TEORIA DE LA ELASTICIDAD, TIMOSHENKO

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TEORIA DE PLACAS y LAMINAS

porS. Tlmoshenko y Wolnowsky-Krieger .IN DICE •. ··Flexlón de ·placas rectangulares largas en una superfjciecilínd¡'ic~,-'-Fle)(16n pura de placas.-Flexlón simétrica de placas circulares. Pequeñas deformaciones de placas bajo carga.Placas rectangulares simplemente apoyadas. -Placas rectangulares con diversas condic[ones ~e borde.~Placas rectangulares contlnuas.-Placas . sobre cimentación elás.tlca.-Placas de varias formas.-Métodos especiales y aproximados en la teoría de placas.Flexión de placas anls6tropas.-Flexlón de placas bajo la acci6n combinada de cargas laterales y fuenas en el plano medio de la placa.-Grandes flechas de las placas.-Deformación de láminas sin flexión.-Teorfa general de láminas ciHndricas.-Lámlnas con forma de superficie de revolución cargadas simétricamente respecto a su eje.

Tamaño: 16 x 24 cm. Encuadernación: Tela. Número de páginas: 624. DINAMICA SUPERIOR

por S. Tlmoshenko y D. H. Young INDICE. Dindmica de la portlcula: Ecuación diferencial del movimiento rectilfneo. Cuadratura gráfica. Cuadratura numérica. Movimiento rectilíneo en un medio resistente. Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso. Oscilaciones forzadas. Integración numérica. Movimiento armónico plano. Movimiento planetario. Movimiento de un proyectil.-Dinámica de un sistema de partltulas: Principio de la cantidad de movimiento. MovImiento rectlllneo de una masa variable. Choque. Compensación de una máquina alternativa: de un cilindro, multlcilíndrica. Energía cinética y trabajo. Cálculo de volantes.-Dinámlca de las sistemas vinculados: Ecua- . ciones de los vlnculos. Coordenadas y fuerzas generalizadas. Principio de d'Alembert. Ecuaciones de Lagrange. Principio de Hamilton.-Teoria de Jos oscilaciones pequeñas: Oscilaciones libres de ~ sistemas conservativos. Osel latiónes lineales de dos masas acopladas. Oscilaciones forzadas de sistema con dos grados de libertad. Oscilaciones con amortiguamiento viscoso. Sistema de varios grados de libertad. Amortiguadores de velocidad variables.-Rotación de un cuerpo "gido o/rededor de un punto fijo: Ecuaciones del movimiento alrededor de un punto fijo. Movimiento libre de un giroscopio. Momento girosc6pico de un giroscopio simétrico y asimétrico. El compás giroscópico. El péndulo giroscópico. El estabilizador giroscópico para buques. Estabilización de vagón monor,.i!. Tamaño: 16 X i4~~m:Encuadernoción: Tela.

EDICIONES URMO. S. A. Espartero.10.BILBAo-9

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

1:

ELAS 1 .i.:~

I~

! )!c" l·::·,··, ~

\:;

ti

Tu = " " "/% = ·•• v, las cuales reciben el nombre de componentes de la tensión en el punto considerado. Como se verá más adelante (§ 67), estas seis componentes permite~ determinar el esfuerzo actuante sobre cualquier plano que pase por el punto considerado. 5. Componentes de la deformación. Al estudiar la deformación de un cuerpo elástico, se supondrá que hay vínculos suficientes que impiden su movimiento como cuerpo rígido, de forma que no es posible el desplazanliento de las partículas del cuerpo ~in una deformación del mismo. l En este libro sólo se estudiarán deformacioneS pequeñas, tales como se dan en las estructuras reales. El pequeño desplazamiento de las partículas

TEORlA DE LA ELASTICIDAD

);1J';l,lJ;~¡J'U .. defo.rmado,

es descompuesto generalmente en sus com. v, paralelas a los ejes x, Y. z, respectivamente. Se supondrá .. ~mponentes son muy pequeñas y que varían con continuidad :el volumen del cuerpo. Consideremos un pequeño elemento .. dz de un cuerpo elástico (fig. 5). Si el cuerpo se deforma y u, v, w,

