Teoria Dos Jogos

 

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Economia Licenciatura em Economia

Investigação Operacional 4º ano

Teoria dos Jogos (Grupos I a V)

Valter Manjate Tânia Fafetine

Maputo, Maio de 209

 

  Grupo I:   Castro Chilaúle   Hélio Nhampossa   Thomas Mussororo

Grupo V:          

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  Wilson Filipe 

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Grupo II:              

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Dário Matusse Diana Rugunate Domingos Nhamussua Ercílio Cuamba Ivan Manhique Vânia Bande Yeda Uamusse

Grupo III:            

     

Aila Junaide Senete Ássia Bruna Timane Inoque Chimele Zavale Jr Jéssica Salomão Chitlhango Simião Eduardo Nhar Sindia Alberto Muchanga

Grupo IV:   Atija Abdala



  Elsa Palmira Matsinhe



  Esperança Chomgola



  Jéssica Gabriel Lemequezani



  Kelven Jorge Gonçalves



  Líria Celeste Sitoe



Bemvindo Mussa Ipolito José Inocência Danzo

José Alfredo Kevin Manuel   Samuel Mabunda 

 

Conteúdo I. 

INTRODUÇ ÃO INTRODUÇ Ã O  ................................................................................................................................... 5

II.  INTRODUÇÃO A TEORIA DOS JOGOS ...................................................................................... 6

2.1.

Conceito ................. .................................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ................................ .............. 6

2.2.

Jogo .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... .................... ... 7

2.3. 2.4.

Pay-Off................ ................................. ................................... ................................... .................................. ................................... .................................... ................................... ................. 7 Estratégia......................... Estratégia.......................................... .................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ....................... ...... 8

2.5.

Natureza dos jogos .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................ ............... 8

2.6.

Ponto de sela ................ ................................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .......................... ........ 8

2.7.

Tipos de estratégias ................. .................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................ ............... 9

2.8.

Apresentação de um jogo ................. .................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ....................... ...... 9

2.8.1.

Apresentacao de jogo de forma sequencial ................. .................................. ................................... ................................... ....................... ...... 9

2.8.2.

Apresentacao matricial de jogos ............... ................................. ................................... .................................. ................................... ...................... .... 10

III. 

DILEMA DO PRISIONEIRO  ..................................................................................................... 11

3.1. 3.2.

Conceitos importantes................ ................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 11 Dilema do prisioneiro ................ ................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 11

3.3.

Aplicacao economica ................. .................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 12

IV. 

GUERRA DOS SEXOS ................................................................................................................ 15

4.1.

Conceitos basicos ................. ................................... ................................... .................................. ................................... ................................... ................................. ................ 15

4.2.

Guerra dos sexos ................ ................................. .................................. ................................... ................................... .................................. ................................... .................... 15

4.3.

Soluções do jogo da guerra dos sexos............... ................................. ................................... .................................. ................................... ...................... .... 16

4.3.1.

Dominância ................ ................................. .................................. ................................... ................................... .................................. ................................... .................... 16

4.3.2.

Equilíbrio de Nash ................ ................................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................ ....... 16

4.3.3.

Equilíbrio de Nash em estratégias mistas................. .................................. ................................... ................................... ........................ ....... 16

4.4.

Aplicacao pratica do problema de Guerra dos sexos ............... ................................. .................................... ................................. ............... 17

V.  Jogos de Soma Nula  .......................................................................................................................... 18

5.1.

Conceitos básicos ................. ................................... ................................... .................................. ................................... ................................... ................................. ................ 18

5.2.

Solução óptima em jogos de soma nula ............... ................................. ................................... .................................. ................................... .................... 18

5.3.

Teorema de Minmax .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 18

5.4.

Valor do jogo e ponto de sela................. .................................. .................................. ................................... .................................... ................................. ............... 21

5.5.

Jogos de soma nula com estratégias mistas...................... mistas....................................... ................................... ................................... ........................ ....... 21

VI. 

 ................................................... 23 TEORIA DOS JOGOS PELA PROGRAMAÇÃO LINEAR  ...................................................

6.1.

Conceitos básicos ................. ................................... ................................... .................................. ................................... ................................... ................................. ................ 23

6.2.

Categoria de jogos................ .................................. ................................... .................................. ................................... ................................... ................................. ................ 23

 

6.3.

Formulação de um problema de jogo................ .................................. ................................... .................................. ................................... ...................... .... 24

6.4.

Resolução de jogos de soma nula ............... ................................. ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 25

6.5.

Resolução da teoria dos jogos pelo método simplex ............... ................................. .................................... ................................. ............... 27

VII.  CONCLUSÃO   ............................................................................................................................... 32 VIII.  Referências ..................................................................................................................................... 33

 

I. 

INTRODUÇÃO INTRODUÇÃ O

 No presente presen te documento é pretendido trazer aspectos fundamentais no concernente a matérias de Teorias de Jogos tanto mais que no decurso do mesmo são apresentados conceitos de maior interesse no campo das teorias de jogos e alguns exemplos elucidativos da sua aplicação, contextualizados no campo económico. A Teoria de Jogos é uma teoria de carácter matemático que foi formulada em 1913 por Ernst Zermelo, quando este publicou o primeiro teorema matemático da teoria de jogos. O teorema afirma que o jogo de xadrez é estritamente determinado, isto é, em cada estágio do jogo pelo menos um dos jogadores tem uma estratégia em mão que lhe dará a vitória ou conduzirá o jogo ao empate. (Sartini & et al, 2004, p. 2). Apresenta jogos como o dilema do prisioneiro, a guerra dos sexos e os jogos de soma nula. O Dilema do Prisioneiro Pr isioneiro é um problema que serve para ilustrar os conceitos e resultados da Teoria dos Jogos, e por ser formulado por meio de conceitos de senso comum, tornou-se muito popular na matemática e é referência para qualquer um que se interesse por aprofundar seu conhecimento neste assunto.

