Teoria y Practica de Analisis Vectorial (Fuerzas) (Semana 1 y 2)

CURSO DE ESTATICA TEMA: DOCENTE:

ANALISIS VECTORIAL (SEMANA 1 Y 2) Lic. Jesús David Pflucker Hilario

TEORIA Y PRÁCTICA

1.1

Vector.El vector es un ente matemático que asocia magnitud y dirección y juega un papel esencial en muchas áreas centrales de la física como la mecánica, termodinámica, electricidad, magnetismo, electromagnetismo, óptica, etc. Gráficamente un vector, es un segmento de recta orientado (una flecha o saeta) que tiene 4 elementos. Finalidad.- La rama que estudia sus propiedades y operación de vectores se denomina análisis vectorial y es muy importante su estudio para cálculos posteriores de magnitudes físicas vectoriales y escalares como: velocidad, trabajo mecánico, trabajo termodinámico, momento de una fuerza, intensidad de corriente eléctrica, flujo eléctrico y/o magnético, etc. Por este motivo es muy importante el estudio del análisis vectorial pues sirve de mucho en todas las ramas de las ciencias y más aun en las de ingeniería como la Civil, Mecánica, Arquitectura, etc. Punto de aplicación es el punto de partida de un vector o aquel donde se aplica Módulo: longitud del segmento Dirección: ángulo formado con el eje x positivo Sentido: ubicación del segmento

Representación gráfica en el plano:

y

A



4



cm

x

Para denotar un vector se utiliza cualquier letra del alfabeto sea mayúscula o minúscula (con una flecha sobre la letra) Ejemplo: El vector B , el vector d

1.2

Con el estudio y la compresión de los vectores estamos colocando los cimientos de casi todo el curso de física I; en consecuencia esto exige un entendimiento mediante un estudio serio y responsable. El tiempo invertido en este estudio rendirá muchos dividendos. Una vez dominada la teoría vectorial se podrá utilizar con confianza y con existo en los siguientes temas. Descomposición de un vector.Dentro de la ingeniería es muy importante conocer las reglas de descomposición, pues nos ayuda a calcular las fuerzas que actúan sobre cables, cadenas y/o cuerdas, tal como se puede notar en la figura.

Podemos calcular las componentes por simple proyección cumpliendo el método del paralelogramo o también mediante trigonometría, ambas son validas. Según el triangulo ABC, se conoce las leyes de seno y coseno:

c B

A

b

a C

Ley de senos:

A B C   sena senb senc Ley de cosenos:

C  A2  B 2  2 AB cos c

Es importante saber que los vectores no solo se pueden proyectar en ejes perpendiculares sino en realidad en cualquier dirección. Por ejemplo. 1 1

1

V1 V1

o

1.3

V1

V

2 V2

o

V

V

2 V2

o V2

2

Suma de vectores.Suma de dos o más vectores, consiste en encontrar un vector equivalente que produzca los mismos efectos que todos juntos. Existen dos métodos de sumar vectores gráficos y analíticamente. A) Métodos Gráficos Este método consiste en ubicar los vectores uno a continuación del otro y luego el vector resultante se obtiene, uniendo el origen del primer

vector con el extremo final del segundo vector o del tercero o del cuarto o del n enésimo vector, ejemplo.

b

a

S ba

a

b a

S  ab

b

El signo “+” tiene un significado diferente del que tiene el algebra ordinaria, la suma obedece a la ley conmutativa ab  ba La suma de 3 o más vectores es la extensión lógica del procedimiento anterior (polígono).

a b

b

c

a c

S  abc

B) Método Analítico Primero estudiaremos un único vector en el plano XY, supongamos que el vector a forma un ángulo  con el eje X, sus componentes rectangulares son:

y

a x  a cos 

a y  a sen a x2  a y2  a 2 cos 2   a 2 sen 2

a x2  a y2  a 2 a  a x2  a y2

a

ay

tg 



x

ay ax

ax Es importante señalar que en el plano cartesiano los vectores se pueden expresar como pares ordenados y en el espacio cartesiano se expresan como terna ordenada. Por ejemplo; Espacio cartesiano

Plano cartesiano

y

z 5

3;5

5

Q

 H  3;5

H

3;4;5  Q  3;4;5 4

3

y

3

x x

NOTA: Cuando se suman vectores ya sea en par o terna ordenada, solo se pueden sumar las componentes iguales; es decir; la componente horizontal de un vector solo se puede sumar con la componente horizontal del otro vector y así sucesivamente con las otras componentes.

