Teoria de la relatividad -zenyu.pdf

PROLOGO Surge este trabajo ante una ausencia de texto alguno en español acerca de la Teoría de la Relatividad que abarque no sólo la aplicación de las fórmulas fundamentales (que es algo a lo que se limitan muchos libros de texto) sino la filosofía fundamental sobre lo que es realmente la Teoría de la Relatividad, cómo se fueron desarrollando las ideas hasta llegar a ella. Resulta lamentable que muchos libros de texto sobre este tema se limitan a reproducir algunas fórmulas aplicando dichas fórmulas a unos cuantos ejemplos particulares, dejándole al estudiante muchas dudas e inclusive cierto grado de perplejidad ante lo que parecen ser efectos sacados de un baúl de trucos de magia y paradojas aparentes que hacen dudar sobre las bases de la teoría. Aunado a lo anterior se enfrenta el obstáculo de que los efectos físicos que son consecuencia directa de la Teoría de la Relatividad no son apreciables en nuestra experiencia cotidiana dado que tales efectos sólo salen a relucir a velocidades comparables a la velocidad de la luz, la cual es extraordinariamente alta (300 mil kilómetros por segundo). Si la velocidad de la luz fuese de unos 2 mil kilómetros por segundo, seguramente estaríamos acostumbrados a sus efectos y la Teoría Especial de la Relatividad sería comprendida en sus efectos hasta por un niño de primaria por la familiaridad diaria con sus consecuencias. La ausencia de un buen libro introductorio en español e inclusive en inglés que le permita al lector no sólo comprender lo que es la relatividad sino que además le permita llevar a cabo la resolución de problemas numéricos o inclusive problemas generalizados es notoria. Así tenemos libros introductorios escritos para el público en general como el libro The Relativity Explosion de Martin Gardner, el cual intenta describir de manera detallada las filosofías que están detrás de las conclusiones y descubrimientos de la Teoría de la Relatividad, pero el cual por su ausencia de fórmulas y números aplicados sobre dichas fórmulas a casos particulares deja a sus lectores funcionalmente iletrados en lo que es la relatividad. Después de leer en su totalidad tal libro lo más seguro es que no podrán resolver ni siquiera un solo problema así sea sencillo que involucre fenómenos relativistas. Por otro lado, tenemos libros de texto universitarios como el libroFoundations of Modern Physics de Paul A. Tipler, el cual en las 51 páginas de las que consta el primer capítulo del libro enseña de manera concisa a sus lectores a resolver problemas simbólicos y numéricos relacionados con la Teoría Especial de la Relatividad, pero no recurre para nada a los diagramas espacio-tiempo concebidos originalmente por Hermann Minkowski, tan esenciales para poder obtener una perspectiva geométrica sobre los fenómenos relativistas. La didáctica utilizada por Tipler es una didáctica puramente algebraica, y al prescindir por completo de los diagramas espacio-tiempo limita las perspectivas de entendimiento de sus lectores, sobre todo en asuntos que involucran la simultaneidad, un fenómeno que se puede captar claramente en un diagrama espacio-tiempo. Por si esta deficiencia fuese poca, el libro de Tipler no dá ni siquiera la más remota pista a sus lectores acerca de lo que trata la Teoría General de la Relatividad. Los diagramas espacio-tiempo sí son utilizados en el libro Física (en su versión en Español) de los autores Francis W. Sears y Mark W. Zemansky, lo cual dá una buena perspectiva geométrica a los lectores sobre la interpretación de los fenómenos relativistas, pero lo que por un lado

generosamente dán con los diagramas espacio-tiempo (a los cuales llaman diagramas Brehme) por el otro lado lo quitan al omitir (seguramente por la naturaleza introductoria del libro aunque se trate de un texto universitario) totalmente no sólo la derivación de las fórmulas de transformación Lorentz-Fitzgerald sino toda la filosofía básica que subyace a los postulados básicos de la Teoría de la Relatividad, como tampoco hacen mención alguna a lo más elemental que yace detrás de la Teoría General de la Relatividad. De este modo, la perspectiva filosófica y la perspectiva algebraica son sacrificadas en aras de la perspectiva geométrica. Por otro lado, el libro Space, Time and Gravity de Robert M. Wald no lleva a cabo ni siquiera una introducción decente a los diagramas espacio-tiempo en menos de las cinco páginas que le dedica a tal cosa, para luego saltar directamente hacia la Teoría General de la Relatividad presentando un conjunto de fórmulas que los lectores no tienen ni siquiera la más remota idea de dónde pudieron haber salido. Los materiales propios requeridos para el estudio de la Teoría de la Relatividad se encuentran tan dispersos que inclusive en el venerable libro “Mathematical Methods for Physicists” de George Arfken (tercera edición, 1985) el importantísimo tensor de Riemann, tan fundamental para la geometría diferencial y el estudio del espacio-tiempo curvo, en vez de cubrirse en una sección dedicada única y exclusivamente a dicho tema, es relegado a uno de varios problemas en el capítulo 3.2 del libro, sin hablarse después más del asunto. ¡Y este es precisamente el libro de texto convencional usado por años en las universidades para educar a los físicos en el uso de las herramientas matemáticas que todo físico necesita para poder continuar adelante con estudios más especializados! Y si no les enseñan en este libro mucho sobre el tema, ¿entonces en dónde esperan que lo puedan aprender si no es que por cuenta propia? El libro Física Moderna de Ronald Gautreau y William Savin (de la Serie de Compendios Schaum) podría haber sido una buena opción, excepto que no dá una génesis coherente sobre el desarrollo de las ideas que condujeron a la Teoría Especial de la Relatividad ni habla en lo absoluto acerca de los diagramas de Minkowski ni toca para nada el tema de la Teoría General de la Relatividad. Y el libro Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Robert Resnick y David Halliday es todavía peor en el sentido de que simplemente se limita a reproducir varias de las fórmulas propias de la relatividad, y sin entrar en detalle sobre los orígenes filosóficos de la teoría y sin incluír mención alguna acerca de la existencia de los diagramas espacio-tiempo enfatiza la aplicación de las fórmulas a los ejemplos numéricos sobre los cuales se pueden aplicar directamente las fórmulas sin entender realmente lo que está sucediendo, lo cual tiene la desventaja de que hay muchos problemas sencillos que se pueden postular en un curso introductorio que no pueden ser resueltos con la mera aplicación de fórmulas aprendidas como dogmas traídos por un ser superior, problemas para los cuales es necesario comprender exactamente lo que está sucediendo. No se puede tratar de resolverlo todo o inclusive una ínfima parte del todo simplemente multiplicando o diviendo por √1 - V²/c² como acostumbran hacerlo muchos principiantes. Si no se sabe cómo fue obtenida una fórmula, menos se sabrá como modificar la fórmula para aquellos casos en los que el problema sea alterado un poco. Esta metodología para lo único que es buena es para memorizar, no para comprender, y ha sido la causante de que muchos estudiantes que simplemente se limitan a aplicar las fórmulas terminen con la impresión equivocada de que la relatividad es algo repleto de efectos casi mágicos, posibles ilusiones ópticas, o ultimadamente que se trata de una teoría equivocada. Y muchos que frustrados tratan de aprender por cuenta propia lo que es la Teoría de la Relatividad

frecuentemente se topan en las pocas bibliotecas técnicas que hay en México con libros sobre el tema que el asunto es tratado de una manera rigurosa e inclusive pedante en la cual se obscurecen conceptos esenciales con formalismo notacional que no ilustra mucho lo que se está estudiando. De este modo, en lugar del estilo relajado utilizado por matemáticos como Henri Poincaré que se explayaban en sus trabajos dando todo tipo de ejemplos ilustrativos esforzándose por hacerle entender a sus lectores las ideas que se les quería transmitir, lo que se tiene en muchos casos son textos que adoptan un rigorismo axiomático en el cual no se proporciona un solo ejemplo ilustrativo y que sólo se limitan a la derivación de teoremas a partir de los axiomas y definiciones que se van dando, siguiendo el método moderno para la publicación de trabajos científicos inspirado por el grupo Bourbaki con el cual se elimina todo lo que no es considerado estricta y absolutamente indispensable, eliminándose muchos pasos intermedios que se suponen “obvios”, aunque ello implique dejar a los lectores con muchas dudas. Si antes se tenía un formalismo moderado con el cual se dificultaba captar la naturaleza esencial de las ideas transmitidas, con el formalismo axiomático riguroso de hoy en día en muchos casos no se tiene ni siquiera la más remota idea de las posibles aplicaciones o la posible trascendencia de aquello de lo que se está hablando. En el camino de forjar una teoría generalizada en grado extremo, abstracta por excelencia, con un conjunto mínimo de axiomas y postulados, definiendo algunos términos básicos, derivando teoremas empleando estrictamente las reglas de la lógica simbólica, obtener resultados y corolarios y continuar derivando teoremas sin un solo ejemplo ilustrativo e inclusive sin recurrir a un solo diagrama, puede quedar la impresión en muchos de que en ese largo recorrido se están pasando por alto o se están perdiendo ideas importantes. Los rigoristas de hoy han olvidado que si no se le puede poner números a aquello de lo que se está hablando en realidad se sabe muy poco o tal vez no se sepa nada acerca de lo que se está hablando, y a ellos se les podría recordar la máxima de Lord Kelvin quien señaló: “Yo digo frecuentemente que cuando uno puede medir aquello de lo cual se está hablando, y expresarlo en números, entonces uno sabe algo acerca de ello”. Procediendo de una manera rigurosamente axiomática, formalista, bastarían tan sólo unas dos o tres páginas para decirle al lector que todo lo que tenga que ver con la Teoría General de la Relatividad se puede derivar de tan sólo dos ecuaciones:

lo cual es cierto. E inclusive, adentrándonos en el rigorismo, podríamos comenzar postulando a la siguiente cantidad conocida como la acción (el integrando es un concepto físico importante

conocido como el Lagrangiano) como punto de partida de la Teoría General de la Relatividad:

habido el hecho de que a partir de la extremización de la acción (con la ayuda del cálculo de variaciones que es esencialmente un refinamiento del procedimiento para obtener máximos y mínimos mediante el cálculo infinitesimal) se pueden derivar axiomáticamente las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General. Pero nadie en su sano juicio esperaría que algún lector sin experiencia previa en el asunto empiece a resolver de buenas a primeras problemas a partir de los anteriores enunciados matemáticos como lo haría alguien que haya tomado un buen curso previo sobre la materia. Se pueden tomar las ecuaciones anteriores como postulados, y con unas cuantas definiciones que se vayan agregando en el camino, se pueden ir derivando teoremas y lemmas y corolarios con los cuales se pueden seguir derivando más teoremas y más lemmas y más corolarios, y así la cosa hasta el infinito. Pero... ¿realmente se entiende aquello de lo que se está hablando? La derivación mecánica de resultados aplicando las reglas de la lógica es algo que, estrictamente hablando, lo puede hacer cualquier máquina programada para ello. Pero hasta la fecha son pocos, inclusive los más optimistas en el campo de la inteligencia artificial, los que esperan realmente que de una máquina aplicando a ciegas las leyes de la derivación lógica pueda salir una idea nueva. Aún otro obstáculo en el estudio independiente de la Teoría de la Relatividad lo constituye el hecho de que un mismo símbolo es usado frecuentemente para representar conceptos totalmente diferentes, como la letra griega delta minúscula δ que es usada para representar el símbolo delta de Kronecker δij, y es usada también para denotar la derivada absoluta, y es usada también para denotar la función delta de Dirac, y en el cálculo de variaciones se utiliza para representar lavariación de una integral a ser extremizada, lo cual desde luego podría ser solventado inventando una cantidad creciente de nuevos símbolos que a fin de cuentas sólo reemplazarían una complejidad por otra (la primera opción, retener un mismo símbolo para representar cosas distintas, parece ser mejor que la segunda). La contraparte son las definiciones matemáticas para las cuales no hay una convención universalmente aceptada, como el hecho de que en muchos libros los componentes de los vectores covariantes son representados con índices subscriptos (sub-índices) y los componentes de los vectores contravariantes son representados con índices superscriptos (super-índices), mientras que en muchos otros libros se lleva a cabo precisamente lo contrario representando los componentes de los vectores covariantes con índices superscriptos y los componentes de los vectores contravariantes con índices subscriptos; o como ocurre con los

símbolos de Christoffel que no sólo son representados con la notación usual gamma Γijk y Γijk sino que también son representados con paréntesis rectangulares [ij,k] y con notación de corchetes { }, lo cual sólo aumenta la confusión en los iniciados al ir de un texto a otro. Un libro muy bueno que tal vez sea una excepción a la regla de los libros pedantes, fanfarrones o incompletos sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad es el libro Relativity de Bernard F. Schutz, el cual tiene la enorme ventaja de que incluye al final del libro pistas y soluciones a los ejercicios de práctica propuestos en el libro, con los cuales el estudiante autodidacta puede ver por sí mismo qué tan bien ha comprendido el material. Desafortunadamente, además de que este libro es un libro en inglés que aún (2009) no ha sido traducido al español, este libro no está disponible en la gran mayoría de las bibliotecas técnicas y universitarias de la República Mexicana, y ello además de que se trata de un libro impreso no en los Estados Unidos sino en Inglaterra o Australia o algún otro país miembro del Commonwealth, lo que dificulta aún más obtener el libro. Otro problema en intentar comprender realmente de lo que trata la Teoría de la Relatividad frecuentemente es que la tarea es complicada por maestros que no saben explicar bien aquello de lo cual saben mucho, o peor aún que saben dar explicaciones perfectamente claras acerca de cosas sobre las cuales saben y entienden muy poco. Estoy convencido de que la única razón por la cual una persona se resigna a perder miles de horas de su corta vida calentando mesabancos sin aprender mucho o inclusive nada de aquellos malos maestros de los cuales debería de estar aprendiendo muchas ideas nuevas, privándose a la vez de otras satisfacciones que podría obtener de la vida, es porque tiene que cumplir con un requisito obligatorio aplicado por igual a todos los estudiantes, aguantando a esos malos maestros como un mal necesario de la vida ante los cuales solo queda resignarse mientras los cursos académicos felizmente lleguen a su fin. Otro estorbo en la difusión de las ideas fundamentales que hay detrás de la Teoría de la Relatividad es la formidable (e injustificada) reputación de que se trata de una teoría extremadamente complicada para la cual se necesita ser un genio para poder comprenderla. Una anécdota que viene al caso es una entrevista realizada al Profesor Arthur Stanley Eddington, en la cual el entrevistador pregunta: “Profesor Eddington, ¿es cierto que sólo hay tres personas en el mundo que entienden la teoría de Einstein?”, a lo cual supuestamente Eddington le responde: “¿quién es la tercera?” Como si todo lo que ya se ha señalado no fuesen suficientes intimidaciones, obstáculos e impedimentos para dificultarle al principiante el tratar de aprender por cuenta propia los aspectos relevantes de la Teoría de la Relatividad, otro problema con el que nos topamos es que no sólo hay autores que omiten pasos de desarrollo que tal vez para ellos serán muy obvios pero que no son nada obvios para quien está tratando de entender cada paso, sino que inclusive incurren en lo que parecen ser traspiés sin dar justificación alguna a la lógica empleada por ellos para asentar tales traspiés dándolos como hechos ciertos e incontestables. Un ejemplo entre muchos lo podemos tomar del reverenciado libro A First Course in General Relativity del muy respetado y alabado autor Bernard F. Schutz, en donde podemos leer en la sección 10.7 de su libro titulada

“Realistic stars and gravitational collapse” una derivación del momentum de Fermi que invoca al principio de incertidumbre de Heisenberg para asentar que para un electrón encerrado en una caja de volumen V, el momentum de dicho electrón es incierto por una cantidad del orden de (ecuación 10.71 en el libro): Δp = hV-1/3 que viene siendo lo mismo que: Δp · V3= h en donde h es la constante de Planck: h = 6.626·10-34 Joule·segundo h = 4.136·10-15 eV·segundo Lo primero que salta a la vista es que la ecuación dada por Schultz es dimensionalmente incorrecta. No existe forma alguna en la cual se puedan compaginar las unidades. Ello deriva del hecho de que la relación usual de la incertidumbre de Heisenberg es una fórmula unidimensional: Δp · Δx ≥ h/4π El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser extendido rigurosamente, desde luego, de una dimensión a tres dimensiones. Pero la fórmula así obtenida no se asemeja a la fórmula dada por Schutz. En una ciencia en la que hasta diferencias numéricas minúsculas en las masas de dos elementos distintos -después de la tercera o la cuarta cifras significativas- son importantes para calcular la enorme cantidad de energía liberada mediante el proceso de conversión de masa a energía, estas omisiones en las que con toda la naturalidad del mundo una potencia lineal es reemplazada por una potencia cúbica o viceversa son francamente imperdonables. Y si el lector intenta justificar por sí mismo la fórmula dada por Schutz, encontrará que el 99 por ciento de los libros que pueda consultar le darán la fórmula de Heisenberg en su versión unidimensional, no en su versión tridimensional, y cuando se la dan es probable que se la den como parte de un ejercicio puesto al final del libro para el cual no se dá la solución alguna dentro del libro. Complicando aún más las cosas está el hecho de que la derivación dada por Schutz ni siquiera es la derivación usual que se dá al momentum de Fermi, ya que mientras que Schutz parte del principio de incertidumbre de Heisenberg la derivación usual de la fórmula que se dá en la gran mayoría de los

libros de Mecánica Cuántica para el momentum de Fermi recurre a la especificación de niveles energéticos extendidos a lo que llamamos una esfera de Fermiencerrada dentro de una superficie de Fermi: http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy Por lo que podemos ver, la derivación dada por Schutz es una derivación muy sui generis, partiendo de una base que para él parece estar totalmente justificada y que no requiere mayores explicaciones al lector, y si lo que Schutz omitió en su libro resulta ser muy claro para él entonces se supone que debe ser también muy claro para todos sus lectores y para los maestros que adopten su libro como libro de texto, aunque desafortunadamente esto no sea el caso. Otro punto de contención que se puede formular en contra de muchos textos “clásicos” es el hecho de que asumen demasiadas cosas por enseñadas o explicadas en otros textos considerados más elementales. Un ejemplo lo podemos ver en la segunda edición del libro “Classical Electromagnetic Radiation” de Jerry B. Marion y Mark A. Heald en el Apéndice C “Fundamental Constants”, en donde para la carga eléctrica e del electrón se proporciona un valor de 4.803·10 10 statcoulombs, y debajo de dicho valor proporciona un valor de e² = 1.440·10-13 MeV-cm sin dar mayores explicaciones al respecto, lo cual puede dejar perplejo al lector. Pero no sólo no proporciona explicación alguna en dicho apéndice sobre el por qué o la forma en la cual se llevó a cabo esta conversión, tampoco dentro del libro hace mención alguna al respecto, suponiendo que la razón para esto seguramente fue enseñada en otros textos más elementales. Pero la gran mayoría de los textos considerados más elementales no hace tampoco mención alguna sobre el origen de esto, suponiendo que tal cosa será cubierta en mayor detalle en textos considerados más avanzados como el de Marion-Heald, y lo peor del caso es que en los textos considerados más elementales el sistema de unidades utilizado es el SI del cual la unidad de carga eléctrica statcoulomb no forma parte (el valor que utilizan es el de 1.6·10-19 coulomb, el cual está relacionado con el statcoulomb mediante la conversión 1 coulomb = 3·10 9 statcoulombs). Esto puede confundir y desesperar a cualquier principiante que se encuentra a sí mismo perdiendo una gran parte de su tiempo enfrascado en la conversión de unidades, algo en lo que no debería haber problema alguno. Y como éste caso se pueden citar millares de ejemplos en los cuales en textos considerados autosuficientes se utiliza información para la cual se dán muchas cosas por conocidas previamente aunque no haya razón para suponer que necesariamente tales cosas fueron enseñadas previamente en la gran mayoría de los cursos considerados más elementales. Una razón utilizada por muchos autores para no entrar en detalles aclaratorios sobre cosas que ameritan una mayor explicación es el argumento (yo lo llamaría más bien excusa, pretexto) de “la falta de espacio”. Afortunadamente, en Internet no se trabaja con tales limitaciones, y es posible explayarse de un modo que muchas casas editoras no lo permitirían. Naturalmente, si muchos libros en el mercado resultan demasiado crípticos para el lector ordinario por todas aquellas cosas omitidas por “la falta de espacio”, siempre existe la posibilidad de que tales libros evantualmente sean desplazados y pierdan una buena parte del mercado, reemplazados por materiales de mayor extensión que se pueden encontrar en Internet inclusive de manera gratuita.

Soy de la opinión de que el énfasis en rigorismo y en invención continua de notación matemática cada vez más elaborada y compleja tiene que ver directamente con el hecho de que en la actualidad no se estén dando ya los espectaculares avances que se estaban dando a principios del siglo XX en las ciencias básicas. A cambio de tanto rigorismo y tanto formalismo aplicado casi a ciegas lo que estamos obteniendo son teorías sumamente complejas como la teoría de las supercuerdas (string theory) que no han servido para proponer ni siquiera un solo experimento con el cual se pueda descubrir algo nuevo y confirmar así la teoría, en contraste con las ecuaciones originales de James Clerk Maxwell y de Albert Einstein a partir de las cuales se predijeron muchos efectos que posteriormente fueron confirmados en los laboratorios. No sé si haya un libro en inglés que subsane todas las deficiencias que han sido señaladas anteriormente. Si lo hay, no tengo conocimiento del mismo. Pero ciertamente tal libro no parece estar disponible para su venta en español; al menos yo no he visto un libro tal en las librerías dedicadas a la venta de textos universitarios y temas de índole técnica. Es por ello que, aprovechando la facilidad de poder llegar a través de Internet a un auditorio amplio, he decidido recopilar los materiales que se encuentran dispersos aquí y allá para presentarlos de una manera coherente y entendible. He tratado de mantener los materiales agrupados y seleccionados de modo tal que puedan ser comprensibles con un mínimo de estudios matemáticos. Pero no he tratado de incluírlo todo. Debe tomarse en cuenta que un curso completo sobre la Teoría de la Relatividad requeriría de un libro como el libro Gravitation de más de 1,200 páginas:

de Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (considerado por los estudiosos como la “Biblia” de la Relatividad General y conocido también entre la comunidad científica como el “Directorio Telefónico” por su grosor), siendo éste un libro que se utiliza a nivel de estudios de Doctorado en Física. No es el propósito de esta obra ser enciclopédica cubriéndolo absolutamente todo. Sin embargo, con los materiales que he incluído, al menos los que no son especialistas en el tema tendrán cierta idea sobre aquello de lo cual están hablando estos libros de texto avanzados, y tal vez hasta podrán entender algunas cosas en dichos libros, lo cual siempre es mejor que no entender absolutamente nada y no tener la menor idea sobre aquello de lo cual trata una de las teorías más revolucionarias de nuestros tiempos. Tal vez haya frases o comentarios dentro de este trabajo que a algunos lectores les parecerán demasiados obvias e inclusive superfluas. Por ejemplo, en varias partes el lector tal vez encontrará una referencia a cierto objeto moviéndose todo el tiempo en la misma dirección y sentido, y al ver esto tal vez se dirá a sí mismo: “¿Por qué se habla aquí de un objeto que se está moviendo en la misma dirección y sentido? ¿Es que acaso un objeto puede moverse en cierta dirección pero en diferente sentido?”. La respuesta que a veces sorprende a muchos está ejemplificada en el siguiente diagrama:

En este caso, tenemos un cuerpo A que está moviéndose siguiendo una dirección hacia la derecha. Pero el sentido en el que está moviéndose dicho cuerpo es realmente hacia donde lo está jalando el cuerpo B, que es hacia abajo. Al hablar de un cuerpo que está moviéndose en la misma dirección y sentido, se está hablando de un cuerpo que se está moviendo en la misma dirección y en el mismo sentido, literalmente hablando. Existen también otras definiciones con diferencias sutiles que desafortunadamente muchos maestros omiten señalar ya sea por olvido o por ignorancia, como el hecho de que utilizamos la palabra área cuando nos referimos al espacio comprendido dentro de una figura geométrica plana y utilizamos la palabra superficie cuando nos referimos al mismo espacio comprendido dentro de los bordes de una figura geométrica tridimensional (como lo es el caso de la superficie de una pelota); o como el hecho de que no es lo mismo velocidad que rapidez, ya que para definir la velocidad de un objeto generalmente la damos señalando la dirección hacia la cual se está desplazando dicho objeto o por lo menos le asignamos un signo positivo o negativo (por ejemplo un signo positivo cuando se trata de un cuerpo moviéndose hacia la derecha o un signo negativo cuando se trata del mismo cuerpo moviéndose en sentido contrario, hacia la izquierda) pero para definir la rapidez del mismo objeto simplemente damos la magnitud de la velocidad (por ejemplo, 5 metros por segundo) sin hacer referencia alguna a la dirección hacia la cual se está moviendo el objeto. Hay aún otras definiciones cuyo uso puede causar confusión en quienes adolecen de una mala enseñanza en sus estudios de secundaria y bachillerato, como la diferencia entre el concepto de masay el concepto de peso (la masa es algo intrínseco, invariable, medido en kilogramos, propio de un objeto cualesquiera que ocupe un lugar en el espacio y que inclusive pueda estar flotando en el espacio, mientras que el peso es la atracción ejercida por la gravedad sobre una masa, de forma tal que una masa de una tonelada -mil kilogramos- puede tener un peso igual a cero al estar flotando fuera del sistema solar, mientras que una masa de unos cuantos gramos puede tener un peso considerable sobre la superficie de un planeta como Júpiter). Y así como éstos hay otros detalles y expresiones similares empleadas aquí que vistas a fondo no son tan superfluas. En donde lo he considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios de práctica que el lector puede intentar resolver por sí mismo antes de irse un poco más abajo del mismo para ver su solución. En ningún caso he incluído problema o ejercicio para el que yo no dé solución alguna,

porque es mi objetivo no dejar con dudas a los lectores. Y esto aplica a toda la obra. He tratado también de recurrir a todo el arsenal disponible de elementos didácticos y pedagógicos para poder mantener centrada la atención del lector sobre el tema que se está discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas así como el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la importancia de algo en específico; y del mismo modo me he permitido agregar pasos extra en la derivación de resultados que frecuentemente son omitidos en los textos impresos. Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones y muchos pasos que son más que obvios para el maestro o para el especialista, pasos que son omitidos en la publicación de trabajos científicos, muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los que están iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del conocimiento, y es aquí en donde cualquier explicación adicional o comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector a comprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto es de lo que trata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado llevando a cabo en esta obra. La obligación del maestro no es dar explicaciones elegantes, su obligación es dar explicaciones entendibles, su obligación es enseñar, y en la medida en que el maestro pueda lograr esto habrá cumplido (o fracasado) en su misión fundamental que consiste en la transmisión de conocimientos. Las explicaciones elegantes, concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se pueden dejar para la publicación de trabajos científicos para cuya lectura se supone que los lectores están familiarizados e inclusive son expertos en el tema. Se ha hecho lo posible por hacer esta obra autosuficiente, proporcionando dentro de la misma las herramientas necesarias para poder avanzar sin necesidad de tener que estar buscando en las bibliotecas y en las librerías otros libros de texto de difícil obtención que recurren incluso a notación diferente que puede resultar confusa. Los materiales de referencia externos, cuando son citados aquí, son materiales que se pueden obtener rápidamente con una conexión a Internet. Como será obvio conforme el lector se adentre en el estudio de la materia, Einstein no formuló por cuenta propia todo lo que tiene que ver con la Teoría de la Relatividad, se tuvo que apoyar en los trabajos de otros científicos de primer nivel como Bernhard Riemann (el matemático que asentó sobre bases firmes la geometría diferencial y formalizó el estudio de las geometrías noEuclideanas), James Clerk Maxwell (el padre del electromagnetismo), Gregorio Ricci y su alumno Tullio Levi-Civita (creadores del cálculo tensorial) y Hermann Minkowski (descubridor de la interpretación geométrica de la Teoría de la Relatividad a través de los diagramas espacio-tiempo), y la labor ha tenido que ser continuada por científicos de la talla de Stephen Hawking y Roger Penrose. Pero el mérito de haber utilizado todas las herramientas disponibles en su tiempo para consolidar una de las teorías más brillantes del siglo XX es indiscutiblemente suyo, y ese es un mérito que nadie le va a negar. Aunque al tratar sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad se ha tratado de hacer el menor uso posible de las herramientas propias del cálculo infinitesimal, la transición hacia la Teoría Generalde la Relatividad requiere forzosamente de algunos conocimientos básicos del

cálculo infinitesimal, y no sólo del cálculo infinitesimal sino de otra rama de las matemáticas conocida como el cálculo tensorial (cuyos fundamentos son cubiertos en esta obra). Esta es la naturaleza de la bestia. De cualquier modo, hay mucho material que puede ser entendido aún por quienes no cuentan con estas herramientas matemáticas, se ha hecho aqui un esfuerzo adicional por lograrlo. Como corresponde a una obra de esta extensión, se ha suministrado al final de la misma una Bibliografía que incluye textos que van desde los más elementales hasta los que suelen considerarse más avanzados. También dentro de la Bibliografía, y reflejando el impacto que está teniendo la enciclopedia universal virtual Wikipedia como vasto repositorio de información suministrando una cantidad creciente de conocimientos en todas las áreas del saber humano, accesibles gratuitamente y en forma instantánea a todas horas del día, se ha proporcionado la lista de enlaces en los cuales los lectores pueden encontrar otras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra. Dicha lista ha sido puesta acomodando los enlaces siguiendo un orden similar al cual se van tratando los temas dentro de esta obra. En dicha lista los lectores encontrarán tanto enlaces Wikipedia en Español como enlaces Wikipedia en Inglés, esto en virtud de que los enlaces Wikipedia en Inglés por lo general tienen información más actualizada o están algo más completos que los enlaces Wikipedia en Español sobre los mismos temas, especialmente tratándose de temas en ciencia y tecnología, e inclusive hay ciertos temas que aparecen publicados en los enlaces Wikipedia en Inglés pero que no aparecen aún en los enlaces Wikipedia en Español. Siendo la Wikipedia una base de datos en proceso continuo de evolución, al igual que el mismo Internet, vale la pena tener todas las referencias y enlaces posibles de la misma tanto en Español como en Inglés para poder buscar así en uno algo que no se pueda encontrar en otro. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia. ¿En cuantas ocasiones el lector no se llegó a encontrar con la desagradable sorpresa de que después de encontrar un enlace interesante regresó tiempo después solo para descubrir que dicho enlace ya no existía y que posiblemente hasta el sitio en el que se encontraba alojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la información junto con todas las imágenes? Esta es la principal razón por la cual me he abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duración a largo plazo no esté garantizada. Como una muestra de la revolución informática que está ocurriendo desde que Internet irrumpió en la vida del hombre del Tercer Milenio, en algunas partes de esta obra se hace referencia a un nuevo medio de diseminación de trabajos científicos que está adquiriendo cada día mayor renombre. Se trata de arXiv, administrado por la Universidad de Cornell y financiado en parte por la National Science Foundation. Dados los costos involucrados en el pago de la compra o descarga via Internet de papeles cientificos publicados por las organizaciones profesionales establecidas, los cuales pueden irse acumulando rapidamente poniendo en aprietos los bolsillos de los academicos e investigadores que no son precisamente gente rica (un contrasentido considerando que en su gran mayoría los autores que envían sus trabajos para ser publicados en estos medios no lo hacen con fines de lucro), aunado a la lentitud con la cual puede tardar en aparecer publicado algún resultado importante mientras el trabajo es revisado por un equipo de colegas (proceso conocido

como revisión por pares conocido en inglés como peer review), todo esto está motivando a que la preferencia hacia los medios clásicos de publicación vaya menguando y que la atención se esté trasladando cada vez con mayor frecuencia a recursos más modernos en Internet tales como arXiv. En muchos campos de las matemáticas y la física, casi todos los artículos científicos de importancia se están colocando ya en arXiv. A la fecha de septiembre de 2007, arXiv contenía más de 440.000 trabajos imprimibles, lo que supone que miles de ellos son añadidos cada mes. Su existencia fue uno de los factores que condujo a que se precipitara la actual revolución en la forma en que se efectúan las publicaciones científicas, conocido como el “movimiento de libre acceso”, con la posibilidad de una eventual desaparición de las revistas científicas tradicionales que pueden terminar siguiendo el camino recorrido por los dinosaurios en su extinción. Los matemáticos profesionales y los científicos cargan regularmente sus artículos en arXiv.org para que haya un acceso mundial y algunas veces para que se revise antes de que sean publicadas en revistas. Aunque la falta de revisión por pares suscita alguna preocupación, no se considera un obstáculo para los usuarios de arXiv, ya que muchos autores son cuidadosos con sus contribuciones, y la mayoría de los e-prints también se envían a revistas científicas para que sean publicadas, pero algunos trabajos, incluidos algunos artículos influyentes, se quedan solo como e-prints y jamás son publicados en una revista científica. Un ejemplo bien conocido de esto último es una prueba de la conjetura de la geometrización de Thurston que resuelve finalmente la famosaconjetura de Poincaré como caso particular, enviada por Grigori “Grisha” Perelman el 11 de noviembre de 2002 bajo el título “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. Perelman parecía satisfecho de renunciar a una publicación tradicional revisada por pares, alegando que “Si alguien está interesado en mi forma de resolver los problemas, está todo ahí (refiriéndose a arXiv), dejemos que entren y lo lean”. En las entradas en esta obra en donde se trata el tema de la electrodinámica relativista, en lugar de la extensión del sistema de unidades MKS hacia el área del electromagnetismo convencionalizado conocido todo en conjunto como el sistema de unidades SI, se ha escogido al sistema Gaussiano de unidades. Aunque la gran mayoría de los lectores seguramente han sido expuestos al sistema MKS de unidades de uso tan común en la resolución de problemas prácticos de ingeniería, cuyas unidades son de un orden de magnitud que resulta útil en la discusión de efectos medibles a la escala de laboratorio (volts, amperes, webers/m², etc.), en el estudio de la interacción de la radiación electromagnética con los constituyenes elementales de la materia (átomos, fotones, etc.) resulta más conveniente adoptar el sistema Gaussiano de unidades. Una consecuencia en la adopción del sistema Gaussiano de unidades es que fórmulas que le resultan familiares a muchos estudiantes como la fórmula B = μH en el sistema Gaussiano se tome simplemente como la igualdad B = H sin que se vea a la constante de permeabilidad magnética μ presente. Pero la ausencia de μ en esta fórmula en el sistema Gaussiano de unidades se debe a la forma en la cual ha sido definido dicho sistema de unidades. Aún otra consecuencia es que la familiar fórmula que define al vector de Poynting como el producto cruz S =ExH se convierte en la fórmula S = (c/4π)ExH, haciendo que entre en el panorama la constante que simboliza a la velocidad de la luz. Sin embargo, este factor multiplicativo de c/4π resulta conveniente en los desarrollos que son llevados a cabo en el estudio de la electrodinámica clásica. (De cualquier

forma, para convertir una fórmula del sistema de unidades SI al sistema Gaussiano de unidades basta reemplazar la permitividad eléctrica del espacio libre ε0 con 1/4π y la permeabilidad magnética μ0con 4π.) Otra razón que justifica la adopción del sistema Gaussiano de unidades al tratar el tópico de la electrodinámica relativista es que una gran cantidad de libros de texto a nivel universitario y a nivel postgrado adoptan el sistema Gaussiano de unidades, y el adoptar aquí el sistema MKS puede causar confusión posterior al estar consultando varios textos, y esta sea tal vez la mejor razón de todas para no tratar de desviarse de algo que se ha convertido en una costumbre extendida. Se han incluído como parte de los apéndices de esta obra tanto el texto completo (en inglés) del primer trabajo que le fue publicado a Einstein en 1905 con el cual dió a conocer al mundo la Teoría Especial de la Relatividad, así como las copias más relevantes de su cuaderno de apuntes en el cual fue desarrollando a lo largo de dos años en forma manuscrita sus ideas principales acerca de la Teoría General de la Relatividad, la cual fue publicada en octubre de 1915. Se ha relegado también a los apéndices material importante que complementa las ideas expuestas en el interior de la obra o que expande el material expuesto hacia nuevos horizontes pero que no es indispensable para poder dar continuidad a lo que se está leyendo cuando se está siguiendo el orden de las entradas puestas en esta obra. Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo es una pequeña contribución al ambicioso objetivo de un mundo en el que todas las personas y cualquier persona tengan libre acceso a la suma total de los conocimientos de la humanidad. Aprovecho la ocasión para expresar mi más profundo agradecimiento a Roger Cortesi, quien generosamente proporcionó los medios para la generación automatizada a través de LaTeX de la tipografía requerida para la construcción de fórmulas matemáticas que hasta la fecha no pueden ser generadas automáticamente por ninguno de los navegadores de Internet (browsers) convencionales. IMPORTANTE: Este es un trabajo construcción, y sólo se considerará terminado cuando este último párrafo no aparezca aquí haciendo esta advertencia. Los huecos que aparezcan aquí y allá a espera de ser llenados en esta obra son la consecuencia inevitable de ser algo que está siendo elaborado simultáneamente en partes diferentes. Aunque conforme se van acumulando los materiales están siendo sometidos a un proceso de revisión continua, es inevitable que en una obra de esta magnitud surjan equivocaciones, errores tipográficos e inclusive fallos de lógica, por lo que agradeceré cualquier observación que se me haga llegar al respecto así como cualquier sugerencia para mejorías.

EL MOVIMIENTO ABSOLUTO

Empezamos nuestra disertación con un viajero que se acaba de subir a un tren de pasajeros en una estación de ferrocarriles y se acaba de acomodar en su asiento el cual está justo a un lado de una ventana que dá una vista hacia afuera. Una vez que el porter se ha asegurado de que todos los pasajeros le han entregado sus boletos de viaje y que están ya en sus lugares asignados, el tren se pone en movimiento enfilándose hacia su destino:

El viajero se dá cuenta de que el vagón de ferrocarril en el que viaja está en movimiento porque la vista que recibe del exterior le muestra que todo lo que observa de afuera, casas, praderas, edificios, llanos, granjas, etc., parece crear la ilusión de estarse desplazando todo junto en una

dirección contraria a la dirección hacia la cual se está moviendo el ferrocarril. Al caer la noche, los pasajeros bajan las cortinas de las ventanas para poder dormir, y todo lo que se siente es el vaivén del ferrocarril conforme avanza sobre las vías de acero. Es aquí cuando el viajero se percata de que al estar cerradas las cortinas, al no tener una vista directa desde el vagón hacia el exterior, ha perdido su punto de referencia visual con el cual podía darse cuenta sin el menor asomo de duda que el vagón de pasajeros en el que viaja estaba en movimiento sobre las vías del tren. De cualquier manera, él sabe que el pesado tren está en movimiento porque se está meciendo de un lado a otro produciendo vibraciones sensibles no sólo al oído sino al tacto, clara señal de que el tren mantiene cierto tipo de movimiento. Ahora llevaremos a cabo un experimento gedanken, un experimento realizado por completo dentro de la tranquilidad de nuestro pensamiento pero que no por ello deja de tener repercusiones completamente válidas para el mundo real en que vivimos como las podría tener un experimento llevado a cabo con instrumentos y aparatos costosos. Vamos a suponer que todas las ventanas del tren han sido selladas herméticamente de modo tal que será imposible tener la menor pista de que el tren está en movimiento por alguna señal visual llegada del exterior. El interior del tren se encuentra perfectamente iluminado por el sistema de energía eléctrica autónomo del convoy de ferrocarriles, pero no es posible ver hacia afuera porque el vagón es en efecto una caja herméticamente sellada. ¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón que nos transporta? Lo primero que se nos ocurre es la confirmación que nos dá el vaivén del vagón meciéndose de un lado a otro. Esto nos confirma que estamos en movimiento. Pero esta confirmación se debe a las imperfecciones de las vías del ferrocarril que no están situadas sobre una superficie horizontal perfectamente plana. En nuestro experimento gedanken, imaginemos que las vías del ferrocarril están colocadas sobre una superficie extensa perfectamente plana de modo tal que el vagón no tiene por qué mecerse de un lado a otro, e imaginaremos tambié que el tren se mueve siempre hacia adelante sin virar en lo más mínimo ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. De este modo el convoy de vagones se mueve sin mecerse de un lado a otro, y así hemos perdido otra pista que nos indicaba que estamos en movimiento. Pero aún nos queda el ruido estridente que producen las ruedas de acero del ferrocarril tallando sobre las vías de acero en las que se mueve. Sin embargo esto se puede solucionar sellando acústicamente el vagón de ferrocarril de modo tal que no sea posible percibir ruido alguno llegado del exterior, con lo cual estaremos viajando en un tren perfectamente blindado en contra de ruidos (si el viajero es sordo, tal blindaje acústico no será necesario). Tal vez se nos ocurra hacer trampa con un amigo situado en el exterior que a través de un teléfono

celular nos llame del exterior y nos confirme que el tren está en movimiento. Pero supondremos que no contamos con tal ayuda. Supóngase que el tren es un tren bala de diseño ultramoderno que está viajando a una velocidad extremadamente elevada con respecto al suelo, digamos a unos 500 kilómetros por hora. Se nos podría ocurrir otra cosa; se nos podría ocurrir saltar hacia arriba dentro del vagón de ferrocarril para no tener contacto alguno con el piso del mismo por algunos segundos, en la creencia de que al estar separados del piso por ese breve lapso de tiempo suspendidos en el aire el vagón continuará con su movimiento rápido de 500 kilómetros por segundo mientras que nosotros iremos quedando atrás, y al caer tocando nuevamente el piso estaremos en una posición más atrás de la posición desde la cual habíamos saltado. Sin embargo, al hacer esto, descubrimos que ésto no funcionará tampoco, caeremos exactamente en el mismo sitio desde el cual saltamos hacia arriba. Esto se debe a que si bien el tren se está moviendo a una rapidez elevada, a 500 kilómetros por hora, nosotros con los pies puestos firmemente sobre el piso del vagón también nos estaremos moviendo a los mismos 500 kilómetros por hora, y al despegarnos del piso del tren seguiremos moviéndonos a la misma velocidad de 500 kilómetros por hora, porque en un vagón perfectamente blindado no hay nada que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Esto es algo que nos garantiza una de las leyes de Newton que nos dice que todo cuerpo permanece en estado de reposo o en su movimiento rectilíneo mientras no intervenga una fuerza externa que modifique dicho estado de reposo o de movimiento rectilíneo, y en un vagón perfectamente sellado no hay fuerza horizontal alguna actuando en contra nuestra que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Si el vagón estuviera al descubierto, sin techo y sin paredes, entonces al saltar hacia arriba la fuerza del aire exterior actuando como un viento en contra de nosotros nos haría caer más atrás, pero esto se debe a que al saltar y despegarnos del piso del vagón por breves instantes el vagón ya no nos puede seguir arrastrando con la misma velocidad al no tener nosotros ya el momentum para sobreponernos a la resistencia del aire. En un vagón perfectamente sellado, no hay corrientes de aire que nos puedan mover de un lado a otro cuando saltamos, así que un brinco hacia arriba nos hará caer en el mismo punto del cual saltamos. Esta es una experiencia que tal vez muchos habrán compartido cuando al estar viajando dentro de un camión de pasajeros circulando por la carretera saltaron hacia arriba creyendo que iban a caer un poco más atrás y cayeron en el mismo lugar del cual saltaron. Al fallar lo anterior, nuevamente, volvemos a formularnos la pregunta de antes: ¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón que nos transporta? Si hemos sido raptados, anestesiados, y despertamos después en un vagón de ferrocarril perfectamente sellado del exterior, lo primero que desearíamos saber es si el tren en el que viajamos está en movimiento. Pero sin pista visual alguna y sin pista acústica alguna, tal cosa se antoja problemática. Es entonces cuando tratamos de recurrir a la física, cuando tratamos de recurrir a cierto experimento mecánico que nos permita darnos cuenta de que estamos en

movimiento. Aquí se vale de todo. Se vale sacar balanzas, agujas colgando de hilos delgados, medidores de presión barométrica, en fin, todos los instrumentos y aparatos que se nos pueda ocurrir. Sin embargo, conforme hacemos experimento tras experimento, encontramos que no hay absolutamente nada de índole mecánica que nos confirme que nos estamos moviendo, por la sencilla razón de que todos nuestros instrumentos y aparatos mecánicos están en reposo frente a nosotros moviéndose exactamente a la misma velocidad a la cual nos estamos desplazando en el tren. Adentro del vagón perfectamente blindado, todo se encuentra en un reposo tan perfecto como el reposo en el que nos encontraríamos afuera en un laboratorio escolar. Aquí seguramente habrá críticos que dirán que esta es una situación altamente hipotética, altamente idealizada, de un experimento imposible de llevarse a cabo. Sin embargo, esto no es así, ya que para llegar a las mismas conclusiones todo lo que tenemos que hacer es subirnos a una nave espacial y salir fuera de la órbita terrestre. Estamos en la nave espacial, y de repente al asomarnos por una de las ventanas de la misma vemos pasar un asteroide a gran velocidad muy cerca de nosotros el cual casi se estrella contra nuestra nave. Aquí decimos: “Qué rápido se está moviendo el asteroide”. Pero un naúfrago espacial varado en el asteroide muy bien nos podría decir “Qué rápido se está moviendo esa nave espacial”. Tanto nosotros como el naúfrago espacial varado en el asteroide podríamos enfrascarnos en un debate diciendo que es el otro el que se está moviendo a gran velocidad. ¿Pero cuál de los dos tiene la razón? En realidad, ninguno, no a menos de que exista un experimento mecánico que permita determinar de modo absoluto quién es el que se está moviendo. Y para que la respuesta sea válida, tendría que existir algún punto de referencia absoluto, algo que por su misma naturaleza pudieramos clasificar en un estado de reposo absoluto, con respecto al cual tanto nosotros como el náufrago espacial podríamos dirimir el asunto sobre quién es el que realmente se está moviendo, porque podría muy bien suceder que si bien nosotros y el náufrago espacial varado en el asteroide nos estamos viendo el uno al otro moviéndonos en direcciones opuestas a gran velocidad el uno con respecto al otro, ninguno de los dos realmente está en reposo con respecto a otro punto de referencia absoluto si es que pudiera existir una cosa así. En base a lo anterior, los siguientes tres puntos de vista para dos naves espaciales que se encuentran en el espacio viajando en direcciones opuestas producirán los mismos resultados numéricos para cualquier tipo de experimento mecánico que se pueda llevar a cabo:

En el primer caso, la nave inferior se considera a sí misma que está parada flotando en el espacio, mientras que ve pasar por encima de ella a otra nave espacial viajando a una velocidad de 500 metros por segundo, a la cual el tripulante de la nave inferior le dice “yo estoy parado flotando en el espacio, eres tú el que se está moviendo”. En el segundo caso, el tripulante de la nave que pasa por arriba, le contesta: “eso no es cierto, yo soy el que está detenido flotando en el espacio, eres tú el que se está moviendo a una velocidad de 500 metros por segundo. Y en el tercer caso, con respecto a un tercer observador externo a ambas naves, las dos se están moviendo en sentidos opuestos cada una con una velocidad de 250 metros por segundo. ¿Quién tiene la razón? Todos, y a la vez ninguno. Todos tienen la razón porque al no poder detectarse el movimiento absoluto los

tres anteriores supuestos son igualmente válidos. Y todos están equivocados si insisten en afirmar cada uno que su punto de vista es el correcto y los demás están en el error. Por lo pronto, y regresando a nuestro vagón blindado de ferrocarril en la tierra, tenemos que aceptar querámoslo o no que no existe experimento alguno de índole mecánica que nos permita saber si nos estamos moviendo. Esto era algo que ya se sabía desde los tiempos de Galileo y que fué formalizado tiempo después por Newton con sus leyes con las cuales dió inicio a la mecánica clásica tal y como la conocemos hoy en día. No existe ningún experimento de índole mecánica que nos pueda indicar que estamos en moviento. Lo que acabamos de enunciar tiene alcances y repercusiones mucho más profundas que lo muchos pudieran suponer. Regresemos al viajero que está en un vagón del ferrocarril en movimiento. Un observador estacionario situado a un lado de las vías del ferrocarril que tenga sus pies plantados firmemente sobre la Tierra podría sentirse tentado a decirle en voz alta al viajero: “Indudablemente que tú eres el que se está moviendo. No puedes argumentar que el ferrocarril está parado y que son las vías del ferrocarril las que se están moviendo en sentido contrario junto con todo lo que tú estás viendo moverse a través de tu ventana de observación, incluyendo los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, todo incluyéndome a mí. Yo soy el que está parado, y tú indudablemente eres el que se está moviendo”. El argumento anterior podría parecer razonable a primera vista. Sin embargo, es una falacia. Supóngase que hemos construído un ferrocarril cuyas vías han sido colocadas siguiendo la ruta del ecuador de la Tierra. Supóngase ahora que el ferrocarril se pone en movimiento en sentido contrario al sentido de rotación de la Tierra. La Tierra, en virtud de su movimiento de rotación alrededor de su eje, movimiento que dá origen a los días y las noches, dá un giro completo en 24 horas. Usando radianes como medida de desplazamiento angular, la velocidad angular ω de rotación de la Tierra será entonces: ω = 2π radianes/24 horas ω = 72.722 * 10-6 radianes/segundo Por otro lado, la velocidad tangencial VT en la superficie de un cuerpo en rotación que está girando a una velocidad angular ω a una distancia r del eje de rotación de dicho cuerpo está dada por: ω = VT / r

Suponiendo para la Tierra un radio medio en su ecuador de r = 6.37 * 106 metros, la velocidad tangencial VT en la superficie del ecuador de la Tierra con respecto a su eje de rotación será entonces: VT = ωr VT = (72.722 * 10-6 radianes/segundo)(6.37 * 106 metros) VT = 463.24 metros / segundo Si el ferrocarril se pone en marcha en sentido contrario al movimiento de rotación de la Tierra a una velocidad de 463.24 metros por segundo, y si empieza el viaje al mediodía con el Sol directamente encima, entonces el Sol parecerá estacionario sin moverse un solo milímetro. Para alguien flotando en el espacio encima del ferrocarril, la bóveda celeste parecerá estacionaria, y todo lo demás fuera del ferrocarril parecerá estarse moviendo, incluyendo las vías sobre las cuales está montado el ferrocarril, los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, los lagos, incluyendo desde luego al observador estacionario en la Tierra que le decía al viajero que era él quien estaba en reposo absoluto. Fuera del ferrocarril, para todos, amanecerá y anochecerá, los días transcurrirán como siempre, mientras que para el viajero dentro del ferrocarril el Sol seguirá puesto encima de él sin moverse para nada. De repente, el viajero en el ferrocarril parece haberse convertido en el observador privilegiado que se siente tentado a decir que él sí está en estado de reposo absoluto. Siguiendo un impulso egocentrista, podríamos sentirnos tentados a afirmar que la Tierra es el centro del cosmos, dándole a la Tierra una condición de reposo absoluto y negando el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Esta fue precisamente la cuestión por la cual el físico italiano Galileo Galilei fue acosado por la Santa Inquisición, en tiempos en los que por motivos religiosos se consideraba al hombre como el centro de la Creación, el centro del cosmos, con la bóveda celeste girando en torno suyo certificando su posición privilegiada como criatura predilecta de Dios. Lo único que pudo hacer Galileo después de ser obligado a negar el movimiento de rotación de la Tierra fue exclamar en voz baja: “Y sin embargo se mueve”. Sin embargo, ni aún compensando por el movimiento de rotación de la Tierra con un ferrocarril construído siguiendo la ruta del ecuador le sería posible a un el viajero dentro del ferrocarril considerarse a sí mismo como un observador privilegiado en reposo absoluto, en virtud de que la Tierra no sólo tiene un movimiento de rotación en torno a su eje sino que además tiene un movimiento de traslación alrededor del Sol, precisamente el movimiento que dá origen a las estaciones del año.

Fracasando en nuestros intentos por encontrar en la Tierra un punto de referencia absoluto con respecto al cual el movimiento absoluto se pueda medir, podríamos sentirnos tentados a asignarle al Sol un papel privilegiado, considerándolo como el centro del Universo. De esto es de lo que trata la creencia en la teoría heliocéntrica (el Sol es el centro del cosmos) sostenida inclusive por los astrónomos Copérnico y Kepler que se encargaron de darle la puntilla a la teoría geocéntrica (la Tierra es el centro del cosmos). Pero esto a la postre resulta ser también una ilusión, por el hecho de que el Sol no es más que una estrella más dentro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, habiendo muchas otras estrellas albergando otros sistemas solares, todos los cuales resultan estar también en movimiento dentro de la Vía Láctea. El anterior fracaso podría llevar a algunos a intentar proclamar a la Vía Láctea, nuestra propia galaxia, como el centro del cosmos, el centro del Universo. Pero nuestra galaxia no es la única galaxia del Universo. En nuestra mira de observación con la ayuda de nuestros instrumentos actuales hay billones y billones de otras galaxias, a ninguna de las cuales puede asignársele una posición privilegiada por el hecho de que todas las galaxias se están separando la una de la otra debido a la expansión continua del cosmos. Y esta es una expansión que tampoco tiene un “centro de origen”, un centro de la explosión inicial que hoy conocemos como el “Big Bang”. Parece que hemos agotado todas las posibilidades de poder detectar el movimiento absoluto recurriendo a referencias astronómicas además de tratar de recurrir a experimentos de índole mecánica. Sin embargo, a principios del siglo XX, había una esperanza basada en un descubrimiento sobre otro tipo de fenómenos físicos, un descubrimiento que llevó a físicos de primera línea a postular la existencia de una substancia universal conocida como el éter, con respecto al cual debería ser posible en principio determinar el movimiento absoluto no por medios mecánicos, sino por medios ópticos, usando rayos de luz.

UN DESCUBRIMIENTO SORPRENDENTE Descartada totalmente la posibilidad de poder determinar por medio de algún experimento propio de la mecánica si algo está en estado de movimiento con respecto a algún punto de referencia que pudiera considerarse absoluto, en cierto momento renació la esperanza de que tal cosa pudiera lograrse no por medios mecánicos sino por medios ópticos llevados a cabo dentro de un vagón de ferrocarril perfectamente blindado. Es aquí cuando entra en el panorama el físico matemático James Clerk Maxwell, el cual asentó firmemente sobre bases matemáticas los principios básicos del electromagnetismo enunciados desde los tiempos de Faraday, enunciando las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo con las cuales ganó para sí mismo la inmortalidad en la comunidad científica:

Estas cuatro fórmulas están elaboradas en notación vectorial (las cantidades D, B, E, H y J sonvectores, o mejor dicho campos vectoriales en analogía con las líneas de fuerza que representan un campo gravitacional, y como tales son cantidades que tienen dirección y sentido como el viento que sopla en las praderas), lo cual simplifica enormemente el pronunciamiento de las mismas debido a que el enunciamiento es independiente del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.) que se utilicen en el estudio de algún fenómeno electromagnético particular. La primera ecuación nos dice esencialmente que el flujo neto (divergencia) de las líneas de fuerza eléctrica que salen (o entran) de cualquier recipiente cerrado depende de la densidad de la carga eléctrica ρ que encierra dicho recipiente (para un recipiente dentro del cual no hay carga eléctrica alguna almacenada en su interior, el flujo neto de las líneas de fuerza eléctrica sobre toda la superficie del recipiente es cero); la segunda ecuación nos dice que todas las líneas de fuerza de un campo magnético (como las de un imán) forman

siempre un bucle cerrado (no existen monopolos magnéticos, esto es, una partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Norte de un imán, y otra partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Sur del imán) y por lo tanto la divergencia de las líneas del campo magnético es siempre cero (el flujo neto de las líneas de fuerza del campo magnético que entren a cualquier recipiente cerrado restado del flujo de las líneas de fuerza del campo magnético que salgan del mismo recipiente será exactamente igual a cero en todos los casos); mientras que la tercera y la cuarta ecuación nos dicen que todo campo eléctrico que varíe con el tiempo producirá campos magnéticos rotacionales del mismo modo que todo campo magnético que varíe con el tiempo producirá a su vez campos eléctricos rotacionales. Se puede demostrar a partir de las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell, como el mismo Maxwell lo descubrió por vez primera, que la velocidad de una onda electromagnética en el vacío que consta de un campo eléctrico E y un campo magnético B perpendiculares el uno al otro y alternantes sinusoidalmente en el tiempo:

depende única y exclusivamente de la permitividad eléctrica del vacío ε0 y de la permeabilidad magnética del vacío μ0, y la velocidad para dicha onda electromagnética debe ser:

Los valores experimentales para estos parámetros ya eran conocidos en los tiempos de Maxwell, de modo tal que no fué para él ningún problema llevar a cabo una substitución de dichos valores para poder saber cuál era la velocidad de una onda electromagnética propagándose en el vacío. PROBLEMA: En el sistema de unidades SI (MKS) se aceptan generalmente como válidos los siguientes valores experimentales para la permitividad eléctrica y para la permeabilidad magnética

del vacío: ε0 = 8.854 × 10-12 farad/metro μ0 = 12.5664× 10-7 henry/metro Determínese, a partir de estos valores experimentales, la velocidad de una onda electromagnética propagándose en el vacío. Puesto que las unidades SI del farad y el henry son algo crípticas para quienes no están familiarizados con estas unidades, las pondremos en una forma más convencional acorde con las unidades que se utilizan en la Mecánica. Empezaremos con la unidad del farad. De la teoría básica del campo eléctrico, la capacitancia C de un condensador es igual a la carga eléctrica Q almacenada por el condensador dividida entre el voltaje V que hay entre las terminales del condensador, según la fórmula C = Q/V. Esto significa que, dimensionalmente, un farad es igual a un coulomb de carga eléctrica dividido entre un volt: 1 farad = 1 couloumb/volt Entonces la unidad de la permitividad eléctrica es: 1 farad/metro = 1/(1 coulomb/volt) = 1 coulomb/volt·metro Pero el voltaje V se define como el trabajo W hecho sobre una unidad de carga Q para moverla de un punto con un potencial V1 a otro punto con un potencial V2, dividido entre el valor de la carga, o sea V = W/Q. Y el trabajo mecánico se define como el producto de la fuerza aplicada (medida en newtons) por la distancia recorrida (medida en metros). Entonces, dimensionalmente hablando, una unidad de voltaje es igual a: 1 volt = 1 newton·metro/coulomb Entonces podemos escribir la unidad dimensional de la permitividad eléctrica del modo siguiente: 1 coulomb/(1 newton·metro/coulomb)·metro

O sea: 1 farad/metro = 1 coulomb²/newton·metro² De este modo: ε0 = 8.854 × 10-12 coulomb²/newton·metro² Ahora trabajaremos con la unidad del henry. El henry es la unidad utilizada para medir la inductanciaeléctrica L de una bobina, de acuerdo con la fórmula: ε = - L di/dt De modo que, dimensionalmente hablando: 1 volt = 1 henry · (1 ampere/segundo) Pero un ampere de corriente eléctrica es por definición igual a un coulomb por segundo de carga eléctrica Q atravesando una superficie imaginaria: 1 ampere = 1 coulomb/segundo Entonces: 1 volt = 1 henry · (1 coulomb/segundo)/segundo) Despejando para la unidad del henry: 1 henry = 1 volt · segundo²/coulomb Entonces la unidad dimensional SI para la permeabilidad magnética μ 0 puede escribirse en la

siguiente forma igualmente válida: 1 henry/metro = 1 volt · segundo²/coulomb · metro De este modo, utilizando el equivalente “mecánico” del volt obtenido en el caso de la permitividad eléctrica, podemos escribir la permeabilidad magnética del modo siguiente: μ0 = 12.5664× 10-7 newton · segundo²/coulomb² Podemos proceder a la aplicación de la fórmula de Maxwell para la velocidad de una onda electromagnética verificando al mismo tiempo la correcta cancelación y simplificación de unidades: μ 0 ε0 = (12.5664·10-7 newton·seg²/coulomb²)(8.854·10-12 coulomb²/newton·metro²)

μ0 ε0 = 1.1126·10-17 segundo²/metro² Finalmente: v² = 1/μ0 ε0 = 1/1.1126·10-17 segundo²/metro²

v = 1/(3.356·10-9 segundo/metro) v = 299,795,638 metros/segundo Este resultado seguramente habrá llamado de inmediato la atención de Maxwell, porque esta es precisamente la velocidad de la luz en el vacío. Y puesto que la luz viaja en el vacío a esta velocidad, Maxwell concluyó de inmediato que la luz puede ser considerada como una onda electromagnética que consta de campos eléctrico y magnético alternantes. A la velocidad de la luz se le identifica comúnmente en la actualidad con la letra c, de modo tal que la conclusión de Maxwell puede ser enunciada de la siguiente manera con el significado filosófico que ello conlleva:

Este descubrimiento sorprendente presentó casi de inmediato un problema fundamental. Siempre que hablamos de la velocidad de algo lo hacemos tomando otra cosa como referencia para medir dicha velocidad. Si decimos que algo, por ejemplo un avión, tiene una velocidad de 10 metros por segundo, entonces debe de estarse moviendo a 10 metros por segundo con respecto a otra cosa, en el caso del avión, con respecto al suelo. No tiene sentido ni lógica alguna hablar acerca de la velocidad de algo utilizando ese algo como su propia referencia del mismo modo que no tiene sentido alguno hablar acerca de una línea paralela cuando no existe otra línea recta con respecto a la cual se pueda compararla para decir que es paralela, del mismo modo que no podemos decir que algo se encuentra “arriba” cuando no hay nada “abajo” de ese algo. Y el resultado obtenido no es algo que podamos reinterpretar a nuestro antojo, ya que la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del vacío son atributos propios universales del mismo vacío que darán los mismos valores en cualquier parte del Universo en donde nos encontremos. Lo interesante de la fórmula de Maxwell es que la velocidad de la luz aparecía como un valor único, constante, invariable. ¿Pero con respecto a qué? Los físicos clásicos entrenados en la filosofía del universo mecanístico de Newton, presionados a proponer alguna salida al dilema sobre qué exactamente significaba esa velocidad de la luz considerada como una onda electromagnética no tardaron en inventar el medio en el cual se transmitía dicha onda, y la respuesta natural dada en aquél entonces fue que esa era la velocidad de la luz con respecto al éter (la palabra aquí no tiene ninguna relación con el compuesto químico óxido de etilo del mismo nombre con fórmula química (C2H2)2O que es utilizado como anestésico por los doctores, sino con la idea de lo que es etéreo, celestial, algo llenando a la bóveda celeste de confín a confín). Para formular tal proposición se tomó en cuenta que, si de acuerdo con el resultado obtenido por Maxwell, la luz es una onda electromagnética, entonces para poder propagarse de un lado a otro tenía que hacerlo sobre el medio en el cual supuestamente estaba vibrando, del mismo modo en que los sonidos que escuchamos todos los días no son más que ondas acústicas formadas por compresiones y enrarecimientos del aire sumamente rápidas (en el vacío del espacio exterior en donde no hay aire, tampoco hay sonido alguno), del mismo modo en que ocurre en una “ola” de gente en cuya producción participan espontáneamente miles de aficionados presentes en un partido de futbol levántandose de sus asientos por breves instantes cuando les toca ser parte de la “ola”. Sin la presencia de los aficionados en las gradas, esas “olas” no se dán, del mismo modo que sin la presencia del aire no es posible que se produzca sonido alguno. Siendo la luz una onda electromagnética, el concepto del éter parecía una suposición lógica y natural. La postulación de la existencia del éter no sólo era deseable para suponer al éter como el medio a través del cual se propagan las ondas magnéticas luminosas, también era deseable desde el punto de vista filosófico e inclusive religioso, ya que permite evadir el tema delvacío total, ese vasto espacio entre los

planetas, entre los sistemas solares y entre las galaxias en el cual a nuestra vista no parece haber absolutamente nada. Desde tiempos de la antigüedad, el vacío total ha sido una idea cuya sola mención a causado angustia e inclusive espanto entre filósofos y religiosos de renombre, porque el vacío total representa la nada, la ausencia de todo. El omnipresente éter, invisible a nuestros ojos, era la solución científica ideal con la cual la ciencia podía reconfortar a los preocupados por tal cuestión haciéndoles saber que el vacío total, el vacío absoluto, era algo que no existía, porque las vastas regiones del cosmos en donde no parecía haber nada de materia estaban repletas de éter, así que siempre había algo que llenaba “los espacios vacíos”. El éter, aunque debía ser capaz de poder “vibrar” (para poder transmitir las ondas electromagnéticas luminosas), debía permanecer completamente inmóvil con respecto a todos los objetos materiales, más bien los objetos materiales eran los que se movían a través de él, como el movimiento de una coladera a través del agua. Aunque el éter fuese una substancia invisible, incorpórea, una substancia que no puede ser vista directamente, escuchada, tocada, olida o paladeada, el movimiento absoluto de los planetas con respecto al éter debía ser detectable recurriendo a experimentos hechos con rayos de luz. Al éter se le suponía como algo completamente rígido, indeformable de confín a confín del Universo. Sus propiedades no podían ser menos que fantásticas. Tenía que poseer una rigidez extraordinaria para poder dar apoyo a ondas electromagnéticas de una frecuencia tan elevada como la poseída por los colores de la luz del espectro visible (en las guitarras y en todos los instrumentos de cuerda, para producir los sonidos más agudos, los de mayor frecuencia, la tensión de la cuerda que los produce tiene que ser mayor que la tensión de la cuerda requerida para producirlos sonidos graves, en virtud de que la velocidad de las ondas en una cuerda tensa es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda), pero pese a esta extraordinaria rigidez el éter no parecía tener efecto alguno sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol cuyas órbitas se podían predecir clásicamente con un buen nivel de precisión usando las fórmulas de Newton para la atracción gravitacional entre el Sol y los planetas, ignorando en dichas fórmulas cualquier efecto de retardo que el éter pudiese producir en los movimientos de los planetas. A diferencia del agua en los océanos de la Tierra, en los cuales se forman corrientes internas, en el éter cósmico no había tales “corrientes de éter”. El éter era uno solo, inamovible, como si fuese un bloque infinitamente grande de hielo, de modo que si algún observador privilegiado pudiera situarse en estado de reposo absoluto con respecto al éter en cualquier ciudad de la Tierra, podía tener la seguridad de que también estaba en reposo absoluto con respecto al éter en cualquier parte del Universo. El éter era el marco de referencia ideal con respecto al cual se podía medir el movimiento absoluto. Y aparentemente también era inmune a los cambios de temperatura así como químicamente inerte, ya que no parecía haber substancia alguna conocida con la cual el éter pudiera reaccionar químicamente. Pero no sólo era el éter algo completamente rígido a través del universo entero e inmune a los cambios de temperatura así como químicamente inerte. También era completamente poroso y permeable, estaba metido dentro de todo, inclusive dentro de las cajas fuertes de los bancos suizos o en vagones sellados de ferrocarriles en movimiento. El éter podía estar en cualquier parte en donde pudiera producirse

un rayo de luz. El mismo Maxwell determinó para el éter una densidad específica de 9.36·10 -19, un coeficiente de rigidez de 842.8, y una estimación de que la densidad del aire a una distancia infinita de la Tierra era 1.8·10327 veces menor que la densidad por él estimada del éter. Pero no había científico alguno que se atreviera a aventurar una hipótesis sobre cuál era la substancia de la cual pudiera estar constituído el éter, ya que en la química de aquellos tiempos no se conocía elemento alguno que pudiera tener tan fantásticas propiedades. En realidad, la única razón de ser del éter era servir como medio universal de conducción para las ondas electromagnéticas del mismo modo que el aire sirve como medio de conducción para las ondas acústicas. La universalidad y absoluta rigidez del éter permitió suponer que la velocidad de la luz con respecto al éter tal vez pudiera utilizarse como el punto de referencia absoluto para la determinación del movimiento absoluto que no se había podido encontrar por medios puramente mecánicos hasta entonces. Aquél cuya velocidad fuera igual que la velocidad c de 300 mil kilómetros por segundo podría considerarse a sí mismo en estado de reposo absoluto con respecto al éter, mientras que todo aquél cuya velocidad fuese mayor o menor que la velocidad de la luz podría considerarse a sí mismo en estado de movimiento con respecto al nuevo estándard de referencia, el éter. Y de este modo habría también una manera de determinar quién o quiénes están en estado de reposo o en estado de movimiento con respecto a este nuevo parámetro. Volviendo nuevamente a una nave espacial con forma de vagón de ferrocarril perfectamente blindado, sin necesidad de ver hacia el exterior bastaría con que alguien echara mano de una linterna encendiéndola para enviar un rayo de luz de un extremo a otro de la nave, y si la velocidad de ese rayo de luz medida de alguna manera resultara ser igual a la velocidad de la luz obtenida mediante las ecuaciones de Maxwell, entonces el ocupante de la nave espacial podría dar por hecho el encontrarse por alguna maravillosa casualidad en un estado de reposo absoluto. Por otro lado, si para una persona exterior a la nave espacial tal como un viajero varado en un asteroide dicha nave espacial pasara a gran velocidad junto a ella, la velocidad de la luz disparada desde la linterna dentro de la nave espacial tendría que ser necesariamente diferente según el náufrago viajando en el asteroide se moviese rápidamente con respecto a la nave espacial en la misma dirección o en dirección contraria al haz saliendo de la linterna dentro de la nave espacial. En caso de moverse con una velocidad V en dirección contraria a la dirección del haz que sale de la linterna dentro de la nave espacial con una velocidad c, el náufrago espacial en el asteroide debería ver al rayo de luz moverse con una rapidez todavía mayor igual a c+V, mientras que en caso de moverse con una velocidad V en la misma dirección del haz que sale de la linterna con una velocidad c debería ver al rayo de luz moverse con una rapidez menor igual a c-v. (moviéndose a una velocidad V igual a c, el náufrago espacial estaría avanzando a la par con el rayo de luz que le parecería estático). Y en principio podría estarse moviendo tan rápido que inclusive hasta podría dejar atrás al rayo de luz después de alcanzarlo. Por fin había una forma de poder determinar experimentalmente quién se estaba moviendo y con respecto a qué se estaba moviendo, todo en base a un simple rayo de luz, todo en base a cualquier experimento óptico que pudiese utilizar rayos de luz para la determinación del movimiento absoluto con respecto a la nueva vara de

medición. Todo gracias al éter. El problema de la determinación del movimiento absoluto parecía resuelto. Al menos en apariencia.

3. LA FÍSICA ES PARADA DE CABEZA Clásicamente, antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, el mundo basado en los conceptos del tiempo absoluto que marcha por igual en todo el Universo, invariable, y el espacio absoluto, también invariable, siendo ambos conceptos completamente independientes el uno del otro, era un mundo mucho más sencillo. En este mundo, para ubicar a un objeto puntual en el espacio tri-dimensional, utilizando coordenadas Cartesianas para ello, bastaba con especificar tres números para que la posición del objeto puntual quedara identificada de modo unívoco, como el siguiente punto Pespecificado por las coordenadas (x, y, z) = (2, 3, 5), medidas a partir de un origen de referencia con coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 0):

Con esta convención, si el objeto ubicado en el punto P empezaba a desplazarse a lo largo de uno de los ejes, digamos el eje y, a una velocidad constante V, digamos de unos 4 metros por segundo, su posición nueva medida a partir de un tiempo t = 0 se podía obtener fácilmente simplemente sumando la cantidad Vt al valor original en dicha coordenada. De este modo, al haber transcurrido un tiempo de t = 3 segundos, el objeto se habría desplazado una distancia de Vt = 12 metros, y sus nuevas coordenadas serían:

x’ = 2 metros (permanece igual) y’ = y + Vt = 3 metros + (4 metros/segundo) (3 segundos) = 15 metros z’ = 5 metros (permanece igual) (Obsérvese cómo se cancelan las dimensiones de las unidades, puestas en color verde, para siempre dar en la respuesta final las unidades correctas. Añadir todas las unidades desde un principio en la solución de cualquier problema matemático, cancelándolas según se requiera, es una buena forma de darse cuenta de que no se están cometiendo errores; llevando la contabilidad correcta de las dimensiones. Si en la respuesta final de un problema un estudiante obtiene metros/segundo cuando esperaba obtener kilogramos por metro cúbico ello le indicará que hubo un error, el cual puede ser corregido de inmediato con sólo ver en dónde fue en donde las unidades se salieron fuera de control.) De este modo, considerando a dos observadores distintos moviéndose uno con respecto al otro a una velocidad constante V, con un observador O en reposo en su propio sistema de coordenadas rectangulares (x,y,z) al que indistintamente llamaremos también marco de referencia S y otro observador O’ en movimiento junto con su propio sistema de coordenadas rectangulares (x’,y’,z’) al que llamaremos S’, para pasar de un sistema de coordenadas al otro simplemente echábamos mano de las transformaciones de Galileo deducidas como se hizo en el ejemplo de arriba recurriendo a la lógica elemental. Si el movimiento relativo se lleva a cabo a lo largo de un eje común entre ambos, digamos el eje-x, y si suponemos que el marco de referencia S’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha:

entonces es fácil ver que las transformaciones de Galileo para pasar las coordenadas de un punto

fijo situado en el marco de referencia S’ a las coordenadas que le corresponden en el marco de referencia S deben ser: x = x’ + Vt’ y = y’ z = z’ Aunque nos parezca superfluo, por completitud introduciremos el tiempo universal t como un cuarto componente en el conjunto ordenado de componentes de cada sistema de coordenadas. Así, para el observador O un punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como (x,y,z,t), y para el observador O’ otro punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como (x’,y’,z’,t’), y el conjunto completo de transformaciones de Galileo para llevar a cabo la conversión de un punto cualquiera en S’ a las coordenadas que le corresponden en S serán: x = x’ + Vt’ y = y’ z = z’ t = t’ Hemos supuesto que ambos observadores están provistos de metros y relojes de forma tal que pueden medir las coordenadas de los eventos o acontecimientos que les toque presenciar. Hemos supuesto también que ambos ajustan sus relojes de modo tal que cuando pasen el uno frente al otro en x = x’ = 0 la lectura en sus relojes será t = t’ = 0. El uso de las transformaciones de Galileo quedará más claro con la resolución de los siguientes problemas. PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil S’ son (x’,y’,z’,t’) = (4,7,2,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario S para un tiempo t = 3 segundos y para un tiempo t = 5 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a V = 4 metros/segundo? Para un tiempo de t’ = 3 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x = x’ + Vt’ = 4 metros + (4 metros/segundo)(3 segundos) = 16 metros

y = y’ = 7 metros z= z’ = 2 metros t = t’ = 3 segundos Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (16,7,2,3). Para un tiempo de t’ = 5 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x = x’ + Vt’ = 4 metros + (4 metros/segundo)(5 segundos) = 24 metros y = y’ = 7 metros z = z’ = 2 metros t = t’ = 5 segundos Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (16,7,2,3). Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en S’ se va desplazando más y más hacia la derecha. Las coordenadas en el eje-y y en el eje-z se mantienen iguales puesto que no hay movimiento alguno fuera del que se lleva a cabo a lo largo del eje de las equis. Hemos considerado en la resolución del problema anterior que el marco de referencia S’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha (en el sentido positivo del eje-x) a velocidad V, pero la resolución del problema hubiera sido exactamente la misma si hubiéramos considerado al observador O’ fijo y al marco de referencia S moviéndose de derecha a izquierda en el sentido del eje-y:

Para pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’, las transformaciones de Galileo serán: x’ = x - Vt y’ = y z’ = z t’ = t Obsérvese el cambio de signo que se tuvo que hacer, ya que esta es una transformación inversa a la anterior. PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil S son (x,y,z,t) = (3,1,8,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario S’ para un tiempo t = 5 segundos y para un tiempo t = 10 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a V = 2 metros/segundo? El punto fijo se encuentra ahora en el marco de referencia S. Para un tiempo de t = 5 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x’ = x - Vt = 3 metros - (2 metros/segundo)(5 segundos) = -7 metros y’ = y = 1 metro z’ = z = 8 metros

t’ = t’ = 5 segundos Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (-7,1,8,5). Para un tiempo de t = 10 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x’ = x - Vt = 3 metros - (2 metros/segundo)(10 segundos) = -17 metros y’ = y = 1 metro z’ = z = 8 metros t’ = t = 10 segundos Las coordenadas en S serán entonces (x,y,z,t) = (-17,1,8,10). Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en S se va desplazando más y máshacia la izquierda, en el sentido negativo del eje-x. PROBLEMA: Un pasajero de un tren que se mueve a 20 metros/segundo para frente a un hombre que se encuentra en la plataforma de la estación en un tiempo que para ambos es t = t’ = 0. Diez segundos después de que el tren lo pasa, el hombre de la plataforma encuentra que un pájaro que vuela a lo largo de la vía y en la misma dirección del tren está a 500 metros de distancia. ¿Cuáles son las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero? Las coordenadas asignadas al pájaro por el hombre en la plataforma de la estación son (x, y, z , t) = (500 metros, 0, 0, 10 segundos) Pasando del sistema de referencia S al sistema de referencia S’ y de acuerdo con las transformaciones de Galileo, la distancia x del pájaro al pasajero, medida por éste es: x’ = x - Vt = 500 metros - (20 metros/segundo) (10 segundos)

x’ = 300 metros

Entonces las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero son: (x’, y’, z’ , t’ ) = (300 metros, 0, 0, 10 segundos) Al pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’, las transformaciones de velocidad,según Galileo, basadas en incrementos Δ de las coordenadas, serán: Δx’ = Δx - Δ(Vt) = Δx - VΔt Δx’/Δt = Δx/Δt - VΔt/Δt___(dividiendo entre Δt) Δx’/Δt’ = Δx/Δt - V___(Δt = Δt’) u’x = ux - V Y del mismo modo: Δy’/Δt = Δy/Δt Δy’/Δt’ = Δy/Δt u’y = uy

Δz’/Δt = Δz/Δt Δz’/Δt’ = Δz/Δt u’z = uz Por otra parte, al pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’, las transformaciones de aceleración, según Galileo, basadas en incrementos Δ de las velocidades con respecto a incrementos iguales de tiempo, serán (la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia permanece constante y no cambia con respecto al tiempo transcurrido):

Δu’x/Δt = Δux/Δt - ΔV/Δt Δu’x/Δt’ = Δux/Δt a’x = ax

a’y = ay a’z = az El hecho de que la aceleración de un cuerpo medida clásicamente tanto por un observador estacionario como por un observador móvil sea la misma implica que las leyes de Newton basadas en la fórmula fuerza igual a masa por aceleración (F = ma) permanecerán las mismas en todos los marcos de referencia al pasar de un marco de referencia a otro, y por lo tanto los experimentos basados en las leyes de la mecánica clásica basadas a su vez en los conceptos del espacio absoluto y el tiempo absoluto no nos sirven para detectar el movimiento absoluto, confirmando lo que ya habíamos visto al principio de esta obra. El movimiento absoluto no se puede detectar a través de experimentos mecánicos. Pero se suponía que se podía detectar a través de experimentos ópticos usando rayos de luz. Para eso estaba el éter, para darnos un marco de referencia universal e inmóvil con respecto al cual era posible concebir el movimiento absoluto. De este modo, la velocidad de la luz, predicha teóricamente mediante las fórmulas del electromagnetismo de James Clerk Maxwell, parecía zanjar de una vez por todas la cuestión sobre el asunto del movimiento absoluto. PROBLEMA: Considérese una masa M atada a un resorte que se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y la cual cuando el resorte no está estirado ni comprimido se encuentra a una distancia x0 de la pared a la que está anclado el otro extremo del resorte. Clásicamente, la fuerza de tensión F ejercida por el resorte sobre la masa M cuando es estirado a una distancia x de la pared está dada por la relación que nos dice que dicha fuerza es directamente proporcional a la distancia x-x0: F = -k(x-x0) Esta fuerza cuando está desbalanceada produce una aceleración sobre la masa M que está dada por la ley de Newton F = Ma (fuerza igual a masa por aceleración). Demostrar que esta fórmula es invariante bajo las transformaciones de Galileo.

Considerando el movimiento de la masa M a lo largo del eje-x, la ecuación del movimiento de la masa determinada por un observador en reposo con respecto a la superficie es: F = Ma -k(x - x0) = Max Usando las transformaciones de Galileo para determinar la ecuación del movimiento encontrada por un segundo observador moviéndose a una velocidad V con respecto al primero: x = x’ + Vt’ x0 = x’0 + Vt’ ax = a’x obtenemos la siguiente ecuación del movimiento para el segundo observador: -k(x’- x’0) = Ma’x Puesto que la ecuación del movimiento para el segundo observador tiene la misma forma que la

ecuación del movimiento para el primer observador, la ecuación del movimiento es invariante bajo las transformaciones de Galileo. Esto confirma que no se puede detectar el movimiento absoluto haciendo experimentos mecánicos con resortes. En general, se dice que hay invariancia en una ecuación cuando esta presenta la misma forma al ser determinada por dos observadores distintos moviéndose el uno con respecto al otro. En la teoría clásica se supone que las medidas de espacio y tiempo obtenidas por dos observadores están relacionadas por las transformaciones de Galileo. PROBLEMA: Suponiendo que los sistemas de referencia S y S’ además de estarse moviendo a una velocidad relativa Vx el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes x-x’ se están moviendo también a una velocidad relativa Vy el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes y-y’ y a una velocidad relativa Vz el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes z-z’, ¿cuáles serán las transformaciones de las coordenadas? ¿Cuáles serán las transformaciones de velocidad? ¿Cuáles serán las transformaciones de aceleración? Puesto que el movimiento relativo Vx es independiente de los movimientos relativos Vy y Vz del mismo modo que el movimiento relativo Vy es independiente del movimiento relativo Vz, la extensión natural de las transformaciones de Galileo hacia un espacio de tres dimensiones serán: x = x’ + Vx t’ y = y’ + Vy t’ z = z’ + Vz t’ t = t’ Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones anteriores obtenemos las transformaciones de velocidad: ux = u’x + Vx uy = u’y + Vy uz = u’z + Vz Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones de velocidad obtenemos las

transformaciones de aceleración: ax = a’x ay = a’y az = a’z PROBLEMA: Suponiendo que las coordenadas de un punto P’ en S’ son (x’, y’, z’) = (7, 4, 9) en un tiempo t = t’ = 0, y que (V’x, V’y, V’z) = (3, 5, -2), ¿cuáles serán las coordenadas de dicho punto en un tiempo t’ = 6? Las coordenadas en el sistema de referencia S de tres dimensiones serán de acuerdo con los resultados anteriores: x = x’ + Vx t’ = 7 + (3) (6) = 25 y = y’ + Vy t’ = 4 + (5) (6) = 34 z = z’ + Vz t’ = 9 + (-2) (6) = -3 Las coordenadas del punto P en el sistema de referencia S serán entonces: (x, y, z, t) = (25, 34, -3, 6) La mecánica clásica, construída sobre las columnas del espacio absoluto y el movimiento absoluto, invariante bajo las transformaciones de Galileo, daba lugar a que las ecuaciones de Newton permanecieran iguales al pasar de un sistema de referencia a otro. Era un entorno cómodo, consistente, con el que todos estaban contentos. El único “pero” que se le podía poner a este esquema era que al intentar extender los conceptos de la mecánica clásica al estudio de los fenómenos propios del electromagnetismo (del cual no se sabía casi nada en los tiempos de Galileo y Newton) empezaban a surgir inconsistencias y asimetrías que no se habían visto en el estudio de la mecánica Newtoniana. Si se suponía que era posible medir el movimiento absoluto de todos los objetos del universo con respecto a un simple rayo de luz, el asunto matemático de repente se había vuelto extraordinariamente complejo. Uno de los primeros en darse cuenta de las complejidades matemáticas que se habían venido encima con la suposición del movimiento absoluto basado en el concepto del éter fue un físico alemán de nombre Albert Einstein. Suponiendo el movimiento absoluto como válido, las mismas fórmulas del electromagnetismo de

Maxwell tenían que ser revisadas y modificadas para tomar en cuenta los diferentes resultados experimentales que podrían esperar obtener diferentes observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro y por lo tanto en movimientos diferentes con respecto a un rayo de luz. La revisión requería introducir asimetrías en las fórmulas de Maxwell para dar cabida en ellas a observadores privilegiados cuyo estado de reposo absoluto se encontrase en concordancia exacta con la dirección y la velocidad teórica de un rayo de luz. Estas asimetrías no existían en las fórmulas de Maxwell, puesto que dichas fórmulas no situaban a ningún observador en un plano preferencial con respecto al otro, las fórmulas tal y como estaban dadas por Maxwell eran igualmente válidas para todos los observadores sin cambio alguno. Pero con la velocidad de la luz fijada como una vara de medición absoluta con respecto al éter, las fórmulas de Maxwell habían dejado de ser universales, habían dejado de ser simétricas. Uno de los ejemplos más claros de ello lo es la ecuación de onda electromagnética, obtenida de las ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnética y representada en su forma más compacta por la siguiente fórmula:

Esta fórmula en la que el operador Laplaciano (∇) actuando sobre la onda electromagnética φ representa de manera concisa lo siguiente:

se puede expresar en forma más explícita como:

No es difícil demostrar que al aplicar las transformaciones de Galileo a la fórmula anterior, la ecuación toma el siguiente aspecto (se ha utilizado la sobre-línea encima de cada variable en lugar de la comilla para simplificar la notación):

Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. La única manera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la velocidad V = 0, lo cual significa regresar a la fórmula original válida para un observador que está en reposo con respecto al éter. El observador que está en reposo con respecto al éter siempre tendrá la fórmula más sencilla de todas; es un observador privilegiado. Todos los demás obtendrán fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nos topamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier otra situación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos experimentos llevados a cabo con rayos de luz (o con ondas electromagnéticas de teléfonos celulares, radio y televisión) adquirirán asimetrías al pasar de un marco de referencia a otro. Por más que intentó restaurar con parches las ecuaciones de Maxwell que anteriormente mostraban una simetría perfecta, Albert Einstein lo único que encontró en cada nuevo intento fueron más asimetrías y más asimetrías. Simple y sencillamente no había forma alguna de restaurar las ecuaciones de Maxwell a su condición original como ecuaciones independientes del movimiento del observador. Esto llevó a Einstein a cuestionar las mismas bases de lo que entendemos pormovimiento absoluto. En su esencia básica, todo movimiento, medido experimentalmente como una velocidad, definida como la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrer dicha distancia:

presupone necesariamente que tanto la distancia como el tiempo son parámetros físicos absolutos, invariables. Pero, ¿realmente podemos considerar la distancia entre dos objetos como algo invariable, absoluto? La lógica nos dice que sí, que dos personas que estén paradas la una frente a la otra medirán la misma longitud de un metro. ¿Y dos personas que se están moviendo la una con

respecto a la otra, también medirán la misma longitud de un metro para la vara? El fundador mismo de la mecánica clásica, Isaac Newton, nos había afirmado que sí, y esto se había tomado casi como un dogma indiscutible por muchas décadas en reconocimiento al enorme calibre intelectual de Newton, algo que no era fácil de poner en entredicho en base a lo que nos sugiere nuestra propia intuición. Pero Newton fue más allá al afirmar que eso que nosotros llamamos tiempo también es algo absoluto, universal, en el sentido de que dos personas con relojes diferentes en sus manos y en reposo la una frente a la otra medirán el mismo lapso del tiempo que les marcan los relojes que si se ponen en movimiento la una frente a la otra inclusive hasta alcanzar velocidades extraordinariamente altas. Para Newton, la marcha del tiempo era algo universal, invariable, y si la marcha del tiempo era medida con relojes iguales sincronizados con elevada precisión el uno con respecto al otro, ambos deberían obtener los mismos lapsos de tiempo. Esto, el concepto del tiempo absoluto, aunque un poco menos obvio que el concepto de la longitud absoluta, también era tan obvio a nuestra intuición que simple y sencillamente no había razones para cuestionarlo. Pero el problema de aferrarnos a los conceptos de la longitud absoluta y del tiempo absoluto con su consecuencia directa que es el movimiento absoluto se traducía directamente en la destrucción de la simetría universal mostrada por las ecuaciones básicas del electromagnetismo de Maxwell. Podemos, si así lo deseamos, aferrarnos a los conceptos de la longitud absoluta y del tiempo absoluto, y toparnos con las mismas ecuaciones asimétricas para la teoría del electromagnetismo que Einstein trató de remendar inútilmente. O podemos, aunque nos cueste mucho trabajo hacerlo, y aunque vaya en contra de nuestro más elemental sentido común, prescindir por completo de los conceptos de la longitud absoluta y del espacio absoluto, y con ello del movimiento absoluto. Esto, desde luego, nos lleva nuevamente a la misma situación en la cual nos encontrábamos desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana, de que no es posible determinar quién es el que se está moviendo, definido el movimiento como algo contra lo que se pudiera decir que nos estamos moviendo. Pero tiene una consecuencia matemática extraordinariamente apetecible: todas las asimetrías que habían surgido en las ecuaciones de Maxwell desaparecen casi como por arte de magia, las ecuaciones básicas de la teoría del electromagnetismo retoman su caráter sencillo y universal. Pero para que esto ocurra, es necesario también que uno de los descubrimientos más sorprendentes de Maxwell, la constancia de la velocidad de la luz considerada como una onda electromagnética, permanezca invariable para distintos observadores aunque estén en movimiento relativo el uno con respecto al otro. En pocas palabras, dos o más observadores que se estén moviendo en direcciones diferentes ambos medirán para un mismo rayo de luz la misma velocidad, siendo esta precisamente la velocidad predicha por las ecuaciones de Maxwell. Convencido de que esta era la única salida posible para el enredo, Albert Einstein formuló los dos principios básicos sobre los cuales descansa la Teoría Especial de la Relatividad, conocida también como Teoría Restringida de la Relatividad o simplemente Teoría Restringida por estar limitada a fenómenos físicos en los cuales no hay aceleraciones entre dos observadores distintos sino únicamente movimientos relativos entre el uno y el otro llevándose a cabo a velocidad constante:

(I) El movimiento absoluto no puede ser detectado, porque tal cosa no existe. (II) La velocidad de la luz es la misma para distintos observadores. El primer postulado nos confirma que el movimiento absoluto no sólo no puede ser detectado por medios mecánicos, lo cual ya se sabía desde los tiempos de Newton y Galileo, tampoco puede ser detectado por medios ópticos que involucren a la misma luz así como experimentos de índole eléctrica y magnética, y de hecho no puede ser detectado por medio alguno, no puede ser determinado por ningún tipo de experimento de índole alguna que a alguien se le pueda ocurrir ahora o en el futuro. Y el segundo postulado es irónico porque a la vez que descarta la existencia de la longitud absoluta y del tiempo absoluto, sube a un pedestal privilegiado a un nuevo absoluto de la física, la velocidad de la luz, la cual será la misma e invariable en cualquier parte del universo para cualquier observador. Estos dos postulados sobre los cuales descansa la Teoría Especial de la Relatividad, tan sencillos como parecen, tienen repercusiones amplias y profundas, siendo causantes de una de las revoluciones intelectuales más profundas e importantes del siglo XX. Uno de los primeros triunfos inmediatos de la nueva teoría fue que la ecuación de onda electromagnética permanecía invariante al pasar de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’ o viceversa; o sea que si la ecuación original en el sistema S era:

entonces en el sistema S’ la fórmula obtenida era:

¡Simetría total, por fin! Obviamente, las transformaciones requeridas para llevar a cabo la conversión de un marco de referencia a otro no podían estar basadas en las transformaciones de Galileo. Se requería un nuevo tipo de transformaciones incorporando los principios de los dos postulados de la Teoría

Especial de la Relatividad. Esto se verá posteriormente con mayor detalle. De este modo, al llevar a cabo experimentos de óptica con rayos de luz, desaparecía la posibilidad de poder detectar el movimiento absoluto con respecto al éter, y con ello desaparecía la necesidad de creer en la existencia del éter, al mismo tiempo que desaparecía el concepto del observador privilegiado. Pero había que pagar un costo por todo esto. De pronto las transformaciones de Galileo perdieron su carácter universal y sólo eran aproximadamente válidas a bajas velocidades (en comparación con la velocidad de la luz). La cinemática clásica tuvo que ser revisada a fondo y puesta al día. Y la dinámica basada en las leyes de Newton era insostenible en caso de no ser modificada adaptándola a los nuevos conceptos. En su trabajo original, publicado en 1905 en el tomo 17 de la publicación científica Annalen der Physik, cuya página frontal tenemos a continuación:

y en cuyo interior tenemos el trabajo “Zur Elektrodynamik bewegter Korper” (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento) cuya introducción es:

podemos leer lo siguiente: “Es conocido que la electrodinámica de (James Clerk) Maxwell -como usualmente se entiende en el tiempo presente- cuando se aplica a los cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes en los fenómenos. Tómese, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. El fenómeno observable aquí depende únicamente del movimiento relativo del conductor y el imán, mientras que el punto de vista acostumbrado hace una distinción aguda entre los dos casos en los cuales el uno o el otro de estos cuerpos está en movimiento... “Ejemplos de este tipo, junto con los intentos infructuosos para descubrir cualquier movimiento de la tierra relativo al “medio de luz” (aquí Einstein está haciendo una clara referencia al éter que supuestamente servía como medio de transporte para la luz) sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como los de la mecánica, no poseen propiedades que correspondan a la idea del reposo absoluto (si el reposo absoluto no puede ser detectado, tampoco el movimiento absoluto). Estos sugieren que, como ya se ha demostrado al primer orden para cantidades pequeñas, las mismas leyes de electrodinámica y óptica serán válidas para todos los marcos de referencia para los cuales las ecuaciones de la mecánica son sostenidos como válidos. Elevaremos esta conjetura (que será llamada de aquí en delante el “Principio de Relatividad”) a la categoría de un postulado, introduciendo también otro postulado, que es irreconciliable sólo en apariencia con el anterior, que la luz es propagada siempre en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. Estos dos postulados son

suficientes para la realización de una teoría simple y consistente de la electrodinámica de cuerpos en movimiento basada en la teoría de Maxwell para cuerpos estacionarios.” Para beneficio e interés de los lectores, se ha reproducido íntegramente al final de esta obra la traducción inglesa del trabajo original con el cual Einstein dió a conocer al mundo desde Alemania la Teoría Especial de la Relatividad, puesto en el Apéndice I bajo el título “El papel original de Einstein de 1905”. Bastan pues tan solo dos postulados sencillos, enunciados en unos cuantos renglones, para construír todo nuestro castillo de conocimientos sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad (Einstein no utilizó el adjetivo “Especial” en su primer trabajo sobre el tema, esto lo incluiría posteriormente). Aquí tal vez podría preguntarse alguien, ¿y por qué razón Einstein hizo referencia posterior a esta teoría como la Teoría Especial de la Relatividad? ¿Acaso estaba concebida para formar parte de un esquema más amplio? ¿Acaso la Teoría Especial de la Relatividad iba a formar parte de una teoría de mayor cobertura, una Teoría General de la Relatividad? ¿Qué es entonces lo que está ausente de la Teoría Especial de la Relatividad? En efecto, cuando Einstein concibió la Teoría de la Relatividad en su primer formato, supo desde un principio que esta teoría tendría que formar parte necesariamente de un esquema más amplio, sabía que la Teoría de la Relatividad que había formulado no abarcaba algo que había quedado pendiente y que por lo tanto tendría que ser considerada como una Teoría Especial de la Relatividad. Para saber qué es lo que había quedado ausente, trasladémonos de nuevo al vagón de ferrocarril herméticamente sellado en el que nuestro viajero se encontraba viajando y en el cual trataba de concebir infructuosamente alguna forma experimental con la cual pudiera saber si se estaba moviendo o no. En base a la Teoría Especial de la Relatividad, no existe experimento alguno que le pueda decir al viajero si se está moviendo o no, porque el movimiento absoluto no existe, siempre fue una quimera a la cual fuimos llevados por la forma tan simplificada en la cual opera nuestro sentido común:

Sin embargo, si el tren se acelera o decelera, por muy blindado que esté el tren por dentro el viajero sabe de inmediato que el tren ha cambiado de velocidad por las fuerzas que experimenta de súbito en el interior. Si lleva un reloj de bolsillo consigo colgando de una cadena y el reloj está suelto, la ligera elevación del reloj le indicará claramente que el vagón está experimentando un cambio de velocidad, un cambio susceptible de ser medido experimentalmente con instrumentos de medición:

Esto parecería darle al ocupante del vagón de ferrocarril la condición de ser un observador privilegiado con respecto a todos los demás observadores externos al tren que lo ven pasar rápidamente sobre las vías del ferrocarril, porque mientras los observadores externos se pueden considerar en estado de reposo el viajero en el vagón blindado se puede dar cuenta de cuándo el vagón está cambiando de velocidad. De lo que no puede darse cuenta es si el vagón se está moviendo a una velocidad constante cuando se está moviendo a una velocidad constante, pero indudablemente que sí se puede dar cuenta de cuándo el vagón ha variado la velocidad de su marcha. Esto parece restaurar cierto status de observador privilegiado al viajero que va dentro del vagón. Pero este es un asunto que involucra aceleraciones, cambios de velocidad, no velocidades constantes. Einstein dejó este asunto pendiente por algún tiempo mientras formulaba esa teoría más general que tomara en cuenta el caso de los cambios de velocidad, esa teoría que llegaría a ser conocida como la Teoría General de la Relatividad de la cual la Teoría Especial de la Relatividad es, perdonando la redundancia, un caso especial.

4. LAS CONSECUENCIAS DIRECTAS DE LA TEORÍA Si tomamos como ciertos los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad y nos aferramos a ellos sin cuestionarlos, las consecuencias suelen tomar un carácter dramático para la forma de pensar a la cual estábamos acostumbrados. En realidad, para muchos pueden resultar un verdadero shock. Empezaremos con el siguiente ejemplo que es tal vez uno de los ejemplos más simples que podamos concebir, en el cual tenemos a un experimentador viajando en un tren sin paredes y sin techo, con la plataforma descubierta, a una velocidad extremadamente alta de 100 mil kilómetros por segundocon respecto a las vías del tren, el cual con una linterna acciona un rayo de luz que en el dibujo podemos ver que viaja de izquierda a derecha:

En la tierra tenemos un observador que ve pasar rápidamente al vagón a la velocidad de 100 mil kilómetros por segundo. El viajero que va en el tren con la plataforma al descubierto y el cual tiene una linterna reposando en sus manos, ve salir al rayo de luz de la linterna con una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo. Si tiene instrumentos a bordo esto es lo que él medirá. ¿Y qué velocidad medirá para el mismo rayo de luz el observador que ve pasar el vagón a una velocidad de 100 mil kilómetros por segundo? Nuestro sentido común nos dice que la velocidad del rayo de luz de 300 mil kilómetros por segundo se sumará a la velocidad del vagón de 100 mil kilómetros por segundo resultándole en una velocidad de 400 mil kilómetros por segundo. Pero la Teoría de la Relatividad nos dice que él también medirá una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo para el rayo de luz. Ambos miden para el mismo rayo de luz una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo. ¿Entonces qué es lo que está sucediendo? Lo que está sucediendo es que la distancia que recorre el rayo de luz para el experimentador que viaja en el vagón y el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia son diferentes del tiempo y de la distancia que el observador en tierra mide experimentalmente. En efecto, las distancias y los tiempos han dejado de ser

unidades de medición absolutas. Lo único que no ha cambiado y que permanece invariable como una constante universal es ese rayo de luz. Consideremos ahora otro experimento hipotético, en el cual tenemos un ferrocarril que se mueve a una velocidad extremadamente rápida, dentro del cual hay un pasajero A que tiene una linterna en su mano y que en un momento dado enciende y apaga su linterna con el objeto de enviar un pulso luminoso hacia un espejo que puede estar situado ya sea en el techo del vagón en el que viaja o en la pared contraria, siempre y cuando el pulso luminoso no sea enviado en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren o en dirección contraria, sino en una dirección perpendicular al sentido del movimiento del tren.

Supondremos también que hay un observador externo B situado a un lado de las vías del ferrocarril que se ha puesto de acuerdo previamente con el viajero A en el tren en que el observador externo Bes el que está en reposo y que el tren se está moviendo a una velocidad V de 0.6 metros por segundo. Puesto que la velocidad de la luz es extremadamente alta, para fines didácticos consideraremos una velocidad de la luz c igual a un metro por segundo, lo cual no altera las conclusiones básicas que estamos buscando. Es ya costumbre “encajonar” al viajero que se traslada en la plataforma móvil dentro de lo que llamamos un marco de referencia (la palabra inglesa es reference frame) como si estuviese contenido dentro del marco de un cuadro en el cual está todo lo que se mueve junto con el viajero incluyendo al tren, su linterna, el aire que respira, el espacio tridimensional en el que está situado, en fin, todo incluyéndolo a él; como también es ya costumbre denotar dicho marco de referencia con la letra S'. Por otro lado, es ya costumbre “encajonar” el observador situado a un lado de las

vías del ferrocarril y al cual consideramos en reposo dentro de su propio marco de referencia como también es ya costumbre denotar dicho marco de referencia con la letra S:

El viajero A lleva consigo dentro de su marco de referencia (que llamaremos S' siguiendo la costumbre usual) un reloj electrónico de alta precisión con el cual mide el tiempo total de ida y vuelta que el pulso luminoso tarda en recorrer la distancia D de la linterna hasta el espejo junto con el tiempo que tarda en regresar a su punto de origen. El tiempo que transcurre entre dos eventos que ocurren dentro de un mismo marco de referencia en el cual el observador está en reposo es conocido como tiempo propio (y también como tiempo local). Para fines ilustrativos usando números, supondremos que la distancia D del viajero hasta el espejo que tiene frente a él es de 4 metros. Entonces el pulso luminoso recorrerá un total de 8 metros en su trayecto de ida y vuelta:

Entonces el tiempo propio Δt' que mide el viajero con su reloj entre la salida del pulso de luz de la linterna y el retorno del pulso después de haber sido reflejado por el espejo será igual a: c = 2D / Δt' Δt' = 2D / c Δt' = 8 metros / 1 metro por segundo Δt' = 8 segundos Sin embargo, lo que observa el viajero dentro de su marco de referencia S' no es lo mismo que lo que observa la persona que está fuera del ferrocarril a un lado de las vías del tren en un marco de referencia que llamaremos S, la cual verá al pulso de luz recorrer una longitud mayor que la que ve el viajero dentro del vagón:

Si el ferrocarril se está trasladando a una velocidad V igual a 0.6 metros por segundo, entonces la distancia L recorrida por el pulso luminoso será indudablemente mayor para el observador estacionario en el marco de referencia S que la distancia 2D que el viajero ve que el pulso luminoso recorre en su marco de referencia S'. Sin embargo, por el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad, ambos deben medir la misma velocidad c para ese pulso luminoso. Entonces, ¿cómo puede el observador estacionario obtener la misma velocidad c para el pulso luminoso siendo que la longitud de recorrido que él mide es mayor que la longitud de recorrido para el viajero dentro del vagón? Pues midiendo un tiempo mayor de recorrido Δt para el pulso luminoso que el tiempo Δt'medido por el viajero A. Este es un fenómeno relativista conocido como la dilatación del tiempo. Usando el Teorema de Pitágoras, el recorrido del rayo de luz se puede descomponer en una componente vertical y una componente horizontal:

Veamos ahora las cosas desde la perspectiva del observador externo B, en el marco de referencia S,medidas en el tiempo propio del observador externo B. Para el observador B, el rayo de luz hace un recorrido triangular que, dentro de su marco de referencia, transcurre en un tiempo total Δt que necesariamente debe ser mayor que el tiempo propio Δt' del viajero A para que así ambos puedan medir para el rayo de luz la misma velocidad c. En algo en lo que ambos viajero y observador externo están completamente de acuerdo, además del hecho de que los dos miden para el pulso luminoso la misma velocidad c, es que el tren se está desplazando a la misma velocidad V de 0.6 metros por segundo. En su tiempo Δt, entre ambos eventos del disparo y retorno del rayo de luz a su punto de origen, para el observador B el tren habrá avanzado una distancia total VΔt. Entonces la distancia que habrá avanzado el tren desde que el rayo de luz es disparado por el viajero A hasta que llega al espejo situado en el lado contrario al viajero será la mitad, o sea (VΔt)/2. También, en su marco de referencia S, el observador B medirá para la distancia total recorrida por el rayo de luz desde que es disparado por el viajero A hasta que regresa a su punto de origen una longitud total de cΔt. Entonces la distancia que habrá recorrido el rayo de luz desde que es disparado por el viajero A hasta que llega al espejo situado en el lado contrario al viajero será la mitad de la trayectoria total, o sea (cΔt)/2). Podemos ver que la relación de longitudes, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, estará dada en base al siguiente triángulo:

y será:

(cΔt/2)² = D² + (VΔt/2)² Entonces, despejando para Δt: Δt = 2D/√ c² - V² Δt = (8 metros)/√(1 metro/seg)² - (0.6 metro/seg)² Δt = 8/0.8 segundos Δt = 10 segundos Así pues, para el observador B, el rayo de luz tarda 10 segundos en recorrer el trayecto total de ida y vuelta. El tiempo que mide el viajero A se ha dilatado (expandido) en B, ya que el viajero B mide 8 segundos entre ambos eventos. Al usar la palabra “dilatación”, no la estamos utilizando en el sentido de “retraso”, “dilación”, sino en el sentido de “aumento”, “expansión”. Usando exactamente el mismo procedimiento que el que utilizamos para resolver este problema numérico, podemos obtener una fórmula general para la dilatación del tiempo (en la derivación de la fórmula se prescindirá del símbolo Δ al sobreentenderse que el tiempo t es una diferencia de tiempo transcurrido entre dos eventos):

Pero ya vimos que 2D/c es el tiempo t' que mide el viajero A entre ambos eventos. Entonces:

Usando los valores del numéricos del ejemplo, con V=0.6 metros/segundo y Δt' = 8 segundos, encontramos que el tiempo del viajero A se dilata a un tiempo Δt de 10 segundos, lo cual nos verifica la fórmula. Supongamos ahora que tenemos en tierra espaciados a distancias iguales una serie de relojessincronizados que están en reposo cada uno de ellos con respecto a todos los demás:

Al referirnos a estos relojes como relojes sincronizados estamos hablando de relojes que no sólo marcan todos ellos la misma hora para el observador en reposo situado en tierra sino que también avanzan a la par cada uno de ellos con respecto a los demás sin adelantarse ni retrasarse. Si repetimos los cálculos que hemos hecho arriba manteniendo constante (igual) la velocidad Vusando trayectorias de recorrido más largas, comprobaremos que el tiempo dilatado Δt aumentará en forma directamente proporcional al tiempo propio Δt' medido dentro del vagón. O sea que si el reloj Δt' marca 8 segundos justo cuando un reloj del observador enfrente de él marca un tiempo Δtde 10 segundos, entonces si el reloj Δt' marca 16 segundos (el doble) entonces otro reloj en tierra que se encuentre directamente enfrente de él al tomarse la lectura estará marcando un tiempo Δt de 20 segundos, y si el reloj Δt' marca 24 segundos (el triple) entonces otro reloj en tierra que se encuentre directamente enfrente de él al tomarse la lectura estará marcando un tiempo Δt de 30 segundos, en una forma sugerida por las siguientes figuras (los relojes sincronizados puestos a lo largo del sistema de referencia del observador en reposo se mantienen sincronizados en todo momento para el observador en reposo; sin embargo y como lo veremos posteriormente, todos esos relojes aparecerán desincronizados para el observador en movimiento al ocurrir una pérdida relativista de lasimultaneidad absoluta con la cual lo que es simultáneo en un marco de referencia deja de serlo al ser visto desde otro marco de referencia):

Todo esto nos indica que el factor de corrección (que en este caso es igual a Δt/Δt' = 10/8 = 1.25) que debemos aplicar para obtener el tiempo en el marco de referencia en tierra Δt cuando conocemos el tiempo Δt' dentro del vagón es una cantidad constante, y por lo tanto la transformación matemática requerida para pasar del marco de referencia del vagón al marco de referencia en tierra (o viceversa) debe ser una transformación linear. Haremos uso de esta observación cuando posteriormente llevemos a cabo la derivación de fórmulas de carácter general para poder movernos de un marco de referencia a otro. Analicemos ahora el ejemplo desde la perspectiva del viajero A estando ambos todavía de acuerdo en que el viajero A es el que se está desplazando a una velocidad V y el observador B está en reposo. El viajero A mide para el rayo de luz en su plataforma móvil con su reloj en mano una velocidad de c= 1 metro por segundo al recorrer dentro de su marco de referencia una distancia total (ida y vuelta) de 8 metros en 8 segundos. Pero al ser reflejado el rayo de luz y llegar a su punto de origen, encuentra que en ese mismo punto en el que ambos coinciden por un instante mientras el tren prosigue con su movimiento el reloj del observador B marca 10 segundos. Ambos siguen en completo acuerdo en que el tren se está moviendo a la misma velocidad V con respecto a ambos. La única forma posible en la que el viajero A pueda seguirle asignando al observador B una

velocidad V de 0.6 metros por segundo (en dirección opuesta) es que el viajero A determine desde su punto de vista una longitud menor para el observador B entre ambos eventos, ya que de no ser así le estaría midiendo una velocidad errónea igual a: 6 metros / 8 segundos = 0.75 metros / segundo Entonces el viajero A también necesita un factor de corrección para compensar por la contracción de longitud que está detectando. ¿Y de cuánto tiene que ser ese factor de corrección? Para poder seguirle midiendo al observador B una velocidad de 0.6 metros por segundo en ocho segundos, la distancia entre ambos eventos en la plataforma de B según el viajero A, debe ser: espacio = tiempo x velocidad espacio = (8 segundos) x (0.6 metros/segundo) espacio = 4.8 metros ¡Para el viajero A, una longitud de 6 metros del observador B parece haberse contraído a 4.8 metros! El factor de corrección para la contracción de longitud debe ser entonces: 4.8 metros / 6 metros = 0.8 El factor de corrección utilizado por el viajero móvil A para medir la contracción de la longitud en Bresulta ser exactamente el inverso del factor de corrección utilizado por el observador B para poder determinar la dilatación del tiempo de A, lo cual era de esperarse y no debe causarnos ningún asombro. Lo que para un observador es un fenómeno físico de dilatación del tiempo para el otro observador refiriéndose a los mismos eventos es un fenómeno físico de contracción de longitud. En la cinemática relativista, la contracción de la longitud es un corolario de la dilatación del tiempo, y viceversa. Ambas cosas siempre van de la mano. El factor de corrección:

aparece con tanta frecuencia en problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, que con fines de simplificación notacional es representado con el símbolo γ (letra griega gamma):

Con esto tenemos la siguiente relación simplificada para obtener la dilatación del tiempo al pasar del marco de referencia a otro:

Si simbolizamos al tiempo propio (tiempo local) del observador en reposo con la letra griega τ (tau), entonces la fórmula toma el siguiente aspecto que resulta más familiar para quienes estudian ciertos aspectos más avanzados de la Teoría de la Relatividad:

Del mismo modo, con el factor de corrección γ podemos escribir la siguiente relación simplificada para obtener la contracción de longitud al pasar de un marco de referencia a otro:

Por otra parte, la cantidad V/c aparece también en el análisis de problemas de relatividad con tanta frecuencia que es común que sea abreviada con el símbolo β (letra griega beta): β = V/c Hagamos el cálculo de la velocidad del rayo de luz tal y como es medida tanto por el viajero A como por el observador B. Desde la perspectiva del viajero A, el rayo de luz recorre

dentro de su marco de referencia S' ocho metros (2D) en ocho segundos (Δt'). Entonces él mide una velocidad de: c = 2D / 2Δt' c = (8 metros) / (8 segundos) c = 1 metro/segundo Desde su perspectiva, el observador B ve que el rayo de luz recorre una distancia dentro del marco de referencia del viajero A tanto en su trayectoria de ida como en su trayectoria de regreso una distancia que podemos obtener del triángulo de las distancias básicas:

Podemos ver que para el observador B el rayo en su trayectoria de ida recorre 5 metros, o sea que en su trayectoria total de ida y vuelta recorre 10 metros. Entonces para el observador B el rayo de luz tiene una velocidad de: c = 10 metros / Δt c = 10 metros / 10 segundos

c = 1 metro/segundo Ambos viajero A y observador B miden para el rayo de luz la misma velocidad, como era de esperarse. Como lo hemos visto, la parte matemática del problema no es tan difícil de resolver. Lo duro viene al considerar la parte filosófica. Cuando hablamos de contracción de longitud, ¿de qué estamos hablando realmente? ¿Se comprime una vara de medir conforme pasa volando a gran velocidad frente a nosotros? ¿Qué la comprime? En realidad, la vara de medir en sí no se comprime. Es todo el espacio que viaja en ella y en torno a ella el que se achica. Se achica el espacio entre los átomos de la vara de medir, se achica longitudinalmente el cuerpo del observador B, absolutamente todo se achica, y es precisamente por ello que el observador B no percibe cambio alguno en su marco de referencia dentro del cual para él todo sigue igual sin contracción alguna. De las fórmulas obtenidas, podemos ver que entre mayor sea la velocidad V del viajero A tanto mayor será la contracción de longitud que el viajero a detecta en todo lo que corresponde al espacio del observador estacionario B. Si le fuera posible al viajero moverse a la velocidad de la luz, entonces de acuerdo con la fórmula todo el espacio del observador B desaparecería longitudinalmente,desaparecería del Universo, lo cual ciertamente no va a ocurrir. Ningún objeto material sólido puede moverse a una velocidad igual o mayor que la velocidad de la luz. Sólo la luz puede moverse a la velocidad de la luz, y la luz no es ningún objeto material sólido, es energía electromagnética pura. Es importante enfatizar que lo que hemos visto no es una cuestión de ilusiones ópticas. Se trata de fenómenos reales que están ocurriendo en el mundo real. No nos damos cuenta de ello porque siendo la velocidad de la luz extremadamente alta, el factor V²/c² y con ello el factor de corrección sólo se vuelve importante para situaciones que se acercan a la velocidad de la luz. Pero los efectos son medibles. Un caso que ocurre cotidianamente tiene que ver con las partículas cósmicas que constantemente están bombardeando la Tierra. Al chocar contra la atmósfera de la Tierra, cada una de las partículas cósmicas produce una estela de otras partículas subatómicas:

En el siguiente dibujo podemos ver una representación de las partículas subatómicas que una partícula cósmica produce tras su choque con la atmósfera terrestre:

Entre todas estas partículas subatómicas hay una que nos interesa, el muón μ+, producido por el decaimiento del mesón π+ a su vez producido por el choque de la partícula cósmica con la atmósfera terrestre. Por experimentos llevados a cabo en laboratorios en la Tierra, se sabe que los muones cuando están reposo tienen un tiempo de vida medio de tan sólo 2 microsegundos, un tiempo extremadamente corto. Puesto que los muones son producidos a gran altura, muy pocos de ellos deberían llegar al nivel del mar. Sin embargo, los muones que se observan son muchos (esto se puede confirmar utilizando una cámara de niebla de Wilson). Un muón viajando a una velocidad de 0.99 veces la velocidad de la luz (0.99c) alcanzaría a recorrer únicamente unos 600 metros en sus 2.2 microsegundos de vida. Sin embargo, en virtud de que el muón viaja a una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz, en el marco de referencia del muón el tiempo avanza mucho más lentamente. Su vida media de 2.2 microsegundos se ve incrementada en el marco de referencia de la Tierra por un factor de corrección de 16 (para una velocidad de 0.998c), aumentando hasta 16 microsegundos, y un muón viajando a la velocidad de 0.99c alcanza a recorrer 4,800 metros en este lapso de tiempo:

Sin embargo, desde la perspectiva del muón, viajando a un lado suyo, su vida media sigue siendo de 2.2 microsegundos. Lo que pasa es que la distancia que recorre el muón es menor por los efectos de la contracción relativista de la longitud. El muón no recorre los 4,800 metros, recorre únicamente 600 metros:

Nuevamente, lo que para un observador se trata de una dilatación del tiempo, para el otro observador se trata de una contracción de longitud. PROBLEMA: En su primer papel en el cual dió a conocer al mundo su Teoría Especial de la Relatividad, Einstein escribió lo siguiente:

“Si en los puntos A y B de K hay relojes estacionarios que, vistos desde un sistema estacionario, están sincronizados, y si el reloj en A es movido con velocidad V a lo largo de la línea AB hacia B, entonces a su llegada a B los dos relojes no sincronizarán, el reloj movido de A hacia B estará detrás del otro que permaneció estacionario por ½ tV²/c² (hasta magnitudes de orden cuatro y mayor), siendo t el tiempo ocupado en la jornada de A hacia B.” Demostrar el enunciado anterior. Al estar en la posición A, ambos relojes que llamaremos el reloj 1 y el reloj 2 coinciden en un mismo tiempo t1 = t2. Al llegar el reloj viajero 1 de A a B, ambos relojes habrán acumulado tiempos diferentes t1 ≠ t2, y la diferencia Δt acumulada entre ambos estará dada por la fórmula para la dilatación del tiempo: Δt = Δt’ / √ 1 - V²/c² Δt = Δt’ { 1 - (V/c)² }-½ Podemos llevar a cabo la expansión por series de la expresión anterior recurriendo al teorema del binomio que en su forma más general es enunciado de la siguiente manera: (a + x) n = an + nan-1x + {n(n-1)/2!} an-2x² + {n(n-1)(n-2)/3!} an-3x3 + ... Haciendo a=1 y tomando el exponente n como el exponente fraccionario negativo -½, tenemos la serie infinita: (1 - x) -½ = 1 + (½) x + ... __para x ≤ 1 con la cual: Δt = Δt’ { 1 + (½) (V/c)² + O(V/c)4 } en donde O(V/c)4 significa “los Otros términos residuales de la serie infinita sobre V/c de orden 4 o mayor”. Entonces, despreciando esos otros términos residuales de la serie:

Δt = Δt’ { 1 + (½) (V/c)² } Δt = Δt’ + Δt’ (½) (V/c)² Δt - Δt’ = (½) Δt’ (V²/c²) Pero Δt - Δt’ es precisamente la diferencia entre los lapsos de tiempos Δt y Δt’ transcurridos entre los dos relojes, y como el lapso de tiempo Δt’ corresponde al reloj que se movió, vemos que esto será igual a la expresión dada por Einstein en su papel original. PROBLEMA: En el mismo papel elaborado por Einstein en donde aparece lo anterior, Einstein agregó lo siguiente: “Entonces concluímos que un reloj de balanza puesto en el Ecuador deberá correr más lentamente, por una cantidad muy pequeña, que un reloj precisamente similar situado en uno de los polos bajo condiciones de otra manera idénticas.” Calcúlese la diferencia de tiempos entre los dos relojes después de un siglo. En medidas angulares, la Tierra gira sobre su propio eje 2π radianes en 24 horas. Su velocidad angular ω será entonces: ω = 2π radianes / 24 horas ω = 72.722 · 10-6 radianes/seg Tomando el radio medio de la Tierra como R = 6.37 · 106 metros, podemos estimar una velocidad tangencial en su ecuador igual a: V = ωR V = (72.722 · 10-6 radianes/seg)(6.37 · 106 metros)

V = 463.24 metros/seg El retardo de tiempo acumulado después de un siglo por el reloj que avanza a la anterior velocidad

V será: t = (½) t’ (V²/c²) = (½) t’ (V/c)² t = (½) (100 años) {(463.24 metros/seg) / (3 · 10 8 metros/seg)}² t = 3.8 · 10-3 segundos Esta es una diferencia de tiempos muy pequeña que en los tiempos de Einstein era indetectable. Sin embargo, en los tiempos de hoy en los que contamos con relojes de precisión atómica, el experimento se puede llevar a cabo en cualquier momento subiendo a una persona a un avión llevando consigo un reloj de alta precisión. El experimento ya se ha efectuado, y los resultados son precisamente los que predice la Teoría de la Relatividad. Fue llevado a cabo por vez primera en 1971 por Joseph C. Hafele y R. Keating, los cuales se subieron con cuatro relojes atómicos de cesio a bordo de aviones comerciales dándole la vuelta a la Tierra primero en dirección Este y después haciendo otro viaje redondo en dirección Oeste, comparándose las lecturas de los mismos con la lectura de otro reloj idéntico en Tierra en la ciudad de Washington sincronizado inicialmente con los relojes viajeros. Al comparar las lecturas de los relojes atómicos después del viaje, los del avión y el de la Tierra, ya no estaban sincronizados. Los relojes atómicos que habían volado estaban ligeramente retrasados (muy ligeramente pero medible con dichos relojes, la diferencia de tiempos era de unas pocas centésimas de milésima de millonésima de segundo). Tras descontar ciertos efectos gravitatorios secundarios, y asumiendo que no hubo ningún error de medida, lo cual se comprobó controlando las condiciones y repitiendo el experimento varias veces, se concluyó que la única explicación posible venía por la Teoría de la Relatividad. A un costo de 8 mil dólares por el experimento, de los cuales 7 mil 600 dólares fueron empleados para pagar los pasajes, la edición de septiembre de 1972 de la revista Scientific American lo llamó la prueba más económica que se haya hecho sobre la relatividad. De hecho, son tantas las pruebas experimentales que se han llevado a cabo ya de diversas maneras confirmando las predicciones teóricas de la Teoría de la Relatividad, que un resultado negativo causaría en estos momentos una verdadera conmoción entre la comunidad científica. En tiempos recientes, los efectos relativistas de la dilatación del tiempo ocasionados por una rotación alrededor de la Tierra tienen que ser tomados en cuenta para hacer las correcciones numéricas necesarias para poder mantener sincronizados con la Tierra a los 24 satélites utilizados por el Sistema de Posicionamiento Global ó Global Positioning System (GPS), cada uno de los cuales le dá una vuelta completa a la Tierra cada 12 horas:

en virtud de que dichos satélites, al estarse moviendo en el espacio en relación con los relojes atómicos que están en reposo en la Tierra, registran un tiempo que camina con mayor lentitud. El sistema de localización GPS requiere para su buen funcionamiento que los satélites estén sincronizados a un elevado nivel de precisión, lo cual es absolutamente necesario para permitirle a las personas en la Tierra que tengan receptores GPS (cada vez incorporados con mayor frecuencia como una función en teléfonos celulares de alto costo):

el poder ubicar sus coordenadas geográficas con la exactitud requerida en base a las distancias de cada uno de los satélites cuyas señals alcanzan a llegar a un receptor de señales GPS. Aunque el efecto relativista es relativamente pequeño, los relojes atómicos son lo suficientemente precisos como para ser afectados por el efecto de la dilatación del tiempo, y las correcciones numéricas que se tienen que hacer son precisamente las que predice la Teoría de la Relatividad. PROBLEMA: Una vara en movimiento de longitud L forma un ángulo θ con respecto a la horizontal. Si la vara se mueve a una velocidad V a lo largo de la dirección con respecto a la cual forma dicho ángulo, ¿cuál será la longitud de la vara y cuál será el ángulo que forma la vara con respecto a la horizontal para un observador en reposo que los ve pasar?

Puesto que las dimensiones de un objeto experimentan una contracción relativista por un factor √ 1 - V²/c² en la dirección del movimiento, para un observador en reposo la componente horizontal de la vara habrá quedado reducida a una longitud de: L cos(θ) √ 1 - V²/c² mientras que la componente de la vara perpendicular a la dirección del movimiento, que es Lsen(θ), permanecerá inalterada en ambos marcos de referencia. Por lo tanto, para el observador en reposo en el marco de referencia S, por el teorema de Pitágoras la longitud de la vara L en su marco de referencia será igual a la raíz cuadrática de la suma de los cuadrados de la componente vertical y de la componente horizontal contraída : L² = L² sen²(θ) + (1 - V²/c²)(L² cos²(θ)) L = L √ sen²(θ) + cos²(θ)/γ² Y en lo que al ángulo respecta, el ángulo θ medido por el observador en S estará dado de: Tan(θ) = [L sen(θ)]/[(L cos(θ))(√ 1 - V²/c²)] Tan(θ) = γ Tan(θ)

θ = Tan-1[γ Tan(θ)] PROBLEMA: Dos observadores en los sistemas de referencia S y S’ sincronizan sus relojes para que den las mismas lecturas de t = 0 en sus orígenes cuando coinciden el uno frente al otro. El observador en S lee la lectura del reloj en S’ a través de un telescopio. ¿Cuál es el tiempo que lee del reloj en S’ cuando su reloj marca 20 minutos si V² = (8/9) c²? Este problema ilustra una complicación adicional que tenemos que tomar en cuenta en la resolución de ciertos problemas que tiene que ser agregada a los efectos propios de la relatividad: el tiempo finito empleado por la luz en llegar de un lugar a otro. Si nosotros desde la Tierra vemos con un telescopio un reloj en el planeta Marte sincronizado con el nuestro cuando los planetas están más cercanos, podemos tener la seguridad de que la lectura que veremos en el reloj de Marte con la ayuda de nuestro telescopio no será igual a la de nuestro reloj ya que la distancia que tiene que recorrer viajando a la velocidad de la luz la imagen del reloj es de unos 100 millones de kilómetros, y puesto que esa imagen no nos llega instantáneamente sino que es una imagen que tarda (100,000,000 Km)/(300,000 Km/seg) = 333 segundos = 6 minutos, la lectura que veremos es una imagen del pasado, de algo que nos fue enviado 6 minutos antes y que tardó 6 minutos en llegarnos. De hecho, todo, pero absolutamente todo lo que vemos, son imágenes del pasado. No hay imagen alguna de nada que vemos con nuestros ojos que nos llegue instantáneamente, inclusive de objetos cercanos a nosotros al alcance de nuestras manos, en virtud de la velocidad finita de la principal portadora de información, la luz. Vivimos en la ilusión de que todo lo que tenemos ante nosotros cerca de nosotros lo vemos justo cuando está ocurriendo, pero ello es una ilusión encubierta por el hecho de que las diferencias en los tiempos involucrados son tan pequeñas que para fines prácticos pueden ser consideradas despreciables, pero no son despreciables. Afortunadamente, aunque la velocidad de la luz es finita, también es bastante elevada, de modo tal que no nos damos cuenta de que las imágenes que vemos en torno nuestro son imágenes de un pasado tanto mayor cuanto mayor sea la distancia que nos separa de lo que estamos viendo. En estos momentos vemos con nuestros telescopios, incluído el telescopio espacia Hubble, las imágenes de estrellas que ya no existen, que se apagaron hace millones de años. En el tiempo en que tardaron las imágenes de esas estrellas en llegarnos tales estrellas desaparecieron y ya no existen “hoy”. Regresando al problema que nos ocupa, podemos ver que ocurren tres eventos: 1) Los dos observadores S y S’ están el uno frente al otro sincronizando sus relojes a un tiempo t = t = 0.

2) El observador viajero S’ llega a cierto punto en su recorrido desde donde le envía una imagen de su reloj al observador en S.

3) La imagen del reloj de S’ le llega al telescopio al observador en S a la vez que S’ continúa su recorrido.

Nótese que el tiempo de S’ que lee el observador en S no es la lectura que está marcando el reloj de S’ cuando le llega la imagen del reloj a S a los 20 minutos. Desde la perspectiva del observador en reposo, el tiempo de 20 minutos en el cual el observador en S recibe la imagen del reloj de S’ debe ser igual al tiempo t 1 (= L/V) que tarda el viajero en S’ en llegar hasta el punto desde el cual le envía a S la imagen de su reloj, más el tiempo t 2 (= L/c) que tarda en llegarle dicha imagen a S, siendo L la distancia propia medida por S: 20 minutos = t1 + t2 20 minutos = L/V + L/c = (1/V + 1/c) L’ = (√9/8 + 1) L/c = (2.06) L/c

L = (1,200 seg) (3·108 metros/seg) / 2.06 = 1.747·1011 metros Esta es la distancia que ha recorrido S’ medida por S cuando el primero le envía la imagen de su reloj a S. Sin embargo, para S’ esta distancia de está contraída por un factor √ 1 - V²/c² = √ 1 - (8/9) = 1/3 O sea que, desde su perspectiva, S’ ha recorrido una distancia de L’ = 0.582·1011 metros. Entonces el tiempo t’ que S tiene acumulado en su reloj al recorrer dicha distancia viajando a una velocidad de V = √(8/9) c es: t’ = L’/V = (0.582·1011 metros) / (0 2.8284·108 metros/seg) t = 205.8 segundos = 3.43 minutos

5. EL EXPERIMENTO QUE ANTECEDIÓ A LA TEORÍA “¿Qué es el tiempo?” - en alguna ocasión se le llegó a preguntar a Einstein, quizá para meterlo en un aprieto filosófico. “Es lo que medimos con el reloj” - contestó.

Es interesante el hecho de que la primera confirmación experimental de la Teoría Especial de la Relatividad se dió en 1881 cuando aún no existía dicha teoría e inclusive cuando Einstein apenas tenía dos años de edad (nació en 1879). La Teoría Especial de la Relatividad sería publicada 24 años después, en 1905, y cuando Einstein desde Europa dió a conocer al mundo su teoría ni siquiera parecía haber estado bien enterado de los resultados obtenidos en aquél famoso experimento llevado a cabo por vez primera en los Estados Unidos por el físico Albert Michelson 24 años atrás. Cuando Einstein elaboró su teoría no la concibió con la finalidad de explicar los resultados obtenidos por Michelson, la elaboró con el fin de liberar de asimetrías las ecuaciones básicas del electromagnetismo descubiertas por Maxwell. Cuando Michelson llevó a cabo su ahora ya famoso experimento, la intención de Michelson era determinar la rapidez con la cual se estaba moviendo la Tierra en el espacio en relación con ese medio estático, invisible y universal que se suponía que servía como medio de conducción para la transmisión de las señales luminosas, el éter, el cual había sido postulado por varios físicos de prestigio como la gran referencia cósmica con respecto a la cual el movimiento absoluto podía ser detectado. Michelson esperaba poder detectar desde su laboratorio no sólo la velocidad a la cual se estaba moviendo la Tierra con respecto al éter, sino inclusive la dirección hacia la cual o de la cual se estaba acercando o alejando del éter en un momento dado al girar la Tierra en torno al Sol. El aparato original de Michelson cuando fue utilizado por vez primera tenía el siguiente aspecto:

Este aparato trabajaba sobre el siguiente esquema simplificado:

Todo el aparato estaba montado sobre una enorme piedra caliza montada sobre madera suave flotando a su vez en una piscina de mercurio líquido con el fin de disminuír las vibraciones del instrumento. Sobre la plataforma había una fuente de luz de la cual emanaba un haz que con la ayuda de un espejo semireflejante era dividido en dos caminos diferentes, dirigiéndose parte del haz por transmisión directa a través del espejo semireflejante hacia un espejo opuesto hacia la

fuente de luz (situado a la derecha del dibujo), y dirigiéndose la otra parte del haz por reflexión directa hacia otro espejo (situado en la parte superior del dibujo). Ambos haces eran reflejados por los espejos, y al combinarse los haces separados nuevamente lograban pasar por el espejo semireflejante hacia un detector que consistía básicamente en un telescopio graduado. Puesto que uno de los haces de la combinació seguía una ruta había seguido una trayectoria más larga que el otro, al juntarse nuevamente ambos haces se producía un patrón de interferencia propio de las ondas que llegan fuera de fase. A continuación tenemos un bosquejo del efecto que se obtenía del aparato:

El objetivo de la rueda que flotaba sobre la piscina de mercurio líquido era girar todo el instrumental (fuente de luz, espejos, telescopio) situado sobre la plataforma para dejar que el movimiento con respecto al éter alterara las franjas de interferencia observadas en el telescopio y a través de la alteración determinar la velocidad del aparato (y por lo tanto de la Tierra sobre la cual estaba puesto el aparato) con respecto al éter. Obviamente, para poder obtener un patrón de interferencia entre dos haces de luz originados de una misma fuente pero arribando con una diferencia de longitud en sus trayectorias, era necesario utilizar un haz luminoso monocromático, de un solo color (y por lo tanto de una sola frecuencia):

El experimento estaba diseñado sobre una premisa muy fácil de entender: si existe el éter absoluto, inamovible, que permea todo el espacio, medio usado por las ondas electromagnéticas incluída la luz misma para propagarse, entonces si un rayo luminoso es lanzado directamente hacia un espejo el tiempo total de ida y vuelta del rayo luminoso será diferente si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección que coincide con la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter que el tiempo total de ida y vuelta si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter, suponiéndose que este “viento del éter” se debe al movimiento combinado de rotación y traslación de la Tierra en el cosmos. En el aparato de Michelson, aunque no sepamos ni podamos ver en qué dirección está “soplando” el viento del éter, nos basta con ir girando la rueda sobra la cual está montada todo el instrumental para poder obtener una diferencia de tiempos la cual, aunque minúscula, debe poder ser detectada de los patrones de interferencia formados en el telescopio detector. Cuando un rayo de luz es lanzado hacia un espejo a lo largo de una misma dirección con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del laboratorio con respecto al éter, entonces si la velocidad del laboratorio moviéndose en contra del estático éter es V la velocidad del rayo luminoso se verá disminuída de c a c-V en su viaje de ida, y se verá aumentada a c+V en su viaje de retorno (obsérvese que bajo la hipótesis del éter, al no ser la velocidad de la luz la misma para todos los marcos de referencia en movimiento absoluto con respecto al éter no existe impedimento alguno para que los objetos materiales puedan moverse a velocidades mayores que la velocidad de la luz):

Llamando L a la distancia entre la fuente de luz y el espejo reflector, el tiempo total de ida y vuelta del haz luminoso será la suma del tiempo de ida: Tida = L / (c - V) a la del tiempo de vuelta: Tvuelta = L / (c + V) o sea: Ttotal = Tida + Tvuelta

Ttotal = L{ 1/(c - V) + 1/(c + V) }

Ttotal = L{ (c + V)/(c² - V²) + (c - V)/(c² - V²) } Ttotal = 2Lc/(c² - V²) Ttotal = (2L/c)/(1 - V²/c²) El caso en el cual el rayo de luz es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter se puede comparar mediante una analogía con un avión en el aire. Un avión que vuela de Sur a Norte a una velocidad de 20 metros por segundo tardará diez segundos en recorrer una distancia de 200 metros volando de Sur a Norte cuando no está soplando viento alguno, pero si el avión es arrastrado al mismo tiempo de Este a Oeste por el viento a una velocidad de 12 metros por segundo, tardará más tiempo en recorrer los mismos 200

metros de Sur a Norte ya que su velocidad efectiva en dicha dirección habrá disminuído a 16 metros por segundo. Tardará 12.5 segundos en lugar de diez en recorrer esos 200 metros de Sur a Norte:

Esto lo podemos deducir con una simple substracción vectorial de velocidades llamando v a la velocidad del avión en un día tranquilo sin viento alguno, V la velocidad con la cual empieza a soplar el viento, y u la velocidad efectiva del avión de de Sur a Norte: u=v-V

Vectorialmente, la velocidad v del avión es disminuída en su sentido de Norte a Sur de 20 metros por segundo a una velocidad efectiva u de 16 metros por segundo por el “soplo del viento” (el avión sigue manteniendo su misma velocidad de acuerdo a lo que le marcan al piloto los instrumentos). Lamagnitud de la velocidad efectiva la obtenemos con la simple aplicación de teorema de Pitágoras:

v² = V² + u² (20 m/seg)² = (12 m/seg)² + u² u² = (20 m/seg)² - (12 m/seg)² u² = 256 m²/seg² u = 16 m/seg Esto mismo lo podemos generalizar para obtener una expresión para el tiempo total de ida y vuelta del rayo luminoso cuando es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección del “viento del éter”. PROBLEMA: Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general para calcular el tiempo total de ida y vuelta de un haz luminoso cuando el rayo de luz es lanzado hacia un espejo en una dirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz en relación al éter, siendo L la distancia entre la fuente luminosa y el espejo reflector. La resolución de este problema consiste simplemente en generalizar con símbolos lo que acabamos de ver en el ejemplo de arriba. El tiempo de ida Tida del haz en una dirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz en relación al éter será igual al tiempo de regresoTvuelta del haz al punto de donde fue lanzado, siendo este tiempo igual a: Tida = L / √c² - V² y por lo tanto el tiempo total será: Ttotal = 2L/ √c² - V² Ttotal = (2L/c) / √ 1 - V²/c² Obsérvese que este tiempo es diferente del tiempo total de recorrido que se obtiene cuando el haz luminoso es lanzado en una dirección paralela (en la misma dirección) a la dirección del “viento del éter” en vez de ser lanzado en una dirección perpendicular a dicho viento. PROBLEMA: Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general aproximada para calcular la diferencia de tiempos en un aparato en el cual se lanza un rayo de luz recorriendo una

distancia L hacia el espejo reflector en su trayecto de ida y vuelta cuando el rayo de luz viaja en una dirección paralela a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, y el tiempo total de ida y vuelta medido en el mismo aparato cuando el rayo de luz es lanzado viajando en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”. ¿Cómo se comparan estos dos tiempos con el tiempo medido por un observador privilegiado que esté en reposo absoluto con respecto al éter? Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado a lo largo de la misma dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total Ttotal de ida y vuelta es: Ttotal = (2L/c) /(1 - V²/c²) Ttotal = (2L/c) {1 - V²/c²} -1 Podemos llevar a cabo la expansión de esta expresión mediante una serie infinita recurriendo alteorema del binomio que en su forma más general es enunciado de la siguiente manera: (a + x) n = an + nan-1x + {n(n-1)/2!} an-2x² + {n(n-1)(n-2)/3!} an-3x3 + ... Cuando a=1 y cuando el exponente n es -1 por tratarse de un inverso, el teorema del binomio se reduce a: (1 - x) -1 = 1 + x + x² + x3 + x4 + x5 + ... __para x ≤ 1 (La condición x ≤ 1 se cumple aquí porque suponemos que el aparato está viajando a una velocidad Vmenor que la velocidad de la luz c sin suponer efecto relativístico alguno.) Con esta expansión tenemos: (1 - V²/c²) -1 = 1 + V²/c² + O(V/c)2 en donde O(V/c)2 significa “los Otros términos residuales de la serie obtenidos con exponentes de orden 2 y mayor”.

Por lo tanto el tiempo de ida y vuelta será aproximadamente igual a: Ttotal ≈ (2L/c) (1 + V²/c²) Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total Ttotal de ida y vuelta es Ttotal = (2L/c) / √ 1 - V²/c² Ttotal = (2L/c) {1 - V²/c²} -½ Usamos nuevamente el teorema del binomio haciendo a=1 cuando el exponente es el exponente fraccionario negativo -½, con lo cual tenemos: (1 - x) -½ = 1 + (½) x + O(x)2 __para x ≤ 1 Por lo tanto el tiempo total de ida y vuelta para el caso perpendicular será: Ttotal ≈ (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)} La diferencia entre Ttotal y Ttotal es entonces (obsérvese que Ttotal es mayor que Ttotal): ΔT ≈ Ttotal - Ttotal ΔT ≈ (2L/c) (1 + V²/c²) - (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)} Simplificando: ΔT ≈ LV² / c3 Un observador privilegiado que se encuentre en absoluto reposo con respecto al éter tendrá una velocidad V igual a cero, y el tiempo total de ida y vuelta será Tprivilegiado = 2L/c. Puesto que esta relación es diferente de las relaciones obtenidas por otro experimentador que está en movimiento con respecto al éter, hay una asimetría entre el observador privilegiado y todos los demás

observadores. reflejada en diferencias medibles entre experimentos llevados a cabo con el mismo aparato por distintos observadores. Comparando los tres tiempos a un primer orden de aproximación: Ttotal ≈ (2L/c) (1 + V²/c²) Ttotal ≈ (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)} Tprivilegiado = 2L/c comprobamos que, en todos los casos, el menor tiempo posible de recorrido será precisamente el que mida un observador privilegiado que esté en absoluto reposo con respecto al éter en cuyo caso por tener V = 0 tanto Ttotal como Ttotal se reducen a 2L/c. Esto, en principio, nos dá una forma teórica y experimental de poder saber si estamos en reposo absoluto con respecto al hipotético éter. Michelson supuso, al igual que otros científicos de su tiempo, que la Tierra por sus movimientos de rotación y traslación alrededor del Sol no estaba permanentemente en reposo con respecto al éter, y si acaso lo estaba ello sería por un instante brevísimo. Debía ser posible detectar el desplazamiento de la Tierra a través del éter. El aparato que diseño se basó precisamente en la diferencia de tiempos ΔT que esperaba obtener entre dos rayos de luz, uno arrojado en la posible dirección paralela al “soplo del viento del éter” y el otro arrojado en una dirección perpendicular, juntando dichos haces de luz para detectar la variación producida en un patrón de interferencia luminosa. Dada la enorme dificultad en hacer las dos trayectorias (la paralela y la perpendicular) de la misma longitud L a la precisión requerida, el patrón de interferencia producida por los dos haces luminosos al llegar desfasados al detector era observada y entonces el aparato completo era girado 90 grados. Esta rotación debería de producir para cada haz luminoso la diferencia de tiempo dada por: ΔT ≈ LV² / c3 Esta diferencia de tiempo ΔT es equivalente a una diferencia de trayectoria de 2cΔT. De acuerdo con los principios de la óptica ondulatoria, las franjas de interferencia observadas en la primera orientación de la mesa giratoria deberían recorrerse en el detector por una cantidad ΔN de franja igual a:

ΔN = 2cΔT/λ ΔN = (2L/λ) (V²/c²) en donde λ es la longitud de onda de la fuente luminosa monocromática. Cuando llegó el día de llevar a cabo la primera realización del experimento en 1881, la distancia L en la mesa giratoria era de unos 1.2 metros y la longitud de onda de la señal luminosa utilizada era de λ = 5.9·10-7 de metro. Tomando la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol para una primera aproximación de la velocidad V con respecto al éter, obtenemos una velocidad de unos 30 kilómetros por segundo que viene siendo igual a 10-4c, con lo cual V²/c² es un factor de 10-8, y se esperaba que ΔN fuese igual a un 0.04 de franja. Desafortunadamente, se estimaba que las incertidumbres experimentales eran de un orden de magnitud similar. De cualquier manera, al efectuar el experimento y en un resultado que lo sorprendió, Michelson no encontró cambio alguno en los patrones de interferencia por más que girase la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, con lo cual concluyó que esto era una evidencia de que la Tierra no se estaba moviendo con respecto al éter, aunque el resultado negativo del experimento llevado a cabo por Michelson inicialmente fue tomado por muchos como un fracaso debido a la falta de precisión de los instrumentos utilizados en aquella época en la que no existía ni siquiera la radio comercial. Tiempo después, en 1887, Michelson repitió el mismo experimento con Edward W. Morley, usando un sistema mejorado para girar la mesa circular del aparato sin introducir un desplazamiento en las franjas de interferencia luminosas causadas por tensiones mecánicas en el aparato, y la longitud efectiva de la trayectoria fue elevada de los 1.2 metros originales a unos 11 metros recurriendo a una serie de reflexiones múltiples. Este es el aparato que tenemos descrito arriba. Para este intento, se había calculado que N debería tener un valor de 0.4 de franja, unas 20 ó 40 veces más que el mímino que era posible observar. Y de nueva cuenta, no se encontró corrimiento alguno en las franjas de interferencia al girar la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, y en esta ocasión había la certeza de que no se debían a error experimental alguno.. Desde entonces, el mismo experimento ha sido repetido innumerables ocasiones alrededor del mundo, y jamás se ha encontrado corrimiento alguno en las franjas de interferencia. En un esfuerzo por explicar los resultados negativos obtenidos por Michelson y Morley, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz formuló conjuntamente con el físico irlandés George Francis Fitzgerald una explicación teórica hecha “justo a la medida”, argumentando que al igual que una masa suave que se mueve en el aire o bajo el agua sufre una ligera deformación por la resistencia que le ofrece el medio en el cual se está desplazando, también la vara de medición que se estuviera moviendo en contra del éter estático sufriría una contracción que por una maravillosa y casi milagrosa coincidencia era justo lo que se necesitaba para compensar con una longitud menor la diferencia de tiempos de traslado que se hubiera esperado detectar a través de los patrones de interferencia observados en el telescopio, explicando con ello los resultados negativos obtenidos

en los experimentos. Matemáticamente expresado, la contracción debida al “empuje del viento del éter” reduciría la longitud original L0 de la vara de medición a una longitud menor L dada por: L = L0 √ 1 - V²/c² en donde V vendría siendo la velocidad de la regla al estarse moviendo en contra del éter. De acuerdo con ésta fórmula, poniendo números, una vara de medición moviéndose en contra del éter a una velocidad igual a las tres cuartas partes de la velocidad de la luz sería “comprimida” a un 66 por ciento de su longitud original. Esta contracción fue llamada desde que fue propuesta como la contracción Lorentz-Fitzgerald. La principal objeción que podemos ponerle a esta teoría es que predice una compresión igual en todas las varas de medición independientemente del material del que estén hechas, ya sea de acero inoxidable rígido o de caucho, lo cual por sí solo presiona demasiado los límites de nuestra credibilidad. Pero otra objeción más dura aún a la fórmula de contracción de longitud de una vara de medición dada por Lorentz y Fitzgerald era que carecía de una teoría que justificase la fórmula, se trataba de una fórmula semi-empírica, era simplemente un artificio concebido para explicar los resultados negativos del experimento Michelson-Morley. Fué solo hasta 1905 cuando Einstein dió a conocer su Teoría Especial de la Relatividad que los resultados negativos del experimento Michelson-Morley tuvieron una explicación teórica rigurosa y satisfactoria: al no existir el éter y por lo tanto al no existir forma alguna de poder detectar el movimiento absoluto de la Tierra con respecto a algo que no fuese su rotación alrededor del Sol y ni siquiera así, la Tierra podía tomarse como un cuerpo en estado de reposo, y al ser tomada como un cuerpo en estado de reposo la velocidad del éter en las fórmulas utilizadas por Michelson y Morley era V=0, con lo cual los resultados negativos del experimento se vuelven inevitables. En el problema anterior, tenemos tres expresiones diferentes para los tiempos de viaje que obtendríamos para un rayo de luz usando el mismo aparato experimental, Ttotal , Ttotal yTprivilegiado, tiempos de viaje predichos teóricamente sobre la base de la existencia del éter, capaces de ser confirmados experimentalmente. Y de las tres expresiones anteriores, la más sencilla de todas, la que nos dá T=2L/c, es la que obtendría un observador privilegiado que estuvierse en reposo absoluto con respecto al éter. Esto es algo de naturaleza general. Las leyes de la física adquieren su forma más sencilla posible para un observador privilegiado que esté en reposo absoluto con respecto al éter, un observador para el cual V=0. Para todos los demás observadores, las leyes tendrán fórmulas más complejas como lo acabamos de ver. A este tipo de asimetrías era a las que se refería Einstein en su papel original. La única forma de deshacerse de estas asimetrías es rechazar la hipótesis de la existencia del éter y del movimiento absoluto, que fue precisamente lo que hizo Einstein.

6. LOS DIAGRAMAS ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI La Teoría Especial de la Relatividad, tal y como fue enunciada por vez primera por Einstein, era una teoría puramente algebraica, sin referencia alguna a ningún tipo de geometría. Se debe a Hermann Minkowski la proeza de haberla convertido en una teoría geométrica llevando a cabo de paso la unificación de dos conceptos que en la mecánica clásica habían sido considerados completamente independientes y separados el uno del otro: el espacio y el tiempo. Gracias a Minkowski, el espacio y el tiempo fueron unificados en un solo concepto básico e indivisible bajo una sola palabra, elespaciotiempo (aquí lo llamaremos espacio-tiempo en el entendido de que ambos conceptos han sido fusionados en uno solo), de modo tal que no era posible hablar ya del espacio como entidad individual y del tiempo como entidad individual también, separados el uno del otro. Pero aquí nos estamos adelantando a nuestra historia. Considerando para fines ilustrativos una velocidad de la luz de c = 1 metro por segundo, eldiagrama espacio-tiempo para un rayo de luz es el siguiente:

Sobre el mismo diagrama, la especificación de la coordenada x de una partícula material que nos indica la posición en la cual se encuentra la partícula y del tiempo t al que corresponde esta

coordenada, se dice que determina un evento o un suceso. Si representamos la posición x en el eje de las abcisas (eje horizontal) y el tiempo t en las ordenadas (eje vertical), cada punto del plano x-tcorresponde a un posible evento. En un diagrama así podemos representar dos eventos distintos vistos por un mismo observador, trátese de dos eventos distintos que ocurren en el mismo lugar en tiempos diferentes, dos eventos distintos que ocurren al mismo tiempo en distintos lugares, o dos eventos distintos que ocurren en tiempos diferentes en lugares diferentes, como es el siguiente caso:

El lugar en un plano x-t de los eventos que representan las coordenadas apareadas de una partícula en varios instantes se conoce en los estudios de la relatividad como línea del mundo (world line) y también como línea del universo. En la Teoría Especial de la Relatividad, la línea del mundo es siempre una línea recta como la línea azul que tenemos en el diagrama de arriba porque la partícula material viaja siempre en movimiento rectilíneo en una misma dirección, recorriendo distancias iguales en tiempos iguales. Si en el instante t1 la coordenada de una partícula móvil es x1, entonces las magnitudes x1 y t1 determinan el evento E1. Análogamente, x2 y t2 determinan el evento E2. Los eventos para un mismo y único observador están separados en el espacio por una distancia Δx = x2- x1 y en el tiempo por una distancia Δt = t2 - t1. En los estudios sobre la relatividad, no se acostumbra revolver peras con manzanas, no se

acostumbra revolver metros con segundos al medir sobre coordenadas rectangulares. Para que en un diagrama espacio-tiempo tanto el eje horizontal como el eje vertical usen el mismo tipo de unidades, se acostumbra multiplicar el tiempo en el eje vertical que corresponde al tiempo por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz c, ya que con ello ct se convierte en una distancia que está medida en metros, no en segundos. De este modo, no mezclamos peras con manzanas, al medir tanto en el eje vertical como en el eje horizontal lo estamos haciendo en metros. En todos los diagramas espacio-tiempo que serán utilizados aquí, la ordenada vertical estará en dimensiones de metros, o sea multiplicada por c, representado en la ordenada vertical como ct. Aunque aparezca t en lugar de ct, se sobreentenderá que siempre nos estamos refiriendo a ct. Además, para fines de simplificación, le seguiremos dando a c el valor de 1 metro por segundo. Sin embargo, para fines de cálculo numérico, estamos en libertad de regresar a las mediciones en segundos sobre el eje vertical. En la última gráfica de arriba, tenemos representados dos eventos distintos, uno ocurriendo en la posición x1 en un tiempo representado en la posición ct1, y el otro evento ocurriendo en la posiciónx2 en un tiempo representado en la posición ct2. Poniendo números y usando una velocidad de la luz igual a c = 1 metro/segundo, las coordenadas respectivas de cada evento y la distancia entre ambos eventos es: x1 = 1 metro x2 = 2 metros ct1 = 1 metro ct2 = 3 metros Δx = x2 - x1 = 2 metros - 1 metro = 1 metro cΔt = ct2 - ct1 = 3 metros - 1 metro = 2 metros PROBLEMA: Una vara de medir de tres metros de largo se encuentra en reposo en el marco de referencia del observador O, y sus extremos coinciden con las coordenadas x1 = 2 metros y x2 = 5 metros. Trazar las líneas del mundo de los extremos de la vara de medir en un diagrama espaciotiempo del observador O. El diagrama espacio-tiempo pedido es el siguiente:

No es un requisito indispensable que en la construcción de un diagrama del espacio-tiempo se utilicen ejes ortogonales (perpendiculares, puestos en ángulos rectos el uno con respecto al otro). Es factible e inclusive deseable por razones que pronto serán obvias construír el diagrama espaciotiempo utilizando ejes que no son perpendiculares. A continuación tenemos un diagrama en el cual los ejes principales no son perpendiculares:

Obsérvese la manera de leer las coordenadas de un punto cualesquiera en este tipo de diagrama, trazando desde el punto líneas paralelas a uno de los ejes principales hasta topar con el eje principal de la otra coordenada. Y a continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo en el cual los ejes principales tampoco son perpendiculares:

Para un mismo observador, el anterior diagrama espacio-tiempo nos dá la distancia Δx que separa dos eventos E1 y E2, y nos dá también la distancia cΔt que separa a dichos eventos. Pero este diagrama espacio-tiempo describe la situación de un solo observador. El diagrama espacio-tiempo para un observador solitario no nos es de mucha utilidad en la resolución de problemas propios de la relatividad. Es necesario juntar de alguna manera los diagramas espacio-tiempo de dos observadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro en uno solo. Lo que estamos buscando es algo que geométricamente nos permita visualizar en un mismo diagrama la situación de dosobservadores. Esto se logra con un procedimiento que nos fue dado por el matemático Hermann Minkowski que será dado a continuación.

Procedimiento para construír un diagrama espacio-tiempo

(1) Supondremos que la velocidad de la luz tiene un valor de c = 1 metro/segundo. Empezamos trazando dos coordenadas perpendiculares que representan el diagrama espacio-tiempo de un observador al cual llamaremos O y que se considera a sí mismo en estado de reposo en su marco de referencia S, con la coordenada horizontal asignada a la representación de la posición de un objeto en el eje-x y con la coordenada vertical asignada a la representación del tiempo en el cual el objeto está en cierta posición:

(2) El diagrama espacio-tiempo más elemental que combina a dos observadores es el diagrama trivial en el cual ambos observadores está reposo el uno frente al otro en el mismo lugar (x = x’) y tienen sus relojes sincronizados al mismo tiempo (t = t’), lo que permite que los orígenes de ambos sistemas de referencia S y S’ coincidan en un mismo punto:

En forma similar a como sucede para el observador O, el eje ct’ es el lugar de los puntos tales que los eventos que ocurren a lo largo de dicho eje ocurren en el mismo lugar x’ = 0 pero en tiempos distintos para un observador O. (3) Para trazar un diagrama espacio-tiempo combinado juntando a dos observadores diferentes que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro a una velocidad V, trazamos primero eleje-t’ del marco de referencia S’ sobre el diagrama espacio-tiempo del observador en reposo usando para ello la velocidad relativa entre ambos observadores. No es necesario que los orígenes de los diagramas espacio-tiempo del observador O y del observador O’ coincidan, esto es mera cuestión de conveniencia. Construiremos un diagrama en el que ambos orígenes coinciden.

Suponiendo que la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es de V = 0.4c (o.4 metros/segundo) entonces para moverse una distancia x = 1 metro el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V = 2.5 segundos con respecto al origen, y para moverse una distancia x = 2 metros el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V = 5 segundos. Todos estos puntos están conectados con una línea recta, la cual trazamos sobre el diagrama como se muestra arriba. Esta recta corresponde al tiempo t’ del marco de referencia S’. Obsérvese que entre menor sea la velocidad relativa V más y más cercana estará la línea que hemos trazado a la vertical que corresponde a t, hasta que ambas llegan a coincidir cuando la velocidad relativa entre los dos observadores es cero. Para mayor simplicidad, prescindiremos de las graduaciones que hemos puesto en las coordenadas de ambos ejes del observador O:

(4) A continuación trazamos sobre el diagrama espacio-tiempo la ruta que corresponde a la trayectoria de un rayo de luz con una velocidad c = 1 metro/segundo:

(5) Ahora vamos a trazar la coordenada de x’ superimponiéndola en el mismo diagrama. Para poder localizarla en dicho diagrama, considérese primero un rayo de luz lanzado en el marco de referencia del observador O’ en un tiempo (medido en metros) ct’ = -a desde la coordenada x’ = 0, un evento al que llamaremos E, el cual es reflejado en sentido opuesto en un tiempo ct = 0 por un espejo en un evento al que llamaremos P, para regresar nuevamente a la coordenada x’ = 0 en un evento al que llamaremos R ocurriendo en el tiempo ct’ = +a (podemos imaginar lo que ocurre como una descripción geométrica en el espacio-tiempo del experimento llevado a cabo por el viajero en el ferrocarril al que vimos en la entrada titulada “La física es parada de cabeza” cuando nos encontramos por vez primera el efecto relativista de la dilatación del tiempo):

Desde la perpectiva del observador estacionario O, la situación del rayo de luz que fue reflejado en el marco de referencia de O’ es la siguiente:

Tanto en el marco de referencia del observador O’ como en el marco de referencia del observador O la luz sigue teniendo la misma velocidad, como lo enuncia el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. Por lo tanto, el rayo de luz que es lanzado en el marco de referencia de O’ también tendrá la misma pendiente de 45 grados en el marco de referencia de O. En el diagrama de arriba ubicamos arbitrariamente sobre el eje ct’ el evento E en el punto ct’ = -a, y trazamos desde dicho punto una trayectoria de 45 grados que corresponde al rayo de luz que es lanzado por el observador O’. Por otro lado, ubicamos sobre el eje t’ el evento R en el punto ct’ = +a, y trazamos desde allí la trayectoria que representa el rayo de luz reflejado por el espejo desde el punto que debe representar al evento P, una línea recta también de 45 grados (en concordancia con el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad) pero yendo de derecha a izquierda, extendiendo dicha línea hasta que se cruce con la otra línea que habíamos trazado. Esto nos dá unívocamente en el diagrama la localización del evento P. Por último, trazamos una línea punteada que conecta el origen común de ambos observadores hasta el punto que representa al evento P. Esta es la línea que corresponde a la coordenada de x’. No tardamos en descubrir que el ángulo que forma la coordenada x con la coordenada x’ es el mismo ángulo que el que forma la coordenada ct con la coordenada ct’. Con esto, hemos terminado esencialmente con la construcción del diagrama. Una cosa que resalta del diagrama espacio-tiempo final es el hecho de que los dos eventos identificados con cuadritos rojos y con los números 1 y 2 que son simultáneos para el observador

O’ (ambos ocurren en su tiempo t’ = 0) no ocurren al mismo tiempo en el marco de referencia del observador O. Esta es nuestra perspectiva geométrica del verdadero origen de los fenómenos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud: la simultaneidad deja de ser absoluta. En el universo de los absolutos, en la física pre-relativista, si dos eventos ocurrían al mismo tiempo para un observador estacionario, también ocurrían al mismo tiempo para otro observador en movimiento, lo cual deja de ser válido en la Teoría Especial de la Relatividad. Una cosa que no hemos hecho y la cual dejaremos pendiente por el momento es graduar (marcar con divisiones igualmente espaciadas) las coordenadas (x,t) del observador O y las coordenadas (x’,t’) del observador O’ de modo tal que podamos resolver gráficamente un problema relativista obteniendo aproximaciones numéricas al igual que como lo hacen los ingenieros que utilizan papel gráfico para la resolución aproximada de problemas de otra índole (el Smith Chart utilizado para la resolución de problemas eléctricos de líneas de transmisión, y el diagrama de humedad o carta psicométrica usada para la resolución de problemas de humedad relativa y punto de rocío). Esta graduación es conocida también como la calibración de los ejes, y se puede llevar a cabo mediante cálculos numéricos con las ecuaciones de transformación de Lorentz que veremos posteriormente o con el procedimiento geométrico de la hipérbola invariante. Así pues, nuestro principal medio de trabajo para el análisis geométrico de los problemas de la Teoría Especial de la Relatividad es el diagrama espacio-tiempo de Minkowski:

Este es el diagrama espacio-tiempo desde la perspectiva del observador O en reposo. Si queremos, podemos dibujar también el diagrama espacio-tiempo desde la perspectiva del observador O’ cuando este se considera en reposo y cuando ve al observador O en movimiento hacia la izquierda:

En esencia, lo que hemos hecho a sido tomar el diagrama básico para un observador O en reposo en un marco de referencia S, trazando sobre el mismo la línea que marca la trayectoria de un rayo de luz con una pendiente de 45 grados que corresponde a una velocidad c de 1 metro por segundo:

y sobre este diagrama, usando como referencia común la bisectriz que ambos diagramas deben tener identificando en el mismo la línea del mundo de un rayo de luz común a ambos observadores O y O’ en los marcos de referencia S y S’, hemos agregado al diagrama del observador estacionario O el siguiente diagrama espacio-tiempo de O’ (nos queda pendiente el asunto de cómo se lleva a cabo la graduación o calibración de los ejes x’-t’):

para así tener el siguiente diagrama espacio-tiempo combinando a ambos observadores desde la perspectiva del observador estacionario O:

PROBLEMA: Representar en un diagrama espacio-tiempo cuatro eventos distintos cuyas coordenadas son las siguientes: E1(x1, c t1) = (1, 2) E2(x2, c t2) = (2, 5) E3(x’1, c t’1) = (4, 1) E4(x’2, c t’2) = (2, 2) Los eventos E1 y E2 están especificados sobre las coordenadas del observador en reposo O en su marco de referencia S, y en el diagrama espacio-tiempo combinado estarán ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color púrpura):

Los eventos E3 y E4 están especificados sobre las coordenadas del observador en movimiento O’ en su marco de referencia S’, y en el diagrama espacio-tiempo combinado estarán ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color verde):

Cuanto más alta sea la velocidad relativa V entre dos marcos de referencia acercándose o alejándose a una velocidad cada vez más cercana a la velocidad de la luz, tanto más se irán cerrando los ejes que corresponden al marco de referencia en movimiento S’ como podemos apreciarlo en el siguiente diagrama espacio-tiempo:

En el diagrama espacio-tiempo de arriba, tenemos sobrepuestos a tres observadores, el observador que consideramos estacionario, el observador O’ que se está moviendo a una velocidad relativa V con respecto al observador O, y un tercer observador O’’ que se está moviendo a una velocidad todavía mayor con respecto al observador O. Nótese cómo se van cerrando cada vez más y más los ejes coordenados x-t de un observador móvil conforme va aumentando su velocidad V con respecto al observador estacionario. Cuando se prescinde de un diagrama espacio-tiempo como el caso en el que se vaya a efectuar un cálculo numérico, para la especificación completa de un mismo evento E cualquiera se deben especificar cuatro coordenadas, las coordenadas (x,t) del evento en el marco de referencia S, y las coordenadas (x’,t’) del evento en el marco de referencia S’, de modo tal que un evento quedará registrado como E(x,t,x’,t’) en forma completa. Esto es válido para cualquier evento. El único evento que tendrá las mismas coordenadas tanto para S como para S será el que ocurra en el punto común de origen, o sea E(x,t,x’,t’) = (0,0,0,0). En todos los demás casos las coordenadas diferirán. Sin embargo, al hablar de un evento se está hablando de un mismo y único evento visible para todos los observadores. Cuando un carro choca contra otro, ya sea visto por un observador estacionario o por un observador móvil, no existen dos marcos de referencia distintos en los cuales uno de los carros choque y el otro no. Distintos observadores siempre se podrán poner de acuerdo en un evento específico, cada uno asignándole sus propias coordenadas. En lo que no se podrán poner de acuerdo es en la duración del lapso de tiempo entre dos

eventos distintos E1 y E2 y en la distancia espacial que separe a dos eventos distintos. Un observador dirá que el lapso de tiempo entre dos eventos E1 y E2fue Δt mientras que el otro dirá que fue Δt’. Un observador dirá que la distancia espacial entre dos eventos fue Δx mientras que el otro dirá que fue Δx’, y en los diagramas de arriba podemos ver por qué no podrán ponerse de acuerdo jamás, a menos de que tomen en cuenta las correciones relativistas. Dado un evento E cualquiera puesto en un diagrama espacio-tiempo que involucre a dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, las coordenadas del mismo se pueden obtener tanto en un marco de referencia como en el otro trazando desde el evento líneas paralelas a cada uno de los ejes coordenados respectivos de cada observador, como lo muestra el siguiente diagrama:

En el diagrama espacio-tiempo de arriba tenemos un evento A. Trazando una línea horizontal hacia la izquierda hasta llegar al eje vertical ct podemos obtener el valor de ct con lo cual podemos obtener el tiempo, y trazando una línea vertical hacia abajo podemos obtener la coordenada de la distancia x. Del mismo evento A podemos hacia la línea ct’ una línea paralela a la coordenada x’ con lo cual obtenemos el valor de ct’, y podemos trazar hacia abajo otra línea paralela a ct con lo cual obtenemos el valor de x’.

PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de la dilatación del tiempo. El análisis se llevará a cabo considerando a nuestro proverbial viajero el cual dentro de un vagón de ferrocarril arroja un rayo de luz hacia arriba desde una linterna, el cual es reflejado por un espejo regresando al punto de partida, mientras que un observador sentado a un lado de las vías del ferrocarril observa al rayo de luz recorrer una trayectoria mayor. En la construcción de cualquier diagrama espacio-tiempo se vuelve necesario identificar claramente los eventos que ocurren. En este caso, nos basta con identificar sobre el diagrama espacio-tiempo dos eventos: el primer evento que llamaremos E1 ocurre cuando el rayo de luz sale de la linterna, y el segundo evento que llamaremosE2 ocurre cuando el rayo de luz regresa reflejado por el espejo al punto desde donde fue lanzado. Ambos eventos ocurren en el mismo lugar para el observador viajero O’, al cual le asignaremos la coordenada x’ = 0, pero en tiempos diferentes t’1 y t’2. Una vez localizados ambos eventos en el sistema de referencia S’ de O’, nos basta con trazar dos líneas horizontales desde las coordenadas (x’,t’1) y (x’, t’2) hacia el eje de tiempos del observador O para obtener las coordenadas correspondientes en el marco de referencia de O de los dos eventos:

Darse cuenta de que efectivamente hay una dilatación del tiempo requiere que pongamos sobre los ejes del diagrama espacio-tiempo divisiones graduadas en los ejes de los tiempos, o sea que llevemos a cabo la calibración de los ejes, lo cual se verá en una entrada posterior. Obsérvese que a diferencia de como sucede con el observador O’, los eventos E1 y E2 no sólo ocurren en tiempos diferentes t1 yt2; también ocurren en lugares diferentes x1 y x2. PROBLEMA: Ilustrar mediante un diagrama espacio-tiempo el fenómeno de la contracción de longitud sobre una vara de medición, suponiendo que: a) El observador en reposo O es el que tiene la vara de medir y el observador O’ es el que la ve pasar frente a él. b) El observador en movimiento O’ es el que lleva consigo la vara de medir y el observador en reposo O es el que la ve pasar frente a él. a) En el primer caso, si el observador en reposo es el que tiene una vara de medir de longitud L0, laslíneas del mundo de los dos extremos de la vara de medir se mantendrán como dos líneas verticales paralelas proyectadas hacia arriba como lo muestra el siguiente diagrama espaciotiempo:

En este caso, el observador estacionario O mide para la vara al mismo tiempo t = 0 en su tiempo propio una longitud L0. Pero el observador móvil O’ mide la coordenada de cada extremo de la varaen tiempos diferentes y concluye que hubo una contracción en la longitud de la vara. b) En el segundo caso, si el observador en movimiento O’ es el que lleva consigo la vara de medir de longitud L0, las líneas del mundo de los dos extremos de su vara de medir se mantendrán como dos líneas paralelas las cuales a su vez serán paralelas a su eje vertical ct’ como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo:

En este caso, el observador O’ mide para su vara al mismo tiempo t’ = 0 en su tiempo propio una longitud L0. Pero el observador O mide la coordenada de cada extremo de la vara en tiempos diferentes y concluye por su parte que hubo una contracción en la longitud de la vara. Hemos visto una forma convencional del diagrama espacio-tiempo de Minkowski, pero no es la única manera de construír un diagrama espacio-tiempo. Otra forma de lograrlo es recurriendo a un truco. El truco consiste en que sobre un mismo diagrama, usando el mismo origen para dos observadores distintos que se están moviendo a una velocidad relativa V el uno con respecto al

otro, se tracen dos ejes de espacios correspondiendo a los espacios propios medidos por cada observador, y además se tracen dos ejes de tiempos correspondiendo a los tiempos propios medidos por cada observador, de modo tal que el eje de tiempos de un observador sea perpendicular al eje de espacios del otro observador y que el eje de espacios de dicho observador sea perpendicular al eje de espacios del otro observador. Esto es lo que nos produce esencialmente lo que se llama un diagrama espacio-tiempo de Loedel, así llamado en referencia a su creador, el físico latinoamericano Enrique Loedel Palumbo:

El diagrama de Loedel es una modificación con fines didácticos del diagrama espacio-tiempo que fue concebido por Hermann Minkowski. Ahora veremos con mayor detalle el asunto de la simultaneidad, visto desde la óptica de la Teoría Especial de la Relatividad. El primer contacto que tienen muchos estudiantes con la explicación de la pérdida de la simultaneidad absoluta se basa en un ejemplo como el siguiente en el cual tenemos a nuestro proverbial pasajero de ferrocarril colocado justo a la mitad de los dos extremos del convoy de vagones. En el marco de referencia S del observador situado a un lado de las vías del ferrocarril

justo a la mitad de dos torres de luz se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo) dos pulsos luminosos emanados de las dos torres de luz usando relojes sincronizados en el marco de referencia de S para lanzar los pulsos luminosos, en forma tal que el estallido de uno de los pulsos luminosos coincidirá justo con el extremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero del ferrocarril:

El observador estático situado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco de referencia S recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tanto concluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de su marco de referencia. Por su parte, en virtud de que la luz tiene una velocidad finita y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está en movimiento rápido, uno de los pulsos luminosos le llega primero que el otro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron al mismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en que tardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lo tanto para él los eventos no son simultáneos en su marco de referencia S’. La anterior es una explicación simplista y en cierta forma errónea porque no toma en cuenta para nada los efectos relativistas de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud. La pérdida en la simultaneidad se debe, según la explicación anterior, a la velocidad finita de la luz. Si no hubiese dilatación del tiempo ni contracción de longitud, si no hubiese relatividad, si existiesen el tiempo absoluto y el espacio absoluto, la pérdida en la simultaneidad sería meramente una ilusión, una pérdida de simultaneidad aparente. La situación actual es más complicada que la descrita en el ejemplo anterior precisamente porque hay efectos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud. Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsos luminosos al viajero en el ferrocarril, pero también hay una pérdida de simultaneidad real que no es ocasionada por la velocidad finita de la luz sino por efectos de índole relativista, y es en este caso en donde los diagramas espacio-tiempo de Minkowski resultan de una ayuda invaluable para entender lo que está sucediendo, permitiéndonos ir más allá de la anterior

explicación simplista. Para entender lo que está sucediendo, es necesario identificar a los dos eventos que ocurren simultáneamente en el marco de referencia S como E 1 y E2 y ver las coordenadas (x’,t’) de cada uno de dichos eventos en el marco de referencia S’. Si dos eventos ocurren al mismo tiempo en el mismo lugar se puede afirmar sin lugar a dudas que ambos eventos son simultáneos. Cuando dos aviones chocan en el aire, no existe marco de referencia alguno en el cual la colisión de ambos aviones no sea simultánea. Pero entre mayor sea la distancia entre dos eventos que ocurren en distintos lugares tanto mayor será la dificultad para los observadores en decidir por cuenta propia el asunto de la simultaneidad. Considérese el siguiente diagrama espacio-tiempo de Minkowski que ilustra la situación de eventos que son simultáneos en un marco de referencia S del observador O y que NO son simultáneos en un marco de referencia S’ del observador O’, así como eventos que son simultáneos en un marco de referencia S’ pero que NO son simultáneos en el marco de referencia S:

En este diagrama, los eventos A y B ocurren simultáneamente a un mismo tiempo en el marco de referencia S en dos lugares distintos que podemos identificar como x1 y x2. Pero resulta claro que, relativísticamente hablando, los mismos eventos A y B ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia de S’, los cuales podemos ubicar en los tiempos t’1 y t’2. Los dos eventos A y B ocurren

entiempos diferentes en lugares diferentes para un observador situado en S’. Aquí lo que es simultáneo para S no es simultáneo para S’. Por otro lado, los eventos C y D ocurren simultáneamente a un mismo tiempo en el marco de referencia S’ en dos lugares distintos que podemos identificar como x’3 y x’4. Pero resulta claro que, relativísticamente hablando, los mismos eventos C y D ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia de S, los cuales podemos ubicar en los tiempos t3 y t4. Los dos eventos C y D ocurren en tiempos diferentes en lugares diferentes para un observador situado en S. Aquí lo que es simultáneo para S’ no es simultáneo para S. Y en cuanto a los eventos E y F, tales eventos no son simultáneos ni para S ni para S’. Todo esto lo podemos ver claramente tal como es en los diagramas espacio-tiempo de Minkowski. Desafortunadamente, aunque estos gráficos son de gran ayuda, no se prestan para cálculos numéricos de precisión, para lo cual tendremos que recurrir a una herramienta algebraica conocida como las ecuaciones de transformación de Lorentz. A continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo que nos ilustrara la falla de la simultaneidad dentro de la Teoría Especial de la Relatividad:

En este diagrama espacio-tiempo, para el observador en el marco de referencia S cuyas coordenadas son (x, ct), dos eventos son simultáneos cuando de acuerdo con su reloj ocurren al mismo tiempo t = t0 en dos lugares diferentes que podemos identificar simplemente como x1 y x2, marcados por los puntos obscuros que están puestos sobre la línea horizontal que corresponde a un tiempo t = t0. Sin embargo, para el otro observador cuyas coordenadas son (x’, ct’), los dos eventos no ocurren

simultáneamente, ocurre primero uno y después ocurre el otro. En su reloj un evento ocurre primero en el tiempo t’1 y el otro evento ocurre después en el tiempo t’2. Esta anomalía relativista en la simultaneidad es precisamente la que ocasiona los efectos físicos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud. Todas las dificultades para comprender las aparentes paradojas que están detrás de la Teoría Especial de la Relatividad surgen de nuestra renuencia a rechazar de manera definitiva el falso concepto de la simultaneidad absoluta. Si hubiera simultaneidad absoluta, no habría dilatación relativista del tiempo ni contracción de longitud, aunque ello requeriría neceariamente la aceptación del movimiento absoluto, lo cual a estas alturas ya hemos descartado por completo. PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de la contracción de longitud. Si en lugar de un diagrama espacio-tiempo trazado sobre una hoja hacemos un esfuerzo extra por representar dos coordenadas de la posición (x,y) y la coordenada del tiempo (ct) apuntando esta última hacia arriba, podemos dibujar algo que se conoce como superficies de simultaneidadtanto para el observador O en reposo en el marco de referencia S como el observador en movimiento O’ en el marco de referencia S’:

En el diagrama de la izquierda, tenemos dos eventos representados con puntitos rojos que ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia S del observador O, y tenemos otros dos eventos representados con puntitos amarillos que ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia S’ del observador O’. Pero en el diagrama de la izquierda, los dos eventos representados con puntitos amarillos sí ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia S’ del observador O’, aunque los eventos representados con puntitos rojos y que eran simultáneos en el marco de referencia S del observador O han dejado de ser simultáneos para el observador O’.

La limitante de que ningún objeto puede viajar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz se refleja no tan sólo en un cuadrante del diagrama espacio-tiempo, se refleja en los cuatro cuadrantes, y el “origen” del observador puede no necesariamente coincidir con el origen del diagrama espacio-tiempo que está situado en x = 0 y ct = 0, en virtud de que la fijación de las coordenadas es una mera cuestión de conveniencia:

En el diagrama de arriba, tenemos a un cuerpo que al moverse del punto A al punto B se ha movido en línea recta de x1 = 0.5 metros y x2 = 0.75 metros a partir de un tiempo t1 = 0.5 segundos a un tiempo t1 = 1.75 segundos, siendo por lo tanto su velocidad igual a v = 0.2 c. Puesto que el avance natural del tiempo es siempre hacia arriba, el cuerpo sólo puede desplazarse también junto con el tiempo de abajo hacia arriba, en cualquier trayectoria rectilínea cuya pendiente no exceda la velocidad de la luz, lo cual está marcado por el área punteada. Del punto B hay un conjunto de puntos que marcan el futuro de la posición del cuerpo en el diagrama espacio-tiempo, y hay también un conjunto de puntos que marcan el pasado de la posición del cuerpo en el diagrama espacio-tiempo. No es necesario limitarnos a un diagrama espacio-tiempo de tan sólo dos dimensiones. Podemos agregar una dimensión adicional, como correspondería a la coordenada y en un plano

Cartesiano x-y, para tener lo que parece ser un cono dentro del cual están circunscritas las trayectorias posibles de un objeto, llamado cono de luz:

De este modo, podemos tener las siguientes dos trayectorias rectilíneas posibles en el siguiente diagrama espacio-tiempo tridimensional:

Antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, podíamos hablar acerca de un “ahora” universal, podíamos hablar acerca de un “pasado” común universal y acerca de un “futuro” común universal, comunes a todos los que habitamos en este Universo, puesto que el tiempo absoluto marchaba al unísono por igual en todo el Universo, sin retrasarse ni adelantarse en ninguno de sus confines:

Pero a partir del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, para cada observador hay un “pasado”, un presente y un “futuro”, delimitados por el cono de luz:

En este último diagrama, la línea del mundo (de color verde) corresponde a un observador que está en reposo. El punto en el que se tocan los dos conos de luz que corresponden al “pasado” y al “futuro” del observador viene siendo el “ahora” del observador. Puesto que ningún objeto puede moverse a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, la única forma de poder llegar al “ahora” desde el pasado (suponiendo una línea del mundo con un movimiento rectilíneo) es haciéndolo dentro del cono de luz inferior. Y la única forma de poder llegar a cierto punto del diagrama espacio-tiempo en el “futuro” es estando dentro del cono de luz superior. Las regiones de espacio-tiempo de color gris en el diagrama de arriba son, por lo tanto, regiones de espaciotiempo a las que el observador no tiene acceso. Esto fija de manera unívoca todas las relaciones que pueda haber decausa-efecto entre dos observadores. Los únicos eventos que pueden cambiar el estado de un observador o de un objeto en su posición actual en el espacio-tiempo deben estar situados en ó dentro del cono de luz que corresponde a su “pasado”. Y los únicos eventos que pueden ser influenciados por eventos en los que participe un observador o un objeto deben estar

situados en ó dentro del cono de luz que corresponde a su “futuro”. De este modo, en el siguiente diagrama espacio-tiempo:

el evento que tuvo lugar en el punto C pudo muy bien haber cambiado lo que está sucediendo en el “ahora” del observador que se encuentra en el punto A, y el observador A puede hacer algo para intervenir sobre lo que sucede en el evento que tiene lugar en el punto B. Pero no puede hacer nada para modificar lo que ocurra en los eventos E y D porque están fuera de su alcance al no poder establecer una comunicación con ellos debido a la limitante absoluta de la velodidad de la luz. Los puntos E y D están en regiones prohibidas. Cabe aclarar que la línea en el diagrama que corresponde a la coordenada X no está inclinada como parece estarlo; es una línea perfectamente horizontal como puede comprobarlo el lector en el monitor de su computadora con la ayuda de una hoja de papel. Se trata de una ilusión óptica, como lo es la ilusión del concepto de la simultaneidad absoluta que tanto trabajo le cuesta a muchos estudiantes sepultar. ¿Entonces ya no podemos hablar de un pasado común y un futuro común a todos los habitantes del Universo como se acostumbraba hacerlo antes? Sí, pero desde la perspectiva relativista. En el siguiente diagrama espacio-tiempo tenemos los conos de luz que corresponden no a uno sino a dos eventos A y B:

En este diagrama, el “ahora” del evento A no puede tener efecto alguno sobre el “ahora” del evento Bporque ello requeriría atravesar la zona gris que le está vedada a ambos eventos. Para poder tener efecto alguno sobre el “ahora” de B, el “ahora” del evento A debería ser capaz de poder transmitir información al “ahora” del evento B a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, lo cual es imposible. Sin embargo, ambos conos de luz tienen dos zonas en común, las zonas en las cuales se traslapan los dos conos de luz. La zona común en la cual se traslapan los pasados de ambos, de color rosa, es la zona en la cual ambos eventos pueden intercambiar información que sea capaz de cambiar el “ahora” de cada uno de ellos, es la zona denominada pasado común. Y la zona común en la cual se traslapan los futuros de ambos, de color azul cielo, es la zona en la cual ambos eventos podrán intercambiar información en su futuro (a menos de que ocurra un cambio en la línea del mundo de uno de ellos o de ambos), es la zona denominada futuro común. De cualquier manera, y hablando del Universo como un todo, sí podemos hablar de un “ahora” universal que sin embargo no es un “ahora” absoluto, porque en la infinitud de las regiones locales de las que está hecho el Universo habrá variaciones en la marcha del tiempo como las que predice la Teoría de la Relatividad. En los diagramas espacio-tiempo que hemos visto, sólo hemos considerado objetos que mantienen una trayectoria rectilínea a velocidad constante sobre la cual se pueden aplicar los principios propios de la Teoría Especial de la Relatividad. Pero también podemos trazar en un diagrama espacio-tiempo la trayectoria de un objeto que no mantiene una trayectoria rectilínea,

que está cambiando constantemente de dirección. Un diagrama tal tendría un aspecto como el siguiente:

En esta trayectoria tenemos a un viajero que se ha trasladado del punto P al punto Q en un lapso de tiempo Δτ medido en el reloj con el que va viajando el viajero. Este es precisamente el tipo de movimientos que deben caer bajo el ámbito de una teoría expandida para analizar movimientos no-rectilíneos o acelerados, una Teoría General de la Relatividad. La trayectoria de un cuerpo que no avanza en línea recta dentro del cono de luz debe ser tal que la velocidad de la luz nunca debe ser excedida, o sea que la tangente de la curva nunca debe apartarse más de 45 grados del eje vertical que representa a la coordenada del tiempo. A continuación tenemos un ejemplo de un recorrido válido y un recorrido inválido:

Obsérvese del diagrama anterior izquierdo cómo el cono de luz es algo que viaja junto con el observador móvil, el cual puede definir en cualquier momento cuál será el instante en que su reloj sea ajustado para marcar el “pasado”, el “futuro” y el “presente” (el instante a partir del cual se empieza a tomar el tiempo para llevar las cuentas de una sucesión de eventos). Partiendo de sus dos postulados, Einstein dedujo correctamente las nuevas leyes para las transformaciones llevadas a cabo entre dos marcos de referencia distintos, formalizadas algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz, pero fue Hermann Minkowski el que demostró que si dejábamos de ver a las tres dimensiones del espacio y a la dimensión del tiempo como entidades separadas y las uníamos geométricamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonces las transformaciones relativistas podían ser vistas como correspondiendo arotaciones llevadas a cabo en este espacio-tiempo cuatri-dimensional, lo cual fue una enorme simplificación creando una nueva perspectiva acerca del espacio y del tiempo. Al principio Einstein no dió mucha importancia a la interpretación geométrica de Minkowski, tomándola meramente como una formalidad matemática sin significado físico real, pero eventualmente cambió su actitud adoptando el punto de vista cuatri-dimensional geométrico que después emplearía para la postulación de la Teoría General de la Relatividad.

7. LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Conforme nos vamos familiarizando más y más con las consecuencias de los postulados de Einstein, se vuelve deseable obtener fórmulas de carácter general que nos permitan obtener toda la información que describa los eventos analizados por dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, dos observadores situados en dos marcos de referencia distintos S y S' (se acostumbra denotar al observador en reposo como un observador colocado en el marco de referencia S mientras que el observador móvil desplazandose a una velocidad V está puesto en el marco de referencia designado como S’):

Tales ecuaciones de transformación de carácter general de un marco de referencia a otro fueron enunciadas por vez primera no por Einstein sino por el físico Lorentz, razón por la cual reciben el nombre de ecuaciones de transformación de Lorentz. Para la derivación de las ecuaciones de transformación, en ambos marcos de referencia se centrará la atención sobre un evento común descrito por ambas personas, el cual tendrá coordenadas (x,y,z,t) en el marco de referencia S y coordenadas (x’,y’,z’,t’) en el marco de referencia S’:

Por simplicidad en la derivación de las ecuaciones de transformación, ambos marcos de referencia son seleccionados de modo tal que sus orígenes (el punto O en el marco de referencia de S y el punto O’ en el marco de referencia de S’) coincidan en los tiempos t=0 y t’=0. Supóngase que cuando los orígenes de ambos marcos de referencia coinciden se dispara un pulso de luz en el origen común de ambos. Por el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad, este pulso de luz se propagará con la misma velocidad tanto dentro del marco de referencia S como dentro del marco de referencia S’. Este es precisamente el punto clave para poder obtener la transformación de un marco de referencia a otro, el hecho de que la velocidad de la luz c que debe ser la misma en ambos marcos de referencia, tanto para el marco de referencia S: c=x/t x = ct como para el marco de referencia S’: c = x’ / t’ x’ = ct’ ¿Cuál es el tipo de transformación que estamos buscando? Si recordamos la derivación de los resultados preliminares sobre los fenómenos de la dilatación del tiempo y la contracción de

longitud, resulta claro que las transformaciones que estamos buscando deben ser transformaciones lineares. Estando fija la velocidad V a la cual se desplaza el marco de referencia S’, si por la dilatación del tiempo medido en S’ cuando se mide en S requiere de la aplicación de un factor de correcciónconstante (esto es, si la velocidad V es tal que cuando un lapso de tiempo medido en S’ es de 10 segundos entonces el lapso de tiempo medido en S es de 15 segundos, con lo cual al mantenerseconstante el factor de corrección entonces un lapso de tiempo de 20 segundos medido en S’ equivaldrá a un lapso de tiempo de 30 segundos medido en S del mismo modo que un lapso de tiempo de 30 segundos medido en S’ equivaldrá a un lapso de tiempo de 45 segundos medido en S) el factor de corrección debe ser una simple constante multiplicativa cuyo valor depende únicamente de la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia, la cual suponemos constante. Si el factor de corrección no fuera constante, si la dilatación del tiempo de un marco de referencia a otro no aumentara en forma directamente proporcional entre ellos, entonces la transformación que requeriríamos sería una transformación de carácter no-linear. Esto en lo que concierne a la dilatación del tiempo. Y en lo que concierne a la contracción de longitud, también allí al descubrir el fenómeno de la contracción de longitud encontramos que el factor de corrección requerido era una constante multiplicativa. En ambos casos, necesitamos de transformaciones lineares. Si las transformaciones no fuesen lineares, una longitud x2-x1 medida en el marco de referencia S dependería de la selección del origen del marco de referencia, y un intervalo de tiempo t2-t1 dependería de cuándo el tiempo fue seleccionado para tener un valor de cero; en cierta forma la no-linearidad nos llevaría de regreso hacia los conceptos del tiempo absoluto y la distancia absoluta. Por otro lado, puesto que el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia S y S’ ocurre únicamente en la dirección de los ejes de las equis (x), las coordenadas y y z deben permanecer iguales, o sea y = y’ y z = z’. Cuando ocurre el evento en el cual el pulso luminoso (disparado cuando los orígenes O y O’ de ambos marcos de referencia coincidían) llega al punto P, de acuerdo con la perspectiva del observador en S el marco de referencia móvil S’ se ha desplazado hacia la derecha una distancia de Vt en un tiempo t medido por el observador en S. Pero también desde la perspectiva del observador en S, una vara de medir llevada consigo por S’ a lo largo del eje de las equis (x) se ha contraído por un factor de corrección constante que llamaremos a. Para el observador fijo, por lo tanto, la relación entre su marco de referencia y el marco de referencia móvil debe ser: x = ax’ + bt’

x = a{x’ + (b/a} t’ en donde a y b son simples constantes multiplicativas (factores lineares que son independientes de x’ y t’).

Así como los fenómenos de la relatividad se vuelven cada vez más evidentes a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, algo que también debe ser cierto es que a bajas velocidades las ecuaciones de transformación que hemos escrito arriba se deben reducir a los resultados clásicos que ya conocemos, las transformaciones de Galileo basadas en la noción del tiempo absoluto y el espacio absoluto: x = x - Vt En otras palabras, para valores bajos de V/c, a debe acercarse a 1 y b/a debe acercarse a V, la transformación relativista se debe reducir a la transformación clásica para bajas velocidades de V. Esto nos permite escribir la transformación relativista como: x = a{x’ + Vt’} La transformación inversa debe tener la misma forma, excepto por el cambio de signo involucrado por el hecho de que el marco de referencia S se está desplazando hacia la izquierda mientras que el marco de referencia S’ permanece estático. x’ = a{x - Vt} Pero ya se había señalado que, por el segundo postulado de la Teoría de la Relatividad: x = ct x’ = ct’ Sustituyendo estas dos relaciones tanto en la transformación de S’ a S como en la transformación inversa de S a S’, obtenemos lo siguiente: ct = a ( ct’ + Vt’ ) ct = a ( c + V ) t’ y:

ct’ = a ( ct - Vt ) ct’ = a ( c - V ) t Eliminando t de ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente: ct’ = a (c - V ) (1/c) a (c + V) t’ c² t’ = a² (c² - V² ) t’ De lo cual obtenemos para a lo siguiente: a² = c² / (c² - V²) a² = 1 / (1 - V²/c² ) a = 1 / √(1 - V²/c²) Este resultado nos debería de ser ya familiar. a es el mismo factor de corrección γ que habíamos obtenido anteriormente. En pocas palabras, a = γ.Con esto: x = γ{x’ + Vt’} Podemos obtener la ecuación de transformación para el tiempo de la ecuación x’ = a{x - Vt} usando x = a{x’ + Vt’} para t: x’ = a [ a (x’ + Vt’) - Vt]

de lo cual: t = at’ + ( a - 1/a) (x’/V) t = a (t’ + Vx’ /c²) Resumiendo, y empleando el símbolo γ en lugar de a, para cambiar del marco de referencia S’ que se está moviendo de izquierda a derecha a una velocidad V al marco de referencia S del observadorestacionario, las ecuaciones de transformación de Lorentz son: ____x = γ(x’ + Vt’) ____y = y’ ____z = z’ ____t = γ(t’ + Vx’/c²) Podemos obtener la transformación inversa para cambiar del marco de referencia S al marco de referencia S’ directamente de las anteriores ecuaciones. De la primera ecuación y de la cuarta ecuación, podemos reescribirlas en forma tal que tanto la variable x’ como la variable t’ puedan ser despejadas por medio de ecuaciones simultáneas (por medio de determinantes aplicando la regla de Cramer o cualquier otra técnica matemática del gusto del estudiante): x' + Vt' = x/γ (V/c²) x' + t' = t/γ Es así como obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones: ____x’ = γ(x - Vt) ____y’ = y ____z’ = z ____t’ = γ(t - Vx/c²)

Obsérvese que, exceptuando por la diferencia entre los signos “+” y “-” entre la primera y la cuarta ecuación de ambas transformaciones, ambas transformaciones son completamente simétricas. La diferencia en el signo simplemente indica que mientras que para el observador en S la persona en S’ se está moviendo en una dirección positiva (hacia la derecha), para la persona en S’ el observador en S se está moviendo en sentido contrario, en una dirección negativa (hacia la izquierda). En virtud de que se requiere algo de práctica para poder adquirir cierta destreza en el empleo de las transformaciones de Lorentz para la resolución de problemas, a continuación veremos algunos ejercicios que nos darán una familiaridad en la transformación de coordenadas de un sistema de referencia a otro. Se observará que estas transformaciones de coordenadas no son muy diferentes a las transformaciones (clásicas) de coordenadas de Galileo, excepto que las fórmulas que empleamos aquí se basan en la validez de los dos postulados de la Teoría Especial de la Relatividad. PROBLEMA: Para un observador O un destello de luz sale del punto x = 100 kilómetros, y = 20 kilómetros, z = 30 kilómetros en un tiempo t = 0.0005 segundo. ¿Cuáles son las coordenadas del evento para un segundo observador O que se mueve con respecto al primero a lo largo del eje común x-x’ a una velocidad de V = -0.8c? El factor de corrección en este caso es: γ = 1 / √(1 - V²/c²) = 1 / √(1 - (-0.8)² = 1 / 0.6 = 1.667 De las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia S al sistema de referencia S tenemos entonces lo siguiente: ____x’ = γ(x - Vt) = (1.667)[100 Km - (-0.8) (3·108 m/seg) (5·10-4 seg)] = 367 Km ____y’ = y = 20 Km ____z’ = z = 30 Km ____t’ = γ(t - Vx/c²) = (1.667)[5·10-4 seg - (-0.8c) (100 Km ) /c² ] = 12.8·10-4 seg De esta manera, el evento tiene las siguientes coordenadas: __En S: (x, y, z, t) = (100 Km, 20 Km, 30 Km, 5·10 -4 seg) __En S’: (x’, y’, z’, t’) = (367 Km, 20 Km, 30 Km, 12.8·10 -4 seg)

En la mayoría de los problemas relativistas, más que obtener las coordenadas de un mismo evento visto en dos marcos de referencia distintos, en lo que realmente estamos interesados es en obtener la diferencia entre las coordenadas de dos eventos distintos y comparar dicha diferencia de un marco a otro. PROBLEMA: Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la dilatación del tiempo, especificando las coordenadas de cada evento involucrado en el análisis. Es suficiente considerar únicamente dos eventos para la resolución de este problema. El primer evento es aquél en el cual los relojes de S y S’ están el uno frente al otro, sincronizados:

El segundo evento es aquél en el cual, de acuerdo con el observador en el sistema S, el reloj en S’ se ha movido de una posición x1 a una posición x2 en su eje de coordenadas:

Obsérvese que que para el reloj viajero la coordenada posición x’ dentro de su marco de referencia S’ no cambia en lo absoluto, ya que viaja a una velocidad V (con respecto al sistema de referencia S) llevando consigo su sistema de referencia. Sea Δt’ = t’2 - t’1 el intervalo de tiempo propio medido dentro del marco de referencia S’ en un mismo punto fijo x’0 dentro del marco de referencia S’. El intervalo de tiempo Δt entre los dos eventos que corresponde al marco de referencia S puede ser obtenido de las ecuaciones de transformación de Lorentz:

t2 = γ( t’2 + V x’2/c²) = γ( t’2 + V x’0/c²) t1 = γ( t’1 + V x’1/c²) = γ( t’1 + V x’0/c²) Δt = t2 - t1 Δt = γ( t’2 + V x’0/c²) - γ( t’1 + V x’0/c²) Δt = γ(t’2 - t’1) Δt = γΔt’ Este es el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo. Hemos obtenido directamente a partir de las transformaciones de Lorentz la relación para la dilatación del tiempo de un reloj. La resolución del problema requirió determinar los eventos sobre los cuales se llevaría a cabo la transformación de las coordenadas. Una vez que se han logrado determinar los eventos, el problema está prácticamente resuelto. PROBLEMA: Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la contracción de longitud. Considérese una vara de medición cuyos extremos en el marco de referencia S’ están identificados como x’2 y x’1. La longitud propia L0 de la vara de medición dentro del marco de referencia S’ será: L0 = x’2 - x’1 La longitud de esta vara de medición, medida en el marco de referencia S con ambos extremos medidos en el mismo tiempo t0, en S será: L = x 2 - x1 Usando las relaciones de transformación de Lorentz, tenemos lo siguiente: x’2 = γ(x2 - Vt2) = γ(x2 - Vt0) x’1 = γ(x1 - Vt1) = γ(x1 - Vt0)

Por lo tanto: x’2 - x’1 = γ(x2 - Vt0) - γ(x1 - Vt0) x’2 - x’1 = γ(x2 - x1) x2 - x1 = (x’2 - x’1) /γ L = L0/γ Este es el fenómeno relativista de la contracción de longitud. Las transformaciones de Lorentz nos preparan para un nuevo efecto relativista que no habíamos encontrado previamente: la desincronización relativista de los relojes. PROBLEMA: Considérense dos relojes sincronizados que están puestos en lugares diferentes x’1 yx’2 dentro del marco de referencia S’ al cual consideramos el marco de referencia móvil. ¿Cuáles serán los tiempos dados por dichos relojes en el tiempo t0 dentro del marco de referencia S? En los problemas anteriores, teníamos puestos dos o más relojes sincronizados en el marco de referencia fijo S, pero teníamos puesto un solo reloj en el marco de referencia móvil S. Ahora vamos a complicar un poco más esa situación, con dos relojes colocados en el marco de referencia móvil en lugares diferentes. Supongamos que hay un reloj A puesto en la coordenada x’1 del marco de referencia móvil y otro reloj B puesto en la coordenada x’ 2 del mismo marco de referencia. De las ecuaciones de transformación de Lorentz tenemos lo siguiente para dos relojes diferentes puestos en el marco de referencia móvil S’: t’A = γ( t0 + V x1/c²) t’B = γ( t0 + V x2/c²) Entonces los tiempos de los relojes desincronizados dentro el marco de referencia S, relojes de S que están sincronizados en S, estarán relacionados de la manera siguiente: t’A - t’B = γ(x2 - x1)(V/c²)

t’A - t’B = L0V/c² en donde L0 = γ(x2 - x1) = x’2 - x’1 es la distancia propia entre los dos relojes situados dentro del marco de referencia S’. Este resultado que acabamos de obtener tiene implicaciones mucho más profundas de lo que aparentan a primera vista. Dos relojes separados por una distancia L0 y sincronizados dentro del marco de referencia en el que se encuentran se verán desincronizados en un marco de referencia S’ en el que se estén moviendo a una velocidad V, con el reloj perseguidor retrasado por un tiempo L0V/c². Esto significa que dos eventos diferentes que ocurran a un mismo tiempo en un marco de referencia S’ ocurrirán en tiempos diferentes para en un marco de referencia S. En efecto, dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco de referencia S no serán simultáneos para un observador que viaje en un marco de referencia S’ del mismo modo que dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco de referencia S’ no serán simultáneos para un observador que viaje en un marco de referencia S. Esto nos confirma algebraicamente lo que ya habíamos visto geométricamente en nuestra introducción a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, el hecho de que, relativísticamente hablando, no existe la simultaneidad absoluta. La falta plena de entendimiento de este hecho es lo que dá pie a falsos razonamientos que conducen a paradojas y confusiones entre quienes empiezan sus estudios de relatividad por vez primera. Los problemas relativistas de contracción de longitud en los que todo se resuelve con la simple aplicación de la fórmula L = L0√(1 - V²/c²) son problemas sencillos que involucran meramente una separación espacial de las coordenadas, mientras que los problemas relativistas en los que simplemente se busca una dilatación del tiempo son problemas sencillos que involucran meramente una separación temporal de las coordenadas. Es importante establecer claramente la diferencia profunda entre el concepto de la “separación espacial de las coordenadas” y “longitud”. Un error común en la solución de problemas consiste en simplemente multiplicar o dividir un determinado intervalo espacial por el término √(1 - V²/c²). Esta aproximación es válida si se trata de hallar relaciones entre longitudes, entendiéndose por longitud algo como x2 - x1. Sin embargo, si se trata de un intervalo espacial entre dos acontecimientos que no tienen lugar simultáneamente, la respuesta se obtiene utilizando la técnica de substracción en coordenadas de Lorentz y no multiplicando o dividiendo la expresión espacial original por √(1 - V²/c²). Del mismo modo, si los observadores O y O’ miden la separación temporal entre dos acontecimientos que para ambos observadores tienen lugaren diferentes sitios, estas separaciones temporales no se relacionan simplemente multiplicando o dividiendo por √(1 - V²/c²). La resolución de los siguientes problemas hará más claro lo que se acaba de afirmar, y será obvio que no basta con simplemente multiplicar o dividir por el término √(1 - V²/c²) para resolver problemas relativistas. Es necesario aplicar las transformaciones de Lorentz.

PROBLEMA: Para un observador O, dos acontecimientos están separados en el espacio y en el tiempo por 600 metros y por 8·10-7 segundo. ¿Con qué velocidad debe moverse un observador O’ con respecto a O para que los acontecimientos aparezcan simultáneos a O’? Establecemos la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación de Lorentz: t’ = γ(t - Vx/c²) La diferencia de tiempos será: t’2 - t’1 = γ(t2 - Vx2/c²) - γ(t1 - Vx1/c²) Para que los dos acontecimientos aparezcan simultáneos a , se requiere que t’ 2 = t’1. Entonces: 0 = γ(t2 - Vx2/c²) - γ(t1 - Vx1/c²) t2 - t1 = V/c² (x2 - x1) 8·10-7 segundo = (V/c) (600 metros/3·108 m/seg) V/c = 0.4 V = 0.4 c PROBLEMA: Un tren de media milla de longitud (medida por un observador que viaja dentro del tren) se mueve a 100 millas/hora. Dos destellos de luz inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre estos eventos para un observador O’ que viaja en el tren? Supongamos que para el observador O en tierra se asignan las coordenadas (x1, t1) y (x2, t2) a los dos eventos, mientras que para el viajero O’ que va en el tren las coordenadas correspondientes de los dos eventos son (x’1, t’1) y (x’2, t’2). Entonces la situación es la siguiente

Convertimos primero las millas por hora a millas por segundo tanto para la velocidad del tren como para la velocidad de la luz tomando en cuenta que una milla equivale a 1.609 kilómetros: V = (100 millas/hora) (1 hora / 3600 segundos) = 2.78·10-2 millas/segundo c = 3·108 m/seg/(1 milla/1609 metros) = 1.86·105 millas/segundo Para este problema: V/c = (2.78·10-2 millas/segundo) /(1.86·105 millas/segundo) = 1.495·10-7 y el factor γ = 1 / √(1 - V²/c²) para fines prácticos lo podemos tomar como igual a la unidad. Establecemos ahora la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación de Lorentz para pasar del sistema de referencia S’ al sistema de referencia S: t = γ(t’ + Vx’ /c²) La diferencia de tiempos entre los dos acontecimientos (los dos destellos de luz) de acuerdo con el

observador S será: t2 - t1 = γ ( t’2 + V x’2/c²) - γ ( t’1 + V x’1/c²) t2 - t1 = (t’2 - t’1) + (V/c²) (x’2 - x’1) Si los dos destellos inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra (ocurriendo al mismo tiempo) entonces t1 = t2 y: 0 = (t’2 - t’1) + {(2.78·10-2 milla/seg) / (1.86·105 millas/seg)² } (0.5 milla)

t’2 - t’1 = - 4.02·10-3 segundo___(¡Obsérvese el signo menos!) El signo menos obtenido en la respuesta nos indica que para el observador viajero que va en el tren el acontecimiento 1 (en el punto A en la figura) ocurre después que el acontecimiento 2 (en el punto Ben la figura). Anteriormente al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski ya habíamos hablado acerca de la introducción típica con la que varios textos presentan la ausencia de simultaneidad entre dos eventos, con un marco de referencia S de un observador situado a un lado de las vías del ferrocarril justo a la mitad de dos torres de luz que se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo) emitiendo dos pulsos luminosos de las dos torres de luz usando relojes sincronizados en el marco de referencia de S para lanzar los pulsos luminosos en forma tal que el estallido de uno de los pulsos luminosos coincide justo con el extremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero del ferrocarril:

De acuerdo con la explicación que dan en dichos libros, el observador en tierra situado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco de referencia S recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tanto concluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de su marco de referencia, pero a causa de la velocidad finita de la luz y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está en movimiento, uno de los pulsos luminosos le llega primero que el otro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron al mismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en que tardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lo tanto para él los eventos no son simultáneos en su marco de referencia S’. Sin embargo, ya se había señalado que esta explicación es una explicación simplista y en cierta forma errónea porque no toma en cuenta para nada los verdaderos efectos relativistas de pérdida de simultaneidad que hemos visto arriba, y como acabamos de ver en los problemas que se han resuelto la pérdida en la simultaneidad no se debe simplemente a la velocidad finita de la luz. Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsos luminosos al observador viajero que está en el ferrocarril, pero también hay una pérdida de simultaneidad real que no es ocasionada por la velocidad finita de la luz sino por efectos de índole relativista, y para poder calcular numéricamente ésta pérdida relativista de simultaneidad es necesario identificar a los dos eventos que ocurren simultáneamente en el marco de referencia S y calcular las coordenadas (x’,t’) de cada uno de dichos eventos (o mejor dicho, las diferencias entre las coordenadas) para S’ de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Si queremos agregarle a todo esto lo que el viajero situado a la mitad de los vagones del ferrocarril ve entonces tenemos que llevar a cabo cálculos adicionales en base a la velocidad finita de la luz, lo cual viene a complicar el problema. Si el viajero pudiese estar mágicamente al mismo tiempo en ambos extremos del tren por algún milagro de ubicuidad (como el que se le atribuye a algunos santos) de modo tal que la luz de ambos destellos no tenga que recorrer ni siquiera un milímetro para que el viajero los vea justo cuando ocurren frente a él, de cualquier manera vería a un destello ocurrir antes que el otro, y la diferencia de tiempos entre ambos acontecimientos sería la misma predicha por las transformaciones de Lorentz. Esto ya no tiene nada que ver con el tiempo finito de la velocidad de la luz sino con el hecho de que relojes que están sincronizados en un marco de referencia se

salen fuera de sincronía en otro marco de referencia porque el tiempo no es absoluto. Hay una distinción bastante clara entre ver un acontecimiento y medir las coordenadas del mismo, del mismo modo que hay una distinción bastante clara entre ver dos acontecimientos que nos parecen o no nos parecen ser simultáneos y medir la pérdida de simultaneidad a causa de los efectos relativistas. PROBLEMA: (a) Un observador O’ se mueve con una velocidad V = 0.8c respecto a otro observador O. Los relojes se ajustan de tal manera que t = t’ = 0 en x = x’ = 0. Si para O un destello de luz sale en x = 50 metros y t = 2·10-7 segundo, ¿cuál es el tiempo de este acontecimiento medido por O’ ? (b) Si un segundo destello aparece en x’ = 10 metros y t’ = 2·10 -7 segundo para el observador O’, ¿cuál será el intervalo de tiempo entre los dos acontecimientos medido por O? (c)¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por O’? (d) ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por O? (a) Este parte del problema involucra una transformación a una coordenada de tiempo t’ que se lleva a cabo en forma directa con una de las ecuaciones de transformación de Lorentz: t’ = γ(t - Vx/c²) La evaluación de γ nos dá: γ = 1 / √(1 - V²/c²) = 1 / √(1 - (0.8) = 1 / √0.36 = 1/0.6 = 1.667 Entonces: t’ = (1.667) [2·10-7 segundo - (0.8c) (50 metros)/c² ] t’ = (1.667) [[2·10-7 segundo - 1.333·10-7 segundo] = 1.11·10-7 segundo (b) Para un segundo destello de luz, identificamos sus coordenadas en S’ como (x’2, t’2) = (10 m, 2·10-7 segundo). El intervalo de tiempo t2 - t1 entre los dos acontecimientos medido por O estará dado por: t2 - t1 = γ( t’2 + V x’2/c²) - γ( t’1 + V x’1/c²) t2 - t1 = γ(t’2 - t’1) + γ (V/c²) (x’2 - x’1)

t2 - t1 = γ [(t’2 - t’1) + γ (V/c²) (x’2 - x’1)] Tenemos el tiempo t’1 del primer acontecimiento (destello) medido por O’ que es el que acabamos de obtener arriba, 1.11·10-7 segundo, y tenemos la coordenada espacial x’2 del segundo acontecimiento. Pero no tenemos aún la coordenada espacial x’1 del primer acontecimiento, la cual tenemos que calcular antes de poder seguir adelante: x’1 = γ (x1 - Vt1) x’1 = (1.667) [50 metros - (0.8c) (2·10-7 segundo)] x’1 = (1.667) [50 metros - 48 metros] x’1 = 3.33 metros Tenemos ya todos los datos que requerimos para seguir adelante: t2 - t1 = (1.667) [(2·10-7 segundo - 1.11·10-7 segundo) + (1.667) (0.8/c) (10 metros - 3.33 metros)] t2 - t1 = 1.48·10-7 segundo + 0.296·10-7 segundo t2 - t1 = 1.78·10-7 segundo (c) Teniendo x’1 y x’2, la evaluación de x’2 - x’1 es directa: x’2 - x’1 = 10 metros - 3.33 metros = 6.67 metros (d) Recurrimos nuevamente a las transformaciones de Lorentz para encontrar la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en S cuando se conoce la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en S’: x2 - x1 = γ (x’2 + Vt’2) - γ (x’1 + Vt’1) x2 - x1 = γ (x’2 - x’1) + γV (t’2 - t’1)

x2 - x1 = (1.667) [6.67 metros + (0.8) (3·108 m/seg) (2·10-7 seg - 1.11·10-7 seg)] x2 - x1 = 11.11 metros + 35.60 metros = 46.7 metros Repasando la relación: t2 - t1 = γ(t’2 - t’1) + γ (V/c²) (x’2 - x’1) se concluye que si dos acontecimientos son simultáneos para O (lo cual requiere t 1 = t2) no pueden ser simultáneos para O’ ; esto es imposible. Y si dos acontecimientos son simultáneos para O’ (lo cual requiere t’1 = t’2) no pueden ser simultáneos para O. Esto ya lo habíamos visto geométricamente al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, y lo comprobamos ahora algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz. Las ecuaciones de transformación de Lorentz, aplicadas bajo el contexto de la Teoría Especial de la Relatividad, aparecen publicadas en el primer trabajo de Einstein en el que expuso los conceptos de dicha teoría (el cual es reproducido en su versión inglesa en un apéndice puesto al final de esta obra):

Posiblemente haya quien se pregunte aquí por qué son llamadas ecuaciones de transformación de Lorentz y no ecuaciones de transformación de Einstein. Esto se debe a que, si bien fue Einstein quien generalizó estas ecuaciones de transformación derivándolas de los dos postulados sobre los cuales está fundada la Teoría Especial de la Relatividad, el holandés Hendrik Antoon Lorentz se le adelantó publicándolas primero, pero no aplicadas a los fenómenos propios de la mecánica sino de la electrodinámica, y ello sin suponer efectos relativistas, sino meramente como un esquema ingenioso de simplificación matemática para hacer valer las ecuaciones de Maxwell dándoles cierta cualidad de invariancia. El mérito de Einstein fue el haberles dado a estas ecuaciones de transformación un carácter universal, general, aplicable no sólo a la electrodinámica sino a toda la mecánica, derivándolas no de consideraciones hechas sobre fenómenos propios de la teoría del electromagnetismo, sino de los dos postulados básicos. En la resolución de muchos problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, conviene resolverlos tanto algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz como representarlos geométricamente con los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, conviene recurrir a ambos métodos que se complementan formidablemente el uno al otro y nos dan una mejor idea de lo que está sucediendo.

8: REPRESENTACIONES MATRICIALES Las transformaciones de Lorentz, siendo transformaciones lineares, se prestan admirablemente para ser manejadas a través de las herramientas más fundamentales del álgebra lineal, las matrices, esos arreglos rectangulares de números:

que resumen la transformación que será llevada a cabo de un sistema de coordenadas a otro. Primero que nada, empecemos por visualizar a las cuatro variables (x,y,z,t) como un vector en cuatro dimensiones. Este vector tendría una representación en la forma de un vector renglóncomo la siguiente: [x_y_z_t] En realidad, este vector es una matriz que consta de un renglón y cuatro columnas, o sea es una matriz 1x4. La representación matricial anterior dada a las cuatro variables de las ecuaciones de transformación de Lorentz adolece de un defecto: revuelve peras con manzanas. En efecto, las coordenadas x, y y zson longitudes medidas en metros, mientras que la cuarta coordenada es una dimensión medida ensegundos. Pero esto tiene un remedio fácil, ya que todo lo que tenemos que hacer es multiplicar la cuarta coordenada por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz, por c, con lo cual obtenemos la coordenada ct que también está expresada en metros. De este modo, tenemos un vector renglón en el que todos sus componentes son peras (o manzanas): [x_y_z_ct] Repasemos ahora las ecuaciones de transformación de Lorentz: ____x = γ(x’ + Vt’) ____y = y’ ____z = z’

____t = γ(t’ + Vx’/c²) A continuación reescribiremos estas ecuaciones de transformación para preparar el sistema para su representación matricial, multiplicando la cuarta coordenada (la del tiempo) por la constante absoluta universal que es la velocidad de la luz c con la finalidad de que el vector de cuatro componentes a ser transformado de un sistema de referencia a otro contenga las cuatro coordenadas en dimensiones de metros: ____x = γx’ + 0y’ + 0z’ + γ(V/c) ct’ ____y = 0γx’ + 1y’ + 0z’ + 0(V/c) ct’ ____z = 0γx’ + 0y’ + 1z’ + 0(V/c) ct’ ____ct = γ(V/c) x’ + 0cy’ + 0cz’ + γct’ Para aquellos con alguna experiencia previa en matrices el arreglo rectangular de la representación matricial requerida casi salta a la vista, ya que lo que queremos es convertir el vector [x’, y’, z’, ct’] al vector [x, y, z, ct], o sea: [x’, y’, z’, ct’] → [x, y, z, ct] Si hacemos las siguientes designaciones: A = [x, y, z, ct] A’ = [x’, y’, z’, ct’] entonces lo que estamos buscando es un operador Λ que aplicado sobre el vector A lo transforme al vector A’. En notación matricial (el operador usualmente se escribe a la izquierda del operando sobre el cual actúa, aunque hay algunos textos en los que por la falta de una convención universal se escribe primero el operando que va a ser transformado e inmediatamente después el operador que llevará a cabo la transformación) esto se representa con la siguiente ecuación: A = ΛA’ Obsérvese que para representar al operador matricial propio de las transformaciones de Lorentz estamos utilizando la letra griega lambda (Λ) cuyo equivalente latino es la letra L. Tomando en cuenta la forma en la cual se lleva a cabo la multiplicación de dos

matrices A y B (cada elemento en el renglón i y en la columna j de la matriz resultante C se puede obtener de la suma de los productos apareados respectivos de los elementos de la matriz A del lado izquierdo a los cuales apunta horizontalmente el dedo índice de la mano izquierda en el renglón i por los elementos de la matriz B del lado derecho a los cuales apunta verticalmente el dedo índice de la mano derecha en la columna j):

determinamos de inmediato que las operaciones matriciales de transformación, representando a los vectores A y A’ como vectores columna, están indicadas por la siguiente ecuación matricial:

Con un simple intercambio en el orden de los renglones y en la posición de unas variables en las ecuaciones de transformación de Lorentz: ____x = γx’ + + γ(V/c) ct’ + 0y’ + 0z’ ____ct = γ(V/c) x’ + γct’ + 0cy’ + 0cz’ ____y = 0γx’ + 0(V/c) ct’ + 1y’ + 0z’ ____z = 0γx’ + 0(V/c) ct’ + 0y’ + 1z’

podemos obtener la siguiente ecuación matricial que es un poco más reveladora:

Tenemos, en efecto, una submatriz, resaltada con fondo color amarillo, la cual transforma las coordenadas (x’, ct’) a las coordenadas (x, ct) dejando intactas a las coordenadas del eje-y y del eje-zen virtud de que entre los sistemas de referencia S’ y S no hay un movimiento relativo en los ejes-y y en los ejes-z, el único movimiento es en el eje-x. Entresacando dicha submatriz de la matriz general, obtenemos la matriz que verdaderamente proporciona la transformación en el ejex, una transformación conocida como un boost (empuje) en la dirección del eje-x:

No se requiere de mucha imaginación para darse cuenta de que en caso de que el marco de referencia móvil S se esté moviendo a lo largo del eje-y en lugar de moverse a lo largo del eje-x, las ecuaciones de transformación serán: ____x = 1x’ + 0y’ + 0z’ + 0ct’ ____y = 0x’ + γy’ + + 0z’ + γ(V/c) ct’ ____z = 0x’ + 0y’ + 1z’ + 0ct’ ____ct = 0x’ +γ(V/c) y’ + 0z’ + γct’ La representación matricial de este sistema de ecuaciones lineares es la siguiente:

Y cuando el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia se esté dando en el eje-z, las ecuaciones de transformación serán: ____x = 1x’ + 0y’ + 0z’ + 0ct’ ____y = 0x’ + 1y’ + 0z’ + 0ct’ ____z = 0x’ + 0y’ + γz’ + γ(V/c) ct’ ____ct = 0x’ + 0y’+ γ(V/c) z’ + γct’ La representación matricial de este sistema de ecuaciones lineares es la siguiente:

Obsérvese que, en cada caso, podemos entresacar una submatriz, la cual será siempre la misma cuando el movimiento ocurre a velocidad V a lo largo de solo uno de los ejes coordenados. Esta matriz es conocida como la matriz simple de Lorentz. Utilizando el símbolo β definido como β = V/c, obtenemos una representación más compacta de la matriz simple de Lorentz:

Por razones de conveniencia que pronto serán obvias, haremos el cambio notacional a = γ y b = βγ, con lo cual nuestra matriz de Lorentz adquiere el siguiente aspecto:

Consideremos ahora las ecuaciones de la transformación inversa de Lorentz, utilizadas para efectuar el cambio de las coordenadas (x, y, z, ct) del marco de referencia S a las coordenadas (x’, y’, z’, ct’) del marco de referencia S’: ____x’ = γ(x - Vt) ____y’ = y ____z’ = z ____t’ = γ(t - Vx/c²) Para poder obtener la submatriz que nos interesa, podemos ignorar las dos transformaciones intermedias que en realidad son transformaciones triviales, concentrándonos únicamente sobre las transformaciones que realmente nos interesan: ____x’ = γx - γ(V/c) ct ____ct’ = - γ(V/c) x + γct No cuesta trabajo darse cuenta de que para la transformación inversa la submatriz será:

En notación matricial compacta, si A = [x, ct] entonces para obtener A’ = [x’, ct’] la operación matricial estará representada por la siguiente ecuación; A’ = ΛA Puesto que Λ es la transformación matricial que usamos para convertir las coordenadas del sistema de referencia S al sistema de referencia S’, y Λ es la transformación matricial que usamos para convertir las coordenadas del sistema de referencia S’ al sistema de referencia S, si aplicamos a un vector A primero la operación Λ y después la operación Λ debemos obtener el mismo vector A con el que habíamos comenzado originalmente:

ΛΛA’ = Λ (ΛA’) = Λ A = A’ (ΛΛ) A’ = A’ Esto solo puede ser cierto si el producto matricial ΛΛ es igual a la matriz identidad I:

Se recuerda, por si se ha olvidado, o se informa, por si no se sabe, que por lo general la multiplicación de dos matrices no es una operación conmutativa, el orden de los factores sí altera el producto. El producto de dos matrices Q1 y Q2, tomado en el orden Q1Q2, producirá una matriz diferente a la que producen las mismas matrices tomadas en el orden Q2Q1:

Cuando son conmutativas, el producto de ambas resulta ser la matriz identidad I, ya que una de las matrices es la inversa de la otra.) Todo lo anterior nos conduce a concluír que Λ tiene que ser la matriz inversa de la matriz Λ, lo cual representamos notacionalmente como Λ = Λ-1. Siendo así, entonces se debe cumplir la condición ΛΛ= I:

Llevando a cabo la multiplicación matricial del lado izquierdo de la igualdad e igualando

componente a componente con la matriz del lado derecho, además de obtener la obvia condición trivial ab = ba obtenemos otra condición que no es trivial: a² - b² = 1 Esto nos permite definir, formalmente y de modo riguroso, a una matriz simple de Lorentz como toda aquella matriz que tenga el aspecto

o el aspecto

para la cual se cumpla la condición a² - b² = 1 El interés que podamos tener en las propiedades de las representaciones matriciales de las transformaciones de Lorentz va más allá de la afición que pueda haber en nosotros hacia las curiosidades de las matemáticas. Las transformaciones de Lorentz tienen un aspecto casi único, distintivo, característico de lo que llamamos un espacio-tiempo plano propio de la Teoría Especial de la Relatividad. Eventualmente llegará el momento de dar el salto hacia marcos de referencia no-inerciales, acelerados, en los cuales el espacio-tiempo no es plano sino que adquiere una curvatura. Y las matrices de transformación volverán a aparecer nuevamente pero bajo un aspecto más elaborado, propio de la Teoría General de la Relatividad. Pero tales matrices características de un espacio-tiempo curvo se reducen a las matrices características de las transformaciones de Lorentz cuando el marco de referencia acelerado que corresponde a los campos gravitacionales se puede considerar en una región pequeña del espacio como Lorentziano. Existe otra forma de representar lo mismo que lo que representan las matrices cuadradas (rectangulares, de orden 2) en cuatro dimensiones, renombrando a las cuatro coordenadas bajo un esquema conocido como coordenadas generalizadas (x1, x2, x3, x4) y prescindiendo de matrices usando en lugar de ello sumatorias y dobles sumatorias, pero esto quedará postpuesto para cuando se lleve a cabo una discusión sobre el cálculo tensorial. De antemano se señala aquí que

ambas formas de representación son completamente equivalentes, están representando lo mismo, y cada una de ellas tiene sus propias ventajas. PROBLEMA: Determinar si la siguiente matriz

es una matriz de Lorentz. Extraemos primero la submatriz que nos interesa tachando los renglones y las columnas que contienen únicamente unos y ceros:

La matriz de interés es la siguiente:

Haciendo a = 1.25 y b = .75, la matriz dada ciertamente tiene la configuración de una matriz Lorentziana. Sin embargo, falta ver si se cumple la condición principal: a² - b² = (1.25)² - (.75)² = 1.5625 - 0.5625 a² - b² = 1

Se concluye que la matriz es Lorentziana, y en los lugares en donde esta matriz aplica se cumplirán los postulados de la Teoría Especial de la Relatividad. Al tratar el tema de las transformaciones de Lorentz, para derivar dichas ecuaciones de transformación se supuso, como se ha hecho desde un principio, que el movimiento relativo entre los dos marcos de referencia usuales S y S’ se lleva a cabo con uno de los marcos moviéndose a una velocidad constante V a lo largo del eje-x. Esto se hace con fines de simplificación. Los marcos de referencia pueden estarse moviendo el uno con respecto al otro en tal forma que no sólo haya un movimiento relativo entre ambos marcos a lo largo del eje-x, sino también que haya un movimiento relativo entre ambos a lo largo del eje-y e inclusive a lo largo del eje-z. De este modo, podríamos hablar de tres componentes de velocidad, Vx, Vy y Vz en lugar de una sola. En la situación clásica en donde utilizamos las transformaciones de Galileo, esto no presenta problema alguno porque allí las componentes de velocidad a lo largo de cada eje son independientes la una de la otra por completo. De este modo, si las transformaciones clásicas de un marco de referencia a otro cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre sólo a lo largo del eje-x son: x = x’ + Vt’ y = y’ z = z’ entonces cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre a lo largo de los tres ejes las transformaciones de Galileo serán simplemente: x = x’ + Vx t’ y = y’ + Vy t’ z = z’ + Vz t’ Desafortunadamente, en el caso de la Teoría Especial de la Relatividad, el asunto de ampliar la cobertura cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre a lo largo de los tres ejes en lugar de uno solo no es un asunto tan sencillo en virtud del requerimiento estricto del segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad que nos dice que la velocidad de la luz medida por observadores situados en ambos marcos debe seguir siendo exactamente la misma. De este modo un rayo de luz, que tendrá tres componentes de velocidad proyectados sobre cada uno de los ejes en ambos marcos de referencia, debe tener el mismo valor constante por dondequiera que se le mire. Latransformación general de Lorentz para esta situación, recurriendo a la ayuda de matrices

con el fin de simplificar la notación, es la siguiente (se recomienda ampliar la imagen para poder leer mejor la ecuación matricial):

Como es de esperarse, la obtención de la transformación general de Lorentz es un asunto laborioso al que sólo se recurre cuando algún maestro que disfruta de su fama de “cruel” lo deja como tarea a sus alumnos (algo así como el draconiano Profesor Charles W. Kingsfield que aparece en la película The Paper Chase, protagonizado por John Houseman). El lector no deberá tener dificultad alguna en verificar la transformación general de Lorentz que se ha dado arriba tomando en cuenta que la designación de las coordenadas es un asunto arbitrario, haciendo por ejemplo βy = βz = 0 con lo cual se debe obtener como caso especial la transformación de Lorentz cuando el movimiento relativo ocurre únicamente a lo largo del eje-x, tras lo cual se puede hacer βx = βz = 0 para comprobar el segundo caso (movimiento relativo a lo largo del eje-y), y finalmente βx = βy = 0 (movimiento relativo a lo largo del eje-z). En realidad, si estamos realmente interesados en derivar las relaciones que corresponden a la transformación general de Lorentz cuando los marcos de referencia están en movimiento relativo el uno con respecto al otro a través de tres ejes coordenados en lugar de uno solo, la demostración se puede simplificar enormemente si recurrimos a notación vectorial clásica denotando como el vector posición x a la ubicación de un punto en el sistema coordenado S: x = (x, y, z) y denotando la ubicación del mismo punto en el sistema coordenado S’ como: x’ = (x’, y’, z’) simbolizando asimismo a la velocidad relativa V que hay entre los dos marcos de referencia como un vector V (con letra negrita) con componentes relativos en cada uno de los tres ejes Cartesianos: V = (Vx, Vy, Vz)

Lo anterior lo hacemos en conjunción con la notación vectorial del producto punto ó producto escalarentre dos vectores: x · V = (x, y, z) · (Vx, Vy, Vz) = xVx + yVy + zVz Con esta notación, la transformación general de Lorentz que estamos buscando tanto para las componentes espaciales como para la componente temporal se puede resumir vectorialmente en las siguientes dos fórmulas:

Resta decir que para la derivación de estas dos fórmulas debemos aferrarnos estrictamente de principio a fin al manejo matemático vectorial que se acostumbra darle a los problemas típicos de la mecánica clásica en los que se manejan cantidades vectoriales. Habiendo visto una representación matricial para la transformación generalizada de Lorentz, no debe causarnos ningún asombro el hecho de que la siguiente matriz también sea una matriz de Lorentz:

Esto nos debe dejar en claro cuál es la diferencia entre una matriz simple de Lorentz como las que vimos arriba, y una matriz de Lorentz ordinaria. Determinar si una matriz 4x4 como la de arriba es una matriz de Lorentz no es un asunto

complicado. Ello requiere derivar primero tres relaciones generales a partir de lo que vendría siendo lainvariancia de la ecuación del cono de luz (en referencia a los diagramas de Minkowski). Pero para ello tenemos que tener en claro cuál es esa invariancia a la que nos estamos refiriendo, razón por la cual este asunto debe quedar postpuesto hasta que no haya sido desarrollado dicho tema. La multiplicación de dos matrices A y B tiene desde luego una definición más formal que la definición intuitiva que se ha dado arriba, y es la siguiente:

Este enunciado nos dice que para dos matrices A = (apq) y B = (brs), siendo A una matriz de prenglones y q columnas, y siendo B una matriz de r renglones y s columnas, el producto de las mismasdefinido en el orden AB es tal que cada elemento cij de la matriz resultante deberá ser obtenido de acuerdo a la relación anterior, para lo cual es requisito indispensable que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de renglones de la matriz B, o sea q = r. En la definición formal que se acaba de dar para el producto de dos matrices, obsérvese un detalle interesante: la sumación se lleva a cabo sobre el sub-índice que está repetido, en este caso k. Si alguien borrara el símbolo Σ de la sumatoria en la expresión de arriba, no tendríamos dificultad alguna para reestablecerlo junto con el índice que fue borrado. Tan sólo tendríamos que fijarnos en el sub-índice que aparece repetido. PROBLEMA: Escribir la expresión para evaluar el elemento c47 resultante del producto AB de dos matrices A y B si la matriz A es una matriz de cinco renglones y nueve columnas (representado como 5x9), y la matriz B es una matriz de nueve renglones y ocho columnas (representado como 9x8). En este caso, el producto matricial está definido, puesto que el número de columnas de la matriz A es igual al número de renglones de la matriz B, o sea: [5x9] [9x8] Podemos ver también aquí que la sumatoria deberá correr desde n =1 hasta n = 9 y que la matriz

resultante será una matriz 5x8. Utilizando la definición formal dada arriba, el elemento c47 estará dado por la siguiente sumatoria:

c47 = ______________________________________ a41b17 + a42b27 + a43b37 + a44b47 + a45b57 + a46b67 + a47b77 PROBLEMA: Si postmultiplicamos una matriz A cuyo tamaño es 5x4 por una matriz B cuyo tamaño es 4x7, y el producto resultante los postmultiplicamos por otra matriz C cuyo tamaño es 7x3, ¿cuál será el tamaño de la matriz resultante? [5x4][4x7][7x3] Podemos ver que la matriz resultante será una matriz 5x3. PROBLEMA: La siguiente cantidad cΔt² - x² - y² - z² resulta ser de gran utilidad en el análisis de problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad. Representar dicha cantidad en forma matricial. Formando un vector renglón [ cΔt, x, y, z ] y tomando la transpuesta del mismo para formar el vector columna correspondiente, la cantidad cΔt² + x² + y² + z² quedaría representada matricialmente por el siguiente producto matricial entre una matriz que consta de un renglón y cuatro columnas (1x4) y una matriz que consta de una columna y cuatro renglones (4x1):

Pero queremos además la selección de signos que se nos han indicado. Esto se logra injertando entre las dos matrices de arriba una matriz intermedia:

En notación matricial más compacta y haciendo X = [ cΔt, x, y, z ], lo anterior se puede escribir comoXAXT en donde A es la matriz intermedia y XT es la transpuesta de la matriz X. Llevando a cabo el producto matricial ya sea en el orden (XA)XT multiplicando primero las dos matrices de la izquierda y multiplicando la matriz resultante por la matriz a la derecha, o en el orden X(AXT) multiplicando primero las dos matrices de la derecha y multiplicando la matriz resultante por la matriz de la izquierda, podemos ver que esta representación matricial nos produce la expresión deseada. La matriz intermedia A del problema representa los 16 componentes de un objeto que se conoce como el tensor métrico de un espacio-tiempo plano (Lorentziano), el cual se representa en forma abreviada ya sea como g = (gij) usando sub-índices o como g = (gij) usando super-índices. El concepto del tensor métrico es generalizado hacia un espacio-tiempo curvo en la Teoría General de la Relatividad. Llevaremos ahora a cabo la post-multiplicación de un vector renglón U de tres elementos:

por una matriz cuadrada g de tamaño 3x3:

post-multiplicado todo por un vector columna V de tres elementos:

Procedemos a formar el producto matricial UgV de la manera siguiente:

Llevaremos a cabo la multiplicación de estas tres cantidades multiplicando primero la segunda por la tercera siguiendo la regla para la multiplicación de matrices dada arriba:

El resultado final de la operación UgV resulta ser una sola cantidad, la cual viene siendo evaluada a fin de cuentas de la siguiente manera:

UgV =_______________ a1 g11 b1 + a1 g12 b2 + a1 g13 b3 + a2 g21 b1 + a2 g22 b2 + a2 g23 b3 + a3 g31 b1 + a3 g32 b2 + a3 g33 b3 La evaluación de esta cantidad la podemos obtener sin ayuda de representaciones gráficas con la ayuda de dos sumatorias:

No cuesta mucho trabajo convencerse de que, si llevamos a cabo las dos sumaciones, obtendremos el resultado final del producto triple UgV. No importa que se lleve a cabo primero la sumación sobre p y después la sumación sobre q, o bien primero la sumación sobre q y luego la sumación sobre p, porque es cosa fácil de comprobar el hecho de que en una sumatoria múltiple el orden en que se llevan a cabo las sumaciones no altera el resultado final. Al llevar a cabo el producto UgV, empezamos con dos vectores y una matriz, y terminamos al final con un solo número. ¿Significa esto que hubo una metamorfosis en la cual terminaron perdiéndose los paréntesis cuadrados? Bueno, no precisamente. Podemos ver simbólicamente que el resultado de estos productos será una matriz 1x1:

En pocas palabras, para la matriz UgV el resultado final será: [1x3][3x3][3x1] = [1x1] De este modo, el número solitario que llamamos escalar en realidad sigue siendo una matriz, una matriz que consta de un solo renglón y una sola columna, una matriz de tamaño 1x1 que consta de un solo elemento, pero al fin y al cabo una matriz. Naturalmente, si este elemento representa una

temperatura o una frecuencia, prescindimos de la formalidad simbólica y utilizamos a dicho elemento en cálculos posteriores como si fuese un número cualesquiera. Pero no hay que olvidar que, formalmente, todas las operaciones llevadas a cabo con vectores y matrices siempre terminan produciendo otros vectores y matrices. Ahora bien, vamos a considerar al vector renglón U como lo que verdaderamente es, una matriz que consta de un renglón y tres columnas, o sea, una matriz 1x3. En tal caso, podemos formalizar la representación de cada elemento agregando un 1 a cada sub-índice, de modo tal que el elemento a11es el elemento que corresponde al primer (y único) renglón en la primera columna de la matriz, el elemento a12 es el elemento que corresponde al primer renglón en la segunda columna de la matriz, y el elemento a13 es el elemento que corresponde al primer renglón en la tercera columna de la matriz:

Haremos también algo similar con el vector columna V, lo vamos a considerar como lo que verdaderamente es, una matriz que consta de tres renglones y una columna, o sea, una matriz 3x1. En tal caso, podemos formalizar la representación de cada elemento poniendo un 1 después de cada cada sub-índice, de modo tal que el elemento b11 es el elemento que corresponde al primer renglón en la primera (y única) columna de la matriz, el elemento b21 es el elemento que corresponde al segundo renglón en la primera columna de la matriz, y el elemento b31 es el elemento que corresponde al tercer renglón en la primera columna de la matriz:

Con este ligero cambio notacional, el producto UgV se escribe en notación matricial de la siguiente manera:

La representación del producto matricial triple mediante una doble sumatoria será entonces:

Un momento de reflexión nos revela que si en lugar del vector U de tamaño 1x3 tenemos una matrizde tamaño ix3, y que si en lugar del vector V de tamaño 3x1 tenemos una matriz de tamaño 3xj, entonces el resultado final del producto de las tres matrices será una matriz M = (mij) de tamaño ixj, y para calcular el valor de cada elemento mij de dicha matriz todo lo que tenemos que hacer en la doble sumatoria de arriba es reemplazar el primer sub-índice 1 en la variable a por i, y reemplazar elsegundo sub-índice 1 en la variable b por j, obteniendo la siguiente relación:

Lo que se acaba de hacer aquí es la obtención de la definición formal del producto de tres matrices. Obsérvese que en los límites superiores de las sumatorias para esta definición que acabamos de obtener el tamaño intermedio ya no está limitado hasta p = q = 3, podemos utilizar matrices del tamaño que queramos siempre y cuando dichos tamaños estén en concordancia con la definición de compatibilidad que se ha dado para productos matriciales (no podemos multiplicar una matriz 4x3 por una matriz 2x5 en ningún orden). Obsérvese también otro detalle interesante. Si alguien borrara los símbolos Σ de las sumatorias en la expresión de arriba, no tendríamos dificultad alguna en reestablecerlos. Tan sólo tendríamos que fijarnos en los sub-índices que están repetidos. De este modo, si lo que vemos escrito es lo siguiente: aip gpq bqj entonces con tan sólo mirar los sub-índices que están repetidos (en este caso los sub-índices p y q) podemos volver a poner las sumatorias en el orden que queramos (que al fin y al cabo el orden en el cual se lleven a cabo las sumaciones no altera el resultado final de la sumación). Esto será de utilidad posteriormente cuando entremos en el estudio del análisis tensorial que a su vez es requerido para formular los principios y resolver los problemas que corresponden a la Teoría

General de la Relatividad. Mientras tanto, en base a lo que acabamos de ver, podemos hacer unívocamente la siguiente afirmación sin temor a equivocarnos: El resultado final de todo producto matricial múltiple (involucrando dos o más matrices) puede ser representado no sólo gráficamente mediante matrices sino también con la definición formal basada en el uso de las sumatorias. De este modo, contamos ya con dos representaciones distintas para la misma cosa. Tomando en cuenta que el producto de dos matrices no es una operación conmutativa salvo en casos especiales, esta es una buena ocasión para señalar que para que una sumatoria múltiple pueda ser representada en forma alterna como el producto de varias matrices cuando tal cosa sea posible, ayuda mucho el acomodar los factores de la sumatoria de modo tal que la conversión a la representación matricial se pueda llevar a cabo directamente. A modo de ejemplo, en la siguiente sumatoria múltiple:

no resulta nada claro cuál podría ser la representación matricial correspondiente. Pero si reacomodamos los factores de la sumatoria de la siguiente manera usando como guía el requerimiento de que los sub-índices tienen que estar apareados conforme son leídos de izquierda a derecha en la sumatoria ya transformada:

la representación matricial salta a la vista casi de inmediato, la cual en notación matricial compactaresulta ser: X TΛ T G Λ X Obsérvese cuidadosamente que para poder lograr esta representación matricial, tomando en cuenta que la sumatoria múltiple debe producir al final un número (que matricialmente viene siendo una matriz que consta de un solo renglón y de una sola columna, algo que tenemos que saber de antemano para evitarnos mucho trabajo), la necesidad de aparear los sub-índices nos

obligó a tomar latranspuesta de la matriz Λ, la cual representamos de color rojo como ΛT; y también nos obligó a usar la representación del vector columna X como el vector renglón tomando la transpuesta de X y representándolo como XT. Esto significa que en la sumatoria múltiple preparada para su representación matricial en donde aparecen XT y ΛT de color rojo como corresponde a lastranspuestas, si bien en lo que respecta al componente xi dentro de la sumatoria el cambio no tiene efecto alguno, el componente λir en caso de llevarse a cabo la sumación sobre esa expresión tiene que ser interpretado no como el elemento dentro de la matriz Λ que está en el renglón i y la columnar sino como el elemento dentro de la matriz que está dentro del renglón r y la columna i.

