Tercer Examen Parcial Área Matemática Fecha08.12.2008

FACULTADDEINGENIERÍA

UNIVERSIDAD

MAYOR

DE

SAN

ANDRÉS

FACULTAD DE INGENIERÍA

 F

CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2008

I

UMSA

TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMÁTICA FECHA:08.12.2008 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO SE PERMITE CALCULADORAS ************************* ************************************** **************************** ***************************** *************************** *************************** ******************** ******

En las siguientes preguntas encierra en un recuadro la opci ón correcta: 1.- (5 puntos) Un triangulo acut ángulo, tiene sus ángulos internos: a) iguales a 90º

b) menores a 90º

c) mayores a 90º

d) diferentes a 90º

2.- (5 puntos) El teorema de Heron nos permite calcular el área: a) So S ombreada

b) de un rect ángulo

c) de un triángulo

d) ni ninguno.

3.- (5 puntos) La ecuaci ón de la recta que corta a los ejes coordenados en x = 1 y y=2 es: a) 2 x −  y

−2= 0

b)  x + 2 y + 2 = 0

c) 2 x + 2 y − 1 = 0

d) 2 x +  y

−2=0

e) Ninguna

4.- (5 puntos) La pendiente de una recta vertical es: a) Positiva

b) Negativa

c) Cero

d) Es variable

e) Ninguna de las anteriores

Desarrolle completamente los siguientes problemas 5.- (10 puntos) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es un rect ángulo de base “a” y altura “b”. Hallar el volumen del cilindro.

6.- (10 puntos) Hallar la ecuaci ón de la recta R que pasa por el punto (4,3) y que sea perpendicular a la recta R1: 3x + 7y-8=0.

7.- (20 puntos) En la figura, hallar el valor del ángulo α. Si se conoce que OB OB = DC, y el ángulo BCO es 25º. El radio de la semi circunferencia es 15 unidades. B

D

α

O

C

8.- (20 puntos) Hallar el área sombreada de la figura, sabiendo que el radio de la circunferencia es igual a “R”.

9.- (20 puntos) Hallar la ecuaci ón de la recta que pasa por la intersecci ón de las rectas:  L1 : 2 x − 5 y + 5 = 0 ∧  L 2 : 5 x − 2 y − 19 = 0  y que sea perpendicular a la recta:  L3 :  x − 2 y + 4 = 0

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SOLUCIONARIO

1.2.3.4.-

Menores a 90 º. Respuesta b) El área de un tri ángulo. Respuesta c) Respuesta inciso d) 2x+y-2=0 Es infinita- Respuesta e) Ninguna

5.-

Soluc!":

a

b

b

La Fórmula del Volumen del Cilindro es: V = π r2 h (1) donde: h = b Por las condiciones del problema, la longitud de la circunferencia:

Remplazando en (1) y operando: 6.- La

pendiente de R 1 es:

V  =

L=2

π

 r = a

⇒ r  =  =

a

2π  

a 2b

4π  

m1 = - 3/7

Por ser las rectas perpendiculares: m * m1 = -1  − 3   7   − m   = -1 → m = 3   7  

Aplicando la Ecuaci ón de la Recta Punto Pendiente: y - y1 = m (x - x1) 7 y–3 =   (x-4) 3 3y – 9 = 7x - 28 →

7x – 3y – 19 = 0

la figura, hallar el valor del ángulo α. Si se conoce conoce que OB = DC, DC, el ángulo BCO BCO es 25º 25º y el radio radio de la semi circunferencia es 15

7.- En

De acuerdo a los datos tenemos en el gr áfico:

B

θ

15

D

θ

δ α

O

25º 15

β

15 25º C

En el triángulo ODC: β + 2*25º = 180º Por otra parte: θ + β = 180º

→ →

β = 130º θ = 50º

En el triángulo ngulo OBD: OBD: δ+ 2θ = 180º → δ = 80º En la semicircunferencia: α + δ + 25º =180º →

α = 75º

8.-

Completando con rectas, tal como se muestra en la figura, se obtiene un total de 12 tri ángulos equil áteros cuya altura es igual a la mitad del radio de la circunferencia. Entonces el lado de cada triangulo equil átero será: 2

 L  L

Luego su área será igual a:

2

 R     L   =      +     2    2  

2

=

 R

3

1    R

    R    R 2  A =   *   = 2   3      2   4 3

Finalmente el área sombreada ser á la diferencia del área de la circunferencia y la de los 12 tri ángulos equiláteros:  As =  AC  − 12 A  AS 

= π   R −

 AS 

= (π   −

2

12 R 2 4 3

)

3  R

2

9.- Solución:

 L1 : 2 x − 5 y

= −5   P( x0 , yo )  L 2 : 5 x − 2 y = 19 Resolvemos las ecuaciones de las rectas  L1 ∧  L 2 − 10 x + 25 y = 25 + 10 y − 4 y = 38  21 y = 63 63  y

=

21

Reemplazamos  y en ecuaci ón de la recta  L1 :  x

=

19 + 2 y 5

⇒x=

19 +

63 * 2 21 5  x 

=

5

=

399 + 126 5

=

525 105

=5

De  L3 : m3

=

m

=

−  A  B

=

−1 1 = −2 2

Entonces la pendiente de la recta pedida es:

−1 −1 = = −2

m3

1

2 Utilizamos la ecuaci ón punto pendiente y reemplazamos los valores de  y , x ∧ m  y −  y0 = m( x − x0 )  y −  y −  y −

63 21 63

= −2( x − 5) − 10 + 2 x = 0

21 273

+ 2 x = 0 21  y − 13 + 2 x = 0 Ordenando la ecuaci ón: 2 x  + y

=13