Teoría Del Almacenamiento en Vasos y Cauces

TEORÍA DEL ALMACENAMIENTO EN VASOS Y CAUCES ALMACENAMIENTO (DISEÑO DE VASOS) ¿Qué es un vaso de almacenamiento? Un vaso de almacenamiento es un depósito que sirve para regular los escurrimientos de un río, es decir, para almacenar el volumen de agua que escurre en exceso en las temporadas de lluvia para posteriormente usarlo en las épocas de sequía, cuando los escurrimientos son escasos. ¿Cuándo se debe de construir un almacenamiento? Esta pregunta se responde en función de la oferta y la demanda. La oferta; estará dada por los escurrimientos mientras que la demanda es función del uso que se le dé al almacenamiento: riego, abastecimiento de agua potable, generación de energía, navegación, control de avenidas, recreación,…

Q

OFERTA (HIDROGRAMA DE ENTRADA)

Q3

VASO DE ALMACENAMIENTO

Q2 Q ED Q1 Q EB t

Al hacer un análisis de la demanda para abastecimiento de agua potable, por ejemplo, pudiera resultar los siguientes tres casos (Considerando una demanda constante), ¿La pregunta es entonces, en cual o en cuales de estos tres casos se debe construir almacenamiento? Si la demanda es Q1, NO se requiere almacenamiento. Si la demanda es Q3, NO se requiere almacenamiento. Si la demanda es Q2, SI se requiere almacenamiento. ¿De que tamaño debe ser el almacenamiento?  Se diseñará en función de la demanda.  Se diseñará en función de la oferta. Como se puede observar, la capacidad de almacenamiento de un embalse, es una de las características de mayor importancia en el análisis de esta estructura. La representación de esta capacidad se lleva a cabo generalmente por medio de dos tipos distintos de curvas características:

1. CURVA ÁREAS ELEVACIÓN: Se construye a partir de información topográfica, obteniendo el área comprendida entre dos curvas de nivel consecutivas del vaso, e indica la superficie inundada correspondiente a cada elevación. 2. CURVA CAPACIDAD ELEVACIÓN: Se obtiene mediante la integración de la curva área-elevación, e indica el volumen almacenado correspondiente a cada elevación para calcular el incremento de volumen entre dos curvas de nivel consecutivas, se emplea la siguiente ecuación:  



h Ai  As  3

Ai * As



DONDE:  = Es el incremento de volumen entre curvas de nivel consecutivas. h = Es la diferencia de nivel entre curvas consecutivas. Ai = Es el área correspondiente al nivel inferior. As = Es el área correspondiente al nivel superior. EJEMPLO: Determinar para el siguiente vaso de almacenamiento las curvas área-elevación y volumen-elevación.

1180

1178

1176

1174

1172

1170 1168 1166 1164 1162 1160 1158

PRESA

Elevación (msnm) 1158 1160 1162 1164 1166 1168 1170 1172 1174 1176 1178 1180

Área Área acumulada acumulada (m²) (Ha) 0 0 0,0 35000 35000 3,5 90000 125000 12,5 105000 230000 23,0 130000 360000 36,0 295000 655000 65,5 275000 930000 93,0 285000 1215000 121,5 463000 1678000 167,8 226000 1904000 190,4 504000 2408000 240,8 1245000 3653000 365,3 Área (m²)

∆h (m) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∆V (Mm³)

V (Mm³)

0,02 0,15 0,35 0,59 1,00 1,58 2,14 2,88 3,58 4,30 6,02

0 0,02 0,17 0,52 1,11 2,11 3,69 5,83 8,71 12,29 16,59 22,61

NIVELES CARACTERÍSTICOS EN LOS VASOS DE ALMAVENAMIENTO

BL

NAME NAMO

NAMINO

OBRA DE TOMA NAMIN VOLUMEN MUERTO

NAMIN: Nivel de aguas mínimas. Es el nivel mínimo de agua en el embalse. Delimita superiormente el volumen muerto del embalse el cual debe exceder en capacidad el volumen de sedimentos calculado durante la vida útil con el fin de que el embalse los pueda contener. NAMINO: Nivel de aguas mínimo de operación: Delimita el volumen mínimo de agua necesaria para generar la mínima carga indispensable para el correcto funcionamiento de la obra de toma, la cual se ubica por encima del NAMIN. NAMO: Nivel de aguas máximas ordinarias: Delimita el volumen útil del embalse, que es el que se aprovecha y gasta en función de los diferentes usos.

