Teoría y cálculo de estructuras

Teoría y cálculo de estructuras MSA, una aplicación para cálculo estructural con Python

Vigo, 25 de octubre de 2009. España

© 2008, 2009 Jorge Rodríguez Araújo [email protected]

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Índice 1. Cálculo de estructuras..................................................................1 1.1 Introducción................................................................................................1 1.2 Cálculo........................................................................................................1 1.2.1 Cálculo de reacciones........................................................................................2 1.2.2 Cálculo de solicitaciones....................................................................................2 1.2.3 Cálculo de desplazamientos y giros...................................................................2

1.3 Resolución de una estructura simple..........................................................2 1.4 Cálculo resistente........................................................................................4 1.4.1 Ejemplo..............................................................................................................5

1.5 Esfuerzos térmicos......................................................................................6 1.6 Pandeo........................................................................................................6 1.6.1 Cálculo a pandeo...............................................................................................7 1.6.2 Longitud de pandeo...........................................................................................7

1.7 Fatiga..........................................................................................................8 1.8 Acciones en la edificación...........................................................................8

2. Determinación de desplazamientos y giros...............................10 2.1 Teoremas de Mohr.....................................................................................10 2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos.......................................10 2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos.....................................11

2.2 Teorema de Castigliano.............................................................................13 2.2.1 Método de la acción unidad.............................................................................13

2.3 Potencial interno.......................................................................................13 2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti...............................................14

3. Pórtico simétrico.........................................................................16 3.1 Cálculo de acciones...................................................................................17 3.2 Cálculo de correas de cubierta..................................................................18

4. Estructuras reticuladas...............................................................19 4.1 Introducción..............................................................................................19 4.2 Ejemplo.....................................................................................................19 4.3 Principio de los trabajos virtuales..............................................................20 4.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos.........................................21

5. Método de la rigidez...................................................................22 5.1 Introducción..............................................................................................22 5.2 Método......................................................................................................22 5.2.1 Descripción estructural....................................................................................22 5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente.................23 5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra.......................................................................................23 5.2.2.2 Vector de cargas nodales........................................................................................23 5.2.2.3 Matriz de rotación...................................................................................................23

5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura.................24 5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura............................................................................24 5.2.3.2 Vector de cargas de la estructura...........................................................................24

i

5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.2.7

Introducción de las condiciones de contorno...................................................24 Solución del sistema de ecuaciones.................................................................24 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones...................24 Comprobación del equilibrio............................................................................25

5.2.7.1 Equilibrio global......................................................................................................25 5.2.7.2 Equilibrio local.........................................................................................................25

5.3 Barra con carga uniformemente distribuida..............................................25 5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto..........................................................25 5.3.2 Diagramas de esfuerzos..................................................................................26 5.3.3 Deformada.......................................................................................................26

5.4 Comprobaciones.......................................................................................27 5.4.1 Comprobación a resistencia.............................................................................27 5.4.2 Comprobación a deformación..........................................................................27 5.4.3 Comprobación a pandeo..................................................................................28

5.5 Implementación (MSA)..............................................................................28 5.6 Ejemplo.....................................................................................................29 5.6.1 Definición del problema...................................................................................29 5.6.2 Solución...........................................................................................................30

6. Cálculo de una marquesina........................................................34 6.1 Introducción..............................................................................................34 6.1.1 Parametrización...............................................................................................34 6.1.2 Hipótesis de carga...........................................................................................34

6.2 Cálculo de reacciones...............................................................................35 6.2.1 Peso propio......................................................................................................35 6.2.2 Carga de viento...............................................................................................36

6.3 Cálculo de solicitaciones...........................................................................36 6.3.1 Diagramas de esfuerzos..................................................................................37

6.4 Cálculo resistente......................................................................................37 6.4.1 Cálculo de la viga.............................................................................................37 6.4.2 Cálculo del pilar...............................................................................................38

6.5 Cálculo de desplazamientos......................................................................38 6.6 Placas de anclaje.......................................................................................39 6.6.1 Dimensionado de la placa................................................................................40

6.7 Referencias...............................................................................................41

7. Anexo.........................................................................................42 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

Principales materiales estructurales.........................................................42 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos..................................43 Parámetros elásticos del material.............................................................44 Otras características de los materiales.....................................................45 Momentos de inercia.................................................................................45 Forjados....................................................................................................46 Cimentaciones...........................................................................................46 Pasos para la ejecución de una edificación...............................................47 Matriz de rigidez local 3D..........................................................................48

ii

Cálculo de estructuras

1. Cálculo de estructuras 1.1 Introducción Una estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno. Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas entre si por medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según permitan o no el giro entre barras en el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos los ángulos entre barras tras la deformación se conservarán y la flecha será pequeña, mientras que si son articulados no transmitirán los momentos flectores dado que su giro será libre. El conjunto estructural básico es el pórtico, que se encuentra constituido por dos elementos sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro horizontal (viga o dintel) sobre el que actúan las cargas verticales provenientes del forjado o de la cubierta que sostiene. Además, los pórticos suelen recibir cargas horizontales debidas a la acción del viento. Mientras que el forjado es el elemento encargado de repartir las cargas al resto de elementos estructurales, la cubierta y demás cerramientos constituyen la envolvente del edificio, siendo su función la de resguardar el espacio interior a la edificación. En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar compuesta en su gran mayoría por panel de chapa tipo sándwich, donde una serie de ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos paneles se apoyan en los pórticos por medio de una serie de correas, normalmente de acero conformado en frío, que como elementos estructurales transversales al pórtico son los encargados de soportar los cerramientos y transmitir su carga. Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la funcionalidad del primero es ofrecer resistencia a la flexión, la del segundo es ofrecerla a compresión. Las vigas son generalmente prismáticas, en el caso de ser de hormigón, y sus dimensiones se conocen como luz o largo para la dimensión principal, y base y canto para las de la sección, siendo la base la longitud que define la superficie de apoyo. Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los que presentan forma de I o H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la sección al alejar de la línea neutra las dos alas que se unen por medio de un alma.

1.2 Cálculo El cálculo de una estructura se puede reducir, de forma genérica, a los siguientes tres pasos fundamentales: cálculo de reacciones, cálculo de momentos y cálculo de desplazamientos y giros.

1

Cálculo de estructuras

1.2.1 Cálculo de reacciones Para el cálculo de reacciones se plantean las ecuaciones de la estática (

∑ M =0

∑ F =0

,

), y se resuelven las incógnitas.

Cuando existan uniones articuladas, dado que

Si existe una carga aplicada sobre una rótula, se

permiten libremente el giro entre las dos secciones

divide la estructura en dos y se suponen

que unen, se tiene que la suma de momentos vista a

aplicadas en cada parte de la estructura dos

cada uno de los lados ha de ser nula, lo que añadirá una nueva ecuación al sistema.

cargas que sumarán finalmente la carga aplicada y cuyos desplazamientos serán iguales en ambas partes.

Cuando la estructura es hiperestática, o sea, el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones (

GH = I −E0 ), se sustituyen las ligaduras necesarias por las reacciones correspondientes hasta

que el sistema sea isostático, y se igualan sus desplazamientos a cero. Tipos de apoyos Apoyo articulado móvil

Permite desplazamiento y giro

Apoyo articulado fijo

Empotramiento

Permite giro No permite ningún desplazamiento

1.2.2 Cálculo de solicitaciones Por norma general, los desplazamientos y giros debidos a Ejes globales

esfuerzos normales y cortantes serán despreciables frente a los producidos por flexión o torsión, de tal modo que se puede reducir el problema al cálculo de los momentos.

Y

Para ello, se secciona la estructura por cada uno de los X Z

tramos en que no existen cambios en los estados de carga y se calculan los esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores en cada una de las secciones según el criterio de signos adoptado.

1.2.3 Cálculo de desplazamientos y giros Para el cálculo de los desplazamientos se aplican principalmente los teoremas de Mohr y Castigliano, explicados más adelante.

