Teoria Elementar Das Probabilidades PDF

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga  

2.

TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES

2.1

INTRODUÇAO

Em muitas experiências, há sempre incerteza quanto a ocorrência e tipo de resultado de um determinado fenómeno observado, mediante a realização de experiências. A fim de obter uma  – se medida (chance) ou probabilidade, se esperar e o grau resultadodedecerteza um evento atribui-se um númerocom entreque 0 apode 1 ou no intervaloa ocorrência entre 0 a 100%. Se de se tem a certeza de que o evento ocorrerá, diz  – se se que sua probabilidade de ocorrência é igual a 100% (ou 1), se não, então diz  –  se que a probabilidade de ocorrência é igual a zero “0”.  

Realizando várias experiências sob condições idênticas, deveria esperar  – se se resultados que fossem essencialmente os mesmos. No entanto, os fenómenos observados na vida real são fenómenos cujos resultados, mesmo em condições normais e idênticas de experimentação variam de uma observação para outra, dificultando desta maneira a previsão de um resultado futuro. Experiências ou fenómenos em que os resultados não são essencialmente os mesmos ainda que as condições de sua realização se mantenham praticamente as mesmas, nos quais os resultados dependem inteiramente do acaso, são chamados experimentos aleatórios. É sobre este grupo de fenómenos que incide o estudo da teoria das probabilidades. Um espaço amostral S de um experimento aleatório A é o conjunto de todos os resultados  possíveis desse experimento.    x1 ,  x2 ,  x 3  , ....,  xn }   S  

Um subespaço amostral W de S é qualquer subconjunto do espaço amostral, incluindo o conjunto vazio.    k }   com W    x1 ,  x2 ,  x com k  n     3 , ....,  x

Diz-se que um acontecimento A (ou evento E) ocorreu na realização de uma experiência aleatória se A é um elemento do subespaço W, isto é, um conjunto de resultados favoráveis do espaço amostral S   A   W     S    Exemplo 2.1 Lançando

um dado com todas as faces numeradas. Observando o número da face

que aparece em cima. a)  Qual será o espaço amostral desse experimento?  b)  Escreva o subespaço amostral constituído por todos os números pares. Resolução

a)  Espaço amostral S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}  b)  O subespaço amostral constituído por números pares é: W = {2, 4, 6} 32

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   Exemplo 2.2  No

lançamento de uma moeda 3 vezes e observando a sequência de cara (K) e coroa (C) que aparecem na face de cima. a)  Qual será o espaço amostral desse experimento?  b)  Escreva o subespaço constituído pela ocorrência de duas ou mais caras. Resolução

a)  O espaço amostral consiste em 8 elementos. Para encontrar este número usemos o diagrama de árvore que nos dará o número das possibilidades em três lançamentos da moeda K

KKK

C

KKC

K

KCK

C

KCC

K

CKK

C

CKC

K

CCK

C

CCC

K

K C

C

K

C

1º Lançamento

|

2º lançamento

|

 

3º lançamento

Figura 2.1. Determinação do número de elementos no espaço amostral (teorema de contagem)

O espaço amostral será: S = {kkk, kkc, kck, kcc, ckk, ckc, cck, ccc}  b)  O subespaço com duas ou mais caras é : W = {kkk, kkc, kck, ckk} Exemplo 2.3. Considere o lançamento de uma moeda e de um dado.

a)  Escreva o espaço amostral dessa experiência.  b)  Escreva o subespaço de S que consiste em sair uma cara e um número par. Resolução

a)  O espaço amostral desta experiência tem 2*6 = 12 possibilidades S = {k1, k2, k3, k4, k5, k6, c1, c2, c3, c4, c5, c6}  b)  O subespaço W de S será W = {k2, k4, k6}

33

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga  

2.2

ACONTECIMENTOS E TIPOS DE ACONTECIMENTOS

Todos os acontecimentos que ocorrem quando se realiza uma experiência podem ser divididos em três tipos fundamentais. a)  Acontecimentos certos  –   são aqueles que sempre se verificam quando se realiza uma experiência. Exemplo 2.4. São acontecimentos certo, os seguintes:

   No lançamento de uma moeda, “ sair cara ou coroa”.      No lançamento de um dado, “ sair um número natural inferior a 7”. 