NAME: Nivel de aguas máximas extraordinarias: Este nivel ocurre temporalmente durante la creciente de los ríos, este nivel generalmente por las obras de excedencia (vertedor de demasías, rebosaderos o aliviadores). BORDO LIBRE: Altura comprendida entre el NAME y la corona de la cortina y es una altura destinada a compensar hundimientos de la cortina y contener las oscilaciones por oleaje. CÁLCULO DE VOLUMEN ÚTIL Existen varios métodos para el cálculo de volumen útil, a continuación se describirán dos métodos para la determinación de este volumen. EJEMPLO: (DEMANDA CONSTANTE) Calcular el volumen útil de un embalse para abastecer una demanda de 1.9 m³/s si se conocen las aportaciones del río al vaso de almacenamiento para 2 años consecutivos. CAUDALES MÍNIMOS (m³/s) AÑO 1. ENE FEB MAR ABRIL MYA JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC 1.3 0.6 1.3 2.9 1.3 2.8 2.2 3.9 3.4 3.0 2.8 1.7 CAUDALES MÍNIMOS (m³/s) AÑO 2. ENE FEB MAR ABRIL MYA JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC 1.1 1.8 0.3 0.7 1.8 2.1 3.5 2.9 3.1 4.9 1.2 0.6

ESTIMACIÓN DEL VOLUMEN ÚTIL DE UN VASO DE ALMACENAMIENTO Como se menciono en la clase anterior, el volumen útil de un vaso de almacenamiento se define como la cantidad de agua que se almacena en él para ser aprovechada durante la época de escasez. Además, con el volumen útil se determina el NAMO de almacenamiento; de tal manera pues que para estimar el volumen útil y el NAMO, se requiere de conocer las características topográficas del vaso así como los registros hidrológicos que permitan determinar los volúmenes que ingresarán al vaso durante su operación. Estimar el volumen útil de un embalse, requiere de conocer las ofertas (volúmenes que ingresarán al vaso) y las demandas (volúmenes que saldrán del vaso en los diferentes usos). Para calcular el volumen útil, se han desarrollado varios métodos, entre los que se destacan el método del algoritmo del pico recuente, el método de operación de embalses y el método del diagrama de Roppl. A continuación, se analizarán los dos primeros, debido a que el algoritmo del pico recuente es aplicable a demandas constantes y variables y el método de Rippl es aplicable exclusivamente a demandas constantes. Los métodos se analizarán a través de ejemplos.

Calcula el modelo útil en un vaso de almacenamiento para la siguiente información de entradas y salidas para satisfacer las demandas. MES Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

E(10³ m³) 120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110

D(10³m³) 220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200

Procedimiento de cálculo 1. Determinar la diferencia entre las entradas y las salidas para cada mes, repitiendo la información de entradas y salidas para los doce meses. MES Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

E(10³ m³) 120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110 120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110

D(10³m³) 220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200 220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200

E-D -100 -120 -190 -355 -165 75 230 410 230 130 30 -90 -100 -120 -190 -355 -165 75 230 410 230 130 30 -90

2. Se obtiene el calculado de las diferencias E - D.

MES Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

E(10³ m³) 120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110 120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110

D(10³m³) 220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200 220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200

E-D -100 -120 -190 -355 -165 75 230 410 230 130 30 -90 -100 -120 -190 -355 -165 75 230 410 230 130 30 -90

(E-D) ac -100 -220 -410 -765 -930 -855 -625 -215 15 145 175 85 -15 -135 -325 -680 -845 -770 -540 -130 100 230 260 170

3. Para los valores acumulados de E - D, se obtiene el primer pico máximo P1 y el pico máximo recuente P2. obtener el valor mínimo entre P1 y P2 (T1). P1 = 175 P2 = 260 T1 = -845 4. Con los valores anteriores se calcula el almacenamiento, es decir, el volumen útil (A). A = P1 – T1 A = 1020*10³m³ El NAMO se obtiene de la suma del volumen útil más el volumen muerto. 5. Conocido el volumen útil, se puede estimar el volumen final que habrá en el vaso durante los diferentes meses del año, según se indica a continuación. MES

E(10³ m³)

D(10³m³)

E-D

(E-D) ac

V Derrame (10³m³) (10³m³)

Estado

Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110 120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110

220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200 220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200

-100 -120 -190 -355 -165 75 230 410 230 130 30 -90 -100 -120 -190 -355 -165 75 230 410 230 130 30 -90

-100 -220 -410 -765 -930 -855 -625 -215 15 145 175 85 -15 -135 -325 -680 -845 -770 -540 -130 100 230 260 170

920 800 610 255 90 165 395 805 1020 1020 1020 930 830 710 520 165 0 75 305 715 945 1020 1020 930

15 130 30

Lleno Lleno Lleno

Vacio

Lleno Lleno

Funcionamiento del vaso de almacenamiento. El funcionamiento de un vaso se basa en la ecuación de continuidad, expresada como: Donde E  D  V

E es el volumen de entrada al vaso en un Δt D es el volumen de salida en un Δt ΔV es el cambio en el volumen almacenado en un Δt Entradas

E  ECP  Ell  Et

Donde E CP son las aportaciones de los escurrimientos que se generan dentro de la cuenca propia del vaso de almacenamiento. E ll son las precipitaciones que ocurren directamente sobre el vaso E t son las aportaciones que ingresan al vaso debido al volumen transferido de cuencas vecinas a la cuenca de vaso en análisis. Salidas

