TEORÍA DE PERTURBACIONES INDEPENDIENTE DEL TIEMPO PARA NIVELES DE ENERGÍA NO DEGENERADOS
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UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE FÍSICA
TEORÍA DE PERTURBACIONES INDEPENDIENTE INDEPENDIENTE DEL TIEMPO PARA PARA NIVELES DE ENERGÍA NO DEGENERADOS.
Cuando un problema en Mecánica Cuántica no tiene una solución analítica, es decir, cuando la ecuación de Schrödinger que describe su comportamiento no tiene una solución exacta, es necesario utilizar otras estrategias llamadas “Métodos de Aproximación” para obtener información relevante de ellos. Una de estas estrategias es la “Teoría de Perturbaciones”.
La Teoría de Perturbaciones es un conjunto de esquemas aproximados que permite describir sistemas mecánico cuánticos complejos a partir de sistemas menos complejos. Ésta consiste en que, dado un sistema con Hamiltoniano independiente del tiempo H y que no es posible resolver la ecuación de Schrödinger H n E n n para obtener las funciones propias y valores propios de los estados estacionarios enlazantes. Pero que dicho Hamiltoniano H es ligeramente diferente del Hamiltoniano H de otro sistema cuya ecuación de Schrödinger H 0 n0 E n0 n0 tiene solución exacta. Donde y E son la función de onda sin perturbar y la energía sin perturbar del estado n. ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
n
n
Al sistema con Hamiltoniano H lo llamaremos “Sistema Perturbado” y al sistema con Hamiltoniano H , “Sistema sin Perturbar” y a la diferencia entre los dos Hamiltonianos es la perturbación H , donde: ˆ
0
ˆ
ˆ
H H H ˆ
ˆ
ˆ
0
, entonces: H H H 0 ˆ
ˆ
Lo que se quiere es relacionar las funciones propias y valores propios conocidos del sistema sin perturbar con las funciones propias y valores propios desconocidos del sistema perturbado, para esto imaginemos que la perturbación se realiza lenta y gradualmente, produciendo un cambio continuo desde el sistema sin perturbar al sistema perturbado. Para ello, se debe introducir un parámetro adimensional 0 1 , teniendo así que H H 0 H . De tal forma que cuando 0 se obtiene el sistema sin perturbar con Hamiltoniano H 0 y cuando 1, el sistema con máxima perturbación con Hamiltoniano H . ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Entonces, la ecuación de Schrödinger para el sistema perturbado es:
H ˆ
0
H n E n n ˆ
(1-1)
Donde se puede observar que el Hamiltoniano depende del parámetro , por lo que tanto las funciones propias como los valores propios E también deben ser función de dicho parámetro. Entonces se tiene que: n
n
n , q y E n donde q representa las coordenadas del sistema. Desarrollando estas
funciones en serie de Taylor en potencias de , se tiene: 0 n n 0 0! 0
0
E n
0
d 0 E n
0
0! d
0
n
1!
abreviaturas: n
0
2
dE n
1! d
Por hipótesis, cuando k
2 n 2 2!
3 n 3 3!
