Teoria de Funciones de Una Variable Real (J.L. Arregui Et Al.)

TEORÍA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

I. Barrow (1630–1677), Lectiones Geometricae

José L. Arregui, Julio Bernués, Bienvenido Cuartero y Mario Pérez, sobre apuntes del área de Análisis Matemático

Índice general 1. Números reales 1.1. Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Números naturales: principio de inducción . . . . . . . 1.1.2. Números enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas . . . . . . . . 1.2. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Desigualdades fundamentales en R . . . . . . . . . . . 1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas 1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo . . . . 1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuencias . . . . . . 1.2.5. Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real . . . . . . . . . 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 2.1. Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones . . . . . . . . . . . 2.1.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas . 2.2.3. Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas . . . . 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 3 4 4 4 6 7 8 9 10 11 12

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17 17 17 21 22 24 24 26 31 33

3. Sucesiones de números reales 3.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Límite de una sucesión convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Desigualdades y límites. Regla del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes 3.2.2. La recta ampliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilación . . . 3.3. Límites de sucesiones y funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

37 37 37 41 43 46 47 49 49 49 53 55 58

IV

ÍNDICE GENERAL 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Continuidad 4.1. Límites de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones 4.1.2. Límites infinitos y límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Límites de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Límites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.7. Condición de Cauchy para funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8. Límites de restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas . . . . . . 4.2.2. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux; funciones continuas monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Clasificación de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuas 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Derivación 5.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Concepto de derivada. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Interpretación geométrica y física de la derivada . . . . . . . . . 5.1.3. Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Derivabilidad de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Extremos relativos y derivada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos) 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Funciones con derivada acotada y con derivada nula . . . . . . . 5.3.2. Signo de la derivada y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Propiedad del valor intermedio para derivadas . . . . . . . . . . . 5.3.4. Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital . . . 5.4. Aproximación polinómica local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-Young . . . . . . . . 5.4.2. Aplicación al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Fórmula de Taylor con resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. La integral de Riemann 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Definición de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funciones monótonas y de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 63 63 63 65 66 68 69 70 72 72 73 73 75 79 79 81 85 85 85 86 86 87 88 90 90 91 92 92 93 95 96 99 99 103 104 107 109 112 114 119 119 119 122 124

ÍNDICE GENERAL

6.2.

6.3.

6.4. 6.5. 6.6.

6.7.

V

6.1.4. Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación con la de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Propiedades básicas de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.1. Operaciones con funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.2. Integración en subintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.3. Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integral . . . . . . . . 136 Teoremas fundamentales del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.1. Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral) . . . . . 138 6.3.2. Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración variable140 Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial . . . . . . . . . . 144 Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Apéndice: cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6.1. Métodos básicos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6.2. Integrales elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6.3. Integración de algunos tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7. Integrales impropias 7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, divergentes, oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Primeras propiedades de las integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Convergencia de integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y convergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157 157 160 161 161 163 164

8. Series numéricas 167 8.1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes167 8.1.2. Linealidad de la convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.1.3. Series telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de convergencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.2. Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación 171 8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos . . . 172 8.3. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.3.2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la raíz) y de D’Alembert (del cociente) . . 177 8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.4. Propiedad conmutativa para series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.5. Apéndice: sumación de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

ÍNDICE GENERAL

VI

9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor 9.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Convergencia de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias 9.2. Desarrollos en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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185 185 185 187 191 194

10. Sucesiones y series de funciones 10.1. Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual 10.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Definición de convergencia uniforme . . . . . 10.2.2. Convergencia uniforme y continuidad . . . . . 10.2.3. Convergencia uniforme e integración . . . . . 10.2.4. Convergencia uniforme y derivación . . . . . . 10.3. Una condición suficiente para la convergencia uniforme

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197 197 199 199 201 201 202 204

11. Funciones elementales 11.1. Funciones elementales y series de potencias . . . . . . . . . . . 11.1.1. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3. Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera 11.1.4. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Apéndice: el número π es irracional . . . . . . . . . . . . . . .

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205 205 205 206 208 208 212 216

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Retratos

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Bibliografía

229

Índice de símbolos

231

Índice alfabético

233

Capítulo 1

Números reales 1.1.

Sistemas numéricos

1.1.1.

Números naturales: principio de inducción

Los números 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de números naturales. Con ellos se realizan dos operaciones, la suma de números naturales y el producto de números naturales, que dan como resultado otro número natural perfectamente definido. Para dos números naturales cualesquiera m y n, su suma suele representarse por m + n y su producto por m · n o mn (si no hay lugar a confusión). Si denotamos con N el conjunto de todos los números naturales, podemos pensar en la suma y el producto como aplicaciones del producto cartesiano N × N en N: + : N×N (m, n)

→ →

· : N×N (m, n)

N, m+n

→ →

N. m·n

A continuación describimos las propiedades fundamentales de estas operaciones (m, n, p representan números naturales cualesquiera): • Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p). • Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m. • Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np). • Propiedad conmutativa del producto: mn = nm. • Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número natural, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n. • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m(n + p) = mn + mp. Se puede asimismo comparar el tamaño de dos números naturales cualesquiera y establecer así una relación de orden en N. Suele escribirse m ≤ n para indicar que m es menor o igual que n (o lo que es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que también se escribe n ≥ m); y se escribe m < n (o n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n, es decir, que m es menor (y distinto) que n. Esta relación cumple las siguientes propiedades (m, n, p representan números naturales cualesquiera): • Propiedad reflexiva: m ≤ m. • Propiedad antisimétrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. • Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. • Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m. La ordenación de N no es independiente de la suma y el producto: para dos números naturales m, n se tiene m > n si y solo si m = n + p para algún número natural p. 1

2

Capítulo 1. Números reales

Principio de buena ordenación. Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elemento mínimo, es decir, dado S ⊆ N no vacío, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S. El principio de inducción. Esta es una de las propiedades de N que más vamos a usar durante el curso. Se puede enunciar así: • si un conjunto de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n del conjunto también n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto es N. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, es S = N. En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse en términos de propiedades más que en términos de conjuntos: • supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que: a) P1 es cierta; b) si para algún n ∈ N la propiedad Pn es cierta, entonces la propiedad Pn+1 también es cierta. Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N. La siguiente variante se llama principio de inducción completa: • supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que: a) P1 es cierta; b) si para algún n ∈ N todas las propiedades P1 , P2 , . . . , Pn son ciertas, entonces Pn+1 también es cierta. Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N. Es un hecho notable, señalado por el matemático italiano Peano en su obra Arithmetices principia nova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de los números naturales pueden deducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los números naturales: • Para todo número natural n existe otro número natural, ns , que se llama siguiente o sucesor de n. • Existe un número natural, que denotamos por 1, tal que ns 6= 1 cualquiera que sea el número natural n. • Para números naturales cualesquiera m y n, es ms = ns si y solo si m = n. • Principio de inducción: si un conjunto S de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n ∈ S también ns ∈ S, entonces S = N. Las operaciones de suma y producto y la relación de orden se definen entonces en términos de siguientes, véase por ejemplo [B IRKHOFF -M AC L ANE].

1.1. Sistemas numéricos

1.1.2.

3

Números enteros y racionales

El conjunto de los números enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , que amplía el de los naturales, se denota por Z. En él hay definidas dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para los números naturales también las cumplen los números enteros. Y además: • Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número entero, que denotamos por 0, tal que 0 + n = n + 0 = n para cualquier entero n. • Elemento opuesto para la suma: para cada entero n hay otro número entero (y solo uno), que denotamos por −n, tal que (−n) + n = n + (−n) = 0. Estas propiedades y las anteriores de la suma y el producto se resumen diciendo que Z, con estas dos operaciones, es un anillo conmutativo. Para la relación de orden podemos añadir: • Relación del orden con la suma: si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c. • Relación del orden con el producto por números no negativos: si a ≤ b y c ≥ 0, entonces ac ≤ bc. Principio de buena ordenación de los conjuntos acotados inferiormente. El principio de buena ordenación de los números naturales no es válido para los números enteros: por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento mínimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, hay una propiedad análoga para cierta clase de subconjuntos: los acotados inferiormente. Un subconjunto S ⊆ Z no vacío se dice que está acotado inferiormente si existe algún número entero k ∈ Z tal que para todo n ∈ S, k ≤ n. Todo conjunto no vacío S ⊆ Z acotado inferiormente posee un elemento mínimo, es decir, existe un elemento m en S tal que para todo n ∈ S, m ≤ n. Un principio de inducción. En Z puede hablarse del siguiente a un número entero, en el sentido de que entre n y n + 1 no hay ningún otro número entero. No se cumple, sin embargo, el principio de inducción, sino una propiedad similar aunque más débil: • si un conjunto de números enteros contiene un número k y por cada elemento n del conjunto también n+1 pertenece a él, entonces el conjunto contiene a todos los números enteros mayores o iguales que k. Es decir, si k ∈ S ⊆ Z y n+1 ∈ S siempre que n ∈ S, entonces S ⊇ {n ∈ Z : n ≥ k}. Los números racionales. En Z es posible la resta, pero no la división. Esta operación es posible (dividiendo por elementos distintos de 0) en el conjunto Q de los números racionales, que son cocientes de números enteros (con denominador no nulo). En este conjunto están definidas la suma y el producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para los números enteros también las cumplen los números racionales. Y además: • Elemento inverso para el producto: si a 6= 0, hay un número racional (y solo uno) que denotamos por a−1 o a1 , tal que a−1 a = aa−1 = 1. Esta y las anteriores propiedades de la suma, el producto y el orden se resumen diciendo que Q es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Señalemos que en Q no hay ninguna propiedad similar al principio de inducción. Ni siquiera puede hablarse del siguiente a un número dado: concretamente, entre dos números racionales distintos siempre hay otro número racional. En efecto: si a < b, es fácil comprobar que a < a+b 2 < b. Es fácil descubrir huecos en Q: por ejemplo, ningún número racional puede representar la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1. Dicho de otra forma, no existe ningún número racional a tal que a2 = 2. En efecto: sea a ∈ Q; podemos escribirlo como a = mn , con m y n enteros sin factores

4

Capítulo 1. Números reales

primos comunes y n 6= 0. Si fuera a2 = 2 se seguiría que m2 = 2n2 , luego m2 es par, y también debe serlo m; pero entonces m = 2p para algún entero p, y sustituyendo en m2 = 2n2 queda 4p2 = 2n2 . Es decir, 2p2 = n2 ; luego n2 es par, y también deber serlo n. En resumen, m y n son pares; pero habíamos supuesto que m y n no tenían factores comunes. La contradicción viene de suponer que a2 = 2. Para poder hablar de números que representen estas cantidades se necesita una nueva ampliación de los sistemas numéricos. Así pasamos a considerar el conjunto R de los números reales o, más exactamente, las propiedades de R (sin entrar en su naturaleza: no decimos qué es un número real, sino cómo se manejan los números reales).

1.1.3.

Números reales: operaciones algebraicas

En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo. Esto significa que si a, b, c son números reales cualesquiera, se cumple: a) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c). b) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a. c) Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a. d) Elemento opuesto para la suma: hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0. e) Propiedad asociativa del producto: (ab)c = a(bc). f) Propiedad conmutativa del producto: ab = ba. g) Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a. h) Elemento inverso para el producto: si a 6= 0, hay un número real (y solo uno) que denotamos por a−1 o 1/a, tal que a−1 a = aa−1 = 1. i) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a(b + c) = ab + ac. Todas las propiedades que usamos habitualmente se deducen de estas. Por ejemplo, veamos en detalle cómo se prueba que para todo número real x es x · 0 = 0: c)

i)

x · 0 = x(0 + 0) = x · 0 + x · 0 y de d) se sigue a)

d)

c)

0 = −(x · 0) + x · 0 = −(x · 0) + [(x · 0 + x · 0)] = [−(x · 0) + x · 0] + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0. Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permite ver, sobre todo, las relaciones de orden.

1.2.

Ordenación de los números reales

1.2.1.

Desigualdades fundamentales en R

En R hay una relación de orden que extiende la de los números racionales. Las propiedades básicas son las siguientes (a, b, c representan números reales cualesquiera):

1.2. Ordenación de los números reales √ 3

log 2

π 2

γ −2

−1

0

11 32 √1 2

5

1

π2 6

π2

π 2

e3

4

5

6

7

8

9

10

√ 2

La recta real, con algunos números señalados

• Propiedad reflexiva: a ≤ a. • Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b. • Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c. • Propiedad de orden total: a ≤ b ó b ≤ a. • Relación con la suma: a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c. • Relación con el producto: c ≥ 0, a ≤ b =⇒ ac ≤ bc; en particular, c ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ bc ≥ 0. Dados a, b ∈ R, se escribe a < b si a ≤ b y a 6= b. De estas propiedades pueden deducirse sucesivamente (es un ejercicio recomendable) las siguientes desigualdades, que utilizaremos de aquí en adelante sin más comentario según las necesitemos. En lo que sigue, a, b, c, d, a1 ,. . . , an representan números reales cualesquiera. • a ≤ b, b < c =⇒ a < c. • a < b, b ≤ c =⇒ a < c. • a < b =⇒ a + c < b + c. • Suma de desigualdades: a ≤ b, c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d, siendo entonces a + c = b + d si y solo si a = b y c = d. • a1 , . . . , an ≥ 0 =⇒ a1 + · · · + an ≥ 0; además, a1 + · · · + an > 0 excepto si a1 = · · · = an = 0. • a > 0, b > 0 =⇒ ab > 0. • a > 0, b < 0 =⇒ ab < 0. • a < 0, b < 0 =⇒ ab > 0. • a2 ≥ 0. • a 6= 0 =⇒ a2 > 0. • 2ab ≤ a2 + b2 . • 1 > 0, −1 < 0. • a < b, c > 0 =⇒ ac < bc. • a < b, c < 0 =⇒ ac > bc.

6

Capítulo 1. Números reales • a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc. • 0 ≤ a ≤ b =⇒ a2 ≤ b2 . • 0 ≤ a < b =⇒ a2 < b2 . 1 > 0. a 1 • 0 < a ≤ b =⇒ ≤ b 1 • a ≤ b < 0 =⇒ ≤ b • a > 0 ⇐⇒

1.2.2.

1 . a 1 . a

Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas

El valor absoluto de un número real a es el número real no negativo ( a, si a ≥ 0; |a| = −a, si a ≤ 0. Gráficamente corresponde a la distancia de a al origen. Definición 1.2.1 (distancia entre números reales). Dados a, b ∈ R, se llama distancia entre a y b al número real no negativo |a − b|. Gráficamente, |a − b| mide la distancia geométrica entre los puntos a y b. |a − b|

a

b Distancia entre a y b

Recogemos las propiedades del valor absoluto que son de mayor interés para el resto del curso. Si a, b, c, d denotan números reales cualesquiera, se verifica: • |1| = 1; | − 1| = 1. • | − a| = |a|. • −|a| ≤ a ≤ |a|. • |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b. • |a| < b ⇐⇒ −b < a < b. • |a| > b ⇐⇒ a > b ó a < −b. • |a| ≥ 0. • |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. • |ab| = |a| · |b|. • |a−1 | = |a|−1 siempre que a 6= 0. • a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b|. • a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|.

1.2. Ordenación de los números reales

7

Desigualdad triangular. Si a y b son números reales cualesquiera, |a + b| ≤ |a| + |b|. Esta desigualdad es muy útil, como iremos viendo. La demostración es sencilla: según las propiedades anteriores, −|a| ≤ a ≤ |a|,

−|b| ≤ b ≤ |b|.

Sumamos las desigualdades y resulta −|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b|, es decir, −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|). Usamos otra de las propiedades anteriores (|c| ≤ d ⇐⇒ −d ≤ c ≤ d, cambiando la notación) y deducimos que |a + b| ≤ |a| + |b|. Desigualdad triangular inversa. Si a y b son números reales cualesquiera, |a| − |b| ≤ |a − b|. Esta desigualdad es consecuencia de la desigualdad triangular. En efecto: aplicando la desigualdad triangular a los números b y a − b, resulta |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|, es decir, |a| − |b| ≤ |a − b|. Cambiando el papel de a y b, tenemos |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, es decir, −(|a| − |b|) ≤ |a − b|. De aquí se deduce que |a| − |b| ≤ |a − b|.

1.2.3.

Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo

Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a ≤ s para todo s ∈ S se dice que a es una cota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a). Si b es otro número real y b ≥ s para todo s ∈ S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si un conjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado. Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota inferior. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = m´ın S. Un número real M se dice que es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota superior. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. En ese caso, se escribe M = m´ax S. Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a0 > a no es cota inferior de S; de modo que se tendrá a0 > s0 para algún s0 ∈ S. En ese caso, se escribe a = ´ınf S. Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores del primero. Nótese que si a = ´ınf S, será a = m´ın S si y solo si a ∈ S. Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S. Es decir, si b ≥ s para todo s ∈ S y cada b0 < b no es cota superior de S; de modo que se tendrá b0 < s0 para algún s0 ∈ S. Se escribe b = sup S. Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores del primero. Nótese que si b = sup S, será b = m´ax S si y solo si a ∈ S. El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracteriza la diferencia entre Q y R:

8

Capítulo 1. Números reales • Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.

La propiedad simétrica (todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente tiene ínfimo) es consecuencia de lo anterior.

1.2.4.

Propiedad arquimediana de R: consecuencias

Teorema 1.2.2 (propiedad arquimediana de R). Dados dos números reales a, b, con a > 0, existe algún número natural n tal que na > b. Demostración. Sean a, b ∈ R, con a > 0. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que la tesis no es cierta, es decir, na ≤ b para todo número natural n, y veamos que se llega a una contradicción. En tal caso, el conjunto S = {na : n ∈ N}, que no es vacío, estaría acotado superiormente (por b), luego por el axioma del supremo tendría supremo. Sea s este supremo, es decir, s = sup S = sup{na : n ∈ N}. Puesto que a > 0, s − a < s; según la definición de supremo, s − a ya no puede ser cota superior del conjunto S, de modo que existirá algún elemento en S estrictamente mayor que s − a. Dicho elemento será de la forma ma con m ∈ N, y así s − a < ma. Pero esto implica que s < ma + a = (m + 1)a y obviamente (m + 1)a ∈ S, con lo cual s no es una cota superior de S. Hemos llegado a una contradicción. Aplicada al caso particular a = 1, la propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de los números naturales no está acotado superiormente por ningún número real. Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo número real está comprendido entre dos enteros consecutivos. Teorema 1.2.3 (parte entera de un número real). Dado x ∈ R, existe un número entero (y uno solo), que suele denotarse con [x], tal que [x] ≤ x < [x] + 1. El número [x] se llama la parte entera de x. Demostración. La desigualdad del enunciado equivale a decir que [x] es el mayor número entero que es menor o igual que x. Para probar que existe, podemos utilizar uno cualquiera de los siguientes caminos: Primer camino. Comenzamos por observar que todo conjunto no vacío de números enteros acotado superiormente tiene un elemento máximo, como se deduce del principio de buena ordenación de los conjuntos minorados sin más que tomar opuestos. Pero el conjunto S = {n ∈ Z : n ≤ x} es no vacío, pues por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que n > −x y así −n < x, luego −n ∈ S; además, S está acotado superiormente (por x o por cualquier número natural superior a x, si no queremos salirnos de Z). Por lo tanto, S tiene un elemento máximo, llamémosle m. Como m ∈ S, se tendrá m ≤ x. Y como m es el máximo de S y m < m + 1, se deduce que m + 1 ∈ / S, es decir, x < m + 1. Segundo camino. Utilizamos que todos los números naturales son mayores o iguales que 1 (demostrarlo por inducción) y que los números naturales son justamente los enteros positivos. Llamando nuevamente S al conjunto de enteros menores o iguales que x, S es no vacío por el argumento anterior y está acotado superiormente por x; aplicando el axioma del supremo, S tiene un supremo, al que vamos a llamar s. Como s − 1 ya no es cota superior de S, por ser estrictemente menor que s, existirá m ∈ S tal que s − 1 < m ≤ s. Pero m también es cota superior de S, dado que si algún n ∈ S verificase n > m obtendríamos m < n ≤ s < m + 1, de donde 0 < n − m < 1, y n − m sería un entero positivo menor que 1, imposible. Por tanto vemos que hay un elemento de S que es cota superior de S, es decir, que es el máximo de S, y como antes deberá cumplir m ≤ x < m + 1.

1.2. Ordenación de los números reales

9

La propiedad arquimediana permite también deducir cómo están distribuidos en R los números racionales. Teorema 1.2.4 (densidad de Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún número racional r tal que a < r < b. Observación. Si existe tal r, podrá escribirse en la forma r = m/n con m ∈ Z y n ∈ N, de modo que tenemos que encontrar m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m/n < b o, lo que es lo mismo, na < m < nb. Es intuitivamente claro, pensando en la representación gráfica de R, que entre dos números a distancia mayor que 1 siempre se puede incluir un número entero (suponiendo los dos números positivos, por ejemplo, superponiendo el segmento unidad consigo mismo hacia la derecha, la primera vez que sobrepasemos el número más cercano al origen, no habremos sobrepasado el otro número). Esta es la idea que vamos a tratar de utilizar. Demostración. La propiedad arquimediana aplicada a b − a > 0 y a 1 nos asegura la existencia de un n ∈ N tal que n(b − a) > 1, con lo cual nb > na + 1. Sea ahora S = {p ∈ Z : p > na}. Este es un conjunto no vacío (¿por qué?) de números enteros acotado inferiormente en Z (¿por qué?); por lo tanto, posee un elemento mínimo. Llamando m = m´ın S, puesto que m ∈ S es m > na; y como es el mínimo de S, m − 1 no puede estar en S, lo que significa que m − 1 ≤ na. Pero entonces m ≤ na + 1 < nb; así pues, na < m < nb y finalmente a < m/n < b.

1.2.5.

Números irracionales

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Veamos que existen números irracionales. Ya sabemos que no hay ningún número racional cuyo cuadrado es 2, así que vamos a probar que sí hay un número real positivo cuyo cuadrado es 2. Este número tendrá que ser irracional. Consideremos el conjunto S = {x ∈ R : x ≥ 0, x2 ≤ 2}. Este es un conjunto no vacío de números reales (por ejemplo, 1 ∈ S). Y está acotado superiormente, ya que si x ∈ S, x 2 ≤ 2 < 4 = 22 , de donde se deduce que x ≤ 2. Es decir, 2 es una cota superior de S. Luego el conjunto S tiene supremo. Sea v = sup S; como 1 ∈ S, v ≥ 1 > 0. Comprobemos que no puede ser v2 > 2 ni v2 < 2. Si v2 > 2, entonces tomando h = m´ın{v, (v2 − 2)/2v} se tendría h > 0, v − h ≥ 0 y (v − h)2 = v2 − 2vh + h2 > v2 − 2vh ≥ v2 − (v2 − 2) = 2 ≥ x2 , para todo x ∈ S, de donde v − h ≥ x. Pero v − h no puede ser cota superior del conjunto S porque es menor que su supremo. Si v2 < 2, entonces tomando h = m´ın{v, (2 − v2 )/3v} se tendría h > 0, v + h > 0 y (v + h)2 = v2 + 2vh + h2 ≤ v2 + 2vh + vh = v2 + 3vh ≤ v2 + (2 − v2 ) = 2, o sea, v + h ∈ S. Pero esto no puede ser, porque v + h > v y en cambio para todo x ∈ S se tiene x ≤ v. Queda así como única posibilidad v2 = 2. Este número positivo cuyo cuadrado es 2 se representa √ por 2. Teorema 1.2.5 (densidad de R \ Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún número irracional x tal que a < x < b. Demostración. Sea y ∈ R \ Q cualquiera (ya hemos visto que existe alguno). Puesto que a − y < b − y, según el teorema 1.2.4 existe algún r ∈ Q tal que a − y < r < b − y, de donde a < r + y < b. Por último, r + y es un número irracional, ya que si fuera racional se tendría y = (r + y) + (−r) ∈ Q.

10

Capítulo 1. Números reales

1.2.6.

Intervalos en R

Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b son números reales cualesquiera): • intervalo acotado y abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}; • intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}; • intervalo acotado, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}; • intervalo acotado y cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}; • intervalo abierto, acotado inferiormente pero no superiormente: (a, +∞) = {x ∈ R : x > a}; • intervalo cerrado, acotado inferiormente pero no superiormente: [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}; • intervalo abierto, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}; • intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}; • intervalo no acotado inferior ni superiormente: (−∞, +∞) = R. Nótese que si a > b, (a, b) = 0, / de modo que el conjunto vacío es un intervalo.

[ b

) c

( a

Intervalos [b, c) y (a, +∞)

Los intervalos de R se caracterizan por la propiedad de los valores intermedios: Proposición 1.2.6 (caracterización de los intervalos reales). Un subconjunto I de R es un intervalo si y solo si dados x, y ∈ I, cada z ∈ R tal que x ≤ z ≤ y también pertenece a I (dicho de otro modo: con cada dos valores están también todos los intermedios). Demostración. Para probar la implicación directa basta un examen de todos los casos. Por ejemplo, si I = (a, b), x, y ∈ I, y z ∈ R es tal que x ≤ z ≤ y, se tiene a < x ≤ z ≤ y < b, luego a < z < b y por definición z ∈ I. La implicación inversa es trivial en el caso de que I = 0. / Suponemos, pues, I 6= 0. / Pueden presentarse las siguientes situaciones: a) I es acotado; b) I es acotado superiormente pero no inferiormente; c) I es acotado inferiormente pero no superiormente; d) I no es acotado superior ni inferiormente. Veamos cada una de ellas. a) I es acotado. Sea a = ´ınf I, b = sup I. Obviamente entonces (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b], pues c ∈ (a, b) ⇐⇒ a < c < b, y por definición de supremo e ínfimo existirán un x ∈ I con x < c y un y ∈ I con c < y, luego c ∈ I; por otra parte, también por definición de supremo e ínfimo, de x ∈ I se sigue a ≤ x ≤ b, o sea, x ∈ [a, b]. Ahora, • si a, b ∈ I, [a, b] = (a, b) ∪ {a, b} ⊆ I ⊆ [a, b], luego I = [a, b]; • si a ∈ I, b 6∈ I, [a, b) = (a, b) ∪ {a} ⊆ I ⊆ [a, b] \ {b} = [a, b), luego I = [a, b); • si a 6∈ I, b ∈ I, (a, b] = (a, b) ∪ {b} ⊆ I ⊆ [a, b] \ {a} = (a, b], luego I = (a, b]; • si a 6∈ I, b 6∈ I, (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b] \ {a, b} = (a, b), luego I = (a, b).

1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real

11

b) I es acotado superiormente pero no inferiormente. Sea a = sup I, con lo que (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a], pues para cada z ∈ I es z ≤ a y dado z < a, existe y ∈ I con z < y (por definición de supremo) y existe x ∈ I con x < z (I no está acotado inferiormente), que con la hipótesis del enunciado da z ∈ I. En consecuencia, • si a ∈ I, (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a} ⊆ I ⊆ (−∞, a], luego I = (−∞, a]; • si a ∈ / I, (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a] \ {a} = (−∞, a), luego I = (−∞, a). Los restantes casos se analizan de forma análoga: en c) se obtiene I = (a, +∞) o I = [a, +∞), donde a = ´ınf I, y en d) queda I = R.

1.3.

Apéndice: expresión decimal de un número real

En esta exposición seguimos esencialmente la que puede verse en [A POSTOL 2, págs. 13–15]. Los números reales de la forma a0 +

a1 a2 an + 2 +···+ n , 10 10 10

donde a0 es un número entero no negativo y a1 , . . . , an son enteros que satisfacen 0 ≤ a j ≤ 9, se expresan normalmente de la forma a0 , a1 a2 . . . an . Esta expresión se llama representación decimal finita. Estos números son racionales, pero no todo número racional tiene una representación decimal finita (véase [A POSTOL 2, págs. 13–14]). Proposición 1.3.1 (aproximaciones decimales finitas de los números reales). Dado un número real x ≥ 0, para todo n ∈ N existe un decimal finito rn = a0 , a1 a2 . . . an tal que rn ≤ x < rn +

1 . 10n

En consecuencia, x = sup{rn : n ∈ N}. Demostración. Para construir los rn basta tomar a0 = [x], ak = [10k x] − 10[10k−1 x], 1 ≤ k ≤ n (ver detalles en [A POSTOL 2, págs. 14–15]). Por otra parte, x es cota superior de {rn : n ∈ N} por construcción, y es la menor de las cotas 1 superiores porque si y < x es posible encontrar un n ∈ N de manera que 10n > (¿por qué?) y x−y para este n es rn > y (¿por qué?). Que x es el supremo del conjunto {rn : n ∈ N} suele expresarse poniendo x = a0 , a1 a2 . . . an . . . y se dice entonces que a0 , a1 a2 . . . an . . . es una representación decimal infinita de x. En ciertos casos, es posible obtener el mismo supremo para dos representaciones decimales infinitas distintas, ver [A POSTOL 2, pág. 15]. Para x = 0, suele tomarse como representación decimal 0, 00 . . . 0 . . .; y para x < 0, se parte de una representación decimal de −x y se coloca un signo − delante. Hay una presentación más geométrica y computacional en [L AX, sec. 1.3]. Si en lugar de potencias de 10 se utilizan potencias de 2, se obtiene la representación binaria de los números reales; la representación hexadecimal resulta al tomar potencias de 16. Ambas son muy importantes (especialmente la primera) en relación con los ordenadores. Pueden verse detalles en [A BELLANAS -G ALINDO, cap. 3] y [BARTLE -S HERBERT, pág. 73 y sigs.].

12

Capítulo 1. Números reales

1.4.

Ejercicios

Ejercicio 1.1. Sea x ∈ R. Demostrar que si |x| ≤ ε para todo ε > 0, entonces x = 0. ¿Qué números reales x cumplen que x ≤ ε para todo ε > 0? Ejercicio 1.2. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa: 30

30

100

∑ j4 = ∑ j4

a)

j=1 20

∑ (2 +

c)

∑ 2 = 200

b)

j=0

j=0 20

j2 )

= 2+ ∑

j=1

100

j2

d)

∑

j=1



k2

100

=

2

∑k k=1

k=1

Ejercicio 1.3. Expresar con notación de sumatorio: 1 1 1 1 a) + + +···+ b) 1 + 40 + 900 + 16 000 + 250 000 + 3 600 000 1·2 2·3 3·4 10 · 11 c)

1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4

d)

a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5

e)

a5 − a4 b + a3 b2 − a2 b3 + ab4 − b5

f)

a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4

Ejercicio 1.4. Sabiendo que

n 1 1 1 1 = − , hallar la suma de ∑ . j( j + 1) j j+1 j=1 j( j + 1)

Ejercicio 1.5. Hallar las sumas siguientes (n ∈ N): n

a) ∑ (2 j − 1) (usar la igualdad j2 − ( j − 1)2 = 2 j − 1, j ∈ N). j=1 n

b) ∑ j (apoyarse en a)). j=1

Ejercicio 1.6. Probar que xn −yn = (x−y)(xn−1 +xn−2 y+· · ·+xyn−2 +yn−1 ) para cada n ∈ N, x, y ∈ R. Escribir el segundo miembro con notación de sumatorio. Esta expresión recibe el nombre de fórmula o ecuación ciclotómica. n

Ejercicio 1.7. Deducir de la ecuación ciclotómica la suma de ∑ x j , x 6= 1. Hacer operaciones en la j=0 n

expresión (1 − x) ∑

jx j

n

para deducir la suma de ∑

j=1 n

jx j ,

j=1

deducir la suma de ∑ j2 x j , x 6= 1. j=1

Ejercicio 1.8. Demostrar por inducción las propiedades siguientes (n ∈ N): n n n(n + 1)(2n + 1) k+4 n(3n + 7) a) ∑ k2 = b) ∑ = . 6 k(k + 1)(k + 2) 2(n + 1)(n + 2) k=1 k=1   n n a(rn − 1) n(n + 1) 2 3 c) ∑ k = . d) ∑ ar j−1 = (r 6= 1). 2 r−1 j=1 k=1 e)

n 1 √ ∑ √ ≥ n. k=1 k

1 (−1)k+1 = ∑2n . k=1 k k=n+1 k 2n

f)

n

x 6= 1. Análogamente en (1 − x) ∑ j2 x j para

∑

Ejercicio 1.9. Deducir de las ecuaciones 1=1 1 − 4 = −(1 + 2) 1−4+9 = 1+2+3 1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)

j=1

1.4. Ejercicios

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una fórmula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla mediante el principio de inducción. Ejercicio 1.10. Probar la fórmula del binomio de Newton: para cada x, y ∈ R y cada n ∈ N, n   n j n− j n (x + y) = ∑ xy . j=0 j Deducir de ella que:     n n +···+ + 1 = 2n ; a) 1 + n + 2 n−1     n n n−1 b) 1 − n + + · · · + (−1) + (−1)n = 0. n−1 2 Ejercicio 1.11. Demostrar que si un conjunto A de números naturales contiene a n0 y además cumple n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, entonces A contiene a {n ∈ N : n ≥ n0 }. ¿Puede asegurarse siempre la igualdad de estos conjuntos? Ejercicio 1.12. Demostrar que 72n+1 − 48n − 7 (n ∈ N) es divisible por 48. Ejercicio 1.13. Demostrar que 22n + 15n − 1 (n ∈ N) es múltiplo de 9. Ejercicio 1.14. Desigualdad de Bernoulli: probar que para todo x > −1 y todo n ∈ N se verifica (1 + x)n ≥ 1 + nx. Ejercicio 1.15. Probar las siguientes desigualdades para n ∈ N: a) n! > 2n−1 (n ≥ 3) b) (2n)! < 22n (n!)2 r c)

q p √ √ n+ n−1+···+ 2+ 1 < n+1 n

n j

Ejercicio 1.16. Sean x, y > 0 y para cada k, n ∈ N, sea αk,n = ∑ jk


j n− j xy .

j=0

a) Probar, mediante la fórmula del binomio de Newton, que α1,n = nx(x + y)n−1 . n

b) Hallar α2,n . Sugerencia: calcular antes β2,n = ∑ j( j − 1) j=0

n j


j n− j xy .

c) Obtener un procedimiento para calcular αk,n para cualesquiera k, n ∈ N. Ejercicio 1.17. Desigualdad de Cauchy-Schwartz: probar que si x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R, entonces !2

n

∑ x jy j

n

≤

j=1

!

∑ x2j

j=1

n

∑ y2j

! .

j=1

Deducir que, si a2 + b2 = c2 + d 2 = 1, entonces |ac + bd| ≤ 1. n

Ejercicio 1.18. Sea P(n) la propiedad ∑ k = k=1

(2n + 1)2 . 8

a) Probar que si P(n) es cierta, entonces P(n + 1) es cierta. b) Discutir la afirmación: se deduce por inducción que P(n) es cierta para todo n ∈ N.

14

Capítulo 1. Números reales

Ejercicio 1.19. Decidir para qué números naturales n es cierta la desigualdad 2n > n2 . Demostrarlo por inducción. Ejercicio 1.20. Comparar nn+1 y (n + 1)n para n ∈ N, y enunciar y demostrar qué desigualdad se verifica entre ambos números. Ejercicio 1.21. Probar por inducción que si a1 , a2 , . . . , an son números reales positivos tales que a1 a2 . . . an = 1, entonces a1 + a2 + · · · + an ≥ n. Deducir de aquí que si x1 , x2 , . . . , xn son números reales no negativos cualesquiera, entonces x1 + x2 + · · · + xn √ ≥ n x1 x2 . . . xn , n es decir, su media aritmética es siempre mayor o igual que su media geométrica.   1 n Ejercicio 1.22. Probar que para todo número natural n es 1 + < 3. n Ejercicio 1.23. Demostrar que el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que tiene n elementos es 2n . Ejercicio 1.24. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes: 1 x a) 2x2 + 9x + 6 ≥ x + 2 b) x + < 1 c) 0 1 + x2

e)

2x − 1 ≤1 3x + 2

g)

x2 − 4x + 4 >0 1 + x3

h)

x−1 3x + 2 ≤ 3x + 4 x

2x2 + 9x + 6 ≥1 x+2

f)

Ejercicio 1.25. Resolver las ecuaciones: a)

|x2 − 5x + 6|

c)

|(x2 + 4x + 9) + (2x − 3)| = |x2 + 4x + 9| + |2x − 3|

e)

|x − 1| |x + 2| = 3

=

−(x2 − 5x + 6)

Ejercicio 1.26. Resolver las siguientes desigualdades: a) |x − 1| + |x + 1| < 1 b) |x − 5| < |x + 1| c) d)

|x2 − 1| < 1

e)

|x2 − x + 1| > 1

f)

g)

x − |x| > 2

h)

|x2 − x| + x > 1

i)

1 1+|x−1|

k)

−1 ≤

j)

< |x − 2|

|x3 −1| x−1

b)

x−1 x−1 x+1 = x+1

d)

|x − 1| |x + 1| = 0

|3x − 5| < 3 1 < |x − 12 | < 2 x + |x − 1| < 2

≤2

Ejercicio 1.27. Estudiar para qué números reales x se cumple: |x| + 1 −2|x| + 1 a) 7}

∈ R : n2 x2 − n(3n − 1)x + (2n2 − 3n − 2) = 0} 2

− n1 , 1n

n=1




1 1 n=1 2n , 2n−1





Ejercicio 1.29. Sean A un conjunto, s = sup A y ε > 0. ¿Se puede asegurar que existe algún a ∈ A tal que s − ε < a < s? En caso afirmativo, demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo y modificar las desigualdades anteriores para que sea cierto. Ejercicio 1.30. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, acotados, de números reales. a) Demostrar que si A ⊆ B, entonces sup A ≤ sup B,

´ınf A ≥ ´ınf B.

b) Probar que si x ≤ y para todos los x ∈ A, y ∈ B, entonces sup A ≤ y para todo y ∈ B;

x ≤ ´ınf B para todo x ∈ A

y por lo tanto sup A ≤ ´ınf B. c) Demostrar que si sup A < ´ınf B, entonces que a < b para todos los a ∈ A, b ∈ B. Justificar si es cierto el recíproco. Ejercicio 1.31. a) Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. Demostrar que sup(A + B) = sup A + sup B,

´ınf(A + B) = ´ınf A + ´ınf B.

b) Sean A = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ R, B = {y1 , y2 , . . . , yn } ⊆ R, y consideremos el conjunto C = {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn }. Demostrar que supC ≤ sup A + sup B,

´ınfC ≥ ´ınf A + ´ınf B.

Dar algún ejemplo que muestre que las desigualdades pueden ser estrictas.

Capítulo 2

Funciones reales de una variable real. Generalidades 2.1.

Primeros conceptos

2.1.1.

Funciones. Clases particulares de funciones

Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna (A, B, G f ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio o conjunto final de f , y G f , denominado gráfico o gráfica de f , es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que (x, y) ∈ G f (ese elemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicación f en el punto x o imagen de x por f ). Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R. Informalmente, dar una función f supone dar: a) su dominio de definición A = dom f ; b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso); c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f. Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la regla de definición) hace que la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjunto S de A, la restricción de f a S es la función f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, que no es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla de correspondencia (a cada x de S, la restricción f |S hace corresponder el mismo valor que f ). En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definición formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la función en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [BARTLE -S HERBERT, sec. 1.2, págs. 22–25]). En cuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencione explícitamente se sobrentenderá que dicho conjunto es R. Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece dividida en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretar incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, la función f : R → R tal que ( x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0, 17

18

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

es una sola función, la función valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en parte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida en S» como sinónimo de que S es un subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que f está definida. Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagen de S por f al conjunto f (S) = { f (x) : x ∈ S}, y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T }, que será un subconjunto (eventualmente vacío) de A. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = { f (x) : x ∈ dom f }. Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x 6= y se sigue f (x) 6= f (y); o, equivalentemente, si dados x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y. Una función f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos) elemento(s) de A. Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva. Ejemplos. La función identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La función parte entera, que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicación de R en R) no es inyectiva ni suprayectiva. Definición 2.1.3 (función inversa). Dada una función inyectiva f : A → B, se llama función inversa de f a la función f −1 : f (A) → A tal que f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y. En términos más formales, f −1 sería la función dada por la terna ( f (A), A, G f −1 ), donde G f −1 = {(y, x) : (x, y) ∈ G f }, y G f es, por supuesto, la gráfica de f . Para ser rigurosos, deberíamos comprobar que tal terna define efectivamente una función; esto es una consecuencia inmediata de que f es inyectiva. En muchos textos aparece definida la función inversa solamente para funciones biyectivas. Sin embargo, la práctica usual en análisis matemático recomienda ampliar la definición a todas las funciones inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obsérvese que, en cualquier caso, lo que hemos definido sería la función inversa de la función biyectiva f˜ : A → f (A) tal que f˜(x) = f (x), que, recordémoslo, salvo cuando f es además suprayectiva, es otra función —la biyección asociada a f — pues cambia el conjunto final. Observación. Dada una función inyectiva f : A → B, una función g es la inversa de f si y solo si g : f (A) → A y g( f (x)) = x para todo x ∈ A,

f (g(y)) = y para todo y ∈ f (A).

2.1. Primeros conceptos

19

Representación gráfica de una función. Dada una función f , para cada x ∈ dom f el par ordenado de números reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gráfica de f , es decir, {(x, f (x)) : x ∈ dom f }, vendrá representada por un subconjunto del plano, que da la representación gráfica de la función f . Observar esta representación puede proporcionar a veces información interesante sobre f , por lo que más adelante nos ocuparemos con detalle de la representación gráfica de funciones. El lector puede examinar cómo se refleja en su representación gráfica que una función es inyectiva o suprayectiva. Las gráficas de una función inyectiva y su inversa son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

f −1 f

Simetría de las gráficas de una función y su inversa

Tabulación de funciones. Cuando el dominio de una función es finito (y con un número no demasiado elevado de elementos) es a menudo útil describir la función escribiendo en forma de tabla los valores del dominio y a su lado, correlativamente, los valores de la función en cada uno de ellos. Así, por ejemplo, suele procederse en la recogida de datos experimentales, cuando se estudian dos magnitudes de las cuales una depende de la otra y, de hecho, las tablas de correspondencias entre números o magnitudes son históricamente muy anteriores a la idea misma de función. También se procede a la tabulación de funciones aunque el dominio no sea finito, reflejando en tal caso, por descontado, tan solo una parte finita del mismo. Cabe señalar que en la mayoría de las tablas de funciones que se usan en las ciencias, los valores de la función que aparecen en las tablas no son, por razones obvias, valores exactos, sino valores aproximados con un error que es necesario controlar para poder utilizarlas adecuadamente. Existe una extensa bibliografía de libros de tablas de funciones, sustituidos casi totalmente en la actualidad por los ordenadores e incluso por las calculadoras científicas de bolsillo. Sin embargo, es muy conveniente conocer al menos uno de ellos, como [S PIEGEL -A BELLANAS]. Veamos ahora algunas clases particulares de funciones que aparecerán frecuentemente a lo largo de todo el curso. Definición 2.1.4. Una función f se dice monótona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) ≥ f (y). Una función f se dice monótona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) ≤ f (y). Una función f se dice monótona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) < f (y). Una función f se dice monótona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) > f (y). Una función monótona es una función de uno cualquiera de los tipos anteriores. Por brevedad, si S ⊆ dom f , se dice que f es monótona en S si la restricción f |S es monótona.

20

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Función monótona no creciente

Función estrictamente creciente

Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman funciones crecientes a las que nosotros denominamos monótonas no decrecientes, mientras que otros utilizan el nombre de funciones crecientes para las que hemos definido como monótonas estrictamente crecientes. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno de los tipos considerados. Observación. La monotonía no es una propiedad puntual de la función, sino que es una propiedad global. Esto significa que solo tiene sentido decir que una función es monótona en un determinado conjunto, no que es monótona en un punto del conjunto. La expresión función monótona en un punto carece de significado. Ejemplo. Probar que la función f : R \ {0} → R definida mediante f (x) = 1/x es estrictamente decreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞). Pero no es estrictamente decreciente en R \ {0}, porque −1 < 1 y sin embargo f (−1) < f (1). En general, dados dos conjuntos A, B ⊆ R y una función f : A ∪ B → R, si f es estrictamente decreciente en A∪B, puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamente decreciente en B. Pero si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B, no puede asegurarse que f sea estrictamente decreciente en A ∪ B. Lo mismo puede decirse con los demás tipos de monotonía. Definición 2.1.5. Se dice que una función f está acotada superiormente si su conjunto imagen está acotado superiormente. En otras palabras, si existe un número fijo M ∈ R tal que, simultáneamente para todos los x ∈ dom f , se tiene f (x) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f está acotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjunto imagen de f está acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto). Enteramente análoga es la definición de función acotada inferiormente. Por último, una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente, es decir, aquella cuyo conjunto imagen está acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales que para cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f (x) ≤ M; equivalentemente, f está acotada si y solo si existe un K ∈ R tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ dom f . El estudio de una función se simplifica cuando posee algún tipo de repetición. Concretamos esta idea en las siguientes definiciones. Definición 2.1.6. Sea f una función definida en R. Se dice que f es a) par si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del eje de ordenadas);

2.1. Primeros conceptos

21

b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = − f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del origen de coordenadas); c) periódica de periodo T (T ∈ R \ {0}) si para cada x ∈ R se cumple f (x + T ) = f (x) (su gráfica puede obtenerse entonces por traslación reiterada de la gráfica en cualquier intervalo de longitud |T |).

Función par

Función impar

Observación. Toda función f : R → R puede escribirse, además de manera única, como suma de una función par (su componente par) y una función impar (su componente impar). Concretamente, las componentes par e impar son f (x) + f (−x) , 2 f (x) − f (−x) fI (x) = . 2

fP (x) =

Es inmediato comprobar que fP es par, fI es impar y f = fP + fI (nos adelantamos aquí a la definición de suma de funciones). Para ver que la descomposición es única, supongamos que f = g + h, con g par h impar. Entonces, fP (x) =

f (x) + f (−x) [g(x) + h(x)] + [g(−x) + h(−x)] g(x) + h(x) + g(x) − h(x) = = = g(x) 2 2 2

y de la misma manera se comprueba que fI = h. Nótese que la definición de función par y de función impar puede ampliarse de manera obvia a funciones f cuyo dominio sea simétrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que −x ∈ dom f siempre que x ∈ dom f .

2.1.2.

Operaciones con funciones

Dadas dos funciones f y g, podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentes maneras. Para nosotros, las más útiles son las que a continuación exponemos.

Función periódica

22

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Definición 2.1.7. La composición de f y g, denotada g ◦ f , es la función con dominio dom(g ◦ f ) = f −1 (dom g) dada por (g ◦ f )(x) = g ( f (x)) para cada x ∈ dom(g ◦ f ) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que g ( f (x)) tiene sentido). Definición 2.1.8. La suma de f y g, denotada f + g, es la función con dominio dom( f + g) = dom f ∩ dom g dada por ( f + g)(x) = f (x) + g(x) para cada x ∈ dom( f + g) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que f (x) + g(x) tiene sentido). Totalmente similar es la definición de la diferencia f − g y del producto f g de f y g. Definición 2.1.9. El cociente de f y g, es la función f /g con dominio dom( f /g) = (dom f ∩ dom g) \ g−1 (0) dada por ( f /g)(x) =

f (x) g(x)

para cada x ∈ dom( f /g) (obsérvese una vez más que tales x son exactamente aquellos para los que f (x)/g(x) tiene sentido). En algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos. Ejemplo. Consideremos las funciones f , g : R → R dadas por f (x) = x2 − 1, g(x) = x + 1. Su cociente es la función f (x) x2 − 1 h(x) = = , g(x) x+1 definida para x ∈ R \ −1. Observemos que h(x) = x − 1 en todo su dominio. Sin embargo, h no es exactamente la función x − 1, porque el dominio de esta función es R y el dominio de h es R \ −1.

2.1.3.

Ejemplos de funciones

Sucesiones Son funciones cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales. Desempeñan un destacado papel en la elaboración de nuestra teoría, y a ellas dedicaremos específicamente el capítulo siguiente. Funciones constantes Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellas funciones f para las que existe un a ∈ R tal que f (x) = a para todos los x ∈ dom f . ¿Puede una función constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Cómo es su representación gráfica? ¿Es monótona? ¿De qué tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, periódica?

2.1. Primeros conceptos

23

Función identidad Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la función tal que f (x) = x para cada x ∈ A. ¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es monótona? ¿Es acotada? ¿Cómo es su representación gráfica? ¿Cuál es su inversa? Potencias de exponente entero Dado un número natural n, la función f : x ∈ R → xn ∈ R (producto de n funciones iguales a la identidad) tiene distinto comportamiento según n sea par o impar. Para n = 2k − 1, k ∈ N, la función g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. También es suprayectiva, aunque ahora no estamos todavía en condiciones de demostrarlo fácilmente. Sin embargo, la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva (es una función par), aunque la restricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞), como justificaremos más adelante. La potencia de exponente 0 es la función constante con valor siempre igual a 1. Para exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se define     1 1 x ∈ R \ {0} → xn = = ∈ R. xm x−n Raíces Dado k ∈ N, se puede probar que la función g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, posee una función inversa f : R → R, denominada raíz (2k − 1)-ésima; su valor en un punto x ∈ R se denota √ √ por 2k−1 x o x1/(2k−1) . De acuerdo con su definición, se tiene y = 2k−1 x si y solo si y2k−1 = x. Sin embargo, puesto que la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse de raíz 2k-ésima en todo R. No obstante, la restricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞): su inversa es la que llamamos función raíz 2késima, de modo que dicha función tendrá ahora por dominio [0, +∞). Es decir, solo está definida en √ un número real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2k x o x1/(2k) excepto para el caso √ √ k = 1 (raíz cuadrada), que se usa abreviadamente x. Nótese que siempre es x ≥ 0 y, en general, √ 2k x ≥ 0. Funciones polinómicas y funciones racionales Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de la identidad en R reciben el nombre de funciones polinómicas. Por tanto, f es una función polinómica (o polinomio) si y solo si existen a0 , a1 , . . . , an ∈ R tales que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn para cada x ∈ R (también suelen denominarse funciones polinómicas las restricciones de las anteriores a cualquier subconjunto de R.) Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funciones polinómicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (quizás vacío): el conjunto de los ceros o raíces del denominador. Es habitual utilizar el mismo nombre para las restricciones de estas funciones a subconjuntos cualesquiera. Función valor absoluto Es la función f (x) = |x|, definida en R. No es inyectiva ni suprayectiva, no está acotada, es par, es estrictamente decreciente en (−∞, 0] y estrictamente creciente en [0, ∞).

24

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Función parte entera Es la función f (x) = [x], definida en R. Es monótona no decreciente (pero no es estrictamente creciente); no es inyectiva ni suprayectiva y tampoco está acotada.

Función valor absoluto

Función parte entera

Funciones algebraicas Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p0 , p1 , . . . , pn de manera que para todo x ∈ dom f se verifica p0 (x) + p1 (x) f (x) + · · · + pn (x) f (x)n = 0. Obsérvese que las raíces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.

2.2.

Funciones trascendentes

Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las que suelen denominarse genéricamente funciones elementales, y en buena parte son conocidas por el lector, requieren para su construcción técnicas de las que no disponemos todavía. No podemos, pues, definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades que enunciamos.

2.2.1.

Funciones exponencial y logarítmica

Función exponencial La función exponencial, exp : R → R, que construiremos más adelante, aparece en la descripción de los fenómenos en los que la variación de una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud. El número exp(1) se denota por e. Es irracional; más todavía, es trascendente, lo que significa que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimales son 2, 7182818284590452353602874713526624977572 . . . (sobre su historia, ver [M AOR]). En lugar de exp(x) suele escribirse ex . Proposición 2.2.1 (propiedades de la exponencial). b) Para cada x ∈ R, y, en particular, ex 6= 0.

a) e0 = 1.

1 = e−x , ex

2.2. Funciones trascendentes

25

c) Dados x, y ∈ R,

ex+y = ex · ey .

d) Dados n ∈ N y x ∈ R,

n

enx = ex · · ·ex . e) Para cada x ∈ R,

ex > 0.

f) La función exponencial es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva. g) El conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞). Función logarítmica La función logarítmica log : (0, +∞) → R es la inversa de la función exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x. Por tanto, está caracterizada por cumplir log(ex ) = x

cualquiera que sea x ∈ R

y elog x = x

cualquiera que sea x ∈ (0, +∞).

Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial. Proposición 2.2.2 (propiedades del logaritmo).

a) log 1 = 0; log e = 1.

b) Para cada x ∈ (0, +∞), log

1 = − log x. x

c) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y. d) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),

log(xn ) = n log x.

e) El conjunto imagen de la función logarítmica es R. f) La función logarítmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.

Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera Definición 2.2.3. Dado un número real a > 0, la función exponencial de base a se define mediante la igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta función tiene propiedades similares a la función exponencial anteriormente estudiada; si a = 1, es una función constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la función exponencial de base e estriba en que la función exponencial de base a es entonces estrictamente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definición y de lo que hemos visto para las funciones ex y log x son las siguientes:

26

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

10 8 exp 6 4 log 2 1 1 2

4

8

6

10

Las funciones exponencial y logaritmo

Proposición 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, a) (ab)x = ax bx . b) (ax )y = axy . Definición 2.2.5. Dado a > 0, a 6= 1, la función logarítmica de base a se define en (0, +∞) mediante la fórmula log x . loga x = log a

Es inmediato comprobar que esta función es la inversa de la función exponencial de base a. Como propiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a 6= 1 y b > 0, loga (bx ) = x loga b.

2.2.2.

Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas

Funciones trigonométricas Reciben este nombre una serie de funciones de origen geométrico, ligadas con las medidas de ángulos y la descripción de fenómenos periódicos. La función seno sen : R → R y la función coseno cos : R → R serán definidas más adelante. De momento, admitimos sin demostración que satisfacen las propiedades que pasamos a enunciar. Proposición 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una función impar, mientras que el coseno es una función par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x,

cos(−x) = cos x.

2.2. Funciones trascendentes

27

b) Para cada x ∈ R es sen2 x + cos2 x = 1. c) Existe un número real positivo, denotado por π, tal que sen π = 0 y sen x 6= 0 si 0 < x < π. Este número π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son 3, 14159265358979 . . . El número π, «área del círculo de radio 1, es de lejos la constante más célebre de las matemáticas. Aparecida inicialmente en Geometría, interviene hoy en los dominios más variados: análisis, teoría de números, probabilidades y estadística, combinatoria, etc. Los más grandes matemáticos se han interesado desde hace más de 2000 años por los problemas planteados por este número» ([L E L IONNAIS, pág. 50]). d) cos π = −1. e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen el intervalo [−1, 1]. f) Dados x, y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x,

sen α = y

(gráficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se corresponden con las utilizadas en trigonometría). g) Fórmulas de adición: dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y

h) Las funciones sen y cos son periódicas de periodo 2π. i) La función sen es estrictamente creciente en [0, π/2] y estrictamente decreciente en [π/2, π]. j) La función cos es estrictamente decreciente en [0, π]. Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones. grados 0 15 30 45 60 90

x 0 π/12 π/6 π/4 π/3 π/2

sen x √ 0 √ 1 4 ( 6 − 2) √1/2 √2/2 3/2 1

cos x √ 1 √ 1 6 + 2) 4( √ √3/2 2/2 1/2 0

Definición 2.2.7. La función tangente tg, la función cotangente ctg, la función secante sec y la función cosecante cosec se definen a partir de las funciones seno y coseno mediante las fórmulas tg =

sen , cos

ctg =

cos , sen

¿Cuáles son los dominios de estas funciones?

sec =

1 , cos

cosec =

1 . sen

28

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 1

−2π

−3π/2

−π

−π/2

π/2

π

3π/2

2π

π/2

π

3π/2

2π

−1 La función seno

1

−2π

−3π/2

−π

−π/2 −1 La función coseno

Funciones trigonométricas inversas Se conocen con el nombre de funciones trigonométricas inversas las de una colección de funciones que son casi, pero no totalmente, inversas de las funciones tigonométricas que acabamos de considerar. Precisemos su definición. La función seno no es inyectiva, por lo que no puede hablarse estrictamente de inversa de la función seno. Sin embargo, la restricción de la función seno al intervalo [−π/2, π/2] es estrictamente creciente, luego inyectiva en particular, y su conjunto imagen es el intervalo [−1, 1] (igual conjunto imagen que la función seno). La función arco seno, arc sen : [−1, 1] → [−π/2, π/2], es, por definición, la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [−π/2, π/2], de manera que será una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ [−1, 1] ( y ∈ [−π/2, π/2] arc sen x = y ⇐⇒ sen y = x, con lo cual sen(arc sen x) = x

para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc sen

(es decir, la función arco seno es una inversa por la derecha de la función seno), mientras que arc sen(sen x) = x ⇐⇒ x ∈ [−π/2, π/2]. Pasando a la función coseno, su restricción al intervalo [0, π] es una función estrictamente decreciente cuyo conjunto imagen es [−1, 1]. Análogamente a lo anterior, la función arco coseno arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por definición la inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, π]. Es una función estrictamente decreciente y acotada, con el mismo dominio que la función arco seno, pero con distinto codominio. Dado x ∈ [−1, 1], se tiene ( y ∈ [0, π] arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x,

2.2. Funciones trascendentes

29

−

2π −2π

−

π 3π −π − 2 2

π 2

0

π

3π π − 2 −π 2

−π −

3π 2

−

π 2

1

0

π

3π 2

π

3π 2

2π

−2π

3π 2

La función tangente

−2π

π 2

La función cotangente

3π 2

π

−

2π

3π π − 2 2 −π

−2π

π 2

La función cosecante

π 2 −1

2π

La función secante

con lo cual cos(arc cos x) = x

para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc cos

(es decir, la función arco coseno es una inversa por la derecha de la función coseno), mientras que arc cos(cos x) = x ⇐⇒ x ∈ [0, π]. De manera similar, la función arco tangente arc tg : R → (−π/2, π/2) es por definición la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo abierto (−π/2, π/2). Es una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ R ( y ∈ (−π/2, π/2) arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x,

30

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades π π/2 π/3 π/4 π/6 −1

1

π/2

√ 1 √1 3 2 2 2

π/3 π/4 π/6 1

−π/2

√ 1 √1 3 2 2 2

−1

La función arco seno

La función arco coseno

con lo cual tg(arc tg x) = x

para todo x ∈ R = dom arc tg

(es decir, la función arco tangente es una inversa por la derecha de la función tangente), mientras que arc tg(tg x) = x ⇐⇒ x ∈ (−π/2, π/2).

π/2 π/3 π/4 π/6 √1 3

1

√ 3

−π/2 La función arco tangente

Aunque se usa menos que las anteriores, podemos también definir: la función arco cotangente arc ctg : R → (0, π) es la inversa de la restricción de la función cotangente al intervalo (0, π). Las funciones arco secante y arco cosecante se usan raras veces. Su definición, con las notaciones sec−1 y cosec−1 , puede verse en [S PIEGEL -A BELLANAS].

2.2. Funciones trascendentes

2.2.3.

31

Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas

Funciones hiperbólicas Definición 2.2.8. La función coseno hiperbólico, cosh : R → R, está definida mediante cosh x =

ex + e−x . 2

Es una función par (la componente par de la exponencial), estrictamente decreciente en (−∞, 0] y estrictamente creciente en [0, +∞). Está acotada inferiormente por 1: para cualquier x ∈ R, ex + e−x e2x + 1 ≥1 = 2 2ex

porque e2x + 1 ≥ 2ex > 0.

