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PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO “Si un evento puede realizarse de n 1 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n2 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente; entonces, el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1. n2. n3…” PERMUTACIONES Son arreglos diferentes en que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido. Una ordenación de un número ”r” de “n” objetos , r ≤ n , en un orden dado se lama permutación “r” o una permutación de los “n” objetos tomados de “r ” a la vez . Así mismo, una ordenación de un conjunto de “n” objetos en u8n orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez) El número de permutaciones de “n” objetos tomados de “r en r “ lo denotamos por : P (n, r) nPr El primer elemento de una permutación r de n elementos puede escogerse de n diferentes maneras; el segundo elemento de la permutación puede escogerse de (n-1) ,amaneras, y así sucesivamente, el r-ésimo (último) elemento de la permutación r puede escogerse de n – (r-1) = n – r + 1 maneras
n
n-1
1
2
n-2 3
…
n-3
n-r+1
4
r
n P r = n (n-1) (n-2) (n-3)… (n-r+2) (n – r +1) n P r = n (n-1) (n-2) (n-3)… (n-r+2) (n – r +1).
nPr=
(n r)! (n r)!
n! (n r)!
r n
0! = 1
APROXIMACIÓN DE STIRLING A n! Cuando “n” es un valor muy grande, n! se puede aproximar mediante la fórmula de Stirling; es decir: La cual tiene un error n -n menor que el 1% para n > 10 2n.π n e n! Ejemplo: Calcular 35! 35 -35 40 35! = 2xx35 35 e = 1.031 x 10 1 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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PERMUTACIONES CON SUSTITUCIÓN El número de permutaciones con sustitución de “ n” elementos tomados de ”r en r” (orden r) es:
nPr = n
r
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN (particiones ordenadas) El número de permutaciones de “n” elementos, de tal manera que: n1 son iguales, n2 son iguales,…, nk son iguales y n = n1 + n2 + n3 +…+ nk.
nP
n! n1,n2,…,nk = -----------------------n1! n2! … nk!
PERMUTACIÓN CIRCULAR El número de permutaciones circulares de “n” elementos, tomados todos a la vez, es igual:
P = (n – 1)!
COMBINACIONES Es una selección de un conjunto de “n” elementos tomados de “r en r”, sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtiéndose en un subconjunto de n Ejemplo. Las combinaciones que pueden formarse con las letras A, B, C y D son: a) b) c) d)
De 4 en 4 : ABCD De 3 en 3 : ABC , ABD , ACD, BCD De 2 en 2 : AB , AC, AD , BC, BD, CD De 1 en 1 : A, B, C , D
Si comparamos las combinaciones y permutaciones de 3 en 3 n=4 r=3 4P3 = 24 4 C3 = 4 2 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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COMBINACIONES ABC ABD ACD BCD
ABC ABD ACD BCD
COMBINACIONES: NO PERMUTACIONES: SI
ACB ADB ADC BDC
PERMUTACIONES BCA BAC CAB BDA BAD DAB DCA DAC CAD CBD CDB DCB
CBA DBA CDA DBC
le interesa el ORDEN le interesa el ORDEN
Cada combinación tiene 3! permutaciones 3! 4C3 = 4C3 4! 4 P3 4C3 = = (4 3)!.3! 3!
nCr =
n r
=
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
CR =
(n 1 r)! r!.(n 1)!
Ejemplo: Hallar el número de CR de las letras A, C, D y E Tomados de 2 en 2 (5 1 2)!
5CR2 = 2!.(5 1)! = 15 AA
AB BB
AC BC CC
AD BD CD DD
AE DE CE DE EE
Tomados de 3 en 3 (5 1 3)!
5CR3 = 3!.(5 1)! = 35 AAA AAB BBC CCD DDE ABC ADE
BBB AAC BBD CCE EEA ABD BCD
CCC AAD BBE DDA EEB ABE BDE
DDD AAE CCA DDB EEC ACD BCE
EEE BBA CCB DDC EED ACE CDE
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Propiedades de las Combinaciones
n n r rn
n n 1 r 1 r1
Combinación complementaria
ó
n n n 1 r 1 r r
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r
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n 1n n r r1 r
k o
m k
n n 1
n r k
=
n 1 0
m n r n 1 n
n n n 1
2
n n 2n n k 0 k
=
PROBABILIDADES Experimento Aleatorio 5 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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Es una operación cuyo resultado no puede predecirse con certeza; pero sí, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. E1: Lanzar un dado y observar el nº de puntos que aparece en la cara superior E2: Lanzar dos monedas y observar el número de caras E3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos buenos y defectuosos E4: Sacar una muestra de 10 artículos de la producción diaria y determinar el número de artículos defectuosos
Espacio muestral: S,
Es la reunión o conjunto de todos los posibles resultados del experimento Ejemplo: Para los experimentos anteriores
S1 : 1,2,3,4,5, 6 S2 : CC, CS, SC, SS
S3 : B, D S4 : 0.1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10
Evento o Suceso Es una partición o subconjunto del espacio muestral Ejemplo: A1: {Resultado sea Par} = {2, 4,6} A2: {por lo menos una cara} = {cs, sc, cc} A3: {Artículo defectuoso} = {2, 4,6} A4: {Como mínimo dos artículos defectuosos} = {2, 3, 4,} PROBABILIDAD Si un evento puede ocurrir de “N” maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables y si “n” de ellas tiene característica “E”; entonces, la probabilidad de ocurrencia de E es: p (E) =
n N
Hay una relación natural entre Teoría de Probabilidades y teoría de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo: Espacio Muestral con Conjunto Universal y Evento con Subconjunto Entonces se puede dar la definición utilizando estos términos: La probabilidad de ocurrencia del evento A, es igual al número de muestras posibles que puede suceder A sobre el número de elementos del espacio muestral n(A) p(A) = n(S)
AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1.- Axioma de Positividad ( No Negatividad) 6 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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0≤ p ≥ 1 2.- Axioma de Certeza p (S) = 1 3.- Axioma de Uniones k
Ei S
i) E1 U E2 U E3 U...U Ek =
i 1
k
ii) E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩... ∩ Ek =
Ei
i 1
E1
0
...
E3
...
E4
...
E2
Ek
K
K
p
p( Ei)
Ei =
i 1
i1
De los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades: 1.- “La probabilidad del conjunto nulo o vacío es igual a cero” p( )=0
Se sabe que: A U = A p (A) + p ( ) = p (A) p ( ) = 0
p (A U )= p (A)
2.- “La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A “ S p( ) = 1 – p(A) A A
A
AU A =S p (A) + p ( A ) = p (S) p ( A ) = p (S) – p (A) p ( A ) = 1 – p (A)
3.-Si A y B son 2 sucesos cualesquiera, entonces: P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
A
B A∩B
A
B A-B
+
A∩B 7
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Se puede observar que A-B y B son disjuntos P (A-B) + P (B) = P (AUB)
P (A-B) = P (A) – P (A∩B)
P (AUB) = [P (A) – P (A∩B)] + P (B) B)
P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩
4.- Sean los eventos A, B y C P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P(C) –P (AB) – P (BC) –P (AC) + P (ABC) 5.- Sean los eventos A1, A2, A3,..., An p
n
i jk 3
i1
n
A i
=
p( Ai)
i1
n
-
i j 2
p Ai A j
+
p A i A j A k - …+
n
i 1
(-1)n+1 6.- Si A B
p.
A i
P(A) ≤ P (B)
P (B) = P(A) + P(B-A) Donde p (B-A) ≥ 0
P (B) – P(A) ≥ 0
B
A B-A
P(A) ≤ P (B) PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional de que el vento B ocurra, sabiendo que el evento A ha ocurrido, es: P (B∩A) =
P(A B) , P(A) > P(A)
0 A ha ocurrido P (B
/ A) 8
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B incógnita TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN De la probabilidad condicional P (B/A) =
P(AB) , se tiene: P(A)
P(A B) = P(A). P (B/A) “La probabilidad simultánea de A y B es igual al producto de la probabilidad de A, y la probabilidad de B dado que ha sucedido A” Igualmente: P(A B) = P (B). P(A/B) Generalizando: P (B) = P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) + … + P (An). P (B/An) n
P (B) =
i 1
P (A i). P (B/A i)
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes, sí y sólo sí: P (AUB) = P (A) + P (B) A
B
S
Donde A∩B = (A y B no pueden suceder simultáneamente)
EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta (no condiciona, no influencia) a la ocurrencia de B, si: P (B/A) = P (B) P (A∩B) = P (A). P (B) P (A ∩ B) > 0 TEOREMA DE BAYES Supongamos que hay “n” eventos: A1, A2, A3,..., Ak y n
a) S =
A i
i 1
= A1U A2U A3U...U An n
b) A1∩ A2 ∩ A3 ∩...∩ Ak =
A i
i 1
=0
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A2
Para cualquier evento B S Donde: 1≤ K≤ n i = 1, 2,3,…, n
A1
A3
B An ...
P ( AK / B ) =
P( AK ).P(B/ AK ) P( A1).P(B/ A1) P( A 2).P(B/ A 2) ... P( A n).P(B/ A n) P ( AK / B ) =
P( A K ).P(B/ A K ) n P( A i).P(B/ A i) i 1
Louis Maisel- Probabilidad y Estadística – USA- 1973 1.- Un dado normal de lanza 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que cada lanzamiento produzca un resultado diferente? 6 6
5 6
4 6
3 6
2 6
1 6
6! = 6 6
2.- Se toman 3 muestras aleatorias independientes sobre los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Determinar la probabilidad de que el mismo dígito aparezca una vez en las 3 muestras P= P (2 veces) + P (3 veces) =
3(1x1x9)10 1(1x1x1)10 270 10 0.280 1000 1000 1000
3.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad de que cada caja contenga exactamente una bola N N
N 1 N
N2 N
N3 N
…
4 N
3 N
2 N
1 = N
N! N
N
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4.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad P de que ninguna caja contenga más de una bola P= .
M M1 M 2 M 3 MN1 … = M M M M M
(M N)! (M - N)!
=
M
M! N
(M N)!. M
→ P=
PN
M
N
M(M 1).(M 2)...(M N 1) N
M
para M ≥ N y P = = para M < N
5.- Se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. ¿Cuàl es la probabilidad de que una caja determinada contenga K bolas?
P=
N NK N. . M1 K M
N
Un gabinete contiene 10 pares de zapatos. Si se seleccionan aleatoriamente dos pares de zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de formen una pareja? 1/19 S = {0 pareja, 1 pareja, 2 parejas}
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P(S) =
10 9 24 10 2 .2 4 1 2 20 4
=
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3360 1440 45 4845 1 4845 4845
Seymour Lipschutz – Probabilidades- Colección Schaum 1.-En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes? Método 1. Buscamos el número de particiones ordenadas de 12 estudiantes en células que 12! constan de 4 estudiantes cada una. Hay = 34,650 de tales particiones. 4! 4! 4! Método 2.
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Hay
12 4
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maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la primera prueba: a
continuación hay
8 4
maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la segunda
prueba. El resto de estudiantes toma la tercera prueba. O sea que, por todos hay
12 8 . 4 4
= 495 x 70 = 34,650 maneras para que los estudiantes presenten las
pruebas. 2.- ¿De cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, I,II,II, de suerte que cada equipo conste de 4 estudiantes? Método 1. Observamos que cada partición (I, II, III) de estudiantes puede distribuirse de 3! =6 maneras lo mismo que una partición ordenada. Puesto que (ver problema anterior) hay 12! = 34,650 de tales particiones ordenadas, hay 34,650/6 = 5,775 particiones 4! 4! 4! ( no ordenadas) Método 2.
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Denotemos por A uno de los estudiantes. Entonces hay
11 3
maneras de escoger
los otros 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de A. Ahora denotemos por B a
un estudiante que no sea del equipo de A; entonces hay
7 3
maneras de escoger,
entre los restantes, 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de B. Los 4
estudiantes que quedan constituyen el tercer equipo. Así, en total hay
165 x 35 = 5,775 maneras de repartir los estudiantes.
1 7 . 3 3
=
Se tiene las letras de la palabra: GUERRERO. Si se selecciona una palabra ¿Cuál es la probabilidad de que comience con R y termine en O? R
O 14 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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1 2 3
4
5 6
6! 3 2!.2! P = 8! 56 2!.3!
Se tienen las letras de la palabra AMARRARAS LANTALLA y se colocan en algún orden. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Las “R” y las “A” no queden juntas “L” y “A” b) Las “R” y las “A” deben estar en los extremos “L” y “A” AMARRARAS (A=4 R=3 M=1 S=1 ) a) En bloque (AAAA) (RRR)) AAAA
RRR 1
MS 2 3
LLANTALLA ( L=4 A=3 N=1 T=1) 2!.3! 0.995 P= 1- 9! 4!.3!
2! En cualquier orden AAAA RRR
M R 1 2 3
7! 4!.3! 1 9! 4 4!.3!
3!
P= 1-
P3, 4
7
b)
AAAA
MS 1 2
RR
2!.2! 1 P = 9! 630 4!.5!
2!
Se tienen las letras de la palabra: (a) MATAHAMATTHAM De cuántas maneras pueden ordenarse si: Las “A” deben estar en los extremos y las “M” y “T” deben estar juntas (b) MATTAHAMATHAM “A” MyH (c) NETEHENETTHEN “E” NyH (d) NETTEHENNETHEN “E” NyT Considerar todas las formas posibles
MATAHAMATTHAM
NETTEHENNETHEN
3M – 5A – 3T – 2 H = 13 letras A
3M – 3T 2H A A A A
4N – 5E – 3T – 2H = 14 letras E
4N – 3T
2H E E E E 15
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- - - - - - - - - - - - 6P3,3 3! / 2! 4 4x
-
6! 3! x 240 3!.3! 2!
- - - - - - - - - - - 7 P4,3 3! / 2! 4 4x
MATTAHAMATHAM
7! 3! x 420 4!.3! 2!
NETEHENETTHEN
3M – 5A – 3T – 2 H = 13 letras
3N – 5E – 3T – 2H = 13 letras
A 3M – 2H 3T A A A A - - - - - - - - - - - - 5P2,3 4! / 3! 4 4x
E 3N – 2H 3T E E E E - - - - - - - - - - - - 5 P3,2 4P3,1 4 5! 4! x 160 3!.2! 3!
T R AN S T R AS AN TA ¿Cuál es la probabilidad deque las aes “A” estén en los extremos y las enes “N” y la eses “S” no estén juntas
T=3
R= 2
A A A 2N –2S -- -- -- -------- ---- ----
A= 4
N=2
S=2
3T-2R A -- -- -- -- -- -12 3 4 5 6
p(no juntas) = 1 -
A----------------AAA AA----------------AA AAA----------------A
3x 4.P22.x.6.P3,2,1 13.P3,3,2,2,2
4P2,2 3
C O C AC O LA COLOCOLO ¿Cuál es la probabilidad de que: A) Las letras “C” no deben estar juntas y una letra “o” en un extremo B) Las letras “O” y “C” no deben estar juntas 16 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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8 letras : C=3 O=2 A=2 L=1 OAAL CCC -- -- -- -- O 1 2345 2 extremos
CCC OO
5! p=1= 13 / 14 2! 8.P3,2,2,1
5! 4! x p = 1 - 2!. 3! 2! = 13 / 14 8.P3,2,2,1
8 letras : C=2 O=4 A=2 L=1 OOOLL CC -- -- -- -- -- O 1 23456 2 extremos
CCOOOO
1
2x
6! p=12!. 3! = 5 / 7 8.P4,2,2 2x
AAL -- -- -2 3 4
1
LL -- -2 3
3! 6! x p = 1 - 2! 2!. 4! = 25 / 28 8.P4,2,2
En un estante hay espacio para 10 libros ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se coloquen en los extremos y otros 2 no deben estar juntos? A B C D E F G H I J A --
I J
2 3 4 5 6 7 B -- -- -- -- -- -- -Juntos: 2! 7! Extremos: 2
En los 8 restantes: TOTAL = JUNTOS + NO JUNTOS 8! = 2! 7! + NO JUNTOS NO JUNTOS = 8! – 2! 7! = 8 x 7! – 2 x 7! = 6 x 7! x 2 extremos
p=
2.x.6.x 7! 1 10! 60
Se lanzan 3 dados normales. Si la suma es 6 ¿Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos: a) un “AS” b) un “DOS” Suma 6 : (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), 2,3,1), (2,1,3),(1,2,3),(3,2,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,2,2) 17 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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a) 9 / 10
b) 7 / 10
Un microbús tiene 19 asientos ( 3 filas de 4 asientos con un pasillo al medio, al final 5 asientos juntos y 2 al lado del chofer). En un paradero hay 15 pasajeros De cuántas maneras se pueden ubicar si: a) Ocupar asientos que poseen ventanilla b) 5 pasajeros están enfermos y deben viajar en asientos que poseen ventanilla 9 ventanillas
Chofer
1
2 a)
6
5
3
4
7
8
9
10
14
13
12
11
15
16
18
19
17
15 P 9 . 10 P 6 Pasajeros restantes pasajeros asientos que quedan ventanillas
b) 9 P 5. 14 P 10
Ventanillas enfermos
pasajeros restantes
asientos quedan
COCOROCOS ROCOROCOS ¿Cuál es la probabilidad de que: A) Las letras “C” deben estar en los extremos y la “R” no debe estar junto a ella (Esto es, a la “C”) B) Las letras “O” deben estar en los extremos y la “R” y “S” no deben estar juntos 9 letras : R = 2 RR.....
9 letras : C=3 O=4 R=1 S=1 R OOOOS CC -- -- -- -- -- C R2 2 extremos p=1-
C
2 x 2 x5 = 125 / 126 9.P3,4,1,1
SR CCC O -- -- -- -- -- -- OOO -2! 3 extremos
C=2 S=1
OOOOS RR -- -- -- -- -3 5
p=1-
O
O=4
R....R
.....RR
C
2 x1x5 = 251 / 252 9.P4,2,2,1
RRS CC -- -- -- -- -- OOO 3 3 3 extremos 18
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1-3 p=1-
2-2
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3-1
1-3
4 x 2 x3 = 104 / 105 9.P4,3,2,1
2-2 3-1
3x3x3 = 139 / 140 9.P4,2, ,1
p=1-
MANAM MADAN a) De cuántas maneras pueden ser b)….las 4 “A” consecutivas c)…las 4 “A” y las 3 “M” son consecutivas 10 letras : M=3 A=4 N=2 D=1 a) 10 P 3,4,2,1 = 12 600 b) AAAA MMMDN N c) En ese orden AAAA
MMM
5
7! p = 3!. 2! 12,600
5! p= 2! 12,600
NND
4
321
Se tiene los siguientes dígitos: 0 , 1, 2, 3, 4, 7, 8 , 9 a.-) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar? b.-) ¿Cuántos son pares? c.-) ¿Cuántos son menores que 500? a)
b) 7
7
6 = 294
7
6
4
7
6 = 168
6
6
1
= 42 Total: 150
c) 3
= 108
Se tiene los siguientes dígitos: 0 , 1, 2, 3, 4, 7, 8 , 9 o a) ¿Cuántos son pares? b) ¿Cuántos son 5 ? S= 7 x 7 x 6 x 5 = 1470 a) Cero: 7 x 6 x 5 x 1 = 210 Par: 6 x 6 x 5 x 2 = 360
b)
o
5 : 7 x 6 x 5 x 1 = 210
Cinco : 6 x 6 x 5 x 1 = 180
DEFINICIÓN:
El número total de combinaciones de “n” elementos tomados de “ 1 en 1 “ , “2 em 2”, ... “n en n” n
a) C = 2 – 1 19 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
b) C =
n n . 1 2 3 n
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¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de seis elegibles? Método 1: Según lo anterior, hay 26 = 64 subconjuntos del conjunto de 6 estudiantes. Sin embargo, el conjunto vacío debe ser excluido puesto que se escogen uno o más estudiantes. En consecuencia hay 26 – 1 = 64 – 1 = 63 maneras de escoger los estudiantes Método 2: Puesto que se escogen o uno, o dos, etc., o seis estudiantes; entonces, el número de maneras de escoger es
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PROBABILIDADES
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Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen (i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? (ii) ¿Cuántas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligatorias? (iii) ¿Cuántas, s tiene que contestar por lo menos 4 de las 5 primeras preguntas?
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PROBABILIDADES
6 123456
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
22 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
i)
10 8
=45
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
ii)
3 7 x. 3 5
= 21
iii)
5 5 x 5 3
+
5 5 x 4 4
=10 + 25 = 35
La caja I tiene 8 fichas blancas y 7 fichas rojas. La caja II tiene 8 fichas rojas y 7 blancas. Se sacan 2 fichas de la caja II en forma sucesiva y sin reposición, colocándolas en la caja I y se verifica que son de diferentes colores. Se seleccionan 2 fichas de la caja I. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color?
I
8B 7R
II
8R 7B
2 9B 8R
9 8 9 8 . . . 2 0 0 2 17
Encuentre el número de maneras en que 11 personas pueden ser separados en dos grupos de 5 y 6 , si una persona determinada ha de quedar en el menor de los grupos ABCDE
11 1.! 5 1.! x6!
FGHIJK 10! 210 4!... 6!
P=
Se lanzan 5 bolas en 4 cajas numeradas, de modo que cada bola tenga que caer en cualquiera de las cajas. ¿De cuántas maneras puede suceder que en la primera caigan dos bolas y una en la tercera?