·w

cton angular) o deslizamiento del ángulo comprendido entre los planos xz e yz. De igual forma, se obtiene la deformación tangencial de los ángulos formados por los planos xy y xz.y los yx e yz. Representaremos mediante la letra E la deformación longitudinal y mediante la y, la deformación tangencial. Para indicar la dirección de las deformaciones, utilizaremos los mismos subíndices que pata las componentes de las tensiones. De donde resulta que: e~

ou =-, a::c au

'Y:v =

Flo.6

son las componentes del desplazamiento del punto 0, el desplazamiento en la dirección x de un punto próxi~o A, situado en el eje de las x, será

u

au

+ az rlz

debido al incremento (8u/ox)dx de la función u, que corresponde al cambio de la coordenada x. El aumento de la longitud del elemento OA debido . a la deformación, es por lo tanto (ou/ox)dx. En consecuencia, el alargamiento especíjico en el punto 0, según la dirección x es 'iJu/ax. De igual forma, puede demostrarse que el alargamiento específico en las direcciones Y y z viene dado por las derivadas av/ay y aw/oz. El alargamiento específico será designado, en lo sucesivo, mediante las expresiones deformaciÓ'n longitudinal o simplemente deformaci6n. Consideremos ahora la' variación del ángulo formado por los elementos OA y OB (fig. 6). Si u y v son los desplazamientos del punto O en las direcciones:x e y, los·del punto A en la dirección y, y del B en la dirección x vienen dados respectivamente por: v

+ (ov/'iJx)dx y u + (ou/oy)dy

A causa de estos desplazamientos, la nueva dirección O'A' del elemento OA forma con la dirección inicial un pequeño ángulo, indicado en la figura, igual a ov/ox. De igual forma, la dirección O'B' forma con OE el ángulo íJu/íJy. Se sigue de ello que el ángulo AOB, inicialmente recto, formado por los elementos OA y OB, ha variado en la cantidad av/ax + + Gu/ay. Esta es la deformación tangencial (también es llamada dejorma-

27

INTRODUCCION

ay

av = ay' ou OW 'Y•• = - +-,

E.

Eu

OV

+ a::r;'

"fu.

OX

az

=

aw iJ~

av aw = ;rz + ay

(2)

Como veremos más adelante, conocidas las deformaciones longitudiriales . en tres direcciones perpendiculares y las tres deformaciones tangenciales correspondientes a esas direcciones, se puede determinar la deformación correspondiente a una dirección cualquiera y el deslizamiento del ángulo formado por dos direcciones cualesquiera (§ 73). Las seis componentes '(;" ... ')1" .. reciben el nombre de componentes de la deformación. 6. Ley de Hooke.

La relación entre las componentes de la tensión

y de la deformación, ha sido establecida experimentalmente y se conoce

bajo el nombre de ley de Hooke. Imaginemos un paralelepípedo rectangular infinitésimo, con sus aris-' tas paralelas a los ejes coordenados, sometido a la acción de una tensión normal (1", distribuida uniformemente sobre dos caras opuestas. La experiencia demuestra que en el caso de un material isótropo, las tensiones . . normales no producen distorsión angular del elemento~ La magnitud de 'la deformación longitudinal viene dada por la ecuación: E",

=

11",

E

(a)

en la que E es el módulo de elasticidad longitudinal. Los materiales usados, en ingeniería tienen módulos muy altos en relación con las tensiones admisibles y la deformación (a) es muy pequeña. En el caso del acero de construcción es, generalmente, inferior a 0,001. La dilatación del elemento en la dirección x viene acompañada de las contracciones laterales. O"z

Eu = ,

-v E'

0': El:;::::

-p

E.

eb)

j

.

en las cuales JI es una constante llamada coeficiente :(ie Poisson. Para muchos materiales el coeficiente de Poisson puede igualarse a 0,25. Para el acero de construcción 'es generalmente 0,3.

