Teoria Probabilitatii Laborator NR.2

Ministerul Educaţiei al Republicii Moldova Universitatea Tehnică a Moldovei

Lucrare de laborator  Nr. 2 La Teoria Teoria Probabilităţilor şi a Informaţiei Informaţiei realizată în sistemul MATHEMATICA 5.1 Tema:

Teoria probabilităţilor. Calculul  probabilităţilor  Varianta XIX

Elaborat: Rusu Cristin Verificat:

Chişinău 2013

st.gr.134 Lisnic Inga lect. asist.

SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA. Rezolvarea exerciţiilor din Matematici Teoria probabilităţilor 1. Calculul probabilităţilor. Dacă rezolvarea unei probleme de calcul

al probabilităţii şi această problemă s -a reduc la aplicaţia unei formule de calcul, atunci rămâne de introdus în această formulă datele numerice ale  problemei şi parametrii necesari. Astfel se obţine o expresie numerică la care trebuie calculată valoarea. Di cele expuse anterior rezultă Sistemul de  programe Mathematica permite: calculul valorii exacte, calculul unei valori a proximative cu şapte cifre semnificative şi calculul unei valori

aproximative cu un număr dorit de cifre semnificative. Cititorul are de acuma o careva experienţă de lucru cu Sistemul Mathematica şi nu va uita ca după scrierea instrucţiunii să tasteze Shift+Enter după care instrucţiunea va fi executată. De aceea textul rezolvărilor problemelor ce urmează va conţine numai instrucţiunea respectivă şi rezultatul executării ei: Input, Output precum şi unele comentarii (dacă ele sunt necesare). Unele calcule d in exerciţiile ce urmează pot efectuate cu ajutorul unui microcalculator, sau chiar „în minte”. Prin atare exerciţii se ilustrează nu atât necesitatea utilizării Sistemului Mathematica, cât  posibilitatea utilizării lui.

Variante de exerciţii pentru lucrul individual pot fi găsite, de exemplu, în lucrarea didactică Théorie des probabilités et statistique mathématique, (numită succint TPSM). Pentru comoditate, unele din aceste exerciţii au fost incluse în exerciţiile propuse pentru rezolvare care sunt la sfârşitul paragrafului. La rezolvarea exerciţiilor ce urmează vor fi folosite unele funcţii din cele enunţate anterior şi unele din funcţiile: Collect[expr,x]  –  reduce termenii asemenea din expresia expr şi îi arangează după puterile lui x; Sum[f[i],{i,imin,imax}]  –  calculează suma valorilor funcţiei f pentru i de la imin până la imax cu pasul +1; NSum[f[i],{i,imin,imax}]  –  calculează o valoare a sumei valorilor funcţiei f  pentru i de la imin până la imax cu pasul +1; Product[f[i],{i,imin,imox}] - calculează produsul valorilor funcţiei f pentru i de la imin până la imax cu pasul +1; NProduct[f[i],{i,imin,imox}]  –  calculează o valoare a produsului valorilor funcţiei f pentru i de la i min până la imax cu pasul +1. 2. Scheme clasice de calcul al probabilităţilor.

formule şi scheme de calcul al probabilităţilor.

Amintim câteva

1) Definiţia clasică a probabilităţii. Formule de adunare a probabilităţilor. Dacă spaţiul evenimentelor elementare conţine un număr

finit de evenimente elementare echiprobabile, atunci probabilitatea unui eveniment aleator A   se calculează conform formulei  P ( A) 

card   A card   ,

(8.1.1)

unde card  înseamnă numărul de elemente ale mulţimii respective. Această formulă reprezintă definiţia clasică a probabilităţii .  Formula de adunare a  probabilităţilor evenimentelor incompatibile două câte două  este

 P (

n i 1

 Ai ) 



n

 P ( Ai ) ,

(8.1.2)

i 1

iar formula de adunare a probabilităţilor în cazul general  este  P (



n

 Ai ) 

i 1



 P ( A   A i

n

 P ( Ai ) 

i 1

 j

 P ( A  A )  …+ i

 j

1 i   j  n

  Ak  )  ...  (1)

n 1

 P (

1i   j  k  n

n i 1

Ai )

(8.1.3)

2) Probabilităţi condiţionate. Formule de înmulţire a probabilităţilor. Se numeşte probabilitate a evenimentului  A condiţionată de evenimentului  B mărimea notată cu  P ( A}B) definită prin egalitatea  P ( B |  A) 

 P ( A   B)  P ( A)

.

