TEORIANALISISYDISENO[1]
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AGRADECIMIENTOS La vida esta llena de ciclos, y término de la carrera profesional es uno de ellos. En primer lugar quiero agradecer a mis padres y a mi familia en general por su apoyo incondicional durante mi formación profesional, que requirió de mucho tiempo y esfuerzo, y sin los cuales no hubiese sido posible concluir. Quiero agradecer al Ingeniero Gabriel Gallo Ortiz por todo el tiempo y dedicación puestos en la preparación del presente trabajo y por la guía y constantes asesorías con las cuales me fue posible formar esta tesis profesional; al Doctor Norberto Domínguez Ramírez por su valiosa aportación para la elaboración del capitulo del elemento finito; y en general a todos los profesores de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura que me enseñaron a ser Ingeniero durante estos casi cinco años de estudio. También quiero agradecer a todos mis amigos de la escuela y fuera de ella que me ayudaron, me aconsejaron y me acompañaron en todos estos años de constante dedicación y estudio. Finalmente quiero agradecer a esta grandiosa Institución que es el Instituto Politécnico Nacional, de la cual le siento muy orgulloso de haber egresado, por haberme dado la oportunidad de formarme como un profesionista de la carrera de Ingeniería Civil. Termino esta parte de agradecimientos con el lema del Instituto en el cual creo firmemente:
“La Técnica al Servicio de la Patria”
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Índice
INTRODUCCIÓN
1
CAPITULO I TEORÍA DE PLACAS
1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 ANÁLISIS DE UNA VIGA 1.3 REPRESENTACIÓN DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN POR UNA SERIE TRIGONOMÉTRICA 1.4 PEQUEÑAS DEFLEXIONES EN PLACAS CARGADAS LATERALMENTE
1 4 6 9 9
1.4.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA DEFLEXIÓN EN LA SUPERFICIE 1.4.2 CONDICIONES DE FRONTERA
13
1.5 PLACAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE APOYADAS BAJO CARGA HIDROSTÁTICA 16 1.6 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 29 1.7 PLACAS RECTANGULARES CON DOS LADOS OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS Y LOS OTROS DOS EMPOTRADOS BAJO CARGA HIDROSTATICA 31 1.8 OTRAS CONDICIONES DE FRONTERA 35
CAPITULO II SOLUCIÓN DE LA TEORÍA DE PLACAS CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO Y TEORÍA DE TANQUES 2.1 INTRODUCCIÓN 2.2 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES PARA UNA PLACA 2.3 EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO
2.3.1 EL PROBLEMA DE LAS PLACAS 2.3.1.1 FUNCIONES DE FORMA NO CONFORMES 2.3.1.2 FUNCIONES DE FORMA CONFORMES 2.3.1.3 MODELO DEL ELEMENTO FINITO
2.4 TEORIA DE TANQUES
39 39 42 42 43 46 46 47
CAPITULO III ANÁLISIS DE TANQUES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO 3.1 INTRODUCCIÓN 3.2 CIMENTACIONES 3.3 MUROS 3.3.1 TANQUES SIN CUBIERTA 3.3.1.1 CONSIDERACIONES DE UNIÓN MURO‐BASE 3.3.1.2 DEPÓSITOS DE GRANDES DIMENSIONES
3.3.2 TANQUES CON CUBIERTA 3.3.2.1 CONSIDERACIONES DE UNIÓN MURO‐CUBIERTA
52 52 54 54 57 59 60 60
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3.3.2.2 LA GEOMETRÍA DE LAS CUBIERTAS
3.4 FUNCIONAMIENTO ESTRUCTURAL 3.4.1 TANQUES RECTANGULARES SOBRE EL TERRENO 3.4.2 TANQUES RECTANGULARES ENTERRADOS O SEMIENTERRADOS 3.4.3 TANQUES RECTANGULARES ELEVADOS 3.4.4 FUERZAS DE SUBPRESIÓN
3.5 ACCIONES 3.5.1 TIPOS DE ACCIONES 3.5.2 ACCIONES PERMANENTES 3.5.2.1 CARGA MUERTA 3.5.2.2 EMPUJE HIDROSTÁTICO 3.5.2.3 EMPUJE DEL TERRENO
3.5.3 ACCIONES VARIABLES 3.5.3.1 CARGA VIVA 3.5.3.2 MAQUINARIA
3.5.4 ACCIONES ACCIDENTALES 3.5.4.1 VIENTO 3.5.4.2 SISMO
3.6 EFECTOS DEL MOMENTO TORSIONANTE 3.7 TANQUES MULTICELDA 3.7.1 ANÁLISIS DE PAREDES EN FORMA DE T 3.7.2 ANÁLISIS DE PAREDES EN FORMA DE CRUZ
3.8 EJEMPLO 1 – parte 1 3.8.1 INFORMACIÓN PARA EL ANÁLISIS 3.8.2 CONDICIONES DE CARGA 3.8.3 ELEMENTOS MECÁNICOS EN MUROS. CONDICIÓN DE CARGA No. 1 3.8.3.1 FUERZAS CORTANTES 3.8.3.2 MOMENTOS FLEXIONANTES VERTICALES 3.8.3.3 MOMENTOS FLEXIONANTES HORIZONTALES
3.8.4 ELEMENTOS MECÁNICOS EN MUROS. CONDICIÓN DE CARGA No. 2 3.8.4.1 DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN DE EMPUJE DEL TERRENO 3.8.4.2 FUERZAS CORTANTES 3.8.4.3 MOMENTOS FLEXIONANTES VERTICALES 3.8.4.4 MOMENTOS FLEXIONANTES HORIZONTALES
3.8.5 REVISIÓN PARA FUERZAS DE SUBPRESIÓN. CONDICIÓN DE CARGA No.3 3.8.6 ANÁLISIS DE LA LOSA DE FONDO 3.8.6.1 PRESIÓN ACTUANTE 3.8.6.2 MOMENTOS PARA LA LOSA BASE 3.8.6.3 ANÁLISIS DE CONTRATRABES 3.8.6.4 FUERZAS DE TENSIÓN DIRECTA
3.8.7 ANÁLISIS DE LA LOSA TAPA
61 63 63 63 64 65 67 67 68 68 68 68 69 69 69 69 69 70 70 72 73 73 75 75 76 76 76 77 78 83 83 84 85 85 86 87
87 92 93 96 96
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3.8.7.1 FUERZAS CORTANTES 3.8.7.2 FUERZAS DE TENSIÓN DIRECTA 3.8.7.3 MOMENTOS
3.9 EJEMPLO 2 – Tanque de dos celdas (Pared larga central)
96 97 97 99
CAPITULO IV DISEÑO DE TANQUES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO 4.1 INTRODUCCIÓN 4.2 REQUISITOS DE DISEÑO 4.2.1 ESPESOR Y RECUBRIMIENTO 4.2.2 REFUERZO MÍNIMO 4.2.3 REFUERZO PARA CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA 4.2.4 REFUERZO EN LAS ESQUINAS Y DE CONTINUIDAD
4.3 DISEÑO POR RESISTENCIA 4.3.1 ESTADO LIMITE DE FALLA 4.3.1.1 COMBINACIONES DE ACCIONES 4.3.1.2 FACTORES DE CARGA 4.3.1.3 FACTORES DE RESISTENCIA
4.3.2 ESTADO LIMITE DE SERVICIO 4.3.2.1 DEFLEXIONES 4.3.2.2 AGRIETAMIENTO 4.3.2.3 CAPACIDAD DE SERVICIO PARA EXPOSICIÓN EN DISTINTAS CONDICIONES SANITARIAS
4.4 EJEMPLO 1 – parte 2 4.4.1 INFORMACIÓN PARA EL DISEÑO 4.4.2 CONDICIONES DE CARGA 4.4.3 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE FALLA CONDICIÓN No. 1 4.4.3.1 VERIFICACIÓN DE LA CAPACIDAD AL CORTANTE 4.4.3.2 DISEÑO PARA MOMENTOS FLEXIONANTES VERTICALES
105 105 106 106 106 107 108 108 109 109 110 110 110 110 112 113 113 113 113 114 115
4.4.3.3 DISEÑO PARA MOMENTOS FLEXIONANTES HORIZONTALES COMBINADOS CON TENSIÓN DIRECTA
4.4.4 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE FALLA CONDICIÓN No. 2 4.4.5 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE SERVICIO CONDICIÓN No. 1 4.4.5.1 DEFLEXIONES 4.4.5.2 AGRIETAMIENTO
4.4.6 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE SERVICIO CONDICIÓN No. 2 4.4.7 DISEÑO DE LA LOSA DE FONDO 4.4.7.1 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE FALLA PARA LA LOSA BASE
117 120 120 120 121 122 123 123
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4.4.7.2 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE FALLA EN CONTRATRABE B Y C 4.4.7.3 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE FALLA EN CONTRATRABE EJE 2
4.4.8 DISEÑO DE LA LOSA TAPA 4.4.8.1 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE FALLA 4.4.8.2 REVISIÓN DEL ESTADO LIMITE DE SERVICIO
4.4.9 CROQUIS DE ARMADO
4.10 REGLAMENTOS EXTRANJEROS
126 129 131 131 136 138 141
CAPITULO V DISEÑO POR SISMO 5.1 INTRODUCCIÓN 5.2 CLASIFICACIÓN DE ESTRUCTURAS 5.2.1 CLASIFICACIÓN DE DEPÓSITOS DE ACUERDO A SU DESTINO 5.2.2 CLASIFICACIÓN DE DEPÓSITOS SEGÚN SU ESTRUCTURACIÓN 5.2.3 FACTOR DE COMPORTAMIENTO SÍSMICO 5.2.4 FACTOR REDUCTIVO POR DUCTILIDAD
5.3 REGIONALIZACIÓN SÍSMICA Y ESPECTROS DE DISEÑO 5.3.1 ESPECTROS DE DISEÑO SÍSMICO
5.4 DEPÓSITOS SUPERFICIALES 5.4.1 PRESIONES HIDRODINÁMICAS 5.4.2 FUERZAS DE INERCIA
5.5 EFECTOS COMBINADOS DE LOS MOVIMIENTOS DEL TERRENO 5.6 INTERACCIÓN LIQUIDO‐RECIPIENTE 5.7 INTERACCIÓN SUELO‐ESTRUCTURA 5.8 FACTORES DE CARGA 5.9 EJEMPLO DE ANÁLISIS SÍSMICO 5.9.1 INFORMACIÓN PARA EL ANÁLISIS 5.9.2 DETERMINACIÓN DE LA MASA CONECTIVA E IMPULSIVA Y SUS ALTURAS 5.9.3 DETERMINACIÓN DE LA RIGIDEZ CONECTIVA 5.9.4 DETERMINACIÓN DE LOS PERIODOS 5.9.5 DETERMINACIÓN DEL PERIODO EFECTIVO 5.9.5.1 PERIODO DOMINANTE Y VELOCIDAD EFECTIVA DEL SUELO 5.9.5.2 PERIODO Y AMORTIGUAMIENTO EFECTIVOS DEL SISTEMA SUELO‐ESTRUCTURA
5.9.6 FACTOR REDUCTIVO POR DUCTILIDAD 5.9.7 ORDENADAS DEL ESPECTRO DE ACELERACIÓN 5.9.8 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS IMPULSIVOS 5.9.9 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS CONECTIVOS 5.9.10 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS MÁXIMOS PROBABLES 5.9.11 PRESIONES HIDRODINÁMICAS EN LAS PAREDES 5.9.12 CARGA TRIANGULAR 5.9.13 ANÁLISIS SÍMICO PARA EL CLARO LARGO
5.10 REGLAMENTOS EXTRANJEROS
143 143 143 144 144 144
144 145 145 146 147 148 149 149 150 150 150 151 152 152 152 153 154 156 156 157 157 157 158 158 159 159
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CAPITULO VI ASPECTOS FUNDAMENTALES DE CONSTRUCCIÓN 6.1 INTRODUCCIÓN 6.2 USOS 6.3 MATERIALES 6.4 PREPARACIÓN DEL TERRENO 6.5 CONTROL DEL CONCRETO 6.5.1 PROPORCIONAMIENTO 6.5.2 TAMAÑO MÁXIMO DE AGREGADOS 6.5.3 ADITIVOS 6.5.4 MEZCLADO DEL CONCRETO 6.5.5 REVENIMIENTO
6.6 VACIADO DEL CONCRETO 6.7 CURADO DEL CONCRETO 6.8 CIMBRAS 6.9 PRUEBAS AL CONCRETO 6.10 REQUISITOS DE SEGURIDAD 6.10.1 INSPECCIÓN DURANTE EL PRIMER LLENADO 6.10.2 FUGAS
6.11 MANTENIMIENTO 6.12 DURABILIDAD 6.12.1 IMPERMEABILIDAD DE LOS DEPÓSITOS 6.12.2 CORROSIÓN DEL ACERO DE REFUERZO 6.12.3 EL AGRIETAMIENTO
6.13 JUNTAS 6.13.1. JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN 6.13.2. JUNTAS EN MOVIMIENTO 6.13.2.1 JUNTAS DE EXPANSIÓN O DE DILATACIÓN 6.13.2.2 JUNTAS DE CONTRACCIÓN 6.13.2.3 JUNTAS ESTRUCTURALES
CONCLUSIONES
162 162 163 164 164 164 165 165 165 165
166 166 166 167 167 168 169
169 170 170 171 171
171 172 173 173 174 174
175
ANEXO
A.1 TEORÍA CLÁSICA DE VIGAS A.2 ELASTICIDAD PLANA Y TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS
178 181
A.2.1 ELASTICIDAD PLANA A.2.2 TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS A.2.3 FLEXIÓN PURA DE PLACAS
A.3 TRABAJO Y ENERGÍA A.3.1 TRABAJO A.3.2 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
A.4 TRABAJO VIRTUAL
181 184 185
187 187 189
192
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A.4.1 TRABAJO VIRTUAL EXTERNO E INTERNO A.4.1.1 TRABAJO VIRTUAL EXTERNO A.4.1.2 TRABAJO VIRTUAL INTERNO A.4.2 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A.4.3.1 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES PARA UNA VIGA
A.5 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO EN VIGAS
192 193 193 194 195
196
BIBLIOGRAFÍA
211
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INTRODUCCIÓN
Los depósitos de concreto reforzado se usan comúnmente en los sistemas de agua potable, alcantarillado y saneamiento. Los depósitos de pequeñas dimensiones en planta (con muros cuya longitud oscile entre 5 y 10 m), se utilizan como tanques de regularización o como parte de un sistema de tratamiento. Los depósitos de grandes dimensiones en planta se utilizan en las torres de regulación, tanques de sumergencia, las cajas rompedoras de presión y los espesadores de lodos. En las plantas de aguas residuales se cuenta con los tanques de aereación y tanques digestores de lodos. Todos ellos son de planta rectangular. Los depósitos pueden estar elevados, a nivel de terreno, enterrados, o semienterrados. En algunas ocasiones se considera que desde el punto de vista de funcionamiento estructural y de consumo de materiales, es más eficiente un tanque circular que uno rectangular, hay situaciones en que no es posible o no conviene adoptar la forma circular, por ejemplo, en tanques de edificio, o cuando el terreno disponible está restringido, pues para una cierta capacidad total se aprovecha mejor el terreno con tanques rectangulares que con circulares. Gran parte de los depósitos para el almacenamiento del agua se construyen de concreto reforzado. De hecho el material de construcción que más se utiliza en el mundo para este tipo de estructuras es el concreto reforzado. Muchas son las ventajas que tienen los depósitos de concreto reforzado sobre otros materiales. Entre ellas se cuentan: no se necesita mano de obra especializada, la impermeabilidad, se le puede dar la forma deseada, se puede establecer a voluntad la resistencia de proyecto (dentro de ciertos límites máximos) lo cual se logra mediante la dosificación apropiada de los materiales y, finalmente, los elementos de los depósitos de concreto reforzado tienen la ventaja de poseer capacidad a la compresión, tensión, flexión y cortante y por otra parte, debido a su rigidez, pueden absorber las deformaciones diferenciales. El presente trabajo se encuentra dividido esencialmente en tres partes. La primera tiene un enfoque teórico y abarca los tres primeros capítulos. En el primer capitulo se verán cuestiones teóricas respecto a las paredes de los tanques, que se suponen trabajan como placas delgadas, y las ecuaciones necesarias para obtener los coeficientes de análisis de momentos, fuerzas cortantes y deflexiones para algunas condiciones de frontera, con los cuales será posible el análisis del tanque; durante el segundo capitulo se mencionará muy brevemente el método del elemento finito en la resolución del problema de placas; y en el tercer capitulo se hace un breve recuento de las distintas formas y soluciones estructurales posibles en tanques rectangulares de concreto reforzado, y además, la aplicación de los coeficientes obtenidos de la teoría. La segunda parte del trabajo tiene un enfoque de diseño y comprende los capítulos cuatro y cinco. En el cuarto y quinto capítulo se verán las cuestiones para el diseño de tanques con base en el Reglamento para Construcciones del Distrito Federal y sus Normas Técnicas Complementarias y el Manual de Diseño de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad. Finalmente la ultima parte del trabajo, que es el capitulo seis, contiene algunos aspectos fundamentales en la construcción de tanques. Al final se presenta anexo con algunas cuestiones teóricas que sirven de apoyo para el método del elemento finito y de la teoría de placas.