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
23
PROBABILIDADES
5 2
3 1
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
22
Dos últimas bolas, en las
2 cajas restantes Escoger 2 bolas de 5
de las 3 restantes, escoger una de 3
Dos personas tiran una moneda “n” veces cada uno. Indicar la probabilidad de que obtengan igual cantidad de caras p= p (ambos saquen cero cara) + p (ambos saquen una cara) +. . . + p (ambos saquen “n” caras) p (ambos cero cara) = p (cero cara 1er. jugador). p (cero cara 2do. jugador)
n n n n . /21 .x. . 1/2 0 0 p (ambos una cara) = p (una cara 1er. jugador). p (una cara 2do. jugador)
24 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
n n n n . /21 .x. . 1/2 1 1 p (ambos “n” cara) = p (“n” cara 1er. jugador). p (“n” cara 2do. jugador) n n .. 1 / 2 n .x.. .. 1 / 2 n n n
→
p=
1 2
2n
n n
i
2
i0
Dado p(A) = 0.30 p (B) = 0.78 p (A∩ B) = 0.16 _ _ _ _ Calcular: a) p (A∩ B ) b) p ( A B ) c) p ( A ∩B) a) A ∩
_
B
= A – (A∩ B)
p (A∩ _
b) p ( A
_
_
B)
B)
= p (A) – p (A∩ B) = 0.30 – 0.16 = 0.14
= 1 - p (A∩ B) = 1 – 0.16 = 0.84
_
c) p ( A ∩B) = p (B) - p (A∩ B) = 0.78 – 0.16 = 0.62 25 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Un recién graduado solicita empleo en la Cia A y en la Cia B. Se estima que la probabilidad de ser contratado por A es 0.70 y la de serlo por B es 0.50, en tanto que la probabilidad de que se rechace una de sus solicitudes por lo menos es 0.60. Calcular la probabilidad de ser empleado por una de las compañías por lo menos p (A) = 0.70 p (A∩
_
B
_
p (B) = 0.50
_
) = 0.70 x 0.50 = 0.35
p(A ∩B∩
_
C)
_____
_
p(C) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B ) p ( A ∩B) = 0.30 x 0.0.50 = 0.15
= 0.70 x 0.50 x 0.40 = 0.14 p = 0.35 + 0. 15 + 0.14 = 0.64
Un artillero dispara en un blanco. Se sabe que la probabilidad de acertar es 0.01. ¿Cuántos disparos tendrá que hacer para tener una probabilidad mayor que 0.80 de dar en el blanco por lo menos una vez? Utilizando POISSON: 1 – p (x=0) > 0.80 → ln 0.20 > -0.01 n ln e →
1–e
-0. 01 n
n<
> 0.80
→
0.20 > e
-0. 01 n
ln ...0.20 n < 161 0.01
Utilizando BINOMIAL 1 - q2 > 0.80 → log 0.20 > n lg 0.90
1 - (0.99)n > 0.80
→ 0.20 > (0.99)n
→ n < 161
Si p (A) = x p (B) = y
p (A ∩ B) = z
Expresar cada uno de las siguientes probabilidades en términos de x, y y a) p ( A’ B’) b) p (A’ ∩ B) c) p (A’ B) d) p (A’ ∩ B’)
z
a) p ( A’ B’) = 1- p (A ∩ B) = 1- z b) p (A’ ∩ B) = p (B) - p (A ∩ B) =y - z c) p (A’ B) = p (A) - p (A ∩ B) p (A ∩ B) = z p (A) = x = x -z Se lanza un dado cargado. La probabilidad de que ocurra determinado d) p (A’ ∩ B’) = 1un – pnúmero (A B) = es inversamente proporcional al mismo. Calcular la probabilidad de la p (B) = y 1 – p (A) – p (B) + p (A ∩ ocurrencia: B) = a) Número Impar b) Número menor que 5 26 1- x - y - z Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 1 1 1 1 1 1 60 + 30 + 20 + 15+12+10 = 147 1 2 3 4 5 6 60 20 12 92 12 10 125 a) p (Impar) = b) p(x < 5) = 1 147 147 147 147
Una urna contiene 16 fichas de las cuales 12 son blancas y 4 negras. Se extrae una muestra de tamaño 4 con reemplazo. Hallar la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 3 fichas blancas.
p=
4 (12x12x12x4). 3 16x16x16x16
=
4 3 4. .12 3 4 16
Ocho parejas de casados se encuentran en una reunión. Si se escogen 4 personas al azar. Hallar la probabilidad de que haya exactamente : a) Ninguna b) Una c) Dos parejas de casados entre las 4 personas
Ocho parejas → 16 personas → escoger →
a) Ninguna Pareja
S=
16 4
Escoger 4 parejas diferentes. De cada pareja escoger una persona
27 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p=
8 2 x 4 1
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 =
1120 1820
16 4
b) Una Pareja
28 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p=
8 7 2 x . 121 672 16 1820 4
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
De las 8 parejas, escoger una. De las 7 restantes, escoger 2 parejas y de cada pareja, escoger una persona
c) Dos Parejas
29 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p=
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
8 2 28 16 1820 4
De las 8 parejas, escoger 2
Entre edificios se transmiten señales de luces. En uno de ellos se disponen de 5 luces blancas y 5 luces rojas, colocados en los vértices de un pentágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca o roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3 Hallar el número de señales distintas que se pueden formar
Tres luces como mínimo: 3,4, 5 a) 3 luces encendidas
BR b) BR
BR
Hay
BR
BR
5 3
Cuatro luces encendidas
Hay
5 4
c) Cinco luces encendidas
5 5
formas de presentarse y pueden
Hay
formas
B B B B B ----------1 B B B B R --------- 5 formas
B B B B -------1 B B B R -------4 B B R R -------6 30 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
B R R R ------4 R R R R ------1 16
Nº. de maneras = 8
5 3
+ 16
5 4
+ 32
5 5
= 192
Se embarcan motores eléctricos en lotes de 50. Antes de que el cargamento sea aceptado, un inspector elige 5 motores y los inspecciona; y si ninguno de los motores probados es defectuoso el lote es aceptado. Si se encuentra uno o más defectuosos se inspecciona todo el cargamento. Si hay 3 defectuosos en el lote. Hallar la probabilidad de hacer una inspección completa Sea X el número de defectuosos
31 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
De un bolillero con bolillas numeradas del 1 al 100, se extraen “n” bolillas con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos haya algún número repetido?
p (1 ó más) = 1 - p (x =0) = 1 -
3 47 . 0 5 50 5
Hallamos el complemento de la probabilidad “p” pedida: 32 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p
=
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
100 99 98 97 96 100 n 1 ... = 100 100 100 100 100 100
p= 1-
p
=1-
100P100 n
P
100 100 n
100 n
100n
76 Separata Una urna contiene 4 fichas blancas y 8 rojas. Se extraen 5 fichas sin ver su color y se coloca en otra parte. Luego se extrae de la urna una ficha más. Calcular la probabilidad de que ésta última ficha sea blanca. Sea B: {6ta. ficha sea Blanca}
A1 4R 1B 3·R 2B A2 Al extraer 5 fichas éstas pueden ser:
A 3 2R 3B 1R 4B A4 A 5 5R B
Sacando 5 fichas quedan: 4R 3B
p (B / A1 ) = 3/7
33 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
8 4 x p( ) 4 1 280 A1 12 792 5 8 4 x p( ) 3 2 3 6 A2 12 792 5
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4R – 1B →
5R 2B
p (B / A2 ) = 2/7
3R – 2B →
34 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
8 4 x p( ) 2 3 1 2 A3 12 792 5 8 4 x p( ) 1 4 8 A4 1 2 79 2 5
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
6R 1B
p (B / A3 ) = 1/7
2R – 3B →
7R 0B
p (B / A4 ) = 0/7
1R – 4B →
35 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
8 4 x p( ) 5 0 56 A5 12 792 5
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3R 4B
p (B / A5 ) = 4/7
5R – 0B →
5
p (B) = p( A i)..p(B / A i) = i 1
280 336 112 8 56 1 (3 / 7 ) ( 2 / 7) (1 / 7 ) ( 0) ( 4 / 7) 792 792 792 792 792 3
En una urna que contiene 7 fichas rojas y 3 fichas verdes se revolotean y se van sacando las fichas una por una a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fichas verdes no salgan unas a continuación de otra? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las 7 fichas rojas no salgan unas a continuación de otra? TRES verdes no consecutivas SIETE rojas no consecutiva
AAA
A A A A A A A 1
p=1-
2 3 4 5 6 7 8
8 10P3
=
14 0.93 15
BBBBBBB
p=1-
8 10P7,3
BBB 1234
=
29 0.96 30
36 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Jorge tiene ordenado 3 cajas de las cuales se sacan 3 bolas, que están numeradas del 1 al 9. Se forma un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la 1ra. , 2da. y 3ra. caja ¿Cuál es la o probabilidad de que el número así formado sea múltiplo de 18? 18 o
o
18 = 9 x 2 → termina en 2, 4, 6 y 8
16 14 12 19
25 23 21 28
34 32 39 37
43 41 48 46
52 59 57 55
61 68 66 64
79 77 75 73
88 86 84 82
97 95 93 91
2 4 6 8
→ → → →
9 9 9 9 36
p=
36 4 9 x 9 x9 81
Los registros de una compañía muestra que: 40 % de los trabajadores son mujeres, 25 % son solteros, 50% son casados y 15 % son viudos. El 65 5 menores de 30 años, 25 % entre 30 y 45 años y 10 % mayores de 45 años Calcular la probabilidad de que un trabajador sea varón menor de 45 años , con la condición de ser soltero V: varón
M = menor de 45 años
M1: entre 30 y 45 años M2: menor de 30 años
Se pide: p (V ∩ M / S ) = p( V )..p(S)..p(M) p( V )..p(M1 M2 ) 0.60 x( 0.65 0.25) = 0.54 p(S)
Una caja contiene 4 bombillas quemadas y 6 buenas. Se sacan 3 a la vez y se colocan sobre una mesa. a) ¿Cuál es la probabilidad que sobre la mesa haya habido a lo sumo una bombilla buena, dado que al probar una de ellas ( de entre las 3) se encuentra que será quemada b) Si de la mesa se separan 2 bombillas a la vez (de las 3 existentes). ¿Cuál es la probabilidad que la bombilla que queda sobre la mesa resulte buena?
4Q 6B
Sacar 3
Posibilidades B 3 Q 0
2 1
1 2
0 3
p (una quemada) =?
p(Q) = p(0Q, 3B) + p (1Q, 2B) + p (2Q, 1B) + p (3Q, 0B) 37 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p(Q) = 0 x
p(Q) =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 6 x 0 3 10 3
+
1 x 3
4 6 x 1 2 10 3
4Q 3B
sacar 3
Sacar 2: p=(
2 x 3
+
3 x 3
4 6 x 3 0 10 3
0 20 24 4 48 + + + = 120 120 120 120 120
24 4 p (1 ó 2 Q / Q ) = 120 120 48 120
b)
+
4 6 x 2 1 10 3
=
28 7 48 12
0B 3Q p 4 / 120 1B 2Q p 36 / 120 2B 1Q p 60 / 120 3B 0Q p 20 / 120
4 36 60 20 9 3 x 0) +( x 1/3) +( x 2/3) +( x 1) = 120 120 120 120 15 5
Se arrojan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, que el primero sea mayor que 4 y el segundo menor que 5? A: 1ro. Sea mayor que 4 B: 2do. Menor que 5
(i, j), (i, j),
j ≤4 i = 1, 2, 3, 4, 5,6 j =1,2,3,4,5,6, i = 5, 6
p(A ∩ B) = p(A). p(B) =
p = 24/ 36 p = 12 / 36
12 24 2 x 36 36 9
38 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Un operario inspecciona alternativamente los productos A y B hasta encontrar el primer defectuoso. La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso A p (A) es igual a0.10 y la del segundo artículo es p (B)= 0.15 Sea X el número de artículos inspeccionados A y B Hallar la función de probabilidad de la v.a. X artículo defectuoso A
DB: artículo defectuoso B
_ _ D D A B S: { , DA , DA DA _ _ ,...} DB D A
_ DB
_ DA , D A
_ _ DB D A
_ DB , D A
DB
_
D
_
D
p( A ) = 0.10 p ( D A ) = 0.90 p(x=1) = 0.10 p(x=3) = 0.90 x 0.85 x 0.10 2 2 p(x=5) = (0.90) x (0.85) x 0.10
p( B ) = 0.15 p ( DB ) = 0.85 p(x=2) = 0.90 x 0.15 2 1 p(x=4) = (0.90) x (0.85) (0.15)
p(x) =
p(x) =
0.90
x 1 2
D A:
0.85
x 1 2 .( 0.10 )
X = 1, 3, 5, 7,...
3
2
p(x=6)= (0.90) x (0.85) (0.15)
0.90
x 2
. 0.85
x 1 .( 0.15) 2
X = 2, 4, 6, 8,...
La probabilidad de que John solucione un problema de Estadística en particular es de 40%. Hay un 70% de probabilidad de que Fred lo soluciones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea resuelto? Asuma que Fred y John trabajan separadamente y los resultados son por tanto independientes. Puede resolverse si John lo soluciona ( y Fred no lo hace , si Fred lo soluciona ( y John no lo hace), o si ambos lo solucionan P(S) = p (J ∩ F’) + p (J’ ∩ F) + p (J ∩ F) = (0.40). (0.30) + (0.60). (0.70) + (0.40). (0.70) =0.82 Harry vende al 30 % de los clientes a quienes llama. Si él hace 3 llamadas hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que haga exactamente una venta?. Harry puede vender a cualquiera de los 3 clientes. p(Una venta) = S ∩ S’ ∩ S’ = (0.30) (0.70) (0.70) = 0.147 S’ ∩ S ∩ S’ = (0.70) (0.30) (0.70) = 0.147 S’ ∩ S’ ∩ S = (0.70) (0.70) (0.30) = 0.147 = 0.441
39 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Como alternativa, se determina la probabilidad de que se haga una venta a cualquiera de los 3, y luego se multiplica por el mismo número de formas en las cuales puede hacerse una venta
p(21) =p( S ∩ S’ ∩ S’) = (0.30) (0.70) (0.70)
3 1
= 0.441
La urna I tiene 5 fichas blancas, 4 negras y 6 rojas. La urna II, 3 fichas blancas, 4 negras y 5 rojas. Se tira un dado. Si sale 1 ó 2, se sacan 2 fichas de la urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que sea: a) De igual color? b) De diferentes colores?
5/15 4/15 2/6
I
N
6/15
R
3/12 4/6
IGUALES p (BB) = (2/6 x 5/15 x 4/14) + (4/6 x 3/12 x 2/11) = 0.062 p (NN) = (2/6 x 4/15 x 3/14) + (4/6 x 4/12 x 3/11) = 0.080 p (RR) = (2/6 x 6/15 x 5/14) + (4/6 x 5/12 x 4/11) = 0.149 0.291
B
B 4/12 N
II 5/12
R
DIFERENTES p (NB) =2 (2/6 x 4/15 x 5/14) + (4/6 x 4/12 x 3/11) = 0.185 p (NR) =2 (2/6 x 4/15 x 6/14) + (4/6 x 4/12 x 5/11) = 0.278 p (BR) = 2 (2/6 x 5/15 x 6/14) + (4/6 x 3/12 x 5/11) = 0.247 0.710
a) p (2N) = (0.60)2 (0.20) + (0.70)2 (0.50) +(0.80)2 (0.30) = El gerente General de una cadena de supermercados estima que la proporción de sus establecimientos que alcanzarán la meta de una venta anual de equivalente al millón de soles en la forma siguiente: Proporción de establecimiento X Probabilidad p(x) 0.60 0.20 0.70 0.50 0.80 0.30 Se selecciona al azar dos de los negocios: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan alcanzado la meta considerada? b) Dado que ambos alcanzaron la meta. ¿Cuál es la probabilidad de que el 80% de los negocios haya vendido un millón de soles? 40 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
=
0.072
b) p (0.80 / 2N) =
+
0.245
+
0.192
= 0.509
0.192 0.3772 0.509
La caja I tiene 8 fichas Rojas y 7 fichas blancas. La caja II , tiene 7 fichas rojas y 8 fichas blancas. Se sacan 2 fichas de la caja I en forma sucesiva y sin reposición, colocándolos en la caja número II y luego se verifica que son de: a) Diferentes colores b) Igual color Se seleccionan 2 fichas de la caja II. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color? DIFERENTES COLORES 1R 1B
Urna I 8R 7B 2 fichas
Urna II 7R 8B
8 9 8 9 xx 2 0 2 64 17 136 2
9R 8B
8R 9B Urna II
BLANCAS
7R 10B
En una dependencia pública el 20% de hombres y 10% de las mujeres están aptos para jubilarse. El 70% de los empleados son hombres. Si se presentan dos P= solicitudes de jubilación y cumplen con los requisitos. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las solicitudes sea de un hombre y la otra de mujer?
0.70
0.30
H
0.20 A _ 0.80 A
M
0.10 A _ 0.90 A
p (2 cumplen requisitos): (0.70 x 0.20) (0.70 x 0.20) + H H (0.30 x 0.10) (0.30 x 0.10) + M M (0.70 x 0.20) (0.30 x 0.10) = 0.0247 H M
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
41
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor ( 0.70 x 0.20)x( 0.30x 0.10) 0.17 p (H y M / 2 cumplen) = 0.0247
Una urna contiene cierto número de bolas blancas y una negra. La urna II contiene 2 bolas blancas y 2 negras, y la urna III contiene 3 bolas blancas. Se escoge una urna al azar y de ella se extrae una bola, que resulta ser blanca. Si la probabilidad de que dicha bola provenga de la urna III es 4/9. Determinar: ¿Cuántas bolas blancas hay en la urna I?
1/3
I
x x 1 1 x 1
1/3 1/3
B N
1/2
B
1/2
N
1
B
II III
p (B) =
p (III
/
1 x 1 5x 3 x( 1) 3 x 1 2 6x 6
1 4 3 B) = 5x 3 9 6x 6
Donde x = 3
1
3 14
x p (T) = 17 20 4 4 15 X T La probabilidad de que una construcción sea terminada a tiempo es 17 / 20; la 1/4 H x=3/5 probabilidad 1-X de que no de que la T’ haya huelga es 3 / 4 y la probabilidad 2
1x
construcción sea terminada a tiempo, dado que no hubo huelga 4 5 es 14 / 15. p ( H / T’) = 17 Hallar: 14/15 T 1 La probabilidad de que haya habido huelga, dado que la construcción no se 20 terminó a tiempo 3/4 H’ 1/15 T’
Moya
1.4
1.- ¿Cuántos números se pueden formar con los dígitos {1,2,3,4,5}. Suponiendo que no pueden repetirse estos? 1--------------5 4---------5x4x3x2 2--------------5x4 5---------5x4x3x2x1 325 3--------------5x4x3 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V 2.- ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos {0, 1, 2, 3, 4} si no pueden repetirse estos? 4 x 4 x 3 = 58
42
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
10.- Dad una caja con los siguientes focos: 2 de 25 vatios, 3 de 50 vatios y 4 de 100 vatios.
3.-a)¿Cuántos números de 3pueden cifras distintos existen? ¿De cuántas maneras escogerse 3 de ellos?
9 x 9selecciones x8= b) ¿Cuántas de estas de tres incluirán a los 2 de 25 vatios? ¿Cuántos no contendrán los de 25 vatios? c) ¿Cuántas selecciones de tres focos incluirán exactamente uno de cada uno de las 4.-potencias? ¿De cuántas formas posibles pueden salir de un aula los 25 alumnos que están en ella? (Se sobre entiende que salen uno por uno) 25!
2 3 4 x 24 1 1
5.- En un salón de clases se quiere sentar a 6 jóvenes y 6 chicas en una sola fila, de manera que las chicas ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras se puede hacer? M M M M M 11.diferentes de dinero pueden formarse con las monedas __ ¿Cuántas __ __ __ cantidades __ __ __ __ __ __ __ = 5! 6! siguientes: 1 de 50 centavos, 1 de un sol, 1 de 5 soles, 1 de 10 soles, 1 de 50 soles y 1 de 100 soles?
6.- (a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4 y 5, si cada dígito se utiliza una sola vez? (b) ¿Cuántos de ellos son impares? (c) ¿Cuántos de ellos son mayores que 330?
6 6 63 123456
a)a) 5 5 4 = 100 b) b) 4 4 3 = 8
c) c) 2 5 4 = 40 1 2 4 = 8………Total = 48
7.- Hay 2 obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra? ( 3!
3!
2!
2! ) 4!
8.- ¿Cuántas palabras distinguibles se pueden hacer con las letras de la palabra MISSISSIPPI? 11
P 4, 4, 2,1
9.- ¿Cuántos números diferentes de 12 cifras pueden formarse si se dispone de los dígitos: 2,2,2,2,4,4,45,5,5,5,5 ?
P
14.- Si 5,C – C(2(18, 12 4, (18,4) 3 2 2 n+2) 2) (4=40,4)determine (5 5 5 5 5)el valor de 4 3 5 6
C = 2 – 1 = 63
1 8 18 4 n2
Cn5
1 2 10 x 5 6
12.- ¿Cuántos equipos de fútbol pueden formarse con 12 15.¿De que cuántas formas diferentes pueden arreglarse tresy focos rojos, cuatro hombres puedan ocupar cualquier posición delantera amarillos y4+n+2 tres navideña que 10 hombres queazules puedan =18 enocupar nuna =12serie cualquiera = de792 las contiene demás diez porta focos? posiciones? 10 3, 3, 4
P
13.- En cada caso determine el valor de n si: a) C 2 C8 b) C11 C7 n n n n
c)
n n 2 C18 C18
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
43
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
16.- Un estudiante del primer año debe llenar un programa que consiste en un curso de idioma extranjero, uno de ciencias naturales, uno de ciencia sociales y uno de español. Si hay 4 posibilidades para escoger el idioma extranjero, seis para el curso de ciencias naturales, tres para el curso de ciencias sociales y dos para el curso de español. ¿De cuántas maneras puede llenar su programa ele estudiante? 4 x 6 x 3 x 2 = 144
17.- En una biblioteca hay 8 libros de geometría, 14 de álgebra, 10 de física y 5 de química. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar cuatro libros, de manera que sea uno de cada curso mencionado 8G 14A 10F 5Q = 5600
18.-Un club tiene 25 miembros, 10 hombres y 5 mujeres. ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar: a) Si cada uno de ellos deben contener por lo menos 3 mujeres? b) Si en cada uno de ellos debe estar el presidente y la secretaria del club?
