Teoria de Exponentes 1 de Secundaria

Matemática Primero de Secundaria

Capítulo 1: Leyes de Exponentes

ÁLGEBRA 1

203

Álgebra 1

CONTENIDOS Capítulo 1: ................................................................................................................ Leyes de Exponentes Tema 1: Potenciación Tema 2: Radicación

205

Capítulo 2: ................................................................................................................ Expresiones Algebraicas Tema 3: Expresión Algebraica Tema 4: Multiplicación, División y Potenciación con Expresiones Algebraicas

215

Capítulo 3: ................................................................................................................ Valor Numérico Tema 5 : Valor numérico

225

Capítulo 4: Polinomios Tema 6: Tema 7: Tema 8: Tema 9: Tema 10:

231

................................................................................................................ Polinomios Grado de un Polinomio Polinomios especiales Adición y sustracción con Polinomios Multiplicación con polinomios

Capítulo 5: ................................................................................................................ Productos Notables Tema 11: Productos Notables

249

Capítulo 6: ................................................................................................................ Factorización Tema 12: Factorización Tema 13: Casos especiales de factorización

255

Capítulo 7: Ecuaciones Tema 14: Tema 15: Tema 16:

................................................................................................................

263

Capítulo 8: Inecuaciones Tema 17: Tema 18: Tema 19:

................................................................................................................

Resolución de Ecuaciones Clases de ecuaciones Resolución de problemas aplicando ecuaciones 275

Desigualdad Intervalos Inecuaciones

Capítulo 9: ................................................................................................................ Funciones Tema 20: Funciones

204

289

Matemática Primero de Secundaria

Capítulo 1: Leyes de Exponentes

LEYES DE EXPONENTES Tema 1: Potenciación Tema 2: Radicación

Razonamiento y Demostración

Comunicación Matemática

- Halla potenciaciones y radicaciones. - Reconoce las definiciones básicas de la potenciación . - Aplica los teoremas básicos de la potenciación y radicación

- Representa en forma simbólica las definiciones básicas de la potenciación. - Representa en forma simbólica los teoremas de la potenciación y radicación.

Resolución de Problemas

- Resuelve operaciones aplicando las definiciones y teoremas de la potenciación y la radicación.

«Con respecto a los exponentes, el primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x2, lo escribía como 52». «En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viéte en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x2 lo escribía como 5xii. Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como muchos hasta entonces, x2 como xx». (www.espsilones.com- origen de los signos matemáticos)

205

DESCARTES

Álgebra 1

TEMA 1: Potenciación Potenciación .................................................................. 2. Exponente uno Todo número elevado a la unidad es igual al mismo número. En forma simbólica:

Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base (a) por sí mismo varias veces como lo indica el exponente (n). El resultado de la operación se llama potencia(P).

a1  a Ejemplos:

En forma simbólica la potenciación se representa así:

Potencia  P  a n  exp onente  base

 61  6

 y1  y

a  n 

 (7) 1  7

 x1  x

P 

3. Exponente negativo Cuando el exponente es negativo, se invierte la base(diferente de cero) y el exponente se vuelve positivo. En forma simbólica:

Ejemplos:

 5 3  5  5 5  125 3 veces

an 

 (2) 4  ( 2)(2)( 2)(2)  16  4 veces

  3 4   3  3  3  3  81

1 ;a  0 an

Ejemplos:

4 veces

1 3 1  5 2  2 5  3 1 

Definiciones básicas Entre las definiciones básicas de la potenciación tenemos: 1. Exponente cero Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a la unidad. En forma simbólica:

 1 K  3 5    2 1

 7 0 1

0

3  1 + 4

0

 (5) 0  1

 (3)  1

  5 0 1

 6 01

 0 

Ejemplo:  Analice el desarrollo de la siguiente  operación:

Ejemplos:

0

 x 3

Aplicación de las definiciones básicas

a0  1, a  0

 40 1

1 y2 1  3 x

 y 2 

2

 (3  2) 0  1

+ 6

206

2

Matemática Primero de Secundaria

Capítulo 1: Leyes de Exponentes

Teoremas Principales .................................................................. Entre los teoremas principales de la potenciación tenemos: 1. Producto de Bases Iguales El producto de varias potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes. En forma simbólica:

am .an  amn

 (2  3) 5  2 5  35  (a  b)4  a 4  b 4  (5  6) 9  5 9  6 9

4. Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes En forma simbólica: m n

a 

Ejemplos:

 am.n

Ejemplos:

 2 4  25  2 4  5  29  a 6  a 8  a 6  8  a14

 ((2) 3 ) 5  2 3 5  215

 38  3 4  38 4  312

 (( a ) 4 ) 5  a 4  5  a 20

2. Cociente de Bases Iguales El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. En forma simbólica:

am  amn , a  0 n a

9

 7a2  (7)9 (a 2 )9 79 a18     9  6  6 69  

 27  25  275  22  4

Aplicación

 a16  a8  a168  a8 

3

3

n

an a  ,b  0   bn b

Ejemplos:

Ejemplos:

10

5. Potencia de una fracción La potencia de una fracción es igual al numerador y denominador elevados al mismo exponente. En forma simbólica:

 Analice el desarrollo de la siguiente  operación:

 3103  37

3

M 

3. Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. En forma simbólica:

M

215

2 12 2

M

(a.b) n  a n .b n

(23 ) 4  25



25

15

2 17 2 15

M 22  M  4

Ejemplos: 207

Álgebra 1

30 veces  a  a  ...  a 1. Simplificar: N  2 5 (a )  aa .... a

4. Si x x  3 , halle el valor de: 2 x 1 M  xx Resolución:

19 veces

Resolución:

Descomponiendo M buscando expresiones del tipo xx, para reemplazarlos por su valor y reducir.

Escribiendo en forma de potenciación y aplicando sus propiedades.  Entonces:

N

a 10

a N

 Entonces:

30

M  xx

 a19

a30

2x 1

Recuerda: a m n  a m .a n

2x 1 M  x x .x

a 29 N a

M  x x.x 2

2 ( x)2 M  (xx ) x  (3)3  M  39

2

2. Reducir: E   1    1   34 0 3  4 Resolución: Primero se desarrollan las operaciones en el interior de la raíz y luego se reduce.  Entonces: 2

5. Simplificar: T 

1

E  (3)  (4)  3

n

5 5 5n

T  T 

n 1

T 

Resolución: n+1

n

Hay que descomponer 5 en 5 .5 luego se factoriza 5n y se simplifica

T 

(2 2  3)12  (2  3) 2  52 (23 )8  (5  2) 2  310 2 2 12  312  2 2  32  5 2 238  5 2  2 2  310 2 24  312  2 2  32  5 2 2 24  5 2  2 2  310 312  2 10

3

 Entonces:

5n  5n 1 5n 5n  5n.51 L 5n 5n (1  5) L 5n L 1 5 L6

1212  62  52 88  102  310

 Aplicando las propiedades:

 1  2     (4) 2  16  4

E  25  3 E  53 E2

3. Simplificar: L 

T

 1  2     (3) 2  9 3 

E  9  16  3

1212  62  52 88  102  310

Resolución:  Descomponiendo las bases en primos.

Recuerda: 2

2x

L

Recuerda: a  ab  a(1  b)

208

 314 10  34  T  81

números

Matemática Primero de Secundaria

Capítulo 1: Leyes de Exponentes

1. Reducir los siguientes ejercicios: 1) T 

2)Q 

3) E 

4)Q 

15 veces

43  102 52  82

32 veces    4 4 ( x )( x )...( x 4 ) M 3 3 ( x )( x )...( x 3 )   42 veces 4. Simplificar:

8 2 .5 4 .6 3 1 0 4 .2 5 .3 3

410  312  211 6

C 

5

9  4

2 8 .2 4 310 .3 7  2 9

E

3x  4.5 x1 7) S  15x .27

(a3 )5  a a ....  a

2

1 R    13 

2

1    12 

K

3n  3n1 3n



4n  42n 4n (1  4n )

8. Si x x  2 , halle el valor de: N  x2 x  x x

2n3  2n 12) H  n1 2  2n

2x 1

9. Simplificar: 2

1 1 1       3 2 5 13)V    1 1 1 1      3 2

1

P

5 4  3 7  210 6 7  53

10.Simplificar:

2

1 1     6 8 14) A   2   2 1 1      3 4

L

209

2n3  2n 2 2n

02

 43

7. Simplificar:

7n  7n 2 7n 1  7n

2

o

 aa

6. Reducir:

2

20 veces  a  a  ...  a 10) R  ( a 4 )5

1

40 veces   a  a  ...  a

24 veces

6n  2n 4 9)P  n  3 1 2n

11) I 

5n 2  5n  (3 4 ) 0 24

n

5. Simplificar:

( x 2 ) 3 ( x 4 .x ) 6) A  ( x.x 2 ) 2

 ( x3 .x ) 2 .x  8)G  x.( x 2 ) 4

B A

3. Reducir:

252  83

20

6 veces

nente de x en

164  1002

2 5) L 

3 2. Si A   x.x .... x 3 .x .... x 3 , hallar el expox ; B  

Álgebra 1

TEMA 2: Radicación Radicación .................................................................. La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

n

En forma simbólica la radicación se representa por: n

a  b  bn  a

n   n  2



1 16 4

 4 16  2



2 27 3





3 m5



3

5

27 2 

1. El radicando (a) es cualquier número dado del que deseamos hallar la raiz.

Ejemplos:



3



9  4  9  4  3 2  6



16  81  16  81  4  9  36

3. Raíz de un cociente El signo radical se reparte tanto para el numerador como para el denominador del radicando. En forma simbólica se representa por: n

27  3  (3)3  27

a  n am

n

a b

n>0

210



25 25 5   16 16 4

a  m. n a

Ejemplos:

Ejemplos:

b0

4. Raíz de una raíz La raíz de una raíz es igual a un radicando cuyo índice es igual al producto de los índices de los signos radicales. En forma simbólica se representa por: m n

m n

n

a a a   16 4 16



1. Exponente Fraccionario El denominador del exponente se convierte en índice y el numerador en exponente de la base. En forma simbólica se representa por:

a  b

Ejemplos:

Teoremas de la Radicación .................................................................. Entre los principales teoremas de la radicación tenemos:

ab  n a  n b

Ejemplos:

81  9  92  81



 32  9

2. Raíz de un producto El signo radical se reparte para cada uno de los factores que forman el radicando. En forma simbólica se representa por: n

3. La raíz (b) es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.

2

m3

Elementos de la radicación

2. El indice radical (n) indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.

 3 27 



3

a  32 a  6 a



35

m  35 m  15 m

Matemática Primero de Secundaria

Capítulo 1: Leyes de Exponentes

 Igualando exponentes: 1 1 5   a 1  a  2 6 3

1. Reducir la siguiente expresión: 1 1 H  492  83 Resolución:

4. Simplicar la expresión:

En este tipo de ejercicios se debe empezar el desarrollo por el exponente de arriba hacia abajo.

3n 1  3n  2  3n 11 Resolución: T n

 Hallando el valor de cada sumando: 1 1 -1 2 2 2 49 = 49 = 49 = 7

3

8

1 3

-1

=8

1 3

Descomponiendo las potencias de 3 y luego factorizando 3n.  Entonces:

=

3

8 =2

 Entonces en H tenemos: H = 7 + 2 H = 9

2. Simplificar la siguiente expresión: m 2  3 3 m3  2 4 m 4

L

3n (31  32  1) 11

T n

3n (3  9  1) 11

T n

3n (11) 11

n

T  3n 

4m 2 Resolución: Aplicando el teorema:

n

n

T 3

5. Si: a . b  3 , halle el valor de la expresión:

n n

a a a

K  4 a a2  4 b2 Resolución:

 Entonces: L

T n

m  3m  2m

Dando Forma a K, y encontrando una relación parar reemplazar la condición y hallar su valor.

4  m2 6m L  L3 2m

 Entonces:

3. Si se cumple: x x  x , determine el valor de a. Resolución: Aplicando exponente fraccionario y luego igualamos los exponentes de x. 3

a 1

3

1 2 6

x  x a 1

x . xx 1

x

4

K  aa

1

2  b4

1  b2

4

2

K

2 a4

 b

K

1 a2

 b

a 1

x 2 .x 6  x a 1 1 1  2 6

a

K a

 Entonces:

x.

K  4 a a2  4 b2

K a b K 3

 x a 1 211

Álgebra 1

1. Reducir la siguiente expresión: 2 1 1 K  643  1002  83

a  5 b , hallar Q  4 a .

9. Si

a b2

10. Simplifica: 2. Simplificar la siguiente expresión: 4

G

3

6

4

2 Q  54

8

6 m  4 m 5 m

1

4m4  9m4

 1  4 2    2

1

11. Simplifica: 3 3

3. Si se cumple: valor de a.

x x x

x

a,

determine el U  125

4. Si: a . b  2 , halle el valor de la expresión:

M  12 a5 a2  4 b b2

 1   9

-1 -1 2  1 2  

 4 4

48 veces  x . x ... x 5 5   x . x ... 5 x , hallar «n» 12. Si 3 3 3 x . x ... x n veces  42 veces

5. Simplicar la expresión: 13. Si P  x x x x , halle el exponente final de x.

5n 1  5n  2  5n H n 29

14. Simplificar:

6. Reduzca las siguientes operaciones 1) F  25 3

2)

2 1

 16

41

H 

m3  4 m 4  5 m5 m

3) M 

16.Si A  94

M 

12

1  4 

3

2 1

2 a 1  3.3b 2

y B  254

2 1

A B

17.Halle el valor de verdad de:

x4 m  x 2m 6) P   x 4m 2m x

 25   4  7) F    .    x   x

2 a  3b 1 

N 

x . x3 3 x . 3 x5  x x

1 2

1  2n  3n 3n  6 n  32 n

15. Reducir:

1 1 4)G  362  492

 5) H   3  

n

I. II .

1 2

1 814

9

 62  36

III . 05  1 0

7. Si

a . b  2 , halle el valor de B  3 ab . 3 2

8. Si

a a  3 , hallar J  b 81.b 212

 1  IV .    1  2 

, halle:

Matemática Primero de Secundaria

Ejercicio 1.- Simplificar: T  A) 1

B) 2

C) 3

Capítulo 1: Leyes de Exponentes

6 5 .4 3.5 2 10 2 .8 3 .3 5 D) 4

Ejercicio 6.- Si x x  4 , halle x. A) 2 B) 1 D) 4 D) 8

Ejercicio 2.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es mayor? A) -23 B) (-2)3 C) (-2)2 D) -(-2)2

Ejercicio 7.- Si x x 1  8 , halle el valor de:

0 Ejercicio 3.- Si: A  (26 )5 y

Ejercicio 8.- Halle el valor de:

x 1 A) 2

1

34 B  (8 0 ) 2 , halle A + B. A) 2 B) 65 C) 64

B) 1

1

1 1 1       2 3 4

D) 63

A) 3

B) 1

D) 8

1

D) 4

D) 5 3

Ejercicio 4.- Reducir:

46  78 0 4 23  30 C) 15/4 D) 16/3

Ejercicio 9.- Halle: M 

25 36 47 58    24 35 46 57 B) 2 C) 3 D) 4 S

A) 1

D) 4

A) 11/3

B) 6/5

Ejercicio 10.- Reducir: 1

1

1

6 2 3 32 C) 3 D) 2

Ejercicio 5.- Reducir: R  A) 9

B) 7

102  112  122  132  142 365 A) 5 B) 1/2 C) 3 P

Ejercicio 11.- Si x x  2 , halle:

Ejercicio 13.- Simplificar: N 

P  x2 x  x x  1 A) 5 B) 7

A) 5 C) 9

Ejercicio 12.- Simplificar: F  A) 90

B) 70

C) 80

B) 7

C) 9

D) 2

3x 2 .5 x 3 15 x.125 D) 1

D) 1

2 12 .5 8 .310 5 7 .310 .2 8 D) 20

2n  2n 1 2n C) 3 D) 2

Ejercicio 14.- Reducir: N  A) 8

213

B) 7

Álgebra 1

Ejercicio 15.- Simplificar:

2 Y  34 A) 16 D) 13

1

2  24

Ejercicio 18.- Simplificar:

1

B) 15

 2  n  3   n  n       3  3   2   R 2n A) 6 B) 2 C) 4

C) 14

D) 3

Ejercicio 16.- Halle el valor de: 3 Q  227

1

A) 17 D) 18

Ejercicio 19.- Halle el valor de x.

2 1  34 B) 15

x x x  37 / 8 A) 5 B) 2

C) 14

A) 1

B) 2

C) 4

D) 5

Ejercicio 26.- Simplificar:

Ejercicio 21.- Simplicar la expresión:

2n 1  2n  2  2n 5 B) 2 C) 3

x 1

G  xx A) 3

2

100 2 2 T     2 2     16 5 3 A) 1/7 B) 5/2 C) 1/4 D) 1/8

F n

D) 3

Ejercicio 20.- Si xx = 2, halle el valor de:

Ejercicio 17.- Simplificar: 2

C) 4

15 6 .12 4 .5 9 .6 3 10 11.313 .5 4 A) 1 B) 2 M 

C) 3

D) 4

D) 4 Ejercicio 27.- Simplificar:

Ejercicio 22.- Si ab  3 , halle el valor de: T  (a2b )

A) 1

1

 1  2  5  2    3  1  3 G         3       8    5   2  

(ab 1)1

A) 4 B) 2

C) 3

B) 3

C) 2

1

D) 1

D) 4 Ejercicio 28.- Simplificar:

24 25 Ejercicio 23.- Sea: A  23 y B  23 , ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? A) A = B B) A > B C) A < B D) A - B = 1 Ejercicio 24.- Simplificar:

2 3 3 (23 )3 .(34 )4 .(10)2 D 2 2 89 .818 .102  2 A) 100 B) 200 C) 300

 E

5

3

25

  5  15

3

25

3

5. 5 125 A) 1 B) 5 C) 25 Ejercicio 29.- Reducir: n 3n  4 n 1 2n  2   n 5 27 8 A) 1 B) 2 C) 3 Ejercicio 30.- Simplificar:

 

P  n 1

D) 400

Ejercicio 25.- Si 2n + 3n = a, halle: L= 4n + 9n + 2.6n A) a B) a2 C) a3 D) a4



Q

D) 125

0

D) 4

52 factores  13 a .13 a .13 a .....13 a 7 5

5 a.5  a . a .... 5  a  35 factores

A) a6 214

B) a4

C) a5

D) a3