Teoria de Recta en El Espacio y Plano

Algebra Y Geometría Analítica

María Rosa Rodríguez-Graciela Abraham

APLICACIONES DE VECTORES Ecuación vectorial de la Recta en R3 Consideremos

z P

P0 ( x0 , y0 , z0 )

el y

un

punto punto

genérico P( x, y, z ) tracemos una

P0

recta cualquiera que tiene la  dirección de un vector A(a, b, c) . y

Para encontrar la ecuación de la recta, ubicamos los vectores:

x

OP0  P0 y OP  P . Observamos que OP  OP0  P0 P . El vector P0 P es paralelo a   A  P0 P  A .

 La Ecuación vectorial de la recta en R3, determinada por P0 y la dirección del vector A , es:    (1) P  P0  A , donde  es el parámetro de la recta. Cuando el parámetro varía desde   a  , el punto P describe a la recta.

Si escribimos la ecuación (1) en términos de sus componentes, obtenemos: ( x, y, z )  ( x0 , y0 , z0 )   (a, b, c) .

Igualando las componentes homólogas, se tiene:  x  x 0  a  (2)  y  y 0  b  z  z  c 0 

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en R3 . Si en (2) eliminamos el parámetro  , de cada ecuación obtenemos:

x  x0 y  y0 z  z0  ; ;   . Igualando las tres expresiones, se tiene: a b c

(3)

x  x0 y  y 0 z  z 0   a b c

Ecuaciones cartesianas de la recta en R3

1

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Observación: los números a, b, c, se llaman números directores de la recta. Y si llamamos   ,  y  los ángulos que forman el vector A , con los ejes coordenados. Los cósenos directores de las rectan serían cos  , cos 

cos  

Ax A

Ay

cos  

A

cos  

y cos 

Az A

Los cósenos directores tienen la propiedad que: cos 2   cos 2   cos 2   1

Recta determinada por 2 puntos Consideramos 2 puntos sobre la recta P0 ( x0 , y0 , z0 )

P

y

P1 ( x1 , y1 , z1 )

para

encontrar la ecuación de la recta

P1

necesitamos

P0

conocer

el

vector

dirección de la misma. Podemos considerar como vector dirección al vector que une P0 .con P1,

O

es decir :

La ecuación de la recta será:  P  P0   ( P1  P0 ) Ecuación vectorial de la recta que pasa por 2 puntos. ( x, y, z )  ( x0 , y0 , z0 )   ( x1  x0 , y1  y0 , z1  z0 )  x  x0   ( x1  x0 )   y  y0   ( y1  y0 ) (5) z  z   ( z  z ) 0 1 0 

Si

de

las

ecuaciones

x  x0 y  y0 z  z0   x 1  x 0 y1  y 0 z1  z 0

Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 2 puntos en R3.

(5)

eliminamos

el

parámetro  ,

se

Ec. cartesiana de la recta que pasa por 2 puntos en R3.

2

obtiene

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Ejemplos

 1. Encontrar la ecuación de la recta que tiene la dirección de A  (2,1,4) y que pasa por el   punto (1,2,7)  P  P0  A  ( x, y, z )  (1,2,7)   (2,1,4)  x  1  2  y  2    z  7  4 

Ecuación paramétrica

x 1 y  2 z  7   2 1 4

Ecuación cartesiana

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-1,5) y (3, 2,2).  P  P0   ( P1  P0 )

( x, y, z)  (2,1,5)   (3  2,2  1,2  5) ( x, y, z )  (2,1,5)   (1,3,3) x  2     y  1  3  z  5  3 

x  2 y 1 z  5   1 3 3

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos.

Observación: Si estamos en R2 o sea que el punto P0 y el vector A pertenecen al plano XY, la expresión 1 sigue siendo valida y la ecuación 2 se reduce a solo 2 ecuaciones:  x  x 0  a   y  y 0  b

Ecuación paramétrica de la recta en R2

Si eliminamos  queda

x  x0 y  y 0 ecuación cartesiana  a b

b( x  x0 )  a ( y  y0 )  0 bx  ay  (bx0  ay0 )  0 Que tiene la forma A x + B y +C = 0 : Ecuación general o implícita de la recta en R2 3

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De la ecuación (a) podemos escribir:

b ( x  x0 ) a b b y  x  x0  y 0 a a y  mx  h y  y0 

Donde

m=

b : pendiente de la recta, que se define como la tangente trigonométrica del a

ángulo de inclinación de la recta. Es decir: m  tg , y  es el ángulo que forma la recta con el semieje positivo x. h se llama ordenada al b origen : h   x0  y0 a

