Termotehnica si masini termice p

Termotehnică şi maşini termice

I

PREFAŢĂ Lucrarea de faţă a fost concepută pe baza programei analitice a cursului de Termotehnică şi maşini termice al Facultăţii: Forajul sondelor şi exploatarea zăcămintelor, profilele: Petrol şi Transportul depozitarea şi distribuţia hidrocarburilor. În prima parte, capitolele 1…3 sunt prezentate conceptele fundamentale şi principiile termodinamicii. Sunt prezentate atât elementele clasice precum şi conceptele noi dezvoltate în ultimii ani cum sunt ecuaţia puterilor, sursa de entropie, puterea disponibilă pierdută şi noţiuni despre optimizarea entropică a proceselor. Având în vedere profilul acestei facultăţi, capitolul 4 prezintă detaliat noţiunile fundamentale legate de gazele reale şi de amestecurile de gaze reale precum şi metodele de determinare a parametrilor de stare ai gazelor reale şi a amestecurilor de gaze reale. În finalul capitolului sunt prezentate metode de calcul pentru transformările de stare ale gazelor reale. Capitolul 5 este dedicat prezentării termodinamicii arderii, pe lângă conceptele legate de procesul de ardere sunt prezentate elemente legate de formarea noxelor şi metodele de control şi diminuare a emisiilor poluante. Dinamica curgerii gazelor şi vaporilor este prezentată în capitolul 6, iar capitolul 7 este dedicat transferului de căldură, în care sunt abordate şi probleme specifice ce apar în domeniul exploatării zăcămintelor de petrol sau a transportului produselor petroliere. În capitolele 8…12 sunt prezentate principalele tipuri de maşini termice, ciclurile, termodinamice pe baza cărora funcţionează şi ecuaţiile fundamentale ale acestora. Deoarece reprezentarea grafică a transformărilor de stare în diagramele pV şi Ts este utilă pentru înţelegerea fenomenelor şi pentru că evoluţiile sistemelor au la bază curbe greu de desenat am apelat la programe specializate, originale pentru realizarea diagramelor şi a ciclurilor termodinamice din această lucrare. În fiecare capitol sunt prezentate câteva aplicaţii ce au rolul de a preciza modul în care se pot utiliza relaţiile teoretice din capitolul respectiv. Consider că în această lucrare studenţii vor găsi un sprijin pentru însuşirea noţiunilor legate de disciplina: Termotehnică şi maşini termice. Autorul

II

Listă de notaţii

A – secţiunea [m2]; b – funcţia de disponibilitate [J/kg]; cp – căldura specifică izobară [J/kg/K]; cv – căldura specifică izocoră [J/kg/K]; e – energia specifică [J/kg]; E – Energie [J] ; F – forţa [N]; g – acceleraţia gravitaţională 9,8 [m/s2] H – entalpie [J] ; h – entalpie specifică [J/kg]; k – exponent adiabatic; L – lucrul mecanic [J]; l – lucrul mecanic specific [J/kg]; M – masa moleculară [kg/kmol]; m – masa [kg]; •

m - debitul masic [kg/s]; n – exponent politropic; Q – căldura [J]; q – căldura unităţii de masă [J/kg]; P – putere [W] ; p – presiune [Pa]; R – constanta gazului [J/kg/K]; RM – constanta universală a gazelor prefecte [J/kmol/K]; S – entropie [J/K]; s – entropia unităţii de masă [J/kg/K]; T – temperatura [K] ; t – temperatura [°C] ; U – energia internă [J]; u – energia internă a unităţii de masă [J/kg]; V – volum [m3]; v – volumul specific [m3/kg]; x – deplasarea [m]; Z – factor de compresibilitate; – cota [m];

Termotehnică şi maşini termice

III

α - coeficient de dilatare izobară; - coeficient de convecţie; β - coeficient de compresibilitate izocoră; ε - raport de compresie; - eficienţă frigorifică sau calorică; γ - coeficient de compresibilitate izotermă; η - randament; ι - timpul [s]; λ - coeficient de conductivitate termică [W/m/K]; - raportul de creştere a presiunii în arderea izocoră; θ - raportul temperaturilor extreme la ITG; µj - coeficientul Joule-Thomson; ρ - densitate [kg/m3]; - raport de destindere prealabilă;

Exponenţi şi indici

a – admisie; e – evacuare; c – ciclu; f – frigorific; m – medie; p – izobară; – pompă de căldură; v – izocoră; T – izotermă; t – tehnic;

IV

Cuprins 1 Concepte şi definiţii ………..…………………………………………………. 1 1.1 Sistem termodinamic ………………………………………………………… 1 1.2 Transformări de stare ………………………………………………………... 3 1.3 Ecuaţia de stare ……………………………………………………………… 4 1.4 Gazul perfect ………………………………………………………………… 7 1.4.1 Ecuaţia de stare a gazului perfect …..……………………………………… 8 1.4.2 Amestecuri de gaze perfecte ……..………………………………………… 11 1.5 Starea energetică a uni sistem termodinamic, echilibrul termodinamic ……………………………………………………… 13 1.6 Postulatele termodinamicii …………………………………………………... 15 2 Primul principiu al termodinamicii, principiul conservării………………… 18 2.1 Principiul zero al termodinamicii ……………………………………………. 18 2.2 Forme de interacţiune energetică între sistem şi mediul exterior ……………. 18 2.2.1 Lucrul mecanic …………………………………………………………….. 19 2.2.2 Lucrul mecanic de dislocare ……………………………………………….. 21 2.2.3 Lucrul mecanic tehnic ……………………………………………………… 21 2.2.4 Alte forme de interacţiune energetică echivalente lucrului mecanic ………. 23 2.2.5 Lucrul mecanic al unui ciclu termodinamic ……………………………….. 25 2.2.6 Căldura ……………………………………………………………………... 2 2.2.7 Caracteristici ale interacţiunilor energetice ale sistemelor termodinamice cu mediul exterior …………………………………………. 26 2.3 Primul principiu al termodinamicii …………………………………………… 27 2.3.1 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru o transformare de stare ………………………………………………. 27 2.3.2 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise ……………………………………………………… 31 2.3.2.1 Ecuaţia puterilor …………………………………………………………. 31 2.3.2.2 Legea conservării masei pentru un volum de control ……………………. 31 2.3.2.3 Ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise …………………………………………………… 33 2.4 Evaluarea energiei interne şi a entalpiei ………………………………………. 36 2.5 Analiza energetică a transformărilor de stare …………………………………. 38 2.5.1 Transformarea izocoră ………………………………………………………. 39 2.5.2 Transformarea izobară ………………………………………………………. 41 2.5.3 Transformarea izotermă ……………………………………………………... 42 2.5.4 Transformarea adiabată …………………………………………………….. 44 2.5.5 Transformarea politropă …………………………………………………….. 47 3 Principiul al doilea al termodinamicii, principiul evoluţiei ……………………… 3.1 Noţiuni generale despre cicluri termodinamice ………………………………. 3.2 Ciclul Carnot ………………………………………………………………….. 3.3 Enunţuri ale principiului al doilea al termodinamicii ………………………… 3.3.1 Enunţul lui Clausius …………………………………………………………

54 54 59 61 61

Termotehnică şi maşini termice

V

3.3.2 Enunţul lui Kelvin-Planck …………………………………………………. 61 3.4 Entropia ……………………………………………………………………… 62 3.4.1 Variaţia entropiei pentru transformările de stare reversibile, ale gazelor perfecte ……………………………………………. 63 3.4.2 Diagrame temperatură entropie ……………………………………………. 64 3.4.3 Expresiile diferenţiale combinate ale celor două principii ale termodinamicii ……………………………………………….. 65 3.5 Variaţia entropiei în transformările ireversibile ……………………………… 66 3.5.1 Generarea de entropie în sistemele deschise ……………………………….. 67 3.5.2 Teorema Gouy-Stodola …………………………………………………….. 71 3.5.3 Puterea maximă disponibilă în procesele de transport ……………………… 73 3.5.4 Entropia generată în cazul curgerilor cu frecare ……………………………. 74 4 Gaze reale ………………………………………………………………………… 76 4.1 Potenţiale termodinamice ……………………………………………………... 76 4.1.1 Entalpia ……………………………………………………………………… 76 4.1.2 Energia liberă ……………………………………………………………….. 77 4.1.3 Entalpia liberă ………………………………………………………………. 77 4.1.4 Relaţiile lui Maxwell ……………………………………………………….. 77 4.2 Analiza comportării gazelor reale …………………………………………….. 79 4.3 Condiţiile de echilibru lichid-vapori ………………………………………….. 83 4.3.1 Ecuaţia lui Clapeyron ………………………………………………………. 84 4.3.2 Ecuaţia presiunii de saturaţie ………………………………………………. 85 4.3.3 Noţiunea de fugacitate ……………………………………………………… 86 4.3.3.1 Calculul fugacităţii pentru faza vapori …………………………………… 88 4.3.3.2 Calculul fugacităţii pentru faza lichidă …………………………………… 89 4.4. Termeni de corecţie pentru gazele reale ……………………………………… 90 4.4.1 Calculul variaţiei entalpiei …………………………………………………. 91 4.4.2 Calculul variaţiei entropiei …………………………………………………. 92 4.5 Metode de calcul pentru parametrii de stare ai gazelor reale ………………… 94 4.5.1 Legea stărilor corespondente ……………………………………………….. 94 4.5.2 Corelaţii în funcţie de trei parametri. Factorul acentric ……………………. 96 4.5.3 Ecuaţii de stare ……………………………………………………………... 100 4.5.3.1 Ecuaţia cu viriali …………………………………………………………. 102 4.5.3.1.1 Corelaţia lui Berthelot …………………………………………………. 102 4.5.3.1.2 Corelaţiile lui Pitzer …………………………………………………… 103 4.5.3.2 Ecuaţia de stare Redlich Kwong ………………………………………… 104 4.5.3.2.1 Determinarea parametrilor „a” şi „b” pornind de la coordonatele critice ……………………………………………………. 105 4.5.3.2.2 Factorul de compresibilitate obţinut cu ecuaţia Redlich Kwong ……… 106 4.5.3.2.3 Determinarea factorilor corectivi pe baza ecuaţiei Redlich Kwong …… 107 4.5.3.2.3.1 Fugacitatea şi abaterea entalpiei libere ………………………………. 107 4.5.3.2.3.2 Abaterea entalpiei ……………………………………………………. 108 4.5.3.2.3.3 Abaterea entropiei …………………………………………………… 109 4.5.3.2.4 Determinarea echilibrului lichid-vapori cu ecuaţia Redlich Kwong …. 109 4.5.3.3 Ecuaţia Benedict-Webb-Rubin …………………………………………. 111 4.5.3.4 Analiza comparativă a ecuaţiilor de stare ………………………………. 112

VI 4.6 Transformări de stare pentru gaze reale …………………………………….. 116 4.6.1 Comprimarea gazelor reale ………………………………………………… 116 4.6.2 Destinderea gazelor reale ………………………………………………….. 123 4.6.3 Laminarea gazelor reale …………………………………………………… 126 4.7 Amestecuri de gaze reale ……………………………………………………. 132 4.7.1 Noţiuni generale …………………………………………………………… 132 4.7.2 Analiza echilibrului lichid-vapori pentru un amestec de gaze reale ………. 134 4.7.2.1 Analiza echilibrului izoterm lichid-vapori pentru un amestec binar ……. 134 4.7.2.2 Analiza echilibrului izobar lichid-vapori pentru un amestec binar ……… 137 4.7.2.3 Calculul echilibrului lichid-vapori pentru un amestec multicomponent … 139 4.7.2.4 Calculul compoziţiei amestecului în cazul vaporizării parţiale ………… 142 4.7.2.5 Determinarea limitelor de încadrare al amestecului ……………………. 142 4.7.3 Determinarea parametrilor termodinamici ai amestecurilor de gaze reale ………………………………………………………………. 143 4.7.3.1 Determinarea volumului specific al amestecului de gaze reale …………. 143 4.7.3.2 Programe pentru amestecuri de gaze reale ………………………………. 145 5 Termodinamica arderii …………………………………………………………. 147 5.1 Procesul de arderea ………………………………………………………….. 147 5.1.1 Arderea unei hidrocarburi de tipul C x H y ………………………………... 148 5.1.2 Analiza arderii unui combustibil definit prin compoziţia elementară ……. 153 5.1.3 Determinarea excesului de aer prin analiza gazelor de ardere ……………. 156 5.2 Analiza energetică a procesului de ardere …………………………………… 158 5.2.1 Entalpia de formare ……………………………………………………….. 159 5.2.2 Determinarea temperaturii de ardere ……………………………………… 160 5.3 Analiza arderii în cazul procesului de combustie subterană ………………... 162 5.4 Controlul arderii şi poluarea ………………………………………………… 165 5.4.1 Formarea şi caracteristicile componentelor gazelor de ardere ……………. 166 5.4.1.1 Monoxid de carbon (CO) ………………………………………………… 166 5.4.1.2 Hidrocarburi (HC) ……………………………………………………….. 167 5.4.1.3 Oxizi de azot (Nox) ………………………………………………………. 168 5.4.1.4 Bioxidul de carbon (CO2) ……………………………………………….. 168 5.4.1.5 Oxigenul ………………………………………………………………… 168 5.4.1.6 Bioxid de sulf (SO2) …………………………………………………….. 168 5.4.1.8 Fum / particule / negru de fum ………………………………………….. 168 5.4.2. Utilizarea catalizatorului pentru combaterea noxelor …………………….. 169 5.4.3 Reducerea noxelor prin recircularea gazelor arse …………………………. 173 6 Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor …………………………………… 175 6.1 Ecuaţiile mişcării staţionare, monodimensionale, adiabate a gazelor ……….. 175 6.1.1 Proprietăţile stării frânate …………………..................…………………… 175 6.1.2 Viteza sunetului într-un gaz perfect ……………………………………….. 177 6.1.3 Caracterizarea ajutajelor funcţie de criteriul Mach ……………………….. 179 6.1.4 Parametrii frânaţi şi parametrii critici ……………………………………… 181 6.2 Ajutajul convergent ………………………………………………………….. 182 6.3 Ajutajul divergent ……………………………………………………………. 184 6.4 Ajutajul convergent-divergent (Laval) ………………………………………. 185 6.5 Undele de şoc normale ce apar la curgerea gazelor perfecte prin ajutaje ……. 186

Termotehnică şi maşini termice

VII

7 Transferul de căldură …………………………………………………………… 192 7.1 Mecanismele transferului de căldură ………………………………………… 192 7.1.1 Conducţia ………………………………………………………………….. 192 7.1.2 Convecţia ………………………………………………………………….. 194 7.1.3 Radiaţia ……………………………………………………………………. 195 7.2 Metode de analiză utilizate în transferul de căldură ………………………… 196 7.3 Transferul de căldură prin conducţie ………………………………………… 199 7.3.1 Ecuaţia lui Fourier, ecuaţia difuziei căldurii ……………………………….. 199 7.3.2 Conducţia staţionară prin pereţi plani paraleli ……………………………... 205 7.3.2.1 Analogia electrică ………………………………………………………... 207 7.3.2.2 Rezistenţa de contact ……………………………………………………. 210 7.3.3 Conducţia staţionară prin pereţi cilindrici …………………………………. 214 7.3.4 Conducţia staţionară prin pereţi sferici ……………………………………. 219 7.3.5 Elemente de conducţia nestaţionară ……………………………………….. 220 7.3.5.1 Metoda capacităţii punctiforme ………………………………………….. 220 7.3.5.2 Analiza metodei capacităţii punctiforme ………………………………… 223 7.3.5.3 Soluţii exacte pentru ecuaţia difuziei căldurii în cazul unui corp solid, semiinfinit ………………………………………………. 226 7.4 Convecţia …………………………………………………………………….. 229 7.4.1 Analiza procesului de convecţie în stratul limită …………………………... 230 7.4.2 Similitudinea în stratul limită, criterii de similitudine …………………….. 233 7.4.3 Convecţia forţată în spaţiu nelimitat ………………………………………. 235 7.4.4 Convecţia liberă în spaţiu nelimitat ……………………………………….. 239 7.4.5 Convecţia forţată în cazul curgerii fluidelor prin interiorul ţevilor ………... 242 7.4.5.1 Analiza stratului limită ………………………………………………….. 242 7.4.5.2 Bilanţul energetic al curgerii ……………………………………………. 244 7.4.5.3 Soluţii analitice pentru curgerea laminară, complet dezvoltată …………. 247 7.4.5.4 Ecuaţii criteriale pentru determinarea coeficientului de convecţie ……… 249 7.5 Schimbătoare de căldură …………………………………………………….. 253 7.5.1 Tipuri de schimbătoare de căldură ………………………………………… 253 7.5.2 Coeficientul global de schimb de căldură …………………………………. 255 7.5.3 Metoda temperaturii medii logaritmice ……………………...……………. 256 7.5.4 Determinarea temperaturii medii logaritmice în cazul schimbătoarelor cu mai multe treceri sau circulaţie încrucişată …………………………….. 260 7.5.5 Metoda NTU ………………………………………………………………. 262 8 Compresoare …………………………………………………………………….. 271 8.1 Compresoare volumetrice ……………………………………………………. 271 8.1.1 Compresoare volumetrice cu piston ……………………………………….. 271 8.1.2 Compresoare cu piston cu mai multe trepte ……………………………….. 276 8.1.3 Compresoare volumetrice, rotative cu lamele culisante …………………… 280 8.1.4 Compresoare volumetrice, cu rotoare profilate de tip Roots ………………. 282 8.2 Compresoare dinamice ………………………………………………………. 284 8.2.1 Compresoare centrifugale ………………………………………………….. 284 8.2.2 Compresoare axiale ……………………………………………………….. 289

VIII 9 Instalaţii de forţă cu abur ……………………………………………………….. 292 9.1 Ciclul Rankine ………………………………………………………………. 292 9.2 Procesul termogazodinamic din treapta de turbină ………………………….. 295 9.3 Influenţa presiunii şi temperaturii asupra ciclului Rankine …………………. 296 9.4 Ciclul cu supraîncălzirea intermediară a aburului …………………………… 299 9.5 Cicluri regenerative ………………………………………………………….. 301 9.6 Cogenerarea ………………………………………………………………….. 302 10 Turbina cu gaze ……………………………………………………………….. 305 10.1 Ciclul Brayton ……………………………………………………………… 306 10.2 Ciclul turbinei cu gaze cu regenerare ………………………………………. 310 10.3 Instalaţii ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine ……………………………………………….. 312 11 Motoare cu ardere internă ……………………………………………………… 315 11.1 Ciclurile termodinamice ale motoarelor cu ardere internă .……………….. 316 11.2 Supraalimentarea motoarelor ………………………………………………. 322 11.3 Noţiuni despre comanda electronică a motoarelor ………………………… 325 11.3.1 Sistemul de injecţie electronică monopunct ……………………………… 328 11.3.2 Sistemul de injecţie electronică multipunct ………………………………. 329 11.3.3 Sistemul electronic de injecţie directă de benzină GDI (Gasoline Direct Injection) ………………………………………………. 331 11.3.4 Comanda electronică a motoarelor diesel ……………………………….. 332 12 Instalaţii frigorifice ……………………………………………………………. 337 12.1 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu vapori, cu compresie mecanică ……………………………………………………….. 338 12.2 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu gaze necondensabile ……………………………………………………………… 340

Termotehnică şi maşini termice

1

1. Concepte şi definiţii 1.1 Sistem termodinamic Dezvoltarea ştiinţelor a impus pentru analiza fenomenelor naturale sau a experimentelor introducerea unor concepte care să uşureze înţelegerea acestora. Un concept fundamental îl constituie acela de sistem. Termenul provine din grecescul sistema care înseamnă ansamblu, reuniune, punere împreună a mai multor obiecte. Pentru noţiunea utilizată în tehnica, putem defini sistemul ca un ansamblu de elemente interconectate dinamic, capabil de a se individualiza de mediul ambiant prin realizarea unei funcţii sau a unui grup de funcţii. Astfel, de exemplu, funcţia unei conducte este de a permite transportul fluidelor sub acţiunea unui gradient de presiune sau a câmpului gravitaţional. Această funcţie se realizează indiferent de materialul din care este alcătuită conducta şi de natura fluidului care curge prin ea. În plus, faţă de un canal, la o conductă apare şi funcţia de containerizare a fluidului. Rezultă deci, şi o protecţie a mediului ambiant în cazul fluidelor toxice, poluante chimic, termic sau radioactiv. Un sistem la care sunt analizate interacţiunile energetice dintre părţile componente şi dintre sistem şi mediu înconjurător îl numim sistem termodinamic. În figura 1.1 sunt prezentate două exemple de sisteme termodinamice.

Fig. 1.1 Figura 1.1 a) reprezintă un cilindru în care evoluează un gaz. La partea inferioară cilindrul este închis de un perete mobil denumit piston. Pentru uşurinţa analizei se defineşte un volum de control, reprezentat punctat în figură, ce delimitează zona de interes de restul obiectelor. Tot ce rămâne în afara volumului de control reprezintă mediul exterior. Limita volumului de control, desenată printr-o linie punctată defineşte graniţa sistemului, ea poate avea un suport fizic (de exemplu un perete) sau poate fi fictivă. Pentru descrierea matematică a sistemului, graniţa reprezintă locul unde se definesc condiţiile la limită.

Concepte şi definiţii

2

Astfel, pentru cilindrul din figura 1.1 a) gazul nu poate ieşi sau intra in cilindru, deci graniţa sistemului (care în acest caz este reprezentată fizic de pereţii cilindrului şi capul pistonului) nu permite schimbul de substanţă cu mediul exterior; în acest caz sistemul se numeşte sistem închis. Graniţa sistemului permite, însă, schimburile energetice cu mediul exterior, sub formă de căldură şi / sau lucru mecanic. În figura 1.1 b) volumul de control defineşte un sistem termodinamic format de o porţiune dintr-o conductă. Observăm că volumul de control are, în acest caz, şi graniţe fictive, definite pe secţiunea conductei. Prin aceste graniţe fictive circulă un fluid, iar sistemul în care este permis schimbul de substanţă cu mediul exterior se numeşte sistem deschis. Dacă graniţa sistemului nu permite schimbul de căldură cu mediul exterior, denumim sistemul ca un sistem adiabat. În figura 1.2 sunt prezentate sintetic categoriile de sisteme termodinamice funcţie de schimburile de substanţă sau energie ce pot avea loc prin graniţele sistemului.

TRANSFER DE MASĂ

NU

ST ÎNCHIS

DA

ST DESCHIS

DA

DA

NU

NU ST ADIABATIC

TRANSFER DE LUCRU MECAHIC

TRANSFER DE CĂLDURA

Fig. 1.2 Problema fundamentală a termodinamicii o constituie transformarea căldurii în lucru mecanic. Lucrul mecanic este o formă de energie ce apare şi există atât timp cât se produce o deplasare a unei mase. Pentru ca un sistem termodinamic să poată produce lucru mecanic, trebuie ca graniţa acestuia să se deformeze. În interiorul graniţei sistemului termodinamic trebuie să existe un cop care să poată să se deformeze semnificativ odată cu graniţa sistemului, menţinându-şi continuitatea. Acest lucru este posibil dacă în interiorul sistemelor termodinamice evoluează gaze sau vapori.

Termotehnică şi maşini termice

3

Principalele mărimi ce se pot măsura în interiorul unui sistem termodinamic sunt presiunea, volumul şi temperatura. Valoarea acestor mărimi la un moment dat defineşte starea sistemului termodinamic. Parametrii care definesc starea sistemului se numesc parametrii de stare, aceştia fiind: a) presiunea: - se notează cu p ; - prin definiţie, presiunea reprezintă raportul dintre forţa normală şi suprafaţa pe care se exercită: p = F / S (F - forţa, S - suprafaţa); - în Sistemul Internaţional (SI) se măsoară în pascali: Pa, 1Pa = 1N/m2; b) volumul: - se notează cu V, iar în Sistemul Internaţional se măsoară în m3; - se defineşte: volumul specific v = V / m , ( V - volumul, m - masa ); - unitatea de măsură în SI este m3/kg; c) temperatura: - se notează cu T, unitatea de măsură în SI este K (Kelvin), o altă unitate, tolerată si utilizată des la măsurarea temperaturii, notată cu t, este gradul Celsius oC; legătura între cele două scări de temperatură este: T = t + 273 ,15 ; (1oC = 273 K)

1.2 Transformări de stare Starea unui sistem, la un moment dat, este dată de totalitatea valorilor parametrilor de stare. Imaginea stării sistemului într-un spaţiu tridimensional ce are ca axe presiunea, volumul şi temperatura, este un punct. În figura 1.3 punctele 1 şi 2 reprezintă stări ale sistemului termodinamic. În timp, parametrii de stare ai sistemului termodinamic pot evolua; dacă reprezentăm grafic totalitatea stărilor prin care trece sistemul, de la starea 1 la starea 2, obţinem o curbă. Procesul de evoluţie a sistemului termodinamic de la starea 1 la starea 2 poartă denumirea de transformare de stare. În termodinamică vom întâlni două feluri de transformări termodinamice: - transformări reversibile - sunt transformări teoretice (ideale), în care sistemul termodinamic evoluează de la starea 2 la stare 1 exact prin aceleaşi puncte (stări) prin care a evoluat de la 1 la 2. Ecuaţia transformărilor reversibile nu depinde de direcţia timpului. F (τ ) = F (− τ ), un exemplu de astfel de ecuaţie fiind ecuaţia propagării undelor în vid:

Concepte şi definiţii

4

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ + + − =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂τ 2

(1.1)

p 2

1 V T Fig. 1.3

-

transformări ireversibile - sunt transformări reale în care evoluţiile sistemului de la starea 1 la starea 2 şi invers au loc pe curbe diferite. Ecuaţiile ce descriu transformările ireversibile depind de direcţia timpului, adică F (τ ) ≠ F (− τ ) , un exemplu de astfel de ecuaţie fiind ecuaţia conducţiei: → ∂T ⎛ ⎞ div⎜ − λ ⋅ grad (T )⎟ = ρc p ∂τ ⎝ ⎠

(1.2)

1.3 Ecuaţia de stare Totalitatea evoluţiilor posibile ale unui sistem termodinamic formează în spaţiul p, V, T o suprafaţă. Ecuaţia acestei suprafeţe este:

F( p ,V ,T ) = 0

(1.3)

Termotehnică şi maşini termice

5

Având în vedere că în interiorul sistemelor termodinamice evoluează gaze sau vapori, substanţe ce nu prezintă discontinuităţi locale, proprietăţile acestora pot fi descrise prin funcţii continue şi derivabile. Această observaţie ne permite să obţinem câteva relaţii utile pornind de la ecuaţia de stare. Ecuaţia (1.3) exprimă o legătură între parametrii de stare. Putem explicita pe fiecare dintre ei funcţie de ceilalţi doi, obţinând alte trei forme ale ecuaţiei de stare:

p = p( V ,T )

(1.4)

V = V ( p ,T )

(1.5)

T = T ( p ,V )

(1.6)

Considerând că presiunea p este o funcţie continuă şi derivabilă în raport cu V şi T, diferenţiem ecuaţia (1.4), obţinând: ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ dp = ⎜ ⎟ dV + ⎜ ⎟ dT ⎝ ∂T ⎠V ⎝ ∂V ⎠T

(1.7)

Indicele T sau V scris lângă derivata parţială arată că acel parametru este constant în timpul derivării. Dacă notăm: ⎛ ∂p ⎞ N =⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠T

(1.8)

⎛ ∂p ⎞ M =⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠V

(1.9)

expresia diferenţialei devine:

dp = NdV + MdT

(1.10)

Condiţia ca relaţia (1.10) sa fie o diferenţială totală este ca:

sau

∂N ∂M = ∂T ∂V

(1.11)

∂ 2p ∂ 2p = ∂V∂T ∂T∂V

(1.12)

Această condiţie se realizează dacă derivatele parţiale ale lui p în raport cu V şi respectiv T sunt continue şi derivabile.

Concepte şi definiţii

6

Mărimea termodinamică caracterizată de funcţia care îndeplineşte condiţia (1.11) este, din punct de vedere matematic, o diferenţială totală exactă; ea se numeşte mărime de stare şi se poate calcula în fiecare punct al suprafeţei definite de ecuaţia (1.3), deci în fiecare stare a sistemului. Variaţia mărimii respective între două stări se calculează printr-o integrală curbilinie în lungul funcţiei ce reprezintă transformarea de stare. Fiind o diferenţială totală exactă, valoare integralei “nu depinde de drum”, adică este aceeaşi indiferent ce curbă am alege pentru a efectua integrala; ea depinde numai de valorile din stările iniţială şi finală. Rezultă, din cele de mai sus, că variaţia unei mărimi de stare nu depinde de felul transformării termodinamice, ci numai de valorile iniţiale şi finale. Proprietăţile prezentate mai sus sunt valabile pentru oricare dintre funcţiile (1.4), (1.5) sau (1.6). Diferenţiind ecuaţia (1.5) şi substituind-o în (1.7) obţinem:

⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ dp + ⎜ dV = ⎜⎜ ⎟ dT ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂ p ⎠T ⎛ ∂p ⎞ ⎡⎛ ∂V dp = ⎜ ⎟ ⎢⎜⎜ ⎝ ∂V ⎠T ⎢⎣⎝ ∂p

⎤ ⎛ ∂p ⎞ ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ dp + ⎜ ⎟ dT ⎥ + ⎜ ⎟ dT ⎝ ∂T ⎠ p ⎥⎦ ⎝ ∂T ⎠V ⎠T

⎡⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎤ ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ dp + ⎢⎜ dp = ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ dT ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂p ⎠T ⎣⎢⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠V ⎦⎥

(1.13)

(1.14)

(1.15)

In expresia (1.15) dp si dT sunt diferenţiale, adică nişte variaţii mici arbitrare ale parametrilor de stare. Astfel: - dacă dT = 0 rezultă

⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ = 1 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂p ⎠T

(1.16)

- dacă dp = 0 rezultă

sau

⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠V

(1.17)

⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = −1 ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂p ⎠V

(1.18)

Derivatele parţiale ale mărimilor de stare p, V şi T au o interpretare fizică ce poate fi prezentată introducând următorii coeficienţi:

Termotehnică şi maşini termice

7

- coeficient de dilatare izobară:

α=

1 ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟ = αV0 V0 ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠ p

(1.19)

- coeficient de compresibilitate izocoră:

β=

1 ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟ = βp0 p0 ⎝ ∂T ⎠V ⎝ ∂T ⎠V

(1.20)

- coeficient de compresibilitate izoterma:

γ =−

1 ⎛ ∂V ⎜ V0 ⎜⎝ ∂p

⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = −γV0 ⎠T ⎝ ∂p ⎠T

(1.21)

Exprimând derivatele parţiale din ecuaţiile (1.19), (1.20) şi (1.21) şi substituindule în ecuaţia (1.18), rezultă:

α = p0 βγ

(1.22)

α, β şi γ

poartă denumirea de coeficienţi termodinamici fizici. Aceştia evidenţiază proporţionalitatea dintre variaţia unei mărimi de stare faţă de alta, în anumite condiţii restrictive. De exemplu, dacă un gaz având volumul V şi temperatura T se încălzeşte izobar la temperatura T+∆T, volumul acestuia va deveni V+∆V şi va putea fi calculat cu relaţia: ∆V = αV∆T

(1.23)

1.4 Gazul perfect Gazele sau vaporii care evoluează în interiorul sistemelor termodinamice poartă denumirea de agenţi termodinamici. În acest paragraf vom analiza gazul perfect ca agent termodinamic. Din punct de vedere istoric, în secolele 17 şi 18 au fost stabilite, pe cale experimentală, legile gazelor având o exprimare matematică simplă. Cercetări ulterioare au demonstrat că aceste legi nu exprimă riguros comportarea gazelor reale, dar în anumite condiţii, pentru o largă categorie de gaze, aceste legi pot exprima comportarea gazelor reale. Observaţia de mai sus, precum şi simplitatea expresiilor matematice ale legilor gazelor, au făcut ca acestea să se menţină în cadrul termodinamicii sub forma legilor gazului perfect. Practic, s-a introdus un concept nou, gazul perfect, pe baza următoarelor ipoteze:

Concepte şi definiţii

8

moleculele gazului sunt perfect sferice şi elastice; volumul propriu al moleculelor este neglijabil în raport cu volumul gazului; ‰ între molecule nu se exercită forţe de interacţiune; ‰ traiectoria moleculelor între două ciocniri este o linie dreaptă. S-a constatat că o parte dintre gazele din natură au un comportament ce poate fi descris de legile gazului perfect, dacă se găsesc la presiuni relativ scăzute şi temperaturi mari. O categorie de gaze care pot fi aproximate în condiţii mulţumitoare de catre legile gazului perfect o constituie gazele de ardere sau aerul aflat la presiunea şi temperatura mediului ambiant. ‰ ‰

1.4.1 Ecuaţia de stare a gazului perfect Experimental, s-au dedus legile ce descriu comportarea gazelor. Acestea s-au menţinut sub denumirea de legile simple ale gazului perfect. Ele sunt: a) Legea Boyle-Mariotte, care exprimă faptul că la temperatură constantă volumul gazului variază invers proporţional cu temperatura.

p=

C1 V

T = C1 = constant ( C1- o constantă)

(1.24)

b) Legea Gay-Lussac arată că la presiune constantă volumul variază proporţional cu temperatura. V = C2T

p =C2 = constant (C2 - o constantă)

(1.25)

c) Legea lui Charles exprimă faptul că la volum constant presiunea variază proporţional cu temperatura.

p = C3T

V =C3 = constant (C3 - o constantă)

(1.26)

d) Legea lui Avogadro arată că, în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură, volume egale de gaze diferite conţin acelaşi număr de molecule. O consecinţă importantă o constituie independenţa numărului de molecule faţă de natura gazului, astfel că în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură, un kilomol de gaz conţine N = 6,023·1026 molecule. Acest număr poartă denumirea de numărul lui Avogadro. Deoarece un kilomol de gaz conţine un număr bine determinat de molecule, rezultă ca volumul molar în starea normală are aceeaşi valoare pentru toate gazele. Starea normala se defineşte prin următoarele valori ale parametrilor de stare: pN = 1,013·105 Pa şi TN = 273 K. În aceste condiţii (VM)N, volumul molar la starea normală, este: (VM)N = 22,414 m3/kmol. Pentru a deduce ecuaţia de stare a gazului perfect vom integra expresia diferenţială (1.27). Derivatele parţiale din această expresie le calculăm în funcţie de legile simple ale gazului perfect.

Termotehnică şi maşini termice

9

⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ dp = ⎜ ⎟ dV + ⎜ ⎟ dT ⎝ ∂T ⎠V ⎝ ∂V ⎠T

(1.27)

Derivata parţială a presiunii la volum în condiţii izoterme o exprimăm din relaţia (1.24) scrisă sub altă forma, apoi derivată, rezultând:

C1 V

(1.28)

C ⎛ ∂p ⎞ ⎟ = − 12 ⎜ V ⎝ ∂V ⎠T

(1.29)

p=

Constanta C1 o exprimăm din relaţia (1.26) şi o introducem în (1.27): C1 = pV p ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ =− V ⎝ ∂V ⎠ T

(1.30) (1.31)

Derivata parţială a presiunii la temperatură în condiţii izocore o exprimăm din relaţia (1.26), prin derivare şi determinarea constantei rezultând: ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ = C3 ⎝ ∂T ⎠V

C3 =

p T

p ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ∂T ⎠V T

(1.32)

(1.33)

(1.34)

Înlocuind relaţiile (1.31) şi (1.34) în relaţia (1.27), rezultă:

dp = −

p p dV + dT V T

(1.35)

Pentru a integra această ecuaţie diferenţială, procedăm la separarea variabilelor prin împărţirea expresiei cu variabila p, rezultând succesiv:

dp dV dT + − =0 p V T

(1.36)

Concepte şi definiţii

10

ln

pV = lnC ; C = constantă; T pV =C T

(1.37)

(1.38)

Constanta C se poate determina cu ajutorul legii lui Avogadro. Introducând parametrii p, V şi T la starea normală obţinem, pentru un kilomol, expresia:

p N (VM )N 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ 22,414 = = 8314 [J/kmol/K] TN 273

(1.39)

Se notează cu RM şi se defineşte următoarea mărime: RM = 8314 [J/kmol/K]

(1.40)

Ea se numeşte constanta molară universală a gazelor perfecte. Notăm cu n numărul de kilomoli, definit astfel:

n=

m M

(1.41)

m - masa gazului; M - masa moleculară a gazului. Înlocuind (1.39) şi (1.40) în (1.38), obţinem:

pV =

m RM T M

(1.42)

RM M

(1.43)

Se notează cu R şi se defineşte:

R=

Această constantă se numeşte constanta gazului, iar ecuaţia (1.42) devine:

pV = mRT

(1.44)

Ea se numeşte ecuaţia de stare a gazului perfect sau ecuaţia lui Clapeyron. În termodinamica tehnică se preferă această formulare pentru ecuaţia de stare, deoarece masa “m” exprimându-se în kilograme, face posibil ca puterea, furnizată sau consumată de sistemul termodinamic, să se exprime în waţi. 1.4.2. Amestecuri de gaze perfecte

Termotehnică şi maşini termice

11

În practică, sunt situaţii când în sistemele termodinamice evoluează amestecuri de gaze. Vom analiza în acest paragraf legile amestecurilor de gaze perfecte. Dacă toţi componenţii unui amestec sunt gaze perfecte, numim amestecul amestec de gaze perfecte. Ori de câte ori se lucrează cu un amestec de gaze, este absolut necesară cunoaşterea compoziţiei acestuia. Astfel, pentru un amestec de gaze se pot defini trei tipuri de compoziţii:

•

compoziţia masică: gi =

n

mi ; m

n

∑ mi = m ;

∑g

i =1

i =1

i

= 1;

(1.45)

unde: gi reprezintă fracţia masică; mi - masa componentului „i”; m - masa amestecului; n - numărul de componenţi.

•

compoziţia molară yi =

ni ; n

n

∑ ni = n ; i =1

n

∑y

i

i =1

= 1;

(1.46)

unde: yi reprezintă fracţie molară; ni - numărul de moli (kilomoli) ai componentului „i”; n - numărul de moli (kilomoli) ai amestecului; n - numărul de componenţi.

•

compoziţia volumică ri =

Vi ; V

n

∑V i =1

i

=V ;

n

∑r = 1; i =1

i

(1.47)

unde: ri reprezintă fracţia volumică a componentului „i”; Vi - volumul componentului „i”; V - volumul amestecului; n - numărul de componenţi. Volumele componenţilor, în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură cu amestecul, se mai numesc volume parţiale. Prin definiţie, masa moleculară a unui gaz este dată de raportul dintre masa gazului şi numărul de kilomoli. În aceste condiţii, masa moleculară pentru un component „i” se poate defini astfel:

Concepte şi definiţii

12

Mi =

mi [ kg / kmol ] ni

(1.48)

Trecerea de la o compoziţie la alta se poate face prin relaţiile:

gi =

mi

=

n

Ni M i

∑m ∑ N M i =1

i

=

n

i =1

i

i

mi N M yi = n i = n i = m Ni ∑ i ∑ i =1 M i i =1

yi M i

(1.49)

n

∑yM i =1

i

i

gi Mi n gi ∑ i =1 M i

(1.50)

Pentru a defini mărimile specifice amestecurilor de gaze, se consideră un amestec format din trei componenţi, desenaţi prin figuri geometrice distincte (figura 1.4):

componentul 1 componentul 2 componentul 3

a)

b) Fig. 1.4

În figura 1.4 a) sunt prezentaţi componenţii separaţi prin intermediul unor pereţi despărţitori care împiedică amestecarea, dar permit componenţilor să aibă aceeaşi presiune şi aceeaşi temperatură. Dacă se înlătură pereţii despărţitori, gazele se amestecă, rezultând situaţia prezentată în figura 1.4 b). Se obţine, practic, un amestec de gaze. Legătura dintre mărimile de stare ale componenţilor şi mărimile de stare ale amestecului poate fi stabilită prin intermediul legii lui Dalton sau a legii lui Amagat. Legea lui Dalton defineşte presiunea amestecului ca fiind suma presiunilor parţiale ale componenţilor. Presiunea parţială a componentului „i” se notează cu pi şi reprezintă presiunea componentului considerat în aceleaşi condiţii de temperatură şi volum cu cele ale amestecului. n

p = ∑ pi i =1

(1.51)

Termotehnică şi maşini termice

13

Legea lui Amagat defineşte volumul amestecului ca fiind suma volumelor parţiale ale componenţilor. Prin volum parţial al componentului „i”, notat cu Vi, se înţelege volumul pe care îl ocupă acesta în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură cu cele ale amestecului. n

V = ∑Vi

(1.52)

i =1

Dacă se consideră ecuaţia de stare pentru gazele perfecte aplicată componentului „i”, considerată după legea lui Amagat, şi ecuaţia de stare scrisă pentru întreg amestecul, prin împărţirea lor rezultă o relaţie între fracţiile volumice şi molare:

pVi = ni RM T

(1.53)

pV = nRM T

(1.54)

Vi ni = ⇒ ri = yi V n

(1.55)

Relaţia (1.55) arată că cele trei compoziţii care se pot defini pentru un amestec nu sunt independente, fracţiile volumice fiind egale cu fracţiile masice. Masa moleculară aparentă a unui amestec de gaze poate fi definită de una din relaţiile: n

m M= = n

∑n M i

i =1

n

i

n

n

i =1

i =1

= ∑ yi M i = ∑ ri M i

(1.56)

sau

M=

m = n

m = mi ∑M i

1 g ∑ Mi i

(1.57)

În funcţie de această mărime, se poate defini constanta amestecului:

R=

RM [ J / kg / K ]; RM = 8314 [ J / kmol / K ]; M

(1.58)

1.5 Starea energetică a unui sistem termodinamic, echilibrul termodinamic Starea energetică a unui sistem termodinamic se referă la aspectul macroscopic şi reprezintă nivelul energetic de ansamblu corespunzător tuturor particulelor conţinute.

14

Concepte şi definiţii

Intensitatea stării de agitaţie moleculară caracterizează starea energetică a sistemului şi ca urmare, în timpul unei transformări termodinamice, această intensitate se modifică. În natură sunt numeroase procese care decurg de la sine (procese naturale), de exemplu trecerea căldurii de la corpuri cu temperatură mai mare la corpuri cu temperatură mai scăzută. Acest proces se desfăşoară pe o durată finită în timp, până la stabilirea echilibrului, care în acest caz este reprezentat de egalitatea temperaturilor. Odată atins echilibrul, sistemul termodinamic izolat de mediul înconjurător nu va mai putea ieşi din această stare. Starea de echilibru intern reprezintă egalitatea, în toată masa sistemului, a valorilor tuturor parametrilor de stare ce caracterizează sistemul termodinamic. Admiţând că presiunea p şi temperatura T sunt parametrii de stare de care depinde energia gazului perfect închis în cilindrul unui motor, starea de echilibru implică egalitatea acestor valori în tot volumul cilindrului. Notăm cu indicele prim parametrii de stare ai mediului exterior, de exemplu p’, T’, etc. Dacă cel puţin unul dintre parametrii de stare ai sistemului termodinamic are o valoare diferită de valoarea parametrului corespunzător mediului exterior, de exemplu p ≠ p' sau T ≠ T ' etc., atunci sistemul termodinamic este în dezechilibru extern. Starea de echilibru extern defineşte egalitatea nivelului mediu de energie corespunzătoare sistemului termodinamic şi a mediului extern. Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem termodinamic să fie într-o stare de echilibru extern este ca valorile parametrilor de stare ai sistemului termodinamic să fie egale cu valorile parametrilor de stare ai mediului înconjurător. În capitolele ce urmează vom constata că pe lângă presiune şi temperatură vor mai apare şi alte mărimi de stare, cum sunt energia internă, entalpia, entropia, etc. Condiţiile de echilibru intern sau extern se referă la toate mărimile de stare. În termodinamica clasică se admite posibilitatea existenţei dezechilibrului extern, dar pentru simplificarea lucrurilor (a modelului matematic ce descrie fenomenul) sistemul termodinamic se consideră totdeauna in echilibru intern. Scoaterea unui sistem termodinamic din starea de echilibru extern se face prin schimb de lucru mecanic sau căldură cu mediul exterior, de exemplu pistonul unui motor comprimă gazul din cilindru, în timpul arderii gazele se încălzesc de la căldura degajată de reacţia de ardere, etc. Dezechilibrul intern al unui sistem termodinamic depinde de cât de repede se uniformizează starea energetică în masa acestuia. Timpul scurs de la producerea unui dezechilibru până la uniformizarea stării energetice în masa sistemului se numeşte timp de relaxare. Acest timp are valori diferite funcţie de proces şi sistem. Astfel, uniformizarea presiunii în masa unui gaz se face într-un interval de timp de ~10-6s, dar egalizarea concentraţiilor într-un aliaj metalic are loc în câţiva ani. Având în vedere că în interiorul sistemelor termodinamice evoluează gaze sau vapori şi că timpul de relaxare pentru aceste corpuri este scăzut, ipoteza prin care sistemele termodinamice tehnice sunt considerate în permanenţă în echilibru intern este destul de aproape de realitate.

Termotehnică şi maşini termice

15

1.6 Postulatele termodinamicii Termodinamica are la bază două postulate, care se referă la condiţiile de stabilitate şi menţinere a echilibrului unui sistem. Primul postulat al termodinamicii: Un sistem termodinamic izolat ajunge totdeauna, după încetarea interacţiunilor energetice cu exteriorul, în starea de echilibru termodinamic intern şi nu poate ieşi de la sine din această stare. Atingerea stării de echilibru şi menţinerea sistemului în această stare exprimă numai comportarea cea mai probabilă. Teoria fluctuaţiilor de la starea de echilibru arată că, datorită mişcării continue a particulelor din care este format un sistem termodinamic, pentru intervale scurte de timp sunt posibile şi stări de dezechilibru intern, dar aceste fluctuaţii reprezintă abateri spontane cu atât mai puţin probabile cu cât sistemul este compus din mai multe particule. De exemplu, considerăm un volum delimitat arbitrar în două jumătăţi, jumătatea din stânga şi jumătatea din dreapta, în care se găseşte o singură moleculă de gaz. Probabilitatea ca această moleculă să se găsească în jumătatea din dreapta este de 0.5. Dacă ar fi două molecule, probabilitatea ca ambele să se găsească în jumătatea din dreapta ar fi de 0,25. Dacă am avea un număr de molecule N, probabilitatea ca toate să se găsească în jumătatea din dreapta ar fi 1/2N, pentru gaze la presiuni şi temperaturi obişnuite N > 1020, deci probabilitatea apariţiei unei fluctuaţii este foarte mică. Al doilea postulat al termodinamicii: Toţi parametrii interni ai unui sistem termodinamic la echilibru sunt funcţii de parametri externi şi de energia sistemului. Postulatul acesta este o consecinţă a faptului că un sistem termodinamic există fizic în timp şi spaţiu, în interacţiune directă cu mediul exterior. Interacţiunile energetice cu mediul exterior produc modificări în energia internă a sistemului. Aceasta este o mărime macroscopică, care însumează energiile moleculelor ce alcătuiesc sistemul. Mărimea termodinamică ce reflectă energia moleculelor sistemului, dar caracterizează şi energia acestuia, ca mărime macromoleculară, este temperatura. Exemplul E 1.1 O cantitate de gaz perfect se află în starea 1, caracterizată de p1 = 2 [bar], V1 = 0,5 [m3] şi T1 = 1200K. Gazul parcurge o transformare izocoră până în starea 2, apoi o transformare izobară până în starea 3, astfel încât T3 = T1. Să se determine temperatura T2 şi presiunea p2. Soluţie: În figura 6.1 sunt prezentate stările gazului din problema 1. Izoterma punctului 1 fiind o hiperbolă echilateră, este simetrică faţă de prima bisectoare, iar acest lucru ne permite să scriem:

tgα =

p1 − p2 [ bar ] =1 V3 − V2 [ m3 ]

Din transformarea izocoră 1-2 exprimăm presiunea p2, iar din izobara 2-3 exprimăm volumul V3:

p1 p2 T = ⇒ p2 = p1 2 T1 T2 T1

Concepte şi definiţii

16

V2 V3 T T = ⇒ V3 = V2 3 = V1 1 T2 T3 T2 T2 Înlocuind aceste valori în expresia unghiului rezultă:

⎛ T ⎞ p1 ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ 3 ⎝ T1 ⎠ = 1 [ bar ] ⇒ T2 = V1 1 [ bar ] = 0 ,5[ m ] 1 [ bar ] = 0 ,250 [ m3 ] T1 p1 [ m 3 ] 2 [ bar ] m3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 V1 ⎜ − 1⎟ ⎜ T2 ⎟ ⎜T ⎟ ⎝ 1 ⎠

Fig. 1.5 Obţinem următoarele valori:

T2 = 0 ,250 ⋅ 1200 = 300 [ K ] T p2 = p1 2 = 2 ⋅ 0 ,250 = 0 ,5[ bar ] T1

Termotehnică şi maşini termice

17

Exemplul E 2.2 Într-un rezervor cu volumul de 10 m3 se găseşte un amestec de gaze cu următoarea compoziţie volumică: 0,7 metan (CH4), 0,2 etan (C2H6) şi 0,1 propan (C3H8). Gazele sunt la presiunea p1 = 50 [bar] şi temperatura t1 = 15 °C. a) Prin expunerea la soare, temperatura gazelor din rezervor devine t2 = 65 °C. Să se determine presiunea gazelor în această stare. b) Să se determine ce volum de gaze la starea normală trebuie extras din rezervorul cald pentru ca presiunea să rămână neschimbată. Soluţie: a) În acest caz este vorba de o transformare izocoră, prin încălzire volumul rezervorului se dilată puţin în raport cu dilatarea gazelor, astfel încât această variaţie poate fi neglijată. Aplicând relaţia transformării izocore, obţinem:

p1 p2 T 65 + 273 = ⇒ p2 = p1 2 = 50 = 67 ,36 [bar] T1 T2 T1 15 + 273 b) Punând condiţia ca presiunea în rezervorul cald să fie egală cu p1 din ecuaţia de stare, determinăm masa de gaz ce rămâne în rezervor după ce s-a extras excesul de gaze. Având în vedere că în rezervor este un amestec de gaze, determinăm mai întâi masa moleculară a acestuia:

M = ∑ ri M i = 16 ⋅ 0 ,7 + 30 ⋅ 0 ,2 + 44 ⋅ 0 ,1 = 21,6 [kg/kmol] Constanta amestecului este

R=

8314 = 384 ,9 [J/kg/K] 21,6

p2V = m2 RT2 ⇒ m2 =

p2V 50 ⋅ 10 510 = = 344 ,79 [kg] RT2 384 ,9 ⋅ 338

Masa de gaze aflată iniţial în rezervor o determinăm din ecuaţia de stare aplicată în prima situaţie:

p1V = m1 RT1 ⇒ m1 =

p1V 50 ⋅ 10 510 = = 451,04 [kg] RT1 384 ,9 ⋅ 288

Volumul de gaze extras din rezervor este dat de diferenţa de masă împărţită la densitate în starea normală. Aceasta se calculează din consecinţele legii lui Avogadro, care arată că un kilomol dintr-o substanţă are, la starea normală, un volum de 22,414 [m3].

ρN =

M 21,6 = = 0 ,9636 [kg/Nm3] 22 ,414 22 ,414

∆V =

m1 − m2

ρN

=

102 ,25 = 106 ,1 [Nm3] 0 ,9636

Primul principiu al termodinamicii

18

2. Primul principiu al termodinamicii Principiul conservării 2.1 Principiul zero al termodinamicii Temperatura este o mărime de stare intensivă, cu caracter statistic, introdusă în termodinamică ca o proprietate specifică sistemelor macroscopice. Spre deosebire de ceilalţi parametri de stare (presiune, volum), temperatura nu prezintă un etalon fizic în natură, fiind măsura intensităţii agitaţiei termice a moleculelor, practic o expresie macroscopică a energiei medii a atomilor şi moleculelor ce compun corpurile. La valori constante ale parametrilor externi, temperatura unui corp creşte o dată cu energia cinetică a particulelor componente. Pornind de la ideea intuitivă de cald şi rece, se poate constata dacă un corp îşi menţine echilibrul termic la contactul cu alte sisteme. Principiul zero al termodinamicii: Într-un sistem izolat format dintr-un număr de corpuri în contact termic, condiţia necesară şi suficientă de echilibru este egalitatea parametrului termic pentru toate corpurile considerate. Pentru o diferenţă dată de temperatură între două corpuri cu mase diferite, aduse în contact, modificarea variabilelor de stare se face diferenţiat, în sensul că aceste modificări sunt mai mari pentru corpul cu masă mai mică şi imperceptibile pentru corpul cu masă mai mare. Fenomenul se accentuează pe măsură ce raportul maselor celor două sisteme creşte, ajungându-se la situaţia în care, deşi corpul cu masă mai mică schimbă căldură, celălalt corp cu masă mai mare îşi menţine temperatura neschimbată, jucând rol de rezervor de căldură de capacitate infinită sau termostat. Corpul cu masă mai mică poate juca rol de termometru, preluând temperatura sistemului studiat fără ca, practic, acesta să-şi modifice starea. Definirea cantitativă a temperaturii prin măsurarea ei cu ajutorul unui termometru se realizează stabilind o relaţie între temperatură şi o proprietate fizico-chimică a corpului (dilataţia, efectul termoelectric, transformarea de fază, etc). Această relaţie, definită printr-o funcţie de forma T=f(m), trebuie să îndeplinească mai multe condiţii, între care: să fie continuă, monotonă şi univocă în raport cu mărimea fizico-chimică urmărită. Stabilirea unei scări termometrice este parţial arbitrară. În prezent, cele mai folosite sunt: scara Celsius (cu unitatea °C), scara Fahrenheit (cu unitatea °F) şi scara absolută de temperatură Kelvin (cu unitatea K). Relaţia între aceste scări de temperatură este:

( )

T (K ) = t oC + 273,15 =

[( )

5 o t F + 459 ,67 9

]

(2.1)

2.2 Forme de interacţiune energetică între sistem şi mediul exterior Orice sistem termodinamic există şi evoluează în strânsă legătură cu alte sisteme sau corpuri, denumite generic mediul înconjurător. Starea energetică a sistemului termodinamic este influenţată de mediul exterior pentru că în timpul evoluţiei acestuia se produc schimburi energetice între sistem şi mediu. În acest paragraf se vor analiza formele şi metodele de calcul a interacţiunilor energetice dintre sistem şi mediu.