A Batalha dos Sexos que nada mais é do que um jogo com determinadas combinações de estratégias resultantes do que certo oponente pensa sobre o seu adversário, tendo a particularidade de não se obter nenhum ganho individual caso este realize certa actividade ou participe de certo evento sozinho. E, como qualquer outro jogo, os jogadores devem ser racionais. Faz-se menção também da programação linear no contexto da teoria dos jogos.

 

II.  INTRODUÇÃO A TEORIA DOS JOGOS  2.1. 

Conceito

A teoria dos jogos é uma teoria matemática criada para se modelar fenómenos que podem ser observados quando dois ou mais “agentes de decisão” de cisão” interagem entre si. Ela fornece a linguagem

 para a descrição de processos de decisão conscientes e objetivos envolvendo mais do que um indivíduo. (Sartini & et al, 2004, p. 1) A Teoria dos Jogos  é, segundo (HARSANYI e SELTEN, 1988) apud (HANEKE e SADDI,

1995), um método para analisar situações de conflito e de cooperação que dependem do comportamento estratégico, onde as ações dos jogadores são parcialmente dependentes do que os outros jogadores poderão fazer. Teoria dos Jogos é a ciência e técnica da tomada de decisões em situações de interdependência. Ao contrário de uma decisão unilateral, aqui se trata de decidir levando-se em conta decisões de outro(s), envolvido(s) num mesmo problema de decisão. A teoria dos jogos é usada para se estudar assuntos tais como eleições, leilões, balança de poder, evolução genética, etc. Ela é também uma teoria matemática pura, que pode e tem sido estudada como tal, sem a necessidade de relacioná-la com problemas comportamentais ou jogos per se . (Sartini & et al, 2004, p. 1) O elemento básico em um jogo é o conjunto de jogadores que dele participam. Cada jogador tem um conjunto de estratégias. Quando cada jogador escolhe esco lhe sua estratégia, temos então uma situação ou per fil no espaço de todas as situações (per fis) possíveis. (Sartini & et al, 2004, p. 4) Em 1928, John von Newmann demonstrou que todo jogo finito de soma zero com duas pessoas  possui uma solução em estratégias mistas. Em 1937, ele forneceu uma nova demonstração baseada no teorema do ponto fixo de Brouwer. (Sartini & et al, 2004, pp. 2-3) John von Neumann junto com o economista Oscar Morgenstern, publicou O clássico The Theory  em 19441, e assim a teoria dos jogos invadiu a economia e a of Games and Economic Behaviour  em matemática aplicada. (Sartini & et al, 2004, p. 3)

1 Nota:

Em 1994, John Forbes Nash Jr. (Universidade de Princeton), John Harsanyi Universidade de Berkeley, Califórnia) e Reinhard Selten (Universidade de Bonn, B onn, Alemanha) receberam o prémio  Nobel por suas contribuições contribuições para a Teoria dos Jogos.

 

A Teoria dos Jogos abrange jogos com dois ou mais jogadores, cooperativos ou não. Entre os tipos de jogos possíveis estão os recreativos, tais como pôquer, monopólio e jogo da velha, os jogos de tabuleiro, como xadrez, damas, gamão, e os problemas econômicos, políticos e sociológicos. Os  jogos podem ser representados de for forma ma extensiva, através de uma árvore, á rvore, ou em forma normal, norm al, usando matrizes de payoff (pagamento, recompensa). Alguns jogos possuem informação perfeita, ou seja, a cada jogada todos os jogadores têm conhecimento das jogadas anteriores (ex.: jogo da velha), enquanto que outros apresentam informação imperfeita; num jogo como pôquer, por exemplo, um jogador não sabe se o outro está blefando. (HARSANYI e SELTEN, 1988) apud (HANEKE e SADDI, 1995)  2.2. 

Jogo

O jogo é uma situação em que os jogadores tomam decisões estratégicas, ou seja, levam em consideração as atitudes e as respostas dos outros. (Pindyck & Rubinfield, 2006, p. 407) De acordo com (Emilio Jose Rocha Coutinho, B.D.A.P.J.B.F.A.E.F.N.J., 2014) um jogo é um modelo teórico de conflitos de interesse, e nele estão definidos os possíveis resultados e decisões  para cada jogador. Um indivíduo participante de um jogo deve escolher uma entre várias alternativas, de acordo com sua preferência. Entretanto, como a escolha também depende dos outros jogadores, que em geral possuem outras preferências (caracterizando conflito de interesse), é preciso considerar todas as preferências para obter o melhor resultado possível. Um jogo é uma situação entre N  pessoas  pessoas ou grupos, chamados jogadores, que é conduzido por um conjunto prévio de regras com conhecida recompensa. As regras definem actividades elementares, ou lances, do  jogo. Jogadores diferentes podem realizar lances diferentes, mas cada um conhece os lances realizados pelos outros. (Nogueira, 2014) A Teoria dos Jogos trata com situações de tomada de decisão em que dois ou mais oponentes possuem objectivos conflituantes. Exemplos típicos são: 1.  Campanhas publicitárias para produtos concorrentes; 2.  Planejamento de estratégias de guerra para exércitos inimigos. 2.3. 

