Teoría de Rankine

ESTADOS ACTIVO Y PASIVO DE RANKINE CON RELLENO INCLINADO

DETERMINACIÓN DE LOS EMPUJES DE TIERRA A PARTIR DE LOS ESTADOS ACTIVO Y PASIVO DE RANKINE TEORÍA DE RANKINE El escoces W. J. Macquorn Rankine en el año 1857 realizó una serie de investigaciones y rouso una e!resión "uc#o "$s sencilla que la de %oulo"&. 'u teor(a se &asó en las siguientes #iótesis) 1.* El suelo es una "asa #o"og+nea e isotróica. ,.* -o e!iste ricción entre el suelo y el "uro. /.* 0a cara interna del "uro es vertical  2 346. .* la resultante del e"ue de tierras est$ u&icada en el e!tre"o tercio inerior de la altura. 5.* el e"ue de tierras es aralelo a la inclinación de la suericie del terreno9 es decir9 or"a un $ngulo con la #orizontal. :orres et al ,4486. El coeiciente

seg;n Rankine es)

'i en la ecuación anterior9 la inclinación del terreno es nula    2 469 se o&tiene una ecuación si"ilar a la de %oulo"& ara el caso articular que   2   2 4 <  2 3469 a"&as teor(as coinciden)

=ara que la #iótesis de un "uro sin ricción se cu"la el "uro de&e tener aredes "uy lisas9 esta condición casi nunca se cu"le9 sin e"&argo9 los resultados o&tenidos son aceta&les ya que est$n de lado de la seguridad. En el caso de e"ue activo la inluencia del $ngulo   es equeña suele ignorarse en la r$ctica. En la teor(a de Rankine9 se suone que la cara interna del "uro es vertical   2 3469 y que el e"ue de tierras es aralelo a la inclinación de la suericie del terreno9 es decir9 or"a un $ngulo    con la #orizontal9 es este sentido9 esta uerza no es sie"re #orizontal. 0as co"onentes #orizontal y vertical del    se o&tienen seg;n Rankine de la siguiente "anera)

=ara valores de)   2 4 resulta)   #2      2 4. :orres et al ,4486.

DETERMINACION DEL EMPUJE PASIVO %uando un "uro o estri&o e"ua contra el terreno se genera una reacción que se le da el no"&re de e"ue asivo de la tierra   9 la tierra as( co"ri"ida en la dirección #orizontal origina un au"ento de su resistencia #asta alcanzar su valor  l("ite suerior 9 la resultante de esta reacción del suelo se alica en el e!tre"o del tercio inerior de la altura9 la igura 8 "uestra un "uro con diagra"a de resión asiva. :orres9 ,4486

 2 , ,6     es el coeiciente de resión asiva.

Gráfico del e!"#e !$%i&o

:orres ,448

0a resión asiva en suelos granulares9 se uede deter"inar con las siguientes E!resiones) 1. El coeiciente   adecuando la ecuación de %oulo"& es)

,. %uando se ignora los $ngulos 9  9 6 se o&tiene el coeiciente   seg;n Rankine)

'i el $ngulo d es grande la suericie de desliza"iento real se aarta considera&le"ente del lano teórico conduciendo a errores de i"ortancia. :orres9,4486.