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

,f,'}"'~""~'~"""

del intervalo elástico, el módulo de elasticidad ~(j.~:ti(!lel~te :de Poisson son iguales en compresión y tracción. elemento anterior es sometido a la acción de las tensiones nor.. ~; J': '/T,,; distribuidas uniformemente sobre sus caras, las com. ¡,..., ;1"MAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

son distintas de cero, además de las' tensiones nonnales tendríamos tensi.ones tangenciales actuando sobre los bordes laterales de la placa. La figura 23, por ejemplo, representa el caso en que todos los coeficientes de (e) salvo ha son cero. Los sentidos con que se han dibujado las tensiones corresponden a valores positivos de bao A lo largo de los bordes y = ± e tenemos una distribución uniforme de tensiones de tracción y c()mpresitin, respectivamente, y de tensiones tangenciales proporcionales a X. En el borde x = 1 tenemos simplemente una tensión tangencial constante e ig'ual a -bal y en la cara x = O no existe tensión alguna. Se obtiene una distñbución de tensiones análoga si se toma C3 distinto de cero. Al tomar como función de tensión polinomios de segundo o tercer grado se tiene completa libertad en la elección del valor de los coeficientes pues la ecuación (a) es satisfecha cualesquiera que sea su valor. En el caso de polinoIPios de mayor grado, sin embargo, la ecuaci?n (a~ sólo es satisfecha si los coeficientes. cumplen, entre ellos, determmadas relaciom!s. Tomando, por ejemplo, como función de tensión un polinomio de cuarto grado

conjunto de tensiones tangenciales actuantes sobre el contorno de la produce el par

1 d c2 '

2

4 . 20 - '3 "2 . 2c • l = '3 d 4c3l

par compensa el producido por las fuerzas nonnales que actúan sobre cara x = l. --+ - -

I

+

¡ I

I

e r---"---+-~~

t..

l y FIG.24

Supongamos ahora que se toma como función de tensión un polide quinto grado

(d) y llevándolo a la ecuación (a) se encuentra que esta ecuación se cumple solamente si 84 = -(2c{ a4)

d4c2l

2

.M =

.

a6

=5'4:t

s

+ 4·g:ty b& + 3'2 06 a + do + 4'3 /lo xy + f. XY RXY n 4

+

2

2 3

4

Y

5 (

f)

en Ca) se obtiene que esta ecuación es satisfecha si

Las compenentes de la tensión en este caso son:

e6

=-

(20¡

+ Sas)

jr, = -t(b ó + 2ds)

componentes de la tensión correspondiente son, por lo tanto, O'

2 a = aay2ifJr, = ~ 3 x + d&x y

U lI

= éJ:r/

2

~

a2 ifJ

Los coeficientes a4, .... d4 • que figuran en estas expresiones, son arbitrarios y eligiendo sus valores convenientemente podemos obtener distintas condiciones de carga sobre la placa rectangular. Tomando, por ejemplo, todos los coeficientes menos d4 iguales a cero resulta O'v

= OJ

(e)

Si tomamos d 4 positivo la distribución de fuerzas que actúa sobre la placa rectangular y que produce las tensiones expresadas por Ce) es la mostrada en la figura 24. Sobre los bordes longitudinales y = ± c existe una distribución uniforme de tensiones tangenciales y sobre los extremos de lii placa l~ distribución de esas tensiones sigue una ley parabólica.

-

(205

.

+ 3a6)xy2 -

1 -3

(b 6

+ 2d6)y3

d

= a6x3 + b5x 2y + C5Xy2 + 3's ya

Tz;¡¡ = - ozéJy ~ = - -3 bóx· - cóx2y - d6Xy2 1

+ -31 (206 + 3a6)y8

coeficientes a., ... , d s, son, de nuevo, arbitrarios y eligiéndolos convese obtienen las soluciones correspondientes a distintas conde carga de la placa. Tomando, por ejemplo, todos los coeficientes excepto d. iguales a cero '. obtiene ."•.m:'.'L11

= q:;r + 4~3 ( -2xy3 + =

(ya -"'2 + ªx 40 q:u

3 -

¡

trans'vc¡'sal alejada de los extremos de la viga (a una distancia mayor que la altura puede ser calculado en forma aproximada mediante las siguientes ecua-

+ q (lt _.!1t) 2e' lOe "'v = _!J.2 + 'l (!!JI _4c' Y') 4e

a'.