Termotehnică şi maşini termice

19

2.2.1 Lucrul mecanic Definiţia din mecanică, a lucrului mecanic făcut de o forţa F ce acţionează asupra unui corp pe direcţia deplasării x între două limite, notate cu 1 şi 2, este: 2

L = ∫ Fdx

(2.2)

1

În esenţă, lucrul mecanic reprezintă o formă de energie, deci unitatea de măsură pentru lucru mecanic este, în Sistemul Internaţional, Joule-ul, simbolizată J. Lucrul mecanic de 1J reprezintă energia necesară deplasării unei forţe de 1N pe distanţa de 1m. L “L” motor

motor

baterie

baterie

greutate

greutate

a

b Fig. 2.1

Lucrul mecanic este o formă de energie care apare şi se manifestă la graniţa sistemului termodinamic, ca urmare a interacţiunii acestuia cu mediul înconjurător. Pentru a înţelege mai bine acest lucru, să consideram următorul exemplu: În figura 2.1 este prezentat un sistem format dintr-o baterie şi un motor electric. Lucrul mecanic făcut de sistem - conturat prin linia punctată - asupra mediului înconjurător constă în ridicarea unei greutăţi. Se observă că lucrul mecanic făcut de sistem “străbate” graniţa acestuia. Singurul efect - în acest caz - produs asupra mediului este ridicarea greutăţii. Deoarece, în general, fenomenele au o desfăşurare finită în timp, ţinând seama de durata procesului de ridicare a greutăţii putem concluziona că graniţa sistemului este străbătută de puterea necesară ridicării greutăţii. Puterea, după cum se cunoaşte, reprezintă energie pe unitatea de timp. Dacă modificăm graniţa sistemului astfel ca ea să includă numai bateria, atunci tot ce rămâne în afara graniţei se consideră mediu exterior, inclusiv motorul şi greutatea. Se pune următoarea problemă: cum interacţionează sistemul cu mediul exterior din punct de vedere al lucrului mecanic. Practic - în acest caz - macroscopic, nu observăm nici o mişcare între motor şi baterie, cu toate că greutatea este ridicată de motor. Graniţa sistemului este străbătută de energia electrică echivalentă lucrului mecanic dezvoltat de motor. Energia electrică echivalentă, raportată la durata procesului, reprezintă puterea furnizată de sistem, în acest caz, mediului exterior. Un sistem termodinamic este capabil să producă sau să preia lucrul mecanic, ca expresie a deplasării unei forţe, numai dacă graniţa sistemului termodinamic este deformabilă, iar în interiorul acestuia evoluează un gaz.

Primul principiu al termodinamicii

20

Considerăm un gaz ce evoluează în interiorul unui cilindru prevăzut la unul din capete cu un piston, lucru ce realizează, fizic, o graniţă deformabilă, fig.2.2.

Fig. 2.2 Presupunem că evoluţia gazului din interiorul cilindrului se face de la starea 1 până la starea 2. Pentru o deplasare elementară dx a pistonului, corespunde o variaţie elementară de volum dV=Adx, unde prin A s-a notat suprafaţa pistonului. Lucrul mecanic elementar făcut de gaz este:

δL = Fdx = pAdx = pdV

( 2.3)

Pentru întreaga evoluţie de la 1 la 2 a sistemului, lucrul mecanic este: 2

L12 = ∫ pdV

(2.4)

1

S-a folosit notaţia δL in loc de dL deoarece lucrul mecanic nu este o mărime de stare, ci este o mărime de proces (de parcurs). Atât timp cât sistemul considerat

Termotehnică şi maşini termice

21

(cilindrul cu gaz) nu îşi modifică starea, spre exemplu rămâne în starea 1, nu există lucru mecanic. Acesta apare numai în momentul în care sistemul începe să evolueze către starea 2. Valoarea lucrului mecanic efectuat de sistem în evoluţia sa de la 1 la 2 depinde de tipul acesteia, de restricţiile în care se desfăşoară procesul, fapt care ne conduce la concluzia că integrala lucrului mecanic depinde de drum, deci diferenţiala acestuia nu este o diferenţială totală exactă. Remarcăm şi în acest caz că lucrul mecanic apare şi se manifestă la graniţa sistemului (pistonul face parte din graniţa sistemului), străbătând-o de la interior spre mediul înconjurător sau invers. Dacă interpretăm matematic formula (2.4) de definiţie a lucrului mecanic, valoarea L12 este numeric egală cu aria de sub curba 1-2 şi axa volumului, adică aria 122’1’1 (figura 2.2). 2.2.2 Lucrul mecanic de dislocare O altă formă de lucru mecanic ce apare în sistemele tehnice este reprezentată de lucrul mecanic necesar deplasării agentului termodinamic pe conductele instalaţiilor sau maşinilor. În figura 2.3 este prezentată o conductă pe care se deplasează un volum V de fluid de la poziţia 1 până la poziţia 2, la presiune constantă. Lucru mecanic consumat pentru această deplasare este:

L = pAx = pV

(2.5)

Prin A s-a notat secţiunea conductei. Lucrul mecanic de dislocare (sau de deplasare) reprezintă interacţiunea energetică a sistemului termodinamic cu mediul, datorată transferului de masă între sistem şi mediu. V

V

x 2

1 Fig. 2.3

Ipoteza în care s-a dedus această formulă, prin care am presupus că presiunea este constantă, este o ipoteză valabilă în cazul conductelor de admisie sau de evacuare a agentului termodinamic din sistem, deoarece aceste conducte au lungime mică. 2.2.3 Lucrul mecanic tehnic

Lucrul mecanic tehnic, numit şi lucrul mecanic util sau total, reprezintă lucrul mecanic total schimbat de un sistem termodinamic cu mediul exterior. Acesta se notează de regulă cu indicele “t”. În figura 2.4 este prezentată schematic o turbină. Aceasta este o maşină în care fluidul de lucru - a cărui energie pe unitatea de masă este mare (presiune, temperatură ridicate) - pătrunde printr-o conductă de admisie în maşină,

Primul principiu al termodinamicii

22

apoi se destinde acţionând asupra paletelor rotorului, cedând o parte din energie, iar în final este evacuat din maşină. Trecerea fluidului prin maşină face ca turbina să producă un lucru mecanic util, care poate fi cules la arborele maşinii. Utilizând notaţiile din figura 2.4 putem scrie:

Lt 12 = p1V1 + L12 − p2V2

(2.6)

p1V1

Lt12

L12

p2V2 Fig. 2.4 Semnificaţia termenilor este următoarea: - Lt12 reprezintă lucrul mecanic tehnic făcut de sistemul termodinamic prin trecerea agentului termodinamic de la starea 1 la starea 2; - p1V1 reprezintă lucrul mecanic de dislocare datorat admisiei agentului termodinamic în sistem; el este pozitiv, deoarece este adus în sistem o dată cu procesul de admisie; - L12 reprezintă lucrul mecanic al variaţiei de volum (formula 2.4) efectuat de agentul termodinamic în sistem datorită variaţiei volumului specific între stările 1 şi 2; - p2V2 reprezintă lucru mecanic consumat pentru evacuarea agentului termodinamic din sistem; el este negativ, deoarece consumă o parte din energia sistemului. Ţinând cont de formula (2.6), putem scrie: 2

2

2

2

1

1

1

1

Lt 12 = p1V1 + ∫ pdV − p2V2 = ∫ pdV − ( p2V2 − p1V1 ) = ∫ pdV − ∫ d ( pV ) 2

2

1

1

Lt 12 = ∫ [ pdV − d ( pV )] = ∫ [ pdV − pdV − Vdp ]

(2.7)

(2.8)

Termotehnică şi maşini termice

23

2

Lt 12 = ∫ − Vdp

(2.9)

1

Interpretarea matematică a formulei (2.9) ne arată că lucrul mecanic tehnic este ca valoare - numeric egal cu aria de sub curba transformării 1-2 şi axa presiunilor, adică aria 122’1’1, figura 2.5.

Fig. 2.5

2.2.4 Alte forme de interacţiune energetică echivalente lucrului mecanic Sistemele termodinamice întâlnite în tehnică la ora actuală au o structură complexă şi pot interacţiona cu mediul exterior prin diverse forme de energie: - Interacţiunea datorată tensiunii superficiale - poate apare atunci când graniţa sistemului este formată de suprafaţa uni lichid. Energia schimbată de sistem cu mediul este dată de formula:

Primul principiu al termodinamicii

24

2

L12 = − ∫ τda

(2.10)

1

τ - tensiunea superficială; da - modificarea elementară a ariei;

-

Energie datorată deformării elastice - apare atunci când graniţa sistemului este metalică şi suferă deformări elastice. Pentru deformarea pe o singură direcţie, putem scrie următoarea formulă: 2

L12 = − ∫ σdx

(2.11)

1

-

σ - efortul unitar; dx – deplasarea elementară; Energia câmpului magnetic - poate apare atunci când fluidul sau părţi ale sistemului au proprietăţi magnetice: 2

L12 = − ∫ µ0 Hd (Vπ )

(2.12)

1

µ 0 - permeabilitatea vidului; V – volumul; H – intensitatea câmpului magnetic; π - magnetizarea; -

Energia câmpului electric - poate apare atunci când agentul termodinamic sau părţi ale sistemului sunt bune conducătoare de curent: 2

L12 = − ∫ Eds

(2.13)

1

E reprezintă intensitatea câmpului electric; ds arcul elementar; Se remarcă similaritatea formulelor, în fiecare dintre ele energia elementară fiind dată de produsul dintre o mărime intensivă şi variaţia elementară a unei mărimi extensive. Aceste forme de energie apar şi se manifestă atunci când se produc modificări ale graniţelor sistemului termodinamic şi desigur, există condiţii locale pentru manifestarea acestor forme de energie. Toate aceste forme de energie trebuiesc luate în considerare, dacă este cazul, la analiza sistemelor termodinamice. Ele constituie generalizarea noţiunii de lucru şi pentru alte forme de energie. Astfel, deformarea graniţelor sistemului este însoţită întotdeauna de apariţia unui schimb de energie sub formă de lucru mecanic, lucru mecanic al tensiunii superficiale, lucru mecanic de deformare elastică, lucru magnetic, lucru electric, etc. Variaţia elementară de lucru poate fi exprimată de o formulă care cuprinde toate aceste forme de energie: dL = pdV − τdA − σdx − µ0 Hd ( Vπ ) − Eds

(2.14)

Termotehnică şi maşini termice

25

2.2.5 Lucrul mecanic al unui ciclu termodinamic Dacă un sistem termodinamic funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic, el poate produce un lucru mecanic util sau poate consuma lucru mecanic. Fie ciclul termodinamic din figura 2.6, ne propunem să determinăm modul de calcul al lucrului mecanic asociat acestui ciclu. Transformările termodinamice reprezentate de arcul 1A2 produc un lucru mecanic egal cu aria cuprinsă între curbă şi axa volumelor: 2

L12 = ∫ pdV = A1M 2V2V1

(2.15)

1

Lucrul mecanic produs de transformările reprezentate de arcul de curbă 2N1 este, în mod asemănător, egal cu aria cuprinsă de curbă şi axa volumelor, dar - având în vedere sensul de parcurgere al curbei - el va fi negativ. 1

L21 = ∫ pdV = − A2V2V1 1 N 2 2

Fig. 2.6

(2.16)

Primul principiu al termodinamicii

26

Lucrul mecanic al ciclului este suma lucrurilor mecanice ale transformărilor care compun ciclul. Însumând lucrurile mecanice şi având în vedere semnul rezultat din sensul de parcurgere a ciclului, acesta este:

Lc = L12 + L21 = A1M 2 N 1

(2.17)

Lucrul mecanic al ciclului este numeric egal cu aria ciclului. 2.2.6 Căldura Căldura este forma de energie care apare şi se manifestă la graniţa sistemului şi se datorează diferenţei de temperatură între sistem şi mediu. Ori de câte ori există o diferenţă de temperatură între sistem şi mediu, apare această formă de energie. Ea trece de la zona cu temperatura mai ridicată către zona cu temperatură scăzută. Condiţia de existenţă a căldurii este existenţa unei diferenţe finite de temperatură. Despre un corp aflat la o anumită temperatură nu putem spune că are căldură. Ca mărime, căldura se notează cu Q şi este proporţională cu diferenţa de temperatură. Pentru un corp solid sau lichid, căldura poate fi exprimată astfel:

Q = mc∆T

(2.18)

în care m – este masa corpului; c – căldura specifică; ∆T - diferenţa de temperatură.

2.2.7 Caracteristici ale interacţiunilor energetice ale sistemelor termodinamice cu mediul exterior Există multe similarităţi între căldură şi lucru mecanic; în continuare sunt precizate cele mai importante proprietăţi. Pentru uşurinţa exprimării, vom utiliza denumirea de lucru mecanic, dar proprietăţile ce vor fi enunţate sunt valabile pentru orice formă de energie inclusă în categoria de lucru generalizat: 1. Căldura şi lucru mecanic sunt fenomene tranzitorii. Sistemul termodinamic nu posedă lucru mecanic sau căldură. Acestea apar şi se manifestă numai pe durata modificării stării sistemului termodinamic, deci în transformările de stare. 2. Căldura şi lucru mecanic sunt fenomene de graniţă. Amândouă sunt observate numai la graniţele sistemului termodinamic, iar atunci când apar străbat graniţele sistemului. 3. Căldura şi lucrul mecanic, din punct de vedere matematic, nu sunt diferenţiale totale exacte. Valoarea lor în timpul unui proces de durată finită depinde de modul cum evoluează sistemul, deci de transformările de stare ale acestuia.

Termotehnică şi maşini termice

27

2.3 Primul principiu al termodinamicii Primul principiu al termodinamicii exprimă legea generală de conservare şi transformare a energiei pentru sisteme termodinamice. Funcţie de autor şi de perioada când a fost enunţat, se cunosc mai multe formulări ale acestui principiu, bazate pe anumite fenomene specifice, de importanţă restrânsă. a) Energia unui sistem termodinamic izolat se menţine constantă, oricare ar fi procesele care se desfăşoară în interiorul acestuia. b) Nu se poate realiza o maşină termică cu funcţionare continuă, care să producă lucru mecanic fără a consuma o cantitate echivalentă din altă formă de energie. c) Un perpetuum mobile de speţa I este imposibil. Perpetuum mobile de speţa I este o maşină care ar produce în permanenţă lucru mecanic, fără a consuma o altă formă de energie. S-a constatat că, pentru a produce lucru mecanic prin transformarea altor forme de energie pe o perioadă nedefinită, un sistem termodinamic trebuie să funcţioneze pe baza unui ciclu termodinamic. Enunţul primului principiu al termodinamicii este următorul: Pentru oricare ciclu termodinamic produs de sistem, suma căldurilor schimbate de sistemul termodinamic cu mediul exterior de-a lungul ciclului termodinamic este egală cu suma lucrurilor mecanice schimbate de sistem cu mediul exterior. Exprimarea matematica a primului principiu este:

∫ δQ = ∫ δL

(2.19)

Aceasta arată ca integrala curbilinie a căldurii schimbate de sistem cu mediul exterior, luată pentru întreg ciclul, este egală cu integrala curbilinie a lucrului mecanic. Pentru simbolul de diferenţiere d s-a preferat notaţia δ pentru a evidenţia faptul că mărimile respective nu sunt diferenţiale totale exacte. Stabilirea enunţurilor acestui principiu natural a avut la bază rezultatele unei mulţimi de experienţe realizate în decursul timpului, care au condus la verificări directe sau indirecte a acestei legi. 2.3.1

Formularea primului principiu al termodinamicii pentru o transformare de stare

Considerăm că sistemul termodinamic evoluează de la starea 1 la starea 2, conform reprezentării din figura 2.7. Între cele două stări se aleg arbitrar următoarele transformări, ca evoluţii posibile ale sistemului: 1A2, 2B1 şi 1C2. Considerăm că sistemul parcurge ciclul format de transformările 1A2 şi 2B1. Aplicăm formula primului principiu al termodinamicii (2.19) pentru acest ciclu, astfel putem scrie:

Primul principiu al termodinamicii

28

2

2

∫ δQ + ∫ δQ A

2

1

1

= ∫ δLA + ∫ δLB

B

1

2

1

(2.20)

Procedăm în mod similar şi pentru evoluţia posibilă a sistemului pe ciclul format din transformările 1C2 şi 2B1, obţinând: 2

2

∫ δQ + ∫ δQ C

B

1

1

2

2

1

1

= ∫ δLC + ∫ δLB

(2.21)

Fig. 2.7 Scăzând cele două relaţii şi grupând termenii, rezultă: 2

2

∫ δQ − ∫ δQ A

1

C

1

2

∫ (δQ − δL ) 1

2

2

1

1

= ∫ δLA − ∫ δLC

(2.22)

2

A

= ∫ (δQ − δL ) 1

C

(2.23)

Termotehnică şi maşini termice

29

Ţinând seama că transformările 1A2 şi 1C2 sunt transformări alese arbitrar, putem trage concluzia că integrala expresiei diferenţiale (δQ-δL) nu depinde de drumul dintre cele stări 1 şi 2, ci numai de stările iniţială şi finală. Aceste observaţii ne conduc la concluzia că expresia (δQ-δL) este, din punct de vedere matematic, o diferenţială totală exactă. Faptul că, pentru o transformare, ea depinde numai de stările iniţiale şi finale, înseamnă că această expresie este o mărime de stare. Notăm cu E mărimea respectivă; ea se numeşte energia sistemului termodinamic

dE = δQ − δL

(2.24)

δQ = dE − δL

(2.25)

sau

Forma integrală a expresiei (2.25) între stările 1 şi 2 este: Q12 = E2 − E1 + L12

(2.26)

S-au folosit următoarele notaţii: - Q12 reprezintă căldura schimbată de sistemul termodinamic cu mediul exterior în procesul 1-2; - L12 reprezintă lucrul mecanic schimbat de sistemul termodinamic cu mediul exterior în procesul 1-2; - E2-E1 reprezintă variaţia energiei sistemului în cursul procesului. Semnificaţia fizică a mărimii E constă în faptul că ea reprezintă suma tuturor formelor de energie ale sistemului termodinamic pentru o stare dată. În studiul termodinamicii este util să separăm energiile macroscopice legate de deplasarea masei sistemului şi poziţia acesteia în energie cinetică Ec şi potenţială Ep, iar toate celelalte forme de energie care reprezintă suma energiilor microscopice ale moleculelor sistemului să le notăm cu U, mărime pe care o denumim energie internă. Această formă de energie reprezintă suma energiilor de translaţie, vibraţie, potenţială, chimică, ale atomilor şi moleculelor ce constituie masa sistemului termodinamic. Expresia diferenţială a energiei sistemului este:

dE = dU + mwdw + mgdZ

(2.27)

în care mwdw (cu w s-a notat viteza de deplasare a sistemului) reprezintă energia cinetică elementară, iar mgdZ (Z simbolizează cota centrului de greutate) reprezintă energia potenţială elementară. Expresia diferenţială a primului principiu pentru o transformare de stare devine:

δQ = dU +

(

)

d mw2 + d (mgZ ) + δL 2

(2.28)

Pentru un proces termodinamic care se desfăşoară între stările 1 şi 2, integrând expresia (2.28), obţinem formularea integrală:

Primul principiu al termodinamicii

30

Q12 = U 2 − U 1 + q12 = u2 − u1 +

m(w22 − w12 ) + mg (Z 2 − Z 1 ) + L12 2

(2.29)

1 2 ( w2 − w12 ) + g (Z 2 − Z 1 ) + l12 2

(2.30)

Expresia (2.30) reprezintă situaţia în care masa sistemului este 1 kg. Pentru sisteme termodinamice deschise, prin care curge în permanenţă agentul termodinamic, lucrul mecanic total făcut de acesta este lucrul mecanic tehnic; înlocuind expresia pentru L12 din formula (2.7) în expresia (2.29), obţinem:

m(w22 − w12 ) Q12 = U 2 + p2V2 − U 1 − p1V1 + + mg (Z 2 − Z 1 ) + Lt 12 2

(2.31)

Observăm că expresiile U 2 + p2V2 şi U 1 + p1V1 sunt alcătuite numai din mărimi de stare – energia internă, care este o diferenţială totală exactă, şi produsul unor parametri de stare pV, care este şi el o diferenţială totală exactă. Acest grup de mărimi defineşte o nouă mărime de stare, numită entalpie, definită astfel :

sau

H = U + pV [J]

(2.32)

h = u + pv

(2.33)

[J/kg]

În formula (2.31) introducem entalpia, iar aceasta devine:

m(w22 − w12 ) + mg (Z 2 − Z 1 ) + Lt 12 [J] 2

(2.34)

1 2 ( w2 − w12 ) + g (Z 2 − Z 1 ) + lt 12 [J/kg] 2

(2.35)

Q12 = H 2 − H 1 + q12 = h2 − h1 +

Expresiile (2.34) şi (2.35) reprezintă formulele integrale ale primului principiu al termodinamicii, pentru o evoluţie a acestuia din stare 1 în starea 2. Formele diferenţiale ale primului principiu se obţin prin diferenţierea expresiilor (2.30) şi (2.35), rezultând:

δq = du + wdw + gdZ + pdv

(2.36)

δq = dh + wdw + gdZ − vdp

(2.37)

Dacă în aceste expresii se neglijează termenii ce reprezintă energia cinetică şi energia potenţială, obţinem pentru primul principiu următoarele forme diferenţiale:

δq = du + pdv

(2.38)

Termotehnică şi maşini termice

31

δq = dh − vdp 2.3.2

(2.39)

Formularea primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise

2.3.2.1 Ecuaţia puterilor Termodinamica clasică operează cu conceptul de sistem în echilibru. Conform acestui concept, orice evoluţie se petrece lent, în aşa fel încât sistemul să se afle în permanenţă în echilibru intern şi extern. Dacă ne referim la timpul în care are loc un proces, în acceptul termodinamicii clasice, acest timp este infinit de mare. El nu apare ca parametru în ecuaţiile transformărilor de stare. Evoluţia reală a sistemelor termodinamice se face în timp finit, astfel încât este necesară introducerea unui nou concept care să ţină seama de viteza finită de evoluţie a fenomenelor reale. Dacă în locul termenilor din ecuaţia primului principiu (2.25) utilizăm derivatele termenilor funcţie de timp, obţinem o ecuaţie care exprima viteza momentană de variaţie a energiei sistemului ca suma vitezelor momentane de variaţie a căldurii şi a lucrului mecanic. Deoarece derivata întâi a energiei la timp reprezintă putere, ecuaţia bilanţului energetic exprimată prin derivatele de ordinul unu, devine ecuaţia bilanţului puterilor. •

Q= •

dE • +L dτ

(2.40)

•

în care Q si L reprezintă viteza de variaţie a căldurii, respectiv a lucrului mecanic ce străbat graniţele sistemului. Practic, putem enunţa ecuaţia puterilor, a primului principiu al termodinamicii, astfel: viteza de variaţie a energiei sistemului este egală cu diferenţa puterilor termice şi mecanice ce străbat graniţele sistemului. Aplicarea acestei formule pentru sistemele tehnice nu este foarte simplă, deoarece trebuie luată în considerare totalitatea fluxurilor masice şi energetice la un anumit moment. În continuare se va detalia ecuaţia puterilor şi modul de aplicare a acesteia. 2.3.2.2 Legea conservării masei pentru un volum de control Procesele termodinamice pe care dorim să le analizăm se desfăşoară într-un anumit spaţiu. Este util să definim fictiv un volum de control în care vom analiza fenomenele. Acest lucru ne permite să creăm o delimitare netă între sistemul studiat (aflat în volumul de control) şi restul spaţiului, pe care îl denumim mediul înconjurător. Masa delimitată de acest volum reprezintă masa sistemului analizat. Ea poate varia în decursul timpului, funcţie de fluxurile de substanţă ce străbat sistemul. Considerăm un sistem, pentru care am definit volumul de control figura 2.8. Sistemul este reprezentat la două momente de timp foarte apropiate.

Primul principiu al termodinamicii

32

La momentul iniţial τ masa sistemului este mτ , iar masa elementară δma ce urmează a fi admisă se află la limita volumului de control, dar în afara acestuia. Masa δme care va fi evacuată se află în interiorul sistemului la limita volumului de control, dar în interiorul acestuia. La momentul următor de timp τ+dτ masa sistemului este mτ+dτ, masa elementară δma a fost admisă în volumul de control şi a ieşit masa δme. Pentru volumul de control considerat, egalăm masa sistemului la cele două momente de timp şi obţinem:

mτ + δma = mτ +dτ + δme

(2.41)

Împărţind cu intervalul elementar dτ şi făcându-l pe acesta să tindă la limită către zero, obţinem expresia legii conservării masei:

mτ + dτ − mτ δme δma + − =0 dτ dτ dτ

(2.42)

Graniţa sistemului

δma

Volumul de control

τ

msistem = mτ + δma

mτ

δma

δme τ+dτ

msistem = mτ+dτ + δme

mτ+dτ

δme Fig. 2.8

− mτ ⎞ ⎛m ⎛ δm ⎞ ⎛ δm ⎞ lim ⎜ τ + dτ ⎟ + lim ⎜ e ⎟ + lim ⎜ a ⎟ dτ →0 dτ ⎝ ⎠ dτ →0⎝ dτ ⎠ dτ →0⎝ dτ ⎠

(2.43)

Termotehnică şi maşini termice

33

• dm ⋅• + me − ma = 0 dτ

(2.44)

•

Notaţia m reprezintă derivata în raport cu timpul a masei, deci este chiar debitul masic. Legea conservări masei pentru sisteme arată că variaţia masei sistemului este suma algebrică a debitelor masice care străbat volumul de control. Pentru un sistem care schimbă masă cu exteriorul prin mai multe canale, expresia generală este: • • dm + ∑ me − ∑ ma = 0 dτ

(2.45)

Particularizând legea conservării masei pentru o conductă prin care curgerea este staţionară, figura 2.9, rezultă:

•

•

ma

me

Fig. 2.9 •

•

•

ma = me

(2.46)

d ( ρAx ) = ρAw dτ

(2.47)

ρ a Aa wa = ρ e Ae we

(2.48)

m=

În relaţia (2.48), ρ semnifică densitatea, A secţiunea si w viteza fluidului. Relaţia (2.48) reprezintă ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent. Dacă fluidul este incompresibil, relaţia (2.48) devine:

Aa wa = Ae we

(2.49)

2.3.2.3 Ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise Fenomenele reale ce se desfăşoară în maşinile şi instalaţiile termice evoluează într-un timp finit. Din această cauză, este utilă formularea matematică a primului principiu al termodinamicii în formă diferenţială, pentru un volum de control. Pornim de la ecuaţia puterilor (2.40), scrisă sub următoarea formă:

Primul principiu al termodinamicii

34

δQ (E2 − E1 ) δL = + dτ dτ dτ

(2.50)

Considerăm un sistem termodinamic separat de mediul înconjurător printr-un volum de control (figura 2.10) prin care circulă un agent termodinamic. Acesta este prezentat în două ipostaze, la momentul τ şi la momentul τ+dτ. Masa admisă în sistem δma, care are volumul specific va, şi se găseşte la presiunea pa, intră în sistem cu energia specifică ea, definită de următoarea expresie:

ea = ua +

wa2 + za 2

(2.51)

În mod analog, energia specifică a masei δme ce iese din sistem la momentul τ+dτ este: w2 ee = ue + e + ze (2.52) 2

δm

Granita

a

Volumul de

pa v

δm e

m

pe v

τ

δm

τ

δQ (transferat sistemului in intervalul

a

pa v

δm e

mτ+dτ Eτ+dτ

pe v

δLt (produs de sustem in intervalul Fig. 2.10

τ+dτ

Termotehnică şi maşini termice

35

Se consideră energia sistemului mărginit de volumul de control la momentul τ ca fiind: E1 = Eτ + eaδma (2.53) iar la momentul τ+dτ este :

E2 = Eτ + dτ + eeδme

(2.54)

Lucrul mecanic total făcut de sistem în acest interval de timp este egal cu lucrul mecanic tehnic ce însumează algebric lucrul mecanic al variaţiei de volum şi lucrurile mecanice de dislocare necesare admisiei masei δma şi evacuării masei δme.

δLt = δL + ( pa vaδma − pe veδme )

(2.55)

Înlocuind relaţiile (2.51), (2.52), (2.53), (2.54) şi (2.55) în expresia 2.50, rezultă:

δQ δma (ea + pa va ) = ⎛⎜ Eτ +dτ − Eτ + dτ dτ dτ ⎝

⎞ δm (ee + peve ) + δLt ⎟+ dτ ⎠ dτ

(2.56)

Ţinând cont de relaţiile:

ea + pa va = ua +

wa2 w2 + gZ a + pa va = ha + a + gZ a 2 2

(2.57)

ee + pe ve = ue +

we2 w2 + gZ e + pe ve = he + e + gZ e 2 2

(2.58)

şi trecând la limită expresia (2.56) când dτ tinde către zero, rezultă: • • ⎛ ⎞ dE • ⎛ ⎞ • w2 w2 + me ⎜⎜ he + e + gZ e ⎟⎟ + L t Q + m a ⎜⎜ ha + a + gZ a ⎟⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ dτ ⎝ ⎠

(2.59)

Considerând cazul general când sistemul are mai multe căi de admisie şi de evacuare, expresia devine : • • ⎛ • ⎛ ⎞ dE ⎞ • w2 w2 + ∑ me ⎜⎜ he + e + gZ e ⎟⎟ + L t Q + ∑ m a ⎜⎜ ha + a + gZ a ⎟⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ dτ ⎝ ⎠

(2.60)

Expresiile (2.59) şi (2.60) constituie formulările matematice ale primului principiu pentru sisteme deschise. O simplificare importantă se poate obţine pentru regimurile de funcţionare staţionare ale sistemelor termodinamice, deoarece în acest caz energia sistemului rămâne constantă în timp, deci derivata ei se anulează.

Primul principiu al termodinamicii

36

• ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ • wa2 we2 + gZ a ⎟⎟ = ∑ me ⎜⎜ he + + gZ e ⎟⎟ + L t Q + ∑ m a ⎜⎜ ha + 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ •

•

(2.61)

Alte particularizări importante se obţin din relaţia (2.61) prin introducerea de restricţii suplimetare. Ecuaţia energiei pentru curgerea adiabată, fără frecare, a unui fluid compresibil în interiorul unei conducte, este:

ha +

w2 wa2 + gZ a = he + e + gZ e 2 2

(2.62)

Particularizarea relaţiei (2.61) pentru curgerea izotermă a unui fluid incompresibil printr-o conductă ne conduce la ecuaţia lui Bernoulli.

pa

ρa

+

p w2 wa2 + gZ a = e + e + gZ e ρe 2 2

(2.63)

2.4 Evaluarea energiei interne şi a entalpiei Pentru a putea aplica ecuaţiile primului principiu, trebuie să existe posibilitatea definirii energiei interne şi a entalpiei agentului termodinamic. Deoarece în sistemele termodinamice în care are loc transformarea căldurii în lucru mecanic sau invers, agenţii termodinamici sunt în fază gazoasă, vom prezenta modul de calcul al energiei interne şi al entalpiei pentru gaze. O caracteristică comună atât energiei interne, cât şi entalpiei, o constituie faptul că aceste mărimi sunt mărimi de stare, adică ele se pot determina complet în fiecare stare a sistemului, iar variaţia lor nu depinde de modul cum se face evoluţia sistemului între cele două stări, ci numai de valorile pe care le au în starea iniţială şi finală. Din punct de vedere matematic, ele sunt diferenţiale totale exacte. Se consideră energia internă ca fiind funcţie de volum şi temperatură, u (v ,T ) , prin diferenţiere obţinem: ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ du = ⎜ ⎟ dT + ⎜ ⎟ dv ⎝ ∂T ⎠ v ⎝ ∂v ⎠T

(2.64)

Cercetări experimentale au demonstrat că la gaze energia internă nu variază funcţie de volum, ea fiind funcţie numai de temperatură. Derivata parţială a energiei interne la temperatură, în condiţii de volum constant, a primit denumirea de căldură specifică izocoră, definită prin expresia următoare: ⎛ ∂u ⎞ cv = ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠v

(2.65)

Termotehnică şi maşini termice

37

Considerând entalpia ca o funcţie de presiune şi temperatură h( p ,T ) , prin diferenţiere obţinem:

⎛ ∂h ⎞ ⎛ ∂h ⎞ dh = ⎜ ⎟ dT + ⎜⎜ ⎟⎟dp ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂p ⎠

(2.66)

Pentru gaze perfecte s-a constatat că entalpia nu depinde de presiune, iar derivata parţială a acesteia funcţie de temperatură a fost denumită căldură specifică izobară, având următoarea formulă de definiţie:

⎛ ∂h ⎞ cp = ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ p

(2.67)

Dacă considerăm un proces izobar de evoluţie a unui sistem termodinamic şi aplicăm formele diferenţiale ale primului principiu (2.38) şi (2.39) în care introducem expresiile (2.65) şi (2.67), pentru p = constant, obţinem:

δq = cv dT + pdv

(2.68)

δq = c p dT

(2.69)

Din ecuaţia de stare a gazului perfect, scrisă pentru 1 kg de gaz perfect sub forma pv = RT , pentru un proces izobar exprimăm produsul pdv:

pdv = RdT

(2.70)

Egalând relaţiile (2.68) şi (2.69) rezultă:

c p − cv = R

(2.71)

Relaţia de mai sus poartă numele de relaţia lui Robert Mayer. Raportul dintre căldurile specifice izobară şi izocoră se notează cu k şi se numeşte exponent adiabatic.

k=

cp cv

(2.72)

Cele două mărimi reprezintă proprietăţi ale substanţelor; pentru gaze perfecte ele se pot determina în funcţie de constanta gazului şi exponentul adiabatic. Considerând relaţiile (2.71) şi (2.72) ca un sistem de ecuaţii cu necunoscutele cv şi cp, prin rezolvarea sa obţinem:

cp =

k R k −1

(2.73)

Primul principiu al termodinamicii

38

cv =

1 R k −1

(2.74)

Expresiile (2.73) şi (2.74) permit calcularea căldurilor specifice izocore şi izobare pentru gazele perfecte. Valorile obţinute cu aceste relaţii sunt diferite de valorile reale. Chiar dacă un gaz, prin comportarea sa în anumite intervale de presiune şi temperatură, poate fi aproximat cu un gaz perfect, pentru calcularea mărimilor energetice (energie internă, entalpie, etc) în tehnică se utilizează valorile reale ale acestor mărimi. Cercetări experimentale au arătat că valorile căldurilor specifice ale gazelor reale variază puternic funcţie de temperatură şi mult mai puţin funcţie de presiune. În figura 2.11 este prezentată variaţia căldurii specifice izobare pentru un gaz real. Din punct de vedere matematic, curba de variaţie este - de regulă - exprimată printr-o regresie polinomială, de exemplu relaţia (2.75): c p (T ) = a0 + a1T + a2T + a3T 2 + ...

(2.75)

cp cp(T ) cpm

T2

T1

T

Fig. 2.11 Pentru un proces care se desfăşoară între temperaturile 1 şi 2, se utilizează căldura specifică izobară medie obţinută cu ajutorul mediei integrale, relaţia (2.76): 2

c pm =

1 c p (T )dT T2 − T1 ∫1

(2.76)

În mod analog se procedează şi în cazul căldurii specifice izocore. 2.5 Analiza energetică a transformărilor de stare Analiza evoluţiilor posibile ale unui sistem termodinamic a evidenţiat faptul că acesta poate trece de la o stare la alta printr-un număr limitat de transformări. În timpul evoluţiei, agentul termodinamic interacţionează cu mediul exterior, modificându-şi parametrii de stare şi parametrii energetici.

Termotehnică şi maşini termice

39

l12 2

1

p2, v2, T2, u2, h2 q12

p1, v1, T1, u1, h1 Fig. 2.12 Considerând agentul termodinamic gaz perfect, se vor analiza succesiv toate evoluţiile posibile ale sistemelor termodinamice. Relaţiile matematice care se vor deduce în acest paragraf constituie baza analizei termodinamice a sistemelor. Analiza energetică a sistemului termodinamic se va face asupra evoluţiei reversibile a acestuia între două stări, conform schemei din figura 2.12 Notăm cu 1 starea iniţială a sistemului. În această stare, parametrii sistemului se notează cu indicele 1. Starea finală se notează cu 2, la fel şi indicii parametrilor din această stare. În timpul evoluţiei sistemului, interacţiunea acestuia cu mediul înconjurător se poate face prin lucru mecanic şi căldură. Valorile acestor mărimi, în timpul trecerii sistemului de la starea 1 la starea 2, s-au notat cu indicii 1,2. Se va considera, pentru simplitate, masa sistemului termodinamic egală cu 1kg şi se va determina pentru fiecare tip de transformare variaţia mărimilor de stare: energie internă şi entalpie, dar şi schimburile energetice cu mediul exterior, materializate prin variaţia căldurii şi lucrului mecanic. 2.5.1 Transformarea izocoră Trecerea sistemului termodinamic de la starea iniţială, notată cu 1, la starea finală, notată cu 2, se face cu o restricţie, volumul sistemului rămâne neschimbat pe durata transformării; acest lucru, din punct de vedere matematic, este reprezentat de condiţia: v = cons tan t . Condiţia introdusă în ecuaţia (1.38) permite stabilirea ecuaţiei transformării:

p1 p2 = T1 T2

(2.77)

În figura 2.13 este reprezentată grafic, în diagrama pV , o transformare izocoră ce se desfăşoară între stările reprezentate de punctele 1 şi 2. Se constată că în această evoluţie de volum constant, variază presiunea şi temperatura.

Primul principiu al termodinamicii

40

Energia internă fiind o diferenţială totală exactă, variaţia acestei mărimi nu depinde de drum, deci de felul transformării, ci numai de valorile în stările iniţială şi finală. Acelaşi lucru se poate spune şi despre entalpie.

∆u = u2 − u1 = cv (T2 − T1 )

(2.78)

∆h = h2 − h1 = c p (T2 − T1 )

(2.79)

Lucrul mecanic, lucrul mecanic tehnic şi căldura nefiind diferenţiale totale exacte, variaţia lor depinde de felul transformării, iar acest lucru se traduce prin faptul că integrarea formelor diferenţiale se face pe baza ecuaţiei transformării (2.77), adică se ţine seama de restricţia de volum constant. 2

l12 = ∫ pdv = 0

(2.80)

1

2

lt 12 = − ∫ vdp = −v( p2 − p1 ) = v( p1 − p2 ) = R(T1 − T2 ) 1

Fig.2.13

(2.81)

Termotehnică şi maşini termice

41

Căldura schimbată cu mediul exterior se determină prin integrarea ecuaţiei primului principiu (2.38): 2

q12 = ∫ (du + pdv ) = u2 − u1 = ∆u

(2.82)

1

2.5.2 Transformarea izobară Trecerea sistemului termodinamic de la starea iniţială, notată cu 1, la starea finală, notată cu 2, se face pentru această transformare cu restricţia p = cons tan t . Această condiţie, introdusă în ecuaţia (1.38), permite stabilirea ecuaţiei transformării:

v1 v2 = T1 T2

(2.83)

În figura 2.14 este reprezentată în diagrama pV o evoluţie izobară a sistemului. Se remarcă în procesul izobar variaţia volumului şi temperaturii între stările iniţiale şi finale ale procesului.

Fig. 2.14

Primul principiu al termodinamicii

42

Variaţia de energie internă si variaţia de entalpie pentru transformarea izobară se poate calcula astfel:

∆u = u2 − u1 = cv (T2 − T1 )

(2.84)

∆h = h2 − h` 1 = c p (T2 − T1 )

(2.85)

După cum observăm, aceste formule rămân neschimbate indiferent de tipul transformării (izobară, izocoră, etc), deoarece sunt diferenţiale totale exacte şi nu depind decât de stările iniţială şi finală, iar prin definiţie energia internă se determină cu căldura specifică izocoră, iar entalpia cu cea izobară. Schimburile energetice cu mediul exterior, pentru această transformare, se calculează astfel: - lucrul mecanic 2

2

1

1

l12 = ∫ pdv = p ∫ dv = p(v2 − v1 ) = R(T2 − T1 )

(2.86)

- lucrul mecanic tehnic 2

lt 12 = − ∫ vdp = 0

(2.87)

1

- căldura schimbată în cursul procesului 2

2

1

1

q12 = ∫ (dh − vdp ) = ∫ c p dT = c p (T2 − T1 )

(2.88)

2.5.3 Transformarea izotermă Această transformare de stare se produce atunci când, pe durata evoluţiei sistemului, temperatura rămâne constantă. Introducând această condiţie în relaţia (1.38), rezultă ecuaţia transformării de stare izoterme: p1v1 = p2 v2

(2.89)

Ecuaţia (2.89) constituie legea evoluţiei izoterme a sistemului, care din punct de vedere matematic reprezintă ecuaţia unei hiperbole echilatere. În figura 2.15, curba 1-2 reprezintă o transformare izotermă pentru temperatura 697,61 [K]. Variaţia energiei interne şi a entalpiei se calculează prin formulele de definiţie, ţinând cont de restricţia T = constant, deci T1 = T2 :

∆u = u2 − u1 = cv (T2 − T1 ) = 0

(2.90)

Termotehnică şi maşini termice

43

∆h = h2 − h` 1 = c p (T2 − T1 ) = 0

(2.91)

Considerăm o stare intermediară, între stările iniţială şi finală ale acestei transformări, reprezentată printr-un punct curent de pe curba transformării izoterme. Notăm coordonatele acestui punct cu p şi v. Fiind un punct de pe curbă, el verifică ecuaţia curbei, deci:

p1v1 = pv ⇒ p =

p1v1 v

(2.92)

Lucrul mecanic al variaţiei de volum se calculează pe baza ecuaţiei curbei, utilizând relaţia (2.92): 2

2

dv v p = p1v1 ln 2 = RT1 ln 1 v v1 p2 1

l12 = ∫ pdv = p1v1 ∫ 1

Fig. 2.15

(2.93)

Primul principiu al termodinamicii

44

Lucrul mecanic tehnic se calculează în mod similar: 2

2

dp p p = p1v1 ln 1 = RT1 ln 1 p p2 p2 1

lt 12 = − ∫ vdp = − p1v1 ∫ 1

(2.94)

Observăm că, în cazul transformării izoterme, lucrul mecanic al variaţiei de volum este numeric egal cu lucrul mecanic tehnic. Acest fapt se datorează simetriei curbei izoterme, este simetrică faţă de prima bisectoare, iar acest lucru face ca aria cuprinsă între curba izotermă si axa volumelor să fie egală cu aria cuprinsă între curbă şi axa presiunilor. Cele două arii reprezintă lucrul mecanic al variaţiei de volum şi respectiv lucrul mecanic tehnic. Căldura se poate calcula prin integrarea formelor diferenţiale ce exprimă matematic primul principiul, ecuaţiile (2.38) sau (2.39): 2

2

1

1

q12 = ∫ (du + pdv ) = ∫ (cv dT + pdv ) = l12

(2.95)

Din relaţiile (2.93), (2.94) şi (2.95) rezultă un lucru important pentru transformarea izotermă: căldura schimbată de sistem pe durata unei transformări izoterme este numeric egală cu lucrul mecanic al variaţiei de volum şi cu lucrul mecanic tehnic.

q12 = l12 = lt 12

(2.96)

2.5.4 Transformarea adiabată Transformarea adiabată este transformarea în cursul căreia sistemul termodinamic nu schimbă căldură cu mediul exterior. Restricţia acestei transformări este q12 = 0 . Exprimată diferenţial, această condiţie devine δq = 0 . Introducând condiţia în expresia diferenţială a primului principul (2.38) şi integrând-o, vom obţine ecuaţia acestei transformări:

du + pdv = cv dT + pdv = 0

(2.97)

Din ecuaţia de stare exprimăm diferenţiala dT, pe care o introducem în ecuaţia (2.97):

pv = RT ⇒ dT =

pdv + vdT R

(2.98)

Termotehnică şi maşini termice

45

pdv(cv + R ) + cv vdp = 0 c p dv dp + =0 cv v p

(2.99)

(2.100)

Expresia (2.100) reprezintă o ecuaţie diferenţială cu variabile separate. Se defineşte exponentul adiabatic ca raportul căldurilor specifice izobară şi izocoră şi se notează cu k. c k= p (2.101) cv Prin integrarea relaţiei (2.100) obţinem ecuaţia adiabatei:

pv k = cons tan t

(2.102)

Dacă combinăm ecuaţia (2.102) cu ecuaţia de stare (1.36) obţinem încă două formulări ale ecuaţiei adiabatei:

Tv k −1 = cons tan t T p

k −1 k

= cons tan t

(2.103) (2.104)

În figura 2.16 este reprezentată grafic o transformare adiabată. Se observă că, faţă de izoterme, este o curbă mai abruptă, datorită exponentului variabilei volum, care este supraunitar. Acest lucru are drept consecinţă variaţia temperaturii în transformarea adiabată între stările iniţială şi finală. Variaţia de energie internă şi de entalpie se calculează astfel:

∆u = u2 − u1 = cv (T2 − T1 )

(2.105)

∆h = h2 − h` 1 = c p (T2 − T1 )

(2.106)

Pentru calculul lucrului mecanic al variaţiei de volum, vom exprima legea adiabatei pentru un punct curent de pe curbă, astfel:

Primul principiu al termodinamicii

46

Fig. 2.16

p1v1k vk

(2.107)

− k +1 dv − v1− k +1 1 k v2 ( p1v1 − p2v2 ) = p v = 1 1 k v −k +1 k −1 1

(2.108)

p1v1k = pv k ⇒ p = 2

2

l12 = ∫ pdv = p1v1k ∫ 1

Pentru a calcula mai simplu lucrul mecanic tehnic, vom integra a doua formă diferenţială a primului principiu (2.39), astfel: 2 ⎛ 2 ⎞ dh − vdp = 0 ⇒ ∫ dh = −⎜⎜ − ∫ vdp ⎟⎟ ⇒ lt 12 = h1 − h2 1 ⎝ 1 ⎠

(2.109)

Relaţia (2.109) ne arată că lucrul mecanic tehnic efectuat de agentul termodinamic într-o transformare adiabată se face pe baza variaţiei entalpiei sistemului. Dezvoltând relaţia (2.109), obţinem:

lt 12 = c p (T1 − T2 ) =

k k ( p1v1 − p2v2 ) R(T1 − T2 ) = k −1 k −1

( 2.110)

Termotehnică şi maşini termice

47

Din relaţiile de mai sus rezultă legătura între lucrurile mecanice ale transformării adiabate:

lt 12 = kl12

(2.111)

Datorită asimetriei curbei adiabate, lucrul mecanic tehnic este mai mare decât lucrul mecanic al variaţiei de volum.

2.5.5 Transformarea politropă Această transformare reprezintă o generalizare a transformărilor de stare prezentate până acum, deoarece permite determinarea parametrilor unui sistem termodinamic atunci când acesta evoluează fără nici o restricţie. Pentru a defini ecuaţia acestei transformări de stare se porneşte de la ecuaţia primului principiu sub formă diferenţială (2.112), care prin integrare permite deducerea ecuaţiei politropei:

δq = du + pdv

(2.112)

Pentru a putea integra ecuaţia pentru membrul stâng, se introduce următoarea notaţie: δq = cn dT (2.113) Se consideră o mărime fictivă cn, numită căldură specifică politropă, care permite exprimarea diferenţialei căldurii conform relaţiei (2.112). Cu această notaţie, relaţia (2.112) se pregăteşte pentru integrare în mod asemănător ecuaţiei adiabatei, astfel:

cn dT = cv dT + pdv ⇒ (cv − cn )dT + pdv = 0

(2.114)

(cv − cn )( pdv + vdp ) + Rpdv = 0

(2.115)

c p − cn dv dp + =0 cv − cn v p

(2.116)

Ecuaţia (2.116) este o ecuaţia diferenţială cu variabile separate. Pentru a o integra, notăm exponentul politropic cu n, el este definit de relaţia (2.116). Pentru un gaz ideal, acest coeficient este constant, lucru ce permite integrare relaţiei (2.115)

n=

c p − cn cv − cn

(2.117)

Primul principiu al termodinamicii

48

n

dv dp + = 0 ⇒ pv n = cons tan t v p

(2.118)

Relaţia (2.118) reprezintă ecuaţia politropei. Aceasta poate fi exprimată sub alte două forme, procedând la fel ca la adiabată:

T

Tv k −1 = cons tan t ;

p

k −1 k

= cons tan t

(2.119)

În figura 2.17 este reprezentată grafic o transformare politropă în diagrama pv. Calculul variaţiei energiei interne şi entalpiei se face astfel:

∆u = u2 − u1 = cv (T2 − T1 )

(2.120)

∆h = h2 − h` 1 = c p (T2 − T1 )

(2.121)

Lucrul mecanic al variaţiei de volum se determină prin efectuarea integralei pe întreaga lungime a curbei: 2

2

− n +1 dv − v1− m+1 1 n v2 ( p1v1 − p2v2 ) = p v = 1 1 n v − n + 1 n − 1 1

l12 = ∫ pdv = p1v1n ∫ 1

(2.122)

În mod asemănător se determină lucrul mecanic tehnic.

1

2

2

lt 12 = − ∫ vdp = − p1n v1 ∫ 1

1

lt 12 =

dp p

1 n

=

1 1 − +1 ⎞ ⎛ − 1 +1 n p1n v1 ⎜⎜ p1 k − p2 k ⎟⎟ n −1 ⎝ ⎠

n ( p1v1 − p2v2 ) n −1

(2.123)

(2.124)

Analizând relaţiile (2.122) şi (2.123), observăm că legătura între lucrurile mecanice ale politropei este:

lt 12 = nl12

(2.125)

În transformarea politropă este permis schimbul de căldură cu exteriorul, el se poate determina din una dintre relaţiile primului principiu, spre exemplu relaţia (2.38):

Termotehnică şi maşini termice

49

2

q12 = ∫ (du + pdv ) = ∆u12 + l12

( 2.126)

1

Fig. 2.17 Transformările izotermă, adiabată şi politropă sunt reprezentate de curbe apropiate ca aspect. Este interesant de observat poziţia lor relativă. Pentru acest lucru, s-au reprezentat în figura 2.18 trei transformări care pornesc din acelaşi punct şi se desfăşoară între aceleaşi limite de presiune. Se observă că politropa se aşează între adiabată şi izotermă, respectând relaţia dintre exponenţi volumului din ecuaţiile respective 1 < n < k . Acest lucru este adevărat pentru majoritatea transformărilor politrope întâlnite în tehnică. Izoterma reprezintă un proces ideal, greu de atins în tehnică, însă adiabata poate aproxima, destul de bine, procesele rapide din maşini şi instalaţii. În primă aproximare, procesele rapide pot fi descrise de o adiabată. O modelare mai riguroasă se poate face utilizând transformarea politropă.

Primul principiu al termodinamicii

50

Fig. 2.18 Politropa este considerată o transformare de stare generală. Prin particularizarea exponentului politropic se pot genera toate celelalte transformări de stare, astfel: - pentru n = 0 obţinem ecuaţia izobarei; - pentru n = ∞ obţinem ecuaţia izocorei; - pentru n = 1 obţinem ecuaţia izotermei; - pentru n = k obţinem ecuaţia adiabatei; Lucrări recente [22, 23] au arătat că legile fundamentale ale naturii se pot formula succint printr-o relaţie matematică de tip politropic. Particularizarea exponentului conduce la legile interacţiunilor politropice conservative pentru sisteme mecanice, termodinamice, electrice, magnetice şi electromagnetice. Exemplul E 2.1 Un compresor comprimă 0,5[Nm3/min] aer (Maer=29[kg/kmol]) de la presiunea p1=0,8[bar] şi temperatura T1=292[K], până la presiunea de 8[bar], după un proces politrop cu n=1.25. Exponentul adiabatic al aerului este k=1,4. a) Să se determine temperatura de ieşire a aerului din maşină, puterea necesară comprimării aerului şi puterea termică a sistemului de răcire.

Termotehnică şi maşini termice

51

b) Să se determine căldura ce trebuie extrasă izobar din aerul comprimat pentru a ajunge la temperatura T1. c) Să se determine puterea necesară comprimării aerului între aceiaşi parametrii după un proces izoterm şi puterea termică la care trebuie dimensionat sistemul de răcire în acest caz. Soluţie În figura 2.19 este trasată politropa 1-2pol corespunzătoare procesului de comprimare, apoi izobara 2pol-2T prin care aerul comprimat este răcit până la temperatura T1. Tot pe această diagramă s-a trasat izoterma T1 corespunzătoare punctului c). a)Temperatura T2 a aerului la ieşirea din compresor se determină din ecuaţia politropei:

⎛p ⎞ T2 = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

n −1 n

⎛ 8 ⎞ = 292⎜ ⎟ ⎝ 0 ,8 ⎠

1 ,25 −1 1 ,25

= 462 ,7 [K]

Puterea necesară procesului de comprimare este egală cu lucrul mecanic tehnic al poitropei 1-2 înmulţit cu debitul masic.

Fig. 2.19

Primul principiu al termodinamicii

52 Debitul masic: •

•

•

m = V N ρN = V N

M 29 = 0 ,5 = 0 ,01078 [kg/s] VM N 22 ,414

Puterea: •

•

P = m lt12 = m

n 1,25 8314 (462 − 292) = 2 ,44 [kW] R(T1 − T2 ) = 0 ,01 n −1 1,25 − 1 29

Puterea termică se determină din primul principiu:

[

]

• • • n ⎡ ⎤ Q12pol = m (h2 − h1 ) + lt12 = m ⎢c p (T2 − T1 ) + R(T1 − T2 )⎥ n −1 ⎦ ⎣ • ⎡ 1,4 8314 (462 − 292 ) + 1,25 8314 (292 − 462 )⎤⎥ = 0 ,73 [kW] Q 12pol = 0 ,01⎢ 1,25 − 1 29 ⎣ 1,4 − 1 29 ⎦

b) Procesul de răcire al aerului comprimat este un proces izobar, puterea termică necesară acestui proces este: •

•

(

)

•

Q R = m h2T −h 2pol = m c p (T1 − T2 ) = 0 ,01

1,4 8314 (292 − 468 ) = −1,71 [kW] 1,4 − 1 29

c) În cazul în care comprimarea este izotermă puterea se determină astfel: •

PT = m RT1 ln

p2 8314 8 = 0 ,01 292 ln = 1,92 [kW] p1 29 0 ,8

Puterea termică a sistemului de răcire este egală cu puterea necesară comprimării, deoarece în procesul izoterm lucrul mecanic tehnic este egal cu căldura schimbată în timpul procesului. •

QT = PT = 1,92 [kW] Se observă, atât numeric, cât şi din figura 2.19, că puterea obţinută printr-o comprimare izotermă este mai mică decât puterea din procesul politrop. Procesul izoterm este un proces ideal care necesită o răcire intensă a gazului pentru a menţine neschimbată temperatura acestuia, lucru nerealizabil tehnic. Procesele reale sunt procese politropice. Observăm că şi în acest caz maşina trebuie răcită, dar puterea termică necesară este mai mică. În diagrama din figura 2.19 putem vedea şi compara lucrul mecanic tehnic al procesului izoterm egal cu aria 12T2’1’1 şi lucrul mecanic al procesului politrop egal cu aria 12pol2’1’1. Exemplul E 2.2 Să se calculeze forţa de propulsie creată de un motor rachetă, cunoscând că în camera de ardere gazele au temperatura de 3000K, presiunea de 100 bar şi că motorul evacuează un debit de 25 kg/s gaze arse. Gazele arse se vor considera gaz perfect cu masa moleculară 29 kg/kmol şi exponentul adiabatic k=1.4, iar presiunea exterioară motorului este p2 = 1 bar.

