5 M max 600

M max = 600 Nm

M = 300 Nm

a)

δg = b)

δ = 30°

p=3

δ

p p=2

δg =

δ p

=

30° = 10° 3

=

30° = 15° 2

57. Sinkroni generator s cilindričnim rotorom priključen je na krutu mrežu, uzbuđen i opterećen tako da radi s električnim kutom opterećenja δ = 35°. S kojim kutom δ će stroj raditi ako daje istu radnu snagu, a uzbudu mu povisimo 20%? δ = 35° k Θ sin 35° = k ⋅1, 2Θ sin δ ' Θ' = 1,2Θ P' = P → M ' = M ω ' = ω – kruta mreža

sin δ ' =

sin 35° = 0,478 1,2

δ ' = 28,6°

58. Istosmjerni stroj namotan je tako da armatura ima četiri paralelne grane. Kad je brzina vrtnje 1500 min-1, pri uzbudnoj struji od 5 A, na stezaljkama stroja pojavljuje se napon od 200 V. Ako se stroj namota istim brojem vodiča, ali tako da ima dvije paralelne grane, kolik će biti napon pri istoj brzini vrtnje i istoj uzbudi? p Φ gl n z E= a=2 a'= 1 a 60 -1 n = 1500 min n' = n iu = 5 A i 'u = iu → Φ 'gl = Φ gl E ' = 2 E = 2 ⋅ 200 = 400 V E = 200 V z' = z 48

59. Istosmjerni generator namotan je s tri para paralelnih grana i uz ukupno 600 vodiča na obodu daje pri nazivnoj brzini vrtnje i nazivnoj uzbudi nazivni napon na stezaljkama. Ako želimo dobiti jednak nazivni napon pri istoj brzini i istoj uzbudi, ali uz namot s dvije paralelne grane, koliko mora biti vodiča na obodu stroja?

a=3

z = 600

a'= 1

E=

n' = n i 'u = iu

p Φ gl n z p Φ 'gl n ' z ' = E'= a 60 a ' 60

z z' a' 1 = → z ' = z = ⋅ 600 = 200 a a' a 3

→ Φ 'gl = Φ gl

60. Istosmjerni generator s tri para polova, tri para paralelnih grana u namotu i s 1500 vodiča na obodu, vrti se brzinom od 1800 min-1. Magnetski tok po polu iznosi 9,8.10-3 Wb. Kolik će biti napon na stezaljkama neopterećenog generatora? p=3

n = 1800 min-1

a=3

Φ gl = 9,8 ⋅10−3 Vs

E=

z = 1500

p Φ gl n z 3 9,8 ⋅10 −3 ⋅1800 ⋅1500 = ⋅ = 441 V a 60 3 60

61. U generatoru iz 8. zadatka teče struja od 15 A. Koliki moment mora svladavati pogonski stroj ako zanemarimo gubitke i ako je magnetski tok nepromijenjen? I a = 15 A

M=

p Φ gl I a z 3 9,8 ⋅10 −3 ⋅15 ⋅1500 = ⋅ = 35,1 Nm a 2π 3 2π

62. Na statoru i rotoru 4-polnog stroja krivulje protjecanja izgledaju kao na slici (crtanoj za jedan par polova). Maksimalna vrijednost za stator i za rotor je 400 A. Nacrtajte krivulju indukcije u rasporu za jedan par polova ako je raspor svuda iste duljine: δ = 0,5 mm, te krivulje strujnog obloga za stator i za rotor. Označite vrijednosti. Θm =

p=2

Θ m = 400 A

A=

2Θ m

τp

=

Određivanje rasporeda indukcije iz protjecanja statora i rotora.

Aτ p 2

2 ⋅ 400 = 2051 A/m 0,39

δ = 0,5 mm

τ p = 0, 39 m

Bδ =

µ0 Θ m 4π 10−7 ⋅ 400 = =1 T δ 0, 5 ⋅10−3

Rješenje.

49

63. Duljina stroja u prethodnom zadatku je 30 cm. Kolika je obodna sila, a koliki moment na stator i na rotor? Je li to generator ili motor? Smjer vrtnje rotora je suprotan smjeru kazaljke na satu. p=2

τp =

Dπ 2p

→ D=

2 pτ p

π

=

2 ⋅ 2 ⋅ 0, 39

π

τp

τ p = 0, 39 m

F = −2 p

= 0,5 m

( )

F = I l×B

τp

0,39 ∫ A ( x ) B ( x ) l dx = −2 pBA 2 l = −2 ⋅ 2 ⋅1⋅ 2051⋅ 2 ⋅ 0,3 = −480 N r

x =0

l = 30 cm

M =F

D = −480 ⋅ 0,25 = −120 Nm 2

Prema rješenju prethodnog zadatka → protjecanje rotora prethodi u fazi rezultantnom → to je generator sila i moment koče rotor, dakle su u smjeru kazaljke na satu, tj. negativni Iznos sile možemo izračunati i detaljnije: τp 3τ p /2 2τ p τ p /2   4   4  F = pl  ∫ 2051 x − 1  dx + ∫ 2051 ⋅1 dx + ∫ ( −2051)  − x + 5  dx + ∫ ( −2051)( −1) dx  = 480 N     3τ p /2 τ p /2 τp τp   τp   0 

64. Sinusno raspoređeno protjecanje rotora zaostaje za sinusno raspoređenom indukcijom u rasporu 4polnog stroja za 1/12 oboda stroja. Amplituda protjecanja je 2200 A, indukcije 0,9 T, promjer rotora je 0,4 m, a duljina 0,18 m. Kolik je razvijeni moment, je li generatorski ili motorski? Smjer vrtnje je pozitivan. D 2π l 4

p=2

τp =

Dπ 2p

Θ 2 = 2200 A

M =

π π 2 p D 2π VBΘ 2 sin δ el = lBΘ 2 sin ( pδ g ) = τp Dπ 4

B = 0,9 T

=

D = 0,4 m

=

l = 0,18 m

π 2

V =

δ el = pδ g

pDlBΘ2 sin ( pδ g ) =

π

 360°  ⋅ 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,18 ⋅ 0,9 ⋅ 2200 ⋅ sin  2 ⋅  = 388 Nm 2 12  

Moment je motorski jer protjecanje rotora zaostaje za rezultantnim, odnosno za B.