(8.1.5)

Din (8.1.5) rezultă  formula de înmulţire a probabilităţilor a două evenimente aleatoare

.  În cazul general formula de înmulţire a probabilităţilor  are forma  P ( A   A  ...   A ) =  P ( A  B)   P ( A) P ( B | A)

1

2

n

(8.1.6) (8.1.7)

 P ( A1 ) P ( A2 |  A1 ) P ( A3 |  A1   A2 )... P ( An |  A1  ...  An1 )

În cazul când fiecare din evenimentele aleatoare  A1,  A2, ...,  An  este

independent de celelalte şi de orice intersecţie a lor, atunci formula de înmulţire a probabilităţilor lor este

=  P ( A ) P ( A ) P ( A )... P ( A ) . (8.1.8) 3) Formula probabilităţii totale. Formula lui Bayes.  Fie  un spaţiu de evenimente elementare,  H 1, H 2, ..., H n este un sistem complet de evenimente şi A este un eveniment aleator. Atunci are loc  formula probabilităţii totale  P ( A1   A2  ...   An )

1

2

3

n

 P ( A)   P ( H 1 ) P ( A | H 1 )  ...   P ( H n ) P ( A | H n )

(8.1.9)

şi formula lui Bayes  P ( H  j |  A) 

 P ( H  j ) P ( A |  H  j )  P ( H 1 ) P ( A |  H 1 )  ...   P ( H n ) P ( A | H n ) .

(8.1.10)

4) Experienţe independente . Experienţele aleatoare  E 1,  E 2,...,  E n se numesc independente  în raport cu evenimentul aleator  A, dacă acest

eveniment poate să se realizeze sau nu în fiecare din aceste experienţe şi  probabilitatea realizării lui în careva experienţă nu depinde de faptul dacă el s-a realizat sau nu în celelalte experienţe. Experienţele independente por tratate ca o experienţă care se repetă de n ori.

5) Schema binomială (schema Bernoulli sau schema cu revenire a urnei cu bile de două culori). Formula Bernoulli . Fie că în fiecare din n experienţe independente E 1, E 2,..., E n evenimentul A poate să se realizeze cu  probabilitatea  p:  p = P ( A). Atunci probabilitatea ca evenimentul  A să nu se  producă este q =  P (  A ) = 1 P ( A) = 1 p. Notăm această probabilitate cu  P n(k ) probabilitatea ca evenimentul  A să se realizeze de k   ori în decursul al acestor n experienţe. Se demonstrează că această probabilitate poate fi

calculată conform formulei Bernoulli:

 Pn ( k ) 

k Cn

k

p q

n k  

, k = 0, 1,..., n.

(8.1.11)

Schema cu revenire a urnei înseamnă că bilele se scot din urnă câte una şi fiecare bilă scoasă, după observarea culorii ei se întoarce din nou în urnă. 6) Schema polinomială (schema cu revenire a urnei, care conţine bile de mai multe culori) . Fie că în rezultatul fiecărui din n experienţe independente  E 1,  E 2, ...,  E n  pot să se realizeze evenimentele aleatoare  A1,  A2, ...,  Ar , care formează un sistem complet de evenimente. Notăm:  pi =  P ( Ai), i = 1, 2, ..., r . Evident că  p1 +  p2 + ... +  pr = 1. Probabilitatea  P n(k 1,k 2,...,k r ) ca în decursul a acestor n experienţe independente evenimentul  Ai să se realizeze de k i ori i = 1, 2, ..., r , n = k 1 + k 2 + ... + k r, 

 poate fi calculată conform formulei

n!