Termotehnică şi maşini termice

53

Analiza problemei În figura 2.20 este prezentat schematic un motor rachetă. Gazele arse din camera de ardere se destind adiabat în ajutajul de reacţie, mărindu-şi viteza de la zero la w2. Produsul dintre debitul masic şi viteza medie a gazelor arse reprezintă forţa de tracţiune. Se consideră un volum de control reprezentat punctat în figura P4, acesta delimitează ajutajul, partea în care are loc transformarea entalpiei gazelor arse în energie cinetică. Ecuaţia pe care o utilizăm este ecuaţia (2.62), pe care o particularizăm pentru situaţia din problemă.

Fig. 2.20 Soluţie Ecuaţia energiei pentru o curgere staţionară între secţiunile 1 şi 2 este:

w22 h1 = h2 + 2 Se determină viteza:

k −1 ⎛ ⎞ kR ⎜ ⎛ p2 ⎞ k ⎟ w = 2(h1 − h2 ) = 2c p (T1 − T2 ) = 2 T1 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ k − 1 ⎜ ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠

8314 1 ,4 −1 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎞ 0 ,4 ⎟ 29 3000 1 − ⎛⎜ w= 2 ⎟ ⎜ ⎟ = 2453 ,66 m/s 1,4 − 1 ⎜ ⎝ 100 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ 1,4

Forţa de tracţiune este: •

Ftr = w ⋅ m = 2453,66 ⋅ 25 = 61,3 kN

54

Principiul al doilea al termodinamicii

3. Principiul al doilea al termodinamicii Principiul evoluţiei Principiul al doilea al termodinamicii precizează sensul de desfăşurare al proceselor naturale şi stabileşte condiţiile transformării căldurii în lucru mecanic. Desfăşurarea în mod continuu a acestei transformării energetice este posibilă numai prin realizarea unui ciclu termodinamic. Din experienţă ştim că în natură fenomenele au un anumit sens de desfăşurare; astfel, o ceaşcă de ceai fierbinte plasată pe masă va ceda căldură către mediul exterior, dar niciodată căldura obiectelor cu o temperatură mai scăzuta decât a ceştii de ceai nu va trece de la aceste obiecte şi va încălzi ceaşca. Un alt exemplu este sensul de desfăşurare al proceselor într-un automobil: întotdeauna benzina va arde producând căldură, care se transformă în energie mecanică, acţionând maşina. Benzina nu poate fi refăcută în totalitate utilizând energia mecanică ce poate fi recuperată la coborârea pantelor sau la frânare. Aceste două exemple ne arată că fenomenele din natură se desfăşoară într-o anumită direcţie. Pe durata transformărilor, o anumită parte din energie se transformă ireversibil în forme de energie ce tehnic nu mai pot fi utilizate. Practic, numai o parte din energia disponibilă la un anumit moment poate fi utilizată. Principul al doilea al termodinamicii stabileşte reguli ce permit calcularea fracţiei, din energia utilă la un moment dat, care poate fi utilizată şi cu ce randament. De asemenea, precizează sensul de desfăşurare al transformărilor, precum şi reguli de optimizare a proceselor. 3.1 Noţiuni generale despre cicluri termodinamice Principala problemă a termodinamicii constă în a stabilii legile de transformare a căldurii în lucru mecanic. Acest fapt se produce într-o maşină termică care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic. Schematic, în figura 3.1 este reprezentată o maşină termică. Maşina termică primeşte căldură Q, la temperatura T, de la o sursă cu capacitate calorică mare, astfel încât temperatura acesteia rămâne constantă. Maşina termică produce la fiecare ciclu lucrul mecanic Lc. O parte din energie este transmisă sub formă de căldură, notată cu Q0, către mediul înconjurător considerat un rezervor de căldură cu capacitate calorică infinită, astfel încât temperatura acestuia să rămână constantă, egală cu T0. Faptul că maşina termică funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic este marcat printr-un cerc în interiorul dreptunghiului ce o schematizează. Săgeata de pe cerc reprezintă sensul de parcurgere a ciclului termodinamic - după cum vom vedea, un lucru deosebit de important, deoarece acesta determină tipul maşinii, maşină de forţă care produce lucru mecanic sau maşină frigorifică care consumă lucru mecanic pentru a produce frig. În practică, s-a constatat că o maşină care produce energie mecanică prin conversia energiei termice, în mod permanent, trebuie să funcţioneze pe baza unui ciclu termodinamic. Considerăm că maşina analizată funcţionează după ciclul din figura 3.1. Maşinile termice care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic şi care au drept rezultat producerea de lucru mecanic, se numesc maşini de forţă sau motoare.

55

Termotehnică şi maşini termice

Rezervor de căldură cu temperatura T

Q

M

LC Q0

Rezervor de căldură cu tmperatura T0(T0T0). Rezervor de căldură cu temperatura T

Q

M

LC Q0

Rezervor de căldură cu temperatura T0(T0T0), contribuind la încălzirea acestuia. Eficienţa pompelor de căldură este dată de raportul căldurii utile, de această dată căldura Q folosită la încălzire, şi energia consumată reprezentată de lucrul mecanic pe ciclu.

εp =

Q Q = Lc Q − Q0

(3.5)

59

Termotehnică şi maşini termice

Eficienţa pompei de căldură se mai numeşte şi eficienţă calorică. Între cele două relaţii există o legătură:

εp =

Q Q0 + Lc = = ε f +1 Lc Lc

(3.6)

Funcţionarea pompelor de căldură este - de regulă - reversibilă, astfel că ele pot fi utilizate la încălzirea unor incinte sau la răcirea acestora, funcţie de cum sunt dirijate fluxurile de căldură Q şi Q0. Un bun exemplu pentru o astfel de maşină, ce poate fi utilizată atât la răcirea unei încăperi, cât şi la încălzirea acesteia, o constituie instalaţiile de climatizare reversibile. 3.2 Ciclul Carnot Dintre ciclurile termodinamice în cadrul cărora are loc transformarea căldurii în lucru mecanic, folosind un număr cât mai redus de surse de căldură, ciclul Carnot are o importanţă deosebită în studiul termodinamicii. El reprezintă ciclul termodinamic cu eficienţa maximă care se poate produce între două rezervoare de căldură cu temperaturi diferite.

Fig. 3.6

60

Principiul al doilea al termodinamicii

Agentul termodinamic este un gaz perfect, el este adus în contact cu două surse de căldură cu temperaturile T şi T0 (T>T0). Căldura Q este preluată în procesul izoterm 12 (fig. 3.6), iar în procesul izoterm 34 căldura Q0 este cedată mediului exterior. Între cele două procese izoterme, gazul mai suferă o comprimare adiabată 34 şi o destinderea adiabată 23. Lucrul mecanic al ciclului este reprezentat de aria cuprinsă în interiorul celor patru transformări. Eficienţa acestui ciclu se poate calcula cu relaţia (3.2). Cele două călduri care intervin în relaţie sunt călduri schimbate în lungul unor transformări izoterme; ele se calculează astfel:

Q = Q12 = p1v1 ln

v2 p = RT1 ln 1 v1 p2

Q0 = Q34 = p3v3 ln

v4 p = RT3 ln 3 v3 p4

p3 p4 η = 1− p T1 ln 1 p2

(3.7)

(3.8)

T3 ln

(3.9)

Pentru a exprima rapoartele presiunilor, utilizăm ecuaţiile adiabatelor 14 şi 23: k −1

T1

k −1 k 1

=

p

T2 p

k −1 k 2

T4

k −1 k 4

p

=

T3

k −1 k 3

T p k ⇒ 1 = 1k −1 T4 p4 k

⇒

p

k −1 k 2 k −1 k 3

T2 p = T3 p

T1 = T2 = T ⎫ p1 p2 p p = ⇒ 1 = 4 ⎬⇒ T3 = T4 = T0 ⎭ p4 p3 p2 p3

(3.10)

( 3.11)

(3.12)

În final, rezultă randamentul ciclului Carnot (3.13). Observăm că acesta depinde numai de temperaturile celor două surse de căldură.

η = 1−

T0 T

(3.13)

61

Termotehnică şi maşini termice

În mod asemănător, se poate demonstra că dacă o maşină frigorifică (fig.3.4) funcţionează după ciclul Carnot inversat, eficienţa frigorifică depinde numai de temperaturile celor două izoterme:

T0 T0 Q0 T0 = = T = T εf = Q − Q0 T − T0 1 − T0 ηC T

(3.14)

Cu ηC s-a notat randamentul ciclului motor Carnot care ar funcţiona între aceleaşi limite de temperatură. Eficienţa calorică a pompelor de căldură este dată de formula:

εp =

Q T 1 1 = = = Q − Q0 T − T0 1 − T0 ηC T

(3.15)

3.3 Enunţuri ale principiului al doilea al termodinamicii Principiul al doilea al termodinamicii mai este numit şi principiul evoluţiei. Din punct de vedere istoric, S. Carnot a fost primul care a enunţat acest principiu, precizând sensul evoluţiei transformărilor ireversibile. Există şi alte enunţuri, dintre care cele mai cunoscute sunt cele ale lui Clausius şi Kelvin-Planck, care vor fi prezentate în continuare. Toate enunţurile clasice se referă la o tratare sistemică. 3.3.1 Enunţul lui Clausius

Trecerea căldurii de la un corp mai rece către unul mai cald nu se poate face de la sine. Aceasta necesită un consum de energie. După cum s-a arătat, acest lucru este posibil în cazul pompelor de căldură, dar trecerea căldurii de la un corp mai rece la unul mai cald nu se face de la sine (în mod natural), ci se face pe baza unui consum de lucru mecanic. 3.3.2 Enunţul lui Kelvin-Planck

Este imposibilă obţinerea de lucru mecanic cu ajutorul unui sistem termodinamic care descrie un ciclu în care agentul se află în contact doar cu o sursă de căldură. Enunţul arată imposibilitatea realizării motorului monoterm, adică a unui motor care să funcţioneze pe baza unei singure surse de temperatură. Acesta ar fi un motor care ar transforma integral căldura în lucru mecanic, având un randament egal cu unu; el se mai numeşte perpetuum mobile de speţa a doua. Enunţul Kelvin-Planc interzice existenţa acestui tip de motor.

62

Principiul al doilea al termodinamicii

3.4 Entropia Din relaţiile (3.2) şi (3.13) se deduce, pentru un ciclu Carnot, o legătură între căldurile schimbate de agentul termodinamic şi temperaturile proceselor izoterme.

η = 1−

Q0 T Q Q = 1− 0 ⇒ + 0 = 0 Q T T T0

(3.16)

Considerăm un ciclu oarecare, alcătuit din transformări reversibile (fig. 3.7). În intervalul dintre cele două adiabate limită ale ciclului ducem n curbe adiabate (incluzând adiabatele limită). Între două curbe adiabate, consecutive - de exemplu, curbele notate cu i şi i+1 - se formează un ciclu elementar. Acesta este alcătuit din două adiabate 2i3i , 1i4i şi două arce de curbă 1i2i , 3i4i . Dacă adiabatele i şi i+1 sunt apropiate, putem aproxima cele două arce de curbă 1i2i şi 3i4i cu două izoterme elementare corespunzătoare temperaturilor Ti şi T0i . În acest caz, putem considera ciclul termodinamic ales împărţit în n-1 cicluri Carnot elementare, pentru care putem aplica relaţia (3.16). Pentru ciclul elementar Carnot, notat cu i, relaţia devine:

Fig. 3.7

63

Termotehnică şi maşini termice

Qi Q0 i + =0 Ti T0 i

(3.17)

Însumând toate relaţiile de tipul (3.17) pentru toate ciclurile Carnot elementare ce compun ciclul ales şi trecând la limită când numărul adiabatelor tinde către infinit, rezultă:

⎡ ⎛ Qi

lim ⎢∑ ⎜⎜⎝ T n→∞

⎣

i

+

Q0 i ⎞⎤ δQ ⎟⎟⎥ = ∫ =0 T0 i ⎠⎦ T

(3.18)

Integrala din relaţia (3.18) poartă denumirea de integrala lui Clausius. Pentru un ciclu reversibil, valoarea acestei integrale este nulă. Din punct de vedere matematic, avem de a face cu o integrală curbilinie calculată pe un contur închis, pe o curbă oarecare. Deoarece valoarea acestei integrale este nulă, rezultă că mărimea de sub semnul de integrare este o diferenţială totală exactă. Se defineşte o nouă mărime de stare numită entropie, astfel:

dS =

δQ T

[J/K]; ds =

δq T

[J/kg/K]

(3.19)

Pentru o transformare de stare reversibilă, variaţia de entropie se calculează astfel: 2

S 2 − S1 = ∫ 1

δQ T

(3.20)

sau entropia unităţii de masă: 2

s2 − s1 = ∫ 1

δq T

(3.21)

3.4.1 Variaţia entropiei pentru transformările de stare reversibile ale gazelor perfecte Pentru procesele reversibile, entropia se comportă ca o mărime de stare: variaţia ei nu depinde de drum, deci de felul transformării. Variaţia entropiei se poate calcula cu relaţia (3.21). Pentru a efectua integrala, se exprimă convenabil diferenţiala căldurii din relaţiile diferenţiale ale primului principiu (2.38) sau (2.39), iar pentru parametrii de stare se utilizează ecuaţia lui Clapeyron.

64

Principiul al doilea al termodinamicii

o Variaţia entropiei în transformarea izocoră: 2

∆s12 = ∫ 1

δq dT

2

2

T du + pdv dT = ∫ cv = cv ln 2 T T T1 1 1

=∫

(3.22)

o Variaţia entropiei în transformarea izobară: 2

δq

2

2

dh − vdp dT T ∆s12 = ∫ =∫ = ∫ cp = c p ln 2 dT 1 T T T1 1 1

(3.23)

o Variaţia entropiei în transformarea izotermă: 2

∆s12 = ∫

δq

dT 1

2

2

2

du + pdv p dv v p = ∫ dv = ∫ R = R ln 2 = R ln 1 T T v v1 p2 1 1 1

=∫

(3.24)

o Variaţia entropiei în transformarea adiabată: ∆s12 = 0

(3.25)

o Variaţia entropiei în transformarea politropă: 2

δq

2

2

du + pdv dv ⎞ T v ⎛ dT ∆s12 = ∫ =∫ = ∫ ⎜ cv + R ⎟ = cv ln 2 + R ln 2 dT 1 T T v ⎠ T1 v1 1 1⎝

(3.26)

3.4.2 Diagrame temperatură - entropie Conceptul de entropie permite utilizarea unui sistem de axe de coordonate T-s pentru reprezentarea grafică a transformărilor termodinamice. Avantajul utilizării acestui sistem de coordonate constă în faptul că transformările adiabate ce aproximează multe procese reale din tehnică sunt reprezentate prin segmente de dreaptă. În figura 3.8 este prezentat un ciclu Carnot în coordonate T-s. În această diagramă, transformările izobare şi izocore sunt reprezentate prin curbe exponenţiale. Notarea acestora se face astfel: în partea de sus şi din dreapta sunt notate valorile izobarele, iar în partea din dreapta şi de jos sunt notate valorile izocorelor. În aceste coordonate, căldura apare direct sub forma ariilor cuprinse între curbă şi axa entropiei, astfel: 2

Q = m ⋅ q12 ; q12 = ∫ Tds = T (s2 − s 1 ) 1

(3.27)

65

Termotehnică şi maşini termice

4

Q0 = m ⋅ q34 ; q34 = ∫ Tds = T0 (s4 − s3 )

(3.28)

3

Fig. 3.8 Lucrul mecanic pe ciclu este egal cu diferenţa căldurilor intrate şi ieşite pe ciclu; acesta este reprezentat în diagramă de aria ciclului. În diagramă s-a notat cu T temperatura izotermei 1-2 şi respectiv cu T0 temperatura izotermei 3-4. 3.4.3 Expresiile diferenţiale combinate ale celor două principii ale termodinamicii În cazul transformărilor termodinamice reversibile, în expresiile diferenţiale ale primului principiu (2.38), (2.39) înlocuim expresia diferenţialei căldurii din relaţia de definiţie a entropiei (3.19), rezultând expresii ce combină ambele principii:

Tds = du + pdv

(3.29)

66

Principiul al doilea al termodinamicii

Tds = dh − vdv

(3.30)

Ecuaţiile de mai sus mai sunt numite ecuaţiile fundamentale ale termodinamicii. 3.5 Variaţia entropiei în transformările ireversibile Evoluţiile reale ale sistemelor termodinamice sunt evoluţii ireversibile. Dintre cele mai frecvente surse de ireversibilitate vom aminti câteva: transferul de căldură, frecările, curgerea fluidelor reale în care apare disiparea vâscoasă sau turbulentă a energiei, laminarea, difuzia, disiparea energiei electrice prin efect Joule, etc. Toate aceste fenomene amintite mai sus produc disiparea unei părţi a energiei, astfel că - într-o transformare ireversibilă - performanţele acesteia, lucru mecanic şi randament, sunt mai mici decât în cazul unei transformări similare reversibile. Pentru o evoluţie ireversibilă a sistemului termodinamic de la 1 la 2, relaţia (3.20) are următoarea formă: 2 δQ (3.31) ∫1 T ≤ S2 − S1 Semnificaţia termenilor acestei inegalităţi este următoarea: 2

∫

δQ

- reprezintă transferul de entropie ce se produce între sistem şi mediul T exterior, odată cu transferul de căldură; 1

S 2 − S1 - reprezintă variaţia de entropie a sistemului.

Transferul de entropie între un sistem termodinamic închis (fig. 3.9) şi mediul exterior se face prin intermediul transferului de căldură (δQ). Transferul de entropie (δQ/T) se produce paralel cu transferul de căldură. Numai transferul de energie sub formă de căldură determină un transfer de entropie; schimbul de lucru mecanic între sistem şi mediu nu este însoţit de transfer de energie.

Fig. 3.9

67

Termotehnică şi maşini termice

Pentru un proces reversibil, variaţia de entropie este egală cu transferul de entropie produs pe durata procesului. În cazul proceselor ireversibile, variaţia de entropie a sistemului termodinamic este mai mare decât entropia schimbată cu mediul exterior. Diferenţa între transferul de entropie realizat în cursul procesului şi variaţia de entropie se numeşte entropie generată în timpul procesului sau producţie de entropie şi se defineşte prin relaţia: 2 δQ S gen = S 2 − S1 − ∫ (3.32) T 1

Entropia generată în timpul procesului este totdeauna pozitivă în cazul proceselor ireversibile şi nulă pentru procese reversibile. Ea constituie o măsură a ireversibilităţii proceselor. Cu cât ireversibilitatea unei transformări de stare este mai mare, cu atât entropia generată este mai mare. Entropia generată Sgen nu este o mărime de stare, ea apare în cursul transformărilor ireversibile şi depinde de tipul transformării. Inegalitatea din relaţia (3.30) are o semnificaţie deosebită deoarece arată sensul de evoluţie al fenomenelor. Orice proces real se desfăşoară cu producere de entropie, astfel încât pe parcursul evoluţiei sistemelor entropie acestora creşte. Un sistem izolat de mediul înconjurător evoluează spre starea de echilibru caracterizată prin valoarea maximă a entropiei acestuia. 3.5.1 Generarea de entropie în sistemele deschise Un sistem termodinamic deschis este un sistem care schimbă substanţă cu mediul înconjurător. Considerăm un sistem deschis (fig. 3.10), în care intră fluxurile de •

masă m a care aduc pe fiecare kilogram entropia specifică sa şi sunt evacuate fluxurile •

de masă m e care pentru fiecare kilogram au entropia specifică se . Sistemul •

interacţionează termic cu mediul exterior, fie Q puterea termică momentană schimbată •

de sistem cu exteriorul şi Q/ T fluxul de entropie asociat:

Fig. 3.10

68

Principiul al doilea al termodinamicii

Bilanţul entropiei pentru sistemul din figura 3.10 este alcătuit din fluxul de entropie primit de sistem datorită interacţiunii termice, la care se adaugă fluxurile de entropie aduse sau extrase din sistem odată cu debitele masice ce străbat sistemul. Toate acestea determină variaţia în timp a entropiei sistemului: •

Q ∂S ∑ m a sa − ∑ m e se + T ≤ ∂τ •

•

(3.33)

Putem împărţi termenii relaţiei (3.32) funcţie de semnificaţia acestora, astfel: •

Q ∑ m a sa − ∑ m e se + T = viteza de transfer a entropiei; •

•

∂S = viteza de schimbare a entropiei sistemului. ∂τ Diferenţa între relaţia pentru sisteme deschise (3.33) şi relaţia (3.31) pentru sisteme închise constă în transferul de entropie asociat debitelor masice care străbat graniţele sistemului. Pentru procese reversibile, în relaţia (3.33) este valabil semnul egal, iar pentru procese ireversibile este valabilă inegalitatea. Datorită ireversibilităţii proceselor reale, viteza de schimbare a entropiei este mai mare decât viteza de transfer a entropiei. Acest lucru a permis definirea producţiei de entropie sau a generării de entropie în sistemele deschise. Viteza de generare a entropiei în sistemele deschise, măsurată în SI în [W/K], se calculează cu relaţia: •

S gen

•

• • ∂S Q = − + ∑ m a sa − ∑ m e se ∂τ T

(3.34)

Pentru a fixa mai bine noţiunile, vom face un studiu de caz referitor la funcţionarea reală stabilizată a unei turbine, reprezentată în figura 3.11. Considerăm că în timpul destinderii în turbină agentul termodinamic nu interacţionează termic cu exteriorul; pentru a sublinia acest lucru am considerat un contur adiabatic, care nu permite schimbul de căldură cu exteriorul. În aceste condiţii, destinderea agentului termodinamic în turbină este adiabată, ireversibilitatea procesului fiind dată numai de entropia generată în timpul destinderii. Funcţionarea acestei maşini se face astfel: •

Debitul m a de agent termodinamic intră în turbină cu entalpia specifică ha şi •

entropia specifică sa. Din maşină este evacuat debitul m e având entalpia specifică he şi entropia specifică se. Turbina prelucrează diferenţa de entalpie, rezultând o putere reală la axul maşinii pe care o vom nota cu P.

69

Termotehnică şi maşini termice

Având în vedere funcţionarea stabilizată, adică termenii ce conţin derivatele funcţie de timp sunt nuli, aplicăm următoarele legi:

Fig.3.11 -

legea conservării masei: •

•

•

m a = mb = m -

primul principiu al termodinamicii, particularizarea relaţiei (2.61), ne permite calcularea puterii reale la axul obţinută la axul turbinei: •

P = m(ha − he − irev ) -

(3.35)

(3.36)

al doilea principiu al termodinamicii : •

•

S gen = m(se − irev − sa )

(3.37)

În figura 3.12 este prezentat procesul real al destinderii în turbină prin curba aeirev, iar procesul ideal, reversibil, prin curba aerev. Puterea maximă a turbinei s-ar obţine dacă ea ar funcţiona după un proces reversibil; aceasta se poate calcula astfel: •

Pmax = m(ha − he − rev )

(3.38)

Pierderea de putere datorită ireversibilităţii o notăm cu Pp şi o putem calcula ca diferenţă între puterea reală obţinută la axul maşinii şi puterea maximă teoretică: •

Pp = Pmax − P = m(he − irev − he − rev )

(3.39)

70

Principiul al doilea al termodinamicii

Din reprezentarea în diagrama TS (fig. 3.12) a proceselor observăm că temperaturile punctelor erev şi eirev sunt diferite. Definim prin T0 o temperatură medie a fluidului evacuat din turbină, calculată cu relaţia: 1 T0 = se − irev − se − rev

e − irev

∫ Tds

(3.40)

e − rev

Fig. 3.12 Diferenţa dintre entalpiile celor două puncte de evacuare, reversibil şi ireversibil, poate fi evaluată astfel:

(he −irev − he − rev ) = T0 (se −irev − se − rev )

(3.41)

Înlocuind relaţia (3.40) în relaţia (3.39), rezultă formula finală a puterii pierdute: •

•

Pp = Pmax − P = m T0 (se − irev − se − rev ) = T0 S gen

(3.42)

71

Termotehnică şi maşini termice

În relaţia (3.40) s-a ţinut seama că în procesul reversibil aerev, entropia specifică a fluidului la intrarea în turbină sa este egală cu entropia specifică a fluidului la ieşirea din turbină se-rev. Din cele expuse mai sus putem trage o concluzie importantă: puterea pierdută de turbină datorită ireversibilităţii este egală cu produsul dintre viteza de generare a entropiei şi temperatura mediului exterior. Entropia generată în sistem contribuie direct la reducerea puterii la axul turbinei. 3.5.2 Teorema Gouy - Stodola Considerăm un sistem termodinamic deschis, reprezentat schematic în figura •

3.13. Sistemul schimbă căldură cu mediul exterior, notăm puterea termică cu Q . Simultan cu fluxul termic, sistemul primeşte de la mediul exterior un flux de entropie •

Q/ T0 . Se consideră temperatura mediului exterior T0, iar graniţa sistemului se consideră la aceeaşi temperatură. Sistemul este străbătut de fluxuri masice ce contribuie la variaţia energiei sistemului şi a entropiei acestuia. Fie P puterea efectivă (la axul maşinii) furnizată de sistem:

Fig. 3.13 Ecuaţiile termodinamice care descriu acest sistem sunt: -

ecuaţia primului principiu (2.61), în care termenii au fost aranjaţi convenabil •

şi în care s-a notat derivata lucrului mecanic tehnic Lt cu puterea P: • ⎛ • ⎛ ⎞ ⎞ • w2 w2 dE = ∑ m a ⎜⎜ ha + a + gZ a ⎟⎟ − ∑ me ⎜⎜ he + e + gZ e ⎟⎟ + Q − P dτ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.43)

72

Principiul al doilea al termodinamicii

-

Ecuaţia principiului al doilea, scris pentru sisteme deschise sub forma (3.33), în care s-au aranjat convenabil termenii: •

• • Q ∂S ≥ ∑ m a sa − ∑ m e + T0 ∂τ

-

(3.44)

Ecuaţia sursei de entropie: •

S gen

•

• • ∂S Q = − + ∑ m a sa − ∑ m e ∂τ T0

(3.45)

•

Eliminând puterea termică Q între relaţiile (3.43) şi (3.44) şi aranjând convenabil termenii, obţinem pentru puterea P furnizată de sistem expresia următoare: • ⎛ • ⎛ ⎞ ⎞ ∂ w2 w2 P ≤ ∑ m a ⎜⎜ ha + a + gZ a − T0 s a ⎟⎟ − ∑ me ⎜⎜ he + e + gZ e − T0 se ⎟⎟ − (E − T0 S ) 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂τ

(3.46)

Inegalitatea corespunde cazului general pentru un proces ireversibil. Puterea atinge valoarea maximă pentru o evoluţie reversibilă a sistemului. • ⎛ • ⎛ ⎞ ⎞ ∂ w2 w2 Pmax = ∑ m a ⎜⎜ ha + a + gZ a − T0 s a ⎟⎟ − ∑ me ⎜⎜ he + e + gZ e − T0 se ⎟⎟− (E − T0 S ) (3.47) 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂τ

Procesele reale sunt procese reversibile, deci puterea reală obţinută la axul maşinii este mai mică decât puterea maximă ce se poate obţine printr-un proces reversibil. Se defineşte puterea disponibilă pierdută datorită ireversibilităţii Pp astfel:

Pp = Pmax − P

(3.48)

Puterea disponibilă pierdută este o mărime întotdeauna pozitiv definită, ea reprezintă o măsură a ireversibilităţii procesului. Ireversibilitatea este responsabilă de distrugerea parţială a puterii disponibile. În sistemele tehnice procesele sunt ireversibile, consecinţa importantă a acestui lucru fiind aceea că niciodată nu vom putea utiliza întreaga energie disponibilă iniţial în proces, deoarece o parte mai mică sau mai mare se distruge, adică se transformă în forme de energie inutilizabile tehnic, chiar în cursul procesului. O relaţie importantă leagă puterea disponibilă pierdută de generarea de entropie în timpul procesului. Înlocuind în relaţia (3.47) expresia termenilor P şi Pmax obţinem:

73

Termotehnică şi maşini termice

• ⎛ • • ⎞ ∂S Q ⎜ Pp = T0 ⎜ − − ∑ m a sa + ∑ m e ⎟⎟ = T0 S gen ⎟ ⎜ ∂τ T0 ⎠ ⎝

(3.49)

Ecuaţia (3.49) reprezintă Teorema Gouy-Stodola. Enunţul acestei teoreme este următorul: Puterea disponibilă pierdută într-un proces este direct proporţională cu producţia de entropie, constanta de proporţionalitate fiind temperatura absolută a mediului înconjurător. Pentru a măsura eficienţa unui proces ireversibil se defineşte randamentul principiului al II-lea ca fiind raportul dintre puterea efectivă, la axul maşinii şi puterea teoretică maximă, astfel: P TS P = 1 − p = 1 − 0 gen η II = (3.50) Pmax Pmax Pmax Observăm că acest randament este invers proporţional cu entropia generată în timpul procesului. Trebuie să nu se confunde acest randament impus de ireversibilitatea proceselor cu randamentul termodinamic definit anterior. Pentru a se face o distincţie clară, randamentul termodinamic clasic se mai numeşte randamentul primului principiu. Astfel, dacă avem o maşină termică care funcţionează după ciclul Carnot cu randamentul: T ηCarnot = 1 − 0 - randamentul primului principiu T şi dacă presupunem că transformările care compun ciclul sunt ireversibile, randamentul total al maşinii este produsul randamentelor:

η = ηIIηCarnot

(3.51)

3.5.3 Puterea maximă disponibilă în procesele de transport Considerând curgerea staţionară a unui fluid printr-o conductă şi notând cu 1 şi 2 parametrii fluidului la intrarea şi respectiv ieşirea din conductă, particularizând formula (3.47) obţinem puterea maximă disponibila: • ⎡⎛ ⎞⎤ ⎞ ⎛ w2 w2 Pmax = m ⎢⎜⎜ h1 + 1 + gZ 1 − T0 s1 ⎟⎟ − ⎜⎜ h2 + 2 + gZ 2 − T0 s 2 ⎟⎟⎥ 2 2 ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝

(3.52)

Această putere dată de formula (3.51) reprezintă puterea maximă de care mai dispune fluidul după ce a fost transportat în condiţii reversibile pe conductă între secţiunile 1 şi 2. Notăm: b = h − T0 s (3.53)

74

Principiul al doilea al termodinamicii

Această mărime a fost denumită funcţie de disponibilitate; ea este o proprietate termodinamică a sistemului, definită în condiţiile în care mediul înconjurător are temperatura (ce caracterizează nivelul energetic) T0. Introducând funcţia de disponibilitate, relaţia (3.52) devine: • ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ w2 w2 Pmax = m ⎢⎜⎜ b1 + 1 + gZ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ b2 + 2 + gZ 2 ⎟⎟⎥ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝

(3.54)

Dacă alegem ca referinţă starea mediului înconjurător cu temperatura T0 şi cota Z 0 , Gordon [35] defineşte puterea maximă pe unitatea de masă prin funcţia ψ , astfel: ⎛

⎞

w2

ψ = ⎜⎜ h + + gz − T0 s ⎟⎟ − (h0 − T0 s0 + gZ 0 ) 2 ⎝ ⎠

(3.55)

Cu această notaţie. puterea maximă disponibilă se poate exprima într-un proces de curgere fără interacţiuni de natură termică astfel: •

Pmax = m(ψ 1 − ψ 2 )

(3.56)

Puterea reală disponibilă este mai mică deoarece intervine puterea pierdută datorită ireversibilităţii procesului de transport. Aplicând teorema Gouy-Stodola, putem defini puterea reală disponibilă a fluidului în urma unui proces de transport pe o conductă de la secţiune 1 la 2: •

•

P = Pmax − Pp = m(ψ 1 − ψ 2 ) − S gen T

(3.57)

•

Termenul S gen reprezintă entropia generată în procesul de transport.

3.5.4 Entropia generată în cazul curgerilor cu frecare Considerăm curgerea unui fluid cu frecare printr-o conductă între secţiunile 1 şi 2. Entropia generată în timpul curgerii este datorată proceselor de disipaţie vâscoasă. În absenţa interacţiunilor termice cu mediul exterior, la limită putem considera procesul de curgere adiabat. Particularizăm relaţia (3.29) pentru acest caz: •

• 2

Tds = dh − vdp = 0 − vdp ⇒ S gen = m ∫ − 1

Pentru un proces izoterm de transport dh = 0 .

v dp T

(3.58)

75

Termotehnică şi maşini termice

• 2

•

S gen = m ∫ − R 1

⎛ p ⎞⎞ • p dp • ⎛⎜ = m⎜ − R ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎟⎟ = m R ln 1 p2 p ⎝ p1 ⎠ ⎠ ⎝

(3.59)

Relaţia între presiunile de la capetele conductei este p2 = p1 − ∆p şi dacă ∆p 1), deci la un amestec sărac. La depăşirea valorii λ = 1 se remarcă o creştere clară a procentajului de O2. Concentraţia de oxigen, împreună cu maximul bioxidului de carbon, este un indicator pentru trecerea de la zona amestecurilor bogate la zona amestecurilor sărace. Mai poate fi, însă, şi un indiciu pentru zone neetanşe în sistemul de aspiraţie şi de evacuare sau rateuri (întreruperi în procesul de ardere). 5.4.1.6 Bioxid de sulf (SO2) Sulful arde împreună cu oxigenul din aer şi formează bioxidul de sulf (SO2). În contact cu apa se formează acid sulfuros, proces cunoscut sub denumirea de „ploaie acidă”, care este nociv pentru mediu. Sulful există în cantitate mică în combustibil, mai puţin în benzină decât în motorină. 5.4.1.7 Fum / particule / negru de fum Particule de negru de fum iau naştere în mod special la arderile care au loc în motoarele diesel; aceste particule sunt formate în principal din atomi de carbon. Prin experienţe pe animale s-a determinat faptul că aceste particule sunt cancerigene.

Termotehnică şi maşini termice

169

Alte componente solide sunt: sulful, funinginea şi particulele rezultate în urma frecării. Toate bucăţelele solide din gazele de ardere formează fumul, respectiv particule. 5.4.2. Utilizarea catalizatorului pentru combaterea noxelor În prezent, cel mai utilizat catalizator este catalizatorul cu trei căi sau catalizatorul selectiv. El s-a dovedit a avea cele mai bune performanţe în tratarea gazelor de ardere la motoarele Otto. Condiţia pentru realizarea acestui lucru este o reglare lambda cu o valoare nominală λ ≈ 1. Acest concept este folosit pentru încadrarea valorilor noxelor în limitele impuse, reuşind să satisfacă cele mai severe norme.

Fig. 5.6

1 Pregătire amestec; 2 Catalizator trei căi NOx, HC, CO; 3 Sondă lambda; 4 Aparat de comandă electronic; Procesele de oxidare şi reducere a componentelor gazelor de ardere, în acest catalizator, sunt:

y⎞ y ⎛ C x H y + ⎜ x + ⎟O2 → x ⋅ CO2 + H 2 O 4⎠ 2 ⎝ 2 ⋅ CO + O2 → 2 ⋅ CO2 2 ⋅ H 2 + O2 → 2 ⋅ H 2 O 2 ⋅ NO + 2 ⋅ CO → N 2 + 2 ⋅ CO2 2 ⋅ NO + 2 ⋅ H 2 → N 2 + 2 ⋅ H 2 O Din punct de vedere constructiv, catalizatorii actuali sunt monoliţii ceramici şi metalici. Aceştia au un strat din oxid de aluminiu care măreşte suprafaţa eficientă a catalizatorului cu un factor de cca. 7000. Stratul catalitic este format, la catalizatorii de oxidare, din metalele preţioase (platină şi paladiu), la catalizatorii cu trei căi - din platină şi rodiu. Platina accelerează oxidarea hidrocarburilor şi a monoxidului de

Termodinamica arderii

170

carbon, rodiu duce la reducerea oxizilor de azot. Conţinutul de metale preţioase dintr-un catalizator este de cca. 2-3 grame. Două condiţii au o însemnătate specială pentru folosirea catalizatorilor: – Motorul trebuie alimentat cu benzină fără plumb. Combustibilul cu plumb “otrăveşte” stratul de metal preţios al catalizatorului şi duce în scurt timp la incapacitatea de lucru irevocabilă a sistemului. – Pentru obţinerea raportului optim de aer necesar procesului de transformare din catalizator, amestecul aer-combustibil va trebui măsurat exact cu o sondă lambda şi va trebui reglat în jurul valorii lambda = 1. Temperatura de funcţionare joacă la catalizator un rol important. Condiţiile de funcţionare ideale pentru o durată lungă de viaţă sunt asigurate în zona de temperatură cuprinsă între cca. 400°C - 700°C, unde îmbătrânirea termică este scăzută. Dacă se depăşesc 1000°C, îmbătrânirea termică se accentuează foarte mult, până la distrugerea catalizatorului. Datorită rateurilor în funcţionare ale motorului, cum ar fi de exemplu rateuri în aprindere, temperatura catalizatorului creşte la peste 1400°C. Astfel de temperaturi duc la distrugerea în întregime a catalizatorului prin topirea materialului suport. Pentru a evita acest lucru, trebuie ca în special sistemul de aprindere al autovehiculelor cu catalizator să funcţioneze cu foarte mare siguranţă şi fără întreţinere, lucru asigurat de către sistemele electronice. Supravegherea funcţionării catalizatorului se realizează cu sonde lambda.

Fig. 5.7

1 Electrod (+) 2 Ceramică specială 3 Carcasă

4 Racord electric 5 Ţeavă de protecţie (partea expusă la gazele de ardere) 6 Electrod (-)

În figura 5.7 este prezentată schematic o sondă lambda. La o astfel de sondă, între cei doi electrozi ia naştere o tensiune electrică ce poate fi folosită drept unitate de măsură pentru conţinutul de oxigen din gazele de ardere. Sonda lambda se caracterizează prin faptul că indică modificările din compoziţia amestecului în zona λ = 1,0 ± 0,02, adică în zona de limită între amestecuri bogate şi amestecuri sărace. Această indicare se face printr-o modificare rapidă a tensiunii (fig 5.8).

Termotehnică şi maşini termice

171

Modificarea considerabilă a tensiunii poate fi folosită pentru dirijarea sistemului de formare a amestecului. Sonda începe să lucreze abia de la o temperatură de cca. 300°C, dar temperatura optimă de lucru se situează la cca. 600°C. Pentru atingerea rapidă a unui timp de reacţie la o temperatură constantă, se folosesc des sonde încălzite electric.

Fig. 5.8 În cazul în care compoziţia amestecului deviază de la valoarea stabilită, acest lucru va fi recunoscut de către sonda lambda în baza restului de oxigen din gazele de ardere. Valoarea respectivă a tensiunii este transmisă aparatului electronic de comandă pentru prepararea amestecului. Aparatul de comandă va corecta doza de combustibil. Dacă în gazele arse nu există oxigen, înseamnă că amestecul injectat este prea bogat, drept urmare aparatul de comandă va micşora cantitatea injectată. Dacă sonda determină - după un anumit timp - oxigen în gazele de ardere, se va mări cantitatea injectată. În acest fel, amestecul va oscila în jurul valorii stoichiometrice (λ=1). Frecvenţa de reglare este condiţionată de timpul pe care gazul îl parcurge de la camera de ardere şi până la sonda lambda şi este, la ralanti, de cca. 0,5 Hz. Frecvenţa de reglare este mai mare odată cu creşterea turaţiei. Modul de lucru al sondei lambda reprezintă un exemplul clasic al unei reglări în buclă a amestecului funcţie de oxigenul din gazele de ardere. Pe lângă funcţia de reglare a amestecului aer-combustibil, sondele lambda se mai utilizează pentru supravegherea catalizatorului. În figura 5.9 este prezentată schema de montare a sondelor lambda . Prima sondă lambda, plasată în faţa catalizatorului, este utilizată pentru reglarea amestecului aer-combustibil, iar cea de-a doua - plasată după catalizator supraveghează funcţionarea acestuia. Calitatea unui catalizator depinde mult de capacitatea de utilizare a oxigenului din gazele arse pentru oxidarea noxelor. Acest lucru este folosit pentru determinarea randamentului catalizatorului. Pentru măsurarea randamentului, se montează o a doua sondă lambda, după catalizator.

Termodinamica arderii

172

Fig. 5.9

1 Aparat de comandă; 2 Sondă lambda înaintea catalizatorului; 3 Sondă lambda după catalizator; 4 Catalizator; Tensiunea sondei lambda plasată în faţa catalizatorului este prezentată cu linie continuă în figura 5.10, iar tensiunea sondei lambda plasată după catalizator este prezentată cu linie întreruptă (fig. 5.10). Se observă că amplitudinea oscilaţiilor tensiunii sondei lambda plasată după catalizator este redusă datorită scăderii cantităţii de oxigen, determinată de utilizarea acestuia în catalizator.

Fig. 5.10 Randamentul catalizatorului se calculează din diferenţa amplitudinii oscilaţiilor sondelor lambda. În timp, datorită îmbătrânirii catalizatorului, acesta îşi pierde capacitatea de a utiliza oxigenul din gazele arse, astfel încât amplitudinea semnalului sondei lambda plasată după catalizator (reprezentată cu linie punctată în fig. 5.10) devine comparabilă cu amplitudinea semnalului sondei lambda plasată în faţa catalizatorului (reprezentat cu linie continuă, fig. 5.10). În acest caz, diferenţa dintre amplitudinile celor două semnale se anulează, deci randamentul catalizatorului tinde la zero.

Termotehnică şi maşini termice

173

Catalizatorul cu trei căi oferă posibilitatea, în conlucrare cu reglarea lambda, a diminuării emisiilor de noxe, la valori prin care se pot respecta cele mai severe regulamente referitoare la gazele de eşapament. În interiorul zonei de reglare lambda sunt scăzute toate cele trei componente de noxe – CO, HC şi NOx. 5.4.3 Reducerea noxelor prin recircularea gazelor arse Recircularea gazelor de ardere constă în amestecarea unei cantităţi din gazele arse cu aerul aspirat de motor la anumite regimuri de funcţionare, pentru a scădea temperatura maximă de ardere, deci pentru diminuarea emisiunii NOx.

Fig. 5. 11

1 Traductor electro - pneumatic; 2 Gaze arse; 3 Ventil recirculare; 4 Aparat de comandă; 5 Turaţie; 6 Presiune aspiraţie; 7 Temperatură; 8 Dispozitiv de măsurare a masei de aer; Comanda sistemului se face în funcţie de cantitatea de aer, poziţia clapetei de acceleraţie (sarcina), depresiunea conductei de aspiraţie sau cea a contra-presiunii ţevii de eşapament şi turaţie. Recircularea se realizează la regimurile de ralanti si sarcini parţiale până la ~5%.

174

Termodinamica arderii

Debitul de gaze arse recirculate este: – la autovehiculele pe benzină: până la 10%, – la autovehiculele pe motorină: până la 20%. Această metodă de reducere a oxizilor de azot s-a generalizat pe toate tipurile de motoare. Ea este eficientă în special la circulaţia în aglomerările urbane. Se observă că acest procedeu permite eliminarea oxizilor de azot numai la anumite regimuri ale motorului (ralanti şi sarcini parţiale); sistemul de recirculare nu funcţionează la repriză şi la sarcini ridicate ale motorului. Din anul 1996, normele restrictive adoptate de SUA, Comunitatea Europeană, Japonia, etc. au impus utilizarea catalizatorului şi la motoarele diesel, pentru a permite eliminarea noxelor la toate regimurile.

Termotehnică şi maşini termice

175

6. Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor Acest capitol prezintă transformările energetice care au loc în procesul de curgere. Este abordată curgerea monodimensională, staţionară prin ajutaje şi prin reţelele de palete. Ajutajul este un tub scurt, profilat, în care se produce transformarea entalpiei gazului în energie cinetică sau invers. 6.1 Ecuaţiile mişcării staţionare, monodimensionale, adiabate a gazelor 6.1.1 Proprietăţile stării frânate Considerăm curgerea adiabată, monodimensională, staţionară a unui fluid. Ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru acest caz (2.62) se poate scrie sub forma: w2 h+ = h0 (6.1) 2 În ecuaţia energiei (6.1) s-au considerat două stări: starea actuală a curgerii, notată fără indice, şi o stare în care viteza fluidului este nulă, notată cu indicele “0”. Această stare, în care viteza fluidului este nulă, poate reprezenta o stare reală sau o stare teoretică. Se defineşte starea frânată, starea în care viteza fluidului este zero.

Fig. 6.1 Orice curgere a unui gaz cu o viteză nenulă poate ajunge în starea frânată prin transformarea integrală a energiei cinetice în entalpie. Dacă curgerea de la starea actuală la starea frânată este izentropică (adiabată, reversibilă), se obţine presiunea maximă p0 (teoretică), figura 6.1. În realitate, starea frânată care se poate obţine printr-o curgere adiabata ireversibilă are aceeaşi valoarea a entalpiei frânate h0 dată de formula (6.1), dar presiunea reală a gazului comprimat este mai mică decât presiunea maximă p0, iar entropia stării ce reprezintă entalpia frânată este mai mare decât entropia fluidului în starea actuală de curgere.

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

176

Diferenţa între entalpia frânată şi entalpia fluidului la un moment dat reprezintă energia cinetică a unităţii de masă, nefiind influenţată de ireversibilitatea procesului. În figura 6.2 este prezentat un ajutaj pentru care s-a definit o suprafaţă de control. Parametrii de intrare sunt notaţi cu indicele “i”, iar cei de ieşire cu “e”.

Fig. 6.2 Ecuaţiile ce descriu curgerea unui gaz prin ajutajul din figura 6.2 sunt: -

ecuaţia conservării masei: •

•

m i = m e ⇒ ρ i wi Ai = ρ e we Ae

-

(6.2)

ecuaţia energiei, obţinută prin particularizarea ecuaţiei primului principiu:

(he − hi ) + 1 (we2 − wi2 ) + g (Z e − Z i ) = 0

(6.3)

2

Pentru un proces izentropic şi un fluid incompresibil din ecuaţia fundamentală a termodinamicii, obţinem: e

Tds = dh − vdp = 0 ⇒ he − hi = ∫ vdp = i

(

1

ρ

( p e − pi )

)

1 ( pe − pi ) + 1 we2 − wi2 + g (Z e − Z i ) = 0 2 2

(6.4)

(6.5)

Ecuaţia (6.5) poartă numele de ecuaţia lui Bernoulli. -

ecuaţia transformării de stare adiabate pentru un gaz perfect este:

Te ⎛ pe ⎞ =⎜ ⎟ Ti ⎜⎝ pi ⎟⎠

k −1 k

(6.6)

Termotehnică şi maşini termice

177

6.1.2 Viteza sunetului într-un gaz perfect În cazul gazelor, care sunt fluide compresibile, orice mică perturbaţie (variaţii mici ale presiunii faţă de valoarea medie) apărută se propagă în masa gazului sub forma unor unde a căror viteză este egală cu viteza sunetului. Această viteză este un parametru important în curgerea fluidelor compresibile. În figura 6.3 este prezentată schematic o posibilitate de producere a perturbaţilor în masa unui gaz.

Fig. 6.3 Prin deplasarea pistonului de la capătul tubului se produce o perturbaţie caracterizată de o mică modificarea a parametrilor în masa gazului, care se deplasează sub forma unei unde ce are viteza c, figura 6.3 a. Pentru un observator legat de frontul de undă al perturbaţiei, situaţia parametrilor gazului este prezentată în figura 6.3 b. Considerăm o suprafaţă de control definită de frontul de undă. În partea stângă a acestei suprafeţe parametrii gazului sunt perturbaţi, iar în partea dreaptă parametrii gazului sunt neperturbaţi. Considerând curgerea staţionară într-o vecinătate a suprafeţei de control, bilanţul energetic se poate scrie: 2 ( c − dw) (h + dh ) +

2

c2 = h+ 2

(6.7)

După efectuarea calculelor, expresia de mai sus devine:

c 2 − 2 ⋅ c ⋅ dw + (dw) c2 = h + ; dw 2 ≈ 0 2 2 2

h + dh +

(

)

(6.8)

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

178

dh − c ⋅ dw = 0

(6.9)

Legea conservării masei într-o vecinătate a suprafeţei de control ne permite scrierea următoarei relaţii:

(ρ + dρ ) ⋅ A ⋅ (c − dw) = ρ ⋅ A ⋅ c

(6.10)

După efectuarea calculelor şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, obţinem:

c ⋅ dρ − ρ ⋅ dw = 0

(6.11)

Ecuaţia fundamentală a termodinamicii pentru un proces izentropic este:

Tds = dh − vdp = 0 ⇒ dh =

dp

ρ

(6.12)

Combinând relaţiile (6.9) şi (6.12), obţinem:

dp

ρ

− c ⋅ dw = 0

(6.13)

Eliminând dw din relaţiile (6.11) şi (6.13), obţinem:

dw = c

dρ

ρ

⇒

dp

ρ

− c2 ⋅

dρ

⎛ dp ⎞ ⎟⎟ = 0 ⇒ c 2 = ⎜⎜ ρ ⎝ dρ ⎠ s

(6.14)

Relaţia (6.14) ne arată că pătratul vitezei de propagare a micilor perturbaţii (viteza sunetului) în masa gazului este egal cu derivata parţială a presiunii la densitate în condiţii izentropice ( s = cons tan t ). O soluţie particulară a ecuaţiei (6.14) se poate obţine pentru un gaz ideal utilizând expresia ecuaţiei transformării adiabate:

p ⋅ vk =

p

ρ

k

(

)

= cons tan t ; ⇒ ln p ⋅ ρ −k = ln( p ) − k ⋅ ln( ρ ) = ln(C )

(6.15)

⎛ dp ⎞ dp dρ p ⎟⎟ = k = k ⋅ R ⋅ T −k = 0 ; ⇒ ⎜⎜ ρ ρ p ⎝ dρ ⎠ s

(6.16)

c = k ⋅ R ⋅T

(6.17)

Din relaţia (6.17) observăm că viteza sunetului într-un gaz depinde atât de proprietăţile termodinamice ale acestuia (k şi R), cât şi de temperatura gazului. Pentru aer la 300K şi la 1000K viteza sunetului, ea este:

Termotehnică şi maşini termice

179

c = k ⋅ R ⋅ T = 1,4 ⋅

8314 ⋅ 300 = 347 ,2 m / s 29

c = k ⋅ R ⋅ T = 1,4 ⋅

8314 ⋅ 1000 = 633 ,9 m / s 29

Mişcarea unui gaz este puternic influenţată de viteza sunetului: într-un fel se desfăşoară mişcarea gazului dacă viteza acestuia este mai mică decât viteza sunetului şi în alt fel dacă viteza gazului este mai mare ca cea a sunetului. Pentru a defini regimurile de curgere a unui gaz se introduce un criteriu adimensional, denumit criteriul lui Mach:

M=

w c

(6.18)

Dacă M < 1 , spunem că mişcarea gazului este subsonică, iar dacă M > 1 , spunem că mişcarea gazului este supersonică. 6.1.3 Caracterizarea ajutajelor funcţie de criteriul Mach Considerăm un volum elementar al fluidului care se deplasează printr-un ajutaj de secţiune variabilă. Datorită modificării secţiunii, valorile parametrilor la un moment dat pe faţa din stânga a volumului de control p, w, T, ρ, suferă o modificare infinitezimală p+dp, w+dw, T+dT, ρ+dρ (fig. 6.4).

Fig. 6.4 Ecuaţia conservării masei poate fi scrisă sub forma: •

m = ρ ⋅ A ⋅ w = cons tan t ; ⇒ ln( ρ ) + ln( A) + ln(w) = ln(C ) dρ

ρ

+

dA dw + =0 A w

(6.19) (6.20)

În ecuaţia energiei în formă diferenţială: dh + wdw = 0

(6.21)

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

180

Înlocuim diferenţiala entalpiei din ecuaţia fundamentală a termodinamicii (6.12), apoi exprimăm diferenţiala vitezei, pe care o introducem în relaţia (6.21):

dp

ρ

+ wdw = 0 ; ⇒ dw = −

dp ρ ⋅w

(6.22)

dA dρ dp dρ dp dp dp ⎛ 1 1⎞ =− + =− + = ⎜ 2− 2⎟ 2 2 A ρ ρ ⋅w ρ dp ρ ⋅ w ρ ⎝w c ⎠

(6.23)

dA dp (1 − M 2 ) = A ρ ⋅ w2

(6.24)

Relaţia (6.24) permite analiza influenţei variaţiei secţiunii asupra curgerii prin ajutaje. Rezultatul discuţiei este sintetizat în figura 6.5:

Fig. 6.5

(

)

În regim subsonic M < 1; ⇒ 1 − M 2 > 0 , presiunea şi secţiunea ajutajului variază în acelaşi sens, astfel: - pentru un ajutaj convergent, dacă secţiunea scade dA < 0 rezultă şi o scădere a presiunii dp < 0 , iar din ecuaţia (6.5) deducem o creştere a vitezei; - pentru un ajutaj divergent, numit şi difuzor, dacă secţiunea creşte dA > 0 rezultă o creştere a presiunii dp > 0 şi o scădere a vitezei; În regim supersonic M > 1; ⇒ 1 − M 2 < 0 , presiunea şi secţiunea ajutajului variază în sensuri opuse, astfel: - pentru un ajutaj convergent, dacă secţiunea scade dA < 0 rezultă şi o creştere a presiunii dp > 0 , iar din ecuaţia (6.5) deducem o scădere a vitezei;

(

)

Termotehnică şi maşini termice

181

pentru un ajutaj divergent, numit şi difuzor, dacă secţiunea creşte dA > 0 rezultă o scădere a presiunii dp < 0 şi o creştere a vitezei; Dacă dA = 0 ; ⇒ M = 1; , acest lucru ne arată că viteza sunetului se poate atinge numai într-o secţiune a ajutajului, ca de exemplu secţiunea de ieşire a ajutajului convergent - dacă acesta lucrează în regim subsonic - sau în secţiunea de intrarea a ajutajului divergent, dacă acesta lucrează în regim supersonic. -

6.1.4 Parametrii frânaţi şi parametrii critici Pornind de la relaţia (6.1), exprimăm viteza de curgere funcţie de parametrii stării frânate: h+

kRT ⎛ T0 w2 ⎞ = h0 ; ⇒ w 2 = 2 ⋅ c p0 ⋅ (T0 − T ) = 2 ⎜ − 1⎟ k −1⎝ T 2 ⎠

(6.25)

Din relaţia (6.16) înlocuim viteza sunetului în relaţia (6.24) şi obţinem: w2 2 ⎛ T0 ⎞ =M2 = ⎜ − 1⎟ 2 c k −1⎝ T ⎠

(6.26)

T0 (k − 1) M 2 = 1+ T 2

(6.27)

Ţinând cont de ecuaţiile transformării izentropice, rezultă: k

p0 ⎡ (k − 1) 2 ⎤ k −1 M ⎥ = 1+ p ⎢⎣ 2 ⎦

(6.28)

1

ρ 0 ⎡ (k − 1) 2 ⎤ k −1 M ⎥ = 1+ 2 ρ ⎢⎣ ⎦

(6.29)

În condiţiile în care într-o secţiune a ajutajului se atinge viteza sunetului, curgerea se numeşte critică, iar parametrii acesteia se notează cu “*”. Valorile parametrilor critici funcţie de parametrii frânaţi se obţin din relaţiile (6.27), (6.28) şi (6.29), prin introducerea valorii 1 pentru criteriului M:

T* 2 = T0 k + 1

(6.30)

k

p * ⎛ 2 ⎞ k −1 =⎜ ⎟ p0 ⎝ k + 1 ⎠

(6.31)

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

182

1

ρ * ⎛ 2 ⎞ k −1 =⎜ ⎟ ρ0 ⎝ k + 1 ⎠

(6.32)

6.2 Ajutajul convergent În figura 6.6 este prezentat un ajutaj convergent. În acest ajutaj, în cazul curgerii subsonice se produce transformarea energiei gazului, reprezentată prin entalpie în ecuaţia (6.5), în energie cinetică. În cazul regimului supersonic, ajutajul lucrează ca un compresor, mărind presiunea şi temperatura gazului, deci entalpia, în baza scăderii energiei cinetice.