Su conjunto imagen es [1, +∞). Definición 2.2.9. La función seno hiperbólico, senh : R → R, está definida mediante senh x =

ex − e−x . 2

Es una función impar (la componente impar de la exponencial), estrictamente creciente y no acotada superior ni inferiormente: su conjunto imagen es todo R. 6

4

4 3 2 2 1

2

1

−2

−1

1

2

La función coseno hiperbólico

La función seno hiperbólico

Estas funciones tienen un cierto parecido con el coseno y el seno trigonométricos, y pueden relacionarse geométricamente con la hipérbola de manera similar a como las funciones trigonométricas se relacionan con la circunferencia. Aumentando la semejanza, existen fórmulas para las funciones hiperbólicas que, con variaciones en algunos signos, recuerdan las conocidas para las funciones trigonométricas: por ejemplo, calculando a partir de la definición se comprueba que cosh2 x − senh2 x = 1, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y, senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y cualesquiera que sean x, y ∈ R.

32

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Definición 2.2.10. La función tangente hiperbólica, tgh : R → R, se define como senh x ex − e−x e2x − 1 = = . cosh x ex + e−x e2x + 1

tgh x =

Es una función impar, estrictamente creciente y acotada: su conjunto imagen es el intervalo abierto (−1, 1). 1

−2

−1

1

2

−1 La función tangente hiperbólica

Definición 2.2.11. La función cotangente hiperbólica , ctgh : R \ {0} → R, está dada por ctgh x =

cosh x ex + e−x e2x + 1 = = . senh x ex − e−x e2x − 1

1 . cosh 1 La función cosecante hiperbólica es cosech = . senh La función secante hiperbólica es sech =

Funciones hiperbólicas inversas Definición 2.2.12. La función argumento coseno hiperbólico, arg cosh : [1, +∞) → [0, +∞), dada por p arg cosh x = log(x + x2 − 1), es la inversa de la restricción de la función coseno hiperbólico al intervalo [0, +∞). La función argumento seno hiperbólico, arg senh : R → R, dada por p arg senh x = log(x + x2 + 1), es la inversa de la función seno hiperbólico. La función argumento tangente hiperbólica, arg tgh : (−1, 1) → R, dada por arg tgh x =

1 1+x log , 2 1−x

es la inversa de la función tangente hiperbólica. La función argumento cotangente hiperbólica, arg ctgh : (−∞, −1) ∪ (1, +∞) → R, dada por arg ctgh x = es la inversa de la función cotangente hiperbólica.

1 x+1 log , 2 x−1

2.3. Ejercicios

33 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 La función argumento seno hiperbólico

4 2 3 1 2

−1

cosh

1 arg cosh

1

−1

−2 1

2

3

4

La función argumento coseno hiperbólico

2.3.

La función argumento tangente hiperbólica

Ejercicios

Ejercicio 2.1. Probar que la función f : R → R definida por f (x) = 2x + |x − 3| es biyectiva y demostrar que su función inversa puede escribirse en la forma f −1 (x) = ax + b − |cx + d| para ciertos valores a, b, c, d ∈ R. Ejercicio 2.2. Describir la gráfica de g en términos de la gráfica de f , en los casos siguientes: a) g(x) = f (x) + c b) g(x) = f (x + c) c) g(x) = c f (x) d)

g(x) = f (−x)

e)

g(x) = − f (x)

f)

g(x) = f (|x|)

g) g(x) = | f (x)| h) g(x) = m´ax{ f (x), 0} i) g(x) = m´ın{ f (x), 0} Por ejemplo, en el primer caso la gráfica de g se obtiene desplazando hacia arriba la gráfica de f una distancia c si c ≥ 0, o desplazando hacia abajo la gráfica de f una distancia |c| si c < 0. Ejercicio 2.3. Probar que la función f : [1/2, +∞) → R definida mediante f (x) = x2 − x + 1 es estrictamente creciente. En consecuencia, es inyectiva. ¿Cuál es su función inversa? Ejercicio 2.4. Probar que la función f : R → R dada por f (x) =

x x2 + 1

está acotada. ¿Cuál es la cota

inferior más ajustada que se puede encontrar? ¿Cuál la cota superior más ajustada?

34

Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Ejercicio 2.5. Probar que la función de Dirichlet ( 1 si x es racional, D(x) = 0 si x es irracional es periódica (comprobar que cada número racional no nulo es un periodo, y que ningún número irracional lo es). ¿Es D una función par? ¿Es una función impar? Responder a las mismas preguntas para la función f (x) = x − [x]. x Ejercicio 2.6. Sea f : x ∈ R → f (x) = √ . Calcular f ◦ f . En general, si se define por recurrencia 1 + x2 f1 = f y fn+1 = f ◦ fn , n ∈ N, calcular fn . Ejercicio 2.7. Comprobar que para x, y ∈ R arbitrarios es sen x − sen y = 2 cos

x−y x+y sen . 2 2

Deducir de aquí que sen x = sen y si y solo si existe algún k ∈ Z tal que x = y + 2kπ o existe algún k ∈ Z tal que x = (2k + 1)π − y.   Ejercicio 2.8. Dado n ∈ Z, sea f : nπ − π2 , nπ + π2 → R definida por f (x) = sen x. Comprobar que f es inyectiva y expresar su inversa f −1 en términos de la función arco seno. Ejercicio 2.9. Dibujar las gráficas de las funciones sen ◦ arc sen y arc sen ◦ sen. Ejercicio 2.10. Probar que para todo x ∈ [−1, 1] es arc sen x + arc cos x =

π . 2

Ejercicio 2.11. Probar que dados a, b ∈ R tales que a, b, a + b ∈ dom tg, tg(a + b) =

tg a + tg b . 1 − tg a tg b

¿Puede deducirse de aquí, haciendo tg a = x y tg b = y e invirtiendo, que arc tg x + arc tg y = arc tg

x+y ? 1 − xy

Precisar la respuesta. Ejercicio 2.12. Indicar el dominio de s las siguientes funciones: r r x−2 x−1 1 − |x| a) + √ b) x+2 2 − |x| 1+x s p (x − 1)(x − 2) c) − 1 d) arc sen(x − 1) (x − 3)(x − 4) r x2 − 5x + 6 5x − x2 e) log 2 f) log x + 4x + 6 4 Ejercicio 2.13. Sabiendo que el dominio de la función f es [0, 1], hallar el dominio de las funciones: a) f (x2 ) b) f (sen x) c) f (x − 5) d) f (2x + 3) e) f (tg x) Ejercicio 2.14. Probar que: a) Si f (x) =

1 1−x ,

entonces ( f ◦ f ◦ f )(x) = x.

2.3. Ejercicios

35 n

−1 b) Si f (x) = ax + b, con a 6= 1, entonces ( f ◦ f ◦ .(n) . . ◦ f )(x) = an x + b aa−1 . √ c) f ◦ g 6= g ◦ f , donde f (x) = x y g(x) = x2 .

Ejercicio 2.15. Demostrar que si f es periódica con periodo T y a 6= 0, entonces la función g(x) = f (ax + b) es periódica con periodo Ta . Ejercicio 2.16. Hallar el periodo de las siguientes funciones: a) f (x) = tg 2x b) f (x) = sen4 x + cos4 x c) f (x) = ctg 2x d)

f (x) = | cos x|

e)

f (x) = sen(2πx)

f)

f (x) = 2 cos x−π 3

Ejercicio 2.17. Estudiar si son pares o impares las siguientes funciones: a) f (x) = |x + 1| − |x − 1| b) f (x) = ax + a−x (a > 0) c)

f (x) = log 1+x 1−x

d)

√ f (x) = log(x + 1 + x2 )

Ejercicio 2.18. Hallar la inversa de las funciones siguientes y determinar su dominio: √ 2x ex − e−x 3 b) f (x) = c) f (x) = 1 − x3 a) f (x) = x −x x e +e 1+2 q √ x 2 d) f (x) = e) f (x) = 2x + x4 − 1 f) f (x) = 3 1 − x3 1 − |x|

Capítulo 3

Sucesiones de números reales Como libros de referencia para los temas de este capítulo, aunque haya algunas diferencias de detalle entre su tratamiento y el nuestro, pueden consultarse [BARTLE -S HERBERT] (especialmente sus comentarios sobre algunos conceptos) y [ROSS], algo más conciso pero igualmente claro.

3.1.

Sucesiones convergentes

3.1.1.

Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Límite de una sucesión convergente

Informalmente, una sucesión de números reales es una lista ilimitada de números s1 , s2 , s3 , s4 , . . . , sn , . . . (n indica el lugar que ocupa el número sn en la lista); puesto en forma de tabla lugar valor

1 s1

2 s2

3 s3

4 s4

5 s5

... ...

n sn

... ...

es obvio que se trata justamente de una función real con dominio N. Esta es su definición formal. Definición 3.1.1. Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio N y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real con dominio N, o sea, una aplicación s : N → R. Tradicionalmente, el valor que una sucesión s toma en cada n ∈ N se denota por sn , en lugar de s(n) como para las demás funciones. Normalmente nos referiremos a sn con el nombre de término nésimo de una sucesión, pero no debe perderse de vista que cada término lleva una doble información: su valor y el lugar n que ocupa. Como el dominio N es común a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notación s : N → R ∞ para una sucesión es más frecuente encontrar notaciones del tipo (sn )n∈N ó (sn )∞ n=1 ó {sn }n=1 o alguna similar, poniendo mayor énfasis en los términos. Aunque esta notación propicie a veces la confusión, no debería ser necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesión y el conjunto de valores que toma la sucesión, que es la misma que hay entre cualquier función y su conjunto de valores (conjunto imagen o rango); obsérvese, por ejemplo, que una sucesión tiene siempre infinitos términos incluso aunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes. Ejemplos. Los ejemplos más corrientes de sucesiones se indican dando una fórmula que defina el término n-ésimo, como en los siguientes casos: 37

38

Capítulo 3. Sucesiones de números reales • sn = a, donde a es un número real prefijado (sucesión constante); la sucesión consta de los términos a, a, a, . . . , a, . . . • sn = n (sucesión de los números naturales); la sucesión consta de los términos 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n, . . . • sn = 1n ; la sucesión consta de los términos 1 1 1 1 1 1, , , , , . . . , , . . . 2 3 4 5 n • sn = (−1)n ; la sucesión consta de los términos −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . • Las fórmulas no tienen por qué referirse solo a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, considérese la sucesión 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; 3, 1415926; 3, 14159265; 3, 141592653; . . . formada por las aproximaciones decimales de π (el término n-ésimo sería la aproximación decimal con n cifras decimales exactas). Aunque no supiéramos escribir con todas sus cifras el término 1 000 000 000 000 000, sabemos que ese término está perfectamente definido, y lo mismo podemos decir de cualquier otro. En este caso podemos dar una fórmula explícita para el término n-ésimo con ayuda de la función parte entera: concretamente, para cada n ∈ N, sn = 3 +

ak an a2 a1 + 2 +···+ k +···+ n , 10 10 10 10

donde ak = [10k π] − 10[10k−1 π] (1 ≤ k ≤ n); el hecho de que esta fórmula no proporcione un algoritmo de cálculo para los ak no obsta para que estos estén definidos sin ambigüedad y sin excepción alguna. • Sucesiones recurrentes. Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se definen en función de los anteriores (definición inductiva o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es la sucesión de Fibonacci, dada por s1 = 1,

s2 = 1,

sn+2 = sn+1 + sn

(n ∈ N),

cuyos primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en cálculos con ordenadores: ver comentario en [BARTLE -S HERBERT, pág. 85]. Otros ejemplos de sucesiones recurrentes son las progresiones aritméticas de primer término x y razón h, que pueden definirse recursivamente por s1 = x,

sn+1 = sn + h,

y las progresiones geométricas de primer término x y razón r, dadas por s1 = x,

sn+1 = sn · r.

Se encuentran sin dificultad fórmulas explícitas en ambos casos: sn = x + (n − 1)h para las primeras, sn = x · rn−1 para las segundas.

3.1. Sucesiones convergentes

39

• La regla que define una sucesión no tiene por qué ser de carácter estrictamente matemático. Por ejemplo, puede definirse una sucesión poniendo ( 107 /3 si el nombre en castellano del número n contiene la letra d sn = √ π en caso contrario (¿cuáles serían sus primeros términos?), o mediante cualquier otra condición que permita asegurar que a cada n ∈ N sin excepción se le asocia inequívocamente un número real perfectamente definido. • Existen sucesiones cuyo rango es exactamente Z. Más difícil: existen sucesiones cuyo rango es exactamente Q; la construcción usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor y puede verse en [BARTLE -S HERBERT, págs. 36–37], [S PIVAK, pág. 609]. • ¿Queda definida una sucesión si para cada n ∈ N ponemos sn = m´ax{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 < 0}? ¿Y si ponemos sn = m´ax{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 ≤ 0}? En caso afirmativo, ¿puede darse una expresión más directa para sn ? Notación. Por comodidad, a menudo se denotan las sucesiones simplemente por (sn ) en vez de (sn )n∈N ó (sn )∞ n=1 si esto no da lugar a imprecisiones. Definición 3.1.2. Una sucesión (sn ) es convergente si existe un número real a tal que para cada ε > 0 se puede encontrar un número natural N = N(ε) de modo que siempre que n > N se verifique |sn − a| < ε. Se dice entonces que el número a es límite de la sucesión (sn ), y se escribe a = l´ım sn . También n

decimos que (sn ) converge al número a. Usaremos a veces la fórmula sn → a para indicar que la sucesión de término n-ésimo sn es convergente y tiene por límite a. Nota. Recuérdese que la desigualdad |sn −a| < ε es equivalente a las dos desigualdades −ε < sn −a < ε, que equivalen a su vez a las desigualdades a − ε < sn < a + ε.

a−ε s6

s3

s8

a s1 s11 s7 s10

a+ε s9 s2

s4

s5

|sn − a| < ε para n > 6

Ejemplos (sucesiones convergentes). ro c.

a) Las sucesión constante sn = c (c ∈ R) converge al núme-

b) La sucesión (1/n) converge a 0 (consecuencia de la propiedad arquimediana, teorema 1.2.2).

40

Capítulo 3. Sucesiones de números reales −1

1

s1 , s3 , s5 , . . .

s2 , s4 , s6 , . . .

La sucesión sn = (−1)n

Ejemplos (sucesiones no convergentes). a) La sucesión sn = (−1)n no es convergente: si tuviese límite 1, tomando ε = 2 en la definición de límite, tendría que ser |sn − 1| < 2 para todo n suficientemente grande; sin embargo, |sn − 1| = 2 para todos los n impares. Y si tuviese límite a 6= 1, tomando ε = |1 − a|, tendría que ser |sn − a| < |1 − a| para todo n suficientemente grande; sin embargo, |sn − a| = |1 − a| para todos los n pares. Total, que no tiene límite. b) La sucesión (n) no puede ser convergente, pues si tuviese límite a, tomando ε = 1 en la definición de convergencia, para algún N habría de ser n < a + 1 siempre que n fuese mayor que N, lo cual es imposible (consecuencia una vez más de la propiedad arquimediana). Proposición 3.1.3. Sea a ∈ R. Dada una sucesión (sn ), son equivalentes entre sí: a) (sn ) es convergente con límite a; abreviadamente, a = l´ım sn o sn → a. n

b) siempre que a0 < a, existe un n0 tal que para todo n > n0 es a0 < sn y siempre que a < a00 , existe un n00 tal que para todo n > n00 es sn < a00 . c) si a0 , a00 son números reales tales que a ∈ (a0 , a00 ), existe entonces un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a0 , a00 ). Demostración. a) =⇒ b) Dado a0 < a, tomando ε = a − a0 > 0 existirá por hipótesis un N tal que si n > N entonces sn > a − ε = a − (a − a0 ) = a0 . Para a < a00 se razona de manera similar. b) =⇒ c) Basta observar que x ∈ (a0 , a00 ) significa que a0 < x < a00 . Por consiguiente, si a ∈ (a0 , a00 ) existen n0 y n00 tales que para todo n > n0 es sn > a0 y para todo n > n00 es sn < a00 . Tomando ahora N = m´ax{n0 , n00 }, siempre que n > N es simultáneamente n > n0 y n > n00 , luego para todo n > N será a0 < sn < a00 o, equivalentemente, sn ∈ (a0 , a00 ). c) =⇒ a) Si ε > 0, se tendrá a ∈ (a − ε, a + ε), por lo que debe existir un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a − ε, a + ε), o lo que es lo mismo, |sn − a| < ε. Corolario 3.1.4. Sea (sn ) una sucesión convergente con límite a y sea c ∈ R. Se tiene: a) Si existe m tal que para todo n > m es c ≤ sn , entonces c ≤ a. b) Si existe m tal que para todo n > m es sn ≤ c, entonces a ≤ c. Demostración. Se prueba por reducción al absurdo aplicando la proposición 3.1.3. El corolario 3.1.4 no es cierto con desigualdades estrictas. Corolario 3.1.5 (unicidad del límite de una sucesión convergente). Sea (sn ) una sucesión convergente y sean a, b ∈ R tales que a = l´ım sn , b = l´ım sn . Entonces a = b. n

n

Demostración. Si no, sea, por ejemplo, a < b. Tomando c tal que a < c < b, puesto que c < b y b es límite de (sn ), debe existir un n0 tal que para todo n > n0 sea sn > c; igualmente, puesto que a < c y a es límite de (sn ), debe existir un n00 tal que para todo n > n00 es sn < c; tomando n = m´ax{n0 , n00 } llegamos a una contradicción: tendría que cumplirse c < sn < c.

3.1. Sucesiones convergentes

41

El límite de una sucesión convergente es así el único número real al que la sucesión converge. Las definiciones de acotación de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las que dimos sobre acotación de funciones. Definición 3.1.6. Una sucesión (sn )∞ n=1 se dice que está acotada superiormente si existe algún número C ∈ R tal que para todo n ∈ N, sn ≤ C. Se dice que está acotada inferiormente si existe algún número K ∈ R tal que para todo n ∈ N, K ≤ sn . Se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente. Esto equivale a que exista un número M ≥ 0 tal que para todo n ∈ N, |sn | ≤ M. Proposición 3.1.7. Toda sucesión convergente está acotada. Demostración. Sea (sn ) una sucesión convergente a un número a ∈ R. Tomamos, por ejemplo, ε = 1 en la definición de límite y existirá algún número N ∈ N tal que |sn − a| < 1 para todo n > N. Si escribimos B = m´ax{1, |s1 − a|, |s2 − a|, . . . , |sN − a|}, se tiene que |sn − a| ≤ B, es decir, a − B ≤ sn ≤ a + B, para todo n ∈ N. Luego la sucesión está acotada. Aplicación. Dado x ∈ R tal que |x| > 1, la sucesión que tiene por término n-ésimo xn no es convergente. En efecto: si ponemos h = |x| − 1, entonces |xn | = |x|n = (1 + h)n ≥ 1 + nh, según la desigualdad de Bernoulli. De aquí se deduce que la sucesión no está acotada. Tampoco es convergente la sucesión de término n-ésimo sn = n.

3.1.2.

Sucesiones monótonas

Las definiciones sobre monotonía de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las que dimos sobre monotonía de funciones. Esto equivale a lo siguiente: Definición 3.1.8. a) Una sucesión (sn ) es monótona no decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≤ sn+1 . b) Una sucesión (sn ) es monótona no creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≥ sn+1 . c) Una sucesión (sn ) es estrictamente creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn < sn+1 . d) Una sucesión (sn ) es estrictamente decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn > sn+1 . e) Una sucesión se dice que es monótona si es de alguno de los tipos anteriores. Proposición 3.1.9. a) Sea (sn ) una sucesión monótona no decreciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si está acotada superiormente, en cuyo caso l´ım sn = sup{sn : n ∈ N}. n

b) Sea (sn ) una sucesión monótona no creciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si está acotada inferiormente, en cuyo caso l´ım sn = ´ınf{sn : n ∈ N}. n

42

Capítulo 3. Sucesiones de números reales

Demostración. Sea (sn ) una sucesión monótona no decreciente. Según la proposición 3.1.7, si la sucesión converge entonces está acotada (superiormente); esto demuestra una implicación del apartado a). Supongamos ahora que la sucesión está acotada superiormente, sea a su supremo y veamos que la sucesión converge al punto a. Sea ε > 0. Como a − ε < a, el número a − ε no puede ser una cota superior de la sucesión, y por lo tanto existirá algún N ∈ N tal que a − ε < aN . Como la sucesión es no decreciente, para cada n > N se tendrá a−ε s1

s2

s3

...

a

sN . . .

toda sucesión no decreciente y acotada tiene límite

a − ε < aN ≤ aN+1 ≤ · · · ≤ an y, por la definición de supremo, an ≤ a < a + ε. Por lo tanto, a − ε < an < a + ε. Esto demuestra que la sucesión converge al punto a. La demostración del apartado b) es análoga. Ejemplo (el número e). La sucesión de término n-ésimo   1 n sn = 1 + n es estrictamente creciente y acotada superiormente por 3. Lo primero puede probarse mediante la desigualdad de Bernoulli observando que

 n+1 1 n+1 n+2 n+1 1 + n+1 [n(n + 2)]n+1 n + 1 n + 1 1 sn+1 n+1
= = = · = 1 −
n n+1 n+1 n sn n n (n + 1)2 1 + 1n ((n + 1)2 )n+1 n n+1   n+1 −1 n+1 n = > 1 + (n + 1) · = 1. 2 n (n + 1) n n+1 Que 3 acota superiormente a la sucesión puede deducirse del siguiente resultado, que a su vez se demuestra por inducción: para cada n ∈ N, si −1 ≤ h ≤ n1 se tiene (1 + h)n ≤ 1 + nh + n2 h2 (ayuda: si nh ≤ 1, también n2 h3 ≤ nh2 ). El límite de esta sucesión es el número e, base de los logaritmos neperianos y de la función exponencial ya presentados en el capítulo 2. Ejemplo. La sucesión (xn ) es monótona no decreciente y acotada si x ∈ [0, 1]; veremos que su límite es 0 si x ∈ [0, 1) y 1 si x = 1. Cuando x ∈ (1, +∞), la sucesión (xn ) es estrictamente creciente y no acotada (para ver esto último, tómese h = x − 1 > 0 y aplíquese la desigualdad de Bernoulli a xn = (1 + h)n junto con la propiedad arquimediana) (teorema 1.2.2). Ejemplo. La sucesión de término n-ésimo Hn = 1 + 21 + · · · + 1n es estrictamente creciente y no acotada. Que es estrictamente creciente es inmediato: 1 1 1 1 1 Hn+1 = 1 + + · · · + + = Hn + > Hn . 2 3 n n+1 n+1

3.1. Sucesiones convergentes

43

Veamos que no está acotada, considerando los términos H2m :         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + +···+ +···+ m H2m = 1 + + + + + · · · + m−1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 2 +1 2         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + +···+ ≥ 1+ + + + +···+ m +···+ m 2 4 4 8 8 8 8 16 16 2 2 (el primer paréntesis tiene 2 sumandos, el segundo 4, el tercero 8..., el último tiene 2m−1 ) 1 2 4 8 2m−1 = 1+ + + + +···+ m 2 4 8 16 2 (aparte del 1, hay m sumandos, todos iguales a 12 ) m ; 2 por lo tanto, H2m ≥ 1 + m2 y la sucesión Hn no está acotada. = 1+

1 1 1 Ejemplo. La sucesión de término n-ésimo sn = n+1 + n+2 +· · ·+ 2n es estrictamente creciente (puesto 1 1 que sn+1 − sn = 2n+1 − 2n+2 > 0) y acotada superiormente por 1 (obsérvese que sn ≤ n1 + n1 + .(n) .. + 1 n = 1). De su límite, por el momento, solo podemos asegurar que está entre s1 = 12 y 1 (o entre s2 = 13 + 41 y 1, o entre s3 = 14 + 51 + 16 y 1, etcétera). Más adelante podremos probar que su valor exacto es log 2.

3.1.3.

Operaciones con sucesiones

Proposición 3.1.10. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con límites a = l´ım sn , n

b = l´ım tn , n

y sea c ∈ R. Entonces a) (sn + tn ) es convergente y tiene límite a + b. b) (c · sn ) es convergente y tiene límite c · a. Demostración. a) Sea ε > 0. Usando la definición de convergencia de (sn ) obtenemos que existe N1 ∈ N tal que si n > N1 , entonces |sn − a| < ε/2. De igual manera existe N2 ∈ N tal que si n > N2 , entonces |tn − b| < ε/2. Escribimos N = m´ax{N1 , N2 }. Por tanto, si n > N, se verifican las dos desigualdades a la vez y así, |(sn + tn ) − (a + b)| ≤ |sn − a| + |tn − b| < ε/2 + ε/2 = ε. b) Si c = 0 el resultado es trivial. Suponer por tanto c 6= 0. Usamos la definición de convergencia de (sn ) y así, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 , entonces |sn −a| < ε/|c|. Por tanto, |csn −ca| = |c| |sn −a| < |c|ε/|c| = ε Proposición 3.1.11. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con límites a = l´ım sn , n

b = l´ım tn . n

Entonces (sn · tn ) es convergente y tiene límite a · b. Demostración. Como (sn ) es convergente, está acotada por la proposición 3.1.7 y existe K > 0 tal que |sn | ≤ K, ∀n ∈ N. ε Sea ε > 0. Como (sn ) converge, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 entonces |sn − a| < 2|b|+1 . Por ε otra parte, como (tn ) converge, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 entonces |tn − b| < 2K . Finalmente, si N = m´ax{N1 , N2 } y n > N, se tiene ε ε |sntn − ab| = |sntn − sn b + sn b − ab| ≤ |sn | |tn − b| + |b| |sn − a| ≤ K + |b| 0. Sea K > 0 tal que |sn | ≤ K, ∀n ∈ N. Usando la definición de convergencia de tn para ε/K, se tiene que existe N1 ∈ N tal que si n > N1 entonces |tn | < ε/K. Por tanto, |sn · tn | ≤ Kε/K = ε. Ejemplo. La sucesión de término n-ésimo posición 3.1.12)

(−1)n n

converge a 0 (tómese sn = (−1)n , tn =

1 n

en la pro-

Lema 3.1.13. Sea (tn ) una sucesión convergente con límite b 6= 0. Fijado r de modo que 0 < r < |b|, existe m ∈ N tal que para n ∈ N se verifica |tn | > r

siempre que n > m.

tn > r

siempre que n > m

Precisando más: si b > 0, es y si b < 0, tn < −r

siempre que n > m.

Demostración. Es consecuencia inmediata de la proposición 3.1.3. Proposición 3.1.14. Sea (sn ) una sucesión convergente con límite a y (tn ) una sucesión convergente con límite b 6= 0. Si (un ) es una sucesión tal que un =

sn tn

siempre que tn 6= 0,

entonces (un ) es convergente con límite a/b. Demostración. Sea ε > 0. Relacionamos la definición de límite del cociente con el límite de cada una de las sucesiones de la forma siguiente: sn a sn b − tn a |sn b − tn a| |sn b + sntn − sntn − tn a| |sn | |tn − b| + |tn | |sn − a| − = ≤ tn b btn = |b||tn | = |b||tn | |b||tn | Primeramente, usando el lema 3.1.13 con r = |b|/2, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 , se tiene |tn | > |b|/2. Ahora, por la proposición 3.1.7, existen constantes K1 , K2 > 0 tales que |sn | < K1 y |tn | < K2 para todo n ∈ N. Por otra parte, aplicamos la definición de límite de sn , y así existe N2 ∈ N tal que ε|b|2 . Análogamente para tn , existe N3 ∈ N tal que si n > N3 entonces si n > N2 entonces |sn − a| < 4K2 ε|b|2 |tn − b| < . Finalmente, si n > m´ax{N1 , N2 , N3 } todas las acotaciones se verifican y 4K1 2 ε|b|2 sn a |sn | |tn − b| + |tn | |sn − a| K1 ε|b| 4K1 + K2 4K2 − ≤ < =ε tn b |tn ||b| |b||b|/2

Corolario 3.1.15. Sea (sn ) una sucesión convergente con límite a y (tn ) una sucesión convergente sin términos nulos y con límite b 6= 0. Entonces la sucesión (sn /tn ) es convergente y l´ım n

sn a = . tn b

3.1. Sucesiones convergentes Ejemplos.

45

a) La sucesión de término n-ésimo 1+2+···+n n2

converge a 1/2: basta observar que 1+2+···+n = n2

n(n+1) 2 n2

1 1 = (1 + ). 2 n

b) La sucesión de término n-ésimo 1h 2
2 n − 1
2 i 1
2 + a+ +···+ a+ a+ n n n n converge al número a2 + a + 13 (¿por qué?). c) Si (sn ) es una sucesión cuyos términos son todos no negativos, convergente y con límite a, √ √ entonces la sucesión ( sn ) es convergente con límite a. En el caso a = 0, esto se deduce inmediatamente de la definición de límite; en el caso a 6= 0, se deduce de √ √ sn − a √ sn − a = √ sn + a √ √ y de que (sn − a) converge a 0, mientras que 1/( sn + a) está acotada: 1 1 √ ≤√ . 0< √ sn + a a d) La sucesión de término n-ésimo

√ 1+n−1 n

converge a 0 (¿por qué?). e) La sucesión de término n-ésimo

√ √ n2 + 1 + n √ 4 3 n +n−n

converge (¿a qué límite? ¿por qué?). f) La sucesión de término n-ésimo

√ √ n+1− n

converge (¿a qué límite? ¿por qué?). g) La sucesión (sn ) con 1 1 1 1 + + +···+ 1·2 2·3 3·4 n(n + 1)  1 1 = 1k − k+1 =⇒ sn = 1 − n+1 →1 . sn =

converge a 1



1 k(k+1)

46

3.1.4.

Capítulo 3. Sucesiones de números reales

Desigualdades y límites. Regla del sandwich

Proposición 3.1.16. Si (sn ) y (tn ) son dos sucesiones convergentes y existe un m tal que s n ≤ tn

para todo n > m,

entonces l´ım sn ≤ l´ım tn . n

n

Demostración. La sucesión tn − sn cumple la desigualdad 0 ≤ tn − sn para todo n > m y converge a l´ımn tn − l´ımn sn . Por el corolario 3.1.4, 0 ≤ l´ımn tn − l´ımn sn , es decir, l´ımn sn ≤ l´ımn tn . Ahora podemos enunciar cómodamente una versión del teorema de los intervalos encajados de Cantor con una condición sencilla para que la intersección esté formada por un solo punto. Teorema 3.1.17 (de Cantor de los intervalos encajados). Para cada n ∈ N, sea In = [an , bn ] un intervalo cerrado (no vacío). Supongamos que para todo n se cumple In+1 ⊆ In , es decir, an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn , y que además l´ım(bn − an ) = 0. n

Entonces

T

n∈N In

se reduce a un punto; en concreto, \

In = {x},

n∈N

donde x = l´ım an = l´ım bn . n

n

Demostración. Obsérvese que, por hipótesis, la sucesión (an ) es monótona no decreciente y acotada superiormente (por b1 , por ejemplo), luego, por la proposición 3.1.9, converge a un número real x. Análogamente, la sucesión (bn ) converge a un número real r y por la proposición 3.1.16, es an ≤ x ≤ r ≤ bn para todo n ∈ N. Ahora, la condición l´ımn (bn − an ) = 0 asegura que x = r y que {x} = ∩n∈N In . Proposición 3.1.18 (regla del sandwich o de encajamiento). Sean (sn ), (tn ) y (un ) sucesiones tales que existe un m ∈ N de manera que sn ≤ tn ≤ un para todo n > m. Si (sn ) y (un ) son sucesiones convergentes y con el mismo límite a, es decir, l´ım sn = l´ım un = a, n

n

entonces (tn ) es también convergente y tiene el mismo límite a, es decir, l´ım tn = a. n

Demostración. Sea ε > 0. Por la definición de límite existe N1 ∈ N tal que si n > N1 entonces |sn −a| < ε, es decir, a − ε < sn < a + ε. Análogamente, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 entonces a − ε < un < a + ε. Entonces si n > m´ax{m, N1 , N2 } se tiene a − ε < sn ≤ tn ≤ un < a + ε, es decir, |tn − a| < ε.

3.1. Sucesiones convergentes Ejemplos.

47

a) Se verifica 1 1 1 √ +√ +···+ √ → 1, n2 + 1 n2 + 2 n2 + n

pues podemos encajar la sucesión entre n √ n2 + n

y

n √ . n2 + 1

b) Comprobando que la sucesión de término n-ésimo n+1 n+2 n+n + 2 +···+ 2 2 n +1 n +2 n +n está encajada entre n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) n2 + 12 n(n + 1) n+1 + + · · · + = = n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n y n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) n2 + 12 n(n + 1) n+1 + + · · · + = = , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 se deduce que la sucesión dada converge a 23 .

3.1.5.

Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass

Eliminando términos de una sucesión podemos extraer de ella nuevas sucesiones, cuyos términos aparecen en la sucesión original en el mismo orden (tal vez no en el mismo lugar) que en la nueva: es decir, vamos tomando infinitos términos, saltando algunos quizá, pero sin volver atrás. Por ejemplo, dada una sucesión s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , . . . , si nos quedamos con los términos que ocupan lugar impar (eliminando los que ocupan lugar par), obtenemos una nueva sucesión s1 , s3 , s5 , s7 , s9 , . . . , cuyo término n-ésimo es s2n−1 ; si nos quedamos con los términos que ocupan lugar par (eliminando los que ocupan lugar impar), obtenemos la nueva sucesión s2 , s4 , s6 , s8 , s10 , . . . , cuyo término n-ésimo es s2n . Podemos imaginar fácilmente otras muchas maneras de extraer sucesiones de la sucesión inicial con este procedimiento. Se obtienen así lo que se llaman subsucesiones de la sucesión dada; como iremos viendo a lo largo del curso, el manejo de subsucesiones facilita habitualmente el estudio de la sucesión original, y permite demostrar varias propiedades esenciales de la teoría de funciones reales de variable real. Pasemos a formalizar este concepto. Definición 3.1.19. Dada una sucesión (sn ), se dice que otra sucesión (tn ) es una subsucesión de (sn ) si existe una función ϕ : N −→ N estrictamente creciente, es decir, ϕ(1) < ϕ(2) < ϕ(3) < · · · < ϕ(n) < ϕ(n + 1) < · · · de manera que para todo n ∈ N es tn = sϕ(n) . Ejemplos. ([BARTLE -S HERBERT, pág. 110], [ROSS, págs. 48–51])

48

Capítulo 3. Sucesiones de números reales a) Sea n0 ∈ N. Tomando ϕ(n) = n + n0 en la definición anterior, se obtiene la subsucesión sn0 +1 , sn0 +2 , sn0 +3 , sn0 +4 , sn0 +5 , sn0 +6 , sn0 +7 , . . . , que resulta de la original suprimiendo los n0 primeros términos. b) La sucesión de término n-ésimo tn = 4n2 es una subsucesión de la sucesión de término n-ésimo sn = (−1)n n2 , como se ve tomando ϕ(n) = 2n.

∞ c) La sucesión 1, 31 , 12 , 41 , 15 , 16 , 71 , . . . no es una subsucesión de n1 n=1 . Tienen los mismos térmi  n+1 nos, pero no en el mismo orden. La sucesión 1, 0, 13 , 0, 15 , 0, 17 , 0, . . . , 1+(−1) , . . . tampoco es 2n
∞ una subsucesión de n1 n=1 . d) Toda sucesión es una subsucesión de sí misma (reflexividad). También hay transitividad: si (un ) es una subsucesión de (tn ) y (tn ) es una subsucesión de (sn ), a su vez (un ) es una subsucesión de (sn ).

Proposición 3.1.20. Toda subsucesión de una sucesión convergente es también convergente y tiene el mismo límite. Demostración. Es una consecuencia inmediata de la definición de límite. Aplicaciones. a) Ya vimos, con cierto esfuerzo, que ((−1)n ) no es una sucesión convergente. Ahora es inmediato: la subsucesión de sus términos de lugar par converge a 1, la subsucesión de sus términos de lugar impar converge a −1. b) Para x ∈ [0, 1), la sucesión (xn ) converge a 0: puesto que
es convergente, según probamos, y si l´ım xn = a, vemos que l´ım xn+1 = a · x. Pero xn+1 es una subsucesión de (xn ) (la que n

n

corresponde a ϕ(n) = n + 1 en la definición), luego también l´ım xn+1 = a, de donde a · x = a y n como x 6= 1, finalmente a = 0. ¿Por qué no podemos utilizar estos cálculos si x > 1? c) La enumeración diagonal de todos los números racionales forma una sucesión que no es convergente: tiene subsucesiones convergentes a cualquier número real (ver [ROSS, págs. 49–50]). Proposición 3.1.21. Una sucesión (sn ) es convergente si y solo si la subsucesión de términos de lugar par (s2n ) y la subsucesión de términos de lugar impar (s2n−1 ) son ambas convergentes y tienen el mismo límite. Demostración. Por la proposición 3.1.20 basta con demostrar que si s2n → a ∈ R y s2n−1 → a entonces sn → a. Sea ε > 0. Por la definición de límite existen N1 , N2 ∈ N tales que: a) si k > N1 es |s2k − a| < ε; b) si k > N2 es |s2k−1 − a| < ε. Ahora si n > m´ax{2N1 , 2N2 − 1} se tiene, tanto si n es par como impar que |sn − a| < ε. Lema 3.1.22. Toda sucesión posee una subsucesión monótona. Demostración. Véase [S PIVAK, pág. 622]. Con ayuda del teorema de Cantor de los intervalos encajados (teorema 3.1.17) o bien del lema 3.1.22, puede demostrarse el siguiente resultado: Teorema 3.1.23 (de Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente.

3.2. Límites infinitos

49

Demostración. Sea (sn ) una sucesión acotada y K > 0 de forma que −K ≤ sn ≤ K para todo n ∈ N. Vamos construyendo la subsucesión de la siguiente forma: bien en [0, K], bien en [−K, 0], habrá infinitos términos de la sucesión (quizá incluso en los dos). Supongamos que en I1 = [0, K] hay infinitos términos y elijamos cualquier elemento sϕ(1) ∈ I1 . De nuevo repetimos la idea y, o bien en [0, K/2] o en [K/2, K], habrá infinitos términos de la sucesión. Nos quedamos uno de los intervalos que contenga infinitos sn ; supongamos, por ejemplo, que es I2 = [K/2, K]. Elegimos un elemento sϕ(2) ∈ I2 que además cumpla ϕ(2) > ϕ(1). Observemos que I2 ⊆ I1 . El siguiente paso es de nuevo subdividir I2 en dos mitades, [K/2, 3K/4] y [3K/4, K], elegir una mitad I3 que contenga infinitos términos de la sucesión y seleccionar un nuevo sϕ(3) ∈ I3 con ϕ(3) > ϕ(2). Construimos de esa forma una sucesión de intervalos cerrados encajados I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . y una subsucesión (sϕ(n) ) de (sn ) con sϕ(n) ∈ In para todo n ∈ N. Por comodidad escribimos In = [an , bn ] con lo que an ≤ sϕ(n) ≤ bn para todo n ∈ N y además, como la longitud de cada In es K/2n , se tiene bn − an = K/2n → 0. Por tanto podemos aplicar el teorema 3.1.17 de los intervalos encajados y asegurar la existencia de x ∈ R tal que x = l´ım an = l´ım bn . Pero por la regla de sandwich (proposición 3.1.18) tenemos que sϕ(n) → x. n

3.1.6.

n

Sucesiones de Cauchy

Definición 3.1.24. Una sucesión (sn )∞ n=1 se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe algún N ∈ N (que puede depender de ε) de modo que n, m > N =⇒ |sn − sm | < ε. Lema 3.1.25. Toda sucesión de Cauchy está acotada. Demostración. La definición, usada para ε = 1, asegura la existencia de N ∈ N de modo que si n > N, entonces |sn − sN+1 | < 1, es decir, sN+1 − 1 < sn < sN+1 + 1. La sucesión (sn ) está acotada inferiormente por m´ın{s1 , . . . , sN , sN+1 − 1} y superiormente por m´ax{s1 , . . . , sN , sN+1 + 1}. Proposición 3.1.26. Una sucesión es convergente si y solo si es de Cauchy. Demostración. Sea sn → a ∈ R. Sea ε > 0. Por definición de límite, existe N ∈ N de modo que si n > N, entonces |sn − a| < ε/2. Por tanto, si n, m > N es |sn − sm | = |sn − a + a − sm | ≤ |sn − a| + |sm − a| < ε/2 + ε/2 = ε. Recíprocamente, sea (sn ) una sucesión de Cauchy. Puesto que está acotada (lema 3.1.25), el teorema 3.1.23 de Bolzano-Weierstrass asegura la existencia de una subsucesión (sϕ(n) ) convergente a un cierto a ∈ R. Dado ε > 0, existe N ∈ N de modo que si n, m > N, entonces |sn − sm | < ε/2. En particular se tiene |sn − sϕ(m) | < ε/2. Ahora, tomando límite en m se llega a que, si n > N es |sn − a| ≤ ε/2 < ε.

3.2.

Límites infinitos

3.2.1.

Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes

Definición 3.2.1. Decimos que una sucesión (sn ) diverge a +∞, y escribimos l´ım sn = +∞, si para n todo M ∈ R existe algún N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn > M. Decimos que una sucesión (sn ) diverge a −∞, y escribimos l´ım sn = −∞, si para todo M ∈ R n existe N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn < M. Una sucesión divergente es una sucesión que diverge a +∞ o a −∞. Las sucesiones que no son convergentes ni divergentes se denominan sucesiones oscilantes. Nota. Se sigue directamente de la definición que una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si su opuesta (−sn ) diverge a −∞.

50

Capítulo 3. Sucesiones de números reales M s2

s4

s3

s5

s1 s6

s7

...

sn > M para n > 5

Observación. En la definición de sucesión que diverge a +∞, en lugar de M ∈ R se puede poner M > 0; y en la definición de sucesión que diverge a −∞ se puede poner M > 0: a) Una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si para todo M > 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn > M. b) Una sucesión (sn ) diverge a −∞ si y solo si para todo M < 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn < M. Notas. a) En lo sucesivo, diremos que una sucesión tiene límite si es convergente o divergente, es decir, si no es oscilante. Obsérvese que el límite (en este sentido ampliado) sigue siendo único: si a, b ∈ R ∪ {+∞, −∞} y l´ımn sn = a, l´ımn sn = b, es a = b. A veces nos referiremos a las sucesiones convergentes como sucesiones con límite finito y a las divergentes como sucesiones con límite infinito. b) Si una sucesión diverge, no está acotada. Pero hay sucesiones no acotadas que oscilan, no son divergentes. Proposición 3.2.2. a) Sea (sn ) una sucesión monótona no decreciente. Si no está acotada superiormente, (sn ) diverge a +∞, l´ım sn = +∞. n

b) Sea (sn ) una sucesión monótona no creciente. Si no está acotada inferiormente, (sn ) diverge a −∞, l´ım sn = −∞. n

Demostración. Es consecuencia directa de las definiciones. Corolario 3.2.3. Toda sucesión monótona tiene límite (finito si está acotada, infinito en caso contrario). Ejemplo. Ya vimos que la sucesión de término n-ésimo 1 1 1 Hn = 1 + + + · · · + 2 3 n es monótona estrictamente creciente y no está acotada superiormente. Luego diverge a +∞. Proposición 3.2.4.

a) Toda subsucesión de una sucesión divergente a +∞ es divergente a +∞.

b) Toda subsucesión de una sucesión divergente a −∞ es divergente a −∞. Demostración. Es consecuencia directa de la definición de límite. Proposición 3.2.5. a) Una sucesión posee una subsucesión divergente a +∞ si y solo si no está acotada superiormente. b) Una sucesión posee una subsucesión divergente a −∞ si y solo si no está acotada inferiormente.

3.2. Límites infinitos

51

c) Una sucesión posee una subsucesión divergente si y solo si no está acotada. Demostración. Es consecuencia directa de las definiciones. Proposición 3.2.6. a) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión acotada inferiormente, la sucesión (sn + tn ) diverge a +∞. b) ) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión acotada superiormente, la sucesión (sn + tn ) diverge a −∞. Demostración. a) Por la definición de acotación inferior existe K ∈ R tal que tn > K para todo n ∈ N. Ahora sea M ∈ R. Por definición de límite existe N ∈ N tal que si n > N se tiene sn > M − K. Por tanto, si n > N es sn + tn > M − K + K = M. El caso b) es completamente análogo. Corolario 3.2.7. a) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente o divergente a +∞, la sucesión (sn + tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ R ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn + tn ) = +∞. n

n

n

b) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión convergente o divergente a −∞, la sucesión (sn + tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ R ∪ {−∞} =⇒ l´ım(sn + tn ) = −∞. n

n

n

Demostración. Observar, en el caso a), que tn está acotada inferiormente y podemos aplicar la proposición 3.2.6. El apartado b) es análogo. Nota. La suma de una sucesión divergente a +∞ con una sucesión divergente a −∞ puede resultar convergente, puede resultar divergente a +∞, puede resultar divergente a −∞ y puede resultar oscilante. Proposición 3.2.8. a) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión para la que existen r > 0 y m tales que tn > r siempre que n > m, la sucesión (sn · tn ) diverge a +∞. b) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión para la que existen r > 0 y m tales que tn > r siempre que n > m, la sucesión (sn · tn ) diverge a −∞. c) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión para la que existen r > 0 y m tales que tn < −r siempre que n > m, la sucesión (sn · tn ) diverge a −∞. d) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión para la que existen r > 0 y m tales que tn < −r siempre que n > m, la sucesión (sn · tn ) diverge a +∞. Demostración. a) Sea M > 0. Como sn → +∞ existe N ∈ N tal que si n > N es sn > M/r. Por tanto, si n > m´ax{m, N} se tiene sntn > M/r · r = M. Los apartados b), c) y d) se demuestran de manera completamente análoga.

52

Capítulo 3. Sucesiones de números reales

Corolario 3.2.9. a) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite positivo o divergente a +∞, la sucesión (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn · tn ) = +∞. n

n

n

b) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite positivo o divergente a +∞, la sucesión (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn · tn ) = −∞. n

n

n

c) Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite negativo o divergente a −∞, la sucesión (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´ım(sn · tn ) = −∞. n

n

n

d) Si (sn ) es una sucesión divergente a −∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite negativo o divergente a −∞, la sucesión (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´ım(sn · tn ) = +∞. n

n

n

Demostración. Es consecuencia directa de la proposición 3.2.8 y la proposición 3.1.3. Nota. El producto de una sucesión divergente a +∞ o a −∞ por una sucesión convergente a 0 puede resultar convergente, divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante. Proposición 3.2.10 (inversas de sucesiones divergentes). a) Una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un número finito de términos no positivos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn > 0 siempre que n > m l´ım sn = +∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 b) Una sucesión (sn ) diverge a −∞ si y solo si tiene como mucho un número finito de términos no negativos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn < 0 siempre que n > m l´ım sn = −∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 c) La sucesión de valores absolutos de una sucesión (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un número finito de términos no nulos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn 6= 0 siempre que n > m l´ım |sn | = +∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 Demostración. a) Suponemos primeramente que sn → +∞. Por definición de límite, si n > N1 es sn > 0, es decir, tiene como mucho un número finito de términos no positivos. Ahora, para ver que s−1 n → 0, fijamos ε > 0. De nuevo por hipótesis, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 es sn > 1/ε. Luego si n > m´ax{N1 , N2 } se tiene s−1 n < ε. Recíprocamente,supongamos que sn > 0 si n > N1 y que s−1 n → 0. Para ver que sn → +∞ fijamos M > 0. Por definición de límite, existe N2 ∈ N tal que si n > N2 es s−1 n < 1/M. Luego si n > m´ax{N1 , N2 } se tiene sn > M. Los otros apartados se demuestran análogamente.

3.2. Límites infinitos

53

Es fácil comprobar que una sucesión (sn ) converge a 0 si y solo si la sucesión (|sn |) de sus valores absolutos converge a 0. En efecto, ambas propiedades equivalen a que para todo ε > 0 exista un N tal que |sn | < ε para n > N. En general, sin embargo, solo puede afirmarse que si (sn ) es convergente con límite a, entonces (|sn |) es convergente con límite |a|; el recíproco no siempre es cierto si a 6= 0. De esto se deduce: Corolario 3.2.11. Una sucesión (sn ) sin términos nulos converge a 0 si y solo si la sucesión (1/|sn |) de los valores absolutos de los inversos diverge a +∞: en símbolos, si sn 6= 0 para todo n, l´ım sn = 0 ⇐⇒ l´ım n

Observación. Como Una muestra:

sn tn

n

1 = +∞. |sn |

= sn · t1n , el estudio de cocientes se reduce fácilmente a los casos anteriores.

Corolario 3.2.12. Si (sn ) es una sucesión divergente a +∞ y (tn ) es una sucesión convergente con límite positivo o una convergente a 0 que tiene a lo más un número finito de términos no  sucesión  sn positivos, entonces tn es una sucesión divergente a +∞.
Nota. Si la sucesión cociente stnn está definida, puede ser convergente, divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, si estamos en alguno de los dos casos siguientes: a) (sn ) y (tn ) convergen a 0; b) l´ım |sn | = l´ım |tn | = +∞. Si (sn ) tiene límite no nulo (finito o infinito) y (tn ) converge a 0, su cociente es divergente salvo en el caso de que tenga infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Proposición 3.2.13 (encajamiento de sucesiones divergentes). Dadas dos sucesiones (sn ) y (tn ) para las que existe un m tal que s n ≤ tn siempre que n > m, se verifica: a) si (sn ) diverge a +∞, también (tn ) diverge a +∞: l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım tn = +∞. n

n

b) si (tn ) diverge a −∞, también (sn ) diverge a −∞: l´ım tn = −∞ =⇒ l´ım sn = −∞. n

n

Demostración. a) Es consecuencia directa de la definición. Si dado M ∈ R existe N ∈ N de modo que si n > N es sn > M, tambien se tiene tn ≥ sn > M. Análogamente se comprueba el apartado b).

3.2.2.

La recta ampliada

Los resultados anteriores sugieren ampliar al conjunto R = R ∪ {+∞, −∞} la estructura de orden de R, y (parcialmente) sus operaciones algebraicas. Concretamente: a) Para todo x ∈ R, −∞ ≤ x ≤ +∞.

54

Capítulo 3. Sucesiones de números reales b) Para todo x ∈ R distinto de −∞, (+∞) + x = x + (+∞) = +∞. c) Para todo x ∈ R distinto de +∞, (−∞) + x = x + (−∞) = −∞; quedan sin definir (+∞) + (−∞) y (−∞) + (+∞). d) −(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞. e) Para x, y ∈ R, x − y = x + (−y) siempre que la suma tenga sentido; quedan sin definir (+∞) − (+∞) y (−∞) − (−∞). f) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (+∞) · x = x · (+∞) = +∞. g) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (+∞) · x = x · (+∞) = −∞. h) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (−∞) · x = x · (−∞) = −∞. i) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (−∞) · x = x · (−∞) = +∞; quedan sin definir (+∞) · 0, 0 · (+∞), (−∞) · 0 y 0 · (−∞). j)

1 +∞

=

1 −∞

= 0.

k) Para x, y ∈ R,

  x 1 = x· y y

siempre que el producto tenga sentido; quedan sin definir +∞ +∞ −∞ x ∈ R, así como +∞ , −∞ , +∞ , y −∞ −∞ .

1 0

y por tanto

x 0

cualquiera que sea

l) | + ∞| = | − ∞| = +∞. Con la estructura resultante, R suele denominarse la recta ampliada. Observación. En R puede hablarse también de cotas superiores e inferiores de un conjunto no vacío, y de supremo, ínfimo, máximo y mínimo. Todo subconjunto no vacío de R tiene siempre supremo (cota superior mínima) e ínfimo (cota inferior máxima) en R. Notas. a) Dados dos elementos cualesquiera x, y ∈ R tales que x < y, se puede encontrar siempre un número real z que cumple x < z < y; en otras palabras, todo intervalo (x, y) ⊆ R contiene números reales.

3.2. Límites infinitos

55

b) Dados x, y, z ∈ R, se tiene x ≥ y =⇒ x + z ≥ y + z siempre que las sumas estén definidas. c) Para todo x de R se tiene (−1) · x = −x. d) Se siguen verificando en R las propiedades del valor absoluto en todos los casos en que tengan sentido. Teorema 3.2.14. Dada una sucesión (sn ) con límite a (finito o infinito) y una sucesión (tn ) con límite b (finito o infinito), se tiene: a) si a + b está definido en R, (sn + tn ) tiene límite a + b. b) si a − b está definido en R, (sn − tn ) tiene límite a − b. c) si a · b está definido en R, (sn · tn ) tiene límite a · b. d) si a/b está definido en R, (sn /tn ) tiene límite a/b.

3.2.3.

Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilación

Definición 3.2.15. Sea (sn ) una sucesión acotada superiormente. La sucesión (xn ) de números reales definida por xn = sup{sk : k ≥ n} es monótona no creciente, por lo que tiene límite (que puede ser finito o −∞). Dicho límite recibe el nombre de límite superior de la sucesión (sn ). Se denota por l´ım sup sn , de modo que n

! l´ım sup sn = l´ım sup sk n

n

! = ´ınf sup sk . n

k≥n

k≥n

Si (sn ) no está acotada superiormente, se define l´ım sup sn = +∞. n

a s4

s5

s3

s1

s2

El límite superior es a

Definición 3.2.16. Sea (sn ) una sucesión acotada inferiormente. La sucesión (yn ) de números reales definida por yn = ´ınf{sk : k ≥ n} es monótona no decreciente, por lo que tiene límite (que puede ser finito o +∞). Dicho límite recibe el nombre de límite inferior de la sucesión (sn ). Se denota por l´ım inf sn , de modo que n     l´ım inf sn = l´ım ´ınf sk = sup ´ınf sk . n

n

k≥n

Si (sn ) no está acotada inferiormente, se define l´ım inf sn = −∞. n

n

k≥n

56

Capítulo 3. Sucesiones de números reales

Nota. Una consecuencia inmediata de la definición es que siempre l´ım inf sn ≤ l´ım sup sn . n

n

Ejemplos. Pueden examinarse las siguientes sucesiones (en algunos casos no es sencillo demostrar con rigor cuáles son el límite superior y el inferior): a) l´ım inf(−1)n = −1, l´ım sup(−1)n = 1. n

n

b) l´ım inf(−1)n n = −∞, l´ım sup(−1)n n = +∞. n

c) l´ım inf n

n

(−1)n (−1)n = 0, l´ım sup = 0. n n n

d) l´ım inf sen n = −1, l´ım sup sen n = 1. n

n

e) (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .); el límite inferior es 0 y el límite superior es 1. f) (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .); el límite inferior es 0 y el límite superior es +∞. g) (0, 21 , 0, 13 , 0, 41 , . . .); el límite inferior es 0 y el límite superior es 0, también. h) (a, b, c, a, b, c, . . .); el límite inferior es m´ın{a, b, c} y el límite superior es m´ax{a, b, c}. Proposición 3.2.17. Dada una sucesión (sn ), se tiene: a) (sn ) es convergente con límite a si y solo si l´ım inf sn = l´ım sup sn = a. n

n

b) (sn ) es divergente a +∞ si y solo si l´ım inf sn = +∞, n

y en tal caso también l´ım sup sn = +∞. n

c) (sn ) es divergente a −∞ si y solo si l´ım sup sn = −∞, n

y en tal caso también l´ım inf sn = −∞. n

Demostración. a) Pongamos, para cada n ∈ N, xn = sup{sk : k ≥ n},

yn = ´ınf{sk : k ≥ n}.

(3.1)

Está claro que yn ≤ sn ≤ xn . Como l´ım inf sn = l´ım yn y l´ım sup sn = l´ım xn , si l´ım inf sn = l´ım sup sn = n

n

n

n

n

n

a ∈ R, basta aplicar la regla del sandwich (proposición 3.1.18) para obtener que (sn ) es convergente con límite a. Recíprocamente, si (sn ) es convergente con límite a, dado ε > 0 hay un N tal que para todo n > N es ε ε a − < sn < a + , 2 2

3.2. Límites infinitos

57

con lo que para todo n > N el conjunto {sk : k ≥ n} está acotado superiormente por a + ε2 e inferiormente por a − ε2 , y así para todo n > N es a−ε < a−

ε ε ≤ yn ≤ xn ≤ a + < a + ε, 2 2

y en definitiva, l´ım inf sn = l´ım yn = a = l´ım xn = l´ım sup sn . n

n

n

n

b) Para que l´ım inf sn = +∞, la sucesión (sn ) debe estar acotada inferiormente y, usando la non

tación (3.1), debe ser l´ım yn = +∞. Como yn ≤ sn , esto obliga a que (sn ) sea también divergente a n +∞. Recíprocamente, si (sn ) diverge a +∞ entonces no está acotada superiormente y por definición es l´ım sup sn = +∞. También es l´ım inf sn = +∞, ya que dado M ∈ R existe un N tal que para todo n > N n

n

se verifica sn > M + 1, con lo que yn ≥ yN ≥ M + 1 > M, es decir, l´ım yn = +∞. n c) Razonamiento análogo al anterior. Corolario 3.2.18. Una sucesión (sn ) tiene límite (en R) si y solo si l´ım inf sn = l´ım sup sn . n

n

Y en este caso, el límite es igual al límite superior y al límite inferior. La sucesión (sn ) es oscilante si y solo si l´ım inf sn < l´ım sup sn . n

n

Demostración. Consecuencia inmediata de la proposición 3.2.17. Una descripción interesante de los límites superior e inferior se expresa mediante el siguiente concepto. Definición 3.2.19. Se dice que un número a ∈ R es un límite de oscilación de una sucesión (sn ) si a es límite de alguna subsucesión de (sn ). Corolario 3.2.20. Toda sucesión tiene al menos un límite de oscilación. Demostración. Toda sucesión tiene una subsucesión monótona, y esta tiene límite (finito o infinito). Proposición 3.2.21. El límite superior de una sucesión es el máximo (en R) de sus límites de oscilación. El límite inferior de una sucesión es el mínimo (en R) de sus límites de oscilación. Demostración. Sea (sn ) sucesión. Veamos primeramente que el límite superior (y análogamente se vería el límite inferior) es límite de oscilación. Caso 1: supongamos que l´ım sup sn = s ∈ R. Sea xn = sup sk con lo que s = ´ınf xn . Ahora, por la k≥n

n

definición de ínfimo, existe N1 ∈ N tal que si n > N1 es s − 1 < xn < s + 1, y por la definición de supremo, existe ϕ(1) ∈ N tal que s − 1 < sϕ(1) < s + 1. Repitiendo la misma idea, existe ϕ(2) > ϕ(1) tal que s − 1/2 < sϕ(2) < s + 1/2, y en general existe ϕ(n) > . . . > ϕ(1) tal que s − 1/n < sϕ(n) < s + 1/n. Claramente, por la regla del sandwich, la subsucesión sϕ(n) converge a s. Caso 2: ahora supongamos que l´ım sup sn = +∞. Con la notación anterior, y puesto que (xn ) es no creciente, se tiene xn = +∞ para todo n ∈ N. Como consecuencia, para cada n ∈ N existe sϕ(n) tal que sϕ(n) > n. Además, se puede suponer que ϕ(n) > . . . > ϕ(1). Por lo tanto, sϕ(n) → +∞. Obsérvese que el caso l´ım sup sn = −∞ queda cubierto por la proposición 3.2.17. Para finalizar basta demostrar que cualquier otro límite de oscilación de (sn ) está entre el límite superior y el inferior. Sea (sϕ(n) ) subsucesión convergente a un límite de oscilación. Claramente, con la notación de la definición, yn ≤ sϕ(n) ≤ xn y tomando límites se tiene la tesis del enunciado.

