Teoria Resistência Dos Materiais (ISEP)

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I.S.E.P

Resistência de Materiais II ( Teoria )

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Análise das Tensões O estado mais geral de tensões, em um dado ponto Q, pode representado por seis componentes. Três destas componentes, σx, σy e σz, definem tensões normais exercidas nas faces de um pequeno elemento cúbico, centrado em Q e da mesma orientação que os eixos coordenados), e as outras três, τxy τyz e τzx, são as componentes de tensões de cisalhamento no mesmo elemento. Se os eixos coordenados sofrerem uma rotação vamos determinar componentes de tensão que se transformam, quando ocorre uma rotação dos eixos coordenados.

A análise da transformação das tensões será tratada principalmente com tensões planas, isto é, para situações em que duas das faces elementar se encontram isentas de tensões. Se adoptarmos o eixo z perpendicular estas faces, temos σz = τZX = τzy = O, e as únicas componentes de tensão que permanecem são: σx, σy e τxy

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Estado Plano de Tensão,Tensões Principais e Plano Principal de Tensão Analisando a figura:

Considerando um estado plano de tensões em um dado ponto Q caracterizado pelas componentes de tensões σx,σy e τxy, associadas com o elemento mostrado na Fig.a, depois deste ter sido girado de um ângulo θ, em torno do eixo z (b), determinam-se o valor de θp de θ para o qual as σx' e σy´, são, respectivamente, máxima e mínima. Estes valores das tensões são as denominadas tensões principais no ponto Q, e as faces correspondentes do elemento definem os planos principais de tensão daquele ponto.

Estado Plano de Tensão – Situação para o qual se verifica σz = τzx = τzy = 0 sendo represento pela figura (a) , tendo como componentes σx, σy, τxy, relativas ao cubo elementar.

Tensões Principais –tensões máxima e mínima num ponto para o qual considerando um estado plano de tensão este sofreu uma rotacão θ em torno de um eixo z. Plano principal de tensão – faces correspondentes do elemento onde se verificam as tensões principais. Direcção Principal – direcção definida pelo versor n normal ao plano principal

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Forma analítica de obter as tensões principais num ponto sob o Estado Plano de Tensão. Para determinarmos a tensão normal σx´ e a tensão de cisalhamento τxy´ que actuam na face perpendicular ao eixo x´ vamos considerar o prisma elementar de faces perpendiculares aos eixos x, y e x'. Calculando as componentes dessas forças em relação aos eixos x' e y' te seguintes equações de equilíbrio:

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Por substituição e transformações trigonométricas:

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Forma Gráfica : Círculo de Mohr

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Representação Gráfica

A tensão fica então definida da seguinte maneira:

Tensor das Tensões

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Princípio da Reciprocidade das Tensões

O elemento representado na figura tem lados com dimensões infinitesimais dx, dy, dz, encontrando-se o elemento em equilíbrio de tensões. Este elemento repre- senta o estado de tensões no ponto A, considerando que se despreza a variação das tensões ao longo das suas faces. No entanto, para haver equilíbrio não pode haver rotação e portanto os momentos de todas as forças devem anular-se. Considerando assim a rotação do elemento em relação ao eixo dos zz e calculando os momentos em relação a esse eixo, vem :

Calculando de maneira análoga os momentos em relação ao eixo dos yy e xx, vinha, respectivamente, Txz = Tzx e Tyz = Tzy. Portanto, no caso tridimensional, obtêm-se seis parâmetros independentes de tensão: três tensões normais e três tensões de corte.