1
T E O R Í A D E P L A A C A S
CAPIT TULO I
CA APITTULLO I
TEORÍÍA, ANÁLISIS Y Y DISEÑO DE TANQUES REECTANGULAR RES DE CONCR RETO REFORZZADO
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CAPITULO I
t e o r í a d e p l a c a s 1.1 INTRODUCCIÓN Se empieza el análisis asumiendo que el muro del tanque se comporta como una placa delgada1, de ahí se procede a calcular la flexión, y en función de ésta se calculan los momentos horizontales y verticales y las fuerzas cortantes en orden para hacer el diseño del tanque. Las ecuaciones de las placas que se presentan en este capítulo se calcularon bajo una carga hidrostática y únicamente para las siguientes condiciones de frontera: (1) los cuatro bordes simplemente apoyados y (2) borde superior e inferior simplemente apoyados y bordes laterales empotrados. En todas las tablas siguientes denota la altura y el ancho de la pared, el origen del sistema coordinado es en el punto medio del borde superior. La convención de giros para representa a momentos flectores está basada en la fibra coordinada que está bajo esfuerzo, por ejemplo, las fibras en esfuerzo paralelas al eje . La convención de giros utilizada no es compatible con que el subíndice es el eje del momento. Los momentos se consideran positivos cuando producen compresión en la superficie superior de la placa y tensión en la inferior. Las propiedades de flexión de una placa dependen en gran cantidad de su espesor en comparación con sus otras dimensiones. En la teoría estructural se manejan para su análisis tres tipos de placas: placas delgadas con pequeñas deflexiones, placas delgadas con grandes deflexiones y placas gruesas. En nuestro caso se empleara placas delgadas con pequeñas deflexiones; si las deflexiones de la placa son pequeñas en comparación con su espesor , se puede desarrollar una teoría aproximada suficientemente satisfactoria de flexión de placas cargadas lateralmente haciendo las siguientes hipótesis2: 1. 2. 3.
No hay deformación en el plano medio de la placa3. Este plano permanece neutral durante la flexión Los puntos de la placa que se encuentran inicialmente normales al plano medio de la placa permanecen normales a la superficie media de la placa4 después de la flexión. Los esfuerzos normales en la dirección transversal a la placa son despreciables.
que resultan ser una extensión a la teoría de vigas de Euler-Bernoulli5. Haciendo uso de estas hipótesis y como se menciono anteriormente, todos los esfuerzos pueden expresarse por la deflexión de la placa, la cual es una función de de las dos coordenadas en el plano de la placa. Esta función tiene que satisfacer a una ecuación linear diferencial parcial, la cual, junto con las condiciones de frontera, definen completamente a . Por tanto la solución de esta ecuación nos da toda la información necesaria para calcular los esfuerzos en cualquier punto de la placa. Adicionalmente se considera que 1. 2.
El material de la placa es isótropo6. No hay cargas térmicas debidas a cambios de temperatura.
1
Se entiende por placa delgada a cuerpos sólidos que están limitados por dos planos paralelos separados por un espesor , que se considera pequeño en comparación con sus otras dimensiones. 2 Etas suposiciones son pertenecientes a la teoría de placa delgada de Kirchhoff. Véase anexo A.2.2 3
El plano medio de la placa, que coincide con el plano , es el plano a la mitad del espesor , antes de que ocurra la flexión. La superficie media de la placa es el plano a la mitad del espesor , después de que ocurre la flexión 5 Véase Anexo A.1 y A.2. 6 Un material es isótropo cuando las propiedades elásticas son las mismas en todas las direcciones. 4
3
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1.2 ANÁLISIS DE UNA VIGA q
z
Debido a que las paredes de los tanques van a estar sometidas a una carga hidrostática, es decir, a una carga con variación lineal, será útil analizar primero este caso (Fig. 1.1). El ejercicio será determinar la ecuación de la curva de deflexión para una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida de / . Las reacciones en los intensidad extremos A y B son:
0
a)
x
a q
0
b)
6
RB
RA M
0
c)
3
La fuerza cortante de la viga a la distancia x del apoyo izquierdo se obtiene con el diagrama de cuerpo libre de la figura 1.1 c). 0
a q=q x/a
V
RA
0
2 6
x
2
Fig. 1.1 Viga Simplemente apoyada bajo carga uniformemente distribuida con variación lineal
3 6
Ec. (1.1)
El momento flexionante de la viga a la distancia x del apoyo izquierdo se encuentra de la misma manera con el diagrama de cuerpo libre de la figura 1.1 c). 0
0
2 3
6 6
6
6
Ec. (1.2)
Al sustituir la expresión anterior en la ecuación diferencial del momento se obtiene7 Ec. (1.3) 6
6
Donde denota a la deflexión. Ahora se integra ambos lados de esta ecuación para obtener las pendientes y las deflexiones.
7
Ver Ec. A.1.13 del Anexo
4
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Pendiente y deflexión de la viga. La primera integración de la Ec. (1.3) da la siguiente ecuación para la pendiente (a) 12 en donde
24
es una constante de integración. Una segunda integración nos arroja la deflexión (b) 36
120
Constantes de integración. Las dos constantes de integración obtenidas pueden hallarse a partir de las siguientes dos condiciones: 1) En 2) En
0, la deflexión , la deflexión
es cero. es cero.
Estas dos condiciones representan las condiciones de frontera que deben satisfacerse en los soportes. 0, finalmente substituyendo éste valor y la condición Aplicando la condición 1) en la Ec. (b) se obtiene 2) en (b) se obtiene
36
0
120
Por lo tanto, 10
7 360
3 360
(c)
Ecuación de la curva de deflexión. Se sustituye ahora las constantes de integración en la ecuación de la deflexión (b), entonces la ecuación resultante es
36 360
120 7 3
360
7 360
10 10
3
Ec. (1.4)
7
Tabla 1. Factores numéricos para la deflexión, pendiente, momento y cortante para la viga mostrada en la Fig.6.1c . representa el coeficiente de la tabla para cada caso.
/ 0.0000 0.2500 0.5000 0.5198 0.5774 0.6667 0.7500 1.0000
·
·
0.00000 ‐0.00444 ‐0.00651 ‐0.00652 ‐0.00642 ‐0.00583 ‐0.00484 0.00000
‐0.0194 ‐0.0144 ‐0.0012 0.0000 0.0037 0.0094 0.0142 0.0222
·
0.0000 0.3906 0.0625 0.0632 0.0642 0.0617 0.0547 0.0000
·
a
0.1667 0.1354 0.0417 0.3157 0.0000 ‐0.5556 ‐0.1146 ‐0.3333
5
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Se observa que la deflexión máxima se encuentra en 0.5198 y en ese mismo punto como era de esperarse la pendiente es cero. El momento máximo se encuentra en 0.5774 que es también donde el cortante vale cero, el valor de la fuerza cortante máximo se ubica en .
1.3 REPRESENTACIÓN DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN POR UNA SERIE TRIGONOMÉTRICA Como se verá más adelante resulta bastante útil representar la curva de deflexión en forma de una serie trigonométrica8. La ventaja es que una simple expresión matemática representa la curva a todo lo largo del claro. Se empieza por tomar el caso de una viga simplemente apoyada como se muestra en la figura 1.2, la deflexión en cualquier punto se puede representar por la siguiente serie: 2
3
(a)
P
c a 1
2
3
Fig. 1.2 Curvas Simples sinusoidales9
Geométricamente, esto significa que la curva de deflexión se puede obtener superponiendo curvas simples sinusoidales como las mostradas en la figura 1.2 (b), (c), (d), etc. El primer termino en la serie (a) representa la primera curva, el segundo término, la segunda curva, etc. Los coeficientes , , de la serie nos dan las ordenadas máximas de estas curvas de senos y los números 1, 2, 3,… el número de curvas. ,…, puede hacerse que la serie (a) represente cualquier Determinando propiamente los coeficientes , curva con un grado de exactitud que depende del número de términos considerados. Ahora se hará esta determinación de coeficientes considerando la energía de deformación de una viga10 dada por la ecuación
2 donde
(b)
es la flecha; la segunda derivada de , de (a), es
8 Véase Timoshenko (1941) Art. 7, p.44. 9
Fuente: Timoshenko (1941) Fig. 34 Véase Anexo A.3 Ec. A.3.16
10
6
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2
2
3
3
La ecuación (b) involucra el cuadrado de esta derivada, que contiene dos tipos de términos:
y 2 Por integración directa se obtendría
2
y 0 donde
Por lo tanto, en la integral (b), todos los términos conteniendo productos de los coeficientes tales como se eliminan y solo se quedan los cuadrados de esos coeficientes. Entonces
4
1·
2 ·
3 ·
Ec. (1.5) 4
Si un sistema elástico sufre un pequeño desplazamiento desde su posición de equilibrio, el incremento correspondiente en la energía potencial del sistema es igual al trabajo hecho por las fuerzas externas durante tal desplazamiento. Cuando la curva de deflexión estada dada por la serie (a), los pequeños desplazamientos se pueden obtener con unas pequeñas variaciones de los coeficientes , , , …, si a cualquier coeficiente le es dado un incremento , se tendría el termino / , en / , los demás miembros permanecen sin cambios. Este la serie (a) en vez del termino en el coeficiente representa una pequeña deflexión adicional dada por la curva de senos incremento / , superpuesta sobre la curva de deflexión original. Durante esta deflexión adicional las cargas externas trabajan. En el caso de una carga concentrada , aplicada a la distancia desde el soporte / , y la carga izquierdo, el punto de aplicación de la carga sufre un desplazamiento vertical realiza el trabajo: (c) Se considera ahora el incremento de la energía de deformación, dada por la Ec. (1.5) debido al incremento en , (d) 2 Igualando (d) a (c),
7
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·
2 de donde 2
·
1
Con esto se puede determinar cada uno de los coeficientes en la serie (a) y la deflexión de la curva se convierte en 1 2
2
2
2
2
1
Ec. (1.6)
Con esto de puede calcular el valor de para cualquier valor de . De la solución obtenida para una carga concentrada Ec. (1.6), problemas más complicados pueden ser estudiados utilizando el método de superposición. Considerando ahora una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida con / , como anteriormente. Cada carga elemental a una distancia variación lineal de intensidad del apoyo izquierdo produce una deflexión obtenida de la Ec. (1.16), con / , 1
2
Integrando la expresión anterior con respecto a c entre los limites
0y
se tiene
2
y considerando que – cos
2
1
2
1
1
se obtiene finalmente
2
1
Ec. (1.7)
Esta ecuación representa la flecha en cualquier punto. Como se vio anteriormente si se deriva la Ec. (1.7) dos veces se obtiene el Momento para cualquier valor de x
Ec. (1.8) 8
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2
1
Y si se deriva una vez más se obtiene la fuerza cortante para cualquier valor de
2
1
Ec. (1.9)
1.4 PEQUEÑAS DEFLEXIONES EN PLACAS CARGADAS LATERALMENTE 1.4.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA DEFLEXIÓN EN LA SUPERFICIE Se supone que la carga actuando en la placa es normal a su superficie y que las deflexiones son pequeñas en comparación con su espesor. En la frontera se supone que los bordes de la placa son libres de moverse en el plano de la placa; por tanto las reacciones en los bordes son normales a la placa. Con estas suposiciones se puede despreciar cualquier deformación en el plano medio de la placa durante la flexión. Se consideran los ejes coordinados y en el plano medio de la placa y el eje perpendicular al plano, se considera ahora un elemento separado de la placa por dos pares de planos paralelos a los planos y , y y de los momentos como se muestra en la Figura 1.3. Adicionalmente a los momentos flexionantes torsionantes11 , hay fuerzas cortantes verticales12 actuando en los lados del elemento.
Fig. 1.3 Elemento de la placa13.
11
Véase Timoshenko & Woinowsky (1987), p. 37-41
12
No habrá fuerzas cortantes horizontales ni fuerzas normales a los lados del elemento, ya que la deformación en el plano medio de la placa se presume despreciable. 13 Fuente: Timoshenko (1987) Fig. 47 9
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con
y
y se denotan
Las magnitudes de estas fuerzas cortantes por unidad de longitud paralelas al eje respectivamente, tal que /
/
(a)
/
/
Ya que los momentos y las fuerzas cortantes son funciones de las coordenadas x y y, se debe, observando las condiciones de equilibrio del elemento, tomar en consideración los pequeños cambios de estas cantidades cuando las coordenadas y cambian por las pequeñas cantidades y . El plano medio del elemento está representado en la Figura 1.4 a y b, y se indican las direcciones en las cuales los momentos y fuerzas son tomadas positivas. También se debe considerar la carga distribuida sobre la superficie superior de la placa. La intensidad de esta carga se denota con , para que la carga actuando en el elemento sea .