Fig. 6.6 Dacă considerăm parametrii iniţiali ai gazului egali cu parametrii frânaţi, notaţi cu indicele zero, parametrii gazului într-o secţiune a ajutajului funcţie de parametrii frânaţi se determină cu formulele (6.27), (6.28) şi (6.29). Dacă notăm cu A o secţiune oarecare a ajutajului, viteza şi debitul în această secţiune sunt: k −1 ⎡ ⎤ k −1 k ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ w2 k p k ⎢ ⎥ ⎜ = h0 ; ⇒ w = 2 = 2 h+ RT 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ RT ⎜ 1 − β k ⎟⎟ ⎢ ⎝ p0 ⎠ ⎥ 2 k −1 k −1 ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(6.33)

S-a notat cu β raportul dintre presiunea din secţiunea curentă a ajutajului şi presiunea frânată, considerată ca fiind presiunea din secţiunea de intrare a ajutajului. Pentru calculul debitului exprimăm, din ecuaţia adiabatei, densitatea în secţiunea curentă funcţie de densitatea frânată. k

1

1 1 ⎛ p ⎞k p0 ⎛ ρ 0 ⎞ p0 k k = ⎜ ⎟ ; ⇒ ρ = ρ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ = ρ 0 β = β p ⎜⎝ ρ ⎟⎠ RT0 ⎝ p0 ⎠

(6.34)

Termotehnică şi maşini termice

183

Debitul în secţiunea curentă va fi: •

m = ρ ⋅ A⋅ w = A

p0 RT0

2

2 k +1 ⎞ k ⎛⎜ k k ⎟ − β β ⎟ k − 1 ⎜⎝ ⎠

(6.35)

Se observă că debitul depinde de regimul de presiuni din ajutaj. Dacă considerăm presiunea p egală cu presiunea din secţiunea de ieşire, vom căuta o valoare a raportului beta pentru care debitul devine maxim în ajutaj. Din relaţia (6.35) remarcăm că există două valori pentru care se anulează debitul, β = 0 şi β = 1 . Pentru a găsi o valoare care să maximizeze relaţia (6.34), ţinem seama de faptul că radicalul este o funcţie monotonă şi, în consecinţă, căutam maximul expresiei de sub radical. Pentru aceasta, anulăm derivata cantităţii de sub radical: k

2 k +1 ⎞ d ⎛⎜ k ⎛ 2 ⎞ k −1 k ⎟ − = ⇒ = 0 ; β β β ⎜ ⎟ cr ⎟ dβ ⎜⎝ ⎝ k +1⎠ ⎠

(6.36)

Se observă că valoarea lui beta, pentru care debitul este maxim, este similară cu relaţia (6.30). Debitul maxim se obţine prin înlocuirea expresiei lui beta critic în relaţia (6.34) şi obţinem: •

m max = AE

p0 RT0

k +1

⎛ 2 ⎞ k −1 k⎜ ⎟ ⎝ k +1⎠

(6.37)

În graficul din figura 6.6 sunt prezentate variaţiile presiunii în ajutaj pentru mai multe situaţii determinate de valorile diferite ale presiunii din secţiunea de ieşire. Astfel, atâta timp cât presiunea din secţiunea de ieşire rămâne egală cu presiunea stării frânate, pa = p0 , în ajutaj nu există mişcare. Dacă presiunea în secţiunea de ieşire este mai mică decât presiunea frânată, pb ,..d < p0 , gazul se accelerează în ajutaj, rezultând la ieşire o viteză dată de formula (6.33). Un caz special îl constituie momentul când presiunea, în secţiunea de ieşire, este egală cu presiunea critică, presiunea notă cu indicele c : k

pc ⎛ 2 ⎞ k −1 = β cr = ⎜ ⎟ p0 ⎝ k + 1⎠

(6.38)

În aceste condiţii, debitul în ajutaj devine maxim, ajutajul prelucrează întreaga cădere de presiune astfel încât în secţiunea de ieşire viteza devine egală cu viteza sunetului. Denumim presiunea din secţiunea de ieşire presiune critică şi o notăm cu p* . Dacă presiunea din exteriorul ajutajului scade sub valoarea presiunii critice, acest lucru nu mai modifică regimul de curgere din ajutaj, debitul rămâne la valoarea maximă, iar presiunea din secţiunea de ieşire rămâne la valoarea presiunii critice.

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

184

Destinderea gazului, în acest caz, este incompletă, cazul pc din figura 6.6. În secţiunea de ieşire apare o discontinuitate a valorilor presiunii gazului, care din punct de vedere fizic se manifestă printr-o undă de şoc ce disipează excesul de energie al curentului de gaz. Observăm că la funcţionarea în regim subsonic ajutajul convergent prezintă o limitare în funcţionare, viteza maximă posibilă care se obţine cu acest ajutaj nu poate depăşi viteza sunetului în condiţiile termodinamice ale secţiunii de ieşire. 6.3 Ajutajul divergent Ajutajul convergent figura 6.7 se mai numeşte şi difuzor. În regim subsonic, acest ajutaj transformă energia cinetică a gazului în entalpie; procesele din acest ajutaj sunt similare celui dintr-un compresor.

Fig. 6.7 Notăm cu indicii 1 şi 2 secţiunile de intrare şi de ieşire ale acestui tip de ajutaj. Din ecuaţia continuităţii energiei putem determina viteza şi presiunea în secţiunea de ieşire, dacă se cunosc parametrii din secţiunea de intrare:

w2 = w1

ρ 1 A1 ρ 2 A2

(6.39)

k −1 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ p2 k k 2 2 ⎢ ⎜ ⎟ w2 = w1 − 2(h2 − h1 ) = w1 − 2 RT1 ⎜ ⎟ − 1⎥ ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ k −1 ⎢⎣ ⎥⎦

(6.40)

Din formula (6.40) observăm limita de funcţionare a acestui ajutaj. Presiunea p 2 devine maximă atunci când viteza în secţiunea de ieşire se anulează. Punând condiţia w2 = 0 , rezultă :

( p2 )max

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 w ⎟ = p0 = p1 ⎜ 1 + ⎜ 2 k RT ⎟ ⎜ 1 ⎟ k −1 ⎝ ⎠

k −1 k

(6.41)

Termotehnică şi maşini termice

185

În condiţia w2 = 0 , în secţiunea de ieşire a ajutajului obţinem parametrii frânaţi ai curgerii, deci starea frânată nu reprezintă numai o stare teoretică, de calcul, ci poate fi obţinută în mod real cu un difuzor, în regim subsonic. 6.4. Ajutajul convergent-divergent (Laval) Pentru obţinerea vitezelor de curgere supersonice se utilizează ajutajul convergent-divergent (prescurtat con-div) sau Laval, după numele celui care l-a inventat (fig. 6.8). Este singurul ajutaj care permite trecerea gazului de la curgerea cu viteze subsonice la curgerea cu viteze supersonice.

Fig. 6.8 Considerând curgerea gazului prin ajutaj ca pornind de la parametrii frânaţi notaţi cu indicele zero, gazul se accelerează în porţiunea convergentă. O dimensionare corectă a ajutajului impune ca presiunea p la ieşirea din ajutaj să fie egală cu presiunea exterioară (cazul “d” din grafic). O altă condiţie obligatorie este ca în secţiunea minimă parametrii curgerii să devină critici, adică în secţiunea minimă viteza gazului trebuie să devină egală cu cea a sunetului, deci valoarea criteriului Mach este unu. În graficul din figură, acest caz este reprezentat de situaţia “d”. Dacă toate aceste condiţii sunt îndeplinite, atunci ajutajul este dimensionat corect şi permite destinderea completă a gazului, deci transformarea entalpiei în energie cinetică; viteza la ieşirea din ajutaj este supersonică, este viteza maximă posibilă ce se poate obţine din energia stării frânate.

186

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

Observăm că acest ajutaj este compus din două părţi: la intrare, un ajutaj convergent care lucrează la limită, adică în secţiunea minimă se obţine viteza maximă posibilă (viteza sunetului); urmează un ajutaj divergent, care lucrează în regim supersonic. Viteza la intrare în ajutajul divergent este egală cu viteza sunetului, datorită creşterii secţiunii gazul se destinde în continuare, viteza acestuia crescând la valori supersonice. Orice altă valoare a presiunii p la ieşirea din ajutaj, diferită de valoarea cazului “d”, determină o destindere incompletă a gazului în ajutaj, caz în care viteza finală este mai mică decât viteza maximă posibilă. Pentru valori ale presiunii ce se apropie de valoarea cazului “d”, în partea divergentă a ajutajului apar unde de şoc ce produc disiparea parţială e energiei gazului. Dacă presiunea în exteriorul ajutajului este mai mică decât valoarea cazului “d”, undele de şoc se formează chiar în secţiunea de ieşire. Concluzia ce se poate trage este că pentru o anumită diferenţă de presiune rezultă o anumită geometrie a ajutajului, iar aceasta este unică. Dacă se modifică regimul de presiuni, trebuie modificată şi geometria ajutajului. Acest lucru a determinat ca la sistemele moderne de propulsie cu jet ajutajele convergent-divergente să aibă geometrie variabilă. 6.5 Undele de şoc normale ce apar la curgerea gazelor perfecte prin ajutaje În cazul curgerii gazelor prin conducte, schimbarea regimului de curgere de la viteze supersonice la viteze subsonice se face de multe ori brusc, într-o zonă îngustă în care valorile parametrilor curgerii - viteza, presiunea, temperatura, densitatea - prezintă salturi importante. Funcţiile ce descriu aceşti parametrii prezintă, din punct de vedere matematic, discontinuităţi. Zona în care valorile parametrilor curgerii prezintă discontinuităţi poartă numele de undă de şoc. Undele de şoc apar şi se dezvoltă şi în cazul exploziilor; frontul undă în acest caz se propagă cu viteză mare, saltul de presiune în unda de şoc este mare, astfel încât impactul cu diferitele obiecte este distructiv.

Fig. 6.9 În figura 6.9 este reprezentată o undă de şoc normală. Pentru analiza acesteia, se defineşte un volum de control ce include numai unda de şoc, reprezentat punctat. Parametrii curgerii pe faţa din stânga se vor nota cu indicele x, iar parametrii pe faţa din stânga vor fi notaţi cu indicele y. Considerând curgerea gazului staţionară, ecuaţiile pentru volumul de control sunt următoarele:

Termotehnică şi maşini termice

-

187

ecuaţia energiei :

w y2 wx2 hx + = hy + = h0 x = h0 y 2 2 -

(6.42)

ecuaţia continuităţii: •

-

m = ρ x ⋅ wx = ρ y ⋅ w y A

(6.43)

A( p x − p y ) = m(w y − wx )

(6.44)

ecuaţia impusului: •

Din relaţia (6.42) rezultă egalitatea entalpiilor frânate, deci şi egalitatea temperaturilor: T0 x = T0 y (6.45) Relaţia (6.27), particularizată pentru cele două stări, permite scrierea relaţiilor:

T0 x k −1 2 = 1+ Mx Tx 2 T0 y Ty

= 1+

k −1 2 My 2

(6.46)

(6.47)

Împărţind cele două relaţii, obţinem:

k −1 2 Mx 2 = Tx 1 + k − 1 M 2 y 2

Ty

1+

(6.48)

În ecuaţia de continuitate, exprimăm densitatea din expresia ecuaţiei de stare a gazului perfect, şi obţinem: py px wx = wy (6.49) RTx RTy În relaţia (6.49), exprimăm viteza funcţie de criteriul Mach şi viteza sunetului:

py py px p M xcx = M y c y ; ⇒ x M x kRTx = M y kRTy RTx RTy RTx RTy

(6.50)

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

188

2

⎛ py ⎞ ⎛ M y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ Tx ⎝ p x ⎠ ⎝ M x

Ty

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(6.51)

Combinând relaţiile (6.48) cu (6.51) vom obţine:

px = py

k −1 2 Mx 2 k −1 2 1+ My 2

M x 1+ My

(6.52)

Relaţia (6.52) poartă numele de relaţia lui Fanno, iar reprezentarea grafică a curbei corespunzătoare este prezentată în figura 6.10:

Fig. 6.10 Punctul a corespunde valorii M = 1 . Porţiunea de curbă aflată deasupra punctului a se caracterizează prin valori M < 1 , deci viteze subsonice, iar porţiunea de curbă aflată sub punctul a corespunde valorilor M > 1 , deci vitezelor supersonice. Deoarece porţiunea de sub punctul a reprezintă partea din spatele undei de şoc, iar porţiunea situată deasupra punctului a reprezintă porţiunea din faţa undei de şoc, din principiul al doilea, pentru un proces adiabat în unda de şoc se impune condiţia s y − s x ≥ 0 , rezultă că unda de şoc, în cazul curgerii gazelor, se formează numai la

schimbarea regimului de curgere de la viteze supersonice la viteze subsonice. Dacă prelucrăm ecuaţia impulsului, obţinem următoarea relaţie:

Termotehnică şi maşini termice

189

•

m p x − p y = (w y − wx ) = ρ y w y2 − ρ x wx2 A

p x + ρ x wx2 = p y + ρ y w y2 ; ⇒ p x +

px +

py px M x2 c x = p y + M y2 c y RTx RTy

py px M x2 kRTx = p y + M y2 KRTy RTx RTy py px

=

1 + kM x2 1 + kM y2

(6.53)

(6.54)

(6.55)

(6.56)

Relaţia de mai sus poartă denumirea de relaţia lui Rayleigh şi este reprezentă în figura 6.10. Punctul b reprezintă punctul pentru care M = 1 . Segmentul de curbă situat deasupra acestui punct reprezintă zona curgerii subsonice M < 1 , iar segmentul de curbă de sub punctul b reprezintă zona curgerii supersonice M > 1 . Exemplul E 6.1 Un debit de 10000 Nm3/h gaz metan (MCH4=16 kg/kmol) intră într-o staţie de distribuţie la presiunea p1=0,2 MPa şi viteza w1=25 m/s. Din staţie, acest debit este distribuit în mod egal pe patru conducte la presiunea p2=0,12 MPa şi viteza w2=20 m/s. Temperatura mediului este 20°C. Să se determine: a) Debitul masic de metan ce intră în staţie; b) Diametrul conductei pe care intră gazul în staţie; c) Diametrele conductelor de distribuţie. Soluţie: a) Debitul masic îl determinăm din debitul volumic, utilizând densitatea la starea normală, calculată din legea lui Avogadro: •

•

m = ρN V N =

M CH 4 22 ,414

•

VN =

16 10000 = 1,98 kg / s 22 ,414 3600

b) Diametrul conductei de intrare îl determinăm din ecuaţia de continuitate. Densitatea gazului în starea 1 se determină din ecuaţia de stare:

p1 0 ,2 ⋅ 10 6 = = 1,31kg / m 3 ρ1 = 8314 R ⋅T 293 16 2

•

d 4m 4 ⋅ 1,98 = = 0 ,277 m = 277 mm m = ρ 1 ⋅ w1 ⋅ π ⋅ 1 ; d 1 = 4 π ⋅ ρ 1 ⋅ w1 π ⋅ 1,31 ⋅ 25 •

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

190

c) Debitele pe cele patru conducte de distribuţie fiind egale, la fel şi parametrii gazului, rezultă că debitul de intrare este repartizat uniform pe conductele de distribuţie, deci că o conductă de distribuţie va primi un sfert din debitul masic intrat în staţie:

ρ2 =

p2 0 ,12 ⋅ 10 6 = = 0 ,79 kg / m 3 8314 R ⋅T 293 16

d 1 • m = ρ 2 ⋅ w2 ⋅ π ⋅ 2 4 4

•

2

d2 =

m

π ⋅ ρ 2 ⋅ w2

=

1,98 = 0 ,1m = 100 mm π ⋅ 0 ,79 ⋅ 20

Exemplul E 6.2 •

Să se dimensioneze un ajutaj care să asigure destinderea unui debit m = 2 kg / s de oxigen, de la presiunea p1=0,15 MPa şi t1=27°C până la presiunea p2=0,1MPa. (MO2=32 kg/kmol; k=1,4). Soluţie: Considerând p1 presiunea frânată, determinăm temperatura critică: 1 ,4

k

⎛ 2 ⎞ 1,4 −1 ⎛ 2 ⎞ k −1 p = p1 ⎜ = 0 ,0792 MPa ⎟ ⎟ = 0 ,15⎜ ⎝ k +1⎠ ⎝ 1,4 + 1 ⎠ *

Deoarece p2>p*, pentru destinderea completă a oxigenului între cele două presiuni se utilizează un ajutaj convergent. Deoarece nu se precizează viteza sau secţiunea de intrare, se dimensionează numai secţiunea de ieşire, iar secţiunea de intrare se stabileşte din condiţii constructive. Se determină parametrii în secţiunea de ieşire:

⎛p ⎞ T2 = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

ρ2 =

k −1 k

⎛ 0 ,1 ⎞ = 300⎜ ⎟ ⎝ 0 ,15 ⎠

1 ,4 −1 1 ,4

(

= 267 ,18 K − 5 ,82 o C

)

p2 0 ,1 ⋅ 10 6 = = 1,44 kg / m 3 RT2 8314 267 ,188 32

k −1 0 ,4 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 ,4 ⎛ ⎞ p2 k ⎥ 2k 2 ⋅ 1,4 8314 0 , 1 ⎛ ⎞ ⎢ w2 = RT1 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ 300 ⎢1 − ⎜ = ⎟ ⎥ = 244 ,3m / s ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ 0 ,15 ⎠ ⎥ k −1 1,4 − 1 32 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎦ ⎣

Secţiunea o determinăm din ecuaţia de continuitate: •

m 2 A2 = = = 56 ,85 ⋅ 10 −4 m 2 = 56 ,85cm 2 ρ 2 w2 1,44 ⋅ 244 ,3

Termotehnică şi maşini termice

191

Exemplul E 6.3 •

Într-un ajutaj se destinde complet m = 5 kg / s CO2 de la p0 = 10 bar şi T0 = 400 K până la presiunea exterioară pe = 1,5 bar. Să se determine tipul ajutajului şi secţiunile caracteristice ( M CO2 = 44 g / kmol , k = 1,3 ). Soluţie: Calculăm presiunea critică: 1 ,4

k

⎛ 2 ⎞ 1,4 −1 ⎛ 2 ⎞ k −1 p * = p0 ⎜ = 5 ,457 bar ⎟ ⎟ = 10⎜ ⎝ k +1⎠ ⎝ 1,4 + 1 ⎠ Deoarece

p* > pe se va utiliza un ajutaj convergent-divergent. Se vor calcula

secţiunile critică şi de ieşire. Pentru început, determinăm parametrii în secţiunea critică:

T * = T0

2 2 = 400 = 347 ,83 K 1,3 + 1 k +1

p* 5 ,475 ⋅ 10 5 ρ = = = 8 ,303kg / m 3 * 8314 RT 347 ,83 44 *

w* = kRT * = 1,4

8314 347 ,83 = 292 ,3m / s 44 •

m 5 = 20 ,6 cm 2 A = * * = ρ w 8 ,303 ⋅ 292 ,3 *

Determinăm parametrii în secţiunea de ieşire si valoarea acesteia:

⎛p ⎞ Te = T0 ⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ p0 ⎠

ρ2 =

k −1 k

⎛ 1,5 ⎞ = 400⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

1 ,3 −1 1 ,3

= 258 ,18 K

p2 1,5 ⋅ 10 5 = = 3,075 kg / m 3 8314 RT2 258 ,18 44

k −1 0 ,3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k 1 ,3 ⎛ ⎞ p 2k 2 ⋅ 1 , 3 8314 1 , 5 ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ e ⎢ we = RT0 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ = 400 1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 481,9 m / s ⎢ ⎝ p0 ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ 10 ⎠ ⎥ k −1 1,3 − 1 44 ⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ •

m 5 Ae = = = 33 ,74 ⋅ 10 −4 m 2 = 33 ,74 cm 2 ρ e we 3,075 ⋅ 481,9

Transferul de căldură

192

7. Transferul de căldură Din studiul termodinamicii, s-a observat că un sistem termodinamic interacţionează cu mediul exterior prin căldură şi lucru mecanic. Scopul acestui capitol îl constituie analiza termodinamică a interacţiunii termice dintre sistem şi mediul înconjurător, stabilirea legilor şi a relaţiilor de calcul pentru puterea termică (viteza de variaţie a căldurii), a gradientului de temperatură în diferite situaţii şi geometrii derivate din analiza proceselor industriale. 7.1 Mecanismele de transfer de căldură Transferul de căldură reprezintă energia transmisă datorită diferenţei de temperatură. Oriunde există o diferenţă de temperatură între două corpuri sau între diferitele părţi ale aceluiaşi corp, apare transferul de căldură. Principalele mecanisme de transfer de căldură sunt: conducţia, convecţia şi radiaţia. 7.1.1 Conducţia Conducţia este fenomenul de transfer de căldură ce se produce în interiorul corpurilor datorită unui gradient de temperatură. El se poate explica apelând la structura moleculară a corpurilor. Astfel, pentru un gaz ce ocupă spaţiul dintre doi pereţi aflaţi la temperaturi diferite (fig. 7.1), fluxul termic q x ce se transmite pe direcţia x se datorează traversării planului x0 de către moleculele care vin din direcţia peretelui cald şi care poartă o energie mai mare decât cele aflate în vecinătatea peretelui rece.

Fig. 7.1 Trebuie să privim fenomenul din punct de vedere statistic, deoarece planul x0 este traversat de molecule în ambele sensuri, dar numărul moleculelor ce trec în direcţia x este mai mare decât numărul moleculelor ce se deplasează în direcţie inversă.

Termotehnică şi maşini termice

193

Din teoria cinetico-moleculară cunoaştem că energia cinetică medie a moleculelor gazului este proporţională cu temperatura gazului, astfel că pentru un gaz monoatomic există relaţia:

1 3 mw 2 = kT 2 2

(7.1)

în care m- masa moleculei; w - viteza medie a moleculei; k - constanta lui Boltzmann ( k = 1,38054 ⋅ 10 −23 J / K ). Relaţia (7.1) arată legătura între temperatură, o mărime macromoleculară şi energia cinetică medie a moleculelor gazului. Deci, în prezenţa unui perete cald energia cinetică a moleculelor creşte, lucru ce determină amplificarea mişcării moleculelor. Energia moleculelor este preluată de la peretele cald, practic căldura este transmisă spre peretele rece prin intermediul mişcării medii a moleculelor gazului. Acest fenomen se mai numeşte difuzia energiei prin intermediul mişcării medii a moleculelor. În cazul lichidelor, fenomenul este similar, cu toate că moleculele sunt mai apropiate datorită forţelor de coeziune mai mari. La solide, atomii sunt structuraţii în reţele cristaline sau amorfe. Ei au o mişcare de vibraţie a cărei amplitudine este funcţie de temperatură. Transferul de căldură într-un corp solid este asociat cu unda reţelei indusă de vibraţiile atomilor datorită gradientului de temperatură. Pentru solidele care nu conduc curentul electric, transferul de căldură se face exclusiv pe baza undelor reţelei; pentru cele care conduc curentul electric, o parte din transferul de căldură este preluat de deplasarea electronilor liberi. Cuantificarea căldurii transferate prin conducţie se poate face, pentru o singură direcţie, pe baza legii lui Fourier: •

q x = −λ ⋅

dT dx

(7.2)

dT dx reprezintă gradientul de temperatură, iar λ reprezintă coeficientul de conductivitate termică a materialului, măsurat în W/m/K. Pentru o geometrie simplă, prezentată în figura 7.2, ecuaţia (7.2) se poate integra. Cu datele din figura 7.2, în ipoteza că variaţia temperaturii în interiorul peretelui este liniară, rezultă: •

S-a notat cu q x fluxul de căldură pe direcţia x, care se măsoară în W/m2,

dT T2 − T1 = δ dx

(7.3)

Pentru cazul unidirecţional, ecuaţia fluxului de căldură are următoarea expresie: •

qx =

T1 − T2

δ λ

(7.4)

Transferul de căldură

194

Fig. 7.2 7.1.2 Convecţia Fenomenul de transfer de căldură prin convecţie apare la suprafaţa de separare dintre un corp solid şi un fluid, gaz sau lichid.

Fig. 7.3 În figura 7.3 este prezentată schematic suprafaţa unui perete peste care curge un fluid. Transferul de căldură prin convecţie implică două mecanisme la nivel molecular. Unul a fost prezentat anterior şi este reprezentat de difuzia energiei datorită mişcării medii a moleculelor, la care se adaugă energia transferată de grupurile mari de molecule ce se deplasează în mişcarea de transport a fluidului. Macroscopic privind lucrurile (fig. 7.3), la suprafaţa corpului solid viteza fluidului este nulă. Ea variază după o anumită lege, până atinge valoarea medie a vitezei

Termotehnică şi maşini termice

195

de transport a fluidului. Grosimea stratului în care viteza fluidului variază poartă numele de strat limită hidrodinamic. În masa fluidului în mişcare apare o variaţia de temperatura de la valoarea Ts , temperatura suprafaţa peretelui, până la T∞ - temperatura fluidului. Porţiunea în care temperatura variază poartă numele de strat limită termic. Schimbul de căldură este influenţat de mişcarea fluidului. Dacă acesta are o mişcare impusă, convecţia se numeşte forţată, iar dacă fluidul se mişcă liber, în câmp gravitaţional, datorită diferenţelor de densitate, convecţia se numeşte convecţie liberă sau naturală. Fluxul termic convectiv se determină cu formula lui Newton: •

q = α ⋅ (T∞ − Ts )

(7.5)

•

q reprezintă fluxul termic convectiv şi se măsoară în W/m2; α se numeşte coeficient de convecţie şi se măsoară în W/m2/K. 7.1.3 Radiaţia Materia aflată la o temperatură mai mare de 0K emite radiaţia de natură electromagnetică. Aceasta provine din modificările orbitelor electronilor ce alcătuiesc atomii. Radiaţia electromagnetică nu are nevoie de un suport material pentru propagare, ea se propagă în toate mediile (fiind absorbită parţial de acestea), inclusiv în vid. Fluxul maxim de energie ce poate fi emis de o suprafaţă este dat de legea lui Ştefan – Boltzamnn: •

q = ε ⋅σ ⋅T 4

ε

(7.6)

reprezintă coeficientul de emisivitate al suprafeţei ( 0 ≤ ε ≤ 1 ); σ - constanta lui Ştefan – Boltzamnn ( σ = 5 ,67 ⋅ 10 −8 W / m 2 / K 4 ).

[

Fig. 7.4

]

Transferul de căldură

196

Schimbul total de căldură între o suprafaţă cu temperatura Ts şi mediul exterior, care are temperatura Tmed, (fig. 7.4), este: •

qr =

(

Q 4 = ε ⋅ σ ⋅ Ts4 − Tmed A

)

(7.7)

Prin analogie cu schimbul de căldură, prin convecţie se defineşte un coeficient de radiaţie αr, astfel încât formula (7.7) se scrie: •

q r = α r ⋅ (Ts − Tmed )

(7.8)

Din comparaţia formulelor (7.8) şi (7.7) se deduce expresia coeficientului de schimb de căldură prin radiaţie: 2 ) α r = ε ⋅ σ ⋅ (Ts + Tmed )(Ts2 + Tmed

(7.9)

Schimbul total de căldură dintre un metru pătrat din suprafaţa din figura 7.4, aflată la temperatura Ts, şi mediul înconjurător, aflat la temperatura Tmed, este: •

•

•

q = q conv . + q rad = (α + α r )(Ts − Tmed )

(7.10)

7.2 Metode de analiză utilizate în transferul de căldură Spre deosebire de termodinamica clasică, în care se lucrează cu noţiunea de echilibru termodinamic intern şi extern, în care sistemele evoluează numai prin stări de echilibru, transferul de căldură este - în esenţa sa - un proces de neechilibru. Astfel, transferul de căldură se produce numai în prezenţa unui gradient de temperatură, care reprezintă un dezechilibru energetic. Analiza proceselor de transfer de căldură trebuie să se facă în timp şi în spaţiu. Utilizarea variabilei timp în ecuaţiile ce descriu transferul de căldură este indispensabilă. Relaţia de bază utilizată în modelarea proceselor de transfer de căldură este ecuaţia primului principiu al termodinamicii, adaptată pentru procesele de transfer de căldură. Astfel, în figura 7.5 este prezentat un volum de control şi energiile implicate în proces.

Fig. 7.5

Termotehnică şi maşini termice

197

Transferul de căldură fiind un proces nestaţionar, bilanţul energetic trebuie să se facă pe un interval de timp; dacă acesta este un interval infinitezimal dτ , în bilanţ vor fi implicate derivatele de ordinul unu, funcţie de timp a energiilor procesului, care de fapt reprezintă viteze de variaţie a energiei sau pe scurt puteri termice. Conform notaţiilor din figura 7.5, puterile termice implicate în proces sunt: •

E i - puterea termică intrată în volumul de control; •

E e - puterea termică ieşită din volumul de control; •

E g - puterea generată în volumul de control; •

E - puterea termică acumulată în volumul de control. Cu aceste notaţii, bilanţul instantaneu al puterilor (pe un interval de timp infinit mic, dτ ) este: pentru un volum de control, puterea termică intrată, plus puterea termică generată, minus puterea termică ieşită este egală cu puterea termică acumulată în volumul de control. Matematic, formularea de mai sus are expresia: •

•

E i + E g − Ee = •

dE • =E dτ

(7.11)

•

Termenii E i şi E e sunt asociaţi fenomenelor de suprafaţă şi sunt proporţionali cu ariile pe care se desfăşoară. Ei pot reprezenta fenomene de conducţie, convecţie sau radiaţie. Dacă prin suprafeţele volumului de control circulă fluide, termenii de mai sus conţin şi energie transportată de acestea. •

Termenul E g reprezintă viteza de generare a energiei în volumul de control, este o mărime care depinde de volumul în care se desfăşoară fenomenul şi poate fi asociat cu reacţii chimice exoterme: generarea de căldură prin fisiunea nucleară sau generarea de căldură prin efect Joule. •

Termenul E este tot o mărime de volum, ea reprezintă viteza de acumulare a energiei în volumul de control. Pentru fenomenele staţionare, acest termen este nul •

( E = 0 ). O problemă importantă în studiul fenomenelor de schimb de căldură o reprezintă bilanţul energetic pe o suprafaţă de control. În figura 7.6 este prezentată geometria problemei. Bilanţul energetic se face pe suprafaţa unui perete (fig. 7.6). Acest lucru înseamnă că vor fi implicate numai puterile termice ce descriu fenomene de suprafaţă; puterile termice care reprezintă fenomene de volum sunt nule. Bilanţul puterilor pentru suprafaţa din figura 7.6 este: •

•

E i − Ee = 0

Cu notaţiile din figură, relaţia (7.12) devine:

(7.12)

Transferul de căldură

198

•

•

•

q cond − q conv − q rad = 0

(7.13)

Fig. 7.6

Exemplu E 7.1 Să se deducă ecuaţia temperaturii într-un conductor de diametru D şi lungime L străbătut de curentul I. Se consideră rezistenţa conductorului Rl pe unitatea de lungime. Soluţie: În figura 7.7 este prezentată geometria problemei:

Fig. 7.7

Termotehnică şi maşini termice

199

S-a definit un volum de control în lungul conductorului. Datorită curentului ce străbate conductorul, puterea termică generată în volumul de control este reprezentată de puterea electrică disipată prin efect Joule. Prin suprafaţa exterioară a volumului de control are loc o pierdere de căldură prin convecţie şi prin radiaţie. Puterea termică generată datorită efectului Joule: •

E g = I 2 Rl L Puterea termică transmisă către mediul exterior: •

E e = α ⋅ π ⋅ D ⋅ L(T − T∞ ) + ε ⋅ σ ⋅ π ⋅ D ⋅ L(T − Tmed ) Variaţia vitezei de acumulare a energiei în volumul de control este: •

E=

d (ρVcT ) dτ

Bilanţul puterilor este: •

•

•

E g − Ee = E ⇒

dT I 2 Rl − α ⋅ π ⋅ D ⋅ (T − T∞ ) − ε ⋅ σ ⋅ π ⋅ D ⋅ (T − Tmed ) = dτ D2 ρ ⋅ c ⋅π ⋅ 4

Ecuaţia de mai sus este o ecuaţie diferenţială în T. Prin integrarea ei rezultă variaţia temperaturii conductorului funcţie de timp. Pentru o situaţie staţionară, ecuaţia de mai sus se simplifică prin egalarea derivatei temperaturii cu zero şi rezultă:

α ⋅ π ⋅ D ⋅ (T − T∞ ) + ε ⋅ σ ⋅ π ⋅ D ⋅ (T − Tmed ) = I 2 Rl

7.3 Transferul de căldură prin conducţie 7.3.1 Ecuaţia lui Fourier, ecuaţia difuziei căldurii Din relaţia (7.2) se observă că puterea termică transmisă prin conducţie este proporţională cu gradientul de temperatură. În cazul general, folosind notaţia vectorială, acest lucru poate fi scris: • ⎛ ∂T ∂T ∂T ⋅i + ⋅ j+ q = −λ∇T = −λ ⋅ ⎜⎜ ∂y ∂z ⎝ ∂x

⎞ k ⎟⎟ ⎠

(7.14)

Ecuaţia de mai sus poartă numele de ecuaţia lui Fourier. Ea arată legătura dintre •

gradientul de temperatură şi puterea termică transmisă q pe unitatea de suprafaţă. Mărimea notată cu λ , denumită coeficient de conductivitate, se măsoară în W/m/K şi reprezintă o proprietate de transport a materiei. Astfel, metalele au un coeficient de convecţie mare λ = 40...50 ; ele se numesc bune conducătoare de căldură. Alte

Transferul de căldură

200

substanţe, cum ar fi cărămida, azbestul, vata de sticlă, au coeficientul de conductivitate λ = 0 ,5...0 ,05 ; acestea opun o rezistenţă mare trecerii căldurii şi se utilizează ca substanţe izolante pentru fluxul termic. Un obiectiv important în analiza procesului de convecţie îl constituie determinarea câmpului de temperatură dintr-un anumit mediu, pe baza condiţiilor la limită impuse pe contur. Cunoaşterea câmpului de temperatură permite - pe baza legii lui Fourier - determinarea fluxului termic sau mai mult, determinarea tensiunilor termice induse de câmpul de temperatură. Pentru a deduce ecuaţia diferenţială ce permite - prin integrare - determinarea câmpului termic, vom izola un volum infinitezimal dintr-un corp în care există un câmp de temperatură T(x,y,z), pe care vom aplica bilanţul puterilor termice. Pe baza legii lui Fourier se definesc fluxurile termice elementare, conductive, care intră prin feţele cubului:

q x = −λdydz

∂T ∂T ∂T ; q y = −λdxdz ; q z = −λdxdy ∂y ∂x ∂z

(7.15)

Fluxurile termice care părăsesc cubul elementar se definesc prin dezvoltarea în serie Taylor a fluxurilor termice care intră în cub, din care se reţine numai termenul de ordinul unu, neglijând pe cei de ordin superior:

q x + dx = q x +

∂q x ∂⎛ ∂T ⎞ dx = q x + ⎜ − λ ⎟dxdydz ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x

(7.16)

Fig. 7. 8

q y + dy = q y +

∂q y ∂y

dy = q y +

∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜⎜ − λ ⎟dxdydz ∂y ⎝ ∂y ⎟⎠

(7.17)

Termotehnică şi maşini termice

201

q z + dz = q z +

∂q z ∂⎛ ∂T ⎞ dz = q z + ⎜ − λ ⎟dxdydz ∂z ∂z ⎝ ∂z ⎠

(7.18)

Relaţiile (7.15), (7.16), (7.17) şi (7.18) permit definirea puterilor termice conductive intrate şi ieşite din cubul elementar: •

E i = qx + q y + qz •

E e = q x + dx + q y + dy + q z + dz

(7.19) (7.20)

Căldura generată în volumul elementar ales se exprimă funcţie de intensitatea •

sursei q v [W/m3], astfel: •

•

E g = q v dxdydz

(7.21)

Viteza de variaţie a energiei acumulate în cubul elementar se exprimă funcţie de proprietăţile mediului (c - căldura specifică şi ρ - densitatea), astfel: • ∂T E = ρ ⋅c⋅ dxdydz (7.22) ∂τ Bilanţul puterilor - ecuaţia (7.11) - devine:

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎟dxdtdz ⎜−λ ⎟dxdydz − q y − ⎜⎜ − λ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎟⎠ ∂⎛ ∂T ⎞ ∂T − ⎜−λ dxdydz (7.23) ⎟dxdydz = ρ ⋅ c ⋅ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂τ •

q x + q y + q z + q v dxdydz − q x −

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ • ∂T ⎟⎟ + ⎜ λ ⎜λ ⎟ + ⎜⎜ λ ⎟ + qv = ρ ⋅ c ⋅ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂τ

(7.24)

Ecuaţia (7.24) se mai numeşte şi ecuaţia difuziei căldurii. Dacă se consideră coeficientul difuzibilităţii termice - λ - constant, ecuaţia capătă forma : •

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q v 1 ∂T + + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 λ a ∂τ

(7.25)

S-a notat cu a coeficientul difuzibilităţii termice, care este o proprietate a materialului şi este definit de relaţia (7.26):

a=

λ ρ ⋅c

(7.26)

Transferul de căldură

202

În cazul fenomenelor staţionare, ecuaţia (7.25) se simplifică, devenind: •

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q v + + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 λ

(7.27)

Pentru rezolvarea diferitelor probleme, este utilă exprimarea ecuaţiei difuziei căldurii (7.24) şi în alte sisteme de coordonate. Astfel, în figura 7.9 este prezentat un volum elementar exprimat în coordonate cilindrice. Pentru acest caz, legea lui Fourier are următoarea formă:

⎛ ∂T 1 ∂T ∂T ⎞ ⎟ +j q = −λ∇T = −λ ⎜⎜ i +k r ∂φ ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂r

(7.28)

Fig. 7.9 Fluxurile elementare corespunzătoare suprafeţelor volumului infinitezimal din figura 7.9 sunt:

q r = −λ

∂T λ ∂T ∂T ; qφ = − ; q z = −λ ∂r r ∂φ ∂z

(7.29)

Aplicând bilanţul puterilor termice pentru volumul elementar din figura 7.8, rezultă:

∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ • ∂T 1 ∂⎛ ⎜⎜ λ ⎟⎟ + ⎜ λ ⎜λ ⋅r ⋅ ⎟+ 2 ⎟ + qv = ρ ⋅ c ⋅ ∂r ⎠ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ r ∂r ⎝ ∂τ

(7.30)

Termotehnică şi maşini termice

203

Considerăm un sistem de coordonate sferice, în care s-a definit un volum elementar (fig. 7.10). Legea lui Fourier are, în acest caz, forma:

⎛ ∂T 1 ∂T 1 ∂T ⎞ ⎟ q = −λ∇T = −λ ⎜⎜ i +j +k r ∂θ r ⋅ sinθ ∂ϕ ⎟⎠ ⎝ ∂r

(7.31)

Fluxurile termice conductive pe laturile volumului elementar din figura 7.10 au expresiile:

q r = −λ

∂T λ ∂T λ ∂T ; qθ = − ; qφ = − r ∂θ r ⋅ sinθ ∂φ ∂r

(7.32)

Aplicând bilanţul puterilor termice, rezultă următoarea formă a ecuaţiei:

Fig. 7.10

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ • ∂T 1 ∂⎛ 1 1 2 ∂T ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ r sin λ λ λ θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + qv = ρ ⋅ c ⋅ 2 2 2 2 ⎜ ⎟ ∂r ⎠ r ⋅ sin θ ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ r sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ ∂τ r ∂r ⎝ (7.33) A determina câmpul de temperatură din interiorul unui corp înseamnă a integra una dintre formele ecuaţiei difuziei căldurii. Pentru acest lucru este nevoie să se definească domeniul în care se face integrarea. Fie acest domeniu corpul din figura 7.11:

Fig. 7.11

Transferul de căldură

204

Ecuaţiile (7.25), (7.30) şi (7.33) permit determinarea variaţiei în timp a câmpului de temperatură. Pentru integrarea ecuaţiilor mai sus amintite este nevoie să se precizeze condiţiile iniţiale. Acestea reprezintă valorile câmpului de temperatură la momentul iniţial, moment de la care începe procesul de integrare. Stabilirea valorilor câmpului de temperatură nu se poate face fără precizarea condiţiilor la limită. Acestea înseamnă precizarea valorilor câmpului de temperatură pe conturul domeniului ales.

Fig. 7.12 Dacă ne referim la domeniul din figura 7.11, condiţiile la limită trebuiesc precizate pe suprafaţa exterioară a corpului. Funcţie de fenomenul modelat, condiţiile la limită pot diferi; astfel, pe suprafaţa S1 să existe un anumit tip de condiţii la limită, iar pe suprafaţa S2 pot fi definite alte condiţii la limită. Există două feluri de condiţii la limită: ƒ condiţii de tip Didichlet sau condiţii de ordinul unu, prin care în punctele suprafeţei pentru care sunt valabile aceste condiţii se precizează temperatura; ƒ condiţii de tip Neumannn sau condiţii de ordinul doi, prin care în punctele suprafeţei pe care sunt valabile se defineşte derivata locală a câmpului de temperatură. În figura 7.12, pentru o suprafaţă limită domeniului definită prin condiţia x = 0, sunt definite toate tipurile de condiţii la limită necesare integrării ecuaţiei difuziei căldurii.

Termotehnică şi maşini termice

205

7.3.2 Conducţia staţionară prin pereţi plani paraleli Se consideră un perete plan infinit cu feţe paralele, în exteriorul căruia se află două fluide cu temperaturi diferite (fig. 7.13):

Fig. 7.13 Transferul de căldură de la fluidul cald se realizează prin convecţie, între fluidul cu temperatura T∞ ,1 şi suprafaţa peretelui cu temperatura Ts ,1 . Prin interiorul peretelui, fluxul termic q x se transmite prin conducţie către suprafaţa cu temperatura Ts ,2 , apoi prin convecţie către fluidul rece cu temperatura T∞ ,2 . În interiorul peretelui, ecuaţia ce defineşte procesul de conducţie se obţine prin particularizarea ecuaţiei (7.24) pentru cazul monodimensional, staţionar şi fără surse de căldură.

∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜λ ⎟=0 ∂x ⎝ ∂x ⎠

(7.34)

Transferul de căldură

206

O consecinţă a ecuaţiei (7.2), în condiţiile relaţiei (7.34), este că fluxul de căldură în cazul conducţiei monodimensionale, staţionare, fără surse de căldură, este constant şi nu depinde de variabila x. Prin integrarea ecuaţiei (7.34) se obţine soluţia: T ( x ) = C1 x + C 2

(7.35)

Pentru determinarea constantelor, trebuie să punem condiţiile la limită. Utilizând notaţiile din figura 7.13, acestea sunt:

x = 0 ⇒ T (0 ) = C 2 = Ts ,1

(7.36)

x = δ ⇒ T (δ ) = C1δ + C 2 = Ts ,2

(7.37)

Din sistemul format de ecuaţiile (7.36) şi (7.37) se determină constantele, astfel încât soluţia generală a ecuaţiei (7.34) este:

x T ( x ) = (Ts ,2 − Ts ,1 ) + Ts ,1

(7.38)

δ

Se observă că în cazul conducţiei staţionare, prin pereţi plani paraleli, fără surse de căldură, variaţia de temperatură în lungul peretelui este liniară. Pentru a determina fluxul de căldură, utilizăm ecuaţia lui Fourier (7.2): Q x = −λ ⋅ A ⋅

T −T dT λ = A ⋅ ⋅ (Ts ,1 − Ts ,2 ) = A s ,1 s ,2 [W] δ dx δ

(7.39)

λ

•

Pentru uşurinţa scrierii, notaţia q se înlocuieşte cu notaţia q , având în vedere că în cazul transferului de căldură atât q , cât şi Q , reprezintă puteri termice. Fluxul termic pe unitatea de suprafaţă, numit flux termic unitar, este: qx =

Ts ,1 − Ts ,2

δ λ

[W/m2]

(7.40)

Acest flux termic (7.40) provine de la fluidul cald - datorită diferenţei de temperatură între temperatura fluidului cald departe de perete T∞ ,1 şi temperatura peretelui Ts ,1 - şi se transmite fluidului rece. În ipoteza că temperatura pereţilor este uniformă pe întreaga lungime, fluxul termic se transmite numai pe direcţie perpendiculară, direcţia x (fig. 7.13), neavând componentă longitudinală. Acestă observaţie ne permite să scriem bilanţul puterilor termice pentru cele două suprafeţe ale peretelui, ecuaţia (7.12), sub forma (7.41). Exprimând diferenţele de temperatură funcţie de fluxul termic şi însumându-le, obţinem o relaţie ce leagă fluxul termic unitar de

Termotehnică şi maşini termice

207

temperaturile celor două fluide şi rezistenţele termice asociate celor două feluri de transfer de căldură. (T − Ts ,1 ) = Ts ,1 − Ts ,2 = Ts ,2 − T∞ ,2 q x = ∞ ,1 (7.41) δ 1 1

α1

λ

T∞ ,1 − Ts ,1 = q x ⋅

Ts ,1 − Ts ,2

α2 1

α1 δ = qx ⋅ λ

Ts ,2 − T∞ ,2 = q x ⋅

1

α2

(7.42) (7.43) (7.44)

Prin însumarea relaţiilor (7.42), (7.43) şi (7.44), rezultă:

T ∞ ,1−T∞ ,2

⎛ ⎞ ⎜ 1 1 1 ⎟ = q x ⋅ ⎜ + + ⎟ ⇒ q x = k g ⋅ (T∞ ,1 − T∞ ,2 ) ⎜ α1 δ α 2 ⎟ ⎜ ⎟ λ ⎝ ⎠

(7.45)

Din relaţia de mai sus, se notează cu k g şi se defineşte coeficientul global de schimb de căldură, în cazul unui perete plan, prin relaţia:

kg =

1

δ 1 + + α1 λ α 2 1

(7.46)

7.3.2.1 Analogia electrică Relaţiile (7.40), (7.45) şi (7.46) ne permit stabilirea unei similitudini între transferul de căldură şi circuitele electrice de curent continuu. Astfel, prin analogie, considerăm fluxul termic q x similar cu intensitatea curentului electric, diferenţa de

temperatură (T∞ ,1 − T∞ ,2 ) similară tensiunii, iar ceilalţi termeni - rezistenţe termice definite astfel: 1 - Rt ,1 = rezistenţă termică convectivă asociată procesului de convecţie dintre

α1

fluidul cald şi perete;

δ - Rt ,2 = rezistenţi termică conductivă asociată procesului de conducţie din λ interiorul peretelui; - Rt ,3 =

1

α2

rezistenţă termică convectivă asociată procesului de convecţie dintre fluidul rece şi perete.

Transferul de căldură

208

qx =

T∞ ,1 − T∞ ,2 T −T = ∞ ,13 ∞ ,2 Rt ,1 + Rt ,2 + Rt ,3 ∑ Rt ,i

(7.47)

i =1

Fluxul termic unitar de căldură se poate scrie funcţie de rezistenţele termice asociate diferitelor forme de transfer de căldură (7.47). În figura 7.13 b) este prezentată schema unui circuit electric echivalent, împreună cu rezistenţele respective. Se observă că formularea matematică a ecuaţiilor ce descriu transferul de căldură printr-un perete plan este asemănătoare cu relaţiile circuitului electric de curent continuu pentru cazul legării în serie a rezistenţelor. Pe baza acestui concept, coeficientul global de schimb de căldură pentru peretele plan se defineşte astfel:

kg =

1 ∑ Rt ,i

(7.48)

i

Fig. 7.14 Pentru un perete plan compus din mai multe straturi (fig. 7.14), utilizând analogia electrică şi notaţiile din figură, putem defini uşor coeficientul global de căldură:

Termotehnică şi maşini termice

209

5 1 1 δ A δ B δC 1 = ∑ Rt ,i = + + + + k g i =1 α 1 λ A λ B λC α 4

(7.49)

Fluxul termic se calculează din relaţia (7.45). Ca şi în cazul circuitelor serie de curent continuu, pentru care curentul ce străbate rezistenţele este acelaşi, şi în cazul transferului de căldură prin pereţi plani fluxul termic ce străbate diferitele straturi ale peretelui este acelaşi, egal cu fluxurile termice convective de pe feţele peretelui. Această observaţie permite determinarea temperaturilor dintre straturile peretelui. Dacă am determinat fluxul termic q x cu relaţia (7.45), plecând de la o margine se pot determina temperaturile feţelor peretelui şi cele dintre straturi:

Ts ,1 = T∞ ,1 − q x

1

α1

; T2 = Ts ,1 − q x

δ δ δA ; T3 = T2 − q x B ; Ts ,4 = T3 − q x C λA λC λB

Fig. 7.15

(7.50)

Transferul de căldură

210

Analogia electrică ne permite rezolvarea unor probleme de transfer de căldură prin pereţi cu o structură complicată. În figura 7.15 este prezentat un perete compus din mai multe straturi, iar în partea de jos a figurii sunt prezentate două scheme posibile de calculare a rezistenţei echivalente. Problema care apare în cazurile în care un perete are straturile plasate paralel cu fluxul termic (în cazul de faţă, straturile notate cu F şi G ) depinde de diferenţa valorilor conductivităţii acestor straturi λ F − λG . Dacă diferenţa este mică, problema se poate rezolva prin analogia electrică; dacă această diferenţă este mare, apar componente ale fluxului termic, între cei doi pereţi, lucru ce nu mai permite aplicarea relaţiilor de până acum; problema, în acest caz, necesită o abordare numerică. Situaţia a) se poate utiliza dacă suprafaţa de separare dintre cei doi pereţi este o suprafaţă izotermă. Rezistenţa echivalentă în acest caz este:

⎛ δ δ ⎜ 4 F G λ F λG 1 ⎜δ Ra = ⎜ E + A ⎜ λE ⎛ δ F δG ⎜⎜ + 2 ⎜ λ λG F ⎝ ⎝

⎞ ⎟ δH ⎟ + ⎟ ⎞ λH ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎠

(7.51)

Fluxul termic pentru acest caz este:

Q=

T1 − T2 Ra

(7.52)

Rezistenţa termică în cazul b) este dată de formula (7.53), iar fluxul termic se calculează cu formula (7.52):

⎛δ δ δ δ ⎞ ⎛δ δ 2 ⋅ ⎜⎜ E + F + H ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ E + G + H 1 ⎝ λ E λ F λ H ⎠ ⎝ λ E λG λ H Rb = δ δ δ δ A 2⋅ E + F + G + 2⋅ H

λE

λF

λG

⎞ ⎟⎟ ⎠

(7.53)

λH

7.3.2.2 Rezistenţa de contact O problemă importantă ce apare în practică o constituie faptul că suprafeţele de contact dintre diferitele straturi ale pereţilor nu sunt perfecte. Acest lucru determină apariţia unor rezistenţe termice suplimentare, datorate contactelor imperfecte dintre diferitele straturi ale pereţilor. Din punct de vedere matematic, în aceste puncte temperatura prezintă discontinuităţi (fig. 7.16). În figură, în zona de contact a pereţilor, temperatura are un salt ∆T = TA − TB . Rezistenţa termică dintre straturi se datorează diferenţelor de rugozitate. Astfel, sunt zone în care cele două straturi sunt în contact direct şi sunt zone în care între cele două straturi există un spaţiu umplut - de regulă - de un fluid, de cele mai multe ori gaz. Fluxul termic în zona contactelor imperfecte dintre straturi are două componente:

Termotehnică şi maşini termice

211

- qcontact , reprezentat de suma fluxurilor conductive din zonele de contact direct între materialele celor două straturi;

Fig. 7.16 - q gol reprezintă suma fluxurilor termice transmise prin golurile existente în cazul unui contact imperfect între straturi. Aceste fluxuri termice sunt de natură convectivă şi radiantă. În cazul contactelor imperfecte între straturile unui perete, utilizând notaţiile din figura 7.16, se defineşte rezistenţa termică de contact:

Rt ,contact =

TA − TB qx

(7.54)

Pentru diverse cupluri de materiale, rezistenţele de contact se determină experimental. În Anexa 5 se găsesc valori pentru rezistenţe de contact. Exemplul E 7.2

δ A şi δ B ce îndeplinesc λ A = 0 ,15[W / m / K ] , λ B = 0 ,08[W / m / K ].

Uşa unui cuptor este compusă din două straturi de grosime

condiţia δ A = 2 ⋅ δ B , având conductivităţile Aerul din cuptor are temperatura de 400°C, iar cel exterior 25°C. În interiorul cuptorului,

α c = α r = 25[W / m 2 / K ] ; la exterior căldura pierdută 2 prin radiaţie se consideră negljjabilă, iar coeficientul de convecţie este α 0 r = 25[W / m / K ] .

coeficienţii de convecţie şi radiaţie sunt

Să se determine grosimea uşii cuptorului, astfel încât pe faţa exterioară a acesteia temperatura să nu depăşească 50°C.