Pay-Off

Pay-off são resultados que acarretam recompensas ou benefícios, por exemplo para as empresas

que estabelecem preços, os pay-offs são os lucros. (Pindyck & Rubinfield, 2006, p. 408)

 

O resultado de um jogo é obtido a partir de uma seqüência de tomadas de decisão, ou seja, a cada

 jogada (decisão) o jogador deve escolher uma estratégia (entre as várias disponíveis, escolher uma é tomar uma decisão estratégica), que ele considera a melhor para atingir seus objetivos, considerando também, e principalmente, a estratégia escolhida pelo(s) seu(s) oponente(s). No entanto, a elaboração de estratégias ocorre com base em informações sobre as ações do(s) oponente(s), de acordo com os objetivos procurados por todos os jogadores. Segundo COSTA (2000), as dificuldades práticas da Teoria dos Jogos são: especificar, precisamente, os conjuntos de estratégias disponíveis para todos os jogadores, devido à dinâmica microeconômica das inovações tecnológicas e financeiras e aos choques exógenos que alteram o contexto macroeconômico, durante o processo do jogo. Introduzir o tempo para verificar a resultante das diversas decisões, fato que tende a causar dificuldades práticas insuperáveis, pois as estratégias  possíveis se multiplicam.

2.4. 

Estrat égia

Estratégia é o plano de acção ou regra para participar de um jogo. Ex: Manter o Preço alto

enquanto os concorrentes também o fizerem, e quando um deles baixar, baixar o nosso ainda mais. (Pindyck & Rubinfield, 2006, p. 408) 2.5. 

Natureza dos jogos

Jogos cooperativos são aqueles em que os jogares podem negociar contratos vinculativos que lhes

 permitam planejar estratégias em conjunto. Ex: Duas empresas podem combinar esforços para investir em uma nova tecnologia e partilharem os lucros que advierem desse investimento. (Pindyck & Rubinfield, 2006, p. 408) Jogos não cooperativos  são aqueles no qual a negociação e o cumprimento de contratos

vinculativos não são possíveis. 2.6. 

Ponto de sela

Dizemos que um elemento aij de uma matriz A e um ponto de sela da matriz A se ele for simultaneamente um mínimo em sua linha e um máximo em sua coluna, isto e, se aij ≤ ail para todo l = 1,...,n e

 

aij ≥ akj para todo k = 1, . . . , m.

O elemento aij e um ponto de sela da matriz A se, e somente se, o par (i, j) e um equilíbrio de Nas Nashh em estratégias puras para o jogo. 2.7. 

Tipos de estrat égias

Estratégia óptima é aquela que maximiza o pay-off esperado es perado do jogador. (Pindyck (Pind yck & Rubinfield,

2006). Estratégia Dominante é aquela que é óptima independentemente do que o oponente faça. Solução de um jogo é uma prescrição ou previsão sobre o resultado do jogo. Equilíbrio de estratégias dominantes é o resultado de um jogo em que cada cad a empresa faz o melhor

que pode independentemente das escolhas feitas pelos seus concorrentes. (Pindyck & Rubinfield, 2006, p. 410) 2.8. 

Apresentação de um jogo

Usaremos o jogo mais conhecido fundado em 1950, que é o  Dilema  do  Prisioneiro Prisioneiro. De acordo com (Sartini & et al, 2004) dois ladrões, Al e Bob, são capturados e acusados de um mesmo crime. Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar entre si, o delega delegado do de plantão faz seguinte  proposta: cada um pode escolher entre confessar ou negar o crime. Se nenhum deles confessar, ambos serão submetidos a uma pena de 1 ano. Se os dois confessarem, então ambos terão pena de 5 anos. Mas se um confessar e o outro negar, então o que confessou será libertado e o outro será condenado a 10 anos de prisão. 2.8.1.  Apresentacao de jogo de forma sequencial

 Neste contexto, temos G = {Al, Bob}, SAl = {confessar, negar}, SBob = {confessar {confessar,, negar}, S = {(confessar, confessar),(confessar, negar),(negar, confessar),(negar, negar)}. As utilidades dos jogadores são uAl(confessar, confessar) = −5, uAl(confessar, negar) = 0, uAl(negar, confessar) = −10, uAl(negar, negar) = −1,  (que representam os ganhos (payoffs) de Al) e uBob(confessar, confessar) = −5, uBob(confessar, negar) = −10, uBob(negar, confessar) = 0,

 

uBob(negar, negar) = −1 (que representam os ganhos (payoffs) de Bob). Dessa forma os dados  podem ser representados em uma matriz de jogo. 2.8.2.  Apresentacao matricial de jogos

E também conhecida como matriz dos pay-offs.

 

III.  DILEMA DO PRISIONEIRO  3.1. 

Conceitos importantes

 Equilíbrios de Nash –  Nash –  os equilíbrios com estratégia dominante são conveniente convenientess quando se verificam,

mas isso não acontece com tanta frequência. Diremos que um par de estratégias constitui um equilíbrio de Nash se a escolha do jogador A for óptima, dada a escolha do jogador B e a escolha de B for óptima dada a escolha de A. Três problemas principais são apontados ao equilíbrio de Nash: primeiro, um jogo  pode ter mais de um equil equilíbrio íbrio de Nash; segun segundo, do, pod podee haver jogos onde esse equilíbrio não se verifica e o terceiro é que o equilíbrio de Nash é que não gera necessariamente um óptimo de Pareto. 3.2. 