 

 b)  Acontecimentos impossíveis  –  são   são aqueles que nunca se verificam quando se realiza uma experiência.  Exemplo 2.5. São acontecimentos impossíveis os seguintes:

   No lançamento de uma moeda “ sair cara e coroa”.      No lançamento de um dado, “sair um número par maior que 6”.  

 

c)  Acontecimentos aleatórios  - são aqueles em que sua realização depende do acaso, isto é, acontecimentos nos quais seu resultado é difícil de se prever. Exemplo 2.6. São acontecimentos aleatórios os seguintes:

  um prémio com os   Tendo comprado 3 bilhetes de lotaria entre os 15000 emitidos, “ganhar  um



três bilhetes comprados”.  

  Dada uma senhora e sabendo que no primeiro nascimento ela teve um menino, “ter um



menino no segundo nascimento”. 

Os acontecimentos aleatórios por sua vez, podem ser:   Independentes –  se  se a ocorrência de um deles não depende do outro.   Dependentes –  se  se a ocorrência de um deles, condiciona a ocorrência do outro.   Incompatíveis ou mutuamente exclusivos  –   se a ocorrência de um deles, exclui a  possibilidade da ocorrência do outro. são aqueles formados por um único resultado (elemento) da experiência.   Elementares –   são  são formados por mais de um resultado da experiência.    Não elementares –  são 

 





Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o universo amostral associado ao lançamento de um dado. Considere os seguintes subespaços de S e indique o tipo de acontecimento aleatório. Exemplo 2.7.

 –  sair W1 = = {2, {1, 4, 3, 6} 5} –  W2   sair  sair sair uma uma face face com com número número impar. par.

34

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   W3 = { 3,6 } - sair uma face com múltiplo de 3 W4 = {4} - sair uma face com um número múltiplo de 4 W5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - sair uma face com um número inferior a sete. W6 =     - sair uma face com um número superior a sete. Resolução

- Todos os subespaços de S são acontecimentos - W4 é acontecimento elementar. - W1, W2, W3, W5 são acontecimentos não elementares. - W5 é acontecimento certo, W5 = S. - W6 é acontecimento impossível.

2.3

PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO

A teoria das probabilidades surgiu com a constante necessidade de resolver problemas levantados nos jogos de azar. Ela estuda as leis de ocorrência de acontecimentos aleatórios,  procurando prever como estes acontecimentos vão ocorrer e possivelmente o tipo de resultado. Actualmente é uma ferramenta para argumentação nas situações de tomada de decisão, servindo de uma ponte entre a estatística descritiva e inferencial, bem como para todas disciplinas ligadas a ela.

Definição frequencísta de probabilidade Geralmente não é possível prever o resultado de uma experiência aleatória, no entanto, pode  – ssee estudar o que acontece quando a experiência é repetida muitas vezes. Consideremos a seguinte tabela relativa ao lançamento de uma moeda.  Número de lançamentos

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Frequência absoluta de cara

14

12

25

19

30

39

48

42

49

Frequência relativa de cara

0.70

0.40

0.62

0.38

0.50

0.55

0.60

0.47

0.49

Pode –  se  se observar que a medida que aumenta o número de lançamentos, a frequência relativa do acontecimento “sair uma face cara”, estabiliza – se se a volta do valor 0.5. Se fizermos um gráfico obteremos um conjunto de pontos que tendem para o limite 0.5.

35

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   Conceito de Probabilidade     7  .

    6  .

    5  .

    4  .

