Teoría primal dual

1. TEORÍA PRIMAL DUAL TEORIA DE LA DUALIDAD Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad. Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canoníca de la siguiente forma: Maximizar Sujeto a:

Generalidades de la teoría Dual  El teorema de la Dualidad establece que existe un equilibrio entre el conjunto de actividades y el conjunto de precios, en donde el costo de producción Mínimo es igual a la Ganancia Máxima. (Ley de Oferta y Demanda)  Algunas Propiedades Propiedades 1. Propiedad de dualidad débil. Cualquier solución factible en el primal tiene un valor menor o igual que cualquier solución factible en el dual. 2. Propiedad de dualidad fuerte. En el óptimo ambas soluciones son iguales.

3. Propiedad de simetría Para cualquier problema, el dual del dual es el primal. Utilidad de la teoría Dual  1. Si el problema de PL tienen n variables y m restricciones, su problema dual tiene m variables y n restricciones. A veces es más fácil resolver un problema que otro.

2. Según la propiedad de dualidad débil, puede usarse cualquier solución factible del problema dual para acotar el problema primal (o viceversa). Características a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal. b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal. c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal. d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del Problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de minimización. h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original. ¿Por qué se plantea un problema de forma dual?  Por una parte permite resolver problemas lineales donde el número de restricciones es mayor que el número de variables. Gracias a los teoremas que plantea la solución de unos de los problemas (primal o dual) nos proporciona de forma automática la solución del otro problema. ¿Que significado tiene su solución?  La dualidad permite realizar importantes interpretaciones económicas de los problemas de programación lineal. ¿La solución del dual se puede obtener desde el primal?  La dualidad permite generar métodos como el método dual del simplex de gran importancia en el análisis de postoptimización y en la programación lineal paramétrica.

2. FORMULACION DEL PROBLEMA DUAL El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: 1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en e l otro. 2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar. 4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de minimización tiene restricciones que. 5. Las variables en ambos casos son no negativas. Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son:

1. Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de maximizar de la siguiente forma:

2. Una restricción mayor o igual que se transforma en una restricción menor o igual que de la siguiente manera:

3. Una restricción de igualdad se transforma en 2 inecuaciones:

Ejercicio Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2). La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2. El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla.

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso. Objetivo: Maximizar el ingreso total Restricciones: horas mensuales de las operaciones Variables de decisión: número de máquinas de escribir a producir X1 = número de máquinas de escribir manuales X2 = número de máquinas de escribir eléctricas

3. RELACIÓN PRIMAL-DUAL Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado  problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se denomina entonces como  problema primal (PP) . Las relaciones las podemos enumerar como siguen: a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal . b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal  c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal .

d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual  son los coeficientes de la función objetivo del problema  primal . e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual  es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal . f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema  primal  y del sentido de las restricciones del mismo problema. g) Si el programa  primal  es un problema de maximización, el programa dual es un problema de minimización. h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.

4. DUAL-SIMPLEX Resulta ser una estrategia algorítmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede requerir la utilización del método simplex de 2 fases. Una aplicación típica del método simplex dual es en la resolución de problemas con una función objetivo de minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o iguales a cero. Ejemplo: Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:

Paso 1: Se lleva el modelo a su forma estándar. En nuestro ejemplo esto se logra agregando variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se obtiene la siguiente tabla inicial. A

B

C

S1

S2

S3

-15

-2

-1

1

0

0

-200

-7,5

-3

-1

0

1

0

-150

-5

-2

-1

0

0

1

-120

315

110

50

0

0

0

0

Paso 2: Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál de las actuales variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar cual de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {-Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica en la fija i (del lado derecho más negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica. De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/-

2, -50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cociente, por tanto A entra a la base. Paso 3: Se actualiza la tabla anterior siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica. La tabla que resulta es la siguiente: A

B

C

S1

S2

S3

1

2/15

1/15

1/15

0

0

40/3

0

-2

-1/2

-1/2

1

0

-50

0

-4/3

-2/3

-1/3

0

1

160/3

0

68

29

21

0

0

-4.200

Paso 4: Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta disponer de una solución básica factible. Luego de unas iteraciones se obtiene la siguiente tabla final: A

B

C

S1

S2

S3

1

0

0

1/10

0

1/10

8

0

1

0

1/4

-1

3/4

10

0

0

1

0

2

-3

60

0

0

0

4

10

36

6.620

La solución óptima es A=8, B=10, C=60 (marcado en verde) con valor óptimo V (P)=6.620 (marcado en rojo - se obtiene con signo cambiado). También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y S3 (marcado en amarillo), corresponde a la solución óptima del modelo presentado en el tutorial de solver, esto dado que dicho modelo resulta ser el problema dual de nuestro ejemplo.

5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD En todo proyecto se trabaja con algunos factores sobre los que se tiene poder de decisión (variables controlables), y otros sobre los que sólo se pueden realizar estimaciones (variables no controlables). De acuerdo a lo anterior podemos definir al análisis de sensibilidad como el proceso de medición de variables que afectan el desarrollo del proyecto de inversión. Algunas de las variables controlables incorporadas al plan son: • Precio • Producto • Logística

• Promoción Las principales variables no controlables en un proyecto son: • Competencia • Consumidores • Entorno económico, político, legal, etcétera. El flujo de fondos refleja, en consecuencia, una cantidad de supuestos sobre el comportamiento de las variables. El análisis de sensibilidad es una técnica que permite evaluar el impacto de las modificaciones de los valores de las variables más importantes sobre los beneficios y, consecuentemente, sobre la tasa de retorno. Un análisis de sensibilidad tiene como finalidad evaluar el impacto que los datos de entrada o de las restricciones especificadas a un modelo definido, tienen en el resultado final o en las variables de salida del modelo (Turban, 2001), esto es sumamente valioso en el proceso de diseño de productos o servicios y en su análisis de viabilidad financiera. Este método de evaluación combinado con las tecnologías de información forma una herramienta muy poderosa para los tomadores de decisiones. Cuando se evalúa un proyecto de inversión, es complicado tratar de determinar que puede ocurrir en el futuro, y cómo se van a comportar las distintas variables que forman parte de éste. De lo anterior, surge la necesidad de construir diferentes escenarios (situaciones), que pudieran presentarse durante la ejecución del proyecto. Estos escenarios o situaciones se relacionan con aspectos económicos, políticos, sociales, ambientales, legales que afectan de manera directa la evolución del proyecto y que lo ponen en riesgo. Una forma de visualizar el comportamiento de estos escenarios, es a través de ejercicios de simulación apoyados por hardware y software especializado, que nos permite ver el comportamiento de las variables en un momento y lugar determinado. Por supuesto, lo anterior no quiere decir que el problema se solucionará de forma automática si éste llega a suceder. Estas herramientas nos permiten tener una visión más cercana de lo que pudiera ocurrir, para tratar de implementar algunas soluciones establecidas con anterioridad, recordemos que estamos hablando de variables y sobre algunas de ellas no tenemos control.