Teoria de Juegos y Azar

“TEORIA DE JUEGOS Y AZAR”. *¿QUÉ ES EL AZAR? El azar es una casualidad presente, teóricamente, en diversos fenómenos que se caracterizan por causas complejas y no lineales. Dependiendo del ámbito al que se aplique, se pueden distinguir cuatro tipos de azar:

*Azar en matemát!a"# matemát!a"# En matemáticas, pueden existir series numricas con la propiedad de no poder ser obtenidas mediante un algoritmo más corto que la serie misma. Es lo que se conoce como aleatoriedad. !a rama de las matemáticas que estudia este tipo de objetos es la teor"a de la probabilidad. #uando esta teor"a se aplica a fenómenos reales se pre$ere %ablar de estad"stica. El cálculo de probabilidades nos da las leyes de un sistema que se puede clasi$car como aleatorio, por lo que el cálculo en s" mismo es determinista, aunque de forma diferente al determinismo $sicoclásico. &ientras que ste se re$ere al determinismo de objetos individuales, las probabilidades se re$eren al determinismo de conjuntos. *Azar en $a %&"!a# El azar puede darse en sistemas f"sicos indeterministas y deterministas. En los sistemas indeterministas indeterministas no se puede determinar de antemano cuál será el suceso siguiente, como sucede en la desintegración de un n'cleo atómico. Esta dinámica, azarosa, es intr"nseca a los procesos que estudia la mecánica cuántica (subatómicos). Dentro de los procesos deterministas, tambin se da el azar en la dinámica de sistemas complejos impredecibles, impredecibles, tambin conocidos como sistemas caóticos. *Azar en '($()&a# !as mutaciones mutaciones genticas son generadas por el azar. azar. !as mutaciones se conservan en el acervo gentico, pudiendo aumentar as" las oportunidades (en general, la mutación gentica no genera cambios fenot"picos en el organismo, y solo en algunos casos se presentan patolog"as causadas por el efecto negativo de la mutación, en otras oportunidades, la mutación puede generar alelos que impacten de manera positiva sobre el organismo para desempe*ar sus actividades) de supervivencia y reproducción que los genes mutados con$eren a los individuos que los poseen. +ormalmente +o rmalmente las caracter"sticas de un organismo se deben a la gentica y al entorno, pero tambin las recombinaciones genticas son obra del azar. azar.

“TEORIA DE JUEGOS Y AZAR”. *Azar !(m( en!entr( a!!+enta$# Esta situación es considerada azar porque los procesos que coinciden son independientes, no %ay relación causal entre ellos, aunque cada uno tenga una causa que act'e de modo necesario. s", un macetero cae por una causa necesaria: la gravedadpero es azaroso que en su trayectoria coincida con un peatón.

*¿QUÉ ES LA TEOR,A DE JUEGOS? !a teor"a de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos/) y llevar a cabo procesos de decisión. 0us investigadores estudian las estrategias óptimas as" como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos.  1ipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.2 Desarrollada en sus comienzos como una %erramienta para entender el comportamiento de la econom"a, la teor"a de juegos se usa actualmente en muc%os campos, como en la biolog"a, sociolog"a, politologia,psicolog"a, $losof"a y ciencias de la computación. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de 3o%n von +eumann y 4s5ar &orgenstern, antes y durante la 6uerra 7r"a, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teor"a de juegos se %a aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural.  ra"z de juegos como el dilema del prisionero, en los que el ego"smo generalizado perjudica a los jugadores, la teor"a de juegos %a atra"do tambin la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia arti$cial y ciberntica. !a teor"a de juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los bene$cios de cada opción no están $jados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos. 8n ejemplo muy conocido de la aplicación de la teor"a de  juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático lbert 9. 1uc5er, el cual tiene muc%as implicaciones para

“TEORIA DE JUEGOS Y AZAR”. comprender la naturaleza de la cooperación %umana. !a teor"a psicológica de juegos, que se arraiga en la escuela psicoanal"tica del análisis transaccional, es enteramente diferente. !os analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en particular las probabilidades, las estad"sticas y la programación lineal, en conjunto con la teor"a de juegos. demás de su inters acadmico, la teor"a de juegos %a recibido la atención de la cultura popular.