9. SUMA RELATIVISTA DE VELOCIDADES Supóngase, para fines de discusión, que tenemos un tren que se está moviendo a una velocidad extraordinariamente alta, a una velocidad de Vtren igual a 200 mil kilómetros por segundo. Supóngase también que en uno de los vagones del tren hay un viajero que lanza en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren una pelota a una velocidad Vpelota de 200 mil kilómetros por segundo:

La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿a qué velocidad verá moverse la pelota un observador situado fuera del tren a un lado de las vías de ferrocarril? Si pensáramos de acuerdo a la cinemática clásica, diríamos: A la velocidad Vpelota a la que es lanzada la pelota dentro del vagón del tren hay que sumarle la velocidad Vtren a la cual se está desplazando el ferrocarril en el mismo sentido para obtener la velocidad total Vtotal con la cual verá moverse la pelota un observador externo situado a un lado de las vías del ferrocarril, o sea: Vtotal = Vtren + Vpelota Pero en la mecánica relativista, este modo de pensar es incorrecto, porque en el ejemplo que se ha puesto arriba una velocidad de la pelota de 200 mil kilómetros por segundo sumada a una velocidad del tren de 200 mil kilómetros por segundo nos daría una velocidad de la pelota de 400 mil kilómetros por segundo para un observador externo, lo cual excede a la velocidad de la luz por 100 mil kilómetros por segundo, violando el principio de que no hay nada que pueda moverse a una velocidad mayor que la velocidad de la luz. Obviamente, la suma clásica de velocidades tiene que ser modificada. El viajero dentro del tren verá la pelota lanzada por él moviéndose a una velocidad de 200 mil kilómetros por segundo, pero el observador externo no la verá moverse a 400 mil kilómetros por segundo sino a una velocidad menor, ciertamente menor que la velocidad de la luz.

Se puede demostrar que, dentro de la Teoría de la Relatividad, si la velocidad de la pelota dentro del vagón de ferrocarril (en el marco de referencia S') es designada como u' y la velocidad del ferrocarril es designada como v, entonces la velocidad u de la pelota tal y como la verá un observador situado a un lado de las vías será:

Esta relación es conocida también como ley de adición (composición) de velocidades. Pongamos algunos valores numéricos en ésta fórmula. Puesto que la pelota es arrojada dentro del vagón a una velocidad de 200 mil kilómetros por segundo, siendo las dos terceras partes de la velocidad de la luz, podemos escribir u' = 2c/3. Del mismo modo, puesto que el ferrocarril se está desplazando también a una velocidad v de 200 mil kilómetros por segundo, podemos escribir v = 2c/3. Entonces la velocidad de la pelota, vista por un observador externo, será: u = (2c/3 + 2c/3)/{1 + (2c/3)(2c/3)/c²} u = (4c/3)/{1 + 4/9} u = (4c/3)/(13/9) u = (36/39) c u = 0.923 c u = 2,769 kilómetros por segundo Ahora que tenemos una fórmula para obtener la suma de velocidades en un esquema relativista, podemos recurrir directamente a dicha fórmula para resolver algunos problemas. PROBLEMA: ¿Cuál será la velocidad de un rayo luminoso lanzado desde una linterna dentro de una nave espacial en la misma dirección en la cual se mueve la nave, para un observador externo que ve a la nave trasladarse a una velocidad u', de acuerdo con la formula relativista para la suma de velocidades?

Poniendo u' = c en la fórmula de arriba, obtenemos: u' = (u + v)/(1 + vu'/c²) u' = (c + v)/(1 + vc/c²) u' = (c + v)/{(c + v)/c) u' = c El observador externo mide para el rayo de luz la misma velocidad c que la que mide el observador que va dentro de la nave, en concordancia con el segundo postulado de la Teoría Espacial de la Relatividad. Aunque no es una convención universalmente aceptada, en una buena cantidad de textos se acostumbra simbolizar como u a la velocidad de un cuerpo que se está moviendo dentro de cierto marco de referencia S frente a un observador en reposo situado dentro del mismo marco de referencia:

mientras que la otra forma de simbolizar al movimiento de dicho cuerpo consiste en considerarlo en estado de reposo dentro de un marco de referencia S’ que a su vez está en movimiento relativo frente a otro observador situado en el marco de referencia S, en cuyo caso la

velocidad del cuerpo entre ambos marcos es simbolizada como V:

De este modo, en una convención se utiliza un solo marco de referencia S, mientras que en la otra convención se utilizan dos marcos de referencia S y S’. Algunas veces, las velocidades u y V serán iguales, o sea u = V, lo cual describe exactamente la misma situación en ambos casos. En la convención en la cual utilizamos el símbolo V para representar a un cuerpo en reposo dentro de un marco de referencia que se está moviendo con respecto a otro a una velocidad V, ésta convención equivale a anclar el sistema de referencia S’ al cuerpo mismo. En el caso en el que tengamos a un cuerpo moviéndose dentro de un marco de referencia S’ a una velocidad u, el cual a su vez está moviéndose a una velocidad V con respecto a otro marco de referencia S de un observador en reposo, la velocidad del cuerpo medida por el observador en reposo será igual a la suma relativista de velocidades u y V. Cuando no hay confusión al respecto, podemos designar a la velocidad u como V1 y a la velocidad V del marco de referencia como V2 para simplificar así a la suma relativista de velocidades de una manera más general. PROBLEMA: Un observador en Tierra ve a dos naves espaciales aproximarse en sentido contrario la una a la otra. ¿A qué velocidad debe ir viajando cada nave, suponiendo que ambas tienen velocidades iguales pero en sentido contrario, para que produzcan una suma relativista de velocidades resultante en una velocidad igual a 0.9c? Llamando V a la velocidad de cada nave con respecto al observador en Tierra, de acuerdo con la fórmula relativista para adición de velocidades tendríamos lo siguiente para lograr una suma relativista de velocidades igual a 0.9 c:

(0.9 c)(1 + V²/c²) = 2V (0.9)V²/c² - 2V + (0.9/c) = 0 0.9V² - 2Vc² + 0.9 c = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos que la velocidad de cada nave espacial debe ser igual a:

V = 0.627 c PROBLEMA: Tomando la siguiente representación de la fórmula para la adición relativista de velocidades:

demostrar la simetría e integridad de la fórmula despejando a V1 poniéndola en función de V2 y V3, comprobando que se mantiene el formato correcto para la composición de velocidades. c²V3 + V1V2V3 = c²V1 + c²V2 c²V1 - V1V2V3 = c²V3 - c²V2 c²V1(1 - V2V3 /c²) = c²(V3 - V2)

V1 = (- V2 + V3)/(1 - V2V3 /c²) Este es el mismo formato de la fórmula original, con la substitución: ( V1, V2, V3) → ( V3, - V2, V1) La fórmula dada para la suma relativista de velocidades es útil para el caso en el cual la persona que viaja en el vagón del tren lanza la pelota en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren (el eje de las equis, x). ¿Pero qué relaciones deberán ser aplicadas para el caso en el cual la pelota no es lanzada en la misma dirección en la cual se está moviendo el tren sino en una dirección diferente que involucra las otras dos coordenadas (el eje de las y y el eje de las z)? En tal caso, resulta conveniente derivar unas expresiones de uso general, y para ello podemos recurrir a las ecuaciones de transformación de Lorentz: ____x = γ(x’ + Vt’) ____y = y’ ____z = z’ ____t = γ(t’ + Vx’/c²) Por definición, la velocidad instantánea u de un objeto está definida como el cambio infinitesimal en el espacio recorrido ds entre el intervalo infinitesimal de tiempo dt requerido para recorrerlo: u = ds/dt En tres coordenadas (x,y,z), las componentes respectivas de la velocidad serán: ux = dx/dt uy = dy/dt uz = dz/dt Tomando infinitesimales (diferenciales) en cada una de las relaciones de transformación de

Lorentz, obtenemos lo siguiente: dx = γ(dx’ + Vdt’) dy = dy’ dz =dz’ dt = γ(dt’ + Vdx’/c²) Esto nos lleva directamente a las siguientes relaciones: ux = dx/dt = {γ(dx’ + Vdt’)} / {γ(dt’ + Vdx’/c²)} ux = {dx’/dt’ + V} / {1 + (V/c²)(dx’/dt’)}

uy = dy/dt = dy’/{γ(dt’ + Vdx’/c²)} uy = {dy’/dt’} / {γ(1 + V(dx’/dt’) c²)

uz = dz/dt = dz/dt = dz’/{γ(dt’ + Vdz’/c²)} uz = {dz’/dt’} / {γ(1 + V(dz’/dt’) c²)

PROBLEMA: ¿Cuál es la velocidad de un pulso de luz arrojado en la dirección del eje de las equis de

acuerdo con las transformaciones relativistas de velocidad? En este caso se tiene u’x = c , u’y = 0 , u’z = 0 Entonces: ux = {c + V} / {1 + (V/c²)(c)} = c así como uy = 0 y uz = 0. La luz que se mueve con una velocidad c en el marco de referencia S’ también se mueve con una velocidad c en el marco de referencia S, como lo requiere el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. PROBLEMA: ¿Cuál es la velocidad de un pulso de luz arrojado dentro del marco de referencia S’en la dirección del eje-y’ cuando el marco de referencia se está moviendo en dirección del eje-x’ante un observador externo situado en el marco de referencia S? En este caso se tiene u’x = 0 , u’y = c , u’z = 0 Entonces: ux = {0 + V} / {1 + (V/c²)(0)} = V uy = {c} / {γ(1 + V(c)/c²) = c/γ uz = 0 En este caso, el pulso de luz se desplaza formando un ángulo con respecto al eje de las yes. Este es precisamente el caso que vimos desde un principio cuando un pasajero viajando dentro de un vagón de ferrocarril en su marco de referencia S’ lanzaba un rayo de luz hacia el techo del ferrocarril mientras que un observador externo en su marco de referencia S veía al rayo de luz moverse no verticalmente sino siguiendo una línea recta a lo largo de una pendiente. Al tenerse ux = V y uy = c/γ, se concluye que en el marco de referencia S la luz viaja a un ángulo α

con respecto al eje-y, o sea: tan α = ux / uy tan α = γV/c α = tan -1 (γV/c) Este es justo el ángulo al cual se tendría que inclinar un telescopio para poder mirar una estrella que como resultado de su movimiento orbital alrededor del Sol se está moviendo a una velocidad aparente V encima de nosotros, de lo contrario la estrella no podrá verse. Este fenómeno es conocido como laaberración de la luz de las estrellas distantes:

El fenómeno de la aberración de la luz puede considerarse mejor con el siguiente diagrama que muestra a la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 30 mil millas por segundo:

en donde VSE es la velocidad de la estrella con respecto a la Tierra (acercándose), VLS es la velocidad de la luz con respecto a la estrella que suponemos es igual a c, y VLE es la velocidad de la luz con respecto a la Tierra que nos llega de la estrella. Nuestro sentido común nos lleva a creer que la velocidad de la luz con respecto a la Tierra VLE debe ser mayor que la velocidad de la luz con respecto a la misma estrella VLS; esperamos que la velocidad de la luz con respecto a la Tierra deba ser igual a la hipotenusa del triángulo y por lo tanto mayor que c. Pero las observaciones experimentales indican que la velocidad de la luz con respecto a la Tierra también es c, en concordancia con el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. PROBLEMA: ¿Cuáles son las transformaciones inversas de velocidad para pasar del marco de referencia S al marco de referencia S’ ? La resolución de este problema requiere simplemente despejar u’x, u’y y u’z de las relaciones para la transformación relativista de velocidades que ya obtuvimos previamente. Esto nos conduce a las siguientes relaciones:

Existen otras maneras de derivar la ley de adición de velocidades, como lo veremos a continuación: PROBLEMA: Demostrar que dos transformaciones sucesivas de Lorentz en la misma dirección son equivalentes a una transformación sencilla de Lorentz que se lleva a cabo con una velocidad:

Para un marco de referencia desplazándose en la dirección del eje-x a una velocidad V1, las transformaciones de Lorentz para pasar de un sistema S a un sistema S’ se pueden escribir de la manera siguiente: ____x’ = γ1(x + V1t) ____y’ = y ____z’ = z ____t’ = γ1(t + V1x/c²) Por otro lado, para un marco de referencia desplazándose en la misma dirección a una velocidad V2, las transformaciones de Lorentz para pasar de un sistema S’ a un sistema S’’ se pueden escribir de la manera siguiente: ____x’’ = γ2(x’ + V2t’) ____y’’ = y’ ____z’’ = z’ ____t’’ = γ2(t’ + V2x’/c²) Enfocaremos nuestra atención sobre la parte espacial en la coordenada-x de la transformación

repetida. Introduciendo los valores de x’ y t’ en la expresión para x’’, tenemos: x’’ = γ2(x’ + V2t’) = γ2 [γ1(x + V1t) + V2 γ1(t + V1x/c²)]

x’’ = γ1γ2 [x + V1t + V2 (t + V1x/c²)]

x’’ = γ1γ2 [x + V1V2x/c² + V1t + V2t]

x’’ = γ1γ2 [(1 + V1V2/c²) x + (V1 + V2) t] Sacando fuera de los paréntesis cuadrados el término (1 + V1V2/c²) tenemos:

Llevaremos a cabo una simplificación del factor que tenemos fuera de los paréntesis cuadrados sin olvidar que:

definiéndolo todo dentro de un factor gamma compuesto:

Este factor gamma compuesto siempre será mayor que la unidad, puesto que el numerador 1 + V1V2/c² es mayor que 1 y puesto que para β1 y β2 diferentes de cero el numerador del gamma compuesto será menor que la unidad, garantizando un gamma compuesto mayor que la unidad en todos los casos. Con esto, la componente espacial a lo largo del eje-x de la transformación repetida de Lorentz resulta ser:

Obsérvese que esta expresión, haciendo V1 = 0 ó V2 = 0, se reduce a la transformación de Lorentz sencilla para la componente espacial. Definiendo:

entonces la transformación repetida de Lorentz se reduce a: x’’ = γ(x + Vt) Vemos que dos transformaciones sucesivas de Lorentz en la misma dirección son equivalentes a una transformación sencilla de Lorentz que se lleva a cabo con una velocidad que es la resultante de la adición relativista de las velocidades V1 y V2 correspondientes a cada transformación original. Puesto que no hay movimiento relativo alguno aquí entre los ejes-y y eje-z de los sistemas de coordenadas, dichas coordenadas permanecen inalteradas al pasar de un sistema de referencia a otro. Falta comprobar si la conclusión que obtuvimos sigue siendo válida para la parte temporal de las transformaciones repetidas. Introduciendo los valores de x’ y t’ en la expresión para t’’, tenemos:

t’’ = γ2(t’ + V2x’/c²) = γ2[γ1(t + V1x/c²) + V2γ1(x + V1t)/c²] t’’ = γ1γ2[t + V1x/c² + V2(x + V1t)/c²] t’’ = γ1γ2[t + V1x/c² + V2x/c² + V1V2 t/c²] t’’ = γ1γ2[(1 + V1V2 /c²) t + (V1 + V2) x/c²] t’’ = γ1γ2 (1 + V1V2 /c²) [t + {(V1 + V2)/(1 + V1V2 /c²)} x/c²] t’’ = γ1γ2 (1 + V1V2 /c²) [t + {(V1 + V2)/(1 + V1V2 /c²)} x/c²] Recurriendo nuevamente a las definiciones dadas arriba: t’’ = γ [t + Vx/c²] Vemos que también para la parte temporal dos transformaciones sucesivas de Lorentz en la misma dirección son equivalentes a una transformación sencilla de Lorentz que se lleva a cabo con una velocidad que es la resultante de la adición relativista de las velocidades V1 y V2 correspondientes a cada transformación original. Esto concluye lo que queríamos demostrar dándonos de paso otra manera para obtener la ley de adición de velocidades. Por simplicidad, hasta aquí hemos considerado en las transformaciones de velocidad marcos de referencia que se están moviendo el uno con respecto al otro a una velocidad V al otro a lo largo del eje común de abcisas, el eje-x, sin movimiento relativo alguno con respecto a los ejes eje-y y eje-z. Entendiblemente, la derivación de las transformaciones de velocidad cuando la velocidad entre ambos marcos de referencia ocurre con una velocidad relativa entre ambos marcos con componentes en los tres ejes coordenados Cartesianos será algo más elaborado. Sin embargo, la derivación de la leygeneralizada de composición de velocidades se puede simplificar como lo veremos en el siguiente problema si recurrimos a notación vectorial con la velocidad V simbolizada como un vectorV (con letra negrita) con componentes relativos en cada uno de los tres ejes Cartesianos: V = (Vx, Vy, Vz) Usaremos además la notación vectorial del producto punto ó producto escalar entre dos vectores: u · V = (ux, uy, uz) · (Vx, Vy, Vz) = uxVx + uyVy + uzVz

Manejando cantidades vectoriales, estamos mejor preparados para llevar a cabo en forma compacta la derivación del resultado general que estamos buscando. PROBLEMA: Partiendo de la base de que la transformación generalizada de Lorentz entre dos sistemas de coordenadas S y S’ está dada vectorialmente por las siguientes dos relaciones para los componentes espaciales y para el componente temporal:

demostrar que la ley generalizada para la composición de velocidades está dada por la siguiente fórmula vectorial:

En este problema, debe quedar claro que el vector x en la transformación generalizada de Lorentz se refiere a las tres componentes espaciales de dicha transformación antes de llevarse a cabo la transformación: x = (x, y, z) del mismo modo que el vector x’ se refiere a las tres componentes espaciales después de haberse llevado a cabo la transformación: x’ = (x’, y’, z’) Al igual que como lo hicimos arriba, tomamos infinitesimales en cada una de las relaciones de la

transformación generalizada de Lorentz, obteniendo lo siguiente:

Vectorialmente, la velocidad generalizada u’ en el marco de referencia S’ está dada por la siguiente definición:

Entonces, vectorialmente, dividiendo los diferenciales para ambas expresiones tenemos lo siguiente:

Teniendo en cuenta que en el marco de referencia S:

entonces tras unas cuantas manipulaciones algebraicas todo lo anterior se nos reduce a:

Expandiendo γ = √1 - V²/c² = √1 - β², obtenemos la expresión final dada arriba para la ley generalizada de composición de velocidades. Además de haber obtenido las transformaciones relativistas de velocidad para un objeto lanzado a una velocidad constante u’ dentro de un marco de referencia S’, podemos obtener también las transformaciones relativistas de las aceleraciones en el marco de referencia S de un objeto que se está acelerando dentro del marco de referencia S’. Todo lo que tenemos que hacer es tomar la derivada con respecto al tiempo de la velocidad, que es la definición matemática de la aceleración: a = ds/dt En un sistema Cartesiano de tres coordenadas rectangulares, tenemos tres componentes de la aceleración (a’x , a’y , a’z) para un cuerpo dentro del marco de referencia S’ que corresponden a unas aceleraciones (ax , ay , az) en el marco de referencia S. Por lo tanto: ax = dux/dt

ay = duy/dt

az = duz/dt

Es importante tener presente que el marco de referencia S se sigue moviendo siempre a una

velocidad constante V. Dicho marco de referencia en ningún momento se está acelerando, porque si empezara a acelerarse entonces la Teoría Especial de la Relatividad ya no sería aplicable. Para el estudio de marcos de referencia acelerados es necesario recurrir a la Teoría General de la Relatividad.

10. UNA TEORÍA LIBRE DE ASIMETRÍAS Y DE PARADOJAS Cuando un novicio en la Teoría de la Relatividad es confrontado por vez primera con algo que va tan decididamente en contra de su sentido común, en contra de su intuición, lo primero que puede ocurrírsele es que posiblemente en la teoría hay fallos que permiten suponer que la teoría está equivocada, que es una teoría errónea. Esta fue precisamente la actitud en la que incurrieron no sólo aprendices de ciencias sino físicos eminentes en los tiempos de Einstein cuando el famoso físico presentó al mundo su teoría por vez primera. Los críticos de Einstein, que fueron bastantes en su época, aminoraron conforme nuevos experimentos empezaron a confirmar la teoría (la predicción teórica de la existencia del positrón y con ello de la antimateria hecha por el físico inglés P.A.M. Dirac al unificar la mecánica cuántica con la Teoría Especial de la Relatividad es uno de esos triunfos), pero de cualquier modo aún en nuestros tiempos hay quienes dudan sobre la integridad de la Teoría de la Relatividad, y una de las cosas que los hace entrar en dudas es la presencia de paradojas tales como la famosa paradoja de los gemelos. Estas paradojas parecen hacer resaltar las asimetrías que se obtendrían en los resultados logrados con ciertos experimentos. En realidad, la Teoría Especial de la Relatividad es una teoría consistente completamente libre de asimetrías y de paradojas. Las supuestas paradojas a la larga terminan siendo problemas matemáticos mal planteados o razonamientos mal formulados, llevando a conclusiones erróneas. Una de las “paradojas” más frecuentemente citada es la “paradoja del corredor y el granero”, la cual veremos aquí en detalle. Esta paradoja involucra a un super-atleta ficticio que puede correr a velocidades cercanas a la velocidad de la luz y el cual lleva consigo una pértiga o garrocha (como las usadas en las competencias para dar el salto que tiene por objetivo superar una barra transversal situada a gran altura), aunque en otros textos lo que lleva consigo es una escalera. El objetivo es meter dentro de un granero pequeño que mide 5 metros de largo una escalera que mide 10 metros de largo, lo cual parece físicamente imposible, pero que se antoja posible si el corredor va desplazándose a una velocidad cercana a la velocidad de la luz con lo cual la escalera que lleva consigo experimenta una contracción relativista de longitud. En el siguiente dibujo tenemos al corredor sosteniendo en su brazo una escalera de 10 metros de largo:

En el siguiente dibujo tenemos al corredor en reposo frente al granjero ambos viendo un granero con una puerta frontal de entrada y una puerta trasera de salida (abierta) el cual mide 5 metros de longitud y dentro del cual el corredor planea meter la escalera de 10 metros:

El corredor se sitúa ahora a gran distancia del granero y empieza a correr a gran velocidad hacia la puerta de entrada del mismo hasta adquirir una velocidad igual a 13/15 de la velocidad de la luz (v

= 0.866c) antes de llegar con la escalera a la puerta frontal del granero. Desde la perspectiva del granjero, el cual se considera a sí mismo en reposo, la longitud de la escalera se ha contraído a la mitad, se ha contraído de 10 metros a 5 metros de acuerdo con la fórmula: L = L’ √1 - (V/c)² L = (10 metros) √1 - (0.866c/c)² L = 5 metros El corredor entra con la escalera y en el momento en que está adentro con la escalera un viento cierra la puerta frontal del granero. En ese instante, una escalera de 10 metros está metida dentro de un granero de 5 metros, por puros efectos de contracción relativista de longitud:

Todo parece en orden desde el punto de vista del granjero. La escalera cupo perfectamente dentro del granero. Sin embargo, desde la perspectiva del corredor, la situación resulta ser completamente diferente si el corredor se considera a sí mismo en reposo y considera al granero moviéndose hacia él a una gran velocidad de 0.866c. Al aplicar la fórmula de contracción relativista de longitud al granero, el corredor decide que es el granero el que se ha contraído a la mitad, o sea que el granero en vez de medir 5 metros mide 2.5 metros:

De acuerdo con el corredor, no existe forma alguna en la cual pueda caber dentro del granero, metiendo una escalera que mide cuatro veces más que la longitud de 2.5 metros del granero. Según él, cuando apenas han entrado los primeros 2.5 metros de la escalera llenando completamente los 2.5 metros que mide el granero, al soplar el viento cerrando la puerta frontal ésta se cierra y los resultados son poco menos que agradables para el corredor:

Obviamente, aquí tenemos algo que parece anómalo, algo que parece una asimetría total de la situación, ya que mientras que para el granjero la escalera cabe perfectamente dentro del granero para el corredor es imposible que pueda caber. ¿Quién de los dos tiene la razón? ¿O estará incorrecta la Teoría Especial de la Relatividad? La paradoja anterior resulta de la aplicación ciega de una fórmula, la fórmula relativista para la

contracción de longitud, sin tomar en cuenta las condiciones bajo las cuales fue derivada dicha fórmula. La solución correcta de los problemas que involucran efectos relativísticos jamás ha dependido de la aplicación ciega de fórmulas, sino de una inspección de las condiciones de cada problema en particular. Esta paradoja debe servir de advertencia sobre las pifias en las que se puede caer si se opta ir por lo sencillo aplicando fórmulas fijas a todo tipo de casos sin considerar las diferencias que pudiera haber habido en la obtención de las fórmulas y la naturaleza del problema sobre el cual se está aplicando cierta fórmula (lo mismo es válido para todas las matemáticas, la física, la química, y las ciencias en general). La ruta de salida fuera de las paradojas radica en aquellos eventos en los cuales observadores situados en marcos de referencia distintos puedan estar en total y común acuerdo. En la paradoja del corredor y el granero, el primer evento en el que tanto un acompañante corriendo adelante del super-atleta situado justo a un lado de la punta de la escalera (la parte de la escalera que va a entrar primero al granero) y el granjero estático situado justo a la entrada del granero se pueden poner de acuerdo es cuando la punta de la escalera está entrando por la puerta frontal del granero. No existen dos marcos de referencia distintos en los cuales la punta de la escalera esté entrando y no esté entrando por la puerta frontal al mismo tiempo en que el acompañante del corredor y el granjero están justo uno enfrente del otro. En realidad el problema que tenemos a la mano consiste de treseventos diferentes. Y para el análisis de dichos eventos podemos recurrir a las ecuaciones de transformación de Lorentz. Es precisamente aquí en donde nos pueden dar una perspectiva algebraica del problema (podemos obtener además una perspectiva geométrica ilustrativa recurriendo a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, pero llevaremos a cabo primero el análisis de la situación mediante las transformaciones de Lorentz en virtud de que con ellas podemos hacer cálculos numéricos que no son tan fáciles de hacer sobre papel de gráfica). El análisis requiere también dar por perdido definitivamente y para siempre el concepto erróneo de la simultaneidad absoluta, ya que en el contexto relativista dos eventos que son simultáneos dentro de un marco de referencia no son simultáneos en otro a menos de que ambos marcos de referencia estén en completo reposo el uno frente al otro. Veamos nuevamente la situación desde la perspectiva del corredor, empezando por el primer evento. Tanto el corredor como el granjero se han rodeado de acompañantes rodeando al corredor (uno a un lado de la punta de la escalera y otro a un lado del pie de la escalera) y rodeando al granero (uno situado en la puerta de entrada y otro situado en la puerta de salida) para cerciorarse de lo que está sucediendo. En el primer evento, la puerta frontal del granero está abierta y el corredor está entrando con su escalera de 10 metros dentro del granero:

Se ha puesto al pie de los dibujos una regla de medir azul de 10 metros de longitud extendida a lo largo de la escalera que va rastreando lo que está sucediendo desde la perspectiva del corredor. Como la regla de medir viaja a la misma velocidad y en la misma dirección que el corredor, el corredor no debe detectar ninguna contracción de dicha regla. Ahora veamos el segundo evento también desde la perspectiva del corredor, cuando la escalera después de haber entrado al granero por la puerta de entrada frontal está llegando hacia la salida trasera casi tocando los bordes de la misma:

Obsérvese que el granjero está parado a la salida del granero, no a la entrada, ya que no le es

posible estar en dos lugares diferentes al mismo tiempo. Él lo único que ve es la punta de la escalera que ha llegado a la salida trasera del granero, y está completamente ignorante de lo que está sucediendo a la entrada. Y lo que está sucediendo a la entrada no es simultáneo con lo que el granjero está viendo en la puerta trasera de salida del granero. Obsérvese la barra de color café (incompleta) que le indica al acompañante frontal del corredor la llegada de la escalera a la salida del granero cuya longitud parece haberse contraído. En el tercer evento, la parte trasera de la escalera (detrás del corredor) ya está adentro del granero, pero la parte frontal de la escalera (delante del corredor) también ha salido fuera del granero. Es importante notar que tampoco el corredor puede estar al mismo tiempo en la parte frontal y en la parte trasera de la escalera al mismo tiempo. El acompañante que va detrás del corredor es el que alcanza a ver el soplo del viento que cierra la puerta frontal del granero, con lo cual la longitud total de la escalera ha pasado por el granero sin problema alguno, de modo tal que también para el corredor la escalera ha cabido perfectamente dentro del granero, y no hay discrepancia alguna tomando en cuenta que los eventos que son simultáneos para un observador en un marco de referencia no son simultáneos para el observador en el otro marco de referencia, lo cual tiene que ver directamente con el hecho de que si la escalera llevara un reloj en su parte frontal y un reloj en su parte trasera aunque los relojes estén perfectamente sincronizados para el corredor dichos relojes estarán fuera de sincronía para el granjero, fuera de sincronía por un tiempo LV/c²:

Obsérvese la barra de color café en el marco de referencia del granjero que indica la llegada de la parte trasera de la escalera a la entrada del granero confirmándole al amigo del granjero situado a la entrada del granero una contracción relativista de longitud de la escalera.

¿Y qué sucedería si el corredor frenase bruscamente su velocidad al ir entrando al granero? ¿Seguiría cabiendo la escalera? Claro que no. Al bajar abruptamente el corredor su velocidad los tiempos diferentes en el frente y en la parte trasera de la escalera (de acuerdo con el granjero) se reducirían a cero, y al igualarse los marcos de referencia la escalera experimentaría una expansión de longitud recuperando sus 10 metros originales en ambos marcos de referencia. La única manera en la cual la escalera puede mantener su longitud contraída a 5 metros es con el corredor manteniendo una velocidad constante de 0.866c. Habiendo visto la explicación cualitativa de la situación, veamos cómo se puede llegar a tales conclusiones a partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz. Identifiquemos las coordenadas dentro del marco de referencia S del granjero como (x, y, z, t) y las coordenadas dentro del marco de referencia S’ del corredor como (x’, y’, z’, t’). En virtud de que no hay movimiento alguno a lo largo de los otros dos ejes Cartesianos (y,z), podemos trabajar simplemente con las coordenadas (x,t) de S y (x’,t’) de S’. Ahora analizaremos en detalle la famosa paradoja de los gemelos, la cual fue propuesta originalmente por el mismo Einstein y la cual fue utilizada por sus detractores para negarle validez y credibilidad a la Teoría de la Relatividad. Vayamos al caso de un viajero A en una nave espacial que se está moviendo a gran velocidad con respecto a otro observador B que se considera a sí mismo en reposo y que llevando en una mano un reloj C' apunta dentro de su nave espacial un rayo de luz hacia arriba siendo devuelto por un espejo desde el techo hacia el piso de la nave espacial. Un observador B que vea pasar a la nave espacial a gran velocidad y el cual tenga en su plataforma de reposo relojes C1 y C2 que estén perfectamente sincronizados medirá en A una dilatación del tiempo en la nave espacial:

Pero ahora llevemos a cabo una inversión de la situación, lo cual siempre podemos hacer puesto que la Teoría de la Relatividad nos afirma precisamente que no hay observadores privilegiados. Veamos las cosas como las vería el viajero A de la nave espacial al considerarse a sí mismo en reposo, viendo pasar al observador B ante él a gran velocidad. Entonces A, desde su perspectiva, debería ser él quien detecta una dilatación del tiempo y no B. Con esto, los escépticos podría argumentar: ¿No es esto una asimetría? ¿No es esto una paradoja manifiesta? ¿No es esto una inconsistencia que nos debe llevar a desechar la teoría? En realidad, no hay paradoja alguna. El problema es que distintos observadores obtendrán distintos resultados con respecto el uno del otro dependiendo de la naturaleza del experimento que estén llevando a cabo. En los diagramas de arriba, el observador B tiene dos relojes diferentes C1 y C2 perfectamente sincronizados en su plataforma de observación, mientras que el viajero en la nave espacial tiene un solo reloj. Suponiendo que los relojes C1 del observador By C' del viajero A en la nave espacial coincidan con una misma lectura de cero cuando el reloj C1 y el reloj C' están justo uno arriba del otro, y en esta coincidencia ambos A y B estarán de acuerdo, entonces al pasar el único reloj C' del viajero A de la nave espacial justo por encima del reloj C2 del observador B, ambos tendrán lecturas diferentes, y en esto ambos también estarán perfectamente de acuerdo. No se trata de ilusiones ópticas. Se trata de efectos físicos reales, detectables y medibles con instrumentos científicos de alta precisión. Para que el viajero en la nave espacial A pueda tener una perspectiva similar a la que tiene el observador B que se considera a sí mismo estacionario, sería necesario que el viajero A en la nave espacial también tuvierse dos relojes diferentes en el piso de su nave espacial perfectamente sincronizados entre sí a la misma hora, a los cuales podemos llamar C'1 y C'2. Pero al ocurrir esto, y al no existir la simultaneidad absoluta (lo cual para ser posible requiere necesariamente de la existencia del movimiento absoluto que no existe de acuerdo a la Teoría de la Relatividad), por los mismos efectos relativistas el observador B verá los dos relojes C'1 y C'2 del viajero A en la nave espacial fuera de sincronía. En otras palabras, mientras que para el viajero A de la nave espacial sus relojes C'1 y C'2 están perfectamente sincronizados, para el observador B esos relojes están todo el tiempo fuera de sincronía entre sí. Y del mismo modo, desde la perspectiva del

viajero A en la nave espacial, los dos relojes C1 y C2 del observador B que para el observador B estarán en perfecta sincronía para el viajero A de la nave espacial también estarán fuera de sincronía. En esto existe una simetría total. Y si llevamos a cabo los cálculos tanto para uno como para otro considerando primero al viajero A de la nave espacial en movimiento y al observador B en reposo, y después al viajero A de la nave espacial en reposo y al observador B en movimiento, los resultados obtenidos serán consistentes con lo que predicen las fórmulas de la Teoría de la Relatividad. No hay paradoja alguna. Pero queda otra interrogante. Si el tiempo marcha más lentamente en un marco de referencia que en otro, ¿entonces quién es el que estará envejeciendo más rápidamente si después de una larga separación ambos vuelven a coincidir en el mismo punto? ¿El viajero A de la nave espacial o el observador B? Esta es precisamente la “paradoja de los gemelos”. La respuesta a esta interrogante tiene que ver directamente con la respuesta a la pregunta sobre cuál de los dos fue el que se puso en movimiento con respecto al otro suponiendo que ambos estaban en reposo dentro del mismo marco de referencia. Esta es la parte crucial que resuelve la “paradoja de los gemelos”.Supongamos que al principio ambos el viajero A en la nave espacial y el observador B estaban en reposo el uno frente al otro, con sus relojes perfectamente sincronizados. En un momento dado, la nave espacial despega de la plataforma y empieza su viaje. Pero para poder adquirir cierta velocidad, por pequeña o grande que ésta sea, la nave espacial tiene que cambiar de un estado de reposo hasta adquirir dicha velocidad. En pocas palabras, tiene que acelerar. Pero al acelerar, la nave espacial en la que viaja A deja de estar en el ámbito cubierto por la Teoría Especial de la Relatividad. Su situación tiene que ser estudiada y analizada por la Teoría General de la Relatividad. Al acelerar, el viajero A de la nave espacial experimenta fuerzas de aceleración sobre su cuerpo que el observador Ben reposo en la plataforma de lanzamiento no experimenta. Y si después de enfilar hacia un planeta distante el viajero A de la nave espacial decide regresar para encontrarse de nuevo con el observadorB, entonces no sólo tendrá que aminorar la velocidad de su nave reduciéndola a cero y con ello cayendo dentro de un marco de referencia acelerado que tiene que ser analizado bajo la TeoríaGeneral de la Relatividad, sino que tendrá que acelerar en sentido contrario para enfilarse hacia su encuentro con el observador B. Y si quiere detenerse a platicar con el observador B, tendrá que desacelerar nuevamente experimentando las fuerzas de desaceleración que sentirá en el proceso. La Teoría General de la Relatividad predice que en un marco de referencia acelerado o en presencia de un campo gravitacional intenso, los relojes marcharán más lentamente. De este modo, después de encontrarse de nuevo, el viajero A de la nave espacial y el observador B, aunque hayan sido gemelos idénticos al despedirse y separarse el uno del otro al emprender A su largo viaje, tendrán edades distintas. Para adentrarnos en la resolución de esta aparente paradoja, llevaremos a cabo primero la resolución de unos problemas poniéndole números al asunto. PROBLEMA: Un observador O’ que se mueve con una velocidad 0.8c respecto a una plataforma espacial en la Tierra en la cual está su hermano gemelo viaja a la estrella Alfa Centauro, la cual se

encuentra a una distancia de 4 años-luz de la Tierra. Tan pronto llega a la estrella, da un giro de 180 grados dándole vuelta a la nave y emprende su viaje de regreso a la misma velocidad. ¿Cómo se compara la edad del observador O’ a su regreso a la Tierra con la de su hermano gemelo que permaneció en la Tierra? La distancia medida en años-luz es la distancia que recorre un rayo de luz en cierta cantidad de años. Llamémosla L. Entonces, re-escribiéndola de una manera ligeramente distinta: c = L/4 años L = (4 años)·c Para el observador estacionario O en la Tierra, la duración del viaje de ida de su hermano viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro será: Δtida = distancia /velocidad Δtida = L /(o.8c) Δtida = (4 años)·c /(o.8c) Δtida = 5 años Puesto que el viaje de regreso se efectúa a la misma velocidad, el tiempo total para el observador O en la plataforma espacial en la Tierra será: Δtida y vuelta = 10 años Para el viajero O’ el intervalo de tiempo propio (medido por el viajero con su reloj) entre la salida de la plataforma y su llegada a la estrella, utilizando la expresión para la dilatación del tiempo, es: Δt’ida = Δtida√1 - V²/c² Δt’ida = (5 años) √1 - (0.8)² Δt’ida = 3 años

De este modo, el tiempo total de duración del viaje (ida y vuelta) medido por el gemelo viajero O’ es: Δt’ida y vuelta = 6 años Por lo tanto, al volver a la Tierra, el gemelo viajero O’ será 4 años más joven que O. Obsérvese con detenimiento que si el viajero en su trayecto de ida está viajando con respecto a su hermano gemelo O en la Tierra en el sentido positivo (+) del eje-x, al darle la vuelta a la estrella estará viajando con respecto al mismo observador en el sentido negativo (-) del eje-x. Este giro, al ser representado geométricamente en un diagrama espacio-tiempo, equivale a una rotación del marco de referencia de O’. Entonces el viaje de O’ es equivalente al de dos observadores inerciales diferentes aunque se trate de la misma persona, uno que se mueve con velocidad V = +0.8c y el otro que se mueve con una velocidad V = -0.8c. Existe una asimetría manifiesta entre los dos observadores, ya que el giro del gemelo viajero es un giro real, experimenta aceleraciones medibles, en contraste con el aparente giro que el gemelo viajero observa de O en la Tierra y el cual no experimenta aceleración alguna durante todo el viaje llevado a cabo por O’. En la siguiente figura se ha bosquejado un diagrama espacio-tiempo superimpuesto sobre la descripción pictórica del viaje. La línea trazada desde la Tierra llegando hasta la estrella Alfa Centauri en la parte media de la figura a un ángulo de 45 grados (con respecto a la vertical) así como la línea trazada desde la estrella Alfa Centauri llegando hasta la Tierra también a un ángulo de 45 grados (con respecto a la vertical) pero en sentido inverso representan las trayectorias seguidas por un rayo de luz. Las otras dos líneas del universo que representan a la nave viajera forman un ángulo menor a 45 grados con respecto a la vertical, como corresponde a un objeto que viaja a una velocidad menor que la velocidad de la luz.

En realidad, toda la acción del envejecimiento del hermano gemelo en la Tierra, visto desde la perspectiva del gemelo viajero, ocurre justo cuando O’ le dá la vuelta a la estrella para regresar a la Tierra. En ese lapso de tiempo, en esa rotación de los marcos de referencia de O’, el gemelo viajero ve a su hermano en la Tierra envejecer rápidamente. Antes de despegar la nave, cuando los dos gemelos están juntos en la plataforma de lanzamiento en la Tierra, en estado de reposo el uno frente al otro, sus líneas del universo coinciden y marchan verticalmente hacia arriba en un diagrama espacio-tiempo. Pero al despegar la nave y emprender su trayectoria hacia Alfa Centauro, O’ toma su propio camino en el diagrama espacio-tiempo alejándose de su hermano gemelo, y al dar la vuelta de regreso para enfilarse hacia la Tierra su trayectoria en el mismo diagrama espacio-tiempo se invierte, hasta que llega a la Tierra para encontrarse con su hermano volviendo a coincidir sus líneas del universo:

Podemos identificar tres eventos distintos en el anterior diagrama espacio-tiempo trazado desde la perspectiva de O: (1) el gemelo viajero acelera súbitamente la nave hacia la estrella Alfa Centauro adquiriendo una velocidad V, (2) el gemelo desacelera y detiene la nave para encaminarla de regreso hacia la Tierra con una velocidad V igual a la velocidad con la cual llegó a Alfa Centauro, (3) el gemelo viajero llega a la Tierra y desacelera la nave deteniéndola para encontrarse con su hermano. Pero estos no son eventos como los que habíamos visto anteriormente al estudiar los fenómenos relativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud en los cuales la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia permanece igual todo el tiempo, con el diagrama espacio-tiempo de O’ superimpuesto sobre el diagrama espaciotiempo de O haciéndolos coincidir en sus orígenes para t = t’ = 0. Se trata de otro tipo de eventos en los cuales el viajero gemelo O’ cambia de marcos de referencia, lo que no hace su hermano gemelo en la Tierra. La situación del gemelo viajero O’ es única porque a diferencia de su hermano gemelo O en la Tierra que permanece todo el tiempo en el mismo marco de referencia S, el gemelo viajero pasa por tres marcos de referencia distintos: el marco de referencia S que comparte con su hermano en la plataforma de lanzamiento antes de despegar, el marco de referencia S’ en el que viaja a una velocidad constante alejándose de la Tierra, y el marco de referencia S’’ en el que emprende su viaje de regreso a la Tierra en donde nuevamente vuelve al mismo marco de referencia S en el que se encuentra su hermano. PROBLEMA: Con relación al problema anterior, supóngase que cada año (medido por el observador O en la plataforma espacial en la Tierra), éste le envía una señal luminosa a su gemelo viajero O’. ¿Cuántas señales recibe el gemelo viajero O’ en cada etapa de su recorrido? (En otras palabras, ¿qué vería realmente el gemelo viajero O si él mirara a su hermano O a través de un telescopio?) Medido por O, el gemelo viajero llega a la estrella Alfa Centauro en 5 años. Para que la señal

luminosa llegue a Alfa Centauro simultáneamente con O’, ésta debe ser enviada en un tiempo anteriordeteminado por: tiempo = distancia / velocidad tiempo = (4 años)·c / c tiempo = 4 años Entonces una señal enviada por O en un tiempo suyo igual a un año llega a la estrella Alfa Centauro simultáneamente con el gemelo viajero O’. Puesto que el gemelo en la plataforma espacial en la Tierra le envía un total de 10 señales, a razón de una señal por año, las señales restantes le llegan todas al gemelo viajero O’ en su viaje de regreso. PROBLEMA: En relación con los problemas anteriores, supóngase que cada año, además de las señales luminosas que el hermano gemelo desde la plataforma espacial en la Tierra le envía anualmente a su gemelo viajero O’, también el gemelo viajero le envía cada año una señal luminosa (en el tiempo propio de O, medido con su propio reloj) a O. Si la señal es enviada por O’ tan pronto como llega a la estrella, ¿cuál es el tiempo medido por el gemelo en la Tierra O, para que la señal sea recibida (es decir, qué vería el gemelo O si él mira a su hermano a través de un telescopio? Medido por el gemelo en la Tierra O, su hermano O’ llega a la estrella en 5 años. Una señal luminosa enviada por O’ desde una estrella que está a una distancia de 4 años-luz de la Tierra llegará a la Tierra en 4 años (esto debe ser obvio). Entonces la señal luminosa enviada a O al llegar O’ a la estrella le llega en un tiempo igual a 5 años (el tiempo que tarda en llegar O’ a la estrella) más 4 años (el tiempo que tarda en llegar la señal luminosa a la Tierra). Por lo tanto, de las seis señales enviadas por O’, tres de ellas son recibidas por O durante los primeros nueve años (una cada tres años) y las tres restantes las recibe O en la Tierra durante el último año. Es importante tomar nota de lo que está sucediendo. Según el gemelo viajero, él le está enviando cada año una señal luminosa a su hermano en la Tierra, y sin embargo su hermano recibe tres de dichas señales no en el transcurso de tres años sino durante el último año. De nueva cuenta, nos topamos con la pérdida de la simultaneidad.Eventos que están igualmente espaciados en el tiempo en un marco de referencia en reposo no aparecen igualmente espaciados en el tiempo en un marco de referencia móvil. Podemos obtener una mejor idea de lo que se ha tratado de enseñar en los dos problemas anteriores representando en diagramas de espacio-tiempo de Minkowski lo que sucede. En el caso de las señales luminosas igualmente espaciadas (en el tiempo propio de O) que son enviadas desde la Tierra al hermano viajero, la panorámica vista desde O es la siguiente (por simplicidad se

han dibujado como líneas negras únicamente las líneas correspondientes a los ejes ct y ct’ omitiéndose las líneas que corresponderían al eje-x y al eje-x’):

Obsérvese que en el trayecto del viaje desde la Tierra hasta la estrella Alfa Centauro, y en virtud de que el intervalo de tiempo entre cada pulso luminoso enviado al gemelo viajero O’ se incrementa por el efecto relativista, la frecuencia de los pulsos recibidos por el hermano gemelo viajero disminuye considerablemente. Unicamente en el breve instante de tiempo en el que el gemelo viajero desacelera y detiene su marcha estando en reposo con respecto a su hermano gemelo la frecuencia de los pulsos luminosos enviados por el hermano gemelo desde la Tierra es igual a la frecuencia de los pulsos recibidos por el gemelo viajero. Pero al acelerar hacia la Tierra y en el trayecto del viaje desde la estrella Alfa Centauro hasta la Tiera, la frecuencia con la que el gemelo viajero O’ recibe los pulsos enviados por su hermano gemelo O desde la Tierra aumenta. Por otro lado, en el caso de las señales luminosas igualmente espaciadas (en el tiempo propio del gemelo viajero O’) que son enviadas a la Tierra hacia el hermano viajero, la situación es la siguiente:

Puesto que en el viaje de ida el gemelo viajero recibe anualmente (según su reloj) una cantidad menor de pulsos luminosos que la que le está enviando su hermano desde la Tierra, disminuyendo la frecuencia de los pulsos, si se tratase de una señal monocromática continua (por ejemplo, de colorverde) ésta experimentaría un corrimiento de frecuencia hacia el infrarrojo, o sea que tendría undesplazamiento Doppler. Y en su viaje de regreso el gemelo vería la señal monocromática con otro desplazamiento Doppler, pero esta vez hacia una mayor frecuencia, hacia el ultravioleta. Para ver el haz monocromático luminoso del mismo color con el que se lo está enviando su hermano desde la Tierra, tendría que detenerse manteniéndose en reposo con respecto a su hermano. Podemos obtener otra perspectiva diferente de la paradoja de los gemelos llevando a cabo el análisis usando para ello el efecto relativista de la desincronización de los relojes. PROBLEMA: Analizar los problemas antes expuestos sobre la paradoja de los gemelos llevando a cabo el análisis usando el efecto relativista de la desincronización de los relojes. La distancia entre la Tierra y la estrella Alfa Centauro, vista por el gemelo al viajar, es objeto de una contracción relativista con respecto a la distancia de 4 años-luz que ve su hermano gemelo en la Tierra, siendo dicha distancia en S’:

L = (4 años-luz) √1 - V²/c² L = (4 años-luz) √1 - (0.8c)²/c² L = 2.4 años-luz Supóngase que hay un reloj en la estrella Alfa Centauro sincronizado con un reloj en el sistema de referencia S en la Tierra, de modo tal que ambos relojes marcan la misma hora. En el sistema de referencia S’ en el que viaja el gemelo viajero, el reloj en la estrella Alfa Centauro estará adelante del reloj en la Tierra por una cantidad LV/c², que en este caso es igual a: LV/c² = LV/c² = Considérese al gemelo viajero en S’ llegando a la estrella Alfa Centauro. El reloj en dicha estrella está adelantado con respecto al reloj en la Tierra por

años. Al detenerse momentáneamente el gemelo viajero en la estrella Alfa Centauro y encontrarse en el sistema de referencia S, él debe observar que los dos relojes (el que está en la Tierra y el que está en la estrella Alfa Centauro) se encuentran sincronizados, porque todos los observadores en S están de acuerdo en la sincronización de los relojes que tienen en su sistema de referencia. Entonces, de alguna manera, en el tiempo insignificante (de acuerdo al gemelo viajero) que le llevó detenerse, su gemelo en la Tierra envejeció

años. Este tiempo, sumado al tiempo que transcurrió en la Tierra durante la travesía del gemelo viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro (5 años) hace al gemelo

años más viejo al momento de detenerse su gemelo en la estrella. Cuando el gemelo viajero emprende su viaje de regreso a la Tierra en el marco de referencia S’’, el reloj en la Tierra está adelante del reloj en Alfa Centauro por

años, y avanzará otros 5 años hasta que el gemelo viajero regresa a la Tierra. Al regresar a la Tierra y detenerse, el gemelo viajero estará en el sistema de referencia S en donde él debe observar que los dos relojes (el que está en la Tierra y el que está en la estrella Alfa Centauro) se encuentran sincronizados, porque todos los observadores en S están de acuerdo en la sincronización de los

relojes que tienen en su sistema de referencia. Entonces, de alguna manera, en el tiempo insignificante (de acuerdo al gemelo viajero) que le llevó detenerse, su gemelo en la Tierra envejeció otros

años. Este tiempo, sumado al tiempo que transcurrió en la Tierra durante la travesía del gemelo viajero desde la Tierra hasta Alfa Centauro

hace al gemelo en la Tierra

años más viejo al momento de detenerse su gemelo en la estrella. No es necesario conocer el comportamiento detallado de los relojes durante la aceleración para saber el efecto acumulativo. Sólo necesitamos la Teoría Especial de la Relatividad para saber que si los relojes en la Tierra y en la estrella Alfa Centauro están sincronizados con respecto al marco de referencia S, para el gemelo viajero en su viaje de ida el reloj en la Tierra estará retrasado con respecto al reloj en Alfa Centauro en una magnitud de LV/c², y en el viaje de regreso el reloj en la Tierra estará adelantado con respecto al reloj en Alfa Centauro también en una magnitud de LV/c². Un cálculo más detallado y menos cualitativo acerca de la paradoja de los gemelos está disponible en el siguiente enlace: http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_los_gemelos En realidad, desde antes de que Einstein expusiera formalmente por escrito sus dos postulados básicos acerca de la Teoría Especial de la Relatividad, ya había quienes sospechaban que los conceptos del tiempo absoluto, el espacio absoluto y el movimiento absoluto eran una ilusión que nos imponía nuestro propio “sentido común” tan propenso a fallar en muchas ocasiones. Sin embargo, al analizar tal posibilidad, eventualmente se topaban con estas aparentes paradojas resultado de la pérdida de la simultaneidad absoluta, y terminaban convencidos de que las paradojas indicaban claramente que una teoría así tenía que ser incorrecta. Uno de los grandes méritos de Einstein fue no haberse dejado desanimar por estas paradojas aparentes, sino buscar la resolución de las mismas sin dejarse vencer por resultados aparentemente contradictorios.

11. EL EFECTO DOPPLER RELATIVISTA De acuerdo con el segundo postulado de la Teoría Espacial de la Relatividad, dos observadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro miden para un rayo de luz la misma velocidad, independientemente de quien haya disparado el rayo de luz hacia el otro, e independientemente de que se estén acercando o alejando. ¿Significa ésto que, una vez que alguien nos ha enviado un rayo de luz, no es posible saber de dicho rayo de luz si tal persona se está alejando de nosotros o se está acercando a nosotros, o inclusive que está estacionaria con respecto a nosotros sin alejarse ni acercarse? Bueno, no exactamente. La Teoría Especial de la Relatividad nos dice que dos personas medirán para un rayo de luz exactamente la misma velocidad. Pero no nos dice que la frecuencia relativa de las ondas electromagnéticas que forman a dicho rayo de luz se mantendrá igual independientemente de que el rayo de luz sea enviado por alguien que se esté alejando o acercando de nosotros. Gracias a un fenómeno conocido como el efecto Doppler, podemos saber si la persona que nos envió un rayo de luz se está acercando o alejando de nosotros siempre y cuando conozcamos el color de la luz (que depende directamente de la frecuencia de la onda electromagnética del haz que nos está llegando). Si esperamos que alguien situado en una parte remota de la galaxia nos envíe un rayo de luz de cierto color, y el rayo de luz que recibimos es exactamente del mismo color que esperábamos, entonces aquella persona está estacionaria con respecto a nosotros (o por lo menos se encontraba estacionaria con respecto a nosotros cuando nos envió el rayo de luz). Pero si el color que nos llega es diferente, si el color aparece corrido hacia un extremo de la gama de colores como la que obtendríamos de un prisma de vidrio, entonces podemos concluír que tal persona se está moviendo o alejando de nosotros dependiendo de la magnitud del desplazamiento del color. Primero que nada, hagamos un repaso del efecto Doppler desde su perspectiva clásica. Casi todos nosotros estamos familiarizados de alguna manera con el efecto Doppler por las experiencias de nuestra vida cotidiana. Cuando una ambulancia o un tren o un avión se acerca a nosotros a gran velocidad produciendo un ruido con una frecuencia audible ya sea con su sirena o con el ruido de sus motores, escuchamos el sonido con cierto tono distintivo. Pero en cuanto la ambulancia o el tren o el avión se empieza a alejar de nosotros, el tono del sonido se vuelve distintiblemente más grave. Esta situación la podemos imaginar en el siguiente diagrama en el cual viaja un conductor que tiene puesto su radio en una estación que está produciendo cierto sonido distintivo:

El sonido que escucha el conductor del vehículo en realidad no son más que una serie de compresiones y rarefacciones del aire. El aire es el medio que sirve para “ondular” transportando esas compresiones y rarefacciones de un lado a otro; sin el aire no es posible el sonido. La distancia entre entre una compresión y la siguiente es la que determina la frecuencia (el tono) del sonido que escucha el conductor del vehículo. En el diagrama el carro está desplazándose hacia la derecha. Al ocurrir tal cosa, la velocidad del carro se suma (clásicamente) a la velocidad con la cual se trasladan las ondas sonoras en el aire, dando como resultado que para la persona que está caminando en la banqueta y a la cual se le está acercando el carro a gran velocidad llegará una cantidad mayor de ondas sonoras que las que escucha el conductor del vehículo en un mismo intervalo de tiempo. Esa persona en la banqueta escuchará el sonido algo más “chillante”, con una frecuencia mayor en tanto mayor sea la velocidad con la cual se le acerca el vehículo. Este es precisamente el efecto Doppler. En cambio, para la persona que está en la banqueta del lado del cual se está alejando el carro, llegará una cantidad mayor de ondas sonoras que las que escucha el conductor del vehículo en un mismo intervalo de tiempo. Esa otra persona en la banqueta escuchará el sonido algo más grave, más bajo, con una frecuencia menor en tanto menor sea la velocidad a la cual se le está alejando el vehículo. Si pudiéramos “ver” en un instante de tiempo las ondas sonoras que se van produciendo desde el carro, posiblemente veríamos algo como lo siguiente:

A continuación tenemos otra ilustración de cómo se apilan las ondas sonoras del lado derecho al moverse la fuente hacia la derecha a una velocidad moderadamente baja (representada por el vector flecha de color rojo), y cómo se apilan aún más del lado derecho al aumentar la velocidad de la fuente la fuente hacia la derecha, aumentando con ello la frecuencia (y el tono) de la señal:

En los mismos diagramas de arriba, al lado izquierdo de la fuente, podemos ver cómo se separan las ondas sonoras al moverse la fuente hacia la derecha a una velocidad moderadamente baja y cómo se separan aún más del lado izquierdo al aumentar la velocidad de la fuente la fuente hacia la derecha, disminuyendo con ello la frecuencia. Las fórmulas clásicas para el efecto Doppler acústico establecen una clara distinción entre una fuente estacionaria y un observador móvil que se está alejando o acercando a la fuente, no son las mismas. Esto se debe a que existe un medio en el cual son transportadas las ondas sonoras, el

aire, que sirve para este fenómeno como un marco de referencia absoluto. En un día tranquilo, es posible saber en qué dirección está soplando el aire con sólo dejar caer al suelo un objeto ligero. Pero si está soplando el viento, si el aire se está moviendo, el aire arrastrará al objeto a cierta distancia al caer el objeto al suelo, y no caerá en la misma posición en la cual habría caído si no hubiera viento alguno. Por lo tanto, las fórmulas para el efecto Doppler serán distintas ya sea que la fuente esté estacionaria y el observador externo se esté moviendo o que la fuente se esté moviendo también. Esta es precisamente una muestra de las asimetrías a las que Einstein hacía referencia cuando se suponía que las ondas luminosas eran transportadas a través de un medio de referencia estacionario conocido como el éter. Dentro del esquema de la Teoría Especial de la Relatividad, aunque una onda luminosa siempre tendrá la misma velocidad en marcos distintos de referencia, la frecuencia de la señal luminosa cuando salió disparada de su fuente tendrá también un desplazamiento Doppler como podemos verlo en la siguiente analogía con las ondas acústicas:

De este modo, aunque un rayo luminoso siempre tenga la misma velocidad c con respecto a cualquier marco de referencia, el hecho de que la frecuencia de la señal luminosa que nos llega de la fuente dependa directamente del que la fuente luminosa se esté acercando o alejando de nosotros nos proporciona una ayuda útil para tratar de determinar el movimiento relativo de dicha fuente con respecto a nosotros. Para que la información nos pueda ser de utilidad, necesitaríamos además unareferencia universal con respecto a la cual pudiéramos medir la magnitud del corrimiento. Afortunadamente, tal referencia universal existe, y son las líneas de los espectros de emisión yabsorción característicos de los elementos de la tabla periódica. Cada elemento tiene sus propias líneas de emisión y absorción, y cada línea representa una frecuencia específica, invariable. Siendo el hidrógeno el elemento más abundante del Universo, no es de extrañar que sean precisamente las líneas características del hidrógeno las que son utilizadas como fuente de referencia, las cuales dicho sea de paso son predichas en espaciamiento e intensidad por la mecánica cuántica. Utilizando como punto de partida la posición de las líneas

que obtenemos en un espectógrafo de una fuente de hidrógeno situada en la Tierra, comparando dichas líneas con las que obtenemos del hidrógeno emanado de los astros podemos determinar individualmente para cada astro si dicho cuerpo celeste se está acercando o se está alejando de nosotros. Si las líneas características del hidrógeno se corren hacia el azul, el cuerpo celeste se está acercando hacia nosotros, y si las líneas características del hidrógeno se corren hacia el rojo, el cuerpo celeste luminoso se está alejando de nosotros, y como lo podemos ver en la siguiente representación:

A continuación tenemos una representación más ilustrativa de lo que podríamos ver en un espectógrafo de alta precisión:

Clásicamente, para una fuente de la cual está emanando un sonido con una frecuencia característicaf0 en un medio como el aire en el que dicho sonido se propaga con una velocidad V, cuando la fuente se está moviendo con una velocidad v con respecto a un observador estacionario, el cambio por el efecto Doppler de dicha frecuencia f0 a una frecuencia f está dado por la siguiente relación:

En ésta fórmula, el signo “+” o el signo “-” es utilizado dependiendo de que la fuente en movimiento se esté alejando o se esté acercando al observador estacionario. Poniendo números, considerando para la velocidad del sonido en el aire un valor V de 344 metros por segundo, para una fuente sonoraacercándose a un observador estacionario a una velocidad v de 172 metros por segundo, usando el signo “-” en la fórmula podemos ver que la frecuencia del sonido aumentará al doble: f = f0/(1 - (172)/(344)) = f0/(1 - 0.5)) = f0/(0.5) f = 2f0 Pero para una fuente móvil con la misma velocidad alejándose del observador estacionario a la misma velocidad v de 172 metros por segundo, usando el signo “+” en la fórmula podemos ver que la frecuencia del sonido disminuirá en un factor de dos tercios (0.666): f = f0/(1 + (172)/(344)) = f0/(1 + 0.5)) = f0/(1.5) f = (2/3)f0 Por otro lado, clásicamente para una fuente de la cual está emanando un sonido con una frecuencia característica f0 en un medio como el aire en el que dicho sonido se propaga con una velocidad V, cuando la fuente está estacionaria y es el observador el que se está moviendo con una velocidad v con respecto a la fuente, el cambio por el efecto Doppler de dicha frecuencia f0 a una frecuencia f está dado por la siguiente relación:

Obsérvese que esta fórmula es diferente de la fórmula anterior. El resultado clásico hace una distinción entre el caso en el cual la fuente es la que está moviéndose con respecto a un observador estacionario y el caso en el que el observador es el que está moviéndose con respecto a una fuente estacionaria. Este es precisamente el tipo de asimetrías a las cuales Einstein estaba haciendo referencia en su trabajo original cuando se suponía que también la luz requería de un medio de conducción para poder propagarse de un punto a otro. La razón por la cual el resultado clásico pre-relativista distingue entre una fuente en movimiento y un observador en movimiento es que la derivación de las fórmulas presupone la existencia de un medio (el aire) que proporciona una vía de conducción a las ondas sonoras y por lo tanto proporciona una manera de detectar el reposo absoluto con respecto a dicha referencia. En este caso, el observador privilegiado será aquél que esté en reposo absoluto con respecto al aire en un día en el que no haya viento alguno o que se esté moviendo en la misma dirección y con la misma velocidad (con respecto a la Tierra) a la cual está soplando el viento. Las fórmulas anteriores trabajan muy bien en situaciones cotidianas para velocidades bajas mucho menores que la velocidad de la luz. Pero en situaciones que involucran a la luz misma, viajando a la velocidad de la luz, las fórmulas tienen que ser corregidas tomando en cuenta los efectos relativistas. En ambos casos habrá un efecto Doppler, pero el efecto Doppler calculado relativísticamente debe ser el mismo ya sea que el análisis se lleve a cabo considerando una fuente en movimiento y un observador estático o una fuente estática y un observador en movimiento. La inclusión de efectos relativistas al efecto Doppler necesariamente introducirá un grado adicional de complejidad al asunto debido al fenómeno relativista de contracción de longitud. Si generamos una onda sonora de frecuencia fija (constante) y suponemos que estamos estacionarios frente a ella, entonces la distancia de cresta-a-cresta (máximo a máximo) definida como la longitud de onda λ(medida en metros):

experimentará una contracción de longitud como la que ocurre de (a) a (b) en el diagrama de arribasin importar el sentido en el que nos estemos moviendo, ya sea hacia la fuente o alejándonos de ella. La longitud de onda máxima será la que mida un observador estacionario que se encuentre situado justo en el centro de la fuente que genera la onda o bien otro observador que también se encuentre en reposo con respecto al observador situado en el punto en donde se está generando la señal. Cualquier otro observador que se ponga en movimiento con respecto a la fuente detectará una contracción de longitud relativista, y esa contracción de longitud es la misma que la que hemos obtenido previamente desde un principio, dada por la relación: λ = λ0√1 - V²/c² Se repite, y esto es importante, que esta variación en la longitud de onda λ de la señal (y por lo tanto en la frecuencia f de la misma, ya que la frecuencia es la recíproca de la longitud de onda, o sea f = 1/λ) con respecto a la longitud de onda λ0 medida por un observador que está en reposo con respecto a la fuente es adicional al efecto Doppler que en sí es causada por el abultamiento o el adelgazamiento de las ondas ya sea que nos estemos moviendo rápidamente hacia la fuente o alejándonos de ella. El efecto final es el resultado compuesto de ambos efectos. También podemos llevar a cabo un análisis relativista del efecto Doppler usando la dilatación del tiempo en lugar de la contracción de longitud. Para ello, consideramos el período T de la onda luminosa, que es el intervalo de tiempo propio (medido en segundos) entre cresta y cresta de la onda luminosa:

Es importante tener presente siempre que la velocidad de una onda senoidal (que en este caso suponemos que se trata de una onda electromagnética, o sea una señal luminosa moviéndose a la

velocidad de la luz) está relacionada a la longitud de onda y al período de la onda senoidal de la siguiente manera: c = λ/T De un modo o de otro, tomando en cuenta los efectos relativistas, la fórmula para el efecto Doppler relativista en el caso de un haz luminoso que resulta ser la siguiente:

no establece diferencia alguna entre una fuente en movimiento y un observador estático y una fuente estática y un observador en movimiento, como era de esperarse. En esta fórmula, utilizamos el signo “-” cuando la fuente y el observador están acercándose el uno con respecto al otro, y utilizamos el signo “+” cuando la fuente y el observador están alejándose el uno con respecto al otro. La fórmula anterior es válida cuando la fuente se está acercando hacia el observador o cuando la fuente se está alejando del observador directamente a lo largo de la línea imaginaria que conecta a ambos. Cuando el acercamiento (o el alejamiento) no ocurre a lo largo de esta línea:

entonces la fórmula Doppler relativista debe ser modificada para acomodar la siguiente situación que corresponde a un efecto Doppler transversal:

Esta es la fórmula general para el efecto Doppler relativista. PROBLEMA: Suponiendo una fuente estacionaria emitiendo una señal luminosa f0, derivar la expresión

para un observador que se está moviendo directamente hacia la fuente a una velocidad V. Demuéstrese que esta expresión es idéntica a

La derivación de la primera relación se lleva a cabo en forma directa simplemente considerando lacontracción relativista de la longitud. Tomando dicha relación y trabajando sobre ella: f = { f0 (1 + V/c) } / { √1 - V²/c² } f = { f0 (1 + V/c) } / { √(1 + V/c)(1 - V/c) } f = { f0 √(1 + V/c) √(1 + V/c) } / { √(1 + V/c) √(1 - V/c) } f = { f0 √(1 + V/c) } / { √(1 - V/c) } f = { f0 √(1 + V/c) √(1 - V/c) } / { √(1 - V/c) √(1 - V/c) } f = { f0 √(1 - (V/c)²) } / { 1 - V/c }

PROBLEMA: Demuéstrese que las expresiones clásicas para el efecto Doppler tanto para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra y a las expresiones relativistas a un primer orden en V/c. La expresión clásica del efecto Doppler para una fuente en movimiento (observador en reposo) suponiéndola válida para una fuente luminosa con la señal moviéndose a la velocidad de la luz es (haciendo las modificaciones notacionales necesarias):

Podemos desarrollar el denominador de esta expresión mediante una expansión por series (teorema del binomio) que en este caso resulta ser:

Esta expansión puede ser utilizada para valores de x inferiores a la unidad, lo cual es aplicable al caso que nos ocupa ya que V/c ciertamente será inferior a la unidad. La inversa de (1+x) se obtiene con un exponente de n = -1. Suponiendo valores pequeños de x (lo cual nos permite ignorar los términos mayores a los de primer orden) y para valores positivos de x, la serie resultante es:

Entonces: f = f0 (1 ± V/c)

Este es el resultado clásico para una fuente en movimiento. Podemos comparar este resultado con el resultado clásico para una fuente en reposo y un observador en movimiento dado arriba (haciendo las modificaciones notacionales necesarias): f =(1 ± V/c) f0 comprobando que las expresiones clásicas para el efecto Doppler tanto para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra. Ahora tomamos la expresión relativista

y trabajamos algebraicamente sobre la misma recurriendo en este caso tanto al desarrollo del término de la raíz cuadrática del denominador como al término del denominador de la expresión mediante una expansión por series (teorema del binomio): f = { f0 √1 - V²/c² } / { 1 ± V/c } f = f0 { (1 - V²/c²) -½ } { (1 ± V/c) -1 } f = f0 { (1 + (½) (V/c)² + ...) -½ } { 1 ± V/c ± ... }

f = f0 (1 ± V/c)

Entonces tanto las expresiones clásicas para el efecto Doppler para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra y a las expresiones relativistas a un primer orden en V/c.

En la resolución de problemas astronómicos en los cuales se determina el corrimiento de las líneas espectrales propias de cada elemento, es común utilizar como medida de la longitud de onda

elangstrom, simbolizado como Å, el cual es igual a 10-8 centímetros. PROBLEMA: La cuásar 3C-9 se está alejando de la Tierra a una velocidad V. La línea espectral Lyman-α en el ultravioleta del hidrógeno situada normalmente en λ 0 = 1216 Å es desplazada hacia una longitud de onda mayor (conocido como corrimiento hacia el rojo). La línea espectral observada tiene una longitud de onda λ = 3663 Å. Suponiendo que este desplazamiento se debe al efecto Doppler, calcular la velocidad a la cual se está alejando la cuásar 3C-9 de la Tierra. Puesto que la velocidad de la luz es la misma en cualquier marco de referencia, podemos afirmar que: c = f0 λ0 _____ c = f λ con lo cual: f0 = c / λ0_____ f = c / λ La fórmula para el efecto Doppler relativista en el caso de una fuente que se está alejando a una velocidad V es: f = { f0 √1 - V²/c² } / { 1 ± V/c } usando lo anterior y el hecho de que la fuente se está alejando del observador con lo cual seleccionamos el signo “+”: c / λ = { (c / λ0) (√1 - V²/c² ) } / { 1 + V/c }

λ0 / λ = { √(1 + V/c)(1 - V/c) } / { (√1 + V/c) (√1 + V/c) } (√1 + V/c) /(√1 - V/c) = λ / λ0 = 3663 Å /1216 Å = 3.0123 (1 + V/c) /(1 - V/c) = 9.0742

V = 0.801c

Del problema anterior, podemos ver que para la resolución de problemas numéricos podemos utilizar fórmulas Dopper relativistas un poco más fáciles de recordar, las cuales obtendremos a

continuación PROBLEMA: (a) A partir de la fórmula general para el efecto Doppler relativista, demuéstrese que cuando el observador y la fuente se mueven directamente el uno hacia el otro la frecuencia de la señal detectada por el observador se puede escribir de la siguiente manera:

(b) Del mismo modo, a partir de la fórmula general para el efecto Doppler relativista, demuéstrese que cuando el observador y la fuente se están alejando el uno del otro la frecuencia de la señal detectada por el observador se puede escribir de la siguiente manera:

(a) En la fórmula general para el efecto Doppler relativista:

cuando la fuente y el observador se mueven el uno hacia el otro tenemos un ángulo θ = 0° con lo cual cos(θ) = 1 y: f = { f0 √1 - V²/c² } / { 1 - V/c } f = { f0 √(1 + V/c)(1 - V/c) } / { √(1 - V/c) √(1 - V/c) } f = f0 { √(1 + V/c) / √(1 - V/c)} f = f0 √(1 + V/c)/(1 - V/c) (b) En la misma fórmula, cuando la fuente y el observador se están alejando el uno del otro, tenemos un ángulo θ = 180° con lo cual cos(θ) = -1 y:

f = { f0 √1 - V²/c² } / { 1 + V/c } f = { f0 √(1 + V/c)(1 - V/c) } / { √(1 + V/c) √(1 + V/c) } f = f0 { √(1 - V/c) / √(1 + V/c)} f = f0 √(1 - V/c)/(1 + V/c)

PROBLEMA: Para una estrella que se aleja de la Tierra a una velocidad de 5·10-3 c, ¿cuál es el corrimiento en la longitud de onda para la línea D del sodio (5890 Å) La ecuación Doppler relativista para fuente y observador alejándose el uno con respecto al otro nos dá: f = f0 √(c - V)/(c + V) c/λ = (c/λ0) (√(c - V)/(c + V) λ = λ0 √(c + V)/(c - V) λ = λ0 √(1 + V/c)/(1 - V/c) λ = (5890 Å) √(1 + .005)/(1 - .005) λ = 5920 Å El corrimiento Doppler en la longitud de onda es entonces Δλ = 5920 Å - 5890 Å = 30 Å. Este corrimiento consiste en un aumento en la longitud de onda, y por lo tanto es un desplazamiento hacia el infrarrojo (hacia el rojo).

PROBLEMA: ¿Cuál es la variación de Doppler para una fuente de longitud de onda 5500 Å que se aproxima a un observador con una velocidad de 0.8c? Procediendo en una forma parecida al problema anterior, la relación a ser utilizada en el caso de que la fuente se está acercando al observador debe ser la siguiente: λ = λ0 √(c - V)/(c + V) λ = λ0 √(1 - V/c)/(1 + V/c)

λ = (5500 Å) √(1 - 0.8)/(1 + 0.8) λ = (5500 Å) √(0.2)/(1.8) = (5500 Å) /9 λ = 1833 Å Entonces Δλ = 5500 Å - 1833 Å = 3667 Å.

PROBLEMA: Supóngase que la mayor longitud de onda visible para el ojo humano es de 6500 Å, en el límite hacia el infrarrojo. ¿Con qué velocidad deberá viajar un cohete para que la luz verde (λ = 5000 Å) emitida por él, sea invisible para un observador en Tierra? En este caso, el cohete debe estar alejándose del observador en Tierra para que la longitud de onda pueda aumentar por efecto Doppler: λ = λ0 √(c + V)/(c - V) √(1 + V/c)/(1 - V/c) = λ / λ0 = 6500 Å/ 5000 Å = 1.3 (1 + V/c) / (1 - V/c) = 1.69 2.69 V/c = 0.69 V = 0.257 c

PROBLEMA: ¿Con qué velocidad se debe alejar una estrella de la Tierra para que la variación de la longitud de onda sea del 0.5%? Esta situación es similar a la del problema anterior: λ = λ0 √(c + V)/(c - V) √(1 + V/c)/(1 - V/c) = λ / λ0 = 1.005 1 + V/c = 1.01 (1 - V/c) 2 V/c = .01

V = 5·10-3 c

PROBLEMA: Una fuente de luz de frecuencia f0 se mueve alternadamente hacia un observador con velocidad V y rápidamente se aleja del observador a la misma velocidad. Demuéstrese que el promedio de las frecuencias observadas es mayor que f0. Relativísticamente, cuando la fuente se está acercando al observador, la frecuencia con corrimiento Doppler es (usando el signo “-” en la fórmula): f = { f0 √1 - V²/c² } / { 1 - V/c } Y cuando la fuente se está alejando del observador, la frecuencia con corrimiento Doppler es (usando el signo “+” en la fórmula): f = { f0 √1 - V²/c² } / { 1 + V/c } El promedio aritmético de ambas frecuencias es: f = ( f + f ) /2 Entonces, substituyendo: f = ½ [ { f0 √1 - V²/c² } / { 1 - V/c } + { f0 √1 - V²/c² } / { 1 + V/c } ] f = [ ½ { f0 √1 - V²/c² }] {1/( 1 - V/c) + 1 /(1 + V/c) } f = [ ½ { f0 √1 - V²/c² }] {(1 + V/c + 1 - V/c)/( 1 - V/c) (1 + V/c) } f = [ ½ { f0 √1 - V²/c² }] { 2/( 1 - V²/c²) } f = [ ½ { f0 √1 - V²/c² }] { 2/( 1 - V²/c²) } f = f0 / √1 - V²/c² Puesto que V es menor que c, entonces V²/c² es menor que 1 y el denominador (1-V²/c²) será mayor que cero pero menor que la unidad. Esto significa que (1/√1 - V²/c²) siempre será mayor que la unidad. Entonces el promedio de las frecuencias observadas debe ser mayor que la frecuencia f0.

Se repite aquí que las fórmulas relativistas utilizadas arriba para el efecto Doppler que no establecen diferencia alguna entre un observador estacionario situado en la fuente misma (fuente en movimiento) y un observador en movimiento con respecto a la fuente (fuente estacionaria) son válidas única y exclusivamente para haces de luz, no son válidas para ondas sonoras o u ondas mecánicas transmitidas en un medio sólido, líquido o gaseoso, porque en tales casos la información transmitida (las ondas viajeras) dependen de un medio físico estacionario (el aire, el agua, el metal, etc.), mientras que la luz no depende de medio alguno de transmisión al haber sido descartada la hipótesis del éter. En el caso de las ondas sonoras y mecánicas las relaciones clásicas siguen siendo válidas, aunque estas también sean susceptibles de correcciones relativistas por contracción de longitud (o dilatación del tiempo).

12. DINÁMICA RELATIVISTA Una parte esencial de la mecánica pre-relativista consiste en el estudio de las fuerzas estáticas que ejercen entre sí partículas o cuerpos o inclusive puentes y edificios que están en reposo absoluto sin que haya movimiento relativo alguno entre ellos. Esta rama de la física no cambia en nada bajo la Teoría de la Relatividad. Podemos seguir calculando las tensiones en las vigas de acero que sirven de apoyo a los rascacielos, podemos seguir calculando la fuerza de fricción necesaria entre una escalera y el piso para que la escalera inclinada a cierto ángulo reposando contra una pared no se resbale, y podemos seguir calculando la forma en la que se reparten las fuerzas de una bóveda sobre las columnas que sirven de apoyo a una catedral, de la misma manera como siempre se ha hecho inclusive desde antes de los tiempos de Newton. Lo que cambia es nuestro manejo de fuerzas en situaciones dinámicas, sobre todo cuando hay involucradas velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Clásicamente, si una fuerza Fx actuando sobre un cuerpo de masa M le imprimía al cuerpo una aceleración ax de acuerdo con la fórmula Fx = Max dada por Newton, entonces para otro observador moviéndose a una velocidad constante V la fórmula seguirá siendo exactamente la misma en virtud de que las transformaciones de Galileo nos señalan que ax = a’x y por lo tanto F’x = Ma’x = Max, lo que a su vez implica F’x = Fx, y una misma fuerza permanece invariante (clásicamente) para otros observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro. Sin embargo, de acuerdo con las transformaciones relativistas (las transformaciones de Lorentz) la aceleración de un cuerpo al pasar de un sistema de referencia S’ en movimiento a otro sistema de referencia S en reposo debe ser corregida de la siguiente manera:

O bien, multiplicando ambos miembros por la masa M: Max = { 1 /γ3 (1 + Vux /c²)3 } Ma’x Fx = { 1 /γ3 (1 + Vux /c²)3 } F’x De este modo, la fuerza F’x = Ma’x que es medida por el observador en movimiento ya no tiene el mismo valor que el que tiene cuando es medida por el observador en reposo, ya que tiene que ser corregida mediante el factor: 1 / { γ3 ( 1 + Vu’x /c²)3 } con lo cual bajo las transformaciones de Lorentz la fuerza Newtoniana ha dejado de ser una

invariante. Entonces debemos aceptar que una misma fuerza F cambie de valor al pasar de un marco de referencia a otro por el factor señalado, o bien debemos aceptar que la fórmula clásica F = Ma ha dejado de ser válida. Es razonable suponer que la fórmula F = Ma pierde su validez a altas velocidades porque esta fórmula implica que una fuerza constante puede acelerar a un cuerpo a velocidades ilimitadas si actúa por un tiempo largo. Por otro lado, si la velocidad de un cuerpo en un marco de referencia S’ es mayor que la velocidad de la luz, entonces no podemos llevar a cabo con las transformaciones de Lorentz la conversión del marco de referencia S’ a un marco de referencia en resposo S porque el factor γ se vuelve imaginario cuando la velocidad V del marco de referencia móvil es mayor que la velocidad de la luz c. El concepto de una fuerza aplicada directamente sobre un cuerpo en movimiento es un concepto tan natural, tan esencial, tan básico, que antes que prescindir por completo de dicho concepto se vuelve deseable redefinirlo de alguna manera. Y para poder redefinirlo, tenemos que echar un vistazo a la forma en la cual Newton obtuvo la fórmula F = Ma. Para poder desarrollar su esquema de dinámica clásica, Isaac Newton concibió un concepto sobre el cual descansa toda la estructura de su filosofía en lo que concierne a la dinámica. Para un cuerpo de masa m moviéndose a una velocidad v con respecto a un observador, si multiplicamos directamente la masa por la velocidad obtenemos una cantidad considerada como fundamental, una cantidad que Newton llamó la “cantidad de movimiento” de un cuerpo o momentum, frecuentemente simbolizada con la letra p (se ha utilizado notación vectorial para indicar que, por convención, el momentum de un cuerpo es una cantidad que posee la misma dirección y sentido en la cual se está moviendo el cuerpo con velocidad v): p = mv Así, para una masa de 5 kilogramos moviéndose a una velocidad de 4 metros por segundo, la cantidad de movimiento del cuerpo es: p = (5 Kg)(4 m/seg) p = 20 Kg-m/seg A esta cantidad de movimiento se le asigna una dirección, la misma dirección que la que lleva el cuerpo al estar moviéndose. Puesto que la cantidad de movimiento p de un cuerpo es algo que tiene dirección y sentido, la fórmula es representada no en notación escalar sino en notación vectorial: p = mv Esta fórmula que nos fue dada por Newton no impone límite alguno a la velocidad a la cual se

mueve el cuerpo, el cual se puede mover a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, lo cual relativísticamente hablando es imposible. Aunque no parezca obvio, entre las tres leyes del movimiento de Newton está injertado el concepto de que el momentum para una partícula o inclusive para todo un sistema de partículas es una cantidad que permanece invariable a menos de que intervenga una fuerza externa que lo modifique. Esta es esencialmente la ley de la inercia de Newton, pero ahora expresado como una de las leyes de conservación más básicas que pueda haber: el principio de la conservación de la cantidad de movimiento. Esta ley la podemos aplicar poniendo números a todo tipo de situaciones para obtener resultados concretos, como lo es el caso de un choque inelástico entre dos partículas:

En los anteriores diagramas: (a) antes de la colisión tenemos dos esferas moviéndose en la misma dirección, una de masa m1 moviéndose con velocidad u1 y otra de masa m2 moviéndose con velocidad u2, (b) la masa m1 moviéndose a una velocidad u1 que es mayor que la velocidad u2 eventualmente alcanza a la esfera que tiene por delante, ocurriendo un choque que supondremos que es perfectamente elástico y durante el cual a través de una fuerza de contacto F se lleva a cabo una transferencia de la cantidad de movimiento entre ambos cuerpos, (c) las masas se separan al impartirle la masa m1 algo de su momentum a la masa m2, adquiriendo cada uno de los cuerpos velocidades ν1 y ν2.

Si la cantidad de movimiento del sistema se conserva, entonces debemos tener como hecho dado para la anterior colisión que: momentum antes del choque = momentum después del choque PROBLEMA: Un observador que está en reposo con respecto a la Tierra observa una colisión en la cual una partícula de masa m1 = 3 kilogramos que se mueve a velocidad u1 = 4 metros/seg a lo largo del eje-x se aproxima a una partícula de masa m2 = 1 kilogramo que se mueve con velocidad u2 = -3 metros/seg también a lo largo del eje-x (obsérvese por el signo negativo que se está moviendo hacia la izquierda). Después de un choque frontal, el observador en Tierra encuentra que m1 lleva una velocidad de ν1 = 2 metros/seg mientras que m2 lleva una velocidad de ν2 = 3 metros/seg. Verificar que el momentum se ha conservado antes y después de la colisión. momentum inicial = m1u1 + m2u2 momentum inicial = (3 Kg)(4 metros/seg) + (1 Kg)(-3 metros/seg) momentum inicial = 9 Kg · m/seg

momentum final = m1ν1 + m2ν2 momentum final = (3 Kg)(2 metros/seg) + (1 Kg)(3 metros/seg) momentum final = 9 Kg · m/seg Puesto que el momentum inicial es igual al momentum final, se concluye que la cantidad total de movimiento se conserva para este evento. El principio de la conservación de la cantidad de movimiento es un principio que permanece válido al cambiar de un marco de referencia a otro usando las transformaciones clásicas de Galileo, como podemos comprobarlo con el siguiente problema que es un seguimiento al problema anterior: PROBLEMA: Un segundo observador O’ que se mueve a una velocidad de 2 metros/seg relativa a la Tierra y a lo largo del eje-x observa el choque descrito en el problema anterior. ¿Cuáles serán los momentums antes y después del choque? ¿Se sigue conservando la cantidad de movimiento? De acuerdo con las transformaciones clásicas de velocidad de Galileo:

u’1 = u1 - V = 4 metros/seg - 2 metros/seg = 2 metros/seg u’2 = u2 - V = -3 metros/seg - 2 metros/seg = - 5 metros/seg ν’1 = ν1 - V = 2 metros/seg - 2 metros/seg = 0 ν’2 = ν2 - V = 3 metros/seg - 2 metros/seg = 1 metro/seg Entonces: momentum inicial = m1u’1 + m2u’2 momentum inicial = (3 Kg)(2 metros/seg) + (1 Kg)(-5 metros/seg) momentum inicial = 1 Kg · m/seg momentum final = m1ν’1 + m2ν’2 momentum final = (3 Kg)(0) + (1 Kg)(1 metro/seg) momentum final = 1 Kg · m/seg Puesto que el momentum inicial es igual al momentum final, se concluye que la cantidad total de movimiento también se conserva para el segundo observador. Clásicamente, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo válido al pasar de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’. Sin embargo, al utilizar las transformaciones de Lorentz en vez de usar las transformaciones clásicas de Galileo, descubrimos rápidamente que la cantidad de movimiento no se conserva invariable al pasar de un marco de referencia a otro. Esto lo podemos ver mejor considerando un experimento de balística en donde un observador O’ en un sistema de referencia S’ dispara un proyectil en la dirección del eje-y’. El proyectil penetra en un bloque que se encontraba inmóvil con respecto al observador O’:

La cantidad de masa m del proyectil que penetra en el bloque debe poder determinarse a partir de la componente en y’ del momentum del proyectil, el cual está dado por p’ y = mu’y en donde m es la masa del proyectil medida por O’ que suponemos invariable. Ahora considérese el mismo experimento desde el punto de vista del observador en reposo O para quien O’ se mueve a lo largo del eje x-x’ con velocidad V. Obviamente, antes de impactar con el bloque, la bala se estará moviendo no sólo hacia abajo sino también hacia la derecha con una cantidad de movimiento que podemos designar como p’x = mu’x, y después de haberse impactado con el bloque la combinación bala-bloque se seguirá moviendo hacia la derecha con una cantidad de movimiento que debe ser igual a p’x de acuerdo con el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, además de moverse hacia abajo. Sin embargo, para el análisis simplificado que llevaremos a cabo, enfocaremos nuestra atención única y exclusivamente sobre lo que ocurre en el eje vertical. Puesto que el orificio dejado por el proyectil forma un ángulo recto con la dirección del movimiento relativo, tanto O como O’ estarán de acuerdo en cuanto al valor de la distancia que el proyectil penetra en el bloque, y por lo tanto esperan que el valor de la componente en el eje-y del momentum del proyectil tenga el mismo valor para ambos de cumplirse el principio de conservación de la cantidad de movimiento. El momentum medido por O es py = muy en donde m es la masa del proyectil medida por O. De las transformaciones de Lorentz para la velocidad y teniendo en cuenta que u’x = 0, se obtiene:

uy = { u’y√ 1 - V²/c² } / { 1 + (V²/c²) u’x } uy = u’y√ 1 - V²/c² Entonces: py = muy py = mu’y√ 1 - V²/c² Resulta indudable que p’y ≠ py, y por lo tanto el momentum clásico no se conserva bajo las transformaciones de Lorentz. El concepto de la cantidad de movimiento es tan esencial y tan básico para la resolución de tantos problemas, que en vez de abandonarlo por completo optamos mejor por modificarlo adaptándolo a una nueva dinámica, la dinámica relativista. Esto fue precisamente lo que hizo Einstein. Lo más lógico es tomar la definición original que nos fue dada por Newton y modificarla de alguna manera agregándole algún factor de corrección relativista tal como el factor de corrección γ al cual ya estamos acostumbrados, obteniendo la definición de un momentum relativista. Si logramos obtener una definición correcta para el momentum relativista, entonces debemos obtener también un principio de conservación del momentum relativista que es a final de cuentas la razón de ser para haber definido desde un principio al momentum mu en la mecánica clásica como aquella cantidad que es conservada cuando no hay fuerzas exteriores actuando sobre un sistema (como lo es el caso de la colisión elástica entre dos cuerpos que acabamos de ver). Si nuestra definición de momentum relativista ha de ser válida, tiene que cumplir con los siguientes requisitos: a) El momentum relativista es una cantidad que se debe conservar invariante para un sistema cerrado bajo las transformaciones de Lorentz. b) El momentum relativista debe acercarse más y más a la definición clásica del momentum para velocidades bajas en comparación con la velocidad de la luz, o sea cuando V/c se va acercando a cero. Esto último nos lo impone la experiencia cotidiana que nos ha confirmado la validez del principio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema a través de numerosos experimentos que se han llevado a cabo en donde los efectos relativistas son indetectables. En la dinámica clásica, Newton formalizó el concepto de la fuerza interpretándola como la acción requerida para cambiarle a un cuerpo su cantidad de movimiento, dándole al tiempo absoluto un papel clave en esta interpretación. En el esquema de Newton, todo cuerpo mantiene su estado de reposo o un estado de movimiento rectilíneo constante (lo cual ocurre en el espacio exterior en donde no hay aire ni obstáculo alguno que le haga perder a un objeto la velocidad que lleva)

mientras no intervenga una fuerza externa que modifique ese estado de reposo absoluto o de movimiento absoluto, y entre mayor sea la masa del cuerpo tanto mayor debe ser la fuerza requerida para hacerle cambiar su cantidad de movimiento. En este esquema, la fuerza tiene la siguiente definición matemática expresada usando infinitesimales:

La fuerza F es simplemente el cambio en la cantidad de movimiento p del cuerpo entre el lapso de tiempo requerido para provocar tal cambio en su cantidad de movimiento. En la notación vectorial utilizada para F, se le está dando a la fuerza la misma dirección que la dirección que toma el cambio de movimiento provocado sobre el cuerpo. Y puesto que p=mv, entonces: F = d(mv)/dt Si suponemos que la masa m del cuerpo es constante (lo cual no es cierto en todos los casos como el caso de un cohete que va lanzando combustible al exterior conforme se va despegando de su plataforma), entonces: F = m * dv/dt Pero el cambio en la velocidad con respecto al tiempo es simplemente la aceleración que experimenta el cuerpo al cambiar de velocidad. Entonces: F = ma Pero esta fórmula como está dada no puede ser sostenida dentro de la Teoría Especial de la Relatividad, porque implica que un cuerpo puede ser acelerado hasta alcanzar cualquier velocidad, incluso una velocidad superior a la velocidad de la luz, lo cual no es imposible. Obviamente, también aquí se requiere alguna modificación de conceptos. Pero ello empezará con la redefinición del momentum que sirve a su vez para definir el concepto de fuerza.

PROBLEMA: Hacer una gráfica que muestre el efecto relativista de la variación de la masa con la velocidad para un cuerpo con una masa de 1 kilogramo, graficando desde V = 0 hasta V = 0.9c. Este es un problema de resolución directa que requiere evaluar algunos puntos que serán unidos

por una curva de “mejor ajuste” en la gráfica. Para una velocidad de V = 0.7c, la masa relativista será: m = m0/√ 1 - V²/c² m = (1 Kg) / √ 1 - (0.7)² = 1.4 Kg La gráfica resultante tiene el siguiente aspecto:

El aumento en la masa de un cuerpo de acuerdo con la velocidad del mismo frecuentemente provoca un efecto sorpresivo en quienes toman conocimiento por vez primera de este efecto, porque clásicamente la masa de un cuerpo era considerada como algo propio del cuerpo, inalterable, que nada tenía que ver con su velocidad; un kilogramo de tortillas de maíz seguía siendo un kilogramo de tortillas de maíz bajo cualquier ángulo que se le mirase. Sin embargo, en virtud de que la dinámica relativista impone un límite absoluto a la velocidad que puede alcanzar un cuerpo, la cual no puede ser mayor que la velocidad de la luz ya que en un caso así el término √ 1 - V²/c² se vuelve imaginario, si se trata de continuar aumentando la cantidad de movimiento de un cuerpo conforme se acerca a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad al no poder rebasarse dicho límite entonces la cantidad de movimiento únicamente puede aumentar como resultado de un aumento en la masa. Es aquí en donde muchos acostumbrados a leer libros en los que sólo se dan unas cuantas fórmulas sin mayores explicaciones se preguntan: ¿De dónde sale esa masa? ¿Se está violando el principio de la conservación de la materia?

En realidad, la masa no está aumentando. El observador O’ que viaje en su marco de referencia S’ junto con el cuerpo verá a dicho cuerpo en reposo (con respecto a él) y no lo verá aumentar ni siquiera un miligramo. No hay creación alguna de materia salida de la nada. La materia “extra” es la que sería detectada por otro observador O en su marco de referencia S ante el cual el cuerpo se está moviendo a grandes velocidades. ¿Y de dónde sale ese incremento de masa para el observador O? En realidad, esa masa “extra” tiene que ver con el consumo de energía que hay que invertir para ir acercando al cuerpo a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad de la luz. La aceleración de un cuerpo, el aumento en su cantidad de movimiento, es algo que no se logra gratuitamente, hay que invertir energía en el proceso. Para llevar a un cuerpo del reposo a una velocidad V = 0.7c se requiere el uso de cierta cantidad de energía que no saldrá de la nada. Esta energía va directamente al aumento en la cantidad de movimiento del cuerpo. Y si queremos subirle la velocidad a un cuerpo de V = 0.9998c a V = 0.99985c, ello requerirá también un consumo de energía. En realidad, esa masa “extra” aparente tiene que ver directamente con la energía que estamos invirtiendo en irle subiendo al cuerpo su velocidad. Esa energía no se va a la nada como tampoco puede sacar el cuerpo una cantidad de movimiento cada vez mayor sin que haya algo que lo continúe acelerando. Lo que estamos viendo en acción es ni más ni menos una equivalencia que llevó a Einstein a una de sus conclusiones más famosas, la cual encierra el secreto de la bomba atómica y la razón del por qué una estrella puede estar “ardiendo” liberando cantidades enormes de energía por millones de años sin “apagarse”. Esto es ya un asunto que nos lleva del tema del momentum relativista a la energía relativista de importancia tal que es necesario discutirlo por separado. Teniendo en nuestras manos la definición del momentum relativista p = γmV, podemos proceder a reemplazar el concepto Newtoniano de la fuerza dinámica con el concepto relativista de fuerza, basándonos para ello en la definición original de fuerza como aquello que produce un cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo en cierto período de tiempo, en este caso del momentum relativista. PROBLEMA: Una fuerza F actúa sobre un cuerpo en la misma dirección y sentido que su velocidad. Encontrar la expresión que corresponde a dicha fuerza acorde con la segunda ley de Newton. La fuerza relativista es igual a la derivada del momentum relativista con respecto al tiempo:

Tomando la derivada:

Simplificando:

Finalmente, obtenemos la expresión que estábamos buscando:

De nueva cuenta, para velocidades suficientemente bajas en comparación a la velocidad de la luz, la expresión para la fuerza relativista se reduce a la expresión Newtoniana clásica F = ma. Una aplicación práctica del concepto de la fuerza relativista está relacionada con el efecto que produce un campo magnético de intensidad B (el cual generalmente es representado con líneas de campo magnético que apuntan en la misma dirección de Norte a Sur en la cual apuntaría el imán de una brújula en puntos distintos de dicho campo) sobre una carga eléctrica que penetra en dicho campo a un ángulo recto al campo:

Una vez que la partícula con carga eléctrica ha penetrado a una velocidad V en una región en donde hay un campo magnético, la partícula experimenta una fuerza F determinada por la famosa “regla de la mano derecha” (usamos el dedo índice para indicar la dirección hacia la cual se está moviendo la partícula, usamos el dedo medio para apuntar la dirección de las líneas del campo magnético, obteniendo la dirección de la fuerza F con el dedo pulgar):

que actúa sobre la carga de modo tal que si el campo magnético es uniforme la pondrá en un movimiento de rotación inicialmente circular que sería perpetuo de no ser porque una particula cargada electricamente no puede permanecer por siempre girando en un campo magnetico dando vuelta tras vuelta ya que al estarse acelerando -vectorialmente hacia el centro de la rotación- la particula emite radiacion electromagnetica lo cual le va restando energía, con lo cual la partícula más que trazar un círculo va trazando una espiral hacia el centro:

Si imaginamos las líneas del campo magnético entrando hacia el monitor de la computadora como si fuesen unas flechas (con unas cruces indicando la cola en cada flecha), entonces podemos ver la acción de la rotación de la manera siguiente:

En este caso, la fuerza F no actúa en la misma dirección y sentido que la velocidad V del cuerpo, razón por la cual al llevar a cabo derivaciones de fórmulas relativistas de esta índole es necesario formalizar los cálculos con notación vectorial.

La magnitud de la fuerza F para una partícula con carga eléctrica atrapada en un campo magnético está dada por la siguiente relación: ║ F║ = F = qVB Si esta fuerza está reteniendo a la carga con una fuerza centrípeta F = mV²/R de igual magnitud, entonces tenemos que la velocidad V estará dada por: mV²/R = qvB V = qBR/m Esta relación es válida a velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz. Pero para partículas energéticas con velocidades que se van aproximando a la velocidad de la luz, esta relación deja de ser válida, y tenemos que obtener la relación relativista para poder predecir correctamente lo que ocurre en una situación experimental. PROBLEMA: Obtener la expresión para la velocidad relativista de una carga eléctrica que se mueve en un círculo de radio R y en ángulo recto con el campo magnético B. En notación vectorial (usaremos negritas para representar cantidades vectoriales que tienen dirección y sentido), la segunda ley de Newton está definida como:

La fuerza relativista se obtiene utilizando en esta definición la masa relativista, con lo cual:

Pondremos ahora en el denominador la expresión V² como producto escalar V·V:

A continuación tomamos la derivada aplicando la regla de la cadena:

En el campo magnético, resulta claro que el vector velocidad V, siguiendo la dirección hacia la cual se está moviendo la carga, y el vector aceleración centrípeta dV/dt dirigido hacia el “centro” de la fuerza, son perpendiculares, y por lo tanto el producto punto de los mismos es cero:

Por otra parte, como vimos arriba, la fuerza que actúa sobre una carga a consecuencia de su interacción con el campo magnético es F = qvB, y además la magnitud de la aceleración centrípeta dirigida en la misma dirección que de la fuerza está dada por: a = ║ dV/dt ║ = V²/R Entonces:

A continuación se llevarán a cabo los pasos algebraicos necesarios para despejar para la velocidad V: qB = m0V/R√ 1 - V²/c² qB√ 1 - V²/c² = m0V/R (qB)² (1 - V²/c²) = (m0V/R)²

(qB)² = [(m0/R)² + (qB/c)²] V² V² = (qB)²/[(m0/R)² + (qB/c)²] V² = (qBR)²/[(m0)² + (qBR/c)²] V² = (qBR/m0)²/[1 + (qBR/m0c)²] Finalmente, extrayendo raíz cuadrada, obtenemos el resultado deseado:

PROBLEMA: Supóngase que un haz de electrones describe un círculo de 0.2 metros de radio en un campo magnético uniforme con una densidad de flujo magnético igual a 0.03 teslas. ¿Cuál es la velocidad de dichos electrones? Cada electrón en el haz de electrones posee la siguiente carga y masa en el sistema de unidades MKS: q = 1.6 · 10-19 coulomb m0 = 9.1 · 10-31 kilogramo Con esto: qBR/m0 = (1.6 · 10-19 coulomb) (0.03 tesla) (0.2 metros)/9.1 · 10-31 kilogramo qBR/m0 = 1.0549 · 109 metros/segundo qBR/m0 = 3.5165 c Aplicando la fórmula obtenida en el problema anterior: V = 3.5165 c / √ 1 + (3.5165)² V = 0.962 c

Trabajando sobre uno de los pasos intermedios en la derivación de la fórmula: qB√ 1 - V²/c² = m0V/R podemos obtener la siguiente relación: qBR = m0V/√ 1 - V²/c² qBR = γm0V Pero lo que tenemos en el lado derecho es simplemente el momentum relativista: qBR = p Esta también es otra relación útil en la resolución de problemas de este tipo.

13. LA ECUACIÓN MÁS FAMOSA DE EINSTEIN Antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, los físicos contaban con dos leyes de conservación independientes: la ley de la conservación de la materia enunciada desde los tiempos del químico francés Antoine-Laurent Lavoisier que nos dice que la cantidad total de materia que hay en el universo nunca cambia (la materia no se crea ni se destruye, simplemente se transforma) y laley de la conservación de la energía enunciada como la primera ley de la termodinámica (no es posible sacar energía de la nada, porque la energía ni se crea ni se destruye). Ambas leyes eran consideradas independientes la una de la otra. Una consecuencia sorprendente de la Teoría Especial de la Relatividad es que ambas leyes pueden ser fusionadas en una sola: la ley de la conservación de la masa-energía (obsérvese que al igual que los conceptos independientes del espacio y el tiempo terminaron siendo fusionados en un solo concepto único e indivisible, el espaciotiempo, también la masa y la energía terminan siendo fusionados en uno solo, la masa-energía), al descubrirse que toda masa equivale e inclusive puede ser convertida a una cantidad limitada de energía (este es el mismo principio bajo el cual operan las bombas atómicas y con el cual nuestra estrella el Sol nos proporciona cantidades abundantes de energía que posibilitan la vida en la Tierra) y viceversa. Aquí se verá cómo fue que se llegó a esta conclusión. El concepto de que la energía no se crea ni se destruye, de que la energía no puede salir de la nada, es un concepto tan esencial en el estudio de la Naturaleza que ni siquiera Einstein se atrevió a modificarlo en lo más mínimo. De este modo, tanto en la mecánica clásica como en la mecánica relativística, el principio de la conservación de la energía en una de sus formulaciones nos dice que la energía cinética K adquirida por un cuerpo debe ser igual al trabajo hecho por una fuerza externa F al aumentar la velocidad del cuerpo desde cero hasta un valor u. Por definición: K = ∫F·ds Para un movimiento unidimensional que se lleva a cabo a lo largo del eje-x: K = ∫0 u Fdx La fuerza relativística F está dada por el cambio del momentum relativístico P = γm0u con respecto al tiempo (siendo m0 la masa en reposo del cuerpo, la cual es una constante), de tal modo que: K = ∫0 u [d/dt(γm0u)] dx

K = ∫0 u [d(γm0u)] [dx/dt] K = ∫0 u [d(γm0u)] [u]

K = ∫0 u u·d(γm0u) En el factor de corrección γ es importante reemplazar la velocidad constante V por la velocidadvariable u ya que como resultado de la aplicación de la fuerza F la velocidad del cuerpo estará aumentando constantemente: γ = 1 / √1 - u²/c² Tomando diferenciales de la cantidad γm0u usando la regla d(uv) = udv + vdu: d(γm0u) = m0γdu + m0udγ De acuerdo al cálculo infinitesimal, la diferencial dγ es igual a: dγ = d (1 /√1 - u²/c²) dγ = d {1 - u²/c²}-½ dγ = (u/c²) {1 - u²/c²}-3/2 du Con esto, la diferencial d(γm0u) resulta ser: d(γm0u) = m0 [ {1 - u²/c²}-½ du + (u/c²) {1 - u²/c²}-3/2 du ] Simplificando con un poco de álgebra, esto se reduce a: d(γm0u) = m0 {1 - u²/c²}-3/2 du Con esto, regresando a la expresión original de la energía cinética K: K = ∫0 u u·d(γm0u) K = ∫0 u u·{m0 {1 - u²/c²}-3/2 du)} K = m0 ∫0 u { {1 - u²/c²}-3/2 u du)} Llevando a cabo la integración y tomando los límites:

K = m0c² [ (1 - u²/c²)}-½ - 1 ] K = γm0c² - m0c² Este resultado nos dice que la energía cinética K de un cuerpo representa la diferencia entre lo que llamaremos la energía total E de la partícula en movimiento y la energía en reposo E0 de la partícula precisamente cuando la partícula está en reposo. K = E - E0 en donde: E = γm0c² E0 = m0c² La conclusión que hemos dado a las definiciones anteriores es correcta ya que si la velocidad del cuerpo es cero, entonces V/c también es igual a cero y el factor γ = 1, con lo cual tendríamos que E = m0c² y por lo tanto K = 0, o sea una energía cinética de cero (un cuerpo en reposo no tiene energía de movimiento, su energía cinética K es cero). Habiendo definido la energía en reposo que posee el cuerpo cuando no se está moviendo ante nosotros de modo tal que E0 = m0c² nos vemos obligados a concluír que la masa de todo cuerpo en reposo equivale a cierta cantidad de energía dada por la ecuación anterior, la materia y la energía son dos cosas completamente equivalentes, son dos manifestaciones distintas de lo mismo. Así como los conceptos independientes del espacio y del tiempo fueron fusionados en un solo concepto único e indivisible bajo una sola palabra, el espacio-tiempo, también la masa y la energía han sido fusionadas como una sola cosa. Esta es indudablemente la conclusión más conocida de Einstein, su fórmula más famosa, obtenida completamente dentro del marco de la Teoría Especial de la Relatividad. Toda cantidad limitada de materia es equivalente a cierta cantidad limitada de energía, y viceversa. Y resulta que una cantidad muy pequeña de materia es equivalente a una cantidad enorme de energía. PROBLEMA: Verificar que la expresión relativista para la energía cinética de un cuerpo se reduce a la expresión clásica para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz.

Clásicamente, la energía cinética de un cuerpo está dada por la expresión: K = ½ mv² Para velocidades bajas en comparación con la velocidad de la luz, podemos recurrir al teorema del binomio para expandir el primer término en el lado derecho de la igualdad de la expresion K = γm0c² - m0c² K = (1 /√1 - u²/c²) m0c² - m0c² K = {1 - u²/c²}-½ m0c² - m0c² K = {1 + (½) (u²/c²) + ...} m0c² - m0c² Ignorando los términos de orden superior, tenemos que la expresión relativista se nos reduce a: K = m0c² + (½) (u²/c²) m0c² - m0c² K = ½ m0u² lo cual está en acuerdo con la expresión clásica. Una forma común de abreviar la expresión para la energía cinética relativista K, fácil de recordar, es la siguiente: K = (γ - 1) m0c² Sin embargo, esta expresión resumida no muestra en forma explícita la relación que hay entre la energía cinética relativista K, la energía total E y la energía en reposo, y debe ser considerada más bien como una ayuda mnemotécnica en la resolución de problemas. PROBLEMA: Si la energía en reposo de un gramo de agua pudiera ser transformada completamente en energía, ¿cuánta agua podría ser calentada desde los cero grados centígrados (el punto de congelación del agua) hasta los cien grados centígrados (el punto de ebullición del agua)? Tómese 1 caloría = 4.19 joules. Los cálculos serán llevados a cabo bajo el sistema MKS de unidades. Un gramo de agua es igual a una milésima de kilogramo, con lo cual la energía en reposo de un gramo de agua es igual a:

E0 = m0c² E = (0.001 Kg) (3·108 metros/segundo) E = 9·1013 Kg·metro²/segundo² E = 9·1013 joules E = 2.14·1013 calorías Por la misma definición de lo que es una caloría, la capacidad calorífica del agua; C = ΔQ/mΔT es igual a la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de un gramo de agua en un grado centígrado, o sea C = 1 caloría/gramo·°C. Si el calor ΔQ proviene de la energía en reposo E de un gramo de agua, entonces: m = ΔQ/CΔT = E/CΔT m = E/CΔT m = (2.14·1013 calorías)/(1 caloría/gramo·°C)(100 °C) m = 2.14·1011 gramos = 2.14·1011 Kg m = 214,000,000 Kg. Podríamos calentar 214 mil toneladas de agua llevándolas desde su punto de su punto de congelación hasta su punto de ebullición con tan sólo la energía que podríamos obtener convirtiendo la masa de un gramo de agua en energía. La enorme cantidad de energía que podemos obtener de una cantidad tan pequeña de materia es precisamente el medio mediante el cual nuestra propia estrella el Sol nos puede proporcionar diariamente abundantes cantidades de energía que hacen posible la vida en la Tierra. Cada día somos testigos de una de las confirmaciones más espectaculares de la Teoría Especial de la Relatividad. PROBLEMA: Un electrón es acelerado en un ciclotrón hasta alcanzar una energía cinética K de 2 GeV (= 109 eV). ¿Cuál es la relación entre la masa del electrón que ha sido acelerado y su masa en

reposo? La relación entre la masa m del electrón que ha sido acelerado y su masa en reposo m0 se puede expresar como m/m0 o bien mc²/m0c². Tenemos además lo siguiente: E = K + E0 mc² = K + m0c² Entonces: m/m0 = mc²/m0c² = (K + m0c²) /m0c² = (2·109 eV + 0.511·106 eV) / 0.511 MeV m/m0 = 3,914 De este modo, una vez acelerado por el ciclotrón, el electrón se comporta como si tuviera una masa casi 4 mil veces mayor que la que tiene cuando está en reposo. Sin embargo, esta no es una masa realen el sentido de que el electrón haya aumentado su masa propia. Lo que sucede es que la energía que le ha sido impresa hace que experimentalmente se comporte como si tuvierse una masa mucho mayor que la que realmente tiene, en virtud de la equivalencia que hay entre la masa y la energía. Lo que acabamos de obtener nos permite analizar los procesos de índole atómica o sub-atómica en los cuales por la desintegración de un átomo tengamos dos o más partículas resultantes cuyas masas sumadas no sean iguales a la masa del átomo original (lo que llamamos un defecto de masa) nos indica que, al no haber desaparecido dicha masa hacia la nada, necesariamente tuvo que haber sido convertida dicha masa ausente en energía pura, ya que el principio de la conservación de la energía sigue siendo completamente válido inclusive dentro de la Teoría de la Relatividad. Antes de continuar, definiremos una unidad ampliamente utilizada en la resolución de problemas de índole atómica y sub-atómica, el electron-voltio simbolizado como eV. Es la energía E adquirida por la carga q de un electrón cuando es acelerado por una diferencia ΔV de potencial eléctrico de un voltio, bajo la fórmula E = qΔV, aplicándosele las mismas convenciones del sistema de unidades MKS, de modo tal que MeV representa una energía medida en millones de electron-voltios. Puesto que la carga de un electrón es igual a 1.6·10-19 coulombs en el sistema MKS de unidades, tenemos entonces el siguiente factor de conversión: 1 eV = (1.6·10-19 coulombs) · (1 volt) = 1.6·10-19 joule PROBLEMA: ¿Cuál es la energía en reposo de un electrón, sabiendo que su masa en reposo el sistema MKS es de 9.1·10-31 Kg? Dar la respuesta tanto en joules como en MeV.

Este problema tiene una resolución directa: E0 = m0c² E0 = (9.1·10-31 Kg) (3·10-8 metros/seg)² E0 = 8.19 10-14 joules

E0 = (8.19 10-14 joules) (1 eV /1.6·10-19 joule) (1 MeV / 106 eV)

E0 = 0.511 MeV La energía en reposo dentro de la Teoría de la Relatividad es una forma nueva de proporcionar la masa en reposo de una partícula, lo cual tiene sus ventajas en estudios de física atómica y nuclear, como lo demuestra lo que veremos a continuación. PROBLEMA: La energía en reposo de un protón es de 938.256 MeV, y la energía en reposo de un neutrón es de 939.550 MeV. Si la energía en reposo de un deuterón (una partícula nuclear formada por un protón y un neutrón unidos el uno al otro) es de 1875.580 MeV, ¿es factible esperar que el deuterón se pueda fisionar por sí solo descomponiéndose en sus partes elementales? Sumando las energías en reposo del protón y el neutrón: 938.26 MeV + 939.55 MeV = 1877.81 MeV encontramos que, por una diferencia pequeña, las energías en reposo de ambas partículas tomadas independientemente es mayor que la energía en reposo del deuterón, y por lo tanto el deuterón no se puede fisionar por sí solo. Se requiere suministrarle una energía al deuterón para provocar tal fisión, ya que la energía del enlace es: 1877.81 MeV - 1875.58 MeV = 2.23 MeV Esta energía necesaria para romper el enlace puede ser suministrada ya sea bombardeando al deuterón con una partícula energética o con radiación electromagnética. Del mismo modo, cuando se forma un deuterón, se libera una cantidad de energía igual a los 2.23 MeV que serían necesarios para volver a descomponerlo en sus partes esenciales.

PROBLEMA: ¿Cuál es la velocidad adquirida por un electrón que es acelerado a través de una diferencia de potencial de 100 mil voltios? La energía cinética (no la energía total que incluye la masa en reposo) adquirida por un electrón bajo una diferencia de potencial de 100 mil voltios es igual a K = qΔV = (1 electrón)(100 mil voltios) = 100 KeV. Entonces, empleando la relación relativista: K = γm0c² - m0c² K = (γ - 1) m0c² La masa en reposo del electrón ya la obtuvimos en un problema previo, es de 0.511 MeV. Por lo tanto: 100 KeV = (γ - 1) (0.511 MeV) γ - 1 = 0.1957 γ = 1.1957 1 / √1 - u²/c² = 1.1957

u = 0.548c PROBLEMA: Un mesón K0 en reposo decae en dos mesones π0: K0 → π0 + π0 Si la energía en reposo del mesón K0 es de 498 MeV y la energía en reposo del mesón π0 es de 135 MeV, ¿cuál será la energía cinética K de cada mesón π0 suponiendo que toda la energía que resulta del decaimiento del mesón K0 será portada como energía cinética por ambas partículas π0resultantes del decaimiento? Si la energía en reposo de cada mesón π0 es de 135 MeV, entonces la energía en reposo de dos de dichas partículas será de 270 MeV, una diferencia de 228 MeV con respecto a la energía en reposo de 498 MeV del mesón K0. Por el principio de la conservación de la energía, la energía total inicialEinicial que es igual a la energía en reposo del mesón K0 debe ser igual a la energía en reposo de cada mesón π0 más la energía cinética K con la que sale disparado cada mesón en sentido contrario:

Einicial = Efinal Einicial = (m2c² + K) + (m2c² + K) Einicial = 2m2c² + 2K 498 MeV = 2 (135 MeV) + 2K K = 114 MeV En el problema anterior, toda la energía aparentemente perdida termina siendo convertida en la energía cinética de las dos partículas resultantes. El diagrama espacio-tiempo para lo que acabamos de ver tendrá el siguiente aspecto en el cual unalínea del mundo única para una sola partícula se rompe en dos líneas del mundo diferentes para dos partículas diferentes, una moviéndose en un sentido (hacia la derecha, en la dirección +x) y la otra moviéndose en el sentido contrario (hacia la izquierda, en la dirección -x):

PROBLEMA: Un cuerpo en reposo se rompe espontáneamente en dos partes que se mueven en sentidos opuestos. Las masas en reposo y las velocidades de las partes son m 1 = 3 Kg a u1 = 0.8c y m2 = 5.33 Kg a u2 = 0.6c. Hallar la masa en reposo del cuerpo original. Por el principio de la conservación de la energía: Einicial = Efinal La energía inicial es la del cuerpo que estaba en reposo, siendo ésta Einicial = mc². Las energíastotales de las dos partes en las que se rompe el cuerpo están dadas E1 = γ1m1c² y E2 = γ2m2c²:

Entonces tenemos lo siguiente:

mc² = γ1m1c² + γ2m2c² m = (√1 - u1²/c²) m1 + (√1 - u2²/c²) m2 m = (3 Kg / √1 - 0.64) + (5.33 Kg / √1 - 0.36) m = 11.66 Kg Así, al empezar teníamos una masa total de 11.66 Kg, y después de la desintegración terminamos con una masa total de 8.33 Kg. En la Teoría de la Relatividad no hay un principio de “conservación de la masa”. Lo que hay es un principio de conservación de la masa-energía. Habiendo visto procesos de desintegración, veamos ahora procesos relativistas que involucran colisiones en las cuales dos cuerpos quedan trabados después del choque:

El análisis que llevaremos a cabo es completamente válido aunque el cuerpo absorbido no sea un cuerpo material sino un fotón de luz, como lo veremos en el siguiente problema. PROBLEMA: Se pueden presentar argumentos para demostrar que un fotón no puede ser absorbido por un electrón libre. Sin embargo, puede ser absorbido por un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado. Si un fotón con una energía de 1 MeV choca con un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado, y si despreciamos la energía de retroceso del núcleo, ¿cuál será la velocidad del electrón después del choque al ser sacado fuera del átomo? Apelamos nuevamente al principio de la conservación de la energía antes y después del choque: Einicial = Efinal Antes del choque, el sistema consiste en la energía Efoton de 1 MeV que lleva el fotón consigo mismo, más la energía en reposo del electrón mec² más la energía en reposo mnc² del núcleo pesado, y después del choque el sistema constará de la energía total del electrón en movimiento sumada a la energía en reposo del núcleo pesado:

Efoton + mec² + mnc² = γmec² + mnc² 1 MeV + 0.511 MeV = γ (0.511 MeV) γ = 2.957 u = 0.941c Hay otros procesos de índole atómica en los cuales por la desintegración de un átomo también se tienen dos o más partículas resultantes cuyas masas sumadas no son iguales a la masa del átomo original (lo que llamamos un defecto de masa) pero en los cuales además de la energía cinética que se lleve consigo cada partícula resultante hay una energía pura liberada como energía radiante. Existe una expresión muy útil que nos relaciona a la energía total E de un cuerpo con su momentum relativista p. Si la energía total del cuerpo es E = γm0c² = γE0 y su momentum relativista es p = γm0u, entonces usando E² = γ²E0² tenemos: p² = γ²m0²u² = (γ² m0² c4) (u²/c4) p² = γ² (m0c²)² (u²/c4) = γ² E0² u²/c4 Con esto: E² - p² c² = γ² E0² (1 - u²/c²) E² = p²c² + E0² La relación anterior se puede memorizar mejor con la ayuda del siguiente “triángulo relativístico”:

El “triángulo relativístico” se traza empezando con el pie del triángulo que es la masa en reposo m0c² y levantando el otro cateto que representa la cantidad pc. Con un compás imaginario se tiende un arco hasta cortar a la hipotenusa. El segmento adicional a la longitud m0c² (que es la energía en reposo de la partícula) es el segmento K (que es la energía cinética de la partícula), segmentos que sumados dan la longitud total de la hipotenusa que es también la longitud total de la partícula. Aplicando entonces el teorema de Pitágoras a este triángulo rectángulo, obtenemos la siguiente relación: (K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)² PROBLEMA: ¿Cuál es la relación entre la energía y el momentum de un fotón de luz? En virtud de que los fotones viajan a la velocidad de la luz, su masa en reposo, de acuerdo con la Teoría de la Relatividad, debe ser cero, y por lo tanto su energía debe ser totalmente cinética, energía radiante pura. Si un fotón existe, entonces debe estarse moviendo a la velocidad de la luz, y deja de existir en el momento en el que deja de moverse a esta velocidad (como cuando es absorbido por uno de los orbitales de un átomo de hidrógeno haciendo saltar a un electrón en dicho orbital a un nivel más alto de energía). Para una masa en reposo m0 igual a cero (y por lo tanto una energía en reposo E0 igual a cero), la relación relativista entre momentum y energía nos conduce a: E² = p²c² + E0² E = pc

Se destaca aquí que esta relación es válida únicamente para un fotón, no para una partícula material. PROBLEMA: Calcular la cantidad de movimiento de un electrón cuya velocidad es 0.8c, expresada en unidades MeV/c. La cantidad de movimiento relativista está dada por p = γm0u. Entonces, con unas manipulaciones simples y usando el resultado anterior de m0c² = 0.511 Mev para el electrón: p = γm0u = γm0c² (u/c²) p = (1 /√1 - u²/c²) m0c² (u/c²) p = (1 /√1 - (0.8)²) (0.511 MeV) (0.8/c) p = 0.681 MeV/c PROBLEMA: Calcular el momentum para un electrón de 1 MeV dando la respuesta en unidades MeV/c. E² = p²c² + E0² = (pc)² + E0² Se debe entender que la energía de 1 MeV es una energía cinética K. Entonces al electrón con energía cinética K = 1 MeV hay que sumarle su energía en reposo para obtener su energía total E ya que E = K + E0. Entonces: (1 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 Mev)² p = 1.42 MeV/c PROBLEMA: Calcular la energía cinética de un electrón cuyo momentum es de 3 MeV/c. E² = p²c² + E0² (K + E0)² = (pc)² + E0²

(K + 0.511 MeV)² = [(3 Mev/c) c]² + (0.511 MeV)² K = √9.261 MeV² - 0.511 MeV = 2.53 MeV

PROBLEMA: Demostrar que la velocidad relativista de una partícula está dada por u = pc²/E. Por un lado tenemos la expresión para el momentum relativista p = γm0u en donde el momentum pes una cantidad vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad u de la partícula; y por el otro tenemos que la energía total E de la partícula es igual a γm0c². Entonces γm0 = E/c² y: p = (E/c²) u u = pc²/E PROBLEMA: Demostrar que la rapidez de una partícula está dada por u = dE/dp. Por un lado, de la definición de la magnitud del momentum relativístico, tenemos: p = γm0u Tomando diferenciales sobre lo anterior: dp = d(γm0u) = m0d(γu) = m0 (γdu + udγ) La expresión simplificada para ya la obtuvimos anteriormente, y es: d(γm0u) = m0 {1 - u²/c²}-3/2 du Por otro lado tenemos: E = γm0c² Tomando diferenciales: dE = d(γm0c²) = m0c² dγ La expresión para dγ también la obtuvimos ya con anterioridad, y es: dγ = (u/c²) {1 - u²/c²}-3/2 du Entonces:

dE = m0c² (u/c²) {1 - u²/c²}-3/2 du dE = (m0u) {1 - u²/c²}-3/2 du Dividiendo dE entre dp obtenemos: dE/dp = {(m0u) {1 - u²/c²}-3/2 du} / { m0 {1 - u²/c²}-3/2 du} dE/dp = u En este problema hablamos de la rapidez de una partícula, en contraste con el problema anterior en el cual se habló acerca de la velocidad de la partícula, enfatizando el hecho de que la rapidez es una cantidad a la cual no se le asigna dirección y sentido en oposición a la velocidad que se representa vectorialmente por tener dirección y sentido. Así decimos que un carro tiene una rapidez u de 30 kilómetros por hora sin especificar dirección, pero el mismo carro tiene una velocidad u de 30 kilómetros por hora en el sentido Norte a Sur. La misma diferencia sutil manejada en la física clásica se sigue manejando en la Teoría de la Relatividad.

14. FÍSICA ATÓMICA RELATIVISTA La ecuación E = mc² que nos dá la equivalencia relativista entre la materia y la energía mostró a la humanidad su enorme poder cuando el 16 de julio de 1945 cerca de Alamogordo, Nuevo México, el hombre detonó por vez primera una bomba basada no en el uso de la pólvora o en la nitroglicerina sino en la fuerza del átomo:

Aunque hay quienes argumentan que la bomba atómica no es en realidad una transformación de materia en energía, que sólo es una conversión de una energía potencial de ligadura almacenada en los átomos que es convertida en otro tipo de energía, la ecuación relativista es esencial para poder describir otros procesos en los cuales hay una transformación directa de materia en energía y, algo más espectacular aún, la transformación de energía en materia. Antes de proseguir, haremos un alto breve para repasar otros hechos que no vienen de la Teoría de la Relatividad sino de otra rama de la física moderna, la Mecánica Cuántica. De acuerdo con la Mecánica Cuántica, dependiendo del experimento que se esté llevando a cabo una misma partícula puede comportarse como una partícula material o como una onda de materia. Esta dualidad onda-partícula fue enunciada por vez primera por Louis de Broglie en 1924. Del mismo modo, y dependiendo del experimento que se esté llevando, un haz luminoso puede comportarse como una onda electromagnética o como si estuviese formado de partículas discretas llamadas fotones. La energía de cada una de estas partículas está dada por la relación: E = hf

en donde E es la energía del fotón individual, f es la frecuencia de la luz que el fotón lleva consigo, y hes una constante conocida como la constante de Planck cuyo valor experimental es el siguiente en dos sistemas de unidades distintos: h = 6.626·10-34 Joule·segundo h = 4.136·10-15 eV·segundo La constante de Planck es una constante física de carácter universal tan fundamental para la Mecánica Cuántica como la constante de gravitación universal G lo es para cuantificar la atracción de la gravedad. Para abreviar cálculos, y utilizando la definición del Angstrom como medida de longitud: 1 Angstrom = 1 Å = 10-8 centímetro = 10-10 metro es frecuente utilizar la expresión siguiente: hc = (4.136·10-15 eV·segundo)(3·108 metros/segundo)(1 Å/10-10 metros) hc = 12.4 KeV·Å Puesto que los fotones viajan a la velocidad de la luz, su masa en reposo de acuerdo con la Teoría de la Relatividad debe ser cero y por lo tanto su energía debe ser totalmente una energía de movimiento (energía cinética). Para una masa en reposo de cero, m0 = 0, la relación relativista entre momentum y energía: E² = (pc)² + E0 se convierte en E = pc en virtud de que E0 = m0c² = 0, lo cual nos permite obtener otra relación importante, la que nos proporciona el momentum del fotón: E = hf = pc p = hf/c

p = h/λ Esta última relación inspeccionada en detalle por vez primera tal vez pueda dejar un poco perplejos a quienes crecieron acostumbrados a la idea Newtoniana del momentum definido como la masa de una partícula multiplicada por su velocidad, ya que si la masa (en reposo) de una partícula es cero la definición parecería inaplicable. Sin embargo, el fotón aunque tenga una masa de reposo igual a cero definitivamente tiene una energía cinética de movimiento, y es con esta energía cinética de movimiento hacia la cual extendemos nuestro concepto de momentum. PROBLEMA: Calcular la longitud de onda y la frecuencia de un fotón de 2.0 KeV. E = pc = (h/λ) c = (hc)/λ λ = (hc)/E = 12.4 KeV·Å/2.0 KeV = 6.2 Å

f = c/λ = (3·108 metros/segundo)/(6.2·10-10 metros) = 4.84·1017 Hertz La unidad derivada para el momentum mv está dada como 1 Kilogramo·metro/segundo. Sin embargo, en cálculos relativistas es frecuente utilizar las unidades de MeV/c para el momentum, lo cual proviene de la expresión relativista que relaciona la energía y el momentum: E² = p²c² + E0²

PROBLEMA: Calcular el momentum de un fotón de 20 MeV. p = E/c = (20 MeV)/c = 20 MeV/c A la hora de calcular el momentum para una partícula, es muy importante tener en cuenta si se trata de un fotón o de una partícula material, porque en este último caso es necesario utilizar la expresión relativista completa en virtud de que la energía en reposo de una partícula material no es cero. PROBLEMA: Calcular el momentum para un electrón de 2 MeV.

En este caso, se trata de una partícula material, un electrón, cuya masa en reposo ya habíamos visto en una entrada anterior que es igual a 0.511 MeV. Entonces: E² = p²c² + E0² (K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)² ( 2 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 MeV)² p = 6.305 -.2611 = 2.458 MeV/c PROBLEMA: Calcúlese la energía cinética de un neutrón cuyo momentum es de 200 MeV/c. Tómese la masa en reposo del neutrón como 939.55 MeV. (K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)² (K + 939.55 MeV)² = (200 MeV/c · c)² + (939.55 MeV)² K = 21.05 MeV Como resultado de la equivalencia E = mc² es enteramente posible (y de hecho ocurre) que al impactar una partícula sub-atómica con otra haya una conversión de buena parte de la energía cinética en energía radiante produciéndose un fotón en donde antes no lo había. Todo es cuestión de que los balances de energía antes y después de la colisión lo permitan. PROBLEMA: Calcúlese la frecuencia de un fotón producido cuando un electrón de 20 KeV queda en reposo al chocar con un núcleo atómico pesado, suponiendo que toda la energía que llevaba el electrón va a dar al fotón. ¿Se conserva el momentum en este proceso? Supondremos que el núcleo pesado queda igual tanto antes como después del choque, y por lo tanto su masa en reposo sigue siendo la misma y puede ser sacada fuera de los cálculos al permanecer invariable. Si un electrón va en camino para chocar con un núcleo pesado, entonces el balance total de la energía total antes del choque (no tomando en cuenta la masa en reposo del núcleo pesado) es igual a la energía cinética relativista K que lleva el electrón sumada a la masa en reposo del electrón de 0.511 MeV. La energía cinética después del choque será igual a la energía del fotón creado, o sea E = hf, sumada a la energía en reposo del electrón el cual al quedar en reposo pierde toda la energía cinética que llevaba entregándola para la creación del fotón. Como el principio de

la conservación de la energía exige que la energía total antes del choque sea igual a la energía total después del choque, entonces tenemos que: Einicial = Efinal K + m0c² = hf + m0c² f = K/h = 20·103 eV/4.136·10-15 eV·segundo f = 4.836·1018 ciclos/segundo = 4.836·1018 Hertz El momentum del electrón antes del choque lo encontramos a partir de la ecuación relativista: (K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)² (0.o20 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 MeV)² pinicial = 0.144 MeV/c Por otro lado, si toda la energía que llevaba el electrón va a dar a la producción del fotón, entonces el fotón tendrá una energía de 20 KeV y su momentum será: p = E/ c pfinal = 20 KeV/c Aparentemente, tenemos aquí un caso en el que el momentum no se conserva como resultado de la colisión, ya que del momentum inicial que teníamos de 0.144 MeV/c ahora sólo nos queda un momentum de 20 KeV/c. Esta diferencia se explica por el hecho de que el momentum restante es absorbido por el núcleo que detiene al electrón. Uno de los primeros resultados extraordinarios de la unión entre la Teoría Especial de la Relatividad y la Mecánica Cuántica fue logrado por el físico teórico inglés Paul Adrian Maurice Dirac en 1928: la predicción de la existencia de la antimateria, específicamente la predicción de la existencia de una partícula bautizada como el positrón (la antipartícula del electrón), una predicción que fue confirmada experimentalmente cuatro años después por Carl Anderson en 1932, el concepto de la antimateria es algo que llegó a nosotros para quedarse. Hay varias formas en las cuales se puede producir experimentalmente en el laboratorio un positrón, y una de ellas es precisamente mediante la conversión relativista de energía pura en partículas de materia. A continuación tenemos una ilustración del principal y mejor conocido proceso mediante el cual un

fotón luminoso, energía radiante pura, se convierte en dos partículas de materia:

En este proceso, un fotón de alta energía pasa cerca del núcleo de un átomo, y ayudado con su interacción con el campo eléctrico intenso que hay en la cercanía del núcleo del átomo que absorbe en buena parte el momentum del fotón, el fotón se transforma en dos partículas de materia, un electrón y un positrón (el positrón es una partícula idéntica al electrón pero con carga electrica positiva en lugar de negativa, de allí su nombre). Aunque la tendencia de dos cargas eléctricas de signo contrario es atraerse la una a la otra, en el diagrama tenemos la influencia de un campo magnético exterior aplicado al conjunto, el cual hace que el electrón inicie una trayectoria circular en un sentido (en el sentido de las manecillas del reloj) mientras que el positrón la inicia en el sentido opuesto (en sentido contrario a las manecillas del reloj). Visto más de cerca el proceso, si imaginamos al núcleo del átomo (con carga eléctrica positiva) cubierto por varias capas de electrones (cargas eléctricas negativas) en torno suyo, entonces para esta interacción mediante la cual la energía radiante se transforma en materia en materia el fotón debe atravesar esas capas de electrones para llegar a la cercanía del núcleo del átomo, lo cual puede hacer sin problema alguno porque un fotón de luz es eléctricamente neutro. En pocas palabras, tenemos una situación como la que se muestra a continuación (obsérvese con cuidado que el fotón no es uno que choca de frente con el núcleo del átomo):

El par de partículas producido ha sido identificado con letras rojas para no confundirlo con los electrones que están orbitando como constituyentes del átomo, con la letra e- simbolizando al electrón del par con su carga negativa y con la letra e+ simbolizando al positrón del par con su carga positiva. De acuerdo con el principio de la conservación de la masa-energía (ya no estamos hablando del principio de la conservación de la materia y el principio de la conservación de la energía como cosas separadas, sino como manifestaciones distintas de una misma cosa), para que se puedan producir dos partículas como el electrón y el positrón a partir de un fotón se requiere que la energía del fotón seaigual por lo menos a la masa en reposo de las dos partículas, ya que de lo contrario no podrá haber ninguna conversión en energía en materia bajo ningún tipo de circunstancia. Puesto que en la fórmula relativista de equivalencia entre masa y energía tenemos como factor multiplicativo el cuadrado de la velocidad de la luz, se requiere una gran cantidad de energía para poder producir tan sólo una muy pequeña cantidad de masa. Esta es la razón por la cual los fotones de la luz visible tienen una energía insuficiente para convertirse bajo condiciones normales en partículas de materia. Ni siquiera los fotones de rayos-X tiene la energía suficiente para transmutarse en partículas atómicas ligeras. Se requiere de fotones de muy alta energía conocidos como rayos-gamma para que estos puedan producir partículas de materia. Y las partículas de materia que puedan ser producidas a partir de un fotón tienen que ser partículas sumamente ligeras, ya que la creación de una partícula como un protón o un neutrón requiere de

una cantidad extremadamente grande de energía con todo y que estamos hablando de pequeñísimas partículas atómicas. Si la masa en reposo del electrón, medida en unidades MeV, es de 0.511 MeV, entonces el fotón debe tener por lo menos una energía de 1.022 MeV para poder producir las dos partículas (el electrón y su contraparte el positrón) en reposo. Y puesto que la energía de un fotón depende en forma directa de la frecuencia de la onda electromagnética que representa, podemos hablar de una frecuencia de umbral (threshold frequency) debajo de la cual un fotón no nos podrá producir un par electrón-positrón, o bien de una longitud de onda umbral arriba de la cual la creación del par no será posible. PROBLEMA: Determinar la longitud de onda umbral para la creación de un par electrón-positrón. Puesto que el fotón se mueve a la velocidad de la luz, su longitud de onda de umbral λu y su frecuencia de umbral fu están relacionadas como: c = fu · λ u Y puesto que la energía del fotón individual está dada por E = hf, tenemos entonces: E = h · c / λu λu = hc/E λu = (4.136·10-15 eV·segundo)(3·108 metros/segundo)/(1.022·106 eV) λu = 0.0121 Angstroms Pero no sólo la masa-energía debe ser conservada antes y después de la transformación de la energía en materia, también se requiere la conservación del momentum. Como lo vimos arriba, el momentum del fotón está dado por p = h/λ, y esta es una cantidad que también tiene que ser conservada. En el umbral, toda la energía del fotón se nos va en la producción de un electrón y un positrón con energía cinética cero, pero al estar en reposo el momentum inicial del fotón parecería haberse esfumado hacia la nada, lo cual no puede ser. Esta es la razón por la cual se requiere de la cercanía del núcleo de un átomo pesado, en virtud de que para que el momentum se pueda conservar se requiere de algo que pueda absorber el momentum del fotón inicial; esto es precisamente lo que hace el núcleo del átomo, actuar como una especie de amortiguador que absorbe el momentum que el fotón traía consigo. Puesto que el núcleo del átomo es miles de veces más masivo que el electrón y el positrón juntos, puede absorber una gran cantidad de momentum sin necesidad de tener que absorber mucha energía. Esta es la razón por la cual la producción de pares es observada cuando rayos gamma de alta energía penetran un sólido en

donde hay un núcleo atómico de alta densidad. El requerimiento de la cercanía del núcleo para lograr la conservación del momentum nos indica que la producción de pares no puede darse en el vacío. El requerimiento de la conservación del momentum no es el único argumento que puede esgrimirse para negar la posibilidad de que la producción de pares pueda darse en el vacío. También podemos recurrir a argumentos de índole puramente relativista. PROBLEMA: Demostrar, usando únicamente argumentos relativistas, que la producción espontánea de pares de partículas a raíz de un fotón de luz no puede darse en el espacio vacío. La producción de un par de partículas debe ser considerada, hablando relativísticamente, como unainvariante. Si un observador encuentra que se ha producido un par de partículas entonces cualquier otro observador que esté en moviento con respecto al primero también encontrará que se ha producido ese par de partículas. Sin embargo, como ya lo vimos en la entrada correspondiente al efecto Doppler relativista, la longitud de onda (o bien la frecuencia) de un fotón difiere de un observador a otro, esto es precisamente lo que dá origen al desplazamiento Doppler. Siempre es posible encontrar un observador que se esté moviendo con una velocidad y dirección tales que la longitud de onda de un fotón dado esté por encima de la longitud de umbral mínima necesaria para la creación de un par de partículas. En el problema resuelto arriba, esta longitud de onda resultó ser igual a 0.0121 Angstroms. Si el observador se está moviendo con respecto a un fotón en tal forma que la longitud de onda del fotón es de unos 0.5 Angstroms, para este observador no será posible que el fotón pueda convertirse en un electrón y en un positrón puesto que no tiene la suficiente energía para ello. Puesto que este observador encuentra que la producción de pares no es posible en el espacio vacío, cualquier otro observador encontrará también que es imposible la producción de un par en un espacio vacío. Se requiere forzosamente de la cercanía de un núcleo atómico pesado para que en la interacción del fotón con el mismo se reúnan las condiciones necesarias para la creación del par. La cercanía del contenido energético del campo eléctrico del núcleo es lo que compensa por el movimiento relativo que pueda tener otro observador que detecta un corrimiento Doppler que disminuye el contenido energético del fotón, ya que al ocurrir tal cosa aumenta la velocidad del núcleo con respecto al observador en movimiento y con ello aumenta el núcleo su contenido energético relativista total con respecto a dicho observador. PROBLEMA: Un fotón de longitud de onda 0.00030 Å produce un par electrón-positrón en la vecindad de un núcleo pesado. Calcular la energía cinética de cada una de las partículas si la energía cinética del positrón es el doble de la energía cinética del electrón. Del principio de la conservación de la energía tenemos: Einicial = Efinal

La energía inicial es la que posee el fotón, y la energía final es la que poseen el positrón y el electrón sumadas a sus masas en reposo que son 0.511 MeV para ambos. Designando a la energía cinética del positrón como K+ y a la energía cinética del protón como K- con lo cual K+ = 2K- , entonces: hf = Epositron + Eelectron hc/λ = K+ + m0c² + K- + m0c² (12.4 KeV·Å)/(0.0030 Å) = 2K- + 0.511 MeV + K- + 0.511 MeV 4.133 MeV = 3K- + 1.022 MeV K- = 1.037 MeV para el electrón K+ = 2K- = 2(1.037 MeV) = 2.074 MeV para el positrón Hemos visto cómo es posible que ocurra el espectacular proceso de conversión de energía en materia al llevarse a cabo experimentos con rayos gamma incidiendo sobre elementos con número atómico elevado (este proceso es uno de los procesos más efectivos de absorción de rayos gamma que se conocen). El fenómeno de aniquilación de partículas, el proceso inverso a la creación de pares de partículas, es el que que ocurre cuando juntamos materia con antimateria, y es el que estudiaremos a continuación. PROBLEMA: Demuéstrese que la aniquilación de un par electrón-positrón produciendo un solo fotón de luz no puede ocurrir. La aniquilación de un par de partículas produciendo un solo fotón constituiría una violación directa a los principios de conservación de la energía y el momentum. Si consideramos al electrón y al positrón inicialmente en reposo, el momentum inicial debe ser cero, y entonces tras la aniquilación el momentum final debe seguir siendo cero. Pero si se produce un solo fotón, el cual lleva consigo una cantidad definitiva de momentum p = E/c, no habría un fotón viajando en sentido opuesto cancelando con una cantidad igual de momentum negativo el momentum del otro fotón. PROBLEMA: Calcúlense las energías de los dos fotones que se producen cuando ocurre una aniquilación entre un electrón y un positrón inicialmente juntos en reposo. En virtud de que el momentum inicial del par electrón-positrón antes de la aniquilación es cero por estar ambas partículas en reposo, el momentum final después de la aniquilación también debe

ser cero, lo cual implica que los dos fotones deben salir disparados en direcciones contrarias y deben tener de la misma energía. La energía de cada partícula del par es 0.511 MeV, de modo tal que el par combinado tiene una energía en reposo igual a 1.022 MeV. Al producirse los dos fotones a partir de esta energía previa de 1.022 MeV, cada fotón se lleva la mitad de dicha energía. Entonces las energías de los dos fotones es de 0.511 MeV. PROBLEMA: Un electrón y un positrón llevan a cabo un choque frontal, y la aniquilación de pares que dá como resultado la creación de dos fotones de 1.0 MeV cada uno viajando en sentidos opuestos. ¿Cuáles eran las energías cinéticas del electrón y el positrón antes del choque? Puesto que los dos fotones salen disparados en sentidos opuestos y tienen la misma energía E γ de 1.0 MeV, el momentum final después de haberse llevado a cabo la aniquilación del par debe ser cero. Esto a la vez implica que el electrón y el positrón han de haber tenido energías cinéticas K+ y K- iguales antes del choque. Haciendo el balance de la energía antes y después del choque e igualando en virtud del principio de la conservación de la energía, tenemos lo siguiente: K+ + m0c² + K- + m0c² = Eγ + Eγ 2K + 2m0c² = 2Eγ 2K + 2(0.511 MeV) = 2 (1.0 MeV) Eγ = 0.489 MeV PROBLEMA: Después de una aniquilación de un par en reposo, se encuentra que se producen tres fotones. ¿Cuál es la energía del tercer fotón, si los otros dos fotones producidos tienen energías de 0.10 MeV y 0.20 MeV? Aplicando el principio de la conservación de energía al par inicialmente en reposo (con energía cinética K igual a cero para ambas partículas del par): Einicial = Efinal m0c² + m0c² = Efoton-1 + Efoton-2 + Efoton-3 0.511 MeV + 0.511 MeV = 0.1 MeV + 0.2 MeV + Efoton-3 Efoton-3 = 0.722 MeV PROBLEMA: ¿Cuál es la cantidad máxima de positrones que puede producir un fotón de 100 MeV?

La cantidad máxima de positrones que pueda producir un fotón de 100 MeV tendrá lugar cuando todos los pares de partículas sean partículas en reposo, y cada par que incluye un positrón tiene una energía en reposo igual al doble de cada partícula del par, o sea igual a 2(0.511 MeV) = 1.022 MeV. Entonces la cantidad máxima de positrones que pueda producirse será igual a: 100 MeV / 1.022 MeV = 97 positrones En todo lo que hemos estudiado, la equivalencia E = mc² es una fórmula indispensable para poder explicar en el análisis de fenómenos atómicos el destino de materia que aparece o desaparece aparentemente de la nada al igual que energía que aparece o desaparece aparentemente de la nada. Si Einstein no hubiera obtenido dicha fórmula a partir de los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad, lo más seguro es que al ir avanzando la física atómica y nuclear dicha fórmula se habría tenido que deducir empíricamente, a reserva de que algún teórico explicase su verdadero significado. Es posible que tengamos en estos momentos fórmulas a la mano detrás de las cuales hay mucha filosofía de fondo y de la cual ni siquiera nos estamos dando cuenta. Puesto que las expresiones clásicas (no-relativistas) son más sencillas de utilizar que las expresiones relativistas, surge la interrogante sobre aquellos casos en los cuales sea válido utilizar con un buen grado de aproximación las expresiones clásicas en lugar de las expresiones relativistas, sabiendo de antemano que conforme el factor γ se acerca a la unidad (γ→1) las fórmulas relativistas se reducen a sus contrapartes clásicas. De la relación entre la energía cinética relativista K, la energía total E y la energía en reposo m0c²: K = E - E0 K = γm0c² - m0c² tenemos que γ es igual a: γ = 1+ (K/m0c²) Aquí vemos que cuando la energía cinética K es mucho menor que la energía en reposo m 0c² (K « m0c²) entonces γ se acerca a la unidad y los resultados clásicos diferirán muy poco de los resultados relativistas. Entonces podemos utilizar la expresión clásica que nos relaciona a la energía cinética K de una masa m con su velocidad u: K ≈ ½m 0u² Sin embargo, si la energía cinética K es de un orden de magnitud comparable con la energía en reposo m0c² (K ≈ m 0c²), entonces no podemos utilizar la aproximación señalada, y de hecho no

podemos utilizar ninguna aproximación, tenemos que utilizar las relaciones relativistas exactas. Del otro extremo, si la energía cinética K es mucho mayor que la energía en reposo m 0c² (K » m0c²) entonces podemos utilizar la expresión E² = p²c² + E0² para obtener una aproximación. Sacando raíz cuadrada de ambos miembros: E = [p²c² + E0²]½ E = pc [1 + E0²/p²c²]½ Usando la expansión binomial tenemos entonces: E = pc [1 + (½)(E0²/p²c²) + ...] Entonces para energías cinéticas tales que la energía cinética K es mucho mayor que la masa en reposo m0c², algo que conocemos como energías ultrarelativistas (posiblemente aquí la semántica de la palabra sea desfortunada), podemos utilizar la aproximación: E ≈ pc A continuación se hará un breve resumen de las aproximaciones que pueden utilizarse, según sea el caso: (1) Para K « m0c²: Cuando la energía cinética K de una partícula es suficientemente menor que la energía que corresponde a su masa en reposo, podemos utilizar la expresión clásica que nos relaciona su energía cinética K con su velocidad u: K ≈ ½m 0u² (2) Para K ≈ m0c²: Cuando la energía cinética K de una partícula es comparable a la energía de su energía en reposo, no podemos recurrir a ninguna aproximación. (3) Para K » m0c²: Cuando la energía cinética K de una partícula es suficientemente mayor que la energía que corresponde a su masa en reposo, podemos utilizar la aproximación ultrarelativista: E ≈ pc

PROBLEMA: Calcúlese usando las aproximaciones aplicables el momentum en unidades de MeV/c de (a) un electrón de 30 MeV y (b) un protón de 30 MeV. Calcúlense tras esto los valores exactos sin recurrir a aproximación alguna. Considérense las energías en reposo del electrón y del protón como 0.511 MeV y 938 MeV respectivamente. De la expresión: γ = 1+ (K/m0c²) podemos ver que para un electrón de 30 MeV: γ = 1+ (30 MeV/0.511 MeV) = 58.70 En este caso la energía cinética relativista K del electrón es casi sesenta veces mayor que su energía en reposo, y no podemos utilizar la aproximación clásica entre su energía cinética y su velocidad u. Pero podemos utilizar la aproximación para altas energías: E ≈ pc p = E/c p = (K + m0c²)/c p = (30 MeV + 0.511 MeV)/c = 30.511 MeV Por otro lado, para un protón de 30 MeV: γ = 1+ (K/m0c²) = = 1+ (30 MeV/938 MeV) = 1.03198 Puesto que γ ≈ 1, podemos utilizar la aproximación clásica para obtener la velocidad u de la partícula: K ≈ ½m 0u² 2K/(m0c²) ≈ (u/c)² (u/c)² ≈ 2(30 MeV)/938 MeV u/c ≈ 0.252

y vemos que el protón se está moviendo a la cuarta parte de la velocidad de la luz. Un valor aproximado del momentum es entonces: p = γm0u p = γm0c² · (u/c) /c p = (1.03198)(938 MeV)(0.252)/c p = 244 MeV/c Para el electrón determinaremos ahora su velocidad u sin recurrir a ninguna aproximación: γ = 1/√1 - u²/c² = 58.70 u = .9997097 c Con esto: p = γm0u = γm0c² · (u/c) /c = (58.70)(0.511 MeV)(0.9997097)/c p = 29.987 MeV/c Este valor compara favorablemente con el valor aproximado que habíamos obtenido de 30.511 MeV. Procederemos de una manera similar para obtener para el protón su velocidad u sin recurrir a ninguna aproximación: γ = 1/√1 - u²/c² = 1.03198 u = 0.247 c Por lo tanto: p = γm0u = γm0c² · (u/c) /c = (1.03198)(938 MeV)(0.247)/c p = 239.1 MeV/c

Este valor está debajo del valor aproximado de 244 MeV/c en un 2% que podemos considerar un error mínimo. PROBLEMA: Un electrón y un protón son acelerados cada uno en un acelerador de partículas a través de un potencial de 10 millones de voltios. Encontrar el momentum y la velocidad de cada una de estas partículas. En el caso del electrón, su energía en reposo de 0.511 MeV es unas veinte veces menor que los 10 MeV de energía cinética que adquiere en el ciclotrón, con lo cual: γ = 1+ (K/m0c²) = 1 + (10 MeV/0.511 MeV) γ = 20.57 Puesto que γ no tiene un valor cercano a la unidad, no podemos utilizar la aproximación clásica, pero podemos utilizar la aproximación ultrarelativista: p ≈ E/c p ≈ (K + m 0c²)/c p ≈ (10 MeV + 0.511 MeV)/c p ≈ 10.511 MeV/c Una vez obtenido el momentum del electrón, podemos obtener su velocidad utilizando la definición del momentum relativista: p = γm0u p = γ (m0c²) u/c² u/c = pc/γ(m0c²) u/c = (10.511 MeV/c · c)/(20.57)(0.511 MeV) u = 0.999974 c En el caso del protón, su energía en reposo dada en el problema anterior como 938 MeV es unas 93 veces mayor que los 10 MeV de energía cinética que adquiere en el ciclotrón, con lo cual:

γ = 1+ (K/m0c²) = 1 + (10 MeV/938 MeV) γ = 1.010 Teniendo un valor tan cercano a la unidad, esperamos que la aproximación clásica sea bastante buena: K ≈ ½m 0u² ½m0u² ≈ K u²/c² ≈ 2K/(m 0c²) (u/c)² ≈ 2(10 MeV)/(938 MeV) ∼ 0.02132 u/c ≈ 0.146 u ≈ 0.146 c El momentum puede ser calculado con la expresión relativista o con la expresión clásica. Calculado con la expresión relativista resulta ser: p = γm0u p = γ (m0c²) u/c² p = (1.010) (938 MeV) (0.146 c) / c² p = 138 MeV/c Y calculado con la expresión clásica que relaciona a la energía cinética K con el momentum p: K = ½ mu² = ½ m (p/m)² = p²/2m el momentum del protón resulta ser: p² = 2mK (pc)² = 2(mc²)K = 2(938 MeV) (10 MeV) = 18,760 MeV² p = 137 MeV/c

PROBLEMA: Determínese la intensidad del campo magnético B requerido para poder mantener en una órbita circular con un arco de radio de 2 metros un electrón con una energía de 20 MeV. En la entrada titulada “Dinámica relativista”, casi al final de la misma obtuvimos una fórmula para resolver este tipo de problemas, la cual nos relaciona el momentum relativista de la partícula con la carga eléctrica, la intensidad del campo magnético B y el radio R de la órbita: p = qBR Tenemos que obtener el momentum relativista a partir de la energía cinética proporcionada para el electrón. En este caso vemos que: γ = 1+ (K/m0c²) = 1 + (20 MeV/0.511 MeV) γ = 40.14 Puesto que la energía cinética relativista K del electrón es casi 40 veces mayor que su energía en reposo, no podemos utilizar la aproximación clásica entre su energía cinética y su velocidad u. Pero podemos utilizar la aproximación para altas energías: E ≈ pc p ≈ E/c p ≈ (K + m0c²)/c p ≈ (20 MeV + 0.511 MeV)/c ≈ 20.511 MeV/c Teniendo el momentum relativista, podemos recurrir a la fórmula (recuérdese que hay que dividir entre la velocidad de la luz c tomada aquí como 300,000 kilómetros por segundo, y que para la carga eléctrica utilizamos simplemente 1 electrón = 1 e para cancelar la parte de la unidad correspondiente dentro de la expresión MeV): B = p/qR B = (20.511 MeV/c)/[(1 e) (2 metros)] B = 0.0341 tesla

Puesto que 1 tesla es igual a 10,000 gauss, la respuesta la podemos expresar también en función de estas unidades: B = 341 gauss Estableceremos por completitud otra equivalencia que también es utilizada a menudo en el estudio de la física atómica y nuclear relativistas. Se trata de lo que llamaremos unidad de masa atómica unificada simbolizada como u. Para la definición de esta unidad, podemos recurrir al número de Avogadro que representa exactamente el número de átomos (o moléculas) que contiene un mol de una substancia (el científico italiano Amadeo Avogadro fue el primero que propuso que el volumen ocupado por un gas en un recipiente a cierta temperatura y presión mantenidas fijas es el mismo independientemente de la naturaleza del gas, de modo tal que un recipiente cerrado de unos 22.4 litros a temperatura ambiente y a una presión de una atmósfera contendrá la misma cantidad de moléculas de gas cloro que de gas oxígeno o de gas hidrógeno, aunque la masa contenida del gas variará según el gas): NA = 6.022 141 79 · 10 23 átomos (o moléculas) Para obtener la equivalencia de una unidad u, simplemente dividimos un gramo entre el número de Avogadro: 1 u = 1 gramo / 6.022 141 79 · 10 23 átomos 1 u = 1.660538783 · 10-24 gramo/átomo Formalmente, la unidad de masa atómica unificada u es definida como la doceava porción de la masa de un átomo neutral de carbono C12, con lo cual el carbono viene teniendo una masa atómica de 12 u (en un principio, la base unitaria para mediciones atómicas era definida simplemente como la masa de un átomo de hidrógeno, por ser el primer y más sencillo elemento en la tabla periódica, pero posteriormente fue re-definida como la dieciseisava porción de la masa de un átomo de oxígeno O16, hasta llegarse a la definición actual basada en el carbono-12 adoptada en 1961 por la International Union of Pure and Applied Physics, aunque en realidad las tres definiciones son equivalentes ya que todas se reducen aproximadamente a lo mismo, la masa de un átomo de hidrógeno). Puesto que un átomo de carbono C12 tiene una masa de 19.92 · 1027 Kilogramo, la doceava parte de dicha masa viene siendo: (19.92 · 10-27 Kilogramo)/12 = 1.66 · 10-27 Kilogramo = 1.66 · 10-24 gramo ≈ 1 u

Para cálculos breves, podemos utilizar simplemente 1 u ≈ 1.66 · 10-24 gramo ≈ 1.66 · 10 27 Kilogramo. Como ya se dijo, en realidad esta es simplemente la masa de un átomo de hidrógeno, aunque los formalismos de definición tiendan a obscurecer el hecho. Relativísticamente, de acuerdo con la relación E = mc² la energía equivalente de una unidad de masa unificada es: 1 u = 931.5 MeV PROBLEMA: Obtener el valor de una unidad de masa atómica unificada expresado en unidades MeV. Trabajaremos en el sistema MKS. El cuadrado de la velocidad de la luz sin usar la aproximación c = 3·108 metros/segundo es: c² = (299,792,458 metros/seg)² = 8.98755 · 1016 metros²/seg² El valor de una unidad u expresado en joules será entonces, de acuerdo con la relación relativista E = mc²: 1 u = 1.660538783 · 10-27 Kilogramo 1 u · c² = (1.660538783 · 10-27 Kilogramo)(8.98755 · 1016 metros²/seg²) 1 u · c² = 1.4924175 · 10-10 joule Usando el factor de conversión 1 MeV = 1.602 · 10-13 joule: 1 u · c² = (1.4924175 · 10-10 joule)/(1.602 · 10-13 joule/MeV) 1 u · c² = 931.59 MeV La unidad u no debe ser confundida con su ya obsoleta progenitora simbolizada como amu (atomic mass unit), aunque desafortunadamente muchos libros de texto continúan utilizándola dada su similitud con la unidad u. El concepto básico detrás de de la liberación de energía en los reactores y las bombas atómicas es laenergía de enlace. La energía de enlace es la energía que se libera (se pierde) cuando el núcleo atómico de un elemento es creado a partir de sus nucleones (protones y neutrones) constituyentes. Y es también la energía requerida para poder desensamblar el núcleo de un átomo

cualquiera en sus partículas elementales constituyentes. Por lo tanto, un núcleo atómico que viene siendo un sistema de partículas nucleares ligadas o sistema ligado está a un nivel energético inferior al de las partículas constituyentes separadas. Esto lo detectamos al sumar la masa total de los nucleones separados que van a formar un átomo comparándola con la masa total del átomo ya formado; al hacer tal cosa descubriremos que la suma de los constituyentes es menor que la masa total del átomo. La “masa ausente”, conocida como el defecto de masa, es por la relación E = mc² una medida de la energía de enlace del átomo que es liberada durante la formación de un núcleo a partir de los nucleones constituyentes. Entre mayor sea la energía de enlace por nucleón en el átomo tanto mayor será su estabilidad. Para poder calcular la energía de enlace (en MeV) de un átomo todo lo que tenemos que hacer es sumar la masa de los nucleones individuales y restar dicha masa de la masa experimentalmente medida del átomo, convirtiendo la “masa faltante” en su equivalente energético de acuerdo con la relación E = mc².

15. INVARIANTES Anteriormente, habíamos considerado problemas en los que dos acontecimientos (eventos) que no ocurrían simultáneamente (al mismo tiempo) para un observador eran simultáneos para otro, o problemas en los que dos acontecimientos diferentes tenían lugar en la misma posición para uno de los observadores, lo cual nos permitía hacer una simplificación del tipo t = t’ o una simplificación del tipo x = x’. Pero hay acontecimientos que no ocurren al mismo tiempo para dos observadores distintos y que tampoco se repiten en el mismo lugar en ninguna de las coordenadas espaciales. Sobre este tipo de acontecimientos aún podemos llevar a cabo un análisis definiendo matemáticamente una “distancia” entre dichos acontecimientos que incluya en una sola definición las diferencias de tiempo (temporales) y las diferencias de posición (espaciales). Armados con las transformaciones de Lorentz podemos, sin perder tiempo en los detalles de casos particulares, obtener resultados generales como el que logramos en respuesta al siguiente PROBLEMA: ¿Cuál será la forma en un marco de referencia S’ de un pulso esférico luminoso obtenido al hacer estallar un petardo en el marco de referencia S? En un sistema de coordenadas Cartesianas en tres dimensiones (x,y,z) puesto en el marco de referencia S, la ecuación de una esfera de radio r centrada en el origen estará dada por: x² + y² + z² = r² Si en el marco de referencia S hacemos estallar un petardo obteniendo con ello una esfera de luz en torno al petardo que actúa como el centro de dicha esfera, dicha esfera se irá expandiendo conforme avanza el tiempo, y el radio de la misma será r = ct. Entonces, para el pulso luminoso esférico en el marco de referencia S, tenemos: x² + y² + z² = c²t² La forma de dicho pulso esférico luminoso estará dada en el marco de referencia S’ por lo que dictan las transformaciones de Lorentz: x = γ(x’ - vt’) y = y’ z = z’ t = γ(t’ - Vx’/c²)

Substituyendo estas ecuaciones de transformación en la ecuación del pulso esférico luminoso, tras un poco de álgebra laboriosa obtenemos lo siguiente para el pulso esférico luminoso en el marco de referencia S’: (x’)² + (y’)² + (z’)² = c²(t’)² Pero esta es también la ecuación de una esfera luminosa dentro del marco de referencia S’. Un pulso esférico luminoso en un marco de referencia S tendrá también la misma forma esférica en otro marco de referencia S’ que se está moviendo a una velocidad V con respecto a S. El que la forma geométrica de un pulso esférico luminoso sea la misma independientemente del marco de referencia en el que estemos situados, invariante, nos hace concebir la posibilidad de que también pueda haber otras invariantes que no cambien de un marco de referencia a otro. Esto nos lleva al estudio de algo que en la Teoría Especial de la Relatividad se conoce como el intervalo. Por convención, el intervalo relativista entre dos eventos distintos A y B se define de la manera siguiente: Δs² = (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²

Δs² = (ctB - ctA)² - (xB - xA)² - (yB - yA)² - (zB - zA)² A continuación haremos un ejercicio llevando a cabo el cálculo del intervalo relativista entre dos eventos A y B. Para este ejemplo, las coordenadas cuatri-dimensionales del evento A serán: (ctA = 5.0 m, xA = 3.0 m, yA = 2 m, zA = 0.0 m ) Y para el evento b las coordenadas cuatri-dimensionales serán: (ctB = 6.0 m, xB = 3.0 m, yB = 2.5 m, zB = 0.0 m ) El intervalo relativista será entonces: Δs² = (ctB - ctA)² - (xB - xA)² - (yB - yA)² - (zB - zA)² Δs² = ( 6.0 m - 5.0 m)² - (3.0 m - 3.0 m)² -(2.5 m - 3.0 m)² - ( 0.0 m - 0.0 m)²

Δs² = 1.0 m² - 0.0 m² - (-0.5 m)² - 0.0 m² = 0.75 m² Podemos tomar la raíz cuadrada si así lo deseamos para obtener: Δs = 0.87 m. Sin embargo, esto no es lo que se acostumbra hacer en los estudios de la Teoría Especial de la Relatividad. El estudiante para el que todo esto es nuevo se debería de acostumbrar a considerar a Δs² como un solo símbolo y no como el cuadrado de una cantidad Δs. Puesto que Δs² puede ser una cantidad positiva o negativa, no es conveniente tomar la raíz cuadrada. Debe ser claro también que la notación Δs² NO significa Δ(s²), y por ello es preferible acostumbrarse a leerla como un solo símbolo. A continuación veremos un problema que nos confirmará que el intervalo es una cantidad invariante que no cambia al pasar de un marco de referencia a otro. PROBLEMA: Usando las transformaciones de Lorentz, encontrar las coordenadas (x,t) que corresponden en el sistema S’ al evento E1 cuyas coordenadas son (x’,t’) = (2,5) si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es V = 0.6 metros/segundo. A continuación, repetir los cálculos para el evento E2 cuyas coordenadas son (x,t) = (2,5). Hecho esto, comprobar que el intervalo Δs² entre los eventos E1 (x,t) y E2(x,t) tiene el mismo valor que el intervalo (Δs’)² entre los eventos E1 (x’,t’) y E2(x’,t’). En este caso: γ = 1/√1 - V²/c² = 1/√1 - (0.6 m/seg)²/(1 m/seg)² γ = 1/√1 - 0.36 = 1/√0.64 = 1/0.8 γ = 1.25 A continuación recurrimos a las transformaciones de Lorentz: x = γ(x’ + Vt’) x = (1.25) [2 + (0.6)(5)] = (1.25)(5) x = 6.25 t = γ(t’ + Vx’/c²)

t = (1.25) [5 + (0.6)(2)] t = 7.75 Entonces tenemos lo siguiente: E1 (x,t) = (6.25, 7.75) E1 (x’,t’) = (2, 5) Obsérvese que no usamos la comilla para denotar E1 (x’,t’) como E1’ porque se trata del mismo evento. Lo único que cambian son sus coordenadas al pasar de un marco de referencia a otro. Usando nuevamente las transformaciones de Lorentz, para el evento E2 cuyas coordenadas en S’ son (x’,t’) = (3, 10), sus coordenadas en S serán: x = (1.25) [3 + (0.6)(10) ] = 11.25 t = (1.25) [10 + (0.6)(3) ] = 14.75 El cálculo del intervalo Δs² entre los dos eventos E1 y E2 en el marco de referencia S arroja lo siguiente: Δs² = (cΔt)² - (Δx)² Δs² = (14.75 - 7-75)² - (11.25 -6.25)² Δs² = 24 Por otro lado, el cálculo del intervalo (Δs’)² entre los dos eventos E1 y E2 en el marco de referencia S’ arroja lo siguiente: (Δs’)² = (cΔt)² - (Δx)² (Δs’)² = (10 - 5)² - (3 - 2)²

(Δs’)² = 24

Con esto se concluye que: Δs² = (Δs’)² Se verifica aquí que el intervalo entre dos eventos es una invariante al pasar de un marco de referencia a otro. Para demostrar lo anterior en el caso general, sin recurrir a números, simplemente repetimos lo que hicimos en la resolución del problema numérico, usando símbolos. La diferencia entre dos eventos E1y E2 en S está dada por: Δs² = (cΔt)² - (Δx)² Δs² = c²(t2-t1)² - (x2 - x1)² Usamos ahora las transformaciones de Lorentz: t1 = γ(t’1 + Vx’1/c²) t2 = γ(t’2 + Vx’2/c²) x1 = γ(x’1 + Vt’1) x2 = γ(x’2 + Vt’2) Sustituyendo estas cuatro relaciones en la relación anterior y simplificando y reduciendo lo más posible, obtenemos: Δs² = (ct’2 - ct’1)² - (x’2 - x’1)²

Δs² = (cΔt’)² - (Δx’)² Δs² = (Δs’)² En todo intervalo relativístico identificamos dos partes claramente distiguibles, el componenteespacial: (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²

y el componente temporal: (cΔt)² Cuando en un intervalo relativista entre dos eventos predomina el componente temporal sobre el componente espacial, lo llamamos un intervalo tipo temporal (timelike). Cuando en un intervalo relativista predomina el componente espacial sobre el componente temporal, lo llamamos intervalo tipo espacial (spacelike). Y cuando en un intervalo relativista el componente espacial es igual al componente temporal (en cuyo caso el intervalo será igual a cero) se le conoce como intervalo tipo luminoso (lightlike) o intervalo nulo (null). PROBLEMA: Para los pares de eventos cuyas coordenadas (ct, x, y, z) en algún marco de referencia son las que se dan a continuación, clasificar la separación entre cada par de eventos como tipo temporal, tipo espacial, o tipo luminoso. a) (0,0,0,0) y (-1,1,0,0) b) (1,1,-1,0) y (-1,1,0,2) c) (6,0,1,0) y (5,0,1,0) d) (-1,1,-1,1) y (4,1,-1,6) a) (0 -(-1))² - (0 - 1)² - (0 - 0)² - (0 - 0)² = 1 - 1 Puesto que la parte temporal es igual a la parte espacial, la separación es tipo luminoso. b) (1 -(-1))² - (1 - 1)² - (-1 - 0)² - (0 - 2)² = 4 - 5 Puesto que la parte espacial es mayor que la parte temporal, la separación es tipo espacial. c) (6 -5)² - (0 - 0)² - (1 - 1)² - (0 - 0)² = 1 - 0 Puesto que la parte temporal es mayor que la parte espacial, la separación es tipo temporal. d) (-1 -4)² - (1 - 1)² - (-1 - (-1))² - (1 - 6)² = 25 - 25 Puesto que la parte temporal es igual a la parte espacial, la separación es tipo luminoso. Si prescindimos de los símbolos Δ por sobreentenderse y designamos a x²+y²+z² simplemente comor², el intervalo s² se puede simbolizar como: s² = (ct)² - r²

y en un diagrama espacio-tiempo tenemos entonces tres regiones distinguibles:

El origen en el diagrama espacio-tiempo (ct, r) = (0, 0) representa el “ahora”. En la región de color amarillo que representa el “futuro” que le espera al observador predomina el componente temporal sobre el componente espacial, con lo cual s² siempre es mayor que cero (positivo) y por lo tanto es una región de intervalos tipo temporal (timelike). En la región de color ciano que representa el “pasado” que recorrió el observador también predomina el componente temporal sobre el componente espacial, con lo cual s² siempre es mayor que cero (positivo) y por lo tanto también es una región de intervalos tipo temporal (timelike). En las líneas que delimitan al cono de luz la componente temporal es igual a la componente espacial con lo cual s² = 0, y es aquí en donde tenemos a los intervalos tipo luminoso que involucran rayos de luz. Y fuera de todo esto tenemos a los intervalos en donde el componente espacial es mayor que el componente temporal con lo cual s² es menor que cero (negativo) siendo por lo tanto la región de intervalos tipo espacial (spacelike). La definición que se ha dado arriba para el intervalo relativista no es universal. Aunque es muy utilizada, muchos otros textos lo definen usando una convención inversa de signos: Δs² = - (cΔt)² + (Δx)² + (Δy)² + (Δz)² De cualquier manera, las definiciones que se han dado arriba para el intervalo tipo espacial, el intervalo tipo temporal, y el intervalo tipo luminoso, no cambian en lo absoluto, ya que en dichas

definiciones lo que cuenta es la predominancia de un componente sobre el otro. Sin embargo, es necesario hacer esta aclaración porque mientras que en textos sobre la relatividad como el de David W. Hogg el intervalo es considerado como un intervalo tipo espacial si Δs² es menor que cero (negativo), en otros libros como el de Kip Thorne la situación es al revés y el intervalo es considerado como un intervalo tipo espacial si Δs² es mayor que cero (positivo), siendo la diferencia ocasionada por la forma en la cual se ha definido a Δs². Al tratar sobre el tema de “Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski” en donde estudiamos la Teoría Especial de la Relatividad desde una perspectiva geométrica, había quedado un asunto pendiente, el asunto de graduar o calibrar tanto los ejes coordenados del observador en reposo O como del observador en movimiento O de modo tal que los diagramas espacio-tiempo se pudieran utilizar para una resolución de problemas un poco más cuantitativa que cualitativa. Esto lo podemos llevar a cabo, también geométricamente, utilizando lo que se conoce como la hipérbola invariante. Primero que nada, haremos un repaso de lo que es la hipérbola de acuerdo con la Geometría Analítica. Una hipérbola es el lugar de los puntos tales que la diferencia de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos es constante. La hipérbola está dada por una ecuación como la siguiente: y² - x² = C² en donde C es una constante numérica y cuya gráfica tiene el siguiente aspecto para C = 1:

Sin necesidad de tener que hacer cálculos numéricos, tal como lo hacían los griegos en la antigüedad (los cuales no conocían el álgebra y mucho menos la geometría analítica) podemos construír geométricamente la hipérbola mostrada arriba con un simple compás con el procedimiento que será dado a continuación. Primero localizamos sobre el eje-y dos puntos A y B que estén ubicados ambos a una distancia de 2 unidades del origen, o sea en los puntos A(0,2) y B(0,-2):

A continuación, empezamos a trazar una curva de modo tal que para cualquier punto P de la curva

la diferencia entre la distancia del punto P al punto A (PA) y del punto P al punto B (PB) sea igual a una constante de 2 unidades, o sea: PB - PA = 2

Si continuamos adelante con nuestro procedimiento de construcción, iremos obteniendo una curva como la siguiente:

Aplicando el mismo procedimiento podemos construír la parte correspondiente al lado izquierdo de la curva. Una vez que hemos completado la construcción de la curva superior, podemos llevar a

cabo la construcción de la parte inferior:

Para la curva inferior tenemos: PA - PB = 2 Es importante destacar que una hipérbola en realidad son dos curvas, las curvas que tenemos en el diagrama de arriba. En sus extremos, ambas curvas casi toman la forma de líneas rectas, conocidas como las asíntotas. Hay también otra hipérbola, la cual está dada por la siguiente ecuación: x² - y² = C² y cuya gráfica es la siguiente (el procedimiento de construcción es el mismo que el anterior):

Si reescribimos la ecuación de la hipérbola y² - x² = C² hacemos el siguiente cambio de notación: (cΔt)² - (Δx)² = Δs² Δs² = (cΔt)² - (Δx)² esto lo reconocemos inmediatamente como un intervalo relativista. El intervalo no es solo una invariante de un marco de referencia a otro. Graficado sobre un diagrama espacio-tiempo resulta ser una hipérbola equilátera, conocida como la hipérbola invariante, la cual podemos trazar directamente sobre el diagrama espacio-tiempo. El hecho de que toda la curva hiperbólica represente una invariante de un marco de referencia a otro nos permite llevar a cabo algo que había quedado pendiente en la entrada “Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski” en la construcción del diagrama espacio-tiempo: la calibración de los ejes de las coordenadas (x’,t’). Teniendo ya graduados con divisiones iguales los ejes horizontal y vertical del diagrama espacio-tiempo correspondiente al observador estacionario O en el marco de referencia S, nos basta con construír hipérbolas para llevar las graduaciones respectivas a los dos ejes coordenados del observador O’. De este modo, en el siguiente diagrama, la graduación del punto 1 es llevada al punto 1’ del marco de referencia de O’, y es llevada al punto 1’’ del marco de referencia del observador O’’ que se mueve a una velocidad aún más cercana a la velocidad de

la luz, y así sucesivamente:

De este modo así es como llegamos a tener la siguiente graduación de ejes:

A continuación tenemos la siguiente hipérbola invariante sobre la cual se han llevado a cabo algunos cálculos numéricos sobre el intervalo relativista AB para un objeto que se desplaza del punto B al punto A:

Y a continuación tenemos un ejemplo de una serie completa de hipérbolas equiláteras que se han construído sobre escalas graduadas:

Estamos ahora en una posición que nos permite explicar la naturaleza del intervalo relativista como una invariante. Cuando dos naves espaciales pasan la una frente a la otra moviéndose a gran velocidad en direcciones contrarias, los viajeros de cada nave verán ciertos cambios en la apariencia de la otra nave así como cambios en el comportamiento de los relojes de la otra nave. Esto se debe a que el espacio y el tiempo no son absolutos que tengan una existencia independiente el uno del otro. Son, por así decirlo, proyecciones de sombras de un objeto cuatridimensional, del mismo modo que la sombra de un cubo nos muestra únicamente una imagen en dos dimensiones de algo que en realidad tiene una existencia en tres dimensiones:

Si vemos un invernadero por arriba, por el frente, y por uno de sus lados:

resulta obvio que mientras que la vista desde arriba parece mostrarnos un objeto rectangular delgado, al movernos hacia abajo la vista de lado parece mostrarnos un objeto menos rectangular, menos delgado. El objeto en sí no cambia de forma ni de tamaño, lo único que cambia es la proyección de su sombra hacia un plano de dos dimensiones. De la misma manera, en relatividad lo que un observador aprecia es un objeto de cuatro dimensiones, como en el caso de los viajeros en las dos naves espaciales, los cuales ven proyecciones tri-dimensionales diferentes de un mismo objeto dependiendo de su movimiento relativo en relación a dicho objeto. En algunos casos, la proyección de la sombra muestra más de tiempo que de espacio, y en otros casos muestra más de espacio que de tiempo. Los cambios que un viajero en una de las naves observa en las dimensiones de espacio y de tiempo de la otra nave pueden ser explicados como una especie de “rotación” en el espacio-tiempo, la cual ocasiona que se alteren las proyecciones de las sombras arrojadas por el espacio y el tiempo. Esto es precisamente lo que tenía en mente Hermann Minkowski, el creador de los diagramas de espacio-tiempo, cuando señaló el 21 de septiembre de 1908 en su discurso de inauguración de la 80avareunión de la Asamblea General Alemana de científicos naturales y físicos: “Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. De aquí en delante, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse como meras sombras, y tan sólo una unión de ambos puede preservar una realidad independiente”. Y esta idea la podemos ver reflejada claramente en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski que muestra el intervalo entre dos eventos A y B:

En este diagrama espacio-tiempo tenemos el privilegio de ver un intervalo cuatridimensional ABcuya sombra proyectada sobre el espacio del observador O en el eje X (de color verde) tiene una magnitud diferente de su sombra proyectada sobre el espacio del observador O’ en el eje X’ (de color ciano), y cuya sombra proyectada sobre el tiempo del observador O en el eje ct (de color verde) tiene una magnitud diferente de su sombra proyectada sobre el tiempo del observador O en el eje ct’ (de color ciano), pero nosotros que lo estamos viendo “desde arriba” lo vemos tal como es. Lo importante a captar aquí es el hecho de que la estructura espacio-tiempo, la estructura cuatridimensional de un objeto tal como una nave espacial, es algo tan rígido como lo era en la física clásica tri-dimensional. Esta es la diferencia esencial entre la teoría de la contracción de LorentzFitzgerald ocasionada sobre los objetos físicos al moverse en el espacio venciendo la resistencia del supuesto éter, y la contracción Einsteniana. Para Lorentz, la contracción era una contracción real de un objeto tri-dimensional, mientras que para Einstein el objeto “real” es un objeto cuatridimensional que no cambia en lo absoluto, un objeto que cuyos cambios aparentes se deben a que es visto desde diferentes ángulos. Su proyección tri-dimensional en el espacio y su proyección uni-dimensional en el tiempo pueden cambiar, pero el objeto cuatri-dimensional del espaciotiempo no cambia en nada. De este modo, el intervalo cuatri-dimensional entre dos eventos en el espacio-tiempo es un intervalo absoluto, invariante. Dos observadores distintos moviéndose el uno con respecto al otro a grandes velocidades estarán en desacuerdo sobre qué tan separados

estarán dos eventos en el espacio, o qué tan separados estarán los dos eventos en el tiempo, pero dos observadores diferentes siempre estarán en total acuerdo sobre qué tan separados están dos eventos en el espacio-tiempo. En su libro “Spacetime Physics”, E. F. Taylor y J. A. Wheeler lo ponen de la siguiente manera: “El espacio es diferente para dos observadores distintos. El tiempo es diferente para dos observadores distintos. Pero el espacio-tiempo es el mismo para todos”. Desde una perspectiva más formal, podríamos preguntarnos: ¿por qué el intervalo relativista es una cantidad que permanece inalterable de un marco de referencia a otro? Para responder a esta última pregunta, haremos un repaso sobre la interpretación física y geométrica que les damos a las cantidades conocidas como los escalares y los vectores. Los escalares son cantidades tales como la temperatura de un cuerpo o el color de una esmeralda. Tales cantidades no tienen dirección alguna que se les pueda asignar, y son cantidades que permanecen invariables sin cambiar en lo absoluto cuando se cambia de un marco de referencia a otro. En cambio los vectores representan cantidades que apuntan definitivamente en cierta dirección, como la dirección en la cual está soplando el viento o como la dirección en la cual se está moviendo la Luna en un momento dado al girar en torno a la Tierra. Esta es la razón por la cual frecuentemente se representan en los pizarrones con una flechita puesta encima de ellos. Un objeto que se está moviendo en línea recta en la dirección del eje de las equis (en un plano Cartesiano x-y) puede ser representado como una flecha apuntando en una dirección específica (+x) en la cual su vector velocidad tiene cierta longitud que se representará de mayor magnitud cuanto mayor sea la velocidad del objeto. Supóngase para fines de demonstración numérica que se trata de un avión moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 50 metros por segundo. Ahora bien, si le damos al vector velocidad una rotación con respecto al origen, la magnitud del vector no cambiará, lo que cambiarán serán las componentes utilizadas para especificarlo. Es así como podemos tener un vector en dos dimensiones como el siguiente:

Podemos imaginar al avión representado por la línea m moviéndose en dirección Norte-Este a una velocidad de 5 metros por segundo. La magnitud de la velocidad sigue siendo la misma, pero su dirección ha cambiado. Podemos imaginar que su velocidad horizontal ha disminuído a 3 metros por segundo pero que un viento que está soplando de Sur a Norte lo está empujando a una velocidad de 4 metros por segundo. Por el teorema de Pitágoras, la magnitud de la velocidad es de 5 metros por segundo. La velocidad total tiene dos componentes, una componente horizontal de 3 metros por segundo y una componente vertical de 4 metros por segundo. No hay razón alguna por la cual tengamos que limitar a nuestro vector a un espacio bidimensional. Podemos imprimirle otra rotación adicional para situarlo en un espacio tridimensional. El vector velocidad de esta manera estará especificado por tres componentes, las cuales requieren de tres planos diferentes, ortogonales (situados a ángulos rectos el uno del otro) entre sí:

para poder especificar a nuestro vector tridimensional mediante tres componentes, siendo cada componente la proyección del vector sobre cada uno de los planos:

De este modo, podemos especificar nuestro vector en un plano Cartesiano tridimensional de una manera como la siguiente:

Representamos la descomposición del vector A en tres componentes como un triplete ordenado: A = ( a x , ay , az ) Nuevamente, la longitud del vector sigue siendo la misma, lo único que ha cambiado es su representación en un espacio tridimensional en vez de un espacio bidimensional. Ahora viene un salto que al principio requiere algo de fé. Supondremos la existencia de un espacio encuatro dimensiones, y que el vector que hemos estado considerando de alguna manera puede ser girado (rotado) de modo tal que el vector tenga ahora proyecciones sobre cada una de estas cuatro dimensiones. El vector ahora tendrá cuatro componentes que podemos escribir como una cuadrupla ordenada: A = ( a 1 , a2 , a3 , a4 ) Geométricamente hablando, nos es imposible poder visualizar un espacio de cuatro dimensiones porque nuestros cerebros están “alambrados” para trabajar y pensar en tres dimensiones. Pero, matemáticamente hablando, no hay nada que nos impida hacer tal descomposición de nuestro vector en cuatro componentes bajo la condición de que la longitud del vector siga permaneciendo la misma. La longitud del vector, en efecto, debe permanecer invariante en todo momento. La pregunta ahora es: ¿cómo podemos evaluar la longitud de un vector cuando ese vector está especificado en un espacio de cuatro dimensiones? La respuesta obvia consiste en tratar de extender el teorema de Pitágoras hacia un espacio de

varias dimensiones, empezando con lo que ya se tiene y se sabe que es cierto. En un plano de dos dimensiones, el teorema de Pitágoras que nos permite obtener la longitud d de un vector trazado en un plano nos dice que para todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b: d² = a² + b² De este modo, la longitud del vector, que es invariable porque es un escalar, se obtiene simplemente sacando la raíz cuadrada de ambos lados:

¿Y cómo obtenemos la longitud de un vector tridimensional como el siguiente, en el cual no parece haber un triángulo con dos catetos?:

Lo podemos hacer de la siguiente manera. Primero obtenemos la longitud L de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los catetos a y b:

Por el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, sabemos que: L² = a² + b² Una inspección al diagrama nos revela que el lado L es a su vez el cateto de otro triángulo rectángulo formado por los catetos L y c:

Para este triángulo rectángulo plano, la aplicación del teorema de Pitágoras nuevamente nos dá: d² = L² + c² Pero puesto que L² = a² + b², tenemos entonces que la longitud de un vector tridimensional cuyas componentes en los tres ejes son a, b y c está dada por la fórmula:

Este es esencialmente el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. El mismo procedimiento que hemos llevado a cabo aquí lo podemos utilizar para ir extendiendo la fórmula del teorema de Pitágoras hacia un espacio de cuatro dimensiones, aunque no nos sea posible visualizarlo, e inclusive la podemos ir extendiendo hacia un espacio n-dimensional con cualquier cantidad n de dimensiones. Para un vector V cuyas tres componentes están dadas por el triplete (a, b, c), la cantidad la podemos representar de la siguiente manera como el producto de los componentes respectivos del vector con los cuales obtenemos la longitud del vector:

a² + b² + c² = a·a + b·b + c·c a² + b² + c² = d·d Esta es precisamente la forma en la cual obtenemos la longitud de un vector, más formalmente (y más pomposamente) conocida como la norma de un vector; multiplicando los componentes rectangulares respectivos, sumándolos y extrayendo la raíz cuadrada. La longitud de un vector en n dimensiones cuyas componentes sean x1 , x2 , x3 ... xn estará dada por:

En un espacio de cuatro dimensiones, como el que tenemos en la Teoría Especial de la Relatividad en donde la cuarta dimensión está especificada por la longitud obtenida al multiplicar la constante c (la velocidad de la luz) por la variable tiempo, la longitud de un vector cuatri-dimensional es invariablepor ser una magnitud escalar, y en este caso el vector que une a dos eventos diferentes E1 y E2 en ese espacio de cuatro dimensiones también tendrá la misma longitud al darle una rotación en algún sentido al cambiar de un marco de referencia a otro. Esta es la razón del por qué el intervalo relativista es una cantidad invariable, porque se trata de una longitud (o mejor dicho, el cuadrado de una longitud), se trata de un escalar. El teorema de Pitágoras extendido a cinco dimensiones nos diría “el cuadrado de la hipotenusa d de un triángulo rectángulo concebido en cinco dimensiones es igual a la suma de los cuadrados de los cinco “catetos” adyacentes a, b, c, d y e a la hipotenusa”: d² = a² + b² + c² + d² + e² Este es el teorema de Pitágoras extendido a cinco dimensiones. Ahora bien, si definimos una “distancia” s² en cuatro dimensiones de la siguiente manera: s² = a² - b² - c² - d² el lector podrá objetar diciendo que esto ya no es el teorema de Pitágoras, a causa de la introducción de los signos negativos reemplazando a los signos positivos, máxime que esta definición abre la posibilidad de que la “distancia” s² sea cero pese a que ninguno de los componentes a, b, c y d sean cero. Sin embargo, aunque esto no sea ya el teorema de Pitágoras “clásico”, esta es una definición perfectamente válida de “distancia”. Esta selección de signos nos ha proporcionado ya una cantidad invariable, el intervalo relativista. Lo que hemos definido, más que una distancia clásica, es unamétrica. La métrica contiene toda la información que necesitamos conocer para poder describir lo que sucede tanto en la Teoría Especial de la

Relatividad como en la Teoría General de la Relatividad. Y al ir ajustando nuestra manera de pensar nos estamos preparando mentalmente para dar el gran salto hacia los marcos de referencia acelerados que estaban proscritos dentro de la Teoría Especial de la Relatividad. La razón por la cual en la Teoría de la Relatividad no nos resulta de utilidad alguna definir una distancia al “estilo” del teorema de Pitágoras como la siguiente, usando únicamente signos positivos: (cΔt)² + (Δx)² + (Δy)² + (Δz)² es porque no resulta difícil comprobar que ésta cantidad no es una invariante bajo las transformaciones de Lorentz, aunque se trate de una cantidad escalar. El primer requisito fundamental que toda métrica debe cumplir es que debe ser capaz de producir un intervaloinvariante al llevarse a cabo un cambio de coordenadas. Podemos representar de una manera más elegante (y mucho más útil) las componentes x1 , x2 , x3 yx4 de un vector cuatri-dimensional ya sea como un vector renglón: [ x1 _x2 _x3 _x4] o como un vector columna (al cual en matemáticas se le llama transpuesta):

Estas dos definiciones nos permiten representar a la cantidad escalar: a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 como el producto matricial:

y, mucho más importante, representar a la cantidad escalar: (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)² como el producto de tres matrices:

El núcleo del asunto, lo verdaderamente importante, radica en la matriz intermedia, puesto que esta matriz es precisamente la matriz que nos define a la métrica, a la cual podemos llamar matriz métrica. Es precisamente esta matriz la que nos proporciona el intervalo relativista que permanece invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Es precisamente esta matriz la que nos define un espacio-tiempo plano, Euclideano, en el cual se cumple el quinto postulado de Euclides que nos dice que “dos rectas paralelas nunca se cruzan ni divergen separándose la una de la otra” (como las líneas del mundo de los extremos de una vara de medir que está reposo y las cuales nunca se cruzan ni se separan en un diagrama espacio-tiempo). Y será esta matriz la que, con una selección diferente en sus 16 componentes, nos definirá un espacio-tiempo curvo en el que no se cumple el quinto postulado de Euclides. En la Teoría General de la Relatividad en donde los observadores ya no se mueven en línea recta a una velocidad constante el uno con respecto al otro, no nos es posible seguir considerando simples diferencias lineares Δ entre las coordenadas por no mantenerse constantes dichas diferencias de un punto a otro. Tenemos que considerar intervalos relativísticos infinitesimales. Así, en vez de usar la distancia (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)² tenemos que usar el intervalo relativista infinitesimal (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)² Este intervalo relativista es el intervalo que corresponde a un espacio-tiempo plano, un espaciotiempo Minkowski o Lorentziano. Generalmente hablando, el intervalo que corresponde a un espacio-tiempo curvo como el que se estudia en la Teoría General de la Relatividad tiene una métricacomo la siguiente:

g0(cdt)² - g1(dx)² - g2(dy)² - g3(dz)² Como un anticipo de lo que nos espera en la Teoría General de la Relatividad, y como nuestro primer contacto con un espacio-tiempo curvo, a continuación tenemos lo que se conoce como la métrica de Schwarzchild: ds² = (1 - 2GM/rc²)(cdt)² - (1 - 2GM/rc²) -1(dr)² - (r²)(dθ)² - (r² sen² θ)(dφ)² (Tómese nota de que, a diferencia de lo que ocurre con el intervalo relativista ds² considerado dentro de la Teoría Especial de la Relatividad para un espacio-tiempo plano como el que nos retratan los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, a ese mismo intervalo relativista ds² en la Teoría General de la Relatividad se le conoce ya sea con el nombre de métrica y con el nombre de elemento de línea, pero en realidad el concepto esencial sigue siendo el mismo extendido para un espacio-tiempocurvo.) La métrica que se acaba de dar arriba es la métrica que corresponde a una masa perfectamente esférica sin rotación alguna. Obsérvese con sumo cuidado que en esta métrica no estamos utilizando las coordenadas Cartesianas (x, y, z) que habíamos venido utilizando hasta ahora sino que estamos utilizando coordenadas esféricas. (r, θ, φ). En la Teoría General de la Relatividad podemos utilizar no sólo otros tipos de coordenadas sino inclusive podemos inventar nuestros propios sistemas de coordenadas como las coordenadas KruskalSzekeres inventadas por Martin Kruskal y George Szekeres (tomando como base la métrica de Schwarzchild) para describir el comportamiento del espacio-tiempo curvo en el interior del horizonte de uno de los objetos más interesantes cuya existencia es predicha por la Teoría General de la Relatividad: los agujeros negros. Todo lo que sea invariante tiene un interés central en todo lo que tenga que ver con la Teoría de la Relatividad en virtud de un corolario de los postulados básicos conocido como el Principio de covariancia, el cual nos dice que las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los marcos de referencia. La covariancia de Lorentz (y análogamente la contravariancia de Lorentz) o principio especial de la relatividad se refiere a la propiedad de ciertas ecuaciones físicas de no cambiar de forma bajo cambios de coordenadas de un tipo particular. Las leyes de la física tienen que tomar la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. El requerimiento de covariancia de Lorentz afirma concretamente que si dos observadores usan coordenadas (x,y,z,ct) y (x',y',z',ct') tales que ambas se pueden relacionar mediantes las ecuaciones de transformación de Lorentz de las coordenadas, entonces cualesquiera dos ecuaciones que relacionen magnitudes que presentan covariancia de Lorentz se escribirán de la misma forma para ambos observadores. Por lo tanto una magnitud, ecuación o expresión matemática que presenta covariancia de Lorentz responderá a la mismas “leyes” o ecuaciones para todos los sistemas inerciales (es importante notar que si comparamos las medidas de un observador inercial con las de un observador no inercial que se está acelerando en vez de mantener su movimiento a una velocidad constante, la

forma de las ecuaciones será diferente, lo cual se dá no sólo en la mecánica relativística sino en la mecánica Newtoniana en donde el estudio del movimiento de un cuerpo visto desde un sistema no-inercial en rotación requiere la inclusión de la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, y por tanto sus ecuaciones para explicar el movimiento de un móvil cuentan con términos adicionales a las que escribiría un observador inercial, y por tanto las ecuaciones de movimiento no tienen la misma forma para un observador inercial que para uno no inercial.) Un ejemplo de la aplicación del principio de covariancia lo sería la ley del gas ideal: PV = nRT en donde P es la presión del gas contenido en un recipiente, V el volumen del gas dentro del recipiente, n es el número de moles del gas, R es la constante del gas ideal y T es la temperatura del gas. Esta es la fórmula que obtendría un observador en reposo en su laboratorio haciendo mediciones experimentales. Pero si el observador que está dentro de su laboratorio haciendo los experimentos para llegar a la anterior fórmula pasa a gran velocidad frente a nosotros en su marco de referencia S (o nosotros pasamos a gran velocidad frente a él), entonces dentro de nuestro marco de referencia S', haciendo mediciones sobre lo que él tiene en su laboratorio en su marco de referencia S nosotros debemos obtener la misma fórmula: P’V’ = nRT’ ya que si no la obtuviéramos así, si la hubiéramos obtenido en otra forma, entonces habríamos encontrado una manera de medir el movimiento absoluto. Y si la fórmula cambia, entonces tenemos que encontrar la forma en la cual se pueda expresar dicha fórmula de modo tal que permanezca invariante.

16. ROTACIONES Y TRANSFORMACIONES En la geometría Euclideana no-relativista en dos dimensiones, al hablar acerca de una rotaciónpodemos estar haciéndolo en dos sentidos completamente equivalentes: la rotación de un objeto con respecto a los ejes coordenados manteniendo los ejes coordenados fijos, y la rotación de los ejes coordenados manteniendo al objeto fijo. En el primer caso, podemos suponer que tenemos un vectorv0 al cual le imprimimos una rotación en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en un ángulo θ, situándolo en su nueva posición como el vector v’:

Para llevar a cabo matemáticamente esta operación de rotación, tomamos el vector original expresando en sus componentes rectangulares: v0 = (x, y) y le aplicamos un operador, específicamente, una matriz de rotación Rθ: v’ = Rθ v0 Con mayor detalle, la matriz de rotación en este caso es una matriz 2x2 que consta de los siguientes componentes:

En el segundo caso, podemos suponer que tenemos el mismo vector v0 al cual sin moverlo del lugar en donde está le imprimimos una rotación a los ejes coordenados en los que está especificado, siendo dicha rotación también una rotación en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en un ángulo θ, situándolo en su nueva posi ción como el vector v:

Esta operación de rotación de ejes coordenados se lleva a cabo matemáticamente en forma semejante al caso anterior: v = R’θ v0 en donde lo único que cambia es la matriz de rotación R’θ, la cual es ahora la siguiente matriz 2x2:

En realidad, para obtener la matriz de rotación R’θ, lo único que se hace es substituír el ángulo θ por el ángulo - θ en la matriz Rθ, lo cual equivale a un giro en un ángulo negativo (en sentido contrario), usando además el hecho de que sen(- θ) = - sen(θ) y cos(- θ) = cos(θ). En ambos casos, tanto Rθcomo R’θ a fin de cuentas son lo mismo, una rotación de ejes. En la teoría del Álgebra Linear, el primer caso en el cual se rota el vector manteniéndose fijos los ejes coordenados la rotación es conocida como una rotación Alibi, mientras que en el segundo caso en el cual se rotan los ejes coordenados manteniéndose fijo el vector la rotación es conocida

como una rotación Alias (la figura de ejemplo muestra un vector de color rojo y de longitud igual a la unidad);

Las rotaciones que se han llevado a cabo han sido sobre un espacio bi-dimensional Euclideano en torno al tercer eje, el eje-z:

Podemos llevar a cabo, desde luego, una rotación tal que dicha rotación no esté limitada exclusivamente a un plano bi-dimensional, sino que se lleve a cabo con respecto a los tres ejes sobre ángulos α, β y γ, en cuyo caso las matrices de rotación en torno a cada eje se pueden especificar de una manera como la siguiente:

Estamos interesados ahora en extender el concepto de una rotación del espacio tri-dimensional Euclideano al espacio cuatri-dimensional relativista. Sin embargo, esto no es un asunto tan sencillo, en virtud de que mientras que la magnitud (la longitud) invariante de un vector en el espacio Euclideano está definida usando signos positivos en la adición vectorial de los componentes del vector: ║V║² = Vx² + Vy² + Vz² en la Teoría de la Relatividad el equivalente que viene siendo el intervalo relativista tiene revueltos signos negativos y positivos: Δs² = (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)² Esto significa que cualquier intento por aplicar las relaciones trigonométricas que definen a los ángulos a una rotación que se ha de llevar a cabo en el espacio cuatri-dimensional relativista se va a venir abajo. ¿Significa esto que no podemos definir el equivalente de una rotación en el espacio cuatridimensional de la Teoría de la Relatividad? Interesantemente, esto aún es posible. Pero para lograrlo, tenemos que prescindir de la trigonometría regular y recurrir en cambio a otro tipo de funciones matemáticas que comparten muchas similitudes con las funciones e identidades de la trigonometría clásica. Nos estamos refiriendo a las funciones hiperbólicas, de las cuales podemos empezar con la primera de ellas, el seno hiperbólico definido de la siguiente manera:

Además del seno hiperbólico, tenemos la definición del coseno hiperbólico:

Con estas dos definiciones, podemos definir la tangente hiperbólica de la misma manera en la que se define en la trigonometría clásica como la razón que hay entre el seno y el coseno de un ángulo:

Con estas definiciones en nuestras manos, estamos en mejores condiciones para atacar el asunto al cual le queremos dar solución. PROBLEMA: Demuéstrese que las ecuaciones de transformación de Lorentz que conectan a dos sistemas de referencia S y S’ pueden ser expresadas de la manera siguiente: x’ = x cosh(α) - ct senh(α) y’ = y z’ = z ct’ = - x senh(α) + ct cosh(α) en donde tanh(α) = V/c. Demuéstrese que esta transformación de Lorentz corresponde a una rotación a lo largo de un ángulo α en el espacio cuatri-dimensional. Primero que nada, empezaremos con las transformaciones de Lorentz convencionales: x’ = γx - γVt y’ = y z’ = z

ct’ = γct - (γV/c) x Puesto que el “empuje” (boost) de Lorentz se lleva a cabo aquí únicamente a lo largo del ejex común sobre el cual hay un movimiento relativo a una velocidad V, podemos ignorar las componentes y’ y z’, lo cual equivale a afirmar que la rotación que se llevará a cabo será una rotación limitada a dos dimensiones dentro del espacio cuatri-dimensional relativista. Con un ligero reacomodo podemos escribir las dos ecuaciones relevantes de modo tal que prepararemos el sistema para su representación en forma de matriz: x’ = γx - γVt ct’ = - (γV/c) x + γct Este sistema de ecuaciones, así como está escrito, se puede representar matricialmente de la siguiente manera:

Para guiarnos mejor en lo que estamos haciendo, estableceremos una analogía entre esta representación matricial en la geometría del espacio-tiempo y la representación matricial para una rotación llevada a cabo en la geometría bi-dimensional Euclideana. Ya vimos arriba que la matriz para una rotación de coordenadas efectuada en la geometría bi-dimensional Euclideana es:

Tentativamente, todo parece indicar que podemos establecer las siguientes correspondencias entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas para reemplazarlas en el caso de una rotación llevada a cabo en el espacio 4-dimensional relativista: cos(θ) ↔ cosh(α) ↔ γ sen(θ) ↔ senh(α) ↔ γV/c

Si hacemos: cosh(α) = γ senh(α) = γV/c Tenemos entonces las siguientes transformaciones modificadas de Lorentz: x’ = x cosh(α) - ct senh(α) ct’ = - x senh(α) + ct cosh(α) Esta es la transformación que estabamos buscando, la cual puede ser puesta en forma matricial de la siguiente manera:

Geométricamente hablando, la matriz simple de Lorentz lleva a cabo una rotación de coordenadas a través de un ángulo α en el espacio 4-dimensional propio de la Teoría de la Relatividad. El lector observador posiblemente objetará que mientras que en la geometría bi-dimensional Euclideana el término sen(θ) dentro de la matriz de rotación tiene signos diferentes, el término correspondiente senh(α) tiene el mismo signo (negativo). Ciertamente, tenemos una transformación válida, en la forma en la que la hemos definido, pero ¿cómo podemos estar tan seguros de que dicha transformación pueda ser considerada como una rotación del plano x-ct? La respuesta final dependerá del hecho de que la transformación modificada de Lorentz pueda ser capaz de respetar la longitud del intervalo relativista de la misma manera en que una rotación sobre el plano Euclideano deja intacta la longitud de un vector, lo cual confirmaremos un poco más adelante. Empezaremos por aclarar esta duda formulándonos otra pregunta: ¿Por qué razón nos fue posible llevar a cabo una rotación en el espacio 4-dimensional relativista mediante el uso de las funciones hiperbólicas senh(α) y cosh(α)? La respuesta la encontramos en el graficado de dichas funciones. Así como los puntos (cos t, sin t) trazan un círculo unitario (de radio 1), del mismo modo los puntos (cosh α, sinh α) forman la mitad derecha de una hipérbola equilátera. Haciendo:

x = cosh(a) y = sinh(a) y trazando este par de ecuaciones paramétricas (ambas dependientes del parámetro a) obtenemos la siguiente gráfica:

en la cual la ecuación de la hipérbola equilátera resultante está dada por la ecuación Cartesiana: x² - y² = 1 Esta es precisamente la misma hipérbola que se vió en la entrada titulada “Invariantes”. Comprender lo que acabamos de ver nos prepara mejor para la resolución del siguiente PROBLEMA: Utilizando la identidad: cosh²(α) - senh²(α) = 1 demostrar la invariancia del intervalo relativista a partir de estas ecuaciones.

El intervalo relativista entre dos puntos en un marco de referencia S, considerando que no hay movimiento relativo alguno entre los ejes Cartesianos en relación al eje-y y al eje-z, puede ser definido de la siguiente manera: Δs² = (cΔt)² - (Δx)² Ya hemos visto que, al pasar de un marco de referencia a otro, este intervalo relativista debe permanecer invariante bajo las ecuaciones de transformación de Lorentz. Para mayor simplicidad notacional, consideraremos un intervalo relativista tal que uno de los puntos extremos del intervalo está situado en el origen del sistema de coordenadas. Con esto, el intervalo relativista puede ser representado en forma más sencilla de la siguiente manera: Δs² = (ct)² - (x)² Utilizando funciones hiperbólicas para llevar a cabo geométricamente una rotación de los ejes coordenados en el espacio 4-dimensional, ya vimos arriba que las transformaciones de Lorentz para pasar de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’ se pueden escribir de la siguiente manera: x = x’ cosh(α) - ct’ senh(α) ct = - x’ senh(α) + ct’ cosh(α) Procedemos a meter directamente estas ecuaciones de transformación en la definición que tenemos del intervalo relativista: Δs² = [- x’ senh(α) + ct’ cosh(α)]² - [x’ cosh(α) - ct’ senh(α)]² Expandiendo y simplificando: Δs² = (x’)² senh²(α) - 2(x’)(ct’) senh(α) cosh(α) + (ct’)² cosh²(α) - (x’)² cosh²(α) + 2(x’)(ct’) senh(α) cosh(α) - (ct’)² senh²(α)

Δs² = [cosh²(α) - senh²(α)](ct’)² - [cosh²(α) - senh²(α) ](x’)² Utilizamos aquí la identidad hiperbólica dada en el enunciado del problema, para obtener:

Δs² = (ct’)² - (x’)² Δs² = Δs’² De este modo, el intervalo relativista permanece invariante al haberse llevado a cabo la rotación geométrica de las coordenadas del 4-espacio mediante el uso de las funciones hiperbólicas.

PROBLEMA: La ley de adición de velocidades relativista tiene una forma más sencilla si recurrimos a la ayuda de la tangente hiperbólica. Si usamos la definición: tanh(α) = V/c demostrar que la ley de adición de velocidades puede escribirse de la siguiente manera: V = c tanh(α1 + α2) en donde α1 es el parámetro de velocidad asociado con una de las velocidades a ser sumada, y α2es el parámetro de velocidad asociado a la otra velocidad. Obsérvese que, de este modo, los parámetros de velocidad se suma linealmente. Empezando con la ley de adición de velocidades:

podemos utilizar la definición de la tangente hiperbólica para escribir lo siguiente: V1 = c tanh(α1) V2 = c tanh(α2) Reemplazando estas dos igualdades en la ecuación anterior:

Simplificando:

Dada la enorme semejanza que hay entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas, el aspecto de la ecuación que acabamos de obtener nos hace sospechar sobre la posibilidad de que haya una identidad similar a la que encontramos en la trigonometría clásica. Un búsqueda breve confirma nuestras sospechas, al encontrar la siguiente identidad hiperbólica:

cuya contraparte en la trigonometría clásica es la siguiente identidad trigonométrica:

Con esto obtenemos entonces el resultado que se deseaba demostrar: V = c tanh(α1 + α2) PROBLEMA: Suponiendo que dentro de un vagón de ferrocarril moviéndose a una velocidad de 200 kilómetros por segundo, o sea dos terceras partes de la velocidad de la luz, una pelota es arrojada dentro del vagón también a una velocidad de 200 mil kilómetros por segundo, ¿cuál será la velocidad de la pelota vista en tierra a un lado de las vías por un observador en reposo? Trabájese el problema con la fórmula que se acaba de obtener arriba. Si la pelota es arrojada dentro de un vagón de ferrocarril a una velocidad V1 igual a dos terceras partes de la velocidad de la luz, o sea V1 = 2c/3, entonces el parámetro de velocidad α 1 asociado con la pelota es: tanh( α1) = V1/c α1 = tanh-1(V1/c)

α1 = tanh-1(2/3) α1 = 0.805 Siendo V2 = V1 = 2c/3, entonces α2 = α1, con lo cual aplicamos la fórmula: V = c tanh(α1 + α2) = c tanh(0.805 + 0.805) V = 0.923 c La representación matricial de las transformaciones de Lorentz nos permite obtener otra perspectiva diferente sobre lo que se lleva a cabo con dichas transformaciones. PROBLEMA: Desde una estrella un viajero espacial mide la velocidad de otra estrella que se está alejando a una velocidad de 0.9c. Desde la segunda estrella se mide la velocidad de otra tercera estrella que se está alejando también a 0.9c de la segunda, y así sucesivamente, hasta llegar a cierto número N de estrellas. ¿Cuál es la velocidad de la estrella N relativa a la velocidad de la primera estrella? La resolución de este problema requiere sumar relativísticamente la velocidad de la primera estrella a la segunda, y tras esto la velocidad de la segunda estrella a la tercera, y así sucesivamente, hasta llegar a la estrella N. Utilizando la fórmula convencional para adición relativista de velocidades el problema se vuelve laborioso. Pero si en lugar de utilizar la fórmula convencional utilizamos la fórmula relativista dada en función de parámetros de velocidad, entonces el problema se reduce a la suma linear de los parámetros de velocidad: V = c tanh(α1 + α2 + α3 + ... + αn) Puesto que las velocidades relativas de recesión son iguales (0.9c), entonces los parámetros de velocidad también son iguales: α1 = α2 = α3 = ... = αn = α con lo cual: V = c tanh(Nα) Pero cada parámetro de velocidad está dado individualmente por: α = tanh-1(V/c)

Entonces la relación que buscamos resulta ser la siguiente: V = c tanh[N tanh-1(V/c)] El intervalo relativista, en su forma más general admitiendo la posibilidad de que pueda haber movimientos relativos entre los cuatro ejes coordenados del sistema de referencia S y del sistema de referencia S’, puede ser definido como: Δs² = (cΔt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)² tiene a su vez la siguiente representación matricial:

La matriz intermedia representa los 16 componentes de ese objeto que anteriormente ya habíamos dicho que se conoce como el tensor métrico, en este caso el que corresponde a un espacio-tiempoplano (Lorentziano). Para la derivación que vamos a llevar a cabo, escogemos un intervalo relativista tal que un extremo del mismo tenga el punto situado en el origen (0,0,0,0) común a ambas coordenadas en un tiempo t = 0. De este modo, podemos representar dicho intervalo relativista mediante coordenadas generalizadas: x0 = cΔt___x1 = x___x2 = y___x3 = z simplemente como: Δs² = (x0) ² - (x1) ² - (x2) ² - (x3) ² y representando a las 16 componentes de la matriz 4x4 a la cual llamaremos G como gij, el triple producto matricial arriba mostrado se puede representar mediante una doble sumatoria de la siguiente manera:

Para un intervalo relativista tipo luminoso en el que Δs² = 0, lo anterior tiene que tener un valor igual a cero:

Bajo una rotación cuatri-dimensional que involucre a las cuatro coordenadas, el intervalo relativista de tipo luminoso debe seguir siendo igual a cero. Esto nos lleva a lo que se conoce como lainvariancia del cono de luz, con lo cual: ( x1) ² - ( x2) ² - ( x3) ² - ( x4) ² = 0 y la representación de lo mismo mediante sumatorias es:

De este modo, usando sumatorias, la ecuación de invariancia del cono de luz se puede expresar de la siguiente manera:

En notación matricial explícita, escribiendo todos los elementos de la matriz G = (gij), podemos representar la ecuación de doble sumatoria del lado derecho de la manera siguiente:

En notación matricial compacta, podemos escribir lo mismo en la forma: X G XT = 0 en donde X T representa un vector columna que viene siendo la transpuesta del vector renglón X . Por otro lado, la matriz general de Lorentz Λ = (λij):

que lleva al 4-vector en el sistema S: [ x1__x2 __x3__x4 ] al siguiente 4-vector en el sistema S: [ x1__x2 __x3__x4 ] debe ser necesariamente el arquetipo de la transformación linear, lo cual requiere de la existencia de constantes λij tales que:

Puesto que tenemos dos sumatorias en la ecuación de invariancia del cono de luz que involucran

en forma repetida a las coordenadas x, vamos a tener que definir dos transformaciones lineares, una para cada transformación de coordenadas, usando para ello sub-índices diferentes:

Obedeciendo las reglas de multiplicación de matrices, una de estas transformaciones la podemos representar matricialmente escribiendo al vector de coordenadas como un vector renglón para pasar de un sistema S a otro sistema S:

En notación matricial compacta, esto se escribe de la siguiente manera: X = XΛT siendo ΛT la matriz transpuesta de la matriz Λ:

La otra transformación la podemos representar escribiendo al vector de coordenadas como un vectorcolumna para pasar de un sistema S a otro sistema S:

En notación matricial compacta, esto se escribe de la siguiente manera: X T = ΛXT Obsérvese que podemos obtener rápidamente una representación matricial de la otra usando la propiedad fácilmente verificable para dos matrices de que la transpuesta del producto de dos matrices A y B es igual al producto matricial de las transpuestas tomadas en el orden inverso, o sea: (AB)T = BTAT Por extensión: (ABC)T = CTBTAT

Volviendo a la ecuación de invariancia del cono de luz: X G XT = 0 si substituímos en la representación de sumatorias las transformaciones para cada uno de losvectores de coordenadas X, obtenemos lo siguiente:

Reagrupando los símbolos y el orden de la tercera y la cuarta sumatorias:

El reagrupamiento en el orden de los factores de las sumatorias que aparecen en el lado derecho de la ecuación no parece haber sido suficiente para poder visualizar una simplificación posterior. A estas alturas, resultará mucho más provechoso intentar acomodar dichos factores de modo tal que la sumatoria multiple se pueda trasladar a una representación matricial. Y de hecho, ya vimos precisamente esto mismo al final de la entrada “Representaciones matriciales”, en donde partiendo de la siguiente sumatoria múltiple:

reacomodamos los factores de la sumatoria usando como guía el requerimiento de que los subíndices estén apareados conforme son leídos de izquierda a derecha en la sumatoria ya reacomodada:

con lo cual la representación matricial salta a la vista casi de inmediato, la cual en notación matricialcompacta resulta ser: X TΛ T G Λ X Para poder lograr esta representación matricial, tomando en cuenta que la sumatoria múltiple debe producir al final el número cero (que matricialmente viene siendo una matriz que consta de un solo renglón y de una sola columna), la necesidad de aparear los sub-índices nos obligó a tomar latranspuesta de la matriz Λ, la cual representamos de color rojo como ΛT; y también nos obligó a usar la representación del vector columna X como el vector renglón tomando la transpuesta de X y representándolo como XT. Esto significa que en la sumatoria múltiple preparada para su representación matricial en donde aparecen XT y ΛT de color rojo como corresponde a lastranspuestas, si bien en lo que respecta al componente xi dentro de la sumatoria el cambio no tiene efecto alguno, el componente λir en caso de llevarse a cabo la sumación sobre esa expresión tiene que ser interpretado no como el elemento dentro de la matriz Λ que está en el renglón i y la columnar sino como el elemento dentro de la matriz que está dentro del renglón r y la columna i.

Así pues, lo que tenemos en el lado derecho de la ecuación original de la ecuación de invariancia del cono de luz representado mediante sumatorias es algo que representado mediante un producto matricial nos involucra el producto de cinco matrices, lo cual si se tratase de matrices 3x3 en vez de matrices 4x4 tendría un aspecto como el siguiente:

Usando vectores con cuatro componentes y matrices 4x4, el número de multiplicaciones y adiciones de componentes requeridas para tratar de llevar a cabo cualquier simplificación posterior parece intimidante. En notación matricial compacta, lo que tenemos en esto último que hemos llevado a cabo es el resultado de las siguientes operaciones: X G XT = 0 (XΛT) G (ΛXT) = 0 XΛTGΛXT = 0 Esto es justo lo que tenemos arriba tanto en la notación matricial explícita como en la representación mediante sumatorias múltiples. Usando la representación que más nos convenga, no es difícil demostrar que si: XGXT=0 entonces el requerimiento en la ecuación de invariancia del cono de luz:

nos debe resultar en lo siguiente:

o bien en notación matricial compacta: ΛTGΛ = G El aspecto del lado izquierdo de la ecuación matricial en donde tenemos el producto de tres matrices en la forma XTAX posiblemente resultará familiar para muchos que han tomado un buen curso de Álgebra Linear, ya que la operación XTAX = B es precisamente el tipo de operación que se lleva a cabo para diagonalizar una matriz A, obteniendo el equivalente B de la misma que seguirá poseyendo algunas características importantes de la matriz original excepto que únicamente la diagonal principal de la matriz contendrá valores diferentes de cero, todos los demás elementos fuera de la diagonal principal serán iguales a cero. Sin embargo, y esto es importante, aquí no estamos llevando a cabo una operación para diagonalizar una matriz, ya que la matriz intermedia G queda intacta tras la operación matricial, esto es: ΛTGΛ = G Aquí lo que estamos haciendo es en cierta forma un procedimiento “al revés”, en el cual tratamos de determinar los valores de los componentes de la matriz Λ para que una vez que se haya efectuado la operación del lado izquierdo obtengamos el resultado que aparece en el lado derecho, o sea G. Este truco que estamos efectuando no es más que la implementación matricial de la validez de la invariancia del cono de luz bajo dos sistemas de coordenadas distintos. Llevando a cabo las multiplicaciones matriciales en el lado izquierdo de la ecuación matricial e igualando cada uno de los 16 componentes con las entradas que aparecen en la matriz del lado derecho, y eliminando los resultados repetidos, obtenemos las siguientes diez condiciones para determinar si una matriz cualquiera es una matriz general de Lorentz: (λ00)² - (λ10)² - (λ20)² - (λ30)² = 1 (λ0j)² - (λ1j)² - (λ2j)² - (λ3j)² = - 1___para j = 1, 2, 3

λ0i λ0j - λ1i λ1j - λ2i λ2j - λ3i λ3j = 0___para i ≠ j PROBLEMA: Demostrar que la siguiente matriz es una matriz general de Lorentz:

Recurriremos a las relaciones que acabamos de obtener arriba, las cuales se deben cumplir si la matriz es realmente una matriz general de Lorentz. Primera condición, se cumple: (λ00)² - (λ10)² - (λ20)² - (λ30)² = (√3)² - (1)² - (1)² - (1)² = 1 Segunda condición, se cumple: (λ01)² - (λ11)² - (λ21)² - (λ31)² = (√2)² - (√6/2)² - (√6/2)² - (0)² = - 1 Tercera condición, se cumple: (λ02)² - (λ12)² - (λ22)² - (λ32)² = (0)² - (1/2)² - (-1/2)² - (-√2/2)² = -1 Cuarta condición, se cumple: (λ02)² - (λ12)² - (λ22)² - (λ32)² = (0)² - (1/2)² - (-1/2)² - (√2/2)² = -1

Quinta condición (multiplicación conjunta de las primeras dos columnas), se cumple: λ00 λ01 - λ10 λ11 - λ20 λ21 - λ30 λ31 = (√3)(√2) - (1)(√6/2) - (1)(√6/2) - (0)(0) = 0 Sexta condición (multiplicación conjunta de la primera columna y la tercera columna), se cumple: λ00 λ02 - λ10 λ12 - λ20 λ22 - λ30 λ32 = (√3)(0) - (1)(1/2) - (1)(-1/2) - (0)(-√2/2) = 0

Séptima condición (multiplicación conjunta de la primera columna y la cuarta columna), se cumple: λ00 λ03 - λ10 λ13 - λ20 λ23 - λ30 λ33 = (√3)(0) - (1)(1/2) - (1)(-1/2) - (0)(√2/2) = 0 Octava condición (multiplicación conjunta de la segunda columna y la tercera columna), se cumple: λ01 λ02 - λ11 λ12 - λ21 λ22 - λ31 λ32 = (√2)(0) - (√6/2)(1/2) - (√6/2)(-1/2) - (0)(-√2/2) = 0 Novena condición (multiplicación conjunta de la segunda columna y la cuarta columna), se cumple: λ01 λ03 - λ11 λ13 - λ21 λ23 - λ31 λ33 = (√2)(0) - (√6/2)(1/2) - (√6/2)(-1/2) - (0)(√2/2) = 0 Décima condición (multiplicación conjunta de la tercera columna y la cuarta columna), se cumple: λ02 λ03 - λ12 λ13 - λ22 λ23 - λ32 λ33 = (0)(0) - (1/2)(1/2) - (-1/2)(-1/2) - (-√2/2)(√2/2) = 0 Habiendose cumplido todas las condiciones requeridas, se concluye que la matriz proporcionada

es, en efecto, una matriz general de Lorentz. PROBLEMA: En la derivación de la condición ΛTGΛ = G, al ser llevada a cabo utilizando sumatorias se encontró que el procedimiento era algo tardado y laborioso. Llevar a cabo la derivación de esta misma condición utilizando exclusivamente notación matricial compacta, sin utilizar sumatorias y sin recurrir a notación matricial explícita. En notación matricial compacta, la ecuación de invariancia del cono de luz puede ser expresada de la siguiente manera: XTGX = 0 = X TGX Si la matriz general de transformación de Lorentz Λ preserva X TGX, entonces haciendo : X = ΛX tenemos lo siguiente: XTGX = 0 = (ΛX)TG(ΛX) XTGX = 0 = XTΛTGΛX XTGX = 0 = XT(ΛTGΛ)X con lo cual se concluye que ΛTGΛ = G. Obsérvese cómo el uso de la notación matricial, sobre todo la notación matricial compacta, puede simplificar enormemente la resolución de un problema que involucre varias sumatorias. Esto será de enorme importancia cuando pasemos al estudio de la Teoría General de la Relatividad, en la cual entramos en contacto con notación tensorial que se basa precisamente en el uso intensivo de sumatorias. Al resolver problemas planteados en notación tensorial, la primera prioridad debe ser trasladar la planteación tensorial basada en sumatorias a su representación equivalente utilizando matrices, con lo cual podemos avanzar mucho más rápidamente. En lo que hemos estado tratando en realidad se ha estado hablando acerca de la preservación de la métrica G bajo las transformaciones de Lorentz. Si hacemos extensiva la condición ΛTGΛ = G para cualquier tipo de matriz métrica G, tenemos entonces una conclusión importante: las métricas G de los espacios-tiempos curvos de la Teoría General de la Relatividad son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz. Hemos visto cómo comprobar si una matriz dada es una matriz que representa una

transformación general de Lorentz. Pero no hemos visto aún cómo podemos obtener las ecuaciones que nos conduzcan a una transformación general de Lorentz, o sea, cómo obtener dicha matriz. Por ejemplo, si la velocidad entre los ejes coordenados a lo largo del eje-x es Vx = (3/4) c, y si la velocidad entre los ejes a lo largo del eje-y es Vy = (5/6) c, y si la velocidad entre los ejes a lo largo del eje-z es Vz = (1/2) c, ¿cuál es la matriz que representa la transformación general de Lorentz entre el sistema de referencia S y el sistema de referencia S’? Ya se había mencionado en una entrada anterior que si realmente estamos interesados en derivar las relaciones que corresponden a la transformación general de Lorentz cuando los marcos de referencia están en movimiento relativo el uno con respecto al otro a través de tres ejes coordenados en lugar de uno solo, la demostración se puede simplificar enormemente si recurrimos a notación vectorial clásicadenotando como el vector posición x a la ubicación de un punto en el sistema coordenado S: x = (x, y, z) y denotando la ubicación del mismo punto en el sistema coordenado S’ como: x’ = (x’, y’, z’) simbolizando asimismo a la velocidad relativa V que hay entre los dos marcos de referencia como un vector V (con letra negrita) con componentes relativos en cada uno de los tres ejes Cartesianos: v = (Vx, Vy, Vz) Lo anterior lo hacemos en conjunción con la notación vectorial del producto punto ó producto escalarentre dos vectores: x · v = (x, y, z) · (Vx, Vy, Vz) = xVx + yVy + zVz Con esta notación, estamos preparados para obtener la transformación general de Lorentz que estamos buscando tanto para las componentes espaciales como para la componente temporal. PROBLEMA: Suponiendo que el movimiento relativo entre dos sistemas de referencia a una velocidad V se lleva a cabo no sólo a lo largo del eje-x sino también a lo largo del eje-y y del eje-z, demostrar que la transformación general de Lorentz está dada por las siguientes dos relaciones:

Este problema es ni más ni menos que la obtención de las transformación general de Lorentz en la cual el movimiento relativo entre los dos marcos de referencia no está limitado ya a un movimiento relativo entre los ejes-x. La clave para la resolución de este problema radica en darse cuenta que la única transformación Lorentziana de componentes se llevará a cabo únicamente sobre aquellos componentes vectoriales que estén dirigidos en la misma dirección (paralelos, en el espacio tri-dimensional) al vector de velocidad v que ocurre entre ambos marcos de referencia. Los componentes que sean perpendiculares permanecerán inalterados ya que no recibirán un “empuje” (boost) Lorentziano. El vector posición x de un punto en el sistema de referencia S se puede descomponer en la suma vectorial de dos vectores, uno perpendicular (en la misma dirección) que el vector velocidadv, y el otro paralelo al vector velocidad v:

Gráficamente, lo que estamos haciendo es lo siguiente:

La componente perpendicular al vector velocidad v permanecerá inalterada entre ambos marcos de referencia:

mientras que la componente del vector posición paralela al vector velocidad v sufrirá un empuje Lorentziano, el cual vectorialmente es una extensión de la transformación básica de Lorentz: x’ = γ(x - Vt) que ya habíamos obtenido anteriormente:

En la derivación que llevaremos a cabo, utilizaremos la siguiente relación vectorial que se demuestra en cualquier curso bueno de Análisis Vectorial:

Esta relación nos dice que si descomponemos a un vector A (que en nuestro caso será el vector posición x) en la suma vectorial de una componente perpendicular a otro vector B y en una componente paralela al vector B (a la cual llamamos la proyección de A sobre B) la componente paralela será igual al producto escalar de los vectores A y B (A·B) entre el cuadrado de la magnituddel vector B (= B²) multiplicado todo por el vector B que le fija dirección a dicha componente en el mismo sentido de B. En nuestro caso, la relación nos garantiza que:

Ahora bien, el vector posición x’ en el sistema de referencia S’ también se debe poder descomponer en dos componentes, una perpendicular y la otra paralela al vector velocidad v:

Introducimos aquí la relación de transformación de Lorentz dada arriba:

Recurrimos ahora a la relación vectorial dada arriba:

A continuación, sacamos fuera de los paréntesis cuadrados el vector velocidad v y metemos el factor γ:

Hacemos uso ahora de la descomposición del vector posición x en sus componentes paralela y perpendicular puesta arriba:

Nuevamente recurrimos a la relación vectorial dada arriba:

Metemos el segundo término dentro de los paréntesis cuadrados:

Por último, factorizando a la constante γ que obra en el primer término y el segundo término de los paréntesis cuadrados, obtenemos la relación general de transformación de Lorentz para las coordenadas espaciales dada arriba. En lo que respecta a la coordenada del tiempo, la coordenada temporal, tomando como base la

transformación de Lorentz para dicha coordenada cuando el movimiento se lleva a cabo única y exclusivamente entre los ejes-x: t’ = γ(t - Vx/c²) t’ = γ[t - (V/c²) x] introducimos para x la magnitud del vector posición (¡no el vector!) que corresponde a la componente paralela al vector velocidad que dá el empuje de Lorentz, y que viene siendo:

Metiendo esta relación arriba para convertirla en una transformación general de Lorentz para la coordenada del tiempo obtenemos el paso que completa las demostraciones pedidas:

Al recurrir a notación vectorial para resolver en forma abreviada lo que de otra manera sería un problema laborioso si usáramos la notación explícita de las componentes rectangulares (Cartesianas) estamos haciendo algo parecido a lo que hizo Einstein al recurrir a la notación tensorial por las mismas razones.