 P n(k 1,k 2,...,k r)  = k ! k !...k  ! 1 2 r 

 p1k1 p2k 2 ... pr k r 

.

(8.1.12)

Evident, că pentru r = 2 din formula (8.1.12) rezultă (8.1.11). 7) Schema Poisson. Funcţia generatoare de probabilităţi . Fie că în experienţele independente E 1, E 2, ..., E n evenimentul A poate să se realizeze, respectiv, cu probabilităţile  p1 , p2, ...,  pn. Atunci probabilitatea  P n(k ) ca în decursul acestor n experienţe independente evenimentul  A să se realizeze de k  k ori, k = 1, 2, ..., n, este egală cu coeficientul lui  x  din expresia

n

n( x)=  (qi   pi x) ,

(8.1.13)

i 1

unde qi = 1 pi.

Funcţia

n( x)

definită prin egalitatea (8.1.13) se numeşte  funcţie

 generatoare de probabilităţi.

Schema Bernoulli este caz particular din schema Poisson şi anume cazul când  p1 =  p2 = ... =  pn =  p. În acest caz funcţia generatoare de  probabilităţi are forma n( x) = (q+ px)n. 

(8.1.14) 8) Schema fără revenire a urnei cu bile de două culori . Fie că într -o urnă sunt n bile dintre care n1 sunt albe şi n2 sunt negre. Se extrag la întâmplare m  bile fără a întoarce bila extrasă în urnă. Atunci probabilitatea  P m(m1,m2) ca printre m bile extrase m1 să fie albe şi m2 se calculează conform formulei

 P m (m1 , m2 ) 

m1 m2 C n C n 1 2

.

C nm

(8.1.15)

9) Schema fără revenire a urnei cu bile de mai multe culori Fie că într -o urnă sunt n bile din care ni sunt de culoarea i, i = 1, 2, ..., r , n = n1 + n2 + ... + nr , se extrag succesiv fără revenire m bile, m  n. Atunci  probabilitatea  P m (m1 , m2 ,..., mr  )  ca printre bilele extrase mi să fie de culoarea i, i = 1, 2, ..., r , m = m1 + m2 + ... + mr , se calculează conform formulei

 P m (m1 , m2 ,..., mr  ) 

m

m

m

1

2

r 

C n 1 C n 2 ...C n r  C nm

.

(8.1.16)

Fie că evenimentul aleator  A  poate să se realizeze în fiecare din experienţele independente  E 1,  E 2, … cu  probabilitatea  p. Atunci probabilitatea  P (k ) ca el să se realizeze prima dată în experienţa E k  se calculează conform formulei 10) Schema Pascal (geometrică).

 P (k ) = pqk 1, 

(8.1.17)

unde q = 1 p. 11) Calculul valorilor aproximative ale probabilităţii din schema Bernoulli. Pentru n şi m relativ mari calculul probabilităţii conform

formulei Bernoulli prezintă mari dificultăţi, dacă nu se aplică Sistemul Mathematica. În acest caz se folosesc formule de calcul al unor valori

aproximative ale acestei probabilităţi. Una din acestei formule rezultă din teorema locală Moivre -Laplace şi are forma

 P n (k ) 



1 2npq

e

  1    k  np 

2

2   npq  

,

(8.1.18)

unde 0  p  1,  P n(k ) este probabilitatea ca evenimentul aleator  A cu  P ( A) =  p, q = 1  p, să se realizeze de k   ori în decursul a n experienţe independente, n fiind destul de mare. În cazul când probabilitatea  p este aproape de 0 sau de 1, atunci o mai

 bună aproximaţie în raport cu formula (8.1.18) este obţinută prin formula  P n (k ) 

a k  k !

e a ,  

(8.1.19)

unde a = np şi n este destul de mare, iar p este aproape de zero. Această

formulă rezultă din teorema Poisson. Se recomandă ca această formula să fie aplicată atunci, când npq  9, iar în celelelte cazuri –  formula (8.1.18). O valoare aproximativă a probabilităţii  P n(k 1  k  k 2) ca în decursul a n experienţe independente numărul k  de realizări ale evenimentului aleator  A să fie cuprins între k 1 şi k 2 poate fi calculată conform formulei  k 2  np   k 1  np       P n (k 1  k   k 2 )    npq   npq  ,         unde ( x) este funcţia Laplace care se defineşte prin egalitatea

( x) 

1

(8.1.20)

 x

e  2 0

t 2 / 2

dt  .