3Y) 40

(a)

+ 4~3 ~

_.!L (c4 - y4) +.J....~ C2(02 803

En el caso general de una distribución de carga dada por una ley de v.ariación de intensidad q (fig. 30), la distribución de tensiones en cualquier sección

.wu,,'''u'~

2

e2(e 2 - y2)

En estas expresiones q es el peso específico del fluido, de manera que la intensidad de la carga a la profundidad x es qx y la fuerza transversal 2 3 y el momento flector a la misma profundidad qx f2 y qx f6. Como puede advertirse fácilmente, los primeros términos de las expresiones de (J", y T.. son los que para estas tensiones dan las fórmulas elementales. v En la parte superior de la estructura (x = O) la tensión normal es nula y la tangencial viene dada por; >fI

Estas tensiones, aunque distintas de cero, son muy pequeñas y además u resultante es nula, por lo que a efectos prácticos podemos considerar que el extremo superior de la estructura se encuentra libre de fuerzas ..' exteriores. . El efecto del peso de la estructunl sobre la distribución de tensiones tenido en cuenta sin más que añadir a la exptesión de (f~ en las ecuacio(a) el término -q¡x, donde q¡ es el peso específico del material de 'la estructura. La solución así obtenida ha intentado aplicarse al cálculo 'de las tensiones existentes en las presas de mamposteria de s'ección rectangular. Debe advertirse, sin embargo, que tal solución no satisface jas condiciones existentes en la sección de asiento del muro. La solución (b) es exacta si las fuerzas actuantes sobre esa sección se reparten como las ·tens:iones U x y T",y dadas por (a). En los casos reales la base de la presa está trabada a la fundación y las condiciones existentes son distintas a las que k solución que estudiamos exige. De acuerdo con el principio de SaintVenant podríamos deducir que el efecto de dicho vínculo sería despreciaa distancias grandes de la base pero dado que las dimensiones transde una presa de mampostería no son despreciables frente a su altura, la influencia que consideramos no puede ser despreciada 2• Tomando como función de tensión un polinomio de séptimo grado obtenerse la distribución de tensiones en una viga sometida a una de caLgas que obedezca a una ley parabólica.

e x y)

= 38q~2 (0 2 - y2) - Sªs (e' - y4) (l o

T =

69

PROBLEMAS IIlDlMllNSIONALliS EN COORDENADAS RECTANGULARES

TEORlA DE LA ELASTICIDAD

68

4035

I Véunse los trabajo. dc T.mpe, loe. cit.; W. R. Osgood, vol. 28, pág. 159, 1942.

J.

_

y2)

Researeh Natl. Bur. Standards

T.V

= My

I

=

-s.

(0 2 -

(36)

y')

las que lIti es el momento flector, Q la fuerza trunsversal, calculada en la forma . y q la intensidad de la carga en la sección transversal considerada. Estas • M. Levy, Compt. relld., vol. 126, púg. 1235, 1898. El problema de las tenSIones que se producen en lAS presas de mampostería tIene gran práctICO y ha s.do tratado por dIversos autores. Véase K. Pen,"oo. On sorne Dlsrcg'lfdt:d m the Stablltty of Mnsonry Dams, en Drapers' Co. Rescare/¡ Mems., 1904; K. Pearson An Experimental Stut.ly of the Stresses In Mnsonry Dams, en Drapers' Co. Re¡'ldems., 1907. Véanse tambIén los tf'abajos de L. F. Rlchardson, Trans. RoJ'. Soco (L,.nvol. 210, serlC A, pág ..307, 1910; Y S. D. Cal'othels, Proc. ~CJY. Suc., Edmburgo, vol. 33, 1913. l. Muller, PllbliCilt;OIlS du laboratnire de pltata-élai!icité, Zurlch, 1930.F,llunger, Wachsehr. Ólleni/. Eaudlenst, 1913, Heft, 45. K. Wolf, Sttzber. Akad. WISS. Wlell, 123, 1914. I F. Seewald, Abltandl, "erady"a",. Irlsl. Teeh. Hnschschule, Aachell, vol. 7, pág. 11, 1927. ~

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

70

71

PItOBLIlMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

ecuaciones concuerdan con las obtenidas anteriormente para una viga sometida a una curga uniforme (§ 21).