17. LOS 4-VECTORES I Darle a la Teoría Especial de la Relatividad una interpretación geométrica resultó ser el paso crucial que preparó a Einstein para poder concebir la Teoría General de la Relatividad. Para ello, el paso intermedio resultó ser la adopción de lo que matemáticamente conocemos como los 4vectores. Si bien hemos definido el momentum relativista y la energía relativista, es lógico suponer que ambas cantidades tomadas independientemente la una de la otra no permanecerán invariantes al pasar de un marco de referencia a otro. Podemos esperar que el simple momentum relativista P = γm0u cambie al pasar de un marco de referencia a otro en virtud de que con el cambio del marco de referencia la velocidad u de un cuerpo ya no será la misma para distintos observadores. Y de la energía relativista podemos afirmar otro tanto similar. Requerimos, pues, establecer las ecuaciones de transformación con las cuales dados el momentum relativista y la energía relativista de un cuerpo en cierto marco de referencia podamos obtener el momentum relativista y la energía relativista del mismo cuerpo en otro marco de referencia. PROBLEMA: Obtener las transformaciones del momentum y la energía que deben ser utilizadas al pasar de un marco de referencia a otro cuando ambos marcos están moviéndose el uno con respecto al otro a una velocidad relativa V con respecto a sus ejes comunes alineados en x. Obtener asimismo las transformaciones inversas. En el caso de la energía, puesto que la energía es una cantidad escalar que no posee dirección y sentido, sólo requerimos de una ecuación de transformación. En cambio el momentum, por ser una cantidad vectorial que definitivamente posee dirección y sentido, este momentum p tendrá tres componentes distintas en un sistema de coordenadas rectangulares (Cartesiano) que serán el triplete (px, py, pz). Ya habíamos visto que el momentum relativista (dentro del marco de referencia S de un observador en reposo) de un cuerpo con masa propia m0 moviéndose a una velocidad u está dado por la relación: p = γm0u² = m0u²/√1 - u²/c² Por otro lado, ya habíamos visto también que la energía total del mismo cuerpo moviéndose a esa velocidad u está dada por la relación: E = γm0c² = m0c²/√1 - u²/c² Vamos a poner ahora a dicho cuerpo en un marco de referencia que está moviéndose a una

velocidad V a lo largo del eje-x, dentro del cual el cuerpo tendrá una velocidad u’. Es importante recordar que esta velocidad u’ es una velocidad que no está confinada única y exclusivamente al eje-x, ya que puede tener componentes en los otros dos ejes que sumados vectorialmente nos dan la velocidad resultante u en el marco de referencia S’: (u’)² = (u’x)² + (u’y)²+ (u’z)² Obviamente, y del mismo modo, en el marco de referencia S: (u)² = (ux)² + (uy)²+ (uz)² Adoptaremos ahora una convención a la que nos aferraremos rígidamente. El símbolo γ lo reservaremos única y exclusivamente para denotar el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia a lo largo de sus ejes comunes en la abcisa x a una velocidad V, o sea: γ = /√1 - V²/c² Lo anterior significa que, en ningún momento, intentaremos utilizar el símbolo γ para representar ya sea: 1/√1 - u²/c² ó: 1/√1 - (u’)²/c² Estas últimas dos expresiones las dejaremos tal cual. Esta aclaración es importante porque el tratar de asignarles el símbolo γ a cualquiera de ellas (ó ambas) puede ser causa de confusión posterior dificultando las derivaciones que estamos tratando de llevar a cabo. Las componentes en un sistema de coordenadas rectangulares de la velocidad u del cuerpo en el marco de referencia S están relacionadas con las componentes en un sistema de coordenadas rectangulares de la velocidad u’ del cuerpo en el marco de referencia S’ de acuerdo con la suma relativista de velocidades que ya habíamos estudiado con anterioridad:

Dada la similitud de los cálculos algebraicos requeridos para obtener las transformaciones de momentum y energía de un marco de referencia a otro, llevaremos a cabo aquí una manipulación general que servirá para ambos casos. Podemos ver de ambas relaciones para el momentum y la energía que requerimos poner el denominador de ambas: 1/√1 - u²/c² en función de u’x, u’y y de u’z, haciéndolo a través de u. Empezaremos primero por la relación: u² = (ux)² + (uy)²+ (uz)² introduciendo en la misma las tres transformaciones dadas arriba para la suma relativista de velocidades en cada uno de los tres ejes:

Elevando al cuadrado el lado derecho y poniendo todo bajo común denominador:

Entonces:

En el lado derecho de la igualdad, después de haber puesto todo bajo un común denominador, tenemos el siguiente numerador: γ²c² (1 + Vu’x/c²)² - γ² (u’x + V)² - u’y² - u’z² Como paso intermedio de simplificación, factorizaremos ahora a γ sacándolo del camino: γ²[c² (1 + Vu’x/c²)² - (u’x + V)² - u’y²/γ² - u’z²/γ²] Dentro de los paréntesis cuadrados, en relación a los dos últimos términos, tenemos 1/γ², que es igual a:

1/γ² = 1 - V²/c² con lo cual: γ²[c² (1 + Vu’x/c²)² - (u’x + V)² - u’y²(1 - V²/c²) - u’z²(1 - V²/c²)]

Expandiendo los binomios cuadráticos y removiendo paréntesis:

γ²[c² + 2Vu’x + V²u’x²/c² - u’x² - 2u’xV - V² - u’y² + V²u’y²/c² - u’z² + V²u’z²/c² ]

γ²[c² - V² + V²u’x²/c² - u’x² - u’y² + V²u’y²/c² - u’z² + V²u’z²/c²]

γ²[c² - V² + (u’x² + u’y²+ u’z²)V²/c² - (u’x² + u’y²+ u’z²)] Para continuar simplificando el numerador, recurrimos a la relación dada arriba: (u’x)² + (u’y)²+ (u’z)² = (u’)² con lo cual podemos continuar adelante con la simplificación: γ²[c² - V² + u’²V²/c² -u’²)]

γ²[c² - V² - u’²(1 - V²/c²)]

γ²[c²(1 - V²/c²) - u’²(1 - V²/c²)]

γ²[(1 - V²/c²)(c² - u’²)]

γ²c²(1 - V²/c²)(1 - u’²/c²) Poniendo este numerador simplificado sobre el denominador: γ²c² (1 + Vu’x ²/c²)² entonces tras cancelarse mutuamente los factores γ²c² que hay arriba en el numerador y abajo en el denominador tenemos lo siguiente:

Invirtiendo ambos miembros de la igualdad y extrayendo raíz cuadrada:

Reestableciendo la cantidad γ subiendo √1 - V²/c² al numerador para formar 1/√1 - V²/c² :

Con esto, encontramos que la componente del momentum sobre el eje-x, Px, que está definida por la siguiente relación:

toma la siguiente forma con el resultado que obtuvimos arriba para 1/√1 - u²/c²:

Teniendo en mente que el desplazamiento relativo entre los marcos de referencia S y S’ ocurre únicamente a lo largo del eje-x, la componente del momentum sobre el eje-y, Py, está dada por:

Finalmente, la componente del momentum sobre el eje-z, Pz, está dada por:

En lo que respecta a la energía relativista, tenemos lo siguiente:

Utilizando las expresiones para el momentum y la energía en el marco de referencia S’, las expresiones anteriores pueden ser escritas de la siguiente manera:

Para obtener las transformaciones inversas simplemente despejamos de las transformaciones de energía y momentum obteniendo de este modo lo siguiente:

Las leyes de transformación para la energía y el momentum de un marco de referencia a otro no son difíciles de recordar en virtud de que son similares a las ecuaciones de transformación de Lorentz para la longitud y el tiempo. Comparemos las leyes de transformación para la energía y el momentum de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’: E = γ(E’ + Vp’x) py = p’y pz = p’z px = γ(p’x + VE’/c²) con las ecuaciones de transformación de Lorentz: x = γ(x’ + Vt’) y = y’ z = z’ t = γ(t’ + Vx’/c²) Aunque se trata de cantidades físicas distintas, obsérvese la similitud entre ambos conjuntos de transformaciones. px se transforma como la coordenada espacial x, y la energía E se transforma como c²t. Esto nos hace sospechar que hay algo común de fondo en la similitud que hemos obtenido en las transformaciones. Puesto que el tiempo y el espacio, ambos conceptos independientes en la física clásica, han sido unificados bajo un solo concepto en la interpretación geométrica de Minkowski de la Teoría Especial de la Relatividad, el concepto del espacio-tiempo, y han sido agrupados como componentes iguales bajo un solo vector cuatri-dimensional: [ct, x, y, z] entonces, ¿por qué no hacer lo mismo con el momentum y la energía relativistas, agrupándolos en igualdad de condiciones como los cuatro componentes de un vector cuatri-dimensional? Esto es

precisamente lo que se ha hecho, adoptándose el uso del 4-vector energía-momentum conocido también como el 4-momentum: P = [E/c, px, py, pz] simbolizado con una letra P mayúscula, el cual también puede ser escrito como: [E, pxc, pyc, pzc] En ambos casos, las cuatro componentes del 4-vector energía-momentum ó 4-momentum deben tener la misma dimensión, ya sea de momentum o de energía. Si escribimos las leyes de transformación del 4-vector energía-momentum utilizando notación devectores columna:

entonces resulta obvio que podemos reescribir el lado derecho de esta ecuación vectorial como unproducto de matrices:

que representa el siguiente sistema de ecuaciones: E’ = γE - βγpxc + 0pyc + 0pzc px’c = - βγE + γpxc + 0pyc + 0pzc

py’c = 0E + 0pxc + 1pyc + 0pzc pz’c = 0E + 0pxc + 0pyc + 1pzc Esto amerita ser contrastado con la representación matricial de la transformación del 4vectorespacio-tiempo en un sistema de referencia S a un sistema de referencia S’:

Tanto en el caso en el que se involucra a 4-vectores energía-momentum como el caso en el que se involucra a 4-vectores espacio-tiempo bajo un esquema Lorentziano, la matriz de transformación resulta ser exactamente la misma. De este modo, las definiciones como se han estado dando y las matemáticas del asunto nos indican que, de modo natural, todo lo que tiene que ver con la Teoría Especial de la Relatividad puede y debe ser manejado bajo un espacio cuatri-dimensional. El haber juntado a la energía y el momentum como las cuatro componentes de un 4-vector está justificado también por la nueva invariante que nos produce. Ya habíamos anteriormente la siguiente expresión que nos relaciona la energía total de energía E de un cuerpo con la magnitud de su cantidad de movimiento p y su energía en reposo m0c²: E² = (pc)² + (m0c²)² Despejaremos a continuación el lado derecho de la ecuación dejando únicamente a la masa en reposo de dicho lado: E² - (pc)² = (m0c²)² El siguiente paso será dividir ambos miembros de la igualdad entre c² obteniendo:

(E/c)² - p² = m0²c² Del lado derecho tenemos el producto de dos cantidades invariantes, porque la masa propia m0 de un cuerpo debe ser la misma en cualquier sistema de referencia, y la velocidad de la luz c también es una invariante absoluta de acuerdo con el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. Entonces el lado derecho de la ecuación es una invariante, y en virtud de la igualdad el lado izquierdo de la ecuación también debe ser una cantidad invariante. Esto significa que para dos sistemas de referencia distintos S y S’ en los cuales para el mismo cuerpo: E² = (pc)² + (m0c²)²

E’² = (p’c)² + (m0c²)² debemos tener: E² - (pc)² = E’² - (p’c)² o bien: (E/c)² - p² = (E’/c)² - p’² Al haber obtenido una nueva invariante, además de otras que iremos obteniendo al adentrarnos en el tema de la Teoría General de la Relatividad, debe irse despejando la creencia de que en la Teoría de la Relatividad todo es relativo. Aunque el movimiento dejó de ser absoluto, Einstein introdujo un nuevo absoluto en su segundo postulado, la velocidad de la luz, tras lo cual fueron apareciendo nuevos absolutos como las invariantes que hemos estado descubriendo. Es falso, pues, que en la Teoría de la Relatividad todo es relativo. La representación combinada de la energía y el momentum relativistas en un 4-vector nos resume dos principios fundamentales de la dinámica, la conservación del momentum y la conservación de la energía, en un solo paquete. Igualando los componentes de un 4-vector antes y después de un choque o de una interacción podemos resolver los problemas que requieren de dichos principios para su resolución. Un ejemplo de tales problemas es el de un fotón de energía E0 que choca contra un electrón inicialmente en reposo, saliendo en retroceso el electrón a un ángulo φ y a una velocidad V, mientras que el fotón es dispersado con una energía (menor) E a un ángulo θ:

18. LOS 4-VECTORES II Si hemos podido reformular el espacio-tiempo como un 4-vector, y si hemos podido hacer lo mismo con la energía y el momentum, entonces nos debe ser posible postular la existencia de otros 4-vectores realizables dentro de la Teoría de la Relatividad. Uno de ellos resulta ser lo que se conoce como el 4-vector velocidad. Para poder definir el 4-vector velocidad, mejor conocido como la 4-velocidad, usamos como punto de partida el 4-vector espacio-tiempo y extendemos el concepto de velocidad que estábamos acostumbrados a utilizar en la física clásica, el cual nos dice que para un móvil cuya posición x varía con el tiempo su velocidad instantánea es: u = dx/dt Si el móvil se está desplazando en un espacio tri-dimensional y si sus componentes de posición en cualquier instante dado de tiempo son: x = (x1, x2, x3) en donde (x1, x2, x3) puede representar la posición bajo el conjunto usual de coordenadas rectangulares Cartesianas (x, y, z) pero también puede representar la posición bajo otro conjunto de coordenadas tales como las coordenadas esféricas (r, φ, θ), entonces su velocidad instantánea en este espacio tri-dimensional se obtiene tomando la derivada con respecto al tiempo de cada una de las tres componentes:

Por convención, a este vector velocidad clásico tri-dimensional se le asigna una dirección y sentidotangente a la curva en el punto en donde es evaluado, apuntando hacia la dirección a la cual se está moviendo la partícula en el momento en que se encuentra en dicho punto. Pero en la física relativista, la posición instantánea de una partícula está representada en un espacio4-dimensional como un punto cualquiera en la línea del mundo que la partícula va trazando en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski. La pregunta entonces es, ¿con respecto a qué podemos tomar la derivada de esa 4-posición para poder definir la 4-velocidad relativista, si el tiempo ha dejado de ser absoluto en la Teoría de la Relatividad? La respuesta a este dilema resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Recurrimos al tiempo propio medido por un reloj que se está desplazando junto con el móvil. Si bien es cierto que el tiempo ha dejado de ser absoluto y

avanzará de modo distinto para varios observadores moviéndose el uno con respecto al otro, el tiempo propio, simbolizado como τ, siempre seguirá siendo el mismo para un viajero que se esté desplazando a lo largo de su línea del mundo. Siendo el tiempo propio una invariante, esto nos garantiza que la derivada con respecto al tiempo propio de cualquier 4-vector también será un 4vector. De este modo, definimos a la 4-velocidad de la manera siguiente:

siendo este 4-vector un vector tangente a la curva (línea del mundo) en el punto en donde es evaluado, como el siguiente vector tangente de color rojo (aunque la figura está hecha en un plano, téngase en cuenta que la línea del mundo representada por la curva de color negro es una línea trazada en un espacio de cuatro dimensiones):

Al familiarizarnos con el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo obtuvimos la siguiente relación entre el tiempo propio τ medido en un sistema en reposo y el tiempo medido por un observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo: t = γτ Tomando infinitesimales, tenemos lo siguiente: dτ = dt/γ

En un sistema de coordenadas Cartesianas, si tomamos el vector posición para fijar un punto en el espacio cuatri-dimensional: [ct, x, y, z] entonces la 4-velocidad correspondiente la obtendremos tomando la derivada de cada una de las componentes con respecto al tiempo propio τ: U = [d(ct)/dτ, dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ] Sustituyendo dτ por dt/γ: U = [cγ, γ(dx/dt), γ(dy/dt), γ(dz/dt)] Pero: ux = dx/dt uy = dy/dt uz = dz/dt Entonces: U = [γc, γux, γuy, γuz] Si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por la masa propia del cuerpo que se está desplazando a lo largo de una línea del mundo con esta velocidad U tendremos entonces: m0U = [γm0c, γm0ux, γm0uy, γm0uz] Reescribiendo el primer componente en el lado derecho:

m0U = [γm0c²/c, γm0ux, γm0uy, γm0uz] podemos identificar de inmediato al término γm 0c² como la energía relativista total E, y del mismo modo podemos identificar a γm0ux como el momentum relativista en el eje-x, γm0uy como el momentum relativista en el eje-y, y γm0uz como el momentum relativista en el eje-z, o sea: m0U = [E/c, px, py, pz] Pero el lado derecho es lo que ya habíamos definido como el 4-momentum o el 4-vector energíamomentum. Esto significa que la masa propia de un cuerpo m0 multiplicada por su 4-velocidad U es igual al 4-momentum del cuerpo: P = m0U Queda claro que el 4-momentum es una consecuencia directa del 4-vector espacio-tiempo. Esta es la razón de fondo del por qué las leyes de transformación de la energía-momentum son tan parecidas a las transformaciones de Lorentz. Del mismo modo en que definimos a la 4-velocidad como la derivada de los cuatro componentes que forman las coordenadas del espacio-tiempo relativista, podemos definir también a la 4aceleración, la cual no es más que la derivada con respecto al tiempo propio del móvil de la 4velocidad:

Esta definición de aceleración es perfectamente válida para un cuerpo que siempre se está trasladando en movimiento rectilíneo en un espacio-tiempo plano (un marco de referencia Lorentziano), o sea el espacio-tiempo en el cual ocurre la fenomenología de la Teoría Especial de la Relatividad. Sin embargo, resultará ser insuficiente para poder manejar movimientos que ocurren en un espacio-tiempo curvo en los cuales el cuerpo está cambiando constantemente de dirección, como ocurre con el movimiento de los planetas en torno al Sol. Si intentamos usar esta definición de aceleración, las expresiones resultantes variarán en forma al pasar de un marco de referencia a otro. La única manera en la cual es posible continuar utilizando una definición de aceleración en este último caso consistirá en redefinir el vector clásico como un tensor, y en reemplazar la derivada con respecto al tiempo propio por otro tipo de derivada conocida como la derivada

covariante. La definición de un 4-espacio de uso general nos va preparando para el salto eventual que daremos de la Teoría Especial de la Relatividad a la Teoría General de la Relatividad, en donde seguiremos utilizando los 4-vectores, eso permanecerá inalterado. Lo único que cambiará será la matriz de transformación. La matriz de transformación que hemos estado utilizando hasta ahora es una basada en las transformaciones de Lorentz, propias de lo que llamamos un espaciotiempo plano en donde los marcos de referencia se han estado moviendo el uno con respecto al otro a velocidad constante. Pero si los marcos de referencia han de estar acelerándose el uno con respecto al otro sin mantenerse una velocidad constante, es de suponerse que ello se verá reflejado directamente en la matriz de transformación de un marco de referencia a otro, una matriz basada ya no en las transformaciones de Lorentz sino en algo de carácter más general, propio de eso que llamamos un espacio-tiempo curvo. Habiendo sido capaces de definir una 4-velocidad, un 4-momentum y una 4-aceleración en el espacio-tiempo Lorentziano, nos preguntamos ahora si es posible definir una 4-fuerza. La respuesta es afirmativa, y tal 4-vector es conocido como la 4-fuerza de Minkowski o simplemente como la 4-fuerza. Para definirla, empezaremos extendiendo la definición Newtoniana clásica de la fuerza como el cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo con respecto al tiempo, tomando en la derivada con respecto al tiempo tiempo propio τ:

La diferencia crucial de la 4-fuerza con respecto a la definición clásica es que esta última está especificada como un vector de tres componentes espaciales, mientras que la 4-fuerza relativista está especificada como un 4-vector:

Usando como guía los resultados intermedios obtenidos arriba, vemos que cada una de las cuatro componentes del 4-momentum se puede reemplazar de la siguiente manera:

Puesto que la derivada de un vector (en este caso con respecto al tiempo propio) es igual a la derivada de sus componentes, metiendo la derivada d/dτ tenemos:

Esta es esencialmente la definición de la 4-fuerza de Minkowski, para la cual podemos utilizar las siguientes abreviaturas para la identificación del primer componente Ft (el componente temporal) y los tres componentes espaciales Fx, Fy y Fz:

PROBLEMA: Encontrar las relaciones de tranformación para una 4-fuerza de Minkowski de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’. Utilizaremos las siguientes relaciones de transformación de Lorentz: t’ = γ(t - Vx/c²) x’ = γ(x - Vt) y’ = y z’ = z Empezaremos trabajando sobre la componente temporal de la 4-fuerza de Minkowski en el marco de referencia S’ en donde esta componente temporal F’t debe estar dada por la siguiente relación:

Recurriendo a la relación apropiada de transformación de Lorentz, tenemos que:

Tomando la derivada interior y utilizando la abreviatura β = V/c tenemos entonces:

Tomando ahora la otra derivada y reagrupando:

Pero lo que tenemos entre los paréntesis son las componentes temporal y espacial que corresponden a la 4-fuerza en el marco de referencia S, de modo que podemos asentar lo siguiente: F’t = γFt - γβFx

F’t = γ(Ft - VFx/c) Esta es nuestra primera relación de transformación para la 4-fuerza, correspondiente a la componente temporal. Ahora trabajaremos sobre la primera componente espacial de la 4-fuerza de Minkowski en el marco de referencia S’ en donde esta componente espacial F’x debe estar dada por la siguiente relación:

Recurriendo a la relación apropiada de transformación de Lorentz, tenemos que:

Tomando la derivada interior tenemos entonces:

Reagrupando y utilizando la abreviatura β = V/c tenemos entonces::

Nuevamente, lo que tenemos entre los paréntesis son las componentes espacial y temporal que corresponden a la 4-fuerza en el marco de referencia S, de modo que podemos asentar lo siguiente: F’x = γFx - γβFt F’x = γ(Fx - VFt/c) Esta es nuestra segunda relación de transformación para la 4-fuerza, correspondiente a la primera componente espacial. Las transformaciones correspondientes a las otras dos componentes espaciales son triviales:

De este modo, el conjunto de las transformaciones correspondientes a la 4-fuerza de Minkowski se puede resumir de la siguiente manera: F’t = γ(Ft - VFx/c) F’x = γ(Fx - VFt/c) F’y = F’y F’z = F’z Ahora bien, haciendo una analogía con el intervalo relativista, podemos tomar el producto escalar de dos vectores A y B tal y como se define en el análisis vectorial Euclideano tradicional:

y definir un producto escalar relativista o 4-producto escalar de la siguiente manera:

Es extremadamente importante no confundir en ningún momento el producto escalar entre dos vectores del espacio tridimensional Euclideano y el 4-producto relativista, empezando por el hecho de que uno tiene únicamente signos positivos mientras que el otro tiene una combinación de signos positivos y negativos. PROBLEMA: Usando la definición del 4-producto escalar relativista, demostrar que el 4-producto escalar del vector 4-velocidad consigo mismo es una invariante. Empezaremos con la definición del 4-vector velocidad al cual denominaremos U:

cuyas componentes espaciales podemos representar del modo siguiente:

Usando la definición básica del “factor de corrección” γ así como la relación que nos proporciona cuantitativamente la dilatación del tiempo: γ = 1/√1 - V²/c² dt/dτ = γ podemos obtener lo siguiente:

El 4-producto escalar relativista del vector velocidad U consigo mismo será:

Factorizando:

Pero la suma de términos cuadráticos dentro de los paréntesis cuadrados es igual al cuadrado de la magnitud del vector velocidad tri-dimensional Euclideana V. Entonces:

Factorizamos ahora de la siguiente manera:

Usando la relación explícita para γ, esto nos produce el siguiente resultado:

Puesto que la velocidad de la luz es una constante absoluta que permanece invariante para todos los marcos de referencia, se concluye que el 4-producto escalar del vector 4-velocidad consigo mismo es una invariante. PROBLEMA: Usando la definición del 4-producto escalar relativista, demostrar que el 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo es una invariante. Usando la 4-velocidad U del problema anterior, el vector 4-momentum lo podemos definir de la siguiente manera: P = m0U El 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo será entonces: P · P = m0U · m0U P · P = m0² [U · U] Pero ya vimos en el problema anterior que U·U = c². Entonces:

P · P = m0² c² Puesto que tanto la masa propia m0 como la velocidad de la luz son invariantes, se concluye que el 4-producto escalar del vector 4-momentum consigo mismo es una invariante. PROBLEMA: Si A es un 4-vector relativista, demostrar que:

En este caso:

A · A = a1 · a1 - a1 · a1 - a1 · a1 - a1 · a1 A · A = (a1)² - (a2)² - (a3)² - (a4)² Tomando la derivada con respecto al tiempo propio:

Puesto que: dA/dτ = [ da1/dτ , da2/dτ , da3/dτ , da4/dτ ] recurriendo nuevamente a la notación del 4-producto escalar obtenemos el resultado pedido. PROBLEMA: Demostrar que el 4-producto escalar entre el 4-vector velocidad y el 4-vector aceleración es igual a cero. Siendo el 4-vector aceleración la derivada con respecto al tiempo propio del 4-vector velocidad, o sea: dU/dτ Podemos utilizar la relación obtenida en el problema anterior para poner:

Pero ya vimos en un problema anterior que U·U = c². Y como la derivada de una constante, en este

caso con respecto al tiempo propio, es igual a cero, se concluye que:

Al estar hablando acerca de aceleraciones, podemos estarnos refiriendo a una de dos cosas diferentes: (1) una aceleración dirigida en el mismo sentido en el cual está apuntando el vector velocidad de un objeto que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea, y (2) una aceleración que saca al objeto de su trayectoria rectilínea y lo desvía hacia otro lado. Para un objeto que se está acelerando, no hay marco de referencia alguno en el cual se le pueda considerar en reposo. Sin embargo, existe un marco de referencia inercial el cual momentáneamente tiene la misma velocidad que la del objeto que se está acelerando. Este marco de referencia es conocido como el sistema de referencia comóvil (en inglés, comoving reference frame) o, más apropiadamente, marco de reposo instantáneo(instantaneous rest frame) o marco de referencia comóvil momentáneo (momentarily comoving reference frame). Por un instante, este marco de referencia moviéndose a velocidad constante en movimiento rectilíneo coincide con el objeto que se está acelerando, y en ese instante de tiempo ambos tienen la misma velocidad y se dirigen en la misma dirección. Por eso se le llamacomóvil. Una vez pasado ese instante, la partícula ya no se está comoviendo junto con el marco de referencia. Siendo el sistema de referencia comóvil un sistema de referencia que por un instante de tiempo se mueve junto con un objeto en movimiento a la misma velocidad que en ese instante lleva el objeto, respecto al sistema de referencia comóvil el objeto siempre está en reposo. Para cada instante de tiempo, habrá un sistema comóvil diferente para el objeto. En un espacio tri-dimensional Euclideano (no-relativista) esto tendrá un aspecto como el que se bosqueja en la siguiente figura en la cual el objeto se está desplazando a lo largo de una curva de color rojo y en la cual el vector T es la velocidad tangente en cada punto de la curva mientras que el vector N es el vector que apunta hacia el centro instantáneo de la curvatura de la trayectoria (el vector B es un vector perpendicular a ambos vectores T y N, formándose así un pequeño “sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas” que parece estar viajando con el objeto:

Normalmente se usa el sistema comóvil en el cual la partícula o el centro de gravedad del sólido ocupa el origen de coordenadas del sistema comóvil. PROBLEMA: ¿Es el sistema de referencia comóvil un marco de referencia que viaja junto con el objeto que se está trasladando en un espacio-tiempo? Si el objeto se desplaza a velocidad constante siguiendo un movimiento rectilíneo, entonces en cada punto de su trayectoria tiene tiene un marco de referencia en el que se encuentra instantáneamente en reposo que se puede considerar que “viaja” con él. Pero si el cuerpo se está acelerando cambiando de dirección, un marco de referencia ligado al objeto en movimiento también se estaría acelerando y dentro de dicho marco se experimentarían fuerzas de aceleración inexistentes en un marco en reposo. En este último caso, para cada instante de tiempo habrá un marco de referencia comóvil que ciertamente no “viaja” junto con el objeto. En la mecánica relativista al igual que en la mecánica clásica, el objeto está en reposo respecto al sistema de referencia comóvil por lo que su velocidad espacial respecto al mismo será cero en todo momento, y por tanto la 4-velocidad sólo tendrá componente temporal: V = (Vt, Vx, Vy, Vz) = (Vt, 0, 0, 0) Desafortunadamente, el sistema de referencia comóvil no siempre puede asociarse a un sistema de coordenadas curvilíneas, y esto se debe a que no existe una equivalencia entre la clase de todos los posibles sistemas de coordenadas y la clase de todos los observadores posibles del espacio-tiempo. De cualquier modo, este sistema de referencia resulta útil al dar el salto de la

Teoría Especial de la Relatividad hacia la Teoría General de la Relatividad en donde pasamos de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo.

19. EL GERMEN DE UNA IDEA Bernhard Riemann, el fundador de la geometría moderna, considerado por muchos como el padre de la geometría diferencial, no vivió el tiempo suficiente para ver el nacimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, lo cual tuvo lugar en 1905, 39 años después de su muerte, y por lo tanto jamás tuvo conocimiento alguno de efectos físicos relativistas tales como la contracción de longitud o de conceptos tales como un espacio-tiempo cuatri-dimensional. Cierto es que consolidó las herramientas matemáticas necesarias para el estudio de espacios geométricos de cualquier número de dimensiones, pero jamás estableció formalmente una conexión directa entre sus propias contribuciones a la matemática teórica y la aplicación de dichos conceptos al mundo real. Sin embargo, Riemann, al igual que otros pensadores de su tiempo, se encontraba insatisfecho con la postulación de la ley de la gravitación universal de Newton enunciada por vez primera en 1687, se resistía a creer en la existencia real de una fuerza totalmente invisible actuando entre dos cuerpos, responsable de producir una atracción entre dichos cuerpos en razón directa del producto de sus masas. Cierto, ya para su tiempo las leyes de Newton habían trabajado admirablemente bien en la explicación de muchos fenómenos astronómicos y en la predicción de sucesos tales como el retorno del cometa Halley (el regreso del Halley en 1759 constituyó en su día un espectacular triunfo de la teoría de Newton). El difirendo no era tanto con la confirmación exitosa de dicha ley, sino más bien una cuestión de fondo filosófico, con la renuencia en aceptar la realidad de esa fuerza gravitatoria invisible entre dos cuerpos propuesta por Newton. Fueron precisamente estas dudas las que llevaron a Riemann a considerar la posibilidad de que tal fuerza de gravedad ni siquiera existía, que la atracción entre dos cuerpos se debía no a fuerza alguna actuando entre ellos a través del espacio interestelar, una acción-a-distancia, sino a un efecto estrictamente geométrico, a la contracción del espacio existente entre dos cuerpos. Esta era una diferencia muy sutil pero revolucionaria para su época. Para Newton, el espacio era absoluto, invariable, y si dos cuerpos flotando en el espacio separados una distancia de 10 metros se acercaban entre sí por su atracción gravitatoria a una distancia de 4 metros, los diez metros originales seguían allí, eran los cuerpos los que habían consumido seis metros de dicho espacio al acercarse el uno al otro. Pero para Riemann, los cuerpos no se movían para nada de sus posiciones originales, lo que sucedía era que el espacio entre ellos se había contraído. Desafortunadamente, Riemann jamás pudo concretar estas ideas porque lo que visualizaba era una contracción del espacio tridimensional, y lo que se necesitaba era un espacio de cuatro dimensiones,no de tres. Pero la sospecha estaba sembrada, y Riemann le dejó al mundo las herramientas matemáticas para explorarla. No es difícil darse cuenta de cómo Einstein pudo haber llegado a la conclusión de que la atracción gravitacional entre dos cuerpos pudiera deberse a efectos relativistas, tomando como punto de partida la Teoría Especial de la Relatividad. Para ello, imaginemos a nuestro proverbial viajero en el ferrocarril en su marco de referencia S', e imaginemos también a un lado de las vías del

ferrocarril no a uno sino a varios observadores en el marco de referencia S separados distancias iguales. Supongamos también que al pie de cada uno de estos observadores hay dos esferas metálicas iguales separadas diez metros entre sí. Si el viajero pasa frente al primer observador a muy baja velocidad, a paso de tortuga, él también verá el primer par de esferas separadas diez metros. Supongamos ahora que el tren aumenta su velocidad hasta alcanzar una velocidad igual a la mitad de la velocidad de la luz (0.5c). Al pasar frente al siguiente par de esferas, las verá más próximas la una a la otra. La Teoría Especial de la Relatividad predice esto, y la distancia reducida puede ser calculada sin dificultad alguna utilizando la fórmula para la contracción de longitud. Ahora supongamos que el tren en el que se traslada nuestro viajero aumenta su velocidad de 0.5c a 0.8c. Al hacer esto, el tren dejó de moverse a una velocidad constante, se tuvo que acelerar para poder cambiar su velocidad de 0.5c a 0.8c. La longitud entre el siguiente par de esferas metálicas será más pequeña que la distancia de separación que había visto entre las esferas anteriores. Tras esto, supongamos nuevamente que el tren en el que se traslada nuestro viajero cambia su velocidad de 0.8c a 0.9c, acelerándose nuevamente. La longitud entre el siguiente par de esferas metálicas será todavía más pequeña que la distancia de separación que había visto entre las esferas anteriores. Esto lo podemos visualizar en los siguientes diagramas:

Cambiemos ahora a nuestro viajero a un carrousel girando cada vez con mayor rapidez, pasando cada vez más rápido frente a un solo y mismo observador en tierra el cual en su marco de referencia S' tiene a sus pies a dos esferas metálicas separadas diez metros. Al volver a pasar el viajero frente al observador una y otra vez a una velocidad cada vez mayor, abriendo y cerrando sus ojos sólo cuando pasa frente a las esferas, para él las esferas se están acercando como si hubiese un efecto de atracción entre las mismas. Pero para el observador en tierra, las dos esferas en reposo frente a él siguen separadas a una misma distancia de diez metros. Lo que sucede, tal y como lo imaginara Riemann, no es que las esferas se estén atrayendo la una a la otra como si fuesen imanes, es el espacio entre las esferas el que está haciéndose más pequeño. Esto explica la misteriosa “fuerza de atracción” entre dos cuerpos postulada por Newton, redefiniéndola como la consecuencia directa de una disminución del espacio, o mejor dicho del espacio-tiempo, entre dos cuerpos. Por otro lado, como el viajero está moviéndose a velocidades cada vez mayores, se está acelerando, definida la aceleración como un cambio en la velocidad con respecto al tiempo en que aumentó (o disminuyó) dicha velocidad, lo cual encaja en la fórmula de Newton que nos dice que una fuerza Faplicada sobre una masa m es directamente proporcional a la aceleración a que produce sobre dicha masa, o sea F = ma. Tenemos pues una explicación geométrica, basada en efectos relativistas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, acerca de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, bajo una situación en la que tenemos una aceleración como la que provoca una fuerza sobre una masa m. Sin embargo, hay algo ausente. En esta explicación que se acaba de dar no intervienen para nada las masas de las esferas metálicas. Y sabemos que bajo el esquema de Newton la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas, y en tanto mayores sean las masas tanto mayor será la “fuerza gravitacional” entre las masas y por ende la aceleración que se producen entre sí al estar la una en presencia de la otra. Este es el gran salto que Riemann ya no pudo dar. Para obtener el efecto de una contracción continua del espacio entre dos cuerpos como lo acabamos de ver, el viajero tiene que estarse moviendo no a una velocidad uniforme y constante con respecto al observador en tierra, sino a velocidades cada vez mayores, se tiene que estar acelerando, y en esta situación en la cual aparentemente hay un observador privilegiado (el que se está acelerando, ya que el observador en tierra no siente los efectos de ninguna aceleración) la filosofía básica detrás de la Teoría Especial de la Relatividad ya no es suficiente, la teoría tiene que ser ampliada de alguna manera para incluír marcos de referencia acelerados el uno con respecto al otro. Tenemos que abandonar el cómodo universo de movimientos rectilíneos uniformes a velocidad constante para extendernos hacia el ámbito de movimientos acelerados, lo cual desde la perspectiva matemática nos va a complicar las cosas al hacernos pasar de un entorno linear a un entorno no-linear, obligándonos a recurrir a las herramientas del cálculo infinitesimal para poder describir con números lo que está ocurriendo. Inclusive en la mecánica

clásica, este salto es más que obvio si comparamos la gráfica de un cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniforme (recorriendo distancias iguales en tiempos iguales):

con la de un cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el cual la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido, o sea x = at²/2:

Y es importante tomar en cuenta también que no sólo un cuerpo que está en movimiento rectilíneo moviéndose siempre hacia adelante en la misma dirección pero cambiando su velocidad constantemente es capaz de experimentar una aceleración. También un cuerpo que se está moviendo a una velocidad constante pero que está cambiando continuamente su dirección experimenta una aceleración. En la siguiente gráfica trazada sobre un plano x-y en donde no se muestra a la variable tiempo tenemos una descripción de esto:

Podemos imaginarnos a un carro que está a una distancia r1 de un origen O moviéndose a una velocidad constante de 40 kilómetros por hora en la dirección indicada por el vector velocidad V1, el cual al llegar a un punto que está a una distancia r2 del origen se sigue moviendo a la misma velocidad de 40 kilómetros por hora pero ahora en la dirección indicada por el vector velocidadV2. La magnitud de la velocidad (la rapidez del vehículo) sigue siendo la misma, pero su dirección ha cambiado, y este cambio vectorial que podemos denotar como ΔV definitivamente tiene una longitud que podemos calcular como se muestra arriba, la cual al ocurrir en cierto tiempo Δt nos produce una aceleración a que podemos definir vectorialmente de la siguiente manera:

En esta fórmula, la cual considera la posibilidad de cambios bruscos en el sentido de la velocidad, tratamos de definirla en lo más cercano que pueda haber a un punto, de modo tal que al avanzar vectorialmente una cantidad muy pequeña ΔV en una cantidad muy pequeña de tiempo Δt, lo más pequeña posible, obtenemos lo más cercano que pueda haber a una aceleración vectorial del vehículo al pasar por dicho punto. Esta, desde luego, es la definición infinitesimal de una aceleración vectorial, usando diferenciales:

Un pasajero que viaje en un automóvil sabe que está experimentando este tipo de aceleración cuando está dando la vuelta en una esquina a gran velocidad, se dá cuenta de las fuerzas que el vehículo aplica sobre ella para hacerla cambiar de dirección junto con el vehículo. Este tipo de aceleración es precisamente la aceleración centrípeta que experimentan la Luna al girar en torno a la Tierra. Es precisamente el tipo de movimiento circular (o mejor dicho, elíptico) que una Teoría de la Relatividad intenta explicar pero sin recurrir a la suposición de fuerzas de atracción gravitacional, fuerzas invisibles que actúan “a distancia”. La conexión crucial que tenía que ser establecida requirió igualar, filosóficamente y matemáticamente, los efectos relativistas observados por nuestro proverbial viajero en su marco de referencia acelerado con la aceleración provocada por un campo gravitacional, un campo gravitacional que geométricamente hablando no es más que una curvatura en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones causada a su vez por la presencia de masa-energía en dicho espacio cuatridimensional. Hecho esto, todo lo demás se obtiene como consecuencia directa de estas premisas básicas.

20. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Al estudiar la Teoría Especial de la Relatividad, había quedado un asunto pendiente, y este asunto era el de los observadores sujetos a cambios de velocidad. Un observador como lo es el caso de un astronauta que viaja en el espacio y que experimenta una aceleración al encender los motores para aumentar la velocidad de su nave la puede medir con instrumentos que tenga a la mano, y también puede sentir sobre su cuerpo los efectos de la aceleración. Esto parece colocarlo en un plano privilegiado sobre otro observador estático en el espacio que lo está viendo acelerarse y que no experimenta fuerza alguna y el cual de no ser por la confirmación visual de que el astronauta se está acelerando no se daría cuenta de ello. Para resolver y estudiar esta cuestión, Einstein formuló un principio sobre el cual descansa toda laTeoría General de la Relatividad a la cual nos podemos referir simplemente como laRelatividad General: el principio de equivalencia, el cual nos dice lo siguiente: Principio de Equivalencia: Para una persona situada dentro de una caja herméticamente sellada, no existe diferencia entre el estar en el espacio con la caja acelerándose y otra persona situada en una caja similar reposando en un campo gravitacional. Puesto de otra manera, si la persona está encerrada en una caja blindada del exterior, la persona no tiene forma alguna de saber si la caja está en el espacio acelerándose o si la caja está en presencia de un campo gravitacional. Ambas condiciones son equivalentes para cualquier tipo de experimento que pretenda llevar a cabo. Esto lo podemos ilustrar de la siguiente manera:

En el dibujo de la izquierda, tenemos a un astronauta cuya nave espacial está acelerándose hacia arriba. Si el astronauta suelta una pelota, la pelota caerá hacia abajo como consecuencia de la aceleración. Y en el dibujo de la derecha, tenemos a una persona cuya caja en la que se encuentra está en reposo en un campo gravitacional. También esta persona, si suelta una pelota, la verá caer hacia abajo pero esta vez como consecuenciade la atracción ejercida por el campo gravitacional. Ambas personas ven caer la pelota hacia abajo. Y si la caja en la que están encerradas es una caja herméticamente sellada y blindada, no tienen forma de saber en base a cualquier experimento que pretendan llevar a cabo si están en una caja que se está acelerando en el espacio o si están en una caja que está en reposo en un campo gravitacional. En el experimento hipotético considerado en la entrada “El germen de una idea” con nuestro proverbial viajero montado en un carrousel que va pasando a velocidades cada vez mayores frente a dos esferas metálicas que a causa de la contracción de longitud relativista propia de la Teoría Especial de la Relatividad parecen irse acercando la una a la otra como si hubiese una fuerza de atracción mágica entre ellas, la objeción podría formularse de que al pasar frente a las esferas metálicas el viajero está experimentando una aceleración lineal, constante, y lo que vería serían las esferas metálicas acercándose la una a la otra a una velocidad constante, no a una aceleración constante propia de una atracción gravitacional. Pero se recuerda aquí que la aceleración producida por la gravedad de la Tierra en su superficie (de 9.8 metros/segundo²) es válida únicamente en la superficie de la Tierra. A distancias cada vez mayores de nuestro planeta esa aceleración va disminuyendo hasta tomar prácticamente un valor de cero, de modo tal que esta aceleración gravitacional no es constante. Del mismo modo, si la aceleración que experimenta el viajero cada vez que pasa frente a las esferas metálicas no es constante sino que va aumentando en forma graduada, el viajero verá a las esferas metálicas “atraerse” en forma acelerada, propia de un campo gravitacional. Y esto justifica ya la equivalencia de un campo gravitacional como consecuencia directa de efectos relativistas. Detrás del Principio de Equivalencia subyace algo que inclusive el mismo Newton había ya sospechado y considerado en su época, la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitacionalde un cuerpo. La masa inercial es esencialmente la resistencia que presenta un cuerpo flotando en el espacio a ser acelerado, precisamente es a lo que se refiere la ley de la inercia de Newton cuando nos dice que todo cuerpo de masa m presenta una resistencia a que se le cambie su cantidad de movimiento, resistencia al cambio ocasionada precisamente por su masa inercial mi. Por otro lado lamasa gravitacional es la atracción que ejerce un campo gravitacional sobre un cuerpo que medida nos indicaría una masa mg para dicho cuerpo. La masa inercial es la que posee un cuerpo que está flotando en el espacio vacío interestelar, es la característica propia del cuerpo que se resiste a ser acelerado sacándolo de su estado inerte o estado de reposo poniéndolo en movimiento (regresándolo “a la vida”) cuando se le aplica una fuerza, mientras que la masa gravitacional es la que determina elpeso de un cuerpo en reposo descansando sobre la superficie de un planeta, es la que determina que una persona sea más ligera sobre la superficie de la Luna que sobre la superficie de la Tierra, y más pesada sobre la superficie de Saturno. Clásicamente, en el espacio vacío, la fuerza F requerida para provocar una aceleración a sobre un

cuerpo está dada por la fórmula: F = mi a mientras que sobre la superficie de la Tierra el peso W de un cuerpo está dado por una fórmula semejante: W = mg g siendo g la aceleración que tendría un cuerpo al ser dejado caer en la superficie de la Tierra. La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio de velocidad, mientras que la masa gravitacional es la medida de la fuerza de atracción gravitatoria que experimenta una masa en relación a la demás de acuerdo con la fórmula Newtoniana para la fuerza gravitatoria entre dos partículas. Einstein lo que hizo fué, en efecto, adoptar matemáticamente la relación: mi = mg elevándola al grado de postulado básico para usarla como punto de partida para su Teoría General de la Relatividad. Es importante aclarar que no hay razón a priori para suponer que la masa inercial de un cuerpo sea igual a su masa gravitacional del mismo modo que no hay razón a priori para suponer que un kilogramo de masa gravitacional de un bloque metálico de hierro tenga las mismas propiedades físicas que la masa gravitacional de un bloque metálico de níquel (independiente del tipo de elemento del que está formado el bloque), y del mismo modo que no hay razón alguna para suponer de antemano que la cantidad de átomos que contenga un gramo de azúcar sea igual a la cantidad de átomos que contenga un gramo de agua. Este tipo de datos son información que se recaba experimentalmente, de la experiencia. Hasta donde nos lo han permitido numerosos experimentos efectuados con un grado de precisión muy alto, la masa inercial y la masa gravitacional se pueden tomar como si fueran iguales; si no lo son posiblemente no exista en la actualidad un experimento con la suficiente sensibilidad que nos permita detectar esa mínima diferencia que pudiera haber entre ambas (por ejemplo, de una parte en 1080, lo cual estaría fuera de nuestro alcance). El principio de equivalencia nos permite partir de la base que ya tenemos, la Teoría Especial de la Relatividad, en donde se ha supuesto que el espacio-tiempo es plano, considerando fenómenos de aceleración dentro de dicha teoría y dando por hecho que, si la aceleración es la misma, el

comportamiento de un cuerpo será el mismo ya sea que esté siendo acelerado en el espacio libre mediante la aplicación de una fuerza (masa inercial) o que se encuentre en estado de reposo en un campo gravitacional que le pueda provocar la misma aceleración si se le deja caer (masa gravitacional). El efecto de las aceleraciones es incorporado dentro del modelo matemático de la Teoría de la Relatividad dejando atrás el modelo plano del espacio cuatri-dimensional propio de la Teoría Especial de la Relatividad, para permitirle al plano tomar una curvatura. En efecto, el continuum tiempo-espacio puede adquirir una curvatura. ¿Y qué es lo que puede provocar tal curvatura en un modelo plano en el que únicamente aplicaban los principios de la Teoría Especial de la Relatividad? La presencia de masa. En donde hay alguna masa, el espacio-tiempo resiente una deformación, la cual será mayor tanto mayor sea la masa que está produciendo la curvatura. La imagen típica con la cual se intenta transmitir esta idea es la de una malla flexible con la cual se intenta simbolizar un espacio-tiempo plano de Minkowski, sobre la cual se coloca una esferita metálica que provoca el hundimiento que nos representa la curvatura:

Sin embargo, es importante no tomar muy a pecho esta representación pictórica de la curvatura introducida en un espacio-tiempo plano por la presencia de una masa, en virtud de que lo que se está tratando de representar es una curvatura que ocurre en cuatro-dimensiones, utililizando para ello no una representación gráfica cuatri-dimensional, ni siquiera una representación tridimensional, sino una representación plana como la que tenemos arriba. La imagen sirve

únicamente para los fines de transmitir una idea, la idea de una curvatura en el espacio-tiempo plano, pero no tiene intención alguna de ser interpretada literalmente. Como en base a uno de los resultados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad, la masa y la energía son equivalentes, ambas son manifestaciones diferentes de la misma cosa, pudiendo referirnos a ambas como la masa-energía, dentro de la Relatividad General podemos afirmar quetoda presencia de masa-energía introduce una curvatura en el continuum espacio-tiempo. En donde no hay masa-energía (en castellano, en donde no hay nada de masa ni de energía) cercana no habrá tampoco ninguna curvatura en el espacio-tiempo, y las fórmulas propias de la Teoría Especial de la Relatividad son las únicas que necesitamos para estudiar los fenómenos que se presenten en dicha región. Expresado sin recurrir a fórmula alguna: curvatura = concentración de masa y energía Esto es simbolizado de manera más formal con la ecuación más importante de la Teoría General de la Relatividad:

Esta es la ecuación dimensionalmente correcta. Sin embargo, al igual que como ocurre en la Teoría Especial de la Relatividad para fines de análisis y para fines de representación esquemática en los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, dada la enorme magnitud de la cifra que representa la velocidad de la luz se acostumbra por convención hacerla igual a la unidad, o sea c = 1, con lo cual tenemos a la ecuación en una de sus representaciones más populares:

En el lado izquierdo de la ecuación tenemos una entidad conocida como la curvatura, representada por el símbolo G. Y del lado derecho tenemos tenemos otra entidad que representa todo lo que tiene que ver con la masa-energía, absolutamente todo, simbolizada como T. La constante G es la constante de gravitación universal que en el sistema de mediciones métrico decimal es igual a 6.674215 x 10-11 m3/kg-seg², una constante que debe ser medida y obtenida experimentalmente; se trata de la misma constante universal que Newton requirió usar

para que su fórmula de atracción gravitacional entre dos cuerpos concordase con los fenómenos astronómicos analizados bajo la mecánica Newtoniana. Puesto que 8 y π son también constantes (numéricas) el factor 8πG en sí no es más que una constante, de la cual si prescindimos tenemos una relación cualitativa que del lado derecho nos está simbolizando la curvatura en el espaciotiempo y del lado derecho nos está simbolizando el contenido en masa-energía y momentum que está produciendo la curvatura señalada. Debe enfatizarse el hecho de que la curvatura en la carta (manifold) espacio-tiempo es una curvatura de un espacio en cuatro dimensiones, y por lo tanto no es una curvatura que podamos percibir geométricamente de manera directa. Esta curvatura la percibimos a través de los efectosque produce tales como la rotación de los planetas alrededor del Sol. La curvatura en el espacio-tiempo le dice a la masa-energía cómo y en qué sentido debe moverse, mientras que la masa-energía le dice al espacio-tiempo cuánto y de qué manera debe “curvearse”. Esta ecuación lo que nos está diciendo esencialmente es que cuando T no tiene un valor de cero (en todas sus componentes), Gtampoco lo tendrá (en todas sus componentes) y por lo tanto habrá una curvatura en el continuumtiempo-espacio. El lector avispado tal vez empiece a percibir aquí un problema: si A le dice a B cómo debe moverse, y si B le dice a A cómo debe “curvearse” para que B a su vez le diga a A cómo debe moverse, ¿entonces cómo vamos a resolver las ecuaciones que nos describan cualquier tipo de situación? Es aquí que tenemos que confrontar una dura realidad: los problemas postulados dentro del marco de la Teoría General de la Relatividad, hablando en términos generales, son irresolubles matemáticamente, sólo se pueden obtener soluciones exactas para casos particulares o recurriendo a aproximaciones. Afortunadamente, hay algunos casos particulares, especialmente aquellos en los que tomamos ventaja de la simetría esférica, en donde podemos obtener soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Pero el caso general, sobre todo el caso en el que tenemos que recurrir a simulaciones computarizadas a causa de la no-linearidad de las ecuaciones diferenciales involucradas, es algo que inclusive justifica el tener que recurrir a las supercomputadoras de hoy en día para poder encontrar soluciones razonablemente aproximadas. Siguiendo una idea propuesta inicialmente por Max Planck de asignarle a las constantes físicas un valor unitario en vez de utilizar sistemas de medición concebidos artificialmente por el hombre que no están basados en algo válido en el Universo entero que sea independiente de criterios arbitrarios, en lo que Max Planck llamó “unidades naturales” y que en la Teoría de la Relatividad se conoce comounidades geometrizadas a la constante de gravitación universal G se le asigna también un valor de 1. Con esto, la ecuación más importante de la Teoría General de la Relatividad se nos presenta frecuentemente en muchos textos y trabajos científicos de la siguiente manera simplificada:

Hay que tener mucha precaución con esta que podemos considerar la fórmula fundamental de la

Teoría General de la Relatividad, porque es una ecuación tensorial, y el nombre correcto de Ges el de tensor de curvatura de Einstein, mientras que el nombre correcto de T es el de tensor energíamomentum ó tensor energía-tensión ó tensor energía-impulso, y cada uno de ellos requiere para su especificación completa un total de 16 componentes. Las ecuaciones del campo gravitacional o simplemente ecuaciones de campo de la Relatividad General, expresadas en su forma más explícita, tienen el siguiente aspecto en notación tensorial: R - ½gR = 8πGT en donde R = (Rμν) es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de Ricci, g = (gμν) es eltensor métrico y T = (Tμν) es el tensor energía-tensión o tensor energía-impulso (stress-energy tensor). En notación de sub-índices, la anterior ecuación se escribe de la siguiente manera:

En un espacio de cuatro dimensiones, cada uno de los tensores representa una cantidad física que consta de 16 componentes y la cual puede ser representada como una matriz 4x4. A manera de ejemplo, las 16 componentes del tensor T = (Tμν), expresadas en forma de matriz, tienen el siguiente aspecto:

En su formulación de la ecuación fundamental de la Teoría General de la Relatividad, Einstein

siguió el ejemplo de Maxwell en su derivación de las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo, para las cuales Maxwell utilizó notación vectorial con lo cual las fórmulas generales simplificadas se vuelven independientes del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.) que se utilicen para describir algún fenómeno electromagnético en particular. Puesto que la formulación de la Teoría General de la Relatividad requiere de un espacio de cuatro dimensiones (cuatri-dimensional), el uso de vectores no es suficiente para la simplificación de todo hasta reducirlo a una fórmula (o a unas cuantas fórmulas), se requiere el uso de notación tensorial. Sin embargo, es importante señalar aquí que los vectores, esas magnitudes físicas que tienen dirección y sentido tales como la aceleración de un automóvil o la fuerza que se le aplica a una palanca, en realidad también son tensores, tensores de orden uno. Y de hecho, todas las demás magnitudes físicas conocidas como escalares, esas magnitudes físicas que no tienen dirección y sentido tales como la temperatura de un objeto, también son tensores, tensores de orden cero. Al estar hablando de tensores, debe ir quedando claro que tendremos que ir un paso más allá del cálculo infinitesimal ordinario que se enseña en los bachilleratos, tendremos que familiarizarnos con las técnicas del cálculo diferencial absoluto, hoy mejor conocido como el cálculo tensorial, inventado por el matemático italiano Gregorio Ricci y publicado por su alumno Tullio Levi-Civita en un libro que sigue siendo de actualidad hoy en día, The Absolute Differential Calculus. La ecuación tensorial básica de la Relatividad General, expresada en función de coordenadas generalizadas (las cuales como ya se dijo pueden ser Cartesianas, polares, etc.) y escrita de la siguiente manera (usando subíndices): Gμν = 8πGTμν adquiere su forma más sencilla cuando en el espacio circundante no hay nada de masa ni energía presentes, en cuyo caso todos los componentes del tensor Tμν son iguales a cero, lo cual equivale a decir que el tensor T = (Tμν) es igual al tensor cero 0, o sea T = 0 lo que a su vez implica que G =0. Para que el espacio-tiempo en alguna región del Universo sea plano, Lorentziano, propio de la Teoría Especial de la Relatividad, la condición fundamental es que el tensor de Einstein G sea igual al tensor cero. Como ya se mencionó, el conjunto de ecuaciones representadas de esta manera (tensorial) es conocido como las ecuaciones de campo. Si utilizamos coordenadas Cartesianas (x1, x2 , x3), entonces como una de las coordenadas es la coordenada que corresponde a la variable tiempo t tanto la variable μ como la variable ν pueden representar a cualquiera de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo (x1, x2 , x3 , t). Hasta aquí hemos estado utilizando coordenadas Cartesianas, rectangulares, pero podemos usar cualquier otro tipo de coordenadas adecuadas a nuestros propósitos. Si utilizamoscoordenadas esféricas (r, θ, φ) para especificar la distancia radial, el ángulo del cenit θ y el ángulo azimutal φ, entonces en el espacio cuatri-dimensional (r, θ, φ, t)

también tanto la variable μ como la variable ν pueden representar a cualquiera de las cuatro coordenadas en este espacio-tiempo especificado por estas coordenadas esféricas, de modo tal que varios valores típicos de Gμν y de Tμνvendrían siendo: Grθ , Gθφ , Gφt Ttθ , Trr , Tφθ Es importante resaltar aquí que, por simetría Gμν= Gνμ, de modo tal que, por ejemplo: Grθ = Gθr Gφt = Gtφ Igualando los componentes respectivos de Gμν y Tμν en una ecuación tensorial para un caso particular, tenemos un sistema de ecuaciones con el cual en principio podemos resolver el problema matemáticamente, lo cual a primera vista parecería fácil. Desafortunadamente, las ecuaciones que involucran al tensor de curvatura de Einstein G son ecuaciones diferenciales, ecuaciones que involucran derivadas, así que el problema ya no es tan fácil. Peor aún, las ecuaciones diferenciales resultantes por lo general resultan ser ecuaciones diferenciales nolineares, precisamente la situación matemática más difícil de todas. Para dar mayor detalle, la forma precisa de la curvatura del espacio-tiempo está determinada por un total de 12 ecuaciones del tipo que en matemáticas se conoce como ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas acopladas. Esto nos limita severamente la cantidad de problemas que pueden ser resueltos de manera exacta bajo algún sistema de coordenadas, llevándonos a considerar casos especiales como el caso en el que la masa de uno de un par de cuerpos es mucho mayor que la masa del otro cuerpo que tiene cerca. Aún así, hay triunfos espectaculares, como el logrado por Karl Schwarzschild, el cual en una solución matemática dada a las ecuaciones de campo de Einstein (una solución que impresionó a este último porque no creía factible la posibilidad de encontrar soluciones exactas a sus ecuaciones de campo) sentó las bases para la predicción de la existencia de los agujeros negros, regiones del espacio-tiempo con un campo gravitacional tan intenso que ni siquiera a la misma luz puede escapar. El que el espacio-tiempo pueda ser objeto de una torsión (curvatura) causada por la cercanía de masa-energía tiene implicaciones directas tanto para el espacio medido por diferentes observadores como para el tiempo medido por diferentes observadores. En el caso del espacio, éste va experimentando una contracción relativista conforme un cuerpo se va acercando a un objeto de masa apreciable como la Tierra:

Del mismo modo, en el caso del tiempo, éste va experimentando una dilatación relativista conforme el cuerpo se va acercando a la Tierra:

El principio de equivalencia nos permite entender mejor algo que había quedado en cierta forma inconcluso y pendiente en una entrada previa titulada “Una teoría libre de asimetrías y de paradojas”,la paradoja de los gemelos. En dicha entrada se había señalado que la razón por la cual uno de los gemelos envejece más que el otro es porque existe una asimetría en la cual uno de los gemelos permanece en estado de reposo mientras que el otro que viaja en una nave espacial experimenta una aceleración para ponerse en marcha hacia la estrella (o el planeta) distante, experimenta otra aceleración para detenerse y dar la vuelta en sentido contrario (lo cual equivale a un cambio en los marcos de referencia) y experimenta otra aceleración para encaminarse de regreso hacia la Tierra. Como lo acabamos de ver, en un campo gravitacional el tiempo se dilata. Pero de acuerdo con el principio de equivalencia, desde el punto de vista relativista no existe diferencia alguna entre el estar en un campo gravitacional y el estar en un marco de referencia acelerado (ambos con la misma magnitud de aceleración). Entonces el tiempo medido por un viajero en una nave espacial que se está acelerando está dilatado igualmente que si se encontrara situado dentro de un campo gravitacional.Con ello, queda explicada cualitativamente la paradoja de los gemelos. Ponerle números al asunto requiere la formulación matemática precisa dada por Einstein, lo cual requiere acceder a las herramientas propias del cálculo tensorial. A continuación tenemos una página del manuscrito escrito por Einstein dando forma a su Teoría General de la Relatividad:

En la misma publicación científica Annalen der Physik en donde en 1905 Einstein dió a conocer al mundo la Teoría Especial de la Relatividad, once años después se publicó en 1916 en Leipzig la primera introducción a la Relatividad General en el volumen 49 del Annalen der Physik, bajo el título “Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie”, un trabajo en la cual se avanzó por vez primera el concepto revolucionario de que la atracción de la gravedad es el resultado de una curvatura en el espacio-tiempo y no el resultado de una fuerza entre dos cuerpos como lo había propuesto Newton:

Por el interés histórico que pueda despertar en los estudiosos sobre el tema así como por la visión que nos puede dar sobre la manera en la cual Einstein fue dando forma matemática a su Teoría General de la Relatividad, se ha incluído como acompañante de esta obra un apéndice en el que se reproducen algunas de las páginas manuscritas del libro de apuntes (cuaderno de notas) de Einstein dentro del cual fue anotando las ideas conforme se iban desarrollando en su mente con el paso de los meses y los años, el cual ha sido puesto bajo el título “Relatividad General: Manuscritos originales”. Como ya se señaló, el salto de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo requerirá de un uso intensivo no sólo de las herramientas del cálculo infinitesimal, requerirá del manejo de cuatro dimensiones a la vez mediante el cálculo infinitesimal extendido a las cuatro dimensiones, lo cual requerirá sistematizar las herramientas que ya teníamos dentro de otro conjunto de técnicas conocidas como el análisis tensorial o cálculo tensorial en el cual extendemos el concepto de magnitudes físicas como la temperatura y la masa sin dirección y sentido (escalares) así como de la velocidad y la aceleración (vectores) que poseen dirección y sentido a una nueva cantidad física: los tensores. Las ecuaciones de campo de Einstein no son la única teoría concebida para explicar matemáticamente el fenómeno de la gravedad. Un ejemplo de otras teorías alternas lo constituye la teoría de gravitación Brans-Dicke (el principal competidor) desarrollada en 1961, la cual también es capaz de explicar la deflexión de la luz en presencia de un campo gravitacional así

como la precesión de las órbitas de los planetas en torno al Sol, y contiene además características muy peculiares tales como el hecho de que la constante de gravitación universal G no es realmente una constante e inclusive lo que la sustituye dentro de la teoría Brans-Dicke puede variar de lugar así como en el tiempo. Esta teoría, a diferencia de la Relatividad General de Einstein que es una teoría de índole puramente tensorial, es una teoría escalar-tensorial en el sentido de que la interacción gravitacional depende tanto de lo que llamamos un campo escalar así como del campo tensorial propio de la Relatividad General. Ambas teorías concuerdan con los datos observados experimentalmente hasta la fecha. Sin embargo, en comparación con la fórmula tensorial básica de la Relatividad General G = 8πGT, las dos ecuaciones de la teoría Brans-Dicke:

en donde Tab es el tensor tensión-energía (o tensor energía-impulso) y φ es el campo escalar introducido en la teoría Brans-Dicke y que está ausente en la Relatividad General de Einstein, ciertamente muestran un aspecto mucho más intimidante. El consenso actual entre la mayoría de la comunidad científica es de que, a menos de que haya alguna razón importante para reemplazar a la Relatividad General Einsteniana con la más complicada teoría Brans-Dicke, no hay razones fundamentales de peso ni ventaja alguna en irnos de lo moderadamente complicado (Einstein) a lo más complejamente elaborado (Brans-Dicke y otras teorías) que, al menos filosóficamente, descansan sobre bases mucho más endebles.

21. PREDICCIONES, CONFIRMACIONES, Y REFLEXIONES Relatividad General: Predicciones y confirmaciones de la teoría

En 1916, Einstein propuso tres hechos experimentales para confirmar la veracidad de la Teoría General de la Relatividad: 1) La precesión anómala de la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol. 2) La deflexión de los rayos luminosos ocasionada por la curvatura en el espacio-tiempo producida por el Sol en la cercanía a dicha estrella. 3) El corrimiento hacia el rojo de la luz ocasionado por la gravedad. El primer gran triunfo de la Relatividad General fue, indudablemente, la explicación satisfactoria de la precesión anómala de la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol en concordancia con los datos experimentales. De hecho, en la derivación de sus ecuaciones tensoriales para formalizar matemáticamente a la Relatividad General, Einstein obtuvo entre los primeros resultados intermedios la explicación a la precesión anómala de Mercurio. De acuerdo con las leyes de Kepler deducidas a partir de datos astronómicos y confirmadas por Newton mediante su ley de atracción universal, los planetas del sistema solar al trasladarse alrededor del Sol describen órbitas en forma de elipse, con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse:

La trayectoria elíptica se mantiene invariable bajo la formulación matemática de las leyes de Newton, no hay absolutamente nada que pueda hacer cambiar dichas órbitas elípticas excepto la proximidad ocasional de otro planeta que introduzca alguna alteración en el recorrido causada por esa fuerza de atracción gravitacional extra. Sin embargo, en el caso del planeta Mercurio, el planeta del sistema solar más cercano al Sol, su punto de máxima aproximación, su perihelio (del griego peri que significa “cerca de” y helios que significa Sol) que está situado en el extremo derecho de la órbita de la figura de arriba, no siempre ocurre en el mismo lugar, sino que va cambiando de lugar año con año. Esta rotación gradual de la órbita elíptica de Mercurio es conocida como precesión:

La precesión de la órbita no es algo que sea peculiar a Mercurio, ya que todas las órbitas planetarias tienen su propia precesión, este es un efecto predicho por la teoría de Newton como consecuencia del “jaloneo” gravitacional de un planeta sobre otro cuando dos planetas se aproximan (también hay “jaloneos” múltiples cuando varios planetas se alinean a lo largo de una línea imaginaria radial hacia el Sol, aunque los efectos sobre la precesión no son detectables por su pequeñez). Lo importante en todo caso es si las predicciones hechas por Newton están de acuerdo matemáticamente con la magnitud de las precesiones observadas a través del telescopio. No basta con entender cualitativamente el origen de algún efecto, los argumentos que explican el efecto tienen que estar respaldados por datos numéricos para poder darle credibilidad a la teoría que explica el efecto. La precesión de las órbitas alrededor del Sol de todos los planetas parecían estar bien explicadas en base a las ecuaciones de Newton. Pero Mercurio parecía ser la excepción. Vista desde la Tierra, la precesión de la órbita de Mercurio tiene un valor (angular) de unos 5600 segundos de arco por siglo (un segundo de arco es igual a 1/3600 de grado). Las ecuaciones de Newton, tomando en consideración todos los efectos gravitacionales de los demás planetas sobre

Mercurio, así como la deformación ligera del Sol debida a su propia rotación, más el hecho de que la Tierra no es un marco inercial de referencia en virtud de su propia rotación y traslación alrededor del Sol, predicen mediante las fórmulas de Newton una precesión de 5557 segundos de arco por siglo. Existe entonces una discrepancia de 43 segundos de arco por siglo, la cual no puede ser eliminada aún suponiendo que haya algunos errores experimentales de medición solventados con mediciones astronómicas cada vez más refinadas. Y esta discrepancia no puede ser explicada usando las fórmulas de Newton. Se puede objetar con desconfianza, no sin cierta razón, el que una deflexión angular tan pequeña ocurriendo de una órbita a la siguiente pueda ser medida con tanta precisión con simples observaciones astronómicas obtenidas mediante telescopios inclusive desde antes de la formulación de la Relatividad General. Sin embargo, después de unos cincuenta años de observaciones astronómicas y de estar recabando datos, la precesión acumulada es ya de cincuenta tantos con respecto a la que tuvo lugar entre el primer año y el siguiente, y con sólo dividir entre 50 la precesión acumulada entre el primer año y el año cincuentavo obtenemos una aproximación razonablemente buena, la cual va mejorando conforme el efecto acumulado de más precesiones con el paso de más años se va volviendo más discernible en la mesa de los datos. Aunque se propusieron muchas explicaciones “ad-hoc” para explicar la diferencia entre la precesión de la órbita del planeta Mercurio predicha por las ecuaciones de Newton y la precesión observada con mediciones astronómicas (por ejemplo, el suponer que había cierta cantidad de polvo estelar entre Mercurio y el Sol) estas explicaciones jamás pudieron ser confirmadas (las sondas espaciales que han sido enviadas a dicha región del sistema solar no han encontrado evidencia alguna de la existencia de polvo estelar entre Mercurio y el Sol). En contraste, basándose en su Teoría General de la Relatividad, Einstein pudo explicar correctamente, sin necesidad de tener que hacer corrección alguna, esa precesión extra de 43 segundos de arco por siglo del planeta Mercurio. Aunque todas las mediciones astronómicas anteriores habían sido hechas mediante telescopios convencionales, las mediciones más precisas en la actualidad son hechas mediante radar. En base a estas mediciones más exactas, la precesión de la órbita de Mercurio tiene un valor de 5599.7 segundos de arco por siglo. Fue el 18 de noviembre de 1915, poco antes de obtener las ecuaciones finales de campo de la Relatividad General, cuando Einstein basándose en las ecuaciones de campo del vacío publicó una derivación de la precesión orbital de Mercurio, la cual terminó siendo parte sin cambio alguno de la teoría que estaba próxima a ser concluída. Ya desde 1907 le había escrito a Conrad Habicht que estaba trabajando en una teoría de gravitación que esperaba que pudiera explicar la precesión anómala de Mercurio. Ocho años después, logró obtener exitosamente el resultado que esperaba obtener, comentándole a un amigo que estuvo sobrecogido por la emoción por varios días después de haber establecido una conexión sólida entre la teoría y las observaciones astronómicas. La demostración que publicó formalmente en 1915 es matemáticamente interesante, no sólo por la manera en la cual obtuvo la ecuación del movimiento de las ecuaciones

de campo del vacío (vacuum field equations), sino por el método que utilizó para inferir la cantidad de precesión a partir de dicha ecuación, sin contar con el beneficio de la solución esféricamente simétrica de Schwarzschild, la cual fue encontrada por éste último a menos de un mes después cuando trabajaba en su puesto en el frente de guerra ruso. Careciendo de la solución esférica exacta a las ecuaciones de campo que sería encontrada por Schwarzschild, Einstein trabajó con una aproximación a la solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo del vacío, escribiendo su métrica “aproximada” empleando coordenadas Cartesianas (rectangulares), la cual escrita en coordenadas polares toma la siguiente forma: (dτ)² = (1 - 2M/r) (dt)² - (1 + 2M/r) (dr)² - r² (dθ)² - r² sen² (θ) (dφ)² Schwarzschild pronto demostró que el coeficiente de (dr)2 debería ser realmente (1-2m/r)-1, lo cual está de acuerdo con la aproximación de Einstein únicamente hasta el primer orden en M/r. Dado el alto grado de simetría (esférica) en este caso, no es difícil obtener la solución exacta a partir de las ecuaciones de campo, pero el mismo Einstein no había anticipado que una solución exacta a las ecuaciones de campo pudiera existir. En referencia a la derivación empleada por Einstein, el gran matemático David Hilbert, el cual también estaba trabajando en una teoría de campo unificado basándose en parte en la naciente teoría gravitacional de Einstein, le escribió con cierta envidia lo siguiente: “... felicitaciones en su conquista del movimiento del perihelio. Si yo pudiera calcular tan rápidamente como usted, en mis ecuaciones el electrón debe corresponder capitulando, y simultáneamente el átomo de hidrógeno debería presentar sus disculpas sobre el por qué no produce radiación.” De acuerdo con la Relatividad General, el desplazamiento angular del perihelio por revolución δφ (se entiende aquí por revolución una órbita completa del planeta aunque dicha órbita no se “cierre”) a causa de la corrección relativística a la órbita elíptica Newtoniana clásica está dado por la siguiente fórmula (cuyo resultado está dado en radianes por cada revolución completa alrededor del Sol):

En esta relación el parámetro a es lo que llamamos el semieje mayor de la órbita (igual a la mitad del diámetro mayor de la elipse) y e es la excentricidad de la elipse (en el caso de un círculo, e = 0 y no hay excentricidad, y entre mayor sea e tanto más elongada será la elipse). En algunos textos tradicionales, la cantidad a(1-e²) es conocida como el latus rectum. (Para una órbita circular, el semi-latus rectum es igual al radio de la órbita.) Puesto que la distancia del perihelio p está relacionada al semieje mayor mediante p = a(1-e), podemos escribir también:

La fracción GM/c² es igual a la mitad de una distancia conocida como el radio de Schwarazschild. Poniendo valores: Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg² Masa del Sol = M = 1.99·1030 Kilogramos encontramos que para el Sol: GM/c² = (6.674215·10-11) (1.99·1030) /(3·108)² = 1.476 Kilómetros Esta es una distancia muy pequeña si la comparamos con la distancia del perihelio de Mercurio de 46 millones de kilómetros al centro del Sol. Por lo tanto, el desplazamiento angular del perihelio por revolución es una cantidad muy pequeña. Utilizando directamente la fórmula de arriba, obtenemos δφ = 4.99·10 -7 radianes por órbita, lo cual utilizando la conversión: 2π radianes = 360 grados = 21,600 minutos = 1.296·106 segundos 1 segundo de arco = 1" arco = 4.848·10-6 radianes encontramos que equivale a (4.99·10-7)/(4.848·10-6) = 0.103 segundos de arco por revolución, y puesto que Mercurio le dá la vuelta al Sol cada 87.969 días o bien: (87.969 días) /(365 días/año) = 0.241 año/revolución entonces el desplazamiento angular δφ de la órbita a causa de la precesión es igual a: δφ = (0.103"/revolución) /(0.241 año/revolución)

δφ = 0.43"/año = 43"/siglo que es justamente lo requerido para explicar la discrepancia observada astronómicamente en la precesión de la órbita de Mercurio, la cual no puede ser explicada mediante la aplicación de la ley

de la gravitación universal de Newton. La derivación de la fórmula para el desplazamiento angular del perihelio por revolución no es un asunto muy complicado si empezamos con la solución exacta a las ecuaciones de Einstein conocida bajo una simetría esférica, o sea empleando la métrica de Schwarzschild, a partir de la cual podemos obtener directamente la ecuación de movimiento de una partícula en proximidad a un astro de masa grande como el Sol. Si el lector desea anticiparse un poco al material que será tratado posteriormente, puede encontrar dos derivaciones de la fórmula en el enlace Wikipedia proporcionado al final de esta entrada, en la sección titulada “Precession of elliptical orbits”. Sin embargo, el lector tal vez quiera esperar un poco hasta que tratemos temas tales como los tensores, las métricas y las geodésicas antes de intentar comprender plenamente lo que hay detrás de la derivación de la fórmula. Habiendo aceptado la noción de que la presencia de cualquier cantidad de masa en el espaciotiempo introduce una curvatura en el mismo, la Relatividad General nos prepara para una de sus predicciones que junto con la explicación de la precesión anómala del planeta Mercurio fue la primera en ser confirmada experimentalmente: la curvatura de la trayectoria de un rayo de luz en presencia de un campo gravitacional intenso. Todavía hasta los tiempos de James Clerk Maxwell, el padre de la teoría del electromagnetismo, e inclusive después de él, no había razón alguna para suponer que la luz pudiera interactuar de modo alguno con un campo gravitacional. Siendo la luz una onda electromagnética carente de masa, se trataba de fenómenos completamente diferentes, y punto. De las cuatro ecuaciones de Maxwell no era posible deducir ni obtener interacción alguna ya sea de carácter eléctrico o magnético con la gravedad de la Tierra o cualquier otro cuerpo, la fórmula para la fuerza de atracción la gravedad no entraba en ellas. Sin embargo, la Teoría General de la Relatividad no tardó en cambiar el panorama. Primero que nada, debe sernos claro que un observador que esté en reposo con respecto a un rayo de luz y un observador que esté acelerándose con respecto al mismo rayo de luz verán al rayo de luz de maneras distintas. El observador que está en reposo sin estar sujeto a aceleración alguna verá a un rayo de luz viajar en línea recta. En cambio, un observador que esté acelerándose verá al rayo de luzseguir una trayectoria curva. Esto se vuelve más claro considerando el siguiente experimento hipotético:

En la plataforma de lanzamiento de la nave que suponemos que se está acelerando rápidamente con la ayuda de motores muy potentes, la vista que tiene un observador descansando sobre la plataforma de lanzamiento de un rayo de luz que es disparado horizontalmente desde una lámpara montada sobre la plataforma de lanzamiento es precisamente de un rayo de luz horizontal. Eso es lo que vería al ver a la nave despegando al mismo tiempo a una aceleración enorme. Pero la vista que tiene un viajero que va adentro de la nave de ese mismo rayo de luz es diferente, ya que lo que él ve es un rayo de luz que se va curveando hacia abajo. Supóngase que tomamos a nuestro viajero de ferrocarril con el cual empezamos nuestra discusión sobre el tema de la relatividad en la entrada “El movimiento absoluto”, y lo movemos a un elevador especial, el cual tiene una ventana al exterior, de modo tal que el movimiento de nuestro viajero ya no será llevado a cabo horizontalmente sino verticalmente. Supóngase que inicialmente está reposo con respecto a un observador externo que dispara un rayo de luz horizontal. Nuestro pasajero en el elevador verá también al rayo de luz desplazarse horizontalmente. Si el elevador se está desplazando hacia arriba a una gran velocidad que se mantiene constante, entonces por los efectos propios de los dos postulados de la Teoría Espacial de la Relatividad con los cuales descubrimos los efectos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud el rayo de luz recorrerá una distancia mayor tal y como lo ve nuestro viajero desde su ventanilla de observación:

Al estarse moviendo el elevador a una velocidad constante, nuestro viajero no experimenta fuerza alguna que le permita determinar si es él quien está en movimiento en un elevador que está subiendo o si la persona fuera del elevador con la linterna de luz en la mano es la que está bajando a gran velocidad provocando que el rayo de luz tome la ruta de una línea recta inclinada. Pero si el elevador va cambiando bruscamente de velocidad, moviéndose hacia arriba a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad de la luz, nuestro viajero sabe perfectamente que él está sujeto a una aceleración producida ya sea por unos motores potentes puestos debajo del elevador impulsándolo hacia arriba a velocidades cada vez mayores, y esto lo confirmará al asomarse por la ventanilla y ver que el rayo de luz toma una trayectoria curva. Ahora apelaremos al principio de equivalencia de la Relatividad General que nos dice que estar en un marco de referencia acelerado es equivalente a estar en reposo en un campo gravitacional. Si esto es cierto, entonces un rayo de luz que pase cerca de un campo gravitacional será desviado experimentando una curvatura en su trayectoria. Puesto de otra manera, un rayo de luz que pase cerca de un planeta será desviado de su dirección rectilínea. Sin embargo, aquí no hay atracción gravitacional alguna que esté siendo ejercida sobre el rayo de luz, en virtud de que la atracción gravitacional postulada por Isaac Newton no existe. Lo que sucede es que el rayo de luz se mueve a lo largo de la curvatura introducida en una región del espacio-tiempo por la presencia de un objeto con una cantidad apreciable de masa. Esto quiere decir que si llega a nosotros un rayo de luz de una estrella distante, y ese rayo de luz ha pasado cerca de uno de los planetas exteriores de nuestro sistema solar, ese rayo será desviado y la posición en el cielo en la que nosotros vemos a dicha estrella no es su posición verdadera. Esto está ilustrado en el siguiente dibujo:

La estrella cuya luz nos llega desde muy lejos, en su posición verdadera, sufre una desviación en su trayectoria a causa de la curvatura introducida en el espacio-tiempo por el planeta cerca del cual pasa el rayo de luz. Si nos dejamos guiar por la línea recta a lo largo de la cual viaja directamente hacia nosotros la luz de la estrella, terminaremos creyendo que la estrella está situada en el lado derecho en donde aparece la estrella en la parte superior del dibujo. Pero la estrella está realmente situada a la izquierda de esta ilusión óptica, que bien pudieramos llamar ilusión óptica gravitacional. Es importante dejar otra cosa en claro: aunque la trayectoria que sigue un rayo de luz puede ser desviada en presencia de un campo gravitacional intenso, la luz mantiene exactamente su misma velocidad en presencia de un campo gravitacional, ni aumenta ni disminuye su velocidad. Sigue siendo la misma referencia absoluta, universal, que no cambia ni en la Teoría Especial de la Relatividad ni en la Teoría General de la Relatividad. Sin embargo, al tomar una trayectoria curvilínea en vez de continuar adelante siguiendo una trayectoria en línea recta, un rayo de luz nos puede confirmar de inmediato si en el lugar por donde está pasando el espacio-tiempo ha dejado de ser plano adquiriendo una curvatura. Para confirmar la predicción teórica de la deflexión de los rayos luminosos ocasionada por la curvatura en el espacio-tiempo producida por el Sol, nuestra estrella más cercana, el 29 de mayo de 1919 poco después de la Primera Guerra Mundial se llevó a cabo una expedición encabezada por Sir Arthur Eddington a la isla de Príncipe cerca de Africa, en donde se esperaba un eclipse solar total. Normalmente, la luz que nos llega de las estrellas lejanas y que pasa cerca del borde exterior del disco solar no se puede distinguir a causa de la brillantez de la misma luz solar. Sin embargo, si el disco del Sol es cubierto por un cuerpo opaco lo suficientemente grande, como el de la Luna

durante un eclipse, entonces la luz solar ya no opaca totalmente a la luz de las estrellas que llega hasta nosotros pasando por dicho borde. En principio, una fotografía de la región del Universo situada justo detrás del Sol al momento de ser tomada durante el eclipse solar, comparada con otra fotografía tomada de esa misma región con el Sol fuera del camino en virtud del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, debe mostrarnos a las estrellas más cercanas entre sí al crearse el efecto óptico por la desviación relativista gravitatoria de la luz de esas estrellas al pasar cerca del Sol que cuando las vemos en una noche obscura. A continuación tenemos el “negativo” fotográfico de una de las placas tomadas durante esa famosa expedición (el término “negativo” fotográfico, una inversión de la luminosidad mostrada por una placa, tal vez no sea muy claro para las nuevas generaciones acostumbradas a las cámaras fotográficas digitales sin haber conocido las cámaras “antigüitas” basadas en soluciones de plata, y una comparación equivalente sería imaginarnos a la placa como una placa de rayos-X aunque en realidad no lo es):

Los resultados positivos anunciados por Eddington en su tiempo fueron aplaudidos como una confirmación de la Relatividad General, aunque eventualmente esos resultados estuvieron siendo puestos en tela de duda por las incertidumbres experimentales astronómicas capaces de ser confundidas con efectos relativistas. Si nos fijamos en la placa fotográfica, pese a la oclusión del astro solar ocasionada por la Luna, la posición de las estrellas situadas alrededor del Sol así como la nitidez de las mismas no es algo tan pronunciado como pudiera esperarse. Aún así, Eddington y otros astrónomos, en su interpretación de los resultados obtenidos, encontraron suficiente evidencia para considerar a los resultados como una confirmación de la Relatividad General. De cualquier manera, hay otro efecto similar de confirmación astronómica que en su tiempo no se le había ocurrido ni siquiera al mismo Einstein: la creación de imágenes dobles o inclusive múltiples

por el efecto conocido como lentes gravitacionales. Y la detección de este efecto es posible llevarla a cabo en un cielo totalmente obscuro, porque la masa que desvía los rayos luminosos que nos llegan de las estrellas no es la masa del Sol brillante tan cercano a nosotros sino otra masa grande que incluso puede ser opaca (como una estrella de neutrones) situada entre nosotros y dichas estrellas. La siguiente ilustración nos muestra cómo es posible que se formen imágenes dobles, de las cuales ya se han corroborado varias:

A continuación tenemos una fotografía tomada por el telescopio espacial Hubble que nos muestra de manera concluyente un ejemplo de lente gravitacional:

En esta fotografía, lo que en las puntas parecen ser cuatro estrellas situadas en forma de cruz (la configuración es conocida como la Cruz de Einstein) en realidad son imágenes de la misma estrella, una estrella quásar designada en el catálogo astronómico internacional como G2237+0305. El cuerpo central en realidad es una galaxia situada entre nosotros y la estrella, la galaxia CGCG 37815 que está actuando como una lente gravitacional desviando los rayos luminosos de la quásar de modo tal que nos llegan cuatro imágenes de la misma estrella a la Tierra. En la entrada “El efecto Doppler relativista” correspondiente a la Teoría Especial de la Relatividad, vimos cómo cuando en el espacio libre un viajero con una fuente luminosa en sus manos se está alejando de nosotros la frecuencia de las ondas luminosas que nos llega de su lámpara es menor no sólo por el efecto del corrimiento Doppler sino por los efectos relativistas de la dilatación del tiempo. Esto supone que la fuente está en movimiento alejándose de nosotros. Pero en la Relatividad General, no es necesario que una fuente luminosa se esté alejando de nosotros a gran velocidad para que la frecuencia de una señal emitida desde la fuente nos llegue disminuída a nosotros. Podemos estar siempre a la misma distancia de otro observador (digamos unos mil millones de kilómetros) y sin embargo un haz luminoso que nos envíe el observador que él ve de color azul nos puede llegar de color verde o rojo. Para que esto ocurra, el observador que nos manda el haz de luz debe estar en la superficie de un planeta o de un cuerpo celeste con un campo gravitacional intenso, con lo cual la curvatura provocada en lo que de otro modo sería un espacio-tiempo plano hace que la coordenada del tiempo se dilate en la superficie del cuerpo masivo con respecto al tiempo medido en el espacio libre exterior por un observador en reposo libre del campo gravitacional. La fórmula para ladilatación gravitacional del tiempo medida por un reloj situado dentro de un campo gravitacional es:

en donde T es el intervalo de tiempo medido por un observador que se encuentra en el espacio libre alejado del campo gravitacional. Se recalca aquí que esta dilatación del tiempo es distinta a la dilatación del tiempo tratada dentro de la Teoría Especial de la Relatividad. Esta misma fórmula, para el campo gravitacional de la Tierra en su superficie, se convierte en:

Utilizando la expansión binomial por series:

y los valores de g = 9.8 metros/seg² para la superficie de la Tierra así como R = 6.38·10 6 metros para el radio medio de la Tierra, encontramos que:

con lo cual se antoja extremadamente difícil el poder medir en la superficie de la Tierra un corrimiento al rojo gravitacional. Puesto que la gravedad dilata al tiempo, al estar lejos de una estrella masiva tenemos que esperar más para ver pasar la siguiente cresta de una onda luminosa que los observadores que estén en la superficie de la estrella masiva. Puesto que la luz viaja siempre a la misma velocidad, este

incremento en el período de tiempo de cresta a cresta de la onda luminosa implica que la longitud de onda λ será mayor al llegar a nosotros que al salir disparada del cuerpo masivo:

En otras palabras, hay un corrimiento hacia el rojo causado por el campo gravitacional, el cual no tiene absolutamente nada que ver con el efecto Doppler ya que el cuerpo masivo puede estar siempre estacionario (a la misma distancia) de nosotros y el corrimiento al rojo ocurrirá de todas maneras. Este efecto de corrimiento hacia el rojo ocasionado por un campo gravitacional intenso y el cual no tiene nada que ver con el efecto Doppler causado por un movimiento del cuerpo alejándose de nosotros es conocido como el corrimiento al rojo gravitacional ó desplazamiento Einstein. El corrimiento al rojo gravitacional es una consecuencia directa del Principio de Equivalencia de la Relatividad General, ya que de acuerdo a dicho principio cualquier corrimiento de frecuencia que pueda ser ocasionado por una fuente que se está acelerando alejándose de nosotros (lo cual ya hemos tratado en la entrada “El efecto Doppler relativista”) también puede ser producido por un campo gravitacional. Por lo tanto, el corrimiento al rojo que se puede esperar como consecuencia de un campo gravitacional puede ser relacionado directamente con el corrimiento Doppler relativista que se obtiene de una fuente luminosa que se está alejando de nosotros. Para una velocidad V de la fuente luminosa suficientemente baja en comparación con la velocidad de la luz, el desplazamiento Doppler está dado por la fórmula: f = f0 [ 1 + V/c] Para una aceleración constante a (como es el caso con la gravedad de la Tierra) con la cual el

observador al recorrer una distancia L se ha acelerado a una velocidad V en un tiempo L/c, la expresión se transforma en: f = f0 [ 1 + aL/c²] Y el símil de esta fórmula en un campo gravitacional será, reemplazando la aceleración por g: f = f0 [ 1 + gL/c²] Desde la óptica de la mecánica cuántica y el principio de la conservación de la energía, no es difícil ver el por qué un haz luminoso debe experimentar un corrimiento hacia el rojo cuando es emitido en presencia de un campo gravitacional intenso. Considérese el siguiente gedanken (experimento hipotético) que fue propuesto inicialmente por el mismo Einstein, en el cual tenemos una torre alta de altura h y desde la cual dejamos caer libremente hacia el suelo con una aceleración g desde lo alto de la torre una partícula cuya masa en reposo es m0 y cuya energía de movimiento al tocar el suelo es convertida totalmente por algún procedimiento ingenioso en un fotón de haz luminoso γ de frecuencia f:

Al caer libremente hacia la superficie de la Tierra por la acción de la gravedad, la partícula toca el suelo con una velocidad v. Puesto que toda la energía potencial Ep que tenía la partícula fue convertida en energía cinética Ec, esta velocidad será igual a: Ep = E c mgh = ½mv² v = √2gh

De este modo, un observador al pie de la torre medirá en la partícula una energía total E igual a la energía en reposo E0 de la partícula más su energía cinética Ec: E = E 0 + Ec E = m0c² + ½mv² Esto nos indica que al haber dejado caer a la partícula inicialmente en reposo desde lo alto de la torrehemos ganado energía. La energía no es simplemente E0 sino E. Supongamos ahora que el observador al pie de la torre tiene un método ingenioso que puede utilizar para convertir toda esta energía E en un fotón luminoso que envía hacia lo alto de la torre. Este es un procedimiento que no viola las leyes de conservación puesto que la Tierra absorbe el momentum del fotón pero no su energía. Si el fotón no cambia en nada, entonces va a llegar a lo alto de la torre con la misma energía que tenía al momento de ser enviado desde el pie de la torre. Después de llegar a lo alto de la torre, el fotón es convertido nuevamente por otro procedimiento ingenioso a una partícula cuya masa en reposo es m'0 siendo su energía E'0. Pero ahora tenemos una masa con un contenido energético total mayor que el que teníamos antes. Si repetimos el proceso dejando caer la partícula desde lo alto de la torre, ganará todavía más energía, la cual al ser convertida la partícula en un fotón enviado hacia lo alto de la torre se sumará a la energía extra que ya se había adquirido antes. En pocas palabras, estamos terminando con más energía que la que teníamos cuando empezamos. Se está creando energía de la nada. Sin embargo, si algo nos ha mostrado la Naturaleza que ha sido confirmado por todos los experimentos habidos y por haber, es que no hay nada gratis tratándose de cuestiones de energía. La energía simplemente no aparece de la nada gratuitamenete, cuando lo hace podemos estar seguros de que hay un déficit en otro lado que neutraliza la ganancia. Es así como sospechamos que la energía en reposo E'0 que tiene la masa al ser devuelta como un fotón hacia lo alto de la torre debe ser igual a la energía en reposo original E0 con la cual se dejó caer a la partícula desde lo alto de la torre (o lo que es lo mismo, la masa de la partícula que llega a lo alto de la torre debe ser la misma que la masa de la partícula que fue dejada caer desde la torre), ya que de no ser así podríamos obtener un movimiento perpetuo con la energía ganada por la partícula al caer de lo alto de la torre. Pero desde hace ya bastantes años que la ciencia descartó la posibilidad de máquinas de movimiento perpetuo. Ahora bien, de acuerdo con la mecánica cuántica, la energía Ef de un fotón depende única y exclusivamente de la frecuencia f del fotón de acuerdo con la siguiente fórmula: Ef = h f en donde h es la constante de Planck. Esto nos lleva a concluír que la energía del fotón al ser enviado desde el suelo hasta lo alto de la torre no es igual a la energía con la cual el fotón llega a lo alto de la torre, la energía debe ser necesariamente menor ya que de otra manera podríamos construír una máquina de movimiento perpetuo violando el segundo principio de la

termodinámica que excluye la posibilidad de poder construír máquinas de movimiento perpetuo. Y la única manera en la cual el fotón puede llegar a lo alto de la torre con una energía menor a la que tenía cuando fue enviado desde el suelo hacia la torre es llegando con una frecuencia que la que tenía cuando fue enviado; en otras palabras, experimentando un corrimiento hacia el rojo. En principio, la frecuencia del fotón se va corriendo hacia el rojo conforme el fotón se va alejando del campo gravitacional, y al llegar a la torre la energía perdida por el fotón debe ser exactamente igual a la energía cinética ganada por la masa al caer desde lo alto de la torre. Ni creación ni desaparición de energía, tal y como lo pide el principio de la conservación de la energía (o mejor dicho, el principio de la conservación de la masa-energía). Imaginemos un edificio situado sobre la superficie de un planeta con un campo gravitacional intenso. Entonces, al menos teóricamente, el tiempo correrá más lentamente en el primer piso del edificio que en cualquiera de los pisos superiores (para una persona ordinaria esta diferencia será indetectable):

Entonces, por el efecto de la dilatación del tiempo, la onda luminosa se irá estirando conforme sube del primer piso al segundo piso y hacia los pisos superiores del edificio:

Aunque resulte difícil de creer, el corrimiento al rojo gravitacional ha sido verificado experimentalmente aquí mismo en la Tierra utilizando el efecto Mössbauer (descubierto en 1957 por el físico Rudolf Mössbauer, un efecto que tiene que ver con la emisión y absorción resonante y libre de retroceso de rayos gamma por parte de átomos de un sólido). El experimento, conocido como elexperimento Pound-Rebka, fue efectuado en 1959 por R. V. Pound y G. A. Rebka Jr. en el Jefferson Physical Laboratory de la Universidad de Harvard utilizando una variación de la espectroscopía Mössbauer basada en el efecto del mismo nombre. Para ello se utilizaron dos emisores separados a una altura de 22.6 metros, uno apuntando hacia abajo y el otro apuntando hacia arriba, con detectores situados en los extremos opuestos:

En base a lo que se ha señalado anteriormente, la fórmula para obtener el cambio debido al corrimiento al rojo gravitacional es:

En una diferencia de altura de 22.6 metros el corrimiento al rojo por la diferencia entre la gravedad de la Tierra a esa diferencia en la altura es de apenas 4.92·10-15, pero gracias al efecto Mossbauer utilizando rayos gamma con una energía de 14.4 KeV del hierro-57, se encontró que los resultados experimentales confirmaron que las predicciones de la Relatividad General estaban apoyadas por las observaciones con un nivel del 10% de confianza, refinándose más tarde el resultado por Pound y Snider consiguiéndose mejorar el nivel de confianza hasta un 1% de confianza. El experimento fue repetido con ambos emisores y detectores colocados al mismo nivel sobre la superficie de la Tierraen vez de ser colocados a alturas diferentes, aunque manteniendo la separación de 22.6 metros, y se encontró que la frecuencia de cada señal al ser emitida era la misma que la frecuencia que tenía la señal al ser recibida por el detector situado a 22.6 metros de distancia al mismo nivel sobre la superficie de la Tierra. Los corrimientos de frecuencia cuando los emisores y detectores están separados verticalmente, no cuando están separados horizontalmente, resultan ser iguales a los predichos por las fórmulas obtenidas de la Relatividad General. Se considera que fue el experimento Pound-Rebka, cuyos resultados fueron publicados en 1959 por el Physical Review Letters, el que introdujo una era de pruebas

de precisión de la Relatividad General. Desafortunadamente el corrimiento hacia el rojo por efecto de un campo gravitacional ocasionado desde la superficie de un astro se confunde con el corrimiento hacia el rojo debido al movimiento rápido con el cual el astro se está alejando de nosotros que produce su propio efecto relativista, lo cual hace que los efectos se combinen dando como consecuencia un solo resultado, el corrimiento hacia el rojo, pero sin quedar muy claro cuánto de ese corrimiento hacia el rojo puede ser ocasionado por el efecto del campo gravitacional y cuánto se puede deber al efecto Doppler relativista al estarse alejando el astro rápidamente de nosotros. Inclusive en la actualidad esto sigue siendo un tema de controversia que no se ha resuelto del todo y sigue siendo objeto de una investigación intensa. Al empezar a cubrir el tema de la Teoría Especial de la Relatividad en una entrada anterior titulada “Las consecuencias directas de la teoría”, se señaló que el tiempo medido por un satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra como ocurre con cada uno de los 24 satélites utilizados por el Sistema de Posicionamiento Global ó Global Positioning System (GPS) será más lento que el tiempo medido en la Tierra. Este es un efecto relativista debido enteramente a la Teoría Especial de la Relatividad, cuando aún no se había desarrollado la Relatividad General, cuando aún no se sabía que los cambios en la gravedad de la Tierra con la altura también podían introducir sus propios efectos relativistas de dilatación del tiempo. Esto significa que para un satélite que está en órbita dándole vueltas a la Tierra, el efecto relativista total tiene que ser calculado sumando el efecto relativista debido al movimiento relativo entre el satélite y la Tierra junto con el efecto relativista debido a la diferencia que hay entre la gravedad de la superficie de la Tierra y la gravedad a una altura de más de 500 kilómetros sobre la superficie de la Tierra. (Esta complicación no ocurre desde luego tratándose de los satélites artificialesgeoestacionarios, los cuales se mueven en la misma dirección de la rotación de la Tierra de modo tal que parecen estar suspendidos en el aire a gran altura sobre nosotros sin cambiar de posición; en tal caso la única corrección relativista por efectos de dilatación del tiempo que hay que aplicar es la que predice la Relatividad General, en todos los demás casos hay que combinar ambos efectos.) No es inusual encontrarse con la necesidad de tener que aplicar correcciones relativistas combinadasmotivadas por el hecho de que, además de las correciones relativistas requeridas para compensar por los efectos causados por la Teoría Especial de la Relatividad, a estos efectos tengamos que agregar los efectos relativistas causados por la gravedad. Esto lo podemos expresar mediante la siguiente fórmula:

Otra consecuencia interesante de la Relatividad General concierne algo que posiblemente al mismo Newton le despertó sospechas. De acuerdo con la teoría de la gravitación universal, dos cuerpos se atraen en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad. Así es como la Tierra mantiene a la Luna dentro de una órbita aproximadamente circular en torno a la Tierra. La fuerza de atracción ejercida por la Tierra sobre la Luna es la misma ya sea que la Tierra esté girando con un movimiento de rotación sobre su eje o que permanezca estática frente a la Luna. Esto quiere decir que si la Tierra empezara a girar con mayor velocidad angular, la Luna no sentiría efecto alguno, porque la fuerza de atracción propuesta por Newton no tiene absolutamente nada que ver con la cantidad de energía rotacional que posea la Tierra, únicamente depende de la masa de la Tierra y la distancia de la Tierra a la Luna. Sin embargo, un planeta en rotación definitivamente posee cierta cantidad de energía, definida clásicamente mediante la siguiente fórmula: E = ½Iω² en donde ω es la velocidad angular de la Tierra y I es el momento de inercia de la Tierra, la cual si es considerada como un objeto aproximadamente esférico de radio R y de densidad constante entonces para fines de cálculo posee un momento de inercia I que está dado por la fórmula: I = 2MR²/5 Considerando la cantidad de masa M que posee la Tierra (5.98·1024 kilogramos) y un movimiento de rotación con un período de 24 horas, estamos hablando aquí de una cantidad considerable de energía de movimiento. ¿Cómo es posible que tanta energía no produzca absolutamente ningún efecto así sea minúsculo sobre el cuerpo que está siendo objeto de atracción? Esto quiere decir que si pudieramos ocultar a la Tierra detrás de una cortina plana que le impidiera a un astronauta ver a la Tierra desde la Luna, éste no tendría forma alguna de saber si la Tierra está estática, girando lentamente o girando a gran velocidad, a menos de que la lámina sea levantada y se le permita ver a la Tierra. La formulación matemática de las leyes de Newton no permite establecer diferencia alguna. La ley de Newton para la gravitación universal no permite que esta energía rotacional pueda ser tomada en consideración aunque pueda variar enormemente, algo que posiblemente habrá frustrado al mismo Newton dejándolo con dudas sobre los alcances de su teoría. Desde la perspectiva de la Relatividad General, la masa M de la Tierra es equivalente a cierta cantidad de energía E en base a la relación E = mc², de modo tal que si decimos que la energía en reposo resultante de la masa de la Tierra es la que está manteniendo a la Luna en su órbita, estaríamos en lo correcto. Pero al hablar del equivalente energético de la masa M de la Tierra, estamos utilizando un concepto en el cual podemos incluír sin problema alguno la energía rotacional de la Tierra. En la Relatividad General, tanto la masa como la energía son capaces de

provocar una curvatura en el espacio-tiempo, porque han sido unificadas bajo un solo concepto en la Teoría Especial de la Relatividad. Si la Tierra no girase en torno a su propio eje, si estuviese estática frente a la Luna, entonces todo su contenido energético sería el que deriva de su masa. Pero al estar girando la Tierra, su contenido energético es mayor en virtud de que al contenido energético resultante de la masa (laenergía en reposo) hay que sumarle el contenido energético resultante de la rotación. En otras palabras, la energía total de la Tierra es igual a la energía equivalente de su masa sumada a la energía angular en virtud de su movimiento de rotación: Etotal = Emasa + Erotacion Etotal = Mc² + ½Iω² Al introducir en el lado derecho de la ecuación tensorial curvatura espacio-tiempo = energía total la energía extra producida por la rotación de la Tierra, se provocará una curvatura en el espaciotiempo aún mayor que la que produciría la Tierra si estuviese estática, lo cual hará que la Tierra parezca “jalar” con mayor fuerza la Luna hacia la Tierra. De este modo, tenemos dos conclusiones completamente diferentes: Newton: La rotación de un cuerpo no tiene efecto alguno sobre la atracción gravitacional que ejerce sobre otro cuerpo. Einstein: La rotación de un cuerpo tendrá un efecto directo adicional en la curvatura del espaciotiempo que a su vez dicta la órbita del cuerpo que esté girando en torno a él, lo cual se traducirá directamente en una atracción gravitacional mayor. Otra predicción de la Relatividad General es la de la existencia de los hoyos negros o agujeros negros, cuerpos con tanta masa y tanta “atracción gravitacional” que ni siquiera la luz puede escapar de ellos. Interesantemente, esta misma predicción había sido hecha también por la mecánica Newtoniana, aunque por las razones equivocadas. A partir de las ecuaciones de Newton, se puede demostrar con poca dificultad que para un cuerpo grande de radio r y de masa M la velocidad de escape para un proyectil lanzado verticalmente desde la superficie de dicho objeto no depende de la masa del cuerpo lanzado (el cual suponemos pequeño) sino de la masa del cuerpo grande y de su radio. Para un objeto lanzado verticalmente desde el planeta Tierra, esta velocidad resulta ser de 11.2 kilómetros por segundo:

Puesto que la velocidad de la luz es de 300 mil kilómetros por segundo, podemos calcular bajo la mecánica Newtoniana qué tanta masa M debe tener concentrada un planeta de radio r para que la velocidad vertical de escape de dicho planeta sea exactamente igual a la velocidad de la luz. Y si el planeta, con el mismo radio, tiene una cantidad de masa M mayor que ésta, la luz no podrá escapar de la “atracción gravitacional” del planeta. Pero bajo la mecánica Einsteniana, la “atracción gravitacional” no existe. Lo que sucede es que la curvatura que va siendo introducida en una región de espacio-tiempo por una cantidad cada vez mayor de masa llega a tal extremo que se perfora un punto en esa región de espacio-tiempo, al cual matemáticamente se le conoce como una singularidad. En ese punto, la caída en la curvatura conduce directamente hacia el infinito:

De este modo, en aquella región del cosmos en donde haya un hoyo negro, tenemos lo que es ni más ni menos que una perforación matemática en el espacio-tiempo:

En principio, un agujero negro es un objeto totalmente invisible, puesto que si es capaz de tragarse la luz impidiendo que pueda salir del mismo confirmación visual alguna que pueda darnos una pista de su existencia, ni siquiera sabemos que está allí. La detección del mismo se tiene que llevar a cabo por métodos indirectos como cuando está devorando una estrella o como cuando tiene una estrella en órbita en torno suyo. El estudio de estos objetos exóticos se verá posteriormente en mayor detalle cuando se hayan sentado las bases matemáticas requeridas para poder entender lo que está sucediendo dentro y fuera de los agujeros negros. Además de las tres pruebas originales propuestas por Einstein en 1916 para confirmar experimentalmente la Teoría General de la Relatividad, gracias a los avances recientes en la astronomía y en la astrofísica constantemente se están dando a conocer nuevas verificaciones de la teoría que solidifican su credibilidad. Una búsqueda aleatoria en Internet nos puede mostrar en poco tiempo artículos como el publicado el 14 de septiembre de 2006 por el sitio ScienceDaily bajo el título “General Relativity Survives Gruelling Pulsar Test: Einstein At Least 99.95 Percent Right”, que se traduce del inglés como “La Relatividad General Sobrevive Extenuante Prueba de Pulsar: Einstein Correcto en Al Menos 99.95 por ciento”, accesible en el enlace:

http://www.sciencedaily.com/releases/2006/09/060914094623.htm Del mismo sitio, se puede citar otro artículo publicado el 4 de julio de 2008 bajo el título “Einstein Estaba en lo Cierto, Afirman Astrofísicos”, que se traduce del inglés como “Einstein Was Right, Astrophysicists Say”, accesible en el enlace: http://www.sciencedaily.com/releases/2008/07/080703140721.htm

Dos filosofías opuestas

Hagamos ahora una comparación entre la mecánica Newtoniana de Sir Isaac Newton basada en el concepto del movimiento absoluto y la mecánica Einsteniana basada en el concepto del movimiento relativo. La mecánica Newtoniana basa su creencia en el concepto de acción-a-distancia, la creencia de que entre dos cuerpos celestes flotando en el espacio existe una forma de atracción universal, la cual se puede expresar mediante una fórmula que nos dice que dicha fuerza de atracción es directamente proporcional al producto de las masas M y m de dos cuerpos que se atraen, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que separa los centros geométricos de dichas cuerpos:

Newton creía que un cuerpo podía ejercer una fuerza de atracción sobre otro cuerpo a través del espacio intermedio entre dichos cuerpos, y su formulación de su ley de atracción universal requería que tal “acción a distancia” ocurriera de manera instantánea, sin límite alguno impuesto a la rapidez de tal interacción. Aquí la velocidad de la luz no era obstáculo alguno, y si bien un rayo de luz tarda cierto tiempo en llegar desde la Tierra hasta el planeta Marte, los efectos de la atracción gravitatoria universal Newtoniana de un cuerpo sobre otro eran instantáneos aunque dichos cuerpos estuviesen situados en extremos opuestos de una galaxia. La velocidad de la luz ni siquiera aparece en la fórmula de Newton. Esta hipótesis que nos dice que si tenemos dos cuerpos celestes pesados separados el uno del otro a una distancia de mil trillones de kilómetros y uno de

dichos cuerpos es alejado súbitamente del otro (al ser golpeado por un asteroide enorme, por ejemplo), de alguna manera el otro cuerpo “sabe” instantáneamente lo que ocurrió a esa enorme distancia. Es un efecto que se antoja más como un truco de magia que como una teoría científica seria. La enorme influencia ejercida por los conceptos filosóficos de Newton, el cual creía firmemente en la existencia del espacio absoluto y del tiempo absoluto, no tardó en ser aplicada en las primeras leyes que se fueron formulando para los fenómenos eléctricos y magnéticos, empezando con la Ley de Coulomb, la cual a primera vista parece una calca de la ley de gravitación universal de Newton por la manera en la que está formulada: Dos cargas eléctricas se atraen (o se repelen, dependiendo del signo de las cargas) en razón directa del producto de las magnitudes de las cargas y en razón inversa al cuadrado de la distancia que las separa. La ley de Coulomb, al igual que la ley de Newton, también se basa en la creencia de un efecto de “acción a distancia”, el cual se propaga instantáneamente entre dos cargas eléctricas sin importar la distancia que haya entre dichas cargas. En contraste, la mecánica Einsteniana niega por completo la existencia de los efectos instantáneos y casi mágicos de la “acción a distancia”, niega por completo la existencia de una fuerza de atracción gravitatoria universal entre dos cuerpos celestes. El concepto de la “acción a distancia” es reemplazado por otro concepto, el concepto de que la presencia de cualquier cantidad de masa o de energía introduce una curvatura en el espacio cuatri-dimensional que de otra manera sería perfectamente plano, y esta curvatura es precisamente la que explica los movimientos de los planetas alrededor del Sol y todos los demás fenómenos celestes. En una región del universo completamente desprovista de la cercanía de objeto alguno, el diagrama espacio-tiempo de Minkowski de tal región es perfectamente plano, porque no hay nada que introduzca curvatura alguna en dicho diagrama:

Pero la sola presencia de un objeto cualesquiera introduce una curvatura en el plano espaciotiempo cuya magnitud dependerá de la magnitud de la masa que produzca dicha curvatura, siendo la curvatura mayor en tanto mayor sea la masa. Es así como el Sol en torno al cual gira nuestro planeta introduce su propia curvatura la región del espacio-tiempo que está ocupando (por cierto, el marco de la figura de abajo no es un rombo con el lado inferior más pequeño que el lado superior, la forma aparente de trapecio no es más que una ilusión óptica, del mismo modo que la mecánica Newtoniana no es más que una ilusión que prevaleció por muchos años):

Bajo la mecánica Einsteniana, cuando un objeto pequeño está en la proximidad de un objeto masivo, rodará enfilándose hacia el objeto masivo a causa de la curvatura en el continuo espaciotiempo del mismo modo en que una canica rodará hacia una pequeña región que esté situada a una altura menor que la altura a la cual se encuentra:

Si el cuerpo pequeño no está enfilado directamente hacia el objeto de mayor tamaño sino que va a pasar de lado, entonces la curvatura en el espacio-tiempo provocada por el objeto mayor lo jalará haciéndolo caer en una espiral hacia él. Si el cuerpo pequeño va viajando con suficiente rapidez al irse acercando hacia el cuerpo mayor, entonces no caerá sino que entrará en órbita permanente alrededor del cuerpo. Esto es posible porque si el cuerpo que servirá de centro orbital (en torno al cual girará otro cuerpo) tiene suficiente masa, entonces hará que el espacio-tiempo se cierre sobre sí mismo produciendo las trayectorias curvas cerradas que el cuerpo en movimiento seguirá en torno al cuerpo alrededor del cual estará girando. Esta es la verdadera razón, de acuerdo con la Relatividad General, por la cual la Tierra gira alrededor del Sol, no porque haya una fuerza de atracción entre dos masas según lo propuso Newton. Esta es esencialmente la explicación Einsteniana moderna de la mecánica celeste. En nuestro sistema solar, no sólo el Sol produce una hendidura en el espacio-tiempo introduciendo una curvatura que le permite mantener a todos los planetas del sistema solar girando en torno suyo, también cada planeta introduce su propia hendidura que le permite tener sus propios satélites. Es así como tenemos un conjunto de hendiduras en el espacio-tiempo de nuestro sistema solar:

De este modo, la Teoría de la Relatividad reemplaza todo el concepto filosófico en el que estaban basadas las ideas de Newton por otro concepto que está más acorde con resultados experimentales que están siendo obtenidos en la actualidad.

Se puede encontrar una explicación moderna, detallada, a la explicación de la precesión de la órbita de Mercurio alrededor del Sol, en el siguiente enlace Wikipedia; http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem_in_general_relativity

22. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO TENSORIAL La formulación básica de la Teoría General de la Relatividad es una formulación matemática en notación tensorial, usando tensores, y es por ello que se vuelve necesario dar una idea de lo que son estos objetos matemáticos que llamamos tensores. En vez de empezar con una definición axiomática (formal) de lo que es un tensor, postpondremos dicha definición para después, empezando en cambio con una definición intuitiva. Aunque sin algo que le corresponda en el mundo físico real, podemos definir matemáticamente en un plano de dos dimensiones un “campo de números” como el siguiente: φ = 0.2x + 0.1y De este modo, al par (x,y) = (1,1) le corresponde el número φ = 0.3, y así sucesivamente. Tabulando algunos números y poniéndolos en el plano tendríamos una distribución de números como la que se muestra a continuación:

A cada punto en el plano x-y le corresponde un número. Así, podemos “sembrar” un campo de números, de escalares, con lo que tenemos un campo de escalares o simplemente un campo escalar. Una cantidad escalar Q, la cual no tiene dirección ni sentido y se representa con un simple número (como la masa m de un cuerpo o su temperatura T) es un tensor de orden cero. Esta cantidad, por ser un simple número, permanece igual ya sea que se le considere en un espacio de dos

dimensiones, de tres dimensiones, o inclusive en un espacio que posea cualquier número de dimensiones. Una cantidad vectorial V, a la cual definitivamente le podemos asignar dirección y sentido (como la velocidad que lleva un avión moviéndose horizontalmente hacia la derecha a una velocidad de 30 metros por segundo y hacia arriba a 40 metros por segundo) y se representa como una n-pla de números (un par de números ordenados cuando se trata de un vector en dos dimensiones, un triplete de números ordenados cuando se trata del mismo vector trazado en tres dimensiones, un cuádruple ordenado de números cuando se trata de un vector trazado en un espacio cuatridimensional, etc.) es un tensor de orden uno en un espacio n-dimensional. Una cantidad tensorial Trs en donde empleamos dos sub-índices es una extensión de los conceptos anteriores, también a un espacio n-dimensional, denotado como tensor de orden dos. Los componentes Tij de un tensor de orden dos se pueden representar mediante ese arreglo rectangular de números conocido como matriz:

En todo lo que hemos señalado anteriormente, hemos supuesto que al hablar de un tensor de orden cero (una cantidad escalar), un tensor de orden uno (una cantidad vectorial) o un tensor de orden dos, estamos haciendo referencia a algo que es representado en el espacio n-dimensional como un punto, como en el caso de la masa que se representada simbólicamente con su centro de masa especificado en cierta posición, o como el vector velocidad de un avión que en un instante dado se especifica sobre cierto punto de origen (no necesariamente el punto de origen del sistema de coordenadas utilizado para representar el vector con la flechita usual) el cual va cambiando de lugar conforme el avión se va trasladando de un punto a otro. Pero hay muchas situaciones físicas en las cuales se vuelve necesario extender las definiciones anteriores. Supóngase que estamos midiendo la temperatura no de una esferita metálica muy pequeña que por su tamaño está completamente a la misma temperatura, sino de una placa metálica rectangular uno de cuyos bordes laterales está tocando un horno con los otros tres bordes tocando un recipiente de agua. Al llevarse a cabo una transmisión del calor del borde caliente a los tres bordes fríos, no podemos hablar de que toda la placa esté a una sola temperatura. Un punto

de la placa estará a una temperatura T1, otro punto de la placa estará a una temperatura T2, otro punto de la placa estará a una temperatura T3, en fin, teóricamente hay una cantidad infinitamente grande de puntos dentro de la placa, y cada uno de ellos tendrá su propia temperatura en un momento dado (la distribución de temperaturas en un caso así tratándose de una placa rectangular se obtiene mediante una ecuación diferencial que involucra derivadas parciales de segundo orden conocida como la ecuación de Laplace). En este caso, tenemos un ejemplo de lo que viene siendo un campo escalar en un plano, con cada punto en el plano especificando un valor escalar distinto (que en este caso es la temperatura) para el plano. Si representamos la distribución de temperaturas en la placa rectangular poniendo a la placa en un plano de coordenadas y asignándo a la tercera coordenada el valor de la temperatura en cada punto de la placa, tendremos algo como lo siguiente:

Como podemos ver, la placa tendrá su temperatura máxima de 500 grados en el punto (i,j) = (20,0), y la temperatura en cada punto de la placa va descendiendo (y con ello la altura de la superficie que une las alturas de las temperaturas) conforme nos vamos alejando de dicho punto que es el más caliente. Este es un ejemplo de un campo escalar en dos dimensiones. Si lo deseamos, podemos utilizar un cubo metálico en lugar de una placa metálica poniendo uno de los lados del cubo en contacto completo con el horno y los otros cinco lados en contacto con un medio frío. Nuevamente, dentro del cubo tenemos una distribución distinta de temperaturas en el espacio tridimensional, tenemos entonces un ejemplo de lo que viene siendo un campo escalar en un espacio de tres dimensiones. Además de poder asignar un escalar a cada punto en el espacio para representar cierta situación

física, podemos también asignar un vector a cada punto en el espacio para representar algo que no puede ser representado con un solo punto. Un ejemplo de ello es el flujo de una corriente de agua que está entrando de un torbellino. Obviamente, dentro de un torbellino, cada molécula del agua apuntará hacia una dirección diferente, y el comportamiento del conjunto no puede ser representado con un solo vector. Se necesita todo un enjambre de vectores para poder representar la situación. Este enjambre de vectores es lo que nos define un campo vectorial. A continuación tenemos la representación gráfica de tal torbellino mediante un campo vectorial:

Obsérvese que el torbellino es más intenso en el centro, por el grosor y la longitud con la que hemos representado las flechas vectoriales de la velocidad asignadas a cada uno de los puntos en el plano. Lo que tenemos arriba es la representación gráfica de un campo vectorial en un espacio de dos dimensiones, el cual a veces se puede representar matemáticamente como una función vectorialV(x,y) en la que a cada punto del plano identificado con la coordenada x y con la coordenada y se le asigna un valor específico V al vector ligado a dicho punto. Para ciertos problemas, la interpretación del campo vectorial puede requerir un poco más de imaginación, como es el caso del siguiente campo vectorial:

En una situación física real, en donde los fenómenos ocurren no en un plano sino en un espacio de tres dimensiones, obviamente requerimos un campo vectorial en un espacio de tres dimensiones, representado como V(x,y,z) Si lo deseamos, aunque nuestra intuición geométrica no nos ayude, podemos extender este concepto matemáticamente a un campo vectorial en un espacio de ndimensiones. V ( x1 , x2, x3 , ... , xn) Así como hemos hablado de campos escalares y de campos vectoriales, podemos hablar también acerca de campos tensoriales. Del mismo modo en que lo hicimos con las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales, a cada punto en un plano podemos asignarle un tensor. Esta es esencialmente la idea detrás de un campo tensorial. Si lo hacemos en un plano, estaríamos hablando de un campo tensorial en un espacio de dos dimensiones. Si lo hacemos en un espacio tridimensional, estaríamos hablando de un campo tensorial en un espacio de tres dimensiones. Y si lo hacemos matemáticamente podemos hablar de un campo tensorial en un espacio de ndimensiones. En la Teoría General de la Relatividad, el fondo del asunto se maneja con un campo tensorial de cuatro dimensiones. De este modo, a cada punto en un espacio cuatri-dimensional con coordenadas ( x1 , x2, x3 , x4) le podemos asignar un tensor cuatri-dimensional. Y cada punto, en el caso de un tensor Trs en donde los sub-índices r y s corran de uno a cuatro (o de cero a tres, que es lo mismo), tendrá asignado un total de 16 valores numéricos, las componentes del tensor. Frecuentemente, al manejar temas relacionados con la Teoría General de la Relatividad, se recurre frecuentemente a una simplificación notacional conocida como la convención de sumación de

Einstein, con la cual debemos estar familiarizados si queremos entender los libros especializados sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad. La convención de sumación, la cual en ciertos casos reemplaza al familiar símbolo de sumación Σ(letra griega sigma mayúscula) utilizado para representar sumaciones:

nos propone que cuando en una expresión tengamos un término en dicha expresión con índicesrepetidos sobre los cuales se lleva a cabo una suma, en lugar de utilizar el símbolo de sumación Σpodemos prescindir del símbolo dejando que los índices repetidos se conviertan en los indicadores de la sumación, debiendo especificar (en caso de que no se sobreentienda) el número n de veces en que se habrá de llevar a cabo la sumación. La convención sólo es válida para índices repetidos, de modo tal que el siguiente símbolo: AijBk no representa sumación alguna, y en este caso los índices i, j y k son llamados índices libres. Cuando hay una sumación, los índices utilizados para representar dicha sumación son conocidos comoíndices monigote (dummy indexes). Para adquirir destreza en tan importante simplificación notacional, a continuación veremos unos problemas de práctica. PROBLEMA: Expandir la fórmula aibi para n=6. En el término tenemos repetido el índice i, y por lo tanto este es el índice monigote, de modo tal que de acuerdo a la convención de sumación aquí tenemos una sumación que debe ser expandida a: a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 + a5b5 + a6b6 PROBLEMA: Escribir completamente la expresión Rijki (n=4). ¿Cuáles son los índices libres? En el término tenemos repetido el índice i que es el índice sobre el cual se debe llevar a cabo la sumación: R1jk1 + R2jk2 + R3jk3 + R4jk4

Los índices libres son j y k, con lo cual si también para ellos se tiene n=4 hay un total de 16 expresiones como la anterior para todas las combinaciones posibles de números. PROBLEMA: Simplificar notacionalmente lo siguiente con la convención de sumación, especificando el valor de n: a13b13 + a23b23 + a33b33 La expresión condensada con la convención de sumación será: ai3bi3__(n = 3) Como puede verse, la convención de sumación es el equivalente de un sistema de taquigrafía con el que podemos reducir todo lo que tenemos que escribir al estar manejando un tema como el que nos ocupa. PROBLEMA: Escribir completamente la expresión aiixk para n=4. aiixk = a11xk + a22xk + a33xk + a44xk aiixk = (a11 + a22 + a33 + a44) xk PROBLEMA: Escribir completamente la expresión aijxj para n=4. aijxj = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ai4x4 PROBLEMA: Escribir de la manera más compacta que se pueda el siguiente sistema de ecuaciones que representan una transformación linear: y1 = c11x1+ c12x2 y2 = c21x1+ c22x2 Usando la convención de sumación, podemos llevar a cabo la primera simplificación en cada una de las ecuaciones: y1 = c1jxj y2 = c2jxj

La segunda simplificación sobre lo mismo la podemos llevar a cabo usando el índice libre: yi = cijxi PROBLEMA: Escribir explícitamente el sistema de ecuaciones representado en forma compacta mediante la convención de sumación como Ti = airTr__(n = 4) Llevando a cabo la expansión sumatoria sobre el índice monigote r que es el índice repetido: Ti = ai1T1 + ai2T2 + ai3T3 + ai4T4 El índice libre nos proporciona cuatro ecuaciones de transformación: T1 = a11T1 + a12T2 + a13T3 + a14T4 T2 = a21T1 + a22T2 + a23T3 + a24T4 T3 = a31T1 + a32T2 + a33T3 + a34T4 T4 = a41T1 + a42T2 + a43T3 + a44T4 En este último problema, si suponemos que lo que se está describiendo es algo así como una transformación de Lorentz de un marco de referencia S de un observador a otro marco de referencia S' de otro observador, el lector se habrá dado cuenta de que en lugar de utilizarse las comillas individuales para denotar cada componente transformado (por ejemplo z al ser transformado a z') se están utilizado barras (líneas) horizontales puestas sobre cada componente (así T3 es transformado aT3). Aunque en muchos textos sobre la Teoría General de la Relatividad y sobre el Cálculo Tensorial el uso de las comillas se sigue reteniendo para tal propósito, el aferrarse a la simbología de las comillas tiene sus inconvenientes. El principal inconveniente es que las comillas no sólo son más difíciles de distinguir en comparación con las barras horizontales superiores, sino que en expresiones en las cuales se utilizan junto con superíndices (por ejemplo, R'2) hay ocasiones en las cuales las comillas incluso se pueden confundir con el número “1”. Encima de ello, está el hecho de que dentro de la Teoría General de la Relatividad, en donde se tiene que hacer uso intensivo de las herramientas del cálculo infinitesimal, la comilla se puede utilizar para indicar la derivada de una función como en el ejemplo siguiente: y' = dy/dx

Es por ello que, para reducir lo más que se pueda las posibles confusiones en la lectura de las expresiones matemáticas, se ha preferido recurrir aquí al uso de las barras superiores. De cualquier manera, no debe quedar duda en el lector de que en muchos otros textos en donde se mantiene el uso de las comillas para denotar a los componentes de un objeto tras un cambio de coordenadas, la comilla es completamente equivalente a la barra horizontal superior que estamos utilizando aquí. De este modo, las siguientes dos expresiones ambas representan lo mismo:

Se deben formular también aquí las siguientes dos advertencias sobre la convención de sumación de Einstein: (1) La convención de sumación solo es aplicable a índices repetidos, como lo es el caso de la expresión AiAi que no puede ser “simplificada” a (Ai)² porque pierde totalmente su sentido original que es: AiAi = A1A1 + A2A2 + A3A3 + A4A4 + ... + AnAn

AiAi = A1² + A2² + A3² + A4² + ... + A²n (2) La convención de sumación solo es aplicable a un índice que aparece no más de dos veces en una expresión. Un término como AiiXi no representa sumación alguna. Sin embargo, un término cualquiera puede contener más de un par de índices repetidos, sobre lo cual no hay restricción alguna. PROBLEMA: Suponiendo que (dx0,dx1,dx2,dx3) = (dt, dx, dy, dz) y que ds² = gij dxi dxj__(n = 4), llevar a cabo la expansión de ds². En este caso tenemos dos índices monigote, i y j. Llevando a cabo la expansión de acuerdo con lo que nos dicta la convención de sumación para índices repetidos, tendremos lo siguiente: ds² = g00(dx0)(dx0) + g01(dx0)(dx1) + g02(dx0)(dx2) + g03(dx0)(dx3) + g10(dx1)(dx0) + g11(dx1)(x1) + g12(dx1)(dx2) + g13(dx1)(dx3)

+ g20(dx2)(dx0) + g21(dx2)(dx1) + g22(dx2)(dx2) + g23(dx2)(dx3) + g30(dx3)(dx0) + g21(dx3)(dx1) + g32(dx3)(dx2) + g33(dx3)(dx3) Reemplazando los dxr por las coordenadas que representan:

Si hacemos gij = 0 para todos los casos en los que los índices son diferentes (i≠j), y hacemos g00 = 1, g11 = 1, g22 = 1 y g33 = 1, lo anterior se reduce a: ds² = -(dt)² + (dx)² + (dy)2 + (dz)² Esto nos debe parecer ya familiar. Es la distancia (intervalo) infinitesimal entre dos eventos diferentes muy cercanos el uno al otro que ocurren en un espacio-tiempo relativístico plano (Lorentziano). Y esto solo ocurre cuando los índices en el símbolo gij son iguales y corresponden a los valores de los gij que se han indicado arriba y los valores gij son iguales a cero cuando los índices en el símbolo son diferentes (i≠j). Si a estas alturas el lector está empezando a sospechar que esto es lo que produce la diferencia fundamental entre un espacio-tiempo plano y un espaciotiempo curvo, estará en lo correcto. Además de la convención de sumación de Einstein, tenemos un símbolo que se utiliza frecuentemente en la simplificación notacional, el delta de Kronecker δij, definido de la manera siguiente: δ ij = 1__para i = j δ ij = 0__para i ≠ j PROBLEMA: Llevar a cabo la expansión de

δij xi xj__(n = 3) Aplicando la definición del delta de Kronecker, tenemos: δ ij xi xj = 1x1 x1 + 0x1 x2 + 0x1 x3 + 0x2 x1 + 1x2 x2 + 0x2 x3 + 0x3 x1 + 0x3 x2 + 1x3 x3 δ ij xi xj = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 δ ij xi xj = (x1)² + (x2)² + (x3)² Expuestas las ideas y conceptos anteriores, definimos ahora formalmente a un vector covarianteTr en un espacio de n-dimensiones (o más rigurosamente, un tensor coavariante de orden 1 en un espacio de n-dimensiones) como toda aquella n-pla (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de componentes que puedan ser transformados a otra n-pla de componentes (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de acuerdo con la siguiente relación:

en donde usamos el símbolo ∂ para denotar la diferenciación parcial de una variable con respecto a otra de varias variables que son mantenidas constantes al llevar a cabo la diferenciación parcial como lo muestra el siguiente ejemplo: u = xy²exz

Obsérvese con cuidado que, en virtud de los índices repetidos que tenemos en la definición del tensor covariante de orden uno, la convención de sumación ha entrado automáticamente en acción sobre el índice monigote r. Sin la convención de sumación, esta expresión se escribe (metiendo el símbolosigma de sumación) como:

Ti = Σ r (∂xr/∂x i) Tr____r=1, 2, 3, ... , n Para un espacio de dos dimensiones, la anterior definición de un vector covariante (que por lo pronto llamaremos simplemente vector) nos produce la siguiente relación de transformaciones llevando a cabo la sumación sobre el índice monigote j (el índice repetido): Ti = (∂x1/∂x i) T1 + (∂x2/∂x i) T2 que a su vez nos produce las siguientes relaciones a través del índice libre i: T1 = (∂x1/∂x1) T1 + (∂x2/∂x1) T2___para i=1

T2 = (∂x1/∂x2) T1 + (∂x2/∂x2) T2___para i=2 Consideremos un vector T = (T1,T2) = (4,3) en un espacio de dos dimensiones para el cual la transformación de coordenadas está dada por los siguientes valores: ∂x1/∂x1 = 0.500___ ∂x2/∂x1 = -0.866 ∂x1/∂x2 = 0.866___ ∂x2/∂x2 = 0.500 Entonces la transformación de los componentes del vector T= (T1,T2) = T(4,3) hacia los componentes del vector que le corresponde T = (T1,T2) después de la transformación estará dada por el siguiente conjunto de ecuaciones: T1 = 0.5 T1 - 0.866 T2 T2 = 0.866 T1 + 0.5 T2 Poniendo números: ____T1 = 0.5 T1 - 0.866 T2 ____T1 = (0.500) 4 + (-0.866) 3 ____T1 = 2.0 -2.6 = -0.6 ____T2 = 0.866 T1 + 0.5 T2

____T2 = (0.866) 4 + (0.500) 3 ____T2 = 3.464 + 1.5 = 4.964 Es así como obtenemos el nuevo vector T = (T1,T2) = (-0.6, 4.964). Los mismos cálculos los podríamos haber llevado a cabo empleando notación matricial:

Ahora calcularemos la longitud ║T║ del vector T= (4,3): ____║T║² = 4² + 3² = 25 ____║T║ = 5 Veamos ahora cuál es la longitud del vector ║T║: ____║T║² = (-0.6)² + (4.964)² = 0.36 + 24.64 = 25.0 ____║T║ = 5 El vector T tiene la misma longitud ║T║ que la que tiene el vector T. Y este resultado no aplica únicamente al vector T= (4,3) bajo este cambio de coordenadas. Aplica a cualquier vector bajo este cambio de coordenadas, lo cual no es difícil de demostrar: ║T║² = (T1)² + (T2)²

║T║² = [(0.500) T1 + (-0.866) T2]² + [(0.866) T1 + (0.500) T2)]²

║T║² = 0.25T1² - 0.433T1T2 + 0.75T2 ² + 0.75T1² + 0.433T1T2 + 0.25T2²

║T║² = (T1)² + (T2)²

║T║² = ║T║² No todas las transformaciones tienen esta propiedad de preservar intacta la longitud de un vector. El lector puede comprobarlo dando otros valores numéricos a las transformaciones y llevando a cabo sus propios cálculos. Si ponemos énfasis en la representación matricial de las operaciones que hemos llevado a cabo, representando a la matriz como M, podemos ver a dicha matriz como un operador (o más propiamente dicho, como un operador matricial) que al ser aplicado sobre un vector T en un sistema de coordenadas (x1,x2) lo transforma en otro vector T relativo a otro sistema de coordenadas ( x'1,x'2). Y como la longitud de un vector cualesquiera es preservada bajo el cambio de coordenadas ordenado por la transformación del ejemplo que acabamos de ver, no nos queda ninguna duda de que para dicho ejemplo el vector en sí permanece invariante. Y si un vector cualesquiera puede permanecer invariante bajo cierto cambio de coordenadas como es el caso del ejemplo que acabamos de ver, se sobreentiende que también un campo vectorial permanecerá invariante bajo dicha transformación. Este es precisamente el tipo de transformaciones que necesitamos en una Teoría General de la Relatividad, aplicadas sobre los vectores de un espacio de cuatro dimensiones (4-vectores), porque bajo este tipo de transformaciones las leyes de la Naturaleza permanecen invariantes. Este es ni más ni menos el principio de covariancia, extendido de la Teoría Especial de la Relatividad a la Teoría General de la Relatividad. El principio adquiere ahora una naturaleza universal. PROBLEMA: Expresar en notación de matriz las ecuaciones de transformación para un tensor covariante de orden uno para N = 3. Representando a los tensores como vectores columna, las ecuaciones de transformación se pueden representar en forma matricial de la siguiente manera:

Con un ligero cambio de notación, introducimos ahora formalmente la definición de

un vectorcontravariante Tq en un espacio de n-dimensiones (o más rigurosamente, un tensorcontravariante de orden 1) como toda aquella n-pla (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de componentes que puedan ser transformados a otra n-pla de componentes (T1, T2 , T3 , ... , Tn) de acuerdo con la siguiente relación:

Sin la convención de sumación, esto se escribe explícitamente como: (T) i = Σ r (∂xi/∂xr) Tr____r=1, 2, 3, ... , n Se hace hincapié aquí en que los índices superscriptos en cada uno de los componentes T ino indican exponenciación matemática, sólo denotan la posición de cada componente del vector contravariante dentro de la n-pla ordenada (esto al principio puede ser causa de mucha confusión al igual que el empleo de la convención de sumación de Einstein para notación tensorial). Los vectores covariantes y los vectores contravariantes siempre van de la mano juntos, y carece de sentido hablar de uno de ellos sin que haga acto de presencia el otro. En este sentido, la convención adoptada aquí de simbolizar a los componentes de los vectores covariantes con índices subscriptos y a los componentes de los vectores contravariantes con índices superscriptos utilizada en muchos libros es completamente arbitraria; igualmente podríamos haber adoptado la convención (también utilizada en muchos otros libros) de simbolizar a los componentes de los vectores covariantes con índices superscriptos y a los componentes de los vectores contravariantes con índices subscriptos. Lo importante es tener una manera simbólica de distinguir entre los vectores covariantes y los vectores contravariantes del mismo modo que en las ecuaciones de transformación de Lorentz empleadas en la Teoría Especial de la Relatividad utilizamos las comillas para distinguir los componentes del marco de referencia de un observador en movimiento con respecto al marco de referencia de un observador (en reposo); igual podríamos haber invertido la asignación de las comillas sin alterar la distinción que estamos haciendo entre los dos marcos de referencia. En el espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones propio de la Teoría Especial de la Relatividad (marco de referencia Lorentziano o inercial), no tiene objeto alguno hacer una distinción entre vectores covariantes y vectores contravariantes (se aprovecha aquí la ocasión para señalar que la palabra covariante utilizada para la definición de vectores con índices superscriptos no tiene nada que ver con el principio de covariancia mencionado en la entrada “Invariantes”, lo cual lamentablemente también puede ser causa de muchas confusiones entre los principiantes); ambos son la misma cosa. Sin embargo, en el espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones propio

de la Teoría General de la Relatividad, la diferencia entre un vector covariante y un vector contravariante se vuelve más que obvia. Esta es una de las complejidades inevitables que resultan de saltar de un espacio-tiempo plano a un espacio-tiempo curvo. Un observador que esté dentro de un elevador en caída libre en presencia de un campo gravitacional no se dará cuenta de ello haciendo experimentos con rayos de luz dentro de su elevador, porque todo estará en caída libre junto con él en un marco de referencia Lorentziano, su espacio-tiempo es plano. Pero un observador externo alejado de dicho campo gravitacional lo verá de un modo distinto, lo verá acelerándose en un espacio-tiempo curvo. Este salto de un entorno linear a un entorno curvo no-linear es lo que nos obliga a recurrir al uso del cálculo infinitesimal, al uso de ecuaciones diferenciales, específicamente a las derivadas parciales que requerimos para poder analizar los cambios que toman lugar en un espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones. En la Teoría Especial de la Relatividad, pasamos de un espacio-tiempo plano (marco de referencia S) a otro espacio-tiempo plano (marco de referencia S') o viceversa con la ayuda de las ecuaciones de transformación de Lorentz, pero en la Teoría General de la Relatividad pasamos de un espaciotiempo plano a un espacio-tiempo curvo o viceversa, o peor aún de un espacio-tiempo curvo a otro espacio-tiempo curvo complicando aún más el asunto. En la Teoría Especial de la Relatividad en donde siempre considerábamos a una partícula en movimiento rectilíneo uniforme trasladándose a velocidad constante, su línea del universo (world line) en un diagrama espaciotiempo de Minkowski siempre era una línea recta para cualquier observador. Pero en la Teoría General de la Relatividad en donde la partícula puede cambiar la dirección de su movimiento a causa de una aceleración producida por un campo gravitacional (como lo es el caso de los cometas) su línea del universo deja de ser una línea recta para todos los observadores externos, y entendiblemente requerimos de las herramientas del cálculo infinitesimal para poder analizar este movimiento no-linear. El siguiente paso en las generalizaciones (abstracciones) que estaremos llevando a cabo consistirá en extender las definiciones que se han dado arriba del tensor covariante y del tensor contravariante hacia tensores de orden superior, construyendo una aritmética de tensores en base a las definiciones básicas y buscando en todo momento considerar aquellas transformaciones que puedan preservar intactas, invariables, ciertas características no de un campo escalar o de un campo vectorial sino de uncampo tensorial, al igual que como lo hemos encontrado en los ejemplos puestos arriba para un campo vectorial. Esto requerirá entrar en mayor detalle en las herramientas del cálculo tensorial, lo cual será cubierto en entradas posteriores.

23. TENSORES DE ORDEN SUPERIOR Y MIXTOS Una vez que hemos definido lo que es un tensor covariante de orden uno y lo que es un tensor contravariante de orden uno, cuyas componentes son diferenciadas la una de la otra únicamente por el uso de sub-índices y super-índices respectivamente, el siguiente paso natural consiste en extender estas definiciones para definir un tensor de orden dos, ya sea T = (Tij) ó T = (Tij), usando dos índices para ello. Definimos ahora formalmente a un tensor covariante T de orden dos en un espacio de ndimensiones como todo aquél conjunto ordenado de componentes (Tij) que puedan ser transformados de acuerdo con la siguiente relación: Tpr = Σ r Σ s (∂xq/∂xp) (∂xs/∂xr) Tqs____q, s =1, 2, 3, ... , n Obsérvese que al igual que como ocurrió con el tensor covariante de orden uno, los componentes del tensor covariante de orden dos también son representados mediantes sub-índices. Obsérvese también que la doble sumación nos genera un arreglo de componentes que pueden ser ubicados en una rejilla cuadrada de números, en una matriz. Obsérvese también que tenemos el producto de dos sumaciones, posibilitándose en cada una de ellas el empleo de la convención de sumación por tener repetidos los índices q y s en el doble sumando. Prescindimos, pues, de los símbolos Σ de sumación entendiéndose la sumación implicada en cada caso por el índice repetido:

La definición anterior se puede extender a la de un tensor covariante de orden tres, ó de orden cuatro, ó de cualquier otro orden superior, estableciendo la misma regla de transformación que se debe cumplir como se ha señalado arriba. PROBLEMA: Escribir explícitamente, sin ninguna abreviatura matemática, las relaciones de transformación para un tensor covariante T de orden dos en un espacio de dos dimensiones. En un espacio de dos dimensiones, un tensor covariante de orden dos estará especificado por cuatro componentes, a saber: T11, T12, T21 y T22; los cuales al ser transformados de acuerdo a la definición del tensor producirán cuatro componentes denotados como T11, T12, T21 y T22. Las cuatro relaciones de transformación son las siguientes, empezando por la primera:

seguida por la segunda:

seguida por la tercera:

y por último, la cuarta:

Habiendo definido formalmente al tensor covariante de orden dos, pasamos a definir al tensor contravariante T de orden dos en un espacio de n-dimensiones como todo aquél conjunto

ordenado de componentes (Tij) que puedan ser transformados a de acuerdo con la siguiente relación: Tpr = Σ q Σ s (∂xp/∂xq) (∂xr/∂xs) Tqs____q, s = 1, 2, 3, ... , n Obsérvese que los componentes del tensor contravariante de orden dos son representados mediantes dos super-índices. Obsérvese que también en este caso que la doble sumación nos genera un arreglo de componentes que pueden ser ubicados en una matriz. Obsérvese también que tenemos el producto de dos sumaciones, posibilitándose en cada una de ellas el empleo de la convención de sumación por tener repetidos los índices r y s en el doble sumando. Prescindimos, pues, de los símbolos Σ de sumación entendiéndose la sumación implicada en cada caso por el índice repetido:

La definición anterior se puede extender a la de un tensor contravariante de orden tres, o de orden cuatro, o de cualquier otro orden superior, estableciendo la misma regla de transformación que se debe cumplir como se ha señalado arriba. Siempre distinguiremos a un tensor covariante de orden n de un tensor contravariante del mismo orden mediante la colocación de los índices, los componentes de un tensor covariante serán subíndices mientras que los componentes de un tensor contravariantes serán superíndices,aclarándose que esta convención no es universal ya que en muchos textos y documentos se utilizan los sub-índices para denotar a los tensores contravariantes y a los super-índices para denotar a los tensores covariantes. Lo importante en todo caso es no confundir a uno con otro una vez que se ha establecido un acuerdo en seguir cierta convención. Habiendo establecido la existencia de tensores covariantes y contravariantes de orden n, podemos definir un concepto que consiste en una combinación de ambos, el tensor mixto, el cual consiste en una extensión de las definiciones aplicadas anteriormente a los componentes del tensor según la colocación de sus índices. Decimos que un tensor mixto es un tensor covariante de orden N y contravariante de orden M, cuando cada uno de sus componentes está especificado por N sub-índices y M super-índices, aplicándose las mismas reglas de transformación que ya vimos con anterioridad. Es frecuente encontrar la notación:

para referirnos a un tensor mixto contravariante de orden M y covariante de orden N. Al hablar delorden de un tensor mixto nos estamos refiriendo a la cantidad total de índices (sub-índices y super-índices) empleados para especificar al tensor. El tensor mixto más elemental de todos es el tensor contravariante de orden uno y covariante de orden uno, el cual es un tensor de orden dos, simbolizado ya sea como ya sea T = (Tij) ó como T = ((Tji), y el cual está definido de la siguiente manera:

Así como hemos defininido al tensor de orden dos, ya sea covariante, contravariante o mixto, podemos definir un tensor de orden tres, ya sea covariante, contravariante, o mixto, habiendo cinco posibilidades: T = (Tijk)__T = (Tijk)__T = (Tijk)__T = (Tijk)__T = (Tijk) Desafortunadamente, ya no es posible representar los componentes de un tensor de orden tres o de un tensor de orden mayor que tres en forma de un arreglo rectangular de números, en forma matricial. Pero podemos imaginar a los componentes del tensor de orden tres ordenados dentro de uncubo matricial tri-dimensional como el siguiente:

El tensor generalizado puede ser representado de la siguiente manera:

PROBLEMA: Clasificar cada uno de los siguientes tensores según su tipo. a) T = (Tijk) b) T = (Tαβγδε) c) T = (Tpqrstuv) a) Este es un tensor de covariante de orden tres. b) Este es un tensor de orden cinco, contravariante de orden dos y covariante de orden tres. c) Este es un tensor de orden siete, contravariante de orden cuatro y covariante de orden tres. La ley de transformación para un tensor de orden mixto no es más que una generalización de las leyes de transformación que ya se habían definido para tensores covariantes y contravariantes:

PROBLEMA: Escríbase la ley de transformación para cada uno de los siguiente tensores. 1) T = (Tijk) 2) T = (Tijk) 3) T = (Tijkm) 4) T = (Tmnijk) 5) T = (Tqstkl) Extendiendo las definiciones de transformación para tensores covariantes y para tensores contravariantes podemos escribir lo siguiente: 1)

2)

3)

4)

5)

Estudiando las leyes de transformación obtenidas para los tensores del problema anterior, podemos deducir una regla muy sencilla para escribir rápidamente y en forma segura la ley de transformación para cualquier tensor contravariante de orden M y covariante de orden N: refiriéndonos al último tensor T = (Tqstkl) obsérvese que las posiciones relativas de los índices p, r, m, i, j en el lado izquierdo de la transformación son las mismas que las posiciones de los mismos índices en el lado derecho. Puesto que estos índices están asociados con las coordenadas x y puesto que los índices q, s, t, k, lestán asociados respectivamente con los índices p, r, m, i, j, la ley de transformación se puede escribir de inmediato. Habiendo definido los tensores mixtos, definiremos ahora el tensor mixto más sencillo de todos, eltensor delta Kronecker, simbolizado como δ = (δ i j). Como podemos verlo por la forma en la cual está escrito, el tensor delta Kronecker es un tensor contravariante de orden uno y covariante de orden uno, cuyas componentes están definidas de la siguiente manera:

δ i j = 1___ para i = j δ i j = 0___ para i ≠ j No se confunda el tensor delta Kronecker δ con el delta Kronecker que es utilizado en el álgebra ordinaria. Esta es precisamente una de las razones para haber definido el tensor delta Kronecker como un tensor mixto, con un índice arriba y el otro índice abajo. Y podemos demostrar (esto se hará posteriormente) que el tensor delta Kronecker es un tensor porque se transforma de acuerdo con la definición para un tensor mixto covariante de orden uno y contravariante de orden uno. En la práctica, al estar efectuando cálculos con ecuaciones tensoriales, hay un detalle que podemos utilizar ventajosamente a nuestro favor: Los componentes de todo tensor (covariante ó contravariante) de orden dos siempre se pueden representar en forma de matriz. Del mismo modo, una operación matemática tensorial que involucre tensores de orden dos siempre se puede llevar a cabo con operaciones matriciales. De éste modo, una ecuación tensorial como la siguiente expresada en notación de índices (obsérvese que, por tener dos índices doblemente repetidos en la ecuación, se debe aplicar la convención de sumación dos veces si es que se desea eliminar los índices monigote i y j dejando únicamente los índices libres r y s): gij air ajs = grs en donde cada elemento apq se puede ubicar dentro de una matriz A, puede ser escrita como la siguiente ecuación matricial: ATGA = G en donde AT es simplemente la transpuesta de la matriz A en donde intercambiamos los renglones por las columnas. PROBLEMA: Si G = (gij) representa los 16 componentes de una matriz 4x4 tales que: g00 = 1 g11 = g22 = g33 = g33 = -1 gij = 0 para todo i ≠ j

y si suponemos que en el elemento a pq el superíndice p representa el renglón y el subíndice q representa la columna de la matriz A en donde está colocado el elemento, demostrar que la ecuación tensorial gij air ajs = grs representa lo mismo que lo que representa la ecuación matricial ATGA = G La resolución de este problema requiere demostrar que ambas expresiones, tanto la ecuación tensorial como la ecuación matricial, generan el mismo conjunto de ecuaciones. Si trabajamos primero sobre la ecuación tensorial, podemos llevar a cabo una expansión sobre el primer índice monigote i de conformidad con lo que nos dicta la convención de sumación para índices repetidos, con lo cual obtenemos la primera expansión: g0j a0r ajs + g1j a1r ajs + g2j a2r ajs + g3j a3r ajs = grs Trabajando ahora sobre el segundo índice monigote j de acuerdo a la convención de sumación, obtenemos una expresión explícita en la que tenemos sumados 16 términos del lado izquierdo de la ecuación: g00 a0r a0s + g01 a0r a1s + g02 a0r a2s + g03 a0r a3s + g10 a1r a0s + + g11 a1r a1s + + g12 a1r a2s + + g13 a1r a3s + ... = grs Tenemos así una expresión con dos índices libres, r y s. Para cada combinación de los índices r y spodemos obtener una relación específica, como la siguiente: (a00)² + (a10)² + (a20)² + (a30)² = 1 En total, obtenemos 16 ecuaciones diferentes, después de algo de álgebra laboriosa. Las ecuaciones obtenidas se pueden resumir mediante las siguientes tres relaciones generales:

(a00)² + (a10)² + (a20)² + (a30)² = 1 (a0j)² + (a1j)² + (a2j)² + (a3j)² = -1___para j = 1, 2, 3 a0i a0j - a0i a0j - a0i a0j - a0i a0j = 0___para todo i ≠ j Si llevamos a cabo ahora la multiplicación matricial ATGA igualando la matriz resultante a la matriz G, obtenemos las mismas 16 ecuaciones que habíamos obtenido expandiendo la ecuación tensorial, lo cual resuelve el problema. Al resolverlo, el lector se dará cuenta de que recurriendo a una representación matricial podemos avanzar de manera mucho más rápida que si lo hacemos trabajando directamente sobre la ecuación tensorial. Se había señalado con anterioridad que así como una expresión vectorial en un espacio multidimensional representa físicamente un campo vectorial, del mismo modo una expresión tensorial en un espacio multi-dimensional representa físicamente un campo tensorial. Como acabamos de verlo, en el caso de los tensores de orden dos una ecuación tensorial se puede reescribir como una ecuación matricial, y por lo tanto no es de extrañar que al utilizar la representación matricial estemos hablando de un campo matricial. Sin embargo, un campo tensorial descrito por un tensor de orden dos y un campo matricial vienen siendo lo mismo a fin de cuentas, aunque el manejo matemático del asunto sea diferente en ambos casos.

24. ARITMÉTICA DE TENSORES El cálculo tensorial va directamente al corazón de todo lo que tenga que ver con un cambio de coordenadas, cuando el mismo punto P en un mismo plano puede ser localizado en el plano de varias maneras, como lo es el caso en el cual en un plano se puede localizar a dicho punto mediante coordenadas rectangulares Cartesianas (X, Y) o mediante coordenadas polares (r, θ):

En este caso, es fácil obtener las relaciones de transformación para convertir de coordenadas polares a Cartesianas (y viceversa):

X = r cos θ Y = r sen θ Esto se puede extender hacia tres dimensiones, en donde necesitamos especificar una coordenada adicional. Es así como tenemos coordenadas Cartesianas (rectangulares) en tres dimensiones, coordenadas esféricas, coordenadas cilíndricas, y coordenadas afines. Aquí resulta conveniente introducir coordenadas generalizadas (x0, x1, x2, x3 , ... , xn) con las cuales podemos simplificar nuestra notación, aplicándola en un espacio de tres dimensiones a las coordenadas cilíndricas: (x0, x1, x2) = (r, θ, z)

y a las coordenadas esféricas: (x0, x1, x2) = (r, θ, z)

A estas alturas, el lector cuyo interés principal es el estudio de la Teoría de la Relatividad se preguntará qué tiene que ver el estudio de las coordenadas cilíndricas y esféricas propias de un espacio tridimensional, con el espacio de cuatro dimensiones que utilizamos dentro de la Teoría de la Relatividad. No es difícil responder a esta pregunta, ya que podemos extender el alcance de

las coordenadas cilíndricas y esféricas tal y como lo hicimos mediante coordenadas Cartesianas rectangulares hacia cuatro dimensiones con tan sólo agregar el cuarto componente, la coordenada del tiempo t (la cual supondremos que está multiplicada por la constante universal de la luz c a la cual le damos el valor de un metro por segundo, con el fin de darle a la cuarta coordenada la dimensión de longitud -en metros- en lugar de la dimensión de tiempo -en segundos- poniéndola así en igualdad total con las otras tres coordenadas que también miden longitud). Así, las coordenadas cilíndricas en tres dimensiones son extendidas a: (x0, x1, x2, x3) = (r,φ,z,t) y las coordenadas esféricas en tres dimensiones son extendidas a: (x0, x1, x2, x3) = (r,θ,φ,t) Una vez familiarizados con las coordenadas generalizadas, podemos ver a continuación lo que tiene que ver con la aritmética de los tensores. Pero antes de entrar en materia, es importante dejar una cosa en claro. Al igual que en el caso de los vectores cuatri-dimensionales cuando los empezamos a manejar bajo el contexto de la Teoría Especial de la Relatividad, en donde se llevó a cabo la multiplicación de la coordenada del tiempo t por la velocidad de la luz c con el propósito de tener un vector [x, y, z, ct] en donde todos sus cuatro elementos estuviesen medidos en las mismas unidades de distancia (metros, kilómetros, millas, etc.), esto para no revolver peras con manzanas, del mismo modo en la aplicación de los tensores a los fenómenos físicos tampoco se acostumbra revolver peras con manzanas. Si uno de los componentes de un tensor está expresado en cierta dimensión física (presión, temperatura, humedad, tensión eléctrica, etc.) entonces todos los demás componentes del tensor estarán expresados en la misma dimensión física. Todos los componentes de un tensor están definidos en las mismas unidades. Esto es precisamente lo que nos permite llevar a cabo operaciones aritméticas con tensores, con la seguridad de que no estaremos sumando peras a manzanas. PROBLEMA: Interpretar la siguiente relación utilizada con cierta frecuencia en las simplificaciones que se llevan a cabo al estar trabajando con coordenadas generalizadas:

usando como ejemplo ilustrativo en la interpretación el sistema de coordenadas polares (r,θ). Para el caso en el cual a = b, la relación nos expresa lo obvio, que son las siguientes identidades matemáticas:

Y para el caso en el cual a ≠ b, la relación nos expresa la independencia de las coordenadas; ya que uno de los requisitos fundamentales de todo sistema de coordenadas es que la variación de cualquiera de sus componentes no produzca efecto alguno sobre las demás. Así, en las coordenadas polares el aumento o la disminución en la distancia radial es completamente independiente del cambio que se lleve a cabo en el ángulo que está siendo especificado, lo cual indicamos como:

Estos hechos los podemos resumir en la siguiente identidad matricial:

Pero también los podemos resumir utilizando la definición del tensor delta Kronecker como se ha hecho arriba en el planteamiento del problema. En la relación proporcionada se toman las derivadas parciales de los componentes que corresponden a un vector (tensor) covariante de orden uno. Sin embargo, la relación sigue siendo válida por las mismas razones cuando los componentes sobre los cuales se toman las derivadas parciales corresponden a un vector contravariante de orden uno:

Naturalmente, nos interesa saber cómo fue que llegó a nosotros la idea y la necesidad de tener que inventar y recurrir a algo como los tensores. Como ya se dijo, los tensores van directamente a la raíz de lo que es un cambio de coordenadas. Una de las relaciones matemáticas más importantes que involucran a funciones continuas de variables múltiples continuas es la definición del diferencial total. Para una expresión que depende de dos variables continuas como: z = z (x, y) el diferencial total de z se define como:

En un espacio de dos dimensiones, para un cambio de coordenadas Cartesianas (x,y) a coordenadas polares (r,θ), tendríamos dos expresiones:

En un espacio de tres dimensiones, para un cambio de coordenadas esféricas (r,θ,φ) a coordenadas rectangulares (Cartesianas) tendríamos tres expresiones:

En general, si se nos dá una función F suave y continua en n variables, definimos el diferencial total de dicha función F sobre cualquier número de dimensiones de la siguiente manera:

En notación de coordenadas generalizadas x1,x2, x3, ... , xn, el cambio incremental en la función continua suave F = F(x1,x2, x3, ... , xn) que resulta de los cambios incrementales dx1, dx2, dx3, ... , dxn en las variables x1,x2, x3, ... , xn estará dado por la siguiente relación(se recuerda aquí que los superíndices son simplemente índices, no exponentes):

Por definición, un tensor T cualesquiera de cualquier tipo y cualquier orden es un tensor cero Ocuando todos los componentes del tensor son iguales a cero, lo cual implica que para cualquier tensorA diferente de cero: A+O=A Así, todos los 16 componentes de un tensor de orden 2 en un espacio cuatri-dimensional serán iguales a cero si ése tensor es un tensor cero. En el caso de tensores de orden dos (más no así en el caso de los tensores de orden 3 o mayor), los 16 componentes del tensor pueden ser representados en forma de matriz:

Del mismo modo, si el tensor mixto R ij klm = 0 para todos los valores de los índices i, j, k, l y m, entonces el tensor R de orden 5 será también un tensor cero, o sea R= O. (Obsérvese que un tensor de orden 5, en un espacio de dos dimensiones, está especificado por un total de 2x2x2x2x2 = 32 componentes.) Los tensores, al igual que otros objetos matemáticos, también pueden ser sometidos a las operaciones usuales propias de la aritmética, y podemos hablar de una aritmética de tensores. Considérense dos tensores A y B que sean del mismo orden y del mismo tipo. Entonces podemos sumar dichos tensores, componente por componente, para obtener un tensor C: C=A+B La suma anterior está dada en notación tensorial. También podemos representarla de modo más explícito mostrando la suma de los componentes respectivos, por ejemplo: Cij = Aij + Bij Pij = Qij + Rij

Fijk mn = Hijk mn + Iijk mn Obsérvese que no es notacionalmente correcto escribir A = Aij, ya que lo de la izquierda representatodos los componentes de un tensor mientras que lo de la derecha hace referencia a un solo componente, el componente con subíndices i y j. Sin embargo, podemos escribir A = (Aij), lo cual es notacionalmente correcto. PROBLEMA: A partir de la definición de un tensor (covariante o contravariante) demuéstrese que la suma de dos tensores A y B del mismo orden y del mismo tipo producirá también un tensor C del mismo orden y del mismo tipo.

Considérense dos tensores covariantes de orden uno A y B. Por la definición de tensor, ambos obedecen la misma regla de transformación:

Sumando miembro a miembro ambas igualdades y simplificando:

Resulta evidente que sumando miembro a miembro los componentes respectivos de cada tensor, obtenemos un elemento C que también es un tensor ya que se transforma de acuerdo con la definición básica del tensor covariante, resultando también evidente que el tensor resultante es un tensor del mismo orden y del mismo tipo que los tensores de los cuales provino. De este problema resulta obvio también que la suma de dos tensores goza de la propiedad conmutativa, o sea: A+B=C=B+A y que el producto de un tensor por una constante multiplicativa resultará en un tensor. Procediendo de modo similar al problema que acabamos de ver, podemos demostrar que el resultado es válido tanto para tensores contravariantes como para tensores covariantes, y que la resta o diferencia de dos tensores resultará tambié en un tensor del mismo orden y del mismo tipo (covariante o contravariante, según sea el caso). Así como hay multiplicación de números, multiplicación algebraica y multiplicación de matrices, y

del mismo modo en el que llevamos a cabo la multiplicación de dos cantidades P y Q: P = p1 + p2 Q = q1 + q2 obteniendo: PQ = (p1 + p2) (q1 + q2) = p1q1 + p1q2 + p2q1 + p2q2 podemos definir también el producto externo de dos tensores o simplemente el producto de dos tensores. Podemos demostrar formalmente, recurriendo a la definición del tensor, que el producto de dos tensores también tendrá las propiedades de un tensor. PROBLEMA: Sean A = (Apqr) y B = (Bst) dos tensores. Demostrar que Cpqsrt = Apq r·Bs t es también un tensor. Tenemos que demostrar que C = (Cpqsrt) es un tensor cuyos componentes son formados tomando los productos de los componentes de los tensores A y B. Si A y B son tensores, entonces deben obedecer las siguientes reglas de transformación:

Multiplicando ambas igualdades en sus lados respectivos:

Esto nos demuestra que el resultado final de la multiplicación de los dos tensores es un tensor de quinto orden, con índices contravariantes p, q y s e índices covariantes r, t, justificando la notación tensorial C = (Cpqsrt). En general, la multiplicación de un tensor T1 de orden M por otro tensor T2 de orden N resultará en un tensor nuevo T de orden M+N formado por MxN componentes distintos. Así, el producto externo de dos tensores involucra simplemente la multiplicación ordinaria de los componentes del tensor, y es un tensor cuyo orden es simplemente la suma de los órdenes de los tensores que fueron multiplicados. En ciertos textos se acostumbra denotar el producto externo de dos tensores S y T de la siguiente manera: [ST] En otros textos también se utiliza para denotar la misma operación del producto externo de dos tensores un círculo con una cruz puesta adentro: S⊗T Esta última notación tal vez le resultará familiar a los que son afectos al lenguaje de las matemáticas puras. Es ni más ni menos que la definición del producto Cartesiano utilizado para formar n-plas ordenadas de números. A manera de ejemplo de este concepto, si tomamos dos matrices distintas 2x2 y las multiplicamos no en el sentido usual de la multiplicación de matrices sino en el sentido delproducto Cartesiano para así formar una nueva matriz a partir del producto de las matrices de base, tendremos algo como lo siguiente:

Inspirados en lo anterior, a continuación tenemos el resultado del producto tensorial externo de dos tensores U y V de orden dos en un espacio multi-dimensional indefinido cuyas componentes acomodadas en forma de matriz producen el siguiente resultado:

Debe resultar obvio que el producto externo de dos tensores de orden uno como: T1 = (x1, x2, x3, x4) T2 = (x1, x2, x3, x4) nos resultará en un tensor de orden dos que contendrá todas las combinaciones posibles de productosxαxβ, de modo tal que en un espacio de cuatro dimensiones el tensor resultante estará compuesto por 16 componentes.

PROBLEMA: Dados los tensores: A = (Aij)___B = (Bk) obtener las componentes del producto externo de estos dos tensores en un espacio de dos dimensiones. En un espacio de dos dimensiones, el tensor mixto A tendrá el siguiente conjunto de elementos: {A11, A21, A12, A22} mientras que el tensor covariante B tendrá el siguiente conjunto de elementos: {B1, B2} El producto externo de los tensores A y B, al cual simbolizaremos como C: C = A⊗B contendrá todas las combinaciones posibles de pares de productos de elementos del tensor A y de elementos del tensor B, o sea: {A11B1, A21B1, A12B1, A22B1, A11B2, A21B2, A12B2, A22B2} El tensor C termina siendo un tensor mixto de orden tres, cuyos componentes son Cijk = AijBk. Si los componentes del tensor A tienen unidades físicas de fuerza (newtons) y los componentes del tensor Btienen unidades físicas de distancia (metros) entonces los componentes del tensor C tendrán las unidades físicas que corresponden a la unidad compuesta, en este caso de energía (joules). Un caso especial del producto de dos tensores ocurre cuando multiplicamos dos tensores del mismo orden e igualamos dos de sus índices, lo cual tiene una consecuencia directa e inmediata: la convención de sumación para índices repetidos entra automáticamente en acción. Pero antes de entrar en la definición de este producto muy especial de dos tensores, haremos un repaso de un concepto elemental que se aprende en los primeros cursos de matemáticas o de

física intermedia: el producto de dos vectores, los cuales como ya se ha dicho en realidad son tensores de orden uno. PROBLEMA: Redefinir, en lenguaje tensorial, el concepto vectorial del producto escalar (ó producto punto) de dos vectores, usando para ello dos vectores de un espacio cuatri-dimensional Cartesiano. Empezamos con dos vectores A y B cuyas componentes respectivas son las siguientes: A = (a1, a2, a3, a4) B = (b1, b2, b3, b4) Del análisis vectorial se sabe que el producto escalar de estos vectores está dado por: A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 Redefinimos ahora ambos vectores como dos tensores A y B (siguen siendo lo mismo) de orden uno, definiendo a uno de ellos como un tensor covariante y al otro como un tensor contravariante, empleando notación de índices y coordenadas generalizadas: A = (x1, x2, x3, x4) B = (x1, x2, x3, x4) El producto de los dos tensores A y B será entonces: AB = (x1x1 + x2x2 + x3x3 + x4x4) Un momento de reflexión nos revela que, gracias a la forma en la que hemos escrito lo anterior, podemos utilizar la convención de sumación: AB = (xαxα) Como resultado de esta operación de multiplicación de los tensores del mismo orden A y B, que definimos formalmente como contracción de tensores, vemos que partiendo de dos tensores de orden uno la operación de contracción abate el orden de cada uno de ellos convirtiéndolo en un

tensor de orden cero, o sea en un escalar. La anterior definición puede ser generalizada a dos tensores de cualquier orden implementando el siguiente procedimiento: Para llevar a cabo la contracción de dos tensores, igualamos uno de los índices superiores de un tensor con uno de los índices inferiores del otro tensor, sumando los productos de las componentes sobre los índices repetidos al entrar en acción automáticamente la convención de sumación. Esto tiene el efecto de disminuír el orden total de los dos tensores. Para que la definición dada arriba sea válida, se requiere que los índices igualados correspondan a un índice covariante y a un índice contravariante. Al llevar a cabo una contracción, los índices utilizados de la contracción desaparecen del tensor original. En la simbología del tensor resultante, simplemente se borran los índices que fueron contraídos. La operación de contracción se puede aplicar inclusive a un mismo tensor siempre y cuando haya por lo menos dos índices que puedan ser igualados (con lo cual entra en acción de inmediato la convención de sumación), como lo demuestra el siguiente PROBLEMA: Suponiendo que la contracción de un tensor nos produce otro tensor, ¿cuántos tensores diferentes pueden ser creados mediante la contracción repetida del tensor T = (Tijkl)? El tensor que nos ha sido dado es un tensor de orden cuatro. La primera contracción la podemos llevar a cabo igualando el superíndice i con el superíndice k, haciendo i = k = u: Tujul = T1j1l + T2j2l + T3j3l + T4j4l + ... + Tnjnl = Tjl La segunda contracción la podemos llevar a cabo igualando el superíndice i con el superíndice l, haciendo i = l = u: Tujku = T1jk1 + T2jk2 + T3jk3 + T4jk4 + ... + Tnjkn = Tjk La tercera contracción la podemos llevar a cabo igualando el superíndice j con el superíndice k, haciendo j = k = u: Tiuul = Ti11l + Ti22l + Ti33l + Ti44l + ... + Tinnl = Til

La cuarta contracción la podemos llevar a cabo igualando el superíndice j con el superíndice l, haciendo j = l = u: Tiuku = Ti1k1 + Ti2k2 + Ti3k3 + Ti4k4 + ... + Tinkn = Tik En todos los casos anteriores obtenemos tensores con dos índices libres, o sea tensores de orden dos. La operación de contracción entre dos índices abate el orden de 4 a 2, pudiendo obtenerse de este modo cuatro tensores diferentes a partir del tensor original. La contracción repetida (doble contracción) aplicada sobre el tensor T = (Tijkl) nos produce en todos los casos los tensores (Tuvuv) y (Tuvvu). Y como en cada uno de estos dos tensores tenemos dos índices monigote iguales, lo cual requiere la aplicación por partida doble de la convención de sumación reduciéndolo todo a un simple número, a un escalar, podemos ver que para el tensor T del problema la doble contracción nos produce dos tensores de orden cero, o sea dos invariantes. Se concluye en la resolución de este problema que se pueden generar hasta seis tensores diferentes a partir del tensor T = (Tijkl) mediante la operación de contracción. PROBLEMA: Escribir los tensores que nos resultan de las siguientes contracciones: 1) T = (Tijkmlmnp) 2) T = (Tabcdeafgh) 3) T = (Tpqrsqstu) 4) T = (Tabijkmabkms) 1) En el tensor T = (Tijkmlmnp) de orden ocho tenemos el cuarto índice superior y el segundo índice inferior iguales (m), con lo cual la contracción automáticamente entra en efecto dejándonos el tensor de orden seis T = (Tijklnp). 2) En el tensor T = (Tabcdeafgh) de orden nueve tenemos el primer índice superior y el primer índice inferior iguales (a), con lo cual la contracción automáticamente entra en efecto dejándonos el tensor de orden siete T = (Tbcdefgh). 3) En el tensor T = (Tpqrsqstu) de orden ocho tenemos el primer índice superior y el primer índice inferior iguales (q) y además tenemos el último índice superior y el segundo índice inferior iguales, con lo cual la contracción automáticamente entra en efecto dejándonos el tensor de orden seis T =

(Tprtu). 4) En el tensor T = (Tabijkmabkms) de orden once tenemos cuatro índices superiores que son iguales a cuatro índices inferiores (a,b,k,m), con lo cual al entrar en efecto la contracción nos deja un tensor de orden tres, el tensor T = (Tijs). PROBLEMA: Usando directamente la definición de tensor, demuéstrese que el producto de un tensor contravariante A de orden uno por un tensor covariante B también de orden uno, ambos de la misma dimensión, nos producirá una invariante sin importar la dimensión (el número de coordenadas o componentes) involucrados. Queremos demostrar que siendo A un tensor contravariante de orden uno y siendo B un tensor covariante también de orden uno se debe cumplir la siguiente relación: A·B = A·B Si A = (Ai) es un tensor contravariante de orden uno y B = (Bi) es un tensor covariante de orden uno, entonces de acuerdo a la definición básica del tensor tenemos lo siguiente (la convención de sumación está aplicada en ambos casos en virtud de los índices repetidos, y es la que nos fija la dimensión o el número de componentes de ambos tensores):

Multiplicando directamente ambas igualdades miembro a miembro:

Aquí podemos aplicar la regla de la cadena que para derivadas ordinarias es:

y que para derivadas parciales es:

con la cual:

Entonces:

Puesto que tenemos índices repetidos en ambos lados de la igualdad, al entrar en acción la convención de sumación los productos se reducen a un escalar, a un simple número, que es el mismo en ambos casos. En notación tensorial compacta: A·B = A·B Esto significa que el producto de dos tensores, ambos de orden uno, el uno contravariante y el otro covariante, permanece igual después de haberse llevado a cabo un cambio de coordenadas. Puesto que un tensor de orden uno es en realidad un vector, lo que hemos hecho en la resolución de este problema ha sido formalizar matemáticamente y de manera rigurosa, a partir de la definición de tensor, el producto escalar de dos vectores. El hecho de haber utilizado tensores del

mismo orden en la resolución de este problema hizo que, implícitamente, al entrar en acción la convención de sumación se llevara a cabo la contracción del producto de ambos tensores reduciéndose todo a un escalar. Pero lo que acabamos de ver tiene repercusiones profundas por el hecho de que el producto interno de dos tensores no sólo es una invariante para dos tensores de orden uno. También resulta ser una invariante para el producto interno de dos tensores de orden dos. PROBLEMA: Demostrar que la contracción del producto externo de dos tensores, siendo uno de ellos un tensor contravariante de orden dos y el otro un tensor covariante de orden dos, ambos de la misma dimensión, nos produce un escalar, y por lo tanto es una invariante. Este problema es simplemente una repetición del procedimiento llevado a cabo en el problema anterior, excepto que ahora utilizamos tensores de orden dos en lugar de tensores de orden uno. Si A = (Aij) es un tensor contravariante de orden dos y B = (Bij) es un tensor covariante también de orden dos, entonces de acuerdo a la definición básica del tensor tenemos lo siguiente (la convención de sumación está aplicada en ambos casos en virtud de los índices repetidos, y es la que nos fija la dimensión o el número de componentes de ambos tensores):

Multiplicando directamente ambas igualdades miembro a miembro:

Aplicando la regla de la cadena para derivadas parciales ordinarias tenemos entonces:

Nuevamente, puesto que tenemos índices repetidos en ambos lados de la igualdad, al entrar en acción la convención de sumación los productos se reducen a un escalar, a un simple número, que es el mismo en ambos casos, y tenemos nuevamente, en notación tensorial compacta: A·B = A·B Lo que acabamos de obtener no es un resultado sin trascendencia, porque el procedimiento que hemos aplicado en los últimos dos problemas, válido tanto para un par de tensores covariante y contravariante de orden uno como para un par de tensores covariante y contravariante de orden dos,es válido para cualquier par de tensores siempre y cuando en un espacio N-dimensional a cada índice covariante en un tensor corresponda un índice contravariante en el otro, y esto es válido incluso para tensores mixtos, de modo tal que si tenemos dos tensores mixtos A y B de orden cuatro tales que A = (Aijkl) y B = (Bijkl), entonces también se cumplirá la igualdad tensorial del producto de contracción de tensores A·B = A·B. Este resultado es de importancia fundamental porque todo lo que permanezca invariante va directamente al corazón de lo que trata la física: el principio de la conservación de la energía (invariancia de la energía), el principio de conservación de la cantidad de movimiento (invariancia del momentum), el principio de conservación del momento angular, en fin, todo lo que tenga que ver con cualquier fenómeno físico. En la teoría matemática de grupos aplicada a la Mecánica Cuántica, la prioridad es la búsqueda de las operaciones de simetría que dejan al sistema físico en sí intacto. Hemos encontrado por fin justo la herramienta matemática que necesitamos para poder llevar a la Teoría de la Relatividad del 4espacio Lorentziano plano al 4-espacio curvo en donde a pesar de requerir una mayor cantidad de índices podremos anclar invariantes. PROBLEMA: Demostrar que cualquier producto interno de dos tensores A = (Apr) y B = (Bqst) nos producirá un tensor de orden tres. La demostración formal se debe llevar a cabo recurriendo a la definición del tensor. El producto interno se llevará a cabo aquí entre el índice p de A y el índice t de B igualando ambos índices, o sea haciendo p = t, lo cual activa la convención de sumación. Si A = (Apr) es un tensor mixto, entonces por definición:

Y si B = (Bqst) es un tensor mixo, covariante de orden uno y contravariante de orden dos, entonces

por definición:

Multiplicando ambos tensores haciendo j = n (que es la igualación de índices que corresponde a la igualación de índices p = t) para activar la convención de sumación sobre índices repetidos, tenemos:

Simplificamos ahora con la ayuda de la regla de la cadena:

Pero la igualación de índices p = t se traduce en ∂xt/∂xp = 1. Con esto llegamos a:

Esto nos demuestra que (AprBqsp) es un tensor de orden tres. Obsérvese que fue necesario cambiar el sub-índice en B de t a p en la última expresión. Si en el producto original (AprBqst) llevamos a cabo una contracción entre el índice r y el índice q, o entre el índice r y el índice s, podemos demostrar que cualquier contracción entre los dos tensores A y B nos producirá un tensor de orden tres.

25. PROPIEDADES DE LOS TENSORES Los tensores tienen algunas propiedades que nos resultan extremadamente útiles en la simplificación de expresiones ahorrándonos una buena cantidad de tiempo. Una de dichas propiedades es la propiedad de simetría que caracteriza a los tensores simétricos. Decimos que dos tensores son simétricos con respecto a dos índices covariantes o contravariantes cuando sus componentes respectivos son iguales tras un intercambio de índices. De este modo, si para un tensor T = (Tmprqs) tenemos que Tmprqs = Tpmrqs, decimos que el tensor es simétrico en los índices m y p. Si el tensor es simétrico con respecto a dos índices contravariantescualesquiera y dos índices covariantes cualesquiera, se dice que el tensor es simétrico. PROBLEMA: (a) ¿Es simétrico un tensor contravariante de orden tres T = (Tabc) en un espacio de dos dimensiones, en donde sus componentes en cierto punto adquieren los siguientes valores?: T111 = 7 , T211 = 3 , T121 = 3 , T221 = 0 T112 = 7 , T212 = -2 , T122 = -2 , T222 = 5 (b) ¿Es simétrico un tensor covariante de orden dos U = (Uij) en un espacio de cinco dimensiones para el cual sus componentes adquieren los siguientes valores?: U11 = a, U12 = -p, U13 = 3u, U14 = -t, U15 = -m² U21 = -p, U22 = b, U23 = cpt, U24 = b + d, U25 = -c U31 = 3u, U32 = cpt, U33 = j, U34 = -b, U35 = t U41 = -t, U42 = b + d, U43 = -b, U44 = e, U45 = -u U51 = -m², U52 = -c, U53 = t, U54 = -u, U55 = b (a) Puesto que, en todos los casos, el intercambio entre el primer índice y el segundo índice nos resulta en el mismo valor numérico para el componente del tensor, independientemente del valor que tenga el otro índice al ser mantenido constante:

T211 = 3 = T121 T212 = -2 = T122 podemos afirmar que el tensor es simétrico en el primer y segundo índices en el punto en donde sus componentes adquieren esos valores. Sin embargo, no podemos afirmar que el tensor sea simétrico en todo el espacio bi-dimensional disponible de puntos, porque para ello necesitaríamos tener a la mano la expresión matemática que define a dicho tensor. Por otro lado, el tensor no es simétrico respecto al segundo y el tercer índices al ser diferentes los siguientes componentes: T121 = 3 , T112 = 7 T221 = 0 , T212 = -2 El tensor tampoco es simétrico respecto al primero y el tercer índices al ser diferentes los siguientes componentes: T112 = 7 , T211 = 3 T122 = -2 , T221 = 0 (b) Puesto que, en todos los casos, el intercambio entre los dos índices nos resulta en el mismo valor simbólico para el componente del tensor: U12 = U21 = -p U13 = U31 = 3u U14 = U41 = -t U15 = U51 = -m² U23 = U32 = cpt U24 = U42 = b + d U25 = U52 = -c

U34 = U43 = -b U45 = U54 = -u podemos afirmar que el tensor es simétrico, y es simétrico en todo el espacio 5-dimensional. Aunque esto último lo resolvimos aplicando estrictamente la definición de simetría sin recurrir a ayudas visuales (algo que le gusta mucho a los practicantes de la matemática pura), podemos aprovechar en ventaja nuestra el hecho de que el tensor es un tensor de orden dos, acomodando sus componentes en una matriz cuadrada 5x5 en la cual la simetría salta a relucir casi de inmediato:

Obsérvese la simetría de los componentes con respecto a la diagonal principal cuyos componentes han sido puestos de color rojo, una simetría en la cual se reflejan como si estuviesen puestos frente a un espejo. Desafortunadamente, este método visual fracasa al tratar de extenderlo hacia tensores de orden tres en adelante. Por esta misma razón no pudimos utilizarlo en la primera parte del problema en el caso del tensor contravariante T = (Tabc) de orden tres. Afortunadamente, una buena cantidad de los tensores que manejamos en la Teoría General de la Relatividad resultan ser precisamente de orden dos. Una vez definidos los tensores simétricos, podemos definir los tensores hemi-simétricos o semisimétricos. En la literatura es muy frecuente encontrarse estos tensores referidos como tensores anti-simétricos. Sin embargo, esta última definición sugiere una antisimetría cuando en realidad sigue habiendo cierto tipo de simetría en los componentes del tensor, razón por la cual aquí retendremos aquí la convención de llamarlos tensores hemi-simétricos (skew-symmetric) aunque esta definición será acompañada por la más frecuentemente usada palabra de anti-simetría. Decimos que dos tensores son hemi-simétricos con respecto a dos índices covariantes o

contravariantes cuando sus componentes respectivos son iguales en magnitud pero opuestos en signos tras un intercambio de índices. Una de las propiedades más obvias de un tensor es que cuando es hemi-simétrico con respecto a dos de sus índices p y q entonces todas sus componentes tendrán un valor de cero para p = q. En el caso de un tensor de orden dos en su representación matricial, esto es lo que identificamos como “una diagonal principal puesta a ceros”. PROBLEMA: Demostrar que los componentes de un tensor hemi-simétrico en sus índices p y q deben ser iguales a cero para p = q. La demostración es trivial, y la llevaremos a cabo con un tensor T covariante de orden dos. Si el tensor es hemisimétrico con respecto a dos de sus índices p y q, entonces por su propia definición debemos tener: Tpq = - Tqp Para el caso p = q tenemos entonces: Tpp = - Tpp Pero la única forma en la cual esto puede ser cierto es con (Tpp) = 0. Se concluye que los componentes de un tensor que es hemi-simétrico en sus índices p y q deben ser iguales a cero para p = q. En general, si para un tensor T = (Tmprqs) tenemos que Tmprqs = - Tpmrqs, entonces el tensor eshemisimétrico en los índices m y p. Si el tensor es hemi-simétrico con respecto a dos índices contravariantes cualesquiera o dos índices covariantes cualesquiera, se dice que el tensor es hemisimétrico. Por lo que acabamos de ver arriba, si un tensor T = (Tmprqs) es hemi-simétrico en dos índices como los índices m y r, entonces haciendo m = r tenemos que (Tmpmqs) = 0 para todas las combinaciones posibles de los índices restantes. PROBLEMA: ¿Es hemi-simétrico un tensor covariante de orden dos V = (Vij) en un espacio de cuatro dimensiones en donde sus componentes adquieren los siguientes valores?: V11 = 0, V12 = - b, V13 = d, V14 = - c

V21 = b, V22 = 0, V23 = - c, V24 = - d V31 = - d, V32 = c, V33 = 0, V34 = - b V41 = c, V42 = d, V43 = b, V44 = 0 Comparando los valores, encontramos que para en todos los casos en los que los dos índices son iguales los componentes tienen un valor de cero: V11 = V22 = V33 = V44 = 0 Por otro lado, comparando todas las posibilidades de combinación restantes cuando los índices son diferentes, todos resultan tener signos opuestos: V12 = - V21 , V13 = - V31 , V14 = - V41 V23 = - V32 , V24 = - V42 V34 = - V43 Concluímos entonces que el tensor V es un tensor hemi-simétrico. Aunque este último problema también lo resolvimos aplicando estrictamente la definición sin recurrir a ayudas visuales, aprovechando en ventaja nuestra el hecho de que el tensor es un tensor de orden dos podemos acomodar sus componentes en una matriz cuadrada 4x4 en la cual haciendo a = 0 la hemi-simetría salta a relucir casi de inmediato:

De nueva cuenta, este método visual fracasa al tratar de extenderlo hacia tensores de orden tres en adelante.

Dado un tensor T = (Tab) cualesquiera, podemos obtener a partir del mismo un tensor simétrico Tsmediante la siguiente regla sencilla: Ts = (Ts) = (Tab + Tba)/2 Esta definición se encuentra con la suficiente frecuencia como para darle la siguiente notación especial en la cual la simetría sobre un par de componentes se denota mediante paréntesis curvos en los índices de los componentes:

PROBLEMA: A partir de la definición anterior, demostrar que no es posible transformar un tensor anti-simétrico en un tensor simétrico. Un tensor anti-simétrico T = (Tab) será aquél para el cual Tab = - Tba. En la definición que se ha dado: T(ab) = (Tab + Tba)/2 = (- Tba + Tba)/2 = 0 No es posible, por lo tanto, obtener un tensor simétrico a partir de un tensor anti-simétrico. Dado un tensor T = (Tab) cualesquiera, podemos obtener a partir del mismo un tensor antisimétricoTa mediante la siguiente regla sencilla: Ta = (Ta) = (Tab - Tba)/2 Esta definición se encuentra con la suficiente frecuencia como para darle la siguiente notación especial en la cual la anti-simetría sobre un par de componentes se denota mediante paréntesis cuadrados en los índices de los componentes:

Como esta forma de obtener un tensor anti-simétrico a partir de un tensor T cualesquiera es a veces vista con desconfianza por quienes no se toman el tiempo para verificar esta última aserción, se llevarán a cabo aquí algunos pasos extra para quienes no estén convencidos del enunciado. Supóngase que la matriz [T] que representa a los componentes del tensor T es la siguiente:

Entonces, puesto que la operación de invertir los índices p y q equivale matricialmente a intercambiar los renglones por las columnas, si hacemos esto obteniendo una segunda matriz y la restamos de la primera obtenemos el siguiente resultado:

Como puede verse, el resultado de la operación de restar Tqp de Tpq nos produce una matriz en la cual todos los elementos en la diagonal principal de la matriz que corre de la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha han sido reducidos a cero, y con respecto a esta diagonal principal los elementos opuestos tienen la misma magnitud pero el signo contrario. Claramente, esta es una matriz anti-simétrica (hemi-simétrica). PROBLEMA: A partir de la definición anterior que se ha dado para la obtención de un tensor antisimétrico, demostrar que no es posible transformar un tensor simétrico en un tensor anti-simétrico. Un tensor simétrico T = (Tab) será aquél para el cual Tab = Tba. Usando la definición que se ha dado

arriba para un tensor anti-simétrico: T[ab] = (Tab - Tba)/2 = (Tba - Tba)/2 = 0 No es posible, por lo tanto, obtener un tensor anti-simétrico a partir de un tensor simétrico. Tenemos además varios resultados basados en las propiedades ya señaladas que nos pueden ser de utilidad en la simplificación de los cálculos matemáticos. PROBLEMA: Demostrar que cualquier tensor puede ser expresado como la suma de dos tensores, uno de los cuales es simétrico y el otro de los cuales es anti-simétrico (hemi-simétrico) en un par de índices covariantes (o contravariantes). Considérese el tensor contravariante T = (Tpq) y considérese la siguiente igualdad aritmética: Tpq = (Tpq + Tqp)/2 + (Tpq - Tqp)/2 Por la definición dada arriba, el tensor S = (Spq) formado por la siguiente operación de componentes tensoriales: S(pq) = (Tpq + Tqp)/2 es un tensor simétrico, o sea: S = (Spq) = (Sqp) Por otro lado, vimos también arriba que el tensor A = (Apq) formado por la siguiente operación de componentes tensoriales: A[pq] = (Tpq - Tqp)/2 es un tensor anti-simétrico (hemi-simétrico), o sea: Apq = - Aqp

Entonces, todo tensor T puede ser expresado como la suma de un tensor simétrico S y un tensor anti-simétrico (hemi-simétrico) A: T=S+A Un tensor que sea simétrico bajo un sistema de coordenadas seguirá siendo simétrico bajo cualquier otro sistema de coordenadas después de haberse llevado a cabo la transformación. Lo mismo se puede decir de un tensor anti-simétrico. La preservación de la simetría (o de la antisimetría) es una propiedad interna del tensor, independiente del sistema de coordenadas que esté siendo utilizado. Las convenciones notacionales que se han dado arriba pueden ser anidadas dentro de tensores de orden mayor, por ejemplo: T(ab)c = (Tabc + Tbac)/2 Tab[cd]ef = (Tabcdef - Tabdcef )/2 PROBLEMA: Escribir explícitamente en notación de componentes lo que simboliza la siguiente expresión tensorial compacta: T(ab)c[de] Expandiendo primero sobre la parte simétrica: T(ab)c[de] = (Tabc[de] + Tbac[de])/2 Expandiendo a continuación sobre la parte anti-simétrica (hemi-simétrica) nos produce la expresión final explícita: T(ab)c[de] = {Tabc[de] + Tbac[de]}/2 T(ab)c[de] = {(Tabcde - Tabced)/2+ (Tbacde - Tbaced )}/2 T(ab)c[de] = (Tabcde + Tbacde - Tabced- Tbaced )/4

PROBLEMA: Demostrar que el producto interno de un tensor simétrico U = (Uab) = (U(ab)) y de un tensor anti-simétrico V = (Vab) = (V[ab]) es igual a cero. Llevaremos a cabo la demostración sobre un 3-espacio, expandiendo la doble sumatoria requerida de acuerdo a la convención de sumación por la presencia de dos pares de índices repetidos:

En el tercer paso se han destacado de color rojo los componentes del tensor anti-simétrico V que son iguales a cero cuando ambos índices son iguales, lo cual tiene como consecuencia desvanecer los términos en donde aparecen. Tras esto, recurrimos a las propiedades de simetría y hemisimetría que nos relacionan los componentes internos de cada tensor de la siguiente manera:

Con esto tenemos entonces:

La generalización a un espacio N-dimensional cualesquiera se lleva a cabo fácilmente

generalizando las razones por las cuales el producto interno de un tensor simétrico y un tensor anti-simétrico es igual a cero en un 3-espacio. PROBLEMA: Demuéstrese que si un tensor A = (Apqrst) es simétrico (o hemi-simétrico) con respecto a sus dos índices p y q en un sistema de coordenadas, entonces permanecerá simétrico (o hemisimétrico) con respecto a los mismos índices tras un cambio de coordenadas. En virtud de que únicamente los índices p y q están involucrados, se llevará a cabo la demostración sobre un tensor T = (Tpq) con esos dos índices exclusivamente. Como siempre, la demostración se llevará a cabo recurriendo a la definición formal del tensor. Suponiendo que el tensor T sea simétrico con respecto a un intercambio de los índices p y q, entoncesTpq = Tqp. Entonces:

Se concluye que la simetría de un tensor es preservada bajo un cambio de coordenadas. Y si el tensor es hemi-simétrico con respecto a un intercambio de los índices p y q, entonces Tpq = Tqp, con lo cual:

Se concluye que también la hemi-simetría de un tensor es preservada bajo un cambio de coordenadas. PROBLEMA: Determínese si una cantidad A(j,k,m) que es una función de las coordenadas generalizadas xi y se transforma a otro sistema de coordenadas generalizadas x i de acuerdo con la siguiente regla:

es un tensor. Si lo es, escríbase dicha cantidad en notación tensorial de componentes identificando el orden y el tipo. Inspeccionando la transformación de cada componente, podemos ver que la cantidad cumple con todos los requerimientos de un tensor. En notación tensorial de componentes, esta cantidad se escribe como el tensor: A = (Amjk) tratándose por lo tanto de un tensor de orden tres, contravariante de orden uno y covariante de orden dos. PROBLEMA: Determínese si una cantidad B(j,k,l,m) que es una función de las coordenadas generalizadas xi y se transforma a otro sistema de coordenadas generalizadas x i de acuerdo con la siguiente regla:

es un tensor. Si lo es, escríbase dicha cantidad en notación tensorial de componentes identificando el orden y el tipo. Inspeccionando la transformación de cada componente, podemos ver que la cantidad cumple con todos los requerimientos de un tensor. En notación tensorial de componentes, esta cantidad se escribe como el tensor: B = (Bklmj) tratándose por lo tanto de un tensor de orden cuatro, contravariante de orden tres y covariante de orden uno. PROBLEMA: Determínese si una cantidad T(j,k,m,n) que es una función de las coordenadas generalizadas xi y se transforma a otro sistema de coordenadas generalizadas x i

de acuerdo con la siguiente regla:

es un tensor. Si lo es, escríbase dicha cantidad en notación tensorial de componentes identificando el orden y el tipo. Inspeccionando la transformación de cada componente, podemos ver que la cantidad no es un tensor puesto que no cumple con todos los requerimientos propios de la definición de un tensor. A continuación se destaca de color rojo las partes de la transformación que no cumplen con los requisitos estipulados:

Las operaciones matemáticas que podemos llevar a cabo con tensores, al igual que las operaciones matemáticas que podemos llevar a cabo con matrices, están limitadas a la suma, la resta, la multiplicación externa (producto externo), y en el caso de los tensores, la contracción. No es posible llevar a cabo una “división” entre dos tensores, tal cosa no está definida. Sin embargo, es posible hacer algo que aunque no constituya una división en sí, se trata de una aserción de carácter general que en ocasiones resulta útil en el desarrollo de operaciones tensoriales. Se trata de la ley del cociente, que enunciada brevemente nos dice que si en el producto interno de una cantidad X con un tensor B obtenemos un tensor C (o sea XB = C), entonces X debe ser un tensor también. PROBLEMA: Demostrar que si X(p,q,r) es una cantidad tal que X(p,q,r)Uqnr = 0 para un tensor arbitrario U = (Uqnr ), entonces se debe tener X(p,q,r) = 0. Puesto que Uqnr puede ser un tensor arbitrario cualquiera, podemos escoger un componente en particular de dicho tensor (por ejemplo, el componente para el cual q = 4 y r = 3) que no sea igual a cero, mientras que todos los demás componentes del tensor pueden ser considerados iguales a cero en nuestro ejemplo. Entonces:

X(p,4,3)U4n3 = 0 de modo tal que debemos tener necesariamente X(p,4,3)U4n3 = 0, ya que U4n3 no es igual a cero por hipótesis. Razonando de manera similar, para todas las demás combinaciones posibles de q y r debemos tener entonces que X(p,q,r) = 0, lo cual concluye la demostración. PROBLEMA: Una cantidad T(p,q,r) es tal que bajo cierto sistema de coordenadas generalizadas xise tiene lo siguiente: T(p,q,r) Uqsr = Vsp siendo tanto Uqsr como Vsp tensores. Demuéstrese que también T(p,q,r) es un tensor. En un sistema transformado de coordenadas x i, tenemos lo siguiente: T (j,k,l) U kml = Vsp Entonces, puesto que tanto U = (Uqsr) como V = (Vsp) son tensores, recurriendo a la definición del tensor debemos tener:

o lo que es lo mismo:

Si llevamos a cabo la multiplicación interna de esto con ∂xn/∂xm, o sea multiplicando por ∂xn/∂xw, y efectuando la contracción w = m, obtenemos entonces lo siguiente:

Aplicando el efecto del delta Kronecker al super-índice s:

Aquí podemos aplicar directamente el resultado obtenido en el problema anterior. Puesto que Uqnr es un tensor arbitrario cualquiera, entonces lo que tenemos dentro de los paréntesis debe ser igual a cero:

Llevaremos a cabo ahora una segunda multiplicación interna de lo que tenemos arriba, en este caso por:

Esto nos produce el siguiente resultado:

o bien, aplicando el efecto del delta Kronecker:

Esta es precisamente la definición de un tensor. Entonces T es un tensor. Esta es la ley del cociente en acción. Observando el posicionamiento de los índices, podemos ver que la notación apropiada paraT como un tensor de orden tres viene siendo T = (Trpq).

26. EL TENSOR MÉTRICO La distancia ║PQ║ entre dos puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) especificados en un espacio de tres dimensiones en coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z) se obtiene mediante la aplicacion directa del teorema de Pitágoras en tres dimensiones: ║PQ║² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (y2 - y1)² Esta misma definición se puede extender sin dificultad alguna hacia un espacio de cuatro dimensiones en el cual por conveniencia notacional usaremos una representación de los componentes en coordenadas generalizadas (x1, x2, x3, x4) estando el punto P especificado como P((x1, x2, x3, x4) y estando especificado el punto Q como Q(y1, y2, y3, y4) ║PQ║² = (x1 - y1)² + ( x2 - y2)² + (x3 - y3)² + (x4 - y4)² Utilizando el símbolo δ ij de Kronecker y la convención de sumación, podemos expresar esta distancia en un espacio de cuatro dimensiones de una manera más compacta: ║PQ║² = δijΔxiΔxj Esta fórmula es válida cuando usamos coordenadas Cartesianas rectangulares en un espacio de cuatro dimensiones, y la distancia ║PQ║ entre los puntos P y Q es preservada (como el número escalar que es) bajo una transformación que nos cambia de un marco de referencia S a otro marco de referencia S'. Pero en otro sistema de coordenadas (por ejemplo, coordenadas esféricas), la fórmula deja de funcionar en su preservación de la distancia entre dos puntos, y la distancia entre dos puntos bajo tal sistema no-Cartesiano de coordenadas no es la misma en un sistema de referencia S y otros sistema de referencia S' en dicho sistema de coordenadas. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿cómo podemos redefinir la fórmula de la distancia ║PQ║ entre dos puntos en un espacio n-dimensional de modo tal que dicha fórmula sea capaz de preservar la distancia entre dos puntos al ir de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S', de modo tal que dicha fórmula general se reduzca al caso ya conocido para las coordenadas Cartesianas? La respuesta resulta ser mucho más sencilla de lo que muchos pudieran suponer. Basta con introducir en la fórmula que ya tenemos para la distancia entre dos puntos un factor que denominaremos gij con el cual la fórmula queda redefinida de la manera siguiente:

║PQ║ = gijΔxiΔxj Para el caso específico en el cual estamos utilizando coordenadas Cartesianas, el factor gij se reduce al símbolo δ ij de Kronecker, y representando sus componentes en una matriz cuadrada 4x4 tenemos esencialmente lo que equivale a una matriz unitaria:

y la fórmula para la distancia entre dos puntos P y Q se convierte en lo que ya había sido señalado anteriormente. Pero para otras distancias medidas en un espacio-tiempo plano, los componentes de este factor gij pueden cambiar ligeramente. Tal es el caso del espacio-tiempo plano propio de la Teoría Especial de la Relatividad, en el cual si definimos a la distancia entre dos eventos de la siguiente manera:

Tenemos entonces el siguiente factor gij que preserva la distancia de un marco de referencia S a otro marco de referencia S':

Este factor gij, el cual es especificado en su totalidad en un espacio de cuatro dimensiones por 16 componentes, es mejor conocido como el tensor métrico. La distancia ds² sobre la cual está definido el tensor métrico es conocida ya sea como el elemento de línea y más frecuentemente como lamétrica. La métrica es todo lo que necesitamos ver para saber si el espacio-tiempo en el que estamos trabajando es un espacio-tiempo plano propio de la Teoría Especial de la Relatividad o un espaciotiempo curvo propio de la Teoría General de la Relatividad. A continuación tenemos el tensor métrico para describir en coordenadas esféricas (r,θ,φ) el espacio-tiempo en torno un hoyo (agujero) negro tipo Schwarzschild de masa M:

Podemos ver de inmediato que todas las entradas diagonales de este tensor métrico conocido también como la métrica de Schwarzschild son diferentes. La entrada que más nos puede llamar la atención es la entrada que corresponde al segundo renglón y la segunda columna, la entrada g22, en la cual tenemos a la cantidad: 1/(1 - 2GM/rc²) No se requiere de mucho esfuerzo para ver que, para cierto valor del radio r dado por: r = 2GM/c² tenemos lo que equivale a una singularidad matemática, una división entre cero, algo que nos estalla en las manos yéndose hasta el infinito. De esto es de lo que tratan precisamente los agujeros negros en la fábrica del tiempo-espacio curvo, son singularidades matemáticas incapaces de ser descritas con herramientas de medición finitas. PROBLEMA: Expresar la métrica Euclideana en coordenadas polares.

La métrica Euclideana: ds² = (dx)² + (dy)² expresada en coordenadas polares (r, θ) para las cuales: x = r sen θ dx = (r cos θ) (dθ) + (sen θ) (dr) y = r cos θ dy = (-r sen θ) (dθ) + (cos θ) (dr) será: ds² = [(r cos θ) (dθ) + (sen θ) (dr)]² + [(-r sen θ) (dθ) + (cos θ) (dr)]²

= r² cos² θ dθ² + 2r sen θ cos θ dθ dr + sen² θ dr² + r² sen² θ dθ² - 2r sen θ cos θ dθ dr + cos² θ dr²

ds² = (sen² θ + cos² θ) dr² + r²(sen² θ + cos² θ) dθ² ds² = dr² + r² dθ² en donde hemos usado la identidad trigonométrica: sen² θ + cos² θ = 1 Puesto que el elemento de línea puede ser re-escrito como: ds² = 1·(dr)(dr) + 0·(dr)(dθ) + 0·(dθ)(dr) + r²·(dθ)(dθ)

ds² = grr·(dr)(dr) + grθ·(dr)(dθ) ___+ gθr·(dθ)(dr) + gθθ·(dθ)(dθ) la representación matricial G de la métrica es la siguiente:

PROBLEMA: Obténgase la métrica Euclideana que corresponde a un elemento de línea trazado sobre la superficie de un cilíndro. La métrica Euclideana: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² expresada en coordenadas cilíndricas (r, θ, z):

para las cuales:

x = r cos θ dx = (-r sen θ) (dθ) + (cos θ) (dr) y = r sen θ dy = (r cos θ) (dθ) + (sen θ) (dr)

z=z dz = dz será: ds² = [(-r sen θ) (dθ) + (cos θ) (dr)]²+ [(r cos θ) (dθ) + (sen θ) (dr)]² + (dz)²

ds² = r² sen² θ dθ² - 2r sen θ cos θ dθ dr + cos² θ dr² + r² cos² θ dθ² + 2r sen θ cos θ dθ dr + sen² θ dr² + dz²

ds² = (sen² θ + cos² θ) dr² + r²(sen² θ + cos² θ) dθ² + dz² ds² = dr² + r² dθ² + dz² La métrica Euclideana que corresponde a un elemento de línea trazado sobre la superficie de un cilíndro corresponde a un elemento para el cual la distancia al eje z (que corresponde al radio del cilindro es constante), con lo cual dr = 0, y será: ds² = dr² + r² dθ² + dz² ds² = r² dθ² + dz² Puesto que el elemento de línea puede ser re-escrito como:

ds² = r²·(dθ)(dθ) + 0·(dθ)(dz) + 0·(dz)(dθ) + 1·(dz)(dz) ds² = gθθ·(dθ)(dθ) + gθz·(dθ)(dz) ___+ gzθ·(dz)(dθ) + gzz·(dz)(dz) la representación matricial G de la métrica es la siguiente:

PROBLEMA: Expresar la métrica Euclideana en coordenadas esféricas. La métrica Euclideana: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² expresada en coordenadas esféricas (r, φ, θ):

para las cuales: x = r senθ cosφ dx = senθ cosφ dr + r cosθ cosφ dθ - r senθ cosφ dφ y = r senθ senφ dy = senθ senφ dr + r cosθ senφ dθ + r senθ cosφ dφ z = r cosθ dz = cosθ dr - r senθ dθ será: ds² = (senθ cosφ dr + r cosθ cosφ dθ - r senθ cosφ dφ)² + (senθ senφ dr + r cosθ senφ dθ + r senθ cosφ dφ)² + (cosθ dr - r senθ dθ)² Después de un poco de álgebra laboriosa, encontramos que el elemento de línea en coordenadas esféricas está dado por: ds² = dr² + r² dθ² + r² sen²θ dφ² Puesto que el elemento de línea puede ser re-escrito como: ds² = 1·(dr)(dr) + 0·(dr)(dθ) + 0·(dr)(dφ) + 0·(dθ)(dr) + r²·(dθ)(dθ) + 0·(dθ)(dφ) + 0·(dφ)(dr) + + 0·(dφ)(dθ) + r² sen²θ·(dφ)(dφ)

ds² = grr·(dr)(dr) + grθ·(dr)(dθ) + grφ·(dr)(dφ) + gθr·(dθ)(dr) + gθθ·(dθ)(dθ) + gθφ·(dθ)(dφ) + gφr·(dφ)(dr) + gφθ·(dφ)(dθ) + gφφ·(dφ)(dφ)

la representación matricial G de la métrica es la siguiente:

PROBLEMA: Expresar la métrica Euclideana que corresponde a un elemento de línea trazado sobre la superficie de una esfera de radio r. Podemos utilizar en ventaja nuestra la resolución del problema anterior, ya que para un radio fijo tenemos dr = 0: ds² = dr² + r² dθ² + r² sen²θ dφ² ds² = r² dθ² + r² sen²θ dφ² Puesto que el elemento de línea puede ser re-escrito como: ds² = r²·(dθ)(dθ) + 0·(dθ)(dφ) + 0·(dφ)(dθ) + r² sen²θ·(dφ)(dφ) ds² = gθθ·(dθ)(dθ) + gθφ·(dθ)(dφ) ___+ gφθ·(dφ)(dθ) + gφφ·(dφ)(dφ) la representación matricial G de la métrica es la siguiente:

Hemos visto cómo partiendo de un elemento de línea expresado para el espacio Euclideano de tres dimensiones en coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z) de la manera siguiente: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² dicho elemento de línea puede ser puesto dentro de un marco de coordenadas esféricas (r,θ,φ) como: ds² = dr² + r² dθ² + r² sen²θ dφ² Supóngase que estamos interesados en llevar a cabo el procedimiento inverso. Después de aplicar una transformación, queremos invertir el procedimiento para recuperar lo que teníamos inicialmente. Si avanzamos con un carro hacia adelante un kilómetro, debe ser posible retroceder hacia atrás el mismo kilómetro para regresar al sitio en donde estábamos. Si existe una transformación para estirar una esfera convirtiéndola en un elipsoide, entonces hablando geométricamente (y matemáticamente también) debe existir una transformación inversa que nos permita “comprimir” al elipsoide restaurándolo a su forma original de esfera. La aplicación de un transformación seguida de la operación inversa, dejándonos las cosas tal y como estaban originalmente, nos debe producir elelemento identidad que representa la ausencia de modificación alguna. En el caso del tensor métrico, tenemos lo que se conoce como el tensor métrico conjugado, simbolizado la mayoría de las veces como g-1, y cuyas componentes en notación tensorial de componentes se representan como gαβ·. Obsérvese que utilizamos super-índices para representar las componentes del tensor métrico conjugado. Los super-índices no son exponentes matemáticos, son simplemente super-índices. La matriz en la cual acomodamos a los componentes del tensor métrico conjugado se simboliza como G-1: Si G es la matriz que representa al tensor métrico, y G-1 es la matriz que representa al tensor métrico conjugado, entonces la operación combinada G-1G nos debe resultar en la matriz identidad I:

Llevando a cabo el producto matricial del lado izquierdo e igualando con las componentes correspondientes del lado derecho que sean iguales a 1, en conformidad con la fórmula tensorial en notación de componentes:

obtenemos lo siguiente para p = q = 1: g11g11 + g12g21 + g13g31 + g14g41 = 1 Las otras tres relaciones son: g21g12 + g12g21 + g13g31 + g14g41 = 1 g31g13 + g32g23 + g33g33 + g34g43 = 1 g41g14 + g42g24 + g43g34 + g44g44 = 1 De este modo, al llevarse a cabo el producto tensorial g·g-1 = g-1·g se nos debe producir el tensor identidad δ, o sea el tensor delta de Kronecker (δij): g·g-1 = g-1·g = δ

Puesto que toda operación tensorial con tensores de orden dos se puede manejar también con su representación matricial equivalente, esto nos dá una pista sobre cómo obtener los componentes del tensor métrico conjugado g-1 a partir de un tensor métrico g: obtenemos la matriz inversa a partir G a partir de la matriz G formada con los componentes del tensor g, en virtud de que: G-1G = GG-1 = I siendo I la matriz identidad. PROBLEMA: Encontrar tanto el tensor métrico como el tensor métrico conjugado que corresponden al siguiente elemento de línea que está expresado en coordenadas generalizadas: ds² = 5(dx1)² + 3(dx2)² + 4(dx3) - 6(dx1)(dx2) + 4(dx2)(dx3) Obsérvese que en este elemento de línea tenemos dos términos “cruzados” que tienen que ser repartidos en dos mitades iguales para poder escribir los componentes del tensor métrico como los requiere la propiedad de simetría gab = gba. Los componentes del tensor métrico son: g11 = 5___g22 = 3___g33 = 4 g12 = g21 = - 3 g23 = g32 = 2 g13 = g31 = 0 La representación matricial de este tensor métrico es la siguiente:

Para obtener las componentes del tensor métrico conjugado, tenemos que invertir la matriz G. Obteniendo dicha inversa por medio de cualquiera de los varios procedimientos matemáticos

disponibles, tenemos entonces:

En notación de componentes, el tensor métrico conjugado es el siguiente: g11 = 2___g22 = 5___g33 = 3/2 g12 = g21 = 3 g23 = g32 = - 5/2 g13 = g31 = - 3/2 La mayoría de las veces, o prácticamente todas, estaremos trabajando con tensores métricos cuya representación matricial es diagonal:

Esto nos dá una simplificación enorme en los cálculos requeridos para obtener el tensor métrico conjugado g-1 a partir del tensor métrico g, tomando en cuenta que el procedimiento de inversión de matrices, sobre todo cuando se lleva a cabo a mano, no sólo puede ser laborioso sino que es propenso a equivocaciones. Efectuando el producto de la matriz diagonal G que representa a un tensor métrico g por la matriz diagonal inversa G-1 que representa al tensor métrico conjugado g-1 :

Obtenemos de inmediato las siguientes relaciones para los componentes respectivos del tensor métrico conjugado: g11 = 1/g11___g22 = 1/g22___g33 = 1/g33___g44 = 1/g44 Estas relaciones frecuentemente se representan como gii = 1/gii. En esta simbolización no se aplica la convención de sumación para índices repetidos, ya que no hay sumación alguna involucrada, se trata de componentes individuales para cada valor de i. PROBLEMA: Utilizando los resultados del problema anterior, determinar el tensor métrico conjugado para un elemento de línea trazado sobre la superficie de una esfera. Todo lo que tenemos que hacer es obtener la inversa de la matriz G que corresponde a la métrica, o sea tenemos que invertir la matriz G por los procedimientos usuales del álgebra matricial. Aquí podemos usar a nuestro favor el hecho ya señalado arriba: la matriz G es una matriz diagonal, cuyos únicos elementos diferentes de cero están situados a lo largo de la diagonal principal, y para obtener la matriz inversa únicamente tenemos que tomar la inversa de cada elemento correspondiente. Con esto en mente, el tensor métrico conjugado que corresponde al elemento de línea que habita en la superficie de una esfera (obsérvese que todos los componentes del tensor métrico conjugado son representados como componentes de un tensor contravariante, con super-índices):

debe ser el siguiente:

PROBLEMA: Obtener el tensor métrico conjugado en coordenadas esféricas. Este problema sigue el mismo procedimiento que el problema anterior. Y ya hemos obtenido previamente la representación matricial de la métrica en coordenadas esféricas. Con todo esto en mente, el tensor métrico conjugado que corresponde a las coordenadas esféricas (obsérvese que todos los componentes del tensor métrico conjugado son representados como componentes de un tensor contravariante, con super-índices):

debe ser el siguiente:

Usando notación de componentes, el producto externo de dos tensores de orden dos A = (Aαβ) y B = (Bγδ) se puede llevar a cabo directamente como: AαβBγδ

y el producto interno de los dos tensores se obtiene llevando a cabo la doble contracción igualando los índices superiores a los índices inferiores sobre dicho producto externo de modo tal que entre automáticamente en acción la convención de sumación: Aαβ·Bαβ Por ningún motivo se debe confundir esta última operación con la operación gpr·grq = δpq que hemos efectuado arriba, se trata de operaciones completamente diferentes como puede verse en la simbolización de los índices tanto los de arriba como los de abajo. Una representa una sola contracción que nos produce un tensor mixto, el tensor delta Kronecker, mientras que la otra representa una doble contracción que nos resulta en un escalar. Se hace necesario recalcar esto en virtud de que por los parecidos que hay en la notación esto frecuentemente suele ser causa de muchas confusiones, equivocaciones y malentendidos entre los principiantes en el estudio del análisis tensorial. PROBLEMA: Recurriendo a la notación de componentes y utilizando tanto los componentes gαβdel tensor métrico g que corresponde a la métrica Euclideana en coordenadas esféricas como los componentes del tensor métrico conjugado g-1 que corresponde a la misma métrica, demostrar que el producto gαβ·gαβ nos produce una invariante. La primera expansión de acuerdo a la convención de sumación la podemos llevar a cabo sobre el índice monigote α produciénse lo siguiente: gαβ·gαβ = g1β·g1β + g2β·g2β + g3β·g3β Llevando a cabo la segunda expansión sobre el segundo índice monigote β esto nos produce la siguiente suma de nueve términos: gαβ·gαβ = g11·g11 + g12·g12 + g13·g13 + g21·g21 + g22·g22 + g23·g23 + g31·g3β + g32·g32 + g33·g33

La notación numérica ha sido puesta de conformidad con las coordenadas generalizadas. Para las coordenadas esféricas tenemos 1 = r, 2 = φ, 3 = θ, con lo cual: gαβ·gαβ = grr·grr + grθ· grθ + grφ· grφ + gθr· gθr + gθθ· gθθ + gθφ· gθφ + gφr· gφr + gφθ· gφθ + gφφ·gφφ Empleando los componentes que obtuvimos en los problemas anteriores: gαβ·gαβ = grr·grr + grθ· grθ + grφ· grφ + gθr· gθr + gθθ· gθθ + gθφ· gθφ + gφr· gφr + gφθ· gφθ + gφφ·gφφ

gαβ·gαβ = (1)(1) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (1/r²)(r²) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (1/r² sen² θ)(r² sen² θ)

gαβ·gαβ = 1 + 1 + 1 = 3 Esto nos demuestra que si tomamos el producto tensorial interno del tensor métrico g y de su conjugado que corresponden a la métrica Euclideana en coordenadas esféricas, el resultado es un escalar, el número 3, y por lo tanto el producto interno de dos tensores de orden dos es una invariante. El problema anterior nos lleva a una relación importante. PROBLEMA: Demostrar que en un espacio n-dimensional, para un tensor métrico diagonal en el cual gij = 0 para i ≠ j la doble contracción del tensor métrico g con el tensor métrico conjugado g1 nos produce el siguiente resultado: gαβ·gαβ = n

En este caso se tiene:

gαβ·gαβ = g11·g11 + g22·g22 + g33·g33 + ... + gnn·gnn

gαβ·gαβ = (1/g11)·g11 + (1/g22)·g22 + (1/g33)·g33 + ... + (1/gnn)·gnn

gαβ·gαβ = 1 + 1 + 1 + ... + 1

Para nosotros es importante que el producto interno de dos tensores de orden dos sea una invariante por el hecho de que los tensores que aparecen en la ecuación fundamental de la Relatividad General, tanto el tensor de Einstein G como el tensor energía-tensión T son también tensores de orden dos, son tensores capaces de generar invariantes, si usamos la ayuda tanto del tensor métrico como del tensor métrico conjugado en las operaciones de cálculo como lo hemos hecho aquí.

27. GIMNASIA DE ÍNDICES Con la ayuda de un tensor métrico g = (gαβ) que sea válido dentro de cierto espacio N-dimensional podemos convertir a un tensor contravariante T = (Ti) de orden 1 en un tensor covariante del mismo orden T = (Ti) con el simple hecho de tomar el producto interno del tensor T con el tensor métrico gformando el producto gT = Tg y aplicando la convención de sumación igualando el índice superior del tensor T con uno de los índices inferiores del tensor métrico g (para un tensor métrico cuya representación sea una matriz diagonal no importa cuál de los dos índices se seleccione ya que el resultado será el mismo), un procedimiento que ya habíamos definido como contracción. La operación de convertir a un tensor del tipo T = (Ti) en un tensor del tipo T = (Ti) es conocida comobajado de índice (en inglés se le llama index lowering). Del mismo modo, con la ayuda de un tensor métrico conjugado g-1 = (gαβ) que sea válido dentro de cierto espacio N-dimensional podemos convertir a un tensor covariante T = (Ti) de orden 1 en un tensor contravariante del mismo orden T= (Ti) con el simple hecho de tomar el producto interno del tensor T con el tensor métrico conjugadog-1 formando el producto g-1 T = Tg-1 y aplicando la convención de sumación. La operación de convertir a un tensor del tipo (Ti) en un tensor del tipo (Ti) es conocida como subida de índices(en inglés se le llama index raising). Para convertir a un tensor del tipo (Ti) en un tensor del tipo (Ti), o sea para bajar el índice del tensor, utilizamos un tensor métrico g = (gij) como se muestra a continuación en notación tensorial de componentes: gkj Tj = Tk Obsérvese que al bajar el índice del tensor T con la ayuda del tensor métrico, en virtud de haberse llevado a cabo una operación de contracción el super-índice j del tensor ha pasado a ser el subíndice k. El índice que ha sido bajado siempre toma la letra del otro índice del tensor métrico que no ha participado en la operación. Del mismo modo, para convertir a un tensor del tipo (Ti) en un tensor del tipo (Ti), o sea para subir el índice del tensor, utilizamos el tensor métrico conjugado g-1 = (gij) como se muestra a continuación: gkj Tj = Tk Nuevamente, obsérvese que al subir el índice j con la ayuda del tensor métrico conjugado, en virtud de haberse llevado a cabo una operación de contracción el sub-índice j del tensor ha pasado a ser un super-índice k. El índice que ha sido subido siempre toma la letra del otro índice del tensor métrico conjugado que no ha participado en la operación.

PROBLEMA: Escribir los tensores producidos por las siguientes operaciones: a) girTr jk b) Tαμγ gβμ c) gαμTμβγ d) gγμTαβμ e) glsTijk s f) gαβ gir Tμβrεγ g) gαβ gδε Tμβε h) ΛirTjrk En cada caso, nos fijamos en el índice del tensor métrico g (o del tensor métrico conjugado g-1 en su caso) que sea igual al índice del tensor T que va a ser subido o bajado, y una vez subido o bajado deberá utilizar la otra letra que caracterizaba al tensor métrico con la cual se produjo la operación. a) En esta operación vamos a subir un índice, el índice r: girTr jk = girTr jk = Tijk b) En esta operación vamos a bajar un índice, el índice μ: Tαμγ gβμ = Tαμγ gβμ = Tα βγ c) En esta operación vamos a bajar un índice, el índice μ: gαμTμβγ = gαμTμβγ = Tα β γ Obsérvese con cuidado cómo el tensor resultante está definido por los sub-índices α y γ así como por el super-índice β. Sin embargo, lo que importa es la posición relativa de los índices (arriba o abajo), no su identificador tipográfico.

d) En esta operación vamos a subir un índice, el índice μ: gγμTαβμ = gγμTαβμ = Tαβγ e) En esta operación vamos a bajar un índice, el índice s: glsTijk s = glsTijk s = Tijkl f) Este problema es una aplicación del tensor métrico g y del tensor métrico conjugado g-1 en la cual utilizamos el tensor métrico g para bajar el índice β del tensor T y en la cual utilizamos el tensor métrico conjugado g-1 para subir el índice ε del tensor T: gαβ giε Tμβrεγ = gαβ Tμβirγ = gαβ Tμβirγ = Tμiαrγ Obsérvese que esta aplicación combinada del tensor métrico con el tensor métrico conjugado no cambia en lo absoluto el orden del tensor. Aquí empezamos con un tensor de orden cinco y terminamos con un tensor de orden cinco. Puesto que, generalmente hablando, los índices son índices monigote en la cual el símbolo utilizado para denotarlos carece de importancia, una operación combinada como la que hemos llevado a cabo no resulta de gran utilidad. g) Este problema es una aplicación repetida del tensor métrico g en la cual utilizamos el tensor métrico para bajar los dos índices β y ε del tensor T: gαβ gδε Tμβε = gαβ gδε Tμβε = gαβ gδε Tδμβ = gαβ gδε Tδμβ = Tαδμ Esta operación tomó un tensor contravariante de orden tres, y nos produjo un tensor mixto covariante de orden dos y contravariante de orden uno. Una operación tensorial de este tipo puede ser y de hecho resulta ser de gran utilidad en aplicaciones prácticas. h) En este problema aparece un ligero cambio de notación, sugiriendo que el tensor métrico en este caso es un tensor especial, el tensor Λ que corresponde a un espacio-tiempo relativista plano(Lorentziano). Puesto que ésto lo único que hace es especificar las componentes del tensor que corresponden a dicho 4-espacio, esto no cambia en nada la naturaleza matemática de las operaciones tensoriales que estamos llevando a cabo.

