Teorija

KOMPJUTERSKI PODRŽANO INŽENJERSTVO 1.Uvod Softverska tehnologija za trodimenzionalnu analizu koristi se preko dvadeset godina i nudi značajna dostignuća za dobijanje rezultata koji mogu da smanje troškove razvoja i poboljšaju kvalitet proizvoda. Potreba da se što brže reaguje na zahtev tržišta predstavlja jedan od izazova sa kojima se kompanije danas suočavaju u svim industrijskim granama. Projektovanje proizvoda predstavlja kritičnu aktivnost proizvodnog procesa jer se procenjuje da je njen udeo 70-80% od cene razvoja i proizvodnje. Postoje dva pristupa u dizajnu a to su: relativni i apsolutni dizajn. Oba pristupa dizajna se zasnivaju na korišćenju Strukturne analize. U okviru CAE (Computer Aided Engineering) vrši se strukturna analiza modela. Strukturna analiza je postupak kojim se, pri modelovanju neke strukture, dolazi do fizičkih podataka poput: pomeranja, napona, oscilovanja, termičkog ponašanja... Godinama korišćeni sistemi od strane analitičara za prilagođavanje dizajna su do te mere specijalizovani da samo najiskusniji stručnjaci su mogli da ih koriste. Dizajni su bili kreirani na jednom sistemu, a analizirani na drugom. Ali kreiranje i analiziranje dizajna na različitim sistemima zahteva snalažljivost u premeštanju podataka sa jednog sistema na drugi, a premeštanja znače prekidanje i gubljenje podataka. Savremeni softveri nudei kompletno završno modeliranje elementa i analizu rešenja, u okviru istog okruženja. Strukturna analiza kod savremenih softvera predstavlja prirodan nastavak Aided Desing-a, koji omogućava brz dizajn/analizu za bilo koji tip proizvoda na ranom stadijumu procesa proizvodnje. PDM je proces koji integriše CAD, CAM, CAE faze uz uključivanje aktivnosti vezanih za određivanje kvaliteta, pakovanje, isporuke i marketinga. PDM obezbeđuje procese elektronskog prenosa dokumenata kroz sve faze proizvodnje(CAD-CAM-CAE faze, potom faze provere kvaliteta, pakovanja, distribucije, marketinga)

Sprega CAD-CAM-CAE Tehnologija CAD (Computer Aided Desing)je računarski podržana tehnologija koja služi za kreiranje, modifikaciju, analizu i optimizaciju oblika proizvoda tj. Njegovog dizajna. Cilj CAD aktivnosti je formiranje konceptualnog modela proizvoda. CAE (Computer Aided Engineering) je računarski podržana tehnologija koja omogućava: · · ·

Poboljšanjeu performanse i kvaliteta proizvoda, Smanjuje troškova izrade Eleminisanje potrebe za fizičkim prototipovima

· Maksimalno smanjuje greške u dizajnu. CAE(Computer Aided Engineering) obuhvata korišćenje računarskih alata za : · ·

Strukturnu analizu CAD dizajniranog modela, Simulaciju kretanja pokretnih delova u CAD modelu,

·

Redizajniranje i optimizaciju CAD modela ili već postojećeg proizvoda.

Strukturna analiza pruža mogućnost da se još u ranoj fazi projektovanja dobiju pouzdane informacije o valjanosti pretpostavljenih dimenzija, izboru materijala kao i ispravnosti predviđenih konstruktivnih rešenja. Strukturna analiza omogućava optimizaciju čitave konstrukcije u odnosu na date zahteve i propisane uslove. Većina softverskih paketa koji imaju mogućnost strukturne analize zasnivaju se na metodi konačnih elemenata. Modeliranje konačnim elementima i analiza je jedna od najpopularnijih inženjerskih aplikacija koji se nude u postojećim CAD-CAM sistemima. Može se reći da je Metoda konačnih elemenata je najpopularnija numerička tehnika za rešavanje inženjerskih rešenja. Strukturna analiza se koristi za: · statičku analizu, dinamičku analizu, analizu izvijanja konstruktivnih delova, analizu vibracija, akustičnu analizu, analizu udara, analizu u mehanici loma, · ·

analizu protoka, toplotnu analizu,

·

električnu analizu, elektromagnetnu analizu.....

Strukturna analiza se koristi u svim granama industrije a posebno je značajna u vojnoj i civilnoj vazduhoplovnoj industriji, automobilskoj industriji. Za sprovođenje strukturne analize u automobilskoj i vazduhoplovnoj industriji najčešće se koriste sledeći softveri: CATIA, Nastran, Patran, Ansys, LS Dayna 3D. CAM(Computer Aided Manufacturing) je računarski podržana tehnologija koja služi za planiranje, upravljanje i kontrolu proizvodnih operacija.

1.2 Proces modeliranja proizvoda -Proces modeliranja proizvoda se sastoji iz: CAD, CAM i CAE faza. -Aktivnosti uključene u proces modeliranja se mogu podeliti u dve grupe: sintezu i analizu.

-Cilj sinteze je formiranje konceptualnog modela proizvoda. Konceptualni model proizvoda podrazumeva nacrt kompletnog proizvoda kao i svih njegovih komponenti. -Analiza modela se sprovodi da bi se proverile funkcionalne karakteristike proizvoda. U procesu dizajna postoje dva pristupa, saglasno tome razlikuju se dve vrste dizajn: 1) Relativni dizajn je u inudstriji bazični dizajn gde osnovni elementi u proizvodu ostaju neproemnjeni godinama. Bazični dizajn komponenti podrazumeva neznatne promene poput skaliranja osnovnog dizajna u odgovarajućoj proporciji. Pretpostavimo da je CAE analiza prethodne verzije proizvoda zadovoljila zahteve u preformansama. Ako CAE analiza novog proizvoda pokazuje opterećenja manja nego u prethodnoj verziji proizvoda tada se može reći da nova verzija proizvoda zadovoljava performanse i zahteve sigurnosti.

2) Apsolutni dizajn: Ovaj pristup je uobičajen kada proizvod/komponente se dizajniraju za prvo vreme i podrazumeva prvi dizajn proizvoda tj., takav proizvod ranije nije postojao. Inženjerski pristup u ovoj fazi dizajniranja je zasnovan na pojedinim pretpostavkama u pogledu graničnih uslova kao i oblika opterećenja. CAE rezultati ovakvog dizajna moraju biti verifikovani pomoću FE (Finite Element) modela i mogu biti korigovani u okviru strukturne analize.

2. Simulacija kretanja mehanizama 2.1 Osnovni fizički pojmovi kretanja Pre nego što se pređe na simulaciju konkretnih primera kretanja neophodno je zbog opštosti izvršiti kratku rekapitulaciju same fizike najjednostavnijih oblika kretanja, sobzirom da pogonski delovi mehanizama vrše jednostavne oblike kretanja i da je za simulaciju samog kretanja neophodno zadati zakon kretanja pogonskog dela u funkciji od vremena. Telo se kreće ako menja položaj prema nekom drugom telu. Da bi smo tu promenu položaja izmerili, za okolinu se vezuje određeni referentni sistem pa kažemo: telo se kreće ako menja položaj prema tom referentnom sistemu. Referentni sistem se vezuje za referetno telo, a to je telo u odnosu na koje se posmatra kretanje. Ako je referetno telo nepokretno tada je kretanje posmatranog tela, u odnosu na njega, apsolutno. Ukoliko je referetno telo pokretno tada je kretanje posmatranog tela relativno u odnosu na referetno telo. Ponekad se pri proučavanju kretanja mogu zanemariti dimenzije tela i tako čitavo telo možemo predstaviti jednom tačkom mase m, to je tzv., materijalna tačka. Naravno nije uvek moguće činiti takvu aproksimaciju; npr. pri rotaciji oko sopstvene ose moramo uzeti u obzir dimenzije tela ma kako one bile male. U takvim problemima telo zamišljamo kao skup materijalnih tačaka čiji međusobni razmaci ostaju uvijek stalni, tj. uvodimo aproksimaciju krutog tela. Kruto telo se dakle ne deformiše kada na njega deluju sile. Položaj materijalne tačke najčešće određujemo pomoću njenih koordinata u pravuglom koordinatnom sistemu. Tako na slici 2.1 položaj materijalne tačke određen je sa tri broja tj. udaljenostima x, y i z od koordinatnih ravni.

Slika 2.1

r Umesto sa koordinatama x, y i z položaj materijalne tačke možemo odrediti i radijus vektorom r koji spaja početak koordinatnog sistema sa materijalnom tačkom. r Vektor r zove se vektor položaja materijalne tačke. Ako se materijalna tačka kreće, njene koordinate se menjaju u vremenu, tako da ona u prostoru opisuje neku putanju tj., trajektoriju, čija je jednačina: r r r r r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k Putanja (trajektorija) je dakle skup svih tačaka kroz koje prolazi materijalna tačka koja se kreće, to r je geometrijsko mjesto vrhova vektora r (t ) .

Deo putanje koju materijalna tačka pređe za određeno vreme zove se pređeni put s. Put s je jednak delu luka putanje AB . r ur ur Vektor , D r = r2 - r1 koji spaja tačku A i B, zove se vektor pomeraja materijalne tačke, ujedno je promena vektora položaja. Pomeraj je dakle promena vektora položaja. r Pomeraj D r je vektor, pređeni put Ds je skalar. Očigledno r Ds ³ D r , jedino ako se tačka kreće po pravcu stalno u istom smeru, pređeni put jednak je iznosu vektora pomeraja. Brzina materijalne tačke r Količnik promene vektora položaja D r i intervala vremena Dt u kojem je ta promena nastala, zove se vektor srednje brzine: r r Dr v sr = . Dt r r Srednja brzina v sr je, dakle, vektor paralelan sa promenom vektora položaja D r . Da bi smo odredili trenutnu brzinu u momentu t kada se materijalna tačka nalazi u položaju A, pustimo da vremenski interval Δt teži nuli, što se matematički može izraziti u obliku: r r r Dr d r r v = lim = = r& Dt ® 0 Dt dt r Trenutna brzina v jednaka je prvom izvodu vektora po vremenu. Prema tome, vektor trenutne r brzine v ima pravac tangente u datoj tački putanje usmeren u smeru kretanja tačke. U Dekartovom pravouglom sistemu brzina kao vektor ima tri komponente duž osa: x, y i z. r r d r dx r dy r dz r v= = i+ j+ k dt dt dt dt S druge strane, vektor brzine može se kao i svaki vektor rastaviti na komponente duž koordinatnih osa: r r r r v = vx i + v y j + vz k Poređenjem ova dva izraza dobijamo: dx dy dz vx = = x&; v y = = y& ; v z = = z& . dt dt dt Ubrzanje materijalne tačke Pri proizvoljnom kretanju tačke po putanji njen vektor brzine se menja. Posmatrajmo r kretanje tačke A po krivolinijskoj putanji Slika 2.2. Vektor promene brzine Dv koji se desio u intervalu vremena Dt jednak je razlici vektora brzina u posmatranim trenucima t i t + Dt tj.: ur ur ur Dv = v1 - v

Slika 2.2 ur Odnos vektora promene brzine Dv i vremenskog intervala Dt u kome je ta promena nastala zove se vektor srednjeg ubrzanja tačke A: ur uur Dv asr = Dt uur S obzirom da je Δt skalarna veličina i veća od nule, vektor asr ima isti pravac i smer kao i vektor ur Dv . Granična vrednost ovog izraza zove se vektor trenutnog ubrzanja tačke A u trenutku vremena, tj.: ur ur uur uur dv Dv a = lim asr = lim = t ®0 t ®0 Dt dt r r dr Pošto je vektor brzine v = , stavljanjem ove vrednosti u gornju relaciju dobijamo: dt r r d2r a= 2 . dt U Dekartovom koordinatnom sistemu ubrzanje kao vektor ima tri komponente duž osa x, y i z: r d 2x r d 2 y r d 2z r a= 2 i+ 2 j+ 2 k. dt dt dt S druge strane, vektor ubrzanja kao svaki vektor može se predstaviti kao: r r r r a = ax i + a y j + az k Upoređivanjem koeficijenata ispred istih jediničnih vektora dobijamo komponente ubrzanja: d2x d2y d2z ax = 2 = && x; a y = 2 = && y; az = 2 = && z dt dt dt Intenzitet vektora ubrzanja je: a = ax2 + a y2 + az2

Slika 2.3 Vektor trenutnog ubrzanja se u opštem slučaju ne poklapa sa vektorom trenutne brzine Ubrzanje je vektor koji ima isti pravac kao trenutna promena brzine. Vektor ubrzanja u opštem slučaju kretanja nije ni tangenta niti normala na putanju, slika. 2.3.

Ubrzanje možemo rastaviti na dve međusobno normalne komponente: na tangencijalno ubrzanje u pravcu tangente at i normalno u pravcu normale an , tada je: uur uur uur a = at + an

Vektor ukupnog ubrzanja je po definiciji: uur ur r r D vn Dvt Dv a = lim = lim + lim t ® 0 Dt t ®0 Dt t ® 0 Dt Uzimajući u obzir da za Dt ® 0 , Dq ® Dq ¢ , R ® R¢ , dobijamo Dvn = vDq i Dq = komponente ubrzanja:

Ds .Tada su R

ur r uur D vt d v ur at = lim t0 = t ® 0 Dt dt uur uur Dvn Ds uur v 2 uur v an = lim = lim n0 = n0 t ®0 R t ® 0 Dt R Dt ur uur gde su: t0 jedinični vektor tangente na putanju i n0 jedinični vektor normale.

Slika 2.4. Komponente ubrzanja Ukupno ubrzanje 2

æ v 2 ö æ dv ö a = ç ÷ +ç ÷ . è R ø è dt ø Tangencijalnom komponentom ubrzanja definiše se promena intenziteta brzine, dok se normalnom komponentom ubrzanja definiše promena pravca vektora brzine. 2

Vrste kretanja Pojmovi: vektor položaja, brzina i ubrzanje kao i njihovi odnosi omogućavaju potpuno određivanje kretanja materijalne tačke bez poznavanja uzroka toga kretanja. Kretanja materijalne tačke dele se: · Prema obliku putanje na pravolinijska i krivolinijska kretanja · Prema brzini kretanja na jednoliko i promjenljivo kretanje · Prema ubrzanju na jednako ubrzana (odnosno usporena) i nejednako ubrzana (usporena ) kretanja. Osnovni oblici kretanja nedeformabilnog – krutog tela su: translatorno, obrtanje oko nepomične ose, ravansko, sferno kao i složeno kretanje. -Translatorno kretanje krutog tela- je kretanje pri kome vektor koji spaja dve proizvoljne tačke na telu, tokom čitavog kretanja, ostaje paralelan svom prethodnom položaju. -Razlikujemo:pravolinijsku i krivolinijsku translaciju.

Kinematske karakteristike translatornog kretanja su: brzina i ubrzanje jedne (proizvoljno izabrane) tačke na telu. -Obrtno kretanje krutog tela oko nepomične ose- Ukoliko se pri kretanju krutog tela mogu uočiti dve tačke koje su u mirovanju, onda su sve tačke na pravoj koja spaja te dve tačke u miru. Tada, tačke koje miruju obrazuju pravu koja predstavlja osu obrtanja, a takvo kretanje se naziva obrtanje oko nepomične ose. Kinematske karakteristike obrtnog kretanja su: vektor ugaone brzine i vektor ugaonog ubrzanja koji imaju pravce ose obrtanja. -Ravansko kretanje krutog tela- je ono kretanje tela pri kome se za sve vreme kretanja bilo koja uočena tačka tela, kreće u ravni koja je paralelna nepomičnoj unapred uočenoj ravni; Kinematske karakteristike ravanskog kretanja su: -vektori brzine i ubrzanja bilo koje tačke na telu, kao i vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela; Svi vektori kretanja se nalaze u ravni kretanja izuzev vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja koji su normalni na ravan kretanja. Ravansko kretanje krutog tela može da se svede na rotaciju oko trenutnog pola brzine. -Složeno kretanje krutog tela- Složeno kretanje krutog tela nastaje kada se njegovo kretanje definiše u odnosu na referetno telo koje se takođe kreće. Pri složenom kretanju krutog tela vrši se sinteza prostijih oblika kretanja. Ravnomerno (jednoliko) kretanje duž pravca Najjednostavnije kretanje je jednoliko kretanje po pravcu. Za poznavanje ovog kretanja potrebno je definisati položaj tog pravca u prostoru u odnosu na koordinatni sistem i odrediti zakon puta. Položaj pokretne tačke A u svakom trenutku biće određen relacijom: r ur ur r = r0 + s (t )t 1 ur ur gde je: t 1 -jedinični vektor pravca; r0 -vektor položaja u trenutku t0 ; s (t ) pređeni put. Ovo je vektorska jednačina pravolinijskog kretanja. Brzina ovog kretanja određuje se diferenciranjem ove jednačine po vremenu tj.: r r d r ds ur ur v= = t 1 = vt 1 dt dt Prema gornjoj jednačini vektor brzine v je stalan vektor po pravcu i smeru, njegov iznos zavisi od promjene puta u toku vremena tj.: ds v= dt Integracijom dobijamo pređeni put u toku vremena: s = vt + C gde je C konstanta integracije i određuje se iz početnih uslova.

Slika 2.5 Na primer, za t=0 neka je s=so tada je i C=so pa će relacija imati oblik:

s = vt + s0 Na Slici.2.6 dati su s-t i v-t dijagrami za ravnomerno (jednoliko) pravolinijsko kretanje.

Slika 2.6. Dijagram zavisnoti pređenog puta pri konstantnoj brzini Ravnomerno ubrzano kretanje duž pravca Mnoga ubrzana ili usporena kretanja (ubrzanje ili kočenje automobila, slobodni pad itd.) možemo aproksimirati ovim kretanjem. Kod ovog kretanja vektori: pomeranja, brzine i tangencijalnog ubrzanja su istog smera i pravca. Pošto je a=

dv = const . dt

Integracijom gornje jednačine dobijamo:

v = at + C1 Neka je za t = 0 , v = v0 tada je C1 = v0 pa jednačina dobija oblik: v = at + v0 koja predstavlja zakon promene brzine u toku kretanja tačke. Pošto je brzina prvi izvod puta po vremenu gornju jednačinu možemo napisati u obliku:

ds = at + v0 dt

ili

ò ds = ò atdt + ò v0 dt

odakle integracijom dobijamo: 1 2 at + v0 t + C2 2 Neka je za to t = 0 , s = s0 tada je C2 = s0 pa prethodnu relaciju možemo napisati u obliku: 1 s = at 2 + v0 t + s0 . 2 Na Slici. 2.7 grafički su prikazane funkcije puta, brzine i ubrzanja pravolinijskog jednako ubrzanog kretanja s=

Slika 2.7 Dijagrami zavisnosti brzine i pređenog puta od vremena pri konstantnom ubrzanju Ravnomerno kružno kretanje Kada ubrzanje materijalne tačke nema isti pravac kao brzina, već sa brzinom zatvara ugao različit od nule, materijalna tačka će se kretati po zakrivljenoj putanji. Primer takvog kretanja je kružno kretanje.

Kretanje materijalne tačke po kružnici je kretanje u ravni. Neka kružnica leži u (x, y) ravni Dekartovog koordinatnog sistema (Slika 2.8). Položaj materijalne tačke možemo opisati Dekartovim koordinatama x i y ili polarnim koordinatama r i j .

Slika 2.8 Veza između Dekatrovih i polarnih koordinata Kako je putanja kružnica, radijus vektor r je konstantan, pa se pri kretanju menja samo polarna koordinata j . Veza između Dekartovih i polarnih koordinata materijalne tačke je: x = r cos j y = r sin j

Ugao j se obično izražava u radijanima i jednak je količniku kružnog luka s i poluprečnika r : s 1800 j = ( rad ) , 1 rad = = 57,30 r p Iz ove relacije sledi izraz za pređeni put: s = jr Diferenciranjem puta s po vremenu, dobija se tzv. obimska (periferna) brzina v : ds dj v= =r = rw dt dt gde je: dj w= = ugaona brzina. dt

Jedinica za ugaonu brzinu je [ rad / s ] ili samo [ s -1 ] , budući da dopunsku jedinicu rad često ne pišemo. Ugaona brzina je vektor; čiji se pravac poklapa sa pravcem ose rotacije a smer se određuje pravilom desne ruke. Ako prsti desne ruke slede materijalnu tačku, palac pokazuje smer w .

Slika 2.9 Vektor periferne brzine Pravac ugaone brzine uvek je normalan na ravan kružne putanje. r ur r Vektor periferne brzine v uvek je normalna i na vektore r i w (Slika 2.9). Ugao između r i v je p / 2 , tj. sin a = 1 , zbog toga se može vektorski napisati kao: r ur r v =w´r ili r r ur v = -r ´ w Ravnomerno kružno kretanje je obrtanje sa konstantnom ugaonom brzinom: dj = w = const . dt Integracijom gornje relacije dobijamo: j = j 0 + wt , gde je j = j0 ugao u trenutku t = 0 . Za opisivanje ravnomernog kružnog kretanja korisno je definisati frekvenciju i vreme potrebno za jedan puni krug-period: 1 w = 2p f , T = . f Ravnomerno kružno kretanje je ubrzano kretanje, jer se pri njemu stalno menja po pravcu smer periferne brzine iako ona po intenzitetu ostaje konstantna, Slika 2.10.

Slika 2.10 Pravci vektora brzine pri kružnom kretanju r Intenzitet vektora promene brzine D v jednak je Dv = v Dj . Ukoliko se podele obe strane ove

relacije sa Dt , uz granični prelaz t ® 0 , dobijamo izraz za ubrzanje koje menja pravac vektora brzine: Dv vDj Dj dj aw = lim = lim = v lim =v = vw . t ® 0 Dt t ® 0 Dt t ® 0 Dt dt Ovo ubrzanje ima pravac prema centru kružne putanje i zbog toga, se zove radijalno ili centripetalno ubrzanje (Sl. 2.10). ur Ako sa -r0 označimo jedinični radijus vektor usmeren prema središtu kružnice, izraz za radijalno ubrzanje možemo pisati vektorski: uur ur v 2 ur ur r aw = - rw 2 r0 = - r0 = w ´ v . r Neravnomerno kružno kretanje

Pri neravnomernom kružnom kretanju intenzitet periferne brzine nije više konstantan već uur se menja s vremenom. Zbog toga se ukupno ubrzanje sastoji od radijalnog ubrzanja ar i uur uur tangencijalnog ubrzanja at . Radijalna komponenta ubrzanja ar je u pravcu radijusa. Tangencijalna uur komponenta ubrzanja at je u pravcu tangente. Tangencijalno ubrzanje nastaje zbog promene intenziteta periferne brzine: dv d ( rw ) dw at = = =r = re dt dt dt gde je e ugaono ubrzanje. Jedinica ugaonog ubrzanja je [ rad / s 2 ] . Ako ugaono ubrzanje definišemo kao vektor čiji je pravac normalan na ravan kruženja, tada možemo napisati u vektorskom obliku: uur r r a =e ´r ur t Pri ravnomernom kretanju po kružnici w = const. odnosno e = 0 pa je i tangencijalno ubrzanje nula. Pri neravnomernom kružnom kretanju postoji i radijalno i tangencijalno ubrzanje. Radijalno ur ima smer -r0 , dakle prema središtu kružnice, dok je tangencijalno u pravcu i smeru tangente na kružnicu. Ove dve komponente ubrzanja su međusobno normalne, pa ukupno ubrzanje pri neravnomernom kružnom kretanju dobijamo slaganjem ova dva ubrzanja: r uur uur a = at + ar Poseban slučaj neravnomernog kružnog kretanja je kretanje s konstantom ugaonim ubrzanjem e = const. Zakone takvog kretanja možemo dobiti uzimajući u obzir da je e = const. i da je u trenutku t = 0 , ugao j = 0 i w = w0 . Integracijom izraza dw = e dt dobijamo: w

òw0 dw = ò0 e dt , t

odnosno:

w = e t + w0 . Integracijom izraza dj = (e t + w0 )dt dobijamo izraz za ugao obrtanja pri neravnomernom kružnom kretanju: j

òj

0

dj = ò0 (e t + w0 ) dt = ò0 e tdt + ò0 w0 dt t

t

t

odnosno: t2 + w0 t + j0 . 2 Formalna analogija između pravolinijskog i kružnog kretanja:

j =e

Tabela pokazuje formalnu analogiju između formula za pravolinijsko i kružno kretanje. Ako u formule pravolinijskog kretanja umesto s i v a uvrstimo j , w i e dobijamo formule kružnog kretanja.

Pravolinijsko kretanje

Kružno kretanje

v=

ds dt

w=

dj dt

a=

d 2s dt 2

e=

d 2j dt 2

s = vt + s0 s=a

t2 + v0 t + s0 2

v 2 = 2as + v02

j = wt + j 0 j =e

t2 + w0 t + j0 2

w 2 = 2ej + w02

2.2 Kinematski parovi Kinematski par čine najmanje dva člana koja se dodiruju i obezbeđuju uzajamno kretanje jednog člana u odnosu na drugi. Klasifikacija kinematskih parova prema broju stepeni slobode na V klasa: I-klasa 5 stepeni slobode; (3 translacije i 2 rotacije...) II-klasa 4 stepena slobode; III-klasa 3 stepena slobode (kretanje po površi, sferni zglob) IV-klasa 2 stepena slobode (kretanje po cilindričnom žljebu); V klasa 1 stepen slobode (cilindrični zglob, kretanje po prizmatičnom žljebu, sprega zupčanika, sprega zupčanik-zupčasta letva)

Klasifikacija kinematskih parova prema karakteru dodira njegovih članova: 1. Niži kinematski parovi; 2. Viši kinematski parovi. -Nižim kinematskim parom nazivamo one kod kojih se dodir elemenata vrši po površini (kod translatornog para ravan sa ravni, kod obrtnog para cilindrična površ po cilindričnoj površi) -Višim kinematskim parom nazivamo one kod kojih se dodir elemenata vrši po liniji ili tački (sprega dva zupčanika) 1.Slobodno telo

-Slobodno čvrsto telo u prostoru poseduje 6 stepeni slobode. -Može translatorno da se kreće u tri ortogonalna pravca (x,y,z) i da rotira oko ta tri pravca.

Niži kinematski parovi 1. Kruta veza -Kruta veza ne dozvoljava ni jednu komponentu kretanja. Rigid Joints

-Telo je nepokretno. -Telo ima 0 stepeni slobode.

2.Kretanje po površi

Planar Joints

-Slobodna površ je veza koja dozovoljava ravansko kretanje tela po njoj. -Telo ima 3 stepena slobode. -Položaj tela je jednoznačno određen translacijom duž dva ortogonalna pravca x-y i rotacijom oko z-ose koja je upravna na slobodnu površ.

3. Kretanje po prizmatičnom žljebu

Prismatic Joints

-Prizmatični žljeb je veza koja dozvoljava translatorno kretanje tela duž njega. - Telo poseduje 1 stepen slobode.

4. Kretanje po cilindričnom žljebu

Cylindrical Joints

-Cilindrični žljeb je veza koja dozvoljava klizanje tela duž njega kao i rotaciju tela oko ose cilindričnog žljeba. -Telo poseduje 2 stepena slobode. 5. Sferni zglob

Spherical Joints

-Sferni zglob je veza koja sprečava translatorno kretanje a omogućava rotaciju oko tri ortogonalne ose. -Telo vezano sfernim zglobom ima 3 stepena slobode.

6. Cilindrični zglob

-Cilindrični zglob kao veza dozvoljava samo jednu komponentu kretanja i to rotaciju oko svoje ose. Revolute Joints

- Telo vezano nepokretnim cilindričnim zglobom ima 1 stepen slobode.

Viši kinematski parovi 8. Sprega zupčanika

Gear Joints

9. Zupčasta letva -Korisnik zadaje prenosno odnos zupčaste letve i cilindričnog zupanika (mm/obr)

Rack Joints

10. Kardansko vratilo

Universal Joints

-Sprega zupčanika je kinematska veza kod koje korisnik može definisati prenosni odnos zupčanika, kao i smer obrtanja pogonskog zupčanika. -Ose zupčanika moraju unapred da budu definisane u prostoru. -Oba tela se obrću oko nepomičnih osa. - Tela kod kojih se zadaje ovakva veza ne moraju da budu pravi zupčanici (već cilindri) ali pri zadavanju ove veze mora biti definisana tačka sprezanja. -Ovakva veza ima 1 stepen slobode. -Ovaj kinematski par predstavlja specijalan slučaj veze dva cilindrična zupčanika, u kome je prečnik jednog zupčanika beskonačan. - Tela kod kojih se zadaje ovakva veza ne moraju da budu pravi zupčanik i zupčasta letva ali pri zadavanju ove veze mora biti definisana tačka sprezanja. -Veza ima 1 stepen slobode. -Ovaj kinematski par omogućava spregnutu rotaciju dve osovine oko sopstvenih osa, pri čemu te osovine međusobno zaklapaju određeni ugao koji je unapred zadat. -Kinematski par ima 1 stepen slobode

-Kardansko vratilo je mehaniči deo koji služi za prenos obrtnog momenta iz menjača brzina na glavni prenosnik. Sastavljeno je iz jednog, ili dva zgloba i na kraju vratila jednog konusnog zupčanika koji je uparen sa tanjirastim zupčanikom koji se nalazi na kucistu glavnog prenosnika. Fleksibilno je i može se pomerati do ugla od 300.

11. Zavrtanj

Screw Joints

-Ova kinematska veza dva dela ima dva spregnuta kretanja, tzv., korak zavrtnjalinearni pomeraj za jedan pun obrtaj zavrtnja. -Ose dva dela zavrtnja moraju da se poklapaju. -Veza tipa zvartnja ima 1 stepen slobode’ translaciju oko ose ili rotaciju oko te ose.

12. Kretanje duž zadate putanje

Point Curve Joints

-Kriva po kojoj se vrši kretanje može biti prostorna kriva. -Telo koje vrši kretanje mora da ostvari dodir u tački sa krivom. -Telo ima 4 stepena slobode: translatorno se kreće duž krive i 3 ugla rotacije oko tače dodira tela i krive.

13. Klizanje tela po zadatoj pravoj

Slide Curve Joints

-Ova kinematska veza omogućava klizanje tela duž zadate krive. -Geometrija tela u tački kontakta mora biti koincidentna i tangencijalna.

