Teoria de Las Probabilidades_completo

Catalogación en la fuente Wisniewski, Piotr M. Ejercicios y problemas de teorfa de las probabilidades. -- México: Trillas, 1998. 3I7 p.; 23 cm. ISBN 968-24-0490-8

l. Distribución (Teor{a de la probabilidad). l. Bali, Guillermo. JI. t. D- 519.2'W216e

LC- QA273.25'W5.4

La presentación y disposición en conjunto de EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor. Derechos reservados © I998, Editorial Trillas, S. A. de C. V., Av. Rfo Churubusco 385, Col. Pedro Maria Anaya, C.P. 03340, México, D. F. Tel. 6884233, FAX 6041364 División Comercial, Calz. de la Viga 1132, C.P. 09439 México, D. F., Tel. 6330995, FAX 6330870 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Reg. núm. I58

Primera edición, enero 1998 ISBN 968-24-0490-8 Impreso en México Printed·in Mexico

Prólogo

Este libro de ejercicios y problemas es el resultado de la experiencia de los autores en la enseñanza de la teoría de las probabilidades para ingenieros y de estadística para administradores, en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México (ITESM CCM). Además de problemas y ejercicios originales, se recogieron numerosos problemas clásicos y de conocimiento general. Los ejercicios y problemas se seleccionaron de acuerdo con los programas de estudio de diversos centros de enseñanza superior en México y, en parti­ cular, con los cursos que se imparten en el ITESM. Al final de cada capítulo se incluye una serie de problemas para cursos más avanzados de ingeniería o matemáticas superiores. El libro contiene más de 1000 problemas con respuesta, ordenados por grado de dificultad, en cada uno de los 1 8 capítulos que lo conforman. Esto permite que se pueda profundizar en los contenidos de cada tema hasta el grado que el lector decida, sin perder continuidad. Se dedicó especial atención a las partes que, por ser fundamentales para reforzar conocimientos básicos, requieren una mayor práctica, como son el conteo, el álgebra de conjuntos, la definición clásica de probabilidad y las distribuciones de probabilidad más simples, tanto discretas como continuas, para las cuales se incluyen un gran número de problemas. Aunque muchos de los ejercicios y problemas se relacionan con cuestiones prácticas de la administración y la ingeniería, donde se señalan las técnicas y aplicaciones útiles para los estudiantes, el libro es adecuado para muchas otra áreas de las ciencias. También contiene un capítulo especial de probabilidad geométrica, en el que se ha puesto énfasis, ya que, pese a ser un tema poco conocido para los estudiantes de las probabilidades, los problemas que plantea ofrecen una posibilidad muy interesante para la integración de los conocimientos. El número de ejercicios y problemas que se ofrecen, como lo ha demos­ trado la práctica pedagógica, no sólo es suficiente para cubrir las necesidades de los estudiantes de reforzar el conocimiento de los capítulos correspondien-

·

5

6

PRÓLOGO

tes, sino que también le da al profesor la posibilidad de hacer una selección variada de los problemas dentro de los límites de cada capítulo, y de elegir los necesarios para las tareas de resumen y las evaluaciones mediante examen. Cada capítulo inicia con una breve introducción teórica, con las definicio­ nes y fórmulas más importantes relativas a la parte correspondiente del curso. Asimismo, se ofrece la solución de todos los ejercicios y problemas al final de cada capítulo, con indicaciones importantes del porqué de los resultados, y para los de mayor grado de dificultad se incluyeron las demostraciones, con los pasos que los autores consideraron necesarios para la comprensión y el desarrollo lógico de las soluciones. Por último, agradecemos la colaboración de nuestros alumnos de proba­ bilidades para ingenieros y estadística para administradores, los cuales contri­ buyeron sustancialmente en la discusión y solución de muchos de los ejercicios y problemas de este libro. Agradecemos también a todos aquellos que de una manera u otra ayudaron a la realización y revisión de esta obra, y que creyeron siempre en la importancia de este trabajo.

"

Indice de contenido

Prólogo

5 9

Cap.

l. Técnicas de conteo

Cap.

2. Espacios muestrales y eventos

41

Cap.

3. Definición clásica de probabilidad

55

Cap.

4. Probabilidad condicional. Eventos independientes

93

Cap.

5. Probabilidad total y teorema de Bayes

135

Cap.

6. Probabilidad geométrica

151

Cap.

7. Variables aleatorias discretas

166

Cap.

8. Distribución binomial

177

Cap.

9. Distribución de Poisson

191

Respuestas, 29

Respuestas, 50 Respuestas, 8 1 Respuestas, Respuestas, Respuestas,

Respuestas,

Respuestas,

Respuestas,

1 20

146

154 173

187

199

Cap.

10. Distribución hipergeométrica

202

Cap.

11. Distribución geométrica y distribución de Pascal

210

Cap.

12. Distribución multinomial

219

Cap.

13. Variables aleatorias continuas

224

Respuestas, 207 Respuestas, 2 16

Respuestas, 222

Respuestas, 236

7

8

ÍNDICE DE CONTENIDO

Cap.

14. Distribución uniforme

244

Cap.

15. Distribución normal

248

Cap.

16. Distribuciones exponencial y gamma

266

Cap.

17. Distribuciones beta y de Weibull

275

Cap.

18. Funciones generatrices de momentos

281

Respuestas, 246 Respuestas, 262 Respuestas, 271

Respuestas, 278

Respuestas, 288

Apéndice Índice analítico

295 315

Capítulo 1 Técnicas de conteo

El coeficiente entero k como

binomial se define para todo número real x y todo número x x(x-l)···(x - k + l) k! k en particular, cuando x = n es un número positivo, entonces

()

=

(n ) k

n!

k!(n- k)!

es igual al número de combinaciones de n objetos distintos tomando k al mismo tiempo; (;;) también se denota como C�. (k! se lee como factorial de k o k factorial. ) a) Sea M un co�junto de n elementos distintos, entonces v(M) n es la cardinalidad del conjunto y a todo subconjunto de k elementos se le llama muestra de tamaño k. b) A una muestra ordenada de tamaño k se le llama variación de tamaño k. Entonces existen =

V" n

=

(nk)

X kl·

=

(n

n! - k) !

=

Vn"

=

n (n-l) ···(n-k + l )

variaciones de un objeto si se toma k al mismo tiempo. Una variación de tamal'io n contiene n! elementos y se denomina permutación. e) Si M se subdivide en k subconjuntos -donde el primer subconjunto contiene r1 elementos; el segundo r2 elementos, y el k-ésimo subconjunto, r¡¡ elementos-, entonces se cumple

y

la expresión de la izquierda se llama coeficiente multinominal. 9

10

CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO

d) e)

Si la operación A1 se puede realizar de n1 formas, la A2 de n2 formas y la h-ésima de nk formas, entonces las h operaciones pueden realizarse, según el principio de la multiplicación, en n1 x n2 x n3 x x nk formas. A una muestra ordenada de tamaño h, en la que podemos repetir h veces un mismo elemento de M, se le llama variación con repetición y existen ·

·

·

variaciones con repetición de n objetos tomando k al mismo tiempo. J) A una muestra de tamaño k de n objetos, en la que podemos repetir k veces un mismo elemento de M, se le denomina combinación con repetición y existen

combinaciones con repetición de un objeto tomando k al mismo tiempo. 1.1. Si un experimento consiste en lanzar un dado y después seleccionar 1.2.

1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 7.

1.8.

.

aleatoriamente una letra del alfabeto en inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio de muestra? El candado de la bicicleta de Susana tiene una combinación de tres discos, cada uno de los cuales incluye los números enteros del O al 9. El candado se abre cuando cada disco señala la cifra correcta. Susana olvidó el número del primero, pero recuerda que el segundo está entre O y 5 y el tercero entre 6 y 9. Si Susana tiene razón, ¿cuántas posibles combinaciones diferentes hay, donde sólo una de ellas abrirá el candado? ¿cuántos números diferentes pueden formarse con 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8 si usamos todos ellos? ¿cuántos números diferentes de tres dígitos se pueden formar con 3, 4, 7, 8 y 9 si se desea que sean mayores que 500 y que no se repitan los dígitos? Dados los dígitos O, 1 , 2, 3, 4, 5, 6 y 7, ¿cuántos números diferentes de tres dígitos se pueden formar con ellos si el segundo debe ser 5, el O no puede ocupar el primer lugar y no se permiten repeticiones? ¿De cuántas maneras pUede programar un profesor las clases para cuatro estudiantes en cuatro horas distintas de clase? En una escuela, las calificaciones posibles son A, B, C, D y E. Si un alumno estudia matemáticas, inglés, física, historia, educación física y arte, ¿cuál es el número de califi�aciones diferentes que podrían aparecer en su boleta de calificaciones? Un estudiante de primer año debe tomar un curso de ciencia, uno de humanidades y otro de matemáticas. Si puede elegir entre cualquiera

TÉCNICAS DE CONTEO

1.9.

1. 10.

l.ll.

1.12. 1.13. 1.14. 1.15.

1.16. 1.17.

1.18.

1 1

de seis cursos de ciencia, cuatro de humanidades y cuatro de mate­ máticas, ¿en cuántas formas puede acomodar su horario? Los estudiantes de un colegio privado de humanidades se clasifican como estudiantes de primero, segundo, tercero o cuarto año, y de acuerdo con su sexo: hombres o mujeres. Encuentre el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio. En la etapa de contratación de personal, el presidente de una nueva corporación debe seleccionar a un gerente de ventas entre tres solici­ tantes, un gerente de producción entre seis aspirantes y un contralor entre cinco candidatos. ¿De cuántas maneras se pueden cubrir estos puestos? Durante una convención, a los participantes se les ofrecen seis reco­ rridos por día para visitar lugares de interés durante los tres días del evento. ¿En cuántas formas se puede una persona acomodar para hacer alguno de ellos? Un club femenino consta de 30 miembros. ¿De cuántas formas se pue­ den seleccionar tres dirigentes: presidente, vicepresidente y secretaria? ¿cuántos matrimonios diferentes se pueden efectuar entre cinco hom­ bres y siete mujeres? Si un club tiene cuatro candidatos para presidente, tres para vicepresi­ dente y dos para secretario-tesorero, ¿de cuántas formas puede elegirse la mesa directiva? En un estudio médico, los pacientes se clasifican en ocho formas según su tipo de sangre: AB+ , AB, A+, A, B+, B, o+ u O, y su presión sanguínea: baja, normal o alta. Encuentre el número de formas posibles para clasificar a un paciente. Felipe tiene cuatro corbatas, seis camisas y tres pares de pantalones. ¿cuántas combinaciones diferentes puede usar si elige una prenda de cada tipo de artículo? En un estuche de instrumentos de óptica hay seis lentes cóncavos, cuatro convexos y tres prismas. ¿En cuántas formas diferentes puedes elegir uno de los lentes cóncavos, uno de los convexos y uno de los prismas? Una tienda de artículos electrodomésticos tiene en existencia ocho tipos de refrigeradores, seis de lavadoras y cinco de hornos de micro­ ondas. ¿En cuántas formas distintas se pueden elegir dos artículos de cada tipo para una barata? Indique el número de placas diferentes que puede fo rmar si cada placa tiene cuatro letras Seguidas de dos dígitos y los números y las 1 tras no pueden repetirse (al respecto, considere 26 1 ·t ra.� c11 d il 1 l"ab B > C). 3. 1 13. Las probabilidades de que una persona olvide enviar por correo una carta, descuide la colocación de una estampilla o ambos, son 0.25, 0.20 y 0.05, respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que una persona olvide enviar por correo una carta o descuide la colocación de una estampilla? 3. 1 14. La probabilidad de que una mujer que se prueba un vestido pida que se le modifique la prenda es de 0.65, que se le envíe a su domicilio es 3. 106.

70 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

3 . 1 15.

3. 1 16.

3 . 1 17.

3. 1 18. 3. 1 19.

3. 120.

3.121.

de 0.32 y que solicite ambas cosas es de 0.2 1 . ¿cuál es la probabilidad de que una mujer que hace compras en esta tienda pida: a) que se le modifique el vestido o que se le entregue en su domicilio? b) que no se le modifique ni que se le entregue en su domicilio? Un criador de animales mete un novillo y un caballo a un concurso en la feria del estado. Él cree que las probabilidades de que gane una banda con su novillo, con su caballo o con ambos son 0.25, 0.19 y 0.16. ¿cuáles son las probabilidades de que gane a ) con el novillo o con el caballo? b) ni con el novillo ni con el caballo? e) con el novillo, pero no con el caballo? Las probabilidades de que un diseñador de interiores evalúe el aspecto estético de un mueble de oficina como deficiente, regular, bueno, muy bueno o excelente son 0. 19, 0.20, 0.35, 0.18 y 0.08, respectivamente. Determine las probabilidades de que el diseñador clasifique el mueble de oficina como: a) regular o bueno, b) cuando menos regular, e) cuando mucho regular, d) ni deficiente ni excelente. Dos objetos, A y B, se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Defina un espacio muestra adecuado para este experimento. Use sub­ índices para indicar el número de celda; por ejemplo, A1B3 significa que A está en la celda 1 y B en la celda 3. ¿cuál es la probabilidad de que: a ) la celda 2 quede vacía? d) dos celdas queden vacías? Calcular la probabilidad de que los cumpleaños de 12 personas estén distribuidos entre diferentes meses del año. Tres estaciones de radio tienen permiso de trabajar en cualquiera de tres frecuencias asignadas. Hallar las probabilidades de los even­ tos: A = {todas las estaciones de radio funcionan en frecuencias diferentes}; B = {dos estaciones de radio funcionan en frecuencias iguales y la tercera en otra}. Suponer que todas las selecciones posibles de las frecuencias son equiprobables. Considérese un experimento que consiste en anotar la fecha de cum­ pleaños para cada una de 20 personas seleccionadas al azar. Si se ignoran los años bisiestos y se supone que hay solamente 365 distintos cumpleaños posibles, ¿cuál es la probabilidad de cada persona de los 20 tenga un diferente día de cumpleaños? En una clase de 40 estudiantes, se debe seleccionar aleatoriamente un comité de cinco estudiantes. ¿cuál es la probabilidad de que un

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 7 1

3. 122.

3. 123. 3 . 1 24.

3. 125.

3.126.

3. 127.

3. 128.

grupo de cinco buenos compañeros de clase sea seleccionado para este comité? Una caja contiene 20 unidades de cierto producto electrónico, de las cuales cuatro están defectuosas y las 1 6 restantes están en buenas condiciones. Cuatro unidades se seleccionan aleatoriamente para su venta. Hallar la probabilidad de que: a) las cuatro unidades vendidas sean defectuosas, b) entre las cuatro unidades vendidas dos estén en buen estado y dos defectuosas, e) se venden al menos tres unidades defectuosas. Si P(A) = 1 /3, P(A U B) = 1/2 y P(A n B) = 1 /4. Encontrar P(B). Un lote tiene 15 artículos, de los cuales cinco están defectuosos. Se inspeccionan sucesivamente y sin reemplazo todos los artículos. ¿cuál es la probabilidad de que el último artículo defectuoso del lote sea el octavo? Las probabilidades de que O, 1 , 2, 3, 4, 5 o cuando menos 6 aeronaves privadas aterricen en un pequeño aeropuerto en cierto día son 0.003, 0.009, 0.090, 0. 158, 0. 197, 0.261 y 0.282, respectivamente. ¿cuáles son las probabilidades de que: a ) cuando menos aterricen cinco aeronaves privadas? b) cuando menos aterricen dos aviones? e) aterricen de dos a cinco aeronaves privadas? La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es de 3/5 y la de que su esposa los esté es de 2/3. Hallar la probabilidad de que en ese momento: a) ambos estén vivos, b) sólo el hombre viva, e) sólo viva la esposa, d) al menos uno esté vivo. Supóngase que la probabilidad de que el sistema de control utilizado en una nave espacial no funcione en un vuelo concreto es de 0.00 1 . Asimismo, supóngase que l a nave también tiene instalado u n segundo sistema de control idéntico, pero completamente independiente del primero, que toma el control cuando el primero falla. Determine la probabilidad de que en un vuelo concreto la nave espacial esté bajo control, ya sea por el sistema original o por el sistema duplicado. De entre 800 familias con cuatro hijos cada una, ¿qué porcentaje puede esperarse que tenga: a) dos chicos y dos chicas? b) al menos un chico?

72 CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD e) ninguna chica?

d) a lo sumo dos chicas? 3 . 1 29.

3. 130.

3.131.

3 . 132.

3.133.

3.134.

3.135.

Suponer igual probabilidad para chicos y chicas. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local · tiene disponibles cinco Ford, siete Chevrolet, cuatro Dodge, tres Datsun y cuatro Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente nueve de estos vehículos para transportar delegados del aeropuerto al c_entro de convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen dos Ford, tres Chevrolet, un Dodge, un Datsun y dos Tuyota. Se pide a cada una de cinco personas identificar un helado de vainilla y un flan de vainilla (a cada persona se le da una porción de cada uno y se le pide identificar el helado). Si todas sólo adivinan, ¿cuál es la probabilidad de que todas acierten? Si todas adivinan, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro identifiquen correctamente el helado? Se colocan en fila cinco platos de colores con alimento para perros. Si un perro elige uno de ellos al azar para comer, a ) ¿cuál es la probabilidad de que seleccione el de color azul? Si se emplea un segundo perro, b) ¿cuál es la probabilidad de que elija el de color azul? e) ¿cuál es la probabilidad de que ambos seleccionen el azul? Los registros de la unión crediticia Tepic indican que de un total de 1000 clientes, 800 tienen cuentas de cheques, 600 tienen cuentas de ahorros y 500�tienen ambas. ¿cual es la probabilidad de qu'e un cliente seleccionado al azar tenga cualquiera de las dos cuentas? En una planta de plásticos, 12 tubos vacían diferentes químicos en un tanque de mezcla. Cada tubo tiene una válvula de cinco posiciones que mide el flujo dentro del tanque. Un día, al experimentar con diferentes mezclas, se obtiene una solución que emite un gas venenoso; sin embargo, no se efectuó el registro de los valores en las válvulas. ¿cuál es la probabilidad de obtener esta misma solución si se experimenta otra vez de manera aleatoria? A una persona se le muestran seis tarjetas para que las identifique. Sabe que el reverso de las tarjetas es de color rojo o blanco. Si se seleccionan tres de cada color y la persona sólo está adivinando: a ) ¿cuál es la probabilidad de que identifique las seis? b) · ¿De que identifique cinco? e ) ¿De que identifique cuatro? Cuarenta personas viajan en un mismo vagón de ferrocarril. De· .estas personas, cinco son damas irlandesas con abrigos de color azul, dos son caballeros irlandeses con abrigos de color verde, una es un

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 73

3. 136.

3. 13'1.

3. 138.

3. 139.

3. 140.

3 141. ..

caballero irlandés con un abrigo de color negro, siete son damas noruegas con abrigos de color café, dos son damas noruegas con abrigos de color azul, seis son caballeros noruegos con abrigos de color negro, cuatro son hombres alemanes con abrigos ae color verde, tres son damas alemanas con abrigos de color negro, cinco son damas alemanas con abrigos de color azul y cinco son caballeros alemanes con abrigos de color negro. Si se selecciona al azar una persona de este vagón, ¿cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada: a) sea un caballero? b) lleve un abrigo de color verde? e) lleve un abrigo de color café? d) sea noruego? e) sea alemán? J) sea alemán y lleve un abrigo de color verde? Nueve pasajeros suben al azar a un tren con tres vagones. ¿cuál es la probabilidad de que: a) a cada vagón suban tres pasajeros? b) al primer vagón suban cuatro, al segundo tres y al tercero dos? Supóngase que las calles de una ciudad se trazan en una red que va de norte a sur y de oriente a poniente. Considérese el planteamiento siguiente para patrullar una zona de 1 6 por 1 6 manzanas. Un patru­ llero comienza a caminar en el cruce central de la zona. En la esquina de cada cuadra elige al azar dirigirse al norte, al sur, al este o al oeste. a) ¿cuál es la probabilidad de que alcance el límite de su zona de patrullaje para cuando haya caminado seis cuadras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que regrese a su punto de partida después de haber caminado exactamente cuatro cuadras? Dado un grupo de cinco hombres y 1 O mujeres, si se divide al azar estas personas en cinco grupos de tres miembros, ¿cuál es la probabilidad de que en cada grupo haya un hombre? Durante los últimos 30 años, el profesor Lezama ha dado sólo 100 calificaciones A y 200 lten matemáticas a los 1200 alumnos que se han inscrito en su clase. Con base en estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno que se inscriba en el año próximo: a) obtenga A? b) no obtenga ni A ni B? En una repisa se coloca al azar una enciclopedia de cinco volúmenes. ¿cuál es la probabilidad de que cada volumen quede colocado en el orden correcto? Tres hombres y cuatro mujeres van a sentarse en una fila. Encuéntrese la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes.

74 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

3. 142.

3. 143.

a) Un hombre y una mujer se sientan de forma alterna. b) Todas las mujeres se sientan juntas. e) Los extremos son ocupados por hombres. Se sacan seis zapatos de una fila compuesta por 10 zapatos izquierdos idénticos y siete derechos idénticos que complementan los pares. ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) tres pares? b) dos pares? Supóngase que se hacen girar las dos ruletas dibujadas en la figura ilustrada a continuación. ¿cuál es la probabilidad de que: a) ambas caigan en rojo (esto es, A cae en rojo y B cae en rojo)? b) ninguna caiga en rojo (esto es, A no cae en rojo y B no cae en rojo)? e ) la ruleta A caiga en rojo y la B no caiga en rojo? d) la ruleta A caiga en rojo y la B caiga en rojo o en verde? e) sólo una de las ruletas caiga en verde?

A

3. 144.

3. 145.

3. 146.

8

Una secretaria escribió a máquina cuatro cartas y cuatro sobres y por descuido insertó las cartas al azar dentro de los sobres. Encuéntrese la probabilidad de cada unos de los casos siguientes. a) Ninguna carta entró en el sobre correcto. b) Al menos una carta entró en el sobre correcto. e ) Sólo una carta entró en el sobre correcto. d) Tres cartas entraron en los sobres correctos. María yJuan trabajan en forma independiente descifrando un mensaje codificado. Si sus respectivas probabilidades de descifrarlo son de 1 /2 y 2/3, encuéntrese la probabilidad de que: a) María sea la única de los dos en descifrar el mensaje, b) pueda descifrarse el mensaje. Diez trabajadores tienen que formar: a) una brigada de cuat.rt> y otra de seis personas b) un equipo de cinco, uno de tres y otro de dos personas e) cinco equipos de dos personas.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 75

3 . 1 47 .

3 . 148.

3. 149.

3 . 150.

3.151.

3. 152.

3. 153.

3. 154.

Para cada división de las personas en brigadas y equipos, ¿cuál es la probabilidad de que dos trabajadores determinados se encuentren en el mismo equipo? Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de cojinetes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Suponga que la probabilidad de la obstrucción es .doble que la de la combustión, la cual es cuatro veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿cuál es la probabilidad de que la falla sea por cada uno de estos mecanismos? Suponga que se selecciona al azar un número entero entre el 100 y el 999 inclusive. ¿cuál es la probabilidad de que el número seleccionado contenga dos veces el número tres? Los participantes de la lotería genovesa compran billetes, en los cuales figuran los números del 1 al 90. Algunos billetes tienen a la vez 2, 3, 4 o 5 números. El día del sorteo se eligen al azar cinco fichas con los números del 1 al 90. Ganan los participantes cuyos billetes tengan números que coincidan con los elegidos en el sorteo. ¿cuál es la probabilidad de ganar el premio en el caso de un billete comprado con un número? ¿con k números ( 1 :::; k :::; 5)? Calcular la probabilidad de que cinco naipes extraídos al azar de una baraja de 52 contenga: a) dos pares, b) un full (una tercia y un par), e) una jlor (los cinco naipes del mismo palo), d) una corrida (cinco naipes en secuencia; por ejemplo: 8, 9, 10,], Q). Las letras del alfabeto telegráfico de Morse están formadas por una sucesión de rayas y puntos con repeticiones permitidas. ¿cuántas pala­ bras se pueden formar con 10 o menos letras? ¿cuál es la probabilidad de que la palabra formada tenga sus letras diferentes? Sea N un número entero seleccionado al azar. ¿cuál es la probabilidad de que la última cifra sea uno para: a) N2 ? b) N4? e ) N x M? Suponga que A y B son los eventos para los cuales P(A) = x, P(B) = y, P(A n B) = z. Expresar cada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y, z. a) P(N U Be) b) P(N n Be) e) P(N U B) ? 2/5, y Suponga que se tienen dos eventos A y B tal que P(A) P(B) = 2/5 y P(A U B) = 1/2. Obtener P(A n B).

76

CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

3. 155.

Suponga que A, B, C son eventos tales que P(A) P(B) = P(C) = .25; = P(C n B) = O y P(A n C) = 1/8. Calcular la probabilidad de que al menos uno de los eventos ocurra. En el Colegio Madrid, los cursos de inglés e historia son obligatorios. En el primer intento, 30 % de los estudiantes reprueba inglés, 20 % reprueba historia y el 8 % reprueba ambas asignaturas. Encuentre: a) la probabilidad de que un estudiante repruebe uno o el otro, b) la probabilidad de que un estudiante repruebe inglés dado que ya ha reprobado historia. Las probabilidades de que el saco de un traje requiera modificaciones son de 0.20; 0.15 de que sean los pantalones los que las requieran, y 0. 10 de que ambas prendas requieran modificaciones. ¿cuál es la pro­ babilidad de que el saco o los pantalones requieran modificaciones? La probabilidad de que una industria mexicana se ubique en Vene­ zuela es de 0.7; de que se localice en Argentina, de 0.4, y de que se encuentre en Venezuela o en Argentina, de 0.8. ¿cuál es la probabili­ dad de que la industria se localice: a ) en ambos países? b) en ninguno de ellos? Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuestos, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentra la probabilidad de que el cliente invierta: a ) ya sea en bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas, b) en ninguno de los dos instrumentos. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas, 50 padecían diabetes y 30 sufrían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenía uno u otro padecimiento? Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 100 estudiaban francés, 80 español y 60 los dos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado francés o español? De un grupo de 100 estudiantes universitarios del último año, 60 estu­ diaron biología, 20 geología y 10 astronomía. 15 estudiaron biología y geología, siete biología y astronomía y tres geología y astronomía. Tres de Jos estudiantes cursaron las tres materias. Si se selecciona al azar un estudiante del uftimo año, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado por lo menos una de estas materias? =

P(A n B)

3. 156.

3. 157.

3. 158.

3 . 159.

3. 160.

3. 1 6 1 .

3. 162.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 77 3. 163.

La probabilidad de que el señorJiménez invierta en acciones comunes

A es de 0.20; en acciones comunes B, de 0.30, y en ambas, de 0 . 1 0. ¿cuál es la probabilidad de que no invi�rta ni en A ni en B? 3. 164.

Suponga que una bolsa contiene 1 0 esferas marcadas con los números 1, 2, 3, . . . , 1 O. Sea E el evento de extraer una esfera marcada con un número par y F el evento de extraer una esfera marcada con un número cinco o mayor, ¿son E y F mutuamente excluyentes? Calcule P(E U F).

3. 165. 3. 166.

Tenemos como datos las probabilidades de los eventos. A y A n B. Calcula P(A n Be). Sean A y B dos eventos. Demuestre que P(N n Be)

3 . 167.

Demostrar que para los eventos A y B cualesquiera P(A nB) - P(A)P(B)

3. 168. 3. 169.

1 - P(A) - P(B) + P(A n B)

=

=

P(N)P(B) - P(N n B)

= P(A)P(Be) - P(A n Bc)

Demostrar que P(A n B) :S P(A) :S P(A U B� :S P(A) + P(B) Sean A y B dos eventos. Demuestre que P(A n B) 2: 1 - P(N) - P(Bc)

3. 170.

Esto es una versión simplificada de la desigualdad de Bonferroni. Demostrar que para cualesquiera eventos A y B a) P(A n B) 2: P(A) + P(B) - 1 b) La probabilidad de que suceda exactamente uno de los eventos es P(A) + P(B) - 2P(A n B).

3. 1 7 1 .

Demostrar que: P

n n Ak

n

(k=l ) ¿ k= l =

P(Ak ) -

n-1 n

n-2 n-I n +L L L

k= l j=k+l i=j+ l

3. 172. 3. 173.

1

¿ ¿ P(A" U AJ ) h=l J=k l +

P(A K U Aj U A ;) -

· ·

·

n + (-l)n -Ip U Ak

(

h= l

)

Se lanzan n dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea no menor que 6n - 1 ? De un conjunto�,rle números 1, 2, 3, . . . , n, se eligen dos núme.ros al azar. ¿cuál es la probabilidad de que un número sea menor y el otro sea mayor que un número dado k?

j

78

CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

3. 1 74.

En una sala se encuentran n personas. Calcular la probabilidad de que cuando menos dos tengan el mismo mes de nacimiento. Dar el valor de esta probabilidad para n = 3, 4, 5, 6.

3. 175.

En un torneo, se encuentran n ajedrecistas, los que tienen a su disposición k tableros n 2:: 2k. a) ¿ne cuántas maneras se pueden formar k parejas de ajedrecistas para jugar la primera partida? b) ¿De cuántas maneras se pueden formar k parejas de ajedrecistas para jugar la primera partida si queremos distinguir a los que juegan con blancas? e) ¿cuántos posibles resultados se obtienen de la primera partida en el caso del inciso a?

3. 1 76.

En una urna hay n bolas con números de 1 a n. Sacamos las bolas una a una sin regresadas a la urna. ¿cuál es la probabilidad de que al extraer k bolas el número de la bola coincida con el número de la extracción?

3. 1 77.

En un grupo de 2n personas hay n hombres y n mujeres. Todos se acomodan alrededor de una mesa redonda. Calcular la probabilidad de que dos personas del mismo sexo se sienten juntas.

3. 178.

¿Qué es más probable: tirar por lo menos un uno cuando se tiran cuatro dados o tirar por lo menos una vez dos unos cuando se tiran 24 veces dos dados?

3. 179.

Si se lanza una moneda n veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga águila un número impar de veces?

3. 180.

Un laberinto consiste en pasillos igualmente espaciados en dirección norte-sur y pasillos igualmente espaciados en dirección este-oeste, que se entrecruzan formando una especie de tablero de ajedrez. Una rata comienza a caminar en una de las intersecciones y vaga por el laberinto sin propósito alguno, haciendo un alto en cada intersección y escogiendo en ella al azar una de las cuatro direcciones. Encontrar la probabilidad de que la 2n-ésima intersección que se alcance será precisamente la intersección en la que comenzó su movimiento.

3.181.

Alma, Beatriz y Clara to¡nan turno (en ese orden) para lanzar una moneda en buen estado hasta que una de ellas gana obteniendo una cara. Encuéntrese la probabilidad que cada una de ellas tiene de ganar.

3. 182.

Los números 1, 2, . . . , n están colocados en orden aleatorio. Encontrar la probabilidad de que los dígitos a) 1 y 2 b) 1 , 2 y 3, sigan el orden mencionado.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 79 3. 183.

3. 184.

3. 185. 3. 186.

3 . 187.

3. 188.

3. 189.

3.190.

3.191.

3. 192. 3 . 193.

Un grupo de 2N niños y 2N niñas se divide en dos grupos iguales. Encontrar la probabilidad p de que cada grupo esté igualmente dividido en niños y niñas. Un grupo de n personas se sienta al azar alrededor de una mesa redonda. ¿cuál es la probabilidad de que dos personas que se eligen de forma determinada: a ) se sientenjuntas? b) no sean vecinos? Calcule la probabilidad de que cuando se lanzan simultáneamente m dados y n monedas se obtengan sólo seises y caras? ¿cuál es la probabilidad de que, al comprar un billete de lotería deportiva, puedan adivinarse: a ) k números (k = 1 , 2, . . . , 6) de 49? b) por lo menos k números? Una caja contiene esferas numeradas del 1 a n. Se seleccionan dos esferas al azar. ¿cuál es la probabilidad de que los números sobre las esferas sean consecutivos si: a ) las esferas se seleccionan sin reemplazo? b) las esferas se seleccionan con reemplazo ? En un librero se colocan 10 libros. Calcular la probabilidad de que: a ) tres libros en particular queden juntos, b) k-libros, donde 2 ::; k ::; 1 0, queden juntos. De una población de cinco símbolos a, b, e, d, e, se toma una muestra de tamaño 25. Encontrar la probabilidad de que la muestra contenga cinco símbolos de cada clase. Una compañía compra refacciones a M distribuidores y desea ordenar n pedidos (n < M). Suponga que la compañía hace los pedidos de tal manera que cada distribuidor tiene las mismas posibilidades de surtir cualquiera de los pedidos y que no existe ninguna restricción con respecto al número de pedidos que se pueden ordenar con cualquier vendedor. Obtener la probabilidad de que un distribuidor en particular ten!?a exactamente k pedidos (k ::; n). Se somete a un estudiante a un examen del tipo verdadero-falso, el que contiene 1 0 preguntas; para aprobar, debe responder correctamente ocho o más preguntas. Si el estudiante adivina, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen? ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier permutación de n elementos, dos elementos A y B no aparezcan juntos? Si k personas se s�ntan aleatoriamente en una fila de n asientos (n > k), ¿cuál es la probabilidad de que ocupen k asientos contiguos en la fila?

'.j

80 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 3. 194.

3. 195.

3. 196.

Si n personas se sientan aleatoriamente en una fila de 2n asientos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya dos personas sentadas en asientos contiguos? Cada una de n varillas de madera se quebraron en dos piezas, una pieza de tamaño largo y otra de tamaño corto. De esta manera se obtuvieron 2n partes. Después se volvieron a unir todas al azar formando n nuevas varillas. ¿cuál es la probabilidad de que: a) todas queden como al principio, b) siempre quede unida una parte larga con una corta? Se hace un lance de n dados. ¿cuál es la probabilidad de que aparezcan n¡ uno, n2 dos, . . . , n6 seis con n¡ + n2 + · + n6 = n? De n personas que forman una fila, calcule la probabilidad de que entre dos personas A y B queden exactamente r personas con r < n - 2. En cada una de n bancas se sientan m personas. Calcule la probabilidad de que dos personas determinadas se sientenjuntas. La probabilidad que un deportista mejore su resultado anterior en una prueba es igual a p. ¿cuál es la probabilidad de que mejore su resultado si tiene derecho a dos pruebas? Una urna contiene r bolas de color rojo y b bolas de color azul. Se extrae una bola al azar y se observa el color. Se devuelve la bola a la urna y se introducen también k bolas adicionales del mismo color. Se extrae aleatoriamente una segunda bola, se observa el color y se devuelve a la urnajunto con k bolas adicionales del mismo color. Cada vez que se extrae una bola se repite el mismo proceso. Si se extraen cuatro bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras bolas sean de color rojo y la cuarta de color azul? Dosjugadoresjuegan veinte partidas de ajedrez, donde la probabilidad de ganar de cada jugador en cualquier partida es de 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que una vez jugadas todas las partidas el resultado sea de 12 a 8? Un ropero contiene n pares de zapatos. Si se eligen al azar 2r zapatos con 2r < n, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) no haya ningún par completo? b) haya exactamente un par completo? e) haya exactamente dos pares completos? Cada una de n personas eligen un número del conjunto { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } de manera independiente. Sean Sn y lln la suma y el producto · de los números elegidos. Calcule la probabilidad de los eventos: a ) A = { Sn 2:: n + 4} b) B {lln es divisible �ntre 70}. De una urna que contiene n bolas de color blanco y n de color negro se eligen al azar un número par de bolas. Bajo el supuesto de que el ·

3. 197. 3. 198. 3. 199.

3.200.

3.20 l.

3.202.

3.203.

=

3.204.

·

RESPUESTAS 8 1

3.205.

3.206.

espacio muestra! es equiprobable, ¿cuál es la probabilidad de que entre las bolas elegidas el número de color blanco y de color negro sea igual? En términos P(A), P(B), P(e), P(AnB), P(An C), P(Bne) y P(AnBne), expresar, para k = O, 1, 2, 3, la probabilidad de que: a) exactamente k de los eventos A, B, e ocurran, b) al menos k de los eventos A, B, e ocurran. Entre n2 cuadrados iguales, n x k son de color rojo y los restantes son de color blanco, con k < n l. Los cuadrados se colocaron al azar formando un tablero con n x n. ¿cuál es la probabilidad de que n cuadrados de color rojo se encuentren en una fila, una columna o una diagonal? -

Resp uestas 3. 1. 3.2. 3.3. 3.4.