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Lei de Hooke Generalizada Considerando σxx, σyy, σzz diferentes de zero, o paralelepípedo elementar irá apresentar extensões segundo os eixos dos X, Y, Z respectivamente Exx, Eyy, Exx. Verifica-se efectivamente que em todos os materiais elásticos que sofrem um alongamento e: xx na direcção xx, proveniente da tensão O' xx e só dessa, se dá um encurtamento e: yy e e: zz nas direcções que lhe são perpendiculares . É o chamado efeito de Poisson. Considerando que σxx, σyy, σzz são tensões principais

Pelas noções de : -

Coeficiente de Poisson

-

Módulo de Young

-

Lei de Hooke

Pode-se analisar que: Exx = Exx` + Exx`` + Ex`` Exx = σxx / E Exx ` = σyy / E Exx `` = σzz / E

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Substituindo: Exx = 1/E [ σxx – v( σyy + σzz ) ] Logo:

Como as tensões tangenciais apenas provocam deslizamentos ( corte puro ) , não têm qualquer influência sobre as extensões. Para o caso em que σxx, σyy, σzz não são tensões principais, a lei de Hooke será:

Se for impossível ao corpo apresentar extensões segundo uma das direcções quando solicitado, impondo Ezz = 0 , as restantes extensões serão paralelas ao plano OXY. O corpo está num “ Estado Plando de Deformação “

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Casos Particulares Estado Uniaxial: Tracção:

σzz = F / S > 0 = σ1 σxx = 0 = σ2 σyy = 0 = σ3

Compressão:

σzz = - F / S < 0 = σ1 σxx = 0 = σ1 σyy = 0 = σ2

Em ambos os casos os três círculos de Mohr reduzem-se a um círculo em cuja circunferência fica sempre localizado qualquer estado de tensão.

Estado Biaxial:

σyy > σxx > 0

σ1 > 0

σ1 > σ2 > 0

σ2 = 0

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Corte Puro

σyy(1) > 0 σyy = - σxx(3) σ=0 τ = Max.

Apresenta duas tensões principais , uma á tracção e outra á compressão.

Tensão Hidroestática

No caso da tensão hidroestática, o círculo de Mohr reduz-se a um ponto, não havendo tensões de corte nesse ponto.

Verifica-se quando as tensões principais estão á tracção.

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Corte Puro Considerando o caso particular de tensões normais actuando em direcções ortogonais, em que a tensão de tracção σx na direcção horizontal é igual numericamente á tensão de compressão σy na direcção vertical.

Características do Corte Puro: -

σ1 > 0

-

σ2 < 0

-

| σ1 | = | σ2 |

O ponto D neste círculo representa as tensões que actuam nos planos ab e cd perpendiculares ao plano xy e inclinados 45º em relação ao eixo dos x. O ponto D1 representa as tensões que actuam nos planos ad e bc perpendiculares a ab e cd.

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Dedução matemática: O elemento assim considerado sofreria uma deformação caracterizada apenas pela variação da sua geometria, não sofrendo qualquer variação de dimensão. (Distorção) Distorção é uma deformação angular específica, por vezes designada por escorregamento, medida pelo ângulo ϕ.

Analisando:

Módulo de elasticidade Transversal

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Flexão Pura ou Circular

Considerando a figura:

Uma peça está sujeita a flexão pura numa determinada zona quando apenas se exerce momento flector nessa zona.

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Estas solicitações são muito importantes e ocorrem muitas vezes, na prática, em peças carregadas transversalmente, isto é, por cargas actuando em planos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça. Como se sabe, uma peça está sujeita a flexão pura numa determinada zona quando apenas se exerce momento flector nessa zona. Uma maneira prática de obter flexão pura numa peça está representada nas figuras. No intervalo A'B' da peça haveria apenas momento flector constante e igual a P*a (fig.c) e portanto a

região A'B' encontra-se em flexão pura.

Só existe Momento Flector My ( ou Mz ) ≠ 0 e portanto N = Ty = Tz = Mx = Mz ( ou My ) = 0 -

Esforço transverso Nulo

-

Momento Flector constante

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Fundamento matemático de o facto de a Flexão Pura também se designar por Flexão Circular Considerando a Figura:

-

Peça linear cuja secção transversal é constante e simétrica em relação ao plano de carga.

-

Propriedades do material constantes ao longo do comprimento.

-

Esforço transverso nulo e momento flector constante entre A´e B´ .