Dilema do prisioneiro

 Nos referimos que um do doss problemas p roblemas do equ equilíbrio ilíbrio de Nash é que ele não n ão gera necessariamente n ecessariamente um óptimo de Pareto, vejamos o jogo apresentado na tabela 1. Este jogo é conhecido pelo nome de dilema dos prisioneiros. O jogo referia-se, inicialmente, a uma situação em que dois prisioneiros, que tinham participado do mesmo crime, eram interrogados em salas separadas. separadas . Cada prisioneiro podia confessar o crime, denunciando deste modo o cúmplice, ou não confessar o crime. Se um dos prisioneiros confessasse o crime e o outro não, o primeiro ficaria livre e o que não confessou ficaria 6 meses na prisão. Se ambos negassem o crime em que estavam envolvidos, então cada um ficaria apenas 1 mês na  prisão, e se ambos confessassem, confess assem, seriam condenados a 3 meses de prisão. A matriz de resultados para este jogo é dada pela tabela 1. As entradas em cada célula da matriz representam a utilidade que cada um dos jogadores (A e B) atribui aos vários tipos de enclausuramento que por questão de simplicidade, consideramos como o negativo do tempo de  prisão. Agora, como vamos encontrar uma solução para o dilema do jogador A e B? isto é, que estratégias estraté gias são plausíveis se os dois prisioneiros querem minimizar o tempo de prisão? Se analisarmos o jogo sob ponto de vista do jogador A, ele pode raciocinar da seguinte maneira: “ Duas coisas podem acontecer: B pode confessar ou B pode não confessar, se B confessar, então é melhor para mim confessar também, porque ficaremos juntos presos durante 3 meses enquanto

 

que se não confesso ficarei 6 meses preso e ele livre. Se B não confessar, então o melhor para mim é confessar porque ficarei livre. Em qualquer um dos casos, é melhor para mim confessar.  Então, eu confessarei.”

Se analisarmos o jogo do ponto de vista de B, podemos aplicar a mesma linha de raciocínio e concluir que B também irá confessar. Assim ambos confessarão e ficarão 3 meses presos. Coloque-se no lugar do jogador A. Se o jogador B não confessar o crime, então é melhor para si confessar, pois fica em liberdade. De igual modo, se B confessar, então é melhor para si confessar  porque apanha apenas apen as 3 meses de prisão, em vez de 6. Assim qualquer que seja a decisã decisãoo de B, é sempre melhor que A confesse. O mesmo vale para o jogador B, também ele tem sempre a ganhar se confessar. Em consequência, o único equilíbrio de Nash verifica-se quando ambos jogadores confessam.  Na realidade, este equilíbrio não é apenas de Nash, é também ddee um equilíbrio com estratégias dominantes uma vez que cada jogador tem sempre a mesma escolha óptima independentemente

daquilo que o outro faça. Jogador B  Confessa  Não confessa

Jogador A

Confessa  Não confessa

-3, -3 -6, 0

0, -6 -1, -1

Tabela 1 O dilema do Prisioneiro

 No entanto, se os dois decidissem não confessar o crime, cada um deles ficaria melhor do que se tivesse confessado! Se cada um tivesse a certeza de que o outro não confessava e ambos acordassem nessa estratégia, o resultado de cada jogador seria igual -1, o que seria melhor para qualquer deles. A estratégia (não confessar, não confessar) c onfessar) é um óptimo à Pareto –  não  não existe outra estratégia que sirva melhor para cada um dos jogadores  –   enquanto a estratégia (confessar, confessar) é ineficiente à Pareto. O problema é o de que não existe forma de os dois prisioneiros coordenarem as suas estratégias. 3.3. 

Aplicacao economica

O equilíbrio de Nash é um equilíbrio não cooperativo: cada empresa toma as suas decisões visando obter o maior lucro possível, dada as acções dos concorrentes, mas se a cooperação pode conduzir a

 

lucros mais elevados, então as empresas poderiam cooperar entre si sem firmar um acordo explicito.

Então, nesse sentido ambas, empresas poderiam determinar uma estimativa deste preço que maximiza o lucro e toma-lo e esperar que a outra faça mesmo, e assim as duas poderiam auferir lucros maiores. O problema e que o concorrente provavelmente p rovavelmente não optaria por fixar seu pr preço eço em um nível compatível com o acordo, porque o concorrente estaria fazendo um melhor negócio ao optar por um preço mais baixo, mesmo que soubesse que a outra empresa praticaria o preço do acordo. Atentemos ao caso: duas empresas que se encontram nesta situação e tem alternativas de preços

com os seus respectivos resultados. Durante o processo de tomada de decisão sobre o preço a ser cobrado, as duas empresas estarão praticando um jogo não cooperativo: cada uma, independentemente, estará fazendo o melhor que pode para si, levando em consideração estratégias de seu concorrente. A tabela 2 mostra os resultados ou ganhos que cada uma das empresas terá adoptando determinada estratégia, ou seja, o lucro que cada empresa obterá em função de sua decisão e da decisão de seu concorrente.

Empresa A

Cobra 4MT Cobra 6MT

Empresa B  Cobra 4MT Cobra 6MT 12MT, 12MT 20MT, 4MT 4MT, 20MT 16MT, 16MT

Tabela 2 Matriz de Pay-off do Jogo de determinação de Preço

O canto superior esquerdo da matriz de resultados nos informa que, se ambas as empresas cobrarem 4 meticais, cada uma obterá lucros de 12 meticais. O canto superior direito indica que, se a empresa A cobrar 4 meticais e a empresa B cobrar 6 meticais, a empresa A alcançará lucros de 20 meticais e a empresa B, lucros de 4 meticais. Essa matriz responde ao amago da questão de por que as empresas não se comportam cooperativamente, podendo assim obter lucros mais altos, mesmo não entrando em um acordo explicito. Neste caso, a cooperação significaria que ambas as empresas estariam cobrando 6 meticais ao invés de 4, obtendo, portanto, lucros de 16 meticais, invés de 12 meticais. O problema é que cada uma delas sempre fará melhor negócio ao vender por 4 meticais, não importando o que venha fazer a sua concorrente. Como mostra a matriz de resultados, se a empresa B cobrar 4 meticais, a empresa A estará melhor cobrando 4 meticais. Se a empresa B cobrar 6 meticais, a empresa A ainda estará melhor cobrando cobr ando

 

4 meticais. Da mesma forma, a empresa B sempre estará melhor ao cobrar 4 meticais, não importando o que possa fazer a empresa A. Consequentemente, a menos que ambas as empresas  possam assinar um contracto que as obriga a fixar um preço de 6 meticais, nenhuma das duas pode esperar que a sua concorrente assim proceda, de tal modo que ambas cobrarão 4 meticais. Em conclusão e que a estratégia de cobrar o preço de 4 seria o óptimo ineficiente a Pareto, porque existe uma opção melhor, que é o óptimo de Pareto onde ambos praticam o preço de 6MT.

