Teoria e Gjases [Bujar Fejzullahu]

UNIVERSITETI I PRISHTINËS FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE

dr. sc. Bujar Fejzullahu

TEORIA E GJASËS

Prishtinë, 2013

Hyrje Teoria e gjasës është një disiplinë matematike që merret me studimin e fenomeneve të rastit, d.m.th. të atyre fenomeneve empirike rezultatet e të cilëve nuk janë gjithmonë në mënyrë rigoroze përcaktuara. Modeli bazë i teorisë së probabilitetit është eksperimenti me anë të të cilit bëhet studimi i marrëdhënieve në mes të shkakut dhe pasojës. Zakonisht rezultati i eksperimentit është i ndikuar nga disa faktor. Nëse eksperimenti është përsëritur disa herë nën të njëjtat kushte komplekse, paraqiten rregularitete të caktuara në një grup të rezultateve. Teoria e probabilitetit merret me shqyrtimin e e këtyre rregullariteteve duke i shoqëruar një masë të caktuara sasiore në trajtën e numrit real jonegativ - gjasën, me anë të t cilit vlerësohet mundësia apo pamundësia e shfaqjes së rezultatit. Fillimi i zhvillimit të teorisë së probabilitetit (gjasës) është e lidhur me shekullin e shtatëmbëdhjetë (XVII) dhe me emrat e matematikanëve freng Pascal dhe Fermat. Ato shqyrtuan problemin lidhur me një lojë kumari (basti), dhe studimi i tyre i vitit 1654 zakonisht konsiderohet fillimi i zhvillimit të teorisë së probabilitetit (gjasës). Ai problem për një kohë të gjatë ka qenë i lidhur ngushtë me problemet e lojrave të hazardit dhe problemeve praktike në bazë të motivimeve empirike-intuite. Vetëm pas 1933, kur matematikanti rus Kolmogorov botoi punimin në të cilën ai paraqiti parametrat themelore aksiomatik të teorisë së gjasës. Prej atëherë, teoria e probabilitetit është zhvilluar si një lëmi moderne matematikore që nuk mbështetet në motivet empirike dhe intuitive por në një teori aksiomatike dhe e lidhur me koncepte të tjera matematikore. Sot është e vështirë për të gjetur një lëmi shkencore apo aktiviteti njerëzor që mund të studiohet në mënyrë specifike, pa aplikimin e teorisë së probabilitetit dhe statistikës matematikore.

2

Përmbajtje Kapitulli 1.

Kuptimet bazike

5

1.1.

Ngjarja e rastësishme. Algjebra e ngjarjeve

5

1.2.

Gjasa. Përkufizimi klasik dhe gjeometrik i gjasës

8

1.3.

Gjasa e kushtëzuar dhe ngjarjet e pavarura

16

1.4.

Formula e gjasës së plotë dhe formula e Bayes-it

20

Kapitulli 2.

Ndryshorja e rastësishme

23

2.1.

Përkufizimi i ndryshorës së rastësishme. Funksioni i shpërndarjes

23

2.2.

Ndryshorja e rastësishme diskrete

27

2.3.

Ndryshoret e rastësishme të vazhdueshme

30

2.4.

Parametrat e ndryshores të rastësishme

34

Kapitulli 3.

Shpërndarjet themelore të ndryshoreve të rastësishme

41

3.1.

Shpërndarja binomiale

41

3.2.

Shpërndarja e Poisson-it

46

3.3.

Shpërndarja gjeometrike

49

3.4.

Shpërndarja e Pascal-it

51

3.5.

Shpërndarja gama

53

3.6.

Shpërndarja beta

55

3.7.

Shpërndarja normale (e Gauss-it)

58

Kapitulli 4. 4.1.

Vektori i rastësishëm

62

Vektori i rastësishëm. Funksioni i përbashkët i shpërndarjes

62

4.2.

Vektori i rastësishëm diskret

64

4.3.

Vektori i rastësishëm i vazhdueshëm

68

4.4.

Ndryshoret e rastësishme të pavarura

73

4.5.

Shuma e ndryshoreve të rastësishme të pavarura

76

3

4.6.

Shuma e ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme dhe të pavarura

77

4.7.

Shuma e ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të pavarura

84

4.8.

Shpërndarjet e kushtëzuar për ndryshoret e rastësishme

87

4.9.

Densiteti i ërbashkët i unksioneve të ndryshoreve të rastësishme

90

Kapitulli 5.

Vetitë e pritjes

92

5.1.

Vetitë e pritjes dhe variansës

92

5.2.

Kovariansa dhe korelacioni i ndryshoreve të rastësishme

95

5.3.

Pritja e kushtëzuar dhe variansa e kushtëzuar

101

5.4.

Momentet dhe funksionet gjeneruese të momenteve

106

Kapitulli 6.

Teoremat kufitare (limite)

114

6.1.

Ligji i dobët i numrave të mdhenjë

114

6.2.

Ligji i fortë i numrave të mdhenjë

118

6.3.

Teorema qendrore kufitare

121

4

KAPITULLI 1

Kuptimet bazike 1.1. Ngjarja e rastësishme. Algjebra e ngjarjeve Kuptim themelor në teori të gjasës është bashkësia jo-boshe Ω e cila është bashkësia e të gjitha rezultateve të mundshme ω të një eksperimenti. Ω quhet hapësirë e ngjarjeve elementare dhe e cila mund të jetë e fundme, e numrueshme ose panumërueshëm. Ngjarja rastit apo thjesht ngjarja përkufizohet si një nënbashkësi e Ω. Ngjarja A ⊂ Ω realizohet atëherë dhe vetëm atëherë kur realizohet ndonjë ω e cila i takon nënbashkëisë A. Në vazhdim, ngjarjet e rastësishme i shënojmë më A, B, · · · . • Për ngjarjet A0 dhe A themi se janë ngjarje të kundërta nëse realizimi i njërës implikon mosrealizimin e tjetrës. • Nëse realizimi i ngjarjes A implikon realizimin e ngjarjes B atëherë e shënojmë A ⊂ B. Qartë, A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B, A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C. P ËRKUFIZIM 1.1. Prodhimi i dy ngjarjeve A dhe B, të cilën simboliksht e shënojmë AB ose A ∩ B, shtë ngjarja e cila realizohet atëherë dhe vetëm atëherë kur realizohen njëkohësisht të dy ngjarjet A dhe B. Nëse AB = φ atëherë themi se ngjarjet A dhe B janë disjunkte. Qartë, AA0 = φ, AB ⊂ A, AB ⊂ B, P ËRKUFIZIM 1.2. Shuma e dy ngjarjeve A dhe B, të cilën simboliksht e shënojmë A + B ose A ∪ B, është ngjarja e cila realizohet atëherë dhe vetëm atëherë kur realizohen të paktën njëra nga ngjarjet A ose B. Qartë, A + A0 = S, A ⊂ A + B, B ⊂ A + B, AB ⊂ A + B,

P ËRKUFIZIM 1.3. Ndryshimi i dy ngjarjeve A dhe B, të cilën simboliksht e shënojmë A − B ose A\B, është ngjarja e cila realizohet atëherë dhe vetëm atëherë kur realizohet A e nuk realizohet B. Në vazhdim, të sjellim disa prej vetive të veprimeve algjebrike me ngjarjeve. P OHIM 1.1. Le të jetë Ω = {ωi : i ∈ I} hapësirë e ngjarjeve elementare dhe A, B, C ⊂ Ω. Atëherë, 1. A + B = B + A, AB = BA 2. (A + B) + C = A + (B + C), (AB)C = A(BC) 3. (A + B)C = AC + BC 4. AC + BC = (A + C)(B + C) -ligji i dualitetit 5. (A0 )0 = A, A ⊂ B ⇒ A0 ⊃ B 0 6. (A + B)0 = A0 B 0 , (AB)0 = A0 + B 0 -ligjet e DeMorgan-it 7. A − B = AB 0 , A + A0 = S, A + S = S V ËRTETIM . Le të jetë Ω = {ωi : i ∈ I} hapësirë e ngjarjeve elementare, atëherë

P

i∈I

ωi =

Ω dhe ωi ∩ ωj = φ kur i 6= j. Të vërtetojmë vetëm disa prej këtyre relacioneve, ndërsa të tjerat po i lëmë lexuesit për ushtrime. (3) Tregojmë se (A + B)C ⊂ AC + BC dhe anasjelltas (A + B)C ⊃ AC + BC. Nëse realizohet ngjarja (A + B)C, atëherë ekziston i0 ∈ I e tillë që ωi0 ∈ (A + B)C, rrjedhimisht ωi0 ∈ A + B dhe ωi0 ∈ C. Nga ωi0 ∈ A + B, kemi ωi0 ∈ A ose ωi0 ∈ B. Nëse ωi0 ∈ A, atëherë ωi0 ∈ A dhe ωi0 ∈ C, pra ωi0 ∈ AC. Rrjedhimisht, ωi0 ∈ AC + BC. Nëse ωi0 ∈ B, atëherë ωi0 ∈ B dhe ωi0 ∈ C, pra ωi0 ∈ BC. Rrjedhimisht, ωi0 ∈ AC + BC. Pra, nëse realizohet ngjarja (A + B)C atëherë realizohet edhe ngjarja AC + BC, d.m.th. (A + B)C ⊂ AC + BC. Anasjelltas, nëse realizohet ngjarja AC + BC, atëherë ekziston i0 ∈ I e tillë që ωi0 ∈ AC + BC, rrjedhimisht ωi0 ∈ AC ose ωi0 ∈ BC. Nëse ωi0 ∈ AC, atëherë ωi0 ∈ A dhe ωi0 ∈ C. Nga ωi0 ∈ A, rrjedhë ωi0 ∈ A + B si dhe ωi0 ∈ (A + B)C. Nëse ωi0 ∈ BC, atëherë ωi0 ∈ B dhe ωi0 ∈ C. Nga ωi0 ∈ B, rrjedhë ωi0 ∈ A + B si dhe ωi0 ∈ (A + B)C. 6

Pra, nëse realizohet ngjarja AC + BC atëherë realizohet edhe ngjarja (A + B)C, d.m.th. AC + BC ⊂ (A + B)C. (6) Kemi, ωi0 ∈ (A + B)0 ⇔ ωi0 ∈ / A+B ⇔ ωi0 ∈ / A dhe ωi0 ∈ /B ⇔ ωi0 ∈ A0 dhe ωi0 ∈ B 0 ⇔ ωi0 ∈ A0 B 0 . Ngjajshëm, ωi0 ∈ (AB)0 ⇔ ωi0 ∈ / AB ⇔ ωi0 ∈ / A ose ωi0 ∈ /B ⇔ ωi0 ∈ A0 ose ωi0 ∈ B 0 ⇔ ωi0 ∈ A0 + B 0 .  Vërjemë që relacionet (6) mund të përgjithsohen në trajtat !0 !0 X Y Y X 0 (1.1.1) An = A, An = A0 . n∈N

n∈N

n∈N

n∈N

S HEMBULL 1.1. Hedhja e dy zareve (kubeve) z1 dhe z2 . Rezultati: ngjarja Eij = (i, j), ku i dhe j janë numrat (e indeksuara në faqet e kubit) e rënë gjatë hedhjes së zareve të z1 dhe z2 , përkatësisht. Atëherë, Ω = {E11 , E12 , · · · , E66 }, si dhe card(Ω)=36. Le të jenë A, B dhe C ngjarjet A : në z1 bie 5, B : shuma e nurmave që bien në z1 dhe z2 është të paktën 3 e jo më shumë se 7, C : shuma e nurmave që bien në z1 dhe z2 është 6. Ateherë, A = {E51 , ..., E56 } B = {E12 , ..., E23 , ..., E31 , ..., E61 } 7

C = φ, AB = {E51 , E52 }, AC = φ A + B =?, A − B =? S HEMBULL 1.2. Le të jenë A, B, C ∈ F. Të shënohen ngjarjet (a) Është realizuar vetëm A (Rez. AB’C’) (b) Janë realizuar vetëm B dhe C (Rez. A’BC) (c) Është realizuar të paktën njëra nga ato (Rez. A+B+C) (d) Janë realizuar të paktën dy nga ato (Rez. AB+BC+AC) (e) Janë realizuar më së shumti dy nga ato (Rez. (ABC)’) (f) Nuk është realizuar asnjë nga ato (Rez. A’B’C’) S HEMBULL 1.3. Caku përbëhet nga 10 rrathët koncentrik me rreze rk , k = 1, · · · , 10, dhe që r1 < r2 < · · · < r10 . Shënojmë me Ak ngjarjen: caku goditet në rrethin me rreze rk . Q P Çka paraqesin ngjarjet: B = 6i=1 Ai dhe C = 9i=5 Ai . Rezultati: B = A6 dhe C = A5 . S HEMBULL 1.4. Vërtetoni që (A + B)(A + B 0 ) + (A0 + AB)(A0 + B 0 ) = S, (A + AB 0 + AB)(A0 + A0 B 0 ) = φ. 1.2. Gjasa. Përkufizimi klasik dhe gjeometrik i gjasës Le të jetë Ω bashkësi arbitrare, ndërsa F familje e nënbashkësive nga Ω. P ËRKUFIZIM 1.4. Familja F quhet σ-algjebër nëse plotëson këto kushte: (σ1) Ω ∈ F, (σ3) nëse A ∈ F atëherë A0 ∈ F, (σ2) nëse Ai ∈ F, i ∈ N, atëherë ∪i∈N Ai ∈ F. S HEMBULL 1.5. Familja P(Ω) e të gjidha nënbashkësive të bashkësisë arbitrare Ω është σ-algjebër. Në vazhdim, japim disa prej vetive të σ-algjebrës. 8

P OHIM 1.2. Le të jetë F σ-algjebër. Atëherë, (i) φ ∈ F, (ii) ∩i∈N Ai ∈ F për çdo Ai ∈ F, i ∈ N, (iii) A\B ∈ F për çdo A, B ∈ F. V ËRTETIM . (i) Meqë Ω ∈ F, atëherë nga (σ3) kemi φ = Ω0 ∈ F. (ii) Vërtetimi rrjedh nga (1.2.1), (σ2) dhe (σ3). (ii) Vërtetimi rrjedh nga P ohimi 1.1.(7) dhe (ii). S HEMBULL 1.6.

1) Prerja

T i∈I



Fi e çdo familje të σ-algjebrave (Fi )i∈I në bashkësinë

arbitrare Ω është σ-algjebër në Ω. 2) Meqë për çdo A ∈ Ω vlen A ∈ P(Ω), atëherë ekziston σ-algjebra më e vogël (në Ω) që e përmbanë A- e cila quhet σ-algjebër e gjeneruar nga A dhe simbolikisht e shënojmë σ(A). Nëse Ω = R, atëherë σ((a, b)) = σ((a, b]) = σ([a, b)) = σ([a, b]) = B(R), ku B(R) quhet σ-algjebër e Borel-it (ose shkurt bashkësi të Borel-it). Le të jetë Ω hapësirë e ngjarjeve elementare, ndërsa F familje e nënbashkësive të Ω. Në bazë të shembullit 1.5, rrjedh ekzistenca e familja F si dhe F ⊂ P(Ω). Qartë, σ-algjebra F e përmbanë ngjarjen e sigurt S si dhe ngjarjen e pamundur φ. P ËRKUFIZIM 1.5. Funksioni p : F → R quhet gjasë mbi F nëse plotëson kushtet: (i) p(A) ≥ 0 për çdo A ∈ F (ii) p(S) = 1 (iii) nëse Ai ∈ F, i ∈ N, dhe Ai ∩ Aj = φ për i 6= j, atëherë ! X X p Ai = p (Ai ) . i∈N

i∈N

Treshen e renditur (Ω, F, p) e quajmë hapësirë e gjasës. Në bazë të vetive të σ-algjebrës si dhe përkufizimit të gjasës mbi atë σ-algjebër, marrim këto veti tjera të funksion-gjasës: P OHIM 1.3. Let të jenë A, B ∈ F. Atëherë, 9

(i) p(φ) = 1, (ii) nëse A ⊂ B, atëherë p(A) ≤ p(B), (iii) 0 ≤ p(A) ≤ 1, (iv) p(A0 ) = 1 − p(A), (v) p(A − B) = p(A) − p(AB), (vi) p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB). V ËRTETIM . (i) Meqë S = S + φ dhe S ∩ φ = φ, atëherë nga Përkufizimi 1.5(ii), (iii) kemi 1 = p(S) = p(S + φ) = p(S) + p(φ) = 1 + p(φ) ⇒ p(φ) = 0. (ii) Nga P ohimi 1.1(7) kemi B = A + A0 B dhe meqë AA0 B = φ, atëherë p(B) = p(A + A0 B) = p(A) + p(A0 B) ≥ p(A). (iii) Meqë φ ⊂ A ⊂ S, atëherë në bazë të (ii) kemi 0 ≤ p(A) ≤ 1. (iv) Meqë A + A0 = S dhe AA0 = φ, atëherë 1 = p(S) = p(A + A0 ) = p(A) + p(A0 ) ⇒ p(A0 ) = 1 − p(A). (v) Meqë A = AS = A(B + B 0 ) = AB + AB 0 dhe (AB)(AB 0 ) = φ, atëherë p(A) = p(AB) + p(AB 0 ) = p(AB) + p(A − B) ⇒ p(A − B) = p(A) − p(AB). (vi) Meqë A+B = AB +AB 0 +B = AB +SB +AB 0 = B(A+S)+AB 0 = BS +AB 0 = B + AB 0 dhe B(AB 0 ) = φ, atëherë (1.2.1)

p(A + B) = p(B) + p(A − B) ⇒ p(A − B) = p(A + B) − p(B).

Bazuar në (v), marrim p(A) − p(AB) = p(A + B) − p(B) ⇒ p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).  10

Me induksion matematikë, lehtë tregohet se vetia (vi) në P ohimin 1.3 mund të përgjithësohet në formën ! n n X X X X p Ai = p(Ai ) − p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − · · · (−1)n−1 p(A1 A2 · · · An ) i=1

i=1

i 0 atëherë pA (B) =

p(AB) p(A)

≥ 0, ∀A, B ∈ F.

(ii) meqë A · S = A atëherë pA (S) =

p(AS) P (A) = =1 p(A) p(A)

(iii) Le të jetë dhënë vargu i bashkësive disjunkte (Bi )i∈N , Bi ∈ F, d.m.th. Bi · Bj = φ, i 6= j. Atëherë, (ABi )i∈N , është varg i bashkësive disjunkte nga F si dhe     P ! p A · P Bi p A · Bi X i∈N i∈N pA Bi = = p(A) p(A) i∈N =

X p (A · Bi ) p(A)

i∈N

=

X

pA (Bi )

i∈N

d.m.th. pA : F → R është σ- aditiv. Rrjedhimisht vërtetuam këtë teoremë: 16

T EOREMË 1.4. Le të jetë treshja (Ω, F, p) hapsirë e gjasës dhe le të jetë A ∈ F , p(A) > 0. Funksioni pA : F → R i dhënë me (∗) është gjasë mbi F . P ËRKUFIZIM 1.6. Gjasa pA : F → R e dhënë me (*) quhet gjasë e kushtëzuar. Gjasën e kushtëzuar pA (B) e lexojmë: gjasa e ngjarjes B me kusht që të jetë realizuar A. Nga (∗) marrim relacionin p(AB) = p(A) · pA (B),

p(A) > 0.

p(AB) = p(B) · pB (A),

p(B) > 0.

