Teoria de Errores,Taylor , Convergencia de Sucesiones
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METODOS NUMÉRICOS
V.CONTRERAS TITO
MÉTODOS NUMÉRICOS Profesor: Vladimiro Contreras Tito INTRODUCCIÓN El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. Los métodos numéricos surgen de la necesidad de métodos alternativos de solución de problemas matemáticos. Pero ¿qué obliga a desarrollar esos métodos alternativos de solución? Primero no todos los problemas matemáticos que se presentan son susceptibles de abordarse mediante métodos analíticos. Por ejemplo, el calcular:
2
1
2
e x dx ; segundo, no siempre se
dispone del tiempo – paciencia suficiente para buscar hasta encontrar una solución analítica – elegante. Por ello los métodos numéricos son apreciados como valiosa herramienta en las fases tempranas de una investigación. Así, el objetivo de estudio del análisis numérico es la construcción y valoración de métodos numéricos de solución de problemas que tienen como resultado un valor numérico. El método numérico es la regla que mejora la aproximación; pero, ¿qué tan buena es esa regla? El análisis numérico no solo construye la regla, sino que además analiza que tan buena es. FUENTES DE ERROR Como se trabaja con datos experimentales surgen las siguientes fuentes de error: a) Las que surgen de los datos iniciales, debido a la imperfección de las mediciones. b) La naturaleza infinita de los números reales y la posibilidad de trabajarlos solo en forma finita, ya sea por la capacidad de la calculadora o computadora. c) Todo proceso numérico debe ser un proceso finito, a pesar de que se usa concepto matemático infinito como el concepto de límite o de una serie infinita como el concepto de límite o de una serie infinitivo. Luego este proceso infinito se corta o se trunca lo que da lugar a un error conocido como error de truncamiento o error del método. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO Cifras significativas El concepto de cifras significativas o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno estimado.
Por ejemplo en el velocímetro de la figura, el auto viaja a 48,8 km/h aproximadamente. Se muestra en la lectura hasta 3 cifras significativas para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48. Por convención al dígito estimado se le da el valor de la mitad de la escala
1
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menor de división en el instrumento de medición. Así la lectura del velocímetro consistirá de las 3 cifras significativas: 48,5. En el odómetro se tiene 7 cifras significativas, 6 seguras y una estimada, la escala es 0,1 87324.45 Ejemplo 1. Los números: 1234,45 tiene 6 cifras significativas 1002,5 tiene 5 cifras significativas 0,000456 tiene 3 cifras significativas 300,00 tiene 5 cifras significativas NOTA: Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está escrita en notación científica. 2. ¿Cuántas cifras significativas tienen el número: 45300? Puede tener tres, cuatro o cinco dígitos significativos, dependiendo de si los ceros se conocen o no con exactitud. La incertidumbre se puede eliminar utilizando la notación 4 4 4 científica, donde 4.53 x 10 , 4.530 x 10 , 4,5300 x 10 muestran respectivamente que el número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas. Los números 0,00452 ; 0,000452 ; 0,0000452 tienen tres cifras significativas EXACTITUD Y PRECISIÓN La exactitud, se refiere a qué tan cercano está el valor calculado medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano se encuentran unos de otros, diversos valores calculados o medidos. La inexactitud (o sesgo) se define como una desviación sistemática del valor verdadero. La imprecisión (o incertidumbre) se refiere a la magnitud en la dispersión.