, La función de tensión ·resulta entonces

sen ax(C¡ ch ay

,h

+ C. ~h ay + C.y eh ay + C,y sh ay)

(d)

las eomponéhtes de la tensión están dadas por

e

t1r .=

.

"'y

y .u = -

Si la carga de intensidad q, que actúa de arriba hacia abajo, está distribuida a lo largo del borde inferior (y = +c) de la viga, la expresión de las tensiones se obtiene a partir de· (36) añlldiendo una tensión de tracción 11. = q. Tenemos entonces: I.isa ~a sido .estudiado por K. Ma~guerre, lt'g. Archiv, vol. 2, 108,1931, Y el de una lamIna mextens,ble pero flexible embebida en un material elástico en mecñnica'9c sucio., por M. A. Biot, Physics, vol. 6, pág. 367, 1935. '

,[

TllORIA DE I.A ELASTICIDAD

.76

PROBLEMAS BlDIMENSIONAI.F.5 EN COORDh'NADAS RECTANGULARES

ncs (k) c(m cos a.x en lugar de sen ~ y las expresiones (n) para y B",' iguales. Resulta entonces la expresión (lIe

eh

sh (,e) el1 ay sh 2"e + 2ae

(JC

U)'

108

coeficientes A,:

sh ay sh ue • cos

/LX

77

.de la figura 37 para el caso en qUl:l e = 21, encontrándose que en [n sección eXIste una compresión prácticamente uniforme lo que concuerda con la

(P) (a)

en la cual qa = P12. Para el caso supuesto, en que 1 resulta pequeño comparado con e, (lC es grande y puede despreciarse en el denominador frente a sh /te. También podemos escribir sh /le = eh ele = hu, _

~~IIP ~ z¡

112, esta serie es de rápida convergencia y para calcular "", solamente se necesita considerar unos pocos términos. Si tomamos entonces sen m~a _ mZa

c-y=2l

PIC. 38

38c. Las tensiones existentes en los puntos próxImos' ,,1 de llpliclICiólI de las P serán estudiados en el ~ 33.

24. ,Otras aplicaciones de las series'de :¡;·ourier. Caso en que la carga conSiderar es el peso. Los problemas considerados en el § 23 se Teferíall a 'i O), pOI' una presión normal aplicada sobre el borde y = O cuyo .valor viene dado por tn".;¡:

msen-Z-

Demostrar que la tensión 1 a2;

ME

r

+ Jo

21

1>[,' dx 2EI

(h)

(e)

La condiCIón de que las tensIones deslIparczcml cuando y 'to';'~"un valor 'infinito quedará satisfecha haciendo en = D" = n, con lo que In exprcsión de la función de tensión resulta

.p

N

(a)

o

11.=1

1.(y) = A.e -~ 1

, ,~ la cual hay una indeterminación estática representada por M., cantidad que depende de la magnitud del momento flector en los apoyos; los otros coeficientes Mí, M., ... , deben ser calculados con arreglo n las condiciones de carga. El momento , flec:0l' M se puede descon;poner en un momento M', que absorberá el ala, y otro M", debido a la~ fuer,IBs longitudinales N aplicadas al alma y al ala (fig. 119c) y que vale Ne. Las tensiones normales que se presentan en toda sección transversal de la viga completa forman como se sabe, un par de fuerzas !vI, de manera que

causa de la simetría supucSta en estt!

n- ..

'" =

=

(f)

(d)

De la primem de las ecuacione..'1 (g) resulta: N = -2/1

!co .. ". dy =

-2h

1'" a'ay;, o

8 - , dy = 2h 1- 1°

ay ..

1 En el trabajo de Th. v. Kármáp, loe. cit. se encuentra el' cálculo de los integrales quc mtervienen en la expresión de la energía de deformación.

204

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

.Por otra parte, la expresión (á) de la función de tensión nos da

(gj) iJy Por hlnto,

La condición

.,

) \' n,.. A "coa -1n,..z (8"' ay v-o ... ~ l

-= O V-oo

'

n=-l .

conduce a

.,

2Y"

+ (1 + p)X" =

h \,11.1 es decir, la energía de deformación del ala [fórmula (e)] e introduciendo en esta última las notaciones . .