50

65. Sinusno raspoređena protjecanja 2-polnog stroja promjera od 0,466 m, s volumenom rotora od 0,04 m3 predočena su vektorima na slici 8.13. Kolik moment razvija stroj i radi li kao generator ili kao motor? Zračni je raspor konstantnog iznosa δ = 1,5 mm. Smjer vrtnje je pozitivan. Θs = 380 A Θ r = 660 A p =1 D = 0,466 m V = 0,04 m3 δ = 1,5 mm

τp =

Dπ 0, 466π = = 0, 732 m 2p 2 Određivanje momenta iz vektora statorskog i rotorskog protjecanja.

•

Θ = Θ r + Θs cos 45° + jΘs sin 45° = 660 + 380 ⋅ 0,707 + j 380 ⋅ 0,707

= 928,7 + j 268,7 = 967 16,13° A B=

µ 0 Θ 4π 10 −7 ⋅ 967 = = 0,81 T δ 1,5 ⋅ 10 −3

M=

π π ⋅ 0,04 ⋅ 0,81 ⋅ 660 ⋅ sin 16,13° = 25,5 Nm V B Θ r sin δ r = τp 0,732

Moment nastoji protjecanje rotora zakrenuti u smjer indukcije (rezultantnog protjecanja) → to je motor.

3. Sinkroni stroj 3.1. Način rada 66. Navedite podatke o struji, naponu i predanoj snazi u praznom hodu. Navedite podatke o struji, naponu i predanoj snazi u kratkom spoju. U praznom hodu rotor se vrti, a stezaljke statorskog namota su odspojene:

51

Φ = f ( Θm )

E = 4, 44Φ f R=∞

w  fn  2a  ⇒ I = 0 ⇒ P2 = 0 . 

Prazni hod sinkronog stroja i

E i E = 0 Θa

Θm

Θ = Θa + Θ m a)

b)

Kratki spoj sinkronog stroja: a) shema spoja, b) dijagram

U kratkom spoju poju rotor se vrti, a stezaljke statorskog namota kratko su spojene: I ≠0

Θ = 0 ⇒ Φ = 0 ⇒ E = U = 0 ⇒ P2 = 0

67. Što određuje veličinu rezultirajućeg protjecanja u rasporu sinkronog stroja? Rezultirajuće protjecanje mora biti proporcionalno naponu mreže (induciranoj oj EMS E), te prethoditi 90°.

Nadomjesna shema sinkronog stroja

52

i

i

i

E = Em − jX s I i

i

Ea = − jX s I

Naponski dijagram

68. Koliku struju uzima iz mreže trofazni sinkroni motor od 5 MW, 10 kV, 50 Hz, cos φ = 0,80, η = 0,97, pri nazivnom opterećenju?

m=3 P2 = 5 MW

E = 10 kV f = 50 Hz cos ϕ = 0,8 η = 0, 97

P2 = 3Ef I fη cos ϕ = 3Ef

I2 =

I lin E η cos ϕ = 3 lin I fη cos ϕ = 3EIη cos ϕ 3 3

P2 5 ⋅106 = = 372 A 3Eη cos ϕ 3 ⋅104 ⋅ 0,97 ⋅ 0,8

I2 = ? 69. Trofazni rofazni sinkroni generator od 250 min–1, 10 kV, 50 Hz, 60 MVA, cos φ = 0,85, ima gubitke od 1040 kW. Koliku struju daje u mrežu pri nazivnom opterećenju i kolik je pri tome pogonski moment na osovini? P2 = S cos ϕ = 60 ⋅106 ⋅ 0,85 = 51 ⋅106 W m=3 P2 51 η= = = 0, 98 −1 n = 250 min P2 + Pg 51 + 1, 04

E = 10 kV f = 50 Hz

S = 60 MVA cos ϕ = 0,85 Pg = 1040 kW

I 2n = ? Mn = ?

P2 51⋅106 I 2n = = = 3464 A 3E cos ϕ 3 ⋅104 ⋅ 0,85 nπ 250π ω= = = 26,18 rad/s 30 30 P P 51 ⋅106 M= 1= 2 = = 1,988 1, 988 ⋅106 Nm ω ηω 0,98 ⋅ 26,18

53

70. Trofazni 4-polni sinkroni motor od 150 kW, 400 V, 50 Hz, spojen u zvijezdu, ima sinkronu reaktanciju od 0,5 Ω po fazi, a radni otpor se može zanemariti. Koliko puta treba povećati uzbudu praznog hoda želimo li da pri punom opterećenju radi s cos φ = 1? Gubici iznose 10% nazivne snage. Izračunajte kut opterećenja uz pretpostavku da je rotor cilindričan.

m=3 p=2 P2 = 150 kW

E = 400 V f = 50 Hz Y X s f = 0, 5 Ω

R2 = 0 cos ϕ = 1 Pg = 0,1P2 Θm =? Θ

δ =?

η=

P2 P2 = = 0, 909 P2 + Pg (1 + 0,1) P2

P2 150 ⋅103 If = = = 238 A 3Eη cos ϕ 3 ⋅ 400 ⋅ 0,909 ⋅1 Eaf = X s I = 0,5 ⋅ 238 = 119 V Eaf 119 119 3 = = = 0,5156 δ = 27,3° Ef 400 / 3 400 Θ cos δ = Θm Θm 1 = = 1,13 puta Θ cos δ

tg δ =

71. Nacrtajte fazorski dijagram napona i struja sinkronog generatora sa cilindričnim rotorom za: a) radno opterećenje, b) pretežno induktivno opterećenje, c) pretežno kapacitivno opterećenje

a)

b)

54

c)

3.2. Sinkroni stroj na krutoj mreži 72. Sinkroni stroj s cilindričnim rotorom radi na krutoj mreži u praznom hodu. Uzbudno protjecanje pri tome je 5650 A. Koliko je uzbudno protjecanje θm , protjecanje armature θa i rezultantno protjecanje θ ako: a) rotor tjeramo mehanički na osovini tako da se rotor pomakne za kut od 30°(el.); b) rotor kočimo tako da zaostane za kut 20° (el.), c) povećamo uzbudno protjecanje za 20%; d) smanjimo uzbudno protjecanje za 10%? Zanemarite radni otpor i rasipanje namota. a) δ = 30°

θa = 2 θ sin

b) δ = –20°

δ

2 = 2 ⋅ 5650 sin 15 

θa = 2 θ sin

δ 2

=2 ⋅ 5650 sin 10 

= 2924,7 A

c)

d)

