Teoría de la gravitación universal

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  La naturaleza cuadrática inversa de la fuerza centrípeta para el caso de órbitas circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme: Según la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radio, P2=kr3. La dinámica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria circular la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración normal, F= mv2/r. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2p r/v.

Combinando estas expresiones, obtenemos

Vemos que la fuerza F que actúa sobre el planeta en órbita circular es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde el centro de fuerzas al centro del planeta.

Fuerza de atracción entre los cuerpos

La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión

G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos.

Comprobación de la Ley: Newton comparó la aceleración centrípeta de la Luna con la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípeta de la Luna es ac=v2/r=4p 2r/P2, con r=3.84 108 m y P=28 días=2.36 10 6 s, se obtiene ac=2.72 10-3 m/s2. Por consiguiente,

Como el radio de la Tierra es 6.37 10 6 m, y el radio de la órbita de la Luna es 3.84 108 m, tenemos que

Por tanto,

Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa del cuadrado de las distancias medidas desde el centro de la Tierra.

Unificación de la mecánica terrestre y celeste En la física anterior a Newton una manzana cae verticalmente hacia la Tierra en una trayectoria rectilínea, mientras que la Luna describe una órbita casi circular, que es una trayectoria cerrada. ¿Cómo estas dos categorías de movimientos pueden estar relacionados? Si la manzana que caía verticalmente es empujado por la fuerza del aire, su trayectoria ya no será rectilínea sino el arco de una curva. Por ejemplo un proyectil disparado desde un cañón describe una trayectoria parabólica tal como se observaba en el siglo XVII en el que vivió Newton. El salto conceptual que llevó a cabo Newton fue el de imaginar que los proyectiles podrían ser disparados desde lo

alto de una montaña describiendo trayectorias elípticas (siendo la parábola una aproximación de la elipse). Por tanto, la manzana y la Luna están cayendo, la diferencia es que la Luna tiene un movimiento de caída permanente, mientras que la manzana choca con la superficie de la Tierra. Una misma causa produce, por tanto, los movimientos de los cuerpos celestes y terrestres. "Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fácilmente que los planetas pueden ser retenidos en ciertas órbitas mediante fuerzas centrípetas; pues una piedra proyectada se va apartando de su senda rectilínea por la presión de su propio peso y obligada a describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyección inicial habría debido continuar dicha senda recta, en vez de ser finalmente atraída al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la cual resulta ser proyectada más lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 millas antes de caer, de forma que al final, superando los límites de la Tierra, pasará al espacio sin tocarla..." Entonces, por la misma razón que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco menor y, proyectado con más velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminará por llegar bastante más allá de la circunferencia de la Tierra, retornando a la montaña desde la que fue lanzada.

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c 

 Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza.

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M=Fd

Y La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo.

Y El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.

Y

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c 

El momento angular  de una partícula es el vector producto vectorial =xm , perpendicular al plano determinado por el vector posición  y el vector velocidad . Como el vector  permanece constante en dirección,  y estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de . De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular 

  
 
  

 
 


El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

4ext=  x  será cero si la fuerza y el vector posición tienen la misma dirección. Este tipo de fuerzas se llaman Fuerzas Centrales

  
    La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. Una fuerza es central cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza 4=0 y de la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre una partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.






 En el siglo XVI, el astrónomo polaco Nicolás Copérnico remplazó la tradición de la tierra como centro del movimiento planetario con uno en el cual el sol es el centro y los planetas se mueven alrededor en círculos y los astrónomos comenzaron a aceptar la idea de que la Tierra y los planetas giraban alrededor del Sol, en lugar de que el Sol y los planetas giraran alrededor de la Tierra. A través de el modelo de Copérnico llegó a ser cercana la predicción correcta del movimiento de los planetas. Esto llega a ser particularmente evidente en el caso de el planeta Marte, cuya órbita fue medida muy exactamente por el astrónomo danés TychoBrahe, sin embargo los astrónomos no eran capaces aún de describir el movimiento de los planetas con precisión.

El astrónomo alemán Johannes Kepler fue quien finalmente tuvo la capacidad de describir el movimiento planetario utilizando tres expresiones matemáticas, las cuales llegaron a ser conocidas como las leyes de movimiento planetario de Kepler, quien además encontró que las órbitas planetarias no eran circulares, sino elípticas. Las tres leyes referentes al movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol, descubiertas por Kepler. Las leyes de Kepler no solo se aplican a los planetas que orbitan alrededor del Sol, sino todos los casos de cuerpos celestes que orbitan otro bajo la influencia de la gravedad.

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c   Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.

La elipse se ve como un círculo alargado: un eje largo, llamado eje mayor; perpendicular a el eje mayor está el eje menor el más corto. Los 2 focos están simétricamente localizados en cada lado del eje mayor.

