Teoria y Practica de Estatica 0

TEORIA Y PRACTICA DE ESTÁTICA

Física ING. RAÚL MARTÍNEZ

Física

TEORIA DE FÍSICA CAPITULO I: MAGNITUDES Y MEDICIONES Magnitud: Todo aquello que se puede medir, se llama magnitud. Ej.: el peso, el tiempo, la temperatura. La cantidad es el valor de la magnitud por la unidad de medida. Por ejemplo: Una velocidad de ejemplo: Una velocidad de La magnitud es el concepto de velocidad y la cantidad es . En física existen dos clases de magnitudes escalares y vectoriales. Magnitudes escalares: son las que quedan perfectamente definidas por un solo número y su correspondiente correspondiente unidad. Ejemplos:  La longitud de una regla  La masa de un cuerpo  El tiempo transcurrido entre dos sucesos  Densidad, volumen, energía, potencia Magnitudes Vectoriales: Estas magnitudes constan también de un número y una unidad, pero además debe fijarse su dirección y sentido, sin los cuales no quedan perfectamente determinadas. La dirección viene dada por una recta. Cada dirección tiene dos sentidos, determinados por las dos orientaciones posibles de la recta. Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleración, cantidad de movimiento. Representación grafica de una magnitud vectorial: Toda magnitud vectorial se representa por medio de un vector. El vector es un segmento de recta orientado que señala una dirección y un sentido, definido este por una flecha en uno de los extremos. El vector, consta de 4 elementos:  Punto de aplicación  Disección  Sentido a  Modulo o intensidad: número que indica el valor del vector.

Igualdad de vectores:  vectores:   Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo modulo y la misma dirección y sentido, cualesquiera sean sus orígenes o punto de aplicación.

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TEORIA DE FÍSICA CAPITULO I: MAGNITUDES Y MEDICIONES Magnitud: Todo aquello que se puede medir, se llama magnitud. Ej.: el peso, el tiempo, la temperatura. La cantidad es el valor de la magnitud por la unidad de medida. Por ejemplo: Una velocidad de ejemplo: Una velocidad de La magnitud es el concepto de velocidad y la cantidad es . En física existen dos clases de magnitudes escalares y vectoriales. Magnitudes escalares: son las que quedan perfectamente definidas por un solo número y su correspondiente correspondiente unidad. Ejemplos:  La longitud de una regla  La masa de un cuerpo  El tiempo transcurrido entre dos sucesos  Densidad, volumen, energía, potencia Magnitudes Vectoriales: Estas magnitudes constan también de un número y una unidad, pero además debe fijarse su dirección y sentido, sin los cuales no quedan perfectamente determinadas. La dirección viene dada por una recta. Cada dirección tiene dos sentidos, determinados por las dos orientaciones posibles de la recta. Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleración, cantidad de movimiento. Representación grafica de una magnitud vectorial: Toda magnitud vectorial se representa por medio de un vector. El vector es un segmento de recta orientado que señala una dirección y un sentido, definido este por una flecha en uno de los extremos. El vector, consta de 4 elementos:  Punto de aplicación  Disección  Sentido a  Modulo o intensidad: número que indica el valor del vector.

Igualdad de vectores:  vectores:   Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo modulo y la misma dirección y sentido, cualesquiera sean sus orígenes o punto de aplicación.

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Vectores equivalentes o equipotentes: Son equipotentes:  Son vectores que tienen el mismo modulo y sentido pero sus direcciones son paralelos, es decir no están en una misma recta o dirección. Algunos autores lo denominan también vectores iguales.

Mismo sentido y ….son equivalentes

Vector opuesto: son opuesto: son vectores que tienen el mismo modulo y la misma dirección pero sentidos opuestos.

Resultante de Resultante de un número de vectores es aquel vector único que produce los mismos efectos que todos los vectores originales juntos. Vector equilibrante de un sistema de fuerzas: es fuerzas:  es el vector opuesto al vector resultante. Suma de vectores: a) Solución grafica: La suma de los vectores llevando el vector vector

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y

es un vector

, que se obtiene

con su propio modulo, dirección y sentido a continuación del

y uniendo el origen de

con el extremo de .

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b) Solución analítica:  analítica:   se basa en la ley del paralelogramo “La suma o resultante de dos vectores viene dada en dirección, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido sobre los dos vectores como lados consecutivos. Determinación analítica del modulo y dirección del vector resultante, conocido el ángulo que forman los dos vectores

En el triángulo

y

aplicando el teorema del coseno tenemos: ………(1)

Pero: Remplazando estos valores en (1) tenemos: Esta es la formula para calcular el modulo de la resultante de dos vectores. En general se acostumbra acostumbra escribir escribir en función del del ángulo . Por trigonometría sabemos: Luego: Para encontrar encontrar la dirección dirección del vector resultante determinamos el ángulo que esta esta resultante resultante forma con uno de los vectores sumandos . Para eso aplicamos la “Ley del Seno” de trigonometría. En el triángulo

O también: APÉNDICE: Para sumar varios vectores resultante de estos con pedida.

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, se suman primeramente

y así sucesivamente hasta obtener el vector

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y

, la

, que es la suma

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Diferencia de dos vectores: Restar de un vector

otro

equivalente a sumar el vector

con

el vector opuesto de

OBS.: En la práctica se acostumbra unir el extremo del vector sustraendo con el extremo del vector minuendo, obteniéndose un vector equivalente

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Sistemas de unidades: Generalidades: la física es la ciencia de la medida por lo tanto debe disponer de unidades para medir y expresar cuantitativamente los diferentes fenómenos. Para la resolución de los problemas es necesario estar familiarizado con los sistemas de unidades físicas, pues en física, un resultado numérico no tiene sentido cuando no indica la unidad correspondiente. Medición:  consiste en comparar dos cantidades homogéneas, sabiendo que una de las cantidades se llama unidad de medida. Estas unidades de medidas no son naturales, sino convencionales. Magnitudes fundamentales:  existen numerosas magnitudes, cada una de ellas siempre pueden ser expresadas en función de tres magnitudes especiales. Estas magnitudes son llamadas magnitudes fundamentales y son:  Longitud  Masa o Fuerza  Tiempo El conjunto de unidades para medir las magnitudes fundamentales y derivadas se denominan: Sistemas de unidades: Existen tres sistemas de unidades principales a) Sistema cgs: llamado así por adoptar como unidades fundamentales - Centímetro ( ) - Gramo masa ( ) - Segundo ( ) b) El sistema MKS: adopta como unidades fundamentales - El metro ( ) - Kilogramo masa ( ) - Segundo ( ) c) El sistema técnico o gravitacional: es el único sistema que adopta como unidades fundamentales - Metro ( ) - Kilogramo fuerza o kilopondio ( ) - Segundo ( ) Este sistema es muy utilizado en la técnica y en ingeniería. OBS.: La masa es independiente del lugar de la tierra en que se mide y por eso el sistema de unidades basado en la longitud, la masa y el tiempo se llama sistema absoluto. Si se eligen como magnitudes la longitud, la fuerza y el tiempo, como la fuerza mas corriente es la gravitatoria, se llama a este sistema de unidades de gravitatorio o gravitacional. Sistema internacional de unidades ( SI) A partir de 1960, el sistema MKSA fue considerado como formando parte de un sistema completo de unidades físicas llamado sistema internacional de unidades, más conocido como (SI) El SI fue sancionado y recomendado por la 11A. Conferencia general de pesas y medidas reunidas en Paris, en octubre de 1960. Cursillo π

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El SI está basado en siete unidades fundamentales: - Longitud: metro ( ) - Masa: kilogramo ( ) - Tiempo: segundo ( ) - Intensidad de corriente: Ampere ( ) - Temperatura termodinámica: grado kelvin ( ) - Cantidad de materia: el mol - Intensidad luminosa: candela ( ) Ecuaciones dimensionales: Si se eligen como fundamentales las tres magnitudes de longitud, masa y tiempo, los demás vendrán representados en función de estas. Las unidades fundamentales se expresan por las tres iniciales mayúsculas. (Longitud) (Masa) (Tiempo) Una ecuación dimensional relaciona una magnitud derivada con las magnitudes fundamentales, mostrando de que manera ella depende de las magnitudes fundamentales. Para obtener una ecuación de dimensión basta sustituir en la expresión de la magnitud derivada las magnitudes por sus unidades. Ejemplo: Para la velocidad Tendremos: Para la energía cinética • • •

Se cierran entre corchetes las magnitudes derivadas Si las letras aparecen en el denominador se ponen con exponentes negativos En el sistema técnico la masa se sustituye por la fuerza

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CAPITULO II: MECANICA 1. MECÁNICA:  es la rama de la física y de la ingeniería que trata del movimiento de los cuerpos materiales y de las fuerzas que producen los movimientos. Se divide en: a) Cinemática:  La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos materiales, sus clases y las leyes que lo rigen. En cinemática se estudia la posición, la velocidad y la aceleración No se especifica la naturaleza de la partícula cuyo movimiento se estudia, ni tampoco se estudian las fuerzas que causan la aceleración. b) Estática: la estática estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sobre el que actúan fuerzas, quede en equilibrio o sea que permanezca en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme. c) Dinámica: constituye la mecánica propiamente dicha porque en ella se estudia las relaciones existentes sobre el movimiento de las masas y las fuerzas que lo provocan 2. FUERZA: Estáticamente hablando se puede decir que fuerza es toda causa que produce o modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo u ocasiona en el una deformación. Ejemplo: - Cuando empujamos un cuerpo, ejercemos una fuerza sobre el mismo. - Las fuerzas pueden ser ejercidas también por objetos inanimados, un resorte tenso ejerce fuerzas sobre los cuerpos atados a sus extremos. - La fuerza de atracción gravitacional. - Las fuerzas eléctricas o magnéticas. Unidades de Fuerza:  Las unidades de fuerza en los tres sistemas son: Dina, Newton ( ) y kilogramo fuerza o kilopondio ( ) Elementos de una fuerza: Como la fuerza es una magnitud vectorial consta de 4 elementos a) Punto de aplicación: Es el punto sobre el cual actúa directamente la fuerza. b) Dirección: Es la trayectoria que sigue la fuerza. c) Sentido: una de las dos maneras de seguir la recta y es señalado por la flecha. d) Modulo: número que indica el valor de la fuerza. SISTEMA DE FUERZAS: Cuando un conjunto de fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo decimos que el cuerpo se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas. Fuerzas componentes: son las fuerzas que actúan simultáneamente sobre un cuerpo. La resultante de un sistema de fuerzas, es la fuerza única capaz de producir el mismo efecto que las componentes. Equilibrante de un sistema de fuerza es la fuerza única capaz de contrarrestar la acción de la resultante de un sistema de fuerzas.