ΛirTjrk = ΛirTjrk = T j ik PROBLEMA: En cada uno de los siguientes casos, determinar el tipo de tensor métrico (o tensores métricos, en caso de que se requieran varios) que necesitamos para llevar a cabo la conversión requerida: 1) Tαβγδ ⇒ Tβαγδ

2) Tαβγδερλ ⇒ Tαβγδερλ

3) Tαβγδερλ ⇒ Tαβγδερλ 4) Tαβγδερλ⇒ Tαβγδερλ 5) FαβFλβ ⇒ FαβFλβ

6) Fαβρλ Hγδεω ⇒ Fαβρλ Hγδεω

1) En este caso basta con un tensor métrico ordinario g = (gμν): Tβαγδ = gβνTανγδ 2) En este caso requerimos un tensor métrico conjugado g-1 = (gαβ): Tαβγδερλ = gενTαβγδνρλ 3) En este caso, puesto que tenemos que subir dos índices, requerimos de dos tensores métricos conjugados: Tαβγδερλ = gεμ gρν Tαβγδμνλ = gεμ Tαβγδμνλ gρν 4) En este caso, puesto que tenemos que subir tres índices, requerimos de tres tensores métricos conjugados, quedando especificadas las operaciones de la siguiente manera: Tαβγδερλ = gαx gβy gγz Txyzδερλ

5) En este caso requerimos de un solo tensor métrico para bajar el índice α que corresponde al primer factor Fαβ en el término FαβFλβ: FαβFλβ = gαν FνβFλβ 6) En este caso necesitamos dos tensores métricos, un tensor métrico para bajar el índice β de F, y un tensor métrico conjugado para subir el índice ε de H: Fαβρλ Hγδεω = ( gβμ Fαμρλ )(gεν Hγδνω) Es muy importante no confundir el uso de un tensor métrico como g para subir (o bajar) índices con el uso de Λ para llevar a cabo una transformación de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’. En este último caso no hay subida ni bajada de índices; si empezamos con un tensor covariante de orden dos seguiremos con un tensor covariante de orden dos después de la transformación en la cual empleamos a Λ. Esto lo aclararemos con unos ejemplos. PROBLEMA: Demostrar que la transformación de Lorentz llevada a cabo sobre un 4-vector puede ser considerada como una transformación tensorial. Nuestro punto de partida serán las transformaciones de Lorentz para un movimiento que se lleva a cabo a lo largo del eje-x común a ambos marcos de referencia S y S’: x’ = γ(x - Vt) = γx - γVt t’ = γ(t - Vx/c²) = - (γV/c²) x + γt Esto lo podemos poner dimensionalmente en las mismas unidades (metros, en el sistema MKS) de la siguiente manera: x’ = γ(x - Vt) = γx - γVt ct’ = γ(t - Vx/c²) = - (γV/c) x + γct Estas transformaciones actúan sobre un 2-vector que podemos llamar U, convirtiéndolo en otro 2vector que podemos llamar U, lo cual expresado en coordenadas generalizadas es:

U = (U1, U2) = (x, ct) U = (U1, U2) = (x’, ct’) De este modo, la transformación llevada a cabo se puede representar de la siguiente manera:

o de la siguiente manera, empleando coordenadas generalizadas:

Basta con hacer:

para tener a la mano lo que es ni más ni menos una transformación tensorial que cumple con la definición del tensor:

En este caso empezamos con una transformación generalizada que supone un tensor covariante. Pero igual podríamos haber empezado con la transformación empleando como punto de partida un tensor contravariante. Lo importante es mantener una consistencia conforme a lo largo de un desarrollo un tensor covariante se vaya convirtiendo en contravariante o viceversa. La misma transformación (con movimiento relativo entre ambos marcos de referencia a lo largo del eje-x común) extendida a un 4-espacio, el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad, es la siguiente en donde se ha hecho la simplificación β = V/c:

Podemos representar cada uno de los componentes de esta matriz Lorentziana con notación mixta, utilizando un super-índice para designar el renglón al que pertenece el elemento y un sub-índice para designar a la columna:

A continuación se muestra la manera en la cual se lleva a cabo la transformación de Lorentz sobre un 4-vector poniéndose como paso intermedio la sumación que es activada en virtud del índice repetido:

Si en lugar de un 4-vector tenemos un tensor contravariante de orden dos F = (Fαβ), podemos convertir uno de los índices del tensor de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’ de la siguiente manera:

Pero tratándose no de vectores (tensores de orden uno) sino de tensores de orden dos, la transformación en uno solo de los índices no nos basta para llevar a cabo una transformación completa, tenemos que transformar los dos índices, lo cual significa que tenemos que emplear nuevamente a Λ para llevar a cabo una segunda transformación sobre el otro índice:

De este modo, con la ayuda de Λ podemos pasar los componentes del tensor F de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’, y aunque aquí hemos llevado a cabo una manipulación de índices empleando a Λ como tensor métrico (Lorentziano), el tensor F sigue siendo un tensor contravariante de orden dos, tal y como lo esperaríamos de una expresión que involucra tensores. PROBLEMA: Suponiendo que tenemos un tensor F = (Fμν) definido en un 4-espacio Lorentziano,

escríbase explícitamente la expresión para llevar a cabo la conversión del componente F11 del tensor de un marco de referencia S a otro marco de referencia S’. Llevando a cabo la sumación sobre el primer índice (μ) según la prescripción dada arriba, obtenemos la suma de cuatro términos:

Llevando a cabo ahora la sumación sobre el segundo índice (ν) tendremos ahora el siguiente resultado, al expandirse cada término anterior a cuatro términos dando un total de 16 términos:

Una inspección detallada de este resultado nos revela que el componente transformado de F11 puede ser obtenido mediante las operaciones especificadas por la siguiente fórmula matricial: F = ΛFΛT PROBLEMA: Supóngase que se nos ha proporcionado el siguiente tensor F:

Obténgase el componente F42 del tensor F en el sistema de referencia S’ suponiendo que se le ha aplicado al tensor F una transformación de Lorentz. De acuerdo con la definición dada arriba, el componente F42 se obtiene mediante mediante la siguiente sumatoria doble:

La sumatoria sobre un índice nos produce cuatro términos, y la sumatoria sobre el otro índice nos produce cuatro términos en cada uno de los cuatro términos que ya teníamos, dándonos un total de 16 términos. En este caso resultará más ventajoso efectuar evaluaciones con los componentes del tensor dado primero sobre una sumatoria y después sobre la otra en lugar de llevar a cabo la expansión de todos los 16 términos dejando la substitución de componentes hasta el final. Empezaremos con la expansión de la sumatoria sobre el índice μ substituyendo de inmediato los componentes indicados:

Los componentes de Λ que son iguales a cero se han destacado de color rojo, habiendo tres de ellos que terminan nulificando tres de los términos de la sumatoria sobre μ. El otro componente es igual a la unidad, dejándonos un solo término sobre el cual podemos llevar a cabo ahora la

expansión sobre el índice ν:

La substitución de valores nos produce entonces el siguiente resultado:

PROBLEMA: Continuando con el problema anterior, obténganse todos los demás componentes de dicho tensor F después de que se le ha aplicado una transformación de Lorentz Las operaciones matemáticas involucradas en la transformación de Lorentz del tensor F que ya de por sí pueden ser tediosas se pueden manejar metódicamente en una forma más ordenada mediante la representación matricial de la transformación que viene siendo: F = ΛFΛT En mayor detalle, esto involucra las siguientes operaciones matriciales:

En virtud de la propiedad de asociatividad para la multiplicación de matrices (AB)C = A(BC), podemos multiplicar las primeras dos matrices y multiplicar la matriz resultante por la tercera matriz, o podemos multiplicar la segunda y tercera matrices multiplicando el resultado por la primera matriz, obteniendo en ambos casos el mismo resultado. Multiplicaremos aquí primero la

segunda matriz por la tercera matriz:

La matriz que hemos obtenido la podemos multiplicar ahora por la primera matriz. Los elementos de la matriz resultante, que a su vez son los componentes del tensor F, son los siguientes: F11 = 0___F12 = - E1___F13 = - γ(E2 - βB3)___F14 = - γ(E3 + βB2) F21 = E1___F22 = 0___F23 = - γ(B3 - βE2)___F24 = γ(B2 + βE3) F31 = γ(E2 - βB3)___F32 = γ(B3 - βE2)___F33 = 0___F34 = -B1 F41 = γ(E3 + βB2)___F42 = - γ(B2 + βE3)___F43 = B1___F44 = 0 Obsérvese que estos elementos, acomodados en una matriz, revelan que el tensor F es antisimétrico, al igual que como F lo es. Puesto que las componentes de F deben ser iguales en forma a las componentes del tensor original, o sea:

entonces igualando componentes se puede ver que la transformación Lorentz del tensor Fconvirtiéndolo en un tensor F nos ha producido las siguientes relaciones de transformación: E1 = E1___E2 = γ(E2 - βB3)___E3 = γ(E3 + βB2) B1 = B1___B2 = γ(B2 + βE3)___B3 = γ(B3 - βE2) Ahora considérese una métrica en la cual el intervalo relativista Lorentziano está definido de la siguiente manera: ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz² Entonces, haciendo c = 1 como se acostumbra hacerlo con unidades geometrizadas dándonos: ds² = dt² - dx² - dy² - dz² la representación matricial que corresponde al tensor métrico que corresponde a este elemento de línea es la siguiente:

Esta es precisamente la métrica que utilizamos en un espacio-tiempo plano (Lorentziano) para subida y bajada de índices en un espacio tiempo Lorentziano. Si queremos subir o bajar índices, utilizamos ag. Pero si lo que queremos es llevar a cabo una transformación de Lorentz de un 4vector o de un tensor pasándolo de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’, entonces utilizamos aΛ. Tanto g como Λ tienen cada uno su lugar respectivo. PROBLEMA: Dado el 4-vector contravariante P = (Pα) = (E/c, px, py, pz), obtener el 4-vector covariante P = (Pα) empleando el tensor métrico g del espacio-tiempo Lorentziano. Usar el resultado para obtener PαPα. La operación requerida para bajar el índice es la siguiente: Pμ = gμβPβ Expandiendo la sumatoria sobre el 4-espacio: Pμ = gμ1P1 + gμ2P2 + gμ3P3 + gμ4P4 Substituyendo valores: P1 = g11P1 + 0 + 0 + 0 = (1)(E/c) = E/c P2 = 0 + g22P2 + 0 + 0 = (- 1)(px) = - px P3 = 0 + 0 + g33P3 + 0 = (- 1)(py) = - py P4 = 0 + 0 + 0 + g44P4 = (- 1)(pz) = - pz Con esto tenemos entonces: (Pα) = (E/c, - px, - py, - pz) Usando este resultado: PαPα = P1P1 + P2P2 + P3P3 + P4P4

PαPα = (E/c)(E/c) + (px)(-px) + (py)(-py) + (pz)(- pz) PαPα = (E/c)² - (px² + py² + pz²) PαPα = (E/c)² - p·p PROBLEMA: Usando el tensor métrico g propio del espacio-tiempo Lorentziano, y dado el siguiente tensor:

(1) Bajar el primer índice (α) obteniendo así el tensor Tαβ y (2) bajar el segundo índice obteniendo así el tensor Tαβ. (3) ¿Son iguales Tαβ y Tαβ? (4) ¿Cómo se pueden obtener Tαβ y Tαβ de Tαβmediante operaciones matriciales? (5) Obtener el tensor Tαβ. Para bajar el primer índice (α) utilizamos la relación: Tαβ = gαμTμβ Expandiendo la sumatoria sobre el 4-espacio: Tαβ = gα1T1β + gα2T2β + gα3T3β + gα4T4β Para α = 1 y β = 2: T12 = g11T12 + g12T22 + g13T32 + g14T42 = g11T12 = (1)(b) = b Para α = 2 y β = 1: T21 = g21T11 + g22T21 + g23T31 + g24T41 = g22T21 = (-1)(e) = - e

Para α = 2 y β = 3: T23 = g21T13 + g22T23 + g23T33 + g24T43 = g22T23 = (-1)(g) = - g Del mismo modo: T31 = g3μTμ1 = g33T31 = (-1)(i) = - i T41 = g4μTμ1 = g44T41 = (-1)(m) = - m Juntando todos los componentes de Tαβ en un arreglo matricial tenemos lo siguiente:

Matricialmente hablando, este resultado puede ser obtenido pre-multiplicando a la matriz que representa los componentes del tensor T contravariante con la matriz que representa a los componentes del tensor métrico g:

Para bajar el segundo índice (β) utilizamos la relación: Tαβ = gμβTαμ

Expandiendo la sumatoria sobre el 4-espacio: Tαβ = g1βTα1 + g2βTα2 + g3βTα3 + g4βTα4 Para α = 1 y β = 2: T12 = g12T11 + g22T12 + g32T13 + g42T14 = g22T12 = (-1)(b) = - b Para α = 2 y β = 1: T21 = g11T21 + g21T12 + g31T23 + g41T24 = g11T21 = (1)(e) = e Juntando en un arreglo matricial todos los componentes de Tαβ que se van generando con las sumatorias tenemos lo siguiente:

Matricialmente hablando, este resultado puede ser obtenido post-multiplicando a la matriz que representa los componentes del tensor T contravariante con la matriz que representa a los componentes del tensor métrico g:

La primera conclusión firme es que los tensores Tαβ y Tαβ no son iguales pese a que fueron

obtenidos ambos del mismo tensor Tαβ. En ambos casos, vimos que el resultado se puede obtener de una manera más ordenada (y en cierta forma, más rápida) con la ayuda de operaciones matriciales. Para bajar el primer índice tuvimos que recurrir a una pre-multiplicación, mientras que para bajar el segundo índice tuvimos que recurrir a una post-multiplicación. Esto significa que la operación de descenso de índice se puede obtener mediante una de las siguientes operaciones matriciales: [ gαμ][Tμβ] = [Tαβ] [Tαμ][gμβ] = [Tαβ] Obsérvese que en ambos casos los índices repetidos de cada matriz deben estar contiguos el uno al otro (apareados). Esto es lo que nos proporciona la clave para convertir las operaciones tensoriales de sumatorias en operaciones matriciales. Siendo así, podemos postular que para obtener un tensor covariante de orden dos a partir de un tensor contravariante de orden dos las operaciones matriciales que debemos llevar a cabo para bajar ambos índices están especificadas por el siguiente producto matricial múltiple: [Tαβ] = [gαμ][Tμν][gνβ] Llevando a cabo estas operaciones matriciales, obtenemos el siguiente resultado:

Una forma de verificar la integridad de los pasos que se están llevando a cabo en el desarrollo de una ecuación tensorial cuando en dicha ecuación se está utilizando notación de componentes, especialmente cuando se está llevando a cabo gimnasia de índices, es la observancia en el balanceo de los índices simbólicos, lo cual consiste en verificar que el balance de índices simbólicos del lado izquierdo de una igualdad tensorial coincida con el balance de índices simbólicos del lado derecho de dicha igualdad. Un ejemplo lo tenemos en la siguiente expresión tensorial:

En el lado izquierdo tenemos dos índices libres α y β que en un espacio N-dimensional pueden tomar cualquiera de N valores diferentes. En el lado derecho tenemos dos términos dentro de los paréntesis rectangulares, siendo el primer término FαλFλβ con un índice monigote λ. Al llevarse a cabo la contracción del término tensorial provocada por el índice repetido λ que activa a la convención de sumación, tras la suma desaparece el índice monigote y nos quedan únicamente los dos super-índices α y β que se corresponden con los índices libres α y β de T αβ. En este caso, los índices están balanceados. Y en lo que respecta al segundo término, tenemos el producto de los factores FμλFμλque con dos índices monigote repetidos (μ y λ) activa una doble sumatoria tras la cual nos quedan únicamente los dos índices libres superiores del tercer factor, gαβ, los cuales balancean también a los índices libres α y β de T αβ. La ecuación, en lo que respecta al balanceo de índices, es correcta. La verificación del balanceo de índices se puede llevar a cabo inclusive aunque no tengamos la menor idea del significado del enunciado que está especificando una expresión tensorial, como en el siguiente caso:

En el lado izquierdo de esta expresión tenemos un sub-índice μ en ∂μ que en combinación con el super-índice μ en T μ activa a la convención de sumación al estar repetido el mismo índice, lo cual elimina dicho índice al llevarse a cabo la sumación implícita. El super-índice numérico 4 en d4x no es tomado en cuenta para nada al llevarse a cabo el balanceo de índices puesto que no es un índice libre ni es un índice monigote. Y en el lado derecho tenemos nuevamente como superíndice a μ que en Tμactiva a la convención de sumación al estar repetido el mismo índice en dSμ, eliminando también a dicho índice en el lado derecho de la expresión. La ecuación, en lo que respecta al balanceo de índices, es correcta. Se agregará aquí que ∂μ se interpreta como ∂/∂xμ y que d4x se interpreta como el producto cuádruple de elementos diferenciales en las cuatro coordenadas generalizadas, o sea como (dx1)(dx2)(dx3)(dx4), mientras que la ecuación es la expresión tensorial del conocido teorema de Gauss generalizado del espacio tridimensional al 4espacio.

28. LA DERIVADA COVARIANTE DE UN TENSOR I Los tensores, al igual que otros objetos matemáticos, también pueden ser diferenciados con las herramientas del cálculo infinitesimal. Sin embargo, hay que tomar aquí ciertas precauciones. Considérese un tensor covariante T = (Tp(x(t))) en donde la notación nos indica que para las operaciones que vamos a llevar a cabo este tensor está definido a lo largo de una curva x(t) expresada en ecuaciones paramétricas tales como (x1= 1+2t², x2=-4+5t, x3= 6t). Si la derivada de un tensor ha de estar bien definida, no basta con que apliquemos las reglas del cálculo infinitesimal que ya conocemos para obtener algo que podríamos sentirnos tentados a llamar “la derivada de un tensor”. Es necesario que el resultado obtenido también se comporte como un tensor, es necesario que también se transforme de acuerdo con la definición del tensor bajo un cambio de coordenadas. Si esto no ocurre, la operación no nos sirve de nada, porque al no poderse transformar “la derivada del tensor” como un tensor bajo un cambio de coordenadas, entonces una ecuación tensorial que involucre derivadas de los mismos no será independiente de un cambio de coordenadas, contraviniendo la principal razón para recurrir al uso de tensores que es para poder escribir relaciones matemáticas como las que ocurren en la Relatividad General, independientes del sistema de coordenadas utilizado. Y resulta que la diferenciación ordinaria de un tensor no nos produce un tensor. PROBLEMA: Demostrar que la derivada de un tensor covariante de orden uno T = (Tp) no es un tensor. Si T = (Tp) es un tensor covariante, entonces de acuerdo a la definición de tensor:

Diferenciando el tensor T con respecto a xk:

Aplicando la regla de la cadena a la inversa con el fin de que el primer término se transforme de acuerdo con la definición del tensor:

Reacomodando:

El primer término en el lado derecho de la igualdad efectivamente transforma de acuerdo con la definición del tensor, pero el segundo término resaltado en amarillo parece resistir cualquier intento de manipulación para lograr que también transforme de acuerdo con la definición del tensor. La derivada ordinaria del tensor T podría haber sido también un tensor, de no haber sido por este término adicional que ha aparecido como consecuencia de la aplicación de la regla de Leibnitz (la diferencial del producto de dos cantidades es igual a la primera por la diferencial de la segunda más la segunda por la diferencial de la primera). Lo que tenemos obviamente ya no es un tensor, porque no se transforma como un tensor, no cumple con la definición básica del tensor. A menos de que estemos dispuestos a llevar a cabo alguna redefinición de la derivada del tensor, tal parece que hemos llegado hasta donde podíamos haber llegado, tal parece que nos tendríamos que conformar con la simple aritmética de tensores que ya hemos visto, limitados a efectuar la suma, la diferencia y el producto de tensores (además de las operaciones adicionales de contracción). Buscando solventar este problema, el matemático Elwin Bruno Christoffel propuso la única salida posible: redefinir el concepto de derivada de tensor agregando justo el término adicional requerido para cancelar el término extra que aparece en la diferenciación ordinaria del tensor, haciéndolo de tal manera que se preserve la independencia de coordenadas que los tensores nos ofrecen en su notación compacta. Esta propuesta la dió a conocer al mundo en 1869 en su papel titulado “Über die Transformation der homogen Differentialausdrücke zweiten Grades”, y el “término de corrección” es conocido en lo que hoy se conoce en el análisis tensorial como los símbolos de Christoffel del primer género y del segundo género, los cuales están definidos mediante tres índices y los cuales son obtenidos a su vez del tensor métrico del espacio bajo consideración. Junto con los símbolos de cuatro índices introducidos por Bernhard Riemann (empleados en la definición del tensor de Riemann) los símbolos son conocidos hoy como los símbolos Riemann-Christoffel.

Naturalmente, al crear una nueva definición de la derivada de tensor que no concuerda con la diferenciación ordinaria, ya no se le puede seguir llamando derivada, llamándosele por lo tanto laderivada covariante (no hay nada que esté definido como “derivada contravariante”, tal cosa no existe). La presencia de los símbolos de Christoffel en la derivada covariante de un tensor garantizan que ésta derivada covariante también será un tensor, asegura que también se transformará como un tensor de acuerdo a la definición fundamental del tensor, porque bajo la transformación el símbolo de Christoffel adquiere un término que cancela el término problemático que impediría que la derivada covariante pueda transformarse como un tensor. Ese término extra es el que surge de la otra parte de la derivada covariante, que es la derivada parcial del tensor. Esta es la verdadera razón que dió origen a los símbolos de Christoffel. Desde el punto de vista geométrico, mientras que el tensor métrico nos describe sobre un espacio curvo (como la superficie de un globo) una especie de “derivada de primer orden” de la curvatura, los símbolos de Christoffel, definidos como están a partir de las derivadas covariantes del tensor métrico, nos describen una especie de “derivada de segundo orden” de la curvatura. Dicho lo anterior, introduciremos ahora la definición de los símbolos del Christoffel del primer género ó de primera especie (first kind), caracterizados porque todos los índices que los caracterizan son sub-índices (subscriptos), estando simbolizados en la mayoría de los libros de texto con los siguientes dos tipos de notación:

Los símbolos de Christoffel del primer género, con todos los tres índices abajo, están definidos mediante la siguiente relación:

Introduciremos ahora una notación abreviada utilizada frecuentemente en muchos textos, razón por la cual conviene recordarla:

Con esta notación condensada, el símbolo de Christoffel del primer género se puede escribir de la manera siguiente:

Desafortunadamente, esta no es la única notación abreviada utilizada para la derivada parcial que queremos representar (ojalá y lo fuera). Existe otro tipo de notación, también utilizada ampliamente tanto en los libros de texto como en la literatura técnica, conocida como la notación de la coma, de acuerdo con la cual si vamos a llevar a cabo una diferenciación parcial de algo como gjk con respecto a la coordenada xμ, entonces representamos dicha diferenciación simplemente como gjk,μ. En otras palabras:

Con la notación condensada de “coma”, el símbolo de Christoffel del primer género se puede escribir de la manera siguiente:

Por si la anterior carga de simbología nueva no fuese suficiente, existe en otros libros la convención de que al utilizar el símbolo de la “coma” para indicar diferenciación se prescinda del uso de la coma por completo, “sobreentendiéndose” que la derivada parcial del tensor métrico g con respecto a la coordenada xμ será simbolizado con el sub-índice μ que corresponda puesto al final prescindiendo de la coma. O sea que la anterior fórmula se puede escribir

igualmente en forma aceptable (aunque menos clara) como:

Esto último frecuentemente se escribe de la siguiente manera mediante un simple reacomodo de los términos con el único propósito de hacerlo más fácilmente memorizable (mnemónica) recurriéndose a la permutación cíclica de los sub-índices: Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2 Con el fin de ir familiarizando aquí mismo al lector con los tipos de notación abreviada mencionada, se utilizarán indistintamente las formas abreviadas. PROBLEMA: Verificar que si se intercambian los dos primeros índices en un símbolo de Christoffel del primer género, el componente obtenido es el mismo. Puesto que el tensor métrico es simétrico, o sea: gij = gji Tomando derivadas parciales con respecto a las coordenadas xi, xj y xk obtenemos (utilizando la coma para abreviar la simbolización de la derivada parcial): gij,k = gji,k___gjk,i = gkj,i___gki,j = gik,j Puesto que: Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2___Γjik = (- gij,k + gik,j + gkj,i)/2 obtenemos de inmediato que Γijk = Γjik. Este resultado nos es de utilidad en cualquier problema en donde queramos reducir los cálculos requeridos para la obtención de los símbolod de Christoffel del primer género.

PROBLEMA: Demuéstrese que en cualquier sistema de coordenadas, los símbolos de Christoffel del primer género se desvanecen sí y solo sí el tensor métrico tiene componentes constantes en dicho sistema de coordenadas. Permutando los índices de los símbolos de Christoffel del primer género del arreglo (ijk): Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2 al arreglo (jki) obtenemos lo siguiente: Γjki = (- gjk,i + gki,j + gij,k)/2 Sumando ambas expresiones obtenemos lo siguiente:

Si el tensor métrico g tiene componentes constantes en cierto sistema de coordenadas, entonces todas las derivadas del tipo ∂gik /∂xk serán iguales a cero, y la única manera en la que la suma de los componentes Γijk y Γjki sea cero en todos los casos es que los símbolos de Christoffel sean iguales a cero en todos los casos. La importancia de la definición que se ha dado a los símbolos de Christoffel que se obtienen a partir de un tensor métrico g es que si se conocen todos los componentes del tensor métrico g entonces a través de la definición se pueden obtener todos los símbolos de Christoffel del primer género. Y una vez obtenidos, podemos obtener la derivada covariante que estamos buscando, lo cual es nuestro propósito final. PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel del primer género para la métrica Euclideana en coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas (x1,x2,x3) = (r,θ,φ), el elemento de línea ds² está dado por: ds² = dr² + r²(dθ)² + r² sen²θ (dφ)² ds² = (dx1)² + (x1)²(dx2)² + (x1)² sen2(x2) (dx3)²

Entonces los componentes del tensor métrico g, en su representación matricial explícita G, se pueden escribir de la siguiente manera:

Con los componentes del tensor métrico g en nuestras manos, el cálculo de los símbolos de Christoffel procede de manera directa. Empezaremos con la evaluación de Γ111 = Γrrr: Γ111 = (- g11,1 + g11,1 + g11,1)/2 Γrrr = (- grr,r + grr,r + grr,r)/2 Γrrr = ( grr,r)/2 = (∂grr/∂r)/2 = 0 Tenemos que grr,r es igual a cero porque grr es una constante (1) cuya derivada es cero. Procediendo en forma similar, obtenemos otros símbolos de Christoffel: -----------------

Γ221 = (- g22,1 + g21,2 + g12,2)/2 Γθθr = (- gθθ,r + gθr,θ + grθ,θ)/2

Γθθr = (- ∂gθθ/∂r + ∂gθr/∂θ + ∂grθ/∂θ)/2 Γrrr = (- 2r)/2 = - r

-----------------

Γ212 = (- g21,2 + g22,1 + g21,2)/2 Γθrθ = (- gθr,θ + grθ,θ + gθθ,r)/2 Γθrθ = (- ∂gθr/∂θ + ∂grθ/∂θ + ∂gθθ/∂r)/2 Γθrθ = (∂gθθ/∂r)/2 Γθrθ = (2r)/2 = r

-----------------

Γ122 = (- g12,2 + g22,1 + g21,2)/2 Γrθθ = (- grθ,θ + gθθ,r + gθr,θ)/2 Γrθθ = (- ∂grθ/∂θ + ∂gθθ/∂r + ∂gθr/∂θ)/2 Γrθθ = (2r)/2 = r

-----------------

Γ331 = (- g33,1 + g31,3 + g13,3)/2 Γφφr = (- gφφ,r + gφr,φ + grφ,φ)/2 Γφφr = (- ∂gφφ/∂r + ∂gφr/∂φ + ∂grφ/∂φ)/2

Γφφr = - r sen²θ

-----------------

Γ323 = (- g32,3 + g23,3 + g33,2)/2 Γφθφ = (- gφθ,φ + gθφ,φ + gφφ,θ)/2 Γφθφ = (∂gφφ/∂θ)/2 Γφθφ = (2r² senθ cosθ)/2 Γφθφ = r² senθ cosθ Y del mismo modo, tenemos: Γ332 = Γφφθ = - r² senθ cosθ Γ133 = Γrφφ = r sen²θ Γ313 = Γφrφ = r sen²θ Γ233 = Γθφφ = r² senθ cosθ siendo todos los demás símbolos de Christoffel iguales a cero. La repetición de algunas de las respuestas anteriores nos hace sospechar que no es necesario evaluar individualmente todos y cada uno de los símbolos de Christoffel para todas las combinaciones posibles de componentes, de que por razones de simetría es posible acortar el trabajo. PROBLEMA: Demostrar que los símbolos de Christoffel de primer género son simétricos en el intercambio de los dos primeros índices. Tomamos la definición de los símbolos de Christoffel de primer género:

Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2 e intercambiamos los dos primeros índices, obteniendo: Γjik = (- gji,k + gik,j + gkj,i)/2 En esta última expresión usamos la propiedad de simetría del tensor métrico gpq = gqp: Γjik = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2 Comparando las dos expresiones para Γijk y Γjik concluímos que los símbolos de Christoffel de primer género son simétricos en el intercambio de los dos primeros índices, o sea Γijk = Γjik Habiéndose definido ya los símbolos de Christoffel del primer género, ahora pasamos -con la ayuda del tensor métrico g para subir el tercer sub-índice- a la definición de los símbolos de Christoffel del segundo género, la cual como se ve depende de la definición dada previamente de los símbolos de Christoffel del primer género: Γ i jk = girΓjkr En realidad, esta segunda definición es hasta cierto punto trivial, porque no es más que una subida de índice con la ayuda del tensor métrico que ya habíamos estudiado previamente en la “Gimnasia de índices”. Es importante recalcar el hecho de que aunque la operación de elevación del tercer sub-índice en los símbolos de Christoffel del primer género siempre se hace con la ayuda del tensor métrico g y aunque se escriben de una manera parecida a como se escriben las expresiones propias del cálculo tensorial,los símbolos de Christoffel no son tensores. No pueden serlo, ya que fueron agregados precisamente como una “compensación” para poder definir una derivada tensorial. No pueden serlo, porque para obtenerlos es necesario obtener las derivadas parciales ordinarias del tensor métrico, las cuales no son tensores por las razones ya señaladas desde el principio de esta entrada. No pueden serlo porque no se transforman como los tensores bajo un cambio de coordenadas. Precisamente ante la posibilidad de que los símbolos de Christoffel pudieran ser confundidos con

tensores, anteriormente se utilizaba, además de la notación alterna [ij,k] con la cual se simbolizan los símbolos de Christoffel del primer género, la notación de corchetes para definir a los símbolos de Christoffel del segundo género:

Esta equivalencia entre ambas notaciones es fácil de recordar, porque el símbolo superior puesto entre los corchetes es el mismo que el superíndice en la notación Γ, y el par de símbolos puestos abajo en la notación entre corchetes es el mismo que el par puesto abajo en la notación Γ. Con la notación de corchetes, el ascenso de índice que convierte a un símbolo de Christoffel de primer género en uno de segundo género: Γ i jk = girΓjkr en notación de corchetes se viene escribiendo como:

Si hacemos una comparación entre ambos tipos de notación, podemos ver que el cambio de una notación a otra se puede llevar a cabo sin problema alguno puesto puesto que los símbolos para los super-índices y los sub-índices siguen el mismo orden y la misma nomenclatura en la notación de corchetes y paréntesis cuadrados. Del mismo modo como se tuvo Γijk = Γjik para los símbolos de Christoffel del primer género, esta propiedad de simetría se aplica también a los símbolos de Christoffel del segundo género sobre los dos índices inferiores, o sea Γi jk = Γi kj. Una vez familiarizados con los símbolos de Christoffel, si vamos a definir un nuevo tipo de derivada que vamos a llamar la derivada covariante de un tensor, la cual tendrá como propósito principal el producir algo que pueda ser transformado de acuerdo con la definición del tensor, este tipo de derivada no puede ser simbolizado con la misma “coma” que utilizamos para la definición de la diferenciación parcial ordinaria abreviada. Para ello, utilizamos el semicolon, o sea “;”.

Definimos formalmente a los componentes de la derivada covariante de un tensor contravariante T = (Ti) con respecto a una coordenada xk como:

Obsérvese cómo al principio en el lado derecho utilizamos un semicolon para indicar que se está tomando la derivada covariante del tensor T, mientras que dentro de la expresión que define a los componentes utilizamos una coma para denotar a la derivada parcial ∂Ti /∂xk. Esta es la diferencia notacional entre una derivada parcial ordinaria y una derivada covariante. Sin embargo, una vez que se ha sobreentendido al tratarse de obtener la derivada de un tensor hay que recurrir a la definición de la derivada covariante, en una buena cantidad de textos y publicaciones se prescinde del semicolon y se denota todas las derivadas mediante la coma. , y el tipo de derivada que hay que aplicar se saca mediante el contexto respondiento a la pregunta: ¿Se trata de un tensor, sí o no? Si es un tensor, hay que aplicar la derivada covariante. Y si no es un tensor, recurrimos a la diferenciación ordinaria. Es muy importante tener esto en mente con el fin de evitar confusiones y malentendidos. Dada la anterior definición, definimos formalmente a los componentes de la derivada covariante de un tensor covariante T = (Ti) con respecto a una coordenada xk como:

Para sistemas rectangulares (coordenadas Cartesianas) los símbolos de Christoffel se reducen a cero, con lo cual derivadas covariantes se reducen a las derivadas parciales comunes. Las definiciones dadas arriba se pueden extender a derivadas covariantes de tensores de orden mayor. En el caso más general, estamos hablando de la derivada covariante de un tensor mixto contravariante de orden M y covariante de orden N. La derivada covariante de un tensor cualquiera incrementa el orden covariante del tensor resultante en una unidad. De este modo, la derivada de un tensor mixto contravariante de orden siete y covariante de orden cuatro será un tensor de orden doce, aún contravariante de orden siete pero covariante de orden cinco.

29. LA DERIVADA COVARIANTE DE UN TENSOR II Puesto que los símbolos de Christoffel son cruciales para poder definir la derivada de un tensor de modo tal que esta también sea un tensor, en esta entrada nos enfocaremos sobre algunas propiedades en la evaluación de los mismos. PROBLEMA: Comprobar que los símbolos de Christoffel de segundo género son simétricos en el intercambio de los dos sub-índices. Ya se demostró previamente que los símbolos de Christoffel de primer género son simétricos en el intercambio de los dos primeros índices, Γabc = Γbac. Puesto que los símbolos de Christoffel de segundo género son obtenidos a partir de los símbolos de Christoffel de primer género con la ayuda del tensor métrico conjugado g-1 : girΓabr = Γiab sin tocarse para nada los dos sub-índices que le dan la propiedad de simetría a los símbolos de Christoffel de primer género, se concluye que también los símbolos de Christoffel de segundo género son simétricos en el intercambio de sus dos sub-índices. PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel de segundo género para la métrica en coordenadas polares. El punto de partida es, como siempre, la definición del elemento de línea. Tratándose de las coordenadas polares, el elemento de línea es: ds² = dr² + r²(dθ)² Entonces los componentes del tensor métrico g que corresponden a este elemento de línea, acomodados en forma matricial, tienen el siguiente aspecto:

En coordenadas generalizadas, la simbolización de esto es la siguiente:

La obtención de los símbolos de Christoffel de segundo género para cualquier métrica requiere que primero se evalúen los símbolos de Christoffel de primer género, lo cual se hará a continuación con la definición básica en su forma mnemónica (memorizable): Γ111 = (- g11,1 + g11,1 + g11,1)/2 Γrrr = (- grr,r + grr,r + grr,r)/2 Γrrr = ( grr,r)/2 = (∂grr/∂r)/2 = 0 Puesto que los símbolos de Christoffel del primer género son simétricos en el intercambio de sus primeros dos índices, una vez evaluado Γ121 = Γrθr no es necesario evaluar Γ211 = Γθrr ya que son iguales. Entonces: Γ121 = (- g12,1 + g21,1 + g11,2)/2 Γrθr = (- grθ,r + gθr,r + grr,θ)/2 Γrθr = (- ∂grθ/∂r + ∂gθr/∂r + ∂grr/∂θ)/2 Γrθr = (0 + 0 + 0)/2 = 0 = Γθrr = Γ211

----------------Γ122 = (- g12,2 + g22,1 + g21,2)/2 Γrθθ = (- grθ,θ + gθθ,r + gθr,θ)/2 Γrθθ = (- ∂grθ/∂θ + ∂gθθ/∂r + ∂gθr/∂θ)/2 Γrθθ = (0 + 2r + 0)/2 = (2r)/2 = r = Γθrθ = Γ212

----------------Γ221 = (- g22,1 + g21,2 + g12,2)/2 Γθθr = (- gθθ,r + gθr,θ + grθ,θ)/2 Γθθr = (- ∂gθθ/∂r + ∂gθr/∂θ + ∂grθ/∂θ)/2 Γθθr = (- 2r + 0 + 0)/2 = (- 2r)/2 = - r Continuando de la misma manera completamos los ocho símbolos de Christoffel para las coordenadas polares: Γ112 = Γrrθ = (- ∂grr/∂θ + ∂grθ/∂r + ∂gθr/∂r)/2 = 0 Γ222 = Γθθθ = (- ∂gθθ/∂θ + ∂gθθ/∂θ + ∂gθθ/∂θ)/2 = (0 + 0 + 0)/2 = 0 Una vez que tenemos los símbolos de Christoffel de primer género, el siguiente paso consiste en elevar el tercer índice de los mismos para obtener los símbolos de Christoffel del segundo género, para lo cual necesitamos los componentes del tensor métrico conjugado g-1 , los cuales se obtienen obteniendo la inversa de la matriz que contiene los componentes del tensor métrico g. Puesto que la matriz G es diagonal, la inversa de dicha matriz se obtiene invirtiendo cada uno de los componentes a lo largo de la diagonal principal de g, dejando los demás componentes fuera de la diagonal iguales a cero:

o bien:

En este problema sólo hay tres símbolos de Christoffel de primer género que no son cero: Γ221 = Γθθr, y Γ122 = Γ212 = Γrθθ = Γθrθ. Todos los símbolos de Christoffel de primer género que son cero seguirán siendo cero tras la operación de elevación del índice. Aquellos que no lo son se muestran evaluados a continuación: g11 Γ221 = grr Γθθr = (1)(- r) Γ122 = Γrθθ = - r

g22 Γ122 = gθθ Γrθθ = (1/r²)(r)

Γ212 = Γθrθ = 1/r Por la propiedad de simetría en los dos subíndices, este símbolo de Christoffel de segundo género es igual al símbolo de Christoffel de segundo género Γ221 = Γθθr = 1/r. Esto concluye la evaluación de los símbolos de Christoffel de segundo género para la métrica en coordenadas polares. Puesto que mediante una transformación adecuada de las coordenadas, todo tensor métrico g cuya representación matricial tenga una forma como la siguiente:

puede ser convertido a un tensor métrico g cuya representación matricial es la de una matrizdiagonal:

siempre y cuando se cumpla la propiedad de simetría gij = gji, podemos esperar entonces que todos los tensores métricos con los que habremos de trabajar en la Teoría de la Relatividad serán tensores “diagonales”, porque si no lo son ciertamente pueden ser puestos en dicha forma. Siendo así, cabe preguntarse entonces si podemos utilizar este hecho en ventaja nuestra para reducir la cantidad de cálculos requeridos para encontrar todos los símbolos de Christoffel que pertenezcan a cierta métrica dada. Ya vimos que en el caso de los símbolos de Christoffel tanto del primer género como del segundo género estos son simétricos en el intercambio de sus primeros dos índices, y con este solo hecho pudimos recortar la cantidad de cálculos requeridos. Teniendo a la mano el bono extra de que el tensor métrico sea diagonal, con todos los componentes iguales a cero para i ≠ j, debe de haber simplificaciones adicionales que podamos llevar a cabo para recortar aún más la cantidad de cálculos requeridos, y efectivamente tal cosa es posible. PROBLEMA: Si g es un tensor métrico tal que gpq = 0 si p ≠ q, demostrar que para los símbolos de Christoffel de primer género: 1) Γpqr = (∂gpp/∂xp)/2 para p = q = r 2) Γpqr = - (∂gpp/∂xr)/2 para p = q ≠ r 3) Γpqr = (∂gpp/∂xq)/2 para p = r ≠ q 4) Γpqr = 0 para p, q, r distintos

Puesto que se trata de un tensor que ya está “diagonalizado”, la solución es directa recurriendo a la definición del símbolo de Christoffel de primer género: Γpqr = (- gpq,r + gqr,p + grp,q)/2 Γpqr = (- ∂gpq/∂xr + ∂gqr/∂xp + ∂grp/∂xq)/2 1) En el caso en el que todos los índices son iguales, p = q = r, en la definición el primer término cancela al segundo término dejando únicamente al tercer término: Γppp = (- ∂gpp/∂xp + ∂gpp/∂xp + ∂gpp/∂xp)/2 Γppp = (0 + ∂gpp/∂xp)/2 = (∂gpp/∂xp)/2 2) En el caso en el que los índices p y q son iguales ambos pero diferentes del índice r, dos de los términos son cero por ser el tensor métrico un tensor diagonal, con lo cual tenemos: Γppr = (- ∂gpp/∂xr + ∂gpr/∂xp + ∂grp/∂xp)/2 Γppr = (- ∂gpp/∂xr + 0 + 0)/2 = - (∂gpp/∂xr)/2 3) En el caso en el que los índices p y r son iguales ambos pero diferentes del índice q, dos de los términos son cero por ser el tensor métrico un tensor diagonal, con lo cual tenemos: Γpqp = (- ∂gpq/∂xp + ∂gqp/∂xp + ∂gpp/∂xq)/2 Γpqp = (0 + 0 + ∂gpp/∂xq)/2 = (∂gpp/∂xq)/2 4) Si los tres índices p, q y r son distintos, entonces los tres términos son cero por ser el tensor métrico un tensor diagonal. Γpqr = (- ∂gpq/∂xr + ∂gqr/∂xp + ∂grp/∂xq)/2 Γpqr = (0 + 0 + 0)/2 = 0

PROBLEMA: Usando los resultados del problema anterior, y considerando de nuevo que g es un tensor métrico tal que gpq = 0 si p ≠ q, obtener los resultados que correspondan al caso de los símbolos de Christoffel de segundo género. Para obtener los símbolos de Christoffel de segundo género a partir de los símbolos de Christoffel de primer género, necesitamos los componentes del tensor métrico conjugado g-1. Si el tensor métrico ges un tensor “diagonal”, entonces el tensor métrico conjugado g-1 también lo será, y como ya lo vimos en la entrada titulada “El tensor métrico”, cada uno de sus componentes gii será obtenido de los componentes gii mediante la siguiente relación: gii = 1/gii Se recuerda que en esta simbolización específica no aplica la convención de sumación para índices repetidos. De este modo, cuando r ≠ s: Γs pq = gsr Γpqr = 0 porque gsr = 0 en el tensor métrico conjugado g-1 cuando r ≠ s. Y por otro lado, cuando r = s: Γs pq = gss Γpqs = (1/gss) Γpqs = Γpqs /gss Nuevamente, se recuerda que aquí no aplica la convención de sumación para índices repetidos. Usando los resultados del problema anterior, podemos proceder a elevar los índices en cada uno de los casos indicados arriba cuando tal cosa sea factible: 1) En el caso en el que todos los índices son iguales, p = q = s, habíamos obtenido lo siguiente: Γppp = (∂gpp/∂xp)/2

Entonces la elevación del tercer índice nos produce el siguiente símbolo de Christoffel de segundo género:

Γs pq = Γp pp = Γppp /gpp = [(∂gpp/∂xp)/2]/gpp = [(∂gpp/∂xp)/gpp]/2 Es costumbre en los libros de texto de análisis tensorial agregar aquí un paso adicional de simplificación, recurriéndose a la definición de la derivada del logaritmo natural:

que cuando se trata de una función general de varias coordenadas toma la siguiente forma:

De este modo, para el caso en el que todos los índices son iguales, p = q = s, tenemos:

Se debe recalcar aquí que esta representación se dá en los textos únicamente por “elegancia matemática”, ya que al momento de efectuar los cálculos en realidad no vamos a tomar el logaritmo natural de nada. De cualquier manera, es mejor que el lector esté familiarizado con esta simbología porque seguramente volverá a encontrarla si continúa con estudios posteriores sobre el tema. 2) En el caso en el que los índices p y q son iguales ambos pero diferentes del índice s, habíamos

obtenido lo siguiente: Γpps = - (∂gpp/∂xs)/2 Entonces la elevación del tercer índice nos produce el siguiente símbolo de Christoffel de segundo género: Γs pq = Γs pp = Γpps /gss = [- (∂gpp/∂xs)/2]/gss = - [(∂gpp/∂xs)/gss]/2 En este caso, la simplificación simbólica mediante la derivada del logaritmo natural no es aplicable. 3) En el caso en el que los índices p y s son iguales ambos pero diferentes del índice q, habíamos obtenido lo siguiente: Γpqp = (∂gpp/∂xq)/2 Entonces la elevación del tercer índice nos produce el siguiente símbolo de Christoffel de segundo género: Γs pq = Γp pq = Γpqp /gpp = [(∂gpp/∂xq)/2]/gpp = [(∂gpp/∂xq)/gpp]/2 Esta expresión sí se presta para la representación logarítmica simbólica. Es la siguiente:

4) En el caso en el que los tres índices p, q y r son distintos, habíamos obtenido lo siguiente: Γpqs = 0

Puesto que la elevación del índice de algo cuya evaluación resultó ser cero deberá ser necesariamente también cero, se concluye que para el caso en el que todos los índices son distintos entonces: Γs pq = 0 Los resultados que hemos logrado aquí nos permiten avanzar más rápidamente en la evaluación de los símbolos de Christoffel de segundo género que necesitamos para poder obtener, eventualmente, la derivada de un tensor. Podemos memorizar mejor estos “atajos” con una “tabla” como la siguienteteniendo siempre en mente que estos procedimientos abreviados de cálculo sólo son válidos para una métrica cuya representación matricial es la de una matriz diagonal:

Cada quien podrá desarrollar, según su propia experiencia, los trucos que le ayuden a memorizar mejor estas relaciones que son de gran utilidad.

30. LA DERIVADA COVARIANTE DE UN TENSOR III En esta entrada aprovecharemos las simplificaciones obtenidas al final de la entrada previa para poder obtener los símbolos de Christoffel de segundo género cuando se trata de tensores métricos cuya matriz es una matriz diagonal. PROBLEMA: Determinar los símbolos de Christoffel de segundo género para las coordenadas cilíndricas. Para las coordenadas cilíndricas: (x1, x2, x3) = (r, φ, z) el elemento de línea es: ds² = dr² + r²dθ² + dz² con lo cual las componentes diagonales del tensor métrico son: g11 = 1____g22 = r²____g33 = 1 Puesto que tanto g11 como g33 son constantes, de acuerdo con lo que vimos en la entrada previa los únicos símbolos de Christoffel que no son cero los tendremos para p = 2. Usando las fórmulas simplificadas, estos son:

PROBLEMA: Determinar los símbolos de Christoffel de segundo género para las coordenadas esféricas. Para las coordenadas esféricas: (x1, x2, x3) = (r, φ, z) el elemento de línea es: ds² = dr² + r²dθ² + r² sen²θ dθ² con lo cual las componentes diagonales del tensor métrico son: g11 = 1____g22 = r²____g33 = r² sen² θ Puesto que tanto g11 es constante, de acuerdo con lo que vimos en la entrada previa los únicos símbolos de Christoffel que no son cero los tendremos para p = 2 o p = 3. Usando las fórmulas simplificadas, estos son:

Los símbolos de Christoffel NO son tensores. Sin embargo, cabe hacernos la siguiente pregunta: si queremos pasar de un sistema de coordenadas a otro, ¿cuáles serán entonces las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel, tanto del primer género como del segundo género? PROBLEMA: Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género. La naturaleza del problema consiste en obtener el procedimiento requerido para transformar un símbolo de Christoffel de primer género Γabc a su correspondiente símbolo de Christoffel Γabc. (con una barra encima de la letra gamma). El punto de arranque para la solución empieza, desde luego, con la ley tensorial de transformación para el tensor métrico:

Tenemos que obtener tres derivadas parciales del tensor métrico con respecto a cada una de las coordenadas del sistema hacia el cual se va a llevar el símbolo de Christoffel a ser transformado. Aplicando la regla de Leibniz para la diferencial del producto de tres funciones: d(uvw) = uv·dw + uw·dv + vw·du y aplicando también la regla de la cadena a ∂gpq /∂xm, la primera derivada parcial será:

Aplicando la misma regla de Leibniz, podemos obtener las otras dos derivadas parciales. Sin embargo, podemos ahorrarnos algo de trabajo si simplemente tomamos la expresión para la primera derivada que acabamos de obtener y aplicamos una permutación cíclica de los índices para obtener la segunda derivada: j→k k→m m→j que resulta ser:

Otra permutación cíclica de los índices: k→m m→j j→k nos produce la tercera derivada:

Restando ∂gjk/∂xm de la suma de ∂gkm/∂xj y ∂gmj/∂xk, multiplicando por 1/2 y metiendo las definiciones de los símbolos de Christoffel de primer género, obtenemos la siguiente ley de transformación:

con la que el símbolo de Christoffel de primer género Γpqr es transformado a Γjkm. Obsérvese que si no fuese por el segundo término en el lado derecho, los símbolos de Christoffel se transformarían también como tensores. Pero no son tensores, ya que fueron de hecho concebidos como el “factor de corrección” requerido para que la derivada de un tensor pueda ser redefinida como derivada covariante de modo tal que esta también sea un tensor. PROBLEMA: Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género. Puesto que los símbolos de Christoffel de segundo género se obtienen a partir de los símbolos de Christoffel de primer género, para lo cual se utiliza el tensor métrico conjugado g-1 para subir el tercer índice, no debe causar asombro de que una vez obtenida la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género en el problema anterior recurramos al tensor métrico conjugado aplicándolo sobre dicho resultado para poder obtener la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género. En este caso, utilizamos la relación que nos define al tensor métrico conjugado como un tensor, la cual es:

Utilizamos esta relación en la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género que obtuvimos en el problema anterior, la parte izquierda de la relación en el lado izquierdo de la ecuación y la parte derecha de esta relación en el lado derecho de la ecuación:

En el lado izquierdo de esta ecuación el tensor métrico conjugado gnm eleva al tercer índice m del símbolo de Christoffel de primer género Γjkm convirtiéndolo en un símbolo de Christoffel de segundo género con el super-índice n:

Lo mismo sucede en el lado derecho de la ecuación en donde el tensor métrico conjugado eleva al tercer índice del símbolo de Christoffel de primer género convirtiéndolo en uno de segundo género. Obsérvese que hemos agrupado dos simplificaciones, las cuales nos resultan en la siguiente ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género:

Obsérvese que si no fuese por el segundo término en el lado derecho, los símbolos de Christoffel de segundo género se transformarían también como tensores. PROBLEMA: Demostrar la siguiente relación:

Para demostrar la relación proporcionada, usaremos la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género obtenida en el problema anterior. Si multiplicamos ambos lados de dicha ley por ∂xm/∂xn, tenemos entonces, introduciendo en el lado derecho los deltas Kronecer δms y δmp:

Esto se simplifica de inmediato a lo siguiente:

Despejando esto último para ∂²x m/∂xj∂xk obtenemos la relación pedida. Este último resultado nos posibilita llevar a cabo una demostración importante, la demostración de que la derivada covariante de un tensor es un tensor. PROBLEMA: Demostrar que la derivada covariante de un tensor es un tensor. Para la resolución de este problema podemos utilizar ya sea un tensor covariante o un tensor contravariante. La demostración que será llevada a cabo aquí utilizará un tensor contravariante; en el caso del tensor covariante la demostración es casi idéntica con modificaciones triviales en los pasos. Considérese el tensor contravariante T = (Tp) de orden uno. Siendo un tensor, entonces debe obedecer la regla fundamental de transformación:

Tomaremos ahora la derivada parcial de este tensor con respecto a x k:

Utilizaremos ahora la regla de la cadena en el lado derecho de la expresión:

Tomamos ahora la derivada del producto de las dos cantidades ∂x i/∂xr y Tr:

Utilizaremos ahora la relación obtenida en el problema anterior, con la cual obtenemos lo siguiente:

Puesto que, por la regla de la cadena:

Y puesto que, por la misma definición de tensor para el caso de un tensor contravariante de orden uno:

la expresión que estamos desarrollando se convierte en:

Factorizando el lado derecho, reacomodando los términos, renombrando índices según se requiera y utilizando la propiedad de simetría de los símbolos de Christoffel, llegamos a lo siguiente:

Obsérvese bien la forma en la cual se han puesto tanto el lado izquierdo como el lado derecho de la relación. Del lado izquierdo, lo que tenemos es ni más ni menos que la derivada covariante del tensorT = (Tp) en el sistema de coordenadas de barra. Y lo que tenemos del lado derecho es ni más ni menos que la derivada covariante del tensor original T en el sistema de coordenadas original (sin la barra). Esto significa que la relación se reduce a:

Lo que nos está diciendo esto esencialmente es que la derivada covariante del tensor contravariante de orden uno T = (Tp), simbolizada mediante el semicolon como T;k = (Tp;k), se transforma justo como lo requieren las propiedades de la definición de un tensor. Queda demostrado entonces que la derivada covariante de un tensor es también un tensor. Esto, desde luego, se lo debemos a la ayuda de los símbolos de Christoffel que nos dieron la “corrección” necesaria para poder definir a la derivada covariante de un tensor.

31. LA DERIVADA COVARIANTE DE UN TENSOR IV Una vez que hemos entendido bien la naturaleza de los símbolos de Christoffel y cómo se obtienen a partir del tensor métrico g, el siguiente paso natural consiste en utilizarlos para obtener la derivada covariante de cualquier tensor T. El primer término en la derivada covariante de un tensor dado será simplemente la derivada ordinaria del tensor con respecto a la coordenada específica sobre la cual se esté evaluando el componente tensorial. Los demás términos serán los términos de “corrección” necesarios para que la derivada del tensor sea también un tensor, y cada uno de estos términos de corrección será el producto de un símbolo de Christoffel por el tensor que va apareado con dicho tensor dependiendo del tipo de tensor del que se trate, ya sea un tensor covariante (con un sub-índice), un tensor contravariante (con un super-índice), o inclusive un tensor mixto que pueda tener varios sub-índices y super-índices. Cada índice covariante (subíndice) dá lugar a un término de “término de corrección” que va de acuerdo con la definición de la derivada covariante de un tensor covariante, y cada índice contravariante (super-índice) dá lugar a un término de “término de corrección” que va de acuerdo con la definición de la derivada covariante de un tensor contravariante, razón por la cual resulta ventajoso aprenderse ambas fórmulas de memoria o tenerlas a la mano cuando se van a utilizar en la evaluación de la derivada covariante de un tensor mixto con varios índices. Con el objeto de que se vaya adquiriendo familiaridad en la aplicación de las fórmulas, a continuación se verán varios problemas en los cuales obtenemos la derivada covariante de varios tensores, la cual será simbolizada por la notación del semicolon. Es importante no perder la perspectiva de que en los “términos de corrección” la convención de sumación para índices repetidos se aplica en toda la extensión de la palabra, y cada término de corrección inevitablemente generará varios términos adicionales. Es aquí cuando apreciamos la ventaja simplificadora de la convención de sumación que nos permite omitir el tener que escribir los símbolos de sumatoria Σ que sólo agregarían más confusión a una notación de por sí extensa. PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjk con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor covariante de orden dos. Tendremos por lo tanto dos términos de corrección, ambos de signo negativo de acuerdo a la definición de la derivada covariante de un tensor covariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjk con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto dos términos de corrección, ambos de signo positivo de acuerdo a la definición de la derivada

covariante de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tj k con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden dos, covariante de orden uno y contravariante de orden uno. Tendremos por lo tanto dos términos de corrección, uno con signo positivo y el otro con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjkl con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden tres, covariante de orden dos y contravariante de orden uno. Tendremos por lo tanto tres términos de corrección, dos con signo negativo y el otro con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjkl con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden tres, covariante de orden uno y contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto tres términos de corrección, uno con signo negativo y los otros dos con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklm con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cuatro, covariante de orden dos y contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto cuatro términos de corrección, dos con signo negativo y los otros dos con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklm con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cuatro, covariante de orden tres y contravariante de orden uno. Tendremos por lo tanto cuatro términos de corrección, tres con signo negativo y el otro con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklm con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cuatro, covariante de orden uno y contravariante de orden tres. Tendremos por lo tanto cuatro términos de corrección, tres con signo positivo y el otro con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklmn con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cinco, covariante de orden dos y contravariante de orden tres. Tendremos por lo tanto cinco términos de corrección, tres con signo positivo y dos con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklmn con respecto a xq. En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cinco, covariante de orden tres y contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto cinco términos de corrección, dos con signo positivo y los otros tres con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:

Una vez familiarizados con la derivación covariante de tensores, podemos investigar las similitudes que hay entre la diferenciación ordinaria y la diferenciación covariante. Y encontraremos que hay muchas similitudes. PROBLEMA: En el cálculo diferencial ordinario, el diferencial del producto de dos funciones u y ves igual al producto de la primera función u por la diferencial dv de la segunda más la segunda

función v por la diferencial du de la primera: d(uv) = udv + vdu Esta regla es conocida como la regla de Leibniz. Demostrar que para el producto de dos tensores Ty S también tenemos una regla similar. La demostración se puede llevar a cabo para dos tensores covariantes, o dos tensores contravariantes, o una mezcla de ambos tipos. Para una demostración lo más amplia posible que cubra a ambos tipos, nos conviene considerar a T y a S como tensores mixtos del mismo orden, de orden dos, lo cual cubre todas las posibilidades. No es necesario considerar tensores de orden mayor. Si T y S son tensores mixtos de orden dos, entonces T = (Ti j) y S = (Si j). El producto de dichos tensores, componente por componente, será (recuérdese la definición del producto externo de dos tensores): TS = U = (Tpr · Sqs) A continuación formaremos la suma del producto de la derivada covariante del tensor T (la cual simbolizaremos con la notación del semicolon puesto como sub-índice) por el tensor S y del producto del tensor T por la derivada covariante del tensor S, lo cual es el símil de la regla de Leibinz en el cálculo diferencial ordinario: (Tpr ; k) · (Sqs) + (Tpr) · (Sqs ; k) Queremos demostrar que esto se nos reduce a la derivada covariante de algo como U = (Upqrs) (recuérdese que el producto de dos tensores mixtos de orden dos nos debe producir un tensor de orden 4, covariante de orden dos y contravariante de orden dos), o sea a: Upq rs ; k Para formar la suma de productos Leibniz indicada arriba, a continuación podemos aplicar directamente la definición de la derivada covariante metiendo en el panorama a los símbolos de Christoffel, tomando en cuenta que se trata tanto de la derivada covariante del tensor T como de la derivada covariante del tensor S:

Podemos remover los paréntesis, reagrupar, y simplificar usando el hecho de que por la definición del producto externo de dos tensores: (Ttr) · (Sqs) = Utq rs (Tpr) · (Sts) = Upt rs (Tpt) · (Sqs) = Upq ts (Tpr) · (Sqt) = Upq rt Con todo esto tenemos entonces lo siguiente:

Lo que se ha puesto de color rojo entre los paréntesis es algo que puede ser simplificado, ya que es esencialmente igual a la derivada parcial ordinaria (¡no covariante!) de Upq rs: (Upq rs),k = Upq rs,k = ∂Upq rs/∂xk Entonces lo anterior se nos convierte en:

∂Upq rs/∂xk + Γptk Utq rs + Γqtk Upt rs - Γt rk Upq ts - Γi jk Upq rt Pero todo esto no es más que la derivada covariante de Upq rs, siendo el tensor U el producto directo de los tensores S y T, o sea Upq rs;k. Entonces: Upq rs;k = (Tpr · Sqs);k = (Tpr ; k) · (Sqs) + (Tpr) · (Sqs ; k) En notación de componentes, ésto último es la regla de Leibniz para la derivada covariante del producto de dos tensores T y S. Simbólicamente, en una forma más compacta, podemos representar la regla de la siguiente manera: [TS]; k = T; k S + TS; k La regla de Leibniz para la derivada covariante del producto de dos tensores también se representa simbólicamente de otras maneras, por ejemplo: ∇(T ⊗ S) = (∇T) ⊗ S + T ⊗ (∇S) Desafortunadamente, este último tipo de representación no va muy de acuerdo con el uso que normalmente se le dá al operador vectorial diferencial nabla ∇, y se puede prestar a confusiones, aunque tiene la ventaja de utilizar el operador “⊗” para distinguir el producto directo de los dos tensores (producto externo) del producto interno de tensores que implica una contracción al aplicarse la convención de sumación para índices repetidos. Quizá una mejor forma de representar la regla de Leibniz para derivadas covariantes consiste en tomar lo mejor de ambas simbología y escribirla del siguiente modo: [T ⊗ S]; k = [T; k ⊗ S] + [T ⊗ S; k] PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del siguiente producto directo de tensores:

Uj k Vlm n

(1) aplicando primero al pie de la letra la definición de la derivada covariante al producto tensorial dado, y (2) aplicando la regla de Leibniz. Si tomamos directamente el producto tensorial dado y le aplicamos la definición de la derivada covariante, tenemos lo siguiente:

Simplificando (tomando la derivada parcial ordinaria del producto de Uj k y Vlm n reagrupando bajo paréntesis los términos comunes a cada uno de los dos tensores mixtos):

Pero el factor entre paréntesis del primer término es simplemente la derivada covariante de Ujk con respecto a xq, mientras que el factor entre paréntesis del segundo término es simplemente la derivada covariante de Vlmn con respecto a xq. Entonces:

(Uj k Vlm n) ; q = Uj k ; q Vlm n + Uj k Vlm n ; q (2) La aplicación de la regla de Leibniz nos dá el mismo resultado que acabamos de obtener, pero de manera mucho más rápida.

Como puede verse, la derivada covariante de un producto de tensores obedece las mismas reglas que las que se aplican a las derivadas ordinarias del cálculo infinitesimal.

PROBLEMA: Demostrar que la derivada covariante del tensor métrico g es igual a cero. Aplicando rigurosamente la definición de la derivada covariante a la diferenciación covariante del tensor métrico g = (gjk), tenemos lo siguiente:

Como puede verse, tanto en el segundo término como en el tercer término del lado derecho se pueden bajar los índices de los símbolos de Christoffel por la acción del tensor métrico, convirtiendo a ambos en símbolos de Christoffel de primer género:

Pero por otro lado tenemos la identidad tensorial:

Con esto el resultado se nos hace cero. La derivada covariante del tensor métrico g es igual a cero. PROBLEMA: Demostrar que la derivada del tensor métrico conjugado g-1 es igual a cero. Aplicando rigurosamente la definición de la derivada covariante a la diferenciación covariante del tensor métrico conjugado g-1 = (gjk), tenemos lo siguiente:

Pero aquí tenemos también otra identidad tensorial fácilmente demostrable:

con la cual el resultado se nos hace cero. La derivada covariante del tensor métrico conjugado g1 es igual a cero. PROBLEMA: Demostrar que la derivada covariante del tensor delta Kronecker es igual a cero. Aplicando rigurosamente la definición de la derivada covariante a la diferenciación covariante del tensor mixto delta Kronecker δ = (δjk), tenemos lo siguiente:

La derivada ordinaria del tensor delta Kronecker es igual a cero porque el tensor delta Kronecker contiene únicamente términos constantes. Aplicando la propiedad del tensor delta Kronecker para el reemplazo de los índices, esto nos deja únicamente con lo siguiente:

Entonces la derivada covariante del tensor delta Kronecker δ es igual a cero. PROBLEMA: Obtener la derivada covariante de:

gjkTkmn La relación dada es el producto (exterior) del tensor métrico g por otro tensor mixto T. Podemos aplicar aquí la regla de Leibniz obtenida previamente para la derivada covariante del producto de dos tensores, lo cual nos dá:

(gjkTkmn);q = gjk;qTkmn + gjkTkmn;q El primer término se hace cero en virtud de que por uno de los problemas resueltos previamente la derivada covariante del tensor métrico g es igual a cero, quedándonos como resultado final el siguiente:

(gjkTkmn);q = gjkTkmn;q En general, al llevar a cabo una diferenciación covariante, tanto el tensor métrico g como el tensor métrico conjugado g-1 como el tensor delta Kronecker δ pueden ser tratados como si fuesen constantes. Antes de dejar este tema, veremos algo de interés relacionado con lo que hemos estado tratando y la Teoría de la Relatividad. PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel de primer género para el 4-espacio de la Teoría Especial de la Relatividad. Para el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad podemos utilizar como elemento de línea ds² el siguiente: ds² = (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)² que en coordenadas generalizadas haciendo: (x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z)

podemos escribir como: ds² = (x1)² - (x2)² - (x3)² - (x4)² De aquí podemos obtener directamente los elementos del tensor métrico g para este 4-espacio, que son: g11 = 1 g22 = g33 = g44 = -1 gij = 0 para i ≠ j Con esto, la evaluación de los símbolos de Christoffel de primer género es directa e inmediata, y todos ellos son iguales a cero porque todos los gij son constantes o son cero, como en el siguiente caso en el que i = 2, j = 2 y k = 4: Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2 Γ224 = (- g22,4 + g24,2 + g42,2)/2 Γ224 = (- ∂g22/∂x4 + ∂g24/∂x2 + ∂g42/∂x2)/2 Γ224 = [0 + 0 + 0]/2 Γ224 = 0 Al ser todos los símbolos de Christoffel de primer género iguales a cero, los símbolos de Christoffel de segundo género son también iguales a cero. Puesto que los símbolos de Christoffel cuando son diferentes de cero indican la posible presencia de una curvatura en el espacio bajo consideración (esto se verá posteriormente cuando tratemos el tema del tensor de Riemann), al ser todos cero para el intervalo relativista propio de la Teoría Especial de la Relatividad tenemos nuestra primera confirmación matemática formal de que el espacio-tiempo Lorentziano es un espaciotiempo plano.

32. EL DETERMINANTE DEL TENSOR MÉTRICO A cualquier matriz cuadrada siempre podemos definirle un número único obtenido mediante una combinación de operaciones matemáticas que hacen que dicho número dependa del valor numérico de cada componente en dicha matriz (hay otros números que son característicos o propios a cada matriz, los cuales son conocidos como los valores eigen que en alemán significa precisamente “característico” o “propio”, los cuales no nos conciernen para la discusión que será llevada a cabo aquí). Ese número se llama el determinante de la matriz, y está definido mediante una expansión que se conoce como la expansión de Laplace:

Al determinante de una matriz A frecuentemente se le simboliza como |A|. La primera vez que la mayoría de los estudiantes en las escuelas de enseñanza media y superior entran en contacto con el concepto del determinante es en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de primer grado, con un procedimiento de solución como el generalmente conocido como laregla de Cramer. La fórmula dada arriba para la expansión de Laplace no siempre es dada a los estudiantes en su primer contacto con el concepto del determinante, aunque la idea detrás de la fórmula les es enseñada intuitivamente. Intuitivamente, la idea detrás de la expansión de Laplace consiste en seleccionar todo un renglón o toda una columna de una matriz A que será usado para llevar a cabo la expansión de Laplace. (En la fórmula dada arriba para la expansión de Laplace, se ha supuesto que se ha seleccionado un renglón ide la matriz, el cual es un índice libre. En caso de que se seleccione una columna, basta con especificar la sumatoria para una columna j de la matriz, reemplazándose el índice j por el índice i en la sumatoria). Para cualquier elemento que forme parte del renglón (o de la columna) seleccionado, si borramos todo el renglón y toda la columna en la que está situado obtenemos una sub-matriz llamada matriz menor aij que a su vez será manejada como un determinante det aij. Esta matriz menor, multiplicada por un signo positivo o negativo dependiendo del renglón y de la columna, recibe el nombre de cofactor. A continuación tenemos un ejemplo de un determinante derivado de una matriz 3x3 en el cual se ha llevado a cabo una expansión de Laplace usando para dicha expansión la primera columna (obsérvese la alternancia de signos):

Y a continuación tenemos una expansión de Laplace efectuada en base al primer renglón del determinante de la matriz mostrada:

Obsérvese que los signos positivos y negativos de los cofactores aparecen mostrados en la matriz de signo puesta en la esquina superior derecha. Cada signo está dado de acuerdo con la fórmula dada arriba para la expansión de Laplace. Así, al menor M23 que corresponde al elemento puesto en el segundo renglón y en la tercera columna le tocará un signo negativo: (-1) i + j = (-1) 2 + 3 = (-1) 5 = -1 mientras que a un menor M24 que corresponda al elemento de una matriz 6x6 puesto en el segundo renglón y en la cuarta columna le tocará un signo positivo: (-1) i + j = (-1) 2 + 4 = (-1) 6 = + 1

Para el ejemplo numérico mostrado, el valor del determinante en base a la expansión de Laplace será: det(A) = (+1)(-1)[4-9] + (-1)(2)[-6+2] + (+1)(0)[27-4] det(A) = 5 + 8 + 0 det(A) = 13 No es difícil demostrar que el determinante de una matriz tiene el mismo valor independientemente del renglón y la columna que sean escogidos para llevar a cabo la expansión de Laplace, y esta es una de las primeras cosas que se deben enseñar en un curso introductorio de Algebra Lineal. La representación matricial G de un tensor métrico g se presta de modo natural para que incorporemos el concepto del determinante del tensor métrico, al cual para evitar que se le confunda con el tensor métrico g o con cualquier otra cantidad física se le simbolizará de color azul como g. Así, mediante la expansión de Laplace, podemos definir al determinante del tensor métrico de la siguiente manera:

PROBLEMA: Dado el siguiente tensor métrico:

expresar el determinante de dicho tensor evaluado en términos de los elementos del segundo renglón y sus cofactores correspondientes. Generalizar el resultado obtenido a un determinante de cualquier tamaño. Cada cofactor de gij es el determinante que obtenemos al borrar el renglón i y la columna j en la

que aparece gij, asociando el signo (-1) i + j a dicho determinante. Designando a los cofactores de g21, g22 y g23 como G(2,1), G(2,2) y G(2,3), respectivamente, tenemos entonces que dichos cofactores son:

Entonces, por la expansión de Laplace, tenemos que el determinante del tensor métrico será: g = g21G(2,1) + g22G(2,2) + g23G(2,3) La generalización hacia un determinante de cualquier tamaño empleando la convención de sumación para índices repetidos será: g = gijG(i,j) Tómese nota de que la convención de sumación se está aplicando aquí únicamente al índice j, no al índice i. Por esta razón y para evitar confusiones, es mejor escribir esta definición de determinante basada en la expansión por cofactores mostrando explícitamente el símbolo de la sumatoria que normalmente omitimos en otros casos:

Los cofactores no solo sirven para ayudarnos a encontrar el determinante g de una matriz. También nos sirven para encontrar la matriz inversa G-1 de una matriz G. Si se nos dá una matriz A y se nos pide obtener la matriz inversa de A, el procedimiento es el siguiente (nótese que en la

matriz de cofactores Cij los componentes son colocados en forma transpuesta):

Esto significa que podemos obtener todos los componentes del tensor métrico conjugado g-1 = (gpq) a partir de los cofactores obtenidos de la matriz G del tensor métrico original g. La relación utilizada es la siguiente:

PROBLEMA: Obtener los componentes del tensor métrico conjugado g-1 que corresponden al tensor métrico g en coordenadas esféricas evaluando el determinante g y los cofactores necesarios a partir de la matriz G que corresponde al tensor métrico g. Para el tensor métrico g expresado en coordenadas esféricas, puesto que la representación matricial G de los componentes de la métrica es:

el determinante g de su representación matricial será simplemente:

La evaluación de los componentes que corresponden al tensor métrico conjugado se muestran a continuación: g11 = (cofactor de g11)/g = G(1,1) /g

g11 = 1

g22 = (cofactor de g22)/g = G(2,2) /g

g22 = 1/r²

g33 = (cofactor de g33)/g = G(3,3) /g

g33 = 1/r²

g21 = (cofactor de g12)/g = G(1,2) /g

g21 = 0 Podemos ver que para todos los demás gjk para los cuales g ≠ k, estos tendrán un valor de cero. PROBLEMA: Demuéstrese que: g11G(1,3) + g21G(2,3) + g31G(3,3) = 0 y una vez que esto ha sido demostrado, generalizar el resultado tanto para una expansión sobre renglones como para una expansión sobre columnas. Apliquemos al siguiente determinante la expansión de Laplace para determinar a través de los cofactores el valor g del determinante llevando a cabo la expansión sobre la tercera columna sin fijarnos por el momento en la forma en la cual están escritos los elementos puestos en la tercera columna pero respetando al pie de la letra la notación que corresponde a cada cofactor asociado con dicha posición:

La expansión de Laplace del determinante llevada a cabo sobre los elementos de la tercera columna tal y como están escritos viene siendo la siguiente: g = g11G(1,3) + g21G(2,3) + g31G(3,3) Inspeccionando el determinante dado, nos damos cuenta de que tanto la primera columna del determinante como la tercera columna son iguales. Pero sabemos por las propiedades de los determinantes que si un determinante tiene dos renglones o dos columnas iguales, el valor del determinante será cero, lo cual ocurre en este determinante en el que la primera columna (de color magenta) es igual a la tercera columna (de color rojo). Esto implica que: g=0 lo cual a su vez implica que: g11G(1,3) + g21G(2,3) + g31G(3,3) = 0 Podemos hacer una generalización de este resultado para una expansión llevada a cabo sobre unacolumna, la cual es la siguiente (llevando a cabo la sumación de términos sobre k): g1jG(1,p) + g2jG(2,p) + g3 jG(3,p) + g4 jG(4,p) + ... = 0

Σk gkjG(k,p) = 0 si j ≠ p Del mismo modo, la generalización para una expansión llevada a cabo sobre un renglón es la siguiente (llevando a cabo la sumación de términos sobre p): gj1G(p,1) + gj2G(p,2) + gj3G(p,3) + gj4G(p,4) + ... = 0

Σk gjkG(p,k) = 0 si j ≠ p PROBLEMA: Demostrar que bajo las relaciones dadas arriba para la obtención de los componentes del tensor métrico conjugado mediante el determinante g de la matriz de los componentes del tensor métrico y los cofactores de la misma, se cumple la siguiente relación: gjk gpk = gpk gjk = δpj Usando los resultados de los problemas anteriores, podemos afirmar que: gjk G(j,k) = g gjk [G(j,k)/g] = g/g gjk gjk = 1 Y por otro lado: gjkG(p,k) = 0 si j ≠ p gjk[G(p,k)/g] = 0/g gjk gpk = 0 para j ≠ p Los dos resultados se pueden resumir en uno solo con el delta de Kronecker:

Esta es la formalización matemática del hecho de que la contracción tensorial entre un tensor métrico g y su correspondiente tensor métrico conjugado g-1 nos resulta en el tensor delta Kronecker.

A continuación demostraremos una relación importante que será utilizada cuando tratemos el tema de la divergencia de un tensor. PROBLEMA: Demostrar que:

Empezaremos con la definición de la expansión de Laplace para la evaluación del determinante gescogiéndose un renglón para llevar a cabo la sumatoria (si en vez de escoger un renglón escogemos una columna, esto en nada altera el resultado final):

A continuación tomaremos la derivada del determinante g con respecto a un elemento específico gjrde la matriz de la cual proviene el determinante. Esta operación la podemos llevar a cabo puesto que en su construcción el cofactor G(j,k) no contiene explícitamente al elemento g jk y por lo tanto podemos tratar al cofactor como si fuese una constante. En la sumatoria, la diferenciación no abarcará los términos para los cuales k ≠ r puesto que estos se volverán cero, quedándonos como el único elemento diferenciable aquél elemento para el cual k = r. A manera de ejemplo, se llevará a cabo la demostración de esto para una expansión de Laplace sobre el tercer renglón de una matriz 3x3:

Las derivadas posibles del determinante g son las siguientes:

Volviendo al cálculo simbólico, el resultado de la diferenciación será entonces:

Pero sabemos que:

Por otro lado, por la regla de la cadena tenemos lo siguiente:

Con lo cual llegamos a lo siguiente:

Anteriormente ya habíamos encontrado la siguiente relación entre símbolos de Christoffel de primer género (en la segunda línea se hace uso de la propiedad de simetría bajo la cual los símbolos de Christoffel permanecen iguales tras el intercambio de los dos primeros sub-índices):

Introduciendo esto en la relación de arriba y dejando que gjr actúe sobre cada símbolo de Christoffel de primer género convirtiéndolo en un símbolo de Christoffel de segundo género tras la elevación del tercer sub-índice se tiene entonces:

Puesto que queremos una expresión en la que haya un solo símbolo de Christoffel involucrado, y puesto que para nuestros fines podemos hacer que el símbolo de Christoffel Γ jjm represente lo mismo que el símbolo de Christoffel Γ rrm, podemos escribir j = r y tener así:

Despejando para Γrrm:

Esto lo podemos poner en una forma más compacta metiendo el símbolo g dentro de la derivada usando para ello la definición de la derivada del logaritmo natural:

Usando las propiedades de los logaritmos, el factor (½) puede entrar como una exponenciación fraccionaria de g, que viene siendo en realidad una raíz cuadrada. De este modo, llegamos a nuestro resultado final:

Obviamente, en la Teoría de la Relatividad, siendo una teoría basada en un 4-espacio, el determinante del tensor métrico será:

El tensor métrico más simple de todos es el que corresponde a un espacio-tiempo plano, Lorentziano, y ya sea que tomemos como elemento de línea (dándole a la velocidad de la luz un valor unitario) el siguiente: ds² = - dt² + dx² + dy² + dz² o que tomemos el siguiente: ds² = dt² - dx² - dy² - dz²

el determinante del tensor métrico Lorentziano que identificaremos aquí como η y que corresponde a este elemento de línea será -1:

Es aquí en donde tiene su origen el signo negativo que encontramos en conversiones relativistas de coordenadas y en las fórmulas en las cuales aparece el determinante g del tensor métrico g dentro de una raíz cuadrada con signo negativo. Sin embargo, a la hora de llevar a cabo cálculos numéricos, en ningún momento tomamos la raíz cuadrada de algún número negativo venido de un determinante, y para evitar esta posibilidad (o más bien, confusión) en algunos textos se acostumbra encerrar a gentre las barras verticales que indican que se debe tomar el valor absoluto (siempre positivo) del mismo, apareciendo en dichas fórmulas como |g|. Los números imaginarios que provienen de la raíz cuadrada de números negativos no tienen cabida dentro de la Teoría de la Relatividad.

33. LA DIVERGENCIA DE UN TENSOR I Teniendo ya en nuestras manos la definición de una derivada que puede comportarse como un tensor bajo una transformación de coordenadas, la derivada covariante, la cual aplicándose a un campo tensorial V = (Vα) se escribe con la notación del semicolon como:

resulta casi irresistible la tentación de igualar los índices α y β:

lo cual hace que entre en acción la convención de sumación para índices repetidos efectuándose de este modo la operación tensorial de contracción que nos producirá en este caso un escalar. Pero, ¿qué significa el número así obtenido? Esto es lo que cubriremos en esta entrada. Uno de los conceptos fundamentales en el análisis vectorial es el de la divergencia. En un espacio de tres dimensiones, al hablar acerca de la divergencia en realidad estamos hablando de la divergencia de un campo vectorial. Matemáticamente hablando, para definir a la divergencia utilizamos el operador vectorial del ó nabla ∇, (en griego la palabra “nabla” significa “arpa”). Pero antes de entrar con mayor formalidad en detalles técnicos, es conveniente tener una idea sobre el significado físico de lo que estamos hablando. Como ya se había explicado previamente en la entrada “Introducción al cálculo tensorial”, un campo vectorial es algo que podemos imaginar como una infinitud de vectores en un espacio tridimensional, en donde a cada punto en el espacio se le asigna un vector específico. Un ejemplo de un campo vectorial puede ser la representación gráfica aproximada de varios vectores típicos de un remolino de agua. Otro ejemplo lo pueden ser las líneas del campo de fuerza eléctrico que emanan de una carga eléctrica positiva. Hay muchísimos ejemplos que podríamos citar, pero la idea sigue siendo la misma. En dondequiera que haya un campo vectorial, podemos trazar una superficie y podemos formularnos una pregunta acerca del flujo neto de líneas de fuerza que están atravesando dicha superficie. Aunque la cantidad de líneas de fuerza que atraviesan un pedazo pequeño de la superficie es infinito (al haber una cantidad infinta de puntos dentro de dicho pedazo de superficie), de cualquier manera nos las podemos arreglar para definir el flujo de líneas de fuerza que están atravesando ese pedazo de superficie. Esto requiere que consideremos únicamente las

líneas de fuerza que, efectivamente, estánatravesando la superficie. Si en una porción pequeña de la superficie las líneas de fuerza son tales que están recorriendo la superficie tangencialmente, sin entrar ni salir de la misma, entonces no hay flujo alguno de líneas de fuerza a través de dicha superficie. En la siguiente ilustración, tenemos un flujo de vectores fluyendo en el sentido del eje-x que está atravesando una lámina plana cuadrada montada con sus orillas sobre el eje-y y el eje-z, estando por lo tanto perpendicular al eje-x:

Es obvio que si la lámina estuviera acostada en el plano formado por el eje-x y el eje-y, aunque el flujo de vectores se mantuviera igual no habría un flujo de vectores atravesando la lámina. Obviamente, la orientación que tenga una superficie con respecto a un flujo de vectores es importante para determinar cuantitativamente el flujo que la atraviesa y al cual denominaremos con la letra Φ. Vectorialmente hablando, utilizando los vectores unitarios de base usuales i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k= (0,1,0) en un sistema de coordenadas rectangulares, y suponiendo que el flujo de vectores de la ilustración de arriba tiene una intensidad de 5 unidades, este flujo de vectores lo podemos representar como:

F=5i+0j+0k F=5i En este caso, podemos definir el flujo vectorial Φ a través de la lámina simplemente multiplicando la magnitud de la intensidad del flujo de vectores F por el área que está atravesando: Φ=F·A que evaluada numéricamente para este caso resulta ser simplemente: Φ = F · Δx Δy = 5 · (1) (1) = 5 Este es un ejemplo sencillo, inclusive trivial. Pero si inclinamos la lámina o inclusive si la doblamos, ya no resulta tan trivial. Y si además de ello en vez de un campo vectorial de magnitud constante la lámina es atravesada por un campo vectorial que cambia de dirección constantemente, como en el caso de la siguiente figura en donde la lámina ha sido deformada y en donde el campo vectorial cambia de magnitud y cambia de dirección constantemetne:

entonces la determinación del flujo tiene que ser formalizada de alguna manera. Lo primero que se nos viene a la mente es sub-dividir la lámina (como se ha hecho en la figura de arriba) en un gran número de pequeños “pedazos” de superficie, determinar el flujo a través de cada uno de ellos, y sumar la contribución individual para así obtener el flujo total a través de la lámina. Puesto que en cada punto del espacio tri-dimensional cada vector tiene bien definida su magnitud y su dirección, para definir la operación del flujo vectorial en cada uno de esos pequeños “pedazos” de superficie tenemos que asignarle una dirección a cada elemento de superficie. ¿Y cómo le asignamos una dirección a una superficie? Mediante un vector normal a dicha superficie, un vector perpendicular como el que se muestra a continuación:

Resulta evidente que para una superficie que no es plana, para una superficie curva, habrá un gran número de normales que podemos trazar en cada “pequeño pedazo de superficie”:

De este modo, habiéndole asignado una dirección a cada “pequeño pedazo de superficie” si calculamos el flujo ΔΦ que atraviesa cada “pequeño pedazo de superficie” ΔS, podemos definir el

flujo que atraviesa a ΔS como el producto punto o producto escalar de los vectores F y ΔS: ΔΦ = F · ΔS El flujo total Φ que atraviesa la superficie de la lámina será igual con un buen grado de precisión a la suma de las contribuciones individuales, o sea: Φ = Σ F · ΔS La evaluación será matemáticamente exacta si en vez de recurrir a pequeños pedazos discretos utilizamos pedacitos infinitesimales y llevamos a cabo la integración: Φ = ∫ F · ΔS La pregunta que nos hacemos ahora es la siguiente: ¿Y si consideramos toda una superficie cerrada? En tal caso, podemos considerar la posibilidad de que al flujo total de líneas de fuerza saliendo a través de una superficie cerrada pueda asignársele un número positivo, el cual nos indicaría que a través de dicha superficie después de sumar el flujo neto de líneas que entran por la superficie y el flujo total de líneas de fuerza que salen de la superficie tenemos una salida neta de líneas de fuerza, lo cual nos indica que adentro de la superficie cerrada hay “algo” que nos está generando líneas de fuerza, hay una fuente. Y al haber un flujo neto de líneas de fuerza saliendo de una superficie cerrada, decimos que hay una divergencia (positiva) de líneas de fuerza, o más formalmente, decimos que la divergencia del campo vectorial sobre esa superficie cerrada es positiva. Por otro lado, también podemos considerar la posibilidad de que al flujo total de líneas de fuerzaentrando a través de una superficie cerrada pueda asignársele un número negativo, el cual nos indicaría que a través de dicha superficie después de sumar el flujo neto de líneas que entran por la superficie y el flujo total de líneas de fuerza que salen de la superficie tenemos una entrada neta de líneas de fuerza, lo cual nos indica que adentro de la superficie cerrada hay un sumidero. Y al haber un flujo neto de líneas de fuerza entrando hacia una superficie cerrada, decimos que hay unadivergencia (negativa) de líneas de fuerza, o más formalmente, decimos que la divergencia del campo vectorial sobre esa superficie cerrada es negativa. Y en el caso en el que el flujo neto total de líneas de fuerza que atraviesan a una superficie cerrada sea igual a cero, esto nos indicaría que a través de dicha superficie el flujo neto de líneas que entran por la superficie es igual al flujo total de líneas de fuerza que salen de la superficie.

Considérese a continuación el campo vectorial que representa las líneas de fuerza eléctrica de una carga positiva situada en el centro, de la cual emanan las líneas de fuerza que repelen a otra carga de prueba (también positiva) que se quiera acercar a la carga situada en el centro (aunque el dibujo es un dibujo en dos dimensiones, en realidad se está tratando de representar un campo vectorial de tresdimensiones):

Si esta fuente de líneas de fuerza la encerramos dentro de una esfera imaginaria, podemos ver que a través de la superficie de dicha esfera no habrá líneas de fuerza entrando, atravesándola desde fuera hacia adentro; únicamente hay líneas de fuerza que están saliendo. Entonces el flujo neto de líneas de fuerza tiene que ser una cantidad positiva. La divergencia del campo eléctrico ocasionado por una carga eléctrica positiva siempre tiene un valor positivo cuando la superficie con la cual se mide dicha divergencia únicamente encierra esa carga positiva. Considérese a continuación el campo vectorial que representa las líneas de fuerza eléctrica de una carga negativa situada en el centro, la cual genera líneas de fuerza que no repelen sino que atraen a otra carga de prueba (positiva) que se quiera acercar a la carga situada en el centro:

Si este sumidero de líneas de fuerza lo encerramos dentro de una esfera imaginaria, podemos ver que a través de la superficie de dicha esfera no habrá líneas de fuerza saliendo, atravesándola desde dentro hacia afuera; únicamente hay líneas de fuerza que están entrando. Entonces el flujo neto de líneas de fuerza tiene que ser una cantidad negativa. La divergencia del campo eléctrico ocasionado por una carga eléctrica negativa siempre tiene un valor negativo cuando la superficie con la cual se mide dicha divergencia únicamente encierra esa carga negativa. Ahora veremos un ejemplo en el que la divergencia de líneas de fuerza es cero. Considérese no una carga elétrica positiva solitaria o una carga eléctrica negativa solitaria sino un par de cargas eléctricasiguales en magnitud y diferentes únicamente en cuanto al signo, una carga positiva y una carga negativa, como lo muestra la siguiente figura:

De nueva cuenta, si encerramos la carga positiva situada a la izquierda dentro de una superficie esférica imaginaria, entonces habrá una divergencia positiva del campo vectorial sobre dicha superficie. Y si si encerramos la carga negativa situada a la derecha dentro de una superficie esférica imaginaria, entonces habrá una divergencia negativa del campo vectorial sobre dicha superficie. Pero si encerramos ambas cargas dentro de una superficie esférica, la divergencia del campo vectorial sobre dicha superficie será igual a cero, porque todas las líneas de fuerza que entran es igual a las líneas de fuerza que salen. En el dibujo de arriba, aunque es bi-dimensional, podemos ver que por cada línea de fuerza que entra a la superficie esférica imaginaria que encierra ambas cargas habrá una línea de fuerza que sale “cancelándola”. Pero no es necesario que la superficie imaginaria sea esférica.La superficie puede tener cualquier configuración, como la de una caja. La divergencia seguirá siendo igual a cero, porque dentro de la superficie hay una fuente y un sumidero que se cancelan mutuamente. Consideremos un último ejemplo, el de un imán cuyo campo vectorial posiblemente ha sido “visualizado” por muchos niños y jóvenes que han tenido la oportunidad de poner un imán debajo de una hoja de papel esparciendo encima de la hoja limaduras de hierro:

En este caso, podemos trazar una superficie cerrada de cualquier forma en torno a cualquier parte del imán, y la divegencia será cero, porque por cada línea de fuerza que entre a dicha superficie habrá una línea de fuerza que salga. A diferencia de lo que ocurre con las cargas eléctricas, no haymonopolos magnéticos en donde uno de ellos actúe como una fuente (el monopolo “norte”) y

el otro como un sumidero (el monopolio “sur”) de líneas de fuerza. Si los hay, no han sido descubiertos hasta la fecha ni han podido ser producidos en el laboratorio. En el dibujo de arriba tal vez algunos puedan confundirse al creer que en el extremo izquierdo del imán (el polo sur) hay un sumidero y que en el extremo derecho del imán (el polo norte) hay una fuente de líneas de campo magnético, pero debe tomarse en cuenta de que todas las líneas de fuerza que están entrando en el extremo izquierdo del imán se están yendo dentro del imán hacia el extremo derecho, de modo que el flujo neto de líneas de fuerza es igual a cero. La realidad física de que no existen ni fuentes ni sumideros de líneas del campo magnético fue expresada por James Clerk Maxwell con la siguiente fórmula: ∇·B = 0 Esta fórmula lo que nos dice es que, para cualquier superficie cerrada, la divergencia de las líneas del campo magnético, representadas con un campo vectorial designado como B, es igual a cero. Se había señalado arriba que la divergencia es un simple número, un escalar. Pero en la fórmula de arriba, a la izquierda de la misma tenemos un campo vectorial. La única forma en la cual podamos obtener un escalar (o hablando “tensorialmente”, un tensor de orden cero) en el lado derecho de la fórmula, es llevando a cabo un producto interno de los tensores de orden uno que aparecen en el lado izquierdo de la fórmula. Esto quiere decir que ∇ es un operador tensorial. Para un campo de fuerza vectorial F = (Fx, Fy, Fz ) definido en coordenadas Cartesianas: F = Fx i + Fy j + Fz k i la divergencia del campo vectorial sobre una superficie cerrada está dada por:

Con la ayuda de los tensores, el concepto de la divergencia se puede extender de un campo vectorial hacia un campo tensorial en cualquier número de dimensiones, sin tener que limitarnos a las tres dimensiones originales sobre las cuales fue concebida dicha idea. La definición de la divergencia de un campo tensorial T = (Tα) se puede comenzar dándola como la divergencia de un tensor contravariante de orden uno de la siguiente manera:

∇·T = ∂μTμ = ∂Tμ/∂xμ Por los índices repetidos, vemos que la convención de sumación entra en acción de inmediato, y que en un caso general la divergencia de un campo tensorial en un espacio n-dimensional será: ∇·T = ∂T1/∂x1 + ∂T2/∂x2 + ∂T3/∂x3 + ... A continuación llevaremos a cabo la derivación de la fórmula tensorial para poder obtener la divergencia de un campo vectorial en un espacio n-dimensional cualquiera. PROBLEMA: Demostrar que la divergencia de un campo vectorial V = (Vα) está dada por la siguiente fórmula:

Para un campo vectorial V = (Vα), y téngase en mente que un vector es un tensor, la definición de la derivada covariante empleando la notación del semicolon e involucrando a los símbolos de Christoffel se puede escribir de la siguiente manera: Vα;β = Vα,β + Γαβμ Vμ Esta definición nos proporciona la siguiente relación para la divergencia del campo vectorial al llevarse a cabo la igualación de los índices en la definición de la derivada covariante de un tensor contravariante de orden uno: div Vp = Vp;p = Vk,k + Γppk Vk Para mayor claridad, prescindiremos de la notación de la coma utilizada para denotar en forma compacta la diferenciación parcial, y escribiremos la relación en su forma explícita:

Ahora utilizaremos la siguiente relación demostrada en la entrada “El determinante del tensor métrico”:

Tenemos entonces lo siguiente sustituyendo el símbolo de Christoffel:

Tomaremos la derivada eliminando del panorama al logaritmo natural y preparando el terreno para una simplificación posterior:

La simplificación que podemos llevar a cabo consiste en unirlo todo, la suma de dos términos, bajo un solo término, la derivada de un producto:

Esta es la fórmula que queríamos demostrar. Si estamos dispuestos a sacrificar un poco de claridad en aras de una mayor compacidad, podemos recurrir a la notación de la coma para indicar con mayor brevedad la diferenciación en la fórmula que acabamos de obtener, llegando así al siguiente resultado alterno que tal vez sea más fácilmente memorizable:

Es conveniente hacer aquí un señalamiento. En algunos libros de texto y en algunas publicaciones de índole técnica y científica, en las dos fórmulas que acabamos de demostrar el determinante g del tensor métrico se escribe dentro de los radicales no como lo hemos mostrado sino con un signo negativo. Es así como se nos muestran las siguientes fórmulas que nos pueden parecer un poco extrañas a primera vista:

En realidad, esta última notación es algo confusa y no está realmente justificada, porque en ningún momento tomamos la raíz cuadrada de un número negativo (lo cual nos produciría un número imaginario). La intención original en escribir así las fórmulas tensoriales de la divergencia de esta manera era advertir que, siendo el determinante g de una matriz un número que puede ser positivo o negativo, en caso de ser negativo la fórmula se debería aplicar la fórmula tal cual, y en caso de ser positivo simplemente se ignoraba el signo negativo. Desafortunadamente, la costumbre en el uso de esta notación se asentó sin ser acompañada en todo momento por las razones detrás de su razón de ser, aumentando la confusión en quienes tienen la intención de aprender la Teoría de la Relatividad como autodidactas sin contar con un buen maestro que les aclare estos puntos confusos. PROBLEMA: Obtener la expresión para la divergencia de un campo vectorial V = (Vα) expresada en coordenadas polares. Para el tensor métrico g expresado en coordenadas polares, puesto que la representación matricial G de los componentes de la métrica es:

el determinante g de su representación matricial será simplemente r²:

En coordenadas polares (r,θ), si denotamos las componentes del tensor V como (Vr,Vθ), la aplicación de la fórmula tensorial para la divergencia obtenida en la entrada previa es directa e inmediata. Empezando con la fórmula:

que expandida para fines de cálculo es:

lo primero que podemos hacer es llevar a cabo la expansión de las sumatorias dentro de la fórmula para cada coordenada como lo indica la convención de sumación para índices repetidos utilizando el hecho de que:

con lo cual tenemos, representando las diferenciaciones parciales con la notación de la coma (esta representación que pudiera parecer superflua tiene la intención de ir familiarizando a los lectores con otros tipos de notación utilizadas para representar la evaluación de la divergencia de un campo vectorial bajo algún sistema de coordenadas) :

Escribiendo los términos explícitamente como lo indica la notación de la coma como índice que significa diferenciación parcial:

En esta expresión se ha puesto de color rojo la parte del término que en virtud de la independencia de las coordenadas será eliminado, dejándonos con lo siguiente:

Reacomodando los términos es así como llegamos a la expresión de la fórmula final del modo más compacto posible:

PROBLEMA: Obtener la expresión para la divergencia de un campo vectorial V = (Vα) expresada en coordenadas esféricas. Para el tensor métrico g expresado en coordenadas esféricas, puesto que la representación

matricial G de los componentes de la métrica es:

el determinante g de su representación matricial será simplemente:

En coordenadas esféricas (r,θ,φ), si denotamos las componentes del tensor V como (Vr,Vθ,Vφ), la aplicación de la fórmula tensorial para la divergencia es directa e inmediata. Nuevamente, recurrimos a la fórmula tensorial para la divergencia:

En este caso, tenemos:

Habiendo reemplazado al determinante g por su valor, la expansión que habremos de llevar a cabo sobre los índices repetidos en base a la convención de sumación deberá ser:

Esta expansión de sumatorias dentro de la fórmula se debe llevar a cabo para cada una de las tres coordenadas tal y como lo indica la convención de sumación para índices repetidos, lo cual nos resulta en:

El tercer término al llevarse a cabo la diferenciación con respecto a obviamente se nos volverá cero. Llevando a cabo las diferenciaciones de los términos dentro del paréntesis tenemos entonces:

Simplificando:

Expandiendo el término remanente hacia la sumatoria requerida sobre las tres coordenadas de acuerdo a la convención de sumación para índices repetidos:

34. LA DIVERGENCIA DE UN TENSOR II Asociado con el concepto de la divergencia está un teorema famoso debido a Gauss, conocido como elteorema de la divergencia, el cual clásicamente (en el Análisis Vectorial) se expresa mediante la siguiente igualdad que relaciona a una integral de superficie evaluada sobre una superficie cerrada(un cubo, una esfera, una pirámide, etc.) con una integral evaluada sobre el volumen encerrado dentro de dicha superficie:

En esta fórmula, del lado izquierdo tenemos un campo vectorial F del cual obtenemos la divergencia del mismo mediante la aplicación del operador diferencial nabla ∇, tras lo cual llevamos a cabo una integración en torno a cierto volumen, y del lado derecho tenemos una integral de superficie llevada a cabo sobre una superficie cerrada (el círculo abrazando los dos signos integrales se usa para indicar precisamente que se trata de una superficie cerrada) con la cual evaluamos el flujo neto de líneas de fuerza que están atravesando dicha superficie cerrada. La derivación de la fórmula clásica que expresa el teorema de la divergencia no es un asunto difícil. Para obtenerla, consideramos una región del espacio que está inmersa en un campo vectorial F (el cual puede representar las líneas de fuerza de un campo eléctrico, las líneas de fuerza de un campo magnético, la velocidad de las moléculas del aire moviéndose en cierta dirección del viento, etc.) Subdividimos esta región volumétrica en pequeños “cubitos” iguales de volumen dV y determinamos el flujo neto de líneas de fuerza entrando a través de una cara del cubito y saliendo por la cara opuesta:

Si hay divergencia dentro del cubito, entonces la densidad de líneas de fuerza que salen por la cara opuesta será mayor que la densidad de líneas de fuerza que entran por la cara principal, pero si la densidad es la misma entonces no hay divergencia alguna en esa dirección. Tenemos que considerar además la cara superior del cubito y la cara inferior por la posibilidad de que aunque no haya divergencia alguna en el sentido frontal-trasero del cubito sí pueda haber divergencia en el sentido superior-inferior. Y tenemos que considerar también las caritas laterales para determinar si hay un incremento o decremento en las líneas de fuerza que puedan estar entrando o saliendo por las caras laterales. Hecho esto, vamos juntando los demás cubitos tomando en cuenta que el flujo de líneas de fuerza que salen por la cara de un cubito debe ser igual al flujo de líneas de fuerza que entran por esa misma cara cuando se considera al cubito adyacente, pero por estar orientadas ambas caras en sentidos opuestos los vectores normales de superficie n a dichas caras apuntarán en direcciones opuestas y los efectos se cancelarán. Al final, nos quedaremos con tan sólo la parte exterior de las caras de los cubitos que coinciden con la superficie del volumen bajo consideración. Un caso especial que nos interesa sobremanera del teorema de la divergencia es aquél en el cual no hay divergencia alguna del campo vectorial F, lo cual termina siendo evaluado como: ∇·F = 0 Cuando esto ocurre, entonces la integral del lado izquierdo en la fórmula que tenemos arriba del teorema de la divergencia termina siendo cero, dejándonos tan sólo con lo siguiente:

Esto significa que en donde no hay divergencia el flujo neto de líneas de fuerza que atraviesan una superficie cerrada es igual a cero. Si hay líneas de fuerza en la región, entonces hay tantas líneas de fuerza atravesando una superficie cerrada de dicha región como líneas de fuerza saliendo de la misma, lo cual dá un flujo neto de cero. Si queremos extender el teorema de la divergencia hacia la Teoría de la Relatividad, la fórmula dada arriba no nos es suficiente ya que está definida para un espacio tri-dimensional. En el caso que nos ocupa, la Teoría de la Relatividad, necesitaríamos definir a la divergencia en un espacio de cuatro dimensiones, a la cual podemos llamar la 4-divergencia. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿podemos extender el teorema de la divergencia hacia el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad? Esto equivale a preguntarnos primero si podemos replantear el teorema de la divergencia en notación tensorial, la herramienta matemática que nos permite “saltar” del limitado espacio tri-dimensional hacia un espacio multi-dimensional de cualquier número de dimensiones. PROBLEMA: Expresar el teorema de la divergencia usando notación tensorial. Defínase un campo tensorial de orden uno F = (Fα), y denótese como nα al vector unitario normal que va asociado a cualquier punto sobre una superficie cerrada S que encierra a un volumen V. Entonces, en notación tensorial, el teorema de la divergencia puede ser escrito de la siguiente manera:

En el lado izquierdo tenemos una operación de contracción tensorial llevada a cabo sobre la derivada del tensor F (obsérvese que no es una diferenciación covariante), mientras que en el lado derecho tenemos un producto escalar de dos tensores, el tensor contravariante Fk y el tensor covariante nk. Hemos logrado expresar el teorema de la divergencia en notación tensorial, y por lo tanto debe ser válido en todos los marcos de referencia. Tenemos ya el teorema de la divergencia en notación tensorial. ¿Pero podemos extenderlo hacia

un espacio N-dimensional que incluya al 4-espacio de la Teoría de la Relatividad? La respuesta es afirmativa. Todo lo que tenemos que hacer es reemplazar a la integral triple por una N-integral (una integral cuádruple tratándose del 4-espacio de la Teoría de la Relatividad) y reemplazar a la integral doble por una integral N-1. La invariante Fk,k es la divergencia de Fk. Y la invariante Fknk es el producto escalar de Fk y nk análoga al producto A·n en notación vectorial. PROBLEMA: Determinar si los siguientes campos vectoriales exhiben divergencia. a) F = 5 i - 3 j + 7 k + 2 l b) V = [(x3)² - 1] e1 + 4 (x2)² e2 - 2 (x1 + x2 + x4)² e3 - 8 e4 a) En este 4-espacio estamos utilizando los vectores de base ortogonales i, j, k y l cuyas propiedades son: i·i = j·j = k·k = l·l = 1 i·j = i·k = i·l = j·k = j·l = k·l = 0 La 4-divergencia para el campo vectorial dado es: ∇·F = Fα,α = Fi,i + Fj,j + Fk,k + Fl,l

Fα,α = ∂Fi/∂xi + ∂Fj/∂xj + ∂Fk/∂xk + ∂Fl/∂xl Siendo F = Fα = (5, -3, 7, 2) un campo vectorial cuyas componentes son todas constantes numéricas, tenemos entonces: Fα,α = 0 + 0 + 0 + 0 Fα,α = 0 Siendo la divergencia igual a cero, este campo vectorial no exhibe divergencia alguna en ninguna región del 4-espacio, de modo tal que en cualquier superficie cerrada el flujo neta de líneas de fuerza que entran a dicha superficie será igual al flujo neto de líneas de fuerza que salen de dicha superficie. b) Este problema es casi idéntico al anterior. Lo único que realmente cambia es que en vez de

utilizar para los vectores unitarios de base la notación i, j, k y l estamos usando la notación e1, e2, e3 y e4 en coordenadas generalizadas, que a fin de cuentas viene representando exactamente lo mismo. La 4-divergencia para el campo vectorial dado V es: ∇·V = Vα,α = V1,1 + V2,2 + F3,3 + F4,4

Vα,α = ∂V1/∂x1 + ∂V2/∂x2 + ∂V3/∂x3 + ∂V4/∂x4 Vα,α = 0 + 8 + 0 + 0 Vα,α = 8 En este caso, el campo vectorial V exhibe una divergencia que podemos ver que ocurre a lo largo de la coordenada generalizada x2, la cual es positiva. Esto significa que las líneas de fuerza van aumentando en intensidad en el sentido positivo de la coordenada x2, posiblemente como resultado de alguna fuerza de atracción que hace que las partículas se aceleren en dicha dirección. No hay divergencia alguna en el sentido de la coordenada x1, ni en el sentido de las coordenadas x3 y x4. Hemos logrado redefinir al teorema de la divergencia para un espacio multi-dimensional. Pero no debemos olvidar que el teorema de la divergencia fue desarrollado dentro del contexto de un espacio tri-dimensional Euclideano, ciertamente plano. ¿Pero podemos redefinirlo para que sea válido también dentro de un espacio multi-dimensional curvo? PROBLEMA: Obtener la fórmula para el teorema de la divergencia en el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad. No tenemos que batallar mucho para resolver este problema. Todo lo que tenemos que hacer es tomar la fórmula obtenida en la entrada anterior para la evaluación de la divergencia de un campo tensorial general F:

Pasamos el denominador que está en el lado derecho de esta ecuación hacia el lado izquierdo:

y nos preparamos así para llevar a cabo una integración cuádruple en ambos lados sobre un 4volumen:

Simplificaremos la notación del 4-volumen infinitesimal con la siguiente abreviatura más compacta: d4x = dx1dx2dx3dx4 con la cual tenemos:

Si ponemos atención, veremos que el lado derecho de esta ecuación no involucra diferenciación covariante alguna, sólo involucra derivadas parciales simples, y por lo tanto podemos aplicar la versión tensorial del teorema de la divergencia substituyendo el lado derecho de la ecuación que se lleva a cabo sobre un 4-volumen por la integral cerrada sobre la 4-superficie:

Este resultado que acabamos de obtener demuestra que el teorema de la divergencia también es aplicable hacia un espacio multi-dimensional como el espacio-tiempo curvo de la Relatividad General. La aplicación de la fórmula requiere del lado izquierdo de la ecuación el cálculo de la divergencia Fα;α(¡utilizando la derivada covariante!) sobre un 4-volumen (un volumen propio en el sentido utilizado en la Teoría de la Relatividad) y el cálculo del “flujo” sobre una 3-superficie (una superficie propia en el sentido utilizado en la Teoría de la Relatividad). ¿Qué interpretación geométrica (visual) podemos darle a un teorema que relaciona una “3superficie” con un “4-volumen”? Del mismo modo en el que una esfera tri-dimensional encierra un volumen acotado por la superficie de la esfera, una 3-esfera o hiperesfera encierra un 4-volumen, quedando definido de modo categórico el “interior” y el “exterior” de la hiperesfera. Así como la 2-esfera es la superficie bi-dimensional en el espacio tri-dimensional Euclideano (x,y,z) dada por la ecuación: x² + y² + z² = r² en donde r es el radio de la esfera, del mismo modo la 3-esfera es la superficie tri-dimensional en el 4-espacio Euclideano (x,y,z,w) dada por la ecuación: x² + y² + z² + w² = r² en donde r es el radio de la 3-esfera. Es importante recalcar que la 2-esfera del 3-espacio es incapaz de poder encerrar un 4-volumen finito en un 4-espacio en virtud de que con cuatro coordenadas disponibles en el 4-espacio, la ecuación de la 2-esfera: x² + y² + z² = r² se puede mantener como válida para un valor finito del radio r pese a que la cuarta coordenada (w) puede ser variada desde -∞ hasta +∞, aceptando volúmenes infinitos. Se requiere forzosamente de una (N-1)-superficie para poder encerrar un N-volumen. Pero la 3-esfera no es la única superficie que podemos definir geométricamente (o mejor dicho, matemáticamente) en un 4-espacio. Del mismo modo en el que un cubo-tridimensional encierra un volumen acotado por tres pares de caras que definen a la superficie total del cubo, un hipercubocuatri-dimensional encierra un 4-volumen acotado por cuatro pares de caras que definen a la 3-superficie de un hipercubo. Como no es posible dibujar en un pedazo de papel plano

(o en el monitor de una computadora) un hiper-cubo, nos conformaremos con dibujar una de las “caras” de una de las hipersupericies que encierran al 4-volumen. Lo haremos sobre un diagrama espacio-tiempo como corresponde a la perspectiva geométrica de la Teoría de la Relatividad en la que la “cuarta coordenada” es la coordenada del tiempo:

Las hipersuperficies de las que estamos hablando aquí son unas “superficies” muy curiosas, ya que están medidas no en metros cuadrados ni en centímetros cuadrados sino en metros cúbicos o en centímetros cúbicos. ¡Y el 4-volumen está medido no en metros cúbicos sino en metros cuárticos! En las coordenadas Cartesianas de un plano bi-dimensional, el elemento infinitesimal de área sobre el cual podemos llevar a cabo una integración está dado por: dA = dx dy Y en un espacio tri-dimensional, los elementos infinitesimales de superficie posibles en coordenadas Cartesianas sobre los cuales podemos llevar a cabo una integración son los siguientes:

dS = dx dy dS = dx dz dS = dy dz Hasta aquí estamos hablando de elementos infinitesimales de 2-superficie (se acostumbra usar también la palabra 2-especie para definir este concepto). En un espacio 4-dimensional, podemos definir también elementos infinitesimales de 2-superficie, siendo posibles seis en coordenadas generalizadas: dS = dx1 dx2 dS = dx1 dx3 dS = dx1 dx4 dS = dx2 dx3 dS = dx2 dx4 dS = dx3 dx4 Sin embargo, si de lo que estamos hablando es de elementos infinitesimales de 3-superficie, estos serán los siguientes en el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad (para mayor simplicidad, igualaremos la constante c de la velocidad de la luz a la unidad, con lo cual podemos escribir la coordenada temporal simplemente como dt en lugar de cdt): d3S = dx dy dz d3S = dt dy dz d3S = dx dt dz d3S = dx dy dt Hay pues cuatro pares de caras para definir las hipersuperficies del hipercubo. En el diagrama de arriba que muestra un 4-volumen acotado por cuatro hipersuperficies, se muestran dos caras de la hipersuperficie xyz (denotadas en el diagrama simplemente como hiper-superficie x1

e hiper-superficie x2 ante la imposibilidad de poder dibujar en el plano las otras dos coordenadas) en las cuales el triplete (x,y,z) permanece constante conforme variamos la coordenada t, y las dos caras de la hipersuperficie tyz (denotadas en el diagrama simplemente como hipersuperficie t1 e hiper-superficie t2 ante la imposibilidad de poder dibujar en el plano las otras dos coordenadas) en las cuales el triplete (t,y,z) permanece constante conforme variamos la coordenada x. Si tenemos un flujo cuatri-dimensional F = (Ft,Fx,Fy,Fz) atravesando un hipercubo como el mostrado parcialmente en el diagrama, entonces para el cálculo del total neto de dicho flujo que aparece en el lado derecho de la ecuación del teorema de la divergencia tensorial podemos definir vectores normales unitarios n perpendiculares a cada una de las hipersuperficies al igual que como se acostumbra hacerlo en el Análisis Vectorial. Para el diagrama de arriba, tendremos los siguientes vectores normales a cada una de las cuatro hipersuperficies:

Obsérvese que el vector unitario normal a la hiper-superficie t1 tiene un signo opuesto (negativo) al de la hiper-superficie t2 (positivo) en virtud de que esta normal “hacia afuera” del 4-volumen apunta “hacia atrás” en el tiempo. Y en lo que respecta al vector unitario normal a la hipersuperficie x1, este tiene signo negativo porque la hipersuperficie está orientada en dirección opuesta a la hiper-superficie x2. Para calcular el flujo neto a través del hipercubo mostrado, hay que calcular el flujo a través de los cuatro pares de hipersuperficies. En el caso del diagrama mostrado arriba, el cálculo involucra la

suma de las siguientes integrales (todas son integrales triples, pero se ha utilizado un solo símbolo para simplificar la notación; y del mismo modo se ha omitido la raíz cuadrada del determinante g en virtud de que siendo g un número la raíz cuadrada de dicho número también lo es y podemos sacarlo fuera de la integral):

Podemos definir otra hiper-región del 4-volumen acotada por la hiper-superficie y1 y la hipersuperficie y2 así como por la hiper-superficie z1 y la hiper-superficie z2 evaluando el flujo con la siguiente totalización de integrales:

Podemos juntar bajo un mismo proceso de integración el cálculo del flujo de un campo vectorial F a través de las hipersuperficies de dos caras opuestas del hipercubo de la manera siguiente:

En este caso, Ft(t2) es la componente de flujo del campo vectorial F que atraviesa la hiper-cara del hipercubo al salir fuera del 4-volumen en la misma dirección en la cual está orientada la cara, mientras que Ft(t1) es la componente de flujo del campo vectorial F que atraviesa la cara opuesta del hipercubo. Si el flujo neto (sumado) de ambas caras es cero, entonces hay tantas líneas de fuerza entrando como líneas de fuerza saliendo a través de dicho par de caras opuestas del hipercubo. Sumando todas las contribuciones de las caras opuestas del hipercubo, 4 pares de caras en total, obtenemos el flujo neto de líneas de fuerza a través del hipercubo como lo indica el lado derecho de la ecuación de arriba para el teorema de la divergencia en un espacio multi-dimensional:

Sólo nos falta un detalle por aclarar. Para que el teorema de la divergencia que acabamos de derivar extendido hacia un espacio 4-dimensional que puede ser curvo o plano sea creíble como enunciado tensorial, tenemos que demostrar que el elemento infinitesimal de 4-volumen que aparece en el lado izquierdo de la ecuación:

es una invariante, algo que no hemos hecho. Esto lo demostraremos con los siguientes dos problemas. PROBLEMA: Demostrar que

en donde g = det G, es un tensor relativo. Partiendo del tensor métrico g, los elementos gpq de dicho tensor a partir de los cuales se obtiene el determinante g de la representación matricial de los componentes de dicho tensor se transforman tensorialmente de acuerdo con la relación:

Tomando determinantes en ambos lados de la ecuación tenemos entonces:

en donde hemos aplicado como paso intermedio la bien conocida propiedad de los determinantes que nos dice que el determinante del producto de dos matrices cuadradas de igual tamaño A y B es igual al producto de los determinantes de cada matriz, o sea |AB| = |A||B|. Pero |∂xp/∂xj| es simplemente el Jacobiano J de la transformación. A manera de ejemplo, el Jacobiano J de las coordenadas rectangulares (x,y,z) con respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,φ) se acostumbra representarlo de modo más explícito de la siguiente manera:

Otra forma de representar el Jacobiano, en este caso usando coordenadas generalizadas para un espacio multi-dimensional, es la siguiente:

que representa en general:

De este modo, podemos regresar a la relación en la que estábamos trabajando escribiéndola de la siguiente manera: g=J·Jg g = J² g

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:

Esto nos demuestra que la raíz cuadrada del determinante g del tensor métrico g es un tensor relativo. En el caso en el cual el Jacobiano sea igual a la unidad, el tensor relativo será simplemente un tensor común y corriente sin una constante de “amplificación”. PROBLEMA: Demostrar que:

es una invariante. Empezaremos la demostración con la siguiente relación:

Usando el resultado del problema anterior, podemos escribir la relación de la siguiente manera:

El Jacobiano J para esta transformación escrito en forma abreviada será simplemente J = |∂x/∂x|:

Y en base a la bien conocida relación del cálculo multivariables:

Esto se simplifica a lo siguiente:

Con esto, lo que tenemos en el lado derecho es simplemente el elemento infinitesimal de volumen dV en un espacio N-dimensional. Se concluye que:

En palabras llanas, el elemento infinitesimal de volumen en el espacio N-dimensional en la forma en la que se ha definido arriba es una invariante. Siendo el elemento infinitesimal de volumen dV una invariante en el espacio N-dimensional, si Φ es también una invariante se concluye que:

Del mismo modo, repitiendo los mismos pasos, podemos obtener un enunciado similar para la invariancia de las superficies en el espacio N-dimensional, con lo cual el lado derecho de la ecuación del teorema de la divergencia para un espacio N-dimensional ya sea plano o curvo queda plenamente justificado desde el punto de vista tensorial. Así, la 4-divergencia de un campo tensorial V de orden uno que en un espacio multi-

dimensionalplano está definida bajo la siguiente fórmula general de contracción tensorial (obsérvese el uso de la coma que indica diferenciación parcial simple):

quedará ahora redefinida para espacio multi-dimensional curvo como (obsérvese el uso del semicolon en lugar de la coma que indica diferenciación covariante):

Hemos logrado redefinir exitosamente el concepto de la divergencia hacia un espacio multidimensional que puede ser plano o curvo, y en el camino hemos logrado extender también el teorema de la divergencia hacia estos espacios multi-dimensionales. Pero hasta ahora lo hemos hecho manejando únicamente campos tensoriales (vectoriales) expresados como tensores contravariantes de orden uno. Esto no nos será suficiente en el estudio de la Relatividad General. Téngase en cuenta que en la Teoría de la Relatividad debemos considerar que hemos pasado del 4-vector energía-momentum (un tensor de orden uno) al tensor contravariante de segundo orden energía-tensión T = (Tμν), de modo tal que en la Teoría de la Relatividad tenemos que extender el concepto de la divergencia de un tensor hacia un tensor de orden dos. ¿Es posible extender el concepto de la divergencia para que abarque tensores de orden general que inclusive puedan ser tensores mixtos? La respuesta a esta pregunta es afirmativa, y la definición matemática de divergencia para un tensor general mixto con respecto a su k-índice contravariante es la siguiente que involucra la operación tensorial de contracción mediante la igualación de índices:

Ha llegado el momento de que, en base a lo que hemos visto arriba, le echemos un vistazo al tensor energía-impulso (o tensor energía-tensión) que aparece en la ecuación tensorial fundamental de la Teoría General de la Relatividad.

En la Teoría Especial de la Relatividad, en un espacio-tiempo plano, seguimos utilizando derivadas parciales para la obtención de la divergencia de un tensor, y la divergencia del tensor T = (Tμν) se acostumbra escribirla de la manera siguiente: Tμν,ν utilizando la notación de la coma para denotar las derivadas parciales. Por otro lado, la divergencia del tensor T = (Tμν), extendida hacia el espacio-tiempo curvo de la Relatividad General, resulta ser: Tμν;ν utilizando la notación del semicolon para denotar la derivada covariante. Este es un ejemplo de la regla “la coma va hacia un semicolon”, bajo la cual si tenemos algún enunciado que es válido en un espacio-tiempo plano (en un marco inercial de referencia) propio de la Teoría Especial de la Relatividad, entonces para escribir el enunciado de modo tal que sea válido dentro de la Relatividad General reemplazamos la coma por un semicolon, y en vez de evaluar derivadas parciales evaluamosderivadas covariantes. El concepto de la divergencia del tensor energía-tensión T = (Tμν) juega un papel muy importante en todo lo que concierne a la Teoría de la Relatividad, porque expresa el principio de la conservación de la energía-momentum. Para la Teoría Especial de la Relatividad, esto se enuncia de la siguiente manera expresando la conservación local de la energía: Tμν, ν = 0 Y para la Relatividad General, el enunciado equivalente de la conservación local de la energíamomentum es: Tμν; ν = 0 Como puede verse, la diferencia entre ambas expresiones está en la coma y el semicolon. En el caso de la Teoría Especial de la Relatividad se aplica la diferenciación parcial ordinaria, mientras que en la Teoría General de la Relatividad se aplica la diferenciación covariante. La importancia del hecho de que la divergencia del tensor energía-tensión T = (Tμν) pueda ser utilizada para resumir el principio de la conservación local de la energía (o mejor dicho, el principio de la conservación local de la energía-momentum) ha llevado a un segmento apreciable de la

comunidad científica a considerar esto como “la tercera ley de la Relatividad General” (las otras dos siendo la ecuación tensorial básica y la ecuación geodésica). En el estudio del tensor de Riemann se descubre que en lo que respecta al tensor de curvatura de Einstein G, el cual expresa tensorialmente la curvatura del espacio-tiempo, la divergencia del tensor de Einstein es igual a cero en todos los puntos de una métrica Riemanniana cualquiera. Si tomamos como base la ecuación tensorial básica de la Relatividad General: G = 8πGT entonces al expresar dicha ecuación tensorial en notación de componentes: Gαβ = 8πGTαβ y al tomar la derivada covariante de la misma en ambos lados efectuando al mismo tiempo una operación de contracción con la igualación de índices para así obtener en el lado izquierdo la divergencia del tensor de Einstein G y obtener del lado derecho la divergencia del tensor energíatensión T: Gαβ ; β = 8πGTαβ ; β entonces si la divergencia del tensor de Einstein es cero la divergencia del tensor T necesariamente debe ser cero también. Esto significa que el hecho de que la divergencia del tensor de curvatura de Einstein sea cero automáticamente implica el principio de la conservación de la energía-momentum en la Teoría de la Relatividad, tanto la Especial como la General. Esto lo podemos expresar con una doble implicación lógica: Gαβ ; β = 0 ⇔ Tαβ ; β = 0

35. EL TENSOR ENERGÍA-TENSIÓN En la ecuación tensorial fundamental de la Relatividad General, el tensor T que aparece en el lado derecho de dicha ecuación: G = 8πGT conocido como el tensor energía-tensión, el tensor energía-impulso y también como tensor energía-momentum, es la extensión del concepto básico del 4-vector energía-momentum utilizado en el espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones de la Teoría Especial de la Relatividad, generalizado hacia un espacio-tiempo curvo. Antes de intentar dar un significado físico al tensor T cuatri-dimensional de la Relatividad General, empezaremos por dar una interpretación a un tensor en un espacio ordinario de tres dimensiones utilizado en los estudios de la teoría de la elasticidad, del cual parte precisamente el origen de la palabra tensión interpretada en el sentido usual de la mecánica clásica. Imaginemos por un momento que tenemos en nuestras manos un bloque cúbico hecho de hule, al cual le ponemos encima en su cara superior la palma de nuestra mano mientras que la cara inferior la dejamos reposar en contacto sobre la superficie de una mesa de madera con la cual haya suficiente fricción para que el bloque de hule permanezca en la misma posición al irse deformando conforme empezamos a aplicar una fuerza superficial lateral en la cara superior del bloque a la cual llamaremosσ, produciendo una tensión mecánica sobre la superficie del mismo capaz de deformar ligeramente al bloque en el sentido en el cual aplicamos la tensión. Conociendo el coeficiente de elasticidad del hule, podemos calcular sin problema alguno el grado de deformación del bloque de hule suponiendo que la cara inferior que está en contacto con la mesa permanece inmóvil. Si la cara superior del bloque de hule la identificamos con un sistema de coordenadas Cartesianas situando simétricamente una esquina de la cara superior del bloque de hule en el origen de dichas coordenadas, entonces podemos aplicarle la tensión en una dirección que coincida con el eje-x. Del mismo modo, podemos aplicarle la tensión en una dirección que coinicida con el eje-y. Pero si le aplicamos la tensión en una dirección que no coincida ni con el eje-x ni con el eje-z, entonces la tensión estará caracterizada por cuatro componentes posibles: σ xx, σxy, σyx, y σzz. Estos cuatro componentes pueden ser agrupados dentro de un solo símbolo que representa a los cuatro, un tensor covariante (o contravariante) de orden dos en un espacio de dos dimensiones, al cual por comodidad llamaremosσ. La situación se complica si además de aplicar una tensión mecánica a la cara superior del bloque de hule le aplicamos también una tensión mecánica hacia abajo, en la dirección de un tercer eje-z. En tal caso, tenemos una distribución más elaborada de tensiones como nos lo muestra la

siguiente figura:

En este caso, tenemos un total de nueve componentes, los cuales también pueden ser agrupados dentro de un solo símbolo que representa a los nueve componentes, un tensor covariante (o contravariante) de orden dos en un espacio de tres dimensiones. Si lo que estamos describiendo es un mismo y único fenómeno físico, entonces la deformación del bloque de hule que tenemos arriba debe ser exactamente la misma si imprimimos una rotación al sistema de coordenadas con el que estamos describiendo los componentes. Naturalmente, al girar el sistema de coordenadas, las componentes individuales van a cambiar, y si tenemos expresiones matemáticas en función de dichos componentes, también van a cambiar. Pero el símbolo σ bajo el cual agrupamos a dichos componentes sigue siendo el mismo. De este modo, si en coordenadas generalizadas -usando notación (x1, x2, x3)- tenemos la siguiente situación:

entonces tras imprimir una rotación al sistema de coordenadas tendremos algo como lo siguiente:

Ahora bien, puesto que el sistema de coordenadas indicado -coordenadas Cartesianas- es un sistema de coordenadas arbitrario, lo podemos reemplazar por otro siempre y cuando el fenómeno físico que está siendo descrito no cambie al cambiar el sistema de coordenadas. Naturalmente, para ciertos problemas habrá un sistema de coordenadas cuyo uso será mil veces preferible a los demás sistemas de coordenadas que podamos utilizar en virtud de la simplificación que podamos obtener en nuestros cálculos matemáticos bajo cierto sistema. De cualquier manera, lo que no cambiará notacionalmente en lo absoluto es el símbolo del tensor T bajo el cual se

agrupan los componentes. Un cierto tensor Tpodrá ser descompuesto en los componentes propios de un sistema de coordenadas rectangulares o en los componentes propios de un sistema de coordenadas esféricas, pero el tensor en sí no cambia en nada. Ahora veremos más a fondo lo que nos representa el tensor energía-tensión que aparece en la Relatividad General. En coordenadas generalizadas, las componentes de dicho tensor de orden dos para el cual utilizaremos aquí notación contravariante se acostumbran exhibir mediante una matriz como la siguiente:

Aunque un cuádruplo de coordenadas generalizadas lo podemos representar de la siguiente manera con los índices empezando desde uno: (x1, x2, x3, x4) en muchos textos se acostumbra comenzar la simbolización numérica indexal desde cero: (x0, x1, x2, x3) extendiéndose dicha representación al mismo tensor energía-tensión de modo tal que tenemos un componente como T00. Esto no debe representar problema alguno, y el contexto del trabajo científico o del libro de texto consultado debe ser suficiente para dejar en claro cuál es la convención seguida. Antes de continuar, es importante dejar una cosa en claro: El tensor de Einstein (simbolizado como G) y el tensor métrico g son dos cosas completamente distintas que no deben ser confundidas en ningún momento y bajo ninguna circunstancia. Es hasta cierto punto desafortunado el que para poder representar a la matriz que agrupa a los componentes del tensor métrico g se acostumbre usar con cierta frecuencia la misma letra G que

la que usamos para representar al tensor de curvatura de Einstein; y más desafortunado aún el que la misma letra se utilice para representar a la constante G de la gravitación universal. Para evitar ambigüedades, podríamos inventar nuevos símbolos, pero esto simplemente reemplazaría una confusión con otra al requerir el aprendizaje de símbolos venidos de otros alfabetos, razón por la cual nos apegaremos aquí al uso de los símbolos más tradicionales. Una característica fundamental que tomamos como dada es que los componentes del tensor energía-tensión T son simétricos, o sea T = (Tij) = (Tji) al igual que los componentes del tensor de curvatura de Einstein G que está al otro lado de la ecuación deben serlo consecuentemente. Si se desea, se puede llevar a cabo un interesante ejercicio matemático suponiendo que ni el tensor G (y por lo tanto tampoco el tensor T) son simétricos, pero esto complica enormemente las cosas y no resulta claro que una suposición así podría llevarnos a ninguna conclusión útil, de modo que nos aferraremos a la suposición esencial de la simetría en estos tensores a lo largo de esta obra. A primera vista, para quienes están acostumbrados a pensar en términos de la física clásica, deberá parecerles extraño que para poder describir a la densidad de la energía y el momentum vistos desde marcos de referencia distintos se requiera de un tensor de orden dos sin ser suficientes los vectores N-dimensionales, pero el tensor de orden dos resulta ser indispensable. Para describir la energía y el momentum relativistas de una sola partícula ciertamente nos basta un 4-vector. Pero para poder describir un gas de partículas, o para poder describir campos (como el campo electromagnético) necesitamos de un tensor de orden dos que nos pueda combinar la densidad de la energía (energía por unidad de volumen), el flujo de energía (o la densidad del momentum que en realidad vienen siendo lo mismo) y el flujo de momentum, algo que excede las capacidades de un simple vector. Considérese una caja en reposo de dimensiones Δx, Δy y Δz de volumen V = ΔxΔyΔz que encierra un total de N partículas:

Por una vieja costumbre cuyo origen se desconoce a ciencia cierta, dentro de la Relatividad General a esta colección de partículas flotando en estado de reposo dentro de la caja se ha dado por llamarlepolvo, aunque en realidad esta designación tiene poco que ver con eso que se acumula en los muebles. La densidad de partículas en dicha caja, el número de partículas por unidad de volumen que llamaremos n, será N/V. Ahora bien, la energía en reposo de cada partícula, de acuerdo con la Teoría Especial de la Relatividad, será m 0c². Habiendo un total de N partículas en la caja, la energía total contenida en dicha caja será Nm 0c². La densidad de energía en dicha caja que llamaremos ρ será igual a la energía total dividida entre el volumen de la caja: ρ = Nm0c²/V = nm0c² Pongamos ahora a la caja en movimiento a lo largo de la dirección del eje-x con una velocidad V. Por los efectos de la contracción relativista de longitud:

Δx se reducirá a Δx' por un factor de √1 - V²/c², entanto que las longitudes perpendiculares a la dirección del movimiento permanecerán iguales. Esto significa que el número de partículas por unidad de volumen ahora será: n/√1 - V²/c² Pero la densidad de partículas no es lo único que cambia al ponerse la caja en movimiento. La energía en reposo de cada partícula aumenta en un factor de 1/√1 - V²/c². Consecuentemente, la densidad de energía de la caja para un observador que ve a la caja en movimiento aumenta no en un factor de 1/√1 - V²/c² sino en dos factores de dicha cantidad, resultando en un factor combinado de aumento:

Siendo el factor de aumento en la densidad de energía no 1/√1 - V²/c² sino: 1/(1 - V²/c²) podemos ver que nos será imposible representar a la densidad de energía simplemente como un vector (un tensor de orden uno) como lo habíamos estado haciendo al estar haciendo cambios de un marco de referencia a otro. De hecho la densidad de energía resulta ser el principal componente de un tensor de orden dos, precisamente el tensor energía-tensión. En términos algo crudos, podemos visualizar al tensor energía-tensión como algo que nos describe el flujo de la energía-momentum en el espacio-tiempo ya sea plano o curvo. Es importante aclarar aquí otro punto de confusión considerable entre los principiantes: la energíatensión T (un tensor de orden dos) y la energía-momentum (un vector, el cual a su vez es un tensor de orden uno) son dos cosas completamente diferentes. La energía-tensión es un objeto de orden mayor (un tensor de orden dos) construído conceptualmente a partir del vector energíamomentum (un tensor de orden uno). Existen varias interpretaciones matemáticas que se le pueden dar al tensor energía-tensión. Una de ellas nos dice que el tensor energía-tensión es algo que llamamos un mapa bi-linear de una representación vectorial de un elemento de 4-volumen a la representación vectorial del 4-vector energía-momentum contenido dentro de dicho elemento de 4-volumen. Otra de ellas radica en un álgebra conocida como álgebra Clifford (conocida también como álgebra geométrica) desarrollada por William K. Clifford que nos demuestra que la forma correcta de representar a un volumen es como un vector, aunque esto tal vez parezca extraño a quienes están acostumbrados a pensar que algo que se mide en litros o en metros cúbicos se le pueda asignar una dirección. Pero esto no debe parecernos tan extraño si recordamos que al hablar acerca del flujo de un campo de vectores (campo vectorial) a través de una superficie también nos ha sido posible representar a una porción de superficie dA como un vector ndA mediante un vector normal (perpendicular) n trazado en cada punto de dicha superficie. Esto no es lo único extraño de las álgebras Clifford. Otra característica de tales álgebras es que en ellas es posible sumar cantidades escalares (las cuales no tienen dirección ni sentido) a cantidades vectoriales, de modo tal que no es inusual encontrar en dichas álgebras operaciones tales como: C=e+V en donde e es un escalar y V es un vector. Hay quienes encuentran esto demasiado incómodo y comparan la suma de escalares y vectores como el llevar a cabo una suma de manzanas y naranjas pese a que esto ocurre todo el tiempo cuando preparamos una ensalada de frutas. Las álgebras

Clifford eventualmente nos llevan a lo que llamamos el cálculo exterior en el cual encontramos definido el producto cuña Λ (wedge product) que entre sus características tiene la propiedad de que la “suma” de dos vectores no es conmutativa porque el orden en el cual se toma la suma (simbolizada como uΛv) nos dá el sentido de la rotación que podemos asignar a dicha operación:

La ruta de análisis basada en las álgebras Clifford en la que hablamos de vectores, bivectores y trivectores es precisamente la ruta de ataque que siguen Charles Misner, Kip Thorne y John Archibald Wheeler en su venerable y voluminoso libro Gravitation, pero seguir esta ruta nos sacaría fuera del ámbito del cálculo tensorial en el que hemos estado trabajando, razón por la cual omitiremos adentrarnos en este tema. Las álgebras Clifford y el cálculo exterior son útiles para darnos un poco más de comprensión en el tema que estamos tratando, pero no son absolutamente indispensables. Einstein pudo obtener y desarrollar sus ecuaciones de campo manteniéndose por completo dentro del ámbito del cálculo tensorial, y aquí podemos hacer lo mismo. Lo primero que haremos será “construír” un tensor de curvatura de Einstein G. Podemos hacerlo recurriendo a las coordenadas Cartesianas rectangulares que utilizamos en la Teoría Especial de la Relatividad para denotar las coordenadas de un objeto en un marco de referencia 4-dimensional: (ct, x, y, z) Pero siendo los tensores objetos matemáticos que permanecen invariantes al pasar de un sistema de coordenadas a otro, podemos darnos el lujo de unir la coordenada temporal con el sistema de coordenadas esféricas para así especificar los cuatro componentes de un 4-espacio de la manera siguiente: (t, r, θ, φ) A continuación, acomodaremos estos cuatro componentes en un renglón a un lado de los mismos cuatro componentes acomodados formando una columna, como si fuésemos a construír una tabla con ambos:

Con este “esqueleto” procedemos a escribir adentro del espacio vacío uno a uno los componentes del tensor de curvatura de Einstein. Podemos escribirlos como los componentes de un tensor covariante de orden dos, los componentes de un tensor mixto, o los componentes de un tensor contravariante de orden dos, todo es cuestión de gustos que al fin y al cabo podemos “subir” y “bajar” los índices a nuestro antojo con la ayuda del tensor métrico g. Lo haremos aquí representándolos como los componentes contravariantes de un tensor de orden dos:

Esto automáticamente nos fija la manera en la cual tenemos que escribir los componentes del tensor energía-tensión T, también como componentes de un tensor contravariante de orden dos, dada la igualdad tensorial: G = 8πGT que nos lleva a:

Como podemos ver, la representación matricial de los componentes del tensor energíatensión T no parece darnos mucha información sobre la naturaleza de los mismos. La interpretación de su significado físico se antoja un reto. Pero ello se debe a que no hemos considerado al 4-vector energía-momentum como el verdadero punto de partida para obtener una interpretación física. Recordemos cómo el 4-vector energía-momentum: (E/c, p) = (E/c, p1, p2, p3) en cierta forma deriva del 4-vector de coordenadas del espacio-tiempo Lorentziano al obtener primero de éste el 4-vector velocidad y posteriormente el 4-momentum con la inclusión de la masa en reposo m0. Podemos establecer una correspondencia entre la representación matricial dada arriba para T y una “tabla” que consta de cuatro renglones y cuatro columnas en la cual acomodamos como tabulador horizontal a los componentes del 4-vector posición y en la cual acomodamos como tabulador vertical a los componentes del 4-vector energía-momentum:

Para los componentes del tensor energía-tensión T cuyo significado físico se dará a continuación, se acostumbra utilizar como guía la siguiente definición general: Tab = _____________________________________ flujo de momentum a atravesando una superficie de b constante Y al hablar aquí del momentum estamos hablando de 4-momentum. Es importante tener presente que en el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad tenemos no tres sinocuatro superficies que en un sistema de coordenadas Cartesianas (rectangulares) podemos identificar de la siguiente manera: (1) una superficie de t = constante (la que corresponde a la coordenada “cero” o la coordenada temporal), (2) una superficie de x = constante, (3) una superficie de y = constante, (4) una superficie de z = constante. Al hablar acerca de un flujo de energía-momentum a través de una superficie como la superficie x en realidad estamos hablando acerca de un flujo a través de todas las superficies de x = constante. A continuación tenemos una representación esquemática de un flujo de energía-momentum a través de tres de los cuatro tipos de superficie:

En sentido vertical, de abajo hacia arriba, tenemos un flujo de energía-momentum a través de varias superficies de t = constante (la primera superficie podría representar un tiempo de 1 segundo, la segunda superficie podría representar un tiempo de 2 segundos, y así sucesivamente). No es necesario que algo se esté moviendo de un lado a otro para que ocurra este flujo, puesto que basta con que una partícula u objeto esté en reposo absoluto para que el reloj que marca el tiempo siga avanzando. La partícula “avanza” en el tiempo. Pero en el sentido del eje-x, la partícula u objeto ciertamente está cambiando de posición continuamente, pasando de

una hipersuperficie plana x a otra. Aquí si hay “movimiento”, aquí si hay un “flujo” observable con nuestros sentidos. Lo mismo se puede decir acerca de un flujo que ocurre a lo largo del eje-y atravesando los planos de y = constante. Y lo mismo puede decirse acerca de un flujo que ocurre a lo largo del eje-z atravesando los planos de z= constante, aunque no haya sido posible ya representarlo dentro de la figura de arriba. El primer componente que identificaremos dentro del tensor energía-tensión T arreglado con sus componentes identificadores en forma de “tabla” -en los cuales hemos puesto en el tabuladorhorizontal a los componentes del 4-vector posición y en la cual hemos puesto en el tabulador verticala los componentes del 4-vector energía-momentum- es el que está situado en la esquina superior izquierda, de color amarillo, identificado como el componente T00 en muchos libros de texto. Este es un componente extremadamente importante del tensor energía-tensión T. Este componente puede leerse directamente como el 0-momentum (masa relativista, que es a su vez energía) de un fluído que está fluyendo no en alguna dirección en particular sino fluyendo en el 0-espacio (el tiempo) como ocurre con un observador que está en reposo en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski. Este, por lo tanto y sin lugar a dudas, es el componente que nos suministra la densidad de la masa relativista (el equivalente energético de la masa dividido entre el cuadrado de la velocidad de la luz en conformidad con la relación E = mc²) simbolizada como ρ, y en un marco de referencia estático nos representa la cantidad total de masa-energía sumada al combinado total de todos los demás tipos de energía (electromagnética, calorífica, energía de rotación, etc.). Si todo lo que tenemos en el marco de referencia para el cual se está especificando el tensor energía-tensión T es un cuerpo o una colección de partículas (polvo) en absoluto reposo, entonces el componente T00 será la única entrada en el tensor; todos los demás componentes serán iguales a cero. Sin embargo, si ponemos dicho cuerpo o dicha colección de partículas en movimiento en cierta dirección, entonces habrá una transferencia o flujo de masa-energía de un lugar a otro. Pero es importante tener en cuenta que dicho “movimiento” no se llevará a cabo simplemente a una velocidad ordinaria V en tres dimensiones, sino que se llevará a cabo a una 4-velocidad relativista que el tensor energía-tensión de orden dos debe estar preparado para manejar. Esto nos lleva al verdadero punto de origen del tensor energía-tensión T. Del mismo modo en que el 4momentum Punifica los conceptos clásicamente dispares de la energía y el momentum por medio del 4-vector velocidad U: P = m0U no debe sorprendernos que el equivalente requerido para la Relatividad General se base en la extensión directa de este concepto generalizándolo con el producto tensorial directo del 4-vector velocidad U consigo mismo, reemplazándose a la masa en reposo (que es también el equivalente a una energía en reposo en base a la relación E = m0c²) con la densidad de la masa del conjunto de

partículas “flotantes” que constituyen el “polvo”: T=ρU⊗U Es recomendable tomarse un poco de tiempo para comparar ambas expresiones antes de seguir adelante. En un sistema arbitrario de coordenadas xμ en el cual la 4-velocidad del polvo es U = (Uμ), una vez identificada la densidad de energía (energía por unidad de volumen) del polvo como ρ entonces todas las componentes contravariantes posibles del tensor T estarán dadas en notación de componentes por: Tμν = ρ Uμ Uν Es momento de recordar la definición básica de la 4-velocidad, la cual es: U = (U0, U1, U2, U3) = (γc, γv1, γv2, γv3) Con esta definición, podemos escribir la definición dimensionalmente correcta del componente T00: T00 = ρ U0U0 = ρ (γc)(γc) = γ²c²ρ Dimensionalmente hablando, esta relación explica el por qué dividiendoT00 entre c² nos proporciona una densidad de masa (el factor gamma es adimensional). Habiendo identificado el significado físico de T00, ahora para mayor comprensión haremos aquí un cambio de coordenadas y utilizaremos las coordenadas Cartesianas rectangulares en lugar de las coordenadas esféricas con las que comenzamos arriba, con lo cual los componentes del tensor energía-tensión T que vamos a identificar quedan destacados de la siguiente manera:

Esto significa que haremos: (E/c, p) = (E/c, p1, p2, p3) = (E/c, px, py, pz) Hecho este ligero cambio y en base a la definición general que se ha dado arriba procederemos a identificar a los componentes T0j, para j ≠ 0, los cuales son: T0j = ρ U0U j = ρ (γc)(γvj) = γ²cρv j Dimensionalmente hablando, esto nos dice que T0j es el flujo de masa relativista (energía) en la dirección hacia la cual apunta la velocidad v j. Es así que tenemos a T01 (de color ciano) como el flujo de masa (energía) a través de la superficie 1 (la superficie perpendicular al eje-x). Obsérvese que al no ser ambos índices del tensor energía-tensión iguales a la componente temporal como ocurre con T00 = Ttt, queda liberado uno de los índices para poner las cosas en movimiento, la situación que antes era estática se vuelve dinámica. Pero en coordenadas Cartesianas tenemos otras dos coordenadas, de modo tal que podemos identificar al siguiente componente (también de color ciano), el componente T02, como el flujo de masa (energía) a través de la superficie 2, (la superficie perpendicular al eje-y), y podemos identificar al siguiente componente (también de color ciano), el componente T03 como el flujo de masa (energía) a través de la superficie 3 (la superficie perpendicular al eje-z). ¿Cambiarían en algo estas últimas definiciones si en lugar de coordenadas Cartesianas hubiéramos utilizado coordenadas esféricas? En nada, ya que en coordenadas esféricas si especificamos algo como la fijación de uno de los ángulos a un valor determinado estamos anclando una coordenada angular dejando libres las otras dos coordenadas (la coordenada radial y la otra coordenada angular), justo lo que necesitamos para definir una superficie en coordenadas curvilíneas, de modo tal que aquí también tendríamos un flujo de masa (energía) a través de una 2-superficie:

En general, si utilizamos coordenadas generalizadas, podemos identificar a T0i como el flujo de masa (energía) a través de la superficie xi (la cual puede ser x1, x2 o x3). Por último, tenemos que para i ≠ 0 y j ≠0: Tij = ρUiU j = ρ (γvi)(γvj) = γ²ρvivj Esto lo podemos interpretar como el i-momentum fluyendo en la j-dirección por unidad de área por unidad de tiempo atravesando la superficie de j = constante. PROBLEMA: Demostrar que los componentes Tij = ρUiU j = ρ (γvi)(γvj) = γ²ρvivj para i ≠ 0 y j ≠0 del tensor energía-tensión T se pueden interpretar como un flujo de i-momentum fluyendo por unidad de área por unidad de tiempo a través de una superficie-j.

Los pasos para llegar a esta interpretación se detallan a continuación:

En el primer paso, simplemente multiplicamos y dividimos por un elemento infinitesimal de tiempo dty un elemento infinitesimal de la superficie dAj que está siendo atravesada por la masa (energía) en movimiento. En el segundo paso, el producto de vj y dt nos dá la distancia infinitesimal recorrida en ese tiempo dt por la masa en movimiento, distancia que multiplicada por dAj nos dá el elemento infinitesimal de volumen dV:

La densidad de masa ρ la podemos tomar como un elemento infinitesimal de masa

propia dm0dividida entre un elemento infinitesimal de volumen dV. En el tercer paso, agrupamos bajo un mismo paréntesis al elemento infinitesimal de masa propia dm0 y a la velocidad vj formando de este modo el elemento infinitesimal de momentum dPi. Lo que tenemos a fin de cuentas es un flujo de i-momentum fluyendo a través de la superficie-j. De este modo, podemos identificar al primer componente diagonal de color café ubicado en T11 como el 1-momentum fluyendo en la 1-dirección por unidad de área por unidad de tiempo. El flujo de momentum por unidad de tiempo equivale clásicamente a una fuerza F = d(mv)/dt que está siendo ejercida por dicho momentum sobre la hipersuperficie 1 = constante. Y siendo ésta una fuerza por unidad de área, lo cual es ni más ni menos que la presión ejercida por el “polvo”, se trata precisamente de la presión que está ejerciendo el polvo sobre una superficie perpendicular a la dirección 1 a lo largo de la cual está fluyendo el polvo (que en este caso tomamos como el ejex):

Del mismo modo, identificamos al segundo componente diagonal de color café ubicado en T22 como el2-momentum fluyendo en la 2-dirección por unidad de tiempo por unidad de área, lo cual podemos interpretar también como la presión que ejerce el polvo sobre una superficie perpendicular a la dirección 2 a lo largo de la cual está fluyendo el polvo (que en este caso podemos tomar como la superficie perpendicular al eje-y). Y finalmente, identificamos al tercer componente diagonal de color café ubicado en T33 como el 3-momentum fluyendo en la 3dirección, lo cual podemos interpretar también como la presión que ejerce el polvo sobre una superficie perpendicular a la dirección 3 a lo largo de la cual está fluyendo el polvo (que en este caso podemos tomar como la superficie perpendicular al eje-z).

Veamos ahora los componentes del tensor energía-tensión T = (Tij) que corresponden a los bloques de color verde, los componentes “cruzados”. Un término como T 12 vendría siendo la transferencia de 1-momentum en la 2-dirección. ¿Pero cómo puede ser esto posible? se preguntarán quizá algunos. ¿Cómo es posible que algo que está fluyendo única y exclusivamente en la dirección del eje-x transfiera algún efecto a una coordenada que le es perpendicular? Una transferencia de este tipo de una coordenada a otra sólo puede llevarse a cabo a través de algún tipo de fricción o de viscosidad en el fluído, precisamente el tipo de fenómeno que dió origen a la creación del concepto matemático del tensor. De allí provienen precisamente las designaciones para los componentes como σxy y σyz del tensor que nos describe las tensiones mecánicas en el bloque de hule descrito arriba. De no ser por este tipo de transferencias “cruzadas” de una coordenada a otra, no necesitaríamos de los tensores. En cuanto a los componentes del tensor energía-tensión T = (Tij) con j = 0 que corresponden a los bloques de color rojo, el componente T10 es identificado como el flujo de 1-momentum a través de una superficie de t = constante, lo cual viene siendo la densidad del momentum a lo largo de la dirección 1. Obsérvese que hay una diferencia muy sutil en la interpretación física que se ha dado arriba para T01 (el flujo de la componente de masa-energía del 4-vector energía-momentum a través de la superficie 1) y la definición que se está dando aquí para T10. Esto, desde luego, puede causar consternación después de haberse afirmado que el tensor energía-tensión es simétrico, lo cual implica necesariamente que T01 = T10. ¿Seguimos hablando de lo mismo o estamos hablando de dos cosas diferentes? En las aplicaciones prácticas que se han dado hasta la fecha del tensor energía-tensión T, no se han encontrado aún circunstancias en las cuales Tij ≠ Tji para i ≠ j ni se han concebido ejemplos en los cuales ocurra tal anomalía. Sin embargo, esto podría muy bien cambiar con el advenimiento de una Teoría Cuántica de la Gravedad, y tendría la repercusión inmediata de que los componentes del tensor de Einstein G tampoco serían simétricos. De hecho, hay miembros respetables de la comunidad científica que han estado investigando activamente esta posibilidad, aunque aún no nos es posible “ver” claramente cómo ensamblar las piezas de este rompecabezas que eludió al mismo Einstein. Además del término de polvo que usamos arriba para describir a una colección de partículas en reposo, en la Relatividad General manejamos también el término de fluído como “algo que fluye” sin impedimento mecánico alguno, sin fuerzas de fricción internas entre sus sub-elementos adyacentes de volumen que obstaculicen el movimiento del fluído en general. Específicamente, estamos hablando de un fluído perfecto, aquél en el cual no hay rozamientos o viscosidades o fricciones internas ni transferencias de calor, aquél para el cual todos los términos espaciales Tij del tensor energía-tensiónT en que i ≠ j son iguales a cero. El fluído perfecto es la generalización del concepto del gas ideal usado en la termodinámica. Para un fluído perfecto, si no hay transferencias de calor, en el marco de referencia comóvil (el marco de referencia en el cual el fluído está instantáneamente en reposo) los componentes T0i = Ti0 del tensor energía-tensión T tendrán un valor de cero, ya que la energía puede fluír de un lado a

otro únicamente si las partículas pueden fluír también. Y en lo que respecta a la ausencia de viscosidad, esto significa que las fuerzas deben ser siempre perpendiculares a la superficie, lo cual implica que todos los términos espaciales Tij del tensor energía-tensión T en que i ≠ j deben ser iguales a cero, lo cual implica a la vez que T en su representación matricial debe ser una matriz diagonal. Y puesto que la ausencia de viscosidad es algo que debe ser independiente de los ejes espaciales de las coordenadas, la matriz debe seguir siendo diagonal para todos los marcos de referencia comóviles del fluído. La única matriz que puede permanecer diagonal en todos los marcos de referencia debe ser un múltiplo de la matriz identidad, y por lo tanto todos sus términos diagonalesdeben ser iguales. La superficie-x sólo tendrá sobre ella una fuerza que viene del eje-x, y lo mismo se puede decir para las otras dos superficies. Estas fuerzas por unidad de área que deben ser todas iguales en un fluído perfecto es lo que llamamos la presión. De este modo, tenemos que para las componentes espaciales del tensor T se debe tener Tij = pδij en donde p es la presión y δ ij es el tensor delta Kronecker. Y así, de acuerdo con lo que hemos visto, un fluído perfecto (visto desde un marco de referencia en reposo, sin fricción alguna, bajo una métrica Lorentziana) tendrá el siguiente tensor energíatensión (se ha dado aquí a la velocidad de la luz cuyo cuadrado divide a las componentes p el valor de uno con el fin de simplificar la escritura de la matriz):

en donde ρ es la densidad de masa (energía) del fluído (el componente T00 en este caso) en kilogramos por metro cúbico y p es la presión ejercida por el fluído en la dirección especificada (los componentes T11, T22 y T33) en newtons por metro cuadrado. No es difícil verificar que si el fluído está en movimiento a una 4-velocidad U = (Uμ) en donde Uμ = dxμ/dτ con respecto a otro marco de referencia, los componentes del tensor energía-tensión se pueden escribir tensorialmente en notación de componentes de la siguiente manera: Tab = (ρ + p/c²) UaUb + p gab siendo g = (gab) el tensor métrico del espacio-tiempo que estamos considerando como Lorentziano bajo la métrica:

g00 = - c²____g11 = g22 = g33 = 1 gij = 0____para i ≠ j A modo de ejemplo, en un marco de referencia comóvil, el único componente de la 4-velocidad que no es cero es el componente temporal, con lo cual U0U0 = (1)(1) = 1 y para a= b= 0 tenemos: T00 = (ρ + p/c²) U0U0 + p g00 = ρ En notación tensorial más compacta, la fórmula se puede escribir de la siguiente manera: T = (ρ + p/c²) U⊗U + g-1 Un fluído con términos de viscosidad o elementos anómalos agregaría términos “cruzados” a la fórmula, lo cual no es deseable a menos de que haya una buena razón para ello. Hemos escogido representar aquí a los componentes del tensor energía-tensión T como los componentes de un tensor contravariante de orden dos, pero igualmente podríamos haber escogido una representación covariante T = (Tab) para los mismos, estamos en completa libertad de hacerlo siempre y cuando en las operaciones tensoriales acomodemos los índices de modo tal que las operaciones tensoriales (tales como la contracción ocasionada por los índices repetidos de acuerdo a la convención de sumación y la derivada covariante de algún tensor o tensores) se sigan llevando a cabo como se deben llevar a cabo. Así, lo que aquí menos llamado T00 en otros libros y publicaciones será llamado T00 o inclusive T11 si se escoge numerar los índices de las coordenadas generalizadas a partir de uno en lugar de a partir de cero, porque en la Teoría de la Relatividad todo es relativo, inclusive ésto. PROBLEMA: ¿Cuál será la representación del tensor relativista energía-tensión a escala astronómica para un fluído no relativista como una nebulosa o una estrella de secuencia principal? En un fluido no relativista como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energía-tensión son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento T00 que corresponde a la densidad de masa-energía y que es el único que contribuye sensiblemente a la atracción gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Naturalmente, si queremos medir la contracción de volumen producida por la masa-energía presente en una determinada región, tenemos que aplicar las ecuaciones de campo dadas por la fórmula tensorial fundamental de la Relatividad General. PROBLEMA: Demuéstrese que si el tensor energía-tensión T representa la energía-momentum de

un fluído perfecto, entonces dicho tensor puede ser utilizado para expresar la ley de la conservación de la energía y el momentum. (No es necesario recurrir a la derivada covariante para resolver este problema). Considérese el siguiente corte seccional de un elemento cúbico de lados L del fluído a lo largo del plano-z (estamos considerando únicamente a los componentes espaciales del tensor):

Supondremos que el flujo de energía se puede llevar a cabo a través de cualquiera de los lados del cubo. Tómese por ejemplo la cara d del cubo, de color azul. La razón del flujo de energía a través del área L² dicha cara es: L²T0x (en x = 0) Del mismo modo, la razón del flujo de energía a través del área L² de la cara opuesta del cubo, la carab, debe ser: - L²T0x (en x = L) Este término tiene un signo negativo puesto que representa energía fluyendo fuera del volumen

del cubo, mientras que el término anterior tiene un signo positivo puesto que representa energía fluyendo hacia adentro del volumen del cubo. El flujo neto de energía en el sentido del eje-x será igual a la suma de los dos términos anteriores, o sea: L²T0x (en x = 0) - L²T0x (en x = L) Esto a su vez debe ser igual a la contribución a lo largo del eje-x a la razón de aumento (o disminución) de energía en el interior del cubo, o sea: ∂(L3T00)/∂t Del mismo modo, para la cara a del cubo, de color rojo, la razón del flujo de energía a través del área L² dicha cara es: L²T0y (en y = 0) y la razón del flujo de energía a través del área L² de la cara opuesta, la cara c, debe ser: - L²T0y (en y = L) Enunciados similares aplican al flujo de energía en las caras del cubo situadas en el plano-z. Sumando todas las contribuciones de flujo de energía al interior del volumen del cubo que aumentarán (o disminuirán) la densidad de energía del cubo, tenemos: ∂(L3T00)/∂t = _____________ L²T0x (en x = 0) - L²T0x (en x = L) + L²T0y (en y = 0) - L²T0y (en y = L) + L²T0z (en z = 0) - L²T0z (en z = L) A continuación, podemos dividir todo entre L3 y tomar el límite L → 0. Al hacer esto, podemos aplicar la definición de la derivada ordinaria (¡no es necesaria aquí la derivada covariante puesto

que estamos trabajando en el marco de referencia comóvil!):

Con esto, la expresión se nos reduce a:

Podemos escribir esto de una manera más compacta usando la notación de la coma y pasando todo del lado izquierdo: T00,0 + T0x,x + T0y,y + T0z,z = 0 Añlicando la convención de sumación para índices repetidos, esto se reduce a: T0j, j = 0 Esta es precisamente la ley de la conservación de la energía. Del mismo modo, repitiendo los mismos pasos, encontramos que el momentum también debe ser conservado. La única diferencia es que el índice 0 debe ser cambiado a cualquier coordenada espacial que corresponda al componente del momentum que debe ser conservado. La ley general para la conservación de la energía-momentum del tensor energía-tensión T debe ser por lo tanto: Tαβ, β = 0

Esto que acabamos de derivar es válido para un espacio-tiempo plano, Lorentziano, o sea en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad. Si queremos que el resultado sea válido para un espacio-tiempo curvo, o sea en el ámbito de la Relatividad General, la coma debe ser reemplazada por un semicolon, lo cual significa que la diferenciación ordinaria debe ser reemplazada por una diferenciación covariante. PROBLEMA: Usando la relación Tαβ, β = 0, demuéstrese que para un sistema acotado en el cual T= (Tαβ) = 0 afuera de cierta región acotada de espacio:

Sobreentendiéndose que la integral es una integral triple llevada a cabo sobre un 3-volumen, usaremos a nuestro favor la simetría del tensor métrico, con lo cual T 0α, α = Tα0, α y:

Se ha utilizado en el último paso la identidad Tαβ, β = 0 haciendo β = 0. Algo que resulta ser de extrema utilidad al estar manejando tensorialmente asuntos que tienen que ver con la conservación de ciertos parámetros físicos es el hecho de que el teorema de Gauss, extendido al 4-espacio relativista, nos permite convertir leyes diferenciales (que involucran derivadas) de conservación en leyes integrales de conservación. Con el fin de dejar esto aclarado, utilizaremos como referencia el 4-vector posición relativista definido de la siguiente manera (con los índices corriendo de 1 a 4 en vez de correr de 0 a 3):

(x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z) y desarrollaremos unos resultados trabajando primero sobre un 4-vector general T = (Tμ), el cual puede representar cualquier cantidad, y tras esto sobre un 4-tensor de orden dos Q = (Qμν) que extiende de modo natural el resultado obtenido para el 4-vector T. PROBLEMA: Demostrar que si un 4-vector T = (Tμ) satisface la relación:

o bien:

y si los componentes de Tμ son diferentes de cero en una región espacial finita, entonces la integral sobre un 3-espacio (tomando dentro del integrando a la primera componente -la componente temporal- del vector T):

es una invariante. La demostración de este teorema requiere el empleo del teorema de Gauss generalizado hacia un 4-espacio, en donde una integral de volumen es equivalente a una integral llevada a cabo sobre una superficie que encierra a dicho volumen:

siendo dSμ un elemento infinitesimal de una 3-superficie que encierra un 4-volumen, con lo cual la integral puesta en el lado izquierdo de esta fórmula es una integral cuádruple mientras que la integral en el lado derecho de la fórmula es una integral triple que se debe llevar a cabo sobre una 3-superficiecerrada. A continuación tenemos una “rebanada” del 4-volumen sobre el cual se deben llevar a cabo las integraciones (hay otros dos diagramas espacio-tiempo que se pueden construír para x2 y x3):

En este diagrama espacio-tiempo de Minkowski en el cual los ejes verticales son los ejes temporales, las hipersuperficies A y C son seleccionadas de modo tal que los componentes (espaciales) de Tμ se desvanecen en A y en C (obsérvese que las normales a las superficies A y C son perpendiculares al eje temporal x1). Esto siempre es posible porque se supone que la región sobre la cual los componentes de Tμ son diferentes de cero es de extensión finita. La superficie B es seleccionada de modo tal que sea perpendicular al eje-x1 (obsérvese que la normal dS1 es paralela a x1) mientras que la superficie D es seleccionada de modo tal que sea normal (perpendicular) al eje-x1 (aunque no lo parece, esto debe ser obvio tomando en cuenta la forma en la cual se construyen los diagramas de Minkowski para el sistema de referencia S’ que se supone en movimiento). Aquí los xμ y los xμ son coordenadas en dos marcos de referencia inerciales (Lorentzianos) arbitrarios. Haciendo uso del hecho de que TμdSμ es un escalar (teniendo por lo tanto el mismo valor en todos los marcos inerciales de referencia), el lado derecho del teorema de

Gauss como está enunciado arriba nos permite afirmar que: ∫∫∫T1 dS1 + ∫∫∫ T1 dS1 = 0

∫∫∫T1 dS1 = - ∫∫∫ T1 dS1 y puesto que: dS1 = - d3x___dS1 = d3x ___(con signos diferentes, véase el diagrama de arriba) se deduce entonces que: ∫∫∫T1 d3x = ∫∫∫ T1 d3x y por lo tanto ∫∫∫T1 d3x es una invariante. El argumento utilizado para llevar a cabo esta demostración también nos sirve para confirmar que la integral I es una constante en el tiempo; sólo basta considerar el límite en el que ambos marcos inerciales de referencia son idénticos (S = S’) de modo tal que x1 coincida con x1 y x2 coincida con x2. Ahora generalizaremos el resultado anterior de un vector a un tensor de orden dos. Supóngase que tenemos un 4-tensor de orden dos Q = (Qμν) que satisface la condición:

Sea también A = (Aμ) un 4-vector cuyos coeficientes no varían con respecto a su posición en el espacio-tiempo (tomémoslos como meras constantes numéricas). Entonces AQ = AνQμν = (Tμ)

= Tdebe satisfacer la relación:

y por lo tanto:

debe ser una invariante por el resultado que obtuvimos en el problema anterior. Sin embargo, recurriendo a la convención de sumación para índices repetidos, podemos escribir: I = A μ Bμ en donde:

Se sigue entonces de la ley del cociente para tensores (la cual nos dice que si B es un tensor cualquiera y si el producto XB nos produce otro tensor C, o sea XB = C, entonces la cantidad X es también un tensor) que si AμBμ es una invariante para un Aμ arbitrario (recuérdese que lo hemos definido como un 4-vector cuyas componentes no varían con respecto a su posición en el espaciotiempo, siendo meras constantes numéricas), entonces Bμ se debe de transformar como un 4vector (constante en el tiempo). En pocas palabras: ∫∫∫Qμ d3x es una invariante. Los dos resultados que hemos obtenido, tanto para un 4-vector como para un 4-tensor de orden dos, son los que nos permiten convertir leyes diferenciales de conservación en leyes integrales de conservación.

Un ejemplo de la aplicación de lo que hemos obtenido consiste en demostrar que a partir de la ley de la conservación para la carga eléctrica, ∂μJμ = 0, se encuentra que la carga total contenida en cierta región es a la vez constante en el tiempo e invariante para todos los marcos de referencia. PROBLEMA: Demostrar que la ley de la conservación de la carga eléctrica, escrita en forma diferencial: ∂μJμ = 0 implica el resultado de que la carga total contenida en cierta región es a la vez constante en el tiempo e invariante para todos los marcos de referencia. La expresión ∂μJμ = 0 es una ley diferencial de conservación. Usando los resultados anteriores y tomando en cuenta que de acuerdo a la electrodinámica el componente temporal del 4-vector J es igual a J1 = cρ en donde ρ es la densidad de la carga eléctrica (carga por unidad de volumen), podemos escribir la ley integral de conservación de la siguiente manera:

Una vez expresada de esta manera la ley integral de conservación de la carga eléctrica, la conclusión es inmediata: la carga eléctrica es constante en el tiempo y es una invariante para todos los marcos de referencia. En este último problema hemos dado un salto breve hacia el tema de la electrodinámica relativista (el cual trataremos más a fondo en entradas posteriores) con el fin de que el lector se vaya acostumbrando y se vaya familiarizando con el tratamiento tensorial de casi todo lo que tiene que ver con los temas fundamentales de la física. El tensor energía-tensión que hemos estudiado aquí es uno que tiene que ver con la materia como fuente primaria de masa-energía para provocar una curvatura del espacio-tiempo. Pero no es la única fuente para producir tal cosa. Posteriormente estudiaremos otro tensor, el tensor electromagnético energía-tensión, en el cual la energía es la contenida en un campo electromagnético. Cualquier fuente de energía, trátese de energía nuclear, energía solar, lo que sea, todo ello tendrá su propio tensor energía-tensión, y el efecto total combinado sumado tensorialmente (componente a componente) será lo que producirá la curvatura geométrica del

espacio-tiempo. Esto significa que el tensor T en las ecuaciones de campo de la Relatividad General es en realidad una suma de tensores, todos ellos expresados necesariamente en el mismo sistema de coordenadas (y desde luego en el mismo sistema de unidades), de modo tal que las ecuaciones de campo de la Relatividad General son realmente: G = 8πG (T1 + T2 + T3 + ...) Sin embargo, y para fines prácticos, podemos limitarnos a trabajar con el tensor que hemos estudiado aquí, porque es el único que a fin de cuentas produce una curvatura apreciable que puede ser confirmada a través de las observaciones astronómicas.

36. ELECTRODINÁMICA RELATIVISTA I Aunque este tema correponde más bien a la Teoría Especial de la Relatividad que a la Relatividad General, se ha puesto aquí siguiendo no sólo la metodología pedagógica que indica que los temas deben ser puestos en orden ascendente de dificultad sino tomando en cuenta el hecho de que el tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del análisis tensorial que no se acostumbra dar en un curso introductorio de la Teoría Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes de entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta familiaridad con las nociones básicas del electromagnetismo. Antes de que hubiera una Teoría de la Relatividad, ya había una teoría matemática del electromagnetismo en la cual se inspiró Einstein, a grado tal que su primera publicación se tituló “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”. Estudiar los orígenes de las ideas de Einstein invariablemente lleva a cualquiera a estudiar los tratados del matemático James Clerk Maxwell basadas en la tesis de que en los fenómenos electromagnéticos lo que importa es el movimiento relativo de las cargas eléctricas y los campos eléctricos en movimiento. Empezaremos con el estudio de una señal viajera que en cierto instante de tiempo podemos visualizar como estacionaria con la siguiente forma de onda que corresponde a una onda senoidal alternando entre valores positivos y negativos:

La ecuación que nos describe una onda de este tipo cuya amplitud (que puede ser la amplitud de

un campo eléctrico E o de un campo magnético B) es A es la siguiente: y(x) = A sen(kx) en donde k es una constante numérica conocida como la constante de propagación cuya única función es “estirar” o “comprimir” la onda senoidal horizontalmente. Si queremos poner a la onda estacionaria de arriba en movimiento, basta con modificar la expresión agregando la variable tiempo t de la siguiente manera: y(x) = A sen(kx - ωt) en donde ω es otra constante numérica cuya función es fijar la velocidad a la cual se está desplazando la señal hacia la derecha (si queremos que la señal se desplace hacia la izquierda al ir aumentando el valor de t en el sentido positivo, reemplazamos el signo negativo con un signo positivo). La ecuación anterior es válida en una sola dimensión medida a lo largo del eje-x. Pero si queremos describir una onda senoidal viajando en un espacio tri-dimensional Cartesiano, reemplazamos a la variable x por el vector posición x = (x1,x2,x3) multiplicado en producto escalar vectorial por elvector de propagación k = (k1,k2,k3) de modo tal que: k · x = (k1,k2,k3) · (x1,x2,x3) = k1x1 + k2x2 + k3x3 De este modo, llegamos a la siguiente ecuación de onda en donde haremos un ligero cambio de notación para denotar la amplitud instantánea como φ y la amplitud máxima como φ 0: φ(x) = φ0 sen(k · x - ωt) Otra ecuación igualmente válida es la siguiente en la cual usamos la función cosenoidal en lugar de la función senoidal: φ(x) = φ0 cos(k · x - ωt)

Usando la ecuación de Euler: eiθ = cos θ + i sen θ podemos escribir: φ = φ0 exp i(k · x - ωt) Esta es la ecuación general de una onda viajera plana de amplitud φ0 medida por un observador en reposo. Esperamos que, desde la perspectiva de la Teoría de la Relatividad, la ecuación de esta onda viajera para otro observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo, tenga la misma forma (invariante): φ’ = φ0 exp i(k’ · x’ - ωt’) La onda plana debe seguir siendo plana porque la transformación del marco de referencia S al marco de referencia S’ es una transformación linear (transformación de Lorentez). A continuación llevaremos a cabo la construcción de un 4-vector que llamaremos K, un 4-vector de propagación que añadiremos a nuestra lista de 4-vectores. Para ello, escribiremos los “factores de fase” de las ondas φ y φ’ de la siguiente manera como el producto vectorial escalar de dos vectores de dos componentes cada uno: k · x - ωt = k · x + (iω/c)(ict) k · x - ωt = (k, iω/c) · (x, ict) k · x - ωt = K · X y del mismo modo: k’ · x’ - ωt = (k’, iω/c) · (x’, ict) = K’ · X’

Ahora bien, habiendo hecho x4 = ict, con lo cual: X = (x, x4) = (x1, x2, x3, x4) no nos debe quedar ninguna duda de que este es un 4-vector posición, y de que el producto escalar K· X es una invariante, o sea: K’ · X’ = K · X Se concluye que K es un 4-vector de propagación cuyas componentes espaciales son las mismas de ky cuya cuarta componente, la componente temporal, es iω/c. Siendo así, las cuatro componentes del 4-vector K se deben transformar de manera idéntica a como se transforman las componentes del 4-vector posición X. Esta similitud nos permite obtener las ecuaciones de transformación del 4-vector Kpara pasarlo de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’. Haciendo una comparación con la fórmula para la componente temporal t’ que obtuvimos en la entrada previa “Rotaciones y transformaciones” para la transformación generalizada de Lorentz:

puesto que t en esta fórmula se corresponde con ω/c² y puesto que x se corresponde con k, tenemos entonces el siguiente resultado:

Si la velocidad del marco de referencia S’ con respecto al marco de referencia S es v, y si θ es el ángulo entre los 3-vectores k y v, entonces con k = ω/c² obtenemos la siguiente expresión q ue nos proporciona la frecuencia de la onda electromagnética en el sistema S’: ω’ = γω [1 - (v/c) cos θ]

que podemos escribir de la siguiente manera:

Esta, desde luego, es la fórmula para el desplazamiento Doppler relativista. Ahora bien, para una “nube de carga eléctrica”, en un sistema de referencia S en donde la carga eléctrica está en reposo, un elemento infinitesimal de carga eléctrica dq está dado por el producto de la densidad de carga eléctrica ρ 0 y un elemento infinitesimal de volumen: dq = ρ0 dV Si bajo un esquema relativista la carga eléctrica es algo que debe ser conservado, entonces la carga eléctrica dq, vista desde un sistema de referencia S’ en movimiento, debe permanecer invariable, esto es: dq = ρ0 dV = ρ0 dV’ = dq’ en donde: dV = dx1 dx2 dx3__en S dV’ = dx’1 dx’2 dx’3__en S’ Si S’ se mueve a lo largo del eje-x1 de S con una velocidad V, entonces dx’2 = dx2 y dx’3 = dx3, pero dx’1 experimentará una contracción relativista de longitud igual a: dx’1 = dx1√1 - V²/c² Entonces:

ρ0 dV = ρ dV’ = ρ dx’1 dx’2 dx’3 = ρ dx1 dx2 dx3√1 - V²/c²

ρ0 dV = = ρ dV √1 - V²/c² Esto se traduce en una variación de la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen de acuerdo con la relación: ρ = ρ0 /√1 - V²/c² De este modo, la densidad de carga eléctrica ρ de un sistema en movimiento está relacionada con la densidad de carga local ρ0 de la misma manera en que la masa y la masa propia están relacionadas. La ley de la conservación de la carga eléctrica se sigue aplicando a la carga total pero no a la densidad de carga eléctrica. Clásicamente, en el 3-espacio Euclideano, la densidad de corriente eléctrica J es simplemente la cantidad de carga por unidad de tiempo que está atravesando una superficie en un momento dado:

En la figura de arriba, una corriente eléctrica de 4 amperes está circulando a través de un conductor cuyo tramo inicial tiene una superficie transversal S1 igual a 4 centímetros, la cual se reduce a una superficie transversal S2 igual a 1 centímetro cuadrado. Obviamente, la densidad de

corriente eléctrica es cuatro veces mayor en el segundo tramo del conductor que en el primero, esto es precisamente lo que nos mide el J tridimensional. La corriente de carga eléctrica I que está atravesando una superficie está dada por la siguiente definición vectorial:

siendo n un vector unitario normal a la superficie que está siendo atravesada por la corriente y siendoJ = (Jx, Jy, Jz). Por su parte, el 4-vector densidad de corriente J = (Jμ) está definido como se ha indicado arriba, siendo ρ la densidad de carga eléctrica de modo tal que la carga infinitesimal dQ en un volumen pequeño está dada por ρd 3x, o bien, para la carga completa encerrada en un 3volumen Euclideano: Q = ∫∫∫ ρ dx dy dz Resulta obvio que en la teoría relativista la densidad de corriente eléctrica J y la densidad de carga eléctrica ρ no pueden ser entidades físicas independientes puesto que una carga eléctrica que permanece estática en un sistema de referencia en reposo S se nos convertirá en una distribución de corriente eléctrica en un marco de referencia móvil. Esto nos proporciona la justificación que necesitamos para juntar la densidad de corriente eléctrica J y la densidad de carga eléctrica ρ en un 4-vector J de la siguiente manera: J = (cρ, J) J = (cρ, ρu) J = (cρ0 /√1 - V²/c², uρ0 /√1 - V²/c²) J = ρ0 (c /√1 - V²/c², uρ0 /√1 - V²/c²) J = ρ0 (γc, γu) Aquí podemos reconocer casi de inmediato lo que tenemos entre los paréntesis. Es el 4-vector velocidad U que ya habíamos visto con anterioridad al introducir el tema de los 4-vectores. Es así como llegamos al siguiente resultado básico:

J = ρ0 U Puesto que ρ0, la densidad de carga eléctrica local medida en el sistema de referencia en reposo S, es una invariante escalar, y U es un 4-vector, el 4-vector velocidad, J debe poseer las mismas propiedades de transformación de U y por lo tanto también es un 4-vector. Ya se ha mencionado con anterioridad cómo para desarrollar la Teoría Especial de la Relatividad Einstein se inspiró en la teoría del electromagnetismo de Maxwell, en la cual tampoco hay observadores privilegiados capaces de poder detectar el movimiento absoluto. Siendo así, no nos debe extrañar el que las ecuaciones de campo del electromagnetismo son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz. En la electrodinámica clásica, tanto el vector del campo eléctrico E = (E1,E2,E3) como el vector del campo magnético B = (B1,B2,B3) no son 4-vectores, constan de tres componentes. Sin embargo, las seis componentes E1, E2, E3, B1, B2 y B3 pueden ser utilizadas para definir un tensor antisimétrico como lo veremos a continuación. En el procedimiento, utilizaremos la convención: (x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z) PROBLEMA: Se puede definir un tensor antisimétrico F = (Fμν) mediante las siguientes relaciones: F1i = - Ei __(i = 2, 3, 4) F24 = B2___F32 = B3___F43 = B1 Encontrar todas las demás componentes a partir de estas relaciones y acomodarlas en un arreglo matricial. Puesto que F es un tensor antisimétrico, entonces todos los elementos en la diagonal principal de la matriz deben ser iguales a cero: F11 = F22 = F33 = F44 = 0 Por otro lado, puesto que F1i = - Ei para i = 2, 3, 4: F12 = - E1___F13 = - E2___F14 = - E3

y en virtud de la antisimetría: F21 = E1___F31 = E2___F41 = E3 Más aún: F24 = B2___F32 = B3___F43 = B1 y en virtud de la antisimetría: F42 = - B2___F23 = - B3___F34 = - B1 Tenemos todos los elementos que necesitamos para acomodarlos en la siguiente matriz:

Este tensor es mejor conocido como el tensor de Faraday, y logra unifica en un 4-espacio las tres componentes del vector campo eléctrico E con las tres componentes del vector campo magnético B. Si en vez de utilizar sub-índices numéricos para representar los componentes alineados con las coordenadas generalizadas de los componentes de E y B utilizamos lo que realmente significan dichos sub-índices en coordenadas Cartesianas (rectangulares) entonces el tensor de Faraday que tenemos arriba, un tensor contravariante de orden dos, se puede escribir del siguiente modo menos confuso:

Es importante tomar nota de lo siguiente: los sub-índices numéricos empleados para distinguir las componentes de E y de B no se corresponden directamente con los índices numéricos empleados para distinguir los 16 componentes del tensor de Faraday. Una cosa que suele sorprender a algunos principiantes en el tema de la Relatividad General es que el tensor métrico g, muy característico de la métrica que describe la curvatura del espacio-tiempo en un 4-espacio relativista, pueda ser utilizado también para subir los índices de los componentes de un tensor electromagnético, tomando en cuenta el hecho de que el electromagnetismo y la gravedad son dos fenómenos físicos diferentes. No lleva mucho tiempo adaptarse a esta nueva idea siempre y cuando nos mantengamos en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad, llevándonos a sospechar eventualmente que el campo electromagnético y el campo gravitacional tal vez puedan ser unificados bajo un solo esquema matemático, y de hecho esto sucedió como lo demuestró el trabajo de Kaluza-Klein al respecto. Aceptando esto como un hecho, podemos utilizar al tensor métrico g del espacio-tiempo plano de la Teoría Especial de la Relatividad para bajar ambos índices del tensor de Faraday dado arriba. Podemos obtener el tensor de Faraday con dos índices covariantes bajando cada índice del tensor de Faraday que se acaba de dar arriba con la ayuda del tensor métrico g = (gαβ) que corresponde al elemento de línea propio de un 4-espacio Lorentziano en donde hacemos c = 1 para fines de simplificación:

la operación del descenso de los dos índices se puede representar de la siguiente manera: Fαβ = gαγ Fγδ gδβ

La ecuación anterior es una ecuación tensorial en notación de componentes que requiere llevar a cabo una doble sumatoria sobre los índices repetidos. El cómputo se puede facilitar si en lugar de laecuación tensorial utilizamos la ecuación matricial correspondiente:

Podemos multiplicar las dos primeras matrices y multiplicar el producto resultante por la tercera matriz, o podemos multiplicar las últimas dos matrices y multiplicer el producto resultante por la primera matriz, el resultado será el mismo en virtud de la propiedad asociativa de la multiplicación de matrices. Multiplicando la segunda matriz por la tercera matriz obtenemos lo siguiente:

A continuación pre-multiplicamos esta matriz por la primera matriz para así obtener los componentes del tensor de Faraday en su representación tensorial covariante:

Este es el tensor de Faraday en su representación como un tensor covariante:

Resulta obvio que los elementos de Fαβ se pueden obtener a partir de los elementos de Fαβ con la simple inversión de los signos de los componentes de E, o sea sustituyendo E por -E. Al igual que como lo hicimos arriba, podemos representar los componentes de los campos E y Bmediante notación Cartesiana que nos puede ahorrar equivocaciones y confusiones:

Otra variante del tensor de Faraday que resulta extremadamente útil es el tensor dual de fuerza del campo electromagnético o simplemente el tensor de fuerza del campo electromagnético, para cuya obtención definimos primero el siguiente tensor (o mejor dicho,pseudotensor) ε = (εαβγδ) de orden cuatro totalmente antisimétrico: εαβγδ = + 1 para α = 1, β = 2, γ = 3 y δ = 4 o cualquier permutación par de índices εαβγδ = - 1 para cualquier permutación impar de índices εαβγδ = 0 si dos índices son iguales Con esta definición, y llevando a cabo las sumatorias para la evaluación de componentes individuales, obtenemos el siguiente tensor de fuerza del campo electromagnético:

Comparando este tensor con el tensor Fαβ, podemos ver que lo podemos obtener de Fαβ haciendo los cambios E → B y B → - E en Fαβ . De este modo, al igual que como ocurre con la Teoría Especial de la Relatividad en la cual el

espacio y el tiempo son unificados bajo un solo concepto en un espacio-tiempo cuatri-dimensional como un vector que incluye los componentes de ambos, en el electromagnetismo de Maxwell el campo elétrico y el campo magnético también pueden ser unificados bajo el tensor de orden dos conocido como eltensor de Faraday en donde B = (Bx,By,Bz) es la parte magnética del campo electromagnético expresada en sus tres componentes espaciales Cartesianas, y E = (Ex,Ey,Ez) es la parte eléctrica del mismo campo electromagnético. ¿Podemos recuperar las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell a partir del tensor de Faraday? La respuesta es afirmativa, pero para ello necesitamos de la ayuda de dos ecuaciones diferenciales adicionales, siendo la primera de ellas la siguiente:

En notación de la coma utilizada para simbolizar derivadas, esta ecuación se escribe de la manera siguiente (aquí no empleamos a la derivada covariante simbolizada con el semicolon puesto que todo lo que está siendo desarrollado aquí pertenece al campo de la Teoría Especial de la Relatividad):

PROBLEMA: Demuéstrese que la ecuación que se acaba de proporcionar nos conduce directamente al principio de la conservación de la carga eléctrica Jμ,μ= 0. Escribiendo la relación con un ligero cambio de notación, en su forma explícita:

La condición matemática para la conservación de la carga eléctrica, Jμ,μ= 0, requiere que tomemos la derivada con respecto xμ, lo cual en conformidad con la convención para índices repetidos activa la sumación de términos. Tomando, pues, la derivada con respecto a xμ en ambos lados de la

ecuación:

Sin embargo, el tensor de Faraday F = (Fαβ) es antisimétrico, o sea que Fμν = - Fνμ, lo cual implica a su vez que:

en donde hemos invertido también el orden de la diferenciación dado que en la diferenciación ordinaria (a diferencia de lo que ocurre con la derivada covariante) el orden de la diferenciación no altera el resultado final. Pero en el lado derecho de la ecuación los índices que tenemos son índices monigote, los cuales podemos renombrar como δ, λ, ξ, lo que queramos, siempre y cuando mantengamos la misma forma. Aquí simplemente cambiaremos μ por ν y viceversa:

Lo que tenemos entonces es una expresión del tipo a = -a. Pero ninguna cantidad puede ser igual al negativo de la misma, a menos de que esta sea cero. Se concluye que el lado izquierdo de la expresión debe ser igual a cero, dejándonos únicamente con: Jμ,μ = 0 que es la condición para la conservación de la carga eléctrica. PROBLEMA: Obtener la primera ley del electromagnetismo de Maxwell, ∇·E = 4πρ, a partir del tensor de Faraday. Empezamos con la relación dada arriba, escrita en su forma más explícita:

Poniendo β = 1 en la expresión y desarrollando la sumatoria de acuerdo a la convenció n de sumación para índices repetidos, tenemos lo siguiente:

Puesto que F11 = 0, se ha puesto de color rojo el primer término, con lo cual sólo nos quedan tres términos en el lado izquierdo de la ecuación. Para mayor claridad, se harán de lado las coordenadas generalizadas y se escribirán los componentes del tensor de Faraday en función de las coordenadas rectangulares Cartesianas regulares. Substituyendo los valores del tensor de Faraday de conformidad con lo que tenemos arriba:

Se ha subsituído el valor correspondiente al primer componente J1 en el 4-vector J = (Jβ) que como se definió arriba es igual a cρ. No nos lleva mucho tiempo identificar lo que tenemos en el lado izquierdo de la ecuación; se trata de la divergencia del vector de campo eléctrico E. Entonces lo anterior se puede simplificar y escribir como: ∇·E = 4πρ Esta es precisamente la primera ley de Maxwell que nos describe la divergencia de las líneas de fuerza del campo eléctrico E para una carga eléctrica puesta dentro de una superficie cerrada. PROBLEMA: Obtener la ley de Maxwell:

a partir del tensor de Faraday. Usaremos la misma ecuación diferencial utilizada en el problema anterior, esta vez poniendo β = 2, β = 3 y β = 4. Empezaremos con β = 2:

Puesto que F22 = 0, se ha puesto de color rojo el segundo término, con lo cual sólo nos quedan tres términos en el lado izquierdo de la ecuación. Nuevamente, para mayor claridad, se harán de lado las coordenadas generalizadas y se escribirán los componentes del tensor de Faraday en función de las coordenadas rectangulares Cartesianas regulares. Substituyendo los valores del tensor de Faraday de conformidad con lo que tenemos arriba:

Reacomodando, tenemos nuestra primera relación:

Procediendo de la misma manera, obtenemos para β = 3:

Finalmente, para β = 4, obtenemos:

Pero las tres relaciones obtenidas se pueden simplificar metiéndolas en una sola con la ayuda deloperador rotacional que consiste en tomar el producto cruz del operador diferencial vectorial ∇ con el campo magnético y utilizar las relaciones en el orden requerido para obtener la ecuación de Maxwell pedida. A partir de su definición, el vector rotacional definido sobre un vector A en función de sus tres componentes espaciales es obtenido mediante el siguiente determinante:

Haciendo esto obtenemos la ley de Maxwell pedida al principio del problema. Nos faltan otras dos ecuaciones de Maxwell que aún no hemos obtenido a partir del tensor de Faraday. Para obtenerlas, necesitamos una segunda ecuación diferencial que es la siguiente en

función del tensor dual de fuerza del campo electromagnético (se muestran tanto la representación compacta como la representación explícita):

Esta ecuación ciertamente es lo más compacto que pueda haber resumiendo una gran cantidad de información en unos cuantos símbolos. Sin embargo, podemos obtener lo mismo mediante otra ecuación en la cual utilizamos el tensor de Faraday covariante de dos, la cual se encuentra con mayor frecuencia en los libros de texto:

En notación explícita la misma fórmula se escribe de la siguiente manera:

Y en notación de componentes recurriendo a la coma para representar la derivada parcial, la fórmula toma el siguiente aspecto:

PROBLEMA: A partir del tensor de Faraday, obténgase la ley de Maxwell que afirma que la divergencia vectorial de un campo magnético cualquiera es igual a cero. Para esta demostración utilizaremos los índices espaciales del tensor de Faraday, evitando el uso del índice temporal (el índice 1). Haciendo α =2, β = 3 y γ = 4, cualquiera de las últimas tres

ecuaciones que se acaban de dar arriba se traducen en lo siguiente:

Reemplazando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posición notacional en el tensor covariante de Faraday, obtenemos entonces:

o bien:

El lado izquierdo lo reconocemos de inmediato como la divergencia del vector del campo magnético B, lo cual se representa de forma más compacta con la ayuda del operador diferencial ∇ como: ∇·B = 0 Si utlizamos cualquier otra combinación de índices que excluya al índice 1, obtendremos exactamente el mismo resultado. No cuesta mucho trabajo darse cuenta de que todas las combinaciones posibles de índices 2, 3 y 4 (no repetidos en un mismo término) generan la ley de Maxwell que afirma que no hay monopolos (“cargas”) magnéticos, formando las líneas del campo magnético siempre trayectorias cerradas. Esta es pues la primera ecuación que podemos extraer de la ecuación diferencial. PROBLEMA: Obtener la ley de Maxwell:

a partir del tensor de Faraday. Obviamente, puesto que la coordenada del tiempo aparece en esta ecuación, tenemos que involucrar al índice 1 en la ecuación diferencial dada arriba. Una posibilidad es haciendo α =1, β = 2 y γ = 3, con lo cual tenemos lo siguiente:

Reemplazando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posición notacional en el tensor covariante de Faraday, obtenemos entonces:

Reacomodando los términos llegamos a lo siguiente:

Probando otras combinaciones de índices, todas las cuales incluyen al índice 1, podemos obtener otras dos ecuaciones:

Nuevamente, y al igual que como ocurrió arriba, las tres relaciones se pueden simplificar metiéndolas en una sola con la ayuda del operador rotacional ∇ aplicado al campo eléctrico E, obteniendo así la ecuación de Maxwell pedida. Existe otra manera de definir la ecuación diferencial a partir de la cual podemos obtener del tensor de Faraday las últimas dos ecuaciones de Maxwell que se acaban de demostrar, y esta consiste en utilizar el tensor de Faraday contravariante F = (Fαβ) en lugar del tensor de Faraday covariante. Para ello, partiendo de la definición del símbolo ∂α, cuyas componentes en el 4-espacio son:

le subimos el índice a este símbolo con la ayuda del tensor métrico conjugado basado en la métrica del espacio-tiempo plano:

obteniendo de este modo el símbolo ∂α cuyas componentes son:

Una vez que nos hemos puesto de acuerdo en esto, la ecuación diferencial puede ser escrita de la siguiente manera:

La ventaja de esta simbolización es que podemos escribirla de inmediato con solo observar que los índices de un término al siguiente siguen un orden de permutación cíclico. La desventaja es que tenemos que ser cuidadosos al momento de reemplazar los índices generales por índices numéricos en las derivadas parciales. A modo de ejemplo, si usamos la combinación α =3, β = 1 y γ = 2, entonces la expansión de la expresión nos dá:

Esto es lo mismo que lo que ya habíamos obtenido previamente. PROBLEMA: Obtener la doble contracción tensorial FαβFαβ. ¿Qué conclusión se puede extraer del resultado? Si de conformidad con la convención de sumación para índices repetidos llevamos a cabo la sumación sobre α, la primera expansión de la expresión nos producirá e l siguiente resultado:

Llevando a cabo ahora la segunda expansión sobre β, obtenemos lo siguiente:

Sustituyendo valores: FαβFαβ =______________________ (0)(0) + (E1)(- E1) + (E2)(- E2) + (E3)(- E3) + (- E1)(E1) + (0)(0) + (B3)(B3) + (- B2)(- B2) + (- E2)(E2) + (- B3)(- B3) + (0)(0) + (B1)(B1) + (- E3)(E3) + (B2)(B2) + (- B1)(- B1) + (0)(0)

FαβFαβ =_________________ - E1² - E2² - E3² - E1² + B3² + B2² - E2² + B3² + B1² - E3² + B2² + B1²

FαβFαβ = 2(B1² + B2² + B3²) - 2(E1² + E2² + E3²)

FαβFαβ = 2(B² - E²) Puesto que tanto B² como E² son escalares, se concluye que la cantidad FαβFαβ es un escalar invariante de Lorentz. PROBLEMA: Si aplicamos una rotación de Lorentz en el 4-espacio a un tensor de Faraday Fsuponiendo que el movimiento entre los dos marcos de referencia está limitado a un movimiento relativo a lo largo del eje-x común, las componentes (espaciales) del campo eléctrico E y el campo magnético B entre ambos marcos de referencia están relacionadas de la siguiente manera (la derivación de las relaciones fue llevada a cabo en la entrada titulada

“Gimnasia de índices”): E1 = E1___E2 = γ(E2 - βB3)___E3 = γ(E3 + βB2) B1 = B1___B2 = γ(B2 + βE3)___B3 = γ(B3 - βE2) Usando estas relaciones, demostrar que el producto E·B es una invariante Lorentziana. E·B = E1B1 + E2B2 + E3B3

E·B = (E1)(B1) + [γ(E2 - βB3)][γ(B2 + βE3)] + [γ(E3 + βB2)][γ(B3 - βE2)]

E·B = E1B1 + γ²(E2 - βB3)(B2 + βE3) + γ²(E3 + βB2)(B3 - βE2)

E·B = E1B1 + γ²(E2B2 + βE2E3 - βB2B3 - β²E3B3) + γ²(E3B3 - βE2E3 + βB2B3 - β²E2B2)

E·B = E1B1 + γ²(1 - β²)E2B2 + γ²(1 - β²)E3B3 E·B = E1B1 + E2B2 + E3B3 E·B = E·B De este resultado se puede sacar una conclusión importante. Siendo el producto E·B una invariante de Lorentz, si el campo eléctrico E es perpendicular al campo magnético B en un marco de referencia S, entonces ambos seguirán siendo perpendiculares en cualquier marco de referencia S’. PROBLEMA: Descomponiendo vectorialmente los campos E y B en sus componentes paralelas y perpendiculares al eje del movimiento relativo entre los marcos de referencia, demostrar que el campo eléctrico y el campo magnético no pueden tener una existencia independiente el uno del otro. Si descomponemos los campos E y B en sus componentes paralelas y perpendiculares al eje del

movimiento relativo entre los marcos de referencia S y S’, entonces podemos escribir lo siguiente (se recurrirá aquí a la comilla en lugar de la barra horizontal superior para denotar los vectores en el marco de referencia S’ con el fin de que no se pueda confundir la barra horizontal superior con la flecha puesta también encima para simbolizar la naturaleza vectorial de cada campo):

Inspeccionando las relaciones puestas al principio del problema anterior, podemos generalizarlas para escribir las siguientes relaciones vectoriales válidas para el campo eléctrico:

Para el campo magnético también obtenemos relaciones similares, las cuales difieren de las del campo eléctrico mediante un simple intercambio de un signo dentro del paréntesis además del intercambio de las literales E y B:

Estos resultados nos indican que el campo eléctrico y el campo magnético no pueden tener una existencia independiente el uno del otro. Un campo eléctrico puro E (sin la presencia de campo magnético alguno) en el sistema de referencia S se transforma en campos eléctrico y magnético en el sistema de referencia S’. Pero no existe velocidad alguna menor que la velocidad de la luz que permita la existencia de un campo magnético puro B en el sistema de referencia S’. En pocas palabras, si existe un marco de referencia Lorentziano en el cual el campo sea completamente eléctrico, es imposible encontrar otro marco de referencia Lorentziano en el cual el campo sea completamente magnético. De este modo, así como el espacio y el tiempo han dejado de tener una existencia independiente el uno del otro (matemáticamente hablando) y han sido unificados en un 4-vector como un solo concepto, el del espacio-tiempo, del mismo modo el campo eléctrico

y el campo magnético tampoco tienen una existencia independiente el uno del otro, habiendo sido unificados bajo el tensor de Faraday. Esta es a fin de cuentas la razón de ser del tensor de Faraday, el llevar a cabo a su máximo la unificación de las leyes del electromagnetismo. Sumando vectorialmente las componentes paralelas y perpendiculares de cada campo y simplificando, podemos demostrar que la transformación general de los campos eléctrico y magnético está dada por las siguientes relaciones:

Nuevamente, estas relaciones demuestran que E y B no tienen existencia independiente. Un campo puramente eléctrico o puramente magnético en un sistema de referencia aparecerá como una mezcla de ambos en cualquier otro sistema de referencia. De este modo, en vez de hablar separadamente del campo eléctrico E y del campo magnético B, más apropiadamente uno debe de hablar del campo electromagnético Fαβ.

37. ELECTRODINÁMICA RELATIVISTA II Aunque este tema correponde más bien a la Teoría Especial de la Relatividad que a la Relatividad General, se ha puesto aquí siguiendo no sólo la metodología pedagógica que indica que los temas deben ser puestos en orden ascendente de dificultad sino tomando en cuenta el hecho de que el tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del análisis tensorial que no se acostumbra dar en un curso introductorio de la Teoría Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes de entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta familiaridad con las nociones básicas del electromagnetismo. El tensor de Faraday F tiene otras aplicaciones además de las que ya hemos visto previamente. Una de ellas consiste en utilizarlo para definir dentro del ámbito de la electrodinámica clásica la densidad de fuerza de Lorentz o 4-fuerza electromagnética de Minkowski f β de la siguiente manera:

Esta definición se basa en la definición del siguiente 4-vector (contravariante) densidad de corrienteJ: J = (Jα) = (cρ, J) = (cρ, Jx, Jy, Jz) Puesto que es la expresión covariante del tensor J la que es utilizada en la definición de la densidad de fuerza de Lorentz, necesitamos bajar el índice con la ayuda del tensor métrico g que corresponde a la métrica de la Teoría Especial de la Relatividad: (Jα) = (gαμJμ) = (cρ, - Jx, - Jy, - Jz) = (cρ, - J) PROBLEMA: Demostrar que la densidad de la fuerza Lorentz es igual a un 4-vector con los siguientes componentes temporal y espacial:

Para β = 1 (componente temporal) la definición de la fuerza de Lorentz nos proporciona lo siguiente:

Puesto que F11 (puesto en rojo) es igual a cero, ello nos deja únicamente tres términos cuya substitución nos resulta en lo siguiente:

Para β = 2 (primer componente espacial) la definición de la fuerza de Lorentz nos proporciona lo siguiente:

Substituyendo valores y haciendo uso de la definición del producto cruz de dos vectores, tenemos entonces:

Procediendo de idéntica manera, obtenemos las otras dos componentes espaciales de f β que resultan ser:

Juntando los cuatro resultados obtenidos obtenemos así la expresión que deseábamos demostrar para la 4-densidad de fuerza de Lorentz. Hablando en términos generales, las fuerzas dinámicas, las fuerzas en movimiento, no tienen cabida dentro de la Teoría de la Relatividad, y esto se aplica no solo a la atracción de la gravedad que es generada no como resultado de una fuerza de atracción de un cuerpo sobre otro sino como resultado del campo con el cual un cuerpo genera en torno suyo una curvatura en el espaciotiempo; se aplica también a los fenómenos eléctricos y magnéticos. Quizá la ley más básica que podamos encontrar en la electroestática es la ley de Coulomb, pre-relativista, que nos dice en similitud con la ley de gravitación universal de Newton: “dos cuerpos cargados eléctricamente se atraen en proporción directa del producto de sus cargas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que los separa”. Esta ley, expresada matemáticamente en unidades del sistema MKS (metro-kilogramo-segundo) tiene la siguiente forma:

El problema esencial con la ley de Coulomb, al igual que el problema con la ley de la gravitación universal de Newton, es que están basadas en el concepto de la “acción a distancia”, el cual

supone que entre dos cuerpos que están separados una distancia que (teóricamente) podría ser medida en miles de millones de kilómetros existe una fuerza invisible que los conecta instantáneamente. En principio, si uno de los cuerpos es alejado del otro, la fuerza entre ambos cambia instantáneamente, sin que el límite natural impuesto por la velocidad de la luz presente obstáculo alguno para la “acción a distancia” instantánea. En la ley de Coulomb no aparece la velocidad de la luz, e inclusive ni siquiera aparece el tiempo como factor limitante a la variación de la fuerza de atracción o repulsión electroestática. Esto significa que si ponemos a una carga eléctrica en movimiento sus efectos sobre todas las demás cargas eléctricas del Universo será transmitido instantáneamente, lo cual por sí solo despierta sospechas y dudas. Las limitaciones impuestas por la ley de Coulomb para el análisis de las cargas eléctricas en movimiento pueden ser superadas con la ayuda de las leyes del electromagnetismo de Maxwell, las cuales son relativísticamente correctas. Esto requiere el abandono definitivo del concepto Coulombiano de la “fuerza eléctrica de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas” substituyéndolo por el concepto del campo generado por dichas cargas. A continuación tenemos dos cargas, una carga positiva de dos unidades (q = +2) y una carga negativa de una unidad (1 = 1), mostrándose los campos eléctricos generados en torno a cada carga y la forma en la que interactúan tratándose de cargas eléctricas de signos opuestos:

En la misma figura se han trazado dos trayectorias, tanto la de una carga positiva que sale disparada (repelida) por la carga eléctrica positiva y que es atraída por la carga eléctrica negativa (trayectoria de color rojo), así como la de una carga negativa que sale disparada (repelida) por la carga eléctrica negativa y que es atraída por la carga eléctrica positiva (trayectoria de color azul). En la siguiente figura tenemos una partícula que sale disparada y repelida con tal fuerza y en tal dirección por la carga positiva que no alcanzará a encaminarse hacia la carga negativa, pudiéndose ver que a lo largo de su trayectoria su vector velocidad (flechita de color verde) no necesariamente

será perpendicular a las líneas del campo:

A continuación tenemos dos simulaciones de “fotografías instantáneas” con varias cargas eléctricas de signos diversos cercanas unas a las otras, en las cuales podemos ver la manera en la cual interactúan entre sí los campos de dichas cargas:

Del análisis de las cargas eléctricas puntuales (suponiendo toda la carga eléctrica concentrada en un punto) en movimiento, con la ayuda de las ecuaciones de Maxwell se pueden obtener no sin poco esfuerzo los potenciales Liénard-Wiechert que describen el efecto electromagnético clásico de una carga eléctrica en movimiento en términos de un campo potencial vectorial A y un potencial escalar V. Es importante señalar que los potenciales Liénard-Wiechert preceden a la Teoría de la Relatividad, lo cual explica las dificultades empleadas en obtener clásicamente dichos potenciales a partir de las leyes de Maxwell sin el beneficio de la filosofía relativista. Para obtener el campo eléctrico E producido por una carga en movimiento, podemos recurrir al procedimiento pre-relativista partiendo de los potenciales Liénard-Wiechert. O podemos utilizar en nuestra ventaja los resultados obtenidos con la ayuda de la Teoría de la Relatividad a través del tensor de Faraday. Ya vimos en una entrada previa que cuando sometemos al tensor de Faraday F a una transformación de Lorentz, los tres componentes del campo eléctrico original E = (E1,E2,E3) y del campo magnético original B = (B1,B1,B3) están relacionados con los componentes de los campos ya transformados E = (E1,E2,E3) y B = (B1,B2,B3) mediante las siguientes relaciones: E1 = E1___E2 = γ(E2 - βB3)___E3 = γ(E3 + βB2) B1 = B1___B2 = γ(B2 + βE3)___B3 = γ(B3 - βE2) De conformidad con la filosofía relativista, en vez de considerar la fuerza eléctrica descrita por ley de Coulomb consideraremos el campo eléctrico E generado por una carga puntual en reposo a una distancia r de dicha carga, definido de la siguiente manera (r es el vector radial, de magnitud variable r):

Estamos interesados en obtener el campo eléctrico generado por esta carga tal y como sería visto por un observador situado en un sistema de referencia S’ en movimiento relativo con respecto al sistema de referencia S dentro del cual la carga eléctrica está en reposo, un sistema que se mueve a una velocidad uniforme V a lo largo del eje-x1 de S. Por conveniencia, consideraremos el campo electrico medido por el observador en S’ cuando los orígenes de ambos marcos de referencia coinciden, y designaremos a este instante t = t’ = 0. Puesto que una carga eléctrica en reposo no genera campo magnético alguno, B = 0 en el sistema de referencia S, o sea que todas las componentes de B deben ser iguales a cero. Entonces las ecuaciones de transformación de S a S’ nos dicen que debemos tener lo siguiente: E1 = E1___E2 = γ(E2 - βB3) = γE2___E3 = γ(E3 + βB2) = γE3 En el momento t = t’ = 0, las coordenadas son por transformación inversa de Lorentz: x1 = γx1___x2 = x2___x3 = x3 La distancia radial r del punto de origen en donde está centrada la carga eléctrica al punto de observación (o medición) está dada entonces por la siguiente relación:

De este modo, las componentes del campo eléctrico generadas por la carga eléctrica en movimiento (al estar en el sistema de referencia S’) serán:

o bien, juntando las tres componentes en un solo vector E:

En el sistema de referencia S’ la proyección del vector posición r de la carga en movimiento sobre el eje-x1 será: x1 = r cos θ Y del mismo modo: r² = (x1)² + (x2)² + (x3)² Entonces: (x2)² + (x3)² = r² sen² θ Por lo tanto: (γx1)² + (x2)² + (x3)² = γ² r² cos² θ + r² sen² θ (γx1)² + (x2)² + (x3)² = r² [γ² cos² θ + sen² θ] (γx1)² + (x2)² + (x3)² = r² [cos² θ/(1 - β²) + sen² θ] (γx1)² + (x2)² + (x3)² = r² [cos² θ + sen² θ - β² sen² θ]/(1 - β²) (γx1)² + (x2)² + (x3)² = γ² r² [1 - β² sen² θ]

Con esto, el vector del campo eléctrico de la carga en movimiento resulta ser:

en donde r es un vector radial unitario apuntando radialmente hacia afuera (o hacia adentro) de la carga puntual. Esto lo podemos escribir también de la siguiente manera:

Este es el mismo resultado, pre-relativista, obtenido laboriosamente a partir de los potenciales definidos en partes primero por Alfred-Marie Liénard en 1898 e independientemente por Emil Wiechert en 1900. Otro resultado que podemos obtener desde la óptica relativista con lo que ya hemos visto es la ley de Biot-Savart que nos proporciona la inducción magnética B producida por un alambre infinitamente largo que transporta una corriente eléctrica:

Clásicamente, para obtener la ley que nos proporciona la magnitud de B a cierta distancia

(perpendicular) al hilo conductor, primero subdividimos el hilo en segmentos infinitesimales de longitud:

y llevando a cabo una integración sobre la contribución infinitesimal dB al campo producida por cada elemento infinitesimal de corriente: B = ∫dB obtenemos la siguiente expresión:

Para obtener este mismo resultado por la vía de la relatividad, suponemos primero un hilo cargado eléctricamente acomodado a lo largo del eje-x1 de S, de modo tal que la distribución de cargas eléctricas sobre el hilo estará en reposo para un observador situado justo a un lado del hilo en el sistema de referencia S. Pero si ponemos al hilo de cargas en movimiento longitudinal con respecto a nosotros (o bien si nos desplazamos paralelamente al eje a velocidad constante) poniéndonos así en un sistema de referencia S’, entonces para nosotros el hilo tendrá el

equivalente real de una corriente eléctrica. Si hay una densidad uniforme de carga lineal ρ a lo largo del hilo en S, entonces en cualquier elemento infinitesimal de longitud dx1 habrá una carga eléctrica ρdx 1. De acuerdo con la ley de la conservación de la carga eléctrica, hay una cantidad igual de carga contenida en el intervalo dx1 en un sistema de referencia S que esté en movimiento relativo con respecto a S, con lo cual: ρ dx1 = ρ dx1 Puesto que en el sistema de referencia S no hay campo magnético alguno al estar las cargas en reposo, si tomamos las relaciones dadas arriba: B1 = B1___B2 = γ(B2 + βE3)___B3 = γ(B3 - βE2) tenemos entonces: B1 = B1___B2 = γβE3___B3 = - γβE2 Por lo tanto, el campo magnético dB debido a un elemento de carga móvil ρdx1 en S’ será:

Con las relaciones obtenidas por la vía del tensor de Faraday tenemos entonces:

Usando lo que hemos visto con anterioridad para el caso de una carga eléctrica individual en movimiento, llegamos a lo siguiente:

o bien:

En forma similar a como ocurre en la derivación clásica (pre-relativista) de la ley de Biot-Savart, obtenemos el campo total B integrando esta última expresión sobre la longitud total (infinita) de la distribución de cargas: B = ∫dB

Llevando a cabo la integración por los procedimientos usuales del cálculo:

En el sistema de referencia S’, la magnitud de la corriente es: I = ρβc mientras que la distancia (perpendicular) desde la línea de cargas móviles (el eje x1) hasta un punto a una distancia r0 es:

Combinando lo que hemos obtenido, tenemos entonces la expresión final para B, que es: B = 2I/cr0 Esta es precisamente la ley Biot-Savart. Las predicciones hechas por estas leyes, formuladas antes del arribo de la Teoría de la Relatividad, son relativísticamente exactas, y no requieren de modificación alguna que tome en cuenta la velocidad de las cargas, sobre todo para velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Lo que hemos visto ha establecido una conexión entre el electromagnetismo de Maxwell y la Teoría Especial de la Relatividad. Pero no hemos establecido ninguna conexión entre el electromagnetismo y la Relatividad General. Esto lo podemos hacer en cierta forma a través del tensor energía-tensión como lo veremos a continuación. El tensor energía-tensión T de las ecuaciones de campo de la Relatividad General es extraordinario en el sentido de que incluye todas las energías posibles habidas y por haber: la energía equivalente de una masa, la energía térmica, la energía de rotación, la energía de movimiento lineal, la energía de enlace entre dos átomos, la energía de enlace nuclear; y desde luego, la energía electromagnética. Y si la energía que estamos considerando es energía electromagnética pura, el tensor que empleamos para estos casos es el tensor electromagnético energía-tensión o tensor electromagnético energía-momentum, el cual puede ser definido de la siguiente manera:

Una ligera variante de la fórmula se obtiene llevando a cabo la subida del índice μ como lo indica la contracción de Fμλ con el tensor gαμ, aunque esto nos resulta en la pérdida de la simetría que exhiben los dos términos dentro del paréntesis:

Esta definición está basada en el tensor de Faraday F que ya vimos previamente, y en el tensor métrico conjugado g-1 = (gμν) para el espacio-tiempo Lorentziano definido aquí como ya lo hemos visto previamente: g11 = 1___g22 = g33 = g44 = - 1 gij = 0___para i ≠ j PROBLEMA: Obtener los componentes del tensor electromagnético energía-tensión T a partir de la definición dada anteriormente. Empezaremos con el componente T11, para lo cual hacemos las substituciones α = β = 1 en la definición del tensor energía-tensión T para el campo electromagnético:

Puesto que la métrica es diagonal, en el primer término dentro de los paréntesis el único valor de μ para el cual g1μ no será cero es μ = 1. Por otro lado, en el segundo término tenemos la doble contracción FαβFαβ del tensor de Faraday, la cual ya vimos previamente que nos produce la expresión 2(B² - E²). Expandiendo la sumatoria que nos resulta en el primer término de acuerdo con la convención de sumación para índices repetidos, después de haber puesto g11 = 1, tenemos entonces:

A continuación, substituímos cada uno de los elementos tomándolos tanto del tensor de Faraday en su forma contravariante Fαβ como del tensor de Faraday en su forma covariante Fαβ, obteniendo con esto (se recuerda aquí nuevamente que los sub-índices numéricos dados a las tres componentes espaciales tanto del campo elétrico E como del campo magnético B no tienen relación directa con los índices numéricos empleados para identificar a las componentes del tensor electromagnético energía-tensión T, al igual que como ocurre en el caso del tensor de Faraday F):

Simplificando con el hecho de que E·E = E² = Ex² + Ey² + Ez² = E1² + E2² + E3²:

Finalmente llegamos a lo siguiente:

Como se ha destacado con la simbolización en color azul, el componente T11 resulta ser una expresión muy importante que encontramos en los cursos introductorios de la electrodinámica clásica mucho antes de que se tenga conocimiento alguno de lo que es un tensor. Se trata de la densidad de energía del campo electromagnético, la energía del campo electromagnético por unidad de volumen. Esta cantidad puede considerarse como una especie de energía potencial. La cantidad ∫ε dv (una integral volumétrica) es considerada usualmente como la energía del campo electromagnético. El concepto de una energía almacenada en un campo en lugar de residir dentro de una partícula es un concepto básico del campo electromagnético, y se corresponde. El componente T11 se corresponde con lo que ya habíamos visto previamente cuando identificamos el componente T11 en el ámbito de la Relatividad General como la densidad de masa-energía ρ.

A continuación, llevaremos a cabo la evaluación del componente T12 repitiendo los pasos que energía-acabamos de efectuar, haciendo α = 1 y β = 2 en la definición del tensor electromagnético energía tensión:

Puesto que g12 es igual a cero, se ha destacado de color rojo indicándose así con ello que se llevará a cabo la eliminación del segundo término, dejándonos únicamente con:

Llevamos a cabo la expansión de la sumatoria de acuerdo con la convención de sumación, destacando de antemano los componentes del tensor de Faraday que son iguales a cero:

Substituyendo los valores de cada componente de los tensores de Faraday covariante y contravariante que se requieren en este caso, tenemos lo siguiente:

En la tercera línea se ha efectuado una conversión de los índices numéricos a las coordenadas espaciales Cartesianas para que sea más claro lo que se va a llevar a cabo. La forma del término entre los paréntesis es la misma que la de un producto cruz, cuyos componentes en coordenadas rectangulares referidas a un triplete de vectores unitarios de base i, j y k, tiene la definición usual que se le dá al producto cruz mediante el determinante de la siguiente matriz:

En base a esto, podemos ver que la componente producida por el producto cruz corresponderá al vector ExB que apunta a lo largo de la coordenada espacial x2 = x, o sea:

Procediendo de modo similar, obtenemos las otras dos componentes que corresponden a los elementos espaciales del tensor T colocados a lo largo del primer renglón en su representación matricial, los cuales apuntan a lo largo de las coordenadas espaciales x3 = y y x4 = z respectivamente:

De igual manera, se puede verificar que las tres componentes que corresponden a los elementos espaciales del tensor T colocadas a lo largo de la primera columna son las siguientes:

Para obtener esto último, no es necesario llevar a cabo las evaluaciones detalladas a partir de la definición, porque el tensor electromagnético energía-tensión de la electrodinámica T, al igual que el tensor energía-tensión T de la Relatividad General, es simétrico. A esto último podemos darle una interpretación física inmediata apelando a la definición del vector de Poynting S, el cual en unidades Gaussianas está dado por la relación:

El vector de Poynting nos expresa el flujo de energía electromagnética a través del espacio libre, y nos proporciona la cantidad de energía electromagnética que está pasando a través de una superficie por unidad de área por unidad de tiempo. Habiendo determinado las componentes que corresponden al primer renglón y a la primera columna de la matriz que representa al tensor electromagnético energía-tensión, si borramos el el primer renglón y la primera columna de la matriz nos queda una sub-matriz. Esta sub-matriz, con un signo negativo antepuesto, es mejor conocida como el tensor de tensión de Maxwell (Maxwell stress tensor), la cual podemos representar como [TM]. A continuación procederemos a determimar el elemento T23 que corresponde a esta sub-matriz de acuerdo a la definición del tensor completo Tdada arriba.

Expandiendo la sumatoria de acuerdo a la convención de sumación:

A continuación, substituímos los componentes del tensor de Faraday covariante y contravariante en esta expresión, pero para evitar una posible confusión de los sub-índices numéricos empleados en la designación de los componentes de E y B con los índices del tensor emplearemos la notación correspondiente a las coordenadas rectangulares Cartesianas:

Procediendo de modo semejante, obtenemos lo siguiente:

Ahora evaluaremos el componente T22 que corresponde a una de las entradas diagonales del

tensor tensión de Maxwell:

En el primer término, la expansión de la sumatoria sobre μ sólo es efectiva para μ = 2 en virtud de que para cualquier otro valor g2μ es igual a cero. Sacándolo fuera del paréntesis y substituyéndolo por su valor g22 = -1 tenemos entonces:

Obsérvese con atención que no hemos puesto μ = 2 en el segundo término, en virtud de que los índices no son índices libres sino índices monigote al llevar a cabo la doble sumatoria sobre ambos índices como lo requiere la convención de sumación. El segundo término nos debe resultar familiar, ya que en un problema anterior se demostró que la expresión FαβFαβ es igual a 2(B² - E²). Substituyendo este resultado y llevando a cabo la sumación en el primer término tenemos entonces:

Substituímos ahora los componentes de los tensores de Faraday covariante y contravariante empleando en los sub-índices de los componentes (espaciales) de los campos E y B la notación usual de coordenadas rectangulares Cartesianas para obtener así:

Puesto que: B² = Bx² + By² + Bz² Bx² - B² = - Bz² - By² tenemos entonces:

lo cual podemos simplificar llegando a la siguiente relación:

Procediendo de igual forma, encontramos que los componentes T33 y T44 son los siguientes:

Tenemos ya pues los elementos que forman parte de la sub-matriz 3x3 que constituye el tensor tensión de Maxwell. No cuesta mucho trabajo verificar que los resultados que acabamos de obtener se pueden obtener

también mediante la siguiente fórmula:

en la cual i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3. Los índices numéricos en esta última fórmula no son los índices del tensor energía-tensión del campo electromagnético, son los índices que corresponden e identifican a los elementos de la representación matricial del tensor tensión de Maxwell. La selección de componentes a ser utilizados dependerá de cada situación en particular, como lo demuestra el siguiente ejemplo. PROBLEMA: Construír la representación matricial del tensor tensión de Maxwell para el caso en el cual tenemos un campo eléctrico estático. En este caso, el campo magnético B = 0 y los elementos de la matriz se reducen a los siguientes:

Los resultados que hemos obtenido para el tensor energía-tensión del campo electromagnético se pueden resumir de la siguiente manera:

De este modo, si tomamos los elementos principales comunes del tensor electromagnético energía-tensión T agrupándolos de acuerdo con el significado común que se les puede dar, tenemos los siguientes cuatro sub-grupos:

En forma similar a como ocurre con el tensor energía-tensión T de la Relatividad General, el elemento Tμν del tensor electromagnético energía-tensión se puede interpretar como el flujo de la μ-componente del 4-momentum P = (Pμ) del campo electromagnético a través del hiperplano xν = constante, y representa la contribución del electromagnetismo a la fuente del campo gravitacional en la Relatividad General. Podemos representar los sub-bloques de los que consta el tensor electromagnético energíatensión usando la definición de la densidad del momentum del campo electromagnético g dada en función del vector de Poynting (no se confunda con el símbolo utilizado para representar al tensor métrico):

Con esto, la representación en sub-bloques del tensor T = (Tαβ) es:

Mediante un poco de gimnasia de índices podemos obtener las siguientes representaciones equivalentes del tensor electromagnético energía-tensión:

PROBLEMA: Demostrar que el tensor energía-tensión del campo electromagnético tiene una traza de cero. La traza del tensor T la obtenemos sumando los elementos de la diagonal principal de su representación matricial (aquí usaremos la convención de sumación con los índices repetidos): tr {T} = Tμμ tr {T} = T11 + T22 + T33 + T44 Ya vimos arriba que el componente T11 es ε, la densidad de energía del campo electromagnético, con lo cual: tr {T} = ε + Tkk en donde hemos representado (recurriendo nuevamente a la convención de sumación empleando índices repetidos) como Tkk a la suma de los componentes espaciales diagonales del tensor T. Puesto que tenemos que llevar a cabo la suma de T22 + T33 + T44, los agruparemos aquí nuevamente en preparación para la adición de los mismos:

Tenemos entonces:

Haciendo uso del hecho de que: E² = Ex² + Ey² + Ez² B² = Bx² + By² + Bz² podemos sumar las “columnas” para obtener entonces:

lo cual se reduce finalmente a:

y dado que:

concluímos entonces que: tr {T} = 0 Con el tensor energía-tensión del campo electromagnético T en nuestras manos, si queremos saber cómo un campo electromagnético puede producir una curvatura en el espacio-tiempo todo lo que tenemos que hacer es substituírlo en las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Si el tensor energía-tensión T en cierta región del espacio-tiempo tiene como únicas componentes las que corresponden al campo producido por un campo electromagnético en el espacio libre siendo por lo tanto el tensor electromagnético energía-tensión, entonces las ecuaciones de campo de Einstein son conocidas como las ecuaciones Einstein-Maxwell se pueden escribir en notación de componentes de la siguiente manera (la adición de la la permeabilidad magnética μ 0 se ha efectuado aquí con el propósito de que la expresión sea dimensionalmente correcta en el sistema internacional de unidades SI):

Si la constante cosmológica del Universo es puesta igual a cero (Λ = 0) como terminó haciéndolo Einstein, las ecuaciones Einstein-Maxwell se reducen a:

En principio, de acuerdo con esto último y aunque los efectos son insignificativamente minúsculos, el campo electromagnético tiene la capacidad para provocar una curvatura en el espacio-tiempo. Puesto que un fotón de luz es esencialmente un corpúsculo de energía electromagnética, el torrente de fotones con los cuales el Sol está bañando constantemente a la Tierra permitiendo que la vida florezca en nuestro planeta tiene la capacidad para producir en conjunto una pequeñísima curvatura en el espacio-tiempo. En pocas palabras, la luz puede provocar los efectos típicos de una atracción gravitatoria. Esta es una conclusión sorprendente, no prevista por la ley de la gravitación universal de Newton, tomando en cuenta que ni en los tiempos de Newton ni en los tiempos modernos de hoy se considera que el fotón pueda tener masa alguna. A un fotón se le puede asignar una “masa” en función de su energía E = hf y en base a la equivalencia relativista E = mc², pero carece de masa en reposo. Esto significa que, ni más ni menos, algo que carece de masa puede ejercer una atracción gravitatoria a causa de la curvatura que provoca en el espacio-tiempo.

38. ELECTRODINÁMICA RELATIVISTA III Aunque este tema correponde más bien a la Teoría Especial de la Relatividad que a la Relatividad General, se ha puesto aquí siguiendo no sólo la metodología pedagógica que indica que los temas deben ser puestos en orden ascendente de dificultad sino tomando en cuenta el hecho de que el tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del análisis tensorial que no se acostumbra dar en un curso introductorio de la Teoría Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes de entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta familiaridad con las nociones básicas del electromagnetismo. El tensor de Faraday F, tan importante para el tratamiento tensorial dado a la electrodinámica clásica, puede ser a su vez definido en términos de un potencial electromagnético A utilizándolo como punto de partida, a manera de axioma o postulado Euclideano, para el desarrollo de todo lo demás. La definición del tensor de Faraday en su forma covariante sobre esta base es la siguiente:

El potencial electromagnético A es, desde luego, un tensor, cumpliendo con la definición básica de un tensor:

PROBLEMA: Demostrar que, bajo una transformación de coordenadas al pasar de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’, la definición del tensor de Faraday F en función del potencial electromagnético A cumple con la definición fundamental de un tensor. En el sistema de referencia S’, la definición covariante del tensor de Faraday F, si es que ha permanecido realmente invariante en forma, debe tener el siguiente aspecto:

Puesto que A es un tensor, lo podemos substituír aquí por su definición tensorial básica:

Desarrollando y simplificando tenemos entonces:

Lo último es precisamente la definición de un tensor covariante de orden dos. Se concluye que el tensor de Faraday, definido en términos del potencial electromagnético A, es un tensor. Siendo el tensor de Faraday F un tensor, en el pleno sentido de la palabra, podemos tomar la derivada covariante de dicho tensor, lo cual nos introduce los símbolos de Christoffel de la siguiente manera (como siempre, usamos el semicolon para denotar la derivación covariante y la coma para denotar la derivación ordinaria): Fαβ;γ = Fαβ,γ - ΓμαγFμβ - ΓμβγFαμ Se vuelve necesario advertir aquí que la reformulación tensorial de las leyes de la electrodinámica

de Maxwell sólo es válida para las leyes de Maxwell en el vacío, o sea para campos electromagnéticos propiamente dichos, conocidas también como las leyes “microscópicas” de Maxwell. Para las leyes “macroscópicas” de Maxwell aplicadas a materiales de todo tipo, la presencia de dichos materiales establece un marco de referencia fijo con lo cual las leyes dejan de ser covariantes. Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético macroscópico en la materia pueden ser deducidas de las ecuaciones de Maxwell postuladas para el campo electromagnético microscópico. La influencia de la materia es lo que dá origen a una densidad de carga eléctrica microscópica y a una densidad de corriente eléctrica microscópica. Como tales, los electrones producen cambios espaciales rápidos en el campo electromagnético. El tensor de Faraday es utilizado tanto en el estudio de los campos electromagnéticos como de las cargas eléctricas en movimiento. Para que las formulaciones tensoriales puedan ser covariantes, invariantes en forma al pasar de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’, es necesario reformular las variaciones con respecto al tiempo en función del tiempo propio (local) τ medido por un observador situado en el sistema en reposo, y se vuelve necesario reformular también las definiciones dadas clásicamente en el 3-espacio Euclideano de modo tal que puedan ser enunciadas en función de 4-vectores. Un buen ejemplo de ello lo tenemos en la ecuación de Lorentz para una carga eléctrica en movimiento. Clásicamente, el campo eléctrico E está dado en función de la fuerza de atracción (o repulsión) FE que actúa sobre una carga de prueba situada a cierta distancia de la carga puntual que está generando dicho campo, mientras que la fuerza FB que actúa sobre una carga en movimiento cuando está viajando dentro de un campo de inducción magnética B está dada en función del producto cruz de la velocidad u de la carga y la intensidad B del campo magnético.