Fig.1.4 Plano medio de la placa con fuerzas y momentos actuantes14.
Proyectando todas las fuerzas actuando en el elemento sobre el eje z se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio
0
de donde
14
Fuente: Timoshenko
Ec. (1.10)
(1987) Fig. 48
10
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0
Tomando los momentos de todas las fuerzas actuando en el elemento con respecto al eje x, se obtiene la ecuación de equilibrio
0
(b)
son despreciados en esta El momento de la carga y el momento debido al cambio en la fuerza ecuación, ya que son pequeñas cantidades de un orden superior en comparación con las que quedaron expresadas. Después de simplificar la Ec. (b) se transforma en
(c)
0
De la misma manera tomando los momentos con respecto al eje se obtiene
(d)
0
Ya que no hay fuerzas en las direcciones y , y no hay momentos respecto al eje la Ec. (1.10), (c) y de y (d) definen completamente el equilibrio del elemento. Se elimina ahora las fuerzas cortantes estas ecuaciones determinándolas de la Ec. (c) y (d) y substituyendo en la Ec. (1.10). De esta manera se obtiene Observando que de la forma siguiente
por virtud de
(e)
, finalmente se representa la ecuación de equilibrio (e) Ec. (1.11) 2
Para representar esta ecuación en términos de la deflexión las ecuaciones 1
1
1
/ /
de la placa, se hace la suposición de que 1
Ec. (1.12)
Ec. (1.13) 6
y son el radio de la pueden ser usadas también en el caso de placas cargadas lateralmente. Donde curvatura de la superficie media, es la relación de Poisson15 y , que toma el lugar de la cantidad en el caso de las vigas, es llamada rigidez a la flexión de la placa, y que queda definida por16 (f)
15
La relación de Poisson es la relación que existe entre la deformación unitaria lateral o transversal respecto a la correspondiente axial, la cual resulta de un esfuerzo axial uniformemente distribuido. 16 Véase Anexo A.2.3, Ec. A.2.18
11
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12 1 y y el esfuerzo de Esta suposición equivale a despreciar el efecto en la flexión de las fuerzas cortantes compresión producido por la carga . Se ha observado que con tal suposición los errores en las deflexiones obtenidas de esta manera son pequeños dado que el espesor de la placa es pequeño en comparación con las dimensiones de la placa en su plano17. De las Ec. (1.12) y (1.13), se obtiene18 Ec. (1.14)
Ec. (1.15)
1 Substituyendo estas expresiones en la Ec. (1.11), se obtiene19 2
2
1
Ec. (1.17)
La ecuación anterior que puede ser descrita como una solución particular para cada tipo de carga, también puede ser escrita en la forma simbólica Ec. (1.18)
ΔΔ donde
Ec. (1.19)
Δ Si no existiere carga la ecuación (1.17) puede ser escrita como sigue 2
0
Ec. (1.20)
Se ha observado18 que el problema de flexión en placas cargadas lateralmente se reduce a la integración de la Ec. (1.17). Si, para un caso en particular, se encuentra que una solución de esta ecuación satisface las condiciones de frontera de la placa, los momentos flexionantes y torsionantes pueden ser calculados por las Ecs. (1.14) y (1.15). y de donde Con las Ecs. (c) y (d) se puede determinar las fuerzas cortantes
o, usando la forma simbólica,
Ec. (1.22)
17
Véase Timoshenko & Woinowsky (1987) Capitulo 1 & Capitulo 2 Véase Anexo A.2.3, Ecs. A.3.21, estas ecuaciones son obtenidas a partir del caso de flexión pura. 19 Esta ecuación fue obtenida por Lagrange en 1811, cuando estaba examinando las memorias presentadas a la Academia Francesa de 18
Ciencias por Sophie Germain. La historia del desarrollo de esta ecuación estada dada en I. Todhunter y K. Pearson en History of the Theory of Elasticity.
12
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Δ
Ec. (1.23)
Δ
1.4.2 CONDICIONES DE FRONTERA Se comienza por tomar el caso de placa rectangular y suponer que los ejes los bordes de la placa.
y
se toman paralelos a
Borde Empotrado. Si el borde de una placa esta empotrado, la deflexión a lo largo del borde es cero, y el plano tangente a la superficie media flexada a lo largo de este borde coincide con la posición inicial del plano medio de la placa. Suponiendo que el borde empotrado esta dado por , las condiciones de frontera son Ec. (1.24) 0 0 Borde simplemente apoyado. Si el borde de la placa esta simplemente apoyado, la flecha a lo largo de este borde debe ser cero. Al mismo tiempo este borde puede rotar libremente con respecto a la a lo largo de este eje. Las expresiones analíticas línea del borde; esto es, no hay momentos flexionantes para las condiciones de frontera en este caso son 0
Ec. (1.25)
0
Observando que / debe eliminarse junto con a lo largo del borde rectilíneo , se encuentra / 0 o también 0. Las que la segunda de las expresiones (1.25) puede ser reescrita como Ecs. (1.25) por tanto son equivalentes a las ecuaciones 0
Ec. (1.26)
0
que no involucra la relación de Poisson v. Borde Libre. Si el borde de una placa, está completamente libre, digamos , es natural suponer que a lo largo de este eje no hay momentos flexionantes ni torsionantes y tampoco hay fuerzas verticales, esto es, que 0
0
0
Las condiciones de frontera para el borde libre fueron expresadas por Poisson en esta forma. Pero después, Kirchhoff demostró que tres condiciones de frontera eran demasiadas y que dos condiciones eran suficientes para la determinación de las deflexiones que satisfacen a la Ec. (1.17). Explico también que los y con la fuerza cortante dos requerimientos de Poisson que tienen que ver con el momento torsionante deben ser reemplazados por una condición de frontera20.
20
Véase Timoshenko & Woinowsky (1987) Art.22, p. 83
13
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que La flexión de una placa no cambiará si las fuerzas horizontales que dan el par torsionante actúa en un elemento de longitud del borde son reemplazadas por dos fuerzas verticales de y aparte, como se magnitud muestra en la Fig. 1.5.
a b
x dy
y
Procediendo con este reemplazo21 de pares torsionantes al largo del borde de la placa y considerando dos elementos adyacentes del borde (Fig. 1.5), se encuentra que la distribución de es momentos torsionantes estáticamente equivalente a la distribución de fuerzas cortantes de intensidad
Fig. 1.522 Y por tanto el requerimiento de junta que tiene que ver con el momento torsionante a lo largo del borde libre se hace
y la fuerza cortante
(g)
0 Substituyendo para
y
sus expresiones (1.15) y (1.22), se obtiene finalmente para el borde libre 2
0
Ec. (1.27)
La condición de que los momentos flectores a lo largo del borde libre son cero requiere que
Ec. (1.28)
0
Las Ecuaciones (1.27) y (1.28) representan las dos necesarias condiciones de frontera a lo largo del borde libre de la placa. Con la transformación de los pares torsionantes que se ve en la Fig. 1.5, no únicamente se obtiene las fuerzas distribuidas a lo largo del borde sino también dos fuerzas concentradas en el extremo del cortantes borde, como se indica en la Fig. 1.6. La magnitud de estas fuerzas son iguales a la magnitud del par en las esquinas correspondientes de la placa. Haciendo una transformación análoga de los torsionante23 pares torsionantes a lo largo del borde , se encuentra que igualmente en este caso, en adición a las fuerzas cortantes distribuidas , habrá fuerzas concentradas en las esquinas. Esto indica que una placa rectangular soportada en alguna manera a lo largo de los bordes y cargada lateralmente producirá no solo reacciones distribuidas a lo largo de la frontera sino también reacciones concentradas en las esquinas.
21
Véase Timoshenko & Woinowsky (1987) Art.22, p. 84 y 85 Fuente: Timoshenko (1987) Fig. 50 23 El par es un momento por unidad de longitud y tiene la dimensión de una fuerza. 22
14
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;
a x
b
;
y ;
;
Fig. 1.6 Fuerzas concentradas24.
a x
a
A z
y
a)
x R
R A
R
y
R
b)
Fig. 1.7 Superficie de deflexión y reacciones concentradas25.
Observando las direcciones de estas reacciones concentradas, se puede obtener una conclusión si la forma general de la superficie de deflexión es conocida. Se toma por ejemplo una placa cuadrada uniformemente cargada simplemente apoyada en los bordes. La forma general de la superficie de deflexión es indicada en la figura 1.7a por líneas intermitentes que representan la sección de la superficie media de la placa por planos paralelos a los planos coordinados y . Considerando estas líneas, se puede ver que cerca de la esquina A la derivada / , representando la pendiente de la superficie de deflexión en la dirección , es negativa y / es positiva en la esquina A. De la decrece numéricamente cuando se incrementa. Por tanto es positivo y es negativo en esa esquina. De esto y de las ecuación (1.15) se concluye que
24 25
Fuente: Timoshenko Fuente: Timoshenko
(1987) Fig. 51 (1987) Fig. 52
15
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direcciones de y de la figura 1.4a se sigue que ambas fuerzas concentradas, indicadas en el punto , en la Fig. 1.6, tienen direcciones hacia abajo. De la simetría se concluye también que las fuerzas tienen la misma magnitud y dirección en todas las esquinas de la placa. Por tanto las condiciones son como las indicadas en la Fig. 1.7b, en donde 2
2
,
(h)
1 ,
Se puede observar que, cuando una placa cuadrada esta uniformemente cargada, las esquinas en general tienen la tendencia a elevarse, y esto se previene con las reacciones concentradas en las esquinas, como se indica en la figura.
1.5 PLACAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE APOYADAS BAJO CARGA HIDROSTÁTICA Existen varios métodos para resolver el problema de deflexiones y esfuerzos de placas rectangulares simplemente apoyadas, métodos analíticos como el método de Navier26 o el método de Maurice Lévy27 y métodos numéricos como el método de Rayleigh-Ritz28 o método del elemento finito que se verán adelante. Navier fue el primero en desarrollar la solución de placas simplemente apoyadas bajo cualquier carga transversal dada por la ecuación:
, ,
Para este propósito se representa la función
en la forma de una serie trigonométrica doble:
, Sin embargo, hacer uso de esta ecuación no es muy satisfactorio debido a la lenta convergencia de las series. Un importante desarrollo que elimina esta dificultad fue sugerido Lévy. Otra ventaja de la solución de Lévy en comparación con el método de Navier es que en vez de una serie doble únicamente se trabaja con una sola serie. En general, es más sencillo realizar cálculos numéricos para una serie sencilla que para una doble. En este capitulo se desarrolla el método de Lévy y se considera como la solución exacta. Este método es aplicable a la flexión de placas rectangulares con condiciones particulares de frontera en dos bordes opuestos (por ejemplo, 0y y condiciones arbitrarias de soporte en los dos bordes (Ec. sobrantes (en /2) (Fig. 1.8). La solución total consiste en la suma de la ecuación homogénea (Ec. 1.17): 1.20), y la solución particular (a) que sea Aunque 0 es independiente de la carga, se puede derivar una expresión de válida para cualquier placa rectangular que tenga condiciones particulares de frontera en dos bordes opuestos. Por tanto, para cada carga específica , se debe obtener una solución .
26 Véase, por ejemplo, Ugural (1999), sección 5.2 27 Esta solución fue presentada en Les Comptes rendus de L'Académie des sciences (Institut de France) en Vol. 129, pp. 535-539, 1899. Usando la serie doble de Navier y la transformación a serie sencilla de M. Lévy, junto con varios casos de placas se presentan en Contribution à l’étude de l’équilibre élastique d’une plaque rectangulaire mince por E. Estanave, Annales scientifiques de l’É.N.S.3e série, tome 17 (1900) p. 295-358 28 Véase Reddy (1999) Capitulo 6 y 7, pp. 300-305 y 334-346
16
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a
x
b/2
b/2
y
Fig. 1.8 Ubicación usual del sistema coordenado para el método de Levy29.
La solución homogénea se selecciona de la siguiente forma general (b)
es función que depende solo de , y se debe obtener para satisfacer las condiciones de borde en Donde /2, y para satisfacer a la Ec. (1.20). Se procede ahora con la descripción del método suponiendo que dos bordes opuestos de la placa rectangular en 0y están simplemente apoyados como se muestra en la Fig. 1.9. En este caso, la Ec. (b) se hace Ec. (1.29)
Cada término de esta serie satisface las condiciones de borde Ec. (1.25) a lo largo de los bordes 0, . Para completar la solución, se debe aplicar a las condiciones de frontera en los dos lados arbitrarios en /2. Substituyendo la Ec. (1.29) en Ec. (1.20), se obtiene 2
0
(c)
⁄ es un conjunto de funciones linealmente independientes, que ésta Lo cual implica, ya que satisface la ecuación ecuación puede ser válida para cualquier valor de x solamente si la función
29
Fuente: Ugural
(1999) Fig. 5.5
17
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2
(d)
0
La solución general de esta ecuación puede ser tomada en la forma30
Ec. (1.30) y b 2
z
b 2
q=q0x/a
a
x
q
0
Fig. 1.9 Placa rectangular simplemente apoyada bajo carga hidrostática
Observando que la deflexión de la placa debe ser simétrica con respecto al eje [esto es, debe tener los mismos valores para y – (Fig. 1.9)] se deja en las expresiones Ec. (1.30) solo funciones pares31 de y se 0. Por tanto la solución homogénea queda de la forma deja las constantes de integración y Ec. (1.31)
La solución particular para una carga hidrostática queda expresada como en la Ec. (1.4) que representa una franja bajo carga triangular, si se iguala la Ec. (1.4) y la Ec. (1.7) para desarrollarla como serie trigonométrica se tiene 3 360
10
7
2
1
Ec. (1.32)
Esta expresión satisface la ecuación diferencial
30
La solución de este tipo de ecuaciones puede verse en Simmons (1993), Capitulo II, sección 22 Una función par es cuando sin importar el valor de la variable ésta siempre es positiva, por ejemplo sea que valga 2 o 2 el resultado es4.