20

40

60

80

100

Numero de lançamentos

 

Figura 2.2. Ilustração do conceito de probabilidade para uma moeda honesta

O número a volta do qual se estabiliza a frequência relativa de um acontecimento, quando o número de experiências cresce consideravelmente, chama-se probabilidade do acontecimento. Assim ao ar. 0.5 é a probabilidade de obtermos a face cara quando lançamos uma moeda não viciada

Definição clássica de probabilidade Para calcular a probabilidade de um acontecimento, pela definição anterior, teríamos que repetir cada experiência em um grande número de vezes Além disso, por esse procedimento nunca se obteria um valor exacto. Para evitar este inconveniente, Laplace (1749  –   1827) enunciou a seguinte definição de probabilidade. Definição.

Chama  –   se se  probabilida  probabilidade de de um acontecimento acontecimento A, ao quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento A e o número de casos possíveis ou elementares no espaço S.  P ( A) 

numero de casos   favorave   favoraveis is ao acontecime nto A m    ,  co com mm n  numero de casos  possive  possiveis is no espaco S  n

(2.1)

Exemplo 2.8. De

uma caixa contendo, 3 bolas vermelhas 2 brancas e 5 azuis, retira-se uma bola da caixa. Qual é a probabilidade da bola retirada ser: a)  Uma bola vermelha?  b)  Uma bola branca? c)  Uma bola azul? Resolução m1   3  Bolas vermelhas, m2    2  bolas brancas e m3   5 bolas azuis, n  m1   m2   m3  10  

36

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga     a)   P (V ) 

 b)   P ( B)   c)   P ( A)  

m1 n m2



n m3 n

 

3 10 2 10 5 10

 0.3    0.2    0.5  

Definição:  K

acontecimentos, m1 , m 2 ,. .., mk  formam um grupo completo, quando a soma das suas probabilidades é igual a unidade. Logo, pela definição os acontecimentos V, B e A formam um grupo completo, pois, a soma 0.3+0.2+0.5 = 1. Exemplo 2.9. 

No lançamento de um dado, calcular a probabilidade de ocorrência dos

acontecimentos. a)  Sair um número par.  b)  Sair um número impar. Resolução

Espaço amostral: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} m 3 a)   Número par: w1  {2, 4, 6}  m1    3,   P ( P )  1   0.5   n

 b)   Número impar: w2  {1, 3, 5}  m2    3,   P ( I ) 

6

m2 n



3 6

 0.5  

Definição:

K acontecimentos, m1 , m 2 ,. .., mk  ,são igualmente possíveis, se a probabilidade de ocorrência de cada um dos k acontecimentos que formam um grupo completo for a mesma. Portanto, os acontecimentos “sair um número par” e “ sair um número impar” no lançamento de um dado são acontecimentos igualmente possíveis. P(P) = P(I) = 0.5.

Propriedades das probabilidades Definição:

Seja S o espaço amostral de um fenómeno aleatório e A um acontecimento no espaço S e o número denotado por P(A) é associado A. Se P satisfaz as seguintes propriedades chama-se  probabilidade e o número P(A) diz-se diz- se probabilid  probabilidade ade de A.  Propriedade 1.

A probabilidade de qualquer acontecimento aleatório é maior ou igual a zero e menor ou igual a unidade. 0   P   ( A)  1  Propriedade 2. A probabilidade de um acontecimento certo é igual a unidade.  P (S  )  1   Propriedade 3. A probabilidade de um acontecimento impossível é igual a zero  P (  )  0   Propriedade 4. A probabilidade de um acontecimento contrário e igual a:  P ( A)   1   P ( A)  

37

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   Propriedade 5. A soma de dois acontecimentos complementares é:  P ( A)   P      ( B)  1   Exemplo 2.10.