ERROR DEL CÁLCULO Definición. Sea X el número real exacto y X* una aproximación de X entonces se define: ΔX ; x0 El error absoluto como: ΔX =| X - X* | y el error relativo como: ε x = | X| El error absoluto no es más que la distancia entre el valor exacto y el valor aproximado; mientras que el error relativo mide el error entendido como una porción del valor exacto. El conocer el error relativo nos permite indicar la medida de cercanía dentro de la misma presentación de la cantidad aproximada, usando la idea de los dígitos significativos o cifras exactas. Ejemplos Hallemos los errores absoluto y relativo en los siguientes casos: 1. Sean x = 3,141592 y x* = 3,14 el valor aproximado, entonces
2
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ΔX =| X - X* |= 0,001592 εx =
Δx
=
|x|
0,001592
= 0,000507
3,141592
No hay mucha diferencia entre x y x ; cualquiera de los dos se puede usar para determinar la precisión de x*. 2. Sean y = 1000000 , y* = 999996 entonces Δy =| y - y* |= 4 εy =
En
Δy |y|
4
=
= 0,000004
1000000
este caso y > y ; luego y* será posiblemente considerado como una buena
aproximación a y. 3. Sean z = 0,000012 y z* = 0,000009 entonces Δz =| z - z* |= 0,000003 εz =
Δz
= 0,25
|z|
En este caso observemos que z es del orden de magnitud de 10-6 y z< z . Notemos que
z en términos de porcentaje, es de un 25%, por lo que z* se considera como una mala aproximación a z. Observemos que conforme |x| se aleja de 1 (creciendo o decreciendo), el error relativo x va siendo un indicador de la precisión de la aproximación mejor que el error absoluto x.
En la representación de punto flotante se prefiere trabajar con el error relativo ya que este está directamente relacionado con la mantisa. DEFINICIÓN. Se dice que el número aproximado x* se aproxima a x con k dígitos significativos, si k es el entero más grande no negativo, para el cual:
x
| x x* | 0,5 x 10-k 1 5 x 10-k | x|
Ejemplo Halle el valor de x* que aproxime a 1000000 con 6 cifras significativas. Solución Usando la última definición, x* debe cumplir con
|1000000 x*| 5 x 10-6 |1000000 |
de donde 999995 x* 1000005 . Esto es, cualquier valor de x * en el intervalo [999995 ,1000005] aproxima a 1000000 con 6 cifras significativas. Del ejemplo anterior: 1. Si = 3,141592 y x* = 3,14 entonces x = 0,000507 = 5,07 x 10-4 < 5 x 10-3. Por tanto, x* es una aproximación a x con 3 cifras significativas. -6 -6 2. Si y = 1000000 y y*=999996 entonces y = 4 x 10 < 5 x 10 . Por tanto, y* es una aproximación a y con 6 cifras significativas.
3
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3. Si z = 0,000012 y z*=0,000009, entonces z = 0,25 < 0,5 x 10 aproximación a z con 1 cifras significativo.
-1+1
. Por tanto z* es una
El concepto de cifras significativas o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Nota: Cuando se manejan cantidades “muy grandes” o “muy pequeñas” el error absoluto puede ser engañoso, mientras que el error relativo es más significativo en esos casos. ERROR DE REDONDEO Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Los números tales como ; 2 pueden ser expresados con un número de cifras significativas. Por tanto no se pueden ser representados exactamente por la computadora. Como las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas se llama ERROR DE REDONDEO. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN LA COMPUTADORA La unidad fundamental mediante la cual se representa la información se llama “palabra”. Esta es una entidad que consiste en una cadena de dígitos binarios o bits. NÚMEROS BINARIOS Forma desarrollada de 1563 en la base 10 (decimal) es: 1563 = 1 x 103 + 5 x 102 + 6 x 10 + 3 y en la base 2 es: 1563 = 110000110112 FRACCIONES BINARIAS Un número decimal R 0, d1d2 d3 ... se puede expresar en la base binaria como sigue:
R d1 21 d2 22 d3 23 ... Para hallar los valores de d i procederemos de la siguiente manera: Multiplicando a R por 2 se 1
tiene 2R d1 d2 2 d3 2 La parte entera de 1
2
...