Θm = 1,2 Θ = 6780 A Θa = Θm – Θ = 1130 A Θ = 5650 A

Θm = 0,9 Θ = 5085 A Θa = Θ – Θm = 565 A Θ = 5650 A

= 1962,2 A

Θm= 5650 A Θa= 2924,7 A Θ = 5650 A i

E

Θm

Θ

Θa

Θm

Θm

Θa

δ

δ Θa

E

Θ

i

E

Θa

Θ

i

i

E

Θm = 5650 A Θa = 1962,2 A Θ = 5650 A

Θ Θm

73. Koliki maksimalni moment može razviti sinkroni motor s podacima: 150 kW, 4-polni, 400 V, 50 Hz, cos φ = 0,8, Xs = 0,5 Ω po fazi, gubici 10% nazivne snage, uzbuđen na napon praznog hoda? P2n =150 kW p=2 E = 400 V f = 50 Hz cos ϕ = 0,8 Xs = 0,5 Ω Pg = 0,1P2 M 2n =

sin

δn 2

P2n

ωs =

=

η=

P2 P2 = = 0,909 P2 + Pg (1 + 0,1) P2

I 2n =

ωs =

2π f 2π 50 = = 157,1rad/s p 2

P2n 150 000 = = 297, 7 A 3Eη cosϕ 3 ⋅ 400 ⋅ 0, 909 ⋅ 0,8

150 000 = 954,93 Nm 157,1

Ea X I 3 0,5 ⋅ 297, 7 ⋅ 3 = s 2 = = 0,3223 2 ⋅ Ef 2⋅ E 2 ⋅ 400 55

 M 2n 954, 93 = = 1565 Nm  ⇒ Mm = sin δ n sin 37, 6 = M m sin δ n 

δ n = 37, 6 M 2n

74. Sinkroni generator s osam pari polova, na mreži nazivnog napona, vrti se pri nazivnom opterećenju uz pomak rotora za električni kut od 36°. Kolik će biti pomak rotora: a) električni; b) geometrijski, ako uzbudu povećamo 20%, a opterećenje smanjimo na polovicu? Θa cos ϕ = Θ m sin δ Θ Θ Θa = m sin 36 = 0, 588 m cos ϕ cos ϕ Θ 'a cos ϕ = Θ 'm sin δ ' Θ ' cos ϕ 0,5 ⋅ 0,588 ⋅ Θ m cos ϕ sin δ ' = a = = 0, 245 Θ 'm cos ϕ ⋅1, 2 ⋅ Θm

p=8 δ = 36° Θ 'm = 1, 2 Θ m Θ 'a = 0, 5 Θ a

δ ' = 14, 2

δm ' =

⇒

δ ' 14, 2 p

=

8

= 1, 77

i

E

Θ

Θ 'a

δ' Θ' m

75. Sinkroni 4-polni motor na mreži od 50 Hz, opterećen sa 100 kW, radi s kutom opterećenja (električnim) δ = 25°. Ako ne mijenjamo uzbudu: a) kolik će biti kut opterećenja poveća li se opterećenje na 150 kW; b) koliko se puta može povećati prvobitni moment opterećenja, a da motor ne ispadne iz sinkronizma? Treba pretpostaviti da je rotor cilindričan i zanemariti gubitke. Θ 'm = Θ m

p=2

i

Θ Θa = m sin 25 cos ϕ

E

f = 50 Hz P2 = 100 kW

150 Θ sin 25 cos ϕ Θ 'a cos ϕ 100 m sin δ ' = = = 0, 634 Θ 'm cos ϕ Θ m

δ = 25 P '2 = 150 kW

Θm

Θa

δ Θ

δ ' = 39,3

δ '= ? Mm =? M

2π f 2π 50 ωs = = = 157,1 rad/s p 2 56

⇒

100 ⋅103 M= = = 636, 62 Nm ωs 157,1 P2

Mm 1 = = 2,37 puta M sin 25 M m = 2, 37 ⋅ 636, 62 = 1506, 4 Nm

76. Trofazni sinkroni generator , spoj, s okruglim rotorom, 10 kVA, 230 V, ima sinkronu reaktanciju 1,2 Ω po fazi, te otpor namota armature 0,5 Ω po fazi. Izračunajte za koliko se postotaka promijeni napon pri punom opterećenju uz cos ϕ = 0,8 induktivno. Prema fazorskom dijagramu:

Em = (U 2 cos ϕ + I a Ra )2 + ( U 2 sin ϕ + I a X s )2

.

Uvrštavamo: U2 =

230 = 132,8 V 3

Ia =

(10 ⋅103 ) 3 S = 25,1 A = 230 3 3U 2 l

Em = (106, 24 + 12,55) 2 + (79, 68 + 30,12) 2 = 161, 76 V Em − U 2 161, 76 − 132,8 ⋅100% = ⋅100% = 21,8% U2 132,8

77. Sve kao u prethodnom zadatku ali uz cos ϕ = 0,8 kapacitivno. Neka bude: i

U 2 = 132,8 + j 0 V

–

referentni fazor, tada je: i

I a = 25,1(0,8 + j 0, 6) i

Z s = 0,5 + j1, 2 Ω i

i

I a Z s = − 8 + j 31, 6 i

i

i

i

E m = U 2 + I a Z s = 124,8 + j 31, 6 V. Odnosno: Prema tome je promjena napona:

Em =128,7 V. 128, 7 − 132,8 ⋅100% = −3,1% 132,8

Treba uočiti da je ovaj problem riješen bez upotrebe fazorskog dijagrama, te da je promjena napona pri punom teretu uz cos ϕ = 0,8 (kapacitivno) negativna.

57

78. Za generator iz zadatka 76. odredite cos ϕ takav da je promjena napona pri punom teretu jednaka nuli. Neka je ϕ traženi kut, tako da je:

I a = 25,1 ϕ A.

i

Z s = 0,5 + j1, 2 = 1,3 67,38 Ω

Tada je:

i

i

I a Z s = 32, 63 ϕ + 67, 38 = 32, 63cos(ϕ + 67,38 ) + j 32, 63sin(ϕ + 67, 38 ) V i

E m = 132,8 + j 0 + 32, 63cos(ϕ + 67, 38 ) + j 32, 63sin(ϕ + 67, 38 ) V.