58

Capítulo 3. Sucesiones de números reales Otras propiedades de los límites superior e inferior se recogen en el siguiente enunciado.

Proposición 3.2.22. Sean (sn ), (tn ) sucesiones de números reales y c ∈ R. a) si l´ım sup sn < c, existe un n0 tal que sn < c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un número finito n

de términos de la sucesión mayores o iguales que c). b) si l´ım sup sn > c, existen infinitos n para los que sn > c. n

c) si l´ım inf sn > c, existe un n0 tal que sn > c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un número finito n de términos de la sucesión menores o iguales que c). d) si l´ım inf sn < c, existen infinitos n para los que sn < c. n

e) si para algún m es sn ≤ tn siempre que n > m, entonces l´ım inf sn ≤ l´ım inf tn ; n

l´ım sup sn ≤ l´ım sup tn .

n

n

n

f) l´ım inf sn + l´ım inf tn ≤ l´ım inf(sn + tn ) ≤ l´ım inf sn + l´ım sup tn n

n

n

n

n

≤ l´ım sup(sn + tn ) ≤ l´ım sup sn + l´ım sup tn . n

n

n

g) si c ≥ 0, l´ım inf(csn ) = c l´ım inf sn ; n

l´ım sup(csn ) = c l´ım sup sn .

n

n

n

h) si c < 0, l´ım inf(csn ) = c l´ım sup sn ; n

l´ım sup(csn ) = c l´ım inf sn .

n

n

n

i) si sn ≥ 0, tn ≥ 0, l´ım inf sn · l´ım inf tn ≤ l´ım inf(sntn ) ≤ l´ım inf sn · l´ım sup tn ≤ l´ım sup(sntn ) ≤ l´ım sup sn · l´ım sup tn . n

n

n

n

n

n

n

n

j) si sn > 0 para todo n, l´ım inf n

3.3.

√ √ sn+1 sn+1 ≤ l´ım inf n sn ≤ l´ım sup n sn ≤ l´ım sup . n sn sn n n

Límites de sucesiones y funciones elementales

Si f (x) representa una cualquiera de las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x, arc tg x, xr , entonces l´ım sn = a =⇒ l´ım f (sn ) = f (a) n

n

para cualquier punto a del dominio de la función y cualquier sucesión sn contenida en el dominio de la función. Otros límites son los siguientes: l´ım sn = −∞ =⇒ l´ım esn = 0 n

n

l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım esn = +∞ n

n

3.4. Ejercicios

59

l´ım sn = 0, sn > 0 para todo n =⇒ l´ım log sn = −∞ n

n

l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım log sn = +∞ n

n

l´ım sn = −∞ =⇒ l´ım arc tg sn = − π2 n

n

l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım arc tg sn = n

n

π 2

( 0, si r > 0 l´ım sn = 0, sn > 0 para todo n =⇒ l´ım srn = n n +∞, si r < 0 ( +∞, si r > 0 l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım srn = n n 0, si r < 0 Si f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar 6= 0), entonces l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım f (sn ) = +∞

(si ar > 0),

l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım f (sn ) = −∞

(si ar < 0).

n

n

n

n

Definición 3.3.1. Sean (sn ) y (tn ) dos sucesiones. Decimos que las dos sucesiones son equivalentes y escribimos sn ∼ tn si se verifica l´ım n

sn = 1. tn

Las principales equivalencias de sucesiones son: • Si sn → 0, esn − 1 ∼ sn

log(1 + sn ) ∼ sn 1 1 − cos sn ∼ s2n 2

sen sn ∼ sn

• Sea f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 , con ar 6= 0; si sn → +∞, f (sn ) ∼ ar srn , log f (sn ) ∼ r log sn

(si ar > 0).

√ • Fórmula de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn.

3.4.

Ejercicios

Ejercicio 3.1. ¿Para qué valores de a ∈ R es (an ) una subsucesión de
1 ¿Y de 2n−1 ? Ejercicio 3.2. Estudiar el límite de la sucesión 4 + 3 9 − 4 16 + 5 25 − 6 , , , ,... 1·3 2·4 3·5 4·6 Ejercicio 3.3. Calcular el límite de las sucesiones de término general:

1 n


? ¿Y de

1 2n


? ¿Y de

1 2n


?

60

Capítulo 3. Sucesiones de números reales

a) b) d) f) h) j)

l)

1 n

"      # 2 2 n−1 2 1 2 + a+ +···+ a+ a+ n n n

(12 + 22 + · · · + n2 )2 (1 + 2 + · · · + n)3 √ 2 √ 3 3 n−4 5 n √ √ 3 n − 3(4 − 5 n) √ 4n2 − 1 − (2n − 1) r  a 3 n 1+ −1 n √ √ n2 + n + 1 − 3n2 − 1 − 3n

(4n + 3) log

n+1 n−2

2 n +2 n+1 n−3 n−1 1   1 log(3/n) n n2 log n  log(n2 + 1) log(n2 − 1) √ 22n (n!)2 n (2n + 1)! p n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) n

c) e) g) i) k)

o) q) s) u) w) y) z) A) C) E)

p p √ √ n2 + n − n2 − n p p √ √ n( 3 n3 + n − 3 n3 − n) √ √ 9n2 − n − 3 27n3 − 5n2

 m)

 n)

1 + 22 + 32 + · · · + n2 1 + n + n2 + n3 √ n q p √ n+ n+ n √ √ 3 3 n + an2 − 3 n3 − an2

ñ)

n2 + 3n − 2



n3 + 2 2n2 + 1

n2 + n  4n+1 3n2 + 2n + 1 1 + log 3n2 + 5n

p)

1 (2 + 3n4 ) 3 + 2 log(n + 1)

r)

p 3 (n + a)(n + b)(n + c) − n 

2

t)

2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)

v)

1p n (3n + 1)(3n + 2) · · · (4n) n

cos 1 + cos √12 + · · · + cos √1n − n 1p + 2p + · · · + np n − (p ∈ N) x) np p+1 log(n3 + 1) p √ √ 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) √ n2 n log 1 − log 2 + log 3 − · · · + log(2n − 1) − log 2n log n √ √ √ rq


2! tg 21 + 3 3! tg 13 + · · · + n n! tg n1 √ B) n n n1 n2 · · · nn n2 + 1 1 1 1 + +···+ D) (2n + 3n )1/n 2 2 n (n + 1) (n + n)2 sen

n2 π n2 π n2 π + sen + · · · + sen 2(n2 + 1) 2(n2 + 2) 2(n2 + n)

3.4. Ejercicios

61

Ejercicio 3.4. Hallar una relación entre a, b y c para que l´ım na n

(n + 1)b − nb (n + 1)c − nc

sea real y distinto de cero. En ese caso, hallar dicho límite. Ejercicio 3.5. Discutir, según el valor de a ∈ R, la existencia y el valor de l´ım n

Ejercicio 3.6. Sea un =

an + n . an−1 + 2n

1 1 1 1 + + +···+ ; probar que existe l´ım un y está comprenn 1+n 2+n 3+n n+n

dido entre 1/2 y 1. Ejercicio 3.7. Hallar, si existe, el límite de la sucesión dada por un+1 =

n un . 2n + 1

Ejercicio 3.8. Sea (xn )∞ n=1 una sucesión. Probar que si existen l´ım x2k , l´ım x2k−1 y l´ım x3k , entonces k

k

k

existe l´ım xn y coincide con los anteriores. n

Ejercicio 3.9. Demostrar que si xn → a, entonces

x1 + x2 + · · · + xn → a. n

Ejercicio 3.10. Calcular el límite superior y el inferior de las sucesiones de término general: (−1)n 1 (−1)n a) a + b) (−1)n + c) + 1 + (−1)n n n n   (−1)n n 2n + (−1)n (n + 2) (−1)n n e) f) d) 1+ n 2n + 1 3n + 3   2n + 1 (−1)n (n + 1) n g) (−1)n 3 + h) a − n(−1) i) 3n + 2 2n + 1   2, si n es múltiplo de 4 j) sn = 0, si n es par y no es múltiplo de 4   1, si n es impar

Capítulo 4

Continuidad 4.1.

Límites de funciones reales de una variable real

4.1.1.

Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones

Definición 4.1.1. Dado a ∈ R, un conjunto V ⊆ R es un entorno de a si contiene un intervalo (a − ε, a + ε) para algún ε > 0. Si V es un entorno de a, se dice que el conjunto V \ {a} es un entorno reducido de a. Ejemplos. a) Si b < a < c, los intervalos (b, c), [b, c), (b, c] y [b, c] son entornos de a. También lo son los intervalos (b, +∞), [b, +∞), (−∞, c) y (−∞, c]. b) Todo conjunto que contenga un entorno de un punto es a su vez entorno de ese punto. Definición 4.1.2. Sea D ⊆ R, a ∈ R; a es un punto de acumulación de D si todo entorno reducido de a contiene puntos de D; equivalentemente, si para cada ε > 0 existe algún y ∈ D tal que y 6= a, |y − a| < ε, o sea, tal que 0 < |y − a| < ε. El conjunto de puntos de acumulación de un conjunto D suele denominarse conjunto derivado de D y representarse por D0 . Informalmente, a ∈ D0 si y solo si hay puntos de D, distintos de a, arbitrariamente próximos al punto a. Ejemplos.

a) Si D es finito, D0 = 0. /

b) N0 = Z0 = 0, / Q0 = R. c) (a, b)0 = [a, b]0 = [a, b]. d) Si D = {1/n : n ∈ N}, 0 ∈ D0 (aunque 0 ∈ / D) y 1 ∈ / D0 (aunque 1 ∈ D). Observación. Se puede probar que a ∈ D0 si y solo si existe una sucesión (xn ) de puntos de D distintos de a que converge al punto a. Definición 4.1.3 (límite de una función en un punto). Sea D ⊆ R, f : D → R, a ∈ D0 , b ∈ R. Se escribe l´ım f (x) = b

x→a

cuando se cumple lo siguiente: para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ se tiene | f (x) − b| < ε. Se dice entonces que b es límite de f (x) cuando x tiende al punto a. 63

64

Capítulo 4. Continuidad

2ε b

2ε b

f (a)

f (a) a 2δ

a 2δ

0 < |x − a| < δ 6⇒ | f (x) − b| < ε

0 < |x − a| < δ =⇒ | f (x) − b| < ε

La condición de que | f (x) − b| < ε para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ se puede escribir de esta otra forma: f (U) ⊆ (b − ε, b + ε), U = [D ∩ (a − δ , a + δ )] \ {a}. Podemos parafrasear esta definición diciendo que f (x) se acerca a b cuando x se acerca al punto a (pero sin tomar el valor a) dentro del dominio de f . Ejemplo. Si f : R → R está dada por ( 0 f (x) = 1

si x 6= 0; si x = 0,

entonces l´ım f (x) = 0 (sin que importe que f (0) = 1). x→0

Proposición 4.1.4 (unicidad del límite). Sea D ⊆ R, f : D → R, a ∈ D0 , b1 , b2 ∈ R. Si l´ım f (x) = b1

x→a

y

l´ım f (x) = b2

x→a

entonces b1 = b2 . b2 − b1 . Deben existir un δ1 > 0 Demostración. Supongamos, por ejemplo, que b1 < b2 . Elijamos ε = 2 b1 + b2 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ1 es f (x) < b1 + ε = y un δ2 > 0 tal que para todo 2 b1 + b2 x ∈ D con 0 < |x − a| < δ2 es = b2 − ε < f (x). Definiendo δ = m´ın{δ1 , δ2 }, resulta que para 2 b1 + b2 b1 + b2 < f (x) < . Esto es una contradicción. todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ es 2 2 El resultado anterior también se puede obtener como una consecuencia de la proposición siguiente y de la unicidad del límite para sucesiones. Proposición 4.1.5 (límite a través de sucesiones). Sea D ⊆ R, f : D → R, a ∈ D0 , b ∈ R. Las siguientes propiedades son equivalentes: a) l´ım f (x) = b. x→a

b) para cada sucesión (sn ) de puntos de D \ {a} tal que l´ım sn = a se verifica l´ım f (sn ) = b. n

n

Demostración. a)=⇒b) Supongamos que l´ım f (x) = b. Para cualquier ε > 0 se puede encontrar δ > 0 x→a

de modo que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ se cumple | f (x) − b| < ε. Sea (sn ) una sucesión de

4.1. Límites de funciones reales de una variable real

65

puntos de D \ {a} tal que l´ım sn = a. Dado δ > 0, existirá un N ∈ N tal que para todo n > N se verifica n

|sn − a| < δ , y como sn 6= a, se deduce que | f (sn ) − b| < ε; en otras palabras, l´ım f (sn ) = b. n b)=⇒a) Vamos a probar que si a) no se cumple, entonces b) tampoco. Que no se cumpla a) significa que existe algún ε > 0 tal que para todo δ > 0 hay al menos un xδ ∈ D que cumple 0 < |xδ − a| < δ y sin embargo | f (xδ ) − b| ≥ ε. Para cada n ∈ N, elijamos δ = n1 . Hay algún punto sn ∈ D que cumple 0 < |sn − a| < n1 y sin embargo | f (sn ) − b| ≥ ε. La sucesión (sn ) así obtenida tiene las siguientes propiedades: • está contenida en D \ {a}, porque sn ∈ D, pero 0 < |sn − a|; • l´ım sn = a, porque 0 < |sn − a| < n sandwich, proposición 3.1.18).

1 n

(basta aplicar la definición de límite, o bien la regla del

• pero la sucesión f (sn ) no tiende a b, porque para todos los n ∈ N, | f (sn ) − b| ≥ ε. Por lo tanto, no se cumple b).

4.1.2.

Límites infinitos y límites en el infinito

Definición 4.1.6. Un conjunto V ⊆ R es un entorno reducido de +∞ o −∞ si existe un r ∈ R tal que (r, +∞) ⊆ V (respectivamente, (−∞, r) ⊆ V ). Definición 4.1.7. Se dice que +∞ es un punto de acumulación de un conjunto D ⊆ R si D no está acotado superiormente, en cuyo caso se escribe +∞ ∈ D0 . Se dice que −∞ es un punto de acumulación de un conjunto D ⊆ R si D no está acotado inferiormente, y en ese caso se escribe −∞ ∈ D0 . Definición 4.1.8 (límites infinitos y límites en el infinito). Sea D ⊆ R, f : D → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a ∈ D0 . Se escribe l´ım f (x) = b x→a

si para cada entorno V de b existe un entorno reducido U de a tal que f (U) ⊆ V . Pueden darse definiciones en términos de desigualdades, desglosando los diferentes casos posibles. Concretamente, sean D ⊆ R, f : D → R, a, b ∈ R. a) l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con 0 < |x − a| < δ x→a

cumplen f (x) > M. b) l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con 0 < |x − a| < δ x→a

cumplen f (x) < M. c) l´ım f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ D con x > K cumplen x→+∞

| f (x) − b| < ε. d) l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ D con x > K x→+∞

cumplen f (x) > M. e) l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ D con x > K x→+∞

cumplen f (x) < M. f) l´ım f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ D con x < K cumplen x→−∞

| f (x) − b| < ε.

66

Capítulo 4. Continuidad g) l´ım f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ D con x < K x→−∞

cumplen f (x) > M. h) l´ım f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún K ∈ R tal que todos los x ∈ D con x < K x→−∞

cumplen f (x) < M.

b

a l´ım f (x) = +∞, l´ım f (x) = b

x→a

x→+∞

Con esta ampliación, sigue habiendo unicidad de límite. Igualmente se mantiene la caracterización mediante sucesiones: Proposición 4.1.9. Sea D ⊆ R, f : D → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a ∈ D0 . Las siguientes propiedades son equivalentes: a) l´ım f (x) = b. x→a

b) para cada sucesión (sn ) de puntos de D \ {a} tal que l´ım sn = a se verifica l´ım f (sn ) = b. n

n

Demostración. Basta adaptar a cada caso la demostración de la proposición 4.1.5.

4.1.3.

Cálculo de límites

Proposición 4.1.10 (operaciones algebraicas con límites). Sean D ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D, c ∈ R y f , g : D → R. Se tiene: a) l´ım ( f (x) + g(x)) = l´ım f (x) + l´ım g(x), si estos últimos límites existen y su suma está definida x→a

x→a

x→a

en R ∪ {±∞}. b) l´ım c f (x) = c l´ım f (x), si este último límite existe y su producto por c está definido en R∪{±∞}. x→a

x→a

c) l´ım f (x)g(x) = l´ım f (x) l´ım g(x), si estos últimos existen y su producto está definido en R ∪ x→a

x→a

x→a

{±∞}. l´ım f (x) f (x) x→a = , si estos últimos límites existen y su cociente está definido en R ∪ {±∞}. x→a g(x) l´ım g(x)

d) l´ım

x→a

Demostración. Basta aplicar la proposición 4.1.9 y el resultado análogo para sucesiones. Proposición 4.1.11 (acotación y límite cero). Sean D ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D, y f , g : D → R. Supongamos que: a) la función f está acotada, es decir, existe M > 0 tal que | f (x)| ≤ M para todo x ∈ D.

4.1. Límites de funciones reales de una variable real

67

b) l´ım g(x) = 0; x→a

Entonces l´ım f (x)g(x) = 0. x→a

Demostración. Basta aplicar la proposición 4.1.9 y el resultado análogo para sucesiones. Proposición 4.1.12 (cambios de variable). Sean D, E subconjuntos de R, a un punto de acumulación de D, b un punto de acumulación de E, f : D → R y g : E → R tales que f (D) ⊆ E y supongamos que l´ım f (x) = b,

x→a

l´ım g(y) = c

y→b

Si b 6∈ f (D), entonces existe l´ım g( f (x)) = c. x→a

Demostración. Sea ε > 0. Como l´ım g(y) = c, existe algún r > 0 tal que para todo y ∈ E con 0 < y→b

|y − b| < r, se tiene |g(y) − c| < ε. Ahora, como l´ım f (x) = b, existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ , se tiene x→a

| f (x) − b| < r. Sea x ∈ D con 0 < |x − a| < δ . No solo es | f (x) − b| < r, sino que como b 6∈ f (D) y f (D) ⊆ E, resulta 0 < | f (x) − b| < r,

f (x) ∈ E

Por lo tanto, |g( f (x)) − c| < ε. La hipótesis adicional b 6∈ f (D) es suficiente, aunque no necesaria para que se verifique la tesis. Bastaría también, por ejemplo, que f fuese inyectiva; o que b ∈ E y c = g(b). Sin añadir alguna condición como estas, no puede garantizarse la validez del resultado final: considérese, por ejemplo, el caso de las funciones definidas en R por ( 0 si y 6= 0 g(y) = . 1 si y = 0

f (x) = 0, Entonces g( f (x)) = 1 para todo x, y así l´ım f (x) = 0,

x→0

l´ım g(y) = 0,

y→0

l´ım g( f (x)) = 1.

x→0

A veces es útil en el cálculo de límites tener en cuenta las siguientes consecuencias inmediatas de la definición de límite: Proposición 4.1.13. Si D ⊆ R, a es un punto de acumulación de D y f : D → R, a) l´ım f (x) = b ∈ R ⇐⇒ l´ım | f (x) − b| = 0. x→a

x→a

b) l´ım f (x) = b ∈ R =⇒ l´ım | f (x)| = |b|. x→a

x→a

El recíproco solo es cierto, en general, cuando b = 0. c) l´ım f (x) = b (a ∈ R) ⇐⇒ l´ım f (a + t) = b. x→a

t→0

68

Capítulo 4. Continuidad

4.1.4.

Límites laterales

Si en las definiciones de límites añadimos una de las dos condiciones x > a, x < a, entonces se habla de límites laterales (por la derecha y por la izquierda, respectivamente). Se emplea la notación l´ım+ f (x), l´ım− f (x). x→a

x→a

Definición 4.1.14 (límites laterales: por la derecha y por la izquierda). Sean D ⊆ R, f : D → R, a ∈ R un punto de acumulación de D y b ∈ R. a) Se dice que l´ım+ f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con x→a

0 < x − a < δ cumplen | f (x) − b| < ε. b) Se dice que l´ım+ f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con x→a

0 < x − a < δ cumplen f (x) > M. c) Se dice que l´ım+ f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con x→a

0 < x − a < δ cumplen f (x) < M. d) Se dice que l´ım− f (x) = b si para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con x→a

0 < a − x < δ cumplen | f (x) − b| < ε. e) Se dice que l´ım− f (x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con x→a

0 < a − x < δ cumplen f (x) > M. f) Se dice que l´ım− f (x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algún δ > 0 tal que todos los x ∈ D con x→a

0 < a − x < δ cumplen f (x) < M. En términos de entornos reducidos, la definición anterior se puede escribir de manera más breve. Para los límites laterales se puede probar el resultado análogo a la proposición 4.1.9. También, y como consecuencia inmediata de las definiciones, tenemos: Proposición 4.1.15. Sean D ⊆ R, f : D → R y a ∈ R de modo que (a − δ , a + δ ) ⊆ D para algún δ > 0. Sea b ∈ R ∪ {±∞}. Entonces, l´ım f (x) = b ⇐⇒ l´ım− f (x) = l´ım+ f (x) = b.

x→a

x→a

x→a

Las proposiciones siguientes demuestran que las funciones monótonas tienen límites laterales en todos los puntos. Proposición 4.1.16. Sean D ⊆ R, f : D → R monótona no decreciente, a ∈ R ∪ {±∞}. a) si a ∈ [D ∩ (−∞, a)]0 , entonces f tiene límite por la izquierda en a (finito o infinito) y es l´ım f (x) = sup{ f (x) : x ∈ D ∩ (−∞, a)}

x→a−

(entendiendo que si el conjunto no está acotado superiormente, su supremo es +∞). b) si a ∈ [D ∩ (a, +∞)]0 entonces f tiene límite por la derecha en a (finito o infinito) y es l´ım f (x) = ´ınf{ f (x) : x ∈ D ∩ (a, +∞)}

x→a+

(entendiendo que si el conjunto no está acotado inferiormente, su ínfimo es −∞).

4.1. Límites de funciones reales de una variable real

69

Demostración. Solo demostramos el apartado a) y en el caso de que a ∈ R y el conjunto { f (x) : x ∈ D ∩ (−∞, a)} esté acotado. Los demás casos son similares. Sea L = sup{ f (x) : x ∈ D ∩ (−∞, a)} ∈ R. Sea ε > 0. Entonces, L − ε no es una cota superior del conjunto { f (x) : x ∈ D ∩ (−∞, a)}, así que existe algún r ∈ D ∩ (−∞, a) tal que L − ε < f (r). Si ahora elegimos δ = a − r, todos los x ∈ D tales que 0 < a − x < δ cumplen r = a − δ < x, luego L − ε < f (r) ≤ f (x) ≤ L < L + ε, es decir: | f (x) − L| < ε. La variante para funciones monótonas no crecientes, que enunciamos a continuación, se demuestra de igual manera. Proposición 4.1.17. Sean D ⊆ R, f : D → R monótona no creciente, a ∈ R ∪ {±∞}. a) si a ∈ [D ∩ (−∞, a)]0 , entonces f tiene límite por la izquierda en a y es l´ım f (x) = ´ınf{ f (x) : x ∈ D ∩ (−∞, a)}

x→a−

(entendiendo que si el conjunto no está acotado inferiormente, su ínfimo es −∞). b) si a ∈ [D ∩ (a, +∞)]0 entonces f tiene límite por la derecha en a y es l´ım f (x) = sup{ f (x) : x ∈ D ∩ (a, +∞)}

x→a+

(entendiendo que si el conjunto no está acotado superiormente, su supremo es +∞).

4.1.5.

Límites de funciones elementales

Si f (x) representa una cualquiera de las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x, arc tg x, xr , entonces l´ım f (x) = f (a) x→a

para cualquier punto a del dominio de la función. Otros límites son los siguientes: l´ım ex = 0

l´ım ex = +∞

x→−∞

x→+∞

l´ım log x = −∞

l´ım log x = +∞

x→0+

l´ım

x→(π/2)−

x→+∞

tg x = +∞

l´ım arc tg x = −

x→−∞

l´ım

x→(π/2)+

π 2

tg x = −∞

π x→+∞ 2 r l´ım x = +∞ l´ım arc tg x =

l´ım xr = 0

x→0+

x→+∞

l´ım xr = +∞

l´ım xr = 0

x→0+

x→+∞

(si r > 0) (si r < 0)

Si f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar 6= 0), entonces l´ım f (x) = +∞

(si ar > 0),

l´ım f (x) = −∞

(si ar < 0).

x→+∞

x→+∞

También se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a > 0 y b > 1: log x  xa  bx  xx

(x → +∞).

70

Capítulo 4. Continuidad

Aquí, “ f (x)  g(x) cuando x → +∞” significa que f (x) =0 x→+∞ g(x) l´ım

(o bien que g(x)/ f (x) → +∞). Definición 4.1.18. Sean D ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D, y f , g : D → R. Decimos que f es equivalente a g cuando x tiende al punto a, y escribimos f (x) ∼ g(x) (x → a) si se verifica l´ım

x→a

f (x) = 1. g(x)

Nota. Los resultados sobre sucesiones equivalentes se trasladan sin dificultad a funciones equivalentes. En general, podemos traducir las equivalencias entre sucesiones a equivalencias entre funciones. Por ejemplo: • Equivalencias de infinitésimos: cuando x → 0, ex − 1 ∼ x sen x ∼ x arc sen x ∼ x

(1 + x)α − 1 ∼ αx

log(1 + x) ∼ x 1 − cos x ∼ x2 /2

tg x ∼ x

arc tg x ∼ x

• Equivalencias de infinitos: sea f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 , con ar 6= 0; cuando x → +∞, f (x) ∼ ar xr , log f (x) ∼ r log x

4.1.6.

(si ar > 0).

Límites y desigualdades

Notación. Para abreviar y unificar algunos enunciados, a veces es cómoda la siguiente notación: dados a ∈ R ∪ {±∞}, r ∈ R,   {x ∈ R : 0 < |x − a| < r} si a ∈ R (y entonces r > 0) E(a; r) = {x ∈ R : x > r} si a = +∞   {x ∈ R : x < r} si a = −∞. Proposición 4.1.19. Sean D ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D y f : D → R para la que existe l´ım f (x) = b ∈ R ∪ {±∞}. Se tiene: x→a

a) dado c < b, existe r tal que c < f (x)

∀x ∈ D ∩ E(a; r)

(en palabras, cuando el límite de f en a es mayor que c, también la función f se mantiene mayor que c en puntos suficientemente próximos al punto a, pero distintos de a). b) dado c > b, existe r tal que f (x) < c

∀x ∈ D ∩ E(a; r)

(en palabras, cuando el límite de f en a es menor que c, también la función f se mantiene menor que c en puntos suficientemente próximos al punto a, pero distintos de a).

4.1. Límites de funciones reales de una variable real

71

Corolario 4.1.20. Sean D ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D y f , g : D → R y supongamos que existen l´ım f (x) = b ∈ R ∪ {±∞} y l´ım g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}. Se tiene: x→a

x→a

a) Si b > 0, entonces existe algún r > 0 tal que ∀x ∈ D ∩ E(a; r).

0 < f (x) b) Si b < 0, entonces existe algún r > 0 tal que

∀x ∈ D ∩ E(a; r).

f (x) < 0 c) Si b < c, entonces existe algún r > 0 tal que

∀x ∈ D ∩ E(a; r).

f (x) < g(x)

En particular, f conserva el signo del límite en puntos suficientemente próximos al punto a, pero distintos de a (cuando el límite no es nulo). Observación. En la proposición 4.1.19 y en el corolario 4.1.20, no se puede cambiar < por ≤. Corolario 4.1.21. Sean D ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D y f : D → R, g : D → R funciones para las que existen l´ım f (x) = b ∈ R ∪ {±∞}, l´ım g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}. Si existe algún x→a x→a r > 0 tal que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ D ∩ E(a; r), entonces b ≤ c. Observación. En el enunciado anterior, no se puede cambiar ≤ por 0 existe r ∈ R tal que para cualesquiera x, y ∈ D ∩ E(a; r) se verifica | f (x) − f (y)| < ε; c) para cada sucesión (xn ) de puntos de D \ {a} tal que l´ım xn = a se verifica que la sucesión n

( f (xn )) es de Cauchy. Demostración. a) =⇒ b) Sea l´ım f (x) = b. Dado ε > 0 existe r ∈ R tal que para todo x ∈ D ∩ E(a; r) x→a se tiene ε | f (x) − b| < , 2 luego para cualesquiera x, y ∈ D ∩ E(a; r) será ε ε | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − b| + |b − f (y)| < + = ε. 2 2 b) =⇒ c) Es una comprobación sencilla. c) =⇒ a) Dada una sucesión (xn ) de puntos de D \ {a} tal que l´ım xn = a, como la sucesión n

( f (xn )) es de Cauchy tendrá un límite b, posiblemente distinto para cada sucesión (xn ). Según la caracterización del límite mediante sucesiones (proposición 4.1.9), para completar la demostración será suficiente que probemos que l´ım f (xn ) es el mismo para todas las sucesiones (xn ). n

Sean, pues, (yn ), (zn ) sucesiones de puntos de D \ {a} tales que l´ım yn = a = l´ım zn , y sean c = n

n

l´ım f (yn ), d = l´ım f (zn ). La sucesión (xn ) definida por x2n−1 = yn , x2n = zn sigue siendo una sucesión n

n

de puntos de D \ {a} con l´ım xn = a, luego ( f (xn )) será una sucesión convergente. Si b es su límite, n

como ( f (yn )), ( f (zn )) son subsucesiones suyas, debe cumplirse c = b = d.

4.1.8.

Límites de restricciones y extensiones de funciones

Proposición 4.1.25. Sean f : D ⊆ R → R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de D, b ∈ R ∪ {±∞}. Se cumple: a) si A ⊆ D, a ∈ A0 , f1 = f |A , entonces l´ım f (x) = b =⇒ l´ım f1 (x) = b.

x→a

x→a

El recíproco, en general, no es cierto. Sin embargo: b) cuando A = D ∩ E(a; r) para algún r, l´ım f (x) = b ⇐⇒ l´ım f1 (x) = b

x→a

x→a

(nos referimos a este hecho diciendo que el concepto de límite es un concepto local). c) si D = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am y para j = 1, 2, . . . , m es a ∈ A0j , f j = f |A j , entonces l´ım f j (x) = b ( j = 1, 2, . . . , m) =⇒ l´ım f (x) = b.

x→a

x→a

Observación. Suele ponerse l´ım f (x)

x→c x∈A

en vez de l´ım ( f |A ) (x), y se lee «límite de f (x) cuando x tiende a c a través de A». x→c

4.2. Funciones continuas

73

4.2.

Funciones continuas

4.2.1.

Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas

Definición 4.2.1. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Se dice que f es continua en el punto a si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier x ∈ D con |x − a| < δ es | f (x) − f (a)| < ε.

2ε

f (a)

a 2δ |x − a| < δ =⇒ | f (x) − b| < ε

Proposición 4.2.2. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Se tiene: a) si a es un punto aislado de D, lo que significa que a ∈ / D0 , entonces f es continua en a. b) si a es un punto de acumulación de D, a ∈ D0 , entonces f es continua en a si y solo si existe l´ım f (x) y es igual a f (a). x→a

Definición 4.2.3. Sea f : D ⊆ R → R, A ⊆ D. Se dice que f es continua en el conjunto A si f es continua en todos los puntos de A. Si A = D, decimos simplemente que f es continua. Ejemplos.

a) Dado c ∈ R, la función constante f (x) = c es continua (en todos los puntos).

b) La función identidad, f (x) = x, es continua. c) La función valor absoluto, f (x) = |x|, es continua. d) Las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x, arc tg x, xr son todas ellas continuas en sus respectivos dominios de definición. e) La función de Dirichlet, ( 1 si x ∈ Q f (x) = 0 si x ∈ /Q no es continua en ningún punto. f) La función f : R → R dada por ( sen 1x f (x) = 0 no es continua en 0.

si x 6= 0 si x = 0

74

Capítulo 4. Continuidad g) La función f : R → R dada por ( x sen 1x f (x) = 0

si x 6= 0 si x = 0

es continua en 0. Proposición 4.2.4. Sea f : D ⊆ R → R, a ∈ D. Las siguientes propiedades son equivalentes: a) f es continua en a; b) si (xn ) es una sucesión de puntos de D convergente al punto a, entonces la sucesión ( f (xn )) converge a f (a); Demostración. Análoga a la de la proposición 4.1.9. Proposición 4.2.5. Sean f , g : D ⊆ R → R, a ∈ D, c ∈ R, y supongamos que f y g son continuas en a. Se tiene: a) f + g es continua en a. b) c f es continua en a. c) f g es continua en a. d) si g(a) 6= 0, f /g es continua en a. Demostración. Basta aplicar la proposición 4.2.4 y el resultado análogo para sucesiones. Proposición 4.2.6. Sean f : D ⊆ R → R, g : E ⊆ R → R, a ∈ D, y supongamos que f (D) ⊆ E. Si f es continua en a y g es continua en f (a), entonces la composición g ◦ f es continua en a. Demostración. Sea ε > 0. Como g es continua en el punto f (a), existe algún r > 0 tal que para todo y ∈ E con |y − f (a)| < r, se tiene |g(y) − g( f (a))| < ε. Ahora, como f es continua en a, existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ , se tiene | f (x) − f (a)| < r. Sea x ∈ D con |x − a| < δ . Entonces, f (x) ∈ E y | f (x) − f (a)| < r, luego |g( f (x)) − g( f (a))| < ε. Corolario 4.2.7. Sean f , g : D ⊆ R → R, a ∈ D. Si f y g son continuas en a, entonces m´ax( f , g), m´ın( f , g) son también continuas en a. Demostración. Es fácil comprobar que f + g + | f − g| , 2 f + g − | f − g| m´ın( f , g) = . 2

m´ax( f , g) =

Ahora, la función f − g es continua en a; por la proposición 4.2.6 (tomando en el enunciado f − g en lugar de f y la función valor absoluto en lugar de g), la función | f − g| también es continua en a. De aquí se deduce que m´ax( f , g) y m´ın( f , g) son continuas en a.

4.2. Funciones continuas

4.2.2.

75

Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux; funciones continuas monótonas

Teorema 4.2.8 (de Weierstrass). Sea f una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], (donde a, b ∈ R, a < b). Entonces: a) f está acotada; b) f alcanza un valor mínimo y un valor máximo, es decir, existen puntos r, s ∈ [a, b] (no necesariamente únicos) tales que para todo x ∈ [a, b] es f (r) ≤ f (x) ≤ f (s).

r a

s

b

Mínimo absoluto en r, máximo absoluto en s (y en a)

Demostración. a) Sea f : [a, b] → R una función no acotada y probemos que entonces hay algún punto del intervalo [a, b] donde la función no es continua. Dado que f no está acotada, para cada n ∈ N hay algún punto xn ∈ [a, b] tal que | f (xn )| > n. En particular, l´ım | f (xn )| = +∞. n

Pero la sucesión (xn )∞ n=1 sí está acotada, así que, por el teorema 3.1.23 de Bolzano-Weierstrass, hay alguna subsucesión suya que converge: xϕ(n) → c ∈ [a, b]. Sabemos que l´ım | f (xϕ(n) )| = +∞, n

por ser una subsucesión de (| f (xn )|)∞ n=1 . Entonces, la función f no es continua en c, ya que si lo fuera debería ser l´ım | f (xϕ(n) )| = | f (c)|. n

b) Sea f : [a, b] → R continua. Por el apartado anterior, ya sabemos que está acotada, de modo que el conjunto { f (x) : x ∈ [a, b]} tiene supremo e ínfimo en R; sean M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]} ∈ R, m = ´ınf{ f (x) : x ∈ [a, b]} ∈ R. Se trata de probar que ese supremo y ese ínfimo se alcanzan, es decir, que existen ciertos r, s ∈ [a, b] tales que f (r) = m, f (s) = M. 1 Para cada n ∈ N, el número M − no es una cota superior de f , de modo que podemos elegir n algún xn ∈ [a, b] tal que 1 M − < f (xn ) ≤ M. n

76

Capítulo 4. Continuidad

En particular, l´ım f (xn ) = M. n

Como la sucesión

(xn )∞ n=1

está acotada, tendrá alguna subsucesión (xϕ(n) )∞ n=1 convergente: xϕ(n) → s ∈ [a, b].


Por una parte, la función f es continua en todos los puntos de [a, b]; por otra, f (xϕ(n) ) n∈N es una
subsucesión de f (xn ) n∈N . Entonces, f (s) = l´ım f (xϕ(n) ) = M. n

De manera análoga se demuestra que existe algún punto r ∈ [a, b] tal que f (r) = m. Pasamos a ver dos resultados íntimamente relacionados entre sí, el teorema de Bolzano y el teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux. Algunos libros comienzan por probar el teorema de los valores intermedios (por ejemplo, [ROSS, teor. 18.2, pág. 96]) y el teorema de Bolzano resulta como caso particular; otros proceden al revés, demostrando primero el teorema de Bolzano y obteniendo después el teorema de los valores intermedios como consecuencia. Tomamos este segundo camino, que utiliza una demostración más constructiva que sugiere un procedimiento (un tanto rudimentario) para obtener aproximaciones de raíces de ecuaciones. Teorema 4.2.9 (de los ceros o de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una función continua (a, b ∈ R, a < b). Supongamos que f (a) f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.

a

c b

. . . existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Demostración. Sea, por ejemplo, f (a) < 0 < f (b). Veamos mediante inducción completa que podemos construir sucesiones (xn ), (yn ) tales que a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn < yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−a , f (xn ) ≤ 0, f (yn ) > 0 para todo n ∈ N. 2n a+b Para ello, comencemos tomando z1 = . O bien f (z1 ) ≤ 0, o bien f (z1 ) > 0. En el primer 2 caso, hagamos x1 = z1 , y1 = b; en el segundo caso hagamos x1 = a, y1 = z1 . En ambos casos, resulta a ≤ x1 < y1 ≤ b, y1 − x1 = (b − a)/2, f (x1 ) ≤ 0, f (y1 ) > 0. Supongamos construidos x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , de manera que yn − xn =

a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn < yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b, b−a xn + yn , f (x j ) ≤ 0, f (y j ) > 0 (1 ≤ j ≤ n). Tomamos entonces zn+1 = ; o bien f (zn+1 ) ≤ j 2 2 0, o bien f (zn+1 ) > 0. En el primer caso, hagamos xn+1 = zn+1 , yn+1 = yn , en el segundo caso hagamos xn+1 = xn , yn+1 = zn ; en ambos casos resulta

y j −x j =

a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn ≤ · · · ≤ y1 ≤ b,

4.2. Funciones continuas

77

b−a , f (xn+1 ) ≤ 0, f (yn+1 ) > 0. 2n+1 La sucesión (xn ) es una sucesión monótona no decreciente, acotada superiormente por b. Entonces tiene un límite c, y necesariamente c ≤ b. Análogamente, (yn ) es una sucesión monótona no creciente acotada inferiormente por a. Así que tiene límite y necesariamente l´ım yn ≥ a. Pero como l´ım(yn − n n b−a xn ) = l´ım n = 0, resulta que l´ım yn = l´ım xn = c, con lo que a ≤ c ≤ b. n n n 2 Puesto que para cada n ∈ N es f (xn ) ≤ 0, f (yn ) > 0, usando la continuidad de f en c se deduce finalmente f (c) = l´ım f (xn ) ≤ 0, f (c) = l´ım f (yn ) ≥ 0,

yn+1 − xn+1 =

n

n

o sea, f (c) = 0 (lo que garantiza además que a 6= c 6= b). Teorema 4.2.10 (teorema de los valores intermedios o de Darboux). Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f tiene la propiedad de los valores intermedios: si a < b y λ está entre f (a) y f (b), es decir, f (a) < λ < f (b) o f (a) > λ > f (b), entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (x) = λ . Demostración. Aplicar el teorema 4.2.9 de Bolzano a la función f (x) − λ en el intervalo [a, b]. Corolario 4.2.11. Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f (I) es un intervalo. Aplicaciones. a) Toda aplicación continua de [0, 1] en [0, 1] tiene un punto fijo (ver [ROSS, pág. 97]). En efecto, sea f : [0, 1] → [0, 1] continua. Un número x se dice que es un punto fijo de f si f (x) = x. Definimos g : [0, 1] → R como g(x) = f (x) − x. La función g es continua, porque lo es f . Además, como 0 ≤ f (x) ≤ 1, tenemos que g(0) = f (0) − 0 = f (0) ≥ 0, g(1) = f (1) − 1 ≤ 0. Si g(0) = 0, entonces f (0) = 0; si g(1) = 0, entonces f (1) = 1; si no, entonces g(0) > 0 > g(1) y, por el teorema 4.2.9 de Bolzano o el teorema 4.2.10 de Darboux existirá algún x ∈ (0, 1) tal que g(x) = 0, es decir, f (x) = x. En cualquier caso, hemos visto que f tiene algún punto fijo. b) Dado m ∈ N (m > 1), todo y > 0 tiene raíz m-ésima positiva (ver [ROSS, pág. 97]). En efecto: se trata de probar que existe algún x > 0 tal que xm = y; sea f : R → R dada por f (x) = xm . Es una función continua. Si y < 1, entonces tenemos f (0) = 0 < y < 1 = f (1), y basta aplicar el teorema 4.2.10 de Darboux a la función f : [0, 1] → R. Si y = 1, trivialmente podemos tomar x = 1. Si y > 1, entonces f (0) = 0 < y < ym = f (y), y aplicamos el teorema 4.2.10 de Darboux a la función f : [0, y] → R. Lema 4.2.12. Sea g una función estrictamente monótona en un intervalo J y tal que g(J) es un intervalo I. Entonces g es continua en J. Demostración. Podemos suponer que g es estrictamente creciente (en el otro caso, se sigue de forma análoga). Sea c ∈ J. Entonces, l´ım g(x) = sup{g(x) : x ∈ J, x < c} ≤ g(c),

x→c−

l´ım g(x) = ´ınf{g(x) : x ∈ J, x > c} ≥ g(c)

x→c+

78

Capítulo 4. Continuidad

(esto, en caso de que c no sea uno de los extremos del intervalo; si lo es, la demostración se reduce a tomar el único límite lateral que tenga sentido). Se trata de probar que las dos desigualdades son igualdades. Supongamos que, por ejemplo, sup{g(x) : x ∈ J, x < c} < g(c) (para la otra desigualdad se procede de manera similar). Elijamos cualquier λ tal que sup{g(x) : x ∈ J, x < c} < λ < g(c). Entonces, g(x) < λ para todos los x ∈ J, x < c. Y si x ∈ J, pero x ≥ c, resulta que λ < g(c) ≤ g(x). Así que λ ∈ / g(J). Sin embargo, tomando cualquier x ∈ J tal que x < c, se tiene g(x) < λ < g(c), g(x) ∈ g(J), g(c) ∈ g(J). Por lo tanto, g(J) no es un intervalo, lo que contradice las hipótesis. Proposición 4.2.13. Sea I un intervalo, f : I → R continua y estrictamente creciente (resp., estrictamente decreciente), J = f (I) el intervalo imagen. Entonces la función inversa f −1 : J → I es asimismo continua y estrictamente creciente (resp., estrictamente decreciente). Demostración. Es una consecuencia directa del lema 4.2.12, ya que la función inversa de una estrictamente monótona es también estrictamente monótona (y del mismo tipo) y f −1 (J) = I es un intervalo. Teorema 4.2.14 (continuidad de la función inversa). Sea f una función continua e inyectiva en un intervalo I. Entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y la inversa f −1 : f (I) → R es asimismo estrictamente monótona (del mismo tipo) y continua. Demostración. De acuerdo con la proposición 4.2.13, basta demostrar que f es estrictamente monótona. Supongamos que f no es estrictamente decreciente; entonces existen ciertos a, b ∈ I tales que a < b,

f (a) ≤ f (b).

Como f es inyectiva, se deduce que f (a) < f (b). Vamos a probar que f es estrictamente creciente, es decir, que ∀r, s ∈ I con r < s, resulta que f (r) < f (s). Consideramos seis casos: en los tres primeros uno de los dos puntos r, s es el punto a; en los tres últimos ninguno es a. Tendremos en cuenta que la función es inyectiva, así que, por ejemplo, tenemos descartado que sea f (r) = f (s). a) r = a, s = b. Ya sabemos que f (a) < f (b). b) r = a, a < s, s 6= b. Hay que probar que f (a) < f (s). Pero si fuera f (s) < f (a), entonces f (a) estaría comprendido entre f (s) y f (b), luego habría algún c comprendido entre s y b tal que f (c) = f (a). Esto no puede ser, porque f es inyectiva. c) s = a, r < a. Hay que probar que f (r) < f (a). Pero si fuera f (r) > f (a), entonces podríamos tomar algún λ tal que f (a) < λ < f (r), f (a) < λ < f (b). Habría algún c comprendido entre r y a tal que f (c) = λ y algún d comprendido entre a y b tal que f (d) = λ . Esto no puede ser, porque f es inyectiva. d) r < a < s. Según los apartados anteriores, ya sabemos que f (r) < f (a) < f (s). e) a < r < s. Ya sabemos que f (a) < f (r) y que f (a) < f (s). Si fuera f (r) > f (s), entonces f (s) estaría comprendido entre f (a) y f (r), luego habría algún c ∈ (a, r) tal que f (c) = f (s). Esto no puede ser, porque f es inyectiva. f) r < s < a. Ya sabemos que f (r) < f (a) y que f (s) < f (a). Si fuera f (r) > f (s), entonces f (r) estaría comprendido entre f (s) y f (a), luego habría algún c ∈ (s, a) tal que f (c) = f (r). Esto no puede ser, porque f es inyectiva.

4.2. Funciones continuas

4.2.3.

79

Clasificación de discontinuidades

Definición 4.2.15 (tipos de discontinuidades). Sea f : D → R, c ∈ D0 . Decimos que f tiene en c una discontinuidad evitable si existe l´ım f (x) ∈ R pero o bien el límite no coincide con f (c), o bien c ∈ / D. x→c Nótese que en tal caso, la función g definida por ( f (t) si t ∈ D \ {c} g(t) = l´ım f (x) si t = c x→c

que es casi la misma que f , resulta continua en el punto c: hemos evitado la discontinuidad de f redefiniendo adecuadamente el valor en c como l´ım f (x). Este límite se denomina a veces el valor x→c

asintótico de f en c. Decimos que f tiene en c una discontinuidad de salto si existen l´ım− f (x) ∈ R y l´ım+ f (x) ∈ R, x→c

x→c

pero son distintos. En algunos libros llaman a este tipo de discontinuidad discontinuidad de salto finito. La diferencia l´ım+ f (x) − l´ım− f (x) recibe el nombre de salto de f en c (hay textos que dan x→c

x→c

este nombre al valor absoluto de la diferencia).

f (a) l´ım f (x)

l´ım f (x)

x→a−

x→a

l´ım f (x)

f (a)

x→a+

a

a

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto

Corolario 4.2.16. Sea f : (a, b) → R una función monótona. Si c ∈ (a, b), entonces o bien f es continua en c o bien f tiene en c una discontinuidad de salto. Nota. Puede probarse que, como consecuencia de este resultado, el conjunto de discontinuidades de una función monótona en un intervalo es finito o numerable.

4.2.4.

Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuas

Definición 4.2.17. Sea f : D ⊆ R → R. Entonces f es uniformemente continua en D si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ D con |x − y| < δ es | f (x) − f (y)| < ε. Nótese que una función uniformemente continua es, necesariamente, continua. El recíproco, en general, no es cierto. Ejemplo. La función 1 x es continua, pero no uniformemente continua. Sin embargo, para cada a > 0, la función f : (0, 1] → R,

g : [a, +∞) → R, es uniformemente continua.

f (x) =

g(x) =

1 x

80

Capítulo 4. Continuidad

3 x2

La función no es uniformemente continua en R

1 x

La función no es uniformemente continua en (0, 3]

Nota. Por comodidad, diremos a veces que una función es uniformemente continua en un subconjunto de su dominio en lugar de decir que la restricción de la función a dicho subconjunto es uniformemente continua. Así, en el ejemplo anterior, la función 1/x es uniformemente continua en [a, +∞) (para cualquier a > 0) pero no es uniformemente continua en (0, 1]. Teorema 4.2.18 (de Heine). Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces f es uniformemente continua en [a, b]. Demostración. Sea f : [a, b] → R, supongamos que no es uniformemente continua en [a, b] y probemos que entonces hay algún punto de [a, b] donde f no es continua. Como f no es uniformemente continua, existe algún ε > 0 tal que para cualquier δ > 0 hay al menos un par de puntos x, y ∈ [a, b] (que dependerán de δ ) para los cuales |x − y| < δ , pero | f (x) − f (y)| ≥ ε. Entonces, para cada n ∈ N tenemos un par de puntos xn , yn ∈ [a, b] tales que 1 |xn − yn | < , n

| f (xn ) − f (yn )| ≥ ε.

En particular, xn − yn → 0. Dado que la sucesión (yn )∞ n=1 está acotada, hay alguna subsucesión suya convergente: yϕ(n) → c ∈ [a, b]. Por otra parte, y dado que xn − yn → 0, también xϕ(n) − yϕ(n) → 0. Por lo tanto, xϕ(n) = (xϕ(n) − yϕ(n) ) + yϕ(n) → c. Por último, la función f no puede ser continua en el punto c, ya que entonces se tendría | f (xϕ(n) ) − f (yϕ(n) )| → | f (c) − f (c)| = 0 y, sin embargo, | f (xϕ(n) ) − f (yϕ(n) )| ≥ ε para todos los n ∈ N. Sin embargo, la continuidad en intervalos del tipo (a, b] o [a, +∞) no produce el mismo efecto: ya hemos visto, por ejemplo, que 1 f : (0, 1] → R, f (x) = x no es uniformemente continua, pese a ser continua; también es continua, pero no uniformemente continua, la función g : [0, +∞) → R, g(x) = x2 1 (considérense, por ejemplo, los valores de g en n + y n). n

4.3. Ejercicios

81

Proposición 4.2.19. Si f es uniformemente continua en un conjunto D y (sn ) es una sucesión de Cauchy contenida en D, entonces ( f (sn )) es una sucesión de Cauchy. Demostración. Sea ε > 0. Como f es uniformemente continua, existe algún δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ D con |x − y| < δ , se tiene | f (x) − f (y)| < ε. Ahora, como la sucesión (sn )∞ n=1 es de Cauchy, existe algún K ∈ N tal que para cualesquiera n, m > K se tiene |sn − sm | < δ . Y además, sn , sm ∈ D. Entonces, para cualesquiera n, m > K se tiene | f (sn ) − f (sm )| < ε. Por lo tanto, la sucesión ( f (sn ))∞ n=1 es de Cauchy. Proposición 4.2.20. Una función f : (a, b) → R es uniformemente continua si y solo si posee una extensión continua en [a, b]. Demostración. Si f tiene una extensión continua g : [a, b] → R, entonces g es uniformemente continua, según el teorema 4.2.18 de Heine. Cualquier restricción de una función uniformemente continua también es uniformemente continua, y en particular, f . Ahora supongamos que f es uniformemente continua en (a, b); se trata de probar que existen los dos límites l´ım+ f (x), l´ım− f (x) x→a

x→b

y que son números reales, ya que entonces la siguiente función será una extensión continua de f al intervalo [a, b]:  f (x), si x ∈ (a, b)    l´ım+ f (x), si x = a g(x) = x→a    l´ım f (x), si x = b − x→b

Solo vamos a probar que existe l´ım+ f (x) y que es un número real; el otro límite se prueba de manera x→a

análoga. Elijamos una sucesión (sn )∞ n=1 contenida en el intervalo (a, b) y tal que l´ınm sn = a. Como es convergente, la sucesión es de Cauchy; y como la función f es uniformemente continua, la sucesión ( f (sn ))∞ n=1 es también de Cauchy y, por lo tanto, convergente. Sea l´ım f (sn ) = L ∈ R. n

Ahora sea (tn )∞ n=1 una sucesión cualquiera contenida en el intervalo (a, b) y tal que l´ınm tn = a. Definamos la nueva sucesión r2n = tn , r2n−1 = sn . ∞ ∞ Por la misma razón que antes, la sucesión ( f (rn ))∞ n=1 es convergente. Como ( f (tn ))n=1 y ( f (sn ))n=1 son dos subsucesiones suyas, deducimos que

l´ım f (tn ) = l´ım f (rn ) = l´ım f (sn ) = L. n

n

n

Según la proposición 4.1.9, l´ım f (x) = L ∈ R.

x→a+

4.3.

Ejercicios

Ejercicio 4.1. Calcular los límites siguientes:

82

Capítulo 4. Continuidad a) c) e) g) i) k) m) ñ)

x2 + 1 = +∞ x→+∞ log x l´ım

x5 log x l´ım √ = +∞ x→+∞ x4 + 1  x 2x l´ım =0 x→+∞ ex + 4 √ √ 1+x− 1−x =1 l´ım x→0 x √ 1+x−1 = −1 l´ım √ x→0 1 − x − 1 2x − 2 = 54 l´ım √ 3 x→1 26 + x − 3 ex − esen x =1 l´ım x→0 x − sen x

p)

x→+∞

d)

(log x)3 =0 x→+∞ ex − 1

h) j) l) n) o)

x→0

l´ım

x4 + x + 2 =0 x→+∞ ex+5

f)

l´ım+ xx = 1 

b)

2x2 + 3 2x2 + 5

8x2 +3 =

e−8

q)

r)

l´ım

ex + sen x − 1 =2 x→0 log(1 + x)

s)

t)

sec2 x − 2 tg x 1 = 2 x→π/4 1 + cos 4x

u)

v) x)

l´ım

sen(x − π6 ) l´ım √ =1 x→π/6 3 − 2 cos x 1 sen(x − π/3) =√ l´ım x→π/3 1 − 2 cos x 3

w)

l´ım

l´ım

π2 π = x→0 x ctg πx 2 2 √ √ a+x− a 1 l´ım = √ (a > 0) x→0 x 2 a  q p √ √ 1 l´ım x+ x+ x− x = x→+∞ 2 p x −1 p l´ım q = (q 6= 0) x→1 x − 1 q ax − bx log a − log b l´ım x = (a, b, c, d > 0) x→0 c − d x log c − log d l´ım

x

l´ım+ xx = 0

x→0

l´ım

x→+∞

a1/x + b1/x + c1/x 3

!x =

√ 3 abc

(a, b, c > 0)

(sen 2x − 2 sen x)4 =8 x→0 (3 + cos 2x − 4 cos x)3  1 π l´ım tg 2x ctg +x = 4 2 x→π/4 π  sec2 2−bx π 2 2 l´ım sen2 = e−a /b x→0 2 − ax l´ım

y)

l´ım p 3

x→π/2

(b 6= 0)

cos x (1 − sen x)2

Ejercicio 4.2. Demostrar que los siguientes límites no existen: 1 a) l´ım cos x b) l´ım sen c) l´ım e1/ sen x x→∞ x→0 x→0 x Ejercicio 4.3. Hallar los siguientes límites laterales, si existen: ( x + 1, si x 6= 2 a) l´ım± f (x), donde f (x) = x→2 0, si x = 2 ( −2x + 3, si x ≥ 1 b) l´ım± f (x), donde f (x) = x→1 3x − 5, si x < 1 p √ √ 1 − cos 2x 1 − 1 − x2 d) l´ım± e) c) l´ım± x x x→0 x→0 f) i)

l´ım±

x2 − 1 |x − 1|

g)

l´ım±

1 1/x e +1

j)

x→1

x→0

l´ım±

1 2 − 21/x

h)

l´ım±

sen 1x e1/x + 1

k)

x→0

x→0

l´ım±

|x|

x→0 x2 + x

l´ım (x − 1)ex/(x−1)

x→1±

l´ım± e1/x sen

x→0

1 x

4.3. Ejercicios

l)

83

l´ım±

x→0

e1/x e1/x − 1

m)

l´ım±

x→2

x2 − 2x x2 − 4x + 4

n)

l´ım±

x→2

x2 + x + 6 x2 − 4

Ejercicio 4.4. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:  (  si sen x = 0 0 2(1 + e−1/x )−1 si x 6= 0 a) f (x) = 1/e si cos 2x = 0 b) f (x) =  2 si x = 0  2 1/ cos 2x en otro caso (2 sen x) (  1 sen 1 si x 6= 0 xn si x ∈ R \ Q c) f (x) = x d) f (x) = x 0 0 si x ∈ Q si x = 0 Ejercicio 4.5. Para cada una de las siguientes funciones polinómicas, hallar un entero n tal que f (x) = 0 para algún x comprendido entre n y n + 1: a) f (x) = x3 − x + 3 b) f (x) = 4x2 − 4x + 1 c) f (x) = x5 + x + 1 Ejercicio 4.6. Demostrar: a) La ecuación x2x = 1 tiene al menos una solución positiva no mayor que 1. b) La ecuación x179 +

163 1 + x2 + sen2 x

= 119

tiene al menos una solución real. c) La ecuación sen x = x − 1 tiene al menos una solución real. d) La ecuación

π 2

− x − sen x = 0 posee solución en [0, π2 ].

e) La ecuación x sen x − π4 = 0 posee al menos dos soluciones en [0, π]. Ejercicio 4.7. Sean I un intervalo y f : I → R. Supongamos que existe K > 0 tal que | f (x) − f (y)| ≤ K|x − y| cualesquiera que sean x, y ∈ I. Una función de este tipo se llama lipschitziana. ¿Es f continua en I? ¿Es uniformemente continua en I?

Capítulo 5

Derivación 5.1.

Generalidades

5.1.1.

Concepto de derivada. Derivadas laterales

Definición 5.1.1. Sea f una función real definida en un intervalo abierto I y sea a un punto de I. Se dice que f es derivable en a si existe (en R) el límite del cociente de incrementos o cociente de diferencias f (x) − f (a) . (5.1) l´ım x→a x−a Cuando f es derivable en a, el valor del límite (5.1) recibe el nombre de derivada de f en a, y suele denotarse por f 0 (a); es decir, f 0 (a) := l´ım

x→a

f (x) − f (a) x−a

si tal límite existe y es finito. d d f También se usan otras notaciones: f (a), , etc. dx dx x=a Nota. En realidad, para definir la derivada no es necesario que el dominio de la función f sea un intervalo: la definición anterior tiene sentido para cualquier tipo de dominio D con tal de que el punto a, además de estar en D, sea punto de acumulación de D. Adviértase igualmente que incluso podemos considerar límites laterales, definiendo entonces de manera obvia la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una función en un punto, cuando los límites laterales del cociente de incrementos tengan sentido. Definición 5.1.2. Sea f : D ⊆ R → R una función derivable en algún punto, y sea A el subconjunto de puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser A 6= D). La función derivada de f se define haciendo corresponder a cada x ∈ A el valor de la derivada de f en el punto x. Por razones obvias, esta función suele denotarse por f 0 , de manera que f 0 : x ∈ A → f 0 (x) = l´ım

y→x

f (y) − f (x) ∈ R. y−x

Observación. En este punto conviene deshacer un equívoco, que surge quizá del manejo habitual de las derivadas de las funciones elementales: la definición de derivada en un punto es previa a la de función derivada, y no al revés. Por ejemplo, no es que la derivada de la función seno en un punto x es cos x porque el coseno sea la función derivada del seno, sino al revés: el coseno es la función derivada 85

86

Capítulo 5. Derivación

del seno porque la derivada de la función seno en un punto cualquiera x resulta ser igual a cos x, es decir, que existe sen y − sen x l´ım y→x y−x y vale cos x.

