Teoria de Errores

UNIVERSIDAD DE PIURA – CAMPUS LIMA FACULTAD DE INGENIERIA LABORATORIO DE FISICA TEORÍA DE ERRORES I. INTRODUCCIÓN Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o sustancia, susceptible de ser medida. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A una magnitud específica de un objeto que estamos interesados en medir la llamamos mesurando. Por ejemplo, si estamos interesados en medir la longitud de una barra, esa longitud específica será el mesurando. Para establecer el valor de un mesurando tenemos que usar instrumentos de medición y un método de medición. Asimismo es necesario definir unidades de medición. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una varilla, el instrumento de medición será una regla. Si hemos elegido el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro y la regla a usar deberá estar calibrada en esa unidad o en submúltiplos de ella. El método de medición consistirá en determinar cuántas veces la unidad y fracciones de ella están contenidos en el valor del mesurando. II. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO El valor obtenido al medir una magnitud física no es el valor exacto sino un valor aproximado, que se acerca más al valor exacto cuanto más preciso sea el instrumento utilizado para medir. A la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto se le llama error. Como en general, no conocemos el valor exacto sino solamente el aproximado, que es el resultado de la medida, no podemos conocer el error. Por tanto lo que interesa es conocer el valor máximo del error que se puede haber cometido en una medida o al menos una estimación de dicho valor máximo; esta cantidad es la que tomaremos habitualmente como error absoluto. Si hemos medido una magnitud, obteniendo un valor a, el error absoluto lo designaremos ∆a y escribiremos a ±∆a para designar que el verdadero valor está comprendido entre a - ∆a y a + ∆a. El error absoluto se debe expresar por tanto en las mismas unidades que la magnitud medida. Si, por ejemplo medimos una longitud con una regla graduada hasta milímetros obteniendo el valor graduado de 12.6cm. y las características de la regla nos permiten suponer que el error es inferior a medio milímetro en cada sentido, escribiremos: L = 12.6 ± 0.05cm.

(1)

y diremos que el error absoluto es ∆l = 0.05cm. Muchas veces resulta útil expresar el error con que se conoce una determinada magnitud física en relación con el valor de dicha magnitud. En esto consiste el error relativo que es el cociente entre el error absoluto y el valor: ∆a/a. Se puede expresar también en tanto por cierto multiplicando su valor por 100. En el ejemplo anterior, el error relativo de (1) es: εr = ∆l/l = 0.05/12.6 = 0.004 o bien: εr = 0.4%

A veces el resultado de la medida y su error se expresan con el error relativo, escribiendo por ejemplo l = 12.6 cm. ± 0.4%. III. ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS Medidas directas son aquellas que se obtienen directamente con la lectura de un instrumento de medida, por ejemplo la intensidad que circula por un alambre medido con un amperímetro. El error cometido en este tipo de medidas puede depender de muchos factores: errores debidos al calibrado del instrumento de medida, a su utilización por el que hace la medida o a factores externos que influyen en las condiciones de la medida. Medidas indirectas, en cambio, son las que se obtienen combinando los valores obtenidos midiendo otras magnitudes. Por ejemplo para medir la velocidad podemos medir el espacio recorrido y el tiempo transcurrido y dividiendo obtener la velocidad media. Se distinguen tres grandes tipos de imprecisiones en el momento de llevar a cabo el registro de datos experimentales. III.1. Errores del observador Los errores del observador son cometidos por la persona que realiza la medida generalmente son lecturas incorrectas de datos, dada la imprecisión natural de los sentidos de éste. Cuando se hacen medidas con instrumentos que poseen escalas finas es muy probable la aparición de este tipo de errores. III.2. Errores sistemáticos Los aparatos de medida utilizados en la toma de datos tienen como limitante la precisión y la exactitud; tales factores hacen aparecer los llamados errores sistemáticos. Además la imposibilidad de considerar todas las variables que intervienen en un fenómeno o en una medida es otra forma en la que se introducen estos errores. Este tipo de error puede, a veces, corregirse si se conoce la causa que se produce y la ley que rige esta causa. Por ejemplo, el error debido a un cronómetro que adelanta, si se conoce cuanto adelanta puede corregirse fácilmente. III.3. Errores casuales o aleatorios Otra clase común de error es producida por variaciones impredecibles y desconocidas en un montaje, aún cuando se tengan todos los cuidados humanamente posibles. Fluctuaciones en la temperatura del proceso o en el voltaje de funcionamiento de un dispositivo son ejemplos típicos de errores aleatorios. En general, al hacer una medida se superponen los tipos de errores (sistemáticos y casuales), pero es frecuente que uno de ellos sea dominante y se pueda considerar como si no existiera el otro. IV. ESTIMACIÓN DEL ERROR EN MEDIDAS DIRECTAS

Cuando se ha hecho una sola observación porque predomina el error sistemático y repitiendo la medida se obtiene el mismo valor, se puede suponer en general que el error proviene únicamente de la precisión limitada del instrumento de medida y se tomará como error la mitad de la mínima de división de escala del instrumento (a no ser que se den otras especificaciones sobre la precisión del instrumento o que influyan otras causas). Cuando predomina el error casual, siempre que sea posible conviene repetir varias veces la medida y tomar como valor aproximado el promedio y como error absoluto la desviación típica. El número de veces que conviene repetir la medida depende de cada caso. Una buena norma práctica es tomar un número de medidas tal que una nueva medida no lleve consigo una variación apreciable del promedio. Si se han hecho N medidas de valores X1, X2,…, XN el promedio X es:

∑X N

X=

i =1

N

i

=

X 1 + X 2 + ... + X N N

La desviación (di) de cada medida es: di = xi - X , y la desviación típica (σ) de todas las mediciones es la raíz cuadrada del promedio de los di2:

∑d N

σ =

2 i

i =1

N

V. CÁLCULO DEL ERROR EN LAS MEDIDAS INDIRECTAS Con frecuencia, la magnitud que deseamos conocer la deducimos de otras que se han medido directamente, que se conocen por tanto con ciertos errores. Se trata ahora de ver como afectan estos errores, en el error de la nueva magnitud. Si deseamos, por ejemplo, conocer el volumen de una pieza cilíndrica, habiendo medido el diámetro d y la altura h. Sean estos: d = (5.24 ± 0.005) cm. h = (2.36 ± 0.005) cm. El volumen en función de d y h viene dado por la fórmula:

v=

π 2 d h 4

Como los valores exactos de d y h están comprendidos respectivamente entre d + ∆d y d - ∆d y h + ∆h y h - ∆h, podremos asegurar que V está comprendido entre: π π (d + ∆d) 2 (h + ∆h) y (d − ∆d)2 (h − ∆h) 4 4

Sin embargo, esto es innecesario y en general, demasiado costoso o tedioso? El error en estos casos se obtiene aplicando las siguientes reglas:

Primera Regla: El error absoluto de la suma o diferencia de dos cantidades aproximadas es igual a la suma de los errores absolutos de dichas cantidades. Esto podemos expresar como:

∆(a ± b) = ∆a + ∆b En realidad, con esta regla nos estamos situando en el escenario más desfavorable, lo cual, por razones de probabilidad, no sería necesario. Un criterio más realista es:

∆(a ± b) = (∆a )2 + (∆b) 2 cuya justificación no es inmediata. En la práctica usaremos una u otra fórmula según los casos, teniendo en cuenta otras circunstancias. Nótese que cuando uno de los errores es muy superior al otro las dos fórmulas dan un resultado muy parecido. La extensión de esta regla al caso de más de dos sumando es inmediata, es decir: ∆(a ± b ± c) = ∆a + ∆b + ∆c

Segunda Regla: El error relativo del producto o cociente de dos cantidades aproximadas es igual a la suma de los errores relativos de dichas cantidades: Si u = a x b siendo ∆a y ∆b los errores absolutos de a y b:

∆u ∆a ∆b = + u a b Si v = a/b, entonces:

∆v ∆a ∆b = + v a b Como un caso particular de esta regla podemos considerar el de una constante numérica (o una cantidad sin error) que multiplique o divida a una cantidad aproximada, por ejemplo: U = k*a Siendo ∆a el error de a. Podemos suponer K de error ∆k = 0 y escribir:

∆u ∆k ∆ a ∆ a = + = u k a b

∆u = u

∆a ∆a = ka = k∆a a a

La regla anterior se generaliza fácilmente al caso de varios factores y, también, al caso de una expresión racional con cantidades aproximadas elevadas a potencias enteras y fraccionarias.