1.3 Resolución de una estructura simple Calcular el desplazamiento y el giro en D para la estructura de la figura. 2

Cálculo de estructuras

2P A

B

L

G

F C

E

D

L

L

L

L

L

Dado que en una articulación el momento es nulo, de modo que en ella sólo pueden aparecer los esfuerzos normal y

Criterio de signos

cortante, dividimos la estructura por las rótulas, de tal modo

N>0

que:

V>0

2P

C

E

D

RC =P

Mf>0 Mt>0

RE=P

Mf

PL

+

Dado que no existen cargas horizontales no existirán esfuerzos normales, y dado que la carga está centrada, ambas reacciones serán verticales e iguales de valor P. Ahora se pueden representar los tramos AC y EG, de tal modo que: P

P

B E

L

L

-

Mf

K B=

PL

L

G

F C

L

-

Mf

3E I L

PL

A

+

K F=

PL/2

4EI L

La rigidez al giro de una barra relaciona el momento ejercido en un extremo con el giro efectuado, de tal modo que

K=

M . Sabiendo que para barras empotradas 

K=

4⋅E⋅I z , y para barras con L

3

Cálculo de estructuras

apoyo articulado

K=

3⋅E⋅I z , se puede utilizar para determinar el giro en el extremo de una barra. L

Cuando en un determinado punto confluyen más de dos barras, se utilizan los coeficientes de reparto ( C r ) para determinar que parte del momento total aplicado sobre el nudo es absorbido por cada una de las barras que concurren en el, de modo que:

Cr= Siendo (

K barra M barra = K M

K ) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo (rigidez del nudo),

dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rígido giran el mismo ángulo.

1.4 Cálculo resistente Cada solicitación produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser absorbido de forma elástica por el material, de modo que la máxima tensión que debe soportar será la causada por la suma de los esfuerzos debidos a cada una de las solicitaciones. Solicitaciones

N

Tracción / Compresión

V

Cortadura

MF

Flexión

MT

Torsión

Tensiones generadas

=

N =E⋅ S =

= =

(barras cilíndricas)

M F⋅y Iz

M T⋅r Ip

(Ley de Hooke)

V⋅M e B⋅I z (Ecuación de Navier)

(Teoría elemental de Coulomb)

Tabla 1: Esfuerzos producidos por cada una de las solicitaciones

En la ecuación de Navier, dado que

y

es la distancia a la línea neutra, el esfuerzo normal

máximo se producirá en las zonas más alejadas del centro de gravedad de la sección, motivo por el cual los perfiles laminados empleados en estructuras metálicas tienen esa forma en la que alejan del centro la mayor cantidad posible de material. Como esa distancia es una característica geométrica de la sección, al igual que el momento de inercia, se caracteriza cada barra por medio de su módulo resistente:

W z=

Iz y max

4

Cálculo de estructuras

Teniendo en cuenta que normalmente los esfuezos debidos al cortante serán despreciables,

El estudio de los esfuerzos y la determinación de aquellos que sean máximos es lo que justifica la

frente a los del normal y los del momento flector, se

determinación de los diagramas de

tiene que el material debe verificar:

solicitaciones.

N MF  ≤ adm S Wz Así, el esfuerzo normal máximo se dará donde la suma de las tensiones debidas al normal y al flector sea máxima, teniendo en cuenta los sentidos de las tensiones generadas según sean de tracción o compresión. Dado que en el estudio resistente de los materiales se considera que son homogéneos, para garantizar su resistencia en la práctica, hay que considerar un coeficiente de seguridad ( resistencia característica (

 ) sobre su

f k ), teniéndose que la tensión admisible (  adm ) vendrá dada por:  adm =

fk 

 s=1,15 , y para el hormigón c =1,5 .

Siendo para el acero

1.4.1 Ejemplo Determinar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura, cuyas longitudes LAB y LBC son 4 y 1 metros respectivamente, verifique la condición de resistencia cuando la carga P es de 5000 kg, siendo la tensión admisible (

 adm = 1600 kg/cm2). P A

B

LBC

LAB

 B=0

⇒

RB⋅L3AB P⋅L BC⋅L2AB P⋅L3AB =  3EI 2E I 3EI R B=

C

⇒

2 R B⋅L 3AB=3 P L BC⋅L2AB2 P⋅L3AB ⇒

3 P⋅L BC 2 P⋅L AB = 6875 kg 2 L AB

5

Cálculo de estructuras

P A

B

C

RB LBC

LAB

Mf

5000 kg·m

+

2500 kg·m

Condición de resistencia

IPE 330

 max =

M max  adm Wz

 max = 7,01 kg/mm2

max =

V max  adm  A 3

max = 2,46 kg/mm2

1.5 Esfuerzos térmicos Un elemento se encontrará sometido a esfuerzos térmicos cuando sufra contracciones o dilataciones por efecto de la variación de la temperatura y estas se encuentren impedidas. Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la longitud en función de la variación de la temperatura, de modo que:

L f =Li 1⋅ T  donde  es el coeficiente de dilatación lineal térmica. Debido a esta dilatación se producirá en la barra una tensión normal de valor:

=⋅ T⋅E

1.6 Pandeo Cuando un elemento esbelto se encuentra sometido a compresión, típicamente pilares metálicos, se puede producir el fenómeno conocido como pandeo.

6

Cálculo de estructuras

El pandeo es la pérdida de equilibrio que

Existen tres tipos de equilibrio a los que puede

experimenta una barra prismática de cuerpo

estar sometido un cuerpo:

elástico sometida a compresión axial. Cuando dicha

- Equilibrio estable: cuando se separa el

barra es suficientemente esbelta (larga y delgada), y

cuerpo de su posición de equilibrio de forma

la carga sobrepasa un cierto valor denominado

infinitesimal este retorna a su antigua posición.

carga crítica, la barra pasa a estar en equilibrio inestable, lo que significa que la más mínima alteración

(que

siempre

existe)

provoca

el

(esfera sobre superficie cóncava) - Equilibrio indiferente: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este permanece en su nueva

agotamiento de la barra sin un nuevo incremento de

posición. (esfera sobre superficie plana)

la carga.

- Equilibrio inestable: cuando se separa el

De modo que la carga crítica o de pandeo representa el menor valor de la carga de compresión

cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este se aleja más de su posición inicial. (esfera sobre superficie convexa)

que provoca que la barra pase del equilibrio estable al inestable, pudiendo ceder aún cuando la tensión en el material no supere el límite elástico de compresión.

1.6.1 Cálculo a pandeo La carga crítica ( N cr ) se determina a partir de la expresión de la carga crítica de Euler (caso fundamental), conociendo la longitud de pandeo (

L p ), dado que es la longitud equivalente a la que

tendría en el caso fundamental.

N cr =

2⋅E⋅I min L 2p

donde

I min es el momento de inercia mínimo de la sección.

Por medio del cálculo de la esbeltez (

 ) se verifica que se puede aplicar la ecuación de Euler (

105 ) y se establece el coeficiente de seguridad a pandeo ( C sp=3,5 ). =

Lp r gmin

donde

r gmin=



I min S

es el radio de giro mínimo de la sección.

Así, la tensión crítica se define como :

 cr =

N cr 2⋅E = 2 S 

1.6.2 Longitud de pandeo Se denomina longitud de pandeo a aquella equivalente a la de una barra biarticulada sometida a un esfuerzo normal de compresión que tenga la misma carga crítica que la considerada. Así, la longitud de pandeo (

L k ) viene dada por el coeficiente de pandeo (  ) según la longitud 7

Cálculo de estructuras

real de la barra (

L ), de tal modo que: L k =⋅L

En el caso de piezas de sección constante sometidas a compresión centrada, se tiene que: –

Barra biarticulada:

=1

–

Barra biempotrada:

=0,5

–

Barra empotrada- articulada:

–

Barra empotrada-libre:

L

=0,7

=2

β = 0,5

β = 0,7

β=2

β=1

1.7 Fatiga

Cuando un material se ve sometido a cargas alternantes, que provocan esfuerzos variables de forma continuada, se pude producir su rotura aunque en ningún caso se haya sobrepasado su límite resistente. A este fenómeno en el que un material dúctil sufre una rotura repentina y sin deformación plástica (frágil) por debajo de su resistencia, o incluso de su límite elástico, se lo conoce como rotura por fatiga. Para el acero se ha comprobado que existe una tensión por debajo de la cual el material no sufre la rotura por fatiga. A esta tensión se la denomina límite de fatiga (

 e ) y consideraremos que su valor

admisible vendrá dado por:

 e , ad =

e C

siendo

e=

R 2

,y

R

la tensión de rotura.

1.8 Acciones en la edificación Las acciones que pueden aparecer sobre una edificación se dividen en tres grupos: –

Acciones permanentes (G)

–

Acciones variables (Q)

–

Acciones accidentales (A) Y quedan recogidos en el documento básico, DB SE-AE, del Código Técnico de la Edificación. Acciones permanentes (G) Acciones que siempre se encuentran presentes. Acciones debidas al propio peso de las edificaciones y a aquellas

Peso propio

cargas cuyo carácter sea permanente, como en el caso de determinados equipos industriales de ubicación fija.

Acciones variables (Q) Acciones que por su carácter no son permanentes.

