Teoria Dos Grafos

Teoria dos Grafos Grafos individuais

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Conteúdo Páginas Introdução - Teoria dos Grafos

1

Sete pontes de Königsberg

1

Teoria dos grafos

2

Conceitos Básicos e Definições

8

Grafo

8

Vértice

9

Aresta

11

Aresta múltipla

12

Ciclos em um grafo

12

Clique

12

O grau de um grafo

13

Grafo bipartido

15

Grafo bipartido completo

17

Grafo caminho

19

Grafo completo

20

Grafo cúbico

20

Grafo Estrela

23

Grafo nulo

24

Grafo orientado

25

Grafo simples

28

Grafo valorado

28

Homomorfismo de grafos

29

Isomorfismo de grafos

30

Laço

32

Multigrafo

33

Pseudografo

34

Quiver

36

Vértice de corte (teoria dos grafos)

37

Vizinhança

40

Árvores Árvores

42 42

Árvore de extensão

43

Árvore de extensão mínima

44

Representação de Grafos

46

Matriz de adjacência

46

Matriz de incidência

48

Lista de adjacência

49

Automorfismo de grafos

52

Automorfismo de grafos

52

Grafo regular

55

Grafo fortemente regular

57

Grafo distância-regular

60

Grafo distância-transitivo

63

Grafo simétrico

65

Grafo meio-transitivo

68

Grafo semissimétrico

69

Grafo aresta-transitivo

70

Grafo vértice-transitivo

71

Grafo de Cayley

73

Grafo antissimétrico

75

Grafo assimétrico

77

Algoritmos em Grafos

79

Busca em largura

79

Busca em profundidade

86

Caminho

88

Caminho euleriano

89

Caminho hamiltoniano

90

Ordenação topológica

92

Algoritmo de Bellman-Ford

94

Algoritmo A*

97

Algoritmo de Floyd-Warshall

98

Algoritmo de Johnson

Algoritmos para obter a árvore de extensão mínima

100 102

Algoritmo de Kruskal

102

Algoritmo de Prim

103

Algoritmo de Dijkstra

109

Algoritmo de Boruvka

Grafos individuais

113 116

Grafo de Biggs-Smith

116

Grafo de Brouwer-Haemers

118

Grafo de Desargues

119

Grafo de Folkman

121

Grafo de Foster

123

Grafo de Frucht

125

Grafo de Gray

126

Grafo de Heawood

128

Grafo de Higman-Sims

130

Grafo de Hoffman-Singleton

132

Grafo de Holt

133

Grafo de Ljubljana

135

Grafo de Nauru

137

Grafo de Pappus

140

Grafo de Petersen

142

Grafo de Shrikhande

144

Grafos de Chang

146

Referências Fontes e Editores da Página

147

Fontes, Licenças e Editores da Imagem

149

Licenças das páginas Licença

153

1

Introdução - Teoria dos Grafos Sete pontes de Königsberg Sete pontes de Königsberg é um famoso problema histórico da matemática resolvido por Leonhard Euler em 1736, cuja solução originou a teoria dos grafos.[1] O problema é baseado na cidade de Königsberg (território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado), que é cortada pelo Rio Prególia, onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete pontes, conforme mostra a figura ao lado. Das sete pontes originais, uma foi demolida e reconstruída em 1935, duas foram destruídas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas foram demolidas para dar lugar a uma única via expressa. Atualmente apenas duas pontes são da época de Leonard Euler. Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições.

Esquema de pontes.

Grafo estilizado das pontes.

Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história. Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é que de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente. Se não houver pontos com número ímpar de caminhos, pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto, podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso não é possível quando temos dois pontos com números ímpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o início e outro o fim. Duas das sete pontes originais da cidade foram destruídas durante do bombardeamento de Königsberg em agosto de 1944.[2] [1] Leonhard Euler: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (http:/ / www. math. dartmouth. edu/ ~euler/ docs/ originals/ E053. pdf)

Teoria dos grafos

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Teoria dos grafos A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,A), onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e A é um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas. Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso (numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou digrafo. Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial.

Grafo com 4 vértices e 6 arestas. É um grafo completo, conexo e planar.

Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos problemas de interesse prático podem ser formulados como questões sobre certos grafos. Por exemplo, a estrutura de links da Wikipedia pode ser representada por um dígrafo: os vértices são os artigos da Wikipedia e existe uma aresta do artigo A para o artigo B se e somente se A contém um link para B. Dígrafos são também usados para representar máquinas de estado finito. O desenvolvimento de algoritmos para manipular grafos é um importante tema da ciência da computação.

Histórico O artigo de Leonhard Euler, publicado em 1736, sobre o problema das sete pontes de Königsberg, é considerado o primeiro resultado da teoria dos grafos.[] É também considerado um dos primeiros resultados topológicos na geometria; isto é, não dependente de quaisquer medidas. Isso ilustra a profunda conexão entre a teoria dos grafos e topologia.

Definições de grafos e digrafos Na literatura, as definições básicas da teoria dos grafos variam bastante. Aqui estão as convenções usadas nesta enciclopédia. Um grafo direcionado (também chamado digrafo ou quiver) consiste de • um conjunto V de vértices, • um conjunto E de arestas e • mapas s, t : E → V, onde s(e) é a fonte e t(e) é o alvo da aresta direcionada e. Um grafo não direcionado (ou simplesmente grafo) é dado por • um conjunto V de vértices, • um conjunto E de arestas e • uma função w : E → P(V) que associa a cada aresta um subconjunto de dois ou de um elemento de V, interpretado como os pontos terminais da aresta. Em um grafo ou digrafo com pesos, uma função adicional E → R associa um valor a cada aresta, o que pode ser considerado seu "custo"; tais grafos surgem em problemas de rota ótima tais como o problema do caixeiro viajante.

Teoria dos grafos

Representação gráfica (layout do grafo) Os grafos são geralmente representados graficamente da seguinte maneira: é desenhado um círculo para cada vértice, e para cada aresta é desenhado um arco conectando suas extremidades. Se o grafo for direcionado, seu sentido é indicado na aresta por uma seta. Note que essa representação gráfica (o layout) não deve ser confundida com o grafo em si (a estrutura abstrata, não-gráfica). Vários diferentes layouts podem corresponder ao mesmo grafo.[1] O que importa é quais vértices estão conectados entre si por quantas arestas.

Glossário dos conceitos básicos de teoria dos grafos O grafo de exemplo exibido à direita é um grafo simples com o conjunto de vértices V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e um conjunto de arestas E = { {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6} } (com o mapeamento w sendo a identidade). Uma aresta conecta dois vértices; esses dois vértices são ditos como incidentes à aresta. A valência (ou grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops contados duas vezes. No grafo de exemplo os vértices 1 e 3 possuem uma valência de 2, os vértices 2, 4 e Um grafo com 6 vértices e 7 arestas 5 têm a valência de 3 e o vértice 6 tem a valência de 1. Se E é finito, então a valência total dos vértices é o dobro do número de arestas. Em um dígrafo, distingue-se o grau de saída (o número de arestas saindo de um vértice) e o grau de entrada (o número de arestas entrando em um vértice). O grau de um vértice é igual à soma dos graus de saída e de entrada. Dois vértices são considerados adjacentes se uma aresta existe entre eles. No grafo acima, os vértices 1 e 2 são adjacentes, mas os vértices 2 e 4 não são. O conjunto de vizinhos de um vértice consiste de todos os vértices adjacentes a ele. No grafo-exemplo, o vértice 1 possui 2 vizinhos: vértice 2 e vértice 5. Para um grafo simples, o número de vizinhos de um vértice é igual à sua valência. Na computação, um grafo finito direcionado ou não-direcionado (com, digamos, n vértices) é geralmente representado por sua matriz de adjacência: uma matriz n-por-n cujo valor na linha i e coluna j fornece o número de arestas do i-ésimo ao j-ésimo vértices. Se for possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice de um grafo, diz-se que o grafo é conexo. Se for sempre possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice mesmo depois de remover k-1 vértices, então diz-se que o grafo está k-conexo. Note que um grafo está k-conexo se, e somente se, contém k caminhos independentes entre qualquer par de vértices. O grafo de exemplo acima é conexo (e portanto 1-conexo), mas não é 2-conexo. Em um grafo genérico G, o corte associado a um conjunto X de vértices é o conjunto de todas as arestas que têm uma ponta em X e outra em V(G) - X, onde V(G) é o conjunto de todos os vértices pertencentes ao grafo G. • Grafo simples é um grafo não direcionado, sem laços e que existe no máximo uma aresta entre quaisquer dois vértices (sem arestas paralelas). No grafo de exemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) é um caminho com comprimento 5, e (5, 2, 1) é um caminho simples de comprimento 2. • Grafo completo é o grafo simples em que, para cada vértice do grafo, existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais. Ou seja, todos os vértices do grafo possuem mesmo grau. O grafo completo de n vértices é frequentemente denotado por Kn. Ele tem n(n-1)/2 arestas (correspondendo a todas as possíveis escolhas de pares de vértices). • Grafo nulo é o grafo cujo conjunto de vértices é vazio. • Grafo vazio é o grafo cujo conjunto de arestas é vazio.

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Teoria dos grafos • Grafo trivial é o grafo que possui apenas um vertice e nenhuma aresta. • Grafo regular é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau. • Multigrafo é um grafo que permite múltiplas arestas ligando os mesmos vértices (arestas paralelas). • Laço (loop) num grafo ou num digrafo é uma aresta e em E cujas terminações estão no mesmo vértice. • Pseudografo é um grafo que contém arestas paralelas e laços. • Ciclo (ou circuito) é um caminho que começa e acaba com o mesmo vértice. Ciclos de comprimento 1 são laços. No grafo de exemplo, (1, 2, 3, 4, 5, 2, 1) é um ciclo de comprimento 6. Um ciclo simples é um ciclo que tem um comprimento pelo menos de 3 e no qual o vértice inicial só aparece mais uma vez, como vértice final, e os outros vértices aparecem só uma vez. No grafo acima, (1, 5, 2, 1) é um ciclo simples. Um grafo chama-se acíclico se não contém ciclos simples. • Ponto de articulação ou Vértice de corte é um vértice cuja remoção desliga um grafo. Uma ponte é uma aresta cuja remoção desliga um grafo. Um componente biconectado é um conjunto máximo de arestas tal que qualquer par de arestas do conjunto fazem parte de um ciclo simples comum. O contorno de um grafo é o comprimento do ciclo simples mais curto no grafo. O contorno de um grafo acíclico é, por definição, infinito. • Árvore é um grafo simples acíclico e conexo. Às vezes, um vértice da árvore é distinto e chamado de raiz. Árvores são comumente usadas como estruturas de dados em informática (veja estrutura de dados em árvore). • Floresta é um conjunto de árvores; equivalentemente a uma floresta, em algum grafo acíclico. • Subgrafo de um grafo G é um grafo cujo conjunto dos vértices é um subconjunto do conjunto de vértices G, cujo conjunto de arestas é um subconjunto do conjunto de arestas de G, e cuja função w é uma restrição da função de G • Subgrafo gerador é aquele obtido pela remoção de uma ou mais arestas de um outro grafo, dizemos então que este novo grafo obtido é gerador do primeiro, • Subgrafo induzido é obtido pela remoção de vértices e consequente das arestas relacionadas com ele de um outro grafo, dizemos que este novo grafo é um grafo induzido do original. • Grafo parcial de um grafo G é um subgrafo com o mesmo conjunto de vértices que G. Uma árvore parcial é um grafo parcial que é árvore. Todo grafo tem pelo menos uma árvore parcial. • Clique em um grafo é um subgrafo que também é um grafo completo. No grafo do exemplo acima, os vértices 1, 2 e 5 formam um clique. • Conjunto independente em um grafo é um conjunto de vértices não adjacentes entre si. No exemplo acima, os vértices 1, 3 e 6 formam um conjunto independente e 3, 5 e 6 são outro conjunto independente. • Grafo planar é aquele que pode ser representado em um plano sem qualquer intersecção entre arestas. O grafo do exemplo é planar; o grafo completo de n vertices, para n> 4, não é planar. • Caminho é uma sequência de vértices tal que de cada um dos vértices existe uma aresta para o vértice seguinte. Um caminho é chamado simples se nenhum dos vértices no caminho se repete. O comprimento do caminho é o número de arestas que o caminho usa, contando-se arestas múltiplas múltiplas vezes. O custo de um caminho num grafo balanceado é a soma dos custos das arestas atravessadas. Dois caminhos são independentes se não tiverem nenhum vértice em comum, excepto o primeiro e o último. • Caminho euleriano em um grafo é o caminho que usa cada aresta exatamente uma vez. Se tal caminho existir, o grafo é chamado traversável. Um ciclo euleriano é um ciclo que usa cada aresta exatamente uma vez. • Caminho hamiltoniano em um grafo é o caminho que visita cada vertice exatamente uma vez. Um ciclo hamiltoniano é um ciclo que visita cada vértice uma só vez. O grafo do exemplo contém um caminho hamiltoniano. Enquanto determinar se um dado grafo contém um caminho ou ciclo euleriano é trivial, o mesmo problema para caminhos e ciclos hamiltonianos é extremamente árduo.

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Teoria dos grafos • Lema do aperto de mãos diz que se os convidados de uma festa apertarem as mãos quando se encontrarem pela primeira vez, o número de convidados que apertam a mão um número ímpar de vezes é par. Também em grafos não direcionados a soma dos graus de todos os vértices é igual ao dobro do número de arestas. • Grafo bipartido é o grafo cujos vértices podem ser divididos em dois conjuntos, nos quais não há arestas entre vértices de um mesmo conjunto. Para um grafo ser bipartido ele não pode conter circuitos de comprimento ímpar. • 1. Se um grafo G é bipartido, todo o circuito de G possui comprimento par. • Sejam V1 e V2 os dois conjuntos em que, de acordo com a definição de grafo bipartido, se particiona V(G). Toda a aresta de G conecta um vértice em V1 com outro em V2. Assim sendo, se X for um vértice de V1, para “voltar” a esse vértice terá de se ir a V2 e voltar a V1 um número indeterminado de vezes, e de cada vez serão percorridas duas arestas, uma de um vértice em V1 para um vértice em V2 e outra de um vértice em V2 para um vértice em V1. Logo, o número de arestas a percorrer será par, ou seja, o comprimento do circuito é par. • 2. Se todo o circuito de um grafo G possui comprimento par, então o grafo é bipartido. • Seja G um grafo em que todo o circuito tem comprimento par, e seja X um vértice de G. Denotemos por V1 o conjunto formado por X e por todos os vértices cuja distância a X é par. Seja V2 = V(G)\V1 (isto é, o conjunto formado pelos vértices de G que não pertencem a V1). Pretende mostrar-se que não existe qualquer aresta que conecte vértices de V1 ou vértices de V2. Suponhamos a existência de tal aresta, isto é, suponhamos a existência de dois vértices em V1 (ou V2), digamos Xi e Xj, conectados por uma aresta. Ora existe já um caminho de comprimento par entre Xi e Xj, já que existem caminhos, ambos de comprimento par (ou ímpar, no caso de Xi e Xj pertencerem a V2), entre Xi e X e entre X e Xj. Se a esse caminho juntarmos a aresta {Xi;Xj} obtemos um circuito de comprimento ímpar o que contraria a hipótese de apenas existirem circuitos de comprimento par. • Grafo bipartido completo é o grafo bipartido, cujo qualquer vértice do primeiro conjunto é adjacente a todos vértices do segundo conjunto • Grafo k-partido ou grafo de k-coloração é um grafo cujos vértices podem ser particionados em k conjuntos disjuntos, nos quais não há arestas entre vértices de um mesmo conjunto. Um grafo 2-partido é o mesmo que grafo bipartido. • Emparelhamento de grafos consiste em partir o grafo em conjuntos de vértices a qual não compartilham nenhuma aresta entre eles. • Teorema das quatro cores é baseado no problema das cores necessárias para se colorir um mapa sem que os países vizinhos compartilhem da mesma cor. Transformando o mapa em um grafo pode-se provar que pode-se representar qualquer mapa (um grafo planar) com apenas 4 cores (4 partições). • Percurso árvores: • Percorrimento sistemático em todos os vértices e arestas do grafo. Grafo pode ser dirigido ou não. • O percurso em árvores é o processo de visitar cada nó da árvore exatamente uma vez. • O percurso pode ser interpretado como colocar todos os nós em uma linha, não existe uma ordem para ser seguida. • Existem n percursos diferentes, quase todos caóticos. • Os básicos são percurso em profundidade e percurso em largura • Fila: busca em largura • Pilha: busca em profundidade • Busca em extensão ou largura: (Breadth-First Search ou BFS). A propriedade especial está no fato de a árvore não possuir ciclos: dados dois vértices quaisquer, existe exatamente 1 caminho entre eles. Um percurso em extensão é visitar cada nó começando do menor nível e move-se para os níveis mais altos nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita. Sua implementação é direta quando uma fila

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Teoria dos grafos é utilizada. Depois que um nó é visitado, seus filhos, se houver algum, são colocados no final da fila e o nó no início da fila é visitado. Assim, os nós do nível n+1 serão visitados somente depois de ter visitados todos os nós do nível n. Computa a menor distância para todos os vértices alcançaveis. O sub-grafo contendo os caminhos percorridos é chamado de breadth-first tree. • Busca em profundidade (Depth-first search ou DFS). Um algoritmo de busca em profundidade realiza uma busca não-informada que progride através da expansão do primeiro nó filho da árvore de busca, e se aprofunda cada vez mais, até que o alvo da busca seja encontrado ou até que ele se depare com um nó que não possui filhos (nó folha). Então a busca retrocede (backtrack) e começa no próximo nó. Numa implementação não-recursiva, todos os nós expandidos recentemente são adicionados a uma pilha, para realizar a exploração. A complexidade espacial de um algoritmo de busca em profundidade é muito menor que a de um algoritmo de busca em largura. A complexidade temporal de ambos algoritmos são proporcionais ao número de vértices somados ao número de arestas dos grafos aos quais eles atravessam. Quando ocorrem buscas em grafos muito grandes, que não podem ser armazenadas completamente na memória, a busca em profundidade não termina, em casos onde o comprimento de um caminho numa árvore de busca é infinito. O simples artifício de “ lembrar quais nós já foram visitados ” não funciona, porque pode não haver memória suficiente. Isso pode ser resolvido estabelecendo-se um limite de aumento na profundidade da árvore.

Problemas que envolvem grafos • Coloração de grafos: o Teorema das quatro cores • Conjuntos de Grafos • Conjunto independente • Clique • Problemas de roteamento: • • • • •

Sete pontes de Königsberg Árvore de extensão mínima Problema do caminho mínimo Problema da inspeção de rotas (também conhecido como o "Problema do carteiro chinês") Problema do caixeiro viajante

• Fluxos de rede: • Teorema do mínimo corte-máximo fluxo • conjectura da reconstrução • Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos) • Rotulação canônica? • Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos. • Máximo subgrafo comum

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Teoria dos grafos

Algoritmos importantes • • • •

algoritmo de Dijkstra algoritmo de Kruskal algoritmo do vizinho mais próximo algoritmo de Prim.

Generalizações Num hipergrafo uma aresta pode conectar mais que dois vértices. Um grafo não-direcionado pode ser visto como um complexo simplicial consistindo de símplices de uma dimensão (as arestas) e símplices de dimensão zero (os vértices). Ou seja, complexos são generalizações de grafos que permitem símplices de maiores dimensões. [1] Ver por exemplo, (http:/ / www. aisee. com/ gallery/ graph23. htm)

Ligações externas Em inglês • Graph theory tutorial (http://www.utm.edu/departments/math/graph/) • Graph theory algorithm presentation (http://www.cs.wpi.edu/~dobrush/cs507/presentation/2001/Project10/ ppframe.htm) • Some graph theory algorithm animations (http://students.ceid.upatras.gr/~papagel/project/contents.htm) • Step through the algorithm to understand it. • The compendium of algorithm visualisation sites (http://www2.hig.no/~algmet/animate.html) • A search site for finding algorithm implementations, explanations and animations (http://www.spectster.com/) • Graph Theory Software (http://graphtheorysoftware.com/)

Em português • Material sobre grafos da USP São Carlos (http://www.icmc.sc.usp.br/manuals/sce183/grafos.html) • Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos (http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/ TeoriaDosGrafos.pdf) • Material com "Atlas de Grafos" da FINTEC (http://www.fintec.edu.br/peter/relat04/atlas1/atlas_index.htm) • Enumeração de caminhos - Algoritmo Grafos (http://thiagoprocaci.blogspot.com/2009/10/ enumeracao-de-caminhos-algoritmo-grafos.html)

Ferramentas de grafos populares • • • • • • • •

http://www.graphviz.org/(em Inglês) http://www.absint.com/aisee/index_pt.htm (em Português) http://www.aisee.com (em Inglês) http://www.research.att.com/sw/tools/graphviz/(em Inglês) http://www.cs.uni-sb.de/RW/users/sander/html/gsvcg1.html (em Inglês) http://www.tulip-software.org (em Inglês) http://www.roxgt.org http://planarity.net

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Conceitos Básicos e Definições Grafo Em matemática e ciência da computação, grafo é o objeto básico de estudo da teoria dos grafos. Tipicamente, um grafo é representado como um conjunto de pontos (vértices) ligados por retas (as arestas). Dependendo da aplicação, as arestas podem ser direcionadas, e são representadas por "setas". Os grafos são muito úteis na representação de problemas da vida real, em vários campos profissionais. Por exemplo, pode-se representar um mapa de estradas através dos grafos e usar algoritmos específicos para Um grafo com 6 vértices e 7 arestas. determinar o caminho mais curto entre dois pontos, ou o caminho mais económico. Assim, os grafos podem possuir também pesos (ou custo), quer nas arestas quer nos vértices, e o custo total em estudo será calculado a partir destes pesos. Grafos podem ser utilizados também em redes PERT no âmbito do planejamento de projetos. Neste caso, a cada aresta está associado o custo de execução, e as tarefas precedentes de uma outra serão suas afluentes. Outro exemplo é o caso das redes de computadores, sendo cada terminal representado por um vértice, o cabo de rede pelas arestas e o custo associado a latência, por exemplo, ou o número de máquinas que a comunicação atravessa entre os nós. É nestes princípios que assenta todo o protocolo IP que torna possível a Internet ser uma realidade. Grafos têm sido utilizados para representar o formalismo das redes complexas, onde o número de nós e de conexões entre esses nós é muito alto e complexamente estabelecido.

Introdução Uma possível definição para grafos: "O grafo propriamente dito é uma representação gráfica das relações existentes entre elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço euclidiano de n dimensões como sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas contínuas (arestas)". Podemos avaliar um grafo através de seu tipo, propriedades e aplicações[1].

Busca em grafo Vários problemas representados por um grafo podem ser resolvidos efetuando uma busca nesse grafo. A busca em grafo consiste em explorar um grafo, de forma que obtenha um processo sistemático de como caminhar por seus vértices e arestas. Às vezes é preciso visitar todos os vértices de um grafos, às vezes o problema pode ser resolvido visitando somente um subconjunto dos vértices. Se o grafo for uma árvore, esta questão se torna simples, podem utilizar as visitas em pré-ordem, ou ordem de nível.

Grafo

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Algoritmos de percurso Existem dois métodos de percurso em grafos: percurso em profundidade (depth-first search — DFS) e o percurso em largura (breadth first search — BFS). A ideia básica do DFS é buscar "mais a fundo" no grafo quando possível. Assim, a partir de um vértice v, as arestas ainda não exploradas o são e, ao final, a busca retrocede. A ideia do BFS é bastante simples: os vértices do grafo são visitados nível a nível, ou seja, todos os vértices a uma distância k do vértice inicial são visitados antes de qualquer vértice a uma distância k +1 do inicial.

Referências • http://www.icmc.sc.usp.br/manuals/sce183/gfbus.html • Cormen. Thomas (2000); Leiserson, Charles.; Rivest, Ronald. Introduction to Algorithmics, McGraw-Hill. • Algoritmos em Grafos - Paulo Feofiloff [1]

Referências [1] http:/ / www. ime. usp. br/ ~pf/ algoritmos_em_grafos/ aulas/ grafos. html

Vértice Em teoria dos grafos, um vértice (plural vértices) ou nodo é a unidade fundamental da qual os grafos são formados: um grafo não dirigido consiste de um conjunto de vértices e um conjunto de arestas (pares de vértices não ordenados), enquanto um digrafo é constituído por um conjunto de vértices e um conjunto de arcos (pares ordenados de vértices). Do ponto de vista da teoria dos grafos, vértices são tratados como objetos inexpressivos e indivisíveis, embora possam ter uma estrutura adicional, dependendo da aplicação a partir da qual surge o grafo; por exemplo, uma rede semântica é um grafo no qual os vértices representam conceitos ou classes de objetos.