14. Kotrljanje tela po zadatoj krivoj

Roll Curve Joints

-Ovom vezom je omogućeno kotrljanje bez proklizavanja tela po zadatoj krivoj površi. -Dve krive moraju biti tangencijalne u zoni kontakta

15. Kretanje po površi

Point Surface Joints

-Kod ove kinematske veze ostvaruje se kontakt u tački između tela i veze. Telu je dozvoljeno da se kreće po površi koja je prostorno zadata i da rotira oko tače dodira. -Telo sa ovakovom kinematskom vezom ima 5 stepeni slobode (3 rotacije oko koordinatnih osa vezanih za tačku dodira i 2 trasnlacije duž osa u ravni površi)

3. Primeri simulacije kretanja mehanizama DMU Kinematics je modul CAD/CAM softverskog paketa CATIA koji je specijalizovan za kinematsku analizu. Rad u ovom modulu je dosta sličan kao rad u Assembly Desing modulu. U okviru rada u modulu CATIA DMU Kinematics koriste se sledeće pretpostavke: 1. Sva tela čije se kretanja simulira su kruta- nedeformabilna; 2. Zanemaruje se masa tela kao i sile koje deluju na ta tela; 3. Sva kretanja se definišu u odnosu na jedan referentni sistem. Korišćenjem CATIA DMU Kinematics modula može se pratiti kretanje bilo kog dela u mehanizmu. Pod mehanizmom se podrazumeva sistem tela koja su međusobno tako

povezana da kretanje jednog ili više tela izaziva kretanje drugih tela prema određenom zakonu. U daljem tekstu biće prikazane simulacije različitih oblika kretanja, poćiće se od elementarnog kretanja kao što je translatorno, potom će se obraditi obrtno oko nepokretne ose, ravansko

4. Metodologije problema

rešavanja

inženjerskih

Metode koje se koriste u za rešavanje inženjerskih problema mogu se podeliti na: analitičke, numeričke i eksperimentalne metode. Savremeno rešavanje komplikovanih inženjerskih problema je zasnovano na primeni odgovarajućih numeričkih tehnika. Prema vrsti problema koji se rešava, razvile su se različite numeričke metode kao što su: Metoda konačnih elemenata –MKE, Metoda konačnih zapremina-MKZ, Metoda konačnih razlika-MKR, Metoda graničnih elemenata-MGE 1. Metoda konačnih elemenata (MKE) je numerička tehnika koja se primenjuje za: linearnu, nelinearnu, termičku, dinamičku, zamornu analizu, analizu oštećenja strukturnih inženjerskih problema. Ova numerička tehnika se zasniva na diskretizaciji kontinualnog strukturnog modela uz pravljenje odgovarajućih aproksimativnih pretpostavki. 2. Metoda konačnih zapremina (MKZ): Većina softvera za proračunsku dinamiku fluida su bazirani na metodi konačnih zapremina. Metoda konačnih zapremina je slično kao i MKE metoda zasnovana na diskretizaciji prostora. Kao proračunske promenljive se pojavljuju pritisak, brzina, masa. MKZ se koriste za rešavanje Navier Stokes equations ( Zakon o održanju mase, Zakon o održanju količine kretanja i energije). 3. Metoda konačnih razlika (MKR): Generalno ova metodologija se koristi za rešavanje diferencijalnih jednačina. Difernecijalne jednačine se primenom Tejlorovog razvoja prevode u algebarske jednačine, pri čemu se članovi višeg reda zanemaruju. Metoda konačnih razlika se najčešće primenjuje u spregnutim problemima proračunske dinamike fluida i termomehanike. 4. Metoda graničnih elemenata (MGE) je numerička tehnika koja se koristi za rešavanje problema buke. Kao i MKE metoda tako i MGE metoda zahteva diskretizaciju prostora stim što se razmatraju spoljašnje granice domena. Za svaku prethodno navedenu numeričku metodu neophodno je ”uprošćavanje“ strukure tj., diskretizacija proračunskog prostora. Često korišćen termin meširanje nije ništa drugo do diskretizacija kontinualnog sistema (koji ima beskonačan broj stepeni slobode) sa diskretnim geometrijskim elementima (imaju konačan broj stepeni slobode). Numerička analiza se zasniva na primeni odgovarajuće numeričke metode a sastoji se od tri osnovne faze koje su prikazane na sledećoj slici.

Rešavanje primenom izabrane numeričke metode

Osnovni koraci numeričke analize primenom numeričkih metoda Krajnji korak je analiza rezultata. Rezultati dobijeni u Post-procesing fazi utiču na donošenje odgovarajuće odluke dizajnera. Korektna interpretacija rezultata utiče na usaglašenost dizajnera i analitičara, tj., inženjera koji koristi modul za numeričku analizu. Dakle, tretiranje modula za analizu u okviru softverskog paketa, kao crne kutije, može se smatrati vrlo opasnim ukoliko se rezultati analize ne protumače na adekvatan način.

4.1 Metoda konačnih elemenata Metoda Konačnih Elemenata -MKE predstavlja numeričku metodu strukturne analize koja se koristi za dobijanje aproksimativnih rešenja za širok spektar inženjerskih problema. MKE je dovoljno uopštena da podrži bilo koji složeni oblik konstrukcije, bilo koja materijalna svojstva kao i različite oblike opterećenja. U cilju primene MKE metode neophodno je dobro poznavanje fizike problema koji se analizira. Osnovna ideja MKE metode je fizička diskretizacija stvarnog modela. To podrazumeva podelu neke strukture na konačan broj elemenata malih dimenzija. Dakle, prostor kontinuuma se deli na međusobno povezane nepreklapajuće geometrijske forme tj., elemente. Ti elementi malih dimenzija nazivaju se konačni elementi. Mreža konačnih elemenata je međusobno povezana karakterističnim tačkama koje se nazivaju čvorovi i u kojima figuriše konačan broj nepozantih proračunskih veličina. Savremeni siftveri dozvoljavaju varijaciju različitih oblika elemenata na kontinuumu. MKE metoda je zasnovana na: 1) podeli kompleksnog oblika na male elemente, 2) formiranju jednačina ravnoteže svakog elementa; 3) formiranju sistema jednačina; 4) rešavanju sistema jednačina. Rešavanjem sistem jednačina dobija se aproksimativno numeričko rešenje za model. Broj čvorova i elemenata koji se koriste u numeričkoj analizi zavisi od inženjerske procene. Opšte pravilo je da se sa većim brojem čvorova i elemenata dobija tačnije rešenje, sa druge strane takvo rešenje je vremenski skuplje i zahteva veći memorijski prostor za smeštaj podataka. Primer 4.1.1.: Na slici je prikazan primer kreiranja mreže konačnih elemenata za ploču, dužine L i širine a kvadratnog poprečnog preseka, koja je uklještena sa jedne strane, dok je slobodna strana izložena koncentrisanom opterećenju F, vertikalno naniže. Na slici su prikazana dva tipa elemenata: četvoročvorni i osmočvorni konačni elementi.

Mreža konačnih elemenata na uklještenoj gredi Postoji nekoliko tipova numeracije: globalna numeracija čvorova, globalna numeracija elemenata, kao i lokalna numeracija čvorova u elementu.

Diskretizovanje strukturnog modela mrežom konačnih elemenata Oblik konačnog elementa: Opšte je poznato da su najčešće korišćeni oblici konačnih elemenata: trougaoni, kvadratni i tetraedarski. Karakteristike konačnih elemenata vezane su za čvorove, odnosno, temena geometrijskih figura ili slika. U čvorovima se zadaju nepoznate fizičke veličine, npr., pomeranja. U MKE metodi prvo su korišćeni trougaoni oblici konačnih elemenata a kasnije su uvedeni četvorougaoni. Teoretski gledano može se koristiti bilo koja proizvoljna geometrijska forma konačnog elementa, jedini zahtev koji mora biti zadovoljen je poznavanje matrice krutosti konačnog elementa. Ovaj zahtev je često ograničavajući faktor pri izboru forme elementa. Sa praktične strane, bilo koja geometrijska forma mreže treba da se u što većoj meri poklopi sa geometrijom strukturnog dela koji se analizira. Ovaj zahtev se zadovoljava primenom 5-6 osnovnih geometrijskih formi tako da je primena petougaonih, šestougaonih osmougaonih geometrijskih oblika nepotrebna. Aproksimacija rešenja unutar elementa: Polje nepoznatih fizičkih veličina unutar elementa može da bude skalar (temperatursko polje), ili vektor (npr., horizontalno ili vertikalno pomeranje).

Nepoznate, tj., polje nepoznatih u elementu se aproksimira pomoću interpolacionih funkcija. Interpolacione funkcije služe za definisanje varijacija fizičkih veličina unutar konačnog elementa. Način aproksimacije rešenja:Polinomi se uobičajeno koriste kao interpolacione funkcije u aproksimaciji rešenja unutar elementa zato što se lako diferenciraju i integrale. Razmatran je četvoročvorni kvadratni konačni element (slika). Neka su diskretne vrednosti u čvorovima 1, 2, 3, 4 konačnog elementa respektivno a1, a2, a3, a4, vrednost u bilo kojoj tački konačnog elementa dobija se korišćenjem interpolacionog polinoma: u = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy .

Četvoročvorni pravougaoni konačni element Vrednost promenljive u se dobija zamenom koordinata x & y . Kod 8-čvornog konačnog elementa poznate su diskretne vrednosti fizičke veličine u 8 čvorova: a1, a2, …, a8. Polje razmatrane fizičke veličine u slučaju 8-čvornog konačnog elementa se dobija primenom parabolične interpolacione funkcije:

u = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy + a5 x 2 + a6 y 2 + a7 x 2 y + a8 xy 2

Osmočvorni pravougaoni konačni element Kao što se iz prethodnog primera vidi stepen polinoma zavisi od broja čvorova u elementu, tj., od polja nepoznatih po čvoru, pri čemu mora da bude zadovoljena kontinualnost promenljivih po granicama elementa. Tačnost numeričkih rezultata je veća što je veći broj konačnih elemenata kao i veći broj čvorova po konačnom elementu tj., red interpolacionih funkcija. Uticaj broja proračunskih tačaka na tačnost rezultata Primer 4.1.3.: Neka je dat krug površine P = p r 2 = 100 i neka je krug aproksimiran sa elementom koji ima 3 strane, potom sa elementima sa 4, 6, 8, 16, 32&64 strane.

Na donjoj slici dat je uticaj broja strana geometrijske forme kojom se aproksimira krug na tačnost dobijenog rezultata. Ako se koristi trougaona geometrija dobija se površina P = 41 u slučaju aproksimacije kruga kvadratom dobija se P = 64 . Sa inženjerske tačke gledišta ovakav oblik aproksimacije nije prihvatljiv dok aproksimacija od 80% ili 90% jeste (videti sliku)

Generalno gledano sa porastom broja proračunskih tačaka raste i tačnost numeričkog rešenja.

4.2. Oblici konačnih elemenata Većina konačnih elemenata ima jednostavne geometrijske oblike, uz zadovoljavanje osnovnih pretpostavki MKE-a, tako da skup elemenata može dovoljno tačno da modelira proizvoljan oblik kontinuuma. Te pretpostavke su takođe uključene u dimenzionalnost elemenata, što je pre svega prouzrokovano dimenzionalnošću strukturne komponente koja se analizira. Konačne elemente karakteriše da je svaki element u potpunosti definisan sa svojim oblikom, brojem čvorova i međučvorova, kao i interpolacionim funkcijama. Ovim parametrima kontrolišu se osobine elemenata, čime se postiže željena tačnost i konvergencija rešenja dobijenog konačnim elementima. Osnovna kategorizacija geometrije je na 1D, 2D i 3D dominantne dimenzije. Saglasno tome vrši se selekcija konačnih elemenata na: · Jednodimenzijske 1-d; · Dvodimenzijske 2-d;

·

Trodimenzijske 3-d;

Geometrijski modeli sa jednom dominantnom dimenzijom

Geometrijski modeli sa dve dominantne dimenzije JEDNODIMENZIJSKI ELEMENTI Jednodimenzijski elementi se koriste kod geometrije koja ima jednu dimenziju dominantnu u odnosu na preostale dve dimenzije. Oblik 1-d elementa je linija.

Kod 1-d elemenata postoji jedna nezavisna promenljiva, i elementi su linijski segmenti. Na prvi pogled 1-d elementi i nisu preko potrebni jer kod problema uobičajene su važeće diferencijalne jednačine čije rešenje se može dobiti analitičkim ili numeričkim putem. 1-d elementi najčešće se koriste kao segment, tj., deo pri modeliranju 2-d ili 3-d problema. Ako gredu modeliramo sa 2-d elementima, oprugu obavezno modeliramo 1-d elementima. Među najčešće korišćene 1-d elemente spadaju element grede i element rešetke. Rešetkasti element ima od dva do četiri čvora po elementu, sa jednom promenljivom (aksijalno pomeranje) po čvoru. Ovakav element podržava samo istezanje ili kompresiju (ne podržava savijanje). Gredni element (beam elementh) ima dva, tri ili četiri čvora po elementu, sa dve promenljive po čvoru ( a to su savijanje grede i nagib).

DVODIMENZIJSKI ELEMENTI Na gornjoj slici takođe su prikazani uobičajeni 2D elementi. Istorijski gledano prvo su razvijeni trougaoni elementi. Tro-čvorni linearni trougaoni element je najednostavniji 2D element. 10-čvorni trougaoni element ima 9 čvorova na granicama (koji se nazivaju spoljašnji čvorovi) i jedan unutrašnji čvor. Četvorougaoni konačni elementi imaju najmanje 4 čvora a najviše 12 čvorova. 2D elementi se koriste za modeliranje problema ravnog stanja napona ili ravnog stanja deformacije, kao i za osnosimetrične probleme. U slučaju rešavanja osnosimetričnih problema, elementom se reprezentuje poprečni presek osnosimetričnog oblika, pri čemu se debljina definiše preko zadatog kružnog segmenta. Uopšteno gledano 2D elementima se može modelirati 2D kontinuum.

TRODIMENZIJSKI ELEMENTI 3D elementi su uobičajeno 3D interpretacija 2D elemenata. Ovi elementi se koriste u diskretiyaciji 3D objekata. Kreiranje 3D mreže uobičajeno je vremenski zahtevan i sklon greškama proces. Korišćenjem automatskog generatora 3D mreže postižu se pre svega određene vremenske beneficije.

Spoljašnji čvorovi konačnih elemenata se dele na dva tipa: na temene čvorove i čvorove po sredini strana, tj., središnje čvorove. Temeni čvorovi su minimalan broj čvorova koji je neophodan da bi se definisao oblik konačnog elementa. Središnji čvorovi se dodaju da bi se povećala tačnost konačnog elementa ili da bi se postigla kontinualnost između elemenata. Broj čvorova po elementu zavisi od čvornih promenljivih, tj., broja stepeni slobode (degree of fridom) I kontinualnosti koja se zahteva između elemenata.

4.3 Razvoj integralnih jednačina iz diferencijalnih jednačina ravnoteže Metoda konačnih elemenata je zasnovana na sledećoj pretpostavci: Rešenje određenih diferencijalnih jednačina, tj., jednačina ravnoteže se svodi na rešavanje odgovarajućeg integralnog oblika ovih jednačina. Dobijeno rešenje je aproksimativno, posebno ako se uzme u obzir činjenica da se koriste interpolacione funkcije. Prva faza MKE metode je zasnovana na pisanju diferencijalnih jednačina dok je završna faza zasnovana na dobijanju njihovog aproksimativnog rešenja. Između ova dva koraka postoji više međukoraka: a) Jedna od međufaza je konvertovanje diferencijalnih jednačina u integralni oblik korišćenjem varijacionog principa ili metode težinskih faktora. b) Nakon toga se domen problem svodi na sistem elemenata i na odgovarajuće jednačine ravnoteže po elementima. c) Sklapanjem jednačina elemenata u sistem dobija se globalni sistem jednačina u matričnom obliku. d) Granični uslovi i spoljašnje opterećenje se zadaju u globalnom sistemu pre započinjanja njihovog rešavanja. e) Rezultati analize konačnim elementima mogu biti prikazani u grafičkoj formi tako da analitičar može doneti odgovarajuće odluke i preporuke. Na osnovu prethodnog konteksta jasno je da se bitne odluke vezane za MKE odnose na: tip elementa, broj čvorova po elementu, broja stepeni slobode, oblika elementa, materijalnog tipa, spoljašnjeg opterećenja graničnih uslova i konačno interpretacije rezultata. Za definisanje integralnog oblika jednačina ravnoteže koriste se najčešće Varijaciona metoda i metoda težinskih ostataka, tj., Galerkinova metoda.

4.3.1 Izvođenje funkcionala primenom Varijacione metode Varijaciona metoda se u MKE metodologiji koristi za konvertovanje difernecijalnih jednačina u integralni oblik, tj., za dobijanje željenog funkcionala. U okviru ovog pristupa funkcional P se izvodi iz diferencijalnih jednačina ravnoteže razmatranog kontinualnog problema. Pretpostavimo da se kontinualni problem može opisati diferencijalnom jednačinom oblika:

L(f ) - f = 0 gde je f promenljiva zavisna od rešenja, f je poznata funkcija nezavisnih promenljivih, L je linearni ili nelinearni diferencijalni operator. Neka gornja diferencijalna važi na celom domenu D, koji je izložen poznatim graničnim uslovima: f = F na granicama B. Za određivanje funkcionala P koji zadovoljava gornje jednačine tražimo integral I (f ) tako da je ¶I (f ) / ¶f = 0 . Premnožavanjem gornje relacije sa prvom varijacijom od f , tj., sa df , a potom integraljenjem preko domena D dobijamo:

ò df [ L(f ) - f ] dD = 0 . D

Sada možemo da izvršimo manipulaciju sa gornjim integralom tako što će se diferencijalni operator izvući ispred integrala:

d ò éë L* (f ) - f * ùû dD = 0 D

gde je L (f ) novi diferencijalni operator koji proizilazi iz uopšetnog diferencijanog operatora L (f ) . U gornjoj relaciji integral se može označiti integralom I (f ) i to je željeni funkcional P , jer je njegova prva varijacija jednaka nuli. Gornju relaciju možemo konačno napisati u obliku: *

d [ I (f )] = dP = 0 , gde je:

P = I (f ) = ò éë L* (f ) - f * ùû dD . D

Ne postoji uopšteni konzistentan skup pravila koji može biti prihvaćen pri manipulaciji iz početne do krajnje relacije integralnog oblika funkcionala, iz tog razloga ovde će biti prikazani primeri dobijanja funkcionala kod 1D i 2D problema. Granični uslovi obavezno moraju biti uključeni u proces dobijanja funkcionala i u velikoj meri diktiraju oblik dobijenog funkcionala. Dobijanje funkcionala primenom varijacione metode je uobičajena metodologija za 1D i 2D probleme, mada se u nekim slučajevima koristi i Gausova divergentna teorema.

