Teoría_de_Conjuntos

Universidad de Costa Rica. Facultad de Ciencias Básicas. Escuela de Matemática.

Teoría de Conjuntos

Joe Olivas Quirós A54040

Curso: MA0205 Álgebra y Análisis I Profesora: Orietta Protti, M.Sc.

I Ciclo 2008

Tabla de Contenidos Página Introducción........................................................................................................ 3 Teoría de Conjuntos........................................................................................... 4 Reseña Histórica ............................................................................................ 4 Definición de Conjunto Desarrollada por Cantor............................................. 5 La Paradoja de Russell................................................................................... 6 Teoría Axiomática de Zermelo-Fraenkel`........................................................ 6 A.1. Axioma de Extensión ........................................................................... 6 A.2. Axioma de Especificación (o de comprensión) .................................... 6 A.3. Axioma de pares (o de aparejamiento) ............................................... 7 A.4. Axioma de de la Unión........................................................................ 8 A.5. Axioma de partes (o de las potencias)................................................. 8 A.6 Axioma del Infinito................................................................................. 9 A.7. Axioma de Reemplazo o (Sustitución)................................................. 9 A.8. Axioma de Elección ............................................................................. 9 Teoría Axiomática Newman-Bernays-Gödel................................................... 9 Conclusiones.................................................................................................... 11 Glosario............................................................................................................ 12 Referencias Bibliográficas................................................................................ 13 Referencias Electrónicas.................................................................................. 13

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Introducción: A través de los años, el ser humano ha ido evolucionando en su forma de pensar, así mismo las Matemáticas han evolucionado, tanto en conceptos como en su teoría, pero fue

hasta en el siglo XIX, cuando George Cantor

propuso la Teoría de Conjuntos, la cual fue desarrollada entre 1873 y 1897. Esta teoría provocó un cambio en la forma de pensar de los matemáticos.

Como todo descubrimiento, a la teoría de Cantor se le encontraron una serie de inconsistencias (Paradoja de Russell, 1903), pero fue hasta en 1908 que Ernest Zermelo se dio a la tarea de analizar la teoría de Cantor. Como producto de dicho análisis presentó de darle estabilidad y eliminar las inconsistencias en la Teoría de Conjuntos.

Dada la Axiomatización de la Teoría, luego fue modificada (perfeccionada) por Fraenkel para llegar a formar los Axiomas de Zermelo –Fraenkel (ZF). Dichos Axiomas sirvieron de base para axiomatizar lo que se conoce como una

CLASE, estos axiomas fueron desarrollados por Von Newman-Bernays-Gödel.

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Teoría de Conjuntos Reseña Histórica:  Para el año 1847, el religioso de Bohemia de nombre Bernardo Bolzano escribió un libro el cual fue publicado en 1850, donde describe propiedades y paradojas sobre el infinito “real”. Sin embargo, Bolzano (considerado uno de los matemáticos más importantes de la época por su aporte a la lógica simbólica y a la Matemática) no se basó en esa propiedad para darle un concepto a infinito, si no que utilizó una serie de paradojas como catálogo para analizar el infinito. Bolzano fue el primer matemático en utilizar el término Menge (conjunto).

A pesar de estudios e investigaciones realizadas entre 1870 y 1880, por otros matemáticos, fue “George

Cantor, el creador de Mengelehre (Teoría de

Conjuntos), quien entre 1873 y 1897 puso con todo cuidado los fundamentos de la teoría del infinito real introduciéndolo sistemáticamente en las matemáticas (y en la filosofía) y desarrollando en torno a él, una nueva rama de las Matemáticas: La Teoría de Conjuntos.”1

Cabe resaltar que el concepto de infinito fue tratado con anterioridad a Cantor por Zenón de Elea y sus paradojas,

mucho tiempo después se plantó “el

problema del infinito como una magnitud absoluta real y se planteó en un periodo temprano de la teología y la filosofía católica en particular, San Agustín y Santo Tomás de Aquino y sus escuelas.” 2 Posteriormente, los filósofos desde Aristóteles hasta Descartes, Kant y Locke, estudiaron el infinito, pero no se llegó a una conclusión absoluta, por lo que algunos ilustres se inclinaron por aceptarlo o rechazarlo.