α

h

0

x

Si conocemos 2 puntos P0 ( x0 , y0 ) ; P1 ( x1 , y1 ) en

R 2 la ecuación 4 sigue siendo valida:

( x, y )  ( x0 , y0 )   ( x1  x0 , y1  y0 ) x  x0   ( x1  x0 )   y  y0   ( y1  y0 )

x1  x0 y  y0  x1  x0 y1  y0

Eliminando  tenemos:



y  y0 

y1  y0 ( x  x0 ) x1  x0

Ecuación cartesiana de la recta que pasa por 2 puntos Ejemplo: Encontrar la ecuación cartesiana de la recta que pasa por P0 (1,2) y es paralela al    vector A  2i  j P  P0  A  ( x, y)  (1,2)  (2,1) x  1  2 , e lim inando el parámetro se  y  2  

y2

1 1 x 2 2



y

1 3 x 2 2

tiene

x -1 y  2   2 ( y  2)  ( x  1) 2 1

Ecuación explicita.

4

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Ecuación vectorial del plano  Dado un plano, consideramos un vector normal N  ( A, B, C ) al mismo. Para encontrar la ecuación del plano, consideramos un punto genérico P (x, y, z) del plano. Formamos el vector P, uniendo el origen con el punto P y hacemos el producto escalar de los   vectores N y P . Recordemos que, el producto escalar se puede escribir:     N  P  N . proyeccionPN .

 N



Si llamamos h = proyeccion PN h= distancia desde el origen al plano.

h

   N  P  N h

P P

Como

modulo de

 N

y h son  constantes independientes de P ,  N  h  cte ,

 que llamamos N  h = D,

   Se llega a la ecuación N  P  D que es la ecuación vectorial del plano, donde N es un  vector de modulo cualquiera perpendicular al plano y P es un punto genérico.   Si D  0  h  0 entonces el plano pasa por el origen y la ecuación es N  P  0 .    Si D  0; su signo depende del sentido del vector N ; pues tomando  N en vez de N ; D  cambio de signo. Se adopta criterio siguiente. Consideramos N dirigido siempre desde el

origen hacia el plano, de manera que D resulte positivo. Por componentes la ecuación 1 queda:

( A, B, C ).( x, y, z )  D

Ax  By  Cz  D Ecuación cartesiana del plano.

5

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Ecuación general de los planos que pasan por un punto  Para encontrar la ecuación de los N planos que pasan por un punto, consideramos un vector normal

P0

al plano

P0 P

 N  ( A, B, C ) ,

un

punto P0 ( x0 , y0 , z 0 ) y un punto

P

genérico P (x, y, z) contenidos en el plano. Uniendo el origen con cada

punto obtenemos los  vectores P0 y P y formamos el  vector P0 P  P  P0 .

   Por lo tanto el vector P0 P es perpendicular a N o sea N  ( P  P0 ) y esto significa que el producto escalar es cero. Se obtiene:

  N  ( P  P0 )  0

Ecuación general de los planos que pasan por un punto.

( A, B, C ).( x  x0 , y  y0 , z  z0 )  0 Por componentes tenemos:

( A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 Ax  Ax 0  By  By 0  Cz  Cz0  0 Ax  By  Cz  ( Ax 0  By 0  Cz0 )  0 Llamamos

D  Ax 0  By 0  Cz 0

La ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto es:

Ax  By  Cz  D

Ecuación de un plano determinado por tres puntos Si conocemos tres puntos del plano P1 ( x1 , y1 , z1 ); P2 ( x2 , y 2 , z 2 ); P3 ( x3 , y3 , z3 ) , para encontrar la ecuación del plano necesitamos determinar un vector normal al plano.

6

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 N

Z

Si unimos el punto P1 con los puntos P2 y P3

P1

formamos

los

vectores P1 P2 y P1 P3 y podemos conocer un vector normal del

P3

P2

plano

haciendo

el

producto

vectorial de los dos vectores Y

contenidos en el plano. Es decir:  N  ( P1 P2  P1 P3 )      N  ( P2  P1 )  ( P3  P1 )

X

  N  ( P  P0 )  0 tenemos: Entonces usando la ecuación    N  ( P  P1 )  0 y remplazando el vector normal se obtiene:       ( P2  P1 )  ( P3  P1 )   ( P  P1 )  0 Ecuación del plano determinado por tres puntos.