2"7 A.

hie'

-

Consideremos el cuso particular en que el diagrHmH de momentos es una línea senoigal, por ejemplo, M = M, cos (:rxll). En In eClUlci6n (n) Re tendría entonces

llegamos a la expresión

V = 2;E

(m)

nos conduce a

Remplazando en eh) y teniendo en cuenta que

"

eX.)'

La condición para que X. haga mínimo el valor de V, esto es;

n7 z

X. cos

"-1

21

¿ (M~ +

n-1

.,

O

0, obtenemos para la

.

n=l

podremos escribir

!o

=

"

pt \ '

== 2hE' --4-~ L.¡ 11. • X .. ' 11=1

M' ... M

+ v X. 2

Remplazando en la ecuaClon (l) este valor, así como Mo energía de deformación, la siguiente expresión;

+ 2118 L.,l ~ !!:! A" cos ~ 1

o bien, empleando la nohlción

N =

205

METODOS ELASTO-ENERGETICOS

=~~,

B,

=

_1 ;-' A, = _ (1

::1

1X

,

Las curvas de la figura 119a representan esta distribución: la tensión (T, disminuye a medida que aumenta la distancia al nervio. Determinemos ahora el ancho de ala, 2 Á, de una viga en T (fig. 119a), de manera que el momento Mil que se ha calculado [ecuación (p)] resulte de una repartición uniforme de tensiones en la sección transversal del ala ·.que se señala con rayado .. vertical en la figura, y que será el ancho eficaz del ala. :. Si ]l¡1' y M" significan, como antes, las partes del momento flector que absorben el nervio y la placa,"lécspectivamente, y denotamos con (J, la tensión en el baricentro

e

206 del nervio y con flexión nos da

ti,

la tensión en el plano medio de!' ala, In teoría elemental de la M'e tf. =tf.+¡

y

METODOS ELASTO-ENERGETICOS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

(q)

las ecuaciones de la estática, 2),M,

+ ..

,A = O Z.h.-.8 = Mil

(r)

207

- es decir, que resulta algo menor que en el caso de un diagrama cosenoidal de mofIientos flectores, corno el que antes__ se .supuso. -_ 53. Arrastre por tensión cortante. Un problema de naturaleza análoga al : -que aCabamos de estudiar en el § 52 se presenta en ciertos elementos de la construcCión aeronáutica. Consideremos una viga cajón (fig. 121) fonnllda por las láminas · - delgadas ABCn y EFGH soldadas o remachadas a las dos vigas en U, ABFE Y , DCGH. Si el conjunto se encuentra empotrado en su extremo izquierdo y es cargado · , como una ménsula mediante las dos fuerzas P, aplicadas en los extremos de las vigus

Las expresiones para esas dos partes del momento flector serán, de acuerdo con las ecuaciones (q) y (r):

I ((f. - (f,) = M ,=;; Mil

eI( 1 + T2),,11) ...

= 2),hecr,

La relación de M" al momento flector es:

M"

2.he...

1 =-_·_j--Y

M'+M'I

(8)

1 + Ae'-+ 2Me'

Para que esta relación sea igual a la razón M"jM, deducida de la solución exacta (P), debemos hacer:

I -...1 3 21Jre' = he'l

+ 2" -

,,'

4

de la cual resulta la siguiente expresión para la anchura eficaz 2).

1l),= ___4_1_ 11"(3 +2. - "') Tomando para el coeficiente de Poisson el valor l'

=

0,3, por ejemplo, tendremos

FIG. 121

· en U, la teoría elemental de la flexión predice la existencia de una traccióJ1, uniforme en cualquier sección, paralela a BC, de la lámina ABCD. En realidad, sin embargo, la tensión de tracción existente en la lámina proviene de la tensión tangencial aplicada a sus bordes por las vigas en U (corno indica la fig. 121) Y la distribución de la tracción a través de su anchura no es unifOlme (corno puede verse en la misma figura) siendo mayor en los bordes que en el centro. Este no cumplimiento de la unifonnidad prevista por la teoría elemental lo llamamos T;¡;U en función de ~ y 'Yl no presentará ninguna dificultad. En general, sin embargo, es conveniente especificar la tensión mediante las siguientes componentes:

u~,

de sentido el de las )} crecientes. Si u y v son las componentes carteas de los desplazamientos tendremos: Uf = U

cos a

+ v' sen UI¡

componente normal a la curva':: = cte. U'I' componente normal a la curva 7/ = cte. ', = O

