Teoría de Conjuntos_Pamer

ARITMÉTICA - TEMA 1

TE ORÍA RÍA DE C ONJ UNTO NTOS

En nuestra vida cotidiana se presentan gran diversidad

agruparlos usted puede obtener algunas conclusiones de

de elementos que usted puede agrupar de acuerdo a

ellos, como por ejemplo, cuántos elementos tienen,

ciertas características, como por ejemplo, en un aula de clase usted puede agrupar a los hombres y mujeres,

cuántos subconjuntos se pueden formar, que relación tiene con otros grupos, etc. Todo ello conlleva a un

puede agrupar a los que tienen buena nota o no, agrupar los que tienen tienen más estatura estatura que los otros, etc. Y al

estudio amplio de conjuntos y todas las operaciones que con ellos se pueda realizar.

NOCIÓN DE CONJUNTO

Ejemplo:  A = {a, b, c, d, e} B = {lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sábado,   domingo}

Es un ente matemático por el cual se puede tener una idea subjetiva de ello, como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplo: * Lo s m e ses de l añ o * Las Las est estacio acione ness del del año año * Los Los pla plane neta tass del del sis siste tema ma sola solarr

RELACIÓN DE PERTENENCIA Es la relación que existe entre los elementos y los conjuntos y se le denota con el símbolo ∈ , el cual se lee "pertenece". Ejemplo: H = {a, 2, 3, {5}} a ∈   H (a pertenece pertenece a H) 5 ∉   H (5 no pertenece pertenece H)

NOTACIÓN DEL CONJUNTO Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Puede hacerse de 2 formas:

IDEAS FUERZA

m

"Para re r elacionar un conjunto conju nto con otro otr o conjunt conjunto, o, util ut ilizamos izamosla inclusió incl usión n o no n o inclusió incl usión n excepto excepto cuando  tr abajamos abajamos con con el conjunt conj unto o potencia potencia que re r elaciona el  conjunt conj unt o de partes par tes con el el mismo mi smo por medio de la  pertenencia".

Ejemplo:  A = { 1, 2} → P(A) P(A) = { { 1} , { 2} , { 1, 2} , ∅ }    { 1} ∈ P ( A ) ( severá ver ámás adelant e) 

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1

1.

Por Por ext exten ensi sión ón o for forma ma tabu tabula larr Se indica generalmente a todos los elementos. Ejemplo:  A = {a, b, c, d, e, f, g, ... ... ... . z} N = {mercurio, venus, tierra, marte, júpiter, ... plutón}

2.

Por Por compr comprens ensió ión n o form forma a const constru ructi ctiva va Cuando se menciona una o más características comúnes y únicas a todos los elementos de dicho conjunto. Ejemplo:  A = {x/x es letra del abecedario abece dario}} N = {x/x es planeta del sistema solar} TEMA 1 / ARITMÉTICA

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CLASES DE CONJUNTO 1.

Conjunto finito Un conjunto es finito si posee una cantidad limitada de elementos, es decir, que el proceso de contarlos termina en un determinado momento.  A = {x/x es un día de la semana} B = {2, 3, 5, 7, 9}

2.

Conjunto infinito Un conjunto es infinito si la cantidad de elementos es ilimitada, es decir, el proceso de contar jamás acaba. T = {x/x es un número par} M = {x ∈  ¡ /0 < x < 1}

3.

Conjuntos numéricos  – Núm ero s Natura les (¥ ) ¥  = {0 , 1, 2, 3, 4, ...}}  – Núm eros Ent ero s (¢ ) ¢  = {.. . -2, -1, 0, 1, 2, ...}}  – Núme ros Raciona les (¤ ) Q=

 –  –

3. Conjunto universal (U) Es un conjunto referencial que se toma para el análisis de una situación particular. Ejemplo:  A = {per ro, gato , ornitorrinco} Un conjunto referencial al conjunto anterior podría ser: U = {x/x es un mamífero}

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 1. Inclusión ( ⊂ ) Se dice que un conjunto está dentro de otro cuando todos sus elementos forman parte del otro conjunto. ⊂   : Inclusión o contenido Representación:  A Ì B @ " x Î A;

Gráficamente:

B  A

{ ab / a ∈ ¢ y b ∈ ¢, −{0} }

Números Irracionales ¡ − ¤ = {noracionales} Núm eros Rea les (¡ ) ¡ = (¡ − ¤ ) ∪ ¤

2. Igualdad (=) Se dice que dos conjuntos son iguales si poseen los mismos elementos.  A = {3n + 2 / n ∈ ¢ ∧ 1 ≤ n ≤ 4} B = {5,14,8,11}  Se observa que A = B

CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el que indica el número de elementos distintos que posee un conjunto.