Transferul de căldură

212 Soluţie: În figura 7.17 este prezentată geometria problemei:

Fig. 7.17 Transferul de căldură prin uşa cuptorului este staţionar şi monodimensional. Schimbul de căldură de la peretele interior al uşii spre exterior este format din convecţie plus radiaţie conducţie prin peretele uşii şi convecţie la exterior. Rezistenţele termice parcurse de fluxul termic de la interior către exterior, cu notaţiile din figura 7.17, sunt prezentate în figura 7.18:

Fig. 7.18 Puterea termică ce străbate uşa cuptorului de la interior până la peretele exterior este: •

E1 =

Ta − Ts ,0 [W/m2] R ∑ t

Puterea termică ce părăseşte uşa de la peretele exterior către aer este: •

E 2 = α 0 (Ts ,1 − T∞ ) [W/m2] Bilanţul puterilor se va face pe suprafaţa peretelui exterior al uşii cuptorului, unde s-a impus condiţia pentru temperatură, aplicând relaţia (7.12). Rezistenţa termică echivalentă grupării serie este:

Rt ,e =

δ δ 1 + A+ B α c + α r λ A λB

Termotehnică şi maşini termice

Bilanţul puterilor este:

213

Ta − Ts ,0

δ δ 1 + A+ B α c + α r λ A λB Având în vedere că

= α 0 (Ts ,0 − T∞ )

δ A = 2δ B , din relaţia de mai sus extragem δ A :

Ta − Ts ,0 1 400 − 50 1 − − α (T − T ) α c + α r 25(50 − 25 ) 25 + 25 δ A = 0 s ,0 ∞ = = 0 ,0418 m 1 1 1 1 + + 0 ,15 2 ⋅ 0 ,08 λ A 2 ⋅ λB

δB =

δA 2

= 0 ,0209

Grosimea totală a peretelui uşii este:

δ =δ A+δ B = 0 ,0627 m = 62 ,7 mm

Exemplu E 7.3 Un procesor este fixat pe un suport de aluminiu de grosime δ = 8 mm, printr-un film epoxidic de 0,08 mm. Procesorul şi suportul sunt răciţi într-un curent de aer ce are temperatura de 25°C. În aceste condiţii, coeficientul de convecţie este de 100 W/m2/K. Dacă procesorul produce în condiţii normale o putere termică de 104 W/m2, poate să funcţioneze la o temperatură mai mică decât 85°C, temperatura maximă admisă ? (pentru aluminiu λ = 238 W/m/K) Soluţie

Fig. 7.19

Transferul de căldură

214

În figura 7.19 este prezentă schematic geometria problemei. Filmul epoxidic aplicat între procesor şi suportul de aluminiu, datorită grosimii reduse este considerat ca o rezistenţă de

Rt ,c = 0 ,9 ⋅ 10 −4 m2K/W. este preluată prin faţa acestuia q1 şi prin suportul de

contact. Din Anexa 5 obţinem, pentru acest caz, valoarea: Căldura produsă de procesor

q pc

aluminiu q 2 . Bilanţul puterilor în acest caz este:

q pc = q1 + q2 Schema din dreapta figurii ne ajută să scriem puterile preluate de aerul de răcire:

q1 =

T pc − T∞ 1

q2 =

α qc =

T pc − T∞ R t ,c +

δ 1 + λ α

T pc − T∞ T pc − T∞ + 1 δ 1 R t ,c + +

α

λ

α

Din relaţia de mai sus calculăm temperatura procesorului în condiţiile când acesta produce o putere termică

T pc = T∞ +

qc = 10 4 W/m2: qc

α+

1

δ 1 Rt ,c + + λ α

10 4

= 25 +

100 + 0 ,9 ⋅ 10 −4

1 0 ,008 1 + + 238 100

= 75 ,3 °C

Rezultatul de mai sus arată că procesorul lucrează sub temperatura maximă admisă.

7.3.3 Conducţia staţionară prin pereţi cilindrici O situaţie cu numeroase aplicaţii tehnice o constituie cazul transferului de căldură prin pereţi cilindrici. Geometria acestei probleme este prezentată în figura 7.20:

Fig. 7.20

Termotehnică şi maşini termice

215

Simetria axială a geometriei permite tratarea problemei într-un sistem de coordonate cilindrice. Considerând că suprafeţele de izoterme sunt suprafeţe cilindrice, rezultă că fluxul de căldură are numai componentă radială. Pentru situaţia staţionară, ecuaţia câmpului termic rezultă din particularizarea relaţiei (7.30).

1 d ⎛ dT ⎞ ⎜λ ⋅r ⋅ ⎟=0 r dr ⎝ dr ⎠

(7.55)

Soluţia generală a ecuaţiei de mai sus este: T (r ) = C1 ln r + C 2

(7.56)

Considerând temperaturile pe feţele cilindrului Ts ,1 şi Ts ,2 , corespunzătoare razelor r1 şi r2 , condiţiile la limită sunt:

Ts ,1 = C1 ln r1 + C 2

(7.57)

Ts ,2 = C 2 ln r2 + C 2

(7.58)

Determinând constantele din relaţiile (7.57) şi (7.58) şi introducându-le în relaţia (7.56), rezultă ecuaţia variaţiei temperaturii în interiorul cilindrului: T (r ) =

Ts ,1 − Ts ,2 r ln + Ts ,2 r1 r2 ln r2

(7.59)

Ecuaţia (7.59) permite determinarea fluxului termic pe baza ecuaţiei lui Fourier: Qr = −λ ⋅ A ⋅

dT dT − λ ⋅ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ L ⋅ = dr dr

Ts ,1 − Ts ,2 r 1 ln 2 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ L r1

(7.60)

Având în vedere analogia electrică din relaţia (7.60), deducem expresia rezistenţei termice conductive pentru cazul pereţilor cilindrici:

Rt ,cond =

r 1 ln 2 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ L r1

(7.61)

Considerând un sistem complet, prin care schimbul de căldură se face între două fluide despărţire de un perete cilindric (fig. 7.20), observăm că fluxul termic se transmite de la fluidul cald - prin convecţie - către suprafaţa interioară a cilindrului, prin conducţie în interiorul cilindrului şi prin convecţie către fluidul rece. Rezistenţa termică convectivă pentru cazul pereţilor cilindrici se deduce din relaţia fluxului termic:

Transferul de căldură

216

Qr =

T∞ ,1 − Ts ,1 1 ⇒ Rt ,conv ,1 = 1 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ α1 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ α1 ⋅ L

(7.62)

Pentru schimbul de căldură dintre cele două fluide, rezistenţa termică totală este suma rezistenţelor convective şi conductive:

1 = Rt ,e

1 r 1 1 + ln 2 + 2 ⋅ π ⋅α 1 ⋅ r1 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ L r1 2 ⋅ π ⋅ α 2 ⋅ r2 ⋅ L 1

(7.63)

Expresia fluxului termic pentru cazul pereţii cilindrici este:

Qr =

T∞ ,1 − T∞ ,2 = k g ,cil (T∞ ,1 − T∞ ,2 ) Rt ,e

(7.64)

S-a introdus notaţia k g ,cil - coeficientul global de schimb de căldură pentru pereţi cilindrici. Expresia acestuia este: k g ,cil =

1 Rt ,e

Fig. 7.21

(7.65)

Termotehnică şi maşini termice

217

În cazul când peretele cilindric este compus din mai multe straturi cu proprietăţi termice diferite (fig. 7.21), rezistenţa termică echivalentă este: 1 = k g ,cil = Rt ,e

1 3

r 1 1 +∑ ln i +1 + ri 2 ⋅ π ⋅ α 2 ⋅ r2 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ α 1 ⋅ r1 ⋅ L i =1 2 ⋅ π ⋅ λi ⋅ L 1

(7.66)

Exemplul E 7.4 O ţeavă de cupru. care transportă un lichid frigorific. are diametrul exterior ri = 10 mm,

este izolată cu polistiren ce are conductivitatea λ = 0 ,055 W/m/K şi raza exterioară r. Coeficientul de convecţie către aerul exterior este α = 5 W/m2/K. Să se analizeze existenţa unei grosimi optime de izolaţie. Soluţie: Schema conductei din problemă este prezentă în figura 7.22.

Fig. 7.22 Odată cu creşterea diametrului izolaţiei, rezistenţa conductivă creşte, iar rezistenţa convectivă scade datorită creşterii suprafeţei exterioare a izolaţiei. Se pune problema existenţei unei grosimi optime a izolaţiei, care să minimizeze fluxul termic. Cu notaţiile din figura 7.22, schema rezistenţelor termice este următoarea:

Fig. 7.23 Rezistenţa termică echivalentă pentru un metru de conductă şi fluxul termic sunt:

Rt ,e =

1 2 ⋅π ⋅ λ

ln

T − Ti r 1 + ; q= ∞ ri 2 ⋅ π ⋅ r ⋅α Rt ,e

Transferul de căldură

218

Pentru găsirea unui optim pentru rezistenţa termică echivalentă, anulăm prima derivată:

dRt ,e 1 1 λ =0⇒ − =0⇒r = 2 dr 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ r 2 ⋅ π ⋅ r ⋅α α Pentru a vedea dacă această valoare maximizează sau minimizează fluxul termic, facem derivata a doua:

d 2 Rt ,e 1 1 =− + 2 2 dr 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ r π ⋅ r 3 ⋅α Pentru valoarea r =

λ α

, aceasta devine:

d 2T 1 = 2 2 dr ⎛λ⎞ π⎜ ⎟ ⎝α ⎠

λ r= α

⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟= ⎝ λ 2λ ⎠

1

λ3 2 ⋅π ⋅ 2 α

>0

Valoarea derivatei a doua este totdeauna pozitivă; acest lucru înseamnă că la raza rezistenţa termică echivalentă are un minim, deci fluxul termic este maxim. Rezultatul de

mai sus ne arată că nu poate exista o problemă de optimizare a grosimii izolaţiei. Valoarea razei

r=

λ α

a fost denumită valoare critică, practic ea maximizează fluxul

termic. În general, odată cu creşterea izolaţiei scade fluxul termic, dacă raza izolaţiei este mai mare decât valoare critică. Cu valorile numerice din problemă, obţinem:

r=

λ 0 ,055 = 0 ,011m 5 α

în tabelul de mai jos s-au trecut rezultatele calculelor efectuate pentru diferite grosimi ale izolaţiei. Se observă că rezistenţa conductivă creşte o dată cu raza, însă rezistenţa convectivă scade cu creşterea razei. Aceste tendinţe sunt însumate de valorile rezistenţei termice echivalente. Observăm că acesta are minimul prezis de anularea primei derivate:

r [m] 0,005 0,007 0,010 0,011 0,015 0,025 0,045

Rcond 0 0,97 2,00 2,28 3,18 4,66 6,35

Rconv 6,37 4,55 3,18 2,89 2,12 1,27 0,71

Rt ,e 6,37 5,52 5,18 5,17 5,30 5,93 7,06

Termotehnică şi maşini termice

219

7.3.4 Conducţia staţionară prin pereţi sferici Pentru a determina fluxul de căldură prin pereţi sferici considerăm un volum definit de două sfere de raze r1 şi r2 , conform figurii 7.24:

Fig. 7.24 La distanţa r se defineşte o suprafaţă sferică de grosime dr. Fluxul termic pe faţa interioară a acesteia este q r , iar pe faţa exterioară este qr + dr . Expresia fluxului termic este dată de legea lui Fourier, în care suprafaţa A este particularizată pentru cazul unei suprafeţe sferice de rază r :

q = −λ ⋅ A ⋅

(

)

dT dT = −λ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 dr dr

(7.67)

Pentru suprafaţa sferică definită mai sus, se integrează ecuaţia definită de formula (7.67). Observăm că ecuaţia diferenţială se poate integra prin separarea variabilelor.

q

dr = −λdT 4 ⋅π ⋅ r 2

(7.68)

Integrând ecuaţia (7.68), rezultă: T

r

q

s ,2 1 2 dr λ = − ∫T dT ⇒ q = 4 ⋅ π ∫r1 r 2 s ,1

Ts ,1 − Ts ,2 ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4 ⋅ π ⋅ λ ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠

1

(7.69)

Dacă ne referim la analogia electrică, rezistenţa termică conductivă asociată unui perete sferic definit de razele r1 şi r2 este, conform relaţiei (7.69), următoarea: Rt =

⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4 ⋅ π ⋅ λ ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 1

(7.70)

Transferul de căldură

220

7.3.5 Elemente de conducţia nestaţionară Ecuaţia difuziei căldurii, în diverse sisteme de coordonate, este alcătuită din termeni ce conţin derivatele temperaturii funcţie de coordonate şi un termen care conţine derivata temperaturii funcţie de timp. Pentru a obţine soluţii analitice, se introduc ipoteze simplificatoare, cea mai utilizată fiind aceea prin care se consideră câmpul de temperatură staţionar, lucru ce face posibil anularea termenului ce conţine derivata temporară a temperaturii. În cazul când se doreşte obţinerea de soluţii luând în considerare termenul ce conţine derivata temporară a temperaturii, soluţiile vor fi de forma T ( x , y , z ,τ ) , câmpul de temperatură depinde atât de coordonatele spaţiale, cât şi de timp. Spunem că avem o soluţie nestaţionară a ecuaţiei difuziei căldurii, care defineşte câmpul de temperatură în timp şi în spaţiu. Datorită formei complexe a ecuaţiei difuziei căldurii, soluţiile analitice sunt limitate, iar acestea sunt obţinute în condiţiile unor ipoteze simplificatoare. Soluţii complexe, fără a introduce ipoteze simplificatoare, se pot obţine pe cale numerică. 7.3.5.1 Metoda capacităţii punctiforme De multe ori, se pot obţine soluţii simple pentru transferul nestaţionar de căldură prin introducerea unor ipoteze ce reflectă o comportare particulară a anumitor corpuri în timpul transferului de căldură, comportare datorată unor proprietăţi specifice. Astfel, pentru multe corpuri solide, în special metale, caracterizate de valori mari ale conductivităţii, gradientul de temperatură în interiorul corpului în timpul transferului de căldură este mic, lucru ce permite introducerea unei ipoteze simplificatoare prin care se consideră că temperatura corpului este uniformă. Practic, prin această ipoteză dispare efectul spaţial al volumului corpului, acesta putând fi considerat punctiform. Această ipoteză stă la baza metodei capacităţii punctiforme.

Fig. 7. 25

Termotehnică şi maşini termice

221

Pentru a explica metoda capacităţii punctiforme, considerăm un bucată de metal caldă, cu temperatura iniţială Ti , răcită într-un lichid cu temperatura T∞ (fig. 7.24). Ipoteza de bază a metodei presupune că temperatura corpului metalic este uniformă în volumul acestuia, pe întreaga durată a procesului. Iniţial, temperatura metalului este Ti ; după ce acesta este introdus în vasul cu lichid, temperatura corpului se va modifica în timp. Utilizarea ipotezei prin care temperatura corpului este uniformă în întregul volum face ca temperatura corpului să devină o funcţie de o singură variabilă: timpul. Bilanţul puterilor termice pe volumul de control asociat corpului (fig. 7.24) ne arată că variaţia energiei corpului este egală cu puterea termică transmisă prin convecţie lichidului: •

•

− Ee = E

(7.71)

sau:

− α ⋅ As ⋅ (T − T∞ ) = ρ ⋅ V ⋅ c ⋅

dT dτ

(7.72)

Relaţia (7.72) reprezintă ecuaţia diferenţială ce descrie variaţia în timp a temperaturii corpului. Se introduce notaţia:

θ = T − T∞ ⇒

dθ dT = dτ dτ

(7.73)

Cu această notaţie, ecuaţia devine:

ρ ⋅ V ⋅ c dθ = −θ α ⋅ As dτ

(7.74)

Prin integrare, obţinem: τ ρ ⋅ V ⋅ c θ dθ = − ∫0 dτ ; unde θ i = Ti − T∞ α ⋅ As θ∫ θ

(7.75)

i

Soluţia este:

ρ ⋅V ⋅ c θ i ln = τ θ α ⋅ As

(7.76)

⎡ ⎛ α ⋅ As ⎞ ⎤ θ T − T∞ ⎟⎟τ ⎥ = exp(− β ⋅ τ ) = = exp ⎢− ⎜⎜ θ i Ti − T∞ ⎣ ⎝ ρ ⋅V ⋅ c ⎠ ⎦

(7.77)

sau :

Coeficientul timpului din ecuaţia (7.77) se notează cu β şi se numeşte constanta termică a timpului.

Transferul de căldură

222

β=

1 (ρ ⋅V ⋅ c ) = Rt ,cond ⋅ Ct α ⋅ As

(7.78)

Din relaţia de mai sus se determină constanta termică a timpului; ea este egală cu produsul dintre rezistenţa termică convectivă şi capacitatea termică punctiformă a solidului. Aceste mărimi determină răspunsul în timp al corpului.

Fig. 7.26 În figura 7.25 sunt prezentate grafic câteva soluţii ale ecuaţiei (7.77). Se observă influenţa constantei termice a timpului β . Practic, această constantă modifică răspunsul în timp al corpului. Fiind vorba de un fenomen dinamic, există un circuit electric echivalent ce permite modelarea fenomenelor de transfer nestaţionar de căldură.

Fig. 7.27 În figura 7.26 este prezentat circuitul electric echivalent, împreună cu echivalenţa mărimilor. Practic, timpul de descărcare al condensatorului prin rezistenţa Rt este similar cu timpul de răspuns al corpului răcit.

Termotehnică şi maşini termice

223

Exemplul E 7.5 Un termocuplu ce poate fi asimilat unei sfere este folosit pentru măsurarea temperaturii într-un gaz. Coeficientul de convecţie este 400 W/m2/K, iar proprietăţile materialului sunt căldura specifică c=400 J/kg/K şi densitatea ρ=8500 kg/m3 . Să se determine diametrul termocuplului, astfel încât constanta termică a timpului să fie de 1s. Dacă termocuplul, de la 25°, este introdus în curentul de gaz la 200°C, cât timp îi trebuie termocuplului să ajungă la 199°C? Soluţie: Din condiţia β = 1 deducem diametrul termocuplului:

ρ⋅

π ⋅ D3

⋅c 6 ⋅α 6 ⋅ 400 6 β= = 1⇒ D = = = 7 ,06 ⋅ 10 −4 m 2 ρ ⋅ c 8500 ⋅ 400 α ⋅π ⋅ D Din ecuaţia (7.77) determinăm timpul:

τ=

1

β

ln

Ti − T∞ T − T∞ 400 ⋅ 6 25 − 200 α ⋅π ⋅ D2 = ln i = ln = 5 ,16 s 3 −4 T − T∞ T − T∞ 8500 ⋅ 7 ,06 ⋅ 10 ⋅ 400 199 − 200 π ⋅D ⋅c ρ⋅ 6

7.3.5.2 Analiza metodei capacităţii punctiforme Considerăm un transfer de căldură staţionar, printr-un perete de lăţime L. Una dintre suprafeţe este menţinută la temperatura Ts ,1 , iar cealaltă suprafaţă este expusă unui curent de fluid la temperatura T∞ , astfel încât temperatura acestei feţe este Ts ,2 , cu condiţia T∞ < Ts ,2 < Ts ,1 (fig. 7.27).

Fig. 7.28

Transferul de căldură

224 Bilanţul puterilor pe faţa exterioară a peretelui este:

λ ⋅ A⋅

Ts ,1 − Ts ,2 = α ⋅ A ⋅ (T2 ,s − T∞ ) L

(7.79)

Rearanjând relaţia de mai sus, obţinem :

L Ts ,1 − Ts ,2 λ ⋅ A Rt ,conductiva α ⋅ L = = = = Bi 1 Ts ,2 − T∞ λ Rt ,convectiva α⋅A

(7.80)

Relaţia de mai sus ne arată că raportul rezistenţelor termice conductive şi convective este adimensional şi poartă numele de numărul lui Biot (sau criteriul lui Biot, referitor la criterii de similitudine). Acesta joacă un rol fundamental în problemele de conducţie ce au o suprafaţă conductivă. Prin analiza numerică a schimbului de căldură, conform schemei din figura 7.27, rezultă că pentru valori ale numărului lui Biot mult mai mici ca 1 (Bi T∞ ) . Particulele de fluid care aderă la suprafaţa plăcii au, datorită forţelor de coeziune, temperatura egală cu temperatura plăcii. Straturile învecinate au - datorită schimbului de energie - temperaturi variabile, pe măsură ce sunt mai depărtate de placă temperatura lor tinde spre temperatura fluidului. Regiunea din vecinătatea în care există gradient de temperatură se numeşte strat limită termic. Limita acestui strat este denumită grosimea stratului limită termic δ t şi se defineşte ca fiind grosimea pentru care temperatura T a fluidului este egală cu valoarea definită de relaţia:

Ts − T = 0 ,99 Ts − T∞

(7.102)

În figura 7.33 b) este prezentat stratul limită termic şi grosimea acestuia δ (x ) , care creşte odată cu creşterea lui x. Stratul limită termic are o importanţă deosebită în studiul procesului de convecţie. Astfel, fluxul de căldură local schimbat între placă şi fluid poate fi definit de relaţia lui Fourier, în care gradientul de temperatură este derivata funcţiei ce reprezintă variaţia temperaturii în stratul termic T ( y ) în punctul de contact (fig. 7.33 b). Dacă notăm cu q x fluxul de căldură local pe unitatea de suprafaţă, cu λ f conductivitatea termică a fluidului şi cu α coeficientul local de convecţie la distanţa x de marginea plăcii, acesta poate fi definit astfel:

q x = α ⋅ (Ts − T∞ ) = −λ f ⋅

∂T ∂y

(7.103) y =0

Relaţia (7.103) ne permite să calculăm coeficientul de convecţie local: − λf ⋅

α=

∂T ∂y

Ts − T∞

y =0

(7.104)

Practic, dacă se cunoaşte expresia variaţiei temperaturii în stratul limită termic T ( y ) , se poate determina coeficientul de convecţie local. Acest lucru se poate determina analitic într-un număr restrâns de cazuri, datorită complexităţii fenomenului. Un pas important în analiza procesului de convecţie din stratul limită îl reprezintă stabilirea naturii curgerii în această regiune, adică dacă avem de a face cu o curgere turbulentă sau cu o curgere laminară. Acest lucru determină profilul variaţiei vitezei în stratul limită care, la rândul său, influenţează profilul variaţiei temperaturii din stratul limită termic, deci coeficientul de convecţie. În figura 7.34 este prezentată structura reală a stratului limită. Iniţial, curgerea în stratul limită este laminară până la o anumită distanţă notată cu xc ; urmează o zonă de tranziţie, apoi curgerea se transformă - în mare parte - în curgere turbulentă.

Transferul de căldură

232

În zona curgerii turbulente, precum şi în zona curgerii tranzitorii, se menţine în vecinătatea plăcii un substrat în care curgerea este laminară. Pentru zona turbulentă, între substratul laminar şi stratul turbulent există un strat de tranziţie.

Fig. 7.34 Se observă că în cele două zone distincte de curgere, laminară şi turbulentă, variaţia vitezei în stratul limită este diferită. Acest lucru influenţează variaţia temperaturii în stratul limită termic, deci şi derivata acesteia la suprafaţa plăcii, care determină valoarea coeficientului de convecţie. Aceste influenţe ale curgerii, în stratul limită, asupra grosimii acestuia, cât şi asupra coeficientului de convecţie, sunt prezentate în figura 7.35.

Fig. 7.35 Se observă dependenţa coeficientului local de convecţie de natura curgerii din stratul limită.

Termotehnică şi maşini termice

233

Deoarece modelarea analitică a procesului de convecţie, în scopul definirii unor formule pentru calculul coeficientului de convecţie, este posibilă numai într-un număr limitat de cazuri, se apelează la teoria similitudinii bazată pe determinări experimentale pentru definirea unor formule ale coeficientului de convecţie. 7.4.2 Similitudinea în stratul limită, criterii de similitudine Analizând aspectele particulare ale curgerii în stratul limită, se introduc următoarele aproximaţii pentru ecuaţiile de curgere şi ecuaţia energiei, folosind notaţiile din figurile 7.33 şi 7.34:

u >> v;

∂u ∂u ∂v ∂v , , >> ∂x ∂y ∂x ∂y

(7.105)

∂T ∂T >> ∂y ∂x

(7.106)

Aplicând aceste aproximaţii ecuaţiei de curgere Navier-Stokes pentru curgerea staţionară bidimensională, ecuaţiei energiei şi a continuităţii, obţinem ecuaţiile stratului limită:

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(7.107)

∂u 1 ∂p ∂ 2u ∂u +v =− +ν 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂p =0 ∂y

u

∂T ∂T ∂ 2T ν ⎛ ∂u ⎞ +v = a 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ u ∂x ∂y ∂y c p ⎝ ∂y ⎠

(7.108) (7.109) 2

(7.110)

Ecuaţiile de mai sus conţin în partea stângă termeni de advecţie, iar în partea dreaptă termeni care exprimă difuzia (disipaţia), ceea ce face să considerăm că ecuaţiile descriu - pentru viteze mici - fenomenul de convecţie forţată. Pentru ecuaţiile de mai sus, se introduc următoarele mărimi adimensionale notate cu “*”: - x* =

x y ; y* = ; L - lungimea caracteristică schimbului termic; L L

- u* =

v u ; v* = ; V = u ∞ viteza fluidului neperturbată de stratul limită; V V

- T* =

T − Ts T∞ − Ts

Transferul de căldură

234

Înlocuind variabilele adimensionale definite mai sus în ecuaţiile (7.108) şi (7.110) ,obţinem forma adimensională a acestor ecuaţii. În ecuaţia (7.110) s-a neglijat termenul ce reprezintă disipaţia vâscoasă. u*

* ν ∂ 2 u* ∂p* ∂u * * ∂u v + = − + ∂x* V ⋅ L ∂y* 2 ∂y* ∂x*

(7.111)

* a ∂ 2T * ∂T * * ∂T v = + ∂y* V ⋅ L ∂y* 2 ∂x*

(7.112)

u*

În ecuaţiile de mai sus apar termeni adimensionali, astfel: - Re =

-

V ⋅L

ν

criteriul lui Reynolds

λ a a a ν Pr criteriul lui Prandtl = ⋅ = ⇒ Pr = = ν µ ⋅cp V ⋅ L ν V ⋅ L Re

Din ecuaţia coeficientului de convecţie local, prin introducerea variabilelor adimensionale, obţinem: −λf ⋅

α=

∂T ∂y

Ts − T∞

y =0

⇒α = −

λ f T∞ − Ts ∂T * ⋅

⋅

L Ts − T∞ ∂y*

= y =0

λ ∂T *

⇒ Nu =

⋅

L ∂y*

y =0

α ⋅ L ∂T * = * λ ∂y

y =0

(7.113)

α ⋅L criteriul lui Nusselt - Nu = λ

Proprietăţile fluidului din criteriul Prandtl - dacă nu se fac alte precizări - se determină la valoarea medie a temperaturii, calculată astfel:

Tf =

Ts + T∞ 2

(7.114)

Pentru rezolvarea problemelor de convecţie trebuie calculat coeficientul de convecţie. Observăm că dacă se cunoaşte criteriul lui Nusselt, acesta permite determinarea coeficientului de convecţie. Există două metode. Prima este metoda teoretică, ce implică integrarea ecuaţiilor stratului limită şi permite obţinerea de soluţii pentru un număr limitat de cazuri. A doua metodă, denumită experimentală sau a corelaţiilor empirice, constă în efectuarea de măsurători experimentale pentru transferul de căldură prin convecţie pentru diferite geometrii şi corelarea datelor în ecuaţii criteriale, ecuaţii ai căror termeni sunt adimensionali, formaţi din criterii de similitudine.

Termotehnică şi maşini termice

235

7.4.3 Convecţia forţată în spaţiu nelimitat Convecţia forţată în spaţiu nelimitat înseamnă schimbul de căldură dintre un fluid ce are o mişcare impusă şi un corp. Fenomenul se petrece într-un spaţiu cu dimensiuni mari, ce nu afectează procesul de schimb de căldură. ƒ

Curgerea unui fluid peste o placă plană: - mişcarea fluidului este laminară 1 3

1 2

Nu = 0 ,664 ⋅ Re ⋅ Pr ; 0 ,6 < Pr < 50

-

între fluid şi placă există un strat limită mixt laminar şi turbulent, cu notaţiile din figura 7.34; ecuaţia criterială este: 4 1 1 ⎡ ⎛ 45 ⎞⎤ 5 ⎟ 3 2 ⎜ Nu = ⎢0 ,664 Rex ,c + 0 ,037 ⎜ ReL − Rex ,c ⎟⎥ ⋅ Pr ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢

-

(7.116)

mişcarea fluidului este turbulentă 4 5

1 3

Nu = 0 ,0296 ⋅ Re ⋅ Pr ; 0 ,6 < Pr < 60

ƒ

(7.115)

(7.117)

Curgerea unui gaz peste un cilindru, relaţie propusă de Hilpert:

α ⋅D Nu D = = C ⋅ ReDm Pr 3 λ

1

(7.118)

Lungimea caracteristică, în acest caz, este D diametrul cilindrului. ReD indică faptul că criteriul lui Reynolds se calculează cu diametrul D utilizat ca lungime caracteristică. În tabelul T 7.1 sunt prezentate valorile coeficienţilor C şi m din relaţia (7.118). Aceştia au fost determinaţi pe cale experimentală. Tabelul T 7.1

Transferul de căldură

236

Ecuaţia (7.118) poate fi folosită şi în cazul curgerii unui gaz peste un corp cu altă geometrie. În tabelul T 7.2 sunt prezentate valorile coeficienţilor ecuaţiei pentru acest caz: Tabelul T 7.2

ƒ

Cazul curgerii în jurul unei sfere de diametru D; se utilizează relaţia lui Whitaker: 2 1 ⎛ ⎞ ⎛ µ 2 ⎜ Nu D = 2 + ⎜ 0 ,4 ⋅ ReD + 0 ,06 ⋅ ReD3 ⎟⎟ ⋅ Pr 0 ,4 ⋅ ⎜⎜ ⎝ µs ⎝ ⎠

1

⎞4 ⎟⎟ ⎠

(7.119)

Relaţia este valabilă cu următoarele restricţii: ⎛ µ 0 ,71 < Pr < 380 ;3 ,5 < ReD < 7 ,6 ⋅ 10 4 ;1,0 < ⎜⎜ ⎝ µs

ƒ

⎞ ⎟⎟ < 3 ,2 ⎠

Curgerea peste un fascicul format din mai mult de 10 rânduri de ţevi (N R ≥ 10 ) de diametru D. Relaţii propuse de Grimison:

Nu D = C1 ReD ,max

(7.120)

cu restricţiile 2000 < ReD ,max < 40.000; Pr = 0 ,7 ; 1

Nu D ,max = 1,13 ⋅ ReD ,max Pr 3 cu restricţiile 2000 < ReD ,max < 40.000; Pr ≥ 0 ,7 ;

(7.121)

Termotehnică şi maşini termice

237

Relaţiile (7.120) şi (7.121) se aplică funcţie de modul de aşezare a ţevilor în fascicul. În figura 7.36 sunt prezentate cele două moduri posibile de aşezare a tevilor în fascicul:

a)

b) Fig. 7.36

Utilizând notaţiile din figura 7.36, valorile coeficienţilor ecuaţiilor (7.120) şi (7.121) sunt date în Tabelul T 7.3: Tabelul T 7.3

Transferul de căldură

238

Criteriul ReD ,max se calculează pentru valoarea maximă a vitezei fluidului între rândurile fascicolului. Pentru cazul în care ţevile sunt aliniate (fig. 7.36 a), viteza maximă se obţine în secţiunea A1 . Din legea conservării masei rezultă:

Vmax =

ST ⋅V ST − D

(7.122)

În cazul fascicolului de ţevi intercalate, viteza maximă poate fi în secţiunea transversală A1 sau în secţiunea diagonală A2 . Dacă este îndeplinită condiţia: 1

2 ⎡ ⎛ S ⎞ ⎤2 S + D S D = ⎢ S L2 + ⎜ T ⎟ ⎥ < T 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

atunci viteza maximă se determină cu relaţia:

Vmax = ƒ

ST ⋅V 2 ⋅ (S T − D )

(7.123)

Curgerea peste un fascicul format din mai puţin de 10 rânduri de ţevi (N R ≤ 10 ) de diametru D. Pentru acest caz se utilizează relaţia:

Nu D

N R ≤10

= C 2 ⋅ Nu D

N R ≥10

(7.124)

Se observă că în acest caz se utilizează valorile obţinute cu una dintre ecuaţiile (7.120) sau (7.121), corectate cu factorul C 2 . Valorile acestuia se găsesc în Tabelul T 7.4 : Tabelul T 7.4

În cazul curgerii unui fluid peste un fascicul de ţevi, cantitatea de căldură preluată de acesta de la fascicul se poate determina astfel: notăm cu Ti temperatura fluidului în faţa fasciculului şi cu Te temperatura acestuia la ieşirea din fascicul. Diferenţa medie logaritmică de temperatură între fluid şi temperatura Ts a pereţilor exteriori ai ţevilor din fascicul este: ∆Tln =

(Ts − Ti ) − (Ts − Te ) ⎛ T −T ⎞ ln⎜⎜ s i ⎟⎟ ⎝ Ts − Te ⎠

(7.125)

Termotehnică şi maşini termice

239

Dacă notăm cu N numărul total de ţevi din fascicul şi cu NT numărul de ţevi din secţiunea transversală a acestuia, raportul adimensional al temperaturilor se exprimă astfel:

⎛ Ts − Te π ⋅ D ⋅ N ⋅α = exp⎜ − ⎜ Ts − Ti ⎝ ρ ⋅V ⋅ N T ⋅ ST ⋅ c p

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(7.126)

Căldura schimbată de 1m de fascicul poate fi determinată cu relaţia:

ql = N ⋅ (α ⋅ π ⋅ D ⋅ ∆Tln )

(7.127)

7.4.4 Convecţia liberă în spaţiu nelimitat Convecţia liberă se referă la schimbul de căldură ce are loc între un corp şi un fluid cu temperaturi diferite. În acest caz, fluidul din jurul corpului nu are o mişcare impusă de forţe exterioare, dar gradientul de temperatură determină în masa fluidului un gradient de densitate. Fenomenul având loc în câmp gravitaţional, rezultă o mişcare a fluidului provocată de forţele interne apărute datorită gradientului de densitate. În figura 7.36 sunt prezentate două fenomene de convecţie liberă:

a)

b) Fig. 7.37

Figura 7.36 a) prezintă fenomenul de convecţie liberă ce are loc în jurul unei conducte calde plasate orizontal. Fluidul din vecinătatea conductei se încălzeşte, îşi micşorează densitatea şi începe să se ridice. Se formează o curgere, deasupra conductei, generată de forţele masice care fac ca particulele de fluid cu temperatură mai mare decât a mediului neperturbat, T > T∞ , să aibă o mişcare ascensionlă. Curgerea se dezvoltă în lungul axei ox, antrenând în mişcare o parte din aerul aflat în zona neperturbată. Fenomenul de transfer de căldură între conductă şi mediu este influenţat de mişcările fluidului din jurul acesteia.

Transferul de căldură

240

În figura 7.37 b) este prezentat fenomenul de convecţie liberă ce se produce la suprafaţa unei plăci verticale. Aerul care se mişcă pe lângă peretele cald, datorită diferenţelor de densitate, formează un strat limită complex, iniţial laminar, iar după o zonă de tranziţie devine turbulent. Criteriul de similitudine specific procesului de convecţie liberă este criteriul lui Grashof, care exprimă raportul dintre forţelor masice şi forţele de vâscozitate ce acţionează în fluid:

Gr =

g ⋅ β ⋅ (Ts − T∞ ) ⋅ L3

(7.128)

ν2

1 , T T temperatura fluidului în zona de convecţie (în lipsa unor precizări suplimentare, pentru T +T T se adoptă valoarea T = s ∞ ), L reprezintă lungimea caracteristică a schimbului 2 termic, iar ν vâscozitatea cinematică. În ecuaţiile criteriale pentru convecţie liberă se introduce următoarea notaţie: În relaţia de mai sus g reprezintă acceleraţia gravitaţională, β =

Ra = Gr ⋅ Pr

(7.129)

Funcţie de geometria suprafeţelor pe care se desfăşoară procesul de convecţie liberă, sunt prezentate următoarele cazuri: ƒ

Plăci verticale, suprafeţe calde sau reci

⎧ ⎪ ⎪ 1 ⎪⎪ 6 0 ,387 ⋅ Ra L Nu = ⎨0 ,825 + 8 9 ⎪ 27 ⎤ ⎡ 16 ⎪ ⎢1 + ⎛⎜ 0 ,492 ⎞⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎥ ⎪⎩ ⎦ ⎣

ƒ

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

2

Placi înclinate, suprafeţe calde sau reci

Se utilizează relaţia (7.128), dar se înlocuieşte g cu g ⋅ cosθ 0 ≤ θ ≤ 60 o .

(7.130)

Termotehnică şi maşini termice

ƒ

241

Plăci orizontale de dimensiuni mari, suprafeţe calde sau reci

1

Nu = 0 ,54 ⋅ Ra L4 ; (10 4 ≤ Ra L ≤ 107 )

(7.131)

1 3 L

Nu = 0 ,15 ⋅ Ra ; (107 ≤ Ra L ≤ 10 11 ) ƒ

(7.132)

Plăci orizontale de dimensiuni mici, suprafeţe calde sau reci

1

Nu = 0 ,27 ⋅ Ra L4 ; (10 5 ≤ Ra L ≤ 10 10 ) ƒ

Cilindru orizontal

⎧ ⎪ ⎪ 1 ⎪⎪ 0 ,38 ⋅ Ra D6 Nu = ⎨0 ,60 + 8 9 ⎪ 27 ⎡ ⎤ 16 ⎪ ⎢1 + ⎛⎜ 0 ,559 ⎞⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎥ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ƒ

(7.133)

2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 5 22 ⎬ ; (10 ≤ Ra D ≤ 10 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(7.134)

Sferă

Nu D = 2 +

0 ,589 ⋅ Ra ⎡ ⎢1 + ⎛⎜ 0 ,469 ⎞⎟ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎣

1 4 D 9 16

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

4 9

(

; Ra D ≤ 10 11 ; Pr ≥ 0 ,7

)

(7.135)

Transferul de căldură

242

7.4.5 Convecţia forţată în cazul curgerii fluidelor prin interiorul ţevilor 7.4.5.1 Analiza stratului limită În cazul curgerii laminare în interiorul conductelor (fig. 7.38) se disting două regiuni. Partea de intrare în conductă, în care apare şi se dezvoltă stratul limită şi partea în care curgerea este complet dezvoltată.

Fig. 7.38 Grosimea stratului limită creşte progresiv de la valoarea zero, la intrarea în conductă, până la o valoare egală cu raza conductei. În acel moment, curgerea devine complet dezvoltată pe întreg diametrul conductei. Pentru curgerea laminară, în zona complet dezvoltată viteza are o variaţie parabolică pe diametru, cu valoarea maximă pe axa conductei. Partea de la intrarea conductei, x fd , în care apare şi se dezvoltă stratul limită, se numeşte zonă de intrare. Modul specific de variaţie a profilului vitezei la intrarea în conductă şi apoi în lungul acesteia determină aspectul stratului limită termic. În figura 7.38 este prezentată geometria stratului limită termic pentru o conductă circulară caldă; temperatura suprafeţei interioare a conductei este mai mare decât temperatura fluidului Ts > T f :

Fig. 7.39

Termotehnică şi maşini termice

243

Începând de la intrarea în conductă se dezvoltă stratul limită termic, grosimea acestuia crescând până ajunge egală cu raza conductei. Din acel loc începe zona termică complet dezvoltată. Zona termică de intrare se întinde pe o lungime x fd ,t . Aceasta poate fi exprimată astfel: ⎛ x fd ,t ⎜⎜ ⎝ D

⎞ ⎟⎟ ≈ 0 ,05 ⋅ ReD ⋅ Pr ⎠ lam

(7.136)

În relaţia de mai sus diametrul conductei s-a notat cu D. Valoarea lungimii zonei termice de intrare diferă de lungimea zonei hidraulice de in intrare x fd , care se poate calcula cu relaţia: ⎛ x fd ⎜⎜ ⎝ D

⎞ ⎟⎟ ≈ 0 ,05 ⋅ ReD ⎠ lam

(7.137)

Relaţia (7.137) nu este valabilă în curgerile turbulente pentru care lungimea hidraulică de intrare este aproape independentă de Reynolds. În primă aproximaţie, lungimea zonei hidraulice de intrare se poate determina din relaţia următoare: ⎛ x fd 10 ≤ ⎜⎜ ⎝ D

⎞ ⎟⎟ ≤ 60 ⎠ turb

(7.138)

Deoarece viteza variază pe secţiunea conductei, în calculele de schimb de căldură se utilizează viteza medie pe secţiune. Dacă notăm aria secţiunii conductei cu A, debitul masic exprimat funcţie de valoarea medie a vitezei este: •

m = ρ ⋅ um ⋅ A

(7.139)

Criteriul Reynolds, exprimat funcţie de valoare debitului masic, are expresia: •

4⋅m ReD = π ⋅D⋅µ

(7.140)

Valoarea vitezei medii se defineşte astfel:

um =

∫ ρ ⋅ u(r , x )dA A

ρ⋅A

r

=

r

2 ⋅π ⋅ ρ 0 2 0 ( ) u r , x ⋅ r ⋅ dr = u (r , x ) ⋅ r ⋅ dr r02 ∫0 ρ ⋅ π ⋅ r02 ∫0

(7.141)

Pentru calculele de schimb de căldură se defineşte o temperatură medie pe secţiune Tm. Puterea termică transportată de fluid printr-o secţiune a conductei este:

Transferul de căldură

244 •

•

E = ∫ ρ ⋅ u ⋅ c p ⋅ T ⋅ dA = m ⋅ c p ⋅ Tm

(7.142)

A

Din relaţia (7.142) deducem valoarea medie a temperaturii imtr-o secţiune a conductei: ∫A ρ ⋅ u ⋅ c p ⋅ T ⋅ dA 2 r0 Tm = = u ⋅ T ⋅ r ⋅ dr (7.143) • 2 ∫ u ⋅ r m 0 0 m⋅cp

7.4.5.2 Bilanţul energetic al curgerii Deoarece curgerea fluidului prin conductă este separată faţă de mediu, Incropera [5] propune efectuarea bilanţului energetic pentru determinarea temperaturii medii Tm ( x ) a fluidului în lungul conductei şi legătura între diferenţa de temperatură la capetele conductei şi fluxul termic convectiv qconv dintre conductă şi mediu. •

Se consideră un debit constant de fluid m . Energia transferată pe direcţie axială prin conducţie, împreună cu energia cinetică şi potenţială a fluidului, sunt neglijabile în raport cu energia transferată prin convecţie. În figura 7.40 este prezentă schema volumului de control pentru bilanţul energetic:

Fig. 7.40 • • dT ⎞ ⎛ dqconv + m⋅ c p ⋅ T − m⋅ c p ⎜ T + dx ⎟ = 0 dx ⎠ ⎝ •

q s ⋅ π ⋅ D ⋅ dx = m⋅ c p ⋅ dT dT q s ⋅ π ⋅ D π ⋅ D = • = • α (Ts − Tm ) dx m cp m cp

(7.144)

(7.145) (7.146)

Termotehnică şi maşini termice

245

Ecuaţia diferenţială (7.146) poate fi integrată analitic în două situaţii: dacă se consideră fluxul termic conductiv q s constant sau dacă se consideră temperatura suprafeţei peretelui Ts constantă. a) Flux termic q s constant. În această ipoteză, ecuaţia (7.146) devine: dT q s ⋅ π ⋅ D = • dx mcp

(7.147)

Soluţia acestei ecuaţii, cu condiţia la limită x = 0 ⇒ Tm = Tm ,i , este: T ( x ) = Tm ,i +

qs ⋅π ⋅ D •

x

(7.148)

m⋅ c p

În această ipoteză, variaţia temperaturii medii în lungul conductei este liniară. b) Temperatura suprafeţei peretelui conductei Ts este constantă. Pentru integrare, se face schimbarea de variabilă T → ∆T = Ts − Tm , iar ecuaţia (7.146) devine: dTm d (∆T ) π ⋅ D =− = • α ⋅ ∆T dx dx m⋅ c p

(7.149)

Ecuaţia (7.149) este o ecuaţie ce permite separarea variabilelor. Prin integrare obţinem: d (∆T ) π ⋅D ∫∆T ∆T = − ∫0 • α ⋅ dx i m⋅ c

∆T0

x

(7.150)

p

∆T0 π ⋅D⋅x =− • α ∆Ti m⋅ c

(7.151)

⎛ ⎞ ∆T0 Ts − Tm (x ) ⎜ π ⋅D⋅x ⎟ = = exp⎜ − • α⎟ ∆Ti Ts − Tm ,i ⎜ m⋅ c ⎟ p ⎝ ⎠

(7.152)

⎞ ⎛ ⎜ π ⋅D⋅x ⎟ Tm ( x ) = Ts − (Ts − Tm ,i ) exp⎜ − • α⎟ ⎟ ⎜ m⋅ c p ⎠ ⎝

(7.153)

ln

p

Transferul de căldură

246

În cazul condiţiei ce impune temperatura suprafeţei peretelui conductei constantă, variaţia temperaturii medii a fluidului în lungul conductei este exponenţială. Căldura schimbată cu mediul pe lungimea conductei determină variaţia temperaturii fluidului la capetele conductei, deci putem scrie: Q = m⋅ c p (Tm ,0 − Tm ,i ) = [(Ts − Tm ,i ) − (Ts − Tm ,0 )] = m⋅ c p (∆Ti − ∆T0 ) •

•

(7.154)

•

Din relaţia (7.151) exprimăm produsul m⋅ c p , pe care îl introducem în (7.154): •

m⋅ c p =

π ⋅ D ⋅ x ⋅α ∆T ln i ∆T0

(7.155)

La capătul conductei x devine egal cu L.

Q = π ⋅ D ⋅ L ⋅α ⋅

∆Ti − ∆T0 = Acond ⋅ α ⋅ ∆Tmed ,ln ∆Ti ln ∆T0

(7.156)

Deci, căldura totală schimbată de conductă cu mediul, prin convecţie, se determină cu formula (7.156), în care s-a notat cu Acond aria laterală a conductei. În cazul când schimbul de căldură se efectuează între un fluid ce curge prin conductă şi alt fluid ce curge peste conductă (fig. 7.41), căldura totală schimbată între cele două fluide este:

Fig. 7.41

Qc = π ⋅ D ⋅ L ⋅ k g ,cil ⋅

∆Ti − ∆T0 = Acond ⋅ k g ,cil ⋅ ∆Tmed ,ln ∆Ti ln ∆T0

(7.157)

Termotehnică şi maşini termice

247

În expresia de mai sus s-a utilizat k g ,cil coeficientul global de schimb de căldură pentru pereţi cilindrici, definit de relaţia (7.65). Pentru cazul din figura 7.41, expresia temperaturii în lungul conductei (7.157) se modifică, deoarece în locul coeficientului de convecţie α se introduce coeficientul global de schimb de căldură k g ,cil .

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ π ⋅D⋅x Tm ( x ) = Ts − (Ts − Tm ,i ) exp⎜ − • k g ,cil ⎟ ⎟ ⎜ m⋅ c p ⎠ ⎝

(7.158)

7.4.5.3 Soluţii analitice pentru curgerea laminară, complet dezvoltată Ecuaţia energiei, în coordonate cilindrice, este:

u

∂T ∂T a ∂ ⎛ ∂T ⎞ +v = ⎜r ⎟ ∂x ∂r r ∂r ⎝ ∂r ⎠

(7.159)

Folosind aproximaţiile stratului limită, prin care componenta vitezei perpendiculară pe axă este nulă v = 0 şi derivata componentei u pe direcţia axei conductei este neglijabilă (∂u / ∂x ) = 0 , ecuaţia devine: 1 d ⎛ dT ⎞ 2u m ⎛ dTm ⎞ ⎡ ⎛ r ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟= ⎜r r dr ⎝ dr ⎠ a ⎝ dx ⎠ ⎢ ⎜⎝ r0 ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

(7.160)

În ecuaţia (7.160) s-a ţinut seama de faptul că pentru mişcarea laminară într-o conductă profilul vitezei este parabolic, dat de relaţia: ⎡ ⎛r u (r ) = 2 ⎢− ⎜⎜ u ⎢⎣ ⎝ r0

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

(7.161)

În ipoteza în care fluxul termic prin suprafaţa conductei q s este constant, rezultă că mărimile (2u m / a )(dTm / dx ) sunt constante. Separând variabilele şi integrând, obţinem soluţia: T (r ) =

2u m ⎛ dTm ⎞ ⎡ r 2 r4 ⎤ ⎜ ⎟⎢ − ⎥ + C1 ln r + C 2 a ⎝ dx ⎠ ⎣ 4 16 r02 ⎦

(7.162)

Constantele se determină din condiţiile la limită, pentru ca temperatura să aibă valoare finită la r = 0 rezultă C1 = 0 , iar pentru T (r0 ) = Ts rezultă:

Transferul de căldură

248

2u m ⎛ dTm ⎞⎛ 3r02 C 2 = T2 − ⎜ ⎟⎜ a ⎝ dx ⎠⎜⎝ 16

⎞ ⎟⎟ ⎠

(7.163)

În final, obţinem profilul temperaturii funcţie de raza conductei pentru curgerea laminară. 2u m r02 ⎛ dTm T (r ) = Ts − ⎜ a ⎝ dx

1 ⎛r ⎞⎡ 3 ⎟ ⎢ + ⎜⎜ ⎠ ⎢⎣ 16 16 ⎝ r0

4 2 ⎞ 1⎛ r ⎞ ⎤ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎠ 4 ⎝ r0 ⎠ ⎥⎦

(7.164)

Introducând relaţiile (7.161) şi (7.163) în relaţia de calcul a temperaturii medii (7.143), obţinem: Tm = Ts −

11 ⎛ u m r02 ⎞⎛ dTm ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 48 ⎜⎝ a ⎟⎠⎝ dx ⎠

(7.165)

Din relaţia (7.147) exprimăm derivata temperaturii medii, pe care o înlocuim în (7.165), rezultând:

⎞ ⎛ 2 11 ⎛ u r ⎞⎜ q s ⋅ π ⋅ D ⎟ 11 ⎛⎜ u m r0 ρ ⋅ c p ⎜ ⎟ Tm − Ts = − ⎜ ⎟ = − 48 ⎜ • 48 ⎝ a ⎟⎠⎜⎜ m λ ⎟ ⎝ c ⋅ p ⎠ ⎝ 2 m 0

Tm − Ts = −

⎛ ⎞⎜ q s ⋅ π ⋅ D ⎟⎜ ⎟⎜ π ⋅ D 2 ⎠⎜ ρ ⋅cp 4 ⎝

11 q s ⋅ D 48 λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(7.166)

(7.167)

Introducând valoarea de mai sus în ecuaţia lui Newton pentru convecţie obţinem:

q s = α (Ts − Tm ) = α

11 q s D 48 λ ⇒α = 48 λ 11 D

(7.168)

Relaţia (7.168) ne permite obţinerea unui rezultat important pentru cazul curgerii laminare prin conducte, în ipoteza fluxului termic constant pe unitatea de suprafaţă a conductei. Criteriul lui Nusselt, cu valoarea de mai sus a coeficientului de convecţie, este:

Nu =

α ⋅ D 48 λ D 48 = = = 4 ,36 λ 11 D λ 11

(7.169)

Deci, într-un tub de secţiune circulară, prin care curge un fluid în regim laminar şi care schimbă căldură cu mediul printr-un flux q s W / m 2 constant pe unitatea de arie laterală, valoarea criteriului lui Nusselt este independentă de valorile criteriilor lui Prandtl sau Reynolds.