2
3
0
0 ,
k n k ! k
0
d 2 E n
3
2
2! d
0
3
n n0
(1-2)
···
(1-3)
0
d 3 E n
3! d
· · ·
0
E n E n0
y
e introduciendo las
k
1
k
y E n 0
1 d E n
k ! d k
, donde
=
1, 2, 3,…
0
Las ecuaciones (1-2) y (1-3) se convierten en: n n0 n1 2 n2 3 n3 ··· k nk ···
(1-4)
E n E n0 E n1 2 E n2 3 E n3 ··· k E nk ···
(1-5)
Ecuaciones en la que nk y E nk representan las “correcciones de orden k ” de la función de onda y de la energía respectivamente, donde k = 1, 2, 3,… Si las series (1-2) y (1-3) convergen adecuadamente para =1 se puede considerar que, para una perturbación pequeña, sea suficiente con las dos primeras aproximaciones para obtener unos buenos valores para la función de onda y la energía del sistema perturbado. La función n0 debe elegirse de tal forma que esté normalizada, es decir que n0 n0 1 y a la función n0 n 1 . 1
n0 n
Si
n
n
se requiere que cumpla la condición de que
no cumple esta condición, se multiplica por la constante
, de esta forma se obtiene una función de onda perturbada que sí la
cumple. La utilización de esta condición para la función
n , llamada “normalización
intermedia”, no altera en nada los resultados finales, pero sí simplifica enormemente los
cálculos. Sustituyendo la ecuación (1-4) en n0 n 1 , se obtiene: n0 n0 n0 n1 2 n 0 n2 3 n 0 n3 · · · = 1
n0 n0 n0 n1 2 n 0 n2 3 n 0 n3 · · · =
0
0 0 0· · ·
Dado que la ecuación anterior es válida para todo valor de comprendido entre 0 y 1, entonces los coeficientes de potencias iguales también deben ser iguales; igualando los coeficientes de con coeficientes similares, se tiene: n0 n0 1;
n0 n1 0;
n0 n2 0 ; …
(1-5-1)
Entonces, cuando se utiliza la normalización intermedia, las correcciones de la función de onda son ortogonales a n0 . Sustituyendo las ecuaciones (1-4) y (1-5) en la ecuación de Schrödinger (1-1), se tiene:
H 0 H n0 n1 2 n2 ··· E n0 E n1 2 E n2 ··· n0 n1 2 n2 ··· ˆ
ˆ
Distribuyendo se tiene: H 0 n0 H 0 n1 H 0 2 n2 ··· H n0 2 H n1 3 H n2 ··· E n0 n0 E n0 n1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
E n0 2 n2 ··· E n1 n0 E n1 2 n1 E n1 3 n2 ··· E n2 2 n0 E n2 3 n1 E n1 4 n2 ···
Agrupando los términos con potencias similares de
H 0 n0 H 0 n1 H n0 ˆ
ˆ
ˆ
H H ˆ
0
2
n
ˆ
1
n
2
, se tiene:
3 H n2 ··· E n0 n0 E n0 n1 E n1n0 ˆ
E n0 n2 E n1 n1 E n2 n0 2 E n1 n2 E n2 n1 3 E n1 4 n2 ···
Igualando los coeficientes de
, se obtiene:
0
0 0 0 0 H n E n n ,
con lo que se obtiene la ecuación de Schrödinger que describe al sistema sin perturbar, la cual no nos aporta nada nuevo acerca del sistema en estudio. ˆ
Igualando los coeficientes de
1
, se obtiene:
0 1 0 0 1 1 0 H n H n E n n E n n ˆ
ˆ
H 0 n1 E n0 n1 E n1 n0 H n0 ˆ
ˆ
(1-6)
Ecuación con la que se puede determinar las correcciones de primer orden para la función de onda y para la energía. DETERMINACIÓN DE LA CORRECCIÓN DE PRIMER ORDEN PARA LA ENERGÍA Para determinar la corrección de primer orden para la energía, multiplicamos a la izquierda la ecuación (1-6) por m0 . Se tiene:
m0 H 0 n1 m0 E n0 n1 m0 E n1 n0 m0 H n0 ˆ
ˆ
Integrando sobre todo el espacio, se tiene: m0 H 0 n1 E n0 m0 n1 E n1 m0 n0 m0 H n0 ˆ
(1-7)
ˆ