D  S d  S e  S de  S i  S t

Donde S d es la salida del vaso para satisfacer la demanda del usuario

S e es el volumen que sale del vaso por evaporación S de son los volúmenes derramados por el vertedor de excedencias del vaso S i es el volumen que se pierde por infiltración

S t es la salida por transferencia del vaso hacia otras cuencas

Con estas componentes y aplicando la ecuación de continuidad se puede realizar la simulación del vaso de la siguiente manera Vi 1  Vi  E i  Di

La ecuación anterior se resuelve por iteraciones y debe hacerse para períodos de tiempo relativamente grandes, con la finalidad de evaluar el funcionamiento adecuado del vaso, considerando que para que el vaso funcione correctamente se debe cumplir los siguientes límites de validez. NAMINO ≤ Vi 1 ≤ NAMO CÁLCULO DEL VOLUMEN ÚTIL

NAMO

OPERACIÓN DEL EMBALSE A partir de la información siguiente, determinar el volumen útil del embalse (Entradas y Demandas por tipo de uso). MES

E(M m³)

D(Mm³)

V derrames

(E-D) ΔV

VASO con respecto al NAMO

Ene Feb Mar Abril May Jun Jul

3.4 1.6 3.4 7.6 3.4 7.4 5.8

5 5 5 5 5 5 5

-

-1.6 -3.4 -1.6 2.6 -1.6 2.4 0.8

-1.6+(-0.5)=-2.1 -5.0+(-.05)=-5.5 -6.6+(-.05)=-7.1 -4.0+(-.05)=-4.5 -5.6+(-.05)=-6.1 -3.2+(-.05)=-3.7 -2.4+(-.05)=-2.9

Ago Sep Oct Nov Dic

10.2 8.9 7.9 7.4 4.5

5 5 5 5 5

2.8 3.9 2.9 2.4 -

5.2 3.9 2.9 2.4 -0.5

2.8 (0) llena 3.9 (0) llena 2.9 (0) llena 2.4 (0) llena -0.5

Volumen útil será 7.1 Mm³ NAMO = volumen útil + volumen muerto OPERACIÓN DEL VASO MES

E(M m³)

D(M m³)

Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

3.4 1.6 3.4 7.6 3.4 7.4 5.8 10.2 8.9 7.9 7.4 4.5 3.4 1.6 3.4 7.6 3.4 7.4 5.8 10.2 8.9 7.9 7.4 4.5

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

V (M m³) 5.5 2. 0.5 3.1 1.5 3.9 4.7 7.1 7.1 7.1 7.1 6.6 5 1.6 0 2.6 1.0 3.4 4.2 7.1 7.1 7.1 7.1 6.6

Derrame (10³m³)

2.8 3.9 2.9 2.4

Estado

Lleno Lleno(NAMO) Lleno(NAMO) Lleno

Vacía

2.3 3.9 2.9 2.4

Lleno Lleno Lleno Lleno

ALGORITMO DEL PICO SECUENTE MES

E(M m³)

D(M m³)

E-D

(E-D)

V fin

Derrame

Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

3.4 1.6 3.4 7.6 3.4 7.4 5.8 10.2 8.9 7.9 7.4 4.5 3.4 1.6 3.4 7.6 3.4 7.4 5.8 10.2 8.9 7.9 7.4 4.5

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

-1.6 -3.4 -1.6 2.6 -1.6 2.4 0.8 5.2 3.9 2.9 2.4 -0.5 -1.6 -3.4 -1.6 2.6 -1.6 2.4 0.8 5.2 3.9 2.9 2.4 -0.5

ac -1.6 -5.0 -6.6 -4.0 -5.6 -3.2 -2.4 2.8 6.7 9.6 12 P1 11.5 9.9 6.5 4.9 T1 7.5 5.9 8.3 9.1 14.3 18.2 21.1 23.5 P2 23

men 5.5 2.1 0.5 3.1 1.5 3.9 4.7 7.1 7.1 7.1 7.1 6.6 5 1.6 0 2.6 1.0 3.4 4.2 7.1 7.1 7.1 7.1 6.6

(10³m³)

Lleno Lleno Lleno Lleno

Vacío

Lleno Lleno Lleno Lleno

A = 7.1 Mm³

TRÁNSITO DE AVENIDAS EN VASOS DE ALMACENAMIENTO El tránsito de avenidas es un procedimiento que permite determinar el hidrograma de salida, dados el hidrograma de entrada, las características del almacenamiento y las salidas de agua a través de la obra de toma. En general, el procedimiento para transitar avenidas, está diseñado para transferir información de un lugar a otro además, ver la evolución de los caudales respecto al tiempo durante esta transferencia.

