TEORIA DE ERRORES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE DE INGENIERÍA GEOLÓGICA

TEMA: TEORIA DE ERRORES

INTEGRANTES

 LOZANO IZQUIERDO, Abel DIAZ CRUZ , Silvia HUARIPATA HUARIPATA, Mariela PAREDES VELASQUEZ , Edwin

Febrero de 2011

TEORÍA DE ERRORES

TEORÍA DE ERRORES

INTRODUCCIÓN Tod odas as la lass op oper erac acio ione ness qu que e se hac acen en en top opo ogr gra afí fía, a, se re red duc ucen en básicamente a la medición de distancias y ángulos. La vista humana, como todos los sentidos, tiene un límite de percepción más allá del cual cu al no po pode dem mos ap aprreci ciar ar ni ning ngu una mag agn nititud ud,, liline neal al o ang ngu ula larr. Asimismo, los instrumentos que se utililiizan para efectuar las mediciones, tienen las limitaciones de su propia precisión, que, por alta que sea nunca será tanta que sea perfecta. Es por tanto que cualquier  medición que se efectúe no será más que una aproximación a la realidad.  Así pues, ninguna medición permite obtener el verdadero valor de la magnitud que se mide, tendremos que el verdadero valor no será nunca conocido, y por tanto deberíamos hablar siempre de estimaciones o aproximaciones a una magnitud, ya que una misma magn ma gnititud ud,, me medi dida da va vari rias as ve vece ces, s, te tend ndrá rá co como mo re resu sultltad ados os me medi dida dass diferentes.

GENER La

ID DES

teoría de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde

se man anej ejan an y an ana alilizzan gr gran ande dess vo volú lúm men ene es de dat atos os pr prov ove eni nie ent nte es de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, cam po, ta tale less co como mo lo loss qu que e se de desar sarro rollllan an en top topog ogra rafí fía, a, ge geod odes esia ia,, fí físi sica ca,, química y sobre todo estadística. Esta

ciencia, parte de la esta estadísti dística, ca, fue desar desarrolla rollada da por el matem matemático ático alemán

Karl Friedrich Gauss a partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el inglés Sir Isaac Newton quien aplica su teoría del análisis matemático a la estadística y mas tarde por el francés Pierre Simon Laplace quien con su teoría de las probabilidades le da a la estadística y la teoría de errores carácter de ciencia.

Son numerosas pero solo nombraremos las mas importantes: 

Indeterminación de los extremos de la magnitud a medir ( por ej. el ancho de una calle sin líneas municipales perfectamente determinadas o el ángulo o la distancia determinada por dos señales muy gruesas).



Imperfección o inadecuación de los instrumentos utilizados, tanto por fabricación, malos tratos, falta de mantenimiento, o razones económicas.



ondiciones psicofísicas del operador como ser cansancio, estrés, enfermedades, apuro y por qué no falta de responsabilidad o experiencia.



Imprecisión intrínseca de los métodos de cálculo, como cuando se utilizan calculadoras y la cantidad de decimales no son suficientes para las precisiones requeridas.



ondiciones atmosféricas adversas que puedan alterar los resultados de las mediciones.

Es una falta involuntaria de la conducta generado por el mal criterio o por confusión en la mente del observador. Las equivocaciones se evitan con la comprobación, los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el número de medidas. Los errores sistemáticos se pueden corregir  aplicando correcciones a las medidas cuando se conoce el error, o aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo para comprobarlos y contrarrestarlos.

Siempre se debe comprobar las medidas y los cálculos ejecutados, estos descubren

errores y equivocaciones y determinan el grado de precisión obtenida.

efinimos exactitud como la aproximación de los valores obtenidos a la verdadera magnitud que se está midiendo, así será mayor cuanto mayor se aproximen éstos. Y definimos precisión como la aproximación de los valores obtenidos entre sí.

En la Figura se muestran tres dianas A, B y con diferentes resultados de una serie de cuatro disparos de otros tantos tiradores, cuyo objetivo es acercar sus proyectiles lo máximo posible al centro de la diana.

Cuando hablamos de exactitud de una medición, nos referimos a la proximidad del valor de ésta con el valor real medido. En t érminos de estadí stica, la exactitud est á relacionada con el sesgo de una estimaci ón, así  pues cuando menor es el sesgo mayor es la exactitud.

.

icho de otra manera, las cifras significativas son las que ocupan una posición igual o superior al orden de magnitud del error. Por ejemplo, si la medida de una cierta longitud tiene el valor 1.234,5678 m, con un error  de ± 0,8 m, el error es del orden de las décimas de metro y por tanto las cifras que contiene la medida a partir de esta son no significativas, siendo sólo significativas en este caso las cinco primeras, por lo tanto, será más correcto expresar el número así: 1.234, 5 m.

sin embargo, es más lógico y aproximado a la verdadera magnitud de la medida hacer un redondeo con el siguiente criterio: Si el dígito final es mayor que 5, el dígito anterior pasa a la

cifra superior. Si el dígito final es menor que 5, el dígito anterior pasa a la cifra inferior. Si el dígito final es igual a 5, si es impar se pasará al siguiente par, si es par no variará. Veamos este criterio aplicado a un ejemplo. Supongamos que hemos de redondear los siguientes números: 14,368; 14,363; 14,365 y 14,335. El resultado estará en la siguiente tabla:

Ent ndemos genéri mente que error  de l medida de una cierta magnitud, es la expr esi n numérica de la desviaci n del valor  de una deter minada medida con r especto a s u v alor r eal, existiendo los conceptos de error absolut o y error  relati  o. E rror

Ab ol to (Ea) Se denomina error absolut o de una medida a la dif er encia entr e la ver dader a magnitud (Mv ) y el valor (M ) de dicha medida:

Rel ativo (E r ) Se denomina error relati vo (er ) al cociente entr e el err or  absoluto (ea) y la ver dader a magnitud (Mv ):

o debemos conf undir  err or  con equ ivo ac i  , ya que equivocaci n es tomar  una cosa por lo que no es. as equivocaciones, también llamadas err or es gr oser os, son acciones desacertadas cometidas por  el obser vador  como consecuencia de la aplicaci n de un criterio err  neo, una mala pr  ctica o un descuido

N aturales:

Son los que tienen relación con fenómenos que

tienen su origen en agentes atmosféricos, cambios del viento, humedad, presión atmosférica, refracción de la luz, etc. Es el ejemplo del error de lectura de una distancia con una cinta métrica, cuya longitud varía al estar sometida a la acción del viento. I nstrumentales:

Se deben a imperfecciones y ajustes en los

instrumentos de medida, fundamentalmente en sus partes móviles.

H uman

s:

Se deben a las limitaciones de los sentidos

humanos o a la imperfección de la realización de cierta tarea, como pude ser  una lectura poco precisa por la colocación del punto de vista sobre el elemento de medida y el elemento a medir o por la colocación del instrumento de medida.

E rr

res sistemátic s: Son aquellos errores de causa conocida cuya influencia puede

eliminarse ya sea por el cálculo o por un adecuado método operativo. Los errores sistemáticos se producen siempre de la misma forma mientras que permanezcan las causas que los originan, y por definición pueden y deben ser eliminados. E rr

res aleat ri s o accidentales . Son errores que el observador no puede controlar aunque a

veces tengan causas y efectos identificables, siendo por tanto imposible corregir de antemano sus efectos sobre los resultados. Para corregirlos se recurre al cálculo de probabilidades y a la estadística, siendo su única forma de eliminación la multiplicación del número de observaciones.