Um grafo com 6 vértices e 7 arestas onde o vértice da extrema-direita é um vértice-folha ou um vértice-pendente.

Os dois vértices formando uma aresta são ditos suas extremidades e a aresta é dita que é incidente para com os vértices.[] Um vértice w é dito ser adjacente a outro vértice v se o grafo contém uma aresta (v,w).[] A adjacência de um vértice v é um subgrafo induzido do grafo, formado por todos os vértices adjacentes a v. O grau de um vértice em um grafo é o número de arestas incidentes a ele.[] Um vértice isolado é um vértice com grau zero, isto é, um vértice que não é um ponto final de toda a aresta. Um vértice folha (também vértice pendente) é um vértice de grau um. Em um grafo direcionado, pode-se distinguir o grau de saída (número de arestas divergentes) do grau de entrada (número de arestas convergentes); uma fonte é um vértice com grau de entrada zero, enquanto um sumidouro (ou poço) é um vértice com grau de saída nulo[] . Um vértice de corte é um vértice cuja remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) provoca um redução na conexidade do grafo;[1] Um separador é uma coleção de vértices cuja remoção desconecta o grafo restante em pedaços pequenos.[2] Um grafo k-conexo é um gráfico em que a remoção de menos de k vértices sempre deixa o grafo ainda conectado. Um conjunto independente é um conjunto de vértices tal que não existem dois vértices adjacentes contido neste conjunto, e uma cobertura de vértices é um conjunto de vértices, que inclui o ponto de extremidade de cada aresta do grafo. O espaço de vértices de um grafo é um espaço vetorial com um conjunto de

Vértice

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vetores de base correspondente aos vértices do gráfico. Um grafo é vértice-transitivo se ele tiver simetrias que mapeiam qualquer vértice para qualquer outro vértice. No contexto da enumeração de grafos e isomorfismo de grafos, é importante fazer a distinção entre vértices rotulados e vértices sem rótulo. Um vértice rotulado é um vértice que está associado com informação extra que possa o distinguir de outros vértices rotulados; dois grafos podem ser considerados isomórficos somente se a correspondência entre seus vértices emparelham vértices com rótulos iguais. Um vértice não marcado é aquele que pode ser substituído por qualquer outro vértice com base apenas em suas adjacências no gráfico e não baseado em quaisquer informações adicionais. Vértices em grafos são análogos, mas não o mesmo que, vértices de poliedros: o esqueleto de um poliedro forma um grafo, os vértices do qual são vértices do poliedro, mas os vértices do poliedro tem uma estrutura adicional (sua localização geométrica) que não se presume estar presente na teoria dos grafos. A Figura de vértice de um vértice de um poliedro é análoga à vizinhança de um vértice em um grafo. Em um dígrafo, estrela frontal de um nodo conjunto de vértices

é definida como a suas arestas de saída. Em um grafo

e um conjunto de arestas

, a estrela frontal de

com um

pode ser descrita como

[3] [1] Grafos - UFSC (http:/ / www. inf. ufsc. br/ grafos/ definicoes/ definicao. html) [2] Algoritmos em Grafos - IME (http:/ / www. ime. usp. br/ ~pf/ algoritmos_em_grafos/ aulas/ two-flow. html)

• Berge, Claude, Théorie des graphes et ses applications. Collection Universitaire de Mathématiques, II Dunod, Paris 1958, viii+277 pp. (English edition, Wiley 1961; Methuen & Co, New York 1962; Russian, Moscow 1961; Spanish, Mexico 1962; Roumanian, Bucharest 1969; Chinese, Shanghai 1963; Second printing of the 1962 first English edition. Dover, New York 2001) • Chartrand, Gary. Introductory graph theory. New York: Dover, 1985. ISBN 0-486-24775-9 • Biggs, Norman; Lloyd, E. H.; Wilson, Robin J.. Graph theory, 1736-1936. Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press, 1986. ISBN 0-19-853916-9 • Harary, Frank. Graph theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing, 1969. ISBN 0-201-41033-8 • Harary, Frank; Palmer, Edgar M.. Graphical enumeration. [S.l.]: New York, Academic Press, 1973. ISBN 0-12-324245-2

Aresta

11

Aresta Em teoria dos grafos, uma aresta junto com os vértices ou nodos formam as unidades fundamentais das quais os grafos são formados[]: um grafo não dirigido consiste de um conjunto de vértices e um conjunto de arestas (pares de vértices não ordenados), enquanto um digrafo é constituído por um conjunto de vértices e um conjunto de arcos (pares ordenados de vértices). As arestas são consideradas as uniões entre os vértices. Uma aresta é dita incidente ao0s elementos de um par de vértices que não são necessariamente distintos[]. Normalmente as arestas denotam as relações entre os vértices (vizinhanca, grau, herança, etc..)

Tipos de arestas Uma aresta pode ser não-direcionada ou direcionada. No segundo caso, o par de vértices é ordenado e o vértices são chamados vértice-inícial e vértice-final. Arestas com o mesmo vértice-inicial e o mesmo vértice final ( u, v ) são ditas paralelas[].

Relação de adjacência As arestas de um grafo ou digrafo G=(V, E) induzem uma relação chamada de relação de adjacência[1]. Portanto um vértice v é adjacente a um vértice w se e somente se v-w é uma aresta que pertence ao conjunto E.

Tipos de arestas.

Aresta múltipla

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Aresta múltipla Aresta múltipla ou aresta paralela são arestas que possuem os mesmos vértices como extremidade.

Ciclos em um grafo Um ciclo em teoria de grafos é "um passeio de comprimento mínimo três, em que o primeiro e o último vértice coincidem, mas nenhum outro vértice é repetido" [1]. Um ciclo é uma cadeia simples e fechada[][2]. Um ciclo é uma cadeia fechada[]. O termo ciclo pode também ser usado para se referir ao grafo que contém os vértices e arestas de um ciclo na definição acima[1].

Definição matemática Matematicamente: Seja G um grafo. Um ciclo em G é um caminho

{v1, v2, . . ., vk, vk+1} sendo

v1 = vk+1, 3 ≤ k[3]

Clique Na área da matemática da teoria dos grafos, uma clique em um grafo não-orientado é um subconjunto de seus vértices tais que cada dois vértices do subconjunto são conectados por uma aresta. Uma clique em um grafo G é um subgrafo de G que é completo. Eles [1] recebem a notação . O tamanho de uma clique é igual a cardinalidade de seu conjunto de vértices. Por exemplo no grafo G(V,E) sendo V seu conjunto de vértices e E o de arestas, temos que: Se V={1,2,3,4,5} e E={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5)}, o subgrafo induzido pelos vértices (1,2,3,4) é uma clique de tamanho 4.

Um grafo com 23 cliques de 1-vértice (its vertices), 42 cliques de 2-vértices (suas arestas), 19 cliques de 3-vértices (os triângulos em azul claro), e 2 cliques de 4-vértices (azul escuro). Seis das arestas e 11 dos triângulos formam cliques maximais. As duas 4-cliques em azul escuro são tanto máximas quanto maximais, e o número de clique do grafo é 4.

Clique

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Referências

O grau de um grafo Na teoria dos grafos, o grau (ou valência) de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes para com o vértice, com os laços contados duas vezes. [1][] Ou de forma análoga, o número de vértices adjacentes a ele.[]O grau de um vértice é denotado O grau máximo de um grafo G, denotado por Δ(G), e o grau mínimo de um grafo, denotado por δ(G), são os graus máximos e mínimos de seus vértices. No grafo à direita, o grau máximo é 3 e o mínimo é 0. Em um grafo regular, todos os graus são os mesmos, e assim podemos falar de o grau do gráfico.

Um grafo com vértices rotulados por grau

Lema do aperto de mãos A fórmula da soma dos graus afirma que, dado um grafo

,

A fórmula implica que em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. Esta afirmação (bem como a fórmula de soma grau) é conhecida como o Lema do aperto de mãos (em inglês, handshaking lemma). O último nome vem de um problema matemático popular, para provar que, em qualquer grupo de pessoas o número de pessoas que apertam as mãos com um número ímpar de outras pessoas do grupo é par.

Seqüência de graus A seqüência de grau de um grafo não-direcionado é a seqüência não crescente dos seus graus de vértices; [2] para o gráfico acima, é (3, 3, 3, 2, 2, 1, 0). A seqüência de grau é um grafo invariável logo grafos isomorfos têm a mesma seqüência. No entanto, a seqüência de grau, em geral, não identifica unicamente um grafo; em alguns casos, os grafos não isomorfos têm o mesmo grau de seqüência. O problema da seqüência de graus, é o problema de encontrar alguns ou todos os grafos com a seqüência de grau sendo uma dada seqüência não crescente de números inteiros positivos. Zeros finais podem ser ignorados, uma vez que são trivialmente efetuados pela adição de um número adequado de vértices isolados do grafo. O problema de encontrar ou estimar o número de grafos com uma seqüência de determinado grau é um problema do campo da enumeração de grafos.

Dois grafos não isomorfos com a mesma seqüência de graus (3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1).

Como conseqüência da fórmula da soma de graus, toda a seqüência com uma soma ímpar, como (3, 3, 1), não pode ser entendida como a seqüência de grau de um grafo. O inverso também é verdadeiro: se uma seqüência tem uma soma par, é a seqüência de grau de um grafo. A construção de um grafo como este é simples: conecte vértices ímpares em pares, e preencha com laços (auto-loops).

O grau de um grafo

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Freqüentemente, se deseja procurar por grafos simples, tornando o problema da seqüência de graus mais desafiador. Obviamente, a seqüência (8, 4) não é a seqüência de grau de um grafo simples, pois teríamos a contradição Δ(G) > ((número de vértices;− 1). A seqüência (3, 3, 3, 1) também não é a seqüência de grau de um grafo simples, mas neste caso o motivo é menos óbvio. Encontrar os critérios gerais de seqüências de grau de grafos simples é um problema clássico; soluções têm sido oferecidas por Erdős e Gallai (1960), V. J. Havel (1955) e S. L. Hakimi (1961) e S. A. Choudum. Por exemplo, o Teorema de Erdös-Gallai afirma que a seqüência (di)i=1,...,n é uma seqüência de grau de um grafo simples sse, a soma da seqüência é par e

Havel e Hakimi provaram que (d1, d2, ..., dn) é uma seqüência de grau de um grafo simples sse (d2 − 1, d3 − 1, ..., dd1+1 − 1, dd1+2, dd1+3, ..., dn) é. Este fato leva a um algoritmo simples (o algoritmo Havel-Hakimi) para a realização de um grafo simples, com uma seqüência de determinado grau de realização: Comece com um grafo sem bordas. Mantenha uma lista de vértices cujo grau de exigência não tenha ainda sido atingido em ordem não-crescente de exigência de grau residual. Conecte o primeiro vértice com os próximos d1 vértices na lista, e depois remova-o da lista. Re-ordene a lista e repita até que todas as exigências do grau estejam cumpridas.

Valores especiais • Um vértice com grau 0 é chamado de vértice isolado. • Um vértice com grau 1 é chamado de vértice folha e a aresta conectada a este vértice é chamada de aresta pendente. No grafo à direita, {3,5} é uma aresta pendente. Esta terminologia é comum no estudo de árvores em teoria dos grafos e em especial árvores como estrutura de dados.

Propriedades globais • Se cada vértice do grafo tem o mesmo grau k o grafo é chamado de um grafo k-regular e o próprio grafo é dito ter grau k.

Um grafo não-direcionado com nodos-folha 4, 5, 6, 7, 10, 11, e 12

• Um grafo conexo, não-direcionado, tem um caminho euleriano se e somente se ele tem 0 ou 2 vértices de grau ímpar. Se tem 0 vértices de grau ímpar, o caminho Euleriano é um circuito Euleriano. • Um grafo direcionado é uma pseudofloresta se e somente se se cada vértice tem um grau de saída no máximo 1. Um grafo funcional é um caso especial de um pseudofloresta em que cada vértice tem exatamente um grau de saída 1. • Pelo Teorema de Brooks, qualquer grafo que não seja um clique ou um ciclo ímpar tem um número cromático, de no máximo Δ, e pelo Teorema de Vizing, um grafo tem um índice cromático de no máximo Δ + 1. [1] . [2] Diestel p.278

Grafo bipartido

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Grafo bipartido No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo bipartido ou bigrafo é um grafo cujos vértices podem ser divididos em dois conjuntos disjuntos U e V tais que toda aresta conecta um vértice em U a um vértice em V;[1] ou seja, U e V são conjuntos independentes. Equivalentemente, um grafo bipartido é um grafo que não contém qualquer ciclo de comprimento ímpar Os dois conjuntos U e V podem ser pensados como uma coloração do grafo com duas cores: se nós colorirmos todos os nodos em U de azul, e todos os nodos em V de verde, cada aresta tem terminações de cores diferentes, como é exigido no problema de coloração de grafos. Em contrapartida, tal coloração é impossível no caso de um grafo que não é bipartido, como um triângulo: depois de um nó ser colorido de cor azul e outro de verde, o terceiro vértice do triângulo é ligado a vértices de ambas as cores, impedindo que seja atribuída qualquer cor.

Exemplo de um grafo bipartido

Frequentemente se escreve G = (U, V, E) para denotar um grafo bipartido cuja partição tem as partes U e V. Se |U| =|V|, ou seja, se os dois subconjuntos tem igual cardinalidade, então G é chamado um grafo bipartido balanceado.

Exemplos • Qualquer grafo sem ciclos ímpares é bipartido. Como consequência disso: • Toda árvore é bipartida. • grafos ciclo com um número par de vértices são bipartidos. • Qualquer grafo planar onde todas as faces em sua representação planar consistem de um número par de arestas é bipartido. Casos especiais destes são grafos grelha e grafos quadrado, em que cada face interna é composta por 4 arestas.

Testando biparticidade Se um grafo bipartido é conexo, a sua bipartição pode ser definida pela paridade das distâncias de qualquer vértice escolhido arbitrariamente v: um subconjunto consiste dos vértices a uma distância par de v e o outro subconjunto consiste dos vértices a uma distância ímpar de v. Assim, pode-se testar eficientemente se um grafo é bipartido, usando esta técnica de paridade de se atribuir vértices para os dois subconjuntos U e V, separadamente a cada componente conectado do grafo e, em seguida, examinar cada aresta para verificar se ela tem terminações designadas para os diferentes subgrupos.

Encontrando uma bipartição usando paridade

Grafo bipartido

Aplicações Grafos bipartidos são úteis para a modelagem de problemas de acoplamento. Um exemplo de grafo bipartido é um problema de correspondência de empregos. Suponha que temos um conjunto P de pessoas e um conjunto J de postos de trabalho, com nem todas as pessoas adequadas para todos os trabalhos. Podemos modelar isto como um grafo bipartido (P, J, E). Se uma pessoa px é adequada para um determinado trabalho jy existe uma aresta entre px e jy no grafo. O teorema do casamento fornece uma caracterização de grafos bipartidos que permitem acoplamentos perfeitos. Grafos bipartidos são usados extensivamente na moderna teoria dos códigos, especialmente para decodificar palavras de código recebidas do canal. Grafos Fator e grafos Tanner são exemplos disso. Em ciência da computação, uma rede de Petri é uma ferramenta de modelagem matemática utilizada na análise e simulação de sistemas concorrentes. Um sistema é modelado como um grafo bipartido dirigido com dois conjuntos de nós: Um conjunto de nodos "lugar" que contêm recursos, e um conjunto de nodos "evento" que geram e/ou consomem recursos. Existem restrições adicionais sobre os nós e arestas que condicionam o comportamento do sistema. Redes de Petri utilizam as propriedades de grafos bipartidos dirigidos e outras propriedades para permitir provas matemáticas do comportamento dos sistemas enquanto ao mesmo tempo, permitindo a fácil implementação de simulações do sistema. Em geometria projetiva, grafos de Levi são uma forma de grafo bipartido usada para modelar as incidências entre os pontos e linhas em uma configuração.

Modelagem de multigrafos e hipergrafos Grafos bipartidos podem modelar inteiramente o mais geral multigrafo. Dada um multigrafo M, tome U como o conjunto de vértices de M e tome V como o conjunto de arestas de M. Então junte-se um elemento de V para precisamente os dois elementos de U que são as extremidades da aresta em M. Assim, cada multigrafo é descrito completamente por um grafo bipartido, que é unilateral regular de grau 2, e vice-versa. Da mesma forma, cada hipergrafo direcionado pode ser representado por um grafo bipartido. Tome U como o conjunto de vértices no hipergrafo, e V como conjunto de arestas. para cada e , conecte u a v se a aresta do hipergrafo contém u como entrada, e conecte v a u se v contém u como saída.

Propriedades • Um grafo é bipartido se e somente se ele não contém um ciclo ímpar. Portanto, um grafo bipartido não pode conter uma clique de tamanho maior ou igual a 3. • Um grafo é bipartido se e somente se ele é 2-colorível, (i.e. seu número cromático é menor ou igual a 2). • O tamanho da cobertura de vértices mínima é igual ao tamanho do acoplamento máximo (teorema de König). • O tamanho do conjunto independente máximo mais o tamanho do acoplamento máximo é igual ao número de vértices. • Para um grafo bipartido conectado o tamanho da cobertura de arestas mínima é igual ao tamanho do conjunto independente máximo. • Para um grafo bipartido conectado o tamanho da cobertura de arestas mínima mais o tamanho da cobertura de vértices mínima é igual ao número de vértices. • Todo grafo bipartido é um grafo perfeito. • O espectro de um grafo é simétrico se e somente se ele é um grafo bipartido.

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Grafo bipartido

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Ligações externas • Sistema de informações sobre inclusões de classes de grafos [2] grafo bipartido [3]

Referências [2] http:/ / wwwteo. informatik. uni-rostock. de/ isgci/ index. html [3] http:/ / wwwteo. informatik. uni-rostock. de/ isgci/ classes/ gc_69. html

Grafo bipartido completo Grafo bipartido completo

Um grafo bipartido completo com m = 5 n = 3

vértices

n+m

arestas

mn

Cintura

4

Automorfismos 2m!n! se m=n, caso contrário m!n! Número cromático

2

Índice cromático

max{m, n}

Notação No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo bipartido completo ou biclique é um tipo especial de grafo bipartido onde cada vértice do primeiro conjunto está associado a cada vértice do segundo conjunto.

Definição Um grafo bipartido completo, G := (V1 + V2, E), é um grafo bipartido tal que para quaisquer dois vértices, v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2, v1v2 é uma aresta em G. O grafo bipartido completo com partições de tamanho |V1|=m e |V2|=n, é denotado Km,n.

Exemplos

Grafo bipartido completo

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• Para qualquer k, K1,k é chamado uma estrela. Todos os grafos bipartidos completos que são árvores são estrelas. • O grafo K1,3 é chamado uma garra, e é usado para definir os grafos sem garra.

Os grafos estrela S3, S4, S5 e S6.

• O grafo K3,3 é chamado de grafo de utilidade. Esta prática vem de um quebra-cabeça matemático tradicional, no qual três utilidades devem ser ligadas a cada três edifícios; é impossível de resolver sem cruzamentos, devido à não-planaridade de K3,3.

Propriedades

O grafo de utilidade K3,3

• Dado um grafo bipartido completo, ele possui dois autovalores simétricos (o índice e o seu simétrico) e os demais nulos.[1] • Dado um grafo bipartido, encontrar o seu subgrafo bipartido completo Km,n com o número máximo de arestas mn é um problema NP-completo. • Um grafo planar não pode conter K3,3 como um menor; um grafo periplanar não pode conter K3,2 como um menor (Estas não são condições suficientes de planaridade e planaridade exterior, mas necessárias). • Um grafo bipartido completo Kn,n é um grafo de Moore e uma (n,4)-gaiola. • Um grafo bipartido completo Kn,n ou Kn,n+1 é um grafo de Turán. • Um grafo bipartido completo Km,n tem um número de cobertura de vértice do min{m,n} e um número de cobertura de aresta de max{m,n}. • Um grafo bipartido completo Km,n tem um conjunto independente máximo de tamanho max{m,n}. • A matriz de adjacência de um grafo bipartido completo Km,n tem autovalores √(nm), −√(nm) e 0; com multiplicidade 1, 1 e n+m−2 respectivamente. • A matriz laplaciana de um grafo bipartido completo Km,n tem autovalores n+m, n, m, e 0; com multiplicidade 1, m−1, n−1 e 1 respectivamente. • Um grafo bipartido completo Km,n tem mn−1 nm−1 árvores de extensão. • Um grafo bipartido completo Km,n tem um acoplamento máximo de tamanho min{m,n}. • Um grafo bipartido completo Kn,n tem uma n-coloração-de-arestas correspondente ao quadrado latino. • Os dois últimos resultados são corolários do teorema do casamento aplicado a um grafo bipartido k-regular.

Referências

Grafo caminho

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Grafo caminho Grafo caminho Um grafo caminho em 6 vértices

vértices

n

arestas

n-1

Raio

⌊n/2⌋

Diâmetro

n-1

Automorfismos

2

Número cromático

2

Índice cromático

2

Propriedades

Distância-unidade Grafo bipartido Árvore

Notação No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo caminho ou grafo linear é um exemplo particularmente simples de uma árvore, ou seja, uma árvore com dois ou mais vértices que não tem ramificações, ou seja, contém somente vértices de grau 2 e 1.[1] Em particular, ela tem dois vértices terminais (vértices que têm grau 1), enquanto todos os outros (se houver) têm grau 2.

Ligações externas • Eric W. Weisstein, Path Graph [2] em MathWorld.

Referências [2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PathGraph. html

Grafo completo

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Grafo completo Um grafo completo é um grafo simples em que todo vértice é adjacente a todos os outros vértices. O grafo completo de n vértices é frequentemente denotado por .

Número de arestas O grafo

tem

arestas (correspondendo a todas as possíveis escolhas de pares de vértices).

Planaridade O teorema de Kuratowski tem como consequência que um grafo

é grafo planar se e somente se

.

Grafo cúbico No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo cúbico é um grafo regular no qual todos os vértices tem grau três[1]. Em outras palavras um grafo cúbico é um grafo 3-regular. Grafos cúbicos são também chamados grafos trivalentes. Um grafo bicúbico é um grafo bipartido cúbico.

Simetria Em 1932, Ronald M. Foster começou a recolher exemplos de grafos simétricos cúbicos, formando o início do censo de Foster[2]. Muitos grafos individuais conhecidos são cúbicos e simétricos, incluindo o grafo de Petersen, o grafo de Nauru, o grafo de Coxeter, o grafo de Tutte–Coxeter, o grafo de Dyck, o grafo de Foster e o grafo de Biggs-Smith.

O grafo de Petersen é um grafo cúbico.

W. T. Tutte classificou os grafos simétricos cúbicos pelo menor número inteiro s tal que cada dois caminhos orientados de comprimento s podem ser mapeados entre si por exatamente uma simetria do grafo. Ele mostrou que s é no máximo 5, e deu exemplos de grafos com cada valor possível de s de 1 a 5[3]. Grafoos cúbicos semi-simétrico incluem o grafo de Gray ( o menor grafo cúbico semi-simétrico), o grafo de Ljubljana, e o gaiola-12 de Tutte. O grafo de Frucht é o menor grafo cúbico sem qualquer simetria: possui apenas um único automorfismo de grafos, o automorfismo identidade.

O grafo bipartido completo de grafo bicúbico

é um exemplo

Grafo cúbico

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Coloração e conjuntos independentes De acordo com o teorema de Brooks todo grafo cúbico com exceção do grafo completo K4 pode ser colorido com no máximo três cores. Portanto, todo grafo cúbico diferente de K 4 tem um conjunto independente de pelo menos n/3 vértices, onde n é o número de vértices no grafo: por exemplo, a maior classe de cor em uma 3-coloração tem pelo menos estes vértices. De acordo com o teorema de Vizing todo grafo cúbico necessita três ou quatro cores para uma coloração de arestas. Uma 3-aresta-coloração é conhecida como uma coloração Tait, e fgorma uma partição das arestas do grafo em três acoplamentos perfeitos. Pelo teorema de coloração de linhas de König todo grafo bicúbico tem uma coloração de Tait.

O grafo Frucht, o menor grafo cúbico assimétrico.