22/56 a) 3/25 b) 7/25 e) 16/25 d) 10/25 a) 16 b) 1/8 e) 1 3/ 1 6 a) 47/52 b ) 16/221 e ) 15/34 d ) 13/17 h) 77/442 3.5. a) 0 . 1 055 b) 0.0137 e) 0.000133 3.6. a) 5/13 b) 27/52 3.7. a) 1/2 b) 1/3 e) 5/6 d) 2/3 3.8.

G) (5 n

=

253 = o.o253; 9996

3.9. a) 64 b) 3/32 3. 10. 27/36 3. 1 1 . a) 1/2 b) 1/4 3.12. 3. 13. 3. 14. 3.15. 3.16. 3 . 1 7.

(13) (13) (13) (13) 5 2(�;)3 3

e) 15/64 e) 1/13

(�) (552)

=

e) 210/22 1

·

j ) 1 0 / 1 3 g) 40/51

33 = o.ooo49 66640

d) 1/52

= 0.0 129

0.332 96/1000 = 0.096 2 x v¡ ¡vJ = 24/60 = 0.4 a) 1/221 b) 1/1326 e) ( 20 x 19)(52 x 5 1 ) = 0. 143

C)(�o) (s�J , donde r = x y x = O, 2, . . . , 10 2

3.18. a) (4/52 ) x ( 1 2/51 ) = 0.018 b) ( l 3/52) x (12/51) x ( l l/50) x ( l0/49) x (9/48) = 0.00049 e ) 0.0019& 3. 19. 4!(13!)4 /52! = 0.44 x 10_ 26 3.20. a) 0.00 1 7 b) 0.0035

82 3.21. 3.22. 3.23.

X

(12!(20/52) /v:6!2!4!(2019/51)13!/4!=6!0.3!1)4/(325!/ 10!8!7!) = 0.0395 v5 6! 3/7!= -3=2 3=/70.=6250.4286 10 5!/7! = 0.2381 5 4!/7! = 0. 0238 1/54145 1/649 740 1/108 290 64/162 435 429/41 65 �4 18482/54145 =4 o.o 1o5 (11/108 0.25) = 0.00390625 0.,59/903 45/90 17/90 9/90 1/Cf1/29/100 7!)/10! = 0.027/100 083 14/100 =60 (3! 45/100 (1/2163/10) (2/9) = 1/1 5 (0. 3)2 = 9/100 5/12 10/12 = 5/6 11/12 4 (1/200.5) = 0.3/20 0625 1 - (0.15/5)4 = 0.9375 4 (0.5)4 = 0.25 1/216 1/61/36 5/953/54 1/6 a =1/6{( 1, 1)(1/21, 2)( 1, 3)1/2(1, 4)( 1, 5)( 1, 6)(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)} 1/2 2/5 4/5 1/8 33/5/8 11/15 1/3 0. 1.0=270.2 + 0..0308- 0.4 . 1 6 .18 0.1/130238 12/130.2619 57/650.2142 0.3571 0.5714 1/241/9 4/9 5/9 4/9 5/9 9 .��; 21 = 1/5 (10!:8!2!) = 1/45 P{rojaP{azul en cualenquicualer extquireaccir extórn}=acció5/12n} =P{bl3/12;ancaluegoenP{tcualreqsuiseornextdercolacciorón}= 4/12, rojo, dos3! de3!/col36 o=r bl4/81anco, una de color azul} = 625/5184 X

-2 2

3.24. a) 3.25. a)

+V 4 X

b)

/)

3.26. 3.27. 3.28. 3.29. 3.30. 3.31. 3.32. 3.33. 3.34. 3.35. 3.36. 3.37. 3.38. 3.39. 3.40. 3.4 1 .

i. 1

3.5 1 . 3.52.

X

d)

( ) en

a) a)

e)

b) b)

x

d)

e)

x

a)

a) a) a) a) a)

e)

b)

b) b) b)

e) O

e)

·

e)

e) e)

b)

b)

d)

e)

e)

e)

d)

e)

b)

X

e)

d)

e)

b) b) b)

b)

d)

b)

b)

a) 3.42. a) 3.43. a ) 3.44. 3.45. a) 3.46. a ) 3.47. a ) 3.48. 3.49. a ) 3.50.

e)

b)

e)

d)

d)

e

)

e)

e)

X

e)

RESPUESTAS 83 3.53. 3.54. 3.55. 3.56. 3.57. 3.58. 3.59. 3.60. 3.6 1. 3.62. 3.63. 3.64. 3.65. 3.66.

b) 1/2

a) 1/6

e) 1/3

e) 1/2

d) 1/2

1 /2 1/36 0.2727 5/18 1 1/36 4/36 = 1/9 a ) 14/285 b) 1/1 140 e) 7/95 d) 23/57 e) 18/95 f) 3/95 2/3 = 0.6666 v:l 2 . ��2 = 8 '20' 1 2 = 0.0 1 47 20 v2o 2/5 a) 0.6544 b) 0.3162 e) 0.3456 fl = {(1, 4)(2, 4)(3, 4)(5, 4)(6, 4)(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 5)(4, 6)} a) 0.2 b) 0.4 Sean a, b y e los números en cada lado, los cuales pertenecen al conjunto { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si el evento A ocurre, entonces se debe cumplir a + b + e = abe, lo que implica ·;}¡; + � + fc = l. Esto significa que a, b y e son igual a un tercio o al menos uno es diferente. El caso de la igualdad no es posible ya que por ejemplo nunca se cumple a2 = 3. Para � > �' Puede ser ab = 1 o ab = 2, pero tendríamos como única solución ab = 2, la cual se puede descomponer en (a = 1 y b = 2) o (a = 2 y b = 1). Si se soluciona a + b + e = abe con los valores anteriores, obtenemos e = 3. Con el conjunto { 1, 2, 3} se pueden formar 3! triadas distintas, por lo que obtenemos -

·

P(A) = �3 6

B

36

=

=

v:go

___lli_

3.68. 1

�

·

y:3o

li_ 1 ,· ___l 3

365 0 36590 1 5 = 5 = 0.20 3.69. 25 3.70. 1/3 -

mm · · c56)

3 71

__!_

{(3, 5)(5, 3)(4, 4)(2, 6)(6, 2)} y P(A) = 5/36 = 0. 1923 {(1, 1)(1, 2)(2, 1 )(2, 2)( 1, 3)(3, 1)(1, 4)(4, 1)(2, 3)(3, 2)} P(B) = 10/36 = 0.2777}

3.67. a) A b)

=

m

=

o. 02937

= o 1923

·

·

3.72. P(A' n B') = 0.4 3 . 73. (3! X 2! X 2!)/ 1 1 ! = 24/ 1 1 ! = 0.000014 3.74. a ) 0.285 b) 0.857 3.75. a) 1 / 1 2 b ) 1/6 e ) O d ) 5/12 1 -

c�n { [ G�)

+

G�) G�) +

+

(��) J } -

84 3 '76 · 3.77. 3.78. 3.79. 3.80. 3.81 .

{ [ Gn + (��) + G�) + G�) + G�) J + [ G�) G�) + G�) J } +

24 X 8 X 7 X 6 X 4)/(26 X 25 X 24 X 9 X 8 X 7 a ) 0.88 b) 0.12 e ) 0.69 - 0.35 = 0.34 a) 3 x 4!/5! = 0.6 b) 2 x 4!/5! = 0.4 e) 12/5! = 0. 1 a) 0.87 b) 0.70 e) 0.61

p = ( 25

(i�)\ m ( 020)

X

= 0. 0133

a) 5/26 = 0. 1 923 b) 9/26 = 0.3461 P(C n G) = 0.35 a) 0.67 b) 0.58 0. 72 0.5 X 0. 2 = 0. 1 a) 0.3333 b) 0.3571 0.3 4/20 = 0. 2 a) 0. 1 6 b) 0.008 e ) 0.096 2 ! = 0.0007936 3.9 1 .

3.82. 3.83. 3.84. 3.85. 3.86. 3.87. 3.88. 3.89. 3.90. 3.92. 3.93. 3.94. 3.95. 3.96. 3.97. 3.98. 3.99. 3. 100. 3. 101. 3.102. 3. 103.

!�:4

a) 4! = 24

b) 0.5 b) 21/ 1680 = 0.0125 a) 0.6315 b) 0.9684 a) 1680

9/24 a) 20/64 = 0.3125 b) 0.2051 0.846 0.29 a) 0.33 b) 0.50 e) 1/6 1 /70 = 0.0 142 0.07 + 0. 15 0.04 = 0.26 + 0.50 + 0.65 - 0.85 = 0.30

c g) m = 0. 0087 m

3.104. ( 3!)2 /6! = 0.05 3.105. 0.000094 3.106. a) 0.8 b) 0.7 e) 0.5 3.107.

X

(20) + (20) 6 (i�) 1 0

=

0. 1 139

3.108. ( 0.23)3 = 0.0 1 2 1

e) 19/26

=

0.7307

6) = 0.017

85 3. 109. a) (54 X 4!)/(20 X 19 X 1 8 X 17) = 0. 129 b) (53 X 9 X 4!)/(20 X 1 9 X 18 X 17) = 0.2321 3.1 10. a) 0.39 b) 0.92 e) 0.08 3. 1 1 1. 0.07 3.1 12. 0.861 3. 1 13. 0.25 + 0.20 - 0.05 = 0.40 3.1 14. a) 0.65 + 0.32 - 0.21 = O. 76 b) 0.24 3. 1 15. a) 0. 25 + 0. 19 - 0. 16 = 0.28 b) 0.72 e) 0.06 3. 1 1 6. a) 0.55 b) 0.81 e) 0.39 d) 0.73 3. 1 17. a) 4/9 = (2/3) x (2/3) b) 1/3 3.1 18. 12!/1212 = 0.0000537 3.1 19. P(A) = 3!/33 = 2/9; P(B) = (3 x 2 x 3)/33 3. 120. Si A es el evento en el que cada persona tiene un día de cumpleaños diferente, entonces 365 X 364 X . . . X 346 P(A) = (365)20

.

3.121. P(A)

VÍ = (;?) = 0. 000 18

3.122. a) 1 /4845 3.123. 5/12

·

b) 720/4845

e) 65/4845

3. 124.

C;) G) = 0.533 m

3. 125. 3. 126. 3. 127. 3. 128.

a) 0.543 b) 0.988 e) 0.706 a) 2/5 b) 1/5 e) 4/15 d) 13/15 1 - 1 /106 a) 37.5 % b) 93.75 % e) 6.25 % d) 68.75 %

3. 129. 3. 130. 3.131. 3.132. 3. 133. 3. 134. 3. 135. 3. 136.

m G)SJ)m G)

=

o.o3o8

1 /55 5 X ( 1 /55) + 1 /55 = 6/55 a) 1 /5 b) 1/5 e) 1/25 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9 P(A) = 1 /5 12

a) 1 /20 b) O e) 9/20 a) 18/40 b) 6/40 c) 7/40 d) 15/40 a) 9!/[(3!)3 (39 )] . b) 9!/[4!3!2!(39 ) ]

m

m =· 0.0234 3. 137. a) -;¡6 = 0.0073 b) -:¡¡5! ° m m m 5 ! 1 0!(3!)5 3.138. c2 ) mm (�) en m m = 15 , (2!)5 = o.o8o9

e) 17/40

J) 4/40

86 3.139. 3. 140. 3. 141. 3. 142. 3. 143. 3. 144. 3. 145.

b)

11/120/12 3/4 (0.43! 3933!)/7! 0.41/35835 (4! 3! 4)/7! 4/35 (5! 6)/7! 1/7 0.11//64816 5/63/80.625 1/8 1/3 1/2 m m(;)m 0.4666 m C 0) m m o. o2h6 s 5(2!)5 5@ 0.000044 m m G)@ O:C: D:P(O) P(C) P(D) 1 2P(P(OC) ) 8/13P( P(C) .C2)5P(C4/) 13P(1, D) 1 /13 9 2 18 a)

a) a) a) a) a)

X

b)

b)

m

3. 146. a )

3. 147.

e)

e)

c2o)

=

e

)

X

=

d) O

=

m+ m G)

m+

b)

X

d)

e)

b)

b)

X

b)

=

=

=

a

10!

=

evento "falla por obstrucción de cojinetes" evento "falla por combustión del embobinado" evento "falla por desgaste de las escobillas" +

+

=

+

+

=

=

=

entonces =

3. 148. Si el primer dígito es un tres, entonces uno de los siguientes dígitos debe ser un tres y el otro cualquiera de los nueve dígitos restantes. Estos dos dígitos consec�tivos pueden ocurrir en cualquiera de dos órdenes, de manera que hay x = números de tres dígitos que tienen un tres en la primera posición, además de contener dos veces el número tres. Si el primer dígito no es un tres, entonces esta posición puede llenarse de ocho maneras (no se puede usar ni el cero ni el tres), pero las dos últimas posiciones deben contener el número tres varias veces. Por lo tanto,

P(B) =

C€0

26/900 0.029 =

3.149. En total existen maneras de sacar cinco fichas. Supongamos que el parti­ cipante de la lotería haya comprado un billete con un número. Para ganar el premio es necesario que una de las cinco fichas coincida con el número del billete. Los demás se eligen de números restantes. Por eso, existen resul­ tados favorables y la probabilidad de ganar el premio es igual a c¿g¡cgo = Jugando con dos números, llegamos al resultado de que la probabilidad de ganar el premio es igual a = con tres números = = con cuatro números y con cinco números

89 11 /Cg/110748;1/43949268. C�8/CgC�1;0/Cg0 2/801;1/51 1038, en (�52�) (4n 0. 0475 1 3 1 2 (i) (�) 0.0014 =

3. 150. a)

b)

=

X

es2)

=

C;t9 1/1 8. C�7/C�0

e)

d)

(�) (552)

4

RESPUESTAS 87 = 0.0019

(i)55 10 ( 52) = 0.0039

3.151. 2 1 + 22 + . . . + 2 10 = 2 X (2 10 - 1); 0.00195 3. 152. a) 1/5, si se escribe N de la forma N = a+ 1 O x b+ 100 ·x e . . . , entonces se cumple la igualdad N 2 = a2 + ·lOO x b2 , por lo que la última cifra sólo depende de a2, lo que significa que los únicos casos favorables son 9 x 9 y 1 x l. b) 2/5, el mismo tipo de razonamiento que el del ejercicio a). e) 4/100, el mismo tipo de razonamiento que el del ejercicio a). 3.153. a) 1 - z b) 1 - x - y + z e) 1 3.154. 0.3 3. 155. 0.625 3. 156. a) 0. 3 + 0.2 - 0. 08 = 0.42 b) (0.08)/(0.20) 0.40 3.157. 0. 2 + 0. 1 5 - 0. 1 0.25 3. 158. a) O. 7 + 0.4 - 0. 8 = 0. 3 b) 1 - 0. 8 0. 2 3. 159. a) 0. 6 + 0.3 - 0. 15 = 0.75 b) 1 - 0.75 = 0.25 3. 160. 9/15 + 5/15 - 3/15 = 0. 7333(73.33 %) 3.161. 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0. 6 3. 162. B : evento "el estudiante estudia biología" G : evento "el estudiante estudia geología" A : evento "el estudiante estudia astronomía" . . •

=

=

=

P(B U G U A) = P(B) + P(G) + P(A) - P(B n G) - P(B n A) - P(G n A) - P(B n G n A) = 0. 6 + 0. 2 + 0. 1 - 0. 1 5 - 0.07 - 0.03 + 0.03 = 0.68

3. 163. PW n B') = P(A U B)" 1 - P(A U B) = 1 - [0.2 + 0.3 - 0. 1 ] = 0. 6 3. 164. E = {2, 4, 6, 8, 10} F {5, 6, 7, 8, 9, 10} E n F i- 0 (no son mutuamente excluyentes). P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E n F) 0.5 + 0.6 - 0.3 = 0.8 3.165. P(A n B') = P(A) - P(A n B) 3.166. 1 = P[(A U B) U (A U BYJ P(A) + P(B) - P(A U B) + P(A' n B') 3. 167. P(A n B) - P(A)P(B) = P(A n B) - [ 1 - P(N)]P(B) = P(A')P(B) - [P(B) - P(A n B) ] P(N)P(B) - P(A' n B)P(A n B) - P(A)P(B) . = P(A n B) - [1 - P(B')]P(A) P(A)P(B') - [P(A) - P(A n B)] = P(A)P(B') - P(A n B') =

=

=

=

=

=

3. 168. Para demostrar que P(A n B) :::; P(A): P(A) P(A n B) + P(A n B'), pero P(A n B') 2 O, luego P(A n B) :::; P(A). Para probar que P(A) :::; P(A U B): P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A . n B) = P(A) + P(A' n B), pero P(A' n B) 2 O, luego P(A) :::; P(A U B). =

88 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Para probar que P(A U B) ::::; P(A) + P(B): P(A U B) B), P(A U B) ::::; P(A) + P(B).

3. 169. Sabemos que

+

P(A) P(B) - P(A n

+

P(A U B) = P(A) P(B) - P(A n B) ::::; 1

Entonces,

3.170.

=

-P(A n B) ::::; 1 - P(A) - P(B) -P(A n B) ::::; P(Ac) - P(B) P(A n B) ::::: 1 - 1 + P(B) - PW) P(A n B) ::::: 1 - PW) - PW)

a) Sabemos que

::::; P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) ::::; l. Entonces, P(A n B) :::0: P(A) + P(B) - l. b) P(N n B) + P(A n Be) = P(A U B) - P(A n B) = P(A) P(B) - 2P(A n B). O

+

3.171. Para demostrar esta fórmula es necesario aplicar identidad

P y

la fórmula de Poincaré

( ) n.

P U A; i=l

1 '

n

n- 1

=

1 -P

n

(ü A ) k=l

3.178.

vi2

x

x

1-

(5) 4 > 1 6

k

n-2 n-1

n

L P(A;) - L L P(A; n Aj ) + L L L P(A; n Aj n Ak ) i=l i=I j=i+l i=l j=i+I k.=j+l

(n + 1)/6" 2 (k - 1) (n - k)/n (n - 1) 3.174. p = 1 - ;,. para n ::::; 12 1 (2k)! ) (; k 3 175 a ) k!2k . . (2�)(2k)! b) -:-: -='-'/dG�) (2k)!3k e) -'='-::-:c:..,.k!2: k ­ 1- . . . --- (n - k)! 3.176. .!. . n n - 1 n -k+ 1 n! 1 n 1 n 2( n! )2 n _ 3.177. 2 . ..::._ . __ . ___ . _ _ . . . .!. . 1 ___ 2n 2n - 1 2n - 2 2n 2 (2n)! 3. 172. 3.173.

¡ ¡

=

(nk=l Ak )

x

-

( 35) 24 3 36

=

RESPUESTAS 89

Tenemos que 4 4 4 (3356 ) 2 - (�)6 = 654 ( 516207212 ) ( 556176 ) ( 55761 6 - ) Pero, !. .) 5 .!. ) 6 36 6 - ( 36 ) 6 6 6 61 1 6 AplicamosEnaquíconsleacuenci desiguala: dad de Bernoulli: para cualquier (3356 ) 24 - (�)6 4 .. Siconsejuntlaonzadelanúmeros monedadel veces , loslaresultadossel opuedenPordesejemplcribiors, eJocomo unos t i p o águi s event sseeríleaccin odenarla fáguiormalas sería . etc. El número de maneras de Sea el evento {el número de águilas es impar}, entonces +1

)

5 5 76 - 1 = ( 1 =

+1

1

1 = ( 1 - _!_) 5 2 - 1 >

(1 +

.

1-�

2-1

217 1 > o. 21

( 1 + xt 2 1 + nx,

y x 2 l.

n

> o.

3.179.

n

k

.

3. 180.

(A) y AAAAASSSSAAAASSS . .

(S).

(�) .

A=

r- 1 2"

JSeao que Im{pllaicrata quea regresa=al mismo punt1 o después de pasos}. En total tiene 2den posregresibilidoades; porparalo tanteleogi. lra camiprobabino. lPeroidad tresieneultaque: elegir caminos de ida (= _2n6n_) 2 P(LosAlresm=a)ultados ta?(mbiBeaténrisze)=pueden deduci P(Clara)r de la siguiente manera: Para que. Alma gane:oportunidad solamente si ella, Beatriz puesClarato quefal anAlenmalatiprienemunaera segunda prueba = es su probabilidad de ganar (Deen manera caso(pderobabitanáleneroliga,dunaadparasegundaBeatroport u ni d ad) iz: = para Clara: 4 n

A=

.

P(A)

=

2·

2n

P(A)

3. 181. P(A) + P(B) + P(C) = 1 P(B) = ( 1/2)P(A) P(C) ( 1 /4)P(A) = 4/7,

1

y

n

2/7 y

( 1 /2)1 + ( 1/2)4 + ( l/2f + ·

n

= 1 /7.

· ·

= 4/7,

( 1 /2) x ( l /2) x ( 1 /2)

y

l /8), y 1 /2. ( l /2)2 + (1/2)5 + ( 1/2)8 + ( 1/2)3 + ( 1/2)6 + ( 1/2)9 + . . . = 1 /7.

· · ·

2/7,

y

90 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD (n - 1 )!/n! = 1 /n b) (n - 2)!/n! = 1 /[n x (n - 1 )] )2 3.183. p - c: � !2 3. 182. a)

y ¡:;¡:;

GZ)

3. 184. a) [2 x (n - 2)!]/[(2 x )!] 3. 185. 1 /(6"' X 2"]

=

2/(n - 1 ) b) 1 - 2/(n - 1 )

( �") m(�') 6 6 ( 6 ) 43 b) """"' ( 6-i) L..- (49)

3 . 186 . . a)

i

i=fl

6

3.187. a ) ( 1 /n) x ( 1 /n - 1 ) b) 1 j n2 3.188. a ) 1 / 15 (7! X 3! X 8)/ 10! b) ( 10 - /¡ + 1 )! 3. 189. 25!/[(5!)5 X 5 25 = 0. 002 1 3. 190. A =

X

h!

X

( 10!)- J

SeaEntoelncesevent, o]que el distribuidor reciba exactamente pedidos de entre los

n.

P(A) =

JO

h

(") (M - 1)"-" M"

""" "-" --:-:­

k=B Ck0) 2.::::

56 1024 3. 192. [n! - (n - 1 )!]/n! n+ 1 -k 3. 193. 3"191.

�

G)

n+ 1 3.194. (� 3.195. a )

;·)

[(2!)" x n!]/(2n)! = 1 /[(2n - 1)!!

término, sólo definido para impares)] (factorial con dos unidades entre cada r - son todas las posibilidades para que dejan r-personasdonde entre ellos.donde son los posibles lugares distintos para la pareja de personas.

b) [(2!)" x (n!)2 ]/(2n)! = n!/[(2n - 1)!!] 3. 196. n!/(nd x n2 ! x · · · x n5! x 6") 3. 197. [2 x (n - r - 1 ) x (n - 2)!]/n!, (n AyB 3. 198. 2 x [(m x n - 2) x (m x n - 2)!]/(m x n)!, 3. 199.

1)

mxn-2

p(2 - p)

r(1· + h)(r + 2h)b (r + b)(r + b + h)(r + b 2h)(r + b + 3h) 3 1 6 -2k 20! 8 3"201 . 2 ° 52 k=O h!(h + 4)!( 16 - 2k)!

3.200.

¿

3 16-2"

+

16

donde se tomade esa forma, yaque puede haber empates como máximo.

3.202. a) p(A)

(2 ) 22r 11

=

'. " (2 ) 2 ·r

b) p(B) =

e) p(C) =

RESPUESTAS 9 1

)2 (;�) (;) (;��:) 22r- 4 (;�) (

2r- 2 n- 1 n _= 2r - 2 ----= �,..---

3

3.203. a) P(A) = 1 - P(S, < n + 4) = 1 - � P(S, = n + k)

[( ) =l"

n

+

k=O

( ) ( ) + ( ) ( ) + 2( ) + ( ) n

n-1

gn

+

n n-2

n n-1

gn

+

n

11

"

n-1

n-2

n-3

9"

]

b) Sea el evento B2 = {El número elegido es par}, B5 = {Se seleccionó al menos un 5} y B7 = {Se seleccionó al menos un 7}, entonces P(B) = P(B2 n Bs n B7) = 1 - P(B� n .8';, n B7)1 - P(B� U B� U B7) = 1 - [P(BD + P(B';,) + P(B7 ) - P(B2 n B�) - P(B':¡ n B7) - P(B� n B7 ) + P(B2 n .8';, n m )J =

1 -

[

(�r (�r (�r - (�r - (�r - Gr (�rJ +

+

+

3.204. 2(2n)!/(4"(n!n = ( 1 x 3 x 5 (2n - 1 )]/[(n!)2"- 1 ] 3.205. Sea pk = ?(exactamente h de los eventos A, B, C ocurran]. Entonces, · ·

·

Po = P(A' n Be n Ce) = P(A U B U C)'

= 1 - P(A U B U C) = 1 - P(A) - P(B) - P(C) + P(A n B) + P(A n C) + P(B n C) - P(A n B n C): p¡ = P[(A n B' n C') u (A ' n B n C') U (A' n B' n C)] = P[(A n (B U C)'] + P[(B n (C U A)'] + P[(C n (A U B)'] = P(A) - P[(A n B) U (A n C)] + P(B) - P[(B n C) U (B n A )] + P(C) - P[(C n A) U (C n B)] = P(A) - P(A n B) - P(A n C)] + P(A n B n C) + P(B) - P(B n C) - P(B n A) + P(A n B n C) + P(C) - P(C n A) - P(C n B) + P(A n B n C) = [P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A n B) + P(A n C) + P(B n C)] + 3P(A n B n C), jN = P[(A n B n C') U (A n Be n C) U (A' n B n C)] = P(A n B) - P(A n B n C) + P(A n C) - P(A n B n C) + P(B n C) - P(A n B n C) = [P(A n B) + P(A n C) + P(B n C)] - 3P(A n B n C), p3 = P(A n B n C). b) P(al menos k ocurran) =

3

� P¡. i=k

92 3.206. Sea A = { n cuadrados cayeron en una fila, en una columna o en una diagonal}. El total de cuadrados de color rojo los puedo descomponer en n + k en las primeras filas sin llenarlas necesariamente y los restantes en los espacios que 2 me quedan. Por lo que obtengo C�k ) combinaciones posibles. Para que los casos sean favorables, debo garantizar la posibilidad de llenar una fila, una columna o una diagonal, esto es, debo colocar n lugares para k de mis cuadrados de color rojo, por lo que tengo ("2;") posibilidades; sin embargo, tengo n filas, n columnas y dos diagonales, lo que significa que P(A) =

2

2(n + 1)(" ;") ( ) n+k

--::.c.:.....:... ,.2-'--

Capítulo 4 Probabilidad condicional. Eventos independientes

La probabilidad condicional de B dado A está dada por: . P(B 1 A)

=

P(A n B) P(A) '

con P(A) > O.

Entonces, la fórmula de multiplicación para probabilidades es igual a P(A n B) = P(B 1 A) · P(A)

=

P(A 1 B) P(B) ·

En general

Dos eventos A y B son estadística o estocásticamente independientes si P(A n B) = P(A) · P(B). a) A 2, . . . A n son n eventos independientes. Si

para 1 :::; i¡ < i2 < · · < ik :::; n, 2 :::; k :::; n. b) Sean E1, E2, . . . , En n experimentos con igual oportunidad de ocurrir y M1, . . . , Mn , sus correspondientes espacios muestrales. A los experi­ mentos se les llama estocástica o estadísticamente independientes si para todo A; e � (i = 1, 2, . , n) se cumple ·

. .

93

94

CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL e) A los experimentos físicamente independientes se les considera esta­ dísticamente independientes, por ejemplo, el lanzamiento sucesivo de unas monedas, unos dados, etcétera.

4. 1 .

"

4.2. 4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

Supóngase que A y B son dos eventos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es igual a 0.6, mientras que la probabilidad de que A ocurra es igual a 0.4, determinar la probabilidad de que B ocurra. Supóngase que A y B son eventos tales que P(A) = 1/3, P(B) = 1 /5 y P(A 1 B) + P(B 1 A) = 2/3. Calcular P(N U Be). Se sabe que P(A) = 1 /3, P(B 1 A ) = 1 /3, P(A 1 B) = 1 /3. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. a) A, B son independientes b) A e B e) A, B son mutuamente excluyentes d) P(N 1 B< ) = 2/3 En cierta universidad para varones, 5 % de los estudiantes del último año eran miembros del equipo de futbol, 10 % de la clase eran vegetarianos y 1 O % de los vegetarianos eran miembros del equipo de futbol. Si se selecciona al azar un estudiante del último año, ¿cuál es la probabilidad de que sea vegetariano o haya pertenecido al equipo de futbol como vegetariano? La probabilidad que ocurra un evento A por lo menos una vez en cuatro ensayos es 1/2. Calcular la probabilidad de que el evento A ocurra en un ensayo si todos los ensayos son·equiprobables. Sean P(A) = 0. 6, P(B) = 0.4 y P(A n B) = 0. 1 8. Obtenga: a ) P(B 1 :4) b) P(A 1 B) Dados P(A) = 0.4, P(B 1 A) = 0. 3 y P(Bc 1 N) = 0. 2, determine a) P{N) b) P(B 1 N ) e) P(B) d) P(A n B) e) P(A 1 B)

Supóngase que: a ) los eventos A y B son mutuamente excluyentes; ¿en qué condiciones son mutuamente excluyentes Ac y Be? b) los eventos A y B son independientes; ¿en qué condiciones son independientes N y Be? 1:_9. Supóngase que A, B y e son tres eventos tales que A y B son mutua­ mente excluyentes, que A y e son independientes, y que B y e son

4.8.

·¡

EVENTOS INDEPENDIENTES 95 independientes. Suponga, además que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > O y P(A U B U C) = P(A). Determínese el valor de P(A). 4.10.

)

4. 1 1 .

Sean A 1 , Az, A3 los eventos y se sabe que P(A 1 ) 0. 50, P(A2) 0. 30 . . . , P(A3) = 0. 40, P(A¡ n A2) = 0. 15, P(A1 n A3) = 0. 1 0, P(Az n A3) = 0.20 y P(A¡ n Az n A3) = 0.05. Calcular la probabilidad de que a) ocurran al menos dos de los eventos A 1; A2, A3, b) ocurran exactamente dos eventos, e) ocurran un máximo de dos eventos. Si A y B son eventos independientes y P(A) = 0. 30 y P(B) = 0.60, determine: a) P(A 1 B) b) P(A n B) e) P(A U B) =

=

d) P(N n Bc) 4.12.

4. 13.

Dados P(A) = 0.30, P(B) = 0.50 y P(A n B) 0. 15, verifique que: a ) P(A 1 B) = P(A) . b) P(A 1 Be) = P(A) e ) P(B 1 A) = P(B) d) P(B 1 N) = P(B) Sean A y B dos eventos asociados con un experimento. Supóngase que P(A) 0. 4 mientras que P(A U B) O. 7. Sea P(B) = p. a) ¿Para qué elección de p son A y B mutuamente excluyentes? b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes? La probabilidad de que una compañía emplee una nueva estrategia de mercado es de 0.54; la probabilidad de que la nueva estrategia de mer­ cado sea adoptada y que las ventas crezcan a los nivelés proyectados es de 0.39. ¿cuál es la probabilidad de que si la nueva compañía emplea la nueva estrategia de ventas las ventas crezcan a los niveles proyectados? Ocho boletos con los números 1 1 1 , 1 2 1 , 122, 122, 2 1 1 , 2 1 2, 2 1 2, 221 están dentro de un sombrero, revueltos. Si se va a selección uno al azar, muéstrese que los eventos A: "El primer dígito .del boleto seleccionado será 1 " ; B: "El segundo dígito del boleto seleccionado será 12, y C: "El tercer dígito del seleccionado será 1 , no son independientes por parejas aun cuando =

=

4. 14.

4.15.

=

"

P(A n B n C) = P(A)P(B)P(C). 4. 16.

La señora L tiene cuatro anillos en un joyero. Un anillo tiene un dia­ mante y una esmeralda; otro, un diamante y un topado; el tercero, umi esmeralda y un topacio, y el último, cinco perlas. La señora L

·

96 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. 17.

4. 18.

4. 19.

4.20. 4.2 1.

seleccionará un anillo al azar. Muéstrese que los eventos A: "Seleccio­ nará un anillo con un diamante"; B: "Seleccionará un anillo con una esmeralda", y e: "Seleccionará un anillo con un topacio" son indepen­ dientes por parejas, pero no mutuamente independientes. Sean A, B y e tres eventos. Demuestra que si A y B son independientes, A y e son independientes, y B y e son mutuamente excluyentes, entonces los eventos A y B n e son independientes. Demostrar que si los eventos A y B tienen probabilidades diferentes de cero y son mutuamente excluyentes, entonces no son eventos independientes. Probar que si los eventos A y B tienen probabilidades diferentes de cero y son eventos . independientes, entonces no son mutuamente excluyentes. Demostrar que si los eventos A y B son mutuamente excluyentes e independientes, entonces P(A) = O, o P(B) = O. Demostrar que para los eventos independientes A y B se tiene que P(A U B) = 1

4.22.

4.23. 4.24. 4.25. 4.26.

-

P(N)P(Be)

Demuestra que si A y B son eventos independientes, entonces a) A y Be b) N y B e) N y Be son eventos independientes. Demuestra que si P(B 1 A) = P(B 1 N), entonces los eventos A y B son independientes. Demostrar que si A y B son eventos para los que se cumple P(A) > O, P(B) > O y P(A 1 B) > P(A), entonces P(B 1 A) > P(B). Sean A y B eventos mutuamente excluyentes con P(A) i= O y P(B) i= O. ¿son los eventos A y B independientes? Demostrar que si los eventos A y B son independientes con A e B, entonces se cumple que P(A) O o P(B) = l. Si los eventos A 1, A2, . . . , An son mutuamente independientes, entonces =

4.27.

4.28.

4.29.

Se tira una sola vez un par de dados. Si la suma de los dos es cuando menos igual a siete, calcular la probabilidad de que sea igual a i para i = 7, 8, 9, 1 0, 1 1, 12. Una urna contiene cuatro pelotas de color rojo, cinco de color blanco y siete de color negro. Se sacan cuatro pelotas de la urna sin reemplazar cada vez que se las retira. ¿cuál es la probabilidad de que:

EVENTOS INDEPENDIENTES 97

4.30.

4.3 1 .

4.32.

4.33.

4.34.

4.35.

4.36.

4.37.

4.38.

a) todas sean de color blanco? b) al menos una sea de color rojo? e) la segunda pelota que se saca sea de color negro? Determinar la probabilidad de que dos cartas, extraídas de un mazo ordinario de 52, sean ases. (Hay alguna diferencia entre sacar las dos cartas a la vez o sacarlas de una en una? (Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea un as si la primera fue un as y se extrajeron de una en una? Se tira un par de dados no cargados una vez y se establece que los dos números que aparecen no son los mismos. Calcular la probabilidad de que la suma sea siete, cuatro o 12. De un saco que contiene cinco canicas de color negro y 3 de color blanco, se extraen tres de ellas en sucesión y sin reemplazo. (Cuál es la probabilidad de que las tres sean de color negro? En cuatro cartas tapadas se han anotado las cifras 1, 2, 3 y 4. Se selecciona la primera carta al azar, se anota el número correspondiente y se vuelve a tapar. Una vez que se ha barajado se selecciona la segunda carta. ¿cuál es la probabilidad de que el número de la segunda carta sea mayor que el de la primera? En una urna se tienen n¡ esferas de color blanco y n2 esferas de color negro. De la urna se elige al azar una esfera y ésta resulta de color blanco. Después se elige una segunda esfera al azar de la urna. ¿cuál es la probabilidad de que: a) la esfera sea de color blanco? b) la esfera sea de color negro? Cada uno de N individuos lanzan una moneda al aire. Exprésese en términos de N la probabilidad de que: a) ninguno lance sol, b) todos lancen sol, e ) al menos caiga un sol. Una caja contiene tres canicas de color rojo y ocho canicas de color negro, todas ellas del mismo material y del mismo tamaño. Si se extraen dos canicas en sucesión y sin remplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de color rojo? Se sacan dos cartas en sucesión, sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que a) ambas sean rojas? b) ambas sean mayores que 3 pero menores que 8? Se lanza tres veces una moneda. Sea el evento que en el primer lanzamiento aparece cara, B el evento que por lo menos aparezcan dos caras y e el evento en el que todos los resultados son iguales. ¿son los eventos A, B y e independientes de dos a dos?

.

' \

98 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4.39.

4.40.

4.4 1 .