Ngjashëm,

Pra, për p(A), p(B) > 0 p(AB) = p(A) · pA (B) = p(B) · pB (A).

(1.3.1)

Relacioni (1.4.1) paraqet gjasën e prodhimit të ngjarjeve. Duke u bazuar në induksionin matematik, relacioni (1.4.1) mund të përgjithsohet në trajtën (1.3.2)

p(A1 · A2 · · · An ) = p(A1 ) · pA1 (A2 ) · pA1 A2 (A3 ) · · · pn−1 (An ). Q Ai

i=1

S HEMBULL 1.10. Hudhet zari (kubëza). Sa është gjasa që të bie numër qift me kusht që të mos jetë më i madh se katër. Z GJIDHJE . Shënojmë ngjarjet elementare ωi : bie numri i gjatë hudhjes të kubzës i = 1, 2, ..., 6. Atëherë, Ω = {ωi |i = 1, 2, ..., 6} dhe F = P(Ω). Konsiderojmë ngjarjet: A : bie numër jo më i madh se katër d.m.th. A = {ω1 , ω2 , ω3 } B : bie numër çift d.m.th. B = {ω2 , ω4 , ω6 }. Atëherë, pA (B) =

p(ω2 ) p(AB) = 3 = p(A) 6

1 6 3 6

1 = . 3 

S HEMBULL 1.11. Në kuti ndodhen 50 llampa elektrike, ku 20% prej tyre janë me defekt. Kontrollori zgjedh rastësisht 5 llampa elektrike në mënyrë suksesive (pa kthim). Sa është gjasa që vlersimi i kontrollorit të jetë pozitiv. 17

Z GJIDHJE . Le të jetë Ai (i = 1, 2, 3, 4, 5) ngjarja që në tërheqjen e i-të është zgjedhur llampa elektrike pa defekt. Atëherë, nga relacioni (1.4.2) kemi p(A1 · A2 · A3 · A4 · A5 ) = p(A1 ) · pA1 (A2 ) · pA1 A2 (A3 ) · pA1 A2 A3 (A4 ) · pA1 A2 A3 A4 (A5 ) 40 39 38 37 36 · · · · ≈ 0.31 50 49 48 47 46

=

 P ËRKUFIZIM 1.7. Le të jetë (Ω, F, p) hapsirë e gjasës dhe A, B ∈ F. Për ngjarjet A dhe B themi se janë të pavaruara nëse p(A · B) = p(A) · p(B). Nëse A dhe B janë ngjarje të pavaruara, atëherë pA (B) =

p(AB) p(A) · p(B) = = p(B), p(A) p(A)

p(A) > 0,

pB (A) =

p(AB) p(A) · p(B) = = p(A), p(B) p(B)

p(B) > 0.

P OHIM 1.4. Nëse A dhe B janë ngjarje të pavarura atëherë të tilla janë edhe ngjarjet A0 e B; A e B 0 ; A0 e B 0 . V ËRTETIM . Meqë (AB)(AB 0 ) = φ

dhe

AB + AB 0 = A(B + B 0 ) = AS = A,

atëherë nëse A dhe B janë ngjarje të pavarura marrim p(A) = p(AB + AB 0 ) = p(AB) + p(AB 0 ) = p(A) · p(B) + p(AB 0 ). Rrjedhimisht, p(AB 0 ) = p(A) − p(A)p(B) = p(A)(1 − p(B)) p(AB 0 ) = p(A) · p(B 0 ) d.m.th. ngjarjet A dhe B 0 janë të pavaruar. Ngjajshëm tregohet që ngjarjet A0 dhe B janë të pavaruar. 18

Meqë, p(A0 B 0 ) = p [(A + B)0 ] = 1 − p(A + B) = 1 − (p(A) + p(B) − p(AB)) = 1 − p(A) − p(B) + p(AB) = p(A0 ) − p(B) + p(A)p(B) = p(A0 ) − p(B)(1 − p(A)) = p(A0 ) − p(B)p(A0 ) = p(A0 )(1 − p(B)) = p(A0 )p(B 0 ), atëherë rrjedh që ngjarjet A0 dhe B 0 janë të pavaruar.



S HEMBULL 1.12. Për ngjarjet A, B janë dhënë p(AB 0 ) = 0.1, P (A0 B) = 0.2, p(A0 B 0 ) = 0.1. (a) Tregoni që ngjarjet A dhe B janë të varura. (b) Të njesohen gjasat e kushtëzuara pA (B), pB (A), pA0 (B 0 ), pB 0 (A). Z GJIDHJE . (a) Supozojmë që ngjarjet A dhe B janë të pavarura. Atëherë në bazë të Pohimit 1.4. edhe ngjarjet A0 e B; A e B 0 ; A0 e B 0 , janë të pavarura. Prandaj,    0.1 = p(A · B 0 ) = p(A) · p(B 0 )    0.2 = p(A0 · B) = p(A0 ) · p(B)     0.1 = p(A0 · B 0 ) = p(A0 ) · p(B 0 ). Nga ekucaionet (II) dhe (III) të sistemit kemi 1 p(B 0 ) = p(B), 2 dhe meqë p(B 0 ) = 1 − p(B), atëherë p(B) =

2 3

dhe p(B) = 13 .

Nga ekucaioni (I) i sistemit kemi p(A) = 19

1 3 = p(B 0 ) 10

si dhe p(A0 ) = 1 − p(A) = 1 −

3 7 = . 10 10

Nga ana tjetër, 7 1 7 · = 10 3 30 gjë që është e pamundur. Pra, supozimi që ngjarjet A dhe B janë të pavarura është i gabuar. 0.1 = p(A0 · B 0 ) = p(A0 ) · p(B 0 ) =

Rrjedhimisht, ngjarjet A dhe B janë të varura. (b) Në bazë të Pohimit 1.3.(v), kemi    0.1 = p(A · B 0 ) = p(A) − p(A · B)    0.2 = p(A0 · B) = p(B) − p(A · B)     0.1 = p(A0 · B 0 ) = p(A0 ) − p(A0 · B) = p(A0 ) − 0.2 Pra, p(A0 ) = 0.3, p(A) = 1 − p(A0 ) = 0.7, p(B) = 0.8, p(B 0 ) = 0.2, p(A · B) = 0.6. Tani, duke u bazuar në përkufizimin e gjasës së kushtëzuar, lehtë tregohen që pA (B) = 0.857, pB (A) = 0.75, pA0 (B 0 ) = 0.333.  1.4. Formula e gjasës së plotë dhe formula e Bayes-it P ËRKUFIZIM 1.8. Le të jetë (Ω, F, p) hapsirë e gjasës. Për vargun e bashkësive (Hi )i∈I , I ⊂ N, nga F themi se formon sistem të plotë të ngjarjeve nëse • p(Hi ) > 0,

i ∈ I ⊂ N;

• Hi · Hj = φ, i 6= j; n P • Hi = S. i∈I

Qartë për hapësirnën e ngjarjeve elementare Ω = {ωi |i ∈ I ⊂ N}, vargu i ngjarjeve elementare (ωi )i∈I formon sistem të plotë të ngjarjeve. S HEMBULL 1.13. Hudhet kubza. Vargu i ngjarjeve elementare (ωi ), ku ωi : bie numri i në hudhjen e kubzës, i = 1, 2, 3, ..., 6, paraqet sistem të plotë të ngjarjeve. Gjithashtu, ngjarjet H0 : bie numër çift në hudhjen e kubzës; H1 : bie numër tek në hudhjen e kubzës, 20

paraqesin sistem të plotë të ngjarjeve (sepse H0 + H1 = S dhe H0 · H1 = φ). T EOREMË 1.5. Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe le të jetë (H)i∈I⊂N , Hi ∈ F, sistem i plotë i ngjarjeve. Atëherë, për çdo A ∈ F p(A) =

(1.4.1)

X

p(Hi )pHi (A)

i∈I

V ËRTETIM . Meqë për çdo A ∈ F A=A·S =A·

X

Hi =

i∈I

X

AHi ,

i∈I

(A · Hi ) · (A · Hj ) = φ, i 6= j, atëherë ! p(A) = p

X

A · Hi

i∈I

=

X

p(A · Hi ).

i∈I

Përfundimisht, bazuar në (1.4.1) marrim (1.5.1).



Relacioni (1.5.1) paraqet formulën e gjasës së plotë. Gjasat p(Hi ), i ∈ I janë të njohura paraprakisht (zakonisht) dhe quhen gjasa apriori, ndërsa ngjarjet Hi quhen hipoteza. T EOREMË 1.6. (Formula e Bayes-it). Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe le të jetë (H)i∈I⊂N , Hi ∈ F, sistem i plotë i ngjarjeve. Atëherë, për çdo A ∈ F, p(A) > 0, p(Hi )·Hi (A) pA (Hi ) = P n p(Hi ) · pHi (A)

(1.4.2)

i=1

V ËRTETIM . Meqë për çdo A ∈ F, p(A) > 0, p(A · Hi ) = p(A) · pA (Hi ) = p(Hi ) · pHi (A), atëherë pA (Hi ) =

p(Hi ) · pHi (A) p(A)

Tani nga (1.5.1) marrim (1.5.2).



S HEMBULL 1.14. Janë dhënë tri kutia. Në kutinë e parë ndodhen dy rruzuj të bardhë dhe një i zi, në të dytin ndodhen tre të bardhë dhe një i zi, ndërsa në kutinë e tretë ndodhen një rruzull i bardhë dhe një i zi. Rastëisht zgjedhet një kuti dhe pastaj në atë kuti rastësisht zgjedhet një rruzull. Gjeni gjasën që rruzulli i zgjedhur të jetë i bardhë. 21

Z GJIDHJE . Shënojmë me A ngjarjen: është zgjedhur rruzulli i bardh, ndërsa hipotezat Hi : është zgjedhur kutia e i-të, i = 1, 2, 3. Qartë, 2 3 1 1 p(Hi ) = , pH1 (A) = , pH2 (A) = , pH3 (A) = . 3 3 4 2 Në bazë të (1.5.1), p(A) =

3 X

pHi (A) · p(Hi )

i=1

= p(H1 ) · pH1 (A) + p(H2 ) · pH2 (A) + p(H3 )pH3 (A) = =

1 2 1 3 1 1 23 · + · + · = 3 3 3 4 3 2 36 

S HEMBULL 1.15. Në departamentin e matematikës 4% të studentëve dhe 1% të studenteve nuk janë shtetas të Republikës së Kosoves. Proporcioni i studentëve dhe studenteve është 40 : 60. Nëse rastësisht zgjedhet një person nga deparamenti i matematikës, i cili nuk është shtetas i Kosovës, sa është gjasa që ajo të jetë studente. Z GJIDHJE . Konsiderojmë hipotezat: H1 : personi i zgjedhur është studente, atëherë p(H1 ) = H2 : personi i zgjedhur është student, atëherë p(H2 ) =

60 , 100

40 . 100

Qartë, ngjarjet H1 , H2 formojnë sistem të plotë të ngjarjeve, d.m.th. H1 · H2 = φ

∧

H1 + H2 = S,

si dhe pH1 (A) =

1 , 100

pH2 (A) =

4 . 100

Në bazë të formulës së Bayes-it, kemi pA (H1 ) = =

p(H1 ) · pH1 (A) p(H1 ) · pH1 (A) + p(H2 ) · pH2 (A) 60 100

·

60 · 1 100 100 1 40 + 100 100

·

4 100

≈ 0.27. 

22

KAPITULLI 2

Ndryshorja e rastësishme 2.1. Përkufizimi i ndryshorës së rastësishme. Funksioni i shpërndarjes Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës. Nga njësitë e mëparshme kemi vërejtur që çdo ngjarjeje ω ∈ Ω mundë t’i shoqërohet një numër real X(ω) dhe në atë mënyrë rezultatin e eksperimentit e përshkruajmë me ndihmën e funksionit real X : Ω → R . S HEMBULL 2.1. Njëkohsisht hudhen dy monedha metalike. Nëse me X shënojmë numrin e stemave të rënë gjatë hedhjes, atëherë ngjarjeve elementare i shoqërohen numrat real si vijojnë       X : ω1 → 0; ω1 : bie N N ;             X : ω2 → 1; ω2 : bie N S; ⇒     X : ω3 → 1; ω3 : bie SN ;             X : ω4 → 2; ω4 : bie SS; P ËRKUFIZIM 2.1. Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës. Pasqyrimi X : Ω → R quhet ndryshore e rastësishme nëse për çdo x ∈ R figura inverz X −1 (−∞, x) = {ω ∈ Ω|X(ω) < x} i takon σ- algjebrës F, d.m.th. X −1 (−∞, x) ∈ F, ∀x ∈ R. P OHIM 2.1. Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe X : Ω → R. Pohimet e më poshtme janë ekuivalente: (i) X është ndryshore e rastësishme (ii) X −1 [x, ∞) ∈ F, ∀x ∈ R, (iii) X −1 (x, ∞) ∈ F, ∀x ∈ R, (iv) X −1 (−∞, x] ∈ F, ∀x ∈ R. V ËRTETIM . Meqë {ω ∈ Ω|X(ω) ≥ x} = Ω\{ω ∈ Ω|X(ω) < x}, ∀x ∈ R, atëherë (i) ⇒ (ii). 23

Meqë {ω ∈ Ω|X(ω) > x} =

[∞ n=1

{ω ∈ Ω|X(ω) ≥ x +

1 }, ∀x ∈ R, n

atëherë (ii) ⇒ (iii). Meqë {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x} = Ω\{ω ∈ Ω|X(ω) > x}, ∀x ∈ R, atëherë (iii) ⇒ (iv). Meqë {ω ∈ Ω|X(ω) < x} =

[∞ n=1

{ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x +

1 }, ∀x ∈ R, n

atëherë (iv) ⇒ (i).



R RJEDHIM 2.1. Nëse X : Ω → R është ndryshore e rastësishme në (Ω, F, p), atëherë {ω ∈ Ω|X(ω) = x} ∈ F,

∀x ∈ R.

V ËRTETIM . Meqë {ω ∈ Ω|X(ω) = x} = {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x}

\

{ω ∈ Ω|X(ω) ≥ x},

∀x ∈ R,

atëherë nga Pohimi 2.1 rrjedh saktësia e pohimit.



P OHIM 2.2. Nëse X, Y : Ω → R janë ndryshore të rastësishme në (Ω, F, p), atëherë edhe funksionet X + Y, cX (c − konst.), X · Y janë ndryshore të rastësishme. P ROOF. Le të jetë x ∈ R dhe X(ω)+Y (ω) < x, atëherë X(ω) < x−Y (ω). Meqë bashkësia e numrave racional është e dendur në R, atëherë ekziston q ∈ Q i till që X(ω) < r < x − Y (ω). Prandaj, {ω ∈ Ω|X(ω) + Y (ω) < x} =

[

{ω ∈ Ω|X(ω) < r} ∩ {ω ∈ Ω|Y (ω) < x − r}.

q∈Q

Rrjedhimisht, X + Y : Ω → R është ndryshore e rastësishme. Meqë {ω ∈ Ω|cX(ω) < x} =

  {ω ∈ Ω|X(ω) < x/c}, c > 0,  {ω ∈ Ω|X(ω) > x/c}, c < 0, 24

atëherë cX : Ω → R është ndryshore e rastësishme. Që të tregojmë se X · Y është ndryshore e rastësishme, në fillim tregojmë që X 2 është ndryshore e rastësishme nëse X është ndryshore e rastësishme. Vërtetë, meqë {ω ∈ Ω|X 2 (ω) > x} = {ω ∈ Ω|X(ω) >

√

√ x} ∪ {ω ∈ Ω|X(ω) < − x}, nese a ≥ 0,

dhe {ω ∈ Ω|X 2 (ω) > x} = Ω nese a < 0, atëherë X 2 është ndryshore e rastësishme. Tani, meqë X ·Y =

(X + Y )2 − X 2 − Y 2 2

rrjedh që X · Y është ndryshore e rastësishme nëse X, Y janë ndryshore të rastësishme.



S HEMBULL 2.2. Konsiderojmë eksperimentin: hudhet kubëza (me faqe të shënuar prej 1,...,6). Le të jenë hapësira e ngjarjeve elementare Ω = {ωi |i = 1, · · · , 6}, ku ωi : bie numri i gjatë hudhjes të kubzës, dhe ngjarja A = {ω2 , ω4 , ω6 }. Lehtë tregohet se familja F = {φ, Ω, A, A0 }, ku A0 = {ω1 , ω3 , ω5 }, është σ− algjebër. Përkufizojmë funksionin X : Ω → R të dhënë me X(ω2k ) = 1 ∧ X(ω2k−1 ) = 0, k = 1, 2, 3. Meqë, për çdo x ∈ R    φ, x < 0,    X −1 (−∞, x) = A0 , 0 ≤ x < 1,      Ω, x ≥ 1, përfundojmë që X −1 (−∞, x) ∈ F, ∀x ∈ R. Pra, X : Ω → R është ndryshore e rastësishme (në Ω). Për thjeshtim, ngjarjen X −1 (−∞, x) = {ω ∈ Ω| ∧ X(ω) < x} e shënojmë (X < x), ndësa ngjarjen X −1 (x) = {ω ∈ Ω| ∧ X(ω) = x} e shënojmë (X = x). Respektivisht, gjasën që ndryshorja e rastësishme e merr vlerën më të vogël se x e shënojmë p(X < x), ndërsa gjasën që ndryshorja e rastësishme e merr vlerën x e shënojmë p(X = x). Gjasën që ndryshorja X merr vlerën nga intervali [a, b] e shënojmë p(a < X < b). 25

P ËRKUFIZIM 2.2. Funksioni FX : R → [0, 1] i ndryshorës së rastësishme X i dhënë me FX : x → p(X < x), ∀x ∈ R, quhet funksion i shpërndarjes së gjasave të ndryshorës së rastësishme X ose shkurt funksion i shpërndarjes. S HEMBULL 2.3. Funksioni i shpërndarjes për ndryshorën e rastësishme të dhënë me Shembullin 2.2 është:    0,    FX (x) = p(X < x) = 1 , 2     1,

x < 0, 0 ≤ x < 1, x ≥ 1.

Në vazhdim japim vetitë themelore të funksionit të shpërndarjes të ndryshorës të rastësishme. T EOREMË 2.1. Për funksionin FX = F të ndryshorës së rastësishme X vlejnë vetitë e mëposhtme. (1) F (−∞) = 0 dhe F (+∞) = 1. (2) p(a ≤ X < b) = F (b) − F (a), ku a < b, a, b ∈ R. (3) Funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm nga ana e majtë. Pra, lim F (x) = F (a).

x→a−

(4) F është funksion jozvoglues x1 < x2 ⇒ F (x1 ) ≤ F (x2 ). V ËRTETIM .