A geometria da deformação na flexão pura é definida de tal forma que todas as secções existentes numa zona em que o momento flector é constante rodam com centro num ponto O que é o centro de curvatura. As secções equidistantes AD, BE e CF, antes da deformação, rodaram com centro no ponto O e passaram, respectivamente, a A1D1, B1E1 e C1FI depois da deformação e mantiveram-se planas depois da deformação. Portanto, na flexão pura num plano de simetria as secções planas permanecem planas depois da deformação (hipótese de Bernouilli-Navier).

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Como as secções planas permanecem planas, a distribuição das deformações será do seguinte modo:

-

As secções transversais permanecem planas enquanto que as fibras longitudinais originalmente rectas transformaram-se em arcos de círculo.

-

Algumas destas fibras aumentaram e outras encurtaram, sofrendo extensões de compressão e tracção.

-

Existência de uma fibra que não sofreu alteracão de comprimento- Fibra Neutra.- sendo o sistema de coordenadas establecido

-

Fibras acima do eico neutro estarão á compressão enquanto que as fibras inferiores trabalham á tracção.

na peça de tal forma que o eixo dos YY coincida com o eixo neutro.

Considerações importantes: -

Admitir que a deformação é pequena e sendo ρ raio da curvatura da fibra neutra e ∆ϕ o ângulo subtendido pela fibra I1 J1. O raio de curvatura dessa fibra será ( ρ - z ) , o que equivale a considerar iguais as distâncias J1 N1 e J1 N2, pois o erro cometido nessa aproximação é pequeno , desde que a deformação seja também pequena.

Deste modo a extensão da fibra I1 J1 será:

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Pela definição de curvatura:

-

extensão varia linearmente com a coordenada z e o sinal (-) indica que a fibra sofreu um encurtamento

Dado que as secções planas permanecem planas, as distorções serão nulas e portanto:

Considerando a extensão a todos os pontos da secção transversal, segundo a lei de Hooke generalizada teremos:

Dada a simetria da peça, tipo de solicitação e modo de deformação teremos:

Como τyz = 0 , γ yz = 0 pela lei de Hooke vem:

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Demonstração Fundamental: Sendo σ xx a tensão que actua num elemento de área dA da secção transversal, a equação de equilíbrio de forças será igual a zero, uma vez que não há forças aplicadas segundo o eixo longitudinal da peça.

Substitundo:

Em que E e ρ são constantes

-

o integral é o momento estático da secção transversal em relação ao eixo dos yy que, como se sabe, só é nulo quando o eixo x, correspondente ao eixo neutro, passar pelo centro de gravidade da secção transversal.

A segunda equação é a equação de equilíbrio de momentos que define a igualdade entre o momento criado pelas tensões internas na secção transversal e o momento flector aplicado. Portanto

O integral é o momento de inércia da secção transversal em relação ao eixo dos yy. Portanto, a curvatura (inverso do raio de curvatura) pode ser expressa em função do momento flector e do momento de inércia através da equação

Momento de inércia da secção transversal em relação ao eixo Oy.

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Flexão Plana

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Flexão Desviada

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Flexão Composta

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Núcleo Central

Designa-se por núcleo central de uma secção a região situada em volta do seu centro de gravidade, dentro da qual a aplicação de um esforço N origina em toda a secção tensões do mesmo sinal de N (tracções ou compressões). O seu perímetro é representado pelo lugar geométrico dos pontos de aplicação de N, a que correspondem posições da linha neutra tangentes ao contorno exterior da secção. É limitado por um polígono, no caso do perímetro exterior da secção ser poligonal ,correspondendo a cada vértice do polígono corresponde um lado do contorno exterior do núcleo, e a cada lado daquele um vértice deste. Portanto, o núcleo duma secção poligonal convexa de n lados é outro polígono de n lados.

O núcleo cenral duma S.T.R é uma característica geométrica da S.T.R, sendo independente da intensidade, direcção, sentido e ponto de aplicação da resultante do sistema actuante nessa S.T.R.