Consideramos una muestra de tamaño tres, extraída de la siguiente manera. Se empieza con una urna que contiene cinco bolas de color blanco y siete de color rojo. En cada ensayo se extrae una bola y se anota su color. La bola extraída se devuelve a la urna junto con una bola adicional del mismo color. Encuéntrese la probabilidad de que, entre los colores anotados, la muestra contenga: a) cero bolas de color blanco, b) una bola de color blanco, e) tres bolas de color blanco. Dado un experimento, cuyo espacio muestra! es O = {w1, w2, ·w3, w4, w5 }, con P( w ¡ ) = 1/8, P(w2 ) = P( w3 ) = P(w4 ) = 3/ 1 6 y P(w5 ) = 5/16. Consideramos los eventos A¡ = { w¡, w2, ws}, A2 = { w¡, w2, w4} y A3 = { w 1, wg, w4 }. Demostrar que los eventos A 1, A2 y A3 satisfacen la igualdad P(A ¡ n A2 n As) = P(A ¡ )P(A2 )P(As), pero no son indepen­ dientes. Considere el diagrama de un sistema electrónico que muestra las probabilidades de que los componentes del sistema operen de modo apropiado. ¿cuál es la probabilidad de que el sistema opere si el ensamble III y al menos uno de los componentes en los ensambles I y II deben operar para que funcione el ensamble? Suponga que los componentes de cada ensamble operan independientemente y que la operación de cada ensamble también es independiente.

11

. 4.42. 4.43. 4.44.

111

Se saca una carta de un paquete normal y se dice que es roja. ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que dos pero menor que nueve? ¿cuántas veces se deben lanzar dos dados para que la probabilidad de que la suma sea igual a 1 2 result� mayor que 0.5? Una urna contiene 3 pelotas rojas, 2 blancas y 5 negras. Si se saca una pelota al azar, se remplaza, y después se saca una segunda pelota, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) ambas sean de color rojo? . b) una sea de color blanco y otra de color negro?

EVENTOS INDEPENDIENTES 99 e) ambas pelotas tengan el mismo color?

d) las pelotas tengan distintos colores? 4.45. 4.46.

4.47.

4.48.

4.49.

4.50.

4.5 1 .

4.52.

¿cuál es la probabilidad de obtener dos ases al tomar dos naipes en un juego de cartas si la extracción es con remplazo? La urna A tiene dos canicas de color rojo y una canica de color blanco; la urna B tiene una de color rojo y cinco de color blanco. Una persona transfiere una canica de la urna A a la urna B sin ver su color. Después saca una canica de la urna B y resulta ser de color rojo. a) ¿cuál es la probabilidad de que la canica transferida sea de color blanco? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de color rojo? ¿cuántas veces se debe lanzar un dado para que la probabilidad de que se obtenga por lo menos un seis sea mayor que: a) 0.5? b) 0.8? e) 0.9? Una urna contiene cuatro pelotas de color rojo, cinco de color blanco y siete de color negro. Se sacan dos pelotas en forma consecutiva. ¿cuál es la probabilidad de sacar dos pelotas de color blanco si la primera pelota a) es remplazada antes de sacar la segunda? b) no es remplazada antes de sacar la segunda? Suponer que se tienen tres urnas de apariencia externa idéntica y que contienen canicas de colores. La urna A contiene una negra, dos rojas y tres verdes; la urna B contiene dos negras, una roja y una verde; la urna C contiene cuatro negras, cinco rojas y tres verdes. Las canicas se revuelven en las urnas y éstas últimas se revuelven entre sí. Después, se selecciona una de las urnas al azar y se extraen dos canicas. Si se extrajeron una negra y una verde, ¿cuál es la probabilidad que se hayan sacado de la urna B? En el conjunto de números { 1, 2, . . . , N} se eligen tres números sin remplazo. Calcular la probabilidad de que el tercer número se en­ cuentre en el intervalo formado por los dos primeros, si se sabe que el primer número es menor que el segundo? Se extraen naipes de una baraja ordinaria. Si los naipes que se han extraído no se remplazan antes de extraer el siguiente, ¿cuál es la probabilidad de extraer a) cuatro ases y después cualquiera de los otros naipes? b) tres ases y después dos reyes? e) cinco naipes del mismo palo? Una urna contiene 1 O bolillas o canicas de las cuales cinco son de color verde, dos de color· azul y tres de color rojo. Se sacan tres canicas de

1 00 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL la urna, sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que las tres canicas sean de color verde? 4.53. De una caja que contiene seis pelotas de color negro y cuatro de color verde, se sacan tres en sucesión, remplazándose cada pelota en la caja antes de extraer la siguiente. ¿cuál es la probabilidad de que: a) las tres sean del mismo color? b) al menos dos sean del mismo color? 4.54. Se han lanzado dos dados. ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos "3" si se sabe que la suma de los puntos obtenidos se divide por tres? 4.55. Si se lanza cuatro veces consecutivas una moneda, ¿cuál es la probabi­ lidad de que todas caigan en águila? 4.56. Hay tres jugadores y una baraja de 40 cartas. Se reparten dos cartas a cada jugador. ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los jugadores reciba dos figuras? (La baraja tiene 12 figuras.) 4.57. Se lanzará un dado cuatro veces consecutivas. Encuentre la probabili­ dad de cada uno de los siguientes eventos. a) Los números 1, 2, 3 y 4 aparecen en este orden. b) Los números 1, 2, 3 y 4 aparecen en cualquier orden. e) Al menos aparece un seis. d) El mismo número aparece cada vez. 4.58. Una valija contiene dos frascos de aspirinas y tres tabletas para la tiroides. Una segunda valija contiene tres frascos de aspirinas, dos de tabletas para la tiroides y tabletas laxantes. Si se toma un frasco aleatoriamente de cada valija de equipaje, encuentre la probabilidad de que: a) ambos frascos contengan tabletas para la tiroides, b) ningún frasco contenga tabletas para la tiroides, e) los dos frascos contengan diferentes tabletas. 4.59. Se tienen tres monedas. La primera tiene dos caras de color blanco, la segunda dos de color negro y la tercera una de color blanco y otra de color negro. Se elige una moneda al azar y se lanza. Si la cara que aparece es de color blanco, ¿cuál es la probabilidad de que el reverso sea también del mismo color? 4.60. Una caja .contiene dos bolas de color negro, tres de color blanco y cuatro de color rojo. Se extraen dos bolas sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea de color negro y la segunda de color blanco? 4.6 1 . Se lanzan dos dados. Sea A 1 el evento en que el primer dado aparece un número impar, A 2 el evento en que en el segundo dado también aparece un número impar y A3 el evento en que la suma de los números de ambos dados es impar.

EVENTOS INOEPENDIENTES 1 0 1

4.62.

4.63.

4.64.

4.65.

4.66.

4.67.

4.68.

a) ¿son los eventos A ¡ , A2 y As independientes dos a dos? b) ¿son los eventos A ¡ , A2 y As estócasticamente independientes? Suponga que una caja tiene cuatro esferas de color rojo y seis de color negro. Se selecciona una esfera al azar de la caja; de las restantes, se vuelve a seleccionar otra esfera. Encontrar la probabilidad de que: a ) ambas esferas sean de color rojo, b) la primera esfera sea de color rojo y la segunda de color negro, e) la primera esfera sea de color negro y la segunda de color rojo, d) ambas esferas sean de color negro. Cuatro hombres lanzan cada uno un dado. ¿cuál es la probabilidad de que: a ) cada uno lance un cuatro? b) cada uno lance un número par de puntos? e ) todos lancen el mismo número? Una caja tiene 10 esferas de color rojo y cinco de color negro. Se selecciona una esfera de la caja. Si la esfera es de color rojo, regresa a la caja. Si es de color negro, se regresa a la caja junto con dos más del mismo color. Encontrar la probabilidad de que la segunda esfera sea: a ) de color rojo, b) de color negro. Se tira un dado hasta que salga un uno. Calcular la probabilidad de que: a ) se necesiten 1 O intentos, b) se necesiten menos de cuatro intentos, e) se necesite un número impar de intentos. Una caja contiene tres esferas de color blanco y dos de color negro. Si se extraen sin remplazo dos esferas, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) la segunda esfera sea de color negro si se sabe que la primera lo es? b) la segunda esfera sea del mismo color que la primera? e ) la primera esfera sea de color blanco dado que la segunda lo es? ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números que aparecen hacia arriba exceda de 1 0, dado que uno de ellos es seis? En cada uno de los casos siguientes, indíquese si los dos eventos parecen independientes o no. Explíquese. a ) Obtener una A en matemáticas y una A en física. b) Obtener una A en matemáticas y ganar un partido de tenis. e ) Obtener una nueva camisa para su cumpleaños y golpearse un dedo al día siguiente.

1 02 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL d) En el lanzamiento de dos dados, obtener un total impar y obtener

4.69.

4.70.

4.7 1 .

4.72.

4.73.

· 4.74.

4.75.

un cinco en uno de los dados. e) Ser mujer y ser doctora. J) Caminar debajo de una escalera y tener un accidente el día si­ guiente. Una bolsa contiene 10 canicas marcadas con los números del O al 9. Se saca una canica y se vuelve a colocar en la bolsa; después, se saca una segunda canica. (Cuál es la probabilidad de que: a) en la segunda ocasión se saque el mismo número? b) la suma de los números sacados sea mayor que 18? e) cada número sacado sea impar? Las caras numeradas 1, 2 y 3 de un dado, son de color rojo; las caras numeradas 4 y 5 son de color blanco; y la cara numerada 6 es de color azul. Al lanzar este dado, (cuál es la probabilidad de que ·, a) aparezca una cara roja o el 5? b) aparezca una cara roja o un número impar? e) si la cara que aparece es roja, aparezca también el número dos? Un colegio está compuesto por 70 % de hombres y 30 % de mujeres. Si se sabe que 40 % de los hombres y 60 % de las mujeres fuman cigarrillos, (cuál es la probabilidad de que un estudiante que está fumando sea hombre? Una caja contiene cinco canicas de color rojo, 10 de color blanco y 15 de color azul, todas ellas del mismo material y del mismo tamaño. Si se extraen tres en sucesión y sin remplazo, (cuál es la probabilidad de que sean de colores diferentes? Las caras numeradas 1 , 2 y 3 de un dado son de color blanco y las numeradas 4, 5 y 6 son de color negro. Al lanzar el dado, a) (cuál es la probabilidad de que, si la cara es de color negro, aparezca también un número impar? Si se lanzan dos de estos dados, b) (cuál es la probabilidad de que en ambos aparezca el mismo color o que ambos aparezca el mismo número? Un grupo de estudiantes enciende una fogata en el bosque, pero sólo hay dos cerillos. Los estudiantes pueden elegir uno de dos métodos para prender la fogata. El primero consiste en prender un cerillo y luego el otro; el segundo consiste en prender juntos los dos cerillos. (Cuál de los dos métodos es el más seguro si sabemos que la probabilidad de que se prenda con un solo cerillo es de O. 7 y la probabilidad de que se prenda con los dos cerillos juntos es de 0.95? La urna I contiene -10 bolas de color blanco y tres de color rojo; la II, tres bolas de color blanco y cinco de color rojo. Se transferirán dos

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 03

4. 76.

4. 77.

4.78.

� \4. 1'iy � 4.80.

bolas de la urna I a la II y luego se seleccionará una bola de la urna II. ¿cuál es la probabilidad de que las dos bolas de la urna 1 sean a ) de color blanco? b) una de color blanco y otra de color rojo? e) de color rojo? d) ¿cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola de color blanco de la urna II? Un laberinto está formado por dos niveles en forma de cuadrados, uno dentro del otro. En cada cuadrado hay dos puertas de entrada y dos de salida, las que no pueden distinguirse. Si se confunde una puerta de entrada con una salida y viceversa se muere electrocutado. Calcular la probabilidad de: a ) salir del laberinto si uno está dentro del cuadrado pequeño, b) regresar de nuevo al interior del cuadrado pequeño si se ha salido una vez desde éste. Una caja contiene diez esferas, de las cuales cinco son de color blanco, tres de color rojo y dos de color negro. Se extrae aleatoriamente una esfera sin reemplazo. ¿cuál es la probabilidad de extraer a ) dos esferas de color blanco, una después de la otra? b) una esfera de color rojo y luego una de color negro? e) tres esferas de color rojo, una después de otra? d) una esfera de color negro, luego una roja y por último una blanca? Tres estudiantes A, B y e están inscritos en la misma clase. Supóngase que A asiste a clase 30 % de las veces; B, 50 %, y e, 80 %. Si estos estudiantes asisten a clase independiente uno de otro, ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos uno de ellos esté en clase un día concreto? b) exactamente uno de ellos esté en clase un día concreto? Una urna contiene tres cartas. Una carta es de color rojo por ambos lados, otra es de color verde por ambos lados, y la última es de color rojo por un lado y verde por el otro. Se extrae al azar una carta de la urna y se observa el color de uno de sus lados. Si este lado es de color verde, ¿cuál es la probabilidad de que el otro también sea de color verde? Supóngase que una urna contiene una carta de color azul y cuatro de color rojo: A, B, e y D. Suponga también que dos de estas cinco cartas se extraen al azar sin remplazamiento. a) Si se sabe que se ha extraído la carta A, ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean de color rojo? b) Si se sabe que se ha extraído una carta de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean de color rojo?

1 04 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4.8 1 .

4.82.

l � 1

4.83 .

4.84.

4.85.

Se seleccionan al azar dos bolas sin remplazo de una urna que contiene cuatro de color blanco y ocho de color negro. Calcular la probabilidad de que: a) ambas sean de color blanco, b) la segunda bola sea de color blanco. En una urna hay cinco bolas de color blanco y cuatro de color negro. Sacamos dos bolas, una a una, sin regresarlas. ¿cuál es la probabilidad de que: a) ambas bolas sean de color blanco? b) la primera sea de color negro y la segunda de color blanco? Con base en su experiencia, un médico ha recabado la siguiente información relativa a las enfermedades de sus pacientes: 5 % cree tener cáncer y lo tiene; 45 % cree tener cáncer y no lo tiene; 1 O % no cree tener cáncer, pero lo tiene y, por último, 40 % cree no tenerlo, lo cual es cierto. Calcular la probabilidad de que: a) un paciente tenga cáncer, b) un paciente tenga cáncer cuando cree no tenerlo, e) un paciente crea tener cáncer y no lo tenga, d) un paciente crea que tiene cáncer y sí lo tenga. Rtoip -el diseñador de proyectiles dirigidos- acude con Ilab -el experto en confiabilidad- con un problema: "El vehículo está diseñado. Podemos usar dos motores grandes o cuatro pequeños y obtener el mismo empuje y el mismo peso. Sin embargo, sabemos que los motores están sujetos a fallas catastróficas y el diseño es tal que el proyectil queda en órbita aunque la mitad de los motores fallen. Ahora, si usted me puede decir cuál es la probabilidad de que un motor falle en el tiempo requerido para entrar en órbitc., yo puedo decir si utilizo dos o cuatro motores." Ilab le responde: "Hemos analizado los datos de prueba de los motores y hemos encontrado que los grandes y los pequeños tienen la misma probabilidad de fallar en un momento dado. Le puedo asegurar que no hay diferencia alguna si utiliza dos o cuatro motores. Sin embargo, esta probabilidad de falla está clasificada como secreta y no puedo dársela." Rtoip dice: "No importa. Por lo que acaba de decirme, puedo calcular la probabilidad de falla yo mismo, para un motor y para el proyectil completo." ¿cuál es la falla de un motor y del proyectil completo? Considere e! � �g-mento siguiente de un circuito eléctrico (véase la figura) con tres relevadores. La corriente pasa de a a b si por lo menos hay una trayectoria cer::-ada cuando los relevadores se cierran. Sin embargo, los relevadores podrían no trabajar biell'. Suponer que

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 05 cierran en forma correcta sólo con una probabilidad de 0.9 cuando se acciona el interruptor, y que trabajan en forma independiente uno.del otro. Sea A e! evento que denota que la corriente pasa de a a b cuando los relevadores se cierran. a) Calcular P(A). b) Calcular la probabilidad de que el relevador 1 cierre en forma correcta, dado que se sabe que la corriente pasa de a a b.

1---...

0 -----l

b

'------1 3 }-------' 4.86.

De las personas que llegan a un aeropuerto pequeño, 60 % vuela en aerolíneas grandes, 30 % en aeroplanos privados y 1 O % en aeroplanos comerciales que no pertenecen a una aerolínea. De las personas que llegan por las aerolíneas principales, 50 % viaja por negocios, mientras que esta cifra es de 60 % para los que llegan en aeroplanos privados y de 90 % para los que llegan en otros aviones comerciales. Para una persona que se seleccione al azar de entre un grupo de llegadas, calcular la probabilidad de que: a) la persona esté en viaje de negocios, b) !á per�ona esté en viaje de negocios y llegue en un aeroplano privado, e) la persona esté en viaje de negocios, y se sabe que llegó en un aeroplano comercial, d) la persona haya llegado en un aeroplano privado, dado que viajá por negocios. Negocios Otros Total

4.87.

Grandes Privados Comerciales Total 0.09 0.3 0.18 o�s7 0.3

0.12

0.01

0.43

0.6

0.3

0.1

1.0

Supóngase que dos refrigeradores defectuosos han sido incluidos en un envío de seis. El comprador empieza a probar Jos seis refrigeradores uno por uno. a) ¿cuál es la probabilidad de que encuentre el último refrigerador defectuoso en la cuarta prueba?

1 06 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya necesidad de probar más e

4.88.

4.89.

4.90.

4.91.

4.92.

4.93.

4.94.

de cuatro refrigeradores para encontrar los dos defectuosos?

) Dado que uno de los defectuosos ha sido identificado en las

primeras .dos pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que el otro se encuentre en la tercera o cuarta prueba? Sean A, B, C los eventos mutuamente independientes con probabilida­ des a, b, e, respectivamente. Calcular la probabilidad de que: a) ocurran exactamente dos de ellos, b) ocurran al menos dos de ellos, e ) ocurran no más de dos de ellos. Un inversionista compra cinco viviendas como parte de su plan de inversión. Suponer que la probabilidad de obtener utilidad de cada una de ellas es de 0.9. En el supuesto de que hay independencia: a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga utilidades en cada una? b) ¿cuál es la probabilidad de que pierda en cada una de ellas? Una universidad procesa 100 000 calificaciones en determinado se­ mestre. En ocasiones anteriores, se ha descubierto que 0.1 % de todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una persona es­ tudia cinco materias en esta universidad en un semestre. ¿cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones estén correctas? Una compañía está considerando introducir dos nuevos productos en un mercado local. El gerente cree que la posibilidad de éxito es de casi 50 % para el primero y 75 % para el segundo. ¿cuál es la probabilidad de que ambos productos tengan éxito? Un supervisor toma tres bolsas con alimento de la máquina que las llena y pesa su contenido. Por registros pasados sabe que la máquina 'sobrellena las bolsas 10 % del tiempo, por lo asigna una probabilidad de 0 . 1 0 al suceso "Bolsa demasiado llena". También sabe que esas bolsas defectuosas ocurren al azar, y que el llenado de una bolsa es independiente del de las otras. ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tres sólo una bolsa esté muy llena? Un jugador de los Pumas de la UNAM que participa en un juego de futbol tiene una probabilidad de 0.6 de completar un pase. Si se considera que cada pase es independiente de otro, ¿cuál es la probabilidad de que complete un pase por primera vez en el tercer intento? La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de televisión es de 0.4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga, de 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 07

4.95.

4.96.

4.97.

a) una pareja de casados vea el programa, b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace, e ) al menos una persona de un matrimonio vea el programa. Para parejas de casados que viven en una cierta·ciudad de los subur­ bios, la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.2 1; la de que la esposa lo haga, de 0.28, y la de que ambos voten, de 0. 15. ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos un miembro de la pareja de casados vote? b) vote una esposa, dado que su esposo lo hace? e) vote un esposo, dado que su esposa no lo hace? La probabilidad de que una persona que visita a su dentista requiera de una placa de rayos X es de 0.6; la de que una persona a la que se le toma una placa de rayos X también tenga un tapón, de 0.3, y la de que a una persona que se toma una placa de rayos X y que tiene un tapón, tenga también un diente extraído, de O. l. ¿cuál es la probabilidad de que a una persona que visita a su dentista se le t�me una placa de rayos X, presente un tapón y se le haya extraído un diente? Se dice que tres eventos A, B y C son independientes si: P(A n B) = P(A)P(B)

P(A n C) P(B n C)

y

P(A n B n C)

=

P(A)P(C)

=

P(B)P(C)

=

P(A)P(B)P(C)

Supo!fer que se lanza una moneda normal, dos veces, en forma independiente. Definir lo eventos siguientes: . A: Aparece águila en el primer lanzamiento, B: Aparece águila en el segundo lanzamiento, C: Ambos lanzamientos dan el mismo resultado.

4.98.

4.99.

¿son estócasticamente independientes A, B y C? En cierta ciudad, 40 % de los votantes son conservadores y 60 % son liberales; 70 % de los conservadores y 80 % de los liberales están a favor de una emisión particular de bonos. Al seleccionar al azar un votante de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de la emisión de bonos? Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y uno estándar. Usa el vehiculo compacto para trasladarse a su trabajo las tres cuartas partes del tiempo; el tiempo restante usa el carro más grande. Cuando emplea el auto compacto llega a su casa a las 1 7:30, 75 % de

1 08 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL las veces; si utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora 60 % de las veces. Si llega a su casa después de las 17:30, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el auto compacto? 4. 100.

Un examen contiene ocho preguntas del tipo verdadero-falso, en el que se requiere responder un mínimo de seis preguntas para aprobar. En el supuesto de que se esté adivinando para contestar cada una, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen? b) En el supuesto de que se conozca la respuesta a la primera pregunta y que, en consecuencia, sólo se deba adivinar de la segunda a la séptima, y en el supuesto también de que la primera respuesta estuvo correcta, ¿cuál es la posibilidad de aprobar el examen? e) Si se conocen las respuestas de las dos primeras preguntas, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen?

a)

4.10 1 .

1

1 1 ¡

4. 102.

¡ 1

Suponer que los números iguales de familias que tienen dos hijos que son niño-niño, niño-niña, niña-niño y niña-niña y que el oraen dentro de los múltiplos de dos indica el correspondiente a los nacimientos. Se selecciona al azar una familia con dos hijos, a ) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga dos hijos varones, si ya se tiene por lo menos un hijo? b) Se toma una persona casada que en la actualidad tiene un niño, y espera un segundo hijo. Desde luego, una vez que nazca su segundo hijo, tendrá por lo menos un niño. ¿se puede decir que la respuesta en a ) es la probabilidad de que el segundo hijo sea un niño?

En cierta universidad, la distribución geográfica de los estudiantes varones es como sigue: 50 % viene del este del país; 30 %, del centro, y 20 %, del oeste. Las siguientes proporciones de estudiantes usan corbata: 80 % de los que vienen del este, 60 % de los que vienen del centro y 40 % de los que vienen del oeste. ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante que use corbata a

)

venga del este?

b) venga del centro?

e) venga del oeste?

4. 1 03.

Durante el primer año de uso de un amplificador de radio se pueden requerir tres tipos de reparaciones y las probabilidades correspondien­ tes son 0.05, 0.04 y 0.02. ¿cuál es la probabilidad de que un amplifica­ dor, seleccionado al azar, requiera reparación durante su primer año de uso? Cada tipo de reparación es independiente de los otros dos.

4. 1 04.

Se ha encontrado que, en la ciudad de México, la distribución de los cuatro grupos sanguíneos básicos es como sigue: O, 45 %; A, 40 %; B, 10 %; AB, 5 %; ¿cuál es la probabilidad de que en una pareja de cónyuges de la ciudad de México, seleccionada al azar,

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 09 a) ambos cónyuges sean del tipo A? b) ninguno de los cónyuges sea del tipo O? e) la esposa sea del tipo A y el esposo del B? el) uno sea del tipo A y otro del B? e ) los dos cónyuges sean de tipos diferentes?

4.105.

La �robabilidad de que un cliente de un restaurante ordene una hamburguesa es de 0.65 y la probabilidad de que ordene una cerveza es de 0.35. Si se supone independencia entre los dos eventos, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente ordene una hamburguesa y una cerveza?

4. 106.

Un jugador arroja dos dados. Si en la primera jugada hace un total de 7 u 1 1 gana; si hace un total de 2, 3 o 12, pierde; si hace un total de 4, 5, 6, 8, 9 o 10, sigue arrojando los dados hasta que duplica el total obtenido en su primera tirada o hace 7. En el primer caso gana; en el segundo, pierde. ¿cuál es la probabilidad de que ga'ne?

4. 107.

Considere el ensamble serie-paralelo que se muestra abajo. Los valores = 1 , 2, 3, 4, 5) son las confiabilidades de los cinco componentes indicados, esto es, R¡ = probabilidades de que la unidad i funcione de manera adecuada. Los componentes operan (y fallan) de manera mutuamente independiente y el ensamble falla sólo cuando se rompe la trayectoria de A a B. Exprese la confiabilidad del ensamble como una función de R¡ , R2 , R3, 14 y Rs.

R¡ (i

4. 1 08.

En una escuela, de 700 alumnos de primer grado, 150 tienen auto­ móvil. De 200 alumnos de primer grado, provenientes de otra locali­ dad, 90 poseen automóvil. Encontrar las siguientes probabilidades. a)

Un estudiante es residente y posee automóvil.

b) Un estudiante es no residente y posee automóvil. e) Un estudiante es residente y no posee automóvil. R

= Residente

C = Tiene auto

Re = No residente ce = No tiene auto

1 1o R

Re

60 90 440 1 10 ce Totales 500 200 e

Totales 1 50 550 700

4.109. Entre las 90 cartas entregadas a una oficina, 50 están dirigidas al

4. 1 10.

4. 1 1 1.

4. 1 12.

departamento de Contabilidad y 40 al de Mercadotecnia. Si dos de estas cartas se entregan a la oficina del gerente por error, y la seleción es aleatoria, ¿cuáles son las probabilidades de que: a) ambas debían entregarse al departamento de Contabilidad? b) ambas debían entregarse al departamento de Mercadotecnia? e) una debía entregarse al departamento de Contabilidad y la otra a Mercadotecnia? La probabilidad de que los ejecutivos de grandes corporaciones hayan participado en actividades deportivas en la preparatoria 'es de 0.70. La probabilidad de que los ejecutivos hayan jugado en un equipo de la universidad y también en la preparatoria es de 0.35. ¿cuál es la probabilidad de que un ejecutivo haya participado en un equipo en la universidad dada su participación en una actividad deportiva en la preparatoria? En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se encontró que 42 cursaron matemáticas, 68 psicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y psicología, siete historia pero no matemáticas ni psicología, 1 O las tres materias y ocho ninguna de las tres. Si se selecciona un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que: a) una persona inscrita en psicología haya estudiado las tres materias, b) una persona que no se inscribió en psicología haya tomado historia y matemáticas. Si las probabilidades de que una persona compre un diario, una revista o ambos en un puesto de periódicos s6n de 0.36, 0.28 y 0. 17, determine la probabilidad de que: a) una persona que compre en el puesto de periódico un diario también compre una revista, b) una persona que compre en el puesto de periódicos una revista también compre un diario. La probabilidad de que a �n automóvil al que se le llena el tanque de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25; la de que requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40, y de que le haga falta tanto cambio de aceite como de filtro, de 0. 14. a) Si debe cambiarse el aceite ¿cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo? ·

4.1 13.

1

l

l.

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 1 b) Si necesita un filtro nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que requiera cambio de aceite?

4. 1 14.

4. 1 15.

Una encuesta entre los consumidores en una comunidad particular mostró que 1 O % quedó inconforme con los trabajos de plomería efectuados en sus casas. La mitad de las quejas se referían al plomero A. Si se sabe que el plomero A realiza 40 % de los trabajos de plomería de la ciudad, encuentre las siguientes probabilidades: a) de que el consumidor reciba un trabajo de plomería que no le satisfaga, dado que se trata del plomero A . b) de que el consumidor reciba un trabajo de plomería satisfactorio, dado que se trata del plomero A. Las enfermedades 1 y 1 1 son comunes entre la gente de cierta pobla­ ción. Se supone que 1 0 % de la población contraerá la enfermedad 1 alguna vez durante su vida, 15 % contraerá eventualmente la enferme­ dad 11 y 3 % contraerá ambas. a) Encuentre la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población contraiga al menos una enfermedad. b) Encuentre la probabilidad condicional de que una persona elegida al azar de esta población contraiga ambas enfermedades, dado que una persona haya contraído al menos una de ellas.

4. 1 16.

4. 1 17.

Tres equipos de radar que trabajan de manera independiente están disponibles para detectar cualquier avión que vuele sobre cierta área. Cada equipo tiene una probabilidad de 0.02 de no detectar un avión que vuele en el área, si un avión entra por casualidad al área a ) ¿cuál es la probabilidad de que no sea detectado? b) ¿cuál es la probabilidad de que sea detectado por los tres equipos de radar? Un detector de mentiras muestra una lectura positiva (es decir, indica una mentira) en 1 O % de los casos cuando la persona dice la verdad y en 95 % de los casos cuando la persona miente. Suponga que se sospecha de dos personas de haber cometido un delito que fue ejecutado por una sola persona y, de hecho, sólo una de ellas es la culpable. a ) ¿cuál es la probabilidad de que el detector muestre una lectura positiva para los dos sospechosos? b) ¿cuál es la probabilidad de que el detector muestre una lectura po­ sitiva para el sospechoso culpable y una negativa para el inocente? e) ¿cuál es la probabilidad de que esté completamente equivocado el detector, es decir, que indique una lectura positiva para el inocente y una lectura negativa para el culpable? d) ¿cuál es la probabilidad de que el detector dé una lectura positiva para cualquiera de los dos o para ambos sospechosos?

.

1 12

CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. 1 18. Una sección de un circuito eléctrico tiene dos relevadores en paralelo,

como se ilustra en la figura. Los relevadores trabajan en forma independiente y, cuando se conecta un interruptor, ambos cierran en forma correcta con una probabilidad de tan sólo 0.8. Si ambos relevadores están abiertos, calcular la probabilidad de que la corriente pasa de s a t cuando se conecta el interruptor. S

4.1 19. Cierto equipo de futbol tiene una probabilidad de 0.75 de ganar

1

4.120.

l·

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¡

4. 121.

i

4. 122.

4.123.

a cualquiera de cuatro equipos en su división. Si los juegos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo gane todos los juegos de su división? Suponer que ocho jugadores con la misma capacidad participan en un torneo de eliminación sencilla (no se permiten los empates). a) ¿Cuál es la probabilidad de que cada uno sea el ganador del torneo? b) ¿cuál es la probabilidad de que el jugador uno gane sus primeros dos juegos y pierda el final? Una red de comunicaciones tiene un sistema incorporado de seguri­ dad contra fallas. Si es este sistema falla la línea 1, se utiliza la línea 11 como emergencia; si también falla la línea 11, se utiliza la línea 111 como una desviación. La probabilidad de que falle cualquiera de estas tres líneas es de 0.1 y las fallas de estas líneas son independientes. ¿cuál es la probabilidad de que este sistema de tres líneas no falle totalmente? Una estación estatal de inspección de automóviles utiliza dos equipos de inspección. El equipo 1 es tolerante y aprueba todos los coches de tipos recientes; el equipo 11 rechaza todos los coches en la primera ins­ pección, porque los "faros están mal enfocados". Cuatro conductores llevan sus coches a la estación para la inspección sin sospechar nada en cuatro días diferentes y seleccionan al azar uno de los dos equipos. Si los cuatro coches son nuevos y están en excelentes condiciones: a ) ¿cuál es la probabilidad de que sean rechazados tres de los cuatro? b) ¿cuál es la probabilidad de que pasen los cuatro? Dos estudiante, A y B, están inscritos en un curso. Si el estudiante A asiste a las clases 80 % de las veces y el estudiante B, 60 %, y si las ausencias de los dos estudiantes son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes esté en clase un día concreto?

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 3 4.124. Los dos problemas más importantes con una máquina que llena

4. 125.

4. 126. 4. 127.

4.128.

botellas es que las llena de más o de menos. Si la máquina que llena de más 4 % del tiempo y de menos 3 % del tiempo, calcular la probabilidad de que la siguiente botella esté llena de manera adecuada. Se sabe que 25 % de las personas que realizan el examen TOFEL en cierta ciudad, asistieron al curso de repaso en una universidad local. De los que asistieron al curso, 60 % pasó el examen. ¿cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar haya realizado el curso y pasado el examen? Si se elige una familia del conjunto de todas las que tienen dos niños, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean varones si se sabe que por lo menos hay un varón en esa familia? En un cajón hay 16 calcetines. Ocho de color marrón, seis de color verde y dos de color amarillo. Se extraen dos calcetines, uno después de otro sin reemplazo. ¿cuál es la probabilidad de que ambos calceti­ nes sean del mismo color? La probabilidad de cerrar cada uno de los relés de los circuitos que se muestran en las figuras a, b y e está dada por p. Si todos los relés funcionan de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que exista una corriente en las terminales 1 y D?

a

b)

)

D

e)

4. 129. Suponga que un impulso eléctrico debe pasar del punto 1 al 11

para producir una señal. Para llegar al punto 11 debe pasar por dos componentes electrónicos Et y E2 . La trayectoria del impulso se interrumpe si falla cualquiera de los componentes. La probabilidad

1 1 4 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. 130.

4.131.

4. 132.

4.133.

4.134.

4.135.

de que el componente E1 no falle es de 0.7 y la probabilidad de que el componente E2 no falle es de 0.8. Además, la probabilidad de que al menos uno no falle es de 0.94. ¿cuál es la probabilidad de que la señal se produzca? Entre cinco aspirantes a puestos de ingeniero químico en una empresa, a dos se les considera excelentes, y a los demás buenos. Un gerente elige al azar dos de los cinco para la entrevista. Calcular la probabilidad de que el gerente elija: a) a los dos excelentes, b) por lo menos a uno de los excelentes, e) a los dos excelentes, dado que ya se sabe que uno de los dos seleccionados es excelente. Una empresa produce resistencias y las vende como resistencias de 1 0 ohms. Sin embargo, los ohms reales d e los resistores pueden variar. Se observa que 5 % de los valores son menores que 9.5 ohms y 10 % son mayores que 10.5. Si en determinado sistema se usan dos de esas resistencias, seleccionadas al azar, calcular la probabilidad de que: a ) ambas tengan valores reales entre 9.5 y 1 0.5, b) al menos una tenga un valor real mayor que 1 0.5. Una persona tiene un despertador que sonará a la hora puesta con una probabilidad de 0.7. Si suena, lo despertará con una probabilidad de 0.8; si no despertara a tiempo para tomar su primera clase, con una probabilidad de 0.3. ¿cuál es la probabilidad de que tome su primera clase? Para el sistema del grupo sanguíneo ABO, la probabilidad de que un hombre tenga sangre tipo AB es de 0.03. Si este hombre tiene una esposa tipo O, la probabilidad de que su hijo sea de tipo A es 1/2. ¿cuál es la probabilidad de que una mujer del grupo O se case con un hombre del grupo AB y tengan un hijo que pertenezca al grupo A? Suponga que hubo una prueba para detectar cáncer con la propiedad de que 95 % de las personas con cáncer reaccionan positivamente y 5 % de los que no tienen cáncer también reaccionan positivamente. Si se asume que 1 % de los pacientes de un hospital tiene cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar y que reacciona positivamente a esta prueba tenga cáncer? Una caja contiene 100 focos de los cuales 10 son defectuosos. Dos focos son seleccionados al azar sin remplazo. a) ¿cuál es la probabilidad de que los focos seleccionados sean defectuosos? b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea defec­ tuoso?

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 5 4. 136. La experiencia demuestra que 20 % de la gente que reserva mesa en cierto restaurante nunca llega. Si el restaurante tiene 50 mesas y acepta 40 reservaciones, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten todos?

4.137. La probabilidad de que un vehículo que llega a Palenque tenga placas

de Sinaloa es de 0. 12; de que sea para acampar, de 0.28, y de que además tenga placas de Sinaloa, de 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) un vehículo para acampar en palenque tenga placas de Sinaloa? b) un vehículo con placas de Sinaloa que llega a palenque sea para acampar? e) un vehículo que llega a Palenque no sea para acampar o no tenga placas de Sinaloa? 4. 138. Los datos históricos muestran que 1 5 % de las lavadoras de una lavandería automática necesitan motor nuevo durante los primeros dos años de operación. De aquellas que necesitan motores nuevos, 80 % también necesita una correa de trasmisión nueva durante el mismo periodo. ¿cuál es la probabilidad de que una lavadora necesite tanto un nuevo motor como una correa de trasmisión nueva durante los primeros dos años?