DETERMINACION DELEMPUJE ACTIVO E!isten diversas teor(as ara la deter"inación del e"ue activo9 entre las que destacan las de&idas a %oulo"& y Rankine. En a"&as teor(as se esta&lecen diversas #iótesis si"liicativas del ro&le"a9 que conducen a cierto grado de error9 ero roducen valores de e"ue que entran dentro de los "$rgenes de seguridad. En el estado actual de conoci"ientos se ueden calcular los e"ues del terreno con razona&le recisión en el caso de suelo granulares. El c$lculo de los coeicientes de e"ue activo9 se realiza conor"e a la :eor(a de %ulo"&9 que se unda"enta en suoner que al "overse el "uro &ao la acción del e"ue9 se roduce el desliza"iento de una cuña de terreno M-%9 li"itada or el trasdós del "uro M-9 or un lano que ase or el ie del "uro y or la suericie del terreno. =or tanto9 se esta&lece una ri"era #iótesis9 que es suoner una suericie de desliza"iento lana9 lo cual no es del todo cierto9 aunque el error  introducido sea equeño. El resto de los suuestos de artida se ueden sintetizar en los siguientes untos) 1. %onsidera la e!istencia de ricción entre el terreno y el "uro. ,. 'uone que el terreno es un "aterial granular9 #o"og+neo e isotróico y que el drenae es lo suiciente"ente &ueno co"o ara no considerar resiones intersticiales en el terreno. /. >e todos los osi&les lanos de desliza"iento9 el que real"ente se roduce es el que conlleva un valor de e"ue "$!i"o. . 0a alla es un ro&le"a &idi"ensional. %onsidera una longitud unitaria de un cuero ininita"ente largo

.

El ro&le"a consiste a#ora en deter"inar el lano de desliza"iento cr(tico que roduce un valor "$!i"o del e"ue. =ara ello se elige un lano ar&itrario que or"e un $ngulo ? con la #orizontal y se esta&lece el Equili&rio de la cuña. 0as uerzas que intervienen son)

•

•

•

El eso de la cuña M-% del terreno =

Reacción E del trasdós so&re el terreno9 que or"ar$ un $ngulo d con la nor"al al trasdós. >ic#o $ngulo ser$ el de roza"iento entre "uro y terreno.

Reacción @ de la "asa de suelo so&re la cuña9 que or"ar$ un $ngulo ϕcon la nor"al a la l(nea de rotura -%. >ic#o $ngulo ser$ el de roza"iento interno del terreno.

%o"o se conoce =t en "agnitud y dirección y Ea y @ en dirección9 se odr$ calcular  el valor de estas dos ;lti"as uerzas a trav+s del ol(gono de uerzas que or"an. El eso de la cuña de terreno M-% viene dado or)

 Alicando el teore"a del seno al tri$ngulo de uerzas de la igura9 se o&tiene la relación)

>eseando Ea se o&tiene

B co"&inando las e!resiones 16 y ,69 se o&tiene

En esta ecuación se uede o&servar que el valor del e"ue activo es unción de ?9 ya que el resto de los t+r"inos son constantes y conocidos ara una situación concreta. =ara o&tener el valor del $ngulo ? que #ace "$!i"o el e"ue activo9 se deriva e iguala a cero la e!resión C/D9 e introduciendo su valor en la ecuación se o&tiene)

E!resión que uede escri&irse de una "anera "$s sencilla co"o

en la que a es el coeiciente de e"ue activo9 y viene dado or 

0a distri&ución del e"ue activo a lo largo de la altura del "uro se uede o&tener  derivando la ecuación 56 con resecto a F)

%o"o se uede o&servar9 la distri&ución es lineal9 dando un diagra"a triangular. El unto de alicación del e"ue activo ser$ el centro de gravedad del diagra"a de uerzas9 que en este caso estar$ situado a una roundidad G desde la coronación del "uro.

0os valores de las co"onentes #orizontal y vertical de la resión en un unto del "uro a roundidad G 'on

>onde9 ϕ9 es el $ngulo de la cara interna del "uro con la #orizontal o $ngulo del talud H9 es el $ngulo del relleno con la #orizontal I9 es el $ngulo de ricción suelo* "uro

0a resión total = viene dada or)

ue or"a un $ngulo I con la nor"al al trasdós.

0as co"onentes #orizontal y vertical del e"ue total9 or unidad de longitud de "uro9 vienen dadas orlas e!resiones

El unto de alicación del a una roundidad

e"ue total Est$ situado desde la coronación del "uro