=

(ti) en el infinito (1; -+ ce ) sobre el contorno elíptico del orificio, donde 1; toma el (e) valor 1;0

. De las ecuaciones (100) y (102) se deduce que la condición (ti) es satisfu~a~ -

2 Re !p/(Z) = S,

z·,,/'(z)

e,

=

sh n~ = sh nI: cos m¡ ch ne; = ch nI; cos mJ

csh';o=b

1p'(o3') = Ae ch 1; • dI; dz

(b)

Supuesta dada una elipse, de semiejes a y b, correspondiente al valor .; = ~ o tendremos:

e ch ';0 = a,

(f)

+ ich nI: sen n'Y} + ish ni: sen n1}

e

y=csh';sen'lj

sh t sh ~

X"(o3') = O a infinito

Puesto que las tensiones y los desplazamientos han de ser, por razones de continuidad, funciones periódicas de 7}, con período 2n, tomamos expresiones de 1jI(z) y X(z) que den una función de tensión de la misma .periodicidad. Tales.expresiones son:

y

dz d," = e sh

+

en las que 11 es un entero. La función X(z) = BeSe;, en la que B es una constante, es también adecuada para este problema. Tomando 1p(z) = Ac sh (A = cte.) y despejando de la primera de ¡as ecuaciones (b) Jeldz, recíproca de dzlde, obtenemos

de las cuales se deduce: x

semiejes a y b, sobre cuyo contorno no actúa ninguna fuerza exterior'. condiciones significan que:.

(a)

,",

231

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS CURVILlNEAS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

=A~ =A sh 1;

ctgh

~

e

A una distancia infinita del origen, 1; es infinita y ctgh vale uno, de fonna . que la primera de las condiciones (f) exige que 2A = S. De (g) se deduce además que

(e)

de donde se deduce, que dado un miembro de la familia de elipses toda la familia tanto de 'elipses como de hipérboI8.s (véase el § 60) está definida .. Si ~ es pequeño, la elipse es muy estrecha convirtiéndose para 1; = O en el segmento de longitud 2e que une los focos. Si, por el contrario, damos a l; valores positivos cada vez mayores, la elipse aumenta tendiendo a una circunferencia de radio infinito en el límite 1; = co. Cuando un punto da una vueltá completa a una elipse cualquiera, el valor correspondiente de 'Y} toma todos los valores que van de O u 2x, recordando en este aspecto esta variable al ángulo O de las coordenadas polares. Debido a esto, la continuidad de las componentes de las tensiones y los desplazamientos, exige que sean funciones periódicas de 1}, con período 2n, de forma que su valor sea igual para 7} = O Y 1} = 2n.' Consideremos ahora el caso de una placa indefinida sometida a una tracción uniforme S, sólo alterada por la presencia de un agujero elíptico

(g)

(h)

- "(z ) z'" T x(z)

=

eh = -- A -sh3 - e;~

(z)

Be2 C (B = cte.) tenemos

ít

I()=~ "(Z)=-B~ Z sh e , x sh" e

(;)

I Las primeras soludones de la plac.~ con orificiD eJrptico fu~ron .dadas por K?losoff, loe. dt., y C. E. Inglis, Tra1!s. Inst. Naval Are!.. LOlld~es, 1913; E71gmeerZ1lg, vol. 9~, pago 415, 1913 Véase también T. Poschl, Mal/¡. Z., vol. 11, pago 95, 19~1. El método aqUl empleado es el de Kolosoff. El trÚsmo método fue aplicado a varios problemas bidimensional~s por A. C. Stcvcnson, Proc. Ray. Soco (Londoll), .eñe A, vol. 184, págs. 129 y 218, 1945: Más adelante. en este mismo..,~apítu]o, se darán otras referencias ..