4. 139. La probabilidad de que la señora de la casa esté cuando una represen­ tante de Avon llama es de 0.6. Si se encuentra, la probabilidad de que realice una compra es de 0.4. Calcular la probabilidad de que la señora esté en casa y de que realice una compra cuando la representante de Avon llame. 4.140. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad particular es de 0.7. Dado que realice un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es 0.9. ¿cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande?

4. 141. Un agente de bienes raíces tiene ocho llaves maestras para abrir varias

casas nuevas. Sólo una de ellas abre una casa determinada. Si 40 % de ellas generalmente se dejan sin cerrar, ¿cuál es al probabilidad de que el agente de bienes raíces puede entrar a una casa específica si selecciona tres llaves maestras aleatoriamente cuando deja la oficina? 4. 142. Un pueblo tiene dos camiones de bomberos que operan de manera independiente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es de O. 96. a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario? b) ¿cuál es la probabilidad de que alguno esté disponible cuando se le necesite?

1 1 6 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4. 143. La probabilidad de que Luis sobreviva 20 años más es 0.7 y la de que 4. 144.

4.145.

4. 146.

4. 147.

4.148.

Ana lo haga, de 0.9. Si se supone independencia para ambos, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20 años? En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es de 0.02. Si la probabilidad de que un médico le diagnostique correctamente a una persona con cáncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que se equivoque, de 0.06, ¿cuál es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? Si la probabilidad de que una persona cometa un error al hacer su declaración de impuestos es de 0 . 1 , encuentre la probabilidad de que: a) cuatro personas ajenas unas de otras se equivoquen, b) el Sr. Guillermo y la Sra. Sandra lo hagan y que el Sr. David y la Sra. Cecilia no. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación del corazón es de 0.8. ¿cuál es la probabilidad de que: a) sobrevivan dos de los siguientes tres pacientes a los que se ha aplicado esta intervención quirúrgica? b) sobrevivan los tres siguientes pacientes que han sufrido esta inter­ vención? La probabilidad de que una máquina produzca un artículo sin defectos es de 0.7. Otra máquina realiza lo mismo con una probabilidad de 0.8. Se produjeron dos artículos en la primera máquina y tres en la segunda. ¿cuál es la probabilidad de que todos los artículos sean buenos? Calcule la probabilidad de que los siguientes circuitos no se interrum­ pan, si se sabe que la probabilidad de que funcione cada foco es igual a p y estos trabajan de manera independiente.

e)

J0-L .L[D-J

1 17

i)

j)

/)

m)

n)

ñ)

4.149. Un elevador tiene dos sistemas de freno que se activan automática­ mente en caso de una rotura de cable principal. La probabilidad de que cada uno de ellos frene el elevador después de una rotura es de 0.99.

1 1 8 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL a

4.150.

4.151. 4.152.

4. 153.

4. 154.

4.155.

4.156.

) ¿cuál es la probabilidad de que el elevador se frene? b) ¿cuál es la probabilidad de que el elevador se frene, si en caso de que falle el primer sistema, siempre funciona el otro? En un circuito eléctrico sucede una interrupción si falla el elemento K o los elementos K1 y K2 , que trabajan de forma independiente. Si se sabe que K, K¡ y K2 tienen una probabilidad de fallar de 0.3, 0.2 y 0.2, respectivamente, calcule la probabilidad de que ocurra una interrupción en el circuito. Una máquina produce tornillos que son colocados en una caja. Se sabe que una de cada 1 0 cajas son defectuosas. ¿cuál es la probabilidad de que un cliente que ordenó tres cajas obtenga puros tornillos buenos? Suponga que, a lo largo de un año, la probabilidad de ser hospitalizado es de 0. 152 y suponga que los miembros de una familia son hospitali­ zados de fonna independiente uno del otro. ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de una familia de cinco sea hospitalizado,este año? Sara Téllez, una candidata a gobernadora, estima que la probabilidad de ganar la nominación de su partido es de 2/3 y que si gana la nominación, la probabilidad de su triunfq en las elecciones es de 5/8. Encuéntrese la probabilidad de que: a) sea nominada en su partido y después pierda las elecciones, b) gane las elecciones. Se construye un sistema electrónico complejo con determinado nú­ mero de componentes de respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tiene cuatro componentes idénticos, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 0.2 de fallar en menos de 1 000 horas. El subsistema trabaja si dos o más de los cuatro componentes trabajan. Si se supone que los componentes trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que: a) dos de los cuatro componentes duren más de 1000 horas, b) el subsistema trabaje más de 1 000 horas. Para evitar que un automóvil patine, se diseña un dispositivo de frenado que incluye un sistema electrónico e hidráulico. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas en serie que operan de manera independiente: un sistema electrónico, un sistema hidráulico y un accionador mecánico. En un frenado particular, las confiabilidades de estas unidades son aproximadamente O. 995, O. 993 y 0.994, respectivamente. Estime la confiabilidad del sistema. De los muchos automóviles que se guardan en el estacionamiento de empleados de un edificio de oficinas, 75 % sólo transporta a un empleado y el resto transporta a dos o más empleados. 60 % de los automóviles son modelos anteriores a 1984 y el resto son de 1984 o de dos años más recientes. De los automóviles de modelos anteriores

EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 9 a 1984, dos tercios sólo transportan a un empleado y el resto a dos o más empleados. Si se selecciona un automóvil al azar de todos los que están en el estacionamiento, ¿cuáles son las probabilidades de que este automóvil a) sea un modelo anterior a 1984 que transporta a un solo empleado? b) no transporte a dos o más empleados ni sea un modelo anterior a 1984? e) transporte a dos o más empleados o sea un modelo anterior a 1984? d) transporte a dos o más empleados dado que no se trata de un modelo anterior a 1984?

Antes de 1984 Después de 1 984 Total

Transporta a un empleado 0.4 0.35 0.75

Transporta a dos o más empleados Total 0.2 0.60 0.05 0.40 0.25

4.157. Tres compañías, X, Y y Z, tienen probabilidades de obtener un pedido

4.158. 4. 159.

4. 160.

4. 161.

4. 162.

4. 163.

de un tipo particular de mercancía de 0.4, 0.3 y 0.3, respectivamente. Tres pedidos se van a asignar en forma independiente. ¿cuál es la probabilidad de que una compañía reciba los tres pedidos? En una urna se encuentran m bolas de color blanco y n bolas de color negro. Sacamos al azar k bolas que son del mismo color. ¿cuál es la probabilidad de que las bolas sean de color negro? Dos urnas contienen m 1 y m2 bolas de color blanco y n 1 y n2 de color negro, respectivamente. De cada urna se saca una bola y después, de entre estas bolas, se saca una. ¿cuál es la probabilidad que sea de color blanco? Si A, B, e y D dicen la verdad una de cada tres veces (de manera independiénte), y A afirma que B niega que e declara que D es un mentiroso, ¿cuál es la probabilidad que D haya dicho la verdad? (El prcblema de los cuatro mentirosos. ) El numerador y el denominador de una fracción son números esco­ gidos al azar del conjunto de los naturales de forma independiente. ¿cuál es la probabilidad de que la fracción esté compuesta por núme­ ros primos entre sí? Se lanza al aire una moneda no cargada hasta que salga un águila. a) Calcular la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro tiradas para terminar el experimento. b) Calcular la probabilidad de que se requiera un número par de tiradas para terminar el experimento. Supóngase que una urna contiene n fichas marcadas del número uno al número n y que las fichas se extraen al azar, una a la vez,

1 20 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL hasta que la urna queda vacía. ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los números extraídos coincida con el número de orden de extracción de la ficha? (En este caso se dice que ha ocurrido un apareamiento. ) ¿cuál es la probabilidad de que ocurran m apareamientos, para m = O, 1, . . . , n? 4.164. suponga que para los eventos independientes A, B y e tenemos P(A) = a, P(A U B U e) = 1 - b, P(A n B n e) = 1 - e, y P(A' n Be n e) = x. Demostrar que la probabilidad x satisface la siguiente ecuación: ax2 + [ab - ( 1 - a)(a - e - 1 )]x + b( 1 - a)( 1 - e) = O. Demostrar también que

e>

( 1 - af + ab 1 -a

y

( 1 - e )(x + b) P(e) = _!_ ax x+ b 4. 165. Los eventos A, B y e son independientes dos a dos, pero no estocás­ ticamente. Sea P(A) = P(B) = P(C) = x. Calcular el valor máximo de x. P(B) =

Respuestas

4.1 . P(N n B') P(A')P(B') = 0.4 y P(B) 1/3 4.2. P(A' UB') P(AnB)' = 1 -P(AnB). Pero, 8 x P(AnB) = 2/3 y P(AnB) = 1/12 y finalmente P(A' U B') = 1 1/12 4.3. a) V b) F e) F d) V 4.4. 0.05 + 0. 1 - 0. 1 . 0.05 0. 145 4.5. 1 .,.. ( 1 - p)4 = 0.5, p � 0. 159 4.6. a) 0.3 b) 0.45 4.7. a) 0.6 b) 0.8 0.88, entonces 0.88 e) P(B' n A') = 0.6 x 0.2 = 0. 12 y P(A U B) 0.4 + P(B) - 0. 12 y tenemos P(B) = 0.6 d) P(A n B) P(A)P(B 1 A) = 0. 12 e ) P(A 1 B) P(A n B) 1 P(B). 0. 12/0.6 0.2 4.8. a) Si y sólo si A U B = !1 b) Siempre 4.9. 1/6 4.10. a) 0.35 b) 0.30 e) 0.95 4.1 1. a) P(A 1 B) P(A) = 0.3 =

=

=

=

=

=

=

=

=

RESPUESTAS 1 2 1 b) P(A n B) = 0. 18 e ) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = O. 72

d) P(A" n B') = 0.7 x 0.4 = 0. 28 4.12. a) P(A 1 B) = P(A n B)/P(B) = 0. 15/0.50 = 0.30 b) P(A 1 B') = P(A n B')/P(B') = 0. 15/0.50 = 0.30 e ) P(B 1 A) = P(B n A)P(A) = 0. 15/0.30 = 0.50 d) P(B 1 A') = P(B n A')/P(A') = 0.35/0.70 = 0.50 4.13. a ) p = 0.3 b) P(A' n B') = 0.3 y P(B) = 0.5 4.14. A: el evento "La compañía emplee una nueva estrategia de mercado" B: el evento "Las ventas crezcan" P(A) = 0.54; P(A n B) = 0.39 y P(B 1 A) = P(A n B)/ P(A) = O. 7222 4.15. P(A) = 1/2; P(B) = 1/2; P(C) = 1/2; P(A n B) = 1/8; P(A n C) = 2/8; P(B n C) = 2/8; P(A n B n C) = 1/8 4.16. P(A) = 2/4 = 1/2; P(B) = 1/2; P(C) = 1/2; P(A n B) = 1/4; P(A n C) = 1/4; P(B n C) = 1/4; P(A n B n C) = O i= ( 1 /2) x ( 1 /2) x ( 1 /2) 4.17. P[An(BUC)] = P[(AnB)U(AnC)] = P(AnB)+P(AnC) = P(A )P(B)+P(A)P(C) = P(A)[P(B) + P(C)] = P(A)P(B U C) 4.18. P(A) i= O; P(B) i= O, pero P(A n B) = O y esto implica que A y B no son independientes 4. 19. Tenemos P(A) i= O; P(B) i= O y P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = P(A)P(B') + P(B) i= O, que implica que A y B no son mutuamente excluyentes. 4.20. Tenemos, A n B = 0; P(A n B) = O; P(A)P(B) O y esto implica que P(A) = O o P(B) = O 4.2 1. P(A U B) = P(A)+P(B) - P(A nB) = P(A)+P(B) - P(A)P(B) = P(A)[1 - P(B)] + P(B) = P(A)P(B') + P(B) = 1 - 1 + P(A)P(B') + P(B) = 1 - P(A')P(B') 4.22. a ) P(A) = P(A n B) + P(A n B') P(A) - P(A)P(B) = P(A n B') P(A n B') = P(A)P(B') b) P(B) = P(A n B) + P(A' n B) P(B) - P(A)P(B) = P(A' n B) P(N n B) = P(A')P(B) e) P(A U B) = P(A n B') + P(A n B) + P(N n B) P(A U B) = P(A)PW) + P(A)P(B) + P(A')P(B) P(A U B) = P(A) + P(A')P(B) P(A U B) = 1 - P(N) + P(A')P(B) P(A U B) = 1 - P(N)[1 - P(B)] P(A U B) = 1 - P(A')P(B') 1 - P(A U B) = P(A')P(B') P(A U B)' = P(N)P(B') P(N n B') = P(A')P(B') 4.23. P(B) = P(A n B) + P(N n B) = P(A)P(B 1 A) + P(A')P(B 1 A') = [P(A) + P(A')]P(B 1 A) = P(B 1 A) B) B) p p 4.24. P(B 1 A) = P(B) > P(B) ( ) ( ) =

��

=

�� �i!� p�l�) =

1 22

CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4.25. Los eventos son dependientes: P(A 1 B) = P(A n B)/P(B ) = O -/= P(A) 4.26. P(A n B ) = P(A)P(B). Pero A e B, entonces P(A n B) = P(A). Esto implica que:

P(A) = P(A)P(B), P(A)[ 1 - P(B)] = O. 4.27. P(A U B U e) es la probabilidad de A, B o e; dos de estos eventos o los tres. P(A U B U e) es la probabilidad de todos los posibles eventos que implican A, B, e, excepto N n B' n C'. P(A u n u e) = 1 - PW n B' n e' ),

que, si A, B, e son mutuamente independientes se reduce a P(A U B U e) = 1 - P(A')P(B' )P( e').

De forma análoga, P(A u n u e u . . . ) = 1 - PW)PW)P(e') . . .

si A, B, e son mutuamente independientes. 4.28.

n

= { ( 1, 6)(2, 6)(3, 6)(4, 6)(5, 6)(6, 6) (2, 5)(3, 5)(4, 5)(5, 5)(6, 5) (3, 4)(4, 4)(5, 4)(6, 4) ( 4, 3)(5, 3)(6, 3) (5, 2 )(6, 2 ) (6, 1 )}

i = 7, p = 6/2 1 ; i = 8, p = 5/2 1 ; p = 2 / 2 1 ; i = 1 2 , p = 1/2 1

i

= 9, p = 4/2 1 ;

i=

10, p = 3/2 1 ;

i=

11,

4.29. a) 0.0027 b) 0.728 e) 0.4375 4.30. (4/52) X (3/5 1 ) = 1/22 1 ; No; 1 3/ 2 2 1 = 1 / 1 7 4.3 1 . A: el evento "Los dos números que ocurren son diferentes" B: el evento "La suma es siete" e: el evento "La suma es cuatro" D: el evento "La suma es 1 2 " P(A) = 5/6, P(A n B) = 1 /6,

Tenemos que

P(B) = 1 /6, P(A n e) = 1 / 1 8,

P(e) = 1 / 1 2,

P(D) = 1 /36,

P(A n D ) = O.

P(B 1 A) = ( 1 /6)/(5/6) = 1/5,

P(e 1 A) = ( 1 / 1 8)/(5/6) = 1 / 1 5,

P(D 1 A) = O.

4.32. A: el evento "La primera canica de color negro" B: el evento "La segunda canica de color negro" e: el evento "La tercera canica de color negro" P(A n Bn e) = P(A)P(B 1 A)P(e 1 A n B) = (5/8)

x

(4/7)

x

(3/6) = 0. 1 785

RESPUESTAS 1 23 4.33. 4.34. 4.35. 4.36.

0.375 b) n2 /(nl + n2 a) (n¡ - 1 )/(n¡ + n2 - 1 ) t t b ) ( 1 /2 a ) ( 1 /2 e ) 1 - ( 1 /2 t A: el evento "La primera canica roja" B: el evento "La segunda canica roja"

1)

P(A n B) = P(A)P(B 1 A) = (3/ 1 1 )

x

(2/ 1 0)

=

0. 0545

4.37. a) (26/52) X (25/5 1 ) = 0. 245 b) ( 1 6/52) X ( 15/5 1 ) = 0.09 4.38. Tenemos: A = {CCC, ces, ese, css}, B = { CCC, ces, ese, scc}, e = {ccc, SSS}, A n B = { CCC, CCS, CSC}, A n C = {CCC}, B n C = { CCC}. Para P(C) = P(S) = 1 /2 calculamos P(A) P(B) = 1 /2, P(C) = 1 /4, P(A n B) = 3/8, P(A n C) = P(B n C) = 1 /8. =

Entonces, A y B son independientes, B y C son independientes, pero A y B no son independientes.

4.39. a) (7 / 1 2) X (8 / 1 3 ) b ) 5 / 1 3 0.3846 e) 5/52

=

=

X

(9/ 14) = 3/13 = 0. 23

0. 0961

4.40. Tenemos, A 1 n A2 n Ag = {w 1 }, A 1 n A2 = {w 1, w2 } , P(A I )

= 1 /2, P(A 2 ) = 1 /2, P(A ) = 1 /2, P(A 1 n A 2 n A3 ) 1 /8 = ( 1 /2)3 = P(A 1 )P(A 2 )P(A3 ), pero 3 P(A 1 n A2 ) = 5 / 1 6 =f. ( 1 /2)2 = P(A1 )P(A 2 ). . 4.41. [ 1 - (0. 2)3) [ 1 - (0. 1 )2 ) X 0.99 = 0.972

=

4.42. W: el evento "La carta es mayor que dos pero menor que nueve" R : el evento "La carta es roja",

P( W 1 R) = P(W n R)/P(R) = ( 1 2/52)/(26/52) = 0.46 1 5

4.43. 1 - (35/36)" > 0. 5, n > 25 4.44. a) 9/ 100 b) l/5 e) 19/50 d) 3 1/50 4.45. (4/52) X (4/52) = 0. 0059 4.46. a) ( 1 /2 1 )/(5/ 2 1 ) = 1 /5 b) (4/2 1 )/(5/2 1 ) = 4/5 4.47. a) 1 - (5/6t > 0.5, n 2: 4 b) n 2: 9 e) n 2: 1 3 4.48. a) (5/ 1 6) 2 = 25/256

4.49. 55/ 1 18 4.50. l/3 4.5 1. a) (4/52)

b ) (5/ 16)

x

(4/ 15) = 1 / 1 2

X (3/5 1 ) X (2/50) X ( 1 /49) X (48/48) = 0.0000037 b) (4/52) X (3/5 1 ) X (2/50) X (4/49) X (3/48) = 0.00000092 e) 4 X ( 1 3/52) X ( 1 2/5 1 ) X ( 1 1 /50) X ( 1 0/49) X (9/48) 0.00 1 98

4.52.

(g

=

= 1/12

4.53. a ) 0. 43 + 0.63 = 0.28 0. 42 X 0. 6 + 0. 62 4.54. El espacio muestra] reducido es:

b)

n

=

X

0. 4 + 0. 28 = 0.52

{ ( 1, 2)( 1, 5)(2, 1 )(2, 4)(3, 3)(3, 6)(4, 2)(4, 5)(5, 1 )(5, 4)(6, 3)(6, 6)}

1 24 = 1/12

p 4.55. 4.56.

(0.5)4 = 0.0625 Sea A;: el evento "El jugador i recibe dos figuras" i = 1, 2, 3. Tenemos que calcular P(A¡

U A2

U Ag) = P(A ¡ ) + P(A2) + P(Ag) - P(A¡ n A2) - P(A¡ n A3) - P(A2 n A3) + P(A 1 n A2 n Ag ).

Pero P(A ¡ ) = P(A2) = P(Ag)

=

( 12/40)

x

( 1 1/39)

P(A 1 n Ag) = P(A2 n Ag) = ( 12/40) X ( 1 1 /39) X ( 1 0/38) P(A¡ n A2 n A3) (12/49) X ( 1 1/39) X ( 10/38) = 0. 00024 P(A 1 n A2)

=

=

= X

X

0.08462;

(9/37) = 0.00541 y (9/37) X (8/36) X (7 /35)

y Finalmente P(A t 4.57.

) 1/6 4

U A2 U A3)

=3

x

0.08462 - 3

x

0. 00541 + 0.00024 = 0.2378

1 / 1296 b) 4!/64 1/54 4 e) 1 - 5 /64 = 671/1296 d) 6/64 1/216 a ) (3/5) x (2/5) = 0.24 (2/5) X (3/5) = 0.24 e) (2/5) X (3/5) + (3/5) X (2/5) = 0.48 A: el evento "La cara blanca" B: el evento "El reverso blanco" a

=

=

=

4.58.

4.59.

b)

P(B 1 A) = P(A n B)/P(A) 4.60. 4.6 1 . 4.62.

4.63. 4.64. 4.65. 4.66. 4.67.

=

2/3

(2/9) X (3/8) = 0.083 a ) P(A ¡ ) = P(A2) = P(Ag) = 0.5, P(A 1 nA2) = P(A 1 nAg) = P(A2 nA3) = 0.25 b) P(A1 n A2 n A3) -:f 0.5 x 0. 5 x 0.5 a ) 0.4 x 0.4 = 0. 1 6 0 . 4 X 0.6 0.24 e) 0.6 x 0.4 = 0.24 d) 0.6 X 0.6 = 0.36 b) ( 1/2)4 e) ( 1 /6)3 a) ( 1 /6)4 a) 0.444 a ) 0.137 a) (5/6)9(1 /6) = 0.032 b) 0.385 e) 6/1 1 = 0.545 (2/5) X ( 1 /4) + (3/5) X (2/4) = 0.4 ( (3/5) X a) (2/5) X ( 1 /4) = 0. 1 (2/4)]/ ((3/5) X (2/4) + (2/5) X (3/4)] = 0.5 n = { ( 1, 6)(2, 6)(3, 6)(4, 6)(5, 6)(6, 1 )(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, s)}

b)

=

b)

P(A 1 B) = 0.2

RESPUESTAS 1 25 4.68. 4.69. 4.70. 4. 71. 4.72. 4.73. 4.74. 4.75. 4.76. 4.77.

4.78. 4.79. 4.80. 4.81.

b)

·

b)

4.83.

b)

b)

b)

b)

4.82.

b) b)

Sí e) Sí d) No e) No f) Sí b) 0.00 e) 0.25 a) 2/3 2/3 e) ( 1 /6)/(3/6) = 1/3 (0. 7 X 0.4)/0.46 = 0.6087 750/4060 = 0. 185 a ) 1/3 1/2 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = O. 7 + O. 7 - 0.49 = O. 91. Es más seguro el segundo método. 5/13 e) 1/26 d) 59/ 130 a) 15/26 a) 1/4 2/3 d) (5/ 10) X (4/9) = 0.22 (3/ 10) X (2/9) = 0.066 e ) (3/ 1 0) X (2/9) X ( 1 /8) = 0.0083 d) (2/ 10) X (3/9) X (5/8) = 0. 0416 a ) 0.93 b) 0.38 2/3 a ) 3/4 3/5 A: el evento "La primera bola es blanca" B: el evento "La segunda bola es blanca" C: el evento "Ambas bolas son blancas" Entonces, a ) A n B C y P(C) = P(A n B) = P(A)P(B 1 A) = (4/12) x (3/ 1 1 ) = 1 / 1 1 B = (A n B ) U (A' n B) y (A n B ) n (A' n B ) = 0, P(B) = P(A n B) + P(A' n B) = P(A)P(B 1 A) + P(A')P(B 1 A') = 1/3. Sea A; = { Bola de color blanco en la i-ésima extracción} B; = { Bola de color negro en la i-ésima extracción, i = 1, 2}. a) P(A 1 n A2 ) = P(A¡ )P(A2 1 A ¡ ) = (5/9) x (4/8) = 5/18 P(B¡ n A2 ) P(B¡ )P(A2 1 B 1 ) = (4/9) x (5/8) = 5/18. A: el evento "El paciente cree tener cáncer" B: el evento "El paciente tiene cáncer". Entonces P(A n B) = 0.05, _P(A n B') = 0.45, P(A' n B) = O. 1, P(A' n B') = 0.4 a) No

a) 0. 1

b)

=

=

Se tiene, por tanto, que P(A) = P(A n B) + P(A n B') = 0.5 P(B) = P(A n B) + P(A' n B) = 0. 15 Con base en lo anterior a ) P(B 1 A) = (0.05)/(0.5) = 0. 1, P(B 1 A') = (0. 1 )/(0. 5) = 0. 2, e) P(A 1 B' ) = (0.45)/(0.85) = 9/17, d) P(A 1 B) = (0.05)/(0. 15) = 0.33.

b)

1 26 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4.84.

4.85. 4.86. 4.87. 4.88. 4.89. 4.9o. 4.9 1 . 4.92. 4.93. 4.94.

La probabilidad de que tres o cuatro motores pequeños fallen es p4 + x p3 x - p ). La probabilidad que dos motores grandes fallen es p2 . Si se igualan ambas ecuaciones y se resuelve la ecuación de segundo grado que se obtiene al simplificar, se obtiene p =

4 (1 1/3. a) 3 (0. 9) - 3 (0.81) (0. 9)3 = 0. 999 b) 0.9009 a) 0.57 b) 0.18 e) 0.09/0.1 = 0.9 0.18/0. 57 = 0. 3 157 a) 1/5 b) 2/5 e) 1/2 a) ab + ae + be - 3abe b) ab ae be - 2abe e) 1 - abe a) (0.9)5 0. 5905 b) (0.1)5 = 0.00001 (o. 99W = o. 995 0.50 0.75 = 0.375 3 (0.9) (0.9) (0.1) = 0.243 0.4 0. 4 0.6 = 0.096 H: el evento "Hombre casado" M: el evento "Mujer casada", P(H) = 0.4 P(M) = 0.5 ; P(H 1 M) = 0.7; a)b) P(M P(H M) = P(H 1 M)P(M) = 0.7 0.5 = 0.35 1 H) = P(H M)/ P(H) = 0. 3 5/0. 4 = 0.875 e) 1 P(H' n M') = P(H U M) = P(H) + P(M) - P(H M) 0. 5 5 A: el evento "Esposo vote en elección" B: el evento "Esposa vote en elección", P(A) = 0.21; P(B) = 0.28; P(A B) = 0.15; 1 - P(A' n B') = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A n B) = 0.34 b)e) P(A P(B \ A) = P(A B)/P(A) = 0.15 /0.21 = 0. 7 142 \ B') = P(A B') = .(0. 2 1 - 0.15)/0. 72 = 0. 0 833 +

X

X

d)

+

+

=

X

X

X

X

X

X

x

n

4.95.

-

a)

4.96.

4.97.

4.98.

n

n

n n

U

=

n

A: el evento "Persona requiera una placa de rayos X" B: el evento "Persona tenga un tapón" C: el evento ':Persona tenga un diente extraído" x = x P(A n B n C) = P(A)P(B 1 A)P(C 1 A n B) = P(B) = A = {(A, A)(A, S)}; B = {(A, A)(S, A)}; C = {(A, A)(S, S)} P(A) = P(A n B) = P(A n C) = P(B n C) = P(C) = No P(A n B n C) =

1 /2;

Sea

1 /0.25; 2;

0.6 0.3 0.1 0.018 0.25; 0.25; 1 /2; 0.25;

. F: el evento "En favor de la emisión de los bonos" R: el evento "Sea elegido conservador" D: el evento "Sea elegido un liberal"

Entonces,

P(F) =P[(F n R) U (F n D)] = P(F n R) + P(F n D) P(F n R) =P(F 1 R)P(R) = O. x = O. = x P(F n D) =P(F 1 D)P(D) = y

7 0. 4 28 0.8 0.6 0.48 P(F) = 0.28 0. 4 8 = 0.76 +

RESPUESTAS 1 27 4.99.

C: el evento "Utiliza el vehículo compacto" G: el evento "Utiliza el vehículo grande" el evento "Llega a su casa a las

17:30", P ( C ) = 0.75;P(G) = 0. 2 5;P(L 1 C) = 0.75;P(L G) = 0.60; y P(L) = 0.7125, P(C L' ) = P(L' C)P(C)]/P(L' ) = 0. 652 37 (0.5)8 = 0.1445 b) 29 (0.5)7 = 0.2266 22 (0.5)6 = 0.3437 l/3 b) No 20/3;3 b) 9/33 = 0.2727 4/33 = 0.1212 Q05xQ96xQ98 o.0.10624 96 O. 02 +o. 95+Q95xQ04xQ98+Q95xQ96xQ02 O. 04 O. 02 + O. 05 o. 04 o. 02 =+Q05xQ04xQ98 1 -O. 95 O. 96 +o.Q05x 98 = 0.4 x 0.4 = 0.16 b) 1 - 0. 4 5 0. 4 5 - 2 (0.45 0.4 + 0. 4 5 0.1 + 0. 4 5 0. 0 5) = 0. 3 025 0.4 x 0.1 = 0.04 d) 2 0. 4 0.1 = 0. 08 2 x (0.45 x 0.4+0.45 x O. 1 +0.45 x O. 05+0.4 x 0.1 +0.4 x O. 05+0. 1 x O. 05) = O. 625 H: el evento ''Cliente ordene una hamburgesa", C: el evento "Cliente ordene una cerveza" P(H C) = P(H)P(C) = 0.2275 P( gana en su primera jugada) = 6/36 + 2/36 = 8/36. ?(gana con 4) = (3/36) x [(3/36) + (27/36) x (3/36) + (27/36)x (27/36) (3/36) + · · ·] = (3/36) x (3/36) x· [ 1/(l - (27/36))] = 1/36 P(gana con 5) =(4/36) x [(4/36) + (26/36) x ( 4/36) (26/36)x (26/36) (4/36) · · · ] = (4/36) (4/36) [l/(1 - (26/36))] = 16/360 P(gana con 6) =(5/36) x [(5/36) + (25/36) x (5/36) + (25/36)x (25/36) (5/36) . ] = (5/36) (5/36) [ 1 /( 1 - (25/36))] = 25/396 P(gana con 8) = P(gana con 6) ?(gana con 9) = P(gana con 5) ?(gana con 10) = P(gana con 4) P(gana) = 8/36 + 2 (l/36) + 2 (16/360) + 2 (25/396) = 0. 4 929 R = R1 {1 - [1 - (l - (1 - R2 )(1 - .R¡ ))R5 ]( 1 - R3 )} 60/700 = 3/35 b) 90/700 = 9/70 440/700 = 22/35 (50/90) x (49/89) = 0.3058 b) (40/90) x (39/89) = 0.1947 0.4993 0.35/0.7 = 0.50 L:

1

4. 100. 4. 1 0 1 . 4. 102. � 1 03.

4. 104.

a)

a)

4. 105.

X

X

X

a)

e)

X

e)

e)

a)

e)

1

1

[

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

n

4. 106.

X

X

X

X

4. 107. 4. 108. 4. 109. 4. 1 10.

a)

a)

X

X

X

X

X

+

+

+

. .

X

e)

e)

1 28 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4. 1 1 1 .

4. 1 1 2. 4. 1 13.

4. 1 14. 4. 1 15. 4. 1 1 6. 4. 1 1 7. 4. 1 1 8.

M: el evento "El alumno cursa matemáticas" S: el evento "El alumno cursa psicología" H: el evento "El alumno cursa historia" a) P(M n S n H 1 S) = P(M n S n H)/P(S) = 10/68 = 0. 147 P(H n M 1 S') = P(H n M n S')/P(S') = 12/32 = 0.375 a) 0. 17/0.36 = 0.4722 0. 17/0.28 = 0.6071 B: el evento "Cambio de aceite" C: el evento "Nuevo filtro de aceite" P(B) = 0.25; P(C) = 0.40; P(B n C) = 0. 14 a) P(C 1 B) = P(C n B)/P(B) = 0. 14/0.25 = 0.56 P(B 1 C) = P(C n B)/P(C) = 0. 14/0.40 = 0.35 a ) 0. 125 0.875 a) 1 - P(I n II)' = 1 - 0.88 = 0. 12 (0.03)/(0.22) = 3/22 a) (0. 02)3 (0.98)3 = 0.9412 a ) (0. 1 ) x (0.95) = 0.095 b) (0.9) X (0.95) = 0.855 d) 0. 1 + o. 95 - 0.095 = 0.955 e) (0. 1 ) x (0.05) = 0. 005 Sea A: el evento "Un relevador abierto" C: el evento "Un relevador cerrado" El espacio muestra! es n {(A, A)(A, C)(C, A)(C, C)} Como los relevadores

b)

b)

b)

b) b)

b)

=

trabajan en forma independiente, se pueden calcular las probabilidades de estos resultados como sigue:

P(A n A) = (0.2) x (0.2) = 0.04 P(A n C) = (0.2) x (0.8) = 0. 16 P(C n A) = (0. 8) x (0.2) = 0. 16 P(C n C) = (0.8) x (0.8) = 0. 64.

' ·

4. 1 1 9. � 120. 4. 1 2 1 . 4. 1 22. 4. 123. 4. 124. 4. 125.

4. 126. 4. 127. 4. 128.

Si B es el evento que "la corriente pasa de s a t", entonces B = (A n C) U (C n A) U (C n C) y, por último, P(B) = 0.96. (0. 75t = 0. 3 164 a) 1/8 1/8 1 - (0.01)3 = 0. 9999 a ) 1/4 1/16 1 - 0. 2 X 0.4 = 0.92 (0.94) X (0.97) = 0.9312 A: el evento "Pasar el examen" B: el evento "Asistir al curso" P(A n B) = P(B) x P(A \ B) = (0.25) x (0.60) = 0. 15 il = {(W), (VN), (NV )}, P(A \ B) = 1/3 (8/16) X (7 /15) + (6/16) X (5/.15) + (2/16)(1 /15) = 0.366

b) b)

a) Sea

A;: el evento "Relé i está cerrado", i = 1, 2, 3, 4, 5. B: el evento "La corriente pasa de I a D" P(B) = P(A , n A2 ) + P(As) + P(A3 nA4 ) - P(A, nA2 nAs) = p+2p2 - 2p3 - p4 +p5 2p2 + 2p3 - 5p4 + 2p5

b)

RESPUESTAS 1 29 e) p + 3p2 _ 4p3 p4 + 3ps _ pfi o. 7 + 0. 8 - 0.94 = 0.56 0.1 b) 0.7 e) 0.25 (0.85)2 = 0.7225 b) 2 X 0. 1 X 0.9 + 0. 1 X 0. 1 = 0. 19 0.65 0.03 X (1/2) = 0.015 4/9 (10 X 9)/(100 X 99) = 0.0091 b) 1 - (90 X 89)/(100 X 99) = 0. 191 0.1398 C: el evento "Vehículo que tenga placas de Sinaloa" A: el evento "Vehículo que entra sea para acampar" P(C) = 0. 12; P(A) = 0.28; P(C n A) = 0.09; P(C 1 A) = 0.3214 b) P(A 1 C) = O. 75 e) P(N U C') = P(A n C)' = 0.91 (0. 15) X (0.80) = 0. 12 A: el evento "La representante de Avon llama" C: el evento "Señora realice una compra" P(A) = 0.6; P(C 1 A) = 0.4; P(A n C) = 0. 24 D: el evento "El médico diagnostique correctamente" L: el evento "El paciente levante una demanda" P(D) = 7; P(L 1 D') = O. 9; P(D' n L') = P(D' )P(L' 1 D') = 0.03 A: el evento "Elige la llave correcta" B: el evento "La casa está cerrada" P(A 1 B) = P(A n B)/P(B) = (3/8)/(3/5) = 5/8 = 0.625 0.04 X 0.04 = 0.0016 b) 2 X (0.04 X 0.96) = 0.0768 T: el evento "Luis sobreviva 20 años" N: el evento "Ana sobreviva 20 años" P(T' n Nc) = 0.3 x 0. 1 = 0.03 0.02 x 0. 78 + 0.98 x 0.6 = 0.0744 a) (0. 1 )4 = 0.0001 b) 0. 1 X 0. 1 X 0.9 X 0.9 = 0.0081 3 X 0.82 X 0.27 = 0.384 b) 0.83 = 0.512 p � 0.251 p2 ; b) 2p - p2 ; e ) p3 ; d) p(p2 - 3p+ 3); e) p2 (2 -p); f ) p(1 +p - p2 ); g) p(p2 - 3p + p); h ) p3 (2 - p); i) p2 (2 - p)2 ; j) p2 + p2 - p4 ; k) p(3p - 3p2 + p3 ); l) p x p(1 +p - p2 ); m) p + p3 - p4 ; n) p + p3 - p4 ; ñ) 2p2 - p4 a) 0.99 + 0.99 - 0.99 X 0.99 = 0.9999 O 1 - 0.01 X 0.01 = 0.9999 b) 0.99 + 0.01 X 0.99 = 0.9999 1 - (1 - 0. 3)(1 - 0.22 ) = 0.328 (O.W = o. 729 (0.848)5 = 0.4385 _

4.129. 4.130. 4. 1 3 1 . 4. 132. 4.133. 4.134. 4.135. 4. 136. 4. 137.

a) a) a)

a)

4.138. 4. 139.