Da bi promjena napona bila jednaka nuli treba biti: to jest:

Em = U 2 = 132,8 V,

2

132,82 = 132,8 + 32, 63cos(ϕ + 67, 38 )  + 32, 63sin(ϕ + 67,38 ) 

2

132,82 = 132,82 + 2 ⋅132,8 ⋅ 32, 63cos(ϕ + 67, 38 ) + 32, 632 cos 2 (ϕ + 67, 38 ) + 32, 632 sin 2 (ϕ + 67, 38 ) 0 = 2 ⋅132,8 ⋅ 32, 63cos(ϕ + 67, 38 ) + 32, 632  cos 2 (ϕ + 67,38 ) + sin 2 (ϕ + 67,38 ) 

cos(ϕ + 67,38 ) =

−32, 632 = −0,1228 2 ⋅132,8 ⋅ 32, 63

ϕ = 29, 67  Dakle:

cos ϕ = 0,869

79. Trofazni sinkroni generator s cilindričnim rotorom, 150 MW, cos ϕ = 0,85 , 12,6 kV, 60 Hz, 1800 min–1,

. Svaka faza ima otpor 1,535 mΩ . Krivulja praznog hoda zadana je tablicom:

Pokus kratkog spoja kaže da pri Iu = 700 A u armaturi teče nazivna struja (karakteristika kratkog spoja je pravac iz ishodišta). Odredite: a) nezasićenu sinkronu impedanciju po fazi; b) zasićenu sinkronu impedanciju po fazi; c) nacrtajte fazorski dijagram i odredite promjenu napona za puni teret i cos ϕ = 0,85 ind; d) ponoviti c) za nazivni teret i cos ϕ = 0,85 kap.

I 2n =

(150 ⋅106 ) 3 = 8086 A 12, 6 ⋅103 ⋅ 0,85 3 58

a)

Z sn =

7,8 3 = 0,979 Ω fazi ≈ X sn 4, 6

13,5 3 = 0,847 Ω fazi ≈ X s zas 9, 2 c) ϕ = arc cos 0,85 = −31,8

b)

i

Z s zas =

12, 6 ⋅103 + 8086 ⋅1,535 ⋅10−3 −31,8 + 8086 ⋅ 0,979 58, 2 3 = 7275 + (10, 6 − j 6,5) + (4171 + j 6728) = 11455 + j 6 721 =

Em =

= 13281 30, 4 V promjena napona =

Em − U 2 = U2

13281 − 7275 = 82, 6% 7275

Činjenica da korištenje X sn vodi do iznosa Em koji već u području zasićenja, ukazuje na potrebu iterativne procedure da se dobije korektan Em . Stoga ćemo ovaj rezultat uzeti kao prvu aproksimaciju. d) za

ϕ = 31,8

I2Ra

E m = 7275 + (10, 6 + j 6, 5) + (−4171 + j 6728) =

jI2Xs U2

= 3115, 6 + j 6734,5 = = 7420 65, 2 V

Em

7420 − 7275 = 2, 0% promjena napona = 7275

I2

31,8°

59

80. Sinkroni generator s istaknutim polovima, 20 kVA, 220V, spoj, trofazni, pri nazivnom teretu ima cos ϕ = 0, 707 induktivno. Reaktancija po fazi je X d = 2 X q = 4 Ω . Zanemarivši radni otpor armature odredite: a) kut opterećenja, te b) promjenu napona. U2 =

220 = 127 V 3

(20 ⋅103 ) 3 I2 = = 52, 5 A 220 3

ϕ = arc cos 0, 707 = 45 I d = I 2 sin(δ + ϕ ) I q = I 2 cos(δ + ϕ )

a)

U 2 sin δ = I q X q = I 2 X q cos(δ + ϕ ) = I 2 X q cos δ cos ϕ − I 2 X q sin δ sin ϕ sin δ (U 2 + I 2 X q sin ϕ ) = I 2 X q cos δ cos ϕ tg δ =

I 2 X q cos ϕ U 2 + I 2 X q sin ϕ

=

: cos δ ⋅ (U 2 + I 2 X q sin ϕ ) 

52,5 ⋅ 2 ⋅ 0, 707 = 0,369 127 + 52,5 ⋅ 2 ⋅ 0, 707

→

b) Em = U 2 ⋅ cos δ + I d X d = U 2 ⋅ cos δ + I 2 X d sin(δ + ϕ ) = 127 cos 20, 25 + 52,5 ⋅ 4 ⋅ sin(20, 25 + 45 ) = 309,8 V

promjena napona =

δ = 20, 25

309,8 − 127 ⋅100% = 144% 127

4. Asinkroni stroj 4.1. Način rada 81. Trofazni 8-polni asinkroni motor priključen je na mrežu od 50 Hz i radi s klizanjem od 8%. Kolika je brzina vrtnje okretnog polja, što ga stvaraju rotorske struje, relativno prema rotoru? Kolika je brzina vrtnje rotora? Kolika je brzina vrtnje okretnog polja rotora relativno prema statoru? s = 8% m=3 p=4 f = 50 Hz

s=

ns − n ns

ns =

60 ⋅ f1 p

n = nr = (1 − s )ns

f 2 = sf1

Brzina vrtnje statorskog okretnog polja prema statoru je neovisna o brzini vrtnje rotora. Ona ovisi o frekvenciji narinutog napona i broju polova motora:

60

n11 = ns = Klizanje je definirano kao s =

n22 =

60 ⋅ f1 60 ⋅ 50 = = 750 min −1 . p 4

ns − n . Brzina vrtnje rotorskog polja prema jednoj točki na rotoru je: ns

60 ⋅ f 2 60 ⋅ f1 s n −n = = sns = ns s r = ns − n = 0, 08 ⋅ 750 = 60 min −1 . p p ns

n = nr = (1 − s ) ns = 0,92 ⋅ 750 = 690 min −1 . Brzina vrtnje rotora prema statoru je: Brzina vrtnje okretnog polja rotora relativno prema statoru je:

n21 = nr + n22 =

60 f1 (1 − s ) p

+

60sf1 60 f1 = = ns p p

Brzina vrtnje rotorskog okretnog polja, u odnosu na jednu fiksnu točku na statoru, jednaka je brzini statorskog polja i jednaka ns. Prostorni vektori ovih polja rotiraju međusobno sinkrono.