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Equação Diferencial da Elástica Considerando a seguinte figura:

Fig - Forma da elástica submetida a flexão por um momento flector M,.

O raio de curvatura correspondente a esse ponto será p e a relação entre a curvatura e o momento flector será a mesma da flexão pura :

Recorrendo á equação de Bernoulli

Curvatura (C) = 1 / p ( Momento Flector Positivo )

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As secções na barra apresentam rotações muito pequenas, logo:

Substituindo na equação:

E portanto a equação vem:

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Viga Conjugada P*(z)

T*(z) = O(z)

M*(z) = Y (O) – Deformada da Viga Real

Peso elástico – solicitação fictícia a actuar sobre a viga conjugada lida como p* (z) = - M(z) / EI Viga conjugada – Viga fictícia, solicitada pelo peso elástico que irá apresentar uma distribuição de esforços T* (z) , M* (z) , obedecendo ás condições de apoio, isto é, ao comportamento estrutural da viga real solicitada pela carga. Que alternativas conhece para na integração da E.D.E. evite o cálculo explícito das constantes de integração? -

Processos de integração do teorema de Mohr, onde as condições iniciais são impostas pela definição dos limites de integração.

-

Processo da viga conjugada onde as condições são impostas pela definição da viga conjugada.

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Teoremas de Mohr Os teoremas de Mohr aplicam-se na determinação de deslocamentos em estruturas.

Considerando a figura:

1º Teorema

A rotação relativa da secção B em relação á secção A da peça representada na figura , sujeita a momentos flectores definidos pela função M = f (x) , é igual á área do diagrama da função M/EI = g (x) compreendida entre XA e XB em que XA e XB são as coordenadas das secções A e B, respectivamente:

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2º 0 Teorema

O deslocamento relativo OBA do ponto B da deformada, em relação à tangente em A à mesma deformada da peça sujeita a momentos fIectores M = f (x) é igual ao momento da área do diagrama de momentos fIectores M/EI = g (x) entre XA e XB em relação a B.

Portanto,

em que d é a distância da coordenada vertical do centro de gravidade G da área do diagrama M/EI em relação à secção B . Como se verifica, só se pode calcular o deslocamento de B em valor absoluto quando se conhece a tangente à deformada na secção A

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Determinar pelo método da viga conjugada a equação para uma viga de comprimento l encastrada numa extremidade, livre na outra e submetida na extremidade livre a uma carga concentrada P.

1) Determinar-se o diagrama de momentos flectores da viga real. Considerando o sistema de eixos indicado, a equação do momento flector numa secção qualquer, a uma distância x, é M = -Px (a) 2) A viga conjugada será a representada na figura 8.36 b), submetida a uma carga triangular dada pela equação (a) a dividir por EI, encastrada na secção O' e com a extremidade livre em A'. No ponto O' (encastramento da viga conjugada), a reacção e o momento de encastramento são, respectivamente,

Estas equações representam a resultante e o momento resultante da carga triangular cuja função de carga é Px/EI. 3) A equação do momento flector para a viga conjugada considerando uma secção qualquer a uma distância x (figo 8.36 b), será :

4) A equação (e) representa a equação da elástica da viga real, resultado que coincide com o obtido anteriormente a partir da integração directa da equação diferencial da elástica. A flecha máxima 8 (fig. 8.36 c) verifica-se para x = O, e é

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Varejamento Varejamento é a perda de estabilidade geométrica de uma peça linear prismática quando solicitada á compressão axial. A perda de estabilidade geométrica pode implicar perda de estabilidade elástica. O varejamento ocorre no plano normal ao eixo relativamente ao qual a rigidez á flexão é mínioma. Considerando as seguintes figura:

Uma coluna pode ser considerada como uma viga colocada em posição vertical e submetida a uma força axial. Assim, vamos chamar de x a distância da extremidade A da coluna até um ponto Q de sua elástica, e de y a deflexão desse ponto Segue daí que o eixo x é vertical com orientação de cima para baixo e que o eixo y é horizontal e orientado para a direita. Considerando o equilíbrio da parte (AQ), vemos que o momento flector Q é M = -P'y.