El descubrimiento por parte de Cantor de la Teoría de Conjuntos, motivó a otros matemáticos a presentar dicha teoría como estructuras lógicas, como por

1 2

Fraenkel, A. (1976). Teoría Fraenkel, A. (1976). Teoría

de los Conjuntos y la Lógica. pág 11. de los Conjuntos y la Lógica. pág 10. -4-

ejemplo Gottlob Frege quien desarrolló una serie de axiomas de carácter lógico con los cuales se podía demostrar la teoría de Cantor.

En 1903, Bertrand Russell, demostró que la teoría de Conjuntos de Cantor era inconsistente

y

derrumbaría

la

definición

de

Conjunto.

Dadas

las

inconsistencias encontradas por Russell, en 1908, Ernest Zermelo se dio a la tarea de investigar análisis

sobre esta teoría, a la cual después de un exhaustivo

propuso una serie de Axiomas, los cuales eliminaban las

inconsistencias encontradas por Russell en la Teoría de Cantor. Esta propuesta Axiomática fue refinada por Fraenkel (1922), Von Newman(1925) y otros.

La Teoría de Conjuntos se puede Catalogar como una de las ramas más  jóvenes en la Matemática ya que posee aproximadamente 135 años de existencia, sin embargo, ya se trabajaba en ella por omisión.

Definición de Conjunto Desarrollada por Cantor:  “Un conjunto es una colección como totalidad de objetos definidos y distintos a nuestra intuición o nuestro pensamiento. Los objetos son llamados elementos (o miembros) del conjunto.”3 De esta definición se pueden obtener dos frases: “el conjunto

contiene a sus elementos o los elementos

pertenecen al

conjunto.”4

Con esta definición de Conjunto, se puede hacer una distinción entre conjuntos finitos e infinitos, además se comienza a utilizar el término de conjuntos distintos (i.e. no poseen los mismos elementos).

3 4

Fraenkel, A. (1976). Teoría Fraenkel, A. (1976). Teoría

de los Conjuntos y la Lógica. pág 13 de los Conjuntos y la Lógica. pág13 -5-

La Paradoja de Russell:  Russell encontró un ejemplo con el cual contradecía la Teoría de Cantor, por lo que Russell se planteó “un conjunto  x cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Esto es, el conjunto  x = {a | a ∈a}.

La paradoja de Russell surge al preguntarse: es x un elemento de sí mismo? Si lo es, es decir, si  x ∈ x , entonces  x satisface la condición  x ∉ x , lo que es una contradicción. Si x ∉ x , entonces  x satisface la condición para ser uno de sus elementos, y así  x ∈ x , de nuevo una contradicción. Así,  x no puede ni pertenecerse ni no hacerlo.” 5

Teoría Axiomática de Zermelo-Fraenkel:`  Dadas las inconsistencias mostradas por Russell con su Paradoja, en la teoría de Cantor, Ernest Zermelo en 1908 decidió Axiomatizar la teoría de Conjuntos con el propósito de determinar las características y eliminar las incongruencias. Por lo que con 9 Axiomas logró mantener en pié la teoría:

A.1. Axioma de Extensión: “Dos Conjuntos son iguales si y sólo si tiene los mismos elementos.” 6 (i.e.  A =  B ⇔ ∀ x( x ∈  A ⇔  x ∈ B ) )

A.2. Axioma de Especificación (o de comprensión): “A todo conjunto A y a toda condición S ( x) corresponde un conjunto B cuyos elementos son precisamente aquellos elementos x de A para los cuales se cumple S ( x) .”7

5 6

Enciclopedia Electrónica Wikipedia. Halmos, R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. pág 11

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Teorema: Existe un único conjunto cualquiera, el cual no posee elementos. A ese conjunto se le llama Conjunto Vacío y se denota por φ  .

Demostración: a) Existencia:  1. Por el axioma de especificación nos podemos dar un conjunto  A , el cual cumpla la siguiente orden:  A = { x ∈  A :  x ≠  x}.