(8.1.21)

Formula (8.1.20) rezultă di teorema integrală Moivre-Laplace. Având la dispoziţie Sistemul Mathematica, nu este necesară  aplicarea formulelor (8.1.18)  – (8.1.21), dar putem cerceta şi compara erorile care se obţin la aplicarea lor.

 Exerciţii  pentr u lucrul i ndividual 8.1.1 Se

aruncă un zar de două ori. Să se calculeze probabilităţile

evenimentelor aleatoare: 1) A = {suma numerelor apărute nu întrece 7 }, 2) B = {suma numerelor apărute este egală cu 5}, 3) C = { produsul numerelor apărute este mai mare ca 14}. Rezolvare. Spaţiul evenimentelor elementare  = (i, j): 1  i, j  6. Favorabile pentru evenimentul  A  sunt evenimentele elementare  A =  (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1) . Cum card  A  = 21 şi card   = 36, avem

 P ( A) 

card   A

card   card A = m; card Ω = n  

P(A)= ;

n=36; m=21; P(A)=21/36 In[1] :=N[21/36] Out[1] = 583333 Favorabile pentru evenimentul B sunt evenimentele elementare  B = (1,4),(2,3),(3,2),(4,1). Cum card  B = 4 şi card  = 36, avem

 P ( A) 

card  B

card   card B = m1; card Ω = n P(B)=

 ;

n=36; m1=4;

P(B)=4/36 In[2] :=N[4/36] Out[2] =0.111111 Favorabile pentru evenimentul C sunt evenimentele elementare C =(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Cum card C  = 13 şi card  = 36, avem

 P ( A) 

card  C 

card   card C = m2; card Ω = n P(C)=

 ;

n=36; m2=13; P(C)=13/36 In[3] :=N[13/36] Out[3] =0.361111 8.1.2. Într-un lot care conţine 119

 piese de acelaşi tip sunt 8 piese cu careva defect. Se extrag fără revenire 6 piese. Dacă   toate piesele extrase sunt calitative, atunci lotul este acceptat, iar în caz contrar este refuzat. Să se calculeze probabilitatea evenimentului A = {lotul este acceptat}. Rezolvare:

 Notăm: Ai = {piesa cu numărul de extragere i este calitativă}, i  = 1, 2, 3, 4, 5,6. Are loc egalitatea A=A1+A2+A3+A4+A5+A6 Deci:

P(A)=P(A1) * P(A2│ A1) * P(A3│ A1+A2) * P(A4│ A1+A2+A3) * P(A5│ A1+A2+A3+A4)* P(A6│ A1+A2+A3+A4+A5) In[4] :=N[

                

Out[4] =0.441514 8.1.3. Un

aparat constă din trei elemente care în timpul funcţionării lui pot să

se deterioreze independent unul de altul.

 Notăm: Ai = {elementul i se deteriorează}, i = 1, 2, 3. Se cunosc  probabilităţile acestor evenimente: p1 = 0.6, p2 = 0.7, p3 = 0.5 . Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A = {nu se deteriorează nici un element}, B = {se deteriorează un singur element}, C = {se deteriorează două elemente}, D = {se deteriorează toate elementele}, E = {primul element nu se deteri orează}. Rezolvare. : p1 =P(A1) =0.6,

 p2 =P(A2)= 0.7,  p3 =P(A3)= 0.5. Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele A1, A2 şi A3.