2R es d1 , esto es, ent (2R) d1 y su parte fraccionaria es
2
d2 2 d3 2 ... . esto es, frac(2R) F1 d2 21 d3 22 ... . En forma similar obtenemos:
d k ent (2 Fk 1 ) Fk frac(2 Fk 1 ) Ejemplo Represente (0,7)10 en la base binaria. Solución R = 0,7 = d1x2-1 + d2x2-2 + ... 2R = d1 + d2x2-1 + d3x2-2 + ... 2R = 1,4 d1 = ent (1,4) = 1
F1 = frac (1,4) = 0,4
2F1 = 0,8 d2 = ent (0,8) = 0
F2 = frac (0,8) = 0,8
2F2 = 1,6 d3 = ent (1,6) = 1
F3 = frac (1,6) = 0,6
2F3 = 1,2 d4 = ent (1,2) = 1
F4 = frac (1,2) = 0,2
2F4 = 0,4 d5 = ent (0,4) = 0
F5 = frac (0,4) = 0,4
4
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2F5 = 0,8 d6 = ent (0,8) = 0
F6 = frac (0,8) = 0,8
(0,7)10 = 0,10110011001100… (0,7)10 = 0,10110
(2)
REPRESENTACION ENTERA Ahora que se ha revisado como los números de base 10 se representa en forma binaria, es fácil concebir cómo los enteros se representan en la computadora. El método más sencillo se denomina “método de magnitud con signo” y empieza el 1er. bit de una palabra para indicar el signo con un 0 para positivo y un 1 para el negativo. Los bits sobrantes se usan para guardar el número. Por ejemplo, el valor entero –173 puede guardarse en la memoria de una computadora de 16 bits como se muestra: (173)10 = (10101101)2
1
0
0
0
0
0
0
0
Signo
1
0
1
0
1
1
0
1
Número
RANGO DE ENTEROS Determine el rango de enteros de base 10 que pueda representarse en una computadora de 16 bits. Solución De los 16 bits, se tiene el 1er. bit para el signo. Los 15 bits restantes pueden contener los números binarios de 0 a 111111111111111. El límite superior se convierte en un entero decimal, así: 1 x 214 + 1 x 213 + ... + 1x 2 + 1 = 32767 (215 – 1 = 32767) así en una computadora de 16 bits una palabra puede guardar en memoria un entero decimal en el rango de –32767 a 32767. Además debido a que el cero está ya definido como 0000000000000000, seria redundante usar el número 1000000000000000 para definir “menos cero”. Por lo tanto es usualmente empleado para representar un número negativo adicional. Por lo tanto el rango es: –32768 a 32767. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO FLOTANTE Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando la forma del punto flotante. Con este método, el número se expresa como una parte fraccionaria, llamada MANTISA o SIGNIFICANDO, y una parte entera, denominada EXPONENTE ó CARACTERÍSTICA, esto es:
m.be donde m = mantisa, b = la base del sistema de numeración y e = exponente. Por ejemplo, el número 156,78 se representa como 0,15678 x 103 en un sistema de base 10 de punto flotante. 3 El número de punto flotante de x se representa por fl(x). así fl(156,78) = 0,15678 x 10 .
5
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En general para hallar fl(x) para una aritmética de t dígitos se siguen los siguientes pasos: 1. Si x no está en el conjunto de números que se pueden representar en una máquina dada (esto es un conjunto finito), se le representa en la forma: a 10 en donde | a | 10 b
1
y la
representación decimal de | a | está dada por:
| a | 0, 1 2 ...t t 1... tal que 0 i 9 , i 2,3,... , 1 0 2. Se elige a fl(x) como:
0, 1 2 ... t a* t 0, 1 2 ... t 10
si t 1 4 si t 1 5
Por lo tanto fl(x) = signo (x) a * 10
e
Resumiendo un número de punto flotante de t dígitos en base b tiene la forma:
x (0, d1d 2 ...dt )b . be MANTISA
Tal número de puntos flotantes se dice normalizado en el caso:
d1 0
y
0 di b
;
i 2,..., t
Ejemplo Si t = 4 dígitos significativos entonces: fl(0,029411765 ...) = 0,2941 x 10-1 fl(3,13161) = 0,3132 x 10+1 fl(-1,97631) = -0,1976 x 101 La consecuencia de la normalización es que el valor absoluto de m queda limitado. Esto es:
1 m 1 b donde b es la base. Por ejemplo, para un sistema de base 10, m estaría entre
1 y 1; y 10
para un sistema de base 2, entre 0,5 y 1. CONJUNTO HIPOTÉTICO DE NÚMEROS CON PUNTO FLOTANTE Ejemplo Determine un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda información usando palabras de 7 bits. Emplee el 1er. bit para el signo del número, los siguientes 3 para el signo y la magnitud del exponente y los últimos tres para la magnitud de la mantisa. Solución El número positivo más pequeño posible se representa como: 21 2° 2-1 2-2 2-3 0 1 1 1 1 0 0 Signo del Nº
signo del exponente
magnitud del exponente
magnitud de la mantisa
La magnitud del exponente es: e 1 2 1 2 3 y su signo es negativo. Así, el número positivo más pequeño posible en este sistema es: 1
0
0111100 (1 2-1 +0 2-2 +0 2-3 ) 2-3 = 0,0625 en el sistema de base 10.
