TEORIA - Ecuaciones Cuadraticas

 

 

9  SESIÓN N° 9 

ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación se llama de segundo grado o cuadrática cuando luego de simplificarla adopta la forma:

1.  1.  ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS: Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos: 2

ax  bx  0   2

ax  c  0  

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x .

En el primer caso, ax 2 + bx  = 0 → (ax  (ax  +  + b)  x  x  =  = 0 Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax   + + b = 0. Por ejemplo: 3 x 2 + 5 x  = 0 → (3 x  +  + 5)  x  x  = 0 → 3 x  +  + 5 = 0 ó x  =   = 0, despejando x  concluimos  concluimos que las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.

En el segundo caso, ax 2 + c = 0 → ax 2 = – c → x 2 = – c/a →

Por ejemplo: 3 x 2 - 17 = 0 → 3 x 2 = 17 →

8 x2  24x  0   4 x2  3x  0   2.  2.  ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS: Puede resolverse por cualquiera de los siguientes métodos: a.  Por medio de la factorización b.  Por la fórmula general

 

 

A)  A)  POR FACTORIZACIÓN - Se trasladan todos los términos de la ecuación al primer miembro e igualada a cero. - Se factoriza la expresión. - Se iguala cada factor a cero de donde se obtienen las soluciones. Ejemplo1: Resolver: x2+5x-24=0 Resolución: Factorizamos:

x2 + 5x – 24 = 0 x 8 x

La ecuación sería:

-3

 x  8  x  3  0  

Si resulta cero, alguno de esos factores tendrá que ser cero, igualamos: (x+8)(x-3) = 0

x+8 = 0 x = -8

x-3 = 0 x=3

B)  POR LA FÓRMULA GENERAL 2

Fórmula General de segundo grado:  x 

b  b  4ac

2a

 

Donde: a, b y c son los coeficientes de los términos. Ejemplo1: Resolver: x2+5x-24=0 Resolución: Determinamos: a=1 b=5 c=-24 Reemplazamos en la fórmula:  x    5  121

Resolvemos:  x 

2

5 

52  4 1  24 2 1

 

 

  5 11  x   

Tendríamos:

2

  5 11  x   

  5 11    x 

x=3

x = -8

2

2

Por ejemplo, la ecuación 2 x 2 + 5 x  +  + 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = 3, se resuelve así:

 

 

Ejemplo2 2

Resolver :  x

 3x 18  0   2

Comparamos con su forma general

a 1, b  3  c  18

 x 

3 

3

2

ax  bx  c  0, a  0

 x 

 

2

b 

b  4ac

2a

, como

, de donde

 



 4 1 18     3  9  72 3  81 3  9   

2 1

2

2

2

 

Y así obtenemos:  x  3  9  x  3  9  x  3  x  6

2

2

Luego, el conjunto solución:  x 

Ejemplo 3: Resolver

C.S .  

 x  x  1



 

5



Son las Raíces

 

6; 3  

13 5  

SOLUCIÓN: Suprimimos denominadores e igualamos a cero:

  x2  x    13  2 5  x  5    5  5   5x   x  x   13   5 x  x2  x  13  x2

 4x 13  0  x2  4x  13  0  

Ahora, si intentamos aplicar el método de factorización, es imposible, puesto que no hay dos números que multiplicados den +13 y sumados sumado s algebraicamente de -4, necesariamente optamos por la fórmula general, comparando con su forma general tenemos que: a  1, b  4  c  13

 x 

 

 4 

2

 

 4  4 1 1 3   4   2 1

16  52 2



4  36 2

 

 

 

Observamos que el discriminante es menor que cero, esto significa que no tiene solución en el campo de los números reales, se dice que en

: C.S .    

 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 1: Problemas con números elevados al cuadrado Los 49/3 de un número, resulta r esulta de haber elevado al cuadrado, el mismo número aumentado en 2. Determine el número.

SOLUCIÓN   Comprendemos el enunciado:



Representamos con  x  el número, entonces:

Los 49/3 del número: Cuadrado del mismo número aumentado en 2:

49 3

 x  

 x  2

  Planteamos la ecuación: 49 2  x   x  2   3



  Resolvemos la ecuación: 49 2 2  x  x  4x  4  49x  3x 12x 1 12 2 3



12  0  3x2  37x 12  

Por la propiedad simétrica de la igualdad tenemos: 2 3 x  37x 12  0  

Factorizamos:

1 12

3 x  x

De modo que 3 x 1 x 12





 

x 36x  37 x 1

  0  x   x  12  

O sea tal número es 1/3 o bien 12

3

2

 

 

 

3.  3.  PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA