Teoría Del Caos

 

Teoría del caos es caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos dinámicos.. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en: Estables Inestables Caóticos • • •

Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo tiempo a  a un punto, u órbita, segn su dimensión   o sumider sumidero". o".dos Un comportamientos sistema sistema inestable  inestable se escapa los atractores. un elsistema !atractor  atractormanifiesta caótico los comportamientos. . $or un lado,de e%iste un atractor #por que el sistema se &e atraído, pero a la &e', (ay )fuer'as) que lo ale*an de +ste. e esa manera, el sistema permanece confinado en una 'ona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fi*o. Una de las mayores mayores cara caracte cterís rístic ticas as de un sistem sistema a inesta inestable ble es que tiene una gr gran an depe depend nden enci cia a de la las s co cond ndic icio ione nes s in inic icia iale les. s. e un sist sistem ema a del del que que se co cono noce cen n su sus s ecuaciones   cara caracte cterís rístic ticas as,, y con unas unas condic condicion iones es inicia iniciales les fi*as fi*as,, se puede puede conoce conocerr ecuaciones e%actamente su e&olución en el tiempo. $ero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima mín ima difere diferenc ncia ia en esas esas con condic dicion iones es (ace (ace que el sistem sistema a e&oluc e&olucion ione e de maner manera a to tota talm lmen ente te di dist stin inta ta.. E*em E*empl plos os de ta tale les s sist sistem emas as incl incluy uyen en la atmósfera terrestre terrestre,, el -olar, las placas tectónicas, -istema -olar, tectónicas, los fluidos fluidos en  en r+gimen turbulento turbulento y  y los crecimientos población.. de población segn describ describió ió Edard Loren', Loren', se describe por / $o $orr e*emp e*emplo lo,, el clima atmosf+rico, atmosf+rico, segn ecuaciones diferenciales bien definidas. -iendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del clima en el futuro. -in embargo, al ser +ste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con e%actitud los parámetros que fi*an las condiciones iniciales !en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por peque0o que +ste sea" (ace que aunque se cono'ca el modelo, +ste di&er*a de la realidad pasado un cierto tiempo. $or otra parte, el modelo atmosf+rico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, determinismo, en el que se basa, es tambi+n teórico.

Movimiento caótico $ara clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, el sistema debe tener poder las siguientes propiedades: • • •

ebe ser sensible a las condiciones iniciales. ebe ser transiti&o. transiti&o. -us órbitas periódicas deben formar un con*unto denso en denso en una región compacta del espacio fisico. fisico.

-ensibilidad a las condiciones iniciales significa que dos puntos en tal sistema pueden mo&erse en trayectorias muy diferentes en su espacio de fase incluso si la diferencia en sus configuraciones iniciales son muy peque0as. El sistema se comportaría de manera id+ntica sólo si sus configuraciones iniciales fueran e%actamente las mismas. Un e*emplo de tal sensibilidad es el así llamado )efecto ) efecto mariposa), mariposa), en donde el aleteo de las alas de una mariposa puede crear delicados cambios en la atmósfera, los cuales durante el curso del tie tiempo mpo pod rían n modifi modal ifica carse rse (assu tas (acer (a cer que ocurr ocu rra algo algopequ tan dr dram ático coiocomo coen mo las un to torn rnad ado. o. Lapodría mari ma ripo posa sa alet etea eand ndo o(asta sus al alas as re repr pres esen enta taa un pe que0 e0o oamáti ca camb mbio la s condic con dicion iones es inicia iniciales les del siste sistema ma,, el cual cual causa causa una caden cadena a de e&ento e&entos s que lle&a lle&a a

 

fenómenos a gran escala como tornados. -i la mariposa no (ubiera agitado sus alas, la trayectoria trayector ia del sistema (ubiera podido ser muy distinta. La sensibilidad sensibilidad a las condiciones condiciones iniciales iniciales está relaciona relacionada da con el e%ponente Lyapuno& Lyapuno&,, qu que e es un una a cant cantid idad ad qu que e cara caract cter eri' i'a a el radi radio o de sepa separa raci ción ón de tra trayec ecto tori rias as infinitesimalmente cercanas. densas.. 1ransiti&idad significa que (ay muc(as órbitas densas

Sistemas dinámicos y teoría del caos Los -istemas dinámicos y teoría del caos son caos  son una rama de las 2atemáticas, 2atemáticas, desarrollada en la segunda mitad del -iglo 33, 33, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que no es lineal. 4 &eces se la llama )2atemática de lo no lineal). $ara los no iniciados en matemáticas, el nombre )1eoría del Caos) puede inducir a error por dos moti&os: 5. 6o neces necesaria ariamente mente es una una teoría teoría sino que que puede entenders entenderse e como un gran gran campo de in&estigación abierto, que abarca diferentes líneas de pensamiento. 7. Caos está Caos está entendido no como ausencia de orden, sino como cierto tipo de orden de características características impredecibles, pero descriptibles en forma concreta y precisa. Es decir: un tipo de orden de mo&imiento impredecible. La idea de la que parte la 1eoría del Caos es simple: en determinados sistemas naturales, peque0os cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los resultados. Este principio suele llamarse efecto mariposa debido mariposa debido a que, en meteorología, la naturale'a no lineal de la atmósfera (a (ec(o afirmar que es posible que el aleteo de una mariposa mariposa en determ determina inado do lugar lugar y moment momento, o, pueda pueda ser la causa causa de un terrib terrible le (uracán &arios meses más tarde en la otra punta del globo. Un e*emplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota *usto sobre la arista del te*ado de una casa &arias &eces8 peque0as des&iaciones en la posición inicial pueden (acer que la pelota caiga por uno de los lados del te*ado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minsculos que conducen a resultados totalmente di&ergentes. En 1eoría oría del Caos Caos los sistemas sistemas dinámic dinámicos os son estudia estudiados dos a partir partir de su )Espacio de 9ases),, es decir, la representación coordenada de sus &ariables independientes. En estos 9ases) sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de mo&imiento no periódico, pero cuasi periódicas. En este esquema se suele (ablar del concepto concepto de atractores Extraños: Extraños: trayectorias en el espacio de fases (acia las que tienden todas las trayectorias normales. En el caso de un p+ndulo oscilante, el atractor sería el punto de equilibrio central. Los atractores e%tra0os suelen tener formas geom+tricas capric(osas y, en muc(os casos, parecidos o similitudes a diferentes escalas. En este caso, a estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas, se les (a dado en llamar fractales fractales..

 

La ll llam amad ada a 1eor oría ía del del Caos Caos es un nu nue& e&o o paradigma  paradigma   matem matemáti ático co,, tan ampli amplio o y tan important impor tante e como pudo ser en su +poca la unión entre geometría  geometría  y cálculo, cálculo, surgida del pensamiento cartesiano aunque, qui'ás, por su inmadure' an no se tenga claro todo lo que puede dar de sí esta nue&a forma de pensamiento matemático, que abarca campos de aplicación tan dispares como la medicina, medicina, la geología o geología o la economía. economía. La teoría teoría no tie tiene ne un solo solo padre padre fundad fundador or,, sino sino muc(os muc(os.. Entre Entre ellos ellos destac destacan an Loren' !meteoról !mete orólogo", ogo", ;enoit 2andelbrot  2andelbrot  !ingeniero !ingeniero de comunicacione comunicaciones", s", 2itc(ell 9eigenbaum !mat !matemát emático", Libc(aber  Libc(aber   !físico", !físi co", actualmente. 4rt(ur