6
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Observación: Aunque es posible tomar una mantisa más pequeña (por ejemplo, 000, 001, 010, 011) se emplea el valor 100 debido al límite impuesto por la normalización. 1 Sabemos que: m 1......( ) 2 el mínimo m es: (0,5)10= (0,100)2 Los siguientes números más grandes se desarrollan incrementando la mantisa como sigue: 0111101 = (1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3) x 2-3 = (0,078125)10 -1 -2 -3 -3 0111110 = (1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 ) x 2 = (0,093750)10 -1 -2 -3 -3 0111111 = (1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 ) x 2 = (0,109375)10 notemos que las equivalencias de base 10 se esparcen de manera uniforme en un intervalo de 0,015625. El número máximo es: 0011111 = (1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1x 2-3) x 23 = (7)10 Observación El número (0,08320)10 en la base 2 está representado por 0111101, en efecto:
0, 08320
0,16640 0,33280 0, 66560
0,33120
0, 66240 0,32480
2
2
2
2
2
2
2
0,16640
0,33280
0, 66560
1,33120
0, 66240
1,32480
0, 64960
(0,08320)10 =(0,0001010)2=0,101x2-3. Luego la representación en una máquina que guarda información usando 7 bits es: 0111101. Por lo tanto el número 0,08320 se identifica como si fuera 0,078125. Esto es un error de redondeo. ¿Qué ocurrirá si pusiéramos a un computador con una mantisa de 4 cifras, como la que
1 1 1 ? 10 5 6
acabamos de describir, que realiza la operación
1 1 10 5
Primero sumemos
1 0,1101 x 23 10 1 0, 2 0,1101 x 22 5 3 0,3 10
0,1
0, 01101x 2 2 0,1101x 2 2 1, 00111x 22
El computador debe decir como almacenar 1,001112 x 2 como 0,1010 x 2
1
3 0,1010 x 21 0,1010 x 2 1 10 1 0,1667 0,1011 x 22 0, 01011x 2 1 6 7 0,11111x 21 15
0,3
7
2
supongamos que se redondea
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El computador debe decidir como almacenar 0,11111 x 2
1
supongamos que se redondea
7 0,1000 2 x 20 15
0
como 0,1000 x 2 . Luego
El error en el cálculo efectuado por el computador es :
7 0,1000 2 0, 466667 0,50000 0, 033333 15 100% el porcentaje 0, 033333 x 7,14% 7 /15 NÚMEROS DEL COMPUTADOR EN COMA FLOTANTE Los computadores disponen de un modo entero y de un modo en coma flotante para representar números. Los computadores que usan 32 cifras binarias para representar n° reales con precisión simple, reserva 8 cifras para el exponente y 24 para la mantisa (incluyendo los signos): eso les permite representar , a parte del cero , N° reales de magnitud comprendida en el rango que va desde 2,938736 x 10
39
38
hasta 1,701412 x10
decimales de precisión numérica ( pues 2
23
(o sea desde
2128 hasta 2127 ) con 6 cifras
1, 2 x107 ).
ARITMÉTICA DEL PUNTO FLOTANTE En el caso en que b = 10 se encuentra que el error relativo admite la siguiente cota:
fl x x x
5 x10 m
t 1
1 m 1 10 1 10 m
5 x10t 1 10
5 x 10t Y si denotamos como:
fl x x x
x 1 fl x
Éste último resultado no permite definir fl x como la función:
fl : R A fl x x 1
x donde
5 x10t
y A es el conjunto de número que se pueden representar en una máquina
dada: Se puede definir operaciones sustitutas como:
x * y x y 1 1 x * y x y 1 2 x /* y x / y 1 3
donde cada
i 5 x10t
i 1, 2,3....