Em uma urna há 30 bolas: 15 brancas, 10 vermelhas e 5 azuis. Tirando dessa urna bola ao acaso, achar a probabilidade de que, a)  A bola seja branca.  b)  A bola seja vermelha c)  A bola não seja branca. Resolução:

m1   15 bolas brancas, m2   10  bolas vermelhas e m3   5  bolas azuis, m1  m2    m3  30     a)   P ( B) 

 b)   P (V )  

m1 n m2 n



15



10

30 30

 0.5    0.3  

c)   P ( B)  1   P ( B   )  1  0.5  0.5  

2.4

OPERAÇÕES COM PROBABILIDADES PROBABILIDADES

A probabilidade da soma de dois acontecimentos A e B, é igual a soma das  probabilidades destes acontecimentos: Teorema de soma.

a)   P ( A  B)   P    ( A)   P ( B) , A e B são acontecimentos incompatíveis. (2.2)  b)   P ( A  B)   P ( A  )     P ( B)  P ( A  B) , A e B são acontecimentos compatíveis. (2.3) Exemplo 2.11.

De 100 estudantes, 30 estão estudando Matemática, 20 estão estudando Estatística e 10 estão estudando tanto Matemática como Estatística. Se um estudante é seleccionado ao acaso, achar a probabilidade P de que ele esteja estudando Matemática ou Estatística. Resolução n  10 100 0,   M   30   ,    E    20,   M   E   10    P ( M )  

30 100



3 10

,  P ( E )  

20 100



2 10

   E )   ,  P ( M 

 P ( M   E )   P ( M  )   P ( E    )   P    ( M   E ) 

3 10



2 10



10 100 1 10





1 10

2 5

 

 

Teorema do produto. A probabilidade da ocorrência simultânea de dois acontecimentos A e B é

igual ao produto das probabilidades destes acontecimentos. 38

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   a)   P ( A    B)   P    ( A) * P ( B) , A e B são acontecimentos independentes  b)   P ( A    B)   P  ( A) * P ( B | A) , A e B são acontecimentos dependentes

(2.4) (2.5)

Probabilidade condicional  Chama  – ssee probabilidade condicional de um acontecimento B, a probabilidade de ocorrência deste acontecimento depois de ter ocorrido o acontecimento A, e escreve  – se se P(B|A).    P ( A   B)

 P ( B |  A) 

 P ( A)

, A e B são acontecimentos dependentes

(2.6)

Exemplo 2.12. Suponhamos

que temos um conjunto de 5 estudantes matriculados pela primeira vez e 2 pela segunda vez numa certa disciplina. Na tentativa de encontrar estudantes repetentes, são perguntados um por um de forma aleatória e sem reposição. Qual é a probabilidade de encontrarmos os dois estudantes repetentes na primeira e segunda perguntas?. Resolução

Sejam A1 e A2 eventos que consistem no primeiro e segundo estudantes a serem perguntados e serem repetentes. 1 2  P ( A1 )   ,  P ( A2 |  A  1 )  , 6

7

2 1

1

7

21

  P ( A)   P ( A   1 ) * P ( A2 | A  1 )  *  6

 

Exemplo 2.13.  Numa

certa cidade 40% das pessoas têm cabelos castanhos, 25% têm olhos castanhos e 15% tanto cabelos como olhos são castanhos. Uma pessoa é seleccionada ao acaso na cidade. a)  Se esta pessoa possui cabelos castanhos, qual é a probabilidade de que também tenha olhos castanhos?  b)  Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de que esta pessoa não tenha cabelos castanhos? c)  Qual é a probabilidade de que a pessoa escolhida não tenha nem cabelos nem olhos castanhos. Resolução Dados:  P (CC    )  0.40,  P    )  0.25,  P (CC        OC )  0.15,     (OC   

a)   P (OC | CC ) 

 P (OC  CC )

 

 P (CC )  