5.1.2.

Interpretación geométrica y física de la derivada


El cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde gráficamente a la pendiente de la cuerda que une el punto (a, f (a)) con el punto (x, f (x)), con lo que en el límite tenemos que la derivada f 0 (a) (suponiendo que exista) corresponde a la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)).

f (a)

a Interpretación geométrica de la derivada: la recta tangente tiene pendiente f 0 (a)

En Física, si a cada valor x de una determinada magnitud (la variable independiente) le corresponde el valor
f (x) de una segunda magnitud (la variable dependiente), el cociente de incrementos f (x) − f (a) /(x − a) corresponde a la variación media de la variable dependiente en el intervalo [a, x] de variación de la variable independiente, y la derivada f 0 (a) (suponiendo que exista) corresponde a la variación instantánea de la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo, cuando la variable dependiente es el espacio tenemos los conceptos de velocidad media y velocidad instantánea; cuando la variable dependiente es la velocidad, pasamos a la acelación media y la aceleración instantánea. No es sorprendente la gran cantidad de aplicaciones que encuentra el concepto de derivada, si se tiene en cuenta la formación histórica de este concepto: véanse, por ejemplo, [D URÁN, cap. 3], [R ÍBNIKOV, págs. 182–186], [H AIRER -WANNER, pág. 80 y sigs.]. En este último libro, como motivaciones para la introducción de la derivada a partir de la pendiente de la tangente se señalan: • El cálculo del ángulo bajo el que se cortan dos curvas (Descartes). • La construcción de telescopios (Galileo) y de relojes (Huygens, 1673). • La búsqueda de máximos y mínimos de una función (Fermat, 1638). • El estudio de la velocidad y aceleración de un movimiento (Galileo, 1638, y Newton, 1686). • En Astronomía, la verificación de la Ley de Gravitación (Kepler, Newton).

5.1.3.

Derivabilidad y continuidad

Proposición 5.1.3. Si f es una función derivable en un punto a, entonces f es continua en el punto a.

5.1. Generalidades

87

Demostración.  f (x) − f (a) (x − a) = f (a) + f 0 (a) · 0 = f (a). l´ım f (x) = l´ım f (a) + x→a x→a x−a 

El recíproco no es cierto: una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Por ejemplo, la función f (x) = |x|, f :R→R es continua en todos los puntos, pero no es derivable en 0. Tiene derivadas laterales: la derivada por la izquierda es −1 y la derivada por la derecha es 1. La función g : R → R dada por ( x sen 1x si x 6= 0 g(x) = 0 si x = 0 es continua en todos los puntos, pero en 0 no es derivable y ni siquiera tiene derivadas laterales.

La función |x|

5.1.4.

La función x sen 1x

Cálculo de derivadas

Teorema 5.1.4 (operaciones algebraicas con funciones derivables). Sean D ⊆ R, a ∈ D ∩ D0 , c ∈ R y f , g : D → R funciones derivables en a. Se tiene: a) f + g es derivable en a, con derivada ( f + g)0 (a) = f 0 (a) + g0 (a). b) c f es derivable en a, con derivada (c f )0 (a) = c f 0 (a). c) f g es derivable en a, con derivada ( f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g0 (a). d) si g(a) 6= 0, entonces f /g es derivable en a, con derivada ( f /g)0 (a) =

f 0 (a)g(a) − f (a)g0 (a) . g(a)2

Demostración. Se deducen fácilmente de las hipótesis y las siguientes propiedades: a)

( f + g)(x) − ( f + g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) = + . x−a x−a x−a

b)

(c f )(x) − (c f )(a) f (x) − f (a) =c . x−a x−a

c) f es continua en a y

( f g)(x) − ( f g)(a) g(x) − g(a) f (x) − f (a) = f (x) + g(a) . x−a x−a x−a

d) g(x) 6= 0 cerca de a; g es continua en a;   ( f /g)(x) − ( f /g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) 1 = g(a) − f (a) · . x−a x−a x−a g(x)g(a)

88

Capítulo 5. Derivación

Ejemplo. Teniendo en cuenta la fórmula ciclotómica, se prueba que fijado n ∈ N, la función xn es derivable en todos los puntos y su derivada en un punto x vale nxn−1 . Ejemplo. Dados c0 , c1 , . . . , cn ∈ R, la función P(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + · · · + c0 es derivable en todos los puntos, y su derivada en un punto x vale P0 (x) = cn nxn−1 + cn−1 (n − 1)xn−2 + · · · + c1 . Teorema 5.1.5 (derivación de funciones compuestas: la regla de la cadena). Sean f : D → R y g : E → R tales que f (D) ⊆ E y supongamos que f es derivable en un punto a y que g es derivable en f (a). Entonces la función compuesta g ◦ f es derivable en a y su derivada en este punto viene dada por la regla de la cadena: (g ◦ f )0 (a) = g0 ( f (a)) f 0 (a). g(y) − g( f (a)) , si y ∈ E \{ f (a)}. Entonces, l´ım h(y) = g0 ( f (a)). y − f (a) y→ f (a) 0 Definamos h( f (a)) = g ( f (a)), con lo cual tenemos h : E −→ R continua en el punto f (a). Además,

Demostración. Definamos h(y) =

[y − f (a)]h(y) = g(y) − g( f (a))

∀y ∈ E

En efecto: si y 6= f (a), es cierto por la definición de h; si y = f (a) se trata de la igualdad 0 = 0. En particular, para cada x ∈ D se tiene f (x) ∈ E, luego [ f (x) − f (a)]h( f (x)) = g( f (x)) − g( f (a)). De aquí, f (x) − f (a) (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) (h ◦ f )(x) = , x−a x−a

∀x ∈ D \ {a}.

Pero • l´ım

x→a

f (x) − f (a) = f 0 (a), x−a

• l´ım (h ◦ f )(x) = (h ◦ f )(a), ya que f es continua en a (por ser derivable) y h lo es en f (a). x→a

Por consiguiente, ∃ l´ım

x→a

5.1.5.

(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) = f 0 (a)h( f (a)) = f 0 (a)g0 ( f (a)) ∈ R. x−a

Derivabilidad de la función inversa

Proposición 5.1.6 (condición necesaria para la derivabilidad de la función inversa). Si f es una función inyectiva, derivable en un punto c, y su función inversa f −1 es asimismo derivable en b = f (c), necesariamente se tiene f 0 (c) 6= 0. Además
0 f −1 (b) =

1 . f 0 (c)

Demostración. Aplicando la regla de la cadena a f −1 ◦ f = id, como la derivada de la identidad en todos los puntos vale 1, queda
0 f −1 (b) f 0 (c) = 1.

5.1. Generalidades

89

Aplicación. La función arc sen no es derivable en 1 y −1. En efecto, basta tomar f = sen : [− π2 , π2 ] → [−1, 1]; entonces, f −1 = arc sen : [−1, 1] → [− π2 , π2 ]. Tomamos c = ± π2 . Entonces, con la notación de la proposición anterior, b = ±1. Entonces f es derivable en c, pero f 0 (c) = 0, así que f −1 no puede ser derivable en b. Sin hipótesis adicionales, que la derivada no se anule no implica la derivabilidad de la inversa. Un recíproco parcial, suficiente en la práctica, es el siguiente: Teorema 5.1.7 (condición suficiente para la derivabilidad de la función inversa). Sea f una función continua e inyectiva en un intervalo I y sea J = f (I). Si f es derivable en c ∈ I y f 0 (c) 6= 0, entonces f −1 es derivable en b = f (c) con derivada
0 f −1 (b) =

1 f 0 (c)

.

Demostración. Señalemos primero que J es un intervalo abierto, puesto que f ha de ser estrictamente monótona. Además, sabemos que f −1 es continua en b (aplicar el teorema 4.2.14 de continuidad de la función inversa). Para mayor comodidad, ponemos g = f −1 . Con esta notación, g(b) = c. Definamos h : I → R haciendo, para cada x ∈ I,   f (x) − f (c) si x 6= c h(x) = x−c  f 0 (c) si x = c Evidentemente, h es continua en c. Tomando ahora y ∈ J distinto de b, sea x = g(y) ∈ I, por lo que y = f (x) y x 6= c, lo que permite escribir g(y) − g(b) x−c 1 1 = = = . y−b f (x) − f (c) h(x) h(g(y)) En resumen, para todo y ∈ J distinto de b, 1 g(y) − g(b) = . y−b h(g(y)) Pero g es continua en b y h es continua en c = g(b), luego h ◦ g es continua en b, de donde podemos concluir que existe g(y) − g(b) 1 1 1 g0 (b) = l´ım = = = 0 . y→b y−b h(g(b)) h(c) f (c) Nota. Repasando la demostración, se observa que los mismos argumentos prueban en realidad lo siguiente: dada una función inyectiva f : D ⊆ R → R, si f es derivable en un punto c ∈ D0 con f 0 (c) 6= 0, b := f (c) ∈ [ f (D)]0 y f −1 es continua en b, entonces f −1 es derivable en b = f (c) con derivada
0 1 f −1 (b) = 0 . f (c) No obstante, el enunciado previo es más directo de utilizar en muchas aplicaciones prácticas. Ejemplo. La función arc sen es derivable en (−1, 1). Basta aplicar el teorema 5.1.7 a la función f = sen y los intervalos I = (− π2 , π2 ), J = (−1, 1). La función f es inyectiva en I y derivable en cualquier c ∈ I y además f 0 (c) = cos c 6= 0. Tomemos b ∈ (−1, 1) cualquiera; podemos aplicar el teorema con c = arc sen b y resulta que la función arc sen es derivable en b y la derivada es (arc sen)0 (b) =

1 1 1 1 , = =√ =√ 0 2 (sen) (c) cos c 1 − sen c 1 − b2

donde hay que tener en cuenta que cos c > 0, ya que c ∈ (− π2 , π2 ).

90

Capítulo 5. Derivación

Ejemplo. Sean f (x) = ex , f : R → R, y g(x) = log x, g : (0, ∞) → R. • si sabemos que f es derivable para cada x ∈ R y f 0 (x) = f (x), entonces deducimos que g es derivable para cada x ∈ (0, +∞) y g0 (x) = 1/x; • si sabemos que g es derivable para cada x ∈ (0, +∞) y g0 (x) = 1/x, entonces deducimos que f es derivable para cada x ∈ R y f 0 (x) = f (x).

5.2.

El teorema del valor medio

5.2.1.

Extremos relativos y derivada nula

Definición 5.2.1. Sea f : D ⊆ R → R y c ∈ D. Se dice que f tiene un máximo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − c| < δ es f (x) ≤ f (c) (también se dice que f tiene un máximo local en c). Se dice que f tiene un máximo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − c| < δ es f (x) < f (c) (también se dice que f tiene un máximo local estricto en c). Se dice que f tiene un mínimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − c| < δ es f (x) ≥ f (c) (también se dice que f tiene un mínimo local en c). Se dice que f tiene un mínimo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − c| < δ es f (x) > f (c) (también se dice que f tiene un mínimo local estricto en c). Que f tiene un extremo relativo en c significa que tiene un máximo relativo o un mínimo relativo.

Extremos relativos y absolutos de una función

Definición 5.2.2. Sea A ⊆ R y c ∈ R. Se dice que c es un punto interior de A si para algún δ > 0 se verifica que (c − δ , c + δ ) ⊆ A. Ejemplo. Si A es un intervalo, los extremos no son puntos interiores, mientras que los demás puntos sí son interiores a A. Proposición 5.2.3. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto interior de D. Si f es derivable en c y tiene en c un extremo relativo, entonces f 0 (c) = 0. Demostración. Supongamos que f tiene en c un máximo relativo (si tiene un mínimo relativo solo hay que cambiar de sentido algunas desigualdades o pasar a la función opuesta). Como c es un punto interior de D y f es derivable en c, se deduce que existen las dos derivadas laterales de f en c. Además, f 0 (c) = l´ım+ x→c

f (x) − f (c) f (x) − f (c) = l´ım− . x−c x−c x→c

Pero según las hipótesis existen un δ1 > 0 tal que f (x) ≤ f (c) siempre que x ∈ D y |x − c| < δ1 , y un δ2 > 0 tal que (c − δ2 , c + δ2 ) ⊆ D. Tomando δ = m´ın{δ1 , δ2 }, encontramos que

5.2. El teorema del valor medio

91

• si x ∈ (c − δ , c), entonces x ∈ D y

f (x) − f (c) ≥ 0, x−c

• si x ∈ (c, c + δ ), entonces x ∈ D y

f (x) − f (c) ≤ 0, x−c

de donde se deduce que f (x) − f (c) ≥ 0, x−c x→c f (x) − f (c) f 0 (c) = l´ım+ ≤ 0, x−c x→c

f 0 (c) = l´ım−

y finalmente que f 0 (c) = 0. Nota. En la demostración anterior solo se utiliza realmente que c es un punto interior para poder asegurar que tienen sentido las dos derivadas laterales, de modo que esta condición puede sustituirse por la (más complicada de enunciar) de que c sea punto de acumulación de los conjuntos D ∩ [c, +∞) y D ∩ (−∞, c]. Cuando no se impone ninguna condición de este tipo a c, el resultado es falso. Por ejemplo, la función f (x) = x definida en el intervalo [0, 1] tiene extremos en los puntos 0 y 1, y f es derivable en los dos puntos, pero su derivada no es 0, sino 1 en ambos. Definición 5.2.4. Sea f : D ⊆ R → R y c un punto de D ∩ D0 . Se dice que c es un punto crítico de f si f es derivable en c y f 0 (c) = 0. Corolario 5.2.5. Supongamos que f : D ⊆ R → R tiene un extremo relativo en un punto c. Entonces, o bien c es un punto crítico de f , o bien c no es un punto interior de D, o bien f no es derivable en c. Ejemplos. a) x ∈ [−1, 1] → x ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores del dominio. b) x ∈ [−1, 1] → x2 ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores, y 0, que es un punto crítico. c) x ∈ [−1, 1] → x3 ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores del dominio. Hay un punto crítico, 0, que no es extremo relativo. d) x ∈ [−1, 1] → |x| ∈ R; sus extremos relativos son ±1, que no son puntos interiores, y 0, donde la función no es derivable. e) x ∈ R → [x] ∈ R; todo número no entero en un máximo y mínimo relativo, y además es punto crítico. Y los números enteros son máximos relativos, pero la función no es derivable en ellos (ni siquiera es continua).

5.2.2.

Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos)

Teorema 5.2.6 (de Rolle). Sea f : [a, b] → R (donde a, b ∈ R, a < b) una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y supongamos que f (a) = f (b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f 0 (x) = 0. Demostración. Puesto que f es continua en [a, b], tiene máximo y mínimo absolutos en [a, b], por el teorema 4.2.8 de Weierstrass. Si ambos extremos absolutos están en a y b, entonces f tiene que ser constante, ya que f (a) = f (b). Y f 0 se anula en todos los puntos de (a, b). En caso contrario, f tiene algún extremo absoluto (que también es relativo) en un punto interior x ∈ (a, b). Y es derivable en x, así que sabemos que f 0 (x) = 0.

92

Capítulo 5. Derivación

Geométricamente, que la función valga lo mismo en dos puntos obliga a que haya tangente horizontal en algún punto intermedio de la gráfica. Nota. Una vez más, si el dominio de f no es un intervalo el resultado no es cierto. Basta considerar funciones definidas en un intervalo menos un punto para encontrar derivada distinta de cero en todo el dominio aunque tengamos el mismo valor en los extremos; por ejemplo, la función valor absoluto en [−1, 0) ∪ (0, 1].

c

a a

c Teorema de Rolle

b

b Teorema del valor medio

Teorema 5.2.7 (del valor medio o de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] → R (donde a, b ∈ R, a < b) una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (x)(b − a). f (b) − f (a) (x − a), que b−a cumple las hipótesis del teorema 5.2.6 de Rolle. Por lo tanto, existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) g0 (x) = 0, es decir, f 0 (x) = . b−a Demostración. Basta definir en el intervalo [a, b] la función g(x) = f (x) −

Dicho de otra manera, la variación media de f en el intervalo coincide con la variación instantánea en algún punto del intervalo. Por ejemplo, si un vehículo ha recorrido 180 km en 2 horas, en algún instante ha marchado exactamente a 90 km/h. Geométricamente, la pendiente de la cuerda que une los extremos de la gráfica coincide con la pendiente de la tangente en algún punto.

5.3.

Aplicaciones del teorema del valor medio

5.3.1.

Funciones con derivada acotada y con derivada nula

Corolario 5.3.1. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Si la derivada está acotada, entonces f es uniformemente continua en I.

5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio

93

Demostración. Hay alguna constante K > 0 tal que | f 0 (x)| ≤ K en todo punto x interior a I. Sean dos puntos cualesquiera a, b ∈ I (por ejemplo, con a < b); como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), será f (b) − f (a) = f 0 (x)(b − a) para algún x ∈ (a, b), y por lo tanto | f (b) − f (a)| ≤ K|b − a|. Las funciones que satisfacen una desigualdad como esta se llaman funciones de Lipschitz. Y cualquier función de Lipschitz es uniformemente continua, ya que, dado ε > 0, basta tomar δ = ε/K y resulta que a, b ∈ I, |b − a| < δ =⇒ | f (b) − f (a)| < ε. Corolario 5.3.2. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Si f 0 (x) = 0 en cada x interior a I, entonces f es constante en I. Demostración. La función f toma el mismo valor en todos los puntos de I, pues dados dos puntos cualesquiera a, b ∈ I (por ejemplo, con a < b) como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), será f (b) − f (a) = f 0 (x)(b − a) para algún x ∈ (a, b), por el teorema 5.2.7 del valor medio. Por lo tanto, f (b) − f (a) = 0. Corolario 5.3.3. Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo I y derivables en todos los puntos interiores del intervalo. Si f 0 (x) = g0 (x) en cada x interior a I, entonces hay una constante c ∈ R tal que f (x) = g(x) + c en todo punto de I. Demostración. Basta aplicar el corolario 5.3.2 a la función f − g. Nota. Estas conclusiones no son aplicables a funciones cuyos dominios no son intervalos.

5.3.2.

Signo de la derivada y monotonía

Corolario 5.3.4. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Se tiene: a) si f 0 (x) > 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente creciente en I. b) si f 0 (x) < 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente decreciente en I. c) f 0 (x) ≥ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monótona no decreciente en I. d) f 0 (x) ≤ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monótona no creciente en I. Demostración. a) Sean a, b ∈ I con a < b. Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), será f (b) − f (a) = f 0 (x)(b − a) para algún x ∈ (a, b), por el teorema 5.2.7 del valor medio. Dado que x es interior a I, f 0 (x) > 0 por hipótesis, y se sigue f (b) − f (a) > 0, o sea, f (a) < f (b), que es lo que necesitábamos probar.

94

Capítulo 5. Derivación

La demostración de b) es similar, así como las implicaciones =⇒ de c) y d). Falta demostrar las implicaciones ⇐= de c) y d). Supongamos, por ejemplo, que f es monótona no decreciente en el intervalo I. Si x es un punto interior de I, entonces existen y ∈ I tales que x < y; para estos, se tiene f (y) − f (x) ≥ 0, y−x ya que f es no decreciente. Luego f 0 (x) = l´ım+ y→x

f (y) − f (x) ≥ 0. y−x

Esto demuestra la implicación ⇐= de c). La otra es análoga. Nota. Sin embargo, los recíprocos de a) y b) no son ciertos. Si la función f es estrictamente creciente en I, su derivada puede que se anule en algunos puntos (eso sí, según el apartado c), f 0 (x) ≥ 0 para todos los x). Por ejemplo, la función f (x) = x3 es derivable en todos los puntos y estrictamente creciente, pero hay algún punto donde su derivada se anula. Ejemplo. Veamos que para todo x > 0, x − 13 x3 < arc tg x. En efecto: tomamos la función f : R → R dada por f (x) = arc tg x − x + 13 x3 . Es una función derivable y su derivada es f 0 (x) =

x4 1 2 − 1 + x = . 1 + x2 1 + x2

Por lo tanto, f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (0, +∞) y la función f es estrictamente creciente en el intervalo cerrado [0, +∞). En particular, para todo x > 0 se tiene f (0) < f (x), es decir, 1 0 < arc tg x − x + x3 , 3 que es lo que queríamos demostrar.

y = arc tg x

y = x − 13 x3

Las funciones arc tg x y x − 13 x3

Ejemplo. Sea g(x) = x − e log x, definida en el intervalo (0, +∞). Es una función derivable y para cada x > 0 e x−e g0 (x) = 1 − = . x x Luego g0 (x) < 0 si x ∈ (0, e). Por lo tanto, g es estrictamente decreciente en el intervalo (0, e] (observemos que podemos incluir el punto e, pero no 0). Por otra parte, g0 (x) > 0 si x ∈ (e, +∞), así que g es

5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio

95

y = x − e log x

e La función x − e log x

estrictamente creciente en el intervalo [e, +∞) (de nuevo, podemos incluir el punto e). Es fácil deducir de aquí que g tiene un mínimo absoluto estricto en e. Es decir, para todo x > 0, x 6= e, se tiene 0 = g(e) < g(x) = x − e log x. Puesto de otra forma: e log x < x. Además, la función g no tiene más extremos relativos ni absolutos.

5.3.3.

Propiedad del valor intermedio para derivadas

Si una función es la derivada de otra en un intervalo, puede que no sea continua (ver por ejemplo [ROSS, ejr. 28.4, pág. 160]). Pero en el siguiente resultado se prueba que, lo mismo que las funciones continuas, tiene la propiedad de los valores intermedios. Teorema 5.3.5 (del valor intermedio para derivadas). Sea f una función derivable en un intervalo I. Si la derivada f 0 toma dos valores, toma también todos los valores intermedios; es decir, si a, b ∈ I, a < b, y λ está entre f 0 (a) y f 0 (b), existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f 0 (x) = λ . Demostración. Supongamos, por ejemplo, que f 0 (a) < λ < f 0 (b); si fuera f 0 (a) > λ > f 0 (b) se procedería de manera análoga. Definamos la función g(x) = f (x) − λ x, para x ∈ [a, b]. Es una función derivable en [a, b], porque lo es f . Además, g0 (x) = f 0 (x) − λ para cada x ∈ [a, b]. En particular, g es continua en [a, b], así que tiene mínimo absoluto (por el teorema 4.2.8 de Weierstrass). Ahora bien, l´ım

x→a+

g(x) − g(a) = g0 (a) = f 0 (a) − λ < 0, x−a

g(x) − g(a) < 0 y, por lo tanto, g(x) < g(a). Esto significa que el mínimo x−a absoluto de g no está en a. Análogamente,

luego existe x ∈ (a, b] tal que

l´ım−

x→b

g(x) − g(b) = g0 (b) = f 0 (b) − λ > 0, x−b

g(x) − g(b) > 0; como x − b < 0, resulta que g(x) < x−b g(b). Esto significa que el mínimo absoluto de g tampoco está en b. Por lo tanto, el mínimo absoluto de g está en algún punto x ∈ (a, b). Y como es un extremo relativo de g en el interior del intervalo y g es derivable, se tendrá g0 (x) = 0, por la proposición 5.2.3. Es decir, f 0 (x) = λ .

de donde se deduce que existe x ∈ [a, b) tal que

96

Capítulo 5. Derivación

Notas. a) Este resultado indica que, dada una función arbitraria g, puede que no exista ninguna función derivable cuya derivada sea g (es decir, una función primitiva de g). Basta con que g no cumpla la propiedad de los valores intermedios. Por ejemplo, la función ( 1 si x ≥ 0 g(x) = 0 si x < 0 no es la derivada de ninguna función f : R → R. b) Cuando hayamos definido la integral, probaremos que cualquier función continua en un intervalo tiene primitiva. Corolario 5.3.6. Sea f una función continua en un intervalo I y derivable en todos los puntos interiores del intervalo. Si la derivada f 0 no se anula en ninguno de esos puntos, entonces la función f es estrictamente monótona en I (o bien estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente). Demostración. Existen las siguientes posibilidades: a) f 0 (x) > 0 en todos los puntos x interiores a I. En tal caso f es estrictamente creciente. b) f 0 (x) < 0 en todos los puntos x interiores a I. En tal caso f es estrictamente decreciente. c) Hay puntos x1 , x2 , interiores a I, tales que f 0 (x1 ) < 0 < f 0 (x2 ). Pero esto no puede suceder, porque el teorema 5.3.5 del valor intermedio para derivadas obligaría entonces a que la derivada se anulase en algún punto entre x1 y x2 .

5.3.4.

Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital

Teorema 5.3.7 (del valor medio generalizado). Sean f y g funciones continuas en un intervalo [a, b] (donde a, b ∈ R, a < b) y derivables en el intervalo abierto (a, b). Existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f 0 (x)[g(b) − g(a)] = g0 (x)[ f (b) − f (a)]. Demostración. Basta definir en el intervalo [a, b] la función h(x) = f (x)[g(b) − g(a)] − g(x)[ f (b) − f (a)], que cumple las hipótesis del teorema 5.2.6 de Rolle. Luego existe al menos un x ∈ (a, b) tal que h0 (x) = 0, es decir, f 0 (x)[g(b) − g(a)] = g0 (x)[ f (b) − f (a)]. Proposición 5.3.8 (regla de L’Hospital). Sean I un intervalo, f , g : I → R y a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulación de I. Denotemos mediante s uno de los símbolos a, a+ , a− . Supongamos que: a) f y g son derivables en I \ {a} y g0 (x) 6= 0 en cada x ∈ I \ {a}. b) se verifica alguna de las tres condiciones siguientes: • l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0. x→s

x→s

• l´ım g(x) = +∞. x→s

• l´ım g(x) = −∞. x→s

c) existe

f 0 (x) = L ∈ R ∪ {±∞}. x→s g0 (x) l´ım

5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio

97

Entonces, existe el límite de f (x)/g(x) y es igual a L: f (x) f 0 (x) = l´ım 0 = L. x→s g(x) x→s g (x) l´ım

Demostración. Para empezar, veamos que basta considerar el caso a = 0 y s = 0+ . En efecto, una vez demostrado este caso se deducen los demás: • Si a 6= 0 y s = a+ , hacemos el cambio y = x − a, aplicamos la regla en el caso conocido y deshacemos el cambio: l´ım+

x→a

f (x) f (y + a) f 0 (y + a) f 0 (x) = l´ım+ = l´ım+ 0 = l´ım+ 0 . g(x) y→0 g(y + a) y→0 g (y + a) x→a g (x)

• Si a ∈ R y s = a− , hacemos el cambio y = −x. • Si a ∈ R y s = a, hacemos los dos límites laterales. • Si a = ±∞, hacemos el cambio y = 1/x; por ejemplo, − y12 f 0 (1/y) f (x) f (1/y) f 0 (x) f 0 (1/y) = l´ım+ = l´ım+ 1 0 = l´ım 0 . = l´ım+ 0 x→+∞ g(x) x→+∞ g (x) y→0 g(1/y) y→0 − 2 g (1/y) y→0 g (1/y) y l´ım

Así que a partir de ahora, suponemos que a = 0 y s = 0+ . Aparte de esto, el caso l´ım+ g(x) = −∞ se deduce del caso l´ım+ g(x) = +∞ tomando la función x→0

x→0

G(x) = −g(x) en lugar de g, y el caso L = −∞ del caso L = +∞, tomando la función F(x) = − f (x) en lugar de f . En resumen, solo necesitamos considerar los siguientes casos: a) l´ım+ f (x) = l´ım+ g(x) = 0. x→0

x→0

b) l´ım+ g(x) = +∞ y l´ım+

f 0 (x) = L ∈ R. g0 (x)

c) l´ım+ g(x) = +∞ y l´ım+

f 0 (x) = +∞. g0 (x)

x→0

x→0

x→0

x→0

a) Supongamos que l´ım+ f (x) = l´ım+ g(x) = 0. Definamos las siguientes funciones: x→0

x→0

(

f (x) 0 ( g(x) G(x) = 0 F(x) =

si x > 0, x ∈ I si x = 0. si x > 0, x ∈ I si x = 0.

Las dos funciones F y G son continuas en 0 por la derecha y derivables en I \{0}. Además, del teorema de Rolle 5.2.6 se deduce que para cada x > 0 tiene que ser G(x) 6= G(0), ya que de lo contrario se tendría 0 = G0 (c) = g0 (c) para algún c. Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado, para cada x > 0, x ∈ I, existe algún c tal que 0 0, deducimos del teorema de Rolle 5.2.6 que g es inyectiva en I ∩ (0, +∞). Para cada par de puntos distintos x, y ∈ I positivos, podemos escribir b) Supongamos que l´ım+ g(x) = +∞ y que l´ım+

f (x) f (x) − f (y) g(x) − g(y) f (y) = · + . g(x) g(x) − g(y) g(x) g(x) Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado,   f (x) f 0 (c) g(y) f (y) = 0 · 1− + g(x) g (c) g(x) g(x)  0  0 f (c) 1 f (c) = 0 + − 0 · g(y) + f (y) g (c) g(x) g (c) para algún c comprendido entre x e y. Por lo tanto, 0  0  f (c) f (x) 1 f (c) g(x) − L = g0 (c) − L + g(x) − g0 (c) · g(y) + f (y) 0  0  f (c) f (c) 1 ≤ 0 − L + · |g(y)| + | f (y)| g (c) |g(x)| g0 (c) 0  0  f (c) f (c) 1 · |g(y)| + |L| · |g(y)| + | f (y)| . ≤ 0 − L + − L g (c) |g(x)| g0 (c) Sea ε > 0. Existe algún r > 0 tal que 0 ε f (c) g0 (c) − L < 2 ,

si 0 < c < r.

Fijemos y = r. Ahora existe algún δ > 0, con δ < r, tal que g(x) >

i 2 hε · |g(r)| + |L| · |g(r)| + | f (r)| , ε 2

si 0 < x < δ .

Entonces, para cada x con 0 < x < δ se tiene (teniendo en cuenta que 0 < x < c < y = r) 0  0  f (x) f (c) f (c) 1 ε ε g(x) − L ≤ g0 (c) − L + |g(x)| g0 (c) − L · |g(r)| + |L| · |g(r)| + | f (r)| < 2 + 2 = ε. Esto prueba que l´ım+

x→0

f (x) = L. g(x)

5.4. Aproximación polinómica local

99

f 0 (x) = +∞. Volvemos a la expresión x→0 g0 (x)   g(y) f (x) f 0 (c) f (y) = 0 · 1− , + g(x) g (c) g(x) g(x)

c) Supongamos que l´ım+ g(x) = +∞ y que l´ım+ x→0

donde c está comprendido entre x e y. Dado M > 0, existe algún número r > 0 tal que f 0 (c) > 2(M + 1), g0 (c)

si 0 < c < r.

Fijamos y = r y ahora existe algún δ1 > 0 tal que 1−

g(r) 1 > , g(x) 2

si 0 < x < δ1

y también algún δ2 > 0 tal que f (r) > −1, g(x)

si 0 < x < δ2 .

Elegimos δ = m´ın{r, δ1 , δ2 }. Para cada x con 0 < x < δ , teniendo en cuenta también que 0 < x < c < y = r, resulta que   f (x) f 0 (c) g(r) f (r) 1 = 0 · 1− + > 2(M + 1) · − 1 = M. g(x) g (c) g(x) g(x) 2 Esto prueba que l´ım

x→0+

f (x) = +∞. g(x)

Corolario 5.3.9. Sea I un intervalo, a ∈ I, f una función definida en I. Supongamos que: a) f es continua en a; b) para algún r > 0, f es derivable en {x ∈ I : 0 < |x − a| < r}; c) existe l´ım f 0 (x) = c. x→a

Entonces f es también derivable en a y f 0 (a) = c. Demostración. Basta aplicar la regla de L’Hospital 5.3.8 a las funciones F y G dadas por F(x) = f (x) − f (a), G(x) = x − a.

5.4.

Aproximación polinómica local

5.4.1.

Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-Young

Definición 5.4.1 (derivadas de orden superior). Sea f una función derivable en un conjunto D. Dado c ∈ D ∩ D0 , si la función derivada f 0 es derivable en c se dice que f es dos veces derivable en c, y la derivada de f 0 en c, que se denota por f 00 (c), se llama derivada segunda de f en c. Se dice que f es dos veces derivable en un conjunto D si es dos veces derivable en cada punto de D. Si esto sucede, la función f 00 definida en D, que asocia a cada x ∈ D el valor f 00 (x) se llama función derivada segunda de f en D. Reiterando, se define para cada n ∈ N el concepto de función n veces derivable en un punto, en un conjunto, la derivada de orden n en un punto, que se escribe f (n) (c), y la función derivada de orden n.

100

Capítulo 5. Derivación

Teorema 5.4.2 (de Taylor-Young). Sea I un intervalo, c un punto de I, f una función definida en I. Supongamos que f es derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 (n ≥ 1) y que existe f (n) (c). Entonces " # 1 f 00 (c) f (n) (c) 0 2 n f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − l´ım (x − c) − · · · − (x − c) = 0. x→c (x − c)n 2 n! Demostración. Lo probamos por inducción sobre n. Fijados I y c ∈ I, sea Pn la propiedad: dada una función f : I → R derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 y tal que existe f (n) (c), se verifica " # 00 (c) (n) (c) 1 f f l´ım f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n! La propiedad P1 es cierta, puesto que tenemos entonces una función f derivable en c y, por la definición de derivada en un punto, será    1  f (x) − f (c) 0 0 l´ım f (x) − f (c) − f (c)(x − c) = l´ım − f (c) = 0. x→c (x − c) x→c (x − c) Veamos ahora que si es cierta Pn , también lo es Pn+1 . Sea f : I → R una función derivable en todos los puntos hasta el orden n y tal que existe f (n+1) (c). Su función derivada f 0 : I → R es una función derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 para la que existe la derivada de orden n en c. Aplicando la hipótesis de inducción a f 0 , " # 000 (c) (n+1) (c) 1 f f l´ım f 0 (x) − f 0 (c) − f 00 (c)(x − c) − (x − c)2 − · · · − (x − c)n = 0. x→c (x − c)n 2 n! Definamos F : I → R por F(x) = f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) −

f 00 (c) f (n) (c) f (n+1) (c) (x − c)2 − · · · − (x − c)n − (x − c)n+1 . 2 n! (n + 1)!

La función F es derivable en cada x ∈ I con derivada F 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (c) − f 00 (c)(x − c) −

f (n+1) (c) f 000 (c) (x − c)2 − · · · − (x − c)n ; 2 n!

teniendo en cuenta la regla de L’Hospital 5.3.8 se deduce que existe " # f 00 (c) f (n+1) (c) 1 0 2 n+1 f (x) − f (c) − f (c)(x − c) − (x − c) − · · · − (x − c) l´ım x→c (x − c)n+1 2 (n + 1)! F(x) F 0 (x) = l´ ı m = 0. x→c (x − c)n+1 x→c (n + 1)(x − c)n

= l´ım

Podemos expresar el teorema 5.4.2 de Taylor-Young de otras formas, introduciendo algunos conceptos nuevos. Definición 5.4.3. Dada una función f derivable n veces en un punto c, se llama polinomio de Taylor en c de orden n al polinomio Pn,c, f (x) = f (c) + f 0 (c)(x − c) +

f 00 (c) f (n) (c) (x − c)2 + · · · + (x − c)n 2 n!

(nótese que se trata de un polinomio de grado menor o igual que n).

5.4. Aproximación polinómica local

101

Entonces, la fórmula del teorema 5.4.2 de Taylor-Young se puede escribir así: l´ım

x→c

f (x) − Pn,c, f (x) = 0. (x − c)n

Si definimos   f (x) − Pn,c, f (x) , si x 6= c (x − c)n u(x) =  0, si x = c entonces la fórmula del teorema 5.4.2 de Taylor-Young es: f (x) = Pn,c, f (x) + (x − c)n u(x), con una función u continua en c y u(c) = 0. También se suele usar la notación o pequeña de Landau: Definición 5.4.4. Si f y g son dos funciones, se dice que f (x) = o(g(x)) cuando x → c si f (x) = 0. x→c g(x) l´ım

También se escribe f (x) = h(x) + o(g(x)) si f (x) − h(x) = o(g(x)), es decir, si l´ım

x→c

f (x) − h(x) = 0. g(x)

Con esto, la fórmula del teorema 5.4.2 de Taylor-Young es f (x) = Pn,c, f (x) + o((x − c)n ),

x → c.

1 + x + x2 1+x 1 1−x

La función

1 y sus polinomios de Taylor en 0 de grado 1 y 2 1−x

Es interesante saber que para una función dada solo puede haber un polinomio de grado menor o igual que n que cumpla esa condición, como pasamos a demostrar. Proposición 5.4.5 (unicidad de la aproximación polinómica). Sea I un intervalo, c ∈ I, f : I → R, n ∈ N. Supongamos que existen polinomios P y Q de grado menor o igual que n tales que l´ım

x→c

Entonces P = Q.

f (x) − Q(x) f (x) − P(x) = l´ım =0 n x→c (x − c)n (x − c)

102

Capítulo 5. Derivación

Demostración. Como P − Q es un polinomio de grado menor o igual que n, se tendrá que P(x) − Q(x) = b0 + b1 (x − c) + · · · + bn (x − c)n para ciertos coeficientes b0 , b1 , . . . , bn . Y como P(x) − Q(x) [ f (x) − Q(x)] − [ f (x) − P(x)] = l´ım = 0, n x→c (x − c) x→c (x − c)n l´ım

resulta en primer lugar que b0 = l´ım[P(x) − Q(x)] = l´ım x→c

x→c

P(x) − Q(x) · (x − c)n = 0. (x − c)n

Luego realmente P(x) − Q(x) = b1 (x − c) + · · · + bn (x − c)n . Pero entonces

P(x) − Q(x) P(x) − Q(x) = l´ım · (x − c)n−1 = 0, x→c x→c (x − c)n x−c

b1 = l´ım y reiterando el proceso,

b2 = · · · = bn = 0, es decir, P = Q. Este resultado permite denominar a P el desarrollo polinómico de f de orden n en el punto c (se usa también el nombre de desarrollo limitado). No toda función admite un desarrollo polinómico; el teorema 5.4.2 de Taylor-Young da una condición suficiente, aunque no necesaria, para su existencia. Ejemplo. La función  cos x + x3 sen 1 f (x) = x 1

si x 6= 0 si x = 0

no tiene derivada segunda en el origen, pero es fácil comprobar que 1 f (x) = 1 − x2 + o(x2 ) 2 cuando x → 0. Ejemplo. La función ( x2 log x f (x) = 0

si x 6= 0 si x = 0

es derivable en el origen, y por tanto admite un desarrollo polinómico en el origen de orden 1. Sin embargo, no admite desarrollos polinómicos de orden superior a 1. Observación. En algunas ocasiones, podemos calcular derivadas n-ésimas en un punto a partir del teorema 5.4.2 de Taylor-Young y de la unicidad del desarrollo. Por ejemplo, sea f (x) = 1/(1 − x). Como 1 x7 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + 1−x 1−x 7 x y es una o(x6 ) cuando x → 0, se deduce que 1−x P6,0, f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 . Es decir, f (0) = f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 2, f 000 (0) = 3!, f (4) (0) = 4!, f (5) (0) = 5!, f 6 (0) = 6!.

5.4. Aproximación polinómica local

103

Si conocemos el desarrollo polinómico de la derivada de una función podemos obtener fácilmente un desarrollo polinómico para la función misma. Concretamente: Proposición 5.4.6. Sea I un intervalo, c ∈ I, f : I → R, n ∈ N. Supongamos que f es continua en I y derivable en I \ {c}. Si f 0 (x) = a0 + a1 (x − c) + · · · + an (x − c)n + o ((x − c)n ) ,

x → c,

entonces f (x) = f (c) + a0 (x − c) +


a1 an (x − c)2 + · · · + (x − c)n+1 + o (x − c)n+1 , 2 n+1

x → c.

Demostración. Es una consecuencia inmediata de la regla de L’Hospital 5.3.8: l´ım

x→c

5.4.2.

an f (x) − f (c) − a0 (x − c) − a21 (x − c)2 − · · · − n+1 (x − c)n+1 (x − c)n+1 f 0 (x) − a0 − a1 (x − c) − · · · − an (x − c)n = 0. = l´ım x→c (n + 1)(x − c)n

Aplicación al cálculo de límites

Corolario 5.4.7. Sea I un intervalo, c un punto de I, f una función definida en I. Supongamos que f es derivable en todos los puntos hasta el orden n − 1 (n ≥ 1) y que existe f (n) (c). Si f (n) (c) 6= 0, entonces f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) −

f 00 (c) f (n−1) (c) f (n) (c) (x − c)2 − · · · − (x − c)n−1 ∼ (x − c)n , 2 (n − 1)! n!

x → c.

Demostración. Basta tener en cuenta que para x → c, f 00 (c) f (n−1) (c) 2 n−1 2 (x − c) − · · · − (n−1)! (x − c) ( f (n) (c)/n!)(x − c)n

f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) −

(n) f (n−1) (c) n−1 − f (c) (x − c)n n! (n−1)! (x − c) (n) n ( f (c)/n!)(x − c)

f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c) − · · · − =

−1 −→ 0.

Nota. Las equivalencias que vimos para funciones elementales se obtienen como caso particular de este corolario, conociendo los valores de las derivadas de tales funciones. Además, podemos afinar esas equivalencias, lo que resulta especialmente útil cuando hay que manejar sumas o diferencias de funciones conocidas. Observación. Este resultado, junto con el teorema 5.4.2 de Taylor-Young, permite en muchos casos resolver con comodidad indeterminaciones del tipo “0/0” en el cálculo de límites. Disponemos así de procedimientos que en algunos casos sustituyen con ventaja a la aplicación repetida de la regla de L’Hospital 5.3.8. Ejemplo. Calculemos el límite 1 6 x (sen x − x)2 − 36 . 8 x→0 x

l´ım

Para empezar, utilizando el teorema 5.4.2 de Taylor-Young, se deduce que 1 1 5 sen x = x − x3 + x + o(x5 ), 6 120

104

Capítulo 5. Derivación

cuando x → 0. Por lo tanto, 1 5 1 x + o(x5 ), sen x − x = − x3 + 6 120 cuando x → 0. Elevando al cuadrado, es fácil comprobar que (sen x − x)2 =

1 6 1 8 x − x + o(x8 ) 36 360

cuando x → 0. Entonces, 1 6 (sen x − x)2 − 36 x 1 o(x8 ) =− + 8 8 x 360 x

cuando x → 0 y, finalmente, 1 6 x (sen x − x)2 − 36 1 =− . 8 x→0 x 360

l´ım

5.4.3.

Fórmula de Taylor con resto

Seguimos la exposición de [O RTEGA, pág. 119 y sigs.]. Teorema 5.4.8 (de Taylor). Sea f una función n + 1 veces derivable en un intervalo I. Entonces, dados a, x ∈ I, se cumple f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +

f 00 (a) f (n) (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n + Rn (x, a) 2 n!

(esta expresión se llama fórmula de Taylor), donde Rn (x, a) (resto de Taylor o término complementario) es una función que depende de x y de a y que puede expresarse de las siguientes formas: a) Término complementario de Lagrange: existe un punto s interior al intervalo de extremos a y x [equivalentemente: existe un s = λ a + (1 − λ )x con λ ∈ (0, 1)] tal que Rn (x, a) =

f (n+1) (s) (x − a)n+1 . (n + 1)!

(5.2)

b) Término complementario de Cauchy: existe un punto c interior al intervalo de extremos a y x [equivalentemente: existe un c = λ a + (1 − λ )x con λ ∈ (0, 1)] tal que Rn (x, a) =

f (n+1) (c) (x − a)(x − c)n . n!

(5.3)

Demostración. Está claro que # (n) (a) 00 (a) f f (x − a)2 + · · · + (x − a)n . Rn (x, a) = f (x) − f (a) + f 0 (a)(x − a) + 2 n! "

Lo que hay que probar es que Rn (x, a) puede escribirse como en (5.2) y (5.3) (fórmulas de Lagrange y de Cauchy, respectivamente). Definamos h : I → R de la siguiente manera: h(t) = f (t) + (x − t) f 0 (t) + (x − t)2

f 00 (t) f (n−1) (t) f (n) (t) + · · · + (x − t)n−1 + (x − t)n 2 (n − 1)! n!

5.4. Aproximación polinómica local

105

(obsérvese que la variable es t, y que x es una constante). Según las hipótesis, h es derivable en I. Además, para cada t ∈ I,     f 000 (t) h0 (t) = f 0 (t) + − f 0 (t) + (x − t) f 00 (t) + −(x − t) f 00 (t) + (x − t)2 +... 2 # " # " (n) (t) (n−1) (t) (n) (t) (n+1) (t) f f f f + −(x − t)n−1 + −(x − t)n−2 + (x − t)n−1 + (x − t)n (n − 2)! (n − 1)! (n − 1)! n! = (x − t)n

f (n+1) (t) . n!

Demostremos ahora las fórmulas de Lagrange y de Cauchy, empezando por esta última. b) Por el teorema 5.2.7 del valor medio, existe algún c comprendido entre x y a tal que h(x) = h(a) + h0 (c)(x − a), es decir, f (x) = f (a) + (x − a) f 0 (a) + (x − a)2 + (x − c)n

f 00 (a) f (n−1) (a) f (n) (a) + · · · + (x − a)n−1 + (x − a)n 2 (n − 1)! n!

f (n+1) (c) (x − a). n!

Esto demuestra la fórmula de Cauchy para el resto Rn (x, a). a) Ahora consideremos la función g(t) = (x − t)n+1 . Por el teorema 5.3.7 del valor medio generalizado, existe algún s comprendido entre x y a tal que h(x) − h(a) h0 (s) (x − s)n f (n+1) (s) f (n+1) (s) = 0 =− = − , g(x) − g(a) g (s) n!(n + 1)(x − s)n (n + 1)! es decir, f (x) = h(x) = h(a) −

f (n+1) (s) [g(x) − g(a)] (n + 1)!

= f (a) + (x − a) f 0 (a) + (x − a)2 +

f (n−1) (a) f (n) (a) f 00 (a) + · · · + (x − a)n−1 + (x − a)n 2 (n − 1)! n!

f (n+1) (s) (x − a)n+1 . (n + 1)!

Esto demuestra la fórmula de Lagrange para el resto Rn (x, a). El resto de Taylor es el error cometido al sustituir la función por su polinomio de Taylor. El teorema 5.4.8 proporciona expresiones explícitas del resto, muy útiles en la práctica para controlar ese error. Nótese que los resultados obtenidos pueden reescribirse del siguiente modo: f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + · · · + = f (a) + f 0 (a)(x − a) + · · · +

f (n+1) (s) f (n) (a) (x − a)n + (x − a)n+1 n! (n + 1)! f (n) (a) f (n+1) (c) (x − a)n + (x − a)(x − c)n n! n!

para s, c adecuados. La fórmula de Taylor-Young nos daba también una expresión del resto de Taylor, aunque menos informativa sobre su tamaño: tan solo da idea de su comportamiento en el límite (aunque con menos exigencias sobre la función).

106

Capítulo 5. Derivación

Aplicación. El número e es irracional. Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo: supongamos que e = ab , con a, b ∈ N y lleguemos a una contradicción. Tomamos un número n ∈ N que cumpla n ≥ b y n ≥ e. Aplicamos el teorema 5.4.8 de Taylor, con la fórmula (5.3) para el resto, a la función exp en el punto a = 0; para todo j ∈ N, exp( j) (0) = exp(0) = 1. Luego 1 1 1 es ex = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + , 2 3! n! (n + 1)! donde s es un número comprendido entre 0 y x. Sustituimos x = 1: 1 1 1 es e = 1+1+ + +···+ + , 2 3! n! (n + 1)! donde 0 < s < 1. Por lo tanto, a 1 1 1 es −1−1− − −···− = . b 2 3! n! (n + 1)! Como b ≤ n, el miembro de la izquierda se puede reunir en una sola fracción con denominador n!: K es = , n! (n + 1)! y, multiplicando por n!, K=

es . n+1

Aquí, K es un número entero. Ahora bien, exp(s) > 0 para cualquier s ∈ R; luego K es un número natural y por lo tanto es 1≤K≤ . n+1 Además, la función exp es esctrictamente creciente y 0 < s < 1, luego es < e. De aquí se deduce que 1<

e , n+1

es decir, n + 1 < e, lo que no es cierto. Hemos llegado a una contradicción. Luego el numero e tiene que ser irracional. Nota. La fórmula y el polinomio de Taylor se llaman de Taylor-Maclaurin en el caso particular a = 0. Algunos desarrollos de Taylor-Maclaurin. A continuación indicamos los desarrollos de las principales funciones elementales. En unos casos es la fórmula de Taylor-Maclaurin (con la fórmula de Lagrange del resto) y en otros la fórmula de Taylor-Young, es decir, con la notación de la o pequeña de Landau. a)

1 1 = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + xn+1 1−x (1 − t)n+2

b) ex = 1 + x +

1 et 1 2 1 3 x + x + · · · + xn + xn+1 2! 3! n! (n + 1)!

1 1 (−1)n+1 n (−1)n xn+1 1 c) log(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + · · · + x + 2 3 4 n (n + 1)(1 + t)n+1  
α(α − 1) 2 α n xn+1 α α d) (1 + x) = 1 + αx + x +···+ x + n+1 2! n (1 + t)n+1−α

5.4. Aproximación polinómica local

107

e) sen x = x −

1 3 1 5 1 7 (−1)n 2n+1 (−1)n+1 cost 2n+3 x + x − x +···+ x + x 3! 5! 7! (2n + 1)! (2n + 3)!

f) cos x = 1 −

1 2 1 4 1 6 (−1)n 2n (−1)n+1 cost 2n+2 x + x − x +···+ x + x 2! 4! 6! (2n)! (2n + 2)!

1 2 17 7 g) tg x = x + x3 + x5 + x + o(x8 ) 3 15 315 5 61 6 1 x + o(x7 ) h) sec x = 1 + x2 + x4 + 2 24 720 1 3 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x2n+1 i) arc sen x = x + x3 + x5 + · · · + · + o(x2n+2 ) 6 40 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2n + 1 1 1 (−1)n 2n+1 1 x + o(x2n+2 ) j) arc tg x = x − x3 + x5 − x7 + · · · + 3 5 7 2n + 1 k) senh x = x +

1 3 1 5 1 7 1 cosht 2n+3 x + x + x +···+ x2n+1 + x 3! 5! 7! (2n + 1)! (2n + 3)!

l) cosh x = 1 +

1 2 1 4 1 6 1 2n cosht 2n+2 x + x + x +···+ x + x 2! 4! 6! (2n)! (2n + 2)!

1 2 17 7 m) tgh x = x − x3 + x5 − x + o(x8 ) 3 15 315 1 3 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x2n+1 n) arg senh x = x − x3 + x5 + · · · + (−1)n · + o(x2n+2 ) 6 40 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2n + 1 1 1 1 1 x2n+1 + o(x2n+2 ) ñ) arg tgh x = x + x3 + x5 + x7 + · · · + 3 5 7 2n + 1 1

−π

−π/2

π/2

π

−1 La función seno y su polinomio de Taylor-Maclaurin de quinto grado

5.4.4.

Extremos relativos

Recordemos que, por definición, una función f : D → R tiene en un punto a ∈ D un máximo relativo si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ es f (a) ≥ f (x). Se dice que el máximo relativo es estricto si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ es f (a) > f (x). Análogamente, f tiene un mínimo relativo en a si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con |x − a| < δ es f (a) ≤ f (x). Y es un mínimo relativo estricto si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ es f (a) < f (x). Se dice que f tiene un extremo relativo en a si tiene en a un máximo relativo o un mínimo relativo.

108

Capítulo 5. Derivación

Según la proposición 5.2.3, si una función f : D ⊆ R → R tiene un extremo relativo en un punto interior de D y es derivable en ese punto, entonces la derivada de f en ese punto tiene que ser 0. Tenemos así una condición necesaria para la existencia de extremos relativos que, según sabemos, no es condición suficiente. Usando el teorema 5.4.2 de Taylor-Young se puede dar una condición suficiente mediante las derivadas de orden superior. Teorema 5.4.9 (condiciones para la existencia de extremos relativos). Sea f una función derivable n − 1 veces (n > 1) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) y además f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,

f (n) (a) 6= 0.

Entonces: a) n par, f (n) (a) > 0 =⇒ f tiene en a un mínimo relativo estricto; b) n par, f (n) (a) < 0 =⇒ f tiene en a un máximo relativo estricto; c) n impar =⇒ f no tiene un extremo relativo en a. Demostración. Observemos que podemos aplicar el corolario 5.4.7 y, por lo tanto, f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) −

f 00 (a) f (n−1) (a) f (n) (a) (x − a)2 − · · · − (x − a)n−1 ∼ (x − a)n , 2 (n − 1)! n!

x → a.

Como f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, quedará f (x) − f (a) ∼ de donde l´ım

x→a

f (n) (a) (x − a)n , n!

x → a,

f (n) (a) f (x) − f (a) = . (x − a)n n!

Puesto que f (n) (a) 6= 0 se sigue que, para algún r > 0, se cumplirá para todo x ∈ I con 0 < |x − a| < r que f (x) − f (a) f (n) (a) signo = signo = signo f (n) (a). (x − a)n n! Estudiemos ahora los distintos casos posibles. a) Si n es par y f (n) (a) > 0, para los x ∈ I con 0 < |x − a| < r es signo( f (x) − f (a)) = signo

f (x) − f (a) = signo f (n) (a). (x − a)n

ya que por ser n par, se tiene (x − a)n > 0. Luego para todo x ∈ I con 0 < |x − a| < r queda f (x) > f (a) y f tiene en a un mínimo relativo estricto. b) Si n es par y f (n) (a) < 0, se procede de la misma manera y se llega a que f tiene en a un máximo relativo estricto. c) Si n es impar, entonces (x − a)n < 0 si x < a; y (x − a)n > 0 si x > a. Luego f (x) − f (a) tiene un signo si x ∈ I ∩ (a − r, a) y el signo contrario si x ∈ I ∩ (a, a + r). Por lo tanto, f no tiene un extremo relativo en a.

5.4. Aproximación polinómica local

5.4.5.

109

Convexidad y concavidad

Sea I un intervalo y f : I −→ R una función. Recordemos que si a y b son dos puntos distintos de I, la recta (en R2 ) que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) tiene la ecuación: y(x) = f (a) +

f (b) − f (a) (x − a) b−a

y(x) = f (b) +

f (b) − f (a) (x − b). b−a

o, de otra manera,

Definición 5.4.10. Sea f : I −→ R, I un intervalo. Se dice que f es convexa en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene f (c) ≤ f (a) +

f (b) − f (a) (c − a) b−a

(es decir, la gráfica de f está por debajo de todas las cuerdas) o, lo que es igual, f (c) − f (a) f (b) − f (a) ≤ c−a b−a (es decir, la pendiente de la cuerda crece al crecer una de las abscisas). Se dice que f es cóncava en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene f (c) ≥ f (a) +

f (b) − f (a) (c − a) b−a

o, lo que es igual, f (b) − f (a) f (c) − f (a) ≥ . c−a b−a Observación. Que c ∈ (a, b) equivale a que c = λ a + (1 − λ )b, con λ ∈ (0, 1). Es fácil ver entonces que f (b) − f (a) f (c) ≤ f (a) + (c − a) ⇐⇒ f (c) ≤ λ f (a) + (1 − λ ) f (b). b−a

Función convexa

Función cóncava

El siguiente resultado se deduce inmediatamente de las definiciones. Proposición 5.4.11. Sea f : I −→ R, I un intervalo. La función f es cóncava en I si y solo si − f es convexa en I. Teorema 5.4.12. Sea f una función derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes:

110

Capítulo 5. Derivación

a) f es convexa en I; b) la gráfica de f está por encima de sus tangentes: f (b) ≥ f (a) + f 0 (a)(b − a)

∀ a, b ∈ I;

c) f 0 es no decreciente en I. Demostración. a) =⇒ b): sean a, b ∈ I; supongamos que a < b. Entonces, para todo x ∈ (a, b) se tiene f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ ; x−a b−a puesto que f es derivable en a, haciendo x −→ a+ se obtiene f 0 (a) ≤

f (b) − f (a) b−a

y como b − a > 0, resulta f 0 (a)(b − a) + f (a) ≤ f (b), como teníamos que demostrar. Si, por el contrario, b < a, entonces se tiene para todo x ∈ (b, a) f (x) ≤ f (b) +

f (a) − f (b) f (b) − f (a) (x − b) = f (a) + (x − a), a−b b−a

de donde, haciendo x −→ a− , f 0 (a) ≥

f (b) − f (a) ; b−a

y como b − a < 0, resulta también en este caso f 0 (a)(b − a) + f (a) ≤ f (b). b) =⇒ c): sean a, b ∈ I, a < b. Por hipótesis, f 0 (a)(b − a) ≤ f (b) − f (a) y, cambiando los papeles de a y b, f (b) − f (a) ≤ f 0 (b)(b − a); luego f 0 (a)(b − a) ≤ f 0 (b)(b − a) y, por ser b − a > 0, f 0 (a) ≤ f 0 (b). Es decir, f 0 es no decreciente. c) =⇒ a): sean a, b, c ∈ I, a < c < b. Por el teorema 5.2.7 del valor medio, ∃ α ∈ (a, c) tal que f (c) − f (a) = f 0 (α)(c − a); ∃ β ∈ (c, b) tal que f (b) − f (c) = f 0 (β )(b − c). Por hipótesis, f 0 (α) ≤ f 0 (β ), luego f (b) − f (a) = f 0 (α)(c − a) + f 0 (β )(b − c) ≥ f 0 (α)(c − a) + f 0 (α)(b − c) = f 0 (α)(b − a) =

f (c) − f (a) (b − a); c−a

como b − a > 0, se deduce que f (c) − f (a) f (b) − f (a) ≤ . c−a b−a Y f es convexa. Corolario 5.4.13. Sea f derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes:

5.4. Aproximación polinómica local

111

a) f es cóncava en I; b) la gráfica de f está por debajo de sus tangentes: f (b) ≤ f (a) + f 0 (a)(b − a)

∀ a, b ∈ I;

c) f 0 es no creciente en I. Corolario 5.4.14. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes: a) f es convexa en I; b) f 00 (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Corolario 5.4.15. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes: a) f es cóncava en I; b) f 00 (x) ≤ 0 para todo x ∈ I. Definición 5.4.16. Sea f una función y sea a ∈ dom f . Se dice que f tiene en a un punto de inflexión si existe δ > 0 tal que (a−δ , a+δ ) ⊆ dom f y o bien f es convexa en (a−δ , a] y cóncava en [a, a+δ ), o bien es cóncava en (a − δ , a] y convexa en [a, a + δ ).

a El punto a es un punto de inflexión

Proposición 5.4.17. Sea f : D ⊆ R → R y a un punto interior de D. Supongamos que f es derivable en un intervalo abierto I ⊆ D tal que a ∈ I. Entonces, si f tiene un punto de inflexión en a y existe f 00 (a), necesariamente f 00 (a) = 0. Demostración. Por hipótesis existe δ > 0 tal que f es convexa en (a − δ , a] y cóncava en [a, a + δ ) (si es al revés, se procede de manera análoga). A su vez, para algún ρ > 0 se tendrá (a − ρ, a + ρ) ⊆ I. Haciendo r = m´ın{δ , ρ}, la función f es derivable en (a − r, a + r) ⊆ I, convexa en (a − r, a] y cóncava en [a, a + r). En consecuencia la función f 0 es monótona no decreciente en (a − r, a] y monótona no creciente en [a, a + r), por lo que tiene en a un máximo relativo; como f 0 es derivable en a, su derivada se anula; es decir, f 00 (a) = 0. Observación. Aun suponiendo que f sea derivable en a, que f tenga en a un punto de inflexión no tiene ninguna relación con el valor de f 0 (a) y, en particular, no tiene por qué ser f 0 (a) = 0.