Ejemplos: Si t = 8 dígitos con
8
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halle : a * b *c
a 0, 63381158 x 104 b 0, 73688329 x 102
a *b *c
c 0, 73687711 x 102
abc
Solución: Aquí los i son iguales a cero:
b *c 0, 73688329 x 102 * 0, 73687711 x 102 6,18 x104
a * b *c 0, 63381158 x104 6,18 x104 0, 68138116 x 103 a *b 0, 63381158 x 104 0, 73688329 x 102 0, 73688392 x102
a *b *c 0, 73688392 x 102 * 0, 73687711 x 102 0, 68 x105 x102 0, 681 x103 a b c 0,68138116 x103 Uno de los ejemplos más comunes de la propagación de errores es en el fenómeno conocido como pérdida de cifras significativas. Este tipo de situaciones se da cuando algún cálculo numérico envuelve: i) La división de un resultado con dígitos finitos entre uno de magnitud pequeña. ii) La resta de números casi iguales. *
*
Sean r1 , r2 y su números de puntos flotantes r1 , r2 , luego las restas de estos;
r1* r2* r1 1* r2 2* r1 r2 1* 2* , y por lo tanto el error relativo
final será:
r1* r2* r1 r2 r1 r2
r1 r2 1* 2* r1 r2 r1 r2
* 1
2*
r1 r2
cantidad que puede ser grande pues el denominador es pequeño. Ejemplo Sea la función
f x x 1 x . Trabajando con seis cifras significativas
calcule f (100) . Solución Note que
100 10
y
101 10,0499 con seis cifras significativa
Ahora calculemos f 100 101 100 0, 499000 x10 . El valor exacto a 1
seis cifras significativas de f 100 0, 498756 x10 . Observemos que se esta 1
perdiendo 3 cifras en el cómputo. Esto se ha originado debido a que estamos restando cantidades similares. En este caso podemos evitar restar cantidades similares escribiendo f ( x) (racionalizado) como
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1 x 1 x
f ( x)
Podemos ahora calcular f (100) mediante
1 1 0, 498756 x101 10, 0000 10.0499 20, 0499 que es correcto a seis cifras significativas. Ejemplo Halle las raíces de la ecuación
1 2 123 1 x x 0 3 4 6
Trabajando con una aritmética de t = 4 dígitos. Sabemos que sus raíces exactas son:
x1 92, 24457963
x2 5, 42037285 x103
,
Solución
1 2 123 1 x x 0 0,3333x 2 0,3075 x102 x 0,1667 0 3 4 6
x
b b 2 4ac 2a
b 2 4ac 0,3075 x 102 4 0,3333 0,1667 2
0,9456 x 103 4 0,5556 x 101 0,9456 x103 0, 2222 x 100 0,9454 x 103
b 2 4ac 0,3075 x102 x1*
0,3075 x 102 0,3075 x 102 0, 6666
x1*
0, 615 x 102 0,9226 x 102 0, 6666
x2* 0 , este resultado se aproxima al x2 (raíz exacta). Esto ocurre, pues b b2 4ac . Una forma de evitar el problema de restar estos dos racionalizar el numerador:
números casi iguales, consiste en
b b2 4ac b b2 4ac 2c x2 . 2 2a b b 4ac b b 2 4ac
x2
2 0,1667 0,3075 x10 0,3075 x10 2
ERROR DE TRUNCAMIENTO
10
2
0,3334 0,5421 x102 2 0, 615 x10
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La noción de error de truncamiento se refiere normalmente a los errores que se producen cuando una expresión matemática complicada se “reemplaza” por una función más simple. Esta terminología se originó en la sustitución de una función por uno de sus polinomios de Taylor. Por ejemplo podríamos reemplazar la serie de Taylor
ex 1 x2 2
por los 5 primeros términos 1 x 2
x 4 x 6 x8 .......... 2! 3! 4!
x 4 x 6 x8 2! 3! 4!
Ejemplo 1/ 2
Sabiendo que
obtenida al
reemplazar
e x dx 0,544987104184 P . Determine la precisión de la aproximación 2
0
P8 x 1 x 2
el integrado
f x ex
2
por
serie de Taylor truncada
x 4 x 6 x8 . 2! 3! 4!
Solución
1/ 2
0
x 4 x 6 x8 2 1 x dx 0,544986720817 P * 2! 3! 4! P P* 7, 033193944 x 107 5 x10 k k 6 P
La aproximación P* coincide con el valor exacto P en 6 cifras significativas (consideremos en P* como las 6 cifras a 0,544987 ).
FÓRMULA DE TAYLOR Teorema Supongamos que la (n +1) – ésima deriva de la función f
existe en algún intervalo que
contiene a los puntos a y b . Entonces
f b f a f ' a b a .... Para algún
f n a n!
b a
z entre a y b .
11
f n 1 z b a ................(*) n 1! n 1
n
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Si reemplazamos b por x en (*) se obtiene la fórmula de Taylor de grado n con residuo alrededor de x a n
f x
f
k
a
k!
k 0
x a
k
z x a n1 n 1!
f
n 1
donde z es algún número entre a y x . Así el término Pn x grado
n
para
la
n
k 0
f k a k x a es llamado el POLINOMIO DE TAYLOR de k! f x
función
alrededor
del
punto
a
y
al
término
z x a n1 se llama residuo de grado n (ó error de truncamiento) n 1! asociado con Pn x . Cuando n , Rn x 0 es decir, lim Rn x 0 para algún valor n Rn x
f
n 1
particular fijo de x . Luego la función
f
n
f x lim Pn x Rn x lim Pn x lim n
n
n
f
f x
k
a
k!
k 0
a
k!
k 0
x a
k
x a
k
k
es la SERIE DE TAYLOR de la función f en x a . Ejemplo a)
Calcule
el polinomio de Taylor de 3er grado alrededor de x = 0 para la función
b)
Use el polinomio de (a) para aproximar
f x 1 x .
1,1 y encontrar la corta de error.
Solución
f ( x) 1 x
f (0) 1
1 1/ 2 1 x 2 1 3 / 2 f ' ' ( x) 1 x 4 3 5 / 2 f ' ' ' ( x) 1 x 8 15 7 / 2 f IV ( x) 1 x 16
f ' (0) 1/ 2
1/ 2
f ' ( x)
f ' ' (0) 1/ 4 f
'''
(0) 1/ 4
P3 x f 0 f ' 0 x
12
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 x x 2! 3!
METODOS NUMÉRICOS
V.CONTRERAS TITO
P3 x 1
1 1 1 3 1 x . x 2 . x3 2 4 2! 8 3!
P3 x 1
1 1 1 x x 2 x3 2 8 16
es el polinomio de Taylor de 3er grado alrededor de a = 0. b).
1,1 f 0,1 p 0,1 1
1 1 1 2 3 0,1 0,1 0,1 1, 0488125 2 8 16
La cota del error es:
R3 0,1
f
4
2
4!
0,1
4
15 7 / 2 1 z 4 16 0,1 4!
15 15 4 7/ 2 4 1 z 0,1 1 0,1 zmax 0 ; 0,1 16 24 18 24 3,90625 x106
Podemos ahora graficar los polinomios de: grados uno p1 ( x) (p1), grado dos p2 ( x) (p2) y grado tres p3 ( x) (p3) y la función f en el mismo sistema de coordenadas con las siguientes instrucciones en MATLAB: x=linspace(-1,2,200); » p1=1+0.5.*x; » p2=p1-x.^2./8; » p3=p2+x.^3./16; » f=(1+x).^(0.5); » plot(x,p1,'r',x,p2,'g',x,p3,'b',x,f,'c') » xlabel('X');ylabel('Y'); » title('funcion f(x)=sqrt(x+1) con sus polinomios de Taylor de grado uno,dos y tres') » text(1.1,1.6,'p1'); » text(1.8,1.5,'p2'); » text(1.2,1.6,'p3'); » text(1.7,1.6,'f');
13
METODOS NUMÉRICOS
V.CONTRERAS TITO
funcion f(x)=sqrt(x+1) con sus polinomios de Taylor de grado uno,dos y tres 2 1.8 1.6
p1 p3
f p2
1.4 1.2
Y
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -1
-0.5
0
0.5 X
1
1.5
2
CONVERGENCIA DE SUCESIONES Definición Una sucesión existe un N tal que Una sucesión
n n1 de números converge
n
a si, y solo si para cualquier
siempre que n N
n n1 converge a
si y solo si lim n . n
Ejemplo
1 converge a 0 n n 1
1. Se tiene que la sucesión
n 1 2 3 4 Observemos que cuando n crece ,
1/n 1 ½ 1/3 ¼
1 se aproxima a cero (aproximación lenta). n
1 2 n n1
2. Sea la sucesión
1/n2 1 ¼ 1/9 1/16
n 1 2 3 4
14
0,
METODOS NUMÉRICOS
V.CONTRERAS TITO
1 converge a 0 más rápidamente que la sucesión 2 n n1
Notemos que la sucesión
1 n n 1 Para analizar este tipo de problemas; es decir medir cuán rápido converge la sucesión, lo hacemos por comparación con otras sucesiones.