Q

I

Q

t

O

NAMO

t

Existen varios procedimientos para realizar el tránsito de avenidas; todos ellos se fundamentan en la ecuación de continuidad. ds  I  t   O t  dt

Donde I (t) es el hidrograma de entrada O (t) es el hidrograma de salida ds es el cambio de volumen de almacenamiento dt es el intervalo de tiempo Aunque se conozca I (t), la ecuación no puede resolver directamente para determinar O (t) puesto que tanto O como s son incógnitas, de tal manera que se requiere plantear una segunda ecuación. Las opciones que se tienen para el planteamiento de la segunda expresión son: a) A partir del principio de la cantidad de movimiento, se plantea la ecuación de momentum. Cuando se transita una avenida considerando la ecuación de continuidad y momentum, se dice que el tránsito es hidráulico. b) A partir de plantear una ecuación que represente las condiciones del almacenamiento en el vaso. Aquí se dice que el tránsito es hidrológico. Para llevar a cabo el salto hidrológico de avenidas, se debe contar con la siguiente información: 1. Curva de Volumen – Elevación del vaso S=f(E) 2. Hidrograma de entrada I=f(t) 3. Ecuación de calibración de la obra de excedencia O=f(h)

TRÁNSITO DE AVENIDAS POR EL MÉTODO DE LA PISCINA NIVELADA Con este método se puede determinar el hidrograma de salida del vaso asumiendo que la superficie del agua es horizontal, dados el hidrograma de entrada, las características del almacenamiento y las salidas del agua. Partiendo de la ecuación de continuidad, es decir, ds  I (t )  O (t ) dt

planteando la ecuación de continuidad en el esquema numérico de las diferencias finitas, queda I i  I i 1 Oi  Oi 1 Si 1  Si   2 2 t donde i denota los valores al inicio y al final del intervalo Δt. Se recomienda que: t  0.1tp

donde tp es el tiempo pico del hidrograma los valores de I i e I i 1 son conocidos Oi y Si se conocen inicialmente y luego se obtienen del resultado de los cálculos los valores Oi 1 y Si 1 . Entonces la ecuación de continuidad en diferencias finitas se puede escribir como: Si 1  Si  I i  I i 1 Oi Oi 1      2 2 2  t  I i  I i 1  Oi 

2  Si 1  Si   Oi 1 t

I i  I i 1  Oi 

2  Si 1  Si   Oi 1 t

2  2 Si  Si 1  Oi 1  I i  I i 1    Oi  t  t  La ecuación que permite obtener O, es función del tipo de estructura para desfogar las excedencias y además del gasto que sale por la obra de toma O  OVE  OT

PARA VERTEDORES DE EXCEDENCIAS

OVE  CLH

2

3

H - Carga sobre el vertedor L – Longitud de la cresta vertedora C – Coeficiente de descarga del vertedor EJEMPLO: Transite la avenida para las siguientes condiciones. El nivel inicial se encuentra el NAMO.

I m³/s 400

1

2.5

t, h

NAMO = 50.4 m → Ecuación de la cresta vertedora S = 10000 E1L.18 → ELm S = m³ OT = 0 L = 15 m C=2

50.4 m

NAMO

SOLUCIÓN La expresión para el cálculo de O, será

O  CLH

3

2

O  215 EL  50.4 2  30 EL  50.4 3

3

2

Cálculo de Δt

t  0.1tp

tp = 1 h Δt ≤ 0.1 h Se utilizará Δt = 0.1 h = 360 s Tránsito de la avenida i 0 1

T (h) 0 0.1

Ii (m³/s) 0 40

Si (m³) 1020629 1027073

Ei (m) 50.40 50.67

Oi (m³/s) 0 4.21

Para t = 0.1 Se inicia el análisis suponiendo Oi+1 = Oi y se calcula Si+1 ITERACIÓN 1 t  2S  I i  I i 1  i  Oi  Oi 1   2  t  360  21020629   0  40   0  0  1027829m3  2  360 

Si 1  Si 1

Sabemos que S 10000EL1.18  1027.829    10000 

EL  

1 1.18

 50.70m

Oi 1  30 50.70  50.40 2  4.93 m 3

3

s

Al suponer Oi+1 = Oi se comete un error, el cual se ajusta a partir de O i+1 = 4.93 m³/s conocido. El ajuste se realiza hasta obtener dos iteraciones consecutivas aproximadamente iguales. ITERACIÓN 2

Oi 1  4.93 m

3

s

360  21020629   0  40   0  4.93  1026941.6m 3  2  360 

S i 1 

 1026941.6  EL   10000  

1 1.18

 50.66m

Oi 1  30 50.66  50.40 2  4.07 m 3

3

s

ITERACIÓN 3

Oi 1  4.07 m S i 1

3

s

360  21020629   0  40   0  4.07  1027096m 3  2  360 

 1027096  EL     10000 

1 1.18

 50.67 m

Oi 1  30 50.67  50.40 2  4.20 m 3

3

s

ITERACIÓN 4

Oi 1  4.20 m

3

s

360  21020629   0  40   0  4.20  1027073m 3  2  360 

S i 1 

 1027073    10000 

EL  

1 1.18

 50.67 m

Oi 1  30 50.67  50.40 2  4.21 m 3

S1 = 1027073 m³ E1 = 50.67 m O1 = 4.21 m³/s Para t = 0.2 Se supone Oi+1 = Oi = 4.21 m³/s ITERACIÓN 1