31
es una función par porque ya
18
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(e)
2
y las condiciones de frontera 0
0 para
0 y
Sustituyendo la Ec. (1.31) y la Ec. (1.32) en la Ec. (a), la superficie flexada queda expresada de la forma 2
1
(f)
Simplificando se obtiene 2
1
Ec. (1.33) y
donde las constantes
se determinarán usando las condiciones de frontera 0
0 para
2
Substituyendo en la Ec. (1.33) las condiciones de frontera e introduciendo el termino (g) 2 se obtiene 2
1
(h)
0
2
0 (i)
Despejando Am de (g) se obtiene
2
1
sustituyendo (i) en (h) se obtiene 2
(j)
1
2
0
1 Finalmente substituyendo (j) en (h) se tiene 2
1
1
2
0 1
19
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(k) Substituyendo (j) en (k) en Ec. (1.33) se tiene 2
1
2
1
1
1
2
2
Ec. (1.34)
1
Lo cual nos representa la deflexión en cualquier punto de la placa. Se encuentra que la deflexión máxima de la placa esta en el punto 0.557 para una relación / 1. Esta deflexión máxima, la cual es / , difiere muy poco de la deflexión dada en el centro. El punto de máxima deflexión se 0.002054 acerca al centro la placa cuando la relación / aumenta (ver tabla 2). Las deflexiones de varios puntos a lo largo del eje están dadas en la Tabla 2. La siguiente tabla fue calculada utilizando unicamente los primeros 100 terminos de la Ec. (1.34) y utilizando un valor para la relación de Poisson de 0.20 (concreto)32.
·
b/a 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00
x=0.10a 0.001795 0.001682 0.001472 0.001105 0.000557
x=0.25a 0.004157 0.003897 0.003416 0.002575 0.001311
/
x=0.30a x=0.40a 0.004785 0.005711 0.004487 0.005361 0.003937 0.004712 0.002972 0.003574 0.001521 0.001851
x=0.50a 0.006116 0.005748 0.005064 0.003862 0.002031
0 x=0.557a 0.006089 0.005726 0.005053 0.003867 0.002054
x=0.75a 0.004563 0.004302 0.003816 0.002957 0.001627
x=0.8a 0.003832 0.003615 0.003211 0.002495 0.001386
x=0.9a 0.002049 0.001935 0.001722 0.001345 0.000758
Tabla 2. Factores numericos para deflexiones de una placa rectangular simplemente apoyada bajo presión hidrostatica
Los momentos Flexionantes Empezando primero con se tiene
y
/ ,
=0.20, b>a (Fig. 1.9)
se encuentran substituyendo la Ec. (1.33) en Ec. (1.14).
2
1
2
Ec. (1.35) 32
Los valores de la relación de Poisson para el concreto varían con este mismo módulo en los agregados, la pasta de cemento y la proporción relativa de ambos. También varía con las condiciones de humedad y la edad del concreto. Generalmente, su valor fluctúa entre 0.11 y 0.27. Para deformaciones elásticas bajo esfuerzos normales de trabajo, la relación de Poisson se considera igual a 0.20. Tiene aproximadamente el mismo valor, tanto para el concreto de peso normal como el ligero. Al aumentar la resistencia, edad o el contenido de agregados, la relación de Poisson tiende a disminuir. Véase, por ejemplo, Gere &Timoshenko (1998) Apéndice H, Tabla H-2 “Módulos de Elasticidad y relaciones de Poisson” p. 889.
20
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2
1
1
1
2
Esta ecuación nos representa para cualquier punto de la placa; ya que los momentos máximos se encuentran sobre el eje , es decir cuándo 0, la Ec. (1.35) se hace 2
2
1
2
(l)
1
1
2
La primera sumatoria del segundo miembro representa el momento flexionante bajo la acción de una carga triangular, así que igualando Ec. (1.8) a la Ec. (1.2) se tiene (m) 2 1 6 Sustituyendo (m) en (l) se tiene (n) 1
6 Sustituyendo ahora los valores de
2
y 1
6
2
1
2
(o)
1
6
1
2
1
Asi que de esta forma la ecuación del momento flexionante para cualquier punto sobre el eje x, se reduce a (p)
· Los valores de los coeficientes se dan en la Tabla 3. Si se procede de la misma manera se puede calcular la ecuación de
Ec. (1.36)
2
Esta ecuación nos representa sobre el eje , es decir cuándo
1
1
1
2
para cualquier punto de la placa, que los momentos máximos se encuentran 0, de esta forma se tiene
21
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1
6
2
1
Asi que de esta forma la ecuación del mometo flexionante para cualquier punto sobre el eje , se reduce a · Los valores de los coeficientes se dan en la Tabla 3. Los momentos torsionantes se pueden encontrar haciendo uso de la Ec. (1.15) 1 Entrando el valor de
y
y de
1
se obtiene 1
2
Ec. (1.37) Finalmente · Los valores de los coeficientes se dan en la tabla 4. Observando la Fig. 1.10 y 1.11 se aprecia la simetria de los valores de los coeficinetes que existe con respecto al eje , es decir son los mismos valores en /2. ·
·
b/a x/a 3.00
2.00
1
¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾
y=0 0.0367
y=0 0.0092
0.0592 0.0523
0.0145 0.0123
0.0303 0.0500 0.0457 0.0119 0.0221 0.0244
0.0119 0.0184 0.0151 0.0140 0.0221 0.0186
Tabla 3. Factores numericos para momentos flexionantes de placas rectangulares simplemente apoyadas bajo carga hidrostatica
/ , =0.20,
(Fig. 1.9)
Los momentos valen cero en los extremos 0y , de la misma manera valen cero en los extremos /2 para cualquier valor de x, por lo que ya no se incluyeron en esta tabla. El momento máximo de y se encuentra en 0.577 (véase Fig. 1.10 y 1.11), sin embargo, para fines practicos se puede utilizar el valor de 0.5 , ya que la diferencia es muy reducida, por ejemplo para / 3, el coeficiente es 0.0609 en 0.577 , y el coeficiente de es 0.0592 en 0.5 , se observa que la diferencia de es apenas de -2.8%, por tanto despreciable.
22
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·
b/a x/a 0
3.00
¼ ½ ¾ 1 0
2.00
¼ ½ ¾ 1
1.5
¼ ½ ¾ 1 0
1.00
¼ ½ ¾ 1
y=0.5 b ‐0.0232 ‐0.0178 ‐0.0029 0.0171 0.0310 ‐0.0226 ‐0.0174 ‐0.0029 0.0166 0.0303 ‐0.0160 ‐0.0029 0.0153 0.0284 ‐0.0148 ‐0.0118 ‐0.0028 0.0111 0.0223
y=0.4b ‐0.0182 ‐0.0137 ‐0.0014 0.0136 0.0212 ‐0.0199 ‐0.0151 ‐0.0020 0.0149 0.0243 ‐0.0145 ‐0.0023 0.0142 0.0242 ‐0.0138 ‐0.0110 ‐0.0025 0.0105 0.0199
y=0.3b ‐0.0108 ‐0.0079 ‐0.0004 0.0079 0.0116 ‐0.0146 ‐0.0109 ‐0.0009 0.0108 0.0165 ‐0.0113 ‐0.0014 0.0112 0.0178 ‐0.0114 ‐0.0090 ‐0.0018 0.0088 0.0155
Tabla 4. Factores numericos para momentos torsionantes de placas rectangulares simplemente apoyadas bajo carga hidrostatica
en El valor de como se puede observar, en
/ , =0.20, b>a (Fig. 1.9)
0 es cero para cualquier relación / . Los valores máximos se encuentran, /2.
23
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0.02‐0.03 0.01‐0.02 0‐0.01
Fig. 1.10 Grafica de coeficientes de momentos para una placa cuadrada bajo carga hidrostatica
0.03 0
0.02
0.01
0 0.1a 0.2a 0.3a
0.02‐0.03
0.4a
0.01‐0.02
Fig. 1.11 Grafica de coeficientes para una placa de momentos cuadrada bajo carga hidrostatica
0‐0.01
0.5a 0.6a 2/3 a 0.7a 0.8a 0.9a
0.1b
0.3b
0.5b
‐0.1 ‐0.3
a ‐0.5
24
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Se puede encontrar las ecuaciones para (1.22). Empezando primero con se tiene
y
sustituyendo la Ec. (1.33) en la Ec. (1.21) y Ec.
2
1
2
(r)
La primera sumatoria del segundo miembro representa la fuerza cortante bajo la acción de una carga triangular, así que igualando la Ec. (1.9) a la Ec. (1.1) se tiene 2
3
1
(s)
6 Sustituyendo (s) en (r) y el valor de Bm 3 6
2
1 Ec. (1.38)
Lo que nos representa el valor de la fuerza cortante en cualquier punto de la placa. Entonces la Ec. (1.37) se reduce a · De igual manera se encuentra el valor para 2
1 Ec. (1.39)
Lo que nos representa el valor de la fuerza cortante en cuanquier punto de la placa. Y finalmente la Ec. (1.39) se reduce a · Los valores para los coeficientes se presentan en las Tablas 5 y 6. Las siguientes tablas fueron calculadas utilizando unicamente los primeros 50 terminos de las Ecs. (1.38) y (1.39). Con la figura 1.12 y 1.13 se oserva la simetria de valores de coeficientes con respecto al eje .
25
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Tabla 5. Factores numericos para fuerzas cortantes de placas rectangulares simplemente apoyadas bajo carga hidrostatica
·
b/a x/a 0
3.00
0.25 0.5 0.6667 1 0
2.00
0.25 0.5 0.667 1 0 0.25
1.00
0.5 0.667 1
/ ,
0.20,
. (Fig. 1.9)
Qx y=0 0.1630 0.1328 0.0417 ‐0.0559 ‐0.3297 0.1494 0.1231 0.0415 ‐0.0490 ‐0.3157 0.0899 0.0786 0.0373 ‐0.0192 ‐0.2477
Qy y=0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
·
Qx y=b/4 0.1477 0.1217 0.0412 ‐0.0482 ‐0.3135 0.1248 0.1045 0.0395 ‐0.0367 ‐0.2870 0.0689 0.0609 0.0312 ‐0.0109 ‐0.2125
Qy y=b/4 0.0000 ‐0.0130 ‐0.0190 ‐0.0168 0.0000 0.0000 ‐0.0264 ‐0.0400 ‐0.0365 0.0000 0.0000 ‐0.0410 ‐0.0682 ‐0.0687 0.0000
Qx y=b/2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 ‐0.0040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 ‐0.0040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 ‐0.0040
Qy y=b/2 0.0000 ‐0.1061 ‐0.1856 ‐0.2057 0.0000 0.0000 ‐0.1056 ‐0.1849 ‐0.2050 0.0000 0.0000 ‐0.0944 ‐0.1689 ‐0.1911 0.0000
Se observa que los valores máxinos de se localizan en 0 , asi mismo va disminuyendo y casi tendiendo a cero conforme se acerca a /2, por ejemplo, para / 3, /2 y el valor de es 0.004, por tanto se puede decir que el valor de en /2 es despreciable. Finalmente se se localizan en /2 y su valor maximo en 0.667 . Los observa que los valores máximos de valores cambian de signo según valga /2 y los valores de permanecen iguales. Para fines practicos se resume la tabla anterior tomando unicamente los valores absolutos alrededor o , porque donde uno tiene valor el de la placa (Fig. 1.12 y 1.13), que es donde son maximos, ya sea otro es cero. Tabla 6. Factores numericos para fuerza cortante de placas rectangulares simplemente apoyadas bajo carga hidrostatica
/ ,
0.20,
. (Fig. 1.9)
·
b/a
3.0 2.0 1.0
x=0 y= 0
x=0.5 a y= ±b/2
0.1630 0.1494 0.0899
0.1856 0.1849 0.1689
x=0.66a y=±b/2 0.2057 0.2050 0.1911
x=a y=0 0.3297 0.3157 0.2477
26
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‐0.3
0.1
0
‐0.1
‐0.2
0
0.1a
0.2a
0.3a
0‐0.1
0.4a
‐0.1‐0
Fig. 1.12 Grafica de coeficientes de fuerza coratnte para una placa cuadrada bajo carga hidrostatica
‐0.2‐‐0.1
0.5a
‐0.3‐‐0.2 0.6a
2/3 a
0.7a
0.8a
0.9a
0.4b 0.1b ‐0.2
a ‐0.5
0
0.1a 0.2a 0.3a 0.4a 0.5a
Fig. 1.13 Grafica de coeficientes de fuerza coratnte para una placa cuadrada bajo carga hidrostatica
0.6a
0.1‐0.2 0‐0.1
2/3 a
‐0.1‐0 ‐0.2‐‐0.1
0.7a 0.8a 0.9a a
‐0.2 0. ‐0.1 0. 0. 0. 0. 0 0 ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ 1b 2b 3b 4b 5b 0. 0. 0. 0. 0. 5 4 3 2 1
0.1
0.2
27
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La magnitud de las reacciones verticales y alrededor de la frontera se obtiene combinando las fuerzas cortantes con las derivadas de los momentos torsionantes [Ec. (g) de la seccion 1.3]. a lo largo de los lados 0y estas reacciones pueden ser representadas en la forma (t) · ,
/2 en la forma
y a lo largo de los lados
(u)
· /
Los coeficientes para ambos casos dependen de la relacion / y de las coordenadas de los puntos tomados en la frontera. Estos valores se muestran en la tabla 7. ·
· b/a x/a 3.00
0 1
2.00
0 1
1.00
0 1
y=0 0.1699 ‐0.3346 0.1708 ‐0.3360 0.1316 ‐0.2986
y=b/4 0.1655 ‐0.3310 0.1520 ‐0.3179 0.1027 ‐0.2606
x/a
y= ±b/2
0.25 0.6
0.1485 0.2828 0.1465 0.2801 0.1184 0.2409
0.25 0.6 0.25 0.6
Tabla 7. Factores numericos para reacciones de placas rectangulares simplemente apoyadas bajo carga hidrostatica
/ ,
0.20,
. (Fig. 1.9)
La magnitud de las fuerzas concentradas que deben ser aplicadas para prevenir que las esquinas de la placa se eleven durante la flexión pueden ser encontradas de los valores de los momentos torsionantes en las esquinas. Ya que la carga no es simetrica, las reacciones en 0 y /2 son diferentes de las en y /2. Estas reacciones se pueden representar de la forma reacciones
(v)
b/a 3.00 2.00 1.00
2
0.046 0.045 0.030
0.062 0.061 0.045
1 ,
2
1 ,
(w)
Tabla 8 Factores numericos para reacciones
/ ,
0.20,
. (Fig. 1.9)
Los valores de los factores numericos
y
se dan en la tabla 8.