 A = B Û A Ì B Ú B Ì A

Notación: n(A) Se lee número de elementos de A.  A= {2 , 3, 4, 7} ⇒ n(A)=4

3. Conjuntos diferentes ( ≠ ) Intuitivamente dos conjuntos serán diferentes cuando al menos uno posea un elemento que no posee el otro. Ejemplo:  A = {2, 3, 5, 7, 9} B = {1, 3, 5, 7, 9} Se observa A ≠ B

B={a, a, b, b, c, c, d, e, f} ⇒ n(B)=6

CONJUNTOS ESPECIALES 1.

Conjunto nulo o vacío. (Ø) Es aquel conjunto que no posee elementos. Ejemplo:  A = { x / x ∈ ¥ ∧ 2 x = 5} ={}= φ

2.

xÎA®XÎB

 A ¹ B Û ($ x, x Î A Ù x Ï B) Ú ($ x, x Ï A Ù x Î B)

4. Conjuntos disjuntos o ajenos Son conjuntos que no poseen elementos en común. Ejemplo:  A = {2, 4, 6, 8, 10} A y B son disjuntos no B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} tiene elementos comunes

Conjunto unitario o singleton Es aquel que posee 1 solo elemento.

}

Ejemplo:

 A = { x /x ∈¥ ∧2x 2 = 8} ={2}

 A y B disjuntos ⇔ ∃ x/x∈A ∧ x∈ B SUGERENCIAS m

Si los elementos se repiten, se lescuenta como uno solo.

m

N o siempre el sí mbolo Ørepresenta el vací o, tambié n  sesuele tomar como elemento.

5. ConjuntosComparables Dos conjuntos se denominan comparables si uno de ellos esta contenido en el otro.  A es comparable con B Û A Ì B Ú B Ì A

Ejemplo: A = { Ø, { Ø} }  TEMA 1 / ARITMÉTICA

2

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Ejemplo:

IDEAS FUERZA m

Dados los conjuntos:  A = {2; 3; 5; 8} B = {1; 2; 7; 9; 10} ⇒  A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 9; 10}

"C uando hallamos el número de subconjuntos  propios, el subconj unto que no consideramos esel  propio conjunto"  Ejemplo: A = { a, b} ⇒ n( A )= 2   Subconjuntos A •

•

{a} {b} {a, b} (no propio) Ø

 A • • • •

B

 A ∪ B •

Disjuntos Comparables  A B  A B

 A ∪ B

Propiedades: 1. A ∪  Ø = A 2. 3. 4. 5.

B

a b c d

Representaciones gráficas:

 A

6. Conjuntos equipotentes o coordinables Se dice que dos conjuntos son equipotentes cuando entre sus elementos se puede establecer una correspondencia biunívoca. Como consecuencia de esto se tiene que los cardinales de ambos conjuntos son iguales.  A = {a, b, c, d} ⇒ n (A) = 4 B = {1, 2, 3, 4} ⇒ n (B) = 4  A y B son equi potentes

• • • •

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 A ∪ B = A

(Elemento neutro)

A ∪ = (Elemento absorvente) A ∪ A = A (Propiedad indempotente) A ∪  B = B ∪   A ( Pr op ie da d c on mu ta ti va ) (A  ∪ B) ∪ C= A ∪ (B ∪ C ) (Propiedad asociativa)

1 2 3 4

6.