Oi 1  4.21 m

3

s

3

s

360  21027073  40  80   4.21  4.21  1047157.40m 3  2  360  E L  51.51m

S i 1 

Oi 1  34.99 m

3

s

ITERACIÓN 2

Oi 1  34.99 m

3

s

360  21027073  S i 1  40  80   4.21  34.99  1041677 m 3  2  360  E L  51.28m

Oi 1  24.77 m

3

s

ITERACIÓN 3

Oi 1  24.77 m

3

s

360  21027073  40  80   4.21  24.77   1043456.6m 3  2  360  E L  51.35m

S i 1 

Oi 1  27.78 m

3

s

ITERACIÓN 4

Oi 1  27.78 m

3

s

360  21027073  40  80   4.21  27.78  1042914.8m 3  2  360  E L  51.33m

S i 1 

Oi 1  26.91 m

3

ITERACIÓN 5

s

Oi 1  26.91 m

3

s

360  21027073  40  80   4.21  26.91  1043071.4m 3  2  360  E L  51.34m

S i 1 

3

Oi 1  27.34 m

s

ITERACIÓN 6

Oi 1  27.34 m

3

s

360  21027073  40  80   4.21  27.34  1042994m 3  2  360  E L  51.33m

S i 1 

Oi 1  26.91 m

3

s

ITERACIÓN 7

Oi 1  26.91 m

3

s

360  21027073  40  80   4.21  26.91  1043071.4m 3  2  360  E L  51.34m

S i 1 

Oi 1  27.34 m

3

s

S2 = 1043032.70 m³ E = 51.34 m Oi+1 = 27.13 m³/s

i 0 1 2 3 4 5 6

t(h) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

li (m³/s) 0 40 80 120 160 200 240

Si (m³) 1020629 1027073.19 1043029.41 1061927.42 1079413.12 1094435.25 1107488.19

Ei (m) 50.4 50.67 51.34 52.12 52.85 53.47 54.01

Oi (m³/s) 0 4.2 27.16 67.85 115.01 161.54 205.95

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

280 320 360 400 373.33 346.67 320 293.33 266.67 240 213.33 186.67 160 133.33 106.67 80 53.33 26.67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1119234.48 1130114.53 1140376.93 1150163.87 1152853.9 1147777.32 1141649.72 1135260.66 1128692.96 1121939.71 1114978.93 1107785.02 1100322.5 1092545.41 1084396.57 1075794.38 1066621.1 1056700.11 1045728.75 1036902.54 1032083.47 1029145.8 1027216.88 1025879.94 1024914.22 1024193.44 1023640.97 1023208.05 1022862.44 1022582.08 1022351.49 1022159.54 1021998.03 1021860.84 1021743.32 1021641.87 1021553.69 1021476.56 1021408.7

54.5 54.95 55.37 55.77 55.88 55.67 55.42 55.16 54.89 54.61 54.32 54.02 53.72 53.39 53.06 52.7 52.32 51.91 51.45 51.08 50.88 50.76 50.68 50.62 50.58 50.55 50.53 50.51 50.49 50.48 50.47 50.46 50.46 50.45 50.45 50.44 50.44 50.44 50.43

248.8 290.76 332.23 373.4 384.99 363.22 337.49 311.33 285.16 259.03 232.97 207 181.13 155.4 129.87 104.59 79.7 55.42 32.21 16.83 9.94 6.38 4.34 3.09 2.28 1.73 1.34 1.06 0.86 0.7 0.58 0.49 0.41 0.35 0.3 0.26 0.23 0.2 0.18

450 400

Gasto m³/s

350 300

Hidrograma de entrada

250

Hidrograma de salida

200 150 100 50 0 -50

0

1

2

3

4

5

Tiempo h

TRÁNSITO EN CAUCES Al igual que en el caso del tránsito en vasos de almacenamiento, el tránsito de avenidas en cauces se puede realizar por métodos hidráulicos, o bien, por métodos hidrológicos. TRÁNSITO HIDRÁULICO - Continuidad - Momentum TRÁNSITO HIDROLÓGICO - Continuidad - Almacenamiento en el cauce Aquí se analizará el tránsito de avenidas en cauces por el método de Muskingum (hidrológico). ECUACIÓN DE CONTINUIDAD ds  I O dt

ALMACENAMIENTO

CUÑA

PRISMA

Donde El almacenamiento en el prisma esta dado por Sp = K O El almacenamiento en la cuña Sc = Kx ( I – O ) K es un coeficiente de proporcionalidad y se le llama parámetro de almacenamiento. X es un factor que toma en cuenta la influencia relativa de las entradas y las salidas del almacenamiento en un tramo. 0 ≤ X ≤ 0.5 Entonces, la función de almacenamiento será S = Sp + Sc S = KO + Kx ( I – O ) S = K [ O + XI – XO ] S = K [ XI + ( 1 – X ) O ] X = 0 para cauces caudalosos y poca pendiente X = 0.5 para cauces con grandes pendientes PLANTENDO LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN DIFERENCIAS FINITAS I i  I i 1 Oi  Oi 1 Si 1  Si   2 2 t pero