Utilizando la propiedad de hermiticidad del Hamiltoniano H , se tiene: 0
ˆ
m0 H 0 n1 n1 H 0 m0 ˆ
ˆ
n1 H 0 m0
ˆ
n1 E m0 m0
m0 H 0 n1 E m0 m0 n1
E m0 n1 m0
(1-8)
ˆ
Sustituyendo (1-8) en (1-7), se tiene:
E m0 m0 n1 E n0 m0 n1 E n1 m0 n0
m0 H n0
E m0 E n0 m0 n1 E n1 mn m0 H n0 ˆ
ˆ
(1-9)
Para m = n, el término entre paréntesis de la izquierda en la ecuación (1-9) se hace cero y mn 1 , se tiene entonces:
1 0 0 0 0 E n n H n n H n d
ˆ
ˆ
Utilizando la ecuación (1-5) con 1 , se tiene: E n E n0 E n1 E n2 E n3 ···
E n E n0 n0 H n0 d ˆ
CORRECCIÓN DE PRIMER ORDEN PARA LA FUNCIÓN DE ONDA Para determinar la corrección de primer orden para la función de onda, hacemos m ≠ n, entonces mn 0 y, en consecuencia, se tiene: E m0 E n0 m0 n1 m0 H n0 ˆ
(1-10)
Se debe encontrar n1 , para ello se debe desarrollar esta función en término del conjunto completo ortogonal de las funciones propias sin perturbar m0 del operador hermítico H 0 . ˆ
n1 a m m0 , donde am m0 n1 y sustituyendo en (1-10), se tiene: m
E E a 0
m0 H n0 , con m ≠ n
0
m
n
ˆ
m
Como E n0 no está degenerado, entonces E m0 E n0 y por lo que: 0
am
m
0 H n
0 E m
0
ˆ
am
0
E n
Todos los coeficientes
am
m
0 H n
0 E n
ˆ
(1-11)
0
E m
se consiguen con la expresión (1-11) salvo el caso en que
= n, porque a n n0 n1 0 , entonces sustituyendo en la primera de las ecuaciones de (1-10), se tiene: m
0
1
n
mn
m
0 H n ˆ
0 E n
0
E m
0 ·m
(1-12)
Luego, sustituyendo (1-12) en (1-4) con 1 , se tiene: n n0 n1 n2 n3 ··· 0
0
n n
0
m H n ˆ
0 E n
m n
0 E m
0 ·m
DETERMINACIÓN DE LA CORRECCIÓN DE SEGUNDO ORDEN PARA LA ENERGÍA Para determinar la corrección de segundo orden para la energía, igualamos los coeficientes : 2
H 0 n2 E n0 n 2 E n1 n1 E n2 n0 H n1 ˆ
ˆ
Multiplicando a la izquierda la ecuación anterior por m0 . Se tiene:
m0 H 0 n2 m0 E n0 n2 m0 E n1n1 m0 E n2 n0 m0 H n1 ˆ
ˆ
Integrando sobre todo el espacio, se tiene: m0 H 0 n2 E n0 m0 n2 E n1 m0 n1 E n2 m0 n0 m0 H n1 (1-13) ˆ
ˆ
Utilizando la propiedad de hermiticidad del Hamiltoniano H 0 , se tiene: ˆ
m0 H 0 n2 n2 H 0 m0 ˆ
ˆ
n2 H 0 m0 ˆ
n2 E m0 m0
E m0 n2 m0
m0 H 0 n2 E m0 m0 n2
(1-14)
ˆ
Sustituyendo (1-14) en (1-13), se tiene: 0
0
2
E n0 m0 n2 E n1 m0 n1 E n2 m0 n0 m0 H n1
E m m n
ˆ
E m0 E n0 m0 n2 E n1 m0 n1 E n2 mn m0 H n1
(1-15)
ˆ
Para m = n, el término entre paréntesis de la izquierda en la ecuación (1-15) se hace cero y mn 1 , se tiene entonces: 2 0 1 1 0 1 E n n H n E n n n
(1-16)
ˆ
Pero n0 n1 0; segunda de las ecuaciones (1-5-1) E n2 n0 H n1
(1-17)
ˆ
Introduciendo (1-12) en (1-17), se tiene: 0
2 E n
0
n
H ˆ
m n
m
0 H n
0 E n
ˆ
0 E m
0 ·m
Sacando los coeficientes de la integral ye que éstos son constantes, se tiene: 0
2 E n
mn
m
0 H n
0 E n
ˆ
·
0 E m
0
n
0 H m ˆ
Dado que H es hermítico se tiene que: ˆ
m0 H n0 n0 H m0 m0 H n0 m0 H n0 ˆ
ˆ
0
2
E n
mn
m
ˆ
0 H n
0 E n
ˆ
m0 H n0
2
ˆ
2
ˆ
0
E m
Ecuación que queda en función de la función de onda y de los valores propios de la energía del sistema sin perturbar. Utilizando la ecuación (1-5) con 1 , se tiene: 0 1 2 3 E n E n E n E n E n ···
m0 H n0 ˆ
E n E n0 n0 H n0 d ˆ
m n
E n0 E m0
2
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