2. Lo cual muestra evidentemente que  A no posee elementos, por lo tanto Existe.

b) Unicidad:  1. Supongamos que existe otro conjunto llamado α  el cual no posee elementos. 2. Entonces tendríamos que α  y φ  no poseen elementos, por el Axioma de Extensión tenemos que α  = φ  . 3. por lo tanto el Conjunto Vacío es único.

Por a) y b) se Puede decir que el conjunto vacío es único y existe.

A.3. Axioma de pares (o de aparejamiento): “Para dos conjuntos cualesquiera, existe un conjunto al cual pertenecen ambos.”8 (i.e Si  A y  B son conjuntos, entonces existe otro conjunto C tal que  A ∈ C  y  B ∈ C  Este Axioma lo que nos indica es que un conjunto es elemento

de otro conjunto cualquiera y que un conjunto cualquiera puede contener a otros dos conjuntos.

7 8

Halmos, R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. pág 15 Halmos, R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. pág 18

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A.4. Axioma de de la Unión: “Para cada colección de conjuntos existe un conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen cuando menos a uno de los conjuntos de la colección dada.”9 (Si  A y  B son dos conjuntos, entonces existe otro conjunto  D el cual está determinado por:  x ∈  A o  x ∈ B o a ambos, entonces pertenece a  D .)

Con el aporte que realiza este axioma, se puede definir la Unión de Familias de Conjuntos: U  Ai ,

∀i ∈ {1, 2,3,...n},

ya que  Ai

= { A1 , A2 ,... An } es

una colección de e n

conjuntos, y si se realiza la Unión de ellos si obtiene  A1 ∪  A2 ∪ ... ∪  An

=

U Ai . i =1

Además, se puede llegar a una definición de Unión de Conjuntos: “Dados dos conjuntos  A, B se llama unión de  A y  B al conjunto formado por los elementos que

pertenezcan

al

menos

a

uno

de

ellos”

10

(Simbólicamente:

( A ∪ B = { x :  x ∈  A ∨  x ∈ B}) ). La unión de conjuntos cumple propiedades como asociatividad, reflexividad, conmutatividad, entre otras.

De forma no muy evidente de apreciar, por medio del Axioma de Pares y de la unión, se puede decir que existe otra operación en los conjuntos, llamada intersección y se denota con el símbolo

I

, y la cual se define como “Dados

dos conjuntos  A ,  B ; se le llama intersección de  A y  B , al conjunto formado por los elementos que pertenezcan simultáneamente

al conjunto  A y al

conjunto  B . Simbólicamente:  A I  B = { x :  x ∈  A ∧  x ∈ B} ”11, al igual que la unión, la intersección cumple asociatividad, reflexividad, conmutatividad, entre otras.

A.5. Axioma de partes (o de las potencias): “Para cada conjunto existe una colección de conjuntos que contiene entre sus elementos a todos los subconjuntos del conjunto dado.” 12 9

Halmos, R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. pág 23 Duarte, A. y Cambronero, S. Material para el Curso MA0205. pág. 11 11 Duarte, A. y Cambronero, S. Material para el Curso MA0205. pág. 12 12 Halmos, R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. pág 11 10

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A.6 Axioma del Infinito: “Existe un conjunto a que tiene la propiedad: (φ  ∈ a ) ∧ (∀ x ∈ a, x U { x}∈ a ). (Estos conjuntos se dicen inductivos)” 13

A.7. Axioma de Reemplazo o (Sustitución): “Si ϕ ( a, b ) es una sentencia tal que para cualquier elemento a de un conjunto  x el conjunto  y = {b | ϕ ( a, b )} existe, entonces existe una función  f : x → y tal

que  f ( a ) = y ”14

A.8. Axioma de Elección: “Si S es un conjunto de Conjuntos no vacíos ajenos entre sí, esto es. Tales que cualesquiera dos miembros de S no tienen ningún elemento en común, entonces existe al menos un conjunto C que contiene un solo elemento de cada electo de de S” 15 en otras palabras: “El producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos no está vacío” 16

Este Axioma fue utilizado por Zermelo para demostrar el teorema del buen orden, pero lo que causó fue controversia, ya que muchos creían en el axioma y no en la demostración y viceversa.