112

Capítulo 5. Derivación

Proposición 5.4.18 (condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión). Sea f una función derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) y además f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,

f (n) (a) 6= 0.

Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexión. Demostración. Por el corolario 5.4.7 (aplicado a la función f 00 ), f 00 (x) ∼

( f 00 )(n−2) (a) (x − a)n−2 , (n − 2)!

luego f (n) (a) f 00 (x) = 6= 0 x→a (x − a)n−2 (n − 2)! l´ım

y f 00 (x)/(x − a)n−2 tiene signo constante en (a − δ , a + δ ) \ {a} para algún δ > 0; por ser n − 2 impar, resulta que f 00 tiene un signo en (a − δ , a) y el otro en (a, a + δ ). Como f 00 (a) = 0, se deduce que o bien f es convexa en (a − δ , a] y cóncava en [a, a + δ ) o al revés. Es decir, f tiene un punto de inflexión en a. Corolario 5.4.19. Sea f una función derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n) (a) y además f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,

f (n) (a) 6= 0.

Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexión con tangente horizontal y no un extremo local. Demostración. Ver la proposición 5.4.18 y el teorema 5.4.9.

5.4.6.

Representación gráfica de funciones

Si f es una función real de una variable real, su estudio y representación gráfica puede sistematizarse en los siguientes pasos (de los que han de llevarse a cabo tan solo los que resulten imprescindibles para responder a las cuestiones que se traten de resolver, y siempre de la manera más sencilla posible): 1) Generalidades. a) Determinación de su dominio. b) Simplificación del estudio: paridad [ f (−x) = f (x)] o imparidad [ f (−x) = − f (x)]; periodicidad [ f (x + p) = f (x)]. Otras simetrías. Regiones planas sin puntos de la gráfica. c) Límites de la función en puntos del dominio; continuidad. d) Límites de la función en los puntos de acumulación del dominio que no pertenezcan a él. En particular, asíntotas verticales: si para algún punto a de acumulación del dominio de f se cumple l´ım− f (x) = +∞, la recta x = a es una asíntota vertical (lo mismo si el límite x→a

es −∞ o si el límite es por la derecha). e) Comportamiento en el infinito: asíntotas horizontales y oblicuas. • Si el dominio de f no está acotado superiormente y para algún b ∈ R es l´ım f (x) = x→+∞

b, la recta y = b es una asíntota horizontal.

5.4. Aproximación polinómica local

113

• Si existen a, b ∈ R tales que l´ım [ f (x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es una x→+∞

asíntota oblicua. En este caso, a = l´ım

x→+∞

f (x) , x

b = l´ım [ f (x) − ax]. x→+∞

Una asíntota horizontal es un caso particular de asíntota oblicua, con a = 0. f (x) , la recta y = ax es una dirección asintótica de • Si existe a ∈ R tal que a = l´ım x→+∞ x la gráfica (aun cuando no exista asíntota). En este caso, si l´ım [ f (x) − ax] = +∞ se x→+∞

dice que la gráfica de f tiene una rama parabólica de dirección asintótica y = ax. • Lo mismo para x → −∞ (si el dominio de f no está acotado inferiormente).

Asíntota horizontal, vertical y oblicua

f) Crecimiento y decrecimiento. 2) Estudio de la derivada. a) Derivabilidad de la función. Puntos con tangente vertical. b) Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento; extremos relativos y absolutos. c) Crecimiento y decrecimiento de la derivada: convexidad y concavidad; puntos de inflexión. d) Puntos críticos o singulares. 3) Estudio de la derivada segunda. a) Existencia de la derivada segunda. b) Signo de la derivada segunda: convexidad y concavidad; puntos de inflexión. 4) Otras consideraciones: valores particulares de la función o de sus derivadas; cortes con los ejes; cortes con las asíntotas.

114

Capítulo 5. Derivación

5.5.

Ejercicios

Ejercicio 5.1 (derivadas sucesivas de un producto: regla de Leibniz). Sea I un intervalo, c un punto de I, f y g funciones definidas en I. Dado n ∈ N, si f y g son funciones derivables hasta el orden n en el punto c, entonces el producto f g es derivable hasta el orden n en el punto c, y se tiene n   n (k) (n) ( f g) (c) = ∑ f (c)g(n−k) (c). k k=0 Ejercicio 5.2. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y hallar f 0 (x), f 00 (x), donde sea posible. ( p x2 , si x ≤ 0 c) f (x) = |x|3 a) f (x) = |x| b) f (x) = 2 −x , si x > 0 Ejercicio 5.3. Hallar y0 , simplificando si es posible, en los siguientes casos: a) c)

sen x + cos x sen x − cos x √ y(x) = log(x + x2 + 1) y(x) =

b)

y(x) = (x2 + 1) arc tg x

d)

√ y(x) = log(x + x2 − 1)

f)

y(x) = x1/ log x

r

e) g) i)

1 − cos x 1 + cos x r 1−x y(x) = arc tg 1+x sen a sen x y(x) = arc sen 1 − cos a cos x y(x) = log

h) j)

√ 1 2x + 1 y(x) = log x2 + x + 1 − √ arc tg √ 3 3 √ y(x) = x arc sen x + 1 − x2

Ejercicio 5.4. Hallar el número de soluciones reales que tienen las siguientes ecuaciones y dos enteros consecutivos entre los que se encuentra cada solución: a) 3x5 + 15x − 8 = 0 b) 2x3 − 9x2 + 12x = −1 c) x5 − 5x = 1 3−x = x

d)

e)

ex = 1 + x

f)

x5 + 2x + 1 = 0

Ejercicio 5.5. Demostrar las siguientes desigualdades: x3 x3 < arc tg x < x − , 3 6

a)

x−

c)

x < log(1 + x) < x, 1+x

e)

tg x > x +

g)

x−

x3 , 3

x ∈ (0, 1]

b)

ex > ex,

x > −1, x 6= 0

d)

2x < sen 2x + tg x,

f)

ex ≥ 1 + x +

x ∈ (0, π/2)

x3 < sen x < x, 6

x 6= 1

x2 , 2

x ∈ (0, π/2) x≥0

x>0

Ejercicio 5.6. Demostrar que arc tg x − arc tg y < x − y, si x > y. Deducir que la función arc tg es uniformemente continua en R. Ejercicio 5.7. Probar que arc sen x + arc cos x =

π para todo x ∈ [−1, 1]. 2

1 Ejercicio 5.8. Probar que arc cos √ = arc tg x para todo x ≥ 0. ¿Y si x < 0? 1 + x2

5.5. Ejercicios

115

Ejercicio 5.9. Sean f , g : [0, 1] → R continuas en [0, 1], derivables en (0, 1), con f (0) = 0, g(0) = 2 y | f 0 (x)| ≤ 1, |g0 (x)| ≤ 1 para todo x ∈ (0, 1). Probar que f (x) ≤ g(x) para cada x ∈ [0, 1]. Ejercicio 5.10. Calcular los siguientes límites: a) c) e)

log x = 0 (ε > 0) x→+∞ xε   1 ctg x 1 l´ım 2 − = x→0 x x 3 l´ım

i) k) m) ñ) p)

d)

l´ım+ (log ctg x)tg x = 1

f)

x→0

 g)

b)

l´ım

x→0

1 1 √ − 2 log(x + 1 + x ) log(1 + x)



1 =− 2

l´ım log(1 + sen2 x) ctg log2 (1 + x) = 1

j)

x→0

2 + 2x + sen 2x (6 ∃) (2x + sen 2x)esen x   1 cosh x 1 sen x l´ım+ x − =− 2 x x senh x 3 x→0

l)

l´ım

x→+∞

l´ım

x(ex + 1) − 2(ex − 1) x3

x→0

l´ım

e − (1 + x)1/x x

x→0

=

h)

l´ım xa log x = 0

l´ım (2 − x)tg(πx/2) = e2/π

x→1

l´ım x1/(1−x) = 1/e

x→1

  1 l´ım ctg x − =0 x→0 x l´ım e1/(1−cos x) sen x x

l´ım+ x1/ log(e −1) = e

x→0

l´ım

x→0



1 = 6

o)

e 2

q)

(6 ∃)

x→0

 n)

(a > 0)

x→0+

l´ım

x→1

1 1 − x x e −1



1 1 − log x x − 1

=

1 2

 =

1 2

sen 3x2 = −6 x→0 log cos(2x2 − x) l´ım

Ejercicio 5.11. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: a)

f (x) = 4x3 − 21x2 + 18x + 20

c)

f (x) =

e)

f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 12

2x 1 + x2

b)

f (x) = sen x + cos x,

d)

f (x) = cos x − x

f)

f (x) = x2 e−x

x ∈ [0, 2π]

Ejercicio 5.12. Hallar los extremos relativos de las funciones siguientes: √ p p 3 2 3 2 a) f (x) = 3 x − x b) f (x) = (x − 1)2 + 3 (x + 1)2 c)

f (x) = 2x3 − 15x2 − 82x + 8

e)

f (x) = ex sen x,

d)

f (x) = 2 sen x + cos 2x

x ∈ [−2, 2]

Ejercicio 5.13. Hallar los máximos y mínimos absolutos, si existen, en los casos siguientes: a) f (x) = x3 − x2 − 8x + 1, en [−2, 2] b) f (x) = x5 + x + 1, en [−1, 1] c)

f (x) = arc sen(1 + x), en su dominio

d)

2

f (x) = e−x , en [−1, 1], (0, 1) y R f)  x4 sen2 1 si x 6= 0, Ejercicio 5.14. Sea f (x) = x 0 si x = 0. e)

a) Demostrar que f tiene en 0 un mínimo local.

f (x) =

1 , en (0, 1], [0, 1] y R 2x4 − x + 1

f (x) = x2 log x, en [e−1 , e] y (0, +∞)

116

Capítulo 5. Derivación

b) Demostrar que f 0 (0) = f 00 (0) = 0 y que no existe f 000 (0). Ejercicio 5.15. Sea f (x) = ax −

x3 . Probar que f es creciente en R si y solo si a ≥ 9/8. 1 + x2

Ejercicio 5.16. ¿Qué número es mayor, eπ o π e ? Probar que si x > e, entonces ex > xe . Ejercicio 5.17. Escribir x4 + x3 − 3x2 + 4x − 4 como una suma de potencias de (x − 1). Escribir x4 − 11x3 + 43x2 − 60x + 14 como una suma de potencias de (x − 3). Ejercicio 5.18. Escribir la fórmula de Maclaurin de orden n, o la de Young, de las funciones siguientes: 2 b) f (x) = (1 + ex )2 c) f (x) = xex a) f (x) = ex d)

1 f (x) = log √ 1−x

e)

f (x) = log

1+x 1−x

f (x) = (1 + x) log(1 + x)

f)

Ejercicio 5.19. Escribir la fórmula de Taylor de orden n de: a) f (x) = (2 − x)−1 , en potencias de (x − 1). b) f (x) = sen

3x , en potencias de (x − π). 2

c) f (x) = log x, en potencias de (x − 2). d) f (x) = ex , en potencias de (x − 1). √ e) f (x) = 1 + x, en potencias de (x − 3). f) f (x) = log 2x −

1 , en potencias de (x − 2). x−1

1 5 x es menor que 10−4 , Ejercicio 5.20. Probar que el error cometido al sustituir sen x por x − 16 x3 + 120 π si |x| ≤ 4 .

Ejercicio 5.21. Probar que el error cometido al sustituir sen(ex − 1) por x + 21 x2 es menor que 3 · 10−3 , 1 si |x| ≤ 10 . Ejercicio 5.22. Probar que el error cometido al sustituir cos2 (3x) por 1 − 9x2 + 27x4 es menor que 1 . 4 · 10−5 , si |x| ≤ 10 Ejercicio 5.23. Probar que el error cometido al sustituir esen x por 1 + x + 12 x2 es menor que 3 · |x|3 . f (x) es finito y no nulo (se dice entonces x→a (x − a) p que f (x) es un infinitésimo de orden p cuando x → a): a) f (x) = sen x, a = 0 b) f (x) = log(1 + x), a = 0 Ejercicio 5.24. Hallar en cada caso p ∈ N tal que l´ım

c)

f (x) = 1 − x + log x, a = 1

d)

f (x) = 1 − cos x, a = 0

e)

f (x) = tg x − sen x, a = 0

f)

f (x) =

g)

f (x) = ex − 1, a = 0

h)

f (x) = cos x − e−x

i)

f (x) = sen x2 − log(1 + x2 ), a = 0

√ x − 2, a = 4 2 /2

,a=0

5.5. Ejercicios

117

Ejercicio 5.25. Calcular los límites siguientes, utilizando la fórmula de Young: 3 sen ax − 3ax − a3 x3 1 − x + log x √ a) l´ım b) l´ım 3 3 x→0 6bx − 6 sen bx + b x x→1 1 − 2x − x2 sen x − x sen x − x cos x c) l´ım d) l´ım x→0 arc tg x − x x→0 x(x2 − sen2 x)1/2   p senh x − tg x 1+x f) l´ım e) l´ım x2 1 − x(1 + x) log x→+∞ x→0 sen x − arc sen x x √ sen x − tg x cos x − 1 − x g) l´ım h) l´ım x→0 arc sen x − arc tg x x→0 sen x i)

(sen 3x − 3 sen x)2 x→0 (cos 2x − cos x)3 l´ım

Ejercicio 5.26. Estudiar el crecimiento, los extremos y la convexidad de las siguientes funciones, y dibujar su gráfica. x3 x2 + 1 a) f (x) = b) f (x) = (x + 1)2 x2 − 4 √ 1 c) f (x) = 4x2 − x d) f (x) = log x x √ √ e f) f (x) = 3 x − 3 x + 1 e) f (x) = x g)

f (x) = tg2 x

h)

f (x) = x6 − 3x4 + 3x2 − 5

Capítulo 6

La integral de Riemann Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definición que daremos de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos integrables. En el siguiente capítulo veremos cómo, en un sentido más amplio, podemos hablar de integrales de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados. Seguimos básicamente el desarrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [ROSS, cap. VI, pág. 184 y sigs.] o en [BARTLE -S HERBERT, cap. 6, pág. 251 y sigs.]. Como complemento puede consultarse [G UZMÁN, cap. 12]. La evolución histórica de la integral está muy bien contada (sobre todo la aportación de Newton y Leibniz) en [D URÁN]; de carácter más técnico es el libro [G RATTAN -G UINNESS].

6.1.

Definición (de Darboux) de la integral de Riemann

6.1.1.

Definición de integral

Definición 6.1.1. Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b] que incluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor a mayor, comenzando en a y terminando en b: P = {xi }ni=0 ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. El conjunto de las particiones de [a, b] lo indicamos con P([a, b]). Una partición como la indicada divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ], cada uno de longitud xi − xi−1 . Definición 6.1.2 (sumas de Darboux). Sea f una función acotada definida en un intervalo [a, b], y sea P ∈ P([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n, Mi = sup{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]};

mi = ´ınf{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.

La suma inferior de f asociada a P se define como n

S( f , P) = ∑ mi (xi − xi−1 ), i=1

y la suma superior de f asociada a P es n

S( f , P) = ∑ Mi (xi − xi−1 ). i=1

119

120

Capítulo 6. La integral de Riemann

f (x)

f (x)

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma inferior asociada a una partición

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma superior asociada a una partición

Observación. Para cualquier P ∈ P([a, b]) tenemos que S( f , P) ≤ S( f , P), ya que mi ≤ Mi para cada i. También, poniendo M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]}, m = ´ınf{ f (x) : x ∈ [a, b]}, se deduce que m(b − a) ≤ S( f , P) ≤ S( f , P) ≤ M(b − a) cualquiera que sea la partición P (y por consiguiente, tanto el conjunto de las sumas superiores como el de las sumas inferiores están acotados, superiormente por M(b − a), inferiormente por m(b − a)). Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función no negativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el área de dicha región es A, entonces S( f , P) ≤ A ≤ S( f , P), ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1 , xi ) por mi o Mi , y los hemos definido de forma que mi ≤ f ≤ Mi (de hecho hemos tomado los valores más ajustados que cumplen dichas desigualdades).

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma superior, área y suma inferior

En la figura, se representan en distinto color la diferencia entre la suma superior y el área A y la diferencia entre A y la suma inferior. Parece claro que si tomamos una partición suficientemente nutrida de puntos podemos conseguir que estas zonas sean muy pequeñas, de forma que tanto la suma superior como la inferior sean arbitrariamente próximas al área A. Definición 6.1.3. Dada f acotada en [a, b], se define su integral inferior en [a, b] como Z b a

f = sup{S( f , P) : P ∈ P([a, b])},

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann

121

y su integral superior en [a, b] como Z b a

f = ´ınf{S( f , P) : P ∈ P([a, b])}.

Notemos que, como consecuencia de la observación previa, la integral inferior y la superior son valores reales perfectamente definidos para cualquier función acotada en un intervalo cerrado y acotado. No es difícil adivinar que la integral inferior es siempre menor o igual que la superior, pero la demostración de este hecho es menos trivial de lo que parece a simple vista. Para probarlo, necesitamos un estudio más detallado de las sumas de Darboux, que posponemos al apartado siguiente. Definición 6.1.4. Una función f acotada en [a, b] es integrable-Riemann en [a, b] (en el sentido de Darboux), o simplemente integrable, si se cumple que Z b

Z b

f=

f.

a

a

En tal caso, al valor común de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) de f en [a, b], y Z b

se escribe

f. a

Z b

f (x)dx, expresando la función mediante su va-

A veces es cómodo escribir la integral como a

lor f (x) en la variable x. En tal caso, es indiferente la letra empleada: el mismo significado tiene Z b

Z b

f (y)dy, a

Z b

f (z)dz, a

f (t)dt, etc.; todos estos símbolos representan la integral de la función f en a

el intervalo [a, b]. Ejemplo (integral de una funcion constante). Si f (x) = c para todo x ∈ [a, b] y P es la partición trivial {a, b} resulta que S( f , P) = c(b − a) = S( f , P). Se comprueba fácilmente que lo mismo sucede para cualquier otra partición, así que la integral superior y la inferior coinciden con c(b − a). Es decir, Z b

c dx = c(b − a).

a

Ejemplo (integral de la función identidad). Si f (x) = x para todo x ∈ [a, b], su integral superior y su inferior coinciden con 21 (b2 − a2 ). Es decir, Z b a

1 x dx = (b2 − a2 ). 2

La comprobación de este resultado a partir de la definición de integral requiere más esfuerzo del que cabe suponer (véanse en [BARTLE -S HERBERT, págs. 257–258] los cálculos para a = 0, b = 1). Ejemplo (integral de la función cuadrado). Si f (x) = x2 para todo x ∈ [a, b], su integral superior y su inferior coinciden con 31 (b3 − a3 ). Es decir, Z b a

1 x2 dx = (b3 − a3 ). 3

La obtención de esta fórmula es sorprendentemente complicada. Los detalles del cálculo pueden verse en [ROSS, pág. 186] o [BARTLE -S HERBERT, pág. 258]. Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto la necesidad de hallar procedimientos indirectos de cálculo que permitan evaluar cómodamente al menos integrales de funciones tan sencillas como estas. Veremos algunos más adelante.

122

Capítulo 6. La integral de Riemann

Ejemplo (una función acotada que no es integrable). Sea f : [0, 1] → R la dada por f (x) = 1 si x ∈ Q y f (x) = 0 si x ∈ / Q (la función de Dirichlet). Por la densidad de los racionales y de los irracionales, en cualquier intervalo [xi−1 , xi ], asociado a cualquier partición P, f toma los valores 0 y 1, luego resulta que S( f , P) = 1 y S( f , P) = 0. Por lo tanto la integral inferior vale 0 y la integral superior vale 1. La función de Dirichlet no es integrable-Riemann. Nota (¿la integral es el área?). Dada una función f acotada y no negativa, ya hemos visto que S( f , P) ≤ A ≤ S( f , P) para cada partición P, si A es el área de la región que limita la gráfica de f . Por tanto A es una cota superior del conjunto de las sumas inferiores y una cota inferior del conjunto de las sumas superiores, y entonces Z b

f ≤A≤

a

Z b

f.

(6.1)

a

Z b

Si f es integrable, los dos extremos de (6.1) coinciden con

f , así que el área A es igual a la integral. a

Pero hay que señalar un matiz importante: mientras que la integral es un concepto que hemos definido

Z b

f (x) dx a

a

b La integral y el área

rigurosamente, nos hemos valido de una noción intuitiva e ingenua de la medida de áreas.

6.1.2.

Propiedades básicas de las sumas de Darboux

Lema 6.1.5. Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si P y Q son particiones de [a, b] y P ⊆ Q (se dice en tal caso que Q es más fina que P), entonces S( f , P) ≤ S( f , Q) ≤ S( f , Q) ≤ S( f , P), y en consecuencia S( f , Q) − S( f , Q) ≤ S( f , P) − S( f , P). Demostración. Basta probarlo en el caso en que Q tiene un elemento más que P; para el caso general basta reiterar el razonamiento, añadiendo en cada paso un punto nuevo hasta obtener Q. Ponemos entonces Q = P ∪ {c}, con P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y Q ≡ a = x0 < . . . < xk−1 < c < xk < . . . < xn = b. Se trata de probar que S( f , P) ≤ S( f , Q) y S( f , Q) ≤ S( f , P). Sean mi los ínfimos correspondientes a la partición P y sean α1 = ´ınf{ f (x) : x ∈ [xk−1 , c]}, α2 = ´ınf{ f (x) : x ∈ [c, xk ]}

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann

123

α1 mk

α2

xk−1

c

xk

Diferencia entre las sumas inferiores correspondientes a P y Q

(ver la figura). Entonces, mk ≤ α1 , mk ≤ α2 . Por lo tanto, S( f , Q) − S( f , P) = α1 (c − xk−1 ) + α2 (xk − c) − mk (xk − xk−1 ) ≥ mk (c − xk−1 + xk − c) − mk (xk − xk−1 ) = 0. Análogamente, sean Mi los supremos correspondientes a P y sean β1 = sup{ f (x) : x ∈ [xk−1 , c]} y β2 = sup{ f (x) : x ∈ [c, xk ]}. Entonces, Mk ≥ β1 , Mk ≥ β2 y S( f , Q) − S( f , P) = β1 (c − xk−1 ) + β2 (xk − c) − Mk (xk − xk−1 ) ≤ 0. Lema 6.1.6. Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si P y Q son particiones cualesquiera de [a, b], entonces S( f , P) ≤ S( f , Q).

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma inferior y suma superior para particiones distintas

Demostración. Por el lema 6.1.5, si tomamos P ∪ Q ∈ P([a, b]) entonces S( f , P) ≤ S( f , P ∪ Q) ≤ S( f , P ∪ Q) ≤ S( f , Q); la primera desigualdad se da porque P ⊆ P ∪ Q, y la tercera porque Q ⊆ P ∪ Q.

124

Capítulo 6. La integral de Riemann

Teorema 6.1.7. Si f es una función acotada en [a, b], entonces su integral inferior es siempre menor o igual que su integral superior: Z b

f≤

a

Z b

f a

Demostración. Según el lema 6.1.6, si Q es una partición cualquiera de [a, b], Z b a

f = sup{S( f , P) : P ∈ P([a, b])} ≤ S( f , Q).

Por lo tanto, Z b a

6.1.3.

Z b

f ≤ ´ınf{S( f , Q) : Q ∈ P([a, b])} =

f. a

Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funciones monótonas y de las funciones continuas

«Al abordar la integral de Riemann uno se enfrenta a dos cuestiones. Primero, para una función acotada en un intervalo, se encuentra la cuestión de la existencia de la integral. Segundo, cuando se sabe que existe la integral, surge entonces el problema de evaluarla» ([BARTLE -S HERBERT, pág. 259]). Para ver si una función es integrable, ¿es preciso considerar todas las sumas de Darboux y calcular la integral superior e inferior? Por suerte, en el siguiente teorema vamos a demostrar que no es necesario: basta probar que hay particiones cuyas sumas de Darboux están suficientemente próximas. Este resultado servirá además para deducir que las funciones continuas y las monótonas son integrables. Teorema 6.1.8 (condición de integrabilidad de Riemann). Una función f acotada en [a, b] es integrable en dicho intervalo si y solo si para cada ε > 0 existe una partición P = Pε de [a, b] tal que S( f , P) − S( f , P) < ε. Z b

Demostración. Supongamos primero que f es integrable. Como

f es el supremo de las sumas a

Z b

inferiores y el ínfimo de las sumas superiores, para ε > 0 resulta que ni de las primeras ni a

tales que

f − ε/2 es cota superior

a

Z b

f + ε/2 es cota inferior de las segundas, así que existen dos particiones P1 y P2 Z b a

f − ε/2 < S( f , P1 ),

Z b

S( f , P2 ) <

f + ε/2. a

Si P = P1 ∪ P2 entonces S( f , P1 ) ≤ S( f , P) y S( f , P) ≤ S( f , P2 ), luego Z b

f − ε/2 < S( f , P),

Z b

S( f , P) <

a

f + ε/2 a

y por tanto S( f , P) − S( f , P) < ε. Recíprocamente, si esto así para alguna P entonces Z b a

luego 0 ≤

Rb a

f−

Rb a

f ≤ S( f , P) < S( f , P) + ε ≤

Z b

f + ε, a

f < ε, y si esto es así para todo ε > 0 entonces

Rb a

f−

Rb a

f = 0.

Definición 6.1.9. Dada una partición P ∈ P([a, b]), su norma kPk es el máximo de {xi − xi−1 : i = 1, . . . , n}.

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann

125

La norma de una partición es la mayor distancia entre dos puntos consecutivos de la misma. Gráficamente, se trata de la anchura máxima de los intervalos parciales [xi−1 , xi ]; controla la holgura de la partición, de modo que cuanto menor sea, más tupida es la partición, sus puntos están más próximos. Observación. Podemos tomar particiones de norma arbitrariamente pequeña: para conseguir que la norma sea menor que un δ > 0 prefijado, basta elegir un n tal que h = b−a n < δ y tomar P = {a, a + h, a + 2h, a + 3h, . . . , a + nh = b}. Teorema 6.1.10 (integrabilidad de las funciones monótonas). Toda función monótona en un intervalo [a, b] es integrable. Demostración. Supongamos que f es una función no decreciente en [a, b]. Entonces f está acotada (inferiormente por f (a), superiormente por f (b)). Dada P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}, la monotonía dice que, para cada i, Mi ≡ sup{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = f (xi ); mi ≡ ´ınf{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = f (xi−1 ). Por lo tanto, n

n

S( f , P) − S( f , P) = ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ) = ∑ ( f (xi ) − f (xi−1 ))(xi − xi−1 ) i=1

i=1

n

< kPk ∑ ( f (xi ) − f (xi−1 )) = kPk( f (b) − f (a)). i=1

Ahora, dado ε > 0 basta tomar una partición P de modo que kPk( f (b) − f (a)) < ε para probar que

a x1

x2 . . .

xn−1

b

Suma superior y suma inferior para una función monótona

se cumple la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8). Si f es no creciente la demostración es análoga. Notemos que la idea esencial de la demostración es que, gracias a la monotonía de f , en cada subintervalo [xi−1 , xi ] podemos controlar la oscilación de sus valores (el tamaño de Mi − mi ) a través del tamaño de la norma de la partición. Esta misma idea es adaptable al caso de que f sea continua, debido a que f es entonces uniformemente continua.

126

Capítulo 6. La integral de Riemann

Teorema 6.1.11 (integrabilidad de las funciones continuas). Toda función continua en un intervalo [a, b] es integrable. Demostración. Sea f continua en [a, b]. Notemos que f es acotada por ser continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b], así que tiene sentido considerar su integrabilidad. Además, el teorema 4.2.18 de Heine dice que es uniformemente continua en [a, b]. Dado ε > 0, existe por tanto un valor δ > 0 ε tal que | f (x) − f (y)| < b−a para cualesquiera x, y ∈ [a, b] tales que |x − y| < δ . Sea P una partición tal que kPk < δ , P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Si Mi y mi son los correspondientes supremos e ínfimos en cada [xi−1 , xi ], por el teorema 4.2.8 de Weierstrass podemos elegir ri , si en dicho intervalo con Mi = f (ri ) y mi = f (si ). Entonces |ri − si | ≤ xi − xi−1 < δ , ε así que f (ri ) − f (si ) < b−a ,y n

n

S( f , P) − S( f , P) = ∑ Mi (xi − xi−1 ) − ∑ mi (xi − xi−1 ) i=1 n

i=1

n

= ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ) = ∑ ( f (ri ) − f (si ))(xi − xi−1 ) i=1

i=1

n

<

ε ε (b − a) = ε. (xi − xi−1 ) = ∑ b − a i=1 b−a

Por la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8), f es integrable. Pero hay funciones integrables que no son monótonas ni continuas. El siguiente resultado proporciona ejemplos sencillos. Proposición 6.1.12. Sea f : [a, b] → R una función acotada. Si f es integrable en cada intervalo [c, b], con a < c < b, entonces es integrable en [a, b]. Demostración. Sea B > 0 una cota de | f | en [a, b]. Dado ε > 0, tomemos c ∈ (a, b) de manera que ε c − a < 4B . Como f es integrable en [c, b], en virtud de la condición de Riemann se puede encontrar una partición Pcb del intervalo [c, b] tal que S( f , Pcb )−S( f , Pcb ) < ε2 . Añadiendo el punto a a la partición Pcb , obtenemos una partición P de [a, b] para la que S( f , P) − S( f , P) = sup f ([a, c]) · (c − a) + S( f , Pcb ) − ´ınf f ([a, c]) · (c − a) − S( f , Pcb ) ≤ B · (c − a) + S( f , Pcb ) + B · (c − a) − S( f , Pcb ) ε ε ε < 2B · (c − a) + < + = ε, 2 2 2 y en consecuencia f es integrable en [a, b]. Ejemplo. La función f : [0, 1] → R definida mediante f (0) = 1 y f (x) = sen

1 x

si 0 < x ≤ 1

es integrable-Riemann en [0, 1]. En efecto, claramente está acotada y además es integrable en cada intervalo [c, 1], con 0 < c < 1, porque es continua en [c, 1]. Este es un ejemplo interesante de una función integrable que no es continua ni monótona.

Comentario: discontinuidades de las funciones integrables-Riemann (condición de integrabilidad de Lebesgue) Las funciones continuas son integrables, aunque no todas las funciones integrables son continuas: valen de ejemplo las funciones monótonas con discontinuidades. Pero las funciones integrables no pueden tener demasiadas discontinuidades, según demostró Lebesgue. Concretamente:

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann

127

Teorema 6.1.13 (condición de integrabilidad de Lebesgue). Una función f acotada en [a, b] es integrable si y solo si para cada ε > 0 se puede encontrar una sucesión (Jn ) de intervalos tal que: n

a) l´ım ∑ |Jk | < ε, donde |Jk | es la longitud del intervalo Jk ; n

k=1

b) el conjunto de puntos de [a, b] en los que f es discontinua está contenido en ∪n Jn . Cuando se conozca la medida de Lebesgue, se verá que esto significa que el conjunto de puntos de discontinuidad de f es de medida nula. Los conjuntos finitos quedan dentro de esta categoría; también los conjuntos numerables, es decir, los conjuntos infinitos que pueden escribirse en forma de sucesión, como N, Z o Q.

6.1.4.

Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación con la de Darboux

El control de las oscilaciones de f a través de la norma de la partición que hemos visto para funciones monótonas o continuas puede llevarse a cabo para cualquier función integrable: Teorema 6.1.14. Una función f acotada en [a, b] es integrable si y solo si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que toda partición P de [a, b] con norma kPk < δ cumple que S( f , P) − S( f , P) < ε. Demostración. Supongamos que f es integrable. Fijado ε > 0, sea P0 ∈ P([a, b]) tal que ε S( f , P0 ) − S( f , P0 ) < , 2 pongamos que P0 tiene n puntos y sea K > 0 tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Sea P una partición de [a, b], P ≡ {a = t0 < t1 < . . . < tm−1 < tm = b}. y tomemos Q = P0 ∪P. Como máximo, Q tiene n−2 puntos más que P, los de P0 \{a, b}. Supongamos que fuese Q = P ∪ {c}, con t j−1 < c < t j . Entonces sería S( f , P) − S( f , Q) = M j (t j − t j−1 ) − α1 (c − t j−1 ) − α2 (t j − c) donde M j , α1 y α2 son los supremos de los valores de f en [t j−1 ,t j ], [t j−1 , c] y [c,t j ] respectivamente. Como |M j | ≤ K, |α1 | ≤ K, |α2 | ≤ K y 0 < t j − t j−1 ≤ kPk, deducimos que S( f , P) − S( f , Q) ≤ K(t j − t j−1 ) + K(c − t j−1 ) + K(t j − c) ≤ 2KkPk. Reiterando lo anterior (añadiendo cada vez un punto hasta obtener Q) es fácil ver que en general tenemos S( f , P) − S( f , Q) ≤ 2(n − 2)KkPk < 2nKkPk, y análogamente se ve que S( f , Q) − S( f , P) < 2nKkPk. También tenemos que S( f , Q) − S( f , Q) < ε/2, porque Q es más fina que P0 . Por lo tanto, S( f , P) < S( f , Q) + 2nKkPk < S( f , Q) + ε/2 + 2nKkPk < S( f , P) + ε/2 + 4nKkPk. ε Ahora basta tomar δ = 8nK y si kPk < δ , entonces S( f , P) − S( f , P) < ε. El recíproco es consecuencia directa de la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8).

128

Capítulo 6. La integral de Riemann

Definición 6.1.15. Dada una partición P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y una función f definida en [a, b], para cada elección de valores si ∈ [xi−1 , xi ] se dice que n

S = ∑ f (si )(xi − xi−1 ) i=1

es una suma de Riemann de f asociada a P.

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma de Riemann

Provisionalmente, decimos que f es ℜ-integrable o integrable según la definición de Riemann en [a, b] si existe un número real R tal que, dado ε > 0 arbitrario, se puede encontrar un δ > 0 de manera que |S − R| < ε para cualquier suma de Riemann S de f asociada a una partición P de norma kPk < δ . Cuando ℜ

Z b

esto suceda, decimos que R es la ℜ-integral de f en [a, b], y ponemos (provisionalmente) R =

f. a

Observación. Dado que mi ≤ f (si ) ≤ Mi para cada i, cualquier suma de Riemann asociada a P de una función acotada f cumple que S( f , P) ≤ S ≤ S( f , P). El resultado siguiente prueba que la integral según la definición de Darboux y la integral según la definición de Riemann son iguales. Teorema 6.1.16. Una función acotada en un intervalo [a, b] es integrable según la definición 6.1.15 de Riemann si y solo si es integrable según la definición 6.1.4 de Darboux, y en ese caso las dos integrales coinciden. Demostración. Sea f integrable con la definición de Darboux y sea ε > 0. Por el teorema 6.1.14, existe δ tal que S( f , P) − S( f , P) < ε siempre que kPk < δ ; si S es una suma de Riemann asociada R a P entonces S( f , P) ≤ S ≤ S( f , P), y como también S( f , P) ≤ ab f ≤ S( f , P) concluimos que la R distancia entre S y ab f es menor que ε. Es decir, cualquier suma de Riemann S asociada a una partición P ∈ P([a, b]) con kPk < δ cumple que Z S −

a

b

f < ε. Z b

Por lo tanto, f es integrable en [a, b] según la definición de Riemann, con integral igual a

f. a

6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann

129

Para probar el recíproco, supongamos que f es integrable según la definición de Riemann en [a, b], con integral R. Dado ε > 0, si δ es como en la definición 6.1.15 y P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}, kPk < δ , podemos tomar si ∈ [xi−1 , xi ] de manera que f (si ) > Mi − ε (1 ≤ i ≤ n). La correspondiente suma de Riemann S verifica simultáneamente S ≥ S( f , P) − ε(b − a),

|S − R| < ε.

Entonces, Z b a

f ≤ S( f , P) ≤ S + ε(b − a) < R + ε + ε(b − a),

y como ε es arbitrario, Z b

f ≤ R.

a

De manera análoga se prueba que de Darboux y

Rb a

f ≥ R, por lo cual

Rb a

f=

Rb a

f = R, f es integrable en el sentido

Z b

f = R. a

Corolario 6.1.17. Sea f una función integrable en [a, b], (Pn ) una sucesión de particiones de [a, b] tal que l´ım kPn k = 0. Si para cada n se considera una suma de Riemann Sn correspondiente a la n partición Pn y a la función f , entonces l´ım Sn =

Z b

f.

n

Ejemplo. Para toda función f integrable en [0, 1],

a

1 n l´ım ∑ f n n k=1

  Z1 k = f. n 0

6.2.

Propiedades básicas de la integral de Riemann

6.2.1.

Operaciones con funciones integrables

Empezaremos probando la linealidad de la integral. Para ello nos conviene observar antes lo siguiente: Lema 6.2.1. Sea A un conjunto acotado y no vacío de números reales. Entonces: a) sup(−A) = −´ınf A; ´ınf(−A) = − sup A. b) Para todo α > 0 se cumple que sup(αA) = α sup A, ´ınf(αA) = α ´ınf A. c) sup A − ´ınf A = sup{|x − y| : x, y ∈ A}. Demostración. a) Si y = ´ınf A y x ∈ A resulta que −x ≤ −y, luego −y es cota superior de −A, y por tanto sup(−A) ≤ −´ınf A. Si s = sup(−A), dado x ∈ A tenemos que −x ≤ s, es decir que −s ≤ x, luego −s es una cota inferior de A y entonces − sup(−A) ≤ ´ınf A, o sea −´ınf A ≤ sup(−A). Ya tenemos que sup(−A) = −´ınf A, y entonces sup A = sup(−(−A)) = −´ınf(−A), luego ´ınf(−A) = − sup A. b) Si s = sup A, dado x ∈ A tenemos que αx ≤ αs, luego αs es una cota superior de αA; por tanto sup(αA) ≤ α sup A. Por la misma razón tenemos que sup A = sup α1 αA ≤ α1 sup(αA), y entonces α sup A ≤ sup(αA). Por tanto sup(αA) = α sup A. Y de a) se deduce que α ´ınf A = −α sup(−A) = − sup(−αA) = ´ınf(αA). c) Recordemos que, dados dos conjuntos acotados A y B, sup(A + B) = sup A + sup B. Notemos que el conjunto {|x − y| : x, y ∈ A} es la intersección con [0, +∞) de {x − y : x, y ∈ A} = A + (−A), luego su supremo es igual al de este y, por a), sup(A + (−A)) = sup A + sup(−A) = sup A − ´ınf A.

130

Capítulo 6. La integral de Riemann

Teorema 6.2.2. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y sea α un número real. Entonces Z b

Z b

(α f ) = α

a) α f es integrable y

f.

a

a

Z b

b) f + g es integrable y

Z b

( f + g) =

Z b

f+

a

a

g. a

Demostración. a) Notemos primero que f es acotada, y entonces α f también lo es. Si α = 0 el resultado es inmediato. Si α > 0, para cada partición P de [a, b] se obtiene, usando la parte b) del lema 6.2.1, que S(α f , P) = αS( f , P) y S(α f , P) = αS( f , P). Por la misma razón, se deduce que Z b

Z b

αf =α

f,

a

a

a

Z b

Z b

Z b

αf =α a

Z b

f =α a

f, a

Z b

(α f ) = α

luego α f es integrable y

Z b

f =α

a

f. a

Para ver que − f es integrable (α = −1) utilizamos la parte a) del lema: resulta que, para cualquier P, S(− f , P) = −S( f , P) y S(− f , P) = −S( f , P), luego Z b a

Z b

(− f ) = −

f =−

Z b

Z b

f, a

a

Z b

(− f ) = −

f =−

a

a

Z b

f. a

Por último, si α es cualquier valor negativo lo reducimos a los casos anteriores: α f = −|α| f es integrable, con integral igual a −

Z b a

(|α| f ) = −|α|

Z b

Z b

f =α a

f. a

b) Notemos primero que f + g está acotada, porque f y g lo están. Dado A ⊆ [a, b], para cada t ∈ A tenemos que f (t) + g(t) ≤ sup{ f (x) : x ∈ A} + sup{g(x) : x ∈ A}, luego sup{ f (t) + g(t) : t ∈ A} ≤ sup{ f (t) : t ∈ A} + sup{g(t) : t ∈ A} y análogamente ´ınf{ f (t) : t ∈ A} + ´ınf{g(t) : t ∈ A} ≤ ´ınf{ f (t) + g(t) : t ∈ A}. Cuando tomamos como A los subintervalos [xi−1 , xi ] que define una partición P ∈ P([a, b]), se sigue que S( f + g, P) ≤ S( f , P) + S(g, P), S( f , P) + S(g, P) ≤ S( f + g, P). Dado ε > 0, podemos tomar dos particiones P1 y P2 tales que S( f , P1 ) − S( f , P1 ) < ε/2 y S(g, P2 ) − S(g, P2 ) < ε/2. Si P = P1 ∪ P2 , también S( f , P) − S( f , P) < ε/2 y S(g, P) − S(g, P) < ε/2, y de aquí

6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann

131

se deduce que S( f + g, P) − S( f + g, P) < ε. Por la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8), f + g es integrable. Además tenemos que Z b

Z b

f+ a

g−ε =

a

Z b

f − ε/2 +

Z b

a

g − ε/2 < S( f , P) + S(g, P)

a

≤ S( f + g, P) ≤

Z b

( f + g) ≤ S( f + g, P)

a

≤ S( f , P) + S(g, P) <

Z b

Z b

f + ε/2 + a

Z b

=

Z b

f+

g + ε.

a

Es decir, para cualquier ε > 0 resulta que Rb Rb a ( f + g) = a f + a g.

Rb

g + ε/2 a

a

Rb

f+

a

Rb a

g−ε <

Rb a

( f + g) <

Rb a

f+

Rb a

g + ε, y entonces

Nota. El teorema 6.2.2 dice que el conjunto R([a, b]) formado por todas las funciones integrables en R [a, b] es un espacio vectorial, y que la aplicación R([a, b]) −→ R dada por f 7→ ab f es lineal. El siguiente resultado expresa la monotonía de la integral con respecto al integrando: Teorema 6.2.3. Sean f y g funciones integrables en [a, b] tales que f (x) ≤ g(x) para cada x ∈ [a, b]. Entonces

Z b

f≤

Z b

a

g. a

Demostración. Si f ≤ g tenemos que 0 ≤ g − f , y es inmediato comprobar que S(g − f , P) ≥ 0 para cualquier partición P del intervalo [a, b]. Como además g − f es integrable, se deduce que 0 ≤ S(g − f , P) ≤

Z b

(g − f ) =

a

Z b

g−

a

Z b

f. a

Nota. En particular, si h es integrable en [a, b] y h ≥ 0, entonces Z b

h ≥ 0.

a

Aunque no es tan sencillo de demostrar, también Rse cumple la monotonía estricta: si h es integrable en [a, b] y h(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], entonces ab h > 0. Como consecuencia, si dos funciones f y R R g son integrables y se cumple que f (x) < g(x) en todo x ∈ [a, b], podemos asegurar que ab f < ab g. Teorema 6.2.4. Si f es integrable en [a, b], entonces | f | es integrable en [a, b] y Z b Z b f ≤ | f |. a

a

Demostración. Como f es integrable, está acotada. Y por lo tanto, la función | f | también está acotada. Dada una partición P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} ∈ P([a, b]) tenemos que n

S( f , P) − S( f , P) = ∑ (Mi − mi )(xi − xi−1 ), i=1 n

S(| f |, P) − S(| f |, P) = ∑ (Mi0 − m0i )(xi − xi−1 ), i=1

132

Capítulo 6. La integral de Riemann

donde, usando la parte (c) del lema, Mi − mi = sup{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]} − ´ınf{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]} = sup{| f (t) − f (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]} para cada i. Análogamente, Mi0 − m0i = sup{ | f (t)| − | f (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]}. Como para cada t y s la desigualdad triangular inversa dice que | f (t)| − | f (s)| ≤ | f (t) − f (s)|, resulta que Mi0 − m0i ≤ Mi − mi para cada i, y por tanto que S(| f |, P) − S(| f |, P) ≤ S( f , P) − S( f , P) para toda P. Por la condición de integrabilidad de Riemann resulta que si f integrable también lo es | f |.R Rb Ahora, como f ≤ | f | y − f ≤ | f |, por los teoremas 6.2.3 y 6.2.2 tenemos que a f ≤ ab | f | y Rb Rb Rb a (− f ) = − a f ≤ a | f |, luego Z b o Z b nZ b Z b f,− f ≤ | f |. f = m´ax a

a

a

a

En cierto sentido, este resultado puede verse como una generalización de la desigualdad triangular, cambiando sumas por integrales. Pronto iremos comprobando que es tan útil como la propia desigualdad triangular. Corolario 6.2.5. Sean f y g dos funciones integrables en [a, b]. Entonces las funciones m´ax( f , g), m´ın( f , g) son también integrables en [a, b]. Demostración. Basta tener en cuenta que i 1h f (x) + g(x) + | f (x) − g(x)| , 2 i 1h m´ın{ f (x), g(x)} = f (x) + g(x) − | f (x) − g(x)| . 2 Teorema 6.2.6. Sean f y g funciones integrables en [a, b]. Entonces: m´ax{ f (x), g(x)} =

a) f 2 es integrable en [a, b]; b) la función producto f g es integrable en [a, b]. Demostración. a) f está acotada, así que existe K > 0 tal que | f (x)| < K para todo x ∈ [a, b]. Entonces 0 ≤ f (x)2 ≤ K 2 para todo x, luego f 2 también está acotada. Dado ε > 0, sea P ∈ P(I) tal que S( f , P)− ε S( f , P) < 2K . Si P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}, entonces, como en el teorema 6.2.4, resulta que S( f , P) − S( f , P) = ∑ni=1 ri (xi − xi−1 ), donde ri = sup{| f (t) − f (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]}, y análogamente

S( f 2 , P) − S( f 2 , P)

= ∑i ri0 (xi − xi−1 ), donde

ri0 = sup{| f 2 (t) − f 2 (s)| : s,t ∈ [xi−1 , xi ]}. Como para cada s y t tenemos que | f 2 (t) − f 2 (s)| = | f (t) + f (s)| · | f (t) − f (s)| ≤ (| f (t)| + | f (s)|)| f (t) − f (s)| ≤ 2K| f (t) − f (s)|,
resulta que ri0 ≤ 2Kri para cada i, y por tanto que S( f 2 , P) − S( f 2 , P) ≤ 2K S( f , P) − S( f , P) < ε, y así vemos que f 2 es integrable, por la condición de integrabilidad de Riemann. b) Por el apartado a), son integrables tanto f 2 como g2 y ( f + g)2 (ya que f + g es integrable). Pero
1 f g = ( f + g)2 − f 2 − g2 , 2 y así vemos que f g es integrable. Observación. Los teoremas 6.2.4 y 6.2.6 no admiten recíproco: una función f puede ser no integrable pese a que | f | y f · f = f 2 sí lo sean. Como ejemplo podemos tomar, en I = [0, 1], la función dada por f (x) = 1 si x ∈ Q y f (x) = −1 si x ∈ / Q, de forma que f 2 = | f | = 1.

6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann

6.2.2.

133

Integración en subintervalos

Teorema 6.2.7. Sea f una función definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Dado c ∈ [a, b], son equivalentes: a) f es integrable en [a, b]; b) f es integrable en [a, c] y en [c, b]. Además, cuando f es integrable en [a, b] se tiene: Z b

Z c

f=

c)

Z b

f+

a

a

f. c

Demostración. b) =⇒ a) Como f es integrable en [a, c] y en [c, b], en particular f está acotada en [a, c] y en [c, b]: en consecuencia, f está acotada en [a, b]. Además, usando la condición de Riemann, la integrabilidad de f garantiza que para todo ε > 0 existen una partición Pac de [a, c] y una partición Pcb de [c, b] tales que ε S( f , Pac ) − S( f , Pac ) < , 2

ε S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) < . 2

Considerando ahora la partición Pab de [a, b] obtenida al tomar todos los puntos de Pac y los de Pcb , se sigue directamente aplicando la definición que S( f , Pab ) = S( f , Pac ) + S( f , Pcb ),

S( f , Pab ) = S( f , Pac ) + S( f , Pcb ),

luego Z b

f≤

a

S( f , Pab )

=

S( f , Pac ) + S( f , Pcb )

ε ε + S( f , Pcb ) + ≤ 2 2

S( f , Pac ) +

<

Z c a

ε f+ + 2

Z b

ε f− + 2

Z b

c

ε f+ . 2

Es decir, Z b

Z c

f<

Z b

f+

a

f +ε

a

c

para cualquier ε > 0. De aquí se obtiene que Z b

f≤

Z c

Z b

f+

a

f.

a

c

Análogamente, Z b

f≥

a

S( f , Pab )

=

S( f , Pac ) + S( f , Pcb )

>

ε ε + S( f , Pcb ) − ≥ 2 2

S( f , Pac ) −

Es decir, Z b

Z c

f> a

Z b

f+

f −ε

a

c

Z c

Z b

para cualquier ε > 0. De ahí se deduce que Z b

f≥

a

Como

Rb a

f≥

Rb a

f+ a

f. c

f , resulta Z b

Z b

f= a

Z c

f= a

Z b

f+ a

f, c

Z c a

c

ε f− . 2

134

Capítulo 6. La integral de Riemann

lo que nos dice que f es integrable en [a, b], con Z b

Z c

Z b

f=

f+

a

f.

a

c

a) =⇒ b) Si f es integrable en [a, b], para cada ε > 0 existirá una partición Qba del intervalo [a, b] tal que S( f , Qba ) − S( f , Qba ) < ε. Sea Pab la partición de [a, b] obtenida al añadir a Qba el punto c (si es que no figura ya en Qba ), y descompongamos Pab en sendas particiones Pac y Pcb de [a, c] y de [c, b], respectivamente. Se tiene S( f , Pac ) − S( f , Pac ) + S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) = S( f , Pab ) − S( f , Pab ) ≤ S( f , Qba ) − S( f , Qba ) < ε, y como S( f , Pac ) − S( f , Pac ) y S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) son no negativos, cada uno de ellos será menor o igual que su suma, por lo que S( f , Pac ) − S( f , Pac ) < ε,

S( f , Pcb ) − S( f , Pcb ) < ε,

y por consiguiente f es integrable en [a, c] y en [c, b]. Corolario 6.2.8. Sea f : [a, b] → R acotada, y sean a = c0 < c1 < c2 < . . . < cn = b. Se cumple que f es integrable en [a, b] si y solo si lo es en [ci−1 , ci ] para cada i = 1, . . . , n, y en tal caso n

Z b a

Z ci

f =∑

f.

i=1 ci−1

Demostración. Aplicar inducción sobre n y el teorema 6.2.7. El siguiente resultado permite ampliar ligeramente la noción de integral y dar ejemplos adicionales de funciones integrables. Lema 6.2.9. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] que coinciden excepto posiblemente en a y b, es decir, tales que f (x) = g(x) para todo x ∈ (a, b). Entonces f es integrable en [a, b] si y solo si lo es g. Si son integrables, Z b

Z b

f=

g.

a

a

Demostración. Basta probar que la función h = f − g es una función integrable en [a, b] con integral nula. Ahora bien: h se anula en (a, b), por lo que para cada partición P ≡ {t0 = a < t1 < · · · < tn−1 < tn = b} será S(h, P) = m´ax{h(a), 0} · (t1 − a) + m´ax{h(b), 0} · (b − tn−1 ) ≥ 0, S(h, P) = m´ın{h(a), 0} · (t1 − a) + m´ın{h(b), 0} · (b − tn−1 ) ≤ 0. Dado ε > 0, tomemos B > m´ax{|h(a)|, |h(b)|} y Pε de manera que t1 − a <

ε , 2B

b − tn−1 <

ε . 2B

Resulta Z b a

luego nula.

Rb a

ε ε h ≤ S(h, Pε ) < B + B = ε, 2B 2B

h≤0≤

Rb a

h. Por lo tanto,

Rb a

h=

Rb a

Z b a

h ≥ S(h, Pε ) > −B

ε ε −B = −ε, 2B 2B

h = 0, es decir, h es integrable en [a, b] con integral

6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann

135

Corolario 6.2.10. Sea g una función integrable en [a, b], y seaR f una Rfunción igual a g excepto en un conjunto finito de puntos de [a, b]. Entonces f es integrable, y ab f = ab g. Demostración. Por inducción sobre el número de puntos, con ayuda del lema. Definición 6.2.11. Una función f : [a, b] → R se dice continua a trozos si existe una partición a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = b tal que f es continua en cada intervalo (ti−1 ,ti ) y existen y son reales los límites laterales en cada ti . Una función f : [a, b] → R se dice monótona a trozos si existe una partición a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = b tal que f es monótona (de cualquier clase) en cada intervalo (ti−1 ,ti ). Por ejemplo, la función de la figura no es continua ni monótona, pero sí continua a trozos y monótona a trozos.

a

b Función continua a trozos y monótona a trozos

Teorema 6.2.12. Si f es un función continua a trozos o una función acotada y monótona a trozos en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Demostración. Si f es continua a trozos y ti son como en la definición, para cada i existe una extensión continua (y por tanto integrable) de f (t ,ti ) al intervalo [ti−1 ,ti ]. Esta extensión es integrable en el i−1 intervalo [ti−1 ,ti ], por ser continua, y coincide con f en (ti−1 ,ti ), luego f es integrable en [ti−1 ,ti ], por el lema 6.2.9. Por el corolario 6.2.8, resulta que f es integrable en [a, b]. Si f es monótona a trozos y acotada y ti son como en la definición, entonces existen y son reales los límites laterales en cada ti . La demostración sigue de manera análoga a la de funciones continuas a trozos. No obstante, hay funciones que son integrables en un intervalo [a, b] y no son continuas a trozos ni monótonas a trozos. Un ejemplo es la función definida en [0, 1] mediante ( 1, si x = 0, f (x) = 1 sen x , si 0 < x ≤ 1, que vimos que era integrable en [0, 1].

136

Capítulo 6. La integral de Riemann

6.2.3.

Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integral

Teorema 6.2.13. Sea f una función integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sean m, M tales que para todo x ∈ [a, b] se cumpla m ≤ f (x) ≤ M. Entonces el número

b 1 f, b−a a denominado promedio integral de f en [a, b], está en [m, M], es decir

Z

m≤

1 b−a

Z b

f ≤ M.

a

Demostración. Puesto que m ≤ f ≤ M, por la monotonía de la integral m(b − a) =

Z b

m≤

Z b

a

f≤

a

Z b

M = M(b − a),

a

y como b − a > 0, podemos dividir para obtener 1 m≤ b−a

Z b

f ≤ M.

a

Cuando f es continua en [a, b], su promedio integral está en el rango de valores de f : Corolario 6.2.14 (teorema de la media del cálculo integral). Sea f una función continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que Z b 1 f = f (x0 ). b−a a Demostración. Por el teorema 4.2.8 de Weierstrass el conjunto { f (x) : x ∈ [a, b]} tiene mínimo y máximo, a los que llamamos m y M respectivamente. Se cumple así que m(b − a) =

Z b

m≤

a

Z b

f≤

a

Z b

M = M(b − a).

a

Es decir, b 1 f ≤ M. b−a a Por el teorema 4.2.10 de Darboux (o de losR valores intermedios), existe x0 ∈ [a, b] en el que f toma b 1 dicho valor entre m y M, y así f (x0 ) = b−a a f.

m≤

Z

Ejemplo. Sea 1 < a < b. Para cada x ∈ [a, b], √ √ x+ x x+1 2 2 √ =√ 1≤ = 1+ √ ≤ 1+ √ . x− x x−1 x−1 a−1 Por lo tanto, 1 1≤ b−a

√ Z b x+ x a

2 √ dx ≤ 1 + √ . x− x a−1

(6.2)

En algunas ocasiones, no es necesario calcular el valor exacto de una integral, sino que basta con estimaciones aproximadas. Por ejemplo, de (6.2) se deduce que √ Z a+1 x+ x √ dx = 1. l´ım a→+∞ a x− x

6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann

137

El corolario 6.2.14 puede mirarse como una lectura inversa del teorema 5.2.7 del valor medio del cálculo diferencial. De hecho, otra demostración del corolario 6.2.14 consiste en aplicar el teorema Rx del valor medio a la función F : [a, b] → R dada por F(x) = a f , que es derivable y cuya derivada es F 0 (x) = f (x) (según probaremos en el siguiente apartado). Teorema 6.2.15. Sea f una función integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b], sea g una función no negativa, integrable en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sean m, M tales que para todo x ∈ [a, b] se cumple m ≤ f (x) ≤ M. Entonces existe µ ∈ [m, M] tal que Z b

Z b

fg = µ a

g a

(el número µ es una especie de promedio ponderado de f respecto a la densidad de masa g). Demostración. Puesto que g ≥ 0, se verifica mg ≤ f g ≤ Mg. Todas estas funciones son integrables, luego podemos poner Z b

m

g≤

Z b

a

fg ≤ M

Z b

g.

a

a

Si ab g = 0, cualquier µ ∈ [m, M] cumple la igualdad del enunciado. Si R R y basta tomar como µ el cociente entre ab f g y ab g. R

Rb a

g 6= 0, entonces

Rb a

g > 0,

Corolario 6.2.16. Sea f una función continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado y acotado [a, b] y sea g una función no negativa, integrable en [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que Z b a

Z b

f g = f (x0 )

g. a

Demostración. La función f tiene máximo y mínimo absolutos sobre [a, b], por el teorema 4.2.8 de Weierstrass. Si el máximo y el mínimo se alcanzan en c y d, respectivamente, podemos aplicar el teorema 6.2.15 con m = f (c) y M = f (d). Por el teorema 4.2.10 de Darboux, hay al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = µ, donde µ es el valor del teorema 6.2.15. Proposición 6.2.17 (segundo teorema de la media del cálculo integral). Sean f y g funciones integrables en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. a) Si g ≥ 0 y es no creciente, existe x0 ∈ [a, b] tal que Z b

Z x0

f g = g(a) a

f. a

b) Si g ≥ 0 y es no decreciente, existe x0 ∈ [a, b] tal que Z b

Z b

f g = g(b) a

f. x0

c) Si g es monótona, existe x0 ∈ [a, b] tal que Z b

Z x0

f g = g(a) a

Z b

f + g(b) a

Demostración. Ver [G ARAY-C UADRA -A LFARO, pág. 212].

f. x0

138

Capítulo 6. La integral de Riemann

6.3.