105 105 x x
20.- Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibición 12 corbatas diferentes, a saber: de tubos tipo italiano, 4 de tipo inglés y 3tres de tipo nacional. ¿Cuántas compras 19.-En 510 de prueba se cultivan tipos de bacterias, tres tubos diferentes contienen puede hacer, si desea llevar como mínimobacterias una corbata del tipo tipo italiano y bacterias una del tipo bacterias del primer tipo, cuatro contienen del segundo y tres del inglés? tercer tipo. ¿De cuántas maneras distintas pueden ponerse en un porta tubos, teniendo en cuenta solamente el orden del tipo de bacterias? 10
a)
P 3, 3,4
b)
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
44
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 5 4 3 3 x 1x1 x 0123
=600
45 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 5 4 3 3 x 2x1 x 0123
=1200
46 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 5 4 3 3 x 3x1 x 0123
=1200
47 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 5 4 3 3 x 4x1 x 0123
=600
48 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 5 4 3 3 x 5x1 x 0123
=1200
Total 3720
5 Italianos – 4 Ingleses – 3 Nacionales = 12 corbatas S = 212 – 1 = 4095 Sea A: Por lo menos (Un italiano y un inglés) A’: Se venda nacional pero ningún italiano ni inglés o ningún italiano o ningún inglés o sólo uno de ellos Cálculo de A
49 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 x x4(8) 10 231 50 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 5 x x6(8) 120 31
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5
x4 6 4 1x8 1 5 15 x15x8 x120 1 1
51 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 x x4(8) 130 21 52 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 x x1(8) 140 231 53 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Análogamente:
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 5 5 5 5 x120 x120 x120 x120 x120 1 2 3 4 5
= 3,720
Por complemento: Cálculo de A’ Ningún italiano
Ningún Inglés
4 5 3 x 40 01 23
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
54
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 x 32 01 23 55 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 x 48 02 1 3 56 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 x 32 03 12 57 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 x 8 04 123
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Total: 120
58 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
5 4 3 xx 0 0 0
Ningún italiano
Ningún inglés
5 4 3 5 4 3 5 4 3 xx x x 0 0 1 0 2 0 3
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
7
se descuenta, no se vende “ninguno”
Total: 120 + 248 + 7 = 375
A = 4095 – 375 = 3720
59 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
21.- Un grupo de 14 viajeros, de los cuales 6 son mujeres y 8 son varones, deben ser alojados en un hotel que posee 7 habitaciones, tales que puedan ser instalados dos viajeros en cada una de ellas. a) ¿De cuántas formas posibles se pueden ubicar? b) ¿De cuántas formas posibles se pueden ubicar , si en cada habitación deben estar personas de igual sexo? Si en el grupo hay 2 matrimonios. ¿de cuántas formas se pueden ubicar, si se desea que cada matrimonio ocupe una habitación y el resto de las habitaciones no sea ocupado por personas de distinto sexo?
a) 14 C 2
b) HH
HH H H H H M M M M M M
7! 4 3 x x 420 4! 3!x 1 1
8 6 x 420 2 2 HM
HM
4H 6M
22.- En una clínica trabajan 18 enfermeras
7 5! 4 6 x x 2 !x32
a) ¿Cuántas guardias diferentes de 3 enfermeras se pueden formar? b) ¿En cuántas guardias de las formadas en (a) estará una enfermera determinada?
1 17 x 136 1 2
23.- ¿Cuántas manos de póker de 5 cartas consisten de: a.- Dos pares (dos cartas iguales) b.- Cuatro de la misma clase (iguales)? a) b) c.- Full (3 cartas de la misma denominación y 2 de otra)?
24.-Cinco amigos se encuentran en una fiesta. ¿Cuántos saludos de mano se intercambian 60 si cada amigo estrecha la mano de todos los demás sólo una vez?
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V 5
C2
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
25.- Un biólogo intenta clasificar 46,200 especies de insectos asignando a cada espacie tres iniciales del alfabeto. ¿Será la clasificación completa? ¿Si no, cuál es el número de iniciales que debería ser usado? 26
P3
= 15,600
26
P 4 = 358,800
26.- La mesa de sesiones del rectorado de cierta universidad es rectangular. En una sesión ordinaria asiste el Rector, el Secretario. nueve directores de programas académicos y 18 jefes de departamentos. El Rector y el secretario ocupan permanentemente la cabecera y al frente de ellos está también permanentemente los dos directores más antiguos; el resto de los asistentes se sientan en las partes laterales de la mesa. Se pregunta ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en la mesa los asistentes (todos los asistentes) a la sesión mencionada? 2! x 2! x 25!
27.-Para transmitir señales de día, se dispone de 4 banderas triangulares distintas y de tres juegos iguales, compuestos cada uno por nueve banderas rectangulares, distintas entre si. Cada señal debe consistir en una bandera triangular, seguida de tres, dos, una o ninguna rectangular. Se desea saber que número de señales distintas pueden hacerse y que sería más perjudicial en cuanto a dicho número se refiere, si perder tres banderas rectangulares iguales o dos juegos des esta clase de banderas 4 4 4 4
9 9 9
9 9
9 = 2,916 = 324 = 36 = 4
28.-Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocados en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es tres. Hallar el número de señales distintas s e pueden formar
3 luces BBB---1 BBR---3 BRR---3 RRR---1 8 6 luces BBBBBB----1 BBBBBR----6
6
6
4 luces BBBB---1 BBBR---4 BBRR---6 BRRR---4 RRRR---1 16
6
6
5 luces BBBBB----1 BBBBR--- 5 BBBRR---10 BBRRR---10 BRRRR----5 RRRRR----1 32
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V N= 8 + 16 + 32 + 64 = 656
61
PROBABILIDADES BBBBRR---15 BBBRRR---20 BBRRRR---15 BRRRRR----6 RRRRRR----1 64
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
29.- Una firma comercial tiene 1º vendedores. De cuántas formas puede asignarse los vendedores en dos escritorios con cinco vendedores en cada escritorio? ¿Con siete en un escritorio y tres en la otra a) 10
P 5, 5
b) 10
P 7, 3
30.- Una firma comercial tiene 10 vendedores. ¿De cuántas formas pueden los vendedores ser asignados a tres escritorios con tres en el primer escritorio, tres en el segundo y cuatro en el tercer escritorio? 10
P 4, 3, 3
62 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
UNFV-FIIS-Ingeniería de Sistemas – A4-3
Estadística – Ing. Luis Manrique Suárez
07-IX-97
1.- Cierto insecticida mata en la primera aplicación al 70% de los mosquitos, pero desarrolla cierta resistencia entre los que sobreviven, de manera que el porcentaje que muere en una aplicación posterior del insecticida es la tercera parte del porcentaje que muere en la aplicación inmediata anterior ¿Cuál es la probabilidad de que un mosquito no sobreviva 4 aplicaciones? 2.- Se sacan 3 fichas de 3 urnas, que tienen cada una fichas numeradas del 1 al 8. Se forma un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la 1ra. , 2da. y 3ra. urna. ¿Cuál es la probabilidad de que un número así formado sea múltiplo de 18? 3.- En el circuito, la probabilidad de que cada uno de los relés esté abierto es 0.30 (todos funcionan independientemente) ¿Cuál es la probabilidad de que exista corriente entre los terminales I y D? 3 I
1
4
D
5 4.cada
2
Dos personas probabilidad
6
tiran
una
moneda “n” veces uno. Indicar la de que obtengan igual cantidad de
caras 5.- En una función de beneficio, no se venderán boletos a menos que se haya realizado la correspondiente reserva (hay 100 asientos). Habitualmente un 5% de las reserva no se concreta. La función de beneficio recibe 102 reservas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más concurrentes que asientos?
63 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
1.-
0.7 / 3 = 0.23
M
0.70
M
0.23
V 0.30 (no (sobreviva) =
sobreviva)
0.08
V
0.77
M
= 1 –p
p
0.03
V
V
0.92
M
0.97
= 1 – 0.30 x 0.77 x 0.92 x 0.97 = 1 – 0.206 = 0.794 p= ( 0.70) ( 0.30 )x(
0.70 3
) ( 0.30 )(1
0.70 3
) x(
0.70 9
) ( 0.30)x(1
0.70 3
)x(1
0.70 9
)(
0.70 27
)
p = 0.793388
2.-
Terminan en 2 → 1,6 2,5 4 → 1,4 2,3 6 → 1,2 2,1 8 → 2,8 3,7
3,4 3,2 4,8 4,6
4,3 4,1 8,4 5,5
5,2 7,7 5,7 6,4
6,1 6,8 6,6 7,3
3.p (cerrado) = 1- 0.30 = 0.70
8,8 8,6 7,5 8,2
→ → → →
7 7 7 7 28
Problema 66 - Separata
p
28 83
7 128
Problema 127-C - Separata
p (A1 A 3) U p (A2 A 4 ) U p(A2A 5) U p (A2 A 6)= p(A1 A 3) + p (A2 A 5 )+ p(A2 A 6) – p (A1 A 2 A3 A 4) - p (A1 A 2 A3 A 5) - p (A1 A 2 A3 A 6) - p (A2 A 4 A5 ) - p (A2 A 4 A6 ) - p (A2 A 5 A6 ) + p (A1 A 2 A3 A 4 A5 ) + p(A1 A 2 A3 A 4 A6 ) + p (A2 A 4 A5 A 6) - p (A1 A 2 A3 A 4 (A5 A 6 ) = 4 p2 – 3 p3 -2 p4 +3 p5- p6 = 4 (0.7)2 – 3(0.7)3 – 2(0.7)4 + 3(0.7)5 – (0.7)6 = 0.837361
4.- p ( ambos “0 caras”) + p (ambos “1 cara” ) + ...+ p( ambos “n caras”) p (ambos cero cara) = p (cero cara 1er. jugador). p (cero cara 2do. jugador)
64 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
n n n n . /21 .x. . 1/2 0 0
p (ambos una cara) = p (una cara 1er. jugador). p (una cara 2do. jugador)
n n n n . /21 .x. . 1/2 1 1
p (ambos “n” cara) = p (“n” cara 1er. jugador). p (“n” cara 2do. jugador)
n n .. 1 / 2 n .x.. .. 1 / 2 n n n
→
p=
1 2
2n
5.- Es igual a la probabilidad de que concurran
n n
i
2
i0
más de 100 personas
65 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p= p (101) + p (102) =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
102 101
(0.95)101 (0.05)1 +
102 102
(0.95)102 (0.05)0 =0.34
Universidad nacional Federico Villarreal Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
Estadística – Examen 30.9.97 2do. Año- Ingeniería Industrial Ing. Luis Manrique Suárez Ing. Nancy Ochoa Sotomayor (A) 1.- Hallar la probabilidad de que el circuito no falle (pase la corriente de I a F) siendo 0.40, la probabilidad de falla de cualquiera de los 6 componentes del circuito A D
I
B
E
F
C F Los registros de una compañía muestra que: 40% de los trabajadores son mujeres, 25 % son solteros, 50% son casados y 15% son viudos. 65% menores de 30 años, 25% entre 30 y 45 años y 10% mayores de 45 años. Calcular la probabilidad de que un trabajador sea varón menor de 45 años, con la condición de ser soltero 2.-
3.- Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el mismo número de sellos en los 3 primeros lanzamientos y en el último lanzamiento de la moneda? 4.-Dos bombarderos lanzan alternativamente bombas al blanco hasta el primer impacto. La probabilidad de impacto en el blanco por el primer bombardero es igual 0.70 y las del segundo bombardero es 0.80. La primera bomba la lanza el segundo bombardero Sea X : Nº de bombas lanzadas por amos bombarderos Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X 5.- La caja A contiene 6 ampolletas blancas y 4 ampolletas de color. La caja B contiene una ampolleta blanca y tres de color. De la caja A se extrae al azar 66 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
una ampolleta y se coloca en la caja B. se mezclan las ampolletas de la caja B y luego se extraen sucesivamente y sin reposición, dos ampolletas. Si se sabe que al menos hay una ampolleta blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
5-A
– Problema 99 - Separata
6/10 B
B
2B 3C
6B 4C
1B 3C
1/4 3/4
B C
2B 2C
2/4 2/4
B C
4C
1
C
1B 3C
1/4 3/4
B C
C 4/10 1B 4C
C
B C
B BB B BC B CB B CC C BC C CB C CC
p(al menos 1 B) = 1 – p (ninguna Blanca) = 1 – p (BCC, CCC) = 6
=1-
10
x
3 4
x
2 4
4 10
x
4 5
x
3
29
4
50
3
p (2 B) =
6 10
x
2 5
x
1 4
3 50
1-A
p (BB / al menos 1B) =
4-B
50 3 29 29 50
-Problema 125 - Separata
Para que el circuito funcione:
0.4 6
-Fallan los 6 componentes - Fallan los 3 primeros o los 3 últimos
F1 F2 F3
(
F1 F2 F3
(
F1 F2 F3
(
2 (0.6)3 0.4)3 -Fallan los 3 primeros y 2 de los 6 (0.6)1 0.4)5 3 últimos o viceversa - Fallan los 3 primeros y uno de los
F4 F5 F6
)
F5 F6 )
F4
F4 F5
F6 )
6 (0.6)2 0.4)4 3 últimos o viceversa P (Falle) = (0.4)6 + 2(0.6)3 (0.4)3 + 6 (0.4)5 (0.6)1 + 6 (0.4)4 + (0.6)2 P (Falle) = 0.123904
67 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4-A
Problema Nº. 80 – Separata
B1 = 0.7 B’1 = 0.7 B2 = 0.8 B’2 = 0.2 S: {B2, B’2 B1 , B’2 B’1 B2 , B’2 B’1 B’2 B1 , B’2 B’1 B’2 B’1 B2 , …} X = 1 , 3, 5 ,7 X = 2, 4, 6, 8 0 0 1 p(x=1) (0.2) (0.3) (0.8) p(x=2) (0.2) (0.3)0 (0.7) p(x=3) (0.2)1 (0.3)1 (0.8) p(x=3) (0.2)2 (0.3)1 (0.7) p(x=5) (0.2)2 (0.3)2 (0.8) p(x=5) (0.2)3 (0.3)2 (0.7) x 1 x 1 x x p( x ) p( x ) 0.2 2 0.3 2 0.2 2 0.3 2 1 (0.7) (0.8)
Universidad Nacional Federico Villarreal Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
Estadística – Examen 30.9.98 2do. Año- Ingeniería Industrial Ing. Luis Manrique Suárez Ing. Nancy Ochoa Sotomayor (B) 1.- Un conjunto de Empresas pequeñas de metalmecánica producen 3 tipos de tornillos, que son los que más demanda tienen en el mercado. Autorroscantes (A), estobol (E) y para madera (M) El 30% de las empresas producen A y E El 20% de las empresas producen E y M El 36% de las empresas producen A y M El 9 % de las empresas producen A, E y M La producción de tornillos son independientes. S e elige una Empresa al azar y resulta que esta produce sólo uno de estos productos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea autorroscante? 2.- Las probabilidades de que 3 tubos se quemen son respectivamente 0.2, 0.3 y 0.4. Las probabilidades de que un aparato funciones; si uno, dos o tres tubos se quemen son: 0.20, 0.60 y 0.90 respectivamente. Hallar la probabilidad de que el aparato funciones 3.- Los registros de una compañía muestra que: 40% de los trabajadores son mujeres, 25 % son solteros, 50% son casados y 15% son viudos. 65% menores de 30 años, 25% entre 30 y 45 años y 10% mayores de 45 años. Calcular la probabilidad de que un trabajador sea varón menor de 45 años, con la condición de ser soltero 4.- Hallar la probabilidad de que el circuito no falle (pase la corriente de I a F) siendo 0.40, la probabilidad de falla de cualquiera de los 6 componentes del circuito A D
I
B
E
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V C
F
F
68
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5.- Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el mismo número de sellos en los 3 primeros lanzamientos y en el último lanzamiento de la moneda?
3-A
5-B
Problema 60 - Separata
p (0,0) = (1/2) (1/2) (1/2) . (1/2) = (1/2)4 . p (1,1) = 3 (1/2) (1/2) (1/2) . (1/2) = 3(1/2)4 .
V: varón
Total: 4 (1/2)4 = 1/4
2-A 3-B M = menor de 45 años
M1: entre 30 y 45 años M2: menor de 30 años
Se pide: p (V ∩ M / S) = p( V )..p(S)..p(M) p( V )..p(M1 M2 ) 0.60 x( 0.65 0.25) = 0.54 p(S) 2- B Problema 95 - Separata p(A) = 0.2 p(B) = 0.3 p(C) = 0.4 Se quema UN tubo p (AB’C’) = 0.2 x 0.7 x 0.6 = 0.084 p (A’BC’) = 0.8 x 0.3 x 0.6 = 0.144 } 0.452 x 0.20 = 0.0904 p (A’B’C) = 0.8 x 0.7 x 0.4 = 0.224 Se queman DOS tubos p (ABC’) = 0.2 x 0.3 x 0.6 = 0.036 p (A’BC) = 0.2 x 0.7 x 0.4 = 0.056 p (A’BC) = 0.8 x 0.3 x 0.4 = 0.096
}
0.188 x 0.60 = 0.1128
Se queman TRES tubos p (ABC) = 0.2 x 0.3 x 0.4 = 0.024 } 0.024 x 0.90 = 0.0216 p (Funcione el aparato) = 0.2248 1 – B - Problema 91 p (A E) = 0.30 p (M E) = 0.20
p (A M) = 0.36 p (A E M) = 0.09
p (produce uno de los productos) = p (A E
M) + p (A E M)+ p (A E M)
p (A E
M) = p (A)
p (M E) = 0.09
→
p(A) =
p (A E
M) = p (E)
p (M A) = 0.09
→
p(A) =
p (A E
M) = p (M) p (A E) = 0.09
→
p(A) =
0.09 0.20 0.09 0.36 0.09 0.30
0.45 0.25 0.30
69 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
p (A E’ M’) = 0.45 x 0.75 x 0.70 = 0.23625 p (A’ E M’) = 0.55 x 0.25 x 0.70 = 0.09625 p (A’ E’ M) = 0.55 x 0.75 x 0.30 = 0.12375 0.45625 p ( solo A
/ uno de los 2 ) =
0.23625 0.5178 0.45625
Universidad Nacional Federico Villarreal Facultad de Ingeniería industrial y de Sistemas 28-9-99 ESTADÍSTICA Ing. Luis Manrique Suárez -------------------------------------------------------------------------------------------------------1.- Se tiene las letras de palabra CARAMCAMCAM COROMCOMCOM ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar si las “C” deben estar en los extremos y la “R” debe estar siempre entre 2 vocales? 2.- Un tren tiene 4 vagones y deben distribuirse en ellos al azar 10pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo vagón se encuentren 5 pasajeros? 3.- Se tienen los siguientes datos: 2, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ¿Cuántos números podrán formarse si el 2 debe estar antes que el 5? 4.- La probabilidad de que un avión llegue a tiempo de Piura a Arequipa, haciendo escala en Lima es 0.70 y la probabilidad de que llegue a tiempo a Lima y tarde a Arequipa es 0.15. Si la probabilidad de llegar a tiempo a Lima es 0.50. ¿Cuál es la probabilidad que llegue a tiempo a Arequipa, si se sabe que llegó a tiempo a Lima? 5,- Juan y Pedro tiran una moneda “n” veces cada uno. Indicar la probabilidad de que obtengan igual cantidad de “sellos” 6.- La urna I contiene 3 fichas Blancas y Rojas. La urna II contiene 4 Negras, 4 Rojas y 4 Blancas. Se lanzan 2 dados. Si la suma es menor que 7,se saca una ficha de la urna II; de lo contrario, se saca de la urna I. Si se escoge una ficha Blanca. ¡Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 10?