Teoría Axiomática Newman-Bernays-Gödel:  Basados en el esquema axiomático expuesto por Zermelo-Fraenkel, NewmanBernays-Gödel, desarrollaron formalmente otro esquema axiomático este para CLASES de Conjuntos, ya que con la Paradoja de Russell, se comprobó que no existe el conjunto de todos los conjuntos. Ellos clasificaron los axiomas en 13

Almira, J. (2008). Sobre Lógica Matemática: algunas observaciones sobre los fundamentos de la matemática. pág 17. 14 Enciclopedia Electrónica Wikipedia. 15 Fraenkel, A. (1976). Teoría de los Conjuntos y la Lógica. pág 52. 16 Halmos, R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. Pág 89

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tres grupos, dejando por fuera el Axioma de Elección. Por lo que a continuación se mencionarán unos de los Axiomas más importantes:

1.

∀u (u ∈  X  ⇔

u ∈ Y ) ⇒  X  = Y .

2.

∀ xy ∃ z ∀u (u ∈ z ⇔ u =  x ∨ u =  y ).

3.

∀ A, B ∃C  ∀u (u ∈  A ∧ u ∈ B ).

4.

∀ A ∃ B ∀ x( x ∈ B ⇔ ∃ y (<  y, x >∈ A)).

Además de los Axiomas planteados, desarrollaron un concepto para lo que en conjuntos se le conoce como conjunto vacío Vac  X  ⇔ ∀u (¬(u ∈  X )) 17

17

Almira, J. (2008). Sobre Lógica Matemática: algunas observaciones sobre los fundamentos de la matemática. pág 19

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Conclusiones: “Aún más sorprendente es el hecho de que la nueva rama se ha convertido pronto en una piedra de toque de los fundamentos de muchas otras ramas de las matemáticas y el principal lazo de unión entre los matemáticos y la lógica.”18 Esta teoría propuesta por Cantor, se ha convertido en el pilar fundamental de las Matemáticas, ya que es más importante que el mismo hecho de contar, sin darse cuenta la mayoría de estos procesos estaban basados en la Teoría de Conjuntos, claro que se trabajaba en ella por omisión. Gracias a que Cantor se tomó la tarea de formalizar sus hipótesis, hoy conocemos lo que es la Teoría de Conjuntos. Al ser una teoría reciente, tenía inconsistencias por lo que matemáticos como Russell, Zermelo, Fraenkel, Newman, Bernays y Gödel se dieron la tarea de Axiomatizar y perfeccionar la Teoría.

Con la formalización de la Teoría de Conjuntos se logró obtener una vía que lleva de lo lógico a lo Matemático. Como cita Fraenkel en su libro Teoría de los Conjuntos y la Lógica, el descubrimiento de la Teoría de Conjuntos debería ser considerado como una de las grandes revoluciones científicas del siglo XIX, ya que esta teoría provocó un cambio en la forma de pensar de los matemáticos.

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Fraenkel, A. (1976). Teoría

de los Conjuntos y la Lógica. pág125 - 11 -

Glosario19 Axioma

Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.

Conjunto Finito

Un conjunto es finito si hay un entero positivo (n) de elementos en ese conjunto.

Conjuntos Distintos

Dos conjuntos son distintos si poseen elementos diferentes.

Paradoja

Figura del pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción.

Sentencia

Secuencia de expresiones que especifica una o varias operaciones.

Teoría

Hipótesis cuyas consecuencias se aplican a toda una ciencia o parte muy importante de ella.

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Diccionario de la Real Academia Española. (2008)

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Referencias Bibliográficas: Duarte, A. y Cambronero, S. (Sin Fecha). Material para el Curso MA0205. Sin publicar.

Fraenkel, A. (1976). Teoría de los Conjuntos y la Lógica. 1 ed. Instituto de Investigaciones Filosóficas, Universidad Nacional Autónoma de México.

Halmos, R. (1965). Teoría Intuitiva de los Conjuntos . 2 ed. Editorial: Continental. México.

Referencias Electrónicas: Almira, J. (2008). Sobre Lógica Matemática: algunas observaciones sobre los fundamentos de la matemática [Consulta 06/04/2008].

Enciclopedia Electrónica Wikipepia. (2008)

[Consulta: 02/04/2008].

Real Academia Española. (2008) www.rae [Consulta: 09/04/2008]

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