4. 140.

4. 14 1 .

4. 142. 4. 143.

4.144. 4. 145. 4.146. 4. 147. 4.148.

4. 149. 4.150. 4. 1 5 1 . 4.152.

O.

a)

a) a)

1 30 4. 153. 4.154. 4.155. 4. 156. 4. 157. 4. 158.

(3/8) = 1/4 b) (2/3) X (5/8) = 5/12 a) 0. 1536 b) 0.9728 = (0.995) X (0.993) X (0.994) 0.9821 a) 0.40 b) 0.35 e) 0.25 + 0.40 - 0.20 = 0.45 d) 0.05 (0.4)3 X (0.3)0 X (0.3)0 + (0.4)0 X (0.3)3 X (0.3)0 + (0.4)0 X (0. 3)0 X (0.3)3 = 0. 1 18 Si A es el evento {k bolas del mismo color} y B es el evento {k bolas de color a) (2/3)

X

R

=

negro}, entonces

Pero A n B = B, entonces tenemos

( nk) P(B \ A) = P(B n A) = P(B) = �--'--'-e� P(A) P(A) [W + (;) ] .

4. 159.

4 . 1 60.

Sea el evento A = {la bola elegida es de color blanco}, H¡ = {se eligió una bola de la urna uno} y H2 = {se eligió una bola de la urna dos}, entonces P(H1 ) = 1/2 y P(H2 ) = 1/2, además P(A 1 H¡ ) = m¡ /(n¡ + m¡ ) y P(A 1 H2 ) = m2 /(n2 + m2 ), por lo que P(A) = 1/2 x (m¡ /(n¡ + m¡ )] + 1/2 x [m2 /(n2 + m2 )]. Sea A = {A dice la verdad}, D = {D dice la verdad}. Tenemos

El evento D ocurre sólo si los cuatro dicen la verdad, dos dicen la verdad y dos mienten o los cuatro mienten. Tenemos

P(D 1 A) =

G f + G) Gf � = �;

Con la condición de que B recibió la verdad de parte de A, el evento d ocurre sólo si B, C y D dicen la verdad o dos de ellos mienten. Entonces

P(A n D)

=

P(A)P(D 1 A) =

Para la probabilidad condicional tenemos

P(A 1 D) = 4. 1 6 1 .

P(A n D) P(D)

=

13 41

=

�:

O. 317

1 - 1¡ 2 ) . . . 1 - 52 ( 1 - _!_) ( 1 - 2_!_) 2 ( 1 - _!_) 72 ( _ 32 ( _!_) 1 -..; :::::: O. 608 donde k es el número primo. 7T

RESPUESTAS I J 1 4. 162.

El espacio muestra! es n = {A, SA, SSA, . . . }, donde A significa que se obtiene un águila en la primera tirada; SA significa que la primera águila aparece en la segunda tirada; SSA quiere decir que la primera águila aparece en la tercera tirada, etc. Sean B: el evento "El experimento termina en menos de cuatro tiradas" C: el evento "Se necesita un número par de tiradas para terminar el experi­ mento". Lo que es igual:

B = {A, SA, SSA }, C = { SA, SSSA, SSSSSA, . . . }. Entonces

4. 1 63.

P(B) = 1/2 + 1 /4 + 1/8 = 7/8 P(C) = 1/4 + 1 / 1 6 + 1 /64 + 1/256 +

· · ·

= 1/3.

Sea Ak el evento de que el número k sea seleccionado en la extracción de orden

k, k = 1 , 2, 3, . . . , n. Tenemos

P(Ak) = (n - 1 )!/n!; P(Ak n Aj) = (n - 2)!/n!; P(Ak n Ai n A¡) = (n - 3)!/n!;

Ahora usando· la fórmula de Poincaré, tenemos

P(A) =

(n1 ) (n -n! 1 )! _ (n2) (n -n! 2)! + (n3) (n -n! 3)! _ . . . + ( _ 1 r- 1 _!_n!

= 1 - _!_ + _!_ 2!

3!

n

· · ·

k "' ( - 1 ) = 1 - e - 1 + ( - 1 )n - 1 _!_ = 1 - � k! n! k=O

Para n > 5 el valor de P(A), calculado a tres decimales, permanece constante e igual a 0.632. En caso m apareamientos, tenemos la fórmula:

_!_ e

_!_ � � ( - 1 / IdI. = m! m! k=O

-I

para valores grandes de n - m.

Se puede formular el problema de los apareamientos en diferentes maneras: l . Si n hombres casados y sus esposas sacan boletos para bailar unos con otros de manera que cada uno tenga la misma probabilidad de bailar con cualquiera de las n esposas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente m hombres bailen con sus esposas? 2. Si la señorita encargada del guardarropa de un establecimiento olvidó colocar la tarjeta de identificación a los sombreros que dejaron bajo su cuidado y posteriormente los distribuyó al azar a sus propietarios, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una persona reciba su propio sombrero?

1 32

CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 3. Si n soldados que duermen en la misma barraca llegan una noche tan

borrachos que cada soldado elige al azar una cama donde dormir, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente m soldados duerman en sus camas? 4. Si una secretaria distraída escribe a máquina n cartas y sus n sobres correspondientes y si pone las cartas en los sobres de manera que cada sobre contenga una carta, con la misma probabilidad de que sea cualquiera de las n cartas, ¿cuál es la probabilidad de poner exactamente m cartas en los sobres correspondientes? 5. Si dos barajas similares de n cartas (numeradas de uno a n) se barajan y reparten simultáneamente tomando una carta de baraja a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que en m ocasiones las dos cartas repartidas tengan el mismo número? 4. 1 64.

x = P(Ac n Be n C) = P[(A U B)' n C] = P(C) - P[(A U B) n C] = P(C) - P[(A n C) U (B n C)] = P(C) - P(A n C) - P(B n C) + P(A n B n C) = P(C) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C). Sea P(A) = a, tenemos x = (1 - a)(l - P(B))P(C). b = 1 - P(A u B u C) = P(Ae n Be n e') = P(Ae)P(Be)P(Ce) = ( 1 - P(A))( l - P(B))(l - P(C)) b = (1 - a)(l - P(B))( 1 - P(C)). e = 1 - P(A n B n C) = 1 - P(A)P(B)P(C) = 1 - aP(B)P(C). De estas relaciones tenemos X

b

y

P(C) X - P( C) = 1 - P( C) x+b P(B) =

Entonces

(

(1 - e)(x - b) ax

)

( l - c)(x + b) _x_ ax x+b ax(x + b) = (1 - a)ax - (1 - a)(l - e)(x + b) ax2 + abx = (1 - a)ax - (1 - a)(l - c)x - ( 1 - a)(l - e)b ax2 + ab - ( 1 - a)(a + e - 1 )x + ( 1 - a)( 1 - e)b = O. x = (l - a) l -

x es la probabilidad, entonces las raíces deben ser positivas, lo que significa /!;. > O, esto es,

-­

2 ( 1 - a)(a + e - 1 ) - ab > O, a - l + e > ab e > (1 - a) + ab l -a l - a'

RESPUESTAS 1 33 4. 165.

Tenemos l

= P[(Ac n Be n C) U (Ae n Be n e)'] = P(Ac n Be n C) + P(A U B U Ce) = P(A' n Be n C) + P(A) + P(B) + P(Cc) - P(A n B) - P(A n Ce) - P(B n Ce) + P(A n B n e< ).

Pero A n B n ce = (A n B n ce) U (A n B n C) = A n B. Esto implica que

P(Ac n Be n C) = l - 2x - ( 1 - x) + x2 + 2x(1

-

x) - x2

=

x ·- 2x2 2: O,

esto es x :S 1/2. Por otra parte,

A U B U C = A U (B n Ae) u (C n Ae n E) e O y y

P(A) + P(B n Ac) + P(C n Ac n B< ) = a :S 1, de ambas resulta

P(Ac n Be n C) = a - X - x( 1 - x). Entonces x cumple la ecuación x - 2x2 = a - 2x + x2 • Las raíces son x 1,2 = 3 ±� Para a = 3/4 tenemos x = 1/2 el valor máximo para x.

Capítulo

5

Probabilidad total y teorema de Bayes

Si B; n B1 = 0, i =1- j(i, j = 1, . . , n) y A la fórmula de probabilidad total es

e

.

P(A ) = P(A 1 B¡ )(B ¡ ) +

·

·

·

(B 1 U B2 U . . . U Bn)

=

!1,

entonces

+ P(A 1 Bn)P(Bn)·

La probabilidad de P(B; 1 A) se calcula mediante la fórmula del teorema de Bayes: P(A 1 B;)P(B;) P(B . 1 A ) + P(A 1 Bn)P(Bn) , - P(A 1 B; )P(B;) + _

· ·

·

Considér�nse dos urnas, una con tres pelotas de color rojo y siete de color blanco, la otra con seis pelotas de coior rojo y seis de color blanco. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo? _,.5.2. La urna I contiene una bola de color blanco y tres de color negro. La urna II contiene tres bolas de color blanco y dos de color negro. Se elige una urna aleatoriamente y se extrae una bola de ella. En el supuesto de que la bola extraída es de color negro, ¿cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la I? Fernando López conoce a una nueva chica en la mitad de las fiestas a las que asiste. Tres cuartas partes de las veces en que conoce a una nueva joven, se divierte, pero la probabilidad de que se divierta cuando no conoce una nueva chica es solamente de 0.10. Fernando López acaba de decir que se está divirtiendo, ¿cuál es la probabilidad de que haya conocido una nueva joven? 5.4. Una caja contiene cinco canicas de color blanco y dos de color negro. Una segunda caja contiene tres canicas de color blanco y cinco de color

_

1 35

1 36

5.5.

5.6.

5.7.

. �9. /

5.11.

CAP. S. PROBABILIDAD TOTAL negro. Si se selecciona al azar una de estas cajas y se extrae una canica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco? Se tienen dos monedas, ambas cargadas; la primera tiene probabilidad 0.3 de "caer cara"; la segunda, 0.6. Un jugador elige al azar una de las monedas y la lanza dos veces obteniendo dos caras. ¿cuál es la probabilidad de que obtenga una tercera cara? Una urna contiene dos bolas de color rojo, dos de color blanco y dos de color azul. Se seleccionan al azar y sin remplazo dos bolas de la urna. Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea de color rojo. Una bolsa contiene cuatro pelotas de color blanco y tres de color negro: una segunda bolsa contiene tres de color blanco y cinco de color negro. Se saca una pelota aleatoriamente de la segunda bolsa y se coloca, sin verla, en la primera. ¿cuál es la probabilidad de que una de las pelotas extraída en estas condiciones de la primera bolsa sea de color blanco? A una rata se le permite seleccionar al azar uno de cinco laberintos diferentes. Si las . probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en tres minutos son de 0.6, 0.3, 0.2, 0. 1 y 0.1, respectivamente, y la rata escapa en tres minutos: a) ¿cuál es la probabilidad de que haya escogido el primer laberinto? b) ¿cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo? Se tienen cinco cajas que contienen cada una 100 focos para cámara fotográfica. Dos de las cajas tienen 10 focos defectuosos cada una; dos de ellas tienen cinco focos defectuosos cada una, y una tiene dos focos defectuosos. Si se selecciona al azar una de estas cajas y de ella se toma un foco, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa }a respuesta a · ¡a pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de 0.2. Suponga además que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es de 0.25. Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta? Una urna contiene dos bolas de color blanco y cuatro de color negro; otra urna, tres de color blanco y una de color negro. Dos bolas pasan de la primera urna a la segunda. Hallar la probabilidad de que la bola extraída de la segunda urna, después de pasar a ella dos bolas de la primera, sea de color blanco. Un bolso contiene dos monedas de plata y cuatro de cobre, y otro contiene cuatro de plata y tres de cobre. Si se elige al azar una moneda de uno de los bolsos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata?

TEOREMA DE BAYES 1 37 5.13. Considérense tres urnas. Cada una de las dos primeras tienen tres

pelotas de color rojo y siete de color verde, pero la tercera tiene cuatro pelotas de color rojo y cuatro de color verde. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo?

5. 14. La urna 1 contiene dos bolas de color rojo y cuatro de color azul; la urna 2 contiene 10 bolas de color rojo y dos de color azul. Si se elige al azar una urna y se saca una bola de ésta:

a) ¿cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada sea de color azul? b) ¿De que sea de color rojo?

5.15. Se tienen dos urnas. La primera contiene cinco bolas de color blanco,

.5 . 16.

� )Y. t'f.

5.18.

5.19.

1 1 de color negro y ocho de color verde. La segunda 10 bolas de color blanco, ocho de color negro y seis de color verde. De cada urna seleccionamos una bola; ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color? Un estudiante presenta un examen de selecciól} múltiple en el cual cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de las cuales una es correcta. Suponga que el estudiante conoce la respuesta de 70 % de las preguntas. a) ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante, sobre una pregunta dada, conteste la respuesta correcta? b) Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que conozca la respuesta? Se supone que una cierta máquina detecta el cáncer con probabilidad de 0.8, entre gente que padece de cáncer, y no detecta el 20 % restante. Si una persona no padece cáncer. la prueba indicará este hecho 90 % de las veces e indicará que tiene cáncer 10 % de ellas. Supondremos que 5 % de las personas de la población de prueba padecen cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar, indica que tiene cáncer. ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad? Una urna contiene dos bolas de color negro y cinco de color café. Se selecciona una bola al azar. Si la bola es de color café, se devuelve a la urna y se agregan otras dos bolas de color café. Si la bola es de color negro, entonces no se remplaza en la urna, y tampoco se agregan bolas adicionales. Se saca de la urna una segunda bola. ¿cuál es la probabilidad de que sea de color café? Se tienen tres urnas idénticas cada una con dos cajones. La primera urna contiene una moneda de oro en cada cajón; la segunda, una de oro en el primero y una de plata en el segundo, y la tercera, una de plata en cada cajón. Se elige una urna al azar y luego uno de sus caj o ne s en ,

1 38

CAP. 5. PROBABILIDAD TOTAL

el que se encuentra una moneda de oro. ¿cuál es la probabilidad de que el otro cajón contenga una moneda de plata? , 5.20. En tres urnas se colocan canicas de color rojo, de color blanco y de color azul, distribuidas como se indican en la siguiente tabla: Urna ! Urna 2 Urna 3

Rojas Blancas Azules 3 5 2 1 8 1 3 1 6

Si se selecciona una urna al azar y se saca una canica, también al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la urna haya sido la número tres, si la canica es de color rojo? En una fábrica hay dos máquinas, A y B, que realizan 60 y 40 % de la producción total, respectivamente. De su producción, la máquina A produce 3 % de material defectuoso, y la B, 5 %. Encontrar la probabilidad de que dado un material defectuoso, provenga de la máquina B. .-22. Supongamos que 5 % de todos los hombres y 0.25 % de todas las mujeres !i r son daltonianos. Una persona elegida al azar resulta ser daltoniana. ¿cuál es la probabilidad de que esta persona sea un hombre? (Se considera que la cantidad de hombres y mujeres es igual.) La caja 1 contiene cuatro focos defectuosos y 16 focos en buen estado. La caja 2 contiene un foco defectuoso y uno en buen estado. Se tira un dado no cargado una sola vez. Si sale un uno o un dos, entonces se saca al azar un foco de la caja 1; de lo contrario, se selecciona un foco de la caja 2. ¿cuál es la probabilidad de que el foco seleccionado sea defectuoso? Se supone que 0.95 es la probabilidad de que un jurado seleccionado para juzgar un caso criminal emita el veredicto .adecuado. Esto significa que si se presenta ajuicio un individuo culpable, la probabilidad de que el jurado lo condene es de 0.95; además, recíprocamente, si el individuo juzgado es inocente, la probabilidad de que el jurado lo absuelva es de 0.95. Se supone también que el cuerpo de la policía local realiza su labor a conciencia, de manera que 99 % de las personas que se presentan en la corte para ser juzgadas son verdaderamente culpables. Se pide calcular la probabilidad de que el acusado sea inocente, si el jurado lo encuentra inocente. 5.25. Suponer que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diag­ nóstico del SIDA que tiene 95 % de exactitud, tanto en los que pade­ cen SIDA como entre los que no lo padecen. Si 0.005 de la población realmente tiene SIDA, calcular la probabilidad de que determinado in­ dividuo tenga SIDA si la prueba indica que lo tiene.

TEOREMA DE BAYES 1 39 ji.-26: Dos proveedores, A y B, entregan la misma pieza a un fabricante, el

3�21":

5.28.

5.-- 2 9.

5.31.

5,...� 2 .

mismo que guarda todas las existencias de esta pieza en un mismo lugar: los antecedentes demuestran que 5 % de las piezas entregadas por A estaban defectuosas, y que 9 % de las piezas entregadas por B también lo estaban. Además, A entrega cuatro veces más piezas que B. Si se saca al azar una pieza y se encuentra que no está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A? Un sospechoso es juzgado en el tribunal y la probabilidad de que se le encuentre culpable es de 0.8, siempre. que cierto testigo no sea llamado a declarar por el fiscal. La probabilidad de que el testigo sea llamado a declarar es de 0.1 y la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable si se llama al testigo a declarar es de 0.9. a) ¿cuál es la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable? b) Si al sospechoso se le encuentra culpable, ¿cuál es la probabilidad de que el testigo no haya sido llamado a declarar? De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, 40 % pro­ viene de la línea I y 60 % de la línea II. El porcentaje de artículos defec­ tuosos de la línea I es 8 %, mientras que el porcentaje de defectuosos de la línea II es 10 %. Si se elige un artículo al azar de la producción diaria; calcule la probabilidad de que no sea defectuoso. Una agencia de publicidad se da cuenta de que casi uno de cada 50 compradores potenciales de un producto ve cierto anuncio en una revista y uno de cada cinco ve un anuncio correspondiente en la televisión; uno de cada tres compra realmente el producto si vio el anuncio, y de cada 10 que no han visto el anuncio, uno lo compra. ¿cuál es la probabilidad de que un comprador potencial selecionado al azar compre el producto? Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una ma­ nera diferente en ciertas circunstancias: 70 % de las mujeres reaccionan positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente de 40 %. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas -15 mujeres y 5 hombres- y se les pidió llenar un cuestio­ nario para descubrir sus reacciones. Una respuesta elegida al azar de las 20 resultó negativa. ¿cuál es la probabilidad de que haya contestado un hombre? Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección completa; 10 % de todos los artículos producidos son defectuosos; 60 % de todos los artículos defectuosos y 20 % de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. ¿cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que pasó por una inspección completa? De acuerdo con los registros de una gran compañía de seguros, 20 % de las personas que preguntan acerca de las pólizas de seg u ro ele v ida

1 40 CAP. S. PROBABILIDAD TOTAL terminan comprando una póliza y 80 % no. Además, 30 % de las personas que preguntan y compran seguros de vida tienen un ingreso anual entre $ 15 000 y $ 30 000, mientras que solamente 20 % de aquellos que preguntan pero no compran tienen el mismo nivel de ingreso. Una persona que pregunta por el seguro de vida tiene un ingreso anual de $ 20 000. a) ¿cuál es la probabilidad de que compre una póliza de seguro de vida? b) ¿cuál es la probabilidad de que una persona que pregunta y tiene un ingreso de $ 50000 adquiera una póliza de seguro de vida? _§.. 3'�En cierta población de votantes 40 % son conservadores y 60 % liberales. Se reporta que 30 % de los conservadores y 70 % de los liberales están a favor de cierta elección. Se elige una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha elección. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona sea un liberal. Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, designadas éstas como 1 , 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos. Se sabe también que 2 % de los artículos producidos por las dos primeras es defectuoso mientras que 4 % de los manufacturados por la tercera es defectuoso. Se colocanjuntos todos los artículos producidos en una fila y se elige uno al azar. a) ¿cuál es la probabilidad de que este artículo sea defectuoso? b) Supongamos que del depósito se elige un artículo y que es defec­ tuoso. ¿cuál es la probabilidad de que se produjo en la primera fábrica? ·5 . Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos j> 3 electorales distintos se reparten como sigue: en el primer distrito, 2 1 %; en el segundo, 45 %, y en el tercero, 75 %. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea liberal? En las semifinales de un torneo de tenis, A jugará contra B y e contra D. Los ganadores se encontrarán en la final. La probabilidad de que A derrote a B es de 2/3; de que e derrote a D, de 5/6, de que A derrote a e (si juegan), de 1/4, y de que A derrote a D (si juegan), de 4/5. Encuéntrese la probabilidad de que A gane el torneo. Supóngase que en una población de 50 % de hombres y 50 % de mujeres, � . 37 . 4 % de los hombres son daltónicos y 1 % de las mujeres son daltónicas. Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea daltónica? 5t' . 3'S. En una escuela, 35 % de los alumnos son de primer grado; 25 %, de segundo; 20 %, del penúltimo grado, y 20 %, del último. Todos los de

TEOREMA DE BAYES 1 4 1 primer grado cursan matemáticas, pero sólo 50 % de los de segundo, 20 % de los del penúltimo y 1 O % de los del último grado. Si se elige al azar un alumno y éste cursa matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea de segundo grado?

&.39. Supóngase que 30 % de las botellas fabricadas en una planta son

defectuosas. Si una botella es defectuosa, la probabilidad de que un controlador la detecte y la saque de la cadena de producción es de 0.9. Si una botella no es defectuosa, la probabilidad de que el controlador piense que es defectuosa y la saque de la cadena de producción es de 0.2. a) Si una botella se saca de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? b) Si un cliente compra una botella que no ha sido sacada de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

5.40. Una clase de matemáticas avanzadas está formada por 10 estudiantes de

segundo año, 30 de cuarto año y 1 0 graduados. Tres estudiantes de segundo año, 10 de cuarto año y cinco graduados obtuvieron una calificación de A. Si se selecciona al azar un estudiante de esta clase y se encuentra que su califi O y b > O. Calcular la probabilidad de que: a ) X ocurra antes que Y, b) X y Y coincidan, e ) Y ocurra antes que X, dado que X y Y coincidan. Se elige al azar un punto en un cuadrado de lado 1, con O :::; x :::; 1 y O :::; y :::; l . Calcular la probabilidad de que: a) x � 1/2 dado que x + y � 1/3, b) x � y dado que xy � 4, e ) x :::; 1/2 dado que x = 1/2; En un segmento con longitud l se escogió un punto al azar que divide este segmento en dos partes. Calcular la probabilidad de que con estos dos segmentos y con un segmento de longitud l/2 se pueda construir un triángulo. En un segmento con longitud unitaria se seleccionaron dos puntos al azar, X y Y Calcular la probabilidad de que · l a distancia entre estos dos puntos sea mayor que x, con O < x < l. En el plano se trazan dos familias de rectas paralelas distintas, las cuales dividen este plano en rectángulos con lados a y b con a :::; b. Si se lanza al azar una moneda con diámetro 2r :::; a. Calcular la probabilidad de que no intercepte ninguna de estas dos rectas. En un plano, se trazó un haz infinito de rectas paralelas con una distancia alterna entre las rectas de 3 y 16 cm. ¿cuál es la probabilidad de que un disco circular con radio de 5 cm lanzado al azar sobre el plano no c'orte ninguna de las rectas? En el interior de un hexágono regular con lado a se escogió un punto al azar. ¿cuál es la probabilidad de que la distancia de este punto al centro del hexágono no sea mayor que x, donde O < x < a'(!?

1 54 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA 6.2 1. Un evento A puede ocurrir con igual probabilidad en cada momento del intervalo de tiempo [0, T]. La probabilidad de que A ocurra en este intervalo es igual a p. Se sabe que A no ocurrió hasta el tiempo t con O < t < T. Calcular la probabilidad que el evento A ocurra en el intervalo [t, T]. 6.22. Un alambre de cobre con longitud de 20 cm se dobló en un punto de manera aleatoria. La parte mayor se volvió a doblar .en dos puntos de manera tal que se pudo construir un rectángulo. Calcular la probabili­ dad de que el área de este rectángulo no exceda de 2 1 cm2 • 6.23. En el segmento AB de tamaño 1 se colocaron al azar dos puntos L y M. Calcular la probabilidad de que L está más cerca de M que de A. 6.24. Sean a y b la longitud de dos lados de un triángulo. El tercer lado es un segmento con longitud de un número elegido al azar en el intervalo (a - b, a + b) con a > b. ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo sea acutángulo? 6.25. Se colocaron aleatoriamente tres puntos en un círculo. ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo que se forma sea acutángulo? 6.26. Sean C(O, R) y C1 (0, R¡ ) dos circunferencias concéntricas con R 1 < R. Se selecciona al azar una recta que corta la circunferencia C. Calcular la probabilidad de que la recta corte también la circunferencia C1 . 6.27. En una circunferencia se inscribió un cuadrado. Calcular la probabili­ dad de que: a) un punto que se lanzó al azar sobre la circunferencia se encuentre dentro del cuadrado b) de cinco puntos lanzados sobre la circunferencia, uno caiga dentro del cuadrado y los cuatro restantes en cada una (indistintamente) de las regiones formadas por los cuatro arcos y lados del cuadrado. 6.28. Calcular la probabilidad de que las raíces de la ecuación cuadrática x2 + 2ax + b O sean reales si los coeficientes pueden tomar cada valor en el rectángulo -k :S: a :S: k, -l :S: b :S: l. =

6.29. En el interior de una circunferencia se seleccionaron al azar dos puntos: A y B . Calcular la probabilidad que la circunferencia con centro en A y radio AB esté dentro de la primera circunferencia. 6.30. En el interior de una esfera se eligen al azar dos puntos: A y B. Calcular la probabilidad que la esfera con centro en A y radio AB esté dentro de la primera esfera. 6.3 1. Se escogieron al azar tres puntos sobre una circunferencia. Calcular la probabilidad de que los tres puntos pertenezcan a un arco de longitud a radianes.

RESPUESTAS 1 55

Resp uestas 6. 1 .

Espacio muestra! (en pulgadas)

!1 = {x : 69 :S x :S 74} A: el evento "al menos 6 pies de estatura" A = {x : 72 :::; x :::; 74} Entonces,

JL(!1) = 5 JL(A) = 2

y 6.2.

P(A) = 2/5.

Espacio muestra! fl

= {x : 0 :S X :::; 30}.

Se definen los eventos

A: el evento "Espera menos de 5 minutos" B: el evento "Espera menos de 10 minutos" C: el evento "Puede tomar el expreso". Entonces,

y Por tanto 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

2/3 1 - 7Tj4; 1 1/36

a)

A = {x : O :::; x < 10 o 12 :::; x < 17 o 25 :::; x < 30} B = {x : O :::; x < 17 o 20 :::; x < 30} C = {x : 5 :S X < 10 O 17 :S X < 30} JL(!1) = 30 ¡.t(A) = 20 ¡.t(B) = 27 ¡.t(C) = 18. P(A) = 2/3 P(B) = 9/10 P(C) = 3/5. b) 3/4;

e

)

2/3;

d) O

Construyamos una gráfica de ayuda. Según la identificación de los lados podemos representar el triángulo como: 3

1 56 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Sea P; = P(A¡), donde A¡ es el evento que la recta corte del lado i, entonces A 1 n A 2 = A3, A2 n A3 = A� y A3 n A ¡ = A2, y para que la probabilidad se cumpla:

P(A 1 n A2 ) = 1 - P3 P(A2 n A3) = 1 - P¡ P(A3 n A ¡ ) = 1 - h pero P(A 1 n A 2 n Ag) = P(A\ n A2 n Af¡) = O = 1 - P(A¡ U A2 U A3).

6. 7.

Si se aplica la propiedad aditiva a los tres conjuntos obetenemos: 1 - P1 - P2 P3 + ( l - P3) + (1 - P¡ ) + ( 1 - P2 ) = O, de donde resulta P¡ P2 + P3 = 2. Sea x la distancia del punto más cercano de la recta al punto medio M de la aguja de longitud 2l, como se muestra en la figura del ejercicio 6.7. Una condición necesaria y suficiente para que la aguja corte la recta es

+

x

:=:; l sen( a) con O ::; x ::; L y O ::; a ::; 7T,

entonces la probabilidad requerida es p

2z 1 = 7TL Jor l sen(a)da = 7TL .

6.8.

Con la misma idea del problema de Buffon, es fácil darse cuenta que la probabilidad de que la aguja corte el lado de longitud b es 2lj7Ta, y para el lado de longitud a se obtiene 2l/7Tb. La probabilidad de que no corte el rectángulo entonces es

6.9.

No se dice cómo se eligió la secante, por lo que el ejercicio se puede solucionar de distintas maneras.

M

b)

e

)

a) (Primera solución) Se elige una secante en una dirección, entonces su punto medio cae sobre el diámetro perpendicular MN (figura a). La longitud de la secante AB es mayor que el lado del triángulo inscrito en esta circunferencia si la distancia de OX es menor que R/2. Pero tenemos dos regiones PO =

RESPUESTAS 1 57 OQ = R/2, entonces los eventos favorables de X se encuentran en PQ por lo que la probabilidad buscada es p = R/(2R) = 1/2. b) (Segunda solución) Se toma la secante sobre el vértice A del triángulo (figura b). En este caso los resultados favorables caen sobre los arcos AC y BA, por lo que p = (1r60 + 7T60)/7T360 = 1/3. e) (Tercera solución) Se traza una secante al azar sobre la circunferencia; se marca el punto medio (figura e) y se considera su distancia hacia el centro de la circunferencia. La longitud de la secante excede el lado del triángulo si el punto medio cae sobre la circunferencia inscrita en el mismo. La probabilidad que la secante esté sobre la circunferencia inscrita es p = (1/4 x 1rR2 )j1TR2 = 1/4. Entonces la probabilidad buscada es 3/4. 6. 10.

Al elegir al azar dos puntos se obtienen las tres longitudes X, Y, Z. Estas tres longitudes se pueden considerar como las distancias de los lados a un punto M en el interior de un triángulo equilátero de altura 1 y lado � V3, como se ilustra en la figura a.

a

)

Para X, Y y Z se debe cumplir X 2 a, Y 2 a, Z 2 a , lo que significa que el área del triángulo sombreado representa los casos favorables del problema (figura b ).

b)

1 58

e) Ahora bien, si trazamos una perpendicular del punto Q al iado correspondiente (igual que en la figura e), esta distancia es a', entonces los otros lados del triángulo sombreado cumplen la relación: X - = cos 60 y

o

y = 2x x = a cot 60

y'3 y y = 2 -a 3

o

pero QP = y, por lo tanto el lado del triángulo buscado es

-3

v'3 (2 6a). 3 De esta manera el área del triángulo pequeño resulta ser [ '? (2 - 6a)r v'3 -2 v'3 - 2x - 2y = -2 v'3 - 2a v'3 - 4a 3

3

por l o que l a probabilidad buscada es:

!(2 - 6a)2 P(A) = 3 v'3

·

3

6. 1 1 .

4

v'3

3

=

=

-

·

1',

( 1 - 3af

Sea A el evento "la moneda no intercepte el perímetro". La probabilidad de que la moneda intercepte el perímetro es equivalente a calcular la probabilidad de que caiga en la región entre los dos triángulos que se ilustran en la figura. Los casos favorables a la probabilidad que buscamos son los que se encuentran en la región dentro del triángulo pequeño. Este tipo de problemas ya lo resolvimos en otras ocasiones. En este caso, la distancia a es igual a la proporción r/h, que, como máximo, puede alcanzar el valor 1/3, donde h = "f3 . La probabilidad 2 buscada es en consecuencia P(A) = 1 2r .

(-

¿)

RESPUESTAS 1 59 6. 1 2 .

Con la idea de ejercicios anteriores, las condiciones que deben cumplir los lados del triángulo caen en una región como la de la figura, donde M, N y P son puntos medios.

A

6.13.

6. 14.

"'------1:-B-+ X

El triángulo sombreado corresponde a los casos favorables, por lo que la probabilidad es p = 1/4. Si tomamos los tres puntos X, Y y Z, se pueden representar como un punto de un cubo M(x, y, z) en el espacio dentro de un cubo de lado AB. Si definimos las longitudes AX = x, AY = y y AZ = z, entonces se deben cumplir las siguientes desigualdades: X + y > Z, Z + y > X y Z + X > y las cuales son válidas sólo para un prisma triangular dentro del cubo. Si hiciéramos una proyección ortogonal sobre el plano XY, el resultado sería equivalente al del dibujo del problema anterior. La probabilidad buscada es entonces p = 1/4. Los eventos elementales que son los tiempos cuando ocurren X y Y se pueden representar como puntos M(tx, ty) en un cuadrado de lados O :S lx :S T y O :S ty :S T, como se ilustra en la figura a. T 1------,

t,

T

a)

b)

T 1----;----,

a o

B

e)

b

T

d)

1 60 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Sean los eventos: A = {X ocurre antes que Y} (figura b); B = {X y Y coinciden} (figura e); C = {A n B} (figura d); '

entonces, si se calculan las áreas de las regiones señaladas sobre el área del cuadrado, se cumple: a) p(A) = i; a+b a2+b2 b ) p(B ) = --;¡- 2-fT ; l p(A'nB) P(C) 2bT - b2 ' B ) - p(B) - l'(ll) C ) P (A - 2T(a+b)-a2 -b2 . a ) 1 8/34 b) 3/4 - (In 2)/2 = 0.4034 e) O Sea el evento A = {Con los tres segmentos escogidos se puede construir un triángulo}. Los tres segmentos sólo formarían un triángulo si se cumple las siguientes desigualdades para los tres lados: _

6. 15.

6. 16.

_

_

x + (l - x) > l/2 (l - x) + l/2 > x l/2 + X > [ - X. De resolver estas desigualdades obtenemos las condiciones x < 3l/4 y x > l/4, que significa gráficamente el área de un rectángulo dentro de un cuadrado de lado l, como se representa en la figura.

l/2

6. 1 7.

La probabilidad buscada es entonces P(A) = (l2 /2)/Z2 = 1/2. Sea A = {la distancia entre los puntos es mayor que x} Como estamos en un intervalo en que la distancia de los dos puntos seleccionados al azar es mayor que x, significa que se cumple la desigualdad y - x > x; de la cual obtenemos y > 2x. Si se representa el área sobre un cuadrado de lado 1 , como en la figura, el área de los casos favorables siempre está dada por un triángulo de base ( 1 - x) y altura y.

161

1-x

6. 18.

x2•

La probabilidad buscada es entonces P(A) = 2x Sea A = {La moneda no intercepta ninguno de los lados del rectángulo}. Si la moneda cae dentro de uno de los rectángulos, entonces la longitud máxima que puede cubrir será la de su diámetro. En la dirección de es - 2r, y en la r��b dirección de b es b- 2r; por lo que la probabilidad buscada es p(A) =

a a

(a-2 -2r) .

b

6. 19.

Sea el evento A "el disco no corta ninguna de las rectas" 3

6.20.

16

El disco circular lanzado no tiene probabilidad de no cortar las rectas sólo si cae entre dos rectas con distancia de 16 cm, como se ilustra en la figura. En caso de que caiga entre dos rectas de este tipo, siempre se cumplirá la igualdad 2 x 5+x+y = 16, donde x es la distancia a la recta de la izquierda, y y, la distancia a la recta de la derecha. Por lo tanto, se cumple siempre x + y = 6. La longitud total de dos rectas alternadas es de 19 cm. Entonces, 6/ 19 es la probabilidad buscada. El área total del hexágono es J.L

(!1)

=

6a24v'3 = 3a22v'3'

1 62

pero el área de los puntos que no son mayores que x están sobre una circunfe­ rencia de radio x (ver figura 6.20), por lo que p.(A) = Trx2 , entonces

P(A) = 6.21.

2Trx2 = 2Trx2 v'3 . 9a2 3a2y'3

Sean los eventos:

B = {A ocurre en el intervalo [0, t]} e = {A ocurre en el intervalo [t, T]}. Según estos eventos encontramos las siguientes probabilidades: P(B U e) = p y P(B)/P(e) = t/(T - t), lo que implica que P(B) = tp/T y P(e) = p(T - t)/T. La probabilidad de que A no ocurra en el intervalo [t, T] es entonces igual a P(ejBc) = P(e n Bc )/P(Bc) = P(e)j(l - tp/T) = (pT(T - t))/((T - tp)/T) = p(T - t)/(T - tp). 6.22.