[

]

Termotehnică şi maşini termice

249

Un rezultat similar se obţine în cazul când pe suprafaţa tubului se impune o temperatură constantă Ts . În acest caz, valoarea criteriului Nusselt este:

Nu = 3.66 ;Ts = cons tan t ;

(7.170)

7.4.5.4 Ecuaţii criteriale pentru determinarea coeficientului de convecţie ƒ

ƒ

Curgere laminară complet dezvoltată:

Nu = 4 ,36 ; Pr ≥ 0 ,6 ; q s = cons tan t ;

(7.171)

Nu = 3 ,66 ; Pr ≥ 0 ,6 ; Ts = cons tan t ;

(7.172)

Curgere laminară, zona stratului limită termic, Ts = cons tan t :

⎛D⎞ 0 ,0668⎜ ⎟ ReD ⋅ Pr ⎝L⎠

Nu = 3,66 +

⎡⎛ D ⎞ ⎤ 1 + 0 ,04 ⎢⎜ ⎟ ReD ⋅ Pr ⎥ ⎣⎝ L ⎠ ⎦ ƒ

Curgere laminară complet dezvoltată, incluzând efectul zonei de intrare: 1

⎛ ⎞3 ⎜ Re Pr ⎟ ⎛ µ Nu D = 1,86 ⎜ D ⎟ ⎜⎜ ⎜ L ⎟ ⎝ µs ⎜ ⎟ ⎝ D ⎠

1 ⎡ 3 ⎛ ⎞ ⎢⎜ 0 ,14 ⎞ Re Pr ⎟ ⎛ µ ⎟⎟ ; ⎢⎜ D ⎟ ⎜⎜ ⎢⎜ L ⎟ µ ⎠ ⎟ ⎝ s ⎢⎜ D ⎝ ⎠ ⎢⎣

0 ,48 < Pr < 16.700 ; 0 ,0044 < ƒ

(7.173)

2 3

⎞ ⎟⎟ ⎠

0 ,14

µ < 9 ,75 µs

⎤ ⎥ ⎥≥2 ⎥ ⎥ ⎦⎥

(7.174)

Curgere turbulentă complet dezvoltată: 4

Nu D = 0 ,027 ⋅ ReD5 ⋅ Pr n ; 0 ,6 ≤ Pr ≤ 160 ; ReD ≥ 10.000 ; n = 0 ,4 pentru Ts > Tm ; ⎛µ Nu D = 0 ,027 ⋅ Re ⋅ Pr ⎜⎜ ⎝ µs 4 5 D

1 3

⎞ ⎟⎟ ⎠

L ≥ 10 D

(7.175)

n = 0 ,3 pentru Ts < Tm ;

0 ,14

;

L ≥ 10 ; 0 ,6 ≤ Pr ≤ 160 ; ReD ≥ 10.000 ; (7.176) D

Transferul de căldură

250 Exemplul E 7.3

Aerul la presiunea de 6 kN/m2 şi temperatura de 300°C curge cu viteza de 10 m/s peste o placă plană cu lungimea (pe direcţia curgerii) de 0,5m. Să se determine fluxul termic pe un 1m din lăţimea plăcii, necesar menţinerii temperaturii suprafeţei plăcii la temperatura de 27°C. Date: Pentru temperatura medie a aerului

Tf =

300 + 27 + 273 = 435 ,5 K 2

la presiunea p0 = 1atm atm, proprietăţile acestuia sunt:

ν 0 = 30 ,84 ⋅ 10 −6 m 2 / s ; λ = 36 ,4 ⋅ 10 −3 W / (m ⋅ K ) , Pr = 0 ,687 Soluţie: Variaţia vâscozităţii cinematice cu presiunea, în condiţii izoterme, poate fi exprimată astfel:

ν=

ν p =ν0

p p

p ⎛ p ⎞ µ ν 1 ⇒ν ~ ⇒ = 0 ⎜ρ = ⎟ R ⋅T ⎠ ρ ρ ν0 p ⎝ = 30 ,84 ⋅ 10

Calculăm criteriul lui Reynolds Re =

u∞ L

ν

−6

=

1,033 ⋅ 10 5 = 5 ,21 ⋅ 10 −4 m 2 / s 3 6 ⋅ 10 10 ⋅ 0 ,5 = 9597 . Această valoare ne arată că 5 ,21 ⋅ 10 −4

regimul de curgere peste placă este laminar, din această cauză alegem ecuaţia criterială (7.113) şi determinăm criteriul Nusselt: 1

1

1

1

Nu = 0 ,664 ⋅ Re 2 ⋅ Pr 3 = 0 ,664 ⋅ (9597 ) 2 ⋅ (0 ,687 )3 = 57 ,4 Coeficientul de convecţie este:

α=

Nu ⋅ λ 57 ,4 ⋅ 0 ,0364 = = 4 ,18W / m 2 / K L 0 ,5

Fluxul termic îl determinăm din condiţia ca temperatura suprafeţei să aibă valoare impusă:

Q = α ⋅ A ⋅ (T f − Ts ) = 4 ,18 ⋅ 0 ,5 ⋅ 1 ⋅ (300 − 27 ) = 570W / m

Exemplul E 7.4 O conductă d 1 / d 2 = 148 / 158 mm este izolată cu un strat de 18 mm, izolaţia cu

λ IZ = 0 ,12 W/m/K

. Ea transportă 23 kg/s ţiţei în regim neizoterm, cu o viteză medie de 1,32

Termotehnică şi maşini termice

251

m/s. Ţiţeiul intră în conductă cu temperatura de 70°C. Conducta este plasată în aer la temperatura de 10°, iar viteza vântului se consideră 10 m/s. Să se determine după ce lungime temperatura ţiţeiului ajunge la 25°C. Se mai dau: λOL = 50 W/m/K . La 47,5°C, proprietăţile ţiţeiului sunt:

ct = 2077 ,72 J/kg/K; λt = 0 ,1372 W/m/K ; ν t = 4 ,206 ⋅ 10 −6 m2/s ; ρ t = 849 ,47 kg/m3; Aerul la 10°C are următoarele proprietăţi: ν a

= 15 ⋅ 10 −6 m2/s ; λa = 26 ,3 ⋅ 10 −6 W/m/K ; Pra = 0 ,707 ;

Soluţie:

Pentru 1m de conductă, coeficientul global de căldură este dat de formula (7.66). Cu notaţiile din figură, acesta este:

k g ,cil =

1 = Rt ,e

1 1 2 ⋅ π ⋅α 1 ⋅ d 1

+

d d 1 1 1 ln 2 + ln 3 + 2 ⋅ π ⋅ λOL d 1 2 ⋅ π ⋅ λiz d 2 2 ⋅ π ⋅α 2 ⋅ d 2

Calculăm coeficientul de convecţie pentru ţiţei considerându-l la temperatura medie:

tm = Re =

v ⋅ d1

ν

=

t i + t0 70 + 25 = = 47 ,5 o C 2 2

1,32 ⋅ 0 ,143 = 44875 > 2300 , deci folosim ecuaţia criterială de regim 4 ,206 ⋅ 10 −6

turbulent (7.173), pentru care mai determinăm criteriul Prandtl:

ρνc 849 ,47 ⋅ 4 ,206 ⋅ 10 −6 ⋅ 2077 ,2 Pr = = = 54 ,24 0 ,1372 λ 4 5

Nu = 0 ,027 ⋅ Re ⋅ Pr 0 ,3 = 0 ,027 ⋅ 44875 0 ,8 ⋅ 54 ,24 0 ,3 = 470 ,7

Transferul de căldură

252

α1 =

Nu ⋅ λ 470 ,7 ⋅ 0 ,1372 W = = 436 2 d1 0 ,148 m

Pentru aer determinăm coeficientul de convecţie:

Re =

v ⋅ d3

ν

=

5 ⋅ 0 ,178 = 59333 15 ⋅ 10 −6

Se utilizează relaţia (7.116) cu coeficienţii aleşi din tabelul T 7.1, corespunzători valorii lui Reynolds determinată anterior:

Nu = 0 ,027 ⋅ Re 0 ,805 ⋅ Pr 0 ,33 = 0 ,027 ⋅ (59333)

0 ,805

α2 =

⋅ (0 ,707 )

0 ,33

= 167 ,2

Nu ⋅ λ 167 ,2 ⋅ 0 ,0263 = = 24 ,07 W/m2/K d3 0 ,178

Se determină coeficientul global de schimb de căldură:

kg =

1 1 1 0 ,158 1 0 ,178 1 ln ln + + + 3,14 ⋅ 0 ,148 ⋅ 436 6 ,28 ⋅ 50 0 ,148 6 ,28 ⋅ 0 ,12 0 ,158 3,14 ⋅ 0 ,178 ⋅ 24

= 4.2

Din formula (7.155) definim lungimea conductei, punând condiţia ca la capătul conductei temperatura să fie 25°C. Definim diferenţele de temperatură la capete conductei:

∆Ti = 70 − 10 = 60 o ∆T0 = 25 − 10 = 60 o ∆Tmed ,ln =

∆Ti − ∆T0 60 − 15 = = 32 ,46 o C ∆T 60 ln ln i 15 ∆T0

Q = π ⋅ d m ⋅ L ⋅ k g ⋅ ∆Tmed ,ln ; ⇒ L =

Q π ⋅ d m ⋅ k g ⋅ ∆Tmed ,ln

Căldura totală pierdută de ţiţei o calculăm din variaţia de entalpie a ţiţeiului: •

Q = m⋅ c ⋅ (T1 − T2 ) = 23 ⋅ 2077 ⋅ (70 − 25 ) = 2.149.695W

L=

2.149.695 = 31250 m = 31,25km 0 ,148 + 0 ,178 3,14 ⋅ ⋅ 4 ,2 ⋅ 32 2

Termotehnică şi maşini termice

253

7.5 Schimbătoare de căldură Procesul de schimb de căldură ce are loc între două fluide la temperaturi diferite, separate prin pereţi metalici, se desfăşoară într-un aparat numit schimbător de căldură. Acesta poate fi întâlnit în multe aplicaţii industriale sau casnice, cum ar fi încălzirea spaţiilor, aerul condiţionat, producţia de energie electrică, industria chimică, dar şi în industria petrolieră. În acest paragraf sunt prezentate principiile schimbului de căldură ce are loc în aceste aparate, necesare proiectării sau evaluării performanţelor schimbătoarelor de căldură. 7.5.1 Tipuri de schimbătoare de căldură Clasificările clasice ale schimbătoarelor de căldură sunt după modul de circulaţie a fluidelor sau după tipul constructiv al aparatului. Cele mai simple schimbătoare de căldură sunt cele de tipul tub în tub (fig. 7.42). Acestea sunt alcătuite din două tuburi, unul în interiorul celuilalt. Un fluid circulă prin tubul interior, iar celălalt prin spaţiul inelar dintre cele două tuburi.

Fig. 7.42 Funcţie de modul de curgere a celor două fluide prin aparat, acestea pot fi clasificate în schimbătoare de căldură în echicurent, cazul (a) - în acest caz cele două fluide circulă în paralel, în acelaşi sens; cazul (b) arată că cele două fluide circulă prin aparat în sensuri opuse, acest tip de schimbător de căldură fiind numit în contracurent. Alt mod de circulaţie a fluidelor poate fi perpendicular (fig. 7.43).

Fig. 7.43

Transferul de căldură

254

În figura 7.43 (a) curentul de fluid care curge printre ţevi este separat de plăcile fixate perpendicular pe ţevi. Acest lucru face ca straturile de fluid să nu se amestece, ceea ce conduce la o variaţie a temperaturii acestuia atât în lungul ţevilor, direcţia y, cât şi perpendicular pe acestea, direcţia x. Pentru acest tip constructiv, temperatura fluidului ce curge printre ţevi este o funcţie de două variabile T(x,y). Dacă mişcarea fluidului ce curge printre ţevi nu este dirijată de plăci (fig. 7.43 b), atunci straturile acestuia se pot amesteca, astfel încât temperatura acestuia este o funcţie monodimensională T(x). Cele mai răspândite tipuri de schimbătoare sunt schimbătoarele cu manta şi fascicul de tuburi (fig. 7.44).

Fig. 7.44 Unul dintre fluide - notat în figură cu 2 - circulă în lungul mantalei printr-un fascicul de ţevi. Acesta este introdus şi extras prin capacele din capetele mantalei. Celălalt fluid - notat cu 1 - circulă în interiorul mantalei printre ţevile din fascicul. Pentru intensificarea schimbului de căldură, în fasciculul de ţevi sunt inserate şicane care măresc distanţa parcursă de fluidul 1 în manta. Dorinţa măririi performanţelor schimbătoarelor de căldură a condus la apariţia unor forme compacte, cu performanţe deosebite (fig. 7.45). Tipurile (a), (b) şi (c) se utilizează pentru schimbul de căldură între două fluide cu proprietăţi termice diferite, cum ar fi schimbul de căldură dintre un gaz şi un lichid. Deoarece capacitatea gazelor de a prelua / ceda căldură este mai mică decât a lichidelor, se măreşte constructiv suprafaţa de schimb de căldură spre partea în care curge gazul. Astfel, lichidul curge prin ţevi, iar aerul printre plăci sau aripioare. Un exemplu de utilizare a acestor tipuri constructive îl constituie radiatoarele vehiculelor, care sunt schimbătoare de căldură în care cele două fluide sunt lichidul de răcire al motorului şi aerul atmosferic. În figura 7.45 (d) şi (e) este prezentată construcţia schimbătoarelor de căldură în plăci. Aceste tipuri constructive sunt foarte eficiente, reuşind prin construcţia compactă să realizeze o suprafaţă de schimb de căldură mare într-un volum mic ≥ 700 m 2 / m 3 . Primele aplicaţii a acestor tipuri de schimbătoare de căldură au fost pe vehiculele militare, dar ulterior au început să se folosească pe vehicule civile sau în centralele termice de mică putere utilizate la instalaţiile de încălzire centrală pentru case sau apartamente.

(

)

Termotehnică şi maşini termice

255

Fig. 7.45

7.5.2 Coeficientul global de schimb de căldură Schimbul de căldură între cele două fluide care circulă prin schimbătorul de căldură se realizează prin intermediul unui perete metalic de formă cilindrică, la schimbătoarele cu fascicole de ţevi, sau de formă plană - pentru schimbătoarele cu plăci. Pe durata exploatării schimbătoarelor de căldură, pe suprafeţele metalice care sunt în contact permanent cu cele două fluide apar depunerile impurităţilor conţinute de acestea. Straturile de impurităţi ce se formează introduc în procesul de transfer de căldură rezistenţe termice suplimentare, care se vor nota cu Ri ,c rezistenţa stratului de impurităţi în contact cu fluidul cald şi Ri ,r rezistenţa termică în contact cu fluidul rece. Coeficientul global de schimb de căldură se poate calcula pentru pereţi plani cu relaţia (7.46), la care se adaugă rezistenţele termice datorate depunerilor:

k g , plan =

1

δ 1 + Ri ,c + + Ri ,r + αc λ αr 1

(7.177)

Cu indicele “c” s-a notat fluidul cald, iar cu indicele “i” fluidul rece. Păstrând convenţia pentru cazul când pereţii despărţitori sunt cilindrici, coeficientul global de căldură se obţine prin combinarea relaţiilor (7.63) şi (7.65):

Transferul de căldură

256

k g ,cil =

1 1 2 ⋅ π ⋅α c ⋅ rc ⋅ L

+ Ri ,c +

r 1 1 ln 2 + Ri ,r + 2 ⋅ π ⋅α r ⋅ rr ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ L r1

(7.178)

În tabelul T 7.5 sunt prezentate câteva valori pentru rezistenţa termică a stratului de impurităţi depuse pe suprafeţele ţevilor: Tabelul T 7.5

Valorile coeficientului global de căldură se pot calcula cu formulele (7.177) şi (7.178). Pentru anumite combinaţii de fluide, coeficienţii de convecţie globali au fost calculaţi de Kays şi London şi sunt prezentaţi în tabelul T 7.6: Tabelul T 7.6

7.5.3 Analiza energetică a schimbătoarelor de căldură Se va analiza, pentru început, cazul schimbătorului în echicurent (fig. 7.46). Se va face bilanţul energetic pentru o suprafaţă elementară de schimb de căldură dA pentru a determina diferenţa medie de temperatură între cele două fluide. Ipotezele în care se face bilanţul energetic sunt următoarele:

Termotehnică şi maşini termice

-

257

schimbătorul de căldură este izolat faţă de exterior, singurul schimb de căldură care se produce este cel dintre cele două fluide; conducţia axială în lungul ţevilor este neglijabilă; variaţiile energiilor cinetice şi potenţiale sunt neglijabile; căldura specifică a fluidelor este constantă; coeficientul global de schimb de căldură este constant;

Fig. 7.46 Cele două fluide ce evoluează în schimbătorul de căldură au fost notate astfel: fluidul cald cu indicele “c” şi fluidul rece cu indicele “r”. Aplicând bilanţul energetic pe fiecare din elementele infinitezimale (fig. 7.46), rezultă: - căldura cedată de elementul de volum al fluidului cald •

dQ = − mc ⋅ c p ,c ⋅ dTc = −Cc ⋅ dTc

(7.179)

- căldura primită de elementul de volum al fluidului rece •

dQ = m r ⋅ c p ,r ⋅ dTr = C r ⋅ dTr

(7.180)

Cu Cc şi C r s-au notat capacităţile calorice ale fluidului cald, respectiv fluidului rece. Căldura totală schimbată prin elementul de suprafaţă dA este:

Transferul de căldură

258

dQ = k g ⋅ ∆T ⋅ dA

(7.181)

Dacă notăm cu ∆T = Tc − Tr diferenţa locală de temperatură, prin diferenţiere şi utilizarea relaţiilor (7.179) şi (7.180) rezultă: ⎛ 1 1 + d (∆T ) = dTc − dTr = −dQ⎜⎜ ⎝ Cc C r

⎞ ⎟⎟ ⎠

(7.182)

Înlocuind expresia lui dq din ecuaţia (7.181) şi integrând pe toată lungimea schimbătorului, rezultă: ⎛ 1 d (∆T ) 1 = −k g ⎜⎜ + ∆T ⎝ Cc Cr

⎞ ⎟⎟dA ⎠

2 ⎛ 1 ⎛ 1 d (∆T ) 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ∆T" ⎞ ⎟ ⎜ ∫1 ∆T = −k g ⎜⎝ Cc + Cr ⎟⎠∫1 dA ⇒ ln⎜⎝ ∆T' ⎟⎠ = −k g ⋅ A ⋅ ⎜⎜⎝ Cc + Cr ⎟⎟⎠

(7.183)

2

(7.184)

Variaţia de entalpie a celor două fluide pe toată lungimea schimbătorului este: Q = m c ⋅ c p ,c ⋅ (T ' p ,c −T" p ,c ) = Cc ⋅ (T ' p ,c −T" p ,c )

(7.185)

Q = m r ⋅ c p ,r ⋅ (T" p ,r −T ' p ,r ) = Cc ⋅ (T" p ,r −T ' p ,r )

(7.186)

•

•

Deoarece schimbătorul de căldură se consideră izolat, întreaga căldură cedată de fluidul cald este preluată de fluidul rece, deci cele două variaţii de entalpie sunt egale. Din relaţiile (7.185) şi (7.186) exprimăm capacităţile calorice şi le introducem în relaţia (7.184):

⎛ T ' −T" c T" r −T ' r ⎛ ∆T" ⎞ ln⎜ + ⎟ = −k g ⋅ A ⋅ ⎜⎜ c Q ⎝ ∆T ' ⎠ ⎝ Q

k ⋅A ⎞ ⎟⎟ = − g [(T'c −T' r ) − (T"c −T"r )] (7.187) Q ⎠

⎛ ∆T" ⎞ k g ⋅ A (∆T" −∆T' ) ln⎜ ⎟= Q ⎝ ∆T ' ⎠

(7.188)

Se notează:

∆Tlm =

∆T" − ∆T ' ∆T ' − ∆T" = ∆T" ∆T ' ln ln ∆T ' ∆T"

(7.189)

Termotehnică şi maşini termice

259

şi se denumeşte diferenţa medie logaritmică de temperatură. Cu această notaţie, căldura schimbară între cele două fluide este:

Q = k g ⋅ A ⋅ ∆Tlm

(7.190)

Această căldură produce variaţia de entalpie a celor două fluide, astfel încât bilanţul energetic pentru un schimbător de căldură capătă următoarea formă: •

•

Q = k g ⋅ A ⋅ ∆Tlm = m c ⋅ c p ,c ⋅ (Tc ' −Tc" ) = mr ⋅ c p ,r ⋅ (Tr ' −Tr " )

(7.191)

Pentru schimbătorul de căldură în echicurent, variabilele din formula diferenţei logaritmice medii de temperatură sunt:

∆T ' = Tc ' −Tr ' ; ∆T" = Tc " −Tr "

(7.192)

Pentru schimbătoarele de căldură în contracurent, schema de calcul este prezentă în figura 7.47. Se poate face un raţionament asemănător cu cel pentru cazul în echicurent şi se ajunge la aceeaşi formulă de bilanţ termic (7.190).

Fig. 7.47

Transferul de căldură

260

Ecuaţia de bilanţ termic (7.190) este valabilă şi în cazul schimbătoarelor de căldură în contracurent, dar variabilele din componenţa expresiei temperaturii medii logaritmice au alte expresii. Cu notaţiile din figura 7.47, acestea sunt:

∆T ' = Tc ' −Tr ' ; ∆T" = Tc " −Tr '

(7.193)

7.5.4 Determinarea temperaturii medii logaritmice în cazul schimbătoarelor cu mai multe treceri sau circulaţie încrucişată Pentru situaţii diferite de cele prezentate până acum, pentru a se putea utiliza aceiaşi formulă de bilanţ termic (7.190), se introduce un factor de corecţie a temperaturii medii logaritmice care este funcţie de modul cum circulă fluidele în schimbător:

Q = F ⋅ k g ⋅ A ⋅ ∆Tlm

(7.194)

Conform [5] , valorile factorului F pot fi deduse din următoarele diagrame:

Fig. 7.48

Termotehnică şi maşini termice

261

Fig. 7.49

Fig. 7.50

Transferul de căldură

262

Fig. 7.51

7.5.5 Metoda NTU Denumirea acestei metode provine de la prescurtarea denumirii în limba engleză a numărului de unităţi de transfer - “ the number of transfer unit”. Considerăm un schimbător de căldură în contracurent, care are schema temperaturilor conform figurii 7.47. Dacă lungimea schimbătorului tinde la infinit, temperatura maximă pe care o poate atinge fluidul rece, la limită, devine egală cu ( Tr " → Tc ' ) temperatura de intrare a fluidului cald, iar fluidul cald se poate răci până la valoarea temperaturii de intrare a fluidului rece ( Tc " → Tr ' ). În aceste condiţii, diferenţa teoretică maximă de temperatură a fluidelor în schimbător este: Tc ' −Tr ' , iar căldura maximă teoretică ce poate fi transferată într-un schimbător de căldură este:

Qmax = Cmin (Tc ' −Tr ' )

(7.195)

Termotehnică şi maşini termice

263

În relaţia (7.195) s-a notat cu C min minimul dintre capacităţile calorice Cc şi C r . Utilizarea capacităţii calorice minime în relaţia (7.195) se poate demonstra prin reducere la absurd. În relaţia (7.196) presupunem că C max = Cc :

C r (Tr " −Tr ' ) = Cc (Tc ' −Tc " )

(7.196)

La limită Tr " → Tc ' , deci:

Cr (Tc ' −Tr ' ) = (Tc ' −Tc" ) , dar Cr < 1 ⇒ (Tc ' −Tr ' ) < (Tc ' −Tc" ) - lucru imposibil. Cc Cc Se notează cu ε şi se defineşte eficienţa efectivă a schimbului termic ca raportul dintre căldura efectivă schimbată de cele două fluide din aparat şi căldura teoretică maximă posibilă ce poate fi schimbată.

ε=

Q Qmax

(7.197)

Pentru un schimbător de căldură, relaţia (7.197) poate avea una din cele două forme:

ε=

Cc (Tc ' −Tc " ) C min (Tc ' −Tr ' )

(7.198)

ε=

Cr (Tr " −Tr ' ) Cmin (Tc ' −Tr ' )

(7.199)

Valoarea eficienţei efective este subunitară 0 < ε < 1 . Dacă se cunoaşte această valoare, se poate calcula valoarea căldurii efectiv schimbate în aparat:

Q = ε ⋅ C min (Tc ' −Tr ' )

(7.200)

Se defineşte numărul unităţilor de transfer prin relaţia:

NTU =

kg A C min

(7.201)

Valoarea eficienţei efective, pentru un schimbător de căldură, este funcţie de numărul de unităţi de transfer, NTU şi de C r - capacitatea calorică relativă a celor două fluide, definită de relaţia:

Cr =

C min C max

(7.202)

Transferul de căldură

264

Considerăm un schimbător de căldură în echicurent (fig. 7.46) pentru care ecuaţia de bilanţ termic este:

Cc (Tc ' −Tc " ) = C r (Tr " −Tr ' )

(7.203)

Sau, dacă considerăm C min = Cc :

Cc C min T " −Tr ' = = Cr = r C r C mzx Tc ' −Tc "

(7.204)

Din relaţia (7.184) obţinem:

ln

kg A Tc " −Tr " (1 − Cr ) = − NUT (1 + Cr ) =− Tc ' −Tr ' C min Tc " −Tr " = exp[− NUT (1 + C r )] Tc ' −Tr '

(7.205)

(7.206)

Prelucrăm partea stângă din relaţia (7.206) astfel:

Tc " −Tr " Tc " −Tc ' +Tc ' −Tr " = Tc ' −Tr ' Tc ' −Tr '

(7.207)

Din relaţia (7.204) se exprimă Tr " şi se înlocuieşte în (7.207). Relaţia (7.198), în ipoteza C min = Cc , devine:

ε=

(Tc ' −Tc" ) (Tc ' −Tr ' )

(7.208)

Din relaţia (7.208) se exprimă Tc ' −Tc " şi se introduce în relaţia (7.207), rezultând în final:

Tc " −Tr " = 1 − ε ⋅ (1 − C r ) Tc ' −Tr '

(7.209)

Combinând relaţiile (7.206) cu (7.207), rezultă în final:

ε=

1 − exp[− NUT (1 + C r )] 1 + Cr

(7.210)

Pe baza relaţiilor de mai sus putem stabili etapele necesare calculului schimbătoarelor de căldură utilizând metoda NTU:

Termotehnică şi maşini termice

265

1. Se determină valorile coeficienţilor C min C max şi C r ; 2. Se calculează valoarea NTU cu formula (7.201); 3. Se determină valoarea eficienţei efective ε utilizând valorile din tabelul T 7.7; 4. Se determină căldura efectiv schimbată între cele două fluide, cu relaţia (7.200). Pentru diferite tipuri de schimbătoare s-au determinat expresiile eficienţei efective funcţie de numărul de unităţi de transfer NTU şi de capacitatea calorică relativă Cr . Conform [5], expresiile eficienţei efective sunt prezentate în tabelul T 7.7: Tabelul T 7.7

266

Transferul de căldură

Fig. 7.52 Schimbător de căldură ţeavă în ţeavă, echicurent

Fig. 7.53 Schimbător de căldură ţeavă în ţeavă, contracurent

Termotehnică şi maşini termice

Fig. 7.54 Schimbător de căldură cu o trece în manta, 2,4 … fascicule

Fig. 7.55 Schimbător de căldură cu 2 treceri în mata, 2,4 … fascicule

267

Transferul de căldură

268

Fig. 7.56 Schimbător de căldură cu curgeri încrucişate În figurile 7.52, 7.53, 7.54, 7.55 şi 7.56 sunt reprezentate grafic ecuaţiile din tabelul T 7.7. Aceste diagrame fac posibilă determinarea NTU atunci când se cunoaşte eficienţa efectivă ε şi capacitatea calorică relativă Cr.

Exemplul E 7.8 Un preîncălzitor de apă, în curent încrucişat, are ca agent cald gazele de ardere, care intră cu temperatura 300°C şi ies cu 100°C. El este utilizat pentru preîncălzirea unui kilogram pe secundă de apă, de la 35°C la 125°. Căldura specifică a gazelor de ardere este 1000J/kg/K, iar coeficientul global de schimb de căldură este k g = 100W / m . Să se determine suprafaţa 2

de schimb de căldură (pentru apă la 80°C, cp=4197 J/kg/K). Soluţie: Schema problemei este prezentată în figura de mai sus. Cu indicele “c” s-a notat fluidul cald, în cazul nostru gazele de ardere, iar cu indicele “r” s-a notat fluidul rece, care în cazul problemei de faţă este apa. a) Se aplică metoda diferenţei medii logaritmice de temperatură. Suprafaţa de schimb de căldură se determină din relaţia (7.191):

A=

Q k g ⋅ F ⋅ ∆Tlm

Termotehnică şi maşini termice

269

Pentru a determina coeficientul de corecţie F din figura 7.49 se calculează parametrii R şi P (se utilizează notaţiile din figură) :

P=

t0 − t i 125 − 35 T −T 300 − 100 = = 0 ,34 ; R = i 0 = = 2 ,22 Ti − t i 300 − 35 t0 − t i 125 − 35

Din figura 7.49 deducem F ≈ 0 ,87 , apoi calculăm temperatura medie logaritmică.

∆Tlm =

(Tc ' −Tr " ) − (Tc" −Tr ' ) = (300 − 125 ) − (100 − 35 ) = 111o C ln

Tc ' −Tr " Tc" −Tr '

ln

300 − 125 100 − 35

Cantitatea totală de căldură o determinăm din variaţia entalpiei apei, fluidul rece: •

Q = m r ⋅ c p ⋅ (Tr " −Tr ' ) = 1 ⋅ 4197 ⋅ (125 − 35 ) = 3 ,77 ⋅ 10 5 W Aria suprafeţei de schimb de căldură este:

A=

3,77 ⋅ 10 5 = 39 ,1m 2 100 ⋅ 0 ,87 ⋅ 111

b) Se aplică metoda NTU. Determinăm capacităţile calorice a celor două fluide: •

-

pentru apă: C r = m r ⋅ c p ,r = 1 ⋅ 4197 = 4197W / K

-

pentru gaze folosim ecuaţia de bilanţ termic:

•

•

m r ⋅ c p ,r ⋅ (Tr " −Tr ' ) = m c ⋅ c p ,c ⋅ (Tc ' −Tc " ) ⇒ C r ⋅ (Tr " −Tr ' ) = Cc ⋅ (Tc ' −Tc " ) ⇒

Cc =

C r ⋅ (Tr " −Tr ' ) 4197 ⋅ (125 − 35 ) = = 1889W / K (Tc ' −Tc" ) 300 − 100

Transferul de căldură

270

Cr =

C min 1889 = = 0 ,45 C max 4197

Din relaţia (7.192) determinăm căldura maximă posibilă a fi schimbată:

Qmax = C min ⋅ (Tc ' −Tr ' ) = 1889 ⋅ (300 − 35 ) = 5 ,01 ⋅ 10 5 Căldura efectiv schimbată este: •

Q = m r ⋅ c p ⋅ (Tr " −Tr ' ) = 1 ⋅ 4197 ⋅ (125 − 35 ) = 3 ,77 ⋅ 10 5 W Eficienţa efectivă se determină cu formula (7.194):

ε=

Q 3,77 ⋅ 10 5 = = 0 ,75 Qmax 5 ,01 ⋅ 10 5

Din figura 7.56 se determină, funcţie de eficienţa efectivă şi capacitatea calorică relativă de valoarea pentru NTU ≈ 2 ,1 .

NTU =

kg ⋅ A C min

⇒ A=

NTU ⋅ C min 2 ,1 ⋅ 1889 = = 39 ,7 m 2 kg 100

Valorile obţinute prin ambele metode sunt apropiate, ceea ce demonstrează valabilitatea celor două metode.

Termotehnică si maşini termice

271

8. Compresoare Compresoarele sunt maşini care consumă lucru mecanic în scopul creşterii presiunii gazelor sau vaporilor. În procesul de comprimare, odată cu creşterea presiunii creşte şi temperatura, practic are loc o creştere a energiei potenţiale a gazului. O mărime caracteristică importantă pentru compresoare o reprezintă raportul de compresie notat cu ε, definit prin raportul între presiunea de refulare, pr şi presiunea de admisie, pa. p ε= r (8.1) pa În funcţie de raportul de compresie, aceste maşini se clasifică astfel: - ventilatoare, ε < 1,1 ; - suflante, ε = 1,1L 2 ,5 ; - compresoare, ε > 2 ,5 ; Compresoarele care prin aspiraţia unui gaz dintr-un spaţiu închis produc depresiune sunt denumite pompe de vid, iar ventilatoarele care absorb gazele de ardere din focarele industriale şi le refulează către coşul de fum se numesc exhaustoare. În funcţie de procesul prin care se realizează comprimarea gazelor, compresoarele mai pot fi clasificate în: - compresoare volumetrice; creşterea presiunii în aceste maşini se realizează prin micşorarea volumului gazului; - compresoare dinamice; la aceste maşini creşterea presiunii gazului se realizează în două etape: 1- rotorul compresorului transmite lucru mecanic gazului, fapt ce determină creşterea energiei cinetice a acestuia; 2 – energia cinetică din masa gazului se transformă în energie potenţială de presiune în statorul maşinii. 8.1 Compresoare volumetrice După modul tehnologic de realizare a variaţiei volumului, există mai multe tipuri de compresoare volumetrice: - Compresoare cu piston, cu mişcare rectilinie alternativă; - Compresoare rotative, la care elementul rotativ poate fi un piston profilat, un rotor cu lamele culisante, etc.; - Compresoare elicoidale, care au rotorul profilat. 8.1.1 Compresoare volumetrice cu piston Soluţia tehnologică de realizare a compresorului cu piston cu o treaptă de comprimare, adică cu un singur cilindru, este prezentată în figura 8.1, iar ciclul teoretic de funcţionare în figura 8.2. Organele mobile ale compresorului sunt pistonul 1, împreună cu segmenţii 2 şi bolţul 5, biela 6, arborele cotit 7. Organele fixe sunt blocul cilindrilor, chiulasa 4 şi carterul 8.

Compresoare

272

Fig. 8.1 Cilindrul compresorului este închis la partea superioară de chiulasă, iar la partea inferioară de piston, care reprezintă un perete mobil şi etanş. Prin mişcarea alternativă a pistonului se realizează tehnic un volum variabil ce permite desfăşurarea procesului de comprimare. Mecanismul bielă-manivelă face ca pistonul să execute o mişcare rectilinie alternativă între două limite denumite puncte moarte. Volumul descris de piston, care coincide cu volumul util al compresorului, este:

Vs =

π ⋅d 2 4

⋅ s ; d – diametrul pistonului, s – cursa pistonului;

(8.2)

Admisia gazului şi evacuarea gazului comprimat se realizează prin chiulasă, unde sunt prevăzute două orificii controlate de supape automate: supapa de admisie (SA), respectiv supapa de evacuare (SE). Ciclul termodinamic care se produce într-un compresor este un ciclu inversat, deoarece această maşină consumă lucru mecanic. Ciclul teoretic al compresorului se bazează pe următoarele ipoteze:

Termotehnică si maşini termice

-

273

fluidul de lucru este un gaz perfect; nu există pierderi de presiune prin laminare în procesul de aspiraţie şi refulare; nu există frecare între piston şi cilindru; masa de gaz într-un ciclu rămâne constantă.

Fig. 8.2 Principalele transformări termodinamice care compun ciclul sunt: 1-2 comprimare adiabată sau politropă; 2-3 transformare izobară care schematizează evacuarea gazului comprimat; 3-4 destinderea gazului comprimat rămas în cilindru la sfârşitul comprimării (între piston, aflat la PMI, şi chiulasă rămâne un spaţiu numit volum vătămător, plin cu gaz comprimat); 4-1 izobară ce schematizează procesul de admisie a gazului. În cazul compresoarelor, în momentul când pistonul se află la cursa maximă, adică în PMI (punctul mort interior), între el şi chiulasă rămâne un spaţiu tehnologic, pentru a evita lovirea pistonului de chiulasă. Acest spaţiu poartă numele de volum

Compresoare

274

vătămător. La sfârşitul refulării, în volumul vătămător rămâne gaz comprimat. Pentru a se deschide supapa de admisie care să permită intrarea gazului la presiunea p1 trebuie ca gazul comprimat din volumul vătămător să se destindă în timpul cursei de coborâre a pistonului până la presiunea p1 (procesul 3-4 din figura 8.2). Acest proces de destindere a gazului din volumul vătămător determină reducerea cursei pe care este aspirat gazul de la volumul Vs la volumul Va, lucru ce determină o micşorare a debitului de gaz ce trece prin maşină. Ciclul de funcţionare al compresorului (fig. 8.2) obţinut în baza unor ipoteze simplificatoare se numeşte ciclul compresorului tehnic sau - conform [7] - diagrama de funcţionare a compresorului tehnic. Deoarece volumul aspirat de compresor este mai mic decât volumul cursei pistonului (volumul cursei pistonului este volumul aspirat maxim, teoretic), se defineşte coeficientul de umplere ca raportul dintre volumul aspirat şi volumul cursei pistonului:

µ=

Va ; valori uzuale: µ = 0 ,7 K0 ,85 Vs

(8.3)

Volumul vătămător este o mărime constructivă care diferă de la compresor la compresor. Pentru a lua în calcul influenţa sa, se defineşte coeficientul spaţiului vătămător:

ε0 =

Vv ; valori uzuale: ε 0 = 5K12% Vs

(8.4)

Relaţia dintre cele două mărimi se stabileşte astfel:

Va = V1 − V4 = Vv + Vs − V4

(8.5)

Dacă considerăm destinderea 3-4 politropă, aplicând ecuaţia transformării rezultă: 1

1

p3V3n = p4V4n ⇒ V4 = V3ε n = Vvε n 1

Va = Vs + Vv − Vv ε n

1 ⎛ ⎞ n ⎟ ⎜ Vs + Vv ⎜ 1 − ε ⎟ 1 ⎝ ⎠ = 1 − ε ⎛⎜ ε n − 1 ⎞⎟ µ= 0⎜ ⎟ Vs ⎝ ⎠

(8.6)

Lucrul mecanic pentru compresor este reprezentat de aria ciclului. Deoarece lucrul mecanic tehnic pentru transformările izobare este nul, calculăm lucrul mecanic al ciclului ca diferenţa dintre lucrurile mecanice tehnice ale comprimării 1-2 şi destinderii 3-4, astfel: n −1 n −1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n n n ⎟ ⎜ ⎜ p1V4 ⎜ 1 − ε n ⎟⎟ p1V1 ⎜ 1 − ε ⎟ − Lc = (8.7) n −1 ⎝ ⎠ n −1 ⎝ ⎠

Termotehnică si maşini termice

275

n −1 ⎛ ⎞ n p1Va ⎜⎜ 1 − ε n ⎟⎟ [J/ciclu] Lc = n−1 ⎝ ⎠

(8.8)

Deoarece la fiecare rotaţie este parcurs un ciclu, puterea necesară antrenării compresorului este:

P=

Lc ⋅ nr 60

[W]

(8.9)

În formula (8.9) s-a utilizat modulul pentru lucrul mecanic pe ciclu deoarece, fiind vorba de un ciclu inversat, valoarea lucrului mecanic pe ciclu va fi negativă. Cu nr s-a notat turaţia compresorului, măsurată în rotaţii pe minut. Debitul de gaz comprimat este: •

V = µ ⋅ Vs ⋅ nr [m3/min]

(8.10)

Puterea se poate exprima în funcţie de debitul aspirat. Combinând formulele (8.8), (8.9) şi (8.10), obţinem: • ⎛ n −1 ⎞ 1 n [kW] P= p1 V ⎜⎜ ε n − 1 ⎟⎟ 4 n −1 ⎝ ⎠ 6 ⋅ 10

(8.11)

Se observă din relaţia (8.11) că puterea de antrenare a compresorului este proporţională cu debitul de gaz şi cu raportul de compresie. Proporţional cu creşterea presiunii de refulare, scade volumul de gaz aspirat. În figura 8.3 sunt prezentate mai multe cicluri de comprimare, cu presiunea de refulare din ce în ce mai mare. Se observă că cu cât presiunea creşte, punctele 4, 4’ şi 4” se apropie de punctul 1, diminuând astfel volumul de gaz aspirat. Există o presiune de comprimare notată cu p2max pentru care volumul aspirat de compresor este nul, iar ciclul compresorului devine o curbă (curba 1-2max, fig. 8.3). Pentru determinarea raportului maxim de comprimare şi a presiunii maxime se pune condiţia Va = 0 , ceea ce înseamnă µ = 0 . Din relaţia (8.6) obţinem:

⎛ 1 ⎞ 1 − ε 0 ⎜⎜ ε n − 1⎟⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠

(8.12)

n

ε max

⎛ 1 = ⎜⎜ 1 + ⎝ ε0

pmax

⎛ 1 = p1 ⎜⎜ 1 + ⎝ ε0

(8.13)

⎞ ⎟⎟ ⎠

n

(8.14)

Compresoare

276

Fig. 8.3 O altă limitare impusă compresoarelor este una de natură tehnică. Deoarece odată cu creşterea presiunii de refulare creşte si temperatura, conform legii adiabatei:

⎛p ⎞ T2 = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

n −1 n

(8.15)

Valoarea maximă a temperaturii T2 este limitată de uleiul utilizat pentru ungerea compresorului. Pentru a se evita cocsificarea uleiului, se impune o temperatură t2max=180…220°C, lucru ce limitează raportul de compresie. Astfel, pentru temperatura de 180°C rezultă o valoare a raportului de compresie maxim de 4,6. Condiţia impusă temperaturii la sfârşitul comprimării este mai severă decât alte condiţii impuse coeficientului de umplere. 8.1.2 Compresoare cu piston cu mai multe trepte Presiunea de refulare pentru compresorul într-o treaptă este limitată tehnologic la valoare de ~8 bar. Pentru obţinerea presiunilor mai mari decât această valoare s-au realizat compresoare în mai multe trepte. Aerul comprimat într-un cilindru este introdus

Termotehnică si maşini termice

277

în alt cilindru, apoi comprimat în continuare; dacă presiunea finală este ridicată, procesul se repetă până se obţine valoare dorită a presiunii. Din punct de vedere energetic, cel mai eficient proces de comprimare este procesul izoterm, un proces irealizabil tehnic, deoarece menţinerea temperaturii constante în timpul procesului de comprimare necesită o răcire intensă a gazului. Procesul de schimb de căldură se desfăşoară lent în timp şi necesită o suprafaţă mare de schimb de căldură, pe când procesul de comprimare este un proces rapid, iar suprafaţa de schimb de căldură este limitată. Utilizarea avantajului energetic al izotermei se poate face prin răcirea gazului, în vederea menţinerii temperaturii aproape constantă, de procesul de comprimare. Acest lucru este posibil numai utilizând un proces de comprimare în trepte (fig. 8.4).

Fig. 8.4 S-a reprezentat un proces de comprimare izoterm de la 1 la 64 bar şi un proces de comprimare în trei trepte, pentru un raport de comprimare egal pe fiecare treaptă π = 4 . Între două trepte consecutive s-a considerat că gazul se răceşte până la valoarea iniţială a temperaturii, reprezentată de izoterma T. Se constată că introducerea proceselor izobare de răcire plasate între două comprimări succesive face ca procesul real de comprimare reprezentat de procesele de comprimare politrope şi răcirile izobare să se apropie de cel mai eficient proces de comprimare - procesul izoterm.

Compresoare

278

Un alt avantaj al utilizării răcirii intermediare îl constituie limitarea creşterii temperaturii gazului datorită proceselor succesive de comprimare.

Fig. 8.5 În figura 8.5 este prezentată schema unui compresor în două trepte. Gazul este aspirat în cilindrul treptei 1, este comprimat şi refulat în răcitorul intermediar 3, apoi este introdus în cilindrul treptei a doua, este comprimat şi apoi refulat spre utilizare. Deoarece volumul specific al gazului scade în procesul de comprimare cilindrii compresorului în trepte sunt asimetrici. Presiunea medie (admisie plus refulare pe doi) este cu atât mai mare cu atât diametrul cilindrului treptei este mai mic. Pistoanele sunt antrenate prin intermediul bielelor fixate de arborele cotit 4. Diagrama de funcţionare a compresorului în două trepte este prezentată în figura 8.6. Procesul de comprimare în prima treaptă este reprezentat de ciclul inversat 1ac4, iar procesul din treapta a doua este reprezentat de ciclul inversat b23c’. Gazul comprimat în prima treaptă (procesul politropic 1a) este răcit izobar în răcitorul 3, până când temperatura gazului ajunge la valoarea iniţială T1. Urmează comprimarea în treapta a doua, reprezentată de procesul poitropic b2. Dacă gazul nu ar fi fost răcit, procesul de comprimare în treapta a doua ar fi fost reprezentat de politropa a2’. Procesul de răcire permite o economie de energie mecanică necesară antrenării compresorului, la fiecare ciclu (la fiecare rotaţie a arborelui cotit), echivalentă cu aria a2’2b. Dacă neglijăm volumele vătămătoare din cele două trepte şi notăm cu px presiunea gazului între cele două trepte, atunci lucrul mecanic necesar procesului de comprimare pe cele două trepte, cu notaţiile din figura 8.5, se poate scrie:

Termotehnică si maşini termice

279

n −1 n −1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ px p2 n ⎥ n n ⎢ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ pV1 1 − ⎜ ⎟ p V 1− L = LI + LII = + ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥ n − 1 b b ⎢ ⎜⎝ p x ⎟⎠ ⎥ n −1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣

(8.16)

Fig. 8.6 În ipoteza că punctul b se găseşte pe izoterma T1 putem scrie: p1V1 = pbVb , iar formula (8.16) devine: n −1 ⎡ ⎛p ⎞ n n p1V1 ⎢2 − ⎜⎜ x ⎟⎟ L= ⎢ ⎝ p1 ⎠ n −1 ⎢⎣

⎛p ⎞ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ px ⎠

n −1 n

⎤ ⎥ [J/ciclu] ⎥ ⎥⎦

(8.17)

Se observă că lucrul mecanic este funcţie de presiunea dintre cele două trepte de comprimare. Considerând px variabilă, putem determina valoarea acesteia care minimizează lucrul mecanic, prin anularea derivatei expresiei (8.17). Obţinem ca soluţie: px =

p1 ⋅ p 2

(8.18)

Compresoare

280

Pentru compresorul în două trepte, dacă notăm cu εI raportul de compresie pe prima treaptă şi cu εII raportul de compresie pe treapta a doua, obţinem:

ε=

p2 p2 p x = = ε I ⋅ ε II p1 p x p1

(8.19)

Din relaţia (8.18) rezultă:

p x p2 = ⇒ ε I = ε II p1 p x

(8.20)

Din relaţiile (8.19) şi (8.20) rezultă:

ε I = ε II = ε

(8.21)

Relaţia de mai sus ne arată că, pentru a comprima un gaz în două trepte folosind lucrul mecanic minim posibil, trebuie ca rapoartele de comprimare pe cele două trepte trebuie să fie egale. Acelaşi rezultat îl obţinem din considerente de echilibrare a maşinii. Astfel, dacă punem condiţia ca lucrurile mecanice pe cele două trepte să fie egale, obţinem rezultatul (8.18). Formula (8.21) se poate generaliza, pentru un compresor cu “i” trepte devenind: ε I = ε II = K = ε i = i ε (8.22) Dacă notăm cu LI lucrul mecanic pe prima treaptă, pentru un compresor cu i trepte lucrul mecanic total necesar comprimării este:

L = i ⋅ LI = i ⋅

n −1 n ⎡ ⎤ p1V1 ⎢1 − (ε I ) n ⎥ n −1 ⎣ ⎦

(8.23)

Puterea necesară procesului de comprimare se determină cu formula (8.9). 8.1.3 Compresoare volumetrice, rotative cu lamele culisante La aceste tipuri de maşini, comprimarea gazului se realizează prin micşorarea volumului gazului intrat în maşină; rotorul, împreună cu lamelele, joacă rol de piston. Prin eliminarea mecanismului bielă-manivelă s-au realizat construcţii echilibrate dinamic, care au randamente şi coeficienţi de debit mai mari decât ale compresoarelor cu piston. Dezavantajele acestor tipuri de compresore sunt reprezentate de uzura paletelor şi de presiunile maxime pe care le pot realiza (2..3 bar), inferioare compresoarelor cu piston. În figura 8.7 este prezentată construcţia unui astfel de compresor. Rotorul 1 este plasat excentric faţă de stator 2, excentricitatea fiind e. În rotor sunt executate canale înclinate cu un unghi faţă de direcţia radială, în care sunt introduse liber lamele 3. În timpul funcţionării compresorului, datorită forţei centrifuge lamele sunt împinse către stator, realizându-se astfel etanşarea spaţiilor dintre lamele. Datorită încălzirii gazului în procesul de comprimare, precum şi a frecării lamelelor de peretele interior al statorului, în carcasă sunt realizate canale de răcire 4 prin care circulă apa.

Termotehnică si maşini termice

281

Aspiraţia gazului se realizează prin conducta 5, acesta pătrunde în spaţiul dintre lamele. Pe măsură ce rotorul se învârte, datorită plasării excentrice spaţiul dintre două lamele consecutive se micşorează, exemplu spaţiile notate cu I, II şi III. Odată cu micşorarea spaţiului dintre palete se realizează creşterea presiunii gazului din maşină.

Fig. 8.7 Gazul comprimat este evacuat prin conducta 6. Acest compresor nu are nevoie de supape. Ciclul termodinamic inversat al acestui compresor este prezentat în fig. 8.8:

Fig. 8.8

Compresoare

282

Utilizând notaţiile din figura 8.7, putem explica ciclul compresorului. Astfel, din momentul în care lamele depăşesc zona de admisie - punctul a - începe procesul de comprimare, deoarece spaţiul dintre palete este complet izolat de exterior. Procesul este asimilat cu o politropă şi durează până când paletele ajung în zona de refulare b. Urmează procesul de evacuare a gazului în conducta 6, schematizat de izobara bc . În porţiunea cd, gazul rămas în spaţiul dintre rotor şi stator se destinde, politrop, până când lamele ajung în zona de admisie, iar presiunea gazului devine egală cu presiunea din conducta de admisie. Debitul volumic al acestui tip de compresor se determină cu relaţia: •

V = λ ⋅ K ⋅ l ⋅ e ⋅ r ⋅ nr [m3/min]

(8.24)

Semnificaţia mărimilor din relaţia (8.24) este: - λ coeficient de debit; - K coeficient constructiv funcţie de e/r ; - l lungimea statorului: - e excentricitatea; - r raza cilindrului; - nr turaţia; 8.1.4 Compresoare volumetrice, cu rotoare profilate, de tip Roots Un compresor de tip Roots (fig. 8.9) este alcătuit dintr-un corp cilindric 1, în interiorul căruia se găsesc două rotoare profilate 2 şi 3. Pe carcasă sunt prevăzute racordul de aspiraţie 4 şi racordul de refulare 5.

Fig. 8.9 Rotoarele profilate se rotesc în sens contrar, cu viteze unghiulare egale, păstrându-se tot timpul un mic joc între cele două rotoare şi între rotoare şi carcasă.

Termotehnică si maşini termice

283

În timpul comunicării cu racordul de aspiraţie are loc umplerea cu gaz a spaţiului dintre rotoare şi cilindru, la presiunea pa. Prin mişcarea de rotaţie, fiecare rotor transportă spre racordul de refulare câte un volum de gaz Vc aflat la presiunea pa. Comprimarea gazului are loc brusc în momentul când acesta vine în contact, prin racordul de refulare, cu gazul comprimat. Practic, are loc un proces de curgere inversă a gazului comprimat prin racordul de refulare către gazul adus de rotor. Se consideră că procesul de comprimare are loc la volum constant.

Fig. 8.10 În figura 8.10 este prezentat ciclul termodinamic inversat care se produce în compresorul de tip Roots. Deplasarea gazului în compresor, de la racordul de admisie către refulare, se face la presiune constantă şi este reprezentat de procesul izobar ab. Comprimarea gazului transportat, în momentul când ajunge în contact cu gazul comprimat, este reprezentată de izocora bc. Procesul de evacuare a gazului comprimat din maşină are loc la presiune constantă, fiind reprezentat de izobara cd . În figura 8.10 procesul bc’ reprezintă un proces de comprimare politrop, care se desfăşoară între aceleaşi limite de presiune. Comparând procesul izocor de comprimare cu procesul politrop, constatăm că lucrul mecanic tehnic consumat pentru comprimarea gazului este mai mare în cazul comprimării izocore (compresoare Roots) decât în cazul procesului politrop, ( Aabcd > Aabc’d). Debitul de gaz ce trece prin compresorul de tip Roots este: •

V = Z ⋅ λ ⋅ K ⋅ π ⋅ r ⋅ l ⋅ nr [m3/min]

(8.25)

Compresoare

284

Semnificaţia mărimilor din relaţia (8.25) este: - Z număr de lobi; - λ coeficient de debit; - K coeficient constructiv; - r raza cilindrului; - nr turaţia. Compresorul de tip Roots se utilizează pentru realizarea de presiuni până la doi bari. Cu cât presiunea de comprimare creşte, se reduce debitul, datorită scăpărilor gazului comprimat prin jocul dintre rotoare sau rotoare şi stator. Compresoarele Roots funcţionează la turaţii ridicate. Din această cauză, atunci când sunt utilizate la supraalimentarea motoarelor, trebuie antrenate prin intermediul unui multiplicator de turaţie. 8.2 Compresoare dinamice La aceste tipuri de compresoare, procesul de comprimare se desfăşoară continuu, pe măsură ce gazul evoluează prin maşină. În funcţie de traiectoria curentului de gaz relativă la rotor, compresoarele dinamice se împart în două mari categorii: a) Compresoare radiale (sau centrifugale), în care curentul de gaz se deplasează pe traiectorii ce pornesc din apropierea axului compresorului şi se depărtează de acesta în direcţia radială. Deplasarea gazului în rotorul compresorului se realizează sub acţiunea forţei centrifuge. b) Compresoare axiale, în care curentul de gaz se deplasează paralel cu axa maşinii. Deplasarea gazului se realizează prin acţiunea paletelor rotorului. Atât compresoarele axiale, cât şi cele centrifugale, furnizează debite mari de gaze la presiuni medii şi mici, iar presiunea de refulare este constantă. Aceste tipuri de compresoare funcţionează la turaţii ridicate, astfel încât pentru acţionarea lor se utilizează turbine cu gaze sau cu abur. Ansamblul format dintr-o turbină şi un compresor poartă denumirea de grup turbocompresor (pot fi turbocompresoare centrifugale şi turbocompresoare axiale). 8.2.1 Compresoare centrifugale În figura 8.11 este prezentat compresorul centrifugal. El se compune din două părţi principale: o partea mobilă, 1, rotorul; el este prevăzut cu palete, iar în timpul funcţionării maşinii se roteşte. Gazul intră axial în maşină, apoi pătrunde între paletele rotorului, este antrenat în mişcare de rotaţie şi - datorită forţei centrifuge - se deplasează pe o direcţie radială. Antrenarea gazului de către paletele rotorului produce creşterea vitezei acestuia, deci mărirea energiei cinetice a debitului de gaz care circulă prin maşină. A doua piesă importantă a compresorului centrifugal este statorul. Acesta este construit în formă de spirală şi colectează gazul care iese din rotor cu viteză mare. Prin construcţie, secţiunea statorului este crescătoare spre partea de evacuare, lucru ce conduce la micşorarea vitezei gazului. În această porţiune are loc transformarea energiei cinetice, datorită scăderii vitezei, în entalpie. Mărirea entalpiei gazului se face cu creşterea presiunii şi temperaturii acestuia.

Termotehnică si maşini termice

285

Fig. 8.11 Pentru a determina puterea necesară antrenării compresorului centrifugal se fac următoarele ipoteze: - rotorul are un număr infinit de palete; - gazul umple complet canalele rotorului; - nu există pierderi prin frecări.

Fig. 8.12 În figura 8.12 este prezentată schema de calcul, împreună cu notaţiile necesare. Semnificaţia notaţiilor este următoarea: - u viteza tangenţială a rotorului; - w viteza relativă (la paletă) a gazului; - c viteza absolută a gazului. Gazul intră în rotor în punctul 1, unde începe profilul paletei, şi părăseşte rotorul în punctul 2, la terminarea paletei. În fiecare punct al deplasării particulei prin rotor există relaţia: r r r c =u+w

(8.26)

Compresoare

286

Paletele rotorului produc variaţia momentului cinetic al gazului, care este numeric egală cu cuplul necesar antrenării rotorului:

r • r r r r M = m(r2 × c2 − r1 × c1 ) [N.m]

(8.27)

Din figura 8.12 exprimăm produsele vectoriale astfel: r r r2 × c2 = r2 c 2 cos α 2 = r2 c2 u

(8.28)

r r r1 × c1 = r1c 1 cos α 1 = r1c1u

(8.29)

Cu notaţiile de mai sus, expresia cuplului devine: •

M = m(r2 c2 u − r1c1u )

(8.30)

Puterea necesară antrenării compresorului este: •

P = Mω = m ω (r2 c2 u − r1c1u )

(8.31)

Puterea compresorului centrifugal se poate exprima funcţie de lucrul mecanic tehnic şi debitul masic: •

P = m lt

(8.32)

Din relaţiile (8.31) şi (8.32) deducem expresia lucrului mecanic tehnic pentru compresorul centrifugal: lt = u 2 c2 u − u1c1u

(8.33)

În relaţia de mai sus s-a ţinut seama de expresia vitezei tangenţiale u = ω ⋅ r . Dacă se consideră procesul de comprimare adiabat, gazul care evoluează - un gaz perfect, se consideră neglijabilă viteza gazului la intrarea în compresor, iar în stator gazul este frânat complet, putem determina raportul maxim teoretic de comprimare şi presiunea maximă:

⎛ k k−1 ⎞ k − 1⎟⎟ RT1 ⎜⎜ ε max k −1 ⎝ ⎠

(8.34)

k − 1 u 2 c2 u − u1c1u k − 1 lt +1= ⋅ +1 k RT1 k RT1

(8.35)

lt =

ε max =

Termotehnică si maşini termice

287

⎞ ⎛ k − 1 u 2 c2 u − u1c1u p max = p1 ⎜⎜ ⋅ + 1 ⎟⎟ RT1 ⎠ ⎝ k

(8.36)

Observăm că atât puterea necesară antrenării compresorului centrifugal, cât şi parametrii funcţionali ai acestuia - raportul de comprimare şi presiunea maximă - sunt influenţate de geometria paletelor. În figura 8. 13 este prezentată influenţa înclinaţiei paletei la terminarea rotorului, unghiul beta, asupra vectorului ce reprezintă viteza absolută a gazului la ieşirea din rotor.