4.3.1.1. Funkcional kod 1D problema Primer 4.3.1: Integralna jednačina za gredu promenljivog poprečnog preseka Izvođenje funkcionala P za gredu prikazanu na slici. Greda je dužine L, i promenljivog poprečnog preseka A. Greda je opterećena sa aksijalnim opterećenjem P na slobodnoj ivici.

Aksijalno pomeranje diferencijalnu jednačinu:

bilo

kog

poprečnog

preseka

zadovoljava

sledeću

AEu ¢¢ = 0

gde je A poprečni presek, E modul elastičnosti, u ¢¢ = d 2u / dx 2 . Granični uslovi moraju biti primenjeni u toku izvođenja. Poređenjem diferencijalne jednačine ravnoteže poprečnog preseka grede sa opštom formom funkcionala izvedenog na osnovu Varijacionog principa vidi se da je: f = u, L = AEd 2 / dx 2 , f = 0 , domen D je jednodimenziski: D = {x : x Î[0, L]} . Premnožavanjem gornje relacije sa varijaciom pomeranja d u pa integraljenjem po dužini grede dobija se sledeći izraz: L ò0 AEu¢¢d udx = 0 . Korišćenjem (

ò

L

0

jednakosti L

ò

u ¢¢dx= du¢

i

pravila

parcijalnog

integraljenja

L

UdV= UV 0 - VdU ) dobija se: 0

AEu ¢d u 0 L

ò

L

0

AEu ¢d (d u ) = 0 .

gde je U = EAd u i V = u ¢ . Na prvom članu prethodne relacije mogu se primeniti sledeći granični uslovi: x = 0, u = 0 Þ d u = 0 ,

x = L Þ AEu ¢ = P . Drugi

granični

uslov

je

izveden

iz

veze

aksijalnog

opterećenja

i

napona

s = P / A = Ee = Eu ¢ . Drugi član gornje relacije može biti redukovan zamenom mesta d i d / dx : d (d u ) æ du ö d (d u ) = dx = d ç ÷ dx = d (u ¢)dx , dx è dx ø

Zamenom graničnih uslova dobija se:

ò

L

0

AEu¢d u ¢dx - Pd u L = 0

gde je u L aksijalno pomeranje na granici x = L . Zamenom u ¢d u ¢ sa

1 d u ¢2 (po analogiji 2

sa du 2 = 2udu ) sledi:

ò

L

d(

0

AE 2 u ¢ dx ) - d ( PuL ) = 0 , 2

korišćenjem komutativnog pravila za integral i variaciju dobijamo:

æ L AE 2 ö d çò u ¢ dx - PuL ÷ = 0 . 0 2 è ø

Poređenjem ove relacije sa opštom definicijom funkcionala P dobija se funkcional za gredu promenljivog poprečnog preseka u obliku:

æ P =ç è

ò

L

0

AE 2 ö u ¢ dx - PuL ÷ . 2 ø

Primer 4.3.2.: Izvođenje integralne jednačine za beskonačnu traku: Izvođenje funkcionala P za beskonačnu traku prikazanu na slici. Traka je širine L, i izložena je konstantnoj uniformnoj raspodeli toplotnog fluksa q . Temperatura unutar trake zadovoljava sledeću jednačinu prenosa toplote:

KT ¢¢ = 0 gde

je

K

termička

konduktivnost,

a

T ¢¢ = d 2T / dx 2 .

Članovi u relaciji za opšti diferencijalni operator L (f ) , u ovom primeru su:

f = T , L = Kd 2 / dx 2 i f = 0 . Domen D u ovom primeru možemo da tretiramo kao jednodimenzijski pošto je uniformna raspodela toplotnog fluksa po dužini trake. Neka je širina trake je l , tada je domen D { x : x Î [0, l ]} . Premnožavanjem relacije KT ¢¢ = 0 sa varijacijom temperature d T i integraljenjem po širini trake dobija se:

ò

L

0

KT ¢¢d Tdx = 0

Korišćenjem analogne procedure kao u prethodnom primeru dobija se:

ò

KT ¢d T 0 L

L

0

KT ¢d (d T ) = 0 ,

Za beskonačnu traku izloženu uniformnom toplotnom fluksu, važe sledeći granični uslovi: za x = 0, KT ¢ = -q (Na osnovu Furijeovog zakona) za x = L, TL = const Þ d T = 0 . Zamenom graničnih uslova dolazi se do konačnog izraza za funkcional:

æ1 P =ç è2

ò

L

0

ö KT ¢2 dx - qT0 ÷ , ø

gde je T0 temperatura na x = 0 .

4.3.1.2. Funkcional kod 2D problema Primer 4.3.3: Integralna jednačina za problem ravnog stanja napona:

Domen integracije je pravougaona ploča dimenzia axb. Na ploču, po sredinama strana deluju koncentrisana opterećenja F1 i F2 , kao što je prikazano na slici.

S obzirom da su dimenzije ploče istog reda veličine i da je ploča opterećena u dva ortogonalna pravca, domen integracije će biti dvodimenzionalan a samim tim i funkcional P biće dvodimenzionalan. Za probleme ravnog stanja napona važe sledeće relacije: 1. Vektor pomeranja: d = [u , v ] , gde su u i v pomeranja u pravcima X i Y respektivno. T

2. Vektor deformacije: T

é ¶u ε = éëe x e y g xy ùû = ê ë ¶x

¶v ¶u ¶v ù + ú , ¶y ¶y ¶x û

T

gde su e x , e y i g xy normalne deformacije u X i Y pravcu kao i smičuća deformacija, respektivno. Ukoliko pretpostavimo da je materijal izotropan normalna deformacija u Z pravcu e z može se napisati u obliku

ez = gde je n Poisson- ov koeficijent.

n (e x + e y ) , 1 -n

T

3. Vektor napona σ = éës x s y t xy ùû , gde su s x , s y i t xy normalni napon u X i Y pravcu, kao i smičući napon, respektivno. Kod ravnog stanja napona važi da je s z = t xz = t yz = 0 . 4. Hukov zakon:

σ = [ D] ε ,

gde je [ D ] matrica krutosti materijala:

é ê1 E ê [ D] = ên 1 -n 2 ê ê0 ë

ù 0 ú ú 0 ú, 1 -n ú 0 ú 2 û

n 1

gde je E modul elastičnosti materijala.

¶s x ¶t xy + =0 ¶x ¶y

5. Statičke jednačine ravnoteže:

.

¶t xy ¶x

+

¶s y ¶y

=0

Za određivanje funkcionala P biće korišćen princip virtualnog rada. Pretpostavimo da je telo izloženo malim virtualnim pomeranjima, tada je virtualni rad unutrašnjih sila jednak virtualnom radu primenjenog spoljašnjeg opterećenja: Wint = Wext . Kod elastičnog tela Wint je posledica unutrašnjih napona zapreminske sile:

i bilo koje unutrašnje ili

ò de s dV = F d u + F d v T

1

V

1

2

2

,

gde su u1 i v2 horizontalno i vertikalno pomeranje izazvano silama F1 i F2 respektivno. Zapis virtualnog rada na levoj strani gornje relacije je uopšteni oblik zapisa koji može da se primeni na bilo koji oblik problema mehanike solida. Gornju relaciju možemo napisati i u obliku:

ò de s dV - F d u - F d v T

1

V

1

2

2

=0.

Izraz za napon korišćenjem Hukovog zakona može se napisati preko komponenti deformacije, tako da zapreminski integral dobija oblik:

ò d ε [ D] ε dV - F d u - F d v T

1

V

Kod linearno elastičnih materijala matrica

d εT [ D ] ε može svesti na oblik razvićemo relaciju d εT [ D ] ε :

1

2

[ D]

2

= 0.

je simetrična, tako da se izraz

1 d (εT [ D ] ε) . U cilju verifikacije prethodnog tvrđenja 2

ée x ù ê ú d ε [ D ] ε = éëde x de y dg xy ùû [ D ] êe y ú = êg ú ë xy û E é 1 -n ù = e de x + n (e xde y + e yde x ) + e yde y + g xydg xy ú 2 ê x 1 -n ë 2 û E 1 -n 2 ù é 2 = de x + 2nd (e xe y ) + de y2 + dg xy ú 2 ê 2(1 - n ) ë 2 û 1 = d (εT [ D ] ε ) 2 T

Na osnovu ove relacije konačno dobijamo:

1 d εT [ D ] ε dV - d ( F1u1 ) - d ( F2v2 ) = 0 2 V pri čemu je d ( F1u1 ) = F1d u1 i d ( F2 u2 ) = F2d u2 , jer su F1 = const. i F2 = const. Faktorizacijom operatora d dobija se: 1 d( εT [ D ] ε dV - F1u1 - F2 v2 ) = 0 , 2 V

ò

ò

Iz prethodne relacije može se izvući funkcional za ravno stanje napona:

P=

1 2

ò ε [ D]ε dV - F u - F v , T

1 1

V

2 2

Primenom Hukovog zakona funkcional za ravno stanje napona dobija oblik:

P=

1 2

ò ε σ dV - F u - F v T

V

1 1

2 2

.

Integralni član funkcionala je energija deformacije, dok su preostala dva člana radovi spoljašnjih sila F1 i F2 . Za ravanske probleme važi dV = t dA ( t je debljina), funkcional dobija oblik:

1 P = t εT σ dA - F1u1 - F2 v2 . 2 A Može se primetiti da je prikazano izvođenje funkcionala P je opšta forma i primenjiva je

ò

na različite 2D i 3D probleme mehanike solida.

4.3.2 Izvođenje integralnih Galerkinove metode

jednačina

ravnoteže

primenom

U nekim primerima kao što su prelazni procesi, tj., vremenski zavisni procesi, poput prenosa toplote ili nekih oblika strujanja u mehanici fluida varijacioni princip pri izvođenju integralnih jednačina ravnoteže iz diferencijalnih jednačina se neprimenjuje. U slučaju analize prelaznih procesa, koristi se uglavnom metoda težinskih ostataka. Metoda težinskih ostataka je numerička tehnika za dobijanje aproksimativnog rešenja diferencijalnih jednačina ravnoteže. Ova procedura sastoji se od dva koraka. a) U prvom koraku bira se aproksimativno rešenje koje zadovoljava diferencijalnu jednačinu i granične uslove. Aproksimativno rešenje može biti na primer neki polinom sa nepoznatim koeficijentima. Ovakvo rešenje zadovoljava diferencijalnu jednačinu i njene granične uslove uz postojanje neke greške, tj., ostatka. Ostatak u toku iterativnog procesa treba da se smanjuje u smislu srednje vrednosti po celom domenu u kojem se rešava diferencijalna jednačina. b) U drugom koraku ove metode integralna jednačina se rešava da bi se našli nepoznati koeficijenti. Dakle, za rešavanje diferencijalne jednačine oblika:

L(f ) - f = 0 , prvo se pretpostavlja rešenje u obliku: n

f » fa = å ci gi , i =1

gde su ci nepoznati koeficijenti, a gi su poznate funkcije čiji su argumenti međusobno nezavisne promenljive. Zamenom pretpostavljenog rešenja u diferencijalnu jednačinu dobija se:

L (fa ) - f ¹ 0 ili

R = L(fa ) - f , gde je R ostatak ili greška. Cilj je da se rezidual na celokupnom domenu osrednji i unuli:

ò RW dD = ò [ L(f ) - f ] W dD = 0 i

a

D

i

D

gde težinski faktori Wi odgovaraju svakom članu polinoma ci gi . Težinski faktori mogu biti određeni primenom različitih kriterijuma. Jedna od često primenjivanih je Galerkinova metoda. Zamenom težinskih faktora Wi sa poznatim izabranim funkcijama gi dobija se integralni oblik Galerkinove jednačine:

ò Rg dD = ò [ L(f ) - f ] g dD = 0 i

D

a

i

i = 1,..., n

D

koja se koristi za iznalaženje nepoznatih koeficijenata. Primer 4.3.4.: Izvođenje integralne jednačine primenom Galerkinove Metode Rešiti diferencijalnu jednačinukorišćenjem Galerkinove metode:

y ¢¢ + y = - x, 0 £ x £ 1 , korišćenjem sledećih graničnih uslova y (0) = y (1) = 0 . Zadati granični uslovi su samo geometrijski. Pretpostavimo da je sledeće rešenje aproksimativno rešenje jer zadovoljava granične uslove:

y ( x) » ya ( x) = c1 x(1 - x 2 ) + c2 x 2 (1 - x) = = c1 g1 ( x) + c2 g 2 ( x) = =

2

å c g ( x) i

i

i =1

Pretpostavljeni oblik rešenja zadovoljava granične uslove. Na osnovu pretpostavljenog oblika rešenja rezidual se može napisati u obliku:

R = ya¢¢ + ya + x = ( -5 x - x3 )c1 + (2 - 6 x + x 2 - x 3 )c2 + x Korišćenjem integralnog oblika Galerkinove jednačine možemo napisati:

ò

1

0

Rg1 dx = 0 i

ò Rg dx = 0 . 1

0

2

Odnosno, dobijaju se integrali u obliku:

ò x(1 - x ) Rdx = 0 1

2

0

ò x (1 - x) Rdx = 0 . 1

2

0

Zamenom R u gornjim jednačinama dobija se sistem algebarskih jednačina po nepoznatim koeficijentima c1 i c2 :

0.7238c1 + 0.2738c2 = 0.1333 0.2738c1 + 0.1238c2 = 0.05 Rešenja za nepoznate koeficijente su: c1 = 0.19211 i c2 = -0.0210 . Tako da aproksimativna funkcija dobija konačan oblik:

y ( x) » ya ( x) = 0.19211x(1 - x 2 ) - 0.0210 x 2 (1 - x) . (ZADATAK uporediti aproksimativno rešenje sa analitičkim rešenjem diferencijalne jednačine y ( x) =

sin x -x ) sin1

4.4. Primena integralnih jednačina ravnoteže na domenu konačnih elemenata Aplikacija MKE metode započinje aproksimacijom kontinuuma koji se analizira na skup diskretnih elemenata. Elementi su međusobno povezani preko čvornih tačaka i granica elemenata. Takođe, integralne jednačine oblika: VARIJACIONOM METODOMd [ I (f )] = dP = 0 ili

ò Rg dD = ò [ L(f ) - f ] g dD = 0

METODOM TEŽINSKIH OSTATAKA-

i

D

a

i

D

dobijene primenom Varijacione metode i Metode težinskih ostataka tespektivno,koje su napisane za domen kontinuuma prevode se u zbir integrala čiji su domeni elementi. Integralne jednačine dobijene Varijacionim principom ili Galerkinovom metodom mogu se napisati u opštoj formi kao:

ò H (f )dD = 0 . D

Funkcija H (f ) je opšta funkcija po nepoznatoj promenljivoj f . Ukoliko domen kontinuuma D podelimo na pod-domene D e , tada je:

D»

n

åD

e

i

e =1 n

f » åf e , e =1

gde je n ukupan broj elemenata u kontinuum domenu, dok su f e nepoznate promenljive unutar domena elementa. Opšta forma integralne jednačine može biti napisana kao suma integralnih jednačina čiji su domeni konačni elementi:

ò

H (f ) dD =

n

åH

e

(f e )dD e = 0 .

e =1

D

Ova integralna jednačina predstavlja osnovni oblik jednačine koja se koristi za izvođenje jednačina ravnoteže i matrica konačnog elementa.