28
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1.6 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN33 Las soluciones lineales para placas rectangulares con cualquier condición de frontera y tipo de carga, pueden determinarse usando el método de superposición. Hay dos tipos de problemas que pueden ser empleados en el método de superposición. (1) Placas con cargas múltiples, y (2) placas con diferentes condiciones de frontera. Las deflexiones, momentos flectores, y esfuerzos en una placa con condiciones especificas de frontera y sujetas a diversas cargas (primer tipo) pueden ser obtenidas simplemente añadiendo la solución de placas con las mismas condiciones de frontera pero sujeta a una carga a la vez. Por ejemplo, la deflexión de una placa con todos los bordes simplemente apoyados sujeta a una carga hidrostática / y momentos distribuidos a lo largo de los bordes 0, puede ser resuelta simplemente sumando la deflexión debida a la carga hidrostática con la debida a los momentos distribuidos en el borde. Un ejemplo del segundo tipo de problemas se muestra en la Fig. 1.14. La deflexión en este problema se puede obtener para cualquier tipo de carga con la superposición de las deflexiones de dos diferentes placas: (1) una palca simplemente apoyada bajo la carga aplicada, y (2) una placa simplemente apoyada sometida a con una magnitud tal que hagan las pendientes / se eliminen en los bordes momentos distribuidos empotrados. y
y
y
a
b/2
x
=
x
+
x
b/2
a)
b)
c)
Fig. 1.14. Aplicación de método de superposición a una placa rectangular con los bordes
0, simplemente apoyados y con bordes
/2
empotrados34
Se considera una placa rectangular soportada a lo largo de los bordes y flexada por momentos distribuidos a lo largo de los bordes /2 (Fig. 1.14c). Las deflexiones deben satisfacer la ecuación diferencial homogenea 2
0
(a)
y las siguientes condiciones de frontera
33 34
Véase, por ejemplo, Reddy (1999) Capítulo Fuente: Reddy (1999) Fig. 7.2.6
7, pp. 330-333
29
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0
0 para
(c)
0 para
(b)
0 y
2 (d)
/
/
/2.
en donde y representan los momentos flexionantes a lo largo de los bordes Se toma la solución de la Ec. (a) en forma de la serie
(e)
en donde cada termino de esta ecuación satisface las condiciones de frontera (b). Las funciones Ym se toman, como anteriormente, en la forma
(f) que satisface a la Ec. (a). Unicamente se considera un caso particular, el caso simetrico en el que En este caso debe ser una función par de , y se puede poner Entonces se obtiene, de la Ec.(e)
/
. 0 en la expresión (f). /
(g)
Para satisfacer la condicon de frontera (c) se debe poner
0 donde, como anteriormente, 2 por tanto
y la deflexión en el caso simétrico es
(h)
Se usan las condiciones de frontera (d) para determinar las constante . Representando la distribución de momentos flexionantes en /2 por una serie trigonometrica, se tiene en el caso de simetria
30
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(i)
donde los coeficientes se pueden calcular como se ha venido haciendo para cada caso en particular. Substituyendo las expresiones (h) e (i) se obtiene en las condiciones (d), se obtiene 2
de donde 2
y finalmente
2
Ec. (1.40)
Para obtener la pendiente, se tendrá que derivar la Ec. (1.40) 1
2
/
1
Ec. (1.41)
1.7 PLACAS RECTANGULARES CON DOS LADOS OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS Y LOS OTROS DOS EMPOTRADOS BAJO CARGA HIDROSTATICA Se supone que los bordes 0y de una placa rectangular (Fig. 1.15), estan simplemente apoyados y los otros dos bordes estan empotrados. La deflexion de la placa bajo cualquier carga lateral puede obtenerse resolviendo primero el problema en la suposicion que todos los bordes estan simplemente apoyados y luego aplicando los momentos flectores a lo largo de los ejes /2 de tal magnitud que elimine las rotaciones producidas a lo largo de estos bordes por la accion de las cargas laterales. Suponiendo que los bordes estan simplemente apoyados, la deflección es [Ec.(1.34)] 1
2
2
1
(a)
/2 es
y la pendiente de la superficie de defexión a lo largo del borde 1
1
(b)
/
Para eliminar esta pendiente y por ende satisfacer las condiciones de fontera actuales, se distribuyen los dados por la serie momentos flectores a lo largo de lo bordes /2
31
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(c)
/
y se determina los coeficientes de tal manera que se pueda hacer la pendiente producida por estos momentos igual y opuesta a la dada en la expresion (b). y
b 2
z
Borde simplemente apoyado
b 2
Borde empotrado
q=q x/a 0
a q0
x
Fig 1.15 Placa con dos bordes opuestos simplemente apoyados y los otros dos empotrados bajo carga hidostatica.
Utilizando la Ec. (1.41) y superponiendo se tiene
/
0
/
(d) Por tanto 2
1
1
1 (e)
Sustituyendo (d) en (c) se obtiene los momentos a lo largo de los lados empotrados 2
1
/
1
1
(f)
Substituyendo los valores de (d) en Ec. (1.40) se obtiene la flecha a lo largo de los bordes empotrados 1
1
1
Ec. (1.42)
32
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La deflexión final se obtiene superponiendo la Ec. (1.42) y la Ec. (a) esto es
(g) · Los valores máximos de esta deflexión se encuentran como en el caso anterior en Los coeficientes se dan en la Tabla 10.
0.5 a y
0
Tabla 10. Factores numéricos para deflexiones de una placa rectangular con dos lados simplemente apoyados y los otros dos empotrados bajo presión hidrostática
x=0.25a 0.00396 0.00354 0.00282 0.00174 0.00058
3.00 2.50 2.00 1.50 1.00
/ ,
·
b/a
/
0.20,
0
x=0.50a 0.00584 0.00525 0.00422 0.00266 0.00096
(Fig. 1.15)
x=0.60a 0.00568 0.00511 0.00414 0.00264 0.00099
x=0.75a 0.00437 0.00395 0.00322 0.00210 0.00084
Substituyendo la expresión (1.42) en las formulas para los momentos flectores (1.14), se obtiene 1
2
1
1
1
1
Ec. (1.43) 1 2
1
1
1
1
Ec. (1.44)
Superponiendo las Ecs. (1.43) y (1.44) con las Ecs. (1.35) y (1.36) para una placa simplemente apoyada y (Tabla 3), como anteriormente para la deflexión, se encuentran los valores finales. Los coeficientes para se encuentran en la Tabla 11. Procediendo de igual manera se encuentra
1
1
1
1
Ec. (1.45) Superponiendo los coeficientes de la Ec. (1.45) con la tabla 4, se encuentran los valores finales. Los se encuentran en la Tabla 12. coeficientes para
33
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Tabla 11. Factores numericos para momentos flexionantes de placas rectangulares con dos lados simplemente apoyados y los otros dos empotrados bajo carga hidrostatica 0.20, (Fig. 1.15)
·
·
0.9
y=0 0.0000 0.0147 0.0286 0.0409 0.0505 0.0567 0.0585 0.0548 0.0446 0.0267
y= ± b/2 0.0000 ‐0.0033 ‐0.0064 ‐0.0091 ‐0.0112 ‐0.0125 ‐0.0128 ‐0.0119 ‐0.0096 ‐0.0057
y=0 0.0000 0.0042 0.0081 0.0115 0.0140 0.0155 0.0156 0.0143 0.0114 0.0066
y= ± b/2 0.0000 ‐0.0164 ‐0.0319 ‐0.0453 ‐0.0558 ‐0.0623 ‐0.0638 ‐0.0593 ‐0.0479 ‐0.0284
1.0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0
0.0000 0.0061 0.0122 0.0180 0.0233 0.0277 0.0305 0.0306 0.0268 0.0173 0.0000
0.0000 ‐0.0027 ‐0.0052 ‐0.0075 ‐0.0093 ‐0.0105 ‐0.0109 ‐0.0103 ‐0.0084 ‐0.0051 0.0000
0.0000 0.0056 0.0108 0.0153 0.0186 0.0205 0.0206 0.0188 0.0147 0.0084 0.0000
0.0000 ‐0.0134 ‐0.0261 ‐0.0374 ‐0.0464 ‐0.0524 ‐0.0544 ‐0.0513 ‐0.0421 ‐0.0254 0.0000
x/a 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3 0.4
1.50
/
b/a
3.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Tabla 12. Factores numericos para momentos torsionantes de placas rectangulares con dos lados simplemente apoyados y los otros dos empotrados bajo carga hidrostatica 0.20, (Fig. 1.15)
·
b/a x/a 0
3.00
¼ ½ ¾ 1 0
1.50
¼ ½ ¾ 1
y=0.4b ‐0.0173 ‐0.0132 ‐0.0018 0.0130 0.0211 ‐0.0104 ‐0.0083 ‐0.0022 0.0079 0.0156
/
y=0.3b ‐0.0140 ‐0.0103 ‐0.0006 0.0103 0.0151 ‐0.0124 ‐0.0097 ‐0.0018 0.0096 0.0162
34
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Los valores de
/2 y
en
0 son cero.
Finalmente substituyendo la expresión (1.42) en las formulas para las fuerzas cortantes (1.21) y (1.22), se obtiene 2
2
1
1
1
1
Ec. (1.46) 1
1
Ec. (1.47)
Superponiendo estas fuerzas cortantes en las de una placa simplemente apoyada (Tabla 6), se obtiene la fuerza cortante para este caso. Se emplea la simplificación que se usó en la sección 1.4. Los coeficientes para la fuerza cortante se encuentran en la Tabla 13. Tabla 13. Factores numericos de fuerza cortante para placas con dos lados simplemente apoyados y los otros dos empotrados bajo carga hidrostatica
/ ,
0.20,
·
. (Fig. 1.9)
b/a
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0
x=0 y= 0
x=0.5 a y= ±b/2
0.1594 0.1509 0.1329 0.0982 0.0475
0.3706 0.3685 0.3605 0.3330 0.2583
x=0.66a y=±b/2 0.4108 0.4090 0.4020 0.3781 0.3112
x=a y=0 0.3260 0.3174 0.2988 0.2612 0.1969
1.8 OTRAS CONDICIONES DE FRONTERA Para completar el analisis de placas se necesita adicionalmente considerar las siguientes condiciones de frontera: 1. 2. 3.
Borde superior libre, borde inferior simplemente apoyado y bordes laterales empotrados. Borde superior libre, borde inferior empotrado y bordes laterales empotrados. Borde superior simplemente apoyado, borde inferior empotrado y bordes laterales empotrados.
Para el inciso (2), por ejemplo, se tiene que los bordes (Fig. 1.16).
0y
/2 están empotrados y libre en
35
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y libre
b
x
a 2
a 2
q0
Fig. 1.16 Placa rectangular con tres bordes empotrados y uno libre bajo carga hidrostática35
1
La expresión para la deflexión puede ser tomada en la forma (a) Las expresiones para 4
1
1
/
/
(b)
, , …
y (c)
/
1
, , …
contenidas en la Ec. (a) son idénticas con las expresiones (1.7) y (1.29) de las secciones 1.2 y 1.4 si se considera la nueva posición del origen. debido a la restricción adicional en los Una forma adecuada para las deflexiones adicionales bordes /2 es36 , , …
(d) 2
2
2
2
, , …
/4 . en donde , . . . , son constantes y 0 para 0y /2, las condiciones de frontera que quedan por satisfacer por las Como deflexiones (d) son las siguientes [Ecs. (1.24), (1.27) y (1.28)]:
35 36
Fuente: Timoshenko (1987) Fig. 101 Véase Goriupp, K. (1947 & 1948).
36
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0
2
0 (e)
0
0
/
Ahora se tiene que expandir las funciones no circulares de contenidas en la expresión (a) en una serie de la / y todas las funciones similares de en una serie de la forma ∑ /2 . forma ∑ , , . . . , se puede obtener de (e). Resolviendo las Un conjunto de ecuaciones similares para ecuaciones se está en condiciones de expresar las constantes desconocidas en términos de los valores ,..., [Vease Ec. (1.30)]. conocidos Como se puede observar el análisis se complica un poco más que en los casos anteriores, debido a esto se puede recurrir al método del elemento finito que se verá en el capitulo siguiente.
37
SOLU UCIÓN DE E LA TEORÍA DE PLA ACAS CON E EL MÉTODO DEL ELEMENTO FIN NITO Y TEORÍA DE TANQUES
CAPITULO III
CA APITTULLO II
TEORÍA,, ANÁLISIS Y D DISEÑO DE TA ANQUES REC CTANGULARES DE CONCRETTO REFORZADO
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CAPITULO II
solución de la teoría de placas con el método del elemento finito y teoría de tanques
2.1 INTRODUCCIÓN El método del elemento finito es muy útil para resolver problemas complejos que con métodos analíticos son difícil de resolver, como se vio en el capitulo anterior. En este capítulo presentamos de manera meramente introductoria las ecuaciones necesarias para resolver el problema de placas usando este método. Este método es apropiado para implementarse en computadora, y así, si cabe, simplificar más aún la tarea del analista, ya que la obtención de los coeficientes para el cálculo de momentos y fuerza cortante es una tarea laboriosa, y no se siempre se cuenta con el tiempo necesario para realizar tal labor. Adicionalmente al final del capítulo se presenta una breve reseña sobre la distribución de momentos que ocurre en las esquinas del tanque
2.2 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES PARA UNA PLACA El principio de los trabajos virtuales1 se puede establecer como: si un cuerpo continuo esta en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas verdaderas moviéndose a través de desplazamientos virtuales es cero:
(2.1)
0
donde es el trabajo virtual externo y es el trabajo virtual interno. El principio de los trabajos virtuales para el caso de una placa bajo carga uniformemente distribuida con variación lineal (véase Fig. 2.1). El trabajo2 virtual interno hecho por las fuerzas reales a través de desplazamientos virtuales esta dado por /2
/2
/2 Ω
0
2
/2
(a)
(b)
esto representa la energía virtual de deformación almacenada en la placa. El trabajo virtual externo viene dado por3
Ω
Γ
Γ
(c)
Γ
Ω
donde Ω es el plano medio, Γ , Γ y Γ son partes del límite, cargas perimetrales (ver Fig. 2.2).
1
es la carga distribuida transversal y
,
y
las
Véase, por ejemplo, Reddy (1999). Capítulo 2. 2 Véase Anexo A.2 y A.3 3 Véase, por ejemplo, Reddy (1993) pp. 508-514. Véase también Zienkiewicz & Taylor, R.L. (2000) pp. 120-122.
39
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z
b
q=q0x/a
y
a x
q0 Fig. 2.1 Placa rectangular simplemente apoyada bajo carga hidrostática
/
Para placas delgadas tenemos
/
y
Ω
entonces Γ
Γ
Γ
Ω
Podemos combinar los últimos dos términos si integramos por partes el penúltimo término
Γ
Γ
por tanto
Γ
Γ
Γ
son fuerzas concentradas en las esquinas [ver Ec.(h) sección 1.3.2 Capitulo I], si la esquina no se donde mantiene presionada, no es posible una reacción física y la placa tenderá a alejarse del soporte. Esta es la fuente del fenómeno de la “elevación de las esquinas” que puede ser observada en placas con bordes simplemente apoyadas que no restringen esta elevación. Este efecto no aparece si los bordes que forman la esquina están 0. Ahora, el termino entre paréntesis representa a las reacciones en los bordes empotrados, esto es [ver Ec.(g) sección 1.3.2 Capitulo I]. Finalmente substituyendo en (b) obtenemos la expresión final
Ω
Γ
40
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El símbolo de integral con un círculo representa la integral sobre todo el perímetro. Substituyendo los valores de 4 / e integrando para los momentos flectores obtenemos / 2
2 2
Ω
2
2
2
(2.2)
Aplicando ahora el principio de los trabajos virtuales obtenemos 0 2
0
2 2
Ω
2
2
2
Ω
Γ
(2.2) f(x,y)
y x z
h
y
y z
Mx
My
x
M xy x
M yx
Qx
Qn
z
Qy Condiciones de frontera para placas Empotrado
Simplemente Apoyado 1 0
0 ⁄
0
0
⁄
0
0
Simplemente Apoyado 2 0 ⁄
Libre 0 0
0
M ns
Mn
Para determinar la dirección de los momentos (mostrados con doble flecha), hay que usar la convención de la regla de la mano derecha.