Fig. 8.13 Creşterea valorii vitezei absolute a gazului la ieşirea din rotor, c2 , determină creşterea presiunii maxime de comprimare, dar şi a puterii necesare antrenării compresorului. În general, raportul de comprimare pe o treaptă pentru aceste tipuri de compresoare este 2, iar considerente economice fac ca multe dintre aceste compresoare să fie construite cu unghiul paletei la ieşirea din rotor de 90°C. Curgerea reală între paletele rotorului este o curgere complexă, viteza nefiind uniformă radial (fig. 8.14 a).

Fig. 8.14

Compresoare

288

În procesul de rotaţie, între două palete consecutive apare o diferenţă de presiune care poate fi asociată inerţiei gazului. Viteza reală a gazului dintre două palete consecutive poate fi considerată ca fiind rezultanta a două mişcări: o mişcare uniformă (fig. 8.14 b), peste care este suprapusă o mişcare de rotaţie (fig. 8.14 c) ce se desfăşoară în sens invers mişcării rotorului. Această fenomen ce apare la compresoarele reale produce o scădere a componentei tangenţiale a vitezei absolute c2u , deci o diminuare a performanţelor maşinii. Din punct de vedere termodinamic, procesul de comprimare poate fi asimilat unui proces adiabat, deoarece timpul de trecere a gazului prin compresorul centrifugal este scurt, astfel încât căldura schimbată cu rotorul şi statorul poate fi neglijată.

Fig. 8.15 În realitate, datorită disipaţiei vâscoase ce are loc în procesul de curgere turbulentă din interiorul compresorului, apare o generare de entropie ∆s = s 2' − s1 în timpul procesului de comprimare, ceea ce face ca temperatura finală a gazului comprimat să crească mai mult decât în cazul unui proces adiabat reversibil (izentrop), T2’>T2. Procesul real de comprimare, 1-2’ din figura 8.15, poate fi reprezentat printr-o transformare politropă. Datorită poziţiei acestei politrope faţă de adiabată, ea se numeşte supraadiabată şi este caracterizată de faptul că valoarea exponentului politropic este mai mare decât valoarea exponentului adiabatic, n>k .

Termotehnică si maşini termice

289

Eficienţa procesului de comprimare pentru un compresor centrifugal se defineşte ca raportul dintre variaţia entalpiei în procesul izentrop şi variaţia entalpiei în procesul politrop: h −h ηcomp = 2 1 (8.37) h2' − h1 8.2.2 Compresoare axiale În figura 8.16 a) este prezentată schema unui compresor axial, iar în figura 8.16 b) este prezentată variaţia presiunii şi a vitezei absolute a gazului în lungul maşinii:

Fig. 8. 16 Din punct de vedere constructiv, acest tip de compresor este alcătuit dintr-un tambur 1 pe care sunt montate radial şiruri de palete mobile 2. Tamburul este solidar cu arborele 3 prin intermediul căruia este acţionat. Acest ansamblu formează rotorul compresorului. Partea fixă a compresorului - statorul - este format din carcasa 4, pe care sunt montate şiruri de palete fixe 5. De carcasă se fixează camera de aspiraţie 6 şi camera de refulare 7. Pe carcasă se plasează, în faţa rotorului, un rând de palete directoare care au rolul de a imprima curentului de gaz o direcţie favorabilă pătrunderii acestuia în şirul de palete mobile. O treaptă de comprimare este alcătuită dintr-un şir de palete mobile şi un şir de palete fixe. Aşa cum se poate vedea în figura 8.16 b), paletele mobile măresc viteza gazului, deci energia cinetică a acestuia. În şirul de palete fixe al treptei curentul de gaz este frânat, iar energia cinetică se transformă în energie potenţială, crescând astfel presiunea şi temperatura curentului de gaz. Aceste procese se repetă treaptă cu treaptă, determinând creşterea presiunii în lungul compresorului. Pentru a determina mărimile energetice asociate treptei de comprimare, vom considera o treaptă elementară de comprimare (fig. 8.17) alcătuită dintr-o reţea de palete mobile asociată rotorului şi o reţea de palete fixe asociate statorului.

Compresoare

290

Fig. 8.17 În figura 8.17 s-au reprezentat triunghiurile de viteze la intrarea şi ieşirea gazului din reţeaua de palete mobile. S-a notat cu c viteza absolută, cu u viteza tangenţială considerată la jumătatea înălţimii paletei şi cu w viteza relativă la profilul paletei. Din punct de vedere termodinamic, s-au considerat trei stări notate cu: 1 - starea gazului la intrarea în reţeaua de palete mobile; 2 - starea gazului la ieşirea din reţeaua de palete mobile şi intrarea în reţeaua de palete fixe; şi 3 - starea gazului la ieşirea din reţeaua de palete fixe. Rotorul antrenează gazul, producând o variaţie a momentului cinetic. Cu notaţiile din figura 8.17, putem scrie: • r • r r r M = m(r × c2 − r × c1 ) = m⋅ r (c2 u − c1u )

(8.38)

În relaţia de mai sus s-a considerat curgerea gazului la înălţimea medie a paletei, căreia îi corespunde raza r măsurată de la axul rotorului. Puterea necesară unei trepte de comprimare se exprimă în funcţie de viteza de rotaţie: •

•

•

P = M ⋅ ω = m⋅ r ⋅ ω ⋅ (c2 u − c1u ) = m⋅ u ⋅ (c2 u − c1u ) = m⋅ u ⋅ ∆cu

(8.39)

Din punct de vedere energetic, dacă se consideră că întreaga creştere de energie cinetică din reţeaua de palete mobile este transformată în entalpie prin frânarea curentului de gaz în reţeaua de palete fixe, prin aplicarea primului principiu al termodinamicii rezultă:

h3 − h2 =

⎛ k −1 ⎞ c2 − c2 c22 − c12 ; ⇒ c pT2 ⎜⎜ ε k − 1⎟⎟ = 2 1 2 2 ⎝ ⎠

(8.40)

Termotehnică si maşini termice

291 k

⎞ k −1 ⎛ c22 − c12 ε = ⎜⎜ + 1⎟ ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⋅ c p ⋅ T2

(8.41)

Valorile raportului de comprimare al treptei compresorului axial sunt cuprinse în intervalul 1,15…1,35 pentru treptele subsonice şi 1,9…2,5 pentru treptele supersonice. Circulaţia curentului de gaz în jurul unei palete determină o forţă aerodinamică ce are două componente: una axială şi una tangenţială. Dacă se consideră valoarea medie a vitezei relative prin reţeaua de palete mobile notată cu wm şi ρm densitatea medie, cele două componente ale forţei aerodinamice se exprimă astfel:

Fu =

1 κ u ⋅ ρ m ⋅ b ⋅ wm2 2

1 Fa = κ a ⋅ ρ m ⋅ b ⋅ wm2 2

(8.42)

(8.43)

Coeficientul κ u se numeşte coeficient de portanţă, iar κ a se numeşte coeficient de rezistenţă la înaintare. Raportul lor µ= κ u / κ a se numeşte coeficient de fineţe şi are valori cuprinse în intervalul 15…20. Cu b s-a notat coarda profilului. Deoarece raportul de comprimare pe treaptă este redus, pentru a obţine presiuni de comprimare de 15…25 bar trebuie să se folosească un număr adecvat de trepte. Avantajul acestui tip de compresor constă în faptul că el poate comprima debite foarte mari de gaz (120…150 kg/s), în timp ce un compresor centrifugal poate comprima cel mult (40…50kg/s). Compresoarele axiale intră în alcătuirea turbinelor cu gaze utilizate pentru propulsie, deoarece pe lângă avantajul debitului mare au o secţiune frontală redusă. În industria petrolieră, compresoarele axiale se utilizează la comprimarea debitelor mari de gaze ce se transportă pe conductele magistrale.

Instalaţii de forţă cu abur

292

9. Instalaţii de forţă cu abur Instalaţiile de forţă cu abur sunt utilizate, în special, în termocentrale, pentru producerea energiei electrice prin conversia parţială a căldurii obţinute prin arderea unor combustibili sau produsă în reactorii nucleari. Agentul termodinamic utilizat în aceste instalaţii este apa. Pe parcursul desfăşurării ciclului termodinamic, apa îşi modifică faza: pe anumite porţiuni ale ciclului este sub formă de vapori, iar pe alte porţiuni este în stare lichidă. În aceste instalaţii, agentul termodinamic rămâne permanent în instalaţie, existând numai unele mici adaosuri ce acoperă pierderile tehnologice. Ciclurile acestor instalaţii se bazează pe fenomenele termodinamice care au loc în procesul de schimbare de fază a apei. Ele se mai numesc cicluri cu vapori. 9.1 Ciclul Rankine Ciclul Rankine stă la baza funcţionării centralelor termoelectrice. Pentru ca să se poată realiza acest ciclu, este nevoie ca instalaţia să fie configurată astfel (fig. 9.1):

Fig. 9.1 o Cazanul este un utilaj complex, în care căldura provenită de la gazele de ardere este transferată apei. Aceasta intră în cazan în fază lichidă, la o presiune ridicată, stabilită de pompa de alimentare. Aici, datorită procesului de încălzire, apa îşi măreşte temperatura până la temperatura de saturaţie, procesul 4-4’ (fig. 9.2), se vaporizează, procesul 4’-4”, iar vaporii sunt încălziţi, devenind vapori supraîncălziţi, procesul 4”-1. Întreg procesul din cazan este izobar. o Turbina este o maşină care produce putere datorită destinderii continue a aburului, de la presiunea stării 1 până la presiunea corespunzătoare punctului 2.

Termotehnică si maşini termice

293

Procesul teoretic de destindere este considerat adiabat reversibil, proces în care entropia rămâne constantă. În realitate, procesul destinderii aburului în turbină este ireversibil, procesul 1 2’ (fig. 9.2), deoarece în curgerea turbulentă a aburului prin turbină o parte din energie se disipează datorită frecărilor. Acest lucru determină existenţa unei surse active de entropie în turbină, lucru ce face ca destinderea adiabată a aburului să se facă cu creştere de entropie, deci să fie ireversibilă. o Condensatorul este un utilaj în care aburul cu presiune scăzută, ieşit din turbină, este răcit până se condensează complet. Procesul este izobar izoterm. o Pompa preia apa din condensator, îi măreşte presiunea şi o introduce în cazan. Ea stabileşte presiunea aburului furnizat de cazan, deci presiunea aburului la intrarea în turbină. Puterea furnizată de instalaţie se obţine în turbină. Ea se poate calcula având în vedere că destinderea 1-2 este adiabată. Din primul principiu al termodinamicii rezultă:

δq = dh − vdp = 0

(9.1)

Prin integrare, obţinem expresia lucrului mecanic tehnic specific pentru o destindere reversibilă, izentropă: lt 12 = h1 − h2

(9.2)

Efectul ireversibilităţii se măsoară cu ajutorul randamentului izentropic al turbinei, definit ca raportul lucrurilor mecanice tehnice specifice pentru destinderea ireversibilă şi pentru destinderea teoretică, izentropă:

ηiz =

h1 − h2' h1 − h2

(9.3)

Lucrul mecanic tehnic specific al destinderii ireversibile este:

(lt 12 )irev . = ηiz (h1 − h2 )

(9.4)

Puterea turbinei se determină astfel: •

•

PT = m(lt 12 )irev . = m⋅ηiz ⋅ (h1 − h2 )

(9.5)

Puterea consumată de pompă, considerând procesul din pompă adiabat, este: •

Pp = m(h4 − h3 )

(9.6)

Căldura preluată de abur din cazan, în procesul izobar de încălzire, se mai numeşte şi putere termică. Ea se poate calcula din integrarea expresiei diferenţiale a primului principiu.

δq = dh − vdp = dh p = constant

(9.7)

Instalaţii de forţă cu abur

294

• 1

•

•

Q41 = m ∫ δq = m(h1 − h4 )

(9.8)

4

Fig. 9.2 Eficienţa ciclului Rankine este dată de raportul dintre puterea mecanică furnizată de turbină minus puterea consumată de pompă şi puterea termică preluată de abur de la cazan:

η=

PT − Pp •

Q41

=

PT •

Q31

=

ηiz (h1 − h2 ) h1 − h3

(9.9)

La acest tip de instalaţii, puterea pompei este mică în comparaţie cu puterea furnizată de turbină (câteva procente din puterea turbinei), lucru care ne permite neglijarea acestui termen în formula (9.9). Creşterea de entalpie în pompă (h4-h3) este atât de mică, încât pe diagrama Ts cele două puncte practic coincid. Acest lucru ne permite să facem o altă aproximaţie: să introducem în formula (9.9) valoarea entalpiei punctului 3, care reprezintă entalpia apei la saturaţie, mărime uşor de determinat.

Termotehnică si maşini termice

295

Unul din marile avantaje specifice acestui ciclu este faptul că puterea consumată de pompă pentru alimentarea cazanului este foarte mică în raport cu puterea dezvoltată de turbină. Acest lucru este posibil datorită faptului că apa evoluează în turbină sub formă de vapori, iar în pompă sub formă lichidă. Volumul unui kilogram de vapori este de peste 1000 de ori mai mare decât volumul unui kilogram de apă. Volumul ce trece prin pompă este mult mai mic - pentru acelaşi debit masic - faţă de volumul ce se destinde în turbină, lucru reflectat de diferenţa dintre puterile pompei şi turbinei. Instalaţiile de forţă cu abur sunt construite pentru obţinerea de puteri instalate foarte mari. Din această cauză, puterea mecanică rezultată este utilizată pentru producerea energiei electrice. Prin folosirea, în locul cazanului, a unui reactor nuclear s-a reuşit obţinerea unor unităţi energetice de mare putere, dar de dimensiuni reduse, lucru ce a permis utilizarea acestora la sistemele de propulsie a navelor sau a submarinelor. Utilizarea energiei nucleare a permis obţinerea unor autonomii de funcţionare de câţiva ani. 9.2 Procesul termogazodinamic din treapta de turbină Turbina cu abur este o turbină axială prin care aburul se deplasează paralel cu axul turbinei. Ea este alcătuită dintr-un rotor la care sunt fixate discuri cu palete şi un stator pe care sunt montate palete fixe (fig. 9.3).

Fig. 9.3

Instalaţii de forţă cu abur

296

Aburul părăseşte cazanul cu presiune şi temperatură ridicată, energia debitului de abur fiind reprezentată de entalpie. La intrarea în turbină, aburul este accelerat într-o porţiune cu ajutaje în care cea mai mare parte a entalpiei acestuia se transformă în energie cinetică, apoi este introdus în reţelele de palete. Treapta de turbină cuprinde o reţea de palete fixe (pe stator) şi o reţea de palete mobile (pe rotor). Destinderea aburului se realizează în reţeaua de palete fixe. În paletele mobile, datorită profilului acestora, curentul de abur suferă o modificare a impulsului prin variaţia direcţiei vectorului viteză. Variaţia impulsului producându-se la distanţa r de axul arborelui, se transformă într-o variaţie a momentului cinetic. În figura 9.3 s-au folosit notaţiile c – viteza absolută, w – viteza relativă, u – viteza tangenţială de rotaţie considerată la jumătatea paletei. Considerând că arborele turbinei se roteşte uniform cu viteza unghiulară ω, cuplul produs de trecerea gazului prin reţeaua de palete mobile a treptei este: • r r r r M = m⋅ (r1 × c1 − r2 × c2 )

(9.10)

Puterea treptei elementare transmisă la arborele turbinei este: •

P = M ⋅ ω = m⋅ (u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2 u )

(9.11)

Din formula 9.10 putem deduce lucrul mecanic specific pe treapta de turbină: •

P = m⋅ lt ; ⇒ lt = u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2 u

(9.12)

Formula 9.12 mai este cunoscută sub denumirea de formula lui Euler. După cum am arătat anterior, aburul se destinde în reţelele fixe de palete, care se comportă ca ajutajele geometrice, mărind viteza aburului pe baza diminuării entalpiei acestuia. Este posibil ca aburul să se destindă şi în reţelele mobile de palete. În acest caz, viteza relativă creşte şi în reţeaua de palete mobile (w2>w1), iar treapta se numeşte cu reacţiune. Se defineşte gradul de reacţiune al treptei ca raportul vitezelor relative de ieşire şi intrare în reţeaua de palete mobile:

ρ=

w2 w1

(9.13)

Dacă ρ = 1 , treapta se numeşte cu acţiune (w1=w2), dacă ρ > 1 treapta se numeşte cu reacţiune (w2>w1). 9.3 Influenţa presiunii şi temperaturii asupra ciclului Rankine Ciclul Rankine stă la baza funcţionării unităţilor energetice de mare putere. Din această cauză, orice influenţă pozitivă asupra performanţelor ciclului poate aduce economii semnificative. Se va analiza, în continuare, influenţa presiunii aburului la ieşirea din turbină şi a temperaturii aburului la intrarea în turbină.

Termotehnică si maşini termice

297

În figura 9.4 s-a reprezentat un ciclu Rankine 1-2-3-4-4’-4”-1 cu următorii parametrii: presiunea aburului la intrarea în turbină p1 = 90 bar, temperatura aburului la intrarea în turbină T1 = 773 K ; la ieşirea din turbină aburul are presiunea p2 = 1 bar. Acest ciclu se consideră ciclu de referinţă şi se notează cu a. Considerăm ciclul 1-2’-3’-N-4’-4”-1, pe care îl vom denumi ciclul b. Acesta diferă de ciclul de referinţă prin valoarea presiunii aburului la ieşirea din turbină, p2’ = 0,05 bar.

Fig. 9.4 Pentru a analiza influenţa temperaturii aburului la ieşirea din turbină, alegem ciclul 1’-M-3-4-4’-4”-1’, care diferă de ciclul de referinţă prin valoarea temperaturii aburului la intrarea în turbină, T1’ = 853 K. Pentru această analiză, considerăm că pe ciclu evoluează un debit de 1 kg/s. Vom calcula, utilizând programul APAB pentru fiecare ciclu în parte, puterea rezultată la turbină şi randamentul termodinamic. a) În primul caz , parametrii de stare în punctele caracteristice şi performanţele ciclului sunt: Punctul 1: p1 = 90 bar; T1 = 773K; h1=3386,8 kJ/kg; s1=6,6601 kJ/kg/K; Punctul 2: p2 = 1 bar; transformarea 1-2 este adiabată, deci s2=s1 h2 = 2109,18 kJ/kg; x2 = 0,80126;

Instalaţii de forţă cu abur

298

Punctul 3: p3 = 1 bar, reprezintă lichid saturat h3 = 191,79 kJ/kg •

Pa = m(h1 − h2 ) = 1,272 MW/kg

ηa =

h1 − h2 = 0 ,399 h1 − h3

b) Pentru varianta b obţinem: Punctul 1 : aceiaşi parametri ca la varianta a; Punctul 2’: p2’ = 0,05 bar; transformarea 1-2 este adiabată, deci s2=s1, h2’=2030,3 kJ/kg; x2’ = 0,78082; Punctul 3’: p3’ = 0,05 bar, reprezintă lichid saturat h3’ = 137,72 kJ/kg. •

Pb = m(h1 − h2' ) = 1,356 MW/kg

ηb =

h1 − h2 = 0 ,4175 h1 − h3

c) Analog, procedăm şi pentru ciclul c: Punctul 1: p1 = 90 bar; T1’ = 853 K; h1’=3582,75 kJ/kg; s1’=6,9013 kJ/kg/K; Punctul a: pM = 1 bar; transformarea 1’-M este adiabată, deci s1’=sM, h2 = 2109,18 kJ/kg; x2 = 0,80126; Punctul 3: p3 = 1 bar, reprezintă lichid saturat h3 = 191,79 kJ/kg. •

Pc = m(h1 − h2 ) = 1,389 MW/kg

ηa =

Tabelul T 9.1 Varianta Ciclul de bază 1-2-3-4-4’-4”-1 Ciclul modificat 1-2’-3’-N-4’-4“-1 Ciclul modificat 1’-M-3-4-4’-4”-1

h1 − h2 = 0 ,4122 h1 − h3

Parametrul modificat

Puterea [MW/kg]

Randament

1,272

0,399

p2’ < p2

1,356

0,4175

T1’ >T1

1,398

0,4122

-

Pentru a observa cu uşurinţă influenţele celor doi factori analizaţi, rezultatele au fost trecute în tabelul T 9.1.

Termotehnică si maşini termice

299

Observăm că ambele soluţii analizate permit, prin aplicarea lor, creşterea performanţelor ciclului Rankine. În practică, aceste soluţii se aplică, singurele limitări fiind de natură tehnologică. Astfel, temperatura aburului la intrarea în turbină este limitată de rezistenţa conductelor care intră în componenţa cazanului şi prin care circulă aburul. Presiunea scăzută (câteva sutimi de bar) la ieşirea aburului din turbină impune măsuri tehnologice deosebite pentru izolarea arborelui turbinei. 9.4 Ciclul cu supraîncălzirea intermediară a aburului Pentru a creşte eficienţa ciclului Rankine s-a introdus un aport suplimentar de căldură, preluat de agentul termodinamic între două destinderi succesive în turbină. Acest lucru contribuie atât la creşterea puterii furnizate de instalaţie, cât şi la mărirea randamentului. Aportul suplimentar de căldură permite scăderea condensului ce se produce în treptele de joasă presiune ale turbinei, cu efecte nedorite în funcţionarea acesteia. La turaţia de funcţionare a turbinei, picăturile de condens provoacă coroziunea paletelor datorită impactului cu acestea. În figura 9.5 este prezentată schema unei instalaţii cu supraîncălzirea intermediară a aburului. Se observă că schema turbinei prezintă două corpuri: CIP corpul de înaltă presiune şi un alt corp, ce reprezintă combinaţia corpurilor de medie presiune şi de joasă presiune - CMP+CJP.

Fig. 9.5 Conform acestui procedeu, aburul se destinde adiabat în corpul de înaltă presiune (procesul 1-2’, fig. 9.6); este reintrodus în cazan, unde este supraîncălzit până la o temperatură apropiată de T1; apoi condus la turbină, unde se destinde în corpurile de medie şi joasă presiune, de la presiunea p2’ până la presiunea punctului 2. Procesul de supraîncălzire suplimentară a aburului este un proces izobar. Presiunea la care se desfăşoară acesta este presiunea aburului la ieşirea din corpul de înaltă presiune.

Instalaţii de forţă cu abur

300

Fig. 9.6 În acest procedeu, puterea instalaţiei se compune din puterile obţinute prin cele două destinderi succesive ale aburului: o Puterea obţinută în CIP •

PI = m(h1 − h2' )

(9.14)

o Puterea obţinută în CMP+CJP •

PII = m(h2" − h2 )

(9.15)

Puterea totală a instalaţiei este suma celor două puteri: •

P = m[(h1 −h2' ) − (h2" − h2 )]

(9.16)

Pentru a determina eficienţa acestei instalaţii, trebuie luată în considerare şi căldura utilizată pentru supraîncălzirea intermediară a aburului. Astfel, puterea termică totală preluată de abur este: •

•

Q = m[(h1 − h3 ) + (h2" − h2' )]

(9.17)

Termotehnică si maşini termice

301

Din cele două relaţii de mai sus se observă că în acest tip de instalaţii aburul preia din cazan o putere termică mai mare decât în cazul ciclului Rnakine clasic, care determină creşterea puterii turbinei. Eficienţa acestei instalaţii se calculează astfel:

η=

P •

Q

=

(h1 −h2' ) − (h2" − h2 ) (h1 − h3 ) + (h2" − h2' )

(9.18)

9.5 Cicluri regenerative O măsură tehnologică importantă, care se utilizează în instalaţiile de forţă cu abur, este regenerarea căldurii. Acest lucru se face în scopul măririi randamentului instalaţiilor. Ea este materializată prin încălzirea apei rezultate din condensator cu abur prelevat de la turbină.

Fig. 9.7 În figura 9.7 este prezentată schema unui grup de 80 MW, folosit în termocentrale pentru producerea energiei electrice, care utilizează încălzirea regenerativă a apei de alimentare. Pe schemă sunt precizate debitele de apă sau abur care circulă prin anumite porţiuni ale instalaţiei, împreună cu parametrii termodinamicii. Semnificaţiile prescurtărilor de pe figură sunt: - CIP+CMP corpurile de înaltă şi medie presiune ale turbinei; - CJP corpul de joasă presiune a turbinei; - PIP preîncălzitor de înaltă presiune; - PMP preîncălzitor de medie presiune; - PJP preîncălzitor de joasă presiune; - C colectoare pentru condens.

Instalaţii de forţă cu abur

302

Urmărind schema din figura 9.7, observăm că apa rezultată din condensator este încălzită în preîncălzitorul de joasă presiune (75 kPa = 0,75 bar) cu abur preluat din corpul de joasă presiune al turbinei, apoi intră în degazor. Tot aici este colectat şi condensul din PIP şi PMP. Din corpul de înaltă presiune este prelevat abur prin trei prize, care este utilizat pentru încălzirea apei în degazor, preîncălzitorul de medie presiune şi preîncălzitorul de înaltă presiune. Teoretic, cu cât se utilizează mai multe prize de prelevare a aburului, randamentul instalaţiei tinde spre randamentul Carnot, dar - în realitate - trebuie realizat un compromis între eficienţă şi preţul de cost. Mai multe prize înseamnă mai multe schimbătoare de căldură regenerative, lucru care măreşte costul instalaţiei. Apa de alimentare a cazanului este încălzită regenerativ până la temperatura de saturaţie corespunzătoare presiunii de lucru a cazanului. Astfel, în cazan se realizează procesele de vaporizare a apei şi supraîncălzire a aburului. Acest procedeu de preîncălzire regenerativă este utilizat în toate instalaţiile de forţă cu abur folosite în termocentrale pentru producerea energiei electrice. 9.6 Cogenerarea În anumite procesele industriale este nevoie de abur tehnologic. Pentru a-l produce este nevoie de un cazan şi de combustibil. Dacă în zonă există grupuri de forţă cu abur utilizate la producerea energiei electrice, acestea pot furniza abur diverşilor consumatori.

Fig. 9.8 Aburul pentru utilizatori este prelevat din turbină după corpul de înaltă presiune. Astfel, acesta este utilizat parţial în turbină pentru producerea energiei mecanice, apoi este furnizat utilizatorilor. Aceştia, de regulă, returnează condensul. Acest procedeu, prin care aburul prelevat de al turbină este furnizat diverşilor utilizatori, se numeşte cogenerare. În figura 9.8 este prezentat schematic procedeul de cogenerare.

Termotehnică si maşini termice

303

Avantajele utilizării cogenerării sunt de natură economică, deoarece aburul livrat - contra cost - a fost deja utilizat la producerea energiei electrice. Prin cogenerare se scuteşte investiţia necesară producerii separate a aburului şi costurile de exploatare a acesteia. Exemplul 9.1 O instalaţie de forţă cu abur funcţionează după schema din figura 9.1, pe baza ciclului termodinamic din figura 9.2. Parametrii aburului la intrarea în turbină sunt p1 = 150 bar, T1 = 773 K, iar presiunea în condensator este p2 = 0,03 bar. Să se determine: a) randamentul instalaţiei; b) debitul masic de abur, astfel încât instalaţia să producă o putere de 50 MW; c) consumul de combustibil, dacă aceasta funcţionează: 1- cu gaz metan având puterea calorică inferioară Hi = 55 MJ/kg; 2 – cu păcură, Hi = 40 MJ/kg; 3 – cu cărbune energetic având Hi = 10,5 MJ/kg; Soluţie Din tabele termodinamice sau din programul APAB se determină parametrii de stare: Punctul 1: h1=3310,62 kJ/kg; s1=6,3487 kJ/kg/K; Punctul 2: h2=1882,63 kJ/kg; s2=6,3487 kJ/kg/K; x2=72,87 %; Punctul 3: h3=101,15 kJ/kg; a) Randamentul se calculează cu formula (4.12):

η=

h1 − h2 3310 ,62 − 1882 ,63 = = 0 ,4449 h1 − h3 3310 ,62 − 101,15

b) Din formula (4.8) calculăm debitul masic: •

m=

P 50000 = = 35 ,014 [kg/s] h1 − h2 3310 ,62 − 1882 ,63

c) Consumul de combustibil se determină din formula:

Bc =

Q31 × 3600 [kg/h] Hi

Căldura necesară producerii aburului este: •

Q31 = m(h3 − h1 ) = 35 ,014 (3310 ,62 − 101,15 ) = 112 ,377 [MW] c) 1 - Bc =

112 ,377 = 7.355 [kg/h] = 10.359 [Nm3/h] 55

c) 2 - Bc =

112 ,377 = 10.113 [kg/h] 40

c) 3 - Bc =

112 ,377 = 38.527 [kg/h] 10 ,5

Instalaţii de forţă cu abur

304 Exemplul 9.2

O instalaţie de forţă cu abur cu supraîncălzire intermediară funcţionează conform schemei din figura 9.5 pe baza ciclului termodinamic din figura 9.6. Cunoscând următorii parametrii: p1=145 bar, T1=823 K, p2’=13 bar şi p2=0.02 bar, să se determine: a) Randamentul instalaţiei; b) Considerând că prin instalaţie circulă un debit de 30 kg/s abur/apă, să se calculeze puterea instalaţiei şi căldura necesară producerii aburului. Soluţie Din tabele termodinamice sau din programul APAB se determină parametrii: Punctul 1 Punctul 2’ Punctul 2” Punctul 2

: h1 =3453,63 kJ/kg; : h2’=2808,87 kJ/kg; : h2”=3584,29 kJ/kg; : h2=2257,78 kJ/kg;

s1=6,542 kJ/kg/K; s2=6,542 kJ/kg/K; s2”=7,775 kJ/kg/K; s2=7,775 kJ/kg/K; x2=73,45%

Punctul 3 : h3=73,45 kJ/kg;

a)

η=

(h1 − h2' ) + (h2" − h2 ) = (3453,63 − 2808 ,87 ) + (3584 ,29 − 2257 ,78 ) (h1 − h3 ) + (h2" − h2' ) (3453,63 − 73,45 ) + (3584 ,28 − 2808 ,87 ) η = 0 ,4743

b) •

P = m[(h1 − h2' ) + (h2" − h2 )] = 30[(3453 ,63 − 2808 ,87 ) + (3584 ,29 − 2257 ,78 )] P = 59 ,138 [MW] •

•

Q = m[(h1 − h3 ) + (h2" − h2' )] = 30[(3453,63 − 73,45 ) + (3584 ,28 − 2808 ,87 )] •

Q = 124 ,668 [MW]

Termotehnică si maşini termice

305

10. Turbina cu gaze Turbina cu gaze face parte din rândul motoarelor cu ardere internă, deoarece produce putere mecanică prin transformarea parţială a căldurii obţinute din arderea combustibilului, în lucru mecanic, pe baza unui ciclu termodinamic, iar agentul termodinamic este alcătuit din gazele de ardere. Raportul dintre puterea dezvoltată de turbina cu gaze şi greutate este foarte mic, lucru care face ca aceste maşini să fie puternice şi uşoare. Această caracteristică le-a făcut să fie utilizate pentru propulsie în aviaţie, în domeniul naval şi feroviar, dar şi pentru producerea energiei electrice. Gama de puteri în care se construiesc turbine cu gaze este foarte largă: 100kW…100MW.

Fig.10.1 În figura 10.1 este prezentată o turbină cu gaze utilizată ca sistem de propulsie în aviaţie. Acest tip de motor se numeşte turboventilator. Este un motor puternic şi economic, iar la ora actuală este utilizat pe avioanele de transport pasageri şi marfă. Forţa de propulsie este formată din două componente: jetul de aer creat de ventilator şi jetul de gaze arse care ies din turbină. Pentru a obţine un randament ridicat, se utilizează un compresor cu multe trepte (~14..16 trepte), structurat în două părţi: partea de joasă presiune şi partea de înaltă presiune. Pentru a mări fiabilitatea motorului, combustibilul este ars în mai multe camere de ardere, plasate uniform în jurul axului.

Turbine cu gaze

306

Pentru a asigura stabilitatea frontului de flacără, numai o parte din aerul comprimat pătrunde în camera de ardere, astfel încât excesul de aer în acest loc este ~1,3. Restul aerului comprimat trece prin exteriorul camerelor de ardere, pentru a răci pereţii acestora, apoi cele două curente de aer sunt amestecate în faţa turbinei, pentru a diminua temperatura gazelor la intrarea în turbină până în jurul valorii de 1000°C, protejând astfel paletele turbinei. Cu toate acestea, pentru a rezista solicitărilor termice, paletele turbinei sunt răcite cu aer prelevat din partea de înaltă presiune a compresorului. Acesta circulă prin interiorul paletei, de la ax spre exterior.

Fig. 10.2 În figura 10.2 este prezentată turbina cu gaze Proteus, utilizată pentru acţionări industriale. Se observă că turbina este alcătuită din două părţi. Prima parte este utilizată pentru antrenarea compresorului, cea de-a doua este folosită pentru antrenarea diferiţilor utilizatori de energie mecanică (generatoare electrice, compresoare axiale sau radiale, etc.). Energia utilă se obţine în turbina a II-a, în care se destind gazele arse formate în camerele de ardere şi utilizate parţial în prima turbină. De multe ori, aceste tipuri de turbine cu gaze se mai numesc generatoare de gaze, deoarece compresorul, camerele de ardere si prima turbină sunt folosite pentru a produce gazele necesare turbinei a II-a, ce produce puterea utilă. 10.1 Ciclul Brayton Schema unei turbine cu gaze este prezentată în figura 10.3, iar ciclul termodinamic al acestei maşini este prezentat în diagrama PV (fig. 10.4) şi în diagrama Ts (fig. 10.5). Aerul atmosferic este comprimat de compresor, procesul 1-2 fiind considerat adiabat, apoi este introdus în camera de ardere împreună cu combustibilul.

Termotehnică si maşini termice

307

Arderea se desfăşoară la presiune constantă, fiind reprezentată de procesul 2-3. Căldura primită de agentul termodinamic în timpul arderii contribuie la creşterea temperaturii şi a vitezei de deplasare a gazelor arse prin maşină.

Fig. 10.3 Destinderea gazelor arse se face în turbină, ea este simbolizată de procesul adiabat 3-4, apoi acestea sunt evacuate în atmosferă.

Fig. 10.4

Turbine cu gaze

308

Practic, agentul termodinamic intră în instalaţia de turbină cu gaze prin compresor (punctul 1 din diagrame) şi este evacuat sub formă de gaze de ardere (punctul 4 din diagrame). Agentul termodinamic nu parcurge un ciclu complet, deci turbina cu gaze funcţionează după un semiciclu. Pentru a putea analiza, din punct de vedere termodinamic, funcţionarea acestei maşini se consideră o transformare izobară fictivă între punctele 1-2, prin care agentul termodinamic se răceşte. Analiza ciclului termodinamic se face în următoarele ipoteze: - Agentul termodinamic este gaz perfect; - Procesul de combustie este înlocuit cu un transfer izobar de căldură 2-3 de la o sursă externă; - Procesul de evacuare a gazelor este înlocuit cu un proces fictiv de răcire izobară a agentului termic; - Toate transformările ciclului sunt considerate reversibile. Se definesc următoarele mărimi caracteristice ale ciclului:

p2 - raportul de compresie; p1 T θ = 3 - raportul temperaturilor extreme ale ciclului. T1

ε=

Fig. 10.5

Termotehnică si maşini termice

309

Ciclul turbinei cu gaze, reprezentat în coordonate PV (figura 10.4) şi în coordonate Ts (fig. 10.5) se numeşte ciclul Brayton. Primul principiu, aplicat acestui ciclu, ne permite determinarea lucrului mecanic pe ciclu funcţie de căldurile intrate şi ieşite din ciclu; al doilea principiu permite determinarea randamentului. Lc = Q23 − Q41

η=

Q Lc Q − Q41 = 23 = 1 − 41 Q23 Q23 Q23

(10.1)

⎛T ⎞ T1 ⎜⎜ 4 − 1 ⎟⎟ c (T − T ) T ⎠ = 1− p 4 1 = 1− ⎝ 1 c p (T3 − T2 ) ⎛T ⎞ T2 ⎜⎜ 3 − 1 ⎟⎟ ⎝ T2 ⎠

(10.2)

Exprimăm rapoartele temperaturilor din relaţia (10.2) funcţie de presiunile celor două izobare din ecuaţiile adiabatelor 1-2 şi 3-4. T2 ⎛ p2 ⎞ =⎜ ⎟ T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠ T3 ⎛ p3 ⎞ =⎜ ⎟ T4 ⎜⎝ p4 ⎟⎠

k −1 k

k −1 k

=ε

=ε

k −1 k

k −1 k

(10.3)

(10.4)

Din relaţiile de mai sus rezultă:

T2 T3 T T T T = ⇒ 2 = 1 ⇒ 3 = 4 T1 T4 T3 T4 T2 T1

(10.5)

Deci, randamentul instalaţiei de turbină cu gaze are expresia:

η = 1−

T1 1 = 1 − k −1 T2 k

(10.6)

ε

Observăm că randamentul depinde numai de raportul de compresie şi nu depinde de configuraţia temperaturilor pe ciclu. O problemă importantă la aceste maşini o constituie puterea utilă. Din schema instalaţiei (fig. 10.3) observăm că puterea turbinei este utilizată parţial pentru antrenarea compresorului, iar restul reprezintă putere utilă. Din bilanţul puterilor, calculăm puterea utilă folosind expresia lucrului mecanic tehnic pentru adiabatele ce reprezintă procesele de destindere, respectiv de comprimare 1-2 şi 3-4.

PT = PU + PC

(10.7)

Turbine cu gaze

310 •

•

PU = PT − PC = m c p (T3 − T4 ) − m c p (T2 − T1 )

(10.8)

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ k k−1 ⎞⎤⎥ 1 ⎟ ⎜ ⎢ PU = m c p T3 ⎜ 1 − k −1 ⎟ − T1 ⎜⎜ ε − 1 ⎟⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎣ ⎝ ε k ⎠

(10.9)

•

⎞ • ⎛ k −1 ⎞⎛ θ PU = m c pT1 ⎜⎜ ε k − 1⎟⎟⎜⎜ k −1 − 1 ⎟⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎜⎝ ε k ⎠

(10.10)

Observăm că puterea utilă la instalaţia de turbină cu gaze depinde de raportul de compresie şi de raportul temperaturilor extreme pe ciclu. Caracteristic acestui tip de instalaţie este faptul că puterea consumată pentru comprimarea aerului este destul de mare (30..50% din puterea turbinei) comparativ cu turbinele cu abur, la care puterea pompei de alimentare este neglijabilă în raport cu puterea turbinei. 10.2 Ciclul turbinei cu gaze cu regenerare După ce evoluează în turbină, gazele de ardere sunt evacuate în atmosferă. Destinderea acestora în turbină se face până când presiunea finală devine egală cu presiunea atmosferică. Această condiţie de funcţionare nu implică egalitatea temperaturii gazelor de evacuare cu temperatura atmosferică, temperatura gazelor de evacuare rezultă în urma destinderii adiabate şi este mai mare decât temperatura atmosferică. Ciclul turbinei cu regenerare utilizează o parte din căldura gazelor de evacuare pentru a încălzi aerul ce intră în camera de ardere. Acest lucru conduce la creşterea randamentului şi la scăderea consumului de combustibil. În figura 10.6 este prezentată schematic o astfel de instalaţie, iar ciclul de funcţionare în diagrama Ts este prezentată în figura 10.7.

Fig. 10.6

Termotehnică si maşini termice

311

Condiţia pentru funcţionarea acestei instalaţii este ca temperatura aerului la ieşirea din compresor T2 să fie mai mică decât temperatura gazelor de evacuare T4. Dacă această condiţie este îndeplinită, o parte din căldura gazelor de evacuare se transferă, într-un schimbător regenerativ de căldură, către aerul ieşit din compresor. Datorită acestui fapt, temperatura gazelor de ardere scade până la Ty, iar temperatura aerului comprimat creşte până la Tx. În acest caz, căldura cedată de agentul termodinamic către mediul exterior este: Qy 1 = m c p (Ty − T1 ) •

(10.11)

Considerând temperatura T3 fixă, căldura primită de agentul termodinamic de la sursa caldă este mai mică, deoarece acesta s-a încălzit parţial în schimbătorul regenerativ de căldură. Condiţia de a limita superior temperatura T3 este o condiţie tehnologică impusă de limita de rezistenţă termică a paletelor turbinei. •

Qx 3 = m c p (T3 − Tx )

Fig. 10.7

(10.12)

Turbine cu gaze

312 În aceste condiţii, randamentul instalaţiei este:

η = 1−

Qy 1 Qx 3

= 1−

Ty − T1 T3 − Tx

(10.13)

Pentru un regenerator ideal, fără pierderi, din diagrama Ts (fig. 10.7) se observă că Ty=T2 şi Tx=T4. În aceste condiţii, randamentul devine:

⎛ k −1 ⎞ k −1 T1 ⎜⎜ ε k − 1⎟⎟ k T −T ⎠ =ε η = 1− 2 1 = 1− ⎝ T3 − T4 θ ⎛ ⎞ 1 T3 ⎜⎜ 1 − k −1 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ε k ⎠

(10.14)

Expresia (10.14) reprezintă randamentul maxim teoretic al instalaţiei de turbină cu gaze cu regenerarea căldurii, deoarece pentru stabilirea sa am folosit ipoteza că în regenerator nu avem pierderi. În realitate, datorită pierderilor din schimbătorul regenerativ, gradul de recuperare al căldurii este mai scăzut. Cu toate acestea, instalaţiile de turbină cu gaze cu regenerare au un randament mai ridicat decât instalaţiile ce funcţionează după ciclul Brayton, precum şi un consum redus de combustibil. 10.3 Instalaţii ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine Necesitatea reducerii consumurilor de combustibili fosili, împreună cu dezvoltarea tehnologiei - inclusiv a tehnologiei IT de achiziţie, prelucrare şi conducere a proceselor - a făcut posibilă apariţia unor grupuri energetice care funcţionează pe baza a două cicluri termodinamice simultan. Fiecare ciclu este parcurs de un agent termodinamic specific. În figura 10.8 este prezentată o instalaţie care se compune dintro turbină cu gaze ce funcţionează pe baza ciclului Brayton şi o turbină cu abur ce funcţionează pe baza ciclului Rankine. Sursa de energie primară pentru turbina cu gaze este căldura Q23 ce se obţine prin arderea combustibilului. Entalpia gazelor de ardere este prelucrată, la început, în turbina cu gaze, care produce puterea utilă notată cu Pgaze. Gazele arse care au părăsit turbina trec prin schimbătorul de căldură izolat SC, unde urmează a doua etapă de prelucrare a entalpiei acestora prin cedarea căldurii Q45 agentului termodinamic din circuitul cu vapori, apoi sunt evacuate în atmosferă împreună cu o căldură reziduală Q50. Instalaţia de turbină cu abur utilizează schimbătorul de căldură SC pe post de cazan. Aici apa primeşte căldura Q67, aceasta este utilizată pentru vaporizarea apei şi supraîncălzirea aburului. Aburul se destinde în turbina cu abur, producând puterea notată cu Pabur. Din al doilea ciclu se transmite către mediul exterior, în procesul de condensare a apei, căldura reziduală Q89.

Termotehnică si maşini termice

313

Randamentul efectiv al acestei instalaţii se defineşte astfel:

η=

Pgaze + Pabur Q23

(10.15)

Acest tip de instalaţii, ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate, au un randament ridicat (mai mare de 45%), ceea ce înseamnă consum redus de combustibil. Adaptarea unei instalaţii de automatizare comandată de un procesor a contribuit la creşterea performanţelor, cât şi la menţinerea acestora la valori optime pe întreaga durată a exploatării.

Fig. 10.8

Turbine cu gaze

314

Un alt avantaj al acestor grupuri energetice îl constituie dimensiunile reduse, lucru ce a permis containerizarea lor. În ultima perioadă, pe piaţa a apărut o bogată ofertă de grupuri energetice containerizate ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine, care pe lângă energia electrică, oferă la cerere, abur industrial obţinut prin cogenerare. Gama de puteri pentru care se realizează aceste grupuri este de la 1..2MW până la 50 MW. Datorită preţurilor de cost scăzute, comparativ cu costul unui grup energetic dintr-o termocentrală clasică, a mobilităţii (fiind containerizate, acestea pot fi transportate cu uşurinţă la orice locaţie), a spaţiului restrâns pentru instalare (mai mic de 100m2), uşurinţa în exploatare (practic, funcţionează singure, fiind complet automatizate), aceste grupuri cu cicluri combinate s-au impus pe piaţa furnizorilor de energie. Exemplul 8.1 O turbină cu gaze funcţionează după ciclul Brayton, având următorii parametrii: T1=298, ε=14 şi θ=3,93. Asimilând gazul care trece prin turbină cu aer având masa moleculară 29 kg/kmol şi k=1,4, să se determine: a) randamentul instalaţiei; b) debitul de aer necesar pentru ca puterea turbinei să fie de 2 MW. Soluţie

1

η = 1−

a)

ε

k −1 k

•

m=

14

k −1 k

= 0 ,5286

Pu

•

m=

b)

1

= 1−

⎞ ⎛ k k−1 ⎞⎛⎜ θ ⎜ ⎟ c pT1 ⎜ ε − 1⎟⎜ k −1 − 1 ⎟⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎜⎝ ε k ⎠ 2.000.000

⎛ 1,4 8314 298⎜ 14 ⎜ 1,4 − 1 29 ⎝

1 ,4 −1 1 ,4

⎞ ⎞⎛⎜ 3 ,93 ⎟ ⎟ − 1 ⎜ 1,4−1 − 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ 14 1,4 ⎠

= 7 ,1368 [kg/s]

Termotehnică si maşini termice

315

11. Motoare cu ardere internă Motorul cu ardere internă este o maşină la care arderea combustibilului şi transformarea căldurii în lucru mecanic are loc într-un volum închis, variabil, reprezentat de cilindrul maşinii. În figura 11.1 este prezentată schema unui motor cu ardere internă:

Fig. 11.1 Cilindrul motorului este închis la partea inferioară cu un perete mobil, numit piston. Acesta permite variaţia volumului gazului din cilindru dar, totodată, realizează şi etanşarea acestui spaţiu. La partea superioară a cilindrului există cel puţin trei orificii, dintre care două comandate de supape: supapa de admisie sa (fig. 11.1) şi supapa de evacuare se, iar b reprezintă bujia la motoarele otto sau injectorul la motoarele diesel. Mişcările pistonului sunt comandate de un mecanism bielă-manivelă, care realizează transformarea mişcării alternative de translaţie a pistonului în mişcare de rotaţie. Puterea dezvoltată de motor la arbore rezultă sub formă de cuplu ori turaţie. În funcţie de cum se realizează aprinderea combustibilului, motoarele se clasifică în: - motoare cu aprindere prin scânteie sau motoare otto - la aceste tipuri de motoare aprinderea este comandată cu ajutorul unei scântei electrice; - motoare diesel - la aceste tipuri de motoare combustibilul se autoaprinde datorită faptului că este injectat în aerul comprimat, care are temperatură ridicată.

Motoare cu ardere internă

316

Procesele termodinamice care au loc în motor se repetă periodic. Totalitatea proceselor termodinamice ce se produc periodic în motor formează ciclul termodinamic. Acesta poate fi schematizat prin următoarele transformări de stare: admisia izobară, comprimarea adiabată sau politropă, arderea izocoră şi izobară, destinderea adiabată sau politropă şi evacuarea izobară. Funcţie de durata ciclului termodinamic, motoarele se clasifică astfel: - motoare în doi timpi - acestea sunt motoarele la care ciclul termodinamic se efectuează la o rotaţie a motorului sau la două curse ale pistonului; - motoare în patru timpi - sunt motoarele la care ciclul termodinamic se efectuează la două rotaţii ale motorului sau la patru curse ale pistonului.

11.1 Ciclul termodinamic al motorului cu ardere internă Ciclul termodinamic al motorului cu ardere internă este prezentat în diagrama PV (fig. 11.2) şi în diagrama Ts (fig. 11.3). Din analiza măsurătorilor efectuate în timpul testării motoarelor s-a concluzionat că o bună aproximare a ciclului termodinamic pentru motoarelor cu ardere internă se poate obţine considerând următoarele ipoteze: • în cilindrul motorului evoluează un gaz perfect ce nu îşi modifică compoziţia în timpul ciclului; • procesul de ardere este schematizat prin încălzirea izocoră şi izobară a gazului; • procesele de schimbare a gazelor sunt înlocuite de o răcire izocoră; Pe baza acestor ipoteze, configuraţia ciclului este următoarea: - 1-2 comprimarea adiabată; - 2-3 arderea izocoră, în care gazul primeşte căldura Q23; - 3-4 arderea izobară, în care gazul primeşte căldura Q34; - 4-5 destinderea adiabată; - 5-1 răcirea izocoră, fictivă, în care gazul cedează căldura Q51; - se neglijează lucrul mecanic consumat pentru schimbarea gazelor. Prin schimbarea gazelor se înţelege evacuarea gazelor arse şi admisia aerului sau a amestecului de aer şi benzină. Cele două procese sunt reprezentate de două izobare, cu valori pentru evacuare ~1,2 bar, iar pentru admisie ~0,8 bar. Aria cuprinsă între aceste izobare reprezintă lucrul mecanic necesar schimbării gazelor. Valoarea acestuia este mică în comparaţie cu aria ciclului, a cărui presiune maximă depăşeşte valoarea de 70 bar la motoarele otto şi valoarea de 100 bar la motoarele diesel supraalimentate. Pentru a face analiza termodinamică a ciclului, cu notaţiile din figura 11.2, se definesc următorii parametrii:

V1 raportul de compresie; V2 p o λ = 3 raportul de creştere a presiunii în arderea izocoră; p2 V o ρ = 4 raportul de destindere prealabilă; V3 o VS = V1 − V2 cilindreea unitară, care reprezintă volumul unui cilindru, exprimat în cm3. o

ε=

Termotehnică si maşini termice

317

Fig. 11.2 Ca date cunoscute se aleg parametrii de stare ai punctului 1, p1 şi T1, reprezentând presiunea şi temperatura aerului la intrarea în motor. Următorul pas îl reprezintă determinarea parametrilor de stare în punctele caracteristice ale ciclului. Pentru aceasta, se determină la început volumele în punctele 1 şi 2 folosind relaţiile de definiţie a raportului de compresie şi a cilindreei. Pentru a determina restul parametrilor, se procedează astfel: se porneşte din punctul 1 spre punctul 5; utilizându-se ecuaţiile transformărilor ce compun ciclul, se determină parametrii de stare. Rezultatele acestui calcul sunt prezentate sintetizat în tabelul T 11.1. Pe baza acestor rezultate se pot determina căldurile intrată şi ieşită din ciclu. Se notează cu m masa de aer care evoluează într-un ciclu:

Q23 = mcv (T3 − T2 ) =

p1V2 ε k (λ − 1) k −1 ε −1

Q34 = mc p (T4 − T3 ) = p1Vs

k εk λ ( ρ − 1) k −1 ε −1

(11.1)

(11.2)

Motoare cu ardere internă

318

Fig. 11.3

Tabelul T 11.1 Punctul / parametrul 1 2 3 4 5

p p1

V

V1 =

p1ε k

V2 =

p1λε k

V2 =

p1λε

k

p1λρ k

ε

ε −1

Vs

1 V ε −1 s

ρ

Vs

ε −1 ε V1 = V ε −1 s ε V1 = V ε −1 s

T T1

T1ε k −1 T1λε k −1 T1 ρλε k −1 T1λρ k

Termotehnică si maşini termice

319

Q51 = mcv (T5 − T1 ) =

p1Vs ε 1 − λρ k k −1 ε −1

(

)

(11.3)

Randamentul termodinamic al ciclului este:

η = 1−

Q51 λρ k − 1 = 1 − k −1 Q23 + Q34 ε [(λ − 1) + kλ ( ρ − 1)]

(11.4)

Ciclul în care arderea este schematizată prin două transformări - una izocoră şi cealaltă izobară - este caracteristic motoarelor diesel rapide. Prin particularizarea relaţiei (11.4) obţinem câteva relaţii importante, specifice anumitor categorii de motoare. Motoarele cu aprindere prin scânteie utilizează un combustibil volatil, cu viteză mare de ardere, astfel încât pentru aceste motoare arderea este schematizată numai printr-o transformare izocoră, în acest caz ρ = 1. Înlocuind această valoare în relaţia (11.4), obţinem expresia randamentului pentru motoarele otto:

η =1−

1

ε k −1

(11.5)

În figura 11.4 este prezentat ciclul termodinamic cu ardere la volum constant, specific motoarelor cu aprindere prin scânteie.

Fig. 11.4

Motoare cu ardere internă

320

Această relaţie simplă (11.5) este importantă, deoarece ne permite să analizăm dependenţa dintre randamentul termodinamic şi raportul de compresie, un parametru constructiv al motorului.

Variatia randamentului functie de raportul de compresie

Randamentul termodinamic

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Raportul de compresie

Fig. 11.5 În figura 11.5 este prezentată grafic variaţia randamentului termodinamic funcţie de raportul de compresie calculat cu formula (11.5). Se observă o creştere a randamentului odată cu raportul de compresie, dar la motoarele cu aprindere prin scânteie raportul de compresie este limitat tehnologic la valori mai mici sau cel multe egale cu 9..9,5 (maxim 10), pentru a împiedica autoaprinderea benzinei în timpul compresiei. Toate modelele cu injecţie de benzină în poarta supapei de admisie (sistemul de injecţie multipunct) trebuie să se supună acestei restricţii. Cercetări experimentale cu privire la posibilitatea creşterii raportului de compresie la motoarele otto, în vederea măririi randamentului şi a scăderii consumului, au condus la apariţia unui nou procedeu de formare a amestecului, injecţia directă de benzină în cilindru (GDI – Gasoline Direct Injection). S-a reuşit, astfel, mărirea raportului de compresie la motoarele otto, până la valoarea de 12, cu creşterea corespunzătoare a randamentului şi scăderea consumului. Motoarele diesel au rapoarte de compresie cuprinse între 18…24, ceea ce face ca randamentul acestora să fie mai mare decât randamentul motoarelor otto. Pentru utilizatori, un randament mai mare înseamnă un consum mai mic de combustibil. O altă particularizare utilă se obţine dacă în formula (11.4) particularizăm valoarea raportului de creştere a presiunii în timpul arderii, astfel λ = 1, rezultă:

η = 1−

ρk −1 ε k −1k (ρ − 1)

(11.6)

Termotehnică si maşini termice

321

Această expresie este valabilă în cazul motoarelor diesel lente, de puteri mari şi foarte mari (până la 48 MW), folosite în special la tracţiunea navală. Ciclul termodinamic al unui astfel de motor are particularitatea că arderea este schematizată printr-o transformare izobară şi se numeşte ardere la presiune constantă (fig. 11.6).