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LEYES DE NEWTON APLICABLES A LA ESTÁTICA: 1° Ley de Newton: LEY DE INERCIA: Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme hasta que una fuerza externa lo obligue a salir de dicho estado. 3° Ley de Newton: LEY DE ACCION Y REACCION: A toda acción (Fuerza) le corresponde una reacción (otra fuerza) de igual modulo, igual dirección, igual línea de acción pero de sentido contrario. Como estas fuerzas actúan en cuerpos diferentes no se anulan entre si. AXIOMAS DE LA ESTÁTICA: 1º Axioma: Dos fuerzas iguales y de sentidos opuestos están en equilibrio. 2º Axioma: Toda fuerza puede trasladarse de un punto a otro a lo largo de su línea de acción y sus efectos sobre el cuerpo son iguales. 3º Axioma: La resultante de dos fuerzas que actúan en distintas direcciones y en un mismo punto de aplicación está representada en dirección, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido con dichas fuerzas. Composición de Fuerzas:  Componer un sistema de fuerzas significa hallar su resultante. Los casos más comunes son: a) Composición de dos fuerzas de igual dirección y sentido. -

Solución grafica: para hallar la resultante de sentido, transportamos la fuerza

y

a continuación de

La resultante será la fuerza que parte del origen de

-

que tienen la misma dirección y . hasta el extremo de

Solución analítica: para hallar el modulo de la resultante fuerza

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se suma el modulo de

con el modulo de la fuerza

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b) Composición de dos fuerzas con la misma dirección y sentido contrarios -

Solución grafica: Para hallar la resultante dirección y sentido contrarios. Se transporta la fuerza La resultante

-

de dos fuerzas

a partir del extremo de la fuerza

será la fuerza que parte del origen de

y

con la misma

.

hasta el extremo de

Solución analítica: Para hallar el modulo de la resultante

se resta el modulo de la

fuerza menor del modulo de la fuerza mayor . La dirección será la misma que la fuerza componente y el sentido será el sentido de la fuerza mayor.

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ANEXO: Composición de varias fuerzas con la misma dirección.  Todas las fuerzas tienen la misma dirección y el mismo sentido. Si las fuerzas componentes son por ejemplo: la resultante será una fuerza que tiene la misma dirección y el mismo sentido que las componentes y su intensidad es igual a la suma de las intensidades de las componentes. Es decir:

Esta expresión lo podemos representar por:

Este símbolo significa: Sumatoria de todas las fuerzas desde la primera hasta la ultima) 

desde

hasta

(Es decir

Todas las fuerzas tienen la misma dirección pero sentidos diferentes: En este caso hallamos primero las resultantes parciales en los diferentes sentidos y luego procedemos con estas dos resultantes y como dos fuerzas de la misma dirección y sentidos contrarios. c) Composición de dos fuerzas que actúan en distintas direcciones y en un mismo punto de aplicación.

-

Solución grafica: Por el 3º Axioma de la Estática sabemos: “La resultante de dos fuerzas que actúan en distintas direcciones y en un mismo punto de aplicación está representada en dirección, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido con dichas fuerzas”.

Sea el sistema de fuerzas concurrentes

y

.

Para hallar la resultante trazamos por el extremo de la recta paralela a la fuerza y por el extremo de la recta paralela a la fuerza . La diagonal del paralelogramo representa la resultante en intensidad, dirección y sentido.

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-

Solución analítica: Sean y las dos fuerzas dadas que forman entre si un ángulo . Por el 3º Axioma de la estática determinamos la resultante

Considerando el triángulo sabemos por trigonometría que “En todo triángulo el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos mismos lados por el coseno del ángulo comprendido” (Teorema del coseno). Es decir: Pero: Remplazando estos valores en

Por geometría sabemos: Luego: Remplazando en

tenemos:

……..Adyacentes. funciones trigonométrica de ángulos suplementarios.

tenemos:

Esta ecuación nos permite calcular la intensidad (modulo) de la resultante de dos fuerzas concurrentes y que forman cualquier ángulo comprendido entre y Calculo de la dirección de la resultante: La dirección de la resultante queda definida por los ángulos las componentes.

y

que la misma forma con

Tomando el mismo triángulo , sabemos que “En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” Es decir:

Casos particulares de composición de dos fuerzas concurrentes. Cursillo π

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1º CASO: Las fuerzas

y

forman un ángulo

Aplicando la ecuación de la resultante, tendremos:

Luego:

…..Resultado evidente teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras.

2º CASO: Las fuerzas y colineales de igual sentido.

actúan en un mismo punto bajo un ángulo

, es decir son

Aplicando la ecuación de la resultante tendremos:

Resultado conocido.

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3º CASO: Las fuerzas y actúan en un mismo punto bajo un ángulo colineales de sentidos contrarios. Aplicando la ecuación de la resultante tendremos:

, es decir son

Resultado conocido.

Descomposición de una fuerza en dos direcciones perpendiculares:

Sea la fuerza que debe ser descompuesta en dos componentes ortogonales dispuestos sobre los ejes y Proyectamos la fuerza sobre los dos ejes. Las proyecciones del punto y . Los vectores y , que llamaremos y son los componentes rectangulares de la fuerza . Conociendo el ángulo , podemos fácilmente, determinar y

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Composición de más de dos fuerzas concurrentes a) Solución grafica:

Si se tienen varias fuerzas concurrentes

, aplicadas en un punto , y situadas

en un plano, la resultante puede ser determinada fácilmente. En efecto, basta componer las dos primeras según el 3º Axioma de la estática: Se obtiene así la resultante

.

Luego se obtiene la resultante de

con

obteniendo de esta forma la resultante

Y finalmente la resultante definitiva , se obtiene componiendo del paralelogramo construido sobre

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con

.

por la misma ley

y

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b) Solución analítica: Utilizando el método de las proyecciones. Cuando se tienen varias fuerzas coplanares concurrentes en un punto de intensidades dadas y se dan los ángulos que cada una de las fuerzas forma con los ejes rectangulares que coincide con el punto de aplicación del sistema, se puede fácilmente determinar la resultante del sistema de fuerzas.

Sea el sistema representado en la figura, formado por las fuerzas , concurrentes en , origen de un sistema de ejes ortogonales y se conocen además los ángulos y que forman respectivamente cada una de las fuerzas con la dirección positiva del eje . La fuerza se puede sustituir por sus dos componentes y cuyos valores son:

También

Por lo tanto, todo el sistema queda reducido a tres fuerzas actuando en el eje y otros tres fuerzas actuando en el eje . Por consiguiente las fuerzas que actúan a lo largo del eje de abscisas se reducen a una sola igual a la suma algebraica que llamamos , es decir: También las componentes sobre el eje de ordenadas y pueden sustituirse por una sola fuerza que llamamos El sistema de fuerzas constituido por las fuerzas y es equivalente al sistema constituido por La intensidad o modulo de la resultante se determina mediante la ecuación.

La dirección de la resultante queda determinada por el ángulo que la misma forma con el eje . Este ángulo puede ser determinado por medio de su tangente.

Para ubicar en que cuadrante esta la resultante, utilizamos los conceptos de trigonometría. (En función de los signos de y ) Cursillo π

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ANEXO: Generalización del proceso para composición de Sean las fuerzas

fuerzas coplanares.

que forman con el eje los ángulos

respectivamente. Esto puede ser expresado de la siguiente forma: Sean las fuerzas

, en que varia de a

, y sean

los respectivos ángulos que dichas

fuerzas forman son el eje de abscisas. a) Descomponemos cada una de las fuerzas

b) Calculamos la resultante

en sus componentes ortogonales

de todas las componentes horizontales y la resultante

de las componentes verticales

c) Calculamos la intensidad de la resultante

d) Calculamos el ángulo

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que la resultante forma con el eje por medio de la tangente.

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Momento de una fuerza respecto de un punto Se llama momento de una fuerza con respecto a un punto, al producto de dicha fuerza por la distancia del punto a la fuerza. El punto se llama centro de momentos. El momento de una fuerza es una magnitud vectorial.

………Momento de

respecto a

Las unidades de momento son

El signo del momento de una fuerza es convencional, pues una fuerza puede hacer girar en el sentido de las manecillas del reloj

o sentido contrario a las manecillas del reloj

.

Esta convención no es rígida, pero dentro de un mismo problema se debe mantener la convención. Podemos decir que el momento de una fuerza respecto a un punto es la medida de su eficiencia giratoria o también la tendencia a girar que produce una fuerza.

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ANEXO: En el grafico podemos ver que el producto es el doble del área del triángulo formado por el punto y la fuerza. Este hecho puede ser aprovechado si así fuese conveniente en algún determinado problema, pues sabemos que el producto vectorial de dos vectores es numéricamente igual a este momento.

Cupla o par de fuerzas: Un par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas iguales y de sentidos contrarios, aplicados a un cuerpo rígido.

Entonces Es decir un par de fuerzas es un sistema que no tiene resultante. Se considera que la resultante es una fuerza tendiendo a cero aplicada en el infinito. Para poder equilibrar un par de fuerzas o Cupla debemos aplicar otro par de fuerzas del mismo modulo y de sentido contrario. La expresión muestra que si un par de fuerzas actúa sobre un cuerpo produce un efecto y este efecto es una rotación. OBS.: En los casos ilustrados en la figura la rotación vá a producirse en torno al punto medio del segmento.

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Momento de un par de fuerzas

Sabemos que el momento en este caso es producido con respecto al punto medio del segmento de longitud , el punto

Pero Luego:

El momento de un par de fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia perpendicular entre las mismas.

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TEOREMA DE VARIGNON: El momento de la resultante de un sistema de fuerzas coplanares con respecto a un punto cualquiera es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.