Teoremas fundamentales del cálculo integral

6.3.1.

Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral)

Teorema 6.3.1 (regla de Barrow). Sea f una función integrable en un intervalo [a, b] y supongamos que existe otra función g continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que g0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b). Entonces, Z b

f = g(b) − g(a).

a

Demostración. Sea P una partición cualquiera de [a, b], P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Según el teorema 5.2.7 del valor medio, n

g(b) − g(a) = g(xn ) − g(x0 ) = ∑ (g(xi ) − g(xi−1 )) i=1

n

n

i=1

i=1

= ∑ g0 (ci )(xi − xi−1 ) = ∑ f (ci )(xi − xi−1 ), donde ci ∈ (xi−1 , xi ) para cada i. Puesto que ´ınf{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]} ≤ f (ci ) ≤ sup{ f (t) : t ∈ [xi−1 , xi ]}, se deduce que S( f , P) ≤ g(b) − g(a) ≤ S( f , P). Como esto es cierto para cualquier partición P, tomando supremos e ínfimos resulta que Z b

f ≤ g(b) − g(a) ≤

a

Z b

f. a

Pero sabemos que f es integrable, así que

Rb a

Z b

f=

Rb a

f=

Rb a

f . Por lo tanto,

f = g(b) − g(a).

a

La regla de Barrow nos dice cómo calcular la integral de una función f integrable entre a y b: si g es continua en [a, b] y es una primitiva de f en (a, b), entonces Z b

f (x) dx = g(b) − g(a).

a

x=b La diferencia g(b) − g(a) suele escribirse como g(x) . Es decir: x=a

Z b a

x=b f (x) dx = g(x) . x=a

Ejemplo. La función arc sen es continua, luego integrable, en el intervalo [0, 1]. Calculando por partes √ una primitiva, encontramos la función x arc sen x + 1 − x2 , continua en [0, 1] y derivable claramente en el intervalo [0, 1), con derivada arc sen x en ese intervalo; menos claro es lo que sucede en el punto 1, pero según el teorema 6.3.1 no necesitamos saberlo para garantizar que Z 1 0

h i h i π p p arc sen x dx = 1 · arc sen 1 + 1 − 12 − 0 · arc sen 0 + 1 − 02 = − 1. 2

6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral

139

Si aplicamos la regla de Barrow para calcular una integral, puede ser conveniente utilizar los resultados empleados en el cálculo de primitivas, como el teorema de integración por partes que acabamos de citar o el teorema de cambio de variable. Ambos tienen su versión para integrales. Vemos primero la de integración por partes: Teorema 6.3.2 (integración por partes). Si u y v son funciones continuas en [a, b] derivables en (a, b) y sus derivadas u0 y v0 son integrables en [a, b], entonces Z b

uv0 = u(b)v(b) − u(a)v(a) −

a

Z b

u0 v.

a

Demostración. Notemos que u0 v y uv0 son integrables porque lo son u0 , v0 (estas por hipótesis) y también u y v (porque son continuas). Entonces también es integrable (uv)0 = u0 v + uv0 , y por la regla de Barrow Z Z Z b

b

uv0 +

a

b

u0 v =

a

(uv)0 = u(b)v(b) − u(a)v(a),

a

de donde obtenemos la fórmula del enunciado. Observación. Este resultado no se puede utilizar en el ejemplo anterior; ¿por qué? Ejemplo. Veamos que, para cualesquiera m y n enteros no negativos, Z 1

xm (1 − x)n dx =

0

m! n! . (m + n + 1)!

Probémoslo por inducción sobre n. Primero vemos que la fórmula es válida para n = 0 y cualquier m, usando la regla de Barrow: Z 1 1 xm+1 x=1 m! 0! xm dx = = = . m + 1 x=0 m + 1 (m + 0 + 1)! 0 Ahora, si n ∈ N y suponemos que la fórmula es cierta para n − 1 y cualquier m, integrando por partes concluimos que lo es para n y cualquier m: para ello tomamos u(x) = (1 − x)n y v(x) = xm+1 /(m + 1), con lo que Z 1 Z 1 x=1 Z 1 xm (1 − x)n dx = u(x)v0 (x)dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x)dx 0

x=0

0

n = m+1

Z 1

0

xm+1 (1 − x)n−1 dx,

0

que por hipótesis de inducción es (m + 1)! (n − 1)! m! n! n
= · . m + 1 (m + 1) + (n − 1) + 1 ! (m + n + 1)! Corolario 6.3.3 (fórmula de Taylor con resto integral). Sea I un intervalo, c un punto de I, f una función definida en I, n ∈ N. Supongamos que f es derivable en I hasta el orden n y que f (n) es continua en I. Entonces para cada x ∈ I es f (x) = f (c) + f 0 (c)(x − c) +

f 00 (c) f (n−1) (c) (x − c)2 + · · · + (x − c)n−1 2 (n − 1)! Z x 1 + (x − t)n−1 f (n) (t) dt. (n − 1)! c

Demostración. Basta integrar por partes reiteradamente 1 (n − 1)!

Z x

(x − t)n−1 f (n) (t) dt

c

(ver [BARTLE -S HERBERT, teor. 6.3.14, pág. 281]).

140

6.3.2.

Capítulo 6. La integral de Riemann

Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración variable

El teorema 6.3.1 (regla de Barrow) viene a decir que al integrar la derivada de f recuperamos f R (ya que f (x) = f (a) + ax f 0 ). Para que podamos decir del todo que integrar y derivar son procesos inversos, la pregunta natural sería: ¿podemos decir que derivando una función dada por la integral de f recuperamos f ? Es tanto como decir: ¿podemos expresar una primitiva de f mediante integrales de f ? La respuesta es afirmativa, como vamos a comprobar. Convenio. Si a > b y f es integrable en [b, a], escribimos Z b

f =−

Z a

f.

a

Si a = b, escribimos

Rb a

b

f = 0.

Notemos que, con este convenio, la regla de Barrow vale también para integrales Además, la relación entre las integrales de f y de | f | es en general b

Z

Rb a

f con a ≥ b.

Z b f ≤ | f |

a

a

(si a < b el término de la derecha es ab | f |, como hasta ahora). En cuanto a la monotonía, notemos que si 0 ≤ f ≤ g son funciones integrables podemos asegurar que R

Z

a

ya que si a > b esta desigualdad es

Ra b

f≤

Ra b

b

Z b f ≤ g , a

g. Por último, si las integrales tienen sentido entonces

Z c

Z b

f+ a

Z b

f=

f

c

a

cualquiera que sea el orden entre a, b y c. Teorema 6.3.4 (teorema fundamental del cálculo integral (segundo)). Sea f una función integrable en [a, b]. Definamos F : [a, b] → R mediante Z x

F(x) =

f. a

Entonces: a) F es continua en [a, b]; b) si f es continua en algún x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 y F 0 (x0 ) = f (x0 ).

Demostración. a) La función f es integrable, así que está acotada; sea K > 0 tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Veamos que para cada x, y ∈ [a, b], |F(x) − F(y)| ≤ K|x − y|. Si x = y, no hay nada que probar. Si no, podemos suponer que x > y, por ejemplo. Entonces, Z x Z x Zx Z y |F(x) − F(y)| = f (t) dt − f (t) dt = f (t) dt ≤ | f (t)| dt ≤ K|x − y|, a

a

y

y

6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral

Rx a

141

f (t) dt

a

x La función integral

como queríamos probar. Ahora, dado ε > 0, tenemos: para cada x, y ∈ [a, b] con |x − y| < ε/K, se cumple que |F(x) − F(y)| < ε. Es decir, la función F es continua en [a, b] (de hecho hemos probado que es uniformemente continua). b) Supongamos que f es continua en algún x0 ∈ [a, b]. Se trata de probar que F(x0 + h) − F(x0 ) = f (x0 ). h→0 h l´ım

Tanto si h > 0 como si h < 0, F(x0 + h) − F(x0 ) =

Z x0 +h

f (t) dt −

a

Z x0 +h

Z x0

f (t) dt = a

f (t) dt, x0

luego 1 F(x0 + h) − F(x0 ) − f (x0 ) = h h

Z x0 +h

f (t) dt −

x0

1 h

Z x0 +h x0

f (x0 ) dt =

1 h

Z x0 +h x0

[ f (t) − f (x0 )] dt.

Entonces, Z x +h 0 F(x0 + h) − F(x0 ) 1 [ f (t) − f (x0 )] dt . − f (x0 ) = h |h| x0 Sea ε > 0. Como f es continua en x0 , existe algún δ > 0 tal que | f (t) − f (x0 )| < ε, si |t − x0 | < δ . Sea ahora |h| < δ . Si h > 0, entonces F(x0 + h) − F(x0 ) 1 Z x0 +h 1 Z x0 +h ≤ − f (x ) = [ f (t) − f (x )] dt ε dt = ε; 0 0 h x h h x0 0 y si h < 0, Z Z x0 F(x0 + h) − F(x0 ) 1 x0 1 − f (x0 ) = [ f (t) − f (x0 )] dt ≤ ε dt = ε. h −h x0 +h −h x0 +h En resumen, F(x0 + h) − F(x0 ) − f (x0 ) ≤ ε, h si |h| < δ . Hemos probado que, en efecto, F(x0 + h) − F(x0 ) = f (x0 ). h→0 h l´ım

Realmente, se cumple un resultado más general:

142

Capítulo 6. La integral de Riemann

Teorema 6.3.5. Sea f una función definida en un intervalo no trivial I cualquiera, que sea integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I. Fijado un punto a ∈ I, definamos F : I → R mediante Z x

F(x) =

f. a

Entonces: a) F está bien definida y es continua en todo I; b) en cada punto x0 ∈ I donde f sea continua, F es derivable y F 0 (x0 ) = f (x0 ). Demostración. Para puntos a la derecha de a, basta aplicar el teorema 6.3.4 a la función Z x

F(x) =

x ∈ [a, b],

f, a

para algún b ∈ I, b > a. Y para los puntos a la izquierda de a, basta considerar la función Z x

G(x) =

x ∈ [b, a],

f, b

para algún b ∈ I, b < a y tener en cuenta que F(x) = G(x) − G(a). Corolario 6.3.6. Toda función f continua en un intervalo no trivial I cualquiera admite una primitiva en dicho intervalo. Demostración. Basta observar que, por ser continua, f es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en I, y si fijamos un punto a ∈ I y consideramos la función F : I → R dada por Z x

F(x) =

f, a

por el teorema 6.3.5 resulta que F 0 = f en I. Aplicación. Podemos construir la función logarítmica como la primitiva de la función 1/x que se anula para x = 1 (ver Apéndice). Corolario 6.3.7. Sea f una función definida en un intervalo no trivial I cualquiera, integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I y sea α : J → I derivable en x0 ∈ J. Dado a ∈ I, sea G : J → R la función dada por Z α(x)

G(x) =

f. a

Si f es continua en α(x0 ), entonces G es derivable en x0 , con
G0 (x0 ) = α 0 (x0 ) f α(x0 ) . Z x

Demostración. Si definimos F en J como F(x) =

f , x ∈ J, entonces G = F ◦ α, y por la regla de

a

la cadena (teorema 5.1.5) y el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4), resulta que

G0 (x0 ) = α 0 (x0 )F 0 α(x0 ) = α 0 (x0 ) f α(x0 ) .

6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral Ejemplo. Sea F : [0, +∞) → R dada por F(x) =

143 Z 2x

2

e−t dt. Nos proponemos hallar sus extremos

x

relativos y absolutos y sus puntos de inflexión. 2 No podemos expresar una primitiva de e−t como combinación de funciones elementales, y entonces no podemos aplicar la regla de Barrow (teorema 6.3.1) para calcular la integral y obtener otra expresión de F. Pero sí que podemos obtener una expresión manejable de la derivada de F, gracias al teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) y al corolario 6.3.7, que podemos aplicar 2 porque e−t es continua y 2x es derivable. Z 2x

Como F(x) =

2

e−t dt −

Z x

0

2

e−t dt, resulta que para cualquier x ≥ 0,

0 2

2

2

2

2

2

F 0 (x) = 2e−4x − e−x = e−x (2e−3x − 1) = e−x (elog 2−3x − 1). p 0 2 luego es positiva en [0, Vemos (logp 2)/3) y negativa p que F tiene el mismo signo que log 2 − 3x ,p en ( (log 2)/3, +∞). Por tanto F p es creciente en [0, (log 2)/3] y decreciente en [ (log 2)/3, +∞), y alcanza su máximo absoluto en (log 2)/3. Su mínimo absoluto lo tiene en 0, ya que F(0) = 0 y, para cualquier x > 0, F(x) es positiva por ser la integral de una función positiva en el intervalo no trivial [x, 2x]. De la expresión de F 0 obtenemos que 2 1 2 2 2 F 00 (x) = 16xe−4x ( e3x − 1) = 16xe−4x (e3x −3 log 2 − 1), 8 √ de donde su signo es el de x2 − log 2, y deducimos que F es cóncava en [0, log 2] y convexa en √ √ [ log 2, +∞). Tenemos un único punto de inflexión en log 2. Es fácil ver, además, que el límite de F en +∞ es 0. Basta acotar el valor de F usando la monotonía 2 de la integral: como e−t es decreciente en [0, +∞), para todo t en el intervalo [x, 2x] se cumple que 2 2 e−t ≤ e−x , y entonces

Z 2x

F(x) =

e

−t 2

dt ≤

Z 2x

x

2

2

e−x dt = xe−x .

x

x Por la regla de L’Hospital 5.3.8 vemos que l´ım x2 = 0, luego también l´ım F(x) = 0. x→+∞ x→+∞ e Teorema 6.3.8 (cambio de variable). Sea u una función derivable en un intervalo abierto J tal que u0 es continua y sea I un intervalo abierto tal que u(J) ⊆ I. Si f es continua en I, entonces f ◦ u es continua en J y Z b

f (u(x))u0 (x) dx =

a

Z u(b)

f (t) dt

(6.3)

u(a)

para cualesquiera a, b ∈ J. Demostración. Sea F una primitiva de f en I. Entonces (F ◦ u)0 = ( f ◦ u)u0 , y como f y ( f ◦ u)u0 son integrables en intervalos cerrados y acotados (porque son continuas), por la regla de Barrow resulta que Z u(b)

f = F(u(b)) − F(u(a)) = (F ◦ u)(b) − (F ◦ u)(a) =

u(a)

Z b

( f ◦ u)u0 .

a

Ejemplo. Calculemos el valor de

Z √3 p √ − 3

4 − x2 dx.

Ponemos Z √3 p √ − 3

4 − x2 dx

=

Z √3 q √ 2 − 3

1 − (x/2)2 dx

=

Z √3 q √ 4 − 3

1 1 − (x/2)2 dx 2

144

Capítulo 6. La integral de Riemann

(hacemos el cambio de variable t = x/2 según la fórmula (6.3), de izquierda a derecha) =

Z √3/2 p

1 − t 2 dt

4 √ − 3/2

(ahora hacemos el cambio de variable t = sen y según la fórmula (6.3), de derecha a izquierda) =

Z π/3 p

4

1 − sen2 y cos y dy =

Z π/3

Z π/3

4| cos y| cos y dy = −π/3

−π/3

4 cos2 y dy

−π/3

y=π/3 4π √ = 2(1 + cos 2y) dy = (2y + sen 2y) + 3. 3 y=−π/3 −π/3

Z π/3

=

Ejemplo (integrales de funciones pares e impares). Si f es par e integrable en [−a, a], entonces Z a

Z a

f =2 −a

f. 0

Esto se puede demostrar a partir de la definición de integral o mediante la condición de integrabilidad de Riemann (teorema 6.1.8). El significado geométrico es claro, dado que la gráfica de f es simétrica respecto de x = 0. En el caso particular de que f sea continua, esta propiedad se puede demostrar de manera más Ra R0 R sencilla con un cambio de variable, ya que −a f = −a f + 0a f y Z 0

t=−x

f (x) dx = −

Z 0

Z a

f (−t) dt =

−a

Z a

f (−t) dt = 0

a

f (t) dt. 0

Z a

f = 0.

Análogamente, si f es impar entonces −a

6.4.

Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial

Ya hemos usado las propiedades de la función logarítmica en ejemplos y ejercicios. Ahora disponemos de las herramientas necesarias para poder construirla, probando con todo rigor su existencia y sus propiedades básicas. Recordemos que las potencias de exponente racional se definen en R+ = (0, +∞) de la siguiente manera: xn = x · x · · · x (n veces) si n ∈ N, y x1/n es la función inversa. Dado m otro número natural, xm/n = (x1/n )m , y por último x0 = 1 y x−a = 1/xa . Resulta que la derivada de la función dada por xa es axa−1 , de manera que una primitiva de xa 1 a+1 x , pero esto solo vale si a 6= −1. Como x−1 = 1/x es continua en R+ , podemos usar en R+ es a+1 el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) para definir una primitiva en este caso Rx (a = −1), la dada por c (1/t)dt, cualquiera que sea c > 0. Elegimos c = 1, y la función que resulta cumple todos los requisitos que buscamos para el logaritmo neperiano. Proposición 6.4.1. La función L : (0, +∞) → R dada por L(x) =

Z x 1 1

t

dt

está bien definida, es estrictamente creciente (luego inyectiva) y suprayectiva. Es asimismo derivable en todos los puntos de su dominio y para cada x ∈ (0, +∞) 1 L0 (x) = ; x en particular, es cóncava en su dominio.

6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial

y=

145

1 x

x

1 L(x) es el área de la figura

Demostración. La función f : (0, +∞) → R dada por f (t) = 1t es continua, luego L está bien definida, es derivable en cada x ∈ (0, +∞) y su derivada es la función L0 (x) = f (x) = 1x . Puesto que L0 = f es estrictamente
positiva, L es estrictamente creciente. Como es continua (porque es derivable), su imagen L (0, +∞) es un intervalo, y para ver que este intervalo es todo R bastará probar que la función L no está acotada superior ni inferiormente. Ahora bien: dados a > 0 y n ∈ N, el cambio de variable t = un permite escribir n

L(a ) =

Z an 1 1

t

dt =

Z a n−1 nu 1

un

du = n

Z a 1 1

u

du = nL(a).

Tomando a > 1, como L(a) > L(1) = 0, se deduce que L no está acotada superiormente; tomando 0 < a < 1, como L(a) < L(1) = 0, se deduce que L no está acotada inferiormente. Con esta información es suficiente para comprobar que su gráfica tiene la forma que ya conocemos (complétese el estudio de la función de la manera habitual). En cuanto a la propiedad esencial del logaritmo de transformar productos en sumas, tenemos: Proposición 6.4.2. Para cualesquiera x, y ∈ (0, +∞), la función L cumple L(xy) = L(x) + L(y). Demostración. Utilizando el cambio de variable u = t/x, L(xy) − L(x) =

Z xy 1 1

t

dt −

Z x 1 1

t

dt =

Z xy 1 x

t

dt =

Z y x du 1

xu

=

Z y du 1

u

= L(y).

Observación. También puede darse otra demostración usando solo el valor de la derivada: fijado arbitrariamente y > 0, sea fy la función dada por fy (x) = L(xy). Entonces fy0 (x) = y · L0 (xy) = y ·

1 1 = = L0 (x) xy x

para todo x, luego fy (x) = L(x) +C, para cierta constante C, en todo x > 0. Si tomamos x = 1 vemos que C = L(y).
n Observación. La sucesión 1 + n1 es convergente, y denotando su límite por e, resulta L(e) = 1. En efecto:
     L 1 + 1n − L(1) 1 n 1 1 L 1+ = nL 1 + = → L0 (1) = = 1; n n 1/n 1 la función
n inversa de L es continua, porque L es estrictamente creciente y continua, así que la sucesión 1 + n1 tiene límite y      1 n 1 n −1 1+ = L L 1+ → L−1 (1). n n Es fácil, igualmente, obtener las equivalencias conocidas y el desarrollo de Taylor-Maclaurin para L(1 + x). Lo dejamos como ejercicio para el lector.

146

Capítulo 6. La integral de Riemann

Por último, la función inversa L−1 : R → (0, +∞), tiene todas las propiedades admitidas para la función ex , de modo que tenemos aquí una manera de introducir rigurosamente la función exponencial. Definición 6.4.3. Se llama función exponencial a la función exp : R → R definida por exp(x) = L−1 (x). ex

Así pues, exp(x) = y si y solo si L(y) = x; en particular, exp(0) = 1 y exp(1) = e. Suele escribirse en lugar de exp(x).

Proposición 6.4.4. a) La función exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada x ∈ R, exp0 (x) = exp(x). b) e0 = 1. c) Para cada x ∈ R,

1 = e−x y, en particular, ex 6= 0. ex

d) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey . n

e) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex : enx = ex · · ·ex . f) Para cada x ∈ R, ex > 0. g) La función exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. h) Se tiene l´ım ex = +∞,

x→+∞

l´ım ex = 0.

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞). Demostración. a) Como L es derivable e inyectiva en el intervalo (0, +∞), su inversa exp es derivable, según el teorema 5.1.7 de derivación de la función inversa. Además, exp0 (x) =

1 L0 (exp(x))

=

1 = exp(x), 1/ exp(x)

x ∈ R.

Es decir, la derivada de la función exp es ella misma, luego resulta indefinidamente derivable (igual a todas sus derivadas sucesivas). b) Obvio. c) Sea f : x ∈ R → f (x) = ex e−x ∈ R. Derivando de acuerdo con a), f 0 (x) = ex e−x − ex e−x = 0, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. d) Fijado y, sea f : x ∈ R → f (x) =

ex+y ex

∈ R. Teniendo en cuenta a),

f 0 (x) =

ex+y · ex − ex+y · ex = 0, (ex )2

luego f toma constantemente el valor f (0) = ey . e) Se prueba por inducción sobre n utilizando d).
2 f) ex = ex/2 ≥ 0 y ex 6= 0. g) La derivada primera y la derivada segunda de la función exponencial (que son iguales a la función exponencial) son estrictamente positivas.

6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes

147

h) Puesto que la función exponencial es estrictamente creciente, e = e1 > e0 = 1, luego l´ım en = +∞. De nuevo por la monotonía de la función exponencial, esto basta para probar n que l´ım ex = +∞.

x→+∞

Finalmente, 1 = 0. y→+∞ ey

l´ım ex = l´ım e−y = l´ım

x→−∞

y→+∞

Del teorema 4.2.10 de Darboux (o de los valores intermedios) se sigue que el conjunto imagen de la función exponencial es todo el intervalo (0, +∞). En esta demostración se observa que todas las propiedades básicas de la función exponencial se deducen realmente de a) y b), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades fundamentales.

6.5.

Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes

Aunque no vamos a definir con rigor qué es una curva plana, a menudo viene dada como la gráfica de una función f : I → R, donde I es un intervalo y se pide que f sea continua, o continua a trozos, o derivable. . . Esta forma de representar una curva plana se llama explícita. Por ejemplo, la gráfica de la función y = x2 es una parábola. También pueden venir definidas en forma paramétrica, es decir, como puntos de la forma (x(t), y(t)), donde x : I → R, y : I → R son dos funciones e I es un intervalo. Por ejemplo, la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 1 se puede expresar en forma paramétrica como x = cost,

y = sent,

t ∈ [0, 2π] Otra manera de describir una curva plana es en coordenadas polares: si representamos por ρ el radio y por θ un argumento de un punto del plano, los puntos que cumplen ρ = 1 son la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 1. La ecuación ρ = θ es la de una espiral. En general, una curva en coordenadas polares es una relación ρ = ϕ(θ ). Una curva en forma explícita (y = f (x)) se puede expresar siempre en forma paramétrica: x = t, y = f (t). Una curva en forma polar (ρ = ϕ(θ )) también se puede expresar siempre en forma paramétrica: x = ϕ(θ ) cos θ , y = ϕ(θ ) sen θ . En cambio, no toda curva en forma paramétrica se puede expresar en forma explícita ni en forma polar. Y no toda curva en forma explícita se puede poner en forma polar ni viceversa. A continuación recogemos, sin demostración, diversas fórmulas que permiten calcular la longitud de una curva plana y el área de una superficie o el volumen de un cuerpo asociados a curvas planas. En cada caso se supone que las funciones que aparecen son continuas a trozos, o derivables a trozos, según haga falta para que las integrales estén bien definidas.

Área de una figura plana

148

Capítulo 6. La integral de Riemann y = f (x) y = f (x) a b

a

b Rb

El área de la figura es a f (x) dx, si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]

El área de la figura es

Rb a

| f (x)| dx

y = g(x) y = f (x) a b

El área de la figura es

Rb a

| f (x) − g(x)| dx

(x(t0 ), y(t0 )) = (x(t1 ), y(t1 ))

ρ = ρ(θ )

β

α

R El área de la figura es tt01 y(t)x0 (t) dt , si la curva es cerrada

Longitud de una curva plana

El área de la figura es

1 Rβ 2 α

ρ(θ )2 dθ

6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes

149

y = f (x)

(x(t1 ), y(t1 ))

a (x(t0 ), y(t0 ))

b

La longitud de la curva es

Rbp a

1 + f 0 (x)2 dx

La longitud de la curva es

R t1 p t0

x0 (t)2 + y0 (t)2 dt

ρ = ρ(θ )

β

α

La longitud de la curva es

Rβ p α

ρ(θ )2 + ρ 0 (θ )2 dθ

Volumen de un cuerpo de revolución

y = f (x)

y = f (x) a

a b

El volumen del cuerpo generado al girar la figura R alrededor del eje x es ab π f (x)2 dx

b

El volumen del cuerpoR generado al girar la figura alrededor del eje y es ab 2πx| f (x)| dx, si a, b ≥ 0

150

Capítulo 6. La integral de Riemann

ρ = ρ(θ ) (x(t1 ), y(t1 )) (x(t0 ), y(t0 )) β α El volumen del cuerpo generado al girar la figura R t1 alrededor del eje x es t0 πy(t)2 x0 (t) dt ,

El volumen del cuerpo generado al girar la figura R 3 alrededor del eje x es αβ 2π 3 ρ(θ ) sen θ dθ , si 0 ≤ α ≤ β ≤ π

si y(t) ≥ 0 para todo t ∈ [t0 ,t1 ]

Volumen de un cuerpo de secciones conocidas

área S(x)

a

x

b

El volumen de la figura es ab S(x) dx, donde S(x) es el área de la sección perpendicular al eje en x R

Área de una superficie de revolución y = f (x) (x(t1 ), y(t1 ))

a (x(t0 ), y(t0 )) b

El área de la superficieR generada al pgirar la curva alrededor del eje x es ab 2π| f (x)| 1 + f 0 (x)2 dx

El área de la superficie generada p al girar la curva R alrededor del eje x es tt01 2πy(t) x0 (t)2 + y0 (t)2 dt si y(t) ≥ 0 para todo t ∈ [t0 ,t1 ]

ρ = ρ(θ )

β α

6.6. Apéndice: cálculo de primitivas

151

El área de la superficie generada al girar la curva alrededor p R del eje x es αβ 2πρ(θ )(sen θ ) ρ(θ )2 + ρ 0 (θ )2 dθ , si 0 ≤ α ≤ β ≤ π

6.6.

Apéndice: cálculo de primitivas

6.6.1.

Métodos básicos de integración

Integración por partes: si f y g son dos funciones derivables, Z

f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x) −

Z

f 0 (x)g(x) dx.

Cambio de variable: Si f (t) dt = F(t), esto es, F 0 (t) = f (t), y ϕ es una función derivable, entonR ces f (ϕ(x))ϕ 0 (x) dx = F(ϕ(x)). Abreviadamente, R

Z

f (ϕ(x))ϕ 0 (x) dx =

Z

f (t) dt = F(t) = F(ϕ(x)).

En el primer paso se hace el cambio de variable t = ϕ(x), dt = ϕ 0 (x) dx; en el último paso se deshace el cambio t = ϕ(x).

6.6.2.

Integrales elementales (x + a)r+1 +C, si r 6= −1 r+1

Z

(x + a)r dx =

Z

dx = log |x + a| +C x+a

Z

ex dx = ex +C

a) b) c) Z

cos x dx = sen x +C

d) Z

e)

sen x dx = − cos x +C

Z

cosh x dx = senh x +C

f) Z

senh x dx = cosh x +C

g) Z

dx = cos2 x

Z

dx = − ctg x +C sen2 x

Z

dx 1 x+a 1 x+a = arc tg +C = − arc ctg + D, si b 6= 0 2 2 (x + a) + b b b b b

Z

2(x + a) dx = log |(x + a)2 + b| +C (x + a)2 + b

Z

2(x + a) 1/(1 − n) dx = +C, si n 6= 1 2 n [(x + a) + b] [(x + a)2 + b]n−1

h) i) j) k) l)

Z

(1 + tg2 x) dx = tg x +C

152

Capítulo 6. La integral de Riemann dx

Z

m)

p (x + a)2 + b Z

n)

x+a x+a dx p = arc sen +C = − arc cos + D, si b > 0 2 2 b b b − (x + a) dx

Z

ñ)

q 2 = log x + a + (x + a) + b +C

x2 + 1

= arc tg x +C = − arc ctg x + D (es un caso particular de j))

p dx √ = arg senh x +C = log(x + x2 + 1) +C (es un caso particular de m)) x2 + 1 Z p dx √ p) = arg cosh x +C = log x + x2 − 1 +C (es un caso particular de m)) x2 − 1 Z

o)

Z

q)

6.6.3.

dx √ = arc sen x +C = − arc cos x + D (es un caso particular de n)) 1 − x2

Integración de algunos tipos de funciones R

Funciones integrables por partes: f (x)g(x) dx, donde f (x) es un polinomio y g(x) es una de ax las funciones siguientes: e , sen ax, cos ax, arc sen ax, arc tg ax, log x, (x + a)n . . . ; o bien f (x) es una función seno o coseno y g(x) es una función exponencial. Se puede intentar el método de integración por partes. Funciones racionales (cocientes de polinomios): Z

a) In =

dx , donde n ∈ N. Se resuelve de forma recurrente: I1 = arc tg x +C; si n ≥ 2, (1 + x2 )n In =

Z

b)

dx (x2 + ax + b)n

, donde a2 − 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce al caso anterior haciendo cuadrados y

el cambio de variable y = Z

Z

c)

Mx + N (x2 + ax + b)n

1 x 2n − 3 · + · In−1 2 n−1 2n − 2 (1 + x ) 2n − 2

q 1 2 b− a4

x + a2 :

a2 1 −n dx = (b − )2 (x2 + ax + b)n 4

Z

dy (1 + y2 )n

dx, donde a2 − 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce a una integral inmediata y otra del

tipo anterior: Z

Z

2x + a aM dx + (N − ) 2 n (x + ax + b) 2

Z

dx (x2 + ax + b)n

P(x) dx, donde P y Q son polinomios cualesquiera. Se reduce a integrales inmediatas y de Q(x) P(x) los tipos anteriores, descomponiendo en fracciones simples: una suma de un polinomio y Q(x) Mx + N A una o varias funciones racionales de las formas 2 , . (x + ax + b)n (x + c)m

Z

d)

Mx + N M dx = 2 n (x + ax + b) 2

6.6. Apéndice: cálculo de primitivas

153

Funciones trigonométricas: R

a)

R(sen x) cos x dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una función racional con el cambio t = sen x.

b)

R

R(cos x) sen x dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una función racional con el cambio t = cos x.

c)

R

R(tg x) dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una función racional con el cambio t = tg x.

d)

R

R(sen x, cos x) dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una función x 2 dt 1 − t2 2t racional con el cambio t = tg , dx = , cos x = , sen x = . 2 2 2 1+t 1+t 1 + t2

e) Los productos de funciones trigonométricas se transforman en sumas, mediante las fórmulas siguientes: 2 sen a sen b = cos(a − b) − cos(a + b) 2 cos a cos b = cos(a − b) + cos(a + b) 2 sen a cos b = sen(a − b) + sen(a + b) En particular: cos2 a =

1 + cos 2a 1 − cos 2a ; sen2 a = . 2 2

Algunas funciones irracionales: Z

a)

R(x, xm/n , . . . , xr/s ) dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una función

racional mediante el cambio x = t k , donde k es un común múltiplo de los denominadores n, . . . , s.   ! Z ax + b 1/n b) R x, dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una cx + d ax + b = t n. función racional con el cambio cx + d Z

c)

dx √ . Si a = 0 es inmediata. Y si a 6= 0 también, ya que 2 ax + bx + c Z

dx √ = 2 ax + bx + c

dx

Z

r

b b2 a(x + )2 + c − 2a 4a

.

P(x) √ dx, donde P es un polinomio. Se hallan una constante K y un polinomio Q de ax2 + bx + c grado menor que P, tales que Z

d)

Z

Z p P(x) dx √ dx = Q(x) ax2 + bx + c + K √ . 2 2 ax + bx + c ax + bx + c

dx 1 √ . Se hace el cambio x − u = y se reduce a una de las anteriores. t (x − u)m ax2 + bx + c Z  q  f) R x, a2 − (x + b)2 dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una Z

e)

función de tipo trigonométrico mediante uno de los dos cambios x + b = a cost, x + b = a sent.

154

Capítulo 6. La integral de Riemann Z

 q  g) R x, (x + b)2 − a2 dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una a a , x+b = . función de tipo trigonométrico mediante uno de los dos cambios x + b = cost sent Z  q  h) R x, a2 + (x + b)2 dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una a . función de tipo trigonométrico mediante uno de los dos cambios x + b = a tgt, x + b = tgt Z  p  i) R x, ax2 + bx + c dx, donde R es una función racional. O bien se expresa como uno de los tres tipos anteriores, o bien se reduce a la integral de una función racional mediante un cambio de variable de Euler: √ √ • ax2 + bx + c = t ± x a, si a > 0; √ √ • ax2 + bx + c = tx ± c, si c > 0; √ • ax2 + bx + c = t(x − u), si au2 + bu + c = 0. Z

j)

xr (a + bxs ) p dx, donde r, s y p son números racionales. Solo se integran en los siguientes casos: • Si p ∈ N, se desarrolla (a + bxs ) p y es inmediata. • Si p es un entero negativo, se hace el cambio x = t k , donde k es un denominador común de las fracciones r y s. r+1 ∈ Z, se hace el cambio a + bxs = t k , donde k es el denominador de la fracción p. • Si s r+1 • Si + p ∈ Z, se hace el cambio a + bxs = xst k , donde k es el denominador de la s fracción p.

6.7.

Ejercicios

Ejercicio 6.1. Calcular las primitivas de las siguientes funciones: √ (1 + x)3 (arc sen x)2 √ 1) 2) 3) x1/3 1 − x2 sen3 x 4) 4 cos3 x − 3 cos xsen x 5) √ 6) cos x √ 1 7) x5 1 − x3 8) 9) 7 x(x + 1) 10)

arc tg x

11)

13)

cos 2x ex

14)

16)

xex (1 + x)2

17)

19) 22)

x x4 + (a + b)x2 + ab 1 4 x +1

20) 23)

cos x log(1 + cos x) x arc sen x √ 1 − x2 x2 − 3x + 3 x2 − 3x + 2 3x + 5 2 (x + 2x + 2)2 1 √ x x2 − 1

1 √ x − x2 1 2 x a e + b2 e−x 1 sen x + cos x

12)

log2 x

15)

x tg2 x

18) 21) 24)

1 (x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5) 1 x4 + x2 + 1

√ x − x2 x4

6.7. Ejercicios 25) 28) 31)

155

√ (1 + x)2 √ 2+ x

1+x √ 1+ x

26)

1 √ x( 1 + x − 2) √ x+ x+1 √ x− x+1

3x2/3 − 7 x − 7x1/3 + 6 √ x+1+2 √ (x + 1)2 − x + 1 1 (a + b cos x) sen x

29) 32)

34)

sec3 x

35)

37)

x2 √ 2x − x2

38)

27)

x2 − 3x + 7 √ 2x2 + 4x + 5

30) 33) 36) 39)

1 √ x 2x + 1 3 x + 3(x + 4)2/3 r 3+x 1 x+1 x−1 1 2 + 3 tg x x2 √ 3x2 − x + 1

Ejercicio 6.2. Calcular los límites siguientes mediante integrales definidas:   1 x 2x nx a) l´ım cos + cos + · · · + cos n n n n n   n n n b) l´ım 2 + + · · · + n n + 12 n2 + 22 n2 + n2   1 2 n c) l´ım √ +√ +···+ √ n n4 + 1 n4 + 24 n4 + n4 d) l´ım n

1k + 2k + · · · + nk , nk+1

(k ≥ 0)

Ejercicio 6.3. Sea f continua en [0, a]. Comprobar que Z a

Z a

f (x) dx = 0

y calcular, para n = 1 y n = 3,

Z π x senn x 0

1 + cos2 x

f (a − x) dx

0

dx.

Ejercicio 6.4. Calcular las integrales definidas siguientes: Z 4√ 2 Z √3 p x −4 a) 4 − x2 dx b) dx c) √ x4 − 3 2 Z 1p Z 1 log(1 + x) 2 d) 2x − x dx e) dx f) (1 + x)2 0 0

sen x dx 3 + sen2 x 0 Z π/2 p cos x − cos3 x dx

Z π/2

−π/2

Ejercicio 6.5. Probar que las siguientes funciones son derivables y hallar sus derivadas: Z x3

a) F(x) =

sen3 t dt

a

Z b

b) F(x) =

f (x + t) dt, con f continua a

Z x

c) F(x) =

x f (t) dt, con f continua 0

Z g(x)

d) F(x) =

h(t) dt, con h continua y f y g derivables f (x)

156

Capítulo 6. La integral de Riemann Z x

Ejercicio 6.6. Demostrar que si f es continua,

f (u)(x − u) du =

0

x2

x→0

Z π/2

Ejercicio 6.8. Demostrar que 0

para cada n ≥ 1 se tiene: Z π/2

a)

sen2n+1 x dx =

0

Z π/2

b) 0

sen2n x dx =

senn x dx =

sent 2 log x

n−1 n

 f (t) dt

0

Z x t e −1

Ejercicio 6.7. Hallar el siguiente límite: l´ım+

Z x Z u

du.

0

dt .

Z π/2

senn−2 x dx, para cada n ≥ 2. Probar que

0

2 · 4 · 6 . . . 2n 3 · 5 · 7 . . . (2n + 1)

π 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1) · 2 2 · 4 · 6 . . . 2n

Ejercicio 6.9. Hallar el área de la figura limitada por la parábola y = −x2 − 2x + 3, su tangente en el punto (2, −5) y el eje y. Ejercicio 6.10. Calcular el área de la figura limitada por la curva y2 = x(x − 1)2 . √ √ Ejercicio 6.11. La corona circular centrada en el origen y de radio interior 2 y radio exterior 6 se corta con la parábola de ecuación x = y2 . Hallar el área de una de las dos superficies que se forman. Ejercicio 6.12. Hallar el valor del parámetro λ para el que la curva y = λ cos x divide en dos partes de igual área la región limitada por el eje x, la curva y = sen x y la recta x = π/2. Ejercicio 6.13. Hallar la longitud del arco que la recta x = 4/3 corta en la curva y2 = x3 . Ejercicio 6.14. Calcular la longitud del arco de la curva y = log cos x entre los puntos de abscisas x = 0, x = π/4. 1 1 Ejercicio 6.15. Hallar la longitud del arco de la curva x = y2 − log y entre los puntos y = 1 e y = 2. 4 2 Ejercicio 6.16. Hallar la longitud de la astroide x2/3 + y2/3 = a2/3 , donde a > 0. Ejercicio 6.17. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la curva a2 y2 = ax3 − x4 alrededor del eje x (a > 0). Ejercicio 6.18. Calcular el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje x la figura limix tada por y = a cosh y las rectas x = c, x = −c (a, c > 0). a Ejercicio 6.19. La figura limitada por la sinusoide y = sen x (0 ≤ x ≤ π/2), el eje de ordenadas y la recta y = 1 gira alrededor del eje y. Calcular el volumen del sólido de revolución así engendrado. Ejercicio 6.20. Hallar el área del elipsoide formado al girar alrededor del eje x la elipse de ecuación x 2 y2 + = 1 (a > b > 0). a2 b2 Ejercicio 6.21. Hallar el área de la superficie generada al girar alrededor del eje y la porción de la curva y = x2 /2 cortada por la recta y = 3/2. Ejercicio 6.22. Hallar el área de la superficie generada al girar alrededor del eje x la porción de la curva y2 = 4 + x cortada por la recta x = 2.

Capítulo 7

Integrales impropias 7.1.

Definición de integral impropia y primeras propiedades

El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que las que hemos examinado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada f : (0, 1] → R,

f (t) = logt.

Puesto que f es continua, para cada x ∈ (0, 1] existe su integral en [x, 1], que vale Z 1

Z 1

f= x

x

logt dt = [t logt − t]t=1 t=x = −1 − x log x + x;

y como Z 1

l´ım+

x→0

x

f = l´ım+ [−1 − x log x + x] = −1, x→0

parece natural escribir, simplemente, Z 1

f = −1.

0

Igualmente, si en el intervalo no acotado [0, +∞) tomamos la función continua f (t) = e−t , para cada x ∈ [0, +∞) tenemos Z x

Z x

f= 0

Z x

l´ım

x→+∞ 0

0

−x e−t dt = [−e−t ]t=x t=0 = −e + 1,


f = l´ım −e−x + 1 = 1, x→+∞

lo que sugiere escribir Z +∞

e−t dt = 1.

0

Siguiendo estas ideas podemos definir en distintas situaciones una integral generalizada o integral impropia, lo que nos llevará a estudiar diferentes tipos de condiciones que permitan asegurar su existencia.

7.1.1.

Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, divergentes, oscilantes

Definición 7.1.1. Sea D ⊆ R. Se dice que una función f : D → R es localmente integrable en D si es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en D. 157

158

Capítulo 7. Integrales impropias

Por ejemplo, todas las funciones continuas y todas las funciones monótonas, acotadas o no, son localmente integrables. Obsérvese que si −∞ < a < b ≤ +∞, una función f es localmente integrable en [a, b) si y solo si es integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b). Análogamente, si −∞ ≤ a < b < +∞, una función f es localmente integrable en (a, b] si y solo si es integrable en cada intervalo [x, b] ⊆ (a, b]. Consideremos en primer lugar funciones definidas en intervalos del tipo [a, b), donde b es finito o +∞. Definición 7.1.2. Dada una función f : [a, b) → R localmente integrable, −∞ < a < b ≤ +∞, si existe el límite Z x l´ım− f (t) dt (7.1) x→b

a

Rb

y es finito, decimos que la integral impropia a f es convergente, y al valor de dicho límite lo llamaR mos integral impropia de f en el intervalo [a, b); se denota por ab f . Si el límite (7.1) existe, pero es +∞ o −∞, decimos que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o que no tiene sentido, o que es oscilante (esta última denominación se reserva en algunos textos para otro concepto distinto). Si la integral impropia de una función en un intervalo es convergente se dice que la función es integrable en sentido impropio en dicho intervalo.

Rx a

f (t) dt

x→∞

a

x

La integral impropia

R∞ a

f (x) dx

De manera enteramente análoga puede definirse la integral impropia de una función en un intervalo (a, b], −∞ ≤ a < b < +∞: Definición 7.1.3. Dada una función f : (a, b] → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b < +∞, decimos Rb que la integral impropia a f es convergente si existe el límite Z b

l´ım

x→a+ x

f (t) dt

(7.2)

y es finito, yR al valor de dicho límite lo llamamos integral impropia de f en el intervalo (a, b]; se denota por ab f . Si el límite (7.2) existe, pero es +∞ o −∞, decimos que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o no tiene sentido, o que es oscilante. La definición de integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos puede hacerse mediante límites en dos variables o reduciéndola a las definiciones anteriores del siguiente modo: Definición 7.1.4. Dada una función f : (a, b) → R localmente integrable, −∞ ≤R a < bR≤ +∞, decimos R que la integral impropia ab f es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que ac f y cb f son ambas convergentes; en ese caso, se define Z b

Z c

f= a

Z b

f+ a

f. c

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

159

Del siguiente resultado (y de su análogo para intervalos semiabiertos por la izquierda) se deduce que en esta definición es indiferente el punto c que se elija. También se deduce que la convergencia de una integral impropia es un concepto local, que depende solo del comportamiento del integrando cerca del punto impropio, en un entorno del extremo conflictivo. Proposición 7.1.5. Sea f : [a, b) → R una función localmente integrable y sea a < c < b. La función f es integrable en sentido impropio en [a, b) si y solo si es integrable en sentido impropio en [c, b), en cuyo caso se tiene Z b

Z c

f=

Z b

f+

a

f.

a

(7.3)

c

Demostración. Basta tener en cuenta que para cada x ∈ (c, b) es Z x

Z c

f= a

Z x

f+

f.

a

c

Por tanto, el límite cuando x → b− de la primera integral existe si y solo si existe el límite de la tercera integral, y cuando esto suceda, pasando al límite se obtiene la relación (7.3). Los conceptos anteriores se extienden al caso de funciones definidas en una unión finita de intervalos disjuntos. Por ejemplo: Definición 7.1.6. Sea J = ∪nk=1 Ik , donde (Ik )nk=1 es una familia de intervalos disjuntos. Si f es una R función localmente integrable en J, se dice que la integral impropia J f es convergente si converge R cada una de las integrales abkk f , donde ak y bk son los extremos de Ik ; en ese caso, se define n

Z

f= J

Z bk

f.

∑

k=1 ak

Nota. Cuando los intervalos (IkR) son contiguos, es decir, cuando b1 = a2 , . . . , bk−1 = ak , . . . , bn−1 = an , R bn suele escibirse a1 f en vez de J f . Ejemplos.

a) Dado α ∈ R, las integrales impropias

Z b a

dt y (t − a)α

Z b a

dt son convergentes (b − t)α

si α < 1, y divergen a +∞ si α ≥ 1. b) La integral impropia

Z +∞ dt 1

Z +∞

c) La integral impropia

tα

es convergente si α > 1. Si α ≤ 1, diverge a +∞.

e−αt dt es convergente si α > 0. Si α ≤ 0, diverge a +∞.

0

d) La función 1 f (x) = √ 1 − x2 es localmente integrable en (−1, 1) porque es continua. Su integral impropia es convergente: Z 1

dx √ = −1 1 − x2

Z 0

dx √ + −1 1 − x2

Z 1 0

dx π π √ = −(− ) + = π 2 2 2 1−x

( f tiene como primitiva la función arc sen). Nota. Para más sencillez, solo vamos a considerar por lo general integrales impropias en intervalos del tipo [a, b), donde −∞ < a < b ≤ +∞. Dejamos al lector escribir las modificaciones pertinentes para los otros casos.

160

Capítulo 7. Integrales impropias

La noción de integral impropia se reduce a la de integral de Riemann cuando tratamos con funciones integrables-Riemann. Proposición 7.1.7. Sea f : [a, b] → R una función integrable-Riemann en [a, b]. Entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y su integral impropia es igual a la integral de Riemann. Demostración. Según el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4), la función Z x

F(x) =

f a

es continua en b, así que Z b

Z x

f = l´ım−

f.

x→b

a

a

Esto demuestra que f es integrable en sentido impropio en [a, b) y que su integral impropia es igual a la integral de Riemann. La misma idea sirve para demostrar que si una función es continua en [a, b) y en b tiene una discontinuidad evitable, entonces es integrable en sentido impropio en [a, b): Proposición 7.1.8. Sea −∞ < a < b < +∞. Si f : [a, b) → R es una función continua y existe el límite l´ım− f (x) ∈ R, entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y x→b

Z b

Z b

f=

g,

a

a

donde g es la extensión continua de f a [a, b]. Demostración. La función g es integrable Riemann, ya que es continua en [a, b]. Según la definición de integral impropia, Z b a

Z x

f = l´ım− x→b

a

Z x

f = l´ım− x→b

Z b

g= a

g, a

donde en la última igualdad se usa el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4). Observación. Con la misma demostración, se puede probar que si f es una función localmente integrable en [a, b) y se puede extender a una función integrable-Riemann en [a, b], entonces la integral impropia Z b

f a

es convergente.

7.1.2.

Primeras propiedades de las integrales impropias

Algunas propiedades de la integral de Riemann se trasladan sin dificultad a las integrales impropias, como muestran las proposiciones siguientes. Proposición 7.1.9. Sean f , g funciones integrables en sentido impropio en un intervalo [a, b). Dados λ , µ ∈ R, la integral impropia Z b

(λ f + µg) a

es convergente, y se cumple Z b

Z b

(λ f + µg) = λ a

Z b

f +µ a

g. a

7.2. Convergencia de integrales impropias

161

Proposición 7.1.10 (regla de Barrow para integrales impropias). Sea g una función derivable en [a, b) y tal que

g0

Z b

es localmente integrable en [a, b). La integral impropia

g0 es convergente si y solo si el

a

límite l´ım− g(x) existe y es finito. Y si eso ocurre, entonces se verifica x→b

Z b a

g0 = l´ım− g(x) − g(a). x→b

Proposición 7.1.11 (integración por partes en integrales impropias). Sean u, v funciones derivables en [a, b) y tales que u0 , v0 son localmente integrables en [a, b). Si existen y son reales dos de los límites siguientes: Z Z x

l´ım−

x→b

x

uv0 ,

l´ım− u(x)v(x),

x→b

a

l´ım−

x→b

u0 v,

a

entonces el otro también existe y es real y se verifica Z b a

0

uv = l´ım− u(x)v(x) − u(a)v(a) − x→b

Z b

u0 v.

a

Proposición 7.1.12 (cambio de variable en integrales impropias). Sean I y J intervalos abiertos, [a, b) ⊆ J, f : I → R una función continua, u : J → I una función derivable tal que existe l´ım− u(y) = y→b

` ∈ R ∪ {±∞} y con derivada u0 continua. Entonces la integral Z b

f (u(x))u0 (x) dx

a

converge si y solo si converge la integral Z `

f (t) dt, u(a)

en cuyo caso ambas integrales son iguales: Z b

f (u(x))u0 (x) dx =

a

Z `

f (t) dt. u(a)

7.2.

Convergencia de integrales impropias

7.2.1.

Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de comparación

En el caso particular de que la función sea no negativa, el estudio de la convergencia de su integral es más sencillo: Proposición 7.2.1. Sea f una función localmente integrable y no negativa en [a, b). La integral imR propia ab f es convergente si y solo si la función Z x

F(x) =

f,

x ∈ [a, b)

a

está acotada. En caso contrario, la integral diverge a +∞. Demostración. Como f es no negativa, la función F es monótona no decreciente. Recordando que l´ım F(x) = sup{F(x) : x ∈ [a, b)},

x→b−

se deduce que el límite es finito si F está acotada (superiormente), mientras que si no está acotada el límite es +∞.

162

Capítulo 7. Integrales impropias

Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente criterio de comparación, que permite reducir el estudio de la convergencia de una integral impropia al de otras conocidas. Proposición 7.2.2 (criterio de comparación por mayoración). Sean f , g funciones no negativas localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existen una constante K y algún c ∈ [a, b) Rb tales que f (x) ≤ Kg(x) siempre que c < x < b. Si la integral impropia a g es convergente, entonces R también la integral impropia ab f es convergente. Demostración. Para cada x ∈ [a, b) es Z x

f≤

a

Z c

Z b

f +K a

g, c

así que el resultado se deduce de la proposición 7.2.1. Proposición 7.2.3 (criterio de comparación por paso al límite). Sean f , g funciones no negativas localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existe f (x) = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. g(x)

l´ım

x→b−

Rb

a) Si ` < +∞ y la integral impropia converge. b) Si 0 < ` y la integral impropia

Rb a

c) Si 0 < ` < ∞, las dos integrales o las dos son divergentes.

g converge, entonces la integral impropia

g diverge, entonces la integral impropia

Rb a

a

fy

Rb a

Rb a

Rb a

f también

f también diverge.

g tienen el mismo carácter: o las dos son convergentes,

Demostración. a) Si ` < ∞, tomemos ` < K < ∞; existe un c tal que f (x) < Kg(x) si c < x < b. Basta entonces aplicar el criterio 7.2.2 de mayoración. b) Si 0 < `, tomemos 0 < K < `; existe algún c tal que f (x) > Kg(x) si c < x < b. Por el criteRb R rio 7.2.2 de mayoración, si la integral impropia a g diverge necesariamente la integral impropia ab f debe divergir. c) Es una consecuencia inmediata de a) y b). Nótese que si, en particular, es f (x) ∼ g(x) cuando x → b− , entonces ab f y ab g tienen el mismo carácter. Examinando los ejemplos que hemos visto de convergencia y divergencia, del criterio 7.2.3 se deduce: R

R

Corolario 7.2.4 (criterio de Pringsheim). a) Sea f una función no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, +∞) y tal que para algún α existe el límite l´ım xα f (x) = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→+∞

Entonces: • si α ≤ 1 y ` > 0, la integral a+∞ f diverge (a +∞). R • si α > 1 y ` 6= +∞, la integral a+∞ f converge. R

b) Sea f una función no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, b), con −∞ < a < b < +∞, y tal que para algún α existe el límite l´ım (b − x)α f (x) = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→b−

Entonces: • si α ≥ 1 y ` > 0, la integral

Rb a

• si α < 1 y ` 6= +∞, la integral

f diverge (a +∞). Rb a

f converge.

7.2. Convergencia de integrales impropias

7.2.2.

163

Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y convergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet

Definición 7.2.5. Sea f una función localmente integrable en [a, b). Decimos que la integral impropia de f en [a, b) es absolutamente convergente si la integral impropia Z b

| f (t)| dt

a

es convergente. Proposición 7.2.6. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente. Demostración. Sea f : [a, b) → R localmente integrable y supongamos que la integral impropia es convergente. Definamos

Rb a

|f|

f+ (x) = m´ax{ f (x), 0}, f− (x) = m´ax{− f (x), 0}. Las funciones f+ y f− son localmente integrables y es fácil comprobar que 0 ≤ f+ ≤ | f |,

0 ≤ f− ≤ | f |,

así que las integrales impropias ab f+ y ab f− son convergentes. También es fácil comprobar que R f = f+ − f− , luego la integral ab f es convergente. R

R

f−

f

f+

Las funciones f , f + y f −

Como la convergencia absoluta de una integral impropia es la convergencia de la integral de una función no negativa, la proposición 7.2.6 permite aprovechar en muchos casos los métodos de comparación de integrandos no negativos. Por ejemplo: a) la integral

Z +∞ cos x

x ≤ dx es convergente, porque es absolutamente convergente (0 ≤ cos x2

x2 1Z +∞ dx y la integral converge); x2 1

b) la integral

Z +∞ sen x 0

x

1 x2

dx es convergente, puesto que integrando por partes Z y sen x 1

x

dx = −

h cos x iy x

1

−

Z y cos x 1

x2

dx

y el segundo miembro de esta igualdad tiene límite finito para y → +∞, como consecuencia de a). Sin embargo, hay integrales impropias convergentes que no son absolutamente convergentes. El R ejemplo estándar es precisamente la integral 0+∞ senx x dx, como vemos a continuación.

164

Capítulo 7. Integrales impropias

Ejemplo. La integral

R +∞ | sen x| 0

x

Z nπ

dx no es convergente. En efecto: para cada n ∈ N,

| sen x| 1 dx ≥ x nπ

(n−1)π

Z nπ

| sen x| dx =

(n−1)π

2 2 ≥ nπ π

Z n+1 dx

x

n

.

Luego Z Nπ | sen x|

x

0

dx ≥

2 π

Z N+1 dx

x

1

=

2 log(N + 1) → +∞. π

Definición 7.2.7. Si una integral impropia es convergente pero no es absolutamente convergente, se dice que es condicionalmente convergente. Como hay integrales impropias condicionalmente convergentes, es importante disponer de criterios de convergencia que no dependan de la convergencia absoluta; de ellos, los que más se usan en la práctica son los criterios de Abel y Dirichlet. Proposición 7.2.8 (criterio de Abel). Sea f una función integrable en sentido impropio enR un intervalo [a, b) y g una función monótona y acotada en dicho intervalo. Entonces la integral ab f g es convergente. Proposición 7.2.9 (criterio Z x de Dirichlet). Sea f una función localmente integrable en un interva lo [a, b) y tal que sup f es finito y sea g una función monótona en [a, b) con l´ım− g(x) = 0. x→b a a 0) o a −∞ (si a < 0); c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas; d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞. Ejemplo. La serie ∞

1

∑n

n=1

se llama serie armónica Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-ésima, denotada habitualmente por Hn , cumple n

Hn =

n 1 ≥ ∑ ∑ k=1 k k=1

Z k+1 dx k

x

=

Z n+1 dx

x

1

luego la serie armónica diverge a +∞ a pesar de que l´ım n

= log(n + 1),

1 = 0. n

El carácter de una serie no cambia si se prescinde de un número finito de sumandos (aunque sí puede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma más precisa, Proposición 8.1.2. Dada una serie ∑∞ n=1 an y un entero m > 1, se tiene: ∞ a) ∑∞ n=1 an converge si y solo si converge ∑n=m an . Si convergen, entonces ∞

∑ an =

n=1

m−1

∑

n=1

∞

an +

∑ an .

n=m

∞ b) ∑∞ n=1 an diverge a +∞ si y solo si ∑n=m an diverge a +∞.

8.1. Definición y primeras propiedades

169

∞ c) ∑∞ n=1 an diverge a −∞ si y solo si ∑n=m an diverge a −∞. ∞ d) ∑∞ n=1 an es oscilante si y solo si ∑n=m an es oscilante.

Demostración. Basta observar que para todo p > m es p

p

m−1

∑ an =

n=1

∑

an +

∑ an ,

n=m

n=1

donde ∑m−1 n=1 an está fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados conocidos para sucesiones.

8.1.2.

Linealidad de la convergencia de series

∞ Proposición 8.1.3. Sean ∑∞ n=1 an , ∑n=1 bn dos series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la serie ∑∞ n=1 (αan + β bn ) es convergente y se tiene ∞

∞

∞

∑ (αan + β bn ) = α ∑ an + β ∑ bn .

n=1

n=1

n=1

N

N

Demostración. Basta tener en cuenta que N

∑ (αan + β bn ) = α

n=1

∑ an + β

n=1

∑ an .

n=1

∞ ∞ Corolario 8.1.4. Si ∑∞ n=1 an converge y ∑n=1 bn no es convergente, entonces ∑n=1 (an + bn ) no es convergente.

Demostración. Si la serie ∑∞ n=1 (an + bn ) convergiera, entonces la serie ∞

∞

∑ bn = ∑

n=1

  (an + bn ) + (−1)an

n=1

también convergería, según la proposición 8.1.3. Ejemplos. La serie ∑( 1n + 21n ) no converge, pues ∑ 1n no es convergente y ∑ 21n sí. Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como no convergente: examínense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1.

8.1.3.