n n1 ,
Así, diremos que una sucesión de
n n1
donde
n 0 n 1
n
tiene rapidez de convergencia del orden
es otra sucesión que converge a cero tal que
si se satisface:
n k n
Para n suficientemente grande y k >0 una constante que no depende de n, y lo denotaremos como: Ejemplo Sean
xn n
n o n
cos n 2 n n
y
rn n
1 2 dos sucesiones. Entonces la n n
sucesión xn n converge a cero con orden de aproximación o rn . Esto se deduce inmediatamente de la relación:
cos n n2 cos n 1 1 n2 Ejemplo Sea la sucesión
n n
n
sen 1/ n haciendo uso de la fórmula de Taylor en a 0 1/ n n
para n 2 . Halle la rapidez de convergencia de la sucesión Solución Sabemos que la sucesión
n n
n n
.
converge a 1 en efecto:
1 sen n 1 Lim n 1 n f '' a f ''' z 2 3 f ( x) f (a) f ' a x a x a x a 2! 3! Como a=0 se tiene
senx x
f
'''
z
3!
x3 x cos z
15
x3 3!
con
z 0, x
METODOS NUMÉRICOS
V.CONTRERAS TITO
senx 1 cos z cos z senx x x max z 0, x 1 3! 3! 3! x3 2 x 1 6 n 1 1 1 definimos x 1/ n , entonces donde n 2 . Por lo tanto concluimos n n 6 cos z
Si
diciendo que
n n
tiene rapidez de convergencia equivalente a la de
Simbólicamente
n 1 o(
16
1 ) n2
n n
1 2 . n n
METODOS NUMÉRICOS
V.CONTRERAS TITO
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Convierta los siguientes números dados en decimal, a binario a). 985,34 b). 888.222 c). –0.9389 d). 0.375 2. Dados los siguientes números de máquina en una palabra de 16 bits(de los 16 bits el primero representa el signo del número, los siguientes 7 para el signo y la magnitud del exponente y los 8 restantes para la magnitud de la mantisa). 0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
¿Qué decimales representa?. 3. La perdida de cifras significativas se puede evitar a veces reordenando los términos de la función usando una identidad conocida de algebra o trigonometría. Encuentre en cada uno de los siguientes casos una fórmula equivalente a la dada que evite la perdida de cifras significativas. a) Ln( x 1) Ln( x) para x grande. b)
x 1 x para x grande.
c)
cos2 ( x) sen2 ( x) para x
d)
1 cos( x) para x . 2
4
.
4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) x 140.5 x 2.5 0 b). 2 x 1435.6 x 6.1 0 Empleando una aritmética de punto flotante de 4 dígitos. 2
2
5. Halle la serie de Taylor en torno a x 0 , para la función,
f ( x) tan( x)
Emplee el polinomio de Taylor de grado 3, para estimar f (0.5) y encuentre una cota de para el error en esta aproximación. 6. Sea la sucesión:
n
tan(1/ n) , n 1 1/ n
Haciendo uso de la serie de Taylor de (5), halle la rapidez de convergencia de la sucesión
n .
7.
Sea la sucesión:
n
n 1n
1 cos 1
, n 1
haciendo uso de la serie de Taylor, halle la rapidez de convergencia para la sucesión n . 8. Demuestre que si
xn o n entonces
17
cx n o n para todo c 0
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