70 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
1.- CARAMCAMCAM n = 11 LETRAS ARA
CC
COROMCOMCOM C=3 , A=4 , R=1 , M=3 AAM M M __ __ __ __ __
Nº = 2 x
C
6! 120 2! x3! x11
10 5 x3 5 10 4
2.-
p=
3.-
2 5 __ __ __ __ __ __ __ __ = 6! x 7 (El 2 puede aparecer en 7 lugares)
2 5 2 5
= 6! x 6 = 6! x 5…
(1+ 2 + 3+ 4 +5 +6 + 7) 6! = 28 x 6! = 20,160 4.L
A L
L A
_
L
A
p (A)= 0.70 p (L)= 0.50 _ p (L A ) = 0.15 p (A/L)=? p(L) = p ( L A ) * p(L A) _
p L A) = p (L) – p (L A ) = 0.50 – 0.15 = 0.35 _
p ( A / L) =
5.-
p( A L ) p(L )
0.35 0.50
7 10
p (ambos “0 sellos”) + p (ambos “1 sello” ) + ...+ p( ambos “n sellos”)
71 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
P (0,0) =
P(n,n)
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
n n n n . /21 .x. . 1/2 0 0
p (1,1) =
n n .. 1 / 2 n .x.. .. 1 / 2 n n n
n n n n . /21 .x. . 1/2 1 1
→
p=
1 2
2n
6.7/12
I
5/12
II
7
p (R) =
12
x
1/2 1/2
R B
1/3 1/3 1/3
R B N
1
5
2
12
x
3
24
1
p (>10 / R) =
p(R )
i0
p (10) = 3 / 12 7
p(R 10)
i
p (6) = 1 – p (X≤5) = 1 – p(X=4) – p(X=5)
0.07 0.07 0.07 0.07
D
D
D
p ( X>6) = 1-
X=5
0.07 0.07 0.07 0.07 0.93
D
D
D
D
D
B
5 4
2 5 4 0.07 0.93x 0.07 x 4
5.- Una caja contiene 2 focos de 25 w. , 3 de 50 y 4 de 100. (La marca y demás distintivos fueron borrados totalmente). Se prueba sucesivamente un foco, hasta conseguir la mejor iluminación. Hallar la fórmula para representar al número de extracciones que hay que realizar X: Nº de extracciones hasta obtener la mejor iluminación X= 1 X= 2
4
=4x
P50
5x4 =4x
X= 3 X= 41
=4x
P15
5x4 x4=4x
X= 5
5x4 x3x 2x4
P521
=4x
P52
5x4 x3x 4
5 P1 1
=4x
=4x
P551 X= 6
P531
P53
=4x
5x4 x3x 2x4 =4x
Fórmula:
=4x
P54
P541
=4x
4x5Px-1
= 4 x P5 P5 61 5
6.-De una baraja normal de 52 cartas, se extraen aleatoriamente 6 cartas. ¿De cuántas maneras se pueden extraer 2 parejas y 2 que no forman pareja. Ejemplo: 7799AQ, QQJJAK,…
77 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
13 2
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 4 11 4 4 x 2 x 2 2 1 1
7.- Si se escogen 4 personas al azar, de 6 parejas de casados. De cuántas maneras se puede escoger: a) Ninguna b) Una c) Dos parejas sean casadas
6 a) N (ninguna pareja) = 4
2 1
4
2 = 240 1
b) N (una pareja) =
6 1
5 2
2 =240
c) N (2 parejas) =
6 2
= 1s5
Comprobación: 240+ 240 + 15 = 495 =
12 4
8.- En una fiesta de 4 hombres y 8 mujeres se divide al azar en 4 grupos de 3 personas cada uno. Calcular la probabilidad de que en cada grupo haya un hombre
78 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
p=
4 8 3 6 2 4 1 2 x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 12 9 6 3 3 3 3 3
9.- Cinco bolas distribuidas aleatoriamente 3 cajas designadas por A, B y C Calcular la probabilidad a) De que la caja A o B estén vacías b) Dos cajas no estén vacías a) A esté vacía ------- B y C están llenos p (A U B) = p (A) + p (B) – p (A
B)
=
A y B vacíos------ C lleno
5 2 5 3
5 1 7 2 5 5 27 3 3
b) p (2cajas no vacías) = 1 – p (2 cajas vacías) = 1 -
C32 35
=
80 81
10.- Una urna contiene 3 bolas rojas y X blancas. Se saca una bola de la urna y se reemplaza por una de otro color, se saca de la urna una segunda bola. Sabiendo que la probabilidad de que la segunda bola sea roja es 34 / 100. se pide la probabilidad de la primera bola extraída sea roja 3/ x+3
X B
R
(x+1) B
2R
3 R
B
(x-1) B
4R
x / x+3
p (R ) = 1
R ----- 2 / x+3 R ----- 4 / x+3
p (R2) =
3 x3 x x3 17
x x
2 x3 4
+
x3
=
50 3 x3
3
X=7
10
79 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
11.-Si el experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos del 1 al 9 uno a continuación de otro. Calcular la probabilidad de que el 5 aparezca antes del 6Sin repetición. -- -- -- -- -- -- -- 5 6 = 8 x 7! (1 2 3 4 5 6 7 8)x 7! p= -- -- -- -- -- -- 5 6 -- = 7 x 7! 9! … … … … … … … … 7! x 36 1 p= 5 6 -- -- -- -- -- -- -- = 1 x 7! 9! 2 12.- Se distribuyen aleatoriamente “r” bolas diferentes entre “N” celdas. Calcular la probabilidad de que una celda determinada contenga “n” bolas
p=
r 1 r N1 r n N
13.- Se tienen los 8 dígitos del 1 al 8, unos a continuación de otro. Calcular la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 4 – Sin repetición
12 32 52 72
6! 4 2 -- -- -- -- -- -- -- --
2, 6
16 36 56 76
6! 3 2 -- -- -- -- -- -- -- --
4,
24 64 84
28 48 68
6!.( 4 x 2) 6.! ( 4 3) 2 x 7 x 6.! 1 8.! 8x 7 x.6.! 4 14.- Juan tiene 10 amigos. De cuántas maneras puede invitar a 4 de ellos a una reunión si 2 de ellos no se pueden ver y no asisten juntos p=
80 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Nº de maneras = Total - van juntos =
10 2 8 . 4 2
= 210 – 28 = 182
Nº de maneras = Va uno de los dos + no van ninguno de los dos
= 2
8 8 3 4 +
= 182
Tiene para invitar a 4 de los 8 restantes Le queda invitar a 3 más, de los 8 restantes
15.- Se lanzan 6 dados aire y caen en una mesa. De cuántas maneras pueden hacer dos “cincos” (o que aparezca 2 veces el números 5)
5/6
5/6
5/6
5/6
1/6
1/6
6 2
p=
6 2
(1/6)2 (5/6)4.
16.- Se va a seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 8 personas, denotados por P, Q, R, S, T, U, V y W. ¿Cuál es la probabilidad de que no sean seleccionados T, U y W?
81 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p=
3 5 . 0 5 8 5
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
o
p=1-
3 5 1 2 5 .3 . 32 14 23 8 5
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
82
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
17.- En una urna que contiene 7 fichas rojas y 3 fichas verdes, se revolotean y se van sacando las fichas una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que las 7 fichas rojas no salgan unas a continuación de otra? RRRRRRRVVV 1 234
4
10
18.- De una baraja normal de 52 cartas, pse= retiran 5 ¡”espadas” ♠ 1=1Hallar la probabilidad de obtener un “diez” (10) en la siguiente extracción p=
8
1
1
7,3
1
. 3. 13 47 13 47
19.-La urna I tiene 5 fichas blancas, 4 negras y “x” rojas. La urna II tiene 3 fichas blancas, 4 negras y 5 rojas. Se tira un dado. Si sale 5 ó 6 se sacan 2 fichas de la urna II, de lo contrario se sacan 2 fichas de la urna II. Si la probabilidad de que sean de igual color 4es 0.29033. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 fichas sean de color negro? P (colores iguales) = p (BB) + p(NN) + p (RR)
2/6
4/6
I
II
5 / 9+x 4 / 9+x X / 9+x
B N R
3 / 12 4 / 12 5 / 12
B N R
p = (2/6 5/9+x 4/8+x) + (4/6 3/12 2/11) + (2/6 4/9+x 3/8+x) + (4/6 4/12 3/11) + (2/6 x/9+x x-1/8+x) + (4/6 5/12 4/11) = p = 0.29033 X = 6
→
p (NN) = 0.0765
20.- Se lanzan 3 dados normales. Si la suma es seis (6). Halar la probabilidad de sacar por lo menos un “As” 1,1,4
3,1,2
2,3,1
2,2,2
1,4,1
3,2,1
1,2,3
4,1,1
2,1,3
1,3,2
p = 9 / 10
21.- De una baraja normal de 52 cartas, se extraen 7 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) Dos parejas y otros diferentes b) Una trica (tres cartas iguales) y otros diferentes c) 3 parejas d) 2 tricas
83 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
a) p =
3 1 3 4 1 4 52 x xx 2 2 3 1 7
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
b) p =
4 1 3 4 12 4 52 x xx 1 3 2 4 1 7
84 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
c) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3 13 4 1 4 52 1 3 4 10 4 52 xxx x xx 3 2 1 1 7 2 3 1 7 d) p =
22.- Desde la costa (de un faro) se envían señales a un barco, con 2 ó 3 luces. Para ello se cuenta con un pentágono con 3 luces en cada vértice: Blanco, Azul y Verde. En cada vértice no puede haber encendido más que una luz. ¿Cuál es la probabilidad de que un barco determinado reciba señales de un solo color?
85 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
b) 3 luces encendidas BAV
b)
BAV
BAV
BAV
BAV
Hay
5 2
formas de presentarse y pueden ser:
Cuatro luces encendidas
B B B -------1 B B V --------3 B B R --------3 B R V --------6 V V V --------1
p (un sòlo color) =
V V R ----- 3 V V B ----- 3 R R R ----- 1 R R V ----- 3 R R B ----- 3
5 5 3. 3. 2 3 360
TOTAL : 27
formas
Nº. de maneras
=9
= 60/360
Hay
5 4
5 5 2 3 5 6. 3 + 27
p (3colores ≠) =
= 360
= 60/360
360
23.- Dos jugadores igualmente fuertes juegan tenis, donde cualquiera puede ganar. ¿Qué es más probable ganar : uno de dos partidos o dos de cuatro partidos?
86 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p (x=1) =
2 1 1 1 .. 1 2 2 2
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
22
p(x=2) =
4 1 1 3 . . 2 2 2 8
Más probable dos partidos de 4 24.- De una baraja normal de 52 cartas, se extraen 2 cartas que resultan ser: a) 2 negras b) una “espada” y un “basto” o “trébol” y luego se extraen 5 cartas más. ¿Cuál es la probabilidad de que sean rojas y además formen: a) una pareja? b) Dos parejas?
87 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
a) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3 2 6 1 3 2 1 2 2 26 26 26 .... 2x . 2 1 1 5 1 2 3 1 52 2
x
50 5
88 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
b) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2613 21 2626 . . . 5 2 1 1 1 52 2 50 5 x
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
89
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 25.- Los siguientes números representan los sueldos de un grupo de empleados ( en unidades monetarias) : 63.2 , 34.8 , 54.6, 72.4 , 85.0 y 44.0 . Calcular la probabilidad de que al escoger dos de estas personas al azar, ambas tengan un _ _ sueldo comprendido entre x - S y x + S _
x = 59.0 S = 16.8 _
54.6
x - S = 42.2
72.4
_
x +S=
75.8
4 elementos
44.0 63.2
4
6 2
De 2 en 2:
S=
6
15 2
→
P = 6 / 15
26.- Durante un periodo determinado, el 80% aumentó el valor de mercado de las acciones comunes en circulación en una industria, que incluye solamente 10 compañías. Si un inversionista escoge 2 de esas acciones al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas hayan experimentado un aumento en su valor de mercado durante ese periodo? p=
8 10
x
7 9
56 90
27.- La proporción general de artículos defectuoso en un proceso continuo de producción es 0.10 ¿Cuál es la probabilidad de que (a) de dos artículos elegidos _ al azar ninguno tenga defectos D (b) Dos artículos escogidos al azar tengan defectos D (c) Cuando menos uno de los 2 artículos escogidos al azar no tenga _ _ defectos D ? p (D) = 0.10 p ( D ) = 0.90 _
_
a) p ( D D ) = 0.9 x 0.9 = 0.81 c) p = 1 – p (D) = 1 – 0.01 = 0..99
b) p (DD) = 0.10 x 0.10 = 0.01
28.-Un analista de una empresa manufacturera estima que la probabilidad de que una Empresa competitiva tenga planes para comenzar a fabricar equipo nuevo en los próximos 3 años es de 0.30 y de 0.70 la de que la empresa no tenga tales planes. Si la empresa de la competencia si tiene esos planes, definitivamente se construiría una nueva instalación fabril. Si la empresa de la competencia no tiene esos planes, existe aún una probabilidad de 60% de que se construya la nueva instalación fabril por otras razones a) Al utilizar E para la decisión de participar en el campo del equipo nuevo y F para la adición de una nueva instalación fabril, ilustre los eventos posibles mediante un diagrama de árbol b) Suponga que se observa que la empresa de la competencia, de hecho ha comenzado a trabajar en la nueva fábrica. Con esta información. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa haya decidido ingresar al campo del nuevo equipo? a) 0/2 F
90 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
F E
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
0.30
E 2/2 0.60
F
0.70 0.40 p(E F )
b) p (E / F) =
p(F )
p(E ).p(F / E ) _ _ p E .p F / E p E .p F / E
.
=
( 0.30)x(1) 5 ( 0.30).(1) ( 0.70).( 0.60) 12
29.- La urna I tiene 5 fichas blancas, 4 negras y 6 rojas. La urna II tiene 3 fichas blancas ,4 negras y 5 rojas. Se tira un dado, si sale uno o dos, se sacan 2 fichas de la urna I, de lo contrario se sacan 2 fichas de la urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que sea: a) De igual color b) De diferentes colores Si las 2 fichas sacadas son de diferentes colores. ¿Cuál es la probabilidad de que : c) Sean blanca y negra d) La primera blanca y la segunda negra e) La primera haya sido blanca f) La segunda haya sido roja IGUAL COLOR P (BB) = 1/3 x 5/15 x 4/14 + 2/3 x 3/12 x 2/11 = 0.062 P (NN) = 1/3 x 4/15 x 3/14 + 2/3 x 4/12 x 3/11 = 0.080 P (RR) = 1/3 x 6/15 x 5/14 + 2/3 x 5/12 x 4/11 = 0.149
(a) 0.291
DIFERENTE COLORES P (NB) = 2 [1/3 x 4/15 x 5/14] + 2 [2/3 x 4/12 x 3/11] = 0.185 P (NR) = 2 [1/3 x 4/15 x 6/14] + 2 [2/3 x 4/12 x 5/11] = 247278 P (BR) = 2 [1/3 x 5/15 x 6/14] + 2 [2/3 x 3/12 x 5/11] = 0.185
(b) 0.710
c) p (1ra. Blanca y 2da. Negra / 2 colores ≠) = [1/3 x 5/15 x 4/14 + 2/3 3/12 4/11] ÷0.710 = 0.13 d) p (B N / 2 colores ≠) = 2 (1/3 5/15 4/14) + 2(2/3 3/12 4/11) ÷0.710 = 0.26 e) p (1ra. Blanca / 2 colores ≠) = 1/3 [5/15 4/14 + 5/15 6/14] + 2/3 [3/12 4/11 + 3/12 5/11] ÷0.710 = 0.30 f)
p (2da. Roja / 2 colores ≠) = p (2R) = 1/3 [5/15 6/14 + 4/15 6/14 + 6/15 5/14] + 2/3 [3/12 5/11 + 4/12 5/11+5/12 4/11] ÷0.710 = 0.58
30.-La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, la probabilidad de que la construcción termine a tiempo, dado que no hubo huelga es 14/15, la
91 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor probabilidad de que haya huelga y no se termine a tiempo la construcción es 1/10. Encontrar: a) La probabilidad que la construcción termine a tiempo y no haya huelga (b) La probabilidad que no haya huelga dado que la construcción terminó a tiempo (c) La probabilidad que la construcción no termine a tiempo, dado que hubo huelga (d) La probabilidad que la construcción termine a tiempo, dado que hubo huelga (e) La probabilidad que haya habido huelga, dado que la construcción no se terminó a tiempo T: La construcción se terminó a tiempo H: Haya huelga _ _ _ p (T) = 17/20 p ( H ) = 3/4 p (T/ H ) = 14/15 p (H∩ T )=1/10
1/4
X
H
=
_
= 3/4 x 14/15 = 7/10
_
Y 3/4
_ _ _ a) p (T∩ H ) = p ( H ). p (T/ H )
T T
14/15
T
1/15
_
H
_
c) p ( T /H) = Y
10 17 20
=14/17
T _
7
_
b) p ( H /T)= p(H T ) = p( T ) _
_
_
_
_
p ( T ) = p (H). p ( T /H) + p ( H ) = . p ( T / H ) 1 – 17/20 = 1/4. Y + 3/4. 1/15 y = 2/5 x = 3/5
d) p (T/H) = x = 3/5 1 2 _ x p ( H T ) _ 4 5 e) p (H/ T ) = _ 17 1 p( T ) 20
31.- Hallar la probabilidad de que el circuito no falle ( pase la corriente de I a F) siendo 0.30 la probabilidad de falla de cualquiera de los 6 componentes del circuito. Complemento al problema 125 – Separata
I
F
1
4
2
5
3
6
92 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor _ _ _ _ _ _ _ a) 3 primeros y 3 últimos: ( F1 F 2 F3 F 4 F5 F6 F1 )6……………………
0. 7 6
b) 3 primeros y 2 últimos (o viceversa) _ _ _ _ _
6 (
F1 F 2 F3 F 4 F5 F6
0.7 5
3
c) 3 primeros y 1 último ( o viceversa) _ _ _ _
6 (
F1 F 2 F3 F 4 F5 F6
_
F1
)4 ( F’)2………………….6
(0.30)22.
2 3 d) 2 primeros y 2 últimos _ _ _
_
9(
F1 F 2 F3 F 4 F5 F6
0.7 4
F1
)5 F’………………….6
(0.30)
2
0.7 4
_
_
F1
)4 (F’)2………………….9
(0.30)2 . 2
3
e) 1 primero y 2 últimos (o viceversa) _
_
_
F1 F 2 F3 F 4 F5 F6
)3 (F’)3……………. 18 3
2
0. 7 3
F1 F 2 F3 F 4 F5 F6
3
_
F1
(0.30)3 .