 

IV.  GUERRA DOS SEXOS 4.1. 

Conceitos basicos

 No que toca a solução de um jogo (que é uma previsão p revisão sobre o resultado do jogo jogo), ), destacam-se:    Dominância

 em que avalia-se um perfil de estratégias na qual apenas a estratégia de um

único jogador irá variar, enquanto as estratégias dos seus oponentes permanecem fixas.  

Caso uma estratégia pura sik’ tenha uma utilidade maior que a estratégia pura sik, diz -se

que a estratégia sik é estritamente dominada pela  pela estratégia sik’.  

Caso a estratégia sik’ tenha uma utilidade maior ou igual a estratégia s ik, diz se que a

estratégia sik é fracamente dominada.  

Em adição, a dominância restrita iterada  diz respeito ao processo de eliminação de estratégias que são estritamente dominadas.

 

Há também a solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo que é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem.

 

Existem também o caso das estratégias mistas,  em que o jogador deve escolher uma distribuição de probabilidade sobre suas estratégias puras e que a solução no caso da  batalha dos sexos é estratégica (equilíbrio de Nash) se nenhum jjogador ogador sente motivação de trocar sua estratégia mista se os demais jogadores não o fizerem.

4.2. 

Guerra dos sexos

Um casal pretende sair e tem que decidir onde irá se encontrar e qual será o programa que farão  para ficarem juntos em parte de uma noite no final de semana. Ambos estão ansiosos por este momento e valorizam este momento mais do que qualquer outra alternativa de entretenimento. O Simeão prefere ir ao Show de jazz alusivo ao dia internacional do jazz enquanto sua namorada Mindinha prefere ir ao show da Shekhina, ambos no dia 30 de Abril a mesma hora. O problema é que o celular de um deles ficou descarregado e eles ficaram sem poder se comunicar. Assim ambos têm de tentar se encontrar em um desses dois eventos.  Na formulação da batalha dos sexos pela teoria dos jogos cada um deles poderá ir ao show de jazz ou ao show da Shekinah sendo possível o estabelecimento de 4 alternativas: S = {(show de jazz,

 

show de jazz), (show de jazz, Shekinah), (show da Shekinah, show de jazz), (show da Shekinah, show da Shekinah)}. Esta situação também pode ser modelada como um jogo estratégico: G = {Simeão, Mindinha}, SSimeão = {show de jazz, show da shekinah}, S Mindinha = {show de jazz, show da Shekinah}. Se eles forem juntos ao show de jazz, então o Simeão tem satisfação maior que da Mindinha. Por outro lado, se eles forem juntos ao show da Shekinah, então a Mindinha tem satisfação maior que o Simeão. Finalmente, se eles saírem sozinhos, ambos ficam igualmente insatisfeitos. As duas funções utilidade podem ser representadas pela seguinte matriz de payoff: Mindinha

Simeão

 jazz

Shekinah

Jazz

(10,5)

(0,0)

shekinah

(0,0)

(5,10)

Os jogadores, o Simeão e a Mindinha obterão a maior recompensa caso escolham o mesmo  programa e consigam se encontrar, ainda que o Simeão prefira ir ao Show de Jazz e a Mindinha ao show da Shekinah. 4.3. 

Soluções do jogo da guerra dos sexos

4.3.1.  Dominância

A técnica da batalha dos sexos fornece todo o espaço de estratégias, não existindo estratégias estritamente dominadas. 4.3.2.  Equilíbrio de Nash

O jogo da batalha dos sexos tem dois equilíbrios de Nash (show de jazz, show de jazz) e (show ( show da Shekinah, show da Shekinah) e serve como representação geral daquelas situações de interacção estratégica em que os jogadores ganham sempre que coordenam as suas decisões, mas tem  preferências distintas sobre que tipo de coordenação deve ser adoptada. O equilíbrio de Nash indica a situação melhor para os dois ao mesmo tempo, e não o melhor para cada um individualmente. 4.3.3.  Equilíbrio de Nash em estratégias mistas

 

 Na batalha dos sexos os equilíbrios de Nash em estratégias mistas são (1,0;1,0) e (0,1;0,1), correspondentes aos equilíbrios de Nash em estratégias puras show de jazz, show de jazz) e (show da Shekinah, show da Shekinah) respectivamente, (2/3,1/3;1/3,2/3). 4.4. 

Aplicacao pratica do problema de Guerra dos sexos

Para empresas que estabelecem preços, os  payoffs  são os lucros. Dado que a guerra dos sexos representa um jogo cooperativo na medida em que os participantes podem negociar contractos vinculativos que lhes permitam planejar estratégias em conjunto, um exemplo prático seria o caso das empresas TDM e MCEL que pela dificuldade de obter sucesso sozinhas negociaram um contracto entre si, dividindo os lucros decorrentes do investimento conjunto tornando possível um resultado cooperativo que beneficiará ambas as partes. Um outro exemplo seria os leilões que são feitos no mercado aberto entre diferentes instituições monetárias em que o Banco Central de Moçambique leva em conta o comportamento de outros  bancos para escolher uma taxa de juro baixa (em relação a taxa de juro máxima de corte, em casos de operações de operações de absorção de liquidez) ou uma taxa de juro alta (em relação a taxa de de  juro mínima de corte em casos de operações de cedência de liquidez), sabendo-se sabendo-s e de antemão que caso não ocorra nenhuma transacção no leilão, nenhuma das partes (o banco central e o banco comercial) alcançará o seu objectivo.