Si 1  K  XI i 1  1  X  Oi 1 

Si  K  XI i  1  X  Oi 

SUSTITUYENDO EN LA ECUACIÓN PLANTEADA EN DIFERENCIAS FINITAS RESULTA QUE:

K  XI i 1  1  X  Oi 1   K  XI i  1  X  Oi  I i  I i 1 Oi  Oi 1   t 2 2 Despejando Oi+1

KXI i 1  K 1  X  Oi 1  KXI i  K 1  X  Oi  K 1  X  Oi 1 

t t t t Ii  I i 1  Oi  Oi 1 2 2 2 2

t t t t Oi 1  Ii  I i 1  Oi  KXI i 1  KXI i  K 1  X  Oi 2 2 2 2

t  t  t    t    K 1  X   2  Oi 1   KX  2  I i   2  KX  I i 1   K 1  X   2  Oi         

Oi 1

t 2 O  I  I  t i  t i 1 t i K 1  X   K 1  X   K 1  X   2 2 2 KX 

t 2

t  KX 2

K 1  X  

Haciendo

C1 

KX 

t 2

C2 

t K 1  X   2

t  KX 2 K 1  X  

t 2 C3  t K 1  X   2 K 1  X  

t 2

Resulta

Oi 1  C1I i  C 2 I i 1  C 3Oi

Ecuación de Muskingum

Se debe cumplir que C1 + C2 + C3 = 1 Si se cuenta con una avenida medida en ambos extremos del cauce, se pueden estimar K y X. Entonces dados K, X y Δt se puede transitar la avenida. EJEMPLO: Dados hidrogramas de entrada y de salida en un tramo de cauce, calibre K y X, luego transite la misma avenida. t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

I (m³/s) 120 120 205 310 450 790 1050 1320 1150 1004 970 850 710 630 500 450

O (m³/s) 120 120 120 120 160 230 305 460 650 790 840 870 890 830 805 780

16

450

720

Obtención de K y X Se calcula X de la siguiente manera t (días) I (m³/s) O (m³/s) I (m³/s)ac O (m³/s)ac V (m³/s-día) 0 120 120 120 120 0 1 120 120 240 240 0 2 205 120 445 360 85 3 310 120 755 480 275 4 450 160 1205 640 565 5 790 230 1995 870 1125 6 1050 305 3045 1175 1870 7 1320 460 4365 1635 2730 8 1150 650 5515 2285 3230 9 1004 790 6519 3075 3444 10 970 840 7489 3915 3574 11 850 870 8339 4785 3554 12 710 890 9049 5675 3374 13 630 830 9679 6505 3174 14 500 805 10179 7310 2869 15 450 780 10629 8090 2539 16 450 720 11079 8810 2269

XI + ( 1 - X ) O X = 0.1 X = 0.2 X = 0.3 X = 0.4 120 120 120 120 120 120 120 120 128.5 137 145.5 154 139 158 177 196 189 218 247 276 286 342 398 454 379.5 454 528.5 603 546 632 718 804 700 750 800 850 811.4 832.8 854.2 875.6 853 866 879 892 868 866 864 862 872 854 836 818 810 790 770 750 774.5 744 713.5 683 747 714 681 648 693 666 639 612

Se gráfica V – { [ X I – (1 – X) ] O } para todas las X propuestas, las más parecidas a una línea recta es el valor de X para transitar Para este caso es X = 0.3 Conocido X, sobre la línea recta se obtiene la pendiente que será el valor de K = 4.76123 días. TRÁNSITO t (días) I (m³/s) O (m³/s) 0 120 120 1 120 120 2 205 99.41 3 310 101.53 4 450 122.01 5 790 125.39 6 1050 235.93 7 1320 383.06 8 1150 668.74 9 1004 829.68 10 970 883.4 11 850 935.04 12 710 946.72 13 630 904.3 14 500 864.17 15 450 781.22

16

450

706.87

Oi+1 = 0.5031 Ii – 0.2422 Ii+1 + 0.7391 Oi Calculo de C1, C2 y C3.

C1 

4.7612 0.3 

1 2

1 4.76121  0.3  2

 0.5031

1 2  0.7391 C3  1 4.76121  0.3  2 4.76121  0.3 

C1 + C2 + C3 = 1.0 0.5031 – 0.2422 + 0.7391 =1.0 1.0 = 1.0

C2 

1  4.7612 0.3 2

1 4.76121  0.3  2

 0.2422

AFORO DE CORRIENTES AFORO: Aforar una corriente significa determinar a través de mediciones el gasto que pasa por una sección dada. Entre las técnicas más usadas para el aforo de corrientes podemos mencionar las siguientes: a) Secciones de control b) Relación sección – pendiente c) Relación sección – velocidad ESTACIÓN DE AFORO: Son aquellos lugares en los cuales se practican sistemáticamente, observaciones para conocer el régimen de una corriente. AFORO A TRAVÉS DE SECCIONES DE CONTROL Cuando se afora una corriente por éste método, se esta partiendo del fundamento de que existe una relación única entre el tirante y el gasto, siendo los más comunes aquellos en los cuales se produce el tirante crítico, o bien, los vertedores. AFORO POR TIRANTE CRÍTICO La ecuación que caracteriza el régimen crítico esta dada por Q2 A3  g B

y en ella existe una relación única entre el tirante (Yc) y el gasto, la energía es mínima. Para garantizar la ocurrencia del régimen crítico es necesario cambiar de régimen subcrítico a supercrítico o viceversa, de tal forma que para aplicar este método en el aforo de una corriente, es necesario ubicar dentro de ella que garantice el cambio de régimen.