Nos limitamos a demostrar para dos fuerzas concurrentes con el centro de momentos en su plano. Pero lo demostrado se puede generalizar para cualquier número de fuerzas. Sean las fuerzas y aplicados en , siendo la resultante y sea el centro de momentos. Usamos los puntos y con Tracemos y a la recta También Queremos demostrar: En el triángulo

tenemos:

Análogamente en los triángulos

Consideremos los triángulos

Remplazando Pero

en

y

, tendremos:

y

tenemos: Ecuación Ecuación

Luego: Cursillo π

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EQUILIBRIO: Los cuerpos se aceleran en respuesta a las fuerzas que actúan sobre ellos, pero en estática nos interesa que los cuerpos no aceleran. Un cuerpo puede estar en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. Pero esta condición no basta, por que si las fuerzas actúan en diferentes puntos de un cuerpo extenso, es necesario un requisito adicional para asegurar que el cuerpo no tenga tendencia a girar, es decir la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto debe ser cero. Este requisito se basa en los principios de la dinámica de rotación. El concepto de equilibrio se clasifica en: a) Equilibrio estático: Cuando la velocidad de translación del cuerpo es cero y además el cuerpo no se encuentra girando, es decir en velocidad angular es también cero.

Y en estas condiciones iniciales también tenemos

…………No hay aceleración translacional

…………No hay aceleración angular b) Equilibrio dinámico: Cuando el cuerpo se encuentra en movimiento de translación pero con (Movimiento rectilíneo y uniforme) o con movimiento de rotación pero con velocidad angular constante:

Si además de estas condiciones iniciales

…………No hay aceleración translacional

…………No hay aceleración angular

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Condición de equilibrio de un punto material: Para que un punto material esté en equilibrio estático es necesario y suficiente que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicho punto, sea nula.

Si estuviésemos trabajando en un sistema cartesiano

Condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido. Las condiciones necesarias y suficientes para que un cuerpo rígido (De dimensiones no despreciables) se mantenga en equilibrio estático son dos: 1º CONDICIÓN: La resultante de todas las fuerzas que actúan en el cuerpo sea nula.

Esta condición hace con que el cuerpo no tenga movimiento de translación. 2º CONDICIÓN:  La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas que actúan en el cuerpo en relación a un mismo punto es nula.

Siendo un punto cualquiera del cuerpo o fuera del mismo. Esta condición hace con que el cuerpo no tenga una aceleración rotacional.

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EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE. La energía potencial de un cuerpo depende de la posición de su centro de gravedad respecto a un nivel de referencia. a) Equilibrio estable: La posición de equilibrio estable corresponde a la de energía potencial mínima, es decir, el centro de gravedad del cuerpo se encuentra a la menor altura posible (respecto a un nivel de referencia) Si se aleja (un poco) al cuerpo de esta posición, tiende a volver a ella.

b) Equilibrio inestable: corresponde a la posición de energía potencial máxima, es decir el centro de gravedad está a la mayor altura posible respecto a un nivel de referencia. Si se aleja (un poco) al cuerpo de esta posición, tiende a alejarse cada vez más de esta posición.

c) Equilibrio indiferente: La energía potencial del cuerpo no varía en todas las posiciones del cuerpo. La altura del centro de gravedad no varía al cambiar (un poco) la posición original del cuerpo. Si se cambia al cuerpo de posición, vuelve a quedar equilibrado en la nueva posición.

OBS.: En todos los casos, cuando los cuerpos están inicialmente en equilibrio, los momentos del peso con respecto al punto de apoyo son nulos.

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Perdida de equilibrio de un cuerpo extenso: existen dos formas de que un cuerpo pueda perder el equilibrio. Por deslizamiento y por vuelco. Cada una de estas formas dependen de factores diferentes pero que pueden interligarse con respecto a cual de ellos va a ocurrir primero. a) Perdida de equilibrio por deslizamiento: Ocurre cuando el cuerpo ya esta en la inminencia de deslizar, en este caso la fuerza de rozamiento estática entre el cuerpo y la superficie donde va a deslizar es igual a la fuerza de rozamiento máxima. En la practica esta situación ocurre cuando la resultante de la fuerzas paralelas a la superficie de contacto que actúan sobre el cuerpo es igual o mayor que b) Perdida de equilibrio por vuelco: b.1) Si el cuerpo esta por separarse de alguna superficie donde esta apoyada, las fuerzas de contacto se anulan y el cuerpo esta en la inminencia de volcar. Ejemplo: hallar la fuerza para que la barra se separe de .

OBS.: La fuerza de rozamiento es desconocida, y solo en un caso excepcional será la máxima b.2) Si es un cuerpo con base extensa, cuando esta por volcar, la normal pasa por el ultimo punto que va a estar un contacto con la superficie de apoyo. Ejemplo: Hallar la fuerza para que la caja este por volcar.

OBS.: La fuerza de rozamiento excepcionalmente será la máxima.

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Composición grafica y analítica de dos fuerzas paralelas de igual sentido: La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido es otra fuerza de la misma dirección y sentido que las fuerzas componentes y cuya intensidad es igual a la suma de las intensidades de las fuerzas: El punto de aplicación de la resultante divide al segmento que une los puntos y de aplicación de las fuerzas, en dos segmentos e , inversamente proporcionales a las fuerzas y . a) Determinación grafica del punto de aplicación de la resultante:

Para determinar gráficamente el punto de aplicación de , se hace El segmento

determina sobre

el punto

de aplicación de la resultante .

b) Composición analítica de fuerzas paralelas de igual sentido:

Por la primera condición de equilibrio de un cuerpo rígido tenemos: Por la 2º condición de equilibrio tenemos, aplicando momentos con respecto al punto

También tenemos:

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Composición de dos fuerzas paralelas de sentidos contrarios: El punto de aplicación de la resultante divide el segmento de aplicación de las fuerzas en dos segmento e inversamente proporcionales a y La resultante es paralela a las componentes y de sentido de la fuerza mayor. La intensidad de la resultante es igual a la diferencia de las intensidades de las fuerzas a) Determinación grafica del punto de aplicación de la resultante .

Para determinar gráficamente el punto de aplicación de , hacemos: La prolongación de

determina en la barra

el punto de aplicación.

b) Solución analítica de dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos

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FUERZAS ENTRE SUPERFICIES EN CONTACTO: Cuando la superficie de dos cuerpos entran en contacto pueden aparecer dos tipos de fuerzas entre los cuerpos: a) Fuerza normal: aparece entre cuerpos en contacto y es perpendicular a las superficies de contacto, por eso se lo denomina fuerza normal. …… es el peso del cuerpo …… es la reacción del suelo sobre el cuerpo(Acción y reacción)

…… acción y reacción …porque debe soportar a los dos cuerpos

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b) Fuerza de rozamiento: Siempre que un cuerpo se desliza sobre otro cuerpo, uno ejerce sobre el otro una fuerza de fricción o fuerza de rozamiento, que es tangente a las superficies en contacto (Acción y reacción). Esta fuerza de rozamiento tiene sentido contrario el movimiento del cuerpo en relación al otro y es provocado por los asperezas o rugosidades existentes entre las superficies y también por fuerzas intermoleculares que depende de la polaridad de las moléculas en contacto. El rozamiento se puede disminuir puliendo las superficies y lubricando. Algunos veces es nocivo y otras veces es útil, por ejemplo es útil en las ruedas de los vehículos y nocivo en el motor de los vehículos. La fuerza de rozamiento es la resistencia que los cuerpos en contacto ofrecen al movimiento relativo entre dichos cuerpos. TIPOS DE ROZAMIENTO a) Fuerza de rozamiento estático: Es aquella fuerza de contacto paralela a la superficie que se opone al movimiento del cuerpo respecto a la superficie de apoyo. Si el cuerpo no desliza respecto a la superficie de apoyo cuando sometida a una fuerza es debido a la fuerza de rozamiento estático. Esta fuerza puede llegar a un valor máximo que se llama fuerza de rozamiento estática máxima, este valor se da únicamente cuando el cuerpo está en movimiento inminente es decir está a punto de empezar a deslizar sobre su apoyo. Cuando tenemos un cuerpo en una superficie horizontal y aplicamos una pequeña fuerza a este cuerpo. • El cuerpo no se mueve, pues el suelo ejerce una fuerza de rozamiento • Si aumentamos la fuerza , el cuerpo continua sin moverse La fuerza de rozamiento , también aumento en la misma medida de • Pero si continuamos a aumentar la fuerza , llegará un momento que el cuerpo está en la “inminencia” de moverse, pues la fuerza llegó a su límite, es decir a su máximo. Esta fuerza de rozamiento máxima se lo conoce como “fuerza de destaque” o “fuerza de arranque” o Luego la fuerza de rozamiento estático un máximo

puede variar desde cero…cuando

hasta

Fue Coulomb quien estableció las leyes para la fuerza de rozamiento. 1° Ley: La fuerza de rozamiento estático independiente del área de contacto entre las dos superficies. 2° Ley: La fuerza de rozamiento estático depende de la naturaleza de las superficies de contacto. 3° Ley: La fuerza de rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal (Perpendicular a las superficies) ………Coeficiente de rozamiento estático y depende de la naturaleza de los superficies. ………Fuerza normal a las superficies en contacto.

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b) Fuerza de rozamiento dinámico o cinético: Si un cuerpo desliza sobre su superficie de apoyo, y esta es un plano rugoso, entonces actúa sobre el cuerpo una fuerza de rozamiento cinética. Esta fuerza es paralela a la superficie de apoyo y su sentido es opuesto al movimiento del cuerpo. El rozamiento cinético puede ser de dos formas: ∗ Fuerza de rozamiento cinético por deslizamiento. ∗ Fuerza de rozamiento cinético de rodaje. Para poner un cuerpo en movimiento en una superficie plano debemos aplicar una fuerza mínima que sea mayor que (fuerza de destaque) Pero para mantener dicho cuerpo en movimiento es necesario aplicar una fuerza menor que las fuerza de destaque. La fuerza de rozamiento cuando el cuerpo está en movimiento se denomina Fuerza de rozamiento dinámico o cinético. La fuerza de rozamiento cinético, tiene las siguientes características. ∗ Es menor que la fuerza de rozamiento estático para las mismas superficies ∗ Independiente de las áreas de contacto ∗ Para velocidades no muy altas es independiente de la velocidad ∗ Es proporcional a la reacción normal del plano de apoyo

∗

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……Coeficiente de rozamiento dinámico. El medio en el cual está inmerso un cuerpo (aceite, agua, aire, …etc.) ofrece también resistencia a su desplazamiento. Esta resistencia es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad y a la viscosidad del fluido.