0 0
Fig.2.2 Geometría, momento, y fuerza cortante resultante, y diversas condiciones de frontera en un elemento de placa5.
Sustituyendo los valores de los momentos flectores
4
Véase Anexo A.3, Ecs. (A.3.19) y (A.3.21) 5 Fuente: Reddy (1993) Fig. 12.2
41
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2
0
Ω
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 1
Γ
Desarrollando los términos en paréntesis esta ecuación puede también ser expresada como 2 1
0
Ω
(2.3)
2.3 EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO El método del elemento finito usa la filosofía de los métodos variacionales tradicionales6 para derivar las ecuaciones algebraicas relacionadas con los coeficientes no determinados. El método del elemento finito es una aplicación por partes de los métodos variacionales clásicos y usa interpolaciones algebraicas para representar las variables dependientes que se van a determinar. Los parámetros sin determinar representan los valores de las variables dependientes en un numero finito de puntos preseleccionados (cuyos números y ubicación dicta el grado y forma de las funciones coordenadas) en el elemento. El método se adapta perfectamente para computación electrónica y el desarrollo de programas computacionales. En el presente trabajo exponemos únicamente algunos de los conceptos básicos del método. El material presentado es de naturaleza introductoria se pueden consultar las referencias al final de este trabajo para mayor información. El método se puede resumir en los siguientes pasos7: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Representación de un dominio por elementos. Aproximación sobre un elemento. Derivación de las funciones coordinadas. Ensamblaje (o conectividad) de los elementos. Imposición de las condiciones de frontera. Cálculo de las reacciones y derivadas de la solución: Post-procesamiento.
2.3.1 EL PROBLEMA DE LAS PLACAS En la teoría de placas delgadas es posible representar el estado de deformación por una cantidad , el desplazamiento lateral del plano medio de la placa. El logro de esta forma introduce segundas derivadas de en la definición de desplazamientos8 y condiciones de continuidad entre elementos tienen que ser impuestas no solo en sino también es sus derivadas9. Por tanto en los nodos de las interfaces de los elementos será necesario usar el valor de y sus pendientes (primeras derivadas de ) para imponer la continuidad. Lograr completamente ésta continuidad de las pendientes dificulta los cálculos matemáticos, pero es, de alguna manera, simple obtener funciones de forma (o interpolación) que, mientas conservan la continuidad de , pueden violar la continuidad de la pendiente entre elementos. Elementos que violan cualquiera de las condiciones de continuidad se conocen como elementos no conformes.
6
Véase Anexo A.4 7 Véase Anexo A.5 8 Véase anexo A.2 Ec. A.2.12 9
Elementos finitos que requieren la continuidad de
y sus primeras derivadas se llaman elementos
.
42
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Una revisión de los términos de frontera en la forma débil (2.3) sugiere que las condiciones esenciales de frontera involucran especificar la deflexión transversal y la derivada normal de , las cuales constituyen las variables primarias del problema. Por tanto, la interpolación del elemento finito de deben ser tal que , / y / sean continuas en las fronteras entre elementos.
2.3.1.1 FUNCIONES DE FORMA NO CONFORMES Consideremos un elemento rectangular de una placa coincidiendo con el plano como se muestra en la se figura 2.3 de lados 2 y 2 en la dirección y respectivamente. En cada nodo, , desplazamientos , el segundo una introducen. Estos tienen tres componentes: el primero un desplazamiento en la dirección , , y el tercero una rotación respecto al eje , . rotación respecto al eje ,
Fuerzas y desplazamientos correspondientes
Fig. 2.3 Elemento rectangular de placa10
Los vectores de desplazamientos nodales se definen abajo como por una lista de desplazamientos nodales, ahora en total doce:
. El desplazamiento del elemento estará dado
, etc.
Éste elemento rectangular con cuatro nodos, con , / , / en cada nodo, requiere una aproximación de un polinomio de 12 términos11 de para obtener las expresiones para :
10
Fuente: Zienkiewicz (2000), Volume 2, Fig. 4.7 11 Este polinomio es obtenido a partir del llamado triangulo de Pascal. Véase Reddy Taylor, (2000), Volume 1p p. 171-172.
(1993) pp. 411-412. Véase también Zienkiewicz &
43
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Este polinomio no es un polinomio completo de 4º orden; es un polinomio completo de 3er orden. Notamos que varia cúbicamente a lo largo de la línea constante o constante. A lo largo de un lado dado, hay dos nodos y dos valores ( y su derivada normal) por nodo para definir la variación cubica de manera única. Por tanto, es definida de manera única a lo largo de la frontera del elemento y es continua a lo largo de las fronteras entre elementos. La derivada normal, digamos / en una línea constante, también varia como una función cubica de a lo largo de ese lado. Ya que solo dos valores de / están disponibles en la línea, la variación cubica no puede ser definida de manera única, y la continuidad de la pendiente normal no se satisface. / no tiene un solo valor en las esquinas de los elementos12. Por tanto éste rectángulo de Adicionalmente cuatro nodos es un elemento no conforme.
Fig. 2.4 Coordenadas normalizadas para un rectángulo13
a pueden ser evaluadas escribiendo 12 ecuaciones simultaneas relacionando los Las constantes valores de y sus pendientes en los nodos cuando las coordenadas toman sus valores. Entonces tenemos
12
2 2
2 3
3 2
3 3
Para una discusión más amplia acerca de los requerimientos
de continuidad
para las funciones de forma véase Zienkiewicz & Taylor,
(2000) Volume 2 pp. 122-127. 13 Fuente: Zienkiewicz (2000), Volume 1, Fig. 8.4
44
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Posteriormente sustituimos para y los valores correspondientes de cada nodo (ver Fig. 2.4), por ejemplo para , , para el nodo tenemos , , etc. Con estas el nodo , tenemos sustituciones obtenemos una lista de 12 ecuaciones, que podemos escribir en forma matricial como
Donde es una matriz de 12 x 12 dependiendo de las coordenadas nodales antes mencionadas, y las 12 constantes desconocidas. Invirtiendo obtenemos
es un vector de
Esta inversión puede llevarse a cabo mediante una computadora o, si una expresión explicita para la rigidez, etc., es deseada, puede llevarse acabo algebraicamente14. Las funciones de forma de manera explícita15 se obtienen como sigue
donde 1, , ,
,
,
,
,
,
,
,
,
Y las funciones de forma escritas en términos de coordenadas normalizadas se pueden escribir en forma simplificada como16 2 1
1
1 1
donde las coordenadas normalizadas quedan definidas como donde donde y , denotan las coordenadas normalizadas del avo nodo del elemento; son las coordenadas globales , del centro del elemento (Ver Fig. 2.4). Ahora estamos en condiciones de expresar la expresión para el desplazamiento dentro del elemento en forma estándar como
o también , donde denota los valores nodales de se omitió por brevedad.
14
y sus derivadas, y
,
son las funciones de forma. El superíndice
Véase Zienkiewicz & Cheung (1964) 15 Este elemento y sus funciones de forma fueron derivados por Melosh. Véase 16 Véase Anexo A.6 para el desarrollo de estas funciones con Mathematica
Melosh (1963)
45
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2.3.1.2 FUNCIONES DE FORMA CONFORMES / como parámetro nodal es permisible ya Con el elemento rectangular de la Fig. 2.3 la especificación de que no involucra una continuidad excesiva17. Un polinomio completo cuartico involucrando 16 constantes [igual al número de parámetros nodales , / , / , / se requiere en este caso
Después procederíamos de la misma manera que anteriormente, sin embargo existe una manera más sencilla de obtener estas funciones. Estas funciones están basadas de igual manera en el elemento con lados 2 y 2 en las direcciones y respectivamente, correspondiente a los elementos descritos en la literatura del elemento finito. Es bien sabido18 que una función de forma para un elemento 2D pueden ser obtenida a partir del producto tensorial19 de dos funciones de forma 1D si un elemento de viga es definido en un sistema coordenado 1D y otro definido en un sistema coordenado 1D. Las funciones son20 2 2 , , , , ,
,
2
1
, ,
,
1
2
1
1
, ,
,
donde como
,
,
,
son definidos como anteriormente. Entonces podemos expresar el desplazamiento
, La presentación de funciones de forma conformes y no conformes es de carácter introductorio y la comparación entre estas y otro tipo de funciones va mas allá del alcance de este trabajo21. Para discusión más amplia de varios tipos de elementos para la flexión en placas véase Zienkiewicz & Taylor (2000) y las referencias ahí citadas. 2.3.1.3 MODELO DEL ELEMENTO FINITO Sustituyendo a las funciones de forma para del elemento finito
y
1,2, … ,16 en la forma débil (2.3) nos da el modelo
donde
17
Smith
19
Véase Anexo A.6.2
& Duncan demostraron que continuidades nodales excesivas no producen mejoras substanciales en la exactitud en el análisis de flexión de placas delgadas usando el método del elemento finito. Véase Smith & Duncan (1970). 18 Véase, por ejemplo, Reddy (1993) pp. 411-416. 20
El
elemento basado en estas funciones fue desarrollado por Bogner et al. y usado con éxito. Véase: Bogner, Fox & Smith (1966).
Zienkiewicz & Taylor (2000) Volume 2 pp. 151-153; Rao (2004); Reddy (1993) Table 9.1 p. 419; Reddy (1999) y Augarde (2004). 21 Véase Zienkiewicz & Taylor (2000). Volume 2 pp. 138-145
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2 1
Ω
Ω
Se puede observar de la Fig. 2.5 que con las funciones de forma conformes se puede converger a la solución exacta más rápidamente, es decir, con una malla con menos elementos, que con respecto a las funciones no conformes, sin embargo, utilizando funciones de forma conforme, las manipulaciones de las matrices y vectores resulta más complicada.
Error en w (%)
10
5
0 Bogner et al
a
Melosh M=2
-5
a
-10 1
2
3
4
5
6
7 8 9 10
Densidad de Malla M Fig. 2.5 Comparación de funciones de forma en una placa cuadrada simplemente apoyada bajo carga uniformemente distribuida (deflexión al centro)22
2.4 TEORIA DE TANQUES En esta parte damos los coeficientes de deflexiones y momentos para tanques con diferentes condiciones de y ) presentados en las secciones anteriores para el diseño de frontera. Los coeficientes de diseño ( , placas pueden ser usadas también para tanques que tienen dimensiones cuadradas. Para tanques rectangulares, los resultados del análisis de placas no son aplicables ya que no toman en cuenta la distribución de momentos que ocurren entre las paredes de diferente rigidez. Un ajuste debe llevarse acabo similar a la modificación de momentos de empotramiento en un marco analizados a través de la distribución de momentos. Los coeficientes de cortante dados anteriormente para placas pueden ser usados para el diseño de tanques rectangulares.
22
Fuente: Zienkiewicz (2000) Volume 2, Fig. 4.16
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Si el método de distribución de momentos23 es usado, el borde común de paneles adyacentes, se considera primero artificialmente restringido, para que no ocurra rotación con respecto a ese borde. Los momentos de empotramiento tomado del análisis de placas son usualmente distintos en paneles adyacentes, y las diferencias, que corresponden a momentos no balaceados, tienden a rotar el borde. Cuando la restricción artificial se retira, los momentos no balanceados inducirán momentos adicionales en los paneles. Sumando los momentos inducidos y los de empotramiento en el borde dan los momentos finales, que deben ser idénticos en ambos lados del borde común. Hay que notar la distribución de momentos no pude ser aplicada tan fácilmente a paredes continuas de tanques como lo es en estructuras con marcos, ya que los momentos flexionantes deben ser distribuidos simultáneamente a lo largo de toda la longitud del borde para que los momentos se hagan iguales en ambos lados y en cualquier punto dl borde. Más aún, los tanques desarrollaran tensión o compresión en el plano. Los efectos de la fuerza de tensión, si son significantes, deben tomarse en cuenta. A continuación se presenta la distribución de momentos para en la esquina de un tanque a todo lo largo de la pared, para las relaciones / 3y / 1.5, donde es el lado largo y es el lado corto, con los coeficientes la tabla 11 del capítulo I. Se consideran las rigideces como sigue (ver fig. 2.6) 4
0.3333
4
0.6667
Los factores de distribución son 0.3333 0.6667 0.6 son (tabla 11, capítulo I)
Los coeficientes de los momentos de empotramiento en
0.0638 0.0544 La distribución es
23
0.0638
0.0544
0.3333
0.0031
0.0638
0.0544
0.6667
0.0063
Véase, por ejemplo, Kassimali (2005), Capitulo 17
48
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12.00 A
B M AB M AC
c 6.00 C Fig. 2.6 Momentos
en
0.6 y
/2
La solución final se obtiene sumando el resultado de la distribución más los momentos de empotramiento, como se muestra en la tabla 2.1, que son idénticos en ambos lados del borde común.
Junta Miembro FD ME Distribución Momento Final
A AB AC 0.3333 0.0667 -0.0638 0.0544 0.0031 0.0063 -0.0607 0.0607
Tabla 2.1 Distribución de momentos
en
0.6 y
/2
a todo lo largo de la pared, la
Procediendo de la misma manera, se hace la distribución de momentos distribución se resume en la tabla 2.2.
/ / 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
3
0.0000 -0.0164 -0.0319 -0.0453 -0.0558 -0.0623 -0.0638 -0.0593 -0.0479 -0.0284 0.0000
/
1.5
0.0000 -0.0134 -0.0261 -0.0374 -0.0464 -0.0524 -0.0544 -0.0513 -0.0421 -0.0254 0.0000
Tabla 2.2 Distribución de momentos
DM
MEF
0.0000 -0.0154 -0.0300 -0.0427 -0.0527 -0.0590 -0.0607 -0.0567 -0.0459 -0.0274 0.0000
0.0000 -0.0150 -0.0290 -0.0410 -0.0510 -0.0570 -0.0590 -0.0550 -0.0450 -0.0270 0.0000
en
/2
49
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En la tabla 2.2 se hace una comparación con una solución de la distribución de momentos (DM) y la solución con el método del elemento finito en tanques24 (MEF), que se puede considerar como “exacta”, en los mismos puntos, las diferencias son muy pequeñas, por lo que la distribución de momentos se considera aceptable. Debido que para los coeficientes no son exactamente iguales en las esquinas para / 3 y / 1.5, se hace una distribución igual que la presentada anteriormente, la distribución se resume en la tabla 2.3, tomando los coeficientes de la tabla 11 del capítulo I.
/ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
/
3
0.0000 ‐0.0033 ‐0.0064 ‐0.0091 ‐0.0112 ‐0.0125 ‐0.0128 ‐0.0119 ‐0.0096 ‐0.0057 0.0000
/
1.5
0.0000 ‐0.0027 ‐0.0052 ‐0.0075 ‐0.0093 ‐0.0105 ‐0.0109 ‐0.0103 ‐0.0084 ‐0.0051 0.0000
DM 0.0000 -0.0031 -0.0060 -0.0085 -0.0105 -0.0118 -0.0121 -0.0113 -0.0092 -0.0055 0.0000
Tabla 2.3 Distribución de momentos
en
MEF 0.0000 -0.0030 -0.0060 -0.0080 -0.0100 -0.0110 -0.0120 -0.0110 -0.0090 -0.0050 0.0000 /2
Se hace también una comparación con la solución del elemento finito18 y se observa que las diferencias son muy pequeñas.
24
Estos resultados fueron transcritos de las tablas de Munshi (1998) p. 3-10
50
ANÁ ÁLISIS D DE TAN NQUES REC CTANGULARES DE C CONCRE ETO REFORZADO O
CAP PITULO III
C CAP PITU ULO O III
TEORÍÍA, ANÁLISIS Y Y DISEÑO DE TANQUES REECTANGULAR RES DE CONCR RETO REFORZZADO
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CAPITULO III
Análisis de tanques rectangulares de concreto reforzado 3.1 INTRODUCCIÓN En el análisis estructural se descubre que fuerzas y momentos están actuando en la estructura, es decir los elementos mecánicos, que son como se vio anteriormente, las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes y los momentos torsionantes, que es precisamente lo que se ha hecho en los capítulos 1 y 2. Para el análisis de las estructuras de los depósitos se emplean los coeficientes calculados en los precedentes capítulos. A partir de las acciones permanentes, variables y accidentales a que estará sujeta la estructura, se determinarán, como se decía anteriormente, los elementos mecánicos que actúan sobre ésta y con los cuales se llevará a cabo el diseño. Con los coeficientes de la distribución de momentos1 se pueden evaluar los momentos en las paredes de los tanques rectangulares con distintas condiciones de frontera. Igualmente se puede calcular las fuerzas cortantes en los bordes; estas fuerzas son numéricamente iguales a las tensiones horizontales en las paredes adyacentes correspondientes.
3.2 CIMENTACIONES A continuación se mencionan las recomendaciones mínimas básicas para tomarse en cuenta durante al análisis y diseño de las cimentaciones de tanques. En general, la solución de cimentación a emplear debe definirse para cada situación en particular en acorde con las condiciones del lugar y al resultado del estudio de mecánica de suelos; los estudios de campo se deben efectuar mediante exploración directa (pozos a cielo abierto y sondeos) cuyos requisitos mínimos en número, espaciamiento y profundidad, dependen de la geometría en planta y condiciones de descarga del tanque, así como del suelo de cimentación (clasificado en forma preliminar), se debe ejecutar un programa de muestreo alterado e inalterado y de ensayes en el laboratorio, que proporcionen los parámetros que definan sus propiedades índice y sus características hidráulicas, de resistencia y deformabilidad2. Es importante que al explorar las condiciones del terreno se registre el nivel freático al inicio y al final de la exploración y después, diariamente, durante el mayor tiempo posible. Se registrarán el máximo y mínimo nivel freático así determinado. Durante el diseño del tanque debe revisarse la resistencia del terreno y deben limitarse los hundimientos diferenciales y el hundimiento medio. Los hundimientos diferenciales se limitan en función de la capacidad del tanque para deformarse sin agrietarse; el hundimiento medio se limita en función de la capacidad de deformación de las tuberías y conexiones que ligan el tanque con el exterior, así como de los requisitos de desnivel de los orificios de salida. En un tanque sobre el terreno, debe evitarse que su fondo llegue a quedar abajo del nivel del terreno por efecto del hundimiento. Al determinar los hundimientos, se incluirá la deformación inmediata del suelo y la diferida.
1
Ver capítulo II, sección 2.4
2
Esto en acorde con la norma NOM-007-CNA-1997. 52
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Si las exploraciones indican que el subsuelo soportará la sobrecarga impuesta por el tanque con hundimientos tolerables y sin que haya riesgo de falla por resistencia3, esto es, cuando el terreno sobre el que se desplantan los depósitos experimenta pocas deformaciones y cuenta con una buena capacidad de carga, se recurrirá a una cimentación somera (zapatas corridas) y bastara retirar los materiales superficiales sueltos o de origen orgánico, en tanto que el piso será una losa de poco espesor, reforzada sólo para los efectos de la temperatura que funcionará como una membrana4 impermeable (ver Fig. 3.6). Si el subsuelo resulta débil o inadecuado para soportar la sobrecarga del tanque sin sufrir hundimientos excesivos, antes de recurrir a la cimentación con pilotes, pilas u otro tipo de cimentaciones profundas, se recomienda mejorar las condiciones del subsuelo5 y cimentar superficialmente. Deben evitarse cimentaciones mixtas. Debido a ésta poca capacidad de carga, es necesario que la losa de piso tenga una función estructural para repartir la carga en un área mayor de apoyo. En estos casos, el muro y la losa de fondo podrán ser continuos6 y ésta realizará una función estructural para repartir las descargas al terreno de una manera más eficiente. Por supuesto, también tendrá que ser lo suficientemente impermeable para evitar las filtraciones de agua, tanto desde adentro hacia afuera, como el paso de las aguas freáticas al interior del depósito (ver Fig. 3.1) En los casos de terrenos con muy poca capacidad de carga y para depósitos de grandes dimensiones, será necesario que la losa de piso contenga trabes de cimentación que ayuden a reducir su espesor, mediante la disminución de los claros que salva dicha losa (ver Fig. 3.2). Los depósitos de pequeñas dimensiones en planta, con muros cuya longitud oscile entre 5 y 10 m, normalmente se construyen con una losa corrida de cimentación, aun cuando el terreno sea firme, con el objeto de evitar las juntas de construcción en los pisos.
Muro Perimetral
Junta Parcial
Cimentación
Figura 3.1. Muro y losa del tanque continuos7
3 4
Véase las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Cimentaciones, sección 3.3.1. Aunque en la Teoría de Placas se considera membrana cuando una placa se encuentra en estado de esfuerzo plano o tensiones planas,
que ocurre cuando cargas externas actúan en la superficie media de la placa (Véase Anexo 2.2), aquí entendemos por membrana a un firme que tendrá únicamente la función de integrar un diafragma impermeable para conservar la impermeabilidad de recipiente, en general se puede considerar con un espesor mínimo de 10 cm y el refuerzo puede consistir de un emparrillado de varillas o una malla de alambre soldado. 5 A éste respecto puede verse, por ejemplo, Das (2001), capitulo 12. El Manual de Tanques y depósitos de la CFE, Tomo II, sección 5.2.2.3, nos da algunas sugerencias para mejorar las propiedades del subsuelo. También puede verse el manual MAPAS de la CNA Sección II subsección 5. 6 En Batty & Westbrook, (1991), Capitulo 4, se presenta un análisis y diseño aproximado de tanques con la losa de base continua con las paredes. 7 Fuente: Manual de Tanques CFE, Fig. 1.7
53
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N.A.M.
Depósito
Chaflan sanitario
Chaflan sanitario
Losa corrida
Trabes principales Trabe secundaria
Trabe de borde para reducir la posibilidad de socavación por flujo exterior del agua
Trabe de borde para reducir la posibilidad de socavación por flujo exterior del agua
Figuras 3.2 Depósito cimentado con losa y trabes8
Para profundizar más acerca de los tipos de cimentaciones y estudios de mecánica de suelos puede verse el manual MAPAS de la CNA sección II o el Manual de Tanques y depósitos de la CFE.
3.3 MUROS 3.3.1 TANQUES SIN CUBIERTA Se considera como tanques sin cubierta o con superficie libre a depósitos para líquidos cuya superficie se halla sujeta a la presión atmosférica. Los muros para los depósitos rectangulares, como ya se indico, trabajan normalmente a flexo-tensión. El análisis de los muros se basa, como ya se vio en los capítulos 1 y 2, en la teoría de las placas delgadas, teniendo en cuenta las condiciones de apoyo en la frontera de la placa. La presión del agua se resiste por la combinación de momentos horizontales y verticales en los muros. El análisis de los muros depende de la relación longitud-altura de los muros ( / ). Cuando esta relación se encuentre entre 1.0 y 3.0 dicho análisis puede llevarse a utilizando los coeficientes para el análisis que se presentan en las tablas de los capítulos anteriores. Se tomarán en cuenta los efectos de la tensión directa en los muros9, efectos que son inducidos por los muros adyacentes. Así mismo, se revisarán los esfuerzos cortantes en los bordes. Por tal motivo, en todas las esquinas en las cuales los muros estén unidos rígidamente se dotará de refuerzo adicional para resistir los momentos flexionantes horizontales.
8 9
Fuente: Pavón (2001), Fig. 2.3 Aunque el Manual de Tanques y Depósitos de la CFE, Tomo I,
sección 5.2.3.8 sugiere que ésta se tome en cuenta únicamente cuando
sea significativa.
54
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En los depósitos cuadrados o rectangulares sin cubierta, cuando la relación longitud-altura del muro es mayor a 3, la parte central equidistante de cada extremo en una longitud , se analizará como voladizo10. (Ver Fig.3.3)
Esta zona se considera en voladizo
a
a
b a
Figura 3.3 Hipótesis para el análisis estructural de los muros del depósito, cuando /
311
Cuando se coloquen contrafuertes por el lado exterior del depósito (Fig. 3.4), la losa del muro se considera libre en el extremo superior y empotrado en el fondo. Si los contrafuertes se colocan equidistantes, la losa se podrá considerar empotrada en la unión con los contrafuertes. Debe tenerse en cuenta que en tanques bajo el terreno los contrafuertes exteriores en los muros significan un mayor volumen de excavación. Por otra parte, los contrafuertes interiores tienen los inconvenientes de ocupar cierto espacio útil de almacenamiento, y obstruir el interior del tanque. De aquí que, en lo posible, deban evitarse dichos elementos. Al analizar la estabilidad de los muros con contrafuertes o si ellos, sobre zapatas corridas, se recomienda no incluir como fuerza estabilizadora el peso del agua situada sobre la zapata, debido a que cualquier filtración que ocurra en esa zona provocará una subpresión bajo la zapata que anulará el efecto del peso del agua mencionado. Cuando se tenga / 2 se puede analizar el muro como si trabajara solo en la dirección corta, y cuando las paredes tengan / 2 y estén sujetas en sus bordes verticales, ó en éstos y en el superior, se sugiere construirlas y analizarlas como si estuvieran articuladas en la base.
10
Se considera a muros en voladizo a elementos que trabajan en una dirección, es decir, en los que la relación del claro corto entre el claro largo es menor a 0.5.Véase Pavón (2001), Subcapítulo 2.4.5. Véase también: Gallo et al (2005), pág. 112-113; NTC - Concreto, sección 6.3.2. 11 Fuente: Pavón (2001), Fig. 2.8
55
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N.A.M.
Depósito Contrafuertes
Contrafuertes
Losa corrida
Figura 3.4 Deposito de gran altura de muros con contrafuertes12.
a
b
Figura 3.5 Depósito con muros intermedios
12
Fuente: Pavón (2001), Fig. 2.9
56
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Muro perimetral del depósitos Banda P.V.C. Posible junta de construcción con o sin llave para cortante
Sellado con elastómero
Chaflán sanitario
Zapata corrida
Banda de P.V.C. Piso de membrana Cuando se tiene un piso de membrana, el muro perimetral del depósito, funciona como un voladizo cimentado en una zapata corrida
Figura 3.6 Unión del muro con la base: zapata corrida y piso de membrana13.
3.3.1.1 CONSIDERACIONES DE UNIÓN MURO‐BASE Considérese el detalle de la Figura 3.7 a), donde se muestra al muro apoyado en una zapata relativamente angosta y el otro detalle en la Figura 3.7 b), donde el muro descansa en el fondo sobre una losa estructural. Anclas
Llave para cortante
50 cm
Junta para desarrollar la máxima adherencia
Sellador elastomérico Relleno no absorbente en la junta Empaque
Losa
Asfalto
13
Fuente: Pavón (2001), Fig. 2.11
57
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a) Unión articulada o empotrada entre el muro y la base. Esta es una zapata continua y la losa de piso puede ser estructural o de membrana.
Anclas
Tope para cortante
Banda de P.V.C. Amortiguadores
b) Unión articulada entre el muro y losa de piso estructural. Variante de a). Figuras 3.7 a) y b) Uniones empotradas y articuladas entre el muro y la zapata14
Neopreno Sellado con elastómero
c) Variante. Unión Articulada
50 cm
d) Variante. Unión Empotrada
Figuras 3.7 c) y d) Uniones empotradas y articuladas entre el muro y la zapata15
En la Figura 3.7, la situación de la restricción en el desplante de la zapata se encuentra entre la correspondiente a una articulación y a un empotramiento, aunque más próxima a la primera. La resultante de la presión sobre el suelo se encuentra muy cercana al eje centroidal vertical de la zapata y el producto de la resultante por su excentricidad, es normalmente mucho menor que el momento en el extremo inferior del
14 15
Fuente: Manual de Tanques CFE, Fig. 1.2 y Pavón (2001), Fig. 2.14 a) y b) Fuente: Manual de Tanques CFE, Fig. 1.3 y Pavón (2001), Fig. 2.14 c) y d)
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muro cuando éste se supone empotrado. Más aún, la zapata deberá girar alrededor de un eje horizontal con objeto de producir una carga excéntrica en el suelo y la rotación misma representa una liberación de la restricción. Cuando la zapata no sea capaz de suministrar mucha restricción, no es necesario definir una articulación en la junta de construcción de la Figura 3.7 a). Las anclas se encuentran próximas a la superficie, dejando en el centro de la junta amplitud suficiente para insertar un elemento o cuña de cortante. El área del refuerzo en las anclas a lo largo de la cara del muro no deberá ser menor a 0.0025 , y la prolongación de dichas anclas arriba de la junta de construcción no será menor a 100 cm (véase la Figura 3.7 a))16. La losa de fondo colocada sobre la zapata se pintará con una capa gruesa de asfalto para romper la adherencia y reducir la fricción entre la zapata y la losa. La junta vertical entre la losa y el muro será hermética. Se considera adecuada una junta de 2.5 cm en la parte inferior y de 4 cm en la superior. Si la junta vertical es impermeable, no se necesita una banda para retener el agua en las juntas de construcción. En la Figura 3.7 b) se ha proporcionado una losa de fondo continua, ya sea para transmitir la carga que proviene del muro o para resistir la subpresión. En los dos casos, la losa se flexiona hacia arriba en el centro de la misma por la reacción del suelo y tiende a hacer girar la base del muro en una dirección contraria a las manecillas del reloj. Por consiguiente, el muro no está empotrado en el fondo7. Es difícil predecir ese grado de restricción. La rotación puede ser lo suficientemente grande para lograr que el fondo del muro esté articulado o puede aún ser mayor. Ante estas circunstancias, es aconsejable evitar que se coloque algún refuerzo para resistir momentos a través de la junta, lo que se logra cruzando las anclas en el centro, como se muestra en la Figura 3.7 b). La banda retenedora puede colocarse desfasada del centro como se indica en la misma figura. Para tomar en cuenta la transmisión del cortante directamente en el apoyo, se puede insertar un elemento de cortante, según se señala en a) o por medio de un tope como se señala en b) [véanse la Figuras 3.7 a) y b)]. No son esenciales la banda retenedora ni el elemento de cortante en la parte superior de la losa. Lo importante es evitar que los momentos se transmitan de la parte superior de la losa al muro, ya que éste no se ha diseñado para soportar dichos momentos en su extremo inferior. La suposición de que el extremo inferior de los muros se encuentra articulado es generalmente la más cercana a la realidad7, debido a que basta un pequeño giro en la base para dar lugar a esta condición. Cuando la relación longitud/altura ( / ) sea menor a 3, los muros pueden considerarse empotrados en la cimentación y deberá tenerse especial cuidado en proporcionar el empotramiento supuesto en la hipótesis de diseño. Para ello, es recomendable prolongar la losa de cimentación hacia el exterior para reducir el posible giro de la base, como puede verse en la Figura 3.2.