8

Cálculo de estructuras Sobrecarga de uso Viento

Las acciones de viento se contemplan como fuerzas perpendiculares a la superficie expuesta y vienen determinadas por la presión dinámica del viento (función del emplazamiento geográfico de la obra), por un coeficiente de exposición (función de la altura del punto considerado y del grado de aspereza del entorno) y por un coeficiente eólico de presión (función de la forma y orientación de la superficie). En construcciones diáfanas sin forjados intermedios (naves) hay que considerar la superficie de huecos que presentan los cerramientos dado que pueden dar lugar a succiones en el interior.

Acciones

Nieve

climáticas

Dependen de la ubicación geográfica y de la altitud, y de un coeficiente de forma de la cubierta que determina la acumulación de nieve.

Térmicas

Acciones debidas a las tensiones que provocan, cuando se encuentran impedidas, las dilataciones y contracciones causadas por las variaciones térmicas. Tanto en estructuras metálicas como de hormigón no se contemplan mientras no existan elementos continuos de más de más de 40 m de longitud, en cuyo caso, para evitar su aparición, se colocan juntas de dilatación.

Acciones accidentales (A) Acciones cuyo carácter es fortuito y eventual.

Sismo Incendio

Las acciones debidas a movimientos sísmicos son contempladas por la Norma de construcción sismorresistente (NCSE). Las acciones producidas por un incendio son contempladas por el documento básico de seguridad en caso de incendio (DB-SI). Son cargas impulsivas (de aplicación instantánea) producidas, normalmente, por la colisión de un vehículo, típicamente, en garajes y

Impacto

naves. El análisis del problema de impacto suele reducirse a la determinación de la carga estática equivalente, o sea, aquella que aplicada sobre la estructura provocaría la misma deformación que la de impacto.

A partir de las diferentes acciones posibles, se generan una serie de hipótesis de cálculo, por medio de sumas ponderadas según el tipo de acción y efecto, favorable o desfavorable, que servirán para el correcto diseño y dimensionado de la estructura.

9

Determinación de desplazamientos y giros

2. Determinación de desplazamientos y giros Hay que tener presente que una fuerza produce un desplazamiento lineal en su mismo sentido,

k

mientras que un momento causa un giro. Así, la deformación acción exterior

será aquella correspondiente a la

F k , de modo que si se trata de una fuerza (P) es un desplazamiento (), y si se trata de

un momento (M) es un giro ().

2.1 Teoremas de Mohr 2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos Primer teorema de Mohr: El ángulo relativo girado entre dos secciones de una viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas secciones, dividido por la rigidez a flexión ( E I z ). B

MF dx E Iz

 AB =∫ A

Segundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una sección con respecto a la tangente en un punto de la viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambos puntos por la distancia desde su centro de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento relativo, dividido por la rigidez a flexión. B

 B t =∫ x B A

A

MF dx E Iz

Ambos teoremas son aplicables a torsión sin más que utilizar momentos torsores (

MT

) y la rigidez a torsión (

GIp

).

EJEMPLO: Determinar el desplazamiento y el giro en A de la viga empotrada en voladizo que presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q. q B

A

L

M f =−q⋅x⋅

A

x

x 2 10

Determinación de desplazamientos y giros L

φ

q⋅x 2 q⋅L 3  A=∫ dx= 6E I 0 2E I L

 A=∫

δ

0

2

4

q⋅x q⋅L ⋅x dx= 2E I 8E I

EJEMPLO: Determinar el desplazamiento en B y el giro en A. P

M

C A

B

L

L

Esta estructura puede ser descompuesta en dos, sabiendo que por el principio de superposición, los efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos de las cargas aisladas. Así: P A

Mf

B

-

(I)

C

+

A

B

M

C

Mf

-

(II)

PL

M

Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicación del primer y del segundo teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos, que combinados, compondrán los de la estructura inicial.

2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos La determinación de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y cuarto teorema de Mohr requiere la aplicación del teorema de la viga conjugada. Dada una viga, a la que llamaremos primitiva, definimos la viga conjugada de la primera como aquella de la misma longitud que la primitiva, cuya única carga sea repartida de valor en cada sección igual al momento flector dividido por la rigidez (

E⋅I z ), en la correspondiente sección de la primitiva.

Además, la viga conjugada debe cumplir las siguientes condiciones de sustentación: a) Cuando los extremos de la viga primitiva están apoyados mediante articulaciones, los extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma. b) Si un extremo de la viga primitiva está volado, el correspondiente extremo de la conjugada debe estar empotrado, y viceversa. c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse por

11

Determinación de desplazamientos y giros

articulaciones en las correspondientes secciones de la conjugada, y viceversa. Tercer teorema de Mohr: El ángulo girado por una sección de la viga primitiva es igual al esfuerzo cortante en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido de giro es dextrógiro cuando el esfuerzo cortante en la sección de la viga conjugada es positivo. Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una sección de la viga primitiva es igual al momento flector en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido es hacia abajo cuando el momento flector en la sección de la viga conjugada es positivo. EJEMPLO: Determinar el giro de A por el tercer teorema de Mohr. M

A

B

L Se calculan las reacciones en A y B y se obtiene el diagrama de momentos flectores que proporcionará la carga a la que se encontrará sometida la viga conjugada. M

A

B

M/L

M

M/L

Mf

M f=

M ⋅x−M L

-

Se representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar el tercer teorema

M/EI

de Mohr.

Calculando la reacción vertical en A se obtiene el valor del giro a izquierdas que provoca el momento M. ML/2EI

L/3

2L/3

12

Determinación de desplazamientos y giros

De modo que φ :

 A=

ML 3E I

2.2 Teorema de Castigliano El teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una sección determinada, dado que vendrá dado por la derivada parcial de la energía interna del sistema con respecto a la acción causante del desplazamiento en dicha sección.

k =

∂U ∂Fk

2.2.1 Método de la acción unidad La forma de aplicar el teorema de Castigliano es por medio de las integrales de Mohr, las cuales simplifican enormemente los cálculos. Así: 1.

Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento correspondiente, se supone y al final se iguala a cero.

2.

Se calculan las solicitaciones, teniendo en cuenta que normalmente bastará con calcular el momento flector, dado que el normal y el cortante suelen ser despreciables.

3.

Se derivan respecto a la carga, de tal modo que:

N 1= 4.

∂N ∂Fk

MF= 1

∂ MF ∂Fk

MT = 1

∂MT ∂ Fk

Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura, lo que nos dará la deformación producida por cada solicitación.

 N =∫ L

N⋅N 1 dx S⋅E

 M =∫ F

L

M F⋅M F dx E⋅I z 1

 M =∫ f t T

L

M T⋅M T dx G⋅I p 1

NOTA: Cuando la acción del punto de desplazamiento tiene la misma designación simbólica que alguna otra carga, habrá que cambiársela para poder realizar la derivación, así como asignársela si viene dada por un valor numérico.

2.3 Potencial interno Cuando un cuerpo es sometido a deformación se generan unas fuerzas internas que producirán un trabajo conocido como energía de deformación o energía interna. Esta energía vendrá dada por la suma de los trabajos directos e indirectos del sistema. El trabajo directo es aquel que viene dado por la ecuación de Clapeyron:

13

Determinación de desplazamientos y giros

1 W ii = P i⋅ i 2 Y el trabajo indirecto o mutuo:

W ij =P i⋅ij⋅P j , donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos indirectos recíprocos son iguales, o sea

W ij =W ji

∀i≠ j .

Por ejemplo, para un sistema cargado con una fuerza y un momento:

1 1 1 2 1 2 U = P  A M  B= P ⋅ AA M ⋅ BBP⋅M⋅ AB 2 2 2 2 Como el potencial interno no es función lineal de las acciones, no es aplicable el principio de superposición a la energía interna. Sin embargo, la energía interna puede ser determinada por medio de la suma de las energías de deformación debidas a cada una de las solicitaciones, cuyas expresiones son:

U N =∫ L

U V =∫ L

N2 dx 2⋅E⋅S

V2 fc dx 2⋅G⋅S

U M =∫

M 2F dx 2⋅E⋅I z

U M =∫

M 2T ft dx 2⋅G⋅I p

F

T

L

L

De modo que finalmente tendremos que la energía total del sistema vendrá dada por la suma de las producidas por cada solicitación.

U TOTAL=U N U V U M U M F

T

Como las energías de tracción y cortadura suelen ser despreciables cuando coexisten con las de flexión y torsión, el problema se reducirá a la determinación de la energía interna debida a flexión.

2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti El cálculo de desplazamientos por Maxell-Betti consiste en establecer dos sistemas de acciones distintas para una misma estructura, de tal modo que la suma de los productos de las acciones de uno de los sistemas por los correspondientes desplazamientos en el otro, es igual a la suma de productos de los desplazamientos en el primero por las correspondientes acciones del segundo.