  Los cuerpos celestes describen trayectorias en las que se cumple que: las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. El radio vector va desde el foco de la elipse a la posición del planeta en cada instante. La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).

La demostración de la segunda ley de Kepler, se fundamenta en la conservación del momento angular lo cual es consecuencia de que la fuerza de gravedad corresponde a una fuerza central. Para ver esto, consideremos un planeta de masa, m, moviéndose alrededor del sol en una órbita elíptica. La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre se dirige a lo largo del radio vector, hacia el sol. Se le llama fuerza central a la fuerza de este tipo, dirigida hacia un punto fijo o en sentido contrario a él. El torque (momento de la fuerza) que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero, ya que la fuerza  es paralela al radio , esto es: 4 = x = Si consideramos que 4= d/dt = , esto implica que el momento angular (t) es constante, es decir no varía con el tiempo: = x
=m

x = vector constante (donde
= m es el momento

lineal) Como  es un vector constante, perpendicular a a y a , vemos que el movimiento del planeta, su radio vector,  y su velocidad, en cualquier instante están restringidos al plano perpendicular al vector constantes. Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio barre un área dA en un tiempo dt. Esta area es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores y  ( || x  || ) . Como el desplazamiento del planeta en un tiempo dt es 

= dt , obtenemos:

dA = 1/2 || x  || = 1/2 || x dt || = ||||/2mdt Por lo tanto,

es una constante. Es decir, en tiempos iguales, se barren áreas iguales.

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Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de la distancia promedio al sol.

Es decir el cuadrado de el periodo del planeta es proporcional a el cubo de la distancia promedio de la órbita del planeta. A partir de la tercera ley, puede calcularse la distancia de un planeta al Sol una vez que se conoce su período. La Ley de la Gravitación Universal permite explicar las leyes de Kepler sobre las órbitas planetarias: Para un planeta de masa m a una distancia r del Sol, la atracción gravitatoria será la que obliga al planeta a describir su órbita, por lo que ha de ser la fuerza centrípeta que actúa sobre el planeta. Igualando ambas fuerzas, la masa del planeta puede simplificarse y podemos obtener el cuadrado de la velocidad angular del planeta, lo que nos indica que cuanto mayor sea la distancia al Sol (r), menor será la velocidad del planeta. La velocidad angular del planeta se puede escribir en función del periodo de su órbita. Si ahora realizamos el cuadrado y agrupamos periodo y radio en un miembro de la ecuación lo que aparece en el segundo miembro de la igualdad es una constante, que es justamente la tercera ley de Kepler.


 
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 Se denomina trabajo infinitesimal al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento, y q el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento. El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

Cuando la fuerza es constante el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento. W=Ft s Concepto de energía cinética. Teorema de la Energía Cinética (o de las Fuerzas vivas) Supongamos que  es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial. En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento dsy el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil. Se define energía cinética como la expresión

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de 
 las fuerzas que actúan sobre una partícula es la variación de su energía cinética.

 
   
 
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Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

 Ejemplos:
 
 # 
    Calculemos el trabajo de la fuerza peso =-mg" cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.

La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial. # $  "     
   

Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a esta. F=-kx El trabajo de esta fuerza es

La función energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F vale

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

  
 
  

    Cuando una partícula está bajo la acción de una fuerza conservativa, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial

El trabajo de la fuerza es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía EkA+EpA=EkB+EpB

La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

 

    Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso. #  
 
 # 

    Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo porque la fuerza es de signo contrario al desplazamiento WAB=-Fr x WBA=-Fr x El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero WABA=-2Fr x

     En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas  y no conservativas  El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.

Ek = Energía cinética) El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

=Wfnc

El trabajo de una fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.


 

     
  

   Se denomina intensidad del campo gravitatorio, o aceleración de la gravedad  en un punto P distante r del centro del planeta de masa M, a la fuerza sobre la unidad de masa situada en el punto P.

Líneas de Fuerza. Un campo gravitatorio se puede describir (graficamente) mediante líneas de fuerza, siguiendo estos requisitos: El vector intensidad de campo g debe ser tangente a la línea en todo punto.

Y El número de líneas por unidad de área es proporcional a la intensidad de campo.

Y

Energía Potencial Gravitatoria La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de las distancia r entre el móvil y el centro de fuerzas. Dicha fuerza es conservativa, y podemos hallar la función energía potencial Ep.

a) La expresión de la fuerza es:

b)

Calculamos el trabajo necesario para trasladar una partícula de un lugar arbitrario r1 a otro lugar arbitrario r2 .

En este caso se traslada la partícula desde el infinito a r por acción de la fuerza gravitatoria:



Establecemos el origen de la energía potencial (el cero) en el infinito c) Empleamos la definición de energía potencial W= Ep1 -Ep2 , para obtener

La energía potencial es siempre