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Maquinas simples:  son dispositivos que permiten vencer grandes resistencias empleando nuestra escasa fuerza muscular. En este sentido son aparatos multiplicadores de fuerzas. Las maquinas simples emplean solamente la aplicación de una fuerza. La fuerza que se aplica se llama fuerza motriz y la fuerza que si debe vencer fuerza resistente. a) Palanca: es una barra rígida que puede girar alrededor de un eje o un punto que se llama punto de apoyo.

La distancia entre la potencia y el apoyo La distancia entre la resistencia y el apoyo Según la posición del punto de apoyo , con respecto a la potencia y a la resistencia , se distinguen tres géneros de palanca.  Palanca de 1º género: El punto de apoyo se encuentra entre la potencia y la resistencia. Ejemplo: Balanza, tijera.  Palanca de 2º género: La resistencia se encuentra entre la potencia y el punto de apoyo . Ejemplo: La carretilla.  Palanca de 3º género:  La potencia se encuentra entre la resistencia y el punto de apoyo . Ejemplo: Pinza de hielo

Condición de equilibrio: en cualquier palanca se produce equilibrio, cuando el momento de la potencia y el de la resistencia con respecto al punto de apoyo son iguales. Es decir: b) Poleas: son discos o ruedas de borde acanalado por el cual pasa una cuerda que la hace girar en torno a su eje. Se clasifican en.  Poleas fijas:  Poseen solo un movimiento de rotación en torno a su eje. Se la puede considerar como una palanca de 1º género de brazos iguales



No economiza fuerza pero da comodidad y seguridad al operario. Polea móvil:  junto al movimiento de rotación posee otro de translación. Se la puede considerar como una palanca de 2º género.

La polea móvil economiza Cursillo π

de la fuerza 30

Ing. Raúl Martínez

Física 

Sistemas de poleas:  Es el conjunto de dos o más poleas móviles y una fija dispuesta como indica la figura. La primera polea móvil reduce la resistencia La segunda polea móvil reduce la resistencia a La enésima polea

reduce la resistencia a

El equilibrio se produce cuando es el número de poleas móviles.

en donde

c) Torno: es el conjunto de dos poleas fijas entre si con diferentes radios, una mayor menor ambos pudiendo girar en torno a un mismo eje. Funciona como una palanca de 1º género. El equilibrio se produce cuando.

y otra

Luego la potencia es inversamente proporcional a los radios de las poleas. d) Plano inclinado:

El plano inclinado es una maquina simple que se utiliza para economizar esfuerzo. Descomponemos el peso del cuerpo en dos componentes (Normal al plano inclinado y / Paralelo al plano inclinado) Para conseguir el equilibrio debemos aplicar una fuerza equilibrante con la misma intensidad que pero de sentido contrario. En la medida que disminuye el ángulo , menor será el esfuerzo o la potencia que debemos aplicar para obtener el equilibrio.

Cursillo π

31

Ing. Raúl Martínez

Física

ANÁLISIS DE ALGUNOS CASOS DE PLANO INCLINADO: a) Cuando se considera sin rozamiento por ser ínfimo.

Componentes de la fuerza peso Para que este cuerpo esté en equilibrio será necesario aplicarle una fuerza equilibrante . Las condiciones de equilibrio serán:

Las fuerzas

y

aplicadas al cuerpo son las responsables del cuerpo estar en equilibrio.

Impide que el cuerpo penetre en el plano inclinado. Impide que haya movimiento acelerado paralela al plano.

Cursillo π

32

Ing. Raúl Martínez

Física

b) Cuando existe la fuerza de rozamiento y el cuerpo esté en la inminencia de deslizar con movimiento uniforme

Las condiciones de equilibrio son:

Esta relación es muy importante, pues define si un cuerpo que está en un plano inclinado: b.1) No está usando la fuerza de rozamiento máxima b.2) Esta en la inminencia de deslizar o con movimiento uniforme b.3) Solo podrá estar en equilibrio con la ayuda de una fuerza equilibrante b.1)

b.2)

…………(Inminencia del desequilibrio)

b.3)

…………(Necesidad de una Fuerza equilibrante mínima

Cursillo π

33

)

Ing. Raúl Martínez

o

Física

c) Análisis de la faja de variación de una fuerza

INMINENCIA DE BAJAR (mínima fuerza para mantener el equilibrio)

capaz de mantener el equilibrio.

INMINENCIA DE SUBIR (máxima fuerza para mantener el equilibrio)

Luego:

Cursillo π

34

Ing. Raúl Martínez

Física

d)

…… Acción y reacción

Inminencia de movimiento para abajo del plano

Cursillo π

35

Ing. Raúl Martínez

Física

ANÁLISIS DE ALGUNOS CASOS DE ESCALERAS. a) Datos :

peso de la escalera peso del hombre coeficiente de rozamiento ángulo entre la escalera y el plano horizontal longitud de la escalera

OBS.: No siempre la fuerza de rozamiento será la máxima.

Cursillo π

36

Ing. Raúl Martínez

Física

b) Datos:

peso de la escalera peso del hombre ángulo entre la escalera y el suelo horizontal longitud de la escalera coeficientes de rozamientos Tensión en la cuerda

OBS.: (1) Cuando se pide la máxima altura que podrá subir el hombre o el menor valor de , las fuerzas de rozamiento serán lo máximo posible. (2) La tensión en el hilo solo pasa a actuar para suplir la diferencia de la fuerza de rozamiento.

Cursillo π

37

Ing. Raúl Martínez

Física

c) Dos escaleras del mismo peso por una cuerda.

1º Fase: determinación de

y la misma longitud

que están articuladas en

y sujetas

y

2º Fase

Cursillo π

38

Ing. Raúl Martínez

Física

d) Dos escaleras de diferentes pesos y longitudes articulados en

y sujetos por una cuerda.

Reacciones en

Cursillo π

39

Ing. Raúl Martínez

Física

PESO DE UN CUERPO: Es la fuerza gravitacional (o cuerpos por la atracción de las masa) que actúan en los cuerpos por la atracción terrestre. El peso de un cuerpo no actúa realmente en un solo punto, sino que es distribuido un todo el cuerpo, pero se puede calcular el momento de la fuerza peso respecto a cualquier punto, si se supone que el peso está concentrado en un solo punto llamado centro de gravedad. Si un cuerpo es homogéneo su centro de gravedad coincide con su centro geométrico (centro de áreas, centro de longitudes, centro del volumen) Si un cuerpo tiene su eje de simetría, su centro geométrico, generalmente se encuentra sobre dicho eje de simetría. Si tiene dos o más ejes de simetría, el centro geométrico y en general el centro de gravedad se encontrarán sobre la intersección de dichos ejes. El centro de gravedad también puede estar fuera del cuerpo. En los cuerpos de formas complejas se puede hallar la posición del centro de gravedad dividiendo este cuerpo en partes que sean piezas simétricas o piezas cuya posición del centro de gravedad sean conocidas. Si la aceleración de la gravedad es constante para todos los puntos del cuerpo, el centro de gravedad también coincide con los centros de masa de los cuerpos. Cuando un cuerpo sobre el que actúa la gravedad se apoya en un solo punto o cuelga de él, el centro de gravedad siempre está directamente por arriba o por debajo de dicho punto. Si estuviera en otro lugar, el peso tendría un momento respecto al punto de suspensión y en cuerpo no estaría en equilibrio rotacional. Cuando más bajo está el centro de gravedad y es mayor el área de apoyo, más difícil es volcar un cuerpo. En los cuerpos homogéneos y de tamaños no muy extensos el centro de gravedades coincide con el centro de masa, pero no podemos hablar de centro de gravedad en ausencia del campo gravitacional, pero el centro de masa continúa existiendo.

Cursillo π

40

Ing. Raúl Martínez

Física

Para calcular la posición del centro de gravedad de un cuerpo complejo, lo dividimos en varios cuerpos de centro de gravedad conocido. En un sistema cartesiano ortogonal en dos dimensiones, las coordenadas del serán:

Donde:

Pero, si el cuerpo completo es homogéneo, de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro geométrico (Centro de área, centro de longitud o centro del volumen) Y en este caso tendremos:

Donde:

OBS.: En caso de que tengamos un agujero o un hueco, en un cuerpo lo consideramos su área, volumen o pero como negativo.

Cursillo π

41

Ing. Raúl Martínez

Física

Con el objeto de aclarar más los conceptos, veamos con un ejemplo literal como se deduce el centro de gravedad de varios cuerpos cuyos centros de gravedad son conocidos. Debemos elegir convenientemente un sistema cartesiano, si posible con las coordenadas de los centros de gravedad positivos, para facilitar los cálculos y la comprensión. Sean tres cuerpos de pesos y centros de gravedad respectiva.

La resultante de estos pesos será punto , tendremos:

, y la fuerza equilibrante del sistema al

Luego:

Procediendo en forma análoga y suponiendo que los pesos están dirigidos en forma horizontal hacia la izquierda obtendremos.

Cursillo π

42

Ing. Raúl Martínez

Física

EJERCICIOS DE ESTÁTICA 1) Calcular las tensiones en las cuerdas.

 A

a) Si la máxima tensión en las cuerdas es de 600 kgf, cual es el máximo peso que se pueda colgar siendo

60° 1

b) ¿Cuál deberá ser el ángulo sean iguales?