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Dedução Matemática: Poderemos então verificar que:

Sendo uma equação homogénea de 2ª ordem , com condições constantes fazemos:

Logo teremos:

Sendo a mesma equação diferencial que descreve o movimento harmónico simples, então teremos:

Assim teremos pelas condições de contorno que devem ser satisfeitas nos pontos A e B: Ponto A - Fazemos inicialmente x = O, y = O encontrando B = O – Não há varejamento!!! Ponto B - x = L, y = O, encontramos A sen pL = O --------pL = nΠ resolvendo a equação em P: k^2+l^2 = n^2 Π^2

A estrutura inicia o varejamento com o valor P para n=1

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Primeira solicitação crítica de Euler:

Para n =1 ( apenas para colunas com extremidades articuladas)

Sendo a sua deformada definida por:

Tensão crítica:

I = Ar^2

(Le/Imin) = λ ( Coeficiente de Esbelteza ) Expressão Generalizada da Carga Crítica d eEuler:

Tensão Crítica

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Análise Gráfica:

A equação da tensão critica indica que se consegue aumentar esta quantidade aumentando o módulo de elasticidade e o raio de giração. No caso dos aços, cujo ,módulo de elasticidade não varia de modo significativo, não se consegue um aumento da resistência à encurvadura utilizando um aço de maior resistência. Igualmente o tratamento térmico no aço não lhe fará aumentar a sua resistência à encurvadura. As secções transversais com maior raio de giração são também as de maior momento de inércia. Do estudo da flexão sabe-se que as secções ocas são mais econórnÍcas que as secções cheias por apresentarem para a mesma área um maior momento de inércia. No projecto de colunas sujeitas a encurvadura devem utilizar-se, portanto, secções ocas em lugar das cheias.

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Comprimento de Encurvadura (le) – comprimento fictício que a barra deve Ter para que a sua

deformada seja ½ onda sinusoidal. Coeficiente de Encurvadura ( ϕ ) – Coeficiente de redução da tensão de cedência σy que para cada λ

nos dá o valor de σrd. Coeficiente de esbelteza ( λ ) – Parâmetro que caracteriza o comportamento ao varejamento de uma

peça linear prismática sob acção do esforço axial por compressão.

Como evitar o Varejamento?

O varejamento pode ser retardado pelo aumento do Momento de Inércia relacionando com a área , pelo aumento da rigidez á flexão, quer pela alteração das características geométricas da STR, quer pelas condições de ligação, mas sempre que possível diminuir a STR.

Esquematize a curva de projecto das tensões limites de utilização na encurvadura para um aço macio segundo o regulamento de estruturas de Aço para Edificios (D.L 211/86-31/7),e exemplificando a génese de cada sub-domínio e justificando os limites dos mesmos.

- Para as estruturas de aço é necessário objectivar os diversos do diversos parâmetros específicos deste material que interessam ao dimensionamento. Haverá assim que definir estados limites, os coeficientes de segurança, as propriedades dos materiais, as teorias de comportamento estrutural adequadas, e bem assim regras particulares de projecto de execução.

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Estados limites a considerar:

- Estado limite de perda de equilíbrio => correspondente ao derrubamento ou deslocamento da

estrutura considerada como corpo rigido. - Estado limite de perda de equilíbrio => correspondente ao derrubamento ou deslocamento da

estrutura considerada como corpo rigido. - Estado limite último de resistência sem plastificação => corresponde ao inicio da ocorrência de

deformações plásticas em secções dos elementos da estrutura ou das suas ligações. - Estado limite de encurvadura => correspondente a instabilidade de elementos da estrutura, ou desta no

seu conjunto.

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Flexão Plana – se o plano de solicitação contém um dos eixos principais centrais de Inércia. Flexão Desviada - se o plano de solicitação não contém um dos eixos principais centrais de Inércia. Flexão Pura – Acontece num troço de viga sob a acção de momento flector constante M(z) 0 Const.