̅   ̅   ̅ ) ( ) = ( Calculăm probabilitatea evenimentului  B  folosind succesiv: formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului. In[5]:= N[(1-0.6)*(1-0.7)*(1-0.5)] Out[5]=0.06

Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele  A1, A 2 şi  A3. Se

va deteriora numai un singur element când primul element se deteriorează şi al doilea  – nu şi al treilea – nu, sau al doilea se deteriorează şi primul - nu şi al treilea  – nu, sau al treilea se deteriorează şi primul –  nu şi al doilea –  nu. Conform definiţiilor reuniunii şi a intersecţiei evenimentelor aleatoare, avem:

̅   ̅ ) + (̅  ̅ ) +( ̅   ̅ ) () = ( .

Calculăm probabilitatea evenimentului  B  folosind succesiv: formula de adunare a probabilităţilor evenimentelor incompatibile, formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului.

In[6] :=

N[0.6*(1-0.7)*(1-0.5)+(1-0.6)*0.7*(1-0.5)+(1-0.6)* (1-0.7)*0.5] Out[6] =0.29 Vom exprima evenimentul aleator C prin evenimentele  A1, A2 şi A3.

̅ ) + ( ̅   ̅ ) +( ̅   ̅ ) () = (̅  Calculăm probabilitatea evenimentului C   folosind succesiv: formula de adunare a probabilităţilor evenimentelor incompatibile, formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului. In[7] :=

N[0.6*0.7*(1-0.5)+(1-0.6)*0.7*0.5+0.6*(1-0.7)*0.5]

Out[7] =0.44

Vom exprima evenimentul aleator D prin evenimentele A1, A2 şi A3.

() = (     ) Calculăm probabilitatea evenimentului  D  folosind succesiv: formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente . In[8] := N[0.6*0.7*0.5]

Out[8] =0.21

Vom exprima evenimentul aleator E prin evenimentele A1, A2 şi A3.

̅ ) () = (  Calculăm probabilitatea evenimentului E folosind succesiv: formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului. In[9] :=N[(1-0.6)*0.7*0.5] Out[9] =0.14

Un magazin primeşte pentru vânzare articole cu exterioare identice fabricate la trei uzine în proporţie de: 40% de la uzina nr.1, 40% de la uzina nr.2 şi 20% de la uzina nr.3. Procentele de articole defectate sunt: 5% pentru uzina nr.1, 3% pentru uzina nr.2 şi 2% pentru uzina nr.3.. 1) Care este probabilitatea ca un articol cumpărat să fie calitativ? 2) Un articol luat la întâmplare este defectat. Care este probabilitatea că 8.1.4.

acest articol a fost fabricat la uzina nr.1. Rezolvare.

1.  Notăm: A = {piesa luată la întâmplare este calitativă}. În raport cu

faptul care uzină a fabricat piesa luată pot fi enunţate ipotezele: Hi = {piesa luată a fost fabricată de uzina nr.i}, i = 1, 2, 3. Din condiţiile exemplului rezultă că uzina nr.1 a fab ricat 40% din piese din cele existente la depozit, uzina nr.2  –  40% şi uzina nr.3 –   20% din piesele totale. Aplicând definiţia clasică a probabilităţii, avem: P(H1) =0.4, P(H2) =0.4, şi P(H3) = 0.2 . Cum ni% din piesele fabricate de uzina i sunt rebut, rezultă că (1−ni)% din  piese sunt calitative. Deci P(A│H1)= 0,95 , P(A│H2)= 0,97 şi P(A│H3) = 0,98. Aplicând formula probabilităţii totale avem:

In[10] :=N[(0.4*0.95)(0.4*0.97)+(0.2*0.98)] Out[10] =0.34344

Conform notaţiei din punctul 1 avem  A  =  piesa luată la întâmplare este rebut.