∑ F i  I ⋅i  II =∑ F j  II ⋅ j  I  Así: 1.

Se establece una acción para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento.

2.

Se calculan los desplazamientos sobre el sistema de cargas (II) en todos aquellos puntos donde 14

Determinación de desplazamientos y giros

existen cargas aplicadas en el sistema (I). 3.

Se aplica Maxwell-Betti y se despeja el desplazamiento buscado. EJEMPLO: Determinar el desplazamiento de B en el sistema I aplicando el teorema de Betti. Se parte del sistema I y se define el sistema II para determinar el desplazamiento. P

M

C A

L De este modo:

C

(I)

B

A

(II)

B

L

L

L

M⋅ A  II =P⋅ B  I  P B

-

Mf

(II)

PL

C A

Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a derechas vale:

 A  II =−PL⋅L /2  B  I =−

ML 2

2

Que como tiene signo menos, significa que el desplazamiento será hacia arriba.

15

Pórtico simétrico

3. Pórtico simétrico Uno de los conjuntos estructurales más recurrido, en las edificaciones industriales, es el pórtico rígido biempotrado a dos aguas. Este tipo de estructura consta de dos pilares empotrados a la cimentación y a los que se encuentra rígidamente unido el dintel. E

C

A

D

5

6

B

15 Ilustración 1: Pórtico rígido

Cuando el pórtico es metálico es necesaria la comprobación a pandeo, pero en el plano perpendicular al mismo, el pandeo se encontrará impedido gracias a la acción de arriostramiento de las correas y del muro de cerramiento perimetral. Este conjunto presenta la particularidad de ser simétrico, tanto de material, como de geometría, como de condiciones de sustentación, de modo que su resolución teórica se simplifica notablemente. Cuando una estructura es simétrica puede ser descompuesta en dos, cuya suma será igual a la primera. Una con un estado de cargas simétrico y la otra con uno antisimétrico (las cargas a un lado del eje de simetría son de sentidos contrarios a los que le corresponderían si fuesen simétricas). E

M B

φ=0

M

E

M

C

B

δH = 0 D

C

N=0

+

V=0 A

δV = 0

M

A

Simétrico

Mf = 0

D

Antisimétrico

La simplificación que conlleva la descomposición del problema en dos, viene de que, en la sección situada en el plano de simetría, en la parte simétrica el desplazamiento horizontal, el giro y el esfuerzo cortante son nulos (δH = φ = V = 0), mientras que en la parte antisimétrica lo son el desplazamiento vertical, el esfuerzo normal y el momento flector (δV = N = Mf = 0). A la estructura con carga simétrica se la denomina también como no traslacional, dado que sus

16

Pórtico simétrico

nudos no sufren desplazamiento lineal si sólo se tiene en cuenta la flexión.

3.1 Cálculo de acciones Una nave industrial de 15x30 m2 presenta una estructura constituida por pórticos rígidos a dos aguas de 5 m de pilar y 6 metros de altura a cumbrera, con una separación entre los mismos de 5 m. La cubierta se encuentra constituida por panel grecado tipo sandwich, que se apoya en la estructura a través de una serie de correas de perfil en Z que se encuentran separadas 1,5 m. Esta edificación presentaría una serie de acciones que para el cálculo estructural se consideran como cargas uniformemente repartidas y directamente aplicadas sobre el pórtico.

ACCIONES Acciones permanentes (G) - Peso de los paneles

Peso propio (G)

- Peso de las correas

Acciones variables (Q) Sobrecarga de uso (Q1)

- Sobre carga de mantenimiento

Viento (Q2) Nieve (Q3)

Para el cálculo de la sobrecarga de uso, dado que la cubierta sólo es accesible para personal de mantenimiento, según CTE (DB-SE AE), la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y accesibles únicamente para conservación es de 1 kN. Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia, de modo que el momento máximo producido por la carga aplicada en el punto medio del vano sobre una correa debe ser igual al producido por la carga distribuida equivalente. Momento máximo (se produce en el centro x = L/2)

P A

B

Viga biarticulada con carga puntual en el centro

M c=

P⋅L 4

M c=

q⋅L2 8

L q Viga biarticulada con carga

A

B

uniformemente repartida

L

17

Pórtico simétrico

Así, la carga distribuida que genera el mismo momento máximo que una puntual ( viene dada por

q=

2⋅P , de tal modo que para L = 5 m: L

q = 40 kg/m

d ) será de 1,5 m y la carga es absorbida por una

Finalmente, como la distancia entre correas ( única correa (

P = 100 kg)

q ), tendremos una sobrecarga superficial de 26,67 kg/m2. d

3.2 Cálculo de correas de cubierta Las correas son los elementos resistentes cuya misión es soportar el peso de los cerramientos, en particular, el peso de la cubierta. Para ello se apoyan sobre los dinteles constituyendo vigas continuas que actuarán como soporte del faldón del tejado cuando la cubierta es inclinada. En este caso, el momento flector no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia del perfil, con lo que se trata de un caso de flexión desviada, y por tanto, habrá que resolverlo por superposición. q y

q z

qy = q·cos α α

q z = q·sen α

α

De este modo, se tiene que la tensión máxima que debe soportar una correa de cubierta viene dada por la suma de las tensiones producidas por las acciones descompuestas según los ejes del perfil.

Mz My   adm Wz Wy

[flexión desviada]

Una viga que cubre tres o más vanos, o sea, que tiene más de tres apoyos, se la conoce como viga continua, y su principal ventaja reside en que presenta una menor flexión, y por tanto una menor flecha, aunque es muy sensible a los asientos diferenciales. q

L

L

M max =

L

q⋅L2 10 18

Estructuras reticuladas

4. Estructuras reticuladas 4.1 Introducción Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si sólo existen cargas sobre los nudos, las barras se encontrarán sometidas únicamente a esfuerzos normales, o sea, sólo trabajarán a tracción o a compresión. Dado que mientras que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán desplazamientos y giros iguales, con nudos articulados los giros serán libres, lo que implica que el momento flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitirá. Para la resolución de una estructura reticulada todas B

modo considerar que todas las barras se encuentran sometidas a tracción, siendo el signo el que indique si se trata de un esfuerzo de tracción (+) o de compresión (-). Así, cuando alguna barra se encuentre cargada, para resolver la

L · sen(α)

las cargas deben estar aplicadas en los nudos, para de ese

L

α

A

C

estructura, se trasladará la carga a la correspondiente sobre los nudos, y cuando sea el momento de resolver el

L · cos(α)

desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrán en cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha barra por el hecho de encontrarse cargada. Además,

Ilustración 2: Modelo estructural para soporte de colectores solares

recordar que cuando la barra está sometida a tracción, el nudo lo está a compresión, y viceversa. Si la estructura es hiperestática interiormente ( de barras y

GH =3b – 2⋅n > 0, donde b es el número

n el de nudos), para su resolución hay que eliminar un número de barra igual a GH y

sustituirlas por las fuerzas que ejercerían, fijando las condiciones que imponían sus coacciones.

4.2 Ejemplo Determinar los esfuerzos normales en las barras, cuando la barra que se encuentra cargada es la BC.

19

Estructuras reticuladas

qp

B

qv

LAB

C

A

LAC

GH =3b – 2⋅n = 3 + 3 – 2·3 = 0 ⇒ Estructura isostática 1.

Cálculo de reacciones. B

qp·LAC D

qv·LAB C

A

RHA

RVC

RVA

R HA=q v⋅L AB

 

 

q p⋅L2AC q v⋅L2AB RVA= − / L AC 2 2 RVC =

2

2

q p⋅L AC qv⋅L AB  / L AC 2 2

4.3 Principio de los trabajos virtuales Si superponemos a los desplazamientos en equilibrio un campo de desplazamientos arbitrarios compatible con las condiciones de vínculo y de magnitud infinitesimal (desplazamientos virtuales), el incremento de trabajo hecho por las fuerzas externas durante la aplicación de los desplazamientos será igual al experimentado por el trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, el trabajo virtual externo será igual al trabajo virtual interno.

20

Estructuras reticuladas

4.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos En estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la aplicación del P.T.V. al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos normales, de tal modo que: 1.

Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de desplazamientos).

2.

Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma estructura pero con una única carga de valor unitario y correspondiente al desplazamiento que se desea hallar (sistema de fuerzas de equilibrio). Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma dirección y sentido, y aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento requerido, o a un momento de igual dirección y sentido, y punto de aplicación que el giro que se busca.

3.