Tercera Regla: Si tenemos una expresión del tipo q

z=

an b p cm

Donde a, b y c tienen errores ∆a, ∆b y ∆c, entonces el error relativo de z se expresa:

∆z ∆a p ∆b ∆c =n + +m z a q b c VI. REGISTRO DE LAS MEDIDAS Existen representaciones numéricas relacionadas con el grado de confiabilidad que tenga una cierta medida. Las cifras decimales dan una idea de la precisión con la que fue tomada la medida. Generalmente, la última cifra es dudosa, ya que es en ésta donde suelen introducirse los errores del observador y los errores aleatorios. Se acostumbra entonces escribir la lectura directa seguida de la precisión del aparato. Esta representación de los datos obtenidos en el laboratorio supone el seguimiento de ciertas reglas en el caso en que se tenga la necesidad de realizar operaciones entre los resultados obtenidos (hallar áreas, volúmenes, etc.) A continuación se dan algunas de estas reglas.

VI.1. Cifras significativas El número de cifras significativas de una cantidad establece el orden de magnitud de la incertidumbre de un resultado. Por ejemplo, un dato de masa expresado como 13.68g nos dice que la cifra dudosa es el 8 y que la incertidumbre de esta medida pudiera ser de una centésima de gramo. En este ejemplo el resultado estaría escrito con cuatro cifras significativas. Podría expresarse este mismo dato con tres, dos o inclusive una cifra significativa atendiendo a las reglas que para ello se dan más adelante en el redondeo de números. Para el conteo de cifras significativas se tienen las siguientes normas:

•

Cualquier dígito diferente de cero es significativo. 1234.56 tiene 6 cifras significativas. • Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. 1002.5 tiene 5 cifras significativas.

•

Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. 000456 tiene 3 cifras significativas. 0.0056 tiene 2 cifras significativas.

•

Si el número es mayor que 1, todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos. 457.12 tiene 5 cifras significativas.

400.00 tiene 5 cifras significativas.

•

Si el número es menor que 1, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre los dígitos distintos de cero son significativos. 0.01020 tiene 4 cifras significativas.

•

Para los números expresados en notación científica se siguen las reglas anteriores en su parte numérica. La potencia no se tiene en cuenta para el número de cifras significativas. 3.092 x 104 tiene 4 cifras significativas.

•

Los ceros finales de un dato entero (300) no son significativos; si se desea expresar que son significativos debe escribirse en notación científica (3.00 x 102).

VI.2 Redondeo de números Las reglas que se emplean en el redondeo de números son las siguientes:

•

Si las cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más. Ejemplo: 435.2 se redondea a 435 (la cifra que se omite es 2) • Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta una unidad la última cifra retenida. Ejemplo: 435.7 se redondea a 436 (la cifra que se omite es 7, se aumenta 1 al 5 que es la ultima cifra retenida) • Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior. Ejemplos: 435.5 se redondea a 436 y 434.5 se redondea a 434 Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso. Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos 4000 puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no.

VI.3. Operaciones de números con cifras significativas Los errores o imprecisiones de un dato se propagan a todos los datos que se generan a partir de él. Es posible calcular con bastante rigor el error asociado a un resultado de una operación aritmética que involucra una colección de datos de los que se conoce su error; para hacerlo se utilizan expresiones que se derivan del cálculo diferencial, que si bien son de sencilla aplicación, no se entrará en el detalle de su deducción. En los casos en los que el objetivo del análisis de propagación de errores no sea determinar rigurosamente la imprecisión final del resultado, sino, simplemente, estimar dicha precisión, es suficiente con un análisis del número de cifras significativas del resultado utilizando las siguientes reglas aproximadas.