4.4.1 Diskretizacija rešenja i uslovi konvergencije rešenja Kontinuum se diskretizuje na elemente, a elementi su definisani preko čvorova, tako da se kontinuum praktično zamenjuje sa skupom čvorova. Fizičke veličine u integralnim jednačinama se na ovaj način zamenjuju sa diskretnim vrednostima u čvorovima ili tzv., čvornim stepenima slobode. Ovi stepeni slobode zavise od vrste fizičke promenljive u integralnoj jednačini kao i od zahtevane kontinualnosti između elemenata. U specifičnom smislu izabrani broj stepeni slobode, odnosno tip elementa predstavlja bitan korak u analizi problema koji se proučava. Korisnici MKE modula u okviru CED-CEM paketa vrše izbor konačnih elemenata iz odgovarajuće biblioteke koja je na raspolaganju u softverskom paketu. Dobrim izborom može se ostvariti korelacija između integralne jednačine proučavanog problema i potrebnog broja stepeni slobode. Formulisanje individualnih jednačina elemenata iz integralnih jednačina a potom sklapanje tih jednačina u sistem koji predstavlja globalni sistem jednačina počiva na pretpostavci da interpolacione polinomne funkcije (f e ) moraju da zadovolje određene zahteve. Ti zahtevi treba da obezbede da aproksimativno rešenje konvergira ka tačnom rešenju integralne jednačine kada se povećava broj malih elemenata (finija mreža bolje rešenje). Ovakav oblik konvergencije spada u grupu monotone konvergencije. Monotona konvergencija se primarno kontroliše preko najviših izvoda u integralnoj jednačini elementa koja je po obliku identična sa integralnom jednačinom kontinuuma. Neka integralna jednačina u elementu sadrži izvode r th reda, da bi se ostvarila monotona konvergencija rešenja na mreži konačnih elemenata usvojeni interpolaciona funkcija mora da zadovolji sledeće zahteve: 1. Zahtev kompatibilnosti-usklađenosti: C r -1 kontinualnost mora da se održi na granicama elementa: to znači da promenljive i njihovi izvodi moraju biti za jedan red manji od reda izvoda u integralnoj jednačini. Integralne jednačine oblika: n

åH

e

(f e )dD e = 0

e =1

moraju biti kontinualne na granicama između elemenata. Elementi međusobno moraju da budu kompatibilni tj., usklađeni. Ukoliko elementi nisu kompatibilni nastaće zazori između njih.

2. Uslov potpunosti: Unutar elementa mora biti održana kontinualnost reda C r . Sve uniformne veličine stanja f kao i njihovi izvodi u integralnoj jednačini mogu biti prikazani preko f e , kada veličina elementa teži graničnoj vrednosti tj., nuli D e ® 0 . Fizički gledano kada mreža konačnih elemenata ima veoma veliki broj elemenata, tada domen elementa D e postaje vrlo mali, veličine f e i njihovi izvodi postaju uniformne, tj., konstantne po domenu. Na primer ako je usvojen kvadratni interpolacioni polinom:

f e = a1 + a 2 x + a 3 x 2 , tada a1 i a 2 kao i njihovi prvi izvodi su uniformne veličine funkcije f e . Kako veličina elementa teži nuli, tako i argument funkcije x teži nuli, tada funkcija f e i njen prvi izvod teže veličinama a1 i a 2 , respektivno.

4.4.2 Obezbeđivanje uslova monotone konvergencije Da bi se obezbedili uslovi potpunosti C r reda i uslov kompatibilnosti funkcija f e treba da bude takvog reda da njen r-ti izvod bude konstanta. U jednodimenzionom slučaju polinom r-tog reda možemo se napisati u obliku: L

f e ( x ) = å a i x i -1 i =1

gde je L = n + 1 . U dve dimenzije kompletni polinom n-tog reda ima oblik: L

f e ( x, y ) = å a k xi y j ,

i+ j£n

k =1

gde je L = (n + 1)( n + 2) / 2 . U tri dimenzije kompletni polinom n-tog reda zapisan preko sume ima oblik: L

f e ( x, y, z ) = å a l x i y j z k ,

i+ j+k £n

l =1

gde je L = (n + 1)( n + 2)( n + 3) / 6 . Koeficijenti a i , u ovim polinomima su nepoznate konstante koji se nazivaju generalizovane koordinate elemenata. Paskalov trougao za kompletne polinome 1., 2., i višeg reda za dvo-dimenzione i trodimenzione probleme prikazan je na donjoj slici. Interpolacioni polinom je nekompletan ako je broj članova manji od L . Ukoliko je obezbeđena simetrija polinoma tada taj polinom ima geometrijsku invarijatnost, tj., polinom je nezavisan od početka i orijentacije koordinantog sistema. Dakle, ukoliko interpolacioni polinom zadovoljava uslove kompletnosti i kompatibilnosti onda se može reći da usitnjavanje mreže konačnih elemenata utiče da numeričko rešenje monotono konvergira ka tačnom rešenju. Postoje tri uslova koja moraju da budu zadovoljena kod usitnjavanja mreže: a) pri formiranju mreže mora se voditi računa da ne postoje zazori tj., gapovi između elemenata; b) sve prethodne grublje mreže moraju biti sadržane u profinjenoj mreži; c) tokom usitnjavanja tip elementa mora biti isti u svim mrežama, to znači da se koristi ista interpolaciona funkcija tokom usitnjavanja. Uslov o minimalnom broju čvorova po elementu: Neka je broj generalizovanih koordinata nG, dok je broj stepeni slobode po čvoru nF. Na osnovu uslova kompatibilnosti sledi da broj stepeni slobode po čvoru nF, treba da bude jednak broju promenljivih u

polju funkcije f e . Konačno broj čvorova po elementu mora biti jednak nG /nF,, dok je ukupan broj stepeni slobode po čvoru elementa mora biti jednak nG tako da imamo dovoljan broj jednačina za određivanje generalizovanih koordinata a i . Parametar nG /nF je najbliži ceo broj tako da geometrija elementa zadovoljava uslov o minimalnom broju čvorova. Na primer linearni trougaoni element zahteva 3 čvora na temenima, dok linearni četvorougaoni konačni element zahteva 4 čvora na temenima. Kvadratni trougaoni element zahteva 6 čvorova po elementu, kvadratni četovorugaoni element zahteva 8 čvorova po elementu.

a) za dve dimenzije

b) za tri dimenzije Paskalov trougao za kompletne polinome Broj čvorova na stranama elemenata mora da zadovolji uslov kompatibilnosti na među elementnim stranama.

4.4.2.1. Interpolaciona funkcijalinearnog 1D elementa Neka je opšta forma integralne jednačine ravnoteže data relacijom:

ò D

H (f ) dD =

n

åH

e

(f e )dD e = 0 .

e =1

1D elementi se koriste u svim domenima opisanim gornjom integralnom jednačinom. Linearni interpolacioni polinom je dovoljan da zadovolji uslove kompletnosti može biti zapisan u obliku:

f e = a1 + a 2 x gde su a 2 i a 2 generalizovane koordinate. 1D elemnti su povezani samo u čvorovima (nema granica po stranama) tada vrednosti funkcije f e u zajedničkim čvorovima moraju biti iste. Funkcija f e može da bude pomeranje, temperatura ili pritisak. U mehanici kontinuuma 1D elementi se koriste za rešetkaste ili gredne elemente. Linearni 1D element naziva se elementom konstantne relativne deformacije, jer je prvi izvod interpolacione funkcije po x jednak konstantnoj generalizovanoj koordinati a 2 . Kao elemente koji brže konvergiraju koriste se kvadratni ili kubni 1D elementi. Kod kvadratnog 1D elementa postoje tri čvora, dva su na granicama a jedan je međučvor. Kao interpolaciona funkcija koristi se polinom drugog reda:

f e = a1 + a 2 x + a 3 x 2 Ovaj polinom obezbeđuje da linearna funkcija a 2 + 2a 3 x bude nagib df e / dx Slično, kod kubnog 1D elementa potrebna su četiri čvora: dva su na krajevima a dva u među-čvora. Za ovaj tip elementa koristi se kubna interpolaciona funkcija:

f e = a1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 Čiji je nagib tj., prvi izvod po x polinom drugog reda:

a 2 + 2a 3 x + 3a 4 x 2 ·

Najmanje dva čvora po elementu je geometrijski zahtev kod 1D elementa.

·

Da bi bio ispunjen zahtev kompletnosti interpolacioni polinom mora biti najmanje kvadratni.

Kao što se vidi na prethodnim slikama prvo se numerišu krajni čvorovi a potom među-čvrovi.

4.4.2.2. Matrica oblika 2D linearnog trougaonog elementa 2D elementi se koriste za diskretizaciju prostora u kojem se rešavaju problemi ravnog stanja napona, ravnog stanja deformacije ili problemi prenosa toplote.

Definisanje fizičke veličine f e po čvorovima konačnog elementa Trougaoni element zahteva minimalno tri čvora za definisanje njegove geometrije. Korišćenjem Paskalovog trougla interpolacioni polinom za fizičku veličinu

f e ima oblik:

f e = a1 + a 2 x + a 3 y , Ako pretpostavimo da je polje promenljive f e definisano preko vrednosti u čvorovima f1 , f2 i f3 trougaonog elementa, tada čvorne vrednosti moraju da zadovolje interpolacioni polinom. Zamenom vrednosti po čvorovima u funkciju f e dobijamo sledeće relacije:

f1 = a1 + a 2 x1 + a 3 y1 f2 = a1 + a 2 x2 + a 3 y2 f3 = a1 + a 2 x3 + a 3 y3

ili u matričnoj notaciji:

φ = [G ] α

gde je

f = [f1 f2 f3 ]

T

é1 x1 y1 ù [G ] = êê1 x2 y2 úú êë1 x3 y3 úû

a = [a1 a 2 a 3 ] . T

Rešavanjem sistema jednačina po a tj., po generalizovanim koordinatama:

α = [G ] φ -1

Zamenom prethodne relacije u izraz f e = [ P ] α , gde je [ P ] = [1 x y ] , dobijamo:

f e = [ P ][G ] φ º [ N ] φ -1

Gde je matrica [ N ] data u obliku:

[ N ] = [ P ][G ]

-1

= [ N1 N 2 N 3 ] .

Konačno, polje promenljive f možemo napisati u obliku:

3

f e = N1f1 + N 2f2 + N 3f3 = å N ifi . i =1

gde je N i = N i ( x, y ) . Matrica

[N ]

je poznata pod nazivom matrica (funkcija) oblika elementa, a

komponente N i = N i ( x, y ) su poznate pod nazivom funkcije oblika u i-tom čvoru. Procedura prikazana gornjim relacijama je opšta i prihvatljiva za druge elemente. Dakle, početni interpolacioni polinom dat je u obliku f e = a1 + a 2 x + a 3 y i ne treba je mešati sa interpolacionim funkcijama čvorova elementa N i = N i ( x, y ) . Opšti interpolacioni polinom se primenjuje po celom domenu elementa, dok se sa Ni definiše polje promenljive po celom domenu uključujući i granice elementa. Dakle, pomoću funkcija N i definišu se vrednosti polja promenljive u čvorovima konačnog elementa (f1 , f2 ,f3 ) kao i u bilo kom drugom delu konačnog elementa. Jedno od važnih pravila za funkciju oblika N i je da interpolaciona funkcija mora da ima jediničnu vrednost u čvoru i a da bude nula u bilo kom drugom čvoru. U tački ( xi , yi ) imamo:

f e ( x1 , y1 ) = f1 , N1 ( x1 , y1 ) = 1, N 2 ( x1 , y1 ) = 0,

N 3 ( x1 , y1 ) = 0

Ovo su bitne osobine koje se primenjuju kako kod linearnih tako i kod izoparametarskih konačnih elemenata. Treba napomenuti ukoliko se proučava ravno stanje napona u svakom čvoru moraju biti prikazane po dve komponente pomeranja: u i v koje odgovaraju polju fizičke veličine f e u prostoru konačnog elementa (gornja slika). Na osnovu toga sledi da po dva interpolaciona polinoma moraju da figurišu u svakom čvoru: u e = a1 + a 2 x + a 3 y , v e = b1 + b 2 x + b 3 y .

Za probleme prenosa toplote polinom ima oblik:

T e = a1 + a 2 x + a 3 y .

4.4.2.3. Matrica oblika 2D linearnog četvoročvornog elementa Biće prikazana procedura izvođenja interpolacionih funkcija za linearni četvorougaoni konačni element. Opšta forma interpolacionog polinoma fizičke veličine f e je:

f e = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy Zamenom čvornih vrednosti elementa u gornju relaciju dobija se sistem jednačina oblika:

f1e = a1 + a 2 x1 + a 3 y1 + a 4 x1 y1

f2e = a1 + a 2 x2 + a 3 y2 + a 4 x2 y2 f3e = a1 + a 2 x3 + a 3 y3 + a 4 x3 y3 f4e = a1 + a 2 x4 + a 3 y4 + a 4 x4 y4

ili u matričnoj notaciji: gde je

φ = [G ] α

f = [f1 f2 f3 f4 ]

T

é1 ê 1 G = [ ] êê1 ê ëê1

x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4

x1 y1 ù ú x2 y2 ú x3 y3 ú ú x4 y4 ûú

a = [a1 a 2 a 3 a 4 ]

T

Odnosno, ponavljanjem istovetnog postupka kao u slučaju trougaonog elementa opštu formu interpolacionog polinoma za fizičku veličinu f e možemo napisati u obliku: 4

f e = N1f1 + N 2f2 + N 3f3 + N 4f4 = å N ifi i =1

gde je matrica interpolacionih funkcija konačnog elementa [ N ] , data u obliku:

[ N ] = [ P ][G ]

-1

.

[ P ] = [1

= [ N1 N 2 N 3 N 4 ]

x y

xy ]

4.5. Jednačine ravnoteže konačnog elementa Rešenje problema pomoću konačnih elemenata uključuje izbor nepoznatih po čvorovima (fi ) koje odgovaraju veličini fizičkog polja f čiji funkcional P treba da zadovolji uslov stacionarnosti. Uslov stacionarnosti funkcionala P podrazumeva nepromenjivost (stacionarnost) u odnosu na čvorne vrednosti fizičkog polja veličine f :

dP = d I (f ) = 0 , Ukoliko se primeni diskretizacija prostora prethodna relacija postaje:

m

m

i =1

i =1

dP = å dP e = å d I e (f e ) = 0 gde je varijacija od I prethodne relacije je:

e

uzeta u odnosu na čvorne vrednosti elementa

é éd I e ù ê ê ú ê0 ê df1 ú ê êd I e ú ê ê ú ê0 ê df1 ú = ê ê M ú ê ê ú ê M êd I e ú ê ê df ú ê 0 ë nû ê ë

e . Matrična forma

ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û

gde je n broj čvorova u elementu. U vektorskoj formi prethodna jednačina može biti napisana u sledećem obliku:

ìd I e ü í ý = {0} , î dfi þ

i = 1, 2,..., n

Uslovom stacionarnosti funkcionala obezbeđeno je da se jednačinama konačnog elementa e podržavaju njegova svojstva.

f izražena e preko interpolacionih funkcija i čvornih vrednosti zameni u funkcional elementa P tj., e I i da se kao takva traži njegova varijacija. Ova procedura biće ilustrovana na 1D i 2D Razvoj matrice elementa podrazumeva da se veličina fizičkog polja

elementu.

