Teoría de La Probabilidad Actividad 2

 

 

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Comercio y Administración Unidad Tepepan  

Unidad de Aprendizaje: Estadística para Negocios

Unidad 2. Teoría de la probabilidad Actividad 22 Ejercicios U.T.

Estudiante:

Profesor:

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Unidad 2. Teoría de la probabilidad

 Actividad 2  2 

Ejercicios de la U.T. 2 1 Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? Respuesta: 45, que se obtiene de aplicar el concepto de combinación ( técnica de conteo) es decir, el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos, sin considerar el orden. 



 =

! ( − )! !

=

10! (1 0 − 8) 8)! 8!

=

10! 2!8!

=

10∙9 2∙1

=

90 2

= 45 

b) ¿Cuántas maneras de escoger tiene si las tres primeras son obligatorias? Respuesta: Combinación de objetos. Si las tres primeras preguntas son obligatorias, entonces el estudiante podrá elegir con libertad 5 de los 7 restantes del total de 10 preguntas de examen, de tal manera de que dispone de 21 maneras de hacer posible su elección. 



 =

! ( − )! !

=

7! (7 − 5)! 5!

=

7! 2! 5!

=

7∙6∙5∙4∙3 5∙4∙3∙2∙1

=

2520 120

= 21 

2 El departamento de obras públicas de una comunidad se está preparando para el invierno planeando las necesidades de arena y sal que se utilizarán para mantener las carreteras durante y después de una tormenta de nieve. Un análisis de los inviernos anteriores ha dado como resultado los siguientes cálculos probabilísticos con respecto al número esperado de tormentas de nieve intensas. 

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Número de tormentas intensas

P(x)

0

0.10

1 2 3 Más de 3

0.25 0.30 0.20 0.15

a) ¿Cuál es la probabilidad de que que ocurran 3 o más de estas tormentas en el año próximo? Respuesta: 0.35; se utiliza la regla de adición de probabilidades, sean los eventos definidos en un espacio muestral Ω, si A y B son mutuamente (  ∩  ) = ∅ →  (    ) =  ( ) +  ();   excluyentes , (   ) = (   )) + ().   (3) = 0.20 +  (á  3) 3) = 0.15 ⟹  = 0. 0.20 + 0.15 = 0.35 

b) ¿Cuál es la probabilidad de tener menos de 3 tormentas de nieve intensas? Respuesta: 0.65; para tres eventos mutuamente excluyentes denotados por A, B y C, la regla se escribe:  (     )  ) =  (   )) +  () +  () ()   (0) +  (1) +  (2)   ⟹  = 0.10 + 0.25 + 0.30 = 0.65 

3 En una encuesta a nivel nacional con 10,000 hombres de edad media se obtuvieron los siguientes datos:

Enfermo Corazón (EC) 1Sin enfermedad del Corazón (SC)

Total

Sin Ejercicio (SE)

Poco Ejercicio (PE)

Regular Ejercicio (RE)

Total

700 1,300 2,000

300 6,600 ,6900

100 1,000 1,100

1,100 8,900 10,000

Se cree que los resultados de esta encuesta, de 10,000 hombres, son representativos de estos atributos para los hombres de edad media promedio en este país. Con base en estos resultados se pueden calcular las probabilidades relacionadas con las enfermedades del corazón y los hábitos de ejercicio.

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Tabla de probabilidades conjunta expresado en decimales. Sin Ejercicio (SE)

Poco Ejercicio (PE)

Regular Ejercicio (RE)

Total

Enfermo Corazón (EC)

0.07

0.03

0.01

0.11

Sin enfermedad del Corazón (SC)

0.13 0.20

0.66 0.69

0.10 0.11

0.89 1.00

Total

Solución:  a) La probabilidad conjunta de que un hombre de edad media haga ejercicio regularmente y padezca del corazón. Respuesta:  (   )) = 0.01 0.01;;   ,, 100 = 0.0 .01 1  ( ) = 10,000 b) La probabilidad condicional de que un hombre haga regularmente ejercicio dado que padece del corazón. Respuesta:  (  ∖ ) =  (  ∖ ) =

 (  ∩ )  ( ∖ )

=

0.01 0.11

 ()

 

 (∖)

= 0. 0.09 0909 09;;  , ,

100  (  ∩ ) 1,000,000 10,000 =  (  ∖ ) = = 0. 0.09 0909 09 ≅ 0. 0.09 091 1   = 1,100  ( ∖ ) 11,000,000 10,000

4 De 14 cuentas de un archivo 5 contienen error de procedimiento. Ya que se realizan 3 extracciones sucesivas de dichas cuentas determina las probabilidades siguientes:  A Que ninguna ninguna contenga contenga error (con (con reemplazo). reemplazo). P(A) * P (A ∖B):  ( )) = 14   ; ( (   ) ) = 14 − 5 = 9    si sin n     ;    ,,  P(A) ∗ P(A ∖ B) =

9 14

 ∙

9 14

 ∙

9 14

=

729 2744

= 0. 0.26 2656 567 7 ≅ 0. 0.26 266 6 

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B Que dos contengan error (sin reemplazo) P(A) * P (A ∖B):

 (é) = 14   ; ;  (1 4 − 1) = 13   ; ;  ( )  = 5     ; ; (5 − 1) = 4   í, í,  ; ;  P(A) ∗ P(A ∖ B) =

5 14

 ∙

4 13

 =

20 182

=

10 91

= 0.109 0.10989 89 ≅ 0.109 0.1099 9 

5 Un grupo consta de 10 hombres y 20 mujeres, del cual la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Halla la probabilidad de que una persona sea escogida al azar: aza r:  Concepto Con ojos castaños Sin ojos castaños

Hombres 5 5 10

Mujeres 10 10 20

Total 15 15 30

 A Sea hombre hombre o tenga tenga los ojos ojos castaños castaños Si A y B no son eventos mutuamente excluyentes   ∩ ) ≠ 0   (  ∪ ) =  (   )) +  () −  ( ∩ ) 

Por tanto,  (ℎ    ñ) ñ ) =

 

+

 

−

 

=

 

=

 

= 0.6 .66 6 

Tabla de probabilidades conjunta en decimales: Concepto Con ojos castaños Sin ojos castaños

Hombres 0.17 0.16 0.33

Mujeres 0.33 0.33 0.66

Total 0.50 0.50 1.00

 (ℎ    ñ) ñ) = 0.33 + 0.50 − 0.17 = 0.66

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B Tenga ojos castaños dado que es mujer  ( ñ     ) =

10 30

= 0. 0.3 33 

 ( ñ    ) ) = 0.33 0.33 ( ( ) )  Concepto Con ojos castaños Sin ojos castaños

Hombres 0.17 0.16 0.33

Mujeres 0.33 0.33 0.66

Total 0.50 0.50 1.00

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