Se denomina val or más pr obabl  de una magnitud, a la media

aritmética de todos los resultados obtenidos con los mismos instrumentos y mediante los mismos procedimientos: n

§ M 

1

 M  P  !

i !1

 M v

En dónde, ( p) es el valor más probable o media aritmética, ( Mi ) el valor de cada medida y (n) el número de medidas realizadas.

e la forma que hemos definido error, y como la verdadera medida se supone que nunca se conoce, para poder  establecer un parámetro con valor conocido y trabajar  matemáticamente en su estudio, introduciremos el concepto de r  siduo de una medida.

Este residuo o err or  apar ent e, por oposición al err or  v er dad er o que algunas veces es la definición del error absoluto, se define como la diferencia entre al valor de la propia medida (Mi ) y el valor más probable (Mp) de la magnitud medida:

 Vi !  M P  M i En el caso en que consideremos el valor más probable igual que el valor verdadero, el residuo de una medida será igual que su error  absoluto. Si se realizan una serie de medidas (n) de una misma magnitud, se obtendrán (n) errores correspondientes a esas medidas, y en

función de la aplicación de la estadística a esa serie de valores, clasificando sus valores absolutos de menor a mayor, se definen:

a le (ep), como el que ocupa

E rr

r pr

E rr

r medi aritmétic  (ea), es la

E rr

r medi cuadrátic  (ec ), es el que

la posición central en la serie establecida (en caso de ser dos, la media de ambos) media aritmética de los todos los valores.

determina la siguiente expresión: n

§  M ec !

 M   P 

!1

n

n

2

2  V §



!

!1

n

Como

toda medida contiene un cierto error, cualquier nueva medida calculada a partir de otras medidas realizadas directamente, arrastrará un cierto error causado por los errores cometidos en las iníciales. Sea

la función que representa una suma, producto, etc., F(x1, x2,«,x n), con más de una variable, en la que los errores de cada variable son (ex1, ex2,«,ex n), el valor de la función incrementada por sus errores será: F

!  x1  e 1x, x2  e 2x,..., x n e



xn

Desarrollando



x1  e 1x, x2



e

,..., x 2x



n

en serie se tiene: e



xn

!



F x1



x2 ,..., x

 n

dF 

dx1

e 1x

dF dx2

e

2x



... 

dF   e dxn

Con

xn

lo que el error, en el caso más pesimista, o sea, considerando que el error final es la acumulación de los errores parciales de todas las medidas y que no se compensan ninguno de ellos, será: 

 F  x1

 e x1 , x2  ex 2 ,..., xn  exn   F  x1  x2 ,..., xn  !

dF d  x1

e x1



dF d  x2

ex 2

 ... 

dF   exn d  xn

Siendo por tanto, el error máximo posible ( eF ): e F 

!

dF

e 

d

 1

1

dF

e 

d

2

 ... 

2

dF   e d  n  

3

n

Para trabajos de topografía, la hipótesis anterior  es muy pesimista, y la experiencia aconseja considerar las medidas independientes y los errores aleatorios, por lo que el máximo no tiene por que ser siempre la suma de los máximos de los valores de cada medida, así la expresión [3] se sustituye por la siguiente: e

¨ dF ¸ !F s © ¹ ª dx º 1

2

e

2 1

¨ dF ¸ x © ¹ ª dx º 2

2

2

e

2 2

¨ dF ¸   x ...  © ¹ e ª dxn º

2

xn

4

Pero como se cumple que: dT dA

! 1;

dT   dB

! 1;...

El resultado obtenido para la magnitud de (T ) , es decir el error de una suma es el siguiente: e ! s e  e  ... 5  T

2

2

a

b

Siendo de aplicación también para una diferencia.