82. Nazivno opterećen asinkroni motor na mreži frekvencije od 50 Hz vrti se brzinom od 1425 min–1. Koliko polova ima motor? Kojom bi se približno brzinom vrtio neopterećen? Koliko mu je klizanje u % pri nazivnom opterećenju? 2p = 4 f = 50 Hz n = 1425 min–1

ns = s=

60 f 60 ⋅ 50 = = 1500 min–1 p 2

ns − n 1500 − 1425 = = 5% ns 1500

83. Asinkroni motor ima na natpisnoj pločici podatke: 380 V, 50 Hz, spoj u zvijezdu, 10 kW, 20,8 A, cos φ = 0,86, 1425 min–1. Koliki su ukupni gubici i djelotvornost η pri nazivnom opterećenju i koliko je klizanje s%? U = 380 V f = 50 Hz P2 = 10 kW In = 20,8 A cos φ = 0,86 n = 1425 min–1

P1 = 3UI cos ϕn = 3 ⋅ 380 ⋅ 20,8 ⋅ 0,86 = 11, 7735 kW Pg = P1 − P2 = 11, 7735 − 10 = 1, 7735 kW

η=

P2 10 = = 0,849 P1 11, 7735

s=

ns − n 1500 − 1425 = = 5% ns 1500

61

84. Asinkroni motor na mreži od 50 Hz vrti se pri nazivnom opterećenju brzinom od 720 min–1 i predaje snagu od 45 kW. Koliko je klizanje i koliki su gubici u bakru rotora? f = 50 Hz n = 720 min −1 P2 = 45 kW

ns − n 750 − 720 = = 4% ns 750 s 0, 04 P2el = sP12 = Pmeh = ⋅ 45 ⋅103 = 1875 W 1− s 1 − 0, 04

s=

85. Uz nazivni napon od 380 V prekretni moment asinkronog motora iznosi 190 Nm. Kolik će biti prekretni moment ako se napon smanji na 300 V?

U = 380 V M m = 190 Nm U ' = 300 V

2

2

U '  300  M 'm = M m   = 190 ⋅   = 118, 4 Nm U   380 

86. Kad rotor asinkronog motora stoji, a stator je priključen na mrežu, na otvorenim kliznim kolutima izmjeren je napon od 200 V. Kolik bi bio napon na kliznim kolutima kad bismo otvorili rotorske strujne krugove pri brzini vrtnje od 920 min–1? Kolika bi bila frekvencija tog napona? Stroj je 6-polni, a frekvencija mreže je 50 Hz. 60 f1 60 ⋅ 50 = = 1000 min −1 p 3 n − n 1000 − 920 s= s = = 8% ns 1000

ns = E20 = 200 V n = 920 min −1 p=3 f1 = 50 Hz

E2 = sE20 = 0, 08 ⋅ 200 = 16 V f 2 = sf1 = 0, 08 ⋅ 50 = 4 Hz

87. Asinkroni stroj sa 6 polova radi kao generator s klizanjem od –5%. Kolika je brzina vrtnje rotora, a kolika je brzina vrtnje okretnog protjecanja što ga stvaraju rotorske struje relativno prema rotoru?

p=3 s = −5%

60 f1 60 ⋅ 50 = = 1000 min −1 p 3 n = (1 − s ) ns = 1, 05 ⋅1000 = 1050 min −1 ns =

nrel = ns − n = 1000 − 1050 = −50 min −1

62

4.2. Izvedbe asinkronih strojeva 88. Četveropolni asinkroni motor razvija moment 34,1 Nm i vrti se, priključen na mrežu od 50 Hz, brzinom od 1400 min–1. Koliku snagu daje motor, a koliki su gubici u strujnim krugovima rotora? p=2 M = 34,1 Nm f = 50 Hz n = 1400 min −1

ω=

P2el = sP12 =

s 0, 0666 P2meh = ⋅ 5000 = 357 W 1− s 1 − 0, 0666

n π 1400 π = = 146, 61 rad/s 30 30

P2 meh = ω M = 146, 61 ⋅ 34,1 = 5000 W P2meh = (1 − s ) P12

s=

⇒

P12 =

P2meh 1− s

ns − n 1500 − 1400 = = 6, 67% ns 1500

Električna i mehanička snaga u rotoru asinkronog stroja

89. Trofazni 4-polni asinkroni motor, priključen na mrežu od 50 Hz i opterećen konstantnim momentom, vrti se brzinom vrtnje od 1425 min–1 i uzima iz mreže 10 A. Ako se u rotorske strujne krugove dodaju vanjski otpori tako da otpor po fazi bude šest puta veći, kojom će se brzinom vrtjeti motor i koju će struju uzimati?

m=3 p=2 f = 50 Hz n0 = 1425 min −1 I10 = 10 A R2 = 6 R20 1500 − 1425 s0 = = 5% 1500

⇒

M = M0 x = x0

⇒

x = x0 ⇒ I1 = I10 = 10 A R20 R = 2 s0 X 2σ sX 2σ

R s = 2 s0 R20

=

6 R20 =6 R20

s = 6 s0 = 30%

n = (1 − s ) ns = 0, 7 ⋅1500 = 1050 min −1

90. Asinkroni motor opterećen konstantnim momentom vrti se brzinom od 1410 min–1. Dodavanjem otpora u rotorske strujne krugove brzina je smanjena na 1230 min–1. Koliko puta su porasli gubici u rotorskim strujnim krugovima? n = 1410 min −1 n ' = 1230 min −1

1500 − 1410 = 0, 06 1500 1500 − 1230 s' = = 0,18 1500 s=

63

P2el = sP12 =

n (1 − s ) π ns sM π s s nπ s = = P2 = M M s 1− s 1− s 30 1 − s 30 30

ns s ' M π P '2el s' = 30 = n sM π P2el s s 30 0,18 s' P '2el = P2el = P2el = 3P2el s 0, 06

Velika mana regulacije brzine vrtnje dodavanjem otpora u rotorski krug: jako rastu gubici P2el .

91. Pri nazivnom naponu od 380 V potezni moment kaveznog asinkronog motora je 170% nazivnog momenta, a potezna struja 400% nazivne. Koliki će biti ti postoci ako napon padne na 340 V? Zanemarite utjecaj zasićenja.