Os grafos cúbicos sem ponte que não tem uma coloração de Tait são conhecidos como snarks. Eles incluem o grafo de Petersen, grafo de Tietze, os snarks Blanuša, o snark flor, o snark dupla-estrela, o snark Szekeres e o snark Watkins. Existe um número infinito de snarks distintos. [4]

Hamiltonicidade Houve muita pesquisa sobre Hamiltonicidade de grafos cúbicos. Em 1880, P.G. Tait conjecturou que todo grafos poliédricos cúbicos tem um circuito Hamiltoniano. William Thomas Tutte forneceu um contra-exemplo para a conjectura de Tait, o grafo de Tutte de 46 vértices, em 1946. Em 1971, Tutte conjecturou que todos os grafos bicúbicos são hamiltonianos. No entanto, José Horton proporcionou um contra-exemplo com 96 vértices, o grafo de Horton[5]. Mais tarde Mark Ellingham, construíu mais dois contra-exemplos: os grafos de Ellingham-Horton[6][7]. A conjectura de Barnette, uma combinação de conjecturas de Tait e Tutte ainda aberta, afirma que todo grafo bicúbico poliédrico é hamiltoniano. Quando um grafo cúbico é hamiltoniano, a notação LCF permite que ele seja representada de forma concisa. Se um grafo cúbico é escolhido aleatoriamente entre todos os grafos cúbicos de n-vértices, então é bem provável que seja Hamiltoniano. a proporção de grafos cúbicos de n-vértices que são Hamiltonianos tende a um no limite a medida que n vai para o infinito[8]. David Eppstein conjecturou que todo grafo cúbico de n-vértices tem no máximo 2n/3 (aproximadamente 1260n) ciclos hamiltonianos distintos, e exemplificou com grafos cúbicos com esta quantidade de ciclos[9]. O melhor limite superior que foi até agora comprovado no número de ciclos hamiltonianos distintos é 1,276n.[10]

Grafo cúbico

Outras propriedades O comprimento do caminho de quaisquer grafo cúbico de n-vértices é no máximo n/6. No entanto, o limite inferior melhor conhecido no comprimento do caminho de grafos cúbicos é menor, 0.082n.[11] Se segue do lema do aperto de mãos, provado por Leonhard Euler em 1736 como parte do primeiro trabalho sobre teoria dos grafos, que todo grafo cúbico tem um número par de vértices.

Algoritmos e complexidade Vários pesquisadores têm estudado a complexidade de tempo exponencial de algoritmos restritos a grafos cúbicos. Por exemplo, através da aplicação de programação dinâmica para a decomposição do caminho do grafo, Fomin e Høie mostraram como encontrar os seus conjuntos independentes máximos em tempo O(nn/6 + o(n)).[11]

História • 1880: Peter Guthrie Tait conjeturou que cada grafo sem pontes cúbico planar tem um circuito hamiltoniano. William Thomas Tutte encontrou um contra-exemplo: un grafo de 46 vértices (agora com o seu nome) em 1946. • 1934: Ronald M. Foster começou a colecionar exemplos de grafos simétricos cúbicos, com o que iria iniciar o Censo de Foster.[12] • 1971: William Tutte conjetura que todos os grafos bicúbicos são ciclos hamiltonianos. Entretanto, Horton proporciona un grafo de contra-exemplo, com 96-vértices. • 2003: Petr Hliněný mostra que o problema de encontrar o número de cruzamento (o número mínimo de arestas que cruzam um dado grafo) de um grafo cúbico é NP-hard, apesar de terem um grau pequeno. Existem, não obstante, algoritmos de aproximacão práticos para encontrar o número de cruzamento de grafos cúbicos[13]. [2] Foster, R. M. "Geometrical Circuits of Electrical Networks." Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309-317, 1932 [3] . [4] . [5] Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 240, 1976. [6] Ellingham, M. N. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Partite Graphs."Research Report No. 28, Dept. of Math., Univ. Melbourne, Melbourne, 1981. [7] Ellingham, M. N. and Horton, J. D. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Bipartite Graphs." J. Combin. Th. Ser. B 34, 350-353, 1983. [8] . [10] . [11] .

22

Grafo Estrela

23

Grafo Estrela Estrela

A estrela S7.

vértices

k+1

arestas

k

Diâmetro

2

Cintura

∞

Número cromático

2

Índice cromático

k

Propriedades

aresta-transitivo Árvore Distância-unidade Bipartido

Notação

Sk

Em teoria dos grafos, uma estrela Sk é o grafo bipartido completo K1,k, uma árvore com um nó interno e k folhas. Uma estrela com 3 arestas é chamada uma garra[1]. A estrela Sk é aresta-elegante quando k é par e não quando k é ímpar. Ela é aresta-transitiva, unidade-distância e têm diâmtero 2, cintura ∞, índice cromático k e número cromático 2. Estrelas também podem ser descritas como os únicos grafos conectados em que no máximo um vértice tem grau maior que um.

Relação com outras famílias de grafos Garras são notáveis na definição de grafos sem garra, os grafos que não tem qualquer garra como subgrafo induzido[2][3]. Uma estrela é um tipo especial de árvore. Como acontece com qualquer árvore, as estrelas podem ser codificados por uma sequência Prüfer; A sequência Prüfer para uma estrela K1,k consiste de k − 1 cópias do vértice central[4]. Uma árvore pode ser vista como um conjunto de estrelas (pares ou ímpares) ligadas pelos pontos centrais[5]. Diversos grafos invariantes são definidos em termos de estrelas. Arboricidade de estrela é o menor número de florestas que um grafo pode ser particionado em tal modo que cada árvore em cada floresta é uma estrela[6], e o número cromático de estrela de um grafo é o menor número de cores necessário para colorir seus vértices de tal forma que cada duas classes de coloração, juntas, formam um subgrafo em que todos os componentes conectados são estrelas[7]. Os grafos de comprimento de ramo 1 são exatamente os grafos em que cada componente conectado é uma estrela[8].

Grafo Estrela

24

Os grafos estrela S3, S4, S5 e S6.

Outras aplicações O conjunto de distâncias entre os vértices de uma garra fornece um exemplo de um espaço métrico finito, que não pode ser incorporado isometricamente em um espaço euclideano de qualquer dimensão[9]. A rede em estrela, uma rede de computadores modelado em um grafo de estrela, é importante em computação distribuída. [2] . [3] .

Grafo nulo Grafo nulo vértices

0

arestas

0

Automorfismos1 No campo da matemática da teoria dos grafos, o grafo nulo ou o grafo vazio ou é o grafo sem nenhum vértice e (portanto) sem arestas, ou qualquer grafo sem arestas. O grafo nulo (no sentido original) é o objeto inicial na categoria de grafos, de acordo com algumas definições de categoria de grafos. Não tendo nenhum vértice, o grafo nulo, portanto, também não tem componentes ligados. Assim, embora o grafo nulo seja uma floresta (um grafo sem ciclos), não é uma árvore, uma vez que as árvores têm componente ligados.

Grafo sem arestas

Grafo nulo

25

Grafo sem arestas vértices

n

arestas

0

Automorfismos n! Número cromático

1

Propriedades

Integral Simétrico

Notação Alguns autores entendem que um termo melhor para o último sentido (V, { }) para qualquer conjunto V é o mais explícito grafo sem arestas. Assim se reserva o termo grafo nulo para o primeiro sentido: um grafo sem quaisquer vértices. Outros, ainda, fazem essa distinção, aplicando o rótulo vazio para esses grafos sem arestas. O grafo sem arestas de n-vértices é o grafo complementar para o grafo completo denotado como

, e por isso é comumente

.

Mesmo que esta definição forneca uma base sólida para a definição de certas operações sobre grafos (por exemplo: decomposição) considerando-se grafos como conjuntos de vértices e arestas (V,E), esta definição levanta um problema na singularidade do elemento nulo dos grafos.

Grafo orientado Um grafo orientado,[1] grafo dirigido,[2] grafo direcionado[3] ou digrafo é um par (algumas vezes )(edge) de:[][][4] • Um conjunto V, cujos elementos são chamados vértices ou nodos, • um conjunto A de pares ordenados de vértices, chamados arcos, arestas direcionadas, ou setas (e às vezes simplesmente arestas com o conjunto correspondente chamado E ao invés de A). Ele difere de um grafo não-direcionado comum, em que o último é definido em termos de pares não ordenados de vértices, que são normalmente chamados arestas.

Um grafo orientado (direcionado).

Por exemplo, ser possível ir de um nó A para um nó B, mas não o contrário através desse arco. Às vezes, um digrafo é chamado de um digrafo simples para distinguí-lo de um multigrafo direcionado (ou multidigrafo ou ainda quiver), em que os arcos constituem um multiconjunto, ao invés de um conjunto, de pares ordenados de vértices. Além disso, em um digrafo simples laços não são permitidos. Por outro lado, alguns textos permitem laços, arcos múltiplos, ou ambos em um digrafo.

Grafo orientado

26

Terminologia básica Um arco

é considerado ser direcionado de

cauda do arco;

é dito ser um sucessor direto de

para , e

caminho composto por um ou mais arcos sucessivos leva de

;

é chamado de cabeça e

é chamado de

é dito ser um predecessor direto de para

, então

. Se um

é dito ser um successor de

,e

é dito ser um predecessor de . O arco é chamado de arco invertido. Um grafo direcionado G é chamado de simétrico se, para cada arco, que pertence à G, o arco invertido correspondente também pertence à G. Um grafo dirigido simétrico sem laços é equivalente a um grafo não orientado com os pares de arcos invertidos substituído por arestas, assim o número de arestas é igual ao número de arcos pela metade. A orientação de um grafo grafo não-direcionado simples é obtida através da atribuição de um sentido para cada lado. Qualquer grafo direcionado construído desta forma é chamado de um grafo orientado. A distinção entre um grafo direcionado simples e um grafo orientado é que se e são vértices, um grafo direcionado simples permite tanto

como arestas, enquanto apenas uma é permitida em um grafo orientado.[]

quanto

Um digrafo ponderado é um digrafo com pesos atribuídos a seus arcos, à semelhança de um grafo ponderado. A matriz de adjacência de um digrafo (com laços e arcos múltiplos) é uma matriz inteira com linhas e colunas correspondendo aos nodos do digrafo, onde uma entrada não-diagonal é o número de arcos do nó i para o nó j, e a entrada diagonal de linhas e colunas.

é o número de laços no nó i. A matriz de adjacência de um digrafo é única até as permutações

Outra representação de matriz para um dígrafo é sua matriz de incidência. Veja glossário para mais definições.

Graus de saída e graus de entrada Para um nodo, o número de pontos de extremidade adjacente à cabeça de um nó é chamado de grau de entrada do nodo e o número de pontos de extremidade da cauda é o seu grau de saída. O grau de entrada é denotado . Um vértice com

e o grau de saída como é chamado de fonte,

uma vez que é a origem de cada uma das suas arestas incidentes. Da mesma forma, um vértice com é chamado de sumidouro (ou poço). A fórmula da soma dos graus afirma que, para um grafo direcionado

Se para cada nodo, v ∈ V,

Um digrafo com vértices rotulados (saída ou entrada)

, o grafo é chamado de digrafo balanceado.

Grafo orientado

27

Conectividade de digrafos Um digrafo G é chamado de fracamente conectado (ou apenas conectado[]p. 19) se o grafo subjacente não-direcionado obtido através da substituição de todas as arestas de G por arestas não direcionadas é um grafo conexo. Um digrafo é fortemente conectado ou forte se ele contém um caminho orientado de u a v e um caminho orientado de v a u para cada par de vértices u,v. Os componentes fortes são os subgrafos máximo fortemente conectados.

Classes de digrafos Um digrafo acíclico é um grafo direcionado sem ciclos direcionados. Uma árvore enraizada naturalmente se define como um digrafo acíclico, se todas as arestas da árvore subjacentes são dirigidas para longe da raiz.

Um grafo direcionado acíclico simples

Um torneio é um grafo orientado obtido ao se escolher uma direção para cada aresta em um grafo completo não-direcionado. Na teoria dos grupos de Lie, um quiver Q é um grafo direcionado servindo como o domínio do e, portanto, caracterizando a forma de, uma representação V definida como um functor, mais especificamente um objeto da categoria functor FinVctKF(Q) onde F(Q) é a categoria livre em Q constituída por caminhos em Q e FinVctK é a categoria de espaços vetoriais de dimensão finita sobre um campo K. Representações de um quiver rótulam seus vértices com espaços vetoriais e suas arestas (e, portanto, caminhos) de modo compatível com transformações lineares entre eles, e transformam através das transformações naturais.

Referências [1] . [2] . [4] .

um torneio com 4 vertices

Grafo simples

28

Grafo simples Em teoria dos grafos, um grafo diz-se simples se entre cada par de vértices distintos existir no máximo uma aresta e se, além disso, não contiver lacetes nem arestas paralelas, ou seja existir uma aresta que conecta um vertice a ele mesmo. Em grande parte dos textos o adjectivo simples (ou regular) é omitido estando, no entanto, subentendido. Um grafo que não é simples, diz-se um multigrafo.

Grafo valorado Um grafo valorado ou grafo ponderado[1] é um grafo que possui funções relacionando o conjunto de vértices ou o conjunto de arestas a conjunto de números.[2][] O significado das funções depende do problema. Na maioria das aplicações de grafos existem dados quantitativos associados a pontos(vértices) ou ligações(arestas) relacionados ao problema[] . Na maioria das aplicações de grafos a problemas de engenharia, é necessário considerar-se grandezas tais como distâncias, altitudes, capacidades, fluxos, etc., associadas a localidades, estradas, etc. que definem os vértices e os arcos (ou arestas) do grafo. Em muitos problemas, no entanto, interessa apenas o inter-relacionamento dos vértices - e não se definem funções, ou se pode considerar que elas são constantes. Diz-se então que o grafo é um grafo não-valorado.

Representação Em um grafo valorado se pode usar as representações usuais para grafos. A matriz de adjacência é comumente conhecida como matriz de valores das ligações ou simplesmente matriz de valores.[] Na lista de adjacência cada linha vem acompanhada de seus valores respectivos[] . A figura a seguir ilustra um exemplo: Grafo valorado

Matriz de valores

Homomorfismo de grafos

29

Homomorfismo de grafos No campo da matemática da teoria dos grafos um homomorfismo de grafos é um mapeamento entre dois grafos que respeita suas estruturas. De forma mais concreta ele mapeia vértices adjacentes a vértices adjacentes.

Definição Um homomorfismo de grafos

de um grafo

, é um mapeamento

para um grafo

, denotado por

do conjunto de vértices de

para o conjunto de vértices de

tal que sempre que . A definição acima é estendida para dígrafos (grafos com arestas dirigidas). Então, para um homomorfismo , é um arco (aresta dirigida) de se é um arco de . Se há um homomorfismo ,

nós escreveremos

é dito ser homomórfico a

ou

, e

caso contrário. Se

-colorável.

A composição de homomorfismos é também um homomorfismo. Se o homomorfismo bijeção cuja função inversa é também um homomorfismo de grafos, então

é uma

é um isomorfismo de grafo.

Determinar se há ou não um isomorfismo entre dois grafos é um importante problema em complexidade computacional; veja o problema do isomorfismo de subgrafos. Dois grafos e são homomorficamente equivalentes se e . O resultado da retração de um grafo , chamado retração com

é um subgrafo

de

tal que existe um homomorfismo

para todo vértice

de

. Um núcleo é um grafo que não se retrai a um

subgrafo próprio. Qualquer grafo é homomorficamente equivalente a um único núcleo.

Generalização Tome a seguinte definição de grafo: Um grafo

em que

é uma estrutura

é o conjunto de nós do grafo,

,

(uma função parcial) e tais

que: se

; ou

, caso contrário.

O conceito de homomorfismo de grafos pode ser generalizado (usando essa estrutura para grafos) de funções (entre nós dos grafos) para relações: Sejam

grafos. Uma bissimulação entre

e

é uma relação

tal que:

• • • Se há tal relação, então (caso em que chamaremos

e

são chamados bissimilares (notação

é de fato uma função

uma bissimulação funcional) temos um homomorfismo de grafo, tal que

, sendo uma ordenação de homomorfismos se

). Se

inclui

definida como:

, para algum homomorfismo

Os conceitos de bissimulação e ordenação de homomorfismos são bastante importantes na demonstração de resultados sobre a confluência de sistemas de reescrita de grafos.

Homomorfismo de grafos

30

Observações • Em termos de coloração de grafos, k-colorações de que

é o grafo completo com

são exatamente homomorfismos

nós. Como conseqüência se

número de cores necessário para colorir um grafo) de

é no máximo o de

, em

, o número cromático (menor :

(onde

representa o número cromático do grafo ). • O homomorfismo de grafos preserva a conectividade. • O produto tensorial de grafos é o produto categorial para a categoria dos grafos e dos homomorfismos de grafos. • O problema de decisão associado, isto é, decidir se existe ou não um homomorfismo de um grafo para outro, é NP-completo.

Referências • Hell, Pavol; Jaroslav Nešetřil. Graphs and Homomorphisms (Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications). [S.l.]: Oxford University Press, 2004. ISBN 0-19-852817-5 • Term Rewriting Systems, Terese, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 2003.

Veja também • Reescrita de Grafos • Teoria das categorias

Isomorfismo de grafos Em teoria dos grafos, um isomorfismo dos grafos G e H é uma bijeção entre os conjuntos de vértices de G e H

de tal forma que quaisquer dois vértices u e v de G são adjacentes em G se e somente se ƒ(u) e ƒ(v) são adjacentes em H. Este tipo de bijeção é comumente chamado de "bijeção com preservação de arestas", de acordo com a noção geral de isomorfismo sendo uma bijeção de preservação-de-estrutura. Na definição acima, os grafos são entendidos como grafos grafos não dirigidos, não-rotulados e não ponderados. No entanto, a noção de isomorfismo pode ser aplicada a todas as outras variantes da noção de grafo, somando os requisitos necessários para preservar os elementos adicionais correspondentes da estrutura: as direções do arco, os pesos das arestas, etc, com a seguinte exceção. Quando se fala em rótulo com rótulos exclusivos, geralmente tirados do intervalo inteiro 1 ,...,n, onde n é o número dos vértices do grafo, dois grafos rotulados são ditos isomórficos se os grafos subjacentes correspondentes não rotulados são isomórficos. Se um isomorfismo existe entre dois grafos, então os grafos são chamados de isomorfos e nós denotamos por . No caso, quando a bijeção é um mapeamento de um grafo em si mesmo, ou seja, quando G e H são um e o mesmo grafo, a bijeção é chamada de automorfismo de G. O isomorfismo de grafos é uma relação de equivalência em grafos e, como tal, particiona as classes de todos os grafos em classes de equivalência. Um conjunto de grafos isomorfos entre si é chamado de classe de isomorfismo de grafos.

Isomorfismo de grafos

31

Exemplo Os dois grafos abaixo são isomorfos, apesar de suas representações diferentes. Grafo G

Grafo H

Um isomorfismo entre G e H ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6 ƒ(c) = 8 ƒ(d) = 3 ƒ(g) = 5 ƒ(h) = 2 ƒ(i) = 4 ƒ(j) = 7

Motivação A noção formal de "isomorfismo", por exemplo, de "isomorfismo gráfico", captura a noção informal de que alguns objetos têm "a mesma estrutura", se alguém ignora distinções individuais dos componentes de objetos "atômicos" em questão, consulte o exemplo acima. Sempre que a individualidade dos componentes "atômicos" (vértices e arestas, para grafos) é importante para a correta representação do que é modelado por grafos, o modelo é refinado pela imposição de restrições adicionais sobre a estrutura, e outros objetos matemáticos são utilizados: digrafos, grafos rotulados, grafos coloridos, árvores enraizadas e assim por diante. A relação de isomorfismo pode também ser definida para todas essas generalizações de grafos: o isomorfismo bijeção deve preservar os elementos da estrutura que define o tipo de objeto em questão: arcos, rótulos, cores de vértices/arestas, a raiz da árvore de raízes, etc. A noção de "isomorfismo de grafos" permite-nos distinguir as propriedades de grafos inerentes às estruturas dos próprios grafos das propriedades associadas com as representações do grafo: desenho dos grafos, estruturas de dados para grafos, rótulos de grafos, etc. Por exemplo, se um grafo tem exatamente um ciclo, em seguida, todos os grafos da sua classe de isomorfismo também têm exatamente um ciclo. Por outro lado, no caso comum quando os vértices de um grafo são (representados por) inteiros 1, 2, ... N, então a expressão

pode ser diferente para dois grafos isomorfos.

Reconhecimento de isomorfismo de grafos Teorema de Whitney O teorema de isomorfismo de grafos de Whitney,[1] demonstrado por H. Whitney, afirma que dois grafos conexos são isomorfos se e somente se o seu grafos de linha são isomórficos, com uma única exceção: K3, o grafo completo em três vértices, e o grafo bipartido completo K1,3, que não são isomórficos, mas ambos têm K3 como seu grafo de linha. O teorema de grafos de Whitney pode ser estendido para hipergrafos.[2]

A exceção do teorema de Whitney: estes dois grafos não são isomórficos, mas tem grafos de linha isomórfica.

Isomorfismo de grafos

32

abordagem algorítmica Enquanto isomorfismos de grafos podem ser estudados de forma clássica da Matemática, como exemplificado pelo teorema de Whitney, é reconhecido que é um problema a ser enfrentado com uma abordagem algorítmica. O problema computacional de determinar se dois grafos finitos são isomorfos é chamado o problema do isomorfismo de grafos. Suas aplicações práticas incluem principalmente quimioinformática, matemática química (identificação de compostos químicos), e automação de projeto eletrônico (verificação da equivalência das diferentes representações do desenho de um Circuito eletrônico Curiosamente, é também um dos poucos problemas em teoria computacional da complexidade pertencente à classe NP, mas não se sabe se pertence a nenhum de seus conhecidos subconjuntos (e, se P ≠ NP, disjuntos):P e NP-completo. É um de apenas dois, dos 12 totais, problemas listados em Garey e Johnson (1979) cuja complexidade está por se resolver.[3] Ou seja, eles não foram provados ser incluídos, nem excluídos, das classes P ou NP-completo. Sua generalização, o problema do isomorfismo de subgrafos, é sabido ser NP-Completo. As principais áreas de pesquisa para o problema é o projeto de algoritmos rápidos, tanto para o problema geral quanto para classes especiais de grafos, e investigações teóricas de sua complexidade computacional.

Referências [1] H. Whitney, "Congruent graphs and the connectivity of graphs", Am. J. Math., 54(1932) pp. 160-168. [2] Dirk L. Vertigan, Geoffrey P. Whittle: A 2-Isomorphism Theorem for Hypergraphs. J. Comb. Theory, Ser. B 71(2): 215-230. 1997. [3] The latest one resolved was minimum-weight triangulation, proved to be NP-complete in 2008. .

Laço Em teoria dos grafos, um laço ou auto-loop (em inglês: loop, self-loop ou buckle) é uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo. Um grafo simples, não contém nenhum laço. Dependendo do contexto, um grafo ou um multigrafo pode ser definido de forma a permitir ou proibir a presença de laços (muitas vezes em combinação com a permissão ou proibição do uso de arestas múltiplas entre os mesmos vértices: • Onde os grafos são definidos de modo a permitir laços e arestas múltiplas, um grafo sem laços é muitas vezes chamado de multigrafo.[][][] • Onde os grafos são definidos de modo a não permitir laços e arestas múltiplas, um multigrafo ou pseudografo é muitas vezes definido como um grafo que pode ter laços e arestas múltiplas.[][]

Um grafo com um laço no vértice 1

Laço

33

Grau Para um grafo não direcionado, o grau de um vértice é igual ao número de vértices adjacentes. Um caso especial é um laço, que acrescenta dois para o grau. Isso pode ser entendido se deixando cada conexão da contagem de arestas do laço como seu próprio vértice adjacente. Em outras palavras, um vértice com um laço "vê" a si mesmo como um vértice adjacente de ambas as extremidades da aresta, assim, se soma dois e não um, para o grau. Para um grafo direcionado, um laço soma um ao grau de entrada e um ao grau de saída

Ligações externas • Grafos - Definições (UFSC) [1]

Referências [1] http:/ / www. inf. ufsc. br/ grafos/ definicoes/ definicao. html

Multigrafo Multigrafo ou pseudografo é um grafo não dirigido que pode possuir arestas múltiplas (ou paralelas), ou seja, arestas com mesmos nós finais. Assim, dois vértices podem estar conectados por mais de uma aresta. Formalmente, um multigrafo G é um par ordenado , sendo •

um conjunto de vértices ou nós,

•

um multiconjunto de pares não-ordenados de vértices, chamado arestas ou linhas.