2

para que las tensiones 540kgf 

c) ¿Cuál deberá ser el ángulo para que la tensión en la cuerda (1) sea el doble que la (2)? Rta.: a)

;

b)

;

c)

2) α

a) Calcular las tenciones en los hilos. b) Si la cuerda (1) soporta máximo 250 kgf. ¿Cuál es el valor máximo de W que puede soportar? c) Si kgf ; . ¿Cuál es el valor mínimo de de tal forma que la cuerda (1) soporte como máximo 250kgf. Rta.: a) T1= 444,7 kgf , T2 = 334,6 ;

1

W=200 kgf

θ

2 θ

w

b) W = 112,43 kgf

; c) α ≅ 73,85°

3) a) La esfera de la figura pesa 200 kgf; tensión en el hilo y la reacción de la pared.

. Calcular la

θ

b) Si la tensión máxima que soporta el hilo fuese de 400 kgf y . ¿Cuál es el peso máximo de la esfera? c) Si la esfera pesa 200 kgf y el hilo soporta máximo 250 kgf. ¿Cuál es el mayor valor posible para el ángulo θ. Rta.: a)

T=

kgf ; N=

kgf

;

b) W=

kgf

; c) θ = 36° 52’ 11,63”

4) a) Cada una de las esferas pesa 100 kgf. ¿Cuál es la tensión del hilo y la relación de la pared en cada esfera? b) Si el hilo soporta como máximo 800 kgf. ¿Cuántas esferas iguales podrá soportar? Rta.: a) N1= 300 kgf ; N2= N3= 0 kgf ; T1= 300

45° 1

2

kgf ; b) 5 esferas 3

Cursillo π

43

Ing. Raúl Martínez

Física

5) Dos poleas prácticamente sin fricción sostienen el sistema formado por los pesos y las cuerdas. a) Si

Calcular: b) Si

y las tensiones en las cuerdas kgf 

Calcular:

y

c) Sabiendo que ¿Cuál es la relación entre Rta.: a) kgf ;

y

, en función de kgf ; b)

y

? ;

≅ 121,85 ;

c) 6) a) En la figura de al lado mostrar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo A. b) Si  A

B

¿Cuál es el mínimo peso del cuerpo C? − La reacción del plano sobre el cuerpo A. c) Datos: −

C −

¿Cuál será

en el equilibrio?

Rta.: b) 15,32 kgf ; 37,14 kgf

;

c) No puede haber equilibrio porque

7) a) Calcular las tensiones en los hilos. 3 2

b) Si el hilo (3) soporta máximo 50 kgf. ¿Cuál es el máximo valor de W? 4

Rta.: a) T1= W/

Cursillo π

; T2 = W.

; T3=T4=

44

1

W=80kgf 

; b) W

Ing. Raúl Martínez

Física

8) a) Si Calcular la tensión en el hilo y la fuerza que ejerce la barra AB. − Calcular también la reacción en el apoyo A. −

b) Si y el hilo soporta como máximo 200kg. ¿Cuál es el mínimo valor de θ? f c) Si la barra soporta una fuerza de compresión máxima 500 kgf y . ¿Cuál es el máximo valor de W? d) Si , la tensión máxima del hilo es 100 kgf y la compresión máxima de la barra es 200 kgf. ¿Cuál es el máximo valor de W? e) Si el hilo soporta una tensión máxima de T y el peso del cuerpo W. expresar función de estos dos datos.

en

OBS: Considerar la barra de peso despreciable. Rta.: a)

kgf ;

c) W ≅ 383,02 kgf

;

400 kgf ; RA

kgf

d) W = 57,73 kgf

;

;

b) θ = 68° 11’ 54,93”

;

e)

9) a) Si B

Calcular: Tensión en el hilo y las fuerzas de reacción en A. Suponer la barra sin peso. b) Si el hilo soporta hasta una tensión de 300kgf. ¿Cuál es el máximo valor de W?

W

 A

c) Si y el hilo soporta una tensión máxima de 500 kgf y Calcular .

kgf.

d) Si la barra soporta una compresión máxima de 1.000 kgf. ¿Cuál es el máximo valor de W?

OBS: Considerar la barra de peso despreciable. Rta.: a) FH= 546,41 kgf

; FA(Y)= 473,20 kgf ; FA(X)= 473,20 kgf ; F R(A)=669,21 kgf

;

b) W= 109,8 kgf ; c) θ = 42° 32’ 32,63” ; d) W=298,86 kgf

Cursillo π

45

Ing. Raúl Martínez

Física

10)

W

 A

 A

W

 A

W

OBS: Supóngase la barra sin peso. a) Si

b) Si el hilo soporta hasta 500 kgf. ¿Cuáles son los máximos valores de W en cada uno de los casos de las figuras? ;

Rta.: a)

b)W1= 321,39 kgf

; W2= 595,87 kgf

;

W3= 704,96 kgf

11) C 1 65°

B

40° w=1.200kgf   A

Una barra AB articulada en la base de un mástil AC soporta un peso kgf como ilustra la figura. Calcula la tensión en la cuerda CB y los componentes de la fuerza de reacción en A. Rta.:

Cursillo π

46

Ing. Raúl Martínez

Física

12) Una esfera de 60 kgf, se encuentra en equilibrio como ilustra la figura. Determinar la tensión en la cuerda y la reacción en la pared 12° 15°

Rta.:

13) a) Siendo

Calcular las reacciones en los apoyos del cilindro. b) Sabiendo que y siendo el peso del cilindro. Calcular la relación de las fuerzas en los apoyos y . Rta.: a)

; b)

14) Una esfera de peso , descanza sobre dos planos inclinados como ilustra la figura. Calcular la reacción en los apoyos.

R=0,60 m

W

60°

Rta.:

Cursillo π

47

Ing. Raúl Martínez

Física

EJERCICIOS ESPECIFICOS DE ROZAMIENTO 15)

μ

El cuerpo de la figura de peso W, se encuentra en un piso rugoso con un coeficiente estático y se encuentra sometido a una fuerza motriz . a) Muestre todas las fuerzas actuando sobre el cuerpo para el caso en que . b) Si

analice la fuerza de rozamiento en los siguientes casos:   

c) Cuanto deberá ser el coeficiente y . Rta.: b)

;

para que permanezca en equilibrio estático si

c) μ = 0,25

16) a) En la figura mostrar todos las fuerzas que actúan en el cuerpo de peso . b) Si μ 

Establecer la faja de variación de

para que el cuerpo esté en equilibrio.

c) ¿Cuál es el mínimo valor de para que el cuerpo pueda movimentarse (inminencia de movimiento del cuerpo). Siendo ; ; d) Si ; ; . ¿Cuál deberá ser el valor de esté en la inminencia del movimiento? Rta.: b)

Cursillo π

c)

para que

d)

48

Ing. Raúl Martínez

Física

17) a) Analizar la figura y mostrar todas las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso , siendo

F

;

w

b) Siendo ; ; . ¿Cuál es el máximo valor de para que el cuerpo permanezca en equilibrio. c) Siendo ; ; . ¿Cuál es el máximo valor de para el cual el cuerpo todavía permanece en equilibrio estático? d) Siendo ; ; . ¿Cuánto deberá ser para que el cuerpo se mantenga en equilibrio estático? Rta.: b)

; c)

; d)

18) a) En cada uno de los tres casos de las figuras mostrar todos las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W. Siendo b) Siendo

1

w

f

¿Cuál deberá ser el menor valor de en cada uno de los casos? c) Siendo ; ; . ¿Cuál es el mayor valor posible de W para que se mantenga en equilibrio? d) Siendo ; . ∗ En la figura (2) ¿Cuál deberá ser el menor valor de para que sin contar con el rozamiento se mantenga el equilibrio. ∗ Siendo . ¿Cuál deberá ser el mayor valor de para que se mantenga el equilibrio en la figura (3). 3

2

w

w

Rta.: b)

;

c)

Cursillo π

; d)

49

Ing. Raúl Martínez

Física

19) W

25

30

a) En la figura de muestre todas las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W. b) Siendo . ¿Cuál es el máximo valor de para que se mantenga el equilibrio estático. c) Siendo . ¿Cuál es el mínimo valor de para que el sistema esté en la inminencia del movimiento? d) Siendo . ¿Cuál es el mínimo valor de para que se mantenga el equilibrio? Rta.: b) 34,146 kgf

;

c) W= 20,07 kgf

;

d)

20) a) ¿Cuál es el menor valor de

para que el movimiento sea posible

W

?

2W w w

w

2W

Rta.: 21) El bloque de la figura tiene un peso de W. a) Siendo

¿Cuál es la tensión en la cuerda? b) Siendo la máxima tensión que el hilo soporta 1.200 kgf. ¿Cuál es el mayor valor posible para y siendo: c) Siendo ¿Cuál es el mínimo valor de para que se pueda establecer el equilibrio. Siendo que el hilo soporta como máximo 600 kgf. Rta.: a) ; b) ; c)

Cursillo π

50

Ing. Raúl Martínez

Física

22) El sistema de la figura está en equilibrio, siendo idénticos los dos bloques de masa . La esfera tiene masa . Calcular el mínimo coeficiente de rozamiento estático entre los bloques y el suelo para que el sistema no deslice. (Entre el bloque y la esfera no hay rozamiento)

Cursillo π

51

Ing. Raúl Martínez

Física

EJERCICIOS DE PLANO INCLINADO:

23) a) Siendo

W

¿Cuál es el máximo valor de para que el cuerpo de peso permanezca en equilibrio estático? b) Analizar el mismo problema anterior en forma literal, es decir: siendo datos Calcular

y

.

c) Siendo 1-) ¿Es necesario utilizar la fuerza de rozamiento máxima? 2-) ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento utilizada para mantener el equilibrio? 3-) ¿Qué pasaría si ? 4-) ¿y en este caso que valor tendría la fuerza mínima equilibrarte del sistema, con dirección paralela al plano inclinado? 5-) En caso de que ¿Cuál deberá ser la fuerza paralela al plano inclinado equilibrarte del sistema? Rta.: a)

;

b)

3-) El cuerpo se va a deslizar.