1.4

Vector Unitario.Como su nombre lo indica el modulo de un vector unitario es igual a la unidad. Para cualquier vector, se define su vector unitario de la siguiente manera, eˆa 

a a

Vectores coordenadas coordenados unitarios.- Un vector unitario se puede definir en cualquier dirección. Sin embargo, los vectores unitarios más útiles son aquellos que tienen las direcciones X, Y, Z. Estos vectores unitarios se llaman vectores coordenados unitarios, y se denotan comúnmente por medio de las letras iˆ, ˆj, kˆ y según las direcciones de los ejes X, Y, Z respectivamente. z

kˆ

ˆj

y

iˆ

x

Expresión de un vector en función de los vectores unitarios.z

R  Rx  R y  Rz Rx  Rx iˆ

Rz

R y  R y ˆj

R kˆ

Rx

x

iˆ

ˆj

Ry

y

Rz  Rz kˆ

R  Rxiˆ  Ry ˆj  Rz kˆ

El vector unitario de R esta dado por: eˆR 

Cosenos directores: cos  

Rx ˆ Ry ˆ Rz ˆ j i k R R R

Ry Rx R , cos   , cos   z R R R

Por lo tanto, podemos expresar también un vector unitario en función a los cosenos directores, como: eˆ  cos  iˆ  cos  ˆj  cos  kˆ  l iˆ  m ˆj  n kˆ R

Como eˆR es un vector unitario y su módulo eˆR  1 , se tiene entonces que: eˆR 



cos  2  cos  2  cos  2

cos  2  cos  2  cos  2

1

1

propiedad de los cos enos directores

z

Rz

R







y

Ry

Rx x

1.5

Multiplicación de vectores.Lo mismo que las cantidades escalares, se puede multiplicar vectores de diferente naturaleza para obtener cantidades de nuevas dimensiones Físicas. A) Producto Escalar de dos vectores.El resultado de la multiplicación

es

una

cantidad

escalar:

a  b  ab cos  con esta definición un número de cantidades físicas se pueden describir ejemplo: Trabajo, Energía, Potencial eléctrico, etc.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.1. 

a  b  b  a

conmutativ a

2.  a  (b  c)  a  b  a  c  3. 

distributiva

para los vectores unitarios : iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0

4.  a  a  a 2 5.  Dados los vectores a y b no nulos, si a  b  0 luego, los vectores son perpendiculares

Regla para el producto escalar.Sean los vectores: A  Ax i  Ay j  Az k y B  Bx i  By j  Bz k





A  B  Ax i  Ay j  Az k  Bx i  By j  Bz k



A  B  Ax i  Bx i  Ax i  By j  Ax i  Bz k

 Ay j  Bx i  Ay j  By j  Ay j  Bz k  Az k  Bx i  Az k  By j  Az k  Bz k A  B  Ax Bx i  i  Ax By i  j  Ax Bz i  k  Ay Bx j  i  Ay By j  j  Ay Bz j  k

 Az Bx k  i  Az By k  j  Az Bz k  k

A  B  Ax Bx i  i  Ax By i  j  Ax Bz i  k

 Ay Bx j  i  Ay By j  j  Ay Bz j  k  Az Bx k  i  Az By k  j  Az Bz k  k

tomando la propiedad del producto escalar para los vectores unitarios, tenemos:  A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz

Componente vectorial paralela y normal a una línea: En algunas aplicaciones de ingeniería es necesario descomponer un vector en sus componentes paralela y normal (perpendicular) a una línea dada. La componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del vector sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la proyección de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la dirección de la línea. Las componentes de un vector paralela y normal a una línea se pueden determinar usando el producto escalar o también llamado producto punto. Consideremos un vector U y una línea recta L. Podemos descomponer U en componentes que sean paralela y normal a L. L

L

U

U U U figura (a)

figura (b)

El vector U y la linea L

Separación de U en sus componente s paralela y normal a L.

Componente paralela.-

En función del ángulo θ entre U y la componente

U , la magnitud o modulo de U

U

es

 U cos 

Sea  un vector unitario paralelo a L como se muestra en la figura, entonces su producto escalar será;

L

 

U

figura (c) El vector unitario  es paralelo a L

U    U 1cos   U cos 

Considerando la ecuación anterior a ésta, podemos notar que U

U 

Para darle la dirección de paralelo a la línea L tomamos el vector unitario  , por tanto, la componente paralela será: U





 U  

Nota.- Es importante señalar que si el ángulo θ es mayor A 90º entonces el producto U   será negativo y si es menor a 90º grados será positivo. Componente normal (perpendicular).Una vez que se ha determinado la componente paralela, se puede obtener la componente normal mediante la relación U  U   U : U   U U

B) Producto Vectorial de dos vectores.El segundo tipo de multiplicación se denomina producto vectorial porque el resultado de la operación es un vector. Si se tiene dos vectores a y b como se muestra en la figura el producto vectorial se define:

c

ab  c

a 0



b

En donde a) La magnitud de c es: c  absen b) La dirección de c es perpendicular al plano que contiene a a y b c) El sentido de c corresponde a la regla del tornillo de rosca derecha. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

  a  b  c   a  b  a  c 

1.  a  b   b  a 

no conmutativ a

2. 