Alguns autores também consideram multigrafos aqueles que têm laços, isto é, uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo[1]; outros chamam estes de pseudografos, reservando o termo multigrafo para os casos em que não há laços[2]. Multigrafo com laços (azul) e arestas múltiplas

Multigrafos podem ser usados, por exemplo, pra modelar as (vermelho) possíveis conexões de vôo oferecidas por uma linha aérea. Nesse caso o pseudografo seria um grafo dirigido com pares de arestas paralelas dirigidas conectando cidades para mostrar que é possível voar para e a partir destas locações.

Um multidígrafo é um dígrafo (grafo com arestas dirigidas) em que pode-se ter arestas múltiplas. Um multidígrafo é um par ordenado , sendo • •

um conjunto de vértices ou nós, um multiconjunto de pares ordenados de vértices, chamado arestas dirigidas, arcos ou flechas.

Um multigrafo misto podem ser dirigidas ou não).

pode ser definido do mesmo jeito que um grafo misto (com arestas que

Multigrafo

34

Etiquetas Multigrafos e multidígrafos podem suportar a noção de grafos etiquetados, de modo similar. Contudo não há consenso na terminologia nesse caso. As definições de multigrafos e multidígrafos etiquetados são similares, e definiremos apenas o último: Um multidígrafo etiquetado é um grafo etiquetado com arcos etiquetados. Formalmente: Um multidígrafo etiquetado G é um multigrafo com nós etiquetados e arcos. Formalmente é uma 8-tupla , em que: • •

é um conjunto de nós e e

é um multiconjunto de arcos.

são alfabetos finitos de nós e etiquetas de arcos disponíveis.

•

e

•

são duas funções indicando o nó de origem e o de destino de um arco. e

são duas funções descrevendo a etiquetagem dos nós e arestas.

Notas [1] Para exemplos, veja. Bollobas, p. 7 and Diestel, p. 25. [2] Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem, by Robert A. Wilson, 2002, ISBN 0198510624, p. 6 (http:/ / books. google. com/ books?id=iq0sSnIxJioC& pg=PA6& dq=pseudograph& lr=& ei=R-jrSKWoCJGgswOv0eiXBw& sig=ACfU3U20xuoH7jZDq-XGqSnfsmC0oE8KjQ)

Referências • http://www.utm.edu/departments/math/graph/glossary.html#multigraph • Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5.

Pseudografo Multigrafo ou pseudografo é um grafo não dirigido que pode possuir arestas múltiplas (ou paralelas), ou seja, arestas com mesmos nós finais. Assim, dois vértices podem estar conectados por mais de uma aresta. Formalmente, um multigrafo G é um par ordenado , sendo •

um conjunto de vértices ou nós,

•

um multiconjunto de pares não-ordenados de vértices, chamado arestas ou linhas.

Alguns autores também consideram multigrafos aqueles que têm laços, isto é, uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo[1]; outros chamam estes de pseudografos, reservando o termo multigrafo para os casos em que não há laços[2]. Multigrafo com laços (azul) e arestas múltiplas

Multigrafos podem ser usados, por exemplo, pra modelar as (vermelho) possíveis conexões de vôo oferecidas por uma linha aérea. Nesse caso o pseudografo seria um grafo dirigido com pares de arestas paralelas dirigidas conectando cidades para mostrar que é possível voar para e a partir destas locações.

Um multidígrafo é um dígrafo (grafo com arestas dirigidas) em que pode-se ter arestas múltiplas. Um multidígrafo é um par ordenado , sendo •

um conjunto de vértices ou nós,

Pseudografo •

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um multiconjunto de pares ordenados de vértices, chamado arestas dirigidas, arcos ou flechas.

Um multigrafo misto

pode ser definido do mesmo jeito que um grafo misto (com arestas que

podem ser dirigidas ou não).

Etiquetas Multigrafos e multidígrafos podem suportar a noção de grafos etiquetados, de modo similar. Contudo não há consenso na terminologia nesse caso. As definições de multigrafos e multidígrafos etiquetados são similares, e definiremos apenas o último: Um multidígrafo etiquetado é um grafo etiquetado com arcos etiquetados. Formalmente: Um multidígrafo etiquetado G é um multigrafo com nós etiquetados e arcos. Formalmente é uma 8-tupla , em que: • •

é um conjunto de nós e e

é um multiconjunto de arcos.

são alfabetos finitos de nós e etiquetas de arcos disponíveis.

• •

e

são duas funções indicando o nó de origem e o de destino de um arco. e

são duas funções descrevendo a etiquetagem dos nós e arestas.

Notas [1] Para exemplos, veja. Bollobas, p. 7 and Diestel, p. 25. [2] Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem, by Robert A. Wilson, 2002, ISBN 0198510624, p. 6 (http:/ / books. google. com/ books?id=iq0sSnIxJioC& pg=PA6& dq=pseudograph& lr=& ei=R-jrSKWoCJGgswOv0eiXBw& sig=ACfU3U20xuoH7jZDq-XGqSnfsmC0oE8KjQ)

Referências • http://www.utm.edu/departments/math/graph/glossary.html#multigraph • Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5.

Quiver

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Quiver Em matemática, um quiver (ou digrafo) é um grafo direcionado onde laços e múltiplas setas entre dois vértices são permitidos. Eles são comumente utilizados em teoria da representação: uma representação, V, de um quiver atribui um espaço vetorial V(x) para cada vértice x do quiver e um mapa linear V(a) para cada seta a.

Representação de um quiver, consistindo de dois espaços vetoriais (V1, V2) e um morfismo f

Se K é um corpo e Γ é um quiver, então o quiver algébrico ou trilha algébrica KΓ Um digrafo. é definido como se segue. Uma trilha em Q é uma sequência de setas a_1 a_2 a_3 ... a_n tal que a cabeça de a_{i+1} = cauda de a_i, usando a convenção de concatenar trilhas da direita para esquerda. Então, a trilha algébrica é um espaço vetorial que tem todas as trilhas do quiver como base e a multiplicação dada pela concatenação de trilhas. Se duas trilhas não podem ser concatenadas porque o vértice final da primeira não é igual ao vértice inicial da segunda, seu produto é definido como zero. Isto define uma álgebra associativa sobre K. Essa álgebra é unitária se e somente se o quiver possui somente muitos vértices finitos. Neste caso, os módulos sobre KΓ são naturalmente identificados com as representações de Γ. Se o quiver possui muitos vértices e setas finitos, e o vértice final e o inicial de qualquer trilha são sempre distintos (isto é, Q não tem ciclos orientados), então KΓ é um anel hereditário de dimensão finita sobre K.

Representações de quivers Uma representação de um quiver, Q, é dita ser trivial se V(x)=0 para todos os vértices x em Q. Um

morfismo,

f:V->V', entre representações do quiver Q, tal que para cada seta em Q de x para y

é

uma

coleção

de

mapas lineares , isto é, todos os

quadrados que f forma com as setas de V e V' se comutem. Um morfismo, f, é um isomorfismo, se f(x) é invertível para todos os vértices x no quiver. Com estas definições, as representações dum quiver formam uma categoria. Se V e W são representações dum quiver Q, então a soma direta destas representações, para todos os vértices x em Q e

, é definida por é a soma direta dos

mapeamentos lineares V(a) e W(a). Uma representação é dita ser decomponível se ela é isomórfica à soma direta das representações não-zero. Uma definição categórica duma representação de quiver pode também ser dada. O quiver em si pode ser considerado uma categoria, onde os vértices são objetos e trilhas são morfismos. Então, uma representação de Q é apenas um funtor covariante desta categoria para a categoria de espaços vetoriais de dimensões finitas.

Teorema de Gabriel Um quiver é dum tipo finito se possui muitas representações finitas não-isomórficas indecomponíveis. O teorema de Gabriel classifica todas as representações de quiver do tipo finito. Mais precisamente, declara que: 1. Um quiver (conectado) é de um tipo finito se e somente se o seu grafo subjacente (quando as direções das setas são ignoradas) é um dos seguintes diagramas de Dynkin: , , , , . 2. As representações indecomponíveis estão numa correspondência um-para-um com as raízes positivas do sistema de raízes do diagrama de Dynkin.

Quiver

37

Ligações externas • Quiver Representations [1], Harm Derksen e Jerzy Weyman, AMS Notices • Notas sobre representações de quivers [2] • Finite-dimensional algebras and quivers [3], Alistair Savage, "Encyclopedia of Mathematical Physics", eds. J.-P. Françoise, G.L. Naber e Tsou S.T. Oxford: Elsevier, 2006, volume 2, pp. 313-320 • Digrafo [4] em USP

Referências [1] [2] [3] [4]

http:/ / www. ams. org/ notices/ 200502/ fea-weyman. pdf http:/ / www. amsta. leeds. ac. uk/ ~pmtwc/ quivlecs. pdf http:/ / www. arxiv. org/ pdf/ math/ 0505082 http:/ / www. icmc. sc. usp. br/ manuals/ sce183/ gfdig. html

Vértice de corte (teoria dos grafos) Em matemática e ciência da computação, um vértice de corte ou ponto de articulação[1] é um vértice de um grafo tal que a remoção deste vértice provoca um aumento no número de componentes conectados. Se o grafo era conectado antes da remoção do vértice, ele será desconectado depois. Qualquer grafo conectado com um vértice de corte tem uma conectividade de 1. Embora bem definidos, mesmo para grafos dirigidos (digrafos), os vértices de corte são utilizados principalmente em grafos não dirigidos. Em geral, um grafo conectado, não-dirigido, com n vértices não pode ter mais do que n-2 vértices de corte. Naturalmente, um grafo pode não ter nenhum vértice de corte. Uma ponte é uma aresta análoga a um vértice de corte, ou seja, a remoção de uma ponte aumenta o número de componentes conectados do grafo.

Encontrando Vértices de corte Um algoritmo trivial

é como se segue: Um grafo não-dirigido com n=5 vertices e n-2=3 vértices de corte; os vértices de corte (em vermelho) são aqueles que não estão em ambos as pontas

Vértice de corte (teoria dos grafos)

38

Um grafo não-dirigido sem vértices de corte

C = conjunto vazio (no final do algoritmo ele irá conter os vértices de corte) a = número de componentes em G (encontrado usando uma Busca em profundidade/Busca em largura) para cada i em V com arestas incidentes b = número de componentes em G com i removido se b > a i é um vértice de corte C = C + {i} fimse fimpara

Um algoritmo com o tempo muito melhor execução

[2]

profundidade.

Algoritmo em C++ #include #include #include #include



#define MAX 100 using namespace std; int n, time_s, visit[MAX]; vector ADJ[MAX]; int dfs(int u, set& ans){ int menor = visit[u] = time_s++; int filhos = 0; for(int i = 0; i n2/8, a representação de lista de adjacência ocupa mais espaço, o que é verdadeiro quando d > 1/64. Assim, um grafo deve ser muito escasso para uma representação de lista de adjacência ser mais eficiente em termos de memória do que uma matriz de adjacência. No entanto, esta análise só é válida quando a representação é usada para armazenar a estrutura de conectividade do grafo, sem qualquer informação numérica sobre suas arestas. Além do conflito de escolha relativo ao espaço, as estruturas de dados diferentes também facilitam operações diferentes. É fácil encontrar todos os vértices adjacentes a um vértice dada em uma representação lista de adjacência; você simplesmente le a sua lista de adjacência. Com uma matriz de adjacência em vez disso se tem que pesquisar

50

Lista de adjacência mais de uma linha inteira, gastando tempo O(n). Se, pelo contrário, deseja realizar um teste de vizinhança em dois vértices (isto é, determinar se eles têm uma aresta entre eles), uma matriz de adjacência proporciona isso na hora. No entanto, este teste de vizinhança em uma lista de adjacências requer tempo proporcional ao número de arestas associado com os dois vértices.

51

52

Automorfismo de grafos Automorfismo de grafos No campo da matemática da teoria dos grafos, um automorfismo de um grafo é uma forma de simetria em que o grafo é mapeado em si, preservando a conectividade vértice-aresta. Formalmente, um automorfismo de um grafo G = (V,E) é uma permutação σ do conjunto de vértices V, tal que para qualquer aresta e = (u,v), σ(e) = (σ(u),σ(v)) é também uma aresta. Ou seja, ele é um isomorfismo de grafos de G para ele mesmo.[1] Automorfismos podem ser definidos dessa maneira, tanto para grafos direcionados quando para grafos não-direcionados. A composição de dois automorfismos é outro automorfismo, e o conjunto de automorfismos de um grafo dado, sob a operação de composição, forma uma grupo, o grupo de automorfismo do grafo. No sentido inverso, pelo teorema de Frucht, todos os grupos pode ser representados como o grupo de automorfismo de um grafo conexo. - Na verdade, de um grafo cúbico.[2][3]

Complexidade computacional Construir o grupo de automorfismo é pelo menos tão difícil (em termos de complexidade computacional) quanto resolver o problema do isomorfismo de grafos, para determinar se dois grafos dados correspondem vértice com vértice e aresta com aresta. Pois, G e H são isomorfos se e somente se o grafo desconectado formado pelo união disjunta de grafos G e H tem um automorfismo que troca os dois componentes.[4] O problema do automorfismo de grafos é o problema de testar se um grafo tem um automorfismo não trivial. Ele pertence à classe NP de problemas de complexidade computacional. De forma semelhante ao problema do isomorfismo de grafos, não se sabe se ele tem um algoritmo que o resolva em tempo polinomial ou se é NP-completo. Sabe-se que o problema do automorfismo de grafos é redutível muitos-para-um em tempo polinomial para o problema do isomorfismo de grafos, mas a redução inversa é desconhecida.[5] [6]

Exibindo a Simetria Vários pesquisadores de desenho de grafos têm investigado algoritmos Este desenho do grafo de Petersen mostra um para desenhar grafos de tal forma que o automorfismo do grafo se subgrupo de suas simetrias, isomorfo ao grupo diedro D5, mas o grafo tem simetrias adicionais torne visível como simetrias do desenho. Isso pode ser feito usando um que não estão presentes no desenho(uma vez que método que não é projetado em torno de simetrias, mas que gera o grafo é simétrico, todas as ligações são automaticamente os desenhos simétricos, quando possível,[7] ou equivalentes, por exemplo). explicitamente identificand as simetrias e usando-as para orientar a colocação de vértice no desenho.[8] Nem sempre é possível mostrar todas as simetrias do grafo, simultaneamente, de modo que talvez seja necessário escolher quais simetrias mostrar e quais deixar sem visualização.

Automorfismo de grafos

53

Famílias de grafos definidas pelos seus automorfismos Várias famílias de grafos são definidas por terem certos tipos de automorfismos: • Um Grafo assimétrico é um grafo não direcionado, sem qualquer automorfismo não trivial. • Um Grafo vértice-transitivo é um grafo não direcionado em que cada vértice pode ser mapeado por um automorfismo em qualquer outro vértice. • Um Grafo aresta-transitivo é um grafo não direcionado em que cada aresta pode ser mapeada por um automorfismo em qualquer outra aresta. • Um Grafo simétrico é um grafo tal que cada par de vértices adjacentes podem ser mapeados por um automorfismo em qualquer outro par de vértices adjacentes. • Um Grafo distância-transitivo é um grafo tal que cada par de vértices pode ser mapeada por um automorfismo em qualquer outro par de vértices que estão à mesma distância. • Um Grafo semi-simétrico é um grafo que é aresta-transitivo, mas não vértice-transitivo. • Um Grafo meio-transitivo é um grafo que é vértice-transitivo e aresta-transitivo mas não simétrico. • Um Grafo anti-simétrico é um grafo dirigido, juntamente com uma permutação σ sobre os vértices que mapeia as arestas para arestas, mas inverte o sentido de cada aresta. Adicionalmente, σ necessita ser uma involução. Relações de inclusão entre estas famílias estão indicadas no quadro seguinte:

distância-transitivo

distância-regular

simétrico(arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

Automorfismo de grafos

54

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

Grafo de Cayley [2] . [4] .

aresta-transitivo

Automorfismo de grafos

55

[7] ; . [8] .

Grafo regular Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

Em Teoria dos grafos, um grafo regular é um grafo onde cada vértice tem o mesmo número de adjacências, i.e. cada vértice tem o mesmo grau ou valência. Um grafo direcionado regular também deve satisfazer a condição mais forte de que o grau de entrada e o grau de saída de cada vértice sejam iguais uns aos outros.[] Um grafo regular com vértices de grau k é chamado um grafo k‑regular ou grafo regular de grau k. Grafos regulares de grau no máximo 2 são fáceis de classificar: Um grafo 0-regular é composto por vértices desconectados, um grafo 1-regular consiste de arestas desconectadas, e um grafo 2-regular consiste de ciclos desconectados. Um grafo 3-regular é conhecido como um grafo cúbico. Um grafo fortemente regular é um grafo regular, onde cada par de vértices adjacentes tem o mesmo número l de vizinhos em comum, e cada par de vértices não-adjacentes tem o mesmo número n de vizinhos em comum. Os menores grafos que são regulares, mas não fortemente regulares são os grafos ciclos e os grafos circulantes em 6 vértices. O grafo completo

é fortemente regular para qualquer

.

Um teorema de Nash-Williams diz que cada k‑grafo regular em 2k + 1 vértices tem um ciclo hamiltoniano.

grafo 0-regular

grafo 1-regular

grafo 2-regular

grafo 3-regular

Grafo regular

56

Propriedades algébricas Seja A a matriz de adjacência de um grafo. Então, o grafo é regular se e somente se [1]

de A..

é um autovetor

Seu autovalor será o grau constante do grafo. Autovetores correspondentes a outros autovalores são

ortogonais a , assim como para tais autovetores

, nós temos

.

Um grafo regular de grau k é conectado se e somente se o autovalor k tem uma multiplicidade 1.[1] [1] Cvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.

Ligações externas • GenReg (http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/reggraphs.html) software e dados por Markus Meringer.

Grafo fortemente regular

57

Grafo fortemente regular

O Grafo Paley de ordem 13, um grafo fortemente regular com parâmetros gfr(13,6,2,3).

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

Na teoria dos grafos, uma disciplina dentro da matemática, um grafo fortemente regular é definido como se segue. Seja G = (V,E) um grafo regular com v vértices e grau k. G é dito ser fortemente regular se houver também inteiros λ e μ tais que: • Cada dois vértices adjacentes tem λ vizinhos em comum. • Cada dois vértices não-adjacentes tem μ vizinhos em comum. Um grafo deste tipo é dito às vezes ser um gfr(v,k,λ,μ). Alguns autores excluem grafos que satisfazem a definição trivial, ou seja, os grafos que são a união disjunta de um ou mais grafos completos de tamanho igual, e os seus complementares, os grafos de Turan. Um grafo fortemente regular é um grafo distância-regular com diâmetro 2, mas somente se μ não é zero.

Grafo fortemente regular

58

Propriedades • Os quatro parãmetros em um grs(v,k,λ,μ) não são independentes, como é fácil mostrar que:

• Seja I denotando a matriz identidade (de ordem v) e faça-se J denotar a matriz cujas entradas são todas iguais a 1. A matriz de adjacência A de um grafo fortemente regular satisfaz as seguintes propriedades: • (Esta é uma reafirmação trivial da exigência para os graus de vértices). • (O primeiro termo indica o número de caminhos de 2-passos de cada vértice para todos os vértices. Para os pares de vértices diretamente ligados por uma aresta, a equação reduz-se o número de tais caminhos em 2 passos sendo igual a . Para os pares de vértices não directamente ligados por uma aresta, a equação reduz-se ao número de tais caminhos em 2 passos sendo igual a

. Para os auto-pares triviais, a equação reduz-se para

o grau igual a k). • O grafo tem exatamente três autovalores: •

cuja multiplicidade é 1

•

cuja multiplicidade é

•

cuja multiplicidade é

• Grafos fortemente regulares para os quais

são chamados grafos de conferência

devido a sua conexão com matrizes de conferência simétricas. Seus parâmetros se reduzem a . • Grafos fortemente regulares para os quais

tem autovalores inteiros com

multiplicidades desiguais. • O complemento de um gfr(v,k,λ,μ) também é fortemente regular. É um gfr(v, v−k−1, v−2−2k+μ, v−2k+λ)

Exemplos • • • • • • • • • •

O grafo de Shrikhande é um gfr(16,6,2,2) que não é um grafo distância-transitivo. O ciclo de comprimento 5 é um gfr(5,2,0,1). O grafo de Petersen é um gfr(10,3,0,1). Os grafos de Chang são gfr(28,12,6,4). O grafo de Hoffman–Singleton é um gfr(50,7,0,1). O grafo de Higman–Sims é um gfr(100,22,0,4). Os grafos de Paley de ordem q são gfr(q, (q − 1)/2, (q − 5)/4, (q − 1)/4. O grafo de rook quadrado n × n é um gfr(n2, 2n − 2, n − 2, 2). O grafo de Brouwer–Haemers é um gfr(81,20,1,6). O grafo de Schläfli é um gfr(27,16,10,8).

Grafo fortemente regular

Bibliografia • A.E. Brouwer, A.M. Cohen, and A. Neumaier (1989), Distance Regular Graphs. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-50619-5, ISBN 0-387-50619-5 • Chris Godsil and Gordon Royle (2004), Algebraic Graph Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95241-1

Ligações externas • Eric W. Weisstein, Mathworld artigo com numerosos exemplos. [1] • Gordon Royle, Lista dos maiores grafos e famílias. [2] • Andries E. Brouwer, Parametros de grafos fortemente regulares. [3]

Referências [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ StronglyRegularGraph. html [2] http:/ / people. csse. uwa. edu. au/ gordon/ remote/ srgs/ [3] http:/ / www. win. tue. nl/ ~aeb/ graphs/ srg/ srgtab. html

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Grafo distância-regular

60

Grafo distância-regular

O grafo de Shrikhande, um grafo distância-regular.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo distância-regular é um grafo regular tal que para quaisquer dois vértices v e w a uma distância i o número de vértices adjacentes a w e à distância j a partir de v é o mesmo. Todo grafo distância-transitivo é distância regular. Com efeito, grafos distância-regular foram introduzidos como uma generalização combinatória de grafos distância-transitivos, tendo as propriedades de regularidade numérica do último, sem ter necessariamente um grande grupo de automorfismo. Alternativamente, um grafo distância-regular é um grafo para o qual existem inteiros bi,ci,i=0,...,d tais que para quaisquer dois vértices x, y em G e distância i=d(x,y), há exatamente ci vizinhos de y em Gi-1(x) e bi vizinhos de y em Gi+1(x), onde Gi(x) é o conjunto de vértices y de G com d(x,y)=i (Brouwer et al. 1989, p. 434).[1] O array de inteiros caracterizando um grafo distância regular é conhecido como o seu array de interseção. Um grafo distância-regular com diâmetro 2 é fortemente regular, e reciprocamente (a menos que o grafo seja desconexo).

Grafo distância-regular

Números Intersecção É usual utilizar a seguinte notação para um grafo distância-regular G. O número de vértices é n. O número de vizinhos de w (Isto é, os vértices adjacentes a w) cuja distância de v é i, i + 1, e i − 1 é denotada por ai, bi, e ci, respectivamente; estes são os números de intersecção de G. Obviamente, a0 = 0, c0 = 0, e b0 é igual a k, o grau de qualquer vértice. Se G tem um diâmetro finito, então d denota o diâmetro enós temos bd = 0. Também temos que ai+bi+ci= k Os numeros ai, bi, e ci são frequentemente mostrados em um array de três linhas.

chamado o array de intersecção de G. Eles podem ser formados também por uma matriz tridiagonal

chamada de matriz de intersecção.

Matrizes de adjacência distância Suponha que G é um grafo distância-regular conexo. Para cada distância i = 1, ..., d, podemos formar um grafo Gi no qual os vértices são adjacentes se sua distância em G é igual a i. Façamos Ai ser a matriz de adjacência de Gi. Por exemplo, A1 é a matriz de adjacência A de G. Além disso, seja A0 = I, a matriz identidade. Isto nos dá d + 1 matrizes A0, A1, ..., Ad, chamadas as matrizes de distância de G. A soma é a matriz J em que cada entrada é 1. Há uma fórmula de produto importante:

A partir desta fórmula resulta que cada Ai é uma função polinomial de A, de grau i, e que A satisfaz um polinômio de grau d + 1. Além disso, A tem exatamente d + 1 autovalores distintos, dos quais o maior é k, o grau. As matrizes de distância abrangem um subespaço vetorial do espaço vetorial de todas n × n matrizes reais. É um fato notável que o produto Ai Aj de quaisquer duas matrizes de distância é uma combinação linear das matrizes de distância:

Isto significa que as matrizes de distância geram um esquema de associação. A teoria dos esquemas de associação é fundamental para o estudo dos gráficos de distância regular. Por exemplo, o fato de que Ai é uma função polinomial de A é um fato sobre os esquemas de associação.