3
f) 1 primero y 1 último _ _
0.7 2
18 (
9(
_
F1
)2 (F’)4………………...……. 9
(0.30)4 . 3
-------------------------0.946729
93 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 31.Considere el segmento siguiente de un circuito eléctrico con tres relevadote. La corriente pasa de “I” a “F” si por lo menos hay una trayectoria cerrada cuando los relevadores se cierran. Sin embargo los relevadores podrían no trabajar bien. Suponer que cierran en forma correcta solo con una probabilidad de 0.90 cuando se acciona en el switch y que trabajan en forma independiente uno del otro. Sea A el evento que denota que la corriente pasa de “I” a “F” cuando los relevadores se cierran a) Calcular p(A) b) Calcular la probabilidad de que el relevador 1 cierre en forma correcta, dado que se sabe que la corriente pasa de “I” a “F”
1 I
a) _
3
F
2 3
_
_
1
1 _
2
_ _
_
1
2
3 (0.90 x 0.10 x0.10) = 0.027
2 3
1 2
3
3
1
2
_
3
_
1 123
_ _
3 (0.90 x 0.90 x0.10) = 0.243
2 3
(0.90 x 0.90 x0.90) = 0.729 p(A) = 0.999
_ _
_
b) p (correcta) = p (1 2 3 ) + p (1 2 3 + 1 2 3 ) + p (123) 0.027 2 . 0.243 (0729) 0.90 = 3 3 p (1 correcta / A) =
0.90 0.9009 0.999
32.- Una compañía compra neumáticos de dos proveedores 1 y 2. El proveedor 1 tiene un antecedente de suministrar llantas con 10% de defectos; en tanto que el proveedor 2 tiene una tasa de sólo el 5 % de defectos. Supóngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor 1. Si se toma una llanta de esa existencia y se ve que está defectuosa. ¿Quién de los 2 proveedores tiene mayor probabilidad de haber surtido el neumático defectuoso? Bi: Un neumático lo haya vendido el proveedor i p (B1) = 0.40 p (B2) = 0.60
i = 1,2
D: El neumático seleccionado es defectuoso p (D / B1) = 0.10 p (D / B2) = 0.05
P (D) = p (B1) p (D / B1) + p (B2) p (D / B2) = (0.40) (0.609 + (0.60) (0.05)
= 0.04 + 0.03 = 0.07
94 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
P (B1 / D) =
p(B1 D) p(B1).p(D / B1) 0.04 4 p(D) p(D) 0.07 7
P (B2 / D) =
p(B 2 D) p(B 2).p(D / B 2) 0.03 3 p(D) p(D) 0.07 7
33.- Se lanzan 2 monedas. Si aparece por lo menos una cara. se extraen 2 fichas aleatoriamente de la urna I que contiene 2 fichas rojas y 3 verdes ; de lo contrario, se extraen 2 fichas de la urna II que contiene 3 rojas y 2 verdes. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 fichas de igual color? b) Si se han obtenido 2 fichas de diferentes colores. ¿Cuál es la probabilidad de que en las monedas hayan aparecido 2 caras? S: {cc, ss, cs, sc}
Por lo menos una cara 3/4
Cero caras
p (por lo menos una cara) = p =
Urna I 2R 3V
Urna II 1/ 4
3R 2V
3 4
RR RV VR VV
2/5 x 1/4 = 2/20 2/5 x 3/4 = 6/20 3/5 x 2/4 = 6/20 3/5 x 2/4 = 6/20
RR RV VR VV
3/5 x 2/4 = 6/20 3/5 x 2/4 = 6/20 2/5 x 3/4 = 6/20 2/5 x 1/4 = 2/20
12/20
12/20
a) p (iguales colores) = p (RR) + p (VV) = 3/4 [2/20 + 6/20] + 1/4 [6/20 + 2/20] = 32/80 b) p (diferentes colores) = 3/4 [12/20] + 1/4 [12/20] = 48/80 1
p(2 caras / ≠ colores) =
UNFV – FIIS – 26-09-2000
4
x
12
20 12 1 48 4 48 80
ESTADÍSTICA
2do. Año
95 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Profesores: Ingº Luis Manrique – Ingº Nancy Ochoa – Ingº Jorge Meléndrez Rojas Ingº Lauro Palomino _ Ingº Enrique Bendezú Vila
1.- De una caja que contiene 8 artículos, 3 son defectuosos. Se extrae una muestra sin reemplazo de 3 artículos y luego se selecciona a un artículo de la muestra. Dado que el artículo seleccionado fue defectuoso. Calcular la probabilidad de que en la muestra haya habido 2 defectuosos 2.- La urna I contiene una ficha blanca y 2 negras, la urna II contiene 2 fichas blancas y 2 negras, y la urna III contiene 2 fichas blancas y 3 negras. Extraemos una ficha de cada urna y llamamos X a la variable aleatoria que representa el número de fichas blancas extraídas a) Determinar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x b) Calcular la varianza 3.- En un día, una máquina produce 3 artículos cuya calidad puede ser defectuosa o no. Si el precio de venta de cada artículo bueno es $100 y cada artículo defectuoso representa una pérdida de $ 25. Sea X la variable aleatoria que representa la utilidad neta diaria y suponga que cada punto del espacio muestral tiene igual probabilidad. Hallar la esperanza de X E(X) 4.- La probabilidad de que un componente se comporte adecuadamente bajo condiciones de alta temperatura es del 90%. Si este dispositivo tiene 5 de tales componentes. Determinar la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes: a) El dispositivo no es operacional porque falla uno de los 5 componentes b) El dispositivo no es operacional porque falla uno o más de los componentes 5.- Una compañía de seguros contra accidentes de tránsito sabe que el 0.0025 % de la población fallece cada medio año por accidente de tránsito. ¿Cuál es la probabilidad que la compañía tenga que pagar: a) A ninguno de 20,000 asegurados este año b) A más de 2 de 10,000 asegurados 6.- Los 3 / 8 de los alumnos del Segundo año de la FIIS están ausentes por causa de la huelga de transportistas (servicio público). En una clase de 25 alumnos el profesor pasa lista hasta que respondan “presente”. ¿Cuál es la probabilidad de que : a) El décimo alumno llamado sea el cuarto que responda “presente” b) El cuarto alumno llamado sea el primero que responda “presente”
(1)
8 artículos 3D 5B
→ 3 artículos → S = 8C3 = 56
53
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
96
PROBABILIDADES
1D – 2B → p (D) =
3D – 0B → p (D) =
P (Defect.) =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
1 3
3 3
y
3 5 . 30 1 2
y
3 5 . 1 3 0
2D – 1B → p (D) =
2 3
y
3 5 . 15 2 1
0 / 3(10 ) 1 / 3(30) 2/3(15) 3 / 3(1) 21 → P (2 def. /D) = 56 56
10 56 10 21 21 56
(2) I (1B-2N) - II (2B-2N) - III (2B-3N) Sacar 3 NNN, BNN, BBN, BBB. X = 0, 1, 2,3 fichas blancas
(a)
X 0 1 2 3 Total
p (X) 12/ 60 26 / 60 18 / 60 4 / 60 1
p(NNN) = 2/3 2/4 3/5 = 12/60 p(BNN) = 1/3 2/4 3/5 + 2/3 2/4 3/5 + 2/3 2/4 2/5 = 26/60 p(BBN) = 1/3 2/4 3/5 + 1/3 2/4 2/5 + 2/3 2/4 2/5 = 18/60 p(BBB) = 1/3 2/4 2/5 = 4/60
X p (X) 0 26 / 60 36 / 60 12 / 60 74 / 60
X2 p (X) 0 26 / 60 72 / 60 36 / 60 134 / 60
97 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
(3) D D D → 1/2 1/2 1/2 x 1 = 1/8 D B B → 1/2 1/2 1/2 x 3 = 3/8 D D B → 1/2 1/2 1/2 x 3 = 3/8 B B B → 1/2 1/2 1/2 x 1 = 1/8
(4) a) p (X =1 falla) =
5 1
Y (0D, 3B) = 3(100) – 0 (25) =300 x 1/8 = 37.50 Y (1D, 2B) = 2(100) – 1 (25) =175 x 3/8 = 65.625 Y (2D, 1B) = 1(100) – 2 (25) = 50 x 3/8 = 18.75 Y (3D, 0B) = 0(100) – 3 (25) = -75 x 1/8 = -9.375 → E (X) = $ 112.50
(0.10)1 (0.90)4 = 0.32805
b) p (X ≥ 1 falla) = 1 – p (X=0 falla) = 1 -
(5) (a) λ = 20,000 x
5 0
(0.10)0 (0.90)5 = 0.40951
0.0025 = accidentes / ½ año = 0.5 x 2 / ½ Año x 2 = λ = 1 accidente / 100
año p (X=0) = e- λ = e-1 = 0.3679 b) λ = 10,000 x
0.0025 = acc. / ½ año = 0.25 x 2 / ½ Año x 2 = λ = 0.50 accidente / 100
año p(x>2) = 1 – p(X ≤ 2) = 1- p (X= 0, 1,2) =1 – (
0.500 0!
+
0.501 1!
+
0.50 2 2!
)
= 0.014
(5) a) p(X=10) =
011 .(5/8).(3/ 08 .) 0356 14
b) p (X=4) = (5/8) (3/8)3 = 0.0330
2.10.1
Práctica Calificada ESTADÍSTICA Permutaciones y Combinaciones 1.- ¿De cuántas maneras pueden ordenarse las letras de la palabra: ALGUIEN, BESTIAL, CUANTIO, DURAZNO, tomados de 5 en 5, si:
98 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
a) Deben contener vocales b) Deben contener consonantes c) Comienzan con consonante y contiene la letra “A” d) comienzan con consonante y terminan con vocal 2.- Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibición corbatas diferentes a saber: 5 Argentinas, 4 Bolivianas y 3 Colombianas. ¿De cuántas maneras distintas puede comprar si desea llevar como mínimo 1 Argentina y 2 Bolivianas? b) 1A y 2C c) 1B y 2A d) 1B y 2C 3.-Se distribuyen aleatoriamente 5 (6) fichas en 4 cajas.¿de cuántas maneras pueden distribuirse si a) una caja puede contener 3 (4) fichas b) pueden quedar las cajas ocupadas? 4.-En una biblioteca hay 3 libros de geometría, 4 de Álgebra, 5 de Física y 6 de Química. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar 4 libros de manera que haya por lo menos un libro a) de Geometría b) Álgebra c) Física d) Química? 5.- De una baraja normal de 52 cartas, se extraen 5 cartas. Calcular el número de maneras de sacar de todos los resultados posibles S = 52 C5 Ejemplo: 5 cartas diferentes, 1 pareja, 2 parejas, 3 iguales, etc. (1) a) Deben contener vocales b) Deben contener consonantes A 5 4 3 2 3 = 360 A 5 4 3 4 3 = 720 B 5 4 3 4 3 = 720 B 5 4 3 2 3 = 360 C 5 4 3 2 3 = 360 C 5 4 3 4 3 = 720 D 5 4 3 4 3 = 720 D 5 4 3 2 3 = 360 a) Comienzan con consonante b) Comienzan con consonante y contienen la letra “A” y terminan en vocal A 3 4 5 4 3 = 720 A 3 5 4 3 4 = 720 B 4 4 5 4 3 = 960 B 4 5 4 3 3 = 720 C 3 4 5 4 3 = 720 C 3 5 4 3 4 = 720 D 4 4 5 4 3 = 960 D 4 5 4 3 3 = 720 12 (2) Por lo menos 1A y 2B S = 2 – 1 = 4095
99 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x68 120 31 100 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x48 130 21
5 5 .64 18 xx. 8 1 1
101 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x18 140 231 102 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Análogamente para:
88 [
5 5 12345
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 x88 2
5 x88 3
5 x88 4
5 x88 5
] = 88 ( 5+10+10+5+1)= 2728 .
Por complemento:
103 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
54.3 . 7 0.123
4 0
(
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 5 12345
) (8)
104 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 . 32 01 23
4 1
(
5 5 12345
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
) (8)
105 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 . 48 02 1 3
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 (31) (8) = 1240 127 + 1240 = 1367
Nº. = 4095 – 1367 = 2728
-------------------------------------------------
106 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 4 3 . 8 04 123
5 4 3 . 32 03 12
Total 127
3.- a) 5 º º º º º ººº
107 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
A)
5 3
x 4 x 32.
6 3
B)
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
x 4 x 33.
C)
5 4
x 4 x 31.
D)
6 4
x 4 x 32.
b) 5 º º º º º ºº
º
º
B) 6! / 2! 2! + 6! / 3!
º
A) 5! / 2!
C) 5! / 2!
D) 6! / 2! 2! + 6! / 3!
4.- 3G 4A 5F 6Q = 18 libros → 4 libros TOTAL = “0” libros de Geometría + 1 ó más libros de Geometría G TOTAL = + G G = TOTAL - G = 18 17 16 15 - 15 14 13 12 A) G = 18P4 – 15P4 = 40,680 B) A = 18P4 – 14P4 = 49,416 C) F = 18P4 – 13P4 = 56,280 D) Q = 18P4 – 12P4 = 61,560
Prueba de A:
1G
3 15 14 13
Prueba de B :
4 1
=32,760
1A
4 14 13 12
4 1
=34,944
108
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
2G
3 2 15
14
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 2
= 7,560
2A
4
3 14 13
3G
3 15 14 13
4 3
=
360
3A
4
3
2 14
1,344
40,680
4A
4
3 2
1
4 2
=13,104
4 3 4 4
=
=
Prueba de C:
1F
2F
4 13
49,416
Prueba de D :
5 13 12 11
5
24
12
4 1
4 2
=34,320
=28,720
1Q
2Q
6 12 11 10
6
5 12 11
4 1
4 2
=31,680
=23,760
109 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
3F
5
4
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3 13
5,760
4F
5
4
3
2
4 3
3
4
4
4
= 3,120
3Q
6
5
4
12
=
=
120
4Q
6
360
4
5 4
3
4
=
56,280
61,560
5.- a) 5 cartas diferentes:
A2345
b) 1 pareja:
13 4 . 5 1
5 = 1’317,888
110 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
AA234
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
134 2 . 1 23 1
3 = 1’098,240
111 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
AA222
c) 2 parejas:
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
13 4 2 . 1 2 3
=
3,744
112 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2
AA225
d) 3 iguales
13 4 14 . . 2 1
=
123,552
113 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
AAA23
e) 4 iguales
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
134 2 . 1 32 1
3 =
54,912
114 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
1 3 4 12 4 . . 1 41
AAAA8
=
624
2’598,960
Examen único – 6/XI/01 Estadística 1.La probabilidad de vender un artículo “ALTEZA es 0.885. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.95, cuando el artículo está catalogado como bueno y la probabilidad de que el artículo sea bueno, sabiendo que se vende es 0.966 a) Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno b) Si un artículo no se vende. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea bueno?
0.95 X=0.90 0.10
B
B
0.05 Y=0.30 0.70
B B
B: artículo bueno
V: artículo se vende
P (B/V) = 0.966 p (V/B)= 0.95 P (V) = 0.885 p ( v ) = 0.115
B B
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
115
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor p(B V ) P (B/V) = = 0.95 X 0.966 p( V ) 0.885
X = 0.900 P (V) =p (0.90 x 0.95) + 0.10 Y → Y = 0.300
= 0.10 x 0.70 V a) P 0.700 0.10 B b) P B = 0.10 x 0.70 0.609 0.115 V 2.- Se tiene las letras de la palabra MATAHAMATTHAM y se colocan en cualquier orden ¿Cuál es la probabilidad de que las “A” estén en los extremos y las “M” y “T” deben Estar juntas ( considerar todas las formes posibles) Dejar indicado n = 13 letras
M=3
NNNTTT A
A=5
H H MT Junto
P=
6 3 4x x 3, 2,1
1
→
T=3 H=2
AAAA
Juntos = Total – No Junto
2 3
P
1 3,003
13.P5,3 ,2
116 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 3.-La unidad de transporte “COUSTER” tiene 19 asientos (3 filas de 4 asientos con pasillo al medio, al final 4 asientos y 2 asientos juntos al chofer). En el paradero inicial hay 14 pasajeros que desean el servicio. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 pasajeros que están y deben viajar, ocupen asientos que poseen ventanilla?
Chofer ventanillas
P = 9P6 12P8 18P14
V
V
V
V V
V V
V
V
9
9
ventanillas
12 8
6
pasajeros
quedan 18-6 = 12 restantes pasajeros 14-6 = 8
4.- Diez pasajeros abordan un tren de 5 carretas. Cada pasajero escoge aleatoriamente cualquier carruaje para viajar. ¿Cuál es la probabilidad de que en la segunda careta haya 3 pasajeros y una de las otras carretas quede vacía ººº 2da segunda 10-3 = 7 pasajeros en 3 carretas ocupadas
P=
( 1,1,5) , (1,2,4) , (1,3,3)
10 x4. 3 7P1, 57P1,247P1,3 10 5
5.- Tres bolas están numeradas con 1,2 y 3. Se escoge aleatoriamente una bola y se lanza un dado tantas veces como indica el número extraído. Si se obtiene una suma igual a 6. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del lanzamiento del dado 3 veces? S = 1,2,3,,4,5,6,(1,1),(1,2),…(6,6), (1,1,1),(1,1,2),…,(6,6,6) Suma 6 1 vez: 6 2 veces: (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) 3 veces: (4,1,1),(1,4,1),(1,1,4),(2,1,3),(2,3,1),(1,3,2),(1,2,3),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2) p= 1/3 (1/6) + 1/3 (5(36) + 1/3 (10/216) =
36 30 10 76 648 648
117 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 10 / 648 10 P= 76 / 648 76
En un estante hay 24 libros: 6 grupos de 4 libros c/u (Algebra, Biología, Cálculo, Dibujo, Estadística y Física). se seleccionan al azr 6 libros Sea X: El número de tríos obtenidos Un trío se consideran 3 libros de la misma materia Calcular la probabilidad de X X: 0, 1, 2 tríos
0 trío y 6 diferentes:
0 trío y 3 pares:
ABCDEF
AA BB CC
6 4 . 6 1
6
6 4 . 3 2
3
=
=
4096
4320
118 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2 2
0 trío, 2pares y 2 diferentes:
AA BB CD
6 4 4 4 . . 2 2 2 1
= 51,840
2 4
0 trío, 1 par y 4 diferentes:
0 trío, 4 iguales y 1 par
AA BCDE
AA BBBB
6 4 5 4 . . 1 2 4 1
6 4 5 4 . . 1 4 1 2
= 46,080
=
180
119 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
0 trío 4 iguales y 2 diferentes
6 4 5 4 . . 1 4 2 1
AAAA BC
2 =
960
2
Un trío, 1 par y 1 diferente
Un trío y 3 diferentes
AAA BBC
AAA BCD
6 4 5 4 4 4 . . . 1 3 1 2 1 1
= 11,520
6 4 5 4 . . 1 3 3 1
3 = 15,360
120 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2 tríos
6 4 . 2 3
AAA BBB
2 = 240
-------------------------------------TOTAL 134,596 X P(X)
0
1
2
107,476 134,596
26,880 134,596
240 134,596
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENIERÍA DE SISTEMAS ESTADÍSTICA I
2005-09-26
Profesor: Mg. Ing. Luis Manrique Suárez
1.-De una baraja normal se extrae aleatoriamente 5 cartas. Determinar la probabilidad de obtener 2 parejas (QQ335, 44553, 88992, etc.) 2.-La probabilidad de no vender un producto calificado es 0.36. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.70, cuando está catalogado como bueno; la probabilidad de que el artículo no sea bueno, sabiendo que se vende es 0.125 y la probabilidad que no se venda cuando está catalogado como bueno es 0.30 a) Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno 121 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
b) Si se toman 2 artículos al azar. Determine la probabilidad de que uno sea catalogado como bueno y el otro no. 3.-La probabilidad de que 3 tiradores A, B y C den en el blanco es respectivamente 1/3, 2/5 y 1/4. Cada uno dispara una vez en el blanco. Si exactamente 2 de ellos dan en el blanco. Determinar la probabilidad de que no hayan sido C 4.-Se tiene las letras de la palabra SELENEIENSE y se colocan en cualquier orden Determine la probabilidad: a) de que las letras “E” deben estar en los extremos b) de que las letras N y S deben estar juntos (en cualquier orden) 5.- En una caja hay 5 fichas amarillas y 4 blancas. Se extraen 2 fichas sin ver su color y se colocan en otra parte. Luego se saca una ficha más. Si la última ficha extraída fue amarilla, determine la probabilidad de que las 2 primeras fichas extraídas hayan sido del mismo color. 6.- Se tiene los siguientes dígitos 1, 2, 4, 5, 6, 8 y se anotan en cualquier orden. Calcule la probabilidad de que el 2 aparezca antes que el 6 7.-En una estación de pasajeros hay 10 personas esperando una línea de microbuses. En ese instante llegan 3 microbuses con capacidad para 18 pasajeros (cada pasajero puede escoger cualquier microbús). Calcular la probabilidad de que e el primer microbús tenga 4 pasajeros.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENIERÍA DE SISTEMAS ESTADÍSTICA I
2005-09-26
Profesor: Mg. Ing. Luis Manrique Suárez
1.-De una baraja normal se extrae aleatoriamente 5 cartas. Determinar la probabilidad de obtener una PAREJA (QQ345, 44953, 88592, etc.) 2.-La probabilidad de no vender un producto calificado es 0.36. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.70, cuando está catalogado como bueno; la probabilidad de que el artículo no sea bueno, sabiendo que se vende es 0.125 y la probabilidad que no se venda cuando está catalogado como bueno es 0.30
122 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
a) Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno b) Si se toman 2 artículos al azar. Determine la probabilidad de que los dos sean catalogados como buenos 3.-La probabilidad de que 3 tiradores A, B y C den en el blanco es respectivamente 1/3, 2/5 y 1/4. Cada uno dispara una vez en el blanco. Si exactamente 2 de ellos dan en el blanco. Determinar la probabilidad de que no haya sido B 4.-Se tiene las letras de la palabra SELENEIENSES y se colocan en cualquier orden Determine la probabilidad a) de que las letras “E” deben estar en los extremos b) de que las letras N y S deben estar juntos (en cualquier orden) 5.- En una caja hay 5 fichas amarillas y 4 blancas. Se extraen 2 fichas sin ver su color y se colocan en otra parte. Luego se saca una ficha más. Si la última ficha extraída fue amarilla, determine la probabilidad de que las 2 primeras fichas extraídas hayan sido de diferentes colores 6.- Se tiene los siguientes dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9 y se anotan en cualquier orden. Calcule la probabilidad de que el 2 aparezca antes que el 6 7.-En una estación de pasajeros hay 10 personas esperando una línea de microbuses. En ese instante llegan 3 microbuses con capacidad para 18 pasajeros (cada pasajero puede escoger cualquier microbús). Calcular la probabilidad de que uno de los microbuses tenga 3 pasajeros. 1.-Propuesto Nº. 6
p(B∩V) = p(B). p(V/B) = → 0.56 = p(B) x 0.70 → p(B) = 0.80 p (V)= 0.64 = 0.80 x0.70 + 0.20 p(V/B’) → p(V/B’) = 0.40 a) p (V’/B’) = 0.60 (del cuadro o del árbol) b) Fila “A” p=0.80 x0. 20= 0.16 Fila “B” p = 0.80 x 0.80 = 0.64
123 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
2
P A=
13 41 4 . 2 1 52 C5
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 0.80 B 0.20 B’
0.70 V 0.30 V’ 0.40 V 0.60 V’
p (B’/V)=0.125 p (V’)=0.36 p (V)=0.64 p (B/V)= 0.875=
p(B V ) p( V ) 0.64
→ p (B∩V)=0.56
124 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
P B=
13 4 12 4 . 1 23 1 52 C5
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3
3.- Separata Nº. 89
4.- Propuesto Nº. 9
P (A)=1/3 p (B)=2/5 p (1/4) I=1]
A) SELENEIENSE n=11 [ S=2 E=5 N=2 L=1
P (2B) = p (ABC’ + AB’C + A’BC) p (2B) = p (2B) =
1 2 3 3 5 4
6 60
FILA”A” p=
6 / 60 13 / 60
+
3 60
1 3 1 3 5 4
4 60
+
2 2 1 3 5 4
6 13
p=
5) SEPARATA Nº. 78 5A 4B salen 2A
3 / 60
13 / 60
6!
p=
2!. 2!
S=
11! 2!. 2!. 5!
x4
S 4!
13 60
b) NN SS 5 E I L
p=
2!. 2!
x
8! 5!
S
FILA “B”
a) EEEE 2S 2N L I E
B) SELENEIENSES S =
3 13
7! !
a) p =
5A 4B salen 1A 1B
3!. 2! S
x4
12! 2!. 3!. 5! 5!
p=
2!. 3!
x
8! 5!
S
5A 4B salen 2B
125 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p=
5 4 2 0
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
= 0/36
p=
9C2
5 4 1 1
p=
9C2
Quedan 3A 4B p = 3/7
Fila “A” p =
3 7
( 30 30 ) / 252 140 / 252
4! ( 5 4 3 2 1 )
.
10 36
4 7
.
60 / 140
6) PROPUESTO-MOYA _ _ _ _ 2 6 = 4!X 5 _ _ _ _2 6_ = 4!X 4 _ _ _ 2 6_ _ = 4!X 3 _ _ _2 6_ _ _ = 4!X 2 _ _ 2 6 _ _ _ _= 4!X 1
6!
= 6/36
9C2
Quedan 4A 3B p= 4/7 p(A) =
P=
= 20/36
5 4 0 2
20 36
3 7
5 7
.
6 36
=
Quedan 5A 2B p = 5/7
30 252
Fila “B” p =
80 252
30 252
(80 ) / 252 140 / 252
140 252
80 / 140
4 7
7) PROPUESTO - MOYA Fila “A” : Fila “B” .