La fuerza total F que actúa sobre la carga será igual a la suma vectorial de FE y de FB:

Puesto que, clásicamente, la fuerza dinámica actuando sobre una partícula es por definición igual al cambio en su cantidad de movimiento, dp/dt, el lado izquierdo de la expresión anterior lo

podemos escribir de la siguiente manera:

Esta es la ecuación de fuerza de Lorentz, una expresión clásica pre-relativista, válida en el 3espacio Cartesiano únicamente para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz. Vamos a tratar ahora de reformular esta última ecuación para que sea covariante, invariante bajo transformaciones de Lorentz. Antes de continuar, es importante aclarar de antemano que un postulado esencial en la electrodinámica relativista es el de la invariancia de la carga eléctrica, o sea que la carga eléctrica de una partícula es una cantidad cuya magnitud no cambia, se conserva absolutamente sin variar al pasar la partícula de un sistema de referencia a otro. La invariancia de la carga bajo transformaciones de Lorentz, o más concretamente, la independencia de la velocidad de la carga observada de una partícula, es algo establecido experimentalmente que no resulta de teoría alguna. En la ecuación de fuerza de Lorentz, el momentum p de la partícula consta de tres componentes: p = (px, py, pz) Si este momentum p forma parte de un 4-vector, tal vector no puede ser otro más que el 4-vector energía-momentum P que ya hemos estudiado con anterioridad: P = (pα) = (p1, p) = (E/c, px, py, pz) Pero el 4-momentum relativista P es simplemente el producto de la masa propia mo por cada una de las componentes de la 4-velocidad U = (Uα) de la Teoría Especial de la Relatividad, o sea: P = (moU1, moU) = moUα Si usamos el tiempo propio (local) τ en lugar del tiempo absoluto t para la diferenciación, entonces la ecuación de fuerza de Lorentz puede ser escrita de la siguiente manera para el 4-espacio:

El lado izquierdo lo podemos poner también en función de la 4-velocidad U = (Uα):

Podemos introducir además el tensor de Faraday F para escribir de este modo ambos lados de la 4-fuerza de Lorentz en notación tensorial de componentes:

Ambos lados de esta expresión están escritos en función de la 4-velocidad U. Si queremos escribirlos en función de la 4-posición, entonces la expresión resultante es la siguiente:

PROBLEMA: De la definición básica del 4-vector densidad de corriente J: J = (cρ, J) podemos ver que la carga eléctrica total Q en cualquier marco de referencia es:

en donde la integración múltiple se extiende sobre una hipersuperficie t = constante. Si definimos an como un vector unitario normal a esta hipersuperficie, demostrar que:

En un 3-espacio Euclideano, el 3-vector n = (n1, n2, n3) es un vector unitario normal (perpendicular) a un elemento de una 2-superficie dS, de modo tal que el flujo de un vector A a través de dicha superficie es: A · dS = A · n dS = (A1, A2, A3) · (n1, n2, n3) dS = (A1n1 + A2n2 + A3n3) dS = Aα nα dS En el 4-espacio relativista, el flujo neto a través de una 3-superficie quedará definida de la misma manera, como AαnαdS. Si en el 2-espacio tenemos que llevar a cabo una doble integración para cada sección de superficie atravesada por el campo vectorial A, en el 3-espacio tenemos que llevar a cabo una triple integración para cada 3-superficie. Si llevamos a cabo la evaluación de la integral del vectorJ = (Jα) sobre una superficie, entonces el flujo total cuando la integración se lleva a cabo sobre una hipersuperficie t = constante está dado por:

Obviamente, las últimas tres integrales se desvanecen al llevarse a cabo las integraciones sobre una hipersuperficie t = constante. Esto nos produce la expresión que se deseaba demostrar para la

obtención de la carga eléctrica total Q en un 4-espacio relativista. Hasta aquí hemos visto que un campo eléctrico E y un campo magnético B no poseen una existencia verdaderamente independiente ni poseen separadamente cada uno de ellos una invariancia Lorentziana, y hemos visto que ambos son a su vez meros componentes del tensor de Faraday F, el cual sí es una invariante de Lorentz, el cual es la descripción invariante de los campos electromagnéticos dentro de la Teoría de la Relatividad. Hemos analizado, desde el punto de vista relativista, lo que ocurre cuando consideramos una carga eléctrica que está en reposo en un marco de referencia y que vista desde otro marco de referencia se encuentra en movimiento. También hemos estudiado cómo una línea infinitamente larga cargada eléctricamente, si es vista por un observador moviéndose a lo largo de un eje paralelo a dicha línea, produce la inducción propia de un campo magnético B. La concordancia plena entre la electrodinámica clásica y la Teoría General de la Relatividad es algo que no se pone a discusión. Sin embargo, al tratar de extender la electrodinámica clásica hacia marcos de referencia acelerados, no tardamos en toparnos con problemas al tratar de compaginar los resultados con las conclusiones obtenidas mediante la Relatividad General para el caso del campo gravitacional. Antes de entrar en detalle sobre los problemas que confrontamos al tratar de “pegar” a la electrodinámica clásica con la Relatividad General, estudiaremos el caso de una carga eléctrica que está siendo sometida a una aceleración constante. El libro convencional “Classical Electrodynamics” de John David Jackson utilizado ampliamente para el estudio de la electrodinámica en programas de postgrado al igual que muchos otros textos inspirados en este libro adoptan la postura de que la potencia de la radiación emitida por una carga eléctrica que está siendo acelerada depende exclusivamente de la aceleración. El punto usual de partida es la definición del vector de Poynting S. No es difícil demostrar que la potencia de la energía electromagnética está dada por la siguiente fórmula conocida como fórmula de Larmor para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz:

siendo q la carga eléctrica de la partícula y siendo a = (ax, ay, az) la aceleración en coordenadas Cartesianas rectangulares. Esta fórmula tiene además la propiedad de que es una invariante de Lorentz, pese al hecho de que sólo es válida para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz. PROBLEMA: Sin recurrir a cálculos detallados, demostrar que la fórmula de Larmor es una invariante de Lorentz que conserva su forma tras un cambio de marcos de referencia. La potencia de la energía electromagnética que está siendo radiada por la carga eléctrica que está

siendo acelerada está dada por la razón de la pérdida de energía, - dW/dt, tal y como se observa y se mide en el sistema de referencia S. Del mismo modo, en el sistema de referencia S’, la pérdida de energía está dada por - dW’/dt’. Pero W es proporcional a la primera componente del 4-vector energía-momentum (E/c, px, py, pz), mientras que t es proporcional también a la primera componente de un 4-vector, el vector posición (ct,x,y,z), y en este caso ambas cantidades están sujetas a la misma transformación de Lorentz, con lo cual la los factores comunes de conversión Lorentziana tanto en el numerador como en el denominador se cancelan, dejándonos con la misma expresión. Se concluye que la fórmula de Larmor es una invariante de Lorentz, y puede ser escrita para el sistema de referencia S’ de la siguiente manera:

Sin embargo, tanto en el sistema de referencia S como en el sistema de referencia S’, la fórmula de Larmor es sólo válida para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, de modo tal que la fórmula de Larmor no es covariante. El primer paso consistirá en modificar la fórmula para que ésta sea covariante, tensorial. La reformulación de la 3aceleración acomo una 4-aceleración A se puede efectuar mediante una contracción tensorial en el 4-espacio de la siguiente manera empleando la convención de sumación por la vía de los índices repetidos: AμAμ De este modo, la fórmula de Larmor covariante queda escrita del siguiente modo especificada para el 4-espacio en lugar del 3-espacio:

Esta es la fórmula de Larmor expresada en forma covariante. Pero aún no es una fórmula relativísticamente correcta. Puesto que en la fórmula original de Larmor tanto la aceleración a en el sistema de referencia S’ como la aceleración a en el sistema de referencia S son 3-aceleraciones, el paso lógico consiste en reemplazar la 3-aceleración con una 4-aceleración A = (Uα), obtenida directamente de la diferenciación con respecto al tiempo propio (local) τ de la 4-velocidad U = (Uα) empleada en la Teoría Especial de la Relatividad, la cual en nuestra introducción a los 4-vectores

vimos que era igual a: U = (Uα) = (γc, γu) siendo u la 3-velocidad. La diferenciación de la 4-velocidad U con respecto al tiempo propio τ viene siendo entonces:

Para poder llevar a cabo la contracción tensorial de Aμ con Aμ como se indica arriba, necesitamos la forma covariante de la 4-aceleración A, la cual obtenemos con la ayuda del tensor métrico g = (gαβ) que corresponde al espacio-tiempo Lorentziano de la Teoría Especial de la Relatividad, con lo cual obtenemos lo siguiente tras bajar el índice de Aμ:

Pero el tiempo t y el tiempo propio τ están relacionados mediante la expresión relativista para la dilatación del tiempo t = γτ. Entonces de inicio tenemos que tener algo como lo siguiente para el 4-vector velocidad U:

De este modo, tenemos lo siguiente:

Este paso anterior era necesario porque nuestro punto de partida fue una relación especificada no en el tiempo propio τ sino en el tiempo del observador externo t, y esto nos introduce un factor γ al ponerlo todo en función de los 4-vectores relativistas, algo que tenemos que agregar a la relación final que obtengamos. Con lo que tenemos arriba, el procedimiento de desarrollo para obtener la 4-aceleración relativista que tenemos que utilizar en la versión covariante de la fórmula de Larmor es directo. El álgebra es un poco laboriosa y no será reproducida aquí. Sin embargo, una simplificación que podemos utilizar en los procedimientos algebraicos para ahorrarnos varios pasos es la siguiente:

Con lo anterior llegamos por fin a la siguiente fórmula de Larmor relativista:

El término entre los paréntesis es esencialmente un término relativista de aceleración. Podemos poner esta ecuación en una forma un poco más útil, en lo que a interpretación de resultados físicos se refiere, recurriendo a la definición del producto cruz de dos vectores especificado del siguiente modo:

y recurriendo también a la definición del producto escalar de dos vectores especificado del siguiente modo:

Con estas dos relaciones vectoriales, podemos efectuar la siguiente manipulación del término relativista dentro los paréntesis en la fórmula de Larmor:

La fórmula relativista de Larmor toma entonces la siguiente forma:

En un movimiento de aceleración lineal el 3-vector velocidad u siempre será paralelo al 3-vector aceleración du/dt, de modo tal que el segundo término dentro del paréntesis se desvanece proporcionándonos la energía electromagnética emitida por la carga acelerada moviéndose siempre en una misma dirección. Y en un movimiento en el cual el 3-vector velocidad u está cambiando de dirección constantemente, siendo perpendicular al 3-vector aceleración du/dt como ocurre en el caso de los aceleradores de partículas tales como el ciclotrón y el sincrotrón, el segundo término contribuirá a la radiación emitida, y es precisamente éste término el que pone un límite práctico a la velocidad que se le pueda imprimir a partículas atómicas y sub-atómicas en un acelerador rotatorio. Haciendo la simplificación β = u/c y metiendo la constante c² tomándola del denominador del factor externo para meterla en el primer témino dentro del paréntesis, juntándola con la otra constante c² que está en el segundo término para incorporarla del mismo modo en cada u del segundo término, tenemos otra variante de la fórmula de Larmor relativista, válida para cualquier velocidad:

PROBLEMA: Obtener una fórmula para la potencia de la energía electromagnética radiada en función del cambio de la energía cinética K de la partícula con respecto a la distancia recorrida (= dK/dx) para una aceleración lineal. Suponiendo para los aceleradores electroestáticos lineales de partículas una ganancia de 10 MeV/metro, demuéstrese que bajo tales condiciones la pérdida de energía por radiación es despreciable. Ya hemos visto previamente en otra entradas que la energía cinética relativista K está dada por la fórmula: K = (γ - 1) m0c² Tomando la derivada de K con respecto al tiempo y usando un resultado obtenido arriba tenemos

entonces:

Con la ayuda de la regla de la cadena, podemos obtener dK/dx de la siguiente manera:

Despejando esto último para poner todo en función de la aceleración du/dt:

Reemplazando esto en la expresión para la potencia radiada en el caso de que la aceleración es lineal con la velocidad u y la aceleración du/dt colineares (apuntando en la misma dirección) obtenemos la expresión deseada:

Evaluaremos ahora la potencia electormagnética radiada para un valor de dK/dt = 10 MeV/metro. Podemos llevar a cabo los cálculos numéricos de una manera más elegante y menos propensa a errores escribiendo lo anterior de la siguiente manera:

Con estos cambios, en el denominador tenemos a la energía en reposo m0c² de la partícula, que para un electrón es igual a 0.511 MeV. Y en el numerador tenemos una cantidad (q²/m 0c²) que resulta ser igual a una longitud que en este caso viene siendo el radio clásico del electrón que fue obtenido por Thomson con la siguiente fórmula en el sistema de unidades Gaussianas:

Para que esto sea cierto, tenemos que utilizar para la unidad fundamental de carga un valor de 4.8·10-10 statcoulombs (o bien 4.8·10-10 esu ó electrostatic unit, siendo el statcoulomb una unidad cuya conversión al sistema SI es 1 statcoulomb ≈ 3.33564×10−10 coulombs). Empleando valores numéricos tenemos entonces que la potencia radiada será: {[2(2.82·10-13 metro)(3·1010 cm/seg)]/[3(0.511 MeV)]}/{10 MeV/100 cm}² ≈ 11·10-5 MeV/segundo

La fracción de la potencia que es perdida por radiación electromagnética para esta partícula, en este caso un electrón que suponemos que está viajando a velocidades relativistas, será entonces: (11·10-5 MeV/segundo)/[(10 MeV/100 cm)(3·1010 cm/seg)] ≈ 3.67·10-14 Esta es una fracción despreciable, y tiene una consecuencia que será relevante para nuestra discusión posterior: es prácticamente imposible obtener de una partícula que está siendo aceleradalinealmente información experimental que confirme la exactitud de las fórmulas relativistas para la radiación electromagnética radiada por una carga acelerada. En realidad, hay un pequeño detalle que hemos pasado por alto con el fin de no embrollar más los cálculos teóricos. Si una partícula es acelerada produciendo con ello un campo electromagnético de radiación, el movimiento posterior de la partícula indudablemente será modificado por este campo de radiación. Este fenómeno es conocido teóricamente como reacción de radiación oamortiguamiento por la radiación (radiation damping). De cualquier manera, en lo que hemos visto acerca de cargas eléctricas y consecuentemente campos eléctricos acelerados todo hasta aquí parece ser consistente, libre de conflictos internos. Consideraremos ahora cómo empiezan a surgir dificultades en cuanto entra en el panorama la Relatividad General. Si aceptamos en toda su extensión el principio fuerte de equivalencia de la Relatividad General, la equivalencia plena entre la gravedad y la aceleración, la sola idea de que la radiación electromagnética es una función de la aceleración de una carga eléctrica se vuelve problemática, porque bajo este contexto un objeto puede estar estacionario en el mismo lugar y acelerándose al mismo tiempo. Por ejemplo, un objeto cargado eléctricamente puede estar en reposo sobre la superficie de la Tierra, y sin embargo está sujeto también a una aceleración gravitatoria g de aproximadamente 9.8 metros/seg². Es precisamente esta aceleración gravitatoria la que ocasiona que una masa tenga peso (W = mg), y que ese peso sea menor en la superficie de un cuerpo celeste con menor atracción gravitatoria (como la Luna) o mayor en la superficie de un cuerpo celeste con mayor atracción gravitatoria (como el planeta Júpiter), siendo el peso igual a cero cuando el objeto está flotando libremente en el espacio. Podemos decir con plena certeza que un objeto que permanece estacionario sobre la superficie de la Tierra no está radiando energía electromagnética, al menos desde el punto de vista de observadores co-estacionarios. Si estuviese radiando energía electromagnética, tendríamos entonces una fuente perpetua y gratuita de energía. Puesto que la fuerza de empuje que sostiene al cuerpo en su lugar en la superficie terrestre no actúa a lo largo de distancia alguna, el trabajo hecho por esta fuerza es cero. Entonces no se está metiendo energía alguna en el objeto, de modo tal que si el objeto estuviese emitiendo

energía electromagnética (y suponiendo que la energía interna del objeto permanece constante) tendríamos una violación del principio de la conservación de la energía. Naturalmente, podríamos poner en tela de duda la aserción de que no se está haciendo trabajo alguno por la fuerza de empuje que mantiene al objeto en la superficie de la Tierra. Si imaginamos una cápsula herméticamente sellada en caída libre, y si dentro de dicha cápsula un objeto se está acelerando (hacia arriba) de forma tal que mantiene la misma altura relativa en relación a la fuente gravitatoria externa, podríamos decir que dentro de la cápsula hemos estado haciendo un trabajo sobre el objeto al ir aumentando su velocidad (hacia arriba) dentro de la cápsula, relativa a la cápsula misma, pese a que desde el punto de vista (externo) de la fuente gravitatoria (la Tierra) el objeto permanece estacionario y no se ha efectuado trabajo alguno sobre el objeto. Esto no debe sorprendernos, puesto que el trabajo y la energía cinética son entendidos como conceptos relativos, pero nos conduce a la conclusión inusual de que la radiación electromagnética también debe ser un concepto relativo. La relatividad que ya nos debe ser familiar de la energía cinética se corresponde con la simetría que hay entre marcos de referencia distintos, es decir, siempre podemos encontrar un marco inercial (Lorentziano) de referencia con respecto al cual cualquier objeto (en un instante dado) tiene una energía cinética igual a cero por estar el objeto instantáneamente en reposo en dicho marco de referencia que hemos llamado el marco de referencia comóvil. El considerar partículas cargadas eléctricamente en presencia de un campo gravitacional parece sugerir de igual modo que siempre podemos encontrar un sistema de coordenadas (al menos localmente) con respecto al cual un objeto cargado eléctricamente no emite radiación electromagnética alguna en un instante dado, aunque la partícula pueda estar emitiendo radiación electromagnética con respecto a otro sistema de coordenadas. También podemos cuestionar el hecho de que las ecuaciones de la electrodinámica realmente impliquen el hecho de que una carga eléctrica que se esté acelerando necesariamente deba radiar energía electromagnética. Sorprendentemente, este asunto es un asunto que no se ha zanjado del todo en la teoría clásica del electromagnetismo. La dificultad radica en saber cómo poder dilucidar la influencia de una partícula cargada eléctricamente sobre sí misma. Recordemos aquí que dos electrones se repelen el uno al otro con una fuerza que es estáticamente proporcional al recíproco de la distancia que hay entre las cargas. Esto es entendido tradicionalmente como la interacción de cada partícula con el campo eléctrico de la otra partícula. La intensidad del campo eléctrico producido por cada carga aumenta hasta el infinito conforme la distancia hacia la carga se aproxima a cero (suponiendo cargas puntuales, algo que la Mecánica Cuántica considera insostenible). Pero es aquí en donde encontramos una dificultad conceptual, porque de acuerdo con esta descripción todo electrón está situado precisamente en un lugar en donde existe una fuerza de repulsión infinitamente grande en contra de los electrones. Podemos intentar manejar esto último de varias maneras. La solución más simplista consiste simplemente en proclamar que un electrón no interactúa de modo alguno con su propio campo eléctrico, y cuando interactúa lo hace con los campos de otras partículas. Si adoptamos éste punto de vista, tenemos que explicar entonces el por qué una partícula cargada eléctricamente opone

una mayor resistencia a cambios en su estado de movimiento que una partícula sin carga eléctrica alguna pero con la misma masa inercial. El análisis tradicional de las cargas aceleradas nos dice que ésta “fuerza de reacción de radiación” aplicada a lo largo del movimiento de la carga acelerada es la que nos proporciona el suministro de energía que es emitida en la forma de ondas electromagnéticas. Tradicionalmente se ha explicado que esta fuerza tiene su origen en la interacción de la partícula con su propio campo eléctrico. Por lo tanto, si proclamamos que las partículas cargadas eléctricamente no interactúan con su propio campo, entonces tenemos que buscar una explicación alterna a la reacción de radiación. Un candidato para tal cosa es la teoría del absorbedor Wheeler-Feynman, la cual empieza con la idea de que toda solución válida a las ecuaciones del campo electromagnético tiene que ser simétrica con respecto a la inversión del tiempo (t → - t), como lo son las mismas ecuaciones del campo electromagnético, siendo la motivación para dicha propuesta la importancia que la simetría del tiempo tiene en el estudio de la física, y de acuerdo con la cual la resistencia adicional presentada por una partícula cargada a cambios en su estado de movimiento se debe a ondas avanzadas emanandohacia atrás en el tiempo de un conjunto de absorbedores en el futuro, cuyas ondas son excitadas por las ondas retardadas emanando de la partícula hacia adelante en el tiempo. El problema con esta explicación es que pone en aprietos al principio básico de la causalidad de la ciencia. También podríamos argumentar que aunque la fuerza de repulsión sobre una partícula cargada producida por su propio campo es infinita, ésta debe ser igualmente infinita en todas las direcciones posibles, de modo tal que las fuerzas infinitas se cancelan dejando una fuerza neta de cero sobre la partícula debida a su propio campo, al menos si la partícula está en movimiento uniforme. Podemos suponer además que la aceleración de una partícula cargada altera esta situación singular al irse sobreponiendo a su propio campo, ocasionando por lo tanto una fuerza neta. La misma perturbación del campo nos produce una radiación, de modo tal que observamos una correlación entre radiación y reacción. Sin embargo, este argumento nos lleva demasiado pronto a conclusiones que desafían nuestra intuición, empezando por el hecho de que la ecuación de movimiento que se obtiene basada en esta premisa implica que una carga eléctrica que se está acelerando no emite radiación alguna. A esto se le llama generalmente movimiento hiperbólico, porque la línea del mundo de la partícula en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski resulta ser una hipérbola asintótica al cono de luz. Aún más perturbador resulta el hecho de que las ecuaciones de movimiento para una partícula cargada basadas sobre estas consideraciones poseen soluciones de fuga (runaway) en las cuales la partícula se acelera rápidamente hacia la velocidad de la luz. El que estas soluciones puedan ser reales o no sigue siendo motivo de debate, pero la ausencia de radiación predicha para el movimiento hiperbólico ha sido citada algunas veces como una forma de reconciliar el Principio de Equivalencia de la Relatividad General con el hecho de que una partícula cargada eléctricamente en reposo sobre la superficie de la Tierra no emite radiación electromagnética pese a que está experimentando una aceleración propia (local) de 9.8 metros/seg². En la obra Feynman Lectures on Gravitation, Richard P. Feynman va tan lejos como para afirmar que “hemos heredado el prejuicio de que una carga que se está acelerando debe emitir radiación” (Feynman fue un científico prolífico ganador del Premio Nobel que dió un gran impulso al campo de la electrodinámica cuántica o QED - Quantum Electrodynamics), y tras

hacer esta aserción argumentó que la fórmula clásica que nos proporciona la potencia radiada por una carga que se está acelerando como proporcional al cuadrado de la aceleración “nos ha separado del camino correcto” porque ésta fórmula se aplica únicamente a movimientos cíclicos o acotados como los que se llevan a cabo en los aceleradores de partículas, afirmando que el trabajo hecho por unidad de tiempo en contra de la “fuerza de reacción de radiación” por una partícula que se está moviendo a lo largo del eje-x es:

De acuerdo con esta fórmula, la fuerza de reacción de radiación (y por lo tanto la potencia radiada) es proporcional a la tercera derivada de la posición, de forma tal que si la partícula se está moviendo con una aceleración constante (con lo cual d3x/dt3 = 0) entonces la partícula no emite radiación electromagnética alguna. Pero si esto es cierto, ¿entonces por qué estamos acostumbrados a considerar a la radiación estrictamente como una función de la aceleración? Feynman señala que la ecuación puede ser escrita de la siguiente manera:

en donde podemos reconocer en el primer término a la fórmula de Larmor para la potencia radiada. Para un movimiento ondulatorio senoidal sencillo x(t) = sen(wt), el primer término es proporcional a w4sen²(wt), el cual es definitivamente positivo (positive definite) mientras que el segundo término es proporcional a w4cos(2wt) que oscila por intervalos de tiempo iguales entre valores positivos y negativos. Con esto, el trabajo acumulativo integrado representado por el segundo término sobre cualquier número entero de cicles es igual a cero, mientras que el trabajo representado por el primer término aumenta paulatinamente. Esto explica el por qué usualmente ignoramos el segundo término y tomamos el primer término como la definición de la potencia electromagnética radiada, lo cual nos lleva a la conclusión errónea de que la radiación es estrictamente una función de la segunda derivada (aceleración), cuando de hecho es proporcional a la tercera derivada de la posición. (Dicho sea de paso, si regresamos a la ecuación original anterior aplicándola a nuestra partícula sinusoidal, obtenemos una potencia que es proporcional a w4cos²(wt), lo cual demuestra que el efecto del término que no es definitivamente positivo en la segunda ecuación equivale a desplazar la fase de la potencia por un ángulo de π/2. Pese a las correcciones hechas por Feynman, no existe un acuerdo general en la literatura acerca

de si una carga acelerada uniformemente es capaz de radiar en el ámbito de la electrodinámica clásica, e inclusive mucha gente rechaza las conclusiones de Feynman como absurdas. A modo de ejemplo, en el libro “Electromagnetic Fields and Interactions” de Richard Becker encontramos en el párrafo 4 de la Parte II el argumento de que la ecuación de Feynman es válida únicamente para movimientos casi periódicos para los cuales todas las derivadas de la posición son proporcionales a las potencias correspondientes de las frecuencias, señalando que “se obtienen resultados absurdos si (la ecuación de Feynman) es aplicada a otros tipos de movimiento, tales como el retardamiento de un electrón libre en un campo eléctrico que se opone a su avance. En este caso, sólo la segunda derivada será diferente de cero, y la ecuación no será capaz de predecir ningún amortiguamiento ocasionado por la radiación (esto es conocido en los textos de la electrodinámica clásica como radiation damping). La derivación dada arriba del amortiguamiento de la radiación no es satisfactoria, porque no está claro cómo la onda esférica que es emitida influye en el movimiento del electrón. Para poder lograr un entendimiento más cercano sobre la naturaleza de esta ‘auto-reacción’ es necesario calcular la fuerza resultante sobre todos los elementos de volumen del electrón. Tipos de movimiento (tales como el del electrón libre) sólo pueden ser tratados a la luz de un conocimiento más preciso de la estructura del electrón”. De este modo, Becker rechaza como absurda la noción de que una carga en movimiento uniformemente acelerado no experimenta reacción de radiación, mientras que Feynman defiende su propuesta basándose en el Principio de Equivalencia de la Relatividad General. Naturalmente, sabemos que arriba de cierta frecuencia (o debajo de cierta longitud de onda, que viene siendo el enunciado equivalente) las ecuaciones clásicas del electromagnetismo dejan de ser válidas:

como lo muestra el contraste entre la conclusión matemática clásica de la “catástrofe del ultravioleta” proveniente del análisis de una radiación de cavidad y los resultados obtenidos experimentalmente. El efecto fotoeléctrico debe ser tomado en cuenta también al igual que todos los demás efectos de naturaleza mecánico-cuántica, los cuales son incompatibles con la concepción ondulatoria sencilla de la radiación electromagnética. De cualquier modo, aún en la teoría cuántica de la electrodinámica encontramos que el asunto de la reacción de radiación nos conduce a dificultades que hasta la fecha sólo han podido ser resueltas de una manera ad hoc mediante el proceso matemético de renormalización. Resulta interesante considerar el resultado de tratar a la radiación electromagnética simplemente como la emisión de partículas clásicas moviéndose a velocidad constante, muy al estilo de la teoría corpuscular de Newton. Aquí encontramos de inmediato dificultades, porque estos corpúsculos de luz son portadores de momentum, y si se considera que son emitidos de manera discreta (en “cuantos”) por la partícula cargada, entonces la reacción debería ser un impulso, lo cual implica una aceleración de la partícula emisora, aunque de una duración infinitesimalmente pequeña de tiempo. Ahora bien, si la radiación electromagnética proveniente de esta partícula es estrictamente proporcional a la aceleración, debemos esperar que la partícula esté radiando a una razón infinita por un un período infinitesimalmente pequeño de tiempo debido a la reacción de la emisión de un solo corpúsculo de radiación. Podría argumentarse que el monto total (integrado) de esta radiación es finito, pero la emisión de cada uno de estos corpúsculos radiados le dá un impulso adicional de aceleración a la partícula cargada eléctricamente, resultando a su vez en más radiación, y así sucesivamente. Esto nos demuestra claramente la naturaleza problemática de las proposición dual de que la aceleración produce radiación y de que la radiación provoca aceleración. Resulta obvio que estas dos proposiciones deben ser balanceadas cuidadosamente para poder producir resultados bien comportados. En el pasaje introductorio de su primer trabajo publicado en 1905 sobre la Teoría de la Relatividad titulado “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”, Einstein usa como paradigma el movimiento relativo entre un conductor y un imán moviéndose a una velocidad constante, destacando que es el movimiento relativo entre ambos lo que produce el fenómeno de inducción, sin hacer referencia alguna a ningún tipo de radiación electromagnética, destacando también que el tratamiento clásico pre-relativista (basado en las transformaciones de Galileo) conduce a asimetrías que no están presentes en los fenómenos de la electrodinámica. Hoy nos encontramos en una situación parecida a la que encontró Einstein al tratar de liberar a la electrodinámica clásica de su tiempo de dichas asimetrías si intentamos extender la filosofía relativista a cargas que están siendo aceleradas, porque si hacemos tal cosa nos topamos nuevamente con la existencia de asimetrías que no son parte inherente de los fenómenos bajo observación, especialmente si aceptamos plenamente la versión fuerte del Principio de Equivalencia de la Relatividad General. Si sometemos a una partícula cargada a un movimiento acelerado periódico mientras un conductor distante está en reposo o en movimiento a velocidad constante, la partícula cargada emitirá

radiación electromagnética con momentum y energía bien definidos por la electrodinámica clásica, y esta radiación inducirá corrientes pequeñas en el conductor. Por otro lado, si es la partícula la que está en reposo o en movimiento uniforme mientras que el conductor distante es sometido a un movimiento oscilatorio acelerado, no habrá radiación electromagnética emanada de la carga (de acuerdo con el punto de vista tradicional) aunque de cualquier manera aparecerán corrientes en el conductor, ahora atribuídas al campo eléctrico estático. Parece razonable sugerir que no es justificable la distinción trazada por el punto de vista tradicional sobre las dos circunstancias mencionadas, y el principio de la relatividad debe poder ser aplicado a las descripciones de efectos físicos con respecto a sistemas de referencia mucho más generales. Esto es en efecto lo que abarca la versión fuerte del Principio de Equivalencia, y es la razón por la cual Einstein consideró a su teoría de la gravedad como una generalización y extensión del principio de la relatividad. En 1917 Einstein escribió lo siguiente: “De acuerdo con esta concepción, uno no puede hablar de la aceleración absoluta de un sistema de referencia, del mismo modo que en la Teoría de la Relatividad uno no puede hablar de la velocidad absoluta de un sistema”. Sin embargo, no todos están de acuerdo con esta observación fundamental hecha por Einstein, entre ellos Hans Ohanian y Remo Ruffini, los cuales en su libro “Gravitation and Spacetime” escriben: “Resulta tentador darle al principio de invariancia general la interpretación física de que la aceleración también es relativa. Einstein llamó a su teoría de la gravedad la teoría de la relatividad general porque él pensaba que (localmente) los fenómenos observados en un campo gravitacional son indistinguibles de aquellos fenómenos observados en un sistema acelerado de referencia. Sin embargo, los efectos de marea (estos no tienen nada que ver con la marea que provoca la Luna en el nivel del mar en los puertos, son consecuencia del hecho de que las trayectorias de dos cuerpos en caída libre convergen hacia un mismo punto cuando son extendidas) nos permiten establecer una distinción clara entre las fuerzas gravitacionales y las pseudo-fuerzas encontradas en los marcos acelerados de referencia. Por lo tanto es falso hablar de una relatividad general del movimiento”. La respuesta dada por los relativistas teóricos a este argumento es que en primer lugar la teoría de Einstein no es propiamente hablando la teoría de la relatividad general, sino una teoría general de la relatividad, y en segundo lugar la idea de que los efectos de marea falsifican el Principio de Equivalencia es incorrecta, la cual surge del fallo en reconocer que la restricción de localización es tanto temporal como espacial y que, más aún, aquellos que suponen que la “gravedad verdadera” sólo existe en donde hay una curvatura local del espacio-tiempo, yerran en considerar circunstancias en las cuales se puede producir un campo gravitacional perfectamente uniforme sobre una región limitada mediante un arreglo adecuado de materia; ¿podrían realmente argumentar que no hay gravedad verdadera en tal región sólo porque no hay una curvatura local? En este respecto, el Principio de Equivalencia no es más que la versión en el espacio-tiempo de la proposición de la geometría Riemanniana de que una “hoja” diferenciable es localmente Euclideana (esto lo iremos viendo con mayor detalle en entradas posteriores). Una de las bases de nuestro prejuicio de que la radiación electromagnética debe ser absoluta es la noción de que la radiación está formada por esas entidades discretas identificables y localizables que llamamos fotones, desligadas en el curso de su existencia tanto de sus entidades emisoras como de las entidades que las absorben. Este modo de pensar es lo que ha llevado a mucha gente

a aceptar ciegamente la existencia del “fotón libre”, aunque de acuerdo a nuestra experiencia en realidad tal cosa no existe, ya que un fotón es necesariamente emitido y absorbido. De no ser así, no tendríamos conocimiento de su existencia. Los únicos eventos que son directamente observables son la emisión y la absorción del fotón, no la existencia de alguna entidad “en tránsito”. Esto está relacionado directamente con la imposibilidad de la existencia de una onda electromagnética perfectamente monocromática (“vibrando” a una sola frecuencia fija):

porque para que ésta sea perfectamente monocromática no debe tener principio ni fin. Si consideramos puntos de inicio y terminación como necesariamente tiene que ocurrir con los fotones de luz:

esto nos introduce componentes de frecuencia adicionales de acuerdo a lo que nos dice la teoría matemática conocida como el análisis de Fourier. Inclusive es dudoso que ésta última representación sea la que más aproxima a la realidad física, y la representación de un cuanto de onda electromagnética podría ser también la siguiente (entre muchas otras posibles):

Se debe recordar también que una onda perfectamente monocromática no es portadora de información alguna, y por lo tanto no está sujeta a limitación alguna de esa característica física que llamamos su velocidad de fase. Usualmente consideramos que la limitación relativista impuesta por la velocidad de la luz se aplica tanto a la energía como a la información, de modo tal que esto plantea la interrogante filosófica de que algo que sea perfectamente monocromático (si es que tal cosa realmente exista) pueda ser portador de energía alguna. Muchos de los que han estudiado este asunto a fondo enfatizan la distinción que debe de haber entre una carga eléctrica que ha sido uniformemente acelerada para todo el tiempo y una carga eléctrica que ha sido acelerada por un período prolongado de tiempo pero finito. Ultimadamente esto tiene una conexión con la distinción que pueda haber entre un fotón libre (si es que tal cosa existe) y un fotón real que es necesariamente emitido y absorbido. Otro punto de vista lo encontramos en el libro “Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles” de Asim Orhan Barut, publicado en 1964 y nuevamente en 1980, en el cual lleva a cabo una derivación de la fuerza de reacción de radiación empleando como punto de partida un simple balance de energía basado en la premisa de que la potencia electromagnética, considerada como energía por unidad de tiempo, está dada por la fórmula de Larmor. Igualando la integral de esta potencia electromagnética con la integral del producto de la fuerza de reacción de radiación por la velocidad tenemos el siguiente enunciado (estamos utilizando aquí la notación del punto puesto encima de la variable para indicar la derivada con respecto al tiempo de la variable, y un doble punto para indicar la segunda derivada con respecto al tiempo de la variable):

Haremos uso de la siguiente igualdad:

la cual a su vez implica lo siguiente:

De este modo, si seleccionamos un intervalo de tiempo {0,T} tal que la primera o la segunda derivada sea cero en ambos extremos de la integral, entonces el primer término en el lado derecho de esta expresión se desvanece, lo cual nos permite substituír esto en la ecuación del “balance de energía” y reacomodar los miembros bajo un solo símbolo integral para obtener así:

Tras esto, Barut hace la observación de que una solución (aunque no necesariamente la única) de esta última expresión se obtiene fijando el integrando a cero, obteniéndose así:

De este modo, hemos llegado a la fórmula original de Feynman, aunque aquí está ocurriendo algo inusual, porque Feynman empezó su análisis con esta relación argumentando que es aplicable a movimientos generales, tras lo cual derivó la ecuación de Barut para el “balance de energía” como una aproximación al movimiento periódico. En contraste, Barut empezó con su igualdad para el “balance de energía” defendiendo su validez para movimientos generales, tras lo cual derivó la ecuación original de Feynman como una aproximación para un movimiento periódico, precisamente el reverso del razonamiento de Feynman. Como si esto no fuese ya de por sí suficientemente confuso, Barut concluye diciendo que: “La suposición hecha arriba de que d²x/dt² se desvanece en t = 0 y en t = T es ciertamente verdadera para el movimiento oscilatorio, pero esperamos que un resultado como la ecuación (5) deba ser generalmente cierto”.

Desafortunadamente, no entra en detalle del por qué deberíamos esperar ésto. Casi todos parecen invocar la identidad:

pero no parece haber un consenso común sobre cómo deba interpretarse, y sobre qué términos deba considerarse fundamental. Mucha de la literatura sobre el asunto de la radiación proveniente de cargas aceleradas se enfoca en la ecuación del movimiento Lorentz-Dirac interactuando tanto con un campo externo como con su propio campo. Esta ecuación es el origen de la ecuación de Feynman, pero es importante recordar que está basada en la electrodinámica clásica de partículas puntuales en vez de estar basada en la electrodinámica cuántica, de modo tal que su relevancia física es cuestionable. El mismo principio de incertidumbre de Heisenberg descarta cualquier posibilidad de existencia de una partícula puntual porque de ser así, no habría límite alguno, ni siquiera teórico, para la ubicación de una carga eléctrica con un grado ilimitado de precisión, lo cual sabemos ya que no es posible en virtud de la naturaleza ondulatoria de la materia. Más aún, la validez de la ecuación Lorentz-Dirac es puesta en entredicho debido a la existencia de soluciones de fuga para la misma que presumiblemente no son observadas en el laboratorio, aunque sería interesante considerar como podría comportarse una partícula de fuga. El problema fundamental es que, aunque esta ecuación involucra la tercera derivada de la posición, no podemos especificar plenamente las condiciones iniciales únicamente en términos de la posición y la velocidad como podemos hacerlo para las ecuaciones ordinarias del movimiento. En la mecánica teórica, el espacio fase (phase space) usual para N partículas tiene 6N dimensiones (tres coordenadas para la dimensión y tres coordenadas para el momentum de cada partícula), mientras que el espacio fase para una partícula cargada bajo la ecuación de Lorentz-Dirac tendría 9N dimensiones. Típicamente, consideramos a la posición y a la velocidad (o el momentum) como parámetros independientes libres, en el sentido de que cualquier sistema físico puede ser postulado como residente en cualquier punto de ese espacio fase, tras lo cual irá evolucionando de acuerdo a las leyes del movimiento. Sin embargo, ya no es tan claro el que la posición, la velocidad, y la aceleración puedan ser considerados en el mismo sentido como parámetros libres mutuamente independientes. Las ecuaciones de campo de la Relatividad General proporcionan una buena ilustración de cómo leyes que son no-lineares implican restricciones (tales como las identidades de Bianchi) sobre las condiciones iniciales permisibles, de modo tal que no estamos libres de poder especificar un sistema en un punto arbitrario del espacio fase. Este tipo de restricción es aplicable también a la ecuación Lorentz-Dirac, puesto que ésta ecuación también es no-linear. Sin embargo, la existencia de soluciones de fuga (presumiblemente irreales) nos indica un tipo más sutil de restricción sobre las condiciones iniciales permisibles. Los puntos permisibles en el espacio fase no

sólo deben satisfacer las restricciones instantáneas, también deben ser (evidentemente) tales que nunca terminen evolucionando hacia regiones singulares o irreales del espacio fase. Por otro lado, el desprecio usual al campo estático “cercano” al estar analizando el campo de radicación “lejano” está basado en la suposición de que la distancia r a la fuente es lo suficientemente grande como para que términos proporcionales a 1/r² sean despreciables en comparación con los términos proporcionales a 1/r, aunque los cálculos de la reacción de radiación se extienden hasta r = 0. De cualquier manera, pese a la posición y fisicalidad dudosa de la ecuación Lorentz-Dirac, es instructivo repasar brevemente la forma de ésta ecuación así como sus implicaciones. Después de la re-normalización de la masa, y utilizando para la velocidad de la luz un valor igual a la unidad con fines de simplificación, esta ecuación para una partícula de masa m y carga q se puede escribir de la manera siguiente:

en donde U es la 4-velocidad, A es la 4-aceleración, F es la 4-fuerza de Minkowski (con los componentes Fm = Fmnum debidos a un campo externo Fmn), τ es el tiempo propio a lo largo de la línea del mundo de la partícula (en el diagrama espacio-tiempo de Minkowski), mientras que A² es el invariante escalar obtenido de la contracción del vector A consigo mismo. El primer término en el lado derecho es la fuerza de Lorentz, y el segundo término es la fuerza de reacción de radiación. Para nuestros propósitos, el aspecto más interesante de esta ecuación es el hecho de que la fuerza de radiación se desvanece si la aceleración propia A de la partícula es constante. En otras palabras, la cantidad dentro de los paréntesis es igual a cero bajo estas condiciones. El desvanecimiento de la cantidad entre los paréntesis puede ser expresado de la siguiente manera (la derivada de la 4aceleración se toma aquí como la segunda derivada de la 4-velocidad):

La condición de una aceleración propia constante implica que el cuadrado de la magnitud de la 4aceleración sea también constante, igual al negativo del cuadrado de la magnitud a² del 3vector acon respecto al marco de referencia co-móvil instantáneo. Por lo tanto, la fuerza de reacción de radiación se desvanece (para una carga diferente de cero) sí y solo sí el 4-vector velocidad satisface la ecuación harmónica:

El movimiento debe ser a lo largo de una línea recta, de modo tal que podemos considerar únicamente un movimiento a lo largo del eje-x con un tiempo de coordenada t, en cuyo caso ésta ecuación implica lo siguiente al considerar el primer componente (temporal, que aquí identificaremos con el índice cero como se acostumbra hacerlo en muchos textos) y el segundo componente (espacial, a lo largo del eje-x, que aquí identificaremos con el índice 1):

en donde U0 = dt/dτ y U1 = dx/dτ. Una solución de este par de ecuaciones es la siguiente:

que representan las ecuaciones familiares de “movimiento hiperbólico”, movimiento con una aceleración propia constante. Esta es la base para la propuesta de que una carga uniformemente acelerada no es capaz de emitir radiación electromagnética alguna, porque la energía de radiación presumiblemente viene del trabajo efectuado en contra de la fuerza de reacción de radiación, el cual es igual a cero para un movimiento con aceleración propia constante, al menos de acuerdo con la ecuación Lorentz-Dirac. Sin embargo, como ya se ha señalado con anterioridad, esta ecuación está fincada sobre suposiciones cuestionables, y se sabe que posee soluciones dudosas, de las cuales las más problemáticas son las soluciones de fuga. Para una partícula cargada eléctricamente, la ecuación Lorentz-Dirac se reduce a:

Enfocándonos nuevamente a un movimiento a lo largo del eje-x, esta ecuación vectorial puede ser descompuesta en sus componentes esenciales, el primero de los cuales es:

teniendo la condición hiperbólica U0² - U1² = 1, y una forma de asegurar automáticamente esta condición consiste en fijar: U0(τ) = cosh{f(τ)}____U1(τ) = senh{f(τ)} para alguna función arbitraria f. Insertando estas dos relaciones en la ecuación anterior, tenemos entonces:

Dividiendo lo último entre senh(f) llegamos a lo siguiente:

Integrando esto dos veces tenemos entonces:

en donde C = (2q²)/(3m0) y los símbolos k y J representan constantes arbitrarias de integración. El componente U1 de la ecuación Lorentz-Dirac nos lleva a las mismas condiciones para f (los componentes U2 y U3 son desde luego satisfechos con U1(τ) = U2(τ) =0), de modo que haciendo K = kC una solución de la ecuación Lorentz-Dirac para movimiento a lo largo del eje-x en la ausencia de fuerza alguna se puede escribir como:

Por lo tanto la velocidad de la partícula con respecto a las coordenadas (t,x) viene siendo:

La tangente hiperbólica es asintótica a ±1, de modo tal que dependiendo del signo de K la velocidad de la partícula se aproxima rápidamente a la velocidad de la luz conforme el tiempo t aumenta. Estas soluciones de fuga (conocidas también como soluciones “auto-aceleradas”) son consideradas generalmente como carentes de significado físico, poniendo en entredicho la validez de la ecuación de movimiento Lorentz-Dirac. Es interesante observar que estas soluciones no son simétricas en el tiempo, porque la constante C = (2q²)/(3m 0) es definitivamente positiva (presumiblemente). Por lo tanto, la partícula libre con carga eléctrica se aproxima a la velocidad de la luz en la dirección positiva de t, mientras que en la dirección negativa de t se aproxima a una velocidad fija tanh(J). Estas soluciones serían simétricas (en el tiempo) solo si q² o m 0 pudieran ser negativos. Las rarezas de estas soluciones de fuga han llevado a una inspección más cuidadosa de las premisas sobre las cuales se basa la ecuación Lorentz-Dirac. Existen diferencias sutiles de interpretación cuando se intenta igualar la energía de la radiación electromagnética emitida por una partícula con el trabajo hecho sobre la partícula, y esto sin mencionar la dificultad en intentar aislar la masa inercial m de la “masa” electromagnética (por ejemplo, si nos preguntamos si una

partícula cargada eléctricamente requiere la misma fuerza de empuje hacia arriba para mantenerla estacionaria sobre la superficie de la Tierra que una partícula con la misma masa pero sin carga eléctrica, tenemos que considerar cuidadosamente cómo la carga eléctrica puede contribuír a la masa de la partícula. Como resultado de estas consideraciones, la ecuación LorentzDirac no nos proporciona una respuesta sobre si una carga eléctrica uniformemente acelerada es capaz de emitir radiación electromagnética. En síntesis, aunque la electrodinámica clásica Maxwelliana que inspiró a Einstein parece tener una concordancia excelente con la Teoría Especial de la Relatividad, a la hora de considerar cargas eléctricas aceleradas empezamos a ser acosados con dificultades de difícil resolución. Una parte de estas dificultades se pueden sobrellevar dando el salto de la eletrodinámica clásica a la electrodinámica cuántica. Pero el panorama está notoriamente incompleto en virtud de que al considerar movimientos acelerados de cuerpos con masa, no tenemos hasta el momento algo que nos permita transitar de la Teoría de la Relatividad hacia una Teoría Cuántica de la Relatividad, lo cual tiene a su vez un impacto directo sobre la misma electrodinámica cuántica al considerar que bajo una teoría cuántica de la gravedad el campo electromagnético debe ser capaz de interactuar con el campo gravitacional pudiéndose predecir nuevos fenómenos que hasta el momento permanecen fuera de nuestras capacidades predictivas. Una teoría cuántica de la gravedad debe ser capaz, en principio, de poder unificar plenamente la masa inercial de una partícula con su “masa” eléctrica que tradicionalmente hemos identificado como la carga eléctrica de la partícula, y aunque tradicionalmente se han manejado como dos propiedades diferentes de la misma partícula resulta obvio que ambas “masas” deben estar unificadas de un modo fundamental que está eludiendo a nuestras mejores mentes. Esta unificación (de la cual la unificación de la carga eléctrica con la masa inercial no es más que parte del asunto) era precisamente lo que buscaba Einstein en su búsqueda de un gran “campo unificado”, tarea en la cual fracasó quizá porque tal unificación requiere de una perspectiva nueva, de una forma nueva e imaginativa de pensar y ver las cosas que resulta difícil de adoptar y asimilar del mismo modo en que la propia Teoría de la Relatividad encontró dificultades en su aceptación por varias décadas. O quizá lo que nos hace falta es el desarrollo de nuevas técnicas matemáticas que nos permitan “soldar” el determinismo causalístico de la Teoría de la Relatividad con la naturaleza probabilística de la dualidad ondapartícula de la materia, técnicas matemáticas que nos permitan utilizar e inclusive ampliar lo que ya tenemos a la mano sin necesidad de tener que desmoronar todo el edificio como lo hizo Einstein con la mecánica de Newton. O quizá nos hacen falta ambas cosas. Mientras no tengamos tal teoría y tales técnicas a la mano, parece que en contra del optimismo exagerado manifestado por algunos científicos de prestigio en el sentido de que está cercano el momento de que en la física muy pronto ya no habrá nada nuevo por descubrir al contar con la Teoría del Todo parece carecer de justificación. El campo sigue abierto para todos, especialmente para las nuevas generaciones. De cualquier modo, aún con las limitaciones teóricas ya señaladas, se siguen produciendo trabajos interesantes en el campo de la electrodinámica relativista asociada a la Relatividad General, entre los cuales se puede mencionar un trabajo de Amos Harpaz titulado “An electric field in a gravitational field” (publicado en arXiv) en el cual se analiza el comportamiento de un campo eléctrico en un campo gravitacional, encontrándose que debido a la masa (energia)

del campo eléctrico éste queda sometido a la acción de la gravedad, y su caída introduce una curvatura en el campo gravitacional, creando una fuerza de reacción o fuerza de tensión (stress force), teniendo como consecuencia el hecho de que la interacción de esta fuerza de reacción con la carga eléctrica estática dá origen a la emisión de radiación. En pocas palabras, un campo eléctrico por sí solo es capaz de emitir radiación electromagnética cuando es sometido a un campo gravitacional (sin embargo, la emisión sólo puede ocurrir mientras el campo eléctrico se ajusta al campo gravitacional y no después, ya que de otra manera tendríamos una fuente gratuita y perpetua de energía en violación de los principios ya conocidos). Otro trabajo interesante es el de James M. Nester y Chung-Ming Ko titulado “An accelerated charge is also absorbing power” (también publicado en arXiv) en el que repiten una conclusión que es frecuentemente pasada por alto: el que una carga eléctrica acelerada no sólo está emitiendo energía, sino que también la está absorbiendo a una razón igual a la razón de la potencia radiada predicha por la fórmula de Larmor, apoyando una propuesta presentada previamente por Jerzy Kijowski. Todos estos trabajos, desde luego, están expuestos a una revisión profunda en el momento en que podamos tener en nuestras manos una teoría que unifique plenamente a la Teoría Especial de la Relatividad y a la Relatividad General con la electrodinámica; mientras tanto hay que seguir trabajando con lo que ya se tiene.

39. LA RUTA GEODÉSICA I “La menor distancia entre dos puntos es la recta que los une” - “Los elementos”, Euclides. Efectivamente, en un plano de dos dimensiones la menor distancia entre dos puntos P y Q cualesquiera es la recta que une a dichos puntos. En un espacio tridimensional, también la menor distancia entre dichos puntos P y Q será la recta que los une, y esa recta podemos imaginarla trazada sobre una superficie plana. Aunque nuestra intuición geométrica humana no nos ayude, podemos extender esta suposición hacia un espacio de más de tres dimensiones, elevándolo a la categoría de postulado, y de hecho podemos justificar tal suposición recurriendo a las herramientas del cálculo infinitesimal para encontrar la distancia mínima entre dos puntos en un espacio n-dimensional. Pero la vieja afirmación Euclideana se nos viene abajo cuando consideramos una superficie curva, como la superficie de una pelota o la superficie de un cilindro. Consideremos primero la superficie de un cilindro. Un cilindro es una superficie que al igual que un rollo de papel puede ser desenrollada y extendida sobre un plano, y sobre la superficie del mismo cilindro cuando ha sido desenrollado la menor distancia entre dos puntos es la recta que une a dichos puntos:

Sin embargo, cuando volvemos a enrollar la superficie dándole un carácter curvo en un espacio tridimensional, aunque para una hormiga que esté caminando sobre dicha recta nada parece haber cambiado, para alguien que observa el enrollamiento la ruta más corta entre dos puntos está dada por la hélice que conecta a dichos puntos:

Y como era de esperarse, la longitud de la línea no ha cambiado nada. La longitud de la línea recta cuando el cilindro está desenrollado es exactamente la misma que cuando enrollamos el cilindro, por el hecho de que la longitud es una cantidad escalar. Sin embargo, la línea trazada sobre la superficie del cilindro tiene una curvatura que antes no existía cuando el cilindro estaba extendido sobre un plano. Esto es precisamente lo que ocurre cuando la superficie sobre la cual ocurre un movimiento es transformada de una superficie plana a una superficie curva. En el caso de la superficie de una pelota esférica de futbol, desde la perspectiva de un observador externo la menor distancia entre dos puntos P y Q puestos sobre la superficie de la pelota no es la línea recta que une a los puntos puestos en dicha pelota trazada dicha línea a través de la pelota (lo cual requeriría perforar la pelota con un picahielos) sino el arco de círculo máximo que pasa por dichos puntos, al cual podemos llamar “la línea más derecha posible de todas” entre dichos puntos. Esta es la trayectoria que tomaría sobre la superficie de la pelota una cuerda elástica tensa estirada para poner sus extremos en los puntos P y Q. Para una hormiga que camina sobre la superficie de la pelota, y que por su tamaño no se dá cuenta de que camina sobre una superficie curva (del mismo modo que nosotros en nuestra experiencia cotidiana no nos damos cuenta de la redondez de la Tierra, razón por la cual hasta antes del descubrimiento de América muchos creían que la Tierra era plana), la distancia entre dos puntos P y Q cuando camina de frente y siempre

hacia adelante sin desviarse hacia la derecha o hacia la izquierda es una línea recta; se requiere de un ser “superior” capaz de poder ver desde una perspectiva mucho más amplia esa superficie en la que habita la hormiga para darse cuenta de que si la hormiga pudiera perforar de alguna manera la superficie de la pelota podría encontrar una trayectoria más corta aún entre dichos puntos. Pero si no le es dado a la hormiga el poder llevar a cabo esta “perforación”, si está confinada a vivir y caminar toda su vida sobre la superficie de la pelota, jamás se dará cuenta de ello. De lo que no nos queda duda alguna es que también en la superficie de la pelota hay una infinitud de rutas posibles para llegar del punto P al punto Q, y de todas las rutas posibles hay una que le tomará a la hormiga el menor tiempo posible, la cual será la menor distancia entre los dos puntos de una superficie curva, “la curva más derecha posible” que podamos trazar entre dos puntos, a la cual designamos como la ruta geodésica o simplemente geodésica. Expuesto lo anterior, podemos reformular el clásico enunciado de Euclides en una forma moderna más correcta: “La menor distancia entre dos puntos es la geodésica que los une.” En el espacio-tiempo plano de la Teoría Especial de la Relatividad, las geodésicas son líneas rectas para cualquier observador. Pero en el espacio-tiempo curvo de la Teoría General de la Relatividad, las geodésicas dejan de ser líneas rectas. Y nosotros estamos interesados en estudiar la naturaleza geométrica de esas geodésicas en un espacio-tiempo curvo en cuatro dimensiones porque en un espacio tal los cuerpos se mueven siguiendo rutas geodésicas. Puesto de otra manera: Las trayectorias elípticas que siguen los planetas en sus movimientos de traslación alrededor del Sol son las rutas geodésicas que corresponden a un espacio-tiempo curvo. Esto que se acaba de enunciar representa una ruptura total con la filosofía detrás del esquema de Newton que proclamaba la existencia de una fuerza invisible de atracción central F que era la que mantenía a la Luna en órbita alrededor de la Tierra impidiéndole salir disparada hacia el espacio exterior del mismo modo que se requiere de una fuerza central para mantener a un objeto girando en torno a nosotros en una trayectoria circular:

Una forma de mantener a un cuerpo en una trayectoria circular es, efectivamente, con la aplicación de una fuerza central que sea perpendicular a la dirección en la cual se está moviendo el cuerpo como en la ilustración de arriba. Pero otra forma de mantener a un objeto en una trayectoria circular sin necesidad de que exista una fuerza de atracción entre el objeto y el punto central en torno al cual está girando el objeto es restringiendo al cuerpo en movimiento a moverse sobre una superficie que es la que le dicta al objeto la trayectoria que debe seguir, como lo muestra la siguiente figura:

Estrictamente hablando, la anterior representación no transmite a plenitud la idea relativista detrás de los cuerpos desviándose de sus trayectorias rectilíneas debido a una curvatura en el espacio-tiempo, porque en el diagrama de arriba si bien se ha eliminado el concepto de una fuerza deatracción que provoca una desviación de la trayectoria rectilínea, la superficie hemisférica mostrada altera la trayectoria a través de una fuerza de contacto entre el objeto y la superficie hemisférica, aplicada por el contorno de la superficie sobre el objeto. En la Teoría de la Relatividad, el concepto de fuerza como causante de la gravedad ha sido eliminado por completo. La superficie curva existe, pero no es una superficie “sólida”, es una superficie dictada por la curvatura en el espacio-tiempo causada por la gravedad, es una superficie tan “sólida” (desde el punto de vista material) como puedan serlo el mismo tiempo y espacio. Nos preguntamos ahora: si un cuerpo de masa m es libre para moverse inercialmente excepto que su movimiento esté restringido a llevarse a cabo en una superficie curva, ¿cuál es la curva trazada por el movimiento del cuerpo sobre dicha superficie? (Podemos imaginar al objeto totalmente cubierto de tinta con la cual va dejando un rastro de su trayectoria al recorrer la superficie curva.) De la física clásica el resultado viene siendo una geodésica de la superficie, una curva que representa la menor distancia posible, o bien “la curva más derecha posible”. Esto captura la esencia detrás de la propuesta de Einstein, la idea de que los cuerpos se mueven sobre una superficie cuatri-dimensional de un espacio-tiempo curvo siguiendo una ruta geodésica. En la física clásica tal y como fue desarrollada por Newton, un cuerpo se mueve libremente en el espacio en torno a otro objeto excepto que su movimiento aparenta estar restringido a llevarse a cabo dentro de una superficie bi-dimensional (el interior de una esfera o una elipse) empotrada en un espacio tri-dimensional tal y como lo tenemos arriba. Sin embargo, en la Teoría General de la Relatividad una masa se mueve libremente en el espacio-tiempo al estar en caída libre de modo tal que la gravedad actúa sobre ella a través de la curvatura del espacio-tiempo. En la física clásica, la trayectoria espacial de un cuerpo es la geodésica de lo que para nosotros parece ser el interior de una superficie bi-dimensional, trazando la curva de menor longitud posible sobre dicha superficie, mientras que en la Teoría General de la Relatividad la trayectoria es una trayectoria espaciotiempo, la cual es una geodésica del espacio-tiempo que va trazando una curva de intervalo espacio-tiempo extremo en el espacio-tiempo. (Al utilizar la palabra extremo para designar al intervalo, estamos dejando abierta la posibilidad de que se pueda tratar de un mínimo o de un máximo como se acostumbra tener en los estudios introductorios de cálculo infinitesimal). El concepto de los cuerpos moviéndose en el espacio siguiendo rutas geodésicas en el espaciotiempo sin que exista una fuerza de atracción entre los mismos como lo suponía Newton parece haber sacado por completo fuera del panorama el papel que desempeña el cuerpo central como fuente de una fuerza de atracción gravitacional en base a la cantidad de masa M que contiene. Sin embargo, esto no es así, ya que si bien la fuerza invisible ha dejado de existir la curvatura en el espacio-tiempo es producida directamente por la masa M del cuerpo en torno al cual está girando su satélite. Entre mayor sea el contenido de masa M del cuerpo central así como su contenido de

energía (esto ya no lo anticipó Newton), tanto mayor será la curvatura del espacio-tiempo. Si no hay masa en el espacio circundante, entonces un cuerpo cualquiera se mantendrá moviéndose en línea recta a velocidad constante, inercialmente. De este modo, el contenido total de masa sumado al contenido energético total de un cuerpo provoca una curvatura en su espacio-tiempo circundante que le dice a los cuerpos que se le aproximan la trayectoria que deben seguir, la forma en la que deben moverse, siguiendo rutas geodésicas. Esta idea la expresó Einstein en notación tensorial en octubre de 1915 de la siguiente manera: R = 8πGT En notación explícita (empleando índices) la ecuación se escribe como: Rμν = 8πGTμν en donde Rμν es el tensor de Ricci con el cual se representa la curvatura del espacio-tiempo, Tμνes el tensor energía-tensión, y G es la constante de gravitación universal. Sin embargo, no le llevó mucho tiempo a Einstein el darse cuenta de que la ecuación tensorial anterior, que representa un conjunto de ecuaciones, era incorrecta, ya que las ecuaciones resultaban ser inconsistentes con la conservación local de la energía-momentum a menos de que la densidad de la masa-energíamomentum del Universo fuese una cantidad constante. En otras palabras, un ladrillo, el aire e inclusive el vacío tenían que tener la misma densidad para que lo anterior fuese cierto. Esto requirió revisar el enunciado original, con una solución que resultó ser más que obvia, la cual fue publicada al mes siguiente, dándonos la ecuación tensorial fundamental de la Teoría General de la Relatividad:

que nos dice cómo la masa-energía nos provoca una curvatura en el espacio-tiempo cuatridimensional, en la cual R es el escalar de Ricci y gμν es el tensor métrico con el cual ya debemos estar familiarizados. Pero esta ecuación no nos dice cómo deben moverse los cuerpos en el espacio en proximidad el uno del otro. Para saberlo, Einstein especificó una segunda ecuación independiente de la primera que nos permite calcular las geodésicas que recorre un cuerpo en movimiento en un espacio-tiempo cuatri-dimensional curvo. Es la siguiente:

En esta ecuación, la cual también es una ecuación tensorial, tenemos la presencia de los símbolos de Christoffel Γabc. Para poder llegar a la fórmula anterior, tenemos que hacer primero un repaso de algunos conceptos básicos del cálculo infinitesimal. Sabemos del cálculo infinitesimal que en un espacio bi-dimensional Cartesiano (plano x-y) la distancia entre dos puntos a(x1,y1)y b(x2,y2) cualesquiera (no necesariamente la ruta geodésica) está dada por la siguiente relación:

PROBLEMA.- ¿Cuál será la longitud de un arco descrito por la ecuación y = (3/2)x1/2 desde x1=0 hasta x2 =1? Aplicando la fórmula obtenemos lo siguiente:

Esta es la longitud del arco de curva que une los puntos a(x1,y1) = (0,0) y b(x2,y2)=(1,3/2), pero no es la geodésica entre dichos puntos. Aquí la geodésica es la línea recta que une a dichos puntos. Introduciendo la variable tiempo, también podemos especificar la siguiente fórmula general para describir una línea (recta o curva) en un espacio bi-dimensional:

Al introducir el tiempo como una variable independiente en la anterior fórmula para describir una línea (ya sea recta o curva) en un espacio plano, estamos recurriendo a lo que se conoce en matemáticas como ecuaciones paramétricas. PROBLEMA.- Encontrar la longitud del arco de una curva descrita por las ecuaciones paramétricas x=t3 y y=t² situado entre los puntos (x1,y1) = (1,1) y (x2,y2) = (8,4).

En un espacio tri-dimensional, la descripción de una línea (ya sea recta o curva) por necesidad tiene que llevarse a cabo empleando ecuaciones paramétricas, y tienen que especificarse tres ecuaciones independientes, una para cada coordenada. A continuación tenemos un conjunto de ecuaciones que nos especifican la trayectoria de una partícula que viaja a lo largo de una línea recta conforme avanza el tiempo: ____x = 2 + 6t ____y = t ____z = -2 + 3t Podemos ver la naturaleza rectilínea de este conjunto de ecuaciones con tres gráficas diferentes, una para la variable dependiente x en función de la variable independiente t, la otra para la variable y en función de la variable t, y y la otra para la variable z en función de la variable t. El siguiente conjunto de ecuaciones definitivamente nos describen una línea curva trazada en un espacio bi-dimensional: ____x = t² ____y = 2t - t² + 5t Mientras que el siguiente conjunto de ecuaciones definitivamente nos describen una línea curva trazada en un espacio tri-dimensional: ____x = 2t ____y = 1+ t² ____z = 8 - t

Aparentemente, aquí tenemos una perspectiva gráfica sobre el espacio cuatri-dimensional relativista, ya que en el anterior conjunto de ecuaciones tenemos a las cuatro variables (x,y,z,t). Sin embargo, el problema es que las cuatro variables no son variables independientes, y una de ellas no está en la misma categoría que las otras tres. Tenemos a tres variables dependientes y a una variable independiente, siendo que en un espacio cuatri-dimensional puro ninguna de las variables debe estar privilegiada sobre la otra. Esto es lo que nos obligará a buscar otro tipo de enunciación matemática para poder especificar la determinación de la longitud de un arco de curva en el espacio cuatri-dimensional relativista. Y aquí es precisamente en donde entra el tensor métrico g = (gij) de 16 componentes. En general, para poder describir el trazo que nos produce una curva en varias dimensiones, digamos cinco, necesitaremos recurrir forzosamente a ecuaciones paramétricas, con las cuales asociamos una n-pla de valores (posiciones) en las coordenadas (x0, x1, x2, x3, x4, ..., xn) a cada punto específico de la curva. Así, en el 5-espacio Cartesiano, si las ecuaciones paramétricas de una curva son: ____x0 = τ² + 1 ____x1 = τ - 4 ____x2 = 4 sen(τ) ____x3 = τ + 7 ____x4 = 4 cos(τ) el punto de la curva para τ=0 estará posicionado en: (x0, x1, x2, x3, x4) = (1, -4, 0, 7, 4) No es necesario recurrir a visiones místicas en planos superiores de consciencia para tratar de imaginar el comportamiento de esta curva en un 5-espacio Cartesiano. Nos basta con proyectarsobre varios planos bi-dimensionales lo que ocurre para varios valores de τ para poder “ver” lo que está ocurriendo en las cinco dimensiones. En el plano (x2, x4) la curva estará dando vueltas interminables alrededor de un círculo de radio 2 con centro en el origen del 5espacio Cartesiano. Y en el plano (x1, x3) la proyección de la curva sobre dicho plano nos indica que el móvil avanza allí en línea recta, mientras que en el plano (x0, x1) la curva sigue la trayectoria de una parábola. Para un 5-espacio Cartesiano hay un total de nueve planos (nueve posibles pares de combinaciones de las coordenadas), nueve proyecciones que juntas nos dan una idea general sobre la trayectoria y forma de la curva. Esto es algo así como una “visión de rayos X” con la cual si

sacamos la placa del esqueleto de una persona de frente y otra placa de perfil, con ambas placas podemos hacer una reconstrucción parcial tridimensional del esqueleto. Pero podemos llevar esta estrategia más lejos aún, utilizando graficados tri-dimensionales. Hay nueve proyecciones estereográficas posibles con las cuales podemos “ver” mejor aún en cinco dimensiones. Y si recurrimos a una ilustración animada en donde vamos variando una proyección tridimensional conforme va aumentando o disminuyendo una de las otras dos variables manteniendo la quinta variable constante (ya hay programas de cómputo que pueden llevar esto a cabo) tenemos entonces cinco proyecciones estereográficas animadas con las cuales nos es posible “ver” mucho mejor la trayectoria de una curva en cinco dimensiones. Hemos visto cómo “medir” la distancia entre dos puntos diferentes en un espacio multidimensional no necesariamente plano, pero hasta ahora no hemos visto cómo obtener la geodésica entre dichos puntos, la ruta más corta de todas las otras rutas alternas que se puedan trazar de un punto a otro. Para poder encontrar esa ruta óptima, para poder encontrar la geodésica en un espacio multidimensional, tenemos que recurrir a una rama de las matemáticas conocida como el cálculo de variaciones, en el cual la cantidad a ser minimizada (o maximizada) aparece como una integral. La determinación de los valores extremos (máximos o mínimos) de integrales cuyos integrandos contienen funciones desconocidas es precisamente la clase de problemas a los cuales está dirigido el cálculo de variaciones. El más sencillo de tales problemas consiste en la determinación de una función y = y(x) para la cual la integral

evaluada entre los puntos x0 = a y x1 = b adquiere su valor mínimo (obsérvese que con fines de simplificación notacional se ha simbolizado la derivada de y con respecto a x con una comilla, o sea y’). La función integrable F de las variables x, y y y’ se dá por conocida, por ejemplo:

en donde F = y√1 +(y’)². Al postularse el problema, la dependencia específica de y en x no está prefijada, y(x) es precisamente la función desconocida que queremos encontrar. Esto es lo que nos lleva a la derivación de la siguiente ecuación obtenida por primera vez por Euler (esta misma

ecuación fue aplicada casi al mismo tiempo por Lagrange a la mecánica para formular sobre principios variacionales lo que hoy se conoce como dinámica Lagrangiana en la cual la función F es reemplazada por la letra L, lo que hoy conocemos como el Lagrangiano del sistema):

Pero antes de ver cómo podemos derivar de esta ecuación, consideremos primero un ejemplo de una aplicación de la misma. PROBLEMA: Hallar la curva y = y(x) con y(0) = 0 y y(a) = b que minimice la longitud del arco que va del punto A(0,0) al punto B(a,b). La longitud del arco en el plano Cartesiano x-y está dada por:

Aquí F = √1 +(y’)², y podemos aplicar de inmediato la ecuación de Euler, para lo cual evaluamos primero: ∂F/∂y = 0 y: ∂F/∂y’ = (½)(1/√1 +(y’)²) 2y’

∂F/∂y’ = y’ / √1 +(y’)² Usamos ahora directamente la ecuación de Euler: ∂F/∂y - (d/dx)(∂F/∂y’) = 0

0 - (d/dx)(y’ / √1 +(y’)²) = 0 (d/dx)[y’ {1 + (y’)²}-½] = 0 No es necesario tomar aquí la derivada con respecto a x. Para que lo que tenemos sea cierto, se requiere que el término entre corchetes sea constante, lo cual a su vez requiere que y’ = dy/dx en el denominador de la expresión también sea igual a una constante C, o sea:

Esto último es, desde luego, la ecuación de una línea recta. La curva extrema es por lo tanto una recta, y se confirma el dicho de Euclides de que en un plano (Euclideano) la menor distancia entre dos puntos es la recta que los une. Habiendo visto el anterior ejemplo de la forma en la cual se aplica la ecuación de Euler para poder determinar la naturaleza de la ruta mínima entre dos puntos cualesquiera, estamos en mejores condiciones para poder entender cómo se lleva a cabo la derivación de dicha fórmula. Considérese el siguiente diagrama:

En el diagrama, suponemos que la ruta óptima (la más corta de todas) para minimizar una integral I bajo cierta función y(x) es la de color rojo. En el mismo diagrama se han trazado dos rutas alternas de color verde que darían a la integral un valor mayor que el valor que obtendríamos recorriendo la ruta de color rojo. La diferencia entre cualquier otra curva y la ruta óptima es llamada la variación de y o δy. Sobre el eje horizontal se ha proyectado dicha variación de color ciano. Para la ruta óptima, la variación δy al recorrer una ruta desde el punto x 0 hasta el punto x1 debe ser igual a cero. Cualquier otra ruta podemos describirla como una función desconocida η(x) así como con un factor de escala variable que llamaremos α y el cual nos dá la magnitud de la variación. La función η(x) es una función arbitraria excepto por el requerimiento de que todas las rutas alternas pasen también por los puntos x0 = a y x1 = b en donde la variación debe ser cero, o sea: η(x0) = η(a) = 0 η(x1) = η(b) = 0 Entonces, si la curva óptima que extremiza (minimiza) a la integral es Y(x), cualquier otra ruta alterna estará dada por:

y(x) = Y(x) + αη(x) Abreviaremos notacionalmente para simplicidad sin olvidar la dependencia sobre la variable x: y = Y + αη Tomando diferenciales con respecto a la variable x: y’ = Y’ + αη’ La integral I a ser extremizada es la siguiente: I = ∫F(x, y, y’) dx o en mayor detalle introduciendo los parámetros de variación:

y la condición para obtener un valor extremo en α = 0, análoga a la derivada dy/dx igualada a cero en el cálculo infinitesimal ordinario será: [∂I(α) /∂α]α = 0 = 0 Extremizamos (minimizamos) ahora la integral tomando la derivada de la integral I con respecto al parámetro α manteniendo todo lo demás constante:

I’(α) = ∂I(α) /∂α

Esto requiere llevar a cabo una diferenciación metiendo al símbolo ∂ dentro del símbolo ∫, o sea efectuando una diferenciación bajo el símbolo de la integral, lo cual podemos hacer en virtud de que la diferenciación la estamos llevando a cabo con respecto a la variable α y no la variable dx sobre la cual se efectúa la acción del integrando:

Por la regla de la diferenciación para funciones compuestas, tenemos la siguiente relación:

Usando las expresiones de arriba para ∂Y/∂α = η(x) y ∂Y’/∂α = η’(x), podemos escribir:

De este modo, la integral a ser extremizada es la siguiente:

Es evidente que en el punto extremo, haciendo α = 0, tendremos: y = Y + αη = Y y’ = Y’ + αη’ = Y’ Con esto, podemos expresar de la siguiente manera la integral que será llevada a cabo:

Separaremos temporalmente la integral en la suma de dos integrales para trabajar sobre el segundo término:

Al segundo término en esta integral se le puede aplicar una integración por partes:

Puesto que η(a) = η(b) = 0, la parte integrada es igual a cero, con lo cual:

Juntando esto nuevamente con el primer término de la integral original, tenemos entonces:

Para que esto sea cierto lo que tenemos dentro del paréntesis debe ser cero, ya que siendo η arbitrario si lo escogemos diferente de cero no hay otra forma de hacer que la expresión de la izquierda sea igual a cero más que igualando todo lo que hay dentro de los paréntesis a cero. Se concluye de lo anterior que:

Esta es la ecuación de Euler. PROBLEMA: Demostrar que la geodésica sobre la superficie de un cilindro circular recto es una hélice. El elemento de distancia en un espacio tri-dimensional está dado por: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² o bien: ds = √(dx)² + (dy)² + (dz)²

Para poder expresar el elemento de distancia en coordenadas cilíndricas recurrimos a las

relaciones que conectan las coordenadas Cartesianas (x,y,z) con las coordenadas cilíndricas (r,φ,z): x = r cos φ y = r sen φ z=z Puesto que estamos interesados en obtener la geodésica sobre la superficie de un cilindro, en este problema el radio r se mantendrá constante en todo momento sin ser objeto de variación alguna. Con esto en mente y tomando diferenciales en cada una de las tres relaciones anteriores obtenemos lo siguiente: dx = - r sen φ dφ dy = r cos φ dφ dz = dz Substituyendo estas diferenciales en la relación de la fórmula para el elemento de línea y llevando a cabo la integración sobre la trayectoria completa, tenemos entonces:

Obsérvese que en este último paso hemos sacado fuera a la diferencial dφ y hemos utilizado lanotación de punto poniendo un punto encima de la variable z para así tener:

Esta variable z con un punto puesto encima debe ser tratada matemáticamente como si fuese una nueva variable. Podemos identificar de inmediato dentro del integrando a la función F que debemos utilizar para aplicar la ecuación de Euler:

La ecuación de Euler en este caso será:

Puesto que ∂F/∂z = 0, la ecuación de Euler se nos reduce a:

Llevando a cabo la integración, obtenemos lo siguiente:

Despejando para la variable z con el punto encima:

Puesto que todo lo que está del lado derecho de la ecuación es una constante, esto significa que: dz/dφ = constante En pocas palabras, la geodésica entre dos puntos cualesquiera sobre la superficie de un cilindro está dada por la hélice que conecta dichos puntos. Hemos llegado así a la determinación formal de la geodésica sobre la superficie del cilindro con el cual empezamos esta discusión. El siguiente paso consistirá en extender el concepto de la geodésica en un espacio tri-dimensional Euclideano hacia la geodésica en un espacio 4-dimensional propio de la Teoría de la Relatividad, el espacio-tiempo curvo. Para ello, podemos extender sin dificultad alguna el concepto de la ecuación de Euler usado para encontrar la longitud más corta sobre una superficie en un espacio de tres dimensiones (como lo es el caso de una esfera) hacia el espacio de cuatro dimensiones, obteniendo así la ecuación de la geodésica entre dos puntos cualesquiera de dicho espacio 4dimensional. No hay nuevos principios matemáticos involucrados ni nuevas ideas, se trata únicamente de extender el concepto de la geodésica hacia un plano multi-dimensional. Es precisamente así como se obtiene la ecuación general de la geodésica en un espacio-tiempo curvo propio de la Teoría General de la Relatividad. No hay que perder de vista el hecho de que la geodésica, por ser a fin de cuentas una distancia, un número medido en metros, kilómetros o millas, sin dirección y sentido, es algo que esperamos que permanezca invariable bajo cualquier transformación de coordenadas.

40. LA RUTA GEODÉSICA II Lo que hemos visto anteriormente puede ser extendido sin dificultad alguna a otros problemas en los cuales estamos interesados en encontrar la geodésica que conecta a dos puntos diferentes en un espacio descrito no por dos coordenadas (x1, x2) sino por tres coordenadas (x1, x2, x3). PROBLEMA: Demostrar que la menor distancia entre dos puntos en un espacio tri-dimensional Euclideano es una línea recta. En un espacio tri-dimensional Euclideano, el elemento de la distancia es: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² O bien: ds = √(dx)² + (dy)² + (dz)² Para poder describir una una línea cualesquiera en el espacio tri-dimensional Euclideano necesitamos recurrir a ecuaciones paramétricas en las que en este caso cada una de las variables que representan los tres ejes coordenados dependerá de un parámetro independiente que llamaremos t, el cual podemos identificar como el tiempo para facilitar nuestra comprensión del problema. En otras palabras, cada una de las variables x, y y z serán funciones del parámetro t. Siendo así, entonces podemos llevar a cabo la integración de un punto t1 a otro punto t2:

Para poder utilizar la ecuación de Euler con la finalidad de determinar la ruta extrema entre t 1 y t2, identificamos en este caso a la función F de dicha ecuación como la siguiente:

Obsérvese que estamos llevando a cabo una simplificación representando cada una de las derivadas con respecto a t mediante un punto colocado encima de cada variable y prescindiendo de la forma explícita de representar dichas derivadas. En este caso, tendremos tres ecuaciones de Euler, las cuales son:

Obviamente, la función F ya no depende directamente ni de x ni de y ni de z, porque estas variables no aparecen como tales en la expresión para F (notacionalmente, una variable cualquiera es diferente de la misma variable que tenga un punto colocado encima, y no deben ser confundidas en el proceso de manipulación matemática). Con esto, tenemos que:

Entonces las tres ecuaciones de Euler originales se nos reducen a:

Substituyendo la relación para F en estas expresiones y llevando a cabo la integración con respecto

al tiempo obtenemos:

Combinando las tres ecuaciones obtenidas, tenemos entonces:

Llevaremos ahora a cabo una integración sobre estas expresiones de un tiempo t1 a un tiempo arbitrario t, obteniendo lo siguiente:

Ahora repetiremos el procedimiento integrando las mismas expresiones pero de un tiempo t 1 a un tiempo t2 obteniendo así:

Esto nos permite hacer las substituciones apropiadas para poder obtener los valores de las constantes de integración C1, C2 y C3 llegando a lo siguiente:

Esta es precisamente la ecuación de una recta en el espacio tri-dimensional Euclideano que pasa por los puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2). En algunos problemas es ventajoso recurrir a ciertos “trucos” que a veces se descubren accidentalmente y en otras ocasiones son el fruto de la experiencia y la madurez del que está trabajando sobre problemas de esta índole. Uno de dichos trucos será detallado a continuación. PROBLEMA: Demuéstrese que si la función F en la integral:

es independiente de la variable x, entonces la integral es un extremo si: Fy - y’Fy’ = constante o bien, en forma explícita:

El diferencial total de F, cuando es una función de dos variables y y y’ es:

Obsérvese que el término (∂F/∂x) dx no fue incluído en la suma de términos puesto que la función F es independiente de x. Dividiendo ambos lados entre el diferencial dx y simplificando mediante la toma de las derivadas:

Tomaremos ahora la expresión: Fy - y’Fy’ y obtendremos la derivada de la misma con respecto a x, que viene siendo:

Tomaremos ahora la derivada con respecto a x del segundo término, y reemplazaremos en el primer término del lado derecho de esta ecuación la expansión obtenida arriba para dF/dx, cancelando los dos términos comunes que se anulan mutuamente (puestos en color rojo):

lo cual se nos simplifica a:

Factorizando y' tenemos que esto es igual a:

Entonces tenemos que:

Por otro lado, si: Fy - y’Fy’ es igual a una constante, entonces la derivada de esto debe ser igual a cero:

Entonces lo que tenemos se nos reduce a:

Puesto que y’ = dy/dx se asume diferente de cero, esto sólo puede ser cierto si:

que es la ecuación de Euler, la condición esencial para que haya un extremo. Por lo tanto, si:

y si F es independiente de x, entonces la integral:

será un extremo. PROBLEMA: Encontrar la geodésica que hay entre dos puntos situados sobre la superficie de una

esfera. Como siempre, el elemento de distancia en un espacio tri-dimensional está dado por: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² o bien: ds = √(dx)² + (dy)² + (dz)²

Para poder expresar el elemento de distancia en coordenadas esféricas recurrimos a las relaciones que conectan las coordenadas Cartesianas (x,y,z) con las coordenadas esféricas (r,θ,φ): x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ No es difícil demostrar mediante estas relaciones que el elemento de línea ds² está dado por: ds² = dr² + r² dθ² + r² sen²θ dφ² Puesto que estamos interesados en obtener la geodésica sobre la superficie de una esfera, en este problema el radio r se mantendrá constante en todo momento sin ser objeto de variación alguna. Esto significa que dr = 0. Entonces el elemento de línea sobre la superficie de la esfera está dado por: ds² = r² dθ² + r² sen²θ dφ²

ds = r √dθ² + sen²θ dφ² Entonces, sacando fuera del radical a dφ, la distancia entre dos puntos cualesquiera 1 y 2 sobre la

superficie de la esfera será igual a:

Si lo que estamos buscando es la geodésica, la ruta extrema entre los puntos 1 y 2 (la cual puede ser un mínimo o un máximo) entonces bajo el criterio de la ecuación de Euler identificamos como F a:

Para poder continuar, utilizaremos la siguiente representación notacional:

con lo cual podemos escribir lo siguiente:

Utilizaremos ahora la “segunda forma” de la ecuación de Euler:

con la cual podemos escribir lo siguiente:

Diferenciando y multiplicando al través por F, tenemos entonces:

Esto puede ser resuelto para dφ/dθ (obsérvese que no estamos resolviendo para dθ/dφ, en virtud de que este ligero cambio nos resulta en una simplificación posterior para obtener la respuesta que buscamos), produciéndonos:

Despejando para φ y llevando a cabo la integración obtenemos la siguiente relación:

en donde κ es la constante de integración y α es utilizada para representar: α² = (1 - C²)/C² Reescribiendo lo anterior para ponerlo en función de θ, o mejor dicho cot(θ): cot(θ) = α sen(φ - κ)

Este es un resultado en coordenadas esféricas que no nos ilustra mucho sobre la naturaleza de la geodésica. Para poder obtener mayor claridad, es necesario revertir a coordenadas rectangulares (Cartesianas) multiplicando ambos miembros por r senθ para obtener después de haber llevado a cabo la expansión de sen(φ - κ): (α cos κ) r senθ senφ - (α sen κ) r senθ cosφ = r cosθ Por razones que serán obvias pronto, no eliminaremos la variable r como podríamos hacerlo al aparecer como factor en ambos lados de la ecuación. Siendo κ y α constantes, podemos compactarlas bajo los nombres de otras constantes que las agrupen: A = α cos κ B = α sen κ Esto nos produce: A (r senθ senφ) - B (r senθ cosφ) = r cosθ Pero de las transformaciones de coordenadas esféricas a coordenadas Cartesianas se sabe que: x = r senθ cosφ y = r senθ senφ z = r cosθ Entonces lo que tenemos es esencialmente: Ay - Bx = z En el espacio tri-dimensional Euclideano, esta es precisamente la ecuación de un plano que corta a

la esfera pasando por el centro de la misma. Se concluye que la geodésica es la curva que dicho plano forma con la intersección de la superficie de la esfera, en pocas palabras, un círculo máximo, definido como aquél que corta a una esfera en dos partes iguales:

Obsérvese que en el caso de la geodésica de la esfera, el círculo máximo incluye tanto la distanciamáxima como la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera de la superficie de la esfera, dependiendo del que entre dos puntos cualesquiera sobre la superficie de la esfera nos movamos siguiendo el camino en el cual recorremos el ángulo esférico más corto que hay entre dichos puntos (llamémoslo ω), o el ángulo máximo que hay entre dichos puntos (2π - ω), como nos lo muestra la siguiente figura en la cual tenemos a la izquierda (en color rojo) la ruta más corta posible a lo largo de la geodésica y tenemos a la derecha (también en color rojo) la ruta más grande posible a lo largo de la geodésica:

La distancia mínima será indudablemente aquella en la cual gastaremos la menor cantidad de gasolina si nos movemos en un vehículo motorizado para llegar de un punto a otro. ¿Pero y la distancia máxima? Aquí la cosa parecería menos clara, porque ciertamente hay muchas otras rutas que podemos tomar siguiendo la ruta contraria tomando muchas desviaciones en el camino. Sin embargo, sólo una de ellas será la ruta “más derecha” posible. Este problema nos ilustra otra situación en la que los estudiantes expuestos por vez primera a la obtención de máximos y mínimos mediante las herramientas del cálculo infinitesimal no tienen problema alguno. En el cálculo infinitesimal, si queremos obtener el máximo o el mínimo de alguna función, tomamos simplemente la derivada de la función e igualamos a cero, y tras esto tomamos la segunda derivada para determinar mediante el cambio de signo si lo que tenemos es un máximo o un mínimo (o varios máximos y varios mínimos). En el caso de la ecuación de Euler, no existe un procedimiento general para saber de antemano si lo que hemos obtenido es un máximo o un mínimo, todo lo que sabemos es que hemos obtenido un extremo. Afortunadamente, en el caso que nos ocupa, la naturaleza del extremo será obvia por las circunstancias de cada problema que se vaya considerando. Habiendo dejado en claro la forma en la cual trabaja la ecuación de Euler para obtener el extremo de una función F que aparece bajo el signo de una integral, y habiendo dejado en claro también la forma en la cual se obtiene dicha ecuación, estamos preparados para dar el salto del espacio tridimensional Euclideano al espacio 4-dimensional relativista, para lo cual la ecuación geodésica deberá formularse bajo el esquema más amplio posible, el esquema del cálculo tensorial. Pero antes de ello, haremos un repaso de la derivación de la ecuación de Euler con la pequeña diferencia de que en esta ocasión meteremos a la variable tiempo como tal. PROBLEMA: Demostrar que una condición necesaria para que:

sea un extremo es que:

Obsérvese que estamos utilizando la notación del punto puesto encima de la variable x, lo cual en este caso indica que se trata de la derivada de x con respecto al tiempo, dx/dt, considerada en sí como una nueva variable. Procedemos en esta derivación de la misma forma como lo hicimos para la ecuación de Euler en la que la variable tiempo no estaba involucrada explícitamente. Sea x = X(t) la curva que hace a la integral I extrema entre los tiempos t 1 y t2. Entonces cualquier otra curva estará dada por: x = X(t) + αη(t) en donde α es un factor de escala independiente del tiempo que nos dá la magnitud de la variación y η(t) es una función desconocida arbitraria excepto por el requerimiento de que todas las rutas alternas pasen también por los puntos t1 y t2 en donde la variación debe ser cero, o sea: η(t1) = 0 η(t2) = 0 Entonces, si la curva óptima que extremiza (minimiza) a la integral es x = X(t), cualquier otra ruta alterna estará dada por: x = X(t) + αη(t)

Abreviaremos notacionalmente para simplicidad sin olvidar la dependencia sobre la variable x: x = X + αη Tomando diferenciales con respecto a la variable tiempo: x’ = dx/dt = X’ + αη’ Al tomar la derivada con respecto al tiempo, en muchos textos y trabajos con la Relatividad General se acostumbra utilizar la notación de punto poniendo un punto encima de la variable en lugar de la comilla, y tal cosa haremos aquí también:

La integral I a ser extremizada es la siguiente:

y la condición para obtener un valor extremo en α = 0, análoga a la derivada dy/dx igualada a cero en el cálculo infinitesimal ordinario será: [∂I(α) /∂α]α = 0 = 0 Extremizamos (minimizamos) ahora la integral tomando la derivada de la integral I con respecto al parámetro α manteniendo todo lo demás constante:

I'(α) = ∂I(α) /∂α

De nueva cuenta, esto requiere llevar a cabo una diferenciación metiendo al símbolo ∂ dentro del símbolo ∫, o sea efectuando una diferenciación bajo el símbolo de la integral, lo cual podemos hacer en virtud de que la diferenciación la estamos llevando a cabo con respecto a la variable α y no con respecto a la variable dt sobre la cual se efectúa la acción del integrando:

Al segundo término en esta integral se le puede aplicar una integración por partes:

Puesto que η(t1) = η(t2) = 0, la parte integrada es igual a cero, con lo cual:

Juntando esto nuevamente con el primer término de la integral original, tenemos entonces:

Para que esto sea cierto lo que tenemos dentro del paréntesis debe ser cero, ya que siendo η arbitrario si lo escogemos diferente de cero no hay otra forma de hacer la expresión de la izquierda igual a cero más que igualando todo lo que hay dentro de los paréntesis a cero. Se concluye de lo anterior que:

Este resultado se puede extender fácilmente a cualquier cantidad n de coordenadas repitiendo mecánicamente los pasos llevados a cabo arriba para una integral a ser extremizada que tenga la siguiente forma:

obteniendo no una sino varias ecuaciones de Euler, un total de n ecuaciones, una para cada coordenada:

El siguiente paso consistirá en extender el concepto de la geodésica de un espacio tri-dimensional Euclideano hacia la geodésica en un espacio 4-dimensional propio de la Teoría de la Relatividad, el espacio-tiempo curvo. Para ello, podemos extender sin dificultad alguna el concepto de la ecuación de Euler usado para encontrar la longitud más corta sobre una superficie en un espacio

de tres dimensiones (como lo es el caso de una esfera) hacia el espacio de cuatro dimensiones, obteniendo así la ecuación de la geodésica entre dos puntos cualesquiera de dicho espacio 4dimensional. No hay nuevos principios matemáticos involucrados ni nuevas ideas, se trata únicamente de extender el concepto de la geodésica hacia un plano multi-dimensional. Es precisamente así como se obtiene la ecuación general de la geodésica en un espacio-tiempo curvo propio de la Teoría General de la Relatividad. No hay que perder de vista el hecho de que la geodésica, por ser a fin de cuentas una distancia, un número medido en metros, kilómetros o millas, sin dirección y sentido, es algo que esperamos que permanezca invariable bajo cualquier transformación de coordenadas. PROBLEMA: Derivar las ecuaciones geodésicas para un espacio multi-dimensional que pueda ser Euclideano o no-Euclideano. Empezaremos por la definición más general de todas que se le pueda dar a un elemento infinitesimal de distancia, en la cual interviene desde luego el tensor métrico g: ds² = gpq xp xq Cabe recordar, por la importancia de lo mismo, que aquí está siendo utilizada rígidamente la convención de sumación para índices repetidos. Esta definición general, dada por Bernhard Riemann, puede ser utilizada para definir una distancia Euclideana como la siguiente (teorema de Pitágoras extendido a cualquier número de dimensiones): ds² = (x1)² + (x2)² + (x3)² + (x4) + (x5)² o para definir un intervalo relativista en un espacio-tiempo plano: ds² = (x1)² - (x2)² - (x3)² - (x4) o cualquier otro tipo de distancia que queramos definir. Todo depende de la métrica. Si en vez de utilizar simplemente ds utilizamos ds/dt, o sea la derivada con respecto al tiempo, entonces tenemos lo siguiente (la convención de sumación seguirá vigente en todo lo que resta de la solución del problema):

Tensorialmente hablando, lo que queremos encontrar es el extremo de:

Para ello, recurriremos a la ecuación de Euler, al igual que como lo hicimos en todos los problemas anteriores. Pero obviamente, esto requerirá no una sino varias ecuaciones de Euler para el caso más general que involucra varias variables, como lo es el caso de la Relatividad General. Haciendo la identificación:

la especificación de cada una de las ecuaciones de Euler requeridas es inmediata. Cada una de las ecuaciones de Euler para cada una de las coordenadas xk estará dada por:

En el caso de la Relatividad General, puesto que tenemos un espacio 4-dimensional especificado mediante cuatro coordenadas generalizadas, tendremos un sistema de cuatro ecuaciones. El procedimiento que llevaremos a cabo será válido para cualquier espacio n-dimensional. Obtendremos primero ∂F/∂xk:

Ahora procedemos a obtener la otra derivada:

Obsérvese que en esto se ha tenido que llevar a cabo un cambio en el sub-índice q de gpq haciéndolo gpk como lo muestra el siguiente paso intermedio que se empleó arriba:

en virtud de que dentro de la doble sumatoria (implícita en los sub-índices de acuerdo a la convención de sumación):

mientras que:

e igualmente:

viniendo el factor 2 del hecho de que el tensor métrico g es simétrico, o sea gij = gji. De lo dicho arriba para ds/dt, usando:

tenemos entonces que las ecuaciones de Euler para cada una de las coordenadas xk estarán dadas por:

Tomando la derivada con respecto al tiempo e invirtiendo el orden de los términos (lo cual equivale simplemente a cambiar los signos):

Obsérvese que hemos utilizado aquí la notación del doble punto o punto repetido puesto encima de la variable para simbolizar la derivada de segundo orden de la coordenada xk. Aquí podemos introducir los símbolos de Christoffel. Escribiendo:

tenemos entonces la siguiente conclusión:

Si tomamos a la longitud s del arco como parámetro, de modo tal que:

el resultado obtenido se nos convierte en lo siguiente:

Si multiplicamos ahora todo por grk, en el primer término tendremos primero:

con lo cual el primer término quedará convertido en lo siguiente al llevarse a cabo la contracción sobre los índices repetidos p como lo marca la convención de sumación sobre la doble sumatoria:

mientras que en el segundo término el efecto de multiplicar grk por el símbolo de Christoffel de primer género será elevar el índice k de dicho símbolo convirtiéndolo en un símbolo de Christoffel de segundo género:

De este modo, obtenemos finalmente:

Estas son las ecuaciones geodésicas para un espacio multi-dimensional que puede ser Euclideano o no-Euclideano, el cual es mejor conocido como espacio de Riemann. Es un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden que tiene que ser resuelto para poder determinar la trayectoria a lo largo de las geodésicas. Si llevamos a cabo un ligero cambio notacional haciendo r = β, p = σ y q = α, revirtiendo además hacia la notación de punto, podemos poner esto mismo en una forma que resultará familiar a quienes ya han hojeado o estudiado textos convencionales de Relatividad General:

Esta ecuación fácilmente memorizable es también conocida como la ecuación geodésica, junto con las ecuaciones de campo de la Relatividad General, nos dá una especificación matemática completa para el comportamiento de un sistema físico. De este modo, cualquier problema propio de la Relatividad General se convierte en un problema de índole meramente matemática. Pero es importante destacar que la ecuación es completamente general, y se puede utilizar para la

búsqueda de geodésicas tanto dentro de la Relatividad General como en la resolución de problemas clásicos como los que ya hemos visto. En una geometría Euclideana de cuatro dimensiones, en donde todas las dimensiones son dimensiones espaciales, la geodésica es “la línea más derecha posible de todas”. Esto es válido para toda geometría Euclideana en donde se cumple el quinto postulado de Euclides que nos dice: “a través de un punto externo a una recta dada sólo es posible trazar una recta paralela a la recta dada”. Pero obviamente el quinto postulado no se cumple en una geometría noEuclideana como la que tiene lugar sobre la superficie de una esfera. En cualquier parte de la esfera, si trazamos dos rectas perfectamente paralelas (por ejemplo, formando ambas un ángulo de 90 grados con el Ecuador) y las extendemos indefinidamente sobre la superficie de la esfera, las rectas eventualmente se encontrarán:

De cualquier manera, aún en una geometría no-Euclideana, la geodésica sigue siendo “la línea más derecha posible de todas” entre dos puntos, sigue siendo la ruta que representa la menor distancia posible entre dichos puntos, la que nos llevaría el menor tiempo posible recorrer. En la geometría Euclideana, dos geodésicas inicialmente paralelas permanecen paralelas, nunca se cruzan ni divergen la una de la otra (como ocurre sobre la superficie de un hiperboloide con forma de silla de montar). Nosotros describimos esta situación diciendo que este tipo de geometría es una geometría plana. Por otro lado, sobre la superficie de una esfera dos geodésicas inicialmente paralelas convergen la una hacia la otra y eventualmente se cruzan. Nosotros describimos esta situación diciendo que este tipo de geometría es una geometría curva. El lector debe prepararse ahora para una sorpresa. Si bien en cualquier geometría Euclideana o inclusive en cualquier geometría no-Euclideana bajo cualquier número de dimensiones espaciales que se nos antoje postular la geodésica es la ruta que representa la menor distancia posible entre dos puntos cualesquiera, en la geometría noEuclideana del espacio-tiempo relativista en donde tenemos tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo la estructura de la geodésica es tal que aunque sigue siendo “la ruta más

derecha posible de todas” la geodésica no es la trayectoria mínima sino la trayectoria máxima de todas las trayectorias posibles, en pocas palabras no es la menor distancia posible en el espaciotiempo sino la mayor distancia posible. Esto tiene una consecuencia muy curiosa con la que todos estamos familiarizados. Un cuerpo que se mueva bajo la influencia de la gravedad se moverá recorriendo la ruta que le lleva el mayor tiempo posible recorrer de acuerdo con su reloj propio. En su libroABC of Relativity: Understanding Einstein publicado en 1925, Bertrand Russell llama a esto la “ley de la pereza cósmica” - los cuerpos dejados a sí mismos se toman el mayor tiempo posible para llegar a su destino. Un cuerpo cualquiera, dejado a sí mismo, viaja de modo tal que el tiempo que le lleva efectuar el recorrido, de acuerdo con su propio reloj, es el mayor tiempo posible. Si hubiera viajado tomando cualquier otra ruta de un evento a otro, el tiempo sería menor. ¿Pero cómo es esto posible?, se preguntará el lector. En primer lugar, en los problemas matemáticos del cálculo de variaciones, una de las primeras cosas que confronta el matemático es el hecho de que la solución que obtiene a un problema es una solución extrema, la cual no necesariamente es unmínimo sino que puede ser también un máximo. La razón por la cual la solución matemática al problema del recorrido entre dos puntos resulta ser la que toma el mayor tiempo posible es porque el tipo de intervalo que estamos considerando no es un mero intervalo espacial sino un intervalo relativista que es más análogo a la dimensión del tiempo que a la dimensión de longitud. De este modo, la Luna en su movimiento de rotación alrededor de la Tierra escoge su ruta de modo tal que cualquier pedacito de dicha ruta representa una mayor “distancia” que cualquier otra ruta alterna.Pero esta es una distancia espacio-tiempo. Si nosotros pensamos que la geodésica está dada por la menor distancia posible entre dos puntos, entonces estamos pensando en una geodésica puramenteespacial. Pero si pensamos que la geodésica está dada por la mayor distancia posible entre dos puntos, entonces estamos pensando en una geodésica espacio-tiempo, una geodésica relativista. Las trayectorias elípticas de los planetas alrededor del Sol son precisamente geodésicas relativistas. Las trayectorias parabólicas de los cometas que suelen visitarnos de vez en cuando son también geodésicas relativistas. Pero si un cuerpo cualquiera dejado a sí mismo viaja de modo tal que el tiempo que le lleva efectuar cualquier recorrido, de acuerdo con su propio reloj, es el mayor tiempo posible, ¿no podría entonces tomarse un tiempo infinitamente grande para llegar de un punto a otro? Definitivamente, no, porque el recorrido tiene que hacerlo a lo largo de la geodésica 4dimensional, o sea la ruta más corta posible en el espacio-tiempo relativista. Esto es similar a los arcos del circulo máximo que en el espacio Euclideano tri-dimensional representan la solución a la ecuación de Euler sobre la superficie de una esfera; entre dos puntos cualesquiera uno de los arcos cuyos extremos están situados en dichos puntos será un arco de menor longitud (mínimo) mientras que el otro será el de mayor longitud (máximo), las geodésicas fijan la ruta a seguir, y no hay infinitos involucrados. Para poder estudiar en mayor detalle la forma en la cual hacemos un recorrido de un punto P a un punto Q en el espacio-tiempo relativista, debemos considerar cualquier recorrido que llevemos a

cabo como un recorrido formado por una cantidad infinitamente grande de intervalos relativistasinfinitamente pequeños: ds² = (dct)² - (dx)² - (dy)² - (dz)² Toda geodésica relativista se puede considerar formada por segmentos de intervalos relativistas infinitesimales. Aquí podemos definir tres tipos de geodésicas en el espacio-tiempo: 1) Geodésicas tipo temporal (timelike).- Aquellas en las que en un intervalo relativístico predomina el componente temporal sobre el componente espacial, 2) Geodésicas tipo espacial (spacelike).- Aquellas en las que en un intervalo relativístico predomina el componente espacial sobre el componente temporal 3) Geodésicas tipo luminoso (lightlike).- Aquellas en las que en un intervalo relativístico el componente espacial es igual al componente temporal. En la Teoría Especial de la Relatividad, dos observadores inicialmente en reposo el uno frente al otro permanecen en reposo manteniendo una separación espacial constante, y entonces dos geodésicas tipo temporal inicialmente paralelas se mantendrán paralelas. El mismo argumento se puede extender hacia las geodésicas tipo espacial y tipo luminoso. Al no cruzarse jamás dichas geodésicas, se concluye que en la Teoría Especial de la Relatividad, la geometría del espaciotiempo es Euclideana, es decir, plana, es una geometría en donde se cumple el quinto postulado de Euclides que nos afirma que dos rectas paralelas se mantienen paralelas sin cruzarse y sin divergir la una de la otra. Es el tipo de geometría descrita por las transformaciones de Lorentz. Y en contraste, en la Teoría General de la Relatividad, la geometría del espacio-tiempo es curva, es una geometría en donde no se cumple el quinto postulado de Euclides porque es una geometría en donde las rectas paralelas no pueden existir.

41. LA RUTA GEODÉSICA III Con la ecuación geodésica firmemente en nuestras manos, el siguiente paso consiste en la aplicación de la misma para la resolución de algunos problemas con el fin de utilizarla eventualmente en la Teoría de la Relatividad. Es importante señalar que no hay problema relacionado con geodésicas que no podamos resolver recurriendo directamente a la ecuación de Euler. La ventaja de la ecuación geodésica es que, además de ser fácilmente memorizable, nos produce en esencia lo mismo que nos brinda la ecuación de Euler. PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, encontrar la geodésica entre dos puntos en un plano Cartesiano bi-dimensional. Para un plano Cartesiano bi-dimensional en el cual tenemos dos coordenadas: (x1, x2) = (x, y) habrá dos ecuaciones diferenciales, una para cada coordenada:

Puesto que, tratándose de coordenadas rectangulares Cartesianas, los símbolos de Christoffel (resaltados en color rojo) son todos iguales a cero, las dos ecuaciones diferenciales anteriores se reducen simplemente a:

Integrando cada una de estas ecuaciones diferenciales una vez: dx/ds = A____dy/ds = B

en donde A y B son constantes de integración. Combinando ahora ambas ecuaciones de la siguiente manera:

en donde hemos hecho a A/B una nueva constante m. Integrando de nuevo: y = mx + b Esta es la ecuación de una recta. Se concluye que en un plano bi-dimensional Cartesiano, la geodésica entre dos puntos es la recta que los une. PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, encontrar la geodésica entre dos puntos en un plano Cartesiano tri-dimensional. Para un plano Cartesiano bi-dimensional en el cual tenemos dos coordenadas: (x1, x2, x3) = (x, y, z) habrá tres ecuaciones diferenciales, una para cada coordenada:

Nuevamente, puesto que tratándose de coordenadas rectangulares Cartesianas, los símbolos de Christoffel (resaltados en color rojo) son todos iguales a cero, las tres ecuaciones diferenciales anteriores se reducen simplemente a:

Integrando cada una de estas ecuaciones diferenciales obtenemos lo siguiente: x = As + x0____y = Bs + y0____z = Cs + z0 en donde A, B, C, x0, y0, y z0 son constantes de integración. Eliminando a la variable s de cada par de ecuaciones que podemos formar, tenemos lo siguiente:

Esta es la ecuación de una recta dentro de un espacio Cartesiano tri-dimensional. Se concluye que en un plano tri-dimensional Cartesiano, la geodésica entre dos puntos es la recta que los une. PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, escribir las ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas, especificamos un punto mediante las siguientes tres coordenadas: (x1, x2, x3) = (r, θ, z) Puesto que tenemos tres coordenadas, habrá tres ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas cilíndricas:

Para las coordenadas cilíndricas, los únicos símbolos de Christoffel diferentes de cero son los siguientes: Γ221 = Γθ θr = 1/r Γ212 = Γθ rθ = 1/r Γ122 = Γr θθ = - r Llevando a cabo la doble sumatoria requerida en el segundo término de la ecuación geodésica según lo requiere la convención de sumación, obtenemos para la geodésica de la coordenada radial r la siguiente ecuación diferencial:

Repitiendo el procedimiento, tenemos la siguiente ecuación diferencial para la geodésica de la coordenada angular θ:

Por último, tenemos la siguiente ecuación diferencial para la geodésica de la coordenada z que en realidad viene siendo trivial:

De esta última ecuación, casi podemos ver de inmediato que para la superficie del cilindro en el cual mantenemos la coordenada radial r constante todo el tiempo sin cambio alguno, la geodésica vendrá siendo una hélice. Como puede verse, los símbolos de Christoffel son en realidad todo lo que necesitamos para escribir las ecuaciones geodésicas que correspondan a cierto sistema de coordenadas. PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, escribir las ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas, especificamos un punto mediante las siguientes tres coordenadas: (x1, x2, x3) = (r, θ, φ) Puesto que tenemos tres coordenadas, habrá tres ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas esféricas:

Para la solución del problema necesitamos los símbolos de Christoffel para las coordenadas esféricas que son los siguientes: Γ221 = Γθθr = Γ212 = Γθrθ = 1/r Γ331 = Γφφr = Γ313 = Γφrφ = = 1/r Γ332 = Γφφθ = Γ323 = Γφθφ = cot θ

Γ122 = Γrθθ = - r Γ133 = Γrφφ = - r sen² θ Γ233 = Γθφφ = - sen θ cos θ Todos los demás símbolos de Christoffel son iguales a cero. Desarrollaremos primero la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada radial r expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:

En la expansión mostrada se han destacado de color rojo los símbolos de Christoffel que son iguales a cero y que por lo tanto no harán contribución alguna a la doble sumatoria. De este modo, obtenemos nuestra primera ecuación diferencial:

Desarrollaremos ahora la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular θ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:

De este modo, obtenemos nuestra segunda ecuación diferencial:

Por último, desarrollaremos la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular φ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:

De este modo, obtenemos nuestra tercera ecuación diferencial:

PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, escribir las ecuaciones diferenciales para las geodésicas sobre la superficie de una esfera. Este problema es esencialmente similar al problema anterior, excepto que ahora vamos a fijar el radio a un valor inalterable, manteniéndolo constante. Esto nos deja con tan sólo dos ecuaciones que corresponden a las otras dos coordenadas a las cuales sí les está permitido variar:

Desarrollaremos primero la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular θ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:

En la expansión mostrada se han destacado de color rojo los símbolos de Christoffel que son iguales a cero y que por lo tanto no harán contribución alguna a la doble sumatoria. Utilizando los valores para los símbolos de Christoffel correspondientes a las coordenadas esféricas dados en la solución del problema anterior, tenemos entonces la primera ecuación diferencial que corresponde a las geodésicas sobre la superficie de una esfera:

Desarrollaremos ahora la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular φ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:

Utilizando los valores para los símbolos de Christoffel correspondientes a las coordenadas esféricas dados en la solución del problema anterior, tenemos entonces la segunda ecuación diferencial que corresponde a las geodésicas sobre la superficie de una esfera:

Es tiempo de llevar nuestros recién adquiridos conocimientos al campo de la Teoría de la Relatividad. Puesto que en la Teoría de la Relatividad el espacio es un espacio 4-dimensional: (x1, x2, x3, x4) la ecuación geodésica nos producirá un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales. Si en vez del parámetro longitud de arco s introducimos el parámetro tiempo propio τ usando la relación: s = cτ

entonces tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:

Estas son las cuatro ecuaciones que especifican la ruta geodésica que seguirán los cuerpos en movimiento al estar inmersos los cuerpos en un espacio-tiempo curvo. Lo único que nos hace falta para resolver el sistema de ecuaciones son los símbolos de Christoffel, los cuales dependen a su vez directamente del tensor métrico g del cual se obtienen. Es por esto que la métrica determina todo lo que hay que saber y que se pueda saber de un sistema de cuerpos en movimiento libre. En virtud del primer término en cada una de las ecuaciones diferenciales para las geodésicas, todas ellas son ecuaciones diferenciales de segundo orden. El segundo término en cada una de ellas involucra un producto de diferenciales que convierte al sistema en un sistema de ecuaciones no-lineares, justo uno de los temas más difíciles a tratar, lo cual convierte a la Teoría General de la Relatividad en una pesadilla para los físicos y en una delicia para los matemáticos. Afortunadamente, en algunos casos especiales, sobre todo los más importantes, por razones de simetría las ecuaciones se pueden simplificar y se puede obtener una solución exacta o casi exacta. Pero hablando en términos generales, no existe una solución matemática general para todos los casos posibles, cada caso tiene que ser analizado y tratado sobre sus propios méritos. Una ayuda en esto es la plena libertad que tenemos para seleccionar el sistema de coordenadas que más convenga a nuestros propósitos en cierto problema. Podemos inventar incluso nuestro propio sistema de coordenadas. Sin embargo, lo que describa tal sistema de coordenadas tendrá que ser algo compatible con las ecuaciones de campo de la Relatividad General.

42. EL TRANSPORTE PARALELO Intimamente ligado con el concepto de la geodésica dentro de la Relatividad General está el concepto del transporte paralelo. Haremos primero una distinción entre los dos tipos diferentes posibles de curvatura que puede haber sobre una superficie: la curvatura intrínseca y la curvatura extrínseca. Consideremos primero la superficie de un cilindro, la cual como vimos previamente se obtiene enrollando una hoja plana de papel. Uno puede pensar que la superficie de un cilindro es curva puesto que dicha superficie está “redonda” en cierta dirección en torno al eje de simetría. Esta es una curvatura extrínseca, ya que no tiene relación alguna con el espacio tri-dimensional plano (en la hoja del cilindro) del cual forma parte. Uno puede formar la superficie de un cilindro con el simple hecho de enrollar un pedazo plano de papel sin necesidad de tener que cortar o arrugar el papel en lo más mínimo, de modo tal que la geometría intrínseca es la misma es la misma que la del pedazo de papel original, es una geometría plana, lo cual significa que la distancia original entre dos puntos cualesquiera sobre la superficie del papel sigue siendo la misma antes y después del enrollamiento. Las líneas paralelas trazadas sobre la hoja plana de papel original siguien siendo paralelas después de haber sido enrollado el papel para formar un cilindro, lo cual implica que al permanecer invariable la validez del quinto postulado de la geometría Euclideana (por un punto exterior a una recta dada sólo es posible trazar una línea paralela a la recta dada) la superficie del cilindro sigue siendo una geometría Euclideana, todos los resultados y teoremas clásicos de la geometría Euclideana plana siguen siendo válidos sobre la superficie de un cilindro (la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es igual a 180 grados, el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectántulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, etc.) Para una hormiga confinada a vivir sobre la superficie de un cilindro, la superficie del cilindro sería una superficie plana en todos sentidos, no tendría forma alguna de detectar la curvatura haciendo mediciones extremadamente precisas de ángulos sobre dicha superficie. Lo único curioso que encontraría es que viajando hacia adelante siempre en línea recta, después de una cantidad finita de tiempo descubriría asombrada haber regresado al mismo punto en el cual empezó su travesía. La geometría intrínseca de una hoja n-dimensional considera únicamente la relación que pueda haber entre los puntos de las trayectorias confinados a su superficie, mientras que la geometría extrínsecaproviene del considerar a dicha superficie como parte de un espacio formado por un mayor número de dimensiones como lo es el caso de la superficie del cilindro. De este modo, la geometría extrínseca descansa sobre la suposición de la existencia de espacios multidimensionales con un mayor número de dimensiones. En la Relatividad General, cuando hablamos de la curvatura del espacio-tiempo, estamos hablando de una curvatura intrínseca, puesto que todas las líneas del mundo están confinadas a permanecer en un espacio cuatri-dimensional; en la Relatividad General en su formulación original no hay espacios de cinco dimensiones o más. Desde la perspectiva de la Relatividad General, si habitamos en un mundo que forma parte de algo que ocupe más de cuatro dimensiones, ello no es cosa que nos concierna, puesto que de cualquier manera no podemos salir fuera hacia esa “quinta

dimensión”; lo único en lo que estamos interesados es en la geometría intrínseca del espaciotiempo. La superficie del cilindro es intrínsecamente plana. Pero si empezamos a considerar la superficie de una esfera, entonces las cosas cambian dramáticamente. Para darnos cuenta de ello, considérese la siguiente figura en la cual tenemos un triángulo esférico formado por el área delimitada por tres círculos máximos (que son las geodésicas o “líneas rectas” sobre la superficie de una esfera):

Sobre la superficie de una esfera como ésta, la geometría deja de ser Euclideana. En ella, dos líneas inicialmente paralelas dejan de ser paralelas desde el momento en que son trazadas. Si trazamos sobre la geodésica AB dos líneas muy cercanas entre sí que sean perpendiculares a dicha geodésica, eventualmente terminarán cruzándose. Por otro lado, la suma de los ángulos internos α, β y γ del triángulo ABC ya no es igual a 180 grados, y de hecho siempre será mayor que 180 grados. Podemos trazar sin dificultad alguna sobre la superficie de una esfera un triángulo cuyos ángulos internos sean todos ángulos rectos, y cuya suma será igual a 270 grados:

Otra diferencia que podemos encontrar la tenemos si trazamos sobre una hoja plana un “triángulo” hecho con curvas, el cual podemos tomar como la proyección de un triángulo esférico sobre una imagen tomada por una cámara fotográfica, y empezando en un punto de dicho triángulo empezamos a trazar líneas horizontales que para nosotros serán líneas perfectamente paralelas:

Si empezamos desde el punto A trazando una línea recta con forma de flecha (de color rojo) representando un vector, y nos vamos desplazando en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta llegar al punto B y después al punto C para finalmente regresar al punto A, trazando más líneas horizontales al ir haciendo el recorrido, al regresar al punto A el vector final será paralelo al vector inicial, ambos apuntarán en la misma dirección. Pero si llevamos a cabo un procedimiento similar sobre la superficie de una esfera, entonces tenemos algo interesante:

En este caso, supóngase que empezamos trazando flechas perfectamente paralelas a lo largo de la geodésica que va desde el punto A hasta el punto N (el cual podemos tomar como el polo Norte). Estas flechas o vectores serán desde luego las tangentes a la geodésica que va desde el punto A hasta el punto N. De la misma manera, una vez que hemos llegado al punto N, trazamos una paralela a la última tangente que construída al llegar a N pero moviéndonos a lo largo de la geodésica que va desde el punto N hasta el punto B, lo cual significa que la paralela trazada será una perpendicular al arco NB, y tras esto vamos trazando otras perpendiculares iguales a lo largo del arco NB, todas las cuales serán paralelas entre sí, hasta llegar al punto B. Hasta aquí, todo parece en orden. Ahora supóngase que continuamos el procedimiento después de haber llegado desde el punto N hasta el punto B trazando rectas paralelas, y empezamos a trazar más paralelas yéndonos del punto B hasta el punto A. Recuérdese que todas estas rectas las estamos trazando mediante escuadra y compás tan paralelas como no es posible. Es al completar el circuito llegando al punto A cuando nos topamos con una sorpresa. La línea “paralela” en el punto A al llegar a dicho punto desde el punto B no apunta en la misma dirección que la de la línea “paralela” inicial. De hecho, el campo vectorial ha experimentado una rotación de α grados en nuestra construcción sobre la superficie esférica. De este modo, si partimos desde un punto cualquiera del globo terráqueo siguiendo una ruta geodésica y vamos trazando tangentes sobre dicha ruta, todas las cuales serán paralelas entre sí al irlas trazando, y continuamos trazando más paralelas conforme hacemos el recorrido que correspondería a una trayectoria sobre las líneas de un triángulo esférico, entonces al completar un circuito cerrado

encontramos que las líneas han dejado de ser paralelas. Es el circuito cerrado el que ha dado origen a la discrepancia. La construcción que acabamos de llevar a cabo es conocida como el transporte paralelo, porque vamos “transportando” una paralela de un punto a otro trazándolas tan paralelas la una a la otra como nos sea posible. Pero por lo que acabamos de ver, no nos es posible intentar definir -sobre una hoja de trazado curva- campos vectoriales globalmente paralelos. Aún nos es posible definir un paralelismo local, especificando cómo mover un vector de un punto a otro sobre una hoja de trazado curva de modo tal que el vector trasladado mantenga la misma dirección y la misma longitud, pero el resultado de tal transporte paralelo dependerá del tipo de curvatura y sobre todo de la ruta seguida, por lo que no se puede afirmar de modo general que un vector trazado en un punto A sea paralelo a otro vector B sobre una superficie curva. En la siguiente figura tenemos un vector V (de color rojo) que ha sido objeto de un transporte paralelo a lo largo de una curva en la cual una tangente cualquiera de dicha curva es un vector U (de color azul) que viene siendo igual a U = dx/dλ en donde dλ es un parámetro que puede ser un segmento infinitesimal de arco o un intervalo infinitesimal de tiempo:

Existe un método de aproximación de primer orden con cierta justificación matemática sobre elparalelogramoide de Levi-Civita para ir construyendo (transportando) un vector V a lo largo de una ruta geodésica, conocido como la escalera de Schild, ilustrado en el siguiente diagrama:

El método de construcción es el siguiente: (1) Empezamos con un segmento de geodésica como el que muestra la figura de arriba, sobre el cual está puesto el vector V = A0X0 que es el vector que será movido a lo largo de la geodésica mediante el transporte paralelo. (2) Seleccionamos otro punto A1 sobre la geodésica que esté cercano al punto A0, en la dirección hacia la cual será movido el vector original. (3) Trazamos una recta que conecte la punta del vector A0X0 con el punto A1, y hecho esto marcamos el punto medio de dicha recta, que aquí llamaremos P1. (4) Constrúyase la geodésica A0P1 y extiéndase la misma hasta el punto X1, de modo tal que la longitud paramétrica de A0X1 sea el doble de la longitud A0P1. (5) Finalmente, constrúyase la geodésica A1X1, con lo cual el vector original ha sido desplazado en transporte paralelo hacia una nueva posición. La figura muestra dos peldaños de la escalera. Para poder continuar adelante, daremos ahora un repaso a la estructura matemática que está detrás de los conceptos de la tangente a una curva espacial en un punto cualquiera de dicha curva. Intuitivamente, el concepto de la recta tangente a una curva espacial no ofrece mucha dificultad. En la siguiente figura:

en donde sobre la superficie del paraboloide se ha trazado una curva espacial (de color rojo, la cual no necesariamente es la geodésica sobre dicha superficie) se ha trazado una recta tangente a dicha curva espacial (de color verde). Y en la siguiente figura, tenemos dos parábolas planas, una de color rojo y la otra de color azul, cada una de las cuales tiene trazada su propia recta tangente en un punto común a ambas (del mismo color que hace corresponder a la curva espacial con la tangente que le toca):

Como puede verse en ambas figuras, la tangente puesta en cierto punto P de una curva espacial apunta en la misma dirección hacia la cual se está moviendo en el espacio dicho punto. A cada punto de una misma curva espacial corresponderá una tangente diferente. Podemos definir formalmente a la tangente de una curva en un punto P de dicha curva como el proceso límite de varias secantes trazadas a través de dicho punto en donde la distancia h entre los dos puntos P y Q de una secante sobre la curva se va disminuyendo arbitrariamente hasta que htoma un valor infinitesimalmente pequeño:

En un sistema tri-dimensional de coordenadas Cartesianas, si tenemos una curva espacial cuyas componentes en cada uno de los tres ejes están especificadas con funciones independientes de un parámetro como t (en función del tiempo) o como s (en función del arco de longitud de la curva): x = x(t)___y = y(t)___z = z(t) entonces si agrupamos estas componentes en un triplete ordenado al cual podemos designar

como U: U = [x(t), y(t), z(t)] el vector tangente dU/dt (o dU/ds, en su caso) estará dado simplemente por la derivada respectiva de cada componente:

Para simbolizar lo mismo, se acostumbra usar también la notación de los vectores unitarios de base, los cuales son de longitud 1 y que en coordenadas Cartesianas son i, j y k, con lo cual:

Otra notación alterna con vectores unitarios de base utilizada frecuentemente en muchos textos es la siguiente:

Todas estas notaciones sirven para indicar exactamente lo mismo, un triplete ordenado de elementos que deben mantenerse separados para efectos de cálculo matemático. Para distinguir a un vector tangente dU/dt de longitud arbitraria obtenido sobre un punto P de una curva espacial de un vector tangente unitario cuya longitud es siempre igual a la unidad, tenemos que dividirlo entre la expresión que nos dé la magnitud ║dU/dt║ de dicho vector. Podemos denotar a este último como T: T = (dU/dt) /║dU/dt║

PROBLEMA (5): Suponiendo que una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas x = x(s), y = y(s), z = z(s), en donde s es una longitud de arco de la curva C medida desde un punto fijo en C, demostrar que si r es un vector posición de cualquier punto en la curva C entonces dr/ds es un vector tangente unitario a la curva C en dicho punto. Si r es el vector posición que nos dá las coordenadas de la punta de un vector flecha a partir del origen (0,0,0), entonces: r = (x, y, z) Podemos representar el triplete de componentes en vectores unitarios de base i, j y k para simplificar el desarrollo de la solución: r=xi+yj+zk Tomando la derivada con respecto a un elemento infinitesimal de longitud, el vector:

es una tangente a la curva recorrida por la punta del vector posición en base al procedimiento de construcción dado arriba. La magnitud de este vector está dada por:

Usando la relación Pitagórica para un elemento infinitesimal de longitud:

ds² = dx² + dy² + dz² Reagrupando y usando la relación tenemos entonces que: ║dr/ds║ = √(dx² + dy² + dz²)/(ds)² ║dr/ds║ = √(dx² + dy² + dz²)/(dx² + dy² + dz²)² ║dr/ds║ = 1 Entonces el vector tangente ║dr/ds║ = 1 es un vector unitario. PROBLEMA: (1) Encontrar un vector unitario tangente a cualquier punto sobre la curva espacial cuyas ecuaciones paramétricas son las siguientes: x = t² + 1 y = 4t - 3 z = 2t² - 6t y (2) encontrar la tangente unitaria en el punto en donde t = 2. (1) Para encontrar un vector tangente a cualquier punto sobre la curva, obtenemos primero: dx/dt = 2t dy/dt = 4 dz/dt = 4t - 6 En notación de triplete, el vector tangente a cada punto de la curva está dado por: dr/dt = (2t, 4, 4t - 6)

Y en notación con vectores unitarios de base, podemos escribir la misma respuesta ya sea como: dr/dt = (2t) i + 4 j - (4t - 6) k o como: dr/dt = (2t) e1 + 4 e2 - (4t - 6) e3 Ambas notaciones sirven para indicar exactamente lo mismo, un triplete ordenado de elementos que deben mantenerse separados para efectos de cálculo matemático. La longitud de este vector tangente dr/dt es algo que puede variar de un punto a otro sobre la curva espacial. Para que el vector tangente sea unitario en cualquier punto de la curva, tenemos que dividirlo entre la magnitud de dicho vector, la cual es: ║dr/dt║ = √(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² ║dr/dt║ = √(2t)² + (4)² + (4t - 6)² Usando notación de vectores unitarios de base, el vector tangente unitario T sobre cualquier punto de la curva será: T = (dr/dt) /(║dr/dt║)

(2) En el punto t = 2, el vector tangente unitario será;

Haremos ahora un repaso de otro concepto que utilizaremos en nuestra discusión posterior, el concepto de la derivada direccional. Para ello, definiremos primero el operador diferencial del onabla en tres dimensiones en coordenadas rectangulares (Cartesianas) de la siguiente manera:

Siendo este operador un operador vectorial, aplicarlo sobre una función escalar φ cualesquiera nos producirá un campo vectorial, el campo vectorial ∇φ, al cual se le dá el nombre de gradiente. Recurriendo a coordenadas generalizadas xk, podemos extender también la definición del operador vectorial ∇ de tres dimensiones a un espacio 4-dimensional:

PROBLEMA: Encontrar el gradiente de las siguientes funciones escalares: (1) φ = x² + y² + z² (2) φ = 5 + 2x -4xy² + 3z (3) φ = xyz (4) φ = x² - y² - z² Usando notación de vectores unitarios de base: (1) ∇φ = 2x i + 2y j + 2z k

(2) ∇φ = (2 - 4y²) i - 8xy j + 3 k (3) ∇φ = yz i + xz j + yz k (4) ∇φ = 2x i - 2y j - 2z k

La componente del vector gradiente ∇φ que apunta en la dirección de un vector unitario V se obtiene con el producto escalar de ambos, o sea ∇φ·V, y se define formalmente como la derivada direccional de la función escalar φ a lo largo de la dirección del vector V. Geométricamente hablando, en cierta forma es igual a la magnitud de la proyección del vector ∇φ en la dirección hacia la cual apunta el vector V. Físicamente, esto se interpreta como la razón de cambio de φ en la dirección de V en cierto punto preseleccionado del espacio a lo largo de una trayectoria. PROBLEMA: Encontrar la derivada direccional del siguiente campo escalar: φ = x²yz + 4xz² en el punto (1, -2, -1) en la dirección del vector: v = (2, -1, -2) El primer paso en la solución de este problema consiste en la determinación del campo vectorial ∇φ a partir del campo escalar φ mediante la aplicación del operador vectorial ∇ a φ. Lo haremos aquí usando notación de vectores unitarios de base en lugar del triplete ordenado de números con el objeto de simplificar la lectura de los pasos: ∇φ = ∇(x²yz + 4xz²)

∇φ = (2xyz + 4z²) i + x²z j + (x²y + 8xz) k En el punto (1, -2, -1), el vector que pertenece al campo vectorial ∇φ tiene el siguiente valor: ∇φ = (4 + 4) i + (-1) j + (-2 - 8) k ∇φ = 8i - j - 10k

Antes de encontrar la derivada direccional en el punto (1, -2, -1) en la dirección del vector v = (2, 1, -2), normalizaremos dicho vector para que tenga una longitud igual a la unidad: V = v / ║v║ V = (2 i - j - 2k) /√(2)² + ( -1)² + (-2)² V = (2 i - j - 2k) /3 V = (2/3) i - (1/3) j - (2/3) k La derivada direccional que estamos buscando la obtenemos tomando el producto escalar de los vectores ∇φ y V: ∇φ · V = [8i - j - 10k ] · [(2/3) i - (1/3) j - (2/3)] k ∇φ · V = (8) (2/3) + (-1) (-1/3) + (-10)(-2/3) ∇φ · V = 37/3

En virtud de que la derivada direccional es positiva, esto nos dice que φ está aumentando en esta dirección. Si hemos de definir lo que hemos visto arriba en términos un poco más elegantes y más formales, usando coordenadas generalizadas, podemos decir que si tenemos una función escalar φ que dependa de varias coordenadas x1, x2, x3, ..., etc.:

a lo largo de un vector v (tangente a una curva espacial):

entonces la derivada direccional de esa función escalar φ a lo largo del vector v está definida

mediante el límite:

Esta definición intenta resumir todo lo que ya se ha señalado arriba, y en realidad no es más que la representación formal del producto escalar: ∇φ(x) · v que frecuentemente se resume simplemente como:

Habiendo visto ya lo que es la derivada direccional, estamos preparados para ver lo que es laderivada absoluta de un tensor, la cual se representa con la siguiente simbología en el caso de un tensor covariante A:

Esta simbología así como el uso de la palabra “derivada absoluta” son desafortunados porque pudieran dar la falsa impresión de que la derivada absoluta de un tensor equivale simplemente a la diferenciación de un tensor, lo cual no es así, porque la derivada absoluta es la extensión al cálculo tensorial del concepto de la derivada direccional, y como lo vimos arriba, la derivada direccional no es simplemente la diferenciación de un vector, sino que es algo sobre lo cual se aplica posteriormente un producto vectorial escalar con una tangente para obtener la proyección Aclarado lo anterior, definimos a la derivada absoluta de un tensor o derivada intrínseca de un tensor de la siguiente manera en caso de que se trate de un tensor contravariante T j:

Compárese esta definición con la definición de la derivada direccional. Al igual que en el caso de la derivada direccional en donde tenemos que obtener primero el vector gradiente ∇φ mediante la aplicación del operador diferencial vectorial ∇, también para obtener la derivada absoluta tenemos que obtener la derivada covariante del tensor T, lo cual es simbolizado como Tj,q mediante la notación de la coma puesta en el sub-índice del tensor antes de la letra q que representa a la coordenada general con respecto a la cual se toma la derivada covariante. Al igual que en el caso de la derivada direccional en donde vamos a efectuar a cabo el producto escalar del vector gradiente ∇φ con el vector V que es la tangente a la curva espacial sobre la cual se lleva a cabo la operación, en la derivada absoluta también efectuamos una operación de producto escalar con cada uno de los componentes dxq/dt que agrupados bajo un vector vienen siendo también una tangente a una curva espacial. Y al igual que en el caso de la derivada direccional en donde llevamos a cabo un producto escalar entre los vectores ∇φ y V, en el caso de la derivada absoluta igualmente llevamos a cabo un producto interno entre los tensores Tj,q y dxq/dt mediante una operación de contracción como lo requiere la convención de sumación para índices repetidos, lo cual a fin de cuentas viene siendo lo mismo que la toma del producto escalar entre ambos tensores. Obsérvese el uso de la palabraintrínseca en el otro nombre que se le puede dar a la derivada absoluta de un tensor. Esto tiene una connotación geométrica directa con el concepto de la curvatura intrínseca dado arriba al inicio de esta entrada. Es precisamente de lo que se trata. Obsérvese también que el resultado final de las operaciones combinadas en el caso de la derivada absoluta viene siendo un tensor del mismo tipo y del mismo orden que el tensor original. Esto quiere decir que si obtenemos la derivada absoluta de un tensor contravariante de orden uno, el resultado será también un tensor contravariante de orden uno. PROBLEMA: Partiendo del tensor contravariante Ai, y formando el producto interno de la derivada covariante Ai, j con el vector tangente dxi/dt a una curva espacial, demostrar la siguiente relación:

Todas las operaciones y demostraciones a ser llevadas a cabo en problemas de este tipo tienen su punto de partida en una definición tensorial como la siguiente:

El primer paso consiste en tomar la derivada covariante del tensor Ai:

Tomamos ahora el producto interno (contracción) entre este tensor y el tensor dxq/dt:

Multiplicando para remover paréntesis:

Pero por la regla de la cadena, el primer término en el lado derecho de la ecuación es simplemente la derivada ordinaria de dAi/dt. Simplificando, llegamos a la relación que se quería demostrar desde un principio. Para un tensor covariante , también podemos definir una derivada absoluta. La definición es casi idéntica a la dada anteriormente:

PROBLEMA: Partiendo del tensor covariante Ai, y formando el producto interno de la derivada covariante Ai, j con el vector tangente dxi/dt a una curva espacial, demostrar la siguiente relación:

La resolución de este problema se lleva a cabo en forma casi idéntica al problema anterior, la única diferencia siendo que utilizamos la derivada covariante para un tensor del tipo covariante en lugar de un tensor del tipo contravariante, lo cual se refleja en la diferencia de los signos del segundo término de la derivada absoluta de un tensor cuando se trata de un tensor covariante (-) y de un tensor contravariante (+). Por una mera ligera conveniencia y sin ninguna otra razón más que esta, trabajaremos sobre la derivada absoluta de un tensor contravariante. Si T = (Ti) es un tensor (contravariante), entonces la derivada (T i, j) de dicho tensor (siguiendo las reglas para la derivada de un tensor con lo cual entran en el panorama los símbolos de Christoffel) también lo es. Supóngase que vamos a tomar el producto interno de este tensor T con otro tensor U= (dxi/dt) que viene el vector tangente a una curva espacial C cuyos i componentes (tres componentes en caso de un espacio tri-dimensional) son a su vez funciones de un parámetro t ( xi = xi(t) ):

Como ya lo vimos, a este producto se le designa como la derivada absoluta del tensor a lo largo de la curva espacial C siendo sus componentes:

Una cosa que debemos aquí es que en un sistema de coordenadas en los que los componentes del tensor métrico gij son constantes numéricas los símbolos de Christoffel se convierten todos en

cero, con lo cual la diferenciación absoluta se nos reduce a lo que ya habíamos visto antes, a la derivada direccional de un vector. Lo que en el Análisis Vectorial llamamos derivada direccional en el Análisis Tensorial lo llamamos derivada absoluta, estando ambos conceptos siempre definidos a lo largo de una curva espacial, pero siendo siempre el concepto de la derivada absoluta más general y más extenso que el de la derivada direccional. PROBLEMA: Demostrar que la diferenciación absoluta se convierte en diferenciación ordinaria: (1) en el caso del espacio tri-dimensional Euclideano manejado con coordenadas rectangulares Cartesianas, y (2) en el caso del espacio-tiempo Lorentziano (Minkoswki) que corresponde a la Teoría Especial de la Relatividad. (1) En el caso del espacio tri-dimensional Euclideano manejado con coordenadas rectangulares Cartesianas, en donde el elemento de distancia ds está dado por: ds² = dx² + dy² + dz² los componentes del tensor métrico g son: g11 = g22 = g33 = 1, y gij = 0 para i ≠ j y por lo tanto todos los símbolos de Christoffel serán iguales a cero. Entonces:

se reduce a:

y la diferenciación absoluta se convierte en diferenciación ordinaria. (2) En el caso del espacio-tiempo Lorentziano (Minkoswki) que corresponde a la Teoría Especial de la Relatividad, el elemento de distancia ds lo podemos escribir como:

ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² con lo cual los componentes del tensor métrico g son: g11 = 1, g22 = g33 = g44 = -1, y gij = 0 para i ≠ j y por lo tanto todos los símbolos de Christoffel serán iguales a cero, produciéndonos el mismo resultado que la parte anterior. Resulta obvio que todo lo que se ha definido arriba para un espacio tri-dimensional se puede extender sin problema alguno hacia un 4-espacio o inclusive a espacios de dimensiones mayores; y más aún, podemos llevarlo hacia espacios multidimensionales en donde hay curvatura a causa de un sistema de coordenadas en el que no todos los componentes del tensor métrico g ij son constantes numéricas. En un marco de referencia inercial (Lorentziano), toda la geometría Euclideana sigue siendo perfectamente válida. Las líneas paralelas permanecen paralelas. Del mismo modo, la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera frente a un observador en reposo miden 180 grados:

y seguirán midiendo 180 grados cuando el triángulo se pone en movimiento a una velocidad constante frente al observador después de que todos los efectos relativistas han sido tomados en cuenta (las distancias paralelas a la dirección del movimiento se contraen mientras que las distancias perpendiculares permanecen iguales):

Sin embargo, si el triángulo es puesto en un marco de referencia acelerado, la suma de los ángulos internos del triángulo ya no será igual a 180 grados, e inclusive las líneas rectas del triángulo dejarán de ser líneas rectas, se volverán líneas curvas. La geometría dejará de ser Euclideana para convertirse en una geometría no-Euclideana. Considérese ahora un plano Euclideano, sin curvatura alguna en la tercera dimensión espacial, en el cual se toma un vector V que está situado inicialmente en el punto A de un cuadrado y al cual se le arrastra mediante el procedimiento de transporte paralelo alrededor de los bordes del cuadrado, pasando por los puntos B, C y D hasta regresarlo al punto original de partida:

Después de completar de completar el recorrido completo ABCDA hasta volver al punto de origen, el vector arrastrado mediante el transporte paralelo continúa apuntando en la misma dirección que aquella a la que apuntaba al empezar el recorrido. Esto no ocurre en presencia de alguna curvatura, como en el caso en el cual se ha trazado un cuadrado como el de arriba muy grande sobre la superficie de una esfera. El transporte paralelo proporciona entonces una manera de poder determinar la curvatura de un espacio tridimensional o de un espacio-tiempo relativista. En un espacio-tiempoplano (Lorentziano) dV/dλ = 0. Vectorialmente hablando, esto significa que un vector V objeto de transporte paralelo no solo no cambia de magnitud al ser desplazado, ni siquiera cambia de dirección(sin embargo, en una región suficientemente pequeña, el espacio curvo se vuelve prácticamente plano. Esta aproximación nos permite considerar a un espaciotiempo curvo formado por una cantidad enorme de “mosaicos” espacio-tiempo planos). En el caso de un 4-espacio como el que se utiliza en la Teoría de la Relatividad, el vector tangente Use puede definir de la siguiente manera en función del parámetro τ a partir del vector posición x:

El parámetro es, desde luego, el tiempo propio τ medido por el reloj que viaja con el observador en

movimiento. Considérese ahora la siguiente curva espacial en la cual se han trazado vectores tangentes sobre dicha curva identificados como U y sobre la cual se ha tomado un vector V al cual se le ha aplicado el procedimiento de transporte paralelo:

Con la ayuda de la regla de la cadena podemos escribir lo siguiente tomándolo como algo matemáticamente válido (utilizamos derivadas ordinarias para cada dxi/dτ en virtud de que cada componente xi es función de una sola variable que es el parámetro τ, mientras que usamos derivadasparciales para las componentes ∂Vα/∂xi en virtud de que el vector V es una función no de una sino de varias variables xi):

Inspeccionando esto que acabamos de escribir, nos percatamos de que podemos representarlo de una manera más compacta como el producto interno (escalar) de un vector cuyas componentes son dxi/dτ por otro vector cuyas componentes son ∂Vα/∂xi. Esto lo podemos representar de dos maneras, ya sea en notación matricial (compacta o explícita) o recurriendo a notación de doble sumatoria usando índices repetidos. Optaremos aquí por esta última porque está más de cerca con el espíritu del tratamiento tensorial que se le dá a la Teoría de la Relatividad. Si repasamos lo que vimos arriba, no nos debe llevar mucho tiempo para darnos cuenta de que el vector cuyas componentes son dxi/dτ en realidad es el vector U = (Uβ) que es la tangente a la curva espacial. Esto significa que la expansión anterior la podemos representar de la manera siguiente:

Obsérvese que en la segunda línea hemos recurrido a la notación de la coma para representar la derivada parcial de Vα con respecto a xβ. Pero si repasamos lo que tenemos arriba, no tardamos en caer en la cuenta de que lo que tenemos en UβVα,β es esencialmente la definición de la derivadaabsoluta del tensor (vector) V. Pero si como vimos arriba, en un espaciotiempo plano (Lorentziano) dV/dλ = 0, entonces el enunciado siguiente: Uβ Vα , β = 0 es esencialmente la definición del transporte paralelo del vector V a lo largo del vector tangente Utrazado sobre la curva espacial. Pero esta es una expresión tensorial, válida en cualquier marco de referencia. Por lo tanto, aplicando la regla de “la coma va hacia un semicolon”, reemplazando con ello a la derivada ordinaria con la derivada covariante (la cual involucra ya a los símbolos de Christoffel), tenemos entonces la siguiente expresión: Uβ Vα ; β = 0 Esta es la definición invariante (válida para cualquier marco de referencia) del transporte paralelo del vector V a lo largo del vector tangente U. En otras palabras, si UβVα,β = 0 entonces dV/dλ = 0, y viceversa. La definición invariante del transporte paralelo es a veces presentada de manera algo

críptica aunque compacta de la siguiente manera:

cuyo lado izquierdo se acostumbra leer como “la derivada covariante de V tomada a lo largo del vector tangente U”. Este es otro caso de una selección desafortunada de simbología, puesto que el operador diferencial vectorial nabla ∇ nunca se aplica directamente sobre un vector, se aplica sobre un campo escalar transformando a dicho campo escalar en un campo vectorial, del mismo modo que en manipulaciones matemáticas no se acostumbra anexarle sub-índices a dicho operador, y mucho menos sub-índices vectoriales. Regresando al espacio plano, tenemos en él las líneas más importantes que se puedan trazar en dicho espacio, que son las líneas rectas. Un postulado básico de la geometría Euclideana nos dice que dos rectas paralelas que son inicialmente paralelas permanecerán paralelas cuando son prolongadas. Esto no significa que podamos utilizar a la distancia que haya entre dos líneas para determinar si son paralelas cuando son continuadas, porque ambas líneas pueden experimentar una curvatura manteniéndose la distancia entre ambas constante (como lo que ocurre en las carreteras en donde al tomar una curva la distancia entre ambos lados de la carretera permanece más o menos constante). Lo que significa el que dos rectas permanezcan paralelas cuando son continuadas es que ambas permanezcan moviéndose siempre en una misma dirección, de modo tal que la tangente a una línea sea paralela a la tangente trazada sobre la misma línea en un punto previo o posterior. De hecho, la línea recta es la única curva en el espacio Euclideano capaz de llevar a cabo un transporte paralelo sobre su propio vector tangente. En un espacio curvo también podemos trazar líneas “tan derechas como sea posible” demandando el transporte paralelo del mismo vector tangente. Estas líneas ya las vimos en las entradas previas. Son las geodésicas. Recuérdese cómo habíamos definido a las geodésicas como “las líneas más derechas posibles entre dos puntos cualesquiera”. Simbólicamente, este requerimiento matemático para tener “líneas tan derechas como sea posible” se puede representar de la siguiente manera:

Utilizando notación de componentes, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera en forma menos críptica y más susceptible a la manipulación matemática haciendo V = U en la definición invariante del transporte paralelo del vector V a lo largo del vector tangente U:

Uβ Uα ; β = 0 Aplicando la definición de la derivada covariante como nos lo pide el semicolon (metiendo dentro del panorama a los símbolos de Christoffel), y manteniéndonos dentro de la notación de componentes, lo anterior se nos convierte en: UβUα,β + Γαμβ UμUβ = 0 Si identificamos a λ como un parámetro medido a lo largo de la curva (ya sea un elemento de arco o un elemento de tiempo propio medido por un observador que viaja con su reloj a lo largo de la curva) de modo tal que el vector tangente pueda ser escrito como Uα = dxα/dλ; esto puede ser simplificado aún más, pero para ello necesitamos probar el siguiente resultado intermedio: Uβ · ∂/∂xβ = d/dλ Puesto que, de un paso previo: dVα/dλ = Uβ Vα , β entonces:

de lo cual se infiere que:

Tenemos además que:

Es así como llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:

O bien:

Esto último tiene ya un aspecto que nos debe resultar familiar. Es la ecuación geodésica que ya habíamos obtenido anteriormente por medio del cálculo de variaciones recurriendo a la ecuación de Euler, y que hemos obtenido ahora aquí mediante argumentos de índole física. Como podemos constatar, la ruta geodésica, el transporte paralelo y la curvatura del espacio-tiempo son conceptos que están íntimamente ligados.

43. LA DERIVADA ABSOLUTA En la entrada anterior titulada “El transporte paralelo”, se definió a la derivada absoluta de un tensorT = (Ti) como la contracción de la derivada covariante de dicho tensor (Ti; q) con otro tensor dxq/dt que sea un vector tangente a una curva espacial. El resultado de estas operaciones es un tensor del mismo tipo y del mismo orden que el tensor original (contravariante de orden uno). Dada la importancia del concepto, llevaremos a cabo aquí algunos ejercicios de práctica para familiarizarnos mejor con las propiedades y las aplicaciones de la derivada absoluta que nos permiten llevar a cabo latensorialización de la física clásica, trasladando posteriormente los resultados hacia la física relativista. La metodología para la obtención de la derivada absoluta es la misma en todos los casos: a) Se toma la derivada covariante del tensor proporcionado. b) Se escribe la expresión que denota a las componentes de la tangente con la cual se llevará a cabo la contracción. c) Se lleva a cabo la contracción de ambas aplicando la convención de sumación para índices repetidos. PROBLEMA: Obténganse las derivadas absolutas de cada uno de los siguientes tensores, los cuales suponemos que son funciones diferenciales de la variable t: 1) La invariante Φ 2) Tk 3) Tj (1) Empezando con Φ, podemos recurrir a la notación del semicolon en el sub-índice para simbolizar a la derivada covariante de Φ como Φ;q; y designando como dxq/dt a las q componentes de la tangente a la curva espacial sobre la cual queremos llevar a cabo la derivación absoluta, las operaciones que tenemos que llevar a cabo aparecen en el punto de partida usual para la obtención de una derivada absoluta:

Si Φ es una invariante, entonces al tomar la derivada covariante del mismo los símbolos de

Christoffel son todos iguales a cero, con lo cual Φ,q se nos convierte simplemente en ∂Φ/∂xq (el semicolon va hacia una coma):

Entonces lo que tenemos para llevar a cabo la operación de contracción, sumando sobre los índices repetidos, es lo siguiente:

Pero por la regla de la cadena, lo que tenemos en el lado derecho es simplemente la derivada ordinaria de Φ con respecto a t, o sea dΦ/dt. Entonces:

En este caso, la derivada absoluta viene siendo igual a la derivada ordinaria. (2) Como en (1), recurrimos a la notación del semicolon en el sub-índice para simbolizar a la derivada covariante del tensor covariante Tk como Tk;q; y designando como dxq/dt a las q componentes de la tangente a la curva espacial sobre la cual queremos llevar a cabo la derivación absoluta, las operaciones que tenemos que llevar a cabo aparecen en el punto de partida usual para la obtención de una derivada absoluta:

El siguiente paso consiste en implementar la derivada covariante del tensor covariante T = (Tk):

Removiendo paréntesis y simplificando:

(3) Como en (1), recurrimos a la notación del semicolon en el sub-índice para simbolizar a la derivada covariante del tensor contravariante Tj como Tj;q designando como dxq/dt a las q componentes de la tangente a la curva espacial sobre la cual queremos llevar a cabo la derivación absoluta, con lo cual las operaciones que tenemos que llevar a cabo aparecen en el punto de inicio usual para la obtención de una derivada absoluta:

Tomamos ahora la derivada covariante del tensor contravariante T = (Tj):

Removiendo paréntesis:

Simplificando:

PROBLEMA: Obténgase la derivada absoluta del tensor contravariante de orden dos U= (Uab). Simbolizando a la derivada covariante del tensor contravariante de orden dos Uab como Uab;q y designando como dxq/dt a las q componentes de la tangente a la curva espacial sobre la cual queremos llevar a cabo la derivación absoluta, podemos escribir lo siguiente:

Tomando la derivada covariante de U y efectuando la contracción tensorial con dxq/dt obtenemos:

PROBLEMA: Obténgase la siguiente derivada absoluta de un tensor mixto T de orden dos, el cual suponemos que es una función diferenciable de la variable t:

Simbolizando a la derivada covariante del tensor mixto Tjk como Tjk;q y designando como dxq/dt a las q componentes de la tangente a la curva espacial sobre la cual queremos llevar a cabo la derivación absoluta, podemos escribir lo siguiente:

El siguiente paso consiste en tomar la derivada covariante del tensor mixto, lo cual nos introduce a los símbolos de Christoffel dándonos lo siguiente:

Removiendo los paréntesis y simplificando:

PROBLEMA: Obténgase la siguiente derivada absoluta de un tensor mixto T de quinto orden, el cual suponemos que es una función diferenciable de la variable t:

Simbolizando a la derivada covariante del tensor mixto Tjklmn como Tjklmn;q y designando comodxq/dt a las q componentes de la tangente a la curva espacial sobre la cual queremos llevar a cabo la derivación absoluta, podemos escribir lo siguiente:

La expansión de la derivada covariante del tensor mixto de quinto orden nos conduce al siguiente

paso intermedio:

Removiendo el paréntesis y simplificando el primer término con la ayuda de la regla de la cadena llegamos a la siguiente respuesta final:

PROBLEMA: Demostrar que la derivada absoluta de cualquier tensor métrico g = (gjk) es igual a cero. La derivada absoluta del tensor métrico está dada por la relación:

Pero ya se demostró en una entrada anterior que la derivada covariante del tensor métrico (resaltada de color rojo en esta expresión) es cero.

Se concluye que, en general, la derivada absoluta del tensor métrico es igual a cero:

PROBLEMA: Demostrar que la derivada absoluta de cualquier tensor métrico conjugado g-1: = (gjk) es igual a cero. La derivada absoluta del tensor métrico conjugado está dada por la relación:

Pero ya se demostró en una entrada anterior que la derivada covariante del tensor métrico conjugado (resaltada de color rojo en esta expresión) es cero. Se concluye que, en general, la derivada absoluta del tensor métrico conjugado es igual a cero:

PROBLEMA: Demostrar que la derivada absoluta del tensor delta Kronecker δ = (δjk) es igual a cero. La derivada absoluta del tensor delta Kronecker está dada por la relación:

Pero ya se demostró en una entrada anterior que la derivada covariante del tensor delta Kronecker (resaltada de color rojo en esta expresión) es cero.

Se concluye que, en general, la derivada absoluta del tensor delta Kronecker es igual a cero:

PROBLEMA: En el cálculo diferencial ordinario, el diferencial del producto de dos funciones u y ves igual al producto de la primera función u por la diferencial dv de la segunda más la segunda función v por la diferencial du de la primera: d(uv) = udv + vdu Esta regla es conocida como la regla de Leibniz. Demostrar que para la derivada absoluta también tenemos una regla similar. En el cálculo tensorial, las expresiones para las funciones u y v se convierten en tensores T y S. Por definición de la derivada absoluta, la derivada absoluta del producto de los tensores T y S será:

en donde se ha utilizado la notación del semicolon para indicar la toma de la derivada covariante con respecto a la coordenada xk. En una entrada previa ya se demostró la aplicabilidad de la regla de Leibniz al tomar la derivada covariante del producto de dos tensores. Aplicando dicha regla aquí en el lado derecho de la ecuación, tenemos entonces lo siguiente:

A continuación removemos los paréntesis introduciendo a dxk/dt de una manera que nos servirá para la simplificación posterior:

No cuesta trabajo reconocer lo que tenemos en el lado derecho. En el primer término tenemos a la derivada absoluta del tensor T multiplicada por el tensor S. Y en el segundo término tenemos al tensor T multiplicado por la derivada absoluta del tensor S:

Esta es precisamente la regla de Leibniz, aplicada en el caso de la derivada absoluta. PROBLEMA: Demostrar que al tomarse la derivada absoluta de un producto de tensores, tanto el tensor métrico como el tensor métrico conjugado pueden tratarse como si fuesen constantes. Si tomamos la derivada absoluta del tensor métrico g estando multiplicado por un tensor contravariante T de primer orden, podemos ver en el siguiente desarrollo en el cual aplicamos la regla de Leibniz y aplicamos también el hecho de que la derivada absoluta del tensor métrico es igual a cero:

que el tensor métrico g puede tratarse como si fuese una constante al evaluar la derivada absoluta de un producto de tensores. En el caso del tensor métrico conjugado se logra el mismo resultado siguiendo el mismo procedimiento:

De la misma manera, obtenemos el resultado de que el tensor delta Kronecker puede tratarse como si fuese una constante al momento de tomar una derivada absoluta. En la diferenciación absoluta, tanto el tensor métrico como el tensor métrico conjugado como el tensor delta Kronecker pueden tratarse como si fuesen constantes. PROBLEMA: Obtener la siguiente derivada absoluta del producto de los tensores U y V:

En este problema podemos utilizar ventajosamente el resultado del problema anterior aplicando la regla de Leibniz:

Aplicamos ahora en cada término la definición de lo que es la derivada absoluta:

La expansión en cada término de la derivada covariante nos conduce al resultado final:

PROBLEMA: Demostrar que la velocidad instantánea de una partícula es un tensor de orden uno. Definamos un sistema de coordenadas utilizando super-índices, de modo tal que la posición de la partícula en un espacio tri-dimensional esté especificada por el vector posición x = (xk). Clásicamente, en este sistema de coordenadas, la velocidad instantánea de la partícula será el vector velocidad v = (vk) dado por:

En otro sistema de coordenadas x = (xp). la velocidad instantánea v = (vp) de la misma partícula estará dada por:

Si teniendo a la mano la velocidad instantánea v = (vk) queremos determinar la velocidad instantánea en otro sistema de coordenadas alterno, la relación de transformación para lograrlo es muy sencilla, ya que está dada por la regla de la cadena:

Pero esta es precisamente la definición matemática de un tensor contravariante de orden uno. Si en vez de un sistema de coordenadas utilizando super-índices hubiéramos usado un sistema de coordenadas con sub-índices, el resultado habría sido casi el mismo, habríamos obtenido un tensor también de orden uno, pero covariante, sin cambio alguno en el significado físico. Se concluye que la velocidad instantánea de una partícula es un tensor de orden uno. Clásicamente, la definición de la aceleración instantánea está dada por la relación a = dv/dt. El problema con esta definición de aceleración es que no es invariante bajo una transformación de coordenadas. No hay forma en que la derivada ordinaria de la velocidad con respecto al tiempo se pueda se pueda hacer invariante bajo una transformación de coordenadas, o lo que es lo mismo, la definición clásica de aceleración instantánea no es un tensor. PROBLEMA: Demostrar que la aceleración, definida clásicamente como la derivada de la velocidad instantánea de un objeto con respecto al tiempo, no es un tensor. A continuación, tenemos en el lado izquierdo la expresión para la aceleración de un objeto medida en el sistema de coordenadas x = (xk) = (x1,x2,x3), y tenemos en el lado derecho la expresión para la aceleración del mismo objeto medida en el sistema de coordenadas x = (xj) = (x1,x2,x3)

No existe forma alguna con la cual podamos “conectar” matemáticamente estas dos expresiones de segundo orden de modo tal que una se pueda transformar en la otra de acuerdo con la definición del tensor. Se concluye que la definición clásica de la aceleración instantánea que se enseña en los cursos elementales de física y en los cursos de Análisis Vectorial no es una invariante bajo un cambio de sistema de coordenadas. Sin embargo, hay una forma muy fácil de redefinir el concepto de aceleración para que esta pueda ser también invariante bajo un cambio en un sistema de coordenadas, y esta consiste simplemente entomar la derivada absoluta de la velocidad:

Esta es precisamente una de las principales motivaciones para el desarrollo del cálculo tensorial o “cálculo diferencial absoluto”. Aún si la Teoría de la Relatividad nunca hubiese existido por no haber nacido aún Einstein u otro científico que la descubriera, el interés en poder obtener definiciones físicas válidas dentro de cualquier sistema de coordenadas habría sido motivación suficiente para desarrollar esta herramienta matemática. La obtención de la derivada absoluta justifica con creces el tiempo invertido en el desarrollo de los nuevos conceptos que hemos estudiado. Estamos habilitados ya para poder llevar a cabo toda la tensorialización de la física. PROBLEMA: Obtener una expresión para la aceleración instantánea de un objeto definida de modo tal que que tenga las propiedades de un tensor. Empezaremos con una nueva definición de la aceleración a = (ak) definiéndola como la derivada absoluta de la velocidad con respecto al tiempo:

Aplicaremos ahora de modo riguroso la definición de la derivada absoluta tal y como se ha especificado arriba, definida como la derivada covariante (de la velocidad en este caso) a lo largo de la trayectoria sobre la cual se lleva a cabo el movimiento mediante una operación de contracción tensorial:

Expandiendo la derivada covariante tenemos entonces:

Como la velocidad instantánea v = (vk) = (dxk/dt) sí es un tensor, podemos reemplazar esta expresión en el primer término obteniendo así:

En esta última expresión se ha hecho un ligero cambio en el super-índice s de vs renombrándolo comop haciendo lo mismo en el símbolo de Christoffel para que no se pierda la sumación requerida por la convención de sumación para índices repetidos. Haciendo un intercambio en los sub-índices del símbolo de Christoffel usando la propiedad de simetría de dicho símbolo, y escribiendo a vp en su forma explícita como la derivada de la posición con respecto al tiempo, llegamos a nuestra nueva definición de aceleración, tensorial en el pleno sentido de la palabra:

Escrita de esta manera, la aceleración instantánea nos debe resultar familiar como una ecuación diferencial de la geodésica, lo cual era de esperarse porque el móvil se está acelerando precisamente a lo largo de la curva geodésica sobre la cual se está desplazando de un punto a otro. Una vez definida tensorialmente la aceleración instantánea, podemos revisar una de las leyes más veneradas de la física clásica, la segunda ley de Newton, que nos dice que “la fuerza es igual al producto de la masa de un cuerpo multiplicada por la aceleración que dicha fuerza produce en dicho cuerpo”. PROBLEMA: Expresar la segunda ley de Newton en forma tensorial. La segunda ley de Newton para una masa M que permanece invariante y es independiente del tiempo, escrita tanto en notación vectorial compacta como en notación de componentes, es la siguiente:

Obviamente, esto no es algo que pueda permanecer invariante en forma bajo un cambio de coordenadas, porque para que ello ocurra la derivada ordinaria tienen que ser reemplazadas por laderivada absoluta. Podemos utilizar el resultado del problema anterior para escribir la ley de Newton en forma tensorial:

Esta fórmula es válida dentro de la física clásica pre-relativista. Pero si vamos a hacer la transición hacia la física relativista, tendremos que contender con el hecho de que, para fines teóricos, en una gran mayoría de los casos la definición de fuerza dinámica ha pasado a ser una pieza de museo, empezando por el hecho de que la masa M de un cuerpo en movimiento deja de ser invariante, sumado a la eliminación por completo del concepto de la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos como causante del movimiento de dichos cuerpos en el espacio libre. De cualquier manera, seguiremos requiriendo del concepto de la derivada absoluta, el cual volverá a mostrarnos su cara en cuanto veamos la derivación desde el punto de vista geométrico del tensor de curvatura de Riemann. El concepto de la derivada absoluta nos lleva de modo casi natural a otro concepto importante en las matemáticas puras: el álgebra Lie. Considerando a dxβ/dt como un vector velocidad U = (Uβ) en un espacio N-dimensional, para un tensor V = (Vα) podemos escribir:

Esta derivada absoluta la podemos interpretar como la componente α de la derivada covariante del vector V a lo largo de la trayectoria trazada por el vector tangente U, representada en algunos textos como:

PROBLEMA: Si tomamos la definición fundamental de la derivada absoluta de un tensor V a lo largo de una trayectoria curva cuya tangente es el vector U, escrita en notación de componentes como: UβVαβ e invertimos los papeles de U y V definiendo la siguiente derivada absoluta de U: VβUαβ y restamos el uno del otro: UβVαβ - VβUαβ tenemos entonces la definición de algo nuevo que se simboliza como:

Demostrar que:

La demostración en este caso es trivial. Invirtiendo los papeles de U y V dentro del corchete se tiene para un componente α:

Si esta relación es cierta para todo componente α de los tensores de primer orden U y V, entonces debe ser cierta en lo general, y podemos escribir: [U,V] = - [V,U] Esto que hemos definido sobre un par de campos vectoriales se conoce como el corchete Lie (Lie bracket), en honor al matemático Sophus Lie que lo concibió por vez primera, y nos conduce directamente al estudio de un importante campo de las matemáticas. El corchete Lie toma dos campos tensoriales (vectoriales) U y V, y define a partir de los mismos un nuevo campo tensorial (vectorial) [U,V] que tiene propiedades interesantes. Más aún, a lo que acabamos de definir se le puede dar una interpretación como una derivada Lie simbolizada como:

Lo más relevante para nosotros es que a través del álgebra Lie y de la derivada Lie tenemos a la mano la definición de un campo tensorial en donde no se requieren los símbolos de Christoffel. Es importante entender, físicamente hablando, lo que hemos llevado a cabo. La ruta o trayectoria a lo largo de la cual se toma la derivada absoluta ha sido reemplazada por una familia completa (infinita) de trayectorias. Ha sido reemplazada, en efecto, por un campo vectorial. La derivada Lie evalúa esencialmente el cambio de un campo vectorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial.

Si partimos de la definición convencional del gradiente mediante la cual con el operador diferencial nabla (∇) aplicado sobre un campo escalar f en un espacio N-dimensional: f = f (x1,x2,x3,...,xα,...,xN) obtenemos a partir del campo escalar f un campo vectorial :

conocido como el gradiente del campo escalar f, entonces podemos entresacar un componente α entre cualesquiera de sus demás componentes con la siguiente notación simbólica:

Tomemos ahora el componente α de otro vector U definido sobre el mismo espacio N-dimensional (con una misma cantidad de componentes o coordenadas) y multipliquémoslo por la igualdad anterior, obteniendo así:

Este componente α lo podemos representar simbólicamente de la siguiente manera en notación vectorial más compacta:

Ahora bien, si tomamos el correspondiente componente α de un tercer campo vectorial V y lo multiplicamos por lo anterior, el componente producido se puede representar de la manera siguiente:

A continuación tenemos en forma más explícita lo que estamos definiendo con esto último:

Dejemos temporalmente esto a un lado y volvamos a la definición del corchete Lie en notación de componentes:

Si en vez del campo vectorial V metemos en el corchete Lie el producto del campo escalar f por el mismo campo vectorial V, entonces tendremos lo siguiente en el lado derecho de la igualdad:

Desarrollando la derivada del primer término de acuerdo con la regla de Leibniz, tenemos:

Reacomodando y reagrupando los términos:

Se han renombrado los índices en el último término teniendo en cuenta que son índices monigote al fin y al cabo. Si observamos detenidamente, podemos ver que lo que tenemos en el primer término es un corchete Lie, el corchete Lie [U,V], en notación de componentes. Y el segundo término puede ser substituído por el resultado intermedio que habíamos dejado pendiente arriba. Esto nos lleva a lo siguiente:

Pero si esto es válido para todos y cada uno de los componentes α desde α = 1 hasta α = N, entonces podemos prescindir de la notación de componentes para llevar a cabo la representación simbólica de una manera más compacta:

Ahora bien, en el lado izquierdo de esta igualdad tenemos básicamente lo que podemos considerar como la derivada Lie de f V con respecto a U:

Y en el lado derecho de la igualdad tenemos en el primer término la derivada Lie de V con respecto aU que en notación Lie podemos representar como:

Por último, en el tercer término del lado derecho de la igualdad, tenemos lo que podemos definir

como la derivada Lie del campo escalar f con respecto al campo vectorial U, representado de la siguiente manera:

Es así como usando notación Lie podemos escribir el resultado obtenido anteriormente de la siguiente manera en la forma de una regla de Leibniz para el operador derivativo Lie:

Los resultados que hemos obtenido nos muestran que es posible definir para campos tensoriales (vectoriales) en un espacio N-dimensional un operador derivativo sin necesidad de tener que recurrir a coeficientes de conexión (símbolos de Christoffel) o inclusive a una métrica, siendo por lo tanto el álgebra Lie y la derivada Lie conceptos de naturaleza muy fundamental. Varias áreas de la Relatividad General se pueden estudiar y desarrollar con la ayuda de la derivada Lie, para lo cual hay que pagar el costo ineludible de una mayor sofisticación matemática. Sin embargo, esto no se cubrirá aquí más a fondo por no ser absolutamente indispensable para nuestros propósitos.

44. EL TENSOR DE RIEMANN I En la Teoría General de la Relatividad, hay tres tensores que nos interesan para estudiar y especificar la curvatura de un espacio-tiempo curvo: el tensor de Einstein G, el tensor de Ricci y el tensor de Riemann R. El tensor de Einstein es obtenido a partir del tensor de Ricci, y a su vez el tensor de Ricci es obtenido a partir del tensor de Riemann, de modo tal que queremos estudiar y tener muy en claro lo que es el tensor de Riemann puesto que todo lo relacionado con la curvatura en un espacio multi-dimensional deriva de dicho tensor. El tensor de Riemann surge como consecuencia del análisis involucrado en dar respuesta a lo que parece ser una pregunta sencilla. Empezando con un tensor covariante V = (Vi) y tomando la derivada covariante del tensor primero con respecto a la coordenada x j y luego con respecto a la coordenada xk nos produce un tensor de tercer orden: ((Vi); j); k = (Vi); jk = Vi; jk ¿Pero que tal si tomamos primero tomando la derivada covariante del tensor primero con respecto a la coordenada xk y luego con respecto a la coordenada x j?: ((Vi); k); j = (Vi); kj = Vi; kj ¿Es importante el orden en el cual se lleve a cabo la diferenciación, o se puede decir que en general Vi; jk = Vi; kj? En la diferenciación parcial ordinaria, no parece haber duda alguna al respecto, ya que las diferenciaciones múltiples se pueden llevar a cabo en el orden que sea:

Pero al estar trabajando con tensores, ya vimos que la diferenciación se tiene que llevar a cabo con nuevas reglas para que el objeto diferenciado pueda comportarse también como un tensor, se tiene que llevar a cabo usando la derivada covariante. La respuesta a nuestra interrogante resulta ser una negativa rotunda, y tratándose de tensores el orden de la diferenciación sí es importante.

PROBLEMA: Demostrar que Vp;qr - Vp;rq no es igual a cero, y que por lo tanto el orden de la diferenciación covariante sí afecta el resultado final. En el primer paso, evaluaremos primero la derivada covariante múltiple Vp;qr aplicando al pie de la letra la definición de la derivada covariante para un tensor covariante:

A continuación llevaremos a cabo la diferenciación covariante aplicando de nuevo al pie de la letra la definición de la derivada covariante para un tensor covariante:

El siguiente paso consiste en remover los paréntesis para tener lo siguiente:

Hemos obtenido ya Vp;qr. Repitiendo el procedimiento dado arriba, podemos obtener también Vp;rq, pero no es necesario hacerlo todo de nuevo, ya que basta con intercambiar el orden de los índices para obtener Vp;rq. Hecho esto, si restamos Vp;rq de Vp;qr obtenemos entonces:

Podemos renombrar los índices para poner en los cuatro términos al tensor Vj como producto:

Esto nos permite llevar a cabo la siguiente factorización:

A menos de que los símbolos de Christoffel sean todos iguales a cero, lo cual no ocurre en un espacio multi-dimensional plano, Vp;qr y Vp;rq no son iguales, son diferentes, y son diferentes precisamente en una cantidad como la mostrada en color azul entre los paréntesis. Dicha cantidad:

simbolizada tensorialmente como Rjpqr es precisamente lo que se conoce como el tensor de Riemann. El que Vp;qr ≠ Vp;rq tiene consecuencias geométricas profundas que serán analizadas posteriormente. El tensor de curvatura de Riemann, o simplemente tensor de Riemann, es un tensor de orden cuatro, de modo tal que los componentes de dicho tensor no pueden ser visualizados con una representación matricial como ocurre con el caso de un tensor métrico g de orden 2. Estrictamente hablando, podemos definirlo como un tensor covariante de orden cuatro o bien con la ayuda del tensor métrico g para subir el primer índice- como un tensor de orden (1,3), o sea un tensor covariante de orden 1 y contravariante de orden 3. En notación de índices, por lo tanto, es representado ya sea como Rabcd o como Rabcd. En el caso Rabcd (todos los cuatro índices abajo) llamamos al tensor un tensor de Riemann del primer género ó primera especie (first kind) mientras que en el caso Ra bcd (el primer índice elevado) llamamos al tensor un tensor de Riemann del segundo género ó segunda especie (second kind). PROBLEMA: ¿Qué ventaja puede tener la representación del tensor de Riemann R como un tensor de primer género Rabcd sobre su representación como un tensor de segundo género Rabcden notación de componentes? Por la forma en que ha sido definido arriba el tensor de Riemann de segundo género como el “factor” que nos mide la no-conmutatividad de las diferenciaciones covariantes de segundo orden, debe resultar obvio que en un espacio 4-dimensional, por ejemplo, dicho tensor constará de

4x4x4x4 = 256 componentes, y si partimos “a la inversa” de cada una de las componentes Rabcd del tensor de primer género podemos obtener las 256 componentes que corresponden a la representación Rabcd del segundo género con la ayuda del tensor métrico conjugado g-1 = (gab) para subir el primer índice. El problema con esto es que al subir el primer índice inevitablemente habrá muchas componentes en las cuales el segundo, el tercero o el cuarto índice o varios de ellos puedan ser igual al primero, como la componente Rφtrφ, y esto se puede interpretar erróneamente como algo que invoca automáticamente la activación de la convención de sumación para índices repetidos. Al tensor de Riemann se le puede aplicar, desde luego, una operación de contracción tensorial mediante igualación de índices; esto es precisamente lo que se lleva a cabo con el tensor de Ricci, pero la definición original del tensor de Riemann de segundo género excluye la aplicación automática de la convención de sumación para índices repetidos. Esta es la razón del por qué varios autores contemporáneos hacen una mescolanza en la cual después de haber obtenido el tensor de Riemann de segundo género como lo hemos hecho arriba pasan casi de inmediato al uso del tensor de Riemann de primer género sin explicar claramente la razón que los orilló a ello (puesto que la operación de contracción tensorial se lleva a cabo entre un índice contravariante y un índice covariante, al estar todos los índices abajo en el tensor de Riemann de primer género no se aplica de ningún modo la convención de sumación y entonces no hay confusión alguna). Esta es una de las consecuencias de que el tensor de curvatura de Riemann o simplemente tensor de curvatura o simplemente tensor de Riemann, el cual es una generalización de la curvatura de Gauss K a dimensiones más altas, haya sido introducido en 1862 por Riemann y desarrollado en 1869 por Christoffel como una forma de describir completamente la curvatura en cualquier número de dimensiones mediante un “pequeño monstruo” mucho antes de que Einstein introdujera su convención de sumación para índices repetidos. Desafortunadamente tenemos una situación en la que por un lado los componentes del tensor de Riemann de segundo género Rabcd pueden ser obtenidos mediante una simple fórmula como podemos verlo en la expresión que tenemos arriba aunque bajo el riesgo de que en un momento de distracción se pueda interpretar accidentalmente la repetición del índice superior y alguno de los índices inferiores como una invocación automática a la convención de sumación, mientras que por otro lado para obtener los componentes del tensor de Riemann de primer género Rabcd en el cual no hay confusión se tienen que ir bajando con la ayuda del tensor métrico el índice en cada uno de ellos, lo cual nos duplica la cantidad de trabajo. A menos de que se indique lo contrario, y esto tiene que ser estudiado y aclarado para cada caso en particular, en la evaluación de los componentes del tensor de Riemann de segundo género no se aplica automáticamente la convención de sumación para índices repetidos. Formalmente, y en base al resultado obtenido al principio, el tensor de Riemann del segundo género se puede definir a partir de los símbolos de Christoffel (los cuales no son tensores) de la siguiente manera (¡obsérvese con detenimiento el uso de la derivada parcial ordinaria, indicado por la coma puesta antes del índice utilizado para la diferenciación!):

Ra bcd = Γabd,c - Γabc,d + Γaμc Γμbd - Γaμd Γμbc Puesto de manera más explícita: Ra bcd =__________________________ ∂(Γ abd)/∂xc - ∂(Γ abc)/∂xd + Γabc,d + Γaμc Γμbd - Γaμd Γμbc Si utilizamos el tensor de Riemann para el estudio de un espacio de cuatro dimensiones como ocurre en el caso del espacio-tiempo de la Teoría General de la Relatividad, cada uno de los cuatro sub-índices del tensor de Riemann puede representar una de cuatro variables diferentes, así que un tensor de Riemann está especificado por un total de 4x4x4x4 = 256 componentes, lo cual nos puede parecer intimidante. Sin embargo, debido a las simetrías que presenta este tensor, no todas las componentes son independientes, lo cual reduce el número de componentes que tienen que ser calculadas de 256 a 36. Una de tales simetrías en el intercambio del tercer y cuarto índice es la siguiente: Ra bcd = - Ra bdc Imponiendo además la condición adicional: Ra bcd + Ra cdb + Ra dbc = 0 el número de componentes independientes puede ser reducido posteriormente a 21, y si se satisface una identidad adicional el número de componentes puede ser reducido a 20. Poniendo las componentes del tensor de Riemann R = (Rαβμν) del primer género en función de las componentes de un tensor métrico g, podemos obtener la siguiente expresión (de nueva cuenta, las comas en los sub-índices indican derivadas parciales ordinarias): Rαβμν = (gαν,βμ - gαμ,βν + gβμ,αν - gβν,αμ)/2 Del mismo modo, trabajando sobre esta última relación podemos obtener varias identidades que resultan ser de gran utilidad para la evaluación de todos los componentes Rαβμν para cierta métrica. La primera identidad nos dice que si intercambiamos los primeros dos índices (α y β) entonces obtendremos el mismo componente pero con el signo invertido, lo cual equivale a decir

que Rαβμν es antisimétrico en el primer par de índices: Rαβμν = - Rβαμν La segunda identidad nos dice que si intercambiamos los últimos dos índices (μ y ν) entonces también obtendremos el mismo componente pero con el signo invertido, lo cual equivale a decir que Rαβμν es antisimétrico en el segundo par de índices: Rαβμν = - Rαβνμ La tercera identidad nos dice que si intercambiamos el primer par de índices (α y β) con el segundopar de índices (μ y ν) entonces obtendremos el mismo componente, lo cual equivale a decir que Rαβμνes simétrico en el intercambio de los dos pares de índices: Rαβμν = Rμναβ Y por último, la cuarta identidad, nos dice que: Rαβμν + Rανβμ + +Rαμνβ = 0 Esta última identidad es conocida como la primera identidad de Bianchi. PROBLEMA: A partir de la definición del tensor de Riemann de primer género, demostrar las identidades: Rαβμν = - Rβαμν Rαβμν = - Rαβνμ Rαβμν = Rμναβ Rαβμν + Rανβμ + +Rαμνβ = 0 1) A partir de la definición de los componentes Rαβμν en función de los componentes derivados del

tensor métrico: Rαβμν = (gαν,βμ - gαμ,βν + gβμ,αν - gβν,αμ)/2 intercambiamos los índices α y β obteniendo lo siguiente: Rβαμν = (gβν,αμ - gβμ,αν + gαμ,βν - gαν,βμ)/2 y tras un simple reacomodo: Rβαμν = (-gαν,βμ + gαμ,βν - gβμ,αν + gβν,αμ)/2 Rβαμν = - Rαβμν 2) Procediendo como lo hicimos arriba, intercambiando los últimos dos índices μ y ν: Rαβνμ= (gαμ,βν - gαν,βμ + gβν,αμ - gβμ,αν)/2 y reacomodando: Rαβνμ = (-gαν,βμ + gαμ,βν - gβμ,αν + gβν,αμ)/2 Rαβνμ = - Rαβμν 3) Intercambiando el primer par de índices con respecto al segundo par de índices (lo cual debe ser interpretado como dos operaciones, la primera siendo el intercambio de los índices α y μ, y la segunda siendo el intercambio de los índices β y ν): Rμναβ = (gμβ,να - gμα,νβ + gνα,μβ - gνβ,αμ)/2 Podemos efectuar un ligero reacomodo de índices, haciendo además uso del hecho de que las derivadas parciales ordinarias se pueden llevar a cabo en cualquier orden, esto es:

gαβ,νμ = gαβ,μν obteniendo así lo siguiente: Rμναβ = ( gμβ,αν - gμα,βν + gνα,βμ - gνβ,αμ)/2 Por otro lado, puesto que el tensor métrico es simétrico, tenemos que: gαβ = gβα con lo cual lo anterior se nos reduce a: Rμναβ = (gβμ,αν - gαμ,βν + gαν,βμ - gβν,αμ)/2 y con otro ligero reacomodo: Rμναβ = ( gαν,βμ - gαμ,βν + gβμ,αν - gβν,αμ)/2 Rαβμν = Rμναβ 4) Finalmente, escribiendo la suma de los tres términos involucrados en la primera identidad de Bianchi tras obtener los otros dos términos mediante un intercambio de índices, y simplificando con la ayuda de la simetría de los componentes del tensor métrico: Rαβμν + Rανβμ + Rαμνβ = (gαν,βμ - gαμ,βν + gβμ,αν - gβν,αμ)/2 (gαμ,νβ - gαβ,νμ + gνβ,αμ - gνμ,αβ)/2 (gαβ,μν - gαν,μβ + gμν,αβ - gμβ,αν)/2 obtenemos el resultado final deseado, la primera identidad de Bianchi: Rαβμν + Rανβμ + Rαμνβ = 0

PROBLEMA: Trabajando sobre un espacio de cuatro dimensiones y con la ayuda de las identidades demostradas en el problema anterior, demuéstrese que estas identidades reducen el número de componentes independientes de Rαβμν de 4x4x4x4 = 256 componentes a 6x7/2 = 21 componentes. Puesto que Rαβμν = - Rβαμν, si hacemos α = β entonces tenemos Rααμν = - Rααμν, lo cual sólo puede ser cierto si Rααμν es cero. Del mismo modo, puesto que Rαβμν = - Rαβνμ, si hacemos μ = ν entonces tenemos Rαβμμ = - Rαβμμ, lo cual sólo puede ser cierto si Rαβμμ es cero. Esto quiere decir que Rαβμν = 0 en todos los casos en los que los primeros dos índices o en los que los últimos dos índices sean iguales. Con esto en mente, iremos contando los componentes que pueden ser diferentes de cero de acuerdo a tres tipos de posibilidades: Tipo A: Este es el caso en el cual el primer par de índices es igual al segundo par de índices siendo el primer índice en un par menor que el segundo índice en el mismo par, o sea todas las posibilidades de Rαβαβ siendo α menor que β. Aquí podemos listar las siguientes posibilidades para un espacio de cuatro dimensiones: R1212 , R1313 , R1414 , R2323 , R2424 , R3434 Tenemos un total de seis componentes independientes, que de acuerdo a las leyes de la combinatórica es igual a nA = nC2 = n(n-1)/2 para un espacio de n dimensiones (la cantidad de combinaciones posibles de n objetos tomados dos a la vez), o sea nA = 4(4-1)/2 = 4·3/2 = 6 componentes para un espacio de 4 dimensiones. Tipo B: Este es el caso en el cual el primer índice es igual al tercer índice siendo el segundo índice y el tercer índice diferentes, o sea todas las posibilidades de Rαβαγ siendo β menor que γ. Aquí podemos listar las siguientes posibilidades para un espacio de cuatro dimensiones: R1213 , R1214 , R1314, R2123 , R2124 , R2324 R3132 , R3134 , R3234 , R4142 , R4143 , R4243 Tenemos un total de doce componentes independientes, que de acuerdo a las leyes de la combinatórica es igual a nB = 3·nC3 = n(n-1)(n-2)/2 para un espacio de n dimensiones, o sea

nB = 4(4-1)(4-2)/2 = 4·3·2/2 = 12 componentes para un espacio de 4 dimensiones. Tipo C: Este es el caso en el cual todos los índices son diferentes, teniendo como posibilidades a Rαβγδó a Rαγβδ , siendo α menor que β, siendo β menor que γ, y siendo γ menor que δ. Aquí podemos listar las siguientes posibilidades para un espacio de cuatro dimensiones: R1234 , R1324 Tenemos un total de dos componentes independientes, que de acuerdo a las leyes de la combinatórica es igual a nC = 2·nC4 = n(n-1)(n-2)(n-3)/12 para un espacio de n dimensiones, o sea nC = 4(4-1)(4-2)(4-3)/12 = 4·3·2·1/12 = 2 componentes para un espacio de 4 dimensiones. Sumando las contribuciones individuales de cada uno de los tres tipos de componentes, podemos obtener una fórmula general que nos dá la cantidad de componentes independientes del tensor de Riemann para un espacio de n dimensiones: n = nA + nB + nC n = n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/2 + n(n-1)(n-2)(n-3)/12 n = 6n(n-1)/12 + 6n(n-1)(n-2)/2 + n(n-1)(n-2)(n-3)/12 n = [6n² - 6n + 6n3 - 18n² + 12n + n4 - 6n3 +11n² - 6n]/12 n = n² (n² - 1) /12

Para un espacio de cuatro dimensiones, la fórmula general que acabamos de obtener nos dá: n = 4² (4² - 1) /12 = 16 (16 -1) /12 = (16)(15)/12 = 20 PROBLEMA: Hacer un listado de los componentes independientes de Rαβαγ para un espacio de cinco dimensiones. Utilizando la clasificación de tres tipos dada en el problema anterior, tenemos los siguientes componentes independientes del tensor de Riemann para un espacio de cinco dimensiones: Tipo A: Rαβαβ siendo α menor que β: R1212 , R1313 , R1414 , R2123 , R1515 R2323 , R2424 , R2525 R3434 , R3535 Tipo B: Rαβαγ siendo β menor que γ: R1213 , R1214 , R1215 , R1314 , R1315 , R1415 R2123 , R2124 , R2125 , R2324 , R2325 , R2425 R3132 , R3134 , R3135 , R3234 , R3235 , R3435 R4142 , R4143 , R4145 , R4243 , R4245 , R4345 R5152 , R5153 , R5154 , R5253 , R5254 , R5354 Tipo C: Rαβγδ , siendo α menor que β, siendo β menor que γ, y siendo γ menor que δ: R1234 , R1235 , R1245 , R1345 , R2345 R1324 , R1325 , R1425 , R1435 , R2435

Hay diez componentes del tipo A y diez componentes del tipo C, los cuales sumados a treinta componentes del tipo B nos dá un total de 50 componentes, lo cual está de acuerdo con la fórmula general: n² (n² - 1) /12 = 5² (5² -1) /12 = (25)(24)/12 = 50

PROBLEMA: ¿Cuántos componentes independientes de Rαβαγ puede haber para un espacio de tres dimensiones? ¿Cuáles son estos componentes? Para un espacio de tres dimensiones, el número de componentes posibles es, de acuerdo a la fórmula general: n² (n² - 1) /12 = 3² (3² -1) /12 = (9)(8)/12 = 6 Estos componentes son los siguientes: R1212 , R1313 , R2323 , R1213 , R2123 , R3132

45. EL TENSOR DE RIEMANN II Antes de continuar queremos dejar en claro lo que entendemos por una hoja. El concepto de hoja (en inglés se le llama manifold), conocida también como carta en muchos textos de geometría diferencial escritos en castellano (aquí nos limitaremos a llamarle simplemente hoja porque es la palabra que mejor transmite la idea del concepto del que estamos hablando), es precisamente lo que su nombre indica; se trata de una superficie suave y continua sobre la cual se pueden aplicar los conceptos del cálculo infinitesimal, se puede obtener una derivada. A continuación tenemos un ejemplo de una hoja que podríamos llamar silla de montar:

Al empezar a cubrir el tema del tensor de Riemann, lo hicimos formulándonos una simple pregunta, sobre si el orden de la diferenciación al tomar una derivada covariante tras otra era indiferente respecto al orden en que se tomasen las derivadas, o si el orden de la diferenciación importaba, encontrándose que el orden de la diferenciación sí es relevante, con la diferencia entre una expresión y la otra cuantificada por el tensor de Riemann. Hay otra manera de llegar al tensor de Riemann, y esta es mediante el uso del concepto

deltransporte paralelo, porque el tensor de Riemann es de hecho una descripción matemática de la curvatura intrínseca de una hoja. Para ello, recurrimos al transporte paralelo de un vector Valrededor de una trayectoria cerrada que nos regrese al punto de origen después de darle una vuelta completa a un pedazo de superficie. Identificaremos a este pedacito de superficie como un “parche de coordenadas” (coordinate patch) cortado con unas tijeras imaginarias de la hoja (manifold) mostrada en la figura de arriba. De este modo, imaginemos en nuestra hoja un pedacito muy pequeño de superficie cuyos cuatro lados coinciden con las líneas de coordenadas x1 = a, x1 = a + δa, x2 = b y x2 = b + δb:

Empezando desde el punto A, llevaremos a cabo el transporte-paralelo de un vector V a lo largo de la coordenada x2 = b = constante llevándolo desde la coordenada x1 = a hasta la coordenada x1 = a + δa para situarlo en el punto B. Tras esto, para la segunda trayectoria, trasladamos mediante transporte paralelo al vector V a lo largo de la coordenada x1 = a + δa = constante desde el punto B hasta el punto C llevándolo desde la coordenada x2 = b hasta la coordenada x2 = b + δb. Hecho esto, para la tercera trayectoria trasladamos mediante transporte paralelo al vector V a lo largo de la coordenada x2 = b + δb = constante desde el punto C hasta el punto D llevándolo desde la coordenada x1 = a + δa hasta la coordenada x1 = a. Y por último, para la cuarta trayectoria, trasladamos mediante transporte paralelo al vector V a lo largo de la coordenada x1 = a = constante desde el punto D hasta el punto Allevándolo desde la coordenada x2 = b + δb hasta la coordenada x2 = b, regresándolo al punto de partida y completando de este modo un circuito cerrado.

La trayectoria completa del vector V a lo largo de la retícula de coordenadas (x1, x2) es: Ruta 1: A(a, b) → B(a + δa, b) Ruta 2: B(a + δa, b) → C(a + δa, b + δb) Ruta 3: C(a + δa, b + δb) → D(a, b + δb) Ruta 4: D(a, b + δb) → A(a, b) Tomaremos ahora una enunciación simbólica usual de la operación de transporte paralelo (en la cual el símbolo ∇ no representa al operador vectorial diferencial usual) que representa al transporte paralelo del vector V a lo largo de la trayectoria U:

y haremos U = e1 simbolizando con esto el transporte paralelo del vector V a lo largo del vector tangente a la coordenada x1:

Para fines de cálculo, tensorialmente hablando, esta simbolización en realidad no es más que laderivada absoluta o derivada intrínseca que involucra dos operaciones distintas: (1) la obtención de la derivada covariante de V y (2) la contracción tensorial con el vector U:

Expandiendo la sumatoria múltiple en la operación de transporte paralelo que estamos considerando, llevada a cabo a lo largo de e1, tenemos entonces:

U1Vα;1 = 0 Aquí podemos aplicar directamente la definición de la derivada covariante a Vα (usaremos la notación de la coma para denotar la diferenciación parcial con respecto a la coordenada x 1: U1(Vα,1 + Γαμ1Vμ) = 0 Puesto que la trayectoria (y consecuentemente la tangente a la trayectoria) a lo largo de la coordenada x1 no es nula, entonces el factor entre los paréntesis debe de serlo: Vα,1 + Γαμ1Vμ = 0 Vα,1 = - Γαμ1Vμ o bien, explícitamente:

Con esto, si llevamos a cabo una integración de cada una de las componentes de V = (Vα) desde el punto A hasta el punto B:

tenemos entonces lo siguiente con el resultado que hemos obtenido:

Procediendo del mismo modo, obtenemos lo siguiente para la ruta que lleva mediante transporte paralelo al vector V desde el punto B hasta el punto C:

Para la ruta que lleva mediante transporte paralelo al vector V desde el punto C hasta el punto Dtenemos lo siguiente:

Y por último, la ruta que lleva mediante transporte paralelo al vector V desde el punto D hasta el punto A está dada por la siguiente relación:

Obsérvese que, intencionalmente, el vector Vα(A) que parte del punto A y el vector Vα(A) que llega al punto A después de un recorrido completo se han simbolizado de color distinto, uno azul y el otro rojo. Esto se debe a que después de recorrer el circuito completo el vector V apuntará a una dirección diferente en relación a la dirección a la cual apuntaba al iniciar el recorrido en virtud de haberse hecho el recorrido sobre una superficie curva (como la superficie de una esfera). La única forma posible en la cual el vector V puede ser exactamente el mismo después del recorrido A-B-CD mediante el transporte paralelo es que el “parche de coordenadas” corresponda a una superficieplana. Si llamamos al cambio neto en el vector V = (Vα) como δVα, definido de la siguiente manera: δVα = Vα(A) - Vα(A)

entonces este cambio neto se puede obtener sumando todas las integrales obtenidas arriba:

Además de haberse sumado los términos, se ha llevado a cabo una inversión en los límites de las integrales de la ruta 3 (de C a D) y de la ruta 4 (de D a A), lo cual tiene como efecto matemático la inversión de signos, y se han reacomodado las integrales para que el siguiente paso sea más obvio. A primera vista, se antoja de inmediato una cancelación de los términos. La integral de la ruta 1 (de Aa B) puesta en color azul y con signo negativo parece que puede ser cancelada por la integral de laruta 3 (de C a D) puesta en color rojo, de signo positivo. Lo mismo puede decirse para el otro par de integrales. Sin embargo, para que pueda efectuarse dicha cancelación, se requiere para el primer par que tanto Γαμ1 como Vμ sean términos constantes, y no lo son. Serían constantes en un espacio-tiempo plano. Pero ciertamente no son constantes en un espacio-tiempo curvo. Puesto de otra manera:

Y lo mismo puede decirse para el otro par de integrales.

Ante esta situación, podemos recurrir a una aproximación de primer orden mediante una serie de Taylor-McLaurin, la cual para una función F de dos variables x1 y x2 es la siguiente cuando es desarrollada en torno a un punto P(x1,x2) = P(m,n):

Lo anterior lo podemos escribir de la siguiente manera (se recuerda que los super-índices no son exponentes, son usados para denotar los componentes contravariantes de un vector):

Descartando los términos de orden superior, de esta expansión en serie de Taylor-MacLaurin obtenemos la siguiente expresión cuando la coordenada x1 se mantiene constante (esto ocurre al llevar a cabo el transporte paralelo del vector V del punto A al punto B, y del punto C al punto D):

Y de la misma manera obtenemos la siguiente expresión cuando la coordenada x2 se mantiene constante (esto ocurre al llevar a cabo el transporte paralelo del vector V del punto B al punto C, y del punto D al punto A):

De este modo, podemos obtener la siguiente aproximación a un primer orden a la variación neta del vector V al llevarse a cabo la operación de transporte paralelo :

Podemos sacar fuera de cada una de estas integrales lo que no es afectado por el proceso de integración de acuerdo con la variable que está siendo integrada:

Las dos integrales son triviales, y llevándolas a cabo tenemos lo siguiente:

Factorizando y reagrupando:

El siguiente paso consiste en tomar las diferenciales aplicando la regla de Leibniz para la diferencial del producto de dos funciones:

Podemos simplificar esto eliminando las derivadas de Vα utilizando para ello el resultado derivado al principio usando además su equivalente reemplazando el índice 1 con un índice 2:

De este modo, obtenemos lo siguiente, usando la notación de la coma para indicar diferenciación ordinaria: δVα = δa δb [Γαμ1,2 - Γαμ2,1 + Γασ2 Γσμ1 - Γασ1 Γσμ2] Vμ En el 4-espacio de la Relatividad General, esta expresión representa cuatro ecuaciones en virtud de que el vector V es un 4-vector. El índice μ que tenemos puesto en el vector V en el lado derecho es un índice libre que nos permite representar cualquiera de las cuatro componentes del vector trasladado. También en el lado derecho de la ecuación tenemos el producto δaδb, el cual podemos tomar como el área del “parche de coordenadas”. Ahora bien, los índices 1 y 2 aparecen en esta expresión porque la ruta de recorrido fue seleccionada para ser llevada a cabo sobre una superficie descrita por las coordenadas x1 y x2. Pero igual podríamos haber seleccionado otra ruta de recorrido, como aquella en la cual utilizamos las coordenadas x1 y x3 y consecuentemente aparecerán los índices 1 y 3 en la expresión, o como aquella en la cual utilizamos las coordenadas

x3 y x4 y consecuentemente aparecerán los índices 3 y 4. La expresión toda es antisimétrica en los índices 1 y 2 porque el cambio δV α en el vector V tras efectuarse la operación de transporte paralelo debe tener el signo opuesto si uno lleva a cabo el recorrido en la dirección contraria (en el lenguaje del Cálculo de las Formas Diferenciales conocido también como el Cálculo Exterior esto se refleja en la anticonmutatividad de la operación cuña uΛv = - vΛu). Si en lugar de limitarnos al uso de las coordenadas x1 y x2 modificamos ligeramente la expresión obtenida para hacerla válida usando líneas coordenadas generalizadas xp y xq en un espacio N-dimensional, obtenemos lo siguiente: δVα = δa δb [Γαμp,q - Γαμq,p + Γασq Γσμp - Γασp Γσμq] Vμ Si la longitud en el recorrido a lo largo de una de las dos coordenadas utilizadas para el viaje del vectorV es aumentado en un factor de dos, esto también aumenta el área del “parche de coordenadas” δaδb en un factor de dos, doblando el valor de δVα. Esto significa que δVα depende linealmente de (δa)ep y de (δb)eq (aquí ep y eq son los vectores unitarios de base tangentes a las líneas de coordenadas seleccionadas para llevar a cabo el viaje), y obviamente también depende del 4-vector Vμ. Si tomamos el término entre paréntesis y lo definimos como: Rαβμν = Γαβν,μ - Γαβμ,ν + Γασμ Γσβν - Γασν Γσβμ entonces tenemos los componentes de un tensor R al cual si se le suministran como argumentos el vector V (o mejor dicho, los componentes Vμ del vector V a través del índice μ) así como (δ a)ep, y de (δb)eq a través de los índices β y ν nos proporcionará δV α, el cambio en el componente α del vector Vcuando se le aplica una operación de transporte paralelo sobre una trayectoria en una superficie curva. Esto es precisamente lo que nos fija geométricamente el tensor de Riemann. PROBLEMA: Demostrar la segunda identidad de Bianchi: Rαβμν;λ + Rαβλμ;ν + Rαβνλ;μ = 0 Podemos intentar llevar a cabo directamente la diferenciación covariante ya sea sobre el tensor de Riemann de primer género o sobre el tensor de Riemann de segundo género, involucrando con ello a los símbolos de Christoffel que nos resultan como consecuencia de la diferenciación covariante. Pero tal cosa no es necesaria, porque podemos llevar a cabo una diferenciación ordinaria si utilizamos primero un marco inercial (Lorentziano) de coordenadas. Tomando la relación correspondiente al tensor de Riemann de primer género:

Rαβμν = (gαν,βμ - gαμ,βν + gβμ,αν - gβν,αμ)/2 y llevando a cabo la diferenciación ordinaria con respecto al parámetro λ tenemos lo siguiente: Rαβμν,λ = (gαν,βμλ - gαμ,βνλ + gβμ,ανλ - gβν,αμλ)/2 De esta relación, usando el hecho de que el tensor métrico g es simétrico ( gab = gba) y el hecho de que las derivadas parciales ordinarias conmutan, obtenemos la segunda identidad de Bianchi. PROBLEMA: Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura RiemannianaGaussiana K está definida de la siguiente manera:

siendo g el determinante del tensor métrico g, obtener la expresión correspondiente a K para la siguiente métrica:

Del elemento de línea ds² obtenemos los siguientes componentes que corresponden al tensor métricog: g11 = 1/(x1) ²___g22 = 1/(x1) ² g12 = g21 = 0 así como los siguientes componentes que corresponden al tensor métrico conjugado g-1: g11 = (x1) ²___g22 = 1/(x1) ² g12 = g21 = 0

Con esto podemos obtener los símbolos de Christoffel que nos permitirán obtener al componente del tensor de Riemann que estamos buscando, R1212. Cuando los tres índices del símbolo de Christoffel son iguales como en el caso de Γ111, tenemos que recurrir a la relación explícita sin haber atajos posibles: Γαμν = gαβ (- gμν,β + gνβ,μ + gμβ,ν)/2 Γαμν = gαβ (- ∂gμν/∂xβ + ∂gνβ/∂xμ + ∂gμβ/∂xν)/2 Entonces: Γ111 = g11 (- ∂g11/∂x1 + ∂g11/∂x1 + ∂g11/∂x1)/2 Γ111 = {(x1) ²} {∂g11/∂x1}/2 Γ111 = {(x1) ²} {- 2 (x1) -3}/2

Siendo la métrica una métrica diagonal, sin componentes “cruzados”, podemos llevar a cabo la evaluación de los otros símbolos de Christoffel mediante las relaciones simplificadas para métricas diagonales que ya obtuvimos en una entrada previa, las cuales son:

Empezamos con la evaluación de Γ 122:

A continuación llevamos a cabo la evaluación del símbolo de Christoffel Γ221 que por la propiedad de simetría de los símbolos de Christoffel de segundo género es igual a Γ 212:

Como no requerimos el símbolo de Christoffel Γ 222 para la obtención de R1212, no se llevará a cabo aquí la evaluación del mismo. Para la obtención de R1212 utilizamos la relación general que nos dá los componentes del tensor de Riemann: Rαβμν = Γαβν,μ - Γαβμ,ν + Γασμ Γσβν - Γασν Γσβμ la cual en este caso se nos convierte en: R1212 = Γ122,1 - Γ121,2 + Γ1σ1 Γσ22 - Γ1σ2 Γσ21

R1212 = ∂Γ 122/∂x1 - ∂Γ 121/∂x2 + Γ1σ1 Γσ22 - Γ1σ2 Γσ21 La evaluación detallada se muestra a continuación:

En cuanto al determinante del tensor métrico, g, este será: g = g11 g22 - g12 g21 Siendo g12 = g21 se tiene entonces: g = g11 g22 - (g12)² La evaluación de la curvatura K en base a la fórmula dada es la siguiente:

Finalmente:

Esta curvatura no depende de las coordenadas, y por lo tanto la superficie descrita por esta métrica es una superficie de curvatura constante. Una curvatura igual a cero corresponde a la curvatura de una superficie plana. Una curvatura positiva constante corresponde a una superficie como la de la esfera. Y una superficie de curvatura negativa constante corresponde a algo como un hiperboloide. En el espacio-tiempo de 4 dimensiones, de las 20 componentes del tensor de Riemann la esencia de diez de ellas es capturada por el tensor de Ricci obtenido mediante una contracción del tensor de Riemann que será discutida posteriormente, mientras que la esencia de las diez restantes es capturada por otro tensor conocido como el tensor de Weyl:

En el manejo que se llevará a cabo del tensor de Riemann en otras entradas posteriores, tanto el tensor de Ricci como el escalar de Ricci que se pueden considerar como trazas del tensor de Riemann (el concepto de traza se toma prestado de la definición dada a la traza de la diagonal principal de una matriz como la suma de los elementos de la diagonal principal) obtenidas mediante el proceso de contracción tensorial. En ocasiones es deseable considerar por separado aquellas partes del tensor de Riemann que son removidas por el tensor de Ricci y el escalar de Ricci. Para ello inventamos el tensor de Weyl que es básicamente el tensor de Riemann con todas sus contracciones posibles removidas. Usando la notación de paréntesis cuadrados en los subíndices que representa simbólicamente unaantisimetrización:

el tensor de Weyl queda definido de la siguiente manera (la definición que se dé al tensor de Weyl depende del número de dimensiones, en este caso suponemos una dimensión de cuatro):

En la práctica, la obtención de los componentes del tensor de Weyl resulta mucho más fácil si simplemente obtenemos primero todos los componentes del tensor de Ricci, y removemos estos últimos de los componentes del tensor de Riemann, en lugar de andar usando fórmulas demasiado elaboradas.

46. LA ECUACIÓN DE DESVIACIÓN GEODÉSICA El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviación de dos líneas inicialmente paralelas cuando se desplazan a través de una superficie curva. Si bien en un espacio dimensional plano las líneas paralelas nunca se cortan, esta regla no es aplicable en el caso de las superficies curvas de geometría elíptica. Supóngase que dos viajeros salen del Ecuador en dirección norte. En ambos casos, el ángulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90º, por lo que se trata de dos líneas inicialmente paralelas. Sin embargo, conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte, su distancia recíproca se hace cada vez más pequeña hasta que se hace nula en el Polo Norte, que es donde se encuentran sus trayectorias de viaje. Para calcular la tasa de aproximación entre las dos geodésicas utilizamos la siguiente ecuación conocida como la ecuación de desviación geodésica:

en donde dξβ y dξν representan el recorrido desde el Ecuador de ambas líneas geodésicas y ξμ la distancia de separación entre ellas. Al hablar de una desviación geodésica, en ningún momento estamos diciendo que cualquiera de los dos objetos inicialmente paralelos puestos en movimiento se desviará de su ruta geodésica. La desviación de la que se está hablando es de la trayectoria que ambos objetos tendrían si continuaran moviéndose siguiendo rutas paralelas al estar en un espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo curvo de la Relatividad General, las cosas funcionan de un modo parecido a como funcionan en el espacio geométrico N-dimensional de Bernhard Riemann: el tensor de Riemann determina la aceleración recíproca entre las líneas del mundo (o líneas del universo, en el diagrama espacio-tiempo de Minkowski) de dos sistemas inerciales (p.ej. dos asteroides que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atracción gravitatoria). Para calcular dicha aceleración, aplicamos de nuevo la ecuación de desviación geodésica con una ligera modificación introduciendo el tiempo local (o tiempo propio):

en donde dτ es un parámetro afín (en este caso el tiempo local) y uβ y uν son los 4-vectores de la 4velocidad de cada uno de los cuerpos que, según el esquema de Minkowski, equivalen geométricamente a campos vectoriales tangentes a ambas líneas de universo. Esquemáticamente esto representa la aceleración de dos líneas del mundo geodésicas:

Como podemos ver, conforme se avanza en la línea temporal (hacia arriba) el tensor de Riemann curva las geodésicas y provoca el acercamiento recíproco de las dos partículas. Las geodésicas en un espacio-tiempo plano (Lorentziano) mantienen su separación y permanecen paralelas, mientras que las geodésicas en un espacio-tiempo curvo no lo hacen. Considérense dos geodésicas con vectores tangentes V y V’ que empiezan como paralelas cercanas la una a la otra, una en un punto A y la otra en un punto A’. Llamemos λ al parámetro afín en las geodésicas (que puede ser un elemento de arco o el tiempo local τ). Definamos ahora un “vector de conexión” ξ (como en el diagrama de arriba) que llega a una geodésica desde la otra, conectando puntos de ambas a intervalos iguales (como ξ1 y ξ2 en el diagrama de arriba). Para mayor simplicidad, adoptaremos un sistema de coordenadas (x0, x1, x2, x3) localmente inercial en el punto A, en el cual la coordenada x0 apunta a lo largo de la geodésica (la selección del componente-0 que es el componente temporal a lo largo de la geodésica nos ayudará en relacionar los resultados con el caso en el cual λ es el tiempo local). Entonces en el punto A tenemos que la única componente del 4-vector velocidad es la componente temporal (trabajaremos con una velocidad de la luz c igual a la unidad para no estar arrastrando innecesariamente dicha constante a lo largo de la demostración) a la cual le daremos un valor

unitario: V = (Vα) = (1, 0, 0, 0) = (δα0) Notacionalmente, en conformidad con lo que se ha indicado, las siguientes tres representaciones estarán simbolizando una misma cosa:

Nuestro punto de partida será la ecuación diferencial para la ruta geodésica (ecuación geodésica):

Puesto que estamos considerando al punto A como parte de un marco de referencia inercial plano (Lorentziano) esto implica que para el punto A los símbolos de Christoffel en dicho punto deben ser nulos, y en tal caso debe ser cierto lo siguiente para el punto A:

Pero el punto de la otra geodésica, el punto A’, no está en un marco de referencia plano, por lo cual recurriendo nuevamente a la ecuación geodésica tenemos que la ecuación de la geodésica V’ en A’ debe ser (puesto que Vα = δα0 entonces en la sumatoria sobre los símbolos de Christoffel requerida por la convención de sumación -en virtud de los índices repetidos- el único símbolo de Christoffel que no será cero es Γα00 , todos los demas serán iguales a cero):

Puesto que A y A’ están separados por el vector ξ, los símbolos de Christoffel en el punto A y en el punto A’ están relacionados de la siguiente manera:

Con la relación previa, esto nos conecta los puntos de partida A y A’ de las geodésicas del siguiente modo:

Ahora bien, la diferencia entre el componente xα que corresponde al punto A’ y el componente xα que corresponde al punto A debe ser igual al componente ξα del vector de separación ξ entre ambas geodésicas: xα (A’) - xα (A) = ξα Con esto podemos establecer una conexión entre las geodésicas y el vector de separación metiendo las relaciones anteriores en esto último obteniendo así:

Haremos ahora un pequeño paréntesis. En el lado izquierdo de esta última ecuación tenemos a la segunda derivada ordinaria de ξ con respecto al parámetro afín, o sea d²ξ/dλ². Esto es

perfectamente válido dentro de un espacio-tiempo plano, Lorentziano. El problema es que no estamos trabajando dentro de un espacio-tiempo plano, estamos trabajando dentro de un espacio-tiempo curvo. Y al trabajar en un espacio-tiempo curvo, para que los resultados puedan ser válidos en cualquier sistema de coordenadas tenemos que reemplazar a la derivada ordinaria por la derivada covariante. Y en este caso, no basta con llevar a cabo una sola diferenciación covariante, tenemos que llevar a cabo dosdiferenciaciones covariantes. Para la obtención de la velocidad (de cambio) de ξ requerimos de laprimera derivada covariante de ξ, y para obtener la aceleración de ξ usamos la segunda derivada covariante de ξ, lo cual será válido (tensorialmente) para cualquier sistema de coordenadas. Si representamos a la primera derivada covariante del vector ξ = (ξα) con respecto al parámetro λ como (obsérvese el uso del semicolon con el cual indicamos una diferenciación covariante): ξ α; λ entonces podemos representar a la segunda derivada covariante del vector ξ = (ξα) con respecto al parámetro λ como (obsérvese de nueva cuenta el uso del semicolon con el cual indicamos una diferenciación covariante): (ξα; λ) ; λ Es importante aclarar aquí que algunos autores de reconocido prestigio representan esta segunda derivada covariante de una manera como la siguiente: ∇v∇v ξ Aunque cada autor es libre de inventar la notación que le plazca, esta selección del símbolo nabla (∇) para denotar una derivada covariante es desafortunada por el hecho de que en una gran cantidad de textos y trabajos científicos el símbolo ∇ está reservado para representar al operador diferencial vectorial ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z). El operador diferencial vectorial ∇ y la diferenciación covariante representan dos conceptos completamente distintos (el primero ni siquiera involucra símbolos de Christoffel). Y la colocación de un vector (V) como sub-índice después del símbolo ∇ no ayuda mucho en aclarar la posible confusión en virtud de que se puede malinterpretar como una derivada absolutao derivada intrínseca, la cual aunque ciertamente es una operación matemática que especifica una diferenciación covariante también va aparejada con la contracción tensorial con el vector en cuestión que viene siendo la tangente de la curva a lo largo de la cual se lleva a cabo la diferenciación covariante.

Para evitar confusiones, nos mantendremos fieles a la simbología que hemos estado usando en entradas anteriores. La definición de la derivada covariante nos dá la primera derivada del tensor contravariante (ξα) con respecto a λ (que en este caso es x0) de la siguiente manera de acuerdo a la definición de derivada covariante:

En virtud del índice repetido β en el segundo término que activa a la convención de sumación, el segundo término se expande a cuatro términos de Christoffel de segundo género en un 4-espacio correspondiendo a las cuatro componentes de ξβ. Tenemos un índice libre, q, pero en virtud de que ambas geodésicas son inicialmente paralelas también la geodésica que parte de A se trasladará a lo largo de la coordenada x0 (la componente temporal), siendo las otras tres componentes iguales a cero para las otras tres coordenadas (no lo serían si las geodésicas en los puntos A y A’ apuntaran en direcciones diferentes que involucraran a las otras tres coordenadas que son las coordenadas espaciales estando lo más anti-paralelas que pudieran estar). Tomando esto en cuenta e invocando la propiedad de los símbolos de Christoffel de segundo género que nos dice que son simétricos en el intercambio de los dos índices inferiores, lo anterior lo podemos escribir del siguiente modo:

Llevándose a cabo el cambio de ξα únicamente con respecto a la primera coordenada (la coordenada temporal), podemos reemplazar a la diferenciación parcial ∂ξα/∂λ por la diferenciación ordinariadξα/dλ, escribiendo así:

Esta es la primera derivada covariante de ξ = (ξα). Pero estamos interesados en la segunda derivada covariante de ξ. Esto nos requiere aplicar de nueva cuenta la definición de derivada covariante. Es así como habiendo utilizado el hecho de que los símbolos de Christoffel

son iguales a cero en el punto A llegamos a lo siguiente:

Removiendo el paréntesis tomando la diferenciación indicada con respecto a λ tenemos lo siguiente:

Puesto que el factor dξβ/dx0 es igual a cero, el tercer término se nos hace cero quedándonos únicamente:

Aquí podemos introducir el resultado que habíamos obtenido previamente para d²ξα/dλ² obteniendo de este modo lo siguiente:

En este punto revertiremos a notación simbólica más compacta habiendo quedado claro aquello de lo que estamos hablando, usando la coma sencilla para indicar las diferenciaciones ordinarias: (ξα; λ) ; λ = - Γα00,β ξβ + Γαβ0,0 ξβ Factorizando ξβ: (ξα; λ) ; λ = (Γαβ0,0 - Γα00,β) ξβ

Esto se puede simplificar aún más si recurrimos a la definición del tensor de Riemann: Rαβμν = Γαβν,μ - Γαβμ,ν + Γα σμ Γσ βν - Γα σν Γσ βμ Poniendo ceros en el lugar en donde están los primeros dos sub-índices (β y μ) tenemos entonces: Rα00ν = Γα0ν,0 - Γα00,ν + Γα σ0 Γσ 0ν - Γα σν Γσ 00 El tercer término y el cuarto término se nos anulan, quedándonos únicamente los dos primeros términos. En el primer término podemos hacer un reacomodo en los dos primeros sub-índices haciendo uso del hecho de que el símbolo de Christoffel de segundo género es simétrico en sus índices inferiores y de que esta simetría se mantienen en pie al tomarse la derivada ordinaria de dicho símbolo de Christoffel: Rα00ν = Γαν0,0 - Γα00,ν Si tomamos el lado derecho de esta ecuación: Γαν0,0 - Γα00,ν y hacemos una comparación con lo que habíamos obtenido previamente: (ξα; λ) ; λ = (Γαβ0,0 - Γα00,β) ξβ podemos ver que podemos reemplazar en esto último lo que está dentro de los paréntesis por el símbolo del tensor de Riemann con los dos índices que se han puesto en ceros. Es así como llegamos a lo siguiente: (ξα; λ) ; λ = Rα00β ξβ Desde el principio hemos supuesto que (Vα) = (δα0). Entonces V0 = δ00 = 1, lo cual nos permite escribir lo siguiente:

(ξα; λ) ; λ = Rα00β (1)(1) ξβ (ξα; λ) ; λ = Rα00β (V0)(V0) ξβ Esto es válido en lo que respecta a una coordenada, la coordenada temporal. Pero todas las cuatro coordenadas están al mismo nivel (en inglés se acostumbra decir on equal footing), ninguna de ellas está privilegiada sobre la otra. Esto significa que la generalización del resultado que acabamos de obtener se puede enunciar de modo completamente general de la manera siguiente: (ξα; λ) ; λ = Rαμνβ (Vμ)(Vν) ξβ en donde Vμ es el 4-vector velocidad que corresponde a una de las geodésicas y Vν es la 4velocidad que corresponde a la otra geodésica. Esta es esencialmente la ecuación de desviación geodésica. Si tomamos el parámetro λ como el tiempo local o tiempo propio τ, entonces podemos hacer: (ξα; λ) ; λ = d²ξ/dτ² con lo cual: d²ξ/dτ² = Rαμνβ (Vμ)(Vν) ξβ Esta es la ecuación de desviación geodésica, desde la perspectiva de la Relatividad General, enunciada al principio de esta entrada. La ecuación de desviación geodésica puede ser derivada de modo más riguroso (y más satisfactorio desde el punto de vista matemático formal) mediante algo que llamamos la segunda variación covariante del Lagrangiano de una partícula puntual, o bien de la primera variación de un Lagrangiano combinado. El resultado que obtenemos a fin de cuentas es exactamente el mismo. PROBLEMA: Dimensionalmente hablando, ¿qué es lo que estamos midiendo con el tensor Rαμνβ a la luz de la ecuación de desviación geodésica? ξ es un 4-vector cuyas cuatro componentes son medidas en unidades de longitud (metros). Tomando al parámetro τ como el tiempo propio (tiempo local), medido en segundos, entonces en el lado derecho de la ecuación de desviación geodésica d²ξ/dτ² tiene unidades de

metros/(segundo)², con lo cual estamos midiendo una aceleración, la aceleración con la cual se está acortando la longitud del 4-vector ξ. Puesto que cada componente de la 4-velocidad Vμ así como de la 4-velocidad Vν está medido en metros por segundo, entonces la ecuación de desviación geodésica: d²ξ/dτ² = Rαμνβ (Vμ)(Vν) ξβ tiene la siguiente expresión dimensional en unidades del sistema MKS:

Simplificando:

Para que esta ecuación pueda ser dimensionalmente correcta, se requiere que tenga unidades de metros-2, o sea:

Siendo los metros cuadrados algo que corresponde a una dimensión de superficie, esto nos mide algopor unidad de área. Recordemos en una de las derivaciones del tensor de Riemann cómo el tensor de curvatura fue obtenido a partir de un “parche de coordenadas” tomado de la hoja que representa la 2-superficie bajo consideración. Si todos los componentes del tensor de Riemann son iguales a cero, esto significa que estamos situados en un espacio Euclideano plano. Pero si tan sólo uno de los componentes del tensor de Riemann es diferente de cero, entonces estamos situados en un espaciocurvo (o mejor dicho, en un espacio-tiempo curvo). Esto significa que podemos equiparar a Rαμνβcomo una medida de la curvatura por unidad de área del espacio

dimensional bajo consideración. A mayor magnitud de cualquiera de los componentes del tensor de Riemann Rαμνβ , tanto mayor será la curvatura por unidad de área del “parche de coordenadas” sobre el cual se está midiendo dicha curvatura.

47. LA GEOMETRÍA EUCLIDEANA Y LA RELATIVIDAD Un tema que frecuentemente causa mucha confusión entre los principiantes en el estudio de la Teoría de la Relatividad es el hecho de que, formalmente hablando, por un lado tenemos que la definiciónmatemática de lo que es un espacio Euclideano, si tomamos la definición al pie de la letra, nos dice que el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad no es Euclideano; mientras que por otro lado se nos dice que el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad es un espacio-tiempo planoque suponemos Euclideano. Empezaremos con una de tantas definiciones de un espacio Euclideano que se dan en los libros de texto, todas ellas equivalentes: “Una métrica Riemanniana g = (gij) especificada en un sistema de coordenadas generalizadas (xi) será la métrica Euclideana sí y solo sí bajo una transformación permisible de las coordenadas, g = (δij).” En pocas palabras, la métrica es Euclideana si el elemento de línea puede reducirse a una suma de cuadrados todos ellos con signos positivos. Dado cualquier elemento de línea, la forma de saber si se cumple esta condición es reducir el elemento de línea a una suma de cuadrados y ver si todos los signos que anteceden a los componentes son positivos. Hay varias maneras de lograr esto. Una de ellas es el método de Lagrange. Dicho método será discutido con un ejemplo. Supóngase que tenemos una expresión cuya suma de términos es la siguiente: Q = x1² + 2x2² - 3x3² - 6x1x2 + 8x1x3 - 4x2x3 Para reducir a Q a una suma de términos cuadráticos eliminando los componentes “cruzados” como x1x2, recogemos primero todos los términos que involucran a x1: Q = x1² - 6x1x2 + 8x1x3 + 2x2² - 3x3² - 4x2x3 A continuación, factorizamos a x1 de la manera mostrada: Q = x1² + 2x1(- 3x2 + 4x3) + 2x2² - 3x3² - 4x2x3 A continuación “completamos el cuadrado” de la siguiente manera con el objeto de tener la forma a²+2ab+b²:

Q =________________ ____________________________ x1² + 2x1(- 3x2 + 4x3) + (- 3x2 + 4x3)² + 2x2² - 3x3² - 4x2x3 - (- 3x2 + 4x3)² De este modo, tenemos adentro: x1² + 2x1(- 3x2 + 4x3) + (- 3x2 + 4x3)² = [x1² - 3x2 + 4x3]² Esto nos dá tras unas simplificaciones: Q = (x1 - 3x2 + 4x3)² - 7x2² - 19x3² + 20x2x3 La simplificación que involucra a x2 y x3 se obtiene fácilmente de la siguiente manera: - 7x2² + 20x2x3 = -7 [x2²- (20/7) x2x3] = -7 [x2²- (20/7) x3 + (100/49) x3² ] - (100/7) x3² Con esto tenemos entonces: Q = (x1 - 3x2 + 4x3)² - 7 [x2 - (10/7) x3]² + (100/7) x3² - 19x3²

Q = (x1 - 3x2 + 4x3)² - 7 [x2 - (10/7) x3]² - (33/7) x3² Hágase: x1 = x1 - 3x2 + 4x3 x2 = x2 - (10/7) x3 x3 = (33/7) x3²

Con estas transformaciones, la expresión original queda reducida a la siguiente suma “diagonal” de cuadrados: Q = (x1)² - (x2)² - (x3)² En base a la definición dada anteriormente, una métrica con esta combinación de cuadrados no es Euclideana, en virtud de que no todos los signos que anteceden a todos los componentes son positivos. Los componentes x2 y x3 son antecedidos por signos negativos. De este modo, la definición matemática formal de un espacio Euclideano nos dice que un espacio de cualquier número de dimensiones es Euclideano siempre y cuando los coeficientes de la métrica seantodos ellos definitivamente positivos en todo momento (positive definite), lo cual significa que con una transformación apropiada de las coordenadas de dicho espacio el elemento de línea siempre se puede escribir de modo tal que la métrica tenga componentes con signos positivos. Esto equivale a la extensión del teorema de Pitágoras a varias dimensiones: ds² = (dx1)² + (dx2)² + (dx3)² + (dx4)² + (dx5)² + ... siendo el lado izquierdo de la ecuación el equivalente del cuadrado de la “hipotenusa” del triángulo rectángulo planar y siendo el lado derecho el equivalente de “la suma de los cuadrados de los catetos” del mismo triángulo rectángulo planar. Así, un espacio cuyo elemento de línea sea el siguiente: ds² = (dx1)² - (x3)²(dx2)² + (x1)²(dx3)² no puede ser Euclideano porque la suma de cuadrados no es definitivamente positiva, hay un signo negativo puesto sobre el segundo término, y aquí no es posible llevar a cabo una transformación adecuada en cada una de los coordenadas la métrica que la pueda poner en la forma usual del teorema de Pitágoras extendido hacia varias dimensiones. Veamos ahora la métrica para el 4-espacio de la Teoría Especial de la Relatividad, la métrica del espacio-tiempo Lorentizano, la cual es: ds² = (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)²

o bien: ds² = - (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)² En cualquiera de las dos versiones, simple y sencillamente no existe forma alguna en la cual con alguna transformación de las coordenadas podamos poner esta métrica de modo tal que todos los signos de las cuatro componentes tengan signos positivos. Entonces, según la matemática formal, la geometría de la Teoría Especial de la Relatividad no es una geometría Euclideana. El principal requisito de naturaleza geométrica para que una geometría pueda ser considerada como una geometría Euclideana es que dentro de dicha geometría se deben cumplir todos los postulados y teoremas de la geometría de Euclides, por ejemplo: 1) Las rectas inicialmente paralelas deben permanecer paralelas al ser trazadas hasta el infinito en la misma dirección sin tocarse ni separarse jamás. 2) La suma de los ángulos internos de todo triángulo debe ser igual a 180 grados. 3) Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Y el problema que enfrentamos es que en el espacio-tiempo Lorentziano, el cual se ha dicho hasta ahora que es un espacio-tiempo plano, contrariamente a lo que nos dice la definición matemática formal de espacio Euclideano se cumplen todos los postulados de la geometría Euclideana. En lo que concierne a las líneas paralelas, si trazamos en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski las líneas del mundo de dos observadores en resposo el uno frente al otro, las líneas serán perfectamente paralelas en todo momento, nunca se cruzarán ni divergirán la una de la otra, o lo que es lo mismo, una regla en reposo mantendrá la distancia entre sus dos extremos siempre igual en todo momento:

Y en lo que concierne a dos marcos de referencia en movimiento relativo el uno con respecto al otro, si un observador en reposo ve pasar horizontalmente (paralelamente al eje-x) a dos cuerpos (dos naves espaciales, por ejemplo) separadas a cierta distancia la una de la otra pero moviéndose ambas en la misma dirección (en el sentido del eje-x sin movimiento relativo alguno con respecto al eje-y o al eje-z), las naves se mantendrán en sincronía trazando dos rectas paralelas imaginarias en el espacio que van recorriendo. El postulado de las paralelas parece cumplirse aquí al pie de la letra. Pero el postulado de las paralelas de Euclides no es el único postulado que se cumple cabalmente en el espacio-tiempo Lorentziano. También se cumple el hecho de que la suma de los ángulos internos siempre es igual a 180 grados, ya sea que el triángulo de referencia esté en reposo frente a un observados o que esté en movimiento en relación a dicho observador con efectos relativistas entrando en acción. PROBLEMA: Demostrar que en un marco de referencia Lorentziano (propio del espacio-tiempo plano de la Teoría Especial de la Relatividad) moviéndose a una velocidad constante con respecto a otro observador situado en un marco de referencia en reposo, la suma de los ángulos internos de un triángulo sigue siendo igual a 180 grados. Si tenemos un triángulo dentro de un marco de referencia que está en movimiento con respecto a otro observador en reposo, el observador verá una contracción de Lorentz en los lados del triángulo en la dirección del movimiento del marco móvil que supondremos que se está desplazando a lo largo del eje-x. La única contracción que ocurre es en las distancias y longitudes

paralelas a la dirección del movimiento, las distancias perpendiculares a la dirección del movimiento permanecen inalteradas. Un observador que viaje dentro del marco móvil junto con el triángulo ciertamente medirá 180 grados al sumar los ángulos internos del triángulo que está a su lado. Pero un observador externo en reposo verá una contracción de Lorentz en el sentido del movimiento del triángulo. Sin embargo, después de haber tomado en cuenta los efectos cuantitativos ocasionados por la contracción de Lorentz, encontrará que para el triángulo en movimiento que la suma de los ángulos internos sigue siendo igual a 180 grados. Para demostrarlo, podemos llamar a los ángulos internos del triángulo en reposo a, b y c; y podemos llamar a los ángulos transformados (por los efectos de la contracción longitudinal de Lorentz) a’, b’ y c’. Entonces todo lo que tenemos que hacer es demostrar que si: a + b + c = 180° entonces: a’ + b’ + c’ = 180° una vez que se han aplicado las relaciones de transformación de Lorentz y que se han obtenido las fórmulas para los ángulos transformados. Esta vía de demostración puede ser algo tardada y laboriosa. Sin embargo, hay otra forma mucho más fácil de demostrar que en un marco de referencia móvil, Lorentziano, propio de un espacio-tiempo plano, la suma de los ángulos internos seguirá siendo 180 grados, y esta consiste esencialmente en demostrar el teorema de la misma manera en la cual se demuestra para el triángulo en reposo. Puesto que el marco de referencia móvil no es un marco de referencia acelerado, las líneas rectas de un triángulo independientemente del ángulo que formen con la horizontal se mantendrán como líneas rectas una vez que se ha efectuado la contracción de Lorentz. En pocas palabras, si teníamos un triángulo en reposo formado por tres líneas rectas, después de la contracción de Lorentz tendremos otro triángulo cuyos tres ángulos internos ciertamente serán diferentes y cuyos tres lados también tendrán longitudes diferentes pero seguirán siendo líneas rectas. Seguirá siendo un triángulo formado por tres líneas rectas, y por lo tanto la suma de los ángulos internos seguirá siendo 180 grados aún tras los efectos de la contracción de Lorentz. Con esto en mente, la demostración de que la suma de los ángulos internos de un triángulo “comprimido” por la contracción de Lorentz es igual a 180 grados es la siguiente:

Trácese el triángulo ABC:

A través del vértice A constrúyase una línea paralela a la base del triángulo BC. Siendo paralela la línea HK a la línea BC, esto significa que el ángulo HAB es congruente (lo cual significa “semejante” en una relación de igualdad geométrica) al ángulo interno ABC (medido en b° grados) por ser ambos ángulos alternos internos. De la misma manera, el ángulo CAK es congruente al ángulo ACB (medido en c° grados) por las mismas razones. Puesto que el ángulo HAB, el ángulo BAC (medido en a° grados) y CAK suman los tres juntos 180 grados, esto significa que: a° + b° + c° = 180 grados En otras palabras, la suma de los ángulos internos del triángulo “comprimido” por la contracción de Lorentz es igual a 180 grados. Como puede verse en la demostración, la regla de la suma de los ángulos internos de un triángulo es una consecuencia directa del postulado de las paralelas. La demostración se llevó a cabo trazando precisamente una línea paralela a otra. De hecho, la regla de la suma de los ángulos

internos de un triángulo es equivalente al postulado de las paralelas de la geometría Euclideana, de modo tal que si removiéramos el postulado de las paralelas de la geometría Euclideana (que viene siendo el quinto postulado de Euclides) y lo reemplazáramos con la regla de la suma de ángulos internos de un triángulo, las geometrías resultantes serían idénticas en todo sentido, excepto que tendríamos que demostrar el postulado de las paralelas a partir de la regla de la suma de ángulos internos de un triángulo. El argumento llevado a cabo puede ser extendido para confirmar que un triángulo rectángulo seguirá siendo un triángulo rectángulo después de que ha sido objeto de una transformación de Lorentz, y por lo tanto en un marco de referencia Lorentziano móvil también se sigue cumpliendo al pie de la letra el teorema de Pitágoras después de que se hayan aplicado las transformaciones de Lorentz (al aplicar las transformaciones de Lorentz, una recta perpendicular a la dirección del movimiento seguirá siendo perpendicular):

Tenemos entonces lo que parece ser una contradicción monumental de conceptos. Por un lado, lamatemática formal nos dice que el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad no es Euclideano, mientras que por otro lado la geometría de los marcos de referencia Lorentzianos parece ser tal que toda la geometría dentro de ella es Euclideana. ¿Quién tiene la razón? En realidad, no existe contradicción alguna. Veamos más de cerca la definición del elemento de línea en la Teoría Especial de la Relatividad: ds² = - (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)² Si en esta definición hacemos al intervalo temporal dt igual a cero (como cuando tomamos una fotografía instantánea de un marco de referencia en movimiento), entonces el elemento de línea

que podemos considerar como una especie de “hipotenusa” es: ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)² O sea, que “la suma de los cuadrados de los catetos” es igual al cuadrado de la “hipotenusa”. Esto sigue al pie de la letra el enunciado básico del teorema de Pitágoras. Pero lo hemos obtenido eliminando a la componente temporal de la métrica. La componente espacial en sí es completamente Pitagórica, y la geometría que está en acción en ella es una geometría Euclideana. Sin embargo, considérese el caso en el cual la magnitud de la componente temporal es exactamente igual a la magnitud de la suma cuadrática de las componentes espaciales. Siendo así, entonces: ds² = 0 ¡Aunque el valor de la componente temporal no sea cero y la suma de los valores de las tres componentes espaciales tampoco lo sea, la longitud de la “hipotenusa” es cero! Esto ciertamente no está predicho por el teorema de Pitágoras en ninguna de sus formas. No es que el teorema de Pitágoras haya dejado de ser válido, lo que sucede es que ya no hay aquí “hipotenusa” sobre la cual pueda ser aplicado. Y aún en el caso en el que la componente temporal no sea igual a la suma cuadrática de las componentes espaciales, ésta en lugar de aumentar la “longitud” de la “hipotenusa”, ¡la disminuye! Esto tampoco tiene nada de Pitagórico. Sin embargo, aunque para el elemento de línea ds² en su totalidad la geometría no sea Euclideana, el espacio-tiempo de Lorentz sigue siendo un espacio-tiempo plano. ¿Y qué es entonces lo que nos puede afirmar con tanta seguridad que el espacio-tiempo de Lorentz sea plano? ¡La curvatura de Riemann K, la cual depende del tensor de Riemann! Si la curvatura de Riemann K es igual a cero, entonces el espacio multi-dimensional es plano. Pero si es diferente de cero, entonces es curvo. A Einstein no le llevó mucho tiempo darse cuenta de este hecho. Podemos convertir un espacio Lorentziano plano en un espacio curvo con el solo hecho de dibujar el equivalente de un marco de referencia móvil plano sobre una membrana flexible (de hule o cualquier otro material plástico), y colocar dicha membrana (estirándola) sobre la superficie de una pelota de modo tal que la forma de la membrana se adapte a la superficie de la pelota. En este caso, la geometría deja de ser definitivamente Euclideana bajo cualquier concepto que se le mire, ya que el triángulo plano se convierte en un triángulo esférico en cuyo interior la suma de los ángulos no puede ser ya igual a 180 grados. Pero para que esto ocurriera, tuvimos que “sacar” al plano Lorentziano de su plano (valga la redundancia) y empotrarlo sobre una dimensión adicional

que equivale a una dimensión de profundidad, a una dimensión adicional hacia el interior de la página (o de la pantalla del monitor). Y en este caso la curvatura de Riemann K ya no será igual a cero. Lo que se ha detallado arriba en relación a la desconexión que hay entre lo que consideramos Euclideano y lo que consideramos plano frecuentemente es enunciado en los textos de Geometría Diferencial y Análisis Tensorial de una manera como la siguiente: “A la métrica que determina un espacio multidimensional se le considera plana si existe una transformación de las coordanadas que ponga a la métrica en la siguiente forma: ds² = ε1(dx1)² + ε2(dx2)² + ε3(dx3)² + ... + + εn(dxn)² siendo εn = ± 1.” La métrica del espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad ciertamente cae dentro de esta definición, ya que en cualquiera de sus dos versiones aparece con esta distribución de signos. Matemáticamente hablando, no es Euclideana, puesto que no todos los signos son positivos, pero de acuerdo a esta última definición es plana. La repartición de los signos de acuerdo con el orden en el cual se acostumbra escribir a la métrica es conocida como la firma de la métrica, y es simbolizada poniendo simplemente el mismo orden de los signos en el cual aparecen escritos los coeficientes de los componentes de la métrica. Para el elemento de línea: ds² = (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)² la firma de la métrica es (+ - - -), mientras que para el elemento de línea: ds² = - (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)² la firma de la métrica es (- + + +). Es necesario estar preparado para manejar indistintamente métricas relativistas con ambas firmas, ya que en esto no hay una convención universalmente aceptada. No es necesario adentrarnos en la definición de la curvatura K de Riemann para poder afirmar que un espacio-tiempo relativista pueda ser plano o curvo. En realidad nos bastará con el tensor de Riemann, o mejor dicho con la contracción de dicho tensor que es conocida como el tensor de Ricci. De cualquier modo, se dará aquí la definición dada por Riemann para especificar la curvatura de una superficie empotrada en un espacio bi-dimensional, un espacio tri-dimensional, o un

espacio n-dimensional:

La curvatura de Riemann K en realidad es una extensión hacia un espacio de cualquier número de dimensiones de la definición de la curvatura de Gauss. Obsérvese en esta fórmula que para que la curvatura K sea cero, es necesario que R1212 sea cero. Dada una métrica g, si evaluamos R1212 a partir de la misma entonces podemos determinar de manera inequívoca si la métrica representa un espacio-tiempo plano o un espacio-tiempo curvo. Esta es la razón por la cual estamos interesados en tener una motivación suficiente para haber procedido a un estudio aunque fuese somero del tensor de Riemann. Asentado lo anterior, estamos ahora en condiciones de enunciar a modo de teorema (demostrado en casi todos los buenos libros de texto sobre el tema) de lo que matemáticamente hablando se entiende por métrica Euclideana: “Una métrica Riemanniana g = (gij) será la métrica Euclideana sí y solo sí la curvatura Riemanniana K es cero en todos los puntos de la métrica y además es definitivamente positiva (la suma de los cuadrados tiene únicamente signos positivos).” De este modo, para que una métrica sea Euclideana, en el sentido estricto y formal de la palabra, no basta con que sea definitivamente positiva (positive definite); la curvatura Riemanniana K de la métrica tiene que ser igual a cero en todos los puntos de la métrica. PROBLEMA: ¿ Es Euclideana la siguiente métrica? ds² = [(x1)² + (x2)²](dx1)² + [(x1)² + (x2)²](dx2)² + (dx3)² La métrica ciertamente es definitivamente positiva. Pero no resulta claro que la curvatura K de la misma sea igual a cero, y esto es algo que tenemos que determinar. Para poder evaluar el componente tensorial R1212 necesitamos obtener primero los símbolos de Christoffel de primer género. Con las simplificaciones usuales para acortar la cantidad de símbolos a ser calculados, notamos primero que el coeficiente g33 de dx3 es una constante (+1) y que tanto g11 como g22 son independientes de x3, lo cual significa que todos los símbolos de Christoffel Γαβγ serán iguales a cero cuando α, β o γ sea igual a 3. Haciendo:

p = (x1)² + (x2)² tenemos los siguientes símbolos de Christoffel de segundo género que son diferentes de cero: Γ111 = x1/p Γ112 = Γ121 = x2/p Γ122 = - x1/p Γ211 = - x2/p Γ212 = Γ221 = x1/p Γ222 = x2/p Con estos símbolos de Christoffel podemos proceder a la evaluación directa de R1212 : R1212 = ∂Γ 122/∂x1 - ∂Γ 121/∂x2 + Γ122 Γ111 + Γ222 Γ121 - Γ121 Γ112 - Γ221 Γ122 Substituyendo valores y simplificando, encontramos que R1212 = 0. No es necesario bajar el índice de R1212 con la ayuda del tensor métrico conjugado, puesto que si R1212 es igual a cero entonces R1212también lo será. Y siendo R1212 igual a cero la curvatura de Riemann K también será igual a cero. Al cumplirse al pie de la letra los dos requerimientos formales para que la métrica sea Euclideana (definitivamente positiva, con curvatura K = 0 en todos los puntos de la métrica), concluímos que la métrica dada es, en efecto, Euclideana. PROBLEMA: ¿ Es Euclideana la siguiente métrica? El 4-espacio de la métrica, ¿es plano o curvo? ds² = (dx1)² + 4(x2)²(dx2)² + 4(x3)²(dx3)² - 4(x4)²(dx4)² La métrica no es Euclideana porque no es definitivamente positiva a causa del signo negativo que tenemos en el componente que corresponde a dx4. No hay transformación alguna que podamos

llevar a cabo para convertir a esta métrica en una métrica Euclideana removiéndole el signo negativo. En lo que respecta a si el 4-espacio es plano o curvo, para ello tenemos que evaluar el componente R1212del tensor de Riemann. A partir de los componentes del tensor métrico g que nos resultan del elemento de línea: g11 = 1___g22 = 4(x2)²___g33 = 4(x3)²___g44 = - 4(x4)² los únicos símbolos de Christoffel de segundo género para esta métrica que no son cero resultan ser los siguientes: Γ222 = 1/x2____Γ333 = 1/x3____Γ444 = 1/x4 Lo primero que notamos es que todos los símbolos de Christoffel de segundo género Γ αβγ para esta métrica son cero a menos de que α = β = γ. Esto nulifica a los términos en R1212 que involucran a derivadas parciales, dejándonos con R1212 = 0 y consecuentemente con una curvatura Riemanniana K = 0. El 4-espacio dado es, por lo tanto, plano. Sin embargo, no es Euclideano, al igual que como ocurrió con el caso de la métrica Lorentziana de la Teoría Especial de la Relatividad. En general, un espacio plano no es necesariamente Euclideano, pero un espacio Euclideano necesariamente debe ser un espacio plano.

48. LOS TENSORES DE RICCI Y EINSTEIN I Si vamos a construír una nueva teoría en la cual sepultaremos definitivamente a la ley de la gravitación universal de Newton -basada en la noción de una fuerza invisible de atracción entre los cuerpos- reemplazándola por algo en lo que conceptualmente habrá una curvatura en el espaciotiempo cuatri-dimensional causada por la presencia de masa-energía en cierta región: curvatura geométrica = densidad de masa-energía y si este concepto será enunciado de modo tal que será independiente del sistema de coordenadas empleado para describirlo, entonces habiendo estado expuestos al tensor de curvatura de Riemann nuestra primera ocurrencia tal vez será emplearlo directamente en una igualdad tensorial como la siguiente: R = kT en donde k es una simple constante de proporcionalidad (como 8π). El problema con este primer intento es que siendo el tensor de Riemann un tensor de orden cuatro la igualdad tensorial requeriría que el tensor energía-tensión T fuera también de orden cuatro. Pero ya vimos que para nuestros propósitos un tensor energía-tensión T de orden dos parece ser suficiente. Entonces, más que “estirar” a T convirtiéndolo en un tensor de orden cuatro, optaremos por convertir al tensor de curvatura de Riemann en otro tensor de curvatura de orden dos derivado de R, siempre y cuando no estemos sacrificando algo importante. Y lo primero que se nos viene a la mente es llevar a cabo unacontracción tensorial del tensor de Riemann igualando dos de sus índices, lo cual lo convierte en un tensor de orden dos. Esto es precisamente lo que se logra con el tensor de Ricci. El tensor de Ricci es un tensor que se obtiene directamente del tensor de Riemann por una contracción de dos de sus índices. La elección del índice covariante a contraer no es fija (se aprovecha aquí la ocasión para recordar que el proceso de contracción activa automáticamente la convención de sumación para índices repetidos). La contracción se lleva a cabo entre el índice superior y el segundo índice inferiordel tensor de Riemann. Al llevar a cabo una contracción del tensor de Riemann, perdemos dos de los cuatro índices que especifican a los componentes de dicho tensor de curvatura. ¿Por qué razón es suficiente un tensor de dos índices para describir el efecto -sobre el movimiento de los cuerpos- de la curvatura causada en el 4-espacio de la Relatividad General por la presencia de masa-energía? Porque para describir una 2-superficie en un espacio N-dimensional basta con especificar dos coordenadas curvilíneas, y las trayectorias geodésicas de los cuerpos en movimiento se llevan a cabo precisamente sobre una 2-superficie (como ocurre con un satélite artificial que le está dando vueltas a la Tierra siguiendo la geodésica de un arco sobre una superficie esférica o elíptica imaginaria).