Se puede comprobar que esta expresión se puede escribir, mediante el determinante de tercer orden siguiente: x  x1

y  y1

z  z1

x2  x1

y 2  y1

z 2  z1 =0 Ecuación cartesiana del plano que pasa por tres puntos.

x3  x1

y3  y1

z3  z1

Ejemplos: 1.- Encontrar la ecuación del plano, perpendicular al vector (2,-1,2) y cuya distancia al origen es 6. La ecuación del plano es:   N P  D como h  6

 y D  N .h

(2,  1, 2) . ( x , y, z )  D Calculamos D D  4  1  4 .6 D  18 , la ecuación del plano es : 2 x  y  2 z  18

2.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1 , 0, 3); (-2,-4, 5) y (2,-1,3). 7

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Elegimos un punto como punto de paso. P1 (1 , 0, 3) y formamos los vectores P1 P2 y P1 P3 . Para encontrar la ecuación cartesiana, calculamos el determinante: x 1  2 1

y0 40

z 3 x 1 y 53  3 4

2 1

1 0

33

1

z 3 2 0

1

0

Resolviendo el determinante, desarrollando por los elementos de la primera fila, se llega a la ecuación: 2(x - 1)  2 y  7 (z - 3)  0

con

 N  (2,2,7),

2x  2y  7z  23 3.- Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es  al vector (5,3,-2) 5 (x+1) + 3 y-0) -2 (z - 4) = 0 La ecuación queda: 5x + 3y -2z + 13=0

Ecuaciones de los planos coordenados Sea el plano de ecuación A x + B y + C z = D (1) veamos los siguientes casos: 1.

Si

C  0 ; A 0 ; B  0 y D  0,

BY  D  Y 

ecuación

(1)

D  cte = h . La ecuación Y = h, es la ecuación de un plano // B

queda al

h  0 ó D  0  Y = 0 Ecuación del plano XZ.

plano XZ.

Si

2.

C  0, D  0; A 0 y B  0

Si

la

C Z  D; Z 

la

ecuación

(1)

queda

D  k (cte) ; La ecuación Z = k, es la ecuación de un plano // al plano C

XY;

y Z = 0 Ecuación del plano XY.

3.

Si

A  0, B  C  0 ; D  0. La ecuación (1) queda X 

X = t Ecuación de un plano paralelo al plano YZ. Por lo tanto X = 0 : Ecuación del plano YZ 8

D  cte = t; entonces A

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Distancia de un punto a una recta    Dada la recta P  P0  A y un punto P1 la distancia d del punto P1 a la recta se obtiene de

la siguiente manera:

Formamos el triangulo de la figura y vemos que:

d  P0 P1 .sen Como para obtener  , necesitamos conocer el ángulo  , podemos transformar la ecuación  multiplicando y dividiendo por A .

d P0 P1



 ( P1  P0 )  A d  A

  Donde A, P0 y P1 , es todo conocido.

Ejemplo Hallar la distancia del punto P1  (3, 2, 1) a la recta

 A  (2, 4, 1);

P0  (1, 3, 1);  i

 j

 k

2

4

1

   ( P1  P0 )  A   2  1

x 1 y  3 z 1   2 4 1

  P1  P0  (3  1, 2  3, 1  1)   P1  P0  (2,  1, 0)

   0  i  2 j  10k  (1,  2,  10)

   ( P1  P0 )  A  1  4  100  105  105 A  4  16  1  21, luego d   5; d  5 21

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Mínima distancia entre dos rectas alabeadas   A B

   Sean las rectas P  P0  A



 A





y P  P1  B La mínima distancia entre las dos rectas es el segmento d ,

P0

de la perpendicular común a las dos rectas. Es por lo tanto la proyección

d

del vector P0 P1 , sobre la dirección perpendicular a las P1

dos rectas, que está dada por   el vector A  B .

    u.v Entonces: d  proyec AB ( P1  P 0 ) y recordando que proyec v u   , se llega a : v     ( A  B)  ( P1  P 0 ) Mínima distancia entre las dos rectas d   A B Distancia de un punto al plano   Dado un punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y un plano de ecuación N  X  D  0 .   La distancia de un punto P0 ; a un plano N  P  D  0 es igual al valor que toma la ecuación

del plano particularizada para el punto P0 , dividido por el modulo del vector normal. Es decir

 N

Z

P0 d H

P1

  N  P0  D (1) d  N Para hallar la distancia d: distancia del punto P0 al plano,

d

Y

proyectamos el vector P0 , sobre  el vector N . La distancia d buscada es la diferencia entre OP1 y OH = h que es la distancia del origen al plano.