A ⊂ (A ∪ B)

B ⊂ (A ∪ B) 7. A ⊂ B ⇒  A ∪ B = B 8. A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ (A ∪ C ) (Propiedad distributiva) 9. A ∪ B= Ø ⇒  A= Ø  ∧ B= Ø 10. A ⊂ B ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ C )

7. Conjunto potencia (P(A)) Es aquel conjunto que tiene como elemento a todos los subconjuntos del mismo conjunto. Ejemplo:  A = {1, 2, 3}

(Propiedad de monotonía)

subconjuntosdeA 64444444447444444444 8 P(A) = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, ∅}

SUGERENCIAS

n[P(A)]=8=2 3

m

⇒  se cumple que n (P(A)) = 2n(A)

# subconjuntos propios = 2n(A) - 1

En los textos de problemas se reconoce a la  operación de unión por el conectivo: "o".

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: I.

II. Intersección ( ∩ ) La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B; es decir, aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por: A ∩ B; que se lee: "A intersección B".

Unión ( ∪ ) La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por:  A ∪ B; que se lee: "A unión B".  A È B = {x/x

Î

A

Ú

x

Î B}

 A Ç B = {x/x IDEAS FUERZA

m

A

Ù

x

Î B}

Ejemplo: Dados los conjuntos:  A = {1, 3; 4; 6; 8} B = {2; 3; 6; 8; 9; 11} ⇒  A ∆  B = {3; 6; 8}

La unión de A y B tambié n puede denotarse  como A + B y se llama suma conjuntista de A y B o simplemente A más B.

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Î

3

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SUGERENCIAS

IDEAS FUERZA

m

La intersección de A y B tambié n puededenotarse  como A.B y sellama producto conjuntista deA y  B o simplemente A por B.

m

- A

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas  A  A

B

B

Disjuntos Comparables  A B  A B

Disjuntos Comparables  A B  A B

 A - B

 A ∩ B = ∅ •

≠ B

A - B

• •

Recuerda que si dosconjuntos A y B son diferentes: 

 A ∩ B = B

Propiedades 1. A ∩ Ø = Ø (Elemento 2. A ∩   = A (Elemento ∩ 3. A  A = A (Pro piedad 4. A ∩ B = B ∩ A (Propi edad 5. (A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C ) (Propiedad 6. (A ∩ B) ⊂ A (A ∩ B) ⊂ B 7. A ⊂ B ⇔  A ∩ B = A 8. A ⊂ B ⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ C ) 9. (A ⊂ C ∧ B ⊂ D) ⇒ A ∩ B ⊂ C ∩ D 10. A ∩ (B ∩ C)=(A

∩ B) ∩

•

absorvente) neutro) idem pote nte) conmut ati va) asociativa)

A- B= A

A -B

Propiedades 1. 2.

A -Ø = A A -A = Ø

3. 4.

A ∩ (B - C) = (A Ø -A= Ø

5. 6.

(A - B) ⊂ A A ⊂ B ⇒ (A - C) ⊂ (B - C)

7. 8.

A ⊂ B ⇔  A - B = Ø B ∩ (A - B) = Ø

9.

A - B = (A ∪ B) - B = A - (A ∩ B)

∩ B)

- (A ∩ C )

10. A - B = A ∩ B'

(A ∩ C ) (Propiedad distributiva)

SUGERENCIAS SUGERENCIAS m m

En los textos de problemas se reconoce a la  intersección por el conectivo: "y".

En los textos deproblemas se reconoce a la operación  de diferencia por la palabra: "sólo".

IV. Diferencia simétrica ( ∆ ) La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos no comunes de A y B; es decir, aquellos elementos que pertenecen o bien a A o bien a B, pero no a ambos. Se denota la diferencia

III. Diferencia (–) La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero no a B. Se denota la diferencia de A y B por: A - B; que se lee: "A diferencia B" o simplemente "A menos B".

simétrica de A y B por: A ∆ B por; que se lee: "A  A - B = {x/x

Î A Ù x Ï B}

diferencia simétrica B".

Ejemplo: Dados los conjuntos:  A = {2; 3; 4; 5; 6} B = {5; 6; 7; 8; 9;10} ⇒  A - B = {2; 3; 4} ⇒   B - A = {7; 8; 9;10}

 A

 A

D

B = { x/x

Î

(A È B) Ù x Ï (A Ç B)}

Ejemplo: Dados los conjuntos:  A = {2; 3; 4; 5; 6} B = {1; 3; 5; 6; 9; 11}

La diferencia de A y B tambié n puede  denotarse como A/B.