3.3.1.2 DEPÓSITOS DE GRANDES DIMENSIONES Es aplicable a los depósitos de grandes dimensiones, aquello que se mencionó anteriormente: el diseño de los pisos de estos depósitos depende también de las características del suelo. Si éste es poco deformable, se construirá una membrana impermeable sin función estructural y el depósito se apoyará en una zapata corrida. En caso contrario, será necesario ampliar el área de desplante y proyectar una losa que trabaje estructuralmente en forma continua con los muros del depósito.
16
Véase Pavón (2001), Subcapítulo 2.4.5; véase también el Manual de Tanques y Depósitos de la CFE, Tomo II, sección 5.2.3.8, fracciones b) y c)
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En el caso de suelos de muy baja capacidad de carga o si el depósito es de grandes dimensiones en planta, como ya antes se mencionó, será necesario acudir al uso de trabes de cimentación, para reducir el claro de la losa y disminuir, asimismo, el espesor de la misma. (Véase Figura 3.2).
3.3.2 TANQUES CON CUBIERTA 3.3.2.1 CONSIDERACIONES DE UNIÓN MURO‐CUBIERTA Como el depósito tiene cubierta, ésta de preferencia debe unirse a los muros y éstos quedarán restringidos en su extremo superior. En estas estructuras, es conveniente que el muro y la losa de cubierta se diseñen para que tengan un comportamiento de conjunto, de tal manera que la losa le proporcione al muro una restricción a los desplazamientos en su extremo superior, eliminando el efecto de volteo que provoca la presión hidrostática del líquido contenido o del empuje de tierra exterior cuando el tanque está vacío (fig. 3.8) Losa de cubierta
Losa de cubierta
Trabe perimetral Gotero Cuña de cortante
Gotero
N.A.M.
Muro Muro
a) Unión con barras que salen del muro y penetran la losa
b) Soporte lateral de muro con la trabe perimetral de la cubierta
Figura 3.8 Unión del muro con la cubierta17
Si la tapa se une a las paredes, ésta trabajara a tensión y las paredes quedarán atirantadas en su extremo superior. Si es dudoso el trabajo a tensión de la tapa, se recomienda mejor unirla a las paredes a través de apoyos deslizantes (fig. 3.9). El borde superior se considera articulado si sobre él se apoya la tapa unida a la pared sólo por barras rectas que salen de ésta y penetran en la losa [fig. 3.8a)]. Si en la unión pared-tapa se suministrara refuerzo de continuidad por flexión, debe tomarse en cuenta esta condición en el análisis.
17
Fuente: Pavón (2001), Fig. 2.12 y 2.13
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Losa de cubierta
Trabe perimetral Gotero Tapajunta flexible Apoyo de Neopreno
Muro
Figura 3.9 Unión deslizante18
Cuando la relación longitud - altura del muro sea menor de tres, se podrá analizar como placa, considerando apoyo en la parte superior, continuidad en los extremos y articulado o empotrado en la base. Cuando la relación longitud - altura sea mayor de tres, se podrá analizar el muro como una losa trabajando en un sentido, apoyada en sus extremos superior e inferior; en este caso se deberá efectuar adicionalmente un análisis de continuidad en las esquinas19. 3.3.2.2 LA GEOMETRÍA DE LAS CUBIERTAS En los depósitos rectangulares, dependiendo del tamaño de la estructura, las cubiertas podrán cubrir todo el claro entre los paramentos del depósito. En estructuras de claros grandes es conveniente apoyar la losa de la cubierta en una o más columnas. Las losas de cubierta pueden ser: losas planas y sistemas de losas y trabes, inclinadas a un agua, inclinadas a dos aguas, a nivel, cúpulas y domos. Si el depósito es de grandes dimensiones, se podrá requerir de losas o placas planas apoyadas en una o más columnas en el interior del depósito y en pilastras sobresalientes de los muros. Se procurará que las columnas intermedias tengan separaciones entre los 4 a 5 metros. Se procurará que las dimensiones de los tableros sean tales que se requieran espesores de losa del orden de 10 cm; para esto se considerará la necesidad de vigas secundarias. Las columnas se apoyarán en zapatas aisladas, tal y como se ilustra en la Figura 3.10.
18 19
Fuente: Manual de Tanques CFE, Fig. 1.3, con algunas modificaciones Véase MAPAS Sección IV subsección 3.3.1
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Zapata Aislada B Piso de Membrana
Columna a) Vista en planta
B Columna Piso de Membrana
a) Elevación
B
Figura 3.10 Engrosamiento en la losa de piso para dar lugar a la zapata aislada que recibe a la columna20
Para reducir el espesor de las losas de cubierta, convendrá apoyarlas en trabes secundarias y éstas a su vez en trabes principales, soportadas por las columnas en las zonas interiores del depósito, o en ampliaciones de los muros, columnas, pilastras o contrafuertes en el perímetro del mismo. Dependiendo del tamaño y los claros de la estructura, podrán proyectarse y construirse cubiertas sin apoyos intermedios. Las cubiertas pueden, asimismo, construirse con losas planas encasetonadas o en forma de panal, apoyadas de manera similar a las anteriores. Son recomendables también, los elementos prefabricados, tales como las vigas T y doble T, apoyadas sobre las mencionadas columnas y pilastras. En este caso, las losas trabajan en una sola dirección. Se puede construir una losa plana sin trabes, sin embargo, se ha observado que esta solución presenta mayores deformaciones verticales provocando el estancamiento del agua de lluvia y que al penetrar en la losa, acelera la corrosión del acero de refuerzo. La junta de la cubierta con el muro puede ser continua o del tipo deslizante (véanse las Figuras 3.8 Y 3.9). En algunas situaciones se acostumbra unir a la cubierta con el muro, dejando una junta de expansión o por medio de una dala o trabe perimetral de repartición (ver Figura 3.9) Es importante la participación de las cubiertas en el comportamiento estructural de los depósitos, ya que ésta puede proporcionar un soporte lateral en el borde superior de los muros, reduciendo el efecto de volteo que provoca la presión hidrostática del líquido contenido. Aun en las cubiertas a nivel deberá existir una pendiente para propiciar el desagüe apropiado.
20
Fuente: Pavón (2001), Fig. 2.16
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3.4 FUNCIONAMIENTO ESTRUCTURAL Los procedimientos de análisis varían, dependiendo de las proporciones y de la forma del tanque. También influyen las características del terreno de desplante, así como, que el depósito esté o no cubierto. En el funcionamiento estructural de los depósitos cuadrados o rectangulares predomina la flexotensión. La principal acción sobre los muros es el empuje hidrostático del agua de adentro hacia afuera y los empujes exteriores del relleno y del agua freática, si el depósito se encuentra enterrado o semienterrado.
3.4.1 TANQUES RECTANGULARES SOBRE EL TERRENO Existen las formas estructurales siguientes: 1) Muros en voladizo sobre zapatas corridas y losa de fondo no estructural. Ésta forma su usa cuando se tiene una relación / 3.0 ó 4.0 y el terreno es firme (fig. 3.6). 2) Muro formado por losas y contrafuertes con zapata corrida y losa de fondo no estructural. Si en la forma 1) la altura excede de 4 m se optara por esta solución, comenzando por escoger un espesor de losa y a partir de él determinar la separación de los contrafuertes. Si se cuenta con un terreno de desplante con una buena capacidad de carga, tanto el muro como los contrafuertes se apoyarán en una zapata corrida perimetralmente. (Fig. 3.4) 3) Muros en voladizo continuos con la losa de fondo estructural. Ésta forma es utilizada solo si la relación / 3.0 ó 4.0 se cumple en una de las dimensiones horizontales, o si el terreno es blando. 4) Muros formados por losas y contrafuertes continuos abajo con contratabes y fondo estructural. Si en la forma 3) la altura excede de 4 m se optará por esta solución, siguiendo los pasos de la forma 2). 5) Tanques en que la altura es grande en comparación con las dimensiones horizontales. Las paredes de estos tanques trabajan esencialmente a flexo-tensión horizontal. 6) Tanques en que las tres dimensiones son comparables (ninguna excede el doble de la otra). Las losas de estos tanques trabajan en dos direcciones y a tensión horizontal.
3.4.2 TANQUES RECTANGULARES ENTERRADOS O SEMIENTERRADOS En general son aplicables las recomendaciones para tanques sobre el terreno, con las modificaciones y/o adiciones que se indican a continuación. Las acciones a tomar en consideración son a) Peso propio b) Empuje del liquido c) Empuje lateral del terreno, incluyendo cierta sobrecarga sobre éste. d) Presión del agua del subsuelo e) Peso del relleno sobre la tapa f) Carga viva sobre la tapa o relleno, y g) Cargas accidentales Durante el análisis y diseño se deben incluir las dos condiciones siguientes, tanto para la estabilidad general como para el dimensionamiento de las paredes, fondo y tapa: 1) Tanque vacío, bajo la acción del empuje del terreno, con la sobrecarga superficial correspondiente y la presión del agua del subsuelo. Ésta consideración cubre las situaciones en que, antes de entrar en servicio o durante operaciones de mantenimiento o por alguna otra razón el tanque se encuentre vacio. Se considerará o no el apoyo que suministra la tapa según que esta se coloque antes o después del relleno, y de acuerdo con la manera en que este unida a las paredes.
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2) Tanque lleno sin ningún empuje lateral externo. Ésta condición es a causa de que el tanque debe llenarse de agua para detectar posibles fugas, antes de colocar el relleno a su alrededor. Otra razón para no considerar el empuje del terreno como acción favorable es la posible contracción del relleno que tienda a separarlo de la pared del tanque. Por otro lado, si en el futuro se realiza alguna ampliación en las instalaciones y se excava alrededor del recipiente estando éste lleno, puede ocurrir una falla repentina si la pared no se diseño para resistir por sí sola la presión del liquido, lo cuál sería un peligro latente en esas instalaciones.
Se recomienda tener presente la posibilidad de que, accidentalmente, el tanque subterráneo se vea obligado a trabajar a presión interior, es decir, con una distribución de presión del líquido trapecial y no triangular. Asimismo, se recomienda que antes de colocar el relleno alrededor del tanque, y antes de aplicar algún tratamiento superficial, del depósito se pruebe con agua para detectar posibles fugas. En tanques bajo tierra a poca profundidad, o parcialmente enterrados, es particularmente importante considerar los cambios volumétricos provocados por diferencias térmicas entre la tapa y la parte baja del tanque. Al respecto, se sugiere diseñar los apoyos de la tapa de modo que ésta pueda deslizar horizontalmente sobre las paredes. Es frecuente que tanques de almacenamiento construidos sobre el terreno se cubran lateralmente con terraplenes, a fin de mejorar sus condiciones de aislamiento, estos depósitos quedan comprendidos en esta categoría.
3.4.3 TANQUES RECTANGULARES ELEVADOS Se considerarán las recomendaciones de los tanques superficiales y enterrados que sean aplicables. Además, se tendrá en cuenta que, generalmente, conviene usar las paredes del tanque trabajando en su plano como vigas diafragma21 [Fig. 3.11 a)]. También se prestará cuidado a la tensión vertical en las paredes, provocada por el peso del agua que actúa sobre el fondo. En ocasiones debe dejarse una saliente bajo las paredes como se indica en la figura mencionada, a fin de detallar correctamente al refuerzo de la esquina. En la Fig. 3.11 b) se presenta otra forma estructural para tanque rectangular elevado, en la que se ha usado como fondo un sistema de vigas y losa. La mención de los tanque elevados en este trabajo es meramente informativa; para profundizar más en el tema se puede consultar el manual de Tanques MAPAS de la CNA Sección IV subsección 4.2 o el manual de Tanques y Depósitos de la CFE.
21
Se definen como vigas diafragma a aquellas cuya relación entre el claro libre y el peralte total es menor que 2.5, si son vigas continuas, o menor que 2.0 si constan de un solo claro libremente apoyado. Véase NTC – Concreto sección 2.2.5 y 6.1.4; véase también González et al (2005) subcapítulo 12.3
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a) A
A
A-A
b)
Figura 3.11 Estructuraciones de tanques rectangulares elevados22
3.4.4 FUERZAS DE SUBPRESIÓN La presión del agua en la base del tanque no solo puede causar que el tanque literalmente flote en un caso extremo, sino, lo que es más probable, puede ladearlo. Esta situación pude conducir a agrietamientos en las
22
Fuente: Manual de Tanques CFE, Fig. 1.10
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paredes del tanque y en la losa de cimentación. También puede causar daño a las tuberías adjuntas a la estructura. Un aspecto importante al respecto es el registro previo del nivel del agua freática, en la forma más amplia posible. La fuerza de subpresión de la presión del agua se resiste con el peso del tanque y el peso del suelo sobre la losa de cimentación que se extiende más allá de los muros. Cuando la fuerza de la presión del agua trate de levantar el tanque, llevara consigo parte del suelo adyacente al tanque. El ángulo del suelo “agarrado” (ver Fig. 3.12) está en función del tipo de suelo.
Angulo
Cara exterior de la pared
Pared
Cimentación
Figura 3.12 Angulo del suelo “agarrado” debido a la supresión23.
Filtro de arena y grava
Dren de tubo de concreto perforado Registro
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