AFORO POR VERTEDORES Cuando se utilizan los vertedores para aforar una corriente, se aplica una ecuación de la forma

Q  KLH

3

2

Donde: K es un factor que depende de la forma del vertedor L es la longitud de la cresta H es la carga sobre el vertedor AFORO A TRAVÉS DE LA RELACIÓN SECCIÓN – PENDIENTE Este método se utiliza para estimar el gasto que se presentó durante una avenida reciente en donde no se cuenta con ningún otro tipo de método de aforo. Para su aplicación se requiere solamente contar con la topografía de un tramo de río y las marcas alcanzadas por el agua durante el paso de la avenida. A partir de la fórmula de Manning, la velocidad se calcula como

V 

1 2 3 12 R S n

Y de la ecuación de continuidad sabemos que Q=V*A Ahora bien, aplicando la ecuación de Bernoulli entre los extremos inicial y final del tramo seleccionado, resulta que

1

2

hf

V2²/2g

V1²/2g

?y P1/a

P2/a Y2

Y1

Z1

Z1  Y1 

Z2

V11 V2  Z 2  Y2  2  hf 2g 2g

Despejando hf hf   Z1  Y1    Z 2  Y2  

V12 V22  2g 2g

Haciendo Y   Z1  Y1    Z 2  Y2  , es decir, la diferencia en elevación de las marcas dejadas por el agua entre 1 y 2 y medidas desde un P.H.R. hf  Y 

V12 V22  2g 2g

Sustituyendo la ecuación de continuidad en la ecuación anterior Q2 Q2 hf  Y  2  2 A1 2 g A2 2 g Q2  1 1   2  2  2 g  A1 A2  De la fórmula de Manning se puede obtener que hf  Y 

Q

A 2 3 12 R S  Kd Sf n

1

2

Donde Kd se conoce como coeficiente de conducción medio en el tramo analizado y que puede calcularse como el promedio geométrico de los coeficientes de conducción en los extremos del mismo. Kd 

Kd1 * Kd 2

Por otra parte sabemos que: Sf 

hf L

por lo tanto hf  Sf * L

Entonces Q2  1 1   2  2  2 g  A1 A2  Y Q 2  1 1   2  2  Sf   L 2 gL  A1 A2  SfL  Y 

Pero sabemos que Sf 

Q2 Kd

2

Entonces Q2 Kd

2

Despejando Q Q2



Y Q 2  1 1   2  2   L 2 gL  A1 A2 

Q2  1 1  Y  2  2   2 2 gL  A1 A2  L Kd  1 1  1 1  Y  2  2    Q2   2 2 gL  A1 A2   L  Kd 

Y

Q

 1 

 Kd

 2

L

1  1 1    2 gL  A12 A22  

Esta ecuación permite determinar el gasto si se conocen las marcas del nivel alcanzado por el agua, la rugosidad del tramo y la topografía del mismo. AFORO A TRAVÉS DE LA RELACIÓN SECCIÓN VELOCIDAD La velocidad del flujo en una misma sección transversal no es constante entre un punto y otro, de tal manera que este método consiste en medir la velocidad en varios puntos de la sección transversal y después calcular el gasto por continuidad.

ai

n

Q   qi

qi  aiVmi

i 1

CURVAS ELEVACIONES GASTOS

Vmi 

Yi

V0.2 qi  V0.8 qi 2

Una vez elevado el gasto en la sección de medición y conocida la elevación correspondiente de la superficie del agua, es posible dibujar una curva de elevaciones contra gastos, la cual permite inferir el gasto conociendo solo la ecuación de la superficie del agua. Los puntos conocidos de E – Q, generalmente se ajustan a una ecuación de la forma Q  C  H  Ho 

n

donde C y n son constantes por determinar y Ho es la elevación para la cual el gasto es nulo. EJEMPLO: En una cierta corriente, una avenida ocurrió por la noche y no fue posible medir su gasto, sino que únicamente quedo registrada su elevación máxima en 4.42 metros. Durante mediciones previas en la sección de esa corriente se obtuvieron las elevaciones y gastos mostrados en la tabla siguiente. MEDICIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

ELEVACIÓN (m) GASTO (m³/s) 0.524 28.9 0.592 40.7 0.762 76.4 1.058 138.7 1.225 186.8 1.298 217.9 1.548 267.4 1.605 282.0 1.710 302.8 1.823 370.7 2.042 427.3 2.081 455.6 2.377 537.7 2.667 682.0 2.720 691.5 2.807 707.5 3.018 772.6

