TeoriaConjuntos

TEORIA DE  CONJUNTOS

Por:

´ D IEGO A LEJANDRO M EJ ´IA IA G UZ M AN

U NIVERSIDAD

DE  A NTIOQUIA

FACULTAD DE  C IENCIAS E XACTAS Y NATURALES ´ D EPARTAMENTO DE  M ATEM ATICAS

2010

2

´I NDICE GENERAL GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1 .2 .2 . R ELACIONES DE  O RDEN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1 .3 .3 . C ONJUNTOS BIEN ORDENADOS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

´ RDENES  P ARCIALES   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .4 .4 . I SOMORFISMOS ENTRE O

32

´ 2.. L OS  N UMEROS  N ATURALES   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.. R ELACIONES DE  E QUIVALENCIA Y DE  O RDEN 1 .1 .1 . R ELACIONES DE  E QUIVALENCIA

´ DEL  C ONJUNTO 2 .1 .1 . C ONSTRUCCI ON

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

´ 2 .3 .3 . T EOREMA DE LA  R ECURSI ON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2 .4 .4 . O PERACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

´ RICOS 2 .5 .5 . OTROS  C ONJUNTOS  N UM ERICOS E

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3 .1 .1 . C ONJUNTOS FINITOS Y EL  P RINCIPIO DEL  P ALOMAR   . . . . . . . . . . . . . .

73

3 .2 .2 . O PERACIONES Y EQUIPOTENCIA   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

´ 3 .3 .3 . N UMEROS CARDINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2 .2 .2 . B UE N  O RDEN

3.. E QUIPOTENCIA

3 .4 .4 . C ONJUNTOS CONTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 ´ 4.. E L  A XIOMA DE  E LECCI ON ´ 4 .1 .1 . A XIOMA DE  E LECCI ON

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4 .2 .2 . A PLICACIONES I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4 .3 .3 . L EMA DE  Z OR N 4 .4 .4 . A PLICACIONES I I

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4 .5 .5 . E SPACIOS V ECTORIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4

Cap´ıtulo 1

Relaciones de Equivalencia y de Orden

En este Cap´ıtulo presentamos, de forma muy general, el tipo de relaciones m´as elementales que se trabajan en matem´aticas. En la primera secci´on introducimos la noci´on de  relaci´  on de equivalencia  asociada al concepto de  partici´  on. En la segunda secci´on definimos qu´e es un  orden parcial

y un  orden lineal, adem´as que analizamos los elementos distinguidos que se les puede encontrar. En la tercera secci´on introducimos un tipo de orden parcial llamado  buen orden, al cual se le puede asociar la noci´on de  inducci´  on. Por u´ ltimo, dedicamos la cuarta secci´on al estudio de la relaci´on entre o´ rdenes parciales mediante  funciones crecientes e isomorfismos.

1.1.

Relaciones de Equivalencia

Introducimos la siguiente notaci´on:  xRy  denota  (x, y)

 ∈ R, lo cual se escribe por practicidad

para decir que  x  y  y  est´an relacionados por  R  (cuando  R  es una relaci´on). Decimos que  R  es una relacion ´  en  A  si  R

 ⊆ A × A (obviamente,  R  es relaci´on seg´un esto). Esto quiere decir que R  solo ´

relaciona elementos de  A.

En matem´aticas es muy com´un definir relaciones en un conjunto a partir de una propiedad, sin necesidad de mencionar qu´e es la relaci´on como conjunto. Por ejemplo, definir una relaci´on R  en R como

xRy

⇔ y − x ∈ R+ ,

 ∈ R

x, y

 ∈ R × R / y − x ∈ R+}. En realidad, R corresponde a la relaci´on “menor

significa que R = (x, y)

{

que” en  R , lo cual se denota por  < . As´ı,