(1) Meqë ngjarja (X < −∞) është ngjarje e pamundur, atëherë F (−∞) = p(X < −∞) = p(Φ) = 0,

ndërsa meqë ngjarja (X < ∞) është ngjarje e sigurt, atëherë F (∞) = p(X < ∞) = p(S) = 1. (2) Meqë për a < b, (X < b) = (X < a)∪(a ≤ X < b) dhe (X < a)∩(a ≤ X < b) = Φ, atëherë F (b) = p(X < b) = p(X < a) + p(a ≤ X < b) = F (a) + p(a ≤ X < b). 26

(3) Kemi 1 lim F (a − ) n→∞ x→a n   1 = lim p X < a − . n→∞ n
Meqë vargu i ngjarjeve { X < a − n1 }n nga F është rritës, atëherë nga Teorema 1.1 lim− F (x) =

e kapitullit I marrim 

1 lim− F (x) = lim p X < a − n→∞ x→a n



! 1 =p (X < a − ) n n=1 +∞ [

= p(X < a) = F (a) (4) Le të jenë x1 < x2 dhe A = {ω|ω ∈ Ω ∧ X(ω) < x1 }, B = {ω|ω ∈ Ω ∧ X(ω) < x2 }. Meqë A ⊂ B, atëherë në bazë të monotonisë së gjasës kemi F (x1 ) = p(A) ≤ p(B) = F (x2 ).  Në fund, marrim pohim (pa vërtetim) vijues. T EOREMË 2.2. Nëse F : R → [0, 1] është jozvoglues i vazhueshëm nga e majta dhe nëse F (−∞) = 0, F (+∞) = 1 atëherë ekziston ndryshorja e rastësishme X ashtu që F të jetë funksion i shpërndarjes së gjasave për të. 2.2. Ndryshorja e rastësishme diskrete Le të jetë dhënë (Ω, F, P ) hapsirë e gjasës dhe X : Ω → R ndryshore e rastësishme. P ËRKUFIZIM 2.3. Ndryshorja e rastësishme X e cila merr vlera të fundme ose të numrueshme quhet ndryshore e rastësishme diskrete. Pra nëse kodomeni i funksionit X : Ω → R është të shumtën e numrueshme, d.m.th. nëse RX = {xi |i ∈ I ⊆ N}, 27

atëherë X është diskrete. Qartë Ω=

[

{ω ∈ Ω|X(ω) = xn }

n

ku (X = xi ) ∩ (X = xj ) = ∅ , i 6= j. Prandaj, [ X X 1 = p(Ω) = p( (X = xn )) = p(X = xn ) = fX (xn ), n

n

n

ku fX (xn ) = p(X = xn ) quhet densitet pikësor për X. Pra, ndryshorja e rastësishme diskrete X është plotësisht e përcaktuar nëse dihen: • bashkësitë e vlerave të saj RX = {xi |i ∈ I ⊆ N} • bashkësitë e gjasave korrosponduese fX (xi ) = p(X = xi ), xi ∈ RX . Bashkësia e vlerave të ndryshorës së rastësishme RX = {xi |i ∈ I ⊆ N} së bashku me bashkësinë e gjasave korrospoduese paraqet ligjin e shpërndarjes së gjasave për ndryshorën e rastësishme X dhe simbolikisht shënojmë   x1 x2 ...  X∼ fX (x1 ) fX (x1 ) ... P fX (xi ) = 1. dhe xi ∈RX

Në bazë të përkufizimit të funksionit të shpërndarjes, për ndryshorën e rastësishme diskrete atë mund t’a shkruajmë në trajtën    0 x ≤ x1 ,    n−1 P FX (x) = p(X < x) = fX (xi ) xn−1 < x ≤ xn ,  i=1     1 x > max{xi ∈ RX }. Meqë funksioni FX është i kufizuar, atëherë ai ka të shumtën pika të këputjes të llojit të parë. Për më tepër, nëse X eshte n.r.d. atëherë në bazë të relacionit të mësipërm pikat e vetme të këputjes për FX mund të jenë xi ∈ RX si dhe 0 ≤ FX (xi + 0) − FX (xi − 0) =

i X

fX (xk ) −

k=1

i−1 X

fX (xi )

k=1

= fX (xi ) = p(X = xi ). 28

Pra, nëse X është n.r.d., atëherë gjatësia e kërcimit të funksionit FX në pikën e këputjes xi ∈ RX është fX (xi ) = p(X = xi ). S HEMBULL 2.4. Një gjuajtës gjuan tri herë mbi një objektiv me gjasë p të goditjes në çdo gjuajtje. Të caktohet ligji i shpërndarjes së gjasave të X, ku X është numri i goditjeve të objektivit. Z GJIDHJE . Qartë, gjuajtësi mundë të godas objektivin 0, 1, 2, 3 herë. Pra, RX = {0, 1, 2, 3}. Le të jetë Ai ngjarja: goditet objektivi në gjuajtjen e i − te, i = 1, 2, 3. Atëherë, meqë {Ai , A0i }3i=1 janë të pavaruar fX (0) = p(X = 0) = p(A01 A02 A03 ) = p(A01 )p(A02 )p(A03 ) = (1 − p)3 fX (1) = p(X = 1) = p(A1 A02 A03 + A01 A2 A03 + A01 A02 A3 ) = = p(A1 A02 A03 ) + p(A01 A2 A03 ) + p(A01 A02 A3 ) = = p(1 − p)2 + p(1 − p)2 + p(1 − p)2 = 3p(1 − p)2 fX (2) = p(X = 2) = p(A1 A2 A03 + A01 A2 A3 + A1 A02 A3 ) = p(A1 A2 A03 ) + p(A01 A2 A3 ) + p(A1 A02 A3 ) = 3p2 (1 − p) fX (3) = p(X = 3) = p(A1 A2 A3 ) = p3 . Ligji i shpërndarjes për n.r.d X është   0 1 2 3  X∼ 2 2 3 (1 − p)3 3p(1 − p) 3p (1 − p) p si dhe (1 − p)3 + 3p(1 − p)2 + 3p2 (1 − p) + p3 = [(1 − p) + p]3 = 1.  S HEMBULL 2.5. Një gjuajtës gjuan mbi një objektiv me gjasë p të goditjes së tij në çdo gjuajtje deri në goditjen e parë të objektivit. Le të jetë X: numri i goditjeve deri në goditjen e parë. Të caktohet ligji i shpërndarjes për n.r.d. X. 29

Z GJIDHJE . Qartë, RX = {1, 2, 3, ...}. Le të jetë Ai ngjarja objektivi qëllohet në gjuajten e i -të, i = 1, 2, 3, .... Atëherë, j−1 Y

fX (j) = p(X = j) = p

! A0i Aj

=

j−1 Y

p (A0i Aj ) = (1 − p)j−1 p

i=1

i=1

Pra, ligji i shpërndarjes për n.r.d. X është   1 2 3 ... j ...  X∼ 2 j p p(1 − p) p(1 − p) ... p(1 − p) ... si dhe
p + p(1 − p) + p(1 − p)2 + ... = p 1 + (1 − p) + (1 − p)2 + ... = p

1 = 1. 1 − (1 − p) 

2.3. Ndryshoret e rastësishme të vazhdueshme Le të jetë dhënë (Ω, F, P ) hapsirë e gjasës dhe X : Ω → R ndryshore e rastësishme. P ËRKUFIZIM 2.4. Ndryshorja e rastësishme X quhet e vazhdueshme (shkurt n.r.v.) nëse ekziston funksioni jo-negativ fX i përkufizuar në R i till që Zx FX (x) = p(X < x) =

fX (t)dt −∞

për çdo x ∈ R. Funksioni fX quhet densitet i n.r.v. X Në bazë të Teoremës 2.1. Z+∞ Zx fX (t)dt = lim fX (t)dt = lim FX (x) = F (+∞) = 1. −∞

x→+∞ −∞

x→+∞

T EOREMË 2.3. Nëse f është funksion jo-negativ, i integrueshëm (sipas Riemann-it) në R si +∞ R dhe fX (t)dt = 1, atëherë funksioni −∞

Zx F (x) =

f (t)dt, −∞

për çdo x ∈ R, është jo-zvoglues i vazhueshëm dhe F (−∞) = 0, F (+∞) = 1. Pra, ekziston n.r. X e vetme për të cilën f është densitet i saj. 30

V ËRTETIM . Bazuar në teoremën fundamentale mbi njësimin integral dhe Teoremën 2.2 

rrjedh saktësia e këtij pohimi. Në vazhdim japim disa veti të densitetit të shpërndarjes.

T EOREMË 2.4. Le të jenë FX dhe fX funksioni i shpërndarjes dhe densiteti i shpërndarjes, përkatësisht, për n.r.v. X. Atëherë, (i)FX0 (x) = fX (x) në të gjitha pikat, x ∈ R, në të cilat fX është i vazhueshëm, (iii) p(X = a) = 0, (iii) p(a < X < b) = p(a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = p(a ≤ X ≤ b) Zb fX (t)dt.

= a

V ËRTETIM . (i) Rrjedh nga teorema fundamentale mbi njësimin integral. (ii) Në bazë të Teoremës 1.1(ii) p(X = a) = p (∩∞ n=1 (a ≤ X < a + 1/n)) = lim p(a ≤ X < a + 1/n) n→∞

= lim [p(X < a + 1/n) − P (X < a)] n→∞  a+1/n  Z Za = lim  fX (t)dt − fX (t)dt n→∞

−∞

−∞

Za

Za fX (t)dt −

= −∞

fX (t) = 0.

−∞

(iii) Meqë Zb p(a ≤ X < b) = p(X < b) − p(X < a) =

Za fX (t)dt −

−∞

Zb fX (t)dt =

−∞

dhe p(a < X < b) = p(a ≤ X < b) − p(X = a) = p(a ≤ X ≤ b) − p(X = a) − p(X = b) = p(a < X ≤ b) − p(X = b), 31

fX (t)dt a

atëherë nga (ii) rrjedh (iii).



S HEMBULL 2.6. Le të jetë f (x) =

  ax2

0≤x≤2

,

x∈ / [0, 2].

 0 ,

(a) Të caktohet parametri a ashtu që f të jetë densitet për ndonjë n.r.v. X. (b) Të caktohet funksioni i shpërndarjes FX (x) dhe p(0 < X < 1). Z GJIDHJE . (a) Me që Z+∞ f (x)dx = 1, −∞

atëherë a =

3 . 8

(b) Meqë Zx FX (x) =

fX (x)dt, −∞

atëherë FX (x) =

  0,

x < 0,

  x3 , x ≥ 0. 8

Në veçanti, 1 p(0 < X < 1) = FX (1) − FX (0) = . 8  S HEMBULL 2.7. Është dhënë funksioni    0, x ≤ −a,    F (x) = A + B arcsin x , a     1, x ≥ a.

|x| < a,

(a) Të caktohen parametrat A, B ashtu që F të jetë funksion i shpërndarjes për ndonjë n.r.v. X. (b) Të caktohet densiteti f (x). (c) Të caktohet gjasa p(|X| < a2 ). 32

Z GJIDHJE . (a) Meqë në bazë të teoremës 2.3 F është i vazhdueshëm, atëherë   F (−a− ) = F (−a+ ),  F (a− ) = F (a+ ). Pra,   0 = A − π B, 2  1 = A + π B, 2 respektivisht A = 21 , B = π1 . Përfundimisht,    0, x ≤ −a,    F (x) = 1 + 1 arcsin x , 2 π a     1, x ≥ a.

|x| < a,

(b) f (x) = F 0 (x) =

  0,  

x∈ / (−a, a),

√1 , π· a2 −x2

x ∈ (−a, a).

(c)  a a a p(|X| < ) = p − < X < 2 2 2 a a = F ( ) − F (− ) 2 2 2 1 = arcsin . π 2  S HEMBULL 2.8. Supozojmë se koha e pritjes (në minuta) për të shërbyer në një sportel në një bankë është një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme që ka densitet të shpërndarjes    0, x < 0,    fX (x) = 1 , 0 ≤ x ≤ 1, 2      3 , x > 1. 2x4 (a) Të caktohet funksioni i shpërndarjes. (b) Të caktohet gjasa që p(X>1) (X > 2). 33

Z GJIDHJE . (a)    0, x < 0,    FX (x) = x , 0 ≤ x ≤ 1, 2     1 − 1 , x > 1. 2x3 (b) Në bazë përkufizimit të gjasës së kushtëzuar, kemi p(X>1) (X > 2) = =

p[(X > 2) ∩ (X > 1)] p(X > 1) p(X > 2) p(X > 1)

1 − FX (2) 1 − FX (1) 1 = . 8 =



2.4. Parametrat e ndryshores të rastësishme Funksioni i shpërndarjes FX (x) dhe densiteti fX për ndryshorën e rastësishme X janë karakterisitika të plota për atë ndryshore të rastëishme. Mirëpo, në praktikë këto karakteristika nuk dihen ose edhe nëse dihen llogaritjet me to mundë të jenë mjaft të komplikuar. Përveç kësaj, nganjëheë problemi i shtjelluar kërkon numër të vogël të të dhënave mbi ndryshorën e rastësishme. Prandaj, në teorinë e gjasës shpesh përdoren parametra numerik të caktuar të cilat deri në një farë mase karakterizojnë funksionin e shpërndarjes së gjasave të ndryshorës së rastësishme. Këta parametra janë: • Pritja (shpresa matematike)- parametër që karakterizon mesataren e vlerave të ndryshorës së rastësishme. • Varianca (dispersioni)- parametër që karakterizon masën e shpërndarjes të vlerave të ndryshorës së rastësishme rreth prtijes 2.4.1. Pritja e ndryshores të rastësishme. Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe X : Ω → R ndryshore e rastësishme. 34

P ËRKUFIZIM 2.5. Numri  P    xi · p(X = xi ) X − n.r.d.  xi ∈R(X) (2.4.1) E(X) = +∞ R     xfX (x)dx X − n.r.v. dhe fX densitet i X −∞

quhet pritje (shpresë matematike) për ndryshoren e rastësishme X. Nga përkufizimi rrjedhin këto veti të pritjes. T EOREMË 2.5. Për pritjen E(X) vlejnë kto veti: (i) E(X) egziston atëherë dhe vetëm atëherë kur egziston E(|X|); (ii) E(c) = c ku c është konstante; (iii) nëse X ≥ 0 atëherë edhe E(X) ≥ 0. P V ËRTETIM . (i) Nëse ekziston E(X), atëherë seria xi · p(X = xi ), xi ∈ R(X), kon+∞ R vergjon absolutisht për X n.r.d. ndërsa për X n.r.v. x · fX (x) konvergjon absolutisht. Pra, −∞

nëse E(X) ekziston atëherë ekziston E(|X|). Nga ana tjetër, meqë çdo seri (integral) absolutisht konvergjent është konvergjent, atëherë rrjedh që ekzistenca e E(|X|) implikon ekzistencën e E(X). (ii) Meqë R(c) = {c}, atëherë E(X) =

X

xi · p(c = xi )

xi ∈R(c)

= cp(c = c) = c. (iii) Meqë X ≥ 0 d.m.th. R(X) ≥ 0 dhe meqë p(X = xi ) ≥ 0 për xi ∈ R(X) (fX ≥ 0), 

atëherë rrjedh saktësia e pohimit. S HEMBULL 2.9. Nëse

 X∼

1

2

1 2

1 22

...

n

...

1 2n



... ...,



atëherë E(X) =

X

x i · Pi =

i∈N

X i 1X 1 = 2i 2 i∈N 2i−1 i∈N

Nga ana tjetër, seria funksionale 1 + x + x2 + ... + xn + ... = 35

1 1−x

është uniformisht konvergjente për |x| < 1. Prandaj, nëse e derivojmë term për term, marrim 1 + 2x + 3x2 + ... + nxn−1 + ... =

1 . (1 − x)2

Për x = 21 , kemi 1+

2 n 1 + ... + n−1 + ... = = 4. 2 2 (1 − 21 )2

Pra, E(X) =

1 · 4 = 2. 2

S HEMBULL 2.10. Densiteti i shpërndarjes për n.r.v. X është dhënë me (a)

(b)

fX (x) = λ · e−λ·x ,

fX (x) =

   1 sin x, 2

x ≥ 0, λ > 0; 0 y)dy = 0

y

0



Z+∞ =



Zx

dy  fY (x)dx

 0

0

Z+∞ = x · fY (x)dx = m(Y ). 0

Tani, për çdo funksion g : R → [0, +∞), kemi Z+∞ E(g(x)) = p (g(X) > y)) dy 0



 Z+∞ Z  =  0

 f (x)dx dy

x:g(x)>y

Z = x:g(x)>0

 g(x)  Z  dy  f (x)dx 0

Z+∞ = g(x) · fX (x)dx. 0

Meqë çdo funksion g : R → R mund të shkruhet në trajtën e ndryshimit të dy funksioneve jo-negative d.m.th. g = g+ − g−, ku g + (x) = max{0, g(x)} dhe g − (x) = max{0, −g(x)}, atëherë vërtetimi bëhet duke u bazuar në rastin e funksionit jo-negativ. Në fund, supozojmë tani që X është n.r.d. Duke i grupuar të gjith termat në

P

g(xi )p(xi )

i

që kanë vlera të njëjta të g(xi ) dhe supozojmë që yj j ≥ 1 paraqesin vlerat e ndryshme të g(xi ), 37

i ≥ 1, kemi X

g(xi ) · p(X = xi ) =

X

X

j

i:g(xi )=yj

=

X

X

j

i:g(xi )=yj

=

X

i

j

=

X

g(xi ) · p(X = xi ) yj · p(X = xi )

X

yj

p(X = xi )

i:g(xi )=yj

yj · p(g(X) = yj )

j

= E(g(X))  R RJEDHIM 2.2. Nëse X është n.r. dhe a, b janë konstante, atëherë E(aX + b) = aE(X) + b. V ËRTETIM . Supozojmë që X është n.r.d. Atëherë, X

E(aX + b) =

(axi + b)p(X = xi )

xi :p(X=xi )

= a

X

X

xi p(X = xi ) + b

xi :p(X=xi )

p(X = xi )

xi :p(X=xi )

= aE(X) + b. Ngjajshëm vërtetohet rasti kur X është n.r.v.