distributi va

3.  Para los vectores unitarios : ii  j  j  k  k  0 i j  k j  i  k

jk  i k  j  i

k i  j ik   j

4.  a  a  0 i 5.  a  b  a x bx

1.6

j ay by

k az bz

Área de un paralelogramo.En la figura se representan los vectores A , B su producto vectorial A B . El paralelogramo que se forma tiene como lados A y B, siendo h su altura respecto al lado A. El área del paralelogramo es: Área  A x h

B

h



A B

A

En la figura se tiene que: h  Bsen pero A  B  ABsen  Ah A  B  área del parale log ramo

El área del paralelogramo formado por dos vectores es igual al modulo del producto vectorial de dichos vectores. 1.7

Productos triples.Dados los vectores: A  Ax i  Ay j  Az k ,

B  Bx i  By j  Bz k ,

C  Cx i  C y j  Cz k

Se tiene los siguientes productos: 1) Producto triple escalar (el resultado es un escalar)











A  B  C  B  C  A  C  A B



Se demuestra que cualquiera de los productos de la ecuación arriba mencionada, puede escribirse como un solo determinante. Ax A  B  C  Bx Cx





Ay By Cy

Az Bz Cz

2) Triple producto vectorial (el resultado es un vector)

Dados los vectores A , B y C se cumple las siguientes igualdades:



 

   A B C  BA  C  AB  C  A B  C  B A  C  C A  B

1.8

Volumen de un paralelepípedo.Sea V el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores A , B y C como se muestra en la figura. z

A



C

y

B

x

donde  es el vector unitario de B  C , perpendicular al plano determinado por B y C por tanto está en la dirección de de la altura h del paralelogramo. La componente de A en la dirección de  es entonces h  A   . Como la base es un paralelogramo, su área es B  C ; luego el volumen es:









V  A  BC  A BC 



 V  A BC

1.9





Condición de coplanariedad.La condición necesaria y suficiente para que tres vectores A , B y C sean coplanares es:





A BC  0

EJERCICIOS PROPUESTOS TEMA: ANALISIS VECTORIAL Problema 1.1. La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a’ y b-b’. a) Determinar el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo de aa’ es de 240 lb .b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-b’?

Problema 1.2 La fuerza F se encuentra en el plano definido por las líneas LA y LB que se intersecan. Su magnitud es de 400 lb. Supongamos que F se quiere separar en componentes paralelas a LA y a LB. Determinar las magnitudes de las componentes vectoriales.

Problema 1.3 (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en función de sus componentes escalares.

(b) Exprese el vector de posición del punto B al punto C en función de sus componentes escalares. (c) Use los resultados anteriores para determinar la distancia del punto A al punto C.

Problema 1.4 La armella roscada en la figura que se ve en la figura está sometida a dos fuerzas, F1y F2. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Problema 1.5 Encontrar:

Las dimensiones del paralelepípedo son 3, 4 y 5 unidades.

a) La expresión del vector T de modulo 10 unidades que está en la diagonal BE con origen en B. b) La expresión del vector V de modulo 5 unidades que está en la diagonal CA con origen en C

c) Los ángulos directores de T y V

z

E

T 3

A

x

C

5

4

V

y

B

La ménsula está sometida a las dos fuerzas mostradas. Exprese cada Problema 1.6 fuerza en forma vectorial cartesiana y luego determine la fuerza resultante FR. Encuentre la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.

Problema 1.7 La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si la tensión en AB y CD es FA=300N y FC= 250N, respectivamente, exprese cada una de esas fuerzas en forma cartesiana vectorial.

Problema 1.8 Dos tractores jalan el árbol con las fuerzas mostradas. Represente cada fuerza como un vector cartesiano, y luego determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.

Problema 1.9 El cable AB mostrado ejerce una fuerza de 32 lb sobre el collarín en A. Exprese T en función de sus componentes escalares.

Problema 1.10 Determine la componente de F que actúan a lo largo de la barra AC y perpendicular a ella. El punto B está localizado a 3 m a lo largo de la barra desde el extremo C.

Problema 1.11 El cable OA se usa para dar soporte a la columna OB. Determine el ángulo  que forma el cable con la viga OD.

Problema 1.12

Obtenga los productos escalares

BC

y

B´  C , y utilice los

y

B´  C , y utilice los

resultados obtenidos para demostrar la identidad 1 1 cos  cos   cos     cos   . 2 2

Problema 1.13

Obtenga los productos vectoriales B  C

resultados obtenidos para demostrar la identidad sen cos  

1 1 sen     sen   . 2 2

Problema 1.14

Si los lados del paralelepípedo son:

A  5i  4 j  3k B  8i  2 j  k

C  i  j  3k

, su volumen es:

Problema 1.15- Si A  mi  j  k ; B  i  3 j  3k ; C  3i  m j  5k . Hallar el valor de “m” sabiendo que A, B y C

son coplanares.