1 2
p=
10 6 x 2 4
p=
3 10 7 x x2 1 3
10 3 ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
10 3
ESTADÍSTICA I 9 de Diciembre – 2003 Profesores: Ing. Nancy Ochoa Sotomayor Sección: MA “A”
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Sección: MA “B” 126
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
EXAMEN SUSTITUTORIO 1.- Anatolio ha ordenado 3 cajones, de las cuales se sacan 3 bolas que están numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8. Se forma un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la primera, segunda y tercera caja ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 18? 2.-De una baraja normal de 52 cartas se extraen 4 cartas. Calcular el número de maneras de todos los resultados posibles. Ejemplo: 4 cartas diferentes, 1 pareja, etc. 3.-La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo sabiendo que hubo huelga, por la probabilidad de terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.45. La pro habilidad de que no se termine a tiempo, sabiendo que hubo huelga por la probabilidad de no terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.10. La probabilidad de no terminar a tiempo la construcción es 0.355. Sabiendo que la construcción se terminó a tiempo. Hallar la probabilidad de que hubo huelga. 4.-Se distribuyen 10 fichas entre 5 cajas. Hallar la probabilidad de que las 2 cajas del extremo tengan 3 fichas cada una. 5.-En una caja hay 4 fichas blancas y 3 negras. Se extraen 2 fichas sin ver su color, y se colocan en otra parte. Luego se extrae de la caja una ficha más. Calcular la probabilidad de que ésta última ficha sea blanca 6.-En una bolsa que contiene 10 monedas (2 de un sol, 3 de dos soles y 5 de cinco soles). Se extrae una moneda sucesivamente, hasta obtener una moneda de máxima denominación (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado al realizar como máximo 3 extracciones.
1A) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 16 14 12 28
25 41 21 82
34 23 66 55
61 32 57 46
p=
52 77 75 64
43 68 84 73
28 8 x8 x8
1B) 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 8, 9 88 86 48 37
→ → → →
2: 7 4: 7 6: 7 8: 7
61 41 21 82
34 23 66 19
43 32 93 91
p=
2) ABCD
97 77 39 64
79 68 84 46
29 8 x8 x8
61 32 21 91 p=
77 / 128
1C) 1, 2, 3, 4, 6, 7,8 , 9 16 14 12 28
16 23 12 19
52 14 93 28
25 41 39 82
34 68 66 64
29 8 x8 x8
43 86 48 46
88 → 4 :7 95 59 → 4 :8 84 → 4 :7 55 → 4 :7
29 / 512
1D) 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9 88 86 48 37 73
→ → → →
2: 7 4: 7 6: 7 8: 8
29 / 512
97 79 52 25 23 32 68 86 66 57 93 39 37 73 28 82 p=
28 8 x 8 x8
34 95 48 64
43 59 84 46
88 77 75 55
→ 4 :7 → 4 :7 → 4 :7 → 4 :7
7 / 128
S = 52C4 = 270,725
127 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
2 parejas → AA44:
13 4 . 2 2
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2 = 2,808
3 iguales: AAAS
134124 . . 1 3 2 1
= 2,496
128 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
1 pareja
→ AA 23:
4 diferentes → A234:
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
13 4 12 4 . . 1 2 1
2 = 82,638
13 4 . 4 1
4 iguales: AAAA
13 4 . . 1 4
= 13
4 =183,040
------------------------------------------------------
129 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
---------------------------------------------------------------------Total: 270,725
4A) p =
10 7 4 . .3 3 3
4 4B)
10 5
5 10 7 4 ... 3 2 3 3
4B)
5 4 10 6 ... 2 1 4
4B)
Total: 270,725
4 10 6 2 . . 2 2 4 4
10 10 10 5 5 5
6A) p(5) = 5/10 X=1 → 5/10 X=2 → 5/10 x 5/9 X=3 → 5/10 4/9 5/8 Total: 0.916…
3)
1-a =0.70
T= 1-y=0.60 T’= y=0.40 P(H T )
A) p (H/T) =
p( T )
p( T )
p( T )
p(5) = 2/10 X=1 → 2/10 X=2 → 8/10 x 2/9 X=3 → 8/10 7/9 2/8 Total: 0.916…
0.225 0.349 0.645
B) p (H’/T) =
0.420 0.651 0.645
C) p (H/T’) = P(H'T ' )
p(5) = 4/10 X=1 → 4/10 X=2 → 6/10 x 4/9 X=3 → 6/10 5/9 4/8 Total: 0.833…
p (T/H) =. p (T/H’)= 0.45 = (1-x). (1-y)…. (α) p (T’/H). p (T’/H’) = 0.10 = x y ……… (β) p (T’) = 0.355 p (T) = 0.665 De (α) y (β) se obtiene: y = 0.40 x= 0.25 p (T’) = 0.355 = p (H) p (T’/H) + p (H’) p (T’/H’) 0.355 = a. 0.25 + (1-a) 0.40 → a = 0.30
T=1-x=0.75 T’=x=0.25
a=0.30
P(H'T )
p(5) = 3/10 X=1 → 3/10 X=2 → 7/10 x 3/9 X=3 → 7/10 6/9 3/8 Total: 0.7083…
P(H T ' ) p( T )
0.30 x 0.25 0.211 0.0.355
D) p (H’/T’) =
0.70 x 0.40 0.789 0.355
130 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL
ESTADÍSTICA I 9 de Diciembre – 2003 Profesores: Ing. Nancy Ochoa Sotomayor Sección: MA “A”
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Sección: MA “B”
EXAMEN SUSTITUTORIO 1.- Bartolo ha ordenado 3 cajones, de las cuales se sacan 3 bolas que están numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Se forma un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la primera, segunda y tercera caja ¿Cuál es la probabilidad que el número formado sea múltiplo de 18? 2.-De una baraja normal de 52 cartas se extraen 4 cartas. Calcular el número de maneras de todos los resultados posibles. Ejemplo: 4 cartas diferentes, 1 pareja, etc. 3.-La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo sabiendo que hubo huelga, por la probabilidad de terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.45. La pro habilidad de que no se termine a tiempo, sabiendo que hubo huelga por la probabilidad de no terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.10. La probabilidad de no terminar a tiempo la construcción es 0.355. Sabiendo que la construcción se terminó a tiempo. Hallar la probabilidad de que no hubo huelga. 4.-Se distribuyen 10 fichas entre 5 cajas. Hallar la probabilidad de que 2 cajas determinadas tengan 3 fichas cada una. 5.-En una caja hay 4 fichas blancas y 3 negras. Se extraen 2 fichas sin ver su color, y se colocan en otra parte. Luego se extrae de la caja una ficha más. Calcular la probabilidad de que ésta última ficha sea negra 6.-En una bolsa que contiene 10 monedas (2 de un sol, 5 de dos soles y 3 de cinco soles). Se extrae una moneda sucesivamente, hasta obtener una moneda de máxima denominación (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado al realizar como máximo 3 extracciones.
131 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5) 4B – 3N → 2 fichas → BB, BN, NN
p(BB) =
4 3 . 2 0 6 / 21 7 2
Quedan; 2B-3N p(B) =2/5 p(N)= 3/5
5) 3B – 4N → 2 fichas → BB, BN, NN.
p(BB) =
3 4 . 2 0 3/21 7 2
Quedan; 1B-4N p(B) =1/5 p(N)= 4/5
p(BN) =
3 4 . 1 1 12/ 1 7 2
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
132
PROBABILIDADES
p(BN) =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 3 . 1 1 12/ 1 7 2
Quedan; 3B-2N p(B) =3/5 p(N)= 2/5
p(NN) =
4 3 . 0 2 3/21 7 2 133 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Quedan; 2B-3N p(B) =4/5 p(N)= 1/5
2
A) p =
5 3
B) p =
5
x
x
3
21
5
6
2
21
5
6
x
x
12
4
21
5
12
1
21
5
x
x
4
21
7
3
3
21
7
3
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL
ESTADÍSTICA I 9 de Diciembre – 2003 Profesores: Ing. Nancy Ochoa Sotomayor Sección: MA “A”
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Sección: MA “B”
EXAMEN SUSTITUTORIO 1.-Casimiro ha ordenado 3 cajones, de las cuales se sacan 3 bolas que están numeradas 1, 2, 3, 4, 6, 7,8, 9 . Se forma un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la primera, segunda y tercera caja ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 18? 2.-De una baraja normal de 52 cartas se extraen 4 cartas. Calcular el número de maneras 134 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
de todos los resultados posibles. Ejemplo: 4 cartas diferentes, 1 pareja, etc. 3.-La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo sabiendo que hubo huelga, por la probabilidad de terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.45. La pro habilidad de que no se termine a tiempo, sabiendo que hubo huelga por la probabilidad de no terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.10. La probabilidad de no terminar a tiempo la construcción es 0.355. Sabiendo que la construcción no se terminó a tiempo. Hallar la probabilidad de que hubo huelga. 4.-Se distribuyen 10 fichas entre 5 cajas. Hallar la probabilidad de queuna caja quede vacía y en otra hayan 4 fichas 5.-En una caja hay 3 fichas blancas y 4 negras. Se extraen 2 fichas sin ver su color, y se colocan en otra parte. Luego se extrae de la caja una ficha más. Calcular la probabilidad de que ésta última ficha sea blanca 6.-En una bolsa que contiene 10 monedas (4 de un sol, 2 de dos soles y 4 de cinco soles). Se extrae una moneda sucesivamente, hasta obtener una moneda de máxima denominación (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado al realizar como máximo 3 extracciones.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL
ESTADÍSTICA I 9 de Diciembre – 2003 Profesores: Ing. Nancy Ochoa Sotomayor Sección: MA “A”
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Sección: MA “B”
EXAMEN SUSTITUTORIO 1.-David ha ordenado 3 cajones, de las cuales se sacan 3 bolas que están numeradas 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9. Se forma un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la primera, segunda y tercera caja ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 18? 2.-De una baraja normal de 52 cartas se extraen 4 cartas. Calcular el número de maneras de todos los resultados posibles. Ejemplo: 4 cartas diferentes, 1 pareja, etc. 135 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3.-La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo sabiendo que hubo huelga, por la probabilidad de terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.45. La pro habilidad de que no se termine a tiempo, sabiendo que hubo huelga por la probabilidad de no terminar a tiempo, sabiendo que no hubo huelga es 0.10. La probabilidad de no terminar a tiempo la construcción es 0.355. Sabiendo que la construcción no se terminó a tiempo. Hallar la probabilidad de que no hubo huelga. 4.-Se distribuyen 10 fichas entre 5 cajas. Hallar la probabilidad de que la primera queda vacía y otras 2 cajas tengan 4 fichas cada una 5.-En una caja hay 3 fichas blancas y 4 negras. Se extraen 2 fichas sin ver su color, y se colocan en otra parte. Luego se extrae de la caja una ficha más. Calcular la probabilidad de que ésta última ficha sea negra 6.-En una bolsa que contiene 10 monedas (5 de un sol, 3 de dos soles y 2 de cinco soles). Se extrae una moneda sucesivamente, hasta obtener una moneda de máxima denominación (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado al realizar como máximo 3 extracciones.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENIERÍA DE SISTEMAS ESTADÍSTICA I
2005-09-26
Profesor: Mg. Ing. Luis Manrique Suárez 1.-De una baraja normal se extrae aleatoriamente 5 cartas. Determinar la probabilidad de obtener 2 parejas (QQ335, 44553, 88992, etc.) 2.-La probabilidad de no vender un producto calificado es 0.36. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.70, cuando está catalogado como bueno; la probabilidad de que el artículo no sea bueno, sabiendo que se vende es 0.125 y la probabilidad que no se venda cuando está catalogado como bueno es 0.30 a) Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno b) Si se toman 2 artículos al azar. Determine la probabilidad de que uno sea catalogado como bueno y el otro no. 136 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3.-La probabilidad de que 3 tiradores A, B y C den en el blanco es respectivamente 1/3, 2/5 y 1/4. Cada uno dispara una vez en el blanco. Si exactamente 2 de ellos dan en el blanco. Determinar la probabilidad de que no hayan sido C 4.-Se tiene las letras de la palabra SELENEIENSE y se colocan en cualquier orden Determine la probabilidad: a) de que las letras “E” deben estar en los extremos b) de que las letras N y S deben estar juntos (en cualquier orden) 5.- En una caja hay 5 fichas amarillas y 4 blancas. Se extraen 2 fichas sin ver su color y se colocan en otra parte. Luego se saca una ficha más. Si la última ficha extraída fue amarilla, determine la probabilidad de que las 2 primeras fichas extraídas hayan sido del mismo color. 6.- Se tiene los siguientes dígitos 1, 2, 4, 5, 6, 8 y se anotan en cualquier orden. Calcule la probabilidad de que el 2 aparezca antes que el 6 7.-En una estación de pasajeros hay 10 personas esperando una línea de microbuses. En ese instante llegan 3 microbuses con capacidad para 18 pasajeros (cada pasajero puede escoger cualquier microbús). Calcular la probabilidad de que e el primer microbús tenga 4 pasajeros.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENIERÍA DE SISTEMAS ESTADÍSTICA I
2005-09-26
Profesor: Mg. Ing. Luis Manrique Suárez
1.-De una baraja normal se extrae aleatoriamente 5 cartas. Determinar la probabilidad de obtener una PAREJA (QQ345, 44953, 88592, etc.) 2.-La probabilidad de no vender un producto calificado es 0.36. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.70, cuando está catalogado como bueno; la probabilidad de que el artículo no sea bueno, sabiendo que se vende es 0.125 y la probabilidad que no se venda cuando está catalogado como bueno es 0.30 a) Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno b) Si se toman 2 artículos al azar. Determine la probabilidad de que los dos sean catalogados como buenos 137 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3.-La probabilidad de que 3 tiradores A, B y C den en el blanco es respectivamente 1/3, 2/5 y 1/4. Cada uno dispara una vez en el blanco. Si exactamente 2 de ellos dan en el blanco. Determinar la probabilidad de que no haya sido B 4.-Se tiene las letras de la palabra SELENEIENSES y se colocan en cualquier orden Determine la probabilidad a) de que las letras “E” deben estar en los extremos b) de que las letras N y S deben estar juntos (en cualquier orden) 5.- En una caja hay 5 fichas amarillas y 4 blancas. Se extraen 2 fichas sin ver su color y se colocan en otra parte. Luego se saca una ficha más. Si la última ficha extraída fue amarilla, determine la probabilidad de que las 2 primeras fichas extraídas hayan sido de diferentes colores 6.- Se tiene los siguientes dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9 y se anotan en cualquier orden. Calcule la probabilidad de que el 2 aparezca antes que el 6 7.-En una estación de pasajeros hay 10 personas esperando una línea de microbuses. En ese instante llegan 3 microbuses con capacidad para 18 pasajeros (cada pasajero puede escoger cualquier microbús). Calcular la probabilidad de que uno de los microbuses tenga 3 pasajeros.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESTADÍSTICA I
2004-XI-25
Profesor: Mg. Ing. Luis Manrique Suárez 1.- Se tienen las letras de la palabra a) SELENEIENSE. Hallar la probabilidad de que las “E” y las “N” deben ser consecutivas en cualquier orden b) COCACOLA d) COLOCOLO Hallar la probabilidad de que las “C” y las “O” deben ser consecutivas en cualquier orden c) COCACOLA Hallar la probabilidad de que las 3 “C” deben estar separadas 2.- De una baraja normal de 52 cartas se extraen aleatoriamente 8 cartas. Hallar la probabilidad de obtener: a) 2 pares y un trío b) Un par y un trío c) 2 tríos d) 2 pares 3.- Un tren lleva 4 carretas para llevar pasajeros. En la estación hay 10 pasajeros. Cada pasajero escoge aleatoriamente el carruaje para sentarse. Hallar la probabilidad de que hayan: a)3 pasajeros en la segunda carreta ; 3 pasajeros en una carreta y 2 en otra carreta b) 3 pasajeros en una carreta y 2 en otra carreta ;2 pasajeros en la 3ra.carreta c) 2 pasajeros en la 3ra carreta ; 2 carretas vacías d) 2 carretas vacías ; 3 pasajeros en la 2da carreta y 2 en la tercera
138 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 4.- En la UNFV-FIIS , el 30% de hombres y el 15 % de las mujeres están aptos para ascender al cargo inmediato superior. El 60% de los empleados son hombres. Si se presentan 2 solicitudes de ascenso y cumplen con los requisitos. Hallar la probabilidad de que (a) una de las solicitudes sea de un hombre y la otra de una mujer (b) las solicitudes sean los dos de hombres (c) las solicitudes sean de 2 mujeres (d) las solicitudes sean de personas del mismo sexo 5.- Una tienda tiene en exhibición 8 camisas diferentes (4 de marca “Arró”, 2 de marca “Vanhusein” y de marca “Valiente”.¿cuántas compras diferentes puede hacer un caballero, si desea llevar como mínimo una camisa de marca “Arró” y una de marca “Valiente” 6.- En el Departamento Académico de Ingeniería Industrial trabajan 30 Ingenieros Industriales, de los cuales 9 tiene el Grado Académico de Magíster. Cada mes se elige a uno de ellos como Coordinador Académico. Calcular la probabilidad de que en el a) b) quinto c) d) sexto mes, el coordinador Académico, por tercera vez sea un profesor que a) no b) si c)no d) si tenga el Grado Académico de Magíster 7.- Calcular la probabilidad de que a) c) la suma 7 b) d) suma 8 aparezca exactamente a) b) 3 veces c) d) 2 veces, cuando son lanzados un par de dados 6 veces
1. - a) P = 7P2,5
2
5P2,1,1,1
11P5,2,2,1,1
b) P = 5P2,3
4P2,1,1
8P3,2,2,1
c) P= 1 d) P =
6P 2,2,1,1 8P 4,2,2
6P2,4
3P2,1
8P4,2,2
2.- a)
134 0 . /52C8
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
139
PROBABILIDADES
3. - a)
b)
4.-
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
10 7 5 10 . 2/4 3 2
41037 510 . 2/4 13 2
c)
10 8 10 . 3 / 4 2
0.60 H
0.30 A 0.70 A’
0.40 M
0.15 A 0.85 A’
d)
4 10 10 . 2 /4 2
p (2 cumplen requisitos) = (0.60 x 0.30). (0.60 x 0.30) = 0.0324 (Los 2 H) del mismo sexo (0.40 x 0.15). (0.40 x 0.15) = 0.0036 (Los 2 M) 0.0360 (0.60 x 0.30). (0.40 x 0.15) = 0.0108 (1H y 1 m) a) p = 0.0108 / 0.0468 = 0.23 b) p= 0.0324 / 0.0468 = 0.69 140 c) p = 0.0036 / 0.0468 = 0.08 d) p= 0.0360 / 0.0468 = 0.77
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5. - 8 corbatas; 4A – 2 Van – 2 Val
42 4 . x24 10 21
Por complemento: Ningún ”Arró
Ningún “Arró” ningún “Valiente”
4 2 2 4 2 . 8 0. 12 1 0 1 2 141 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
42 4 . x14 120 1 142 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 4 4 4 4 x12 x12 x12 x12 x12 180 1 1 2 3 4
Análogamente:
7. - p(7) = 6/36
p(8) = 5/36
3
4
3
5
2
5
2
6
a) 7C3 (6/36) (30/36) = 0.0781 b) 8C3 (6/36) (30/36) = 0.0710 c) 7C2 (6/36) (30/36) = 0.2344 d) 8C2 (6/36) (30/36) = 0.2202
6. - a) 4C2 (0.70)3 (0.30)2 = 0.1852 3
2
3
3
3
3
b) 4C2 (0.30) (0.70) = 0.0794 c) 5C2 (0.70) (0.30) = 0.0926 d) 5C2 (0.30) (0.70) = 0.0926
0.70
→ 0.70 0.70 0.30 0.30 0.30
M
M
M
M
M
M
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELAS PROFESIONALES DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Y DE SISTEMAS
ESTADÍSTICA
2004-XI-02
Profesores: Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ingº Nancy Ochoa Sotomayor
1.- De una baraja normal se extraen 10 cartas en forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de extraer a) 2 grupos de 3 cartas iguales y el resto diferente b) 3 grupos de 2 cartas iguales y el resto diferente c) 4 grupos de 2 cartas iguales y el resto diferentes d) 3 grupos de 3 cartas iguales y el esto diferente 2.- En un estante hay 6 grupos de 3 libros cada uno (trío) Ejemplo: Aritmética IÍI-III, Física I- ÍI-III etc. Calcular la probabilidad de que formen: a) 2 tríos y un par b) 3 pares c) Un par y un trío d) 2 pares y un trío 3.- Se inspeccionan artículos hasta encontrar defectuosos. La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el a) d) cuarto b) c) tercer artículo defectuoso en el a) b) sexto c)d) quinto artículo inspeccionado?