4.5.1. Jednačine ravnoteže linearnog 1-d elementa Izvođenje jednačina za 1D element biće prikazan za najednostavniji slučaj 1D elementa koji ima dva čvora na svojim ivicama. Interpolaciona funkcija za fizičku veličinu f e kod 1D elementa sa dva čvora ima oblik

f e = N1f1 + N 2f2 Primenom

funkcionala

za

gredu

æ L AE ¢2 ö P = çò u dx - Fu L ÷ na konačni element è 0 2 ø 1 P =I = 2 e

e

promenljivog

e

poprečnog

preseka

imamo:

Le

ò AE (u¢ ) dx - Fu 2 e

e L

0

Gde je Le dužina konačnog elementa. Zamenom interpolacionog izraza za fizičku veličinu pomeranja u obliku:

u Le = N1u1 + N 2 u2 , ( u1 i u2 su pomeranja u čvorovima 1D elementa) u izraz za funkcional na nivou konačnog elementa dobijamo:

L

1 e I = ò AE ( N1/ u1 + N 2/ u2 )2 dx - F ( N1 u1 + N 2 u2 ) L 20 e

Primenom uslova stacionarnosti funkcionala, m

m

i =1

i =1

dP = å dP e = å d I e (f e ) = 0 , na integral konačnog elementa dobijamo sledeće dve jednačine:

d I e (u1 ) Le = ò AE ( N1/ u1 + N 2/ u2 ) N1/ dx - FN1 = 0 d u1 0 d I e (u2 ) Le = ò AE ( N1/ u1 + N 2/ u2 ) N 2/ dx - FN 2 = 0 d u2 0 S obzirom da je vrednost interpolacione funkcije N i = 1 u i-tom čvoru a da je u ostalim čvorovima nula, drugi član u gornjim jednačinama je nula izuzev u slučaju da moraju da budu zadovoljeni uslovi na granicama elementa (x=L). Gornji sistem jednačina za bilo koji element u untrašnjosti diskretizovanog prostora može se napisati u obliku: e

e

e

é k11 k12 ù éu1 ù é F1 ù ê ú ê ú = ê ú ili ë k21 k 22 û ëu2 û ë F2 û

[K ]

e

Ue = F ,

gde su komponente matrice [ K ] date u obliku: e

Le

kij = ò AEN i/ N j/ dx . 0

Matrica [ K ] je poznata pod nazivom matrica krutosti konačnog elementa, dok je e

U e vektor pomeranja po čvorovima konačnog elementa. Može se primetiti da je matrica

[K ]

e

simetrična matrica. U većini inženjerskih aplikacija matrica krutosti je simetrična

pozitivno definitna matrica. Ukoliko su nam poznate interpolacione funkcije N i a poznate su odmah nakon opredeljivanja za određenu vrstu konačnog elementa sledi da nam je u potpunosti poznata i matrica krutosti. Uslovi ravnoteže kod konačnog elementa koji se poklapa sa granicom grede na kojoj deluje sila P važi: e

e

é k11 k12 ù éu1 ù é 0 ù ê ú ê ú =ê ú ë k21 k 22 û ëu2 û ë F û

e

Pri tome je uzeto da važi: x = L, N1L = 0 i N 2 L = 1 .

4.5.2. Jednačine ravnoteže konačnog elementa pri procesu prenosa toplote Kod rešavanja problema prenosa toplote, metodologija dobijanja jednačina ravnoteže konačnog elementa je analogna, stim što je u ovom slučaju, generalisana koordinata temperatura f e º T e . Zamenom parametra pomeranja u sa temperaturom T

jednačina konačnog elementa u matričnom obliku je identična kao i za prethodni slučaj, dok je oblik komponenti matrice krutosti konačnog elementa sledeći: Le

kij = ò KN i/ N j/ dx 0

Za granični konačni element gde na granici x = 0 postoji toplotni izvor q jednačine ravnoteže konačnog elementa su: e

e

é k11 k12 ù éT1 ù é q ù ê ú ê ú =ê ú ë k21 k 22 û ëT2 û ë 0 û

e

Slično, za slučaj strujanja fluida, generalisana koordinata je pritisak f e º p e , pa je komponenta matrice krutosti sledeća: Le

kij = ò AgNi/ N /j dx 0

Jednačine ravnoteže za granični element imaju oblik:

e

e

e

é k11 k12 ù é p1 ù éV ù ê ú ê ú =ê ú , ë k21 k 22 û ë p2 û ë 0 û Gde je granični uslov definisan na sledeći način x = 0, f1 = V .

4.5.3. Jednačine ravnoteže konačnog elementa pri ravnom stanju napona Razmatrajmo 2D trougaoni linearni element. Neka je fizičko polje promenljivih definisano preko dva međusobno nezavisna pomeranja u u i v u dva ortogonalna pravca x i y . S obzirom da izabrani konačni element ima tri čvora onda polje promenljivih može biti napisano u obliku:

u e = N1u1 + N 2u2 + N 3u3 v e = N1v1 + N 2 v2 + N 3 v3 ili napisano u vektorskoj formi:

e

é u ù é N1 0 N 2 0 êv ú = ê0 N 0 N ë û ë 1 2

é u1 ê ê v1 e N 3 0 ù ê u2 ú ê 0 N 3 û ê v2 êu ê 3 ëê v3

e

ù ú ú ú e ú = [ N ]U ú ú ú ûú

Zamenom ovih relacija u izraz za vektor relativne deformacije

T

é ¶u ε = éëe x e y g xy ùû = ê ë ¶x

¶v ¶u ¶v ù + ú = ¶y ¶y ¶x û

T

é N1, x 0 N 2, x 0 ê = ê 0 N1, y 0 N 2, y êN N N N ë 1, y 1, x 2, y 2, x

éu1 ê e v N3, x 0 ù ê 1 ú ê u2 0 N3, y ú ê ê v2 N3, y N 3, x úû ê u ê 3 êë v3

e

ù ú ú ú e ú = [ B] U ú ú ú úû

gde su N i , x i N i , y izvodi interpolacione funkcije N i po generalisanim koordinatama. Korišćenjem

gornjeg

izraza

za

vektor

deformacije

u

formulaciji

funkcionala

1 T ( P= ò ε [ D ] ε dV - F1u1 - F2 v2 ), kao i usvojene pretpostavke da se integral po domenu 2 V

može svesti na sumu integrala po konačnim elementima, dobijamo sledeći izraz za funkcional po konačnom elementu:

Pe = I e =

1 T U eT [ B ] [ D ][ B ] U e dV e 2 V - F1[ N1 0 N 2 0 N 3 0]1 U e

ò

- F2 [0 gde su vrednosti [ N1 0 ...]1

N1 0

i [0 N1 ...]2

N2 0

N3 ]2 U e

razvijene u tačkama u kojima deluje

opterećenje F1 i F2 respektivno. Primenom uslova stacionarnosti

m

m

i=1

i =1

dP = å dP e = å d I e (f e ) = 0 dobija se šest međusobno

nezavisnih jednačina konačnog elementa koje mogu biti napisane u matričnoj formi kao:

[K ]

e

Ue = 0 ,

gde se matrica krutosti konačnog elementa dobijena iz sledećeg integrala:

[ K ] = ò [ B ] [ D ][ B ] dV = t ò [ B ] [ D ][ B ] dA e

T

Ve

T

Ae

[K ]

e

je matrica krutosti konačnog elementa, u većini inženjerskih problema to je

simetrična pozitivno definitna matrica. Kod elemenata u čijim čvorovima deluje neko opterećenje na desnoj strani sistema jednačina ravnoteže konačnog elementa neće figurisati nula vektor, već će na poziciji odgovarajućeg čvora u vektoru opterećenja figurisati zadato opterećenje.

4.5.4. Jednačine ravnoteže konačnog elementa pri procesu prenosa toplote Ukoliko razmatramo 2D problem prenosa toplote temperatursko polje konačnog elementa možemo napisati u obliku:

T e = N1T1 + N 2T2 + N 3T3 = [ N ] Te ,

gde su [ N ] = [ N1 N 2 N 3 ] i T e = [T1 T2 T3 ]T . Funkcional u slučaju prenosa toplote može biti napisan u obliku: b a

b

a

1 P = ò ò T / T [ KT ] T / dxdy + ò q1Tdy - ò q2Tdx 200 0 0 é ¶T ë ¶x

gde je T / = ê

T

éK

¶T ù ú , ¶y û

[ K ] = ê0 T

ë

0ù ú . Ukoliko u funkcionalu zamenimo interpolacioni Kû

izraz za temperatursko polje dobija se: be ae

be

ae

T 1 P = I = ò ò T / e [ B]T [ KT ][ B]T / e dxdy + ò q1[ N ]Te dy - ò q2 [ N ]Te dx 20 0 0 0

e

e

Gde je matrica izvoda interpolacionih funkcija data izrazom:

é N1, x N 2, x N3, x ù [ B] = ê ú ëê N1, y N 2, y N3, y ûú Slično problemima ravnog stanja napona ukoliko primenimo uslov stacionarnosti

dP =

m

å dP e = i= 1

m

åd I

e

(f e ) = 0 dobija se sistem jednačina ravnoteže konačnog elementa u

i= 1

matričnom obliku:

[ K ]e Te - Q1 + Q 2 = 0 gde je: be ae

[ K ]e = ò ò [ B ]T [ KT ][ B] dxdy, 0 0 be

Q1 = ò q1[ N ]T dy, 0 ae

Q 2 = ò q2 [ N ]T dx. 0

Te -vektor nepoznatih temperatura u čvorovima, [ K ]e -je matrica konduktivnosti konačnog elementa. Gornji sistem jednačina se rešava po nepoznaitm temperaturama u čvorovima. Kao što se vidi iz prethodna dva primera oblik matrice [ K ] koji se rešava kao i od vrste konačnog elementa koji se koristi.

e

zavisi od problema

4.5.5. Pojam krutosti konačnog elementa Formulacija konačnih elemenata podrazumeva transformaciju važećih jednačina ravnoteže kontinuuma na domen elementa. Pri prevođenju integralnog oblika jednačina ravnoteže konačnog elementa na sistem jednačina (Odeljak 4.5.2-4.5.4) u sistemu jednačina se pojavljuju koeficijenti kij koje predstavljaju komponente matrice krutosti konačnog elementa [ K ] . Broj čvorova kao i materijalna svojstva svakog elementa su jednoznačno definisana i direktno utiču na matricu krutosti i matricu masa datog e elementa. Dakle, matrica krutosti konačnog elementa [ K ] je svojevrstan „PIN“ tj., „password“ za konačni element. e

Fizičko tumačenje krutosti: Fizički posmatrano krutost je sila koja izaziva jedinično pomeranje:

K ( Krutost ) = F ( Sila) / U (Pomeranje)

Jedinica za krutost je [N/mm]. Krutost zavisi od geometrije kao i od materijalnih svojstava. Ukoliko posmatramo dva geometrijski identična štapa jedan od čelika a drugi od aluminijuma na koja su primenjene sile istezanja F , može se zaključiti da čelični štap ima veću krutost zato što mu je veća vrednost modula elastičnosti.

Uticaj materijala na krutost Ako razmatramo dva štapa napravljena od istog materijala a različitih poprečnih preseka. U ovom slučaju veću krutost ima čelični štap čiji je poprečni presek veći. Krutost dakle, zavisi od materijala, geometrije kao i od oblika opterećenja koje se primenjuje, tako razlikujemo: Istežuću krutost: K tension = AE / L Savojna krutost: K bending = 3EI / L3 Krutost uvijanja: K torsion = GJ / L

Uticaj oblika strukture na krutost Načini formiranja matrice krutosti konačnog elementa- U strukturnoj analizi krutost je veoma važno svojstvo. Ako se analizira jednačina za linerano statičku analizu (poglavlje 4.5.1.): [ F ] = [K ]e [U ] , može se zaključiti da je vektor sile poznat, vektor pomeranja [U ] je nepoznat, dok je

matrica krutosti konačnog elementa [ K ] karakteristika svojstava izabranog elementa elementa, i kao takva mora biti unapred poznata. e

Postoje četiri metode za definisanje matrice krutosti konačnog elementa:

1. Direktna metoda, 2. Varijaciona metoda– Rayleigh-Ritz Metoda, 3. Metoda težinskih ostataka- Galerkinova Metoda i 4. Energetska metoda. Najpristupačnija za razumevanje je Direktna metoda, dok se najčešće, u fazi programiranja matrice krutosti koristi Galerkinova metoda. Ovde će biti izvedena matrica krutosti 1D elementa Direktnom metodom. Metodologija određivanja matrice krutosti elementa primenom Direktne metode je sledeća: Pretpostavimo da konačni element ima n-stepeni slobode. (Naprimer četvoročvorni konačni element ima 4*6=24 stepena slobode. 1. korak) Pretpostavimo da je I stepen slobode ¹ 0 odatle sledi 1. jednačina ravnoteže; 2. korak) Pretpostavimo da je II stepen slobode ¹ 0 odatle sledi 2. jednačina ravnoteže; 3. korak) Pretpostavimo da je III stepen slobode ¹ 0 odatle sledi 3. jednačina ravnoteže; ……. n. korak) Pretpostavimo da je n stepen slobode ¹ 0 odatle sledi n. jednačina ravnoteže; o. korak) Sledi sistem jednačina 1 + 2 + 3 + …+ n p. korak) Biće data generalizovana formulacija matrice krutosti.

4.5.5.1. Formiranje matrice krutosti 1-d elementa primenom direktne metode Posmatrajmo linijski konačni element sa dva čvora i sa po jednim stepenom slobode u čvorovima, dužina konačnog elementa je L , površina poprečnog preseka štapa A i modul elastičnosti E .

1. slučaj:

ui > 0,

åF

x

=0

u j = 0, ®

Fi + Fj = 0

® Fi = - Fj

sx = F / A e =u/L sx =eE F / A = Eu / L Fi = ( AE / L )ui ® Fj = - Fi = ( AE / L )ui 2. slučaj:

u j > 0,

ui = 0,

................................( A)

Fj = ( AE / L )u j ®

Fi = - Fj = ( AE / L )u j

................................( B )

3. slučaj: Opšti slučaj

ui , u j > 0, Fi =

( AE / L )ui - ( AE / L )u j

Fj = -( AE / L )ui + ( AE / L )u j Ili zapisano u matričnom obliku: é Fi ù é 1 = ( AE / L) ê ê ú ë -1 ë F j û (2 x1)

-1 ù ú 1 û (2 x 2)

éui ù ê ú ëu j û (2 x1)

MATRICA KRUTOSTI

Osobine matrice krutosti: -

Red matrice krutosti zavisi od ukupnog broja stepeni slobode konačnog elementa. Singularna matrica krutosti se može javiti kod tela bez zadatih graničnih uslova ili u slučaju nedeformabilnih tela

-

Svaka kolona u matrici krutosti odgovara po jednoj jednačini ravnoteže, Simetrična matrica krutosti prikazuje direktnu proporcionalnost između sile i pomeranja.

-

Članovi na glavnoj dijagonalni matrice krutosti su uvek pozitivni. Dijagonalni članovi mogu biti nula ili negativni ukoliko je struktura nestabilna.

4.5.5.2. Matrica krutosti opšteg 1-d elementa Gredni element je opšti tip 1-d elementa jer poseduje 6 stepeni slobode po čvoru ( 3 tranlsacije i 3 rotacije). Linearni gredni element ima dva čvora i-j tako da matrica krutosti za ovaj element je dimenzija 12x12, dok vektori sila i pomeranja imaju dimenziju 12x1.

Opšti 1-d element

[ F ]12´1 = [ K ]12´12 [d ]12´1 Ili:

é Fix ù ê ú ê Fiy ú êF ú ê iz ú ê M ix ú êM ú ê iy ú ê M iz ú ê ú ê Fjx ú ê ú ê Fjy ú êF ú ê jz ú ê M jx ú ê ú ê M jy ú êM ú ë jz û

(12 x1)

é K11 K12 K13 ê K 22 K 23 ê ê K 33 ê ê ê ê ê =ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë

éuix ù K14 K15 K16 K17 K18 K19 K110 K111 K112 ù ê ú ú êuiy ú K 24 K 25 K 26 K 27 K 28 K 29 K 210 K 211 K 212 ú êu ú K 34 K 35 K 36 K37 K38 K39 K310 K311 K 312 ú ê iz ú ú êqix ú K 44 K 45 K 46 K 47 K 48 K 49 K 410 K 411 K 412 ú êq ú K 55 K 56 K 57 K58 K59 K510 K 511 K 512 ú ê iy ú ú êqiz ú K 66 K 67 K 68 K 69 K 610 K611 K 612 ú ê ú ú êu jx ú K 77 K 78 K 79 K 710 K 711 K 712 ú ê ú K 88 K 89 K810 K811 K812 ú êu jy ú ú êu ú K 99 K 910 K 911 K 912 ú ê jz ú K1010 K1011 K1012 ú êq jx ú ú ê ú K1111 K1112 ú êq jy ú ú K1212 û (12 x12 ) êq ú ë jz û

(12 x1)

Gornjom relacijom data je opšta forma uslova ravnoteže grednog elementa. Postoje specijalni slučajevi grednog elementa kod koga figurišu samo komponente sile ili komponente momenta.