M = K1

E202 2 2 = Mm sm s 2 X 2σ s m + s + s sm s sm

U n = 380 V

I2 =

1

E20 X 2σ

1+ x

E20 = 4, 44Φ f1 w2 f n2 2

x= 2

R2 s = m sX 2σ s

2

U '  340  M 'k = M k   = 1, 7 M n   = 136% M n  380   Un 

M k = 1, 7 M n I k = 4I n U ' = 340 V

I 'k = I k

U' 340 = 4I n = 358% I n Un 380

92. Asinkroni motor spojen u trokut i priključen na mrežu nazivnog napona prilikom pokretanja uzima iz mreže struju od 75 A i razvija moment od 98,1 Nm. Koliki će biti struja i moment ako motor prespojimo u zvijezdu i priključimo na istu mrežu? Zanemarite utjecaj zasićenja. I ∆ = 75 A

Z=

M ∆ = 98,1 Nm

IY =

Un Un 3U n = = I f∆ I ∆ / 3 I∆

U f Y U n / 3 I ∆ 75 = = = = 25 A Z 3 3 3U n I∆ 2

2

U / 3  U  M ∆ 9,81 M Y = M ∆  f Y  = M ∆  n = = 32,7 Nm  = 3 3  U f∆   Un 

64

a) b) Prespajanje asinkronog motora: a) spoj zvijezda, b) spoj trokut

93. Asinkroni motor od 380 V, 50 Hz, spoj u zvijezdu, 5 kW, 13,6 A, prespojen je u trokut i priključen na trofaznu mrežu od 220 V. Koliku će struju uzimati iz mreže pri opterećenju 5 kW? Hoće li se namot pregrijati? Napon na faznom namotu ostaje isti, a za istu snagu i struja kroz fazni namot ostaje ista: zato se namot neće pregrijati. Struja u dovodima (linijska) bit će:

I ∆ = 3I f∆ = 3 ⋅13, 6 = 23, 6 A 94. Koliki je «kut opterećenja» asinkronog motora pri kojem nastupa maksimalni (prekretni) moment? Zanemarite otpor i rasipanje statorskog namota.

M=

M=

π VBΘ 2 sin δ 2 τp m1

ωm

EI '2 cos ϕ 2

δ 2 = 90° + 45° = 135° Prikaz klizanja i momenta u kružnom dijagramu

95. Kolutni motor ima otpor po fazi rotora 0,25 Ω i razvija maksimalni moment pri klizanju 8%. Koliko treba dodati otpora po fazi rotora da bi motor kretao s maksimalnim momentom? R20 = 0, 25 Ω sm = 8%

R2 = R20

s 1 = 0, 25 ⋅ = 3,125 Ω s0 0, 08

R2 = R20 + Rd

R s = 2 s0 R20

Rd = 3,125 − 0, 25 = 2,875 Ω

96. Prekretni moment 4-polnog asinkronog motora od 8 kW, 1440 min–1 je 60% veći od nazivnog momenta pri nazivnom naponu. Kolik je prekretni moment u Nm ako se mrežni napon smanji 15%? n π 1440π ωn = = = 150,8 rad/s p=2 30 30 P2n = 8 kW P 8000 n = 1440 min −1 M n = 2n = = 53, 05 Nm ωn 150,8 M = 1, 6 M m

n

U = 0,85U n

M m = 1, 6 M n = 84,88 Nm 2

65

 0,85U n  M 'm = 84,88   = 61,3 Nm  Un 

97. Asinkroni kavezni motor, spojen u trokut i priključen na mrežu od 380 V, 50 Hz, može razviti maksimalni moment od 54,9 Nm i pri tome se vrti brzinom od 1360 min–1. Koliki maksimalni moment može razviti isti motor na istoj mreži ako ga prespojimo u zvijezdu? Pri kojoj će brzini tada postići maksimalni moment? Zanemarite utjecaj zasićenja.

∆ spoj U = 380 V f = 50 Hz M m∆ = 54,9 Nm

2

U / 3  M m∆ 54, 9 M mY = M m∆  = = 18, 3 Nm  = 3 3  U  R sm = 2 = s 'm ⇒ nprY = npr∆ = 1360 min −1 X 2σ

npr ∆ = 1360 min −1

5. Istosmjerni stroj 5.1. Fizikalna slika, izvedbe i svojstva 98. Istosmjerni stroj građen za napon od 110 v treba premotati tako da uz isti magnetski tok i istu brzinu vrtnje dade 220 V. Kolik će biti: a) novi broj zavoja po svitku; b) novi presjek vodiča (ako se uzme da je potreban jednak prostor za izolaciju); c) nova struja; d) nova snaga stroja, ako se stare vrijednosti označe sa 100%? U = 110 V U ' = 220 V

ws ' =2 ws

qv ' = 0,5 qv

I' = 0,5 I

P' =1 P

P = UI = U ' I '

99. Kako se mijenja napon neopterećenoga nezavisno uzbuđenog istosmjernog generatora ako mu povećamo uzbudnu struju 20%, a brzinu vrtnje držimo konstantnom?

E = k Φω ,

ω = konst.

⇒

Ako ulazi u zasićenje, onda poraste manje od 20%.

100. Kako se mijenja napon neopterećenoga nezavisno uzbuđenog istosmjernog generatora ako mu povećamo brzinu vrtnje 25%, a uzbudnu struju držimo konstantnom? E = k Φω

  ⇒ Φ = konst.

napon ovisi linearno o brzini vrtnje

⇒

poraste 25%

101. Istosmjerni generator vrti se brzinom od 1200 min–1 i uzbuđen je na 240 V: a) nezavisno; b) poredno. Ako brzinu vrtnje povisimo na 1500 min–1, kolik će biti napon u primjeru a)? Hoće li biti isto tolik i u primjeru b)? b) Φ raste a) n = 1200 min–1 E = k Φω E = 240V E ' > 300 V Φ = konst. n ' = 1500 min −1 n' 1500 E ' = E = 240 ⋅ = 300 V n 1200 66

102. Istosmjernom nezavisno uzbuđenom motoru, koji se na mreži napona od 400 V vrti brzinom od 1000 min–1, treba povećati brzinu vrtnje na 1300 min–1 ne dirajući uzbudu. Kolik je napon potreban? E = 400 V n = 1000 min −1

E'= E

n ' = 1300 min −1

n' 1300 = 400 ⋅ = 520 V n 1000

103. Istosmjerni nezavisno uzbuđeni motor za 110 V, 2000 W, ima otpor armature 0,2 Ω. Kolika struja teče namotom armature: a) ako se motor vrti brzinom pri kojoj se inducira napon od 106 V; b) u trenutku direktnog priključka mirnog motora na mrežu od 110 V? Koliko treba dodati otpora u seriju s namotom armature motora da struja u trenutku priključka mirnog motora na mrežu od 110 V ne bude veća od 20 A?

U = 110 V P = 2000 W Ra = 0, 2 Ω E = 106 V I doz = 20 A

a) I =

U − E − ∆uč 110 − 106 − 2 = = 10 A Ra 0, 2

b) I =

U − ∆uč 110 − 2 = = 540 A Ra 0, 2

Rau =

U − ∆uč 110 − 2 = = 5, 4 Ω = Ra + Rd I doz 20

Rd = 5, 4 − 0, 2 = 5, 2 Ω

104. Jesu li teškoće pri komutaciji struje istosmjernog stroja veće ili manje kad se brzina vrtnje poveća uz jednako veliku struju opterećenja? Zašto?