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B = {x/x Î (A - B) Ú x Î (B - A)}

o también:

IDEAS FUERZA

m

D

⇒  A ∆ B = {1; 2; 4; 9; 11} 4

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•

Representaciones gráficas

 A

B

•

Representaciones gráficas

Disjuntos Comparables  A B  A B

 A

 A’ 

 A ∆ B •

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 A ∆ B = A ∪ B  A ∆ B = A − B

•

Propiedades 1. (A  ∆ B) ∆ C= A ∆ (B ∆ C) (Propiedad asociativa) 2. A ∆ B = B ∆ A (Pr opi edad conmut ati va) ∆ 3. A Ø = A (Elemento neutro) 4. A ∆ A = Ø 5. A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ ( A ∩ C ) 6. (A ∆ B) ∪ (B ∆ C) = (A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C )

U

Propiedades 1. A ∪ A' = 3. ' = Ø 5. 7.

2. A ∩ A' = Ø 4. Ø' =

(A')' = A A ⊂ B ⇔ B' ⊂ A '

6. A - B = A ∩ B'

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS •

D´Morgan (A ∩ B)' = A' ∪ B' (A ∪ B)' = A' ∩ B' •  Absorciones  A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A  A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B A ∪ (A ' ∩ B) = A ∪ B •  Axiomas N1: n(A) ≥ 0 N2: A = Ø ⇒ n(A) = 0 N3: Si A y B son conjuntos finitos y disjuntos (A ∩ B = Ø) entonces: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) • Teorema Si A y B son dos conjuntos finitos no disjuntivos: (A ∩ B ≠ Ø) entonces: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

SUGERENCIAS

m

 V.

En los textos de problemas se reconoce a la  operación de diferencia simé tr ica de A y B por:  "sólo A o sólo B" 

Complemento ( C ) El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A; es decir, la diferencia del conjunto universal y del A. Se denota el complemento de A de varias maneras: C   (A) ; A c  ; A' ;  A ; y se lee: "Complemento del conjunto A" C

IDEAS FUERZA

(A) = {x/x Î U Ù x Ï A}

m

Ejemplo: Dados los conjuntos:  = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}  A = {2; 3; 4; 7; 9} ⇒ C (A) = {0; 1; 5; 6; 8}

Problema 1

El símbolo: ℵ o (aleph cero) fue introducido por  GeorgeCantor en la teorí a de conjuntos y representa  el cardinal de todo conjunto infinito numerable; es  decir, representa el cardinal de todo conjunt o  equivalente con el conjunto delos númerosnaturales. ( ℵ: aleph es la primera letr a del alfabeto hebreo).

Resolución 

Dado el intervalo real I = [–7; 20] Sean: A = {x/x ∈ Z ∧ x – 8 ∈ I} B = {x ∈ Z/[x – 2] ≤ 5} Hallar el número de elementos de B ∩ A

 Análisis: Los conjuntos dados están expresados por comprensión, entonces habrá que expresarlos por extensión.

San Marcos 1999  N i v e l f ác i l  

 A ) 5

B) 6

D) 8

E) 9

C) 7

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Estrategia de solución: Debemos hallar "x" en los intervalos indicados.

5

Pasos: 1) I = [–7; 20] 2 ) A = {x/x ∈ Z ∧ x – 8 ∈ I}  –7 ≤ x – 8 ≤ 20 1 ≤ x ≤ 28  A = {1, 2, 3, 4, ..., 28} 3 ) B = {x ∈ Z/(x – 2) ≤ 5} x≤ 7 B = {..., –2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7}

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Ejecución de la solución:  A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∴  n(A ∩ B) = 7 R e s p u e s t a : C)

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Pasos: I) (a;b).(1;0) = (a.1–b.0;a.0+b.1) = (a; b) ..........(V) 7

II)

(a;b) = (a;0) +

(b;0).(0;1)

144244 3

− 0.1;b.1 + 0) (b.0 144424443

(0;b)

Problema 2 Si: R 2  = {a;b/a ∈ R ∧ b ∈ R} y definimos suma como: (a;b) + (c;d) = (a + c; b + d) producto como: (a;b).(c;d) = (a.c – b.d; ad + b.c) Responde acerca de la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. (a;b).(1;0) = (a;b) II. (a;b) = (a;0) + (b;0).(0;1) III. (a;b) + (c;d).(0;1) = (a + d;b + c)  A ) FVF B) VVF C) FFF D) V F V E) V V V

= (a; 0) + (0; b) = (a; b) ................. (V) III)

(a;b) + (c;d).(0;1)

Estrategia: Utilizar las nuevas operaciones en cada una de las proposiciones.