 

V. 

Jogos de Soma Nula

5.1. 

Conceitos básicos

São aqueles em que o ganho de um jogador representa necessariamente a perda do outro considerando que os dois jogadores podem ter um número finito ou infinito de estratégias associadas, cada uma, a um payoff que um jogador paga ao seu adversário. O somatório dos pagamentos efectuados a todos os jogadores (payoff’s) é nulo, não importa a

estratégia adoptada por cada um dos jogadores, o que um jogador ganha é exactamente ao que um  jogador perde. Os payoffs podem ser negativos (perder e o outro jogador ganhar), ou positivos (ganhar e o outro  jogador perder). Assim sendo, não faz sentido um jogador cooperar com o outro pois é uma competição pura, onde um ganha e o outro automaticamente perde. Considerando que os dois jogadores são Y e Z, com m e n estratégias, respectivamente, o jogo  pode ser representado por po r uma matriz de payoff para o jogador Y: Z1

Z2 

Z3 

Z4 

a11

a12

...

a1m

a21

a22

...

a2m

⁞ 

⁞ 

⁞ 

⁞ 

am1

am2

am3

amm

A representação matricial acima indica que se Y usa uma estratégia i e Z usa uma estratégia j, o  payoff para Y é pij e consequentemente o payoff para Z é -pij.

5.2. 

Solução óptima em jogos de soma nula

A solução óptima de um jogo de soma nula é aquela em que se selecciona uma ou o u mais estratégias  para cada jogador, de tal forma que qualquer qu alquer mudança na estratégia escolhida, o payoff pa yoff do outro  jogador não melhorará. Estas soluções podem estar na forma de uma única estratégia, ou várias estratégias misturadas, conforme as probabilidades pré-determinadas. 5.3. 

Teorema de Minmax

 

Usado para minimizar a perda máxima, foi desenvolvido por Von Neuman. Um jogo de soma nula com dois jogadores, é racional para cada um dos jogadores escolher a estratégia que maximiza seu ganho mínimo ou de forma equivalente que minimiza o ganho máximo do outro jogador. O par de estratégias que qu e permite que cada jogador maximize seu ganho mínimo é a solução do jogo. O teorema de Minmax garante que o agente ganhe o mínimo, independentemente da estratégia que o outro adoptar (pode-se ter mais de um ponto mínimo num jogo). Consiste em encontrar o menor resultado na melhor das hipóteses. Aqui, os jogadores não podem fazer acordos. Exemplo1:

Duas empresas concorrentes produzem um mesmo produto e têm custos fixos de Euros 5000,00  por período, independente de quanto conseguem vender vender.. Ambas competem pelo mesmo mes mo mercado e devem escolher entre um preço alto (Euros 2,00) e um preço baixo (Euros 1,00). Regras do jogo: •A Euros 2,00, o mercado consome 5000 unidades ao custo de Euros  10000,00 •A Euros 1,00, o mercado consome 10000 unidades ao custo de Euros 10000,00   •Se ambas empresas aplicarem o mesmo preço, vendas serão divididas entre elas   •Se aplicarem preços diferentes, aquela com menor preço vende toda a quantidade e a outra nad a •Payoffs são os lucros - revenda menos custos fixos

 Ma  M atri z de Payo Payoffs

Empresa 2

Euros 1 Euros 2

Empresa 2 Euros 1 (0,0) (-5000,5000)

Euros 2 (5000,-5000) (0,0)

Em cada uma das estratégias, o primeiro número indica o ganho da Empresa 1, enquanto que o segundo representa o ganho da Empresa 2. Para todas as estratégias possíveis do jogo, a soma de ganhos (payoffs) dos jogadores é zero, caracterizando um jogo de soma zero. A solução para estes  jogos é a aplicação do teorema minimax de Von Neumann.

 

 No exemplo acima, o raciocínio para a empresa 1 é o seguinte: o payoff payoff mínimo para o preço Euros 1,00 é zero, e para o preço Euros 2,00 é -5000, logo o preço Euros 1,00 maximiza max imiza o payoff mínimo. O raciocínio da empresa 2 é similar, e a solução do jogo é a escolha do preço Euros 1,00 para ambas. Neste exemplo, o jogo apresenta somente uma u ma solução, a qual será jogada 100% das vvezes, ezes, caracterizando uma estratégia pura. Exemplo2: 

Duas companhias, Y e Z, vendem duas marcas de sapatos. Companhia Y pode anunciar o seu  produto no rádio (estratégia Y1), na televisão (estratégia Y2) ou no jornal (estratégia Y3). A Companhia Z pode anunciar o seu produto no rádio (estratégia Z 1), na televisão (estratégia Z2), no jornal (estratégia Z3) ou campanha porta a porta (estratégia Z4). Dependendo da criatividade e da intensidade dos anúncios, cada companhia pode ganhar uma porção do mercado da outra companhia. A matriz de payoff abaixo resume a percentagem de mercado ganho ou perdido pela companhia Y-

Z1

Z2

Z3

Z4

Y1

8

-2

9

-3

-3

Y2

6

5

6

8

5

Y3

-2

4

-9

5

-9

8

5

9

8

A solução do exercício é baseada no teorema de Maximini. Este teorema, é usado quando se trata de uma situação de risco em que a empresa busca o melhor ganho possível para que não tenha  perdas desnecessárias. O agen agente te busca buscará rá o melhor ganho admitindo que o outro agente realize r ealize a melhor decisão. Este método permite achar o maior resultado na pior das hipóteses. Se a companhia Y escolher a estratégia Y 1, então, independente da estratégia que Z escolha, o  pior que pode acontecer é Y perder 3% do sseu eu mercado ppara ara Z. Isto é representado repr esentado pelo valor mínimo dos elementos da matriz na linha 1. Similarmente, se Y escolher a estratégia Y 2, o pior que pode acontecer é A ganhar 5% do mercado de Z, e se escolher a estratégia Y 3, o pior que  pode acontecer é Y pperder erder 9% do seu mercado para Z. Estes resu resultados ltados são listados na coluna "Min Linha" da matriz. Para obter a "Melhor entre as Piores", a companhia Y escolhe a

 

estratégia Y2 por que esta representa o valor máximo entre os valores mínimos (Maximin). 5.4. 