2.4.2. Variansa e ndryshores të rastësishme. Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe X : Ω → R ndryshore e rastësishme. P ËRKUFIZIM 2.6. Variansë (dispresion) për n.r. X quhet numri v(X) = E (X − E(X))2 . 38

Bazuar në teoremën 2.6, marrim  P    [xi − E(X)]2 · p(X = xi ), X − n.r.d,  xi ∈R(x) v(X) = +∞ R  2    [x − E(X)] · fX (x)dx, X − n.r.v., −∞

=

 P  2   [x2i − 2E(X)xi + (E(X))2 ] · p(X = xi ),  xi ∈R(x) +∞ R 2   

X − n.r.d,

2

2  [x − E(X)x + (E(X)) ] · fX (x)dx, X − n.r.v., −∞  P P  2  x · p(X = x ) − 2E(X) xi · p(X = xi )  i i   xi ∈R(x) xi ∈R(x)    P +(E(X))2 p(X = xi ), X − n.r.d, =  xi ∈R(x)    +∞ +∞ +∞ R R R 2   2  fX (x)dx, x · f (x)dx + (E(X)) x · f (x)dx − 2E(X)  X X

X − n.r.v.,

−∞

−∞

−∞

= E(X 2 ) − 2E(X) · E(X) + (E(X))2 = E(X 2 ) − (E(X))2 . T EOREMË 2.7. Vlejnë këto veti: (i) v(X) ≥ 0; (ii) v(c) = 0 , c- konstantë; (iii) v(c · X) = c2 · v(X), c - konstantë; (iv) nëse a, b konstante, atëherë v(aX + b) = a2 v(X). V ËRTETIM . Vërtetimi i vetitë (i), (ii) dhe (iii) është trivial. (iv) Nga vetia (iii) dhe rrjedhimi 2.2, kemi v(X + Y ) = E (aX + b − E(aX + b))2 = E (aX + b − aE(X) − b)2 = E (a(X − E(X)))2 = a2 E (X − E(X))2 = a2 v(X).  Për variancën v(X) numrin σ= 39

p v(X)

e quajmë devijim standard, ndërsa n.r. T =

X − E(X) X − E(X) p = σ v(X)

e quajmë n.r. të normuar për n.r. X. Qartë, E(T ) = 0 dhe v(T ) = 1. S HEMBULL 2.11. Nëse n.r.v. X ka densitetin   λ · e−λ·x , x ≥ 0, λ > 0, (a) fX (x) =  0, x < 0,   1, 0 ≤ x ≤ 1, ; (b) fX (x) =  0, x ∈ / [0, 1],    1 , −1 ≤ x ≤ 2, 3 ; (c) fX (x) =  0, x ∈ / [−1, 2],

;

atëherë të caktohet variansa v(X) (nëse egziston). R EZULTATET. 1 . λ2 1 v(X) = . 12 3 v(X) = . 4

(a)

v(X) =

(b) (c)



40

KAPITULLI 3

Shpërndarjet themelore të ndryshoreve të rastësishme Shpërndarjet themelore të ndryshoreve të rastësishme diskrete janë: • Shpërndarja binomiale (Bernoullie-t) • Shpërndarja e Poisson-it (Poisson-it) • Shpërndarja gjeometrike • Shpërndarja e Pascal-it Shpërndarjet themelore të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme janë: • Shpërndarja beta • Shpërndarja e gama • Shpërndarja normale (e Gauss-it)

I. Shpërndarjet themelore të ndryshores të rastësishme diskrete 3.1. Shpërndarja binomiale Supozojmë se ngjarja A realizohet me gjasë p = p(A) në n− prova të pavarura. Qartë, realizohet A ose A0 , ku gjasa e realizimit të ngjarjes A0 është q = 1 − p. Shënojmë ngjarjen ωx : ngjarja A realizohet x herë (A0 realizohet n − x herë), x = 0, 1, ..., n. n P Qartë ωx · ωy = ∅ për x 6= y, x, y = 0, 1, 2, ..., n si dhe ωx = S Pra, x=0

{ωx |x = 0, 1, 2, ..., n} është sistem i plotë i ngjarjeve. Nëse hapësira e ngjarjeve elemenater është Ω = {Ei |i ∈ I ⊂ N}, 41

atëherë ωx paraqet njërën nga këto kombinime Ex1 = |A · A {z · .... · A} · |A0 · A0 · {z A0 · ... · A}0 x

n−x

A0 · ... · A}0 Ex2 = A · .... · A} · |A0 · A0 · {z | · A {z x−1

n−x−1

.. . Exk = A · .... · A} · |A0 · A0 · {z A0 · ... · A}0 | · A {z n−x

Pra, k = Cnx =

n x




=

n! x!(n−k)!

x

është numri i rasteve të volitshme për realizimin e ngjarjes

ωx si dhe p(Ex1 ) = p(Ex2 ) = p(Ex3 ) = ... = p(Exk ) = p(A) · ... · p(A) · p(A0 ) · ... · p(A0 ) | {z } | {z } x

x

= p ·q

n−x

n−x

x

n−x

= p · (1 − p)

.

Nëse ndryshorja e rastësishme diskrete X është: numri i realizimeve të ngjarjes A në n- prova të pavaruar, atëherë p(X = x) = p(ωx ) = p(Ex1 + Ex2 + ... + Exk ) = p(Ex1 ) + p(Ex2 ) + ... + p(Exk ) = kx · px · q n−x = Cnx · px · q n−x ,

(x = 0, 1, 2, ..., n),

si dhe n X x=0

p(X = x) =

n X

Cnx · px · q n−x = (p + q)n = 1.

x=0

P ËRKUFIZIM 3.1. Ndryshorja e rastësishme diskrete X e cila ka shpërndarje të gjasave të dhënë me p(X = x) = Cnx · px · q n−x

(x = 0, 1, 2, ..., n)

themi që ka shpërndarje binomiale me parametrat n, p. 42

(∗)

Simbolikisht e shënojmë X ∼ B(n, p). Quhet "‘binomiale sepse gjasat të dhënë me (∗) janë koeficinet të zbërthimit binomial. Në veçanti, për n = 1 marrim shpërndarjen e Bernoullie-t. Funksioni i shpërndarjes për X ∼ B(n, p) është    0, x ≤ 0,    P bxc FX (x) = Cnk · pk · q n−k , 0 ≤ x < n,   k=0    1 x ≥ n, ku dxe = k ∈ Z ⇔

k−1≤x≤k

P OHIM 3.1. Le të jetë K numër i plotë i tillë që (n + 1)p − 1 ≤ K ≤ (n + 1)p Për X ∼ B(n, p), gjasa p(X = x) është rritës për x < K dhe zvoglues për x > K. Në veçanti, nëse (n + 1)p është numër i plotë, atëherë p(X = x) ka dy vlera maksimale: (n + 1)p − 1 dhe (n + 1) · p. V ËRTETIM . Nga (∗), kemi Cnx+1 · px+1 · q n−x−1 p(X = x + 1) = p(X = x) Cnx · px · q n−x p n−x = · . q x+1 Pra, p(X = x + 1) = Varësisht nga

p q

·

n−x x+1

p n−x · · p(X = x), q x+1

x = 0, 1, 2, ..., n − 1.

T 1, marrim p(X = x + 1) T ·p(X = x).

Prandaj, p n−x · = 1 ⇔ np − xp = qx + q q x+1 ⇔ np − (1 − p) = x(p + q) ⇔ np + p − 1 = x. 43

Meqë x− është numër i plotë atëherë merret pjesa e plotë e numrit

b(n + 1)p − 1c = x

Pra, ekziston K numër i plotë i tillë që

(n + 1)p − 1 ≤ K ≤ (n + 1)p

K x

ashtu që p(X = x) rritet për x < K (sepse zvoglues për x > K (sepse

K x

> 1 implikon p(X = x + 1) > p(X = x)) dhe

< 1 implikon p(X = x + 1) < p(X = x)).

Në veçanti, nëse (n + 1)p është i plotë atëherë

p(X = (n + 1)p) = p(X = (n + 1)p − 1).

 P OHIM 3.2. Nëse X ∼ B(n, p), atëherë

E(X) = n · p,

v(X) = n · p · q.

V ËRTETIM . Kemi

E(X) =

n X

x · p(X = x)

x=0

=

n X x=0

= np

x

n! px q n−x x!(n − x)!

n X

·

(n − 1)! px−1 q n−x (x − 1)!(n − x)!

·

(n − 1)! pt q n−t−1 t!(n − t − 1)!

x=1

= np

n−1 X t=0

= np(p + q)n−1 = np. 44

Ngjajshëm, n X

n

X n! n! E(X ) = x · px q n−x = x· px q n−x x!(n − x)! (x − 1)!(n − x)! x=0 x=1 2

=

n X

2

n! px q n−x (x − 1)!(n − x)!

(x − 1 + 1) ·

x=1

=

n X

(x − 1) ·

x=2

= n(n − 1)p

2

n X n! n! px q n−x + px q n−x (x − 1)!(n − x)! (x − 1)!(n − x)! x=1

n X

·

x=2

+pn

n X x=1

(n − 1)! px−1 q n−x (x − 1)!(n − x)!

= n(n − 1)p2

n−2 X t=0

+pn

n−1 X t=0

(n − 2)! px−2 q n−x (x − 2)!(n − x)!

·

(n − 2)! pt q n−2−x t!(n − 2 − x)!

(n − 1)! pt q n−1−t t!(n − 1 − x)!

= n(n − 1)p2 + np Prandaj, varianca v(X) është v(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = n(n − 1)p2 + np − n2 p2 = −np2 + np = np(1 − p) = npq.  S HEMBULL 3.1. Sa është gjasa që 10 hudhjet e njëpasnjëshme të monedhës metalike, 6 herë të bie stema. Z GJIDHJE . Le të jetë n.r.d. X: numri i rënieve të stemave në 10 hudhjet e njëpasnjëshme. Qartë, provat janë të pavarura dhe gjasa e të bie stemave gjatë hudhjeve është p = 1/2. Prandaj, X ∼ B(10, 1/2) si dhe 6 6 p(X = 6) = C10 p (1 − p)4 = 0.205.

 45

S HEMBULL 3.2. Gjasa që një prodhim është në defekt është 0.01. Nga magazina merren 100 prodhime. Sa është gjasa që (a) të jenë 5 me defekt; (b) numri i prodhimeve me defekt të mos jetë më i madhë se 10. Z GJIDHJE . Le të jetë n.r.d. X: numri i prodhimeve në defekt. Qartë, X ∼ B(100, 0.01). (a) 5 p(X = 5) = C100 · p5 q 95 = ... = 0.00579.

(b) p(X ≤ 10) =

10 X

x C100 px (1 − p)100−x .

x=0

 3.2. Shpërndarja e Poisson-it Nëse për shpërndarjen X ∼ B(n, p), parametri n është i madh atëherë që të caktohet gjasa p(X = x) është jopraktike. Një zgjidhje të pjesëshme të ktij problemi bëhet me pohimin vijues: T EOREMË 3.1. Nëse X ∼ B(n, p) ku parametri n rritet pambarisht ndërsa gjasa p zvoglohet në atë mënyrë që n · p = λ, λ− konstantë atëherë vlen lim P (X = x) = n→∞

p→0 n·p→λ

V ËRTETIM . Nga kushti që n · p = λ ⇒ p = p(X = x) =

λ n

λx · e−λ x!

dhe meqë X ∼ B(n, p), kemi

n! · px · q n−x x! · (n − x)! x−here

z }| {  x  n−x n(n − 1) · · · (n − x + 1) λ λ = · · 1− x! n n x−here

z }| {
−n ·(−λ) n(n − 1) · · · (n − x + 1) λx 1 − nλ λ = · ·
−x nx x! 1 − nλ 46

Prandaj, lim p(X = x) = n→∞

p→0 n·p→λ

λx · e−λ . x! 

Vërejmë që ∞ X λx · e−λ x=0

x!

−λ

=e

∞ X λx x=0

x!

= e−λ e˙ −λ = 1.

P ËRKUFIZIM 3.2. Për ndryshoren e rastësishme X themi se ka shpërndarje të Poisson-it me parametër λ, simbolikisht e shënojmë X ∼ P(λ), nëse densiteti pikësor i tij është pλ (X = x) =

λx · e−λ x!

x = 0, 1, 2, .... Funksioni i shpërndarjes për X ∼ P(λ) është    0, x ≤ 0, FX (x) = P bxc  λx ·e−λ  , x > 0.  x! k=0

Nga (∗) marrim formulën rekurente λ λ pλ (X = x) = ⇒ pλ (X = x) = · pλ (X = x − 1). pλ (X = x − 1) x x P OHIM 3.3. Nëse X ∼ P(λ), atëherë E(X) = λ = v(X). V ËRTETIM . Kemi E(X) =

∞ X

x · pλ (X = x)

x=0 ∞ X λx · e−λ = x x! x=0

= λe−λ

∞ X λx−1 (x − 1)! x=1

= λe−λ · eλ = λ. 47

(∗),

Ngjajshëm, E(X 2 ) =

∞ X

x2

x=0

= λe

−λ

λx · e−λ x!

∞ X

λx−1 (x − 1 + 1) (x − 1)! x=1

= λe−λ = λe−λ

∞ ∞ X X λx−2 λx−1 λ + (x − 2)! x=1 (x − 1)! x=2
λeλ + eλ

!

= λ2 + λ. Pra, v(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = λ.  S HEMBULL 3.3. Një sallë sportive ka 200 llampa elektrike, ku gjasa që në intervalin kohor t0 të digjet llampa është 0.03. Llampat ndrrohen në sallë nëse digjen më shumë se 10. Sa është gjasa që në intervalin kohor t0 të mos ndërrohen llampat. Z GJIDHJE . Le të jetë n.r.d. X: numri i llampave të djegura në intervalin kohor t0 . Qartë X ∼ B(200, 0.03) si dhe p(X ≤ 10) =

10 X

x C200 · (0.03)x · (1 − 0.03)200−x

x=0

gjë që është jopraktik të llogaritet një shumë e tillë. Prandaj, shpërndarjen binomiale e përafrojmë me shpërndarjen e Poisson-it me parametër λ = np = 200 · 0.03 = 6 : p(X ≤ 10) ∼ p6 (X ≤ 10) =

10 X 6x · e−6 x=0

x!

≈ 0.96. 

S HEMBULL 3.4. Të zgjidhen problemet të dhënë në shembujt 3.1 dhe 3.2 duke përafruar shpërndajen binomiale me atë të Poisson-it. 48

3.3. Shpërndarja gjeometrike Provat përsëriten deri në realizimin e parë të ngjarjes A dhe le të jetë në çdo provë gjasa e realizimit të ngjarjes A e njëjtë dhe e barabart me p = p(A) (p(A0 ) = q = 1 − p). Le të jetë ndryshorja e rastësishme X numri i provave të përsëritura deri në realizimin e ngjarjes A. Ngjarja A realizohet në provën e përsëritur x është ekuivalent me ngjarja A nuk realizohet në x − 1 provat e para të përsëritura dhe që në provën e x për të parën herë realizohet. Meqë këto ngjarje janë të pavarura, atëherë (3.3.1) 0 0 0 0 ) · p(A0 ) · · · p(A0 ) ·p(A) = q x−1 p, x = 1, 2, · · · . p(X = x) = p(A | · A{z· · · A} ·A) = p(A | {z } x−1

Qartë,

x−1

∞ X

p(X = x) = p

∞ X

q x−1 =

x=1

x=1

p = p. 1−q

P ËRKUFIZIM 3.3. Ndryshorja e rastësishme diskrete X e cila ka shpërndarje të gjasave të dhënë me (3.3.1) themi që ka shpërndarje gjeometrike me parametër p. Simbolikisht e shënojmë X ∼ G(p). Funksioni i shpërndarjes FX për X ∼ G(p) është FX (x) = p(X ≤ x) =

x X

p(X = k) = p

∞ X k=1

k=1

q k−1 = p

1 − qx = 1 − qx. 1−q

Për shpërndarjen gjeometrike, vlejnë këto veti: 1o p(X = x + 1) qxp = x−1 = q < 1, p(X = x) q p d.m.th. shpërndarje gjeometrike është monotono zvoglues.

49

2o për s, t > 0 kemi p(X>s) (X > s + t) =

p ((X > s + t)(X > s)) p(X > s)

=

p (X > s + t) p(X > s)

=

1 − FX (s + t) 1 − FX (s)

=

q s+t qs

= q t = 1 − FX (t) = p(X > t). Vetia e mësipërm njihet si "memorie e dobët" e shpërndarjes gjeometrike. P OHIM 3.4. Nëse X ∼ G(p), atëherë E(X) = 1/p dhe v(X) = q/p2 . V ËRTETIM . Meqë për |q| < 1 ∞ X

q x−1 =

x=1

1 , 1−q

atëherë ∞ X

xq x−1 =

1 , (1 − q)2

x2 q x−1 =

1+q . (1 − q)3

x=1 ∞ X x=1

Prandaj, E(X) = p

∞ X

xq x−1 =

x=1

2

m(X ) = p

∞ X

x2 q x−1 =

x=1

p 1 = , 2 (1 − q) p

p(1 + q) 1+q = , 3 (1 − q) p2

si dhe v(X) = m(X 2 ) − m2 (X) =

q . p2 

50

3.4. Shpërndarja e Pascal-it Provat përsëriten deri në realizimin r-herë të ngjarjes A dhe le të jetë në çdo provë gjasa e realizimit të ngjarjes A e njëjtë dhe e barabart me p = p(A) (p(A0 ) = q = 1 − p). Le të jetë ndryshorja e rastësishme X numri i provave të përsëritura deri në realizimin e ngjarjes A r-herë. Ngjarja: A realizohet r-herë në x, x ≥ r, provat e përsëritura është ekuivalent me ngjarjen: A realizohet r−1-herë në x−1 provate para të përsëritura dhe që në x − r provat nuk realizohet. r−1 Meqë realizimi r − 1-herë në x − 1 provat mund të ndodh në Cx−1 mënyra dhe meqë

gjasa e secilës nga ato rastet është pr−1 (1 − p)x−r , kemi r−1 r r−1 r x−r p(X = x) = Cx−1 p (1 − p)x−r = Cx−1 p q , x = r, r + 1, · · · .

(3.4.1)

Meqë, për 0 ≤ q < 1 −r

(1 − q)

=

∞ X

k C−r (−q)k

=

∞ X

k Ck+r−1 qk

=

x−r x−r Cx−1 q

k=0

k=0

k=0

∞ X

=

∞ X

r−1 x−r Cx−1 q ,

x=r

marrim që ∞ X

p(X = x) = 1.

x=r

P ËRKUFIZIM 3.4. Ndryshorja e rastësishme diskrete X e cila ka shpërndarje të gjasave të dhënë me (3.4.1) themi që ka shpërndarje të Pascal-it me parametrat p dhe r. Simbolikisht e shënojmë X ∼ P(p, r). Qartë, P(p, 1) = G(p). P OHIM 3.5. Nëse X ∼ P(p, r), atëherë E(X) = r/p dhe v(X) = rq/p2 . r−1 = rCxr dhe për |q| < 1 V ËRTETIM . Meqë xCx−1 ∞ X

R−1 y−R Cy−1 q = (1 − q)−R ,

y=R

51

atëherë E(X) = p

∞ X

r−1 x−r q xCx−1

x=r

= rpr

∞ X

Cxr q x−r

(zëvendësojmë x = y − 1)

x=r

= rp

r

∞ X

r Cy−1 q y−r−1

(zëvendësojmë r = R − 1)

y=r+1

= rp

r

∞ X

R−1 y−R Cy−1 q

y=R

r = rpr (1 − q)−R = . p Ngjajshëm tregohet që v(X) =

rq . p2 

52

II. Shpërndarjet themelore të ndryshores të rastësishme të vazhdueshme 3.5. Shpërndarja gama Gama funksioni përkufizohet si vijon Z Γ(α) =

∞

xα−1 e−x dx,

0

ku α > 0. Nëse itegralin e mësipërm e integrojmë me metodën me pjesë, marrim Z ∞ xα−1 d(−e−x ) Γ(α) = 0 Z ∞ α−1 −x ∞ = x e 0 + (α − 1) xα−2 e−x dx. 0

Pra, për α > 1 Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1).

(3.5.1) Në veçanti, për α = n ∈ N

Γ(n) = n!, sepse Γ(1) =

R∞ 0

e−x dx = 1.