;

; c) 1-) NO 4-) 3,01 kgf

; 2-)

;

5-)

24) a) Siendo W F . Mostrar todos las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W. b) 1-) Siendo . ¿Cuál es el valor mínimo de para que el cuerpo esté en la inminencia de bajar. 2-) En las mismas condiciones del ítem anterior. ¿Cuál es el máximo valor de para que el cuerpo este en la inminencia de subir. OBS: Intervalo de variación de para mantener el equilibrio. c) Siendo 1-) ¿Cuál es el valor de 2-) ¿Cuál es el valor de OBS: Intervalo de variación de Rta.: b)

Cursillo π

;

. para que el cuerpo esté en la inminencia de bajar? para que el cuerpo esté en la inminencia de subir?

para mantener el equilibrio. ; c) 1-)

52

; 2-)

Ing. Raúl Martínez

Física

25) ∗

∗

a) Siendo Si el cuerpo está en la inminencia de bajar, mostrar todas las fuerzas que actúan en el cuerpo . Si el cuerpo está en la inminencia de subir mostrar todas las fuerzas que actúan en el cuerpo . b) Si

¿Cuál es el intervalo de variación de

y

W

para el cual existe equilibrio estático?

c) Siendo Si ; ; ¿Cuál es el mayor valor de para que el cuerpo este en la inminencia de baja y cuánto vale la fuerza de rozamiento en tales condiciones? Rta.: b) 176,75 kgf <

< 326,76 kgf

; c)

,

26) a) Siendo . ¿Calcular el valor de para que el cuerpo este en la inminencia de bajar. b) Si ¿Cuál es el valor de para que el cuerpo este en la inminencia de subir? Rta.: a)  kgf

W

27) a)

Calcular para que el cuerpo esté en la inminencia de movimiento para el lado de la fuerza . − Calcular cuando el cuerpo este en la inminencia de moverse hacia la polea. b) Siendo ; ; Calcular entre que valores debe variar para que el cuerpo esté en equilibrio. c) Si ; Entre qué valor podrá variar para mantener el equilibrio en función de . −

Rta.: a)

; b) 35 N <

< 125 N

c)

Cursillo π

53

Ing. Raúl Martínez

;

Física

28) a) En la figura Calcular entre qué valores podrá variar para que se mantenga el equilibrio. b) Siendo Calcular el intervalo de variación de mantener el equilibrio. c) Siendo ¿Cuál deberá ser el valor de Rta.: a)

para

para que haya equilibrio?

; b)

8,25 kgf <

< 17,45 kgf

;

c)

29) B

 A

a) Siendo

Calcular .

b) Siendo

Entre que valores podrá variar mantenga el equilibrio.

c) Siendo

Rta.: a)

Cursillo π

c

¿Cuál es el mínimo valor de equilibrio?

;

b) 3 kgf <

< 17 kgf

54

; c)

, para que se

que mantenga el

6,6 kgf

Ing. Raúl Martínez

Física

30)

a) Siendo

¿Cuál es el valor mínimo de equilibrio?

b) Siendo

− −

c) Siendo:

para que exista

¿Es posible el equilibrio? Caso afirmativo, calcular μ en función de

Calcular el intervalo de valores que puede adquirir para que se mantenga el equilibrio.

d) Siendo: Calcular el intervalo de valor de equilibrio.

Rta.: a)

;

b)

d) 7° 20’ 50,84” <

;

para que exista

c) 72,862 kgf <

< 182,405kgf

< 56° 26’ 56,39”

31) a) Siendo: B C

Calcular la fuerza de rozamiento del cuerpo B. b) Calcular el intervalo de valores de masa del cuerpo C. c) Siendo ; ; Calcular el intervalo de valores posibles de para que se mantenga el equilibrio. Rta.: a)

Cursillo π

kgf

;

b)

7,83 kgf < C < 12,16 kgf ; c)

55

Ing. Raúl Martínez

Física

32) Siendo

Calcular el intervalo de variación de se mantenga el equilibrio.

para que

Rta.: 33)

a) ¿Cuál es el máximo valor de para mantener el equilibrio? b) Si Si el cuerpo (2) está en la inminencia de bajar, ¿cuál es el valor de Rta.:

a)

kgf

;

b)

34) a) ¿Cuál es la fuerza interactuando entre los cuerpos (1) y (2), siendo .

y

b)

μ 

c) En caso de que . ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para que los cuerpos no bajen, y en este caso cual es la fuerza que (1) ejerce en (2).

d) Siendo Rta.: a) No existe fuerzas interactuantes b) ≤ ; c) ≤ ;

Cursillo π

; d) 

56

Ing. Raúl Martínez

kgf

Física

35)

a) Siendo y . Calcular las fuerzas de rozamiento de cada uno de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambas. b) Calcular la faja de variación de y en los casos extremos calcular, el rozamiento de cada cuerpo y la fuerza de contacto entre ambas. c) Siendo . Calcularla fuerza de rozamiento de cada uno de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambos cuerpos sabiendo que están en equilibrio. d) Siendo: Calcular las fuerzas de rozamiento de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambas.

e) Siendo:

¿Entre que valores podrá variar Rta.: a)

para que se mantenga el equilibrio?

;

b)

c)

;

; d)

...No está siendo usada

; e) Cursillo π

57

Ing. Raúl Martínez

Física

EJERCICIOS DE MOMENTO DE UNA FUERZA 36)

F

P B

A

a) La barra AB se encuentra pivotada en el punto A y su peso es . Calcular la fuerza para mantenerla en equilibrio y las relaciones en el apoyo A en los siguientes casos: 1-) 2-) 3-) b) Si y el mayor valor que puede ser atribuido a es de 200 N y siendo N. Calcular el máximo valor posible del peso de la barra. c) Si el mayor valor atribuible a la fuerza es de 150 kgf y el valor de . ¿Cuál es el máximo valor de ? d) Siendo . Sabiendo que el máximo valor de la fuerza de reacción horizontal en A es 80 kgf. ¿Cuál es el mayor valor posible de ?

Rta.: a) 1-) b)

W=160 N

;

2-)

3-)

c)

;

d)

37) La barra homogénea de la figura de 3 m y pesando 300 kgf se encuentra apoyada y soportando dos pesos y . a) Calcular la reacción en los apoyos A y B sabiendo que . b) Calcular para que la reacción en B sea el doble que la reacción en A, siendo . c) Siendo . Calcular de tal forma que la reacciones en los apoyos sean iguales. Rta.: a)

;

b)

;

c)

38) Una barra homogénea AB de 5 y pesando 12 kg por metro, se encuentra apoyada como ilustra la figura. C A a) Si la distancia AC es igual a 1,2 , cuál es el máximo peso W para mantener el equilibrio. W b) Cual deberá ser la distancia AC, si Rta.: a) W= 65 kgf Cursillo π

; b) 58

Ing. Raúl Martínez

B

Física

39) El peso W se encuentra apoyado en una tabla considerada sin peso. a) Analizar la variación de la tensión en la cuerda en función del ángulo . b) ¿Cuál es la faja de variación de si y los hilos de W sustentación pueden soportar hasta 180 kg de tensión cada una. c) Siendo el peso del cuerpo y . ¿Cuál será la tensión en los hilos. Rta.: b) ; c) 40) La barra de la figura se encuentra en equilibrio, es homogénea y pesa siendo longitud. a) Siendo . Calcular para mantener el equilibrio y calcular también la reacción en . b) Siendo . Calcular y la reacción en .

kgf por metro y

c) Siendo Calcular

para que se mantenga el equilibrio. ; b)

Rta.: a) ; c) 41) El sistema de la figura está en equilibrio estático. En el punto tenemos una articulación, el peso de la barra es y su longitud es . D a) Siendo

C A

Calcular las reacciones en y la tensión en la cuerda. b) Siendo y la máxima tensión posible en le cuerda es 3W, también

. ¿Cuál es el valor

para

W

mantener el equilibrio? c) Siendo

¿Cuál es el menor valor posible para AD. Sabiendo que el hilo puede soportar hasta y en esas condiciones, cual es la reacción en A? Rta.: a)

Cursillo π

; b)

; c)

59

Ing. Raúl Martínez

B

Física

42) La barra AB se encuentra en equilibrio y está articulada en A. a) Siendo

B

3

A

W

Calcular la tensión en la cuerda y las reacciones en A. W b) Si la cuerda soporta una tensión máxima de 4 . ¿Cuál es el mínimo valor de para que se mantenga el equilibrio. c) Si , y la cuerda soporta una tensión máxima de 300 kgf, ¿Cuál es el máximo valor de W y en ese caso cual será la reacción en A? Rta.: a)

;

b) 32°32’3,2”

;

c)

43) La barra homogénea de la figura de peso y longitud , se encuentra articulada en A y soporta el peso W.

B D

a) Siendo

W

A

Calcular las reacciones en A y la tensión en el hilo. b) Siendo la tensión máxima posible del hilo menor valor de Rta.: a)

2W y

. Calcular el

para que el hilo no suelte y calcular la reacción en el apoyo A. ;

b)

44) La escalera de la figura se encuentra apoyada en la pared. El peso de la escalera es W. a) Siendo ; ; ¿Cuál es el máximo valor de para que se mantenga el equilibrio? Y las reacciones en los apoyos. b) Siendo ; ; ¿Cuál es el máximo valor de y las fuerzas de rozamiento en los contactos con la pared y el piso?

Rta.: a)

Cursillo π

;

b)

60

Ing. Raúl Martínez

Física

45) Una persona de peso se encuentra subiendo la escalera de longitud ángulo que forma la escalera con la horizontal es . a) Siendo:

y peso W. El

¿Cuál es la máxima altura que puede llegar la persona? Y en ese momento cuánto valen las fuerzas de rozamiento y las fuerzas normales en los apoyos? b) Si el hombre pesa y y el hombre se encuentra a . ¿Cuál es el mínimo valor de para que se mantenga el equilibrio? c) Si ¿Cuál es la altura que podrá alcanzar el hombre en función de ? d) Siendo

¿Cuál es el menor valor de el hombre suba hasta la

Rta.: a)

para que no haya peligro de deslizarse, mismo que parte de la escalera?

; b)

; c)

;

d)

46) Una escalera de 5 de longitud y de 30 kgf de peso se encuentra apoyada en una pared lisa. Para aumentar la seguridad fue dispuesto un alambre como ilustra la figura. Un hombre sube la escalera. a) Si el hombre pesa 80 kgf; y ¿Cuáles son las relaciones en los apoyos y la tensión en el alambre? b) ¿Cuál es la altura máxima que podrá escalar el hombre si el hilo solo soporta 10 kgf como tensión máxima? El peso del hombre es 80 kgf ;

Rta.: a)

Cursillo π

;

b)

61

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47) Una barra homogénea de peso se encuentra como ilustra la figura. Los coeficientes de rozamiento en los apoyos son iguales y la barra está en la inminencia de deslizar. Calcular .