Para que se cumpla la propiedad la longitud del lado del rectangulo debe satisfacer la desigualdad x(20;-2x) :::; 2 1 . Si se simplifica, se obtiene la desigualdad x2 + lOx + 2 1 2: O. Al integrar conveniente en los intervalos [0, 3] y [0, 5], la probabilidad requerida es p = 0.6.

6.23.

Si definimos las distancias x = ML y y = L, entonces L está más cerca de M que de A si se cumplen las desigualdades x < 1/2 y x < y. Al representar estas condiciones sobre un cuadrado de lado 1 se obtiene la probabilidad p = 1/4.

6.24.

La longitud del intervalo es igual a 2b. El máximo ángulo que pueden formar los lados con longitud a y b respectivamente para que el triángulo sea ocutángulo es de 90 grados, lo que implica que la longitud del tercer lado es Ja2 + b2. El mínimo ángulo se alcanza cuando el tercer lado mide Ja2 - b2. Bajo estas restricciones, la probabilidad buscada es p =

6.25.

6.26.

vd4b2-Ja2 - b2 b 2

•

Se pueden colocar dos puntos en la circunferencia y dos de ellos deben distar TT/2 sobre una circunferencia de radio l . El tercer punto puede colocarse entonces sólo en la región comprendida por la intersección de los diámetros definidos por el centro y los dos puntos anteriores. Esta región tiene también longitud a, la que a su vez puede tomar cualquier valor del intervalo (O, TT /2) y el triángulo sigue siendo ocutángulo. Bajo estas condiciones, la probabilidad buscada es 1/4.

a menor que

Sea O el conjunto de todas las rectas que interceptan a e y A el conjunto de todas . las rectas que interceptan a e¡ . Si se representan las rectas de O en coordenadas polares (cf>, p) según la siguiente figura,

1 63

se cumple para il y A , n = {(p, ) : o � � 21r, o �

� R} A = {(p, ) : O � � 27T, O � p � R¡ }.

Entonces la probabilidad buscada es igual a p = 6.27.

a)

P

_

-

2R2 _ _g_ 7rR'2 '" .

P

:��\ = � = !Jf.

b) El área que se forma entre cada uno de los arcos y el lado del cuadrado

6.28.

2

es igual a 11 (�-2) , por lo que se obtiene para todas las regiones: p =; 5! ( 1T4�2 f � · Si se observa l a solución del discriminante de la ecuación cuadrática sobre la región del rectángulo se obtienen las probabilidades p = 1 '{¡, para l � k2 y k2 1 p = 2 + 61, para l 2: k2 . Los puntos A y B se pueden representar por un punto (x, y, z, t) en un espacio de cuatro dimensiones, donde x, y son las coordenadas de A y z, t son las de B. Los puntos A y B están dentro de una circunferencia si y sólo si se cumple: -

6.29.

x2 + / � R2 / + t2 � R2.

El volumen de una figura con las restricciones anteriores está dado por:

JJJJ dxdy dz dt = 1r2R4. x2+l5.R2 z2+t2 '5R2

La propiedad de que la circunferencia con centro en A y radio AB esté contenida dentro de la primera circunferencia es equivalente a que B esté dentro de la primera circunferencia y la circunferencia con centro en A y radio AB sea tangente a la circunferencia mayor de la figura.

1 64

Esta condición la podemos escribir mediante coordenadas x, y, z, t , de la forma j(x - z)2 + (y - t ) 2 ::; R - Jx2 + y2 . Entonces, el volumen se puede calcular con

JJJJ dx dy dz dt = JJ 1r(R - �) dx dy = � 7T2�4 . D¡

6.30.

6.3 1 .

D2

Donde D 1 = {(x, y, z, t) : x2 l ::; R2, j(x - z)2 (y - t)2 ::; R - Jx2 + y2 } y + + D2 = {(x, y) : x2 + l :S R2}. Por lo que la probabilidad buscada es p = �· La probabilidad puede calcularse con la idea del ejercicio anterior, pero aquí hay que tomar las coordenadas en seis dimensiones. En este caso de la esfera, la probabilidad es p = to · Sea un punto F [�o, y tomemos x y y con (O :S x < 27T) y (O :S y < 27T) como el tamaño del arco de dos puntos elegidos al azar sobre la circunferencia respecto a F. Bajo estas condiciones, un arco de tamaño a radianes contiene los tres puntos sólo en los casos siguientes: l. x < a y y < a 2. x > 27T y > 27T - a 3. x - y > 27T a

y

-

Estas condiciones están representadas en la figura siguiente.

o

a

RESPUESTAS 1 65 l . Para a �

7T, estas cuatro condiciones se pueden representar como el área sombreada. Entonces, de la figura, la probabilidad es

2. Para 7T � a � � 7T, la probabilidad es

Advierta que si se traza el mismo cuadrado que en l. las áreas se interceptan, por lo que en este caso el dibujo no refleja las condiciones mencionadas. No obstante, podemos pensar de la misma manera que en 1, pero mediante el dibujo de tres cuadrados. 3. Para a 2:: �7T, p = 1

Capítulo 7 Variables aleatorias discretas

Una función estrictamente medible X ( w) definida sobre el espacio mues­ tra! n se denomina variable aleatoria o estocástica. a) Una variable aleatoria es discreta si toma valores con probabilidad mayor que cero a lo sumo en un conjunto numerable de puntos. Esto significa que existe una secuencia x 1 , x2, . con . .

P [X = X¡] = p; > o

y

P(X > P(X P(X :S P(X P(X > P(X :S Á=

Á� Á=

P(X :S P(X :S P(X :S

P(X

P(X

=

5) = 0. 1277

200 9.9. 9. 10. 9.11. 9.12. 9. 13. 9. 14. 9. 15. 9. 16. 9. 17. 9. 1 8. 9. 19. 9.20. 9.2 1 . 9.22. 9.23. 9.24. 9.25. 9.26. 9.27. 9.28. 9.29. 9.30. 9.3 1 . 9.32. 9.33. 9.34. 9.35. 9.36. 9.37. 9.38. 9.39. 9.40.

9.4 1 . 9.42.

Á = 3.2; P(X = 4) = 0. 178 0.007 a) 0.451 2 b) Á = 2.4; 0.4304 a) 5 b) 2 e) 1 hora d) 0.05 Á = 4; P(X :S 4) = 0.6288 a) JL = 40 b) u = 6 Á = 1.5; P(X :S 1 ) = 0.5578 Á = 1; P(X 3) = 1 - P(X :S 3) = 1 - 0.9810 = 0.019 a) $ 400 000 b) $ 474 341.65 a) 0.0183 b) 0.5665 e) 0.997 a) 0.9048 b) 0.0952 e ) 0.819 a) 0.8187 b) 0.5488 0.353 a) 0. 140 b) 0.042 e ) 0.997 a) 1 - e- 4 b) 1 a) 1 - e-8 b) 2 a) 0.00 1 b) 0.0000017 Á = 3; P(X = 3) = 0.224 Á = 9; P(X = 5) = 0.0607 Á = 6.25; P(X = 5) = 0. 1534 a) 0.082 b) 0.9179 e ) 0.2562 d) 0. 1336 b) 0. 1493 e) 0.224 a) 0.0497 d) 0.423 b) 0.2306 e) 0.2652 d) 0.404 a) 0. 1 002 Á = 1; P(X :S 0.03) = 0.981 Á = 4; P(X 5) = 1 - P(X :S 5) = 1 - 0.785 = 0.215 a) Á = 30; P(X :S 3) = e- 30 X [30° /0! + 30 1 /1! + 30 /2 ! + 303 /3!] = 4.66 x 10- 1 1 b) P(X � 5) = 1 - P(X :S 4) = 0.999999996 Á = 2.5; P(X :S 2) = 0.543 a) Á = l. 25; P(X � 1) = 1 - P(X = O) = 1 - 0.2865 = O. 7135 b) Á = n/40; P(X :S 2) = 0.9; n = 160 Á = 0.000 1 x 10 000 = 1 a) P(X = O) = 0.3679 b) P(X � 2) 1 - P(X :S 1 ) = 0.2642 Á = 0. 1 ; P(X � 2) = 1 - P(X :S 1 ) = 1 - 0.9953 = 0.00467 Á = 1; a) 0.368; b) 0.264 a) Á = .8; P(X = O) = 0.0003 b) Á = 2; P(X = O) = 0. 135 e) (0. 1 35)4 = 0.0003 a) Á = 1; P(X � 1) = 1 - P(X = O ) = 0.632 b) (0.632)3 = 0.2524 a) 6 b) u = 2.4495 e) Á = 0.5; P(X = O) = 0.607

>

e-12

>

2

20 1 9.43.

a) A = 0.5; P(X = O) = 0.607 1) = 0.303 e) P(X 2: 2) = 1 - P(X S 1) = 0.09 A = 0.004; P(X = O) = e- 0 004 = 0.996 a ) P(X = O) = e-3 = 0.0497 b) P(X = 3) = 0.224 e) P(X = 1) = 0. 1493 x 1000 = 149 b) A = 5/6; 0.7979 a ) A = 6/5; 0.7135 a) A = 5/3; 0.8111 b) 0.8111 a) A = 3; 0.1008 b) A = 3; 0.4232 a) A = 2; 0.1429 b) A = 2; 0.1353 b) 0.4015 a ) 0.1512 b) A = 5; 0.0067 a ) A = 5; 0.3840

b) P(X =

9.44. 9.45.

9.46. 9.47. 9.48. 9.49. 9.50. 9.5 1 . 9.52.

9.53.

9.54. 9.55. 9.56. 9.57.

9.58.

a ) A = 2.4; 0.988 b) P(X = 2) =

G}o.988)2(0.012) = 0.035 a ) A = 5; 0.3840 b) P(X = 3) = (:}0.384)3(0.616) = 0.1395 e) 0.0553 = (0.616)4(0.384) E(X) = V(X) = 10 A = 4; P(X s 4) = 0. 6 288 a ) A = 7.5; P(X S 5) = 0.1321 b) 0.3376 k P(X = k) = (\�) e - 1 5 k = 1, 2, . . . , 50 9 k P(X < 10) = P(X S 9) = e-25 L � = 0.0002215 para

k=O

9.59.

e) A = 5/12; 0.2746

P(X 2: 9) = 1 - P(X ·s

23 - 4 4 = 0.5272 23) = 1 - L e 2k�

k=O

k

Capítulo

10

Distribución hi pergeométrica •

Sea X una variable aleatoria discreta que representa el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de ¡q resultados posibles, de los cuales k son considerados como éxito y N - k como fracasos, entonces X tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica y su función de proba­ bilidad está dada por: p(x) = h(x; N, n, k) = con

E(X) =

nk N

(:) (��Z) , (�)

y V(X) =

x = O, 1, 2, . . . , n

( !:._) .

N-n n .!:._ 1 N-1 N N ·

·

El número de éxitos en un experimento hipergeométrico es una variable aleatoria hipergeométrica. 10. 1 . Un anup.,cio contiene fotografías de 10 piezas de joyería. Ocho son piezas baratas y dos son gemas muy costosas. Si no pueden distinguirse las piezas de fantasías de las gemas, ¿cuál es la probabilidad de elegir. dos piezas del total de 1 0 y descubrir que ambas son gemas? ¿cuál es la probabilidad de elegir al menos una gemaP 10.2. Un motor de automóvil de ocho cilindros tiene dos bujías que fallan. Si se quitan las cuatro bttiías de un lado del motor, ¿cuál es la probabilidad de que entre éstas estén las dos que fallan? 10.3. En una jaula hay 1 0 roedores recién nacidos: cinco machos y cinco hembras. Si se eligen cinco al azar, ¿cuál es la probabiliOad de que se tenga al menos uno de cada sexo?

202

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 203 10.4, Hay siete hombres y tres mujeres en una clase. Cada estudiante tiene la misma probabilidad que los demás de estar ausente. Dado que usted sabe que hay dos alumnos ausentes, ¿cuál es la probabilidad de que sean un hombre y una mujer? 10.5. Suponga que tres pilas secas defectuosas están mezcladas con siete sin defectos y que usted las prueba de una en una. ¿cuál es la probabilidad de que en la sexta prueba encuentre la última pila defectuosa? 10.6. Luego de usarlas, se regresan unas máquinas fotocopiadoras al pro­ veedor para que las limpie y devuelva según el convenio de arrenda­ miento. No se llevan a cabo las reparaciones principales y, como re­ sultado, algunos clientes reciben máquinas en mal estado. Entre ocho fotocopiadoras usadas que se suministrarán ahora, tres funcionan mal. Un cliente desea rentar de inmediato cuatro de estas máquinas. En con­ secuencia, se seleccionan rápidamente cuatro máquinas y se le mandan sin verificarlas. Calcular la probabilidad de que el cliente: a ) no reciba ninguna de las máquinas que funcionan mal, b) reciba por lo menos una de las máquinas que funcionan mal, e) reciba tres máquinas que funcionan mal. 10.7. Un supervisor tiene 1 0 empleados de los cuales debe seleccionar a cuatro para llevar a cabo cierto trabajo desagradable. Entre los 1 O em­ pleados, tres pertenecen a un grupo étnico minoritario. El supervisor seleccionó a esos tres empleados (y a otro más) para dicha tarea. El grupo minoritario protestó contra el supervisor ante el representante sindical alegando discriminación. El supervisor dijo que la selección fue completamente al azar, ¿qué piensa el lector? 10.8. Una empresa tjene un conjunto de seis compañías a las que compra determinadas refacciones; cuatro de esas compañías son locales. Si se seleccionan al azar tres compañías, sin remplazo, calcular la probabili­ dad de que: a) por lo menos una de las compañías seleccionadas sea local, b) · las tres compañías sean locales. 10.9. En un almacén hay 10 impresoras, cuatro de las cuales son defectuosas. Una compañía selecciona al azar cinco de ellas para comprarlas. ¿cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas seleccionadas no tengan defectos? 10. 10. Unas especificaciones piden que un tipo de termistor soporte entre 9 y 1 0 mil ohm a 25 'C. De 10 termistores disponibles, se seleccionarán tres para usarlos. Sea X el número entre los tres que no se apegue a las especificaciones. Calcular la distribución de probabilidad de X, en forma tabular, si: a ) entre los 1 O ha}(._.dos que no se apegan a las especificaciones, b) entre los 10 hay cuatro que no se apegan a las especificaciones.

204 CAP.

1 O.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

10. 1 1. De una urna que contiene cuatro bolas de color blanco y tres de color rojo, se seleccionan dos bolas al azar, sin remplazadas. Calcular la probabilidad de que: a) se seleccione una sola bola de color blanco, b) se seleccione por lo menos una bola de color blanco, e) se seleccionen dos bolas de color blanco dado que por lo menos se seleccionará una bola de color blanco, d) la segunda bola que se tome sea de color blanco. 10.12. Si se sacan al azar cuatro pelotas de una bolsa que contiene cinco pelotas de color rojo y tres de color negro, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) una pelota de color negro y tres de color rojo? b) dos pelotas de cada color? e ) al menos una pelota de color negro? 10. 13. Muchas veces se estima el tamaño de las poblaciones de animales mediante el método de captura-marcaje-recaptura. Bajo este método se capturan k animales, se les marca y se les suelta en la población. Tiempo después se capturan n animales, se .anota X, el número de animales marcados entre los n. Las probabilidades asociadas a X son una función de N, el número de animales en la población y el valor observado de X contiene información sobre el valor desconocido de N. Supóngase que k = cuatro animales son marcados y después soltados. Se toma una muestra al azar de n = 3 animales de la misma población. Encuentre P(X = 1 ) como una función de N. ¿cuál valor de N maximiza P(X = 1 )? 10. 14. Un problema importante que enfrentan los jefes de personal y otras personas encargadas de la selección de los mejores de un conjunto finito de elementos, se describe mediante la situación siguiente. Se seleccionan 10 p�rsonas para un trabajo de un grupo de 20 ingenieros con doctorado. ¿cuál es la probabilidad de que el grupo de los 10 ingenieros seleccionados incluya a los cinco mejores del grupo de 20? 10. 15. Se definen los requisitos del "peor de los casos" como objetivos de diseño de una marca de terminales de computadora. Una prueba preliminar rápida indica que cuatro de 10 terminales no pasan la prueba del "peor de los casos". Se seleccionan al azar cinco de las 10 para pruebas posteriores. Sea Y el número que no pasó la prueba preliminar entre las cinco terminales. Calcular a) P(Y � 1 ) b) P(Y � 3) e ) P(Y � 4) d) P(Y � 5) 10. 16. Suponga que un radiorreceptor contiene seis transistores, de los cua­ les dos son defectuosos. Se quitan y prueban tres transistores seleccio­ nados al azar. Sea X el número de transistores defectuosos encontrados, donde X = O, 1 o 2. Encuentre la distribución de probabilidad para X.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 205 10. 17. Se formó un jurado de seis personas de un grupo de 20 posibles miembros, de los cuales ocho eran negros y 1 2 eran blancos. El jurado se seleccionó aleatoriamente, pero sólo contenía a un miembro negro. ¿Tiene usted algún motivo para dudar de la aleatoriedad de selección? 10. 18. En un almacén se tienen 10 impresoras, de las cuales ·cuatro están defectuosas. Una compañía selecciona cinco de las máquinas al azar, bajo el supuesto de que todas funcionan bien. ¿cuál es la probabilidad de que en las cinco máquinas no haya ninguna de las defectuosas? 10. 19. Entre 100 artículos de un lote hay cinco defectuosos. Calcular la probabilidad de que entre 1 O artículos seleccionados al azar no haya más que un artículo defectuoso. 10.20. De un lote de 30 televisores, se selecciona una muestra de tres televi­ sores. Si en el lote hay cinco elementos defectuosos, ¿cuál es la proba­ bilidad de que: a) la muestra no contenga elementos defectuosos? b) los tres sean defectuosos? e) uno sea defectuoso y los otros dos no? 10.2 1. Un producto industrial determinado se embarca en lotes de 20. La prueba para determinar si un artículo es defectuoso es costosa y por lo tanto el productor saca una muestra de su producción en lugar de utilizar un plan de inspección al 100 %. Un proyecto de ll),Uestreo ' elaborado para minimizar el número de artículos defectuosos surtidos a los consumidores exige un muestreo de cinco artículos de cada lote y el rechazo del lote si se encuentra más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuósos, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado? 10.22. El señor López es responsable de la compra de cajas de vino para el restaurante Casa Blanca. De manera periódica elige una caja de prueba ( 12 botellas por caja) para determinar si el proceso de selfado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar cuatro botellas de la caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcular la probabilidad de que precisamente una de ellas aparezca en la muestra del señor López. 10.23. Un lote de 25 cinescopios para televisor a color se somete a un procedimiento de pruebas de aceptación. El procedimiento consiste en extraer cinco tubos al azar, sin remplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo, el lote se rechaza. Suponga que el lote contiene cuatro tubos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad exacta de que el lote se acepte? 10.24. Un distribuidor tiene 20 ratones hembras y 10 machos; selecciona cinco al azar para venderlos a un laboratorio. Determine la distribución de probabilidad del número de ratones hembra seleccionados.

1 .

206 CAP.

1 O.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

10.25. Entre 1 6 máquinas nuevas que se vendieron a un distribuidor, hay siete con defectos mínimos. Si el departamento de control de calidad selecciona al azar dos de estas máquinas para revisar si hay defectos, ¿cuál es la probabilidad de que: a) ninguna de las máquinas revisadas tenga defectos? b) una de las máquinas tenga defectos? e) ambas máquinas tengan defectos? 10.26. Si siete de 14 maletas contienen artículos de contrabando, determine la probabilidad de que exactamente cuatro de seis maletas seleccionadas al azar en la inspección de pasajeros contengan artículos de contra­ bando. 10.27. Un grupo de programas de cómputo disponibles para resolver un problema de programación lineal se clasificó del 1 al 1 6 (del mejor al peor). Una empresa de ingeniería selecciona dos de esos paquetes para comprarlos, sin consultar la clasificación. Sea X el número de paquetes que adquirió la firma clasificados como 3, 4, o 6. Indicar en forma tabular la distribución de probabilidades de X. 10.28. Un auditor comprueba la contabilidad de una empresa y toma como muestra tres cuentas de una lista de ocho cuentas por cobrar. Calcular la probabilidad de que el auditor revise por lo menos una cuenta vencida si hay -¡. a) dos de éstas entre las ocho, AL M e;¡; -.,¡ oS -;. b) cuatro de éstas entre las ocho, '/. e) siete de éstas entre las ocho. 10.29. En un mazo hay 10 cartas, de las cuales cinco son corazones. Se desea tomar cuatro cartas y se quiere determinar la probabilidad de que dos de las extraídas sean corazones. 10.30. Una bolsa contiene 10 focos, de los cuales ocho están en buen estado. Si se eligen al azar cinco focos: a) ¿cuál es la función de probabilidad para los focos que sirven? b) ¿cuál es la función de probabilidad para el número de focos que no sirven? 10.3 1. De una urna que contiene nueve canicas de color azul y tres de color negro se extraen ocho sin remplazo. Encontrar la probabilidad de obtener precisamente x canica de color azul. 10.32. Una caja contiene cinco canicas, de las cuales tres están dañadas. Se eligen dos canicas al azar sin remplazo. ¿cuál es la función de probabilidad para el número de canicas dañadas en la muestra? 10.33. De una baraja normal de 52 naipes, se sacan 13 al azar sin remplazo. a) ¿cuál es la función de probabilidad para el número de naipes rojos en la muestra?

5

RESPUESTAS 207 b) ¿cuál es la media y la variancia del número de naipes rojos? 10.34. Demostrar que para la distribución hipergeométrica la función de densidad P(k; N, A{ n) cumple la siguiente relación de recursividad:

M -k P(k + 1 ; N, M, n) = nk -+ 1k N - M - n + k + 1 P(k ; N, M, n) Si se sabe que P(2; 1 0, 4, 5) = 0.476, calcular P( 3; 10, 4, 5). 10.35. En un lote de N elementos, se investigan n de ellos al azar. El lote es aprobado si dentro de los elegidos para el control de calidad se descubren menos de m dañados. ¿Cuál es la probabilidad que se acepte el lote si contiene M elementos dañados?

Respuestas 10. 1 . 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10. 7. 10.8. 10.9. 10.10.

0.0222; 0.3777 3/14 0.996 0.4666 0.1468 a) 1/14 b) 13/14 e) 1/14 1/30; Bueno, tal vez n o se trata de una selección al azar. a ) 4/5 b) 1/5 1/42 q,)

X p(X)

o

7/1 5

7/15

b)

1 0. 1 1 . 10.12. 10. 13.

10. 1 4. 10. 15.

o 1 2 X 1/2 1/6 p(X) 3/10 a) 4/7 b) 6/7 e) 1/3 d) 4/7 a) 3/7 b) 3/7 e) 13/14 N = 1 1 o 12 P(x = 1). = m G�n �

(�) = 21 = 0.0162 p = (;)(��) 1292 a ) 4 1/42 b) 1 1/42 e) 1/42

()

d) O

2 1/15 3 1/30

208 10. 16. 10. 17. 10. 18.

P(X = O) = 0.2; P(X = 1) = 0.6; P(X = 2) = 0.2 0.1634; No 1/42

. . m m) + m e:) = o. 9231 (\o;)

lo 19

10.2 1.

b) 0.00246 e) 0.3694 Sea X el número de artículos defectuosos en la muestra. ?(rechazar lote) = 1 - P(O) - P(1 ) = 1 - 0.2817 - 0.4696 = 0.2487

10.22.

P(X = 1)

10.20.

1 0 23

. .

10.24.

a) 0.5665

=

(��2�D = 0.4848

2 P(x < 2) = G) ( D

-

(�)

+

m (�') m en = o 9838 (�) . e:) +

4 0.34

1

X p(X)

O 1/15

10.28.

a) 9/1 4 b) 13/14 e ) 1

10.29.

0.4762

1 0.30.

a) P(X = k) =

m(��;k)

b) P(X = k) = {!) (s�k)

. . P = C) (s�J Ci)

lo 31

10.33.

(�o)

1 8/15

k = 3, 4, 5 k = O, 1, 2

para x = 5, 6, 7, 8

a ) P(X = k) = (�6) (,;�k)

GD

k = 0' 1' 2, . . . , 13

b) E(X) = 13/2; V(X) = 169/68

2 6/15

5 0.1 1

209 10.34.

P(' + 1 '. N' M' n) = ( � ) (�)(,:-(,�>) k l

(N-M)! M! (M- k� ( N - M - n+k+ l)!(n-k - 1 )

(�)

M!(M-k) (N-M)!(n-k) (M- k)!k!(k+ l ) (N-M- n+k)!(N -M -n+k+J)(n-k)!

P(3;

10.3 5 .

� (�) (.��7) 1 8) =

=1

xp

( 1 - pr

p

=P -

1 1.32.

·

b) 0.0 1

0. 009

E(X) = E(p( 1 - p)" - 1 ) =

1 1.31.

·

= qa 00

1 1 .22.

·

1

o. 8)4 (0. 2)k -4

= o. 9958

+ P(X = 7)

= 0. 9666

( 1 - p)"

218 1 1 .33. 1 1 .34.

a)

0.081

b)

0.81

P(k + 1; r, ) = (r -k 1 ) p p = (k -r + k!1)!(r - 1) qp p = (k - kr 1) (k(k -- 1r)!)! qp, q = k -rk + 1 q (r -k 1 ) p q (k - kr + l)qP(k; r, p) P(7; 4, 1 /2) = (6/3) (1 /2) (5/32) 5/32 Es fácil observar que una variable aleatoria X con distribución de Pascal es igual donde las W; son independientes cada una tiene distribución geométrica._ Entonces: r

P

k-r+ l

r

k-r

+

¡1 .

1 1.35.

r

=

X

X

y

i= l

1

E(X) = L E(W;) = Lr p-1 pr � 1 - r(I - ) V(X) = � f;;( V(W;) = f;;( jJ2 p p2 p ( 15o -- 11) (0.3)5(0. 7)5 = 0.0514 (a)�=0.1638U Gr b)GY0.032= 0.0651 a) 0.1172 b) 1 / 16 a) 2 / 243 b) 16 / 81 a) (0.3)2 (0.7) 0. 0 630 b) 0.9730 1/ 12 a ) 0.128 60 b) 0. 0 3072 e) ¡.t = 15; r

_. ,

i= l

1 1 .36. 1 1 .37. 1 1 .38. 1 1 .39. l l .40. 1 1 .4 1 . 1 1 .42. 1 1 .43.

x

i= l

=

-,

=

=

a-2

k-r

=

k-r

Capítulo 1 2 Distribución multinomial

Sea una s�cuencia de n experimentos indépendientes donde cada uno de ellos puede tener k resultados con probabilidades constantes p¡, . pk con p 1 + · · · + pk l . Si X1 . . . Xk son las variables aleatorias que representan el número de ocurrencias de cada resultado, entonces se dic.,e que tienen una distribución multinomial y su función de probabilidad conjunta está dada por:

..

=

p(X¡ - x¡, . . . xk - xk ) _

____,

n!

_

-

X¡ 1

. • . .

Xk .1

x P 1 XJ · · · PkXk

.

-(

_

n

X¡X2 · · · Xk

)p

Xt

. . . PXk

para valores enteros no negativos de x; ( i 1 . k) que satisfacen x1 + · + xk n. Las variables aleatorias x1 . Xk tienen esperanzas y varianzas dadas por: =

.

E(X; )

=

.

np; y V(X)

=

.

·

·

=

np;(l - p;) para i = l . . . k,

pero esto no significa que sean independientes. 12. 1. Se saca una carta de un paquete de 52 previamente barajado, se registra el resultado y la carta se reemplaza. Si el experimento se repite cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos cartas de espadas y una de corazones? 12.2. En un tablero para dardos circular, se tiene un pequeño círculo que se llama centro y 20 áreas numeradas del 1 al 20. Cada una de estas áreas se divide a su vez en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dardo y que acierta en un número determinado, obtiene un marcador sencillo, doble o triple del número, según donde haya acertado. Si la probabilidad de que una persona atine en el centro es de 0.0 1 , de que sea doble es de 0.10, de que sea triple es de 0.05 y de que no atine es de 0.02, ¿cuál es la probabilidad de que en siete lanzamientos no atine ninguno al centro, no haga triples} haga un doble dos veces y no atine una vez al tablero?

219

220

CAP.

1 2.

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

12.3. De acuerdo con la teoría de la genética, cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca, en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que de ocho descendientes cinco sean rojos, dos negros y uno blanco. 12.4. Las probabilidades de que un delegado llegue por avión, autobús, automóvil o tren a cierta convención son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0. 1 , res­ pectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que entre nueve delegados seleccionados aleatoriamente, tres hayan llegado por avión, tres en · autobús, uno en automóvil y dos en tren? 12.5. Como puede verificarse fácilmente, las probabilidades de obtener 0, 1 o 2 lados A con un par de monedas balanceadas son de 1 /4, 1 /2 y 1 /4, respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de obtener dos lados A dos veces, una A y una B tres veces y dos B una vez en seis lanzamientos de un par de monedas legales? 12.6. Las probabilidades de que al conducir en cierta ciudad un modelo específico de automóvil importado se obtenga en promedio menos de 22 millas por galón, entre 22 y 25 millas por galón o más de 25 millas por galón son de 0.40, 0.40 y 0.20, respectivamente. Calcúlese la probabilidad de que entre 1 2 de tales automóviles probados, cuatro den en promedio menos de 22 millas por galón; seis, entre 22 y 25 millas por galón, y dos más. 25 millas por galón. 12.7. Las probabilidades de que una declaración de impuestos se llene correctamente, que contenga un error que favorezca al declarante, que lleve un error que favorezca al fisco o que contenga ambos tipos de errores son de 0.60, 0.20, 0 . 1 0 y 0.10, respectivamente. Calcule la probabilidad de que entre 10 de tales declaraciones de impuestos aleatoriamente elegidas para una auditoría, cinco estén correctas, tres contengan un error que favorezca al declarante, una lleve un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de errores. 12.8. Un supermercado suburbano vende los siguientes porcentajes de tres tipos de carne de res según la oficina de inspección de alimentos: 1 0 % de primera calidad, 60 % de carne selecta y 30 % de carne buena. ¿cuál es la probabilidad de que entre nueve clientes s

O

para las demás

x

Encuentre la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga una vida útil de: a) al menos días, b) cualquier duración entre y días. 13.7. La humedad relativa X, medida en cierto lugar, tiene una función de densidad de probabilidad dada por

200

80 120

j(x) = { e0�(1 -x)2 0 :::::: X 1 x e f(x) ::S

para las demás

Encontrar el valor de que hace de una función de densidad. 13.8. Suponga que la variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad dada por

x O x e f(x) f(x) = { e�O 0 para las demás

Encuentre el valor de que hace de una función de densidad. 13.9. Si la densidad de probabilidad de una variable aleatoria esta dada por para las demás

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 227 Encuentre el valor de e y la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor: a) entre 1 /4 y 3/4, b) mayor que 2/3. 13.10. Si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria esta dada por j(x)

{

=

x 0 O O x ::; O

Encuentre la función de densidad acumulativa y calcule P(X � 2). 13. 17. La producción de artículos en gran escala. siempre ocasiona una variación aleatoria, debida a influencias que son impredecibles e incontrolables. Así, en la producción de pernos, el di:ímetro X( cm) de los mismos se debe considerar como una variable aleatoria. Suponga que la distribución de X tiene densidad J(x) =

{

k(x - 0. 9)( 1. 1 - x) 0. 9 < x < 1. 1 0 para las demás x

Determinar k y encontrar J1, y u. 13. 18. Sea X con la función de densidad representada por J(x) =

{

cx2 + x Ü < x < 2 O para las demás x

a) Calcular c. b) Determinar F(x). e ) Calcular P(O < X < 0. 5). d) Calcular la media y la varianza de X. 13. 19. Considere la siguiente función de densidad de probabilidad: J(x) =

{

kx O 1 lxl :::; 1

Calcule E(X) y V(X). 13.44. El tiempo de espera, en horas, que tarda un radar en detectar dos con­ ductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria continua con una distribución acumulativa F(x) =

{

O 1

xO p�a las demás x

a) Desarrolle la función de densidad para Y b) Desarrolle la densidad V = VX e ) Desarrolle la densidad para W = lnX.

=

2X2 .

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 235 13.5 1. Suponga que X tiene la función de densidad de probabilidad J(x) =

{

e -x X > O O p;a las demás x

Encuentre la función de densidad de probabilidad Y = (l!x)' . 13.52. Una antena rotatoria de dos lados recibe señales. La posición de rotación (ángulo) de la antena se denota con la letra X y puede suponerse que esta posición al momento en que se recibe una señal es una variable aleatoria con la densidad que se indica adelante. En realidad, el sentido aleatorio está en la señal. J(x) =

{ Ó�

Ü � X � 27T para las demás x

Encuentre la función de densidad para Y = tan X. 13.53. Una función de densidad que a veces emplean los ingenieros como modelo de la duración de componentes electrónicos es la densidad de Rayleigh, dada por x>O para las demás x a) Si X tiene la función de densidad de Rayleigh, obtener la función de densidad de probabilidad para y = X2 b) Calcular E(X) y V(X) . 13.54. La velocidad de una mólecula en un gas uniforme en equilibrio es una variable aleatoria V cuya función de densidad está dada por J(v) =

{

av2 e - bv2 v > O para las demás v O

donde b m/(2kT); k, T y m representan la constante de Boltzmann, la temperatura absoluta y la masa de la molécula, respectivamente. 2 a ) Obtener la distribución W = mV j2, la energía cinética de la mo­ lécula. b) Calcular E(W). 13.55. Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en intervalo ( -7T/2, 7T/2). Calcular la función de densidad de la variable aleatoria Y = sen X. 13.56. Sea X una variable aleatoria con función de densidad f . Calcular la función de densidad de la variable aleatoria Y = aX + b, a =1 O. =

236

CAP. 1 3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

13.57. Calcular A y

13.58. 13.59. 13.60.

13.61.

13.62.

B

B

de modo que la función F(x) = A + are tanx, para sea a) función de densidad acumulativa de la variable aleatoria X. b) Calcular la función de densidad J(x). Calcular la función de densidad de distribución lognormal, que se define como la distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo sigue la distribución normal. Sea X una variable aleatoria con función de densidad J(x) > O para x E IR. Calcular la función de densidad para la variable aleatoria Y = X2 . Se sabe que las variables aleatorias X y Y son independientes y E( X) = -3, E(X4 ) = 100E(Y) = 4, E(X4 ) = 500, V(X) = 0.5, V(Y) = 2. Calcular la media y la varianza para las variables aleatorias a) U1 = 3X - 2Y b) u2 = X2 - Y2 Sean E(X) = 2, V(X) = 1, E(X4 ) = 34. Calcular la media y la varianza para las siguientes variables aleatorias a) U1 = 2X + 1 b) u2 = X2 e) U3 = -X2 + 2 La resistencia X (en kilogramos) de un hilo de yute en un lote de hilo tiene distribución con función de densidad xE

IR,

J(x) =

[

1 (x - 1 )2 exp 0.08 0.2 �

]

Calcular el valor medio de la resistencia del hilo.

13.63. La duración de cierto tipo de lámparas muestra una distribución de Rayleigh con la siguiente función de distribución acumulativa: F(x) =

{�-

exp

(i�o)

x>O para las demás x

Calcular: a) la función de densidad de la variable aleatoria y = X2 , b) E(Y). 13.64. La variable aleatoria R, que toma valores según la distancia entre el centro de un blanco y el punto de tiro, muestra una distribución de Rayleigh con función de densidad definida por r

>O para las demás r

RESPUESTAS 237 Calcular C.

Res p uestas 13. 1 . 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13. 1 1 . 13.12. 13. 13. 13. 14. 13.15.

13. 16.

13. 17. 13. 18.

a) Discreta

b) Continua e) Discreta d) Continua X > b; X :0:: b; X < e; X E (- oo, b) U (e, +oo); X E (-oo, b] U (e, +oo ) k = 1 /2 a) t = 2 b) t = 2.8284 a) 1 /2 b) 13/27 e) 2/27 a) 1 /9 b) 0. 1020 e = 60 e = 1/96 e=4 a) 0.3125 b) 0.8024 a ) 0.3 b) 0.5 a ) 0.707 b) 0. 1 339 0.091 6 50 % EX = 1 :x2 dx esta integral no converge

� ¡:

E(X - EX)2 = E[(X - e) + (e - EX) f = E[(X - el + 2(X - e)(e - EX) + (e - EX)2 ] = E(X - e)2 - 2(e - EX)E(e - X) + (e - EX)2 = E(X - e)2 - 2(e - EX? + (e - EX)2 = E(X - e)2 - (e - EXt En caso e = O tenemos V(X) = EX2 - (EX)2 EX = 2; P(X :0:: 2) = 3/e2 V(X)

=

h = 750; EX = 1; u = 0.0447 a ) e = -(8/3) O xSO

x3 + x2 0 < x < 2 8 2 X > 2 0 e) P(O < X < 0.5) = 0. 109375 d) E(X) = 1. 1 6, V(X) = 0.2388 a) k = 1 /4 b) F(x) =

13.19.