Series telescópicas

Proposición 8.1.5. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones de números reales tales que para todo n ∈ N se cumple an = bn − bn+1 . Entonces la serie ∑∞ n=1 an (denominada serie telescópica) es convergente si y solo si la sucesión (bn ) tiene límite real, en cuyo caso tenemos ∞

∑ an = b1 − l´ınm bn .

n=1

Demostración. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie ∑∞ n=1 an son N

sN =

∑ an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bN−1 − bN ) + (bN − bN+1 ) = b1 − bN+1 .

n=1

170

Capítulo 8. Series numéricas

Ejemplo. Si an =

1 1 1 = − , entonces la suma parcial N-ésima es simplemente n(n + 1) n n + 1 N

SN =

N

1

1 1
1 = 1− − , n n+1 N +1

∑ n(n + 1) = ∑

n=1

n=1

con lo que l´ım SN = 1. Es decir, la serie ∑∞ n=1 an converge y su suma es 1: N

∞

1

∑ n(n + 1) = 1.

n=1

Ejemplo. Sea ahora an = log 1 + N

N

∑ an = ∑ log

n=1

1+

n=1

1
. La suma parcial de orden N es n

N
1
= ∑ log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1) n n=1 ∞

y tiende a +∞. Es decir, la serie

∑ log

n=1

Nota. Toda serie

∑∞ n=1 an

1+

1
diverge a +∞. n

se puede ver trivialmente como una serie telescópica: basta poner bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an ) (n ∈ N),

b1 = 0,

lo que no añade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos obtenido solo es útil cuando la sucesión (bn ) es una sucesión conocida, cuyo comportamiento sabemos de antemano.

8.1.4.

Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de convergencia de Cauchy

Proposición 8.1.6 (condición necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie ∑∞ n=1 an converge, necesariamente l´ım an = 0. n

Demostración. Si (sN ) es la sucesión de las sumas parciales, es decir, N

sN =

∑ an ,

n=1

entonces ∃ l´ım sN ∈ R. N

Como aN = sN − sN−1 , se deduce que l´ım aN = l´ım sN − l´ım sN−1 = 0. N

N

N

Esta condición no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos de series no convergentes cuya sucesión de términos tiende a 0; el más sencillo es quizá la serie armónica ∞

1

1

1

1

∑ n = 1+ 2 + 3 +···+ n +··· ,

n=1

que ya hemos estudiado.

8.2. Series de términos no negativos

171

Teorema 8.1.7 (condición de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie ∑∞ n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N(ε) tal que para cualesquiera m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple m ∑ ak < ε. k=n Demostración. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesión (sn ) de sus sumas parciales, lo que equivale a que (sn ) sea una sucesión de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0 exista un N = N(ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1 | < ε; pero m

sm − sn−1 =

n−1

m

∑ ak − ∑ ak = ∑ ak . k=1

k=1

k=n

8.2.

Series de términos no negativos

8.2.1.

Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación

El estudio del carácter de una serie se simplifica cuando esta es de términos no negativos. ∞ Proposición 8.2.1. Sea ∑∞ n=1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces ∑n=1 an converge si y solo si la sucesión (sn ) de sus sumas parciales está acotada superiormente. En caso contrario, la serie diverge a +∞.

Demostración. Puesto que para cada n ∈ N es sn+1 − sn = an+1 ≥ 0, la sucesión (sn ) es monótona no decreciente. Luego o bien está acotada superiormente y converge, o bien no está acotada superiormente y diverge a +∞. Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a partir del carácter de otra serie conocida. ∞ Teorema 8.2.2 (criterio de comparación por mayoración). Sean ∑∞ n=1 an y ∑n=1 bn dos series y n0 ∈ ∞ N de modo que para n ≥ n0 es 0 ≤ an ≤ bn . Si ∑n=1 bn converge, también converge ∑∞ n=1 an . En ∞ ∞ consecuencia, si ∑n=1 an diverge, ∑n=1 bn es asimismo divergente. ∞ ∞ Demostración. Sabemos que ∑∞ n=1 an tiene el mismo carácter que ∑n=n0 an , y que ∑n=1 bn tiene el ∞ mismo carácter que ∑n=n0 bn . Denotando por (sn ) la sucesión de sumas parciales de ∑∞ n=n0 an y por ∞ (tn ) la de ∑n=n0 bn , se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn , luego si (tn ) está acotada superiormente, (sn ) estará acotada superiormente. Y si (sn ) no está acotada superiormente, (tn ) tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora la proposición 8.2.1.

Otra forma de comparar dos series es estudiar el cociente de sus términos: ∞ Teorema 8.2.3 (criterio de comparación por paso al límite). Sean ∑∞ n=1 an , ∑n=1 bn series de términos no negativos. Supongamos que existe

l´ım n

an = ` ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. bn

∞ a) Si ` < +∞ y la serie ∑∞ n=1 bn converge, entonces la serie ∑n=1 an también converge. ∞ b) Si 0 < ` y la serie ∑∞ n=1 bn diverge, entonces la serie ∑n=1 an también diverge. ∞ c) Si 0 < ` < +∞, entonces las dos series ∑∞ n=1 an y ∑n=1 bn tienen el mismo carácter.

172

Capítulo 8. Series numéricas

Demostración. a) Sea C ∈ (`, +∞) (por ejemplo C = ` + 1). Entonces existe algún n0 ∈ N tal que an /bn ≤ C para todo n ≥ n0 , es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0 . Si la serie ∑∞ n=1 bn converge, ∞ entonces también la serie ∑n=1 Cbn converge y, por el criterio 8.2.2 de maroración, la serie ∑∞ n=1 an converge. b) Sea C ∈ (0, `). Existe algún n0 ∈ N tal que an /bn ≥ C para todo n ≥ n0 , es decir, an ≥ Cbn ≥ 0 ∞ para todo n ≥ n0 . Si la serie ∑∞ n=1 bn diverge, entonces también la serie ∑n=1 Cbn diverge y, por el ∞ criterio 8.2.2 de mayoración, la serie ∑n=1 an diverge. c) Basta aplicar a) y b). ∞ Corolario 8.2.4 (series de términos equivalentes). Sean ∑∞ n=1 an , ∑n=1 bn dos series de términos no ∞ negativos. Supongamos que (an ) ∼ (bn ). Entonces ∑∞ n=1 an y ∑n=1 bn tienen el mismo carácter.

Por supuesto, en este resultado las dos series pueden tener distinta suma. La comparación con las series geométricas proporciona dos criterios muy útiles en la práctica: el criterio de la raíz y el criterio del cociente. Después veremos versiones más generales para series de términos cualesquiera, así que dejamos la demostración para entonces. Proposición 8.2.5 (criterio de la raíz o de Cauchy). Sea ∑∞ n=1 an una serie de términos no negativos √ tal que existe R = l´ım n an . n→∞

a) Si R < 1, la serie ∑∞ n=1 an es convergente. b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∑∞ n=1 an es divergente. Proposición 8.2.6 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea ∑∞ n=1 an una serie de términos no an+1 negativos tal que existe R = l´ım . n→∞ an a) Si R < 1, la serie ∑∞ n=1 an es convergente. b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∑∞ n=1 an es divergente. Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe. Proposición 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea ∑∞ n=1 an una serie de términos no negativos tal que existe an+1 R = l´ım n(1 − ). Entonces: n→∞ an a) Si R > 1, la serie ∑∞ n=1 an es convergente. b) Si R < 1, la serie ∑∞ n=1 an diverge a +∞. Demostración. Ver [G ARAY-C UADRA -A LFARO, teor. 5.28, págs. 101–102].

8.2.2.

Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos

Proposición 8.2.8 (criterio de la integral). Sea f : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente. Entonces: Z +∞

a) La integral impropia

∞

f es convergente si y solo si la serie 1

n=1

n

b) Existe C = l´ım n

∑ f (k) −

!

Z n

k=1

f

∈ [0, +∞).

1

n

c) Para cada n ∈ N se tiene

∑ f (n) converge.

∑ f (k) = k=1

Z n 1

f +C + εn , con 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ım f (x). x→+∞

8.2. Series de términos no negativos

173

y = f (x)

f (2) f (3) 1

2

f (4) 3

f (n) n

4

La serie ∑∞ n=1 f (n) y la integral

R∞ 1

f (x) dx

Demostración. Para cada n ∈ N, pongamos n

sn =

Z n

∑

f (k),

tn =

k=1

dn = sn − tn .

f, 1

Entonces n

dn =

∑

n−1 Z k+1

f (k) − ∑

k=1 k

k=1

n−1 Z k+1

= f (n) + ∑

Z n−1  f = f (n) + ∑ f (k) −

k+1

f (x) dx



k

k=1

[ f (k) − f (x)] dx ≥ 0.

k=1 k

Como dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 =

Z n+1

f (x) dx − f (n + 1)

n

Z n+1

=

[ f (x) − f (n + 1)] dx ≥ 0,

n

se sigue que (dn ) es monótona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C = l´ım dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn ) y (tn ) serán simultáneamente convergentes o divergentes. n

Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn ) equivale asimismo a la de la integral 1+∞ f , luego esta integral converge si y solo si converge la serie ∑∞ n=1 f (n). Con esto hemos demostrado a) y b). En cuanto a c), la igualdad se cumple trivialmente si definimos εn = sn − tn −C = dn −C; lo que hay que probar es que 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ım f (x). R

x→+∞

Observemos que 0 ≤ dn − dn+1 =

Z n+1

f (x) dx − f (n + 1) ≤

n

Z n+1

f (n) dx − f (n + 1) = f (n) − f (n + 1).

n

Reiterando, para cualquier número natural m > n resulta: 0 ≤ dn − dn+1 ≤ f (n) − f (n + 1), 0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f (n + 1) − f (n + 2), ... 0 ≤ dm−1 − dm ≤ f (m − 1) − f (m).

174

Capítulo 8. Series numéricas

Al sumar las desigualdades resulta que 0 ≤ dn − dm ≤ f (n) − f (m). Pasando al límite en m, y teniendo en cuenta que l´ım f (x) existe por ser f monótona no creciente, x→+∞

obtenemos 0 ≤ dn −C ≤ f (n) − l´ım f (x). x→+∞

Como εn = dn −C, hemos terminado la demostración. Aplicaciones. a) La constante γ de Euler. Aplicando los resultados que acabamos de obtener a la función f dada por f (x) = 1/x y teniendo en cuenta que Z n 1

x

1

dx = log n,

podemos escribir la suma parcial n-ésima de la serie armónica como n

Hn =

1

∑ k = log n + γ + εn ,

k=1

donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y ! 1 γ = l´ım ∑ − log n = 0, 5772156649 . . . n k=1 k n

es un número introducido por Euler en 1734 en el estudio de la función Γ, definida también por él. Euler obtuvo sus dieciséis primeras cifras decimales en 1781. No se sabe todavía si es un número racional o irracional (ver [L E L IONNAIS, pág. 28]). b) La función ζ de Riemann. El criterio 8.2.8 de la integral permite comprobar fácilmente que la serie ∞ 1 ∑ ns n=1 converge si y solo si s > 1. La función ∞

ζ (s) =

1

∑ ns ,

s > 1,

n=1

se denomina función zeta de Riemann y tiene importantes aplicaciones (especialmente en teoría de números). Hay expresiones más o menos sencillas para ζ (2n), n ∈ N, pero no para otros valores. Se π2 π4 sabe por ejemplo que ζ (2) = , ζ (4) = . Hasta fechas recientes (R. Apéry, 1978) no se había 6 90 podido probar siquiera que ζ (3) es irracional: ver [L E L IONNAIS, pág. 36]. c) Series logarítmicas. También mediante el criterio de la integral se prueba que la serie ∞

1

∑ n(log n)s

n=2

converge si y solo si s > 1 (ver [A POSTOL 1, pág. 486]). Por comparación con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de convergencia: Proposición 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea ∑∞ n=1 an una serie de términos no negativos tal que para algún α ∈ R existe el límite l´ım nα an = ` ∈ [0, +∞]. n→∞

Entonces:

8.3. Series de términos cualesquiera

175

a) Si α > 1 y ` < +∞, la serie ∑∞ n=1 an converge. b) Si α ≤ 1 y ` > 0, la serie ∑∞ n=1 an diverge (a +∞). Proposición 8.2.10 (criterios logarítmicos). Sea ∑∞ n=1 an una serie de términos no negativos tal que − log an − log(nan ) existe alguno de los dos límites A = l´ım , B = l´ım . Entonces: n→∞ log n n→∞ log(log n) a) Si A > 1, la serie ∑∞ n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞. b) Si B > 1, la serie ∑∞ n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞.

8.3.

Series de términos cualesquiera

8.3.1.

Series alternadas: criterio de Leibniz

Proposición 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∑∞ n=1 xn una serie alternada, es decir, una serie tal que para cada n ∈ N es xn = (−1)n+1 an con an ≥ 0. Si (an ) es una sucesión no creciente con límite ∞ n+1 a es convergente. Además, denotando con s la suma 0, entonces la serie ∑∞ n n n=1 xn = ∑n=1 (−1) parcial n-ésima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades 0 ≤ (−1)n (sn+2 − sn ) ≤ an+1 , n

0 ≤ (−1) (s − sn ) ≤ an+1 .

(8.1) (8.2)

Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesión no decreciente y las sumas de orden impar una sucesión no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que an+1 , de modo que si (an ) converge rápidamente a 0 obtenemos una buena aproximación de la suma mediante una suma parcial de pocos términos. Demostración. Obsérvese que dado k ∈ N, la diferencia −(s2k+1 − s2k−1 ) = a2k − a2k+1 es mayor o igual que 0 por ser (an ) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2 , que análogamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1 , lo que completa la prueba de (8.1) para todos los casos. Además, hemos obtenido que (s2k ) es una sucesión no decreciente. Como s2k = a1 − [(a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k ] ≤ a1 , (s2k ) está acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su límite. Puesto que s2k−1 = s2k + a2k y a2k → 0, resulta que l´ım s2k−1 = l´ım(s2k + a2k ) = l´ım s2k + l´ım a2k = s + 0 = s. k

k

k

k

Es decir: tanto la subsucesión de términos pares como la de términos impares de (sn ) son convergentes con límite s. Esto permite afirmar que (sn ) es convergente con límite s, es decir, que ∑+∞ n=1 xn = s.

176

Capítulo 8. Series numéricas Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es +∞

s = x1 + · · · + xn +

∑

+∞

xk = sn +

k=n+1

∑

(−1)k+1 ak ,

k=n+1

se sigue que +∞

(−1)n (s − sn ) =

∑

(−1)n+k+1 ak

k=n+1

= an+1 − an+2 + l´ım [(an+3 − an+4 ) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2 )] m

≥ an+1 − an+2 ≥ 0 y que +∞

(−1)n (s − sn ) =

∑

(−1)n+k+1 ak

k=n+1

= an+1 − l´ım [(an+2 − an+3 ) + · · · + (an+2m − an+2m+1 )] m

≤ an+1 , lo que prueba (8.2). Ejemplo. La serie armónica alternada (−1)n−1 ∑ n n=1 ∞

es convergente. Además, su suma se calcula fácilmente utilizando la constante de Euler. En efecto: para cada n ∈ N, sumando y restando términos, se tiene 2n

(−1)k+1 1 1 1 1 1 ∑ k = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + 2n − 1 − 2n k=1   1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + +···+ + −2 + +···+ 2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n = H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn . Como sabemos ya que la serie armónica alternada es convergente, podemos escribir: +∞

m 2n (−1)k+1 (−1)k+1 (−1)k+1 = l´ım ∑ = l´ım ∑ = log 2. m n k k k k=1 k=1 k=1

∑

Ejemplo. La serie (−1)n log n n n=2 ∞

∑

log x es convergente. En efecto, es fácil comprobar que la función f (x) = es decreciente en [3, +∞) x log n log n ≥0y → 0. De aquí se deduce que la serie converge, (por ejemplo, calculando f 0 ). Además, n n sumando desde n = 3, y por lo tanto también sumando desde n = 2.

8.3. Series de términos cualesquiera

8.3.2.

177

Series absolutamente convergentes

∞ Definición 8.3.2. Una serie ∑∞ n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie ∑n=1 |an | es convergente.

El ejemplo más sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie armónica alternada. ∞ Observación. Si ∑∞ n=1 an y ∑n=1 bn son dos series absolutamente convergentes y r, s ∈ R, entonces la serie ∑∞ n=1 (ran + sbn ) también es absolutamente convergente. Esto se deduce de la desigualdad |ran + sbn | ≤ |r||an | + |s||bn | y el criterio 8.2.2 de mayoración.

Definición 8.3.3. Para un número real cualquiera x, escribamos x+ = m´ax{x, 0},

x− = m´ax{−x, 0}.

(8.3)

Es fácil comprobar que |x| = x+ + x− , x = x+ − x− , x+ ≥ 0, x− ≥ 0. Proposición 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si ∞ ∑∞ n=1 |an | converge, entonces la serie ∑n=1 an también converge. Y en ese caso, ∞ ∞ ∑ an ≤ ∑ |an |. n=1 n=1 Demostración. Con la notación (8.3), 0 ≤ a+ n ≤ |an |,

0 ≤ a− n ≤ |an |,

∞ ∞ + − + − luego las dos series ∑∞ n=1 an y ∑n=1 an convergen. Como an = an − an , la serie ∑n=1 an también converge. Además, para cada n ∈ N n n ∑ ak ≤ ∑ |ak |, k=1 k=1

por la desigualdad triangular. Pasando al límite (una vez que ya sabemos que las dos series convergen), ∞ ∞ ∑ ak ≤ ∑ |ak |. k=1 k=1

8.3.3.

Criterios generales de Cauchy (de la raíz) y de D’Alembert (del cociente)

Los criterios que hemos visto sobre convergencia de series de términos no negativos se traducen de manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de términos cualesquiera. Así: Proposición 8.3.5 (criterio de la raíz o de Cauchy). Sea ∑∞ n=1 an una serie tal que existe el límite p n R = l´ım |an |. n→∞

a) Si R < 1, la serie ∑∞ n=1 an converge absolutamente. b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∑∞ n=1 an no es convergente. Demostración. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existirá algún n0 tal que para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, 0 ≤ |an | ≤ cn , n ≥ n0 .

p n |an | ≤ c

∞ n Como 0 < c < 1, la serie geométrica ∑∞ n=n0 c converge y por lo tanto la serie ∑n=n0 |an | converge, y ∞ la serie ∑n=1 |an | también converge. p b) Supongamos que R > 1. Entonces existirá algún n0 tal que n |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an | ≥ 1, n ≥ n0 .

Entonces, an 6→ 0 y la serie ∑∞ n=1 an no es convergente.

178

Capítulo 8. Series numéricas

Proposición 8.3.6 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea ∑∞ n=1 an una serie tal que existe el |an+1 | límite R = l´ım . n→∞ |an | a) Si R < 1, la serie ∑∞ n=1 an converge absolutamente. b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie ∑∞ n=1 an no es convergente. Demostración. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existirá algún n0 tal que para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an+1 | ≤ c|an |, n ≥ n0 .

|an+1 | |an |

≤c

De aquí es fácil deducir por inducción que 0 ≤ |an | ≤

|an0 | n c , cn0

n ≥ n0 .

∞ n Como 0 < c < 1, la serie geométrica ∑∞ n=n0 c converge y por lo tanto la serie ∑n=n0 |an | converge, y ∞ la serie ∑n=1 |an | también converge. | b) Supongamos que R > 1. Entonces existirá algún n0 tal que |a|an+1 ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo n| tanto, |an+1 | ≥ |an |, n ≥ n0 .

Entonces, la sucesión |an | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an 6→ 0 y la serie ∑∞ n=1 an no es convergente.

8.3.4.

Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet

El criterio 8.3.1 de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente. Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta añadimos los más conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante fórmula de sumación por partes: ∞ Lema 8.3.7 (fórmula de sumación por partes de Abel). Sean (an )∞ n=1 , (bn )n=1 dos sucesiones arbitrarias, y llamemos, para cada n, n

An =

∑ ak k=1

(suma parcial n-ésima de la serie

∑∞ n=1 an )

Entonces

n

n

∑ ak bk = An bn+1 + ∑ Ak (bk − bk+1 ) k=1

k=1

cualquiera que sea n ∈ N. Demostración. Ver [A POSTOL 1, pág. 497]. ∞ Proposición 8.3.8 (criterio de Abel). Si (an )∞ n=1 es una sucesión monótona y acotada, y ∑n=1 bn es ∞ una serie convergente, la serie ∑n=1 an bn es convergente.

Demostración. Ver [A POSTOL 1, pág. 498]. Proposición 8.3.9 (criterio de Dirichlet). Si (an )∞ n=1 es una sucesión monótona que converge a 0, y ∞ ∑n=1 bn es una serie cuya sucesión de sumas parciales está acotada, la serie ∑∞ n=1 an bn es convergente. Demostración. Ver [A POSTOL 1, págs. 497–498].

8.4. Propiedad conmutativa para series

8.4.

179

Propiedad conmutativa para series

¿Qué sucede cuando en una serie se cambia el orden de los sumandos? Se puede demsotrar que las únicas series inalterables por estos cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues, las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos. ∞ Definición 8.4.1. Dada una serie ∑∞ n=1 an , se dice que otra serie ∑n=1 bn es una reordenación suya si existe una aplicación biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,

bn = ar(n) . ∞ −1 es igualNótese que, recíprocamente, ∑∞ n=1 an es una reordenación de ∑n=1 bn , pues la inversa r mente una biyección.

Informalmente, una serie es una reordenación de otra si tiene exactamente los mismos términos, pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significará, así, que tenga suma y que cualquier reordenación suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las series convergentes con la propiedad conmutativa. Definición 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente y si toda reordenación suya es asimismo convergente, y con la misma suma. Decimos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondicionalmente convergente, de modo que alguna reordenación suya o bien no es convergente o converge a una suma distinta. ∞ Lema 8.4.3. Dada una serie ∑∞ n=1 an de términos no negativos y una reordenación suya ∑n=1 bn , se tiene: ∞ a) si ∑∞ n=1 an es convergente con suma s, también ∑n=1 bn es convergente con suma s. ∞ b) si ∑∞ n=1 an es divergente a +∞, también ∑n=1 bn es divergente a +∞.

Demostración. a) Sea r : N → N tal que bn = ar(n) para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N definamos m(n) = m´ax{r(1), r(2), . . . , r(n)}. Denotando con tn la suma parcial n-ésima de ∑∞ n=1 bn será entonces tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s, ∞ lo que prueba que ∑∞ n=1 bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∑n=1 an es una ∞ reordenación de ∑∞ n=1 bn , por el mismo motivo su suma será menor o igual que la suma de ∑n=1 bn , lo que implica la igualdad entre ambas sumas. ∞ b) En caso contrario, ∑∞ n=1 bn sería convergente y entonces ∑n=1 an , reordenación suya, también convergería.

Proposición 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente. ∞ ∞ + − Demostración. Si la serie ∑∞ n=1 |an | converge, aplicamos el lema 8.4.3 a las series ∑n=1 an y ∑n=1 an + − (que también convergen) y por último recordamos que an = an − an .

El recíproco también es cierto: más aún, una serie convergente que no converja absolutamente posee reordenaciones que van a parar donde se desee: convergentes con suma arbitrariamente prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un célebre teorema de Riemann.

180

Capítulo 8. Series numéricas

Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, para cada ` ∈ [−∞, +∞] existe una reordenación suya con suma `; en general, dados `1 , `2 , . . . , `k , existe una reordenación cuya sucesión de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen a `1 , `2 , . . . , `k . Demostración. Ver [G ARAY-C UADRA -A LFARO, teor. 5.33, pág. 105], [O RTEGA, teor. 9.20, pág. 303]. Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo si es absolutamente convergente.

8.5.

Apéndice: sumación de series

Resumimos las ideas fundamentales sobre el cálculo de las sumas de algunos tipos particulares de series.

Series telescópicas ∞

Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1 , la serie

∑ an converge si y solo si es convergente

n=1 ∞

la sucesión (bn ), y si este es el caso,

∑ an = b1 − l´ınm bn .

n=1

Series geométricas ∞

Si a 6= 0, entonces la serie

∞

∑ arn−1 converge si y solo si |r| < 1; si converge,

n=1

a

∑ arn−1 = 1 − r .

n=1

Series aritmético-geométricas ∞

Si P es un polinomio no constante, la serie

∑ P(n)rn converge si y solo si |r| < 1. Llamando S a

n=0 ∞

∞

su suma, (1 − r)S = P(0) + ∑ [P(n) − P(n − 1)]rn = P(0) + ∑ Q(n)rn , donde Q es un polinomio de n=1

n=1

grado menor que P; reiterando, se llega a una serie geométrica.

Series hipergeométricas ∞

Son de la forma

∑ an con

n=1

suma

an+1 αn + β = , α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β , con an αn + γ

γa1 γ−α−β

Series racionales o de cocientes de polinomios P(n) , donde P y Q son polinomios (el nombre no es estándar). Cuando converQ(n) gen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando la suma parcial n-ésima, relacionándola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las siguientes: Series del tipo ∑

• Serie armónica 1 1 1 Hn = 1 + + + · · · + = log n + γ + εn , donde γ es la constante de Euler y l´ımn εn = 0 2 3 n

8.6. Ejercicios

181 ∞

• Función ζ de Riemann ζ (s) =

1

∑ ns , s > 1. En particular

n=1 ∞

ζ (2) =

1

∑ n2 =

n=1

π2 , 6

∞

ζ (4) =

1

π4

∑ n4 = 90 .

n=1

Reordenadas de la serie armónica alternada En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en términos de Hn , y deducir así el comportamiento de la serie.

Series que se reducen a la exponencial ∞

Partiendo de que para todo x ∈ R es

xn

∑ n! = ex , se pueden sumar series de la forma ∑

n=0

donde P es un polinomio de grado m, sin más que reescribir P(n) = a0 n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1 n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1 n + am para coeficientes a0 , . . . , am adecuados, y observar que n(n − 1) · · · (n − k) 1 = , n! (n − k − 1)! si n > k.

8.6.

Ejercicios

Ejercicio 8.1. Escribiéndolas como series telescópicas, estudiar las siguientes series: n+2 1 n+2 · (descomponer en fracciones simples). n n(n + 1) n(n + 1) n=1 2 ∞

a) ∑ ∞

b) ∑ 3n sen3 n=1 ∞

c) ∑

a x x (obsérvese que sen x = 3 sen − 4 sen3 ). n 3 3 3

2n−1 tg2

n=1 ∞

d) ∑ sen n=1

n=1

1 3 1 cos n (tener en cuenta que cos x sen y = [sen(x + y) − sen(x − y)]). n 2 2 2 1

∞

e) ∑

x 2 tg a a 2 tg (utilizar que tg x = x ). 2n 2n−1 1 − tg2 2

4n cos2 (x/2n )

(0 < x < π/2; usar que

1 1 1 = − ). 2 2 4 cos a sen 2a 4 sen2 a

Ejercicio 8.2. Estudiar el carácter de las series de término general: a) d) g)

sen4 n n2   b n cos a + n 3n n2 + 1

b) (0 < a < π/2)

e) h)

1 √ n − 2/3 n2 + 1 (a 6= 0) nan   3 n + 1 −n n

c)

1 + n2 n!

f)

n! nn

i)

1 log n

P(n) n x , n!

182

Capítulo 8. Series numéricas 1 , na + b

j)

(a, b) 6= (0, 0)

1 n(n + 1)(n + 2) √ √ n+1− n n

m) o)

log(n + 1) − 1 (1 + n)2

r)

x) A)

2

2 +1)

e1/n − e1/(n

G)

l)

n)

1 + sen2 (nx) n2

ñ)

p)

n(n + 1) n2 + 2n

q)

v)

(−1)n 1 1 1+ +···+ 2 n

D)

sen(nx) n2

s)

1 1 1 n(1 + + · · · + ) 2 n n+1 log n n x √ n

u)

k)

1 3 − cos(1/n) 1 1 1+ +···+ 2 n n3 log n

t)

w)

√ n2 +1

1 n − 3/2 1 1 sen n n  n+1/n 1 n  x n n! n 1 (log n)2n 1 (log n) p  x log 1 + n

y)

e−

z)

B)

log n np

C)

E)

(−1)n (n + 1) n!

F)

(n2 + 1)xn (n + 1)!

H)

(−1)n+1

I)

(n!)2 2n x (2n)!

n 2 n +1

Ejercicio 8.3. Hallar la suma, si convergen, de las series de término general (para n ≥ 1, si no se indica otra cosa): a) d)

4n − 1 , (n + 2)(n − 1)2 1 , n≥2 n2 − 1

n≥2

b) e)

1 n(n + 1) 1 4n2 + 16n + 7

c) f)

2n + 3 , n≥2 n(n − 1)(n + 2) 1 , n≥2 (n + 1)2 − 4

g)

3n2 + 7n + 6 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

i)

1 √ √ √ (n − 1 + 3)(n − 2 + 3)(n + 3)

h)

n2 + 3n + 1 n2 (n + 1)2

j)

n2 (n + 1)2 n!

l)

n3 − n + 1 n! 3n

m)

3n2 + 8n + 6 , (n + 2)!

ñ)

n3 − 1 n!

o)

q)

(−1)n−1

t)

(n + 1)xn 

w)

2n + 1 n(n + 1)

n log n+1

n −

k)

3n (n − 3) n!

n)

n−1 n!(n + 2)

n2 + 1 (n + 1)!

p)

n2 + 5n + 7 , (n + 2)!

r)

n(n + 1) 2n

s)

n2 3n

u)

(−1)n

v)

1 √ √ n n + 1 + (n + 1) n

1 +1 2n

Ejercicio 8.4. Hallar la suma de las series: 1 1 1 1 1 a) 1 − + − + − + . . . 2 3 4 5 6

n2 − n 3n

n≥3

n≥2

8.6. Ejercicios b)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + −... 4 3 8 9 12 15 16 21 20

1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) 1 + + + − + + + + − + . . . 3 5 7 2 9 11 13 15 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d) 1 + − − − + + − − − + . . . 3 2 4 6 5 7 8 10 12 e) 1 +

1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +... 2 2 3 5 6 7 9

183

Capítulo 9

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para nuestros propósitos. Como referencia utilizamos [A POSTOL 1].

9.1.

Series de potencias

9.1.1.

Convergencia de las series de potencias

Definición 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞

∑ an (x − c)n .

n=0

El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an (x − c)n ). Si los coeficientes a0 , a1 , am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞

∑ an (x − c)n .

n=m

En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x = c, con suma a0 , y puede suceder que este sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos.

a) La serie geométrica ∞

∑ xn

n=0

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma b) La serie

1 1−x ,

como sabemos).

xn ∑ n=1 n ∞

converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. 185

186

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

c) La serie ∞

xn

∑ n2

n=1

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1]. d) La serie (−1)n x2n ∑ n n=1 ∞

converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. e) La serie ∞

xn

∑ n!

n=0

converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ). f) La serie ∞

∑ n! xn

n=0

converge solamente para x = 0. Lema 9.1.2. Si para algún r ∈ (0, +∞) la sucesión (an rn ) está acotada, entonces para cada x ∈ R tal ∞

que |x − c| < r la serie

∑ an (x − c)n es absolutamente convergente.

n=0

Demostración. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |an rn | ≤ M. Entonces n    |x − c| n n n |x − c| ≤M 0 ≤ |an (x − c) | = |an |r r r y como la serie geométrica ∞



∑

n=0

|x − c| r

n

∞

converge, se deduce que la serie

∑ |an (x − c)n | también converge.

n=0

∞

Definición 9.1.3. Dada una serie de potencias

∑ an (x − c)n , su radio de convergencia es el valor

n=0

(finito o infinito) dado por ∞

R = sup{|x − c| :

∑ an (x − c)n converge}.

n=0

Si R > 0, el intervalo (c − R, c + R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias.

( c−R

c

) c+R

Intervalo de convergencia |x − c| < R

9.1. Series de potencias

187 ∞

Teorema 9.1.4. Dada una serie de potencias

∑ an (x − c)n con radio de convergencia R, se tiene:

n=0 ∞

a) Si |x − c| < R, la serie

∑ an (x − c)n converge absolutamente.

n=0

b) Si |x − c| > R, la serie no converge y la sucesión (an (x − c)n ) no está acotada. Nota. Según los ejemplos previos, cuando R es finito no puede decirse nada en general sobre la convergencia en los puntos c + R, c − R. Demostración. De la definición de R se deduce que si |x − c| < R, debe existir un punto x1 tal que ∞

|x − c| < |x1 − c| y

∞

∑ an (x1 − c)n converge. Aplicando el lema 9.1.2,

n=0

∑ an (x − c)n debe converger

n=0

absolutamente. Esto demuestra a). La parte b) es una consecuencia directa de la definición de R. ∞

Ejemplos.

a) La serie

∑ xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1

n=1

es oscilante. xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es n=1 n convergente (pero no absolutamente). ∞

b) La serie

∑

∞

c) La serie

xn

∑ n2 tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 y para x = −1 es convergente (absolu-

n=1

tamente). Observación. Existe una fórmula que permite expresar el radio de convergencia de una serie de ∞

potencias

∑ an (x − c)n en función de sus coeficientes. Se trata de la fórmula de Cauchy-Hadamard:

n=0

R=

1 p . l´ım supn n |an |

Sin embargo, en los ejemplos habituales es más cómodo realizar directamente el estudio de la convergencia de las series para los distintos valores de x, generalmente con ayuda del criterio 8.3.6 del cociente o del criterio 8.3.5 de la raíz. En la fórmula de Cauchy-Hadamard, an es exactamente el coeficiente de (x − c)n , de modo que si ∞

se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de convergencia de la serie ∑ x2n , hay que calcular n=0 p (l´ım sup n |an |)−1 donde an = 1 si n es par y an = 0 si n es impar (¿cuál es este límite superior?); por suerte, en este y en casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este cálculo si recurrimos a la definición de radio de convergencia y al estudio directo de la convergencia de las series. Este ejemplo muestra también por qué hay que usar obligadamente límite superior en la fórmula: el límite no tiene por qué existir.

9.1.2.

Propiedades de las funciones representadas por series de potencias

La suma de una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo de convergencia una función ∞ f (x) =

∑ an (x − c)n .

n=0

Se dice entonces que la serie representa a la función f en el intervalo de convergencia y que es el desarrollo en serie de potencias de la función f en el punto c. Se plantean entonces de manera natural dos problemas (ver [A POSTOL 1, págs. 528–529]):

188

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

• dada la serie, hallar propiedades de la función suma; • dada una función, averiguar si se puede representar por una serie de potencias (suele decirse entonces que la función es desarrollable en serie de potencias). ∞

Lema 9.1.5. Sea

∑ an (x − c)n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces la serie

n=0 ∞ n−1

∑ nan (x − c)

tiene también radio de convergencia R.

n=1

∞

Demostración. Se trata de probar que la serie

∑ nan (x − c)n−1 converge (absolutamente) si |x − c| <

n=1

R y que no converge si |x − c| > R. Sea |x − c| < R. Podemos elegir algún y ∈ R tal que |x − c| < |y − c| < R; entonces, n−1 n−1 n n(x − c) . |nan (x − c) | = |an (y − c) | · (y − c)n Como

n(x − c)n−1 x − c n−1 n = l´ım l´ım = 0, n n |y − c| y − c (y − c)n

esta sucesión está acotada, es decir, hay alguna constante M > 0 tal que para todo n n(x − c)n−1 (y − c)n ≤ M. Por lo tanto, para todo n |nan (x − c)n−1 | ≤ M|an (y − c)n |. ∞

∞

Según el teorema 9.1.4, la serie

∑ |an (y − c)n | converge, así que la serie

n=1

∑ nan (x − c)n−1 converge

n=1

absolutamente. Si, por el contrario, |x−c| > R, entonces la sucesión (an (x − c)n ) no está acotada, luego la sucesión (nan (x − c)n ) tampoco lo está y la serie ∞

∑ nan (x − c)n−1

n=1

no converge. ∞

Teorema 9.1.6. Sea

∑ an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea

n=0

∞

f (x) =

∑ an (x − c)n ,

n=0

definida si |x − c| < R. Entonces la función f es derivable y si |x − c| < R se tiene f 0 (x) =

∞

∑ nan (x − c)n−1 .

n=1

Demostración. Supongamos, para simplificar la notación, que c = 0. Es decir, ∞

f (x) =

∑ an xn ,

n=0

9.1. Series de potencias

189

definida si |x| < R, y se trata de probar que f es derivable y que ∞

f 0 (x) =

∑ nan xn−1 ,

n=1

si |x| < R. Sea |x| < s < R y sea y ∈ (−s, s), y 6= x. Entonces, ∞ ∞ yn − x n yn − x n f (y) − f (x) = ∑ an = ∑ an . y−x y−x y−x n=0 n=1 ∞

Según el lema 9.1.5, la serie

∑ nan xn−1 converge.

n=1

   n  n ∞ ∞ f (y) − f (x) y − xn y − xn n−1 n−1 n−1 − ∑ nan x − nx − nx = ∑ an = ∑ an . y−x y−x y−x n=1 n=1 n=2 ∞

Ahora bien, para cada n ≥ 2,
yn − xn − nxn−1 = yn−1 + yn−2 x + yn−3 x2 + · · · + yxn−2 + xn−1 − nxn−1 y−x
= (y − x) yn−2 + 2yn−3 x + 3yn−4 x2 + · · · + (n − 2)yxn−3 + (n − 1)xn−2 . Tomando valores absolutos y teniendo en cuenta que |x| < s, |y| < s, se deduce que n y − xn n(n − 1) n−2 n−1 n−2 s . = |y − x| y − x − nx ≤ |y − x| (1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)) s 2 ∞

Según el lema 9.1.5, aplicado dos veces, y el teorema 9.1.4, la serie

∑ n(n − 1)an sn−2

converge

n=2 ∞

absolutamente. Sea M =

∑ n(n − 1)|an |sn−2 . Hemos demostrado que

n=2

f (y) − f (x) ∞ ∞ n(n − 1) n−2 M|y − x| − ∑ nan xn−1 ≤ ∑ |an | |y − x| s = . y−x n=2 2 2 n=1 Por consiguiente, l´ım

y→x

∞ f (y) − f (x) − ∑ nan xn−1 = 0, y−x n=1

que es lo que teníamos que demostrar. La aplicación reiterada de este resultado permite afirmar: ∞

Corolario 9.1.7. Sea

∑ an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea

n=0

∞

f (x) =

∑ an (x − c)n

n=0

si |x − c| < R. Entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en (c − R, c + R), y se cumple f (k) (x) =

∞

∑ n(n − 1) · · · (n − k + 1)an (x − c)n−k . n=k

En consecuencia

f (n) (c) , n! de manera que las sumas parciales de la serie son los correspondientes polinomios de Taylor de f en el punto c. an =

190

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Demostración. La primera parte se prueba por inducción sobre k. Para la segunda, tomando en particular x = c, se sigue que f (n) (c) = n! an . ∞

Corolario 9.1.8. Si dos series de potencias

∞

∑ an (x − c)n y ∑ bn (x − c)n tienen la misma función

n=0

n=0

suma f en un cierto entorno del punto c, entonces las dos series tienen los mismos coeficientes: en realidad, para todo n ≥ 0 se cumple an = bn =

f (n) (c) . n!

El teorema 9.1.6 muestra que la derivación de una serie de potencias se hace derivando cada uno de sus términos, como si fuese un polinomio; esto permite sumar fácilmente determinadas series a partir de otras de sumas conocidas. ∞

∞

1

1

∑ xn = 1 − x si |x| < 1, para estos valores de x se tiene ∑ nxn−1 = (1 − x)2 ;

Ejemplo. Puesto que

n=0

n=1

∞

y, en general,

∑ n(n − 1) · · · (n − k + 1)xn−k = k!(1 − x)−k−1 . n=k

También es útil comprobar que se puede integrar término a término. ∞

Teorema 9.1.9. Sea

∑ an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea

n=0

∞

f (x) =

∑ an (x − c)n ,

x ∈ (c − R, c + R).

n=0

Entonces la serie

∞

an

∑ n + 1 (x − c)n+1

n=0

tiene radio R, y si F es una primitiva de f en (c − R, c + R), para cada x ∈ (c − R, c + R) se verifica ∞

an (x − c)n+1 . n=0 n + 1

F(x) = F(c) + ∑

Demostración. Ya sabemos, por el lema 9.1.5, que las series ∞

∞

an

∑ n + 1 (x − c)n+1 ,

n=0

∑ an (x − c)n

n=0

tienen el mismo radio de convergencia. Sea ∞

g(x) =

an

∑ n + 1 (x − c)n+1 ,

x ∈ (c − R, c + R).

n=0

El teorema 9.1.9 prueba que g tiene derivada en (c − R, c + R) igual a f , es decir, que g es una primitiva de f en (c − R, c + R), por lo que F y g difieren en una constante. Como g(c) = 0, se sigue que F(x) − g(x) = F(c). ∞

Ejemplo. Partimos de

1

∑ xn = 1 − x , que es válido si |x| < 1, y sustituimos x por −x:

n=0

∞

1

∑ (−1)n xn = 1 + x ;

n=0

9.2. Desarrollos en serie de Taylor

191

es válido si | − x| < 1, es decir, si |x| < 1. Como log(1 + x) es una primitiva de deducimos que ∞ ∞ (−1)n n+1 (−1)n−1 n log(1 + x) = log 1 + ∑ x =∑ x , n n=0 n + 1 n=1

1 1+x

en (−1, 1),

si x ∈ (−1, 1). ∞

Ejemplo. Partimos de nuevo de

1

∑ xn = 1 − x , que es válido si |x| < 1, y sustituimos x por −x2 :

n=0

∞

1

∑ (−1)n x2n = 1 + x2 ;

n=0

esto es válido si | − x2 | < 1, es decir, si |x| < 1. Como arc tg x es una primitiva de

1 , 1+x2

resulta que

∞ (−1)n 2n+1 (−1)n 2n+1 x =∑ x , n=0 2n + 1 n=0 2n + 1 ∞

arc tg x = arc tg 0 + ∑ si x ∈ (−1, 1).

Hemos visto que en los extremos del intervalo de convergencia la serie puede no converger; si lo hace, es interesante disponer de algún resultado que, bajo ciertas condiciones, garantice que la función definida por la serie sea cuando menos continua, como el siguiente lema (su demostración puede verse en [ROSS, teor. 26.6, págs. 147–148]). ∞

Lema 9.1.10 (de Abel). Sea

∑ an (x − c)n una serie de potencias de radio de convergencia R positivo

n=0

∞

y finito, y supongamos que la serie

∑ an Rn es convergente. Entonces

n=0

∞

∞

l´ım ∑ an (x − c)n . ∑ an Rn = x→(c+R) −

n=0

n=0

Ejemplo. Demostrar mediante el lema de Abel que (−1)n−1 ∑ n = log 2; n=1

(−1)n π ∑ 2n + 1 = 4 . n=0

∞

9.2.

∞

Desarrollos en serie de Taylor

El teorema 5.4.8 de Taylor y el corolario 9.1.7 pueden inducir a pensar que si una función f tiene derivadas de todos los órdenes, es representable como suma de su serie de Taylor ∞

f (x) =

∑

n=0

f (n) (c) (x − c)n n!

(como una especie de fórmula de Taylor llevada al límite) en la parte del dominio de f donde tal serie converja. Sin embargo, la situación real no es tan satisfactoria. Por ejemplo, la función ( 2 e−1/x si x > 0, f (x) = 0 si x ≤ 0, tiene derivadas de todos los órdenes en cada punto de R, y en 0 es f (n) (0) = 0 para cada n ∈ N. Por ∞ f (n) (0) n consiguiente, la fórmula f (x) = ∑ x solo se cumple para x ≤ 0. n! n=0

192

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Se puede demostrar que para que una función f coincida con la suma de su serie de Taylor es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tamaño desmesurado. En aplicaciones concretas es suficiente comprobar que las derivadas están acotadas por potencias sucesivas de una constante, como vamos a ver ahora. Proposición 9.2.1. Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en un intervalo (c − R, c + R). Supongamos que existan números reales no negativos A y B tales que | f (n) (x)| ≤ B · An

siempre que |x − c| < R.

Entonces, para todo x ∈ (c − R, c + R) se verifica f (n) (c) (x − c)n . n!

∞

f (x) =

∑

n=0

Demostración. Sea |x − c| < R. Si x 6= c, dado m ∈ N, aplicando la fórmula de Taylor (teorema 5.4.8) podemos escribir, para algún tm comprendido entre x y c, f (m+1) (t ) m Am+1 f (n) (c) m (x − c)n = |x − c|m+1 ≤ B |x − c|m+1 . f (x) − ∑ n! (m + 1)! (m + 1)! n=0 Por lo tanto, la expresión de la izquierda tiende a 0 cuando m → ∞, es decir, la serie converge y su suma es f (x). Ejemplo. La función f (x) = sen x cumple | f (n) (x)| ≤ 1 para todo n ≥ 0 y todo x ∈ R. Tomamos c = 0 en la proposición 9.2.1 y deducimos que ∞

f (x) =

∑

n=0

f (n) (0) n x n!

para todo x ∈ R. Ahora bien, ( (−1)n/2 sen 0 = 0, si n es par, f (n) (0) = (n−1)/2 (n−1)/2 (−1) cos 0 = (−1) , si n es impar, luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k + 1 y queda (−1)k 2k+1 x , ∑ k=0 (2k + 1)! ∞

sen x =

para todo x ∈ R. El mismo razonamiento con la función coseno prueba que (−1)k 2k x , ∑ k=0 (2k)! ∞

cos x =

para todo x ∈ R. También se puede obtener derivando el desarrollo de la función seno. Ejemplo. Tomemos ahora f (x) = ex . Fijado cualquier R > 0, tenemos 0 ≤ f (n) (x) ≤ eR , para todo n ≥ 0 y todo x ∈ (−R, R). Tomamos c = 0 en la proposición 9.2.1 y como f (n) (0) = 1 resulta ∞

ex =

1

∑ n! xn

n=0

para todo x ∈ (−R, R). Como R es arbitrario, el desarrollo es válido para cualquier x ∈ R.

9.2. Desarrollos en serie de Taylor

193

Nota. Si reflexionamos un momento, tenemos ante nosotros una manera rigurosa de construir las funciones seno, coseno, exponencial. Las series que hemos escrito son series de potencias de radio +∞, que definen sendas funciones en R; otra cuestión es que resulte fácil o complicado demostrar que estas funciones gozan de las propiedades que venimos utilizando en relación con el seno, el coseno y la exponencial. Dedicaremos a su estudio el último capítulo, para que sirva a su vez de muestra de la enorme potencia de los conocimientos que hemos ido adquiriendo a lo largo del curso. Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces más conveniente usar otros recursos, en lugar de la fórmula de Taylor. Ejemplo (serie binómica). Veamos que para cada α ∈ R es ∞   α n α (1 + x) = ∑ x , siempre que |x| < 1. n=0 n Para α ∈ N ∪ {0}, esta fórmula se reduce a la del binomio de Newton y es válida para todo x ∈ R. Suponemos, pues, α ∈ / N ∪ {0}. El criterio 8.3.6 del cociente nos da que el radio de convergencia de la serie es 1, luego podemos definir una función ∞   α n x ∈ (−1, 1), f (x) = ∑ x , n=0 n que, en principio, no tiene por qué coincidir con (1 + x)α en dicho intervalo. Pero como ∞   α n−1 0 f (x) = ∑ n x , n n=1 de     α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) α α α(α − 1) · · · (α − n + 1) + (n + 1) n + (n + 1) =n n! (n + 1)! n n+1 α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) =n + n! n! α(α − 1) · · · (α − n + 1) = [n + (α − n)] n!   α =α , n se deduce que f 0 (x)(1 + x) = α f (x), por lo que f (x)/(1 + x)α tiene derivada nula y por tanto se mantiene constante en todo el intervalo (−1, 1). Tomando x = 0 se sigue que el valor de tal constante es 1, es decir, que f (x) = (1 + x)α para todo x ∈ (−1, 1). De especial interés resulta el caso particular α = −1/2. Entonces,


  − 21 · − 32 · − 52 · · · (− 21 − n + 1) −1/2 = n! n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n 2n (n!) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n , 2 · 4 · 6 · · · (2n) con lo cual

∞ 1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n √ = ∑ (−1)n x , 2 · 4 · 6 · · · (2n) 1 + x n=0

−1 < x < 1.

194

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Del criterio 8.3.1 de Leibniz y del lema 9.1.10 de Abel se sigue que esta fórmula también es válida para x = 1. A veces se escribe abreviadamente 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (2n − 1)!!,

2 · 4 · 6 · · · (2n) = (2n)!!.

Aplicación. A partir del desarrollo de su derivada se obtiene 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) x2n+1 · , 2n + 1 n=0 2 · 4 · 6 · · · (2n) ∞

arc sen x =

−1 < x < 1,

∑

válido también para |x| = 1, por el lema de Abel. Ponemos final a este capítulo con una lista de los desarrollos en serie de Taylor-Maclaurin de las funciones que aparecen con más frecuencia en los ejercicios. ∞ 1 = ∑ xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + . . . , si −1 < x < 1. 1 − x n=0   ∞ α n α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n b) (1 + x)α = ∑ x = 1 + αx + x +···+ x + . . . , si −1 < n 2! n! n=0 x < 1.

a)

(−1)n−1 n 1 1 1 x = x − x2 + x3 − x4 + . . . , si −1 < x ≤ 1. n 2 3 4 n=1 ∞

c) log(1 + x) = ∑

1 n 1 1 1 x = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . , para todo x ∈ R. n! 2 3! 4! n=0 ∞

d) ex = ∑

(−1)n 2n+1 1 1 1 x = x − x3 + x5 − x7 + . . . , para todo x ∈ R. (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0 ∞

e) sen x = ∑

(−1)n 2n 1 1 1 x = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . , para todo x ∈ R. (2n)! 2! 4! 6! n=0 ∞

f) cos x = ∑

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) x2n+1 1 3 · = x + x3 + x5 + . . . , si −1 ≤ x ≤ 1. 2n + 1 6 40 n=0 2 · 4 · 6 · · · (2n) ∞

g) arc sen x = ∑

(−1)n 2n+1 1 1 1 x = x − x3 + x5 − x7 + . . . , si −1 ≤ x ≤ 1. 3 5 7 n=0 2n + 1 ∞

h) arc tg x = ∑

9.3.

Ejercicios

Ejercicio 9.1. Determinar el intervalo de convergencia de las series de potencias de término n-ésimo:  a) e) i) m)

n! 3 · 5 . . . (2n + 1)

2n n x n2 √ n nx n!

 x n n

2

xn

b)

  2n n x n

c)

√ n( n 2 − 1)xn

d)

f)

2n n x n!

g)

3n n x n4n

h)

j)

xn!

k)

n−

n)

log n n x n

ñ)

xn tg

√ n xn

a , 2n

l) a>0

1 n(log n)/n (sen √ )xn n (−1)n n x n2 4n 3n √ x2n+1 n

9.3. Ejercicios

195

Ejercicio 9.2. Desarrollar en series de potencias de x las siguientes funciones, indicando en qué intervalos son válidos los desarrollos: a)

2x2 − 3 (x − 1)2

b)

d)

log(1 + x − 2x2 )

e)

g)

√ 3 8+x

h)

j)

cos2 x

m) o) r)

a + bx , a, b > 0 a − bx x , a, b > 0 2 a − b2 x 2 1 + x2 sen x x−1

log

Ejercicio 9.3. Sea f (x) =

c)

1 4 − x4

f)

√ log(x + 1 + x2 )

(1 + ex )3

i)

(1 + x)e−x

k)

cos x sen2 x

l)

sen2 2x

n)

log(1 − 2x)

ñ)

√ 1 + x3

p)

(x2 + 1)e2x

q)

sen x − x cos x

x 9 + x2 1+x log 1−x

Z x

s)

Z x

2

e−z dz

t)

0

0

dz √ 1 − z4

Z xp

8 − t 3 dt, para x ∈ (−∞, 2]. Desarrollar f en serie de potencias de x

0

(centrada en 0). Hallar el radio y el intervalo de convergencia del desarrollo. Hallar f (7 (0) y f (11 (0). Ejercicio 9.4. Desarrollar en series de potencias de (x − x0 ) las siguientes funciones, indicando en qué intervalos son válidos los desarrollos: a)

(a + bx)−1 ,

c)

√ 1 + x,

x0 = 1,

a, b > 0

x0 = 3

3x , 2

b)

sen

d)

log 2x −

x0 = π 1 , x−1

x0 = 2

Ejercicio 9.5. Desarrollar en serie de potencias de x la función Z x

f (x) = 0

t dt , (3 − t)(t + 2)

−2 < x < 3,

y determinar el radio y el intervalo de convergencia de la serie. Ejercicio 9.6. Determinar el dominio de convergencia y la suma de las series: ∞

a) 1 + ∑ (−1)n n=1

b)

x4n−1 4n

x x2 x3 x4 + + + +... 1·2 2·3 3·4 4·5 x4n−1 y probar que su suma es n=1 4n − 1 ∞

Ejercicio 9.7. Hallar el dominio de convergencia de la serie ∑ 1 1+x 1 log − arc tg x. 4 1−x 2

∞

Ejercicio 9.8. Encontrar la única serie de potencias f (x) = ∑ an xn con radio de convergencia no n=0

nulo que cumple f 00 + f = 0, f (0) = 1, f 0 (0) = 0. Identificar esta función.

196

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor x3n y sumarla en el n=1 n(3n − 1) ∞

Ejercicio 9.9. Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie ∑ (−1)n . n=1 n(3n − 1) ∞

intervalo abierto. Hallar la suma de la serie ∑

x3n y sumarla en n=1 n(3n + 1) ∞

Ejercicio 9.10. Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie ∑ (−1)n . n=1 n(3n + 1) ∞

el intervalo abierto. Hallar la suma de la serie ∑

2n (n − 1) n+1 x . 2 n=2 n + n ∞

Ejercicio 9.11. Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencias f (x) = ∑ Probar que f (x) = (x − 1) log(1 − 2x) − 2x en ese intervalo.

Capítulo 10

Sucesiones y series de funciones Exponemos este tema siguiendo el capítulo 11 de [A POSTOL 1], completado con algunas partes del capítulo 7 de [BARTLE -S HERBERT].

10.1.

Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual

Definición 10.1.1. Sea D un subconjunto de R. Supongamos que para cada número natural n está dada una función fn : D → R; la aplicación n 7→ fn recibe el nombre de sucesión de funciones (definidas en D, si es necesaria la precisión). La función fn asociada al número natural n recibe el nombre de término n-ésimo de la sucesión. Informalmente, una sucesión de funciones es una lista sin fin f1 , f2 , . . . , fn , . . . de funciones definidas en el conjunto D. Como hicimos con las sucesiones de números reales, denotamos la sucesión de funciones cuyo término n-ésimo es fn con ( fn )n∈N o, simplificando si no hay confusión, con ( fn ). Para cada punto x ∈ D podemos considerar la sucesión de números reales que tiene por término n-ésimo el número real fn (x), valor en x de la función fn . Esta sucesión podrá ser convergente o no. El conjunto A de todos los puntos x ∈ D para los que la sucesión de números ( fn (x)) converge suele llamarse campo de convergencia de la sucesión de funciones ( fn ); si A 6= 0, / podemos definir una nueva función f : A → R haciendo corresponder a cada x ∈ A el número real f (x) = l´ım fn (x). n

Hablamos entonces de convergencia puntual (o punto a punto) de la sucesión ( fn ) a la función f , concepto que vamos a definir en general. Definición 10.1.2. Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto D, A un subconjunto de D y f una función definida en A. Si para cada x ∈ A, f (x) = l´ım fn (x), se dice que la sucesión ( fn ) n converge puntualmente a f en A, o que converge punto a punto a f en A. En este caso a f se le llama el límite puntual de la sucesión ( fn ) en A. Cuando existe tal función f , decimos que la sucesión ( fn ) es convergente punto a punto en A, o que la sucesión ( fn ) es convergente puntualmente en A. Ejemplos. a) La sucesión (xn ) converge puntualmente en el intervalo cerrado [0, 1] a la función f definida en dicho intervalo por ( 0 si 0 ≤ x < 1 f (x) = 1 si x = 1.

197

198

Capítulo 10. Sucesiones y series de funciones (1,1) x x2 xn Sucesión de funciones fn (x) = xn

 b) La sucesión por

xn 1 + xn

 converge puntualmente en [0, +∞) a la función f definida en tal intervalo   0 f (x) = 1/2   1

si 0 ≤ x < 1 si x = 1. si x > 1.

c) La sucesión (sen nπx) converge puntualmente a 0 en todos los x ∈ Z. Menos trivial es probar que en los demás puntos no converge. En efecto: sea x ∈ R y supongamos que sen nπx → `; desde luego, debe ser ` ∈ R y entonces ` = l´ım sen 2nπx = l´ım 2 sen nπx cos nπx = l´ım 2` cos nπx. n

n

n

1 De aquí se deduce que o bien ` = 0, o bien l´ım cos nπx = . n 2 1 • No puede ser l´ım cos nπx = , ya que tendríamos n 2 1 1 = l´ım cos 2nπx = l´ım 2 cos2 nπx − 1 = − . n n 2 2 p • Así que debe ser ` = 0, luego l´ım | cos nπx| = l´ım 1 − sen2 nπx = 1. Como n

n

sen(n + 1)πx = sen nπx cos πx + cos nπx sen πx, queda l´ım cos nπx sen πx = 0 y, por lo tanto, sen πx = 0. Es decir, x ∈ Z. n

Pueden verse más ejemplos con sus gráficas en [BARTLE -S HERBERT, págs. 312–315]. Observación. La convergencia puntual puede expresarse en términos similares a los de la convergencia de sucesiones numéricas. Concretamente: • Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto D, A un subconjunto de D, f una función definida en A. La sucesión ( fn ) converge puntualmente a f en A si y solo si para cada x ∈ A y para cada ε > 0 existe un N = N(ε, x) tal que siempre que n > N(ε, x) se verifica | fn (x) − f (x)| < ε. En consecuencia, tenemos la siguiente condición de Cauchy para la convergencia puntual: • Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto D, A un subconjunto de D. La sucesión ( fn ) converge puntualmente en A (a una cierta función) si y solo si para cada x ∈ A y para cada ε > 0 existe un N = N(ε, x) tal que siempre que m, n > N(ε, x) se verifica | fm (x) − fn (x)| < ε.

10.2. Convergencia uniforme

199

Las definiciones de serie de funciones y convergencia puntual de una serie de funciones son fácilmente adivinables. ∞

Definición 10.1.3. Una serie de funciones ∑ fn es un par ordenado de sucesiones de funciones n=1
( fn ), (sn ) relacionadas por la condición de que para cada n ∈ N es sn = f1 + f2 + · · · + fn . Para cada n ∈ N, el término n-ésimo de la primera sucesión, fn , recibe el nombre de término n-ésimo de la serie; el término n-ésimo de la segunda sucesión, sn , recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie. Decimos que una serie de funciones converge puntualmente a una función f en un conjunto A si lo hace la sucesión de sus sumas parciales. En tal caso, la función f es la suma de la serie en el conjunto A. n−1 converge puntualmente en (−1, 1) y su suma es la función Ejemplo. La serie de funciones ∑∞ n=1 x 1 f (x) = , si −1 < x < 1. 1−x

10.2.