Fig. 11.6 Deoarece raportul de compresie al motoarelor diesel este mai mare decât al motoarelor otto şi datorită faptului că, la sarcini parţiale, pentru realizarea dozajului optim la motoarele otto se modifică cantitatea de aer ce intră în motor printr-o clapetă de laminare, pentru capacităţi cilindrice egale, motoarele diesel au consumuri cu ~30% mai mici decât motoarele otto, inclusiv la sarcini paţiale. Acest lucru face ca, pentru puteri echivalente, motoarele diesel să emită cantităţi mai mici de bioxid de carbon decât cele otto. Prevederile tratatului de la Kyoto, privind reducerea gazelor care provocă efectul de seră, determină statele să adopte politici de promovare a motoarelor diesel. Randamentul termodinamic este o componentă importantă a randamentului efectiv; valoric, ea are ponderea cea mai mare. Randamentul efectiv al motorului cu ardere internă se compune din următorii factori:

Motoare cu ardere internă

322

η - randamentul termodinamic; o ηi - randamentul indicat - evaluează ce fracţie reprezintă aria ciclului real faţă

o

de aria ciclului teoretic (fig. 11.2); are valori: 0,78…0,88 ; o ηm - randamentul mecanic - apreciază pierderile mecanice din motor; valori posibile: 0,75…0,85. Randamentul efectiv al motorului se defineşte astfel:

ηe = ηηiηm

(11.7)

Pe baza relaţiilor (11.1), (11.2) şi (11.3), se determină lucrul mecanic pe ciclu: Lc = Q23 + Q34 − Q51

Lc =

[

(11.8)

)]

p1Vs ε ε k (λ − 1) + kλε k −1 (ρ − 1) − λρ k − 1 k −1 ε −1

(

[J/ciclu]

(11.9)

Relaţia (11.9) permite determinarea puterii motorului, cu formula:

P = ηe

Lc n ⋅ i [kW] 30 ⋅ 10 3 τ

(11.10)

în care s-a notat cu n turaţia motorului în rotaţii/minut, i numărul de cilindrii, iar τ reprezintă numărul de timpi. 11.2 Supraalimentarea motoarelor Din formula (11.9) observăm că lucrul mecanic pe ciclu este direct proporţional cu presiunea aerului la intrarea în cilindru p1 şi cu cilindreea Vs, deci puterea motorului depinde direct de aceşti doi parametri. Creşterea puterii motoarelor se poate realiza pe două căi: ƒ mărirea cilindreei, care de regulă se materializează prin creşterea volumului cilindrilor sau prin creşterea numărului de cilindri (motoare policilindrice); ƒ mărirea presiunii aerului la intrarea în cilindru, creşterea valorii parametrului p1 din formula (11.9). Dacă presiunea aerului admis în cilindri este mai mare decât presiunea atmosferică, motorul se numeşte supraalimentat, iar procedeul poartă numele de supraalimentare; Pentru a se putea realiza supraalimentarea motoarelor este necesar ca aerul ce intră în motor să fie comprimat în prealabil lucru ce impune existenţa unui compresor. În figura 11.7 este prezentată cea mai utilizată schemă de supraalimentare a motoarelor. Conform acesteia, energia gazelor arse care părăsesc motorul este valorificată prin destinderea într-o turbină cu gaze, notată cu T. Puterea furnizată de aceasta este folosită pentru antrenarea unui compresor centrifugal, notat cu C. Cuplarea celor două maşini este posibilă deoarece ambele funcţionează la turaţii mari (80.000 … 100.000 rot/min) şi se realizează printr-un ax comun. Acest ansamblu turbinăcompresor poartă denumirea de grup turbocompresor, iar motoarele se numesc turbosupraalimentate sau - mai simplu - turbo.

Termotehnică si maşini termice

323

Deoarece supraalimentarea măreşte puterea motorului fără a mări numărul de cilindri, randamentul mecanic rămânând constant, aceste tipuri de motoare au o economicitate mai mare, consumul specific de combustibil pe unitatea de putere fiind mai redus decât în cazul motoarelor cu aspiraţie naturală.

Fig. 11.7 În figura 11.8 este prezentat comparativ ciclul motorului supraalimentat cu ciclul motorului cu aspiraţie naturală.

Fig. 11.8

Motoare cu ardere internă

324

Valorile parametrilor T1, ε, λ şi ρ pentru cele două cicluri sunt egale, singura diferenţă fiind valoarea presiunii p1, care pentru ciclul cu aspiraţie naturală este 0,8 bar, iar pentru ciclul supraalimentat este 1,45 bar. Se remarcă diferenţa ariilor celor două cicluri, care de fapt reprezintă lucrurile mecanice pe ciclu. În compresor procesul de comprimare este adiabatic, astfel că pe lângă creşterea presiunii se realizează şi creşterea temperaturii, lucru nedorit deoarece produce creşterea volumului specific al aerului, diminuând masa de aer ce poate intra în cilindru, lucru ce se traduce prin reducerea puterii. Pentru a combate acest fenomen se utilizează un răcitor intermediar notat cu R, care de regulă este un schimbător de căldură aer-aer plasat în faţa radiatorului pentru lichidul de răcire sau lateral faţă de acesta. Supraalimentarea motoarelor este un procedeu complex ce măreşte puterea motorului, dar care în anumite condiţii poate determina o creştere a parametrilor gazelor de ardere (presiune, temperatură) ce pot distruge motorul. Din această cauză, acest proces este strict controlat electronic de către unitatea de comandă a motorului.

Fig. 11.9 În figura 11.9 este prezentat modul de control al procesului de supraalimentare. Aerul care intră în motor trece prin debitmetrul cu fir cald 1, apoi intră în compresorul centrifugal 2 unde este comprimat, apoi introdus în motor. Pe galeria de admisie, pentru determinarea debitului masic se mai măsoară presiunea absolută - cu senzorul 8 - şi temperatura aerului admis - cu senzorul 9. Debitul maxim de gaze arse ce intră în turbina 3 este controlat de supapa 4. Aceasta limitează presiunea maximă de

Termotehnică si maşini termice

325

supraalimentare, prin scăderea debitului de gaze ce trece prin turbină. Când este deschisă, o parte dintre gazele arse trec direct în galeria de evacuare. Acţionarea supapei de scurcircuitare se face de către electrovalva 6, care este comandată de unitatea centrală de gestiune electronică a motorului. Pentru reducerea oxizilor de azot, la sarcini parţiale o parte din gazele arse sunt reintroduse în aspiraţia motorului. Recircularea gazelor arse este controlată de supapa 5, acţionată de electrovalva 7. Grupul turbocompresor funcţionează corespunzător începând de la un anumit debit de gaze de ardere. Acest lucru face ca, la sarcini parţiale mici, turbocompresorul să se comporte ca o rezistenţă suplimentară. Pentru a îmbunătăţi comportarea turbocompresorului, la toate regimurile s-au realizat turbocompresoare cu geometrie variabilă. Particularitatea constructivă a acestora constă în faptul că aparatul director ce dirijează gazele de ardere la intrarea în turbină este format dintr-un rând de palete mobile plasate pe stator, ale căror poziţii sunt comandate electronic funcţie de regimul motorului. Practic, la debite reduse de gaz se modifică direcţia vectorului viteză astfel ca puterea turbinei să fie suficientă pentru acţionarea eficientă a compresorului. Tot prin modificarea poziţiei paletelor aparatului director se obţine reducerea puterii turbinei în cazul sarcinilor mari.

11.3 Noţiuni despre comanda electronică a motoarelor Normele restrictive în privinţa poluării, pe care trebuie să le îndeplinească motoarele livrate pe piaţă, reducerea consumului de combustibil, mărirea performanţelor dinamice şi - nu în ultimul rând - asistarea comenzilor şi confortul conducătorului auto, au impus de mai bine de două decenii apariţia motoarelor cu comandă electronică. Apariţia acestui lucru a fost precedat de adoptarea unor legi specifice, la început în SUA, apoi şi în Europa. California este cunoscută în întreaga lume ca un stat deschizător de drumuri în ceea ce priveşte obiectivele menţinerii purităţii aerului. Pentru punerea în aplicare a acestor obiective a fost însărcinată „Autoritatea Californiană pentru Menţinerea Purităţii Aerului (California Air Resources Board = CARB). Această autoritate a decis punerea în aplicare, pe autovehicul, a procedeului de autodiagnosticare (On Board Diagnosis = OBD), astfel ca problema să fie atacată direct la sursă, adică direct pe motor. Regulamentele pentru acest lucru au fost stabilite prin intermediul primei definiţii, OBD I, şi a fost introdus în fabricaţie în anul 1988. Începând cu anul de fabricaţie 1994, pentru autovehiculele vândute în SUA este valabilă definiţia a doua, OBD II. Aplicarea pentru Europa se face de către organizaţia internaţională pentru norme ISO (International Organization for Standardization = ISO). Constructorii europeni de autovehicule au impus ca reglementare legislativă norma ISO 9141-CARB (redactată în 1991 sub forma DIN ISO 9141-2, reprezentând adaptarea normei americane OBD II). Această normă europeană este inclusă în definiţia OBD, astfel s-a reuşit unificarea comunicării cu aparatele de comandă ale motoarelor. Acestea trebuie să comunice - conform OBD II - atât în SAE, cât şi în ISO. Există, sub formă de proiect, norma europeană EOBD (On Board Diagnosis Europa), care va fi aplicată pe întreg teritoriul Europei (probabil din 2004).

326

Motoare cu ardere internă

În norma OBD I s-a stabilit controlul şi supravegherea tuturor sistemelor din autovehicul legate în mod relevant de gazele arse, prin partea electrică şi electronică. Controlul era limitat la recunoaşterea funcţiilor defecte. Un defect trebuie memorat în memoria pentru erori a aparatului de comandă. Funcţia defectă este semnalizată prin intermediul unei lămpi de control încorporată în tabloul de bord. În acest fel, se garantează o posibilitate simplă de control a respectării nomelor de poluare, prin poliţia rutieră. Orice defect ce afectează calitatea gazelor arse este semnalat la bord prin aprinderea lămpii de control, lucru ce este inspectat şi sancţionat de poliţia rutieră. OBD I a fost înlocuit de către OBD II începând cu anul de fabricaţie 1994. Termenul pentru aprobări de excepţie a expirat din data de 01.01.1996. OBD II este valabilă pentru autoturisme şi autoutilitare cu motoare pe benzină, iar începând cu anul de fabricaţie 1996 şi pentru autovehiculele pe motorină cu motoare diesel. Această normă reprezintă continuarea OBD I, dar înăspreşte exigenţele către „On Board Diagnosis” şi măreşte volumul mărimilor ce trebuiesc controlate. Completările cele mai importante ale OBD II sunt reprezentate de faptul că aceasta prevede controlul permanent pentru următoarele componente şi procese: ‰ ardere ‰ catalizator ‰ sonde lambda ‰ sistem de aer secundar ‰ sistemul de evaporare combustibil ‰ sistemul de recirculare gaze arse La ora actuală, motoarele cu ardere internă sunt cele mai utilizate sisteme pentru propulsia autovehiculelor rutiere. Numărul unităţilor produse este în continuă creştere. Constrângerile impuse constructorilor, referitoare la scăderea consumului de combustibil, creşterea puterii pe unitate de volum, fiabilitate şi - nu în ultimul rând respectarea unor legi tot mai restrictive privind poluarea, au impus o evoluţie spectaculoasă a acestora. Un salt important în evoluţia motoarelor s-a produs odată cu introducerea controlului şi conducerii electronice a acestora. Tendinţa actuală este de extindere a gestiunii electronice, pentru un control total asupra funcţionării motorului, precum şi extinderea acestuia asupra sistemelor de fânare, suspensie, direcţie, cutiei de viteze, sistemelor de siguranţă la impact, etc. Controlul electronic al motorului se realizează printr-un calculator de bord ce primeşte semnale de la senzorii montaţi pe motor sau acţionaţi de conducătorul auto (pedala de acceleraţie, frână, schimbător de viteză, etc.) şi care - funcţie de valorile primite - emite comenzi către anumite elemente de execuţie ce controlează funcţionarea motorului. Principalele elemente ce sunt comandate de către calculator sunt formarea unghiul de avans la producerea scânteii electrice sau la injecţia motorinei şi raportul aercombustibil. Modul specific de lucru al calculatorului este prezentat în schema din figura 11.10. Astfel, pentru avans, în memoria calculatorului sunt păstrate într-o matrice tridimensională valorile pentru unghiul de avans funcţie de sarcină şi turaţie. În timpul funcţionării motorului, pe baza valorilor venite de la senzori se determină din matrice valoarea unghiului de avans. Această mărime suferă două corecţii, o corecţie principală

Termotehnică si maşini termice

327

funcţie de temperatura lichidului de răcire şi corecţii secundare funcţie de acceleraţie, intensitatea detonaţiei, etc.

Fig. 11.10 În mod similar se procedează în cazul determinării debitului de combustibil. În memoria calculatorului sunt stocate valorile timpului de deschidere al injectoarelor funcţie de sarcină şi turaţie. Valorile citite sunt corectate în mai multe etape, principala corecţie se face funcţie de temperatura lichidului de răcire, apoi urmează corecţiile minore conform schemei din figura 11.10.

Motoare cu ardere internă

328

Fig. 11.11 O situaţie specială, în cazul motoarelor otto, o reprezintă reglarea raportului aercombustibil funcţie de sonda lambda. Aşa cum s-a prezentat în capitolul 5, sonda lambda permite determinarea prezenţei oxigenului în gazele de ardere. Pentru a reduce cantitatea de monoxid de carbon şi pentru a mări economicitatea motorului, sistemele electronice de comandă fac posibilă arderea în motoarele otto a amestecurilor sărace care au excesul de aer ~1, deci amestecuri stoichiometrice. Pentru a aprinde astfel de amestecuri s-a mărit durata scânteii electrice. O problemă deosebită o constituie menţinerea dozajului în vecinătatea zonei stoichiometrice. Sonda lambda are un răspuns în tensiune (fig. 11.11) foarte prompt în zona dozajului stoichiometric, din această cauză semnalul de la sonda lambda este folosit pentru corectarea debitului de benzină înjectat. Astfel, la mersul stabilizat al motorului unitatea centrală de comandă trece la un reglaj al debitului de combustibil, în buclă închisă, funcţie de semnalul provenit de la sonda lambda. În regimurile de repriză se renunţă la economicitate în favoarea performanţelor, reglajul funcţie de sonda lambda se face în buclă deschisă. 11.3.1 Sistemul de injecţie electronică monopunct Un sistem simplu de injecţie electronică de benzină îl reprezintă sistemul de injecţie monopunct, exemplificat în figura 11.12 prin sistemul Mono-Jetronic produs de firma Bosch. Combustibilul este introdus în sistem de către pompa de benzină 1 plasată în rezervor. Aceasta asigură o presiune, după filtru de benzină 2, de circa 2 bar. Presiunea benzinei este riguros controlată şi menţinută constantă de către regulatorul de presiune 3b. Benzina este introdusă în galeria de admisie o dată la fiecare rotaţie a motorului, prin injectorul 3c. Sarcina se determină prin citirea poziţiei clapei de acceleraţie, cu ajutorul traductorului potenţiometric 3a.

Termotehnică si maşini termice

329

Fig. 11.12 Clapeta de acceleraţie este comandată de utilizator, dar la anumite regimuri, în special la ralanti sau sarcini parţiale, poziţia clapetei de acceleraţie este corectată de unitatea centrală de comandă, prin acţionarea servomotorului 3e. Unitatea centrală de comandă 6 culege semnale pentru corecţia debitului de la senzorul de temperatură pentru aer 3d, senzorul de temperatură pentru lichidul de răcire 4 şi sonda lambda 5. 11.3.2 Sistemul de injecţie electronică multipunct Sistemul de injecţie multipunct este exemplificat în figura 11.13 prin sistemul Motronic M5, produs de firma Bosch. Acest sistem este un sistem de ultimă generaţie, performant, ce echipează numeroase vehicule, reprezentativ pentru sistemele multipunct de injecţie. Acest tip de sistem asigură o distribuţie uniformă a combustibilului, deoarece în galeria de admisie a fiecărui cilindru este plasat un injector de benzină (termenul consacrat: injectorul este plasat în poarta supapei). Particularitatea funcţională a acestui sistem este că injectoarele sunt acţionate de către unitatea electronică de comandă în paralel, deci ele injectează toate odată la fiecare rotaţie a motorului. Acest lucru face ca, pe durata unui ciclu termodinamic, la fiecare cilindru să se producă două injecţii: o injecţie are loc când supapa de admisie este închisă (corespunde perioadei de destindere a ciclului), iar a doua se produce când supapa de admisie este deschisă. Conform acestui procedeu, doza de benzină necesară fiecărui cilindru se injectează în două cantităţi egale, jumătate când supapa este închisă considerându-se că benzina rămâne în zona supapei de admisie până la deschiderea acesteia - şi jumătate în perioada admisiei.

Motoare cu ardere internă

330

Fig. 11.13 Semnificaţia poziţiilor din figura 11.13:

1 Filtru cărbune activ(FCA) 2 Dispozitiv măsurare masă de aer 3 Aparat de comandă 4 Port diagnosticare 5 Lampă diagnosticare (MIL, Malfunction Indicator Light ) 6 Ventil de închidere FCA 7 Potenţiometru clapetă de acceleraţie 8 Regulator ralanti 9 Ventil de regenerare FCA 10 Senzor temperatură aer 11 Senzor presiune galerie aspiraţie 12 Ventil recirculare gaze de eşapament

13 Senzor presiune 14 Rezervor combustibil 15 Injector 16 Regulator presiune 17 Senzor detonaţie 18 Indicator de turaţie 19 Senzor temperatură motor 20 Senzor faze 21 Catalizator cu două sonde lambda 22 Senzor de acceleraţie caroserie 23 Pompă aer secundar şi ventil aer secundar

Principiile de reglare a cantităţii de benzină funcţie de parametrii măsuraţi, corecţiile, reglajul lambda se fac aşa cum s-a arătat anterior. Sistemul Motronic M5 (fig. 11.13) este un sistem complex care, pe lângă reglarea debitului de carburant şi a avansului, are dispozitive suplimentare ce-i permit realizarea unor limite scăzute pentru noxe. Astfel, prin ventilul 12 sunt recirculate cantităţi limitate de gaze arse la regimuri parţiale pentru eliminarea oxizilor de azot. Prin pompa de aer secundar 23 este introdusă în galeria de evacuare, în faţa catalizatorului, o cantitate mică de aer, ce permite oxidarea monoxidului de carbon şi a hidrocarburilor nearse în zona catalizatorului.

Termotehnică si maşini termice

331

Vaporizarea combustibilului este controlată prin supapele 6, 9 şi filtrul de cărbune activ 1 . Unitatea centrală de comandă semnalizează la bordul vehiculului orice defecţiune apărută în sistem, prin lampa de semnalizare 5, iar prin portul de diagnoză 4 permite cuplarea unui calculator specializat pentru citirea memoriei cu erori şi / sau modificarea unor setări. O parte importantă a funcţiilor unităţii centrale de comandă o constituie autodiagnoza. Astfel, procesorul monitorizează în permanenţă semnalele venite de la senzori. În cazul defectării unui senzor, dacă valorile acestuia nu sunt esenţiale pentru siguranţa funcţionării motorului (ca spre exemplu senzorul de turaţie), se trece pe un regim de avarie, semnalul acestuia este înlocuit cu valori predefinite în memorie şi se semnalizează la bord prin lampa 5. Dacă defectul dispare, se revine la situaţia iniţială; dacă nu, se memorează acest defect în memoria cu erori, ce poate fi accesată prin portul 4. Dacă defectele afectează siguranţa funcţionării motorului, procesorul opreşte motorul şi nu permite pornirea acestuia decât după înlăturarea defectelor.

11.3.3 Sistemul electronic de injecţie directă de benzină GDI (Gasoline Direct Injection) În figura 11.14 este prezentat sistemul electronic de injecţie a benzinei direct în cilindrii motorului, fabricat şi comercializat de firma Bosch.

Fig. 11.14

Motoare cu ardere internă

332

Semnificaţia poziţiilor este următoarea: 1. debitmetru masic de aer cu fir cald; 2. filtru de cărbune activ; 3. supapă fitru de carbon activ; 4. pompă de înaltă presiune; 5. supapă control presiune; 6. rampă de benzină; 7. bobină de aprindere; 8. traductor pedală; 9. traductor clapetă; 10. supapă recirculare gaze; 11. senzor presiune absolută; 12. senzor înaltă presiune;

13. injector benzină 14. senzor detonaţie; 15. senzor temperatură motor; 16. senzor lambda; 17. senzor lambda; 18. catalizator NOx; 19. procesor; 20. priză diagnoză; 21. lampă diagnoză; 22. imobilizator vehicul; 23. senzor acceleraţie 24. pompă benzină; 25. senzor turaţie

Particularitatea acestui sistem constă în faptul că benzina este injectată la sfârşitul compresiei direct în cilindru motorului, apoi se produce scânteia electrică ce aprinde amestecul de aer şi benzină. Deoarece în timpul compresiei în cilindrul motorului este numai aer, s-a reuşit mărirea raportului de compresie până la valoarea 12, rezultând o creştere a randamentului termodinamic şi o scădere a consumului de combustibil. La acest tip de sistem injecţia se produce pentru fiecare cilindru, în ordinea de aprindere la sfârşitul compresiei; ea poartă numele de injecţie segvenţială. Pentru a funcţiona, sistemul are nevoie de o pompă de benzină de înaltă presiune 4, ce asigură în rampa comună de alimentare a injectoarelor o presiune de ~150 bar, care este controlată de supapa pentru înaltă presiune 5. Din punct de vedere a conducerii sistemului de către unitatea centrală de comandă, lucrurile sunt similare sistemelor prezentate anterior, monopunct şi mutipunct. Sistemul de injecţie directă a benzinei (GDI) a apărut la vehiculele comercializate pe piaţă din anul 1998. Datorită consumului redus de benzină realizat de motoarele dotate cu acest sistem, el este în continuă dezvoltare, tendinţa fiind de a înlocui sistemul de injecţie multipunct care, în prezent, s-a generalizat la motoarele otto.

11.3.4 Comanda electronică a motoarelor diesel Controlul electronic s-a dezvoltat şi pentru motoarele diesel. Aici se remarcă două tendinţe, controlul electronic al pompei de injecţie sau înlocuirea acesteia cu un sistem “common rail” (cu rampă comună de alimentare a injectoarelor, care sunt acţionate electromagnetic), asemănător celui folosit în cazul injecţiei directe de benzină. În figura 11.15 este prezentat un sistem prin care principalele funcţii ale pompei de injecţie de tip VP produsă de firma Bosch sunt controlate electronic de către unitatea centrală de comandă EDC 12. Astfel, dispozitivul electromagnetic 8 permite reglarea debitului de motorină prin comanda venită de la unitatea centrală de comandă, iar supapa electromagnetică 10 permite modificarea avansului funcţie de comanda primită.

Termotehnică si maşini termice

333

Valorile sarcinii sunt măsurate de traductorul pedalei 11, turaţia de traductorul 6, iar pe baza acestor valori se citeşte valoarea debitului de motorină din matricea corespunzătoare aflată în memoria procesorului.

Fig. 11.15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Dispozitiv măsurare masă de aer Senzor presiune de supraalimentare Reglare presiune pentru recirculare gaze de eşapament Injectoare cu senzor de mişcare a acului Senzor temperatură motor Senzor turaţie/punct mort superior Pompă injecţie de distribuţie Mecanism magnetic de reglare Ventil / supapă de oprire Supapă electromagnetică pentru reglare pulverizare Traductor pedală Aparat de comandă

Această valoare este corectată funcţie de debitul de aer (măsurat de debitmetrul 1) şi de temperatura motorului (măsurată de senzorul 5), iar în final este transmisă elementului de execuţie 8 ce controlează debitul. Deoarece la aceste tipuri de motoare arderea se desfăşoară cu exces de aer, cantităţile de monoxid de carbon din gazele de ardere sunt nesemnificative. Principalul component al noxelor pentru motoarele diesel este oxidul de azot. Acesta se combate la sarcini parţiale prin recircularea gazelor arse, controlată de procesor prin electrovalva 3.

Motoare cu ardere internă

334

Cel mai modern şi performant sistem de alimentare comandat electronic, pentru motoare diesel, este sistemul de tip common rail prezentat schematic în figura 11.16.

Fig. 11.16 1 Electrovalvă blocare motor 2 Senzor pedală acceleraţie 3 Baterie 4 Senzor turaţie şi poziţie arbore cotit 5 Modulul electronic de control 6 Senzor lichid de răcire 7 Electrovalvă recirculare gaze 8 Răcitor de combustibil 9 Filtru de conbustibil 10 Încălzitor de combustibil 11 Injector 12 Pompă de circulaţie electrică 13 Pompă de circulaţie mecanică 14 Releu pompă de alimentare 15 Supapă control presiune în rampă

16 Senzor presiune 17 Rampă combustibil 18 Rezervor 19 Senzor temperatură combustibil 20 Releu bujie incandescentă 21 Bujie incandescentă 22 Indicator bujie incandescentă 23 Pompă de înaltă presiune 24 Comutator pornire 25 Senzor temperatură 26 Lampă avarie 27 Senzor presiune absolută 28 Debitmetru 29 Supapă limitare presiune turbo 30 Senzor de viteză vehicul

Termotehnică si maşini termice

335

Acest sistem permite un control riguros al momentului începutului injecţiei în fiecare cilindru, precum şi al cantităţii de motorină injectate. Debitul de combustibil este controlat prin timpul de deschidere al injectorului şi prin valoarea presiunii din rampă. Condiţia necesară de funcţionare a sistemului este ca în rampă să existe motorină la o presiune ridicată (la sistemele actuale aceasta variază între 800 bar la ralanti, până la 1350 bar în sarcină). Unele sisteme au presiunea de sarcină până la 2000 bar. Presiunea combustibilului în rampă este asigurată de pompa de înaltă presiune 23, iar valoarea acesteia este controlată de supapa 15. Datorită presiunii ridicate realizate de pompă, necesară funcţionării sistemului, combustibilul se încălzeşte destul de mult, astfel încât motorina întoarsă în rezervor pe retur trebuie răcită prin radiatorul 8. Pentru a asigura o pornire uşoară la temperaturi scăzute şi a evita pericolul condensării parafinelor, în situaţii deosebite combustibilul este încălzit înainte de a se introduce în pompa de înaltă presiune. Unitatea centrală de comandă electronică 5 funcţionează în mod similar celor prezentate anterior, pentru celelalte tipuri de sisteme de injecţie, adică are memorate valorile de avans şi de debit funcţie de sarcină şi turaţie. Valorile citite sunt corectate înainte de a se trimite spre elementele de execuţie. În figura 11.17 este prezentat schematic un injector cu comandă electronică folosit în sistemele de injecţie de tip common raill. Elementul de acţionare îl constituie electromagnetul 1, ce controlează supapa bilă 10. Motorina pătrunde în corpul injectorului prin racordul 2, până în camera 5. Acul injectorului 7 este ţinut pe sediu datorită forţei de apăsare exercitată de resortul 8 şi prin forţa de apăsare exercitată de tija 9, sub presiunea din camera 5. Electromagnetul este acţionat de unitatea electronică de comandă prin conectorul 4, supapa bilă 10 se ridică de pe sediu, presiunea în camera 5 scade, iar presiunea ridicată din rampă ajunge în camera de acumulare 6 şi ridică acul 7 de pe sediu; astfel, motorina este pulverizată în cilindru prin orificiile de la baza pulverizatorului. Injecţia se termină în momentul când tensiunea scade în electromagnet şi supapa bilă se închide, presiunea din rampă pătrunde în camera 5, apasă tija 9, forţând acul injectorului să se aşeze pe sediu. Fig. 11.17 Sistemul de injecţie electronic de tip common rail asigură funcţionarea motoarelor diesel la parametrii ridicaţi, cu consumuri reduse de combustibil, şi reuşesc încadrarea noxelor emise în cele mai restrictive norme.

Motoare cu ardere internă

336 Exemplul E 11.1

Un motor diesel funcţionează la turaţia de 5000 rot/min, în patru timpi, după ciclul cu arderea mixtă, figura 11.2. Parametrii ciclului sunt: ε = 18, λ = 1,8 şi ρ = 1,6. Cilindreea este de 1400 cm3, motorul are 4 cilindri şi este supraalimentat, astfel că presiunea p1=1,8 bar. Se consideră că pe ciclu evoluează un gaz perfect cu masa moleculară 29 kg/kmol şi exponentul adiabatic 1,4. Să se determine: a) Randamentul efectiv cunoscând randamentul indicat 0,8 şi randamentul mecanic 0,75. b) Puterea efectivă. Soluţie a) Randamentul termodinamic se calculează cu formula (11.4):

η = 1−

λρ k − 1 1,8 ⋅ 1,6 1,4 − 1 = 1 − = 0 ,663 ε k −1 [(λ − 1) − kλ ( ρ − 1)] 18 1,4 −1 [(1,8 − 1) + 1,4 ⋅ 1,8(1,6 − 1)]

Randamentul efectiv se obţine aplicând formula (11.7)

ηe = ηηiηm = 0 ,663 ⋅ 0 ,8 ⋅ 0 ,75 = 0 ,3978 b) Pentru lucru mecanic pe ciclu se aplică formula (11.9), iar pentru putere formula (11.10):

Lc =

[

)]

p1Vs ε ε k (λ − 1) + kλε k −1 (ρ − 1) − λρ k − 1 k −1 ε −1

(

1400 18 4 Lc = 18 1,4 (1,8 − 1) + 1,4 ⋅ 1,8 ⋅ 18 1,4 (1,6 − 1) − 1,8 ⋅ 1,6 1,4 − 1 1,4 − 1 18 − 1 1,8

[

(

Lc = 812 [J/ciclu]

P = ηe

Lc n ⋅ i 812 ⋅ 5000 ⋅ 4 = 0 ,3978 = 53,8 [kW] 3 30 ⋅ 10 τ 30 ⋅ 10 3 4

)]

Termotehnică si maşini termice

337

12. Instalaţii frigorifice Răcirea unui corp sau a unui spaţiu presupune menţinerea temperaturii acestora sub temperatura mediului ambiant, prin evacuarea continuă a căldurii către mediul ambiant. Acest lucru se realizează în tehnică cu ajutorul instalaţiilor frigorifice, care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic inversat, adică transformările care compun ciclul sunt parcurse în sens invers acelor de ceas. Aceste cicluri inversate preiau căldură de la mediul care trebuie răcit şi o cedează mediului exterior; eficienţa lor este funcţie de căldura ce poate fi vehiculată. Pentru a putea transfera cât mai multă căldură pe unitatea de masă a agentului termodinamic, se folosesc agenţi termodinamici care îşi modifică starea de agregare în cursul ciclului. Pentru a explica acest lucru, vom folosi un exemplu: astfel, Freonul R134a, în cursul procesului de vaporizare la -20°C, preia 212,340 kJ/kg, temperatura rămânând constantă pe durata procesului; în timp ce un kilogram din aceeaşi substanţă, în stare monofazică preia pentru a se încălzi de la -20°C la +20°C 32,753 kJ/kg în fază de vapori şi 53,749 kJ/kg în fază lichidă. În general, în procesul de schimbare de fază orice substanţă preia mai multă căldură decât în situaţia când în procesul de transfer termic aceasta ar rămâne monofazică.

Fig. 12.1 Pentru ca agentul termodinamic să poată prelua căldură, el trebuie răcit în prealabil. Transformările în care agentul termodinamic suferă o răcire pot fi: transformarea adiabată şi procesul de laminare, care din punct de vedere termodinamic este o transformare de entalpie constantă, numită izentalpă. În figura 12.1, pentru freon R134a este prezentată o adiabată 1-2. S-a ales pentru analiză zona de schimbare de fază deoarece, fiind vorba de cicluri inversate, în această zonă are loc procesul de răcire al gazului. În cursul transformări adiabate 1-2 gazul se răceşte, dar pentru a se realiza practic această transformare, agentul termodinamic trebuie să se destindă cu producere de lucru mecanic. Din primul principiu pentru adiabată rezultă:

Instalaţii frigorifice

338

δq = 0 = dh − pdv ⇒ lt 12 = h1 − h2 = c p (T1 − T2 )

(12.1)

Cu alte cuvinte, răcirea gazului este determinată de lucrul mecanic tehnic efectuat de gaz într-o maşină, care se numeşte turbodetentor (dacă este vorba de un detentor cu piston acesta se numeşte detentor). Din punct de vedere fizic, în turbodetentor ar intra lichid saturat şi ar ieşi un amestec de lichid şi vapori, lucru inacceptabil din punct de vedere tehnic. Pentru buna funcţionare a turbodetentorului, ar trebui ca în el să evolueze un gaz, deoarece picăturile de lichid combinate cu turaţia ridicată de funcţionare produc distrugerea maşinii. Soluţia tehnică este utilizarea unui alt proces termodinamic pentru răcirea gazului şi anume laminarea izentalpă, procesul 1-3 în figura 12.1. Acesta se realizează prin trecerea agentului termodinamic printr-un ventil de laminare, de la presiunea p1 la presiunea p3. Acesta nu are piese în mişcare şi este uşor de realizat tehnic. 12.1 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu vapori, cu compresie mecanică Schema unei instalaţii frigorifice cu vapori, cu compresie mecanică, este prezentată în figura 12.2.

Fig. 12.2 Considerând transformările de stare ce au loc în instalaţie ca reversibile, agentul termodinamic freon 134a, ciclul termodinamic este reprezentat în figura 12.3. Agentul termodinamic este vehiculat în instalaţie de către compresor. El preia vaporii saturaţi proveniţi din evaporator şi îi comprimă adiabat până în stare 2. Comprimarea este necesară pentru a pregăti condiţiile pentru procesul de laminare.

Termotehnică si maşini termice

339

Vaporii cu parametrii termodinamici corespunzători stării 2 sunt trecuţi în condensator. Acesta este un schimbător de căldură care produce răcirea şi condensarea vaporilor. La presiunea stării 2, vaporii au o temperatură mai ridicată decât temperatura mediului ambiant. Acest lucru constituie o altă raţiune pentru care vaporii sunt comprimaţi. Pe izobara punctului 2 vaporii condensează la o temperatură mai ridicată decât temperatura mediului ambiant, deci se poate utiliza aerul la temperatura ambiantă pentru răcirea freonului în condensator.

Fig. 12.3 În condensator, vaporii de freon sunt condensaţi complet până când acesta se transformă în lichid saturat la temperatura ambiantă, starea 3. Urmează laminarea lichidului saturat prin ventilul de laminare. Datorită destinderii izentalpe, temperatura amestecului de lichid şi vapori rezultat în urma laminării - starea 4 - este scăzută. Acest amestec de lichid şi vapori la temperatură scăzută este trecut printr-un schimbător de căldură denumit vaporizator. Aici, amestecul de lichid şi vapori preia căldură de la incinta care trebuie răcită, până când se vaporizează complet. Puterea consumată de instalaţie este reprezentată de puterea necesară antrenării compresorului: P = m lt 12 = m( h1 − h2 ) •

•

(12.2)

Pentru că lucrul mecanic tehnic pentru antrenarea compresorului este negativ, în formula (12.2) s-a utilizat modulul. Puterea frigorifică şi eficienţa instalaţiei sunt: •

•

Q 41 = m(h1 − h4 )

(12.3)

Instalaţii frigorifice

340 •

Q h −h ε f = 41 = 1 4 P h1 − h2

(12.4)

Dacă aceeaşi instalaţie este folosită pentru încălzire, ca o pompă de căldură, puterea calorică şi eficienţa sunt: •

•

•

QT = Q 23 = m(h2 − h3 )

(12.5)

•

Q h −h εp = T = 2 3 P h1 − h2

(12.6)

12.2 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu gaze necondensabile După cum s-a arătat la începutul acestui paragraf, un agent termodinamic se poate răci prin laminare sau prin destindere adiabată într-un detentor în care efectuează lucru mecanic. În tehnică, se utilizează instalaţii frigorifice în care evoluează gaze la presiuni şi temperaturi ce nu permit condensarea acestora. În figura 12.4 este prezentată schema unei astfel de instalaţii, iar în figura 12.5 ciclul termodinamic.

Fig. 12.4

Termotehnică si maşini termice

341

Agentul termodinamic, în stare gazoasă, este antrenat în instalaţie de compresor. Pe baza puterii consumate Pc de acesta, gazul este comprimat adiabatic, procesul 1-2 din diagramă (fig.12.5). Urmează răcirea acestuia într-un schimbător de căldură. Căldura provenită din procesul adiabat de comprimare este evacuată către mediul exterior, deci temperatura minimă teoretică până la care poate fi răcit agentul termodinamic este T0 temperatura ambiantă. În turbodetentor, agentul termodinamic se destine adiabat - procesul 3-4 din diagramă - producând o putere ce poate fi utilizată şi care s-a notat cu Pu, răcindu-se până la temperatura T4 (care reprezintă temperatura minimă realizată de instalaţie). Agentul termodinamic rece este utilizat pentru a produce răcirea zonelor necesare. Se observă din diagrama Ts (fig. 12.5) că ciclul termodinamic care stă la baza acestor instalaţii este ciclul Brayton inversat. Puterea consumată de instalaţie este puterea necesară antrenării compresorului, din care putem scădea puterea rezultată în turbodetentor. •

[

(

P = Pc − Pu = m h1 − h2 − h3 − h4

)]

(12.7)

Dacă considerăm agentul termodinamic gaz perfect, formula (12.7) devine: •

P = m c p [(T2 − T1 ) − (T3 − T4 )]

(12.8)

Notăm cu ε raportul de compresie al compresorului, cu k exponentul adiabatic, cu T0 temperatura punctului T3, cu Tf temperatura punctului 1 şi cu ∆T = T3 - Tf. Formula (12.8) devine: •

P = m c pTo

ε

k −1 k

⎞ − 1 ⎛ T0 − ∆T ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ T0 ⎠ ε k −1 k

(12.9)

Eficienţa frigorifică a instalaţiei este:

εf =

Q41 T1 − T4 = P T1 − T2 − (T3 − T4 )

(12.10)

De multe ori, instalaţiile de tipul celei descrise mai sus sunt utilizate la răcirea aerului din cabine sau încăperi. Agentul termodinamic al instalaţiei este aerul, iar aceasta funcţionează după un ciclu Brayton inversat şi deschis. În figura 12.6 este prezentată schema unei instalaţii pentru răcirea cabinelor de avion. Aerul rece, după ce părăseşte turbodetentorul, este introdus direct în cabină sau condus către zonele ce trebuie răcite. Răcitorul de aer realizează scăderea temperaturii aerului de la temperatura T2>T0 la ieşirea din compresor până la temperatura T3=T0, în mod ideal. Practic, temperatura aerului la intrarea în turbodetentor este apropiată de temperatura ambiantă T0, dar un pic mai mare decât aceasta.

Instalaţii frigorifice

342

Fig. 12.5

Fig. 12.6

Termotehnică si maşini termice

343

Exemplul E 12.1 O instalaţie frigorifică, figura 12.2, funcţionează cu freon R-12. Temperatura freonului în vaporizator este -20°C, iar în condensator este 40°C. Considerând că prin instalaţie circulă un debit de 0,03 kg/s, să se calculeze eficienţa frigorifică şi puterea frigorifică a instalaţiei. Soluţie Se utilizează programul DiagrameTS pentru determinarea parametrilor freonului R-12. Temperaturii de condensare a freonului R-12 de 40°C, îi corespunde o presiune P2=9,6 bar. Considerăm că freonul iese din vaporizator în starea de vapori saturaţi la -20°C, deci p1=1,3 bar, h1=178,61 kJ/kg, s1=0,7082 kJ/kg; Pentru a determina punctul ce reprezintă starea freonului la ieşirea din compresor, căutăm un punct pe izobara p2 a cărei entropie să fie egală cu s1 deoarece procesul 1-2 este adiabat. Se găseşte la temperatura 48 °C punctul cu h2=209 kJ/kg şi s1=0,709 kJ/kg/K. Pentru entalpia punctului 4 avem în vedere că procesul 3-4 este izentalp, aşa că putem utiliza entalpia punctului 3, care reprezintă lichid saturat la presiunea p2. Aceasta are valoarea h3 = 74,92 kJ/kg. Eficienţa frigorifică:

εf =

h1 − h4 175 ,98 − 74 ,92 = = 2 ,998 h2 − h1 209 ,68 − 175 ,98

Puterea frigorifică este: •

•

Q = m(h1 − h4 ) = 0 ,03(175 ,98 − 74 ,92 ) = 3 ,03 [kW]

344

Instalaţii frigorifice

Termotehnică si maşini termice

345

Bibliografie

346

BIBLIOGRAFIE 1. Cernea, A.; Dobrinescu, D.; Făgărăşanu, I.; Covaci, A.: Termotehnica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969. 2. Bejan, A.: Entropy generation through heat and fluid flow, John Wiley & Sons Inc., New York, 1982. 3. Cristescu, T. Termodinamică, teorie şi aplicaţii, Editura Universităţii din Ploieşti, 2000. 4. Dobrinescu, D.: Procese de transfer termic şi utilaje specifice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 5. Frank P. Incropera, David P. DeWitt: Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Editura John Wiley & Sons, New York, 1990. 6. Feidt, M.: Thermodynamique et Optimisation Energetique de Systemes et Procedes, Technique et Documentation (Lavoisier), Paris, 1987. 7. Ionescu, M., Stoicescu, M., Albulescu, M.: Metode termice de recuperare a petrolului, Editura Elapis, Ploieşti, 2000. 8. Marinescu, M.; Băran, M. N.; Radcenco, V.: Termodinamică tehnică, MatrixRom, Bucureşti, 1998. 9. Neacşu, S. Comprimarea şi lichefierea gazelor, Editura Universităţii din Ploieşti, 2003. 10. Neacşu, S. Termodinamica sistemelor tehnice, Editura Universităţii din Ploieşti, 2003. 11. Neacşu, S.: Programul Z pentru determinarea factorului de abatere pentru gazele reale, Revista TERMOTEHNICA, Bucureşti, nr.1/2001. 12. Neacşu, S.: Programul RG1 pentru determinarea principalelor mărimi termodinamice ale gazelor reale, Revista TERMOTEHNICA, Bucureşti, nr.2/2001; 13. Neacşu, S.; Cristescu, T.: Consideraţii privind destinderea aburului în turbină, Conferinţa Naţională de Termotehnică Piteşti, vol. 1, Editura Universităţii Piteşti, mai 1998. 14. Neacşu, S.; Chiper, L.; Florea, T.: Monitorizarea în timp real a grupurilor termoenergetice cazan-turbină, Conferinţa Naţională de Termotehnică Piteşti, vol. 1, Editura Universităţii Piteşti, mai 1998. 15. Neacşu, S.; Chiper, L.; Florea, T.: Program expert pentru analiza proceselor termodinamice din centralele termoelectrice, Conferinţa Naţională de Energetică Industrială Bacău, vol. 2, Editura Plumb, Bacău, 1998. 16. Neacşu, S.; Chiper, L.; Florea, T.: Consideraţii privind mărirea preciziei de calcul pentru transformările care stau la baza aprecierii performanţelor cazanelor şi turbinelor cu abur, Conferinţa Naţională de Energetică Industrială Bacău, vol. 2, Editura Plumb, Bacău, 1998. 17. Neacşu, S.; Chiper, L.: Analiza entropică a ciclului Rankine cu reîncălzire intermediară a aburului, Conferinţa Naţională de Termotehnică Craiova, vol. 1, mai 1999. 18. Neacşu, S.; Ioan, V.: Analiza regimului nestaţionar al unui cuptor pentru încălzirea unui produs petrolier, Conferinţa Naţională de Termotehnică Sibiu, vol. 2, Editura Universităţii „Lucian Blaga”, Sibiu, mai 2000.

Termotehnică şi maşini termice

347

19. Neacşu, S.: Consideraţii privind posibilităţile de evaluare corectă a gradului maxim de umplere în cazul recipientelor ce conţin gaze lichefiate, Conferinţa Naţională de Termotehnică Galaţi, vol. 4, Editura Evrika, Brăila, mai 2001. 20. Neacşu, S.: Logiciel pour les gaz reel, Colloque Franco-Roumain, Bucureşti, 2002. 21. Neacşu S.: An Experimental and Analytical Study of Engine Fuel Spray Atomisation Quality, CONAT, Braşov, 1999. 22. Orovenu, T. Mecanica fluidelor vâscoase, Editura Academiei, 1967. 23. Pavel, A.; Nicoară, Al.: Cuptoare tubulare petrochimice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1995. 24. Pătărlăgeanu, M. Termotehnică, Editura universităţii din Ploieşti, 2000. 25. Popa, G.; Leca, A.: Tabele, nomograme şi formule termotehnice, vol. 1, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987. 26. Radcenco, V.: Termodinamica generalizată, Editura Tehnică, Bucureşti, 1994. 27. Radcenco, V.: O teorie termodinamică a interacţiunilor fizice, Editura Academiei, Bucureşti, 2002. 28. Raznjevic, K.: Tabele şi diagrame termodinamice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978. 29. Remi G, Wet Way Combustion, Editura Elsevier, Paris, 2002. 30. Vâlcu, R.; Dobrescu, A.: Termodinamica proceselor ireversibile, Editura Tehnică, Bucureşti, 1982. 31. Suciu, G.: Ingineria prelucrării hidrocarburilor, vol. 2, Editura Tehnică, Bucureşti, 1985. 32. Strătulă, C.: Vaporizarea şi condensarea. Principii de calcul, Editura Tehnică, Bucureşti, 1988. 33. Şomoghi, V.: Procese de transfer de căldură, Editura Universal Cartfil, Ploieşti, 1998. 34. Ştefănescu, D.: Bazele termotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. 35. Van Wylen, G.; Sonntag, R.; Borgnakke, C.: Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994. 36. Vidal, J.: Thermodynamique - Methodes appliquees au raffinage et au genie chimique, Edition Techniq, Paris, 1973. 37. *** Engineering Data Book, Compiled and edited in co-operation with the Gas Processors Association, Tulsa, Oklahoma, 1972. 38. *** Diagnosticare aparate de comandă prin portul/interfaţa CARB, BOSCH, 2002. 39. *** Engine Management and Fuel Injection Systems Manual, Automotive, Haynes Publishing, England, 2002.

ANEXA 1. CONSTANTELE EMPIRICE ALE ECUAŢIEI BENEDICT-WEBB-RUBIN Gazul Metan Etilena Etan Propilena Propan n-Butan n-Pentan n-Hexan n-Heptan Azot Oxigen Amoniac Dioxid de carbon

A0 1,855 3,33958 4,15556 6,1122 6,87225 10,0847 12,1794 14,4373 17,5206 1,1925 1,4988 3,78928 2,6734

B0 C0 1.0E-06 0,0426 0,002257 0,0556833 0,13114 0,0627724 0,179592 0,0850647 0,439182 0,097313 0,508256 0,124361 0,99283 0,156751 2,12121 0,177813 3,31935 0,199005 4,75474 0,0458 0,0058891 0,046524 0,0038617 0,0516461 0,178567 0,045628 0,11333

a 0,494 0,259 0,34516 0,774056 0,9477 1,88231 4,0748 7,11671 10,36475 0,0149 -0,040507 0,10354 0,051689

b 0,00338004 0,0086 0,011122 0,0187059 0,0225 0,0399983 0,066812 0,109131 0,151954 0,00198154 -0,00027963 0,000719561 0,0030819

c 1.0E-06 0,002545 0,02112 0,032767 0,102611 0,129 0,3164 0,82417 1,51276 2,47 0,000548064 -0,00020376 0,000157536 0,0070672

α 1.0Ε+03 0,124359 0,178 0,243389 0,455696 0,607175 1,10132 1,81 2,81086 4,35611 0,291545 0,008641 0,00465189 0,11271

γ 1.0Ε+02 0,6 0,923 1,18 1,829 2,2 3,4 4,75 6,66849 9 0,75 0,359 1,98 0,494

Unităţi de măsură utilizate pentru coeficienţii ecuaţiei: atmosfere, litri, moli, grade Kelvin. Date de referinţă:

R = 0,08206 T = 273,15 + t [°C]

Sursa: Van Wylen, G.; Sonntag, R.; Borgnakke, C.: Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994, pag. 50.

ANEXA 2

VALORILE COEFICIENŢILOR ECUAŢIEI LEE-KESLER Constanta b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1X10*4 d2X10*4 β γ

Fluide simple 0,1181193 0,265728 0,15479 0,030323 0,0236744 0,0186984 0 0,042724 0,155488 0,623689 0,65392 0,060167

Fluid de referinţă 0,2026579 0,331511 0,027655 0,203488 0,0313385 0,0503618 0,016901 0,041577 0,48736 0,0740336 1,226 0,03754

Sursa: Van Wylen, G.; Sonntag, R.; Borgnakke, C.: Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994, pag. 50.

ANEXA 3 Entalpia de formare, funcţia lui Gibbs de formare şi entropia absolută pentru diferite substanţe la 25°C şi 0,1MPa. Substanţa

Formula

M kg/kmol

Stare gaz

-241 826

-228 582

188,834

hf

gf

sf

kJ/kmol

kJ/kmol

kJ/kmol

Apă

H 2O

18,015

Apă

H 2O

18,015

lichid

-285 830

-237 141

69,950

Apă oxigenată

H 2 O2 O3 C CO CO2 CH 4

34,015

gaz

-136 106

-105 445

232,991

47,998

gaz

+142 674

+163 184

238,932

12,011 28,011 44,010

solid gaz gaz

0 -110 527 -393 522

0 -137 163 -394 389

5,740 197,653 213,795

16,043

gaz

-74 873

-50 768

186,251

26,038

gaz

+226 731

+209 200

200,958

Etenă

C2 H 2 C2 H 4

28,054

gaz

+52 467

+68 421

219,330

Etan

C2 H 6

30,070

gaz

-84 740

-32 885

229,597

Propenă

C3 H 6

42,081

gaz

+20 430

+62 825

267,066

Propan

C3 H 8

44,094

gaz

-103 900

-23 393

269,917

Butan

C4 H 10

58,124

gaz

-126 200

-15 970

306,647

Pentan

C5 H 12

72,151

gaz

-146 500

-8 208

348,945

Benzen

C6 H 6

78,114

gaz

+82 980

+129 765

269,562

Hexan

C6 H 14

86,178

gaz

-167 300

+28

387.979

Heptane

C7 H 14

100,205

gaz

-187 900

+8 227

427,805

n - Octan

C8 H 18

114,232

gaz

-208 600

+16 660

466,514

n - Octan

C8 H 18

114,232

lichid

-250 105

+6 741

360,575

Metanol

CH 3 OH

32,042

gaz

-201 300

-162 551

239,709

Etanol

C 2 H 5 OH

46,069

gaz

-235 000

-168 319

282,444

Amoniac

NH 3

17,031

gaz

-45 720

-16 128

192,572

Motorină diesel

C14 ,4 H 24 ,9 S SO2 SO3

198,06

lichid

-174 000

+178 919

525,900

32,06 64,059

solid gaz

0 -298 842

0 -300 125

32,056 248,212

80

gaz

-395 765

-317 016

256,769

N 2O CH 3 NO2

44,013

gaz

+82 050

+104 179

219,957

61,04

lichid

-113 100

-14 439

171,800

Ozon Carbon Monoxid de carbon Dioxid de carbon Metan Acetilenă

Sulf Bioxid de sulf Trioxid de sulf Oxid de azot Nitrometan

ANEXA 4 Căldurile izobare, molare ale câtorva gaze. C p → kJ / kmol / K ; θ = Gazul

Formula

N2

T 100

C p = 39 ,060 − 512 ,79 ⋅θ −1,5 + 1072 ,7 ⋅θ −2 − 820 ,40 ⋅θ −3

Domeniul K 300 – 3500

Eroarea maximă % 0,43

O2

C p = 37 ,432 + 0 ,020102 ⋅θ 1,5 − 178 ,57 ⋅θ −1,5 + 236 ,88 ⋅θ −2

300 – 3500

0,30

H2

C p = 56 ,505 − 702 ,74 ⋅θ −0 ,75 + 1165 ,0 ⋅θ −1 − 560 ,7 ⋅θ −1,5

300 – 3500

0,60

CO

C p = 69 ,145 − 0 ,70463 ⋅θ 0 ,75 − 200 ,77 ⋅θ −0 ,5 + 176 ,76 ⋅θ −0 ,75

300 – 3500

0,42

OH

C p = 81,546 − 59 ,350 ⋅θ 0 ,25 + 17 ,329 ⋅θ 0 ,75 − 4 ,266 ⋅θ

300 – 3500

0,43

NO

C p = 59 ,283 − 1,7096 ⋅θ 0 ,5 − 70 ,613 ⋅θ −0 ,5 + 74 ,889 ⋅θ −1,5

300 – 3500

0,34

H 2O

C p = 143 ,05 − 183 ,54 ⋅θ 0 ,25 + 82 ,751 ⋅θ 0 ,5 − 3 ,6989 ⋅θ

300 – 3500

0,43

CO2

C p = −3 ,7357 + 30 ,529 ⋅θ 0 ,5 − 4 ,1034 ⋅θ + 0 ,024198 ⋅θ 2

300 – 3500

0,19

NO2

C p = 46 ,045 + 216 ,1 ⋅θ −0 ,5 − 363 ,66 ⋅θ −0 ,75 + 232 ,55 ⋅θ 2

300 – 3500

0,26

CH 4

C p = −672 ,87 + 439 ,74 ⋅θ 0 ,25 − 24 ,875 ⋅θ 0 ,75 + 323 ,88 ⋅θ −0 ,5

300 – 2000

0,15

C2 H 4

C p = −95 ,395 + 123 ,15 ⋅ θ 0 ,5 − 35 ,641 ⋅ θ 0 ,75 + 182 ,77 ⋅ θ −3

300 – 2000

0,07

C2 H 6

C p = 6 ,895 + 17 ,26 ⋅θ − 0 ,6402 ⋅θ 2 + 0 ,00728 ⋅θ 3

300 - 1500

0,83

C3 H 8

C p = −4 ,042 + 30 ,46 ⋅θ − 1,571 ⋅θ 2 + 0 ,03171 ⋅θ 3

300 - 1500

0,40

C 4 H 10

C p = 3 ,954 + 37 ,12 ⋅θ − 1,833 ⋅θ 2 + 0 ,03498 ⋅θ 3

300 - 1500

0,54

ANEXA 5