Finalmente, por el principio de los trabajos virtuales, se tiene que para sistemas de nudos articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicación de la carga unitaria viene dado por:

=∑ N i '

N i⋅L SE

donde:

N i  son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de fuerzas real.

N i '  son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de fuerzas virtual.

21

Método de la rigidez

5. Método de la rigidez 5.1 Introducción Un sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de sección constante y que cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede resolver por medio de la ecuación matricial que relaciona las cargas en los nudos ( rigidez (

L ) y sus desplazamientos ( D ) a través de la matriz de

S ) de la estructura. L=S⋅D

La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática, de modo que el método se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solución al sistema estructural. 1.

Descripción de la estructura.

2.

Cálculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de

Entrada Entrada de de datos datos

cargas nodales equivalente. 3.

Cálculo de la matriz de rigidez global (ensamblaje) y del vector de cargas global de la estructura.

4.

Introducción de las condiciones de contorno.

5.

Cálculo de desplazamientos y giros (solución del sistema de ecuaciones).

6.

Cálculo de solicitaciones en los extremos de las barras.

7.

Cálculo de reacciones.

Algoritmo Algoritmo de de cálculo cálculo

Salida Salida de de resultados resultados

5.2 Método 5.2.1 Descripción estructural

y

La estructura se define respecto a un sistema de referencia global (X, Y, Z) respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus

z

h

cargas.

x

Sin embargo, cada barra presenta su propio sistema de referencia local (x, y, z) respecto al cual se definen sus características, así como las

tw b

acciones aplicadas sobre ella. Este sistema presenta el eje x coincidiendo con el geométrico de la barra, mientras que los ejes y y z lo hacen con los ejes principales de la sección transversal de la barra.

Ilustración 3: Sistema de referencia local

22

Método de la rigidez

5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente 5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra La matriz de rigidez (

k ) de una barra respecto al sistema de referencia local ( x ,

) que sigue la orientación indicada por los nudos inicial (

y , z

1 ) y final ( 2 ) de la barra se define de

forma única como:

k=

[

EA L 0 0

0

12 E I L3 6E I 2 L

6EI L2 4E I L

0

0

−12 E I L3 6E I L2

−6 E I L2 2EI L

−E A L 0 0

−E A L

0

0 0 EA L 0 0

0

0

−12 E I L3 −6 E I 2 L

6E I L2 2EI L

0

0

12 E I L3 −6 E I L2

−6 E I L2 4EI L

]

Así, por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra ( desplazamientos nodales en ejes locales (

f ) con los

d ).

5.2.2.2 Vector de cargas nodales Las cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que, aplicadas en los nudos, produzcan en la estructura los mismos efectos que las originales, siendo estas cargas equivalentes (

p ) las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo.

5.2.2.3 Matriz de rotación Dado que una barra puede presentar una orientación arbitraria ( levógiro, se define la matriz de rotación (

 ), medida en el sentido

r = f  ) para convertir los vectores y matrices entre los

sistemas de referencia absoluto y local, de tal modo que:

[

cos  sin  −sin  cos  0 0 r= 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos  sin  0 0 −sin  cos  0 0 0 0 1

Así, la matriz de rigidez de la barra en el sistema de referencia global (

]

K ), se define como: 23

Método de la rigidez t

K =r ⋅k⋅r Y el vector de cargas global de la barra, como: t

P=−r ⋅p 5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura 5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura (

S ) se construye como la suma de las rigideces

correspondientes a cada nudo y aportadas por cada barra. Para ello se identifican las submatrices que componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a su posición correspondiente en S.

[

S=∑ K

K=

K 11 K 12 K 21 K 22

]

5.2.3.2 Vector de cargas de la estructura El vector de cargas de la estructura (

L ) se construye como la suma de las cargas aplicadas en

cada nudo, incluyendo las producidas por cada barra.

[ ]

L=∑ P

P=

P1 P2

5.2.4 Introducción de las condiciones de contorno Las filas y columnas de cada desplazamiento impedido se ponen a cero, salvo el elemento de la

Para resolver estructuras reticuladas hay que igualar los momentos de inercia a 0 (

diagonal que se igual a uno, y se elimina la acción

I z =0

)

(carga) correspondiente.

5.2.5 Solución del sistema de ecuaciones La resolución del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos nodales ( en función de sus cargas (

D )

L ), de tal modo que: D=S −1⋅L

5.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones –

Las solicitaciones (

f ) en los extremos de cada barra se calculan por medio de la matriz de

rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus extremos son conocidos, y se aplica una transformación para expresar sus valores en el sistema de coordenadas local de la barra.

F =K⋅D –

Las reacciones (

f =r⋅F

R ) se expresan en el sistema de coordenadas global, siendo el resultado de 24

Método de la rigidez

sumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo más las cargas que sobre el se encuentran aplicadas.

R=∑ F 5.2.7 Comprobación del equilibrio 5.2.7.1 Equilibrio global Para comprobar los resultados obtenidos por el método de la rigidez se aplican las ecuaciones de equilibrio global de la estructura, cargas frente a reacciones.

∑ F X =0

∑ F Y =0

∑ M Z=0

5.2.7.2 Equilibrio local Para verificar la precisión del cálculo se plantean las ecuaciones locales de cada barra.

∑ F x =0

∑ F y =0

∑ M z=0

La precisión de la solución final se mide a través del cálculo del error cuadrático medio de los errores determinados a través de las ecuaciones de equilibrio de cada barra.

∑ F x =N 1N 2 F x1 F x2 ∑ F y=V 1V 2F y1 F y2 ∑ M z=M 1M 2M z1M z2V 2 – F y2  L 5.3 Barra con carga uniformemente distribuida Reacciones de empotramiento perfecto generadas por una carga uniformemente distribuida. q

1

2

L

5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto Las reacciones de empotramiento perfecto son las que aparecen cuando una barra cargada se encuentra empotrada. Para el cálculo de las reacciones se expresa la carga distribuida como concentrada aplicada en el centro.

25

Método de la rigidez q·L

M2

M1 V1

V2

Dado que la carga está aplicada de forma simétrica las reacciones y momentos generados son iguales en ambos extremos, pero dado que los momentos tienen sentidos opuestos, los signos serán distintos según sea levógiro (positivo) o dextrógiro (negativo).

V 1=V 2=−

q⋅L 2

M 1=−M 2=

q⋅L 12

2

5.3.2 Diagramas de esfuerzos La ley de momentos ( distribuida (

M  x  ) de una barra sometida a la acción de una carga uniformemente

q ) vine dada por:

M  x =M 1V 1⋅x−q⋅x⋅

M1 V1

x 2

x ∈[0, L]

x

Y por tanto, el momento flector máximo, que es aquel donde la derivada vale cero:

V 1 – q⋅x=0 ⇒ x= M max =M 1

V1 q

V 21 2⋅q

5.3.3 Deformada La ecuación de la elástica o deformada (

y  x  ) se obtiene a partir de la ecuación diferencial de

la línea elástica:

y ' '  x =

−M  x  E⋅I z

Integrando:





1 x2 x3 y '  x=− M 1 xV 1 q C 1 E⋅I z 2 6

26

Método de la rigidez





1 x2 x3 x4 y  x =− M 1 V 1 q C 1 xC 2 E⋅I z 2 6 24 y ' 0=C 1=1 y

y 0=C 2 =1

5.4 Comprobaciones Para calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplen los criterios de tensión, flecha y esbeltez. Siendo el primero el criterio resistente, que indican que el material soportará la tensión a la que se encontrará sometido en la estructura bajo las condiciones previstas, el segundo el criterio de servicio, que responde a las deformaciones máximas admisibles bajo un determinado uso, y el tercero el de estabilidad. Así, para el dimensionado de los elementos estructurales habrán de verificarse los estados límite de servicio (ELS) y último (ELU). –

Estado límite último de resistencia.

–

Estado límite de servicio de deformación.

–

Estado límite último de pandeo.

5.4.1 Comprobación a resistencia Se ha de comprobar que ninguna de las secciones bajo carga mayorada sobrepase la resistencia del material minorada (tensión última del material). Así, la resistencia de una sección a solicitación compuesta (

N Mz My   ≤f A Wz W y con

f

yd

=

yd

siempre que

N + M + V ): f 1 V  Av yd 2 3

fy = u y Av =h⋅t w 

Para el acero más típicamente usado en España, S275JR, la tensión de límite elástica:

f y =275

N/mm2.

5.4.2 Comprobación a deformación Se ha de comprobar bajo cargas sin mayorar la limitación de flecha, la cual se especifica según servicio en forma de flecha máxima relativa, que es aquella cuyo valor es función de la longitud del tramo.

f  f adm La flecha de un elemento estructural es el desplazamiento en la dirección normal a su directriz, siendo por tanto el valor puntual de la deformación (

y  x  ) que sufre una pieza sometida a flexión ( 27

Método de la rigidez

M  x  ). 5.4.3 Comprobación a pandeo Se ha de comprobar, bajo cargas mayoradas, la resistencia a pandeo en aquellos elementos esbeltos sometidos a compresión como los pilares metálicos. Dado que si se alcanza la carga crítica (

N cr ), el

equilibrio del elemento estructural pasará a inestable y cualquier perturbación, por pequeña que sea, provocará una curvatura inicial que irá creciendo hasta llegar al colapso de la pieza, dando lugar al fenómeno de pandeo. Así, se definen los coeficientes de pandeo (

 ) según las condiciones de vínculo en los extremos,

L k =⋅L ), y con ella la carga crítica de Euler:

con lo que se obtiene la longitud de pandeo (

 2 ⋅E⋅I Lk

 

N cr =

≤ cr =

Finalmente, la comprobación a pandeo:

=

Lk i

i= Para que la teoría de Euler sea aplicable:



2⋅E 2 

[esbeltez mecánica]

I A

[radio de giro]

≥103,9 , aunque hay que tener en cuenta que se

recomienda que no supere 200. En la antigua Norma Básica de la Edificación, la comprobación a pandeo se realiza por medio de la determinación de unos coeficientes de pandeo ( la resistencia del material (

f

y

=

u ) tabulados, que se determinan en función de  cr

) y de la esbeltez mecáncia (

 ) del perfil. Teniéndose:

N⋅ M  ≤ u A Wz

5.5 Implementación (MSA) Para la implementación del método se utiliza el lenguaje Python junto a una serie de paquetes para cálculo matricial (Numpy) y representación gráfica (matplotlib). Con la unión de estos “softwares” se tiene una herramienta de programación similar a MATLAB, multiplataforma, open source y con coste cero. 28

Método de la rigidez

Aunque “MSA” se encuentra en desarrollo se puede descargar la última versión disponible en la página del proyecto:

http://code.google.com/p/msapy/

Dado que se trata de un proyecto totalmente abierto, se esperan sugerencias, comentarios, colaboraciones...

Descarga MSA [ Requiere Python, Numpy y matplotlib ]

Las estructuras reticulares sólo admiten cargas en los nudos, mientras que las de nudos rígidos, también admiten cargas uniformemente distribuidas en el sentido perpendicular a la barra.

5.6 Ejemplo

250

0

1

2

1,80

I = 0,006 A = 0,12 E = 29000

0

1

2,40

2,40

5.6.1 Definición del problema El problema se define en el archivo “input.csv” como: Material;Tipo;E[N/m2];fyd[N/m2]; M0;MAT;29000;330; Propiedades;Tipo;A[m2];Iz[m4];Wz[m3]; P0;PROP;0,12;0,006;0,001; Nudos;X[m];Y[m];Tipo;FX[N];FY[N];MZ[Nm]; N0;2,40;1,80;rj;0;0;0; N1;0;0;fs;0;0;0; 29

Método de la rigidez

N2;4,80;1,80;fs;0;0;0; Barras;Ni;Nf;qy[N/m];Tipo; B0;1;0;0;PROP; B1;0;2;-250;PROP;

5.6.2 Solución

Informe de resultados

Nudos 0 1 2

Barras 1/0 0/2

Coordenadas X [m] Y [m] 2.4 0.0 4.8

1.8 0.0 1.8

L [m]

A

3.00000 2.40000

0.12 0.12

FX [N] 0 0 0

Cargas FY [N] MZ [Nm] 0 0 0

Propiedades E Iz 29000 29000

0.0060000 0.0060000

0 0 0

Cargas qy [N/m] 0 -250

30

Método de la rigidez

Nudos 0 1 2

RX [N] 0.00 204.49 -204.49

Reacciones RY [N] MZ [Nm] 0.00 184.84 415.16

0.00 46.47 -247.32

Esfuerzos

31

Método de la rigidez

32

Método de la rigidez Barras

N1

V1

M1

N2

V2

M2

1/0 0/2

274.50 204.49

25.18 184.84

46.47 -29.07

-274.50 -204.49

-25.18 415.16

29.07 -247.32

Desplazamientos

Nudos 0 1 2

Desplazamientos dX [m] dY [m] gZ [rad] 0.141029 0.000000 0.000000

-0.582434 0.000000 0.000000

-0.149999 0.000000 0.000000

______________________________ Informe generado mediante MSA, con la aplicación del método matricial de la rigidez.

MSA - Copyright 2009, Jorge Rodríguez Araújo ([email protected]).

33

Cálculo de una marquesina

6. Cálculo de una marquesina 6.1 Introducción El problema consiste en resolver el cálculo de la estructura metálica de una marquesina, cuyo modelo se plantea a continuación, aunque quedará pendiente el dimensionado de la placa de anclaje y de la cimentación necesaria.

6.1.1 Parametrización

L

b/cos α

a/cos α

α

b·tan α

L·sen α

a·tan α

C A

B

a

b

H

D

6.1.2 Hipótesis de carga La estructura estará afectada por las acciones debidas al peso propio, la sobrecarga de nieve y la sobrecarga de viento; estando afectadas cada una de ellas por el correspondiente coeficiente de ponderación según su clase (acción permanente o variable) y efecto (favorable o desfavorable). CTE-DB-SE-AE

Así, para la determinación de las acciones actuantes se tendrán en cuenta: –

Peso propio de la estructura.

–

Carga permanente debida al peso de la cubierta y las correas que la soportan.

–

Sobrecarga de viento según la zona eólica, la situación topográfica y la altura de la estructura.

–

Sobrecara de nieve sobre la cubierta dependiendo de su inclinación y de la altitud de la localización de la obra.

34

Cálculo de una marquesina

qp

B

qv C A

D

Se descompone en dos y se aplica superposición:

(I) + (II)

6.2 Cálculo de reacciones 6.2.1 Peso propio qp

B

C A

D

(I)

VD MD

V D=q p⋅L M D=

qp 2 2 ⋅ b −a  2⋅cos 

35

Cálculo de una marquesina

6.2.2 Carga de viento B

qv C A

(II)

D

HD MD

H D=q v⋅L⋅sin  qv 2 2 2 M D= ⋅tan ⋅ b −a  2

6.3 Cálculo de solicitaciones Para encontrar las solicitaciones internas se descomponen las cargas, de modo que: (I)

(II) q α

qp·cos α

+

qv

p

qp·sen α

α

qv·sen α

α qv·cos α

α

L·sen α

Con lo que se tiene que la carga normal y cortante distribuida a lo largo de la longitud (

L ) de la

viga es:

w N =q p⋅sin qv⋅sin ⋅cos  w V =q p⋅cos  – qv⋅sin ⋅sin 

36

Cálculo de una marquesina

6.3.1 Diagramas de esfuerzos

N

B

V

+

B

+ -

C A

-

C A

+

D

D

M

B

C A

-

D

6.4 Cálculo resistente El cálculo resistente responde a que las tensiones máximas no sobrepasen el umbral admisible por el material, y dado que los valores máximos se producen en las mismas secciones, se tiene que:

 max =

N max M max  ≤ adm A Wz    Nmax

 Mmax

6.4.1 Cálculo de la viga Tanto el esfuerzo normal máximo como el momento flector se darán en la barra BC, justo antes del nudo:

x=

b cos 

[desde B]

37

Cálculo de una marquesina

Esfuerzo normal máximo:

b N max =w N⋅ cos 

Momento flector máximo:

b2 M max =w v⋅ 2⋅cos2  2

Dado que el momento flector en la viga, desde los extremos al nudo, vale:

M =−w v⋅

x 2

6.4.2 Cálculo del pilar Aunque el pilar (barra CD) se encontrará arriostrado por las correas de la cubierta se realizará su comprobación a pandeo. Esfuerzo normal máximo:

N max =q p⋅L

Momento flector máximo:

M max =

wv 2

2⋅cos 

 b2 – a2

En el pilar hay que tener presente su orientación, dado que el módulo resistente encargado de soportar el esfuerzo de flexión cambiará según esta.