61

Grafo distância-regular

Exemplos • Grafos completos são distância regular com diâmetro 1 e grau v−1. • Ciclos C2d+1 de comprimento ímpar são distância regular com k = 2 e diâmetro d. Os números de intersecção ai = 0, bi = 1, e ci = 1, exceto para os casos usuais especiais (ver acima) e cd = 2. • Todos os grafos de Moore, em particular o grafo de Petersen e o grafo de Hoffman–Singleton, são distância regulares. • grafos fortemente regulares são distância regular. • Grafos ímpares são distância regular.

62

Grafo distância-transitivo

63

Grafo distância-transitivo

O grafo de Biggs-Smith, o maior grafo distância-transitivo 3-regular.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo distância-transitivo é um grafo tal que, dados dois vértices quaisquer v e w em qualquer distância i, e quaisquer outros dois vértices x e y à mesma distância, há um automorfismo do grafo que carrega v para x e w para y. Um grafo distância-transitivo é vértice-transitivo e simétrico bem como distância-regular. Um grafo distância-transitivo é interessante, em parte, porque tem um grande grupo de automorfismo. Alguns exemplos interessantes de grupos finitos são os grupos de automorfismos de grafos distância-transitivos, especialmente daqueles cujo diâmetro é de 2. Grafos distância-transitivos foram definidos primeiramente em 1971 por Norman L. Biggs e D. H. Smith, que mostraram que existem apenas 12 grafos distância-transitivos trivalentes finitos. São eles:

Grafo distância-transitivo

Nome do grafo grafo completo K4

64

Contagem de vértices Diâmetro Cintura

array de interseção

4

1

3

{3;1}

grafo bipartido completo K3,3 6

2

4

{3,2;1,3}

grafo de Petersen

10

2

5

{3,2;1,1}

grafo do cubo

8

3

4

{3,2,1;1,2,3}

grafo de Heawood

14

3

6

{3,2,2;1,1,3}

grafo de Pappus

18

4

6

{3,2,2,1;1,1,2,3}

grafo de Coxeter

28

4

7

{3,2,2,1;1,1,1,2}

grafo de Tutte–Coxeter

30

4

8

{3,2,2,2;1,1,1,3}

grafo do dodecaedro

20

5

5

{3,2,1,1,1;1,1,1,2,3}

grafo de Desargues

20

5

6

{3,2,2,1,1;1,1,2,2,3}

grafo de Biggs-Smith

102

7

9

{3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3}

grafo de Foster

90

8

10

{3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}

Independente em 1969, um grupo de russos liderados por Georgy Adelson-Velsky mostrou que existem grafos que são distância-regulares, mas não distância-transitivos. O único grafo deste tipo com um grau três é o Tutte 12-gaiola de 126 vértices. O menor grafo distância-regular que não é a distância-transitivo é o grafo de Shrikhande. Listas completas de grafos distância-transitivos são conhecidas para alguns graus maiores do que três, mas a classificação de grafos distância-transitivos com graus de vértice arbitrariamente grandes continua em aberto. A mais simples família de exemplos assintótica de grafos distância-transitivos são os grafos Hipercubo. Outras famílias são os grafos cubo dobrado e os grafos torre quadrados. Todas essas três famílias têm arbitrariamente um grau elevado. Primeiros trabalhos • Adel'son-Vel'skii, G. M.; Veĭsfeĭler, B. Ju.; Leman, A. A.; Faradžev, I. A. (1969), "An example of a graph which has no transitive group of automorphisms", Doklady Akademii Nauk SSSR 185: 975–976, MR 0244107 (http:// www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0244107). • Biggs, Norman (1971), "Intersection matrices for linear graphs", Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969), London: Academic Press, pp. 15–23, MR 0285421 (http://www.ams.org/ mathscinet-getitem?mr=0285421). • Biggs, Norman (1971), Finite Groups of Automorphisms, London Mathematical Society Lecture Note Series, 6, London & New York: Cambridge University Press, MR 0327563 (http://www.ams.org/ mathscinet-getitem?mr=0327563). • Biggs, N. L.; Smith, D. H. (1971), "On trivalent graphs", Bulletin of the London Mathematical Society 3: 155–158, doi: 10.1112/blms/3.2.155 (http://dx.doi.org/10.1112/blms/3.2.155), MR 0286693 (http://www. ams.org/mathscinet-getitem?mr=0286693). • Smith, D. H. (1971), "Primitive and imprimitive graphs", The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford, Second Series 22: 551–557, doi: 10.1093/qmath/22.4.551 (http://dx.doi.org/10.1093/qmath/22.4.551), MR 0327584 (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0327584). Pesquisas • Biggs, N. L. (1993), "Distance-Transitive Graphs", Algebraic Graph Theory (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 155–163, chapter 20. • Van Bon, John (2007), "Finite primitive distance-transitive graphs", European Journal of Combinatorics 28 (2): 517–532, doi: 10.1016/j.ejc.2005.04.014 (http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2005.04.014), MR 2287450 (http:/

Grafo distância-transitivo

65

/www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2287450). • Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; Neumaier, A. (1989), "Distance-Transitive Graphs", Distance-Regular Graphs, New York: Springer-Verlag, pp. 214–234, chapter 7. • Cohen, A. M. Cohen (2004), "Distance-transitive graphs", in Beineke, L. W.; Wilson, R. J., Topics in Algebraic Graph Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 102, Cambridge University Press, pp. 222–249. • Godsil, C.; Royle, G. (2001), "Distance-Transitive Graphs", Algebraic Graph Theory, New York: Springer-Verlag, pp. 66–69, section 4.5. • Ivanov, A. A. (1992), "Distance-transitive graphs and their classification", in Faradžev, I. A.; Ivanov, A. A.; Klin, M. et al., The Algebraic Theory of Combinatorial Objects, Math. Appl. (Soviet Series), 84, Dordrecht: Kluwer, pp. 283–378, MR 1321634 (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1321634).

Grafo simétrico

O grafo de Petersen é um grafo (cúbico) simétrico. Qualquer par de vértices ligados pode ser mapeado para outro por um automorfismo, uma vez que qualquer anel de cinco vértices pode ser mapeado para qualquer outro.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

Grafo simétrico No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo G é simétrico (ou arco-transitivo) se, dados quaisquer dois pares de vértices ligados u1—v1 e u2—v2 de G , há um automorfismo f : V(G) → V(G) tal que f(u1) = u2 and f(v1) = v2.[] Em outras palavras, um grafo é simétrico se seu grupo de automorfismo age transitivamente em pares ordenados de vértices ligados (isto é, sobre as arestas consideradas como tendo um sentido).[] Tal grafo é chamado às vezes também 1-arco-transitivo[] ou flag-transitivo.[] Por definição (ignorando u1 e u2), um grafo simétrico sem vértices isolados deve também ser vértice-transitivo.[] Como a definição acima mapeia uma aresta a outra, um grafo simétrico também deve ser aresta-transitivo. Contudo, um grafo aresta-transitivo não precisa ser simétrico, uma vez que a—b pode mapear a c—d, mas não a d—c. Grafos simétricos, por exemplo, aão aresta-transitivos e regulares, mas não vértice-transitivos. Todo grafo simétrico conexo deve, portanto, ser tanto vértice-transitivo quanto aresta-transitivo, e o inverso é verdadeiro para grafos de grau ímpar.[] No entanto, para graus pares, existem grafos conectados que são vértice-transitivos e aresta-transitivos, mas não simétricos.[1] Tais grafos são denominados meio-transitivos.[] O menor grafo conexo meio-transitiva é o grafo de Holt, com grau 4 e 27 vértices.[][2] De forma confusa, alguns autores usam o termo "grafo simétrico" para significar um grafo que é vértice-transitivo e aresta-transitivo, ao invés de um grafo arco-transitivo. Tal definição inclui grafos meio-transitivos, que são excluídos pela definição acima. Um grafo distância-transitivo é aquele em que em vez de considerar pares de vértices ligados (i.e. vértices a uma distância de um), a definição abrange dois pares de vértices, cada um à mesma distância. Tais grafos são automaticamente simétricos, por definição.[] Um t-arco é definido como uma sequência de t+1 vértices ligados, com quaisquer vértices repetidos estando a mais de 2 passos distante. Um grafo t-transitivo é um grafo tal que o grupo de automorfismo atua transitivamente nos t-arcos, mas não nos (t+1)-arcos. Uma vez que os 1-arcos são simplesmente arestas, qualquer grafo simétrico de grau 3 ou superior tem que ser t-transitivo para algum t, e o valor de t pode ser usado para além disso classificar grafos simétricos. O cubo é 2-transitivo, por exemplo.[]

Exemplos Combinando a condição de simetria com a restrição de que os grafos sejam cúbicos (ou seja, todos os vértices tem grau 3) resulta abolutamente uma forte condição, e tais grafos são raros o bastante para serem citados. O censo de Foster e suas extensões fornecem tais listas.[3] O censo de Foster foi iniciado na década de 1930 por Ronald M. Foster enquanto ele era um contratado pela Bell Labs,[4] e em 1988 (quando Foster estava com 92 anos de idade[]) o então censo de Foster corrente (listando todos os grafos cúbicos simétricos até 512 vértices) foi publicado em forma de livro.[5] [2] . [3] Marston Conder, Trivalent symmetric graphs on up to 768 vertices (http:/ / www. math. auckland. ac. nz/ ~conder/ preprints/ cubic768. ps), J. Combin. Math. Combin. Comput, vol. 20, pp. 41–63 [4] Foster, R. M. "Geometrical Circuits of Electrical Networks." Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309–317, 1932. [5] "The Foster Census: R.M. Foster's Census of Connected Symmetric Trivalent Graphs", by Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson and Z. Star (1988) ISBN 0919611192

66

Grafo simétrico

Ligações externas • grafos cúbicos simétricos (The Foster Census) (http://people.csse.uwa.edu.au/gordon/remote/foster/) • grafos trivalentes (cúbicos) simétricos com até 2048 vértices (http://www.math.auckland.ac.nz/~conder/ symmcubic2048list.txt)

67

Grafo meio-transitivo

68

Grafo meio-transitivo Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo meio-transitivo é um grafo que é tanto vértice-transitivo quanto aresta-transitivo, mas não é simétrico.[] Em outras palavras, um grafo é meio-transitivo, se o seu grupo de automorfismo atua transitivamente em ambos os seus vértices e arestas, mas não em pares ordenados de vértices ligados. Todo grafo simétrico conectado deve ser vértice-transitivo e aresta-transitivo, e o inverso é verdadeiro para grafos de grau ímpar,[] de modo que os grafos meio-transitivos de grau ímpar não existem. Contudo, existem grafos meio-transitivos de grau par.[1] O menor grafo meio-transitivo é o grafo de Holt, com grau 4 e 27 vértices.[][2] [1] Bouwer, Z. "Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs." Canad. Math. Bull. 13, 231–237, 1970. [2] .

O grafo de Holt é o menor grafo meio-transitivo. A falta de simetria reflexiva neste desenho destaca o fato de que as arestas não são equivalentes aos suas inversas.

Grafo semissimétrico

69

Grafo semissimétrico

O grafo de Folkman, o menor grafo semissimétrico.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo semissimétrico é um grafo não-direcionado que é aresta-transitivo e regular, mas não é vértice transitivo. Em outras palavras, um grafo é semissimétrico se cada vértice tem o mesmo número de arestas incidentes, e há uma simetria tomando qualquer das suas arestas para quaisquer outras de suas arestas, mas há algum par de vértices que não podem ser mapeados entre si por uma simetria. Um grafo semissimétrico deve ser bipartido e seu grupo de automorfismo deve agir transitivamente em cada um dos dois conjuntos de vértices da bipartição. No diagrama da direita, os vértices verdes não podem ser mapeados para os vermelhos por qualquer automorfismo. Grafos semissimétricos foram primeiramente estudados por Jon Folkman em 1967, que descobriu o menor grafo semissimétrico, o grafo de Folkman em 20 vértices[1]. O menor grafo cúbico semissimétrico é o grafo de Gray em 54 vértices. Foi observado pela primeira vez que era semissimétrico por Bouwer em 1968.[] Foi provado ser o menor grafo cúbico semissimétrico por Dragan Marušič e Aleksander Malnič[] . Todos os grafos cúbicos semissimétricos de até 768 vértices são conhecidos. Segundo Malnič, Marušič e Potočnik, os quatro menores grafos cúbicos semissimétricos possíveis, após o grafo de Gray são o grafo de Iofinova-Ivanov em 110 vértices, o grafo de Ljubljana em 112 vértices,[] um grafo de 120 vértices com cintura 8 e a gaiola-12 de Tutte.[2]

Grafo semissimétrico

70

[2] .

Grafo aresta-transitivo Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo aresta-transitivo é um grafo G tal que, dadas duas arestas e1 e e2 de G, há um automorfismo de G que mapeia e1 em e2.[] Em outras palavras, um grafo é aresta-transitivo, se o seu grupo de automorfismo atua transitivamente em suas arestas.

Exemplos e propriedades Grafos aresta-transitivos incluem qualquer grafo bipartido completo , e qualquer grafo simétrico, como os vértices e as arestas do cubo.[] Grafos simétricos são també vértice-transitivo (se eles são conectados), mas no geral grafos aresta-transitivos não precisam ser vértice-transitivos. O grafo Gray é um exemplo de um grafo que é aresta-transitivo, mas não vértice-transitivo. Todos estes grafos são bipartidos,[] e, portanto, podem ser coloridos, com apenas duas cores. Um grafo aresta-transitivo que també é regular, mas não vértice-transitivo, é chamado semi-simétrico. O grafo Gray mais uma vez dá um exemplo. O grafo Gray é aresta-transitivo e regular, mas não é vértice-transitivo.

Grafo vértice-transitivo

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Grafo vértice-transitivo Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo vértice-transitivo é um grafo G tal que, dados quaisquer dois vértices v1 e v2 de G, existe algum automorfismo tal que

Em outras palavras, um grafo é vértice-transitivo se o seu grupo de automorfismo atua transitivamente em seus vértices.[1] Um grafo é vértice-transitivo se e somente se seu grafo complementar é, uma vez que as ações do grupo são idênticas. Todo grafo simétrico, sem vértices isolados é vértice-transitivo, e cada grafo vértice-transitivo é regular. No entanto, nem todos os grafos vértice-transitivos são simétricos (por exemplo, as arestas do tetraedro truncado), e nem todos os grafos regulares são vértice-transitivos (por exemplo, o grafo de Frucht).

Exemplos finitos Grafos vértice-transitivos finitos incluem os grafos simétricos (como o grafo de Petersen, o grafo de Heawood e os vértices e arestas dos sólidos platônicos). Os grafos de Cayley finitos (como ciclos de cubos conectados) também são vértice-transitivos, como o são os vértices e arestas dos sólidos de Arquimedes (embora apenas dois deles sejam simétricos).

Propriedades A conectividade de arestas de um grafo vértice-transitivo é igual ao grau d, enquanto a conectividade de vértices será, no mínimo, 2(d+1)/3.[2] Se o grau é de 4 ou menos, ou o grafo também é aresta-transitivo, ou o grafo é um grafo de Cayley mínimo, então a conectividade de vértice também será igual a d.[3]

As arestas do tetraedro truncado formam um grafo vértice-transitivo (também um grafo de Cayley) que não é simétrico.

Grafo vértice-transitivo

Exemplos infinitos Grafos vértice-transitivos finitos incluem: • • • •

caminhos infinitos (infinitos em ambas as direções) árvores regulares infinitas, por exemplo o grafo de Cayley dos grupos livres grafos de Cayley infinitos o grafo de Rado

Dois grafos vértice-transitivos contáveis são chamados quase-isométricos se a razão de suas funções distância é delimitada a partir de baixo e de cima. Uma conjectura conhecida diz que todo grafo infinito vértice-transitivo é quase-isométrico a um grafo de Cayley. Um contra-exemplo foi proposto por Diestel e Leader.[4] Mais recentemente, Eskin, Fisher e Whyte confirmaram o contra-exemplo.[5]

Referências [3] (http:/ / www. cs. uchicago. edu/ files/ tr_authentic/ TR-94-10. ps)

72

Grafo de Cayley

73

Grafo de Cayley

O grafo de Cayley do grupo livre em dois geradores a e b

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

Em matemática, área da teoria dos grafos, um grafo de Cayley, também conhecido como grafo colorido de Cayley, diagrama de Cayley, diagrama de grupo, ou grupo colorido[] é um grafo que codifica a estrutura abstrata de um grupo. Sua definição é sugerida pelo teorema de Cayley (nomeado em honra a Arthur Cayley) e usa um conjunto de geradores específico, usualmente finito, para o grupo. É um instrumento central em combinatória e teoria geométrica de grupos.

Definição Suponha que

seja um grupo e

seja um conjunto de geradores. O grafo de Cayley

é um grafo

direcionado colorido construído como se segue[1] • A cada elemento de é atribuído um vértice: o conjunto de vértices • A cada gerador de é atribuída uma cor . • Para qualquer cor

os vértices correspondentes aos elementos

. Assim, o conjunto de arestas

consiste em pares da forma

de e

é identificado com são unidos por uma aresta de com

proporcionando a

cor. Na teoria geométrica de grupos, o conjunto

é geralmente assumido ser finito, simétrico, isto é

e não

contendo o elemento identidade do grupo. Neste caso, o grafo de Cayley incolor é um grafo comum: suas arestas não são orientadas e não contém laços se e somente se .

Grafo de Cayley

74

Exemplos • Suponha que

é o grupo cíclico infinito e o conjunto S consiste em um gerador padrão e sua inversa (-1

na notação aditiva), então o grafo de Cayley é uma cadeia infinita. • Similarmente, se

é o grupo cíclico finito de ordem n e o conjunto S consiste de dois elementos, o

gerador padrão de G e o seu inverso, então o grafo de Cayley é o ciclo

.

• O grafo de Cayley do produto direto de grupos é o produto cartesiano dos grafos de Cayley correspondentes. Assim, o grafo de Cayley do grupo abeliano com o conjunto de geradores que consiste em quatro elementos é a grade no plano

, enquanto que para o produto direto

semelhantes o grafo de Cayley é a grade finita

com geradores

em um toro. • O grafo Cayley do grupo diedro D4 em dois geradores α e β é descrito à esquerda. As setas vermelhas representam a multiplicação à esquerda pelo elemento α. Uma vez que o elemento β é auto-inversível, as linhas azuis que representam a multiplicação à esquerda pelo elemento β são não direcionadas. Portanto, o grafo é misto: ele tem oito vértices, oito setas, e quatro arestas. A tabela Cayley do grupo D4 pode ser derivada a partir da apresentação do grupo

Ligações externas O grafo de Cayley do grupo diedro D4 em dois geradores α e β

• Diagramas Cayley [2] [2] http:/ / www. weddslist. com/ groups/ cayley-plat/ index. html

Grafo antissimétrico

75

Grafo antissimétrico

Um grafo antissimétrico.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo antissimétrico é um grafo orientado que é isomórfico ao seu próprio grafo transposto, o grafo formado pela inversão de todas as suas arestas. O isomorfismo necessita ser uma involução sem nenhum ponto fixo. Grafos antissimétricos foram primeiramente introduzidos sob o nome de "dígrafos antissimétricos" por Tutte, 1967[1]. Eles surgiram quando da modelagem da busca de caminhos alternados e ciclos alternados em algoritmos para encontrar acoplamentos em grafos, em testes se um padrão still life no jogo da vida, desenvolvido pelo matemático britânico John Horton Conway, pode ser dividido em componentes mais simples, em desenho de grafos, e em grafos de implicação usados para resolver eficientemente o problema da 2-satisfatibilidade.

Grafo antissimétrico

Definição Conforme definido, por exemplo, por Goldberg e Karzanov (1996)[], um grafo antissimétrico G é um grafo direcionado, junto com uma função σ mapeando vértices de G a outros vértices de G, satisfazendo as seguintes propriedades: 1. Para cada vértice v, σ(v) ≠ v 2. Para cada vértice v, σ(σ(v)) = v 3. Para cada aresta (u,v), (σ(v),σ(u)) também deve ser uma aresta. Pode-se usar a terceira propriedade para estender σ para uma função de inversão de orientação das arestas de G. O grafo transposto de G é o grafo formado pela inversão de todas as arestas de G, e σ define um isomorfismo de grafos de G para a sua transposição. No entanto, em um grafico anti-simétrico, é adicionalmente necessário que o isomorfismo forme pares de cada vértice com um vértice diferente, ao invés de permitir a um vértice ser mapeado para si pelo isomorfismo ou agrupar mais de dois vértices em um ciclo de isomorfismos. Um caminho ou um ciclo em um grafo anti-simétrico é dito ser regular se, para cada vértice v do caminho ou do ciclo, o vértice correspondente σ(v) não faz parte do caminho ou do ciclo.

Grafos switch e grafos bipartidos um grafo anti-simétrico pode de forma equivalente ser definido em termos de um grafo switch (para usar a terminologia de Cook, 2003[2]), um grafo não direcionado em que as arestas incidentes a cada vértice são divididas em dois subgrupos. Cada vértice do grafo switch corresponde a dois vértices do grafo antissimétrico, e cada aresta do grafo alternado corresponde a duas arestas do grafo antissimétrico. Esta equivalência é a utilizada por Goldberg e Karzanov (1996)[] para modelar problemas de acoplamento em termos de grafos antissimétricos; nesta aplicação, os dois subconjuntos de arestas em cada vértice são as arestas não acopladas e as arestas acopladas. Cook visualiza os vértices de um grafo switch como pontos onde várias faixas de um trilho de trem se reúnem: se um trem entra em um switch através de um trilho que vem de uma direção, deve sair através de um trilho na outra direção. O problema de se encontrar curvas suaves que não se auto-interceptam entre os pontos dados em um trilho de trem vem em testar se determinados tipos de desenhos de grafos são válidos[3] e pode ser modelado como a busca de um caminho comum em um grafo anti-simétrico. Um conceito relacionado é o de grafo bidirecionado de Edmonds e Johnson, 1969[4], um grafo em que cada uma das duas extremidades de cada aresta pode ser tanto uma cabeça ou uma cauda, independentemente do outro lado. [4] . Reimpresso em Combinatorial Optimization — Eureka, You Shrink!, Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 2570, 2003, pp. 27–30, DOI:10.1007/3-540-36478-1 3.

76

Grafo assimétrico

77

Grafo assimétrico

Os 8 grafos assimétricos de 6-vértices

O grafo Frucht, o menor grafo cúbico assimétrico.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos distância-transitivo

distância-regular

simétrico (arco-transitivo)

t-transitivo, t ≥ 2

fortemente regular

(se conectado)

transitivo nos vértices e nas arestas

aresta-transitivo e regular

vértice-transitivo

regular

grafo de Cayley

anti-simétrico

aresta-transitivo

assimétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, um grafo não direcionado é chamado um grafo assimétrico se não tiver simetrias não triviais. Formalmente, um automorfismo de um grafo é uma permutação p de seus vértices com a propriedade que quaisquer dois vértices u e v são adjacentes se e somente se p(u) e p(v) são adjacentes. O mapeamento identidade de um grafo em si é sempre um automorfismo, e é chamado de automorfismo trivial do grafo. Um grafo assimétrico é um grafo para os quais não existem outros automorfismos.

Grafo assimétrico

Exemplos O menor grafo não trivial assimétrico tem 6 vértices[1] O menor grafo regular assimétrico têm dez vértices; existem grafos assimétricos de dez vértices são 4-regulares e 5-regulares[2][3]. O menor grafo cúbico assimétrico é o grafo de Frucht de doze vértices descoberto em 1939.[] De acordo com uma versão reforçada do teorema de Frucht, há infinitamente mais grafos cúbicos assimétricos.