143 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4.-Si se distribuyen aleatoriamente a)“a” b) “b” c) “c” d) “d” fichas en “x” cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que a) en la primera y segunda caja contengan “c” fichas b) en la primera caja contenga “c” fichas y la segunda 2 fichas? c) dos cajas determinadas tengan “d” fichas cada una d) dos cajas determinadas tengan “c” fichas y 2 fichas? 5.- La probabilidad de que un estudiante asista a un CONGRESO DE INGENIERÍA INDUSTRITRIAL Y DE SISTEMAS es de 0.70. La probabilidad de que no gane la Beca y asista al Congreso es 0.14 y la probabilidad de que no gane la Beca y no asista al Congreso es de 0.12. Calcular la probabilidad de que: a) Si Haya asistido sabiendo que no ganará la Beca b) Si Haya asistido sabiendo que si ganará la Beca c) No Haya asistido sabiendo que no ganará la Beca d) No Haya asistido sabiendo que si ganará la Beca
1.-
144 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
2 4 13 4 1 4 . . 2 3 4 1
52C10
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2.-
2 32 6 3 4 3 6 3 3 . . 2 3 1 2 3 2 1 18C 18C
145 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3 4 13 4 10 4 . . 3 2 4 1
52C10
146 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
4 2 13 4 9 4 . . 4 2 2 1
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3. - 0.1 0.1 0.1 0.9 0.9) 0.1 5C3 1D 2D 3D
B
B
4D
0.1 0.1 0.9 0.9 0.9) 0.1 5C2 1D 2D
B
B
B
3D
0.1 0.1 0.9 0.9) 0.1 4C2 1D 2D
B
B
3D
0.1 0.1 0.1 0.9 ) 0.1 4C3 1D 2D 3D
B
4D
52C10
147 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3 13 4 10 4 . . 3 3 1 1
52C10
148 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
4.-
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
x c d ac 92c bc bc2 . . c2d . .x2 . .x2 x2 c c c 2 2 d a b x x
x d c dc2 . .x2 c 22 x
x
c
0.70 A
0.80 G 0.20 G’
0.30 A’
0.60 G 0.40 G’
p (G’∩A) = 0,14 = p(A) p(G’/A) = 0.70 p(G’/A) → p(G’/A) = 0.20
d
149 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5.- p (G’∩A’) = 0.12 = p (A’) p (G’/A’) = 0.30 p (G’/A’) → p (G’∩A’) = 0.40 P (G) =p (A∩G) + p (A’ ∩G) = p (A) p (G/A) + p (A’) p (G/A’) = 0.70 x 0.80 + 0.30 x 0.60 = 0.56 + 0.18 = 0.74 P (G’) =p (A∩G’) + p (A’ ∩G’) = p (A) p (G’/A) + p (A’) p (G’/A’) = 0.70 x 0.20 + 0.30 x 0.40 = 0.14 + 0.12 = 0.26 P (A/G’) =
p( A G) 0.70 x0.20 14 0.54 p(G) 0.26 26
P (A/G) =
p( A G) 0.70 x 0.80 56 0.76 p(G) 0.74 74
P (A’/G’) =
p( A G) 0.30 x0.40 12 0.46 p(G) 0.26 26
P (A’/G) =
p( A G) 0.30 x 0.60 18 0.24 p(G) 0.74 74
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez Ingº Nancy Ochoa Sotomayor
ESTADÍSTICA 21-07-03 1,- Con los siguientes dígitos 1, 2, 6, 7, 8, 9 ¿Cuántos números podrán formarse si: a) El 6 debe estar antes de 9 b) Deben ser múltiplos de 4 2.- Se tienen 20 libros en un estante, 4 libros de cada materia (Álgebra, Botánica, Cálculo, Demografía y Estadística). Se seleccionan 6 libros al azar ¿Cuál es la probabilidad de escoger: a)2 parejas b) Una pareja y un trío (3 libros iguales) c) Una pareja 3.- En una caja se tienen 9 cartuchos de inyección de tinta ( 6 de tinta negra hp56 y 3 de tienta tricolor hp57). Se dividen al azar en 3 grupos de 3 cartuchos cada uno. Calcular la probabilidad de que en cada grupo siempre haya un cartucho de tinta tricolor
150 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4.- Se distribuyen al azar 10 fichas entre 5 cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 2 cajas tengan 5 fichas cada una b) La primera tenga 2 fichas y otra cualquiera tenga 3 fichas. 5.- La probabilidad de que una construcción se termine a tiempo, dado que no hubo huelga es 0.25, y la probabilidad de que no haya huelga es 0.60. Además la probabilidad de terminar la construcción sabiendo que hubo huelga es el triple de la probabilidad de no terminarla, sabiendo que hubo huelga. Encontrar la probabilidad a) que haya b) no haya habido huelga, dado que la construcción a)no b) si se terminó a tiempo 6.- Anderson vende al 30% de los clientes a quienes llama Si hace tres llamadas hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que haga exactamente a)una venta b) dos c) tres d) ninguna
1.-a)
__ __ __ __ 6 1
2
3
__ __ __ 6 1
2
9 __ __ 3 2
3
2
3
El 6 puede estar en 3 lugares: 3 x 4! El 6 puede estar en 2 lugares: 2 x 4!
4
9 __ __ __ __ 1
El 6 puede estar en 4 lugares: 4 x 4!
4
9 __ __ __
1
6
El 6 puede estar en 5 lugares: 5 x 4!
4
2
__ 6
9 __
3
__ __ 6 1
9
4
4
El 6 puede estar en 1 lugar: 1 x 4! (1+2+3+4+5+) 4! = 15 x 4!
b) 12 16 28 72 76 68 92 96 8 → 8 x 4!
__ __ __ __ 4!
__ __
151 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
2. - a) p =
22 5 4 3 4 . . 2 2 1 20C6
b) p=
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 4 3 4 . . 13 21 20C6
c) p=
5 4 4 . . 1 2 4 1
4
20C6
152 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
3. - p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
6 3 4 2 2 1 x x x 2 1 2 1 2 1 9 6 3 3 3 3
153 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
4. - a) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 10 5 .. 2 5 5
b)
10 5
10 4 8 5 . .3 2 1 3 10 5
5.- T: La construcción se terminó a tiempo p
0.40 H
T 3X 0.75 T’ X 0.25
0.60 H’
T T’
p(H'T ) p( T )
0.60 x 0.35 0.51
p (H’)= 0.60 p (T/H’) =0.35 p (H∩T’)= 0.10 3X + X = 4X = 1 → X = 0.25 3X = 0.75
0.35 0.65
(H/T’) =
H: Haya huelga
p (T) = 0.40 x 0.75 + 0.60 + 0.35 = 0.51 p (T’) = 0.51 p(H T ' ) p( T ' )
0.40 x 0.25 0.49
0.204
p (H’/T) =
0.412
6.- p (1) = 3 (0.7 x 0.7 x 0.3) = 0.441 p (3) = (0.3 x 0.3 x 0.3) = 0.027
p (2) = 3 (0.7 x 0.3 x0.3) = 0.189 p (0) = (0.7 x 0.7 x 0.7) = 0.343
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez Ingº Nancy Ochoa Sotomayor
ESTADÍSTICA 154 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
23-07-03
1.-Amanda tiene 11 amigas de confianza, de las cuales invitará a su cumpleaños a 6 de ellas. ¿De cuántas maneras puede invitar, si 2 de sus amigas están enemistadas y no pueden asistir juntas?
2.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene, si tiene que contestar por lo menos 4 de las 6 primeras? ¿3 de las 35 primeras?
3.- Se eligen tres números al azar de 10 positivos y 8 negativos, sin remplazamiento y se multiplican. ¿Cuántos números positivos se pueden obtener? ¿Negativos?
4.- Un grupo de 14 viajeros, de los cuales 6 son mujeres y 8 son varones, se alojan en el hotel “Ardor” que tiene disponible 7 habitaciones (que pueden ser instalados 2 viajeros en cada una de ellas). Si en el grupo hay 2 matrimonios. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse, si se desea que cada matrimonio ocupe una habitación y el resto de las habitaciones no sea ocupado por personas de distinto sexo?
5.- Se tiene 3 cajas de diferentes colores y se distribuyen al azar fichas. Si se distribuyen 3 fichas en la primera caja, se sacan 2 plumones de la urna I (que contiene 3 Rojos y 5 Negros): en otro caso (cualquier otra distribución) se sacan 2 plumones de la urna II (que contiene 3 Rojos, 2 Negros y 3 Verdes) Sabiendo que los plumones extraídos son de colores iguales. Calcular la probabilidad de que hayan sido Negros. (Rojos), (Verdes)
6.- La probabilidad de seleccionar un profesor con Maestría en la FIIS es 0.12 Suponga que se verifica uno a uno hasta encontrar 3 profesores con el Grado de Maestría Determinar la probabilidad de que sean necesarios verificar más de 5 profesores
155 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
1.-
No van
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Va una de ellas
2.- a)
6 4 . 4 5362 156
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
2 9 2 9 .. 06 15
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
b)
5 3 5 . 3 4 53
3.- Positivos → (10
9 8) + 3 (8 7 10) = 2400 + + + - - + Negativos →3 (10 9 8) + (8 7 10) = 2496 + + + - - +
157 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
4.-
7 2
5! 3.!
5.-
p=
5 3
2.!
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 5 x 2 2
22 / 35 = 40/243
40/243
203/243
I
NN → 2/8 1/7 = 2/56 x VV → 3/8 2/7 = 6/56 x p
II
RR → 3/8 2/7 = 6/56 x 40/243 = 240/13608 NN → 5/8 4/7 = 20/56 x 40/243 = 800/13608 RR → 3/8 2/7 = 6/56 x 203/243 = 1218/13608 203/243 = 406/13608 203/243 = 1218/13608 (Colores iguales) = 3882/13608
p (RR) = 240 + 1218 / 13608
p (NN / iguales) =
p (RR / iguales) =
p (VV / iguales) =
1206
p (NN) = 800 + 406/ 13608
/ 13608
3882 / 13608 1458
/ 13608
3882 / 13608 1218
/ 13608
3882 / 13608
p(VV) = 1218 / 13608
= 0.31
= 0.38
= 0.31
6. - P (M) = 0.12
P (M’) = 0.88 P (x>5) = 1- P (x=3) – P (x=4) – P (x=5) P (X=3) = p (MMM) = (0.12)3. P (X=4) = p (MMMM’) 4C1 = 3.52 (0.12)3. P (X=5) = p (MMMM’M’) 5C2 = 0.013
158 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 3 P (x>5) = 1 - (0.12) .- 3.52 (0.12)3.-0.013
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez Ingº Nancy Ochoa Sotomayor
ESTADÍSTICA 25-07-03
1.- Se tienen las letras de la palabra a) M A T A H A M A T T H A M b) N E T T E H E N N E T H E N Calcular la probabilidad de las a) “A” b) “E” deben estar em los extremos y las a) “M” y “T” b) “N” y “T” deben estar jun tas, considerando todas las formas posibles
2.- Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibición 12 corbatas diferentes: 5 de tipo italiano, 4 de tipo inglés y 3 de tipo nacional. ¿Cuántas compras diferentes puede hacer, si desea llevar como mínimo una corbata de tipo italiano y una del tipo inglés?
3.- Un operario inspecciona alternativamente los productos A y B hasta encontrar el primer defectuoso. La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso A es igual a 0.10 y la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso B es igual a 0.15 Calcular la probabilidad de encontrar el primer artículo defectuoso en el a) quinto b) sexto artículo inspeccionado.
4.- La probabilidad de que un avión llegue a tiempo de Piura a Arequipa, haciendo escala en Lima es 0.70 y la probabilidad de que llegue a tiempo a Lima y tarde a Arequipa es 0.15. Si la probabilidad de llegar a tiempo a Lima es 0.50. Calcular la probabilidad que llegue a tiempo a Arequipa, si se sabe que llegó a tiempo a Lima.
159 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
1.- MATAHAMATTHAM
NETTEHENNETHEN 14 LETRAS : 4N – 5E – 3T – 2H
13 LETRAS: 3M – 5A – 3T – 2H 3M – 3T A A A A A __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 6 4
p
=
6! 3! x 3!. 3! 2! 13.P.2,3,3,5
4x
p=
E ( 4N – 3T) HH E E E E P3, 3 2H 3! / 2!
7! 3! x 4!. 3! 2! 14.P.2,3,4,5
4x
2.- Moya 1-4 Problema Nº. 20 5Ital – 4Ing – 3 Nac.= 12 corbatas
S = 212 – 1 = 4095
160 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x48 10 231 161 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x68 120 31
5 5 .46 18 xx. 120 1 1
162 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x48 130 21 163 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x18 140 231 164 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Aanálogamente para:
120[
5 5 12345
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 x88 2
5 x88 3
5 x88 4
5 x88 5
] = 120 ( 5+10+10+5+1)= 3720 .
Por complemento: Ningún italiano
Ningún Inglés
165 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 . 32 01 23
4 0
(
5 5 12345
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
) (8)= 248
166 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 . 48 02 1 3
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Ningún Italiano Ningún Inglés
167 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 4 3 543 . 8 0 4 1 2 3 . x
5 4 3 . 32 003 12 1 23
→ 4095 –(120 + 248 + 7 ) = 4095 – 375 = 3720
=7
3.- DA : artículo defectuoso A
Total 120 DB : artículo defectuoso B 168
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
DA
S: {DA ,
D A DB
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
DB ,
D A DB
DA ,
D A DB D A
DB ,
D A DB
DA , ... }
p (DA ) = 0.10
p (DA) = 0.15 p ( DB ) = 0.85
p (DA )= 0.90
a) p (X=1) = 0.10 p (X=3) = 0.90 x 0.85 x 0.10 p (X=5) = (0.90)2 x (0.85)2 x 0.10 b) p (X=2) = 0.90 x 0.15 p (X=4) = (0.90)2 x (0.85) x (0.15) p (X=6) = (0.90)3 x (0.85)2 x (0.15) 4.L∩A’
L∩A
p (A / L) =
L’∩A
p(A) = 0.70
p(L) = 0.50 p(A / L ) = ?
p( A L ) p(L )
P (L) = p (L∩A’) + p (L∩ A) P (L∩A) = p (L) – p (L∩A’) = 0.50 – 0-15 = 0.35 P(A/ L) =
p(L A ) p(L )
=
0.35 0.70 0.50
169 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez Ingº Nancy Ochoa Sotomayor
ESTADÍSTICA 03-12-03
1.-Se distribuyen aleatoriamente N fichas en N cajas, determinar la probabilidad a) De que cada caja contenga exactamente una ficha b) De que ninguna caja contenga más de una ficha
2.- Se seleccionan aleatoriamente 6 zapatos de un gabinete que contiene 10 pares de zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de que formen: a) Ninguna b) una c) dos d) tres parejas
3.-Un estudiante tiene que contestar 10 de las12 preguntas en un examen. ¿Cuál es la probabilidad si tiene que contestar: a) 5 de las 6 primeras? b) 6 de las 8 primeras? c) por lo menos 4 de las 5 primeras? d) por lo menos 3 de las 5 primeras?
4.- Se tiene las letras de la palabra a) JO R O H O J O R R H O J b) C A R A H A C A R R H A C c) C E T T E H E C C E T H E N d) N E T T E H E N N E T H E N Calcular la probabilidad de que las a) “O” b) “A” c) “E” d) “E” deben estar en los extremos y la a) “J” y “R” b) “C” y “R” c) “C” y “T” d) “N” y “T” deben estar juntas, considerando todas las formas posibles.
5.- La probabilidad de no vender un artículo es 0.115. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.95 cuando el artículo está catalogado como bueno y la probabilidad de que el artículo sea bueno, sabiendo que se vende es 0.966 A) Encontrar la probabilidad de que un artículo a) c) no b) d) si se venda, sabiendo que a) b) no c) d) si es bueno B) Si un articulo no se vende.¿Cuál es la probabilidad de que no sea bueno?
6.- Se eligen 3 números al azar de 10 positivos y 8 negativos, sin remplazamiento y se multiplican. ¿Cuántos números positivos se pueden obtener? ¿Negativos?
170 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
1.- a)
p=
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
N.! NN
b) p =
MPN MN
10 p (3) =
3
20C6
6
2.- p (0) =
4 2 10 10 2 10 9 2 10 8 2 .. . . 0 6 1 1 4 1 2 2 1 p (1) =
20C6
p (2) =
0C62 0C62
171 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
3.- a) p =
6 6 . 5 5
12C10
b) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
8 4 . 6 4
12C10
c) p =
5 7 5 7 .. 4 6 5 12C0
172 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
d)
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 7 5 7 . . 37 465 12C0
4.- JOROHOJORRHOJ
CETTEHECCETHEN
NETTEHENNETHEN
CARAHACARRHAC 173 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES 4X
P= 4X
5.-
7.!
X
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
6.!
X
3.!
P=
3.!. 3.! 2.!. 1.! 13.P5,3,3,2
4X
6.!
X
4.!
3.!. 3.! 2.!. 1!. 1! 14.P5,3,3,2,1
P=
3.!
4.!. 3.! 2.!. 1.! 14.P5,4,3,2
B 0.90
V 0.95 V’ 0.05
P (B/V) =
B’ 0.10
V 0.30 V’ 0.70
P (V) = 0.90 x 0.95 + 0.10 p (V/B’) =0.885 p (V/B’) =0.300
p(B )x 0.95 0.966 0.885
Respuesta (A) del diagrama de árbol: a) p (V’/B’) = 0.70 b) p (V/B’) = 0.30
c) p (V’/B) = 0.05
p (B) = 0.900
d) p (V/B) = 0.70
Respuesta (B) para las 4 filas p ( B’ / V’) =
p( V 'B' ) 0.10 x 0.70 0.609 p( V ' ) 0.115
6.- a) (10 9 8) + 3 (8 7 10) = 2 400 +
+ +
-
-
+
b) 3 (10 9 8) + 3 (8 7 6) = 2 496 + + - - -
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez Ingº Nancy Ochoa Sotomayor
ESTADÍSTICA 21-07-04
1.- Se tienen las letras de la palabra GUERRERO y se anotan en cualquier orden. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada uno de los extremos se encuentren una R y una O?
174 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2.- Se tienen los dígitos 0 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9. ¿Cuántos números de 8 dígitos (sin repetición) se pueden formar a) Pares b) menores de 50’000,000
3.- Encontrar el número de maneras en que 9 personas puedan ser separadas en 2 grupos de 6 y 3 , si una persona determinada ha de quedar en el menor de los grupos?
4.- Se lanzan 6 fichas en 4 cajas numeradas de modo que, cada ficha tenga que caer en cualquier de las cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera caja caigan 3 fichas y una en la cuarta?
5.- se escogen 2 personas al azar de una reunión donde hay 5 parejas de casados. ¿De cuántas maneras a se puede escoger: a) Dos parejas b) una pareja c) ninguna pareja de casados
6.- La probabilidad de no vender un producto es 0.25. La probabilidad de que el artículo se venda es 0.90 cuando está catalogado como bueno y la probabilidad de que el artículo sea bueno, sabiendo que se vende es 0.90 a) Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno b) Si un artículo se vende. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea bueno?
7.- De una baraja normal se extraen aleatoriamente 4 cartas. Encontrar la probabilidad de obtener: a) 2 “corazones” y 2 “espadas” b) 2 pares cualesquiera (AA22, JJ66, KK99,…) c) Un par y otros diferentes (AA34, 5528, 99JQ,…) d) Cuatro cartas diferentes /A234, 2345, QJKA,…) e) Un “As” y tres “Reyes” (AKKK)
1.- GUERRERO p = 2.-
2! x.6.P2,2 = 3 / 28 8.P3,2
7 7 6 5 4 3 2 3 = 105, 840 2,4,8
4 7 6 5 4 3 2 1 1,2,3,4
= 20,160
7 6 5 4 3 2 1 0 = 5, 040 Cero
3,-
9 1! 6.! x(3 1)!
8! 28 6! x 2!
175 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
4.- p =
6 3 2 . .2 3 1 4
5.- a)
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
6
5 10 2
b)
5 2 5 4 2 . 80 . 120 4 2 1 1 1 c)
176 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
6.-
V 0.90 V’ 0.10 V 0.30 Y V’ 0.70
P (B/V) =
0.90.X 0.90 0.75
p (B) = 0.900 = X
P (V) = 0.75 x 0.90 + 0.25 Y =0.75 Y =0.300 = p ( V / B’)
B 0.75 X B’ 0.25
a) p (V’/B’) = 0.70 b) p ( B’ / V) =
p( V B' ) 0.30 x 0.25 0.10 p( V ) 0.75
177 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
7.- a) p =
13 13 . . 2 0 52C4
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
b) p =
13 4 4 .. 2 2 2 2C45
178 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
c) p =
1324 . . 1 2 12
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
d) p =
13 4 4 . . 4 1 1
52C4 52C4
179 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
f) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 4 . . 1 3 52C4
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez
ESTADÍSTICA 22-07-04
1.- La caja I tiene 8 fichas Rojas y 7 fichas Blancas. La caja II, tiene 7 fichas Rojas y 8 fichas Blancas. Se sacan 2 fichas de la caja I en forma sucesiva y sin reposición, colocándola en la caja II y luego se verifica que son de diferentes colores. Se seleccionan 2 fichas de la caja II. Hallar la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color
2.- En una dependencia pública el 20 % de hombres y 10 % de mujeres están aptos para jubilarse. El 70 % de los empleados son hombres. Si se presentan dos solicitudes de jubilación y cumplen con los requisitos. Hallar la probabilidad de que una de las solicitudes sea de un hombre y la otra de mujer
3.- En una bolsa que contiene 2 monedas de un sol, 3 monedas de dos soles y 4 monedas de cinco soles. Se extraen sucesivamente una moneda hasta obtener la moneda de máxima denominación (5 soles) Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado (moneda de 5 soles) al realizar como máximo 3 extracciones
180 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4.- En una estación hay 1º pasajeros que deben distribuirse en 4 vagones. Hallar la probabilidad de que: a) Dos vagones tengan 2 pasajeros cada uno b)El primer vagón tenga 2 pasajeros y otro vagón (cualquiera) tenga 3 pasajeros
5.- Se tiene 8 dígitos de 1 al 8, ordenados uno a continuación de otro. Calcular la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 4 (sin repetición)
1.-
URNA I 8R 7B
URNA II 7R 8B
Rojas 9R 8B Blancas 7R 10B
2 fichas
igual color
181 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p=
2.-
9 8 7 10 .. 2 0 2 17 2
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
p (2 cumplen requisitos) = (0.70 x 0.20). (0.70 x 0.20) + (0.30 x 0.10). (0.30 x 0.10) + (0.70 x 0.20). (0.30 x 0.10) = 0.0247
p (H y M / 2 cumplen) = ( 0.70 x 0.20).( 0.30 x 0.10 ) 0.17 0.0247
=
81 136
0.70 H
0.20 A 0.80 A’
0.30 M
0.10 A 0.90 A’
3.- 4 monedas de $5
5 monedas de otro
p (X ≤ 3) = p (X= 1) + p (X=2) + p (X=3) = 4/9 + 5 / 9 x 4 / 8 + 5 / 9 x 4 / 8 x 4 / 7 = 4 / 9 + 20 / 72 + 80 / 504 = 444 / 504 = 37 / 42
182 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4.- a)
ººº ºº
ººº ºº
b)
ºº
ººº ººººº
5.-
p=
4 10 10 .. 2 5 5
4 3 __ __ __ __ __ __ __ __ 2,6
12 32 52 72 16 36 56 76 → 8
3 2 __ __ __ __ __ __ __ __ 4,8
24 64 84 28 48 68 → 6
p=
6.! x(8 6) 14 x 6! 1 8.! 8x 7 x 6! 4
10
4
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez
ESTADÍSTICA 06-10-05
1.- La caja I tiene 5 fichas blancas y 5 fichas negras. La caja II tiene 6 negras y 4 rojas. Se toma un juego de 52 cartas, se sacan aleatoriamente 2 cartas y si resultan del mismo color se saca una ficha de la caja I, de lo contrario se saca una ficha de la caja II Si la ficha fue negra. ¡Cuál es la probabilidad de que hayan salido cartas de diferentes colores?