Pela equação de Bernoulli ( 1/R ) = M(z)/ EI EI = constante M(z) = constante 1/R = constante As linhas com curvatura constante são a recta e o arco de circunferência. Havendo deformação só o arco de circunferência poderá traduzir a deformada daquele troço de viga. Por esta razão a Flexão Plana também se designar por Flexão Circular. Módulo de Elasticidade Longitudinal ou Módulo de Young (E) – constante de proporcionalidade

linear entre a tensão normal e a extensão longitudinal por si provocada na fase elástica de um material. Módulo de Elasticidade Transversal ou módulo de Coulomb – representado pelo coeficiente ε ou G

( para torção ) , é equivalente ao Módulo de Young nas tensões, sendo também válido para materiais em regime elástico, homogéneos e isotrópicos, permitindo o cálculo das tensões tangenciais. Coeficiente de Poisson – Valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal.

Módulo de Rigidez á Torção de uma peça de secção circular – é definido pelo produto G * Ip e traduz

a maior ou menor capacidade que a peça tem para se opôr á deformação. Módulo de Rigidez á flexão – é o produto EI – produto do módulo de elasticidade longitudinal e o

momento de inércia da secção transversal recta relativamente ao eixo neutro baricêntrico. Traduz a variação relativa do momento flector com a variação da encurvadura por si provocada. EI = dm(z) / d (1/R)

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Módulo de resiliência

A área sob a curva tensão-deformação, desde a deformação zero até deformação te de escoamento, é denominada como o módulo de resiliência do material e representa a energia por unidade de volume que o material pode absorver,

Módulo de tenacidade

A área sob todo o diagrama tensão-deformação foi definida como módulo de tenacidade e é uma medida da energia total que pode ser absorvida pelo material. Se a tensão normal permanece dentro do limite de proporcionalidade do material, nós podemos expressar a densidade de energia de deformação u como:

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Materiais Dúcteis Os materiais dúteis,

que compreendem o aço estrutural e outros metais, se caracterizam por

apresentarem escoamento a temperaturas normais. O corpo de prova é submetido carregamento crescente, e seu comprimento aumenta, de início, lentamente, sempre proporcional ao carregamento. Maior ou menor capacidade que um material apresenta desde a sua deformação até a rotura. Desse modo, a parte inicial do diagrama tensão-deformação é uma linha recta com grande coeficiente angular.

Entretanto, quando é atingido um valor crítico de tensão o corpo de prova sofre uma longa deformação, com pouco aumento da carga aplicada. Essa deformação é causada por deslizamento relativo de camadas do material de superfícies oblíquas, o que mostra que esse fato se dá principalmente por tensões de cisalhamento. Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do corpo começa a diminuir, devido à perda de resistência local. Esse fenómeno é conhecido como estricção. Após ter começado a estricção, um carregamento mais baixo é suficiente para manter o corpo de prova se deformando, até que sua ruptura se dê. . Podemos ver que a ruptura se dá segundo uma superfície em forma de cone, que forma um ângulo

aproximado de 45º com a superfície inicial do corpo de prova. Isso mostra que a ruptura dos materiais dúcteis ocorre sob tensão de cisalhamento, e confirma o fato de que, com carga axial, as maiores tensões de cisalhamento ocorrem em planos que formam 450 com a direcção da carga (conforme Seco 1.6). A tensão °e correspondente ao início do escoamento é chamada tensão de escoamento do material; a tensão au correspondente à máxima carga aplicada ao material é conhecida como tensão última, e a tensão

correspondente ao ponto de ruptura é chamada tensão de ruptura.

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Comportamento Frágil de um material – materiais caracterizados por uma rotura que ocorre sem

nenhuma mudança sensível no modo de deformação do mesmo. Para estes não existe diferença entre tensão última e tensão de rotura, sem haver qualquer estricção dando –se a rotura numa superfície perpendicular ao carregamento. Exemplos: Ferro fundido, vidro, pedra.