Propriedades A classe de grafos assimétrica é fechada em complementos: um grafo G é assimétrico se e somente se seu complemento o é.[1] Qualquer grafo assimétrico de n-vértices pode ser feito simétrico, adicionando e removendo um total de, no máximo n/2 + o(n) arestas.[1]

Grafos aleatórios A proporção de grafos sobre n vértices com automorfismo não trivial tende a zero a medida que n cresce, que é informalmente expressado como "quase todos grafos finitos são assimétricos". Em contraste, uma vez mais informalmente, "quase todos os grafos infinitos são simétricos". Mais especificamente, grafos aleatórios infinitos e contáveis no modelo Erdős–Rényi são, com probabilidade 1, isomórficos ao altamente simétrico grafo Rado.[1]

Árvores A menor árvore assimétrica tem sete vértices: consiste de três caminhos de comprimentos de 1, 2 e 3, ligados a um terminal comum[4] Em contraste com a situação dos grafos, quase todas as árvores são simétricas. Em particular, se uma árvore é escolhida de forma uniforme aleatoriamente entre todas as árvores em n nós rotulados, em seguida, com probabilidade tendendo a 1 quando n aumenta, a árvore terá cerca de duas folhas adjacentes ao mesmo nó e terá simetrias trocando entre essas duas folhas.[1] [1] [2] [3] [4]

. . . .

78

79

Algoritmos em Grafos Busca em largura Na teoria dos grafos, busca em largura (ou busca em amplitude, também conhecido em inglês por Breadth-First Search (BFS)) é um algoritmo de busca em grafos utilizado para realizar uma busca ou travessia num grafo e estrutura de dados do tipo árvore. Intuitivamente, você começa pelo vértice raiz e explora todos os vértices vizinhos. Então, para cada um desses vértices mais próximos, exploramos os seus vértices vizinhos inexplorados e assim por diante, até que ele encontre o alvo da busca.

Ordem dos vértices explorados na busca em largura

Definição Formalmente, uma busca em largura é um método de busca não-informada (ou desinformada) que expande e examina sistematicamente todos os vértices de um grafo direcionado ou não-direcionado. Em outras palavras, podemos dizer que o algoritmo realiza uma busca exaustiva num grafo passando por todas as arestas e vértices do grafo. Sendo assim, o algoritmo deve garantir que nenhum vértice ou aresta será visitado mais de uma vez e, para isso, utiliza uma estrutura de dados fila para garantir a ordem de chegada dos vértices. Dessa maneira, as visitas aos vértices são realizadas através da ordem de chegada na estrutura fila e um vértice que já foi marcado não pode retornar a esta estrutura.

Percurso realizado pelo algoritmo

Uma analogia muito conhecida (figura ao lado) para demonstrar o funcionamento do algoritmo é pintando os vértices de branco, cinza e preto. Os vértices na cor branca ainda não foram marcados e nem infileirados, os da cor cinza são os vértices que estão na estrutura fila e os pretos são aqueles que já tiveram todos os seus vértices vizinhos infileirados e marcados pelo algoritmo. Tal mecanismo permite que se descubra todos os vértices a uma distância n do vértice raiz antes de qualquer outro vértice de distancia n+a com a≥1, sendo n o número de arestas para atingir qualquer outro vértice no grafo considerado. Essa característica do algoritmo permite construir uma árvore de distâncias mínimas (menor número de arestas) entre o vértice raiz e os demais, sendo que o vértice responsável por infileirar o seu vizinho na cor branca

Busca em largura

80

que será o vértice pai deste na representação em árvore gerada.

Características Complexidade de Tempo Considerando um grafo representado em listas de adjacência, o pior caso, aquele em que todos os vértices e arestas são explorados pelo algoritmo, a complexidade de tempo pode ser representada pela seguinte expressão , onde significa o tempo total gasto nas operações sobre todas as arestas do grafo onde cada operação requer um tempo constante

sobre uma aresta, e

todos os vértices que possui uma complexidade constante

que significa o número de operações sobre para cada vértice uma vez que todo vértice é

enfileirado e desinfileirado uma unica vez.

Complexidade de Espaço Quando o número de vértices no grafo é conhecido e supondo-se a representação deste em listas de adjacência, a complexidade de espaço do algoritmo pode ser representada por onde representa o número total de vértices no grafo.

Pseudocódigo A seguir é apresentado um pseudocódigo do algoritmo busca em largura para uma estrutura de dados grafo com lista de adjacência. A letra F representa uma fila (FIFO) inicialmente vazia, G é o grafo em questão e s, v, w representam vértices do grafo onde listaDeAdjacência representa a lista de adjacência de um vértice. BuscaEmLargura escolha uma raiz s de G marque s insira s em F enquanto F não está vazia faça seja v o primeiro vértice de F para cada w ∈ listaDeAdjacência de v faça se w não está marcado então visite aresta entre v e w marque w insira w em F senao se w ∈ F entao visite aresta entre v e w fim se fim para retira v de F fim enquanto

Busca em largura

81

Exemplo 1 Seguindo os passos do pseudocódigo acima e iniciando no vértice 6 da figura ao lado, o algoritmo estará com a sequência de vértices marcados e a fila assim:

Grafo exemplo 1

Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices Vértices

Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados= Marcados=

∅; Fila(F)=∅. 6; Fila(F)=6. 6,4; Fila(F)=6,4. 6,4; Fila(F)=4. 6,4,5; Fila(F)=4,5. 6,4,5,3; Fila(F)=4,5,3. 6,4,5,3; Fila(F)=5,3. 6,4,5,3,1; Fila(F)=5,3,1. 6,4,5,3,1,2; Fila(F)=5,3,1,2. 6,4,5,3,1,2; Fila(F)=3,1,2. 6,4,5,3,1,2; Fila(F)=1,2. 6,4,5,3,1,2; Fila(F)=2. 6,4,5,3,1,2; Fila(F)=∅.

Exemplo 2 Aplicando o pseudocódigo nesse grafo de cidades alemãs e iniciando o algoritmo na cidade de Frankfurt, repare que para montar a arvore da figura foi necessário gravar na figura apenas as arestas que são processadas na primeira condição "se" do pseudocódigo (se w não está marcado então). Caso as arestas desse exemplo não fossem valoradas (como no primeiro exemplo) ficaria fácil encontrar a distância para o vértice raiz com o algoritmo busca em largura, mas, para o grafo deste exemplo (que são valoradas) pesquise por Algoritmo de Dijkstra para encontrar o menor caminho de um vértice a outro.

Busca em largura

82

Exemplo de um mapa da Alemanha com algumas conexões entre as cidades.

Árvore gerada em um algoritmo BFS começando em Frankfurt.

C int BuscaEmLargura(Grafo *G, Fila *F, int raiz) { int *verticesMarcados = (int*)malloc(G->NumVertices * sizeof(int));//vetor de vertices marcados int tamVerticesMarcados= 0; int vertice1; no_lista *p;

Busca em largura

83

verticesMarcados[0] = raiz;//marca raiz tamVerticesMarcados++; PoeVerticeNaFila(F , raiz); //poe raiz na fila while(!FilaVazia(F))//enquanto a fila nao esta vazia { vertice1 = F->ini->vertice;//vertice que esta no inicio da fila p = G->Ladj[vertice1-1].inicio;// Ladj = lista de adjacencia de vertice1 while(p!=NULL)//enquanto a lista de adjacencia do vertice1 nao acaba { if(!BuscaVertice(p->vertice, verticesMarcados, tamVerticesMarcados))//busca p->vertice no vetor verticesMarcados { verticesMarcados[tamVerticesMarcados++] = p->vertice;//marcou p->vertice PoeVerticeNaFila(F , p->vertice);//poe p->vertice na fila //arestas que compoem arvore geradora mínima, aresta (vertice1, p->vertice) } else if(WPertenceF(p->vertice, F))//se p->vertice pertence a F { //arestas (vertice1, p->vertice) que não compoem árvore geradora mínima } p = p->prox; } RetiraVerticeFila(F); } return 0; }

Exemplo de Implementação em Object Pascal program Busca_em_largura; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; var

Busca em largura vListaNos : array[1..8] of char; function NoEsquerdo(pNoAtual: Integer): integer; begin result := (2 * pNoAtual); end; function NoDireito(pNoAtual: Integer): integer; begin result := (2 * pNoAtual) + 1; end; function busca_Largura (Inicio : integer; Alvo: Char): integer; var vAchou : Boolean; vLoop : integer; begin vAchou := false; vLoop := Inicio; Result := -1; if vListaNos[Inicio] = Alvo then begin vAchou := true; Result := Inicio; end; while (not vAchou) and (vLoop u.distância + uv.peso então: v.distância := u.distância + uv.peso v.anterior := u // Passo 3: Verificar a existência de ciclos com peso negativo para cada aresta uv em arestas faça: u := uv.origem v := uv.destino se v.distância < u.distância + uv.peso então: erro "O grafo contém um ciclo de peso negativo."

Código em C++ #include #define INFINITY 0x3f3f3f3f #define NODOS 1000

using namespace std;

typedef struct { int source; int dest; //destino int weight; //peso } Edge;

int distancia[NODOS];

void BellmanFord(Edge edges[], int edgecount, int nodecount, int source) { int i,j,trocou; for (i = 0; i < nodecount; i++) { distancia[i] = INFINITY; } distancia[source]=0; for (i = 0; i < nodecount; i++) { trocou = 0; for (j = 0; j < edgecount; j++) { if (distancia[edges[j].dest] > distancia[edges[j].source] + edges[j].weight) { distancia[edges[j].dest] = distancia[edges[j].source] + edges[j].weight; trocou=1; } } // se nenhuma iteração teve efeito, futuras iterações estão dispensadas

95

Algoritmo de Bellman-Ford

96

if (trocou==0) break; } // usado somente para detectar ciclos negativos (dispensável) for (i = 0; i < edgecount; i++) { if (distancia[edges[i].dest] > distancia[edges[i].source] + edges[i].weight) { cout LAdj[MAXV];

// Armazena a distância mínima partindo de um vértice 'i' até todos os outros vértices // dis[j] representa a menor distância de 'i' a 'j'. int dis[MAXV];

// Calcula as distâncias de 'Vi' a todos os outros vértices de um grafo com 'V' vértices e armazena-as em dis[] void dijkstra (int Vi, int V) { // vis[i] informa se o vértice 'i' já foi visitado/analisado ou não (inicialmente nenhum vértice foi) char vis[MAXV]; memset (vis, 0, sizeof (vis));

// Inicialmente afirmamos que a menor distância encontrada entre Vi e qualquer outro vértice (exceto o próprio Vi) é infinita

Algoritmo de Dijkstra

112

memset (dis, 0x7f, sizeof (dis)); dis[Vi] = 0;

while (1) { int i, n = -1;

for (i = 0; i < V; i++) if (! vis[i] && (n < 0 || dis[i] < dis[n])) n = i;

if (n < 0) break; vis[n] = 1;

for (i = 0; i < LAdj[n].size (); i++) // Aresta n -> LAdj[n][i].first com custo LAdj[n][i].second if (dis[LAdj[n][i].first] > dis[n] + LAdj[n][i].second) dis[LAdj[n][i].first] = dis[n] + LAdj[n][i].second; } }

A implementação do algorítmo utilizando uma lista de adjacências é ligeiramente mais rápida que a implementação com uma matriz de adjacências para casos em que o número de arestas não se aproxima do pior caso (uma aresta ligando cada par de vértices); quando próximo ao pior caso, o desempenho é similar. Ambos possuem complexidade de tempo em torno de O(V²). É possível obter uma solução em O(E + V log V) (custo amortizado), onde E é o número de arestas, utilizando um heap de fibonacci ou O(E log V) usando priority queue da STL de C++ para extrair o vértice não-visitado com menor distância. O heap simples, embora levemente mais lento que o heap de fibonacci, também pode ser usado para obter uma complexidade similar.

Ligações externas • • • • • •

Artigo explicativo sobre o algoritmo [2] Artigo e Implementação do Algoritmo de Dijkstra em C [3] (em espanhol) Algoritmo de Dijkstra em C [4] (em inglês) Algoritmo de Dijkstra em C# [5] (em inglês) [6] - NIST (em inglês) Applet do algoritmo de Dijkstra [7]

[2] [3] [4] [5] [6] [7]

http:/ / www. inf. ufsc. br/ grafos/ temas/ custo-minimo/ dijkstra. html http:/ / www. vivaolinux. com. br/ script/ Algoritmo-de-Dijkstra http:/ / www. mis-algoritmos. com/ source-154. html http:/ / www. codeproject. com/ useritems/ Shortest_Path_Problem. asp http:/ / www. nist. gov/ dads/ HTML/ dijkstraalgo. html http:/ / www-b2. is. tokushima-u. ac. jp/ ~ikeda/ suuri/ dijkstra/ Dijkstra. shtml

Algoritmo de Boruvka

113

Algoritmo de Boruvka O o algoritmo de Borůvka (ou Barůvka como também é conhecido) é um algoritmo para encontrar uma árvore geradora mínima em um grafo para o qual todos os pesos de arestas sejam distintos. Este algoritmo caracteriza-se pela divisão do grafo original em vários subgrafos para os quais é calculado a Minimum Spanning Tree (árvore geradora mínima). Ou seja, no fundo, pode ser considerada uma variação de algoritmos como os de Prim e Kruskal. É um algoritmo que, de modo diverso dos algoritmos de Kruskal e Prim, não usa uma fila de prioridades[1]. É um algoritmo com uma velocidade de convergência (ou resolução) bastante rápida sendo ideal para implementação em computadores paralelos já que a Minimum Spanning Tree de cada um dos subgrafos pode ser calculada numa máquina diferente. Este algoritmo é recursivo e só termina quando existe apenas um vértice. O algoritmo de Baruvka compreende os seguintes passos: 1 - para cada vértice escolher o seu arco com peso mínimo. Deste passo poderão resultar vários subgrafos. 2 - caso o passo 1 dê origem a grafos não conectados, considere-se cada subgrafo gerado no passo anterior como um vértice do grafo final. Estes vértices do grafo final conterão os vértices de cada umdos subgrafos gerados no passo 1. Para cada um dos subgrafos gerados execute-se de novo o passo 1 (recursividade). Neste momento pode-se, caso existam várias máquinas diferentes, correr este algoritmo nas várias máquinas sendo que cada máquina irá ter assignada a si um dos subgrafos gerados no passo 1 (este tipo de distribuição de processamento é mais conhecido como Single Instruction Multiple Data já que cada máquina vai executar as mesmas instruções mas sobre um conjunto de dados diferentes). 3 - Quando for encontrada a Minimum Spanning Tree para cada um dos grafos gerar um novo grafo onde cada um vértices deste grafo é um dos subgrafos. O objectivo agora será voltar a executar os passos 1 a 3 até que existam apenas 2 vértices e um único arco. A título de exemplo Seja V um grafo não orientado cuja representação matricial é a seguinte:

Exemplo 1 - a b

c

d

e

f

a 0 4

2

0

0

0

b 4 0

2

0

5

1

c 2 2

0

10

1

0

d 0 0 10

0

15 0

e 0 5

1

15

0

2

f 0 1

0

0

2

0

Nota: As posições (i,j) e (j,i) da matriz anterior têm os mesmos valores. Isso indica que o grafo em análise é não orientado.

Executando o passo 1 acima referido sobre esta matriz passaríamos a ter a seguinte matriz:

Algoritmo de Boruvka

114

- a b

c

d e f

a 0 0

2

0 0 0

b 0 0

0

0 0 1

c 0 0

0

0 1 0

d 0 0 10 0 0 0 e 0 0

0

0 0 0

f 0 0

0

0 0 0

Analisando esta nova matriz podemos ver que existem duas linhas a zero (e e f), o que claramente indica a existência de dois subgrafos. Como verificar quais os subgrafos? É um processo simples de verificar quais as linhas e colunas que se cruzam. Neste caso os novos subgrafos são dados pelas seguintes matrizes: - b f b 0 1 f 0 0

- a

c

d e

a 0

2

0 0

c 0

0

0 1

d 0 10 0 0 e 0

0

0 0

Notar que é necessário reter,da matriz original os valores que cruzam os vértices dos diferentes subgrafos gerados no passo 1, ou seja, a arco a-b (com peso 4), o arco c-b (com peso 2), o arco b-e (com peso 5) e o arco e-f (com peso 2). Estes arcos são usados para unir os vértices do arco gerado no passo 3. Neste exemplo bastante simples, o passo 2 representado pelas duas matrizes anteriores. Deste modo, não é necessário encontrar a Minimum Spanning Tree para cada uma destas matrizes já que quando se executa o passo 1 estas são encontradas automaticamente (outros exemplos há em que é necessário executar o passo 2). Isto leva, então, à geração do grafo do passo 3 em que temos dois vértices (um para cada uma das matrizes anteriores) e que pode ser representado sob a seguinte forma -

bf

acde

bf

0

4/2/2/5

acde 4/2/2/5

0

Note-se que a diagonal principal da matriz está a zero mas a outra diagonal não (é apenas uma questão de representacão. (matriz transposta esta matriz ir-se-ia obter a diagonal principal não nula e a outra diagonal a zero.) Estes valores indicam possíveis arcos que ligam os vértices deste grafo. Então, volta-se a executar o passo 1 sobre este grafo pelo que se chega à conclusão de que o grafo inicial deu origem a um grafo final cuja representação é a seguinte:

Algoritmo de Boruvka

Referências

115

-

bf acde

bf

0

2

acde 0

0

116

Grafos individuais Grafo de Biggs-Smith Grafo de Biggs–Smith

O grafo de Biggs–Smith

vértices

102

arestas

153

Raio

7

Diâmetro

7

Cintura

9

Automorfismos 2448 (PGL(2,17)) Número cromático

3

Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Hamiltoniano simétrico distância-regular

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Biggs–Smith é um grafo não-orientado 3-regular com 102 vértices e 153 arestas.[1] Ele tem número cromático 3, índice cromático 3, raio 7, diâmetro 7 e cintura 9. É tanto 3-vértice-conectado quanto 3-aresta-conectado. Todos os grafos distância-regular cúbicos são conhecidos.[2] O grafo Biggs–Smith é um destes 13 grafos.

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Biggs–Smith é um grupo de ordem 2448[3] isomórfico ao PGL(2,17). Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto, o grafo de Biggs–Smith é im grafo simétrico. Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo de Foster, o grafo de Biggs-Smith, referenciado como F102A, é o único grafo cúbico simétrico em 102 vértices.[4]

Grafo de Biggs-Smith

117

O grafo de Biggs–Smith é também singularmente determinado por seu espectro de grafo, o conjunto de autovalores do grafo de sua matriz de adjacência.[5] O polinômio característico do grafo de Biggs–Smith é: .

Galeria

O número cromático do grafo de Biggs–Smith graph é 3. [2] [3] [4] [5]

O índice cromático do grafo de Biggs–Smith graph é 3.

Desenho alternativo do grafo de Biggs–Smith.

Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989. Royle, G. F102A data (http:/ / www. csse. uwa. edu. au/ ~gordon/ foster/ F102A. html) Conder, M. and Dobcsányi, P. "Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices." J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41–63, 2002 E. R. van Dam and W. H. Haemers, Spectral Characterizations of Some Distance-Regular Graphs. J. Algebraic Combin. 15, pages 189–202, 2003

Grafo de Brouwer-Haemers

118

Grafo de Brouwer-Haemers Grafo de Brouwer–Haemers

vértices

81

arestas

810

Cintura

3

Automorfismos 233280 Número cromático

7

Propriedades

Fortemente regular

No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Brouwer–Haemers é um grafo não direcionado 20-regular com 81 vértices e 810 arestas. É o único grafo fortemente regular com parâmetros (81, 20, 1, 6).

Propriedades algébricas O automorfismo de grupo do grafo de Brouwer-Haemers é um grupo da oredem de 233280. O polinômio característico do grafo de Brouwer-Haemers é: .

Ligações externas • Weisstein, Eric W. "Brouwer–Haemers Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1] • Página de Andries E. Brouwer. [2]

Referências [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Brouwer-HaemersGraph. html [2] http:/ / www. win. tue. nl/ ~aeb/ graphs/ Brouwer-Haemers. html

Grafo de Desargues

119

Grafo de Desargues Grafo de Desargues

O grafo de Desargues

Nomeado em honra a

Girard Desargues

vértices

20

arestas

30

Raio

5

Diâmetro

5

Cintura

6

Automorfismos

240 (S5× Z/2Z)

Número cromático 2 Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Hamiltoniano simétrico distância-regular Bipartido

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Desargues é um grafo cúbico, distância-transitivo com 20 vértices e 30 arestas.[1] É nomeado em honra a Girard Desargues, surge a partir de diferentes construções combinatória, tem um elevado nível de simetria, é o único conhecido cubo parcial cúbico não-planar , e tem sido aplicado em bases de dados químicos. O nome "grafo de Desargues" também tem sido usado para se referir ao complemento do grafo de Petersen[2].

Construções Existem várias maneiras diferentes de construir o grafo de Desargues: • É o grafo de Petersen generalizado G(10, 3). Para formar o grafo de Desargues desta forma, conecte dez dos vértices em um decágono regular, e conecte os outros dez vértices em uma estrela de dez pontas que conecta os pares de vértices a uma distância três em um segundo decágono. O grafo de Desargue consiste das 20 arestas destes dois polígonos juntamente com 10 arestas adicionais de pontos de conexão de um decágono para os pontos correspondentes do outro. • É o grafo de Levi da configuração de Desargues. Esta configuração é composta por dez pontos e dez linhas descrevendo dois triângulos em perspectiva, seu centro de perspectiva, e seu eixo de perspectiva. O grafo de Desargues tem um vértice para cada ponto, um vértice para cada linha, e uma aresta para cada par de linhas de

Grafo de Desargues ponto incidente. O teorema de Desargues, nomeado em honra ao matemático francês do século 17 Girard Desargues, descreve um conjunto de pontos e linhas que formam essa configuração, e a configuração e o grafo devem seu nome a ela. • É a cobertura bipartida dupla do grafo de Petersen, formada pela substituição de cada vértice do grafo de Petersen por um par de vértices e cada aresta do grafo de Petersen por um par de arestas cruzadas. • É o grafo de Kneser bipartido H5,2. Seus vértices podem ser rotulados pelos dez subconjuntos de dois elementos e os dez subconjuntos de três elementos de um conjunto de cinco elementos, com uma aresta conectando dois vértices quando um dos conjuntos correspondentes é um subconjunto do outro. • O grafo de Desargues é Hamiltoniano e pode ser construído pela notação LCF: [5,−5,9,−9]5

Propriedades algébricas O grafo de Desargues é um grafo simétrico: tem simetrias que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. Seu grupo de simetria tem ordem 240, e é isomórfico ao o produto de um grupo simétrico em 5 pontos, com um grupo de ordem 2. Pode-se interpretar esta representação de produtos do grupo de simetria em termos de construções do grafo de Desargues: o grupo simétrico em cinco pontos é o grupo de simetria da configuração de Desargues, e o subgrupo de ordem-2 troca os papéis dos vértices que representam pontos da configuração de Desargues e os vértices que representam as linhas. Como alternativa, em termos do grafo bipartido de Kneser, o grupo simétrico em cinco pontos de age em separado sobre os subconjuntos de cinco pontos de dois elementos e de três elementos, e a complementação dos subconjuntos formam um grupo de ordem dois que transforma um tipo de subconjunto em outro. O grupo simétrico em cinco pontos é também o grupo de simetria do grafo de Petersen, e o subgrupo de ordem-2 troca os vértices dentro de cada par de vértices formados na construção da dupla cobertura. O grafo de Petersen generalizado G(n, k) é vértice-transitivo se e somente se n = 10 e k = 2 ou se k2 ≡ ±1 (mod n) e é aresta-transitivo somente nos seguintes sete casos: (n, k) = (4, 1), (5, 2), (8, 3), (10, 2), (10, 3), (12, 5), (24, 5).[3] Assim, o grafo de Desargues é um dos apenas sete grafos de Petersen generalizados simétricos. Entre estes sete grafos estão o grafo cúbico G(4, 1), o grafo de Petersen G(5, 2), o grafo de Möbius–Kantor G(8, 3), o grafo dodecaédrico G(10, 2) e o grafo de Nauru G(12, 5). O polinômio característico do grafo de Desargues é:

Portanto o grafo de Desargues é um grafo integral: seu espectro consiste inteiramente de inteiros.

Aplicações Em química, o grafo de Desargues é conhecido como o grafo de Desargues-Levi; é utilizado para organizar sistemas de estereoisômeros de compostos 5-ligantes. Nesta aplicação, as trinta arestas do grafo correspondem a pseudorotações dos ligantes[4][5].

Outras propriedades O grafo de Desargues tem um número de cruzamento retilíneo 6, e é o menor grafo cúbico com este número de cruzamento (sequência A110507 na OEIS). É o único conhecido cúbico não planar cubo parcial[6] . O grafo de Desargues tem um número cromático 2, índice cromático 3, raio 5, diâmetro 5 e cintura 6. É também um grafo hamiltoniano, 3-vértice-conectado, e 3-aresta-conectado. Todos os grafos distância-regular cúbicos são conhecidos.[7] O grafo de Desargues é um destes 13 grafos.

