Teoria de Probabilidad EG

 

ESTADÍSTICA Probabilidad de un evento

Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La probabilidad de cualquier evento A del Ω, es el número real P(A) que satisface las siguientes condiciones: 1) P( A  ) ≥ 0

(Nunca la probabilidad es negativa)

2)

 Probabilidad del espacio muestral  P( Ω ) = 1

3)

Si A y B son 2 eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión de los eventos es la suma de cada uno de ellos:  P( A

B) = P( A ) + P( B )

4)

La probabilidad del evento vacío es igual a cero:  P( Ø ) = 0

5)

La probabilidad es un numero entre 0 y 1, esto es : 0 ≤ P(A) ≤ 1

6)

La probabilidad del complemento de un evento A es igual  P(Ac) = 1 - P( A ) 

7)

Si A y B son 2 eventos no excluyentes, entonces la probabilidad es:

 

 P(

) = P( A ) + P( B ) - P(

) 

Ejemplos

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ESTADÍSTICA 1.

Las probabilidad de que un hogar tenga teléfono es 2/3, que tenga televisor es 3/6 y de que tenga al menos uno de los aparatos es 5/6. Hallar la probabilidad de que un hogar tenga ambos aparatos. Definir los eventos A: tiene teléfono  P(A) = 2/3 B : tiene TV  P(B) = 3/6 A o B: Al menos uno  P ( A B) = 5/6 A y B: tiene ambos  P ( A B) = ¿?

 P(

) = P( A ) + P( B ) - P(

) 

 P(

) = P( A ) + P( B ) - P(

)

 P(

) = 2/3 + 3/6 – 5/6 = 0.333

Rspta. La probabilidad de que el hogar tenga ambos aparatos es de 33.3% 2.

La probabilidad de que llueva en el Cusco el 21 de Noviembre es 0.6, de que truene es 0.1 y de que llueva y truene es 0.15 ¿Cuál es la pro probabilidad babilidad de que llueva o truene eeste ste día? 0.55 Definir los eventos A= Llueve  P(A) = 0.6 B = Truene  P(B) = 0.1 A y B = llueve y trune  P( A B) = 0.15 A o B = Llueva o truene  P( A B) = ¿?  P(

) = P( A ) + P( B ) - P(

 P(

) = 0.6 + 0.1 – 0.15

 P(

) = 0.55

) 

 Rspta. La probabilidad de de que lleva o truene el 21 de Noviembre Noviembre es del 55% 3.

La probabilidad de que Karina reciba a los más 5 llamadas en un día es 0.20 y por lo menos 9 llamadas en un día es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que Karina rreciba eciba 6, 7 u 8 llamadas en un día? 0.24 Definir los eventos

Ω = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,12, 13, ……}

A = A los mas 5 llamadas A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}   P(A) = 0.20 B = Por lo loss menos 9 llamadas B = { 9, 10, 11 11,, 12, 13, ……}  P(B) = 0.5 C = Recibe 6, 7 u 8 llamadas C = {6, 7, 8}   P(C) = ¿?

Rspta. La probabilidad de que que Karina reciba 6, 7 y 8 seria del 30%.

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ESTADÍSTICA 4.

Una caja contiene 100 focos. La probabilidad de que haya al menos un foco defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 focos defectuosos es 0.01 ¿ Cuál es la probabilidad de que la caja contenga

a) Ning Ningún ún foco foco de defe fectu ctuos osoo  b) Exactamente un foco defectuos defectuosos os c) A lo má máss un foco foco ddef efec ectu tuos oso. o. Solución: Definir los eventos A = Al menos un foco defectuoso , A = {1, 2, 3, 4, ….100} P(A) = 0.05 B = Al menos dos focos defectuosos, B = { 2, 3, 4, …..100}  P(B) = 0.01 a) Ning Ningún ún foco foco de defe fectu ctuos osoo C = {0}   Ω - A    

p (C) = P( Ω) – P (A) P(C) = 1 – 0.05 = 0.95

Rpta. La probabilidad de que ningún foco este defectuoso es del 95%  b) Exactamente un foco defectuos defectuosos os D = {1}  A – B   P(D) = P(A) – P(B)   P(D) = 0.05 – 0.01   0.04 Rpta. La probabilidad de que exactamente un foco este defectuoso es del 4% c) A lo ma mass un foco foco ddef efec ectu tuos oso. o. E = { 0, 1}    Ω - B  

 

p (E) = P( Ω) – P (B) P(C) = 1 – 0.01 = 0.99

Rpta. La probabilidad de que a lo más un foco este defectuoso es del 99%   Definición clásica de probabilidad

La probabilidad de un evento  A es el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el evento  A en el experimento y el número de casos posibles del experimento.

Ejemplo: 1. Se lanza un unaa moneda 3 vece veces. s. Calcu Calcular lar la proba probabilida bilidadd de que ocurr ocurraa a) Dos caras caras,, b) Al menos dos car caras, as, c) A los mas dos caras. Solucion

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ESTADÍSTICA

a) Dos caras

 b) Al menos dos caras,

 c) A los mas dos caras.

2. En un gru grupo po de pers personas onas ha hayy 3 mujeres y 4 varone varones. s. Si se elig eligee una pers persona ona al aza azarr ¿Cuál es llaa probab probabilidad ilidad ddee que sea varón?

3. En una caj cajaa hay 20 bol bolas as enume enumeradas radas ddel el 1 al 20. Se ext extrae rae al azar uuna na bola ¿C ¿Cuál uál es la pro probabili babilidad dad de qu quee el número de la bola extraida. a) Sea llaa bo bola la 13 13,, b) No exced excedaa a 20, c) S Sea ea ppor or lloo me menos nos la bbola ola 1155 d) S Sea ea a lo ma mass la bola 4 d) Sea la bola 32

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ESTADÍSTICA 4. Una lot lotería ería con consta sta de 10 00 0000 tiket. Un ti tiket ket se pre premia mia con s/ s/100, 100, 4 tik tiket et con s/50 s/50,, 10 tiket co conn s/ 20, 20 tik tiket et con s/10, 165 tiket con s/5 y 400 tiket con s/1cada uno de ellos. Los demás tiket no se premian. Se compra un tiket. ¿ Cual es la probabilidad de ganar 

a) Por lo meno enos s/1 s/100

 b) A lo mas s/5

5. Se eelige lige uuna na ca carta rta aaleator leatoriamen iamente te de una baraja de 52 carta cartas. s. a) ¿Cu ¿Cual al es la pprob robabi abilid lidad ad qu quee sea uuna na ca carta rta nnegr egra? a?

 b) ¿Cual es la probabilidad que sea un diez?

c) ¿Cu ¿Cual al es llaa pro probab babilid ilidad ad qu quee sea uuna na fi figur gura? a?

d) ¿Cual es la proba probabilida bilidadd que sea uunn cua cuatro tro o menos menos??

6. Dos per personas sonas A y B se distr distribuye ibuyenn al azar en tres ofic oficinas inas enu enumerad meradas as con 1, 2, 3 respe respectivam ctivamente, ente, pu pudiendo diendo estar ambos en una misma oficina ¿Cuál es la probabilidad que: a) La oofi fici cina na dos dos qque uede de vací vacíaa  b) Dos oficinas queden vacías Solucion

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ESTADÍSTICA Definiendo el espacio muestral

a) La oofi fici cina na dos dos qque uede de vací vacíaa  b) Dos oficinas queden vacías

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