232

ecuaciones de las que junto con la (i), se deduce que tanto X"(z) como ZIj/'(z) se anulan en el infinito, siendo por lo tanto satisfecha la segunda de las condiciones (f). La condición (e) se cumple eligiendo convenientemente la constante B. Restando la ecuación (110) de la (109) obtenemos !T~

irh

-

= fez) + ¡¡'(z)

- e2ia [í.p"(Z)

+ x"(z)J

(k) . 2la

que sustituyendo los valores que acabamos de obtener y el de e la segunda de las ecuaciones (b), queda:

(1. - iT,) = 2B(2 sh ~ cos ~] - sh 2 $ cos 27) 2ir.,,) = - 2B[sh H - 2 sh 2~ ch ~ cos '/ . + sh 2:: cos 2'] - i(2 ch 2E ch E sen r¡ - eh U ~cn 2,/))

sh ~ sen 2 7J che-cosr¡

+ E'

sh; ch ~ cos r¡ - sh ~ cos 2 r¡ ch~-cos']

B ' = aE, los términos en sen" 7/ y coso 7/ de los numeradores dejan de depender de 'l} y el numerador completo depende de r¡ solamente

Toma~do

(j)

(g)

forma semejante las funCIOnes "!pez)

= ie sh

x(z) = ae eh

1;,

e

+ a,,) = -2C(1 - 2 ch ~ cos r¡ + ch 2 ~ cos 21]) + 2i-r;q) ~ 2e[ -ch 2~ + 2 eh 2~ ch ~ cos 1] - ch U cos 2'] + i(2 sh 2 ~ eh ~ sen r¡

a('T. a~

-- sh 2~ sen 217)]

(h)

(i)

(j)

Las componentes de la tensión producidas por x(z)

+ 2iTe,,)

=

aDC

,r. + 6"

=

D[sh 2$ - 2 sh

(k)

= O ~

cos 1] - i(2 ch ~ sen '1 - sen 27/)J

(l)

correspondientes al estado equitensional uniforme tp(z) = Az

(m)

por O"~

~ ch 4 cos 7J -

(e)

mediante las ecuaciones (109), (110) Y las (a) y (j) del § 65, componentes de la tensión

con B y E' reales, y 'P(z) = iC sh ~,

243

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COOIlDEN.jDAS CURVILINEAS

+

a"

= 4A,

a.

=

(J"

a"

= 2A,

-

al;

+ 2iT."

t'¡"

=0.

= O

(11)

-La solución de nuestro problema puede obtenerse superponiendo estados tensionales representados por los potenciales complejos (e),

244

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS CURVILINEAS

(h), (h) Y Cm). Reuniendo los términos que representan T~'I en las ecuaciones (g), (j), y (l) se obtiene que para que T.'I se anule en los contornos ~ = 1;. y l!. = ~l se han de cumplir las ecuaciones;

2esh 2~" 2e sh 2.:.'1

D - 2B ch 2.:.'" D - 2B ch 2:,

=

O O

(o)

2e = -D ah (~I + ':,,) ch (l:.¡ - '1:... )

(P)

=

que una vez resueltas nos dan

2B = D ch (1:.1 + 1:.,,) ch (l:.1 - ·U'

La tensión normal (1., que se obtiene restando de la ecuación (f) la parte real de la (g) (y haciendo lo mismo con los otros pares de ecuaciones) ha de ser igual a -Po en el contorno ~ = ~D Y a -PI en el borde 1; = 1;1' De estas condiciones y ~ustituyendo los valores de B y e, dados por las ecuaciones (P), se deducen las dos ecuaciones

2A

D + -8h a

Z

l!."tgh(l;¡ -

2A - D sh2 ¿:¡tgh(l!., a

.1',,) = -PI

'P" sh ~¡ + PI sh 1:." sh 2 1;1 + sh2 Co, D _ _ (Poi - PI) ctgh (1;1 - 1:.,,) a sh2 1;1 + sh 2 .;" 2

l

= -

a

"2

Estas ecuaciones junto con las (P), completan la determinación de los potenciales complejos. Cuando Po = O la tensión periférica en el orificio viene dada por . (rr,,).