0.15 0.40

3

   8

  P (CC  OC )  0.15 2   1     ( )  P  OC  0 . 25 5    

 b)   P (CC | OC )  1  P (CC | OC )  1   

c)   P (CC  OC )  1   P (CC  OC )    1   P (CC )   P (OC )  P (CC  OC )    1  (0.40  0 .25  0.15)  0.5   Corolário 1. A probabilidade de que ocorra apenas um dos n acontecimentos é:

39

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga    P ( A)   P ( A1 ) * P ( A2  ) * ... * P ( An )  ....   P ( A1 ) *   P ( A2 ) * ... * P ( An )   Corolário 2. A probabilidade de que ocorra pelo menos um

(2.7)

dos n acontecimentos independentes

é dada pela expressão.  P ( Ai )   1  P ( A1 ) *  P ( A2 )  * ... * P ( An )  

(2.8)

Exemplo 2.14. 

Três aparelhos de alarme funcionam independentemente um do outro. As  probabilidades de um bom funcionamento dos aparelhos são 0.9, 0.89 e 0.93 respectivamente. Achar a probabilidade de que em determinado dia: a)  Funcionem bem todos os aparelhos.  b)  Funcionem bem apenas dois aparelhos. c)   Não funcionem bem todos aparelhos. d)  Funcione bem pelo menos um deles. Resolução

Seja B bom funcionamento e M mau funcionamento, então no nosso exemplo teremos: B1  0.9,  B2  0.89,  B3  0.93    M1  0.1,   M2  0.11,  M3  0.07   a)  P ( A)   P ( B1) * P   ( B2) * P  ( B3)  0.9 * 0.89 * 0.93  0.7449  

 b)  P ( B)   P ( B1) * P ( B2) * P ( M 3  )  P ( B1) *  P ( M 2) * P ( B3)  P ( M 1) * P ( B2) * P ( B3)  

 0.9 * 0.89 * 0.07  0.9 * 0.11   * 0.93  0.1* 0.89 * 0.93  0.2309  

c)   P (C )   P ( M 1) * P   ( M 2) * P   (M 3)  0.1* 0.11* 0.07  0.0008   d)   P ( D)  1  P ( M 1) *  P ( M 2 ) * P (M 3)  1  0.0008  0.9992  

Fórmula de probabilidade total A probabilidade de um acontecimento A, que pode ocorrer depois de ocorrer um dos n acontecimentos incompatíveis  B1, B   2,..., Bn   é igual a soma dos produtos das probabilidades destes acontecimentos  P ( Bi) pela probabilidade condicional de ocorrência do acontecimento A depois de correr Bi,  P ( A |  Bi )    P ( A)   P ( B1 ) * P ( A |  B1 )    P ( B2 ) * P ( A  |  B2 )  ...   P ( Bn ) * P  ( A | Bn )  

(2.9)

Exemplo 2.15. Três máquinas A, B e C produzem, respectivamente 50%, 30% e 20% do número

total das peças de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosa dessas máquinas são respectivamente 3%, 4% e 5%. Se uma peça é seleccionada ao acaso, qual é a probabilidade da  peça ser defeituosa? Resolução

40

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   Seja X, o acontecimento acontecimento que consiste numa peça defeituosa e P(X) sua probabilidade. P(X|A), P(X|B) e P(X|C) são probabilidades de produção de uma peça defeituosa nas máquinas A, B e C. P(A) = 0.5 P(B) = 0.3 P(C) = 0.2

P(X|A) = 0.03 P(X|B) = 0.04 P(X|C) = 0.05

A probabilidade P(X) procurada será dada pela soma dos produtos  P ( X )   P ( A) * P ( X  |  A   )  P ( B  ) * P ( X  |  B)   P (C ) * P ( A | C )    0.5 * 0.03  0.3 * 0  .04  0.2 * 0.05  0.0370  

