Teoría de Timoshenko

Teoría de Timoshenko Resumen: La teoría de vigas de Timoshenko fue desarrollada por el ingeniero ucranianoingeniero  ucranianoestadounidense Stephen Timoshenko,  Timoshenko,  estableciéndose como un modelo matemático riguroso ampliamente utilizado para describir la vibración transversal de vigas, postulado en la década de 1920. También denominada la teoría de vigas gruesas. Históricamente el primer modelo de viga importante fue la Teoría de Vigas de Vigas de Euler-Bernoulli o teoría clásica de vigas como consecuencia de las obras de Bernoulli (Jacob y Daniel) y Euler, creado en el año de 1744. En 1921 y 1922, Timoshenko propuso una mejora al añadir el efecto de deformación de corte. Marco Teórico: La teoría de vigas de Timoshenko permite mejorar la respuesta de la teoría de Bernouilli-Euler cuando la razón entre la longitud de la viga y la principal dimensión de la sección comienza a ser cada vez más pequeña. Esto significa vigas de aspecto más robusto.

Figura: (a) Sección resistente a flexión (b) Esquema para el cálculo de tensiones cortantes. Fuente: http://goo.gl/E3KAPY Fuente: http://goo.gl/E3KAPY

Para simplificar el proceso deductivo, que se dará en forma completa a partir de suponer el campo de desplazamientos, se procederá a reducir el problema flexional a un solo plano, para ir fijando ideas en el plano XY, y posteriormente se extenderá el problema flexional a dos planos. Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexión según la teoría de Timoshenko se empleará el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales como entidades arbitrarias.  Ahora bien, de acuerdo con las hipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para una viga en flexión se puede reducir a las siguientes expresiones:

, ,  = − , ,  = 

Figura: Sección transversal. (a) Sentido de giro y movimiento (b) cortante transversal Fuente: http://goo.gl/E3KAPY

Para hallar las deformaciones se tiene:

 =  = −   = −´  =   = 0  =   +  = ´ − En la expresión descrita se utiliza el apóstrofo para indicar la derivación con respecto a la variable x. Con la descripción cinemática puesta en evidencia en las expresiones, es claro que el plano de la sección transversal (que se mantiene siempre plana) de la viga, no es perpendicular al eje neutro una vez deformada la misma.

Figura: Comparación de los desplazamientos entre las teorías B-E y Timoshenko. Fuente: http://goo.gl/E3KAPY

Luego suponiendo nulas todas las componentes del tensor de tensiones, excepto xx y xy, la energía de deformación y el trabajo de las f uerzas externas vendrán dado por la siguiente expresión:

 = 12 ∫ +  

 = −∫  

La expresión puede ser replanteada en términos de los desplazamientos y deformaciones virtuales, de tal manera que el principio de trabajos virtuales queda descripto por la siguiente expresión:

 + = ∫ ( + ) −∫  = 0 

Reemplazando algunos términos tenemos:

 + = ∫{−´ +(´ − )}−∫  = 0 

Teniendo en cuenta las ecuaciones constitutivas de las tensiones en términos de las deformaciones se pueden definir los esfuerzos, momento flector y esfuerzo de corte de la siguiente manera:

 = ∫  = −´ ∫  = ´ 



 = ∫  = ´ −∫  = ´ − 



Para tener una mejor representación de la energía (o trabajo virtual) de las tensiones de corte se empleará la fórmula de Colignon-Jourawski. Para ello si se consideran dos situaciones: a) Si se analiza el desplazamiento de una sección sin considerar el alabeo se tendrá que la energía de deformación de corte por unidad de longitud viene dada por:

      1   = 2 ∫   =  2 ∫   

b) Ahora si se considera la fórmula de Colignon-Jourawski correspondiente a la energía de deformación de corte por unidad de longitud viene dada por:

  = 12 ∫ 1   

Entre ellas se puede establecer una relación como la siguiente:

 = 

El coeficiente  se lo denomina coeficiente de corte de Timoshenko y es diferente para cada sección: Tabla: Coeficiente de corte para al gunas secciones tipicas

Fuente: http://goo.gl/CKNdER Tabla: Condiciones de borde tipicas para la teoria de vigas de Timoshenko.

Fuente: http://goo.gl/CKNdER

 A continuación se verán dos ejemplos para distinguir las dos teorías flexionales. En el primer caso se comparan las soluciones para una viga empotrada en ambos extremos sometida a una carga distribuida uniforme. En la parte inferior se muestran las soluciones obtenidas (mediante Mathematica) para la teoría BE y la Timoshenko, respectivamente, para una viga de sección circular y longitud unitaria (L=1). Obsérvese que la solución del desplazamiento , según la Teoría Timoshenko, es igual a la suma de la solución de la Teoría B-E más los términos devenidos del corte por flexión. En la Figura se muestra la diferencia entre ambas para una relación D/L=0.1 y en la Figura 3.40.b para una relación D/L=0.3.



 + 4     = 12  2 −   + 4      = 12  2 − + 2  −  = 12   −3 + 2 En las figuras se puede apreciar la comparación experimental entre las dos teorías para un tubo estructural de aluminio de sección rectangular, empotrado en un extremo y con carga en el otro. Nótese la diferencia que hay entre una teoría y otra con respecto a los resultados experimentales.

Figura: Comparación de desplazamientos entre teorías de flexión. Fuente: http://goo.gl/CKNdER

Figura: Comparación experimental de desplazamiento entre teorías de flexión. Fuente: http://goo.gl/CKNdER

Conclusión: La teoría de Timoshenko se basa en las mismas hipótesis que la teoría de Bernouilli-Euler, aunque con el agregado de algunas adicionales a saber: - Se supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la sección de la viga.

- La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con los desplazamientos flexionales.