P(A│H1)= 0.5 , P(A│H2)= 0,3 , P(A│H3) = 0,2 





In[11]:= N[(0.2*0.2)/((0.4*0.5)+(0.4*0.3)+(0.2*0.2))] Out[11]=

111111

O monedă se aruncă de 44 ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A = {valoarea a apărut de 29 ori}, B = {stema a apărut nu mai mult de 2 ori}, C = {stema nu a apărut nici o dată}. 8.1.5.

Rezolvare. Fie evenimentul D = apariţia valorii. Avem: p = P (D) = 1/2 şi q = 1 p = 1/2. Formula Bernoulli

 Pn ( k )  Cnk p k q n  k ,  k = 0, 1,..., n.

 pentru n = 44, k = 29, p =1/2 şi q = 1/2, este

 () () () = () =  In[12] :=

 ,()() (5)(5)-

Out[12]  =0.013069

B = { stema a aparut nu mai mult de 2 ori }

P

P(B) =

44

 (1) =  5 5  5  (2) =  5  5 5 P(B) = 5 5 +  In[13]:=

   +    , 

Out[13]=

562751

     P(C)=  . /  . /     5 5 In[14] := , ()

1

Out[14] =2.84217*

8.1.6

Probabilitatea ca un aparat electric să se defecteze in perioada de

garanţie este p=0,12. Să se calculeze probabilitatea ca din 1000 aparate cumpărate, in perioada de garanţie, să  se defecteze 119 aparate. Rezolvare:

Avem: p=0.12; n=1000; m=119; q=0.88 Conform teoremei locale Moivre-Laplace avem 





  







In[17]:= N [ Out[17]=

1 2*  *1000*0.12*0.88

 Exp[ 12 (

1191000*0.12 2 1000*0.12*0.88

) ]]

386386

Intr-o urnă sunt 18 bile de trei culori: 6 bile albe, 8 bile negre şi 4  bile albastre. Se extrag succesiv cu revenire 9 bile. Să se calculeze 8.1.7.

 probabilităţile evenimentelor:

A = {toate bilele sunt albe}, B = {4 bile sunt albe, 3 sunt negre şi 2 sunt albastre}, C  = 4 bile sunt albe iar restul sunt de alte culori . Rezolvare.

1) Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele  A1, A2 şi  A3.Fie evenimentele:  A1 =  bila extrasă este albă,  A2 =  bila extrasă este neagră  şi A3 =  bila extrasă este albastră. Atunci: p1 = P ( A1) = 6/18 ,  p2 = P ( A2) = 8/18,  p3 = P ( A3) = 4/18 Aplicând formula (8.1.12) cu n = 9, k 1 = 9, k 2 = 0, şi k 3 = 0, obţinem

       P  9(9,0,0) =   ./  ./  ./   .  /  .  /  .  / P(A)=           In[18] :=   ./  ./  ./  Out[18] = 

2)Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele  A1, A2 şi  A3.Fie evenimentele:  A1 =  bila extrasă este albă,  A2 =  bila extrasă este neagră  şi A3 =  bila extrasă este albastră. Atunci: p1 = P ( A1) = 6/18 ,  p2 = P ( A2) = 8/18,

 p3 = P ( A3) = 4/18

Aplicând formula (8.1.12) cu n = 9, k 1 = 4, k 2 = 3, şi k 3 = 2, obţinem

       P  9(4,3,2) =   ./  ./  ./

       P(B)=   ./  ./  ./

       In[19] :=   ./  ./  ./ Out[19] =

 

3)Aplicind formula (8.1.12) cu n=9, k1=4, k2=5, obtinem

     P  9(4,5) =   ./  ./

     P(B)=   ./  ./

     In[19] :=   ./  ./ Out[19] =

 

Să se calculeze probabilităţile evenimentelor  A,  B şi C  din exerciţiul 8.1.7 cu condiţia că bilele extrasă nu revine în urnă. 8.1.8.

Rezolvare :

P(A)=0 ; Imposibil de extras 9 bile albe dintr-o urnă în care sunt doar 6  bile albe.