ω ↑ ⇒ Tk ↓ ⇒

di di   ↑ ⇒ es ↑  = Ls  dt dt  

Komutacija je otežana jer poraste napon samoindukcije.

Pravocrtna komutacija

67

105. Istosmjerni poredni motor priključen je na stalni napon i vrti se sa 1200 min–1. Kojom bi se brzinom n1 vrtio kad bismo uzbudnu struju povećali 25%, a magnetska bi karakteristika bila približno linearna? Uzevši u obzir zasićenje, hoće li stvarna brzina vrtnje n biti veća ili manja od n1 ? n ' = 1200 min −1 iu1 = 1, 2 i 'u Φ = kiu

E = k Φω   E = konst. ⇒ ω ↓ ⇒  Φ↑ 

n1 = n '

i 'u 1 = 1200 ⋅ = 960 min −1 iu1 1, 25

n > 960 min −1 jer tok zbog zasićenja manje poraste.

106. Serijski motor na mreži od 220 V vrti se brzinom od 700 min–1 kad je opterećen toliko da uzima struju od 20 A. Motor je nezasićen, otpor svih u seriju iju spojenih namota je 0,5 Ω, pad napona na svakoj četkici je 1 V. Kolika će biti brzina vrtnje kad motor bude opterećen toliko da uzima struju od 10 A? U = 220 V n = 700 min I a = 20 A Ra = 0,5 Ω

E = U − IRa − ∆uč = ke Φn

ke k 2 =

∆ uč = 2 V I 'a = 10 A n' = ?

Φ = k2 I

−1

n' =

U − IRa − 2 220 − 20 ⋅ 0,5 − 2 = = 0, 014857 nI 700 ⋅ 20

U − I ' Ra − 2 220 − 10 ⋅ 0, 5 − 2 = = 1434 min −1 ke k 2 ⋅ I ' 0, 014857 ⋅10

Karakteristika brzine vrtnje istosmjernog motora sa serijskom uzbudom

Shema spoja serijskog motora s predotporom

68

107. Što će se dogoditi s naponom istosmjernog generatora ako mu bez ikakvih dugih zahvata promijenimo smjer vrtnje, i to u slučaju: a) nezavisne uzbude; b) samouzbude? a)

b)

Uzbuda istosmjernog stroja: a) nezavisna uzbuda, b) samouzbuda

a) Promjeni se polaritet.

b) Napon se sruši.

Pravac samouzbude i inducirani napon istosmjernog generatora sa samouzbudom

108. Poredni istosmjerni motor na mreži od 220 V neopterećen se vrti brzinom od 1200 min–1. Pri opterećenju uzima struju od 100 A i vrti se brzinom od 1040 min–1. Kolik je otpor armature motora? Pad napona na četkicama je 2 V, a reakciju armature treba zanemariti. E 220 E = ke Φn0 ⇒ ke Φ = = = 0,1833 U = 220 V n 1200 0 n0 = 1200 min −1 U − IRa − ∆uč = ke Φn I = 100 A n = 1040 min −1 ∆u č = 2 V Ra = ?

Ra =

U − ke Φ n − ∆uč 220 − 0,1833 ⋅1040 − 2 = = 0, 273 Ω I 100

109. Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom priključen je na mrežu od 220 V i u praznom hodu vrti se brzinom od 1460 min–1. Otpor armature je 1,4 Ω, pad napona na četkicama 2 V, a utjecaj reakcije armature na tok je zanemariv. a) Kojom brzinom treba potjerati stroj da bi u mrežu slao struju od 10 A? b) Ako ga opteretimo kao motor tako da uzima iz mreže struju od 10 A, kojom će se brzinom vrtjeti? U = 220 V n0 = 1460 min −1 Ra = 1, 4 Ω ∆u č = 2 V I g = I m = 10 A ng = ? nm = ?

E = U + IRa + ∆uč = ke Φn E 220 ke Φ = = = 0,15068 n0 1460 U + IRa + ∆uč 220 + 10 ⋅1, 4 + 2 ng = = = 1566 min −1 ke Φ 0,15068 U − IRa − ∆uč 220 − 10 ⋅1, 4 − 2 nm = = = 1354 min −1 ke Φ 0,15068 69

5.2. Kolektorski namot u izmjeničnom i okretnom polju 110. Statorski namot 4-polnog trofaznog stroja stvara okretno polje s tokom po polu od 474 ⋅ 10 −4 Vs. Rotor ima kolektorski jednovojni petljasti namot s ukupno 132 zavoja. Kolik će biti napon na četkicama, a kolika frekvencija tog napona ako se stator napaja iz mreže frekvencije od 50 Hz, a rotor: a) miruje; b) vrti se s 1000 min–1 u smjeru okretnog polja; c) vrti se s 1000 min–1 nasuprot smjeru okretnog polja? Pretpostavite sinusni oblik krivulje polja u rasporu. a) ns =

p=2=a m=3 Φ = 474 ⋅10 −4 Vs w = 132 f1 = 50 Hz

60 f 60 ⋅ 50 = = 1500 min −1 p 2

pΦz 2 ⋅ 474 ⋅10−4 ⋅132 ⋅ 2 ( na − ns ) = ( 0 − 1500 ) = 221 V 2a60 2 ⋅ 2 ⋅ 60 p ( ns − nč ) pns fč = = = 50 Hz , nč = 0 60 60 pΦz 2 ⋅ 474 ⋅10−4 ⋅132 ⋅ 2 b) E = ( nb − ns ) = (1000 − 1500 ) = 73, 7 V 2a60 2 ⋅ 2 ⋅ 60 pΦz 2 ⋅ 474 ⋅10−4 ⋅132 ⋅ 2 c) E = ( nc − ns ) = ( −1000 − 1500 ) = 369 V 2a 60 2 ⋅ 2 ⋅ 60 E=

na = 0 nb = 1000 min −1 nc = −1000 min −1

111. Ako se pretpostavi da je indukcija u rasporu na svim mjestima polnog koraka jednaka, a da je uzbuđena jednofaznom izmjeničnom strujom frekvencije od 50 Hz tako da tok pulsira s maksimalnim iznosom od 200 ⋅10−4 Wb, kolik će biti napon transformacije, a kolik napon rotacije: a) na četkicama A – B; b) na četkicama C – D prema sl. 20.36? Rotor ima petljasti namot, uz p = 1, w = 100, jednoliko raspodijeljen po obodu, a vrti se s 1500 min–1?