Partiendo de la definición del tensor de Riemann, el cual es un tensor de orden cuatro, contravariante de orden uno y covariante de orden 3: Rαβμν = Γαβν,μ - Γαβμ,ν + Γασμ · Γσβν - Γασν · Γσβμ si llevamos a cabo una contracción del primer índice y el tercer índice (el índice superior y el segundo índice inferior), obtenemos el siguiente tensor covariante de orden dos: Rμβμν = R1β1ν + R2β2ν + R3β3ν + R4β4ν = Rβν que está definido precisamente como el tensor de Ricci. En principio, otras contracciones del tensor de Riemannn son posibles. Podemos llevar a cabo una contracción entre el primer índice y segundo índice (el índice superior y el primer índice inferior) y el primer índice y el cuatro índice (el índice superior y el tercer índice inferior), pero en virtud de que el tensor Rαβμν es antisimétrico en los índices α y β y en los índices μ y ν, todas estas contracciones terminan desvaneciéndose idénticamente o reduciéndose a R βν ó -Rβν . En pocas palabras: El tensor de Ricci es la única contracción posible del tensor de Riemann. PROBLEMA: A partir de la definición del tensor de Riemann, demuéstrese que el tensor de Ricci es la única contracción posible del mismo. Empezaremos con el tensor de Riemann: Rαβμν = ½ (gαν,βμ - gαμ,βν + gβμ,αν - gβν,αμ) al cual le subiremos el primer índice con la ayuda del tensor métrico g con la finalidad de poder llevar a cabo una contracción con cada uno de los tres índices covariantes: Rαβμν = gαxRxβμν Rαβμν = gα1R1βμν + gα2R2βμν + gα3R3βμν + ... Llevaremos a cabo primero la contracción entre el índice superior α y el índice inferior β igualando ambos índices sobre la expresión anterior:

Rααμν = Rμν = gα1R1αμν + gα2R2αμν + gα3R3αμν + ... El siguiente paso consiste en llevar a cabo la sumación sobre el índice contraído α. La expansión se llevará a cabo agrupando los sumandos de una manera cuya razón pronto será obvia: Rμν =______________________ g11R11μν + g12R21μν + g13R31μν + ... + g21R12μν + g22R22μν + g23R32μν + ... + g31R13μν + g32R23μν + g33R33μν + ... A continuación apelamos a la propiedad de hemi-simetría del tensor de Riemann demostrada previamente en una entrada correspondiente al tensor de Riemann, bajo la cual si intercambiamos los primeros dos índices el signo del componente se invierte: Rαβμν = - Rβαμν con lo cual obtenemos lo siguiente: Rμν =______________________ g11R11μν + g12R21μν + g13R31μν + ... - g21R21μν + g22R22μν + g23R32μν + ... - g31R31μν - g32R32μν + g33R33μν + ... Puesto que el tensor métrico g, por su propia definición, es un tensor métrico, gij = gji, entonces podemos introducir este hecho en lo anterior con lo que tras ello podemos proceder a la borradura de los términos positivos que son cancelados por los términos negativos: Rμν =______________________ g11R11μν + g12R21μν + g13R31μν + ... - g12R21μν + g22R22μν + g23R32μν + ... - g13R31μν - g23R32μν + g33R33μν + ... Esto nos deja únicamente con los siguientes términos “diagonales” en nuestro acomodo de términos :

Rμν = g11R11μν + g22R22μν + g33R33μν + ... Sin embargo, cada uno de estos términos se va cancelando en virtud de la identidad que nos dice que en un tensor de Riemann cuando los primeros dos índices son iguales el valor se vuelve cero, o sea: Rααμν = 0 Descartamos pues la primera posibilidad, la contracción entre el índice superior α y el índice inferior β, en virtud de que no nos dá ningún resultado útil más que el valor de cero. Llevaremos a cabo ahora la contracción entre el índice superior α y el índice inferior μ igualando ambos índices sobre la expresión dada atrás anteriormente: Rαβαν = Rβν = gα1R1βαν + gα2R2βαν + gα3R3βαν + ... Procediendo como lo hicimos anteriormente, llevamos a cabo la expansión sobre la segunda contracción: Rβν =______________________ g11R1β1ν + g12R2β1ν + g13R3β1ν + ... + g21R1β2ν + g22R2β2ν + g23R3β2ν + ... + g31R1β3ν + g32R2β3μν + g33R3β3ν + ... Reagrupando y usando la propiedad de simetría del tensor métrico gij = gji, podemos llevar a cabo la siguiente simplificación: Rβν =______________________ g11R1β1ν + g22R2β2ν + g33R3β3ν + ... + g21(R2β1ν + R1β2ν) + g13(R3β1ν + R1β3ν) + g23(R3β2ν + R2β3μν) + ... Este definitivamente no es un tensor cero, a menos de que todas las componentes del tensor de Riemann o todas las componentes del tensor métrico sean iguales a cero. Este es el tensor de Ricci.

Por último, llevaremos a cabo la tercera contracción posible que podemos llevar a cabo en el tensor de Riemann, la que se puede efectuar entre el índice superior α y el índice inferior ν igualando ambos índices sobre la expresión dada anteriormente: Rαβμα = Rβμ = gα1R1βμα + gα2R2βμα + gα3R3βμα + ... Procediendo como lo hicimos anteriormente, efectuamos la expansión de la contracción sobre el tercer índice: Rβμ =______________________ g11R1βμ1 + g12R2βμ1 + g13R3βμ1 + ... + g21R1βμ2 + g22R2βμ2 + g23R3βμ2 + ... + g31R1βμ3 + g32R2βμ3 + g33R3βμ3 + ... Usando la propiedad del tensor de Riemann según la cual si intercambiamos los últimos dos índices el signo del componente se invierte: Rαβμν = - Rαβνμ y renombrando del lado derecho de la igualdad el índice μ como ν, obtenemos lo siguiente: Rβμ =______________________ - g11R1β1ν - g12R2β1ν - g13R3β1ν - ... - g21R1β2ν - g22R2β2ν - g23R3β2ν - ... - g31R1β3ν - g32R2β3ν - g33R3β3ν - ... Pero esto último es esencialmente lo mismo que ya obtuvimos con anterioridad en un paso intermedio que nos conducía al tensor de Ricci, pero con el signo opuesto, o sea: Rβμ = - Rβν Esto no nos dá información nueva que no hubiéramos obtenido ya anteriormente. Así pues, de todas las contracciones que podemos llevar a cabo sobre el tensor de Riemann, escrito como Rαβμν, sólo obtenemos una contracción no trivial, precisamente el tensor de Ricci.

El tensor de Ricci era el tensor favorito de Einstein, esto en virtud de que la definición del tensor G de Einstein para formalizar matemáticamente la curvatura en el espacio-tiempo que se nos manifiesta como la gravedad depende directamente del tensor de Ricci. Él fue el primero en darse cuenta de la importancia de ese tensor para la construcción de una teoría de la gravedad. Encontrar soluciones a la ecuación fundamental de la Relatividad General equivale a buscar el tensor de Ricci que está asociado con la solución. En la siguiente fotografía tenemos a Einstein en una visita famosa que hizo a Mount Wilson para agradecerle personalmente a Edwin Hubble su descubrimiento astronómico que permitió abandonar el modelo del Universo estático por un Universo inflacionario en expansión:

En esta fotografía Einstein escribió en el pizarrón lo siguiente: Rik = 0 ? El signo de interrogación que puso Einstein a la derecha de la expresión indica las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estático al cual se había aferrado y por el cual introdujo en su ecuación tensorial la constante cosmológica que tiempo después llamaría el error (intelectual) más grande de su vida. Al presentar al mundo sus ecuaciones de campo, Einstein hizo la suposición central de que en el espacio vacío el tensor de Ricci tiene un valor de cero:

Rμν = 0 Esta expresión constituye esencialmente la ley de gravitación universal de Einstein. La frase “espacio vacío” significa aquí que no hay ningún tipo de materia presente (como un gas de polvo interestelar o partículas atómicas libres) ni hay campos físicos de ninguna índole excepto el campo gravitacional, el cual en sí no perturba este vacío a diferencia de otros campos (como el campo electromagnético) que sí lo hacen. Las condiciones de un espacio vacío se cumplen razonablemente bien para el espacio entre los planetas del sistema solar. El espaciotiempo plano obviamente satisface la ecuación arriba mostrada; las geodésicas en tal caso son líneas rectas de modo tal que las partículas se mueven a lo largo de líneas rectas. En aquellas regiones en donde el espacio-tiempo no es plano, la ecuación de Einstein impone restricciones al tipo de curvatura posible. A primera vista, la ley de gravitación de Einstein no se parece en nada al esquema de Newton. Para poder ver una similitud, debemos ver a los componentes gμν del tensor métrico como potenciales que describen al campo gravitacional. Hay diez de ellos, en lugar de un solo potencial que distingue a la teoría Newtoniana, y estos diez potenciales no sólo describen al campo gravitacional sino al sistema de coordenadas empleado. Una vez que tenemos el tensor covariante de Ricci Rμν, aplicándole a dicho tensor con la ayuda de un tensor métrico g contravariante una contracción sobre sus dos índices obtenemos un escalar R (un tensor de orden cero) conocido como el escalar de Ricci: R = gμν·Rμν el cual viene siendo a fin de cuentas el resultado de una doble contracción llevada a cabo sobre el tensor de Riemann: R = gμν·Rμν = gμν· gαβ·Rαμβν Con el tensor de Ricci en nuestras manos, nuestro primer intento en construír una nueva teoría física con los tensores R = (Rαβ) y T = (Tαβ) parecería estar solucionado. Con los dos tensores de orden dos la curvatura geométrica del espacio-tiempo puede ser igualada con la presencia de la masa-energía que produce dicha curvatura. Esto fue precisamente lo que hizo Einstein. Pero las primeras aplicaciones no sólo produjeron resultados poco satisfactorios, sino inclusive contradictorios. La teoría correcta para describir la nueva realidad física requería una modificación del tensor de Ricci. El nuevo tensor construído modificando el tensor de Ricci resultó ser precisamente el tensor de Einsteindefinido de la siguiente manera:

Resulta claro que el tensor de Einstein G es esencialmente un tensor mixto de orden dos, y la diferencia entre el tensor de Ricci R y el tensor de Einstein G se observa con mayor claridad viendo la representación matricial de los componentes del tensor de Einstein:

La única diferencia entre el tensor de Einstein y el tensor de Ricci estriba en la diagonal principal, a la cual se le resta a cada uno de sus componentes la mitad del escalar de Ricci. Esta parece una diferencia mínima. Y sin embargo, es justo lo que se requiere para que la ecuación tensorial de la Relatividad General pueda ser utilizada para analizar y predecir fenómenos físicos reales. Puesto que el tensor de Ricci es un tensor simétrico, y puesto que el tensor de Einstein lo único que hace es modificar las entradas en la diagonal principal, el tensor de Einstein también es un tensor simétrico. El tensor de Einstein G posee una propiedad importante: es un tensor libre de divergencia. PROBLEMA: Demostrar que la divergencia del tensor de Einstein es cero en todos los puntos. La solución de este problema requiere demostrar que: Gri;r = 0 El procedimiento usual consiste en llevar a cabo una doble contracción sobre la segunda identidad de Bianchi por medio del tensor métrico. La segunda identidad de Bianchi es: Rαβμν;λ + Rαβλμ;ν + Rαβνλ;μ = 0

gαμ·[Rαβμν;λ + Rαβλμ;ν + Rαβνλ;μ] = 0

Rμβμν;λ - Rμβμλ;ν + Rμβνλ;μ = 0 Los dos primeros términos se convierten en las derivadas covariantes de tensores de orden dos: Rβν;λ - Rβλ;ν + Rμβνλ;μ = 0 Hasta aquí hemos utilizado la propiedad esencial del tensor métrico según la cual: gαβ;λ = 0 y siendo el tensor métrico conjugado una función del tensor métrico entonces: gαβ;λ = 0 En otras palabras, hemos utilizado la propiedad de que en la diferenciación covariante el tensor métrico y el tensor métrico conjugado pueden ser metidos y sacados fuera de la operación comportándose como si fuesen las constantes de la diferenciación ordinaria. Por otro lado, para meter convertir el signo positivo a signo negativo en el segundo término se ha utilizado la propiedad de hemisimetría (antisimetría) del tensor de Riemann: gαμ·Rαβλμ;ν = - gαμ·Rαβμλ;ν gαμ·Rαβλμ;ν = - Rβλ;ν Llevamos a cabo ahora una segunda contracción: gβν·[Rβν;λ - Rβλ;ν + Rμβνλ;μ] = 0 Esto se simplifica a:

R;λ - Rμλ;μ + (- Rμλ;μ ) = 0 R;λ - 2 Rμλ;μ = 0 Entonces, haciendo uso del hecho de que: (δμλ R);μ = δμλ (R);μ = δμλ R;μ = R;λ lo último lo podemos reescribir de la siguiente manera: (2 Rμλ - δμλR);μ = 0 Pero lo que tenemos dentro del paréntesis, si lo dividimos entre 2, es precisamente el tensor de Einstein. Entonces, juntando los dos índices arriba con la ayuda del tensor métrico, obtenemos el resultado deseado: Gαβ;β = 0 Este es un resultado fundamental, porque si la derivada covariante del tensor de Einstein, o sea su divergencia, es cero, entonces del otro lado de la ecuación primaria de la Relatividad General la divergencia del tensor energía-tensión T también debe ser cero. En pocas palabras, el que la divergencia del tensor de Einstein sea cero implica la conservación de la energía-momentum. Como lo acabamos de hacer arriba, con la ayuda del tensor métrico podemos convertir liberalmente al tensor de Einstein en un tensor contravariante de segundo orden: Gαβ = Rαβ - ½gαβR = Gβα el cual como se ha señalado aquí es un tensor simétrico. Y del mismo modo, podemos convertir al tensor de Einstein en un tensor covariante de segundo orden: Gαβ = Rαβ - ½gαβ R = Gβα En general, en notación tensorial compacta:

G=R-½gR Posiblemente algunos lectores se encuentren confundidos con el hecho de que en las definiciones tensoriales que usan notación de componentes los índices puedan aparecer indistintamente como super-índices (superscriptos) o como sub-índices (subscriptos). Se hace una pausa aquí al lector para recordarle en una ecuación tensorial de orden n existe una libertad absoluta en la forma en la cual los componentes del tensor son especificados. Por ejemplo, la ecuación tensorial fundamental de la Relatividad General: G = 8πT podemos expresarla en forma de componentes ya sea como: Gαβ = 8πTαβ con ambos índices arriba, o como: Gαβ = 8πTαβ con ambos índices abajo.

49. LOS TENSORES DE RICCI Y EINSTEIN II Como hemos visto, para poder desarrollar la Teoría General de la Relatividad Einstein se apoyó no sólo en los descubrimientos y las enseñanzas del “padre” de la teoría de la electrodinámica clásica, James Clerk Maxwell, en todo lo que tiene que ver con la unificación de las leyes básicas del electromagnetismo emulándolo con la unificación correspondiente del espacio y del tiempo independientes en un solo concepto único e indivisible, también se apoyó en la interpretación geométrica del espacio-tiempo dada por Hermann Minkowski, y se apoyó en las ideas de Bernhard Riemann que le dió al mundo las herramientas para poder analizar matemáticamente espacios geométricos de más de tres dimensiones el cual a su vez extendió los conceptos del matemático Karl Friedrich Gauss para el análisis de espacios curvos, resumido esto en una materia conocida como lageometría diferencial, la cual a diferencia de la geometría clásica de Euclides basa sus conclusiones y derivaciones en la aplicación de las herramientas del cálculo infinitesimal (el cual no existía en los tiempos de Euclides) a planos y espacios curvos tomando como base no sus propiedadesglobales (como la definición Cartesiana de la parábola que nos la define como el lugar de los puntos tales que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz) sino sus propiedades locales (tales como la curvatura Gaussiana de una superficie, cuya definición no depende de un sistema de coordenadas utilizado para definir a dicha superficie con una fórmula, un descubrimiento que impactó inclusive al mismo Gauss. De cualquier manera, es precisamente en la geometría diferencial en donde se origina el uso de los tensores como una herramienta útil en la transformación de coordenadas. Una de las innovaciones más importantes de Bernhard Riemann fue la de considerar a la fuerza como una variación de la métrica a través del tiempo, tesis que fue desarrollada en el año 1854 en su escrito de habilitación como maestro bajo el título “Las hipótesis que sirven de base a la geometría”. De este modo, en el caso de que los coeficientes de la métrica aumenten proporcionalmente con el paso del tiempo (estamos hablando aquí de una expansión del espacio intermedio entre dos cuerpos) nos encontramos ante lo que a nuestros sentidos parece seruna fuerza repulsiva entre los dos cuerpos, y por el contrario si los coeficientes disminuyen con el paso del tiempo (estamos hablando aquí de una reducción del espacio intermedio entre los dos cuerpos) nos encontramos ante lo que a nuestros sentidos parece ser una fuerza repulsiva entre los dos cuerpos,una fuerza que provoca que la distancia entre dos cuerpos aumente con el paso del tiempo. PROBLEMA: Para una métrica con el siguiente elemento de línea en un espacio 3-dimensional: ds² = (dx1)² + (2x1)(dx2)² + (2x2)(dx3)² obténganse los componentes del tensor de Ricci así como el escalar de Ricci. Para el elemento de línea proporcionado obtenemos los siguientes componentes del tensor métrico g:

g11 = 1___g22 = 2x1___g33 = 2x2

gij = 0__para i ≠ j Puesto que la matriz que representa a los componentes del tensor métrico g es una matriz diagonal, esto nos permite obtener de inmediato los componentes contravariantes que corresponden al tensor métrico conjugado g-1: g11 = 1___g22 = 1/2x1___g33 = 1/2x2 Usando los métodos abreviados que ya vimos previamente en otras entradas para la obtención de los símbolos de Christoffel de segundo género, obtenemos para la métrica dada lo siguiente: Γ122 = - (∂g22/∂x1)/(2g11) = - (2)/(2g11) = - 1/g11 = - 1

Γ233 = - (∂g33/∂x2)/(2g22) = - (2)/(2g22) = - 2/4x1 = - 1/2x1

Puesto que el espacio es un espacio de tres dimensiones, con n = 3 sólo hay seis componentes para el tensor de Riemann en este espacio métrico que son potencialmente diferentes de cero y que requieren ser evaluados: R1212, R1313, R2323, R1213 , R2123 y R3132, . Con esto en mente, procedemos a obtener primero los componentes del tensor de Riemann del segundo género: R1212 = ∂Γ 122/∂x1 - ∂Γ 121/∂x2 + Γr22Γ1r1 - Γr21Γ1r2 Aquí el tercer término se expande a una sumatoria cuyos componentes son cero. Sólo el cuarto término se expande a un término que no es cero: R1212 = 0 - 0 + 0 - Γ221Γ122 R1212 = - (1/2x1) (-1) R1212 = 1/2x1 Del mismo modo: R1313 = 0 R2323 = 1/4x1x2 R1213 = 0 R3132 = 1/4x1x2 Esto nos resulta en los siguientes componentes del tensor de Riemann de primer género: R1212 = g11R1212 = (1) (1/2x1) = 1/2x1 R2323 = g22R2323 = (2x1) (1/4x1x2) = 1/2x2 R3132 = g33R3132 = (2x2) (1/4x1x2) = 1/2x1 teniéndose un total de seis componentes en virtud de las relaciones de hemisimetría (antisimetría)

aplicables a los componentes del tensor de Riemann del primer género: R1221 = - R1212 R2332 = - R2323 R3123 = - R3132 Tenemos lo que necesitamos para proceder a evaluar los componentes del tensor de Ricci que no es más que la contracción del tensor de Riemann Ra bca:

Puesto que la métrica es una métrica diagonal, o sea gij = 0 para i ≠ j, podemos poner el lado derecho de la ecuación tensorial en función de los componentes del tensor de Riemann del primer género de la siguiente manera: Rij = g11 R1ij1 + g22 R2ij2 + g33 R1331 De este modo, obtenemos los componentes requeridos del tensor de Ricci: R11 = g22 R2112 = - 1/[4(x1)²] R22 = g11 R1221 + g33 R3223 = - 1/2x1 - 1/[4(x1)²] R33 = g22 R2332 = - 1/[4(x1x2)] R12 = g33 R3123 = - 1/[4(x1x2)] R21 = g33 R3213 = - 1/[4(x1x2)] R13 = 0 R31 = 0

Para la obtención del escalar de Ricci únicamente necesitamos evaluar los componentes R 11, R22 y R33 del tensor de Ricci mixto, para lo cual usamos nuevamente el tensor métrico con el fin de llevar a cabo la elevación del índice que nos interese elevar: R11 = g11 R11 = (1){- 1/[4(x1)²]} R11 = - 1/[4(x1)²] R22 = g22 R22 = (1/2x1){- 1/2x1 - 1/[4(x1)²]} R22 = - (1/2x1)² -1/[8x1(x2)²] R33 = g33 R33 = (1/2x2){- 1/[- 1/4x1x2]} R33 = -1/[8x1(x2)²] Entonces el escalar de Ricci será: R = R11 + R22 + R33

R = - [x1 + 2(x2)²]/[2x1x2]² El escalar de Ricci para la métrica de este problema no es un solo número único para todo el 3espacio, su valor depende de los valores que tomen x1 y x2, y sorprendentemente estalla volviéndose indefinido (infinito) para x1 = 0 ó x2 = 0, algo que posiblemente no habríamos sospechado al ver la métrica del problema por vez primera. Como muchas otras construcciones matemáticas en espacios N-dimensionales, la métrica de este problema no necesariamente representa algo que pueda tener un significado físico en el mundo real, pero nos ilustra una posibilidad que debemos tener presente en todo momento al estar evaluando los tensores de Ricci y de Einstein, debemos estar preparados mentalmente para sorpresas inesperadas. Del mismo modo en que los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad conducen directamente a los fenómenos de la dilatación del tiempo, la contracción de longitud y la pérdida de la simultaneidad absoluta, el manejo matemático formal de la Relatividad General nos puede conducir y de hecho nos conduce a sorpresas tales como los agujeros negros en los cuales las cuatro dimensiones del espacio-tiempo se pueden compactar en un solo punto, una singularidad matemática, en el que se pierde toda noción de la realidad del

mundo en que vivimos. PROBLEMA: Del mismo modo en el que llevamos a cabo una contracción sobre el tensor de Ricci obteniendo el escalara de Ricci, si llevamos a cabo una contracción tensorial sobre el tensor de Einstein obtenemos un escalar conocido como el invariante de Einstein: G = Gii ¿Cuál es la invariante de Einstein para la métrica del espacio-tiempo Lorentziano? Por definición, para un tensor de Einstein en su representación como : G = R - ½gR Para el espacio-tiempo Lorentziano, la evaluación de las componentes del tensor de Riemann muestra que son todas iguales todas a cero por tratarse de un espacio-tiempo plano, sin curvatura, con lo cual consecuentemente todas las componentes del tensor de Ricci serán también iguales a cero y el escalar de Ricci R será también igual a cero. Con R = 0 y R = 0, la invariante de Einstein será; G = G11 + G22 + G33 + G44 G = 0 + 0+ 0 + 0 G=0 El invariante de Einstein es también conocido como la traza del tensor de Einstein, en analogía directa con la definición de la traza de una matriz que se obtiene sumando los elementos de la diagonal principal de la matriz y la cual se representa como Tr[M]. Una propiedad interesante de la traza de un tensor mixto M de segundo orden cuya representación matricial en función de sus coordenadas generalizadas x está escrita como Tr[M(x)] es que satisface la siguiente relación:

y que para un cambio muy pequeño δ M (en uno o varios de sus componentes) la traza puede ser calculada de la siguiente manera:

PROBLEMA: Demostrar que para un espacio-tiempo de cualquier tipo, ya sea plano o curvo, se cumple la siguiente relación para la traza del tensor de Einstein:

Para la solución de este problema podemos tomar la definición del tensor de Einstein G escribiéndolo en notación de componentes covariantes, y llevar a cabo una doble contracción con la ayuda del tensor métrico g, usando en este problema una relación que ya habíamos obtenido en una entrada previa: gαβ gαβ= n De este modo, los pasos de resolución son los siguientes:

Para el caso especial del 4-espacio de la Teoría de la Relatividad, esto nos dice que la traza del tensor de Einstein es igual al negativo de la traza del tensor de Ricci: G = [(2 - n)/2] R = [(2 - 4)/2] R = -R Esta es la razón por la cual al tensor de Einstein también se le conoce como el “tensor de Ricci de traza revertida” (trace-reversed Ricci tensor). En el vacío, en la ausencia total de cualquier presencia de masa-energía, todos los componentes del tensor energía-tensión T son iguales a cero, en cuyo caso las ecuaciones de campo de Einstein, en notación de componentes:

se reducen a:

Efectuando la contracción de ambos miembros de esta igualdad con la ayuda del tensor métrico conjugado g-1 = (gμν) y utilizando el hecho de que gμνgμν = 4, obtenemos:

con lo cual: R=0 Sustituyendo esto último en las ecuaciones de campo de Einstein llegamos a lo siguiente:

Estas son las ecuaciones de campo para el vacío, y son el enunciado matemático de que en donde no haya presencia alguna de masa-energía no habrá curvatura alguna en el espacio-tiempo, aplicándose entonces las transformaciones de Lorentz que corresponden a la Teoría Especial de la Relatividad para un espacio-tiempo plano. Matemáticamente, la Teoría Especial de la Relatividad para a convertirse en un caso especial de la Teoría General de la Relatividad para la situación en la cual no hay presencia de masa-energía o la presencia de la misma es tan poca que la curvatura producida en el espacio-tiempo es insignificante. Esta conclusión es considerada de una naturaleza tan fundamental que en 1979 se emitió en Suiza (país que siempre ha reclamado para sí la verdadera nacionalidad de Einstein y del cual el mismo Einstein siempre se consideró ciudadano hasta el final de sus días) la siguiente medalla conmemorativa en la que aparece grabada la ecuación tensorial que acabamos de obtener, usando el mismo estilo de escritura manuscrita de Einstein:

La otra ecuación puesta debajo de la ecuación Rμν = 0 es el enunciado matemático variacional que afirma que la ruta que toma un cuerpo en movimiento es aquella para la cual la variación de la integral de la trayectoria adquiere un valor extremo, lo cual a estas alturas podemos reconocer comola ruta geodésica. De este modo, la Luna recorre una ruta geodésica en torno a la Tierra, y los planetas y los cometas que nos visitan de fuera recorren rutas geodésicas en torno al Sol. Las ecuaciones de campo de la Relatividad General pueden ser modificadas con la introducción de un término constante, una constante cosmológica Λ, con la cual dichas ecuaciones escritas en notación de componentes resultan ser:

Si repetimos el procedimiento anterior utilizado para obtener las ecuaciones de campo de Einstein para el vacío, en esta ocasión tomando en cuenta a la constante cosmológica, con todos los componentes del tensor energía-tensión T son igualados a cero, obtenemos lo siguiente:

lo cual nos lleva a: R=4Λ que nos conduce finalmente a:

Esto nos dice que si la constante cosmológica no es igual a cero entonces, inclusive en ausencia total de cualquier rastro de masa-energía, el espacio-tiempo tendrá una curvatura intrínseca, ya de por sí. Esta curvatura intrínseca podría ser suficiente para contrabalancear la curvatura ocasionada por toda la masa-energía que hay en el Universo de modo tal que tendríamos un Universo estático con una curvatura neta de cero a gran escala, un Universo incapaz de contraerse

(por efectos de la gravedad) o de expanderse. Esta fue la razón por la cual Einstein introdujo la constante cosmológica en sus ecuaciones de campo, sólo para ser abandonada al descubrirse que nuestro Universo es un universo en expansión continuada. Einstein introdujo su constante cosmológica suponiéndola como un parámetro independiente, algo característico del Universo, ya de por sí, pero el término de la misma en las ecuaciones de campo puede ser movida “hacia el otro lado” de la igualdad, escrita como una componente del tensor energía-tensión T para el vacío:

Puesto que este resultado vendría correspondiendo directamente con la densidad de energía ρ en el tensor energía-tensión T, esto tiene como consecuencia inevitable que hablemos ya de la energía del vacío dada por la siguiente relación de acuerdo a la Relatividad General:

De este modo, la existencia de una constante cosmológica Λ diferente de cero es equivalente a la existencia de una energía del vacío diferente de cero; no hay forma en la cual podamos escapar a esta conclusión. Es por esto que los términos constante cosmológica y energía del vacío se usan de manera intercambiable en la Relatividad General. Curiosamente, y por otras vías matemáticas, la Mecánica Cuántica también nos habla sobre la existencia de una energía del vacío. Es por esto que un importante segmento de la comunidad científica alberga sospechas de que la gran puerta de entrada hacia una teoría de la Relatividad Cuántica pueda ser esta coincidencia que parece ser algo más que una coincidencia fortuita, máxime que en base a las observaciones astronómicas más recientes se está descubriendo que la constante cosmológica del Universo es, en efecto, diferente de cero, aunque por razones diferentes a las cuales había postulado Einstein. La interpretación física del tensor de Ricci nos lleva al verdadero significado geométrico de todos estos tensores de curvatura. Dos partículas pequeñas en reposo (las cuales suponemos tan diminutas que son incapaces de producir una curvatura detectable en el espacio-tiempo) pero cercanas la una la otra se mueven independientemente a través del espacio-tiempo siguiendo rutas geodésicas. Si el espacio-tiempo esplano, permanecerán paralelas por siempre:

Pero si el espacio-tiempo es curvo, aunque las partículas estén en reposo se irán acercando al ir recorriendo cada una de ellas su ruta geodésica:

Este acercamiento gradual puede ocasionar la suposición errónea de que al moverse ambas partículas a través del espacio-tiempo se están “atrayendo” la una a la otra, como si existiese una “fuerza de atracción” entre ellas. Esto fué lo que supuso Newton y fué lo que lo condujo a obtener su ley de la gravitación universal. Pero tal fuerza de atracción no existe, lo único que existe son rutas geodésicasa través del espacio-tiempo. Esto es lo que hace precisamente que el volumen esférico de una “pelotita” de partículas en caída libre se vaya contrayendo. No hay ninguna fuerza de atracción gravitacional entre ambas, lo único que hay es la ruta geodésica que cada una de ellas está siguiendo. Debe resultar obvio que para poder determinar la curvatura del espacio-tiempo necesitamos por lo menos dos partículas, una sola no basta puesto que no hay forma de saber hacia dónde la esté acercando su ruta geodésica. La desviación que dos partículas inicialmente paralelas tienen al irse saliendo fuera de sus rutas paralelas está dada por la ecuación conocida como ecuación de desviación geodésica. ¿Cómo podemos determinar el aspecto correcto de la curvatura del espacio-tiempo de la cual hemos estado hablando? En esta tarea nos resulta de gran ayuda recurrir a la gravedad Newtoniana clásica, porque hay un cálculo muy sencillo que podemos hacer en ella relacionando a la densidad de la materia con el acercamiento gradual de los objetos que están en caída libre, lo cual nos indica el camino a seguir para encontrar una relación semejante en la Relatividad General. Supóngase por un momento que la Tierra bajo nuestros pies empezara a colapsarse bajo la acción de su propia gravedad, de modo tal que todas las fuerzas que mantienen a la roca debajo de

nosotros en pie han desaparecido como si por arte de magia. En el instante en que tal cosa empezara a ocurrir, la superficie de la Tierra estaría aún estacionaria, de modo tal que si nos preguntáramos “¿qué tan rápido se está encogiendo la Tierra debajo de nosotros?” la respuesta sería “para nada, en este instante”. Sin embargo, no permanecería estacionaria por mucho tiempo, de modo tal que podríamos preguntarnos en cambio “¿que tan rápido se está acelerando el volumen de la Tierra hacia un valor menor?”, algo comparable a lo que ocurre cuando ponemos un carro en movimiento, el cual en el instante t = 0 tiene una aceleración cuyo valor no es cero pero cuya velocidad inicial de movimiento es cero. En la física Newtoniana, la aceleración a debida a la gravedad a una distancia r de una masa m está dada por a = GM/r² en donde G es la constante de gravitación universal. En cualquier momento el área de la superficie de la esfera es 4πr2, y multiplicando ésta área por la aceleración “hacia abajo” nos muestra que el volumen de la Tierra se está “acelerando” a una razón de –4πGM (se agrega un signo menos para indicar que el volumen está disminuyendo en lugar de estar aumentando): - (4πr2) (GM/r²) = - 4πGM Como una proporción del volumen total de la Tierra que llamaremos V, esto es simplemente: - (4πGM)/V = - 4πG(M/V) = - 4πGρ en donde ρ es la densidad de masa promedio de la Tierra. Lo que hemos estado llamando una aceleración del volumen es la razón del cambio con respecto al tiempo (primera derivada, para la velocidad) del cambio con respecto al tiempo (segunda derivada, para la aceleración) del volumen, de modo tal que usando la notación ∂t∂t = (∂/∂t)(∂/∂t) = ∂²/∂t² podemos escribir esta idea del siguiente modo: (∂t∂tV)/V= - 4πGρ Aunque este resultado se ha obtenido para una situación en particular, sigue siendo válido para una pequeña colección de partículas en caída libre a través de una región del espacio-tiempo en donde la densidad sea ρ que posean juntas un volumen que cambie de acuerdo con esta última ecuación. En el vacío en donde ρ = 0, la aceleración del volumen será también cero. Imaginemos una pequeña nube de chatarra espacial, inicialmente sin movimiento alguno, a una gran altura sobre la atmósfera terrestre. Si la chatarra cae en caída libre hacia abajo, la forma de la nube cambiará; se achatará en las dos direcciones horizontales (correspondientes a las dos coordenadas de un plano horizontal) al ir cayendo hacia el centro de la Tierra, mientras que irá creciendo verticalmente conforme las partículas más cercanas a la Tierra experimentan una aceleración gravitacional mayor (desde el punto de vista Newtoniano) que las partículas que estaban más

arriba. Sin embargo, estos dos efectos se cancelan, y el volumen de la nube no experimentará aceleración alguna (esto no significa de modo alguno que la nube mantendrá un volumen constante indefinidamente; ya que aunque la primera, la segunda y la tercera razón de cambio sean cero la cuarta razón de cambio será negativa, y el volumen de la nube se irá encogiendo al ir transcurriendo el tiempo), como podemos verlo en la siguiente figura en la cual mientras que por un lado al ir cayendo el cubo hacia la masa M aumenta la longitud de la dimensión vertical ξ z del cubo en un monto (positivo) δξz va disminuyendo en montos iguales δξx y δξy (montos negativos) en las longitudes de las dimensiones horizontales ξx y ξy:

Al cubrir el tema del tensor energía-tensión T vimos que el componente T00 mide directamente la densidad de la masa-energía, de modo tal que la última relación obtenida por la vía Newtoniana nos sugiere la búsqueda de un tensor que llamaremos C, un tensor tal que su componente C00 sea la segunda razón de cambio con respecto al tiempo de un volumen unitario que esté acotado por geodésicas, puesto que las geodésicas son las líneas del mundo (en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski) de las partículas en caída libre. Podríamos entonces tratar de relacionar al tensor geométrico C con el tensor energía-tensión T en una ecuación relativista análoga. No resulta difícil encontrar la segunda razón de cambio (con respecto al tiempo) de la separación entre geodésicas, esto es precisamente lo que se conoce como desviación geodésica. La siguiente figura nos

muestra dos geodésicas cercanas, PS y QR, las cuales empiezan ambas apuntando en la dirección u, estando separadas inicialmente por un vector unitario n (estamos trabajando con una región del espacio-tiempo lo suficientemente pequeña como para que sea válida la comparación de vectores en puntos diferentes describiendo la separación entre dos puntos como un vector):

Obsérvese con detenimiento que en esta figura hay en realidad cuatro geodésicas: P→Q P→S Q→R R→S Si llevamos a cabo una operación de transporte paralelo desde una geodésica hasta la otra (de P a Q), cambiamos el sentido de nuestro viaje moviéndonos una distancia unitaria a lo largo de la segunda geodésica (de Q a R), regresamos hacia la segunda geodésica (de R a S) y volvemos hasta el punto de partida (de S a P), regresaremos con un pequeño cambio δu, el cual sólo puede ser cero en un espacio-tiempo plano, no en un espacio-tiempo curvo. Este cambio puede ser estimado con la ayuda del tensor de curvatura de Riemann. Puesto que el plano del bucle a lo largo del cual movimos a uestá definido por los vectores u y n, y puesto que el vector que estamos transportando es u, tenemos entonces:

δu = - R(u,n,u) Pero u no varía en relación a las geodésicas que hay entre Q y R así como entre S y P en virtud de que ha sido transportado-paralelamente a través de las mismas -esta es precisamente la definición geométrica de una geodésica- de modo tal que podemos atribuír toda la discrepancia δu a la diferencia en la dirección de las geodésicas en S y R. Puesto que ambas geodésicas empiezan inicialmente paralelas (como el carro que es puesto en movimiento en un tiempo t = 0 con una aceleración constante pero empezando con una velocidad de cero), la primera razón de cambio de su separación n es cero. Pero como de cualquier manera se las arreglan para adquirir una inclinación relativa de δu, después de que las seguimos por una distancia unitaria en la dirección u, la segunda razón de cambio de su separación es –R(u,n,u), o sea (usando notación abreviada para la derivada covariante): ∇u∇un = - R(u,n,u) Para calcular la segunda razón de cambio en el volumen entre las geodésicas de una nube completa de partículas (que para fines de simplicidad supondremos como un volumen inicial de 1) tenemos que tomar la segunda razón del cambio de la distancia entre ellas para cada una de las tres dimensiones perpendiculares a u y sumar los resultados (recuérdese que estamos trabajando en una 4-dimensión). Pero podemos hacer todo esto haciéndolo sobre las cuatro coordenadas a la vez, puesto que cualquier contribución que sea paralela a u siempre será cero. Podemos hacer esto en forma abreviada definiendo un nuevo tensor, precisamente el tensor de Ricci, representando simbólicamente el asunto de la siguiente manera (∂u∂uV)/V = - Ricci (u,u) Con esto se está dando a entender que el negativo del tensor de Ricci es proporcional a la segunda razón de cambio del volumen entre las geodésicas, lo cual queremos relacionar de alguna manera con el tensor energía-tensión. Una primera posibilidad sería la siguiente: Ricci = 4πGT Pero esta posibilidad nos presenta un problema. Si calculamos la divergencia del tensor de Ricci, encontramos que esta no es cero. Se repetirá esto con énfasis para que quede claro: la divergencia del tensor de Ricci no es cero. Esto significa que la ecuación que acabamos de postular es incompatible con la conservación de la energía-momentum expresada como:

div T = 0 Afortunadamente, podemos contruír otro tensor que sí es libre de divergencia. Este tensor es precisamente el tensor de Einstein. La fórmula tensorial básica de la Teoría General de la Relatividad, G = 8πGT , en notación de índices y sustituyendo al tensor de Einstein G por lo que realmente representa, una expresión que involucra a esa entidad matemática Rμν conocida como el tensor de Ricci: Rμν - (1/2) gμν R= Tμν nos conduce a la siguiente pregunta: ¿Qué significa realmente la anterior ecuación, desde el punto de vista tanto físico como matemático? Para lograr una respuesta satisfactoria, hagamos primero unas cuantas manipulaciones con “gimnasia de índices” elevando al primer índice: Rμν - (1/2) gμν R = Tμν Hecho esto, llevemos a cabo una contracción con la igualación de índices μ = ν: Rμμ - (1/2) gμμ R = Tμμ

Pero el primer término es simplemente la definición del escalar de Ricci R, mientras que por otro lado al llevarse a cabo la contracción del tensor métrico se tiene para una métrica Lorentziana que gμμ = -2 (suponiendo para la métrica una “firma” de signos + - - -). Tenemos entonces:

R - 2R = Tμμ

R = - Taa Este es un resultado interesante. Nos dice que el escalar de Ricci es igual a la suma de los componentes de la diagonal principal del tensor energía-tensión T en su representación matricial, los cuales ya sabemos que son componentes que representan a la densidad de energía y a la presión. Tomemos ahora este resultado que acabamos de obtener para ponerlo de nuevo en la

ecuación fundamental de Einstein: Rμν + (1/2) gμν Taa = Tμν o bien, despejando el tensor de Ricci poniendo todo lo demás en el lado derecho: Rμν = Tμν - (1/2) gμν Taa Esta expresión nos permite comprender el significado del tensor de Ricci en el lenguaje de la “convergencia” de las geodésicas (geodésicas que se van aproximando una a la otra al recorrer ambas cierta coordenada). Imaginemos a una pequeña “pelota” de partículas de prueba en caída libre en la cual v es el vector velocidad de una partícula puesta en medio de la pelotita. Imaginemos que la “pelotita” tiene inicialmente un volumen V. La primera derivada con respecto al tiempo del volumen de la pelotita es cero. Pero la segunda derivada con respecto al tiempo no lo es. En este caso, la segunda derivada con respecto al tiempo del volumen de la pelotita viene siendo - Rμν vμ vν multiplicado por el volumen V. Si conocemos esta cantidad para todas las velocidades v (que en este caso son las velocidades tipo temporal, que son las físicamente disponibles) podemos recontruír el tensor de Ricci Rμν. Nos resulta conveniente trabajar en el marco de referencia de la partícula que está puesta en medio de la pelotita, lo cual nos permite utilizar las coordenadas que corresponden a un espacio-tiempo Lorentziano en la cercanía del punto en el cual está situada dicha partícula. En tal caso, el tensor métrico gμν adquiere el aspecto que ya conocemos para un espacio-tiempo plano:

y por su parte va resulta ser simplemente (1, 0, 0, 0) por el hecho de que estamos considerando a la pelotita de partículas “flotando” dentro de un marco de referencia en reposo con lo cual el único viaje de la pelotita es a través de la coordenada temporal, la primera coordenada del 4-

vector velocidad. Entonces, tras unas cuantas computaciones tensoriales como las que llevamos a cabo arriba, obtenemos el componente R00 del tensor de Ricci: Rμν vμ vν= R00 De este modo, en este sistema de coordenadas podemos afirmar que la segunda derivada del “volumen” de la pequeña pelotita de partículas es simplemente -R00. Veamos ahora el lado derecho de la ecuación: Rμν = Tμν - (1/2) gμν Taa Habiendo obtenido una expresión para R00, ponemos ahora en esta ecuación μ = 0 y ν = 0, con lo cual obtenemos lo siguiente teniéndose en cuenta que para la métrica Lorentziana que estamos manejando g00 = 1: R00 = T00 + (1/2) Taa Preguntémonos ahora, ¿que es T00? Tratándose del tensor energía-tensión T, ya sabemos que es simplemente la densidad de energía en el centro de nuestra pelotita pequeña de partículas. ¿Y qué es Taa? Este término es simplemente el resultado de la doble contracción gca Tac, en donde llevamos a cabo la sumación sobre a y sobre c después de haberse llevado a cabo la doble contracción. Esto resulta ser: -T00 + T11 + T22 + T33 De este modo, obtenemos lo siguiente: R00 = (1/2) [T00 + T11 + T22 + T33] Ya sabemos qué es T00. ¿Y qué podemos decir de T11, T22, and T33? Ya lo vimos al cubrir el tema de “El tensor energía-tensión”; estos términos representan el flujo de momentum en la dirección del eje-x, del eje-y y del eje-z, ya vimos que en un fluído típico en estado de reposo, todos estos

términos son iguales a la presión en el sentido en el cual se está llevando a cabo el movimiento. De este modo, una interpretación geométrica “sencilla” de la ecuación fundamental de Einstein expresada con palabras vendría siendo la siguiente: Tómese una pelotita pequeña de partículas de prueba moviéndose juntas en caída libre, y trabájese sobre el marco de referencia local en reposo de la pelotita. Conforme el tiempo transcurre la pelotita cambia de volumen. Calcúlese la segunda derivada evaluada en el tiempo de inicio (cero) y divídase entre el volumen original. El negativo de lo que resulta es igual a de la densidad de energía en el centro de la pelotita, más el flujo de momentum-x en la dirección de las equis, más el flujo de momentum-y en la dirección de las yes, más el flujo de momentum-z en la dirección de las zetas. Expresado con mayor brevedad aún y en términos más llanos, diríamos lo siguiente: Tómese una pelotita pequeña de partículas de prueba moviéndose juntas en caída libre. Conforme pasa el tiempo, la razón a la cual la pelotita se va comprimiento en volumen es proporcional a la densidad de la energía más el flujo de momentum-x en la dirección de las equis, más el flujo demomentum-y en la dirección de las yes, más el flujo de momentum-z en la dirección de las zetas. El hecho de que el volumen de la pelotita vaya disminuyendo conforme el tiempo transcurre tiene una única interpretación posible: la gravedad es atractiva. Así, la interpretación física que podemos darle al tensor de Ricci tiene la siguiente visualización que será dada a continuación, para lo cual nos referiremos al siguiente diagrama como un diagrama que trata de representar en un espacio de tres dimensiones algo que tiene lugar en un espacio de cuatro dimensiones (ausente en este diagrama está la coordenada X2, aunque afortunadamente por tratarse de una esfera simétrica obtendríamos el mismo diagrama si en vez de utilizar a X3 utilizáramos aX2):

El eje vertical corresponde a la coordenada utilizada para la medición del tiempo, y como podemos verlo conforme va transcurriendo el tiempo el volumen de la esfera va disminuyendo. De acuerdo con la Teoría General de la Relatividad, como consecuencia de la atracción recíproca entre las moléculas de un gas, una masa esférica de gas reduce su volumen con un aceleración equivalente a 4Gπρ en donde ρ es el parámetro que mide la densidad de la masa esférica de gas. Esto es precisamente lo que intenta reproducir en el diagrama de arriba los efectos del tensor de Ricci, concretamente su componente R00 sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. Se recuerda que es importante tener en cuenta que la figura es una sobresimplificación proyectando lo que ocurre de un espacio en cuatro dimensiones a un espacio de tres dimensiones en donde se ha retenido la coordenada del tiempo. En términos menos abstractos, imaginemos que estamos en una nave espacial surcando el espacio, y que dentro de la nave tenemos una bolsita de granos de arroz que acabamos de abrir cuidadosamente de modo tal que el movimiento de cada grano de arroz con respecto a los demás es nulo, cero, y que todos los granitos de arroz en conjunto pese a estar separados el uno del otro parecen formar una pelotita. Estando situados en un marco de referencia comóvil en donde todo lo que está adentro de la nave se mueve al parejo a la misma velocidad con respecto a un observador externo, esto sería similar a una situación en la cual la pelotita de granos de arroz está en caída libre. Conforme va transcurriendo el tiempo, la pelotita irá cambiando de tamaño y de forma dependiendo de la curvatura del espacio-tiempo que esté atravesando la nave, por ejemplo al pasar cerca de un planeta o de una estrella. La pelotita podrá ir dejando su forma esférica para

ir tomando una forma elipsoidal. Todo depende del tipo de curvatura del 4-espacio en el que esté inmersa la nave. Cada granito de arroz irá siguiendo la ruta geodésica que le corresponda seguir. Si el volumen inicial de la pelotita de granos de arroz era Q, entonces el volumen irá aumentando o disminuyendo por un factor de “amplificación” igual a: - Rab va vb Esto es, en síntesis, lo que encierra el tensor de Ricci. Y significa que, con una pelotita de “polvo” de forma inicialmente esférica dentro de la nave, sin salir de la misma podemos obtener toda la información que requerimos para percatarnos del tipo de curvatura del espacio-tiempo que está atravesando la nave.

50. LA REDUCCIÓN A LOS LÍMITES CLÁSICOS Para situaciones en las que la gravedad es muy débil, en las que la curvatura del espacio-tiempo es muy pequeña, la Relatividad General debe incluír a la Teoría Especial de la Relatividad como una aproximación de primer orden, como un caso especial en el cual la Relatividad General debe reducirse la formulación matemática de un espacio-tiempo plano, debe reducirse a las transformaciones de Lorentz. ¿Y cómo se logra ésto? Se logra considerando una región de espacio-tiempo que sea lo suficientemente pequeña como para que dentro de la misma el espacio-tiempo pueda considerarse como plano. La transición de un espacio-tiempo curvo a un espacio-tiempo plano como el que nos describen los diagramas espacio-tiempo de Minkowski se puede visualizar en la forma en que lo muestra la siguiente figura en grado ascendente (se recuerda al lector que la representación pictórica que se está dando abajo es incompleta en virtud de que el espacio-tiempo plano representado en el dibujo superior es un espacio-tiempo plano bi-dimensional típico de los diagramas de Minkowski, siendo que el espacio-tiempo real es cuatri-dimensional; sin embargo, esta representación es suficiente para nuestros fines didácticos):

En otras palabras, aunque el espacio-tiempo sea curvo globalmente, el espacio-tiempo puede tomarse como plano localmente. Esto es desde el punto de vista matemático. Y de hecho fue así como Einstein empezó a obtener la formulación matemática de la Relatividad General, generalizando hacia un espacio-tiempo curvo lo que se sabía que era cierto matemáticamente para un espacio-tiempo plano, lo cual requirió recurrir a las herramientas del cálculo infinitesimal. Y desde el punto de vista físico, la inclusión de la Teoría Especial de la Relatividad dentro de la Relatividad General es obvia porque todo marco de referencia que esté en caída libre en un campo gravitacional puede considerarse Lorentziano. Puesto de otra manera, así como dentro de un elevador herméticamente sellado un ocupante en su interior no tiene forma experimental de saber si por fuera el elevador está siendo acelerado en el espacio libre por un motor silencioso o si el elevador se encuentra en reposo en un campo gravitacional (principio de equivalencia de la Relatividad General), del mismo modo el ocupante del elevador no tiene forma experimental de saber si por fuera el elevador está flotando en el espacio interestelar o si el elevador está en caída libre en un campo gravitacional, que resultaría dentro del elevador en un entorno de “”gravedad cero” como el que experimentan los astronautas que están orbitando alrededor de la Tierra en la estación espacial internacional o como el que experimentó el famoso físico inglés Stephen Hawking dentro de un avión cayendo a gran velocidad hacia la Tierra:

Lo anterior es en lo que respecta a la inclusión de la Teoría Especial de la Relatividad dentro de la Relatividad General. Pero no sólo la Relatividad General debe incluír dentro de sí a la Teoría Especial de la Relatividad. También debe reducirse, para el caso específico en el cual el campo gravitacional no es muy intenso y para velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, a la mecánica clásica, a la mecánica de Sir Isaac Newton, aunque esté basada en conceptos filosóficos diferentes. Si hemos de aceptar las ecuaciones de campo de la Relatividad General como válidas, estas ecuaciones se tienen que reducir al límite clásico para un campo gravitacional débil, y el límite clásico es la ley de la gravitación universal de Newton a la cual deben incluír como caso especial:

Podemos visualizar en torno a la Tierra un campo de fuerza apuntando hacia el centro de la Tierra y que “jala” a todos los objetos en el espacio cercanos a la Tierra hacia ella por la fuerza de atracción de la gravedad:

El problema que enfrentamos para comparar las predicciones de la Relatividad General con la mecánica clásica Newtoniana es que, en la Relatividad General, el concepto de fuerza de atracción entre dos cuerpos ha sido desterrado por completo porque tal fuerza de atracción nunca existió. ¿Entonces cómo podemos comparar ambos conceptos? Tenemos aquí un dilema que sólo puede ser solventado si en vez de recurrir al concepto de “fuerza” de atracción gravitacional recurrimos a argumentos basados en la energía del campo gravitacional. Y la energía del campo gravitacional está dada por lo que viene siendo la energía potencial del campo gravitacional o simplemente elpotencial gravitacional de la Tierra, designado frecuentemente como U en la mecánica clásica. Este concepto representa la diferencia de energía que posee un cuerpo a cierta distancia r 1 de la Tierra y la energía que posee a otra distancia r2 menor o mayor. Puesto que para mover un cuerpo alejándolo de la Tierra hay que aplicar cierta cantidad de energía, lo cual equivale a llevar a cabo un trabajo definido clásicamente como: W = ∫F · dr entonces al caer el cuerpo hacia la Tierra esa energía potencial acumulada se convierte en energía de movimiento. Por convención, decimos que al caer un cuerpo hacia la tierra cae de un potencial mayor hacia un potencial menor. También por convención, el potencial gravitacional producido por un cuerpo como la Tierra a una distancia infinitamente grande se toma como cero. Esto quiere decir que el potencial U de la Tierra siempre tendrá un valor negativo, puesto que sólo puede hacerse más negativo del valor de cero que tiene en el infinito. Por lo tanto, el potencial estará dado por: U = - ∫F · dr en donde F es la fuerza de atracción universal propuesta por Newton. La expresión para la energía potencial de un cuerpo situado a una distancia r del centro de la Tierra en comparación con la energía potencial del cuerpo situado a una distancia infinitamente grande (y la cual es cero) se puede obtener de la siguiente manera (estamos agregándole un signo negativo a la fuerza de atracción puesto que, por convención, se asigna un signo menos cuando la fuerza es de atracción y un signo más cuando la fuerza es de repulsión):

en donde como paso intermedio hemos utilizado la integral elemental del cálculo infinitesimal:

El potencial U sólo depende de la distancia que hay del cuerpo al centro de la Tierra. A cierta distancia r fija, el potencial es el mismo. Podemos imaginar, superimpuestas sobre el campo de fuerzagravitacional de la Tierra, esferas concéntricas imaginarias que poseen el mismo potencial:

Con el propósito de “desconectar” a un cuerpo pequeño del efecto que dicho cuerpo produce sobre el campo gravitacional de la Tierra, y con el propósito de darle más importancia al efecto que la misma Tierra produce en el cuerpo sobre el cual está ejerciendo atracción gravitacional, se acostumbra hablar del potencial gravitacional U por unidad de masa m designándolo como φ, de modo tal que al hablar del potencial gravitacional φ (también designado como Φ) lo estamos haciendo con la siguiente fórmula: φ = -GM/r Ya se ha señalado que en la Relatividad General todo lo controla la métrica que define al elemento de línea infinitesimal ds² entre dos puntos cercanos. Se puede demostrar que para un campo gravitacional suficientemente débil, esta distancia entre dos puntos cercanos puede ser escrita de la siguiente manera recurriendo a la ayuda de las coordenadas Cartesianas (la obtención de esta fórmula se llevará a cabo cuando estudiemos posteriormente en mayor detalle la métrica de Schwarzschild): ds² = (1 + 2φ/c²) (cdt)² - (1 - 2φ/c²) (dx² + dx² + dz²) en donde φ es el potencial clásico Newtoniano que hemos definido arriba. PROBLEMA: Demostrar que, para un campo gravitacional φ sumamente débil, el elemento de línea ds² se reduce al intervalo relativista de un espacio-tiempo plano. Si el potencial gravitacional es sumamente débil, entonces φ « 1 y podemos despreciarlo en la

relación anterior, obteniendo: ds² = (cdt)² - dx² - dy² - dz² Este es precisamente el intervalo relativista de un espacio-tiempo plano (Lorentziano) en el cual se aplican las transformaciones de Lorentz, lo cual era de esperarse ya que la Relatividad General incorpora a la Teoría Especial de la Relatividad. En un gráfico tri-dimensional que nos muestre cómo el potencial de la Tierra se va haciendo cada vez más negativo conforme un cuerpo se va acercando a la Tierra, tenemos la siguiente perspectiva:

Lo que no alcanzamos a ver en el diagrama de arriba es que una vez que un cuerpo ha llegado a la superficie de la Tierra, si en vez de tocar una superficie sólida le toca entrar por la boca de un pozo que llega hasta el centro de la Tierra continuando su viaje, el potencial no disminuirá sino queaumentará, y de hecho en el centro de la Tierra el potencial es cero lo cual concuerda con el hecho de que en el centro de la Tierra no hay fuerza de gravedad alguna. Esto lo podemos ver mejor en el siguiente diagrama que nos ilustra el potencial de la Tierra hasta su interior así como el potencial de otro cuerpo en cercanía a la misma (por ejemplo la Luna):

PROBLEMA: Descomponer la métrica (dada aquí en unidades geometrizadas haciendo c = 1):

ds² = (1 + 2φ) dt² - (1 - 2φ) (dx² + dx² + dz²) en dos partes, una parte Lorentziana y una parte no-Lorentziana. La descomposición requerida se muestra a continuación: ds² = dt² + 2φ dt² - dx² - dy² - dz² - 2φ (dx² + dx² + dz²) ds² = dt² - dx² - dx² - dz² + 2φ {dt² - dx² - dx² - dz²} La parte en rojo es la parte Lorentziana, propia de un espacio-tiempo plano en el cual se aplica la Teoría Especial de la Relatividad, mientras que la parte en rojo es la parte propia de un espaciotiempo curvo. Obsérvese que si el potencial φ es igual a cero, lo cual equivale a decir que estamos en una región del espacio-tiempo en donde para fines prácticos no hay atracción gravitacional, el espacio-tiempo es plano. Estrictamente hablando, la Teoría General de la Relatividad de Einstein no fue la primera en darse a conocer públicamente. Ya en 1912 y en 1913 el físico teórico finlandés Gunnar Nordström había propuesto dos teorías distintas. La primera fue rápidamente descartada, mientras que la segunda se convirtió en el primer ejemplo de una teoría métrica de la gravedad en la cual los efectos de la gravedad eran tratados por completo en términos de la geometría de un espacio-tiempo curvo.

Ninguna de las dos teorías fue capaz de corroborar las observaciones teóricas y experimentales, aunque de cualquier manera la primera es de interés porque condujo al desarrollo de la segunda, y la segunda es de interés no sólo porque constituyó un avance importante en el camino hacia la Relatividad General sino porque se trata de una teoría autoconsistente y autosuficiente de la gravedad, y aún es utilizada en los salones de clases con fines didácticos sobre cómo derivar y cómo explicar las predicciones de una teoría métrica de la gravedad. La teoría gravitacional de Nordström hizo su aparición justo cuando físicos teóricos prominentes tales como el mismo Nordström en Helsinki, Max Abraham en Milán, Gustav Mie en Alemania y Albert Einstein en Praga estaban ocupados tratando de crear teorías alternas para la descripción de la gravedad. Todos estos investigadores, incluyendo al mismo Einstein, empezaron sus esfuerzos intentando modificar la versión en la teoría de campo de la teoría gravitacional de Newton que tan buenos resultados había dado clásicamente. En las teorías del campo gravitacional derivadas de la filosofía Newtoniana, la ecuación de campo es obtenida de la ecuación de Poisson ∇²φ = 4πGρ, siendo φ el potencial gravitacional, ρ la densidad de masa y ∇² el operador Laplaciano tri-dimensional, en conjunción con la ecuación del movimiento de Newton que nos dice que la aceleración de una partícula está dada por el gradiente de su potencial gravitacional, o sea da/dt = - ∇φ. Una teoría gravitacional de este tipo no puede ser relativista porque la ecuación de movimiento se basa en un tiempo “absoluto” de coordenada t en lugar de utilizar un tiempo propio (local) τ medido por un observador local viajando junto con la partícula en movimiento. Un defecto de la teoría de Nordström es que en caso de que la masa concentrada inicialmente en un objeto aislado fuese dispersada como consecuencia de una explosión, la ecuación de campo de Nordström requiere que el potencial gravitacional repartido en todo el espacio sea “puesto al día” instantáneamente (sin que la velocidad de la luz sea un limitante para ello) en conformidad con la filosofía Newtoniana de la “acción a distancia”. Hermann Minkowski, el cual fue profesor de Einstein, ya había bosquejado una teoría vectorial de la gravedad desde 1908, pero en 1902 Max Abraham destacó que ninguna teoría de este tipo (vectorial) podía admitir órbitas estables (siendo incapaz de explicar, por ejemplo, la estabilidad del sistema solar), siendo esta una razón por la cual Nordström giró su atención hacia teorías escalares de la gravedad, mientras que Einstein decidió explorar campos tensoriales. La ecuación de campo que se obtiene de la teoría gravitacional de Nordström: R = 24πT para la cual en el lado derecho se utiliza la traza del tensor energía-tensión T (con contribuciones de la masa-energía sumadas a las contribuciones energéticas de cualquier campo no-gravitacional) manifiesta un parecido extraordinario con las ecuaciones (tensoriales) de campo de Einstein y constituye un avance histórico significativo en la historia de la Ciencia porque por vez primera tenemos una ecuación de campo para la cual en el lado izquierdo tenemos una cantidad de naturaleza puramente geométrica refiriéndose a una curvatura espacial (el escalar de Ricci R es la

traza del tensor de Ricci R que a su vez es una especie de traza del tensor de curvatura de Riemann R de orden cuatro), mientras que en el lado derecho tenemos una cantidad que es puramente física, la traza del tensor energía-tensión T. Al tomar conocimiento de los resultados correspondientes a la segunda teoría de Nordström, Einstein manifestó un entusiasmo exhuberante porque no sólo las ecuaciones son elegantes y sencillas, también implican una consecuencia importante que sería incorporada dentro de la Relatividad General: las ecuaciones de campo para el vacío implican que, en ausencia total de masa-energía, la curvatura debe ser cero. La teoría del campo gravitacional de Nordström, por ser una teoría escalar, predice la misma aceleración para una partícula de prueba sumergida en un campo gravitacional que la predicha por la filosofía Newtoniana (la cual es también una teoría escalar), o sea GM/r², mientras que la teoría del campo gravitacional de Einstein, por ser una teoría tensorial, predice una aceleración que además del término GM/r² adiciona otro término que es proporcional no a la inversa del cuadrado sino a la inversa del cubo de la distancia. Interesantemente, la teoría gravitacional de Nordström predice un desplazamiento de frecuencia (corrimiento al rojo) gravitacional idéntico al predicho por la teoría Einsteniana. Sin embargo, no predice deflexión alguna de la luz a consecuencia del efecto de un campo gravitacional. La solución de la ecuación de Nordström para el vacío produce la siguiente métrica:

en donde φ es una perturbación conformal ocasionada sobre la métrica del espacio -tiempo plano (Lorentziano). Si llevamos a cabo una expansión del exponencial mediante series de Taylor reteniendo únicamente el término de primer orden, la métrica se vuelve entonces:

siendo: η11 = 1___η22 = η33 = η44 = - 1 ηij = 0_ para i ≠ j en la cual podemos identificar a φ como el potencial gravitacional Newtoniano clásico. Como el concepto de la fuerza de atracción gravitacional no existe en las teorías de campo, la aproximación

que llevan a cabo la mayoría de las teorías gravitacionales a la mecánica Newtoniana (partiendo del conocimiento de que la gravitación Newtoniana se puede tomar como una aproximación en el límite clásico de las teorías modernas de gravitación) se lleva a cabo sobre una expresión como la última que acabamos de escribir, y es sobre ella que llevaremos a cabo la reducción de la Relatividad General al límite clásico Newtoniano en donde esperamos obtener una coincidencia de resultados. A continuación analizaremos el movimiento de una partícula en caída libre en un campo gravitacional. Denotemos el 4-momentum de la partícula como p. Para todas las demás partículas de prueba con excepción de los fotones (que carecen de masa en reposo) este 4-momentum es igual a m0U en donde U es la 4-velocidad. El movimiento de la partícula se lleva a cabo a lo largo de la ruta geodésica, satisfaciéndose por lo tanto la ecuación geodésica que puede ser simbolizada de cualquiera de las siguientes maneras:

Sabemos que el tiempo propio τ es un parámetro afín, y que si es multiplicado por una constante cualquiera seguirá siendo un parámetro afín que puede ser simbolizado más generalmente como λ. Esto significa que si dividimos a τ entre el masa propia m0 (que es una constante invariable) tendremos el parámetro afín τ/m 0. Se sigue que dx/d(τ/m0) es un 4-vector que también satisface la ecuación geodésica. Pero por la definición del 4-momentum, p = dx/dτ. Esto nos permite escribir la ecuación del movimiento para la partícula del modo siguiente:

Esta es la ecuación geodésica escrita en función del 4-momentum p en lugar de la 4-velocidad U. En un 4-espacio, esta ecuación geodésica representa en realidad un sistema de 4 ecuaciones

distintas, una para cada coordenada:

Explícitamente:

La primera ecuación representa la ecuación geodésica correspondiente a la componente temporalmientras que las tres ecuaciones restantes corresponden a las componentes espaciales, en conformidad con la designación de las coordenadas (ct, x, y, z). Cabe señalar que este sistema de ecuaciones geodésicas puede ser utilizado no sólo para partículas materiales sino también para fotones, ya que aunque los fotones carecen de masa en reposo m0 sí poseen en cambio un momentum bien definido (p = E/c). En el desarrollo que llevaremos a cabo aquí, consideraremos partículas materiales que poseen una masa inercial m0 (masa en reposo). En el límite clásico, si la partícula tiene una velocidad no-relativista en las coordenadas de la métrica: ds² = (1 + 2φ/c²) (cdt)² - (1 - 2φ/c²) (dx² + dx² + dz²) podemos encontrar una forma aproximada para la ecuación geodésica. Consideraremos primero la componente que corresponde a la primera coordenada, la coordenada temporal, cuya ecuación geodésica será:

En virtud de tratarse de una partícula no-relativista, podemos considerar a la componente

temporal de 4-momentum, p1, mucho mayor que cualquiera de las componentes espaciales del 4momentum pi, o sea p1 » pi. Esto podemos verlo de la relación relativista fundamental para el 4momentum: p = (pα) = γm0(Uα) = (γm0c, γm0u) = (γm0c, γm0ux, γm0uy, γm0uz) p = γm0(c, ux, uy, uz) Esto significa que podemos ignorar en la sumatoria (requerida en los índices repetidos por la convención de sumación) términos que incluyan a p2, p3 y p4, términos tales como: Γ122(p2)² Por otro lado, puesto que estamos considerando una partícula material moviéndose a velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, tenemos entonces que V/c « 1, con lo cual: γ = 1/√1 - V²/c² ≈ 1 Esta aproximación tendrá como consecuencia que el factor γ no aparecerá en nuestros resultados finales. Trabajaremos a continuación sobre el primer término de la primera ecuación geodésica, con la notación:

Tenemos entonces, usando las aproximaciones ya señaladas:

Puesto que estamos considerando partículas materiales clásicas moviéndose a velocidades suficientemente bajas en comparación con la velocidad de la luz, tenemos entonces que: Δt = γΔτ ≈ Δτ De este modo, tenemos lo siguiente:

Es así como la ecuación geodésica para la primera coordenada (la coordenada temporal) puede ser escrita como la siguiente aproximación relativista a la mecánica clásica:

Esto nos requiere calcular el símbolo de Christoffel Γ111, lo cual se puede hacer con la fórmula general que define a los símbolos de Christoffel de segundo género (obsérvese la permutación cíclica de los índices siguiendo el sentido de las manecillas del reloj de término a término dentro de los paréntesis)::

Puesto que la métrica g es diagonal, tanto [gαβ] como [gαβ] son diagonales, y los elementos diagonales de [gαβ] son los recíprocos de [gαβ]. De este modo, g1β tiene un valor diferente de cero únicamente para β = 1, de modo tal que siendo g 11 = 1 + 2φ/c² la fórmul a general para Γ111 se reduce simplemente a:

en donde O([φ/c²]²) agrupa otros términos en del orden cuadrático y mayores, los cuales consideraremos despreciables. Tenemos ya la expresión que corresponde al símbolo de Christoffel Γ 111 para la métrica. Al nivel de orden más bajo en la velocidad y en φ, podemos reemplazar a (p 1)² en la expresión:

por m0²c² recordando la igualdad que vimos en nuestra introducción de los 4-vectores:

(E/c)² - p² = m0²c² así como por el valor que acabamos de obtener para Γ111 llegando entonces a lo siguiente:

dp1/dτ = - m0 ∂φ/dτ Esto nos dice que para un campo gravitacional φ que no está variando con el tiempo, o sea: ∂φ/dτ = 0 se tiene entonces que dp1/dτ = 0, o sea que p1 tampoco varía con el tiempo. Puesto que p1 es la componente temporal del vector 4-momentum que representa la energía de la partícula, esto significa que la energía se conserva a menos de que el campo gravitacional esté variando con el tiempo. Este es el mismo resultado que se obtiene en la mecánica clásica Newtoniana, laconservación de la energía en un campo gravitacional. En la física clásica, un asunto de la mayor prioridad lo constituyen las cantidades que son conservadas, tales como la masa, la energía, la cantidad de momentum angular en un movimiento circular y la carga eléctrica de un cuerpo. Del mismo modo, en la Teoría de la Relatividad obviamente estamos interesados en el estudio de los cuerpos en movimiento, y ello incluye a las cantidades que se puedan conservar en el curso del movimiento de un cuerpo de un punto a otro ya sea en un espacio tri-dimensional (Newtoniano), en un 4-espacio relativista, o en un espacio Ndimensional general (lo cual es matemáticamente posible). En lenguaje sofisticado, usualmente nos referimos a tales cosas como isometrías, que son maneras de mover las cosas de modo tal que preserven su tamaño y su forma. Una manera de hacerlo, a lo largo de una ruta geodésica, es mediante el uso de los vectores Killing. Un ejemplo sencillo de esto lo tenemos si a la longitud geográfica cada punto de la costa de Africa le sumamos 30 grados, lo cual tiene como única consecuencia la rotación del continente alrededor del globo terráqueo (a lo largo del Ecuador) sin alterar su tamaño ni su forma. En cambio, si sumamos 30 grados a la latitud de cada punto, la forma del continente se distorsionaría de manera notable. El vector coordenada longitud es un vector Killing, mientras que el vector coordenada latitudno lo es. Como otro ejemplo de un campo vectorial Killing tenemos a un campo vectorial en un círculo que apunta en sentido contrario a las manecillas del reloj y que tiene la misma longitud en cada punto, puesto que al mover a cada

punto del círculo a lo largo de dicho campo vectorial tal cosa tiene como único efecto la rotación del círculo sin alterar nada. Expresado en forma sencilla y más general, un campo vectorial Killing es simplemente un campo vectorial que preserva la métrica g. Cada campo vectorial Killing implica la existencia de una cantidad que se conserva a lo largo de una ruta geodésica. Otra forma (más geométrica) de verlo es como un campo vectorial sobre una hoja Riemanniana que preserva el tensor métrico. Formalmente, el campo vectorial de Wilhelm Karl Joseph Killing (conocido más comunmente como el campo vectorial de Killing) es simplemente un vector V = (Vα) para el cual si se satisface la siguiente ecuación a lo largo de una ruta geodésica:

entonces a lo largo de dicha geodésica tendremos una cantidad conservada pα tal que: pαVα = constante Como podemos verlo en el uso del semicolon en los sub-índices de la ecuación que define al campo vectorial Killing, la definición se basa totalmente en la definición de la derivada covariante. En virtud de que un vector Killing está definido siempre a lo largo de una ruta geodésica, recordando la definición que se dió de la derivada Lie en la entrada titulada “La derivada absoluta” no debe sorprendernos el hecho de que al vector de Killing se le pueda dar una definición matemática elegante y concisa como un campo vectorial V para el cual la derivada Lie de la métrica g con respecto a V se desvanece:

Un campo vectorial de Killing está determinado de manera única por un vector en cada punto y por su gradiente en dicho punto, o sea por todas las derivadas covariantes del campo de Killing en dicho punto. En una región del espacio-tiempo en donde para fines prácticos hay una ausencia notoria de masaenergía, con el consecuente hecho de que todas las 16 componentes del tensor energíatensión T =(Tμν) son iguales a cero, la ecuación tensorial básica de la Relatividad General: G = 8πGT

adquiere la forma: G=0 en donde 0 es el tensor cero 0. Pero el tensor de curvatura de Einstein G es igual a: G = R - ½gR en donde R = (Rμν) es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de Ricci y g = (gμν) es eltensor métrico. Entonces: R - ½gR = 0 o bien: R = ½gR Puesto que el escalar de Ricci R es un simple número, vemos que en el espacio vacío el tensor de Ricci es esencialmente equivalente al tensor métrico. Es muy importante tener en cuenta que, aunque el escalar de Ricci sea un simple número, es un número que generalmente hablando dependerá del lugar específico en el espacio-tiempo curvo que esté bajo consideración. Así, mientras que para un punto específico (x1, x2, x3, x4) el escalar de Ricci poseerá el valor numérico a, en otro punto diferente (x’1, x’2, x’3, x’4) el escalar de Ricci podrá poseer otro valor numérico b. En efecto, el escalar de Ricci representa un campo escalar, un campo escalar que convive con el campo tensorial en el cual está situado el espacio-tiempo curvo que estamos analizando.

51. ORBITAS PLANETARIAS RELATIVISTAS Uno de los primeros triunfos de la ley de la gravitación universal de Newton fue que a partir de la misma era posible derivar matemáticamente, con la ayuda de coordenadas polares, las tres leyes obtenidas empíricamente por Johannes Kepler en 1609 y en 1618 para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Las tres leyes de Kepler Primera Ley (1906): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos. Segunda Ley (1906): El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (de acuerdo con esta ley, el planeta orbitante en la figura de abajo se mueve más rápido del punto J al punto A que del punto D al punto E, siendo las áreas sombradas del segmento AJ y del segmento DE iguales) :

Tercera Ley (1906): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol. Kepler dedujo sus leyes a partir de observaciones astronómicas precisas obtenidas por Tycho Brahe, y aunque sabía que explicaban el movimiento planetario observado, no entendía las razones de este comportamiento.

En su libro conocido en castellano como “El sistema del mundo”, haciendo mención a la siguiente figura que aparece en su libro:

Newton se expresó de la siguiente manera al predecir por vez primera la posibilidad del hombre para poder crear satélites artificiales: “Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fácilmente que los planetas pueden ser retenidos en ciertas órbitas mediante fuerzas centrípetras; pues una piedra proyectada se va apartando de su senda rectilínea por la presión de su propio peso y obligada a describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyección inicial habría debido continuar dicha senda recta, en vez de ser finalmente atraída al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la cual resulta ser proyectada más lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 millas antes de caer, de forma que al final, superando los límites de la Tierra, pasará al espacio sin tocarla... En la figura, se representa las curvas que un cuerpo describiría si fuese proyectado en dirección horizontal desde la cima de una alta montaña a más y más velocidad. Puesto que los movimientos celestes no son prácticamente retardados por la pequeña o nula resistencia de los espacios donde tienen lugar, supongamos, para conservar la analogía de los casos, que en la Tierra no hubiera aire, o al menos que éste está dotado de un poder de resistencia nulo o muy pequeño. Entonces, por la misma razón que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco menor y, proyectado con más velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminará por llegar bastante más allá de la circunferencia de la

Tierra, retornando a la montaña desde la que fue proyectada. Y puesto que las áreas descritas por el movimiento del radio trazado desde el centro de la Tierra son proporcionales a su tiempo de descripción, su velocidad al retornar a la montaña no será menor que al principio, por lo que reteniendo la misma velocidad, describirá la misma curva una y otra vez, obedeciendo a la misma ley”. Antes de entrar en el estudio de las orbitas planetarias desde el punto de vista de la Relatividad General, haremos un repaso sobre cómo es posible obtener las leyes de Kepler a partir de la ley de la gravitación universal de Newton. Clásicamente, para el análisis del movimiento de un cuerpo que siempre se está moviendo bajo la influencia de una fuerza que siempre está dirigida hacia un punto central, se recurre al uso de coordenadas polares con el origen de las mismas coincidiendo con el centro de la fuerza, dejando abierta la posibilidad de que la órbita pueda ser circular o elíptica. En coordenadas polares, la componente radial de una aceleración es:

y la componente transversal (angular) de la aceleración es:

Puesto que la fuerza es completamente radial por estar dirigida hacia el centro de atracción que coincide con el origen del sistema de coordenadas, se concluye que la aceleración transversal debe ser cero, o sea aθ = 0, con lo cual:

Integrando la expresión:

Este es precisamente el enunciado matemático de la segunda ley de Kepler, que nos dice que la línea imaginaria que une a un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La constante de integración resulta ser h, el momento angular L del planeta por unidad de masa M. Entonces:

Aquí se ha introducido, siguiendo la costumbre usual, la variable auxiliar:

La fuerza radial f(r) por unidad de masa debe ser igual a la aceleración radial que se ha definido arriba, de acuerdo con la segunda ley de Newton F = ma. Resolviendo la ecuación diferencial de arriba con respecto al tiempo nos dá:

Aquí es precisamente en donde entra en acción la ley de la gravitación universal de Newton que nos dice que la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es igual a la inversa del cuadrado de la distancia que separa dichos cuerpos. Entonces (la masa m del planeta orbitante no aparece explícitamente porque la fuerza ha sido designada como la fuerza por unidad de masa):

siendo G la constante de gravitación universal y M la masa del cuerpo central que en este caso es

el Sol. Substituyendo en la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:

Obsérvese que el lado derecho de la ecuación es igual a una constante, en virtud de que la G, M y h son constantes (la constancia de h deviene del principio de la conservación del momento angular). De este modo, para una fuerza de carácter gravitacional, o en general para cualquier fuerza cuya magnitud disminuya en razón inversa del cuadrado de la distancia, el lado derecho de la ecuación será una constante fija. Resolviendo esta ecuación diferencial obtenemos la siguiente solución:

en donde A y θ0 = son constantes arbitrarias que nos resultan de la integración. La ecuación para la órbita descrita por la partícula (o el planeta) es entonces:

en donde e está definida como:

Esta es una solución que puede ser reconocida como la ecuación de una sección cónica expresada en coordenadas polares (r,θ). Aquí podemos hacer la siguiente identificación:

Para el caso que nos ocupa, tratándose de una trayectoria cerrada ésta debe ser una trayectoria elíptica, con el centro de la fuerza ocupando uno de los focos de la elipse. Este es precisamente el enunciado matemático de la primera ley de Kepler. Pero en la Relatividad General, la fuerza de la gravedad deja de existir, llevándose consigo a los museos a la ley de la gravitación universal de Newton. Ahora todo se explica en base a la curvatura del espacio-tiempo. Ya hemos visto que la presencia de toda masa-energía ocasiona una curvatura cuatri-dimensional en lo que de otras maneras sería un espacio-tiempo plano, capaz de desviar la trayectoria de un rayo de luz o de un cuerpo material que pase cerca de dicho cuerpo. Pero la curvatura cuatri-dimensional que puede ocasionar una masa-energía no sólo es capaz de “pandear” el espacio-tiempo en torno a ella en una forma capaz de desviar la trayectoria de los cuerpos que pasan cerca de ella como ocurre con los cometas que pasan cerca del Sol. La curvatura puede ser tal que inclusive el espacio-tiempo es capaz de cerrarse sobre sí mismo:

Un espacio-tiempo cerrado sobre sí mismo como el que vemos arriba en la figura de la derecha representa una superficie en la cual el potencial gravitacional Newtoniano clásico tiene el mismo valor.Una superficie tal es precisamente la que recorren los cuerpos en órbita como ocurre con la Luna girando en torno a la Tierra o los planetas girando en torno al Sol, si tienen la suficiente energía cinética para poder mantenerse viajando sobre dicha superficie. Y como debe ser obvio, bajo el concepto relativista de la curvatura del espacio-tiempo la fuerza de atracción universal entre dos cuerpos propuesta por Newton no existe, no hay fuerza de atracción tal, todo lo que hay son curvaturas en el espacio-tiempo 4-dimensional del Universo. El problema fundamental con el nuevo esquema es que inclusive con dos cuerpos de masas diferentes aproximándose el uno al otro no necesariamente compartiendo un mismo plano de movimiento es que cada uno de ellos introduce su propia curvatura en el espacio-tiempo del Universo, y la interacción entre ambas curvaturas del espacio-tiempo conforme se van desplazando al irse aproximando los cuerpos que originan dichas curvaturas se convierte en un problema de difícil solución matemática excepto para casos especiales (como el caso de dos cuerpos de la misma masa orbitando como un sistema binario como si fuesen los extremos de una mancuerna girando libremente sobre su eje de rotación así como los demás casos que involucren algún tipo de simetría), el cual de hecho no tiene solución matemática exacta de carácter general, y frecuentemente es necesario recurrir a simulaciones computarizadas a partir de condiciones

iniciales muy específicas para poder resolver un problema. Si en el esquema propuesto por Newton excepto para casos especiales la interacción gravitacional entre tres cuerpos era matemáticamente irresoluble (este es el problema conocido como el problema de los tres cuerpos) dando lugar a comportamientos como el que se muestra en el siguiente diagrama (la trayectoria de cada uno de los tres cuerpos está dibujada en color diferente) que son precisamente los que dan origen a la teoría del caos:

en el esquema propuesto por Einstein la interacción entre dos curvaturas del espacio-tiempo no necesariamente iguales (producidas por cuerpos con la misma masa) conforme se van aproximando los cuerpos se vuelve insoluble por procedimientos analíticos exactos. La única forma en la cual se puede resolver un problema analíticamente sin el beneficio de una computadora es recurriendo a aproximaciones. En el caso del sistema solar, la primera aproximación obvia consiste en suponer que, debido a que la masa del Sol es mucho mayor que la masa de cualquiera de los planetas que giran en torno suyo (lo cual equivale a decir que la gravedad de cada uno de los planetas no tiene efectos significativos sobre el mismo Sol permitiendo anclar al Sol como un centro inamovible), la única curvatura apreciable en el espacio-tiempo del sistema solar es la introducida por el mismo Sol; del mismo modo en que podemos suponer que la curvatura producida en el espacio-tiempo en torno a la Tierra por los satélites artificiales lanzados por el hombre es mucho menos que la curvatura en el espacio-tiempo producida por la misma Tierra con la cual mantiene a sus satélites girando en torno suyo. Este tipo de aproximación fue precisamente lo que Einstein llevó a cabo cuando descubrió un efecto imposible de ser predicho por Newton para un sistema solar consistente en

un solo sol y en un solo planeta: la precesión de las órbitas del planeta Mercurio que está girando en torno al sol. Las órbitas predichas de acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton son órbitas perfectamente elípticas por toda la eternidad, con la elipse orbitan manteniéndose exactamente en el mismo lugar por siempre. Esta es una situación en la cual las ecuaciones del movimiento planetario de la Relatividad General no pueden ser simplificadas para aproximar una predicción de por sí ausente en la mecánica celestial Newtoniana. Aquí no se puede llevar a cabo ninguna reducción a un límite clásico que no existe. La única forma bajo el esquema de Newton de producir una precesión en la órbita de un planeta que esté girando en torno a una estrella es introducir un segundo planeta que influya gravitacionalmente en el otro planeta. Bajo el esquema de Newton, tal cosa ocurre por sí sola sin la necesidad de introducir planetas adicionales. Todos los planetas girando en torno al Sol tendrán una precesión en sus órbitas de acuerdo a la Relatividad General. Sin embargo, estos efectos sólo adquieren importancia tratándose de planetas como Mercurio que estén lo suficientemente cerca del Sol como para que los efectos relativistas puedan salir a relucir. En la Relatividad General, suponiendo que tenemos un cuerpo central de masa M al cual consideramos fijo, la ecuación de movimiento relativista planetario para una partícula de prueba resulta estar dada por la fórmula:

en donde: α = 3μ/c² μ = GM y los demás símbolos son como los que se han definido previamente. La derivación de la ecuación de movimiento relativista, como el lector posiblemente lo sospecha ya, se hace a partir de la métrica sin recurrir a ninguna “fuerza de gravedad”, empleando para ello una métrica apropiada que describa una solución con simetría esférica a las ecuaciones de campo de Einstein, siendo la métrica de Schwarzschild una de las más utilizadas para tal efecto. El lector debería tomar una pausa para comparar la ecuación de movimiento planetario relativista con la ecuación de movimiento planetario clásico.

A continuación llevaremos a cabo la derivación de un efecto relativista relacionado con las órbitas planetarias: la precesión anómala de los planetas en sus órbitas en torno al Sol. Y lo haremos en una forma muy parecida a como lo hizo Einstein en su tiempo, sin contar con el beneficio de la solución exacta de Schwarzschild, recurriendo obviamente a aproximaciones. En principio, todos los planetas del sistema solar poseen una precesión lenta de sus órbitas que impide que dichas órbitas sean perfectamente elípticas. En parte, esta precesión de las órbitas puede ser explicada con la mecánica Newtoniana mediante la influencia gravitacional causada por la presencia de los otros planetas del sistema solar. Pero en el caso de Mercurio, el planeta más cercano al Sol, la precesión es mayor de una manera que no puede ser explicada recurriendo a las fórmulas de Newton. La solución aproximada encontrada por Einstein en 1915 difiere en el componente grr de la métrica “diagonal” especificada por la solución exacta dada por Karl Schwarzschild para un campo esféricamente simétrico: ds² = gtt dt² + grr dr² + gθθ dθ + gφφ dφ²

ds² = (1 - 2GM/rc²) dt² + [1 - 2GM/rc²] -1 dr² + r² dθ + r² sen² θ dφ² por el factor q = 1-(2GM/rc²) de la manera siguiente:

Como ya se ha dicho y se volverá a repetir aquí, todo el secreto de las soluciones a las ecuaciones de campo de la Relatividad General está en la métrica que se utilice, todo deriva de la métrica. Schwarzschild encontró una métrica exacta, pero Einstein sin contar con la solución exacta decidió probar su suerte sin tomar en cuenta el factor q. El error que se comete equivale a una diferencia de segundo orden para 2GM/rc². Usando su métrica aproximada para un campo en el vacío esféricamente simétrico, Einstein hizo algo que se puede hacer de inmediato cuando se tiene una métrica a la mano: evaluó los símbolos de Christoffel; tras lo cual dió el siguiente paso que se puede hacer una vez que se tiene a los símbolos de Christoffel a la mano: escribió las ecuaciones geodésicas del movimiento. De este modo llegó directamente (tal y como se acostumbra hacerlo en libros de texto contemporáneos) a la siguiente ecuación:

en donde x = 1/r es la inversa de la distancia radial al Sol, φ es la coordenada angular del plano de la órbita, los símbolos A y B son constantes de integración (B resulta ser el momento angular y A es una cantidad relacionada con la energía del cuerpo en órbita) y α = 2M en donde M es la masa del Sol en unidades geometrizadas. Si utilizamos la métrica exacta de Schwarzschild, esta ecuación sería exacta con q = 1, pero con la métrica aproximada de Einstein el valor de q viene siendo 1 α²x². Dividiendo entre q, o lo que viene siendo lo mismo, multiplicando por 1 + α²x², la ecuación basada en la métrica aproximada de Einstein resulta ser:

Afortunadamente, Einstein reconoció que podía hacer q = 1 sin afectar el resultado Newtoniano de orden más bajo (o sea, el efecto más significativo), de modo tal que procedió a utilizar directamente la ecuación:

que es precisamente la ecuación correcta y exacta, aunque Einstein creía que era tan solo una aproximación. A partir de este punto, la mayoría de las demostraciones modernas llevan a cabo una diferenciación de esta ecuación con respecto a φ, lo cual nos produce una ecuación “harmónica” de segundo orden de la cual se puede inferir la precesión relativista del perihelio del planeta. Sin embargo, Einstein en lugar de hacer esto tomó la raíz cuadrada de la inversa de ambos lados de la ecuación, produciéndose con ello la integral elíptica del desplazamiento angular entre los dos parámetros radiales inversos extremos x1 y x2 (al decir extremos, nos estamos refiriendo al apogeo, la distancia a la cual el cuerpo en órbita se encuentra más alejado, y al perigeo, la distancia a la cual el cuerpo en órbita se encuentra más cercano, aunque tratándose del Sol las

palabras correctas vendrían siendo afelio y perihelio):

Y por cierto, en caso de que llevásemos a cabo la integración sobre la distancia radial r en lugar de llevarla a cabo sobre la distancia radial inversa x, obtendríamos un factor de r² en el denominador, en virtud de que dx = -dr/r². Determinar una solución explícita exacta en términos de funciones elementales para la integral elípítica que tenemos arriba no es algo que generalmente se pueda llevar a cabo, de modo tal que esta vía de solución no se antoja muy factible. De cualquier modo, Einstein pudo aproximar a la integral elíptica con el grado de precisión requerido. Para lograrlo, hizo uso del hecho de que los límites de la integración, x1 y x2, representan los recíprocos de las distancias del afelio y del perihelio en donde la derivada de r con respecto a φ se desvanece. Por lo tanto, tenemos que integrar entre dos cúbicas bajo el signo del radical. Tal y como lo hizo Einstein en su papel original, designaremos a estas dos raíces α 1 y α2. Designaremos también como α 3 a la tercera raíz, de modo tal que podemos escribir el polinomioque está bajo el signo de la raíz cuadrada de la manera siguiente:

Puesto que el coeficiente de x² en el polinomio mónico en el lado izquierdo es 1/α, tenemos entonces:

De este modo, el producto de α y de α3 se puede expresar de la manera siguiente:

Más aún, notando que las cantidades αx, αα1 y αα2 son extremadamente pequeñas en comparación con la unidad (esto viene del hecho de que cada una de ellas es aproximadamente igual al doble de la masa solar en unidades geometrizadas, que viene siendo una cantidad un poco menor que 1.5 kilómetros, divida entre el radio de la órbita de Mercurio, que es de aproximadamente 55 millones de kilómetros), podemos ver que el denominador 1 - αx en el segundo factor representa una corrección del orden de (αx)² al factor total, de modo tal que se puede considerar despreciable. De este modo, sin pérdida considerable de precisión, podemos escribir: α(x - α3) ≈ (αx - 1) [1 - α(α1 + α2)] y por lo tanto la integral elíptica se puede escribir de la siguiente manera:

Haciendo uso de la aproximación (1 - z) -1/2 ≈ 1 + z/2 para valores pequeños de z, podemos sacar el factor constante fuera de la integral, y subir el factor final, de modo tal que la integral se puede escribir del modo siguiente:

Esta es una integral analítica, que puede ser evaluada en forma cerrada, dando como resultado:

Esta es la distancia angular del arco del apogeo (afelio) al siguiente perigeo (perihelio), de modo tal que la longitud total del arco de un ciclo completo de un perigeo (perihelio) al siguiente es el doble de esta cantidad, y si substraemos 2π obtenemos la precesión por ciclo. Esta es precisamente la precesión relativista que tan afanosamente estaba buscando Einstein. El tercer término es despreciable, de modo que tenemos el siguiente resultado:

en donde L es el semi-latus rectum de la elipse de la órbita. Metiendo valores para la masa M del Sol en unidades geometrizadas (1.475 kilómetros) y el semi-latus rectum para la órbita de Mercurio en torno al Sol que es 55.4430 millones de kilómetros, esto nos dá 0.1034 arcos de segundo por revolución, y puesto que Mercurio acumula un total de 414.9378 revoluciones en torno al Sol por siglo, esto nos dá 42.9195 segundos de arco por siglo, lo cual concuerda de modo excelente con las observaciones astronómicas. Este fue el primer gran triunfo de la Relatividad General, pudiendo aclarar algo que la mecánica Newtoniana simple y sencillamente era incapaz de explicar. La demostración llevada a cabo parecería depender de un conocimiento previo de la integral indefinida:

pero hay que tomar en cuenta que la expresión del lado derecho (la que se obtiene tras llevarse a cabo la integración) se simplifica considerablemente con la substitución de b o c por la variable x, porque para cualquiera de estos dos argumentos el segundo término se desvanece, y el primer término se reduce a lo siguiente:

Por lo tanto, la integral definida de x = b a x = c es simplemente:

Podemos ver que en el caso a = 0 la integral definida es simplemente igual a π. Este es un resultado tan elegante que muy posiblemente formaba parte ya del curriculum escolar de materias al finalizar el siglo XIX, y es muy posible que Einstein (o Michele Besso o Marcel Grossman, los dos colegas matemáticos de Einstein siempre disponibles para proporcionarle ayuda) haya tenido conocimiento acerca de esta integral definida. Por otro lado, no es muy difícil evaluar esta integral directamente si llevamos a cabo un cambio de variables a la variable ω en base a la siguiente relación:

La variable x cambia de b a c conforme la variable ω cambia de - π/2 a + π/2. Tomando diferenciales, de esta misma expresión obtenemos lo siguiente:

La substitución de esto último en la integral definida nos dá:

La integral de un término seno es un término coseno, que termina dando los mismos valores para los límites ω = ± π/2, de modo tal que esto se desvanece dejándonos únicamente con la ecuación:

Una discusión sobre la explicación relativista de la precesión anómala de Mercurio en torno al Sol utilizando la métrica exacta de Schwarzschild deberá esperar a que se cubra el tema de la solución de Schwarzschild, lo cual se llevará a cabo posteriormente.

52. LA SOLUCIÓN DE SCHWARSCHILD I La solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de Einstein debe ser considerada el más importante logro de la Relatividad General en el campo de la Mecánica Celeste, porque es una solución exacta a las ecuaciones de campo que se corresponde históricamente con el resultado Newtoniano de la inversa del cuadrado de la fuerza de atracción universal de la teoría gravitacional clásica. Las ecuaciones de campo de Einstein para el espacio libre son no-lineales y por lo tanto muy complicadas, siendo difícil obtener soluciones exactas. Hay, sin embargo, un caso especial que puede resolverse sin muchas dificultades, el caso de un campo simétricamente esférico y estáticoproducido por un cuerpo esféricamente simétrico en reposo. El punto de partida usual para una demostración como la que llevaremos a cabo será la métrica general utilizada en el 4-espacio de la Relatividad General, aplicándose como siempre la convención de sumación sobre los índices repetidos: ds² = gαβ dxα dxβ en el sistema de cuatro coordenadas generalizadas (x0 ,x1 ,x2 ,x3). La forma límite del elemento de línea ds² para un espacio-tiempo plano a grandes distancias del origen (r→∞) debe ser Lorentziana, y de acuerdo a lo que vimos al estudiar la Teoría Especial de la Relatividad lo debemos escribir como: ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² En pocas palabras, la Teoría Especial de la Relatividad es un caso especial de la Relatividad General cuando la curvatura del espacio-tiempo se reduce a cero a grandes distancias. Esta expresión la podemos escribir mediante coordenadas esféricas como: ds² = c²dt² - (dr² + r² dθ² + r² sen² θ dφ²) Para construír nuestro elemento de línea ds² que corresponde a la solución de Schwarzschild válida a distancias cercanas al origen de un campo estático, esperamos que dicho elemento de línea permanezca invariante bajo una inversión del intervalo de tiempo dt; esto es, ds² debe permanecer igual al cambiar dt por -dt, ya que la condición estática nos permite utilizar un sistema de coordenadas estático en donde los componentes gμν de la métrica son independientes de la coordenada tiempo (t = x0). Esto nos dicta el uso de coordenadas curvilíneas en las cuales los

elementos g0i “fuera de la diagonal principal” sean cero y que el elemento de línea tenga la forma: g00(dt)² + gik dxi dxk siendo los gik independientes de la coordenada tiempo t = x0. Nos referimos a esto como una métricaestática, la cual debe ser distinguida de una métrica que es meramente independiente del tiempo oestacionaria (como la métrica para las coordenadas cilíndricas en un espacio de tres dimensiones). Por otra parte, si no habrá una dirección angular preferida en el espacio, el elemento de línea ds² debe ser independiente de un cambio de dθ a -dθ y de un cambio de dφ a -dφ. Esto requiere que no haya términos “cruzados” en la métrica tales como dr·dθ, dθ·dφ y dr·dφ, de modo tal que el tensor métrico debe ser completamente diagonal para el tipo de solución que estamos buscando. La forma más general que se sujeta a las condiciones arriba viene siendo la siguiente: ds² = Ac²dt² - (Bdr² + Cr² dθ² + Dr² sen² θ dφ²) En virtud de nuestras suposiciones de simetría radial, las funciones A, B, C y D deben ser funciones únicamente de la coordenada radial r: A = A(r)____B = B(r)____C = C(r)____D = D(r) Podemos llevar a cabo una simplificación adicional recurriendo a argumentos de simetría: podemos suponer que las funciones C(r) y D(r) son iguales. Esto lo podemos visualizar de la manera siguiente: un desplazamiento de arco ε = rdθ desde el polo norte corresponde a un intervalo en el elemento de línea ds² = -Cε², y un desplazamiento de arco ε = rdφ a lo largo del ecuador corresponde a un intervalo en el elemento de línea ds² = -Dε². Si θ y φ representan coordenadas angulares, esperaríamos que estas cantidades fueran iguales por isotropía, lo cual requiere que C sea igual a D. Entonces esta condición de simetría nos simplifica nuestro elemento de línea ds² a la siguiente forma: ds² = Ac²dt² - Bdr² - C(r² dθ² + r² sen² θ dφ²) Este elemento de línea representa la forma más sencilla posible dictada por los elementos de simetría. Podemos obtener una simplificación adicional mediante una selección juiciosa de la coordenada radial.

Enfoquemos ahora nuestra atención sobre los coeficientes A y B de la expresión. Tenemos que suponer que estos coeficientes no van a ser necesariamente unas simples constantes numéricas. Tenemos que suponer que van a resultar ser algún tipo de función. Independientemente de qué tipo de expresión resulten ser, de una cosa podemos estar absolutamente seguros: la métrica de Schwarzschild se tiene que reducir necesariamente a la de una métrica plana para un observador en reposo situado en el “infinito” (al usar aquí la palabra “infinito” estamos haciendo alusión a una distancia lo suficientemente grande como para que los efectos ocasionados por la masa sobre el campo gravitacional sean numéricamente insignificantes, ya que de lo contrario el efecto gravitacional ocasionado por un cuerpo se extendería hasta el infinito). Y esta métrica es: ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² En pocas palabras, tanto A como B, ambas funciones de la distancia r (por hipótesis), se tienen que reducir a la unidad a una distancia enorme del cuerpo que ocasiona la curvatura en el espacio tiempo: A(r) → 1 para r → ∞ B(r) → 1 para r → ∞ No tenemos que batallar mucho para encontrar una función matemática tentativa que se reduzca a la unidad para valores grandes de la variable independiente. Esta función es la función matemáticaexponencial: f(x) = ex

Para grandes valores negativos de x, esta función se reduce precisamente a la unidad. La función exponencial tiene además el atractivo de que se puede desarrollar fácilmente mediante series de Taylor. Aunque cualquier función exponencial del tipo abx tiene la propiedad de que se puede reducir a la unidad para valores razonablemente grandes de x, la función exponencial basada en el número e(la base de los logaritmos naturales) tiene además el atractivo de que la derivada de la función exponencial nos resulta esencialmente en la misma función (a excepción del signo), lo cual se puede traducir en posibles simplificaciones. Con lo anterior en mente, puesto que requerimos que tanto A como B se reduzcan a la unidad para grandes valores de r, le podemos asignar a ambas un carácter exponencial de la siguiente manera con exponentes dependientes de r: A(r) = eΦ(r) B(r) = eΛ(r) Para que se pueda cumplir el requisito de que los coeficientes A y B se reduzcan a la unidad a grandes distancias, esto requiere que los exponentes Φ(r) y Λ(r) se reduzcan a cero a grandes distancias: Φ(r) → 0 para r → ∞ Λ(r) → 0 para r → ∞ Como el campo gravitacional en torno a una masa simétricamente esférica debe ser también

simétricamente esférico, dicho campo debe ser independiente de las coordenadas angulares θ y φ, de modo tal que las posibilidades: Φ = Φ(t, r, θ, φ) Λ = Λ(t, r, θ, φ) deben quedar reducidas necesariamente a: Φ = Φ(t, r) Λ = Λ(t, r) Y como el campo gravitacional, además de ser esféricamente simétrico, también debe ser un campo estático invariante con el tiempo, entonces dicho campo debe ser también independiente de la coordenada temporal t, con lo cual: Φ = Φ(r) Λ = Λ(r) que es precisamente lo que hemos venido manejando. Las funciones Φ(r) y Λ(r) nos son por el momento funciones desconocidas a ser determinadas. Sin pérdida de generalidad, podemos multiplicar estas funciones por una constante numérica sin cambiar la naturaleza del comportamiento de las funciones a grandes distancias. La constante numérica que más nos conviene es el número 2 para tener así lo siguiente: A(r) = e2Φ(r) B(r) = e2Λ(r) ¿Y por qué el número 2? Por el simple hecho de que, si nos fijamos bien en los términos restantes de nuestra métrica preliminar, podemos ver que todos ellos están elevados al cuadrado. La razón por la cual escogemos e2Φ y e2Λ en lugar de comenzar simplemente con eΦ y eΛ es precisamente porque todos los demás términos de la métrica están elevados al cuadrado, y tomar esto en cuenta desde un principio puede resultar en simplificaciones posteriores.

De este modo, la métrica tentativa para un campo simétricamente esférico y estático producido por un cuerpo esféricamente simétrico en reposo tendrá el siguiente aspecto: ds² = e2Φ(r) (cdt)² - e2Λ(r)dr² - r² dθ² - r² sen² θ dφ² Una vez definida nuestra métrica tentativa, podemos obtener a continuación los símbolos de Christoffel diferentes de cero que correspondan a esta métrica. PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel para una hoja cuyo elemento de línea es el siguiente: ds² = e2Φc²dt² - e2Λdr² - r²(dθ² + sen²φ dφ²) en donde Φ y Λ son funciones únicamente de la coordenada r, o sea: Φ = Φ(r)___Λ = Λ(r) Del elemento de línea ds² podemos ver que las 16 componentes gαβ del tensor métrico correspondiente:

son:

Las coordenadas de este espacio cuatri-dimensional son (t, r, θ, φ), y las únicas componentes gαβ del tensor métrico g que no son cero son: g00 = gtt = e2Φ___g11 = grr = - e2Λ g22 = gθθ = - r²___g33 = gφφ = - r² sen² θ Puesto que la matriz [ gαβ] que agrupa a los componentes del tensor métrico es una matriz diagonal, la matriz [gαβ] que agrupa a los componentes del tensor métrico conjugado también será una matriz diagonal, y sus elementos respectivos serán simplemente los recíprocos de los elementos de la matriz [ gαβ]. Por lo tanto, los únicos componentes del tensor métrico conjugado g1 que no son iguales a cero son los siguientes: g00 = gtt = 1/e2Φ= e-2Φ___g11 = grr = - 1/e2Λ = - e-2Λ g22 = gθθ = - 1/r²___g33 = gφφ = - 1/(r² sen² θ) Tenemos toda la información que necesitamos para poder obtener los símbolos de Christoffel para la métrica tentativa que estamos construyendo. La fórmula general para la obtención de los símbolos de Christoffel es la siguiente (obsérvese la permutación cíclica de los sub-índices de término a término dentro de los paréntesis): Γαμν = gαβ (- gμν,β + gνβ,μ + gμβ,ν)/2 o bien, escribiendo explícitamente las derivadas parciales haciendo a un lado la notación de la coma: Γαμν = gαβ (- ∂gμν/∂xβ + ∂gνβ/∂xμ + ∂gμβ/∂xν)/2

Con esta fórmula podemos empezar obteniendo el símbolo de Christoffel para Γ111 = Γrrr: Γrrr = grr (- ∂grr/∂xr + ∂grr/∂xr + ∂grr/∂xr)/2

Γrrr = {- e-2Λ}{- e2Λ·(2Λ’)}/2 Γrrr = Λ’ Puesto que la métrica es una métrica diagonal, en vez de llevar a cabo la evaluación explícita mediante la fórmula general como lo hemos hecho arriba, podemos utilizar las relaciones de cálculo abreviado para una métrica diagonal que son las siguientes (¡en estas fórmulas no se aplica la convención de sumación para índices repetidos!):

Empezaremos con la evaluación del primer símbolo de Christoffel con estas fórmulas abreviadas, el cual será Γ trr. Esta evaluación será relativamente fácil puesto que todos los componentes de la métrica son independientes de la coordenada del tiempo en virtud de que hemos especificado desde el principio a la métrica como una métrica de un campo estático:

Ahora llevaremos a cabo la evaluación del símbolo de Christoffel que corresponde a Γrtt:

Continuamos con la obtención del símbolo de Christoffel Γttr:

El siguiente símbolo de Christoffel que evaluaremos será Γ θθr:

Ahora evaluaremos el símbolo de Christoffel Γ rθθ:

El siguiente símbolo de Christoffel que evaluaremos será Γ φφθ:

Ahora llevaremos a cabo la evaluación de Γ rφφ:

Por último, llevaremos a cabo la evaluación del símbolo de Christoffel Γ θφφ::

Con los símbolos de Christoffel en nuestras manos podemos proceder a evaluar los componentes del tensor de Riemann de segundo género para la métrica de Schwarzschild mediante la fórmula:

Se recuerda que en esta fórmula para la obtención de las componentes del tensor de Riemann no aplica la convención de sumación para índices repetidos en lo que representa el símbolo del lado izquierdo. A continuación evaluaremos el componente Rtrtr. Para la obtención del mismo necesitaremos lo siguiente:

Usando estas dos relaciones y utilizando la fórmula para la obtención de los componentes del tensor de Riemann expandiendo en la misma los productos que involucran a los símbolos de Christoffel para los cuales sí se aplica la convención de sumación para índices repetidos, tenemos el siguiente resultado intermedio (los símbolos de Christoffel que son iguales a cero se han puesto de color rojo):

Substituyendo valores en los símbolos de Christoffel tenemos entonces el siguiente resultado intermedio:

Simplificando obtenemos entonces el siguiente resultado final:

En el 4-espacio de la Teoría Relatividad, tenemos un total de 4x4x4x4 = 256 componentes posibles para el tensor de Riemann. Pero ya vimos en una entrada previa que el número total de componentes independientes es de hecho 21. Pero ni siquiera tenemos que calcular todas estas 21 componentes, ya que lo que estamos buscando obtener eventualmente es el tensor de Ricci, y si lo obtenemos con la siguiente contracción tensorial en la cual sí se aplica la convención de sumación sobre el tensor de Riemann mediante índices repeticos:

tenemos entonces que para el tensor de Ricci el cual es un tensor diagonal en este caso hay cuatro componentes del mismo que necesitamos dadas por las siguientes relaciones:

requiriendo para ello únicamente 16 componentes del tensor de Riemann. Reemplazando a las coordenadas generalizadas por las coordenadas específicas a la métrica de Schwarzschild podemos ver mejor los componentes del tensor de Riemann que necesitamos para la obtención de los componentes del tensor de Ricci:

Al llevar a cabo estas evaluaciones, los únicos componentes que no son cero resultan ser los

componentes diagonales del tensor de Ricci, que vienen siendo los siguientes (aunque los cálculos que son algo laboriosos no son reproducidos aquí, el procedimiento de cómputo es el mismo que el mostrado en los problemas resueltos puestos en otras entradas previas):

En el vacío, las ecuaciones de campo de la Relatividad General requieren que estas expresiones se desvanezcan para una partícula de prueba suficientemente pequeña (con masa en el caso de una partícula material y sin masa en reposo en el caso de un fotón luminoso) como para que esta no produzca una curvatura en el espacio-tiempo: R00 = R11 = R22 = R33 = 0 o bien, prescindiendo de las coordenadas generalizadas y usando las coordenadas específicas de la métrica en cuestión: Rtt = Rrr = Rθθ = Rφφ = 0 Estos desvanecimientos nos imponen la condición:

Como ya se mencionó arriba, a grandes distancias, para grandes valores de r, el espacio debe ser aproximadamente plano, de modo tal que ambos Λ y Φ deben tender a cero para r → ∞:

y entonces: Λ+Φ=0 El desvanecimiento de R22 nos resulta en lo siguiente: (1 + rΦ’ - rΛ’) e-2Λ -1 = 0 (1 + rΦ’ - rΛ’) e-2Λ = 1 Haciendo recurso de la condición Λ’ = - Φ’ obtenida de los otros desvanecimientos tenemos entonces: [1 + rΦ’ - r(- Φ’)] e-2Λ = 1 (1 + 2 rΦ’) e-2Λ = 1 Substituyendo en el exponente a Λ por - Φ llegamos a lo siguiente: (1 + 2 rΦ’) e2Φ = 1 que puede ser compactado todo como la derivada del producto de dos términos (regla de Leibniz):

Esto se puede integrar de inmediato llevándonos a: re2Φ = r + 2m siendo m una constante de integración que posee unidades de longitud. Tenemos entonces recurriendo al valor del componente g00: g00 = e2Φ = (r + 2m)/r g00 = 1 + 2m/r Ahora bien, este resultado relativista debe coincidir con la aproximación Newtoniana (clásica, prerelativista) para grandes valores de r. Comparando la expresión relativista que acabamos de obtener con la expresión Newtoniana para la cual el potencial gravitacional es ∇φ=-GM/r (no confundir el potencial gravitacional φ con el mismo símbolo que usamos para denotar la coordenada angular en el 4-espacio de la métrica esférica): g00 = 1 + 2φ/r podemos ver que la constante de integración m es simplemente la masa del cuerpo central que produce el campo gravitacional. Del mismo modo, siendo Λ = - Φ, tenemos que concluír que: g11 = grr = - e-2Λ = - (1/e2Λ) Substituyendo estas expresiones en el elemento de línea con el que empezamos, esto nos conduce a la siguiente respuesta final para la métrica que estamos buscando para un campo simétricamente esférico y estático producido por un cuerpo esféricamente simétrico en reposo: ds² = (1 + 2m/r) c²dt² - (1 + 2m/r) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²) Como ya se dijo, la constante de integración m tiene unidades de distancia, y es conocida como lamasa geométrica del cuerpo central. Restableciendo la constante c² (el cuadrado de la velocidad

de la luz) que habíamos hecho igual a la unidad para no estarla arrastrando innecesariamente a lo largo de la derivación, dimensionalmente tenemos que la masa geométrica en realidad es igual a: m = GM/c² Esto quiere decir que la métrica, dimensionalmente correcta, es la siguiente: ds² = (1 + 2GM/rc²) c²dt² - (1 + 2GM/rc²) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²) Esta es la solución matemáticamente exacta a las ecuaciones de campo de Einstein encontrada por Karl Schwarzschild, la cual quedó huérfana al fallecer su descubridor al año siguiente de haberla encontrado. PROBLEMA: Demostrar que la métrica de Schwarzschild se reduce como un caso especial a la métrica Lorentziana correspondiente a un espacio-tiempo plano. A grandes distancias del cuerpo que está generando un campo esféricamente simétrico y estático, podemos poner r → ∞ con lo cual tenemos en la métrica de Schwarzschild dos términos que se desvanecen: ds² = (1 + 2GM/rc²) c²dt² - (1 + 2GM/rc²) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²) ds² = c²dt² - dr² - r²dθ² - r²sen²θ dφ² ds² = c²dt² - (dr² + r²dθ² + r²sen²θ dφ²) Para la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas Cartesianas rectangulares tenemos lo siguiente: x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ (dx)² + (dy)² + (dz)² = (dr)² + r²(dθ)² + r²sen²θ(dφ)²

Con esto tenemos entonces lo siguiente: ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz² Esta es precisamente la métrica de Lorentz para un espacio-tiempo plano, propia de la Teoría Especial de la Relatividad. Todas las métricas que podamos proponer dentro de la Relatividad General para el estudio de espacio-tiempos curvos se deben reducir a la métrica Lorentziana a distancias suficientemente grandes del cuerpo o de los cuerpos que generan los campos gravitacionales que están provocando la curvatura, ya que de no ser así la métrica propuesta es necesariamente una métrica errónea. O puesto en términos más formales, la Teoría Especial de la Relatividad es efectivamente un caso especial de la Teoría General de la Relatividad.

53. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD II Existe otra manera de obtener la métrica de Schwarzchild, y esta consiste en aproximar al elemento de línea mediante consideraciones en las que establecemos comparaciones con las leyes de Kepler para el movimiento planetario. Nuevamente, consideraremos una región del espacio en torno a una masa puntual estática, para la cual podemos suponer que la métrica tiene una simetría esférica perfecta e independiente del tiempo. Y con la finalidad de simplificar la derivación que será llevada a cabo, recurriremos al uso de unidades geometrizadas con las cuales se fija a la constante velocidad de la luz c con un valor igual a la unidad, o sea c = 1. Aún sin conocer las ecuaciones de campo de la Relatividad General, es posible dar una derivación “heurística” (más artística que técnica) no totalmente rigurosa de la métrica de Schwarzschild conociendo de antemano la característica de la variación de la gravedad con el inverso del cuadrado de la distancia, el conocimiento previo de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares, y los intervalos nulos para trayectorias luminosas. Designaremos a r como la coordenada espacial radial (la distancia a la masa puntual) de modo tal que cada punto en una superficie de r constante tenga la misma geometría intrínseca y la misma relación a la masa puntual a la cual situamos en el punto r = 0. Designemos también como t a nuestra coordenada temporal. Cualquier superficie de r y t constantes debe poseer la geometría intrínseca bi-dimensional de una 2-esfera, y podemos graduar el parámetro radial de modo tal que el área superficial sea 4πr². (Puesto que a estas alturas el 4 -espacio no es necesariamente Euclideano, no estamos afirmando que r sea la “distancia radial” desde la masa puntual. Más bien r es una coordenada radial arbitraria ajustada para darnos el área superficial Euclideana que corresponde a una 2-esfera.) Con este ajuste de escala, podemos parametrizar la 2-superficie para cualquier valor de r y de t mediante la métrica esférica ordinaria de “latitud y longitud”: ds² = r² (dθ)² + r² sen² θ (dφ)² en donde ds representa la distancia incremental sobre la superficie de una esfera ordinaria de radio r que corresponda a desplazamientos incrementales dθ y dφ. La coordenada θ representa la “latitud” con θ = 0 en el polo Norte y θ = π/2 en el Ecuador, y la coordenada φ representa la “longitud” relativa a cierto meridiano arbitrario. En base a esto podemos decir que la métrica completa del tiempo-espacio en la cercanía de una masa esféricamente simétrica debe tener la forma: ds² = gtt(dt)² + grr(dr)² + gθθ(dθ)² + gφφ(dφ)²

en donde gθθ = - r² y gφφ = - r² sen² θ, y tanto gtt como gφφ son funciones desconocidas de r y de la masa central m. Naturalmente, si hacemos m = 0 entonces ambas funciones gtt y grr deben ser iguales a la unidad para que puedan darnos la métrica de un espacio-tiempo plano, Lorentziano, puesto que esperamos que la métrica se vaya aplanando a distancias lo suficientemente alejadas de la masa gravitacional. Puesto que la métrica es diagonal, los componentes que corresponden al tensor métrico conjugado g-1= (gab) están dados simplemente por gaa = 1/gaa. La diagonalidad de la métrica nos permite simplificar los símbolos de Christoffel a la siguiente relación (ni en gαα ni en ninguna otra parte de la ecuación hay sumación alguna implicada):

Por otro lado, las derivadas parciales de los coeficientes métricos que no terminan siendo cero son las siguientes:

ajunto con ∂gtt/∂r y ∂grr/∂r que están aún por ser determinados. Insertando estas derivadas parciales en la ecuación anterior encontramos que los únicos símbolos de Christoffel que no son cero son los siguientes:

De esto obtenemos los coeficientes para las cuatro ecuaciones geodésicas que corresponden a un 4-espacio en la cercanía de una masa esféricamente simétrica, que son:

Aquí suponemos que en ausencia de fuerzas no-gravitatorias, todos los movimientos naturales (tanto partículas con masa como fotones luminosos) siguen rutas geodésicas, de modo tal que este sistema de ecuaciones nos proporciona una descripción completa de los movimientos inerciales-gravitatorios de partículas de prueba en un campo esféricamente simétrico. Todo lo que nos queda por determinar son los coeficientes gtt y grr, y para lograrlo es aquí cuando recurriremos a la tercera ley de Kepler que nos dice: “Para cualquier planeta siguiendo una órbita elíptica, el

cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol (o la masa central que está ejerciendo la atracción gravitatoria)”. Esperamos que una posible solución a la métrica que estamos tratando de especificar sean órbitas Keplerianas circulares, lo cual significa que si consideramos a r correspondiendo al menos aproximadamente a la distancia Newtoniana radial al centro de la masa puntual, entonces debe de haber una ruta geodésica circular llevándose a cabo a una distancia r constante con una velocidad angular ω, y estas cantidades tienen que estar relacionadas -al menos aproximadamente- según la tercera ley de Kepler de acuerdo con la siguiente fórmula empírica para dicha ley: m = r3 ω² Si consideramos un movimiento puramente circular llevándose a cabo en el plano Ecuatorial (θ = π/2) a un valor de r constante, entonces la métrica se reduce a: ds² = gtt(dt)² - r² (dφ)² Recurriremos ahora al tiempo propio (tiempo local ) haciendo ds² = (cdτ)². Si hacemos c = 1 para fines de simplificación en la demostración, tenemos entonces lo siguiente: dτ² = gtt(dt)² - r² (dφ)² Puesto que dr/dt = o al no variar la coordenada radial conforme la partícula de prueba se mueve a lo largo de la ruta geodésica circular, las ecuaciones geodésicas para estas rutas circulares se reducen a:

Multiplicando al través por (dτ/dt)² e identificando a la velocidad angular ω con la derivada de φ con respecto a la coordenada temporal t, el lado derecho de esta última relación se convierte en:

Para que haya consistencia con la tercera ley de Kepler, tenemos que tener a ω² igual (o aproximadamente igual) a m/r3, de modo tal que llevamos a cabo esta substitución arriba para obtener:

Integrando esta ecuación encontramos que el coeficiente métrico debe ser de la forma: k - (2m/r) en donde k es una constante de integración. Puesto que gtt debe ser igual a 1 cuando m = 0 y/o cuando r tiende hacia el infinito, resulta claro que k = 1, de modo tal que:

Tenemos también que para un fotón alejándose en una dirección puramente radial de la masa gravitatoria dτ = 0, de modo tal que nuestra métrica para un rayo de luz puramente radial debe ser: gtt(dt)² = - grr(dr)² Considérese ahora una partícula radial de prueba situada a una distancia radial r. La ecuación de la métrica proporciona el elemento de línea de la línea del mundo (diagrama espacio-tiempo de Minkowski) de esta partícula de prueba: dτ² = gtt dt²

y tenemos también la ecuación de la ruta geodésica radial para esta partícula:

El lado izquierdo de esta ecuación es la aceleración causada por la gravedad, dr²/dτ² en unidades geométricas (con c= G = 1), lo cual es considerado como la expresión del inverso del cuadrado de la distancia - m/r² (el signo negativo sirve para distinguir la fuerza atractiva en contraste con la fuerza repulsiva). Combinando esto con las relaciones anteriores obtenemos entonces: gtt grr = - 1 Esto implica una “factorización perpendicular” de gtt = dr/dt y grr = - dr/dt en gtt(dt)² = - grr(dr)², lo cual nos dá grr = - 1/gtt, con lo cual tenemos ya la métrica completa de Schwarzschild: dτ² = (1 - 2m/r)(dt)² - (1 - 2m/r) -1(dr)² - r² (dθ)² - r² sen² θ (dφ)² en unidades geometrizadas en donde la masa m tiene unidades de longitud. El que sea posible derivar la métrica de Schwarzschild a partir de las leyes de Kepler sin tener un conocimiento previo de las ecuaciones de campo de la Relatividad General es posible porque los resultados obtenidos mediante las ecuaciones de campo de la Relatividad General se deben reducir a los resultados clásicos cuando el campo gravitacional no es muy intenso. Naturalmente, esto tiene sus limitaciones, porque en el caso de la luz, careciendo los fotones de masa en reposo, la mecánica Newtoniana no produce efecto gravitatorio alguno sobre la luz, en contraposición directa con lo que predice la Relatividad General. PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel de segundo género que sean diferentes de cero para la métrica de Schwarzschild dada como: ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² - r² dθ - r² sen² θ dφ² De este elemento de línea ds² de la métrica de Schwarzschild obtenemos los componentes del tensor métrico g que corresponde a dicha métrica, cuya representación matricial es la de una

matriz diagonal:

La fórmula general para la evaluación de los símbolos de Christoffel es: Γαμν = gαβ (- gμν,β + gνβ,μ + gμβ,ν)/2 o bien, mostrando explícitamente las diferenciaciones parciales sin recurrir a la abreviatura de la notación de la coma: Γαμν = gαβ (- ∂gμν/∂xβ + ∂gνβ/∂xμ + ∂gμβ/∂xν)/2 Para la evaluación de Γ111 en cooordenadas generalizadas tenemos: Γ111 = g11 (- ∂g11/∂x1 + ∂g11/∂x1 + ∂g11/∂x1)/2 o bien, haciendo a un lado las coordenadas generalizadas:

Aunque podemos evaluar todos los símbolos de Christoffel mediante la relación general, en la obtención abreviada de los símbolos de Christoffel de segundo género para un tensor métrico cuya representación matricial es la de una matriz diagonal podemos utilizar las relaciones de cálculo abreviado que se reproducen a continuación (no aplica en estas fórmulas la convención de sumación para índices repetidos):

El primer símbolo de Christoffel que obtendremos usando estos atajos será el que corresponde a Γttrque por la propiedad de simetría para los símbolos de Christoffel de segundo género es igual a Γtrt :

Ahora evaluaremos el símbolo de Christoffel que corresponde a Γ rtt (en la segunda línea el signo

negativo de la primera línea es cancelado por el signo negativo que va con grr):

El siguiente símbolo de Christoffel que obtendremos con los atajos será el que corresponde a Γ222 = Γrrr (al aparecer repetido grr, el efecto de los dos signos negativos se cancela):

A continuación obtendremos el símbolo de Christoffel que corresponde a Γrθθ (el signo negativo que porta grr se nulifica con el signo negativo que lleva gθθ):

El siguiente símbolo de Christoffel que evaluaremos será Γ rφφ (el signo negativo que porta grr se nulifica con el signo negativo que lleva gφφ):

A continuación evaluaremos el símbolo de Christoffel Γ θφφ (el signo negativo que porta gθθ se nulifica con el signo negativo que lleva gφφ):

Haremos ahora la evaluación del símbolo Γ θθr:

Por virtud de la simetría en los sub-índices de los símbolos de Christoffel de segundo género, en base a este resultado tenemos también que Γ θθr = Γθrθ. A continuación evaluaremos el símbolo de Christoffel Γ φφr (al estar repetido gφφ en la fórmula abreviada, el efecto de los dos signos negativos se cancela):

En virtud de la simetría en los sub-índices de los símbolos de Christoffel de segundo género, en base a este resultado tenemos también que Γ φφr = Γφrφ. Por último, evaluaremos a Γ φφθ:

En virtud de la simetría en los sub-índices de los símbolos de Christoffel de segundo género, en base a este resultado tenemos también que Γ φφθ = Γφθφ. Todos los demás símbolos de Christoffel posibles son iguales a cero. Con los símbolos de Christoffel disponibles para una métrica en particular, el montaje del sistema de ecuaciones geodésicas del movimiento para el 4-espacio relativista es directo e inmediato. PROBLEMA: Obtener las ecuaciones geodésicas correspondientes a los símbolos de Christoffel de la métrica de Schwarzschild que sean necesarias para describir el movimiento planetario de un cuerpo sumergido en un campo gravitacional. Al tratar el tema de la ruta geodésica, vimos que para el 4-espacio usando el tiempo propio (local) τ como el parámetro independiente, es el siguiente (en coordenadas generalizadas):

Para un campo esféricamente simétrico basado en las coordenadas (x1, x2, x3, x4) = (t, r, θ, φ), el sistema de ecuaciones geodésicas es el siguiente:

En cada una de las cuatro ecuaciones, por la convención de sumatoria para índices repetidos tendríamos en principio para el segundo término una expansión a 16 términos, y siendo cuatro las ecuaciones geodésicas del movimiento tendríamos que escribir un total de 4x16 = 64 términos adicionales para su posterior simplificación algebraica, lo cual puede parecer intimidante. Sin embargo, como podemos verlo en los símbolos de Christoffel que obtuvimos arriba para la métrica de Schwarzschild, en realidad hay tan solo unos cuantos que son diferentes de cero, de modo que el trabajo real es mucho menor de lo que aparenta ser. Llevaremos a cabo la formulación de la primera ecuación geodésica, la que corresponde a la primera coordenada (temporal) t:

escribiendo simplemente 0 para representar los 14 términos que son iguales a cero en la sumatoria desarrollada sin tomarnos la molestia de escribirlos explícitamente:

Del mismo modo, para la coordenada φ la ecuación geodésica será obtenida de la siguiente manera:

La evaluación de la ecuación geodésica que corresponde a la coordenada radial r, con las sumatorias expandidas de acuerdo a como lo pide la convención de sumación para índices

repetidos:

y que viene siendo igual a la siguiente expresión simplificada:

resulta ser la siguiente:

Podemos hacer una ligera simplificación de esta ecuación geodésica escribiéndola de la siguiente manera:

Si a estas alturas recurrimos a unidades geometrizadas (haciendo G = 1 y c = 1) con las cuales podemos acortar lo que tenemos que escribir, podemos escribir las siguientes ecuaciones geodésicas abreviadas para la métrica de Schwarzschild:

No hemos obtenido aún la ecuación geodésica que corresponde a d²θ/dτ². En realidad, no la necesitamos. Y no la necesitamos porque el movimiento del cuerpo en su ruta geodésica a través del espacio-tiempo curvo se lleva a cabo en un plano, requiriéndose por lo tanto una sola coordenada angular para continuar con el análisis. De cualquier modo, y con fines de completitud, a continuación tenemos la ecuación geodésica para la coordenada angular θ:

Obsérvese que si llevamos a cabo nuestro análisis en un plano de movimiento para el cual θ = π/2, el segundo término en esta última ecuación se desvanece en virtud de que cos(π/2) = 0, y la ecuación geodésica se reduce a lo mismo que lo que ya tenemos para la ecuación geodésica correspondiente a la coordenada φ, lo cual era de esperarse en virtud de que no hay razón p or la cual un desplazamiento angular deba ser privilegiado sobre otro. Continuaremos nuestro análisis recurriendo a las unidades geometrizadas que nos permiten tomar a la velocidad de la luz c y a la constante de gravitación universal G con valores iguales a la unidad, o sea c = G = 1. El uso de unidades geometrizadas está justificado cuando lo que queremos hacer es llevar a cabo un análisis cualitativo como lo haremos a continuación. Si lo que queremos es obtener resultados numéricamente exactos en unidades convencionales, entonces tenemos que revertir a los valores físicos reales de G y de c. Podemos integrar de inmediato -con substitución de variables- la primera ecuación y la tercera ecuación geodésicas para obtener así, en unidades geometrizadas:

en donde k y h son constantes de integración determinadas por las condiciones iniciales de las órbitas. Por otro lado, si con el fin de seguir llevando a cabo nuestro análisis cualitativo (en lugar de un análisis cuantitativo con resultados numéricos reales) tomamos la métrica convencionalmente “correcta” de Schwarzschild:

ds² = (1 - 2Gm/rc²)(cdt)² - (1 - 2Gm/rc²) -1(dr)² - r² (dθ)² - r² sen² θ (dφ)² haciendo ds = cdτ: (cdτ)² = (1 - 2Gm/rc²)(dt)² - (1 - 2Gm/rc²) -1(dr)² - r² (dθ)² - r² sen² θ (dφ)² y la expresamos en unidades geometrizadas haciendo G = 1 y c = 1: dτ² = (1 - 2m/r)(dt)² - (1 - 2m/r) -1(dr)² - r² (dθ)² - r² sen² θ (dφ)² dividiendo tras esto a la métrica entre dτ², obtenemos entonces lo siguiente: 1 = (1 - 2m/r)(dt/dτ)² - (1 - 2m/r) -1(dr/dτ)² - r² (dθ/dτ)² - r² sen² θ (dφ/dτ)² Escogiendo para θ un valor constante θ = π/2, con lo cual dθ/dτ = 0, y con lo cual el último término se reduce simplemente a r² (dφ/dτ)², tenemos entonces: 1 = (1 - 2m/r)(dt/dτ)² - (1 - 2m/r) -1(dr/dτ)² - r² (dφ/dτ)² Substituyendo aquí los resultados que obtuvimos de las integraciones de las dos ecuaciones geodésicas para la métrica de Schwarzschild, llegamos ahora a lo siguiente:

Podemos despejar para (dr/dτ)², obteniendo así:

Diferenciando esto último con respecto a τ y dividiendo entre 2(dr/dτ) obtenemos lo siguiente:

Haciendo dφ/dτ = ω para identificar a la velocidad angular propia (local), podemos identificar entonces que h = ωr², con lo cual esta última ecuación puede ser escrita de la siguiente manera:

Para el caso en el que la velocidad angular del cuerpo que está sumergido en la métrica es igual a cero, o sea ω = 0, esto nos dá la forma apropiada de la ley de la atracción universal de Newton en la cual la aceleración gravitacional varía en razón inversa al cuadrado de la distancia. Para el caso en el que ω no es igual a cero, el término ω²r corresponde a la aceleración centrípeta Newtoniana clásica para la cual, si definiéramos a la velocidad tangencial como el producto de la velocidad angular por el radio (v = ωr), sería igual a la expresión clásica v²/r. Este término sirve para contrarrestar de alguna manera la atracción causada por la gravedad, pero en la versión relativista exacta lo que encontramos no es ω²r sino ω²(r - 3m) en el tercer término de la ecuación de arriba. Para evitar confusiones, vale la pena notar que la cantidad ω²(1 - 3m/r) sería simplemente ω² si ω fuese definida como la derivada de φ con respecto al tiempo de coordenada de Schwarzschild (t) en lugar del tiempo propio τ. De este modo, la versión relativista de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares es formalmente idéntica a la versión Newtoniana, pero solo si identificamos a las coordenadas Newtonianas con las coordenadas de Schwarzschild. Para valores de r mucho mayores que 3m -en unidades geometrizadas- esta diferencia puede ser ignorada, pero debe ser claro que conforme el valor de r se va aproximando cada vez más al valor de 3m podemos esperar

encontrarnos con efectos no-clásicos, y naturalmente si r llega a ser menor que 3m esperamos encontrarnos con efectos de índole puramente relativista que no tienen absolutamente nada de clásicos. De hecho, esto corresponde al caso en el cual la partícula en órbita va cayendo en espiral hacia el centro. En la mecánica clásica Newtoniana, es imposible que una partícula en órbita pueda ir cayendo en espiral hacia el centro del cuerpo que produce el campo gravitacional porque sólo son posibles las órbitas elípticas. Aunque se nos vengan a la mente las imágenes de satélites en órbita que van cayendo en espiral hacia la Tierra (como el Skylab, precursor de la Estación Espacial Internacional, el cual cayó a la tierra el 11 de julio de 1979 tras ir perdiendo altura por varias semanas), la pérdida de altura en tales casos se debe a la oposición que va presentando la cada vez más densa atmósfera terrestre al satélite que está cayendo. La caída en espiral no sólo es posible sino que incluso es explicada y anticipada dentro de la mecánica relativista. Puesto que las ecuaciones de arriba involucran únicamente potencias de (1/r), es conveniente hacer un cambio de variables haciendo u = 1/r. Diferenciando a u con respecto a φ nos dá du/dφ = -(1/r)²dr/dφ. También, puesto que r² = h/(dφ/dt), tenemos que dr/dτ = -h(du/dφ). Substituyendo los valores de dr/dτ y 1/r en la ecuación:

obtenemos la siguiente ecuación diferencial que nos relaciona a u con φ:

Diferenciando nuevamente con respecto a φ y dividiendo entre 2h² llegamos a lo siguiente:

en donde con la notación de doble punto estamos representando lo siguiente (no se trata de una segunda derivada con respecto al tiempo):

Lo que tenemos ahora es una ecuación cuadrática en u. Resolviendo dicha ecuación cuadrática tenemos entonces:

La cantidad dentro de los paréntesis bajo la raíz cuadrada típicamente es muy pequeña en comparación con la unidad, de modo tal que podemos aproximar a la raíz cuadrada con los primeros términos de la expansión en series:

Usando estas aproximaciones para expandir el lado derecho y reacomodando términos obtenemos entonces:

El valor de d²u/dφ² es numéricamente muy pequeño en problemas astronómicos típicos, varios órdenes de magnitud menor que la unidad, de modo tal que la cantidad 3m(d²u/dφ²) en el lado derecho puede ser ignorada en el análisis de los movimientos planetarios. Esto nos deja ya simplmente con un oscilador harmónico simple de la forma:

en donde M y F son constantes. Para alguna selección inicial de φ la solución general de esta ecuación puede ser expresada de la manera siguiente:

en donde k es una constante de integración. De este modo, revirtiendo al parámetro original r = 1/u, la relación entre r y φ es:

en donde:

Si la “frecuencia” ω del movimiento planetario fuese igual a la unidad, esto vendría siendo la ecuación en coordenadas polares de una elipse con el polo ocupando uno de los focos de la elipse (primera ley de Kepler), y la constante k sería la eccentricidad. Por su parte, el factor principal vendría siendo la distancia radial del foco a la elipse a un ángulo de π/2 radianes del eje mayor; o en otras palabras, vendría siendo el semilatus rectum. Sin embargo, el valor de ω es de hecho ligeramente menor que la unidad, lo que implica que φ debe ir un poco más allá de 2π para poder completar un ciclo de la distancia radial. Consecuentemente, para valores pequeños de m/h la trayectoria es aproximadamente Kepleriana, pero el eje está sujeto a una precesión como lo muestra la siguiente figura:

Esta figura muestra un caso mucho más severo que el que existiría para cualquier planeta en nuestro sistema solar, porque el perihelio de la órbita de este ejemplo está a únicamente 200m (en donde m es el radio gravitacional en unidades geometrizadas) del cuerpo central, lo cual significa que está a únicamente unas 100 veces del “radio del agujero negro correspondiente” (posteriormente se verá con más detalle el caso de los agujeros negros). La masa de nuestro propio Sol no está lo suficientemente concentrada para permitir este tipo de órbita con una precesión tan pronunciada, puesto que el radio gravitacional del Sol es de únicamente m = 1.475 kilómetros, mientras que su masa se extiende a una esfera de 696 mil kilómetros de radio. Para determinar la predicción relativista para la precesión de las órbitas planetarias, podemos llevar a cabo la expansión de W del modo siguiente:

Puesto que m/h es tan pequeño, podemos tomar simplemente el término de primer orden, y observando que un ciclo de la función radial será completado cuando ωφ = 2π, podemos ver que

φ debe incrementar en 2π/ω para cada ciclo radial, de modo que la precesión por revolución viene siendo:

A diferencia de la aproximación utilizada por Einstein para el cálculo de la precesión de Mercurio, la solución de Schwarzschild es una solución exacta, lo que significa que puede ser utilizada en el análisis de los movimientos planetarios en donde el cuerpo central puede ser un cuerpo masivo compacto produciendo un campo gravitacional mucho más intenso que el del mismo Sol. Si nos imaginamos tal objeto central extremadamente denso, cuya masa esté concentrada dentro de su radio gravitaciona, podemos obtener desviaciones mucho mayores de las órbitas Newtonianas. Si la razón de la precesión es aproximadamente igual a la razón orbital, entonces tendremos una órbita como la que se muestra a continuación:

Para una órbita con una energía ligeramente menor, la trayectoria tendrá un aspecto como el siguiente:

en donde el círculo interior punteado representa la órbita “ligera” con el radio r = 3m. Con suficiente momentum angular es posible hacer que órbitas persistentes tipo-tiempo (timelike) vayan descendiendo hacia el cuerpo central a cualquier radio provisto que se mayor que 3m, el cual a su vez es el radio más pequeño posible para una órbita circular (de cualquier modo, una órbita circular para un radio menor que 6m se vuelve inestable). Si una geodésica tipo-tiempo llega a pasar dentro de tal radio entonces recorrerá una trayectoria en espiral hacia el cuerpo central como lo muestra la siguiente figura:

En este ejemplo, el círculo punteado exterior representa el valor 3m (esto tiene que ver con algo que ha sido definido como la esfera de fotones y lo cual estudiaremos posteriormente con mayor detalle), mientras que el círculo interior está situado en el valor 2m justo en lo que se conoce como el horizonte de evento de los agujeros negros (en dimensiones “correctas”, el valor 2m viene siendo la distancia rs= 2GM/c² conocida como el radio de Schwarzshild y la cual estudiaremos posteriormente con mayor detalle) dentro del cual no le es posible a nada escapar ni siquiera a la misma luz. Una vez que una línea del mundo ha caído dentro de 2m, trátese o no de una

geodésica, la coordenada radial de acuerdo con la solución de Schwarzschild debe ir disminuyendo monotónicamente hacia cero. El asunto de los agujeros negros es de una importancia tal que su discusión será tratada más a fondo posteriormente. En relación a la caída en espiral hacia el cuerpo central generador del campo gravitacional, hay un precedente histórico curioso sobre esto. Algún tiempo antes de escribir su Principia en donde las bases de la mecánica Newtoniana gravitacional quedaron establecidas, Newton escribió una carta a Robert Hooke describiéndole la caída en espiral de un objeto hacia el centro de un cuerpo ejerciendo una atracción gravitacional. Años después cuando Principia había establecido la reputación de Newton, ambos se enfrascaron en una discusión acalorada sobre quién tenía el mérito del descubrimiento de las leyes (clásicas) de la gravitación universal, y Hooke frecuentemente citaba la carta de Newton como evidencia de que en ese tiempo Newton no había entendido lo suficientemente bien la naturaleza de la gravedad, en virtud de que la ley de la inversa del cuadrado de la distancia no permite caídas en espiral, sólo permite órbitas elípticas. Newton simplemente respondió argumentando que tal idea había sido simplemente un golpe desafortunado de su pluma. Resulta interesante notar que aunque en ocasiones hay gente que le atribuye a Newton la idea de los fotones basada en su errónea teoría corpuscular de la luz (los corpúsculos de Newton requerían estar formados de masa, y hoy se sabe que los fotones carecen de masa en reposo) jamás se ha sugerido que la “espiral negligente” de Newton haya sido una premonición de la caída en espiral predicha por la solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de la Relatividad General. En los desarrollos que hemos llevado a cabo, se ha supuesto que el campo gravitacional del cuerpo central que genera el espacio-tiempo curvo correspondiente a la métrica de Schwarzschild es de mucho mayor intensidad que la intensidad de los campos que provocan las curvaturas del espaciotiempo que acarrean consigo los cuerpos que están orbitando en torno al cuerpo central o que están en caída libre hacia el mismo, de modo tal que podemos considerar que la curvatura del espacio-tiempo producida por el cuerpo central no es afectada de manera significativa por los cuerpos sobre los cuales ejerce su influencia el campo gravitacional del cuerpo central. De este modo, la masa-energía del cuerpo central (en este caso, el Sol) le dice al espacio-tiempo cómo se debe “curvear”, mientras que la curvatura de este espacio-tiempo le dice a los cuerpos sobre los cuales ejerece una influencia gravitatoria cómo se deben mover. Pero tratándose de dos cuerpos de masas del mismo orden de magnitud, la situación cambia y ya no es posible utilizar aproximaciones. Inclusive, ya ni siquiera podemos hablar de soluciones analíticas exactas, y el problema se complica de tal modo que se vuelve irresoluble por procedimientos manuales de cálculo. Afortunadamente, se pueden llevar a cabo simulaciones computarizadas para solventar nuestras limitaciones de cálculo manual, lo cual nos lleva al campo de la relatividad numérica. Pero aún con la ayuda de poderosas super-computadoras, los cálculos para problemas tan sencillos como el de dos cuerpos de masas iguales aproximándose (sin encontrarse directamente a lo largo de sus líneas de movimiento) puede terminar convirtiéndose en una tarea capaz de consumir varios días o inclusive semanas de super-cómputo continuo. Si en la mecánica Newtoniana el problema de los tres cuerpos es irresoluble por procedimientos matemáticos analíticos, en la

mecánica relativista el problema de los dos cuerpos se vuelve irresoluble. Un ejemplo de un problema que involucra la interacción de dos campos gravitacionales que no se presta a un análisis sencillo es el del fenómeno de las mareas provocado por la atracción que ejerce la Luna sobre los mares de la Tierra:

En este caso, tenemos la interacción entre dos campos gravitacionales, el campo gravitacional de la Tierra que mantiene a los mares en el planeta, y el campo gravitacional de la Luna que “jala” a la masa de agua. Aunque estamos acostumbrados a hablar de una “atracción” gravitacional, en realidad tal atracción no existe porque la fuerza de atracción de la gravedad de Newton nunca existió. Lo único que existe, en la filosofía relativista, es la curvatura del espacio-tiempo que provocan la Tierra y la Luna en el 4-espacio intermedio que hay entre ambos cuerpos celestes, y esta curvatura no es algo que tenga una solución exacta como la que ofrece la métrica de Schwarzschild para un campo gravitacional simétricamente esférico y estático que no sea perturbado de modo significativo por los cuerpos a los que “atrae”. De cualquier modo, aún en la mecánica Newtoniana el análisis cuantitativodel fenómeno de las mareas usando números es un problema que no tiene solución exacta y tenemos que conformarnos con análisis de índole cualitativa o con simulaciones numéricas. Y si para llevar a cabo el análisis reemplazamos a la mecánica Newtoniana por la mecánica relativista, el problema se vuelve prácticamente irresoluble. Al igual que como ocurre en el estudio de fenómenos en los cuales las velocidades bajo consideración son considerablemente menores a la velocidad de la luz pudiéndose prescindir de la Teoría Especial de la Relatividad usando en su lugar la mecánica clásica no porque sea la correcta sino por su facilidad de uso, del mismo modo en el estudio de fenómenos en los que el campo gravitacional no es muy intenso se puede seguir utilizando la mecánica Newtoniana basada en su ley de gravitación universal que, aunque incorrecta, es mucho más sencilla de utilizar en una gran cantidad de problemas astronómicos, aunque eventualmente llega un momento en el que a la mecánica Newtoniana “se le acaba la gasolina” y no queda más opción que recurrir a la Relatividad General.

54. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD III La métrica de Schwarzschild, una solución exacta a las ecuaciones de campo de la Relatividad General, no sólo sirve para analizar el movimiento orbital de los planetas y demás cuerpos celestes en torno a astros capaces de generar un campo gravitacional intenso. También se puede utilizar para el análisis, desde la perspectiva relativista, de otros fenómenos tales como la caída libre de los cuerpos hacia un cuerpo central. Ya desde tiempos de Galileo se había establecido que sobre la superficie de la Tierra todos los cuerpos caen con la misma rapidez, trátese de un elefante, de un ratón o de una pluma (en el caso de la pluma, su caída suave se debe a la resistencia del aire, pero si la pluma se mete dentro de un tubo al que se le ha extraído todo el aire la pluma al caer en el vacío cae con la misma rapidez que la rapidez con la cual cae un elefante), y la explicación clásica dada es que siendo la aceleración gravitacional g igual a la fuerza de atracción gravitatoria F ejercida por la Tierra sobre la masa (g = F/m, de la fórmula Newtoniana F = ma), a una masa mayor m corresponde una fuerza de atracción mayor Fmanteniéndose de este modo la aceleración g constante:

En realidad, es posible deducir por simple lógica que todos los cuerpos dejados caer desde alturas iguales deben ir cayendo con la misma rapidez sobre la superficie de la Tierra sin importar sus masas mediante una consideración simple que nos lleva a una paradoja. Supóngase que tenemos dos masas desiguales, una de 2 kilos y otra de 1 kilo. Si los cuerpos han de caer con mayor rapidez tanto más masa tengan, entonces la masa de 2 kilos debe caer con mayor rapidez que la masa de 1 kilo al dejarlos caer por separado. Pongamos ahora la masa de 1 kilo debajo de la masa de 2 kilos dejando caer la combinación. Puesto que la masa de 1 kilo cae con menor rapidez que la masa de

2 kilos, la primera debe retardar la caída de la masa de 2 kilos, y por lo tanto la combinación debe caer con una rapidez menor que la que correspondería a la masa de 2 kilos. Sin embargo, si consideramos la combinación total de masas, esta representa una masa total de 3 kilos, y por lo tanto debería caer con una rapidez mayor que la que correspondería a una masa de 2 kilos. O sea, que debería caer a dos velocidades distintas, lo cual no es posible. La única salida de esta paradoja es aceptar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración (la tradición relata que el mismo Galileo se subió hasta lo más alto de la torre de Pisa dejando caer dos cuerpos de masas diferentes para que un ayudante suyo verificara abajo que ambos cuerpos llegaban al suelo al mismo tiempo). Si la Relatividad General está en lo correcto, entonces debemos esperar que también haga una predicción similar a lo que ya se conoce, o sea que todos los cuerpos deben caer con la misma aceleración sobre la superficie de la Tierra. Puesto que esta es una caída libre dirigida hacia el centro de la Tierra a lo largo de una coordenada radial, debemos estudiarla como una trayectoria geodésicaradical. Para estudiar trayectorias radiales bajo la métrica de Schwarzschild que describe la curvatura del espacio-tiempo generada por un cuerpo central estático de masa M, tomamos la métrica: ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² - r² dθ - r² sen² θ dφ² y puesto que estamos interesados aquí en movimientos puramente radiales, los diferenciales de las coordenadas angulares dθ y dφ serán iguales a cero. Esto nos deja únicamente con lo siguiente: ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² Matemáticamente hablando, lo que tenemos aquí es una 2-superficie, puesto que dos variables es justo lo que necesitamos para describir una superficie empotrada en el 4-espacio relativista, siendo en este caso las variables t y r. Expresada mediante el tiempo propio τ, la fórmula se convierte en: (cdτ)² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² Esta fórmula nos permite calcular el transcurso total del tiempo propio (tiempo local) a lo largo de una trayectoria radial que corresponde a incrementos en las coordenadas dt y dr. De la métrica, haciendo un reacomodo ligero: (cdτ)² = [(r - 2GM/rc²)/r] c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr²

podemos ver que el la representación matricial del tensor métrico g que corresponde a este elemento de línea es la siguiente:

Del tensor métrico podemos obtener de inmediato el tensor métrico conjugado g-1 que viene siendo:

Con el fin de poder utilizar coordenadas generalizadas (notación de índices), haremos x1 = t y x2 = r. Ya hemos visto que un sistema de ecuaciones geodésicas se puede expresar de la siguiente manera (usaremos el parámetro general como se acostumbra en muchos textos, el cual se puede reemplazar posteriormente por el tiempo propio τ o por un elemento de arco de la trayectoria):

en donde hay una sumación implícita en cada par de índices repetidos en el segundo término de acuerdo a la convención de sumación. Puesto que estamos trabajando con dos coordenadas, nuestro sistema de ecuaciones geodésicas consistirá únicamente de dos ecuaciones. Para el cálculo de los símbolos de Christoffel podemos utiizar la relación general que es (obsérvese la permutación cíclica de los índices siguiendo el sentido de las manecillas del reloj de término a término dentro de los paréntesis):

Tomando las derivadas parciales de los componentes de nuestro tensor métrico encontramos que los únicas derivadas que no son iguales a cero son las siguientes:

A estas alturas resulta obvio que conforme vayamos ampliando nuestro análisis las constantes G y c que iremos arrastrando nos irán consumiendo tiempo de escritura así como espacio disponible en nuestro campo de lectura volviendo la notación confusa y engorrosa. Es por ello que, para hacer un análisis cualitativo, nos conviene recurrir a unidades geometrizadas haciendo la simplificación G = c = 1, y si por alguna razón tenemos que llevar a cabo análisis numéricos exactos (o aproximados) para situaciones reales podemos revertir a las unidades convencionales dándoles a G y a c los valores que les corresponden a dichas constantes universales en el sistema de unidades que estemos empleando. Con esto, las derivadas anteriores vienen quedando así:

Utilizando estas derivadas parciales geometrizadas podemos obtener los símbolos de Christoffel que vienen siendo:

Substituyendo estos símbolos de Christoffel en la relación general geodésica y revirtiendo a la notación convencional de las coordenadas dejando de lado las coordenadas generalizadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones para las rutas geodésicas sobre la 2-superficie que estamos analizando:

Aunque estas dos ecuaciones pueden ser integradas en forma cerrada, exacta, los resultados no se prestan mucho a la manipulación analítica. También pueden ser integradas numéricamente utilizando pequeños incrementos de longitud para cualquier posición y trayectoria inicial, y esto es de hecho lo que se lleva a cabo en programas de simulación computarizada como los programas que se citan en los Apéndices a esta obra. Esto nos permite generar fácilmente rutas geodésicas en términos de r como función de t. Si hacemos esto, descubriremos que invariablemente las rutas se van hacia un t infinitamente grande conforme r se va acercando a 2GM/c² (o bien, 2M en unidades geometrizadas). Esto nos lleva naturalmente a preguntarnos si en dicho punto tenemos una singularidad real o si lo que tenemos es un punto “mal-comportado” en nuestro sistema de coordenadas (como el Polo Norte en los mapamundis). La 2-superficie bajo consideración tiene una curvatura Gaussiana invariante en cada punto de las coordenadas (variando de un punto a otro). Para obtener la curvatura Gaussiana intrínseca K para esta 2-superficie se pueden utilizar los

componentes del tensor métrico g y sus primeras y segundas derivadas. Las primeras derivadas ya fueron obtenidas arriba en el curso de la obtención de los símbolos de Christoffel. Las únicas derivadas de segundo orden que no son cero resultan ser las siguientes (en unidades geometrizadas):

Con lo que tenemos aquí, no resulta difícil demostrar que la curvatura Gaussiana intrínseca K para esta métrica es la siguiente:

Esto significa que en r= 2M la curvatura Gaussiana (que es independiente de las coordenadas seleccionadas para describir cualquier 2-superficie) es: K = - 2M/[(2M)3] = - 1/4M² Puesto que la curvatura Gaussiana tiene un valor finito en r = 2M, la singularidad no es una singularidad física real, se trata más bien de un fallo de las coordenadas empleadas. La única singularidad real de la 2-superficie que estamos estudiando ocurre en el punto r = 0 en donde la curvatura Gaussiana explota volviéndose infinita. Para poder graficar la distancia radial en función del tiempo propio τ, nos gustaría poder eliminar a t de nuestro sistema de dos ecuaciones geodésicas. Para poder hacerlo, observamos que si en la primera ecuación geodésica definimos a la variable T como T = dT/dλ, podemos escribir a dicha ecuación geodésica del modo siguiente:

Esta es ya una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en T con coeficientes variables, teniendo la forma convencional:

La solución de la ecuación viene siendo la siguiente:

La integral en el exponencial es simplemente: ln(r) - ln(r - 2M) con lo cual el resultado viene siendo:

Supóngase ahora que nuestra partícula de prueba está inicialmente estacionaria en r = R y que la soltamos dejándola caer en caída libre. Podemos considerar en cierta forma al punto r = R como el “apogeo” de la órbita radial. Nuestro parámetro afín λ es proporcional al tiempo propio τ a lo largo de la trayectoria, y el valor que le asignemos a k determinará el factor de escala entre λ y τ. De la ecuación métrica original (en unidades geometrizadas):

(dτ)² = (1 - 2M/r) dt² - (1 - 2/r) -1 dr² sabemos que en el “apogeo” r = R en donde la velocidad inicial dr/dτ = 0 debemos tener: (dτ)² = (1 - 2M/R) dt² - (1 - 2/r) -1 dr² dτ/dt = √1 - 2M/R Multiplicando esto por la derivada previa dt/dλ tenemos entonces:

Por lo tanto, para poder escalar nuestro parámetro afín λ al tiempo propio τ para esta órbita radial, necesitamos hacer: k = √1 - 2M/R de modo que (representando la distancia inicial R de color azul para distinguirla de la coordenada variable r):

Esto implica que el valor inicial de dt/dλ en el “apogeo” es 1/√1 - 2M/R, y naturalmente dr/dλ en dicho punto es igual a cero. Substituyendo este resultado en la segunda ecuación geodésica nos dá una sola ecuación que nos relaciona al parámetro radial r y al parámetro afín λ que hemos hecho equivalente al tiempo propio τ, de modo tal que podemos escribir lo siguiente (en unidades geometrizadas):

En el “apogeo” r = R en donde dr/dτ es igual a cero, podemos borrar este término que aparece en el numerador dentro del paréntesis del lado derecho, obteniendo de este modo simplemente:

Esta es una medida de la aceleración de la partícula de prueba a lo largo del parámetro radial r. Aún antes de que resolvamos la penúltima ecuación para cualquier valor de r, resulta claro que puede ser integrada para darnos la ruta geodésica desde cualquier trayectoria inicial, y podemos confirmar que atraviesa suavemente a través del valor “mal comportado” (a causa de las coordenadas utilizadas) r = 2M como una función del tiempo propio τ. Esto al principio puede parecer sorprendente, puesto que el denominador en el lado derecho de la penúltima ecuación contiene 1-2M/r (lo cual resulta en una división por cero), así que parecería que la segunda derivada de r con respecto a τ, d²r/dτ², estalla justo en el punto r = 2M. Sin embargo, un análisis posterior demuestra que el cuadrado de dr/dτ, o sea el término (dr/dτ)² que habíamos “borrado” arriba, invariablemente se convierte en (1 - 2M/R) precisamente en r = 2M, con lo cual el numerador de la antepenúltima ecuación se vuelve cero también, y como bien lo saben los matemáticos, la división de cero entre cero, o sea 0/0, aún como una operación límite, no es igual ni al infinito (∞) ni a cero (0). Para resolver la ecuación analíticamente, observamos que la derivada con respecto a τ de la cantidad en los paréntesis cuadrados es igual a:

La expresión dentro de los paréntesis cuadrados en el lado derecho se desvanece sí y solo sí la ecuación:

es satisfecha, de modo tal que podemos concluír que la cantidad entre los paréntesis cuadrados en el lado izquierdo de la ecuación debe ser constante (haciéndose la observación aquí de que la singularidad en r = 2M debe poder ser removible mediante un cambio adecuado de coordenadas, lo cual fue logrado mediante las coordenadas Kruskal-Szkeres), y por lo tanto podemos considerar a dicha cantidad igual a la unidad (suponiendo que sea la unidad en cualquier punto de la trayectoria, que es en el apogeo para una trayectoria ligada). Por lo tanto, la relación de la inversa del cuadrado de la distancia:

es satisfecha en cualquier punto de la trayectoria. Tomando la cantidad entre los paréntesis cuadrados del lado izquierdo igual a la unidad, tenemos entonces:

Tomando la raíz cuadrada y reacomodando los términos:

Podemos llevar a cabo una integración inmediata sobre esto para obtener ya sea una respuesta analítica o una aproximación numérica. Si llevamos a cabo la integración desde una distancia r1 hasta una distancia r2, llegamos a lo siguiente:

Podemos simplificar este resultado mediante un cambio de variables, definiendo al seno inverso que tenemos en el segundo término como el coseno de algún ángulo α. Una definición de α que puede funcionar es: cos(α) = 2r/R - 1 Esto implica que:

Insertando esto en la ecuación precedente nos dá el tiempo propio τ transcurrido entre r1 y r2 de la siguiente manera:

Esto nos demuestra que la ecuación:

tiene la misma forma cerrada de solución como la que encontramos en la caída libre radial de la mecánica Newtoniana (si identificamos a τ como el tiempo “absoluto”), o sea las relaciones paramétricas cicloidales que se estudian en la mecánica Newtoniana. Un graficado de r con respecto a τ corresponde a la posición de un punto en el “rin” (rim) de una rueda rodante de radio R/2, en donde α es el ángulo de la rueda. Se deduce de la derivación anterior que esta ecuación paramétrica también satisface la relación de la inversa del cuadrado de la distancia d²r/dτ² = - M/r² que es tan familiar a los principiantes en el estudio de la mecánica Newtoniana. Podemos expresar también el tiempo correspondiente a la coordenada temporal de Schwarzschild (t) explícitamente en términos de α multiplicando las siguientes dos relaciones:

para dar:

Substituyendo la expresión paramétrica para r en esta ecuación, multiplicando a través por α e integrando ambos lados, obtenemos:

Esta integral puede ser evaluada explícitamente para dar:

Haciendo uso de la identidad trigonométrica:

la ecuación puede ser escrita de la siguiente manera:

en donde: Q = √(R/2M) - 1

Antes de utilizar la fórmula que acabamos de obtener para llevar a cabo el graficado de la órbita radial, tenemos que tomar una precaución. En este punto, podemos hablar de una “región interior” para valores de r menores que 2M y de una “región exterior” para valores de r mayores que 2M. Para valores de α que correspondan a valores de r menores que 2M el argumento del logaritmo es negativo, y por lo tanto el valor del logaritmo está fuera por π. Esto ocurre porque, en tales casos, estamos integrando de α = 0 en donde r = R (que es mayor que 2M) a un valor de α que corresponde a r menor que 2M, y por lo tanto tenemos que efectuar una integración compleja (recurriendo a la teoría de las variables complejas) alrededor de la singularidad en r = 2M desplazando el resultado por ± π (suponiendo que la trayectoria de la integración compleja no dé una vuelta completa alrededor de la singularidad). Esto no es sorprendente, porque las coordenadas t son discontinuas en r = 2M, así que no podemos “transportar” sin ambigüedad el etiquetado de las coordenadas t de la región en donde r es mayor que 2M a la región en donde r es menor que 2M. En general, puesto que los coeficientes métricos son independientes de t, las etiquetas de t para eventos fuera de r = 2M pueden ser desplazadas por un valor constante sin afectar nuestros resultados, y del mismo modo las etiquetas de t para eventos dentro de r = 2M pueden ser desplazadas por un valor constante. Más aún, los desplazamientos para los etiquetados de t para las regiones interior y exterior son independientes el uno del otro debido a la discontinuidad en r = 2M. No habiendo una condición interior de frontera (boundary), estamos libres de seleccionar el desplazamiento interior de modo tal que t sea un valor real. La parte real del logaritmo natural de la variable compleja z -ln(z)- para cualquier valor de z es ln(|z|), de modo tal que podemos estipular simplemente que tomaremos el valor absoluto del argumento del logaritmo, o sea que podemos definir las coordenadas temporales mediante la siguiente relación (obsérvese que la única diferencia entre esta relación y la que tenemos arriba es que estamos tomando el valor absoluto del argumento del logaritmo natural):

Esto nos dá valores reales (liberándonos de valores complejos o imaginarios) para el etiquetado de las coordenadas del tiempo que satisface la condición en la derivada en cada punto (excepto, claro está, en donde las coordenadas del tiempo son singulares en r = 2M). Estrictamente hablando, podríamos desplazar las coordenadas interiores aún más con cualquier constante real, de modo tal que la expresión anterior para la coordenada del tiempo de una partícula en caída libre no es la única, pero ciertamente es la más sencilla que aparea las etiquetas temporales (tanto la de la coordenada temporal t como la del tiempo propio τ). En base a la fórmula que hemos obtenido, la gráfica de la coordenada radial r, tanto para el tiempo propio τ como para el tiempo de

coordenada t, con los tres expresados en metros (en unidades geometrizadas) es la siguiente:

En la gráfica (que en realidad son cuatro gráficas en una) podemos apreciar que el “apogeo” de la partícula que se ha dejado caer (el “apogeo” es el parámetro que podemos variar libremente) ha sido seleccionado en una distancia radial r = 10 metros (medida en unidades geometrizadas). Esta es la mitad del lado derecho de la gráfica, en donde tenemos de hecho dos gráficas, una para el tiempo de coordenada t medido por un observador situado suficientemente lejos del alcance del campo gravitacional, y la otra para el tiempo propio (local) τ medido por el reloj de un observador que viaja junto con la partícula que está en caída libre. Obsérvese que el tiempo también está especificado en unidades geometrizadas, o sea en metros. Hemos supuesto que al dejarse caer la partícula los tiempos de ambos observadores están sincronizados en t = τ = 0. Para un observador que viaja junto con la partícula, conforme la partícula avanza el viajero atraviesa la barrera r = 2M sin problema alguno mientras que su reloj que mide el tiempo τ sigue avanzando de modo normal encaminándose hacia la singularidad en r = 0. Sin embargo, lo que el observador externo ve es algo muy diferente, como lo manifiesta la discontinuidad en la medición del tiempo encontrada al llegar a r = 2M. Por su parte, la mitad del lado izquierdo de la gráfica muestra más bien los efectos de una inversión matemática que una situación física real, porque en este caso tenemos tiempos negativos que van haciéndose cada vez menos negativos (o más positivos) conforme la partícula va saliendo de la singularidad atravesando la barrera r = 2M hasta llegar al “apogeo”. Lo que nos muestra el lado izquierdo de la gráfica es el efecto tanto de la inversión t → - t como de la

inversión τ → - τ. Una característica interesante de las trayectorias en esta gráfica es su simetría temporal. No sólo hay una ruta geodésica continua desde el “apogeo” hasta la singularidad en r = 0 pasando a través del radio r = 2M (medida en τ), también hay una ruta geodésica continua desde la singularidad en r = 0 pasando a través del radio r = 2M hasta llegar al “apogeo”. Esta simetría era de esperarse en virtud de la simetría temporal que exhiben las ecuaciones de campo en general y en especial la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, y como pronto lo veremos, una vez que una partícula ha entrado al interior de r = 2M, a la partícula ya no le será posible salir. Si bien es cierto que la solución de Schwarzschild nos permite llevar a cabo el análisis de fenómenos tales como el análisis de las órbitas de los planetas en torno al Sol o la caída libre de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra, recuperando como aproximaciones a casos especiales las mismas fórmulas que las que habían sido obtenidas mediante la “vieja” mecánica Newtoniana, la solución de Schwarzschild también nos permite predecir otros efectos de índole puramente relativista cuya posibilidad ni siquiera es contemplada en la mecánica de Newton. Uno de tales fenómenos es ladilatación gravitacional del tiempo. PROBLEMA: Un campo gravitacional generado por un cuerpo simétricamente esférico y estático de masa M produce una dilatación relativista del tiempo a una distancia fija r = R del centro del cuerpo. Obtener la fórmula para la dilatación del tiempo de índole gravitacional a partir de la métrica de Schwarzschild. A una distancia fija r = R del centro del cuerpo, tanto dr como dθ y dφ se desvanecen de la métrica de Schwarzschild: ds² = (1 - 2GM/rc²) c²dt² - [1 - 2GM/rc²] -1 dr² - r² dθ - r² sen² θ dφ² dejándonos únicamente con lo siguiente: ds² = (1 - 2GM/Rc²) c²dt² En el lado izquierdo podemos hacer la substitución ds² = c²dτ² con lo cual: c²dτ² = (1 - 2GM/Rc²) c²dt² dτ² = (1 - 2GM/Rc²) dt² Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

dτ = √1 - 2GM/Rc² dt Despejando para dt e integrando obtenemos la relación deseada:

De acuerdo con la fórmula exacta que hemos obtenido, a una distancia relativamente grande del cuerpo que está produciendo la curvatura del espacio-tiempo Δt = Δτ, y dos observadores en reposo el uno frente al otro medirán el mismo paso del tiempo de acuerdo a sus respectivos relojes que suponemos que están sincronizados. Pero si uno de ellos se acerca a un cuerpo que está produciendo un campo gravitacional, entonces la marcha del tiempo parecerá dilatada por el factor √1 - 2GM/Rc². Obsérvese que éste ya no es un factor Lorentziano √1 - V²/c². Lo que tenemos aquí es un efecto de índole puramente gravitacional que sólo pudo haber sido predicho por la Relatividad General (estrictamente hablando, la fórmula para la dilatación del tiempo gravitacional puede ser derivada de un modo más laborioso dentro de la Teoría Especial de la Relatividad considerando marcos de referencia acelerados, pero eventualmente tendríamos que invocar el Principio de Equivalencia para poder meter eventualmente la masa M y la constante de gravitación universal G dentro de nuestra fórmula final, que es a fin de cuentas lo mismo que hizo Einstein al desarrollar la Relatividad General). PROBLEMA: Expresar la fórmula para la dilatación gravitacional del tiempo metiendo dentro de ella el potencial gravitacional Newtoniano clásico. El potencial Newtoniano clásico φ producido por una masa M a una distancia r del cuerpo está definido como: φ = - GM/R de donde: R = - GM/φ

con lo cual tenemos:

Es importante notar que Δt siempre será mayor que Δτ, y el tener un signo positivo ahora dentro del radical en el denominador no significa que esto vaya a cambiar, ya que puesto que por costumbre el potencial gravitacional siempre es especificado como una cantidad negativa, al momento de hacer substituciones numéricas ésto debe ser tomado en cuenta produciéndose de cualquier modo un radical menor a la unidad. En su primer papel publicado en 1905 en donde Einstein formalizó por vez primera los principios de la Teoría Especial de la Relatividad sobre dos postulados, mencionó cómo un reloj puesto en el Ecuador debe correr más lentamente que un reloj puesto en uno de los polos de la Tierra por un factor γ = 1/√1 - V²/c², haciendo una estimación numérica aproximada del efecto tomando en cuenta la velocidad tangencial V de la Tierra en su Ecuador. Pero esta estimación no tomó en cuenta efecto gravitacional alguno al no existir aún en ese entonces la Teoría General de la Relatividad, lo cual no era de mayor consecuencia porque un reloj colocado en el Ecuador está situado (aproximadamente) a la misma distancia del centro de la Tierra que un reloj colocado en uno de los polos. Sin embargo, esta situación cambia al poner ambos relojes a alturas diferentes sobre la superficie de la Tierra. Si tenemos dos relojes con uno de ellos dando vueltas rápidamente en torno al otro ocasionando una medición de un tiempo dilatado para el reloj rotatorio, y si movemos el par de relojes a alturas diferentes situándolos primero lejos de la Tierra y después cerca de la misma, tendremos entonces una dilatación de tiempo combinada. Haciendo uso de la aproximación mediante expansión por series: 1/√1 - 2GM/Rc² = [1 - 2GM/Rc²] -1/2 ≈ 1 - (- 1/2)(2GM/Rc²) + ... ≈ 1+ GM/Rc² podemos representar el efecto combinado de la siguiente manera:

La fórmula que hemos obtenido para la dilatación gravitacional del tiempo nos plantea un serio dilema conforme nos vamos aproximando a la distancia radial r = 2GM/c² (en unidades geometrizadas, r = 2M), porque en este caso el numerador se va aproximando a cero, y para un observador externo alejado del campo gravitacional el tiempo propio del observador situado en la cercanía del campo gravitacional se va haciendo extensamente grande. Esto significa que si los dos observadores están inicialmente juntos, y uno de ellos le enviara al otro con un rayo láser una señal luminosa monocromática (de una sola frecuencia fija), puesto que la señal es en esencia una onda electromagnética la distancia entre cada ciclo de la onda (el período T de la onda) se iría ampliando y corriendo hacia el rojo y hacia el infrarrojo hasta que la frecuencia de la señal luminosa sería prácticamente cero, y de hecho sería igual a cero en el punto r = 2GM/c². Esto significa que para una superficie esférica de radio r = 2GM/c² en torno al cuerpo, la luz emitida desde dicha superficie no llegará jamás al observador externo, lo cual significa que, en efecto, la luz no podrá escapar. Y si la luz no puede escapar, no le será posible a alguien que haya entrado en esta barrera el poder enviar señales electromagnéticas de ningún tipo (luminosas, ondas de radio, rayos láser, rayos X, etc.) al exterior quedando incomunicado permanentemente del exterior. Esto es precisamente lo que nos lleva de modo ineludible hacia el estudio de los agujeros negros. Esta posibilidad tan contraria a nuestra experiencia cotidiana y a nuestra forma intuitiva de pensar fue lo que llevó a muchos científicos de reconocido prestigio a rechazar de plano la Teoría de la Relatividad por no creer que algo como esto fuese posible.

PROBLEMA: Obtener la fórmula que proporcione la longitud de onda λ∞ de una señal luminosa como sería vista por un observador situado en la lejanía cuando la señal luminosa es emitida con una longitud de onda λ0 desde una linterna por un observador situado en reposo a una distancia r del centro de un cuerpo de masa M. Puesto que la frecuencia de la señal luminosa es f = 1/T y c = fλ, entonces T = 1/f = λ/c, con lo cual tenemos: Δt = λ∞/c____Δτ = λ0/c que nos viene dando:

Cuando vemos al Sol todas las mañanas, ciertamente la luz solar nos está llegando a nosotros pese a que el Sol tiene una masa enorme capaz de mantener a nuestro planeta orbitando en torno suyo. ¿Por qué no vemos entonces el efecto predicho por la fórmula obtenida con la solución de Schwarzschild? Por la sencilla razón de que, como nos lo demuestra un cálculo breve y rápido, el radio r = 2GM/c² para el Sol está situado muy al interior de esta estrella. La mayor parte del Sol está situada afuera de este radio crítico, de modo tal que la energía luminosa que puede producir el Sol en su parte exterior a este radio nos puede llegar a nosotros sin problema alguno. Sin embargo, si fuera posible compactar de alguna manera la masa de un cuerpo celeste brillante de modo tal que toda ella quedara contenida dentro de su radio “crítico” r = 2GM/c², la estrella desaparecería de nuestra vista, ya no brillaría. Solo nos enteraríamos de su existencia al ser “jalados” por ella, y posiblemente ya para entonces sería demasiado tarde para poder escapar de su tracción gravitacional. Retomaremos este tema posteriormente cuando entremos en un estudio más detallado de estos cuerpos exóticos que hoy ya son aceptados por la Ciencia como algo cuya existencia es imposible de negar.

55. EL ABANDONO DE LA “ACCIÓN A DISTANCIA” El esquema Newtoniano para la formulación de la ley de la atracción universal, desarrollada sobre la suposición del espacio absoluto y del tiempo absoluto, estaba basada también en la suposición de una fuerza de atracción entre dos cuerpos actuando a través del espacio entre ellos, la cual actuaba de manera instantánea. Pero en base a los resultados obtenidos en la Teoría de la Relatividad según los cuales ningún tipo de información puede ser transmitida a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, este concepto de “acción a distancia” se volvió insostenible, y se tuvo que abandonar. Pero no sólo se tuvo que abandonar el concepto de la “acción a distancia” en el campo de estudio de la mecánica, también se tuvo que abandonar en el campo de estudio propio de los fenómenos que involucran a la electricidad y el magnetismo, empezando por la ley de Coulomb, la cual nos dice que dos cargas eléctricas se atraen o se repelen en razón directa del producto de la magnitud de las cargas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que las separa. Este abandono del concepto de la “acción a distancia” en todo lo que tenga que ver con el electromagnetismo, orillado por la Teoría de la Relatividad, es interesante considerando que las ecuaciones de Einstein son completamente independientes de las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo de Maxwell. Ninguna de las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell puede ser derivada de las ecuaciones de la Teoría de la Relatividad, del mismo modo que ninguna de las ecuaciones de la Teoría de la Relatividad puede ser derivada de las ecuaciones de Maxwell, lo cual hizo suponer a Einstein que debía de existir otra teoría más amplia que pudiera abarcar en un mismo conjunto de fórmulas ambas teorías y que pudiera explicar todos los fenómenos físicos del Universo. Esta teoría que empezó a ser buscada afanosamente por Einstein fue llamada la teoría del campo unificado desde antes de que se obtuviera una sola fórmula uniendo a la teoría del electromagnetismo de Maxwell con la Teoría de la Relatividad de Einstein. Sin embargo, pese a sus mejores esfuerzos, Einstein jamás pudo formular tal teoría. La esperanza de Einstein sobre la existencia de dicha teoría sigue viva aún en los corazones de muchos científicos contemporáneos, los cuales la han rebautizado con el nombre de la teoría del todo (TOE o Theory of Everything), y al igual que como lo descubrió Einstein, dar con tal teoría parece ser si no imposible sí algo que requerirá un avance substancial en la maquinaria filosófica y matemática con la cual contamos en la actualidad. Regresando a la ley fundamental de la electroestática, la ley de Coulomb, al abandonarse el concepto de una fuerza actuando instantáneamente entre dos cargas eléctricas, se concibió el concepto delcampo eléctrico, algo así como un campo de fuerza que rodea a una carga eléctrica, cuya existencia nos es posible mediante una carga de prueba (ya sea del mismo signo o del signo contrario) que nos indica la presencia de un campo eléctrico en algún lugar. A continuación tenemos las “líneas de fuerza” que emanan de una carga eléctrica positiva, precisamente las líneas que representan vectorialmente en cada punto del espacio en torno a la carga central la dirección de la “fuerza eléctrica” que empujaría a una carga de prueba de igual signo que fuese puesta dentro del campo eléctrico originado por la carga central:

La representación esquemática de las “líneas de fuerza” frecuentemente va de la mano con lo que verdaderamente representa al campo de fuerza, una serie de líneas perpendiculares a las líneas de fuerza que a su vez representan el campo en torno a la carga eléctrica (o a la masa), las cuales son regiones en el espacio que corresponden a un mismo potencial. Para la carga eléctrica arriba mostrada, la representación de las líneas de fuerza junto con las líneas de campo consistiría en la adición a la figura de una serie de circunferencias concéntricas:

En la figura tenemos resaltadas dos líneas de campo, la línea A de color azul y la línea B de color

café. La línea A representa el lugar de los puntos en los cuales el campo eléctrico producido por la carga eléctrica Q tienen un mismo valor, y es por esto que a esta línea se le conoce como una líneaequipotencial. Lo mismo ocurre con la línea equipotencial B (hay otra línea de campo equipotencial puesta entre ambas, no resaltada). Del mismo modo, si hemos de dibujar las líneas equipotenciales que representan a un campo gravitacional generado en el espacio-tiempo por una masa M (ya sea una esfera de metal o un planeta) junto con las líneas de fuerza que representan el ya obsoleto concepto de la fuerza de atracción Newtoniana, tendríamos una figura como la siguiente:

En el caso de la Tierra, podemos hacer un esquema que represente única y exclusivamente algunas de sus líneas equipotenciales del campo gravitacional prescindiendo de las líneas de fuerza de la manera siguiente:

Estas líneas equipotenciales son precisamente las que a gran altura recorren los satélites artificiales lanzados por el hombre al espacio. Los satélites pueden viajar indefinidamente a lo largo de estas líneas equipotenciales sin consumo alguno de energía puesto que, siendo líneas de campo que representan un mismo potencial gravitacional, no hay consumo alguno de energía al moverse de un lado a otro a lo largo de estas líneas. El consumo de energía ocurre en todo caso cuando el satélite es puesto en órbita moviéndose de una línea equipotencial a otra venciendo a la gravedad de la Tierra y consumiendo una cantidad apreciable de energía para lograrlo. Cerca de la superficie de la Tierra, las líneas de fuerza que representan las trayectorias seguidas por los cuerpos en caída libre de acuerdo a la obsoleta fórmula Newtoniana de gravitación universal así como las líneas equipotenciales del campo gravitacional cerca de la superficie de la Tierra tendrán un aspecto como el siguiente:

Las representaciones dadas arriba del campo gravitacional son representaciones planares, puestas sobre un plano, ofreciendo una perspectiva en dos dimensiones del campo gravitacional. Pero en realidad, en el Universo tri-dimensional en el que vivimos, lo que tenemos no son líneas equipotenciales sino superficies equipotenciales. Desafortunadamente, no nos ayuda mucho a nuestra intuición el estar limitados a representar nuestra realidad de 3 dimensiones sobre un plano de 2 dimensiones (del mismo modo que no nos ayuda mucho a nuestra intuición el estar limitados a representar la realidad del espacio-tiempo de 4 dimensiones de la Teoría de la Relatividad en un espacio pictográfico de 3 dimensiones). De cualquier modo, con un poco de imaginación, podemos tratar de visualizar unas superficies equipotenciales esféricas generadas por una masa central con una representación como la siguiente:

De cualquier modo, aunque el trazado de líneas (o superficies) equipotenciales sea algo más fidedigno a la representación de un campo, el trazado de las “líneas de fuerza” tradicionales sigue siendo un auxiliar valioso para lograr obtener una perspectiva visual sobre cierto problema en el cual si intentamos proceder de inmediato al trazado de líneas de campo equipotenciales la situación parecerá algo confusa desde un principio. Los ejemplos citados arriba son relativamente fáciles de manejar porque se trata de una sola carga eléctrica o de una sola masa. Pero, ¿qué ocurre cuando en lugar de una sola masa tenemos dos masas? En este caso, puede ser útil trazar primero varias líneas de fuerza, y una vez trazadas podemos percatarnos de la forma que tendrán las líneas equipotenciales del campo producido en cada punto del espacio por las dos cargas o las dos masas habido el hecho de que las líneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las

líneas de fuerza. Es con esto en mente que procederemos a investigar lo que ocurre cuando tenemos dos cargas eléctricas ya sea del mismo signo o de signo contrario. Bajo el esquema de las líneas de fuerza, cuando dos cargas eléctricas del mismo signo están en cercanía la una de la otra, si ambas tienen el mismo signo sus campos se repelerán en forma similar a la forma en la cual un imán repele a otro imán cuando son acercados con su mismo polo apuntando el uno al otro, y si ambas cargas tienen signos contrarios sus campos se cerrarán empezando en una carga que con sus líneas de fuerza actúa como una fuente y terminando en la otra que con sus líneas de fuerza actúa como un sumidero, como lo muestra el siguiente diagrama:

Una vez trazadas las líneas de fuerza, si tomamos la segunda de las dos figuras de arriba (situada a la derecha) que representa a dos cargas eléctricas de signos opuestos y trazamos varias líneas equipotenciales (con líneas de color rojo), encontraremos que los campos de dichas cargas parecenrepelerse el uno al otro:

En cambio, si tomamos a la primera de las dos figuras de arriba (situada a la derecha) que representa a dos cargas eléctricas del mismo signo y trazamos varias superficies equipotenciales, encontraremos que los campos de dichas cargas parecen atraerse para terminar fusionándose a grandes distancias:

Bajo el concepto del campo, cuando una carga eléctrica que estaba en reposo es puesta en movimiento uniforme el campo en torno a ella es alterado como podemos verlo en el caso de la siguiente partícula que posee una carga eléctrica positiva y la cual se está trasladando de izquierda a derecha en movimiento uniforme a velocidad constante (usaremos las “líneas de fuerza” por la simplicidad que estas representan para la representación de un campo en movimiento):

Y si la carga eléctrica experimenta una aceleración en vez de un movimiento uniforme a velocidad constante, la distorsión en las “líneas de fuerza” que representan al campo eléctrico en torno a la carga es tal que si pudiéramos “ver” dichas líneas de fuerza las veríamos tomar un aspecto curvo, con una curvatura tanto más pronunciada en tanto mayor sea la aceleración. De hecho, la electrodinámica clásica predice que una carga eléctrica acelerada emitirá una radiación electromagnética (este es precisamente el principio sobre el cual trabajan los aparatos de rayos X utilizados en los hospitales, se hace incidir una corriente eléctrica a un voltaje elevado sobre una superficie que actúa como un freno brusco sobre las cargas eléctricas que forman dicha corriente, la desaceleración de la carga produce los rayos X que no son más que radiación electromagnética de alta frecuencia). La Teoría de la Relatividad, basada en el concepto del campo al igual que la teoría del

electromagnetismo que la inspiró, nos permite imaginar el equivalente gravitacional de un “campo” en torno a una masa, un campo que en realidad es una curvatura en el espacio-tiempo producida por dicha masa en su alrededor, sin existir fuerza alguna de atracción hacia la masa como lo creía Newton. Un observador estacionario situado frente a esa masa, si pudiese “ver” las líneas de atracción producidas por este campo gravitacional, posiblemente vería algo como lo siguiente:

En cambio, otro observador moviéndose rápidamente hacia la masa posiblemente vería algo como lo siguiente:

Un observador situado a un lado de la masa no vería absolutamente cambio alguno, el que “ve” el cambio es el ciclista que se está moviendo a gran velocidad acercándose a la masa. Sin embargo, y en conformidad con la filosofía relativista, si el ciclista en la figura de arriba lo imagináramos en reposo pedaleando rápidamente su bicicleta pero sin moverse hacia ninguna parte (como si las ruedas estuviesen patinando) y por el contrario nos imagináramos a la masa moviéndose rápidamente hacia el ciclista, el efecto de abultamiento de las líneas sería exactamente el mismo, no hay cambio alguno porque no es posible decidir si es el ciclista el que se está moviendo hacia una masa en reposo o si es la masa la que está moviendose hacia un ciclista estacionario. Todo sigue siendo relativo en la mecánica Einsteniana. La distribución de “líneas de fuerza” mostrada arriba en el último diagrama es la que vería un ciclista moviéndose con respecto a una masa a una velocidad constante. Sin embargo, si el ciclista se está desplazando con respecto a la masa en un movimiento acelerado cambiando constantemente su velocidad, entonces dichas “líneas de fuerza” se le mostrarían al ciclista con una curvatura cuyo aspecto dependerá ya sea que el ciclista se esté acercando a la masa:

o alejándose de la misma:

En este tipo de situaciones en las cuales tenemos una aceleración es en donde aparecen algunas asimetrías como las que tanto le disgustaban a Einstein, porque aunque la figura será exactamente la misma ya sea que el ciclista se esté acelerando y la masa esté en reposo o que sea el ciclista en reposo y la masa la que se está acelerando, uno de los dos ocupará una posición “privilegiada” por el simple hecho de que la aceleración requiere de un gasto de energía que uno de los dos tiene que proporcionar. En el caso del ciclista, éste requerirá ir pedaleando cada vez con mayor velocidad para poder mantener constante su aceleración, mientras que en el caso de la masa ésta requiere la aplicación de una fuerza sobre ella para ponerla en movimiento uniformemente acelerado. Si suponemos que el ciclista se mantiene en reposo o en movimiento a una velocidad constante y que es la masa la que es acelerada, entonces la aceleración de la masa provocará un pulso en el campo gravitacional que la rodea, un pulso que será radiado hacia afuera a la velocidad de la luz. Este “pulso” es ni más ni menos una radiación gravitacional portadora de energía, la misma energía que se tuvo que invertir para acelerar a la masa. Aunque la teoría del campo, tras sepultar en definitiva el concepto Newtoniano de la “acción a distancia”, nos permite contestar muchas interrogantes y resolver muchos problemas, subsisten otros problemas filosóficos de fondo relacionados con dichos campos que ni siquiera el mismo Einstein pudo resolver en forma completamente satisfactoria. Uno de estos dilemas radica en lo que se conoce como el principio de Mach, debido al físico y filósofo austriaco Ernst Mach (el mismo en cuya memoria cuando un avión supersónico está volando a una velocidad mayor que la velocidad del sonido, digamos al doble de la velocidad del sonido, se le refiere a dicha velocidad en términos delnúmero Mach, por ejemplo Mach 2, que es un múltiplo de la velocidad del sonido). El principio se puede enunciar de manera muy sencilla en la siguiente forma: “La inercia de cualquier cuerpo o de cualquier sistema es el resultado de su interacción con el resto del Universo. En otras palabras, cada partícula del universo ejerce una influencia sobre todas las demás partículas.”

Aunque esta no es una enunciación matemática precisa como lo es la ecuación tensorial básica de la Relatividad General, sus implicaciones son mucho más profundas de lo que parecen ser a primera vista. Si nos limitamos a un solo cuerpo sólido, lo que nos dice el principio de Mach es que eso que llamamos la inercia del cuerpo, una de las propiedades físicas más esenciales de todas, no depende de la masa del cuerpo sino de la influencia que tiene la masa restante del Universo entero sobre dicho cuerpo. Puesto de otra manera, el resto del Universo es el que fija localmente esa propiedad que llamamos inercia. De acuerdo con el principio de Mach, en un Universo en donde sólo existiera un cuerpo sólido se le podría empujar sin necesidad de tener que efectuar gasto alguno de energíaporque la inercia de dicho cuerpo sería cero. Del mismo modo, en un Universo desprovisto por completo de materia sería imposible detectar la deformación que produce la rotación de la Tierra sobre su ecuador (la Tierra no es una esfera ideal, ya que está achatada en los polos y su radio ecuatorial es mayor que lo que tendría si no hubiese tal deformación que la convierte en un elipsoide). La rotación de la Tierra produce fuerzas centrífugas que le deforman su superficie, y según el principio de Mach una Tierra rotando en un Universo vacío de materia tendría una configuración esférica. Pero si la Tierra fuese el único objeto en el Universo, ¿podríamos decir realmente que la Tierra está girando sobre su eje, si no hay absolutamente nada con respecto a lo cual se pueda decir que está girando? En un Universo vacío, no es posible distinguir una Tierra que está en reposo de una Tierra que está girando sobre su propio eje, ya que no hay nada en el exterior con respecto a lo cual podamos definir su movimiento de rotación. Inclusive tratar de aumentar la rotación de la Tierra poniendo enormes cohetes anclados a su ecuador sería un ejercicio inútil porque no habiendo unamasa del Universo que determine localmente la inercia del planeta Tierra porque dicha rotación -que ni siquiera podría ser estimada- se puede obtener sin gasto alguno de energía, porque siendo el único objeto en el Universo la Tierra carecería de inercia para resistir su aceleración rotatoria. El principio de Mach es enunciado a veces vagamente diciendo “la masa que hay afuera es lo que produce la inercia que hay aquí”. El principio de Mach de hecho fue anticipado por el filósofo irlandés Bishop Berkeley, el cual en contraposición a Newton que definió a la rotación de un cuerpo como un movimiento absoluto en base a la fórmula para la fuerza centrípeta, sugirió que era la rotación relativa con respecto a las estrellas del Universo lo que realmente importaba, y que la rotación de las estrellas fijas en el firmamento en relación a un objeto debería tener las mismas consecuencias físicas que la rotación del objeto con respecto a las estrellas. De acuerdo con Berkeley, si la Tierra fuese el único cuerpo en el Universo, carecería de todo sentido el afirmar que la Tierra está girando. Puntos de vista similares fueron emitidos poco después por Gottfried von Leibinz y Chrisitan Huygens. Sin embargo, correspondió a Mach el respaldar estas concepciones con una teoría científica, e inclusive anticipó mucho del material filosófico que podemos encontrar dentro de la Teoría de la Relatividad. De acuerdo con Mach, un Universo desprovisto de estrellas carecería de una estructura espacio-tiempo con respecto a la cual la Tierra pudiera girar, y para que pueda haber campos gravitacionales o inerciales capaces de hacer que la Tierra pierda su forma esférica convirtiéndose en un elipsoide a causa de su rotación o capaces de hacer que el agua en una cubeta que está girando se salga por los lados, debe de haber estrellas capaces de crear una

estructura espacio-tiempo. Sin una estructura tal el espacio-tiempo carecería de geodésicas. Inclusive no se podría decir que un rayo luminoso viajando en un Universo vacío sería capaz de recorrer una geodésica, porque en ausencia de una estructura espacio-tiempo el rayo luminoso no tendría forma de “seleccionar” una ruta sobre la otra. El rayo luminoso “no sabría a dónde ir”, como lo expresó A. d'Abro en su obra clásica The Evolution of Scientific Thought. Inclusive la existencia de un cuerpo como la Tierra no sería posible, porque las partículas que forman a la Tierra están cohesionadas por la gravedad, la cual mueve a las partículas a lo largo de geodésicas. Sin una estructura espacio-tiempo y sin geodésicas, la Tierra “no sabría qué forma tomar” como lo dijo el mismo d'Abro. Vayámonos ahora hacia el espacio exterior en nuestro Universo en donde sí hay materia que podemos ver por dondequiera que apunten nuestros telescopios. Supongamos que tenemos un bloque flotando libremente y en reposo en el espacio exterior (1), y que le imprimimos a dicho bloque una fuerza F de aceleración (2) tras lo cual después de cierto tiempo removemos dicha fuerza (3)habiendo puesto al bloque en movimiento perpetuo hacia su dirección de movimiento, (4) y (5):

Podemos ver en (2) cómo al aplicarle una fuerza F al bloque éste se resiste a ser puesto en movimiento de acuerdo a la tercera ley de Newton (“a toda acción corresponde una reacción de

igual intensidad y dirección contraria”), presentando una fuerza de oposición que está simbolizada como la flecha gris dentro del bloque. De este modo, al aplicarle al bloque una “fuerza viviente” se le ha despertado de su estado inerte, “sin vida”, poniéndolo en un estado de movimiento perpetuo (filosóficamente hablando, esta es precisamente la motivación para el uso de la palabra inercia). Pero de acuerdo con el principio de Mach, aunque el bloque fuese un objeto tan grande como un rascacielos de 100 pisos o inclusive tan grande como la Tierra, no presentaría absolutamente ninguna oposición -o inercia- a un empuje al no tener inercia alguna dentro de un Universo vacío. El objeto no sólo sería mucho más ligero que una simple pluma, sería lo más ligero que pudiese haber porque aunque el cuerpo poseyera cierta masa (y cierto volumen) su masa inercial sería exactamente igual a cero. De hecho, algo así nos pondría en un severo dilema para tratar de determinar la masa del cuerpo al comportarse como si fuese un cuerpo sin masa por tener una inercia igual a cero. La única forma en la cual podemos verificar con certeza absoluta si el principio de Mach es válido o falso consistiría en vaciar al Universo de todo rastro de materia y llevar a cabo algunos experimentos en ese Universo vacío, lo cual ciertamente no va a ocurrir ni hoy ni mañana. Si el Universo entero posee una masa enorme (ya sea finita o infinita) que podemos simbolizar comoMU, entonces de acuerdo con el concepto del campo gravitacional esta masa repartida por todo el Universo debe estar generando un inmenso campo gravitacional universal o quizá algún campo de otra índole que admite variaciones locales que forman parte del campo universal. De acuerdo con el principio de Mach, este campo universal vendría siendo precisamente lo que genera la inercia de cada cuerpo, sin el cual los cuerpos dejarían de tener dicha propiedad. Este es precisamente el punto de vista que desarrolla Dennis Sciama en su libro The Unity of the Universe, y de ser cierto entonces la medición local de la inercia nos proporcionaría una medida de la cantidad total de materia que hay en el Universo. Las ecuaciones de Sciama demuestran que la influencia de las estrellas cercanas sobre la inercia de un cuerpo es increíblemente pequeña. Cuando escribió su libro, él suponía que todas las estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea, contribuían tan sólo con una diez-millonésima de la inercia aquí en la Tierra, concluyendo que el resto de la inercia es generada por estrellas distantes al grado de que un 80 por ciento de la inercia era el resultado de galaxias tan distantes que aún no habían sido descubiertas por los telescopios de su época. En la actualidad, con el desarrollo de nuevos y más potentes telescopios de toda índole aumentando en forma explosiva la cantidad de estrellas y galaxias detectadas y confirmadas, la estimación a la contribución de las mismas para la creación local del efecto de inercia ha tenido que ser revisada substancialmente hacia abajo a grado tal que un amplio segmento de la comunidad científica ha llegado a la conclusión de que Mach estaba equivocado. La única forma, desde luego, de probar sin tela de duda que Mach estaba equivocado, sería vaciando al resto del Universo de la materia que contiene, lo cual no va a suceder. Desde esta perspectiva, cuando Mach formuló su hipótesis posiblemente lo hizo sabiendo que sería muy difícil si ni imposible el poder desacreditarlo por completo. Históricamente, Einstein se inspiró en el principio de Mach para desarrollar la Teoría de la

Relatividad. Él mismo fue quien se refirió al punto de vista de Mach como “el principio de Mach”. Era la esperanza de Einstein que este principio pudiese ser incorporado dentro de la Teoría de la Relatividad, al grado de concebir un modelo del Universo en el cual su estructura espacio-tiempo es creada por las estrellas y otros cuerpos materiales. Cuando publicó su primera descripción matemática de dicho modelo en 1917, Einstein dijo: “En una teoría consistente de la relatividad, no puede haber inercia relativa al ‘espacio’, sino tan solo una inercia de las masas relativas la una a la otra. Por lo tanto, si yo tengo una masa lo suficientemente alejada de todas las otras masas restantes del Universo, su inercia debe caer a cero”. Posteriormente, cuando fueron encontradas fallas serias en el modelo cosmológico de Einstein, éste se vió obligado a abandonar el principio de Mach. De cualquier manera, el principio de Mach continúa ejerciendo una fascinación casi irresistible sobre muchos cosmólogos en virtud de que lleva la relatividad del movimiento hasta su grado máximo. El punto de vista opuesto, el que supone la existencia de una estructura espaciotiempo inclusive en la ausencia total de estrellas y cualquier otro tipo de masa en el Universo, no está muy alejado de la vieja teoría del éter. En lugar de una substancia misteriosa invisible e inmóvil llamada éter, tenemos ahora una substancia misteriosa e invisible llamada espaciotiempo. Suponiendo que esta estructura permanece fija, todas las aceleraciones y rotaciones que ocurren en el Universo adquieren sospechosamente un carácter absoluto. Pero si los efectos inerciales son relativos no a la estructura universal del espacio-tiempo sino a las estrellas de Universo, entonces se puede preservar una forma pura de relatividad. Resulta irónico que, habiendo sido Mach uno de los mayores inspiradores de Einstein junto con el “padre del electromagnetismo” Maxwell para la formulación de la Teoría de la Relatividad, Mach siempre haya rechazado a la Teoría de la Relatividad hasta el final de sus días considerándola una teoría errónea y falsa. El concepto del campo tiene tanto sus ventajas como sus desventajas, pero siendo sus desventajas más de índole filosófica que científica y técnica, es un concepto que debe ser retenido como una de las herramientas más útiles que se hayan desarrollado en la historia del hombre para su comprensión del Universo que le rodea.

56. LOS AGUJEROS NEGROS: GÉNESIS Por su naturaleza propia, no resulta nada fácil encontrar soluciones exactas para las ecuaciones de campo de la Relatividad General, pero cuando se logra tal cosa los resultados pueden resultar sorprendentes. Cuando al poco tiempo de haberse publicado en 1915 el primer trabajo de Einstein dándose a conocer la Teoría General de la Relatividad el matemático alemán Karl Schwarszchild encontró una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein a través de lo que hoy se conoce como la métrica de Schwarszchild, basada en el uso de coordenadas esféricas para un cuerpo estático: ds² = (1 - 2GM/rc²)(cdt)² - (1 - 2GM/rc²) -1(dr)² - (r²)(dθ)² - (r² sen² θ)(dφ)² no transcurrió mucho tiempo para darse cuenta de que esta métrica predecía la existencia de objetos tales que ni siquiera la luz sería capaz de escapar de los mismos. Esta predicción era una predicción puramente matemática, sin apoyo alguno en una evidencia astronómica e imposible de ser verificada experimentalmente en un laboratorio en la Tierra, razón por la cual no fue tomada muy en serio en aquella época. Otra dificultad en la aceptación de la solución matemática encontrada por Schwarzschild era que la existencia de estos objetos, necesariamente supermasivos, era postulada sin darse la menor idea de cómo se pudieran formar tales objetos en el Universo. Una cosa es hacer una predicción matemática sobre la posible existencia de algo recurriendo a argumentaciones teóricas, y otra cosa muy diferente es explicar la manera en la cual tales objetos pueden ser creados. La ausencia de mecanismos que pudieran dar origen a tales objetos extraños constituyó un impedimento en la aceptación de los mismos hasta que llegaron teorías dando la ruta sobre una forma natural para la creación de los mismos. Pero quizá la objeción más grande de todas a la solución de Schwarzchild era que en el centro de la misma debía de haber una singularidad, el equivalente de una división por cero tan temida por los matemáticos ya que está fuera de cualquier tipo de análisis numérico que se quiera llevar a cabo. Y esta singularidad representaba en las ecuaciones de campo ni más ni menos que una perforación en el entramado del espacio-tiempo del Universo. Desde un principio, esto rebasó los límites de la credibilidad de muchos científicos, inclusive aquellos acostumbrados a la naturaleza probabilística de la materia predicha por la mecánica cuántica. La dificultad de aceptar la posibilidad de que una singularidad matemática pudiese tener una existencia real en el campo de la astronomía, en el Universo entero, fue inclusive un argumento utilizado por amplios sectores de la comunidad científica para poner en duda y desacreditar toda la Teoría de la Relatividad, afirmándose que cualquier teoría que fuese capaz de postular la existencia de algo tan extraño tenía que ser una teoría necesariamente incorrecta. Estos objetos tan masivos que ni siquiera la luz podría escapar de los mismos fueron bautizados

comoagujeros negros o hoyos negros por el físico estadounidense John Archibald Wheeler, un especialista en la Relatividad General. Todavía hace unas cuantas décadas, se creía que estos objetos, de existir, debían ser una rareza difícil de encontrar en el Universo. Hoy en día, con instrumentos astronómicos cada vez más potentes, la existencia de los agujeros negros no sólo ha sido confirmada de varias maneras, sino que existe la certeza de que inclusive la galaxia en la que vivimos, la Vía Láctea, tiene en su núcleo central un agujero negro gigantesco, al igual que muchas otras galaxias. Si repasamos la métrica de Schwarzschild dada arriba, encontraremos que hay dos singularidades. Una de ellas está relacionada con la coordenada (cdt)² y ocurre para r = 0, o sea en el centro del cuerpo. La otra está relacionada con la coordenada (dr)²:

y ocurre para un radio conocido como el radio de Schwarzschild, el cual está dado por: rs = 2GM/c² Este es precisamente el radio que nos define la extensión de la esfera de la cual no le es posible a la luz escapar del cuerpo que está generando la métrica en cuestión. Dada una masa M, cualquier masa M, siempre existe un radio rs que podemos determinar para dicha masa. La Tierra, por ejemplo, tiene cierto radio de Schwarzschild rs, como también lo tiene el Sol. Sin embargo, no hay problema en que un rayo de luz lanzado desde la superficie de la Tierra “escape” hacia la Luna, llegue a la Luna, y sea reflejado de la Luna hacia la Tierra (esto ocurrió de hecho con la ayuda de unos reflectores dejados en la Luna por los astronautas de una de las misiones Apollo, reflejando posteriormente rayos de luz láser lanzados desde la Tierra hacia dichos reflectores). ¿Cómo es esto posible, si la Tierra tiene su radio rs del cual no le es posible a la luz escapar? Esto se debe a que, si calculamos el radio rs para la Tierra, dicho radio está dentro de la superficie de la Tierra. Para que no le fuese posible a la luz escapar de la superficie de la Tierra, la masa entera de la Tierra tendría que ser “comprimida” hasta estar contenida toda dentro de ese radio rs. Sin embargo, si podemos tener un cuerpo lo suficientemente denso, de modo tal que toda su masa esté contenida dentro de su radiors, no le será posible a la luz lanzada hacia afuera desde dicho radio escapar al espacio exterior. Y se presume que, si toda la masa de un cuerpo es comprimida hasta quedar contenida

en un radio menor que su radio rs, la atracción gravitacional será tan intensa que toda la masa continuará comprimiéndose aún más. De cualquier manera, el radio rs sigue “afuera”, una vez que ha hecho su aparición el “boquete” aparente continúa allí inmóvil. Haremos ahorauna comparación interesante del radio de Schwarzschild rs con la velocidad de escapeclásica (Newtoniana) que debe tener un cuerpo al momento de ser lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra para no volver a caer jalado por la atracción de la gravedad. Para beneficio de quienes no han estado expuestos o no recuerdan la derivación de la fórmula de la velocidad de escapa, a continuación llevaremos a cabo la derivación de la fórmula. Suponiendo una equivalencia plena clásica (Newtoniana) entre la masa inercial definida con la fórmula Fi = ma y la masa gravitacional definida mediante la ley de Newton para la atracción universal que establece una fuerza gravitacional Fg = - GMm/r², un cuerpo lanzado hacia arriba experimentará una pérdida de velocidad definida mediante la siguiente igualdad: Fi = Fg

Usando la regla de la cadena, obtenemos lo siguiente:

y puesto que v = dr/dt:

Integrando:

Puesto que para la velocidad de escape estamos buscando las siguientes condiciones (para un tiempo infinitamente grande a una distancia infinitamente grande la velocidad del cuerpo debe ser igual a cero): t → ∞___r(t) → ∞___v(t) → 0 entonces debemos tener:

Esta es la velocidad de escape que debe tener un cuerpo lanzado desde la superficie de la Tierra para sobreponerse completamente a la atracción gravitacional sin volver a caer. Obsérvese que esta velocidad de escape no depende en lo absoluto de la masa del cuerpo que está siendo lanzado verticalmente hacia arriba. Tomemos ahora la fórmula clásica para la velocidad de escape v0 de un cuerpo poniéndola en función del radio r0:

Compárese ésta fórmula con la fórmula para el radio de Schwarzschild. Ambas tienen exactamente la misma forma, pero con una diferencia importante: en la fórmula para el radio de Schwarzschild lo que aparece específicamente en el denominador es la velocidad de la luz. Esto fue lo que llevó a sospechar casi de inmediato desde un principio que esta fórmula definía algo más que la velocidad de escape de un cuerpo, definía una condición para que la misma luz pudiera escapar de la superficie sobre la cual está definido el radio de Schwarzschild. En la fórmula clásica para el radio de escape podemos hacer a la velocidad v0 igual a la velocidad de la luz. Sin embargo, antes del advenimiento de la Teoría de la Relatividad, carecía de sentido hablar de una velocidad de escape para la luz porque no había razón para suponer que la luz, siendo una onda electromagnética, pudiese caer bajo la influencia de atracción gravitacional alguna. Y sin embargo, es el radio de Schwarzschild lo que nos define precisamente el alcance de un agujero negro. Como un agujero negro es incapaz de emitir luz alguna o de reflejarla, no es posible ver un agujero negro directamente. Si pudiésemos estar en la cercanía de una región en donde hay un agujero negro, tal vez veríamos algo como lo siguiente:

Esta es la simulación de un agujero negro con una masa equivalente a la de diez masas solares, visto a una distancia de 600 kilómetros. El círculo negro que vemos en la parte central de la imagen de arriba es lo que se conoce como el horizonte de evento (event horizon), el cual tiene un radio fijo para una masa M, y fuera del cual aunque hay una atracción gravitacional intensa aún es posible escapar de la atracción que está siendo ejercida. Este radio fijo que define a la superficie esférica conocida como el horizonte de evento es precisamente el radio de Schwarzschild rs. Cualquier objeto material que penetre el horizonte de evento es un objeto que ya no podrá salir del agujero negro, ya que si ni la luz puede escapar del mismo menos un objeto material. A decir verdad, la predicción de objetos con tanta masa que fueran capaces de crear un campo gravitacional tan intenso que ni siquiera la luz pudiera escapar de los mismos no fue una idea nueva que llegó con la Teoría General de la Relatividad. Desde 1784, año el el que fue publicada una carta enviada a Henry Cavendish por el filósofo natural y geólogo inglés John Michell, en dicha carta “redescubierta” recientemente en la década de los setenta Michell hablaba de un cuerpo celestial que tuviese tanta masa que a la misma luz le fuese imposible escapara de la superficie de dicho cuerpo (la ley de la gravitación universal de Newton y la fórmula para la velocidad de escape de la superficie de un planeta ya eran conocidas en aquél entonces), e inclusive señaló que aunque un objeto así no fuese directamente visible su existencia se podría intuír por el efecto gravitacional que ejercería sobre un planeta cercano, llegando al extremo de sugerir el uso de un prisma para medir el efecto de la gravedad sobre la disminución en la intensidad de la luz (lo que hoy conocemos como el corrimiento al rojo), ideas demasiado avanzadas para su tiempo. Por su parte, el matemático francés Pierre-Simon Laplace en su libro Exposition du Systeme du Monde publicado en 1796 sugirió también la posibilidad de objetos tan masivos que fueen capaces de impedirle a la misma luz escapar de ellos. En sus propias palabras, Laplace dijo lo siguiente:

“Una estrella luminosa, de la misma densidad que la densidad de la Tierra, y cuyo diámetro fuera 250 veces más grande que el del Sol, no permitiría, como consecuencia de su atracción, que cualquiera de sus rayos nos llegasen; es por lo tanto posible que los cuerpos luminosos más grandes en el Universo sean, por esta causa, invisibles”. Sin embargo, estas ideas estaban basadas en el concepto de una fuerza de gravedad, concepto descartado y reemplazado en la Teoría General de la Relatividad por el concepto de un espacio-tiempo curvo fijando las órbitas de los planetas. PROBLEMA: Suponiendo la ley de gravitación universal de Newton como válida, y siendo la velocidad de escape de un cuerpo de la superficie de la Tierra igual a 11.2 kilómetros/seg, ¿cuál sería la velocidad de escape si de alguna manera pudiésemos comprimir a la Tierra a la mitad de su tamaño actual? Tomaremos como válidos los siguientes datos: Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg² Radio medio de la Tierra = R = 6,400 kilómetros De la fórmula para la velocidad de escape, y suponiendo que el radio promedio de la Tierra ha sido comprimido de R = 6,400 kilómetros a la mitad, la velocidad de escape sería: v = √2GM/R = √2GM/(3,200 Km) = 15.8 Km/seg En la fórmula podemos ver que, manteniendo la masa M constante y comprimiendo de alguna manera un cuerpo esférico disminuyendo su radio, aumentará entonces la velocidad de escape requerida para que un objeto se pueda sustraer de la atracción gravitatoria del cuerpo. Nos preguntamos ahora: ¿cuál tendrá que ser el radio de un cuerpo con una masa igual a la masa de la Tierra, para que la velocidad de escape de su superficie sea igual a la velocidad de la luz? PROBLEMA: Suponiendo la ley de gravitación universal de Newton como válida, ¿cuál tendría que ser el radio de un cuerpo esférico con una masa igual a la masa de la Tierra para que la velocidad de escape requerida sea igual a la velocidad de la luz? En este caso: c = √2GM/R

R = 2GM/c² R = 0.9 centímetros De acuerdo con la mecánica Newtoniana, si la Tierra pudiese ser comprimida hasta este tamaño, ni siquiera la misma luz podría escapar de su superficie. ¡La Tierra se convertiría en un agujero negro! Sin embargo, este es un resultado que se antoja difícil de lograr, porque no conocemos una fuerza que sea capaz de comprimir a un planeta como la Tierra hasta tener el tamaño de una pelota que mida menos de una pulgada. Agregar más masa (en forma de polvo) sobre la superficie de la Tierra con la esperanza de que a mayor masa obtengamos mayor atracción gravitacional tampoco ayudará en nada ya que al ir agregando más masa el radio R de la Tierra irá aumentando también contrarrestando en cierta forma el efecto gravitacional de una masa mayor (lo cual aumenta la atracción de la gravedad) con una distancia también mayor al centro geométrico de la Tierra (lo cual disminuye la atracción de la gravedad), no sirviendo de nada para esto último el que intentemos construír un pozo que vaya hacia el interior de la Tierra (con el fin de disminuír la distancia R hacia el centro de la Tierra) porque la gravedad de hecho va disminuyendo en el interior de la Tierra hasta hacerse cero en el centro de la Tierra (en donde R = 0). No se antoja posible que podamos convertir a un planeta sólido como la Tierra en un agujero negro. ¿Pero qué tal si en vez de usar un planeta sólido empleamos en su lugar una estrella que está compuesta de una nube de partículas elementales? PROBLEMA: De acuerdo con la métrica de Schwarzschild, ¿cuál tendría que ser el radio de una estrella como el Sol para que la luz pueda escapar de su superficie? Tomaremos el siguiente dato como válido: Masa del Sol = 1.99·10 30 Kilogramos Procederemos como en el problema anterior usando para M la masa del Sol en lugar de la masa de la Tierra, pero ahora utilizaremos el radio de Schwarzschild que nos define a la superfice esférica de un horizonte de evento: rs = 2GM/c² rs = 2 (6.674215·10-11) (1.99·10 30) /(3·10 8)² rs = 3 kilómetros

Este radio sigue pareciendo extremadamente pequeño tomando en cuenta que el Sol posee un radio de centenas de miles de kilómetros. Sin embargo, si calculamos la densidad del Sol, encontraremos que esta densidad no es mucho mayor que la densidad del núcleo de los átomos. PROBLEMA: Suponiendo que de alguna manera podamos comprimir al Sol para que tenga un radio de 3 kilómetros, ¿cuál será su densidad? Tomaremos el siguiente dato como válido: Masa del Sol = M = 1.99·10 30 Kilogramos La densidad ρ es igual a la masa por unidad de volumen, o sea (suponiendo al Sol como una esfera con un radio -comprimido- de 3 kilómetros): V = (4/3) π r3 V = (4/3) π (3,000 metros) 3 = 1.13·10 11 m3 ρ = M/V ρ = (1.99·10 30Kg) / (1.13·10 11 m3) ρ = 1.76·1019 Kg/m3 Esta densidad no es mucho mayor que la densidad que encontramos en el núcleo de los átomos. En el caso de una esfera gaseosa compuesta por partículas elementales como el Sol, si las fuerzas atómicas de alguna manera son capaces de ir comprimiendo la materia hasta estas densidades, entonces tenemos la posibilidad de que a diferencia de lo que ocurre con un planeta sólido una estrella sea capaz de terminar convirtiéndose en un agujero negro o por lo menos en un objeto exótico conocido como una estrella de neutrones. Esto no solo es posible, sino de hecho es inevitable que ciertas estrellas que posean cierta cantidad mínima de masa puedan detener su conversión hacia una estrella de neutrones o hacia un agujero negro. Para poder estar en condiciones de entender lo que ocurre en la formación de un agujero negro, debemos tomar conocimiento sobre las tres formas en las cuales puede morir una a partir de su creación. El proceso de formación de una estrella comienza cuando una nube de gas empieza a contraerse a

causa de su propia atracción gravitacional. Conforme la nube de gas se va compactando, la energía potencial gravitacional se va convirtiendo en energía térmica y la nube de gas se va calentando. Al calentarse, la presión ejercida por los átomos y las moléculas del gas aumenta tendiendo a contrarrestar la atracción gravitacional, y si la nube de gas no perdiese energía esta presión bastaría para detener el proceso de compactación. Pero esto no sucede en virtud de que la nube de gas continúa perdiendo energía a causa de la radiación que emite hacia el espacio exterior. El proceso de compactación ocasionado por la atracción gravitacional prosigue su marcha y la temperatura de la nube de gas continúa aumentando, hasta que después de algunos millones de años el centro de la nube de gas está lo suficientemente caliente como para que empiecen a ocurrir reacciones nucleares capaces de convertir materia en energía de acuerdo con la fórmula E = mc². El destino final de la nube de gas conforme se va convirtiendo en una estrella dependerá de la cantidad de gas inicial que había para la formación de la estrella, algo que pudiéramos llamar su “masa inicial”. Es un hecho aceptado entre los astrónomos que en cuanto mayor sea la cantidad de masa de la cual consta una estrella tanto más violenta será su muerte. La primera forma en la cual puede morir una estrella se aplica a estrellas relativamente pequeñas como la nuestra, el Sol. Estas estrellas se mantienen “encendidas” mediante un proceso de fusión atómica conocido como proceso protón-protón en el cual a causa de la elevada temperatura las fuerzas repulsivas que tienden a repeler a las partículas con cargas eléctricas del mismo signo son vencidas y los átomos de hidrógeno son fusionados y convertidos en átomos de helio, lo cual a su vez libera enormes cantidades de energía a la vez que la estrella va adquieriendo una configuración que pudiéramos llamar “estable”:

Además de este proceso mediante el cual una estrella puede mantenerse viva existe otro mecanismo de fusión atómica mejor conocido como el ciclo CNO (carbono-nitrógeno-oxígeno) o ciclo Bethe, en referencia a Hans Bethe quien lo propuso por vez primera en 1939. Aunque la cadena protón-protón es más importante en las estrellas con una masa como la de nuestro Sol o menor, los modelos teóricos muestran que el ciclo CNO es la fuente de energía dominante en las estrellas con una masa de por lo menos 1.5 veces más grande que la de nuestro Sol, las cuales son

las más susceptibles de terminar convirtiéndose en estrellas de neutrones ó agujeros negros. Los procesos de fusión atómica que dan vida a las estrellas impiden por sí mismos que una estrella pueda ser considerada como un objeto de densidad constante, y a partir del momento en que la densidad de una estrella no es constante el proceso de colapso gravitacional es un hecho ineludible. De cualquier manera, aunque se tuviese una estrella de densidad constante, para cierta cantidad de masa el proceso de colapso gravitacional es inevitable de acuerdo con un resultado clásico conocido como el teorema de Buchdahl dado a conocer por Hans Adolph Buchdahl en 1959, de acuerdo con el cual no puede haber estrellas de densidad uniforme que tengan un radio menor que (9/4) M (siendo M la masa Schwarzschild en unidades geometrizadas). Esto significa que si uno construye una estrella de densidad constante con un radio igual a (9/4) M y le dá un ligero empujón (esféricamente simétrico) hacia adentro, entonces a la estrella no le queda más alternativa que comenzar a colapsarse hacia adentro, a la estrella no le es posible ya retomar una condición estática. En un proceso de fusión como el que mantiene vivo a nuestro Sol, cada mil kilogramos de hidrógeno son convertidos en 993 kilogramos de helio que van a dar al interior de la estrella que actúa como una especie de “basurero”:

mientras que los 7 kilogramos restantes son emitidos hacia el exterior como 6.3·1016 joules de energía radiante (este es el tipo de energía que recibimos del Sol) al pasar por el proceso de metamorfosis de masa a energía de acuerdo con la equivalencia relativista E = mc². Estrellas como nuestro Sol “queman” más de unas quinientas millones de toneladas cada segundo que son fusionadas de hidrógeno a helio, lo cual continúan haciendo por miles de millones de años hasta que se les va agotando el hidrógeno. Mientras esto ocurre, el “núcleo de helio” de la estrella se encuentra en una situación similar a la que se encontraba la nube de gas original que dió inicio a la creación de la estrella, al empezar a contraerse debido a la acción de la gravedad calentándose y acelerando el proceso de “incineración” del hidrógeno en la capa exterior. En este proceso, los átomos de helio en el interior de la estrella empiezan a fusionarse a causa de la enorme temperatura y presión convertiéndose en carbono y oxígeno, liberando con ello más energía. A causa de esto, las capas exteriores de la estrella experimentan una expansión además de un enfriamiento que produce un cambio importante en su aspecto, con lo cual la estrella termina convirtiéndose en un tipo de estrellas conocidas como gigantes rojas (rojas porque la temperatura en la superficie de las mismas ha descendido de manera significativa y gigantes por el aumento en su tamaño disminuyendo enormemente a la vez la densidad de las mismas). Cuando nuestro propio Sol llegue a esta etapa que le está esperando en unos cinco mil millones de años, será tan grande que llegará hasta Mercurio, Venus, y a la misma Tierra. Un ejemplo muy conocido de una gigante roja es la estrella Betelgeuse:

Eventualmente, el proceso de fusión en el interior de la estrella empieza a agotar la fuente de helio, y la estrella puede pasar por fases en las cuales los átomos de carbono son fusionados para ser convertidos en átomos de silicio, y a su vez estos átomos de silicio son fusionados para ser convertidos en átomos de hierro. Eventualmente, a toda estrella se le debe terminar su fuente de energía obtenida a base de procesos de fusión atómica, puesto que el hierro es el elemento más estable de todos los átomos en lo que respecta a esta clase de procesos.Cualquier reacción que convierta al hierro en otro elemento de la tabla periódica es una reacción que requiere suministrar energía en lugar de liberarla. En su proceso de desarrollo, una estrella tiene una temperatura lo suficientemente elevada como para que sus átomos se encuentren ionizados (sin electrones estables en las órbitas que normalmente les corresponderían alrededor de los átomos). Si la densidad de la estrella no es muy elevada, cuando es relativamente joven, esta colección de átomos y iones se comporta en cierta manera como un gas ideal cuya presión P y cuya temperatura T están relacionadas mediante la ley del gas ideal: P = nkT

siendo n la densidad del gas y k la constante de Boltzmann (1.381×10−23 joules/grados Kelvin). De esta fórmula podemos ver que para una densidad dada se requiere una temperatura elevada T para poder mantener una presión P que se oponga al colapso gravitacional de la estrella, pero en virtud de que la estrella está radiando constantemente energía hacia el espacio exterior la temperatura T no puede ser sostenida indefinidamente al írsele agotando a la estrella su “combustible”, con lo cual disminuye la presión P y con lo cual el colapso gravitacional continúa. Sin embargo, al continuar compactándose la estrella aumentando su densidad, se va alejando de su comportamiento como un gas ideal pero entra en acción otro efecto repulsivo de naturaleza puramente cuántica (como en Mecánica Cuántica). Los electrones del gas de la estrella obedecen el principio de exclusión de Paulique nos dice que “dos electrones no pueden ocupar el mismo estado con todos sus números cuánticos iguales”, y como consecuencia de este efecto existe una presión-repulsión adicional que se opone al colapso gravitacional de la estrella, una presión adicional ejercida por los electrones que se vuelve importante al ir aumentando la densidad de la estrella, a la cual se le conoce como presión de degeneración de los electrones (electron degeneracy), la cual requiere de una densidad en torno a los 106 g/cm³ (1000 kg/cm³). Si la densidad de la materia en una estrella se vuelve aproximadamente unos cinco millones de veces más grande que la densidad del agua, los electrones contribuyen con una presión adicional que es aproximadamente igual a: P ≈ hcn4/3 siendo h la constante de Planck, c la velocidad de la luz y n el número de electrones por unidad de volumen (a densidades más bajas la presión se vuelve proporcional a n5/3). Esta presión, siendo de naturaleza cuántica, no requiere de una temperatura alta, de modo tal que puede ser sostenida aún cuando la estrella continúa radiando energía. Para que una estrella pueda sostenerse en un estado de equilibrio resistiéndose a su colapso gravitacional, el requerimiento esencial de equilibrio hidroestático es que a cada radio r -medido desde el centro de la estrella- la fuerza de atracción gravitacional Newtoniana que tiende a compactarla sea contrabalanceada por una presión causada por el gas del que está formada la estrella, lo cual se puede formular clásicamente de la siguiente manera con la ecuación de equilibrio hidroestático para estrellas Newtonianas (no-relativistas):

siendo dP/dr la razón del cambio de la presión con respecto al radio de la estrella, ρ la densidad de la materia, y m(r) la cantidad total de masa encerrada en un “casco” esférico a una distancia r del centro de la estrella. Es de notarse que m(r) puede ser una función compleja que además de depender del radio r también dependerá no sólo de la edad de la estrella sino de los elementos que se estén formando en su interior (ya vimos que en el centro de la estrella se va formando un núcleo de helio, al cual posteriormente se le irán sumando otros elementos más pesados como el carbono y el silicio, mientras que en el exterior se tiene una capa de hidrógeno). A partir de esta ecuación se puede demostrar que para poder sostenerse en contra de un colapso gravitacional, la presión Pc en el centro de la estrella debe ser aproximadamente: Pc ≈ GM2/3 ρ4/3 siendo M la masa total de la estrella. Para saber si la presión de degeneración de los electrones es suficiente para salvar a una estrella de un colapso gravitacional continuado, es necesario comparar la presión producida por la degeneración de electrones P con la presión central Pc. Repasando las fórmulas obtenidas, podemos ver que ambas tienen la misma dependencia (n4/3 y ρ4/3) en la densidad de electrones (la densidad ρ es directamente proporcional a n). La salvación de la estrella de un colapso gravitacional solo será posible si el coeficiente numérico del término n4/3 debida a la presión de degeneración de los electrones P es mayor que el coeficiente numérico del término n4/3(esencialmente ρ4/3) de la presión central Pc requerida. En virtud de que el coeficiente numérico dePc depende directamente de la masa total M de la estrella, esto implica que las estrellas pequeñas pueden ser sostenidas en contra de un colapso gravitacional continuado, no siendo así con las estrellas grandes. Si P fuera proporcional a n4/3, inclusive estrellas con densidades bajas serían inestables. Pero como ya se mencionó, a densidades más bajas la presión de degeneración de electrones se vuelve ligeramente mayor, proporcional a n5/3, lo cual permite que haya estrellas estables cuando su masa total M esté por debajo de la masa crítica. Los cálculos detallados llevados a cabo por vez primera por Subrahmanyan Chandrasekhar a principios de la década de los treinta demostraron cómo en aquellas estrellas con una masa menor que 1.3 veces la masa de nuestro Sol la presión de degeneración de los electrones P puede detener el colapso gravitacional, con lo cual las estrellas pueden “envejecer” hasta convertirse en gigantes rojas. Sin embargo, para una masa mayor a 1.3 veces la masa de nuestro Sol pero no mayor de cierto límite, al ser insuficiente la presión de degeneración de los electrones se vuelve cada vez más probable que las estrellas eventualmente continúen con su proceso de colapso de gravitacional hasta que la atracción de la gravedad hace que se contraigan a una estrella conocida como enana blanca del tamaño de la Tierra pero con una masa equivalente a la masa del Sol. Un pedacito de una enana blanca del tamaño de un guisante tendría (sobre la superficie de la Tierra) un peso superior al de un hipopótamo. A continuación tenemos a una enana blanca comparada en tamaño con la Tierra:

En estas estrellas el empuje hacia el interior ocasionado por la gravedad sigue siendo contrabalanceado por la presión repulsiva producida por la degeneración de los electrones. Conforme va pasando el tiempo, la enana blanca continúa enfriándose hasta convertirse lo que equivale al rescoldo de una brasa que se va apagando, conocido como enana negra, explotando su capa exterior hacia el espacio formando una nebulosa como la Nebulosa del Anillo M57 en la constelación de Lyra:

Si suponemos que la masa original de la estrella es ligeramente mayor a la de nuestro Sol pero no dos veces mayor, podría convertirse en una enana blanca e inclusive también podría convertirse en una gigante roja (aunque esto último no es muy probable). Sin embargo, existe un límite para una enana blanca, conocido como el límite de Chandrasekhar, el cual equivale a aproximadamente unas 1.44 masas solares, siendo esta la máxima masa posible de una estrella fría estable con la cual ladegeneración de electrones en su interior (flechas rojas) apenas es capaz de contrarrestar la atracción de la gravedad (flechas negras):

Si se supera la masa límite de Chandrasekhar, la estrella se empezará a colapsar:

en camino para convertirse en una estrella de neutrones ó en un agujero negro (existe también, al menos en teoría, un tercer posible resultado de este colapso, que se cree que puede producir lo que hoy se conoce como una estrella de quarks), ya que al contraerse por efecto de la atracción de la gravedad, su mayor cantidad de masa hará que se exceda el límite crítico explotando para convirtirse en una supernova:

Cuando estos eventos ocurren, las explosiones son visibles e inclusive pueden ser vistas en el cielo sin ayuda de instrumentos ópticos como estrellas con una luminosidad mucho mayor que la luminosidad de las estrellas circundantes. La Nebulosa del Cangrejo es el residuo de una explosión de este tipo, la cual tuvo lugar en 1054 y fue tan espectacular que incluso fue registrada por los astrónomos orientales. Rebasado el límite de Chandrasekhar, y antes de que la estrella pueda terminar convirtiéndose en un agujero negro, existe otro límite que determina la suerte que le espera a una estrella con una masa dos o tres veces mayor que la masa de nuestro Sol. Cuando una estrella explota convirtiéndose en una supernova arrojando hacia el espacio su capa exterior, esta explosión también proporciona un empuje esférico hacia el interior concentrando en el núcleo remanente de la estrella una cantidad de masa mucho mayor que la que había antes allí. Tenemos nuevamente una situación inicial de equilibrio hidroestático. Sin embargo, la intensidad del campo gravitacional impide que podamos analizar este tipo de estrella bajo la mecánica clásica Newtoniana. Es necesario recurrir a las ecuaciones de campo de la Relatividad General para poder determinar lo que va a ocurrir de aquí en adelante. Esta fue la conclusión a la que se llegó en 1939 cuando se obtuvo una solución a las ecuaciones de campo de la Relatividad General también para

el caso de una masa esféricamente simétrica, tomando como punto de partida la ecuación de equilibrio hidroestático para estrellas relativistas:

Esta ecuación exacta que reemplaza a la ecuación Newtoniana, descrita por vez primera por el físico norteamericano Robert Oppenheimer y su alumno George Volkoff, es mejor conocida como laecuación Oppenheimer-Volkoff. Compárese esta ecuación relativista con su contraparte Newtoniana dada arriba. Podemos ver que en el lado derecho de esta ecuación tanto por el numerador que es mayor en la expresión relativista como por el denominador que es menor en la expresión relativista, será más difícil el poder mantener un equilibrio hidroestático -la presión requerida para mantener a una estrella en pie en contra de su colapso gravitacional- que como lo era en el caso Newtoniano clásico, debido al mayor gradiente de presión dP/dr. Si la expresión Newtoniana derivó en un límite, el límite de Chandrasekhar, que es la masa máxima con la cual una estrella puede sostenerse en equilibrio en contra de su colapso gravitacional, podemos esperar que en la expresión relativista para el equilibrio hidroestático habrá también otro límite. Ese límite existe y es conocido como el límite Oppenheimer-Volkoff. Con el propósito de poder compaginar mejor la teoría con los datos experimentales y las observaciones astronómicas, la ecuación Oppenheimer-Volkoff fue objeto de una modificación posterior que produjo lo que hoy se conoce como la ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff:

en donde r es la coordenada radial y ρ(r) y P(r) son la densidad y la presión, respectivamente, del material de la estrella en un punto r = r0, siendo M(r0) la masa total de la estrella dentro del radio r=r0 como es medido por el campo gravitacional percibido por un observador distante. La métrica relativista ligada a la ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff es, desde luego, la métrica de Schwarzschild, escrita de la siguiente manera:

De acuerdo con las conclusiones que se pueden obtener de las relaciones para el equilibrio hidroestático de estrellas en vías de su colapso, la mayor parte de la estrella se comprime en cuestión de unos cuantos segundos hasta convertirse en una estrella más pequeña incluso que la Tierra, una estrella de no más de unos diez a veinte kilómetros de radio. Siendo tan densa y a causa de una atracción de la gravedad tan intensa, la densidad en dicha estrella se vuelve un millón de veces más densa que la densidad de la Tierra, y una porción de dicha estrella del tamaño de una canica tendría sobre la superficie de la Tierra un peso de millones de toneladas. Esto es algo demasiado compacto como para permitir la preservación de la identidad de los átomos de la estrella e inclusive de las partículas elementales que forman a los átomos de la estrella. Los protones son comprimidos junto con los electrones convirtiéndose en neutrones, hasta que desaparecen todos los protones y electrones y lo único que queda son partículas sub-atómicas neutras sin carga eléctrica, los neutrones. En efecto, la estrella se ha convertido en una estrella de neutrones. Si la masa no excede de cierto límite, estas estrellas son mantenidas en tal estado, quedando a salvo de una continuación posterior del proceso de colapso gravitacional gracias a lo que hoy se conoce como presión de degeneración de neutrones (neutron degeneracy), un mecanismo de presión repulsiva de origen cuántico similar en cierta forma a la presión de degeneración de los electrones, basado también en el principio de exclusión de Pauli para fermiones (aunque el principio de exclusión de Pauli, responsable de la "impenetrabilidad" de la materia ordinaria que hace que esta sea una substancia extensa, responsable también de la estabilidad de los orbitales atómicos haciendo que la complejidad química sea posible, y responsable desde luego de la presión ejercida por la materia degenerada, fue aplicado inicialmente a los electrones situados en los orbitales atómicos de los átomos, explicando exitosamente la configuración electrónica de los átomos y el por qué los electrones tienen que ir ocupando capas electrónicas sucesivas a causa de este efecto de repulsión cuántica, el principio eventualmente fue extendido a los fermiones de todo tipo, o sea incluyendo a los protones y a los neutrones). En la siguiente figura podemos ver cómo con una temperatura cercana al cero absoluto mientras que las partículas sub-atómicas conocidas como bosones pueden ser acomodadas todas juntas en un mismo nivel energético en el pozo potencial energético de la izquierda, los fermiones tienen que ser puestos en niveles energéticos diferentes en el pozo potencial energético de la derecha por la repulsión que hay entre todos ellos a causa del efecto cuántico enunciado por el principio de exclusión de Pauli (el nivel de energía EFERMI destacado en la figura derecha corresponde a la energía del más elevado estado cuántico ocupado dentro por un sistema de fermiones):

A diferencia del estado inicial de una estrella en el cual la presión requerida para retrasar el colapso gravitacional es causado por la enorme temperatura que a su vez se traduce en una enorme presión la cual se va perdiendo al ir radiando la estrella energía hacia el espacio exterior, la presión de degeneración de neutrones es una presión que puede ser sostenida conforme va bajando la temperatura ya que no es de naturaleza térmica sino de naturaleza cuántica. Esto significa que una estrella de neutrones se puede ir enfriando indefinidamente manteniendo su equilibrio y su tamaño (su radio) por el resto de la eternidad siempre y cuando su masa no exceda de cierto límite con el cual la atracción ejercida por el campo gravitacional puede vencer incluso la repulsión causada por la presión de degeneración de neutrones. A continuación tenemos una representación del proceso de formación de una estrella de neutrones ocurrido en diciembre de 2004 a unos 50 mil años-luz de la Tierra, el cual fue tan violento que temporalmente encegueció todos los satélites de rayos-X que se tienen en órbita alrededor de la Tierra y además ocasionó que la parte superior de la atmósfera terrestre se iluminara:

La estrella de neutrones es un cuerpo opaco, y se ha estimado por varios cálculos independientes que la densidad de la materia en una estrella de neutrones es de aproximadamente 1017 Kg/m3, lo cual podemos escribir explícitamente como: 100,000,000,000,000,000 kilogramos... ¡por cada metro cúbico! El consenso actual entre la comunidad científica es que la explosión de una supernova es lo que produce estrellas de neutrones en rotación rápida, las cuales son conocidas como púlsares(pulsars, una contracción de las palabras “pulsating stars”), de las cuales se conocen en la actualidad más de 600 con periodos de rotación que van desde el milisegundo a unos pocos segundos, con un promedio de 0.65 segundos (en la ilustración la esfera en el centro representa la estrella de neutrones, las curvas indican las líneas del campo magnético y los conos representan los haces de emisión de las señales de radiofrecuencia):

habiéndose detectado la primera púlsar en julio de 1967 mediante un radiotelescopio (los radiotelescopios siguen siendo la única manera en la cual este tipo de objetos pueden ser localizados en el espacio). Estos periodos de rotación tan cortos sólo son posibles si este tipo de estrellas tienen tamaños de unos pocos miles de kilómetros. En la siguiente fotografía tomada por el telescopio espacial Chandra tenemos a los remanentes de la supernova identificada como Kes 75, dentro de la cual el púlsar es el objeto brillante en el centro de la fotografía:

De los cientos de púlsares que se han detectado hasta la fecha, quizás el más interesante de todos ellos es el PSR B1913+16 descubierto en 1974, también conocido como el púlsar binario HulseTaylor, el cual está formado por dos estrellas compactas girando en torno a su centro de masa común. Este sistema es interesante porque su órbita ha estado decayendo desde el año en que el sistema fue descubierto en conformidad precisa con la pérdida de energía causada por la emisión de ondas gravitacionales predicha por la Teoría General de la Relatividad. En la actualidad se considera que esta es la primera confirmación obtenida sobre la existencia de ondas gravitacionales, distorsiones en el entramado del espacio-tiempo que viajan a la velocidad de la luz. A diferencia de lo que ocurre con estrellas como nuestro Sol cuya gravedad pese a ser lo suficientemente intensa para mantenernos en órbita en torno suyo no es lo suficientemente intensa como para sacar a relucir a flote claramente los efectos de la Relatividad General (la expedición llevada a cabo por Sir Arthur Eddington a la isla de Príncipe cerca de Africa durante el eclipse solar el 29 de mayo de 1919 para confirmar la desviación de los rayos provenientes de estrellas lejanas a causa de la gravedad del Sol como lo predice la Relatividad General, comentada en la entrada “Predicciones, confirmaciones y reflexiones”, dejó en los registros fotográficos un efecto tan tenue que eventualmente fue puesto en tela de duda por décadas al ser tomadas en cuenta las incertidumbres experimentales astronómicas capaces de ser confundidas con efectos

relativistas), las estrellas de neutrones (así como los agujeros negros) son el medio ideal para efectuar cálculos matemáticos propios de la Relatividad General así como para llevar a cabo confirmaciones astronómicas de dichos cálculos, ya que la gravedad es tan intensa en estos cuerpos que los efectos no pueden ser explicados mediante simple mecánica Newtoniana. Una superficie límite interesante que se puede esperar encontrar en torno a una estrella de neutrones es la que se conoce como una esfera de fotones. En la siguiente figura, si suponemos que hay una fuente luminosa (una estrella) situada en el punto B, al pasar cerca del Sol un rayo de luz proveniente de dicha estrella será desviado conforme lo predice la Relatividad General, y al llegar al observador (situado en un telescopio en la parte superior de la figura) el observador creerá que la estrella está situada en el punto A:

Para un rayo de luz que pasa muy cerca de la superficie del Sol, el efecto relativista que puede esperarse es muy pequeño, inferior a unos dos segundos de arco de deflexión de una línea recta. Pero si se trata de un rayo luminoso que sale de la superficie de una estrella de neutrones a cierto ángulo (digamos unos 30 grados) con respecto al horizonte, será desviado de tal manera por la intensidad de la gravedad que no podrá escapar de la superficie y entrará en órbita:

La luz que sea emitida a ángulos menores a dicho ángulo límite no podrá escapar y caerá sobre la superficie de la estrella de neutrones como si fuese un objeto material. Entre la región crítica de la cual un fotón aún puede escapar de una estrella de neutrones al no estar lo suficientemente cerca para ser “jalado” hacia la estrella a causa de la atracción gravitacional y la región crítica en la cual el fotón será irremediablemente “jalado” hacia la estrella, podemos concebir una distancia radial crítica hacia el centro de la estrella en la cual ocurriría algo espectacular: los fotones entrarían en órbita en torno a la estrella de neutrones. Esta superficie sería precisamente la esfera de fotones. Sin embargo, una esfera de fotones es algo sumamente hipotético en virtud del alto grado de precisión que se necesitaría para que los fotones puedan entrar en órbita en torno a una estrella de neutrones. Si la distancia hacia el centro de la estrella requerida para que un fotón entre en órbita en torno a la estrella es de 25.04 kilómetros, entonces el fotón debe estar situado justa y exactamente a tal distancia, sin desviación alguna. Esto significa que si el fotón se encuentra no a una distancia de 25.04 kilómetros sino de: 25.039999999999999999999999000000... kilómetros entoces ese poquito que le falta al fotón para estar situado exactamente a los 25.04 kilómetros no será suficiente para impedir que sea “jalado” hacia la estrella de neutrones. Por otro lado, aún si fuese posible crear artificialmente de alguna manera una esfera de fotones, nosotros no veríamos nada porque para ver algo los fotones tienen que entrar directamente hacia nuestras retinas en lugar de estar en órbita en torno a un cuerpo. La esfera de fotones, más que algo que pueda existir en algún lado del Universo, debe ser vista como un parámetro de interés como lo es la velocidad del sonido, el cual cuando es rebasado por los aviones supersónicos trae consigo una cantidad de efectos interesantes. En el caso de una esfera de fotones, es el límite del cual aún podemos enviar información hacia el exterior desde una estrella que aún no se ha convertido en un agujero negro. El proceso de conversión de una estrella ordinaria a una estrella de neutrones que hemos visto

arriba es la segunda forma en la cual puede morir una estrella. Rebasado el límite de Chandrasekhar, y rebasado el límite Oppenheimer-Volkoff, la tercera forma en la cual puede morir una estrella es el proceso que la puede llevar a convertirse en un agujero negro. Todo depende de la masa inicial de la estrella. La cantidad de masa máxima para una estrella de neutrones es de aproximadamente tres veces la masa de nuestro Sol. Este es aproximadamente el límite Oppenheimer-Volkoff. Cuando la masa de una estrella es unas diez veces mayor que la masa de nuestro Sol, al acercarse al final de su ciclo de vida la atracción gravitacional se vuelve tan intensa que la repulsión interna producida por la presión de degeneración de neutrones no es suficiente para detener el proceso de compresión y compactación de protones y electrones que de otro modo la convertiría en una simple estrella de neutrones. La implosión se convierte en un colapso gravitacional catastrófico que continúa en forma acelerada hasta que se crea una región esférica en el espacio-tiempo del Universo de cuyo interior la luz ya no puede escapar a causa de la intensa atracción gravitacional, una región esférica de radio rs que hoy conocemos como el radio de Schwarzschild, el cual aparece precisamente como parte de la solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein a través de la métrica de Schwarszchild especificada al principio: rs = 2GM/c² Este es el radio que define al horizonte de evento del agujero negro en su proceso de formación cuando ocurre el colapso gravitacional:

Pero dentro del horizonte de evento, en el centro del agujero negro encontramos todavía algo más interesante: una singularidad matemática en la cual muchos científicos suponen que el espaciotiempo se comprime hasta el infinito:

Y en esta singularidad no sólo el espacio-tiempo es compactado hasta el infinito. Dondequiera que haya un agujero negro en el centro de su interior se ha perforado un punto en el Universo en el cual también toda la materia-energía puede ser compactada hasta el infinito:

De este modo, en la singularidad matemática que se encuentra en el centro del agujero negro se compacta todo, se compactan el espacio-tiempo y la materia-energía formando “algo” que ni siquiera nos podemos imaginar, se forma una “substancia” a la cual tal vez ni siquiera se le pueda llamar substancia, porque las matemáticas humanas carecen de funcionalidad para poder investigar el infinito. Si podemos imaginar un punto del tamaño de una cabeza de alfiler capaz de tragarse completamente a la Tierra, apenas empezaríamos a vislumbrar la magnitud de lo que ocurre en la singularidad situada en el interior de un agujero negro. Entre la singularidad situada en el centro del agujero negro y la superficie esférica que representa al horizonte de evento aún es posible que un objeto pueda continuar existiendo, pero un objeto jalado hacia la singularidad se comprime hasta desaparecer en la singularidad. La singularidad en el centro de un agujero negro no es únicamente una singularidad matemática, muchos científicos suponen que se trata también de una singularidad física con existencia real. Esta singularidad no puede ser vista o detectada de modo alguno por un observador externo en virtud de que el horizonte de evento esférico que rodea a la singularidad no permite que pueda escapar del agujero negro ninguna señal luminosa hacia el exterior. Un agujero negro, a causa del enorme campo gravitacional que lo rodea, es capaz de devorar no sólo objetos pequeños sino inclusive estrellas y planetas enteros, como lo muestra la siguiente imagen que representa a una estrella como la nuestra, un Sol, en el proceso de comenzar a ser devorada por un agujero negro:

Con cada planeta o estrella que vaya devorando el agujero negro, la masa M del agujero negro va aumentando a la vez que todo es comprimido en su interior a grado tal que inclusive los átomos y las moléculas que formaban al planeta o a la estrella son fusionadas una y otra vez hasta que la identidad de las mismas desaparece por completo. Ni siquiera nos quedan los neutrones, porque estos son fusionados entre sí y comprimidos hasta el infinito hacia esa substancia extraña que se supone que existe en la singularidad situada en el centro de todo agujero negro. Una pregunta que puede surgir a estas alturas es: ¿son los agujeros negros algo hipotético, el resultado de haber ido demasiado lejos con las matemáticas de una teoría, o contamos con algunas evidencias que nos puedan decir algo sobre la realidad de los mismos dentro del Universo en que vivimos? La respuesta a esta pregunta nos lleva invariablemente al primer agujero negro en haber sido detectado y confirmado, de lo cual hablaremos a continuación. En astronomía, al hablar acerca de sistemas binarios, no estamos hablando de algo que tenga que ver con una computadora digital (aunque esta última pueda ser de mucha ayuda). Se trata de dos cuerpos, generalmente estrellas, que están en órbita la una en torno a la otra bajo la influencia de sus respectivas atracciones gravitatorias. Nuestra galaxia está repleta de estos sistemas binarios cuya existencia ha sido confirmada desde hace ya buen tiempo.