Cuando

en la suma o diferencia intervienen varias medidas, obtenidas todas ellas con un mismo error (e), el error total (eT ) de la magnitud corresponde con la siguiente expresión: eT  ! s

2

2

2

e  e  e  ... ! s

2

ne ! s e

n

6 

P r duct   Si una cierta medida (P ) se obtiene por como producto de unas

medidas directas ( A), (B), etc., suponiendo que los errores en las medidas utilizadas son (ea), (eb), etc., el error que corresponde a la medida del producto resultante se calculará de acuerdo con la siguiente expresión: e

!p s

2

B * C...

e

e

2

B * C...

a

ee

b...

7 

M edia

aritmética

Cuando

se tengan n medidas de una magnitud, afectadas todas ellas de un mismo error, el error total de la media de dichas medidas (eM ) será: e M 

!

eS  n

!

e

n n

!

e n

8

Si introducimos en un eje de coordenadas el valor de los errores

aleatorios de una serie, poniendo en el eje de las abscisas su valor y en el de las ordenadas su número en forma de porcentaje, veremos que los errores más pequeños, es decir, los más próximos al origen de abscisas, se producen más a menudo que los grandes, tal como representa la Figura 4.2.

En efecto, los errores que se producen en topografía responden a una campana de Gauss, Figura 4.3., ya que estamos representando la distribución de variables aleatorias con distribución normal, así se utilizará ésta de acuerdo con su formulación matemática, para: 2

1

 f  !x W



 x  Q  2W 

e

2T 

2

Dónde,

(  ) es la media, ( ) es la d esviación típica o est ándar , (² ) es la var ianza, y aplicando la fórmula a la variable ( Mi ) que estamos estudiando, obtenemos:  M M  1

 f M i  ! W

2T 



e



2

1



2W 

 P 

2



La desviación típica viene dada por la expresión: n

§ W  ! s

 p



n

2

i



i !1

§ V !s

2

i

10 

i !1

n

n

Expresión que corresponde además con la del error medio cuadrático (ec ), aunque en topografía, la expresión que se utiliza para determinar el error medio cuadrático es: n

§  M W  ! s

n

2

 M  i

§ V

p

i !1

n 1

!s

2

i !1

n 1

i

11

La expresión [10] se denomina en estadística d esviación típica d e pobl ación, mientras que a la expresión [11] se denomina d esviación típica muest r al.

Si

representamos el error probable (ep), el error medio aritmético (ea) y el error medio cuadr ático (ec), definidos previamente, en una campana de Gauss, obtendremos su valor tal como muestra la Figura 4.3.

La forma de la campana de Gauss es la que se muestra en la Figura 4.3., y de ella podemos deducir lo siguiente:   



A todo error aleatorio de valor +x se opone otro de valor x Son más frecuentes los errores cuanto menor es sumagnitud La mitad positiva o negativa de la curva puede dividirse en cuatro zonas limitadas por ordenadas equidistantes; en la primera zona se encuentran la mitad de los errores , positivos o negativos, respectivamente, y está limitada por la ordenada correspondiente al error probable; en la segunda zona se sitúan los errores medio aritmético y medio cuadrático y corresponde a esta zona el 16% del total de los errores; a la tercera zona corresponde el 7%, a la cuarta el 1,5% ; el 0,5% restante corresponde a errores positivos o negativos mayores de cuatro veces al error probable, teóricamente hasta el infinito, puesto que cada rama es una asíntota del eje de las X. El valor del error cuadrático (ec ), correspondiente con la desviación típica ( ) se sitúa en los puntos de inflexión de la curva



Se denomina probabilidad de un suceso la relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles ( Ley  d e P r obabi l idad ),

de aquí que dividiendo el número de errores de cada magnitud, obtenidos de la curva de dispersión, por el número de observaciones realizadas, se obtiene la probabilidad de cometer el respectivo error. 

Esto significa que la probabilidad de cometer un error comprendido entre x y +x será al área limitada por la curva de Gauss, las ordenadas levantadas en x y en +x y el eje de las X (número de casos favorables) dividida por el área total limitada por la curva y el eje de las X (número de casos posibles); de este modo, la probabilidad de cometer un error comprendido entre y + será la unidad (ó el 100%), que representa certeza.