2.- En un estante hay 15 tríos de libros (Análisis Matemático I-II-II, Estadística I-II-III, Física I-II-III, etc.). Si se seleccionan 8 libros al azar, calcular la probabilidad de que formen un trío
3.- Se lanzan 8 fichas en 4 cajas numeradas, de modo que cada ficha pueda caer en cualquiera de las cajas. 183 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
¿Cuál es la probabilidad de que en una de las dos primeras cajas caigan 3 fichas?
4.- Se tiene los siguientes números 2, 3 , 4 , 5 , 6 ,7 y se colocan en cualquier orden. Se eligen 3 números de 6 cifras al azar. determinar la probabilidad de que por lo menos uno de ellos sea múltiplo de 18?
5.- La probabilidad de que un lanzamiento no sea exitoso es igual a 0.20 Se hacen los ensayos de lanzamientos hasta que ha ocurrido el primer éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos?
1.-
25/51 26/51 II
P (N) =
I
5/10 N 5/10 R 6/10 N 4/10 R
26 52 . 2 0 2 10
25 5 26 6 125 156 281 x x 51 10 51 10 510 510 510
P (RR) = 156 156 0.555 p (II / N) = 510 281 281 510
2.- p (TRIO) = p (TRIO, 5≠) + p (TRIO, 2 pares y 1≠) + p (TRIO, 1 par, 3≠) EEE. ABCDE
EEE. AA .BB .C
EEE. AA. BCD
184 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 2 3
p (TRIO) =
15 3 4 2 13 . . 1352 1
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
185
PROBABILIDADES
3.- p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2 8 5 .. 2 1 3 8
4
4.- 2 +3 + 4+ 5+ 6+7 = 27 → todos son
o
o
9 para que sean 18 tienen que ser
pares 5 4 3 2 1 3 = 360
p=
360 360 1 6.! 720 2
2, 4,6 1 par : P I I → 1/2 1/2 1/2 X 3 = 3/8 2 pares : P P I → 1/2 1/2 1/2 X 3 = 3/8 3 pares : P I I → 1/2 1/2 1/2 X 1 = 1/8 P ( POR LO MENOS UM PAR) = 3 / 8 + 3 / 8 + 1 / 8 = 7 / 8
5.- P = 0.20 ( NO EXITOSO )
Q = 0.80 ( EXITOSO)
O.20 0.20 0.20 0.20 0.80 = 0.80 (0.20) 4 . NO EXITOSO
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Mg Ingº Luis Manrique Suárez
ESTADÍSTICA 04-11-02
1.- Un gabinete contiene 6 pares de zapatos. Si se selecciona aleatoriamente 5 zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de formar: a) Una pareja b) Dos parejas c) Tres parejas 186 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2.- La probabilidad de que Arturo solucione un problema de Estadística en particular es del 40% y un 70 % de probabilidad de que Juan lo solucione, trabajando separadamente. Si el problema es resuelto. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido solucionado por: a) Arturo b) Juan
3.- Aldo vende al 30 % de los clientes a quiene llama. Si hace 3 llamadas. Cuál es la probabilidad de que no realice venta alguna? ¿Una? ¿Dos? ¿Tres?
4.- Se envían señales a un barco, desde un faro en la costa con 2 ó 3 luces. Para ello se cuenta con un pentágono con 3 luces en cada vértice: azul, blanco y rojo. En cada vértice no puede haber encendido más que una luz. ¿Cuál es la probabilidad de que un barco determinado reciba señales de un solo color? ¿Dos colores? ¿Tres colores?
5.- Se extraen 4 cartas en forma aleatoria de una baraja normal de 52 cartas. Calcular la probabilidad de todos los resultados posibles.
6.- Una urna contiene 3 fichas blancas y 3 rojas. Se extraen al azar tres fichas sin ver su color y se coloca en otra parte. Luego se extrae una ficha más. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta (última ficha) sea blanca?
7.- MING SA compra a 2 proveedores: C y D. Los proveedores tienen antecedentes de suministrar materiales con 10 y 5% de defectos, respectivamente. Supóngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor C. Se toma un material de esa existencia y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor C?
8.- Un tren contiene 4 vagones, debe albergar al azar a 10 pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El segundo vagón, se encuentren 5 pasajeros? b) 2 vagones tengan 5 pasajeros cada uno? c) El 1er vagón tenga 2 pasajeros y otro cualquiera 3 pasajeros? d) Un vagón quede vacío?
1.- ZAPATOS
P (Pares) = P (Un par) + P (Dos pares) + P (Tres pares)
187 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
P=
6 5 . 2 5 12C5
+
6 5 4 .. 2 1 4 12C5
+
6 4 1 .. 2 2 1 12C5
Problemas 53-119
2.- SOLUCIÓN DE PROBLEMA DE ESTADISTICA P(A) = 0.4 P (J) = 0.6 p (Resuelto) = p (AJ’) + p (A’J) + p (AJ) = = (0.4x0.3) + (0.6x0.7) + (0.4x0.7) = 0.12 + 0.42 + 0.28 = 0.82 p (Arturo/Resuelto) = 0.12 / 0.82 = 6 / 41 p (Juan/Resuelto) = 0.42 / 0.82 = 21 / 41 Problemas 28
3.- CLIENTES _ VENTAS
p(No ventas)= 0.70 P(Si) = 0.30 p (Ninguna) = p (NNN) = 1 (0.7 x 0.7 x 0.7) = 0.343 p ( Una ) = p (NNS) = 3 (0.7 x 0.7 x 0.3) = 0.441 Problema 84 p ( Dos ) = p (NSS) = 3( 0.7 x 0.3 x 0.3 ) = 0.189 p ( Tres ) = p (SSS) = 1 (0.3 x 0.3 x 0.3) = 0.027 1.000
4.- SEÑALES A UN BARCO
BAV
S=9
BAV
BAV
BAV
BAV
5 2
+ 27
5 3
= 90 + 270 = 360
Dos Luces BB, RR, VV, BR (2), BV (2), VR (2) = 9 Tres Luces: BBB (1), RRR (1), VVV(1), BBV (3),
188 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
p (3 colores) = 6
64
p (2 colores) = 6
5.- BARAJAS
5 3
5 2
4 diferentes; 1234
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
= 60
+ 18
5 3
p= 60 / 360 = 1 / 6
= 240
Problema
p = 240 / 360 = 4 / 6
Problemas: 52-54
13 4 . 4 1
4 = 183,040
189 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2 iguales y 2 diferentes: 1123, 1138,…
2 iguales y 2 iguales: 1122, 8866,…
13 4 2 . 1 2 1
2 = 82,368
13 4 . 2 2
2 =
2,808
190 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
3 iguales y uno diferente: 1118, 666K,…
134 2 . 1 3 1
4 iguales: 1111, 2222,…
= 2,496
13 4 . 1 4
=
13
191 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
S = 52C4 =270,275 6.- FICHAS BLANCAS Y ROJAS EXTRAEN
3B-0R →
2B-1R →
QUEDAN
3 6 1 . 3 0 3 20 3 6 9 . 2 1 3 20
0B
1B
3R
ÚLTIMA SEA BLANCA ROJA
0
3/3
1/3
2/3
2/3
1/3
3/3
0
2R
192 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
1B-2R →
0B-3R →
P
3 6 9 . 1 2 3 20 3 6 1 . 0 3 20
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2B
1R
3B
0R
1 9 9 1 (0/3) (1/3) (2/3) (3/30) 20 20 20 20
1 2
7.- PROVEEDORES p(D) = 0.60 p(C)= 0.40 p (X/D) = 0.05 p (X/C) = 0.10 p (X) = (0.60 x0. 05) + (0.40 x 0.10) = 0.03 + 0.04 = 0.07 p(C/X) = 0.04 / 0.07 = 4 / 7 p(D/X) = 0.03 / 0.07 = 3 / 7
X: DEFECTO Problema 61
193 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
10 5 .3 5
8.- a) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
b)
10
4
4 10 5 .. 2 5 5 10
4 c) p =
103 8 5 . .2 2 1 3
d) p =
10
4
194 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 .x3.!. 10P1,1,8 10P1,2,7 10P1,3,6 10P1,4,5 10P2,3,5 1
d) p =
10
4
3 10P2,2,6 10P2,4,4 10P3, ,3,4 410
SOLUCIÓN A PROBLEMAS PROPUESTOS DE SEPARATA DE PROBABILIDADES
1.- a) b) (
6!
6 6
5 6
4 6
3 6
2 6
1 = 6
6 6
5 6
4 6
3 6
2 6
1 )6 = 6
1 1 1 1 1 1 )= 6 6 6 6 6 6
c) 6 (
66
6 6
6
= 0.015
6! 6
6
=
= 0.015
65
2.- p (aparezca 2 veces)+ p (aparezca 3 veces)
3 2
(
1 1 9 1 1 1 ) 10 + ( ) 10 = 10 10 10 10 10 10
280 1000
195 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
3.- a) p =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4 x3x 2 x1 44
=
4! 44
= 0.09375
b) p =
4 2 x 20.2109375 43 4
4.-
N º º º º… º º bolas
…
K 1
2
…
3
P=
M cajas
N-K bolas M-1 cajas 5.- 12 pares = 24 libros → seleccionar 6
N NK . M1 K N
M
.M
196 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4
6
p (“0” par) =
12 . 6 1 0.439 24 6
p (“1” par) =
12 2 1 2 ... 1 2 4 1 0.470 24 6 197
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
22
p (“2” pares” =
12 02 . 2 1 0.83 24 6
p (“3” pares) =
12 2 . 3 2 24 6
3
= 0.0016
P (0, 1, 2,3 pares) = 0.04394 + 0.4707 + 0.0883 + 0.0016 = 1
6.-
198 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
4
Un par y 4 diferentes: AA2468, 2257QK,…
13 4 2 . 1 241
9884160
199 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Un par y tres iguales: AA4448, 88JJJ2,…
13 4 2 . 12 3 1
= 164736
200 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2 pares y 2 diferentes: AAQQ25, 771010JK,…
3 pares: AAQQJJ, 224455,…
13 4 1 . 2 1
22
= 2471040
13 4 . 3 2
3 =
61776
201 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
13 4 . 2 3
2 tríos: AAA234, 777JKQ
Un trío y 3 diferentes: AAA234, 777jQK,…
134 2 . 1 3 1
2 =
1248
3 = 732160
202 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
13 4 . 6 1
6 diferentes: 56789, JQK23,…
Un par y una cuadra: 55JJJJ, 887777,…
134 2 . 1 2 4
=
6 = 7028736
936
203 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Una cuadra y dos diferentes: JJJJ56, QQQQ48,…
13 4 2 4 . 1 42 1
2 = 13728
TOTAL:
52 6
= 20 358 520
204 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
7.-
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
12! 12! 34,650 4!. 4!. 4! 4! 3
1284 . 34,. 650 4 4
8.- Los 3 grupos pueden ordenarse de 3! maneras →
Si A es uno de los estudiantes
12 1 1 14 3
12! 1 . 5,775 4!. 4!. 4! 3!
los otros 3 estudiantes
205 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
B, es uno que no sea del equipo de A
equipo C
18 7 14 3
loe restantes que no están en el
Los 4 estudiantes que quedan constituyen el 3er. equipo →
maneras de repartir los estudiantes 9.- AMARRARAS: 9 LLANTALLA: 9 A=4 R=3 M=1 S=1 L=4 A=3 N=1 T=1 a.1) En bloque (AAAA) (RRR) (LLLL.)(AAA) AAAA RRR
p= 1
MS 1
1 7 . 3 3
= 5775
2!. 3! = 0.995 9P4,3,1,1
23
7P3,4 a.2) En cualquier orden
7! 3!. 3!.4! p= = b) “R” y “A” en los extremos 9 p= AAAA MS RRR 4,3,1,1, Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V AAAA RRR
MS
2!. 2! 9! 4!. 3!
206
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
2!
10.- a)
10 45 8
b)
37 5 5 . 21 .. 3 5 4 53 c)
04
11. - P(X=0) =
4 1 1 . . 0 2 2
04
x
13
P(X=1) =
4 1 1 . . 1 2 2
= 35
4 1 1 . . 0 2 2
=1
1 2
13
x
4 1 1 . . 1 2 2
= 16
1 2
8
8
207 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
22
P(X=2) =
4 1 1 . . 2 2 2
22
x
31
P(X=3) =
4 1 1 . . 0 2 2
P(X=4) =
8
= 36
1 2
8
= 16
1 2
8
= 1
1 2
31
x
40
4 1 1 . . 0 2 2
4 1 1 . . 2 2 2
4 1 1 . . 0 2 2
40
x
4 1 1 . . 0 2 2
-----------------------------------------------------------------------------
4
1
x 0
2
p( X)
2n
2 n n
i0 i
1 = 70 2
8 = 0.2734
12.- 12 B + 4N = 16 fichas → 4 con reemplazo ¿Muestra 3B-1N?
p=
12 12 12 4 4 . . . . 16 16 16 16 3
=
27 64
208 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor 13. - Moya 1-4 Problema Nº. 20.- PROPUESTO 5Ital – 4Ing – 3 Nac. = 12 corbatas S = 212 – 1 = 4095
209 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x48 10 231 210 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
211 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x68 120 31
5 5 .46 18 xx. 120 1 1
212 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x48 130 21 213 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
543 5 . x18 140 231 214 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Aanálogamente para:
120[
5 5 12345
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 x88 2
5 x88 3
5 x88 4
5 x88 5
] = 120 ( 5+10+10+5+1)= 3720 .
Por complemento: Ningún italiano
Ningún Inglés
215 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 . 32 01 23
4 0
(
5 5 12345
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
) (8)= 248
216 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
543 . 48 02 1 3
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Ningún italiano Ningún Inglés
217 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
5 4 3 543 . 8 0 4 1 2 3 . x
5 4 3 . 32 003 12 1 23 14.37 36
4095 – 375 = 3720
=7
Total 120 37 libros
8G 14A 10F 5Q 35
→ 4095 –(120 + 248 + 7 ) =
34
-
29
28
27
26 =
P37 4
-
P29 4 218
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
A) 37P4 – 29P4= 1 015 056
B) 37P4 – 23P4= 1 372 560
C) 37P4 – 27P4= 1 163 880
D) 37P4 – 32P4=
722 040
Comprobación:
A) 1G 8 29 28 27
595,056
2G 8 7
29 28
6
29
4 3
5
4 4
=220,928
4G 8 7
24,024
= 701,568
4 2
552,552
3G 8 7
4 1
6
= 272,832
=
=
38,976
1,680
1’015,056
4 1
B) 1A 14 23 22 21
2A 14 13 23 22
4 2
3A 14 13 12 23
4 3
4G 14 13
4 4
12
11
=
=
=
1’372,560
219 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
C) 1F 10 27 26 25
595,200
2F 10 9
27 26
4 2
8
27
4 3
7
4 4
119,040
3F 10 9
7,680
4F
10 9
4 1
8
120
= 702,000
= 379,080
=
=
77,760
5.040
D) 1Q 5 23 22 21
4 1
=
2Q 5 4 23 22
4 2
=
3Q 5 4 3
4 3
=
4Q 5 4
3
23
2
1’163,880
15. - a) p (A) = 0.10 p (A’) = 0.90
4 4
=
722,040 p (B) = 0.15
p (B’) = 0.85
A’ B’ A’ B → 0.90 x 0.85 x 0.90 x 0.15 = 0.103275 b) P (x=1) = 0.10 P (x=2) = 0.90 x 0.15 = 0.135 P (x=3) = 0.90 x 0.85 x 0.10 = 0.0765 P (x=4) = 0.90 x 0.85 x 0.90 x 0.10 = 0.103275
16. -
URNA I 8R 7B
URNA II 7R 8B
Diferentes Colores
Igual 8R 9B Industrial y de Sistemas – F 8R I I S -9B UNFV Color Facultad de Ingeniería Rojas Blancas P = 8C1 7C1 / 15C2 9R 8B P = 8C2 / 15 7RC210B
220
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
221 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
P=
8 9 8 710 7 . 2 2 2 0.2 15 17 2 2
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
222
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
17.-
P (2 cumplen requisitos): (0.70 x 0.20) (0.70 x 0.20) + H M (0.30 x 0.10) (0.30 x 0.10) + M M (0.70 x 0.20) (0.30 x 0.10) + H M
= 0.0247
P (H y M / 2 cumplen) = (0.70x0.20) ( 0.30)x0.10) 0.17 0.0247
18.-
B 1/3
I
N
x x 1 1 x 1
B 1/2 1/3
II
N 1/2
P (B) =
P (B) =
1 1 x x 1 2 1 3
5x 3 6x 6
1/ 3
P (III / B) = 5 X 3
4/9
6x 6
1/3
III
B 1 Donde: X = 3
19. - Ver problema 95 P (A) = 0.20 P (A’) = 0.80
P (B) = 0.30 P (B’) =0.70
P (C) = 0.40 P (C’) = 0.60
SE QUEMA UN TUBO P (AB’C’) = 0.20 X 0.70 X 0.60 = 0.084 P (AB’C’) = 0.20 X 0.70 X 0.60 = 0.084 P (AB’C’) = 0.20 X 0.70 X 0.60 = 0.084
0.0452 X 0.20 =0.0904
SE QUEMAN DOS TUBOS P (ABC’) = 0.20 X 0.30 X 0.60 = 0.036 223 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
P (AB’C) = 0.20 X 0.70 X 0.40 = 0.056 P (A’BC) = 0.80 X 0.70 X 0.60 = 0.096
0.0188 X 0.60 =0.1128
SE QUEMAN TRES TUBOS P (ABC) = 0.20 X 0.40 X 0.60 = 0.024
0.024 X 0.90 =0.0216
P (funcione el aparato) = 0.2248
20.4 5
monedas de $5 monedas que son de $ 5
P (X ≤ 3) = P (X = 1, 2, 3) 4 = 9 5 4 P (X=2) = P (NS) = x = 9 8 444 = 504 5 4 4 P (X=3) = P (NNS) = x x 9 8 7
P (X=1) =
P (S) =
21. - P (D) = 0.07
Como máximo 3 3 ó menos X≤3
S N
56 4 x = 9 56 20 7 = x 72 7
=
224 504 140 504
P (X ≤ 3)
80 504
q = 1 – P (B) = 1 – 0.07 = 0.93
P (X < 6) = 1 – P (X ≤ 5) Como mínimo deben realizarse 4 verificaciones: P (X < 6) = 1 – P (X=4) - P (X=5)
X = 4 → 0.07 0.07 0.07 0.07
D
D
D
D
4 4
X = 5 → 0.07 0.07 0.07 0.07 0.93
D
D
D
D
B
=
0.07 4
5 4
5 4
=
(0.93)
0.07 4
224 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
P (X > 6) = 1 - (
22. - S =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
0.07 4
CC, CS, SC, SS
+
5 4
(0.93)
0.07 4
)
=
P (Por lo menos una cara)= P = 3/4 a) P ( Iguales colores) = P ( RR) + P (VV) = =
3 2 6 6 2 2 ( ) ( ) 4 20 20 20 20 5
b) P (Diferentes colores) = P (RV) + P (VR) + P (RV) + P (VR) =
3 12 1 12 48 ( ) ( ) 4 20 4 20 80
1 12 x 4 20 12 1 P (2 caras / ≠ colores) = 48 48 4 80
23 .-
POR LO M ENOS UNA CARA
URNA I
3/4
2R 3V
CERO CARAS
URNA II
1/4
3R 2V
RR RV VR VV
2/5 x 1/4 2/5 x 3/4 3/5 x 2/4 3/5 x 2/4
= 2/20 = 6/20 = 6/20 = 6/20
12/20
RR RV VR VV
2/5 x 1/4 2/5 x 3/4 3/5 x 2/4 3/5 x 2/4
= 2/20 = 6/20 = 6/20 = 6/20
12/20
225 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
PROBABILIDADES
P (C/D) = 0.60 =
Mg. Ing. Luis Manrique Suárez Ing Nancy Ochoa Sotomayor
P(C D) 0.05 P(D) 0.075
→
P (D) = (0.90 x 0.05) = (0.10 Y) = 0.075 →
a)
b)
P
P
D
C
C
D
X = 0.90 Y = 0.30
P D C 0.10 x 0.70 0.70 0.10 P C P D C 0.10 x 0.70 0.076 1 0.75 P D
226 Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V
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