Rta.:

48) Una plancha homogénea de peso 50 kgf, se encuentra con de su longitud para fuera de un barranco. ¿Cuál es la máxima distancia desde el borde que podrá caminar un hombre de 70 kg si la longitud de la plancha es 6 ? Rta.: 49) La escalera dupla de peso y cada tramo de longitud superficie lisa y están perfectamente articulados. a) Sabiendo que

se encuentran en una

Calcular:

Las reacciones en el suelo. − La tensión en el hilo. − La fuerza de interacción en la articulación. b) Si el alambre soporta una tensión máxima de 10 kgf ¿Podrá un hombre de 80 kgf subir por la escalera hasta la cima? Caso contrario ¿hasta qué altura lo podrá? c) ¿Cuánto debería ser el coeficiente de rozamiento con el piso para que la tensión en el hilo sea nula? d) Si colocáramos el hilo a media altura, cuantas veces aumentaría la tensión en el hilo.

Rta.: a) c)

Cursillo π

; ;

; d)

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50) La escalera de la figura pesa . Cada tramo mide hombre de peso se encuentra sobre ella.

y un

a) Si la superficie del suelo es perfectamente lisa, Calcular las reacciones en el suelo en la articulación y la fuerza tensora en el hilo. ¿Cuál es el máximo valor de , si el almbre soporta una tensión máxima de 10 kgf?

b) Siendo

c) Siendo Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la escalera y el piso es . Calcular las reacciones del piso la tensión en el hilo.

Rta.: a)

;

b)

;

c)

51) Las dos escaleras de la figura se encuentran articuladas en A. La superficie del suelo es perfectamente lisa. El peso de la escalera es de por metro. a) Siendo

Calcular las fuerzas de interacción en A, B, C y la tensión en el alambre. Rta.: a) 52) a) Siendo

¿Cuál es la altura máxima que se puede aplicar para el cuerpo no tumbe? b) Siendo ¿Cuál es el menor valor de para que el cuerpo no pueda tumbarse? c) es una fuerza horizontal que se aplica al cuerpo W y puede variar en altura hasta la altura del cuerpo. ¿Cuál deberá ser el mínimo valor de para que una fuerza y siendo no pueda volcarlo, también sabemos . Rta.: a)

Cursillo π

;

b)

; c)

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53) a) Siendo

¿Cuál es la máxima altura produzca el vuelco?

par que no se

b) Siendo

¿Cuál es el máximo valor de Rta.: a)

;

para que no vuelque?

b)

54) a) Siendo

¿Cuál es el menor valor de para que pueda producirse el vuelco y en ese instante cual deberá ser la altura ? b) Siendo

¿Cuál deberá ser el mayor valor de para que no pueda volcarse y en ese caso cual será la máxima altura de aplicación de ? c) Siendo ¿A qué altura deberá estar aplicada la fuerza que pueda ocurrir el deslizamiento o el vuelco indistintamente o simultáneamente ? Rta.: a)

Cursillo π

;

b)

;

64

para

c)

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EJERCICIOS SOBRE CENTRO DE GRAVEDAD. 55) a) Determinar el centro de gravedad de la lámina homogénea en forma de T de la figura. b) Si colgamos esta lámina desde el techo por medio de un hilo el punto , ¿Cuál es el ángulo que formara la recta con la horizontal del lugar? c) ¿Cuál debe ser la longitud de la chapa MN para que dicho ángulo de AB con la horizontal sea de 30°? d) Calcular la distancia BC para que al colgar dicha lamina de los puntos A y C es posición horizontal, la tensión en el hilo de C sea el doble de la de A. Rta.: a)

;

b)

;

c)

; d)

56) Calcular el centro de gravedad de una chapa circular como ilustra la figura.  A

R/2

45 R

45°

R/3

R/4

B

a) Si dicha chapa colgáramos por medio de un hilo desde el punto A, ¿Cuál será el ángulo que la lima AB formara con la horizontal del lugar? Rta.: 15° 38’ 32,09” 57) Calcular el centro de gravedad de la figura. La parte sombreada fue retirada de la chapa.

Rta.:

Cursillo π

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58) Hallar el centro de gravedad de la figura. − Si se cuelga de un hilo del punto , cuál será el ángulo que formara con la horizontal. − Si colgamos de dos hilos en y , manteniendo horizontal. ¿Cuál será la tensión de los hilos?

Rta.: 59)

;

 A

L

La placa homogénea y un ángulo de la figura posee un articulación en A, y se encuentra en equilibrio como ilustra la figura. ¿Cuál es la longitud de L ? Rta.: L = 29,13 cm 60)

a) El sistema de la figura se encuentra en equilibrio con la barra en posición horizontal . Calcular el peso de la barra. b) Si colocamos . ¿Cuál sería el ángulo que la barra formaría con la horizontal en la nueva posición de equilibrio? Rta.: a) 7,2 kg

Cursillo π

;

b)

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61) Se está queriendo subir una rueda, de peso y radio , un peldaño de altura por medio de la aplicación de una fuerza horizontal . a) Siendo

¿Cuál debe ser el mínimo valor de para que suba? b) Siendo

¿Cuál es la máxima altura

para que se consiga subir la rueda?

Rta.: a) 62) Siendo

;

b)

¿Cuál deberá ser el ángulo para que una fuerza consiga subir la rueda? Rta.: 63) Una caja de peso a) Si

se encuentra en un plano inclinado regulable como ilustra la figura.

y siendo

. Calcular el máximo valor de para que no ocurra el vuelco. En ese momento cual debería ser el coeficiente del rozamiento estático para que la caja no deslice. b) Si ¿Cuál deberá ser la altura de la caja y el mínimo valor de para que esté en la inminencia de volcar como también en la inminencia de deslizar?

Rta.: a)

Cursillo π

;

;

b)

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64)

P

F

En la figura de arriba: a) ¿Es necesario que entre b) Siendo:

y

exista rozamiento? Justificar.

¿Cuál es el máximo valor de Calcular también la tensión

para que se mantenga el equilibrio? en el hilo que sujeta ?

Rta.: b) 65)

P

En la figura de arriba: y sabiendo que entre

y

no existe rozamiento, y que :

¿Cuál es el mínimo valor de para que pueda iniciarse el movimiento? Y en este caso cual es el valor de la tensión en el hilo que sujeta el cuerpo a la pared? Rta.:

Cursillo π

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66)

P

En la figura de arriba: a) ¿Cuál es el máximo valor que puede tener

para que permanezca el equilibrio?

b) Con el resultado del ítem anterior, y en las mismas condiciones ¿Cuál es el mínimo valor atribuible a para que permanezca el equilibrio? c) Siendo y conociendo . Calcular el máximo valor de y el mínimo de para que exista equilibrio. Rta.: a)

Cursillo π

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EJERCICIOS EXTRAÍDOS DE ZARATE 1. Un bloque que pesa 100 kgf se encuentra sobre un plano inclinado y está unido a un segundo bloque suspendido de un peso mediante una cuerda que pasa por una polea lisa pequeña. El coeficiente de rozamiento estático es 0,40 y el cinético 0,30. a. Hállese el peso para el cual el bloque se mueve hacia abajo a velocidad constante. b. Calcúlese el peso para el bloque se mueve hacia arriba a velocidad constante. c. Para que valores de permanecerá el bloque en reposo.

100kgf 

30°

Rta.: a) 235,29

b) 744,61

c) 150,52

2. El bloque de peso W se desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado cuya pendiente es 37° mientras la tabla también de peso W descansa sobre la parte superior de . la tabla está unida mediante una cuerda el punto más alto del plano. a. Dibujar el diagrama del cuerpo libre de . b. Si el coeficiente de rozamiento cinético de todas las superficies es el mismo, determinar su valor.

37°

Rta.: b) 0,25 3. Dos cuerpos idénticos y de peso , enlazados con un hilo pasado sobre la polea están colocados sobre las caras y del prisma . El coeficiente de rozamiento estático entre los cuerpos y las caras del prisma es el mismo y los ángulos y son iguales a 45°. Determinar la magnitud del ángulo de inclinación de la cara respecto a la horizontal para que la carga comience a descender. El rozamiento de la polea se desprecia.

45° 45°

Rta.:

Cursillo π

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4. Una cuerda cuerda que se se encuentra encuentra arrollada alrededor de un cilindro de radio radio y peso W que que se mantiene en equilibrio equilibrio sobre un plano plano inclinado inclinado de pendiente pendiente estando la cuerda cuerda horizontal. Hállese: a. La tensión en la cuerda. b. La fuerza normal ejercida sobre el cilindro por el plano. c. La fuerza de rozamiento ejercida sobre el cilindro por el plano. W d. Represéntese en un diagrama de dirección la fuerza resultante ejercida sobre el cilindro por el plano. e. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático entre el cilindro y el plano para el cual es posible el equilibrio? Rta.: Rta.: a) W

b) W

c) W

d)

5. Un disco circular de 30 de diámetro, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro tiene arrollada una cuerda alrededor de su borde. La cuerda pasa por una polea sin rozamiento en y está atada a un cuerpo que pesa . Una barra uniforme de de longitud está fija al disco con un extremo en el centro. El aparato se halla en equilibrio, con la barra horizontal. a. ¿Cuál es el peso de la barra? b. ¿Cuál es la nueva posición de equilibrio cuando se suspende un segundo peso de 2 kgf en el extremo derecho de la barra?

Rta.: Rta.: 49 N ; 56,25° 6. La carga pesa 50 . Si a. Dibujar el DCL de la caja. b. Calcular el valor de las fuerzas que actúan. c. Si la fuerza crece ¿Qué sucederá primero, se resbalara o volcara, girando sobre ? Rta.: Rta.: b)

c) volcará,

7. Calcular los valores máximos de y longit longitud ud perman permanece ecen n en equili equilibr brio. io.

suponiendo que los tres ladrillos iguales de

Rta.:

Cursillo π

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8. La tabla es uniforme uniforme y pesa 20 kgf. Apoya en el punto sobre una una muralla sin rozamiento rozamiento y en el punto punto . sobre un un piso cuyo coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento estático es 0,50. En el extremo actúa con una fuerza vertical 1 kgf. a. Hacer el DCL de la tabla y calcular todas las fuerzas. b. Hallar el máximo valor de .

Rta.: Rta.: a) 16,25 kgf ; 7,92 kgf ; 6,34 kgf b) 7,12 kgf 9. Un bloque rectangular homogéneo de 60 de alto y 30 de ancho descansa sobre una tabla . El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la tabla es 0,40. a. Represéntese en un diagrama la línea de acción de la fuerza normal resultante ejercida sobre el bloque por la tabla cuando . b. Si se levanta lentamente el extremo de la tabla ¿Comenzara el bloque a deslizar hacia abajo antes de volcar? Hallarse el ángulo B para el cual comienza a deslizar o volcar. c. ¿Cuál sería la respuesta a la parte b si el coeficiente de rozamiento estático fuera 0,60? ¿y si fuera 0,50? Rta.: b) desliza c) vuelca; desliza y vuelca simultáneamente.

10. La barra AB está apoyada sobre una superficie cilíndrica de radio R y coeficiente de rozamiento estático 0,25 y unida al piso por un vínculo A sin rozamiento. La barra pesa 40 N y se aplica en A una fuerza P. Determinar si para P = 12 N, el sistema está en equilibrio. En En caso afirmativo determinar determinar el valor y el sentido de las fuerzas en el punto de contacto entre la barra y la superficie cilíndrica.

Rta.: Si

Cursillo π

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11. El semicilindro macizo de radio y de masa, está apoyada en plano horizonta horizontall ( ) y un plano plano inclinado inclinado 60° sin rozamient rozamiento. o. a. Para ara hacer acer el DC DCL inc inclina linad do el modu odulo, lo, dir direcc ección ión y sen sentido tido de tod todas las las fue fuerza rzas. b. Determinar el rango de valores valores de de para los los cuales cuales el cuerpo está en equilibrio.

Rta.: a) 240,13 ; 859,93

; 207,96

b)

12. ¿Entre que valores debe variar la fuerza fuerza aplicada en el punto punto , para para que que el sistema sistema permanezca en equilibrio? La masa es esférica. Datos:

Rta.: 13. En la estru estructu ctura ra el bloque bloque pesa pesa 120 kg y la barra barra rozamiento entre el bloque y la superficie inclinada es El bloque pesa 30 kg. a. Averiguar si el sistema se encuentra en equilibrio en la posición que se muestra. b. ¿Entre que valores puede variar el peso de la barra sin que se altere el estado de equilibrio?

Rta.: Rta.: a) si

Cursillo π

b) 1,9 kgf

pesa pesa .

. El coefic coeficien iente te de

kgf

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14. Calcular el máximo y el mínimo mínimo peso P necesario para mantener mantener el equilibrio. El peso A es de y Q es de . El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano es de 0,40

30°

Rta.: Rta.: 15. La escalera tipo tijera es de peso despreciable y descansa sobre un piso liso sin rozamiento. Los lados y miden 2,40 cada uno y la cuerda mide 0,80 y está situada a la mitad de la escalera. El hombre pesa 85 kgf. a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la escalera y calcular las intensidades de dichas fuerzas. b. Dibujar por separado la rama y hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre esta rama. c. Calcular la tensión de la cuerda . Rta.: Rta.: a) 499,80 ; 333,20 c) 235,6 16. En la estructura de la figura se desea aplicar una fuerza a fin de mantener el equilibrio. Dar el valor del vector fuerza y su punto de aplicación. .

Rta.: Rta.: 17. Determinar el centro de gravedad de las figuras que se representan. a)

b) Y

x

Rta.: Rta.: a) 63,0 63,07 7

Cursillo π

; 50,2 50,23 3

b) 2

;

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18. Una placa de espesor uniforme está colocada encima de una mesa horizontal y sometida a la acción de una fuerza horizontal a. Hallar el centro de gravedad de la placa. b. Dibujar el DCL de la misma, indicando el valor y punto de aplicación de todas las fuerzas. c. Verificar si en estas condiciones es posible el equilibrio. d. ¿Hasta qué altura con respecto al piso es posible aplicar la misma carga horizontal P de modo que no se altere el equilibrio? W= peso de la placa

Rta.: a) 4,08

b) 0,4

c) no

d) 2,36

19. Verificar si la barra homogénea de la figura se encuentra en equilibrio. a. Si está en equilibrio: ¿Qué valor máximo puede tener una fuerza aplicada verticalmente en el centro de gravedad de la barra dirigida hacia abajo sin que se rompa el equilibrio? b. Si no está en equilibrio: ¿Cuál es el mínimo valor de para mantener la barra en equilibrio? No existe rozamiento sobre la barra. 100 kg ; 30 kg ; 30° ; ;

Rta.: no está equilibrado;

20. A partir de los datos que se muestran en la figura, deducir una fórmula que nos permita calcular el ángulo ϕ con las siguientes condiciones: a. El bloque resbale sin volcar. b. El bloque vuelque sin resbalar. Rta.: a) b) 21. La rueda de radio de la figura está por pasar un obstáculo de altura con la ayuda de una fuerza horizontal aplicada en el centro de la rueda. Todas las superficies son lisas, sin rozamiento. a. Hacer un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre la rueda. b. Deducir las fórmulas que nos permitan calcular las fuerzas mencionadas en la pregunta a. en función de la fuerza , el radio y la masa de la rueda. c. ¿Cuál es el mínimo valor de que posibilita que la rueda se levante? Rta.: b)

Cursillo π

c)

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22. El bloque de masa que se muestra en la figura descansa en el punto D sobre una tabla de masa y con un coeficiente de rozamiento estático . El ángulo que forma la barra con la horizontal es , la longitud de la tabla es y la longitud es . a. Verificar que el bloque de masa se encuentra en equilibrio sobre la tabla. b. Demostrar que en las condiciones que se muestran en la figura la tensión en la cuerda no supera el valor máximo admisible , sin que esta se rompa. c. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de para los cuales el sistema que se muestra en la figura permanece en equilibrio sin que la masa resbale sobre la tabla o que la cuerda se rompa? Rta.: a) si c) 23. Los cuerpos y están dispuestos como se indica en la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es , determinar entre que valores puede variar para que el sistema permanezca en equilibrio.

Rta.: 24. La placa homogénea reacción en la cuerda

mostrada se halla suspendida inicialmente de tal modo que la y son iguales. Calcular el ancho del trozo cortado.

Rta.:

Cursillo π

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TEMA DE EXAMENES ANTERIORES 25. Despreciando la masa de la tabla, de las cuerdas y de las poleas, calcular la fuerza que debe aplicar a la cuerda una persona de masa sobre la plataforma para mantener la misma en equilibrio.

parada

Rta.: 26. La placa de la figura pesa 50 kgf y está suspendida mediante dos cabos de acero de igual sección. Calcular el valor de para que las fuerzas en los cabos sean iguales.

Rta.: 27. En la figura se representa una barra continua y rígida de peso despreciable que lleva en sus extremos las fuerzas indicadas. La posición de equilibrio queda caracterizada por los ángulos y . Hallar dichos ángulos. .

B

A

C 100kgf

Rta.: 28. La escalera mostrada en la figura, de 1,2 m de longitud, es uniforme y homogénea, y pesa 5 kgf. Por ella debe subir un obrero de 60 kgf de peso. ¿Cuál es la máxima distancia, medida sobre la escalera, que puede alcanzar el obrero sin que la misma resbale? AC

1,2 m

BD

0,8 m

AD

0,6 m

80 kgf

C B

A

D

Rta.: 29. En el sistema representado en la figura, se consideran ideales la cuerda y la polea. Sabiendo que la masa del cuerpo es 60 kg y que el coeficiente de rozamiento estático entre los planos y los cuerpos es igual a 0,35, determinar el intervalo de valores de la masa del cuerpo para que el sistema se encuentre en equilibrio, cuando es inminente que se deslice. . Rta.: mínimo valor

Cursillo π

; máximo valor

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30. Hallar el centro de gravedad de la placa homogénea de espesor constante indicada en la figura.

31. La barra de longitud L  y peso despreciable, se halla en equilibrio en la posición mostrada en la figura. Hallar la relación entre los pesos y .

Rta.: 32. El sistema de la figura se abandona a sí mismo y el cuerpo vuelca sin deslizar. ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento estático ?

Rta.: 33. Una varilla de vidrio de sección uniforme, de masa y longitud fondo y el borde de una capsula de porcelana de forma semiesférica de radio Despreciando el rozamiento, hallar el ángulo que formara la varilla con la horizontal en la posición de equilibrio.

se apoya sobre el R

 2L

Rta.:

Cursillo π

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34. Un disco homogéneo de peso W 100 N y radio cm está apoyada en dos superficies en los puntos A y B según muestra la figura. Una fuerza horizontal de intensidad N actúa sobre el disco a una altura del suelo. Se sabe que la fricción en el suelo es despreciable y que el coeficiente de rozamiento estático entre el disco y la superficie vertical es . ¿Qué valores puede tomar sin que el equilibrio del disco se rompa?

Rta.: 35. Se desea que un cuerpo compuesto por un semicilindro (con centro de gravedad en G) y un prisma recto cuya base es un triángulo rectángulo, se encuentre en equilibrio estable. Calcular los valores de la distancia “ ” y la altura “ ”. .

x

Rta.: ; 36. Sabiendo que la barra , de peso despreciable y longitud , puede soportar una fuerza máxima de 1000 B 45° y que la cuerda puede soportar una fuerza máxima de , determinar el máximo valor que puede tener el peso para que el sistema se encuentre W en equilibrio. C 60°  A Rta.: 37. La placa homogénea , se halla suspendida inicialmente de tal modo que la fuerza en la cuerda es cero. Posteriormente se corta un trozo de chapa, como se indica en la figura, y las reacciones en y resultan iguales. Calcular el ancho del trozo cortado.

Rta.:

Cursillo π

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