Calculando

el área de la superficie que delimita la curva y los valores de ( ) coincidentes con (ec ), positivos y negativos, tenemos que su valor es de 68,27% del total (Figura 4.4), al igual que el de cometer un error inferior, o superior al error probable, positivo o negativo, será de 0,5; o sea una vez de cada dos.

  mos d e c  r v a si gn   ific ativ os, Cal c  l ando l as s er ficies d e alg  nos t ra   tenemos q e el 68 , 7% d e l as med ici ones tienen un r esi duo qu e c ae d ent ro d e este i nter v al o, o l o qu e es l o mismo, l a pr obabi li   d ad d e qu e un r esi duo c ai ga   d ent ro   d e este i nter v al o es d el 68 , 7%, es d eci r,  dos d e c ada t r es.

De

igual modo podemos calcular el resto de valores ( ) en función de otros porcentajes, siendo los que se reflejan, en la siguiente tabla:

Así  pues,

considerando un porcentaje suficiente de probabilidad el 99%, se toma comúnmente el valor correspondiente de 2,5, descartando por tanto, en topograf ía   las medidas que no se encuentren dentro del intervalo (M  p   2,5  ),(M  p+2,5 ), considerando pues el valor de la tolerancia: ( eM )= ±2,5.

e  ! s2.5W   M 

Esto quiere decir que, si una medición está definida por un cierto error medio cuadrático (ec ), el verdadero valor de la magnitud medida estará dentro del límite de 2,5 veces (ec ), 99 veces de cada 100 que se mida, y por tanto, una vez definido el error medio cuadrático de una serie de medidas, deberán desecharse por defectuosas, todas aquellas medidas cuyas desviaciones excedandos veces y media el citado error.

ERROR POR TEMPERATURA: Los cambios de temperatura producen deformaciones en las longitudes de las cintas usadas en el campo. Por ejemplo la cinta de acero se normaliza generalmente a 20º centígrado es decir que su longitud nominal corresponde a esta temperatura. Si al realizar la medición la temperatura es mayor de 20º centígrados la cinta se dilata, en caso contrario si la temperatura es menor a 20º centígrados la cinta se contrae lo que incurre en un error por  temperatura y se calcula de la siguiente forma: Cx= 0.0000117(T-To) L To= Es la temperatura de normalización de la cinta T= Es la temperatura promedia al realizar la medición L= Es la longitud nominal de la cinta 0.0000117= Es el coeficiente de dilatación térmica de la cinta de acero

EJEMPLO: Calcular la longitud real de una medición Longitud Medida es 281.72m, Longitud nominal de cinta 30 m a una Tº pr omedio de ±0.466ºc. L =? Lm= 281.72m Ln= 30m Tº= - 0.466ºC Cx=

0.0000117 (-0.466º - 20C)30m Cx= - 7.18 x 10³ Por regla de tres: Si

30 281.72

7.2x10³

281.73 x

 x

30

x  x

L = 281.72 0.0113 L = 281.71m

!

7.2 x10  3



!

0.0113

ERROR POR LONGITUD INCORRECTA:

  Algunas veces las cintas trae errores en su medida. Llamamos longitud nominal a la longitud ideal o la que dice le fabricante que tiene asi la longitud real será la comparada por un patrón la conexión, es decir la que en verdad tiene. La correccion por longitud errónea se obtiene mediante la siguiente fórmula: CL= L´- L

L´= Es la longitud real de la cinta producida del contraste del patrón. L = Es la longitud nominal de la cinta. CL= Corrección de la longitud.

EJEMPLO: Determinar la longitud real entre 2 puntos A y B para el que se utilizo una cinta de 30 m que al ser contrastada con un patrón resulto ser de 30.064 m, la longitud entre A y B fue de 108.31 m.