VI.3.1. Suma y resta

Se suman los números normalmente y el resultado se escribe con el número de cifras decimales del sumando que tenga el menor número de cifras decimales. 2212.342 + 5.6 = 2217.942 se redondea a 2217.9 6.2456 + 6.2 = 12.4456 se redondea a 12.4

VI.3.2 Multiplicaciones y divisiones Se multiplican los números normalmente y el número de cifras significativas del resultado es el del dato de menor número de cifras significativas. 2.4 x 0.000673 = 0.0016152 se redondea a 0.0016 5876.234 x 2.7 = 15865.8318 se redondea a 1.6 x 104 Nota 1: Si la multiplicación involucra un entero, éste adopta el número de cifras significativas del factor que tenga menos. 5 x 4.2 x 13.56 = 5.0 x 4.2 x 13.56 = 284.76 se redondea a 2.8 x 102 (2 cifras significativas). Nota 2: Si la multiplicación es con un irracional, se aplica la regla para enteros. 4.123 x π x 2.17 = 4.123 x 3.14 x 2.17 = 28.0932974 se redondea a 28.1

VI.4. Cantidades expresadas con error La forma correcta de escribir el resultado de una medición es dar la mejor estimación del valor de la cantidad medida y el rango dentro del cual se puede asegurar que se encuentra este valor. Existen varias reglas usadas para expresar el error que vale la pena enfatizar. En primer lugar, debido a que la cantidad ∆A es una estimación del error, obviamente no debe establecerse con demasiada precisión. Si medimos la aceleración de la gravedad g, sería inapropiado escribir el resultado como (g medido) = 9.82 ± 0.02385 m/s2. En trabajos de gran precisión los errores se establecen a veces con dos cifras significativas, pero para nuestros propósitos podemos establecer la siguiente regla: los errores experimentales deben ser redondeados en la mayor parte de los casos a una sola cifra significativa. Por lo tanto, si un cálculo resulta con un error ∆g = 0.02385 m/s2, la respuesta debe redondearse a ∆g =0.02 m/s2, y el resultado anterior debe escribirse (g medido) = 9.82 ± 0.02 m/s2. Esta regla tiene sólo una excepción significativa. Si el primer dígito en la incertidumbre ∆A es un 1, entonces puede ser mejor mantener dos cifras significativas en ∆A. Por ejemplo, supongamos que un cálculo resulta con una incertidumbre ∆A = 0.14. Redondear este número a ∆A = 0.1 resulta en una disminución sustancial (del orden del 40%),

de forma tal que podemos afirmar que es más correcto en este caso retener dos cifras significativas, escribiendo el error como ∆A = 0.14. Una vez que se ha estimado la incertidumbre en la medida, deben considerarse las cifras significativas del valor medido. Un resultado escrito como: Velocidad medida = 6.051.78 ± 30 m/s es obviamente incorrecto. La incertidumbre de 30 significa que el dígito 5 podría ser realmente tan pequeño como 2 o tan grande como 8. Claramente, los dígitos siguientes 1, 7 y 8 no tienen ningún significado y debieran ser redondeados. Es decir que la forma correcta de escribir este resultado es: Velocidad medida = 6050 ± 30m/s. La regla general es ésta: La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud (estar en la misma posición decimal) que el error. Por ejemplo, la respuesta 92.81 con una incertidumbre de 0.3 debiera redondearse a 92.8 ± 0.3 Téngase en cuenta que esto se refiere a cómo expresar el resultado final. Las reglas de redondeo obviamente no se aplican a cálculos intermedios.

ANEXO: ERRORES EN MEDICIONES ELÉCTRICAS En caso de instrumentos con voltímetro, amperímetro y ratímetros que se usan en circuitos eléctricos, la manera de hallar el error absoluto es diferente. Ahora se tendrá en cuenta la “clase” del instrumento, que es un dato dado por el constructor basado en la sensibilidad del aparato, el error casual y el sistemático. También será importante el “alcance” que se define como lo máximo que puede medir el instrumento. En función de estos parámetros el error relativo de una medida viene dado por:

ε (%) = Clase x medida / alcance.