Valor do jogo e ponto de sela

A solução óptima do jogo então selecciona as estratégias Y 2 e Z2, isto é, ambas as companhias devem anunciar seus produtos na televisão. O  payoff será a favor da companhia Y, porque seu mercado irá ganhar 5% do mercado de Z. Neste caso, é dito que o valor do jogo é 5 (5%) e que Y e Z estão usando uma estratégia pura ou estratégia dominante cuja solução é um ponto de sela. A solução de ponto de sela garante que nenhuma companhia está a tentar seleccionar uma estratégia melhor. Se Z escolher outra estratégia (Z 1, Z3 ou Z4), a companhia Y pode ficar com a estratégia Y2, a qual garante que Z irá perder mais mercado para Y (6% ou 8%). Dá mesma forma, Y não quer usar uma estratégia diferente (Y 1  ou Y3) uma vez que se Y escolher a estratégia Y3, Z pode escolher a estratégia Z3  e ganhar 9% do mercado de Y. O raciocínio análogo é verdadeiro para Y escolher a estratégia Y1. O ponto de sela existe quando o valor Minimax é igual ao valor Maximini; caso isso não ocorra não temos ponto de sela e nem estratégia dominante, e assim sendo, sempre quando a estratégia es tratégia de um jogador é previsível, o seu oponente poderá tomar vantagem desta informação para melhorar a sua tomada de decisão.  Na ausência do ponto de sela ou estratégia dominante, ao invés de aplicar um critério conhecido  para determinar uma única estratégia que será definitivamente usada (por ser a melhor), é necessário escolher estratégias alternativas aceitáveis, geradas de forma sólida. Assim sendo, o valor do jogo nestas condições será um número (ou conjunto de números) que está entre os valores Maximin e Minimax. 5.5. 

Jogos de soma nula com estratégias mistas

Seja S jogador  L=  L= {1, 2, ..., m} e S jogador  C=  C= {1, 2, ..., n}. Em termos de estratégias mistas, se p=(p 1,...,pm) ϵ Δm é uma distribuição de probabilidades para as estratégias puras do jogador L. Se q=(q1,...,qn) ϵ  Δn é uma distribuição de probabilidades para as estratégias puras do jogador C.

 

Então o payoff esperado para o jogador L será U L(p,q)= pTAq onde A é o conjunto de resultados dadas estratégias do jogador L. O payoff esperado para o jogador C será U C(p,q)= pTBq onde B é o conjunto de resultados dadas estratégias do jogador C. Ex.: considerar dois jogadores, cada um com duas alternativas de escolha: par ou ímpar. Dependendo da combinação de escolhas dos dois, os jogadores obtêm ganho (representado por 1) ou perda (-1). O jogador Par obterá ganho se ambos fizerem f izerem a mesma escolha, e neste caso o Ímpar receberá -1. Se as escolhas forem diferentes, os ganhos invertem-se. Matriz do pa  payoff

B1

B2

A1

1

-1

A2

-1

1

Os jogadores podem usar duas estratégias, pois o payoff mínimo para cada uma é -1. Existe ainda uma terceira estratégia possível, envolvendo aleatoriedade. No caso de estratégias mistas um  jogador pode variar sua escolha seguindo probabilidades aplicadas a cada uma das opções. Na matriz acima verificamos duas estratégias puras - par e ímpar - e uma série de estratégias mistas correspondendo às variações de probabilidade possíveis. O teorema minimax garante uma solução para jogos de soma nula, seja em estratégia pura ou mista. Neste caso, a solução é jogar aleatoriamente par e ímpar com probabilidades iguais de 0,5,  pois esta estratégia maximiza o  payoff  mínimo  mínimo sobre todas as outras estratégias, puras ou mistas. O cálculo do payoff envolvendo estratégias mistas leva em conta o percentual associado a cada estratégia, os quais são representados em n-duplas, sendo n o número de estratégias puras que o  jogador dispõe. d ispõe. O somatório de todos os percentuais p ercentuais logicamente deve totalizar 1, equivalente a 100%. Para encontrar a estratégia mista óptima, maximizando o payoff  do  do jogador, é preciso obter as percentagens óptimas para cada estratégia.

 

VI.  TEORIA DOS JOGOS PELA PROGRAMAÇÃO LINEAR 6.1. 

Conceitos básicos

A análise de uma decisão segundo (Há) e um processo que envolve a selecção da melhor alternativa. Esta selecção depende da qualidade de dados e da especificação da situação em causa. Por outro lado, já sabemos que o objectivo do administrador será maximizar os seus proveitos. Quando se trata de problemas de optimização linear usamos uma função objectivo para minimizar ou maximizar, sujeita a um conjunto de restrições. Em geral não consideramos os 2 casos simultaneamente. Ora, no contexto da teoria de jogos, tal mistura de interesse pode acontecer acon tecer tendo-se muitas vezes que determinar:  

O máximo dos mínimos (maxmin);

 

O mínimo dos máximos (minimax).

Um jogo é uma situação em que 2 ou mais participantes jogadores se confrontam procurando atingir objectivos contraditórios. A teoria de jogos, estuda situações de decisão em que 2 pessoas se confrontam com objectivos conflituosos. Um jogo com dois jogadores pode ter um no finito ou infinito de alternativas ou estratégias, associado a cada par de estratégias há um payoff, ou seja, pagamento que um jogador paga para seu oponente. 6.2. 