Desde 1970, con la puesta en órbita de satélites capaces de detectar fuentes de rayos-X, se ha encontrado una cantidad creciente de sistemas binarios capaces de generar rayos-X. El común denominador en estos sistemas es una estrella aparentemente normal, visible, en órbita cercana con otro cuerpo que no es ópticamente visible. La existencia de esos otros cuerpos que no son ópticamente visibles se ha podido intuír gracias a los cambios en la frecuencia de las señales luminosas debido al desplazamiento Doppler. La interrogante con respecto al origen de estos rayos-X es, desde luego, el mecanismo que los produce, cómo es posible que en esos sistemas binarios se puedan generar los rayos-X emitidos al resto del Universo que están detectando nuestros satélites en órbita. La mejor explicación que tenemos a la mano es que si uno tiene una estrella ordinaria en órbita cercana con respecto a una estrella compacta (ya sea una enana blanca, una estrella de neutrones o un agujero negro) es lógico esperar que haya un flujo de materia gaseosa de la estrella ordinaria hacia la estrella compacta. En algunos casos, el flujo constante del gas desde la estrella va cayendo hacia la estrella compacta siguiendo la ruta de una espiral, formando lo que se conoce como un disco de acreción (se define como “acreción” la agregación de materia a un cuerpo). La compresión del gas conforme va cayendo así como la turbulencia del mismo producen un sobrecalentamiento del gas en el disco de acreción, lo cual resulta en la emisión de rayos-X. El mecanismo natural de producción de rayos-X debe ser el mismo que el que utilizamos en los aparatos de rayos-X que tenemos en los hospitales para tomar radiografías y tomografías: una carga eléctrica (electrones) es acelerada bajo una gran diferencia de potencial hacia una lámina en donde los electrones que se mueven a gran velocidad son detenidos abruptamente, y cuando son detenidos emiten una radiación intensa a causa del fenómeno del bremsstrahlung (la palabra significa “radiación de frenado”). Clásicamente (y también relativísticamente) toda carga eléctrica que es acelerada o decelerada emite una radiación electromagnética, y estos son precisamente los rayos-X que emanan de nuestros aparatos en los hospitales (por radiación de frenado al ser deceleradas las cargas eléctricas), y por extensión lógica, también de los sistemas binarios (al ser aceleradas las cargas eléctricas en su camino hacia la estrella compacta). Bajo el modelo teórico señalado, es necesario que el gas pase por una acreción hacia una estrella compacta en lugar de una estrella ordinaria para que el calentamiento del gas sea lo suficientemente intenso como para que se produzcan los rayos-X. Además de esto, se han registrado variaciones rápidas en el tiempo en la emisión de los rayos-X, lo cual nos dice que la región desde la cual son generados posiblemente es una región muy pequeña. Es por estas razones que se ha aceptado que todas las fuentes astronómicas binarias de rayos-X constan de una estrella normal que está en órbita en torno a una enana blanca, una estrella de neutrones, o un agujero negro. Tras haber entrado en órbita los primeros satélites de rayos-X, una de las primeras fuentes binarias de rayos-X en captar la atención inmediata de los astrónomos fue Cygnus X-1, usualmente abreviada como Cyg X-1. De las mediciones del período orbital y la velocidad orbital (estos a su vez inferidos de los desplazamientos Doppler) de la estrella así como otros datos más indirectos, se puede estimar la masa del cuerpo compacto en torno al cual está orbitando la estrella de Cygnus X-1. Las mejores estimaciones astronómicas nos indican que la masa del cuerpo compacto invisible del sistema binario Cygnus X-1 es de por lo menos unas nueve masas solares. Este es un valor

significativamente mayor que el tope máximo posible de masa para una estrella enana blanca o para una estrella de neutrones. Se concluyó, por lo tanto, que el sistema binario Cygnus X-1 contiene un agujero negro. Tras la confirmación de la existencia real del primer agujero negro en ser detectado, otros agujeros negros han ido apareciendo en el panorama, a grado tal que ya no se consideran una rareza exótica difícil de encontrar. PROBLEMA: Bosquejar en un diagrama espacio-tiempo el proceso de colapso gravitacional que conduce a la creación de un agujero negro. Un diagrama espacio-tiempo apropiado es el siguiente:

En la parte inferior de este diagrama espacio-tiempo, empezamos con una estrella que está experimentando un colapso gravitacional en virtud de poseer una densidad de masa así como la masa suficiente para que se lleve a cabo su conversión en un agujero negro. La parte inferior trata de bosquejar un cuerpo esférico que se está encogiendo rápidamente, hasta llegar a un radio marcado como Rs, que es precisamente el radio de Schwarzschild para la estrella que se está colapsando. A partir de este momento, la estrella deja de emitir todo tipo de luz, porque toda su materia está comprimiéndose dentro del horizonte de evento que permanece por fuera como una esfera de la cual no puede escapar un rayo de luz. Por dentro el colapso continúa hacia la singularidad que es representada como una línea ondulada. Se han dibujado varios conos de luz que corresponden a varios observadores situados en el diagrama espacio-tiempo. Los dos conos de luz que están situados más hacia la derecha son conos de luz de observadores tan alejados del

agujero negro que siguen siendo los conos de luz ordinarios típicos del diagrama espacio-tiempo de Minkowski. Pero al ir estando más cerca del agujero negro, los conos de luz se van inclinando mostrando el efecto de la distorsión provocada en el espacio-tiempo circundante en el exterior del agujero negro por la enorme masa de la estrella que parece haber desaparecido. El cono de luz cuyo extremo lateral está situado justo en el borde del horizonte de evento del agujero negro nos señala la superficie de la cual ni siquiera la misma luz puede escapar. Si un haz de luz va a entrar en órbita circular en torno a un agujero negro sin caer dentro del mismo, es justo aquí es donde la línea del mundo que corresponde al cono de luz debe coincidir tangencialmente con la superficie esférica en la que está situado el horizonte de evento. Cualquier otra línea del mundo del interior de ese cono de luz situado en el borde conduce en el “futuro” del cono directamente hacia el interior del agujero negro. Por último, los otros dos conos de luz que están en el interior del horizonte de evento representan los conos de luz de observadores que en algún momento de su “pasado” penetraron al interior del agujero negro, y la inclinación pronunciada a medida que se acercan a la singularidad refleja el hecho de que la singularidad está compactando la mayor cantidad posible de masa-energía-espacio-tiempo en ese punto casi imposible de describir.

57. LOS AGUJEROS NEGROS ESTÁTICOS Habiendo estudiado las maneras mediante las cuales se puede formar un agujero negro en alguna parte del Universo, lo cual como hemos visto dependerá substancialmente de la masa inicial de la estrella así como del hecho de que se forme estáticamente o a partir de una estrella en rotación, ha llegado el momento adecuado para intentar explicar la naturaleza de dichos objetos recurriendo a Relatividad General, y el punto de partida usual es la solución esférica encontrada por Karl Schwarzschild a las ecuaciones de campo de la Relatividad General:

Es común encontrar que en algunos textos los dos últimos términos: [ r² dθ² + (r² sen²) (dφ)² ] son simplificados de la manera siguiente: [ r² dθ² + (r² sen²) (dφ)² ] = r² [dθ² + (sen²) (dφ)²] = r² dΩ² en donde Ω es lo que se conoce como un ángulo sólido, un término que resultará familiar para quienes hayan tomado un curso de geometría esférica. Conforme r se acerca al valor 2GM/c², el coeficiente de dt² (ignoraremos por el momento el valor de la constante absoluta c que no es indispensable para nuestro análisis) se acerca a cero, mientras que el coeficiente de dr² se va acercando al infinito. Por un buen tiempo, no se tuvo la certeza de que la singularidad “infinita” en el punto r = 2GM/c² conocido como el radio de Schwarzschild rs fuese una singularidad física real, tangible, que no pudiera ser atravesada por un observador cayendo hacia el agujero negro, o que simplemente fuese lo que suele llamarse una singularidad en la coordenada. Un ejemplo familiar de una singularidad en la coordenada es el que ocurre para el valor de r = 0 cuando estamos utilizando coordenadas polares (r, θ), con lo cual nos encontramos con una indeterminación matemática para la especificación de dicho punto. En

este caso, basta con una transformación de coordenadas polares a coordenadas Cartesianas (rectangulares) para eliminar la singularidad. Otro ejemplo parecido lo encontramos cuando queremos llevar a cabo la proyección de la superficie de una esfera sobre un plano como ocurre con la proyección de Mercator:

Considérese la siguiente tentativa de llevar a cabo la proyección de la superficie de una esfera sobre un plano:

En este caso, no sólo φ = 0 y φ = son la misma línea (dándole la vuelta a la esfera a través de los polos), sino que inclusive las líneas θ = 0 y θ = π... ¡representan el mismo punto! En efecto, el polo norte de la esfera tiene coordenadas:

θ=0 0 ≤ φ ≤ 2π y aunque φ puede tomar cualquier valor para θ = 0, todos estos valores representan el mismo punto. Para un caso así, encontrar otro tipo de coordenadas que resuelva el problema no es un asunto fácil. A manera de ejemplo, si queremos intentar una proyección estereográfica de la superficie de una esfera sobre un plano de coordenadas polares, el cual tendría la desventaja de ser infinitamente grande:

nos encontraremos con una nueva singularidad, situada precisamente en el polo en el cual ambas superficies están en contacto. El fallo radica, pues, no en las ecuaciones físicas de la teoría sino en el tipo de coordenadas que se están utilizando. Por lo general, una singularidad en una de las coordenadas indica un problema matemático, no un problema físico real, y el problema matemático puede ser eliminado por una transformación de las coordenadas. La solución original encontrada por Schwarzschild solo describe lo que ocurre en la región exterior del horizonte de evento. Pero no nos dice nada sobre lo que ocurre en el interior. Aunque desde un principio se sospechó que la singularidad en el punto 2GM/c² era una singularidad de la coordenada y no una singularidad física real, esto no se pudo demostrar sino hasta fines de la década de los cincuentas cuando se encontró un sistema de coordenadas capaz

de remover la singularidad matemática (de lo cual se hablará posteriormente), tras lo cual se fueron descubriendo otros tipos de coordenadas capaces también de remover la singularidad matemática. Si en la métrica de Schwarzschild consideramos a un observador situado en el “infinito”, podemos ver que conforme r va tomando valores grandes el coeficiente de dt² va tomando el valor de -1. Por otro lado, las coordenadas espaciales r, θ y φ para un observador en reposo permanecen constantes con el transcurso del tiempo, de modo tal que los diferenciales dr, dθ y dφ toman el valor de cero para un observador en reposo situado a una buena distancia del cuerpo. Con esto, el tiempo propio de un observador en reposo situado en el infinito se puede considerar aproximadamente igual a la coordenada tiempo de la métrica Schwarzschild, y cualquier afirmación que se haga concerniente a t o dt también será aplicable para el tiempo que está midiendo en su reloj el observador situado en reposo en la lejanía. Haciendo ds² = 0 en la métrica de Schwarzschild, podemos estudiar el comportamiento de un rayo de luz cerca del horizonte de evento, tal y como será visto por un observador en reposo viendo lo que sucede desde el “infinito”. Podemos simplificar nuestro análisis si consideramos que el rayo viaja a lo largo de una geodésica nula (de tipo luminoso) radial, ya sea directamente hacia el agujero negro y alejándose directamente de él, con lo cual las coordenadas θ y φ del rayo de luz no cambiarán. Con esto podemos eliminar los últimos dos términos en la métrica de Schwarzschild quedándonos únicamente con la siguiente expresión:

Tomando el valor de c = 1 para simplificar nuestro análisis, obtenemos lo siguiente tras la extracción de la raíz cuadrada:

Podemos ver claramente que conforme r se aproxima a 2GM, dt/dr empieza a crecer aumentando hasta el infinito. Este es un efecto de dilatación del tiempo. Cualquier mensaje enviado por medio de una señal luminosa desde las afueras del horizonte de evento a un observador en reposo situado lejos del agujero negro será “estirado”. Entre más cerca se encuentre el emisor de la señal

luminosa al radio que define al horizonte de evento (rs = 2GM/c²) tanto más “estirado” le llegará el mensaje al observador situado en la lejanía. La frecuencia de una señal luminosa repetitiva experimentará uncorrimiento al rojo gravitacional llevándole una cantidad menor de información por unidad de tiempo (medido por el reloj del observador-receptor situado en la lejanía). Cuando el emisor se encuentra muy cercano al horizonte de evento, el corrimiento al rojo gravitacional es tan grande que la señal luminosa enviada hacia afuera para fines prácticos desaparece. Por esta razón el horizonte de evento es llamado algunas veces el horizonte de corrimiento al rojo infinito. Este es en esencia el mismo argumento esgrimido a partir de los tiempos del mismo Karl Schwarzschild para identificar al horizonte de evento como una superficie de la cual a la luz no le sería posible escapar. Como se afirmó al principio de esta entrada, las coordenadas esféricas simples utilizadas por Schwarzschild para definir la métrica en el exterior del agujero negro resultaron insuficientes para manejar el interior a causa de la singularidad matemática en el punto r = 2GM/c². Este problema fue solventado con la invención de un nuevo conjunto de coordenadas, las coordenadas KruskalSzkeres, inventadas por Martin Kruskal y George Szkeres, las cuales permiten la descripción matemática de lo que ocurre en un agujero negro tanto fuera del horizonte de evento como dentro del horizonte de evento. Estas coordenadas se obtienen partiendo de las coordenadas de Schwarzschild(t,r,θ,φ) y la métrica de Schwarzschild: ds² = (1 - 2GM/rc²)(cdt)² - (1 - 2GM/rc²) -1(dr)² - (r²)(dθ)² - (r² sen² θ)(dφ)² reemplazando la variable t y la variable r por las siguientes coordenadas T y R para la región exteriordel agujero negro:

y reemplazando la variable t y la variable r por las siguientes coordenadas T y R para la regióninterior del agujero negro:

siendo la métrica Kruskal-Szkeres la siguiente:

Haciendo un ligero cambio de variables, tenemos la representación esquemática usual con la cual se tiene un diagrama conocido como el diagrama Kruskal-Szkeres:

La diferencia entre las coordenadas que corresponden a la métrica de Schwarzschild y las coordenadas Kruskal-Szkeres se hace manifiesta al estudiar el comportamiento de los conos de luz típicos del diagrama espacio-tiempo de Minkowski conforme un observador se va acercando al horizonte de evento. Mientras que en las coordenadas de Schwarzschild los conos de luz se van cerrando cerca de la superficie que corresponde al horizonte de evento:

al usar las coordenadas Kruskal-Szkeres los conos de luz se van inclinando pero sin cerrarse, reflejando un comportamiento más creíble:

Además de las coordenadas Kruskal-Szkeres creadas para investigar lo que ocurre en el interior de un agujero negro, hay otras coordenadas tales como las coordenadas EddingtonFinkelsteinadaptadas para el estudio de geodésicas radiales del tipo luminoso (tipo nulo), o sea para el estudio de lo que ocurre con fotones moviéndose directamente hacia o alejándose de la masa central del agujero negro, para las cuales definimos una nueva coordenada designada como la coordenada tortuga, definida de la siguiente manera (en los textos que tratan sobre estas

coordenadas se acostumbra igualar la velocidad de la luz a la unidad como es típico cuando se utilizan unidades geometrizadas):

Obsérvese que esta coordenada va tomando el valor de -∞ conforme la distancia radial se va acercando al radio de Schwarzschild. Ahora definimos las coordenadas de entrada nula y salida nulade la siguiente manera: v = t + r* u = t - r* Las coordenadas de entrada nula están especificadas por v = constante mientras que las coordenadas de salida nula están especificadas por u = constante. De este modo, las coordenadas de entrada Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando t con v, y al hacerlo la métrica de entrada Eddington-Finkelstein está dada por:

Del mismo modo, las las coordenadas de salida Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando t con u, y al hacerlo la métrica de salida Eddington-Finkelstein está dada por:

Para investigar lo que ocurre sobre un objeto que va encaminado hacia un agujero negro, además del uso de las coordenadas Eddington-Finkelstein y las coordenadas Kruskal-Szkeres, Edwin Taylor y John Archibald Wheeler propusieron en su libro Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity publicado en el año 2000 un marco de referencia bautizado con el nombre de marco

lluvia (rain frame), un marco de referencia que está en caída libre hacia un agujero negro cuya simplicidad lo hace útil para el aprendizaje y para cuya definición se utilizan por lo menos dos partículas de prueba enviadas desde el infinito con una velocidad inicial de cero directamente hacia el agujero negro a lo largo de una dirección radial, ambas partículas situadas a la misma distancia radial del centro del agujero negro y con sus relojes sincronizados al mismo tiempo, cayendo hacia el agujero negro como si fuesen gotas de lluvia (de allí el nombre del marco de referencia). Una de las ideas principales detrás de estas coordenadas es que al utilizar dos “gotas de lluvia” (no necesariamente objetos líquidos) como partículas de prueba, midiendo separaciones tales como la separación AA’ y la separación BB’ un observador en caída libre hacia el agujero negro puede deducir dentro de su marco de referencia (su marco lluvia) la coordenada r. El mismo método puede ser utilizado inclusive si el observador ha penetrado dentro del horizonte de evento, midiendo la distanciaCC’:

Podemos imaginarnos en las afueras del horizonte de evento y en torno a un agujero negro varias esferas imaginarias concéntricas que llamaremos “cascos” mantenidos estacionarios de alguna manera sin caer hacia el agujero negro. Un observador externo se puede imaginar situado sobre la superficie de uno de estos cascos adyacentes. En una región suficientemente pequeña de cualquiera de estos cascos podemos considerar al espacio-tiempo como plano, Lorentziano, en el cual se pueden aplicar los principios de la Teoría Especial de la Relatividad. Dos o más partículas de prueba situadas en el mismo “casco” estarán ambas a la misma distancia radial del centro del agujero negro, y tendrán sincronizados sus relojes a la misma hora, los cuales permanecerán sincronizados todo el tiempo inclusive al atravesar las partículas el horizonte de evento y al encaminarse hacia la singularidad por estar situadas ambas a la misma distancia del centro del

agujero negro. Puesto que la coordenada del tiempo es especialmente problemática dentro de las coordenadas de Schwarzschild para analizar movimientos a través y dentro del horizonte de evento, la reemplazamos por el tiempo propio de la partícula de prueba, el tiempo que va midiendo un reloj situado a un lado de la partícula que está en caída libre. Si consideramos el tiempo registrado por un mismo reloj en el mismo lugar en uno de los cascos en donde tengamos dr = 0, dθ = 0 y dφ = 0, entonces el tiempo que registra el reloj es el tiempo propio Lorentziano. Reescribiendo la métrica de Schwarzschild utilizando el tiempo propio dτ en lugar de la distancia del intervalo relativista ds (emplearemos unidades geometrizadas con las cuales la constante de gravitación universal y la velocidad de la luz c ambas toman el valor de 1):

tenemos entonces para el tiempo propio de este marco derivado de la métrica de Schwarzschild lo siguiente:

Tomando la raíz cuadrada obtenemos una expresión para dts:

Del mismo modo podemos obtener una expresión para la distancia drs en la coordenada r considerando dos eventos simultáneos que tienen lugar en la misma dirección radial de dos cascos esféricos separados una distancia infinitesimal dr, la cual resulta ser:

Localmente, con las coordenadas ts y rs de un punto en un casco, la métrica para un marco de referencia en un casco se puede expresar como: dτ² = dts² - drs² - r² dθ² - r² sin² θ dφ² Si definimos al marco lluvia como un marco de referencia que está en caída libre hacia un agujero negro, la coordenada tiempo del marco lluvia se puede obtener mediante la aplicación de las ecuaciones de transformación de Lorentz a las coordenadas del casco en las afueras del horizonte de evento: dtr = γ(dts - β drs) drr = γ(drs - β dts) en donde γ = 1 / √1 - β² siendo β = - √2M/r la velocidad del marco de lluvia con respecto al casco. De este modo, podemos obtener las coordenadas lluvia tomando en consideración la curvatura del espacio-tiempo entre las coordenadas de un casco y las coordenadas Schwarzschild debido a la cercanía del agujero negro (se han omitido aquí varios pasos intermedios): dtr = dt - βγ² dr drr = γ² dr - β dt siendo la métrica lluvia la siguiente: dτ² = dtr² - drr² - r² dθ² - r² sin² θ dφ² En coordenadas Schwarzschild, la velocidad de una gota de lluvia, definida la gota de lluvia como un objeto en caída libre cayendo radialmente hacia un agujero negro desde el infinito partiendo de una velocidad de cero, medida por un observador situado en uno de los cascos atravesados por la gota de lluvia, y definido el marco lluvia como el marco de referencia en el cual la gota de lluvia

se encuentra en reposo, es la siguiente:

Existen disponibles gratuitamente en Internet programas de simulación que nos permiten analizar visualmente lo que ocurre en un marco de referencia como el marco lluvia. Uno de ellos es el programa ejecutable elaborado por el proyecto Open Source Physics, del cual se dan algunos detalles en uno de los apéndices titulado “Programas de simulación computarizada”, el cual se recomienda obtener a la mayor brevedad posible para poder experimentar con las métricas y los marcos de referencia utilizados dentro de la Relatividad General. Hablaremos ahora de la suerte que encontraría una persona que cayese en un agujero negro encaminándose directamente hacia la singularidad del agujero negro, la cual sería terrible, en virtud de lo que se conoce como las fuerzas de marea (tidal forces). Si bien en la Tierra se requiere escalar a grandes alturas sobre la superficie para poder encontrar disminuciones apreciables en la aceleración gprovocada por la gravedad de la Tierra como las predichas clásicamente por la mecánica Newtoniana:

al ir en camino hacia un hoyo negro estas diferencias se vuelven perceptibles primero en cuestión de unos cuantos metros y luego en cuestión de centímetros y milímetros continuando así el proceso hasta el infinito. A manera de ejemplo, la diferencia gravitacional evaluada sobre una longitud (medida como una diferencia de alturas) de tan sólo dos metros estando situados a unos 5 mil kilómetros de un agujero negro que posea una masa-energía equivalente a cincuenta masas solares es (usando un valor de 1.99·1030 kilogramos para la masa del Sol) :

= (6.63·1021) (3.2·10-20) = 212 metros/seg² Comparada con la gravedad sobre la superficie de la Tierra de g = 9.8 m/seg², ésta sería una fuerza de estiramiento más de veinte veces mayor que la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra. Y conforme un viajero se va aproximando más y más al centro del agujero negro, esta fuerza va aumentando considerablemente. Como consecuencia de que una persona entre de pies a un agujero negro en camino hacia la singularidad matemática que está en el centro del mismo, será estirada de pies a cabeza, transformada en un hilo delgado hasta convertirse en la línea ideal de Euclides con un grosor de cero y estirada hasta volverse infinitamente larga:

Cuando el agujero negro no es eléctricamente neutro, cuando tiene una carga eléctrica, la solución de Schwarzschild deja de ser válida. En este caso, en la solución a las ecuaciones de campo encontramos que tenemos no uno sino dos horizontes separados. Uno de ellos es el horizonte de evento usual, y el otro es un horizonte interno al horizonte de evento, llamado horizonte de Cauchy. Definiendo al radio de Schwarzschild de la manera usual como rs = 2GM/c², la métrica que corresponde al campo gravitacional de un cuerpo simétricamente esférico de masa M con una carga eléctrica neta Q (positiva ó negativa), descubierta por Hans Reissner y Gunnar Nordström entre 1916 y 1918, es la siguiente:

siendo Ω el ángulo sólido y siendo rQ una escala de longitud que corresponde a la carga eléctrica del cuerpo, la cual está dada por la relación:

PROBLEMA: ¿A qué se reduce la métrica Reissner-Nordström para el caso en el cual el agujero negro está desprovisto de carga eléctrica? En una situación así, tenemos Q = 0 con lo cual rQ = 0, y la métrica Reissner-Nordström se reduce a la métrica de Schwarzschild. En el límite cuando la carga eléctrica del agujero negro tiende a cero, podemos recuperar también la teoría clásica Newtoniana de la gravedad conforme el cociente rs/r se aproxima a cero, ya que en tal caso la métrica ds² se convierte en la métrica de Lorentz usual para la Teoría Especial de la Relatividad. En la práctica el cociente rs/r es casi siempre muy pequeño. Para la Tierra su radio Schwarzschild es

de aproximadamente nueve milímetros (o tres octavos de pulgada), lo cual es insignificante en comparación con el radio de la Tierra, de modo tal que las correcciones relativistas a la gravedad Newtoniana son de únicamente una parte en mil millones. El único lugar en donde el cociente rs/radquiere valores significativos es en las estrellas de neutrones y en los agujeros negros. Como ya se mencionó, cuando el agujero negro adquiere una carga eléctrica el horizonte de evento del agujero negro Schwarzschild se contrae y aparece afuera del mismo otro horizonte, lo cual, lo cual tenemos ilustrado en el siguiente dibujo:

Una consecuencia de la existencia de dos horizontes es que después del cambio en el espaciotiempo que se experimenta al atravesar el primer horizonte se vuelve a experimentar otro cambio en el espacio-tiempo al cruzar el segundo horizonte con lo cual el espacio-tiempo vuelve a tomar sus características originales (exceptuando a la singularidad), de modo tal que al entrar en un agujero negro estático cargado eléctricamente es posible evadir la singularidad. Los dos horizontes del agujero negro Reissner-Nordström pueden ser obtenidos igualando a cero la parte temporal de la métrica, o sea analizando la ecuación:

De aquí podemos obtener la siguiente ecuación cuadrática:

La condición rs = 2rQ es un caso en el cual los dos horizontes se confunden, produciéndose un estado degenerado, resultando en lo que se conoce como un agujero negro extremo. Por otro lado, si la carga eléctrica del agujero negro es lo suficientemente elevada, esto conduciría a la preocupante condición matemática en la cual rs se vuelve menor que 2rQ, produciéndonos un término imaginario a causa del valor negativo dentro del radical. Si a esto pudiera dársele una interpretación física, esto nos describiría una situación en la cual los dos horizontes desaparecen, dejando abierta (aparentemente) la posibilidad de que la singularidad en el centro del agujero negro quede expuesta a la vista de un observador externo, lo cual sería un acontecimiento significativo para el Universo entero porque el espacio-tiempo del Universo entraría en contacto directo con un punto en el cual el mismo espacio-tiempo ha dejado de existir, un suceso equiparable tan sólo con la unión de materia con antimateria. Sin embargo, en la opinión de muchos astrofísicos tal cosa no puede ocurrir en virtud de un principio conocido como la hipótesis del censor cósmico conjeturada y propuesta de manera informal por vez primera por Roger Penrose en 1969, una especie de “censura” con la cual el Universo “púdicamente” -como si se tratase de un padre ocultando la desnudez de su hija ante los ojos del mundo- impide que la singularidad del agujero negro pueda quedar expuesta de alguna manera, y en base a lo cual se supone que al crearse un agujero negro tras un colapso gravitacional se crea primeroel horizonte de evento -que nos impide ver todo lo que se forme dentro del mismo al no poder escapar la luz del interior- y tras esto -después- se crea la singularidad. Más que un asunto de moralismo cósmico, esta censura vendría siendo una forma en la cual el Universo nos protege de lo que pueda ocurrir con la inherente impredictibilidad de las singularidades al ponerse en contacto con el Universo en virtud de que el comportamiento físico de las singularidades nos es desconocido por completo, y si las singularidades pudiesen ser observadas directamente desde el resto del espacio-tiempo, si hubiese singularidades desnudas, esto posiblemente nos conduciría a una pérdida del determinismo científico porque es imposible predecir el comportamiento del espaciotiempo en el futuro causal de una singularidad, con lo cual la física perdería su capacidad predictiva al no poder basarse ya en el principio de causa y efecto. De cualquier manera, es poco probable (aunque ciertamente posible) que un agujero negro del

tipoReissner-Nordstrøm pueda existir, en virtud de que para producir un agujero que posea una carga eléctrica el agujer negro se tiene que formar a partir de una estrella que también posea una carga eléctrica neta (positiva o negativa), lo cual no es muy probable que suceda ya que por lo general tras todos los procesos atómicos y sub-atómicos de compactación que están ocurriendo en el interior de las estrellas, con los cuales las cargas eléctricas positivas y negativas terminan siendo neutralizadas al irse fusionando las unas con las otras, consideradas las estrellas como un todo terminarían siendo eléctricamente neutras. Sin embargo, esto no excluye la posibilidad de que un cuerpo con una carga eléctrica neta (positiva ó negativa), sea devorado por el agujero negro, con lo cual la carga eléctrica pase a formar parte directamente del agujero negro.

58. LOS AGUJEROS NEGROS DINÁMICOS La solución matemática encontrada por Karl Schwarszchild así como la solución matemática encontrada por Hans Reissner y Gunnar Nordström son soluciones estáticas, para agujeros negros que se mantienen inmóviles y que no están girando en torno a un eje propio. Pero estas no son las únicas soluciones exactas posibles a las ecuaciones de campo de Einstein. Hay otras soluciones, también exactas, que predicen la existencia de agujeros negros dinámicos, los cuales están en rotación continua. A continuación tenemos un agujero negro de este tipo en un sistema binario que muestra a una estrella a la derecha que está alimentando el disco de acreción que rodea al agujero negro:

Obsérvense los dos chorros emitidos en direcciones opuestas por el agujero negro. En la esquina superior derecha de la imagen tenemos una fotografía real tomada por el telescopio espacial Hubble de un agujero negro enorme que está situado en el centro de la galaxia NGC4261. Existe la creencia generalizada de que el agujero negro estático, en caso de existir, no se produce tan fácilmente porque es el resultado del colapso de una estrella que se puede presumir que tenía algún movimiento de rotación similar al movimiento de rotación de la Tierra antes de colapsarse. Esta rotación implica la existencia de un movimiento angular J, mejor conocido como momento angular, el cual por el principio de la conservación de la cantidad de movimiento angular no se puede desvanecer hacia la nada sin dejar rastro, lo cual nos lleva a sospechar en la posibilidad de que el agujero negro creado por tal colapso gravitacional retiene dicha rotación, e inclusive en la posibilidad de que la solución matemática a tal agujero negro en rotación sea una solución exacta y no una aproximación. Este sería el agujero negro más realista de todos, este sería el que tendríamos mayores posibilidades de encontrar en el Universo. En 1963, el matemático neo-

zelandés Roy Kerr logró resolver las ecuaciones de campo partiendo de la solución de Schwarzschild introduciendo el siguiente parámetro adicional de rotación: a = J/M que describe la rotación del agujero negro, el cual cuando toma el valor de cero se reduce a la descripción de un agujero negro estático sin rotación, siendo J la cantidad de movimiento angular del agujero negro en rotación y M el contenido total de masa-energía del mismo. La resolución del problema requirió recurrir a las coordenadas Boyer-Lindquist, las cuales son una generalización de las coordenadas usadas para la métrica del agujero negro de Schwarzschild. La métrica Kerr que describe a un agujero negro en rotación es la siguiente:

en donde ρ² = r² + a² cos θ Δ = r² - 2Mr + a² y (r, θ, φ) son las coordenadas polares usuales. Obsérvese que si llevamos a cabo la expansión del quinto término (cuadrático) en la métrica de Kerr, obtenemos lo que se conoce como un término óblico, el término dtdφ. La aparición de este término en la métrica es responsable por lo que hoy se conoce como el efecto Lense-Thirring, con el cual los marcos de referencia cercanos al agujero negro en rotación son arrastrados junto con el mismo. Esta característica interesante de que los agujeros negros en rotación sean capaces en la proximidad de su horizonte de evento de ir arrastando al espacio-tiempo la tenemos ilustrada en el siguiente graficado:

El “arrastre” producido por un agujero negro en rotación sobre el espacio-tiempo se puede visualizar mejor con el hundimiento del espacio-tiempo hacia la singularidad en el siguiente bosquejo:

El arrastre del espacio-tiempo en torno a la superficie de un agujero negro, similar al remolino que producen sobre el agua las aspas de una licuadora al ponerse en movimiento, es un efecto puramente relativista. Es imposible que esto pueda ocurrir en la mecánica clásica en donde el espacio absoluto, el tiempo absoluto y la atracción de la gravedad son cosas completamente independientes la una de la otra. Podemos definir una región afuera del horizonte de evento de los agujeros negros rotacionales conocida como la ergósfera o ergoesfera, una estructura de forma de forma elipsoidal coincidiendo su semieje menor con el eje de rotación de esta, achatándose en la dirección del eje de giro de manera similar a como lo hace la Tierra a causa de su rotación:

En la región de la ergósfera, el campo de gravedad del agujero negro rota junto con él arrastrando al espacio-tiempo. Dentro de la ergóesfera no existe el reposo, es imposible que un cuerpo no se mueva, pues el propio espacio gira en torno a la singularidad por lo que la materia que se encuentre en esa región rotará junto a ella. Dentro de la ergósfera, el espacio-tiempo es arrastrado en la dirección de la rotación del agujero negro a una velocidad mayor que la velocidad de la luz en relación con el resto del Universo. A causa de esto, los objetos dentro de la ergósfera

no pueden permanecer estacionarios con respecto al resto del Universo a menos de que se estén moviendo a velocidades superiores a la velocidad de la luz, lo cual es imposible. Lo que sucede es que no son las partículas las que se estén moviendo con tal velocidad, es el espacio-tiempo de la ergósfera el que se mueve a velocidades superiores a la velocidad de la luz. Otra consecuencia del arrastre de los marcos de referencia es la existencia de energías negativas dentro de la ergósfera. El límite exterior de la ergósfera es una superficie conocida como el límite estacionario. En este límite estacionario, los objetos que se estén moviendo a la velocidad de la luz permanecen estacionarios con respecto al resto del Universo, en virtud de que el espacio-tiempo justo en esta superficie límite está siendo arrastrado exactamente a la velocidad de la luz. Un poco fuera ya de este límite, el espacio-tiempo sigue siendo arrastrado, pero a una velocidad menor que la velocidad de la luz. Puesto que la ergósfera está situada afuera del horizonte de evento, aún es posible que los objetos puedan escapar de la atracción gravitacional del agujero negro. De este modo, un objeto puede adquirir energía entrando en la ergósfera y tras esto escapar de la misma llevándose algo de la energía del agujero negro. En pocas palabras, el objeto puede salir con una mayor energía que la que tenía al entrar en la ergósfera. Esta posibilidad de extraer energía de un agujero negro en rotación fue propuesto por vez primera por el matemático Roger Penrose, y es conocido como el proceso Penrose. Teóricamente, la extracción máxima posible de energía de un agujero negro a través de su ergósfera es igual al 29% del total de la energía del agujero negro. Esta posibilidad de irle extrayendo a un agujero negro su energía a través de su ergósfera con la mira de aprovecharla para hacer un trabajo útil es precisamente lo que motivó el nombre de dicha región, derivado del griego ergon que significa “trabajo”. Sin embargo, no es posible estar extrayendo energía del agujero negro sin que ello tenga consecuencia alguna sobre el agujero negro. Al serle removida energía a través de su ergósfera, el agujero negro va disminuyendo su rotación, hasta que en un momento dado la ergósfera deja de existir habiendo dado el agujero negro todo lo que podía dar. Un resultado interesante para el agujero negro tipo Kerr está dado por la fórmula que nos proporciona el área para el horizonte de evento de este tipo de agujero:

PROBLEMA: Si un agujero negro va perdiendo su rotación hasta detenerse por completo, ¿cuál será el área de su horizonte de evento de acuerdo con la ecuación de Kerr? ¿Está justificada esta conclusión? Al perder un agujero negro su rotación, entonces J = 0 y el radical toma el valor de 1, con lo cual el

área del horizonte de evento del agujero negro vendría siendo: A = 16πG²M²/c4 Un agujero negro estático es esencialmente un agujero negro Schwarzschild con un horizonte de evento de radio rs = 2GM/c². La superficie esférica de su horizonte de evento será: A = 4πrs² = 4π(2GM/c²)² = 16πG²M²/c4 Puesto que este resultado concuerda con el que obtuvimos a partir de la fórmula para el agujero negro de Kerr, entonces la conclusión dada por la fórmula de Kerr está justificada. El interés que podamos tener en el área de la superficie de un agujero negro es propiciado por el siguiente esultado fundamental que es válido para cualquier tipo de agujero negro de la clase que sea: Teorema del área: El área de la superficie del horizonte de evento de un agujero negro nunca puede disminuír. Después de cualquier proceso, el área sólo puede aumentar (o permanecer igual) con respecto al área inicial. El teorema, expresado en terminología matemática, se puede escribir de la manera siguiente:

De acuerdo con el teorema, si dos agujeros negros se acercan y se fusionan bajo la influencia de su atracción gravitacional mutua, el área A del agujero negro resultante deberá ser mayor que las áreasA1 y A2 que tenían los dos agujeros negros antes de encontrarse: A ≥ A1 + A2 El teorema del área será de enorme importancia cuando veamos la conexión que existe entre los agujeros negros y la segunda ley de la termodinámica.

Dos años después de conocerse la solución de Roy Kerr a las ecuaciones de campo, el matemático norteamericano Ezra Newman extendió la solución exacta encontrada por Roy Kerr para incluír agujeros negros en rotación que poseen una carga eléctrica denotada como Q. Para que un agujero negro del tipo Kerr-Newman pueda ocurrir, debe cumplirse la siguiente condición esencial:

en donde M es la masa, Q es la carga y J es la cantidad del momento angular del agujero negro en rotación. Si se viola la desigualdad, aún es posible encontrar soluciones a las ecuaciones de campo para la familia de agujeros negros Kerr-Newman, pero estas soluciones nos describen singularidades “desnudas” en lugar de agujeros negros. Habíamos visto anteriormente que cuando un agujero negro no es eléctricamente neutro, cuando tiene una carga eléctrica, encontramos que tenemos no uno sino dos horizontes separados, siendo uno de ellos el horizonte de evento usual y el otro un horizonte interno al horizonte de evento conocido como el horizonte de Cauchy. Tomando esto en cuenta, para el agujero negro más general de todos podemos definir tres superficies en torno a la singularidad situada en el centro, las cuales vistas“desde arriba” (la llamaremos una vista polar) son las siguientes.

y las cuales desde una perspectiva “ecuatorial” son las siguientes:

Resumiendo lo que hemos visto hasta ahora, existen cuatro soluciones matemáticas exactas a las ecuaciones de campo de la Teoría General de la Relatividad que permiten clasificar a los agujeros negros dentro de cuatro tipos posibles (posibles matemáticamente, físicamente la abundancia relativa que pueda haber de cada uno de ellos en el Universo es un tema propio de la filosofía de la astrofísica), dependiendo de que el agujero negro no tenga rotación alguna (J = 0) ó de que exhiba alguna rotación (J ≠ 0) y de que sea eléctricamente neutro (Q = 0) ó que posea alguna carga eléctrica (Q ≠ 0):

59. LOS AGUJEROS NEGROS: EVAPORACIÓN Caer en un agujero negro tal vez no signifique el fin de todo. Una vez formado un agujero negro, la Relatividad General nos indica que el agujero negro jalará y devorará todo lo que pase lo suficientemente cerca de su influencia gravitacional como para ser engullido. Como un glotón que solo puede crecer y crecer y del cual nada puede escapar, ni siquiera la misma luz, el agujero negro parecería tener garantizada una existencia casi eterna tras la creación del Universo. Esto si nos atenemos únicamente a las ecuaciones de la Relatividad General. Pero en el Universo no sólo rige la Relatividad General. También rige la Mecánica Cuántica. Y uno de los descubrimientos teóricos más espectaculares en tiempos recientes ha sido el que nos indica que los agujeros negros, lejos de ser eternos, se van evaporando poco a poco:

El tiempo de “evaporación”, se admite de inicio, puede ser extremadamente largo. Pero el sepulturero más grande que hay en el Universo, el agujero negro, tiene a fin de cuentas su propia sepultura esperándolo, su propio fin. Ni siquiera el poderoso agujero negro puede evadir su propia muerte. Esta historia tiene un principio en el año de 1973, con la visita hecha a Moscú (en los tiempos de la Unión Soviética) por el afamado científico inglés Stephen Hawking, en la cual tuvo un encuentro con los físicos soviéticos Yacob Zeldovich y Alexander Starobinsky, los cuales le hicieron ver que, de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, los agujeros negros en rotación deberían ser capaces de producir y emitir una radiación de partículas, la cual debería ir

disminuyendo la masa del agujero negro con el paso del tiempo hasta que en un momento dado el horizonte de evento dejaría de existir, el momento en el cual a un rayo de luz le sería posible escapar del agujero negro. De regreso a Inglaterra, Stephen Hawking trabajó sobre los argumentos que le fueron proporcionados por los físicos soviéticos, y al año siguiente, en un trabajo que le fue publicado en la revista Naturetitulado “Black hole explosions?”, proporcionó por vez primera los argumentos teóricos que sustentaban las conjeturas que le habían sido proporcionadas por los físicos soviéticos, fundamentando el fenómeno que hoy se conoce como la “evaporación de agujeros negros”. El proceso de emisión de partículas por el cual un agujero negro va perdiendo masa con el paso del tiempo es conocido hoy como la radiación de Hawking. Quienes no están familiarizados con los temas de los que se está hablando aquí naturalmente se preguntarán: ¿cómo es posible que algo pueda escapar de la atracción gravitacional de un agujero negro? ¿Cómo es posible que un agujero negro pueda emitir una radiación si ni siquiera le permite a la luz escapar del mismo? Nada puede escapar de un agujero negro dentro del horizonte de evento. Pero fuera del horizonte de evento, cuando no se ha caído al interior, el escape es posible. Y es aquí en donde enfocamos nuestra atención hacia lo que puede ocurrir en la cercanía del horizonte de evento por fuera. Tal vez una de las aserciones más espectaculares que se puedan escuchar de la Mecánica Cuántica (o mejor dicho, de la Teoría del Campo Cuántico) tiene que ver con la creación de partículas de la nada, salidas del vacío. Por definición, el vacío tiene una energía de cero. La creación de partículas salidas de la nada aparentemente violaría el principio de la conservación de la energía. Sin embargo, esto no ocurriría si estamos dispuestos a admitir algo que de inicio puede parecer sacado de una novela de ciencia ficción, la posibilidad de la existencia de partículas con energía negativa, o lo que es lo mismo, partículas con masa negativa. Supongamos por un momento que tenemos una región pequeña en el espacio-tiempo vacía, en la cual la energía es cero: 0 Supongamos ahora que de repente aparecen dos partículas en esa región, una con una masa positivam+ y otra con una masa negativa m-. La partícula con masa positiva tiene una energía de reposo convencional igual a E+ mientras que la partícula con masa negativa tiene una energía negativa igual a E- de la misma magnitud. Podemos ver a la partícula m- como una especie de antipartícula de la partícula m+. Al aparecer ambas partículas salidas al mismo tiempo, no se viola el principio de la consevación de la masa-energía porque: E+ + E- = 0

de modo tal que la masa-energía del Universo entero sigue siendo exactamente la misma que la que había antes de la aparición de estas dos partículas. De acuerdo con cálculos llevados a cabo con la Teoría del Campo Cuántico, estas partículas desaparecen casi tan rápidamente como aparecen en virtud de que se vuelven a juntar aniquilándose mutuamente. Estamos acostumbrados a pensar en que si se junta materia con antimateria se libera cierta cantidad de energía, como cuando juntamos un electrón con un positrón o como cuando juntamos un protón como un antiprotón. Pero tanto el positrón como el antiprotón tienen energías positivas, de modo que al aniquilarse con sus pares toda la energía en reposo de cada par se convierte en energía radiante. En cambio para las partículas creadas espontáneamente salidas de la nada, una de ellas debe tener una energía negativa, lo cual la convierte en una nueva especie de antipartícula, quizá lo que podríamos llamar la verdadera antimateria. Al juntar energía positiva con negativa, se aniquilan dando un balance energético igual a cero, de modo tal que no hay radiación luminosa posible al llevarse a cabo la aniquilación entre ambas. Por otra parte, tenemos también dentro del panorama una incertidumbre física propia de la Naturaleza, expuesta por vez primera en 1927 por Werner Heisenberg, el principio de incertidumbre de Heisenberg , de lo cual tenemos que hacer un repaso. El principio de incertidumbre de Heisenberg data de los tiempos en que se aceptó, en base a los resultados obtenidos en numerosos experimentos de laboratorio, la dualidad onda-partícula. Se hace indispensable establecer una distinción clara entre ondas y partículas, por ser estos los únicos dos modos posibles de transmisión de energía. Clásicamente, una partícula material es algo que ocupa una posición bien definida en el espacio, tiene momentum, energía cinética, masa y carga eléctrica, mientras que una onda clásica tiene características tales como longitud de onda, frecuencia, velocidad, amplitud de la perturbación, intensidad, energía y momentum. La diferencia más sobresaliente entre ambas es que la partícula puede ser localizada mientras que la onda se esparce y ocupa una posición relativamente amplia en el espacio. Todas las partículas, incluyendo los fotones, se comportan en ciertas circunstancias como ondas y en otras como partículas. Precisamente en virtud a este comportamiento, hay experimentos en los cuales si intentamos medir cierto parámetro de una partícula habrá otro parámetro que se volverá tanto más incierto conforme midamos uno de ellos con mayor exactitud. De este modo, si queremos medir la posición y la cantidad de movimiento de una partícula atómica, para medir su posición con grados mayores de exactitud tenemos que interactuar con ella alterando irremisiblemente su cantidad de movimiento. No podemos determinar al mismo tiempo la posición de una partícula y su cantidad de movimiento con grados ilimitados de exactitud, el medir uno de ellos introduce una incertidumbre en la medición del otro. Y esto no es algo que tenga que ver con la precisión de los instrumentos utilizados, es algo que tiene que ver con la naturaleza de lo mismo que está siendo medido, es un límite absoluto impuesto por la Naturaleza al que no podemos darle vuelta, el cual tiene una enunciación matemática precisa. El principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que es imposible medir en un solo y mismo experimento variables conjugadas(como la posición y el momentum) con precisión absoluta, y como consecuencia no es posible medir en el mismo

experimento los aspectos ondulatorio y corpuscular de la materia. Supongamos que se diseña un experimento para medir las propiedades de partícula de un cuerpo. Entonces necesariamente en este experimento Δx y Δt deben ser cero puesto que una partícula, por definición, puede ubicarse con precisión absoluta en cualquier momento. Pero entonces el momentum y la energía y con ello los aspectos ondulatorios de la partícula (λ = h/p, f = E/h) nos serán completamente desconocidos de acuerdo al principio de incertidumbre. De este modo, cuando se muestran los aspectos de partícula de la materia, la naturaleza ondulatoria necesariamente se suprime. De igual manera, si los aspectos ondulatorios son medidos con exactitud, es decir si hacemosΔλ y Δf igual a cero, Δp y ΔE también lo serán y los aspectos de partícula no serán observados. Tratándose de la incertidumbre en la posición Δx y de la incertidumbre en la cantidad de movimientoΔp de lo que estamos midiendo, ambas incertidumbres están fijadas por la siguiente relación: Δp · Δx ≥ h/4π en donde h es la constante de Planck: h = 6.626·10-34 Joule·segundo h = 4.136·10-15 eV·segundo El principio de incertidumbre de Heisenberg también puede formularse para otras variables conjugadas. Supóngase un experimento en el cual se trata de determinar la energía E en un tiempo t. Un análisis nos demuestra que la incertidumbre ΔE en la medición de la energía está relacionada de la siguiente manera con el intervalo de tiempo Δt en el cual se lleva a cabo la medición: ΔE · Δt ≥ h/4π De este modo, la energía de un cuerpo puede conocerse con toda exactitud (ΔE = 0) solamente si la medición se efectúa en un intervalo de tiempo infinito (Δt = ∞). El concepto del vacío absoluto desprovisto de todo rastro de materia y energía entra en conflicto directo con el principio de incertidumbre en virtud de que el vacío total requiere de un valor de energía E = 0, el cual siendo un valor exacto sin incertidumbre alguna no es realizable si se va a llevar a cabo una medición en el vacío en un tiempo finito. Bajo el principio de incertidumbre de Heisenberg, pares de partículas pueden aparecer y desaparecer tan rápidamente como aparecieron sin dejar rastro directo de su existencia, razón por la cual se les conoce como pares virtuales. Y el hecho de que en el vacío que

creíamos absoluto se puedan producir estas partículas virtuales es conocido como las fluctuaciones del vacío. A continuación tenemos una “instantánea fotográfica” de lo que supuestamente está ocurriendo a niveles sub-atómicos pequeñísimos debajo de nuestra capacidad experimental actual para poder detectarlo:

En el primer instante de tiempo, de la nada que teníamos en la placa 1 se crean dos partículas subatómicas, una con energía positiva y la otra con energía negativa (un segmento considerable de la comunidad científica aún tiene problemas con esto último por ser algo que no puede ser entendido y mucho menos explicado fácilmente), las cuales aparecen en la placa 2. Pero siendo opuestas en todo, inclusive teniendo cargas eléctricas opuestas, dichas partículas se atraen en la placa 3. Y se aniquilan desapareciendo al vacío de donde llegaron, como podemos verlo en la placa 4. Sin embargo, en el proceso del “aniquilamiento” del par, no hay liberación alguna de energía, no hay producción alguna de fotones, porque como una de las partículas tenía energía positiva y la otra tenía energía negativa, al juntarse las energías de ambas la energía total es cero. De cualquier modo, como hasta la fecha no tenemos instrumento científico alguno que nos pueda medir algo con contenido energético combinado total de cero exponiendo del mismo algo que posea energía negativa, estas partículas nos parecen tan fantasmagóricas como el resto del Universo que no alcanzamos a ver con nuestros telescopios pero que sospechamos que está allí. Esta producción de pares de partículas no debe ser confundida con la creación de pares estudiada en la entrada titulada “Física atómica relativista” en la cual se crean dos partículas, un electrón y un positrón, a partir de un proceso de conversión relativista de energía en materia que requiere de un fotón de alta energía para llevarse a cabo. En aquél caso, el proceso de creación de pares no puede llevarse a cabo sin el fotón. Pero en este caso que nos ocupa, no se requiere de fotón alguno. En aquél

caso, las partículas creadas eran totalmente reales y detectables en experimentos de laboratorio. Pero en este caso, las partículas virtuales teniendo una de ellas una energía negativa parecen ser más bien conclusiones (o ilusiones) creadas a partir de las herramientas matemáticas utilizadas en la Teoría del Campo Cuántico. Si hemos de creerle a las matemáticas empleadas en nuestros razonamientos, vivimos en un verdadero “mar” de partículas virtuales apareciendo y desapareciendo por debajo de nuestro nivel de consciencia como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo (en el cual cada partícula creada de la nada es mostrada de color azul mientras que su respectiva antipartícula es mostrada de color rojo):

PROBLEMA: Demostrar, a partir del principio de incertidumbre de Heisenberg, que la vida Δt de un par de partículas virtuales creadas a partir de las fluctuaciones del vacío, suponiendo que cada una de ellas está actuando como un fotón, está dada por: Δt = 1/8πf

siendo f la frecuencia característica de cada fotón. Utilizaremos el principio de incertidumbre de Heisenberg en su condición de igualdad:

ΔE Δt = h/4π

Δt = h/4πΔE La energía de un fotón de luz, de acuerdo a la Mecánica Cuántica, está dada por E = hf, mientras que la energía de un par de fotones será el doble, con lo cual ΔE = 2hf. Substituyendo esto en la condición de Heisenberg: Δt = h/4π(2hf) Δt = 1/8πf PROBLEMA: Un fotón que produzca en la retina luz de color naranja tiene una longitud de onda de 600 nanometros. Estimar la duración de un par de partículas virtuales que sean fotones de color naranja. Para un fotón c = fλ, de donde obtenemos la frecuencia correspondiente como: f = c/λ = (300,000,000 metros/seg)/(600·10-9 metro) f = 5·1014 Hertz = 500 Terahertz De la fórmula obtenida tenemos: Δt = 1/8πf = 1/(8π·5·1014) ≈ 8·10-18 segundo Δt ≈ 8·10-17 segundo ≈ 80·10-18 segundo ≈ 80 attosegundos Como puede verse, el tiempo de vida para un par de partículas virtuales es extremadamente breve. Aunque las partículas virtuales parecen ser indectectables y parecen ser meras explicaciones o justificaciones teóricas dadas a varias técnicas matemáticas utilizadas tanto en la Teoría del Campo Cuántico como en la Electrodinámica Cuántica, durante el brevísimo tiempo en el que aparecen estas partículas virtuales se vuelven partículas reales y dejan huella. La existencia de las partículas virtuales fue confirmada por vez primera en 1947 a través de un efecto conocido como

eldesplazamiento Lamb (Lamb shift). En el átomo de hidrógeno, de acuerdo con la Electrodinámica Cuántica, el protón en el núcleo así como el electrón que lo circunda están ligados juntos por fotones (el quantum del campo electromagnético). Cada fotón vivirá cierto tiempo como un electrón virtual junto con su antipartícula, un positrón virtual. De acuerdo con la Mecánica Cuántica clásica, el átomo de hidrógeno tiene dos niveles de energía (conocidos comúnmente como orbitales atómicos), el nivel2S1/2 y el nivel 2P1/2, los cuales deben tener exactamente la misma energía (en este caso estamos citando a Dirac). Sin embargo, cuando el átomo está en uno de esos dos niveles interactúa de modo diferente que cuando se encuentra en el otro nivel, de modo tal que la interacción del electrón con el vacío produce un ligerísimo desplazamiento en el nivel de energía del orbital atómico 2S1/2. Este desplazamiento fue detectado experimentalmente por Willis Lamb y Robert Retherford, los cuales midieron un ligero aumento de 1060 Megahertz (aproximadamente 1 Gigahertz, una frecuencia fácilmente realizable en nuestros días como lo comprueba el uso extendido de los teléfonos celulares que trabajan en esos rangos de frecuencias) del nivel 2S1/2 sobre el nivel 2P1/2:

coincidiendo con el valor predicho teóricamente:

lo cual a su vez proporcionó el ímpetu necesario para la fundación de la Electrodinámica Cuántica emprendida por Julian Schwinger, Freeman Dyson y Richard Feynman (este último famoso por la creación de los diagramas de Feynman que han contribuído a la visualización de la renormalización matemática que permite manejar los términos infinitos que aparecen en las series de perturbación empleadas en la Teoría del Campo Cuántico). Además el desplazamiento Lamb, se ha medido también otro efecto de laboratorio conocido como el efecto Casimir, propuesto por vez primera por el científico holandés Hendrick Casimir en 1948, el cual consiste en lo que parece ser una “fuerza de atracción” entre dos placas metálicas debido no a la atracción gravitacional de las masas de las placas o a la atracción electrostática que pueda haber entre ellas sino al empuje dado a las mismas por las partículas virtuales creadas en el exterior de las placas. Casimir teorizó que si dos placas perfectamente paralelas podían ser aproximadas lo suficiente la

una a la otra, el espacio pequeño entre dichas placas estaría libre de todas las partículas con una longitud de onda larga. Esas partículas, sin embargo, podían seguir creándose espontáneamente en el exterior de las placas, creándose una presión detectable contra el exterior de las placas:

demostrándose con ello la existencia de partículas creadas espontáneamente del “espacio libre”:

A continuación tenemos la fotografía de una esferita metálica microscópica en el momento en que está siendo objeto de un desplazamiento hacia el hueco inferior que hay por debajo de ella, ocasionado por el empuje del efecto Casimir:

Así pues, la existencia de las partículas virtuales, aunque no observables directamente, está fuera ya de toda duda por los efectos que su efímera existencia son capaces de producir. Y si las partículas virtuales están creándose continuamente en todas partes en donde suponemos que hay un vacío, también deben estarse creando en las afueras del horizonte de evento de un agujero negro. Siguiendo el espíritu del diagrama espacio-tiempo de Minkowski, a continuación tenemos una ilustración de lo que ocurre en el proceso de “evaporación” del agujero negro (el radio del cilindro representa el radio del horizonte de evento):

En esta figura tenemos muchos pares de partículas virtuales que se crean espontáneamente fuera del horizonte de evento del agujero negro y se aniquilan mutuamente al poco tiempo de haberse creado, de las cuales nunca llegaremos a saber nada. Dentro del horizonte de evento, tenemos también otro par que se crea y desaparece espontáneamente del cual tampoco llegaremos a saber nada. Pero en la figura podemos ver que hay tres pares de partículas que se crearon espontáneamente cerca (y fuera) del horizonte de evento. En cada uno de estos tres pares una de las partículas con energía negativa E-traspasa el horizonte de evento yéndose al interior del agujero negro, mientras que la otra con energía positiva E+ empieza un viaje solitario alejándose del horizonte de evento:

La partícula que cae dentro del horizonte de evento tiene el equivalente de un déficit de energía por el simple hecho de ser una partícula con energía negativa E-, lo cual el agujero negro tiene que compensar disminuyendo su propia masa-energía. Esto, efectivamente, es una evaporación paulatina del agujero negro conforme el proceso se va repitiendo en grandes cantidades. A continuación veremos cuánta energía puede extraer un par de partículas virtuales de un agujero negro. Puesto que la única cosa que puede salir hacia fuera del radio de Schwarzschild desde el interior de un agujero negro es la gravedad, la radiación de Hawking debe depender de alguna manera de la gravedad. Clásicamente, cuando algo es acelerado por efectos de la gravedad, gana energía de movimiento, energía cinética, la cual es proporcional a la masa del objeto y la distancia a lo largo de la cual es acelerado. Tratándose de un fotón que de acuerdo a la Teoría de la Relatividad sólo puede desplazarse a la velocidad de la luz, no puede acelerarse pero su frecuencia sí puede cambiar dándole con ello una mayor energía. Si una masa m cae una altura d al estar bajo la acción de un campo gravitacional, la energía que adquiere será igual a la diferencia que hay en la energía potencial a través de esa distancia d: E = mgd En realidad esta no es una relación exacta porque la gravedad varía de acuerdo con la distancia

radial hacia el centro de la atracción. De cualquier modo, puesto que los fotones virtuales tienen un tiempo de vida muy corto (de acuerdo con el cálculo aproximado que hicimos arriba), no llegarán muy lejos y podemos considerar a la gravedad aproximadamente constante, permitiéndonos el uso de esta fórmula. Puesto que los fotones se mueven siempre a la velocidad de la luz, la distancia recorrida por un fotón virtual en el transcurso de su corta vida será d = cΔt. Ya vimos arriba que el tiempo aproximado de vida de un fotón virtual será Δt = 1/8πf. Entonces: d = c/8πf Poniendo esto en la fórmula de arriba obtenemos: E = mg(c/8πf) = mgc/8πf Clásicamente también, de la fórmula Newtoniana F = GmM/r² para la atracción gravitacional entre dos cuerpos de masa m y M obtenemos lo siguiente con la ayuda de la definición Newtoniana de la fuerza como F = ma con una aceleración a = g:

a = g = GM/r² Uno de los fotones virtuales tiene que caer dentro del agujero negro a fin de que se produzca la radiación de Hawking, de modo tal que ambos se tienen que originar cerca del radio de Schwarzschild, el cual es rs = 2GM/c². Como una aproximación podemos tomar el radio de Schwarzschild como la distancia r entre el par de fotones virtuales y el agujero negro. Entonces:

g = GM/r² = GM/(rs)² = GM/(2GM/c²) = c4/4GM Poniendo esto en la fórmula anterior: E = mgc/8πf = [m(c4/4GM) c]/8πf E = mc5/32πGMf

Ahora intentaremos substituír el valor de la masa m recurriendo a la fórmula clásica de la Teoría Especial de la Relatividad E = mc², de la cual obtenemos m = E/c². La energía para un solo fotón está dada por E1 = hf, mientras que para dos fotones está dada por E2 = 2hf, con lo cual obtenemos m = 2hf/c². Poniendo esto en la fórmula de arriba obtenemos: E = m (c5/32πGMf) = (2hf/c²) (c5/32πGMf) E = hc3/16πGM Esta es nuestra fórmula para la energía de un fotón que resulta de la radiación de Hawking. Puesto que esta relación nos dice que la energía es inversamente proporcional a la masa M del agujero negro, entonces una partícula emitida por un agujero negro tiene tanto más energía cuanto mas pequeño sea el agujero negro, lo cual podrá parecer sorprendente a muchos. Los cálculos iniciales llevados a cabo a principio de los setentas para la creación de partículas virtuales justo en el exterior del horizonte de evento de un agujero negro consideraron que para que este fenómeno ocurriera el agujero negro tenía que ser un agujero negro dinámico, tenía que estar en rotación, pero la mayor sorpresa estaba aún por venir. En 1974, Stephen Hawking efectuó cálculos meticulosos del proceso de creación de partículas que ocurre durante el proceso del colapso gravitacional que transforma a una estrella en un agujero negro. Aún en el caso de un agujero negro sin rotación colapsándose hacia un agujero negro Schwarzschild, estático, nosotros esperaríamos que ocurriese alguna creación de partículas durante la fase dinámica del colapso en virtud del intenso y variante campo gravitacional. Y en el caso de una estrella en rotación colapsándose para formar un agujero negro en rotación, también esperaríamos que se llevase a cabo en forma constante la creación de partículas de la manera en que se ha señalado arriba. Pero en el caso del colapso hacia un agujero negro estático, sin rotación, no se esperaba creación alguna de partículas después de haber ocurrido el proceso del colapso. Sin embargo, esto no es lo que Hawking encontró al llevar a cabo sus cálculos detallados. Encontró que para tiempos posteriores al colapso gravitacional propio de un agujero negro estático, la razón de emisión de partículas hacia el espacio exterior no caía a cero sino que se estabilizaba en cierto valor. Y la sorpresa mayúscula resultó ser que esta razón de emisión de partículas se correspondía exactamente con el proceso de radiación de lo que clásicamente se conoce en termodinámica como la radiación del cuerpo negro (el término no tiene nada que ver aquí con los agujeros negros). Todos estamos familiarizados de alguna manera con este tipo de radiación térmica. La hemos visto cuando vemos los videos de la lava de un volcán cayendo por sus laderas, cuando vemos las brasas de carbón al hacer una carne asada a la parrilla, o cuando vemos un metal calentado “al rojo vivo”:

Esta radiación térmica no es precisamente una radiación que ocurra a una sola frecuencia del espectro visible. Es una radiación que contiene toda una gama de frecuencias que van inclusive más allá del infrarrojo y del ultravioleta, y lo que ven nuestros ojos es un “compuesto” del espectro de radiación interpretándola (erróneamente) como si fuese luz de un solo color. A continuación tenemos el espectro de radiación emitido por un cuerpo que se encuentra a una temperatura de 6000 grados Kelvin:

Lo interesante de esta radiación térmica es que todos los cuerpos emiten exactamente la misma radiación a la misma temperatura independientemente del material del que están hechos, ya sea carbón, níquel, cobre, cobalto, oro o uranio. Con el objeto de que en la determinación experimental en el laboratorio de este espectro característico de radiación térmica no haya distorsión alguna ocasionada por la luz incidente del exterior (la cual posee también su propio espectro característico), se acostumbra preparar un bloque hueco con una cavidad en su interior haciendo un pequeño agujerito para permitirle a la radiación que se genere dentro de dicha cavidad el poder escapar hacia el exterior en estado “puro” en donde puede ser medida con la ayuda de espectrómetros. El hecho de que la cavidad interior no reciba luz alguna del exterior siendo por lo tanto “negra” es lo que ha hecho que a la radiación generada dentro de dicha cavidad que escapa hacia el exterior por el agujerito se le denomine “radiación del cuerpo negro”. En principio, no solo fotones luminosos sino toda clase de partículas pueden ser emitidas de la cavidad interior de un “cuerpo negro”, pero a menos de que la temperatura sea extremadamente elevada (alrededor de mil millones de grados centígrados) la emisión de partículas con masa que será observada será prácticamente nula y lo único que observaremos serán fotones. La radiación térmica del cuerpo negro es el resultado de las interacciones de los átomos al interior de un cuerpo que producen una distribución característica de fotones a cierta temperatura que no depende de la naturaleza detallada de las interacciones, y por lo tanto este proceso es de una naturaleza completamente al proceso de emisión de partículas de un agujero negro. Sin embargo, la emisión de partículas de un agujero negro estático de masa M es idéntica en todos sentidos a la radiación de un cuerpo negro puesto a una temperatura T. A continuación se llevará a cabo una derivación tentativa de una expresión que corresponda a la temperatura T de un agujero negro que está en proceso de evaporación.

Tomaremos como base el hecho de que la energía térmica promedio E para un fotón (y en general para cualquier partícula) producido por la radiación de un cuerpo negro, expresada en función de laconstante de Boltzmann k, está dada por: E ≈ 2.821439372 kT siendo la constante numérica 2.821439372 el resultado a la ecuación trascendente: 3 (1 - e-x ) = x Suponiendo que esta energía es igual a la magnitud de la energía puesta para la creación de un par de partículas, podemos igualar E con la energía E que obtuvimos arriba: E=E 2.821439372 kT = hc3/16πGM Despejando y poniendo lo anterior en función de la temperatura, tenemos entonces: T = hc3/16(2.821439372)(π)GM Esta fórmula no está muy alejada de la fórmula obtenida por Hawking recurriendo a argumentos mucho más elaborados que caen dentro del ámbito de la Teoría del Campo Cuántico, ya que en la fórmula exacta para la temperatura de un agujero negro de masa M considerado como un radiador térmico por la emisión de partículas resulta ser la siguiente (reemplazándose el factor numérico 2.821439372 por π):

siendo por lo tanto el margen de error con la aproximación que obtuvimos relativamente moderado.

El hecho de que todo agujero negro debe poseer cierta temperatura fue demostrado por Jacob Bekenstein en 1972, dos años antes de que Hawking demostrase la existencia de la radiación de partículas que lleva su nombre a través del mecanismo de creación de partículas virtuales justo afuera del horizonte de evento de un agujero negro. La pregunta ahora es: ¿la extraordinaria coincidencia entre el espectro de emisión de partículas de un agujero negro y el espectro de radiación electromagnética de un cuerpo negro es simplemente una increíble coincidencia, o hay detrás de esto alguna importante razón de fondo que se nos está escapando y que aún no alcanzamos a comprender? Recuérdese que antes de que hicieran su aparición los reactores nucleares y las bombas atómicas Einstein ya había anticipado una equivalencia entre la materia y la energía a causa de la Teoría Especial de la Relatividad, y si esto no hubiera ocurrido entonces de cualquier manera habríamos obtenido empíricamente la fórmula E = mc², y sin poder darle una explicación teórica a dicha fórmula nos encontraríamos en la misma situación que en la que hoy nos encontramos al sospechar que detrás del extraordinario parecido entre el espectro de emisión de partículas de un agujero negro y el espectro de radiación electromagnética de un cuerpo negro hay toda una teoría novedosa y radical que está en espera de ser desarrollada por otro Einstein, quizá por alguien que esté leyendo esto. PROBLEMA: Utilizando los valores experimentales de las constantes físicas fundamentales, simplificar la fórmula que dá la temperatura de un agujero negro de masa M. Manteniéndonos dentro de un sistema consistente de unidades, el sistema MKS, las constantes físicas que debemos utilizar son las siguientes: h = 6.626·10-34 metro² · kilogramo/seg c = 299, 792, 458 metros/seg k = 1.38065·10-23 metro² · kilogramo/seg² · °K G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg² Entonces: T =_______________________ [(6.626·10-34)(299, 792, 458)3]/[16π²(1.38065·10-23)( 6.674215·10-11)M]

T ≈ (1.227·1023 /M) °K Frecuentemente esta fórmula es expresada dando la masa en función de masas solares, usando la masa del Sol como múltiplo. Puesto que la masa del Sol M☉ es:

M☉ = 1.98892·1030 kilogramos

entonces podemos escribir la fórmula expresada en masas solares como:

T ≈ (6·10-8 /M☉) °K

PROBLEMA: Sabiendo que la luminosidad de un cuerpo negro está dada por la fórmula StefanBoltzmann: L = σAT4 en donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann: σ = 2 π5 k4 /15 h3 c² σ = 5.6704·10-8 watts / metro² · °K4 y que A es la superficie del cuerpo radiante, derivar una fórmula apropiada para la luminosidad de un cuerpo negro. La superficie relevante para la radiación de Hawking es el área superficial de una esfera con un radio igual al radio de Schwarzschild rs, porque allí es donde se origina la radiación. Entonces: A = 4 π r² = 4 π (rs)² = 4 π (2GM/c²)² = 16πG²M²/c4 Podemos poner esto en la relación para la luminosidad:

L = σAT4 = (2 π5 k4 /15 h3 c²)(16πG²M²/c4 ) T4 L = (32 π6 k4 G² M²/15 15 h3 c6) T4 Pero la fórmula para la temperatura T es la que tenemos arriba, lo cual nos conduce a lo siguiente: L = (32 π6 k4 G² M²/15 15 h3 c6) (hc3 /16 π² kGM)4 L = (32 π6 k4 G² M²/15 15 h3 c6)(h4 c12/256 π8 k4 G4 M4) L = h c6/30720 π² G²M² Manteniéndonos dentro de un sistema consistente de unidades, el sistema MKS, la fórmula obtenida se puede escribir de la manera siguiente: L ≈ (3.568·1032/M²) watts · Kg² PROBLEMA: ¿Cuál será la luminosidad para un agujero negro que tenga el tamaño de la Tierra? Tomando para la Tierra una masa de M = 5.9742·1024 Kilogramos, la luminosidad será: L ≈ (3.568·1032)/(5.9742·1024 Kg)²) watts · Kg² L ≈ 10·10-18 watts PROBLEMA: ¿Qué tan masivo será un agujero negro que posea la misma luminosidad que nuestro Sol? La luminosidad de nuestro Sol no es la de un cuerpo negro clásico que siga las normas de la termodinámica convencional, ya que su energía radiante depende de procesos de fusión nuclear que liberan una cantidad de energía mucho mayor que la que sería liberada sin esos procesos de fusión nuclear. Consultando Internet, encontramos que la luminosidad de nuestro Sol es:

L☉ ≈ 3.839 · 1026 watts

Ya vimos que la luminosidad que corresponde a un agujero negro es: L ≈ (3.568·1032/M²) watts · Kg²

de donde, haciendo L = L☉: M ≈ √3.568·1032/L M ≈ √3.568·1032/L☉ M ≈ √[3.568·1032/3.839·1026]

M ≈ 964 kilogramos Un agujero negro de tan solo 964 kilogramos tendría la misma luminosidad que la de nuestro Sol, pese a tener un diámetro de tan solo 2.85·10-24 metros (estamos hablando de un diámetro que corresponde a un radio de Schwarzschild). Sin embargo, no sería visible, en virtud de que la radiación de un agujero negro con estas características sería una radiación de rayos gamma letales. Estamos ahora en condiciones de llevar a cabo la derivación de una fórmula que nos pueda dar el tiempo de vida de un agujero negro. Podemos empezar considerando que la potencia de la radiación de Hawking es esencialmente igual a la luminosidad del agujero negro: P = L = hc6/30720 π² G²M² Por otro lado, la energía que está siendo perdida por el agujero negro es la misma que la energía que está siendo transportada por la radiación de Hawking a una razón dada por: P = - dE/dt en donde el signo menos se ha introducido para indicar que la energía radiada hacia afuera es una energía que está siendo perdida, que está disminuyendo en lugar de aumentar. Usando ahora la

equivalencia relativista entre la masa y la energía vemos que: E = Mc² dE = c² dM Por lo tanto: P = - dE/dt = - d(c² dM)/dt = -c² dM/dt Igualando esto a la expresión para la potencia de la luminosidad: hc6/30720 π² G²M² = -c² dM/dt - (hc4/30720 π² G²) dt = M² dM Para fines de simplicidad, agruparemos el factor que está en el lado izquierdo dentro de una gran constante que llamaremos K, con lo cual tenemos lo siguiente: - K dt = M² dM Ahora vamos a llevar a cabo una integración elemental. Conforme el agujero negro se va evaporando lentamente, su masa cae desde una masa inicial M0 hasta una masa igual a cero cuando el agujero negro se ha “evaporado” totalmente y no queda ya nada de él. El tiempo requerido para la evaporación empieza desde un tiempo igual a cero hasta llegar a un tiempo t1 que es el tiempo límite de vida requerido para la evaporación. Integrando ambos lados de la ecuación:

Por lo tanto, el tiempo de vida “útil” de un agujero negro será no mayor de: t = M03/3K en donde la “gran constante” K al ser evaluada tiene un valor igual a 3.98·1015 kg3/segundo. PROBLEMA: ¿Cuál sería la vida máxima de un agujero negro que tuviese la misma masa que la de nuestro Sol? Usando la fórmula obtenida:

t = M☉3/3K = (1.98892·1030 kg)3/(3)·(3.98·1015 kg3/segundo) t = 6.60·1074 segundos ≈ 2·1067 años Considerando que el Universo en el que vivimos es relativamente joven, con una edad de tan solo entre 13 y 14 mil millones de años, podemos ver que un agujero negro que tenga la misma masa que nuestro Sol tendrá una vida mucho mayor que la lleva acumulada nuestro Universo. La fórmula obtenida nos dice que el tiempo de vida de un agujero negro es proporcional al cubo de su masa M. Esto nos dice que un agujero negro grande toma un tiempo considerablemente mayor para evaporarse que un agujero negro de menor tamaño, y a causa de la misma fórmula el proceso de evaporación se acelerará conforme el agujero negro vaya perdiendo masa disminuyendo aún más su tiempo de vida, cayendo por lo tanto el proceso en una espiral viciosa que va acelerando el fin del agujero negro. Por otro lado, repasando la fórmula para la temperatura de un agujero negro, podemos ver que conforme el agujero negro va perdiendo masa su temperatura irá aumentando en forma inversamente proporcional, de modo tal que cuando sea muy pequeño lo más probable es que el agujero negro se “quemará” explotando en un

estallido estruendoso y gigantesco que sin lugar a dudas será notado de alguna manera por los vecinos del moribundo cósmico. Apelando al principio de equivalencia de la Relatividad General que nos dice que estar en reposo en un campo gravitacional es equivalente a estar en un marco de referencia acelerado, concluímos que debe existir un efecto análogo a la radiación de Hawking para un observador que experimenta una aceleración comparable a la que experimentaría en la cercanía del horizonte de evento de un agujero negro, máxime que el proceso cuántico de creación de partículas virtuales es algo que ocurre en todos los confines del Universo y no sólo en el borde de un agujero negro. La posibilidad de este efecto fue propuesta por William Unruh en 1976, razón por la cual se le conoce como el efecto Unruh. Este efecto, para el cual no necesitamos de la cercanía de un agujero negro, es la predicción de que un observador que se está acelerando observará una radiación térmica (de cuerpo negro) en donde un observador en reposo no la detectará:

De este modo, el trasfondo parecerá “caliente” desde el punto de vista del marco de referencia de un observador que se está acelerando, o puesto de otra manera, un termómetro que esté siendo agitado rápidamente (sometido a aceleraciones intensas) medirá, en el vacío absoluto de un marco de laboratorio puesto a una temperatura de cero grados, una temperatura diferente de cero. En una forma similar a como ocurre con la radiación de Hawking, el efecto Unruh es causado por las fluctuaciones del vacío cuando el observador se encuentra en un marco de referencia acelerado. Para aceleraciones muy bajas, la longitud de onda emitida por la radiación de Unruh sería tan larga que una longitud de onda completa sería mayor que la extensión del Universo conocido. Las bajas aceleraciones generarían, por lo tanto, ondas que no tienen efecto alguno sobre el cuerpo de un

observador acelerado. Sin embargo, un cuerpo con aceleración moderadamante elevada lentamente puede ir superando un umbral de aceleración en el cual la radiación Unruh decrementa su longitud de onda a una menor que la extensión del Universo conocido, provocando esta aceleración un “impulso” diminuto pero medible. De este modo, si un cuerpo es acelerado, éste observará radiación de un cuerpo negro en una zona en la que un observador inercial no lo observará. Se debe recalcar que se trata de un efecto cuántico de principio a fin. A partir de las coordenadas Rindler se puede derivar sin mucha dificultad la expresión para la temperatura T debida a la radiación Unruh, que para un observador que se está desplazando localmente con una aceleración a resulta ser:

En base a esta relación, la temperatura Unruh del vacío vista por un observador que está sujeto a una aceleración igual a la de la superficie de la Tierra (9.8 m/seg²) es igual a 4·10−20 °K, un valor demasiado cercano al cero absoluto. De ser posible obtener en un laboratorio aceleraciones de hasta 1026 m/seg², esto nos produciría un efecto Unruh considerablemente mayor, igual a 400,000 °K. Desafortunadamente el obtener aceleraciones de esta magnitud inclusive por un período de tiempo brevísimo sobre una partícula pequeñísima es algo que está fuera del alcance de nuestras posibilidades actuales. Se puede obtener más información en la Wikipedia acerca de las partículas virtuales, el desplazamiento Lamb, el efecto Casimir, la evaporación de los agujeros negros y el efecto Unruh en los enlaces indicados dentro de la Bibliografía puesta al final de esta obra.

60. LOS AGUJEROS NEGROS: ENTROPÍA GENERALIZADA Posiblemente la mayoría de los lectores de esta obra están familiarizados con el concepto de laentropía, la medida del orden (o más bien, el desorden) de un sistema, y con el enunciado de que la entropía del Universo jamás puede disminuír con el tiempo, sólo puede aumentar. Este es precisamente el enunciado de la segunda ley de la termodinámica. Y es la ley física que nos fija de modo claro e inequívoco lo que llamamos la flecha del tiempo, la dirección en la cual avanza el tiempo, precisamente porque la entropía solo puede aumentar con el paso del tiempo, nunca disminuír; para que la entropía en alguna parte del Universo disminuyese en forma espontánea el tiempo tendría que avanzar hacia atrás. De cualquier manera, para el beneficio de quienes no tienen claro en sus mentes el concepto de la entropía, haremos aquí un repaso breve de dicho concepto. La entropía, como se dijo, es una medida del desorden de un sistema. Intuitivamente, podemos entender que hay sistemas que indudablemente están más y mejor ordenados que otros, como lo es el caso de una taza de café y una cucharada de leche, los cuales consideraremos individualmente comoestados puros. Al vaciar la leche de la cuchara dentro del café, aunque no agitemos la taza con la cuchara la leche se irá mezclando con el café hasta que los dos componentes originales serán irreconocibles. En vez de los dos estados puros originales tenemos un estado mezclado. Hemos perdido la separación que había entre los dos componentes originales al quedar revueltos de forma espontánea. Y hemos perdido cierto grado de orden. Aunque nos quedemos sentados esperando millones de años a que la leche y el café se separen espontáneamente así como se revolvieron, esto no sucederá, la probabilidad de que ello ocurra es astronómicamente insignificante. Podemos, si así lo deseamos, separar la combinación en sus partes constituyentes, café y leche. Pero ello requerirá un gasto de energía que no se había requerido para que ambos componentes se mezclasen totalmente. Al mezclarse el café y la leche, ha aumentado la entropía del sistema café-leche. La primera ley de la termodinámica sigue siendo plenamente válida, no se ha perdido energía alguna al llevarse a cabo la mezcla. ¿Entonces por qué requerimos de cierta cantidad de energía mínima para separar ambas partes? Precisamente porque la energía inicial que había en el sistema se ha vuelto menos útil por tratarse de un sistema más desordenado. ¿Y si separamos el café y la leche en sus componentes fundamentales acaso no disminuímos la entropía del sistema? No, el gasto de energía que requerimos para llevar a cabo la separación aumentará la entropía total del sistema que ahora incluye no solo el cafe y la leche sino el laboratorio en donde se lleva a cabo la separación. El primero en darse cuenta de que la entropía solo puede aumentar, nunca disminuír, fue el ingeniero francés Sadi Carnot. Tras su descubrimiento, esta segunda ley de la termodinámica que se suma a la primera ley (que nos enuncia la conservación de la energía, hoy expresada relativísticamente como la conservación de la masa-energía) ha sido corroborada en infinidad de análisis teóricos y experimentos de laboratorio. No hay forma alguna de escapar a dicha ley. Podemos representar lo que ocurre en la taza con el café y la leche, separados inicialmente

mediante una barrera puesta entre ambos en la misma taza, representando sus moléculas del modo siguiente antes y después de la remoción de la barrera con las moléculas del café de color azul y las moléculas de la leche de color rojo:

Tras la remoción de la barrera, podemos ver que las moléculas de ambos líquidos están totalmente mezcladas gracias a la agitación térmica de las moléculas (conocida técnicamente como el movimiento Browniano). Hemos visto lo que ocurre en el caso de dos líquidos. En el caso de dos gases como el oxígeno y el metano ocurre exactamente lo mismo, excepto que a una rapidez mucho mayor:

Puesto que la tendencia natural de todo sistema físico es avanzar de un grado de orden mayor de orden hacia el desorden, si nos presentan dos fotografías y nos piden que digamos cuál de las dos fue tomada antes y cuál de las dos fue tomada después, no tendremos problema alguno en dar una respuesta, como lo ilustran los siguientes dos ejemplos:

En las dos figuras de arriba que nos representan unos átomos dentro de un recipiente, sin lugar a dudas la figura en el lado derecho representa un grado mayor de orden que la figura del lado izquierdo. En tal caso, la fotografía de la figura derecha tuvo que haber sido tomada antes que la figura del lado izquierdo, lo cual significa que la flecha del tiempo avanza de derecha a izquierda. Por otro lado, en las dos figuras de abajo que representan unos ladrillos sin lugar a dudas la figura del lado izquierdo representa un grado mayor de orden que la figura del lado derecho. En este caso, la fotografía del lado derecho tuvo que haber sido tomada después que la fotografía del lado izquierdo, lo cual significa que la flecha del tiempo avanza de izquierda a derecha. De este modo, además de la concepción relativista que tenemos del tiempo, tenemos una concepción termodinámica que nos fija el criterio para determinar el sentido en el cual está avanzando el tiempo, lo cual nos hace sospechar que de alguna manera la Relatividad General y la Termodinámica están conectadas. La entropía, como la hemos descrito, ha sido enunciada en términos puramente cualitativos, subjetivos, sin ponerle números al asunto. Sin embargo, a la entropía se le puede dar una definición de origen matemático basada en la teoría de las probabilidades. Esto fue precisamente lo que hizo por vez primera el físico austriaco Ludwig Boltzmann en su teoría cinética de los gases. La famosa constante que lleva su nombre, la constante de Boltzmann k, es en esencia una constante estadística derivada de una aplicación rigurosa (con algunas aproximaciones de simplificación) de las reglas de la probabilidad. Su igualmente famosa fórmula para la entropía a la cual hoy en día simbolizamos como S es: S = k ln W

en donde la constante k es igual a: k = 1.38065 · 10−23 joule/°K = = 8.61734 · 10−5 eV/°K El modelo de Boltzmann fue un gas ideal de N partículas idénticas, de las cuales Ni son las i-ésimas condiciones microscópicas de posición y cantidad de movimiento. La cantidad adimensional W puede ser obtenida recurriendo a las permutaciones posibles de partículas que encontramos en la estadística de Maxwell-Boltzmann:

donde i varía dentro de todos las condiciones moleculares posibles (el símbolo π representa el producto de las i-ésimas condiciones microscópicas de posición y cantidad de movimiento). La corrección en el denominador es debido al hecho de que partículas idénticas en la misma condición son indistinguibles. La cantidad W es conocida como la probabilidad termodinámica. Muy justamente, la fórmula está inscrita en la cabecera de la lápida que indica el lugar en donde descansan los restos de Ludwig Boltzmann en el cementerio Zentralfriedhof de Viena:

Para ilustrar el significado matemático de la entropía de acuerdo a la definición de la misma dada por Boltzmann (considerado como el “padre” de la mecánica estadística), considérese primero el caso de una partícula (un átomo, por ejemplo) confinada a un microestado sin posibilidad alguna para pasar de dicho microestado a otro:

En este caso, puesto que la partícula no tiene opción de movimiento, sólo hay un estado posible. La entropía S es cero; nos lo dice la misma fórmula de Boltzmann: S = k ln (1) = 0 Veamos ahora el caso de nueve partículas confinadas a nueve microestados, sin capacidad para

moverse a otro microestado adicional porque no hay lugar para ello:

En este caso, la entropía también será cero, porque hay tantas partículas “empaquetadas” como hay lugares disponibles. El sistema no puede desordenarse. Si en lugar de una configuración planar de nueve partículas tenemos un cubo de 27 átomos en el cual sólo hay 27 microestados disponibles, y si ninguno de los átomos tiene energía suficiente como para salir fuera del cubo, entonces podemos visualizar esto como un cristal “perfecto” con entropía cero. De hecho, esta es precisamente la formulación de la tercera ley de la termodinámica que nos dice que la entropía de una sustancia pura a la temperatura del cero absoluto es cero. Por consiguiente, la tercera ley provee de un punto de referencia absoluto para la determinación de la entropía absoluta, ya que la entropía relativa a este punto es la entropía absoluta. Veamos ahora un caso en el cual tenemos dos partículas, las cuales pueden ocupar tres microestados. En este caso, si las partículas son iguales, existen tres formas distintas en las cuales las dos partículas pueden ser acomodadas en los tres microestados:

Tenemos entonces una situación en la cual definitivamente se le puede asignar al sistema una entropía diferente de cero con la fórmula de Boltzmann. La entropía en este caso tendrá un valor bajo, porque no es mucho lo que se pueda desordenar un sistema de dos partículas habiendo tres microestados para ello. La situación empieza a cambiar de modo radical en una situación como la siguiente:

En este caso tenemos nueve partículas, pero hay 8² = 64 microestados disponibles. Y hay muchisímas más maneras en las cuales las nueve partículas pueden ser acomodadas en esos 64 microestados. A continuación se muestra una de ellas:

Si recurrimos a un tablero de ajedrez para reproducir la situación mostrada arriba y empezamos a contar las distintas maneras en las cuales podemos poner las nueve partículas en los 64 microestados disponibles, podemos darnos una idea de los números grandes con los cuales nos tenemos que enfrentar al tratar de medir la entropía. En la fórmula de Boltzmann, estos números

grandes se ven reflejados en el factorial N!; esta es precisamente una de las principales razones para la inclusión de la función del logaritmo natural en la fórmula de Boltzmann, sirve para “amortiguar” los efectos del aumento exponencial de la cantidad W a partir de la cual calculamos la entropía. PROBLEMA: (a) ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar en dos cajas distintas dos pelotas, una de color rojo y una de color azul? (b) ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar en tres cajas dos pelotas, una de color rojo y una de color azul? (c) ¿Cuáles serán las respuestas para (a) y (b) en caso de que todas las pelotas sean del mismo color? (a) El número de maneras distintas en las que se pueden colocar dos pelotas diferentes en la primera caja y ninguna en la otra es 1: W1 = N! /(N1! · N2!) = 2! / (2! · 0!) = 1 Por otro lado, el número de maneras distintas en las que se pueden colocar dos pelotas diferentes, una en la primera caja y la otra en la segunda caja, es: W2 = N! /(N1! · N2!) = 2! / (1! · 1!) = 2 Y el número de maneras distintas en las que se pueden colocar dos pelotas diferentes en la segunda caja y ninguna en la primera es 1: W3 = N! /(N1! · N2!) = 2! / (0! · 2!) = 1 Entonces el número total de maneras distintas en las que se pueden colocar dos pelotas diferentes en las dos cajas es: W = Σ W i = W1 + W2 + W3 = 1 + 2 + 1 = 4 (b) Procediendo en una forma parecida a la anterior: W = Σ W i = Σ N! /(N1! · N2! · N3!)

W = 2! /(1! · 1! · 0!) + 2! /(0! · 1! · 1!) + 2! /(1! · 0! · 1!) + 2! /(2! · 0! · 0!) + 2! /(0! · 2! · 0!) + 2! /(0! · 0! · 2!)

W = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 +1 W=9 (c) 3 (una pelota en cada caja, las dos pelotas en la primera caja, y las dos pelotas en la segunda caja) y6 (las dos pelotas en la primera caja, las dos pelotas en la segunda caja, las dos pelotas en la tercera caja, una pelota en la primera caja y la otra en la segunda, una pelota en la segunda caja y la otra en la tercera, una pelota en la primera caja y una pelota en la tercera caja). PROBLEMA: (a) ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar en dos cajas distintas cuatro pelotas, de color rojo, de color verde, de color azul y de color blanco? (c) ¿Cuál será la respuesta en caso de que todas las pelotas sean del mismo color? (a) Procedemos del mismo modo que en el problema anterior: W1 = 4! /(2! · 2!) = 6 W2 = 4! /(1! · 3!) = 4 W3 = 4! /(3! · 1!) = 4 W4 = 4! /(0! · 4!) = 1 W5 = 4! /(4! · 0!) = 1 W = Σ Wi = 6 + 4 + 4 + 1 + 1 W = 16 (b) 5 maneras distintas (las cuatro pelotas en la primera caja, las cuatro pelotas en la segunda caja, una pelota en la primera caja y tres pelotas en la segunda caja, tres pelotas en la primera caja y una pelota en la segunda caja, dos pelotas en la primera caja y dos pelotas en la segunda caja). PROBLEMA: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres niveles de energía entre tres

partículas a, b y c, sujeto a la restricción de que la suma total de la energía de las tres partículas sea igual a tres unidades de energía? El acomodo de las tres partículas en los tres niveles de energía se puede llevar a cabo de las siguientes maneras posibles:

En el primer recuadro superior, tenemos las partículas (identificadas de color rojo, verde y ciano) repartidas de modo tal que todas las partículas poseen distintos niveles de energía, no hay dos partículas con el mismo nivel de energía, y para este caso: W1 = 3! /(1! · 1! · 1!) = 6 En el recuadro intermedio, tenemos las partículas repartidas de modo tal que dos de ellas ocupan el mismo nivel de energía: W2 = 3! /(2! · 0! · 1!) = 3 Y en el tercer recuadro, tenemos las partículas repartidas de modo tal que todas ellas ocupan el mismo nivel de energía, y como puede verse, sólo existe una posibilidad: W3 = 3! /(0! · 3! · 0!) = 1

En todas las combinaciones mostradas, la suma de los niveles energéticos de las tres partículas es igual a tres unidades de energía. De este modo: W = Σ W i = W1 + W2 + W3 = 6 + 3 + 1 W = 10 De este modo, tenemos diez microestados porque hay diez maneras distintas de repartir las partículas entre los tres niveles energéticos posibles. Antes de dejar este problema, vale la pena observar que si en las diez figuras contamos primero todas las partículas que están en el nivel cero (12 en total), y tras esto contamos todas las partículas que están en el nivel uno (9 en total), y tras esto contamos todas las partículas que están en el nivel 2 (6 en total) y tras esto contamos todas las partículas que están en el nivel 3 (3 en total), podemos definir algo que se llama el número de ocupación promedio Ni para cada nivel, obtenido de dividir el número de partículas en cierto nivel entre la cantidad total de microestados (que es 10 en este caso). Para este problema tenemos cuatro números de ocupación promedio: N0 = 12/10 = 1.2 N1 = 9/10 = 0.9 N2 = 6/10 = 0.6 N3 = 3/10 = 0.3 Obsérvese que si sumamos los números de ocupación promedio, obtenemos el número total de partículas del sistema:

N = 1.2 + 0.9 + 0.6 + 0.3 N=3 Obsérvese también algo importante: la distribución de números de ocupación va cayendo exponencialmente. La probabilidad de encontrar partículas con cierto nivel de energía se va desplomando rápidamente conforme aumenta el nivel de la energía, y se puede demostrar con argumentos puramente combinatóricos (matemáticos) que para sistemas con un gran número de partículas esta probabilidad va disminuyendo exponencialmente siguiendo una caída del tipo en . Esta es precisamente la distribución de Boltzmann, porque Boltzmann fue el primero en descubrir este hecho. Para casos sencillos como este, la distribución de Boltzmann para los números de ocupación está dada por la fórmula:

En el problema que estamos manejando con tres partículas repartidas en tres niveles de energía, la evaluación del denominador usando números nos dá:

Q = 1.00000 + 0.36788 + 0.13534 + 0.04979 Q = 1.553 con lo cual: N0 = (e0/Q) N = (1/1.553) 3 = 1.932 N1 = (e-1/Q) N = (0.36788/1.553) 3 = 0.711

N2 = (e-2/Q) N = (0.13534/1.553) 3 = 0.261 N3 = (e-3/Q) N = (0.04979/1.553) 3 = 0.96 En prácticamente todas las sumatorias manejadas previamente en otras entradas, se ha usado indistintamente para el número inicial de la sumatoria ya sea cero (i = 0) o uno (i = 1), por ejemplo en la representación de los sub-índices de las coordenadas, porque el uso es meramente simbólico. Sin embargo, y en este caso muy especial y muy peculiar tratándose de la distribución de Boltzmann, la sumatoria tiene que partir forzosamente con un número inicial de cero, ya que su uso no es meramente simbólico sino que interviene en la exactitud de los resultados numéricos obtenidos. Comparando los resultados (estadísticamente aproximados) obtenidos para los números de ocupación promedio con la distribución de Boltzmann y los resultados exactos obtenidos arriba, podemos quedarnos con la impresión de que la aproximación dada por la distribución de Boltzmann no es muy buena. Pero conforme aumenta el número de átomos (y con ello la cantidad de microestados posibles) la distribución de Boltzmann se va asentando firmemente por la acción estadística de la ley de los grandes números (la misma que nos dice que tras arrojar una moneda al aire varias miles de veces, la mitad de las veces en promedio la moneda habrá caído cara y la otra mitad habrá caído cruz, a menos de que la moneda esté cargada). A la cantidad Q que tenemos arriba se le ha dado en llamar función de partición, un nombre intimidante que desafortunadamente esconde la sencillez de la idea detrás de dicha cantidad. PROBLEMA: De acuerdo con la distribución de Boltzmann, ¿cuáles son los números de ocupaciónNi para un sistema con cinco partículas y cinco niveles posibles de energía? Calculamos primero el denominador para la distribución de Boltzmann, o sea la función de particiónQ:

Q = e0 + e-1 + e-2 + e-3 + e-4 + e-5 Q = 1.00000 + 0.36788 + 0.13534 + 0.04979 + 0.018316 + 0.00674

Q = 1.578 Los números de ocupación para este sistema, según la distribución de Boltzmann, son: N0 = (e0/Q) N = (1/1.578) 5 = 1.932 N1 = (e-1/Q) N = (0.36788/1.578) 5 = 0.711 N2 = (e-2/Q) N = (0.13534/1.578) 5 = 0.261 N3 = (e-3/Q) N = (0.04979/1.578) 5 = 0.96 N4 = (e-4/Q) N = (0.018316/1.578) 5 = 0.96 N5 = (e-5/Q) N = (0.00674/1.578) 5 = 0.96 La caída exponencial en los números de ocupación promedio es la razón por la cual al ir escalando una montaña el aire se va enrareciendo rápidamente hasta llegar a la atmósfera superior en donde casi no hay moléculas de aire, una consecuencia de la distribución de Boltzmann. Dicho sea de paso, aunque hemos estado manejando aquí niveles discretos de energía, esto fue por mera conveniencia matemática en el manejo de funciones de probabilidad discretas que no involucra suposición alguna de que la energía esté discretizada, y la sub-división que hay entre la separación de los niveles de energía se puede ir disminuyendo hasta hacerla prácticamente cero formando así un espectro casi continuo de niveles de energía. El descubrimiento teórico de que la energía está discretizada correspondió poco después no a Boltzmann, sino a Max Planck. La constante de Boltzmann k introduce la estadística en el estudio del comportamiento de sistemas con un gran número de partículas sin que ello implique la discretización de la energía, mientras que la constante de Planck h introduce la discretización en los niveles de energía que puede tomar cualquier tipo de partícula. Con la definición matemática de la entropía S de un sistema en nuestras manos, podemos definir cuantitativamente a la segunda ley de la termodinámica del modo siguiente: “Con el paso del tiempo, la entropía de un sistema cerrado sólo puede aumentar, nunca disminuír”:

Esta afirmación, llevada al extremo, puede ser enunciada de la siguiente manera: “Con el paso del tiempo, la entropía del Universo sólo puede aumentar, nunca disminuír”. ¿Y qué tiene que ver la termodinámica con los agujeros negros?, se podrían preguntar muchos a estas alturas. Resulta que en la física de los agujeros negros también tenemos un enunciado muy parecido a la definición que se ha dado arriba de la segunda ley de la termodinámica, como resultado delteorema del área que nos dice que el área de la superficie del horizonte de evento de un agujero negro sólo puede aumentar, nunca disminuír:

Pero para poder reforzar nuestras sospechas sobre el enorme parecido que hay entre ambos enunciados, es necesario generalizar el teorema del área de la siguiente manera: “El área de la superficie de todos los horizontes de evento de todos los agujeros negros que hay en el Universo sólo puede aumentar, nunca disminuír”. Filosóficamente, no debe haber problema alguno en llevar a cabo esta generalización que hemos llevado a cabo, ya que si es cierta individualmente para cada agujero negro que hay en el Universo, entonces debe ser cierta para todos los agujeros negros que hay en el Universo. Puesto que la naturaleza de las leyes que rigen a la física de los agujeros negros (leyes capaces de ser demostradas como teoremas dentro del marco de la Relatividad General) es fundamentalmente diferente de la naturaleza de las leyes que rigen a la termodinámica (leyes basadas en la posibilidad de poder tomar un promedio estadístico sobre un gran número de partículas), se creía que esta coincidencia entre ambas era el resultado de alguna coincidencia o el producto de alguna curiosidad matemática común a ambas. El teorema del área es un resultado obtenido estrictamente dentro del marco de la Relatividad General, y es un resultado perfectamente válido dentro de la misma. Sin embargo, cuando metemos a la Mecánica Cuántica dentro del panorama, se nos viene un problema encima con el teorema del área, porque de acuerdo a la Mecánica Cuántica los agujeros negros no son eternos sino que se van evaporando, muy lentamente pero de cualquier forma se van desgastando con una emisión de partículas que tiene todas las características de una radiación térmica clásica, lo

cual llega a costa de irle disminuyendo al agujero negro su masa (por cada partícula del par virtual que escapa hacia el Universo con una energía positiva, cae al interior del agujero negro una partícula con energíanegativa que disminuye el contenido masa-energía del agujero negro) y con ello el área de la superficie de su horizonte de evento. La Mecánica Cuántica, esencialmente, destruye el teorema del área que es un resultado perfectamente válido dentro de la Relatividad General. Lo irónico es que el descubrimiento del teorema del área dentro del ámbito de la Relatividad General fue obra de Stephen Hawking, el mismo que arrojó a dicho teorema en serios aprietos al descubrir el efecto de la evaporación de los agujeros negros. Sin embargo, y a la postre, la entrada en el escenario de la Mecánica Cuántica y la demostración de la evaporación “térmica” de los agujeros negros a causa de la creación de pares de partículas virtuales permitió la materialización de una nueva segunda ley de la termodinámica que reemplaza a la definición “clásica”, una segunda ley generalizada de la termodinámica de la cual trataremos en esta entrada. Ya vimos con anterioridad en otra entrada que la temperatura de un agujero negro está dada por la relación:

El que un agujero negro radiante tenga un espectro térmico y una temperatura diferente de cero sugiere una conexión con la termodinámica que incluye la cuestión de la entropía. Considérese el área superficial esférica de un agujero negro con radio de Schwarzschild rs = 2GM/c². En el límite r → rs y estando dada el área de una esfera por la fórmula A = 4πr², tenemos entonces lo siguiente para un agujero negro: A = 4πrs² A = 4π(2GM/c²)² A = 16πG²M²/c4 Tomando infinitesimales:

dA = (32πG²/c4) M dM o bien: dM = (c4/32πG²M) dA De la equivalencia relativista entre la masa y la energía tenemos lo siguiente: E = Mc² dE = c² dM dE = c² [(c4/32πG²M) dA] = (c6/32πG²M) dA Recurrimos ahora a un resultado clásico de la termodinámica que conecta a la energía E de un sistema con su entropía S, válido cuando no hay términos que expresen un trabajo físico que se esté llevando a cabo (la derivación no es difícil, pero no se repetirá aquí porque se puede encontrar en cualquier texto de termodinámica): dE = T dS Reemplazando en esta relación las igualdades para dE y la temperatura dadas arriba: (c6/32πG²M) dA = [hc3/16π²kGM] dS

(c3/2G) dA = [h/πk] dS

[h/πk] dS= (c3/2G) dA

dS = (πkc3/2Gh) dA Integrando esta expresión, es así como llegamos a la fórmula para la entropía S de un agujero

negro:

En algunos textos se acostumbra utilizar la constante reducida de Planck para escribir la misma fórmula del modo siguiente:

Si hay agujeros negros en el Universo, entonces la ley de la entropía no puede ser sostenida en la forma en la cual ha sido dada, porque la materia puede caer en un agujero negro desapareciendo toda la información que llevaba consigo en una singularidad en el espacio-tiempo, y cuando ello ocurre la entropía total de la materia en el Universo disminuye, contraviniendo la segunda ley de la termodinámica. De esto no hay duda alguna, ya que Brandon Carter, junto con Werner Israel y Stephen Hawking, demostró que según la Relatividad General toda la información dentro de los agujeros negros, excepto la masa M, la carga eléctrica Q y el momento angular J, se pierde y desaparece; de aquí la frase “los agujeros negros no tienen pelo” (en alusión a los calvos). Por otro lado, a causa de la evaporación cuántica de los agujeros negros, a causa de la emisión térmica de partículas, se viola el teorema del área en virtud de que tanto la masa como el área superficial del horizonte de evento disminuyen durante el proceso de evaporación en lugar de aumentar. Esto se puede solventar definiendo una entropía generalizada S' de la siguiente manera:

en donde S representa la entropía total de toda la materia-energía que hay en el Universo enteroafuera de los agujeros negros y A es el área total de todos los horizontes de evento de todos los agujeros negros que hay en el Universo. De este modo, aunque S y A puedan disminuírindividualmente, esta última definición nos indica que S' nunca disminuye, ya que si disminuímos Sarrojando materia hacia un agujero negro, al hacer tal cosa aumentamos tanto el

área como la masa del agujero negro, de modo tal que S' no disminuye. Por otro lado, la creación cuántica de partículas disminuye el área A, pero a costa de la emisión de un espectro térmico de partículas, lo cual aumentaS, y nuevamente S' no disminuye. De este modo, ni la segunda ley de la termodinámica ni el teorema del área para un agujero negro son satisfechos individualmente, pero todo nos parece indicar que tenemos aquí una nueva ley de física formulada por vez primera por Jacob Bekenstein en 1972, lasegunda ley generalizada de la termodinámica que nos dice que la entropía generalizada S' del Universo nunca disminuye con el tiempo. Esta segunda ley generalizada es sorprendente en el hecho de que logra juntar tres campos diferentes de la física, la termodinámica, la Relatividad General, y la Mecánica Cuántica. De nueva cuenta, tenemos aquí lo que parece ser una extraordinaria coincidencia. Pero, ¿se trata realmente de una coincidencia? ¿O existe alguna razón filosófica de fondo detrás de todo esto cuyo significado aún no alcanzamos a comprender? Jacob Bekenstein, el físico teórico que formuló la segunda ley generalizada de la termodinámica, también ha estudiado a fondo la relación que tienen los agujeros negros y la entropía con la teoría de la información. Basado en su trabajo previo sobre la termodinámica de los agujeros negros, Bekenstein también demostró lo que hoy se conoce como el acotamiento Bekenstein (Bekenstein bound), de acuerdo con el cual existe un límite máximo a la cantidad de información que puede ser potencialmente almacenada en cierto volumen, y que este límite máximo es proporcional al área que acota a este volumen y no al volumen en sí. En la teoría de la información, la base de todo tipo de información se sustenta a su nivel más elemental en el sistema binario de unos y ceros, el mismo sistema en el cual se basa en funcionamiento de todas las computadoras digitales de la Tierra. No es inusual que para transmitir la idea de lo que es el acotamiento Bekenstein se nos presente una superficie teselada con “bits” digitales de ceros y unos tal y como lo sugirió Bekenstein:

Imaginemos por un momento que la superficie sobre la cual grabamos nuestra información es el horizonte de evento de un agujero negro. Ciertamente la cantidad máxima de información que podamos poner sobre dicho cuerpo no podrá ir más adentro de la superficie (en lo que es el volumen de la esfera en sí), porque cualquier información que vaya adentro del horizonte de evento es una información esencialmente perdida para siempre que no podremos recuperar. Lo único que podemos hacer es reducir el tamaño de los “cuadritos” en donde escribimos nuestros “bits”, para así poder aumentar la cantidad de información que podemos apilar sobre la superficie de la esfera. Pero resulta que también hay un límite a qué tan pequeña podamos hacer el área para cada “bit”. Aún suponiendo que de alguna manera podamos irnos hasta niveles subatómicos, existe una distancia conocida como la longitud de Planck, igual a 1.616·10−35 metros, por debajo de la cual se espera que el espacio deja de tener una geometría clásica, siendo una medida que no puede ser tratada adecuadamente en los modelos de física actuales debido a la aparición de efectos de gravedad cuántica. El límite descubierto por Bekenstein es un descubrimiento fundamental, porque se trata de un límite natural para el almacenamiento de información que no puede ser rebasado. ¿Y qué de la información que va al interior de un agujero negro? Supongamos que tenemos un dispositivo de memoria masivo como el disco duro de una computadora repleto de información o inclusive una enciclopedia impresa como aquellas que hoy sólo se pueden encontrar en los anaqueles de las bibliotecas que aún conservan estas reliquias. Si arrojamos el disco duro o la enciclopedia hacia un agujero negro, una vez que dicha información ha cruzado hacia el interior del horizonte de evento la información ya no puede ser recuperada

porque ni siquiera la luz, la portadora primaria de información, puede escapar del horizonte de evento. Sin embargo, la información sigue allí mientras va cayendo en camino hacia la singularidad situada en el centro del agujero negro, y en principio si damos marcha atrás a la flecha del tiempo podemos ir reconstruyendo los eventos previos al ingreso de dicha información al horizonte de evento. Puesto de otra manera, todo presente tuvo que haber tenido un pasado. No hay nada que esté ocurriendo hoy que no haya existido “ayer”. En la Mecánica Cuántica, esto es lo que se conoce como el principio de reversibilidad: la física debe ser capaz de rastrear el resultado final de cualquier proceso, incluído el proceso que condujo a la formación de un agujero negro, a las condiciones que condujeron a dicho proceso. Sin embargo, hay una situación preocupante que se nos viene encima cuando la información termina cayendo directamente en la singularidad de un agujero negro. La información se destruye totalmente a grado tal que no queda absolutamente nada que podamos rastrear a las condiciones que condujeron a la pérdida de dicha información. El dilema del asunto radica en la aserción que se ha venido haciendo de que la singularidad de un agujero negro es un punto en el cual todo es compactado hasta el infinito, incluído el espacio-tiempo. ¿Cómo vamos a poder rastrear hacia atrás en el tiempo algo de un punto en el que cual el mismo tiempo como nosotros lo concebimos ha dejado de existir? Al esfumarse la masa-energía y el espacio-tiempo en un coctel en el que se compacta todo junto hasta el infinito, no es posible intentar recorrer la ruta inversa dándole marcha atrás al reloj como podríamos hacerlo con una película grabada en un videodisco, porque no hay reloj que funcione en un lugar en donde el tiempo ha dejado de existir como tal. No podemos regresar una película a una escena previa cuando no sólo ya no existe la película sino inclusive ya ni siquiera existe el equipo para reproducirla. El problema con la aplicación de la teoría clásica es que podemos utilizar cualquier combinación de partículas para “construír” un agujero negro (protones, electrones, estrellas, planetas, lo que sea) sin que ello ocasione diferencia alguna en el resultado final. Hay billones y billones de maneras distintas con las cuales se puede hacer un agujero negro, pero bajo el modelo clásico el resultado final es siempre el mismo. Y si todos los agujeros negros son iguales (en el sentido de que al desaparecer totalmente todo rastro de información dentro de ellos entonces no es posible diferenciar cada uno de ellos rastreándolo hacia un origen único e individual), cualquier información acerca de las partículas atómicas y subatómicas que los formaron está irremediablemente perdida para siempre una vez que se forma el agujero negro. Este tipo de uniformidad es precisamente lo que viola la ley mecánico-cuántica de reversibilidad, ya que debería ser posible rastrear el producto final de cualquier proceso, incluyendo el proceso que dá origen a la formación de un agujero negro, a las condiciones que lo crearon. Esta situación preocupante fue reconocida de inmediato por los teóricos que enfocaron sus investigaciones hacia la pérdida de información que tiene lugar en la singularidad de un agujero negro, los cuales no tardaron mucho tiempo en calificarla con un nombre: la paradoja de la información del agujero negro (black hole information paradox). La paradoja radica en el hecho de que la Mecánica Cuántica, por sí sola, nos garantiza la recuperación de la información a partir de un estado inicial que ha ido evolucionando, mientras que la Relatividad General, por sí sola, nos

garantiza que en la singularidad de un agujero negro la información se ha perdido irremediablemente en forma tal que ni siquiera la Mecánica Cuántica puede obrar algún milagro para poder recuperar aunque sea una minúscula parte de la información. Puesto de otra manera, la desaparición de información física en la singularidad de un agujero negro permite que varios estados físicos evolucionen hacia un mismo estado único, lo cual viola la suposición más básica de la ciencia de que en principio la información completa acerca de un sistema físico en un momento dado de tiempo determina por completo su estado en cualquier otro tiempo posterior. La paradoja de la información de los agujeros negros fue una de las cosas que dieron pie para que a finales de la década de los noventas Abhas Mitra, un astrofísico hindú asociado a la División de Física Teórica del Bhabha Atomic Research Centre en Bombay (hoy Mumbai), desafiara la creencia convencional aceptada acerca de la existencia de los agujeros negros con una singularidad física en su interior, afirmando con un papel que fue publicado en diciembre de 2000 en la revista Foundation of Physics Letters que un agujero absoluto no podía existir si nos adheríamos rigurosamente a la Teoría General de la Relatividad, llegando a la conclusión de que las estrellas candidatas a terminar convirtiéndose en agujeros negros debían tener campos magnéticos intensos y por lo tanto no podían terminar como agujeros negros incapaces de poseer campo magnético alguno. Para describir mejor la idea que estaba tratando de comunicar, Mitra acuñó en 1998 la frase Magnetospheric Eternally Collapsing Object (MECO), que podemos traducir como simplemente como “objeto eternamente colapsante”. Esta es otra proposición revolucionaria, porque de ser cierta ello implicaría que no existe singularidad alguna en el interior de los agujeros negros que están en proceso de formación. Y de hecho, ni siquiera existe físicamente el horizonte de evento, ello sería tan sólo la consecuencia de una curiosidad matemática que resulta de la solución de Schwarzschild. En vez de tener una estrella que bajo la acción de una gravedad intensa implota formando primero un horizonte de evento e inmediatamente tras esto una singularidad en su interior, lo que tendríamos sería una estrella en camino perpetuo de convertirse en un agujero negro sin llegar a serlo jamás. El proceso del colapso gravitacional de una estrella en lugar de ser un evento que concluye en una cantidad finita de tiempo sería un proceso que nunca terminaría de concluír; la estrella se estaría colapasando hacia su interior a perpetuidad arrastrando en su camino todo el espacio-tiempo con el que se está colapsando sin que este se llegue a “comprimir” junto con la masa-energía de la estrella hacia un punto singular. El núcleo de la demostración presentada por Abhas Mitra radica en el argumento de que para que un agujero negro se pueda formar, la materia colapsante debe viajar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz con respecto a un observador fijo, lo cual no es posible. Aunque la tesis propuesta por Abhas Mitra no tardó en ser cuestionada y calificada como errónea por teóricos relativistas de prestigio como Chris Hillmann quien ha caracterizado el trabajo de Abhas Mitra como “totalmente errado” a causa de malentendidos de la Relatividad General, además de ir en contra de la visión convencional de los agujeros negros defendida por científicos de enorme talla como Stephen Hawking, cuatro años después de que Abhas Mitra diera a conocer sus conclusiones y 30 años después de haber formalizado la existencia de los agujeros negros, el mismo Stephen Hawking dió un vuelco considerado tan espectacular como sus descubrimientos acerca de la evaporación de los agujeros negros, afirmando en julio de 2004 (aunque utilizando argumentos teóricos diferentes a

los de Mitra) que los agujeros negros no existen en un sentido factual sino que las estrellas en vías del colapso gravitacional hacia un agujero negro continúan emitiendo radiación térmica y “evaporándose” por un largo período de tiempo. El objeto eternamente colapsante de Abhas Mitra es uno que en realidad no difiere del concepto tradicional de un agujero negro en el hecho de haber sido una estrella que continuamente se encoge en un espacio cada vez más pequeño, pero que en el caso del objeto descrito por Abhas Mitra nunca llega a ser un agujero negro, y eventualmente el encogimiento de la estrella se frena hasta ser casi imperceptible para nosotros aunque continúa encogiéndose tan lentamente que podría sostenerse a lo largo de varias veces la vida del universo, encerrándose a sí misma en un espacio cada vez menor por toda la eternidad sin alcanzar jamás el tamaño infinitamente pequeño de la singularidad de un agujero negro. A diferencia de un agujero negro, un MECO tiene un tamaño definido. El MECO esencialmente es una densa bola de plasma que genera continuamente campos magnéticos por medio de corrientes superficiales, lo que explica su magnetismo. Más aún, los objetos “chupados” pueden, teóricamente, salir nuevamente, aunque con extrema dificultad. Y esto es importante porque esencialmenteproporciona una ruta para comenzar a resolver la paradoja de la información de los agujeros negros. La comprobación de la hipótesis de Abhas Mitra, aunque aún no es aceptada por la mayoría de la comunidad científica, ha ganado la aceptación de investigadores de la talla del Doctor Darryl J. Leiter y el Doctor Stanley L. Robertson, y continúa ganando simpatizantes que están buscando ya la manera de poner a prueba dicha hipótesis. Uno de ellos es Rudy Schild del Centro HarvardSmithsoniano de Astrofísica en Cambridge, Massachusetts, trabajando conjuntamente con sus colegas el Doctor Leiter y el Doctor Robertson, los cuales han estado escudriñando un objeto de un tipo extremadamente luminoso conocido como cuásar. Los cuásares, según concuerda la mayoría de los astrónomos, son los centros de galaxias muy lejanas. Tradicionalmente, los astrónomos describen al corazón de un cuásar como un disco de gas que cae en espiral hacia un agujero negro súper-masivo, que se alimenta de él. La luminosidad proviene del gas, que se calienta a medida que corre hacia dentro. Una parte de él sale disparada en dos chorros que se dirigen en direcciones opuestas conocidas como jets o “chorros”. Los cuásares aparecen únicamente en los más lejanos confines del universo conocido. Los astrónomos razonan que esto es así porque existieron solamente en el más lejano pasado. Las áreas más lejanas son aquellas en que vemos al cosmos tal como era hace mucho tiempo, porque la luz se tarda mucho en llegar desde esos lugares hasta nosotros. El grupo de Schild ha enfocado sus esfuerzos en el estudio de un cuásar designado como Q0957+561, que se encuentra a unos 9 mil millones de años luz de distancia en la constelación de la Osa Mayor. El cuásar contiene un objeto central compacto con una masa equivalente a unos 3 o 4 mil millones de Soles. La mayoría de los científicos cree que es un agujero negro, pero Schild dice que sus hallazgos sugieren otra cosa: sorprendentemente, es magnético, a diferencia de un agujero negro, tal y como lo predicen las conclusiones teóricas de Abhas Mitra. Los investigadores escogieron a Q0957+561 porque está asociado con una lente gravitacional (ó lente cósmica). Las estrellas y los planetas que están dentro de la galaxia también afectan la luz del cuásar, un fenómeno relacionado al que se conoce como “micro-lente gravitatoria”, con lo cual es

posible discernir más detalles de este así llamado “agujero negro” que se encuentra a dos tercios de distancia del borde del universo observable, que del agujero negro que se encuentra en el centro de la Vía Láctea", nuestra galaxia. El equipo ha estado monitoreando la luminosidad del cuásar a lo largo de 20 años, junto a un consorcio internacional de observadores en 14 telescopios, y ha estudiado el núcleo del cuásar, definiendo un lugar propuesto donde se forman los chorros, algo que 60 años de investigación pasada no han podido explicar. El equipo calculó que los chorros provienen de dos regiones que son ambas unas 25 veces más grandes que la distancia entre el Sol y Plutón, las cuales se ubican directamente sobre los polos del objeto central compacto, a unas 200 veces la distancia Sol-Plutón. Únicamente se cuenta con un escenario propuesto capaz de explicar fácilmente estas ubicaciones, de acuerdo a las conclusiones a las que ha llegado el grupo de investigadores encabezado por Schild: el objeto central es magnético, e interactúa con el disco a través del campo magnético que lo rodea. A medida que gira, el campo se enrolla. Eventualmente, se arrolla tanto que se "rompe" explosivamente antes de re-formarse a sí mismo en una configuración más relajada. Estas roturas liberan energía que impulsa a los chorros. Pero un agujero negro en un disco de acreción no puede tener su propio campo magnético, agregan los investigadores. Normalmente, esto es así porque un objeto en rotación puede ser magnético únicamente si lleva una carga eléctrica, de acuerdo con la teoría Maxwelliana del electromagnetismo. Un agujero negro no puede sostener una carga así, porque cualquier agujero negro con carga eléctrica absorbería inmediatamente suficiente material cargado opuestamente como para cancelar su propia carga. El problema desaparece, sostienen Schild y sus colegas, con el nuevo tipo de objeto compacto propuesto por Abhas Mitra, el “Magnetospheric Eternally Collapsing Object”. Estas conclusiones basadas en los estudios llevados a cabo por Schild y sus colegas aparecen publicadas en arXiv en el documento “Observations Supporting the Existence of an Intrinsic Magnetic Moment Inside the Central Compact Object Within the Quasar Q0957+561”, publicado también en el número de julio de 2006 de la revista The Astronomical Journal. No será fácil que la teoría MECO gane una amplia aceptación entre los científicos, según dicen los astrónomos, dado que los agujeros negros han sido el escenario aceptado desde Einstein. Pero la propuesta hecha por Abhas Mitra proporciona una ruta de escape de la paradoja de la información de los agujeros negros, a grado tal que el mismo Stephen Hawking ha puesto en duda ya la visión convencional que había sostenido a lo largo de toda su vida acerca de los agujeros negros. (El nuevo tipo de agujero negro propuesto por Hawking ya no es algo capaz de engullir totalmente cualquier cosa; en lugar de esto se mantiene emitiendo radiación durante un periodo prolongado de tiempo para finalmente descubrirse y revelar información interior. Irónicamente los resultados obtenidos por el mismo Hawking le hicieron perder una apuesta sobre un par de enciclopedias que él mismo hizo en 1997 junto al físico teórico Kip Thorne, del California Institute of Technology en Pasadena, contra John Preskill, tambien del Caltech. Ambos defendían que la información que absorbe un agujero negro desaparece para nunca jamás ser revelada, un punto de vista sobre el cual Hawking terminó dando un giro espectacular de 180 grados. Sin embargo, dada la complejidad de las matemáticas involucradas para llegar a tales conclusiones, no falta quienes sospechen que las nuevas conclusiones de Hawking son más bien el resultado de una manipulación matemática magistral de argumentos sofisticados consecuencia del deseo de

resolver una de las paradojas más duras de la Relatividad General de la cual entre otras cosas depende la existencia o inexistencia factual de los mismos agujeros negros.) Además de las rutas de escape proporcionadas por Abhas Mitra y Stephen Hawking para la resolución de la paradoja de la información del agujero negro a costa de destronar al mismo agujero negro como materia prima para las novelas de ciencia-ficción, han ido surgiendo con el paso del tiempo otras teorías alternas que también proponen una resolución a dicha paradoja. Una de ellas está basada en la “teoría de las supercuerdas” (string theory) que propone que todas las partículas del Universo están formadas por pequeñas cuerdas vibrantes. En el año 2000, los teóricos de las supercuerdas identificaron a la paradoja de la información de los agujeros negros como la octava prioridad en su lista de los diez problemas físicos más importantes a ser resueltos en el tercer milenio (esa lista incluye preguntas tales como “¿cuál es la vida de un protón?” y “¿cómo puede la gravedad cuántica explicar el origen del Universo?”). Físicos de la Ohio State University encabezados por Samir Mathur han derivado un conjunto extenso de ecuaciones que sugiere que la información aparentemente perdida en el interior de un agujero negro continúa existiendo, apilada en un enorme montón de cuerditas que llena a un agujero negro desde su núcleo hasta su horizonte de evento. Los resultados obtenidos por ellos sugieren que los agujeros negros no son entidades suaves sin rasgos prominentes sino bolas borrosas bautizadas como fuzzballs. Mathur comenzó trabajando sobre la paradoja de la información con el investigador post-doctoral Oleg Lunin calculando la estructura de objetos situados entre estados simples de supercuerdas y agujeros negros clásicos grandes. En lugar de ser objetos pequeños, resultaron ser objetos grandes, y trabajando tiempo después con los estudiantes de Doctorado Ashish Saxena y Yogesh Srivastava, encontraron que emergía la misma imagen de un “fuzzball” para objetos que se asemejan más cercanamente a un agujero negro clásico. Como resultado de estas investigaciones, Mathur propuso a través de dos papeles publicados en el añ0 2000 que los agujeros negros son en realidad esferas de supercuerdas con un volumen definido en lugar de ser el punto de dimensión cero y volumen cero en el cual está concentrada toda la masa del agujero negro. La teoría de los “fuzzballs” avanzada por Mathur y Lunin satisfacen la ley de reversibilidad (y con ello resolviendo la paradoja de la información de los agujeros negros) porque la naturaleza cuántica de todas las cuerdas que caen dentro un fuzzball-agujero negro es preservada conforme van cayendo cuerdas contribuyendo al crecimiento del objeto; no hay información cuántica que sea compactada hasta el infinito saliendo fuera de nuestro Universo. Más aún, este aspecto de la teoría es verificable puesto que la tesis central afirma los datos cuánticos del fuzzball-agujero negro no permanecen atrapados para siempre en el centro del mismo sino que eventualmente encuentran su camino hacia la superficie borrosa del objeto en donde eventualmente la radiación de Hawking se convierte en portadora de esta información codificada en las correlaciones delicadas que existen entre las partículas virtuales que están escapando hacia el exterior. Tan pequeñas como son las supercuerdas, Mathur cree que de cualquier modo estas pueden formar agujeros negros grandes a través de un fenómeno llamado tensión fraccional. Las cuerdas son estirables, aunque el estiramiento necesariamente lleva cierta cantidad de tensión del mismo modo que como ocurre con la cuerda de una guitarra. Con la tensión fraccional, la tensión va

aumentando conforme va aumentando la longitud de la cuerda al ser estirada. Así como resulta más fácil estirar una cuerda larga de guitarra que una cuerda corta, es más fácil estirar una larga trenza de supercuerdas mecánico-cuánticas que una supercuerda individual. De este modo, cuando se juntan muchas supercuerdas del modo en que ocurriría cuando se juntan las muchas partículas necesarias para formar un agujero negro muy masivo, la bola combinada de cuerda se vuelve muy flexible y se expande a un diámetro grande. Cuando los físicos de la Ohio State University obtuvieron su fórmula para el diámetro de un agujero negro borroso formado por supercuerdas, encontraron que el diámetro coincidía con el diámetro del horizonte de evento sugerido por el modelo clásico (la solución de Schwarzschild). Puesto que Mathur conjetura que las supercuerdas pueden continuar existiendo en el interior de un agujero negro sin ser compactadas, y la naturaleza de estas supercuerdas depende a su vez de las partículas que conformaban la materia prima inicial con la que fue hecho el agujero negro, entonces cada agujero negro es individual y único como lo son las estrellas, planetas, o galaxia que lo formaron. Y del mismo modo, las supercuerdas que vayan entrando en el interior de un agujero negro una vez que éste se ha formado también serían rastreables. Como puede verse, no hay una sola manera posible con la cual se pueda resolver la paradoja de la información de los agujeros negros. En lo que respecta a cuál de todas ellas será la explicación correcta, esta tendrá que esperar a un tiempo posterior en el futuro, si es que la respuesta no está más allá de los recursos experimentales que podamos desarrollar en el futuro.

61. RADIACIÓN GRAVITACIONAL De acuerdo con la teoría electromagnética clásica basada en las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell, la aceleración de cualquier partícula que posea una carga eléctrica producirá una radiación, ya sea que la aceleración se lleve a cabo con la partícula moviéndose en línea recta aumentando su velocidad o que la aceleración se lleve a cabo con la partícula manteniendo la magnitud de su velocidad constante pero cambiando continuamente la dirección de su movimiento (lo cual equivale también a una aceleración, en este caso de carácter vectorial). Podemos darnos una idea sobre cómo se produce esta radiación tomando una carga eléctrica e impartiéndole una aceleración brusca a partir de un momento t = 0, quitándole poco tiempo después la aceleración a la carga eléctrica. Antes de imprimirle una aceleración a una carga eléctrica, podemos imaginarnos a las “líneas de fuerza” que usualmente asociamos con el campo eléctrico de la carga como emanando radialmente en forma simétrica del centro de la carga. Pero al imprimirle una aceleración brusca a la carga, estas “líneas de fuerza” que se extienden geométricamente hasta el infinito no pueden moverse a la par con la carga en virtud de que el “golpe aceleratorio” no puede ser transmitido sobre dichas líneas a una velocidad mayor que la velocidad de la luz de acuerdo con la Teoría Especial de la Relatividad. Tenemos entonces una “zona” en la cual la continuidad radial de las “líneas de fuerza ” parece haber sido distorsionada:

Al habérsele quitado la aceleración a la carga, y cerca de la misma, las “líneas de fuerza” retoman su aspecto simétrico radial dentro de lo que podríamos llamar una “zona de post-aceleración”, el mismo aspecto que tenían antes de que la carga fuese acelerada, fijando la “radialidad” que será emanada hacia afuera desde la carga en líneas rectas. Pero lejos de la carga, las líneas rectas del campo eléctrico corresponden a las que emanaban de la carga antes de ser acelerada. Tenemos entonces una zona que equivale a un “casco esférico” que irá creciendo radialmente hacia afuera alejándose de la carga:

La zona que va creciendo, la “zona de radiación”, es precisamente la portadora de la radiación electromagnética producida por la carga. Una carga eléctrica en reposo, e inclusive una carga eléctrica moviéndose a velocidad constante, no produce radiación electromagnética alguna. Se requiere impartirle una aceleración a la carga para que se pueda producir la radiación electromagnética. Esta radiación electromagnética, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, es portadora de cierta cantidad de energía, la cual no sale de la nada sino que tiene que ser suministrada en el proceso de aceleración de la carga, venciendo lo que pudiéramos llamar una especie de “inercia eléctrica”, esto es, la oposición de la carga a ser acelerada. Y esta energía de carácter electromagnético radiada hacia el exterior puede ser vista como una onda electromagnética, o puede ser vista como un espectro continuo de paquetes de energía, los fotones. Al acelerar una carga eléctrica, en efecto, se crean fotones. Como ya se señaló, la radiación electromagnética emanada por una carga eléctrica acelerada se

puede obtener manteniendo a una carga a la misma velocidad pero cambiándole su dirección continuamente. Este es precisamente el mecanismo mediante el cual se produce la radiación del tipo conocida comoBremsstrahlung que significa “radiación de frenado”, producida cuando un electrón (una carga eléctrica elemental negativa) pasa lo suficientemente cerca de un núcleo atómico (el cual contiene protones, cargas eléctricas elementales positivas) que por el efecto de la atracción eléctrica de cargas opuestas es desviado de su curso, emitiendo radiación electromagnética:

El tercer tipo de radiación electromagnética a causa de una aceleración ocurre cuando una carga eléctrica es frenada totalmente en su movimiento, lo cual equivale a una aceleración negativa, pero aceleración al fin y al cabo. Este es precisamente el mecanismo que utilizamos para producir los rayos-X en los hospitales, impactando electrones de alta energía (acelerados con una fuente de alto voltaje) en contra de una superficie sólida:

Un aspecto interesante en la radiación electromagnética obtenida a partir de una carga eléctrica acelerada es que no es posible determinar a partir de la misma si la carga eléctrica era una carga positiva o negativa. Esta información se pierde por completo al emanarse la energía en forma de fotones. Podemos derivar a partir de las ecuaciones de Maxwell fórmulas específicas para la radiación electromagnética obtenida a partir de un mecanismo de aceleración, esto se puede consultar en cualquier buen texto de Electrodinámica Clásica (o inclusive en Internet). La Relatividad General, estando basada e inspirada en la teoría del campo electromagnético de Maxwell, postulando también un campo gravitacional, nos lleva a sospechar de inmediato en la posibilidad de que una masa que sea acelerada pueda ser capaz de producir un efecto similar al que produce una carga eléctrica. Y así es, en efecto. A partir de sus ecuaciones para el campo gravitacional, en un trabajo publicado en 1918 en el cual utilizó lo que podemos llama relatividad general linearizada, Einstein demostró que cuando una masa es acelerada dicha masa tiene que dar origen a campos de gravedad que varían con el tiempo, alejándose de la masa a la velocidad de la luz como ondulaciones en el espacio-tiempo. Así como un objeto cargado eléctricamente genera ondas electromagnéticas en proporción a su carga y aceleración, del mismo modo se puede esperar que una masa en movimiento genere rizos gravitacionales (distorsiones geométricas en el entramado espacio-tiempo del Universo) en proporción a su masa y aceleración como lo muestra la siguiente figura en la cual tenemos a una masa acelerada que está atravesando una región de espacio-tiempoplano (Lorentziana):

Si una masa experimenta un cambio súbito, el rizo gravitacional resultante tomará la forma de un pulso breve, como el que se produce cuando arrojamos una piedra a un estanque de agua tranquilo. Pero si la masa está sujeta a un cambio periódico, repetitivo, los rizos gravitacionales se sostendrán como la onda continua portadora de una señal de televisión. Tendremos entonces lo que se conoce como ondas gravitacionales, o lo que es lo mismo, una radiación gravitacional. De cualquier manera, la amplitud (o altura) de la onda gravitacional irá disminuyendo conforme aumenta la distancia de la fuente. Un ejemplo de un caso en el cual podríamos tener una onda gravitacional repetitiva sería el siguiente en el cual tenemos a un planeta masivo en órbita en torno a otro planeta masivo:

En este caso, no se requiere llevar a cabo un análisis matemático detallado a partir de las ecuaciones de campo de la Relatividad General para darse cuenta de que la frecuencia de la onda gravitacional que está siendo emanada del sistema será la misma que la frecuencia de la órbita del planeta en torno al cuerpo central. Aquí podemos hacer una observación importante. Si toda onda de cualquier índole es portadora de información, portadora de energía, entonces esa energía tiene que salir necesariamente de algún lado. En este caso, la onda gravitacional sólo puede ser sostenida a expensas de una variación en la órbita del planeta que está girando, cayendo poco a poco en espiral hacia el astro central. En pocas palabras, las órbitas de los planetas en torno a una estrella no pueden ser eternas como lo supuso Newton. La Luna está cayendo hacia la Tierra así como todos los planetas están cayendo hacia el Sol. Afortunadamente, para nosotros, la cantidad de energía emanada a consecuencia de la radiación gravitacional es astronómicamente insignificante. Mucho antes de que se pueda detectar cambio alguno en las órbitas de los planetas del sistema solar, el Sol habrá dejado de brillar por completo. Podemos obtener una estimación muy cruda del tiempo que le toma a un sistema el perder su energía a causa de la radiación gravitacional con la siguiente fórmula (consúltese la página 981 del libro Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler):

en donde Torbita es el período orbital y Rs es el radio de Schwarzschild de la masa central. Tomando para el Sol un radio de Schwarzschild Rs igual a 3 kilómetros, en el caso de la Tierra tenemos un cociente R/Rs aproximadamente 5·107, y obtenemos un tiempo t igual a 1020 años, o sea: 100,000,000,000,000,000,000 años por lo que la caída en espiral de la Tierra hacia el Sol o de la Luna hacia la Tierra a causa de la radiación gravitacional no son cosas que nos deban causar mucha preocupación. Para que la caída en espiral pueda ser detectable, se requiere de un sistema con un cuerpo o con un par de cuerpos extraordinariamente masivos, como lo es el caso del sistema binario púlsar Hulse-Taylor:

en donde se han detectado diferencias medibles que han confirmado la pérdida de energía gravitacional a causa de la radiación hacia el espacio exterior de ondas gravitacionales. De hecho, esta es considerada como la primera confirmación experimental, en base a mediciones astronómicas, del fenómeno relativista de radiación gravitacional. El punto usual de partida para el estudio teórico de la radiación gravitacional, la Relatividad General linearizada, radica en un esquema de aproximación en el cual las contribuciones no-

lineares a la métrica del espacio-tiempo son ignoradas, lo cual simplifica el estudio de muchos problemas. Esto se lleva a cabo considerando al tensor métrico g como la suma de una solución a las ecuaciones de Einstein, casi por lo general la métrica del espacio-tiempo plano de Lorentz (o de Minkowski, que es lo mismo) usualmente denotada como η, sumada a una perturbación al campo usualmente denotada como h: g=η+h La perturbación h es manejada con los métodos usuales de la teoría de la perturbación, que comprende métodos matemáticos que son utilizados para encontrar una solución aproximada a un problema que no puede ser resuelto exactamente, comenzando con la solución exacta a un problema parecido. En notación de componentes: gμν = ημν + hμν siendo hμν la desviación de la métrica g de la métrica del espacio-tiempo plano h. Puesto que tanto la métrica g como la métrica η del espacio-tiempo plano son simétricas, la relación anterior nos indica que la perturbación h también debe serlo. Aunque el efecto es minúsculo, si la Relatividad General está en lo correcto entonces el Universo entero debería estar bañado en ondas gravitacionales. Sin embargo, el mismo Einstein jamás las tomó muy en serio, mirándolas como meros artefactos matemáticos, posibles en teoría pero nunca lo suficientemente intensas como para poder tener consecuencias medibles, un punto de vista compartido por muchos de sus contemporáneos como Sir Arthur Eddington que comentó en términos derogatorios: “Las ondas gravitacionales se propagan a la velocidad del pensamiento”. Además de la confirmación que se pueda obtener por medios astronómicos acerca de la existencia de radiación gravitacional, se han llevado y se siguen llevando a cabo experimentos en laboratorios en la misma Tierra para poder detectar ondas gravitacionales que puedan ser emanadas de eventos cósmicos catastróficos tales como la colisión de dos agujeros negros, de lo cual tenemos como ejemplo la siguiente composición generada por una simulación de computadora que nos muestra la colisión de dos agujeros negros así como las ondas de choque que se espera que una colisión así produzca en la fábrica del espacio-tiempo del Universo:

Uno de tales laboratorios en Tierra, el más relevante, consta de dos estaciones situadas en ciudades diferentes de Estados Unidos, el LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) que tiene relativamente poco tiempo de haber sido puesto en operación:

No se pueden soslayar las enormes dificultades técnicas que se han tenido que enfrentar para

poder construír laboratorios en la Tierra con instrumental que sea lo suficientemente preciso para poder detectar ondas gravitacionales generadas en el espacio exterior. Imaginemos que a varios miles de años-luz de la Tierra ocurre el equivalente de un tsunami cósmico. Al recorrer la onda de choque gravitacional generada por el cataclismo la enorme distancia que nos separa del evento hasta nosotros, su influencia sobre nuestro espacio-tiempo habrá disminuído a tal grado que conforme pase por la Tierra su influencia será tanta como ocasionar que una distancia entre la Tierra y su estrella más cercana, nuestro Sol, se altere momentáneamente por el grosor de un pelo humano. Un instrumento lo suficientemente sensible como para detectar tal cambio tiene que ser lo suficientemente sensible como para detectar un cambio en la distancia entre la Tierra y el Sol de la anchura de un átomo, aproximadamente la millonésima de un protón por metro. Estos son los obstáculos que tuvo que enfrentar el pionero en la detección de ondas gravitacionales en Tierra, Joseph Weber, cuyos instrumentos hoy en día asemejan crudos prototipos que jamás podrían haber logrado su objetivo. De su primer dispositivo terminado en 1965, un detector cilíndrico de aluminio de un metro de diámetro y 3.5 toneladas de peso alrededor del cual se hallaban una serie de cristales piezoeléctricos los cuales generaban un voltaje cuando la barra oscilaba de tamaño:

el propio Weber sostenía que el aparato era capaz de detectar deformaciones de tan sólo una parte de 1016, lo que supone la cienava parte del diámetro de un núcleo atómico, lo cual parece dudoso en nuestros tiempos. Aunque el consenso de la comunidad científica es que Joseph Weber

parece haber fracasado en sus esfuerzos por detectar radiación gravitacional, no se le puede negar el mérito de haber sido el primero en intentarlo. Hoy en día, siguiendo en cierta forma el ejemplo de Albert Michelson que en sus esfuerzos por detectar el movimiento de la Tierra a través del hipotético éter se vió obligado a recurrir al fenómeno óptico de la interferometría porque sólo de esa manera podía obtener la precisión necesaria para llegar a una evaluación conclusiva, del mismo modo se está recurriendo en la actualidad a la interferometría apoyada con rayos láser y mediciones de tiempos llevadas a cabo con relojes atómicos. Pese a las enormes dificultades técnicas que parece haber para poder detectar radiación gravitacional, debemos tomar en cuenta que existe un fenómeno físico de sobra conocido por los ingenieros en electrónica que se dedican al diseño, la construcción y el mantenimiento de equipos transmisores y receptores de radio y televisión: la resonancia. Es un hecho ineludible el que una gran variedad de sistemas físicos tienen lo que se llama una frecuencia natural de resonancia, y si se les hace “vibrar” a dicha frecuencia el comportamiento oscilatorio del sistema puede aumentar a tal grado que la cosa se puede salir fuera de control. Un ejemplo dramático de un sistema mecánico que empezó a vibrar a su frecuencia natural de resonancia hasta que el sistema terminó autodestruyéndose es el puente de Tacoma Narrows en los Estados Unidos:

Otro ejemplo más mundano de un objeto que tiene su propia frecuencia natural de vibración es la horquilla metálica que utilizan los médicos, la cual cuando es golpeada produce un sonido característico (un “tono” musical) propio de la frecuencia natural de vibración de la horquilla (el tono de la horquilla que se muestra a continuación es ajustable mediante los contrapesos montados sobre los ejes cuya posición se puede ajustar):

En el caso de las transmisoras de señales de radio y televisión, en su quintaesencia todas ellas operan sobre un mismo principio, un circuito tanque formado por un inductor eléctrico L y un capacitor eléctrico C, cuyos valores determinan automáticamente la frecuencia de transmisión de una señal que conocemos como canal (la cual es invariable y es asignada individualemente por cada gobierno a cada empresa) que a su vez es radiada a través de una antena para ser recibida por un receptor el cual debe ser sintonizado con un circuito tanque similar a la misma frecuencia de la señal que se quiere recibir:

En la figura de arriba, en donde se le ha agregado al circuito tanque del receptor una resistencia eléctrica R que representa las pérdidas de energía por disipación en el sistema además de un medidor de voltaje e para medir la amplitud del voltaje de la señal recibida, podemos ver que la frecuencia del circuito tanque del receptor puede ser variada mediante un capacitor (o condensador) eléctrico variable destacado por la flechita en el diagrama que nos indica que se trata de un componente eléctrico ajustable o sintonizable. Como ya se dijo, la frecuencia natural de resonancia f0 del circuito tanque depende única y exclusivamente de los valores de L y C, y está dada por la fórmula: f0 = 1/2π√LC Si a un circuito tanque que tiene conectados en serie un inductor L, un capacitor C y una resistencia R le aplicamos un voltaje alterno de frecuencia variable, al variar la frecuencia no tardaremos en toparnos con cierta frecuencia en la cual la corriente eléctrica media cuadrática Irms (root mean square o rms, una especie de promedio matemático para una corriente eléctrica alterna senoidal) del circuito adquiere un valor máximo precisamente en la frecuencia natural de resonancia del circuito ω0 = 1/√LC:

De las gráficas de las curvas de resonancia podemos ver que la amplitud de la corriente Irms (en este caso medida en milliamperes o mA) en el punto de resonancia ω0 depende única y exclusivamente del valor de la resistencia R, a menores valores de R tanto mayor será la amplitud. Y de hecho, teóricamente, si no hubiese resistencia eléctrica alguna en el circuito, la amplitud de la corriente Irmssería infinita en el punto de resonancia. Veamos ahora el caso de dos masas M conectadas mediante un resorte, las cuales también podrían ser cargas eléctricas (en cuyo caso las representamos con la letra Q, siendo una de ellas positiva y la otra negativa):

Si se trata de dos cargas eléctricas Q y -Q, entonces al estar “vibrando” dichas cargas y puesto que se trata de un movimiento oscilatorio se generará una onda senoidal electromagnética que será radiada fuera del sistema, la cual tendrá la misma frecuencia que la frecuencia característica a la cual están oscilando las cargas acercándose y alejándose la una de la otra. Pero si se trata de dos masas M, entonces lo que será radiado será una onda gravitacional de una frecuencia muy específica. Supóngase ahora que tenemos dos masas iguales M conectadas mediante un resorte y situadas a cierta distancia del par de masas oscilante. Entonces, en principio, este par de masas puede actuar como un receptor y amplificador de la onda gravitacional que está emanando del par de masas oscilante si la frecuencia natural del sistema receptor es la misma que la frecuencia de la onda gravitacional que está siendo recibida (en pocas palabras, si ambos sistemas están sintonizados a la misma frecuencia):

Si podemos hacer variar de alguna manera la frecuencia natural de resonancia del sistema receptor, entonces podemos tener una especie de “radio” con el que podemos “sintonizar” una una señal gravitacional de frecuencia muy específica descartando todas las demás frecuencias, al igual que como ocurre cuando sintonizamos un canal de televisión en donde todos los demás canales excepto el canal seleccionado son eliminados al caer fuera de la frecuencia a la cual tenemos sintonizado el televisor. De este modo, podemos “sintonizar” directamente hacia los efectos de una sola señal gravitacional descartando a todas las demás. Si a esto añadimos que en el espacio exterior tenemos en las estrellas púlsares fuentes de ondas gravitacionales de frecuencias repetitivas muy específicas como ocurre en el caso de los sistemas binarios en donde una de las estrellas generalmente posee una masa enorme (por ser una estrella de neutrones o un agujero negro):

entonces se nos abre un nuevo horizonte de posibilidades. A modo de ejemplo, la púlsar PSR J0437-4715 tiene un período preciso de rotación cada 5.75 milisegundos. Una vez detectada una púlsar y habiéndose medido su radiofrecuencia a través de un radiotelescopio, cabe esperar que la púlsar también esté emitiendo ondas gravitacionales de la misma frecuencia, capaces de ser detectadas y medidas por un “resonador” construído para tal efecto. Pero no sólo las púlsares emiten una señal de radiofrecuencia con una frecuencia natural de sistema muy específica. También se distinguen por ser los relojes más estables de todo el Universo, incluyendo los relojes atómicos de alta precisión hechos por el hombre, con una estabilidad de una parte en 1014 ó 1015.

Esto nos permite intentar construír “resonadores” mecánicos o electromecánicos que sean susceptibles de ser sintonizados a la misma frecuencia a la que está “vibrando” el púlsar. Y al igual que una antena de radio, es susceptible orientar estos resonadores apuntándolos hacia la fuente a ser investigada, como si fuesen pequeñasantenas gravitacionales. No es necesario tomar muy en serio las ilustraciones dadas arriba mostrando un tranmisor gravitacional y un receptor gravitacional construídos con dos masas M conectadas con un resorte, porque aquí lo que importa no es tanto la forma en la que esté construído el sistema mecánico (o electromecánico) sino su frecuencia natural de resonancia o la capacidad de poder variar dicha frecuencia. Esto nos dá un amplio espectro de diseños posibles, cada uno con sus ventajas y con sus desventajas. Sin embargo, un detector-receptor gravitacional ubicado sobre la superficie de la Tierra debe contender con el problema de tener que evitar que una señal causada por radiación gravitacional pueda ser confundida con el ruido causado por las numerosas vibraciones de origen mecánico que se dan en la Tierra, desde las vibraciones causadas por el tráfico vehicular sobre el pavimento de las calles hasta las vibraciones de mayor envergadura de las cuales los detectores sísmicos pueden dar fé, lo cual requiere necesariamente de programas computacionales basados en matemáticas sofisticadas como la Transformada Rápida de Fourier basada en el algoritmo Cooley-Tukey FFT para extraer señales del ruido aleatorio, aunque un problema técnico de esta índole también se puede solventar colocando el detector-receptor en órbita en el espacio en donde no hay vibraciones mecánicas más que las que pueda producir el propio satélite. Aunque, en principio, es posible construír un sistema de intercomunicación utilizando ondas de gravedad en lugar de ondas electromagnéticas, las dificultades técnicas involucradas en una empresa de esta naturaleza son de tal magnitud que casi estamos obligados a conformarnos con lo que ya tenemos basado en la radiación electromagnética. Además, puesto que tanto las ondas gravitacionales como las ondas electromagnéticas se propagan con la misma velocidad, la velocidad de la luz, no hay nada que justifique dejar algo que ya tenemos y que nos funciona muy bien desde frecuencias de radio de amplitud modulada (AM) que empiezan desde los 100 Kilohertz llegando hasta las frecuencias superaltas en el orden de los Gigahertz, reemplazándolo por una quimera cuyas únicas ventajas tal vez sean que no es afectada por interferencias eléctricas además de que pueda abrir una nueva banda de radiocomunicación (o mejor dicho, gravitocomunicación). Las ondas gravitacionales son transversales, como lo son las ondas luminosas y las ondas sonoras; “vibran” en ángulos rectos a la dirección hacia la cual se están desplazando. Para poder apreciar cómo esto afecta su interacción con la materia, supóngase que tenemos cuatro masas acomodadas en un plano horizontal en los cuatro extremos de un compás, y que una onda gravitacional atraviesa el plano desde arriba. En cierto momento, la distancia entre las masas Norte-Sur disminuye y la distancia entre las masas Este-Oeste. Media longitud de “onda gravitacional” después, ocurre precisamente lo contrario. Y si la onda gravitacional atraviesa las masas no perpendicularmente al plano sino en una dirección a lo largo del plano, por ejemplo en la dirección Este-Oeste, entonces no tiene efecto alguno sobre las masas en la dirección de su movimiento; las masas Este-Oeste permanecen fijas en su posición mientras que la distancia entre las masas Norte-Sur aumenta y disminuye periódicamente conforme la onda gravitacional

atraviesa por el plano. Esto tiene una implicación directa para nosotros. Podemos decir que las ondas gravitacionales están polarizadas. En las siguientes dos ilustraciones tenemos en el primer renglón un círculo conformado por masas de prueba situados en un plano de modo tal que es atravesado perpendicularmente, con lo cual las masas se acercan y se alejan en la forma oscilatoria mostrada, mientras que en el segundo renglón tenemos a la onda gravitacional atravesando al plano de modo tal que la polarización de la misma se hace evidente:

Como ya se mencionó, así como un objeto cargado eléctricamente genera ondas electromagnéticas en proporción a su carga y aceleración, del mismo modo se puede esperar que una masa en movimiento genere rizos gravitacionales en proporción a su masa y aceleración. Sin embargo, hay una diferencia importante entre ambos fenómenos. La tercera ley de Newton, conocida como la ley de la inercia nos dice a toda acción corresponde una reacción de igual intensidad y dirección contraria, la aceleración de una masa en cierta dirección debe ser acompañada por la aceleración de otra masa en la dirección contraria, con el momentum (la masa por la velocidad) en ambas direcciones siendo iguales. Esto significa que en un sistema binario si una masa genera ondas gravitacionales la otra masa del sistema también debe generar las suyas propias, de modo tal que las ondas gravitacionales de ambas masas tienden a cancelarse. En cierta forma, esto es una consecuencia del principio de la conservación de la energía expresado tensorialmente por la ecuación: Tμν,ν = ∂Tμν/∂xν = 0 la cual elimina la posibilidad de que pueda haber radiación de monopolo en una teoría linearizada de radiación gravitacional del mismo modo que la conservación de la carga elimina la posibilidad de que pueda haber radiación de monopolo en la teoría del electromagnetismo. Sin embargo, puesto que las masas no están en el mismo lugar, la cancelación nunca es perfecta. La cantidad de

radiación gravitacional que logra escapar del sistema depende ya sea del arreglo geométrico de las masas discretas o de la forma geométrica del cuerpo emisor, medido por lo que se ha designado como elmomento de cuadrupolo (en similitud al concepto del mismo nombre cuando se trata de cargas eléctricas). Un objeto totalmente simétrico, como una pelota de futbol sóccer, tiene un momento de cuadrupolo igual a cero, mientras que una pelota de futbol Americano tiene un momento de cuadrupolo grande, al menos para la rotación en torno a su eje de simetría corto. Para fines de cálculo cuando tenemos que trabajar con cuadrupolos eléctricos o gravitacionales, el concepto fundamental que manejamos es el del tensor de cuadrupolo Qij:

el cual representa las nueve cantidades especificadas para un sistema de cargas o masas discretas: Qij = Σ n qn (3xi xj - r² δij) mientras que para un sistema continuo con una densidad de carga o de masa ρ(x) la expresión equivalente para cada uno de los nueve componentes del tensor de cuadrupolo se obtiene reemplazando la sumatoria por una integral: Qij = ∫ ρ(x) (3xi xj - r² δij) d3x El momento de cuadrupolo Qij tiene nueve componentes, pero debido a la relación de simetría: Qij = Qji únicamente seis de estas componentes son independientes. Más aún, por la propiedad de la traza de la diagonal principal de la matriz que representa al tensor, de acuerdo con la cual la suma de los elementos diagonales es igual a cero: Q11 + Q22 + Q33 = 0

únicamente cinco de estas componentes son independientes. PROBLEMA: Para un sistema de particulas discretas, demostrar que la traza del tensor de cuadrupolo es igual a cero. Empezamos con la relación: Qij = Σ n qn (3xi xj - r² δij) Para resolver el problema, igualamos los dos sub-índices del tensor Qij: i=j=k con lo cual de hecho inicializamos una operación de contracción del tensor activando la convención de sumación, lo cual nos resultará en un escalar. Sumando sobre k como nos lo pide la convención de sumación al llevarse a cabo la contracción: Σ k Qkk = Σ k [ Σ n qn (3xk xk - r² δkk) ] Puesto que en una doble sumatoria podemos intercambiar el orden de las sumatorias sin que se nos altere el doble sumando final, podemos reescribir lo anterior de la manera siguiente: Σ k Qkk = Σ n qn [3 Σ k (xk)² - r² Σ k (δkk) ] Pero: r² = x1² + x2² + x3² Σ k (δkk) = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1+ 1 = 3 Entonces:

Σ k Qkk = Σ n qn [3 r² - 3 r²] = 0 Q11 + Q22 + Q33 = 0 Los multipolos eléctricos tienen su origen en la definición básica del potencial Φ producido por una carga eléctrica q a una distancia R de dicha carga:

siendo ε la permitividad eléctrica del espacio en el cual está situada la carga (ε0 en el caso del espacio vacío). En el caso de dos cargas eléctricas:

el potencial total Φ en un punto dado es simplemente la suma de los potenciales Φ1 y Φ2 producidos por cada carga en dicho punto (esta es una de las grandes ventajas del uso del concepto del potencial sobre el concepto de la fuerza eléctrica): Φ(r1,r2) = Φ1(r1) + Φ2 (r2) Sin embargo, hay razones de peso por las cuales resulta conveniente obtener una fórmula para el potencial efectivo no en función de las distancias radiales r1 y r2 sino en función de una sola

distanciaR hacia un centro de origen de un sistema de coordenadas como se muestra en la figura de arriba. Pero como al calcular la distancia R en función de las distancias radiales r1 y r2 la expresión obtenida va en un denominador, al llevar a cabo la expansión por series de Taylor de la fórmula para Φ van apareciendo uno a uno los términos del monopolo, del dipolo, del cuadrupolo, y otros multipolos sucesivos. Como ocurre con cualquier momento multipolo, si un momento de orden menor (monopolo o dipolo en este caso) no es igual a cero, entonces el valor del momento de cuadrupolo dependerá de la selección del origen del sistema de coordenadas. Un dipolo formado por dos cargas eléctricas de signos opuestos (que carece por lo tanto de monopolo), por ejemplo, puede tener un momento de cuadrupolo diferente de cero si el origen del sistema de coordenadas empleado es recorrido fuera del centro de la configuración (que en el caso de un dipolo se encuentra justo a la mitad de la distancia entre las dos cargas), o el momento de cuadrupolo puede ser reducido a cero colocando el origen del sistema de coordenadas en el centro de la configuración. En contraste, si los momentos de monopolo y de dipolo se desvanecen pero no así el momento del cuadrupolo (esto ocurre en el caso de cargas eléctricas de la misma magnitud pero con signos alternantes colocadas en las esquinas de un cuadrado), el momento de cuadrupolo es independiente de la selección del origen para el sistema de coordenadas. Puesto que el cuadrupolo relativista es muy análogo al cuadrupolo eléctrico, no debe sorprendernos el hecho de que mientras que el potencial de un cuadrupolo eléctrico esté dado por la siguiente relación (Classical Electrodynamics, John David Jackson):

en el caso del cuadrupolo relativista la densidad de carga simplemente se reemplace con la densidad de masa para darnos el potencial gravitacional del cuadrupolo relativista que tras los cálculos tensoriales resulta ser:

Es importante tener presente que estas últimas dos relaciones representan potenciales estáticos, invariantes, para sistemas de cargas o masas fijas sin movimiento alguno, lo cual no puede

producir radiación gravitacional alguna. Para que se nos produzca alguna radiación, es necesario poner lo anterior en movimiento, lo cual requiere que tanto la primera como la segunda derivadas de los potenciales con respecto al tiempo pueda estar definida y no sea igual a cero, y es aquí precisamente en donde el momento de cuadrupolo entra en acción. Para un sistema continuo (en lugar de un sistema de partículas discretas), o sea un cuerpo como la Tierra, puesto que la Tierra está girando sobre su eje ésta tiene una forma oblatada (achatada en los polos), lo cual dá origen a un momento de cuadrupolo gravitacional, y aunque la contribución de este momento de cuadrupolo es extremadamente importante para satélites artificiales que están orbitando cerca de la Tierra, es menos importante para la Luna porque como podemos verlo en la relación de arriba, el término 1/r cúbico hace que el cuadrupolo relativista caiga rápidamente de valor. De cualquier modo, el momento de cuadrupolo de masas es importante en la Relatividad General porque si éste varía con el tiempo entonces puede producir radiación gravitacional semejante a la radiación electromagnética que se produce con los cambios de momentos de cuadrupolo eléctrico o magnético (específicamente, se requiere que la derivada de segundo orden con respecto al tiempo sea diferente de cero). El monopolo de masa representa la cantidad total de masa-energía en un sistema, la cual no puede variar con el tiempo, y por lo tanto es incapaz de poder producir radiación gravitacional alguna. De modo semejante, el dipolo de masa representa el centro de masa de un sistema, el cual tampoco varía con el tiempo y por lo tanto tampoco es capaz de poder producir radiación gravitacional alguna. Sin embargo, el cuadrupolo de masa sí puede variar con el tiempo, y es la contribución del menor orden posible a la radiación gravitacional. El ejemplo más sencillo e importante de un sistema radiante de ondas gravitacionales es un par de agujeros negros con masas iguales compartiendo una órbita común el uno en torno al otro. Si colocamos el origen de nuestro sistema de coordenadas justo a la mitad de la distancia que hay entre los dos agujeros negros, y colocamos uno de los agujeros negros a una distancia unitaria a lo largo del eje-x, el sistema no tendrá momento dipolar, y el momento de cuadrupolo será simplemente: Qij = M (3xi xj - 1² δij) = M (3xi xj - δij) en donde M es la masa de cada agujero negro y xi es el vector unitario en la dirección-x. Conforme el sistema gira en su órbita común, el vector-x también estará en rotación, lo cual significa que tendrá una derivada de segundo orden con respecto al tiempo que no será igual a cero, y por lo tanto el sistema radiará ondas gravitacionales. Así como los multipolos de carga y corriente eléctricas contribuyen al campo electromagnético, los multipolos de masa y corrientes-de-masa contribuyen al campo gravitacional de la Relatividad General, puesto que la Relatividad General también incluye efectos gravitomagnéticos. Los

multipolos producidos por corrientes-de-masa variables también pueden producir radiación gravitacional. Sin embargo, las contribuciones de los multipolos de corrientes-de-masa serán típicamente mucho menores que las contribuciones del cuadrupolo de masa. Es posible que pronto haya un evento cósmico capaz de generar ondas gravitacionales que sean lo suficientemente grandes como para poder dar hoy mismo una confirmación inequívoca del fenómeno, el cual radica en lo que ha sido bautizado como una hipernova, un tipo de supernova que teóricamente se debe producir cuando estrellas muy masivas (con masas superiores a las 100 masas solares) colapsan al final de sus vidas. El candidato a una explosión tal lo es la estrella Eta Carinae:

Esta estrella es increíblemente, casi imposiblemente, brillante, con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol, y con una masa por lo menos 100 veces mayor. Y es también extremadamente inestable, dando variaciones súbitas en luminosidad y cambios súbitos de aspecto que han causado en los astrónomos la impresión de que se trata del equivalente de un volcán que está listo para explotar. Algunos la han llamado “la estrella más peligrosa en el cielo”. Y aunque está situada a unos 7,500 años-luz de la Tierra, aún a esa distancia podría ocasionar un daño severo a los satélites que tenemos en órbita. Si la detección de radiación gravitacional es tan sólo una cuestión de tiempo conforme refinamos y

mejoramos el alcance de nuestros instrumentos, la superexplosión de una hipernova como Eta Carinae podría radiar una onda de choque gravitacional lo suficientemente grande como para ser detectada con lo que ya tenemos. Sin embargo, considerando que una hipernova ocurre en nuestra galaxia una vez cada 200 millones de años, se vuelve más atractivo ir refinando aún más la potencia de nuestros instrumentos para poder detectar radiación gravitacional generada por eventos de menor envergadura que esperar pacientemente a que alguna generación futura tenga la suerte de poder presenciar tales acontecimientos cuando llegan a ocurrir. Aunque la radiación gravitacional sólo ha podido ser confirmada indirectamente a través de observaciones astronómicas, específicamente el sistema binario púlsar Hulse-Taylor, sería una verdadera sorpresa que no fuese detectada tarde o temprano ya que en realidad el único argumento que ha sido avanzado en contra de la posible existencia de ondas gravitacionales proviene del principio de Mach (basado a su vez en la filosofía de Leibniz), que en una de sus variantes afirma que el espacio vacío realmente debe ser vacío y que lo único de lo que tiene sentido hablar es de las posiciones relativas de los objetos que haya en dicho espacio; sin los cuales no es posible hacer afirmación alguna, y si en el espacio vacío no puede haber nada entonces tampoco debe haber ondas gravitacionales. Este argumento, desde luego, ha sido desacreditado por la Teoría del Campo Cuántico y la Electrodinámica Cuántica, los cuales nos afirman que el espacio “vacío” está siendo ocupado constantemente por partículas virtuales que aparecen de la nada y desaparecen tan pronto como llegaron, las mismas partículas que dan origen a la “evaporación” de los agujeros negros. Por otro lado, el espacio vacío sí está “lleno” de algo, está lleno de espacio-tiempo, aunque esto tiene la desventaja de sonar como un intento por regresar al viejo concepto del éter aunque reemplazando el concepto inicial con algo parecido pero más refinado. Puesto de otra manera, el movimiento absoluto no puede ser detectado ni siquiera por medios ópticos o electromagnéticos porque el “éter” no existe, esta es la base de la Teoría de la Relatividad; pero si el Universo está montado en un entramado gigantesco de espaciotiempo, ¿acaso el movimiento absoluto (o mejor dicho, la aceleración absoluta) de un objeto no puede ser detectado relativo a este entramado? Sobre todo si el espacio-tiempo del Universo es el “medio de transmisión” sin el cual la propagación de los rizos gravitacionales sería imposible. Le dejaremos esta última pregunta a los filósofos de la ciencia.

62. COSMOLOGÍA RELATIVISTA I Las ecuaciones de campo de la Relatividad General no sólo sirven para predecir y explicar las trayectorias de los planetas alrededor del Sol y la existencia de los agujeros negros, sirven también para intentar abarcar algo mucho más ambicioso: el origen y el destino final del Universo. Las ecuaciones de campo originales atribuían una curvatura en el espacio-tiempo a la presencia cercana de masa-energía, y en notación tensorial simplificada esto se escribe simplemente como G = T. Si partimos de dichas ecuaciones, no tardamos en encontrar que si tales ecuaciones son ciertas entonces describen un Universo dinámico. Einstein no era partidario de la idea de un Universo dinámico, él suponía la existencia de un Universoestático. Y puesto que sus ecuaciones de campo no acomodaban tal posibilidad, para adaptar sus ecuaciones de campo al concepto de un Universo estático introdujo en las mismas una constante, la constante cosmológica, denotada como Λ. De este modo, las ecuaciones originales G=T se convertían en G+Λ=T Pero la suposición de un Universo estático fue desmoronada tras años de investigación por el astrónomo norteamericano Edwin Hubble, el cual publicó en 1929 un análisis de la velocidad radial de las nebulosas cuya distancia a la Tierra había calculado, análisis en el que hablaba acerca de las velocidades de las nebulosas con respecto a la tierra. Aunque encontró que algunas nebulosas extragalácticas tenían espectros que indicaban que se estaban moviendo hacia la Tierra, la gran mayoría de las nebulosas estudiadas por él mostraba corrimientos hacia el rojo (ocasionadas por el efecto Doppler) que solo podían explicarse asumiendo que dichas nebulosas se estaban alejando. Más sorprendente aún fue su descubrimiento de que existía una relación directa entre la distancia de una nebulosa hacia la Tierra y su velocidad de retroceso con la cual se estaba alejando de la Tierra. Esto lo conocemos en la actualidad como la ley de Hubble, una ley de cosmología física que establece que el corrimiento hacia el rojo de una galaxia es proporcional a la distancia a la que ésta se encuentra de la Tierra. Hubble concluyó que la única explicación consistente con los corrimientos hacia el rojo registrados era que, dejando aparte a un “grupo local” de galaxias cercanas, todas las nebulosas extragalácticas se estaban alejando de la Tierra y que, cuanto más lejos se encontraban, más rápidamente se alejaban. Esto sólo tenía sentido si el propio Universo, incluido el espacio entre galaxias, se estaba expandiendo. La ley de Hubble es considerada como la primera evidencia observacional que apoya uno de los descubrimientos más sorprendentes de

nuestra era: la expansión del Universo. Al enterarse de los resultados publicados por Hubble, Einstein se retractó arrepentido de haber introducido artificialmente en sus ecuaciones de campo la constante cosmológica Λ, llamándola “el mayor error de mi carrera”, tras lo cual hizo un famoso viaje a Monte Wilson, en donde trabajaba Edwin Hubble en su observatorio astronómico, para agradecerle a Hubble que le proporcionara las bases observacionales de la cosmología moderna. Sin embargo, siete años antes de que Hubble anunciara la relación velocidad-distancia, en 19221924 un meteorólogo soviético que se convirtió en Profesor de Matemáticas en la Universidad de Leningrado, Alexander Friedman, encontró las primeras soluciones dinámicas a las ecuaciones originales de Einstein sin incluír la constante cosmológica Λ. Desafortunadamente sus trabajos permanecieron ignorados en aquél entonces pese a que fueron publicados en un medio de comunicación de amplio prestigio y pese a que el mismo Einstein estaba al tanto de los trabajos de Friedman. Unicamente hasta que Georges Lemaître, conocido como el “padre de la gran explosión” (big-bang) redescubrió independientemente por cuenta propia las ecuaciones de Friedman la cosmología moderna logró establecer firmemente sus raíces sobre un andamiaje matemático. Desafortunadamente (por segunda ocasión) los trabajos de Lemaître también permanecieron ampliamente ignorados hasta que el prestigioso astrónomo Arthur Eddington señaló la importancia de los mismos en 1930. (Esto nos debe poner a meditar en la posibilidad de que en estos precisos momentos hay trabajos científicos ya publicados cuya importancia desconocemos por no haber alguien importante que los saque de la obscuridad.) Las contribuciones posteriores a estos trabajos que fundaron la cosmología moderna fueron también de naturaleza matemática. Los matemáticos Howard P. Robertson y Arthur Walker demostraron que las soluciones encontradas por Friedman eran de hecho las soluciones más generales posibles que se podían encontrar a las ecuaciones de campo de Einstein, siempre y cuando se partiera del supuesto de que el Universo es espacialmentehomogéneo e isotrópico. La suposición de un Universo homogéneo debe ser tomada con un poco de fé, ya que supone que podemos ir subdividiendo el Universo en regiones suficientemente grandes y del mismo tamaño encontrando para cada región más o menos (aproximadamente) la misma cantidad de estrellas y galaxias y agujeros negros y todo lo demás que pueda estar repartido en el Universo, o sea, una densidad de cuerpos celestes que no varía mucho de una región a otra:

Y en lo que respecta a la isotropía, esto supone que el espacio-tiempo del Universo tiene el mismo comportamiento hacia cualquier dirección a donde apuntemos con nuestros telescopios, ya que de no ser así ello tendría que verse reflejado necesariamente en la métrica. Robertson y Walker demostraron además que el espacio-tiempo cuatri-dimensional podía ser descompuesto en un espacio tri-dimensional y un mismo tiempo común a todos los observadores que se hallasen en movimiento conjunto. El fruto final de estos trabajos combinados derivó en lo que hoy se considera el punto de partida convencional para el estudio de la cosmología relativista, la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker o modelo FLRW, la cual es una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein y partiendo de una suposición de homogeneidad e isotropía del Universo es capaz de describir un universo en expansión o en contracción:

En esta métrica, k es un parámetro que mide la curvatura, y a(t) es un factor de escala que es explícitamente dependiente del tiempo. Si el Universo está en expansión constante, como parecen indicarlo las mediciones astronómicas que se han estado llevando a cabo desde los tiempos de Edwin Hubble, si el Universo empezó con una explosión estruendosa a partir de un punto infinitesimalmente pequeño dentro del cual había

una cantidad infinitamente grande de masa-energía así como de espacio-tiempo, una duda natural que puede surgir en una mente inquisitiva es la siguiente: ¿Cuál es el centro de la explosión? Puesto que nosotros, desde la Tierra, vemos a través de nuestros telescopios que en su conjunto todas las estrellas parecen estarse alejando de nosotros por donde quiera que miremos, y considerándonos además no por cuestiones de carácter científico sino por cuestiones de carácter religioso como el centro del Universo, resulta tentador suponer que nosotros ocupamos actualmente el centro de la explosión inicial, y si no estamos en el centro de la explosión entonces debemos estar muy cerca de él. Pero estas son ilusiones que se van cayendo al examinar el asunto más a fondo. En primer lugar, el concepto de que la Tierra (y con ella el hombre) es el centro del Universo, la teoría geocéntrica, se vino abajo desde los tiempos de Copérnico y de Galileo cuando se dedujo que no es el Sol el que está girando alrededor de nosotros sino que somos nosotros los que estamos girando alrededor de él. Este concepto sumado al hecho de que nosotros no somos el único sistema planetario del Universo así como nuestra galaxia tampoco es la única galaxia del Universo deben ser razón más que suficiente para quitarnos de encima la ilusión vanidosa y egoísta de que toda la Creación gira alrededor de nosotros. Sin embargo, queda el asunto indiscutible de que todas las demás estrellas y galaxias parecen estarse alejando de nosotros como si estuviéramos precisamente en el centro de los “cascos de expansión”. El principal obstáculo en tratar de aferrarnos a tal suposición es que está basada en un concepto tri-dimensional del Universo cuando el Universo en que vivimos es un Universo cuatridimensional. Y en un Universo cuatri-dimensional, relativista, cualquier planeta, cualquier sistema solar, cualquier estrella, cualquier galaxia, se puede considerar como el centro de la explosión, no hay observadores privilegiados ni siquiera en éste asunto. Esto lo podemos visualizar mejor considerando a todos los astros del cosmos colocados sobre la superficie de una 2-esfera que se ha ido inflando con el paso del tiempo:

del mismo modo en que pudiéramos pintar sobre la superficie de un globo de hule varios puntitos viendo lo que sucede al ir inflando el globo:

Si en cada uno de los puntos que hemos “pintado” sobre la superficie del globo inflable ponemos una hormiga, o mejor aún, un conglomerado de pequeños seres inteligentes que viven confinados por siempre a las dos dimensiones que ellos pueden trazar sobre la superficie del globo con las cuales efectúan sus mediciones, entonces cualquiera de ellos al ver a los demás puntos alejarse a la misma velocidad concluirá erróneamente ser el centro privilegiado de la explosión, cuando en realidad nosotros que somos capaces de ver “por fuera” lo que está sucediendo nos damos cuenta de que no existe sobre la superficie del globo ningún “centro privilegiado” de la explosión. Del mismo modo, nosotros mismos no podemos apuntar hacia alguna parte del Universo diciendo “allí es donde comenzó todo” porque no existe un lugar específico al cual se le pueda señalar como el “centro de la explosión”. En todo caso, todo lo que hay en este Universo puede ser considerado como el centro de la explosión del universo inflacionario. Utilizando una proyección de superficie rectangular plana en lugar de una 2-superficie esférica, podemos visualizar la evolución del Universo entero de la siguiente manera:

La solución ampliada encontrada por los matemáticos Robertson y Walker a las ecuaciones de campo de Einstein aplicadas al Universo a gran escala condujo a la consideración del tipo de geometría espacial (hablando en cuatro dimensiones) que pueda tener el Universo, según la cantidad de materia o energía que contenga así como la distribución de la misma. Lo curioso es que la Relatividad General permite como posibilidad cualquiera de las tres geometrías que son posibles de según las matemáticas (la geometría Euclideana convencional, la geometría noEuclideana elíptica y la geometría no-Euclideana hiperbólica), de acuerdo con el valor que posea un parámetro crucial conocido como Ω0Las dos soluciones encontradas por Friedman permiten un espacio esférico de curvatura positivaconstante y un espacio hiperbólico de curvatura negativa constante. A estas dos soluciones se añadió una tercera solución encontrada por Robertson y Walker, que corresponde a la de un espacio planode curvatura cero. En un espacio esférico de curvatura positiva dos rayos paralelos de luz láser lanzados sobre un mismo plano van a terminar encontrándose tarde o temprano sin importar la dirección en la cual esté situado el plano; este es el caso para el cual el parámetro Ω0 toma un valor mayor que la unidad. En un espacio hiperbólico de curvatura negativa dos rayos paralelos de luz láser no sólo no se van a encontrar, ni siquiera permanecerán paralelos; este es el caso para el cual el parámetro Ω0 toma un valor menor que la unidad. Y en un espacio plano de curvatura cero, dos rayos paralelos de luz láser permanecerán paralelos por toda la Eternidad sin separarse ni acercarse jamás; este es el caso para el cual el parámetro Ω0 toma el valor mayor de la unidad ( Ω0 = 1). La siguiente figura ilustra las tres posibilidades:

De nuestras suposiciones de la homogeneidad e isotropía del Universo, deducimos que la estructura espacial del Universo debe ser la de una esfera 3-dimensional, la de un hiperboloide 3dimensional, o la de un 3-espacio Euclideano plano. Para completar la especificación de la geometría espacio-tiempo del Universo, tenemos que determinar el factor de escala a (posiblemente dependiente del tiempo, como lo propone la métrica Friedman-LemaîtreRobertson-Walker al escribir dicho factor de escala como a(t) en la expresión de la métrica) que fija la escala de distancia en cada una de las “superficies” espaciales de homogeneidad e isotropía. En el caso de la esfera y del hiperboloide, el factor de escala atambién determina la magnitud de la curvatura espacial. En cada superficie espacial de homogeneidad, la distancia entre cada par de galaxias es proporcional al factor de escala a. Si atomara el mismo valor en cada superficie, las distancias entre las galaxias no cambiarían con el tiempo. Por otro lado, si a fuera aumentando de valor con el tiempo, las distancias entre las galaxias aumentarían y las galaxias retrocederían una con respecto a la otra a una velocidad proporcional a la distancia entre ellas. Y si a disminuyera con el tiempo, las galaxias se estarían acercando la una a la otra de modo similar. Es extraordinario el hecho de que este movimiento de acercamiento o alejamiento entre las galaxias es atribuíble a la expansión o a la contracción del espacio que hay entre ellas. Si metemos en el panorama a las ecuaciones de campo de Einstein, la curvatura del espaciotiempo del Universo depende únicamente del factor de escala a y de la naturaleza de las superficies de homogeneidad e isotropía, cantidades que a su vez dependen de la densidad ρ y de la presión P de la materia-energía que hay en el Universo. Para escribir explícitamente las ecuaciones que describen al Universo, tenemos que identificar cada superficie de homogeneidad e isotropía en el Universo mediante el tiempo t medido con un reloj en nuestra galaxia (o cualquier

otra galaxia); esto es, identificamos cada superficie de acuerdo con la lectura en nuestro reloj cuando la línea del mundo de nuestra galaxia (como se le representaría en un diagrama espaciotiempo de Minkowski) atraviesa dicha superficie. Si se hace esto, las ecuaciones de campo de la Relatividad General nos producen el siguiente par de ecuaciones:

En estas ecuaciones, da/dt representa la razón del cambio del factor de escala a con respecto al tiempo, o sea la razón a la cual se está llevando a cabo la expansión o la contracción de las secciones espaciales del Universo, d²a/dt² representa la rapidez a la cual se está llevando a cabo la razón del cambio del factor de escala con respecto al tiempo, o sea la aceleración de la expansión, con G y c denotando a la constante de gravitación universal G y la velocidad de la luz. Por último, k es un número que toma el valor de cero para el 3-espacio Euclideano plano (Ω0 = 1 en el diagrama de arriba)), el valor de +1 para la 3-esfera (Ω0 mayor que 1 en el diagrama de arriba), y el valor de -1 para el hiperboloide 3-dimensional (Ω0 menor que 1 en el diagrama de arriba). Las dos ecuaciones puestas arriba nos deparan una sorpresa. En las representaciones gráficas dadas a los tres tipos de Universo, sería natural suponer que cada una de ellas representa a un Universo que permanece constante manteniendo el mismo aspecto con el correr del tiempo, de modo tal que la estructura a gran escala del Universo siempre ha sido en el ayer lo que es hoy y lo que será mañana. ¡Pero estas ecuaciones nos dicen que tal cosa es imposible! Si hay materiaenergía presente en el Universo, entonces el lado derecho de la primera ecuación necesariamente debe ser positivo, puesto que la densidad ρ de la materia-energía siempre es positiva y la presión P no puede tomar valores negativos. Entonces la aceleración de la expansión ( d²a/dt² en el lado izquierdo de la primera ecuación) no puede ser cero (y de hecho debe tomar un valor negativo). Esto quiere decir que, exceptuando el breve instante de tiempo en el que la expansión se detiene y se convierte en una contracción, el Universo siempre debe estarse expandiendo o contrayendo. La noción de un Universo estático es incompatible con las ecuaciones de campo de la Relatividad General, el Universo necesariamente tiene que ser un Universo dinámico. Esto fue precisamente lo que llevó a Einstein, quien se sentía incómodo con la posibilidad de un Universo dinámico, a injertar en sus ecuaciones de campo la famosa constante cosmológica Λ que tiempo después llamó “el mayor error de mi carrera” al confirmarle Edwin Hubble mediante las

observaciones astronómicas recabadas por él que efectivamente el Universo era un Universo dinámico que se estaba expandiendo. Si Einstein hubiese hecho lo mismo que lo que hizo desde un principio cuando presentó al mundo su Teoría Especial de la Relatividad, aferrándose a la validez total de los dos postulados básicos de dicha teoría pese a que de inmediato condujeron a aparentes paradojas y efectos tan bizarros como la dilatación del tiempo y la contracción de longitud, Einstein habría hecho lo que indudablemente podría haber sido el mayor descubrimiento teórico de su vida, el anuncio de que el Universo es dinámico y no estático. Al ser confrontado por los datos experimentales, Einstein no tardó en darse cuenta de la magnitud de su yerro. Pero el error cometido por Einstein fue de hecho más lamentable porque al aferrarse a su noción de un Universo estático él mismo pasó por alto otro argumento formulado antes del advenimiento de la Relatividad General que por sí solo hubiera bastado para buscar otros argumentos de índole teórica -como la Relatividad General- para desechar la creencia en un Universo estático: la paradoja de Olbers, enunciada por el astrónomo Heinrich Olbers que publicó un artículo en 1823 planteando el problema enunciado de una manera muy sencilla: ¿Por qué es obscuro el cielo en la noche? La paradoja de Olbers (el término “paradoja de Olbers” fue popularizado por el cosmólogo Hermann Bondi en los años cincuenta en honor de Olbers) sólo constituye un verdadero problema en un Universo que es eterno tanto en el futuro como en el pasado, estático, infinitamente grande y que no cambia con el tiempo, porque en un Universo así uno debe encontrar una estrella en cualquier dirección del cielo hacia donde uno apunte su vista, de la misma manera que en un bosque suficientemente grande uno debe encontrar el tronco de un árbol en la línea de visión en cualquier dirección en que se le ocurra mirar:

El problema se puede plantear de una manera un poco más formal suponiendo un Universo eterno e infinitamente grande y estático que contenga una densidad de estrellas más o menos constante (un Universo homogéneo). Aplicando una ley del inverso del cuadrado de la distancia, en una superficie esférica centrada en un observador a una distancia 2r del observador dicho observador debe poder encontrar exactamente cuatro veces más estrellas que en una distancia situada a una distancia r del mismo:

Pero a la vez el flujo de luz recibido de una estrella situada a una distancia 2r debe ser exactamente cuatro veces menor, por lo que la cantidad de luz recibida tanto de la esfera situada a una distancia rcomo de la esfera situada a una distancia 2r debe ser exactamente la misma. Si vamos sumando las contribuciones de todas las esferas situadas a cualquier distancia del observador, obtenemos una cantidad infinita de luz recibida por el observador, puesto que la cantidad de esferas posibles es infinita en un Universo infinito. Esto, desde luego, no concuerda con la realidad. Para reducir la cantidad de luz que recibe el observador, se puede intentar eliminar la luz interceptada por los discos estelares que se encuentran más cerca del observador. Pero aún habiendo hecho esto, el cielo debería ser al menos tan brillante como la superficie solar. El cielo no debería ser obscuro de noche. Y en esto radica precisamente la paradoja. Aunque la paradoja es atribuída al astrónomo Olbers, la interrogante se remonta a filósofos y pensadores anteriores a Olbers (1758 - 1840). Rompiendo con el esquema de Aristóteles y Ptolomeo bajo el cual el Universo era finito y todas las estrellas estaban situadas en una misma

esfera, en 1576 el inglés Thomas Digges introdujo el concepto del infinito en nuestra concepción moderna del Universo, y al hacerlo el problema de explicar la obscuridad del cielo cayó directamente en sus manos. Para darle una salida al problema, Digges argumentó que la obscuridad del cielo era debida a una disminución de la cantidad de luz recibida desde las estrellas más alejadas, argumento que se desecha como erróneo en base a lo que se acaba de explicar arriba. Posteriormente, la paradoja fue estudiada por Kepler en 1610, quien parece haber sido el primero en darse cuenta del conflicto que hay al plantear la infinitud del Universo contrastando dicha infinitud con la obscuridad observada del cielo. La solución dada por Kepler era que la obscuridad que hay entre las estrellas se debía a la existencia de un “borde” del Universo, en pocas palabras, un Universo finito. Un siglo más tarde el astrónomo Edmund Halley volvió a investigar la paradoja retomando la explicación errónea de Digges como solución de la misma, leyendo dos artículos referentes a la paradoja ante la Royal Society en 1721 en la presencia del mismo Newton. Pero ni siquiera al mismo Newton se le ocurrió que la solución de la paradoja podría estar ubicada en otra posibilidad, la de un Universo con una edad finita. Considerando que la Iglesia tenía ubicada la fecha de la creación en el año 4004 A.C., este dato implicaba que el tamaño del Universo visible, tomando en cuenta la velocidad finita de la luz, tenía que ser menos que unos 6000 años-luz, lo suficientemente pequeño para eliminar la paradoja. El que Newton y sus contemporáneos no dieran importancia alguna a tal posibilidad nos confirma la poca fe que tenían en la “fecha oficial” de la Creación dada por la Iglesia. La primera persona en plantear la paradoja en una forma en la que Olbers lo haría posteriormente fue el astrónomo Jean-Philippe Loys de Chésaux, quien la solucionó introduciendo la hipótesis de que la luz era absorbida por el espacio vacío, explicación que fue considerada también por el mismo Olbers que supuso la existencia de algún tipo de materia situada entre las estrellas capaz de absorber la luz. Sin embargo Olbers, quien obviamente no era un experto en el área de la termodinámica, no se dió cuenta de que la materia interestelar propuesta por él se calentaría a causa de la luz absorbida y terminaría radiando tanta energía como la que estaba recibiendo, con lo cual el problema seguía igual que antes. La primera explicación en acercarse a la realidad provino no de algún astrónomo profesional sino de un escritor norteamericano, Edgar Allan Poe, el cual era también un científico amateur, y el cual publicó en febrero de 1848 un ensayo titulado Eureka en el que dió la siguiente explicación a los vacíos obscuros entre las estrellas: “Podríamos comprender los vacíos que nuestros telescopios encuentran en innumerables direcciones suponiendo que la distancia hasta el fondo invisible es tan inmensa que ningún rayo de luz procedente de allí ha sido todavía capaz de alcanzarnos.” Esta propuesta en realidad equivalía a dar al traste con la suposición de que el Universo ha existido eternamente en el pasado, lo cual a su vez equivalía a dar al traste con la noción de un Universo estático e inmutable, y lo cual equivalía a dar credibilidad a la propuesta de la misma Biblia de que

el Universo no ha existido por siempre en el pasado sino que fue de hecho el resultado de un acto de proporciones colosales. Como suele ocurrir en muchos casos, la enorme trascendencia de la propuesta hecha por Edgar Allan Poe en su calidad de científico amateur, el cual murió antes de que se divulgara su argumento, pasó desapercibida, pese a que la misma encerraba la clave para la resolución total de la paradoja de Olbers, como tampoco hubo alguien que se percató de la trascendencia de la idea cuando en 1907 el científico irlandés Fournier d’Albe escribió en un artículo: “Si el mundo fue creado 100 mil años atrás, entonces la luz de los cuerpos que estuvieran situados a más de 100 mil años luz no podría habernos alcanzado en el tiempo presente.” Fournier d’Albe había tomado la idea de Lord Kelvin, quien publicó dicha idea en un volumen de conferencias en 1904, siendo también ignorado hasta que Eduard Harrison, Profesor Emérito de Física y Astronomía en la Universidad de Massachusetts nacido en Inglaterra, rescatara estos antecedentes publicándolos en su libro Darkness at Night publicado en 1987. Resulta casi increíble el comprobar que desde Newton hasta el mismo Einstein, pasando por los numerosos hombres de ciencia que estuvieron al tanto de la paradoja de Olbers, ninguno de ellos se diera cuenta cabal del hecho de que el cielo fuese tan obscuro se debía a que el Universo no era infinitamente viejo. Hoy en día, aunque la paradoja de Olbers ya no es ninguna paradoja, el hecho de contemplar un cielo nocturno en lugar de un cielo iluminado es una de las grandes evidencias a favor de que tiempo atrás hubo un Big Bang que dió origen a la creación del Universo en que vivimos. Si en la métrica Friedman-Lemaître-Robertson-Walker el parámetro a va incrementando su valor con el tiempo, como corresponde a un Universo en expansión, entonces la distancia entre las galaxias va aumentando a la vez que se va creando espacio entre ellas, y en tal caso las galaxias del Universo se estarán alejando de nosotros a una velocidad v dada por la siguiente fórmula conocida como la ley de Hubble: v = HR en donde R es la distancia que nos separa de dicha galaxia y H es un parámetro definido por la fórmula:

conocido como la constante de Hubble, aunque aquí la palabra “constante” es engañosa porque de hecho H es algo que varía con el tiempo, aunque lo hace a una razón tal que en la escala del tiempo humano la variación es insignificante. En la creencia de que, haciendo la analogía que corresponde al hecho de que el efecto de toda explosión va disminuyendo con la distancia y con el paso del tiempo, la expansión del Universo se está decelerando, todavía hasta mediados de la década de los noventas se definía un parámetro de deceleración de la siguiente manera:

que nos dice qué tanto se está decelerando la expansión del Universo (estrictamente hablando, la fórmula también nos define qué tanto se está acelerando la expansión del Universo, aunque todavía a fines del milenio anterior tal cosa no se consideraba posible). En términos de los parámetros H y q, el par de ecuaciones dadas arriba toman la siguiente forma:

Gracias a los datos recabados por el telescopio espacial Hubble, hoy sabemos que la expansión del Universo no solo no está “perdiendo vigor”, sino que por el contrario, la expansión del Universo se está acelerando. Y para poder “ajustar” y explicar este descubrimiento dentro la Relatividad General, hay prominentes investigadores que han estado proponiendo agregar a las ecuaciones de campo de Einstein ¡una constante cosmológica Λ!, la misma constante cosmológica que en su tiempo Einstein se vió orillado a abandonar llamándola “el mayor error de mi carrera”. Lo cual nos puede servir como moraleja para demostrar que en la Ciencia no hay “verdades” que se puedan considerar intocables, sólo hay teorías que en su momento pueden ser muy populares como en su momento lo fue la teoría Newtoniana de la gravitación universal, y que tiempo después pueden

terminar en un aparador exhibidas como piezas de museo. La noción de un Universo cerrado, finito, definido por el 3-espacio de una esfera (Ω0 mayor que 1 en el diagrama de arriba), es lo que conlleva la posibilidad de que si empezamos a viajar estrictamente en línea recta hacia cualquier dirección partiendo desde cualquier punto del Universo, después de cierto tiempo eventualmente regresaremos “por detrás” al mismo punto desde donde partimos, el mismo punto desde el cual comenzó nuestra travesía. Esto puede dar lugar a la especulación clásica de que si el Universo es finito, entonces tenemos una paradoja porque un Universo que ocupa el volumen finito de una 3-esfera supuestamente debería tener algo “afuera”:

Sin embargo, esta concepción es errada, porque la curvatura sobre la cual se puede encerrar el espacio-tiempo del Universo sobre sí mismo corresponde a un espacio cuatri-dimensional, no es un espacio-tiempo tri-dimensional. Y nosotros estamos confinados a vivir dentro de este espacio cuatri-dimensional porque no contamos con los medios (ni con la teoría física o matemática) para poder salir “fuera” de este espacio cuatri-dimensional. Para quienes estén interesados en obtener información adicional sobre “las otras geometrías” de las cuales casi nunca enseñan nada en las escuelas, las geometrías no-Euclideanas, está colocado un trabajo en Español accesible bajo el siguiente enlace: http://www.geometrias-no-euclideanas.blogspot.com

63. COSMOLOGÍA RELATIVISTA II continuación se llevará a cabo la derivación de la ecuación de Friedmann a partir de la métrica para Friedmann un Universo homogéneo e isotrópico. PROBLEMA: Derivar la ecuación de Friedmann a partir de la métrica para Friedmann un Universo homogéneo e isotrópico. De la métrica de Friedmann, podemos escribir los componentes del tensor métrico g acomodados dentro de su matriz respectiva G:

De esta matriz diagonal, invirtiéndola, podemos obtener los componentes del tensor métrico conjugado g-1 = (gαβ) que requerimos para poder subirle el índice a los símbolos de Christoffel de primer género:

Si utilizamos la notación del punto puesto encima de una variable para denotar a la derivada con respecto al tiempo de dicha variable, y si utilizamos una comilla para denotar a la derivada de la variable con respecto a ρ, podemos obtener las derivadas parciales del tensor métrico que son diferentes de cero, las cuales son:

Con las derivadas parciales ya obtenidas podemos proceder al cálculo de los símbolos de Christoffel de primer género para la métrica de Friedmann:

A continuación convertimos los símbolos de Christoffel de primer género en símbolos de Christoffel de segundo género utilizando para ello los componentes del tensor métrico conjugado

obtenidos arriba:

Con los símbolos de Christoffel en nuestras manos, el siguiente paso consistirá en evaluar los componentes del tensor de Ricci R = (Rab) = (Rcacb): Rab = Rcacb = Γcab,c - Γcac,b + Γeab Γcec - Γeac Γceb con la finalidad de poder evaluar el tensor de curvatura de Einstein G y poder usar en ello las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Hay cuatro componentes del tensor de Ricci que tienen que ser evaluado: 1) El componente tiempo, R00 2) El componente radial, R11 3) El componente θ, R22 4) El componente φ, R33 Evaluación de la componente del tiempo La componente del tiempo se obtiene fijando a = b = o: R00 = = Γc00,c - Γc0c,0 + Γe00 Γcec - Γe0c Γce0 El cálculo de los términos individuales es el siguiente:

Entonces la componente del tiempo para el tensor de Ricci será:

Evaluación de la componente radial La componente del tiempo se obtiene fijando a = b = 1: R11 = = Γc11,c - Γc1c,1 + Γe11 Γcec - Γe1c Γce1 El cálculo de los términos individuales es el siguiente:

Entonces la componente radial para el tensor de Ricci será:

Aquí es posible hacer una simplificación posterior notando que f-1f ” = -k:

Evaluación de la componente θ La componente θ se obtiene fijando a = b = 2: R22 = = Γc22,c - Γc2c,2 + Γe22 Γcec - Γe2c Γce2 El cálculo de los términos individuales es el siguiente:

Entonces la componente θ para el tensor de Ricci será:

Aquí es posible hacer una simplificación posterior notando que 1- (f ’ )² = kf² y que f ” = -kf:

Evaluación de la componente φ La componente φ se obtiene fijando a = b = 3: R33 = = Γc33,c - Γc3c,3 + Γe33 Γcec - Γe3c Γce3 El cálculo de los términos individuales es el siguiente:

Entonces la componente φ para el tensor de Ricci será:

Aquí es posible hacer una simplificación posterior notando que (f ’ )² = 1 - kf² y que f ” = -kf:

El escalar de Ricci se obtiene mediante la contracción del tensor de Ricci con el tensor métrico, o sea: R = gab Rab Aplicando la convención de sumación sobre los índices repetidos (una doble sumación en este

caso) y formando la suma de los cuatro términos resultantes tenemos entonces que el escalar de curvatura de Ricci es:

Con el escalar de Ricci R y el tensor de Ricci Rab podemos calcular el componente 00 del tensor de curvatura de Einstein G00: G00 = g0ag0bRab - g00R/2

G00 = R11 - R/2 Introduciendo los resultados previos:

Ahora utilizamos un postulado propuesto por Weyl que nos dice que el comportamiento promedio neto para las galaxias es el de un fluido perfecto, con lo cual podemos tomar el tensor energíaimpulso como:

De este modo, la ecuación de campo de Einstein: G = 8GπT Gab - Λgab = 8GπTab evaluada para el componente ab = 00: G00 - Λg00 = 8GπT00 nos produce lo siguiente:

64. LAS ESCALAS DE PLANCK Aunque una suposición matemática esencial grabada en las ecuaciones de campo de la Relatividad General es que el espacio y el tiempo pueden ser subdivididos hasta el infinito, la naturaleza cuántica de la materia nos impone otra realidad de la cual posiblemente ya desde 1899 se había percatado el científico alemán Max Planck cuando introdujo su propuesta para el uso de un nuevo sistema de unidades conocidas como unidades naturales, unidades de medición diseñadas de modo tal que ciertas constantes físicas fundamentales sean utilizadas como unidades fundamentales en lugar de las unidades convencionales para longitud, masa y tiempo creadas arbitrariamente por el hombre. Hablaremos primero un poco acerca de estas unidades. Para fines de simplificacion de calculos en los trabajos cientificos relacionados con la fisica y la quimica, Planck propuso un nuevo sistema de unidades basado no en el sistema convencional del metro-kilogramo-segundo (MKS) o del centímetro-gramo-segundo (CGS) del sistema internacional SI de unidades, sino en un nuevo sistema de unidades basado las tres principales constantes físicas, creando así lo que llamó un sistema de unidades naturales (por estar basado en constantes físicas de la naturaleza y no en estándares arbitrarios sin base física como el metro, el kilogramo y el segundo). Planck argumentó que este sistema de unidades naturales permanecería igual siempre y cuando la ley de la gravedad (dependiente de la constante de gravitación universal G), la velocidad de la luz en el vacío c, y los principios de la termodinámica, permanecieran invariables. Las unidades naturales de Planck suelen ser llamadas (en broma) entre los físicos como “las unidades de Dios” porque al depender de constantes físicas su uso elimina las arbitrariedades antropocéntricas en el sistema de unidades. Planck enlistó su sistema de unidades “naturales” dándoles valores curiosamente cercanos a los que utilizamos hoy en la actualidad, en un trabajo presentado en mayo de 1899 a la Academia Prusiana de Ciencias bajo el título “Über irreversible Strahlungsvorgänge” aparecido en el volumen 5 de la publicación periódica Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Es importante señalar que al momento de presentar Planck su propuesta la Mecánica Cuántica aún no se había inventado, y el mismo aún no había descubierto, la teoría de la radiación térmica del cuerpo negro (esta sería publicada hasta diciembre de 1900) en donde la constante h hizo su aparición por vez primera y por la cual Planck fue galardonado con el premio Nobel. Tampoco había hecho su aparición la Teoría General de la Relatividad, ni siquiera la Teoría Especial de la Relatividad, y mucho menos se sabía de lo que pudiera ser un agujero negro. La parte relevante del trabajo (en lo que concierne a las unidades naturales propuestas por Planck) presentado por Planck en 1899 nos dejan alguna confusión sobre cómo pudo concebir sus unidades de longitud, masa, tiempo, temperatura, etc., que el día de hoy definimos utilizando la constante h-barra(la constante de Planck dividida entre 2π conocida también como la constante reducida de Planck) y que son motivadas hoy recurriendo a referencias en la Física Cuántica, en una época en la que no se conocían ni la constante h-barra ni la Física Cuántica. Es interesante notar también que en su trabajo Planck hace referencia a la posibilidad de civilizaciones

extraterrestres al asentar en el mismo lo siguiente acerca de sus unidades naturales:

“Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und ausser menschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‘natürliche Maasseinheiten’ bezeichnet werden können.” “...Estas necesariamente retienen su significado para todos los tiempos y para todas las civilizaciones, inclusive extraterrestres y no-humanoides, y por lo tanto pueden ser designadas como ‘unidades naturales’...” De hecho Planck propuso no tres sino cinco unidades naturales, agregando la carga eléctrica y la temperatura (esta última a través de la constante de Boltzmann) a las unidades de longitud, masa y tiempo. En lugar de seguir la línea de argumentación original dada por Planck para justificar su sistema de unidades naturales (cargado de razonamientos que muestran su dominio del electromagnetismo y la termodinámica), seguiremos aquí un enfoque más moderno que ciertamente nos resultará más claro. Para que la gravedad pueda estar acoplada con la materia se requiere una constante de acoplamientoG, la constante de gravitación universal, la cual tiene unidades de longitud sobre masa. Al considerar la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, si uno permite que la Mecánica Cuántica entre en el panorama uno eventualmente se topará con lo que llamamos escala de Planck. Para ello, considérese primero una partícula cuántica que posee cierta masa en reposo m0 y que posee otra propiedad física que llamamos la longitud de onda Compton λ, estando dada la relación entre ambas por la constante de Planck h:

PROBLEMA: Hallar la longitud de onda Compton para un electrón (cuya masa en reposo es 0.511

Mev). Teniendo la masa en reposo como dato dado, para fines de cálculo resulta conveniente reescribir la relación de la longitud de onda Compton de la manera siguiente:

La cantidad hc que aparece en el numerador es una cantidad tan utilizada que vale la pena asignarle de antemano su valor numérico: hc = (4.136·10-15 eV·segundo)(3·108 metros/segundo) hc = 1.24·10-6 eV·metro hc = 1.24·104 eV·Å Para el electrón su longitud de onda Compton será: λ = hc/m0c² = (1.24·104 eV·Å)/(0.511 MeV) λ = 0.0243 Å PROBLEMA: Hallar la longitud de onda Compton para un protón (cuya masa en reposo es 938.3 Mev). Procedemos de manera idéntica a como lo hicimos en el problema anterior: λ = hc/m0c² = (1.24·104 eV·Å)/(938.3 MeV) λ = 1.32·10-5 Å Dando por hecho que cada partícula atómica sea capaz de ejercer una atracción gravitacional sobre otra, debemos contender con el hecho de que nuestros conocimientos actuales del mundo sub-atómico nos indican que es imposible fijar con absoluta certeza a cualquier partícula atómica

si se considera a dicha partícula como formada por un paquete de onda. Esto es lo que nos dice la Mecánica Cuántica Ondulatoria, a esto es a lo que nos lleva el aspecto ondulatorio de la materia confirmado por numerosos experimentos. Podemos medir la probabilidad de que la partícula atómica se encuentre dentro de cierta región, pero su localización exacta nos será incierta, y esa probabilidad podrá tener una distribución estadística Gaussiana para una sola partícula. Supondremos que la mayor parte de la onda está confinada precisamente dentro de lo que viene siendo la longitud de onda Compton de la partícula. A continuación considérese que una partícula pueda ser localizada en el espacio tanto como sea posible tomando en cuenta su naturaleza ondulatoria, quedando definido su “alcance” por su longitud de onda Compton (para el paquete de onda mostrado, podemos suponer que la partícula está localizada entre -5 y +5 unidades en el diagrama, con lo cual su longitud de onda Compton sería igual a 10 unidades, siendo esta una onda que se propaga de izquierda a derecha):

En otras palabras, estamos considerando a una partícula con masa m0 localizada dentro de cierta región del espacio-tiempo con una “longitud de alcance” dada por la longitud de onda Compton de la partícula. Podemos ver de la fórmula que entre mayor sea la masa en reposo m0 de la partícula, tanto menor será su longitud de onda λ. La longitud de onda Compton (y por ende la incertidumbre de la posición que ocupa una partícula en el espacio-tiempo) se va haciendo más y más pequeña conforme va aumentando la cantidad de masa. Teniendo lo anterior en mente, si tenemos a dos electrones situados a cierta distancia el uno del otro, los podemos representar como dos “paquetes de onda” que ejercen entre sí una atracción gravitacional:

Hasta aquí podemos reconciliar a la Relatividad General con la naturaleza cuántica de la materia, mientras los electrones no estén “lo suficientemente juntos”. El problema se nos viene encima cuando intentamos juntar a las dos “ondas de materia” dentro de su longitud de onda Compton de modo tal que las regiones de probabilidad que representan la posicion de cada partícula se van traslapando una con otra:

porque en este caso, ¿qué exactamente es lo que está ejerciendo una atracción gravitacional sobre qué? ¿Se trata acaso de una probabilidad ejerciendo una atracción sobre otra? ¿Y qué gravedad puede haber entre dos partículas cuando ambas están completamente traslapadas? ¿Pierden acaso su identidad? Esta situación hipotética de tratar de juntar dos electrones dentro de una región de extensión igual a la de su longitud de Compton se antoja inverosímil porque para poder lograr tal cosa ambos tendría que ocupar, considerados como partículas puntuales, el mismo lugar en el espacio. La única forma de “casi” lograrlo sería revocando la hipótesis de que cada electrón se extiende hasta una distancia igual a su longitud de Compton, suponiendo ahora que cada electrón puede ser confinado a distancias mucho menores que su longitud de Compton. Sin embargo, esto tiene un límite. Sabemos de la Relatividad General que si empujamos a cualquier cantidad fija de materia hacia una región más y más pequeña, eventualmente esta se convertirá en un agujero negro, para lo cual debemos tomar en cuenta el radio de Schwarzschild para el horizonte de evento de un agujero negro que es rs = 2GM/c². En el ejemplo mostrado, afortunadamente entra en acción la fuerza repulsiva eléctrica entre los dos electrones sobreponiéndose por vasto margen a la influencia gravitacional que pueda ejercer

el uno sobre el otro. Pero tratándose de dos partículas como lo son los neutrones, sin carga eléctrica que los haga repelerse mutuamente, la interrogante se nos viene nuevamente encima. Aunque alguna vez se propuso la posibilidad de que las partículas sub-atómicas como el electrón, siendo singularidades en la métrica del espacio tiempo g, pudiesen ser agujeros negros, unos cálculos elementales descartan tal posibilidad. De acuerdo con la métrica de Schwarzschild, para el Sol obtenemos un radio de Schwarzschild rs = 2GM/c² de aproximadamente unos 3 kilómetros, bastante al interior del Sol, razón por la cual al Sol no se le considera un agujero negro ya que para ser un agujero negro tendría que tener toda su masa situada dentro de este radio. Para el Sol, su tamaño mecánico-cuántico, su longitud de onda Compton, es esencialmente cero (no hay mucha incertidumbre sobre la posición en la cual el sol está localizado dentro del sistema solar), pero para el electrón ya vimos arriba que su longitud de onda Compton es de λ ≈ 2.43·10−12 metros. Por otro lado, poniendo números, para un electrón su radio de Schwarzschild rs resulta ser igual a 1.35·10−51metros, una distancia ciertamente mucho menor que su longitud de onda Compton de 2.43·10−12metros. Aunque para un electrón su longitud de onda Compton es una distancia muy pequeña, ciertamente es mucho mayor que su radio de Schwarzschild, de modo tal que desde la perspectiva de la Mecánica Cuántica la mayor parte del electrón está situada fuera de su horizonte de evento. Esta es la razón del por qué a las partículas sub-atómicas, aunque se les considere singularidades en el entramado de espacio-tiempo del Universo, no se les considera que sean agujeros negros. De los límites que tenemos para el posible “tamaño” del electrón, por el lado máximo 2.43·10−12metros y por el lado mínimo 1.35·10−51 metros, es natural que despierte en nosotros la sospecha de que pueda haber un tamaño “intermedio” entre estos dos valores, no solo para el electrón sino para cualquier otra partícula, en el cual la Relatividad General y la Mecánica Cuántica se confronten cara a cara. Puesto que el límite máximo representa una condición de la Mecánica Cuántica y el límite mínimo representa una condición de la Relatividad General, esto supondría que la Relatividad General sigue siendo válida a escalas de distancia mucho menores que las distancias en las cuales la Mecánica Cuántica ya está firmemente en control, lo cual no es creíble. La búsqueda de una longitud intermedia en la cual la Relatividad General empieza a verse en aprietos al mostrar la Mecánica Cuántica sus efectos nos lleva a la búsqueda de una longitud crítica que posiblemente pueda ser derivada a partir de constantes físicas fundamentales, tales como la constante de la gravitación universal representando a la Relatividad General, y la constante de Planck representando a la Mecánica Cuántica. Y resulta que las unidades naturales propuestas por Planck, aunque creadas no quizá con esta intención en mente, son precisamente las que cumplen con este objetivo. Para poder seguir adelante, necesitamos fijarnos un criterio que nos sirva de guía. Tal vez el criterio más obvio sea aquél bajo el cual queremos determinar una masa crítica que corresponda a la longitud críticaque estamos buscando, definiéndola como aquella masa para la cual su radio de de Schwarzschild sea del mismo tamaño que su longitud de onda Compton. Este criterio ciertamente pone cara a cara a la Relatividad General con la Mecánica Cuántica. Usando este criterio como guía, podemos definir lo que hoy se conoce como la masa de

Planck dada por la fórmula:

y cuyos valores calculados, tanto en unidades de masa convencionales en el sistema de unidades MKS como en su equivalente energético de acuerdo con la relación E = mc² para masa-energía, usando las mediciones que hoy se tienen para las constantes físicas, resultan ser (en la página 480 de su trabajo, Planck obtiene 5.56·10-5 gramos): mp = 2.17644·10-8 Kilogramos mp = 1.220862·1019GeV/c² Es importante notar que Planck lo que buscaba era definir una longitud universal a partir de constantes físicas universales, mientras que lo que nosotros buscamos es definir una masa tal que esta masa sea la masa que una partícula debe tener para que su radio de Schwarzschild sea del mismo tamaño que su longitud de onda Compton. Y resulta que ambos criterios conducen a la misma conclusión para el mismo orden de magnitud. PROBLEMA: Usando la aproximación de la fórmula para el radio de Schwarzschild (prescindiendo de la constante numérica 2) y la longitud de onda Compton, obtener la fórmula para la masa de Planck. La extensión del radio de Schwarzschild es aproximadamente (prescindiendo de la constante numérica 2, lo cual es una práctica usual cuando lo que se busca son estimaciones del orden de magnitud y no los valores precisos de una cantidad) del orden de : GM/c² Igualando esta cantidad con la longitud de onda Compton mp, obtenemos la relación aproximada para la masa de Planck que se dá en los textos: Gmp/c² ≈ h/mpc mp² ≈ hc/G

mp ≈ √hc/G Planck obtuvo su fórmula por una cadena de razonamientos diferentes a los que hemos utilizado (en su tiempo no existía la Relatividad General, no había definición alguna del radio de Schwarzschild, y mucho menos se concebía la posibilidad de que pudiese haber agujeros negros), y pese a ello el haber obtenido la misma fórmula obtenida por Planck nos hace sospechar que no se trata de una mera casualidad. Una vez que tenemos una fórmula para la masa de Planck, podemos intentar obtener una expresión correspondiente para la longitud de Planck, definiéndola como aquella longitud que para cierta masa su radio de Schwarzschild y su longitud de onda Compton tendrán los mismos valores. Esto nos conduce a la siguiente fórmula:

y cuyo valor usando las mediciones que hoy se tienen para las constantes físicas resulta ser (en la página 480 de su trabajo, Planck obtiene 4.13·10-33 centímetros): lp = 1.616252·10-35 metros ≈ 1.6·10-35 metros Obsérvese que, por la forma en la que está definida la longitud de Planck, no aparecen constantes de proporcionalidad, ya que las constantes físicas forma una parte integral de la definición. PROBLEMA: A partir de la relación para la masa de Planck, obténgase la relación respectiva para la longitud de Planck. La longitud de onda de Compton está dada por la relación: λ = h/m0c = hc/m0c² Por otro lado, la masa de Planck está dada por la relación: mp = √hc/G

Haciendo mp = m0 y definiendo lp = λ, obtenemos de las dos relaciones anteriores: lp = hc/[(√hc/G) c²] que una vez simplificado nos conduce a la longitud de Planck. Lo primero que destaca de la longitud de Planck, 1.6·10-35 metros, es que esta longitud está situada precisamente entre lo que vimos que era la longitud de onda Compton y el radio de Schwarzschild para un electrón. Pero esta longitud fue obtenida sin hacer referencia a ninguna partícula en especial.Es una longitud universal del orden sub-atómico. Esta distancia es de una importancia tal que se tendrá que decir algo más sobre ella antes de dar por concluída esta entrada. Teniendo ya una unidad natural para la masa y otra unidad natural para la longitud en la escala de Planck, solo nos falta determinar una unidad natural para el tiempo, siendo esta unidad un tiempo que se conoce como el tiempo de Planck, el cual se define universalmente como igual a la longitud de Planck dividida entre la velocidad de la luz, lo cual nos conduce a la fórmula:

cuyo valor calculado resulta ser (en la página 480 de su trabajo, Planck obtiene 1.38·1043 segundos): tp = 5.39124·10-44 segundos Hoy se cree que el tiempo de Planck es el momento más temprano en la historia del Universo en el cual aún trabaja nuestra física teórica. También es el intervalo de tiempo más corto de tiempo que nos será posible medir en el laboratorio con nuestros conocimientos actuales de física, y aquí nos estamos refiriendo al aspecto teórico ya que en el aspecto práctico se antoja casi imposible el poder llegar a tanta precisión). De este modo, las tres unidades fundamentales en la escala de Planck, la longitud Planck, la masa Planck y el tiempo Planck, son el símil de las unidades de metro-kilogramo-segundo en el sistema internacional SI de unidades MKS.

Además de las unidades naturales ya mencionadas, tenemos la unidad fundamental para la carga eléctrica de Planck que hoy en día evaluamos como:

y cuyo valor calculado resulta ser: qp = 1.875545·10-18 coulombs Por último, la quinta unidad natural propuesta por Planck, la unidad fundamental para latemperatura de Planck que hoy en día evaluamos como:

y cuyo valor calculado resulta ser (en la página 480 de su trabajo, Planck obtiene 3.5·1032 grados Celsius): Tp = 1.4167·1032 °K A partir de las unidades naturales de Planck, podemos recuperar las tres principales constantes fisicas fundamentales en el sistema MKS del modo siguiente: Velocidad de la luz = c = lp /tp c = 1.616252·10-35 metros / 5.39124·10-44 segundos c = 299,758,857.4

Constante de gravitación universal = G = (lp)3/[mp (tp)²]

G = (1.616252·10-35)3 /[(2.17644·10-8) (5.39124·10-44)²] G = 0.06673·10-9 G = 6.673·10-11 m3 / kg· seg²

Constante de Planck/2π = hbarra = h = (lp)²mp /tp h = (1.616252·10-35)² (2.17644·10-8 ) /5.39124·10-44 h = 1.054571628·10-34 joule·segundo Se añade aquí como tema de interés que a partir de las unidades de Planck arriba citadas se pueden obtener unidades derivadas de Planck, tales como el área de Planck:

cuyo valor resulta ser: l²p = 2.61223·10−70 metros² o como el volumen de Planck:

cuyo valor resulta ser: l3p = 4.22419·10−105 metros3

Del mismo modo obtenemos el momentum de Planck:

con un valor de: mpc = 6.52485 Kg·metro /seg y la energía de Planck:

con un valor de: Ep = 1.9561·109 joules Planck no sólo propuso que se adoptasen tres constantes físicas fundamentales (la constante de la gravitación universal G, la velocidad de la luz y la constante de Boltzmann) como base de un nuevo sistema de unidades naturales. También propuso que, para fines de simplificación en los desarrollos demostrativos, se les diese a todas estas constantes físicas fundamentales el valor arbitrario de 1 eliminando con ello las constantes de proporcionalidad, anticipando de este modo las unidades geometrizadas que se utilizan en la Relatividad General al darle a la velocidad de la luz el valor de 1 metro por segundo. Dándoles a la constante de gravitación universal G, a la velocidad de la luz c, a la constante de Planck y a la constante de Boltzmann k el valor adimensional de 1: G=c=h=k=1 entonces de inmediato tenemos que tanto la longitud de Planck, la masa de Planck, el tiempo de

Planck, y la temperatura de Planck son todas iguales a la unidad: lp = mp = tp = Tp = 1 Sobre este asunto, se puede decir que aunque se trate de un truco matemáticamente aceptable que puede que ahorre algo de trabajo y esfuerzos, a la postre se puede traducir en una pérdida de información conviritiéndose en la causa de una enorme confusión, sobre todo para aquellos que están disciplinados a trabajar desde el principo hasta el final en la resolución de problemas siguiendo dimensionalmente el orden de todas las unidades y las constantes de proporcionalidad. Desde el aspecto positivo, el uso de las unidades naturales tal y como fueron propuestas por Planck trae consigo varias ventajas. La primera y más obvia es que simplifica mucho la estructura de las ecuaciones físicas porque elimina las constantes de proporcionalidad y hace que los resultados de las ecuaciones no dependan del valor de las constantes. También permite evitar bastantes problemas de redondeo, sobre todo en computación. Por otra parte, se pueden comparar mucho más fácilmente las magnitudes de distintas unidades. Por ejemplo, dos protones se rechazan porque la repulsión electromagnética es mucho más fuerte que la atracción gravitatoria entre ellos. Esto se puede comprobar al ver que los protones tienen una carga aproximadamente igual a una unidad natural de carga, pero su masa es mucho menor que la unidad natural de masa. Desafortunadamente, las unidades naturales tienen el inconveniente de que al usarlas es más difícil percatarse de los errores dimensionales. Retomaremos ahora la longitud de Planck que como vimos arriba es igual a: lp ≈ 1.6·10-35 metros Aún suponiendo que sea posible comprimir dimensionalmente un electrón por debajo de su longitud de onda Compton de 2.43·10−12 metros, no será posible comprimirlo debajo de la longitud de Plancklp porque terminaría convirtiéndose en un agujero negro dejando de existir como electrón. Del mismo modo, regresando al caso de las dos partículas que están siendo aproximadas la una a la otra, si la longitud de Compton no fuese un obstáculo la longitud de Planck sí lo sería, y en este caso estamos hablando de un obstáculo insalvable:

A distancias comparables con la longitud de Planck, se cree que están sucediendo cosas muy curiosas que rebasan ampliamente los límites de nuestra imaginación. A diferencia de la filosofía reduccionista que propone que lo más complejo está elaborado -axiomáticamente- a partir de lo más elemental, lo que está sucediendo en la escala de Planck no parece tener nada de elemental o sencillo. Se cree que a esta escala la continuidad del espacio-tiempo en vez de ir marchando sincronizadamente al parejo con lo que vemos en el macrocosmos de hecho stá variando a grado tal que a nivel ultra-microscópico el tiempo no sólo avanza o se detiene aleatoriamente sino inclusive marcha hacia atrás, una especie de verdadera máquina del tiempo. Las limitaciones de nuestros conocimientos sobre las rarezas que puedan estar ocurriendo en esta escala en el orden de los 10-35 metros, la longitud de Planck, ha llevado a la proposición de modelos tan imaginativos y tan exóticos como la teoría de la espuma cuántica que supuestamente veríamos aún en la ausencia de materia-energía si fuésemos ampliando sucesivamente una porción del espaciotiempo plano:

Naturalmente, a niveles ultramicroscópicos no podemos hablar de la ausencia total de materiaenergía debido a las fluctuaciones del vacío predichas por la Mecánica Cuántica que permiten que en todos los ámbitos del Universo estén apareciendo partículas virtuales salidas de la nada que van desapareciendo tan rápidamente como se van creando. La imagen de una “espuma cuántica”, propuesta inicialmente en 1955 por John Archibald Wheeler para describir cualitativamente las turbulencias que se supone ocurren en el espacio-tiempo sub-atómico a distancias pequeñas del orden de la longitud de Planck, han sido avaladas por físicos de la talla de Roger Penrose en su libroThe Road to Reality:

Estas turbulencias que en realidad son turbulencias en la fábrica del Universo, turbulencias en el espacio-tiempo y en la materia-energía que llegan a confundirse en los niveles ultramicroscópicos, supuestamente pueden aflorar y se pueden conectar y desconectar entre sí superando incluso lo que ocurre con la espuma de las olas del mar:

aunque todas estas descripciones reflejan más una abundante imaginación que un hecho existencial apoyado teóricamente con alguna hipótesis que pueda ser comprobada en el laboratorio sobre hechos que están más allá de poder ser medidos jamás en algún laboratorio construído por humanos. La única forma de confrontar la factibilidad o la posibilidad del modelo de la espuma cuántica nos lleva necesariamente a confrontar la carencia de un modelo que logre unificar exitosamente al macrocosmos con el microcosmos, a la Relatividad General con la Mecánica Cuántica, la Gravedad Cuántica. Si la energía y la materia (o mejor dicho la masaenergía) están discretizadas, se supone que también deben de estarlo el espacio y el tiempo (o mejor dicho, el espacio-tiempo), y la “partícula fundamental” del espacio-tiempo debe de serlo

el gravitón, aunque de momento todo esto son especulaciones que seguirán siéndolo mientras no tengamos a la mano algo que pueda confirmar la existencia de tan exótica partícula, quizá la más exótica de cuantas hayan sido concebidas por la imaginación del hombre. La longitud de onda del gravitón (si es que existe) estaría dada esencialmente por la misma fórmula para la longitud de onda Compton que ya vimos anteriormente:

y el radio del gravitón bosón a su vez estaría dado por la relación:

Pero estas dimensiones hasta la fecha siguen siendo conjeturas, ya que no hay laboratorio en el mundo que sea capaz de poder medirlas. Las escalas de Planck nos indican el límite en el cual las propiedades cuánticas de cualquier partícula producirán una perturbación significativa en la métrica del espacio-tiempo, precisamente el límite en el cual nos tenemos que preocupar por reconciliar la Relatividad General con la Mecánica Cuántica. En comparación con las elevadas energías que pueden ser alcanzadas con el Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider ó LHC), la masa de Planck de mp = 1.220862·1019GeV/c² es enorme, reflejando el hecho de que la fuerza gravitatoria entre las partículas elementales es muy débil en comparación con las otras fuerzas del orden atómico que conocemos, y esto es lo que hace improbable que alguna vez podamos observar experimentalmente los efectos de la gravedad cuántica, máxime que la única ocasión en la que se han de haber producido tales energías en el Universo fue cuando el mismo Universo nació en medio de una gran explosión. El papel original de Planck El documento con el cual Max Planck introdujo sus escalas (él no las llamó “escalas de Planck”) que

proféticamente anticiparon varias de las limitaciones en las cuales actualmente se encuentra atorado el alcance de nuestros conocimientos se encuentra disponible, en alemán, en el siguiente enlace: http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html? band=10-sitz/1899-1&seite:int=454

65. AXIOMATIZACIÓN DE LA TEORÍA RELATIVISTA Toda ciencia que se digne de serlo está fundamentada sobre una serie de axiomas o postulados que se admiten como verdades incuestionables, puntos de partida que no pueden ser obtenidos de otros axiomas o postulados más sencillos. Así, la Mecánica Cuántica Ondulatoria está basada en la ecuación de onda de Schrödinger que no puede ser derivada de otros principios más elementales, y la validez de la misma depende del éxito que tenga para poder predecir cuantitativamente (poniendo números) resultados experimentales obtenidos en el laboratorio. Einstein era partidario de la idea de que todos los principios de la física, al igual que los axiomas de la geometría de Euclides, debían poder ser deducidos con el solo recurso del pensamiento sin necesidad de tener que recurrir a experimento alguno en un laboratorio, sin lugar a dudas alentado por su éxito en haber derivado toda la Teoría Especial de la Relatividad partiendo de dos postulados salidos de su propia mente años antes de que se obtuvieran las primeras confirmaciones experimentales de dicha teoría, éxito repetido con la formulación matemática de la Teoría General de la Relatividad sin contar con instrumento alguno de laboratorio para guiarle en la formulación de la teoría. Cuando en alguna ocasión se le preguntó a Einstein en dónde tenía ubicado su laboratorio, sacó su bolígrafo y apuntando hacia dicho bolígrafo dijo simplemente “Aquí”. Con tal manera de pensar, era de esperarse que desde los inicios de la Teoría de la Relatividad una de las primeras preocupaciones de Einstein fuese el fundamentar la nueva teoría sobre una estructura sólida que semejase lo más posible la estructura de una teoría matemática convencional, axiomatizando a la Teoría de la Relatividad al igual que como lo hiciera Euclides con su geometría, y el punto de lógico de partida para tal programa era la misma base sobre la cual está fundamentada la mecánica clásica, sobre principios variacionales. Ya vimos algo sobre una aplicación de los principios variacionales en la entrada titulada “La ruta geodésica”. En el estudio de las geodésicas, para la obtención de la curva extrema situada entre dos puntos en un espacio multi-dimensional Euclideano, Lorentziano o curvo, se recurre a los métodos variacionales con los cuales se busca extremizar el valor de una integral, buscando aquella integral que nos produzca un valor mínimo de la variación δy con respecto a la ruta óptima. Aquí volveremos a retomar el mismo tema, pero con un fin más ambicioso que encontrar la ruta extrema que recorrerá un cuerpo en un espacio-tiempo curvo, y ese fin será precisamente intentar llevar a cabo la axiomatización de la Teoría de la Relatividad. El cálculo de variaciones aplicado a la física es usualmente justificado sobre la base de que la Naturaleza actúa de modo tal que ciertas cantidades importantes parecen ser minimizadas cuando tiene lugar un proceso físico. Esto lo tomamos como un postulado básico. De este modo, un rayo de luz reflejado de una superficie siempre recorre el camino más corto, de lo cual con la ayuda del cálculo infinitesimal se puede demostrar que el ángulo de reflexión debe ser igual al ángulo de incidencia. En 1657 Pierre de Fermat reformuló y amplió este principio postulando que un rayo luminoso siempre viaja de un punto a otro en un medio de modo tal que el camino recorrido es el que le toma la menor cantidad posible de tiempo, lo cual podemos tomar también como un postulado básico más amplio que el anterior. De este modo, Fermat pudo obtener no sólo la ley de reflexión sino también la ley de refracción descubierta experimentalmente por Willebrord Snell. La

primera aplicación de un principio mínimo a la mecánica se remonta a 1747 cuando Pierre-LouiseMoreau de Maupertuis afirmó que el movimiento dinámico se lleva a cabo mediante un mínimo de acción o una acción mínima, término que subsiste hasta nuestros días sin cambio alguno. El principio de acción mínima de Maupertuis estaba basado no en argumentos matemáticos sino en argumentos teológicos, habiendo asentado que la acción es minimizada “a través de la sabiduría de Dios”. Fue hasta 1760 cuando dicho principio fue asentado sobre bases matemáticas firmes por Lagrange, utilizando para ello las principales variables físicas de un sistema (la posición y la velocidad) definiendo lo que vienen siendo los contenidos energéticos del sistema (la energía potencial y la energía cinética). El basar los fundamentos que estamos buscando para la Teoría de la Relatividad en la Mecánica Lagrangiana tiene la enorme ventaja de que en la formulación de los principios básicos para obtener las ecuaciones del movimiento de un sistema no aparece explícitamente fuerza alguna. Esto es de importancia crucial para la Relatividad General porque dentro de la misma el concepto Newtoniano de la fuerza de atracción universal entre dos cuerpos ha sido eliminado por completo, y la única opción que nos queda es recurrir a eso que aún se sigue conservando invariante dentro de la Teoría de la Relatividad, la energía. Así, para derivar expresiones dentro de la dinámica relativista, la forma más “axiomática” de lograrlo es recurriendo a la mecánica Lagrangiana y al Principio de la Acción Mínimaque en realidad no es más que una forma disfrazada de la aplicación del cálculo de variaciones a la física. Desde un principio, mucho antes que se formulara la Teoría Especial de la Relatividad, la Mecánica Lagrangiana recurriendo a las definiciones de la energía de un sistema (energía potencial, energía cinética, etc.) ya era superior a la mecánica Newtoniana basada en la definición de fuerzas y aceleraciones cuando lo que se trataba de lograr era la obtención de los sistemas de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento físico de un sistema. El mismo sistema de ecuaciones diferenciales que se obtienen para un sistema físico (por ejemplo tres masas pendulares conectadas con dos resortes) se puede obtener de una manera mucho más rápida recurriendo a la mecánica Lagrangiana que recurriendo a la mecánica Newtoniana ya que se prescinde por completo de la necesidad de tener que andar estimando las fuerzas que hay dentro del sistema. Correspondió a Sir William Rowan Hamilton darle su definición final a los postulados de Lagrange formulando en dos papeles publicados en 1834 y 1835 lo que en la actualidad se conoce como elprincipio de Hamilton que puede ser enunciado de la manera siguiente: “De todos los caminos posibles a lo largo de los cuales se puede mover un sistema físico de un punto a otro dentro de un intervalo especificado de tiempo, el camino que será recorrido es aquél que minimiza la integral de tiempo de la diferencia entre las energías cinética y potencial del sistema.” Es importante no perder de vista aquí el hecho de que al hablar de los caminos posibles no estamos hablando simplemente acerca de una distancia (medida en metros o centímetros) como

la trayectoria seguida de un punto a otro sobre la superficie de una esfera. Estamos hablando de caminos en un sentido mucho más general, caminos en los que intervienen variables de velocidad o inclusive de aceleración que nos vienen produciendo las ecuaciones de movimiento de un sistema físico. De este modo, cuando no basta la simple aplicación del cálculo infinitesimal para determinar un mínimo o un máximo que corresponderá a la solución de cierto problema físico de dinámica (como cuando se trata de obtener la ley de la reflexión de un haz luminoso o la ley de la refracción), es aquí cuando entra en el panorama el cálculo de variaciones mediante el cual una cantidad que se define como la integral de acción, o simplemente la acción, la cual es simplemente la integral delLagrangiano L que clásicamente podemos identificar de inicio como la suma total de las expresiones de la energía cinética (K) de un sistema menos la suma total de las expresiones de la energía potencial del sistema (U), tomada dentro de cierto intervalo de tiempo: ∫ L dt es sometida a una variación δ, proceso usualmente simbolizado de la siguiente manera: δ ∫ L dt y buscando la condición extrema en la cual obtengamos una solución estacionaria (principio de la acción mínima): δ ∫ L dt = 0 debemos poder obtener, en principio, toda la información fundamental que nos permita describir el comportamiento del sistema. De acuerdo con la definición dada arriba del principio de Hamilton, si tenemos a la mano el Lagrangiano para un sistema entonces la expresión variacional del principio de Hamilton usandocoordenadas generalizadas qi es la siguiente:

en donde el punto arriba de la coordenada generalizada indica una derivada con respecto al tiempo (en cooordenadas Cartesianas, esto viene siendo simplemente la velocidad). Una vez que se ha logrado definir el Lagrangiano para un sistema físico, es un asunto directo encontrar con la ayuda del cálculo de variaciones las ecuaciones del movimiento que corresponden al sistema mediante lasecuaciones de Euler-Lagrange:

Compárese este sistema de ecuaciones con la ecuación de Euler obtenida en la entrada “La ruta geodésica” para calcular la ecuación de la distancia más corta entre dos puntos (geodésica) sobre una superficie:

Es así como las ecuaciones clásicas (diferenciales) del movimiento de un sistema pueden ser derivadas del principio de la acción mínima con la ayuda de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Es así como toda la teoría del electromagnetismo de Maxwell puede ser derivada axiomáticamente a partir de la siguiente acción:

en donde la integral es en realidad una integral cuádruple llevándose a cabo la integración sobre cierto volumen de espacio tri-dimensional y el tiempo, y en donde F es el tensor electromagnético ó tensor de Faraday. Del mismo modo, uno de mayores esfuerzos requeridos para justificar los orígenes de la teorías modernas del campo cuántico se remiten a la búsqueda del Lagrangiano con el cual se pueda derivar tal o cual serie de fórmulas. Es así como la teoría de la Electrodinámica Cuántica (Quantum Electrodynamics o QED) tiene como punto de partida el siguiente Lagrangiano ó densidad Lagrangiana (la “densidad” Lagrangiana viene siendo a fin de

cuentas lo mismo que un Lagrangiano ordinario, la única diferencia estriba en que el empleo casi fanfarrón de la palabra “densidad” denota que la integración para la evaluación de la acción se debe llevar a cabo sobre un espacio-tiempo cuatri-dimensional):

Y es así como la teoría de la Cromodinámica Cuántica (Quantum Chromodynamics o QCD) tiene como punto de partida la siguiente densidad Lagrangiana:

La acción proporciona inclusive el punto de partida para el desarrollo de la moderna teoría de las supercuerdas. Aunque no siempre es cosa fácil el lograr dar con el Lagrangiano que requerimos para fundamentar una nueva teoría sobre el cálculo variacional, hoy en día este paso es considerado como un paso indispensable para poder darle credibilidad y aceptación a toda nueva teoría. PROBLEMA: Se deja caer un cuerpo desde una altura de 64 pies, y dos segundos después golpea contra el suelo. La distancia h recorrida por el cuerpo tras un tiempo t concebiblemente podría tomar cualquiera de las siguientes tres formas: h = gt_____h = gt²/2_____h = gt3/4 siendo g la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la tierra (igual a 32 pies/seg² en unidades del sistema inglés). Cualquiera de estas tres formas conduce a la misma respuesta de h = 64 pies para t = 2 segundos. Demostrar que la forma correcta es la que corresponde a la integral que dá un mínimo para la integral de acción de acuerdo con el principio de Hamilton. Para resolver este problema, debemos calcular el valor de la integral I = ∫Ldt en cada uno de los tres casos, y determinar cuál de dichas integrales es la que produce el valor mínimo.