Tani, le të konsiderojmë funksionin f : R → R të dhënë me   0, nëse x < 0, (3.5.2) f (x, α, λ) =   λα xα−1 e−λx , nëse x ≥ 0, Γ(α) ku α, λ > 0. Qartë, f (x, α, λ) ≥ 0 dhe Z

∞

f (x, α, λ)dx = 1.

(3.5.3) −∞

Prandaj, në bazë të teoremës 2.3 marrim këtë: P ËRKUFIZIM 3.5. Ndryshorja e rastësishme e vazhdueshme X themi që ka shpërndarje gama me parametër α > 0 dhe λ > 0 nëse densiteti e saj është funksioni f (x, α, λ) i dhënë me (3.5.2). Simbolikisht e shënojmë X ∼ Γ(α, λ). Në veçanti, për α = 1 marrim shpërndarjen eksponenciale të cilën simbolikisht e shënojmë X ∼ E(λ). Lehtë tregohet që densiteti f (x) = f (x, α, λ), x > 0, vetitë e më poshtme. 53

• Për α > 1, f (x) ka pikë maksimale në x =

α−1 . λ

• Për α ≥ 1, f (x) është zvoglues. • Për disa vlera të caktura të α, λ, grafiku i f (x) është:

Meqë funksioni i shpërndarjes për ndryshoren e rastësishme të vazhdueshme X është Z

x

FX (x) =

fX (x)dx, −∞

atëhere për X ∼ E(λ) kemi

FX (x) =

  0

nëse x < 0

 1 − e−λx

nëse x ≥ 0.

Prandaj, për u > 0 p(X > u) = 1 − p(0 ≤ X ≤ u) = 1 − (FX (u) − FX (0)) = e−λu . Rrjedhimisht, për s, t > 0 p(X>s) (X > s + t) = =

p (X > s + t) p ((X > s + t)(X > s)) = p(X > s) p(X > s) e−λ(s+t) = e−λt = p(X > t). e−λs

Relacioni i fundit mund të shpjegohet me anë të shembullit si vijon: në qoftë se ndryshorja e rastësishme X paraqet gjatësinë e punës (p.sh. në orë) të një pajisje pa prishje, atëherë jobarazimi X > s do të thotë se pajisja është në regull pas s–orë pune. Me fjal të tjera, sikur pajisja "nuk din" që më parë ka punuar s–orë. Në praktikë është treguar që vërtetë kjo veti i karakterizon disa nga pajisjet elektrike. T EOREMË 3.2. Nëse X ∼ Γ(α, λ), atëherë E(X) = α/λ dhe v(X) = α/λ2 . 54

V ËRTETIM . Në bazë të (3.5.1) dhe (3.5.3) Z ∞ α α−1 −λx λ x e x E(X) = dx Γ(α) 0 Z α ∞ λα+1 xα e−λx = dx λ 0 Γ(α + 1) Z α ∞ f (x, α + 1, λ)dx = λ −∞ α = . λ Ngjajshëm, 2

∞

λα xα−1 e−λx dx Γ(α) 0 Z α(α + 1) ∞ λα+1 xα+1 e−λx dx = λ2 Γ(α + 2) 0 Z α(α + 1) ∞ f (x, α + 2, λ)dx = λ2 −∞ Z

E(X ) =

=

x2

α(α + 1) . λ2

Rrjedhimisht, v(X) = E(X 2 ) − E ( X) =

α . λ2 

3.6. Shpërndarja beta Beta funksioni me përkufizohet si vijon Z 1 B(α, β) = xα−1 (1 − x)β−1 dx, 0

ku α, β > 0. Lidhshmëria ndërmjet funksioneve beta dhe gama jepet me relacionin B(α, β) =

Γ(α)Γ(β) . Γ(α + β)

Në bazë të relacionit të mësipërm dhe (3.6.1), kemi (3.6.1)

B(α + 1, β) = 55

α B(α, β). α+β

Tani, le të konsiderojmë funksionin f : R → R të dhënë me

(3.6.2)

  0,

f (x, α, β) =

nëse x ∈ / [0, 1],

  xα−1 (1−x)β−1 , B(α,β)

nëse x ∈ [0, 1],

ku α, β > 0. Qartë, f (x, α, β) ≥ 0 dhe Z

∞

f (x, α, β)dx = 1.

(3.6.3) −∞

Prandaj, në bazë të teoremës 2.3 marrim këtë: P ËRKUFIZIM 3.6. Ndryshorja e rastësishme e vazhdueshme X themi që ka shpërndarje beta me parametër α > 0 dhe β > 0 nëse densiteti e saj është funksioni f (x) = f (x, α, β) i dhënë me (3.6.2). Simbolikisht e shënojmë X ∼ B(α, β). Nëse X ∼ B(α, β), atëherë për n.r. Y = a + (b − a)X, a < b, themi që ka shpërndarje të përgjithësuar beta. Në veçanti, për α = 1 = β marrim shpërndarjen uniforme të cilën simbolikisht e shënojmë X ∼ U(0, 1). Në përgjithësi, Y ∼ U(a, b) nëse

fY (x) =

  0  

1 b−a

nëse x ∈ / [a, b] nëse x ∈ [a, b].

Për disa vlera të caktura të α, β, grafiku i f (x, α, β) është:

56

Për X ∼ U(a, b) kemi

FX (x) =

   0   

x−a

b−a     1

nëse x < a nëse x ∈ [a, b] nëse x > b.

Prandaj, p(s ≤ X ≤ t) = FX (t) − FX (s) = T EOREMË 3.3. Nëse X ∼ B(α, β), atëherë E(X) =

t−s . b−a

α α+β

dhe v(X) =

αβ . (α+β)2 (α+β+1)

V ËRTETIM . Në bazë të (3.6.1) dhe (3.6.3) E(X) = = = =

1

xα−1 (1 − x)β−1 dx x B(α, β) 0 Z 1 α α x (1 − x)β−1 dx α + β 0 B(α + 1, β) Z 1 α f (x, α + 1, β)dx α+β 0 α . α+β

Z

Ngjajshëm, 1

xα−1 (1 − x)β−1 dx B(α, β) 0 Z 1 α+1 x (1 − x)β−1 α(α + 1) dx = (α + β)(α + β + 1) 0 B(α + 2, β) Z 1 α(α + 1) = f (x, α + 2, β)dx (α + β)(α + β + 1) 0 Z

E(X) =

=

x2

α(α + 1) . (α + β)(α + β + 1)

Rrjedhimisht, v(X) = E(X 2 ) − E ( X) =

αβ (α +

β)2 (α

+ β + 1)

. 

57

3.7. Shpërndarja normale (e Gauss-it) Shpërndarja normale ka rëndësi më të madhe në mesin e e shpërndarjeve të gjasave për ndryshoret e rastësishme të vazhdueshme, për arsyet e mëposhtme: • shumë ndryshore të rastësishme, të cilat paraqiten në lidhje me ndonjë eksperiment, kan shpërndarje normale; • numër i madhë i shpërndarjeve për ndryshoret e rastësishme mund të përafrohen me anë të shpërndarjes normale; • nëse ndryshorja e rastësishme nuk ka shpërndarje normale dhe as nuk mund të përafrohet shpërndarja e saj me shpërndarje normale, atëherë mund të bëhet transformimi i saj relativisht thjesht në ndryshore të rastësishme me shpërndarje normale. Funksion 1 Φ(x) = √ 2π

Z

x

t2

e− 2 dt

−∞

quhet funksion i Laplace-it. Funksioni Φ(x) ka këto veti: • Φ(−∞) = 0, Φ(∞) = 1 dhe Φ(0) = 1/2; • Φ(x) = 1/2 është rritës; • Φ(−x) = 1 − Φ(x). Meqë nuk ekziston formula "eksplicite" për Φ(x) (paraqitja integral e tij nuk mund te shprehet përmes funksioneve elementare), atëherë për vlera të ndryshme të x, vlerat përkatëse të funksionit Φ(x) jepen në tabela. Gjithashtu, për 0 ≤ x ≤ ∞ mund të përdoret formula përafrues   1 x3 x5 x2n+1 1 −x2 /2 x+ + + ··· . Φ(x) ≈ + √ e 3 3·5 (2n + 1)!! 2 2π Tani, konsiderojmë funksionin f : R → R të dhënë me (3.7.1)

(x−µ)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 , σ 2π

µ ∈ R, σ > 0.

Në bazë të vetive të funksionit të Laplace-it Φ, lehtë tregohet që Z ∞ f (x)dx = 1. −∞

Prandaj, në bazë të teoremës 2.3 marrim këtë: 58

P ËRKUFIZIM 3.7. Ndryshorja e rastësishme e vazhdueshme X themi që ka shpërndarje normale ( të Gauss-it) me parametra µ ∈ R dhe σ > 0, simbolikisht e shënojmë X ∼ N (µ, σ), nëse densiteti e saj është i dhënë me (3.7.1). Lehtë tregohet që densiteti f (x) ka këto veti: • është simetrik në lidhje me drejtëzën x = µ;   1 √ • pika maksimale është M = µ, σ 2pi ; • f (x) → 0 kur x → ∞, d.m.th. x = 0 është asimptotë horizontale;     −1/2 −1/2 • pikat e lakesës janë I1 = µ − σ, σe√2pi dhe I2 = µ + σ, σe√2pi • grafiku i funksionit është:

Funksioni i shpërndarjes për X ∼ N (µ, σ) është Z x (z−µ)2 1 z−µ √ FX (x) = e− 2σ2 dz ) (zëvendësojmë t = σ σ 2π −∞ Z x−µ σ t2 1 = √ e− 2 dt 2π −∞   x−µ . = Φ σ Prandaj,  (3.7.2)

p(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = Φ

b−µ σ



 −Φ

a−µ σ

Në veçanti, nëse a = −∞ atëherë  p(X < b) = Φ

b−µ σ

 .

T EOREMË 3.4. Nëse X ∼ N (µ, σ), atëherë E(X) = µ dhe v(X) = σ 2 . 59

 .

V ËRTETIM . Në fillim, supozojmë që Z ∼ N (0, 1), d.m.th. Z =

X−µ σ

është n.r. e normuar

për n.r. X. Atëherë Z ∞ x2 1 E(Z) = √ xe− 2 dz 2π −∞ x2 ∞ 1 = − √ e− 2 −∞ 2π = 0. Nga ana tjetër, duke zbatuar integrimin me pjesë Z ∞ x2 1 2 x2 e− 2 dz E(Z ) = √ 2π −∞   Z ∞ 2 2 1 − x2 ∞ − x2 e dz = √ −xe + −∞ 2π −∞ = 1. Rrjedhimisht, v(Z) = E(X 2 ) − E 2 (Z) = 1. Meqë X = µ + σZ, atëherë E(X) = E(µ + σZ) = µ + σE(Z) = µ, v(X) = v(µ + σZ) = σ 2 v(Z) = σ 2 .  S HEMBULL 3.5. Sa është gjasa që vlerat e ndryshores të rastësishme X ∼ N (µ, σ) të ndodhen në intervalin (µ − kσ, µ + kσ)?, k ∈ {1, 2, 3}. Z GJIDHJE . Nga (3.7.2), kemi p(µ − kσ < X < µ + kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1. Për k = 3, nga tabelat për vlerat e Φ, marrim Φ(3) ≈ 0.9987, prandaj p(µ − 3σ < X < µ + 3σ) ≈ 0.9974. Ngjajshëm, p(µ − σ < X < µ + σ) ≈ 0.6827, p(µ − 2σ < X < µ + 2σ) ≈ 0.9545.  60

S HEMBULL 3.6. Nëse X ∼ N (20, 2), atëherë të caktohent p(18 < X < 24) dhe p(X < 24) Z GJIDHJE . Nga (3.7.2) dhe tabelat për vlerat e Φ, kemi p(18 < X < 24) = Φ(2) − Φ(−1) ≈ 0.8186, p(X < 24) = Φ(2) ≈ 0.9773.  S HEMBULL 3.7. Gjuajtësi nuk bënë gabime sistematike dhe devijim nga drejtimi i gjuajtjes së predhave në cak. Gabimet e rastësishme kanë shpërndarje normale N (0, σ). Gjasa e devijimit nga caku për jo më shumë se 20 m është 0.8. Të caktohet caktohet distanca e shpërndarjes se 50% të predhave rreth cakut. Z GJIDHJE . Le të jetë X ∼ N (0, σ). Parametrin σ e caktojmë nga kushti p(|X| ≤ 20) = 0.8. Nga (3.7.2) dhe tabelat për vlerat e Φ, kemi 2Φ(20/σ) − 1 = 0.8 rrjedhimisht σ ≈ 15.4. Tani, caktojmë distancën d nga kushti që p(|X| ≤ d) = 0.5. Pra, 2Φ(d/15) − 1 = 0.5 rrjedhimisht d ≈ 10m.



61

KAPITULLI 4

Vektori i rastësishëm 4.1. Vektori i rastësishëm. Funksioni i përbashkët i shpërndarjes S HEMBULL 4.1. Konsiderojmë eksperimentin: monedha metalike hudhet dy herë. Hapësira e ngjarjeve elementare është Ω = {(N, N ), (N, S), (S, N ), (S, S)}. Le të jenë ndryshoret e ratësishme: X: numri i vlerave numerike të monedhave të rëna gjatë hudhjes, Y : numri i stemave të rëna gjatë hudhjes. Qartë, R(X) = {0, 1, 2} dhe R(Y ) = {0, 1, 2}. Shënojmë me ωi , (i = 1, 2, .., 4) ngjarjet elementare: ω1 = (N, N ), (S, N ),

ω2 = (N, S),

ω3 =

ω4 = (S, S). Atëherë, X(ω1 ) = 2, Y (ω1 ) = 0, X(ω2 ) = 1, Y (ω2 ) = 1, X(ω3 ) = 1, Y (ω3 ) = 1, X(ω4 ) = 0, Y (ω4 ) = 2.

Në vend që konsiderojmë dy funksione ω → X(ω) dhe ω → Y (ω), ne mundë të konsiderojmë vektor-funksionin ω → Z(ω) = (X(ω), Y (ω)), d.m.th. Z : Ω → R2 . Prandaj, Z(ω1 ) = (2, 0),

Z(ω2 ) = (1, 1),

Z(ω3 ) = (1, 1),

Z(ω4 ) = (0, 2).

P ËRKUFIZIM 4.1. Le të jetë (Ω, F, p) hapsirë e gjasës dhe le të jenë Xi : Ω → R, i− = 1, · · · , n, ndryshore të rastësishme në (Ω, F, p). Pasqyrimi (funksioni) X = (X1 , X2 , ..., Xn ) : Ω → Rn 62

e quajmë vektor i rastësishëm n− dimensional. Qartë, për x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ngjarja (X < x) = {ω ∈ Ω|X(ω) < x} = {ω ∈ Ω|X1 (ω) < x1 , X2 (ω) < x2 , ..., Xn (ω) < xn } = (X1 < x1 , X2 < x2 , ..., Xn < xn ) , ku ngjarja (X1 < x1 , X2 < x2 , ..., Xn < xn ) paraqet prerjen e ngjarjeve X1 < x1 , X2 < x2 , ... , Xn < xn . P ËRKUFIZIM 4.2. Funksioni i përbashkët i shpërndarjes për vektorin e rastësishëm X = (X1 , X2 , ..., Xn ) në (Ω, F, p) e quajmë funksionin FX (x) = p(X < x) = p(X1 < x1 , X2 < x2 , ..., Xn < xn ) ku, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn . Bazuar në vetitë e funksionit të shpërndarjes për funksionin e shpërndarjes të n.r., në vazhdim japim disa veti të funksionit të përbashkët të shpërndarjes për vektorin e rastësishëm. Në vazhdim, do të konsiderojmë rastin kur n = 2, sepse rastet kur n > 2 analizohen në të njëjtën mënyrë. T EOREMË 4.1. Për funksionin e përbashkët të shpërndarjes FX (x) = FX (x1 , x2 ) të vektorit të rastësishëm X = (X1 , X2 ) vlejnë kto veti: (i) FX (+∞, x2 ) = FX2 (x2 ), FX (x1 , +∞) = FX1 (x1 ), FX (+∞, +∞) = 1; (ii) FX (−∞, x2 ) = FX (x1 , −∞) = FX (−∞, −∞) = 0; (iii) p(a1 ≤ X1 < b1 , a2 ≤ X2 < b2 ) = FX (b1 , b2 ) − FX (b1 , a2 ) − FX (a1 , b2 ) + FX (a1 , a2 ); (iv) funksioni i përbashkët e shpërndajres është jozvoglues. 63

V ËRTETIM . (i) Meqë FX2 (x2 ) = p(X2 < x2 ) = p(X1 < +∞, X2 < x2 ) = FX (∞, x2 ). Ngjashëm vërtetohen rastet tjera. (ii) Meqë (X1 < −∞, X2 < x2 ] = φ, atëherë FX (−∞, x2 ) = p(X1 < −∞, X2 < x2 ) = p(φ) = 0. Ngjashëm vërtetohen rastet tjera. (iii) Le të jenë a1 < b1 , a2 < b2 . Atëherë, në bazë vetive mbi veprimet e ngjarjeve kemi p(a1 ≤ X1 < b1 , a2 ≤ X2 < b2 ) = p(X1 < b1 , a2 ≤ X2 < b2 ) − p(X1 < a1 , a2 ≤ X < b2 ) = p(X1 < b1 , X2 < b2 ) − p(X1 < b1 , X2 < a2 ) −[p(X1 < a1 , X2 < b2 ) − p(X1 < a1 , X2 < a2 )] = FX (b1 , b2 ) − FX (b1 , a2 ) − FX (a1 , b2 ) + FX (a1 , a2 ). (iv) Nga (ii) dhe (iii), për a1 < b1 , kemi 0 ≤ p(a1 ≤ X1 < b1 , X2 < x) = FX (b1 , x) − FX (b1 , −∞) − FX (a1 , x) + FX (a1 , −∞) = FX (b1 , x) − FX (a1 , x). Pra, FX (a1 , x) ≤ FX (b1 , x), ∀x ∈ R. Ngjajshëm, për për a2 < b2 dhe ∀x ∈ R, kemi FX (x, a2 ) ≤ FX (x, b2 ). Përfundimisht, FX është jozvoglues  4.2. Vektori i rastësishëm diskret P ËRKUFIZIM 4.3. Nëse ndryshoret e rastësishme X : Ω → R dhe Y : Ω → R janë diskrete atëherë vektori i rastësishëm Z = (X, Y ) : Ω → R2 quhet diskret (dy dimensional). 64

Meqë X : Ω → R dhe Y : Ω → R janë n.r.d., atëherë R(X) = {x1 , x2 , ...}, R(Y ) = {y1 , y2 , ...}. Funksioni pZ : R2 → R i dhënë me :   pij = p(X = xi , Y = yj ) pZ (x, y) =  0 në të kundërtën .

nëse x = xi ∈ R(X), y = yj ∈ R(Y ),

e quajmë funksion i gjasës ose densitet pikësor për vektorin e rastësishëm diskret Z = (X, Y ). Qartë, vektori i rastësishëm diskret Z = (X, Y ) është plotësisht i përcaktuar me {R(X), R(Y ) si dhe gjasat pZ . Simbolikisht e shënojmë  X/Y y1 y2 · · · yj   x p11 p12 · · · p1j 1    x2 p21 p22 · · · p2j  (4.2.1) Z(X, Y ) ∼  . .. .. ..  .. . . .    xi pi1 pi2 · · · pij  .. .. .. . . . . · · · ..