Categoria de jogos

Existem 2 categorias de jogos: i. 

Jogo de sorte: aquele que o objectivo de estudo envolve a teoria de probabilidade;

ii. 

Jogo de estratégia-aquele que que o resultado do jogo depende da escolha voluntaria de uma ou varias acções, estratégias. Ex: Partilha de mercado, negociação politica

Um jogo é representado por uma matriz de rendimentos para um jogador e pagamentos para o outro. O número de estratégias pode ser infinito ou finito conforme a seguinte representação:

 

 

      ……     …     ………………………….  

 

A matriz representa um jogo de dois (2) jogadores A e B com m e n estratégias respectivamente. Pela nomenclatura convencional esta matriz diz-se que esta representada em função do jogador A assim o elemento



 Representa o rendimento de A se ele utilizar a estratégia i e B usar a estratégia

 j, enquanto para B representa uma perda em aij unidades de medida. O payoff para A é aij e para B é – aij. aij. Se o número de ganhos de um jogador for igual ao número de perdas diz-se que temos um jogo de duas pessoas com soma nula, caso contrário é de soma não nula. 6.3. 

Formulação de um problema de jogo

Sejam 2 jogadores A e B. A matriz dos rendimentos deste jogo é dada por: B

  = −32 34

 

O jogo foi representado em função de A e todos os sinais negativos indicam a quantidade que A  perdeu para B e os positivos são os ganhos de A. Sendo assim temos: Soma dos ganhos= 2+4=6 Soma das perdas= 3+3=6 ∑Ganhos +∑ perdas=0 o jogo é de soma nula

Exemplo:

 

Duas empresas A e B fabricam o mesmo produto em competição. Cada empresa controla actualmente 50% do mercado e cada uma esta a considerar a possibilidade de realizar campanhas de publicidade usando a televisão, jornal e rádio para aumentar a sua percentagem no domínio do mercado. Se as 2 empresas não fizerem nenhuma publicidade, o mercado fica constante, mas uma campanha forte pode influenciar aumentando a percentagem de clientes. A televisão pode ganhar 50%, o jornal 30% e a rádio 20%. O objectivo de cada empresa é escolher a forma óptima de realizar publicidade. Formule o problema Meio de

Nenhum

Televisão

Jornal

Radio

Nenhum

0.0

-0.5

-0.3

-0.2

Televisão

0.5

0.0

0.2

0.3

Jornal

0.3

-0.2

0.0

0.1

Radio

0.2

-0.3

-0.1

0.0

publicidade

6.4. 

Resolução de jogos de soma nula

Dado um jogo matricial em relação a A: A estratégia aí  é  é conservadora de A, quando o jogador A consegue maximizar o seu rendimento e evita perder se ele escolhe esta estratégia e escreve-se maxmin de A Uma estratégia b j é conservadora para B, se o jogador B escolher esta estratégia ele minimiza o rendimento de A ou evita perder e escreve-se minimax de B. Exemplo:

Recorrendo ao exemplo anterior, em que duas empresas A e B fabricam o mesmo produto em competição e uma campanha forte pode influenciar aumentando a percentagem de clientes. A empresa A pode publicitar na Televisão (A1), Jornal (A2) e na Rádio (A3) e a empresa B pode  publicitar na televisão (B1), Jornal Jo rnal (B2) e na Rádio (B3) ou venda directa (B4). A coluna abaixo representa a matriz de payoff. Encontrar as estratégias conservadoras para os jogadores A e B na seguinte matriz de ganhos

 

 

B1 

B2 

B3 

B4 

A1 

8

-2

9

-3

A2 

6

5

6

8

A3 

-2

4

-9

5

Resolução: A solução do jogo dá-se pela escolha do melhor entre os piores e a pior entre as

melhores em função Max coluna=8; 5; 9;8

Min Linha= -3; 5; -9

Minmax= 5 e Maxmin= 5 Minimax=maximini=5 Se a empresa A escolhe a estratégia A1, perde 3% dos clientes para empresa B e se escolhe A2 ganha apenas 5% da empresa B e se escolhe A3 perde 9% para B. Assim, a melhor entre as  piores é A2 pois é o valor máximo entre os mínimos (maximini). (max imini). O payoff para a empresa B será dado pelo critério minimax (pior entre os melhores) Para A: maximin Aij= max(-3;-5;-9)=5 a2  Para B: minimax Bij= min(8;5;9;8)=5 b2  Resposta: as estratégias conservadoras para A e B são a2 e b2 respectivamente, assim ambas

empresas publicam o seu produto no jornal. Uma vez que o jogo esta em função da empresa A, esta ganha 5% da empresa B, o valor do jogo e 5 e considera-se estratégia dominante e no caso é um ponto de sela.

Exemplo: considere o seguinte jogo matricial de 2 jogadores

Matriz a)  Mostre que o jogo é estável  b)  Qual é o valor do jogo c)  Como devem jogar A e B. d)  O jogo tem um ponto de sela ou não.

 

Resolução:

a)  Maximin(aij)=max(3,1)=3; minimax(bij)=min(3;4)=3 Minimax(aij)=minimax(bij)= 3 o jogo é estável.

 b)  O valor do jogo é 3. c)  O jogador A deve jogar sempre a1 e B deve jogar sempre b 1. d)  Se as estratégias a1=X0, a2=X e b1=Y0, b2=Y, calculando os valores retornados pela função de payoff temos: W(X,Y 0)=2; W(X0,Y0)=3; W(X0,Y)=4, o que mostra que o  ponto (X0,Y0) é um ponto de sela pois 2