6.5 Cálculo de desplazamientos Dado que el pilar se encuentra empotrado en su base y puesto que los efectos sobre el desplazamiento tanto del normal como del cortante serán despreciables, se tiene que el desplazamiento máximo de la estructura, que se da en el extremo B de la viga, será causado por el momento flector, de tal modo que:

 B= C⋅bCB⋅cos  Por Mohr: L

=∫ 0

L

=∫ 0

q x2 q L3 dx= 2E I 6E I

q x2 q L4 ⋅x⋅dx= 2E I 8E I

38

Cálculo de una marquesina Geometría H [m] L [m] α [º] a [m] b [m] Cargas qp [N/m]

3 5 35 1 4

20000

Viga Perfil IPE Dimensión 400 E [N/mm²] A [mm²] Wz [mm 3 ] Nmax [N] Mmax [N·m] σNmax [N/mm²]

210000 84500 1160000 67488,13 107467,78 0,8

qv [N/m]

5000

σMmax [N/mm²]

92,64

w N [N/m]

13820,76

σmax [N/mm²]

93,44

w V [N/m]

18027,99

Reacciones VD [N]

100000

Pilar Perfil HEB Dimensión 300

HD [N]

14339,41

E [N/mm²]

210000

MD [N·m]

201502,09

A [mm²] Wz [mm 3 ] Nmax [N] Mmax [N·m] σNmax [N/mm²]

14900 1680000 100000 201502,09 6,71

σMmax [N/mm²]

119,94

σmax [N/mm²]

126,65

6.6 Placas de anclaje Debido a que el hormigón de la cimentación no resistiría las tensiones transmitidas directamente por el pilar metálico se utilizan bases de apoyo. De este modo, se aumenta la superficie de apoyo entre pilar y cimentación hasta disminuir la tensión a valores admisibles para el hormigón. Pilar

Cartela Perno

Zapata

Placa de anclaje

Hormigón de limpieza

Las placas de anclaje se encuentran formadas por la placa base a la que se suelda directamente el pilar, las cartelas de rigidez y los pernos de anclaje que embebidos en el hormigón la fijan a la cimentación, inmovilizando el pilar ante posibles tracciones.

39

Cálculo de una marquesina –

Placa base: se confecciona a partir de chapas cuyos espesores (e) más usuales se encuentran entre 22 mm y 40 mm (22, 25, 30, 40).

–

Cartelas de rigidez: aumentan la rigidez de la placa base (a partir de espesores de placa de 30 mm), con unos espesores que se suelen encontrar entre los 12 y los 15 mm (12, 14, 15).

–

Pernos: constituyen el elemento de unión entre el cimiento y la base, y por tanto, la fijan a la cimentación. Se colocan, al menos, 4 pernos en pilares empotrados y 2 en apoyados (articulación), con un diámetro mínimo de 20 mm (20, 25, 32). N M

H

V

b

B

a

d A

6.6.1 Dimensionado de la placa El dimensionado de la placa consiste en la determinación de sus dimensiones (a, b), que dependen de la resistencia del hormigón, y espesor (e), que depende de la resistencia a flexión de la placa. Para la determinación de las dimensiones (a, b) de la placa se asume que la tensión de compresión sobre el hormigón se distribuye uniformemente en una zona (y) cuya extensión es menor que 1/4 de la longitud de la placa (a) y que la tracción (T) es absorbida por los pernos. Así, se plantean las ecuaciones de equilibrio, que quedarían definidas como:

40

Cálculo de una marquesina

M

 

M N⋅

d

V σc

∑ F =0

T  N =b⋅y⋅ c

N

T



a y −d =b⋅y⋅ c⋅ a−d − 2 2



∑ M =0

Así, si se establecen unas determinadas dimensiones para la placa se

y

puede resolver el sistema. Dado que se puede despejar “y” en la ecuación de equilibrio de momentos para sustituirla en la de equilibrio de fuerzas, y de este modo obtener la tensión que debe soportar el perno (T). Asumiendo que: a = 16 + ap + 16(cm.)

ap

b = 8 + bp + 8 (cm.)

bp

d = 6 cm sólo habrá que comprobar que y < a/4 como se había supuesto. En caso contrario se aumentarán las dimensiones de la placa hasta que se cumpla que y < a/4. Para determinar el espesor de la placa (e) se ha de verificar su comportamiento a flexión. Para ello se define el vuelo como:

v=

a – ap , de modo que: 2 Si

y≤v : Si

Teniéndose que:

e≥



 

M =b⋅y⋅ c⋅ v –

y≥v :

6⋅M , dado que: b⋅ u

y 2

v M =b⋅ c⋅v⋅ 2

M b⋅e2 ≤ u y W = . W 6

Cuando el espesor sale mayor de 30 o 35 mm se debe pasar a poner cartelas, lo que aumentará el módulo resistente de la placa.

6.7 Referencias [1] CTE-DB-SE-AE: Código técnico de la edificación. Documento básico. Seguridad estructural. Acciones en la edificación. [2] CTE-DB-SE-A: Código técnico de la edificación. Documento básico. Seguridad estructural. Acero.

41

Anexo

7. Anexo 7.1 Principales materiales estructurales Los principales materiales estructurales son el acero, el hormigón armado y el hormigón prefabricado. El hormigón armado se compone de hormigón y acero. El hormigón aporta la resistencia a compresión y actúa como protección para la armadura de acero, tanto ante corrosión como ante el fuego, que aporta la resistencia a tracción y a esfuerzos cortantes. La armadura está formada por barras de acero corrugado para que se cumpla la necesaria adherencia entre el acero y el hormigón, que permite que este material compuesto se comporte como un todo. ACERO Consideraciones VENTAJAS: del diseño

HORMIGÓN

HORMIGÓN ARMADO

PREFABRICADO

VENTAJAS:

VENTAJAS:

Rapidez de montaje y menor

Coste, rigidez y óptimo

Rapidez de montaje y

peso para la misma

comportamiento frente a efectos

elevada resistencia

resistencia

atmosféricos y al fuego.

DESVENTAJAS:

DESVENTAJAS:

DESVENTAJAS:

Precio elevado

Problemas de corrosión,

Menos espacios diáfanos

resistencia al fuego, pandeo y fatiga

Elementos Perfiles laminados (IPE, estructurales

Pilares y vigas (porticos).

HEB,...) o conformados y sus

Losas y vigetas.

Forjados.

combinaciones.

Enlaces Uniones remachadas,

Nudos rígidos realizados in situ y

atornilladas o soldadas.

las juntas de dilatación para evitar

Para que el comportamiento

esfuerzos térmicos.

de las uniones sea el de un nudo rígido se sueldan, en los perfiles laminados de acero, una serie de placas metálicas para crear continuidad, rigidizadores. Tabla 2: Comparativa de los principales materiales estructurales

Propiedades del acero Módulo de elasticidad (E) 210000 N/mm2 Módulo de rigidez (G) 81000 N/mm2

42

Anexo

Coeficiente de Poisson (µ) 0,3 Densidad (ρ) 7850 kg/m3 Coeficiente de dilatación térmica (α) 1,2·10-5 1/ºC

7.2 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos Cuando un material es sometido a esfuerzos de tracción o compresión presentará dos tipos de comportamiento (elástico y plástico) según la magnitud de los esfuerzos a que se encuentre sometido. En un primer lugar experimentará una deformación de carácter elástico, dado que el material recupera su forma original cuando cesan las fuerzas externas que provocan su deformación. La resistencia a la deformación, en caso de ser lineal el intervalo, viene dada por medio del módulo elástico (

E ), y su

relación se conoce como Ley de Hooke. Si el esfuerzo sobrepasa un punto conocido como límite elástico (

Re ) del material, el cuerpo se

deformará de manera permanente o plástica. Si el esfuerzo continua, se alcanza el punto conocido como resistencia a tracción (

Rm ), que es el

valor máximo de tensión que puede soportar un material sin que se produzca la estricción y posterior rotura del material cuando se encuentra sometido a tracción. Estos valores se leen sobre la curva que se obtiene al realizar el ensayo de tracción sobre una muestra de material, curva convencional de tracción. Así, en el ensayo de tracción realizado sobre una barra de acero corrugado de dimensiones iniciales: 100 mm de longitud y 8,03 mm de diámetro, se obtuvo la siguiente curva de tracción, cuyos valores de tensión (

 ) y elongación (  ) vienen dados por: =

F S0

=

2 L− L0 D , siendo S 0= 0 L0 4

43

Anexo

Curva de tracción Ensayo de tracción de una barra de acero corrugado 700

Rm

600

Re

σ [MPa]

500

f

400 300 200 100 0 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

ε [m m/mm ]

Tras la rotura, la probeta presentaba una longitud final entre los puntos calibrados de 113,39 mm y un diámetro de 5,72 mm en la zona de estricción, siendo de este modo los valores finales obtenidos: Límite elástico (

Re ) = 493,65 MPa

Módulo elástico (

E ) = 61,02 MPa

Resistencia a tensión (

Rm ) = 590,68 MPa

En materiales como el acero, debido a que el límite elástico no se encuentra bien definido, pero sin embargo, se aprecia claramente la zona de cedencia1, se toma como valor representativo la tensión de fluencia (  f ), dado que además, se comprueba que la resistencia a tracción suele estar en torno a 0,8 veces el límite de fluencia. De este modo, para definir el esfuerzo normal máximo que puede soportar un material (admisible) se define un coeficiente de seguridad (

C s ) que garantizará que en ningún punto se excede su

resistencia a tracción, de tal modo que:

 adm=

f Cs

7.3 Parámetros elásticos del material El comportamiento elástico lineal de un material queda caracterizado por tres parámetros interrelacionados: –

El módulo elástico o módulo de Young ( E ) establece la relación entre el esfuerzo normal y la deformación lineal provocada:

1

La región de cedencia es aquella que aparece al final de la región elástica y que se caracteriza por una rápida deformación plástica del material sin un aumento de la carga.