a)

b)

c)

d)

Kolektorski stroj uzbuđen izmjeničnom strujom: a) inducirani naponi u svicima u razdoblju smanjivanja pozitivnog toka Φ, b) naponi transformacije, c) naponi rotacije u vodičima, d) fazorski dijagram

f = 50 Hz

Φ max = 200 ⋅10−4 Vs p =1= a w = 100 n = 1500 min −1

70

a) A – B: Et = 0

pΦz 1⋅ 200 ⋅10−4 ⋅100 ⋅ 2 Er = ( n − ns ) = (1500 − 0 ) = 70, 7 V 2a60 2 ⋅1⋅ 60 b) C – D: Er = 0 Ψm =

Φw 200 ⋅10−4 ⋅100 = = 1 Wb 2 2

Ψ = Ψ m sinω t dΨ et = = 314 cos 314t V dt Et =

Em 314 = = 222 V 2 2

6. Mali motori 112. Jednofazni motor s pomoćnom fazom u trenutku priključka na mrežu od 220 V uzima u glavnoj fazi: 8 A, 984 W, u pomoćnoj fazi: 6 A, 933 W i razvija potezni moment od 2,36 Nm. Kolik će biti potezni moment ako u pomoćnu fazu uključimo kondenzator kapaciteta od 145 µF? Kolika će biti potezna struja : a) bez kondenzatora; b) s kondenzatorom?

U = 220 V Ig = 8 A

KR2 a =

Pg = 984 W

Zp =

Ip = 6 A

Mk 2,36 = = 0, 2576 I g I p sin Ψ 8 ⋅ 6 ⋅ sin11°

U 220 = = 36, 66 Ω Ip 6

Pp = 933 W

Z p = 36, 66 45° = 26 + j 26 Ω

M k = 2,36 Nm C = 145 µ F

1 1 = = 22 Ω ω C 2π 50 ⋅145 ⋅10 −6 Z 'p = Z p − jX C = 26 + j 26 − j 22 = XC =

Pg = UI g cos ϕg

cos ϕg = cos ϕ p =

Pg UI g Pp UI p

= 26 + j 4 = 26,3 8, 75° Ω

=

984 = 0,559 ⇒ ϕg = 56° 220 ⋅ 8

I 'p =

=

933 = 0, 707 ⇒ ϕ p = 45° 220 ⋅ 6

Ψ ' = ϕg − ϕ 'p = 56° − 8, 75° = 47, 25° I = I + I ' cos Ψ '+ jI ' sin Ψ ' = kC

Ψ = ϕg − ϕ p = 56° − 45° = 11° I = I + I cos Ψ + jI sin Ψ = k

a)

g

p

U 220 = = 8,365 A Z 'p 26,3

b)

g

p

p

= 8 + 8,365 cos 47, 25° + j8,365sin 47, 25° = = 13, 68 + j 6,14 = 15 24, 2° A

p

= 8 + 6 cos11° + j 6 sin11° =

M 'k = KR2 aI g I 'p sin Ψ ' =

= 13,889 + j1,1448 = 13,94 4, 7° A

= 0, 2576 ⋅ 8 ⋅ 8, 365 ⋅ sin 47, 25° =

M k = KR2 aI g I p sin Ψ

= 12, 7 Nm 71

Dijagram struja jednofaznog motora s pomoćnom fazom za zalet i veličina poteznog momenta

113. Zakočimo li rotor univerzalnog motora, potreban je na stezaljkama napon: 140 V 175 V 210 V da bi uzimao struju: 8A 10 A 12 A i snagu: 220 W 344 W 495 W Pri punom naponu od 220 V, otkočen i opterećen tako da uzima struju od 10 A, motor se vrti brzinom od 1200 min–1. Kojom će se brzinom vrtjeti kad je struja opterećenja: a) 8 A; b) 12 A, ako je tok proporcionalan struji opterećenja, tj. stroj je nezasićen?

U = 220 V I = 10 A n = 1200 min −1 Φ∼I ke Φn 2 Er = kIn U 140 Z= = = 17,5 Ω I 8 P 220 R = 2 = 2 = 3, 4375 Ω I 8 Er =

Fazorski dijagram serijskog izmjeničnog kolektorskog motora

X = Z 2 − R 2 = 17,52 − 3, 43752 = 17,159 Ω 72

Er10 = U 2 − ( IX ) − IR = 2

= 2202 − (10 ⋅17,159 ) − 10 ⋅ 3, 4375 = 2

= 103, 3 V k=

Er10 103, 3 = = 8, 609 ⋅10 −3 In 10 ⋅1200

a) Er8 = 2202 − ( 8 ⋅17,159 ) − 8 ⋅ 3, 4375 = 144, 42 V 2

n8 =

Er8 144, 42 = = 2 097 min −1 kI 8, 609 ⋅10−3 ⋅ 8

b)

Er12 = 2202 − (12 ⋅17,159 ) − 12 ⋅ 3, 4375 = 36, 22 V 2

n12 =

Er12 36, 22 = = 350, 6 min −1 kI 8, 609 ⋅10 −3 ⋅12

73

LITERATURA 1. M. Pužar, I. Mandić: Transformatori i električni rotacijski strojevi, Predavanja, Elektrotehnički fakultet Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2007. 2. Židovec, R.: Transformatori, Auditorne vježbe, Sveučilište u Zagrebu, Viša tehnička škola Zagreb, 1998/99 3. A. Dolenc: Transformatori I i II, Elektrotehnički fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1991. 4. Maljković, Z.: Transformatori, TR.2, Elektrotehnički fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2011. 5. Wolf, R.: Osnove električnih strojeva, Zagreb, Školska knjiga, 1991. 6. S.A.Nasar: Theory and Problems of Electric Machines and Electromechanics, McGraw-Hill

Book Company, New York, 1981. 7. B.Jurković, Z.Smolčić: Kolektorski strojevi, Školska knjiga, Zagreb, 1986. 8. D. Ban, V. Štivčević, I. Gašparac: Osnove elektromehaničke pretvorbe energije i električnih

strojeva, Zbirka zadataka i ispitnih pitanja, Element, Zagreb, 1996. 9. Z.Smolčić, D. Ban: Asinhroni i kolektorski strojevi, zbirka riješenih zadataka, Sveučilište u

Zagrebu, Elektrotehnički fakultet – Zagreb, 1978. 10. A. E. Fitzgerald, C. Kingsley, Jr., S. D. Umans: Electric Machinery, McGraw-Hill, 1983.

74