Fórmula de Bayes Sejam  B1, B   2,..., Bn  Bn , N acontecimentos mutuamente exclusivos formando uma partição de um espaço amostral de probabilidades tal que  B1  B2   ...  Bn    S . E seja A um acontecimento aleatório do espaço S, então a probabilidade de que ocorra o acontecimento na condição de ter  já ocorrido o acontecimento A é calculada pela fórmula fór mula de Bayes.  P ( Bi |  A) 

 P ( Bi ) * P ( A  |  Bi )

 

 P ( B ) * P ( A |  B ) i



 P ( Bi ) * ( A |  Bi )

i

 P ( A)

 

(2.10)

Exemplo 2.17 Cerca

de 50% dos estudantes que terminam o seu curso na UEM em um período de 5 anos são do curso C, 30% são do curso B e 20% são do curso A. As probabilidades de terminar um dos cursos em cinco anos sendo iguais a 0.4, 0.6 e 0.8, respectivamente.

a)  Achar a probabilidade de que um recém graduado em uma determinada época apôs 5 anos de estudo seja do curso C?.  b)  Calcular a probabilidade de que um estudante graduado sob condições anteriores seja do curso C ou B?. Resolução

 P (C  )  0.5    P ( B )  0.3    P ( A )  0.2  

a)  P (C  |  X ) 

 P ( X  | C )  0.4    P ( X  |  B)  0.6    P ( X  |  A)  0.8  

 P (C ) *   P (  X  | C )  0.20    P ( B) *  P (  X  | B)  0.18    P ( A) *  P (  X  | A)  0.16    P (C ) * P ( X  | C )  

 P (C ) * P ( X  | C )   P ( B) * P ( X  |  B)   P ( A) * P ( X  |  A)

 b)  P (C  |  X )  P ( B |  X ) 

 P (C ) * P ( X  | C )

 P ( B) * P ( X  |  B)

 P ( X )

 P ( X )

  

41





0.20 0.20  0.18  0.16

0.20  0.18 0.54

 0.7037  



0.3704  

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga  

2.5

ANÁLISE COMBINATÓRIA COMBINATÓRI A E CÁLCULO DAS PROBABILIDADES

Princípio fundamental de contagem Se um certo acontecimento ou evento pode ocorrer de m1 maneiras diferentes e apôs este, um segundo evento pode ocorrer de m2  maneiras diferentes, então o número de possibilidades em que pode ocorrer na ordem dos eventos é:  (sequência de indicada 2 eventos) m omacontecimento 1  * m2   possi  possibi bili lid  d ades m  m1 * m   2  * ... * mk    possi  possibi bili lid  d ades  (sequência de k eventos) Exemplo 2.18.  Existindo

5 candidatos a director geral e 3 a chefia de um departamento numa empresa do grupo A. De quantas maneiras os dois cargos poderão ser ocupados. Resolução

O número de possibilidades será dado pelo produto conforme o princípio estabelece. m  5 * 3  15 maneiras diferentes.

Factorial de n. Por definição, factorial de n é igual ao produto de todos os números inteiros desde 1 até n. Assim”  n! 1* 2 * 3  *  ... * (n  1) * n   3! 1* 2 * 3  6  

8! 1* 2 * 3 * 4 * 5 * 6  720 720   Observação

Por definição axiomática 0! = 1, e as máquinas normais só executam até 69!  1.71*1098  

Permutação de n elementos Chama-se permutação de n elementos, aos agrupamentos formados pelos n elementos, onde os grupos se diferem um do outro pela ordem em que os elementos se dispõem. Pn = n!. Exemplo  P 4  4! 1*  2 * 3 * 4  24  

Arranjo de n elementos m a m Chama-se arranjo de n  elementos, aos agrupamentos formados por m  elementos entre os n (m  n) , onde os grupos se diferem um do outro pela ordem em que os elementos se dispõem. m

 An



n!

 

(n  m )!  co com m m

 n 

(2.11) 42

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga  

Combinação de n elementos m a m Chama-se combinação de n elementos, aos agrupamentos formados por m elementos entre os n (m  n) , onde os grupos se diferem um do outro, por pelo menos um elemento.  n   n!      co com mmn    m  m!(n  m)!