X 10

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 D Vimos que N  h  D  h   = OH N

Como además Proy

d

 N  P0



N

D



 N

proy

 N

 P 0  h  d  d  proy

 N

 N  P0  D

N

y que

  N  P0 P0  . N  P 0  h . Remplazando se tiene:

, que es la expresión (1)

N

Para fijar un signo a esta distancia siempre se mide desde el plano al punto, en el dibujo desde H a P1 , y se considera signo positivo, cuando este sentido coincida con el del vector  N y negativo en caso contrario.

Paralelismo, perpendicularidad y ángulo







Consideremos las rectas R1) P  P0  A1 y R2)

  N1  P  D1 y



   P  P1  A2 y los planos

)



) N 2 . P  D2

De acuerdo a lo que vimos en la condición de paralelismo y perpendicularidad entre vectores, se tiene que: El ángulo entre las rectas es el ángulo entre los vectores dirección de las rectas:  

 A1  A1

 A2  A2

El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales a ambos planos:  

 N 1 //  N1

El ángulo entre la recta

 N2  N2

y el plano

es el ángulo complementario del que forman

el vector dirección de la recta y el vector normal al plano.

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  N1 A1 ), entonces el

Dado que

 N1

 A1

ángulo que forma la recta con el plano es 900-  .

90 900- 

Como cos

= sen (90º-

 A1  A1

Entonces:

.

 N1  N1

Ejemplos: 1.

Hallar

la

distancia

del

punto

 N  (2,4,1)

 N  P0  D d ;  N d

(6,3,-2)

al

plano

2x-4y+z=2

x y z   1 2 3 4

 N  4  16  1

2.6  4.3  2  2 4 d  21 21

El signo de d es positivo cuando al medirla desde el plano al punto, este sentido coincida con el del vector normal

2.

Hallar la mínima distancia entre las rectas.

 r 1) P  (1, 2,  3)   (2, 1,  1)  P  (2, 2,  1)   (3, 3, 4)   ( A  B)  ( P1  P0 ) d   A B

r 2)

x  2 y  2 z 1   3 3 4

   i j k      A  B  2 1  1  7i  11 j  3k 3 3 4

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P1  P0  ( 2,2,1)  (1,2,3)  (1,0,2)   ( A  B )  ( P1  P0 )  (7,11,3)  (1,0,2)  7  6  13   A  B  7 2  112  9   A  B  49  121  9  179 d

13 179

3. Encontrar la ecuación del plano  al vector (2,1,2) y cuya distancia al origen es 6

2x  y  2z  D  D  N .6 D  4  1  4.6 D  18 4. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1,0,3); (-2,-4,5) y (2,-1,3) x  x1 y  y1 z  z1 Remplazamos en la ecuación cartesiana del plano x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 = 0 x3  x1 y3  y1 z3  z1 x 1 y  0 z  2 x 1 y z  3  2 1  4  0 5  3   3  4 2  2 y  3z  9  4 z  11  2 x  2  0 2 1 1 0 3  3

1

1

0

La ecuación es: 2 x  2 y  7 z  23  0 5. Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es  al vector (5,3,-2)

5( x  1)  3( y  0)  4( z  4)  0 5x  3 y  4 z  11 6. Encontrar la ecuación de la recta intersección de los planos

2x + y – z = 3 y

3 x + 2 y + 2 z = 0. Para encontrar la ecuación formamos el sistema con las dos ecuaciones de los planos –

y lo resolvemos:

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(1) F2 – F1(-2) , (2) F2(-1) , (3) F1 – F2(-2) Escribimos el sistema equivalente: Llamamos z

y obtenemos: Ecuaciones paramétricas de la recta, con

 P0  (6, 9, 0)

 y A  (4,  7, 1)

7. Encontrar el punto de intersección de la recta

x  2 y 1 z   , con el plano 4 2 3

2 x – 3 y + 5 z = 2. Para encontrar el punto despejamos x e y de la recta en unción de z y remplazamos en la ecuación del plano:

x2 z 4 4  x2 zx z2 4 3 3 3 y 1 z 2  y z 1 2 3 3 2(

4 2 z  2)  3 ( z  1 ) + 5 z = 2, de donde se obtiene: 3 3

z = 6 / 29, remplazando en x e y, se tiene: x = 8 / 29, y = - 41 / 29. El punto de intersección es ( 8/29 , -41/29, 6/29)

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