Convergencia uniforme

El estudio de las sucesiones de funciones abre al menos dos interesantes opciones: de un lado, podemos construir nuevas funciones como límites de funciones conocidas; de otro, podemos pensar en sustituir, en ciertos problemas, una función dada por funciones que la aproximan y que pueden tener un comportamiento mejor controlado respecto a la situación que nos interese. En cualquiera de los dos casos, la primera tarea es examinar qué propiedades de las funciones que forman la sucesión se traspasan a la función límite. El resultado de un primer análisis no puede ser más descorazonador, como muestran los siguientes ejemplos (ver [A POSTOL 1, pág. 518]). Ejemplos. a) Sucesión de funciones continuas con función límite discontinua: la sucesión fn (x) = n x en [0, 1] converge puntualmente a la función que vale 1 en x = 1 y 0 en los demás puntos. b) Sucesión de funciones cuyas integrales no convergen a la integral de la función límite: la sucesión ( fn ) definida por fn (x) = nx(1 − x2 )n , 0 ≤ x ≤ 1, converge puntualmente a 0 en [0, 1]. Sin embargo, Z 1

l´ım n

0

1 fn (x) dx = = 6 0= 2

Z 1 0

l´ım fn (x) dx. n

Peor aún es lo que ocurre con la derivación, como veremos posteriormente. A la vista de estos ejemplos, está claro que hay que introducir una noción más fuerte de convergencia (ver comentarios en [A POSTOL 1, págs. 518–519]).

10.2.1.

Definición de convergencia uniforme

Definición 10.2.1. Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto D, A un subconjunto de D, f una función definida en A. Se dice que la sucesión ( fn ) converge uniformemente a f en A si para cada ε > 0 existe un N = N(ε) tal que siempre que n > N(ε), para todo x ∈ A se verifica | fn (x) − f (x)| ≤ ε.

200

Capítulo 10. Sucesiones y series de funciones f +ε f f −ε

fn

Para todo x, | fn (x) − f (x)| ≤ ε

Desde luego, el último ≤ puede sustituirse por < y la definición es equivalente. Ver comentarios e interpretación gráfica en [A POSTOL 1, págs. 519–520]. Comparando esta definición con la reformulación que dimos anteriormente para la convergencia puntual, es obvio que toda sucesión ( fn ) que converge uniformemente a una función f en A, también converge puntualmente a f en A. Una manera útil de expresar la definición de convergencia uniforme es la siguiente: Proposición 10.2.2. Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto D, A un subconjunto de D, f una función definida en A. La sucesión ( fn ) converge uniformemente a f en A si y solo si n

sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ A} −→ 0. Demostración. Si para cada n ∈ N escribimos Mn = sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ A}, entonces que la sucesión ( fn ) converja uniformemente a f en A significa, según la definición, que para cada ε > 0 existe un N = N(ε) tal que siempre que n > N(ε), Mn ≤ ε. Pero esto a su vez significa que l´ım Mn = 0. n

Aplicación. La sucesión

 sen nx  n

converge uniformemente a 0 en R, ya que

n sen nx o 1 sup − 0 : x ∈ R ≤ → 0. n n Sin embargo, la sucesión ( fn ) con fn (x) = xn no converge uniformemente en [0, 1], pues en caso afirmativo tendría que hacerlo a la función f a la que converge puntualmente, y para todo n ∈ N es sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ [0, 1]} = sup[{xn : x ∈ [0, 1)} ∪ {0}] = 1 6→ 0 (ver este y otros ejemplos en [BARTLE -S HERBERT, págs. 316–317]). Proposición 10.2.3 (condición de Cauchy para la convergencia uniforme). Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto D, A un subconjunto de D. Entonces ( fn ) converge uniformemente en A a alguna función si y solo si para cada ε > 0 existe un N(ε) tal que para todos los números naturales m, n ≥ N(ε) se cumple sup{| fm (x) − fn (x)| : x ∈ A} ≤ ε. Demostración. No la desarrollamos, pero la comprobación de que es condición suficiente resulta muy ilustrativa. Puede verse en detalle en [BARTLE -S HERBERT, págs. 317–318].

10.2. Convergencia uniforme

10.2.2.

201

Convergencia uniforme y continuidad

A diferencia de la convergencia puntual, la convergencia uniforme conserva la continuidad, como pasamos a comprobar. Teorema 10.2.4. Sea ( fn ) una sucesión de funciones que converge uniformemente en un conjunto A a una función f con dominio A, y sea x un punto de A. Si cada función fn es continua en x, entonces f también es continua en x. Demostración. Sea ε > 0. Según la definición de convergencia uniforme, hay algún n ∈ N tal que para todo t ∈ A | fn (t) − f (t)| ≤ ε/3 (de hecho, cualquier n > N(ε/3) vale). Fijamos n y como fn es continua en x, ahora hay algún δ > 0 tal que | fn (y) − fn (x)| ≤ ε/3, siempre que sea |y − x| < δ . Entonces, si |y − x| < δ se tiene | f (y) − f (x)| = | f (y) − fn (y) + fn (y) − fn (x) + fn (x) − f (x)| ≤ | f (y) − fn (y)| + | fn (y) − fn (x)| + | fn (x) − f (x)| ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Es decir, f es continua en x. Los resultados sobre sucesiones de funciones tienen su equivalente en términos de series de funciones. La convergencia uniforme de una serie de funciones se define de manera análoga a la convergencia puntual: Definición 10.2.5. Una serie de funciones ∑∞ n=1 f n se dice que converge uniformemente a una función f en un conjunto A cuando la sucesión (sn ) de sus sumas parciales, sn = f1 + f2 + · · · + fn , converge uniformemente a f en el conjunto A. Corolario 10.2.6. Si una serie de funciones ∑∞ n=1 f n converge uniformemente hacia la función suma f en su dominio A y si cada término fn es una función continua en un punto x de A, entonces también f es continua en x.

10.2.3.

Convergencia uniforme e integración

La convergencia puntual no conserva la integrabilidad: hay sucesiones de funciones integrablesRiemann que convergen puntualmente a funciones que, por el contrario, no son integrables-Riemann (véáse, por ejemplo, [BARTLE -S HERBERT, ejr. 13, pág. 325]). Una vez más, la situación es distinta con convergencia uniforme. Teorema 10.2.7. Sea ( fn ) una sucesión de funciones continuas en un intervalo [a, b] que convergen uniformemente en [a, b] a una función f . Entonces f es integrable en [a, b] y se cumple Z b n

Z b

fn =

l´ım a

f. a

202

Capítulo 10. Sucesiones y series de funciones

Demostración. La función f es integrable, porque es continua, según el teorema 10.2.4. Para cada n ∈ N, Z b Z b Z b f (x) dx − f (x) dx = [ f (x) − f (x)] dx n n a a a ≤

Z b

| fn (x) − f (x)| dx

a

≤ (b − a) sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]}. Que la sucesión ( fn ) converja a f uniformemente en [a, b] significa que l´ım sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} = 0, n

así que también Z b Z b l´ım fn − n a a

f = 0,

que es lo que queríamos probar. Nota. De la misma manera puede probarse que si se define gn (x) = ax fn y g(x) = ax f , entonces la sucesión de funciones (gn ) converge uniformemente a la función g en el intervalo [a, b]. R

R

Observación. En realidad, en el teorema 10.2.7 no hace falta imponer que las funciones fn sean continuas, sino solo que sean integrables; pero entonces no es tan fácil probar que f es también integrable. La demostración puede verse en [BARTLE -S HERBERT, teor. 7.2.4, págs. 323–324]. El teorema 10.2.7 afirma que, con las hipótesis adecuadas, Z b

Z b

fn =

l´ım n

l´ım fn .

a

n

a

Este es un primer resultado dentro de una larga lista de teoremas de paso al límite bajo el signo integral. La necesidad de aligerar sus hipótesis es una de las razones que impulsaron la generalización de Lebesgue del concepto de integral. Corolario 10.2.8. Sea ∑∞ que converge uniformente hacia la n=1 f n una serie de funciones continuas Rb función suma f en un intervalo [a, b]. Entonces, la serie ∑∞ f n=1 a n converge y ∞

Z b

∑

Z b

fn =

n=1 a

f, a

es decir, ∞

∑

Z b

Z b ∞

fn =

n=1 a

10.2.4.

∑ fn .

a n=1

Convergencia uniforme y derivación

Sobre derivación no cabe esperar enunciados tan sencillos como los obtenidos para la continuidad y la integrabilidad, ni siquiera cuando hay convergencia uniforme, según ponen de manifiesto los siguientes ejemplos. Ejemplo. Una sucesión de funciones derivables que converge uniformemente a una función no derivable: r 1 fn (x) = x2 + → f (x) = |x| uniformemente en − 1 ≤ x ≤ 1. n

10.2. Convergencia uniforme

203

Ejemplo. Una sucesión de funciones derivables que converge uniformemente a una función derivable, mientras que la sucesión de sus derivadas no converge en ningún punto: sen nx fn (x) = √ → f (x) = 0 n

uniformemente en R

(ver [G ELBAUM -O LMSTED, págs. 76–77]). Ejemplo. Una sucesión de funciones derivables que converge uniformemente a una función derivable, mientras que la sucesión de sus derivadas converge a una función que no es límite de las derivadas: fn (x) =

xn → f (x) = 0 n

uniformemente en 0 ≤ x ≤ 1.

Ejemplo. Una sucesión de funciones derivables que no converge en ningún punto, mientras que la sucesión de sus derivadas converge uniformemente: fn (x) = (−1)n ;

fn0 (x) = 0 → 0

uniformemente en R.

Vista la situación, es menos sorprendente que vayamos a parar a un enunciado como el que sigue. Teorema 10.2.9. Sea ( fn ) una sucesión de funciones definidas en un intervalo [a, b]. Supongamos que a) existe un c ∈ [a, b] tal que la sucesión ( fn (c)) converge; b) todas las funciones fn son derivables y las derivadas son continuas; c) la sucesión de derivadas ( fn0 ) converge uniformemente en [a, b] a una función g. Entonces la sucesión ( fn ) converge uniformemente en [a, b] a una función f derivable en [a, b] y además f 0 = g. Demostración. Para cada x ∈ [a, b], fn (x) = fn (c) + fn (x) − fn (c) = fn (c) +

Z x c

fn0 (t) dt.

Sea λ = l´ım fn (c) y definamos ahora n

Z x

f (x) = λ +

x ∈ [a, b].

g(t) dt, c

Observemos que la función g es continua, por el teorema 10.2.4, así que la función f es derivable y además f 0 = g, según el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4). Se trata de probar que la sucesión de funciones ( fn ) converge uniformemente a f en [a, b]. Para cada x ∈ [a, b], Z x 0 | fn (x) − f (x)| = fn (c) − λ + [ fn (t) − g(t)] dt c Z x 0 ≤ | fn (c) − λ | + [ fn (t) − g(t)] dt . c

Si, por ejemplo, x ≥ c, entonces | fn (x) − f (x)| ≤ | fn (c) − λ | +

Z x c

| fn0 (t) − g(t)| dt

≤ | fn (c) − λ | + (b − a) sup{| fn0 (t) − g(t)| : t ∈ [a, b]}.

204

Capítulo 10. Sucesiones y series de funciones

Si es x < c se llega a la misma conclusión, pero en la desigualdad intermedia hay que cambiar Rc . x Por lo tanto,

Rx c

por

sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} ≤ | fn (c) − λ | + (b − a) sup{| fn0 (t) − g(t)| : t ∈ [a, b]}. Por la hipótesis c) y como λ = l´ım fn (c), se deduce que n

n

sup{| fn (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} −→ 0, es decir, la sucesión de funciones ( fn ) converge uniformemente a f en [a, b]. El lector puede enunciar y demostrar la traducción de este resultado a series de funciones. Nota. En realidad, no hace falta que las funciones fn0 sean continuas ([BARTLE -S HERBERT, teor. 7.2.3, págs. 322–323]).

10.3.

Una condición suficiente para la convergencia uniforme de series

Teorema 10.3.1 (criterio M de Weierstrass). Sea ∑∞ n=1 f n una serie de funciones definidas en un conjunto para la que se puede encontrar una serie numérica convergente ∑∞ n=1 Mn de términos no negativos de manera que se cumple, cualquiera que sea n ∈ N, | fn (x)| ≤ Mn para todo x ∈ A. Entonces la serie ∑∞ n=1 f n converge uniformemente en A y absolutamente en cada punto de A. Demostración. Dado n ∈ N, sea

n

sn =

∑ fk k=1

la suma parcial n-ésima de la serie. Tenemos que probar que la sucesión de funciones (sn ) converge uniformemente en A, para lo que es suficiente demostrar que cumple la condición de Cauchy (proposición 10.2.3). Pero suponiendo que m > n, para cualquier x ∈ A es m m m |sm (x) − sn (x)| = ∑ fk (x) ≤ ∑ | fk (x)| ≤ ∑ Mk . k=n+1 k=n+1 k=n+1 Sea ε > 0. Como la serie ∑∞ n=1 Mn converge, hay algún N(ε) ∈ N tal que para cada m > n > N(ε) m

∑

Mk ≤ ε

k=n+1

(condición de Cauchy para una serie numérica convergente). Por lo tanto, sup{|sm (x) − sn (x)| : x ∈ A} ≤ ε siempre que m > n > N(ε). De la proposición 10.2.3 se deduce que la serie converge uniformemente en A. La convergencia absoluta es una consecuencia inmediata de la desigualdad | fn (x)| ≤ Mn . Observación. En el teorema 10.3.1, basta tener | fn (x)| ≤ Mn desde un n en adelante. ∞

Ejemplo. La serie

xn

∑ n2 es uniformemente convergente en [−1, 1].

n=1

Capítulo 11

Funciones elementales La familiaridad que a través del uso hemos llegado a adquirir con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definición analítica rigurosa de todas ellas. Mediante consideraciones gráficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás. Excepciones notables a esta situación han sido la función logaritmo y la función exponencial. En el capítulo de integración, el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) nos proporcionó un método de construcción de la función logaritmo como primitiva de la función 1/x, y definimos luego la función exponencial como inversa del logaritmo. No es esta la única manera de construir estas funciones, como vamos a probar a continuación, invirtiendo el proceso: definiremos primero la función exponencial como suma de una serie, y después el logaritmo como inversa de la exponencial. Igualmente definiremos las funciones seno y coseno como sumas de ciertas series de potencias, y demostraremos después que las funciones así definidas tienen todas las propiedades que manejamos habitualmente. En la última sección, veremos cómo también es posible construir las funciones trigonométricas por el método de las primitivas, empezando con las funciones trigonométricas inversas. Nos situamos, pues, en el principio de los tiempos, como si nunca hubiéramos oído hablar de estas funciones, y sin más herramientas que los conocimientos teóricos aprendidos a lo largo del curso (que no se apoyan en las propiedades de estas funciones) vamos a definirlas partiendo de cero, bien mediante series de potencias, bien mediante primitivas.

11.1.

Funciones elementales: construcción mediante series de potencias

Vimos cómo, dando por conocidas las propiedades básicas de derivación de las funciones elementales, se obtiene una representación de estas funciones mediante series de potencias. Sin embargo, desde el punto de vista del desarrollo lógico del Análisis Matemático, sería más conveniente proceder al revés, es decir, tomar como punto de partida las series para definir las funciones elementales y obtener de esa definición todas sus propiedades. Esbozamos en lo que sigue cómo se puede llevar a cabo este programa.

11.1.1.

Función exponencial ∞

La serie de potencias

xn

∑ n! tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos definir en todo

n=0

R una función como suma de tal serie. 205

206

Capítulo 11. Funciones elementales

Definición 11.1.1. Se llama función exponencial a la función exp : R → R definida por ∞

exp(x) =

xn

∑ n! .

n=0

El número exp(1) se denota por e, y se escribe ex en lugar de exp(x), lo que se justifica por la propiedad e) que probamos a continuación. Propiedades 11.1.2. a) La función exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada x ∈ R, (ex )0 = ex . b) e0 = 1. c) Para cada x ∈ R, e−x =

1 , ex

y, en particular, ex 6= 0. d) Dados x, y ∈ R,

ex+y = ex · ey .

e) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex , n

enx = ex · · ·ex . f) Para cada x ∈ R,

ex > 0.

g) La función exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. h) Se tiene l´ım ex = +∞,

x→+∞

l´ım ex = 0.

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞). Demostración. Según vimos en el capítulo 6, es suficiente probar las dos primeras propiedades (ya vimos cómo se obtenían las demás a partir de ellas). Pero la segunda es trivial y para obtener la primera basta aplicar la regla de derivación de una función definida mediante una serie de potencias.

11.1.2.

Función logarítmica

Una vez conocidas las propiedades básicas de la función exponencial, podemos introducir cómodamente la función logarítmica como su función inversa, y deducir de ahí sus propiedades. Definición 11.1.3. La función logarítmica log : (0, +∞) → R es la inversa de la función exponencial, de modo que log x = y si y solo si x = ey . Por tanto, está caracterizada por cumplir log(ex ) = x

cualquiera que sea x ∈ R

y elog x = x

cualquiera que sea x ∈ (0, +∞).

Sus propiedades son consecuencias de las de la función exponencial.

11.1. Funciones elementales y series de potencias Propiedades 11.1.4. función 1/x.

207

a) La función logarítmica es derivable indefinidamente, y su derivada es la

b) log 1 = 0, log e = 1. c) Para cada x ∈ (0, +∞), log

1 = − log x. x

d) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y. e) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), log(xn ) = n log x. f) El conjunto imagen de la función logarítmica es R. g) La función logarítmica es estrictamente creciente y cóncava. En particular, es inyectiva. h) Se tiene l´ım log x = −∞,

x→0+

l´ım log x = +∞.

x→+∞

Demostración. a) La exponencial es una aplicación biyectiva de R sobre (0, +∞) y continua, luego el logaritmo, que es su inversa, también es continua (teorema 4.2.14). Estamos en condiciones de aplicar el teorema 5.1.7 de derivación de la función inversa para concluir que el logaritmo es derivable en cada x ∈ (0, +∞), con derivada log0 x =

1 1 1 = = . exp0 (log x) exp(log x) x

b) Obvio. c) Basta tener en cuenta que 1

elog x =

1 1 = log x = e− log x . x e

d) Análogamente elog(xy) = xy = elog x · elog y = elog x+log y . e) Consecuencia inmediata de d). f) Como la exponencial es biyectiva de R en (0, +∞), el logaritmo es biyectiva de (0, +∞) en R. g) Para todo x ∈ (0, +∞), log0 x =

1 > 0, x

log00 x = −

1 < 0. x2

h) Como la función logaritmo es creciente, estos límites son, respectivamente, el ínfimo y el supremo del conjunto imagen, que es R.

208

11.1.3.

Capítulo 11. Funciones elementales

Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera

Definición 11.1.5. Dado un número real a > 0, la función exponencial de base a se define mediante la igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta función tiene propiedades similares a la función exponencial anteriormente estudiada; si a = 1, es una función constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la función exponencial de base e estriba en que la función exponencial de base a es entonces estrictamente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definición y de lo que hemos visto para las funciones ex y log x son las siguientes: Propiedades 11.1.6. Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, a) (ab)x = ax bx . b) (ax )y = axy . Demostración. Aplicar la definición y las propiedades de la exponencial y el logaritmo. Definición 11.1.7. Dado a > 0, a 6= 1, la función logarítmica de base a se define en (0, +∞) mediante la fórmula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta función es la inversa de la función exponencial de base a. Como propiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a 6= 1, b > 0, loga (bx ) = x loga b.

11.1.4.

Funciones trigonométricas

Definición 11.1.8. La función seno es la función sen : R → R definida por (−1)n x2n+1 , ∑ n=0 (2n + 1)! ∞

sen x =

y la función coseno es la función cos : R → R definida por (−1)n x2n . n=0 (2n)! ∞

cos x =

∑

Estas funciones están bien definidas, ya que las dos series de potencias tienen radio de convergencia +∞. Propiedades 11.1.9. a) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo x ∈ R sen0 x = cos x, cos0 x = − sen x. b) El seno es una función impar, mientras que el coseno es una función par; es decir, cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x, c) sen 0 = 0; cos 0 = 1.

cos(−x) = cos x.

11.1. Funciones elementales y series de potencias d) Para cada x ∈ R,

209

sen2 x + cos2 x = 1.

e) Fórmulas de adición: dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y;

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y;

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y;

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y.

Demostración. a), b) y c) son consecuencia inmediata de la definición y de las propiedades de las series de potencias. d) Más cómodo que manejar las series es proceder por derivación: definiendo f : R → R mediante f (x) = sen2 x + cos2 x, a partir de a) obtenemos f 0 (x) = 2 sen x cos x − 2 cos x sen x = 0 para todo x de R, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. e) Probamos solamente las dos primeras identidades: las otras se siguen de estas aplicando b). Fijado y, sean f y g las funciones definidas en R por f (x) = sen(x + y),

g(x) = sen x cos y + cos x sen y.

Está claro que, como consecuencia de d), para todo t ∈ R es | sent| ≤ 1, | cost| ≤ 1. Se sigue fácilmente por inducción, usando a), que | f (n) | ≤ 1 y |g(n) | ≤ 2 para cada n, luego según la proposición 9.2.1 ∞

f (x) =

∑

n=0

f (n) (0) n x , n!

g(n) (0) n ∑ n! x n=0 ∞

g(x) =

para todo x ∈ R. Observemos que f (0) = g(0) = sen y. Resulta que f 0 (x) = cos(x + y), g0 (x) = cos x cos y − sen x sen y, luego también f 0 (0) = g0 (0) = cos y. Derivando de nuevo vemos que f 00 = − f y g00 = −g, de donde se deduce que f (n) (0) = g(n) (0) para todo n. Por su expresión como series de potencias, obtenemos que f = g, y entonces f 0 = g0 , que son las dos igualdades que había que probar. Nótese que d) es un caso particular de e) (tomar y = −x en la segunda fórmula). Proposición 11.1.10 (definición y propiedades de π). a) La función seno tiene ceros positivos, es decir, {x > 0 : sen x = 0} 6= 0. / Este conjunto tiene un elemento mínimo, que denotamos por π: def

π = m´ın{x > 0 : sen x = 0}. En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos. b) cos π = −1; cos π2 = 0; sen π2 = 1.   c) Para conocer la función seno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π2 . En concreto, • para cada x ∈ R es sen(π − x) = sen x = − sen(x + π);

(11.1)

• para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, sen(x + 2kπ) = sen x, es decir, el seno es una función periódica de periodo 2π.

(11.2)

210

Capítulo 11. Funciones elementales

  d) Para conocer la función coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π2 . En concreto, • para cada x ∈ R es cos(π − x) = − cos x = cos(x + π); • para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, cos(x + 2kπ) = cos x, es decir, el coseno es una función periódica de periodo 2π.   e) La restricción de la función seno al intervalo − π2 , π2 es una función estrictamente creciente (en particular, inyectiva); su imagen es el intervalo [−1, 1]. f) La restricción de la función coseno al intervalo [0, π] es una función estrictamente decreciente (en particular, inyectiva); su imagen es el intervalo [−1, 1]. g) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y solo si para algún k ∈ Z es x = kπ . h) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y solo si para algún k ∈ Z es x =

π 2

+ kπ.

Demostración. a) Agrupando sumandos convenientemente en la definición de la función seno como una serie de potencias, es fácil ver que sen x > x −

x3 > 0, 3!

0 < x ≤ 1,

(11.3)

y que sen 4 < 4 −

43 45 47 49 + − + < 0, 3! 5! 7! 9!

de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, según el teorema 4.2.9 de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, está perfectamente determinado el número real π = ´ınf{x > 0 : sen x = 0} y es mayor o igual que 1 (luego es mayor que 0). Para asegurar que π es el mínimo del conjunto, o sea, que pertenece a él, basta tener en cuenta que es un punto de acumulación del conjunto y emplear la continuidad de la función seno. Así sen x 6= 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con (11.3), debe ser sen x > 0 para todo x ∈ (0, π). b) Como sen2 π +cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tanto cos π = ±1. Pero además, la función coseno es estrictamente decreciente en el intervalo [0, π], porque su derivada es − sen x < 0 para todo x ∈ (0, π). Como cos 0 = 1, debe ser cos π = −1. Puesto que cos π = 2 cos2 π2 − 1, debe ser cos π2 = 0, lo que obliga a que sen2 π2 = 1. Como 0 < π2 < π, sen π2 debe ser positivo y por tanto igual a 1. c) Las igualdades (11.1) son consecuencia de las fórmulas de adición y de los valores previamente calculados. La fórmula (11.2) se comprueba por inducción.  π Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo 0, 2 , podemos obtener los valores   en el intervalo π2 , π usando que sen x = sen (π − x); por ser el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π] y ya por periodicidad a todo R. d) Similar al apartado anterior.

11.1. Funciones elementales y series de potencias

211

2 2 e) Para cada x ∈ R la igualdad sen
x + cos x = 1 asegura que | sen x| ≤ 1, | cos x| ≤ 1. Como π π sen 2 = 1 y por lo tanto sen − 2 = −1,  la continuidad del seno y el teorema 4.2.10 de Darboux π π dan como conjunto imagen de − 2 , 2 exactamente el intervalo [−1, 1].   Para demostrar que la función seno (que es continua) es estrictamente creciente en − π2 , π2 , usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el coseno (cuya derivada es − sen) es estrictamente 
decreciente en [0, π], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo
0, π2 son estrictamente mayores que cos π2 = 0; como el coseno es par, lo mismo vale en − π2 , π2 ; y finalmente,  como el coseno es la derivada del seno, vemos que este último es estrictamente creciente en − π2 , π2 .

f) Repasar el apartado anterior. g) Es inmediato que si para algún k ∈ Z es x = kπ, se verifica que sen x = 0. Recíprocamente, sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z será

 x ∈ k − 21 π, k + 21 π .  Entonces t = x − kπ ∈ − π2 , π2 y sent = sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ. h) Similar al apartado anterior. Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la versión analítica, que venimos explorando, y la versión geométrica de la trigonometría (medición de triángulos). La siguiente proposición prueba que una versión es coherente con la otra. Proposición 11.1.11. Dados x, y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe algún α ∈ R de modo que cos α = x,

sen α = y.

Además, para que un β ∈ R cumpla igualmente que cos β = x,

sen β = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ. Demostración. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cost = x. Entonces sen2 t = y2 , de donde o bien sent = y, y tomaríamos α = t, o bien sent = −y, y bastaría tomar α = −t. Por periodicidad, igualmente cos(α + 2kπ) = x, sen(α + 2kπ) = y para todo k ∈ Z. Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x, sen β = y. Entonces sen(β − α) = yx − xy = 0, luego por el apartado g) de la proposición 11.1.10 existirá un m ∈ Z tal que β − α = mπ. Si m fuese de la forma 2k + 1, k ∈ Z, resultaría cos(β − α) = −1; sin embargo, cos(β − α) = xx + yy = x2 + y2 = 1, por lo que debe ser m = 2k para algún k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ. De la proposición anterior se deduce que podemos parametrizar la circunferencia x2 + y2 = 1 de esta forma: x(t) = cost,

y(t) = sent,

t ∈ [0, 2π].

212

Capítulo 11. Funciones elementales

P = (x, y)

y

x

1

Tomemos un punto P = (x, y) de la circunferencia distinto de (1, 0), sea α ∈ (0, 2π) tal que x = cos α, y = sen α y veamos que α es el ángulo que forma el punto P con el origen de coordenadas y el semieje x positivo. Pero este ángulo es la longitud del arco de circunferencia desde el punto (1, 0) hasta el punto P. Y como (1, 0) = (x(0), y(0)), la longitud del arco es Z αq Z αp Z α x0 (t)2 + y0 (t)2 dt = sen2 t + cos2 t dt = dt = α, 0

0

0

como queríamos ver. Por lo tanto, esta definición analítica del seno y el coseno coinciden con la definición geométrica. En resumen, en este apartado hemos definido las funciones seno y coseno, y hemos demostrado todas las propiedades fundamentales que usamos habitualmente. En este punto, podemos continuar rigurosamente el estudio de las restantes funciones trigonométricas (tangente, cotangente, secante, cosecante) y de las funciones trigonométricas inversas, que como sabemos son inversas parciales de las anteriores, es decir, inversas de la restricción de las funciones trigonométricas a subdominios adecuados. Sería muy largo completar todos los detalles, pero queremos al menos detenernos en la función arco seno y ver que se puede construir y estudiar mediante integración, como hicimos en su momento con el logaritmo.

11.2.

Funciones trigonométricas: construcción mediante integrales

De nuevo nos situamos en el principio de los tiempos, olvidando lo que acabamos de aprender sobre las funciones trigonométricas, y partimos de cero para crear la función arco seno como primitiva construida por integración. Proposición 11.2.1 (función arco seno). La función A : [−1, 1] → R dada por Z x

A(x) = 0

1 √ dt 1 − t2

está bien definida, es impar, continua en [−1, 1] y derivable en (−1, 1), con 1 A0 (x) = √ 1 − x2

y

A00 (x) =

x . (1 − x2 )3/2

En consecuencia, l´ım A0 (x) = +∞,

x→±1

A es estrictamente creciente en [−1, 1], convexa en [0, 1) y cóncava en (−1, 0].

11.2. Funciones trigonométricas

213

√ Demostración. La función 1 − t 2 está bien definida para t ∈ [−1, 1] (recordemos que todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada no negativa perfectamente determinada), es continua y solo se anula para t = 1 o t = −1. Además, 1 1 1 0≤ √ ∼√ , 2 2 (1 − t)1/2 1−t 1 1 1 0≤ √ ∼√ , 2 (1 + t)1/2 1 − t2

(t → 1) (t → −1),

con lo cual la función

1 √ 1 − t2 es impropiamente integrable en (−1, 1). Por lo tanto, la función A está bien definida en [−1, 1] y es continua. La derivabilidad en (−1, 1) y el valor de la derivada se sigue del teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4). Lo demás ya es rutinario. Nota. Una vez más, la interpretación analítica y la geométrica concuerdan. Dado y ∈ [−1, 1], su arco seno A(y) es la longitud del arco de la circunferencia unidad que tiene y por seno (ver la figura 11.1). En efecto: si parametrizamos la semicircunferencia de la derecha por ( √ x(t) = 1 − t 2 −1 ≤ t ≤ 1 → y(t) = t, un cálculo elemental prueba que q 1 x0 (t)2 + y0 (t)2 = √ , 1 − t2 así que la longitud del arco desde el punto de ordenada 0 hasta el punto de ordenada y es Z yq Z y 1 0 2 0 2 √ dt = A(y). x (t) + y (t) dt = 0 0 1 − t2 En particular, la longitud de la semicircunferencia será igual a 1

y arc sen y

−1 Figura 11.1: el arco seno de y es la longitud del arco

Z 1

1 √ dt = 2 −1 1 − t2 lo que explica la siguiente definición.

Z 1 0

1 √ dt, 1 − t2

214

Capítulo 11. Funciones elementales

Definición 11.2.2 (el número π). Z 1

def

π=2 0

1 √ dt. 1 − t2

Es muy fácil ver con esta definición que 3 < π < 4: por un lado, para cada t ∈ (0, 1) se cumple que 1 − t 2 = (1 − t)(1 + t) > 1 − t, y por tanto Z 1

1 √ dt < 1 − t2

π =2 0

Z 1 0

h it=1 √ 2 √ = 4. dt = − 4 1 − t t=0 1−t

Por otra parte, como 1 − t 2 < 1 también tenemos que 2(1 − t), resulta que (1/2, 1) para obtener

√1 1−t 2

Z 1/2

π> 0

>

√1 √ 1 . 2 1−t

√1 1−t 2

> 1; y como 1 − t 2 = (1 + t)(1 − t) <

Usamos la primera desigualdad en (0, 1/2) y la segunda en

√ h it=1 √ √ 2 √ 2 dt + = 1 + 2 = 3. dt = 1 + − 2 2 1 − t t=1/2 1−t 1/2 Z 1

Como consecuencia inmediata de las propiedades de la función A y de la definición de π se tiene: Corolario 11.2.3. La función A aplica biyectivamente [−1, 1] sobre [−π/2, π/2].

π/2

−1 1

−π/2 Gráfica de la función A (arco seno)

Ya hemos comentado cómo se relaciona la definición que hemos dado de π con la definición geométrica más habitual, en función de la longitud de la circunferencia unidad. Vimos en su momento cómo se corresponde la noción de área con la integral, y conforme a ello reencontramos π como valor del área del círculo unidad. Proposición 11.2.4. π es el área de un círculo de radio unidad. √ Demostración. Sea f la función definida en [−1, 1] por f (x) = 12 A(x) + 12 x 1 − x2 . Es continua en √ [−1, 1], y si x ∈ (−1, 1) entonces f 0 (x) = 1 − x2 . Por la regla de Barrow (teorema 6.3.1), Z 1p

1 − x2 dx

−1

Z 1

= −1

1 1 π f 0 (x) dx = f (1) − f (−1) = A(1) − A(−1) = . 2 2 2

11.2. Funciones trigonométricas

215

Dejamos como ejercicio probar que el área de un círculo de radio R es πR2 (y que la longitud de su circunferencia es 2πR). El número π tiene una historia milenaria, por lo que no es extraño que abunde el folklore en torno a él. Dos referencias interesantes son [B ERGGREN -B ORWEIN -B ORWEIN] y [D ELAHAYE]. Para obtener ahora el seno y el coseno, podemos proceder así: dado que A es biyectiva, existe su inversa, a la que llamamos S. Así, S aplica biyectivamente [−π/2, π/2] sobre [−1, 1] y es creciente. Como A0 no se anula en (−1, 1) resulta que S es derivable en (−π/2, π/2), con S0 (x) = 1

−π/2

π/2

−1 Gráfica de la función S (seno) en [−π/2, π/2]

p = 1 − S2 (x). De hecho, S es derivable también en los puntos ±π/2, ya que por la regla de L’Hospital 5.3.8 q S(x) − S(π/2) l´ım 1 − S2 (x) = 0 = l´ım S0 (x) = l´ım x − π/2 x→π/2 x→π/2 x→π/2 1 A0 (S(x))

y por tanto S0 (π/2) = 0, y análogamente S0 (−π/2) = 0. De modo que q S0 (x) = 1 − S2 (x) en todo el intervalo cerrado [−π/2, π/2]. p Sea C : [−π/2, π/2] → R la función derivada de S, es decir C(x) = 1 − S2 (x). Por el teorema 5.1.5 (regla de la cadena), si 1 − S2 (x) 6= 0, o sea si x ∈ (−π/2, π/2), tenemos −2S(x)S0 (x) C0 (x) = p = −S(x), 2 1 − S2 (x) y con la regla de L’Hospital es fácil ver que C0 = −S en todo el intervalo cerrado [−π/2, π/2]. Como, para cada n, las derivadas C(n) y S(n) son iguales a ±C o ±S, resulta que |C(n) (x)| ≤ 1 y (n) |S (x)| ≤ 1 para cada x ∈ [−π/2, π/2]. Por lo tanto C y S coinciden en todo el intervalo con su serie de Taylor-Maclaurin; es decir, S(n) (0) n x , n! n=0 ∞

S(x) =

∑

para todo x ∈ [−π/2, π/2]. Al ser S(0) = 0 y C(0) = suprimiendo los términos nulos, toman la forma (−1)n ∑ (2n + 1)! x2n+1 , n=0

C(n) (0) n x n! n=0 ∞

C(x) =

∑

p 1 − S2 (0) = 1, resulta que las series anteriores,

∞

S(x) =

(−1)n 2n x . n=0 (2n)! ∞

C(x) =

∑

216

Capítulo 11. Funciones elementales

Reencontramos las series de potencias conocidas en nuestra anterior definición del seno y el coseno, ambas con radio de convergencia +∞, y por tanto las funciones que definen en R extienden a S y C. De este modo cerramos el círculo, y podemos remitirnos a la sección anterior en cuanto se refiere a sus propiedades.

11.3.

Apéndice: el número π es irracional

La demostración de la irracionalidad de π que vamos a exponer se debe originalmente a Niven [N IVEN], y aparece en [H ARDY-W RIGHT, pág. 47], junto a una prueba similar de que log x es irracional para todo x racional positivo y distinto de 1. Teorema 11.3.1. π y π 2 son números irracionales. Demostración. Basta probar que π 2 es irracional. n n . Es claro que, si 0 < x < 1, Para cada n ∈ N, consideramos la función f dada por f (x) = x (1−x) n! tenemos que 0 < f (x) < 1/n!. Existen ciertos ck enteros tales que f (x) =

1 2n ∑ ck xk . n! k=n

f es un polinomio, y esta expresión es la serie de Taylor-Maclaurin de f , así que f (k) (0) = 0 si k < n k! ck es un número entero. ó k > 2n (de hecho, f (k) = 0 si k > 2n). Si n ≤ k ≤ 2n, entonces f (k) (0) = n! Como f (x) = f (1 − x), f y todas sus derivadas toman también valores enteros en x = 1. Supongamos que π 2 = ba , con a, b ∈ N, y lleguemos a una contradicción. Elegimos entonces n ∈ N n an tal que πa n! < 1 (podemos hacerlo, porque n! → 0). Para este valor de n tomamos f como hemos dicho, y definimos n

G(x) = bn ∑ (−1)k π 2n−2k f (2k) (x), k=0 0

H(x) = G (x) sen πx − πG(x) cos πx. Tenemos que H(1) = πG(1), H(0) = −πG(0), luego 1 1 G(1) + G(0) = H(1) − H(0) = π π

Z 1 1 0

π

H 0 (x) dx.

Pero H 0 (x) = G00 (x) sen πx + π 2 G(x) sen πx n

=b

n

!

n k 2n−2k (2k+2)

∑ (−1) π

f

k=0

k 2n−2k+2 (2k)

(x) + ∑ (−1) π

f

(x) sen πx

k=0

(teniendo en cuenta que f (2n+2) = 0) =b

!

n

n−1 n

k 2n−2k (2k+2)

∑ (−1) π k=0

f

k 2n−2k+2 (2k)

(x) + ∑ (−1) π

f

(x) sen πx

k=0

(hacemos el cambio j = k + 1 en el primer sumatorio) n

= bn

n

!

∑ (−1) j−1 π 2n−2 j+2 f (2 j) (x) + ∑ (−1)k π 2n−2k+2 f (2k) (x)

j=1

= bn π 2n+2 f (x) sen πx = π 2 an f (x) sen πx,

k=0

sen πx

11.3. Apéndice: el número π es irracional

217

ya que estamos suponiendo que bπ 2 = a. Es decir, Z 1

G(0) + G(1) =

πan f (x) sen πx dx.

0

De aquí se deduce que

an < 1, n! porque 0 < f (x) < 1/n! y 0 < sen πx ≤ 1 para cada x ∈ (0, 1). Sin embargo, tanto 0 < G(0) + G(1) < π

n

G(0) = bn ∑ (−1)k π 2n−2k f (2k) (0) = como

n

∑ (−1)k an−k bk f (2k) (0)

k=0

k=0

n

n

G(1) = bn ∑ (−1)k π 2n−2k f (2k) (1) = k=0

∑ (−1)k an−k bk f (2k) (1) k=0

son números enteros, y entonces G(0) + G(1) es un número entero del intervalo (0, 1). Esto no puede ser.

Retratos

Niels Henrik Abel (Nedstrand, Noruega, 1802 – Froland, Noruega, 1829)

Isaac Barrow (Londres, 1630 – Londres, 1677)

219

220

Capítulo 11. Retratos

Johann Bernoulli (Basilea, 1667 – Basilea, 1748)

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, 1781 – Praga,1848)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, Rusia, 1845 – Halle, Alemania, 1918)

Augustin Louis Cauchy (París, 1789 – Sceaux, Francia, 1857)

Retratos

221

Jean le Rond d’Alembert (París, 1717 – París, 1783)

Jean Gaston Darboux (Nimes, 1842 – París, 1917)

René Descartes (La Haye, Francia, 1596 – Estocolmo, 1650)

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, Imperio Francés, hoy Alemania, 1805 – Gotinga, Hannover,1859)

222

Capítulo 11. Retratos

Leonhard Euler (Basilea, Suiza, 1707 – San Petersburgo, 1783)

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 1601 – Castres, Francia, 1665)

Leonardo Pisano Fibonacci (Pisa, hacia 1170 – hacia 1250)

Galileo Galilei (Pisa, 1564 – Arcetri, Florencia, 1642)

Retratos

223

Jacques Solomon Hadamard (Versalles, 1865 – París, 1963)

Heinrich Eduard Heine (Berlín, 1821 – Halle, Alemania, 1881)

Christiaan Huygens (La Haya, 1629 – La Haya, 1695)

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Sacro Imperio Romano Germánico, hoy Alemania, 1571 – Ratisbona, hoy Alemania, 1630)

224

Capítulo 11. Retratos

Guillaume François Antoine, Marqués de l’Hospital (París, 1661 – París, 1704)

Joseph Louis Lagrange (Turín, 1736 – París, 1813)

Edmund Georg Hermann Landau (Berlín, 1877 – Berlín, 1938)

Henri Léon Lebesgue (Beauvais, Francia, 1875 – París, 1941)

Retratos

225

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1646 – Hannover, 1716)

Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (Königsberg, hoy Kaliningrado, 1832 – Bonn, Alemania, 1903)

Colin Maclaurin (Kilmodan, Escocia, 1698 – Edimburgo, 1746)

Isaac Newton (Woolsthorpe, Inglaterra, 1643 – Londres, 1727)

226

Capítulo 11. Retratos

Ivan Morton Niven (Vancouver, 1915 – Eugene, Oregón, 1999)

Giuseppe Peano (Spinetta, Italia, 1858 – Turín, 1932)

Alfred Israel Pringsheim (Ohlau, Baja Silesia, hoy Oława, Polonia, 1850 – Zúrich, 1941)

Joseph Ludwig Raabe (Brody, Imperio Austro-húngaro, hoy Ucrania, 1801 – Zúrich, 1859)

Retratos

227

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Hannover, 1826 – Selasca, Italia, 1866)

Brook Taylor (Edmonton, Inglaterra, 1685 – Londres, 1731)

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Ostenfelde, Westfalia, hoy Alemania, 1815 – Berlín, 1897)

William Henry Young (Londres, 1863 – Lausana, Suiza, 1942)

Bibliografía [A BELLANAS -G ALINDO]

Abellanas, L.; Galindo, A.: Métodos de cálculo. Serie Schaum, Mc Graw-Hill/Interamericana de España, Madrid, 1989.

[A POSTOL 1]

Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edición). Reverté, Barcelona, 1989.

[A POSTOL 2]

Apostol, T. M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté, Barcelona, 1991.

[BARTLE]

Bartle, R. G.: Introducción al Análisis Matemático (sexta reimpresión). Limusa, México, 1992.

[BARTLE -S HERBERT]

Bartle, R. G.; Sherbert, D. R.: Introducción al Análisis Matemático de una Variable. Limusa, México, 1990.

[B ERGGREN -B ORWEIN -B ORWEIN] Berggren, L.; Borwein, J.; Borwein, P.: Pi: A Source Book (segunda edición). Springer, Nueva York, 2000. [B IRKHOFF -M AC L ANE]

Birkhoff, G.; MacLane, S.: Algebra moderna. Teide, Barcelona, 1960.

[D ELAHAYE]

Delahaye, J. P.: Le fascinant nombre π. Pour la science, París, 1997.

[D URÁN]

Durán, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo. Alianza, Madrid, 1996.

[G ARAY-C UADRA -A LFARO]

Garay, J.; Cuadra, J. L.; Alfaro, M.: Una introducción al cálculo infinitesimal. (Ed. de los autores) Zaragoza, 1974.

[G ELBAUM -O LMSTED]

Gelbaum, B. R.; Olmsted, J. M. H.: Counterexamples in Analysis. Holden-Day, San Francisco, 1964.

[G RATTAN -G UINNESS]

Grattan-Guinness, I. (comp.): Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630–1910. Una introducción histórica. Alianza Editorial, Madrid, 1984.

[G UZMÁN]

Guzmán, M.: El rincón de la pizarra: Ensayos de visualización en análisis matemático. Pirámide, Madrid, 1996.

[H AIRER -WANNER]

Hairer, E.; Wanner, G.: Analysis by Its History. Springer, Nueva York, 1996.

[H ARDY-W RIGHT]

Hardy, G. H.; Wright, E. M.: An Introduction to the Theory of Numbers (quinta edición). Oxford University Press, 1978, rev. 2000.

[L AX]

Lax, P.; Burstein, S.; Lax, A.: Calculus with Applications and Computing. Springer, Berlín, 1976. 229

230

BIBLIOGRAFÍA

[L E L IONNAIS]

Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, París, 1983.

[M AOR]

Maor, E.: e. The Story of a Number. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1994.

[N IVEN]

Niven, I.: A Simple Proof that π is Irrational, Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947), página 509.

[O RTEGA]

Ortega, J. M.: Introducción al Análisis Matemático. Labor, Barcelona, 1995.

[R ÍBNIKOV]

Ríbnikov, K.: Historia de las Matemáticas. Mir, Moscú, 1987.

[ROSS]

Ross, K.A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berlín, 1980.

[S PIEGEL -A BELLANAS]

Spiegel, M.R.: Abellanas, L.: Fórmulas y tablas de matemática aplicada. McGraw Hill (colección Schaum), 1991.

[S PIVAK]

Spivak, M.: Calculus. Cálculo Infinitesimal (segunda edición). Reverté, Barcelona, 1990.

Índice de símbolos R

´ınf, 7

, 159 a , 121, 140, 158

RJb

Rb Rb a

,

a

l´ım, 39, 63, 68 l´ım inf, 55 l´ım sup, 55 log, 25 loga , 26

, 120

|a|, 6 [x], 8 kPk, 124 x=b , 138 x=a , 70 ∼, 59, 70

m´ax, 7 Mi , 119 mi , 119 m´ın, 7

arc cos, 28 arc ctg, 30 arc sen, 28 arc tg, 29 arg cosh, 32 arg ctgh, 32 arg senh, 32 arg tgh, 32

N, 1 o(g(x)), 101 π, 27 P([a, b]), 119 Pn,c, f (x), 100 Q, 3

cos, 26 cosec, 27 cosech, 32 cosh, 31 ctg, 27 ctgh, 32

R, 4 R+ , 144 R, 53 rang, 18 Rn (x, a), 104

D0 , 63 dom, 17

sec, 27 sech, 32 sen, 26 senh, 31 S( f , P), S( f , P), 119 ∑∞ n=m , 167 sup, 7

e, 24 exp, 24 f |S , 17 f 0 , 85 f 00 , 99 f (n) , 99

tg, 27 tgh, 32

Γ, 174 γ, 174

Z, 3 ζ , 174

Hn , 168 im, 18 231

Índice alfabético Apéry, 174 área, 27, 120, 122, 214 asíntota horizontal, 112 oblicua, 113 vertical, 112 axioma del supremo, 7, 8 axiomas de Peano, 2

de Dirichlet, 164, 178 de la integral, 172, 174 de la raíz, 172, 177, 187 de Leibniz, 175, 178, 194 de Pringsheim, 162, 174 de Raabe, 172 del cociente, 172, 178, 187, 193 logarítmico, 175 M de Weierstrass, 204 curva plana en coordenadas polares, 147 en forma explícita, 147 en forma paramétrica, 147

binomio de Newton, 13, 193 cambio de variable, 143, 145 de Euler, 154 para integrales impropias, 161 condición de Cauchy, 72, 198, 200, 204 para series, 171 de Lebesgue, 127 de Riemann, 124–127, 131–133, 144 conjunto acotado, 7, 10, 120, 129 inferiormente, 3, 7, 9, 10 superiormente, 7–10, 20 antiimagen, 18 cota inferior de un, 7, 122, 124, 129 cota superior de un, 7–9, 11, 122, 124, 129 derivado, 63 imagen, 18, 20, 23, 25, 27, 28, 31, 32, 145, 146, 206, 207, 210 ínfimo de un, 7, 8, 10, 54, 57, 68, 69, 75, 122, 124, 126, 138, 207 máximo de un, 7, 8, 57 mínimo de un, 7, 9, 57, 209, 210 supremo de un, 7–11, 54, 57, 68, 69, 75, 124, 126, 129, 138, 207 constante γ de Euler, 4, 174, 176, 180 criterio de Abel, 164, 178 de comparación, 162 por mayoración, 162, 171, 177 por paso al límite, 162, 171

densidad de los números irracionales, 9, 122 de los números racionales, 9, 122 derivada acotada, 92, 192 de orden n, 99, 102 de una función en un punto, 85, 87, 100, 111 por la derecha, 85 por la izquierda, 85 segunda, 99 desarrollo polinómico, 102 Descartes, 86 desigualdad de Bernoulli, 13, 41, 42 de Caouchy-Schwartz, 13 triangular, 7, 132, 177 triangular inversa, 7, 132 discontinuidad, 126 de salto, 79 evitable, 79, 160 entorno, 63, 65, 159, 190 reducido, 63, 65 Euler, 174 extremo absoluto, 91, 113, 143 233

234

ÍNDICE ALFABÉTICO relativo, 90, 91, 107, 108, 113, 143

Fermat, 86 fórmula ciclotómica, 12, 88 de adición, 27, 209, 210 de Cauchy, 104 de Cauchy-Hadamard, 187 de Lagrange, 104 de Stirling, 59 de sumación por partes, 178 de Taylor, 139, 192, 193 de Taylor-Maclaurin, 106, 145 de Taylor-Young, 105 función acotada, 20, 28, 29, 32, 66, 75, 119–124, 126–128, 130–135, 140, 161, 164 inferiormente, 20, 31 superiormente, 20, 161 algebraica, 24 arco coseno, 28 arco cotangente, 30 arco seno, 28, 194, 212 arco tangente, 29, 194 argumento coseno hiperbólico, 32 argumento cotangente hiperbólica, 32 argumento seno hiperbólico, 32 argumento tangente hiperbólica, 32 beta de Euler, 165 biyectiva, 18, 22, 23, 33, 179, 207, 214, 215 codominio de una, 17, 28, 37 cóncava, 109, 111, 113, 143, 144, 207, 212 continua, 73–80, 86, 89, 91–93, 96, 99, 101, 103, 126, 136–140, 142–145, 158, 160, 161, 191, 201–203, 207, 212 a trozos, 135 convexa, 109–111, 113, 143, 146, 206, 212 cosecante, 27 cosecante hiperbólica, 32 coseno, 26, 28, 193, 194, 205, 208, 210, 215, 216 coseno hiperbólico, 31 cota superior de una, 20, 75 cotangente, 27 cotangente hiperbólica, 32 de Dirichlet, 34, 73, 122 de Lipschitz, 93 derivable, 85–93, 95, 96, 99, 100, 103, 104, 108–112, 138–140, 142–144, 146, 161, 188, 202, 203, 206–208, 212, 215

derivable n veces, 99 derivada, 85, 95, 96, 103, 113, 139, 140, 161, 189, 194, 215 dominio de definición de una, 17, 18, 21– 23, 28, 37, 58, 64, 69, 73, 80, 85, 92, 93, 112, 144, 191, 201 elemental, 24, 58, 69, 85, 103, 143, 205 estrictamente creciente, 19, 23, 25, 27–29, 31, 32, 78, 93, 94, 143–146, 206, 207, 210, 212 estrictamente decreciente, 19, 25, 27, 28, 31, 78, 93, 143, 208, 210 estrictamente monótona, 77, 78, 89, 96 exponencial, 24, 31, 42, 146, 181, 193, 194, 205–208 exponencial de base a, 25, 208 extensión continua de una, 81, 135, 160 gamma de Euler, 165, 174 gráfica de una, 19–21, 86, 92, 109–112, 120, 122 hiperbólica, 31 hiperbólica inversa, 32 identidad, 18, 23, 73, 121 impar, 21, 26, 28, 29, 31, 32, 112, 144, 208, 212 integrable, 121, 125–128, 130–135, 157, 160, 201 integrable en sentido impropio, 158–160, 164 inversa, 18, 23, 25, 28–30, 32, 78, 88, 89, 144, 145, 206–208, 215 inyectiva, 18, 23, 25, 28, 78, 88, 144, 146, 206, 207, 210 localmente integrable, 157–159, 161, 162, 164 logarítmica, 25, 142, 144, 194, 205–208 logarítmica de base a, 26, 208 monótona, 19, 79, 125, 137, 158, 164 a trozos, 135 no creciente, 19, 69, 93, 111, 137, 172 no decreciente, 19, 68, 93, 110, 137, 161 no negativa, 137, 161, 162 par, 20, 26, 31, 112, 144, 208 periódica, 21, 27, 112, 209, 210 primitiva, 96, 138, 142–144, 159, 190, 212 promedio integral de una, 136 racional, 23 real de variable real, 17 restricción de una, 17, 19, 23, 28–30, 32, 81, 210

ÍNDICE ALFABÉTICO secante, 27 secante hiperbólica, 32 seno, 26, 28, 193, 194, 205, 208–210, 215, 216 seno hiperbólico, 31 suprayectiva, 18, 144 tangente, 27 tangente hiperbólica, 32 trascendente, 24 trigonométrica, 26, 208, 212 trigonométrica inversa, 28, 212 uniformemente continua, 79–81, 92, 125 zeta de Riemann, 174, 181 funciones composición de, 22, 74 equivalencia de, 70, 103, 145 Galileo, 86 Huygens, 86 infinitésimo, 116 integración por partes, 139, 163 para integrales impropias, 161 integral, 121 de Riemann, 160 impropia, 157, 158, 160 absolutamente convergente, 163 condicionalmente convergente, 164 convergente, 158, 160–165, 172 divergente, 158, 161, 162 oscilante, 158 inferior, 120–122, 124 superior, 121, 122, 124 intervalo, 10, 27–30, 32, 46, 77, 78, 80, 81, 85, 89, 91–93, 95, 96, 99–101, 103, 104, 108–112, 114, 139, 142, 143, 158–162, 164, 192, 193, 197, 201–203, 209–211, 215, 217 cerrado y acotado, 75, 80, 119, 121–123, 126, 133, 134, 136, 137, 142, 143, 157 de convergencia, 186, 187, 191 Kepler, 86 Lebesgue, 202 Leibniz, 119 lema de Abel, 191, 194 límite a través de sucesiones, 64, 66, 67, 72, 98 de oscilación, 57

235 de una función, 63, 66, 70, 72, 79, 97, 103, 112, 160, 161 de una sucesión, 39, 40, 42–44, 46, 50, 53, 55, 57, 145, 168 en el infinito, 65 inferior, 55, 57 infinito, 65 lateral, 68, 135 por la derecha, 68, 69 por la izquierda, 68, 69 superior, 55, 57, 187 unicidad del, 40, 64 máximo absoluto, 75, 91, 136, 143 relativo, 90, 107, 111 relativo estricto, 90, 108 mínimo absoluto, 75, 91, 95, 136, 143 relativo, 90, 107 relativo estricto, 90, 108 Newton, 86, 119 Niven, 216 número e, 4, 24, 42, 106 entero, 3 irracional, 9, 34, 174, 216 natural, 1 π, 4, 27, 209, 214–216 racional, 3, 34, 174 real, 4 trascendente, 24, 27 o pequeña de Landau, 101 orden de infinitud, 69 parte entera de un número real, 8, 24 partición de un intervalo, 119, 120, 122, 124, 126–129, 131, 133–135, 138 norma de una, 124 polinomio, 23, 24, 59, 69, 101, 180, 181, 216 de Taylor, 100, 105, 189 principio de inducción, 2, 3, 42, 100, 134, 135, 139, 146, 178, 190, 209, 210 completa, 2, 76 proceso diagonal de Cantor, 39 propiedad arquimediana, 8, 9, 39, 40, 42 de los valores intermedios, 10, 77, 95 punto aislado, 73

236

ÍNDICE ALFABÉTICO crítico, 91 de acumulación, 63, 65–68, 70–73, 96, 112, 210 de inflexión, 111–113, 143 fijo, 77 interior, 90, 91, 93, 96, 108, 111

radio de convergencia, 186–191, 193, 205, 208, 216 raíz, 23, 77, 213 rama parabólica, 113 recta ampliada, 53 recta tangente, 86, 92, 110–113 regla de Barrow, 138–140, 143, 214 para integrales impropias, 161 de L’Hospital, 96, 99, 100, 103, 143, 215 de la cadena, 88, 142, 215 de Leibniz, 114 del sandwich, 46, 49, 56, 57, 65, 71 representación binaria, 11 decimal, 11 hexadecimal, 11 resto de Taylor, 104, 105 serie, 167 absolutamente convergente, 177, 179, 180, 186 alternada, 175 aritmético-geométrica, 180 armónica, 168, 180 alternada, 176, 177, 181 binómica, 193 carácter de una, 168 condicionalmente convergente, 179 convergente, 167, 169–171, 177, 178 de funciones, 199 absolutamente convergente, 204 convergente puntualmente, 199 suma parcial de una, 199, 204 término n-ésimo de una, 199 uniformemente convergente, 201, 202, 204 de potencias, 185, 205, 208 coeficiente n-ésimo de una, 185 desarrollo en, 187 de Taylor, 191 de Taylor-Maclaurin, 194, 215, 216 de términos equivalentes, 172

de términos no negativos, 171, 172, 174, 175, 179, 204 divergente, 168 geométrica, 168, 178, 180, 185, 186 hipergeométrica, 180 incondicionalmente convergente, 179, 180 logarítmica, 174 oscilante, 168 racional, 180 reordenación de una, 179, 180 suma de una, 168, 180 suma parcial de una, 167–171, 174, 175, 178, 180, 181, 189 telescópica, 169, 180 término n-ésimo de una, 167 subsucesión, 47, 48, 50, 57 convergente, 48, 80 divergente, 50 monótona, 48, 57 sucesiones equivalencia de, 59, 70 sucesión, 22, 37, 63, 64, 66, 67, 71, 74–76, 98, 167, 178 acotada, 41, 43–45, 48, 49, 80, 178, 186– 188 inferiormente, 41, 51, 55, 57, 77, 173 superiormente, 41, 42, 46, 51, 55, 57, 77, 171, 175 aritmética, 38 convergente, 39–41, 43, 44, 46, 48, 49, 53, 56, 145 de Cauchy, 49, 72, 81, 171 de Fibonacci, 38 de funciones, 197–199 campo de convergencia de una, 197 convergente puntualmente, 197 límite puntual de una, 197 término n-ésimo de una, 197 uniformemente convergente, 199–204 divergente, 49–53 estrictamente creciente, 41, 42, 47, 50 estrictamente decreciente, 41 geométrica, 38 monótona, 41, 50, 178 no creciente, 41, 55, 77, 173, 175 no decreciente, 41, 42, 46, 55, 77, 171, 178 oscilante, 49, 57 recurrente, 38 término n-ésimo de una, 37

ÍNDICE ALFABÉTICO suma de Darboux, 119, 122 de Riemann, 128, 129 inferior de Darboux, 119 superior de Darboux, 119 teorema de Bolzano, 76, 77, 210 de Bolzano-Weierstrass, 48, 49, 75 de Cantor de los intervalos encajados, 46, 48 de Darboux, 77, 136, 147, 211 de Dirichlet, 180 de Heine, 80, 81, 126 de la media del cálculo integral, 136 de la media del cálculo integral, segundo, 137 de Riemann, 180 de Rolle, 91, 92, 96–98 de Taylor, 104, 191 de Taylor-Young, 100–103, 108 de Weierstrass, 75, 91, 95, 126, 136 del valor medio, 92, 93, 105, 110, 137, 138 del valor medio generalizado, 96–98, 105 fundamental del cálculo integral, 140, 142– 144, 160, 203, 205, 213 valor absoluto, 6, 18, 23, 52, 53, 55, 73, 92, 168, 189 valor asintótico, 79

237