(2.12)

Exemplo 2.19.

Quantos grupos diferentes de 4 estudantes podem ser formados com 9 estudantes  preparados para representar represen tar uma Faculdade em um concurso de cultura geral. Resolução  n   n!

 9  9! 5!*6 * 7 * 8 * 9          7 * 2 * 9  126   m 4 m n m   ! ( )! 4 ! ( 9 4 )! 1 * 2 * 3 * 4 * 5 !        

Assim, podem ser formados 126 grupos diferentes com 4 elementos cada. Exemplo 2.20. Num determinado curso, estão matriculados 100

estudantes, entre os quais 10

repetentes. Se extraem 4 estudantes do curso ao acaso. Encontrar a probabilidade de que os 4 estudantes sejam todos. a)  Estudantes repetentes.  b)  Estudantes não repetentes. Resolução

 N = 100 estudantes, dos quais 10 repetentes, repetentes , 90 não repetentes e 4 extraídos en entre tre os 100.  100     3921225   Agrupamentos diferentes com 4 elementos cada. 4      90     2555190   Agrupamentos diferentes com 4 elementos todos não repetentes.  4     10   210   Agrupamentos diferentes com 4 elementos todos repetentes.  4    10    a)   P (TR)   4      210  0.000054    100  3921225    4    90     b)   P (TNR)   4     2555190  0.65    100  3921225   4    

43

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   Exemplo 2.21. três

lâmpadas são escolhidas ao acaso de um grupo de 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Calcular a probabilidade p de que: a)   Nenhuma seja defeituosa.  b)  Exactamente uma seja defeituosa c)  Pelo menos uma seja defeituosa. Resolução

 N = 15 lâmpadas, 5 defeituosas, 10 não defeituosas def eituosas e 3 escolhidas ao acaso.  10    120 a)   P ( B )   3       0.2637    15  455    3    3   10    *      b)   P (1 D)  1    2    225  0.4945   455  15     3  

c) 

 P (C )

2.6

  P ( D  1)   1    P ( B)  1  0.2637  0.7363  

PROBABILIDADE PROBABILIDADE DE REPETIÇÃO DE PROVAS

Fórmula de Bernoulli Se a probabilidade de ocorrência de um acontecimento independente em cada prova é p, a  probabilidade de que em n provas igualmente independentes, o acontecimento ocorra k vezes (sendo a ordem irrelevante) é dada pela fórmula de Bernoulli.  n    k    * (1   p) n  k   com k     n  e 0     p  1   Pn(k )    *  p  k  

(2.13)

Onde p é a probabilidade de ocorrência de um sucesso e 1- p = q a probabilidade de insucesso. Exemplo 2.22. Uma

moeda não viciada e lançada 5 vezes ao ar. Considere o aparecimento de

coroa como sucesso. a)  Calcule a probabilidade de que ocorram exactamente 2 coroas.  b)  Calcule a probabilidade de que ocorram pelo menos 3 coroas. c)  Calcule a probabilidade de não ocorrerem coroas. Resolução

Dados n = 5; p = q =0.5

44

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga    5 

a)  k   2    P 5(k   2)     * 0.52 * 0.53  0.31 

 2   b)  k   3  P 5(k   3)   P 5( 3)  P 5(4)  P 5(5)  0.5    5 

c)  k   0    P 5(k   0)     * 0.50 * 0.55  0.031   0 

Exemplo 2.23 Em

um torneiro dos países da África Austral, admitindo-se que as equipas são de treinamento igual, achar ao mais provável dos acontecimentos nos jogos entre Moçambique e Zimbábwe. Considere os empates não válidos. a)  Moçambique ganhar um em dois jogos ou ganhar dois em quatro jogos.  b)  Moçambique ganhar pelo menos dois jogos em quatro ou pelo menos três em cinco. Resolução