σu=σr

Tensão de cedência de uma aço – A tensão de cedência ou fluência verifica-se em fase de escoamento.

Quando o teste é realizado cuidadosamente, é possível distinguir entre o valor superior e o valor inferior de escoamento, adoptando-se o valor inferior, porque o valor superior é momentâneo, para a determinação da tensão de escoamento. Tensão Convencional de proporcionalidade a 0.2 % de uma Aço – Para os materiais cujos diagramas

permitem fixar o limite de elasticidade, ou não tenham zona proporcional, convencionou-se o limite de elasticidade : aquele que provoca uma deformação permanente 0.2 %. Assim sendo e depois de traçar a tangente á curva, com origem em zero, traça-se a paralela a esta no eixo das extensões com origem no valor 0.02 %.

σ 0.2

0.2 %

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ Eixo neutro da secção transversal recta de uma viga solicitada á flexão simples ( Plana ) – é o lugar

geométrico dos pontos das tensões nulas, pois nele é onde se faz a transição da zona traccionada para a zona comprimida de uma peça sujeita a um momento constante ao longo da peça. Núcleo Central – é o lugar geométrico dos pontos de aplicação da carga actuante, ou da resultante do

sistema actuante dessa secção, que garante σ = 0, Tensões Principais num ponto de uma secção de uma peça prismática- são as tensões σmax e σmin,

ou seja tensões normais actuantes nos planos principais nesse ponto dessa secção. Por formula Se num ponto material do plano da STR de uma viga existir uma tensão principal que conclusões podemos tirar sobre : 1) Tipo de esforço simples (estudados ) e localização relativa do ponto material da STR. 2) Planos principais de tensão nesse ponto material. 3) Tensões máximas de corte e orientação dos respectivos planos nesse ponto material.

1) Considerando apenas esforço axial simples, só o esforço axial (N) e o momento flector (M) podem implicar o aparecimento de tensões resultantes, em pontos da STR de uma peça linear com apenas componente normal, isto é, tensões principais. 2) No caso do esforço axial (N) em qualquer ponto da STR da peça linear prismática:

τ =o ; σ = constante = +- N / S O plano da STR é o plano principal de tensões. O valor máximo da tensão de corte é metade do maior valor absoluto das tensões principais, verificandose em planos com inclinação de 45º com os planos principais de tensão. 3) no caso do momento flector (M) em qualquer ponto da SRT da peça linear prismática:

τ =o ; σ = +- M/I * v O plano da STR é plano principal de tensão, e assim os planos principais de tensões normais entre si e normais com o plano da STR.

τmax = ½ σmax em planos com M =

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( o ;

;

)

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Instituto Superior de Engenharia do Porto ____________________________________________________________________________________ O esforço transverso implica na STR de uma viga a não verificação de uma Hipóteses ou Princípios Fundamentais da Resistência de Materiais. 1) Que influência é que este esforço tem na STR? 2) Qual é a hipótese ou princípio fundamental que não é verificado?

1) È quando a STR deixa de ser plana após a deformação da viga a que pertence. 2) È a hipótese de Bernoulli que postula que a STR de uma viga é plana e normal ao eixo longitudinal antes e após a deformação. Um dos processos de integração da EDE é conhecido pelo “ método das áreas-momentos “. 1) Em que teoremas se baseia? 2) Justifique a razão daquela designação 3) Em que peças optaria pela sua aplicação

para o cálculo de deslocamentos de secções

transversais rectas? 4) Em que peças optaria

pela sua não aplicação? Que tipo de Dificuldades ai esperaria

encontrar?

1) Ver esquema 2) A razão desta designação consiste no facto de que apartir dos diagramas dos esforços do momento flector, para obter o valor de rotações relativas de deslocamentos, trabalhamos com momentos estáticos desses diagramas. 3) Em viga encastrada e apoiada 4) Optaria pela sua não aplicação nas seguintes situações: -

Quando não é possível definir uma linha de referência

Carlos França Nº 980012

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