El Lagrangiano clásico L es igual a la energía cinética K menos la energía potencial U (puesto que al caer el cuerpo éste pierde energía potencial, el signo de la energía potencial será negativo al momento de introducir las expresiones cinéticas y potencial en el Lagrangiano): L=K-U

L = (½) mV² + mgh = (½) m(dh/dt)² + mgh Para el primer caso, h = gt, el Lagrangiano es: L = (½) m(g)² + mg(gt) L = (½) mg² + mg²t La integral de acción correspondiente es:

Para el segundo caso, h = gt²/2, el Lagrangiano es: L = (½) m(gt)² + mg(gt²/2) L = mg²t² La integral de acción correspondiente es:

Por último, para el tercer caso, h = gt3/4, el Lagrangiano es: L = (½) m(3gt²/4)² + mg(gt3/4) L = 9mg²t4/32 + mg²t3/4 La integral de acción correspondiente es:

Podemos ver que de las tres integrales de acción la que tiene el valor mínimo es precisamente la que corresponde a la respuesta clásica de la distancia h recorrida por un cuerpo en un tiempo t cuando dicho cuerpo está en movimiento uniformemente acelerado, o sea la fórmula: h = gt²/2 Esta misma fórmula se puede obtener de una manera más sencilla, sin recurrir al cálculo de variaciones, haciendo consideraciones elementales sobre un movimiento uniformemente acelerado a partir de la definición de la aceleración: a = dv/dt dv = adt v = ∫a dt dh/dt = ∫a dt h = ∫ [ ∫a dt ] dt = ∫ [ ∫g dt ] dt = g ∫ [ ∫ dt ] dt

h = g ∫ [ t ] dt = g ∫ t dt h = gt²/2 ¿Entonces por qué razón habríamos de recurrir a algo más complejo y elaborado para obtener un resultado al que se puede llegar de una manera mucho más sencilla? Una respuesta que se puede dar aquí es que la forma “fácil” de obtener esta fórmula no está basada en un principio de acción mínima y por lo tanto no es derivable como parte de un programa axiomático. Otra razón que se puede dar es que, si bien en este caso ya se conoce de antemano la fórmula correcta de la cual esperamos que se produzca la integral de acción mínima, en otros casos no sólo no conocemos la fórmula sino que no hay más remedio que montar la integral y proceder a derivar la ecuación del movimiento a partir del principio de Hamilton (uno de tales problemas es el del braquistócrono que consiste en encontrar la ecuación de la curva a lo largo de la cual una esferita que se mueve a lo largo de dicha curva sin fricción bajo la influencia de la gravedad llegará de un punto a otro de la curva en el menor tiempo posible; y con la ayuda del cálculo de variaciones encontramos sin mayores problemas que la curva resulta ser una cicloide). Aunque la Teoría Especial de la Relatividad cuando se dió a conocer al mundo por vez primera en 1905 fue fundamentada no sobre un principio variacional de acción mínima sino sobre dos postulados (el abandono del concepto del movimiento absoluto y la adopción de la velocidad de la luz como una constante universal que no depende del movimiento relativo de quien la mida), la Teoría Especial de la Relatividad puede ser derivada axiomáticamente del principio de la acción mínima usando para ello lo que se conoce como el Lagrangiano Relativista, lo cual veremos a continuación. Puesto que en la axiomatización de una gran cantidad de áreas de la física, sobre todo las áreas nuevas, el Lagrangiano que se debe de utilizar como punto de partida es algo que se desconoce y la mayor parte del esfuerzo de los investigadores será consumido en tratar de “adivinar” la forma del Lagrangiano que se está buscando, en vez de empezar aquí de buenas a primeras con la postulación del Lagrangiano Relativista derivando resultados del mismo lo que haremos será analizar la manera en la cual podemos obtener el Lagrangiano Relativista, lo cual deberá servir como guía para la obtención de otros Lagrangianos que se desconocen al tratar problemas de naturaleza nueva. Habiendo visto que el Principio de la Acción Mínima enuncia que para todo sistema mecánico debe de haber una cantidad llamada la acción S, y que la variación δS de dicha cantidad debe ser un mínimo para el comportamiento típico de un sistema, lo cual expresado en términos variacionalesimplica buscar el cumplimiento de la condición: δS = 0

entonces para ser de utilidad en el fin que estamos buscando la acción S de un sistema relativista dentro del marco de la Teoría Especial de la Relatividad debe ser tal que esta sea una magnitud escalar que como tal permanezca invariante bajo transformaciones de Lorentz, y debe ser formulada como una integral que contenga como integrando un diferencial no mayor de primer orden. La única invariante que cumple con estos dos requisitos es el intervalo relativista espaciotiempo ds entre dos eventos o un múltiplo escalar (multiplicado por una constante κ, letra griega kappa) de dicha integral. La acción S debe tener por lo tanto el siguiente aspecto: S = κ∫ds El intervalo relativista espacio-tiempo infinitesimal ds podemos expresarlo como: ds = √ c²dt² - dx² - dy² - dz² Sacando fuera cdt de la raíz cuadrada, y haciendo uso del hecho de que la magnitud instantánea de la velocidad v expresada en tres dimensiones en el espacio Cartesiano es:

tenemos entonces lo siguiente: ds = (cdt) √1 - v²/c² con lo cual: S = cκ∫ √1 - v²/c² dt La integral de acción puede ser expresada como una integral de tiempo del Lagrangiano L entre dos tiempos fijos t1 y t2: S = ∫ Ldt

De aquí podemos leer el Lagrangiano relativista simplemente como: L = cκ √1 - v²/c² Para bajas velocidades, el Lagrangiano relativista L de un cuerpo moviéndose a una velocidad v debe reducirse al Lagrangiano clásico que no es más que la expresión para la energía cinética del cuerpo: L = ½ mv² Para comparar el Lagrangiano clásico L con el Lagrangiano relativista L, podemos llevar a cabo una expansión binomial del término bajo la raíz cuadrada mediante una serie de Taylor:

en donde o(v²) representa “los otros términos” residuales de la expansión binomial que pueden considerarse despreciables para los cálculos numéricos a bajas velocidades. El primer término en esta expansión, cκ, es una constante, y por lo tanto no tendrá efecto alguno en las ecuaciones del movimiento. El segundo término, después de llevar a cabo la multiplicación y la simplificación, es: (cκ) (- v²/2c²) = - kv²/2c Comparando ambas L y L, la única manera en la cual el Lagrangiano relativista se pueda reducir al Lagrangiano clásico para bajas velocidades es haciendo κ = -m0c. Se deduce, por lo tanto, que el Lagrangiano relativista dentro del marco de la Teoría Especial de la Relatividad debe ser: L = - m0c²√1 - v²/c²

Cuando hay una energía potencial U de por medio además de la energía relativista identificada por el Lagrangiano, entonces acorde con la definición clásica del Lagrangiano la definición que acabamos de obtener se modifica de la manera siguiente: L = - m0c²√1 - v²/c² - U Obsérvese cuidadosamente que este Lagrangiano no está dado por L = K - U, puesto que la expresión relativista para la energía cinética K está dada por: K = γm0c² - m0c² Una vez que se tiene la expresión del Lagrangiano de algo, se puede obtener del mismo la expresión correspondiente de la cantidad de movimiento mediante la relación que interconecta al momentumcanónico (formal) con el Lagrangiano: pi = ∂L / ∂vi Tomando la derivada parcial del Lagrangiano relativista L con respecto a la velocidad v, obtenemos para la cantidad de movimiento: p = ½ (2m0v√1 - v²/c²) p = m0v√1 - v²/c² p = γm0v Esta es precisamente la misma expresión para el momentum relativista obtenida con mayores dificultades (sin la comodidad del método de Lagrange) en una entrada anterior. PROBLEMA: Dado el siguiente Lagrangiano para un oscilador harmónico simple relativista: L = m0c² (1 - √1 - β²) - (½) kx² en donde β = V/c, (1) encontrar la ecuación del movimiento que corresponde a dicho Lagrangiano,

y (2) demostrar tras esto que la expresión puede ser integrada para dar como energía del sistema: E = m0c² + (½) ka² en donde a es la excursión máxima de la partícula oscilante desde el punto de equilibrio. Del Lagrangiano relativista, para poder recurrir a la ecuación de Euler-Lagrange llevamos a cabo primero los siguientes cálculos:

Entonces con q = x, la aplicación de la ecuación de Euler-Lagrange (en este caso n = 1 y sólo tenemos una ecuación) nos produce lo siguiente:

Tomando la derivada con respecto al tiempo del primer término, obtenemos finalmente la ecuación del movimiento del oscilador harmónico simple relativista (usamos el punto encima para denotar derivación con respecto al tiempo de la variable):

Regresamos a la penúltima ecuación para llevar a cabo la integración de la misma, para lo cual la reescribimos el primer término del modo siguiente:

Pero dx/dt es simplemente la velocidad V que podemos modificar como: dx/dt = V = c (V/c) = cβ Entonces el primer término se nos convierte en:

Recurrimos ahora a la relación del diferencial del producto de dos variables: d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) - vdu y haciendo la diferenciación de esto con respecto a x:

junto con la siguiente identificación de variables:

tenemos entoncoes la siguiente expansión que será utilizada para facilitar la integración :

La segunda cantidad dentro del paréntesis a su vez puede ser reescrita dejando todo como sigue:

Con esto último la integración que queremos llevar a cabo se convierte en un asunto trivial con lo cual lo que vamos a integrar:

se nos converte ya integrado en lo siguiente:

siendo E la constante de integración. Podemos simplificar los dos primeros términos en uno solo llegando a: E = m0c²/√1 - β² + (½) ka² La constante de integración E puede ser evaluada en el punto de amplitud máxima x = a, cuando el resorte oscilante está totalmente estirado con una velocidad V = 0 lo cual a su vez dá β = 0. Llevando a cabo esto, obtenemos la expresión para la energía del sistema que es simplemente: E = m0c² + (½) ka² De este modo, la energía del oscilador harmónico simple relativista es igual a la energía potencial del resorte en su amplitud máxima sumada a la energía en reposo m0c² de la masa oscilante, algo que quizá podíamos haber anticipado intuitivamente. Quienes hayan tomado un curso de mecánica a nivel de licenciatura sabrán que además de la formulación de la Mecánica Lagrangiana, basada en la definición del Lagrangiano, existe otra formulación clásica de la mecánica, la Mecánica Hamiltoniana, basada en la definición delHamiltoniano. Y la pregunta que se harán es: ¿podemos hablar de un Hamiltoniano relativista? La respuesta es afirmativa, y en este caso todo lo que tenemos que hacer es tomar la definición del Hamiltoniano clásico (para una partícula): H = pv - L y en la misma meter reemplazar el Lagrangiano “clásico” con un Lagrangiano relativista como los que hemos manejado arriba, reemplazando también el momentum “clásico” p = mv con el momentumrelativista p = γm0v. PROBLEMA: Obtener el Hamiltoniano relativista para una partícula. El Hamiltoniano relativista estará dado por: H = pv - L = (γm0v) v - L

H = γm0v² - L

Metemos aquí la expresión obtenida arriba para el Lagrangiano relativista: H = γm0v² + m0c²√1 - v²/c² + U H = m0v²/√1 - v²/c² + m0c²√1 - v²/c² + U La simplificación inmediata de los dos primeros términos nos produce la siguiente expresión: H = m0c²/√1 - v²/c² + U La cantidad en el primer término la identificamos de inmediato con la energía total E de la partícula (véase la entrada “La ecuación más famosa de Einstein”) cuando no se ha incluído energía potencial alguna bajo consideración: E = γm0c² Entonces: H=E+U De este modo, el Hamiltoniano relativista resulta ser igual a la energía total total del sistema, incluídas la energía cinética, la energía en reposo, y la energía potencial. Hemos visto cómo se puede fundamentar a la Teoría Especial de la Relatividad sobre el cálculo de variaciones, y cómo para poder avanzar necesitamos primero definir un Lagrangiano para el sistema que está bajo estudio, con lo cual podemos obtener la ecuación del movimiento del sistema. La formulación de la Teoría Especial de la Relatividad sobre principios variacionales partiendo del principio de la acción mínima nos lleva naturalmente a considerar la posibilidad de que se pueda hacer lo mismo para poder derivar matemáticamente del cálculo de variaciones las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Esto es algo que desde un principio ocupó la atención de Einstein que estaba interesado en darle una justificación a sus ecuaciones de campo mostrándolas como algo susceptible de ser obtenido de principios más fundamentales. El recurso del Lagrangiano relativista que se ha postulado arriba a partir del principio de la acción mínima recurriendo al cálculo variacional es algo de lo cual se pueden derivar conceptos fundamentales en la Teoría Especial de la Relatividad tales como la definición del momentum relativista. Y resulta que la metodología usada arriba también puede ser aplicada a la Relatividad General, aunque las

suposiciones iniciales requeridas para lograr obtener el resultado final no sean tan sólidas y convincentes desde el punto de vista filosófico como pudiera esperarse, siendo una de las inconveniencias el hecho de que la acción Einstein-Hilbert propuesta por Einstein en competencia intelectual con David Hilbert es indefinida en el caso de una hoja (manifold) no-compacta, e inclusive esta acción se vuelve infinita aún en el caso de un espacio-tiempo plano. De cualquier manera, a través de la acción Einstein-Hilbert ambos demostraron la posibilidad de poder derivar las ecuaciones de campo de la Relatividad General a partir de una integral de acción. La derivación de las ecuaciones de la Relatividad General mediante una acción tiene varias ventajas, siendo la principal que nos permite una unificación relativamente sencilla con otras teorías clásicas de campos (tales como la teoría del electromagnetismo de Maxwell) que también puedan ser formuladas sobre el principio de una acción. La acción tiene una ventaja adicional, ya que permite la fácil identificación de cantidades físicas conservadas en el curso de un proceso físico gracias a un conocido teorema, el teorema de Noether, para lo cual solo se requiere identificar las simetrías que existan en la acción de un sistema. Para la Relatividad General, la acción utilizando a una cantidad g como variable resulta ser (obsérvese que la integración de la acción se lleva a cabo aquí en un 4-volumen):

en donde:

es el determinante de la metrica del espacio-tiempo plano (Lorentziano), R es el escalar de Ricci, y κ es una constante universal: κ = 8πG/c4 Como puede verse, el Lagrangiano (o mejor dicho, la densidad Lagrangiana) aquí es:

Para tomar en cuenta la presencia de masa-energía (o mejor dicho, campos de materia-energía) es común añadir al Lagrangiano de la Relatividad General un término adicional L, teniendo con esto la siguiente accion para la Relatividad General:

Con esto tenemos todo lo que necesitamos para poder derivar, a partir de esta última accion, las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Esto, filosóficamente hablando, asienta a la Relatividad General sobre principios variacionales, y le dá una justificación más formal a la teoría haciéndola más axiomática y menos intuitiva. Aunque la fundamentación de la Relatividad General, si es que ha de fundamentarse sobre algo a partir de lo cual sus primeros principios puedan ser derivados, tiene como punto de partida predilecto el principio de la acción mediante un Lagrangiano adecuado, también es posible intentar llevar a cabo una formulación de la misma mediante un Hamitoniano con el cual sea posible escribir las ecuaciones del movimiento de la Relatividad General en la forma típica de las ecuaciones de Hamilton. Tal metodología fue desarrollada por Richard Arnowitt, Stanley Deser y Charles Misner, hoy conocida con el nombre formalismo ADM. Sin embargo, y a fin de cuentas, la formulación ADM termina basándose en el siguiente Lagrangiano:

Justo cuando todo parece haberse dicho sobre la fundamentación formalizada de la Relatividad General sobre principios variacionales, debemos contender ahora con otra ruta alterna que nos permite derivar las mismas ecuaciones de campo no sobre principios variacionales, sino ¡a partir de la termodinámica!

Al estudiar el tema de la relación que hay entre los agujeros negros y la entropía a través de lasegunda ley generalizada de la termodinámica propuesta por Jacob Bekenstein partiendo a su vez de la similitud que hay entre el teorema del área para los agujeros negros y la segunda ley de la termodinámica en su enunciación clásica (estadística) sumado al descubrimiento teórico hecho por Hawking de que los agujeros negros se comportan como radiadores térmicos emitiendo partículas constantemente, ya se habían mencionado las enormes dudas y sospechas de que detrás de todas estas similitudes haya no meras coincidencias sino un mar de fondo que se nos está escapando y que no alcanzamos a ver en estos momentos. La posibilidad de la derivación de las ecuaciones de campo de la Relatividad General a partir de argumentaciones basadas en la termodinámica fue demostrada en 1995 por Theodore (Ted) Jacobson, quien probó es posible que las ecuaciones de campo de Einstein puedan ser derivadas como una ecuación de estado a partir de argumentos termodinámicos. Para lograr su demostración, Jacobson utilizó la ecuación de Raychaudhuri y la relación de proporcionalidad que hay entre el área A y la entropía S para todos los horizontes locales de aceleración (y al decir horizontes locales de aceleración no estamos haciendo referencia específica y exclusiva al horizonte de evento de un agujero negro, estamos hablando del entorno de un observador que se está acelerando en el espacio-tiempo con una rapidez extraordinaria siendo por lo tanto capaz de percibir la radiación predicha por el efecto Unruh). La ecuación de Raychaudhuri es considerada como un resultado fundamental que describe el movimiento de pedacitos de materia cercanos el uno al otro, y es considerada un lemamatemático importante requerido para poder llevar a cabo la demostración de los teoremas de singularidad Penrose-Hawking así como para el estudio de soluciones exactas a las ecuaciones de campo de la Relatividad General, aunque también es de interés por cuenta propia ya que ofrece una validación general y sencilla de nuestra creencia intuitiva de que la gravedad debe manifestarse dentro de la Relatividad General como una fuerza de atracción entre dos pedacitos de masa-energía del mismo modo que ocurre dentro del esquema Newtoniano. La ecuación de Raychaudhuri suele aparecer escrita en los textos en la siguiente forma (los puntos sobre las variables indican una derivada con respecto al tiempo propio; obsérvese que en el último término estamos tomando la derivada covariante del tensor mixto X llevando a cabo tras esto una operación de contracción con la igualación de los índices que activa a la convención de sumación culminándolo con la toma de la derivada convencional con respecto al tiempo propio):

en donde

σ² = σmn σmn ω² = ωmn ωmn son invariantes cuadráticos (positivos) del tensor de esfuerzo cortante (en inglés, shear) σab:

y ωab es el tensor de vorticidad:

en donde:

es el tensor de expansión, θ es la traza del tensor conocida como el escalar de expansión, y: hab = gab -XaXb es el tensor de proyección hacia los planos ortogonales a X. Finalmente, tenemos la traza del tensor de marea o tensor electrogravítico (conocido también como el escalar de Raychaudhuri) definido como (obsérvense en ambos lados de esta ecuación tensorial los índices repetidos que activan la convención de sumación):

En la esencia de la demostración dada por Jacobson, se utiliza como punto de partida una fórmula termodinámica fundamental conocida como la ecuación de Clausius que nos relaciona la

transferencia de un cantidad infinitesimal de energía (o mejor dicho, masa-energía) dQ a cierta temperatura T con el correspondiente aumento infinitesimal en entropía dS que se produce a causa de dicha transferencia: dS = dQ/T y la cual tiene que ser reinterpretada definiendo a dS como el cambio ocurrido a través de un cuarto del área del horizonte local de aceleración (en unidades de Planck), definiendo a dQ como el flujo de energía a través de ese horizonte local de aceleración, y definiendo a T como la temperatura Unruhmedida por un observador acelerándose dentro del horizonte local de aceleración (la temperatura Unruh producida por el efecto del mismo nombre es tratada al final de la entrada “Los agujeros negros IV: Evaporación”). Jacobson demostró que el requerimiento esencial para que las ecuaciones de campo de la Relatividad General puedan ser derivadas a partir de la ecuación (redefinida) de Clausius es que dicha ecuación tiene que ser válida para todos los horizontes locales de aceleración a través de cada punto en el espacio-tiempo. La demostración obtenida por Jacobson de que las ecuaciones de campo de Einstein pueden ser derivables termodinámicamente como una ecuación de estado implica como consecuencia la existencia de algunos grados de libertad cuánticos fundamentales de donde debe ser posible obtener las ecuaciones de campo mediante una manipulación adecuada de la función de particióncorrespondiente, una conexión que hasta la fecha no se ha podido lograr. Tiempo después del descubrimiento hecho por Jacobson, en el 2006 se publicó en el Physical Review Letters un documento breve titulado “Non-equilibrium Thermodynamics of Spacetime” (disponible gratuitamente en arXiv) en donde Jacobson junto con los investigadores Christoper Eling, Christoper y Raf Guedens cubren la termodinámica del espacio-tiempo en situaciones fuera del equilibrio termodinámico, mostrando con ello la forma en la cual se ha ido avanzando en la fusión entre la Relatividad General y la termodinámica. Una propuesta todavía más interesante es la que fue publicada también en arXiv el 4 marzo de 2009 bajo el título “The Einstein equations for generalized theories of gravity and the thermodynamic relation dQ = T dS are equivalent”, con la cual sus autores Ram Brustein y Merav Hadad intentan demostrar que las ecuaciones del movimiento de la Relatividad General son equivalentes a la relación de Clausius dQ = T dS, utilizando para ello una definición más extendida de la entropía de carga de Noether, agregando haber encontrado que esta entropía de carga de Noether obedece también la segunda ley de la termodinámica si el tensor energía-momentum obedece una condición de energía nula. El corolario de este trabajo, según afirman sus autores, es que la gravedad que vemos manifestada a una escala macroscópica no es más que una manifestación de la termodinámica del vacío, con lo cual consideran concluída la propuesta de Jacobson de que las ecuaciones de campo de la Relatividad General pueden ser expresadas como una ecuación termodinámica de estado. Obviamente, para que este trabajo sea válido se requiere que el fenómeno mecánico-cuántico de

creación de partículas virtuales en el vacío a causa de las fluctuaciones del vacío sea también un hecho incontestable. Si bien las ecuaciones de campo de la Relatividad General pueden ser derivadas a partir de la termodinámica, no es posible derivar la termodinámica a partir de la Relatividad General. ¿Significa esto que la Termodinámica deba ser considerada como algo más fundamental que la Relatividad General? Esto es material de reflexión filosófica que nos demuestra que aún nos queda un buen trecho por recorrer antes de que podamos proclamar que se ha agotado todo lo que la física nos permite descubrir. La Relatividad General no sólo puede ser derivada a partir de principios termodinámicos. Los investigadores de la teoría de las supercuerdas han estado trabajando afanosamente para demostrar la factibilidad de que se pueda formular una “Teoría del Todo” que lo explique precisamente todo, a partir, claro está, de la teoría que ellos mismos han estado desarrollando y que suponen que es la tan ansiada y elusiva “Teoría del Todo” que se le escapó de las manos al mismo Einstein. Y hay todavía otras rutas de interés. Aquí se mencionará una de ellas propuesta por Christoph Schiller en su trabajo titulado “General Relativity and Cosmology Derived From Principle of Maximum Power or Force” publicado en el International Journal of Theoretical Physics en septiembre de 2005, de acuerdo con el cual se demuestra que las ecuaciones de campo de la Relatividad General se pueden derivar poniendo un límite a la fuerza F o a la potencia P que se pueden dar en la Naturaleza, teniendo dichos límites los valores de c4/4G y c5/4G. Específicamente, Schiller propone los siguientes valores para una fuerza máxima F y una potencia máxima P que puedan ocurrir en la Naturaleza que están dadas por las siguientes relaciones:

señalando que cualquiera de estas dos relaciones puede ser tomada como el postulado básico. La prueba a la que recurre Schiller utiliza un resultado previo obtenido por Theodore Jacobson, y argumenta que todos los datos experimentales son consistentes con los límites propuestos por él. Aplicando los límites propuestos por él, estos predicen la obscuridad de la noche del Universo (resolviendo con ello la famosa paradoja de Olbers según la cual el cielo nocturno se debería de ver iluminado y no oscuro dada la cantidad de estrellas en el firmamento así como las distancias de las mismas hacia la Tierra) y el factor observado de escala, proponiendo otras pruebas experimentales para la verificación de su hipótesis. En su trabajo examina los principales contra-

argumentos y paradojas tales como las transformaciones bajo empujes, la fuerza que se debe sentir en el horizonte de evento de un agujero negro y el “problema de la montaña” así como el contraste de su teoría contra otras teorías escalar-tensor de la gravitación, indicando que la resolución de las paradojas clarifica el por qué la máxima fuerza y la máxima potencia permanecieron ocultas por tanto tiempo. Argumenta también que la derivación de las ecuaciones de campo de la Relatividad General como él lo propone desempeñan el mismo papel en la Relatividad General como la máxima velocidad lo hace en la Teoría Especial de la Relatividad. Este trabajo de Christoph Schiller se puede obtener del siguiente enlace: http://www.springerlink.com/content/p68p73jru7084772/ Sobre el trabajo inicial emprendido para asentar la Relatividad General sobre principios variacionales llevado a cabo por Einstein conjuntamente (o mejor dicho, independientemente, en sana competencia para reclamar los méritos del logro) con el matemático David Hilbert mediante una acción conocida como la acción Einstein-Hilbert, la cual es una expresión matemática que representa una generalización hacia el espacio-tiempo cuatri-dimensional del principio clásico de la acción mínima, y la cual al ser extremizada produce las ecuaciones de campo de Einstein, se puede obtener más información sobre este tema en los siguientes enlaces: http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%E2%80%93Hilbert_action http://www.physics.thetangentbundle.net/wiki /General_relativity/Einstein-Hilbert_action Otra fuente de consulta útil es el libro “The Mathematical Theory of Relativity” del Professor Arthur Stanley Eddington, uno de los pioneros en el campo de la Relatividad General, el cual dá un tratamiento completo sobre la acción Einstein-Hilbert a partir de la sección 60 del libro titulada precisamente “Acción”, la cual empieza con una acción cuatri-dimensional basada en la acción clásica y en donde se demuestra cómo dicha acción es convertida a una integral sobre un escalar G. Además de la acción Einstein-Hilbert, en la literatura podemos encontrar mención a otro tipo de variación conocida como la variación de Palatini, de la cual podemos encontrar mayores referencias en el siguiente enlace: http://en.wikipedia.org/wiki/Palatini_variation

66. EL PUENTE EINSTEIN-ROSEN En un trabajo publicado en 1935, después de estar trabajando sobre las ecuaciones de campo de la Relatividad General, el mismo Einstein en colaboración con su amigo Nathan Rosen sacó a la luz en el ejemplar 73 correspondiente al volumen 48 del Physical Review algo interesante cuya importancia teórica pasó desapercibida para muchos en aquél entonces. Se trataba de una solución que permitía, al menos teóricamente, conectar dos regiones diferentes del espaciotiempo a través de un tunel que podía servir como atajo. Antes de proseguir, formularemos una pregunta al lector que tal vez le parezca sin sentido: ¿Es posible construír un círculo que carezca de centro? No estamos hablando de algo trivial como el dibujar sobre una hoja de papel un círculo y cortar con unas tijeras una porción del interior en la cual está situado el centro del círculo. Estamos hablando de una situación en la que, genuinamente, sin cortar nada y sin haber borrado nada, no existe el centro de un círculo. Esto, aunque parezca algo demasiado extravagante y exótico, ya era conocido por los estudiosos de latopología inclusive desde antes de la llegada de Einstein. Considérese el siguiente diagrama que representa un objeto que podemos construír en este mismo momento con un poco de arcilla a nuestra disposición:

Veamos con detenimiento el círculo superior. Visto desde arriba, con su imagen proyectada hacia una pantalla plana, el círculo definitivamente parece tener un radio que podemos medir en metros; esto nadie lo va a poner en tela de duda. Pero si miramos más de cerca hacia el interior de la imagen del círculo, en donde esperamos “ver” al centro, posiblemente encontraremos algo curioso. Posiblemente encontraremos algo cuyo aspecto no coincide con la textura del resto del círculo. Y si en vez de estar utilizando la proyección de la imagen hacia arriba de la superficie decidimos salir hacia afuera mirando al objeto en tres dimensiones, descubriremos que el círculo cuya imagen habíamos estado viendo proyectada sobre una pantalla plana carece de centro. Esto nunca lo podríamos haber deducido limitados a un plano bi-dimensional; teníamos que salir fuera hacia una dimensión “superior”, hacia un espacio de tres dimensiones, para darnos cuenta de que el círculo superior en realidad es un círculo sin centro, al igual que el círculo inferior. Esto por sí solo nos conduce a sospechar sobre la posibilidad de que, si fuésemos capaces de poder “ver” no en tres dimensiones sino en cuatro dimensiones, algo que de hecho existe de acuerdo con la Relatividad General, lo más seguro es que veríamos cosas que nos dejarían estupefactos, con la boca abierta. Lo que describieron Einstein y Rosen en su papel publicado en 1935 fue ni más ni menos una solución matemática que describe algo que posteriormente sería bautizado con el nombre de agujero de gusano (wormhole), aunque en la literatura técnica es conocido como el puente

Einstein-Rosen. La palabra “agujero de gusano” fue acuñada en 1957 por el físico relativista norteamericano John Archibald Wheeler. El puente Einstein-Rosen describe esencialmente una “conexión”, por así llamarla, entre dos regiones separadas de espacio-tiempo, las cuales pueden estar separadas a distancias astronómicamente enormes. Este puente es una solución puramente matemática, pero muchas soluciones puramente matemáticas a algún conjunto de ecuaciones han resultado ser más reales que lo que se creía en un principio, y un ejemplo de ello lo constituyen los mismos agujeros negros, los cuales existían como una solución matemática a las ecuaciones de campo de la Relatividad General, pero todavía hasta hace apenas unas dos décadas eran pocos los astrónomos y científicos que creían que los agujeros negros pudiesen existir. Hoy se ha llegado a la conclusión de que los agujeros negros no sólo existen, sino que son incluso abundantes en el Universo. Nuestra propia galaxia en la que habitamos, la Vía Láctea, muy posiblemente contiene en su interior un enorme agujero negro que está actuando como centro motor de la galaxia. Puesto que el “atajo” relativista es un verdadero atajo en el más pleno sentido de la palabra, de existir o de ser posible construír construír uno con alguna tecnología actualmente fuera de nuestro alcance esto abriría la posibilidad de realizar cosas con las que sólo sueñan en estos momentos los escritores de ciencia-ficción. Una de ellas sería la posibilidad de poder viajar de un punto a otro a velocidades mucho mayores que la velocidad de la luz (aunque en realidad no estaríamos viajando a la velocidad de la luz, sino que estaríamos tomando un atajo que nos permite acortar la distancia en el espacio-tiempo permitiéndonos llegar en poco tiempo a otro punto para el cual viajando directamente sin la ayuda de un agujero de gusano necesitaríamos de millones de años consumidos en el viaje. En la siguiente ilustración podemos ver cómo, en vez de tomar una ruta siguiendo una “línea recta” de un punto a otro (o usando la terminología relativista más elegante, siguiendo la geodésica que hay entre dos puntos) sobre la superficie del plano de color verde, podemos llegar más rápidamente a través del atajo que une a las dos porciones de la hoja mostrada:

Con varios agujeros de gusano colocados estratégicamente en varios puntos del Universo, estos podrían servir como portales inclusive para poder llevarnos a otros Universos diferentes al nuestro:

Pero la factibilidad de poder trasladarse de un punto a otro del Universo recurriendo a la ayuda de un agujero de gusano es tan sólo el principio de las posibilidades. Otra posibilidad sería la de poder viajar al pasado o de poder viajar al futuro. Con un túnel conectando dos regiones diferentes del espacio-tiempo, conectando el “pasado” con el “futuro”, un habitante del “futuro” podría trasladarse sin problema alguno hacia el “pasado” para poder estar físicamente presente en dicho pasado con la capacidad de alterar lo que está ocurriendo en el “ahora”. Y un habitante

del “pasado” podría trasladarse hacia el “futuro” para conocer a su descendencia mil generaciones después, si la hubo. Estamos hablando de una verdadera máquina del tiempo como la descrita por el escritor H. G. Wells. La posibilidad de poder viajar al pasado frecuentemente ha sido desmentida recurriendo a una famosa paradoja según la cual si tal cosa fuese posible entonces un habitante del “hoy” podría trasladarse con una pistola hacia su pasado para matar a su abuelo, y al haber matado a su abuelo entonces no debería haber descendido de él, no debería de haber existido, y por lo tanto no lo podría haber matado. Esta paradoja devuelve algo de la tranquilidad que podríamos haber perdido ante la posibilidad de poder construír una máquina del tiempo, excepto que si metemos en el panorama a la mecánica cuántica, con su descripción matemática sobre la creación de una cantidad infinita de universos alternos cada vez que se toma una decisión o que se lleva a cabo una medición, es posible dispensar de la paradoja en virtud de que al ir hacia un pasado estaríamos bifurcando ese pasado en dos rutas diferentes: la ruta en la cual el nieto asesino decide no viajar al pasado y la ruta en la cual decide viajar al pasado para matar a su abuelo. En la ruta en la cual el nieto asesino decide no viajar al pasado, el nieto seguiría viviendo en el Universo en que actualmente habita. Y si decide ir al pasado para matar a su abuelo, al hacer tal cosa crearía un Universo alterno que ya no es el Universo en el cual nació, de modo tal que dejaría de haber paradoja. Nuevamente, esta posibilidad debe ser moderada tomando en cuenta que en la hipótesis de la creación de universos alternos múltiples no es posible al habitante de éste Universo el poder comunicarse o conectarse con los habitantes de otros Universos alternos; al menos no con la tecnología y con el instrumental teórico con el que contamos en la actualidad. En la Relatividad General todas las posibilidades que sean posibles deben ser descritas con una métrica, y una métrica que nos describe un agujero de gusano atravesable es la siguiente:

Inclusive es posible postular teóricamente agujeros de gusano tomando como base la bien probada métrica de Schwarzschild. Esto fue lo que hicieron Einstein y Rosen en su papel original. Sin embargo, en 1962 John Archibal Wheeler y Robert W. Fuller publicaron un trabajo en el que se llegaba la conclusión de que un agujero de gusano basado en la métrica de Schwarzschild es sumamente inestable, y se “desinflará” instantáneamente en cuanto se forme como si fuera un globo inflado picado por un alfiler, impidiendo que inclusive la luz pueda recorrerlo. Sin embargo, en un trabajo publicado en 1988, la posibilidad de agujeros negros atravesables fue demostrada por vez primera por el físico norteamericano Kip Thorne y su alumno Mike Morris, hoy designado como el agujero de gusano Morris-Thorne. Posteriormente se han ido descubriendo otras posibilidades que también son soluciones a las ecuaciones de campo de la

Relatividad General, como una variedad estudiada en un trabajo de Matt Visser (autor del popular libro tituladoLorentzian Wormholes) publicado en 1989 en la cual el atajo a través del agujero de gusano se puede hacer en sin necesidad de tener que atravesar una región de materia exótica como lo requiere el agujero de gusano Morris-Thorne. De cualquier manera, en la teoría de GaussBonnet no se requiere de la ayuda de materia exótica para que un agujero de gusano pueda existir; puede existir incluso sin requerir materia alguna para ello. Aunque posibles matemáticamente de acuerdo a la Relatividad General, los agujeros de gusano siguen siendo inaccesibles para nuestros limitados recursos tecnológicos. Es posible que en estos momentos ya haya agujeros de gusano que se estén formando espontáneamente en el Universo de cuya existencia no estamos enterados, como también es posible que pueda haber agujeros de gusano construídos por otras civilizaciones que sean tecnológicamente mucho más avanzadas que la nuestra. Y esto último es posible porque con la labor empezada por Copérnico y Galileo y culminada con Einstein el hombre ha dejado de ser el centro del Universo, ha sido destronado de la posición privilegiada que creía poseer. Y habiendo ocurrido esto, todo lo demás se vuelve posible.

67. COSMOLOGÍA CUÁNTICA Aceptada la teoría de la expansión del Universo y la edad limitada del mismo en base a evidencias científicas tales como la confirmación de que las galaxias se están alejando la una de la otra así como el descubrimiento de la radiación cósmica de fondo que quedó como resultado de la gran explosión original Big Bang que dió origen al Universo, predicha teóricamente en 1948 por George Gamow y confirmada experimentalmente en 1964 primero por Arno Penzias y Robert Woodrow Wilson y más recientemente por la sonda Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP):

todo parecería suponer que, a gran escala, la explicación de la evolución del Universo desde sus inicios radica por completo en una aplicación inteligente de las ecuaciones de campo de la Relatividad General. El problema es que, de acuerdo con lo que se conoce como el teorema de la singularidad, si las ecuaciones de campo de la Relatividad General son válidas, entonces debe de haber una singularidad ya sea en el pasado o en el futuro del Universo, y en esa singularidad las ecuaciones de campo ya no pueden ser utilizadas. De este modo, la Relatividad General provoca su propio colapso, porque predice que no puede predecir la evolución del Universo de principio a fin. Ha habido un esfuerzo intenso por tratar de explicar lo que ocurre a escala macrocósmica no en base a lo que se aplica a lo extremadamente grande, la Relatividad General, sino en base a lo que rige a lo extremadamente pequeño a niveles atómicos y sub-atómicos, la Mecánica Cuántica. ¿Cómo es posible que se trate de explicar matemáticamente lo que ocurre a escalas astronómicas usando para ello las reglas que rigen a lo que ocurre a escalas sub-atómicas, proyectando matemáticamente lo casi infinitamente pequeño con lo casi infinitamente grande?, dirán algunos. Esto parecería en primera instancia una exageración de los teóricos, porque las leyes que rigen al cosmos a gran escala parecen tener muy poco o nada que ver con las leyes que rigen al mundo sub-atómico. Las ecuaciones y los conceptos son totalmente diferentes. Sin embargo, si hemos de aceptar en su totalidad los modelos cosmológicos que nos proporcionan las ecuaciones de campo

de la Relatividad General, necesariamente tenemos que aceptar la existencia de un Universo dinámico que se está expandiendo o contrayendo, no habiendo duda alguna ya de que se ha estado contrayendo, y extrapolando los datos hacia atrás llegamos a la conclusión inevitable de que al momento de su nacimiento el Universo no era el gran cosmos que vemos hoy sino algo inmensurablemente pequeño,algo en lo que aplican las leyes que rigen a las partículas subatómicas. Entonces, a un infinitésimo de su nacimiento, el Universo estaba regido en su totalidad por las reglas que rigen hoy a la Mecánica Cuántica, en una época en la cual la Relatividad General y la Mecánica Cuántica estaban completamente unificadas, y conforme fue evolucionando el Universo necesariamente tendrían que haber estado en acción las leyes para la evolución de un sistema físico que rigen en la Mecánica Cuántica. Siendo así, no suena tan disparatada la idea de intentar encontrar una explicación a todo lo que hoy vemos tomando como base lo que se ha comprobado que funciona para predecir correctamente desde la Tabla Periódica de los Elementos hasta el electromagnetismo de las partículas sub-atómicas. Esto es lo que nos lleva a una área de estudio contemporánea conocida como laCosmología Cuántica. Puesto que en la Mecánica Cuántica basada en las “ondas de materia” el punto de partida tradicional ha sido la ecuación de onda de Schrödinger, describiéndose el comportamiento de una partícula sub-atómica en base a su función de onda ψ (la gran mayoría de los científicos han dejado ya de tratar de averiguar qué es exactamente lo que está “ondulando”, aceptando la interpretación de Copenhagueque impone límites a lo que podemos saber acerca de lo que está ocurriendo en el mundo sub-atómico, y aceptando a ψ como un mero artificio matemático útil que nos sirve para obtener fórmulas, explicaciones y resultados que concuerdan con las evidencias experimentales recabadas), no nos debe asombrar el que uno de los primeros intentos de extender a la Mecánica Cuántica hacia el Universo entero haya consistido en la búsqueda de una función de onda para el Universo. Esto ocurrió con la publicación en 1967 de lo que hoy conocemos como la ecuación Wheeler-De Witt, previamente llamada ecuación EinsteinSchrodinger. La ecuación Wheeler-De Witt es lo que obtenemos cuando llevamos a cabo lo que se conoce como Mecánica Hamiltoniana en el espacio-tiempo de la Relatividad General. El Hamiltoniano en sí que corresponde a esta ecuación termina convirtiéndose en una expresión que debe ser igual a cero, conocida como la constricción de Hamilton. Fue hasta el año 1983 cuando se publicó en el Physical Review una solución a la ecuación Wheeler-De Witt en un trabajo titulado “Wave function of the universe”, elaborada por James Hartle y Stephen Hawking, solución hoy conocida como el estado Hartle-Hawking, la cual tenia como intención original ser una propuesta para la función de onda del Universo. Estos primeros intentos sentaron las bases para llevar a la Cosmología Relativista clásica hacia un nuevo terreno al haberse agotado las posibilidades ofrecidas por la Relatividad General actuando por sí sola sin ninguna ayuda de parte de la Mecánica Cuántica. Ya hemos visto cómo la Relatividad General nos describe al campo gravitatorio como deformaciones del espacio-tiempo, concretamente, como una modificación de la métrica, y cómo al que una partícula el campo gravitatorio también puede evolucionar desde una configuración hasta otra, como en el caso de una estrella que explota en supernova, en donde el campo

gravitatorio está evolucionando. Elespacio de configuraciones de la Relatividad General es el espacio de todas las métricas posibles. A este espacio se lo denomina superespacio. En vez de considerar todas las métricas posibles que son muchas, podemos centrarnos sólo en unas pocas dependiendo del problema que queramos resolver, y hemos visto cómo en cosmología es usual centrarse en las métricas que corresponden con espacios homogeneos e isótropos, es decir, métricas en las que el espacio dentro del espacio-tiempo tiene características iguales en todos los puntos. Estos espacios pueden evolucionar con el tiempo, por ejemplo expandiéndose de acuerdo con la ley de Hubble. Al espacio de configuraciones de estas métricas se lo denomina minisuperespacio. Esto es lo que ha tenido que decirnos la teoría “clásica” basada estrictamente en las ecuaciones de campo de la Relatividad General. En la Mecánica Cuántica el espacio de configuraciones adquiere un papel algo diferente. La partícula ya no se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea, sino que para cada instante de tiempo existe una distribución de probabilidad en el espacio que nos dice dónde encontrar a la partícula con cierta probabilidad. A este distribución de probabilidad se la conoce con el nombre de función de onda. Si encontramos a la partícula en un tiempo determinado en un lugar, luego, en otro tiempo posterior, podemos encontrarla en otro lugar que no corresponde con el que estaría si hubiese seguido una trayectoria clásica. Incluso, la Mecánica Cuántica predice situaciones en las que una partícula que se encuentra frente a una barrera potencial (por ejemplo una fuerza repulsiva que actúa sobre ella, una pared, etc.) puede traspasarla pese a que clásicamente chocaría contra dicha barrera sin poder pasar. Esto es conocido como el efecto túnel:

En la Cosmología Cuántica Canónica, la situación es similar y el efecto túnel adquiere un papel importante. Para entenderlo, se trabaja inicialmente sobre un modelo simplificado en donde aparece este fenómeno de tunelaje, conocido como el espacio-tiempo de de-Sitter. El modelo de de-Sitterresulta cuando se considera un espacio completamente vacío pero con una constante cosmológica. Este modelo es homogeneo e isótropo no solo en el espacio, sino también en el tiempo. Se trata de un modelo en el cual cualquier punto del espacio-tiempo es igual a todos los

demás. En otras soluciones cosmológicas con singularidad inicial sólo los puntos de una sección espacial son todos iguales, mientras que los puntos en secciones espaciales diferentes no tienen por qué ser iguales, es decir, no tienen por qué tener características iguales de densidad, curvatura, etc. En el modelo de-Sitter, sin embargo, todos los puntos son iguales. Esto significa que el modelo no presenta una singularidad inicial. Este modelo es de especial interés porque describe una expansión exponencialmente acelerada, tal y como se asume que se dió en lo que se conoce como el periodo inflacionario del Universo, y proporciona, por lo tanto, un modelo descriptivo de esa fase. En la teoría clásica de cosmología el Universo o bien fue de-Sitter siempre, y fue por lo tanto infinito en el pasado(sin singularidad inicial, cosa que no concuerda con nuestra idea actual de universo y mucho menos con las evidencias experimentales recabadas) o bien fue de otro tipo, pero entonces tuvo una singularidad inicial en un tiempo t = 0. Lo que no puede ocurrir en la teoría clásica es que un Universo empiece con una singularidad inicial y luego se convierta en un Universo de-Sitter. Lo sorprendente es que la Cosmología Cuántica Canónica en el minisuperespacio hace posible un modelo del Universo que tiene una singularidad inicial en t = 0, pero que se comporta como de-Sitter un instante después en un tiempo t mayor que 0. El mecanismo involucrado es precisamente el efecto mecánico-cuántico de túnel. La situación aquí es básicamente análoga a la de la partícula que se encuentra frente a un potencial, aunque aquí la noción de potencial es la de un potencial efectivo (una correspondencia matemática) con el que se encuentra el universo en un tiempo t = 0 para “tunelar” hacia el modelode-Sitter. Esta evolución temporal es una legítima solución a las ecuaciones de la Cosmología Cuántica Canónica. Para determinar la solución de forma única hay que imponer condiciones iniciales, como es usual en los problemas de la física. Existen dos propuestas se pueden considerar como las más importantes: la propuesta de Hartle y Hawking de la cual ya se ha dado un anticipo arriba, y la propuesta de Vilenkin. De ambas propuestas resultan dos soluciones para la función de onda del Universo que se conocen respectivamente con los nombres de función de onda de HartleHawking y función de onda de Vilekin. Hemos visto que en la Mecánica Cuántica una partícula libre ya no se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea, sino que para cada instante de tiempo la función de onda nos dice dónde encontrar a la partícula con cierta probabilidad. Pues bien, esta idea se puede reformular diciendo que la partícula toma realmente todos los caminos posibles a la vez, cada uno de ellos con cierta probabilidad. Este metodología es lo que se conoce como la formulación de la Mecánica Cuántica basada en la integral de caminos de Feynman:

Bajo este esquema, en la Mecánica Cuántica tradicional calculamos la función de onda para una partícula que comenzó en un estado inicial φ0 y que ha llegado al estado φ integrando sobre todos los caminos posibles que conectan ambos estados:

aen donde S[ρ] es la acción para la trayectoria. Igual que en la Mecánica Cuántica, la Cosmología Cuántica Canónica se puede reformular en términos de la integral de caminos. Ésta formulación permite calcular probabilidades de la transición entre dos configuraciones espaciales determinadas, sumando las probabilidades sobre todas las geometrías del espacio-tiempo intermedias posibles. En la Cosmología Cuántica, un “estado” es una “rebanada” (slice) σ tridimensional de un espacio-tiempo cuatri-dimensional, y la función de onda de una partícula es reemplazada por la “función de onda del Universo” φ(σ) que es la amplitud de la probabilidad de que el Universo contenga a σ. La integral dada arriba para una partícula es una integral oscilante que por lo mismo es incapaz de convergir, y es por ello que dentro de la Cosmología Cuántica las integrales de caminos son formuladas sobre un trasfondo de cuatro dimensiones en donde la dimensión temporal es asociada con el número imaginario i = √-1, la cual es a veces referida como un tiempo imaginario precisamente porque involucra el uso de números imaginarios, lo cual permite aplicar el procedimiento matemático conocido como continuación analítica que puede ser utilizado para convertir los resultados expresados en cuatro dimensiones a resultados expresados en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, en este caso continuando analíticamente el parámetro del tiempo hacia valores imaginarios: t → iτ. Esta transformación cambia la firma de la métrica de (- + + +) a (+ + + +), de modo tal que los caminos resultantes se llevan a cabo sobre un espacio Euclideano en lugar de llevarse a cabo sobre un espacio Lorentziano. Al mismo tiempo, la acción se vuelve imaginaria, lo que nos permite escribir S > i SE en donde SE es la acción Euclideana. Antes de proseguir, y para el beneficio de aquellos que no han estado expuestos al concepto de la continuación analítica o que si lo vieron lo han olvidado, aquí se hará un breve resumen de dicho concepto tal y como se enseña en los cursos introductorios de la variable “compleja”. Definimos primero un número complejo como aquél que está formado por la suma dos números, un número reala y un número imaginario b: a + ib = a + b√-1

Los números imaginarios se pueden representar en un plano bi-dimensional conocido como eldiagrama de Argand usando la escala horizontal para representar la parte real y la escala vertical para representar la parte imaginaria, como podemos verlo en el siguiente diagrama en donde se ha representado el número complejo 1+2i:

PROBLEMA: Representar en un diagrama de Argand los siguientes números complejos: 2 + 2i 5 + 3i 3 - 2i -4 2i -2 - i -2 + 4i -5 + 3i -4 - 4i La representación de los números complejos sobre el diagrama de Argand es la siguiente:

La variable compleja no es más que una generalización del concepto del número complejo y que por lo mismo no tiene nada de complejo: z = x + iy En el diagrama de Argand, la variable compleja se puede representar de la siguiente manera:

Una vez definida la variable compleja, podemos usarla para definir una función de variable compleja como la siguiente: f(z) = 3 z² - 4 z + 5

Asentados los conceptos anteriores, estamos en condiciones de ver la idea que está detrás del procedimiento de continuación analítica. Tal y como se discute en el famoso libro de Euclides titulado Los Elementos, una serie de números que va aumentando geométricamente como la siguiente: Sn = 1 + x + x² + x3 + ... + xn puede ser expresada también de la siguiente manera: 1 + xSn = 1 + x + x² + x3 + ... + xn + xn+1 1 + xSn = Sn + xn+1 Despejando para x obtenemos lo siguiente:

Ahora bien, si la magnitud de x es menor que la unidad, la cantidad xn+1 se va volviendo cero (xn+1→ 0) conforme x va aumentando, de modo tal que tenemos así la suma de la siguiente serie infinita:

Fue precisamente utilizando la suma de una serie como esta la forma en la cual Arquímedes evaluó el área encerrada entre una parábola y una línea recta. Posiblemente este sea el primer ejemplo de una función que está asociada a la suma de una cantidad infinita de términos. A modo de ejemplo, si hacemos x igual a 1/2, la anterior ecuación nos dá:

Existe, desde luego, una diferencia significativa entre la ecuación original y la ecuación simplificada, porque la ecuación original es válida para cualquier valor de x mientras que la ecuación simplificada no lo es. Por ejemplo, si hacemos x = 2 en la ecuación simplificada, obtenemos lo siguiente: - 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... lo cual no es una igualdad aritmética válida porque el lado derecho no converge hacia ningún valor, mucho menos a una cantidad negativa como -1. Esto nos demuestra que una correspondencia entre una función y una serie infinita como la ecuación simplificada de arriba sólo se sostendrá dentro de cierto rango limitado de la variable. Generalmente hablando, una función analítica f(z) definida en términos de una variable compleja z puede ser expandida mediante una serie de potencias en torno a cualquier valor complejo de la variable z recurriendo a una expansión de series de Taylor, lo cual puede ser escrito como:

pero la serie convergirá en la función sólo sobre una región circular del plano complejo centrada en el punto z0 y extendiéndose hacia el polo más cercano de la función (definimos al polo como un punto en el cual la función se nos hace infinitamente grande en virtud de un término que aparece en un denominador que al tener un valor de cero nos dispara el valor de la fracción hasta el infinito). La función f(z) = 1/(1-z) discutida previamente (con la pequeña variante de que hemos convertido a la variable real x en una variable compleja z) tiene un polo en z = 1, de modo tal que el “disco de convergencia” de la serie de potencias en torno al origen (z = 0) tendrá un radio de 1. Esto está representado en el siguiente diagrama de Argand:

La función analítica f(z) = 1/(1-z) puede ser expandida en una serie de potencias en torno a cualquier otro punto en donde la función y sus derivadas sean “bien comportadas”. Las derivadas de f(z) son:

y así sucesivamente. Injertando estos términos en la expresión para la serie de Taylor, obtenemos:

De este modo, la expansión en serie de potencias llevada a cabo con respecto al punto z = 2 viene siendo: f(2 + z) = -1 + z - z² + z3 - z4 + ... Cada serie de potencias obtenida de esta manera sigue siendo convergente solo dentro de la región circular del plano de Argand centrada en z0 y extendiéndose hacia el polo más cercano de la función. En el ejemplo que hemos estado viendo, puesto que la función f(z) = 1/(1-z) tiene un polo en z = 1, la serie de potencias con z0 = 2 es convergente únicamente en la región sombreada de la siguiente figura:

Hasta aquí hemos estado hablando únicamente acerca de la función particular f(z) = 1/(1-z) y simplemente hemos demostrado cómo esta función analítica conocida es igual a cierta serie de potencias dentro de ciertas regiones del plano complejo. Sin embargo, en algunas circunstancias nos puede ser dada una serie de potencias que no tiene una forma explícitamente cerrada para la función analítica que representa (en su región de convergencia). En tales casos frecuentemente podemos determinar los valores para la función analítica subyacente para argumentos que están fuera de la región de convergencia de la serie de potencias dada precisamente mediante la técnica de continuación analítica. Para ilustrar esto, supóngase que se nos da la siguiente serie de potencias: f(z) = = 1 + z + z² + z3 + z4 + ... y supóngase que no conocemos la expresión en forma cerrada para la función analítica

representada por esta serie. Como se observó arriba, la serie converge para valores de z con magnitudes menores que 1. De cualquier manera, mediante el proceso de continuación analítica podemos determinar el valor de esta función en cualquier valor complejo de z siempre y cuando la función en sí sea bien comportada en dicho punto. Para ello, considérese nuevamente la siguiente región de convergencia para la serie de potencias dada:

Puesto que la serie de potencias conocida es igual a la función dentro de su radio de convergencia, podemos evaluar f(z) y sus derivadas en cualquier punto en dicha región. Podemos, por lo tanto, escoger un punto como el punto z0 mostrado en azul en la figura de arriba, y determinar la expresión en serie de potencias para f(z0+ z) que será convergente dentro de la región circular centrada en z0 y extendiéndose hacia el polo más cercano. De este modo, podemos evaluar la función para valores que queden fuera de la región de convergencia de la serie de potencias original. Una vez que hemos determinado la serie de potencias para f(z0+ z), podemos repetir el procedimiento seleccionando un punto z1 que esté dentro de la región de convergencia y determinando la serie de potencias para f(z1 + z), que será convergente en una región circular centrada en z1 y extendiéndose al polo más cercano (que viene siendo z = 1 en este ejemplo). Esto está ilustrado en la siguiente figura:

Continuando de esta manera, podemos extender analíticamente la función sobre todo el plano complejo excepto en donde la función sea singular, esto es, en los polos de la función. En general, dada una serie de potencias de la forma: f(z) = a0 + a1(z - α) + a2(z - α)² + a3(z - α)3 + ... podemos expresar a la misma función como una serie de potencias centrada en otro número complejo cercano b tal como: f(z) = b0 + b1(z - β) + b2(z - β)² + b3(z - β)3 + ... Para que estas dos series de potencias sean iguales para valores arbitrarios de z, tenemos que igualar los coeficientes de las potencias de z, de modo que tenemos que tener lo siguiente: a0 - αa1 + α²a2 - α3a3 + ... = b0 - βb1 + β²b2 - β3b3 + ... a1 - 2αa2 + 3α²a3 - 4α3a4 + ... = b1 - 2βb2 + 3β²b3 - 4β3b4 + ... a2 - 3α3 + 6α²a4 - 10α3a5 + ... = b2 - 3βb3 + 6β²b4 - 10β3b5 + ... Esto puede ser representado mediante matrices de la manera siguiente:

Multiplicamos ahora ambos miembros de esta ecuación matricial por la matriz de coeficientes del lado derecho obteniendo lo siguiente:

en donde ε = b - a. Esto, desde luego, es equivalente a la aplicación de la expansión en serie de Taylor. Esto parecería excluír cualquier extensión del dominio de la serie de potencias original. Por ejemplo, supóngase que la función original haya sido la serie de potencias para 1/(1 – z) en torno al punto a = 0, de modo tal que los coeficientes a0, a1, … de la serie de potencias fueran todos iguales a 1. De acuerdo con la ecuación matricial anterior, el coeficiente b0 para la serie de potencias sería simplemente: b0 = 1 + β + β² + β3 + ... que desde luego converge sólo sobre la misma región que corresponde a la serie de potencias

original. Tampoco sería de ayuda el romper la transformación de la serie en pasos pequeños, porque las composiciones de la matriz de coeficientes están dadas por:

Siendo así, el efecto neto de subdividir a ε en n segmentos de tamaño ε/n y aplicando la transformación individual n veces evidentemente es lo mismo que llevar a cabo la transformación en un solo paso. A partir de esto podríamos concluír que es imposible continuar analíticamente la serie de potencias más allá de cualquier punto tal como 3i/2 que tenga una magnitud mayor que 1. Sin embargo, es posible llevar a cabo la continuación analítica de la serie geométrica en virtud de lo que llamamos convergencia condicional. Esto puede ser mejor explicado mediante un ejemplo. Empecemos con la siguiente serie de potencias: f(z) = 1 + z + z² + z3 + z4 + ... centrada en el origen. Ciertamente podemos expresar esto como una serie de potencias centrada en el número complejo ε = 3i/4 porque la serie de potencias f(z) y todas sus derivadas son convergentes en dicho punto (que está situado dentro del círculo unitario de convergencia). Por la penúltima ecuación matricial anterior haciendo a0 = a1 = a2 = … = 1, los coeficientes de: f(z) = b0 + b1(z - ε) + b2(z - ε)² + b3(z - ε)3 + ...

son (aquí usamos el hecho de que i² = -1, i3 = - i, i4 = 1, i5 = i, y así sucesivamente):

Se puede demostrar que los valores absolutos de estos coeficientes son bn = (4/5)n+1. Ahora bien, si tomamos estos como los valores an y aplicamos de nuevo la misma transformación, desplazando a la serie de potencias por otro margen ε = 3i/4, de modo tal que la serie resultante esté ahora centrada en 3i/2, encontraremos que el coeficiente b0 dado por la penúltima ecuación matricial anterior es:

en completo acuerdo con la expresión analítica para la función. Esta serie claramente converge, porque cada término tiene una magnitud geométricamente decreciente. En forma similar

podemos calcular los coeficientes de orden mayor para la serie de potencias centrada en el punto 3i/2, el cual está fuera del radio de convergencia de la serie geométrica original centrada en el origen. ¿Pero cómo puede ser esto, podrían preguntarse algunos? Esencialmente hemos multiplicado el vector columna unitario por el vector de coeficiente dos veces, lo cual sabemos que produce el resultado divergente:

Para examinar esto en mayor detalle, llevaremos a cabo la expansión de las cantidades que aparecen en los paréntesis cuadrados de arriba para b0, lo cual nos dá:

Cada renglón individual es convergente, y más aún los renglones convergen hacia valores geométricamente decrecientes, de modo tal que las sumas de los renglones son también convergentes. Sin embargo, si sumamos los valores individuales en las diagonales, obtenemos:

Podemos ver que los términos para b0 son divergentes si los sumamos diagonalmente, pero son convergentes si los sumamos por renglones. En pocas palabras, la serie es condicionalmente convergente, lo cual significa que la suma de la serie depende del orden en el cual sumemos los términos. Lo mismo aplica a las series para los otros coeficientes. Puesto que los términos de una serie convergente condicionalmente pueden ser reacomodados para darnos cualquier valor que queramos, uno puede preguntarse si la continuación analítica, que está basada tan fundamentalmente en la convergencia condicional, nos puede producir un resultado único. La respuesta es afirmativa, pero sólo porque estipulemos cuidadosamente el procedimiento para transformar los coeficientes de las series de potencias de tal manera que las sumas sean evaluadas mediante renglones y no de otra manera. Este procedimiento está justificado principalmente por el hecho de que nos produce resultados que están de acuerdo con las funciones analíticas explícitas en aquellos casos en los que tales funciones nos son conocidas. Esta es pues la idea general detrás del procedimiento matemático conocido como la continuación analítica. Regresamos ahora tras la disgresión a la discusión de la integral de caminos que había quedado arriba en puntos suspensivos. La integral de caminos es amortiguada por un exponencial de decaimiento (con exponente negativo) y convergirá si SE está acotado abajo. En la Cosmología Cuántica, la transformación implica que debemos integrar sobre hojas (manifolds) que tengan una firma Euclideana en lugar de espacios-tiempo Lorentzianos. De este modo, calculamos la función de onda mediante:

en donde M es un 4-espacio Euclideano (al haberse llevado a cabo la transformación indicada hacia un tiempo imaginario) que contiene una rebanada tri-dimensional σ. Las observaciones astronómicas nos indican que el Universo es grande y suave en una escala global, y por lo tanto el paso natural consiste en estimar la integral para 3-superficies σ que son grandes y suaves. Aunque el llevar a cabo esta integración esté más allá de nuestras capacidades, es posible hacer una estimación de la misma como el exponencial de una “acción efectiva” γ[M]. Podemos pensar de esta “acción efectiva” como si se tratase de una acción con todas las fluctuaciones cuánticas integradas fuera de la misma:

No parece ser muy útil el intentar definir una función (γ) en términos de una integral de caminos sobre una función (SE) que desconocemos. Sin embargo, gracias a la Relatividad General conocemos una expresión aproximada de γ para los espacios grandes. Los términos principales son simplemente aquellos que corresponden a la acción (Euclideana) para la Relatividad General:

en donde g es el determinante de la métrica gµv y R es el escalar de Ricci (R = gµv Rµv). Esta expresión puede ser considerada toscamente como una expansión en series de potencias en el tamaño inverso del espacio, para hojas grandes (a escalas cosmológicas) el campo de la gravedad es el campo dominante y podemos despreciar los términos que representan otros campos. Puesto que esta última ecuación es simplemente la acción para la Relatividad General, su punto estacionario es la solución a las ecuaciones de campo de Einstein que incluyan a la constante cosmológica; en el espacio Euclideano esto es una 4-esfera. Para tales espacios , R = 4λ y: ∫d4x √g = 24 π²/λ² Insertando esto en la ecuación anterior para la integral de acción nos produce γ = -3π/Gλ. Puesto que la integral de caminos para Ψ(Σ) es igual al exponencial de -γ/h, tenemos:

Si consideramos a λ como un parámetro independiente, esta expresión alcanza un pico infinitamente grande para λ = 0, con lo cual el problema de fijar a la constante cosmológica a un valor cercano a cero parecería resuelto. La explicación que podemos dar a esto es que los Universos en los cuales λ = 0 son los que predominan en la integral de caminos, haciendo preponderantemente probable que la constante cosmológica se desvanezca. Sin embargo, la constante cosmológica no se puede suponer como un parámetro libre. De cualquier modo, la aplicación de la integral de caminos nos abre aquí un nuevo horizonte de investigaciones posibles.

El éxito de las integrales de caminos para describir en el ámbito de la Mecánica Cuántica a la física no-gravitatoria es lo que condujo a los intentos de describir a la gravedad de la Relatividad General mediante integrales de recorrido. La formulación de la gravedad cuántica mediante integrales de camino no está libre de problemas, como tampoco está claro cómo se relaciona con intentos más modernos para construír una teoría de la gravedad cuántica como la teoría de las supercuerdas, mejor conocida últimamente como la teoría-M. Sin embargo, la integral de caminos puede ser utilizada para calcular correctamente cantidades que pueden ser calculadas independientemente de otras maneras, como las temperaturas y las entropías de los agujeros negros. La propuesta de Vilenkin consiste en tomar como condición inicial una métrica espacial inexistente. Tal estado no tiene correspondencia física alguna en la teoría clásica de la Relatividad General, y fue denominado “nada” por Vilenkin. Este es posiblemente el orígen del mito popular de un Universo creado de la nada. La pregunta sobre el orígen de esta transición se reduce a la misma categoría que la pregunta sobre la razón de que el decaimiento de un átomo ocurra en un instante de tiempo y no en otro o a la pregunta sobre si la partícula cuántica pasará el potencial por medio del efecto túnel o no. Es todo una cuestión de probabilidades, de naturaleza aleatoria en el marco de la física cuántica. Vilenkin ha demostrado que tal probabilidad de transición es máxima para universos con secciones espaciales cerradas en los cuales Ω0 es mayor que la unidad, o sea con una superficie tipo esférica (o elipsoidal) en donde la geometría no-Euclideana hace que los ángulos de un triangulo sumen más de 180°:

En lo que respecta a la propuesta de Hartle-Hawking, esta consiste en tomar como condición

inicial el conjunto todas las geometrías Euclideanas compactas posibles, como por ejemplo una 4esfera (geometrías sin dimensión temporal). Intuitivamente consiste en acoplar el espacio-tiempo en expansión a todas las formas posibles de cerrarlo o redondearlo suavemente, sin picos o singularidades, en su inicio. En palabras del mismo Stephen Hawking: las condiciones de contorno del universo consisten en que el Universo no tiene condiciones de contorno:

La teoría desarrollada en 1983 por Stephen Hawking y James Hartle para una “Función de onda del Universo”, también conocida como la “Teoría de la Propuesta sin Límites“ (No Boundary Proposal Theory) se puede parafrasear del siguiente modo: la condición límite del Universo es que no tenga límite. Sólo si el Universo se halla en ese estado carente de límite, las leyes de la ciencia pueden determinar por sí mismas las probabilidades de cada historia posible, y en este caso las leyes ya conocidas determinan cómo debe comportarse el Universo. Si el Universo se halla en cualquier otro estado, la clase de espacios curvos en la suma de historias incluirá espacios con singularidades. Para determinar las probabilidades de tales historias que incluyan una singularidad sería necesario invocar algún principio diferente a las leyes conocidas de la ciencia, y este principio sería ajeno a nuestro Universo, no podría ser deducido desde el seno de éste. Por otro lado, si el Universo se halla en un estado sin límite, se podría en principio determinar completamente cómo debe comportarse, hasta la frontera marcada por el mismo principio de indeterminación. La propuesta sin límite formula predicciones definitivas sobre el modo en que debe comportarse el Universo. Si estas predicciones no coinciden con las observaciones, cabe llegar a la conclusión de que el Universo no se halla en un estado sin límite. La propuesta sin límite se vuelve así una teoría que puede ser rebatida o desmentida por las observaciones experimentales y reemplazada por otra teoría. Si las predicciones de la teoría Hartle-Hawking no coinciden con las observaciones, entonces se tiene que considerar la existencia de singularidades en la clase de historias posibles. Y sería todo lo que se puede conocer. No se podrían calcular las probabilidades de las historias singulares, ni se podría predecir cómo debe comportarse el Universo. Para Hawking y Hartle esa imposibilidad de predicción no importaría mucho de ocurrir sólo en el principio del Universo, que al fin y al cabo el principio ocurrió hace diez o veinte mil millones de años. Pero sostienen que si la posibilidad de predicción se quebró en los intensos campos gravitatorios del Big Bang, también

podría venirse abajo en cualquier parte, hasta en una estrella. Según Hawking y Hartle, si las leyes de la física pudieron quebrarse al principio del Universo, ¿por qué no podrían quebrarse en cualquier parte? En la Mecánica Cuántica, de naturaleza eminentemente probabilística, hay un principio básico: todo lo que no está prohibido puede suceder y sucederá. De este modo, si la clase de historias posibles incluye espacios con singularidades, éstas podrían ocurrir en cualquier parte y no sólo en el principio. Ello significaría que no habría capacidad de predecir nada. De igual modo, el hecho de que no se puedan predecir acontecimientos constituiría una prueba experimental en contra de las singularidades y a favor de la propuesta sin límite. En las predicciones de la “Teoría de la Propuesta sin Límites” todas las historias posibles del Universo son finitas en magnitud, cualquier cantidad que se utilice como medida del tiempo tendrá un valor máximo y otro mínimo, de modo tal que cada historia estará acotada (bounded). Así el Universo contará con un principio y un final. El comienzo en tiempo real será la singularidad del Big Bang. Pero en tiempo imaginario ( √-1) el comienzo no será una singularidad. En otras palabras, las leyes de la física se cumplen en todas partes, incluyendo el inicio del Universo. En consecuencia, el acontecimiento que se opte por denominar “comienzo del Universo en tiempo imaginario” será un punto ordinario del espacio-tiempo, muy semejante a cualquier otro. Las leyes de la ciencia regirían en el principio al igual que en cualquier otro momento posterior. Habiendo eliminado la singularidad inicial en sus consideraciones, Hawking y Hartle partieron en su trabajo asumiendo tomar la integral de caminos solamente sobre métricas no singulares. En el caso de la integral de caminos ordinaria, se sabe que la medida de la misma está concentrada sobre trayectorias no diferenciables. Pero éstas constituyen la terminación, en alguna topología adecuada, del conjunto de integrales de caminos aparejadas con una acción bien definida. De manera similar, se esperaría que la integral de caminos para la gravedad cuántica se tomase sobre la terminación del espacio de métricas parejas. Lo que la integral de caminos no puede incluír son métricas con singularidades cuya acción no está definida. Como ya se mencionó arriba, por razones prácticas la integral de caminos se formula sobre el soporte de las cuatro dimensiones del espacio-tiempo puestas en igualdad de condiciones, lo cual implica que en vez de hablar acerca de algo como la métrica Lorentziana pura: - x1² + x2² + x3² + x4² en donde la primera coordenada es la coordenada del tiempo, estaríamos hablando de algoEuclideano como: x1² + x2² + x3² + x4²

al poner a x1 = ict con la ayuda de los números imaginarios. Esto nos permite tomar derivadas con respecto a cualquiera de las cuatro coordenadas estando todas en igualdad de condiciones (en inglés se acostumbra llamarle a ésto on an equal footing). Y el procedimiento matemático conocido comocontinuación analítica nos permite transformar los resultados obtenidos sobre condiciones tetradimensionales en términos de números de tres dimensiones espaciales y una de tiempo. Por ello, a veces se le denomina a la dimensión espacial convertida como de “tiempo imaginario”, porque implica el empleo de cifras imaginarias pero definidas matemáticamente. Ahora bien, Hawking y Hartle han considerado el uso de la integral de caminos para intentar describir la gravedad cuántica tomando en consideración métricas Euclideanas que carecen de singularidades, con dos alternativas posibles: una métrica Euclideana plana fuera de un conjunto compacto, o una métrica en variedades que son compactas y sin frontera. La primera clase de métricas asintóticamente Euclideanas es sin lugar a dudas adecuada para cálculos de dispersión. Se puede apreciar en la siguiente figura:

que con esta clase de métricas se puede estimar el envío de partículas hacia adentro desde el infinito y observar qué es lo que puede salir hacia el infinito. Todas las mediciones se realizan en el infinito, donde se tiene una métrica de fondo plano, en la cual se pueden interpretar de la manera usual pequeñas fluctuaciones en los campos como partículas. Lo que ocurre en la región de interacción ubicada en el centro se soslaya, esto debido a que se desarrolla una integral de caminos sobre todas las historias posibles para la región de interacción, es decir, sobre todas las métricas asintóticamente Euclideanas. Pero los estudios cosmológicos habitualmente se realizan con mediciones de regiones finitas. Se procede así, dada la calidad que los humanos tenemos como observadores desde la Tierra. La

ubicación de nuestro planeta es en el interior del Universo, lo cual implica tener una posición de observación endógena que no nos permite mirar hacia adentro desde el exterior del Universo con una vista panorámica super-cósmica. Para ver cuál es la diferencia, supongamos primero que la integral de caminos para la cosmología debe tomarse sobre todas las métricas asintóticamente Euclideanas. Esto conlleva a dos contribuciones a las probabilidades para mediciones en una región finita. La primera provendría de métricas Euclideanas conectadas asintóticamente. La segunda provendría de métricas desconectadas que consistieran de un espacio-tiempo compacto que contenga la región de mediciones y una métrica separada asintóticamente:

No se excluyen de la integral de caminos las métricas desconectadas, puesto que a éstas se les puede aproximar mediante métricas conectadas, donde los distintos componentes están unidos por tubos delgados o agujeros de gusano (wormhole) de una acción insignificante. En cuanto a las regiones del espacio-tiempo compactas y desconectadas, estas no afectarían los cálculos de dispersión, ya que no están conectadas con el infinito, lugar en donde se realizan todas las mediciones. Sin embargo, sí afectarán a las mediciones en la cosmología realizadas en una región finita. En efecto, las contribuciones de tales métricas desconectadas predominarán sobre las contribuciones de las métricas Euclideanas conectadas asintóticamente. Aún así, si se supusiese que la integral de caminos para la cosmología pasa sobre todas las métricas asintóticamente Euclideanas, el efecto sería casi el mismo que si ésa pasara sobre todas las métricas compactas. Por lo tanto, parece más naturla hacer que la integral de caminos para la cosmología pase sobre todas las métricas compactas sin frontera, como lo proponen Hawking y Hartle en su teoría de cosmología cuántica. También sugieren ambos que la integral de caminos para la gravedad cuántica debería pasar sobre todas las métricas Euclideanas compactas. Esto se puede traducir

como el que el cosmos no tenga ninguna condición fronteriza, lo cual puede ser sostenible dadas las condiciones expansivas, isotrópicas, homogéneas, de las pequeñas perturbaciones que son observadas en el Universo. Por otra parte, se puede considerar que tanto el espectro y las estadísticas de esas perturbaciones han sido observables en las fluctuaciones en la radiación cósmica de fondo. Los resultados obtenidos hasta ahora concuerdan con las predicciones de la proposición de la inexistencia de fronteras. Ello podría constituír a futuro una auténtica prueba de la proposición y de todo el programa Euclideano de gravedad cuántica en cuanto el momento en que las observaciones de las microondas de la radiación cósmica de fondo se extiendan a escalas angulares más pequeñas. Sin embargo, asalta un hecho. Recordemos que la integral de caminos implica la suma de una geometría tetradimensional con una inicial y otra final tridimensionales. La proposición de Hawking y Hartle consiste en abolir las geometrías tridimensionales y sólo incluír una tetradimensional que al final se empareja con las geometrías tridimensionales. El uso aquí de la integral de caminos sólo entrega la probabilidad de un Universo con ciertas probabilidades (el límite de las geometrías tridimensionales) pero creado de la nada o a partir de un algo exótico que en Mecánica Cuántica se le conoce como un instantón. El instantón puede ser utilizado para calcular la probabilidad de transición mecánico cuántica de una partícula a través de una barrera de potencial mediante el efecto tunel señalado arriba, y uno de los ejemplos más sencillos de un sistema con un efecto instanton es el de una partícula situada en uno potencial dedos pozos. En contraste con una partícula clásica cuya energía no es mayor que la energía de la barrera de potencial y por lo tanto es incapaz de atravesar la barrera, existe una probabilidad de que pueda cruzar dicha barrera “por debajo” mediante el efecto túnel, y una forma de calcular esta probabilidad es mediante la aproximación WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) que requiere que el valor de h/2π sea pequeño. La ecuación de Schrödinger para la partícula es:

Si el potencial V(x) se mantiene constante, la solución de esta ecuación vendría siendo una onda plana:

en donde:

Esto nos dice que si la energía de la partícula es menor que la energía potencial, uno obtiene una función que decae exponencialmente. La amplitud asociada de tunelaje es proporcional a:

La integral de caminos nos permite obtener el mismo resultado dándole la interpretación del instanton. Bajo este formalismo, la probabilidad de transición es expresada de la manera siguiente (en el paso intermedio se utiliza la notación de paréntesis angulados bra-ket de Dirac):

Llevando a cabo el procedimiento de rotación Wick que es esencialmente el procedimiento de continuación analítica haciendo la transformación de un marco Lorentziano a uno Euclideano mediante un tiempo imaginario (t → iτ), obtenemos la siguiente representación:

en donde la acción Euclideana SE para la integral de caminos es:

Para el potencial, esto tiene el efecto de darle un giro de 180 grados parándolo de cabeza,

haciendo que exhiba dos crestas de energía máxima en lugar de dos pozos. De este modo, a los resultados obtenidos mediante la bien-definida integral de caminos Euclideana se les puede dar una rotación Wick a la inversa para lograr los mismos resultados físicos que serían obtenidos mediante un tratamiento adecuado de la integral de caminos Lorentziana potencialmente divergente. De este modo, el cálculo de la probabilidad de transición para que una partícula pueda tunelar a través de una región clásicamente prohibida (V(x)) mediante una integral de caminos Lorentziana equivale a calcular la probabilidad de transición para tunelar a través de una región clásicamente permitida (con potencial V(X)) mediante una integral de caminos Euclideana (figurativamente hablando, dentro de la perspectiva Euclideana, esta transición corresponde a una partícula rodando de la cima de un potencial de dos pozos parado de cabeza hacia la otra cima del potencial). Esta solución clásica de las ecuaciones Euclideanas del movimiento es justo el ejemplo de un instantón. En la práctica, el cálculo de las probabilidades dentro de la Cosmología Cuántica utilizando la integral de caminos completa es extremadamente laborioso, y se vuelve necesario utilizar cierto tipo de aproximación conocida como aproximación semi-clásica porque su validez está situada entre la validez de la física clásica y la validez de la Mecánica Cuántica. En esta aproximación semiclásica uno argumenta que la mayor parte de las cuatro geometrías dimensionales que ocurren en la integral de caminos darán contribuciones muy pequeñas a la integral de caminos y por lo tanto pueden ser ignoradas. De este modo, la integral de caminos puede ser calculada considerando unas cuantas geometrías que son las que dan una contribución particularmente grande a la misma. Estas contribuciones son las que obtenemos precisamente mediante los instantones. Hay varios tipos de instantones que pueden ser considerados como candidatos para suministrar las condiciones iniciales en el Universo real. El mismo Hawking junto con Ian Moss intentaron describir el inicio del cosmos sobre el supuesto de un Universo cerrado, de geometría tridimensional, y con una eterna inflación. Si el Universo es abierto o cerrado es, por ahora, una interrogante sin una respuesta categórica. En el caso de un Universo plano, la geometría espacial a gran escala es semejante a la del espacio tridimensional de nuestro entorno. Por el contrario, la superficie de las secciones espaciales de un Universo real cerrado se asemejaría a tridimensionales esferas finitas de gran radio. Una geometría abierta se parecería a un hiperboloide infinito. Por lo tanto, para que el Universo sea finito, debe de ser un Universo cerrado. Esto, por ahora, no es lo que estamos viendo. Hay importantes evidencias observacionales que están apuntando hacia una cosmología abierta e infinita para el Universo. Esto dá lugar a una pregunta: ¿existen en ese tipo de espacios cósmicos instantones que puedan describir la creación de universos abiertos? Un posible instanton podría ser la propuesta que hicieron en el año 1987 los físicos Sidney Coleman y Franck De Luccia, quienes propusieron que la materia que detonó el inicio del Universo se encontraba en un estado conocido como “falso vacío” (false vacuum), el cual en términos clásicos es un estado excitado y estable y en Mecánica Cuántica es un estado inestable. Según la Mecánica Cuántica, la materia que se encuentra alojada en un falso vacío puede transferirse a un estado de verdadero vacío. La evolución de un Universo a partir de un instanton Coleman-De Luccia suele ser representada pictográficamente de la siguiente manera:

De acuerdo a Coleman y De Luccia, la transferencia cuántica de la materia en el Universo primigenio procedió vía la formación de núcleos de burbujas alojadas en un falso vacío cuya materia en descomposición se transcurrió hacia el vacío verdadero. En esta proposición, sorprendentemente se puede llegar a consignar que el interior de cada burbuja corresponde a un Universo abierto e infinito en el cual se puede dar la inflación cósmica. Este modelo corresponde a un Universo abierto que cosmológicamente se le conoce como instanton Coleman-De Luccia. Una propuesta alterna al instanton Coleman-De Luccia fue la presentada por Stephen Hawking y Neil Turok, los cuales propusieron una clase de instanton que da lugar a un Universo abierto, semejante al propuesto por Coleman y De Luccia, pero sin el requisito de un falso vacío y de un estado de excitación para la materia inicial. Esta propuesta suele ser representada pictográficamente de la siguiente manera:

La desventaja de la propuesta hecha por Hawking y Turok es el hecho de que sus instantones tienen singularidades en aquellos lugares en donde la curvatura del Universo se hace infinita, singularidades en donde dejan de funcionar las leyes de la física. Hay situaciones en las cuales tenemos dos teorías diferentes que pueden explicar lo mismo y predecir el mismo comportamiento de un sistema físico, siendo ambas correctas. Tal es el caso con la Mecánica Hamiltoniana y la Mecánica Lagrangiana. Pero hay otras situaciones en las cuales tenemos dos teorías esencialmente incompatibles en las cuales sólo una de ellas puede ser cierta, o quizá ninguna de las dos. Tal es el caso de la teoría de los instantones de Coleman-De Luccia y los instantones Hawking-Turok. Las diferencias entre ambas teorías son de una naturaleza tal que necesariamente una de ellas tiene que ser una teoría falsa. Pero también es posible que ambas teorías estén erradas, máxime que ambas fueron formuladas en ausencia de una teoría de la gravedad cuántica que, de existir, sea la verdadera teoría, la teoría de la cual se puedan derivar como casos especiales la Relatividad General para explicar los fenómenos del macrocosmos y la Mecánica Cuántica para explicar los fenómenos del microcosmos. Hablando en términos generales, la Cosmología Cuántica puede ser considerada como una ciencia apenas en ciernes en la cual se han dado los primeros pasos, y muchos trabajos y esfuerzos seguramente tendrán que ser descartados en el camino al darnos cuenta de que alguno de sus postulados o conclusiones estaba esencialmente errado. Sólo el futuro y los posibles avances tecnológicos que pueda tener en el futuro la humanidad podrán decidir cuál de todas las teorías para explicar el origen del Universo es la Cosmología Cuántica correcta, si es que hay una que pueda ser formulada por seres humanos.

68. PERSPECTIVAS FUTURAS La Teoría de la Relatividad en realidad es una teoría incompleta, y Einstein siempre lo supo. Es cierto que ha habido algunas mejoras a la misma que pese a las matemáticas intimidantes han aumentado nuestra comprensión sobre los fenómenos físicos que describe. Una de dichas mejoras consiste en que la notación tensorial utilizada por Einstein ha sido reemplazada por una extructura matemática más moderna, el álgebra exterior, basada en el producto cuña (wedge product) simbolizado con el símbolo “cuña” Λ (wedge), el cual tiene la siguiente interesante propiedad de anticonmutatividad: uΛv = - vΛu Sin embargo, estas mejoras sólo han vuelto a la teoría más elegante, no la han liberado de sus deficiencias. La primera deficiencia que podríamos citar radica en el mismo principio de equivalencia sobre el cual descansa toda la Teoría General de la Relatividad. El mismo Einstein dijo que el estar dentro de un marco de referencia acelerado podía ser considerado, para fines de análisis, como algo equivalente a estar en presencia de un campo gravitacional, pero nunca dijo que fueran exactamente la misma cosa (los llamó equivalentes, no iguales), como podemos verlo en el siguiente esquema comparando ambas situaciones:

Podemos ver claramente que el campo gravitacional de la Tierra posee una estructura esférica que

no puede ser simulada simplemente acelerando un elevador en el espacio con una persona adentro del mismo. Si dos manzanas sostenidas con medio metro de separación entre las mismas son soltadas a una gran altura arriba de la Tierra, la distancia entre las manzanas se irá acortando conforme van cayendo hacia la Tierra porque cada manzana cae a lo largo de una línea recta dirigida hacia el centro de la Tierra. Pero en el elevador que está siendo acelerado, las mismas manzanas caen a lo largo de líneas paralelas. En un caso, las manzanas caen de modo tal que las direcciones de sus caídas están dirigidas hacia un punto de convergencia en donde las líneas rectas de ambas caídas convergen y se encuentran en el centro de la Tierra, mientras que en el otro caso tal punto de convergencia no existe. Esta diferencia nos permite concebir muchos experimentos con los cuales una persona encerrada dentro de un elevador sellado herméticamente sin vista hacia el exterior puede determinar si está en un elevador que está siendo acelerado o si está en presencia de un campo gravitacional. Ambas cosas no son iguales. El principio de equivalencia es útil como una primera aproximación hacia la descripción matemática de lo que ocurre en presencia de campos gravitacionales intensos, pero está basado a fin de cuentas en una equivalencia que no es una igualdad, porque no hay forma alguna en la que una gravedad artificial como la que experimenta un viajero espacial pueda reproducir lo que es una gravedad genuina con todo y ese punto de convergencia que está ausente en la gravedad artificial. La gravedad producida artificialmente en el interior de una nave espacial mientras se está acelerando es algo que consume grandes cantidades de combustible que eventualmente se agotará. Producir en una nave interestelar una gravedad equivalente a la que experimentan los objetos en la superficie de la Tierra (9.8 metros/seg²) consume bastante energía mientras está siendo producida. En cambio, para cuerpos reposando sobre la superficie de la Tierra, esa misma gravedad no implica gasto alguno de energía. Inclusive los fenómenos de levitación (suspensión en el aire) experimentados por místicos y santos según las anécdotas en varios textos religiosos alrededor del mundo son enteramente posibles (por algún mecanismo que desconocemos) porque el flotar en el aire cerca de la superficie de la Tierra tendría un consumo energético nulo de acuerdo con el principio de la conservación de la energía (el gasto energético se produce en todo caso al elevarse aunque sea unos cuantos milímetros venciendo a la gravedad de la Tierra, lo cual requiere de energía que tiene que salir forzosamente de algún lado, dificultándole inclusive al místico más iluminado que podamos encontrar la tarea de levitarse a sí mismo uno o dos kilómetros por encima de la superficie de la Tierra). Hay una cantidad creciente de científicos que están empezando a sospechar que la presencia de estos puntos de convergencia en los campos gravitacionales reales que están ausentes del otro lado de la equivalencia (en los marcos de referencia acelerados) tal vez tenga una trascendencia mucho mayor de lo que habíamos supuesto en un principio. Podemos analizar, relativísticamente, un cuerpo en reposo (de masa propia m0) cargado eléctricamente (con una carga Q). Tanto m0 como Q producirán cada uno un campo esféricamente simétrico, un campo eléctrico y un campo gravitacional, conviviendo ambos como una sola unidad por proceder de un mismo cuerpo pero manteniendo existencias independientes. Y si el cuerpo es puesto en movimiento uniforme, podríamos suponer que ambos campos esféricos se deforman de la misma manera, con la deformación sometida a la contracción predicha por las transformaciones

de Lorentz. Y si el cuerpo es acelerado, podríamos suponer que se debe emitir tanto una radiación electromagnética como una radiación gravitacional (el tema de la emisión de radiación electromagnética producida por una carga eléctrica que está siendo acelerada ya fue tratado en las entradas correspondientes a la electrodinámica relativista). Si esto fuera así, entonces una amplia literatura ya existente en innumerables tratados de electrodinámica, sus fórmulas y sus teoremas, podrían ser reformulados con cambios mínimos (de hecho, sin cambio alguno excepto notacional) para el estudio de cuerpos acelerados en la Teoría de la Relatividad. Sin embargo, aquí nos topamos con un problema fundamental: mientras que en la Teoría de la Relatividad la masa no permanece invariante al pasar de un sistema de referencia a otro, en la electrodinámica se supone que la carga eléctrica permanece invariante al pasar de un sistema de referencia a otro. Esto significa que el campo electromagnético y el campo gravitacional deben tener comportamientos diferentes al pasar de un sistema de referencia a otro pese a ser originados ambos por el mismo cuerpo. Una forma de reconciliar este conflicto consiste en suponer que la masa inercial m0 de un cuerpo, la oposición que presenta el cuerpo a ser acelerado cuando está flotando en el espacio libre, es diferente de la masa gravitacional, la masa que produce un “peso” del cuerpo como se le mide al ponerlo en una báscula situada sobre la superficie de la Tierra, y que la masa gravitacional es la masa utilizada en el tratamiento tensorial de la Relatividad General, con lo cual podríamos hacer a la masa gravitacional tan invariante como la carga eléctrica. En pocas palabras, consideraríamos a la masa inercial y a la masa gravitacional como dos propiedades diferentes de un mismo cuerpo (en su tiempo, el mismo Newton llegó a sospechar que pudieran ser propiedades diferentes) dependiendo del tipo de experimento que se esté llevando a cabo (esto es reminiscente de la dualidad onda-partícula de la materia, con la cual una partícula se puede comportar como un corpúsculo bien definido o como una onda de materia dependiendo del tipo de experimento que se esté llevando a cabo con la partícula). La masa inercial sería la masa utilizada para explicar todo lo que sucede en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad, mientras que la masa gravitacional sería la masa utilizada para explicar todo lo que sucede en el ámbito de la Relatividad General. Con esto, la masa gravitacional se comportaría de la misma manera que la carga eléctrica del cuerpo, y las fórmulas serían las mismas en ambos casos, lo único que cambiaría sería la naturaleza del campo considerado más no su comportamiento bajo marcos de referencia en movimiento uniforme y acelerados. Pero esto nos presenta un nuevo problema, ya que al “desconectar” a la masa inercial de la masa gravitacional estaríamos demoliendo el mismo principio sobre el cual descansa la Relatividad General: el Principio de Equivalencia. Este principio de equivalencia es precisamente lo que “conecta” a la Teoría Especial de la Relatividad con la Relatividad General. Otra posibilidad consistiría en suponer que la carga eléctrica no es la invariante absoluta que hemos supuesto todo el tiempo, y que los efectos de la variación de la carga eléctrica al ser situada en marcos de referencia acelerados son tan minúsculos que pese a estar ahí no han podido ser detectados por estar lejos del alcance de nuestros métodos experimentales y de nuestras máquinas más potentes. Pero el fin teórico de la invariancia de la carga eléctrica tendría otra consecuencia inmediata: todas las fórmulas de la electrodinámica relativista basadas en la invariancia de la carga eléctrica dejarían de ser completamente válidas, y pasarían a ser meras aproximaciones de algo más general que está a la espera de ser descubierto. En cualquier caso, algo va a tener que ceder a un nivel tan fundamental

que necesariamente estaríamos hablando de una modificación radical de nuestros conceptos teóricos más esenciales, las mismas bases sobre las cuales descansa el edificio que hemos construído hasta ahora. Pero las deficiencias y los conflictos que se acaban de señalar apenas tocan la superficie de otras consideraciones mucho más problemáticas. James Clerk Maxwell en quien Einstein se inspiró había logrado la unificación del campo magnético y del campo eléctrico en una sola teoría que explicaba todos los fenómenos electromagnéticos. Por su parte Einstein había logrado una teoría para explicar todos los fenómenos de índole gravitacional bajo un nuevo concepto de la mecánica. La pregunta lógica era ahora: ¿por qué no unificar ambas teorías en una sola? Después de todo, si Maxwell ya había logrado llevar a cabo la unificación del campo magnético y del campo eléctrico en una sola teoría, la unificación de las ideas de Maxwell y de Einstein podía ser considerado como el siguiente paso natural. Consecuentemente, la búsqueda de tal unificación fue emprendida por Einstein, en pos de una gran super-teoría que Einstein llamó lateoría del campo unificado. Esta hipótesis se basa en la esperanza de que debe de haber una explicación única y simple para todo, una formula que explique toda la naturaleza del universo, capaz de explicar todas las fuerzas, una teoria que posiblemente nos proporcione la clave para poder entenderlo “todo”. El primer triunfo aparente para obtener la unificación de la Teoría de la Relatividad con la teoría del electromagnetismo fue logrado entre 1919 y 1926 por Theodor Kaluza y Oskar Klein, pero este triunfo llegó a costa de ampliar el espacio cuatri-dimensional de Einstein a un espacio de cinco dimensiones, una idea que ya para entonces no parecía tan extravagante. Después de todo, si un espacio de cuatro dimensiones, más allá del espacio de tres dimensiones (ancho, altura, profundidad) que percibimos con nuestros sentidos, había logrado la proeza de explicar todos los fenómenos gravitatorios, ¿por qué no la postulación de una quinta dimensión podría lograr la unificación de las ecuaciones de Einstein con las ecuaciones de Maxwell? Esta teoría es hoy conocida como la Teoría de Kaluza-Klein. Se sobreentiende que esta quinta dimensión es una dimensión puramente matemática que está más allá de nuestros sentidos físicos para poder visualizarla. El problema con la Teoría de Kaluza-Klein es que no explica fenómenos que involucran las otras dos fuerzas de orden atómico que se sabe que existen, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil. No hay forma alguna en la cual se puedan obtener explicaciones teóricas a estos fenómenos subatómicos recurriendo únicamente a la Teoría de Kaluza-Klein. Sin embargo, considerando que la Teoría de Kaluza-Klein, aunque incompleta, había logrado la hazaña de unificar a la relatividad con el electromagnetismo mediante la postulación de un espacio de cinco dimensiones en lugar de cuatro, ¿por qué no considerar la posibilidad de obtener una teoría más amplia agregando más dimensiones al espacio de cinco dimensiones, con el fin de poder explicar también bajo un mismo esquema la interacción fuerte y la interacción débil?

Es así como las nuevas teorías para explicarlo todo a partir de una fórmula general han ido agregando una cantidad creciente de dimensiones matemáticas, las cuales están complicando enormemente la posibilidad de poder obtener una fórmula matemática sencilla como las fórmulas generales que obtuvieron Newton y Einstein en sus respectivas formulaciones de la mecánica gravitatoria. Einstein creía que la fórmula mágica para explicarlo todo debería ser una fórmula sencilla, comprensible, lo cual es imposible de lograr cuando se le van agregando más y más dimensiones a un espacio multi-dimensional cada vez más abultado. Es posible que la fórmula sencilla o por lo menos no tan complicada que Einstein estaba buscando para la formulación de su teoría del campo unificado ni siquiera exista, y si existe dicha fórmula tal vez sólo se podrá escribir concibiendo nuevas estructuras matemáticas que por el momento no nos son claras a nuestro entendimiento. Por lo pronto, lo que se tiene a la mano requiere ya no tanto de nuevas filosofías sino de un repertorio de herramientas matemáticas que requiere un grado de Doctorado bastante lejos del alcanzar para el común denominador de la gente. Además de considerar la posibilidad de ir aumentando el número de dimensiones pasando del 4-espacio relativista a un N-espacio, también existe la posibilidad de mantenernos en el 4-espacio pero aumentar el orden de los tensores, saltando (por ejemplo) de los tensores de orden dos a tensores de orden tres o inclusive tensores de orden cuatro. La geometría Riemanniana ya está preparada para este brinco al no estar limitada a un 4-espacio y al ser una geometría de cobertura general. Bajo el esquema de un aumento en el orden de los tensores, el tensor energía-tensión general T = (Tαβ) de la Relatividad General pasaría a ser un tensor como T = (Tαβγ), el cual incorporaría todas las propiedades y características ya conocidos para dicho tensor. Del mismo modo, otros tensores tales como el tensor de Faraday F aumentarían de orden incorporando lo que ya se tiene hoy. La dificultad presentada por el recurso de echar mano de tensores de orden mayor, además del trabajo matemático extra que representa este esquema, es que no se puede dar tal salto sin que esté justificado por nuevas observaciones experimentales que aún no tenemos. Einstein creía que debía ser posible derivarlo todo recurriendo únicamente a las capacidades del intelecto sin gastar mucho tiempo en algún laboratorio. Pero a estas alturas se antoja un poco difícil que este modo de pensar nos pueda llevar muy lejos. Las complejidades arriba señaladas van a la raíz de otro problema que no ha sido resuelto aún: la unificación de la teoría de la relatividad con la mecánica cuántica. Es bien sabido que ni la teoría cuántica explica por qué es imposible viajar a la velocidad de la luz ni la Teoría de la Relatividad explica nada acerca del comportamiento de las partículas atómicas y subatómicas como pequeños paquetes de ondas de materia. Para intentar unificar a la Relatividad General con la mecánica cuántica, se ha propuesto como partícula elemental de la fábrica espacio-tiempo a una curiosa partícula elemental bautizada como elgravitón. Y se ha postulado que, a escalas subatómicas, existe una especie de principio de incertidumbre con el cual en la fábrica espacio-tiempo ocurren cosas tan espectaculares como el tiempo dando marcha atrás. No es un mero asunto de dilatación del tiempo o inclusive un congelamiento total del avance del tiempo, sino un tiempo negativo en el que nos dirigimos no

hacia el futuro sino hacia el pasado. Muchos filósofos contemporáneos aún encuentran estas ideas sumamente difíciles de digerir. Al igual que la catedral más grande como Notre Dame en París que está construída a fin de cuentas con muchos ladrillos que son los que le dan su forma y arquitectura, también los planetas y las estrellas están hechos a fin de cuentas con átomos y moléculas que son los en última instancia dictan las propiedades de los planetas y las estrellas empezando por la más fundamental de todas: la atracción gravitatoria. Cada átomo, cada molécula, necesariamente debe contribuír un poco a dicha atracción, de manera tal que con la fuerza de los números grandes los efectos se deben manifestar tal y como los vemos. Esto significa que si la ecuación tensorial básica de la Teoría General de la Relatividad debe tener un origen, ese origen debe radicar a fin de cuentas en los mismos átomos. Una Teoría General de la Relatividad más completa que la que actualmente tenemos debe poder obtenerse a partir de las propiedades de los mismos átomos, y a esos niveles microscópicos el comportamiento de la materia está dictado por la ecuación de onda de Schrodinger que resume la dualidad ondapartícula de la materia ultra-microscópica y su comportamiento probabilístico:

No nos es posible derivar la ecuación tensorial G = (8πG/c²)T de la ecuación de onda de Schrodinger porque el comportamiento gravitacional de los átomos nunca fue incorporado por Schrodinger a su ecuación. Lo más lejos que se ha llegado ha sido la fusión de la mecánica cuántica con la Teoría Especial de la Relatividad dando origen a lo que hoy se conoce como la mecánica cuántica relativista, pero esto es una referencia a la Teoría Especial de la Relatividad, no a la Teoría General de la Relatividad. Ese fue uno de los asuntos que quedaron pendientes en la época de Schrodinger, Pauli, Dirac, y otros, bajo el argumento de que a nivel atómico los efectos gravitacionales “son despreciables”. Tal vez lo serán para dos o tres átomos en cercanía el uno con el otro (e inclusive esto está por verse), pero cuando se trata de 1020 o 1030 átomos conglomerados en cercanía el uno con el otro, el argumento de que los efectos gravitacionales ocasionados por los átomos es despreciable se cae por sí solo. Einstein intentó proceder a la inversa, intentó incorporar las fuerzas de índole sub-microscópica a sus ecuaciones tensoriales, de modo tal que lo que sucede a nivel atómico y sub-atómico pudiera ser explicado como una consecuencia de lo que ocurre a gran escala, y su fracaso evidente en esta tarea nos debe poner a pensar que una teoría ampliada sobre el comportamiento de la materia no puede privilegiar el comportamiento del macrocosmos sobre el comportamiento del microcosmos. Es irónico que Einstein, quien eliminó los conceptos del movimiento absoluto, del espacio absoluto

y del tiempo absoluto, negando así la posibilidad de observadores privilegiados, haya intentado privilegiar sus propias teorías sobre las teorías que rigen el comportamiento básico de la materia en el microcosmos. Habiéndose aferrado a este punto de vista, no es de extrañar que haya terminado con las manos vacías en su búsqueda por “la gran unificación”. Asimilando los fracasos del pasado, bajo esta óptica la unificación plena de la mecánica cuántica con la mecánica relativista tiene que darse en el mundo microscópico, y es la Teoría General de la Relatividad la que tiene que ser incorporada dentro de la mecánica cuántica y derivada de ella, y no al revés como pretendía hacerlo Einstein. En base a la naturaleza discreta (cuántica) de todo lo que hay en el Universo, parece sensato suponer que la conexión entre el mundo probabilístico de la Mecánica Cuántica y el mundo determinístico de la Teoría de la Relatividad se llevará a cabo reemplazando una sumación por una integral (saltando con ello del mundo discreto al mundo continuo, que dicho sea de paso es el eje central de toda la teoría matemática del cálculo infinitesimal):

Σ⇒∫

Después de todo, así fue precisamente como Einstein logró explicar el movimiento Browniano sentando las bases teóricas de la existencia del átomo y con ello de la teoría atómica moderna, paradójicamente rehusándose a hacer lo mismo con su propia Teoría de la Relatividad. Del mismo modo que no es posible continuar subdividiendo a la materia hasta el infinito sin toparse eventualmente con esas unidades discretas que llamamos átomos, es imposible extender los alcances de la Teoría de la Relatividad hasta niveles atómicos porque los átomos se convierten en singularidades que están fuera del alcance del modelo continuo en el cual se basa el Análisis Tensorial. Sin embargo, si estamos dispuestos a explorar la fundamentación del Análisis Tensorial sobre una base probabilista en vez de una base determinista, esto nos abre un nuevo horizonte de posibilidades al parejo con la posibilidad del desarrollo de nuevas herramientas matemáticas que no se nos habían ocurrido, porque se ha pasado por alto el hecho de que la Mecánica Cuántica, pese a estar basada en modelos probabilistas, mantiene intacto el espíritu de la filosofía relativista, inclusive a un grado mucho mayor que la misma Teoría de la Relatividad aplicada al macrocosmos. Considérese por ejemplo el análisis relativista de la órbita de un planeta girando en torno al Sol. El modelo relativista de Schwarzschild nos especifica dos coordenadas angulares para la ubicación del móvil, θ y φ. Sin embargo, una de esas dos coordenadas angulares permanece fija ya que la órbita del satélite está confinada a un plano. Esto le dá a la posición angular fija una valor privilegiado (por ejemplo, φ = π/2) sobre todos los demás valores angulares posibles (por ejemplo, φ = π/4, φ = 0, φ = 3π/2, etc.), lo cual va en sentido contrario a la relativización de la Naturaleza.

En cambio, el modelo probabilista de la Mecánica Cuántica que sitúa al electrón del átomo de hidrógeno no como una partícula girando en una órbita circular a un radio fijo alrededor del núcleo atómico sobre un plano orbital fijo sino como unanube de probabilidad:

destrona el status privilegiado que cierta distancia radial o el valor de cierta coordenada angular pudieran tener sobre todos los demás valores posibles, no habiendo por lo tanto un valor privilegiado sobre todas las demás. Lo que hay en todo caso es una mayor probabilidad de encontrar a un electrón en ciertos lugares que en otros, más no una certeza absoluta, ya que de haberla tendríamos un modelo determinístico con un conjunto de valores privilegiado sobre los demás en oposición a la filosofía relativista. Debe destacarse el hecho de que si en 1915, cuando la Teoría de la Relatividad ya estaba plenamente desarrollada y dos años después de que hubiera propuesto su modelo atómico planetario, el físico danés Niels Bohr hubiese adoptado una postura relativista, es muy probable que en vez de su modelo atómico planetario del átomo:

que concibió para explicar las líneas espectrales -inspirado en modelo planetario mecanístico de Newton- habría terminado reemplazándolo con un modelo probabilista, anticipándose con ello a lo que ya se estaba en ciernes en las mentes de otros investigadores. Si en vez de darle al electrón una órbita situándolo -en un sistema de coordenadas esféricas- a cierto ángulo azimutal fijo, privilegiando tal valor angular por encima de todos los demás (una posible infinitud de ellos), y una distancia radial fija privilegiándola de modo absoluto por sobre todas las demás, hubiera adoptado una postura puramente relativista bajo la cual no hay razón alguna para que cierto valor de coordenada angular sea privilegiado sobre todos los demás valores posibles, y de tal modo su modelo habría terminado siendo justo el modelo probabilista que tenemos hoy del átomo. El modelo planetario mecánico de Bohr, mucho menos relativista que el modelo atómico basado en nubes de probabilidad, terminó siendo desechado a fin de cuentas, considerado más como una forma de arte que como ciencia. Resulta irónico que pese a ser el modelo atómico de Bohr mucho menos relativista que el modelo atómico actual basado en nubes de probabilidad, del mismo Bohr nos haya venido algo que tal vez pueda ser utilizado exitosamente en el desarrollo de una Teoría Cuántica de la Gravedad, el principio de correspondencia que nos dice que para números cuánticos grandes, la ecuación cuántica se convierte en la ecuación clásica correspondiente. A nivel subatómico, la Mecánica Cuántica nos ha demostrado ya su enorme eficiencia. Al irse juntando cantidades cada vez mayores de átomos, el pequeñisimo efecto gravitacional individual se debe ir sumando al de los demás emparejándoseestadísticamente en un promedio en el que no vemos ya las contribuciones individuales de cada átomo al gran promedio, y en el cual el infinito discreto nos produce la ilusión del infinito continuo. Si esto es así, entonces tal vez debería ser posible, en principio, enunciar el principio de correspondencia de Bohr en una forma modificada como la siguiente: Principio de correspondencia de Bohr (revisado): Para un número cuántico grande, la ecuación cuántica se debe convertir en una ecuación tensorial covariante. La relatividad, como ya se resaltó, es inherente al modelo probabilista del átomo, y al irse

juntando una cantidad cada vez mayor de átomos la Naturaleza se debe volver menos relativista, lo cual (afortunadamente) permite que las órbitas de los planetas en torno al Sol sean posibles. No hay pues conflicto alguno en la posibilidad de que podamos anclar los orígenes de la Teoría de la Relatividad al mismo átomo, siempre y cuando estemos dispuestos a desechar la Relatividad determinística-mecanística y estemos dispuestos a considerar la posibilidad de una nueva frontera: la Relatividad probabilista. Si el mismo Einstein hubiera podido sobreponerse a su desdén hacia las mismas bases de la Mecánica Cuántica, es posible que habría desarrollado las herramientas matemáticas al igual que como lo hizo Newton en su desarrollo del cálculo infinitesimal para el desarrollo de la mecánica Newtoniana. Ciertamente tenía la inteligencia para ello. Lo que no tenía era ni la voluntad ni el estómago para modificar sus propios puntos de vista, pese a que la misma Teoría de la Relatividad resultó ser un concepto tan novedoso como radical y revolucionario que tuvieron que pasar varias décadas para que pudiera ser asimilada en su plenitud. Podemos suponer, desde luego, que hay dos leyes físicas básicas totalmente diferentes en el Universo, las cuales son independientes la una de la otra, una dando origen al comportamiento cuántico de la materia, y la otra dando origen al comportamiento gravitacional, las cuales trabajando en una maravillosa y extraña coincidencia son las causantes de lo que vemos hoy. Pero desde hace ya mucho tiempo que los científicos dejaron de creer en coincidencias. Todo lo anterior nos conduce a sospechar en la posibilidad de que la ecuación de onda de Schrödinger tal vez pueda ser ampliada con la adición de un término desconocido:

o la introducción de un factor desconocido:

con lo cual se llevaría a su conclusión aquello que el mismo Schrödinger dejó pendiente. Como está dada hoy su ecuación, no es posible derivar de la misma la explicación de ningún fenómeno gravitacional (del mismo modo que no es posible derivar la Teoría General de la Relatividad explicación alguna para los fenómenos que ocurren en el mundo sub-atómico). Algo nos falta en ella que tiene que ser agregado, incorporando dentro de la misma un espacio cuatri-dimensional (o inclusive un espacio de mayores dimensiones, aunque nuestra limitada intuición geométrica no

nos ayude a captarlo en su totalidad). Para el estudio de los fenómenos microscópicos y para los efectos del cálculo numérico, el factor desconocido o el término desconocido sería considerado insignificante, despreciable, pero no sería cero. A medida que se van acumulando más y más átomos y moléculas en un solo lugar, la contribución de cada uno de ellos a la curvatura del espacio-tiempo deja de ser insignificante, hasta el punto en que el efecto gravitacional se vuelve predominante, imposible de ignorar. Esto es lo que debe predecir una ecuación relativista generalizada de Schrödinger. Los fenómenos físicos en el macrocosmos dependen a fin de cuentas de la contribución producida por cada átomo y molécula en reposo o en movimiento. Es muy posible que a nivel individual cada átomo exhiba un efecto probabilista en su contribución a la curvatura del espacio-tiempo en su entorno, el cual sería promediado fuera (estadísticamente hablando) en un conglomerado enorme de átomos y moléculas, lo cual a su vez justificaría el modelo determinista (no-probabilista) defendido por Einstein. En cierta forma, la ecuación de onda de Schrödinger dada arriba ya está preparada de alguna manera para la incorporación de una cuarta coordenada haciéndola pasar a un espacio cuatridimensional. Matemáticamente la ecuación se puede expresar de manera más concisa recurriendo al operador Laplaciano (nabla ó del):

Este operador es extendido a cuatro dimensiones con la definición de un operador ampliado conocido como el operador D’Alembertiano (vector):

definido a partir del siguiente tensor de orden 1

con lo cual, aplicando la convención de sumación y recurriendo a la ayuda del tensor métrico ημν:

² = ∂μ∂μ

² = ημν∂μ ∂ν

El problema en tratar de unificar la Teoría de la Relatividad con la mecánica cuántica no es tan sólo un problema de mera índole matemática, sino que confronta cuestiones filosóficas de fondo que a primera vista parecen imposibles de conciliar. En las fórmulas derivadas por Einstein existe la presunción de que todo se puede describir rigurosamente mediante el par causa y efecto. Si se conocen las condiciones iniciales de un problema mecánico, entonces todo lo que acontecerá en el futuro puede ser predicho a partir de dichas condiciones. El universo de Einstein es, en efecto, un universo determinístico. Pero en la mecánica cuántica esta filosofía es echada por la borda empezando con la postulación del principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual nos dice que no es posible determinar a la vez con precisión ilimitada la posición exacta de una partícula y la velocidad con la cual se está moviendo, y esto no se trata de un problema en la limitación que nuestros instrumentos de medición impongan para la medición de tales parámetros, se trata de una cuestión inherente a la naturaleza de la materia en sí. El universo de la mecánica cuántica es, en efecto, un universo probabilístico. No hay forma fácil de poder conciliar estos puntos de vista tan diametralmente opuestos. En nuestro trayecto hacia la gran unificación de la Teoría de la Relatividad con la mecánica cuántica contamos ya con algunas unas pistas experimentales que, aunque escasas, están resultando muy reveladoras. Una de ellas nos viene de un experimento llevado a cabo en 1975 por los investigadores R. Colella, A. Overhauser y S. A. Werner. Se trata del descubrimiento y corroboración de un efecto de interferencia que depende de un ángulo de corrimiento de fase cuántico debido a la gravedad, el cual ha sido verificado con un error experimental inferior al 1% con la ayuda de un interferómetro de neutrones que utiliza neutrones térmicos para el estudio de los neutrones como ondas de materia. Este es el primer experimento de su tipo en el cual en los cálculos teóricos el potencial gravitatorio entra directamente dentro de la ecuación de Schrodinger, y nos revela algo sumamente interesante:La gravedad no es puramente geométrica a un nivel cuántico puesto que su efecto depende de (m/ħ). Si lo meditamos un poco, este resultado no nos debe resultar tan sorprendente en virtud de que si la gravedad mantuviese su aspecto puramente geométrico en el mundo sub-microscópico ello implicaría una posible sub-división hipotética del espacio-tiempo hasta niveles sub-atómicos, lo cual en turno convertiría al mundo sub-microscópico en un entorno determinista en donde las reglas de la mecánica cuántica no

deberían de funcionar, lo cual no es el caso. Todo nos parece indicar que, a niveles sub-atómicos, la suave geometría Riemanniana del continuum se esfuma para dar paso a otra cosa para la cual la mecánica cuántica trabaja bien aunque aún no haya incorporado dentro de sí a la gravedad. El experimento COW (Colella, Overhauser, Werner) nos indica sin equivocación alguna que la gravedad y la Mecánica Cuántica no son algo desconectado, y que a nivel sub-atómico es posible observar y medir efectos debidos a la gravedad porque inclusive a este nivel potencial gravitacional. Einstein tuvo enormes dificultades para aceptar los postulados de la mecánica cuántica, pese a una cantidad creciente de triunfos de la teoría cuántica en la predicción de fenómenos que fueron confirmados rigurosamente en el laboratorio uno a uno. Einstein se opuso firmemente a esta concepción del universo, a grado tal que afirmó en una célebre frase: “Dios no juega a los dados con el Universo”. Con este modo de pensar, el mismo Einstein se ató sus propias manos impidiéndose a sí mismo la búsqueda de una teoría que pudiera conciliar su universo determinístico con el universo probabilístico de la mecánica cuántica. De cualquier modo, el mismo Einstein reconoció las limitaciones matemáticas inherentes en cualquier esfuerzo por tratar de extender la Relatividad General hacia el microcosmos:

“Las ecuaciones diferenciales que pueden ser postuladas como ley de campo para losgik no pueden ser menores del segundo orden, esto es, deben contener por lo menos las segundas derivadas de los gik con respecto a las coordenadas. Suponiendo que no aparezcan derivadas mayores de segundo orden en la ley de campo, está determinado matemáticamente por el principio de la relatividad general. El sistema de ecuaciones puede ser escrito en la forma: Rik = 0 Los Rik se transforman en la misma manera que los gik, esto es, también ellos forman un tensor simétrico. Estas ecuaciones diferenciales reemplazan completamente la teoría Newtoniana del movimiento de los cuerpos celestes siempre y cuando las masas sean representadas como singularidades del campo. En otras palabras, ellas contienen la ley de la fuerza así como la ley del movimiento a la vez que se eliminan 'sistemas inerciales'. El hecho de que las masas aparezcan como singularidades indica que estas masas por sí mismas no pueden ser explicadas por campos simétricos gik, o 'campos gravitacionales'. Ni siquiera el hecho de que únicamente existan masas positivas gravitacionales puede ser deducido de esta teoría. Evidentemente una teoría relativista de campo completa debe estar basada en un campo de naturaleza más compleja, esto es, una generalización del campo simétrico tensorial”. (“On the Generalized Theory of Gravitation”, Albert Einstein, Scientific American, Abril, 1950.)

Precisamente para solventar el problema presentado por este fenómeno “patológico” de las partículas atómicas y sub-atómicas que necesariamente aparecen como singularidades en las ecuaciones de campo de Einstein, el físico ruso Anatoli Logunov junto con dos colaboradores suyos, Mestvirishvili y Petrov, concibió una teoría alternativa a la Relatividad General, a la cual llamó Teoría Relativista de la Gravitación (desafortunadamente, esta selección de palabras se presta a la confusión con la teoría de Einstein), cuya formulación es muy similar a la Relatividad General. Las predicciones de esta teoría y la de Einstein son muy parecidas, ambas postulan ecuaciones muy similares sobre cómo se curva el espacio-tiempo en presencia de la materiaenergía, y la forma geométrica del espacio tiempo en el vacío resulta similar. Las dos teorías son diferentes, sin embargo, en sus implicaciones cosmológicas y de equilibrio de cuerpos muy masivos. La Teoría Relativista de la Gravitación requiere que el gravitón tenga una masa pequeña pero aún así diferente de cero; en cambio la Relatividad General de Einstein es compatible tanto con una masa del gravitón diferente de cero,como con una masa del gravitón exactamente igual a cero. Si la masa del gravitón no fuera cero ello se manifestaría en la presencia en las ecuaciones de campo de una constante cosmológica, lo cual debe tener consecuencias detectables. En principio, se pueden diseñar experimentos para descartar una de las dos teorías, pero hasta la fecha esto sigue un asunto pendiente de resolver. La Teoría Relativista de la Gravitación, pese a su atractivo en la remoción de las masas puntuales como singularidades matemáticas de la teoría, no es la principal competidora de la Relatividad General, de Einstein. Lo es la teoría de gravitación BransDicke desarrollada en 1961 que también es capaz de explicar la deflexión de la luz en presencia de un campo gravitacional así como la precesión de las órbitas de los planetas en torno al Sol, y la cual contiene además sus propias características peculiares tales como el hecho de que la constante de gravitación universal G no es realmente una constante e inclusive lo que la sustituye dentro de la teoría Brans-Dicke puede variar de lugar así como en el tiempo. Al igual que como ocurre con la Teoría Relativista de la Gravitación de Logunov, las predicciones de la teoría BransDicke también concuerdan con los datos observados experimentalmente hasta la fecha, y aquí también el diseño de algún experimento que ponga a una teoría sobre la otra sigue un asunto pendiente de resolver. Por otro lado, además de que la Teoría de la Relatividad es incapaz por sí sola de explicar los fenómenos propios del electromagnetismo y ha resistido los intentos de los mejores científicos de nuestro tiempo por ser unificada con la mecánica cuántica, además es incapaz también de explicar también otro asunto que ha causado enorme preocupación a los científicos: la presunta existencia de algo bautizado como la materia oscura. Si aplicamos ya sea las ecuaciones de Newton o las ecuaciones de Einstein al estudio del comportamiento de las galaxias, de las cuales las más susceptibles de análisis son las conocidas como las galaxias espirales, las cuales se dá por hecho que están en movimiento de rotación por la forma que tienen los brazos espirales:

encontramos que simple y sencillamente no hay suficiente masa para proporcionar suficiente atracción gravitacional (o curvatura en el espacio-tiempo) para retener las estrellas situadas en los bordes exteriores de las galaxias, las cuales ya deberían haber salido disparadas fuera de las mismas desde hace mucho tiempo. Debe haber algo más que está proporcionando esa atracción gravitacional extra para poder retener las estrellas exteriores a las galaxias orbitando en torno al centro de la galaxia. Ese algo es precisamente la materia oscura. El problema es que no hay nada allí afuera que nos indique su existencia. Puesto que no parece interferir con la transmisión de la luz que nos llega desde el interior de otras galaxias exteriores a la nuestra, la materia oscura parece ser totalmente invisible. Pero a la vez debe ser lo suficientemente masiva para poder proporcionar una atracción gravitacional enorme que permite que las galaxias puedan mantener sus estrellas unidas en rotación constante. La única forma de compensar por esta atracción extra es introduciendo una constante cosmológica dentro de la ecuación tensorial básica de la Teoría de la Relatividad. Esto sería para justificar los efectos de la materia oscura sin tratar de comprender la naturaleza de la cual está hecha. Pero la materia oscura no es el único problema que enfrenta actualmente la Teoría de la Relatividad. Los descubrimientos astronómicos más recientes nos han confirmado que no sólo nuestro Universo se está expandiendo, sino que esa expansión que se creía constante y uniforme se está acelerando. La primera consecuencia de este descubrimiento es que la ley de Hubble que no anticipaba tales efectos de aceleración en la expansión del Universo está entrando en serios aprietos. Esta aceleración en la expansión del Universo se cree que es debida a algo que

ha sido bautizado como la energía oscura, una energía de naturaleza puramente antigravitacional. Si pudiésemos en estos momentos producir en la Tierra aunque fuese un poco de esa materia oscura, podríamos construír naves espaciales que nos podrían llevar a otros planetas de nuestro sistema solar en cuestión de unas cuantas horas. La única forma inmediata de compensar por esta repulsión extra es introduciendo otra constante cosmológica dentro de la ecuación tensorial básica de la Teoría de la Relatividad que ciertamente será diferente de la constante cosmológica requerida para compensar por los efectos de la materia oscura, de modo tal que tendríamos dos constantes cosmológicas diferentes, una para explicar los efectos gravitacionales a distancias cortas (hablando en términos astronómicos) y la otra para explicar los efectos gravitacionales a distancias grandes. Tal vez podríamos agrupar ambas constantes cosmológicas dentro de una sola constante cosmológica que se reduciría a la explicación de los efectos de la materia oscura para distancias cortas y la explicación de los efectos de la energía oscura para distancias grandes. Esto nos lleva de nuevo a la Teoría Relativista de la Gravitación propuesta por Anatoli Logunov y sus colaboradores, mencionada arriba. Esta teoría, al requerir una masa del gravitón que sea diferente de cero, introduce en las ecuaciones de campo la siguiente constante cosmológica:

en donde mg es la masa del gravitón. Esto tiene una consecuencia importante, ya que la adición de este término adicional a las ecuaciones de campo proporcionaría una explicación a la aceleración de la expansión del Universo, aunque deja pendiente el asunto de la explicación acerca de la materia obscura. Aún si la Teoría Relativista de la Gravitación de Logunov resulta cierta, la explicación de ambos efectos opuestos por un mismo conjunto de ecuaciones de campo necesariamente será un asunto de complejidad adicional que nos aleja de la suposición Einsteniana de que todas las leyes del Universo deben poder ser derivables de unos cuantos principios que pueden ser expresados en términos elementales. Puesto más elitísticamente, el Universo estaría construído de modo tal que su funcionamiento no podrá ser entendido más que por unos privilegiados, a menos de que inventemos una nueva estructura matemética que permita resumir sus leyes de una manera concisa. Aquí resulta instructivo reproducir las siguientes palabras del Profesor Heinz Pagels tomadas de su libro Perfect Symmetry: “Pero mi exhuberancia juvenil generó algo de lo cual no me he podido liberar hasta el día de hoy, la idea de que una ley física sencilla explique la totalidad de la existencia material. Tal ley física explicaría el origen del Universo, sus contenidos, y su destino final. Todas las demás leyes naturales podrían ser derivadas lógicamente de esta ley única. Si tal ley fuese descubierta, sería el triunfo supremo de la física: la narración lógica de la fundación de la

existencia estaría completa. Nadie, incluídos los físicos, tiene la menor prueba de que tal ley pueda existir. Es fácil imaginar muchos problemas. Tal vez la misma idea de lo que es una ley física se quiebra en algún punto. Por ejemplo, la descripción física de la Naturaleza, que hasta hoy no le ha fallado a los físicos, concebiblemente sea inadecuada para la tarea de poder enunciar tal ley. Otra posibilidad es que tal ley maestra existe pero la mente humana es incapaz de encontrarla. Inclusive una super-inteligencia artificial con capacidades que van más allá de la mente humana estaría limitada por esa misma ley. Entonces, por eso mismo, estaría imposibilitada para poder descubrir tal ley”. (Sobre esto último, puesto con otras palabras, la forma y la naturaleza de dicha ley actuando sobre de una super-inteligencia artificial quizá le impediría a esa super-inteligencia artifical el poder descubrirla; estamos hablando aquí de una máquina que tendría que ser lo suficientemente inteligente para poder comprender las mismas leyes que le permitan comprender aquello que está tratando de comprender pese a que está sujeta a esas misma leyes.) Nadie ha demostrado que tal teoría del todo pueda existir. Pero tampoco nadie ha demostrado que tal teoría no exista. Es muy posible que una teoría del todo realmente exista esperando ser descubierta por alguien. Han aparecido recientemente trabajos apuntando hacia esa dirección. Uno de ellos que tomó por sorpresa al mundo académico fue presentado por Antony Garret Lisi, el cual remitió su trabajo al repositorio de Internet arXiv el 6 de noviembre de 2007 bajo el título “Una teoría del todo excepcionalmente simple” (An Exceptionally Simple Theory of Everything). Este es un trabajo sorprendente por cuanto su autor no pertenece al mundo habitual de la física académica sino que se ha dedicado la mayor parte del año a la práctica del surf en Hawai. Al menos desde el punto de vista matemático, su autor logra lo que se propone, unificar plenamente la Mecánica Cuántica con la Teoría de la Relatividad. Sin embargo, el título del trabajo suena más que irónico, porque esta unificación fue llevada a cabo recurriendo a álgebras Lie y a uno de los grupos más complejos que se conocen dentro de la teoría de grupos, el grupo compacto Lie E8 de dimensión 248. Y aunque en marzo de 2010 Jacques Distler y Skip Garibaldi publicaron un trabajo refutando la teoría de Lisi, el hecho de que alguien haya logrado dar con argumentos convincentes para proporcionar una solución con las matemáticas actuales al problema de la gran unificación buscada por Einstein debe ser motivo de reflexión, máxime que desde antes de la publicación de dicho trabajo ha existido una comunidad creciente de científicos que sospechan que el grupo compacto Lie E8 posiblemente jugará un papel importante en la obtención de la verdadera teoría del todo. De cualquier modo, no se debe descartar la posibilidad de que sea necesario el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas que logren “pegar” filosóficamente el mundo determinista y el mundo de la probabilidad como una especie de dios Jano con dos rostros distintos pero en el fondo una sola y misma persona. Estas nuevas herramientas matemáticas posiblemente actuarían como el complemento necesario, como la pieza faltante para poder terminar de ensamblar el rompecabezas. Hasta hoy hemos tratado de explicarlo todo con las matemáticas que ya se tienen, y tal vez sea necesario romper el esquema metiendo algo nuevo que no contradiga lo que ya se tiene pero que pueda unificar algo que de otra manera tal vez sea imposible de unificar. Como puede verse, aún hay mucho campo de estudio y recreación con amplias oportunidades en

el futuro para quienes quieran continuar la labor emprendida por genios como Einstein. Y aunque posiblemente algunos se sientan atemorizados al no sentirse intelectualmente a la altura de Einstein, deben considerar que, más que un cociente intelectual de 500, tal vez lo que se requiera sean ideas nuevas que a fin de cuentas serán el fruto de la imaginación, la cual tiene más que ver con la creatividad que con cocientes intelectuales superiores.

Referencias para estudios posteriores

(1) Referencia Wikipedia sobre el álgebra exterior basada en el producto cuña: http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exterior (2) Referencia Wikipedia sobre la teoría del campo unificado: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_campo_unificado (3) Referencia Wikipedia sobre la teoría de Kaluza-Klein: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Kaluza-Klein (4) Referencia Wikipedia sobre la interacción nuclear débil: http://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_d%C3%A9bil (5) Referencia Wikipedia sobre la interacción nuclear fuerte: http://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_fuerte (6) Referencia Wikipedia sobre el gravitón: http://es.wikipedia.org/wiki/Gravit%C3%B3n (7) Referencia Wikipedia sobre la mecánica cuántica relativista: http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica_relativista (8) Referencia Wikipedia sobre la gravedad cuántica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad_cu%C3%A1ntica (9) Referencia PBS acerca de la nueva teoría del todo basada en las supercuerdas: http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant (10) Referencia Wikipedia sobre la materia oscura: http://es.wikipedia.org/wiki/Materia_oscura (11) Referencia Wikipedia acerca de la energía oscura: http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_oscura (12) Referencia Wikipedia sobre la ley de Hubble: http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Hubble (13) Referencias Wikipedia sobre “Una teoría del todo excepcionalmente simple” de Antony Garret Lisi: http://es.wikipedia.org/wiki/Una_teor%C3%ADa_del_todo_excepcionalmente_simple http://en.wikipedia.org/wiki/An_Exceptionally_Simple_Theory_of_Everything

APÉNDICE I. EL PAPEL ORIGINAL DE EINSTEIN DE 1905 “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento” (versión en inglés)

Albert Einstein 30 de junio de 1905

It is known that Maxwell's electrodynamics --as usually understood at the present time-- when applied to moving bodies, leads to asymmetries which do not appear to be inherent in the phenomena. Take, for example, the reciprocal electrodynamic action of a magnet and a conductor. The observable phenomenon here depends only on the relative motion of the conductor and the magnet, whereas the customary view draws a sharp distinction between the two cases in which either the one or the other of these bodies is in motion. For if the magnet is in motion and the conductor at rest, there arises in the neighbourhood of the magnet an electric field with a certain definite energy, producing a current at the places where parts of the conductor are situated. But if the magnet is stationary and the conductor in motion, no electric field arises in the neighbourhood of the magnet. In the conductor, however, we find an electromotive force, to which in itself there is no corresponding energy, but which gives rise --assuming equality of relative motion in the two cases discussed-- to electric currents of the same path and intensity as those produced by the electric forces in the former case. Examples of this sort, together with the unsuccessful attempts to discover any motion of the earth relatively to the “light medium”, suggest that the phenomena of electrodynamics as well as of mechanics possess no properties corresponding to the idea of absolute rest. They suggest rather that, as has already been shown to the first order of small quantities, the same laws of electrodynamics and optics will be valid for all frames of reference for which the equations of mechanics hold good.[1] We will raise this conjecture (the purport of which will hereafter be called the “Principle of Relativity”) to the status of a postulate, and also introduce another postulate, which is only apparently irreconcilable with the former, namely, that light is always propagated in empty space with a definite velocity c which is independent of the state of motion of the emitting body. These two postulates suffice for the attainment of a simple and consistent theory of the electrodynamics of moving bodies based on Maxwell's theory for stationary bodies. The introduction of a “luminiferous ether” will prove to be superfluous inasmuch as the view here to be developed will not require an “absolutely stationary space” provided with special properties, nor assign a velocity-vector to a point of the empty space in which electromagnetic processes take place. The theory to be developed is based --like all electrodynamics-- on the kinematics of the rigid body, since the assertions of any such theory have to do with the relationships between rigid bodies (systems of co-ordinates), clocks, and electromagnetic processes. Insufficient consideration of this circumstance lies at the root of the

difficulties which the electrodynamics of moving bodies at present encounters.

I. KINEMATICAL PART

§ 1. Definition of Simultaneity

Let us take a system of co-ordinates in which the equations of Newtonian mechanics hold good. [2] In order to render our presentation more precise and to distinguish this system of co-ordinates verbally from others which will be introduced hereafter, we call it the “stationary system.” If a material point is at rest relatively to this system of co-ordinates, its position can be defined relatively thereto by the employment of rigid standards of measurement and the methods of Euclidean geometry, and can be expressed in Cartesian co-ordinates. If we wish to describe the motion of a material point, we give the values of its co-ordinates as functions of the time. Now we must bear carefully in mind that a mathematical description of this kind has no physical meaning unless we are quite clear as to what we understand by “time”. We have to take into account that all our judgments in which time plays a part are always judgments ofsimultaneous events. If, for instance, I say, “That train arrives here at 7 o'clock”, I mean something like this: “The pointing of the small hand of my watch to 7 and the arrival of the train are simultaneous events”.[3] It might appear possible to overcome all the difficulties attending the definition of “time” by substituting “the position of the small hand of my watch” for “time”. And in fact such a definition is satisfactory when we are concerned with defining a time exclusively for the place where the watch is located; but it is no longer satisfactory when we have to connect in time series of events occurring at different places, or --what comes to the same thing-- to evaluate the times of events occurring at places remote from the watch. We might, of course, content ourselves with time values determined by an observer stationed together with the watch at the origin of the co-ordinates, and co-ordinating the corresponding positions of the hands with light signals, given out by every event to be timed, and reaching him through empty space. But this co-ordination has the disadvantage that it is not independent of the standpoint of the observer with the watch or clock, as we know from experience. We arrive at a much more practical determination along the following line of thought. If at the point A of space there is a clock, an observer at A can determine the time values of events

in the immediate proximity of A by finding the positions of the hands which are simultaneous with these events. If there is at the point B of space another clock in all respects resembling the one at A, it is possible for an observer at B to determine the time values of events in the immediate neighbourhood of B. But it is not possible without further assumption to compare, in respect of time, an event at A with an event at B. We have so far defined only an “A time” and a “B time”. We have not defined a common “time” for A and B, for the latter cannot be defined at all unless we establish by definitionthat the “time” required by light to travel from A to B equals the “time” it requires to travel from B to A. Let a ray of light start at the “A time” tA from A towards B, let it at the “B time” tB be reflected at B in the direction of A, and arrive again at A at the “A time” t’A. In accordance with definition the two clocks synchronize if tB - tA = t’A- t’B We assume that this definition of synchronism is free from contradictions, and possible for any number of points; and that the following relations are universally valid:-1. If the clock at B synchronizes with the clock at A, the clock at A synchronizes with the clock at B. 2. If the clock at A synchronizes with the clock at B and also with the clock at C, the clocks at B and C also synchronize with each other. Thus with the help of certain imaginary physical experiments we have settled what is to be understood by synchronous stationary clocks located at different places, and have evidently obtained a definition of “simultaneous”, or “synchronous”, and of “time”. The “time” of an event is that which is given simultaneously with the event by a stationary clock located at the place of the event, this clock being synchronous, and indeed synchronous for all time determinations, with a specified stationary clock. In agreement with experience we further assume the quantity

to be a universal constant--the velocity of light in empty space. It is essential to have time defined by means of stationary clocks in the stationary system, and the time now defined being appropriate to the stationary system we call it “the time of the stationary system”.

§ 2. On the Relativity of Lengths and Times

The following reflexions are based on the principle of relativity and on the principle of the constancy of the velocity of light. These two principles we define as follows:--

1. The laws by which the states of physical systems undergo change are not affected, whether these changes of state be referred to the one or the other of two systems of coordinates in uniform translatory motion. 2. Any ray of light moves in the “stationary” system of co-ordinates with the determined velocity c, whether the ray be emitted by a stationary or by a moving body. Hence

where time interval is to be taken in the sense of the definition in § 1. Let there be given a stationary rigid rod; and let its length be l as measured by a measuring-rod which is also stationary. We now imagine the axis of the rod lying along the axis of x of the stationary system of co-ordinates, and that a uniform motion of parallel translation with velocity v along the axis of x in the direction of increasing x is then imparted to the rod. We now inquire as to the length of the moving rod, and imagine its length to be ascertained by the following two operations:-(a) The observer moves together with the given measuring-rod and the rod to be measured, and measures the length of the rod directly by superposing the measuring-rod, in just the same way as if all three were at rest.

(b) By means of stationary clocks set up in the stationary system and synchronizing in accordance with § 1, the observer ascertains at what points of the stationary system the two ends of the rod to be measured are located at a definite time. The distance between these two points, measured by the measuring-rod already employed, which in this case is at rest, is also a length which may be designated “the length of the rod”.

In accordance with the principle of relativity the length to be discovered by the operation (a) --we will call it “the length of the rod in the moving system”-- must be equal to the length l of the stationary rod. The length to be discovered by the operation (b) we will call “the length of the (moving) rod in the stationary system.” This we shall determine on the basis of our two principles, and we shall find that it differs from l. Current kinematics tacitly assumes that the lengths determined by these two operations are precisely equal, or in other words, that a moving rigid body at the epoch t may in geometrical respects be perfectly represented by the same body at rest in a definite position. We imagine further that at the two ends A and B of the rod, clocks are placed which synchronize with the clocks of the stationary system, that is to say that their indications correspond at any instant to the “time of the stationary system” at the places where they happen to be. These clocks are therefore “synchronous in the stationary system”. We imagine further that with each clock there is a moving observer, and that these observers apply to both clocks the criterion established in § 1 for the synchronization of two clocks. Let a ray of light depart from A at the time[4] tA, let it be reflected at B at the time let it be reflected at B at the timetB , and reach A again at the time t’A. Taking into consideration the principle of the constancy of the velocity of light we find that

where rAB denotes the length of the moving rod --measured in the stationary system--. Observers moving with the moving rod would thus find that the two clocks were not synchronous, while observers in the stationary system would declare the clocks to be synchronous. So we see that we cannot attach any absolute signification to the concept of simultaneity, but that two events which, viewed from a system of co-ordinates, are simultaneous, can no longer be looked upon as simultaneous events when envisaged from a system which is in motion relatively to that system.

§ 3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Times from a Stationary System to another System in Uniform Motion of Translation Relatively to the Former

Let us in “stationary” space take two systems of co-ordinates, i.e. two systems, each of three rigid material lines, perpendicular to one another, and issuing from a point. Let the axes of X of the two systems coincide, and their axes of Y and Z respectively be parallel. Let each system be provided with a rigid measuring-rod and a number of clocks, and let the two measuring-rods, and likewise all the clocks of the two systems, be in all respects alike. Now to the origin of one of the two systems (k) let a constant velocity v be imparted in the direction of the increasing x of the other stationary system (K), and let this velocity be communicated to the axes of the co-ordinates, the relevant measuring-rod, and the clocks. To any time of the stationary system K there then will correspond a definite position of the axes of the moving system, and from reasons of symmetry we are entitled to assume that the motion of k may be such that the axes of the moving system are at the time t (this “t” always denotes a time of the stationary system) parallel to the axes of the stationary system. We now imagine space to be measured from the stationary system K by means of the stationary measuring-rod, and also from the moving system k by means of the measuring-rod moving with it; and that we thus obtain the co-ordinates x, y, z, and ξ, η, ς, τ respectively. Further, let the time t of the stationary system be determined for all points thereof at which there are clocks by means of light signals in the manner indicated in § 1; similarly let the time τ of the moving system be determined for all points of the moving system at which there are clocks at rest relatively to that system by applying the method, given in § 1, of light signals between the points at which the latter clocks are located. To any system of values x, y, z, t, which completely defines the place and time of an event in the stationary system, there belongs a system of values ξ, η, ς, τ, determining that event relatively to the system k, and our task is now to find the system of equations connecting these quantities. In the first place it is clear that the equations must be linear on account of the properties of homogeneity which we attribute to space and time. If we place x'=x-νt, it is clear that a point at rest in the system k must have a system of values x', y, z, independent of time. We first define τ as a function of x', y, z, and t. To do this we have to express in equations that τ is nothing else than the summary of the data of clocks at rest in system k, which have been synchronized according to the rule given in § 1. From the origin of system k let a ray be emitted at the time τ0 along the X-axis to x', and at the timeτ1 be reflected thence to the origin of the co-ordinates, arriving there at the time τ2; we then must have ½(τ0 + τ2 = τ1), or, by inserting the arguments of the function τ and applying the principle of the constancy of the velocity of light in the stationary system:--

Hence, if x' be chosen infinitesimally small,

or

It is to be noted that instead of the origin of the co-ordinates we might have chosen any other point for the point of origin of the ray, and the equation just obtained is therefore valid for all values of x', y,z. An analogous consideration --applied to the axes of Y and Z-- it being borne in mind that light is always propagated along these axes, when viewed from the stationary system, with the velocity √c² - V² gives us

Since τ is a linear function, it follows from these equations that

where a is a function φ(v) at present unknown, and where for brevity it is assumed that at the origin of k, τ = 0 when t = 0.

With the help of this result we easily determine the quantities ξ, η, ς by expressing in equations that light (as required by the principle of the constancy of the velocity of light, in combination with the principle of relativity) is also propagated with velocity c when measured in the moving system. For a ray of light emitted at the time τ = 0 in the direction of the increasing ξ

But the ray moves relatively to the initial point of k, when measured in the stationary system, with the velocity c-v, so that

If we insert this value of t in the equation for ξ, we obtain

In an analogous manner we find, by considering rays moving along the two other axes, that

when

Thus

Substituting for x' its value, we obtain

where

and φ is an as yet unknown function of ν. If no assumption whatever be made as to the initial position of the moving system and as to the zero point of τ, an additive constant is to be placed on the right side of each of these equations. We now have to prove that any ray of light, measured in the moving system, is propagated with the velocity c, if, as we have assumed, this is the case in the stationary system; for we have not as yet furnished the proof that the principle of the constancy of the velocity of light is compatible with the principle of relativity. At the time t = τ = 0, when the origin of the co-ordinates is common to the two systems, let a spherical wave be emitted therefrom, and be propagated with the velocity c in system K. If (x, y, z) be a point just attained by this wave, then x² + y² + z² = c²t² Transforming this equation with the aid of our equations of transformation we obtain after a simple calculation ξ² + η² + ς² = c²τ²

The wave under consideration is therefore no less a spherical wave with velocity of propagation cwhen viewed in the moving system. This shows that our two fundamental principles are compatible.[5] In the equations of transformation which have been developed there enters an unknown function φof ν which we will now determine. For this purpose we introduce a third system of co-ordinates K’, which relatively to the system k is in a state of parallel translatory motion parallel to the axis of Ξ*[1] such that the origin of coordinates of system K’, moves with velocity -ν on the axis of Ξ. At the time t=0 let all three origins coincide, and when t=x=y=z=0 let the time t' of the system K’ be zero. We call the co-ordinates, measured in the system K’, x', y', z', and by a twofold application of our equations of transformation we obtain

Since the relations between x', y', z' and x, y, z do not contain the time t, the systems K and K’ are at rest with respect to one another, and it is clear that the transformation from K to K’ must be the identical transformation. Thus

We now inquire into the signification of φ(v). We give our attention to that part of the axis of Y of system k which lies between ξ = 0, η = 0, ς = 0 and ξ = 0, η = l, ς = 0. This part of the axis of Y is a rod moving perpendicularly to its axis with velocity ν relative to system K. Its ends possess in K the co-ordinates

and x2 = vt, y2 = 0, z2 = 0. The length of the rod measured in K is therefore l/φ(v); and this gives us the meaning of the functionφ(v). From reasons of symmetry it is now evident that the length of a given rod moving perpendicularly to its axis, measured in the stationary system, must depend only on the velocity and not on the direction and the sense of the motion. The length of the moving rod measured in the stationary system does not change, therefore, if ν and -ν are interchanged. Hence follows that l/φ(v)= l/φ(-v), or φ(v) = l/φ(-v) It follows from this relation and the one previously found that φ(v) = 1, so that the transformation equations which have been found become

where

§ 4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect to Moving Rigid Bodies and Moving Clocks

We envisage a rigid sphere[5] of radius R, at rest relatively to the moving system k, and with its centre at the origin of co-ordinates of k. The equation of the surface of this sphere moving relatively to the system K with velocity ν is ξ² + η² + ς² = R² The equation of this surface expressed in x, y, z at the time t=0 is

A rigid body which, measured in a state of rest, has the form of a sphere, therefore has in a state of motion--viewed from the stationary system--the form of an ellipsoid of revolution with the axes R√ 1 - V²/c², R, R. Thus, whereas the Y and Z dimensions of the sphere (and therefore of every rigid body of no matter what form) do not appear modified by the motion, the X dimension appears shortened in the ratio 1 : √ 1 - V²/c², i.e. the greater the value of ν, the greater the shortening. For ν=c all moving objects --viewed from the “stationary” system-- shrivel up into plane figures *[2]. For velocities greater than that of light our deliberations become meaningless; we shall, however, find in what follows, that the velocity of light in our theory plays the part, physically, of an infinitely great velocity. It is clear that the same results hold good of bodies at rest in the “stationary” system, viewed from a system in uniform motion. Further, we imagine one of the clocks which are qualified to mark the time t when at rest relatively to the stationary system, and the time τ when at rest relatively to the moving system, to be located at the origin of the co-ordinates of k, and so adjusted that it marks the time τ. What is the rate of this clock, when viewed from the stationary system? Between the quantities x, t, and τ, which refer to the position of the clock, we have, evidently, x=νtand

Therefore τ = t√ 1 - V²/c² = t - (1 - √ 1 - V²/c²) t whence it follows that the time marked by the clock (viewed in the stationary system) is slow by 1 -√ 1 - V²/c² seconds per second, or --neglecting magnitudes of fourth and higher order-- by ½V²/c². From this there ensues the following peculiar consequence. If at the points A and B of K there are stationary clocks which, viewed in the stationary system, are synchronous; and if the clock at A is moved with the velocity v along the line AB to B, then on its arrival at B the two clocks no longer synchronize, but the clock moved from A to B lags behind the other which has remained at B by ½tV²/c² (up to magnitudes of fourth and higher order), t being the time occupied in the journey from A to B. It is at once apparent that this result still holds good if the clock moves from A to B in any polygonal line, and also when the points A and B coincide. If we assume that the result proved for a polygonal line is also valid for a continuously curved line, we arrive at this result: If one of two synchronous clocks at A is moved in a closed curve with constant velocity until it returns to A, the journey lasting t seconds, then by the clock which has remained at rest the travelled clock on its arrival at A will be ½tV²/c² second slow. Thence we conclude that a balance-clock[2] at the equator must go more slowly, by a very small amount, than a precisely similar clock situated at one of the poles under otherwise identical conditions.

§ 5. The Composition of Velocities

In the system k moving along the axis of X of the system K with velocity ν, let a point move in accordance with the equation

where wξ and wη denote constants. Required: the motion of the point relatively to the system K. If with the help of the equations of transformation developed in § 3 we introduce the quantities x, y, z, t into the equations of motion of the point, we obtain

Thus the law of the parallelogram of velocities is valid according to our theory only to a first approximation. We set

*[3]

a is then to be looked upon as the angle between the velocities v and w. After a simple calculation we obtain*[4]

It is worthy of remark that v and w enter into the expression for the resultant velocity in a symmetrical manner. If w also has the direction of the axis of X, we get

It follows from this equation that from a composition of two velocities which are less than c, there always results a velocity less than c. For if we set v = c - κ, w = c - λ, κ and λ being positive and less than c, then

It follows, further, that the velocity of light c cannot be altered by composition with a velocity less than that of light. For this case we obtain

We might also have obtained the formula for V, for the case when v and w have the same direction, by compounding two transformations in accordance with § 3. If in addition to the systems K and kfiguring in § 3 we introduce still another system of co-ordinates k' moving parallel to k, its initial point moving on the axis of Ξ*[5] with the velocity w, we obtain equations between the quantities x, y, z, tand the corresponding quantities of k', which differ from the equations found in § 3 only in that the place of “v” is taken by the quantity

from which we see that such parallel transformations --necessarily-- form a group. We have now deduced the requisite laws of the theory of kinematics corresponding to our two principles, and we proceed to show their application to electrodynamics.

II. ELECTRODYNAMICAL PART

§ 6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for Empty Space. On the Nature of the Electromotive Forces Occurring in a Magnetic Field During Motion

Let the Maxwell-Hertz equations for empty space hold good for the stationary system K, so that we have

where (X, Y, Z) denotes the vector of the electric force, and (L, M, N) that of the magnetic force. If we apply to these equations the transformation developed in § 3, by referring the electromagnetic processes to the system of co-ordinates there introduced, moving with the velocity v, we obtain the equations

where

Now the principle of relativity requires that if the Maxwell-Hertz equations for empty space hold good in system K, they also hold good in system k; that is to say that the vectors of the electric and the magnetic force--(

,

,

) and (

,

,

)--of the moving system k, which are defined

by their ponderomotive effects on electric or magnetic masses respectively, satisfy the following equations:--

Evidently the two systems of equations found for system k must express exactly the same thing, since both systems of equations are equivalent to the Maxwell-Hertz equations for system K. Since, further, the equations of the two systems agree, with the exception of the symbols for the vectors, it follows that the functions occurring in the systems of equations at corresponding places must agree, with the exception of a factor ψ(v), which is common for all functions of the one system of equations, and is independent of ξ, η, ς and τ but depends upon ν. Thus we have the relations

If we now form the reciprocal of this system of equations, firstly by solving the equations just obtained, and secondly by applying the equations to the inverse transformation (from k to K), which is characterized by the velocity -ν, it follows, when we consider that the two systems of equations thus obtained must be identical, that φ(v)φ(-v)=1. Further, from reasons of symmetry[8] and therefore φ(v)= 1, and our equations assume the form

As to the interpretation of these equations we make the following remarks: Let a point charge of electricity have the magnitude “one” when measured in the stationary system K, i.e. let it when at rest in the stationary system exert a force of one dyne upon an equal quantity of electricity at a distance of one cm. By the principle of relativity this electric charge is also of the magnitude “one” when measured in the moving system. If this quantity of electricity is at rest relatively to the stationary system, then by definition the vector (X, Y, Z) is equal to the force acting upon it. If the quantity of electricity is at rest relatively to the moving system (at least at the relevant instant), then the force acting upon it, measured in the moving system, is equal to the vector (X’, Y’, Z’). Consequently the first three equations above allow themselves to be clothed in words in the two following ways:-1. If a unit electric point charge is in motion in an electromagnetic field, there acts upon it, in addition to the electric force, an “electromotive force” which, if we neglect the terms multiplied by the second and higher powers of ν/c, is equal to the vector-product of the velocity of the charge and the magnetic force, divided by the velocity of light. (Old manner of expression.) 2. If a unit electric point charge is in motion in an electromagnetic field, the force acting upon it is equal to the electric force which is present at the locality of the charge, and which we ascertain by transformation of the field to a system of co-ordinates at rest relatively to the electrical charge. (New manner of expression.) The analogy holds with “magnetomotive forces”. We see that electromotive force plays in the developed theory merely the part of an auxiliary concept, which owes its introduction to the circumstance that electric and magnetic forces do not exist independently of the state of motion of the system of co-ordinates. Furthermore it is clear that the asymmetry mentioned in the introduction as arising when we consider the currents produced by the relative motion of a magnet and a conductor, now disappears. Moreover, questions as to the “seat” of electrodynamic electromotive forces (unipolar machines) now have no point.

§ 7. Theory of Doppler's Principle and of Aberration

In the system K, very far from the origin of co-ordinates, let there be a source of electrodynamic waves, which in a part of space containing the origin of co-ordinates may be represented to a

sufficient degree of approximation by the equations

where

Here are the vectors defining the amplitude of the wave-train, and l, m, n the direction-cosines of the wave-normals. We wish to know the constitution of these waves, when they are examined by an observer at rest in the moving system k. Applying the equations of transformation found in § 6 for electric and magnetic forces, and those found in § 3 for the co-ordinates and the time, we obtain directly

where

From the equation for ω’ it follows that if an observer is moving with velocity v relatively to an infinitely distant source of light of frequency ν in such a way that the connecting line “sourceobserver” makes the angle φ with the velocity of the observer referred to a system of co-ordinates which is at rest relatively to the source of light, the frequency ν’ of the light perceived by the observer is given by the equation

This is Doppler's principle for any velocities whatever. When φ = 0 the equation assumes the perspicuous form

We see that, in contrast with the customary view, when v = -c, ν’ = ∞. If we call the angle between the wave-normal (direction of the ray) in the moving system and the connecting line “source-observer” φ’, the equation for φ’ *[6]assumes the form

This equation expresses the law of aberration in its most general form. If φ = ½π, the equation becomes simply cos φ’ = -v/c We still have to find the amplitude of the waves, as it appears in the moving system. If we call the amplitude of the electric or magnetic force A or A’ respectively, accordingly as it is measured in the stationary system or in the moving system, we obtain

It follows from these results that to an observer approaching a source of light with the velocity c, this source of light must appear of infinite intensity.

§ 8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of the Pressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors

Since A²/8π equals the energy of light per unit of volume, we have to regard A’²/8π, by the principle of relativity, as the energy of light in the moving system. Thus A’²/A² would be the ratio of the “measured in motion” to the “measured at rest” energy of a given light complex, if the volume of a light complex were the same, whether measured in K or in k. But this is not the case. If l, m, n are the direction-cosines of the wave-normals of the light in the stationary system, no energy passes through the surface elements of a spherical surface moving with the velocity of light:-(x - lct)² + (y - mct)² + (z - nct)² = R² We may therefore say that this surface permanently encloses the same light complex. We inquire as to the quantity of energy enclosed by this surface, viewed in system k, that is, as to the energy of the light complex relatively to the system k. The spherical surface --viewed in the moving system-- is an ellipsoidal surface, the equation for which, at the time τ = 0 is (βξ - lβξv/c)² + (η - mβξv/c)² + (ζ - nβξv/c)² = R² If S is the volume of the sphere, and S’ that of this ellipsoid, then by a simple calculation

Thus, if we call the light energy enclosed by this surface E when it is measured in the stationary

system, and E’ when measured in the moving system, we obtain

and this formula, when φ = 0 simplifies into

It is remarkable that the energy and the frequency of a light complex vary with the state of motion of the observer in accordance with the same law. Now let the co-ordinate plane ξ = 0 be a perfectly reflecting surface, at which the plane waves considered in § 7 are reflected. We seek for the pressure of light exerted on the reflecting surface, and for the direction, frequency, and intensity of the light after reflexion. Let the incidental light be defined by the quantities A, cos φ, ν(referred to system K). Viewed from k the corresponding quantities are

For the reflected light, referring the process to system k, we obtain

Finally, by transforming back to the stationary system K, we obtain for the reflected light

The energy (measured in the stationary system) which is incident upon unit area of the mirror in unit time is evidently A²(c cosφ - v)/8π. The energy leaving the unit of surface of the mirror in the unit of time is A’’’²(-c cosφ’’’ + v)/8π. The difference of these two expressions is, by the principle of energy, the work done by the pressure of light in the unit of time. If we set down this work as equal to the product P, where Pν is the pressure of light, we obtain

In agreement with experiment and with other theories, we obtain to a first approximation

All problems in the optics of moving bodies can be solved by the method here employed. What is essential is, that the electric and magnetic force of the light which is influenced by a moving body, be transformed into a system of co-ordinates at rest relatively to the body. By this means all problems in the optics of moving bodies will be reduced to a series of problems in the optics of stationary bodies.

§ 9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Convection-Currents are Taken into Account

We start from the equations

where

denotes 4π times the density of electricity, and (ux,uy,uz) the velocity-vector of the charge. If we imagine the electric charges to be invariably coupled to small rigid bodies (ions, electrons), these equations are the electromagnetic basis of the Lorentzian electrodynamics and optics of moving bodies. Let these equations be valid in the system K, and transform them, with the assistance of the equations of transformation given in §§ 3 and 6 to the system k. We then obtain the equations

where

and

Since --as follows from the theorem of addition of velocities (§ 5)-- the vector (uξ, uη, uζ) is nothing else than the velocity of the electric charge, measured in the system k, we have the proof that, on the basis of our kinematical principles, the electrodynamic foundation of Lorentz's theory of the electrodynamics of moving bodies is in agreement with the principle of relativity. In addition I may briefly remark that the following important law may easily be deduced from the developed equations: If an electrically charged body is in motion anywhere in space without altering its charge when regarded from a system of co-ordinates moving with the body, its charge also remains --when regarded from the “stationary” system K-- constant.

§ 10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron

Let there be in motion in an electromagnetic field an electrically charged particle (in the sequel called an “electron”), for the law of motion of which we assume as follows:-If the electron is at rest at a given epoch, the motion of the electron ensues in the next instant of time according to the equations

where x, y, z denote the co-ordinates of the electron, and m the mass of the electron, as long as its motion is slow. Now, secondly, let the velocity of the electron at a given epoch be v. We seek the law of motion of the electron in the immediately ensuing instants of time. Without affecting the general character of our considerations, we may and will assume that the electron, at the moment when we give it our attention, is at the origin of the co-ordinates, and moves with the velocity v along the axis of X of the system K. It is then clear that at the given moment (t=0) the electron is at rest relatively to a system of co-ordinates which is in parallel motion with velocity valong the axis of X. From the above assumption, in combination with the principle of relativity, it is clear that in the immediately ensuing time (for small values of t) the electron, viewed from the system k, moves in accordance with the equations

in which the symbols ξ, η, ζ, X’, Y’, Z’ refer to the system k. If, further, we decide that when t = x = y= z =0 then τ = ξ = η = ζ = 0, the transformation equations of §§ 3 and 6 hold good, so that we have

With the help of these equations we transform the above equations of motion from system k to system K, and obtain

_ _. . . (A) Taking the ordinary point of view we now inquire as to the “longitudinal” and the “transverse” mass of the moving electron. We write the equations (A) in the form

and remark firstly that εX’, εY’, εZ’ are the components of the ponderomotive force acting upon the electron, and are so indeed as viewed in a system moving at the moment with the electron, with the same velocity as the electron. (This force might be measured, for example, by a spring balance at rest in the last-mentioned system.) Now if we call this force simply “the force acting upon the electron,”[9] and maintain the equation --mass × acceleration = force-- and if we also decide that the accelerations are to be measured in the stationary system K, we derive from the above equations

With a different definition of force and acceleration we should naturally obtain other values for the masses. This shows us that in comparing different theories of the motion of the electron we

must proceed very cautiously. We remark that these results as to the mass are also valid for ponderable material points, because a ponderable material point can be made into an electron (in our sense of the word) by the addition of an electric charge, no matter how small. We will now determine the kinetic energy of the electron. If an electron moves from rest at the origin of co-ordinates of the system K along the axis of X under the action of an electrostatic force X, it is clear that the energy withdrawn from the electrostatic field has the value ∫εXdx. As the electron is to be slowly accelerated, and consequently may not give off any energy in the form of radiation, the energy withdrawn from the electrostatic field must be put down as equal to the energy of motion W of the electron. Bearing in mind that during the whole process of motion which we are considering, the first of the equations (A) applies, we therefore obtain

Thus, when ν =c, W becomes infinite. Velocities greater than that of light have--as in our previous results--no possibility of existence. This expression for the kinetic energy must also, by virtue of the argument stated above, apply to ponderable masses as well. We will now enumerate the properties of the motion of the electron which result from the system of equations (A), and are accessible to experiment. 1. From the second equation of the system (A) it follows that an electric force Y and a magnetic force N have an equally strong deflective action on an electron moving with the velocity v, when Y = Nv/c. Thus we see that it is possible by our theory to determine the velocity of the electron from the ratio of the magnetic power of deflexionAm to the electric power of deflexion Ae, for any velocity, by applying the law

This relationship may be tested experimentally, since the velocity of the electron can be directly measured, e.g. by means of rapidly oscillating electric and magnetic fields. 2. From the deduction for the kinetic energy of the electron it follows that between the potential difference, P, traversed and the acquired velocity v of the electron there must be the relationship

3. We calculate the radius of curvature of the path of the electron when a magnetic force N is present (as the only deflective force), acting perpendicularly to the velocity of the electron. From the second of the equations (A) we obtain

or

These three relationships are a complete expression for the laws according to which, by the theory here advanced, the electron must move. In conclusion I wish to say that in working at the problem here dealt with I have had the loyal assistance of my friend and colleague M. Besso, and that I am indebted to him for several valuable suggestions. ______________________________________

Footnotes

[1]. The preceding memoir by Lorentz was not at this time known to the author. [2]. i.e. to the first approximation. [3]. We shall not here discuss the inexactitude which lurks in the concept of simultaneity of two events at approximately the same place, which can only be removed by an abstraction. [4]. “Time” here denotes “time of the stationary system” and also “position of hands of the moving clock situated at the place under discussion.” [5]. The equations of the Lorentz transformation may be more simply deduced directly from the condition that in virtue of those equations the relation x²+y²+z²=c²t² shall have as its consequence the second relation ξ²+η²+ζ²=c²τ². [6]. That is, a body possessing spherical form when examined at rest. [7]. Not a pendulum-clock, which is physically a system to which the Earth belongs. This case had to be excluded. [8]. If, for example, X=Y=Z=L=M=0, and N≠0, then from reasons of symmetry it is clear that when ν changes sign without changing its numerical value, Y’ must also change sign without changing its numerical value. [9]. The definition of force here given is not advantageous, as was first shown by M. Planck. It is more to the point to define force in such a way that the laws of momentum and energy assume the simplest form. Editor’s Notes *[1] In Einstein's original paper, the symbols (Ξ,H,Z) for the co-ordinates of the moving system k were introduced without explicitly defining them. In the 1923 English translation, (X, Y, Z) were used, creating an ambiguity between X co-ordinates in the fixed system K and the parallel axis in moving system k. Here and in subsequent references we use Ξ when referring to the axis of system k along which the system is translating with respect to K. In addition, the reference to system K’, later in this sentence was incorrectly given as “k” in the 1923 English translation. *[2] In the original 1923 English edition, this phrase was erroneously translated as “plain figures”. I have used the correct “plane figures” in this document. *[3] This equation was incorrectly given in Einstein's original paper and the 1923 English translation as a=tan-1wy/wx.

*[4] The exponent of c in the denominator of the sine term of this equation was erroneously given as 2 in the 1923 edition of this paper. It has been corrected to unity here. *[5] “X” in the 1923 English translation. *[6] Erroneously given as l' in the 1923 English translation, propagating an error, despite a change in symbols, from the original 1905 paper.

APÉNDICE II. LA ECUACIÓN DE ONDA ELECTROMAGNÉTICA La ecuación de onda electromagnética es representada en forma compacta por la siguiente fórmula:

en la que el operador Laplaciano ( , el símbolo nabla, derivado del griego significa “arpa”):

actúa sobre la onda electromagnética φ, en donde φ puede representar un campo eléctrico E o un campo magnético B de acuerdo con la teoría del electromagnetismo de Maxwell:

Prescindiendo de la compacidad, la ecuación de onda electromagnética se puede expresar de manera más explícita en otra forma igualmente conocida:

Esta es una ecuación que se obtiene directamente de las ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnética, las cuales no establecen un sistema de referencia privilegiado. Así, el movimiento relativo entre un imán y una bobina de alambre:

es capaz de inducir una corriente eléctrica en el alambre ya sea que el imán sea el que se está moviendo dentro de una bobina estática o que la bobina sea la que se está moviendo mientras que el imán permanece inmóvil, en reposo; las ecuaciones que describen el intercambio entre el campo magnético y la corriente eléctrica producida por el campo magnético siguen siendo exactamente las mismas, lo único que importa es el movimiento relativo que tiene lugar entre el imán y la bobina. El principio básico de la Teoría de la Relatividad está implícito en este comportamiento. Sin embargo, al aplicar las transformaciones de Galileo, no tarda uno en descubrir que la ecuación de onda electromagnética cambia significativamente de modo tal que no hay ya una sola ecuación única que describa el comportamiento de un mismo fenómeno electromagnético, contraviniendo lo que se observa en la práctica. PROBLEMA: Demostrar que la ecuación de onda electromagnética no permanece invariante bajo las transformaciones de Galileo. Las transformaciones de Galileo para pasar de un sistema S que está en reposo a un sistema S’ que se está desplazando en el sentido negativo del eje-x a una velocidad V con respecto al observador en reposo están dadas por las siguientes relaciones: ____x’ = x - Vt ____y’ = y ____z’ = z

____t’ = t La ecuación de onda electromagnética será invariante si conserva la misma forma al aplicar las transformaciones de Galileo poniéndola en los términos de las nuevas variables x’, y’, z’ y t’. De las transformaciones de Galileo dadas arriba encontramos primero que:

y encontramos también que:

Aplicaremos ahora la regla de la cadena que para derivadas ordinarias es:

y que para derivadas parciales es:

con la cual obtenemos lo siguiente para la derivada parcial de φ con respecto a x:

Con los resultados obtenidos arriba de las transformaciones de Galileo, esta última relación se reduce a:

o bien:

Volviendo a tomar nuevamente la derivada parcial de esto último con respecto a x tenemos lo siguiente:

Procediendo de modo similar, podemos demostrar que las expresiones para la segunda derivada

parcial de φ con respecto a la variable “y” y la variable “z” serán:

Procediendo de manera similar a como lo hicimos arriba, después de utilizar la regla de la cadena para poner a la primera derivada parcial de φ con respecto a la variable “t” obtenemos lo siguiente:

Tomando la segunda derivada parcial de φ con respecto a la variable “t” obtenemos entonces:

Substituyendo en la ecuación de onda electromagnética original las derivadas parciales de segundo orden que hemos obtenido, llegamos a la siguiente conclusión:

Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. No tiene la misma forma que la que tenía su progenitora debido a la presencia del término extra destacado en color amarillo. La única manera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la velocidad V = 0, lo cual significa regresar a la fórmula original válida para un observador que está en reposo con respecto al éter, el medio de conducción para el cual la ecuación de onda electromagnética original adquiere la forma predicha por las leyes del electromagnetismo de Maxwell. El observador que está en reposo con respecto al éter siempre tendrá la fórmula más sencilla de todas; es un observadorprivilegiado. Todos los demás obtendrán fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nos topamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier otra situación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos experimentos llevados a cabo con rayos de luz (o con ondas electromagnéticas de teléfonos celulares, radio y televisión) adquirirán asimetrías al pasar de un marco de referencia a otro. La única forma en la cual podemos hacer la ecuación de onda electromagnética universalmente válidaes prescindiendo de las transformaciones de Galileo, reemplazándolas por otro tipo de transformaciones bajo las cuales la ecuación de onda electromagnética siga teniendo la misma forma. Esto se logra con las ecuaciones de transformación de Lorentz, prescindiendo de los conceptos clásicos del tiempo absoluto y del espacio absoluto sobre los cuales se sustentaban las transformaciones de Galileo. PROBLEMA: Demostrar que la ecuación de onda electromagnética sí permanece invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema S al sistema S’ están dadas por las siguientes relaciones: ____x’ = γ(x - Vt) ____y’ = y ____z’ = z ____t’ = γ(t - Vx/c²) con: γ = 1/√1 - V²/c² Procedemos de una manera similar a como lo hicimos en el problema anterior.

Tomando derivadas parciales sobre las transformaciones de Lorentz al igual que como lo hicimos con las transformaciones de Galileo, obtenemos los siguientes resultados preliminares:

Tenemos además:

Nuevamente recurrimos a la regla de la cadena para derivadas parciales:

Utilizando los resultados anteriores obtenidos con las ecuaciones de transformación de Lorentz, obtenemos el resultado siguiente para la derivada parcial de φ con respecto a la variable x:

Tomando la segunda derivada parcial de la expresión anterior tenemos lo siguiente:

Recurriendo a la regla de la cadena y simplificando, obtenemos la primera derivada parcial de φ con respecto a la variable “t”:

de lo cual obtenemos lo siguiente al tomar la segunda derivada parcial:

Los siguientes resultados son los más fáciles de obtener y deben resultar obvios:

Sustituyendo las expresiones obtenidas en la ecuación de onda electromagnética original, obtenemos el siguiente resultado:

Después de la transformación, esta ecuación es idéntica en forma a la ecuación original. Se concluye entonces que la ecuación de onda electromagnética permanece invariante en forma bajo las transformaciones de Lorentz.

APÉNDICE III. RELATIVIDAD GENERAL: MANUSCRITOS ORIGINALES Se recomienda en la lectura de esta entrada el llevar a cabo la ampliación de cada fotografía para poder ver con mayor claridad las notas manuscritas que aparecen en el cuaderno de apuntes de Albert Einstein, su cuaderno de apuntes de Zurich que fue descubierto entre sus pertenencias cuando falleció en 1955. En la entrada “El germen de una idea” están expuestas algunas consideraciones con las cuales una mente inquisitiva puede ir sospechando que la relatividad y la gravedad no son cosas independientes la una de la otra, que existe una conexión íntima entre ambas que debe ser investigada a fondo. Pero una cosa es considerar el aspecto cualitativo de una idea que va tomando forma, y otra cosa es expresar dicha idea matemáticamente. Una investigación sobre cómo el concepto de la Relatividad General fue tomando forma matemáticamente puede resultar muy instructivo porque nos puede clarificar la manera en la que las herramientas existentes se fueron incorporando a la construcción de la nueva teoría. El Profesor John D. Norton, del Centro para la Filosofía de la Ciencia del Departamento de Historia y Filosofía de la Ciencia de la Universidad de Pittsburgh nos comenta lo siguiente: “En el más de medio siglo del trabajo de Einstein en la ciencia, un descubrimiento destaca sobre todos los demás como su más grande triunfo. Es su teoría general de la relatividad. En ella, Einstein encontró una nueva manera de pensar de la gravedad que jala a las manzanas de sus árboles y que mantiene a la Luna en órbita alrededor de la Tierra. No hay fuerzas jalando sobre ellas, notó. Están simplemente respondiendo a la curvatura en la fábrica geométrica del espacio y el tiempo. El descubrimiento de esta teoría es de alguna manera algo más que mera ciencia. No se trata del ajuste de una fórmula a un conjunto de datos o del sucumbir al peso de evidencia incontestable. La relatividad general fue un triunfo de imaginación creadora. A través de la misma, Einstein encontró la frontera de la ciencia y el arte. Allí escribió ecuaciones enlazando el espacio, el tiempo, la materia y la gravedad de manera tan bella como los sonetos de Shakespeare, pero escrito en el lenguaje universal de las matemáticas. La evidencia que favorece a la relatividad general no es tan fuerte o tan detallada como la que habla a nombre de la mecánica cuántica. Sin embargo favorecemos a la relatividad general simplemente porque ningún concepto tan hermoso debería estar equivocado. Y sobrevive porque ningún teórico en las muchas décadas desde 1915 ha sido lo suficientemente imaginativo para encontrar una teoría que sea mejor que la relatividad general. Cada vez que se concibe una nueva prueba gana la teoría de Einstein”. Dos años después de la publicación de su trabajo en el cual develó al mundo su Teoría Especial de la Relatividad en 1905, Einstein empezó a trabajar sobre algo que había quedado pendiente, el asunto de los marcos de referencia acelerados que no era cubierto con el estudio relativista de los marcos de referencia limitados a moverse a velocidad constante el uno con respecto al otro. Esta búsqueda le consumió ocho años, de 1907 a 1915, en la que algunas temporadas fueron períodos de calma y otras fueron períodos de actividad intensa. Se considera que la transición definitiva

hacia la Relatividad General ocurrió entre el verano de 1912, cuando Einstein se movió de Praga a Zurich, y los inicios de 1913. Si pudiésemos escoger un tiempo en el cual pudiéramos ver a Einstein trabajando en su nueva teoría de Relatividad General, sería este período de tiempo, el cual quedó documentado en sucuaderno de apuntes de Zurich. Es sobre este cuaderno de apuntes donde enfocaremos nuestra atención, porque es aquí en donde podemos ver el desarrollo de la Relatividad General como un concepto matemátco y no simplemente como un concepto filosófico. El cuaderno de apuntes de Einstein tiene una característica curiosa: después de haber dado entrada a una serie de apuntes empezando desde la primera página, y de haber consumido varias docenas de páginas en dichos apuntes, súbitamente Einstein le da la vuelta a su cuaderno de apuntes y comienza a meter entradas empezando desde la última página yéndose hacia el interior del cuaderno, hasta que se le acaba el espacio cuando los contenidos finales de lo que pudiéramos llamar la “segunda parte” se encuentran con los contenidos finales de lo que pudiéramos llamar la “primera parte”. En la primera página del cuaderno de apuntes en donde encontramos material formal podemos ver un resumen de los elementos que incorporan ya la visión geométrica del espacio-tiempo de Minkowski, el aspecto cuatri-dimensional a la relatividad y la electrodinámica empezando con las cuatro coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, ict) = (x1, x2, x3, x4) y partiendo de las mismas hacia escalares, 4-vectores y las operaciones matemáticas permisibles sobre lo mismo.

El desarrollo de los conceptos continúa en una forma parecida a lo largo de las siguientes 13 páginas, después de lo cual dá un giro dramático:

en el cual sin aviso anticipado de la transición encontramos una noción fundamental de la Relatividad General, la noción del elemento de línea escrito en el tope de la página:

Los coeficientes Gμν nos permiten calcular el intervalo relativista entre dos eventos separados por diferencias infinitesimales de coordenadas dxμ. Si estos coeficientes representan intervalos espacio-tiempo no cubiertos por una geometría plana (Euclideana), lo que tenemos aquí es la inclusión de efectos gravitacionales sobre el espacio-tiempo en la forma considerada por la Teoría General de la Relatividad. Posiblemente esta es la primera ocasión en la cual Einstein escribió esta expresión para simbolizar un “elemento de línea” infinitesimal. Los coeficientes Gμν de lo que hoy conocemos como eltensor métrico son escritos con una letra G mayúscula. Unas cuantas páginas después Einstein reemplazó la letra G mayúscula substituyéndola por la letra g minúscula, lo cual se mantuvo como su notación convencional que es también la notación convencional usada hoy

en día. Asentada esta idea, la tarea era determinar como ésta cantidad gμν, el tensor métrico, una cantidad que expresada en forma matricial posee 16 componentes, pudiera estar conectada con masas físicas, lo cual debería ser expresable en lo que llamamos “ecuaciones del campo gravitacional”, el equivalente relativista de la teoría Newtoniana de la gravedad. Aquí Einstein selecciona un Spezialfall, un caso especial, en el cual los coeficientes del tensor métrico se revierten a los valores característicos de la Teoría Especial de la Relatividad, exceptuando el componente G44 = c2. Tras esto, Einstein intenta aplicar la ecuación del campo gravitacional de su teoría de 1912 de campos estáticos gravitacionales. El análisis continúa en la siguiente página en donde se formula las preguntas propias de un principiante. La primera pregunta Ist dies invariant? (¿Es esto invariante?) la hace en relación con la divergencia de coordenadas del tensor métrico, y el cálculo efectuado de inmediato demuestra que no lo es.

En la página anterior así como en la siguiente podemos apreciar que un objeto primordial del análisis que se está llevando a cabo es el determinar cómo estas cantidades son transformadas bajo un cambio de coordenadas. En estas notas podemos ver que Einstein aún no hace uso de las técnicas del cálculo diferencial absoluto, hoy mejor conocido como el cálculo tensorial, de Ricci y Levi-Civita, y en vez de ello se apoya en métodos más viejos desarrollados por Beltrami para investigar qué cantidades invariantes pueden ser formadas a partir de una cantidad escalar φ.

El análisis continúa en las siguientes tres páginas en donde encontramos una de las páginas más fascinantes:

En este análisis Einstein encuentra apoyo para varias de sus ideas en la física clásica, la misma física que estaba siendo objeto de profundas modificaciones con la Teoría de la Relatividad. En la página Einstein deriva como un ejercicio ya conocido desde mucho tiempo atrás un resultado clásico: Si un cuerpo de masa m es libre para moverse inercialmente excepto que su movimiento esté restringido a llevarse a cabo en una superficie curva, ¿cuál es la curva trazada por el movimiento del cuerpo sobre dicha superficie? (Podemos imaginar al objeto totalmente cubierto de tinta con la cual va dejando un rastro de su trayectoria al recorrer la superficie curva.) De la física clásica el resultado viene siendo una geodésica de la superficie, una curva que representa la menor distancia posible, o bien “la curva más derecha posible”.

Esto esta ya muy cerca de la idea central detrás de la Teoría General de la Relatividad, la idea de que los cuerpos se mueven sobre una superficie cuatri-dimensional de un espacio-tiempo curvo siguiendo una ruta geodésica. En la física clásica tal y como fue desarrollada por Newton, una masa se mueve libremente en el espacio excepto que está restringida a moverse en una superficie bi-dimensional empotrada en un espacio tri-dimensional como lo tenemos arriba, mientras que en la Teoría General de la Relatividad una masa se mueve libremente en el espacio-tiempo al estar en caída libre de modo tal que la gravedad actúa sobre ella a través de la curvatura del espaciotiempo. En la física clásica, la trayectoria espacial de un cuerpo es la geodésica de una superficie bi-dimensional, trazando la curva de menor longitud posible sobre dicha superficie, mientras que en la Teoría General de la Relatividad la trayectoria es una trayectoria espacio-tiempo, la cual es una geodésica del espacio-tiempo trazando una curva de intervalo espacio-tiempo extremo en el espacio-tiempo. En las notas podemos ver cómo se lleva a cabo el análisis. La superficie es definida primero como un campo escalar f en el espacio, la cual es definida dándole un valor constante a f. Al no estarse moviendo el cuerpo a una velocidad constante siguiendo una trayectoria rectilínea, al no estar en un marco de referencia Lorentziano propio de la Teoría Especial de la Relatividad, entonces debe de estarse acelerando, y la ecuación de movimiento del cuerpo trasladándose sobre dicha superficie está determinada por el vector aceleración del cuerpo que expresado en sus componentes espaciales es igual a (d2x/dt2, d2y/dt2, d2z/dt2), la cual es proporcional a la fuerza de reacción sobre dicha superficie y la cual es ortogonal (formando ángulos rectos) con respecto a dicha superficie, siendo proporcional al gradiente matemático de f, o sea a (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z), lo

cual está resumido brevemente en el siguiente apunte:

Inmediatamente después de este apunte encontramos una derivación recurriendo al cálculo de variaciones. Si una masa puntual moviéndose sobre una superficie obedece estas ecuaciones de movimiento, entonces la longitud espacial de la trayectoria trazada sobre dicha superficie, ∫ds, debe tener un valor extremo (el cual puede ser un máximo o un mínimo). Los cálculos continúan hasta que llegamos a una página que se junta con lo que había sido puesto desde el final del cuaderno de notas procediendo hacia el interior:

Por la manera en la cual fueron puestos los apuntos, aquí se vuelve necesario voltear el cuaderno de apuntes comenzando desde el otro lado, en donde encontramos una serie de páginas con computaciones llevadas a cabo sobre la física estadística térmica de la radiación del calor (la radiación del cuerpo negro), siendo la primera página la siguiente:

Al principio de la página podemos ver escrita la fórmula de Planck para la densidad de energía de la radiación térmica:

Después de nueve páginas como la anterior, Einstein continúa con sus apuntes empezándolos con

un nuevo encabezado, titulado “Gravitación”, en donde Einstein entra de lleno al núcleo matemático de su Teoría General de la Relatividad alcanzado un avance considerable:

En esta página Einstein monta sus ecuaciones para la conservación de la energía-momentumpara la materia continua en la Teoría de la Relatividad. Empieza con la ecuación de movimiento para una masa puntual, la ecuación geodésica, escrita en la forma de una ecuación Euler-Lagrange:

Einstein aplica lo anterior a una nube de partículas de polvo (sin interacción entre ellas) en caída

libre para obtener lo que hoy reconocemos como la condición del desvanecimiento de la divergencia covariante del tensor energía-tensión Tμν:

Hasta este punto hay buena evidencia de que el conocimiento de Einstein sobre el cálculo tensorial no ha adquirido plenitud. Desconoce o no está seguro de que el operador que está actuando sobre Tμν es esta ecuación es un operador covariante. Para revisar el operador, reemplaza Tμν por el tensor gμν y entonces Einstein checa si el resultado es cero (0) o si es un 4vector (0 oder Vierervektor), como hoy sabemos que debe serlo (cero) si el operador es covariante. El resultado es cero y Einstein se dá por satisfecho escribiendo Stimmt que significa “correcto”. Al llevar a cabo este procedimiento, Einstein recurriendo no a argumentaciones matemáticas sino a argumentaciones físicas acaba de obtener uno de los operadores covariantes básicos del cálculo tensorial. Las siguientes páginas continúan con esfuerzos cada vez más elaborados para obtener y definir cantidades invariantes a partir del tensor métrico, presumiblemente para poder obtener un conjunto covariantes de ecuaciones de campo gravitacional. Un método utilizado repetidamente para lograr tal cosa es a través del determinante del tensor métrico, como lo hace en la siguiente página:

En esta página Einstein identifica un “tensor gravitacional hipotético” (vermuticher Gravitationstensor), muy posiblemente un candidato para tensor gravitacional en las ecuaciones de campo; o puesto que es cuadrático en las primeras derivadas del tensor métrico, un candidato para el tensor energía-tensión Tμν al que tal vez está haciendo mención. Hasta aquí están notoriamente ausentes las técnicas de Ricci y Levi-Civita para producir cantidades invariantes a partir de las derivadas del tensor métrico. No encontramos señales del tensor de curvatura de Riemann, un tensor de cuarto orden del cual sabemos que se pueden obtener las ecuaciones del campo gravitacional, el cual se repite que es un campo tensorial. Este vacío desaparece cuando unas cuantas páginas más adelante Einstein escribe al principio de la página la fórmula para el tensor de curvatura de Riemann utilizando la vieja notación del “símbolo de cuatro índices”, (ik, lm):

Sobre el uso de esta notacion matemática antigua para denotar al tensor de curvatura de Riemann, el relato anecdótico es que Einstein, quien no estaba familiarizado con los métodos del cálculo tensorial, aprendió por vez primera acerca de los mismos a través de su amigo el matemático Marcel Grossman, quien a su vez fue a la librería para encontrar las referencias a los métodos con los que se pudieran manejar sistemas arbitrarios de coordenadas. De acuerdo con dicha anécdota, tenemos una anotación puesta a un lado del tensor de Riemann que sugiere que fue Grossman el que le proporcionó la información sobre este tensor de curvatura a Einstein:

La nota dice “tensor de Grossman orden cuatro”. De aquí en delante, Einstein procede en la forma moderna actual, llevando a cabo la contracción del tensor de Riemann de orden cuatro para obtener el tensor de Ricci de orden

dos, el cual si ha de servirnos como un tensor gravitacional se debe reducir en un campo débil a la forma Newtoniana, se debe reducir al resultado clásico pre-relativista, lo cual requiere el desvanecimiento de tres de sus cuatro derivadas de segundo orden. En su primer fracaso en lograr tal objetivo, Einstein destaca esta condición para la forma del campo débil con el siguiente apunte:

usando las palabras Sollte verschwinden que significan “debería haberse desvanecido”. El tratar de descubrir la manera en la cual pueda llevarse a cabo el desvanecimiento de los tres términos, las tres derivadas de segundo orden, con lo cual debemos poder obtener la forma Newtoniana para un campo débil, se convierte en un obstáculo para Einstein en las páginas que siguen. Familiarizado ya con el tensor de curvatura de Riemann, lo que sigue a continuación son páginas y páginas de manipulación matemática laboriosa producidas por las investigaciones que Einstein está llevando a cabo, y en sus comentarios podemos ver su frustración de no poder ver claramente entre la montaña de símbolos que se van acumulando uno tras otro:

con su frase zu umstaendlich que significa “demasiado elaborado”. Nada de lo anterior parece haber sido de ayuda alguna para obtener el límite clásico Newtoniano eliminando los tres términos no deseados del tensor de Ricci. Hoy manejamos este problema estipulando una restricción de los sistemas de coordenadas a aquellos sistemas en los cuales esperamos que aparezca el límite Newtoniano, lo cual tenemos que hacer de un modo o de otro ya que estamos partiendo de ecuaciones tensoriales generalmente covariantes y estamos tratando de obtener de las mismas ecuaciones generales unas ecuaciones de covariancia más restringida. Unas páginas después, Einstein parece haber captado la necesidad de hacer esto, parece estar consciente de las maniobras matemáticas requeridas para lograr obtener el límite Newtoniano. Esto lo vemos a partir de la siguiente página con el encabezado Nochmalige Berechnung des Ebenentensors que significa “Una vez más la computación del tensor de superficie” empezando nuevamente con la expresión para el tensor de Ricci:

Aquí Einstein hace ver claramente cuál es su objetivo. Una vez que lo logra, destaca que lo que falta es ya tan sólo (bleibt stehen) el término en el tensor para el límite Newtoniano.

Para lograrlo, Einstein estipula que su solución debe satisfacer la siguiente condición:

que hoy conocemos como la condición de coordenadas harmónicas, la cual es una condición utilizada para lograr obtener un subconjunto muy útil de coordenadas. Con esta condición, Einstein al fin logra obtener las ecuaciones clásicas en el límite Newtoniano, y satisfecho de

haberlo logrado escribe lo siguiente en el borde inferior de la página:

que traducido significa “El resultado es seguro. Es válido para coordenadas que satisfacen la ecuación Δφ=0”. (Esta ecuación es una manera de expresar la condición harmónica.) Habiendo obtenido este resultado a satisfacción suya (y nuestra), Einstein procede a investigar la conservación de la energía y el momentum para las ecuaciones de campo gravitacional resultantes para el caso de los campos débiles, con lo cual todo se va desarrollando a plenitud. En la página con la cual concluye estas investigaciones, Einstein considera el caso especial de los campos estáticos (Statischer Spezialfall, que significa “caso especial estático”.)

En esta página podemos ver una suposición que a la larga resultó equivocada, repetida en las publicaciones de Einstein posteriores a este período, suficiente para anular los esfuerzos para dar un tratamiento moderno a lo que ocurre en el límite clásico Newtoniano. Einstein supuso que usando coordenadas adecuadas en el campo débil en el cual debe destacar el límite clásico Newtoniano, únicamente debería de variar con las coordenadas uno de los diez componentes del tensor métrico, la componente g44=c2, y todas las componentes restantes deberían permanecer constantes:

Haya sido o no la causa del comentario puesto al final de la página, Einstein escribe Spezialfall wahrscheinlich unrichtig (“caso especial aparentemente incorrecto”), tras lo cual la condición harmónica deja de ser mencionada en el resto del cuaderno de apuntes. Lo anterior muy posiblemente fue lo que motivó a Einstein a buscar nuevas maneras de obtener el tensor gravitacional, y demostrando su habilidad creciente en el manejo de las técnicas del cálculo tensorial en las siguientes páginas llevó a cabo una nueva derivación del tensor gravitacional:

Aquí en esta página Einstein escribe una representación reducida del tensor de Ricci anotándola como un “tensor gravitacional supuesto”:

Ha seleccionado este tensor como un tensor gravitacional puesto que puede demostrar sin mayores problemas que tiene una covariancia amplia y que se reduce al límite clásico Newtoniano al asumir una nueva condición:

Sin embargo, esta suposición no sobrevive la página. En la siguiente página Einstein encuentra otra manera de extraer el límite clásico Newtoniano del tensor de Riemann:

Aquí Einstein no intenta escribir una nueva condición que selecciona directamente un subconjunto de coordenadas. En lugar de ello, esto estipula que estamos en un conjunto restringido de coordenadas tal que cierta cantidad necesariamente debe poder transformarse en la manera en la cual se transforman los tensores (de acuerdo con la definición básica de los mismos):

De este modo, Einstein puede demostrar que una expresión con forma clásica Newtoniana derivada del tensor de Riemann es también un tensor bajo la condición que ha sido impuesta. Sin embargo, esta tercera manera de utilizar el tensor de curvatura de Riemann no sobrevive muchas páginas. En su papel Entwurf publicado a mediados de 1913 con la ayuda de su amigo Grossmann, Einstein obtiene y publica ecuaciones de campo gravitacionales de covariancia desconocida que no son derivadas del tensor de Riemann. En las siguientes páginas del cuaderno de apuntes encontramos un resumen de la derivación de dichas ecuaciones abarcando dos páginas opuestas, las cuales muestra un orden y una pulcritud no mostrada por las otras páginas del cuaderno de apuntes, sugiriendo que fueron transcritas cuidadosamente y con mucha meticulosidad de otra parte después de que ya se habían obtenido los resultados mostrados. Los símbolos inferiores 0 y + que vemos abajo en algunas de las ecuaciones son utilizados como un auxiliar en el registro de unos cálculos complicados en los cuales los términos son expandidos y simplificados mediante manipulación algebraica:

Una vez que se han escrito estas ecuaciones, el cuaderno de notas deja de tener entradas relevantes, marcando un período agitado e incómodo en la vida de Einstein que duraría dos años antes de regresar a la búsqueda exitosa de las ecuaciones generalizadas del campo gravitacional covariante a finales de 1915. Lo último en tener cabida en el cuaderno de apuntes de Einstein es una formulación general covariante de las ecuaciones electrodinámicas de Maxwell:

Sin embargo,esta formulación general covariante de las ecuaciones de electrodinámica de Maxwell no tiene nada que ver con los conceptos de la Teoría General de la Relatividad desarrollados previamente en el cuaderno de apuntes. La unificación de la gravitación con el electromagnetismo sería llevada a cabo poco después por los matemáticos Theodor Kaluza (en 1919) y Oskar Klein (en 1926) postulando la existencia de una quinta dimensión adicional a las cuatro dimensiones consideradas en la Teoría de la Relatividad.

APÉNDICE IV. LA ECUACIÓN DE ONDA RELATIVISTA DE DIRAC La primera unificación de la Teoría de la Relatividad con la Mecánica Cuántica llevada a cabo en 1927 no tardó en producir un logro espectacular: la predicción teórica de la antimateria, predicción que no tardaría en ser confirmada experimentalmente pocos años después, dando inicio a una área de estudio conocida en la actualidad como la Mecánica Cuántica Relativista. Al hablar de una unificación de la Teoría de la Relatividad con la Mecánica Cuántica estamos hablando de una unificación de la Teoría Especial de la Relatividad con la Mecánica Cuántica, dejando fuera a la Relatividad General. Si bien la unificación de los conceptos básicos de la Mecánica Cuántica con las ecuaciones relativistas que describen un espacio-tiempo plano ha sido fructífera, los esfuerzos por llevar a cabo la incorporación de estos conceptos hacia un espaciotiempo curvo ha resultado ser un verdadero dolor de cabeza sin que hasta la fecha haya producido las predicciones que en otros tiempos distinguieron a la Teoría de la Relatividad o a la Mecánica Cuántica consideradas por separado. El primer científico en llevar a cabo la unificación de la Mecánica Cuántica con la Teoría (Especial) de la Relatividad fué Paul Adrien Maurice Dirac, mejor conocido como P. A. M. Dirac, considerado por muchos como el “padre” de la Electrodinámica Cuántica. Uno de sus más importantes logros fue la formulación de lo que podemos llamar la ecuación de onda relativista de Dirac, ecuación a la cual él mismo le dió solución mediante unos esquemas ingeniosos, logrando con ello predecir la existencia de electrones con carga positiva (antielectrones o positrones), prediciendo también que para toda partícula elemental debía existir su correspondiente antipartícula. En este apéndice llevaremos a cabo la derivación de la ecuación de onda relativista de Dirac reproduciendo los pasos seguidos por él en lugar de utilizar el formalismo axiomático moderno que desafortunadamente tiene a obscurecer las ideas más importantes detrás de la obtención de tan importante resultado. Si bien el formalismo abstracto es más elegante, el método histórico es más intuitivo, y aquí en lo que estamos interesados es en la diseminación de las ideas fundamentales detrás del andamiaje matemático utilizado. Aunque la explicación simplificada usualmente dada al público en general de este resultado obtenido por Dirac es que la relación “correcta” entra la masa y la energía no es la ecuación E = mc² dada por Einstein sino E² = m²c4, la cual al tomar la raíz cuadrada de ambos lados nos dá dos resultados siendo uno de ellos E = mc² (una energía positiva) y siendo el otro E = -mc² (una energía negativa), pronto se verá que esto en realidad es una sobresimplificación. Antes de entrar en detalle sobre la ecuación de onda relativista de Dirac, es necesario repasar algunos conceptos esenciales sobre los cuales descansa la Mecánica Cuántica; específicamente la sustitución deobservables (cantidades como la energía, la cantidad de movimiento, etc. que pueden ser medidas experimentalmente en el laboratorio) por operadores matemáticos, sobre lo cual el eminente físico Arno Bohm dijo lo siguiente: “La representación de observables físicas por

operadores es uno de los más grandes logros de la ciencia”. Bajo este esquema, podemos tomar una ecuación de la física clásica, por ejemplo una ecuación en la cual aparezcan las tres componentes (en un sistema de coordenadas Cartesianas) del momento angular L de un cuerpo, o sea (Lx, Ly, Lz), y estas cantidades las reemplazamos por operadores matemáticos como los siguientes:

Obviamente, estos operadores matemáticos que involucran derivadas parciales de primer orden van a actuar sobre algo, van a actuar sobre un operando identificado con la letra Ψ conocido como unafunción de onda, y una vez que hemos montado un sistema de ecuaciones diferenciales dicho sistema puede ser resuelto para un caso en el cual las cantidades bajo consideración son cantidades muy pequeñas que corresponden al mundo sub-microscópico en el cual funcionan las reglas de la Mecánica Cuántica. Aclarado lo anterior, estamos listos para ver cómo fue que P. A. M. Dirac obtuvo su ecuación de onda relativista. Dirac empezó con la ecuación fundamental que nos relaciona la energía total de una partícula con su momentum: E² = (pc)² + (m0c²)² En un sistema de coordenadas Cartesianas, el cuadrado del momentum efectivo p² es igual a la suma de los cuadrados de los componentes del momentum en los ejes Cartesianos respectivos: p² = (px)²+ (py)²+ (pz)² de modo tal que podemos poner la relación anterior en la siguiente forma (el subscrito cero que identifica a la masa en la expresión como una masa propia invariante será abandonado de aquí en adelante al entenderse que se trata de una masa propia):

E² = c² {(px)²+ (py)²+ (pz)² } + (mc²)² Esto nos sugiere la forma en la cual entrarán los operadores dentro de la fórmula. Pero para ello necesitamos los operadores que nos proporciona la Mecánica Cuántica, la cual nos demuestra que las componentes rectangulares del momentum lineal pueden ser substituídas por los siguientes operadores:

en donde i = √-1. Interpretamos a un símbolo operacional como (px)² como la aplicación repetida del operador px sobre el operando:

Siendo así, entonces:

Podemos reconocer la expresión dentro del paréntesis como aquello que es usualmente

simbolizado en forma abreviada con el operador de Laplace o Laplaciano:

Todo esto nos permite escribir nuestra expresión operacional tentativa: E² = c² {-h² ² + (mc)²} Para escribir nuestra ecuación en forma operacional actuando sobre la función de onda, tomamos a continuación la raíz cuadrada: E = c √-h² ² + (mc)² Por otra parte, de acuerdo con la Mecánica Cuántica la energía E puede ser substituída en la ecuación anterior por el siguiente operador:

Esto nos permite escribir nuestra ecuación operacional siguiente: ih∂Ψ/∂t = c √-h² ² + (mc)²Ψ Aquí hemos metido ya la función de onda Ψ porque las cantidades observables han sido

reemplazadas por operadores diferenciales en ambos lados. Para que esta expresión sea válida, se requiere que la función de onda sea una función tanto del tiempo como de las coordenadas Cartesianas: Ψ = Ψ (x, y, z, t) = Ψ (r, t) en donde r es el vector posición (x, y, z). Al ver la expresión obtenida, Dirac concluyó que al no haber forma alguna de darle un significado físico a la raíz cuadrada de un Laplaciano la expresión dentro del radical tenía que ser forzosamente un cuadrado perfecto, de lo contrario la expresión carecía de significado. Fue así como Dirac propuso lo siguiente (hemos revertido aquí a la representación de los operadores cuánticos de los momentums como pi para simplificar el desarrollo): (px)²+ (py)²+ (pz)² + m0²c² = (αxpx + αypy + αzpz + βmc)² siendo αx, αy, αz, y β los coeficientes desconocidos a ser evaluados comparando la expansión del cuadrado perfecto con la fórmula original. Expandiendo la expresión del lado derecho: (αxpx + αypy + αzpz + βmc)² = α²xpx² + αxαypxpy + αxαzpxpz + αxβpxmc + αyαxpypx+ α²ypy² + αyαzpypz + αyβpymc + αzαxpzpx + αzαypzpy + α²zpz² + αzβpzmc + βαxmcpzpx + βαymcpy + βαzmcpz + β²m²c² Resulta obvio de inmediato que los coeficientes α no pueden ser números ordinarios. Para que las dos relaciones sean válidas, es necesario primero que: α²x = α²y = α²z= β² = 1 Además, todos los coeficientes “fuera de la diagonal principal” (unidos a términos “cruzados” como pxpy) deben anticonmutar (a Dirac se le atribuye al invención de la palabra) para que se puedan cancelar mutuamente, o sea:

αxαy = - αyαz αxαz = - αzαx αyαz = - αzαy Lo único en matemáticas que puede llenar tales requerimientos son las matrices, las cuales tienen la propiedad de que sus productos por regla general no son conmutativos (a menos de que una de las matrices sea la inversa de la otra, o que sea la matriz identidad o la matriz cero) y que multiplicadas por sí mismas pueden dar la unidad en caso de ser sus propias inversas. La pregunta obvia es ahora: ¿qué matrices pueden llenar estos requerimientos aquí? Como puede verse en lo que hemos desarrollado hasta este punto, Dirac estaba entrando ya en un terreno teórico que no había sido explorado previamente. Dirac demostró que no existe un conjunto de cuatro matrices 2x2 como tampoco existe un conjunto de cuatro matrices 3x3 que puedan satisfacer los requerimientos arriba indicados. Dirac se vió entonces en la necesidad de recurrir a matrices 4x4 para poder encontrar los coeficientes α y β que hicieran posible la expresión obtenida. Después de estar trabajando un buen tiempo probando varias combinaciones posibles de matrices, Dirac encontró que las siguientes matrices podían resolver el asunto:

Estas cuatro matrices son conocidas como las matrices de Dirac. Obsérvese que cada una de estas cuatro matrices multiplicada por sí misma nos produce la matriz identidad (o matriz unitaria), cumpliéndose uno de los requerimientos señalados arriba. Obsérvese también que las matrices anti-conmutan. Además, una operación que emplea matrices 4x4 no puede ser efectuada a menos de que el operando, la función de onda Ψ, sea una cantidad que conste de cuatro componentes, como en un vector columna (una matriz 1x4):

Las funciones Ψi reciben el nombre especial de espinores (spinors). Habiendo comprobado la existencia de un cuadrado perfecto para todo el término que aparecía bajo la raíz cuadrática, podemos reemplazar dicho cuadrado perfecto dentro de la raíz para así extraerla metiendo nuevamente tras esto los operadores del momentum px, py y pz obteniendo:

Esta es una ecuación cuántica-relativista dependiente del tiempo. Para hacerla independiente del tiempo, recurrimos a una técnica matemática usal en estos casos, la separación de variables, separando la variable original Ψn en el producto de una función ψn dependiente únicamente del vector posición r pero independiente del tiempo, multiplicada por otro factor dependiente del tiempo: Ψn(r,t) = ψn(r) · e-iEt/h que en nuestro caso para las cuatro componentes de la función de onda representada como un vector columna viene siendo:

La ventaja de utilizar la función e-iEt/h radica en el hecho de que al tomar la derivada parcial de dicha función con respecto al tiempo nos queda como factor la misma función, lo cual permite cancelarla al aparecer en ambos lados de la ecuación matricial.

En la simplificación que se está llevando a cabo, es necesario obtener como resultado intermedio los siguientes productos de cada matriz [αn] por el vector columna ψ en ese orden (recuérdese que el producto de dos matrices no es conmutativo, y en este caso estamos post-multiplicando cada una de las matrices 4x4 de Dirac por un vector columna que es en realidad una matriz 4x1, lo cual nos debe producir en cada caso una matriz 4x1):

Es así como se llegamos a la siguiente ecuación:

Esta es la ecuación de onda relativista de Dirac, conocida simplemente como ecuación de Dirac. Puesto que dos matrices son iguales cuando sus elementos correspondientes son iguales, la ecuación matricial de arriba en realidad corresponde a un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales acopladas. En pocas palabras, la ecuación de Dirac en realidad es un conjunto de cuatro ecuaciones distintas y no una sola ecuación. Como puede verse, una cosa es montar una ecuación como lo hizo Einstein con G = 8πGT, y otra cosa es desenvolver la ecuación encontrándole soluciones. Es aquí cuando los teóricos necesitan aplicar todo su ingenio al refinamiento o inclusive a la edificación del aparato matemático que se necesita para poder llegar a algún lado. Fue así como Newton se vió en la necesidad de tener que inventar por cuenta propia el cálculo infinitesimal (un mérito que se estuvo disputando con Leibnitz hasta el final de sus días) para poder obtener fórmulas básicas para la explicación del movimiento de los planetas en base a su ley de gravitación universal, y fue así como Einstein se vió en la necesidad de concebir trucos ingeniosos para poder obtener una solución al problema de las mismas órbitas planetarias descritas ahora por sus ecuaciones de campo. Podemos obtener una solución a la ecuación de Dirac (o mejor dicho, al conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de Dirac) considerando el caso de una partícula libre viajando a lo largo de cierto eje (lo cual nos permite ignorar los otros dos ejes). Para una partícula libre que viaja a lo largo del eje-z, la ecuación de onda relativista de Dirac se reduce a lo siguiente:

El dilema ahora es determinar la manera en la cual vamos a representar matemáticamente una partícula libre. Cuando se trata de una partícula confinada dentro de un contenedor cerrado, esto no representa ningún problema, ya que en virtud de la naturaleza ondulatoria de la partícula en su dualidad onda-partícula, no puede haber cantidades fraccionarias de onda dentro del contenedor cerrado, solo puede haber múltiplos enteros de una frecuencia básica (al igual que en una guitarra cuando hacemos sonar una cuerda), esto es precisamente lo que determina la cuantización (o discretización) de los niveles de energía de la partícula. Pero cuando la partícula está libre viajando de un lugar a otro, no es fácil representarla como una onda viajera de una frecuencia específica. Para resolver este asunto, Dirac concibió una función que desde su creación no ha sido muy del agrado de los matemáticos por su naturaleza impropia, la función Dirac delta o función-δ de Dirac. Es una función límite que podemos imaginar como un rectángulo de área unitaria al cual le vamos acortando su base y le vamos agrandando su altura manteniéndo el “área bajo la curva” igual a la unidad, hasta que su anchura es infinitamente pequeña y su altura es infinitamente grande, manteniéndose el “área bajo la curva” igual a la unidad al hacer tender la anchura y la altura hacia lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande respectivamente. Esta función representa, en efecto,una discontinuidad en el espacio-tiempo suave que requiere la Relatividad General para poder funcionar. Toda partícula sub-atómica es, en efecto, una discontinuidad en el espacio-tiempo en la cual la maquinaria matemática utilizada por Einstein en su formulación de la Relatividad General deja de ser válida. Una onda estacionaria (conocida en la literatura inglesa como standing wave) se puede representar con cualquiera de las siguientes dos funciones trigonométricas: y(x) = A sen(x) y(x) = A cos(x) en donde A es la amplitud de la onda estacionaria. El siguiente gráfico muestra ambas con una amplitud de A = 1, con la onda senoidal en color rojo y la onda cosenoidal en color azul:

Podemos convertir una onda estacionaria en una onda viajera con la simple adición de un término que va cambiando con el tiempo: y(x) = A sen(x - ωt) y(x) = A cos(x - ωt) En estos casos, tenemos ondas viajeras que se van desplazando de izquierda a derecha. Si queremos que las ondas se desplazen de derecha a izquierda, todo lo que tenemos que hacer es cambiar el signo negativo por uno positivo. Podemos multiplicar en las ecuaciones de arriba la variable independiente por un factor de escala k sin que esto altere la esencia de la representación gráfica de las ondas viajeras: y(x) = A sen(kx - ωt) y(x) = A cos(kx - ωt) Empleando la relación de Euler: eiθ = cos(θ) + i sen(θ)

podemos representar una onda viajera en su forma más general del modo siguiente: ψ(x, t) = Aei(kx - ωt) Sin embargo, esta relación nos representa una onda que se extiende con la misma amplitud hacia el infinito en dos direcciones, hacia la derecha y hacia la izquierda. Y nosotros lo que queremos representar matemáticamente es algo conocido como un paquete de onda (wave packet) que no se extiende hasta el infinito en dos direcciones opuestas:

como correspondería a una partícula que es esencialmente una onda de materia. Esto lo podemos lograr si nos damos cuenta de que la adición de dos ondas de frecuencias diferentes produce un “batido” repetitivo cuya frecuencia de repetición dependerá de las frecuencias de las ondas originales:

En el diagrama de arriba sólo hemos agregados dos ondas con frecuencias ligeramente diferentes.

Si vamos agregando una cantidad adicional de ondas cada “paquete de onda” se irá alejando más y más de sus paquetes de onda vecinos, hasta que en los extremos cercanos al infinito nuestro paquete de onda se encontrará prácticamente solo. Eventualmente, la suma se convierte en una integral representándonos a la partícula como un paquete de onda viajero. De este modo, la partícula libre, como fue concebida por Dirac, es el resultado de una superposición de un espectro infinito de frecuencias que por efectos de cancelación y adición adquieren una amplitud máxima precisamente en la misma partícula. Existe una teoría matemática para justificar esta representación de una partícula en el dominio frecuencia en lugar del dominio tiempo. Se llama análisis de Fourier, y en dicha rama de las matemáticas (que no es más que una extensión de las series de Fourier en donde las sumatorias de las series son reemplazadas por integrales mediante las transformadas de Fourier), se puede tomar una función que varía con el tiempo f(t) y se puede encontrar su representación equivalente en el dominio frecuencia g(ω). Para una partícula libre caracterizada por un momentum preciso p = hk en donde k es el número de onda definido como k = 2π/λ (inversamente proporcional a la longitud de onda), dicha partícula puede ser representada como el paquete de onda de una función-δ. Matemáticamente, para una partícula viajando a lo largo del eje-z, la representación es la siguiente: Ψ(z,t) = √2π ∫A(k) e-i(ωt - kz) dk que en el caso que nos ocupa podemos escribir para cada una de las cuatro ecuaciones matriciales de Dirac como: [Ψn(z,t)] = [An] e-i(ωt - kz) dk [Ψn(z,t)] = [An] eikz e-iEt/h dk Si substituímos esta última expresión en la ecuación de Dirac para una partícula viajando a lo largo del eje-z tendremos entonces lo siguiente:

Puesto que el vector columna de las amplitudes An no es igual al vector cero, el determinante de la matriz simétrica debe ser igual a cero. Obteniendo dicho determinante e igualándolo a cero

tenemos entonces: (E² - m²c4 - c4h²k²)² = 0 y puesto que p = hk, esto nos dá para la energía de la partícula: E = ± {p²c² + m²c4} 1/2 = E± A diferencia de otros problemas en la física clásica en donde descartamos mediante consideraciones lógicas una de las soluciones obtenidas tras la extracción de una raíz cuadrada con sus consecuentes dos signos, el positivo y el negativo, en este caso la raíz negativa nos dá soluciones con significado físico. El signo negativo puede ser identificado con el electrón que posee una carga eléctrica negativa y el signo positivo puede ser identificado con el positrón que posee una carga eléctrica positiva. Siendo así, la ecuación de onda relativista de Dirac predice la existencia del positrón. Y no solo esto, predice la existencia de la antimateria. Para una partícula confinada dentro de una barrera de potencial con paredes infinitamente altas (lo cual se puede tratar como un problema en una sola dimensión) separadas por una distancia L, no presenta mucha dificultad el determinar que la ecuación de onda relativista de Dirac predice niveles de energía proporcionados por la siguiente relación: W = ± {m0c² + h²k²π²/2m0L²} Esta expresión difiere del resultado cuántico clásico (pre-relativista) por el término m0c² que representa la masa en reposo de la partícula. Y predice niveles de energía iguales pero opuestos en signo para la partícula y su antipartícula. Tras la ecuación de onda de Dirac, no tardaron en llegar otras ecuaciones tales como la ecuación Klein-Gordon que pasarían a formar el catálogo de conocimientos hoy conocido como la Mecánica Cuántica Relativista. Pero todo este material está basado, ultimadamente, en la unificación de la Mecánica Cuántica con la Teoría Especial de la Relatividad como lo hemos visto aquí. La unificación con la Relatividad General es otro asunto que sigue pendiente de resolverse. El mismo Einstein no pudo visualizar cómo se podría llevar a cabo esto, si es que se puede llevar a cabo. Y si se puede llevar a cabo ya sea con la introducción de nuevos conceptos o con la invención de nuevas herramientas matemáticas, se pueden esperar predicciones de efectos tan espectaculares como los desarrollos teóricos previos han logrado materializar.

APÉNDICE V. PROGRAMAS DE SIMULACIÓN COMPUTARIZADA Aunque el estudio de la Teoría Especial de la Relatividad no es un asunto complicado, el estudio de la Relatividad General presenta retos adicionales por las herramientas matemáticas que se requieren para poder desarrollar el andamiaje en el que están basados los conceptos. En otros tiempos no quedaba más remedio que confiar en el rigorismo lógico aplicado ciegamente a la obtención de resultados. Afortunadamente, en estos tiempos en los que la computadora ya no es un instrumento carísimo a la disposición de unos cuantos privilegiados, existen programas de simulación que nos permiten “ver” lo que está ocurriendo, y al poder “ver” lo que está ocurriendo estamos en mejores condiciones de poder comprender lo que está sucediendo, lo cual a su vez nos puede ayudar para generar nuevas ideas y formalizarlas sobre una estructura matemática sólida. Afortunadamente también, muchos de los programas de simulación computarizada que nos permiten experimentar sobre el monitor de la computadora con los conceptos y las ideas detrás de la Teoría de la Relatividad se pueden obtener gratuitamente sin costo alguno, sin necesidad de pagar decenas o inclusive cientos de miles de dólares. Uno de tales programas de simulación es el que ha sido desarrollado por el grupo Open Source Physics coordinado por Wolfgang Christian, Mario Belloni y Anne Cox. El programa principal es un archivo ejecutable que puede ser abierto en cualquier máquina que tenga instalado el sistema operativo Windows (o inclusive el sistema operativo Linux), para lo cual se requiere que la máquina tenga instalada la plataforma Java que también se puede obtener gratuitamente de Internet. El archivo más conocido desarrollado por esta organización es el archivo osp_jar, el cual cuando está disponible en una computadora que tenga instalado Windows es identificable bajo el siguiente ícono propio de un archivo con la extensión .jar:

Cuando se abre dicho archivo, después de que aparece rápidamente una ventana titulada “OSP Launcher” que confirma que se está lanzando el programa principal:

se nos presenta una ventana introductoria como la siguiente:

En realidad, esta es la ventana principal que conduce a un paquete de varios programas ejecutables de los que está compuesto el paquete. Si queremos echar a andar alguno de los varios programas de simulación que incluye esta herramienta, el botón que nos interesa es el botón intermedio puesto en el borde inferior de la ventana titulado “Programs”. Si oprimimos dicho botón (haciendo clic con el ratón), se nos abre una ventana como la siguiente:

Bajo el directorio “Relativity Programs” encontramos varias opciones de simulación tales como “Newtonian Physics” (el cual nos dá la opción de llevar a cabo la simulación de casos que corresponden a la mecánica clásica pre-relativista) o como “Special Relativity” (el cual nos dá la opción de poder experimentar con situaciones que corresponden al ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad) o como “Schwarzschild Metric” (el cual nos permite investigar lo que ocurre bajo la métrica de Schwarzschild). En la imagen de arriba tenemos seleccionada la sub-opción de “Newton Orbit” (órbita Newtoniana) que está puesta debajo de “Newtonian Physics”, y como podemos ver se nos abre una ventana interior derecha que nos dá una explicación detallada sobre el tema del que versa la simulación que se puede correr, en este caso una simulación de las órbitas que tienen los cuerpos cuando están sujetos a la atracción de una fuerza gravitatoria central. Como podemos ver en la imagen de arriba, la sub-opción “Newton Orbit” consta a su vez de dos sub-opciones, la sub-opción “Orbits (author)” y la sub-opción “Orbits (student)”. Todos los programas de simulación nos presentan estas dos opciones. La primera sub-opción (autor) nos permite asignar valores numéricos a la fórmula con los cuales se llevará a cabo la simulación, mientras que la segunda sub-opción (estudiante) nos permite experimentar de inmediato con una simulación a la cual ya se le han asignado previamente valores numéricos a la fórmula que será simulada. Es buena idea experimentar primero con la opción del estudiante para ver qué es lo que está siendo simulado, y tras esto podemos empezar a variar algunos de los parámetros físicos con la sub-opción del autor para entender mejor la interacción de las variables. En el caso de la subopción “Newton Orbit” en su sub-opción “Orbits (student)”, si hacemos doble clic en el renglón que dice “Orbits (student)” se nos abrirá una ventana adicional como la siguiente:

Para echar a andar el programa de simulación, sólo tenemos que oprimir el botón “Run”. Si en cualquier momento queremos echar a andar el programa desde el principio, sólo tenemos que oprimir el botón “Reset”. Y si queremos correr el programa en pasos incrementales, podemos hacerlo oprimiendo repetidamente el botón “Step”. En el ejemplo anterior, tenemos un programa de simulación dinámica en el cual basta con oprimir el botón “Run” para que el programa corra de manera automática sin intervención de parte nuestra. Pero hay otras simulaciones en las cuales tenemos que posicionar el cursor dentro de la ventana de trabajo e ir moviendo algún punto de anclaje de un lado a otro. Como otro ejemplo, más en línea con la Relatividad General que con la mecánica clásica de Newton, de las simulaciones disponibles en el paquete, en la simulación que corresponde a las trayectorias de varias partículas en la vecindad de un agujero negro en rotación, accesible en la línea "Kerr Metric" en la sub-opción de N-partículas (N-Particle) y haciendo doble clic dentro de la línea "Explosion (student)", al correr la simulación con el botón de "Start" en la ventana "Control Frame" que aparece, al ir corriendo el programa tenemos una solución gráfica como la siguiente

que corresponde a las trayectorias de varias partículas lanzadas:

Dentro del programa principal tenemos también una línea titulada “Rain Metric”, el cual lleva a cabo simulaciones con la métrica que corresponde al marco lluvia discutido en el texto principal de esta obra. Las simulaciones que se llevan a cabo aquí nos abren dos ventanas, la ventana titulada “Control Frame” (este es el Marco de Control desde el cual se echan a andar las simulaciones dinámicas, con el mapa de las coordenadas identificado como “Rain Map” o Mapa Lluvia, obsérvese la ausencia del agujero negro en el interior de los círculos concéntricos):

y la ventana titulada “RainBookkeeper”, como si fuese una especie de “tenedor de libros” que lleva la contabilidad de lo que ocurre en el Mapa Schwarzschild; obsérvese la presencia del agujero negro en el interior de los círculos concéntricos):

Al llevar a cabo esta última simulación, queda más claro el por qué al “marco lluvia” se le dió dicho nombre; podemos imaginarnos a todas las partículas de prueba cayendo radialmente hacia el centro del agujero negro como “gotitas de lluvia”. En la ventana principal de entrada al programa Open Source Physics, a la izquierda del botón "Programs", hay otro botón titulado "Relativity Worksheets" (Hojas de Trabajo de Relatividad). En la ventana izquierda la línea titulada "Brief Overview" hace un repaso breve del significado de la Relatividad y a partir de la métrica de Schwarzschild obtiene expresiones para la longitud propia y el intervalo de tiempo propio en el caso gravitacional de una distribución esférica de masa, pasando a la descripción de las órbitas de partículas tanto en el caso clásico como en el caso relativista. En la misma ventana izquierda la línea "Equations and Notations" hace un resumen de las ecuaciones y la notación simbólica que es utilizada en las simulaciones computarizadas. Tras esto aparece la lista de las "Hojas de Trabajo" (Worksheets) disponibles. El programa que está siendo referenciado aquí contiene seis hojas de trabajo (worksheets) con los siguientes temas: Hoja de Trabajo #1: Espacio Hoja de Trabajo #2: Minimizar longitud

Hoja de Trabajo #3: Tiempo Hoja de Trabajo #4: Orbitas Circulares en Mecánica Clásica Hoja de Trabajo #5: Orbitas Circulares en Relatividad General Hoja de Trabajo #6: Navegacion GPS en un agujero negro A manera de ejemplo, dentro de la Hoja de Trabajo # 1 tenemos primero una breve introduccion, tras lo cual tenemos las opciones "Derecho en el Mapa" (Straight on the Map), "Derecho en el Espacion" (Straight in Space) y una sección de "Ejercicios". Si entramos en la opción "Straight on the Map" se nos presentan dos sub-opciones de simulación, la sub-opción para un "Espacio Plano" (Flat Space) que corresponde a un espacio-tiempo plano en donde se aplica la Teoría Especial de la Relatividad, y la sub-opción "Espacio Curvo" (Curved Space) que corresponde a un espacio-tiempo curvo en donde se aplica la Teoría General de la Relatividad. Si echamos a andar la simulación que corresponde a un espacio-tiempo plano haciendo rápidamente dos veces clic dentro de la línea que dice "Flat Space", aparecerá una ventana de simulación en la que se nos presenta un plano con coordenadas polares. Si echamos a andar la simulación que corresponde a un espacio-tiempo curvo haciendo rápidamente dos veces clic dentro de la línea que dice "Curved Space" aparecerá una ventana de simulación parecida a la anterior excepto que en el centro de la ventana de simulación tenemos un disco negro, el cual representa un agujero negro. En ambas ventanas de simulación no hay un programa dinámico que corre automáticamente, el usuario debe "tomar" cada uno de los puntos rojos y "arrastrar" cada uno de ellos dentro del mapa, con lo cual irán cambiando las lecturas de los recuadros amarillos que dan los valores en coordenadas polares de la distancia radial r así como del ángulo φ y la longitud propia del intervalo relativista σ entre los dos puntos rojos calculada por el programa de acuerdo con la fórmula relativista. Una simulación más interesante la podemos encontrar dentro de los "Ejercicios" de la Hoja de Trabajo # 3. Haciendo doble clic rápidamente en la "Parte A", aparece no una ventana sino dos ventanas, una ventana titulada "Observed Signal" (Señal Observada) y otra ventana titulada "Shell Observer Time" (Tiempo de Observador en un Casco). La simulación muestra dos relojes, uno de color rojo situado y otro de color azul situado, ambos sincronizados inicialmente a un tiempo cero. Junto con las lecturas de los relojes y el tiempo medido desde lejos está la gráfica de la señal del reloj seleccionado y la señal recibida del otro reloj. Haciendo clic en un reloj seleccionará a dicho reloj, cambiando los datos enviados a la gráfica. La simulación es tanto interactiva como dinámica, ya que el usuario puede "arrastar" cualquiera de los dos relojes, tanto el reloj rojo como el reloj azul, a cualquier parte del mapa, y una vez posicionados los relojes en los lugares deseados se puede correr la simulación dinámica con el botón "Start". A continuación se muestran las dos ventanas con el reloj rojo posicionado en las coordenadas polares (r, θ) = (3.0, 22.6°) y con el reloj azul posicionado en las coordenadas (r, θ) = (5.0, -22.5°), con los tiempos propios de los dos relojes rojo y azul sincronizados a cero y con el tiempo medido por un observador lejano (suficientemente alejado de la influencia del campo gravitacional del agujero negro) también puesto a cero, cuando

el tiempo t medido por el observador lejano es de t = 1.5 segundos:

Un sub-programa interesante desarrollado por Slavo Tuleja puesto dentro de este paquete, titulado "GROrbits", nos permite obtener gráficamente y numéricamente las órbitas de partículas de pruebas lanzadas en las afueras del plano ecuatorial tanto de un agujero negro sin rotación (Schwarzschild) como de un agujero negro en rotación (Kerr). La introducción al programa nos presenta las opciones que tenemos para cambiar las variables a nuestro antojo en la ventana principal del programa:

En los botones delizadores (sliders) a la derecha de la ventana, tenemos el botón con el cual podemos variar el parámetro J/M y el botón con el cual podemos variar el parámetro L/M. Si el parámetro J/M es positivo tenemos el graficado para un agujero negro que está en rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, y si el parámetro J/M es negativo tenemos el graficado para un agujero negro que está en rotación en el sentido de las manecillas del reloj. El botón deslizador L/M nos fija el potencial gravitacional efectivo en función de la distancia radial. Para un valor de J/M igual a 0.4 y un valor de L/M igual a 7.5 (los cuales se pueden obtener exactamente no con la ayuda de los botones deslizadores sino editando los valores numéricos en las líneas correspondientes en la esquina superior derecha), podemos correr la simulación de la órbita de una partícula de prueba lanzada desde una distancia radial de r = 20M y a un ángulo de 157 grados (tanto la distancia radial como el ángulo polar pueden ser verificados moviendo el cursor libremente dentro de la ventana izquierda y leyendo los valores de los mismos en la línea pequeña que aparece en la esquina inferior izquierda) cuya trayectoria es desviada por la cercanía del agujero negro que ejerce atracción gravitacional sobre la partícula pero que lleva suficiente impulso como para evitar caer en el agujero negro. La ventana resultante es una como la siguiente:

Obsérvese cómo el tiempo t medido desde la lejanía por un observador externo (suficientemente alejado de la influencia gravitacional del agujero negro) es mayor que el tiempo propio τ medido por la partícula, en concordancia con el hecho de que en presencia de un campo gravitacional el tiempo avanza más lentamente. Resulta instructivo correr el programa no en la modalidad de simulación dinámica continua sino en la modalidad de simulación "paso a paso" (step), teniendo las opciones de llevar a la partícula paso a paso hacia adelante en el tiempo o hacia atrás en el tiempo (hay dos botones "step" para ello). En la simulación "Knife edge" bajo la sub-opción "Stone" de los "Scenarios" del programa "GR Orbits" tenemos una demostración visual dramática, basada en las fórmulas de la Relatividad General, de cómo la órbita de un satélite en la cercanía de un agujero negro puede ser una órbita planetaria que a diferencia de las órbitas predichas por la ley de Newton no es una órbita elíptica cerrada sino una órbita que manifiesta una precesión. Recordemos cómo entre los primeros triunfos de la Relatividad General estuvo precisamente la explicación de la precesión de la órbita de Mercurio en torno al Sol. La mejor forma de adquirir experiencia en este programa de simulación es experimentando con cada una de las simulaciones, al igual que la mejor forma de aprender a manejar un carro no es estudiando la teoría de los motores de combustión interna sino manejando el carro con las manos puestas al volante. Hay otros programas de simulación puestos gratuitamente a través de Internet por la organización Open Source Physics, la cual tiene el siguiente domicilio: http://www.opensourcephysics.org El archivo ejecutable para los programas de demostración que se han discutido aquí fue obtenido directamente del siguiente domicilio que lleva a cabo la transferencia del archivo: http://www.opensourcephysics.org/binary/osp_gr.jar