RE-RESETA/I0 DE LOS JUEGOS. !os juegos estudiados por la teor"a de juegos están bien de$nidos por objetos matemáticos. 8n juego consiste en un conjunto de jugadores, un conjunto de movimientos (o estrategias) disponible para esos jugadores y una especi$cación de recompensas para cada combinación de estrategias. ay dos formas comunes de representar a los juegos.

*1(rma n(rma$ +e n 2e)(# !a forma normal (o forma estratgica) de un juego es una matriz de pagos , que muestra los jugadores, las estrategias, y las recompensas (ver el ejemplo a la derec%a). ay dos tipos de jugadores- uno elige la $la y otro la columna. #ada jugador tiene dos estrategias, que están especi$cadas por el n'mero de $las y el n'mero de columnas. !as recompensas se especi$can en el interior. El primer n'mero es la recompensa recibida por el jugador de las $las (el 3ugador 2 en nuestro ejemplo)- el segundo es la recompensa del  jugador de las columnas (el 3ugador ; en nuestro ejemplo). 0i el jugador 2 elige arriba y el jugador ; elige izquierda entonces sus recompensas son < y =, respectivamente. #uando un juego se presenta en forma normal, se presupone que todos los jugadores act'an simultáneamente o, al menos, sin saber la elección que toma el otro. 0i los jugadores tienen alguna información acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta %abitualmente en la forma extensiva.

“TEORIA DE JUEGOS Y AZAR”.  1ambin existe una forma normal reducida. >sta combina estrategias asociadas con el mismo pago.

El jugador 2 elige izquierda

El jugador 2 elige derecha

El jugador 1 elige arriba

4, 3

-1, -1

El jugador 1 elige abajo

0, 0

3, 4

Un juego en forma normal 

*1(rma e3ten"4a +e n 2e)(: !a representación de juegos en forma extensiva modela juegos con alg'n orden que se debe considerar. !os  juegos se presentan como árboles (como se muestra a la derec%a). #ada vrtice nodo representa un punto donde el jugador toma decisiones. El jugador se especi$ca por un n'mero situado junto al vrtice. !as l"neas que parten del vrtice representan acciones posibles para el jugador. !as recompensas se especi$can en las %ojas del árbol. En el juego que se muestra en el ejemplo %ay dos jugadores. El jugador 2 mueve primero y elige 7 o 8. El jugador ; ve el movimiento del jugador

“TEORIA DE JUEGOS Y AZAR”. 2 y elige  o ?. 0i el jugador 2 elige 8 y entonces el jugador ; elige , entonces el jugador 2 obtiene @ y el jugador ; obtiene ;. !os juegos en forma extensiva pueden modelar tambin juegos de movimientos simultáneos. En esos casos se dibuja una l"nea punteada o un c"rculo alrededor de dos vrtices diferentes para representarlos como parte del mismo conjunto de información (por ejemplo, cuando los  jugadores no saben en qu punto se encuentran). !a forma normal da al matemático una notación sencilla para el estudio de los problemas de equilibrio, porque desestima la cuestión de cómo las estrategias son calculadas o, en otras palabras, de cómo el juego es  jugado en realidad. !a notación conveniente para tratar estas cuestiones, más relevantes para la teor"a combinatoria de juegos, es la forma extensiva del juego.

A-LI/A/IOES. !a teor"a de juegos tiene la caracter"stica de ser un área en que la sustancia subyacente es principalmente una categor"a de matemáticas aplicadas, pero la mayor"a de la investigación fundamental es desempe*ada por especialistas en otras áreas. En algunas universidades se ense*a y se investiga casi exclusivamente fuera del departamento de matemática. Esta teor"a tiene aplicaciones en numerosas áreas, entre las cuales caben destacar las ciencias económicas, la biolog"a evolutiva, la psicolog"a, las ciencias pol"ticas, el dise*o industrial, la investigación operativa, la informática y la estrategia militar.