1.

2.

3.

Pasos: 1) A = {x ∈ Z/x5 – 5x 3 = 36x} x(x 4 – 5x 2) = 36x .x 2.(x 2 – 5) = 36.

Ejecución de la solución:  Analizando las 3 proposici ones: I) (V) II) ( V ) III) (F) ∴ VVF Respuesta:

4.

⇒

2)

x = 0;x = 3;x = − 3

B = {x ∈ Z/x – 3∈ A } x – 3∈ {–3; 0; 3} x ∈ {0; 3; 6} B = {0, 3, 6}

B) VVF

Problema 3 Sean: A = {x ∈ Z/x5 – 5x 3 = 36x} B = {x ∈ Z/x – 3∈ A } Hallar: (A ∪ B) – (A ∩ B)  A ) {3 } B) {1; 6} C) {–6} D) {–3; 6} E ) {3; 6}

Ejecución de la solución:  A ∪ B = {–3, 0, 3, 6}  A ∩ B = {0, 3} ∴ (A ∪ B) – (A ∩ B) = {–3,0,3,6} – {0,3} = {–3, 6} ∴ (A ∪ B) – (A ∩ B) = {–3, 6} R e s p u e s t a : D) {–3, 6}

Dados los conjuntos:  A = {{m}, p, {r, s, t}, u, v} B = {r, s, t} C = {r, s} podemos afirmar que son verdaderas: I.

B∈A

II. C ⊂ A

III. C ∈ A  A ) Sol o I D) I y III 5.

B) Solo II

C) I y II

E) Ninguno

Dado el conjunto:  A = {m, {m}, φ , { φ }} ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son

C) 7

verdaderas? I. {m} ⊂ A ∧ φ ⊂  A II. { φ} ⊂ A → {φ } ∈ A III. {m, φ} ∈ A ∨ {φ } ⊂ A

Hallar la suma de los elementos del conjunto "A".  A = {x 2+1/x ∈ ¢; 2 ≤ x ≤ 3}  A ) 15 B) 17 C) 18 D) 20 E) 25

TEMA 1 / ARITMÉTICA

Estrategia: Habrá que hallar el valor de "x" en cada caso.

(a−d;b+c)............(F)

Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: - Si: A = {1; 2; 3; 4}, entonces {1; 3} ∈ A - Si: A = {x/x ∈ IN; 2x + 4 = 5} es unitario - Si: B = {x/x ∈ IN; 1 ≤ x ≤ 5 } entonces posee 5 elementos  A ) F V V B) FFV C) V F V D) V FF E) FVF Sea el universo: U = {0; 1; 2; 3; ...}  A = {x/x ∈ U; x + 2 = x - 2} B = {x/x ∈ U; 2x < 7} Hallar: n(A) + n(B)  A ) 3 B) 5 D) 2 E) 4

 An ál is is :  Los conjuntos dados están expresados por comprensión, entonces habrá que expresarlos por extensión.

1444442444443

Resolución 

 Anál isis: Son nuevas operaciones definidas en R 2.

= (a;b) +( −d;c)

144244 3 − d,1;c.1 + d.0) (c.0 144424443 (−d;c)

Resolución 

 A ) Sol o I D) Todas 6

B) Solo II

C) Solo III

E) Ninguna UNCP REGULAR 2009 - II

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6.

13. De un grupo de 50 personas, 30 hablan español, 25 hablan inglés, 20 hablan francés y 4 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan al menos dos de estos idiomas, si todos hablan al menos uno de estos idiomas?  A ) 16 B) 17 C) 14 D) 21 E) 20

Sean los conjuntos:

 A = {2a/a ∈ IN;a