···



 ···    ···       ···   ···

Relacioni (2.4.1) paraqet ligjin e shpërndarjes së gjasave për vaktorin e rastësishëm diskret Z. Meqë Ω=

[

[

{ω ∈ Ω|X(ω) = xi , Y (ω) = yj } =

xi ∈R(X),yj ∈R(Y )

(X = xi , Y = yj )

xi ∈R(X),yj ∈R(Y )

dhe për (xi , yj ) 6= (xk , yl ) (X = xi , Y = yj ) ∩ (X = xk , Y = yl ) = φ, kemi 1 = p(Ω) =

X

p(X = xi , Y = yj ) =

xi ∈R(X),yj ∈R(Y )

X

X

p(X = xi , Y = yj ).

xi ∈R(X) yj ∈R(Y )

Në bazë të përkufizimit të funksionit të përbashkët të shpërndajes, kemi FZ (x, y) = p(X < x, Y < y) =

X X xi ≤x j:yj 3, Y:  0 në të kundërtën. Të gjendet ligji i shpërndarjes së gjasave për ndryshoren e rastësishme diskrete Z = (X, Y ) . Z GJIDHJE . Qartë, R(X) = {1, 2, 3, ..., 6} dhe R(Y ) = {0, 1}. Gjasat pij = p(X = xi , Y = yk ), ku xi ∈ {1, 2, ..., 6} dhe yj ∈ {0, 1}, janë: 1 6 1 = p(X = 2, Y = 0) = 6 1 = p(X = 3, Y = 0) = 6

p10 = p(X = 1, Y = 0) =

p11 = p(X = 1, Y = 1) = 0

p20

p21 = p(X = 2, Y = 1) = 0

p30

p31 = p(X = 3, Y = 1) = 0

p40 = p(X = 4, Y = 0) = 0 p50 = p(X = 5, Y = 0) =

p41 = p(X = 4, Y = 1) =

1 6

1 6

p51 = p(X = 5, Y = 1) = 0

p60 = p(X = 6, Y = 0) = 0

p61 = p(X = 6, Y = 1) =

1 6

Pra,         Z(X, Y ) ∼        

X/Y

0 1

1

1 6

0

2

1 6

0

3

1 6

0

4

0

1 6

5

1 6

0

4

0

1 6

                

66

S HEMBULL 4.3. Nëse 

X/Y

0

1



0

1 18

6 18

1

3 18

4 18

2

3 18

1 18

     

   Z(X, Y ) ∼    atëherë të gjenden

(i) p(X = xi ) dhe p(Y = yj ) ku xi ∈ R(X), yj ∈ R(Y ); (ii) p(X > 0),

p(X < 1),

p(X < 1, Y < 2),

p(X < 1, Y ≤ 2);

(iii) FZ (−1, 3), FZ (1, 1.35), FZ (2, 2), FZ (2.17, 1.5). Z GJIDHJE . (i) Qartë, R(X) = {0, 1, 2}, R(Y ) = {0, 1} si dhe p(X = xi ) =

X

p(X = xi , Y = yj ),

yj ∈R(Y )

p(Y = yj ) =

X

p(X = xi , Y = yj ).

xi ∈R(X)

Pra, p(X = 0) =

X

p(X = 0, Y = yj )

yj ∈{0,1}

= p(X = 0, Y = 0) + p(X = 0, Y = 1) =

p(X = 1) =

X

6 7 1 + = , 18 18 18

p(X = 1, Y = yj )

yj ∈{0,1}

= p(X = 1, Y = 0) + p(X = 1, Y = 1) =

p(X = 2) =

X

4 7 3 + = , 18 18 18

p(X = 2, Y = yj )

yj ∈{0,1}

= p(X = 2, Y = 0) + p(X = 1, Y = 1) =

p(Y = 0) =

X

3 1 4 + = , 18 18 18

p(X = xi , Y = 0)

xi ∈{1,2,3}

= p(X = 0, Y = 0) + p(X = 1, Y = 0) + p(X = 2, Y = 0) = 67

7 , 18

p(Y = 1) =

X

p(X = xi , Y = 1)

xi ∈{1,2,3}

= p(X = 0, Y = 1) + p(X = 1, Y = 1) + p(X = 2, Y = 1) =

11 . 18

Rrjedhimisht,  X∼

0

1

2

7 18

7 18

4 18





,

Y ∼

0

1

7 18

11 18

 .

(ii) Kemi 11 , 18 14 p(X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = , 18 p(X > 0) = p(X = 1) + p(X = 2) =

7 , 18 7 p(X < 1, Y ≤ 2) = p(X = 0, Y = 0) + p(X = 0, Y = 1) = . 18 p(X < 1, Y < 2) = p(X = 0, Y = 0) + p(X = 0, Y = 1) =

(iii) Kemi FZ (−1, 0) = p(X < −1, Y < 0) = 0, FZ (1, 1.35) = p(X < 1, Y < 1.35) = p(X = 0, Y = 0) + p(X = 0, Y = 1) =

7 . 18 

Ngjajshëm gjenden edhe rastet tjera. 4.3. Vektori i rastësishëm i vazhdueshëm

Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe le të jetë X : Ω → R dhe Y : Ω → R ndryshore të rastësishme. P ËRKUFIZIM 4.4. Vektori i rastësishëm Z = (X, Y ) quhet i vazhdueshëm nëse ekziston funksioni jo-negativ fX,Y i përkufizuar në R2 i till që Zx Zy p(X < x, Y < y) =

fX,Y (u, v)dvdu. −∞ −∞

Funksioni fX,Y quhet densitet i përbashkët i ndryshoreve të rastësishme X dhe Y. Në vazhdim japim disa veti të densitetit të përbashkët fZ : R2 → [0, +∞], Z = (X, Y ). 68

T EOREMË 4.2. Le të jenë FX,Y , fX,Y funksioni i përbashkët i shpërndarjes dhe densiteti i përbashkët, përkatësisht, për ndryshoret e rastësishme X, Y. Atëherë, (i) në të gjitha pikat (x, y) ∈ R2 në të cilat densiteti fX,Y është i vazhdueshëm

fX,Y (x, y) =

∂ 2 FX,Y (x, y) ; ∂x∂y

(ii) Z+∞ Z+∞ fX,Y (x, y)dydx = 1; −∞ −∞

(iii) Zb Zd p(a ≤ X < b, c ≤ Y < d) =

fX,Y (x, y)dxdy; a

c

(iv) Nëse fX (fY ) është densitet për ndryshorën e rastësishme X(Y ) atëherë 

 Z+∞ fY (y) = fX,Y (x, y)dx .

Z+∞ fX (x) = fX,Y (x, y)dy −∞

−∞

V ËRTETIM . (i) Rrjedh nga teorema fundamentale mbi njësimin integralit të dyfisht (shumëfisht). (ii) Në bazë të teoremës 2.5(i) Z+∞ Z+∞ fXY (x, y)dxdy = −∞ −∞

= =

Za Zb lim

a→+∞ b→+∞−∞ −∞

fXY (x, y)dxdy

lim p(X ≤ a, Y ≤ b)

a→+∞ b→+∞

lim FX,Y (a, b)

a→+∞ b→+∞

= FX,Y (+∞, +∞) = 1. 69

(iii) Në bazë të teoremës 2.5(iii) dhe vetive te integralit të dyfisht, kemi p(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = FXY (b, d) − FXY (a, d) − FXY (b, c) + FXY (a, c) Zb Zd

Za Zd fZ (x, y)dydx −

= −∞ −∞

Zb

fZ (x, y)dydx

−∞ −∞

Zc

−

Za Zc fZ (x, y)dydx +

−∞ −∞

Zb Zd

fZ (x, y)dydx

−∞ −∞

Zb Zc fZ (x, y)dydx −

= a −∞

fZ (x, y)dydx a −∞

Zb Zd =

fZ (x, y)dydx. a

c

(iv) Meqë Zx fX (x)dx = p(X < x) = p(X < x, Y < +∞) −∞

Zx Z+∞ = fX,Y (t, y)dydt, −∞ −∞

atëherë Z+∞ fX (t) = fX,Y (t, y)dydt. −∞



Ngjashëm tregohet rasti tjetër.

S HEMBULL 4.4. Vektori i rastësishëm i vazhdueshëm Z = (X, Y ) është i dhënë me densitetin fX,Y (x, y) =

   1 (6 − x − y) nëse x ∈ [0, 2], y ∈ [2, 4], 8  0 në të kundërtën.

(a) Të njehësohen gjasat p(X < 1.25, Y < 3.5), p(X > 1, Y > 3). (b) Të njehësohen FX,Y (1.2, 3.2), FX,Y (−1, −2), FX,Y (0.5, 3.2). (c) Të gjenden fX dhe fY . Z GJIDHJE . (a) Kemi 70

Z1.25 Z3.5 fXY (x, y)dxdy

p(X < 1.25, Y < 3.5) = −∞ −∞

1 = 8

Z1.25Z3.5 (6 − x − y)dxdy 0

2

3.5 Z1.25 2 1 y = (6y − xy − ) dx 8 2 0

=

2

5 . 16

Ngjajshëm njesohen edhe rastet tjera. (b) Kemi 1 FX,Y (1.2, 3.2) = 8

Z1.2 Z3.2 fX,Y dxdy −∞ −∞

1 = 8

Z1.2Z3.2 (6 − x − y)dxdy = ... 0

2

(c) Kemi Z+∞ Z4 1 1 fX (x) = fX,Y (x, y)dy = (6 − x − y)dy = (3 − x). 8 4 −∞

2

Ngjashëm, Z+∞ Z2 1 1 fY (y) = fX,Y (x, y)dx = (6 − x − y)dx = (5 − y). 8 4 −∞

0

Pra, fX,Y (x, y) 6= fX (x) · fY (y).  S HEMBULL 4.5. Le të jetë fX,Y : R2 → R i dhënë me   cxye−x2 · e−y2 , x ≥ 0, y ≥ 0, fX,Y (x, y) =  0, në të kundërtën, 71

ku c > 0. Të caktohet konstanta c ashtu që fX,Y : R2 → R është densitet i përbashkët për Z = (X, Y ). Pastaj të gjenden FX,Y , fX , fY . Z GJIDHJE . Qartë fX,Y (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2 . Meqë Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ 2 2 1= fXY (x, y)dxdy = c x · y · e−x · e−y dxdy −∞ −∞

0

0

Z+∞ Z+∞ 2 −x2 = c xe dx ye−y dy 0

0 −x2

= c −

e

!∞

2

e−y − 2

0

2

!∞ 0

c . = 4 Pra, c = 4. Për x, y > 0 Zx Zy FX,Y (x, y) =

fXY (u, v)dudv −∞ −∞

Zx = 4

ue

−u2

0

Zy du

2

ve−v dv

0 −x2

= (1 − e

2

)(1 − e−y ).

Nëse x ≤ 0 ose y ≤ 0, atëherë FX,Y (x, y) = 0. Nga teorema 2.6(iv), fX (x) = 0 n.q.s x ≤ 0 si dhe për x > 0 Z+∞ 2 2 2 fX (x) = 4 xe−x ye−y dy = 2xe−x . 0

Ngjajshëm, fY (y) = 0 n.q.s y ≤ 0 si dhe për y > 0 Z+∞ 2 2 2 fY (y) = 4 xe−x ye−y dx = 2ye−y . 0

Pra, fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y).  72

4.4. Ndryshoret e rastësishme të pavarura Le të jetë (Ω, F, p) hapsirë e gjasës dhe le të jenë X : Ω → R, Y : Ω → R ndryshore të rastësishme. P ËRKUFIZIM 4.5. Për ndryshoret e rastësishme X, Y themi se janë të pavaruara nëse p(X < a, Y < b) = p(X < a) · p(Y < b),

(4.4.1)

∀a, b ∈ R.

Me fjalë të tjera X, Y janë të pavaruara nëse ngjarjet E = {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ a}, ∀a ∈ R F = {ω ∈ Ω|Y (ω) ≤ b}, ∀b ∈ R janë të pavarura. • Nëse X, Y janë ndryshore të rastësishme diskrete, atëherë relacioni (2.5.1) mundë të shkruhet në trajtën p(X = x, Y = y) = p(X = x) · p(Y = y),

∀x ∈ R(X), ∀y ∈ R(Y ).

• Nëse X, Y janë ndryshore të rastësishme të vazhdueshme atëherë (1.2) mund të shkruhet në trajtën fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y),

∀x, y ∈ R

S HEMBULL 4.6. Nëse     Z(X, Y ) ∼   

X/Y

0

1



0

1 18

6 18

1

3 18

4 18

2

3 18

1 18

     

Atëherë, ndryshoret e rastësishme diskrete X, Y nuk janë të pavarura, sepse p.sh. p(X = 0, Y = 0) =

1 49 6= = p(X = 0) · p(Y = 0). 18 18 73

S HEMBULL 4.7. Le të jetë fXY : R2 → [0, +∞) densitet i përbashkët për ndryshoret e rastësishme X dhe Y të dhënë me (shih shembullin 2.13):   4xy · e−x2 −y2 , x ≥ 0, y ≥ 0, fX,Y (x, y) =  0, në të kundërtën. Atëherë, fXY (x, y) = fX (x) · fY (y) d.m.th. ndryshoret X dhe Y janë të pavaruara. S HEMBULL 4.8. Le të jenë X, Y distanca e gabuar horizontale dhe vertikale kur gjuajmë me plumba në objektiv (shenjë) dhe supozojmë që: (1) X dhe Y janë ndryshore të vazhdueshme të pavarura që kanë densitete të derivueshme, (2) densiteti i përbashkët fXY (x, y) = fX (x) · fY (y) i vektorit të rastësishëm Z = (X, Y ) varet nga çifti (x, y) vetëm nëpërmjet x2 + y 2 . Qartë, kushti (2) thekson që gjasa e qëllimit të pikës (x, y) varet vetëm nga distanca nga pika (qendra e objektivit) (0, 0) e jo edhe nga këndi i saj i orientimit. Z GJIDHJE . Në bazë kushteve (1) dhe (2), kemi (4.4.2)

fX (x) · fY (y) = fX,Y (x, y) = g(x2 + y 2 )

për ndonjë funksion g. Nëse derivojmë sipas x-it, marrim fX0 (x) · fY (y) = 2xg 0 (x2 + y 2 ). Pra, fX0 (x) g 0 (x2 + y 2 ) = . 2xfX (x) g(x2 + y 2 ) Vërejmë që në ekuacionin e fundit ana e majtë varet vetëm nga x, ndërsa ana e djathtë varet nga x2 + y 2 . Kjo tregon se ana e majtë duhet të jetë konstantë, d.m.th. f 0 (x) fX0 (x) =c⇒ X = cx. xfX (x) fX (x) Integrojmë anë për anë barazimin e fundit për të fituar c ln fX (x) = x2 + a, 2 74

ose fX (x) = k · e

cx2 2

,

k = ea .

Nga ana tjetër, meqë Z+∞ fX (x)dx = 1, −∞

atëherë c < 0. Për c = − σ12 , kemi x2

fX (x) = ke− 2σ2 .  T EOREMË 4.3. Ndryshoret e rastësishme të vazhdueshme (diskrete) janë të pavarura nëse densiteti i përbashkët i tyre (gjasat pij = p(X = xi , Y = yj )) mundë të shprehet si fX,Y (x, y) = h(x) · g(y)

(4.4.3)

V ËRTETIM . Vërtetimin e bëjmë vetëm në rastin kur X dhe Y janë të vazhdueshme (rasti tjetër vërtetohet njësoj). Nëse X, Y janë të pavarura atëherë Vlenë (2.5.3). Anasjelltas, supozojmë që vlen (2.5.3). Atëherë, Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1= fX,Y (x, y)dxdy = h(x)dx · g(y)dy = c1 · c2 , −∞ −∞

ku c1 =

+∞ R

−∞

h(x)dx dhe c2 =

−∞

+∞ R

−∞

g(y)dy.

−∞

Nga ana tjetër, densitet margjinale të densitetit të përbashkët fX,Y janë Z+∞ Z+∞ fX (x) = fXY (x, y)dy = h(x) g(y)dy = c2 h(x), −∞

−∞

Z+∞ Z+∞ fY (y) = fXY (x, y)dx = g(y) h(x)dy = c1 g(y). −∞

−∞

Meqë c1 · c2 = 1, atëherë fX (x) · fY (y) = c1 · c2 h(x)g(y). Pra, fX (x) · fY (y) = h(x) · g(x) = fX,Y (x, y). Rrjedhimisht, X, Y janë të pavarura.

 75

4.5. Shuma e ndryshoreve të rastësishme të pavarura Le të jetë (Ω, F, p) hapsirë e gjasës dhe le të jenë X : Ω → R, Y : Ω → R ndryshore të rastësishme të pavaruar. Në fillim, supozojmë se n.r.p. X, Y janë të vazhdueshme me densitete përkatëse fX , fY . Atëherë funksioni i përbashkët i shpërndarjes për n.r. X + Y (shih Pohimin 2.2) është ZZ FX+Y (z) = p(X + Y < z) =

fX,Y (x, y)dxdy x+y 0,

x < 0,

ku Z+∞ tα−1 e−t dt. Γ(α) = 0

Në veçanti, për α =

n 2

dhe λ = 12 , atëherë themi që X ka shpërndarje χ2 (Hi-katror)

shpërndarje me n− shkallë lirie. T EOREMË 4.6. Nëse X dhe Y janë n.r.p. të tilla që X ∼ G(s, λ), Y ∼ G(t, λ), atëherë

X + Y ∼ G(s + t, λ).

V ËRTETIM . Në bazë të relacionit (4.5.2) kemi 79

Z+∞ fX+Y (z) = fX (z − y)fY (y)dy −∞

1 = Γ(s)Γ(t)

Zz

λe−λ(z−y) [λ(z − y)]s−1 λe−λy (λy)t−1 dy

0

λs+t e−λz = Γ(s)Γ(t)

Zz

(z − y)s−1 y t−1 dy

| zv. y=zx|

0

λs+t = e−λz z s+t−1 Γ(s)Γ(t)

Z1

(1 − x)s−1 xt−1 dx

0 s+t

=

λ β(t, s) −λz s+t−1 e z , Γ(s)Γ(t)

ku Z1 β(t, s) =

(1 − x)s−1 xt−1 dx.

0

Meqë për funksionet gama dhe beta vlen relacioni β(t, s) =

Γ(s)Γ(t) , Γ(t + s)

atëherë fX+Y (z) =

λe−λz (λz)s+t−1 Γ(t + s)

Pra, X + Y ∼ G(s + t, λ).



Me induksion matematik teorema 4.6 mundë të përjgithësohet në trajtën: R RJEDHIM 4.1. Nëse Xi , i = 1, 2, ..., n, janë n.r.p. dhe Xi ∼ G(ti , λ), i = 1, 2, ..., n, atëherë n X

n X Xi ∼ G( ti , λ).

i=1

i=1

Në veçanti, nëse n.r.p. Xi ∼ G(1, λ), i = 1, 2, ..., n, atëherë n X

Xi ∼ G(n, λ).

i=1

80

4.6.3. Ndryshoret e rastësishme normale. Ndryshorja e rastësishme e vazhdueshme X ka shpërndarje normale me parametrat µ dhe σ 2 , d.m.th. X ∼ N (µ, σ 2 ), nëse densiteti i saj është (x−µ)2 1 fX (x) = √ e 2σ2 , σ 2π

Nëse Z =

X−µ , σ

x ∈ R.

atëherë Z ∼ N (0, 1) (Z quhet n.r. e normuar ose standardizuar).