{

{

F(x) = 01 - e-x(l + x) x > O x :S O

- -

-

238 b) e

13.20.

)

a)

b)

e)

13.2 1 .

a)

e

a

) )

b)

e)

d) 13.24.

a)

b) e

)

d) 13.25.

=

e =

x-+oo

b) 13.23.

=

a) lím

b)

13.22.

= 2, a2 o 2/3 x:SO 0 0 P( lt l < 2) = 1 - e- 2

{

13.28.

A = 1 ; B = -lj7T; J(x) =

13.29.

a

13. 30.

F(x) =

)

e =

{o

{ 0P

lx l < 1 para las demás x

b) P(0.3 < X < 0.6) = 0.3004;

3/2

b) F(x) =

{ �Vx

xSO O 1

13.45.

xSO 1 e -"( 1 + x) x > O P(X � 2) = 3e- 2 a ) e = 1/2 O xSO b) F(x) = -� ( 1- cos x) O < x S 7T X > 7T 1 e ) 1/4 a = 2; P(- 1 S X S 1.5) = 2/3 b) 1/2 e) 1/2 a ) 1/4 a ) E(X) = 2/3; V(X) = 1/18 b) E(Y) = 73.333; V(Y) = 2222.222 a ) 0.0234 b) E(X) = f.L = 1/2; V(X) = CT2 = 1/20 k = 1/8; e = 2.54 xSO 2 x F(x) = - O < x 4 EX = 4/3; V(X) = 2/9 EX = 0.5; V(X) = 0.05 E(Y)4.65; V(Y) = 0. 012 a ) e = 105 b) 3/8 E(X) = 60; V(X) = 0.3333 E(X) = 7T E(X) y V(X) no existen 1 2 minutos = 1/5 de hora; 0.7981 (4/3)7T(0.25)3 = 0.0208

13.46.

a1

13.3 1 .

13.32. 13.33. 13.34. 13.35. 13.36.

13.37. 13.38. 13.39. 13.40.

�,

RESPUESTAS 239

13.4 1 . 13.42. 13.43. 13.44.

_

{

{o

)

240

a2 )

Ui

qi

ag)

1/3o 1/32 1/34

Ui

1/94

qi

a4 )

Ui

1/34 b) E( U¡) = 2 ; E(U2 ) = 2 ; E(U3) = 1; E(U4 ) = 1. 6 7 entonces, E(X+ Y) = E(2X), pero E(XY) E(2X) V(U¡ ) = 4/3; V(U2) = 8/3; V(U3) = 16/9; V(U4 ) = 20/9 E(U) = 0.4; V(U) = 36.84 . 10 a) F(p) = P(P :S p) = P (X :S p-2- ) = 1 � 18 dx = 1441 (p2 -20p +100) Ya, sabemos que F(p) = j(p), entonces 22 10 :S lasp :Sdemás J(x) = { 012 (P - 10) para p 22 b) E(P) = 1 P-12(P - 10)dp = 18 F(z) = P(Z :S z) = P(X2 :S z) = P(I X I :S = 2 J/' xe-x2 dx = 1 e-z j(z) = { eO-z zp;< aOlas demás z a) F(y) = P(2X2 :S y) = P ( -v¡ x :S v¡) = 1JI e -xdx = 1 - e - JI F'(y) = J(y) = O41 V(2y e- JI ypara> Olas demás y qi

13.47. 13.48.

13.49.

13.50.

#

e)

0

10

X

yÍz )

{

-

:S

z

F' (v) = j(v) = { O2ve-v2 vpara> Olas demas,

v

e) F(w) = P(ln X � w) = P(X � e'") =

13.5 1 .

y=

3

x= ( 1 + x)2 =>

{3 VY

e (e -

"-

e-•"

ru)

w>O

-1 => 1 3 {i

J(y) = 13.52.

{

F' (w) = f (w) =

1-

RESPUESTAS 24 1

{

O

para las demás w

dx = -2 dy Ji V 3

3 e 1 - v1Y 21 V/I 31

O

3

O y) = P(tan X > y) = P(X > are tan y) = � F (y) =

1- 1 1 1 1 7T 1 +

P(Y > y) = e¡ + -:;;. arc tan y; y 2: O 1T]) y E rn.

F (y) = j(y) = - y2 ; 1

13.53.

a)

fY { ( )=

are tan y

1

oe

O

_l o

27T 1

� ¡ dx +

are tan y+1T

27T1

dx

y>o para las demás y

¡=

2

Para calcular la media y la varianza podemos observar que

o

13.54.

xe

2

{ 1 -w/kt (-7T/2,7T) (3/2)(-k7TT/2,7T/2] (7T/2,7T) -7Tl/)2-1/2 -1 7T, 1/(12) 7T/2 -7T/2 1/(1 - l)-1/2

a ) j(w) =

------::-3 r

O

(�) (kt) 2

w l2 e

2

_¿dx = --j27i

w>O para las demás w

b) E(W) =

13.55.

1

= U y en estos dos intervalos la función y = - sen x es estrictamente monótona y podemos calcular la función inversa. 1 ) para < x < x = are sen y con < y < y derivada dx = < y < l. en para < x < 7T podemos observar que y = sen x toma los mismos valores que y = - sen x para < x < O. Entonces, x = are sen( -y) en O < y < y dx = con O < y < l .

-1

1

242 X

La función de densidad para la variable aleatoria es: J(x) = { t para 2). Si X está distribuida uniformemente en el intervalo ( 1, 4), obtener la función de densidad de Y = VX. La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en (0, 2) y la variable aleatoria Y tiene distribución exponencial con parámetro A. Encontrar el valor de A tal que P(X < 1) = P(Y < 1 ). Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en ( - 1, 3) y Y una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro A. Encontrar A tal que a� = ar La cantidad diaria en litros de café despachada por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria X, la que tiene una distribución uniforme continua con a = 7 y b = 10. Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de café despachada por esta máquina sea: a ) cuando mucho 8.8 litros, b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5, e) al menos 8.5 litros. Dado un cubo cuyo lado X se distribuye de manera uniforme en el intervalo ( 1, 2), calcular: a) la media del volumen y el área total del cubo, b) la distribución de probabilidad del volumen del cubo. Se fabrica una barra de un largo específico. En el supuesto de que el largo verdadero X (en centímetros) es una variable aleatoria distribuida uniformemente en ( 1 O, 1 2), si se fabrican 1 O barras de este tipo, calcular la probabilidad de obtener exactamente cinco barras de longitud menor que 10.5 cm y exactamente 2 de longitud mayor que 1 1 . 8 cm. Suponer que X está distribuida uniformemente en ( -a, a ) , donde a > O. Cada vez que sea posible, determinar a de modo que se satisfaga lo siguiente: a

246 a) P(X > 1 ) = 1/3 b) P(X > 1 ) = 1/2 e) P(X < 0.5) = 0. 7 d) P(X > 0.5) = 0.3 e) P( I X I < 1 ) = P( I X I > 1 ) 14.13. Si la variable aleatoria R está distribuida uniformemente en [0, 5] , ¿cuál es la probabilidad de que las raíces de la ecuación 4.x2 + 4Rx + R + 2 = O sean reales? 14.14. Una corriente eléctrica 1 fluctuante puede considerarse como una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo (9, 1 1 ). Si esta corriente pasa por una resistencia de 2 ohm, encontrar la función de densidad de la potencia P = 2/2 • 14. 15. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo ( -2, 8). Calcular la función de densidad de X y P(O < X < 7).

Resp uestas 14. 1 .

= 1/4; O < X< 4 0.3125 b) 0.28125 = 4/34, 143/4 < < 177/4 a) P(X < 40) = 0.5 b) P(40 < X < 42) = 0.2353 5 1.5) f) P( - 1.9 :::; Z :::; 2) g) P(Z :::; 1.37) h) P( JZJ :::; 2.57) 15.2. Determine el área situada bajo la curva normal estándar que se encuen­ tra: a) entre z = O y z = 0. 65, b) a la izquierda de z = 2. 74,

. 248

DISTRIBUCIÓN NORMAL 249

15.3.

15.4.

15.5.

15.6.

15.7.

e) a la derecha de z = - 1. 63, d) a la derecha de z = 1. 59, e ) a la izquierda de z = - l. 63. Encuéntrese el valor de z si la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor: a) menor que z es de 0.99 1 1 , b ) mayor que z es de 0.1093, e) mayor que z es de 0.6443, d) menor que z es de 0.02 1 7, e ) entre - z y z es de 0.9298. Si una variable aleatoria tiene una distribución normal estándar, cal­ cúlese las probabilidades de que tome un valor: a ) menor que 1. 50, b) menor que - l . 20, e) mayor que 2. 1 6, d) mayor que - l . 75. Determinar las probabilidades a ) P(X S 2. 44) e) P(X S 1.923) b) P(X S - 1.66) f) P(2 S X S 10) d) P(X :::: 1) e ) P(X :::: -2. 9) suponiendo que. X es normal con media 0.8 y variancia . . 4. . Sea X normal con media O y variancia l . Determinar la constante e tal que b) P(X S e) = 0. 05 . a ) P(X :::: e) = 0. 1 e) P(O S X S c) = 0.45 d) P(-e S X S e) = 0.99 Sea X normal con media 10 y variancia 4. Determinar e tal que P(X < e) = 5 % P(X > e) = l % P( 10 - e < X < 10 + e) = 50 %

15.8. Sea X normal con media 1 00 y varianza 36. Encontrar e) P(90 < X < 1 10) b) P(X < 105) a ) P(X > 1 1 0) 15.9. Seá X normal con media -2 y variancia 0.25. Determinar la constante e tal que: b) P( -e S X S - 1 ) = 0. 5 a ) P(X :::: e) = 0. 2 e) P( -2 - e :::; X :::; -2 + e) = O. 9 d) P( -2 - e :::; X :::; -2+ e) = 99. 6 % 15.10. Qué porcentaje de observaciones de una variable aleatoria se espera que se localice: a ) entre f:.L - a/4 y f:.L + u/4 b) entre f:.L - a/2 y f:.L + a/2 15. 1 1. Un fabricante de resistencias sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce es normal con media de 100 ohm y desviación estándar de 2 ohm.

250

15.12.

15.13.

·15.14.

CAP. 1 S .

DISTRIBUCIÓN NORMAL

a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrán valor entre 98 y 1 02 ohm? b) ¿Qué porcentaje entre 95 y 1 05 ohm? Las longitudes de las bananas tienen una media de ocho pulgadas y una desviación típica de 1 .44 pulgadas. Una muestra aleatoria de 36 bananas da una media, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 8.3 pulgadas? Supóngase que el contenido de azúcar por naranja se distribuye normalmente, con media 0.5 oz y desviación típica de 0.05 oz. ¿cuál es la probabilidad de que una naranja seleccionada aleatoriamente tenga un contenido de azúcar de entre 0.54 y 0.6 15 oz? Los tiempos de la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de inyección de tinta tienen aproximadamente una distri�ución norrrial X N( 1 500; 1.9 OOp). ¿Qué fracción de esas impresoras fallarán antes de mil horas? Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros: a ) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros? b) ¿Cuál es la probabilidad de ' que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? e ) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en los siguientes mil refrescos? d) ¿Debajo de qué valor se obtiene el refresco 25 % más pequeño? Supóngase que el contenido de azúcar por cada naranja se distribuye normalmente con media de 0.5 y desviación de 0.05. ¿cuál es la probabilidad de que una naranja seleccionada aleatoriamente tenga un contenido de azúcar entre 0.54 y 0.61 ? Las arandelas de metal maquinadas por una máquina automática tie­ nen un diámetro distribuido normalmente, con una media de 0.373 pulgada y una desviación estándar de 0.002 pulgada. Las especificacio­ nes exigen que los diámetros sean de 0.371 a 0.379 pulgada. Indicar el porcentaje de la producción que resulta defectuoso. Una operación de llenado de botellas con leche está diseñada para llenar botellas con 32 oz de leche con desviación de l . O oz. Considérese que la cantidad de llenado se distribuye normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que una botella seleccionada aleatoriamente contenga menos de 30 oz? El tiempo de servicio de cierta marca de' llantas de automóviles sigue una distribución normal con una media y una desviación estándar de 32 mil y mil kilómetros, respectivamente. Indicar el porcentaje de "'

15.15.

15. 16.

15. 17.

15.18.

15.19. 1

DISTRIBUCIÓN NORMAL 25 1

15.20.

15.21. 15.22.

15.23. 15.24.

15.25. 15.26. 15.27.

15.28.

15.29.

llantas vendidas que se requiere remplazar si esta marca de llantas es garantizada por 30 mil kilómetros. La altura de los alumnos de una escuela es una variable aleatoria normal con media de 1 .70 m y varianza de 0.0 1 . Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura esté entre 1 .64 y 1 .80 m? Supóngase que la temperatura t durante el mes de agosto está distri­ buida normalmente con media de 38 • C y varianza de nueve. Encuentre la probabilidad de que la temperatura sea mayor que 40 · c . Supóngase que los diámetros de los tornillos fabricados por una compañía están distribuidos normalmente con media de 0.6 cm y desviación estándar de 0.05 cm. Un tornillo se considera defectuoso si su diámetro es menor que 0.5 cm o mayor que 0.75 cm. Indique el porcentaje de tornillos defectuosos producidos por esa compañía. Supóngase que las alturas de 900 personas están distribuidas normal­ mente con media de 1 65 cm y desviación estándar de 12 cm. Indicar el número de personas cuya estatura: está entre 140 y 1 60 cm. Una empresa productora de harinas utiliza una manta para empacar sacos. El cupo de harina en tales sacos sigue una distribución normal con media y desviación estándar igual a 12.5 y 0.25 kilogramos, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que al seleccionar un saco aleatoriamente, tenga un contenido de 12.15 kilogramos o más. Si el tiempo (en segundos) que una bacteria resiste a determinado anti­ biótico se distribuye N( 1200; 120), ¿cuál es la proporción de bacterias que resisten más de mil segundos? Supongamos que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 5 y desviación estándar 2. Indicar la probabilidad de que X sea positiva. Los puntajes de una prueba de promoción de una academia militar tienen una distribución normal con una media de 70 y desviación estándar de 12. Se rechazará a 15 % de los que presenten esta prueba. Indicar el puntaje mínimo para no ser rechazado. Supóngase que los diámetros de los tornillos fabricados por una com­ pañía están distribuidos normalmente con media de 0.25 pulgada y desviación estándar de 0.02 pulgada. Un tornillo se considera defec­ tuoso si su diámetro es menor que 0.2 pulgada o mayor que 0.28 pul­ gada. Indique el porcentaje' de tornillos defectuosos producidos por esa compañía. El tiempo medio de vida d!=! ·cierto dispositivo electrónico tiene una distribución normal con media de 120 horas y desviación estándar de siete horas. Indicar la probabilidad de que el dispositivo siga funcionando después de 1 30 horas.

252 CAP. 15. DISTRIBUCIÓN NORMAL 15.30. Una serie de medidas se distribuye normalmente. ¿cuál es el porcentaje 15.3 1. 15.32. 15.33.

15.34.

15.35.

15.36. 15.37.

15.38. 15.39.

de tales medidas que difiere de la media en menos de la mitad de la desviación típica? La variable aleatoria X tiene una distribución normal N(3, 4). Calcular el valor e tal que P(X > e) = 2P(X ::; e). Supóngase que X tiene una distribución N(,u, a2 ). Determine e (como una función de JL y a) tal que P(X ::; e) = 2P(X > e). Si los diámetros de los cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 0.614 pulgada y desviación estándar de 0.0025 pulgada. Indique el porcentaje de diámetros entre 0.6 1 y 0.618 pulgada, inclu­ sive. Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 0.614 pulgada y desviación estándar de 0.0025 pulgada, indique el porcentaje de cojinetes con diámetro superior a 0.615 pulgada. Las puntuaciones de una práctica de laboratorio fueron de O, 1 , 2, . . . , 10. L a puntuación media fue de 6 . 7 con una desviación estándar de 1 .2, en el supuesto de que las puntuaciones siguen una distribución normal. Indique la puntuación máxima del 10 % de los estudiantes peor evaluados. Los pesos de 500 estudiantes están distribuidos normalmente con media de 68.5 kg y desviación estándar de 1 0 kg. Indicar el número de estudiantes que pesan entre 48.5 y 7 1 .5 kg. El diámetro interior de los cilindros producidos por una máquina sigue una distribución normal con media de 1 .275 cm y una desviación estándar de 0.0 125 cm . . El propósito para el cual se han diseñado esos cilindros permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1 .26 a 1 .29 cm; en caso contrario, los cilindros se consideran defectuosos. Indicar cual de las porciones siguientes contiene el porcentaje de cilindros defectuosos. Si las estaturas de 300 estudiantes están distribuidas normalmente con media de 1 . 7 m y desviación de 10 cm, indicar cuál de las opciones éontiene el número de estudiantes con una estatura superior a 1 .85 m. Una universidad espera recibir para el siguiente ciclo escolar 16 mil solicitudes de ingreso al primer semestre de licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes en la prueba pueden calcularse de manera adecuada por una distribución normal con media 950 y varianza 10 mil si la universidad decide admitir 25 % de todos los aspirantes que obtengan las calificaciones más altas en la prueba. Seleccione la opción que da la calificación mínima que es necesario obtener en esta prueba para ser admitido en la universidad.

DISTRIBUCIÓN NORMAL 253 15.40. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros tienen una distribución

normal con media igual a 5 cm y una desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea aceptado su diámetro debe encontrarse en el intervalo [4. 998, 5.002]. Si el diámetro del pistón es menor que 4.998, se desecha. Seleccione la opción que representa el porcentaje de pistones que se desechará. 15.41. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros tienen una distribución normal con media igual a 5 cm y una desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea aceptado su diámetro debe encontrarse en el intervalo [4.998, 5.002]. Si el diámetro del pistón es mayor que 5.002, se reprocesa. Seleccione la opción que representa el porcentaje de pistones que se volverá a procesar.

15.42. Si un conjunto de observaciones tiene una distribución normal, selec­ cione la opción que da la probabilidad de que dichas observaciones difieran de la media por más de 1.3 desviaciones estándar.

15.43. El tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria

normalmente distribuida con una media de 30 minutos y una varianza igual a cuatro minutos. Seleccione la opción que da el tiempo de armado de modo que la probabilidad de exceder dicho tiempo s�a de 0.02. 15.44. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros tienen una distribución normal con media igual a 5 cm y una desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea aceptado su diámetro debe encontrarse en el intervalo [4. 998, 5.002]. Si el diámetro del pistón es mayor que 5.002, se reprocesa. Seleccione la opción que representa el porcentaje de pistones que se rechaza. 15.45. Para un grupo de hombres de cierta edad se determinó que su estatu­ ra X está distribuida normalmente con una media de 1 .74 m y una desviación estándar de 10 cm. Una industria de la confección está interesada, debido a problemas de planeación, en el porcentaje de los hombres con una estatura entre l . 70 y l . 75 m. Calcule dicho porcentaje. 15.46. Sea X una variable aleatoria con distribución N( 1.5; 2). Calcular las probabilidades: a) b) e) d)

P(X < 2.5) P(X > -0.5) P(0. 5 < X < 2) P( [2X - 1 [ < 1 ) e) P([X[ > 0.5).

15.47. El tiempo de espera entre un autobús y otro de un sistema de trans­ porte público es una variable aleatoria que tiene distribución normal

254 CAP. 1 5. DISTRIBUCIÓN NORMAL

15.48.

15.49.

N( 1 0.5; 0. 25, en minutos). ¿cuál es la probabilidad de que la espera entre un autobús y otro sea: a) menor que 9.75 minutos? b) mayor que 1 1. 1 5 minutos? e) entre 10.40 y 1 0.60 minutos? Una variable aleatoria tiene una distribución normal con desviación estándar de u = 12. Si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 193.4 es de 0.8023, ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor mayor que 1 89.8? Una variable aleatoria tiene una distribución normal con desviación estándar de u = 3. 75. Si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 145.6 es de 0.9961 , ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor entre 1 25.8 y 1 29.0? El gerente de una compañía financiera sabe por experiencia que el número de solicitudes de préstamo que se reciben en su oficina durante una semana es una variable aleatoria con distribución normal N(66.4, 1 0. 9). ¿cuál es la probabilidad de que en una semana la oficina reciba: a) más de 75 solicitudes? b) cuando menos 75 solicitudes? e) entre 65 y 75 solicitudes? En un proceso de copiado, el tiempo en que se reproduce una página puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distri­ bución normal N( 12. 32; O. 08) segundos. Determine la probabilidad de que el tiempo requerido para copiar una página sea: a) cuando menos de 12.50 segundos, b) menor que 1 2.20 segundos, e) entre 12.30 y 1 2.50 segundos. La cantidad semanal que una compañía gasta en mantenimiento y repa­ raciones tiene una distribución normal N( 400; 20). Si el presupuesto para cubrir los gastos de reparación para la semana siguiente es de $ 450: a) ¿cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad supuesta? b) ¿De cuánto debe ser el presupuesto semanal para mantenimiento y reparaciones para que tan sólo se rebase con una probabilidad de 0. 1 ? Una operación de maquinado produce ejes de acero cuyos diámetros están distribuidos normálmente N(1.005; 0. 0 1 ) pulgadas. Las especifi­ caciones piden diámetros que queden en intervalo (0.98; 1 .02) pulga­ das. ¿Qué porcentaje de la producción no cumplirá las especificacio­ nes? .

15.50.

15.51.

15.52.

15.53.

DISTRIBUCIÓN NORMAL 255 15.54. Una variable aleatoria tiene una distribución normal N( 1 25. 6; 4. 25).

15.55.

15.56.

15.57.

15.58. ·

15.59.

15.60.

¿cuáles son las probabilidades de que esta variable aleatoria toma un valor: a) menor que 130.8? b) mayor que 1 22.7? e) entre 120.3 y 127.6? d) entre 1 15.1 y 126.2? Los conductores que se fabrican para utilizarse en determinado sistema de cómputo necesitan resistencias que varíen entre 0.12 y 0.14 ohm. Las resistencias reales medidas de los conductores que produce la compañía A tienen una distribución normal N(O. l3; 0.005) ohm. a) ¿cuál es la probabilidad de que un conductor seleccionado al azar de la producción de la compañía A cumpla con las especificaciones? b) Si se usan cuatro de e�os conductores en el sistema y son de la compañía A, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro cumplan con las especificaciones? Las resistencias de un termistor de determinado tipo tienen distribu­ ción normal N( 10 000; 4000) ohm. Los termistores se clasificarán para enviar a un cliente los que tengan resistencias entre 8000 y 15 000 ohm. ¿Qué fracción de los termistores debe enviarse? El peso medio de 500 estudiantes varones de cierta universidad es de 151 libras y la desviación típica es de 1 5 libras. En el supuesto de que los pesos estén normalmente distribuidos, hallar cuántos estudiantes pesan: a) entre 1 20 y 155 libras, b) más de 185 libras. Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tienen una distribución normal N(200, 20) horas. a) Calcular la probabilidad de que el mes próximo el ausentismo total por enfermedad sea menor que 150 horas. b) Para planear el programa del mes próximo, ¿cuánto tiempo debe suponer darse al ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad sólo se debe superar con una probabilidad de tan sólo 0 . 1 0? Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de éstas difiere de la media en: a) más de 1 .3 u? b) menos de 0.52 u? Sea X � N( 10, 9). Determine: a) P(X :::; 8) b) P(X 2:: 12) e) P(2 :::; X :::; 10)

256

CAP. 15. DISTRIBUCIÓN NORMAL

15.61. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solici­

15.62.

15.63.

15.64.

15.65.

15.66.

tantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desviación estándar de 30, ¿qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? La vida de servicio de un tipo particular de batería de celda seca se distribuye normalmente con media de 600 días y desviación estándar de 60 días. a) ¿Qué fracción de estas baterías se esperaría que dure más allá de 680 días? b) ¿Qué fracción se esperaría que fallara antes de 560 días? Si X "' N(80, 1 02 ). Determine: a) P(X :::; 1 00) b) P(X :::; 80) e ) P(75 :::; X :::; 1 00) d) P(75 :::; X) e ) P( I X - 80 1 :::; 19.6) Se sabe que cierta bombilla eléctrica tiene una salida que se distribuye normalmente con media de 2500 pie-candela y desviación estándar de 75 pie-candela. Determine un límite de especificación inferior tal que sólo 5 % de las bombillas fabricadas sea defectuoso. Un gerente de planta ordena interrumpir un proceso y efectuar un ajuste de lecturas siempre que el pH del producto final sea mayor de 7.20 o menor de 6.80. El pH de muestra se distribuye normalmente con J-t desconocida y desviación estándar O' = 0. 1 0. Determine las siguientes probabilidades: a) El reajuste se realizará cuando el proceso opere como se propuso con J-t = 7. 0. b) El reajuste se realizará cuando el proceso se desvíe ligeramente de lo planeado con el pH medio de 7.05. e) El reajuste fallará cuando el proceso sea demasiado alcalino y el pH medio sea J-t = 7.25. d) El reajuste fallará cuando el proceso sea demasiado ácido y el pH medio sea J-t = 6. 75. La dureza de Rockwell, una aleación particular, se distribuye normal­ mente con media de 70 y desviación estándar de 4. a) Si un espécimen se acepta sólo si su dureza está entre 62 y 72, ¿cuál es la probabilidad de que un espécimen elegido al azar tenga una dureza aceptable? b) Si el intervalo aceptable de dureza fue (70 - e, 70 + e) , ¿ para qué valor de e, 95 % de los espécimenes tendría una dureza a cptabl ·?

DISTRIBUCIÓN NORMAL 257 e ) En el caso de que el intervalo aceptable sea el indicado en la

15.67.

15.68.

15.69.

15. 70.

15.71.

pregunta a) y la dureza de cada uno de los nueve especímenes seleccionado al azar se determine en forma independiente, ¿cuál es el número esperado de especímenes aceptable de entre los nueve? Un ensamble consta de tres componentes colocados uno al lado de los otros. La longitud de cada componente distribuye normalmente con media de 2 pulgadas y desviación estándar de 0.2 pulgadas. Las especificaciones requieren que todos los ensambles estén entre 5. 7 y 6.3 pulgadas de longitud. ¿Cuántos ensambles cumplirán con estos requerimientos? Sea X el coeficiente intelectual (C.I.) de cualquier estudiante univer­ sitario. Considérese que X se distribuye normalmente con una media de 107 y una varianza de 225. Si se selecciona al azar un estudiante universitario, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un C.l.: a) mayor de 125? b) mayor de 131? e ) de menos de 98? d) de menos de 1 10? e ) de entre 1 04 y 1 40? J) de entre 77 y 92? Un profesor de inglés ha determinado que el tiempo necesario para que los estudiantes concluyan un examen final se distribuye normalmente con media de 1 10 min y desviación típica de 10 min. a) ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de inglés elegido aleatoriamente concluya el examen en menos de dos horas? b) ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de inglés seleccionado aleatoriamente concluya el examen en 125 min. o más? e) Si hay 50 estudiantes en la clase, ¿cuántos de ellos concluirán el examen antes de una hora y 50 minutos? La producción por hora de los trabajadores en una fábrica se considera distribuida normalmente con media de 240 unidades y desviación típica de 20 unidades. Considérese que en esta fábrica trabajan en la producción 10 mil trabajadores. a) ¿cuántos trabajadores tienen una producción de más de 250 uni­ dades por hora? b) Si cualquier trabajador que produzca menos de 200 unidades por hora debe recibir entrenamiento posterior, ¿cuántos recibirán entrenamiento? Los salarios por hora de los trabajadores de cierto oficio se consideran distribuidos normalmente con media de $ 5.50 y desviación típica de $ 0.50. Supóngase que un trabajador de este oficio se seleccioJ;Ya : aleatoriamente. Obténgase la probabilidad de que gane:

258 CAP. 1 5 . DISTRIBUCIÓN NORMAL

15. 72.

15. 73.

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15.74. 15.75.

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1!

15. 76.

15.77.

15. 78.

a) más de $ 7.00/h, b) menos de $ 4.75/h, e) entre $ 4.90 y $ 6.45/h. Supóngase que el tiempo promedio de la estancia de los pacientes en cierto hospital es de 1 O días y la desviación típica es de dos días. Considérese que tales duraciones se distribuyen normalmente. a) ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente paciente que se reciba permanezca más de nueve días? b) Si el día de hoy se admitieron más de 100 pacientes, ¿cuántos continuarán en el hospital dentro de dos semanas? Supóngase que durante el invierno la factura mensual de gas por familia se distribuye normalmente con una media de $ 30 y una desviación típica de $ 5. a) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoria­ mente sea de menos de $ 35? b) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoria­ mente sea de más de $ 45? e) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoriamente esté entre $ 27.50 y $ 32.50? Una variable aleatoria tiene una distribución normal con ¡.t = 62.4. Encuéntrese su desviación estándar si la probabilidad de que tome un valor mayor que 79.2 es de 0.20. El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal, con ¡.t = 12.9 y u = 2. 0 min. ¿cuáles son las probabilidades de que el ensamblado de tal pieza mecánica tarde: a) al menos 1 1 .5 min? b) entre 1 1 .0 y 14.8 min? En un proceso fotográfico el tiempo de revelado de las copias es una variable aleatoria cuya distribución normal tiene una media de 16.28 seg. y una desviación estándar de 0.12 seg. Calcúlese la probabilidad de que el revelado de una de las copias tarde: a ) entre 1 6.00 y 1 6.50 seg, b) al menos 16.20 seg, e) un máximo de 16.35 seg. Una máquina troqueladora produce tapas para latas cuyos diámetros están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 0 . 1 pulgadas. m n qué diámetro "nominal" (promedio) debe ajustarse a la maquina de modo que no más de 5 % de las tapas producidas tengan diámetros que excedan las tres pulgadas? Las especificaciones de cierta tarea recomienda lavadoras con un diámetro interno de 0.300 :1: 0.005 pulgadas. Si los diámetros internos

DISTRIBUCIÓN NORMAL 259

15. 79.

15.80.

15.81.

15.82.

15.83.

15.84.

de las lavadoras proporcionadas por un fabricante determinado puede considerarse como una variable aleatoria cuya distribución es normal con J.L = O. 302 pulgadas y a = O. 003 pulgadas, ¿qué porcentaje de las lavadoras cumplen las especificaciones? Un servicio de ambulancias ha determinado por experiencia que su tiempo de respuesta a llamadas de urgencia dentro de los límites de la ciudad es una variable aleatoria con distribución normal .Af(6.2; 3.6) minutos. ¿Cuáles son las probabilidades de que una ambulancia res­ ponda una llamada de urgencia dentro de los límites de la ciudad: a) en menos de 5 minutos? b) en 5 a 7 minutos? e) en más de 7 minutos? Un proveedor de alimentos de gastronomía mezcla café para venderlo. Un libra de la marca A rinde, en promedio, 50.8 tazas de café con una desviación estándar de 3.3 tazas. Un libra de la marca B rinde, en promedio, 5 1 .2 tazas de café con una desviación estándar de 4.6 tazas. En el supuesto de una distribución normal, ¿qué marca de café tiene mayor probabilidad de rendir cuando menos 50 tazas de café por libra? Una tienda de artículos domésticos sabe por experiencia que el número de televisores que vende al mes es una variable aleatoria con distribu­ ción normal .Af(32.3; 4.2). ¿cuáles son las probabilidades de que en un mes determinado se vendan: a ) 25 televisores? b) cuando mucho 25 televisores? Un análisis de la duración de llamadas telefónicas locales hechas desde la oficina de una empresa muestra que el tiempo de las llamadas es una variable aleatoria que tiene una distribución normal .J\((1 25. 7; 30) segundos. ¿Qué porcentaje de estas llamadas: a ) es mayor que tres minutos? b) es, cuando mucho, de dos minutos? e) está entre 120 y 1 80 segundos? Una ciudad grande auspicia una serie de conciertos de verano diarios en un parque del centro. Si el número de conciertos a los que asiste un espectador individual es una variable aleatoria con distribución normal .Af( 17.2; 2.8), ¿cuáles son las probabilidades de que un espectador individual asista a: a ) más de 20 conciertos? b) menos de 10 conciertos? La experiencia indica que el tiempo de revelado para un papel de impresión fotográfica se distribuye como X .Af(30 segundos, 1 .2 1 segundos2 ). Determine la probabilidad de que: "'

260

CAP. 1 5 .

DISTRIBUCIÓN NORMAL

a

15.85.

15.86.

) X sea al menos 28.5 segundos, b) X sea a lo más 3 1 segundos, e ) X difiera de su valor esperado en más de dos segundos. El precio que se pide por cierto seguro se distribuye normah;nente con media de $ 50.00 y desviación estándar de $ 5.00. Los compradores están dispuestos a pagar una cantidad que también se distribuye normalmente con media de $ 45.00 y desviación estándar de $ 2.50. ¿cuál es la probabilidad de que la transacción se lleve a cabo? Un eje con diámetro exterior de X2 N( 1.20; 0. 0016) se inserta en un cojinete de manguito que tiene un diámetro interior X1 N( 1 . 25; 0. 0009). Determine la probabilidad de interferencia. Suponer que el tiempo X requerido para que un corredor fondista recorra una milla es una variable aleatoria normal con parámetros JL = 4 minutos, 1 segundo y cr = 2 segundos. a ) ¿cuál es la probabilidad de que este atleta recorra la milla en menos de cuatro minutos? b) ¿En más de tres minutos y 55 segundos? El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normal­ mente distribuido con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm. a ) ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 1 0.075 cm? b) ¿cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno de entre 9.97 y 10.3 cm? e) ¿ Debajo de qué valor de diámetro interno caerá 1 5 % de los anillos de pistón? La longitud X de un bacalao adulto capturado es una variable aleatoria normal con parámetros JL = 30 in y cr = 2 in. Si se captura uno de estos peces, a) ¿cuál es la probabilidad de que mida al menos 31 in de longitud? b) ¿Qué no tenga más de 32 in de longitud? e ) ¿Qué su longitud esté entre las 24 y las 28 in? Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $ 9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos casi en forma normal y los montos se cierran a centavos: a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios entre $ 8. 75 y $ 9.69 por hora inclusive? b) ¿el 5 % más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a qué cantidad? Los pesos de un gran número de perros de lana miniatura están distribuidos casi en forma · normal con una media de 8 kg y u n a rv

rv

' '

.

15.87.

15.88.

15.89.

15.90.

15.91.

DISTRIBUCIÓN NORMAL 26 1

15.92.

desviación estándar de 0.9 kg. Si se registran las mediciones y se cierran a décimas de kg, encuentre la fracción de estos perros de lana con pesos: a) arriba de 9.5 kg, b) cuando mucho de 8.6 kg, e) de entre 7.3 y 9. 1 kg inclusive. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normal­ mente distribuida con una media de 1 0 000 kg por centímetro cua­ drado y una desviación estándar de 1 00 kg por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran y se redondean a 50 kg. a) ¿cuál es la porción de estos componentes que exceden de 10 150 kg por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión? b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión de entre 9800 y 1 200 kg por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas se esperaría que se desecharan? La elongación de una barra de acero bajo una carga particular está distribuida normalmente con ¡;., O. 05 in y una O" = 1 in. Encuentre la probabilidad de que la elongación sea: a) mayor que 0.0 in, b) menor que 0.04 in, e) de entre 0.025 y 0.065 in. El diámetro interior de un anillo de pistón se distribuye noqnalmente con media de 1 2 cm y desviación estándar de 0.02 cm. a) ¿Qué fracción de los anillos de pistón tendrá diámetros que exce­ derá de 1 2.05 cm? b) ¿Qué valor de diámetro interior e tiene una probabilidad de ser excedido de 0.90 cm? e) ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro interior se encuentre entre 1 1 .95 y 12.05 cm? Si la temperatura en grados Fahrenheit de cierta localidad se distribuye normalmente con una media de 68 grados y una desviación típica de cuatro grados, ¿cuál es la distribución de la temperatura en grados centígrados en la misma localidad? Supóngase que el voltaje medido en cierto circuito eléctrico tiene una distribución normal con media de 120 y desviación típica de 2. Si se toman tres medidas independientes del voltaje, ¿cuál es la probabilidad de que las tres medidas estén entre 1 16 y 1 18? Una barra recta se forma conectando tres secciones A, B y C, cada una fabricada con una máquina distinta. La longitud de la sección A, en pulgadas, tiene una distribución normal con media 20 y varianza 0.04. La longitud de la sección B tiene una distribución normal con media

O

15.93.