A partir de los datos dados, ajustar una ecuación del tipo anterior, para representar matemáticamente la curva H – Q de la corriente y obtener una estimación del gasto de la avenida ocurrida. Se sabe que Ho = 0.30 m. SOLUCIÓN: Si se grafican las elevaciones contra los gastos en papel logarítmico, se ve que estos se agrupan alrededor de una línea recta, por lo cual, es posible linealizar la ecuación aplicando logaritmos. Q  C  H  Ho 



n

LogQ  Log C  H  Ho 

n



LogQ  LogC  Log  H  Ho  LogQ  LogC  bLog  H  Ho 

n

Ecuación de la forma

Y   0   1X

Donde: Y = Log Q β0 = Log C β1 = h X = Log ( H – Ho) 0 

 Yi   1 Xi

1 

n XiYi    Xi   Yi 

n

n Xi 2    Xi 

2

1 

17 5.2877   1.2695 41.0640  1.3249 2 171.7713  1.2695

0 

41.0640  1.3249 1.2695  2.3166 17

β1 = h = 1.3249 β0 = Log C → C = 207.30 Entonces Q  207.30 H  0.30

1.3249

Q  207.30 4.42  0.30  Q  1352.93m 3 / s

1.3249

10

1 28.9

0.1

76.4

186.8

267.4

302.8

427.3

537.7

691.5

772.6

HIDROGRAMA DE UN ESCURRIMIENTO El hidrograma de una corriente es la representación gráfica de las variaciones del flujo respecto al tiempo de ésta. Era la figura siguiente de muestra un hidrograma típico, en donde, en las abscisas se representa el tiempo y en las ordenadas el gasto.

Tp

B C

C' Rama descendente

Rama ascendente

A

Escurrimiento directo

D

Escurrimiento base

Tb

En un hidrograma generalmente se puede distinguir los siguientes puntos: El punto A, llamado punto de levantamiento del hidrograma, aquí se inicia el escurrimiento directo asociado a una tormenta en particular, alcanzando su gasto máximo en el punto B, conocido como pico del hidrograma. Los puntos C y C’ son llamados puntos de inflexión antes y después del pico del hidrograma respectivamente, entre ellos se encuentra comprendida la cresta del hidrograma. El punto C’ es particularmente importante, pues teóricamente, a partir de este punto cesa el flujo por tierra, es decir, el agua fluye exclusivamente por las corrientes (red de drenaje). En el punto D finaliza el escurrimiento directo, continuando a partir de aquí el escurrimiento base, es decir, el escurrimiento que alimenta las corrientes cuando no hay lluvias. El tiempo que transcurre desde el punto de levantamiento hasta el pico del hidrograma, se lé llama tiempo pico (Tp); al tiempo que transcurre desde el punto de levantamiento y hasta el final del escurrimiento directo se le conoce como tiempo base (Tb), por lo tanto, es el tiempo que dura el escurrimiento directo. Finalmente, en un hidrograma, llamaremos rama ascendente del hidrograma, a la parte de éste que va desde A hasta B y rama descendente a la parte que va desde b hasta D. Cuando se toma la rama descendente desde C’ hasta D, se dice que es una curva de vaciado. ANÁLISIS DEL HIDROGRAMA

El análisis de un hidrograma consiste en separar de él los escurrimientos base y directo como los componentes principales de un hidrograma. Para ello existen varios métodos los cuales se presentan a continuación. Determinar el punto de levantamiento de un hidrograma, es decir, el punto en el cual inicia el escurrimiento directo, no presenta gra dificultad, ya que en ese momento se tiene un cambio brusco en el hidrograma. El problema consiste en obtener el punto D, que es la transición del escurrimiento directo con el escurrimiento base. El criterio más sencillo para separar el escurrimiento directo del escurrimiento base consiste en aceptar como frontera una línea recta horizontal a partir del punto de levantamiento; tiene la desventaja de incurrir en graves errores al estimar el tiempo base del escurrimiento directo. Otro criterio consiste en prolongar la tendencia de la curva del hidrograma que llevaba antes del punto de levantamiento hasta la vertical del pico del hidrograma. A continuación se define un punto D en el hidrograma a N días del pico y por último se une el punto anterior con este último N puede ser estimado como N  0.84 A0.18

Donde A es el área de la cuenca en km² N se obtiene en días Finalmente, un criterio más consiste al igual que el anterior, en prolongar la curva del hidrograma antes del levantamiento y hasta el pico (verticalmente). A continuación se extiende la curva de vaciado hasta la vertical del punto de inflexión posterior al pico, para finalmente unir los puntos obtenidos.

B C'

D

A N

(Segundo caso)

En una sección de un río se tienen los siguientes registros de gastos; a partir de esta información separar el escurrimiento directo del escurrimiento base según dos métodos descritos para tal propósito.

30 25

Q (m³/s)

20 15 10 5 0 0

5

10

15

Días

20

25

30

35

40