       () = (432) =    

In 20

,

Out 20

         

-

=0.103661

     () = (4) =     In 21

:=

Out 21

,

      

-

= 0.244344

1) Care este probabilitatea că numărul 3 va apărea pentru prima dată la a 23-a aruncare a zarului? 2) Care este pr obabilitatea că la primele 23 aruncări ale zarului numărul 3 nu va apărea? 8.1.9.

Rezolvare :

Fie că evenimentul aleator  A  poate să se realizeze în fiecare din experienţele independente  E 1,  E 2, … cu  probabilitatea  p. Atunci probabilitatea  P (k ) ca el să se realizeze prima dată în experienţa E k  se calculează conform formulei: Schema Pascal (geometrică).

() =    

 = 1 

1 1 5   = 6   = 1  6 = 6    1) ( ) =   ./    In[22]:=N[  . / ]  

Out[22]=0.00301899

2) B = { la primele 23 de aruncari ale zarului numarul 3 nu va aparea } Evenimentul B poate fi definit si altfel: B = { numarul 3 va aparea pentru prima data la aruncarea a 24,25,26,27 ……∞ }.

 )+…= P(B) = P(24)+P(25)+P(26)+P(27 k 24 (1/6) *(5/6)k 1    24In[23] :=  ,  . /   Out[23] = In[24]

  

:=N[]

Out[24]=0.0150949

Probabilitatea unui eveniment A intr- o experienţă aleatoar e este p:  p = 0,011. 1) Să se calculeze probabilitatea ca in decursul a 1000 repetări a acestei experienţe evenimentul A se va realiza de 10 ori (să se folosească formula care rezultă din teorema locală Moivre -Laplace şi formula care 8.1.10.

rezultă din teorema Poisson). 2) B = Să se calculeze probabilitatea ca numărul de realizări ale evenimentului A să fie cuprins intre 6 şi 17. Avem: n=1000; p=0.011; q=0.989; k=10; k1 = 6 ; k2 = 17;

1)  Din teorema locală Moivre -Laplace  avem  P n (k )   P 1000 (10) 

1 2npq



e

  1    k  np  2  

 npq  

2

,

1 2   *1000 * 0.011* 0.989

1  

e

101000*0.011  

   2   1000*0.011*0.989  

2

In[25] :=  N [

2

1   10  1000* 0.011    Exp[   ]] 2   1000 * 0.011* 0.989  2   *1000 * 0.011* 0.989 1

Out[25] = 0.11552

Din formula care rezultă din teorema Poisson

 P n (k ) 

a

k 

k !

e

a

,

Unde a = n*p ;

 P 1000 (10 )  In[26] := N [

(1000 * 0.011)10 10!

(1000 * 0.011 )10 10!

e

 (1000*0.011)

,

* Exp[(1000 * 0.011 )]]

Out[26] = 0.119378

P(A)=0.119378 2)

 k 2  np   k 1  np       P n (k 1  k   k 2 )    npq   npq  ,         unde ( x) este funcţia Laplace care se defineşte prin egalitatea

( x) 

1

 x

e  2 0

Obtinem:

t 2 / 2

dt 

.

17 1000*0.011 1000*0.011*0.989

 P  1000 (6

 10  17) 

1 2  



e

t 2 / 2

dt 

6 1000*0.011 1000*0.011*0.989

In[27] :=Nintegrate

[

1 2  

 Exp[t 2 / 2],{t ,

6 1000*0.011 1000*0.011*0.989

,

17 1000*0.011 1000*0.011*0.989

}]

Out[27] = 0.900782

P(B) = 0.900782 Concluzie :

La această lucrare de laborator am invatat să calculez rezultate la probleme

de calcul al probabilităţii . Am realizat ca sistemul de programe Mathematica 5.1 permite: calculul valorii exacte, calculul unei valori

aproximative cu şapte cifre semnificative şi calculul unei valori aproximative cu un număr dorit de cifre semnificative. Bibliografie :

Am folosit fisierul propus de lectorul asistent și am utilizat c unostintele acumulate la seminarele de Teoria Probabilitatilor si Informatiei.