120

Grafo de Desargues

121

Galeria

O grafo de Desargues colorido para sobresaltar vários ciclos.

O índice cromático do grafo de Desargues é 3.

O número cromático do grafo de Desargues é 2.

[3] . [7] Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989.

Grafo de Folkman Grafo de Folkman

O grafo de Folkman

Nomeado em honra a

J. Folkman

vértices

20

arestas

40

Raio

3

Diâmetro

4

Cintura

4

Número cromático 2 Índice cromático

4

Propriedades

Perfeito Hamiltoniano Semi-simétrico Bipartido Regular Euleriano

Grafo de Folkman

122

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Folkman, nomeado em honra a Jon Folkman, é um grafo bipartido 4-regular com 20 vértices e 40 arestas.[1] O grafo de Folkman é Hamiltoniano e tem número cromático 2, índice cromático 4, raio 3, diâmetro 4 e cintura 4. e é um grafo perfeito tanto 4-vértice-conectado quanto 4-aresta-conectado.

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Folkman age transitivamente em suas arestas, mas não em seus vértices. É o menor grafo não direcionado, que é aresta-transitivo e regular, mas não é vértice-transitivo.[2] Esses grafos são chamados semi-simétricos e foram estudados pela primeira vez por Folkman em 1967 que descobriu o grafo de 20 vértices, que agora é nomeado em sua honra.[3] Como um grafo semi-simétrico, o gráfico de Folkman é bipartido, e seu grupo de automorfismo age transitivamente em cada um dos dois conjuntos de vértices da bipartição. No diagrama abaixo, indicando o número cromático do grafo, os vértices verdes não podem ser mapeados para os vermelhos por qualquer automorfismo, mas qualquer vértice vermelho pode ser mapeado em qualquer outro vértice vermelho e qualquer vértice verde pode ser mapeado em qualquer outro vértice verde. O polinômio característico do grafo de Folkman é

.

Galeria

O índice cromático do grafo de Folkman é 4.

O número cromático do grafo de Folkman é 2.

O grafo de Folkman é Hamiltoniano.

[2] Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 186-187, 1990

Grafo de Foster

123

Grafo de Foster Grafo de Foster

Nomeado em honra a

Ronald Martin Foster

vértices

90

arestas

135

Raio

8

Diâmetro

8

Cintura

10

Automorfismos

4320

Número cromático 2 Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico simétrico distância-transitivo Hamiltoniano simétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Foster é um grafo 3-regular com 90 vértices e 135 arestas.[1] O grafo de Foster é Hamiltoniano e tem número cromático 2, índice cromático 3, raio 8, diâmetro 8 e cintura 10. Ele é também um grafo 3-vértice-conectado e 3-aresta-conectado. Todos os grafos distância-regular cúbicos são conhecidos.[2] O grafo de Foster é um destes 13 grafos. É o único grafo distância-transitivo com array de intersecção {3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}.[3] Pode ser construído como o grafo de incidência do espaço parcial linear, que é a única cobertura tripla com nenhum 8-gono do quadrângulo generalizado GQ(2,2). É nomeado em honra a R. M. Foster, cujo censo de Foster de grafos simétricos cúbicos incluíam este grafo.

Grafo de Foster

124

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Foster é um grupo de ordem 4320.[4] Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto o grafo de Foster é um grafo simétrico. Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta a qualquer outra aresta. Segundo o censo de Foster, o grafo de Foster, referenciado como F90A, é o único grafo cúbico simétrico em 90 vértices.[5] O

polinômio

característico

do

grafo

de

Foster

é

igual

.

Galeria

Grafo de Foster colorido para ressaltar vários ciclos. [2] [3] [4] [5]

O número cromático do grafo de Foster é 2.

O índice cromático do grafo de Foster é 3.

Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989. Cubic distance-regular graphs (http:/ / www. win. tue. nl/ ~aeb/ graphs/ cubic_drg. html), A. Brouwer. Royle, G. F090A data (http:/ / www. csse. uwa. edu. au/ ~gordon/ foster/ F090A. html) Conder, M. and Dobcsányi, P. "Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices." J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41-63, 2002

a

Grafo de Frucht

125

Grafo de Frucht Grafo de Frucht

Nomeado em honra a

Robert Frucht

vértices

12

arestas

18

Raio

3

Diâmetro

4

Cintura

3

Automorfismos

1 ({id})

Número cromático 3 Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Planar Hamiltoniano

No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Frucht é um grafo 3-regular com 12 vértices e 18 arestas e nenhuma simetria não-trivial.[1] Foi descrito pela primeira vez por Robert Frucht em 1939.[] O grafo de Frucht é um grafo Halin com número cromático 3, índice cromático 3, raio 3, diâmetro 4, e cintura 3. Como em todos os grafos Halin, o grafo de Frucht é planar, 3-vértice-conectado, e poliédrico. É também um grafo 3-aresta-conectado. O grafo de Frucht é hamiltoniano e pode ser construído a partir da notação LCF: [−5,−2,−4,2,5,−2,2,5,−2,−5,4,2].

Propriedades algébricas O grafo de Frucht é o menor grafo cúbico possuindo somente um único automorfismo de grafos, a identidade[2](ou seja, cada vértice pode ser distinguido topologicamente de todos os outros vértices). Tais grafos são chamados assimétricos (ou identidade). O teorema de Frucht diz que qualquer grupo pode ser compreendido como o grupo de simetrias de um grafo,[] e um reforço deste teorema também devido à Frucht afirma que qualquer grupo pode ser percebido como as simetrias de um grafo 3-regular;[3] o grafo de Frucht fornece um exemplo desta realização para o grupo trivial. O

polinômio

característico

do

grafo

de

Frucht

é .

igual

a

Grafo de Frucht

126

Galeria

O grafo de Frucht é planar.

O número cromático do grafo de Frucht é 3.

O grafo de Frucht é Hamiltoniano.

[2] Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990

Grafo de Gray Grafo de Gray

O grafo de Gray

Nomeado em honra a

Marion Cameron Gray

vértices

54

arestas

81

Raio

6

Diâmetro

6

Cintura

8

Automorfismos

1296

Número cromático 2 Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Hamiltoniano Semi-simétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Gray é um grafo não direcionado bipartido, com 54 vértices e 81 arestas. É um grafo cúbico: todo vértice toca exatamente três arestas. Foi descoberto por Marion C.

Grafo de Gray Gray, em 1932, (de forma inédita), em seguida, descoberto independentemente por Bouwer 1968, em resposta a uma pergunta feita por Jon Folkman em 1967[1]. O grafo de Gray é interessante como o primeiro exemplo conhecido de um grafo cúbico tendo a propriedade algébrica de ser aresta-transitivo, mas não sendo vértice-transitivo (ver abaixo). O grafo de Gray tem um número cromático 2, índice cromático 3, raio 6 e diâmetro 6. Ele é também um grafo 3-vértice-conectado e 3-aresta-conectado não-planar.

Construção O grafo de Gray pode ser construído [2] dos 27 pontos de uma grade de 3 × 3 × 3 e as 27 linhas de eixo paralelo a esses pontos. Esta coleção de pontos e linhas formam um configuração projetiva: cada ponto tem exatamente três linhas, através dele, e cada linha tem exatamente três pontos sobre ela. O grafo de Gray é o grafo de Levi dessa configuração, que tem um vértice para cada ponto e para cada linha da configuração, e uma aresta para cada par de um ponto e uma linha que se tocam. Esta construção generaliza (Bouwer 1972) para qualquer dimensão n ≥ 3, rendendo um grafo de Levi n-valente com propriedades algébricas semelhantes às do gráfico deGray. Em (Monson, Pisanski, Schulte, Ivic-Weiss 2007)[3], o grafo de Gray aparece como um tipo diferente de grafo de Levi com as arestas e faces triangulares de uma determinada localmente toroidal resumo regular 4 politopo. É, portanto, o primeiro de uma família infinita de grafos cúbicos similarmente construídos. Marušič e Pisanski (2000)[4] indicaram vários métodos alternativos de construção do grafo de Gray. Como acontece com qualquer grafo bipartido, não há ciclos de comprimento impar, e também não há ciclos de quatro ou seis vértices, de modo que a cintura do gráfico Gray é 8. A superfície orientada mais simples sobre a qual o grafo de Gray pode ser incorporado tem gênero 7[5]. O grafo de Gray é hamiltoniano e pode ser construído a partir da notação LCF:

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Gray é um grupo de ordem 1296. Ele atua transitivamente nas arestas do grafo, mas não em seus vértices : existem simetrias levando cada aresta para qualquer outra aresta mas não tomando cada vértice para qualquer outro vértice. Os vértices que correspondem a pontos da configuração subjacentes apenas podem ser simétricos para outros vértices que correspondem a pontos, e os vertices que correspondem a linhas só podem ser simétricos para outros vértices que correspondem a linhas. Portanto, o grafo de Gray é um grafo semi-simétrico, o menor possível grafo semi-simétrico cúbico. O polinômio característico do grafo de Gray é

[1] [2] [4] [5]

. . . .

127

Grafo de Gray

128

Ligações externas • O grafo de Gray é o menor grafo de seu tipo (http://mathworld.wolfram.com/news/2002-04-09/graygraph/) , em MathWorld.

Galeria

O grafo de Gray

O número cromático do grafo de Gray é 2.

O índice cromático do grafo de Gray é 3.

Grafo de Heawood Grafo de Heawood

Nomeado em honra a

Percy John Heawood

vértices

14

arestas

21

Raio

3

Diâmetro

3

Cintura

6

Automorfismos

336 (PGL (7)) 2

Número cromático 2 Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico gaiola distância-transitivo distância-regular Toroidal Hamiltoniano simétrico

A configuração básica do grafo de Gray.

Grafo de Heawood

129

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Heawood é um grafo não-orientado com 14 vértices e 21 arestas.[1] O grafo é cúbico, e todos os ciclos do grafo têm seis ou mais arestas. Todos os menores grafos cúbicos têm ciclos mais curtos, de modo que este grafo é o gaiola-6, o menor grafo cúbico de cintura 6. É também o grafo de Levi do plano de Fano, o grafo que representa a incidência entre os pontos e linhas nesta geometria. É um grafo distância-regular; o seu grupo de simetrias é PGL2(7).[2] Há 24 correspondências perfeitas no grafo de Heawood; para cada correspondência, o conjunto de arestas fora das correspondências forma um ciclo Hamiltoniano. Por exemplo, a figura mostra os vértices do grafo colocados em um ciclo, com as diagonais internas do ciclo formando uma correspondência. Subdividindo as arestas do ciclo em duas correspondências, podemos particionar o grafo de Heawood em três correspondências perfeitas (isto é, usando 3 cores em suas arestas) em oito formas diferentes (Brouwer). O grafo de Heawood foi batizado em honra de Percy John Heawood, que em 1890 provou que cada subdivisão do toro em polígonos pode ser colorida, no máximo, com sete cores.[3][4] O grafo de Heawood forma uma subdivisão do toro com sete regiões adjacentes mutuamente, mostrando que esse limite é apertado. O grafo de Heawood tem número de cruzamento 3, e é o menor grafo cúbico com este número de cruzamento. Incluindo o grafo de Heawood, existem 8 grafos distintos de ordem 14 com número de cruzamento 3. O grafo de Heawood é um grafo distância-unidade.[5]

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Heawood é isomórfico ao grupo linear projetivo PGL2(7), um grupo de ordem 336.[6] Ele atua transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto o grafo Heawood é um grafo simétrico. Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo Foster, o grafo de Heawood, referenciado como F014A, é o único grafo cúbico simétrico com 14 vértices.[7][8] O polinômio característico do grafo de Heawood é

. É o único grafo com este

polinômio característico, tornando-se um grafo determinado pelo seu espectro.

Incorporado em um Toro O grafo de Heawood é um grafo toroidal; ou seja, ele pode ser incorporado sem cruzamentos em um toro. Uma incorporação deste tipo coloca seus vértices e arestas em um espaço euclidiano tri-dimensional como o conjunto de vértices e arestas de um poliedro convexo com a topologia de um toro, o poliedro de Szilassi.

Galeria

O poliedro de Szilassi.

O grafo de Heawood tem número de cruzamento 3.

O índice cromático do grafo de Heawood é 3.

O número cromático do grafo de Heawood é 2.

Grafo de Heawood

130

A incorporação do grafo de Heawood em um toro (mostrado como um quadrado com condições de contorno periódicas) particionando-o em sete regiões mutuamente adjacentes [7] Royle, G. "Cubic Symmetric Graphs (The Foster Census)." (http:/ / www. cs. uwa. edu. au/ ~gordon/ remote/ foster/ #census) [8] Conder, M. and Dobcsányi, P. "Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices." J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41-63, 2002.

Grafo de Higman-Sims Grafo de Higman–Sims

[1]

Desenho baseado em uma construção de Paul R. Hafner

Nomeado em honra a

Donald G. Higman Charles C. Sims

vértices

100

arestas

1100

Raio

2

Diâmetro

2

Cintura

4

Automorfismos

88704000 (HS:2)

Propriedades

Fortemente regular Aresta-transitivo Hamiltoniano Euleriano Integral

Grafo de Higman-Sims

No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Higman–Sims é um grafo não direcionado, 22-regular com 100 vértices e 1100 arestas. É o único grafo fortemente regular com 100 vértices e valência 22, onde nenhum par de vértices vizinhos partilham um vizinho comum e cada par de vértices não-vizinhos partilham seis vizinhos comuns.[2] Foi construído em 1968 por Donald G. Higman e Charles C. Sims como uma forma de definir o grupo de Higman–Sims, e este grupo é um subgrupo do índice dois no grupo de automorfismos do grafo de Higman–Sims.[3]

131

As partes em separado da construção de Hafner.

A construção começa com o grafo M22, cujos 77 vértices são os blocos do S(3,6,22) sistema de Steiner W22. Vértices adjacentes são definidos como blocos disjuntos. Este grafo é fortemente regular; qualquer vértice tem 16 vizinhos, quaisquer dois vértices adjacentes não tem vizinhos comuns, e quaisquer dois vértices não adjacentes têm 4 vizinhos comuns. Este grafo tem M22:2 como seu automorfismo de grupo, sendo M22 o seu grupo Mathieu. O grafo de Higman–Sims é formado anexando os 22 pontos de W22 e um 100º vértice C. Os vizinhos de C são definidos ser estes 22 pontos. Um ponto adjacente a um bloco é definido ser aquele que está incluído. Um grafo de Higman–Sims pode ser particionado em duas cópias do grafo de Hoffman–Singleton de 352 maneiras.

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Higman–Sims graph é um grupo de ordem 88704000 isomórfico ao produto semidireto do grupo de Higman–Sims de ordem 44352000 com o grupo cíclico de ordem 2.[4] Ele tem automorfismos que levam qualquer aresta para outra aresta, fazendo o grafo de Higman–Sims um grafo aresta-transitivo.[5] O polinômio característico do grafo de Higman–Sims graph is (x − 22)(x − 2)77(x + 8)22. Portanto o grafo de Higman–Sims é um grafo integral: seu espectro de grafo consiste inteiramente de inteiros. Ele é também considerado o único grafo com este polinômio característico, fazendo dele um grafo determinado por seu espectro.

Dentro da malha de Leech O grafo de Higman-Sims ocorre naturalmente no interior da malha de Leech: se X, Y e Z são três pontos na malha de Leech tais que as distâncias XY, XZ e YZ são 2, 3, 3 respectivamente, então há exatamente 100 pontos da malha de Leech T de tal forma que todas as distâncias XT, YT e ZT são iguais a 2, e se ligarmos dois pontos, tais T e T′ quando a distância entre eles é 2, O grafo resultante é isomorfo ao grafo de Higman-Sims. Além disso, o conjunto de todos os automorfismos da malha de Leech (Isto é, congruências euclidiana fixando-a) que fixam cada um dos X, Y e Z é o grupo de Higman–Sims (Se nós permitirmos trocar X e Y, a extensão de ordem 2 de todos os automorfismos de grafos é obtida). Isso mostra que o grupo Higman-Sims ocorre dentro do grupo de Conway Co2 (com sua extensão de ordem 2) e Co3, e, conseqüentemente, também Co1.[6]

Uma projeção do grafo de Higman-Sims dentro da malha de Leech.

[1] . [5] Brouwer, A. E. and Haemers, W. H. "The Gewirtz Graph: An Exercise in the Theory of Graph Spectra." Euro. J. Combin. 14, 397–407, 1993.

Grafo de Hoffman-Singleton

132

Grafo de Hoffman-Singleton Grafo de Hoffman–Singleton

Nomeado em honra a

Alan J. Hoffman Robert R. Singleton

vértices

50

arestas

175

Raio

2

Diâmetro

2

Cintura

5

Automorfismos

252000 (PGL(3,5 ):2)

[] [] 2

[1]

Número cromático 4 [2]

Índice cromático

7

Propriedades

Simétrico Grafo de Moore Hamiltoniano Integral Gaiola Fortemente regular

No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Hoffman–Singleton é um grafo 7-regular não direcionado com 50 vértices e 175 arestas. É o único grafo fortemente regular com parâmetros (50,7,0,1).[3] Foi construído por Alan Hoffman e Robert Singleton ao tentar classificar todos os grafos de Moore, e é a mais alta ordem de grafo de Moore esistente conhecida até o momento.[4] Como é um grafo de Moore onde cada vértice tem grau 7, e sua cintura é 5, ele é um (7,5)-gaiola.

O grafo de Hoffman-Singleton. O subgrafo das arestas azuis é a soma dos dez pentágonos disjuntos.

Grafo de Hoffman-Singleton

133

Construção Uma construção simples, direta é como se segue: Tome cinco pentágonos Ph e cinco pentagramas Qi, de forma que o vértice j de Ph seja adjacente aos vértices j-1,j+1 de Ph e o vértice j de Qi seja adjacente aos vértices j-2,j+2 de Qi. Agora conecte o vértice j de Ph ao vértice hi+j de Qi. (Todos os índices mod 5.)

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Hoffman-Singleton é um grupo de ordem 252000 isomórfico a PΣU(3,52). Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto, o grafo de Biggs–Smith é im grafo simétrico. O polinômio característico do grafo de Hoffman-Singleton é igual a

. Portanto o

grafo de Hoffman-Singleton é um grafo integral: seu espectro de grafo consiste inteiramente de inteiros. [1] Hafner, P. R. "The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms." J. Algebraic Combin. 18, 7-12, 2003. [2] Royle, G. "Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton?" [email protected] posting. 28 de Setembro de 2004. (http:/ / listserv. nodak. edu/ scripts/ wa. exe?A2=ind0409& L=graphnet& F=& S=& P=4981. ) [3] . [4] .

Grafo de Holt Grafo de Holt

No grafo de Holt, todos os vértices são equilvalentes, e todas as arestas são equivalentes, mas as arestas não são necessáriamente equivalentes as suas inversas.

Nomeado em honra a

Derek F. Holt

vértices

27

arestas

54

Raio

3

Diâmetro

3

Cintura

5

Automorfismos

54

Número cromático

3

Índice cromático

5

Grafo de Holt

134 Vértice-transitivo Aresta-transitivo Meio-transitivo grafo de Cayley Hamiltoniano Euleriano

Propriedades

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Holt ou grafo de Doyle é o menor grafo meio-transitivo, ou seja, o menor exemplo de grafo vértice-transitivo e aresta-transitivo que não é também simétrico.[1][2] Esses grafos não são comuns.[3] É nomeado em honra a Peter G. Doyle e Derek F. Holt, que descobriram o mesmo grafo de forma independente em 1976[4] e 1981[5] respectivamente. O grafo de Holt tem um diâmetro de 3, raio 3, cintura 5, número cromático 3, índice cromático 5 e é hamiltoniano com 98472 ciclos distintos hamiltonianos.[] é também um grafo 4-vértice-conectado e 4-aresta-conectado. Ele tem um grupo de automorfismo da ordem de 54 automorfismos.[] Este é um grupo menor que um grafo simétrico com o mesmo número de vértices e arestas teria. O desenho do grafo à direita destaca isto, na medida em que carece de simetria reflexiva. O polinômio característico do grafo de Holt é:

Galeria

O número cromático do grafo de Holt é 3.

O índice cromático do grafo de Holt é 5.

O grafo de Holt é Hamiltoniano.

[1] Doyle, P. "A 27-Vertex Graph That Is Vertex-Transitive and Edge-Transitive But Not L-Transitive." October 1998. (http:/ / arxiv. org/ abs/ math/ 0703861/ ) [2] . [3] Jonathan L. Gross, Jay Yellen, Handbook of Graph Theory, CRC Press, 2004, ISBN 1584880902, p. 491. [4] . Como citado pela MathWorld. [5] .

Grafo de Ljubljana

135

Grafo de Ljubljana Grafo de Ljubljana

O grafo de Ljubljana

vértices

112

arestas

168

Raio

7

Diâmetro

8

Cintura

10

Automorfismos 168 Número cromático

2

Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Hamiltoniano Semi-simétrico

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Ljubljana é um grafo não direcionado bipartido com 112 vértices e 168 arestas. É um grafo cúbico com diâmetro 8, raio 7, número cromático 2 e índice cromático 3. Sua cintura é 10 e há exatamente 168 ciclos de comprimento 10 nele. Há também 168 ciclos de comprimento 12.[1]

Construção O grafo de Ljubljana é Hamiltoniano e pode ser construído a partir da notação LCF : [47, -23, -31, 39, 25, -21, -31, -41, 25, 15, 29, -41, -19, 15, -49, 33, 39, -35, -21, 17, -33, 49, 41, 31, -15, -29, 41, 31, -15, -25, 21, 31, -51, -25, 23, 9, -17, 51, 35, -29, 21, -51, -39, 33, -9, -51, 51, -47, -33, 19, 51, -21, 29, 21, -31, -39]2. O grafo de Ljubljana é o grafo de Levi da configuração de Ljubljana, uma configuração quadrangular livre com 56 linhas e 56 pontos.[1] Nesta configuração, cada linha contém exatamente três pontos, cada ponto pertence a exatamente 3 linhas e quaisquer duas linhas se cruzam em no máximo um ponto.

Grafo de Ljubljana

136

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Ljubljana é um grupo de ordem 168. Ele age transitivamente em suas arestas, mas não em seus vértices: existem simetrias levando cada aresta para qualquer outra aresta, mas não levando cada vértice para qualquer outro vértice. Portanto, o grafo de Ljubljana é um grafo semi-simétrico, o terceiro menor grafo cúbico semi-simétrico possível após o grafo de Levi em 54 vértices e o grafo de Iofinova-Ivanov em 110 vértices.[2] O polinômio característico do grafo de Ljubljana é

História O grafo de Ljubljana foi publicado pela primeira vez em 1993 por Brouwer, Dejter e Thomassen.[3] Em 1972, Bouwer já estava falando de uma de um grafo cúbico de 112 vértices aresta- mas não vértice-transitivo encontrado por R. M. Foster, mas não publicado ainda.[4] Conder, Malnic, Marusic, Pisanski e Potočnik redescobriram este grafo de 112 vértices em 2002 e nomearam-no grafo de Ljubljana capital da Eslovénia. Eles provaram que ele era o único grafo cúbico de 112 vértices aresta- mas não vértice-transitivo cúbicos e, portanto, que o grafo era aquele encontrado por Foster.

Galeria

O número cromático do grafo de Ljubljana é 2.

O índice cromático do grafo de Ljubljana é 3.

Desenho alternativo do grafo de Ljubljana.

O grafo de Ljubljana é o grafo de Levi desta configuração.

[1] Conder, M.; Malnič, A.; Marušič, D.; Pisanski, T.; and Potočnik, P. "The Ljubljana Graph." 2002. (http:/ / citeseer. ist. psu. edu/ conder02ljubljana. html). [2] Marston Conder, Aleksander Malnič, Dragan Marušič and Primž Potočnik. "A census of semisymmetric cubic graphs on up to 768 vertices." Journal of Algebraic Combinatorics: An International Journal. Volume 23, Issue 3, pages 255-294, 2006. [3] Brouwer, A. E.; Dejter, I. J.; and Thomassen, C. "Highly Symmetric Subgraphs of Hypercubes." J. Algebraic Combinat. 2, 25-29, 1993. [4] Bouwer, I. A. "On Edge But Not Vertex Transitive Regular Graphs." J. Combin. Th. Ser. B 12, 32-40, 1972.