=

15.94.

15.95.

O.O

·

15.96.

15.97.

262 CAP.

1 5.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

14 y varianza 0.0 l. La longitud de la sección C tiene una distribución normal con media 26 y varianza 0.04. Como se indica en la figura, las tres secciones se unen de forma que se superponen 2 pulgadas en cada conexión. Supóngase que la barra se puede utilizar en la construcción del ala de un avión si su longitud total en pulgadas está entre 55.7 y 56.3. ¿cuál es la probabilidad de poder utilizar la barra? A

e 2

2 B

15.98. Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución N(J.L, 0'), entonces:

E IX

-

JLI

=

1!0'

15.99. Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución N( O, 0'), entonces:

1 '

Resp uestas 15;1

15.2 15.3. 15.4. 15.5.

a) e) e) g) a)

(2) - F(O) = 0.4772; b) 2F(1) - 1 0.6827; F(l.65) 0.9505; d) 1 - F(l.96) = 1 - 0.975 0.025; 2 [1 - F(1.5)] = 0.1336; J) F(2) - [1 - F(1.9)] 0.9485; F(1.37) 0.9146; h) 2 F(2.57) - 1 = 0. 9 898 0.2422 b) O.9969 e) O.9484 e) 0.0516 d) 0.0559 a) 2.37 b) 1.23 e) -0.37 d) -2.02 e) 1.81 a ) 0.9394 b) 0.1057 e) 0.0154 d) 0.9599 b) 1 - F(1.23) 0.1093 a) F(0.82) 0.7939 d) 1 - F(0.1) 0.4602 e) F(0.56) = 0.7123 e) 1 - (1 - F(1.85)) = 0.96784 f) F(4.6) - F(0.6) = 1 - 0.7257 = 0.2743 b) - 1.645 ) 1.645 d) 2.575 a ) 1.285 b) 14.646 e) 1.35 a) 6.71 a ) 1 - F(l.66) = 0.04846 b) F(0.83) 0.7967 e ) 2F(l.66) - 1 0.90308 a) -1.5775 b) 2.01 e) 0.8225 d) 0.72 =

X

=

=

=

X

=

=

=

=

15.6. 15.7. 15.8.

e

=

=

'1

15.9.

RESPUESTAS 263 1 5 . 1 0. 15. 1 1 . 15. 12. 15.13. 15. 14. 15.15. 15. 1 6. 15. 17. 15. 18. 15. 19. 15.20. 15.2 1. 15.22. 15.23. 15.24. 15.25. 15.26. 15.27. 15.28. 15.29. 15.30. 15.31. 15.32. 15.33. 15.34. 15.35. 15.36. 15.37. 15.38. 15.39. 15.40. 15.4 1 . 15.42. 15.43. 15.44. 15.45.

b) 38.3 % 19.F(1)74%- F(- 1)=0. b)F(2.5)-F( -2.5)=0.987698.76% 6 828;68. 2 8% 10.2-0118F(1. 25) = 0. 1056 N(8, 0.24) 1000) = 2. 5 ) = b 0.16%1985.48% ) 0.4514 e) 22 189.875 0.2.022287% 0.0.2.2455461671% 2900.9192 0.5139-F(.2938- 1.67) = O.9525 7.0.037640% 8.30% [F (e � 3) ] =a/2)� ,por= 0.lo38ta3nt, o3encont r amos que e= 1. 2 8 e89%= 0.433a 34.5.1466 % 29823% 201018 2.2.2288 %% 0.34.191326 4.5195% """ 20 % a) a)

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P(X < a)

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264 15.46. 15.47. 15.48. 15.49. 15.50. 15.5 1. 15.52. 15.53. 15.54. 15.55. 15.56. 15.57. 15.58. 15.59.

15.60. 15.6 1 . 15.62. 15.63. 15.64. 15.65. 15 .66.

0.6915 b) 0.8413 e) 0.2902 0. 1747 e) 0.8502 0.0013 b) 0.0047 e) 0.3108 1-L = 183.2 P(X 189.8) = 1 - F(0.55) = 0.2912 1-L = 135.625 P(125.8 < X < 129.0) = F( -1. 76) - F(-2.62) = 0.0348 b) F(0.79) = 0.7852 a) 1 - F(0.79) = 0. 2 148 e) F(0.79) - F(-0. 13) = 0.3369 a) F(2.25) = 0. 9 878 b) F(-1.15) = 0.0668 e) F(2.25) - F(-0.25) = 0.5865 a) 0.0062 b) $ 425.60 0.073 = 7.3 % b) 1 - F(-0.68) = F(0.68) = 0.7517 a) F(1.22) = 0. 8 888 e) F(0.47) - F(-1.25) = 0.5752 d) F(0.14) - F(-2.47) = 0.5489 a) 0.9544 b) (0.9544)4 = 0. 8 297 0.5859 = 38.59 % a) P(120 < X < 155) = 0.6000 entonces 500 (0.6000) = 300 estudiantes b) P(X 185) = 0.0116 entonces 500 (0.0116) = [5. 8 ] = 6 estudiantes a) 0.0062 b) 225.6 a) P(IX - 1-LI 1.3u) = P(IZI 1. 3 ) = 1 - P(IZI < 1. 3 ) = 1 [F(1.3) ­ F( -1.3)] = 1 - (0.9032 - 0.0968) = 0. 1936, 19.36 % b) 39.70 % a) 0.048 b) 0.048 e) 0.496 P(X 500) = 1 - F(0.5) = 0.3085; 30.85 % a) (P(X 680) = 1 - F(l.33) = 0.0917 b) P(X < 560) = 1 - F(0.67) = 0.2514 a) 0.9772 b) 0.5000 e) 0.6686 d) 0.6914 e) O. 9500 Tenemos que P(X < e) = 0.05 esto implica P(Z < (e - 2500)/75) 0.05. Entonces e = 2376.63 a) 0.0455 b) 0.0730 e) 1 - F(0.5) = 0.3085 d) 0.3085 a) 0.6687 b) e = (1.96u) = 7. 8 4 e) 9 (0.6687) = 6.018 N(2; 0.2), i = 1, 2, 3, Y = Xt + X2 X3 � N(6; 0.12) Entonces P(5.7 < Y < 6.3) = F(0.866) - F(-0.866) = 0.6156, 61.56 % a) 0.1151 b) 0.0548 e) 0.2743 d) 0.5793 J) 0. 1359 e ) 0.5654 a) 0.8413 b) 0.0668 e) 25 estudiantes b) 228 trabajadores a) 3085 trabajadores a) 0.0013 b) 0.0668 e) 0.8562 a) 0.6915 b) 2.28 o dos pacientes b) 0.0013 e) 0. 3 83 a) 0.1587 a) d) a)

15.67. X; 15.68. 15.69. 15.70. 15.71. 15.72.

1

15.73.

y

>

y

x

>

>

x

>

�

>

>

=

y

�

y

x

+

265 15.74. 15.75. 15.76.

15.77. 15.78. 15.79. 15.80. 15.8 1 . 15.82. 15.83. 15.84. 15.85. 15.86. 15.87. 15.88. 15.89. 15.90. 15.9 1 . 15.92. 15.93. 15.94. 15.95. 15.96. 15.97. 1 5.98.

P(X > 79.2) = 0.2; P(X < 79.2) = 0.8; P(Z < (79.2-62.4)/u) 0.8;u = 19.76 a) F(0.7) = 0. 7 580 b) 2 F(0.95) - 1 = 0.6578 a ) F(1.83) - [1 - F(2. 3 3)] = 0.9565 b) F(0.66) = 0.7454 e) F(0.58) = 0.7190 P(X > 3) 0.05; P[Z < (3 - p,)/0.1] 0.95; = 2.8355 F(1) - [1 - F(2.33)] = 0.8314, 83.14 % a ) 1 - F(0.33) = 0.3707 b) F(0.22) - F(-0.33) = 0.2164 e) 1 - F(0.22) = 0.4129 P(B) > P(A) a) 0.0212 b) 0.0526 a) 1 - F(l.81) 0. 0 351, 3.51 % b) 42.47 % e) 54.02 % a ) 0.1210 b) 0.0030 a) P(X > 28.5) 0.9131 b) P(X :::; 31) = 0.819 e) 0.0703 X � N(50; 25); Y � N(45; 6.25). Y - X ::::: O Y - X � N(-5; 31.25) y P(Y - X ::::: O) = 0.1867 Y = X¡ - X2 � N(O. 05; O. 0025 ); P(Y < O) = 1 - F( 1) = 0. 1586 a) 0.3085 b) 0.9987 a) 0.0062 b) 0.6826 e) 9.969 b) 0.8413 e) 0.1574 a) 0. 3 085 a ) 56.99 % b) $10.23 b) 0.7642 e) 0.6964 a) 0. 0 427 b) 0.0244 a ) 0.0401 a) 1 b) 0.1587 e) F(l.5) - F(-2.5) = 0.927 b) P(X > e) = 0.9; e = 11.97 e) 0.9908 a) 0. 0 062 F = 1.8 e+ 32 e = 0. 5 55 F - 160/9 e � N(20; 20/9) 0.0025 0.6826 Y=XN(O, u). EJ Y I = J!u = 1 ¡ Jo 2 [ ( 2u2 ) ( 2u22 ) ] EIYI = u-fo 1 !2 u-/2ii Jor= ( 2u2 ) = u y ; =

x

=

JL

=

esto es,

=

=

Si

la transacción se l eve a cabo.

cm

X

·

X

entonces Sea Debemos demostrar que: L L - yexp - dy+ yexp - dy yexp - l dy =' ( 2 ) 2 ¡ exp 2u2 E(IXI" ) (u.J2)" ( a 1 ) = u"(.J2)" 100 u du = -2 fo JL

implica que con distribución _ 00

15.99.

= --

-/2ii

,¡p

o

0

� o

-�

(a•ll _ ¡

2

e

_u

dx

r

+

--

Capítulo

16

Distribuciones exponencial

y

gamma

La distribución exponencial es una distribución continua. Su función de densidad de probabilidad es:

para {3 > O, con

J

(x)

=

E(X)

{ 0/3

l e -x/{3

=

X

>O

en lo demás

{3 y V(X) = [32

La distribución gamma es una distribución continua. Su función de densi­ dad de probabilidad es: j(x) =

{ 0r(a1)f3a Xa-1

e -x/{3

X

0

en lo demás

para a > O y {3 > O, donde

con

>

E(X) = af3 y V(X)

=

a{32

Caso especial de Ia distribución gamma se obtiene haciendo a � y {3 2, donde v es un entero positivo. El resultado se llama distribuc�ón ji cuadrada. La distribución tiene un parámetro sencillo, v, que recibe nombre de grados de libertad. Su función de densidad es: =

=

x>O

para las demás x

266

DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA 26 7 Hay una relación entre integrales gamma incompletas y sumas de proba­ bilidades de Poisson, que está expresada por 1 f( a )

a - 1 J,.Xe-A = ¡ x = A x e dx = L � x=O a-1

para valores enteros de a . 16. 1 El tiempo que transcurre antes de que atiendan a una persona en . una cafetería es una variable aleatoria, que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿cuál es la probabilidad de que atiendan a una persona antes de que transcurran tres minutos en al menos cuatro de los seis días siguientes? 16.2. ¿Hay una densidad exponencial que cumple la siguiente condición? P{X :::; 2}

= 2/3P{X :::; 3}

Si es así, encuentre el valor de {3.

16.3. Se estima que el tiempo transcurrido hasta la falla del cinescopio de un televisor se distribuye exponencialmente con media de tres años. Una compañía ofrece garantía por el primer año de uso. ¿Qué porcentaje de las pólizas tendrá que pagar una reclamación? 16.4. En una investigación sismológica se observó que hay una relación entre la intensidad de las vibraciones en un lugar de la tierra Y y la intensidad de los terremotos X en un epicentro, donde e depende de la distancia entre dicho lugar y el epicentro. Supongamos que X es una variable aleatoria con distribución exponencial definida por

= cex

J(x) =

O

{ Ae-Ax

x>O

para las demás x

Calcular la función de distribución acumulativa de la variable Y. 16.5. La duración (en horas) X de cierto componente electrónico es una variable aleatoria con la función de densidad

x>O

para las demás x

Tres de estos componentes trabajan independientemente en una pieza de un equipo. El equipo falla si al menos dos de los componentes fallan. Encuentre la probabilidad de que el equipo funcione al menos durante 200 horas sin fallar.

268 CAP. 1 6. DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA 16.6. Un fabricante de un monitor de televisor comercial garantiza el ci­

16.7.

16.8.

16.9

16.10 16. 1 1. 16.12. 16. 13.

16.14.

nescopio o tubo de imagen por un año (8760 horas). Los monitores, empleados en terminales de aeropuerto para programas de vuelo, es­ tán encendidos continuamente. La vida media de los tubos es de 20 000 horas y siguen una densidad de tiempo exponencial. El costo de fabri­ cación, venta y entrega para el fabricante es de $ 300 y el monitor se vende en el mercado en $ 400. Reemplazar un tubo que falla cuesta $ 150, incluyendo materiales y mano de obra. El fabricante no tiene obligación de sustituir el tubo si ya hubo una primera sustitución. ¿cuál es la utilidad esperada del fabricante? Cierta fábrica manufacturera requiere de un producto específico a granel. La operación utilizada en un día se puede modelar por una distribución exponencial {3 = 4 variaciones en toneladas. Encuentre la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de cuatro toneladas en un día determinado. Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con parámetros a = 2 y {3 = 1 /2. ¿cuál es la probabilidad de que en el servicio siguiente tome cuando mucho una hora reparar la bomba? En una ciudad cualquiera el consumo de energía eléctrica, en millones de kilowatt-hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media JL = 6 y u2 = 12. a) Encuentre los valores de a y {3 . b) Encuentre la probabilidad de que en un determinado día el con­ sumo de energía eléctrica se exceda por 12 kW-hora. Si una variable aleatoria X tiene la distribución gamma con a = 2 y {3 = 1 , encuentre P( l.8 < X < 2.4). Demuestre que f (�) fo. Calcular la media y la varianza de una función gamma. El motor y el tren de trasmisión de un automóvil nuevo están garantiza­ dos por un año. Las vidas medias de estos componentes se estiman en tres años y el tiempo transcurrido hasta la falla tiene una exponencial. a ) La ganancia en un automóvil nuevo es de $ 1 000. Incluyendo los costos de refacciones y de mano de obra, la agencia debe pagar $ 250 para reparar cada falla. ¿cuál es la utilidad esperada por automóvil? b) ¿Qué porcentaje de automóviles tendrán fallas en el motor y el tren de trasmisión durante los primeros seis meses de uso? El tiempo para entregar pedidos de diodos a cierto fabricante cumple con la distribución gamma con una media de 20 días y una desviación estándar de 1 0 días. Determine la probabilidad de enviar una orden dentro de los 1 5 días posteriores a la solicitud. =

DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA 269 16.15. El tiempo de reabastecimiento para cierto producto cumple con una 16. 16.

16. 17.

distribución gamma con media de 40 y varianza de 400. Determine la probabilidad de que un pedido se envíe dentro de los primeros 60 días. En una ciudad cualquiera el consumo de energía eléctrica, en millones de kilowatt/hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media E(X) = 6 y V(X) = 12. a) Encuentre los valores de a y {3. b) Encuentre la probabilidad de que en un determinado día el con­ sumo de energía eléctrica se exceda por 12 kilowatt/hora. Si X tiene una distribución gamma con a = 2 y {3 1 , determinar P(X > 1 ). Los ingresos anuales de los jefes de familia de cierta área de una ciudad tienen una distribución gamma con a = 1 000 y {3 = 20. Encuentre la media y la varianza de estos ingresos. En una ciudad cualquiera, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con a = 2 y {3 = 3. Si la capacidad diaria para esta ciudad es de nueve millones de litros de agua, ¿cuál es la probabilidad de que un determinado día el suministro de agua sea inadecuado? ¿En qué punto la función de densidad gamma tiene un máximo? La cantidad X total de lluvia durante cuatro semanas en una región del centro de México tiene casi una distribución tipo gamma con a = l. 6 y {3 = 2. Determine la media y la varianza de la cantidad total de lluvia durante cuatro semanas. El tiempo semanal X (en horas) en el que no funciona cierta máquina industrial tiene casi una distribución gamma con a = 3 y {3 = 2. La pérdida, en dólares, para la operación industrial debido a esta baja está dada por L 30X + 2X2 • Calcule el valor esperado y la varianza de L. Suponga que el tiempo en horas que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X con una distribución gamma con parámetros a = 2 y {3 = 1/2. ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio: a ) tome cuando mucho una hora reparar una bomba? b) al menos se requieran dos horas para reparar una bomba? Cierta fábrica manufacturera requiere de un producto específico a granel. La cantidad del producto utilizada en un día se puede modelar por una distribución exponencial con {3 = 4 (mediciones en toneladas). Encuentre la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de cuatro toneladas en un día determinado. Considere una tasa de falla de un componente eléctrico de una vez cada cinco horas. Es importante considerar el tiempo requerido para que fallen dos componentes. Si se sabe que se aplica la distribución gamma: =

16.18. 16.19.

16.20. 16.2 1.

O.

16.22.

=

16.23.

·

16.24.

16.25.

270 CAP. 1 6. DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA a) ¿cuál es el tiempo medio que tardan en fallar dos componentes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes? 16.26. La cantidad de tiempo que un reloj funciona sin necesidad de ajuste es una variable aleatoria con distribución exponencial con {3 50 días. Calcule las probabilidades de que tal reloj: a) deba ajustarse en menos de 20 días, b) no deba ajustarse en 60 días por lo menos. 16.27. El kilometraje (en miles de kilómetros) que alcanzan los automovilistas con cierto tipo de neumático es una variable aleatoria con densidad de probabilidad x>O para las demás x =

16.28. 16.29.

16.30.

16.31.

Calcule las probabilidades de que uno de los neumáticos dure: a) a lo sumo 1 O mil kilómetros, b) entre 1 6 mil y 24 mil kilómetros, e) al menos 30 mil kilómetros. Si una variable aleatoria tiene la distribución gamma con a = 2 y {3 = 2, encuentre la media y la desviación estándar de esta distribución. El tiempo de paro semanal, en horas, para una línea de producción tiene distribución gamma con a = {3 = 2. Calcular la probabilidad de que el tiempo de paro para una semana dada no sea mayor que 1 0 horas. Un transbordador lleva a sus clientes a través de un río una vez que abordan 10 automóviles. La experiencia muestra que los automóviles arriban al transbordador de manera independiente a una tasa media de siete por hora. Obtenga la probabilidad de que el tiempo entre viajes consecutivos sea al menos de una hora. Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución expo­ nencial, entonces P(X > a + biX > a)

=

P(X > b)

16.32. La distribución exponencial, empleada en muchas aplicaciones de

la teoría de la confiabilidad, consiste en la elaboración de modelos para saber cuán confiables (o no) son los componentes y sistemas. La confiabilidad de un componente en medio durante un periodo t se define como la probabilidad de que su tiempo para fallar exceda t (por tanto, ha trabajado en forma satisfactoria durante el periodo t), lo que significa que: R(t) = P(X > t)

=

1

-

F(t)

· 1

1

RESPUESTAS 27 1 Si el tiempo X para fallar es una variable aleatoria exponencial, calcular R(t). 16.33. El tiempo que transcurre antes de que atiendan a una persona en una cafetería es una variable aleatoria X que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿cuál es la probabilidad de que atiendan a una persona antes de que transcurran tres minutos en al menos cuatro de los seis días siguientes? 16.34. Un transistor tiene una distribución de tiempo de falla exponencial con tiempo medio de falla de 20 mil horas. El transistor ha durado 20 mil horas en una aplicación particular. ¿cuál es la probabilidad de que el transistor falle a las 30 mil horas? 16.35. Si el tiempo X de que tarde en realizarse cierta tarea clave en la construcción de una casa es una variable aleatoria con una distribución exponencial con {3 = 1 0 horas. El costo C para completar esta tarea está relacionado con el cuadrado del tiempo que tarda en completarse mediante la fórmula C

= 100 + 40X + 3X2

Encontrar el valor esperado y la varianza de C.

Res puestas

16. 1 . 16.2. 16.3. 16.4.

16.5. 16.6.

0.3968 No,debe porque = 1 significa que f3 = O para la distribución exponencial s e r f3 O P(X 1) = 1 - = 0.2811; 28.11 % 2: c ypara F(y) = P(Y < y) = { � l a s demás y 0.050 G = ganancia del fabricante 8760 G(x) = { $-$100,50,8760 Xx

<

y

e- 1 13

ur,�.

X

o

16.7. 16.8. 1 6.9.

--e- WOOil dx +

P(X 4) = e-4x(l/4) = e- 1 P(X < 1) = 0.5940 a) a = 3, 2; b) 0.0620 >

f3

=

X

--

e- 2oooo dx

272 16. 10.

0.1545

f(a) = ¡·oo x"- J e-xdx.

16. 1 1 .

2

Sea x = u y dx = 2u du. Tenemos

Sea x = p cos () y u = p sen (), entonces

y, por último, 16.12.

[

r

1 ) ] 2 4 1 � 1 "" pe dpd() = 2 l(% d() = 7T o o (2 o "

-p

=

1 oo xa- 1 e -"dx = {3af(a)

Tenemos que

P

o

1 1 "" xae-" dx E(X) = lr=o x/3""e-f(a)� dx = /3af(a) o 1 af(a) =_ {3"f_(a) [/3a+If(a + = {3f(a) = af3 Al sustituir en la expresión de V(X) las expresiones para E(X) y E(X2 ), se obtiene

y

P

1 )]

1 6 . 13.

a

16. 14. J.L

x

+

x

E(U) = 1000 P(X 1) 750 P(X ::; 1) P(X < 1/2) = 1 0.84 = 0.16 16 % = af3 = 20; u = a/32 lO P(X ::; 15) = 1 - L e k!3

)

b)

-

>

�

=

$ 929.73

=

3

k=O

-3

k

= 0.3527

RESPUESTAS 273 1 6. 15.

E(X) = af3 = 40 Tenemos

16. 17. 16. 18. 16.19. 16.20. 16.2 1 . 16.22.

16.23. 16.24. 16.25. 16.26. 16.27.

16.30.

entonces a = 4 3

O

y

A

= 1/{3 = O. l.

==

•

k=O

cuando

16.28. JL 16.29.

V(X) = af32 = 400,

o 60) = Jr �(�) (0.1x)3e - lxdx = 1 - ¿_:>-(0.1 )(60) ((0. 1��60)] = 0.8488 o a) E(X) = a{3 = 6; V(X) = a{32 = 12, a = 3; {3 = 2 b) P(X > 12) = 0.0619 0.736 20 000; 400 000 0.1992 x = f3(a - 1), a>1 E(X) = af3 = (1.6)2 = 3.2; V(X) = af32 = 1.6 4 = 6.4 E(L) = E(30X) + E(2X2) = 30E(X) + 2E(X2) = 76 " E(X2) = {32a(a + 1) = 48 V(L) = V(30X) + V(2X2) = 900V(Y) + 4V(Y2) = 10 800 + 4(EX4 - EX2)2 = 10 800 - 9216 + 4(1 1 520) = 47 664 a) 0.5940; b) 0.0916 e -1 a ) 0.0352; b) 0.0472 a) 0.3296; b) 0.3011 a ) 0.3934; b) 0.1482; e) 0.2231 E(X) = 4, = 2.8284 P(X < 10) = 1 - 22�(2) �000 x2- 1 e- �dx = 1 - e-5 Y a A = 1/ {3, a A" (distribución Erlang). Y P(X <

16.16.

y

x

u

e aleatoriaalmesentlae,sucadama deuno variconaparámet bles aleatroorias independientoencesntes di"Ssittilreainebvariuiunadaasblexponenci Tenemos densidad gamma con parámetros Y= +... ? i = 1, 2, . . . , 10 g(x¡ ) = { O7e- x; Xpara las demás9 ¡00 y

+

x1 + x2

de

x10

Xi

P(Y > 1) =

16.3 1 .

f(�0) (7y)9e-7Ydy = ¿:::e- 7�! = 0.8305 k

1

k=O

A-el eventoo "X"X >> b"a" BG--elel event evento "X >=a +entb" onces Tenemos, Luego, = e->-a, = e-=Ah = AnC C P(A) P(B) P(C 1 A) = P(C)/P(A)

P(C 1 A) = P(C)/P(A).

e - >-b, P(C) = e->.(a+b)

P(B).

con lo que se puede ver que

274 CAP.

1 6.

DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA

Encomoconslaevaricuenciableaal, puede decigeométrse querica notanttoienenla varimemori able alae. atoria exponencial e at o ri a P(X > = e-M

16.32.

R(t) =

16.33.

p = P(X < 3) = 0.5276 P(4 S X S 6) = 15 (0.5276)4(0.4724)2 + 6 (0.5276)5 (0.4724) 1 + (0.5276)6(0.4724)0 = 0.3967 P(X > 20 000+ 10000 1 X > 20000) = P(X > 10000) = e-10000120000 = e- 0·5 = 0.6064 P(X < 30 000 1 X > 20 000) 1 - 0.6064 = 0.3936 f3 = 10 a=1 E(C) = E(100) + E(40X) + E(3X2 ) = 100 + 40E(X) + 3E(X2 ) 1100 E(X2) = {32a(a + 1) = 200 E(X4) = {34a(a + 1)(a + 2)(a + 3) = 240 000 V(C) V(40X) + V(3X2 ) = 1600V(X) + 9V(X2 ) 1600 9(EX4 - (EX2 )2 ) 1600 100 + 9(240 000 - 40 000) = 1 960 000 =

16.34.

16.35.

t)

X

X

Entonces

=

=

= =

X X

l OO +

Capítulo 1 7 Distribuciones

y

beta

de Weibull

La distribución beta es una distribución continua. Su funqón de densidad de probabilidad es

{ ga)f(/3)

� ,¿x- 1 ( 1

J(x) =

13 1 - X) -

0 O y {3 > O, con E(x)

=

a y V(X) a + {3

-

af3 (a + {3)2(a + {3 + 1 )

La distribución Weibull es una distribución continua. Su función de densi­ dad de probabilidad es j(x)

=

para {3 > O y 1' > O, con

{

' � Xy- 1 e-x /13 0

X>0

en lo demás

17 .l. Determine la media y la varianza de la distribución beta. 17.2. Considere la función de densidad de probabilidad J(x) =

{

c( l - x)a 1 xl3 - 1 -

O

O :S x :S 1 ; a > O; {3 > O para las demás x

275

276 CAP. 1 7. DISTRIBUCIONES BETA Y DE WEIBULL

17.3. 17.4. 17.5.

17.6.

17.7.

17.8.

17.9. 17 . 10. 17 . 1 1.

a) Evalúe la constante c. b) Determine la media. e) Encuentre la varianza. Determine la media y la varianza de la distribución Weibull. El diámetro de ejes de acero sigue la distribución Weibull con paráme­ tros y = 2.0 pulgadas y O = 2. 25. Encuentre la probabilidad de que un eje seleccionado al azar no excederá 1 .5 pulgadas de diámetro. El tiempo de falla por fugas de cierto tipo de batería de celda seca se espera que tenga una distribución de Weibull con y = 0. 5, O = 20. ¿cuál es la probabilidad de que la batería dure más de 800 horas en uso? La densidad del tiempo de falla correspondiente a un sistema de computadora pequeño tiene una densidad de Weibull con y = 0.25 y (J = 5. a) ¿Qué fracción de estas unidades durará mil horas? b) ¿cuál es el tiempo medio de falla? El tiempo necesario para lograr una mezcla correcta de polvos de cobre antes de sintetizarlos tiene una probabilidad de Weibull con y = 1. 1 y (J = 2. Calcular la probabilidad de que una mezcla adecuada tome menos de dos minutos. Suponga que la vida útil X, en años, de una batería para audífonos es una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull con O = 2 y 'Y = 2. a) ¿cuánto tiempo se espera que dure esa batería? b) ¿cuál es la probabilidad de que dicha batería siga funcionando después de dos años? Suponga que X tiene una distribución beta con parámetros a y {3, y sean r y s enteros positivos. Determinar el valor de E[X' ( 1 - X)']. Suponga que X tiene una distribución beta con parámetros a y {3. ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria 1 - X? Represente la función de densidad de la distribución beta para cada una de las siguientes parejas de valores de los parámetros: a) a = 1 /2 y {3 = 1 /2 b) a = 1 /2 y {3 = 1 e) a = 1 /2 y {3 2 d) a = 1 y {3 = 1 e) a = 1 y {3 = 2 f) a = 2 y {3 = 2 g) a = 25 y {3 = lOO h) a = 100 y {3 = 25. ¿cuál es la función de densidad de la distribución beta en un intervalo [a, b]? =

17.12.

DISTRIBUCIONES BETA Y DE WEIBULL 277 17 . 13. Sea X una variable aleatoria con distribución beta j(x) =

{ �2x( 1 - x)2

0

280 17.10.

f(a+ {3) (1-Xt- 1 [1-(1-X)t- 1 = f(a)f({3) f(a+ ,xfl- 1 (1-X)"- 1 X = f(a)f({3) que significa una distribución beta con parámetros {3 y a. 0 La variable aleatoria X se distribuye con función generatriz de momen­ 2 ). Calcular el cuarto momento normal para X. k

18.1 O.

tos M(t) = exp( - � t 18.11. Usando la función generatriz de momentos calcular: a) El segundo momento normal para la distribución de Poisson b) El tercer momento normal para la distribución binomial. e) k-ésimo momento normal para la distribución exponencial con función de densidad. f (x) =

� exp ( - �)

para x > O, A > O.

d) k-ésimo momento normal para la distribución gamma, con función de densidad J(x) =

18. 12. Demostrar, si

X

�p/P-le-ax p

para x > O, a,

p>O

y Y son las variables aleatorias independientes, con distribución gamma

entonces la variable aleatoria Z = la función de densidad

18.13. La variable aleatoria

X

X+ Y se distribuye como gamma con X2?

se distribuye normalmente N(O, 1 ) ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria Y =

FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS 287 18.14. Sean X y Y las variables aleatorias independientes con idénticas fun­ ciones generatriz de momentos M(t). Calcular la función generatriz de momentos para la variable aleatoria Z=X-Y y Y las variables aleatorias independientes con la misma distribución exponencial

18.15. Sean X

j(x) =

{�

-x para x > O

para las demás x.

Calcular la función de densidad para la variable aleatoria Z = X - Y. 18. 16. Calcular la función generatriz de momentos para la variable aleatoria X con función de densidad J(x) =

{t

( 1 - ! l xl )

para lxl ::::; 2 para las demás x.

[Aplicar la fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x)]

18. 17. Demostrar en el caso de una variable continua que para cualquier función M(t) se cumple:

1 + M(2t) 2': 2[M(t)] 2

18. 18. Sea X la variable aleatoria discreta con función de densidad P(X = k) =

( 1 a+ a ) A A(A + 1)( 1. +. .a)(Ak k!+ k - 1 ), para k = 1, 2, . .

y P(X = O) =

.

( 1 :a )

A,

donde a > O, A

>

O.

Encontrar la función generatriz de momentos M(t) para la variable aleatoria X. Calcular E(X) y V(X). 18.19. Sea X la variable aleatoria con distribución binomial negativa con parámetros p E (0, 1 ) y r > O, esto es P(X = k + r ) = c -/)P'(-q)k, q = 1 - p, k = O, 1 , 2, . . . Encontrar la función generatriz de momentos para la variable aleatoria X.

288

CAP. 1 8. FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS

18.20. Encontrar la función generatriz de momentos para las siguientes distribuciones de probabilidad: a) o x-a+e e2 J(x) = x-a-e e2 o

para x ::::; a - e para a - e < x < a para a ::::; x < a + e para x 2: a + e

donde a y e pertenecen a Jos reales. b) X se distribuye en forma uniforme en el intervalo [a, b]. e) X tiene distribución de Laplaee, esto es J(x)

=

1

2 O.

IR,

d) X tiene distribución beta con parámetros a y {3 esto es,

J(x) =

{�

f(a + {3) a - ! x ( 1 - x) {3- 1 (a)r({3)

para O ::::; x ::::; 1 para las demás x

18.21. Se tira dos dados. Sea Z la variable aleatoria que representa la suma de

los puntos obtenidos en ambos dados. Encontrar la función generatriz de momentos para la variable aleatoria Z. 18.22. Encontrar la función generatriz de momentos de la variable aleatoria X que tiene una distribución ji cuadrada con v grados de libertad.

Respuestas 18.1.

Mx(l) = ¡= ix4xe- 2xdx ¡= 4xex(ti- 2)dx ( 1 - �) -2 ; E(X) = M( 1 )(0) = 1, V(X) = M(2)(0) - [M( 1)(0)¡2 = !2 6 ) Mx(t) = '""' 61 eitx =

18 . 2 .

a

L....

x= l

=

289

RESPUESTAS

18.3.

Para la variable aleatoria X con distribución geométrica tenemos, 00

00

x= l

x= l

+

00

x=l

= pi { 1 [(1 - p)eit ] + [(1 - p)eit]2 = peit

[

1 1 - ( 1 - p)eit

]

+

. .

·}

Ahora podemos calcular el valor esperado mediante

-

1 - ( 1 - p)eit ]peit i - peit[ ( 1 p )eiti] Mx(I) (t) = [ [1 - (1 p)eit ]2 peit [ 1 - ( 1 - p)ei1]2'

-

-

y evaluando en t = O obtenemos el resultado deseado

p

Mx( 1 ) (O) = - [ 1 ( 1 p)]2

1

p

En el caso de la varianza, es necesario primero calcular Ahora bien,

y

evaluando nuevamente en t

= O, resulta p + 2(1 - p)

p2

es fácil ver entonces que: V(X) = E(X2 ) - (EX)2 =

p +2(1p2 - p) - p2__!_ = 1 p2-

P.

- p + peit = + peit

18.4.

Mx(t) = 1

18.5.

Para la distribución binomial se cumple:

q

P(X = k) = (�) l(l - pt-k,

k = 0, 1, 2,3,

. . .

, n

para O < p <

1

290

CAP. 1 8. FU NCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS

entonces

=

Mx(t) = � eitk (�)lqn-k � (�}pi/qn -k = (p/1 q t donde q = 1 - p M�>(t) = npii[1 + p(eit - 1)f -2 MJc2> (t) = npi i(1 - p + npii)[1 + p(i - l)r- 2, +

en consecuencia resulta para el valor esperado y la varianza que:

= np y V(X) = np(1 - p + np) - n2p2 = np( l - p). eait 1 ( x-a ) dx = -1 100 e(itx- �+ª ) dx = -Mx (t ) = 100 e -e A a 1 - Ait a A r = eitx � e - lxl dx = � ¡o e(it>x)dx + � {oo e(itx-x>dx = l: Mx(t) = 1-� t2 1-� h ) y b) no cumplen la condición M(t) = M( -t) ) no cumple condición M(O) = 1 ) La función M(t) cumple la condición f::'oo I M (t)l . dt < entonces IM(t)l = e- 3111 1 cos(2t) + i sen(2t)l = e-31 1 1 y esto significa que E(X)

itx

18 • 6 .

-

-.--

A

A

18.7. 18.8. e

18.9.

a

oo ,

a

de aquí se deduce

J(x) = 2� ¡: exp( -itx + 2it - 3ltl ) dt -3 + i(2 - x) - 3 - i(2 - x) ] = ..!_ 3 . = _!_ i2 (2 - x)2 - 9 7T (x - 2)2 + 9 27T

[

La última expresión corresponde a una función de distribución de Cauchy con parámetros JL = 2, A = 3. b) J(x) = exp - � x2 ) ) J(x) = 1 - cos(x) ; x i= 0 e

� (

7TX2 d) M(t) = cos t = � (eit + e-it ) = � eit(-I) + � eit(I) entonces, P(x = 1 ) = 4 , P(x = -1) = 4 e) P(x = k) = 21 ( 21 ) lkl para k = ±1, ±2, ±3, ±4, . . . j) Se cumple en este caso que I M (t)l = lo que integral J:"oo I M (t)ldt. Por otra parte M(t) l,

-

f'211

significa qu ·s 1 1 na

·

1 10

t·xisl