Vërejmë që, nëse X ∼ N (µ, σ 2 ), atëherë E(aX + b) = aE(X) + b, v(aX + b) = a2 v(X). T EOREMË 4.7. Nëse Xi , i = 1, 2, ..., n janë n.r.p. dhe Xi ∼ N (µi , σi2 ), i = 1, 2, ..., n, atëherë n X

n n X X Xi ∼ N ( µi , σ2)

i=1

i=1

i=1

V ËRTETIM . Vërtetimin do ta bëjmé për n = 2, ndërsa rasti n > 2 bëhet me anë të induksionit matematik. Në fillim, supozojmë që X ∼ N (0, σ 2 ) dhe Y ∼ N (0, 1). Atëherë, fX (z − y)fY (y) = = = = = = = = =

(z−y)2 y2 1 1 √ · e− 2σ2 · √ · e− 2 σ 2π 2π y2 y·z y2 z2 1 · e− 2σ2 − 2σ2 + σ2 − 2 σ · 2π y·z z2 1 1 2 1 · e− 2σ2 · e−y ( 2σ2 + 2 )+ σ2 2πσ   2 1 1 + σ2 −c y 2 − 2yz2 − z2 1+σ · e 2σ · e zëv. c = 2πσ 2σ 2   2 2 z2 1 −c y 2 − 2yz2 + z 2 2 − z 2 2 1+σ (1+σ ) (1+σ ) · e− 2σ2 e 2πσ  2 2 2 1 − z 2 +c z 2 2 −c y− z 2 2σ (1+σ ) 1+σ ·e ·e 2πσ 2  2 z2 1 − z + −c y− z 2 1+σ · e 2σ2 2σ2 (1+σ2 ) · e 2πσ  2  2 +1  z 1 −z 2 −1−σ −c y− 2 2 2 2σ (1+σ ) 1+σ ·e ·e 2πσ  2 −z 2 1 −c y− z 2 2) 2(1+σ 1+σ ·e ·e . 2πσ

81

Rrjedhimisht, Z+∞ fX+Y (z) = fX (z − y)fY (y)dy −∞ −z 2 1 = · e 2(1+σ2 ) · 2πσ

Z+∞  2 −c y− z 2 1+σ e dy

zëv. x = y −

z 1 + σ2

−∞ −z 2 1 · e 2(1+σ2 ) · = 2πσ

Z+∞ 2 e−cx dx.

−∞

Meqë Z+∞ 2 √ −x e 2 dx = 2π, −∞

atëherë fX+Y (a) = √

−z 2 1 √ · e 2(1+σ2 ) . 2π 1 + σ 2

Pra, X + Y ∼ N (0, 1 + σ 2 ). Tani supozojmë që X1 ∼ N (µ1 , σ12 ) dhe X2 ∼ N (µ2 , σ22 ). Atëherë,   X1 − µ1 X2 − µ2 + X1 + X2 = σ2 · + µ1 + µ2 σ2 σ2 si dhe σ2 X1 − µ1 ∼ N (0, 12 ), σ2 σ2 X2 − µ2 ∼ N (0, 1). σ2 Nga rasti i mëparshëm, kemi X1 − µ1 X2 − µ2 Z= + ∼N σ2 σ2



σ2 0, 1 + 12 σ2

 .

Tani, për n.r. X1 + X2 = σ2 Z + µ1 + µ2 ∼ N (E(X1 + X2 ), v(X1 + X2 )) , kemi E(X1 + X2 ) = E(σ2 Z + µ1 + µ2 ) = σ2 E(Z) + µ1 + µ2 = µ1 + µ2 ,   σ12 2 2 v(X1 + X2 ) = v(σ2 Z + µ1 + µ2 ) = σ2 v(Z) = σ2 1 + 2 = σ12 + σ22 . σ2 82

Rrjedhimisht, X1 + X2 ∼ N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ).  T EOREMË 4.8. Nëse Xi , i = 1, 2, ..., n, janë n.r.p. dhe Xi ∼ N (0, 1), i = 1, 2, ..., n. Atëherë,

n X

Xi2 ∼ χ2n ,

i=1

ku

χ2n -Hi

katror shpërndarja me n shkallë lirie.

V ËRTETIM . Në fillim, analizojmë funksionin e shpërndarjes për n.r. Y = X 2 , ku X është n.r. e dhënë. Për y > 0 FY (y) = p(Y ≤ y) = p(X 2 ≤ y) √ √ = p(− y ≤ X ≤ y) √ √ = FX ( y) − FX (− y). Relacionin e fundit e derivojmë sipas y dhe marrim 1 √ √ fX 2 (y) = √ [fX ( y) + fX (− y)] . 2 y

(4.6.2) Nëse X ∼ N (0, 1), d.m.th.

x2 1 fX (x) = √ · e− 2 , 2π

atëherë nga (4.6.2), për x > 0, kemi fX 2 (x) = = = =

  1 1 1 − x2 − x2 √ · √ ·e + √ ·e 2 x 2π 2π x 1 √ √ · e− 2 x · 2π √ 1 x 2 √ · x− 2 · e− 2 2 π
1 −1 x 1 · e− 2 · x2 2 2 . Γ( 21 )

Pra, 1 1 X 2 ∼ G( , ) = χ21 , 2 2 83

(n = 1).

Përfundimisht, në bazë të rrjedhimi 4.1 n X

Xi2

 ∼G

i=1

n 1 , 2 2



= χ2n . 

4.7. Shuma e ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të pavarura Në vazhdim, do t’i konsiderojmë rastet kur X, Y janë ndryshore të rastësishme të Poisson-it , Bernulit dhe Gjeometrike përkatësisht. T EOREMË 4.9. Nëse X dhe Y janë n.r.p. dhe X ∼ P(λ1 ), Y ∼ P(λ2 ), atëherë X + Y ∼ P(λ1 + λ2 ). V ËRTETIM . Nga (4.5.3), kemi P (X + Y = n) =

n X

p(X = k) · p(Y = n − k)

k=0

=

n  X k=0

−λ1

e

λk1 −λ2 λ2n−k · ·e · k! (n − k)!



n e−(λ1 +λ2 ) X n! = λk1 · λ2n−k n! k! · (n − k)! k=0

=

e−(λ1 +λ2 · (λ1 + λ2 )n . n!

Pra, X + Y ∼ P(λ1 + λ2 ).  T EOREMË 4.10. Nëse X dhe Y janë n.r.p. dhe X ∼ B(n, p), Y ∼ B(m, p), atëherë X + Y ∼ B(n + m, p). 84

V ËRTETIM . Nga (4.5.3), kemi

p(X + Y = k) =

k X

p(X = i) · p(Y = k − i)

i=0 k   X n

 m = ·p ·q · · pk−i · q m−k+i i k−1 i=0  k   X n m k n+m−k . = p ·q i k − 1 i=0 i

n−i



Nga ana tjetër, në bazë identitetit të Vandermonde-s kemi    k    X n m n+m · = , i k − i k i=0 prandaj  p(X + Y = k) =

 n+m · pk · q n+m−k . k

Rrjedhimisht, X + Y ∼ B(n + m, p).  T EOREMË 4.11. Nëse Xi , i = 1, 2, ..., n, janë n.r.p. dhe Xi ∼ G(p), i = 1, 2, ..., n, atëherë n X

Xi ∼ P(p, n) .

i=1

Pra, p

n X

! Xi = k

 =

i=1

 k−1 · pn · q k−n . n−1

V ËRTETIM . Meqë G(p) = P(p, 1), atëherë rrjedh saktësia e pohimit për n = 1. 85

Për n = 2 dhe k ≥ 2, nga (4.5.3), kemi k−1 X

p(X1 + X2 = k) =

p(X1 = j) · (X2 = k − j)

j=1 k−1 X

=

p · q j−1 · p · q k−j−1

j=1 k−1 X

=

p2 · q k−2

j=1

= p2 · q k−2 (k − 1)   k − 1 2 k−2 = p ·q . 2−1 Pra, X1 + X2 ∼ P(p, 2). Tani, supozojmë që  p(Sn−1 = j) =

ku Sn−1 =

n−1 P

 j−1 · pn−1 · q j−n+1 , n−2

Xi . Atëherë,

i=1

p

n X

! Xi = k

=

i=1

k−1 X

p(Sn−1 = j) · p(X = (k − j))

j=1

=

 k−1  X j−1 n−2

j=1 n

= p ·q

k−n

·

pn−1 · q j−n+1 · p · q k−j−1

 k−1  X j−1 j=1

n−2

.

Nga ana tjetër, meqë n   X m m=0

s

 =

 n+1 , s+1

marrim që p

n X

! Xi = k

 =

i=1

 k−1 · pb · q k−n . n−1 

86

4.8. Shpërndarjet e kushtëzuar për ndryshoret e rastësishme Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe le të jenë A, B ∈ F. Rikujtojmë që funksionet pA (B) =

p(A · B) , p(A)

p(A) > 0,

pB (A) =

p(A · B) , p(B)

p(B) > 0,

janë gjasa në (Ω, F) dhe quhen gjasa të kushtëzuara. Nëse A dhe B janë të pavarura, atëherë pA (B) = p(B) dhe

pB (A) = p(A).

Ngjashëm, do të përkufizojmë shpërndarjet e kushtëzuara për ndryshoret e rastësishme. P ËRKUFIZIM 4.6. Nëse X dhe Y janë n.r.d., atëherë gjasa e ngjarjes (X = x) me kusht që të realizohet ngjarja (Y = y) është p(Y =y) (X = x) =

(4.8.1)

p(X = x, Y = y) , p(Y = y)

ku p(Y = y) > 0. Funksioni i shpërndarjes së kushtëzuar për X, Y n.r.d. është F(X|Y =y) (x) = p(Y =y) (X < x) X = p(Y =y) (X = xk ),

xk ∈ R(X),

xk z) dz. E(g(X, Y )) = 0

Meqë ZZ p (g(X, Y ) > z) =

fX,Y (x, y)dxdy,

(x,y):g(x,y)>z

92

atëherë Z+∞

ZZ

E(g(X, Y )) =

fX,Y (x, y)dxdydz 0 (x,y):g(x,y)>z

Z Z

g(x,y) Z

=

fX,Y (x, y)dzdydx x>0 y>0 z=0

Z Z =

g(x, y)fX,Y (x, y)dydx. x>0 y>0

 R RJEDHIM 5.1. Nëse E(X) < ∞ dhe E(Y ) < ∞, atëherë (i) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ); (ii) nëse X, Y janë të pavarura dhe g, h : R → R E (g(X) · h(Y )) = E (g(X)) · E (h(Y )) , e në veçanti E(X · Y ) = E(X) · E(Y ); (iii) X ≥ Y ⇒ E(X) ≥ E(Y ); (iv) R(X) ∈ (a, b) ⇒ E(X) ∈ (a, b); (v) v(X + Y ) = v(X) + v(Y ). V ËRTETIM . Vërtetimin do ta bëjmë kur X, Y janë n.r.v. Rasti kur X, Y janë n.r.d. tregohet në mënyr të njejtë. (i) Në bazë teoremës 3.3 dhe teoremës 2.6(iv) Z+∞ Z+∞ E(X + Y ) = (x + y) · fX,Y (x, y)dxdy −∞ −∞

    Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞  fX,Y (x, y)dy  xdx +  fX,Y (x, y)dx ydy = −∞

−∞

−∞

Z+∞ Z+∞ = xfX (x)dx + yfY (y)dy −∞

−∞

= E(X) + E(Y ). 93

−∞

(ii) Meqë X, Y janë n.r.p. atëherë densiteti i përbashkët i tyre është fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y). Tani, në bazë teoremës 3.3, kemi Z+∞ Z+∞ E (g(X) · h(Y )) = g(x) · h(y) · fX,Y (x, y)dxdy −∞ −∞

 +∞   +∞  Z Z =  g(x) · fX (x)dx ·  h(y) · fY (y)dy  −∞

−∞

= E(g(X)) · E(h(Y )). (iii) Meqë Z = X + cY ≥ 0, c = −1, atëherë në bazë të teoremës 3.1 dhe (i) 0 ≤ E(Z) = E(X + cY ) = E(X) + E(cY ) = E(X) + cE(Y ) = E(X) − E(Y ). (iv) Rrjedh direkt nga vetia (iii). (v) Nga rrjedhimi 3.1, kemi v(X + Y ) = E (X + Y − E(X + Y ))2 = E (X − E(X) + Y − E(Y ))2 = E [X − E(X)]2 − 2[X − E(X)] · [Y − E(Y )] + [Y − E(Y )]2




= E (X − E(X))2 + E (Y − E(Y ))2 = v(X) + v(Y ).  V ËREJTJE 5.1. Vetitë (i), (ii) dhe (v) të rrjedhimit 3.1 mund të përgjithësohen në trajtë n n X X E( Xi ) = E(Xi ); i=1

i=1

dhe nëse Xi , i = 1, 2, ..., n, janë të pavarura n n Y Y E( Xi ) = E(Xi ) i=1

i=1

dhe n n X X v( Xi ) = v(Xi ). i=1

i=1

94

5.2. Kovariansa dhe korelacioni i ndryshoreve të rastësishme Le të jetë (Ω, F, p) hapësirë e gjasës dhe X, Y : Ω → R ndryshore të rastësishme. P ËRKUFIZIM 5.1. Kovariansë ndërmjet ndryshoreve të rastësishme X dhe Y, të cilën simbolikisht e shënojmë me Cov(X, Y ), e quajmë numrin Cov(X, Y ) = E [(X − E(X)) · (Y − E(Y ))] .

(5.2.1)

Nga vetitë e pritjes, relacioni (5.2.1) mund t’a shkruajm në trajtën Cov(X, Y ) = E[(X − E(X)) · (Y − E(Y ))] = E[X · Y − Y · E(X) − X · E(Y ) + E(X) · E(Y )] = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) − E(Y ) · E(X) + E(X) · E(Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ). Pra, Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ). Derisa pritja dhe variansa japin informacion në lidhje me ndryshoret e rastësishme përkatëse, kovarianca e dy ndryshoreve të rastësishme jep informacione lidhur me relacionin ndërmjet tyre. Vërejmë që, nëse X dhe Y janë n.r.p. d.m.th E(X · Y ) = E(X) · E(Y ), atëherë Cov(X, Y ) = 0. Anasjelltas nuk vlen në përgjithësi: nëse Cov(X, Y ) = 0, atëherë nuk do të thotë që X dhe Y janë n.r.p. Për shembull, le të jenë X, Y n.r. të dhëna me 1 p(X = 0) = p(X = 1) = p(X = −1) = , 3   0, nëse X 6= 0, Y =  1, nëse X = 0. Atëherë, X · Y = 0, E(X · Y ) = E(0) = 0 si dhe E(X) =

X

xi · p(X = xi ) = −1 · p(X = −1) + 0 · p(X = 0) + 1 · p(X = 1) = 0.

xi ∈{−1,0,1}

95

Prandaj,

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 0.

Mirëpo, X dhe Y nuk janeë n.r. të pavaruara. Në vazhdim japim disa veti për Cov(X, Y ).

T EOREMË 5.2. Vlen (i) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), (ii) Cov(X, X) = v(X), (iii) Cov(aX, bY ) = ab ! · Cov(X, Y ), n m n P m P P P (iv) Cov Xi , Yj = Cov(Xi , Yj ). i=1

j=1

i=1 j=1

V ËRTETIM . Vetitë (i) dhe (ii) rrjedhin direkt nga relacioni (5.2.1). (iii) Nga (5.2.1) dhe vetitë e pritjes

Cov(aX, Y ) = E(aXY ) − E(aX)E(Y ) = aE(XY ) − aE(X) · E(Y ) = a · Cov(X, Y )

si dhe nga (i)

Cov(X, bY ) = b · Cov(X, Y ).

Rrjedhimisht,

Cov(aX, bY ) = a · Cov(X, b · Y ) = ab · Cov(X, Y ). 96

(iv) Në bazë të vetive të pritjes dhe relacioni (5.2.1) ! " n !! n m n X X X X Cov Xi , Yj = E Xi − E Xi · i=1

j=1

i=1

" = E

n X

i=1

(Xi − E(Xi )) ·

= E

Yj − E

j=1 m X

i=1

"

m X

n X

!!# Yj

j=1

# (Yj − E(Yj ))

j=1

n X m X

# (Xi − E(Xi )) · (Yj − E(Yj ))

i=1 j=1

=

m n X X

E [(Xi − E(Xi )) · (Yj − E(Yj ))]

i=1 j=1

=

n X m X

Cov(Xi , Yj ).

i=1 j=1

 Nga vetia (ii) dhe (iv) të teoremës 5.2, për Yj = Xj , j = 1, 2, ..., m = n, kemi ! ! n n n X X X v Xi = Cov Xi , Xj i=1

i=1 n X n X

=

j=1

Cov(Xi , Xj )

i=1 j=1 n X

=

Cov(Xi , Xi ) +

XX

i=1 n X

=

Cov(Xi , Xj )

i6=j

v(Xi ) + 2 ·

XX

i=1

Cov(Xi , Xj ).

i 0 dhe v(Y ) > 0. T EOREMË 5.3. Vlenë −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. V ËRTETIM . Në bazë të vetive të variansës dhe teoremës 5.2, kemi ! ! ! X Y X Y 0≤v p +p = v p +v p v(X) v(Y ) v(X) v(Y ) ! Y X ,p +2 · Cov p v(X) v(Y ) =

1 1 Cov(X, Y ) · v(X) + · v(Y ) + 2 · p v(X) v(Y ) v(X) · v(Y )

Cov(X, Y ) = 2+2· p v(X) · v(Y ) = 2(1 + ρ(X, Y )). Rrjedhimisht, ρ(X, Y ) ≥ −1. Ngjashëm, 0≤v

X

Y

p −p v(X) v(Y )

! = 2 · (1 − ρ(X, Y )).

Përkatësisht, ρ(X, Y ) ≤ 1.



R RJEDHIM 5.2. ρ(X, Y ) = 1 (ρ(X, Y ) = −1) atëherë dhe vetëm atëherë kur Y = aX + b, ku a =

q

v(Y ) v(X)

q   v(Y ) > 0 a = v(X) 0 (6.1.2)

p (|X − µ| ≥ ) ≤ 114

σ2 . 2

V ËRTETIM . Meqë (X −µ)2 është ndryshore e rastësishme që merr vlera jonegative, atëherë nga teorema 6.1 p((X − µ)2 ≥ 2 ) ≤

E(X − µ)2 v(X) σ2 = = . 2 2 2

Nga ana tjetër, meqë |X − µ2 | ≥ 2 ⇔ |X − µ| ≥ , atëherë p(|X − µ| ≥ 2 ) ≤

σ2 . 2 

V ËREJTJE 6.1. Jobarazimi i Çebishevit mund të përgjithësohet në trajtën p (|X − µ| ≥ ) ≤

E(X − µ)p . p

Rëndësia e jobarazimeve të Markovit dhe Çebishevit është që me anë të tyre mundë të gjenden kufijtë e gjasave kur dihet vetëm pritja ( në rastin e jobarazimit të Markovit) ose pritja dhe varianca (në rastin e jobarazimit të Çebishevit). R RJEDHIM 6.1. Nëse për n.r. X vlen v(X) = 0, atëherë p(X = E(X)) = 1

(p(X 6= E(X)) = 0) .