44

Anexo

= E  –

Cuando un material se alarga debido a estar sometido a un esfuerzo de tracción se observa que además se estrecha, mientras que cuando se acorta por estar sometido a compresión se ensancha. Así, se tiene que la deformación en la dirección de aplicación del esfuerzo provoca una variación proporcional de la dimensión transversal que viene dada por el coeficiente de Poisson (  ).

= –

contraccióntransversal alargamiento longitudinal

Finalmente, se tiene que ambos se relacionan por medio del módulo de elasticidad transversal (

G ), que proporciona el esfuerzo cortante que provoca una determinada deformación angular: G=

E 21

=G 

7.4 Otras características de los materiales Un material dúctil es aquel que puede deformarse sin romper, mientras que es frágil cuando se rompe con facilidad, mejor dicho, cuando se rompe sin deformación (rotura rápida y sin previo aviso). Así, mientras que la rotura de un material dúctil se caracteriza por presentar una reducción de sección denominada estricción, la de uno frágil se caracteriza por ser plana, dado que no existe deformación plástica apreciable ya que la propagación de la fisura es muy rápida. La tenacidad es la capacidad de un material para absorber energía en el intervalo plástico, y por tanto indica la cantidad de trabajo que se puede hacer sobre un material antes de que se produzca la fractura. Como consecuencia de la variación de la temperatura el material se deforma (contracción o dilatación) proporcionalmente a un coeficiente de dilatación que produce la aparición de tensiones en su interior si sus movimientos están impedidos. Cuando un material se encuentra sometido a temperatura elevada y se le aplica un esfuerzo, puede deformase y romper a cargas inferiores a las determinadas a través del ensayo de tracción. A este fenómeno de deformación plástica por debajo del límite elástico cuando el material se encuentra sometido a temperatura se lo denomina termofluencia.

7.5 Momentos de inercia El momento de inercia (

I z ) es una característica geométrica de la sección respecto a un eje,

normalmente el que determina la línea neutra, y se define como:

45

Anexo

I z =∫ y 2 ds

El teorema de Steiner puede facilitar el cálculo

S

del momento de inercia al simplificar la integral.

El momento de inercia polar ( I p ) se define como la suma de los productos de las áreas elementales por los cuadrados de las respectivas distancias al polo.

Dado que el momento de inercia de una sección respecto a un eje e' que no pasa por el centro de gravedad es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo e que pase por el centro de gravedad, mas el producto de la sección total por el cuadrado de la distancia

I p=∫ r 2 ds=I x I y

entre esos dos ejes:

S

I e' = I e d 2 S

Las expresiones de algunos momentos típicos son:

Sección rectangular

Iz

I z=

Sección circular

B⋅H 3 12

Ip

I z=

⋅R 4 4

I p=

⋅R4 2

Tabla 3: Momentos típicos

7.6 Forjados Al menos existen cuatro tipos de forjado de hormigón armado, los cuales son: –

Forjado unidireccional: es el forjado clásico formado por bovedillas que reparten el peso a las viguetas, que son las encargadas de transmitir la carga a las vigas. Por encima del conjunto vigueta-bovedilla va una capa de compresión formada por los negativos, el mallazo y el hormigón, siendo los negativos las varillas de acero encargadas de soportar los momentos flectores negativos.

–

Forjado reticular o bidireccional: es el forjado típico de plantas de aparcamiento, dado que distribuye las cargas por igual a un lado y a otro (en ambas direcciones).

–

Forjado colaborante: forjado utilizado junto a estructuras metálicas, dado que mejora la unión entre ambos.

–

Placa alveolar: forjado prefabricado unidireccional de alta resistencia y aligerado mediante una serie de alvéolos que los atraviesan longitudinalmente.

7.7 Cimentaciones Las cimentaciones son las encargadas de transmitir las cargas al terreno, de tal modo que su 46

Anexo

tipología y dimensiones vendrán determinadas por las características de este. Así, el estudio geotécnico es el encargado de facilitar las características resistentes y de composición del terreno, necesarios para el cálculo de la cimentación y selección de los materiales utilizables según la agresividad química del terreno. La capacidad de soporte del terreno viene dada por la presión admisible, siendo esta especificada a partir de una determinada cota. Para establecer la cota de referencia sobre la que se especificarán las diferentes condiciones del terreno se suele utilizar la calle o la rasante de la parcela, de tal modo que, por ejemplo, la capacidad de soporte del terreno vendría especificada como: el terreno nos ofrece una tensión admisible de 1,5 kg/cm 2 una vez superada la pequeña alteración superficial (-1,00 m) hasta (-2,00 m), cota a partir de la cual ya contamos con 2,0 kg/cm2. Las cimentaciones típicas son superficiales, pudiendo ser: –

Mediante zapatas aisladas, con o sin arriostramiento, pero apoyadas a partir de la cota – 1 m.

–

Mediante zapatas corridas, en zanjas que alcancen como mínimo -1 m, rellenas de hormigón en masa hasta la cota estructural admisible donde se apoyarán las definitivas zapatas. De este modo se tiene que el ancho de las zapatas vendrá dado por la carga a transmitir y la tensión

admisible del terreno según la cota final de apoyo de la zanja.

7.8 Pasos para la ejecución de una edificación 1.

Solicitud y concesión de permisos y licencias

2.

Acondicionamiento del terreno: limpieza del terreno, nivelado, replanteo de cimentaciones y excavación de los elementos de cimentación.

3.

Cimentaciones

4.

Estructura y forjados

5.

Cubierta y faldones

6.

Cerramientos y tabiquería (división interna)

7.

Pavimentos y solados

8.

Pintadas y alicatados (baños)

9.

Falsos techos y aislamientos térmicos y acústicos

10. Urbanización exterior, aparcamientos y jardines

47

Anexo

7.9 Matriz de rigidez local 3D



k=

E⋅A L

0

0

0

0

0

− E⋅A L

0

0

0

0

0

0

12⋅E⋅I z L3

0

0

0

6⋅E⋅I z L2

0

−12⋅E⋅I z L3

0

0

0

6⋅E⋅I z L2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6⋅E⋅I z 2 L

−E⋅A L 0

0 −12⋅E⋅I z L

3

12⋅E⋅I y L

3

0 −6⋅E⋅I y L

2

0

−6⋅E⋅I y

0

L

2

0

0

0

0

0

4⋅E⋅I y L

0

0

0

0

0

4⋅E⋅I z L

0

−6⋅E⋅I z 2 L

0

0

0

0

0

−12⋅E⋅I y

0

0

0

0

0 0

L3

L

G⋅I p L

0

0

−12⋅E⋅I y

0

6⋅E⋅I y L2

0 −6⋅E⋅I z L

2

E⋅A L 0

0

0 12⋅E⋅I z 3

L

0

0

6⋅E⋅I z L2

0

0

0

2⋅E⋅I z L

0

0

2⋅E⋅I z L

0

12⋅E⋅I y 0

0

0

0

0

0

0

0

0

2⋅E⋅I y L

2⋅E⋅I y L

0

0

−6⋅E⋅I y L2

0

2

0

0

0

0

0

0

L3

0

2

0

0

0

−G⋅I p L

L

−G⋅I p L

6⋅E⋅I y L

−6⋅E⋅I y

0

3

0

6⋅E⋅I y L2

0 −6⋅E⋅I z L2 0

G⋅I p L

0

0

0

6⋅E⋅I y L2

0

4⋅E⋅I y L

0

−6⋅E⋅I z L2

0

0

0

4⋅E⋅I z L



48

Bibliografía Libros [L1] Tensiones y deformaciones en materiales elásticos. José Antonio González Taboada.

Enlaces [E1] Cálculo de estructuras. Enrique Nieto García.

Normativa [N1] Código técnico de la edificación (CTE).

i