4.6. Formiranje sistema jednačina konačnih elemenata Sistem jednačina ravnoteže konačnih elemenata se dobija sastavljanjem jednačina koje odgovaraju pojedinačnim konačnim elementima. Neka je opšta forma sistema jednačina za pojedinačni konačni element u matričnom obliku data sledećom relacijom:

[ K ]e φ e = Fe gde su [ K ] matrica krutosti konačnog elementa, φ vektor čvornih vrednosti fizičkog e

e

F e je vektor opterećenja konačnog elementa. Na osnovu prethodnih primera [ K ]e e reprezentuje npr: matricu krutosti ili konduktivnosti konačnog elementa; vektor φ može

polja,

e

da bude: pomeranje, temperatura ili pritisak; vektor F uključuje uticaj spoljašnjih kao i unutrašnjih sila poput zapreminskih sila, toplotnih izvora itd. Izraz [ K ] φ - F = 0 možemo tretirati kao opštu funkciju H (f ) = 0 po nepoznatoj promenljivoj f . Takođe, s obzirom da u Galerkinovoj metodi važi da opšti oblik integralne jednačine možemo napisati kao sumu integralnih jednačina čiji su domeni konačni elementi: e

e

e

n

e e e ò H (f )dD = å H (f )dD = 0 e =1

D

Þ n

e e e ò H (f )dD = å ([ K ] f - F ) = 0 e =1

D

ili u obliku: n

n

e =1

e =1

å[ K ]e f e = å Fe

ili

[K ] φ = F gde je:

[K ] =

n

å[ K ]

e

e =1

n

, F = å F e , φ = [f1 f2 f3 ... fn ] e=1

[ K ] , F , φ su globalna matrica sistema, globalni vektor opterećenja, globalni vektor čvornih promenljivih respektivno. Dimenzija N ovih vektora i matrice definišu se množenjem ukupnog broja čvorova u mreži konačnih elemenata n sa brojem stepeni slobode po čvoru nF , N = n ´ nF .

Globalna matrica sistema [ K ] ima dimenziju N ´ N ,

dok vektori F i φ imaju po N elemenata. Procedura sastavljanja globalnog sistema jednačina je zasnovana na dodavanju doprinosa datog elementa stepenu slobode njegovog čvora u sistemu globalne numeracije. Šema globalne numeracije je zasnovana na jednoznačnoj identifikaciji elemenata i čvorova u celokupnom diskretizovanom prostoru. Globalna numeracija čvorova i elemenata su ulazne informacije koje se dobijaju u fazi pretpocesiranja. Procedura globalne numeracije je kod savremenih CAD/CAM softvera potpuno automatizovana, tako da korisnik u svakom trenutku može da dođe do informacije o numeraciji čvora i to lokalnoj u pripadajućem elementu ili globalnoj u celokupnoj mreži. Ilustracija celokupne procedure formiranja globalnog sistema jednačina data je na sledećoj slici i prikazana je za najednostavniji slučaj sistema elemenata koji se sastoji od dva jednodimenzijska linearna elementa. Globalna numeracija čvorova i elemenata data je na slici a). Na slici b) data je lokalna numeracija oba čvora u elementa. Elementu 1 pripadaju globalno numerisani čvorovi 1 i 2, dok elementu 2 pripadaju čvorovi 2 i 3. Čvor 2 je drugi lokalno numerisan čvor u elementu 1, dok je u elementu 2 prvi lokalno numerisan čvor. Neka je u svakom čvoru definisana po jedna promenljiva, tako da sistem ima ukupno tri nepoznate promenljive f1 , f2 i f3 . Korišćenjem globalne numeracije elemenata i čvorova jednačine ravnoteže za ova dva elementa imaju oblik:

é k111 ê 1 ë k 21

1 k121 ù éf1 ù é F1 ù é k112 úê ú = ê ú , ê k 221 û ëf2 û êë F21 úû ëê k212

2 k122 ù éf2 ù é F1 ù úê ú = ê ú k222 úû ëf3 û êë F22 úû

Gornji matrični zapis prikazuje sistem od po dve jednačine za svaki element. S obzirom da ukupno ima tri čvora sa po jednim stepenom slobode globalni sistem jednačina ravnoteže treba da sadrži tri jednačine. Globalni čvor 2 pripada istovremeno i 1 elementu 1 i elementu 2 odatle proizilazi da uticaj čvora 2 na element 1 ( k22 ) mora biti algebarski sabran sa uticajem ovog čvora na element 2 ( k112 ). Formiranje globalnog sistema jednačina od sistema koji odgovaraju pojedinačnim konačnim elementima prikazan je na sledećoj slici.

é ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ëê

3´ 3

[K ]

1

k111

1 k12

0

1 k21

1 k 22 + k112

k122

k212

0

k222

[K ]

2

ùé úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úû ë

3 ´1

ù é ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê û ë

φ

1

f1 f2 f3 φ2

3 ´1 1

F

F11 + F12

F21 F22 F2

ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û

ili

é K11 K12 K13 ù é f1 ù é F1 ê úê ú ê ê K 21 K 22 K 23 ú ê f2 ú = ê F2 êë K 31 K 32 K 33 úû êë f3 úû êë F3

ù ú ú úû

Globalni sistem jednačina u matričnoj notaciji:

[K ] φ = F , gde je: [ K ] = [ K ] + [ K ] , φ = φ È φ 1

2

1

2

i

F = F1 + F 2

Rešavanje sistema jednačina: Globalni sistem algebarskih jednačina senajčešće rešava primenom Gausove metode eliminacije. Time se obezbeđuje rešenje za nepoznate promenljive u čvorovima konačnih elemenata. Korišćenjem interpolacionih funkcija moguće je dobiti vrednost polja fizičkih veličina po konačnim elementima koji predstavljaju interpolaciju kontinuuma. Dakle, vrednosti polja promenljivih u čvorovima konačnih elemenata kao i njihovi izvodi predstavljaju originalno rešenje zadatog problema na kontinuumu.

4.6.1. Formiranje globalne matrice krutosti sistema od dva 1-d elementa primenom direktne metode

Individualne matrice konačnih elemenata se pridružuju zajedno pri formiranju sistema ravnotežnih jednačina tj., algebarskog sistema jednačina ravnoteže. Pre rešavanja sistema jednačina neophodno je definisati globalnu matricu krutosti kao i modifikovati sistem jednačina sa graničnim uslovima. Ukoliko se ne primene granični uslovi nastaće singularni sistem jednačina. Posmatramo linijsku strukturu opterećenu silom F , koja na dužini L1 ima poprečni presek

A1 i modul elastičnosti E1 , dok na dužini L2 ima poprečni presek A2 i modul elastičnosti E2 .

Zbog različitih materijalnih svojstava ovakvu strukturu moramo modelirati sa dva osnovna (Rod) 1-d elementa, gde se pojavljuje jedan zajednički čvor za oba elementa.

Čvor 2 je unutrašnji čvor sistema (2a, 2b), u ovom primeru sistema od dva elementa, i za njega važe uslovi ravnoteže: å F2i = 0 i å M 2i = 0 . Uslovi ravnoteže za element 1 i 2 pojedinačno su: é F1 ù é k1 ê ú ê ê F2 a ú = ê -k1 êë 0 úû êë 0

- k1

é0 ù é 0 ê ú ê ê F2b ú = ê 0 êë F3 úû êë 0

0 k2

k1 0

- k2

0ù ú 0ú 0úû

éu1 ù ê ú êu2 a ú , êë0 úû

0 ù ú - k2 ú k2 úû

é0 ù ê ú ê u2 b ú êëu3 úû

Formiranje sistema jednačina: - k1

é F1 ù é k1 ê ú ê ê F2 a + F2b ú = ê -k1 êë F3 úû êë 0

k1 + k 2

é F1 ù é k1 ê ú ê ê 0 ú = ê -k1 êë F3 úû êë 0

k1 + k 2

- k2

- k1 - k2

0 ù ú - k2 ú k2 úû

é u1 ù ê ú ê u2 a + u 2 b ú , êë u3 úû

0 ù ú - k2 ú k 2 úû

éu1 ù ê ú ê u2 ú , êëu3 úû

gde su krutosti 1. i 2. elementa respektivno: k1 =

A1 A , k2 = 2 . E1 L1 E2 L2

4.7. Numeričke analize koje se sprovode primenom metode konačnih elemenata

Oblik jednačina koji se dobija u metodi konačnih elemenata zavisi od fizičkog problema koji se rešava. Metodom konačnih elemenata mogu se rešavati sledeći fizički problemi: Linearna statička analiza; Nelienarna analiza;

Analiza fizičkih magnetno);

statička

polja

(elektrostatičko,

Analiza u proračunskoj dinamici fluida;

Dinamički analiza;

Kontaktni problemi mehanike fluida;

Termička analiza;

Analiza buke;

Analiza izvijanja;

Analiza udara.

Analiza zamora;

4.7.1. Linearna statička analiza Pod pojmom linearna analiza podrazumeva se analiza pri kojoj važi linearan konstitutivni zakon tj., linearna zavisnost između napona i deformacije s = Ee , (prava linija na krivoj napon/deformacija). Modul elastičnosti E definiše nagib pravolinijskog dela.

U realnim uslovima nakon dostizanja napona tečenja materijal postaje nelinearan u pogledu materijalnih svojstva, tada posebno treba posmatrati faze linearnog i nelinearnog materijalnog ponašanja.

Pod pojmom statička podrazumeva se analiza pri kojoj su zadovoljena dva uslova: 1) opterećenje se ne menja tokom vremena. 2) Jednačine ravnoteže: čvoru.

å (F , F , F ) = 0 x

y

z

i

å (M

x

, M y , M z ) = 0 važe uvek i u svakom

Linarna statička analiza je najčešće korišćena analiza i ima široku primenu u automobilskoj avio industriji, kao i u građevinarstvu.

4.7.1.1 Sistem jednačina konačnih elemenata pri statičkoj analizi Opšta forma sistema jednačina za rešavanje linearnih statičkih problema napisana u matričnom obliku je:

[ K ] × {u} = {F } [ K ] -globalna matrica krutosti sistema konačnih elemenata; {u} -vektor nepoznatih pomeranja; {F } -vektor poznatih sila. Kod linearne statičke analize globalna matrica krutosti sistema konačnih elemenata- [ K ] je konstantna, tj., nezavisna od {u} . Matrica krutosti

[K ]

je reda (i,i) gde je i = n × k , n-je broj čvorova, k-je broj

stepeni slobode po svakom čvoru. Matrica krutosti sitema

[K ]

formira se iz matrica

krutosti svih konačnih elemenata koji figurišu u diskretizovanom modelu. Vektori {u} i {F } su reda veličine (n,1). Nepoznate su pomeranja po čvorovima, koja se dobijaju rešavanjem sledećeg sistema linearnih algebarskih jednačina:

{u} = [ K ] × {F } . -1

Ukoliko u problemu koji se razmatra postoji neki oblik nelinearnosti: gemetrijska, materijalna ili strukturna potrebno je gornju jednačinu rešavati u inkrementalnom obliku:

[ Ki (ui )] × {Dui } = {DFi }

[ Ki (ui )] -globalna matrica krutosti koja je zavisna od trenutnih vrednosti pomeranja, {Dui } - priraštaj vektora prostornih stepeni slobode u čvorovima, {DFi } - priraštaj vektora sila

4.7.2. Nelinearna statička analiza Pri strukturnoj analizi nelinearnost se može tretirati kao geometrijska i materijalna. Takođe se nelinearnsot pojavljuje kod kontaktnih problema. Nelinearnost: Geometrijska nelinearnost je posledica velikih deformacija; Materijalna nelienarnsot:

iznad elastičnog limita –granice tečenja kod metala, ispod elastičnog limita – granice tečenja kod nemetala,

Nelinearnsot kod kontaktnih problema Pod gemetrijskom nelinearnošću podrazumeva se pojava velikih deormacija. U slučaju nelinearne statičke analize postoji nelinearna zavisnost između optrećenja i deformisanja. Takođe, u ovom slučaju matrica krutosti [ K ] je zavisna od vektora pomeranja u čvorovima konačnih elemenata {u} .

4.7.2.1. Materijalna nelinearnost U slučaju materijalne nelinearnosti neophodno je kao ulazni proračunski podatak uneti zavisnost između napona i deformacije.

Materijalna nelinearnost kod metala ima primenu u automobilskoj avio industriji i u brodogradnji. Kao ulazni podatak pri analizi potrebno je egzaktno poznavanje vrednosti napon/deformacija pri dostizanju napona tečenja. Pri analizi niskocikličnog zamora ovaj podatak se unosi kao ulazni podatak u S-N analizi. Materijalna nelinearnost kod nemetala ima primenu u komponenti od gume, plastike i kompozita i nalazi široku primenu u automobilskoj i avio industriji. Puzanje je fenoment koji se javlja kod materijala izloženih dugotrajnom opterećenju ( koje traje mesecima i godinama) na povišenoj temperaturi. Pri vakvim spoljašnjim uslovima dolazi do gubitka materijalnih svojstava strukturnih komponenti sve do pojave oštećenja u materijalu. Puzanje kao materijalna pojava se javlja kod nuklearnih i termoelektrana, kao i u građevinarsvtu.

4.7.2.2. Geometrijska nelinearnost Geometrijska nelinearnost se pojavljuje kod strukturnih komponenti, koje su čak u materijlnom pogledu linearne ali, kod kojih zbog velike dužine mala opterećenja mogu izazvati velika pomeranja i deformacije. Inženjerska formulacija uslova čvrstoće preko ugiba: d = FL3 / 3EI u ovom slučaju se ne može primeniti jer se ona zasniva na pretpostavci malih pomeranja.

4.7.2.3. Kontakt Pri kontaktnoj analizi koja spada u nelinearnu statičku analizu simulira se gap-zazor između delova. Analiza kontaktnih problema ima široku primenu u industriji.

4.7.3. Dinamička analiza Dinamička analiza podrazumeva dva oblika analize: a) definisanje sopstvene frekvence sistema; b) prinudne oscilacije sistema. Kod analize prinidnih oscilacija javljaju se varijante: frekventnog odziva, prelaznog odziva, i slučajnih vibracija.

DINAMIČKA ANALIZA Prinudne oscilacije Slobodne oscilacije Sopstveni oblici oscilovanja -Frekvenca sa kojom struktura vibrira bez dejstva spoljašnjeg opterećenja - wn = k / m -Poznavanje vrlo bitno zbog analize pojave rezonace.

Odgovor na spoljašnju pobudu Frekventni odgovor

Prelazni odgovor

Slučajne vibracije

-Frekvetni domen;

-Vremenski zavisna analiza;

-Analiza dinamičkog ponašanja strukture pri primeni opterećenja koje ima slučaqjnu prirodu;

-Ustaljeno stanje pobude – sinusoidno; -Ova analiza je ograničena samo na linearno elastične probleme; -Primenjuje se na rotirajuće elemente poput: vratila, elise helikoptera, itd.

-Nastaje pri primeni konstantnog ubrzanja ili sila; -Primer primene: Analiza pobude grede.

Sopstveni oblici oscilovanja predstavljaju osobinu strukture koja zavisi od njene geometrije, materijala i načina ukrućenja. Svaki od modova oscilovanja govori o načinu dominantnih mogućnosti oscilovanja kojima će struktura biti izložena, ako se za to steknu uslovi. Njihove sopstvene frekvence upoređuju se sa frekvencama radnog ili spoljnog prinudnog opterećenja i teži da se izbegne mogućnost rezonantnog stanja izborom materijala, krutosti ležajeva i temelja, ili, za izvedene konstrukcije, brzim prolazom kroz rezonantno stanje, ako se mašina postepeno ubrzava, kao, recimo, turbina. Poređenjem frekvence radnog opterećenja sa frekvencama sopstvenih oblika oscilovanja se ispituju u cilju utvrđivanja bezbednosti strukture kao i strukturno mehaničkih posledica izvijanja. Opšta forma sistema jednačina pri rešavanju dinamičkih problema je:

[ M ] × {u&&(t )} + [C ] × {u&(t )} + [ K ] × {u (t )} = {F (t )} gde je:

u&&(t ) = d 2 u / dt 2 -ubrzanje,

u& (t ) = du / dt -brzina, u -pomeranje. Iz opšte forme proizilaze sledeći slučajevi analize:

[ M ] × {u&&(t )} = 0 , [C ] × {u&(t )} = 0 , [ K ] & {F (t )} = const. -Lienarna statička analiza; [ M ] × {u&&(t )} = 0 , [C ] × {u&(t )} = 0 , [ K ] =

funkcija od u (t ) ,

{F (t )} = const. -

Nelinearna statička

analiza;

[ M ] & [ K ] = const. , {F (t )} = 0 , [C ] × {u&(t )} = 0

- Slobodne oscilacije;

Svi članovi figurišu u gornjoj relaciji. –Prinudne vibracije. Gornji sistem jednačina omogućava analizu strukture i njeno ponašanje tokom vremena. Rešenje sistema jednačina se dobija primenom modalne metode.

Frekventne vrednosti se dobijaju rešavanjem sledećeg sistema jednačina:

[ K ] -matrica krutosti sistema;

[ K ] × { x}i = wi2 [ M ] × { x}i

wi -i-ta sopstvena frekvenca sistema; [ M ] -matrica masa sistema;

{ x}i - i-ti vektor trenutnog moda deformisanja (dominantni oblik deformisanja); Sopstvena frekvenca je karakteristika i osnovno svojstvo dizajna bilo koje komponente, dok su prinudne vibracije primenjive na komponente izložene opterećenju/ brzini/ pomeranju koja su promenljiva u vremenu.

4.7.4. Analiza stabilnosti usled izvijanja Fenomen izvijanja se pojavljuje usled dejstva pritisnog opterećenja kod tankozidnih strukturnih komponenti, gde je savojna krutost mnogo manja od aksijalne krutosti, čime se narušava njihova stabilnost. Analiza stabilnosti se sprovodi za slučaj dejstva kompresivnog opterećivanja konstrukcije.

Izvijanje grednih nosača

Analiza stabilnosti usled izvijanja ima široku primenu u građevinarstvu, kod lakih konstrukcija kakve se sreću kod transportnih sredstava, kod vakumskih sudova, kod dugačkih grednih nosača. Većina komercijalnih softvera za strukturnu analizu pružaju mogućnost analize stabilnosti usled izvijanja. Kao izlazni parametar analize se dobija kritična vrednost sile pri kojoj dolazi do narušavanja stabilnosti.

4.7.5. Termička analiza obliku:

Za rešavanje problema prenosa toplote važi uslov ravnoteže zapisan u matričnu

r × c p × {T& (t )} + [ K ] × {T (t )} = {Q (t )} gde je: r -gustina materijala; c p -toplotna kapacitivnost materijala;

[ K ] -matrica provodnosti; {T (t )} -vektor temperature; {Q (t )} -vektor toplotnih izvora.

Oblici prenosa toplote Termička analiza ima široku primenu kod: toplotnih mašina, grejnih tela, razmenjivača toplote, izduvnih sistema, termoblokova.

4.7.6. Analiza zamora materijala Analiza zamora se sprovodi za strukture koje su izložene cikličnom opterećenju. Kako je zavisnost napona od deformacije s - e osnova Statičke analize tako je zavisnost cikličnog napona od broja ciklusa S - N , ili ciklične deformacije od broja ciklusa e - N osnova Zamorne analize.

D = n/N

D -oštećenje n -broj primenjenih ciklusa opterećenja N -zamorni vek konstrukcije D < 1 -bez oštećenja usled zamora D > 1 -sa oštećenjem usled zamora

4.7.7. Proračunska dinamika fluida Fluid je supstanca koja se neprekidno deformiše pod dejstvom smičućeg napona i u zavisnosti od njegovog intenziteta. Gas i tečnost su fluidi je takođe vrsta fluida. Mehanika fluida se bavi izučavanjem fluida, njegovih svojstava i ponašanjem.

Proračunska dinamika fluida(CFD-Computationa l) je grana mehanike fluida koja koristi numeričke metode za analizu problema dinamike fluida. Ona se zasniva na korišćenju osnovnih jednačina fizike –Zakona o održanju mase, količine kretanja i energije (Navije –Stoksove jednačine ili II Njutnov zakon primenjen na fluide)

4.7.8. Optimizacija -Ovaj tip optimizacije češće se radi na nivou individualnih komponenti nego na nivou celog sklopa Softveri obično ne mogu da menjaju geometrijske forme dodavanjem ili oduzimanjem materijala ali mogu da imaju značajnu ulogu u specificiranju nekih unapred zadatih parametara u okviru definisanih granica. Praktična primena: primenjivo na bilo koju komponentu koja je pod ili pre- dimenzionisana

4.8. Primena konačnih elemenata u pojedinim analizima Prvi korak u modeliranju primenom metode konačnih elemenata je diskretizacija prostora mrežom konačnih elemenata. Izbor vrste konačnih elemenata u procesu diskretizacije zavisi od geometrije i oblika strukture koja se diskretizuje, od tipa analize koja se sprovodi, kao i od raspoloživog vremena. NA IZBOR TIPA ELEMENTA UTIČE: A) Geometrijske dimenzije i oblik

B) Raspoloživo vreme za proračun i kompletnu analizu

C) Vrsta analize koja se sprovodi

4.8.1. Veličina i oblik strukture Kod numeričke analize postavljenog problema neophodno je poznavanje tri dimenzije. Softverska analiza se ne može sprovesti ukoliko geometrija nije kompletno zadata. Različiti tipovi struktura kao i oblici opterećenja diktiraju izbor konačnih elemenata za analizu.

4.8.2. Raspoloživo vreme proračuna Kada vreme ne predstavlja ograničenje preporučuje se korišćenje mreže dobrog kvaliteta. Međutim, kada su analitičari ograničeni sa vremenom izrade izveštaja za postavljeni problemi može se pribeći sledećim opcijama: 1. Koristiti alate za automatsko meširanje, uz izbor adekvatne metodologije proračuna; 2. Kod 3-d meširanja preporučuje se tetraedarsko meširanje, jer heksaedarsko meširanje produžava proračunsko vreme; 3. Ako se analizira sklop sastavljen od više komponenti preporučuje se kvalitetnija mreža samo na kritičnim delovima sklopa dok se ostali delovi mogu meširati sa mrežom lošijeg kvaliteta.

4.8.3. Tip analize Izbor konačnog elementa zavisi i od tipa analize koji se sprovodi. U slučaju strukturne analize i analize zamora preporučuje se korišćenje četvorougaonih i heksaedarskih konačnih elemenata u odnosu na trougaone i tetraedarske; Kod nelinearnih analiza prioritet se daje heksaedarskim konačnim elementima u odnosu na tetraedarske. Takođe zahteva se da ivice elemenata prate granice strukturne komponente koja se analizira; Dinamička analiza - U graničnom slučaju 2-d i 3-d geometrije modela, 2-d elementi ljuske imaju prednost u odnosu na 3-d elemente. Ovo je zato što elementi ljuske imaju manji broj čvorova ;

4.8.3.1. Familija 1-d elemenata Jednodimenzijski 1-d elementi se koriste kod struktura kod kojih je jedna dimenzija mnogo veća od preostale dve. Oblik 1-d elementa: linija

Opšti linijski element Dodatni podaci za korisnika: Zanemarljive dve dimenzije, tj., poprečni presek. Praktična primena: grede, cevi, štapovi, laki nosači, elementi veze, dugačke ljuske TIPOVI 1-d ELEMENATA Štap Šipka Greda Cev Osnosimetrični element ljuske Istezanje/p ritisak, torzija (kod nekih softvera) U x , Rx ; DOF=1(2); (1,4)

-Raspoloživi svi stepeni slobode: Ux , Uy , Uz

Rx , Ry , Rz ; -DOF=6; (1,,2,3,4,5,6) -Primenjiv je kod struktura sa simetričnim poprečnim presekom

Vratila izložena višeosnom naprezanju

Ima iste karakteristike kao i kod elementa šipke samo što ovaj element podržava asimetričan poprečni presek;

Isto kao kod elementa šipke samo što element podržava asimetričan poprečni presek

Isto kao i gredni element, samo što ima unutrašnji ne nula prečnik

Primenjuje se za strukturnu analizu sistema cevi

-Primenjuje se kod objekata koje poseduju osu rotacije i koja su izložena osnosimetričnim graničnim uslovima -Dostupni stepeni slobode: U x , U y , Rz ; -DOF=6; -Osa z je osa rotacije, xradijalna osa. Tankozide posude: cilindrične konusne pod pritiskom

4.8.3.1.-A) Element štapa-Rod element Element štapa je najjednostavniji linijski element. Element štapa se koristi kod konstrukcija gde se javljaju štapovi zanemarljivih masa, kružnog poprečnog preseka izloženih na istezanje ili pritisak. Element štapa podržava samo istezanje ili pritisak duž ose štapa, ne podržava smicanje, moment savijanja ili uvijanje. Matrica krutosti kod ovog linijskog elementa je reda 2x2 jer postoji samo po jedan stepen slobode u svakom čvoru. Matrica krutosti za element štapa izvedena Direktnom metodom prikazana je u Odeljku 4.6.6.

4.8.3.1.-B) Bar element Za razliku od rod elementa Bar element podržava svih 6 stepeni slobode po čvoru (tri translacije: U x , U y , U z ; tri rotacije q x , q y , q z ). Kao tip 1-d elemenata primenjiv je kod konstrukcija sa simetričnim poprečnim presekom.

4.8.3.1.-C) Element grede Grede su nosači kod kojih je jedna dimenzija znatno veća od preostale dve dimenzije, tj., od poprečnog preseka, tako da se kod ovih nosača definiše uzdužni pravac i oblik poprečnog preseka. Pretpostavke koje se uvode kod grede su da je: poprečni presek grede nedeformabilan; pri deformisanju grede kretanje poprečnog preseka se može razložiti na translaciju i rotaciju poprečni presek ne mora ostati upravan na elastičnu liniju.

Poprečni preseci grednih elemenata:

Element grede pripada familiji 1-d elemenata i podržava opterećenja kao i Rod element uz mogućnost izbora asimetričnog poprečnog preseka. Element grede je najopštija forma 1-d elementa, (6 stepeni slobode po čvoru: 3 translacije i 3 rotacije). Kao takav ima široku primenu u numeričkoj praksi.

4.8.3.2. Familija 2-d elemenata Kao što je već rečeno 2-d strukturna analiza se radi kada je jedna dimenzija strukture, debljina, zanemarljiva u odnosu na preostale dve. U ovakvim slučajevima korisnik, u procesu meširanja, zadaje debljinu 2-d elemenata, dok se odgovarajuća reprezentacija strukture u 2-d meširanju prikazuje na njenoj srednjoj ravni. Na sledećoj slici dati su osnovni oblici 2-d elemenata, koji imaju najčešću primenu.

Familija 2-d elemenata U zavisnosti od oblika opterećenja i karakteristika konstrukcije razlikujemo sledeće tipove 2-d elemenata: element za ravno stanje napona, element za ravno stanje deformacije, element ploče, element membrane, element ljuske, osnosimetrični solid element. Elementi za ravno stanje napona i ravno stanje deformacije se koriste kod dvodimezijskih problema.

4.8.3.2.-A) 2-d element za ravno stanje napona Kod 2-d elementa za ravno stanje napona svaki čvor ima po 2 stepena slobode: (U x ,U y ) , tj., dve translacije u srednjoj ravni. Normalni napon, tj., napon u pravcu normale na srednju ravan ploče jednak je nuli s z = 0 .

Ovaj element ima praktičnu primenu kod: struktura napravljenih od tankih metalnih traka, oplate aviona(aircraft skin).

4.8.3.2.-B) Ravno stanje deformacije Kod 2-d elementa za ravno stanje napona svaki čvor ima po 2 stepena slobode: (U x ,U y ) , tj., dve translacije u srednjoj ravni. Deformacija u pravcu normale na srednju ravan ploče jednaka je nuli e z = 0 .

Ovaj element ima primenu kod širokih greda i cevi

4.8.3.2.-C) Ploča Element ploče omogućava po tri stepena slobode u svakom čvoru: rotacije oko osa u ravni (q x ,q y ) i translaciju duž ose normalne na sednju ravan U z . Ovaj element ima praktičnu primenu kod struktura opterećenih na savijanje.

4.8.3.2.-D) Membrana Membranski element omogućava 3 stepena slobode po svakom čvoru: translacije u srednjoj ravni (U x ,U y ) kao i rotaciju oko ose upravne na srednju ravan q z .

Ovaj element ima praktičnu primenu kod struktura u obliku balona i rezervoara.

4.8.3.2.-E) Tanka ljuska Tanki površinski nosači opšteg oblika zovu se ljuske. Ovakvi elementi kosntrukcija su veoma zastupljeni u tehničkoj praksi. Primeri su: noseća konstrukcija automobila, avionske konstrukcije, brodske konstrukcije, kupole i tornjevi za hlađenje u građevinarstvu, cevi, rezervoari.

Debljina ljuske je veoma mala u odnosu na ostale dimenzije (kod automobila, aviona...) pa se radi o tankoj ljuski, ali debljina može biti i značajna tako da se može uvesti gradacija od ljuski srednje debljine do debelih ljuski. Kao specijalni slučajevi ljuske pojavljuju se: ploče (ravne ljuske), membrane i smičući paneli.

Element ljuske je najopštiji tip elementa iz 2-d familije elemenata. Poseduje po 6 stepeni slobode po svakom čvoru: (U x ,U y ,U z ,q x ,q y , q z ) . Kao specijalni slučajevi ljuske pojavljuju se: ploče (ravne ljuske), membrane i smičući paneli.

Element ljuske

= Element ploče + Element membrane

(U x ,U y ,U z ,q x ,q y , q z ) = (U z ,q x ,q y )

+ (U x ,U y ,q z )

(3T + 3R)

+ ( 2T + 1R )

= (1T + 2 R)

.

Element ljuske je najčešće korišćen element u praksi.

4.8.3.2.-F) Osnosimetrični solid element U svom nazivu ovaj tip elementa ima naziv solid a spada u grupu 2-d elemenata. To je iz razloga što se sa ovim elementom može reprezentovati 3-d struktura koja poseduje osu simetrije. Dakle, ovaj tip elementa se najčešće koristi kod 3-d struktura sa osom simetrije poput cilindričnih cevi i cilindričnih rezervoara izloženih pritisku. Analogno CAD pristupu, gde se pri formulisanju osnosimetričnog modela definiše osa rotacije i pravougaoni poprečni presek, tako se i pri meširanju ovakvih struktura definiše osa rotacije i poprečni presek – ravanska mreža. Mreža poseduje osnosimetrične granične uslove. Svaki čvor kod ovog elementa ima po dva stepena slobode: dve translacije.

Osnosimetrični solid element ima primenu kod sudova pod pritiskom, kod struktura koje poseduju geometrijsku osnu-simetriju, kao i osnusimetriju u graničnim uslovima.

4.8.3.3 Solid elementi Ovakvi konačni elementi se koriste za modeliranje konstrukcija kod kojih su sve tri dimenzije istog reda veličine. 3-d element može imati različit broj čvorova uobičajeno je od 8 do 21. Ukoliko 3-d element ima 6 površi koje ga ograničavaju naziva se osnovni konačni element. Iz njega se mogu izvesti ostali konačni elementi kao što je prostorna prizma, tetraedar ili četvorostrana piramida to su degenerisani 3-d elementi. Za modeliranje krivih površi koriste se konačni elementi sa međučvorovima.