V ËRTETIM . Meqë v(X) = 0, atëherë nga teorema 6.2 për çdo  > 0 0 ≤ p(|X − E(X)| > ) ≤ 0. Pra, p(|X − E(X)| > ) = 0, dhe meqë  > 0 është i çfarëdo, atëherë p (X 6= E(X)) = 0. Nga ana tjetër, meqë p(X = E(X)) + p(X 6= E(X)) = 1, atëherë p(X = E(X)) = 1.  115

T EOREMË 6.3. (Ligji i dobët i numrave të mëdhenjë) Le të jenë X1 , X2 , ... varg i ndryshoreve të rastësishme të pavarura me të njëjtin funksion të shpërndarjes. Nëse E(Xi ) = µ dhe v(Xi ) = σ 2 , i = 1, 2, · · · , janë të fundme, atëherë për çdo  > 0   X1 + X2 + ... + Xn − µ ≥  → 0, kur n → ∞. (6.1.3) p n V ËRTETIM . Në bazë të rrjedhimit 5.1, kemi   X1 + X2 + X3 + ... + Xn 1 E = [E(X1 ) + E(X2 ) + ... + E(Xn )] n n 1 = · n · µ = µ, n  v

X1 + X2 + X3 + ... + Xn n

 =

1 [v(X1 ) + v(X2 ) + ... + v(Xn )] n2

=

1 σ2 2 · n · σ = . n2 n

¯n = Tani, në bazë të jobarazimit të Çebishevit, për mostrën e mesme X

X1 +X2 +...+Xn , n

për çdo

>0 ¯
¯ n − E(X ¯ n )| ≥  ≤ v(Xn ) . p |X 2 Rrjedhimisht   X1 + X2 + ... + Xn σ2 p − µ ≥  ≤ . n n · 2

(6.1.4)

Nëse n → ∞, atëherë nga jobarazimi i fundit marrim   X1 + X2 + ... + Xn p − µ ≥  → 0, n

n → ∞. 

P ËRKUFIZIM 6.1. Vargu i ndryshoreve të rastësishme Xn , n ∈ N, themi se konvergjon te konstanta c sipas gjasës p nëse për çfarëdo  > 0 

lim p(|Xn − c| < ) = 1

n→∞

 lim p(|Xn − c| ≥ ) = 0 .

n→∞

p

Simbolikisht e shënojmë Xn −→ c. 116

R RJEDHIM 6.2. Nën kushtet e teoremës 6.3, për n

X ¯n = 1 · Xi , X n i=1 kemi p X¯n → µ.

S HEMBULL 6.1. Nëse (Xi )i∈N është varg i n.r.p. që kanë të njëjtin funksion të shpërndarjes si dhe E(Xi ) = µ1 , E(Xi2 ) = µ2 , E(Xi3 ) = µ3 , E(Xi4 ) = µ4 , i ∈ N, janë të fundme, atëherë varianca mostër

n

1 X ¯ n )2 , S¯2 = S¯n2 = · (Xi − X n i=1 konvergjon sipas gjasës në v(Xi ) = σ 2 . Pra, p S¯n2 → σ 2 .

Z GJIDHJE . Lehtë tregohet që n

1 X 2 S¯n2 = · X − Xn2 n i=1 i Në bazë rrjedhimit 6.2 n 1 X 2 p · Xi → E(Xi2 ) = µ2 , n i=1 p

Xn2 → µ2 . Pra, p S¯n2 → µ2 − µ = σ 2 .

 S HEMBULL 6.2.

(a) Të caktohet  nga p(|X − E(X)| < ) = 0.9,

ku v(X) = 0.009. (b) Nëse  X∼

0.3 0.6 0.2 0.8

atëherë të caktohet gjasa p(|X − m(X)| < 0.2). 117

 

Z GJIDHJE . (a) Nga teorema e Çebishevit kemi p(|X − E(X)| < ) > 1 −

V (X) . 2

Prandaj, 0.9 > 1 −

v(X) ⇒  < 0.3. 2

(b) Meqë  X∼

0.3 0.6 0.2 0.8

 

atëherë E(X) = 0.3 · 0.2 + 0.6 · 0.8 = 0.54, E(X 2 ) = (0.3)2 · 0.2 + (0.6)2 · 0.8 = 0.306, v(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = 0.0144. Rrjedhimisht,në bazë të teoremës të Çebishevit P (|X − 0.54| < 0.2) > 1 −

0.0144 = 0.64. (0.2)2 

6.2. Ligji i fortë i numrave të mdhenjë Ligji i fortë i numrave të mdhenjë është një nga rezultatet më të mëdha në teorinë e gjasës. Ky ligj bazohet në një varg ndryshoresh të pavarura të cilat kanë funksion shpërndarjeje të njëjtë me gjasë 1. Sikurse ligji i dobët i numrave të mdhenjë edhe ligji i fortë i numrave të mdhenjë ka të bëjë me konvergjencën e mostrës së mesme në pritjen e vlerave të ndryshoreve të rastësishme të pavarura. T EOREMË 6.4. (Ligji i fortë i numrave të mdhenjë) Le të jenë (Xi )i∈N varg i ndryshoreve të pavarura me funksion shpërndarjeje të njëjtë si dhe E(Xi ) = µ, i ∈ N, janë të fundme. Atëherë, 

X1 + X2 + ... + Xn p lim =µ n→∞ n 118

 = 1.

V ËRTETIM . Vërtetimin e teoremës do ta bëjmë vetëm në rastin kur E(Xi2 ) dhe E(Xi4 ) janë n P të fundme. Në fillim, supozojmë që E(Xi ) = 0, i ∈ N. Le të jetë Sn = Xi dhe i=1

E(Sn4 ) = E[(X1 + X2 + ... + Xn )4 ].

(6.2.1)

Nëse zbërthejmë anën e djathtë të ekuacionit të mësipër, marrim termat e formës Xi4 ,

Xi3 Xj ,

Xi2 Xj2 ,

Xi2 Xj Xk ,

Xi Xj Xk Xl

ku i, j, k, l janë të ndryshme. Meqë E(Xi ) = 0 dhe meqë Xi janë ndryshore të rastësishme të pavarura, atëherë E(Xi3 Xj ) = E(Xi3 )E(Xj ) = 0, E(Xi2 Xj Xk ) = E(Xi2 )E(Xj )E(Xk ) = 0, E(Xi Xj Xk Xl ) = 0. Tani, nga (6.2.1) kemi   n = n· +6· E(Xi2 Xj2 ) 2 n! = nK + 6 · · E(Xi2 Xj2 ) (n − 2)!2!

E(Sn4 )

E(Xi4 )

= nK + 3n(n − 1)E(Xi2 )E(Xj2 ), ku K = E(Xi4 ), ∞. Nga ana tjetër, meqë 0 ≤ v(Xi2 ) = E(Xi4 ) − [E(Xi2 )]2 , atëherë [E(Xi2 )]2 ≤ m(Xi4 ) = K. Prandaj, E(Sn4 ) ≤ cn2 . Tani, në bazë të teoremës të Çebishevit (shih vërejtjen 6.1 për p=4) dhe jobarazimit të mësipërm p (|Sn | ≥ n) ≤

c E(Sn4 ) ≤ 4 2 4 (n) n

Pra, X

p (|Sn | ≥ n) ≤

n≥n0

X n≥n0

119

c 4 n 2

0. Rrjedhimisht,  X1 + X2 + ... + Xn = 0 = 1. p lim n→∞ n 

Tani le të jetë µ = E(Xi ) 6= 0. Nëse Xi∗ = Xi − µ, atëherë E(Xi∗ ) = 0 dhe në bazë relacionit të mësipër kemi     X1 + X2 + ... + Xn X1∗ + X2∗ + ... + Xn∗ p lim =µ = p lim =0 n→∞ n→∞ n n = 1.  P ËRKUFIZIM 6.2. Vargu i ndryshoreve të rastësishme (Xi )i , i ∈ N, themi se konvergjon pothuajse kudo (p.k.) te konstanta c nëse p( lim Xn = c) = 1. n→∞

p.k. Simbolikisht e shënojmë Xn −→ c ¯n = R RJEDHIM 6.3. Nën kushtet e teoremës 6.4, për X

1 n

n P i=1

p.k ¯ n −→ X µ. p.k.

p

T EOREMË 6.5. Nëse Xn −→ c atëherë Xn −→ µ. V ËRTETIM . Meqë p( lim Xn = c) = 1, n→∞

atëherë për çdo  > 0, kemi p( lim sup |Xn − c| ≥ ) = 0. n→∞

Rrjedhimisht, p

∞ [ ∞ \

! |Xk − c| ≥ 

n∈N k=n

120

= 0.

Xi , kemi

Meqë An =

∞ S

(|Xk − c| < ) është varg i bashkësive zvogluese, atëherë në bazë të teoremës

k=n

1.1(ii) ∞ [

lim p

n→∞

Meqë An =

∞ S

! |Xm − c| > 

= 0.

m≥n

(|Xm − c| < ) është varg i bashkësive zvogluese atëherë

n≥n

!

∞ [

lim p

n→∞

|Xk − c| ≥ 

= 0.

k=n

Rrjedhimisht, 



lim p sup |Xk − c| ≥ 

n→∞

= 0.

k=n

Pra, lim p (|Xk − c| < ) = 0,

n→∞ p

për çdo  > 0. Përkatësisht, Xn −→ µ.



S HEMBULL 6.3. Nëse (Xi )i∈N varg i n.r.p. të tilla që Xi ∼ B(1, p). Atëherë E(Xi ) = p, i ∈ N, janë të fundm si dhe 

X1 + X2 + ... + Xn =p p lim n→∞ n

 = 1.

Pra, nëse Sn ∼ B(n, p) atëherë 

Sn p lim =p n→∞ n

 =1

dhe në bazë të teoremës 6.5 

Sn lim p − p <  n→∞ n

 = 1,

për çdo  > 0. 6.3. Teorema qendrore kufitare Teorema qendrore kufitare (TQK) jep kushtet që ligji i shpërndarjes të një ndryshoreje të rastësishme të jetë vlerë kufitare (limit) ligjit të shpërndarjes normale (Gausit). Pra, TQK jep kushtet mbi përafrimin e një shpërndarjeje me shpërndarjen normale. Rasti i veçantë i TQK është përafrimi i shpërndarjes binomiale me shpërndarje normale e dhënë në vijim: T EOREMË 6.6. (de Moivre–Laplace) Nëse X ∼ B(n, p), atëherë 121

(i) (teorema lokale) t2 1 lim p(X = x) = √ e− 2 , n→∞ σ 2π

(6.3.1) ku t =

x−µ , σ

µ = np, dhe σ 2 = npq.

(ii) (teorema integrale) 1 lim p(t1 ≤ T ≤ t2 ) = √ n→∞ 2π

(6.3.2)

Zt2

x2

e− 2 dx = Φ(t2 ) − Φ(t1 ),

t1

ku T =

X−np √ . npq

V ËRTETIM . (i) Nga t =

x−µ , σ

kemi

√ x = n · p + t n · p · q → ∞, kur n → ∞, si dhe √ k = n − x = n − np − t npq √ = nq − t npq → ∞, kur t → ∞. Në bazë formulës asimptotike të Stirling-ut n! ∼

√

2πn · nn e−n ,

për X ∼ B(n, p), kemi   n p(X = x) = · px · q n−x x n! = · px · q k x! · k! √ 2πnnn e−n √ ∼√ px q k x −x k −k 2πxx e 2πkk e r     1 n np x nq k = √ k 2π xk x Meqë r r   √ √ (np + t npq) · (nq − t npq) xk pq pq t2 pq = = n pq − pt + qt − ∼ npq, n n n n n 122

kur n → ∞, atëherë 1 1  np x  nq k √ p(X = x) ∼ . √ k 2π npq x Duke zbatuar zbërthimet e Taylor-it, kemi ln(1 + x) = x −

x2 + O(x3 ), 2

ln(1 − x) = −x −

|x| < 1,

x2 + O(x3 ), 2

|x| < 1,

ku |A(x)| = O(x3 ) ⇔ |A(x)| ≤ c · x3 . Pra,      np x nq k np nq ln = x ln( ) + k ln( ) · x k x k   √ np + npq √ = −(np + t npq) ln np   √ nq − t npq √ −(nq − t npq) ln nq  r  q √ = −(np + t npq) ln 1 + t np  r  p √ −(nq − t npq) ln 1 − t nq r  q t2 q 1 √ = −(np + t npq) t − + O( √ ) np 2np n3  r  t2 p 1 p √ − + O( √ ) −(nq − t npq) −t nq 2nq n3 = ...   t2 1 = − +O √ . 2 n Rrjedhimisht,  np x  nq k 2 t2 − t +O( √1n ) · =e 2 → e− 2 , x k Përfundimisht, t2 1 p(X = x) ∼ √ e− 2 . σ 2π

(ii) Shënojmë me X − np T = √ npq ku x = 0, 1, ..., n, n = 1, 2, .... Atëherë,

x − np tn,x = √ , npq

tn,x+1 − tn,x = √ 123

1 npq

kur n → ∞.

dhe në bazë rastit (i) kemi X

p(t1 ≤ T ≤ t2 ) =

p(X = x)

x:t1 ≤tn ≤t2

1 ∼ √ 2π

X x:t1 ≤tn ≤t2

1 − t2n,x e 2 . √ npq

Meqë shuma X

√

x:t1 ≤tn ≤t2

t2 n,x 1 · e− 2 , npq

është shumë integrale për funksionin u2

f (u) = e− 2 , atëherë marrim 1 p(t1 ≤ T ≤ t2 ) = √ 2π

Zt2

t1 ≤ u ≤ t2 ,

x2

e− 2 dx = Φ(t2 ) − Φ(t1 ).

t1

 Teorema 2.2.1 mundë të përgjithësohet edhe në trajtën: T EOREMË 6.7. (TQK) Le të jenë (Xi )i∈N varg i ndryshoreve të rastësishme të pavarura që kanë funksion të njëjtë shpërndarje si dhe E(Xi ) = µ , v(X) = σ 2 , ∀i ∈ N. Atëherë ∀x ∈ R  (6.3.3)

p

X1 + X2 + ... + Xn − n · µ √ ≤x σ· n



1 →√ · 2π

Zx

t2

e− 2 dt

kur n → ∞

−∞

Nëse (Xi )i∈N është varg i n.r.p. të tilla që Xi ∼ B(1, p) dhe le të jetë Sn =

n X

Xi ∼ B(n, p),

i=1

atëherë në bazë të teoremës 6.7   Zx t2 Sn − np 1 p √ ≤x → √ · e− 2 dt, npq 2π

kur n → ∞

−∞

që paraqer teoremën integrale të de Moivre-laplace-t S HEMBULL 6.4. Monedha metalike hudhet 400 herë. Të caktohet ligji i shpërndarjes së gjasave për ndryshorën e rastësishme X e cila paraqet numrin e rënë të stemave. Duke përdorur përafrimin me shpërndarje normale (teoremën e Moivre-Laplace-t) të njehësohet gjasa: 124

(a) që numri i rënë i stemave të jetë më i madh se rënja e numrave; (b) që numri i rënë i stemave të jetë të shumtën 185. Z GJIDHJE . (a) Qartë X ∼ B(400, 12 ). Atëherë, E(X) = np = 400 · v(X) =

√

1 = 200, 2

r 400 ·

npq =

1 1 · = 10, 2 2

p(X > 200) = 1 − p(X ≤ 200)   200 − 200 X − 100 ≤ = 1−p 10 10   X − 200 = 1−p ≤0 10 Z0 ∼ 1−

t2

e− 2 dt

−∞

∼ 1−

1 1 = . 2 2

(b) Në bazë të teoremës të Moivre-Laplace-t 

p(X ≤ 185)

X − 200 185 − 200 p ≤ 10 10   −15 X − 200 ≤ p 10 10

= =



3

1 √ · 2π

∼

Z− 2

t2

e− 2 dt

−∞

=

Φ( 32 )

≈ 0.0668. 

S HEMBULL 6.5. Përafërsisht 4% e prodhimit është me defekt. Le të jetë X ndryshore e rastësishme: numri i prodhimeve pa defekt nga 150 të shqyrtuara. Bazuar në teoremën e de Moivre- Laplace-it të njehësohen gjasat: (a) që më shumë se 140 prodhime të jenë pa defekt, (a) që më shumë se 5 prodhime të jenë me defekt. 125

Z GJIDHJE . (a) Qartë, X ∼ B(150, 0.96). Atëherë, µ = m(X) = 144, p √ σ = v(X) = 150 · 0.96 · 0.4 ≈ 2.4, p(X > 140) = 1 − p(X ≤ 140)   140 − 144 X −µ ≤ ∼ 1−p σ 2.4   X −µ ∼ 1−p ≤ −1.67 σ 1 + Φ(1.67) ≈ 0.9525. ∼ 2 (b) Ngjajshëm, p(150 − X > 5) = p(X < 145) ∼

1 + Φ(2.08). 2 

S HEMBULL 6.6. Nëse Xi janë n.r.p. të tilla që Xi kanë shpërndarje të Poisson-it, d.m.th. 100 P X ∼ P(0.05), atëherë të njehësohet gjasa p(S100 ≥ 2, ku S100 = Xi . i=1

Z GJIDHJE . Qartë, S100 ka shpërndarje të Poisson-it S100 ∼ P(100 · 0.05) = P(5). Prandaj në bazë të TQK p(S100 ≥ 2) = 1 − p(S100 < 2)   S100 − 100 · 0.05 2 − 100 · 0.05 √ √ √ = 1−p ≤ √ 0.05 · 100 0.05 · 100   −3 S100 − 5 √ ≤√ ∼ 1−p 5 5 − √3

5

1 ∼ 1− √ 2π

Z

t2

e− 2 dt

−∞

= ... = 0.9099.  S HEMBULL 6.7. Nëse Xi , i = 1, 2, ..., 10 janë n.r.p. të tilla që Xi ∼ U(0, 1), atëherë të  10 P njehësohet gjasa p Xi > 6 . i=1

126

Z GJIDHJE . Meqë Xi ∼ U(0, 1), atëherë E(Xi ) = 12 , v(Xi ) = ! ! 10 10 X X p Xi > 6 = 1−p Xi ≤ 6 i=1

1 . 12

Pra,

i=1



10 P



10 P

 1 X − 10 · 2  i=1 i 6 − 10 · 12   q q ≤ = 1 − p √   1 1 · 10 · 10 12 12 

 i=1 Xi − 5 √  = 1 − p ≤ 1.2  q 10  12 √

Z1.2 2 t 1 e− 2 dt ∼ 1− √ · 2π −∞   √ 1 + Φ( 1.2) = 1− 2 √ 1 ∼ − Φ( 1.2) ≈ 0.1367. 2 

127