Se as equipas são de treinamento igual, então p(ganhar) = p(perder) = 0.5 Os jogos 1, 2, 3, 4, 5 ocorrem em condições idênticas, logo temos repetição de provas.  2   4  2 1 2 2        1       2 ( 1 ) 1 * 0 . 5 * 0 . 5 0 . 50  P   g  4 ( 2 ) 2 * 0 . 5 * 0 . 5 0.3750    P   g  a) :           b)  Como P2(1) > P4(2) é mais provável Moçambique ganhar 1 em dois jogos.  P 4( g   2)   P 4(2)    P 4(3)  P 4(4   )  0.3750  0.2500  0.0625  0.6875    P 5( g   3)   P 5(3)    P 5(4)  P 5(5)   0.3125  0.15625  0.03125  0.50    



Como  P 4( g   2)    P 5( g   3) é mais provável Moçambique ganhar pelo menos 2 em 4 jogos do que pelo menos 3 em 5 jogos.

Teorema local de Laplace Se a probabilidade de ocorrência em cada provadedeque umaem série provas independentes for igual a p (0 de < pum< acontecimento 1), então a probabilidade n de provas o acontecimento ocorra exactamente k vezes (sendo a ordem de n e k grande) é dada com aproximação pela fórmula.   k   np 1  Pn(k )      *  ( x)  onde  x  com k < n npq npq

(2.14)

A função  ( x)  é par, portanto  ( x   )    ( x) , ela está definida para  x  0  . Pode ser consultada  para valores da função densidade de nsidade da distribuição normal padrão (tabela 1).

45

 

2. Teoria Elementar das probabilidades ~ Mulenga   Exemplo 2.24. 

A probabilidade de acertar uma pergunta num teste sendo 0.8. Achar a  probabilidade de acertar exactamente 75 perguntas pergunt as em 100 contidas no teste. Resolução

Dados: n  100; p  0 .8; q   0.2; k   75    x 

k   np

75  100 * 0.8



100 * 0.8 * 0.2

npq

 Pn(k )   

1 npq

 1.25  sendo  (1.25  )    (1.25)  0.1826  

*   ( x)  P 100( 75;0.8) 

1* 0.1826 100 * 0.8 * 0.2

 0.046  

Teorema integral de Laplace A probabilidade de ocorrência de um acontecimento em cada prova sendo p, a probabilidade de que em n eventos independentes, o acontecimento ocorra pelo menos k1 e ao máximo k2 vezes (sendo a ordem de n, k1, k2 grande) é calculada com aproximação pela fórmula.  Pn  Pn(k 1, k 2)     ( x2)  ( x1)  onde  k 1  n; k  1   k 2  n  

Os valores de x são dados pelas fórmulas  x1 

  k 1  np npq

(2.15)  e  x2 

   k 2  np npq

 

A função ( x)  é ímpar, logo ( x)    ( x)  . Os valores da função ( x)  são obtidos na tabela de valores da função de distribuição normal padrão. Estes valores representam áreas entre a curva normal da função densidade de probabilidades, o eixo dos escores reduzidos (tabela 2).  Exemplo 2.25.

A probabilidade de ocorrência e um acontecimento em cada uma das 200 provas independentes sendo 0.6, achar a probabilidade deste, ocorrer pelo menos 110 vezes e ao máximo 140 vezes. Resolução.

Dados: n  20 200 0; k 1  110; k 2    140; p  0.6; q  0.4    x1 

k 1  np npq



110  200 * 0.6

 

200 * 0.6 * 0.4

 1.44 ;  x2 

k 2  np npq

140  200 * 0.6

  

200 * 0.6 * 0.4

 Pn  Pn(k 1, k 2)     ( x2)  ( x1)    P 20 200 0(11 110 0,14 140 0)  (2.89)  ( 1.44)  0.4981  0.4251  0.9232  

46

 2.89