Grafo de Nauru

137

Grafo de Nauru Grafo de Nauru

O grafo Nauru

vértices

24

arestas

36

Raio

4

Diâmetro

4

Cintura

6

Automorfismos 144 (S4×S3) Número cromático

2

Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Hamiltoniano simétrico Integral Bipartido Grafo de Cayley

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Nauru é um grafo simétrico, bipartido cúbico com 24 vértices e 36 arestas. Foi nomeado por David Eppstein em alusão a estrela de doze pontas da bandeira do Nauru[1] Ele tem número cromático 2, índice cromático 3, raio 4, diâmetro 4, e cintura 6[2]. Ele também é 3-vértice-conectado, e 3-aresta-conectado. Os menores grafos cúbicos com número de cruzamento entre 1 e 8 são conhecidos (sequência A110507 na OEIS). O menor grafo com 8 cruzamentos é o grafo de Nauru. Existe 5 grafos cúbicos não-isomorfos de ordem 24 com número de cruzamentos de 8[3]. Um deles é o grafo de McGee também conhecido como (3-7)-gaiola[4].

Grafo de Nauru

138

Construção O grafo de Nauru é Hamiltoniano e pode ser descrito pela notação LCF : [5, −9, 7, −7, 9, −5]4.[1] O grafo de Nauru também pode ser construído como o grafo de Petersen generalizado G(12, 5) que é formado pelos vértices de um dodecágono, ligado aos vértices de uma estrela de doze pontos, em que cada ponta da estrela está ligada aos pontos quer estão a cinco passos de distância dela.

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Nauru é um grupo de ordem 144[5]. É isomórfico ao produto direto dos grupos simétricos S4 e S3 e age transitivamente nos vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto o grafo de Nauru é um grafo simétrico (embora não seja distância-transitivo). Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo de Foster, o grafo de Nauru é o único grafo cúbico simétrico em 24 vértices[2]. O grafo generalizado de Petersen G(n,k) é vértice-transitivo se e somente se n = 10 e k =2 ou se k2 ≡ ±1 (mod n) e é aresta-transitivo somente nos sete casos seguintes: (n,k) = (4,1), (5,2), (8,3), (10,2), (10,3), (12,5), (24,5)[6]. Assim, o grafo de Nauru é um de apenas sete grafos simétricos generalizados de Petersen. Entre estes sete grafos estão o grafo cubico , o grafo de Petersen , o grafo de Möbius–Kantor , o grafo dodecaedro e o grafo de Desargues

.

O grafo de Nauru é um grafo de Cayley de S4, o grupo de permutações simétricas em quatro elementos, gerados pelas três maneiras diferentes de trocar o primeiro elemento com um dos outros três: (1 2), (1 3) e (1 4). O polinômio característico do grafo de Nauru é igual a

tornando-o um grafo integral—um grafo cujo espectro consiste inteiramente de inteiros.

Toro simétrico incorporado O toro é formado, topologicamente, colando-se arestas opostas de um hexágono regular com o outro.

Grafo de Petersen generalizado Matriz de adjacência As cores e permutações indicam, que este é um grafo Cada aresta é representada por duas entradas na mesma de Cayley de S4. cor, que são simétricas à diagonal principal.

Grafo de Nauru

139

Propriedades topológicas O grafo de Nauru tem duas incorporções diferentes como poliedros regulares generalizados: superfícies topológicas particionadas em arestas, vértices e faces de tal forma que há uma simetria levando qualquer bandeira (uma tripla incidente de um vértice, uma aresta e uma face) em qualquer outra bandeira[7]. Uma destas duas incorporações forma um toro, de modo que o grafo de Nauru é um grafo toroidal: consiste de 12 faces hexagonais, juntamente com os 24 vértices e 36 arestas do grafo de Nauru. O grafo dual desta incorporação é um grafo simétrico 6-regular com 12 vértices e 36 arestas.

Uma incorporação simétrica do grafo de Nauru sobre uma superfície de gênero-4, com seis faces dodecagonais.

A outra incorporação simétrica do gráfico Nauru tem seis faces dodecagonais, e formas de uma superfície de gênero 4. Seu dual não é um grafo simples, uma vez que cada face compartilha três arestas com quatro outras faces, mas um multigrafo. Este dual pode ser formado a partir do grafo de um octaedro regular substituindo cada aresta por um feixe de três arestas paralelas. O conjunto de faces de qualquer um destas duas incorporações é o conjunto de polígonos de Petrie da outra incorporação.

Propriedades geométricas Tal como acontece com todos os grafos generalizados de Petersen, o grafo de Nauru pode ser representado por pontos no plano de tal forma que os vértices adjacentes estão em unidade de distância à parte; isto é, ele é um grafo distancia-unidade.[8] Ele e os prismas são os únicos grafos generalizados de Petersen G(n,p) que não pode ser representado de tal forma que as simetrias do desenho formam um grupo cíclico de ordem n. Em vez disso, a representação de seu grafo distancia-unidade tem o grupo diedral Dih6 como o seu grupo de simetria.

O grafo de Nauru como um grafo unidade de distância, em Žitnik, Horvat & Pisanski (2010).

Grafo de Nauru

140

História A primeira pessoa a escrever sobre o gráfico Nauru foi R. M. Foster em um eforço para colecionar todos os grafos cúbicos simétricos..[9] [1] [2] [3] [5] [7] [8] [9]

Eppstein, D., The many faces of the Nauru graph (http:/ / 11011110. livejournal. com/ 124705. html) on LiveJournal, 2007. Conder, M. and Dobcsányi, P. "Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices." J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41-63, 2002. . Royle, G. F024A data (http:/ / www. csse. uwa. edu. au/ ~gordon/ foster/ F024A. html) . . .

Grafo de Pappus Grafo de Pappus

O grafo de Pappus

Nomeado em honra a

Pappus de Alexandria

vértices

18

arestas

27

Raio

4

Diâmetro

4

Cintura

6

Automorfismos

216

Número cromático 2 Índice cromático

3

Propriedades

Cúbico Hamiltoniano Simétrico Distância-transitivo Distância-regular

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Pappus é um grafo não-orientado 3-regular com 18 vértices e 27 arestas formado como o grafo de Levi da configuração de Pappus.[1] É nomeado em honra a Pappus de Alexandria, um antigo matemático grego que se acredita ter descoberto o "teorema do hexágono" que descreve a configuração de Pappus. Todos os grafos distância-regular cúbicos são conhecidos; o grafo de Pappus é um destes 13 grafos.[2]

Grafo de Pappus

141

O grafo de Pappus tem um número de cruzamento retilíneo 5, e é o menor grafo cúbico com este número de cruzamento. Tem cintura 6, diâmetro 4, raio 4, número cromático 2, índice cromático 3 e é tanto 3-vértice-conectado quanto 3-aresta-conectado. O

grafo

de

Pappus

tem

um

polinômio

cromático

igual

a:

. O nome "grafo de Pappus" também tem sido usado para se referir a um grafo relacionado com nove vértices [3], com um vértice para cada ponto da configuração de Pappus e uma aresta para cada par de pontos na mesma linha; este grafo de nove vértice é 6-regular, e é o grafo complementar da união de três grafos triângulo disjuntos.

Propriedades algébricas O grupo de automorfismo do grafo de Pappus é um grupo de ordem 216. Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto, o grafo de Pappus é im grafo simétrico. Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo de Foster, o grafo de Biggs-Smith, referenciado como F018A, é o único grafo cúbico simétrico em 18 vértices.[4][5] O polinômio característico do grafo de Pappus é:

. É o único grafo com este

polinômio característico, tornando-se um grafo determinado pelo seu espectro.

Galeria

Grafo de Pappus colorido para destacar vários ciclos.

O índice cromático do grafo de Pappus é 3.

O número cromático do grafo de Pappus é 2.

[2] Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989. [4] Royle, G. "Cubic Symmetric Graphs (The Foster Census)." (http:/ / www. cs. uwa. edu. au/ ~gordon/ remote/ foster/ #census) [5] Conder, M. and Dobcsányi, P. "Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices." J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41-63, 2002.

Grafo de Petersen

142

Grafo de Petersen Grafo de Petersen

O gráfico de Petersen é mais comumente desenhado como um pentágono com um pentagrama no interior, com cinco raios

Nomeado em honra a

Julius Petersen

vértices

10

arestas

15

Raio

2

Diâmetro

2

Cintura

5

Automorfismos

120 (S5)

Número cromático

3

Índice cromático

4

Propriedades

Cúbico grafo fortemente regular distância-transitivo

No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Petersen é um grafo não-orientado com 10 vértices e 15 arestas. É um pequeno grafo que serve como um exemplo útil e contra-exemplo para muitos problemas em teoria dos grafos. O grafo de Petersen é nomeado em honra a Julius Petersen, que em 1898 construiu o menor grafo cúbico sem ponte cujas arestas não podem ser coloridas com somente três cores[1]. Embora o grafo seja geralmente creditado a Petersen, ele tinha, de facto, aparecido pela primeira vez 12 anos antes, em 1886[2]. Donald Knuth afirma que o grafo de Petersen é "uma configuração notável que serve como um contra-exemplo para muitas previsões otimistas sobre o que poderia ser verdade para os grafos em geral."[3]

Construções O grafo de Petersen é o complementar do grafo linha de

. É também o grafo Kneser

; isso significa que

ele tem um vértice para cada subconjunto de dois elementos de um conjunto de 5 elementos, e dois vértices são conectados por uma aresta se e somente se os correspondentes subconjuntos de dois elementos são disjuntos entre si. Como um grafo de Kneser da forma é um exemplo de um grafo ímpar. Geometricamente, o grafo de Petersen é o grafo formado pelos vértices e arestas do hemi-dodecaedro, ou seja, um dodecaedro com os pontos opostos, linhas e faces identificadas em conjunto.

Grafo de Petersen

143

Incorporações O grafo de Petersen é não-planar. Qualquer grafo não planar tem como menores tanto o grafo completo o grafo bipartido completo

, mas o grafo de Petersen tem ambos os menores. O

, quanto

menor pode ser formado

restringindo-se as arestas de um acoplamento perfeito, por exemplo as cinco arestas curtas na primeira figura. O menor pode ser formado se deletando um vértice (por exemplo, o vértice central do desenho do 3-simétrico) e contratando uma aresta incidente para cada vizinho do vértice que foi excluído. O mais comum e simétrico desenho do plano do grafo de Petersen, como um pentagrama dentro de um pentágono, tem cinco cruzamentos. No entanto, este não é o melhor desenho que minimiza os cruzamentos; existe um outro desenho (mostrado na figura), com apenas dois cruzamentos. Assim, o grafo de Petersen tem número de cruzamento 2. Em um toro o grafo de Petersen pode ser desenhado sem cruzamentos de arestas; tem, portanto, gênero orientável 1.

O grafo de Petersen tem número de cruzamento 2.

O grafo de Petersen também pode ser desenhado (com cruzamentos) no plano de tal forma que todas as arestas tenham o mesmo comprimento. Ou seja, ele é um grafo distância-unidade. A mais simples superfície não orientável em que o grafo de Petersen pode ser incorporado sem cruzamentos é o plano projetivo. Esta é a incorporação dada pela construção em hemi-dodecaedro do grafo de Petersen. A incorporação no plano projetivo também pode ser formada a partir do desenho padrão pentagonal do gráfico Petersen, colocando uma superfície cross-cap dentro da estrela de cinco pontas no centro do desenho, e dirigundo as arestas da estrela através desta cross-cap; o desenho resultante tem seis faces pentagonais. Esta construção forma um mapa regular e mostra que o grafo de Petersen tem um género não-orientável 1.

O grafo de Petersen é um grafo distância-unidade: ele pode ser desenhado no plano com cada aresta tendo comprimento de uma unidade.

Simetrias O grafo de Petersen é fortemente regular (com assinatura srg(10,3,0,1)). É também simétrico, o que significa que é aresta-transitivo e vértice-transitivo. Mais fortemente, é de 3-arcos-transitivo: cada caminho de três arestas dirigidas no grafo de Petersen pode ser transformado em qualquer outro tipo de percurso por uma simetria do grafo.[4] [4] .

Grafo de Shrikhande

144

Grafo de Shrikhande Grafo de Shrikhande

Nomeado em honra a

S. S. Shrikhande

vértices

16

arestas

48

Raio

2

Diâmetro

2

Cintura

3

Automorfismos

192

Número cromático 4 Índice cromático

6

Propriedades

Simétrico Euleriano Hamiltoniano Integral Fortemente regular

No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Shrikhande é um grafo nomeado descoberto por S. S. Shrikhande em 1959.[1] é um grafo fortemente regular com 16 vértices e 48 arestas, com cada vértice tendo um grau de 6.

Propriedades No grafo de Shrikhande, quaisquer dois vértices I e J têm dois vizinhos distintos em comum (excluindo os próprios dois vértices I e J), o que é verdade independentemente de I ser adjacente a J. Em outras palavras, seus parâmetros para ser fortemente regulares são: {16,6,2,2}, com , esta igualdade implicando que o grafo é associado a um BIBD simétrico. Ele compartilha esses parâmetros com um grafo diferente, o 4×4 grafo torre (rook's graph). O grafo de Shrikhande é localmente hexagonal; isto é, os vizinhos de cada vértice formam um grafo ciclo de seis vértices. Como em qualquer grafo localmente cíclico, o grafo de Shrikhande é o 1-esqueleto de uma triangulação de Whitney de alguma superfície; no caso do grafo de Shrikhande, esta superfície é um toro em que cada vértice é cercado por seis triângulos.[2] Assim, o grafo de Shrikhande é um grafo toroidal. O dual desta incorporação é o grafo de Dick, um grafo cúbico simétrico. O grafo de Shrikhande não é um grafo distância-transitivo. É o menor grafo distância-regular que não é a distância-transitivo.[3]

Grafo de Shrikhande

145

O grupo de automorfismo do grafo de Shrikhande é da ordem de 192. Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. O polinômio característico do grafo de Shrikhande é:

. Portanto o grafo de Shrikhande

é um grafo integral: seu espectro consiste inteiramente de inteiros. [1] . [2] . [3] .

Ligações externas • O grafo de Shrikhande (http://cameroncounts.wordpress.com/2010/08/26/the-shrikhande-graph/) , Peter Cameron, Agosto de 2010.

Galeria

O grafo de Shrikhande é um grafo toroidal.

O grafo de Shrikhande é Hamiltoniano.

O número cromático do grafo de Shrikhande é 4.

O índice cromático do grafo de Shrikhande é 6.

O grafo de Shrikhande desenhado simetricamente.

Grafos de Chang

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Grafos de Chang Grafos de Chang

À direita da árvore os grafos de Chang; estes grafos são gerados selecionando uma mudança adequada no conjunto de vértices. À esquerda os grafos triangulares T8 originários: os vértices do conjunto de comutação são verdes, as arestas são vermelhas e as novas adicionadas em azul.

vértices

28

arestas

168

Propriedades

Fortemente regular

No campo da matemática da teoria dos grafos, os Grafos de Chang são um conjunto de grafos de árvore, que são um grafo 18-regular não-orientados com 28 vértices e 168 arestas.

Ligações externas • Weisstein, Eric W. "Chang Graphs." de MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram. com/ChangGraphs.html [1] • Página de Andries E. Brouwer's sobre grafos de Chang [2] • Página de Nadia Hamoud, "Os grafos de Chang" [3]

Referências [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ ChangGraphs. html [2] http:/ / www. win. tue. nl/ ~aeb/ graphs/ Chang. html [3] http:/ / math. ucdenver. edu/ ~wcherowi/ courses/ m6023/ nadia. pdf

Fontes e Editores da Página

Fontes e Editores da Página Sete pontes de Königsberg  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34441180  Contribuidores: Agiesbrecht, Bonás, Cícero, Diego UFCG, Fasouzafreitas, Jcb, JucaZero, Kaktus Kid, LeonardoRob0t, Maxtremus, Mschlindwein, Nuno Tavares, Opera Omnia, Oraculo, OtavioCC, Paulonei, Selenium, Thegoergen, Zdtrlik, 16 edições anónimas Teoria dos grafos  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34399998  Contribuidores: 200.249.56.xxx, 2A02:8109:8140:11:E1B4:C844:FFBC:7111, Al Lemos, AndreHahn, Bonás, BrunoSupremo, Carbol, Cícero, Daniel Dias Branco Arthaud, Diego UFCG, Dotti, E2m, Faustino.F, Firer, GOE, Hallel, Helder.wiki, Israelrocha, JSSX, JoaoMiranda, Jonex, Jorge, Lechatjaune, Leonardo.stabile, LeonardoG, LeonardoRob0t, Lusitana, Luís Felipe Braga, Manuel Anastácio, Maxtremus, Mrsouza, Muriel Gottrop, Nuno Tavares, OS2Warp, Opaulo, Pdellani, Polyethylen, Quiumen, Rei-artur, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rickhard 22, Rlopes, Roxul84, Ruy Pugliesi, Rômulo Penido, SHASTA136013.ig.com.br, Salgueiro, Sobao, Stego, Thiago Serra, Thiagoprocaci, Viniciusmc, Webkid, Yanguas, 97 edições anónimas Grafo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34486206  Contribuidores: Colaborador Z, Cícero, Der kenner, FSogumo, Faustino.F, FelipeVargasRigo, Hallel, Humbertobrandao, Israelrocha, JotaCartas, Lechatjaune, Leonardo.stabile, LeonardoG, Luiz Jr, Maxtremus, Michelmfb, Nuno Tavares, Rcaetano, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rômulo Penido, Salgueiro, Stegop, TradutoresJEDI, Villarinho, 34 edições anónimas Vértice  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34987970  Contribuidores: Eamaral, Ricardo Ferreira de Oliveira, 2 edições anónimas Aresta  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34692577  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Aresta múltipla  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=28562358  Contribuidores: Alexg, JSSX, 2 edições anónimas Ciclos em um grafo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34986042  Contribuidores: Adolfont, Ricardo Ferreira de Oliveira, Waltercruz, 1 edições anónimas Clique  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34435881  Contribuidores: Csandrocampos, Cícero, Fabiano Tatsch, Nuno Tavares, Pintopc, RafaAzevedo, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rui Silva, Salgueiro, 5 edições anónimas O grau de um grafo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35143904  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, 1 edições anónimas Grafo bipartido  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141642  Contribuidores: Amcorreia, Ricardo Ferreira de Oliveira, Vanthorn, 1 edições anónimas Grafo bipartido completo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141649  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo caminho  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141654  Contribuidores: FSogumo, Ricardo Ferreira de Oliveira, Vanthorn Grafo completo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34490966  Contribuidores: Bonás, Cícero, Jcmo, Lameiro, NunoMota, Ramzysamman, Ricardo Ferreira de Oliveira, Salgueiro, Zdtrlik, 3 edições anónimas Grafo cúbico  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141668  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Zdtrlik Grafo Estrela  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35075881  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Zdtrlik Grafo nulo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141778  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Vanthorn Grafo orientado  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141781  Contribuidores: Kaktus Kid, Lijealso, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rickgauden, Stegop, 2 edições anónimas Grafo simples  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35338323  Contribuidores: 2801:A0:1:1:216:3EFF:FE1D:C671, Bonás, Cícero, Fernando S. 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Fontes e Editores da Página Grafo aresta-transitivo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141629  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Vanthorn Grafo vértice-transitivo  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141790  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Vanthorn, 1 edições anónimas Grafo de Cayley  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141678  Contribuidores: Eamaral, JotaCartas, Ricardo Ferreira de Oliveira, Vanthorn Grafo antissimétrico  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141627  Contribuidores: Blamed, Ricardo Ferreira de Oliveira, Zdtrlik Grafo assimétrico  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141635  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Zdtrlik Busca em largura  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34520693  Contribuidores: Aexpedito, Ariel C.M.K., Cícero, Diego Queiroz, EduM, FelipeVargasRigo, Fernando S. Aldado, Hugo Baés, LeonardoG, Maxtremus, Nuno Tavares, O CoRVo, Olavom, Renato Rebouças, Ricardo Ferreira de Oliveira, Salgueiro, Vini 175, 20 edições anónimas Busca em profundidade  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34520840  Contribuidores: Bjmedeiros, BrunoSupremo, Cícero, FSogumo, FelipeVargasRigo, Fernando S. Aldado, Hermógenes Teixeira Pinto Filho, Leonardo.stabile, Maxtremus, Nuno Tavares, Olavom, 17 edições anónimas Caminho  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35318599  Contribuidores: AndreHahn, Quiumen, 2 edições anónimas Caminho euleriano  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34883878  Contribuidores: ErikvanB, Kaktus Kid, Marcelloc2, Maxtremus, Ricardo Ferreira de Oliveira, UlrichSchiel, 6 edições anónimas Caminho hamiltoniano  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34471945  Contribuidores: Andrevruas, Cícero, Humbertobrandao, Jic, Lechatjaune, Luiz Jr, Maxtremus, OTAVIO1981, Reynaldo, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rômulo Penido, Salgueiro, 10 edições anónimas Ordenação topológica  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34853369  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, SimãoMiguel, 4 edições anónimas Algoritmo de Bellman-Ford  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34442419  Contribuidores: BrunoSupremo, Cícero, Dermeister, Elloabguedes, FelipeVargasRigo, Glum, Hermógenes Teixeira Pinto Filho, Leonardo.stabile, Patrick, 15 edições anónimas Algoritmo A*  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34646636  Contribuidores: BrunoSupremo, ChristianH, Dhminholi, FelipeVargasRigo, GRS73, Hermógenes Teixeira Pinto Filho, Hgfernan, Leonardo.stabile, Mschlindwein, Thom, 12 edições anónimas Algoritmo de Floyd-Warshall  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34646695  Contribuidores: Cícero, FelipeVargasRigo, Lameiro, Lampiao, Leonardo.stabile, Ricardo Ferreira de Oliveira, SrMeneses, 28 edições anónimas Algoritmo de Johnson  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34646698  Contribuidores: Auréola, Dbastro, Jonas AGX, 2 edições anónimas Algoritmo de Kruskal  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34442529  Contribuidores: CommonsDelinker, Cícero, Danielamaral, Danielcc10, FelipeVargasRigo, Giro720, Kaktus Kid, Leonardo.stabile, Maxtremus, Osias, Ricardo Ferreira de Oliveira, Salgueiro, 27 edições anónimas Algoritmo de Prim  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34494498  Contribuidores: Aexpedito, Cícero, Firmo, Gkitchmaker, Indech, Leonardo.stabile, LeonardoG, Martiniano Hilário, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rômulo Penido, 20 edições anónimas Algoritmo de Dijkstra  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34440939  Contribuidores: Adailton, Attom, Bortolozzi, Chicocvenancio, CommonsDelinker, Danielcc10, Desnes, Diego UFCG, FelipeVargasRigo, Gfonsecabr, Gruberdiego, JotaCartas, Juntas, Leonardo.stabile, Lijealso, Manuel Anastácio, Mecanismo, Osias, Pedro Ivan de Albuquerque Lima, Ricardo Ferreira de Oliveira, Rui Malheiro, Suisui, Xico.nunes, 69 edições anónimas Algoritmo de Boruvka  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34454832  Contribuidores: Cícero, Manuel Anastácio, Nuno Tavares, Osias, Pedra, Ricardo Ferreira de Oliveira, Salgueiro, 9 edições anónimas Grafo de Biggs-Smith  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141672  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Brouwer-Haemers  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141675  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Desargues  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141692  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Rossi pena Grafo de Folkman  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141696  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Foster  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141699  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Frucht  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141704  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Gray  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141712  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Heawood  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141716  Contribuidores: Alexg, Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Higman-Sims  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141718  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Hoffman-Singleton  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141720  Contribuidores: Koko90, Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Holt  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141725  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Ljubljana  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141728  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Nauru  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35466463  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Pappus  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141736  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Petersen  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35569975  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafo de Shrikhande  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141749  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira Grafos de Chang  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35141793  Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira

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Fontes, Licenças e Editores da Imagem Ficheiro:Pontes Königsberg.JPG  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:Pontes_Königsberg.JPG  Licença: Public Domain  Contribuidores: Original uploader was Diego UFCG at pt.wikipedia Ficheiro:Konigsburg graph.png  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:Konigsburg_graph.png  Licença: GNU Free Documentation License  Contribuidores: Nux, Squizzz Ficheiro:Grafo k4 plano.PNG  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:Grafo_k4_plano.PNG  Licença: GNU Free Documentation License  Contribuidores: Original uploader was Marivb at pt.wikipedia Imagem:6n-graf.svg  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:6n-graf.svg  Licença: Public Domain  Contribuidores: User:AzaToth Ficheiro:6n-graf.svg  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:6n-graf.svg  Licença: Public Domain  Contribuidores: User:AzaToth Ficheiro:Aresta.png  Fonte: 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A. 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