L´= 30mts L= 30.064mts LAB= 108.31mts Corrección por Longitud = Cl= 0.064 Porrelación de tres

30 108.3

0.064 x

Longitud eal= 108.31 +0.23 ; L = 108.54m

X= 0.23

ERROR POR FALTA DE HORIZONTALIDAD : Cuando

el terreno es dependiente uniforme, se puede hacer la medición directamente sobre el terreno con menos error que en el banqueo partiendo de la medición en pendiente se calcula la distancia horizontal la corrección por falta de horizontalidad es Ch= h²/(2S) h= E s

el  d esniv el  ent r e l os puntos ex t er nos d e l a

cinta s= E s l a distancia d e l a par te   inc li  nada d el  t err eno

EJEMPLO: Determinar la distancia horizontal entre 2 puntos, si la distancia medida en pendiente fue de 30.044m y el desnivel 1.35 H = 1.35 L = 30.644 L = 30.615

2

0.029

1.35  ! 0.29 ch ! 2 30.644 

ERROR POR CATENARIA: Se da por la forma convexa que presenta la cinta

suspendida entre dos apoyos debido principalmente al peso de la cinta y a la tensión aplicada al momento de realizar la medición estos aspectos hacen que se acorte la medida de la distancia horizontal entre las graduaciones de dos puntos de la cinta la corrección es: 2

Cc ! 

W L

24 p

2

W= peso de la cinta en kilogramos p= Es la tensión aplicada al realizar la medición en kilogramos

EJEMPLO: Determinar la longitud real de una línea de 240.60m de magnitud si se utiliza una cinta de 30 m se aplico una tensión de 20 Kg y la cinta peso 0.58 Kg. P: 6kg W: 0.58kg 2

Cc

Por relación de tres L = 540.60

!

0.58

30 2

 

24 6

! 0.1

30 540.60 x ; 18; L = 108.54m

0.01 x = 0.18

ERROR POR TENSIÓN: Los fabricantes de cintas definen ciertas características de operación para obtener la longitud ominal de las cintas que fabrican. EJEMPLO: Para las cintas de acero apoyadas en toda su longitud la tensión es de 4.5 kg y suspendidas en los apoyos 5.4 kg si la tensión aplicada es mayor  que estos se produce un error por tensión y la conexión por tensión se obtiene de la forma siguiente: Cp !

 P P  L 0

 AE 

L: longitud nominal. P= tensión aplicada al momento de la extensión Po= tensión de fabricación de la cinta kg  A= área de la sección transversal de la cinta E= Módulos de elasticidad es 2.1*104kg/mm2

EJEMPLO: Se ha medido una distancia 5 veces obteniendo los siguientes

resultados o valores observados, calcular los errores accidentales y la presión en la medición. Determinar la magnitud de una línea que ha sido medida con una cinta de 30m, si la tensión aplicada fue de 12 Kg la cinta se utilizo apoyada en 2 apoyos el área es de 4mm² y la longitud medida fue de 1.500m L: 30m  A: 12kg E: 2.1 x 10 kg/mm² Po: 5.4kg

L :

C  p

!

C  p

!

P



P0

 AE  12kg

L



30 1500m

L : 1500 + 0.117 L : 1500.11



5.4 30m

84000kg 

0.0023 X= 0.117

CONCLUSIONES 





El

resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la medición, así como también, a las capacidades del experimentador. Es por ello que para tener  una idea correcta de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable establecer los límites entre los cuales se encuentra el valor  real de dicha magnitud. Mediante el cálculo lograremos reducir o compensar dichos errores pero no eliminarlos. Al momento de realizar un trabajo donde se tengan que tomar mediciones ya sea directas o indirectas, así como la que se llevar a cabo en la topografía debemos tener el máximo cuidado al momento de utilizar los equipos o instrumentos que con los que estemos trabajando para lograr  realizar un trabajo cada vez mejor y obtener cálculos cada vez con la mayor presión posible.